1

תיאוריית תכנון סכמות למסדי נתונים יחסיים

2חלק Design Theory for

Relational DatabasesPart 2

2

הגרירה מושג על חזרה

אם כל שתי r ביחס מתקיימת X → Yת"פ Y הנן שוות גם על Xרשומות ששוות על

אם כל X → Y ת"פ גוררת Fקבוצת ת"פ X → Y מקיים גם את Fיחס שמקיים את

F ⊨ X → Yהסימון של גרירה: , כלומר דוגמה נגדיתאם אין גרירה, אז יש

X → Y ואינו מקיים את Fיחס שמקיים את

3

דוגמה של דוגמה נגדית

היחס

הוא דוגמה נגדית לגרירהA → B, B → C ⊨ C → A

ABC

111

001

4

עוד דוגמה של דוגמה נגדית

היחס

הוא דוגמה נגדית לגרירהA → B, C → B ⊨ C → A

ABC

111

011

5

" פ ת של השימושים

(constraints)ת"פ מבטאות אילוצים צריך לדאוג לכך שהנתונים האגורים במסד

הנתונים יקיימו את האילוציםבנוסף לכך, הת"פ )וגם אילוצים מסוגים

אחרים( מאפשרות לזהות סכמות בעייתיות

6

מידע שכפול המאפשרת סכמהבעייתית סכמה הנה

דוגמה

למחלקה יש רק מנהל אחד אבל יש הרבה סטודנטים

לכן המידע על מנהל המחלקה נשמר עבור כל סטודנט השייך למחלקה

SDH

LevyCSRubin

Cohen

Math

Bush

BarakCSRubin

StudentDepartmentHead

7

? מידע שכפול קיים מדוע

למחלקה יש רק מנהל אחד אבל יש הרבה סטודנטים

מתקיימת, אבל D → Hכלומר, הת"פ אינה מתקיימתD → Sהת"פ

SDH

LevyCSRubin

Cohen

Math

Bush

BarakCSRubin

StudentDepartmentHead

8

... אחרות במילים

בדוגמה הקודמת מקור הבעיה הוא D → Hהת"פ

זוהי ת"פ שאמורה להתקיים ביחס, אבל צידה השמאלי איננו מפתח של

אינו קובע את כל Dהיחס )כלומר, (Hשאר האטריביוטים, אלא רק את

9

? גרירה יש מתי לדעת חשוב מדוע

, קרי קבוצת אטריביוטיםRנתונה לנו סכמה שהיחסים האפשריים Fונתונה קבוצה של ת"פ

צריכים לקייםRעבור לא X → Y מקיימים ת"פ Rהאם היחסים עבור

טריוויאלית, שצידה השמאלי אינו קובע את כל ? אם כן, הסכמה בעייתיתRהאטריביוטים של

כך ש-Y ו- Xבאופן פורמלי, האם קיימים Y ⊊ X,F ⊨ X → Y -ו F ⊭ X → R

10

- על ומפתח מפתח של הגדרה

בעזרת המושג של גרירה ניתן להגדיר באופן ומפתח-על (key)פורמלי מפתח

(superkey) מפתח-על, F וקבוצת ת"פ Rבהינתן סכמה

, כך X ⊆ R הוא קבוצת אטריביוטים Rשל F ⊨ X → Rש-

X אם מפתח הואF ⊨ X → R ואם אין Z ⊊ X -כך ש F ⊨ Z → R

מפתח הוא גם מפתח-על, אבל לא להפך

11

) שנית ) בעייתית סכמה אפיון

, קרי קבוצת Rנתונה לנו סכמה אטריביוטים

R שהיחסים עבור Fונתונה קבוצה של ת"פ צריכים לקיים

לא X → Yהסכמה בעייתית אם קימת ת"פ ( כך ש-Y ⊊ Xטריוויאלית )קרי,

F ⊨ X → Y אינו מפתח-עלXו-

12

סכמה בעייתית 1 :דוגמה

מקיימים שתי SDHהיחסים עבור הסכמה S → D ו- D → Hת"פ

S → D, D → H ⊭ D → S אינו מפתח-על של הסכמה Dלכן

SDH

LevyCSRubin

Cohen

Math

Bush

BarakCSRubin

StudentDepartmentHead

13

סכמה בעייתית נוספת2:דוגמה

C → T קיימת הת"פ SCTעבור הסכמה

C אינו מפתח, כי C → T ⊭ C → S

SCT

LevyOSJones

CohenDBSmith

LevyDBSmith

LevyLogicWhite

StudentCourseTeacher

14

? גרירה יש מתי נבדוק איך

אם אין דוגמה נגדיתF ⊨ X → Yיש גרירה לפיכך, נחפש דוגמה נגדית

יש אינסוף יחסים אפשריים עבור סכמה נתונה )בהנחה שהתחום של הערכים

המופיעים בעמודות הנו אינסופי(לפיכך, חיפוש דוגמה נגדית הוא תהליך

שאיננו בהכרח עוצר

15

האקסיומות של ארמסטרונג

אם אזרפלקסיביות:אוגמנטציה )הוספה(:

אם אז טרנזיטיביות:

ZYאם ו- אז

YX

YX

XY

YX YZXZ

ZX

16

אקסיומות נוספות

איחוד:אם ו- , אז

פירוק:אם , אז וגם

פסודו-טרנזיטיביות:ZYWאם ו- , אז

YX

YX

YX

ZXW

ZX YZX

YZX ZX

17

" פ ת של גזירה

מהן ת"פ לגזור של ת"פ, ניתן Fבהינתן קבוצה נוספות בעזרת האקסיומות, לדוגמה תהי:

Fלהלן גזירה של מ- (F. )נתון ב- 1(AB עם 1. )אוגמנטציה של 2(F. )נתון ב- 3(ABC עם 3. )אוגמנטציה של 4(4 ו- 2. )טרנזיטיביות של 5

},{ DBCAF

ABCDAB

ABCDABC

DB

ABCAB

CA

ABCDAB

18

גזירה של הגדרה

Fגזירה של ת"פ מקבוצה של ת"פ היא סדרה סופית של ת"פ,

שמקיימת את שני הדברים הבאים:נובעת , Fכל ת"פ בסדרה שייכת ל-

מרפלקסיביות או נובעת מת"פ קודמות בסדרה, לפי אוגמנטציה או טרנזיטיביות

בנוסף, הסדרה מסתיימת בת"פ

YX

YX

19

האקסיומות של ושלמות נאותות

F ⊢ X → Y פירושו שיש גזירה של X → Y -מ F

F ⊨ X → Y פירושו שיש גרירה של X → Y -מ F

האקסיומות של ארמסטרונג הנן נאותות ושלמות, כלומר

F ⊨ X → Y ⇔ F ⊢ X → Y

20

? גזירה יש האם נבדוק איך

המושגים של גרירה וגזירה הנם שקולים, ולכן במקום לבדוק האם יש גרירה אפשר

לבדוק האם יש גזירהיש מספר סופי של ת"פ שניתן לרשום בעזרת קבוצה סופית של אטריביוטים

ולכן, בהינתן קבוצה של ת"פ, יש מספר סופי של גזירות )בגזירה אין צורך לחזור על

אותה ת"פ פעמיים(

21

F ⊢ X → Yאלגוריתם לבדיקה

נייצר את כל הסדרות האפשריות )ללא חזרות( של ת"פ, תוך שימוש

Fבאטריביוטים המופיעים ב- נבדוק עבור כל סדרה האם היא גזירה

F מ- X → Yשל עדיין יש מספר אקספוננציאלי של

גזירות אפשריות

22

סגור של קבוצת אטריביוטים

של קבוצת אטריביוטים ביחס הסגורלקבוצת ת"פ , סימון , הוא

כלומר, קבוצת כל האטריביוטים כך שניתן לגזור את מ-

אם ברור מההקשר, אז מסמנים

}||{ AXFAX F

FX

XF

FA

AX FX

23

הסגור של הלמה

- למה: אם ורק אם מ גזירהסגור הוכחה: של מההגדרה נובעת הלמה

. והפירוק האיחוד של ומהאקסיומות

FXY F YX

24

3דוגמה

F = {A → C, B → D, DE → H, DK → G} ע"י חישוב F ⊢ ABK → HGנבדוק האם

+(ABK)הסגור

אם הצד השמאלי של ת"פ מוכל בסגור, אז גם הצד הימני מוכל בסגור

ABKנתחיל עם לסגור, ונקבל C נוסיף את A → Cבגלל ABKC

25

(3דוגמה המשך )

F = {A → C, B → D, DE → H, DK → G}ABKנתחיל עם

לסגור, ונקבל C נוסיף את A → Cבגלל ABKC לסגור, ונקבל D נוסיף את B → Dבגלל

ABKCD לסגור, ונקבל G נוסיף את DK → Gבגלל

ABKCDG

26

(3דוגמה המשך )

אף ת"פ נוספת שצידה השמאלי Fאין ב- מוכל בסגור, אבל צידה הימני עדיין אינו

מוכל בסגורABKCDGלפיכך, הסגור הוא

, F נגזרת מ- ABK → Gמסקנה: הת"פ F איננה נגזרת מ- ABK → Hאבל F איננה נגזרת מ- ABK → HGלכן,

27

הסגור לחישוב אלגוריתם

X וקבוצת אטריביוטים Fנתונה קבוצה של ת"פ +Xורוצים לחשב את

V:=X, Y ⊆ V, כך ש- Y → Z ת"פ Fכל זמן שיש ב-

V := V ∪ Z, כלומר V ל- Zאז מוסיפים את זמן ריצה ריבועי

בעזרת מבנה נתונים מתאים, זמן ריצה לינארי

28

האלגוריתם של נכונות הוכחת

ראשית מראים שהאלגוריתם נאות, כלומר אם האלגוריתם מוסיף

F ⊢ X → A לסגור, אז Aאטריביוט מראים זאת באינדוקציה על מספר

לסגור, Aהאיטרציה שבה מתווסף תוך שימוש באקסיומות

29

) המשך ) נכונות הוכחת

הוכחה סינטקטית אז F מ-X → Yמראים שאם יש גזירה של

Yהאלגוריתם מוסיף את כל האטריביוטים של לסגור

ההוכחה באינדוקציה על אורך הגזירה

הוכחה סמנטית אינו מוכל Yמראים שאם בסיום האלגוריתם,

F ⊨ X → Yבסגור, אז יש דוגמה נגדית לגרירה