Η Κβαντομηχανική Ως Μέσο Η Κβαντομηχανική Ως Μέσο ΥπολογισμούΥπολογισμού

Ομιλητές:Ομιλητές:

Θεοδωρόπουλος ΚωνσταντίνοςΘεοδωρόπουλος Κωνσταντίνος

Νταλαπέρας ΔημήτριοςΝταλαπέρας Δημήτριος

Πετράς ΙάσοναςΠετράς Ιάσονας

ΛΙΓΗ ΦΥΣΙΚΗ...ΛΙΓΗ ΦΥΣΙΚΗ...Στατιστικές θεωρίες (κινητική θεωρία Στατιστικές θεωρίες (κινητική θεωρία των αερίων,κβαντομηχανική)των αερίων,κβαντομηχανική)Εισαγωγή του τυχαίου μέσω της Εισαγωγή του τυχαίου μέσω της έννοιας της πιθανότηταςέννοιας της πιθανότηταςΓιατί τις χρησιμοποιούμε ; Γιατί τις χρησιμοποιούμε ;

Κινητική θεωρία των αερίων Κινητική θεωρία των αερίων Εισαγωγή Εισαγωγή του ατομικού μοντέλουτου ατομικού μοντέλουΚβαντική μηχανική Κβαντική μηχανική υποατομικά υποατομικά φαινόμεναφαινόμενα,, ακτινοβολία μέλανος σώματος ακτινοβολία μέλανος σώματος

ΛΙΓΗ ΦΥΣΙΚΗ...ΛΙΓΗ ΦΥΣΙΚΗ...

Βασικές αρχές θερμοδυναμικήςΒασικές αρχές θερμοδυναμικής Θερμοκρασία , ΘερμότηταΘερμοκρασία , ΘερμότηταΟ Α’ νόμος (αρχή διατήρησης ενέργειας)Ο Α’ νόμος (αρχή διατήρησης ενέργειας)Ο Β’ νόμος (υποβάθμιση της ενέργειας)Ο Β’ νόμος (υποβάθμιση της ενέργειας) Εντροπία ( , )Εντροπία ( , )

Η κινητική θεωρία ερμήνευσε τις έννοιες Η κινητική θεωρία ερμήνευσε τις έννοιες θερμοκρασία και θερμότητα με έναν πολύ θερμοκρασία και θερμότητα με έναν πολύ απλό τρόπο.Αναπόφευκτο συμπέρασμα : οι απλό τρόπο.Αναπόφευκτο συμπέρασμα : οι νόμοι της φύσης αποκτούν στατιστικό νόημα νόμοι της φύσης αποκτούν στατιστικό νόημα

T

dQdS lnkS

ΛΙΓΗ ΦΥΣΙΚΗ...ΛΙΓΗ ΦΥΣΙΚΗ...

Τα σωματίδια κινούνται τυχαία προς Τα σωματίδια κινούνται τυχαία προς οποιαδήποτε κατεύθυνση : Θεώρημα οποιαδήποτε κατεύθυνση : Θεώρημα ισοκατανομής ενέργειας. ισοκατανομής ενέργειας.

ΛΙΓΗ ΦΥΣΙΚΗΛΙΓΗ ΦΥΣΙΚΗΗ συνάρτηση Η συνάρτηση ΗΗ του του Boltzmann Boltzmann

Το πρώτο μη αντιστρέψιμο στον χρόνο Το πρώτο μη αντιστρέψιμο στον χρόνο αποτέλεσμα της φυσικήςαποτέλεσμα της φυσικής

0dt

dH

PdVPH ln

Η ΚΛΑΣΣΙΚΗ ΘΕΩΡΙΑ Η ΚΛΑΣΣΙΚΗ ΘΕΩΡΙΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΑΣΠΛΗΡΟΦΟΡΙΑΣ

Shannon , Weaver 1948-1949Shannon , Weaver 1948-1949

Το επικοινωνιακό σύστημαΤο επικοινωνιακό σύστημα

μήνυμα σήμα μήνυμαμήνυμα σήμα μήνυμα

ΠηγήΠηγή CC DD ΠροορισμόςΠροορισμός

θόρυβοςθόρυβος

Η πηγήΗ πηγή

Διακριτή στοχαστική διαδικασία που παράγει Διακριτή στοχαστική διαδικασία που παράγει σύμβολασύμβολα με αντίστοιχες πιθανότητες με αντίστοιχες πιθανότητες

«Πληροφορία» της πηγής «Πληροφορία» της πηγής

Παρατηρήστε την ομοιότητα με το Παρατηρήστε την ομοιότητα με το H H του του BoltzmannBoltzmann..

Μονάδα μέτρησης : Μονάδα μέτρησης : bitbit

ii ppH log

is

Το αποτέλεσμα των περισσότερο σημαντικών Το αποτέλεσμα των περισσότερο σημαντικών ακολουθιών ακολουθιών

Για αρκετά μεγάλο μήκος ακολουθιών Ν και για Για αρκετά μεγάλο μήκος ακολουθιών Ν και για οποιαδήποτε ε>0 και δ >0 μπορούμε να βρούμε ένα οποιαδήποτε ε>0 και δ >0 μπορούμε να βρούμε ένα σύνολο «λιγότερο πιθανών ακολουθιών» με συνολική σύνολο «λιγότερο πιθανών ακολουθιών» με συνολική πιθανότητα εμφάνισης μικρότερη του ε και ένα πιθανότητα εμφάνισης μικρότερη του ε και ένα σύνολο «περισσότερο πιθανών ακολουθιών» με σύνολο «περισσότερο πιθανών ακολουθιών» με πιθανότητα εμφάνισης πιθανότητα εμφάνισης

Ο πληθάριθμος των περισσότερο ακολουθιών είναι Ο πληθάριθμος των περισσότερο ακολουθιών είναι ίσος με . ίσος με .

HN

plog

HN2

Το (διακριτό) κανάλιΤο (διακριτό) κανάλι

Τα δύο θεωρήματα του Τα δύο θεωρήματα του ShannonShannon

ΘΕΩΡΗΜΑ 1 (ΘΕΩΡΗΜΑ 1 (noiseless channel)noiseless channel)

Αν Η η εντροπία της πηγής και Αν Η η εντροπία της πηγής και C C η η χωρητικότητα του καναλιού τότε ισχύει χωρητικότητα του καναλιού τότε ισχύει

1.1. Υπάρχει κωδικοποίηση τέτοια ώστε να Υπάρχει κωδικοποίηση τέτοια ώστε να μπορούμε να μεταδώσουμε με ρυθμό μπορούμε να μεταδώσουμε με ρυθμό C/H – C/H – ε , ε > 0ε , ε > 0

2.2. Δεν υπάρχει κωδικοποίηση τέτοια ώστε να Δεν υπάρχει κωδικοποίηση τέτοια ώστε να μπορούμε να μεταδώσουμε με ρυθμό μπορούμε να μεταδώσουμε με ρυθμό μεγαλύτερο μεγαλύτερο C/H . C/H .

ΘΕΩΡΗΜΑ 2 ΘΕΩΡΗΜΑ 2 (noisy channel)(noisy channel)

Αν Η < Αν Η < CC τότε μπορούμε να βρούμε τότε μπορούμε να βρούμε κωδικοποίηση τέτοια ώστε η μετάδοση να κωδικοποίηση τέτοια ώστε η μετάδοση να γίνεται με οσοδήποτε μικρό ρυθμό λαθών . Αν Η γίνεται με οσοδήποτε μικρό ρυθμό λαθών . Αν Η > > C C τότε μπορούμε να βρούμε κωδικοποίηση τότε μπορούμε να βρούμε κωδικοποίηση τέτοια ώστε ο ρυθμός λαθών να είναι ίσος με Η τέτοια ώστε ο ρυθμός λαθών να είναι ίσος με Η – – C +C + ε , ε > 0. Δεν υπάρχει κωδικοποίηση με ε , ε > 0. Δεν υπάρχει κωδικοποίηση με ρυθμό λαθών μικρότερο από Η – ρυθμό λαθών μικρότερο από Η – CC

H KBANTIKH MHXANIKHH KBANTIKH MHXANIKH

1900 Max Planck1900 Max Planck1905 Albert Einstein (1905 Albert Einstein (φωτοηλεκτρικό φαινόμενο)φωτοηλεκτρικό φαινόμενο)1908 1908 Albert Einstein Albert Einstein (κίνηση (κίνηση Brown)Brown)1911 1911 Ernest Rutherford Ernest Rutherford 191915 Niels Bohr 15 Niels Bohr 1923 Louis de Broglie1923 Louis de Broglie1927 Werner Heisenberg1927 Werner Heisenberg1928 Erwin Schrodinger1928 Erwin Schrodinger1928 Max Born1928 Max Born1930 P.A.M. Dirac , J. von Neumann1930 P.A.M. Dirac , J. von Neumann1935 EPR1935 EPR1962 J. Bell1962 J. Bell

ΦΥΣΙΚΕΣ ΑΡΧΕΣΦΥΣΙΚΕΣ ΑΡΧΕΣΗ αρχή της υπέρθεσηςΗ αρχή της υπέρθεσηςΗ κατάσταση του υπό εξέταση συστήματος ΠΕΡΙΕΧΕΙ τις Η κατάσταση του υπό εξέταση συστήματος ΠΕΡΙΕΧΕΙ τις «βασικές» καταστάσεις«βασικές» καταστάσεις..

«Βασικές» καταστάσεις : Οι καταστάσεις που προκύπτουν από την «Βασικές» καταστάσεις : Οι καταστάσεις που προκύπτουν από την μέτρηση μιας ποσότητας (ενέργειας,ορμής,θέσης,χρόνου κτλ)μέτρηση μιας ποσότητας (ενέργειας,ορμής,θέσης,χρόνου κτλ)

Dirac notationDirac notation : : C1 C1 και και C2 C2 μιγαδικοί μιγαδικοί λ1 και λ2 οι τιμές της μέτρησης , |λ1> και |λ2> οι καταστάσεις που δίνουν λ1 και λ2 οι τιμές της μέτρησης , |λ1> και |λ2> οι καταστάσεις που δίνουν

αυτές τις τιμές αυτές τις τιμές

2211 cc

ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΕΡΜΗΝΕΙΑΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΕΡΜΗΝΕΙΑ

Η κατάσταση |φ> δίνει με πιθανότηταΗ κατάσταση |φ> δίνει με πιθανότητα το το αποτέλεσμα λ1 (και μεταπίπτει στην κατάσταση |λ1> ) αποτέλεσμα λ1 (και μεταπίπτει στην κατάσταση |λ1> ) και με πιθανότητα το αποτέλεσμα λ2 (και και με πιθανότητα το αποτέλεσμα λ2 (και μεταπίπτει στην κατάσταση |λ2>).μεταπίπτει στην κατάσταση |λ2>).

Οποιαδήποτε άλλη μέτρηση της ίδιας ποσότητας στο Οποιαδήποτε άλλη μέτρηση της ίδιας ποσότητας στο σύστημα θα δώσει το ίδιο αποτέλεσμα με την πρώτη σύστημα θα δώσει το ίδιο αποτέλεσμα με την πρώτη μέτρηση. μέτρηση.

2

1c

2

2c

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΘΕΜΕΛΙΩΣΗΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΘΕΜΕΛΙΩΣΗΧώρος ΧίλμπερτΧώρος Χίλμπερτ

(διανυσματικός χώρος με πεπερασμένο εσωτερικό γινόμενο)(διανυσματικός χώρος με πεπερασμένο εσωτερικό γινόμενο)

Θεωρία τελεστών Θεωρία τελεστών Κάθε μετρήσιμη ποσότητα περιγράφεται από τονΚάθε μετρήσιμη ποσότητα περιγράφεται από τοντελεστή της . Οι βασικές καταστάσεις είναι οι ιδιοοκαταστάσεις του τελεστή τελεστή της . Οι βασικές καταστάσεις είναι οι ιδιοοκαταστάσεις του τελεστή ενώ οι μετρούμενες τιμές οι αντίστοιχες ιδιοτιμές. Οι τελεστές που έχουν ενώ οι μετρούμενες τιμές οι αντίστοιχες ιδιοτιμές. Οι τελεστές που έχουν ένα ΠΛΗΡΕΣ και ΔΙΑΚΡΙΤΟ φάσμα αντιπροσωπεύουν ποσότητες που ένα ΠΛΗΡΕΣ και ΔΙΑΚΡΙΤΟ φάσμα αντιπροσωπεύουν ποσότητες που μπορούν να μετρηθούν (μπορούν να μετρηθούν (observables)observables)

R R φ = λ φφ = λ φ

Unitary Unitary τελεστές : τελεστές : R* R = R R* = IR* R = R R* = I

Θεωρία προβολών Θεωρία προβολών Κάθε υπόχωρος του χώρου Χίλμπερτ περιφράφεται μοναδικά από Κάθε υπόχωρος του χώρου Χίλμπερτ περιφράφεται μοναδικά από τον τελεστή προβολής σε αυτόν τον υπόχωροτον τελεστή προβολής σε αυτόν τον υπόχωρο

Η ΑΡΧΗ ΤΗΣ Η ΑΡΧΗ ΤΗΣ ΑΠΡΟΣΔΙΟΡΙΣΤΙΑΣΑΠΡΟΣΔΙΟΡΙΣΤΙΑΣ

Είδαμε την περίπτωση μιας μετρούμενης Είδαμε την περίπτωση μιας μετρούμενης ποσότητας.Τί γίνεται όμως όταν θέλουμε να ποσότητας.Τί γίνεται όμως όταν θέλουμε να μετρήσουμε δύο ποσότητες την ίδια χρονική μετρήσουμε δύο ποσότητες την ίδια χρονική στιγμή;στιγμή;

Ο Χάιζενμπεργκ έδειξε ότι στην γενική Ο Χάιζενμπεργκ έδειξε ότι στην γενική περίπτωση αυτό δεν είναι δυνατό.Γίνεται μόνο περίπτωση αυτό δεν είναι δυνατό.Γίνεται μόνο όταν οι τελεστές αντιμετατίθενται. όταν οι τελεστές αντιμετατίθενται.

ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΘΕΩΡΙΑΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΘΕΩΡΙΑΑναμενόμενη τιμή μιας μετρούμενης ποσότηταςΑναμενόμενη τιμή μιας μετρούμενης ποσότητας

Exp (R,Exp (R,φ) = (φ) = (RRφ , φ)φ , φ)

«Μικτές» καταστάσεις (στατιστική συλλογή)«Μικτές» καταστάσεις (στατιστική συλλογή) Καταστάσεις με αντίστοιχες πιθανότητεςΚαταστάσεις με αντίστοιχες πιθανότητες

Στατιστικός τελεστήςΣτατιστικός τελεστής

Αναμενόμενη τιμή Αναμενόμενη τιμή Exp (R , UExp (R , U)) = Tr ( UR ) = Tr ( UR )

iiii pPpUi

ΕΞΕΛΙΞΗ-ΕΝΤΡΟΠΙΑΕΞΕΛΙΞΗ-ΕΝΤΡΟΠΙΑΕντροπία μιας στατιστικής συλλλογής Εντροπία μιας στατιστικής συλλλογής

Εξέλιξη ενός κβαντικού συστήματος Εξέλιξη ενός κβαντικού συστήματος

Μέσω μετρήσεων Μέσω μετρήσεων

Μέσω της εξίσωσης Μέσω της εξίσωσης SchrodingerSchrodinger

Το πρώτο είδος εξέλιξης είναι μη αντιστρέψιμο στον Το πρώτο είδος εξέλιξης είναι μη αντιστρέψιμο στον χρόνο ενώ το δεύτερο είναι (χρόνο ενώ το δεύτερο είναι (unitary evolution)unitary evolution)..

UUTrS ln

k

PUUU kk ,00

tHh

itH

h

i

eUeUU 2

0

2

0

KBANTIKH KBANTIKH ΘΕΩΡΙΑ ΘΕΩΡΙΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΑΣΠΛΗΡΟΦΟΡΙΑΣ

S S ≤ ≤ ΗΗ

Kholevo Bound (1973)Kholevo Bound (1973)

No cloning theoremNo cloning theorem Μία κβαντική κατάσταση δεν είναι δυνατόν να ανιτγραφεί Μία κβαντική κατάσταση δεν είναι δυνατόν να ανιτγραφεί

aUSapUSBAH |

ΚΒΑΝΤΙΚΗ ΘΕΩΡΙΑ ΚΒΑΝΤΙΚΗ ΘΕΩΡΙΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΑΣΠΛΗΡΟΦΟΡΙΑΣ

Το κβαντικό κανάλι Χ Το κβαντικό κανάλι Χ

Μ Μ Χ Χ Μ’ Μ’

U U*U U*

Για αξιόπιστη μεταφορά πρέπει Για αξιόπιστη μεταφορά πρέπει dim(X) > dim(M)dim(X) > dim(M)

U : coding transformationU : coding transformation

U* : decoding transformation U* : decoding transformation

KBANTIKH KBANTIKH ΘΕΩΡΙΑ ΘΕΩΡΙΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΑΣΠΛΗΡΟΦΟΡΙΑΣ

Μπορούμε να χαλαρώσουμε τον παραπάνω Μπορούμε να χαλαρώσουμε τον παραπάνω περιορισμόπεριορισμό

Μ Μ C + E C + E CC C + E’ C + E’ M’ M’

Μπορούμε τότε να αποδείξουμε κάτι ανάλογο με το Μπορούμε τότε να αποδείξουμε κάτι ανάλογο με το αποτέλεσμα των πιο πιθανών ακολουθιών , μόνο που αποτέλεσμα των πιο πιθανών ακολουθιών , μόνο που τώρα θα μιλάμε για πιο πιθανούς υπόχωρους.τώρα θα μιλάμε για πιο πιθανούς υπόχωρους.

Ερμηνεία της εντροπίας Ερμηνεία της εντροπίας S S σαν το πλήθος των σαν το πλήθος των qubits qubits που αντιστοιχούν στην εντροπία της πηγής.που αντιστοιχούν στην εντροπία της πηγής. 1 1 qubit qubit = Ο στοιχειώδης υποχώρος = Ο στοιχειώδης υποχώρος Hilbert Hilbert που συνθέτει που συνθέτει

ανεξάρτητα όλους τους υπόχωρους μεγαλύτερης διάστασηςανεξάρτητα όλους τους υπόχωρους μεγαλύτερης διάστασης

ΚΒΑΝΤΙΚΗ ΘΕΩΡΙΑ ΚΒΑΝΤΙΚΗ ΘΕΩΡΙΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΑΣΠΛΗΡΟΦΟΡΙΑΣ

Quantum Noiseless TheoremQuantum Noiseless Theorem Έστω μία κβαντική πηγή Μ που περιγράφεται Έστω μία κβαντική πηγή Μ που περιγράφεται

από τον στατιστικό τελεστή από τον στατιστικό τελεστή UU και έστω ε >0, δ και έστω ε >0, δ >0>0 . . Τότε αν διαθέτουμε Τότε αν διαθέτουμε S(U)S(U)+δ +δ qubits qubits γιαγια την την κωδικοποίηση τότε μπορούμε να μεταφέρουμε κωδικοποίηση τότε μπορούμε να μεταφέρουμε το κβαντικό σήμα με αξιοπιστία μεγαλύτερη το κβαντικό σήμα με αξιοπιστία μεγαλύτερη από 1 – ε . Αλλιώς αν διαθέτουμε λιγότερα από από 1 – ε . Αλλιώς αν διαθέτουμε λιγότερα από S(U) S(U) –– δδ qubits qubits τότε η αξιοπιστία θα είναι τότε η αξιοπιστία θα είναι μικρότερη από ε. μικρότερη από ε.

ENTAGLEMENTENTAGLEMENTΤο πιο εξωτικό φαινόμενο της κβαντικής μηχανικήςΤο πιο εξωτικό φαινόμενο της κβαντικής μηχανικής

Το Το spinspin

Παράδοξο Παράδοξο EPR EPR (1935)(1935)

Entagled state (EPR singlet, EPR pair)Entagled state (EPR singlet, EPR pair)

01102

1

TELEPORTATIONTELEPORTATIONΔύο μέρη , ο Α και ο Β , θέλουν να Δύο μέρη , ο Α και ο Β , θέλουν να επικοινωνήσουν . επικοινωνήσουν .

1.1. Δημιουργούν ένα Δημιουργούν ένα EPR pairEPR pair.Ο Α παίρνει το ένα .Ο Α παίρνει το ένα σωματίδιο του ζεύγους ενώ ο Β το άλλο.σωματίδιο του ζεύγους ενώ ο Β το άλλο.

2.2. Ο Α μετράει το σωματίδιο φ και το ένα μέλος του Ο Α μετράει το σωματίδιο φ και το ένα μέλος του ζεύγους ως προς την βάση ζεύγους ως προς την βάση BellBell..

3.3. Στέλνει το αποτέλεσμα στον Β (ποια βάση από τις Στέλνει το αποτέλεσμα στον Β (ποια βάση από τις 4 βάσεις βγήκε)4 βάσεις βγήκε)

4.4. Ο Β ανακατασκευάζει το σωματίδιο φ εκτελώντας Ο Β ανακατασκευάζει το σωματίδιο φ εκτελώντας τους κατάλληλους μετασχηματισμούς στο δικό του τους κατάλληλους μετασχηματισμούς στο δικό του σωματίδιο. σωματίδιο.

ΤΟ ΚΒΑΝΤΙΚΟ ΤΟ ΚΒΑΝΤΙΚΟ ΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΑΚΟ ΣΥΣΤΗΜΑΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΑΚΟ ΣΥΣΤΗΜΑ

Η πηγή (μία στατιστική συλλογή Η πηγή (μία στατιστική συλλογή U)U)Το κανάλιΤο κανάλι Το καθαρά κβαντικό κανάλι Το καθαρά κβαντικό κανάλι QQ Το κανάλι για κλασσική επικοινωνία Το κανάλι για κλασσική επικοινωνία CC Το κανάλι Το κανάλι Q’Q’ για κβαντική επικοινωνία υποβοηθούμενη από για κβαντική επικοινωνία υποβοηθούμενη από

κλασσικήκλασσική. . ((teleportation)teleportation)

Q Q ≤ C , ≤ C , Q Q ≤ Q’ ( Q’ ??? C ) ≤ Q’ ( Q’ ??? C )

Σημαντικό συμπέρασμα : Ακόμα και αν το κβαντικό Σημαντικό συμπέρασμα : Ακόμα και αν το κβαντικό κανάλι κανάλι Q Q έχει χωρητικότητα 0 μπορούμε μέσω του έχει χωρητικότητα 0 μπορούμε μέσω του Q’ Q’ να στείλουμε κβαντική πληροφορία μέσω εξόρυξης να στείλουμε κβαντική πληροφορία μέσω εξόρυξης EPR EPR ζευγών.ζευγών.

QUANTUM ERROR QUANTUM ERROR CORRECTIONCORRECTION

Κβαντικός θόρυβοςΚβαντικός θόρυβος

Οποιοσδήποτε Οποιοσδήποτε unitary unitary μετασχηματισμός.μετασχηματισμός.

Pauli matrices Pauli matrices

Decoherence. Decoherence.

Έστω ότι έχουμε Έστω ότι έχουμε stored stored μία κατάσταση |φ> = α |0> + β |1> .Τότε μία κατάσταση |φ> = α |0> + β |1> .Τότε

Υπάρχει λύση : ο 9-Υπάρχει λύση : ο 9-qubit qubit κώδικας του κώδικας του Peter Shor Peter Shor (βασισμένος στο (βασισμένος στο majority-voting)majority-voting) διορθώνει ένα διορθώνει ένα λάθος στην μνήμηλάθος στην μνήμη

01

10x

0

0

i

iy

10

01z

10

01I

2

2

*

*

bab

baaU 1100

0

0 22

2

2

bab

aU

KBANTIKA KBANTIKA ΠΡΩΤΟΚΟΛΛΑΠΡΩΤΟΚΟΛΛΑRSA , DESRSA , DES : κρυφή και κοινά διαμοιραζόμενη πληροφορία : κρυφή και κοινά διαμοιραζόμενη πληροφορία μεταξύ δύο χρηστών μεταξύ δύο χρηστών ..Απαιτούν ένα Απαιτούν ένα public directory.public directory.

Κβαντικά πρωτόκολλα (ΒΒ84)Κβαντικά πρωτόκολλα (ΒΒ84) Ο Α δημιουργεί ένα δυαδικό Ο Α δημιουργεί ένα δυαδικό string string Ερμηνεύει το 1 σαν διαγώνια πόλωση και το 0 σαν κάθετη (π.χ.)Ερμηνεύει το 1 σαν διαγώνια πόλωση και το 0 σαν κάθετη (π.χ.) Ο Β τυχαία αποφασίζει τυχαία σε τι βάση θα μετρήσει κάθε φωτόνιοΟ Β τυχαία αποφασίζει τυχαία σε τι βάση θα μετρήσει κάθε φωτόνιο Για να μάθει τα σωστά φωτόνια στέλνει κλασσικά μηνύματα στον Α.Για να μάθει τα σωστά φωτόνια στέλνει κλασσικά μηνύματα στον Α. Υπό συνθήκες παρακολούθησης μόνο το ¼ των φωτονίων έχει Υπό συνθήκες παρακολούθησης μόνο το ¼ των φωτονίων έχει

πιθανότητα να ληφθεί λάθος.πιθανότητα να ληφθεί λάθος. Ο Β αποκαλύπτει το 1/3 από τα φωτόνιά του.Αν όλα ΟΚ τότε αποδέχεται Ο Β αποκαλύπτει το 1/3 από τα φωτόνιά του.Αν όλα ΟΚ τότε αποδέχεται

τα υπόλοιπα σαν το κρυφό κλειδίτα υπόλοιπα σαν το κρυφό κλειδί

Μοντέλα Κβαντικού ΥπολογισμούΜοντέλα Κβαντικού Υπολογισμού

Κβαντική Μηχανή Κβαντική Μηχανή Turing Turing ((Quantum Turing Quantum Turing Machine)Machine)

Κβαντικά Κυκλώματα Κβαντικά Κυκλώματα (Quantum Gate (Quantum Gate Arrays)Arrays)

Κβαντική Κβαντική Turing Turing ΜηχανήΜηχανή

Είναι μία τριάδαΕίναι μία τριάδα πεπερασμένο αλφάβητο, με πεπερασμένο αλφάβητο, με διακεκριμένο κενό σύμβολο #διακεκριμένο κενό σύμβολο #

σύνολο καταστάσεωνσύνολο καταστάσεων

η συνάρτηση μετάβασηςη συνάρτηση μετάβασης

,,Q

Q

RLQ

CQ,~

:

Κβαντική Κβαντική Turing Turing ΜηχανήΜηχανή

Configuration Configuration μίας μίας QTMQTM Έστω Έστω S S ο χώρος που ορίζεται από τους ο χώρος που ορίζεται από τους

γραμμικούς συνδυασμούς όλων των γραμμικούς συνδυασμούς όλων των configurations configurations της μηχανής της μηχανής M.M. Καλούμε Καλούμε κάθε στοιχείο κάθε στοιχείο configuration configuration της Μ.της Μ.Εξέλιξη μίας Εξέλιξη μίας QTMQTM

Ορίζεται ο τελεστής Ορίζεται ο τελεστής Ο Ο από την αρχικό από την αρχικό configuration cconfiguration c

δημιουργεί την υπέρθεσηδημιουργεί την υπέρθεση

S

SSU M:

U M

ii ica

Σχηματική Αναπαράσταση της Σχηματική Αναπαράσταση της Κβαντικής Κβαντικής Turing Turing ΜηχανήςΜηχανής

cc d d cd d c 0.5 0.5 0.5 0.5

0.50.5 -0.5 -0.5

22

22

22

22

22

1

12

1

2

1Pr

22

:

diiad

02

1

2

1Pr

22

:

ciiac

Κβαντική Θεωρία ΠολυπλοκότηταςΚβαντική Θεωρία Πολυπλοκότητας

EQPEQP Ορίζεται το σύνολο των γλωσσών που Ορίζεται το σύνολο των γλωσσών που

αποφασίζονται αποφασίζονται ακριβώς ακριβώς από μία από μία QTM QTM σε σε χρόνο πολυωνυμικό ως προς την είσοδο.χρόνο πολυωνυμικό ως προς την είσοδο.BQPBQP

Ορίζεται το σύνολο των γλωσσών που Ορίζεται το σύνολο των γλωσσών που αποφασίζονται με πιθανότητα 2/3 από μία αποφασίζονται με πιθανότητα 2/3 από μία QTMQTM σε χρόνο πολυωνυμικό ως προς την σε χρόνο πολυωνυμικό ως προς την είσοδοείσοδο

Κβαντική Θεωρία ΠολυπλοκότηταςΚβαντική Θεωρία Πολυπλοκότητας

Ισχύουν οι παρακάτω σχέσειςΙσχύουν οι παρακάτω σχέσεις

EQPP

BQPBPP

PSPACEBQP

PPBQP #

Κβαντική Θεωρία ΠολυπλοκότηταςΚβαντική Θεωρία Πολυπλοκότητας

Ισχύει:Ισχύει:

Αν αποδείξουμε ότι οι Κβαντικοί Αν αποδείξουμε ότι οι Κβαντικοί Υπολογιστές είναι πιο δυνατοί από τους Υπολογιστές είναι πιο δυνατοί από τους Κλασσικούς τότε:Κλασσικούς τότε:

που είναι ένα από τα άλυτα προβλήματα που είναι ένα από τα άλυτα προβλήματα της Θεωρίας Πολυπλοκότηταςτης Θεωρίας Πολυπλοκότητας

PSPACEBQPP

PSPACEP

Κβαντικά ΚυκλώματαΚβαντικά Κυκλώματα

Μία κλασσική Πύλη καθορίζεται πλήρως Μία κλασσική Πύλη καθορίζεται πλήρως από τη δράση της σε μία οποίαδήποτε από τη δράση της σε μία οποίαδήποτε είσοδο αποτελούμενη από 0 και 1είσοδο αποτελούμενη από 0 και 1

Μία κβαντική Πύλη για να καθοριστεί Μία κβαντική Πύλη για να καθοριστεί πλήρως, πρέπει να περιγράφεται από τη πλήρως, πρέπει να περιγράφεται από τη δράση της σε οποιαδήποτε γραμμική δράση της σε οποιαδήποτε γραμμική υπέρθεση από 0 και 1υπέρθεση από 0 και 1

Κβαντικά ΚυκλώματαΚβαντικά Κυκλώματα

Η πύλη Η πύλη NOTNOT

Σε αναπαράσταση πίνακαΣε αναπαράσταση πίνακα

X10 01

01

10

Κβαντικά ΚυκλώματαΚβαντικά Κυκλώματα

Η πύλη Η πύλη HadamardHadamard

Η πύλη Η πύλη Hadamard Hadamard χρησιμοποιείται για να χρησιμοποιείται για να φτιάξουμε μια φτιάξουμε μια «ισοζυγισμένη» «ισοζυγισμένη» υπέρθεση υπέρθεση όλων των δυνατών τιμώνόλων των δυνατών τιμών

11

11

2

1H

12

02

10....00

nn

xn

H

Controlled Controlled ΠύλεςΠύλες

Στις ελεγχόμενες πύλες (Στις ελεγχόμενες πύλες (controlled gates)controlled gates)η η έξοδος του έξοδος του target qubit target qubit εξαρτάται από την εξαρτάται από την τιμή του τιμή του control qubitcontrol qubit

a

b ab

a

Αλγόριθμος του Αλγόριθμος του GroverGrover

Ψάξιμο σε Ψάξιμο σε unstructured databaseunstructured database

σε χρόνο σε χρόνο NO

Η ιδέα του αλγορίθμουΗ ιδέα του αλγορίθμου

Πρώτα δημιουργούμε μία υπέρθεση όλων Πρώτα δημιουργούμε μία υπέρθεση όλων των δυνατών τιμώντων δυνατών τιμών

Εφαρμόζουμε τον τελεστή Εφαρμόζουμε τον τελεστή

0x

xf1

Αλγόριθμος Αλγόριθμος Grover Grover ΣυνέχειαΣυνέχεια

Κατόπιν εκτελούμε περιστροφή περί το μέσοΚατόπιν εκτελούμε περιστροφή περί το μέσο

((inversion around average)inversion around average)

0x

Αλγόριθμος Αλγόριθμος Grover Grover ΣυνέχειαΣυνέχεια

Αποδυκνείεται ότι μετά από βήματα Αποδυκνείεται ότι μετά από βήματα βρίσκεται η ζητούμενη λύσηβρίσκεται η ζητούμενη λύση

4

Quantum ComputationQuantum Computation

Η Ισχύς Του Κβαντικού Η Ισχύς Του Κβαντικού ΥπολογισμούΥπολογισμού

Κβαντικός μετασχηματισμός Κβαντικός μετασχηματισμός FourierFourier

Μορφή:Μορφή:

1) 1) Σε ορθοκανονική βάση.Σε ορθοκανονική βάση.

2)2) Σε τυχαία κατάσταση ενός Σε τυχαία κατάσταση ενός qubit.qubit.

Όπου.Όπου.

kyjxN

kk

N

jj

1

0

1

0

kDFT

k yx

1,...,0 N

keN

jN

k

NijkQFT

1

0

/21

Κβαντικός μετασχηματισμός Κβαντικός μετασχηματισμός FourierFourier

Μορφή γινομένου της ορθοκανονικής Μορφή γινομένου της ορθοκανονικής βάσης:βάσης:

Με Με σε κβαντικό υπολογιστή σε κβαντικό υπολογιστή n qubits.n qubits.

H H μορφή αυτή οδηγεί σε κύκλωμα μορφή αυτή οδηγεί σε κύκλωμα υλοποίησης κβαντικού μετασχηματισμού υλοποίησης κβαντικού μετασχηματισμού Fourier.Fourier.

2/

....02.02

1 2

)10()10(,...,

21

n

jjjijiQFT

n

nn eejj

nN 2

Κύκλωμα υλοποίησης Κύκλωμα υλοποίησης QFTQFT

1j

2j

nj

H R2 Rn-1 Rn

H Rn-2 Rn-1

1nj H R2

H

Όπου Όπου H H η η Hadamard gateHadamard gate αλλιώς γνωστή αλλιώς γνωστή και ως και ως square - rootsquare - root

Αντιπροσωπεύει περιστροφή του διανύσματος Αντιπροσωπεύει περιστροφή του διανύσματος BlochBloch κατά κατά 9090οο στον άξονα στον άξονα y y καικαι κατά 180κατά 180οο στον άξονα στον άξονα xx

ΚαιΚαι kik eR 2/20

01

11

11)

2

1(

H

Πολυπλοκότητα Πολυπλοκότητα QFTQFT

Συνολικός αριθμός πυλώνΣυνολικός αριθμός πυλών::

• πύλες πύλες Hadamard Hadamard καικαι

• Το πολύ Το πολύ n/2 swaps n/2 swaps με 3 με 3 C-NOT C-NOT το καθένα το καθένα

Πολυπλοκότητα Πολυπλοκότητα λειτουργίεςλειτουργίες

Κλασσικός Κλασσικός FFTFFT

Πολυπλοκότητα: λειτουργίεςΠολυπλοκότητα: λειτουργίες

2/)1( nnkR

)( 2n

)2( nn

Είναι ο Είναι ο QFT QFT εφαρμόσιμος στην εφαρμόσιμος στην πράξη; πράξη;

ΌχιΌχι, για δύο λόγους:, για δύο λόγους:• Αδυναμία εξαγωγής αποτελεσμάτων για Αδυναμία εξαγωγής αποτελεσμάτων για

τα τα amplitudesamplitudes• Αδυναμία προετοιμασίας της αρχικής Αδυναμία προετοιμασίας της αρχικής

κατάστασης του κατάστασης του QFTQFT

H H λύση είναι η μέθοδος της λύση είναι η μέθοδος της εκτίμησης εκτίμησης φάσηςφάσης

Μέθοδος Εκτίμησης ΦάσηςΜέθοδος Εκτίμησης Φάσης

Δεδομένα:Δεδομένα: ιδιοδιάνυσμα και ακρίβεια ιδιοδιάνυσμα και ακρίβεια tt

Ζητούμενα:Ζητούμενα: φάση φ της ιδιοτιμής φάση φ της ιδιοτιμής

u

ie2

H

Uj

FT-10

u u

uu~

Γενικές εφαρμογές του Γενικές εφαρμογές του QFTQFT

Πρόβλημα της κρυφής υποομάδας (Πρόβλημα της κρυφής υποομάδας (hidden hidden subgroup problem).subgroup problem).

Ισοδυναμεί με την εύρεση άγνωστης περιόδου μιας Ισοδυναμεί με την εύρεση άγνωστης περιόδου μιας περιοδικής συνάρτησης.περιοδικής συνάρτησης.

Απλή ΜορφήΑπλή Μορφή

ΠρόβλημαΠρόβλημα: Εύρεση περιόδου συνάρτησης: Εύρεση περιόδου συνάρτησης

ΕπίλυσηΕπίλυση με την χρήση μετασχηματισμού με την χρήση μετασχηματισμού

και την εφαρμογή και την εφαρμογή FTFT-1-1

ΠολυπλοκότηταΠολυπλοκότητα: 1 : 1 query query και Ο(και Ο(LL22) ) πράξειςπράξεις

)()( xfrxf

)(xfyxyxU

Διακριτοί ΛογάριθμοιΔιακριτοί Λογάριθμοι

ΠρόβλημαΠρόβλημα: Εύρεση του μικρότερου δυνατού : Εύρεση του μικρότερου δυνατού s, s, τέτοιο ώστετέτοιο ώστε

Ισοδυναμεί με την εύρεση περιόδου (Ισοδυναμεί με την εύρεση περιόδου (l,-ls) l,-ls) της της συνάρτησης συνάρτησης

Χρησιμοποιούμε μετασχηματισμό Χρησιμοποιούμε μετασχηματισμό

Και εφαρμόζουμε Και εφαρμόζουμε FTFT-1-1

ΠολυπλοκότηταΠολυπλοκότητα: 1 μετασχηματισμός : 1 μετασχηματισμός U U και και

πράξειςπράξεις

ba s

21),( 21xsxaxxf

),( 212121 xxfyxxyxxU

)]([log 2r

Έρευνα Για Άλλους Κβαντικούς Έρευνα Για Άλλους Κβαντικούς Αλγόριθμους;Αλγόριθμους;

Γενικώς υπάρχει μόνο μια προϋπόθεση για να Γενικώς υπάρχει μόνο μια προϋπόθεση για να είναι δυνατόν να υποστεί ένα πρόβλημα είναι δυνατόν να υποστεί ένα πρόβλημα εκθετική εκθετική βελτίωση από κβαντικό υπολογιστή:βελτίωση από κβαντικό υπολογιστή:

Να είναι της μορφής: Να είναι της μορφής: «η «η F(X)F(X) πρέπει να έχει την πρέπει να έχει την παρακάτω ιδιότητα. Χαρακτήρισε την ιδιότητα παρακάτω ιδιότητα. Χαρακτήρισε την ιδιότητα αυτήν».αυτήν».

Σε όλες τις άλλες περιπτώσεις η βελτίωση είναι το Σε όλες τις άλλες περιπτώσεις η βελτίωση είναι το πολύ πολυωνυμική.πολύ πολυωνυμική.

Υλοποίηση κβαντικών Υλοποίηση κβαντικών υπολογιστών - υπολογιστών - NMRNMR

Ιδιαιτερότητες του Ιδιαιτερότητες του NMRNMR

Μνήμη:Μνήμη: Ένας κβαντικός υπολογιστής με Ένας κβαντικός υπολογιστής με τεχνολογία τεχνολογία NMR NMR είναι ένα δείγμα από υγρό, είναι ένα δείγμα από υγρό, με κάθε μόριο να λειτουργεί ως ανεξάρτητος με κάθε μόριο να λειτουργεί ως ανεξάρτητος κβαντικός κβαντικός register. => register. => Τεράστια μνήμη.Τεράστια μνήμη.

Qubit:Qubit: Το Το spinspin κάθε πυρήνα των ατόμων που κάθε πυρήνα των ατόμων που αποτελούν κάθε μόριο στο υγρό.αποτελούν κάθε μόριο στο υγρό.

Υπολογισμός κατάστασης μνήμης:Υπολογισμός κατάστασης μνήμης: Υπολογισμός κάποιας παρατηρήσιμης Υπολογισμός κάποιας παρατηρήσιμης ιδιότητας όλων των ιδιότητας όλων των spin spin των πυρήνων στο των πυρήνων στο δείγμα.δείγμα.

Ιδιαιτερότητες του Ιδιαιτερότητες του NMRNMR

Υπολογισμός των Υπολογισμός των spins spins στον πυρήνα:στον πυρήνα: Πρωτόνια και νετρόνια.Πρωτόνια και νετρόνια.

Προσανατολισμοί των Προσανατολισμοί των spins spins στα 9 με στα 9 με 15 15 Tesla:Tesla:

Αν ένας πυρήνας έχει Αν ένας πυρήνας έχει spin I, spin I, μπορεί μπορεί να έχει να έχει 2I + 1 2I + 1 πιθανές κατευθύνσεις πιθανές κατευθύνσεις σχετικές με το εφαρμοζόμενο πεδίο.σχετικές με το εφαρμοζόμενο πεδίο.

Μέτρηση των ιδιαιτεροτήτων – Μέτρηση των ιδιαιτεροτήτων – NMR spectrumNMR spectrum

Εφαρμογή στο δείγμα ακτινοβολίας Εφαρμογή στο δείγμα ακτινοβολίας ραδιοσυχνότητας:ραδιοσυχνότητας:

ΔΕ = ενεργειακή διαφορά μεταξύ των καταστάσεων ΔΕ = ενεργειακή διαφορά μεταξύ των καταστάσεων spin spin του πυρήνα.του πυρήνα.

hvE

Κβαντικός Υπολογισμός στο Κβαντικός Υπολογισμός στο NMRNMR – Φυσική Θεμελίωση – Φυσική Θεμελίωση

• Φαινόμενο Φαινόμενο chemical shifts:chemical shifts: Μεγάλες Μεγάλες κορυφές απορρόφησης ακτινοβολίας, κορυφές απορρόφησης ακτινοβολίας, σε συγκεκριμένες συχνότητες.σε συγκεκριμένες συχνότητες.

• Spin – Spin Coupling:Spin – Spin Coupling: Λόγω της Λόγω της αλληλεπίδρασης μεταξύ μαγνητικών αλληλεπίδρασης μεταξύ μαγνητικών πεδίων των πυρήνων, πεδίων των πυρήνων, παρουσιάζονται περιοχές παρουσιάζονται περιοχές απορρόφησης ακτινοβολίας σε απορρόφησης ακτινοβολίας σε περισσότερες των μια συχνοτήτων.περισσότερες των μια συχνοτήτων.

Κβαντικός Υπολογισμός στο Κβαντικός Υπολογισμός στο NMRNMR – – XORXOR

Η Η XOR XOR για ένα ζεύγος από για ένα ζεύγος από qubits qubits είναι:είναι:

Κατά την αναπαράσταση στο Κατά την αναπαράσταση στο NMR NMR spectrumspectrum παρατηρείται μια παρατηρείται μια μετακίνηση της συχνότητας μεγίστης μετακίνηση της συχνότητας μεγίστης απορρόφησης ενέργειας. (Μεταβολή απορρόφησης ενέργειας. (Μεταβολή κατάστασης απόκατάστασης από σε σε

11111010 XOR

10 11

Διαφορές Μεταξύ Υλοποιήσεων Διαφορές Μεταξύ Υλοποιήσεων Κβαντικών ΥπολογιστώνΚβαντικών Υπολογιστών

Quantum Quantum ComputerComputer

Αναπαράσταση Αναπαράσταση QubitQubit

Μέτρηση Μέτρηση μνήμηςμνήμης

ΕτεροπολυμερήΕτεροπολυμερή Ατομικά Ατομικά Ενεργειακά Ενεργειακά ΕπίπεδαΕπίπεδα

Ατομικές ιδιοτιμέςΑτομικές ιδιοτιμές

Ion TrapIon Trap Ατομικά Ατομικά Ενεργειακά Ενεργειακά ΕπίπεδαΕπίπεδα

Ατομικές ιδιοτιμέςΑτομικές ιδιοτιμές

Cavity QEDCavity QED Photon Photon PolarizationPolarization

Ατομικές ιδιοτιμέςΑτομικές ιδιοτιμές

NMRNMR Spins Spins ΠυρήναΠυρήνα Συνολική Μέση Συνολική Μέση τιμή.τιμή.