Текстовые задачи, классификация и рекомендации

по их решению

1. Понятие «текстовая задача»:

«Задачи, в которых зависимость между данными и искомыми не выражена в явной форме, а сформулирована словами, так же как и вопрос задачи, называются собственно задачами или задачами с текстом».

2. Роль текстовых задач: служат усвоению математических понятий и

отношений между ними; обеспечивают усвоение специфических

понятий, входящих в предметную область задач;

способствуют более глубокому усвоению идеи функциональной зависимости;

повышают вычислительную культуру; учат применению такого метода познания

действительности, как моделирование; способствуют более полной реализации

межпредметных связей; развивают способность анализировать,

рассуждать, обосновывать; развивают логическое мышление и др.

РЕШЕНИЕ ТЕКСТОВЫХ ЗАДАЧ

3. Текстовые задачи подразделяются следующим образом:

задачи на движение; задачи на работу; задачи на проценты; задачи на смеси, сплавы и концентрацию; задачи, в которых неизвестные – целые числа; задачи, для решения которых нужно находить

наибольшее или наименьшее значение; задачи, решение которых требует рассмотрения

нескольких вариантов; задачи, процесс решения которых приводит к

системе уравнений, содержащей уравнений меньше, чем неизвестных;

задачи, для решения которых необходимо использовать неравенства.

4. Поэтапность решения текстовых задач (методом составления уравнений)

1) Анализ задачи. Выявление объектов и процессов,

подлежащих рассмотрению. Выделение величины (или величин), характеризующих эти процессы. Выбор неизвестной величины, через которую выражаются остальные.

2) Выявление оснований для составления уравнения. Составление уравнения.

3) Решение уравнения (по алгоритму, выбранному в соответствии с типологией полученного уравнения).

4) Проверка. «Прогон» найденного корня уравнения (или нескольких корней) по условию задачи от начала до конца, вычисляя все входящие величины и следя за выполнением наложенных смысловых ограничений.

5) Запись ответа (подробно, если задача решалась без подробного оформления и кратко, если оформление решения задачи было выполнено подробно).

6) Анализ решения задачи. Выявление рациональных путей решения.

Уяснение и уточнение идеи и метода решения.

5. Задачи «на движение». Действие движения характеризуется

тремя величинами: пройденный путь (S км), скорость (v км/ч), время (t ч)

Основные соотношения: S = v· t; v = S/t; t = S/v.

Примечания:1. Основные характеристики удобно

внести в таблицу (недостающие величины ввести в качестве неизвестных).

2. Если в условии задачи не указана размерность пути (километры, метры и т.д.), то его полагают равным 1. В этом случае скорость выражается в долях пути за единицу времени.

3. В сложных случаях рекомендуется выполнить чертеж, на котором следует изобразить участников движения и все характерные моменты (встречи, остановки, повороты и т.д.).

6. Примеры задач «на движение»

1) Скорость велосипедиста от поселка до станции была на 1 км/ч больше, чем на обратном пути. На обратный путь он затратил на 2 минуты больше. Расстояние между пунктами 7 км. Найдите первоначальную скорость велосипедиста. v (км/ч) t (ч) S (км)

1. От поселка до станции

?, на 1 > ?, 7

2. От станции до поселка

?, ?, на 2 мин > 7

2 мин = 2/60 ч. = 1/30 ч.

v (км/ч) t (ч) S (км)

1. От поселка до станции

x 7

2. От станции до поселка

x - 1 , на >

7

x

7

Т.к. 7/(х – 1) > 7/х на 1/30, то составим уравнение: 7/(х – 1) - 7/х = 1/30

Общий знаменатель: 30x · (x - 1) ≠ 0. 7х · 30 – 7 · 30(х – 1) = х · (х – 1). x 2 - x – 210x + 210x – 210 = 0. x 2 - x – 210 = 0 – приведенное.По теореме обратной теореме Виета: x = - 14 – не удовлетворяет условию задачи, т.к. x > 0.

Значит, первоначальная скорость 15 км/ч.

1

7

x 30

1

x1 + x2 = 1,

x1 · x2 = -210;

x1 = -14; x2 = 15;

Проверка: при первоначальной скорости движения 15 км/ч на обратном пути скорость велосипедиста 14 км/ч

Время движения : 7/15 ч и 7/14 ч = 1/2 ч, что в сравнении:

1/2 – 7/15 = (15 – 14)/30 = 1/30 (ч) (или 2 мин)

Ответ: 15.

2) Расстояние между пристанями А и В по реке равно

36 км. Из А в В отплыл плот, а из В в А спустя 8 часов отошла лодка. В пункты назначения они приплыли одновременно. Какова скорость плота, если собственная скорость лодки 12 км/ч?

v км/ч t (ч) S км1. Из А в В (плот по течению реки)

? ? 36

2. Из В в А (лодка против течения реки)

? ?, на 8 < 36

Собственная скорость лодки

12

Скорость течения

?

Т.к. 36/(12 – x) < 36/x на 8, то составим уравнение: 36/x – 36/(12 – x) = 8;

Общий знаменатель x·(12 - x) ≠ 0.36·(12 - x) – 36·x = 8x· (12 – x).432 – 36x - 36x – 96x + 8x2 = 0.8x2 – 168x + 432 = 0.x2 – 21x + 54 = 0 – приведенное, по теореме, обратной

теореме Виета: x = 18 – не удовлетворяет условию

задачи, т.к. (12 – x) > 0

v км/ч t (ч) S км1. Из А в В (плот по течению реки)

x 36/x 36

2. Из В в А (лодка против течения реки)

12 – x 36/(12 – x), на 8 <

36

Собственная скорость лодки 12

Скорость течения x

x1 + x2 = 21.x1 · x2 = 54.

x1 = 18.x2 = 3.

Скорость течения реки – 3 км/ч, следовательно, искорость плота – 3 км/ч .

Проверка:Если скорость плота 3 км/ч, то скорость лодки 12 –

3 = 9 (км/ч).Время движения плота 36 : 3 = 12 (ч), лодки 36 : 9

= 4 (ч), то на8 ч меньше.Ответ: 3.

3) Два туриста идут навстречу друг другу из пунктов А и В. Первый выходит из А на 6 часов позже, чем второй из В, и при встрече в пункте С оказывается, что он прошел на 12 км меньше второго. Продолжая после встречи путь с той же скоростью, первый приходит в В через 8 ч после встречи, а второй в А – через 9 ч. Определить расстояние АВ и скорости туристов.

АС

В

1 турист

2 турист

v км/ч t (ч) S км1. Движение от начала до встречи:

1 турист ? ?, на 6 < АС, на 12 <

2 турист ? ?, ВС,

2. Движение от встречи до конца пути:

1 турист ? 8 ВС

2 турист ? 9 АС

v км/ч t (ч) S км1. Движение от начала до встречи:

1 турист AC/t t АС, на 12 <

2 турист BC/(t + 6) t + 6 ВС,

2. Движение от встречи до конца пути:

1 турист АС/t 8 8АС/t = BC

2 турист BC/(t + 6) 9 9ВС/(t + 6) = AC

Т.к. АС < ВС на 12, и, используя данные 3-го столбца, составим систему уравнений:

Решим второе

уравнение системы.

АС = 72АС/t(t + 6);АС · t · (t + 6) = 72 · AC или t · (t + 6) = 72;

t2 + 6t – 72 = 0;

t1 = -12; t2 = 6.

t = -12 – не удовлетворяет условию, т.к. t > 0.

Значит, время движения до пункта С первого туриста 6 ч. Вернемся к системе уравнений: Решим

третье уравнение

системы.

ВС = 8АС/t;

АС = 9ВС/(t + 6);

АС + 12 = ВС;

ВС = 8АС/t;

АС = 9/(t + 6) · 8АС/t;

АС + 12 = ВС.

t = 6;

ВС = 8АС/6;

АС + 12 = ВС;

t = 6;

ВС = 4АС/3;

АС + 12 = 4АС/3;

АС + 12 = 4АС/3;4АС/3 – АС = 12;АС/3 = 12;АС = 36 => ВС = 4 · 36/3 = 48;АВ = АС + ВС; АВ = 36 + 48 = 84;Находим скорости туристов: v1 = АС/t; v2 = ВС/(t + 6);v1 = 36/6 = 6; v2 = 48/(6 + 6) = 4.Проверка: С помощью найденных значений скоростей

находим остальныевеличины и выполнимость условий.

Ответ: 84; 6; 4.

7. Задачи «на работу»:

Работу характеризуют три величины действия:

время работы t объем работы А производительность N (количество

произведенной работы в единицу времени). Соотношения между величинами:Объем работы = время работы ×

производительность.

A = N · t

Примечание1. Если в условии задачи не указана

размерность выполняемой работы, то объем работы полагают равным 1. В этом случае производительность выражается в долях объема работы за единицу времени.

2. К задачам на работу и производительность труда условно относятся задачи, связанные со стоимостью каких-либо предметов , подсчетом их количества и т.п.

8. Примеры задач «на работу»

1) Две трубы, работая одновременно, наполняют бассейн за 12 ч. Одна первая труба наполняет весь бассейн на 10 ч. медленнее, чем одна вторая. За сколько часов наполняет бассейн одна вторая труба?

N (доля работы/ч) t (ч) А

1. Раздельная работа

1 труба ? ?, на 10 > 1

2 труба ? ? 1

2. Совместная работа

1 и 2 трубы ? 12 1

N (доля работы/ч) t (ч) А

1. Раздельная работа

1 труба 1/х х 1

2 труба 1/(х – 10) х – 10 1

2. Совместная работа

1 и 2 трубы 1/х + 1/(х – 10) = 1/12 12 1

Решаем полученное уравнение:1/х + 1/(х – 10) = 1/12;Общий знаменатель: 12х · (х – 10) ≠ 0.12 · (х – 10) + 12х = х · (х – 10);x2 – 10х – 12х + 120 – 12х = 0; x2 – 34х + 120 = 0. 12 · 4 · (4 - 10) ≠ 0. 12 · 30 · (30 - 10) ≠ 0.х = 4 – не удовлетворяет условию задачи, т.к. (х – 10) > 0.Время работы первой трубы 30 (ч), значит время работы

второй трубы 30 – 10 = 20 (ч).Проверка: используя полученные значения, вычислим

производительностькаждой трубы: N1 = 1/х; N1 = 1/30; Суммарная

производительность:N2 = 1/(х – 10); N2 = 1/20; 1/30 + 1/20 = 5/60 = 1/12, т.е. время заполнения бассейна обеими трубами 12 ч.Ответ : 20.

x1 = 4.

x2 = 30.

2) Две копировальные машины печатают рукопись. Если всю рукопись будет печатать первая машина, то работа будет выполнена на 4 минуты позже, чем две машины, работая вместе. Если печатать всю рукопись будет вторая машина, то она напечатает на 25 минут позже, чем обе машины, работая вместе. За сколько минут может напечатать эту рукопись вторая машина?

N (доля работы/мин)

t (мин) А

Первое событие

1 машина ? ?, на 4 > 1

1 и 2 машины ? ? 1

Второе событие

2 машина ? ?, на 25 > 1

1 и 2 машины ? ? 1

Если время работы первой машины – х (мин), а второй – у (мин), тогда

время работы двух машин (х – 4) или (у – 25) мин. Получим первое

уравнение: х – 4 = у – 25.Если производительность первой машины – 1/х. второй

машины – 1/у, аобщая производительность – (1/х + 1/у), которая может быть

равной 1/(х – 4)или 1/(у – 25), то второе уравнение: 1/х + 1/у = 1/(х – 4).

N (доля работы/мин)

t (мин) А

Первое событие

1 машина 1/х х, на 4 > 1

1 и 2 машины 1/х + 1/у = 1/(х – 4) х – 4 1

Второе событие

2 машина 1/у у, на 25 > 1

1 и 2 машины 1/х + 1/у = 1/(у – 25)

у – 25 1

Составим и решим систему уравнений: х – 4 = у – 25; у = х + 21; 1/х + 1/у = 1/(х – 4); 1/х + 1/(х+21) = 1/(х – 4).Решаем второе уравнение системы:1/х + 1/(х + 21) – 1/(х – 4) = 0.Общий знаменатель: х · (х + 21) · (х – 4) ≠ 0.(х + 21) · (х – 4) + х · (х – 4) – х · (х + 21) = 0. x2 + 17х – 84 + x2 – 4х - x2 – 21х = 0.x2 – 8х – 84 = 0. х1 = -6; -6 · (-6 + 21) · (-6 – 4) ≠ 0. х2 = 14; 14 · (14 + 21) · (14 – 4) ≠ 0.х = - 6 – не удовлетворяет условию задачи, т.к. х > 0.Если х = 14, то у = 14 + 21 = 35.Значит, время работы второй машины 35 мин.Проверка: производительности машин по отдельности и

совместно:1/14 + 1/35 = (5 + 2)/70 = 7/70 = 1/10; 1/10 = 1/(14 – 4) или

1/10 = 1/(35 – 25).Ответ: 35.

3) Для перевозки 60 тонн груза было заказано несколько машин одинаковой грузоподъемности. В реальности оказалось, что грузоподъемность этих машин на полтонны меньше обещанной. Пришлось дополнительно заказать еще 4 таких же машины, и все они были заполнены, так же как и первые машины. Сколько всего машин перевозили груз?

Грузоподъемность (т/м)

Количество (машин)

Всего (тонн)

Заказано ? ? 60

По факту ?, на 0,5 < ?, на 4 > 60

Грузоподъемность (т/м)

Количество (машин)

Всего (тонн)

Заказано х n 60

По факту х – 0,5 n + 4 60

Т.к. заказано n машин по х тонн, то они перевозят (nх) тонн, т.е. 60 т.

Т.к. по факту оказалось (n + 4) машины по (х – 0,5) тонн, то они перевезут (n + 4) · (х – 0,5) тонн, т.е. 60 т.

Составим и решим систему уравнений: nх = 60; nх = 60; (n + 4) · (х – 0,5) =60; nх + 4х – 0,5n – 2 = 60;

nх = 60; nх = 60; n = 8х – 4; 4х – 0,5n = 2 8х – n = 4; (8х – 4)х =

60. Решаем второе уравнение системы:(8х – 4) · х = 60; 8x2 – 4х – 60 = 0; 2x2 – х – 15 =0; х1 = -2,5;

х2 = 3.х = -2,5 – не удовлетворяет условию задачи, т.к. х > 0.Если х = 3, то n = 8 · 3 – 4 = 20.Значит, 20 машин было заказано.Тогда перевозили весь груз 20 + 4 = 24 (машины)Проверка: 3 · 20 = 60 (тонн) – всего заказано (3 – 0,5) · (20 + 4) = 60 (тонн) перевезено.Ответ: 24.

9. Задачи «на проценты»:

Процентом числа называется сотая доля этого числа.

Различают три типа задач на процентные вычисления:

1. Нахождение процентного отношения первого данного числа ко второму, т.е. выражение этого отношения в процентах.

2. Нахождение данного числа процентов от заданного числа.

3. Нахождение числа, если известно несколько процентов этого числа.

1) Нахождение процентного отношения первого числа ко второму.

Вывод. Чтобы найти процентное отношение первого числа ко второму, достаточно:

1. разделить первое число на второе;2. умножить полученное частное на 100 и приписать знак %.

На примере: В общем виде:

Куриное яйцо весит 60 г, а его скорлупа 3 г.Найти процентное отношение массы скорлупы к массе всего яйца.1)Найдем отношение массы скорлупы к весу яйца:3 г : 60г = 1 : 20 = 1/20 = 0,05.2)Выразим найденное отношение в процентах:0,05 = 0,05 · 100% = 5 %.

Даны: первое число а и второе число в. Найти процентное отношение первого числа ко второму числу.1)Найдем отношение первого числа ко второму числу: а : в = а/в .2)Выразим найденное отношение в процентах. а/в = а /в 100 % .

2) Как находить данное число процентов от заданного числа?

На примере: В общем виде:

Чему равны 3% от 405? Иначе, найти 0,03 от 405.Эта задача решается умножением:

405 · 0,03 = 12,15

Чему равны р% от а? Иначе, найти р/100 от а.Решим задачу умножением:

а · р/100 = а/100 · р.

Вывод. Чтобы найти данное число процентов от заданного числа, достаточно умножить заданное число на сотую долю данного числа процентов или, разделив заданное число на 100 (узнается 1% от него), умножить полученное частное на данное число процентов (узнается все заданное число процентов от него).

3) Как находить число, если известно несколько процентов этого числа?

На примере: В общем виде:

Найти число, зная, что 15% от него составляют 600. Иначе, найти число, зная, что 0,15 от него составляют 600.Имеем: 0,15 · х = 600, откуда х = 600 : 0,15 = 4000

Найти число, зная, что р% от него составляют а. Иначе, найти число, зная, что р/100 от него составляют а.Имеем:р/100 · х = а, откудах = а : р/100 = а · 100/р = (а : р) · 100

Вывод. Чтобы найти число, зная величину нескольких процентов этого числа, достаточно разделить эту величину на сотую долю данного числа процентов или, разделив эту величину на данное число процентов (узнается 1% от известного числа), умножить полученное частное на 100 (узнается все число, или 100%).

Эти три основные задачи на проценты можно решать с помощью пропорций

Задача 1. Найти 7% от 53.Решение

Пусть х – искомое число, тогда:53 – 100%

х – 7%53/х = 100/7, х = (53 · 7)/100, х = 371/100, х = 3,71. Задача 2. Найти число, 15% которого равны 3.

Решение Пусть х – искомое число, тогда:

х – 100% 3 – 15%

х/3 = 100/15, х = (3 · 100)/15, х = 20.

10. Пробный тест

1) Железнодорожный билет для взрослого стоит 720 руб. Стоимость билета школьника составляет 50% от стоимости билета для взрослого. Группа состоит из 15 школьников и двух взрослых. Сколько стоят билеты на всю группу?

2) До снижения цен товар стоил 800 рублей, а после снижения цен стал стоить 680 рублей. На сколько процентов была снижена цена товара? Знак % в ответе не пишите.

10. Пробный тест

3) Билет на автобус стоит 25 рублей. Какое максимальное число билетов можно будет купить на 100 рублей после повышения цены билета на 40%?

10. Пробный тест

Ответы

1. 68402. 153. 2

3. В хозяйственных и статистических расчетах принято говорить о простых

и сложных процентах. Формула простого процента:

х = а · (1 ± pt/100), гдеа – первоначальная величинар – число процентов, за какой-то промежуток времени (например, за

год)t – количество промежутков времених – конечная величина, при условии, что по истечении каждого

промежутка времени доход за этот промежуток времени изымается, т.е. за новый период времени доход исчисляется с первоначальной величины.

Формула сложного процента:

х = а · (1 ± pt/100)t, при условии, что доход причисляют к первоначальной величине, т.е. доход за

новыйпериод времени исчисляется с наращенной суммы.

Задача 1.

Какая сумма будет на счете вкладчика через 5 лет, если банк начисляет 20% годовых и внесенная сумма равна 500 000р.?

Решение:Через 5 лет сумма составит: (1 + 20/100)5 · 500 000 = 1 244 160 (р.)

Задача 2

За переадресацию вклада банком установлены

комиссионные в размере 0,2% от суммы вклада. Вклад на сумму 100 000 р. был переадресован

3 раза. На сколько уменьшился вклад?Решение: Воспользуемся формулой:Sn = (1 – p/100) n · S, где S = a; Sn = х; n = t.S3 = (1 – 0,2/100)3 · 100 000 = 99 401,19

(р.)Значит, уменьшение составило:100 000 – 99 401,19 = 598,81 (р.)

11. Примеры задач «на проценты»:

1) Цена изделия составляла 1000 рублей и была снижена сначала на 10%, а затем еще на 20%. Какова окончательная цена товара?

Решение: 10% = 0,1; 20% = 0,2.0,1 · 1000 = 100 (р.) – составило первое снижение1000 – 100 = 900 (р.) – цена товара после первого

снижения0,2 · 900 = 180 (р.) – составило второе снижение900 – 180 = 720 (р.) – цена товара после второго

сниженияОтвет: 720.

2) Цену товара повысили на 25%, затем новую цену повысили еще на 10% и, наконец, после перерасчета произвели повышение цены еще на 12%. На сколько процентов повысили первоначальную цену товара?

Решение: Пусть первоначальная цена товара – х р.

Тогда после повышения цены товара на 25% она стала:

х + 0,25х = 1,25х (р.)После повышения цены товара на 10% она стала:1,25х + 0,1 · 1,25х = 1,25х + 0,125х = 1,375х (р.)После повышения цены товара на 12% она стала:1,375х + 0,12 · 1,375х = 1,375х + 0,165х = 1,54х

(р.)В целом, цена товара была повышена на 1,54х –

х = 0,54х, чтосоставило 54% от первоначальной цены.Ответ: 54

3) Найдите первоначальную сумму вклада (в рублях), если после истечения двух лет она выросла на 304,5 рубля при 3% годовых.

Решение: Пусть S – первоначальная сумма вклада. Тогда

через два года она составит :S2 = (1 + 3/100) 2 · S

Т.к. S2 > S на 304,5, то уравнение имеет вид:(1 + 3/100) 2 · S = S + 304,5;1,032 · S = S + 304,5;

1,0609S – S = 304,5;

0,0609S = 304,5;

S = 304,5/0,0609;

S = 5000

Ответ: 5000.

12. Задачи «на смеси и сплавы»

В условиях задач «на сплавы» и «на смеси» речь идет о составлении сплавов, растворов или смесей двух или нескольких веществ. В процессе решения таких задач используется понятие «концентрации вещества», т.е. доли этого вещества в массе или объеме сплава (смеси, раствора).

В задачах этого типа обычно присутствуют три величины, соотношение между которыми позволяет составлять уравнение:

концентрация с (доля чистого вещества в смеси); количество чистого вещества в смеси (сплаве) А0; масса смеси (сплава) А. Соотношение между этими величинами следующее:Масса смеси × концентрация = количество чистого вещества

илиА × с = А0

Примечания:

1) В задачах на смеси, сплавы и концентрацию в качестве неизвестных удобнее выбирать либо весь вес (или объем) вещества, которое нас интересует в смеси, либо его концентрацию, т.е вес (или объем) данного вещества в единице веса (или объема) смеси.

2) При исследовании смеси надо держать в памяти две её характеристики: общее количество данного вещества в смеси и количество данного вещества в 1 кг (или 1 литре) смеси.

Примечания:

3) При слиянии двух растворов, имеющих объемы V1 и V2, получается смесь, объем которой равен

V = V1 + V2

4) При смешении одинакового количества каких-либо растворов получается раствор с процентным содержанием, равным среднему арифметическому процентного содержания исходных растворов.

13. Примеры задач «на смеси и сплавы»

1) Первый сплав состоит из цинка и меди, входящих в него в отношении 1:2, а другой сплав содержит те же металлы в отношении 2:3. Из скольких частей обоих сплавов можно получить третий сплав, содержащий те же металлы в отношении 17:27? Сплавы Вес цинка (кг) Вес меди (кг) Возьмем для

3 сплава (кг)

1 сплав х 2х А (3х)

2 сплав 2у 3у В (5у)

3 сплав х + 2у 2х + 3у

Решение:

Т.к. в новом сплаве отношение веса цинка к весу меди равно

17/27, то составим уравнение:(х + 2у)/(2х + 3у) = 17/27;по основному свойству

пропорции:27 · (х + 2у) = 17 · (2х + 3у);27х + 54у = 34х + 51у;3у = 7х.Т.к. А = 3х; В = 5у, то А/В = 3х/5у = 21х/35у = (3·(7х)/35у = 3·3у/35у =

9у/35у = 9/35.Ответ: сплав следует взять в соотношении 9:35.

2)В каких пропорциях нужно смешать раствор 50%-й и 70%-й кислоты, чтобы получить раствор 65%-й кислоты?

Имеем уравнение:0,5х + 0,7у = 0,65(х + у);0,5х + 0,7у = 0,65х + 0,65у (т.к. у ≠ 0, то разделим обе части

уравнения на у):0, 5х/у + 0,7 = 0,65х/у + 0,65;0,5х/у – 0,65х/у = 0,65 – 0,7;-0,15х/у = -0,05;х/у = 5/15; х/у = 1/3.Ответ: растворы следует взять в соотношении 1:3.

Растворы Концентрация Масса раствора (г) Масса чистого вещества (г)

Первый 50% х 0,5х

Второй 70% у 0,7у

Смесь 65% х + у 0,65(х + у)

3) Морская вода содержит 5% соли (по массе). Сколько пресной воды нужно добавить к 30 кг морской воды, чтобы концентрация соли составила 1,5%?

1) 0,05 · 30 = 1,5 (кг) – масса соли. Решая задачу нахождения числа по его процентам, вычислим массу нового раствора:

2) 1,5 : 1,5 · 100 = 100 (кг) – масса нового раствора.3) 100 – 30 = 70 (кг) – воды нужно добавить.

Ответ: 70.

Пресная вода (кг) Концентрация соли

Морская вода (кг)

Было ? 5% 30

Стало ? 1,5% ?

4) Смешали 30%-ный раствор соляной кислоты с 10%-ным раствором и получили 600 г 15%-ого раствора. Сколько граммов каждого раствора было взято?

Из таблицы видно, что задачу можно решить с помощью системы уравнений:

х + у = 600;0,3х + 0,1у = 0,15 ∙ 600.

Растворы Концентрация Масса раствора (г)

Масса чистого вещества (г)

1 раствор 30% х 0,3х

2 раствор 10% у 0,1у

Смесь 15% 600 0,15 ∙ 600

х + у = 600; х + у = 600; у = 600 – х;

0,3х + 0,1у = 90. 3х + у = 900. 3х + 600 – х = 900.

у = 600 – х; х = 150; х = 150;

2х = 300. у = 600 – 150. у = 450.

Значит, 30%-ого раствора взяли 150 г, 10%-ого раствора взяли 450 г.

Ответ: 150; 450.

Практикум «Решение текстовых задач»

1) На распродаже цену книги снизили на 20%. На сколько процентов надо повысить цену, чтобы получить первоначальную цену книги?

2) Моторная лодка прошла 10 км по озеру и 4 км против течения реки, затратив на весь путь 1 час. Найдите собственную скорость лодки, если скорость течения реки равна 3 км/ч.

3) Зарплата была повышена дважды на один и тот же процент за один год. При таком повышении рабочий стал получать вместо 1000 р. за один день 1254,4 р. Определите, на сколько процентов повысилась зарплата.

Практикум «Решение текстовых задач»

4) К 40%-му раствору соляной кислоты добавили 50 г чистой кислоты, после чего концентрация раствора стала равной 60%. Найдите первоначальный вес раствора в граммах.

5) На строительстве стены первый каменщик работал 5 дней один. Затем к нему присоединился второй, и они вместе закончили работу через 4 дня. Известно, что первому каменщику потребовалось бы на выполнение этой работы на 5 дней больше, чем второму. За сколько дней может построить эту стену первый каменщик, работая один?

Ответы

1) 25.Пусть х р. – первоначальная цена книги. Тогда 0,8х р. – цена книги после снижения. х/0,8х =10х/8х=10/8=5/4 =1,25 =

1,25∙100% =125% -составляет первоначальная цена от

сниженной.125% - 100% = 25% - составляет

повышение цены допервоначальной.

2) 15.Пусть х км/ч – собственная скорость

лодки. Тогдасоставим уравнение: 10/х + 4/(х – 3) = 1, решив которое получаем корни х1 = 15, х2 = 2 (исключаем, т.к. (х – 3) > 0).

Ответы

3) 12. Пусть х – процент повышения. Тогда 1000+1000∙0,01х =1000+10х (р.) – зарплата после

первогоповышения. (1000 + 10х) + 0,01х(1000 + 10х) = 1000 + 10х +

10х + 0,1х2==1000 + 20х + 0,1х2 (р.) – зарплата после второго

повышения.Т.к. зарплата составила 1254,4 р., то уравнение

имеет вид:0,1х2 + 20х + 1000 = 1254,4 или 0,1х2 + 20х –

254,4 =0.

Ответы

Ответы

На основании таблицы составляем уравнение:0,4х + 50 = 0,6(х + 50).

Раствор Концентрация Масса раствора (г)

Масса чистого вещества (г)

Первый 40% х 0,4х

Второй 100% 50 50

Смесь 60% х + 50 0,6(х + 50)

4) 100.

Ответы

Из таблицы видно, что задачу можно решить с помощью системы уравнений.

х – у = 5; 9/х + 4/у = 1.

N (доля работы/дн.)

t (дн.) А

Первое событие

1 каменщик 1/х 9 9/х

2 каменщик 1/у 4 4/у

Второе событие

1 каменщик 1/х х, на 5 > 1

2 каменщик 1/у у 1

1

5) 15.