28
Задачи на нахождение площади сечения многогранника Подготовка к решению задач ЕГЭ Автор: Ингинен Ольга Вячеславовна, учитель математики, МОУ «СОШ № 6» г. Луга

Задачи на нахождение площади сечения многогранника

  • Upload
    dung

  • View
    250

  • Download
    3

Embed Size (px)

DESCRIPTION

Задачи на нахождение площади сечения многогранника. Подготовка к решению задач ЕГЭ. Автор: Ингинен Ольга Вячеславовна, учитель математики, МОУ «СОШ № 6» г. Луга. АС = СВ; СС 1 - общая Δ АСС 1 = Δ ВСС 1 (по двум катетам) Значит АС 1 = ВС 1 Δ АВС 1 - равнобедренный. - PowerPoint PPT Presentation

Citation preview

Page 1: Задачи на нахождение площади сечения многогранника

Задачи на нахождение площади сечения многогранника

Подготовка к решению задач ЕГЭ

Автор: Ингинен Ольга Вячеславовна,учитель математики,МОУ «СОШ № 6» г. Луга

Page 2: Задачи на нахождение площади сечения многогранника

А

В

С

А1

С1

В1

Найти площадь сечения правильной треугольной призмы ABCA1B1C1, все ребра которой равны 1, проходящее через

вершины A, B и C1. Построим плоскость сечения, проходящее через вершины A, B и C1.

Проведем высоту КC1.

1

.

;

;

;

:

2

2

11

1

21

2221

21

221

1

ÑÑBÑBÑ

ÂÑÑÈç

К

.

;

;

;

:

2

7

4

31

2

12

1

21

222

1

221

21

1

ÊÑ

ÊÑ

ÊÑ

ÂÊÂÑÊÑ

ÂÊÑÈç

1

2

2

1

4

7

2

71

2

1

2

1

1

1 1

ÀÂÑ

ÀÂÑ

S

ÊÑÀÂS

Ответ. 4

7

АС = СВ; СС1 - общаяΔ АСС1 = Δ ВСС1 (по двум катетам)Значит АС1 = ВС1

Δ АВС1 - равнобедренный

Page 3: Задачи на нахождение площади сечения многогранника

ABCD – правильная треугольная пирамида все ребра которой равны 1. Найти площадь сечения пирамиды плоскостью, проходящей через точки D, C и М, где М – середина стороны АВ.

М

Построим плоскость сечения, проходящее через точки D, C и М.

Н

4

2

3

2

2

3

2

1

2

1

DÑÌ

DÑÌ

S

DHÑMS

Δ АВС - равносторонний

3

1

3

2 CMÑÍ

.

;

;

;

:

3

2

3

2

3

11

2

2

22

222

DH

CÍDCDH

DÍCÈç

2

3

2

3

ABÑM

Ответ. 4

2

Н – точка пересечения медиан. Применим свойство медиан: медианы треугольника пересекаются в отношении 2 к 1, считая от вершины СН : НМ = 2 : 1. Вся медиана СМ – это 3 части.

СН = СМ (2 части)

НМ = СМ (1 часть)

3

2

3

1

Page 4: Задачи на нахождение площади сечения многогранника

Ответ. 6

2

Найти площадь сечения единичного куба ABCDA1B1C1D1, проходящее через вершину A и середины ребер BB1 и DD1.

1

к

м

Построим плоскость сечения, проходящее через вершину A и точки К и М.

КМ = BD = АС =

.

;

;

;

:

5

5

12

1

21

2221

21

221

1

ÀÑ

ÀÑ

ÀÑ

ÑÑÀÑÀÑ

ÀÑÑÈç 2

2

623

2

1

2

1

1

1 1

ÌÀÊÑ

ÌÀÊÑ

S

ÊÌÀÑS

АКС1М – параллелограмм

ðîìáÌÀÊÑÇíà÷èò

ACKMBDKM

ACBDACCBDCCBD

ACBD

1

1

111

)(

Page 5: Задачи на нахождение площади сечения многогранника

Найти площадь сечения единичного куба ABCDA1B1C1D1

плоскостью, проходящей через вершину В и точки E и F на ребрах A1В1 и В1C1 соответственно, если В1E = 5A1E  и C1F = 5В1F.

FE

Построим плоскость сечения, проходящее через вершины B, Е и F.

Δ ВEF - произвольный

6

1

6

5

6

26

36

26

6

1

6

522

21

21

21

EFFBEBEFEFÂÈç :

6

37

36

37

6

11

222

121

21

BFFBBBBFFBÂÈç :

6

61

36

61

6

51

222

121

21

BEEBBBBEEBÂÈç :

962

1

2cos

cos2222

222

EFBF

BEEFBFBFE

BFEFEBFEFBFBEПо теореме косинусов:

962

31

962

11cos1sin 2 BFEBFE

72

31

962

31

6

26

6

37

2

1

sin2

1

BEF

BEF

S

BEFEFBFS

Ответ. 72

31

Page 6: Задачи на нахождение площади сечения многогранника

Найти площадь сечения пирамиды SABCD, все ребра которой равны 1, проходящее через середины ребер AD, BC и SC.

мК

N

Построим плоскость сечения, проходящее через точки N, К и М.

Р

КМ= АВ =1, PN= DC=2

1

2

1

2

1

2

1КР= МN= AS =

м

КH

4

1

2

11

2

1

2

1

)( PSKMÊÍ

2

1

4

1 .

;

;

;

:

4

3

16

3

4

1

2

1

2

222

222

ÐÍ

ÐÍ

ÐÍ

ÊÍÊÐÐÍ

ÊÐÍÈç

16

33

4

31

2

1

2

1

2

1

KPNM

KPNM

KPSM

S

S

PHKMPSS

КPSМ – равнобедренная трапеция

MNKPíèìèìåæäó

óãëóèñòîðîíàìäâóìïîMCNKDP

PSDP

SCDëèíèÿñðåäíÿÿPNNSCN

CDPN

PNKMSCDKMCDKM

)

(

)(

Ответ. 3 3

16

Page 7: Задачи на нахождение площади сечения многогранника

Найти площадь сечения правильной шестиугольной призмы ABCDEFA1B1C1D1E1F1, все ребра которой равны 1,

проходящее через вершины A, C и D1.

Построим плоскость сечения, проходящее через точки A, C и D1.

.

;

;

;

:

2

2

11

1

21

2221

21

221

1

ÀF

ÀF

ÀF

FFÀFÀF

ÀFFÈç

3AC

62311

11 1

FÀÑD

FÀÑD

S

AFÀÑS

Ответ. 6

íèêïðÿìîóãîëüFÀÑDÇíà÷èò

AFACFAAACAAAC

AFAC

ðàììïàðàëëåëîãFÀÑD

11

1

1

11

)(

Page 8: Задачи на нахождение площади сечения многогранника

Найти площадь сечения единичного куба ABCDA1B1C1D1 плоскостью, проходящей через вершины B1 и D и точку M на ребре CC1, если C1M = 2CM.

мК

3

1

3

2

Построим плоскость сечения, проходящее через вершины B, D1 и M.

Сечением является параллелограмм BMD1K.

3

10

9

10

3

11:

22222

BMMCBÑÂÌÂMCÈç

3

13

9

13

3

21: 1

222

1211

2111

MDMÑDCÌDDMCÈç

3

По теореме косинусов:

130

2cos

cos2

1

1121

221

BMD

BMDMDBMMDBMBD

65

63

130

41cos1sin 1

21 BMDBMD

3

14

65

63

3

13

3

10

sin

1

1 11

KBMD

KBMD

S

BMDMDBMS

Ответ. 3

14

Page 9: Задачи на нахождение площади сечения многогранника

Найти площадь сечения единичного куба ABCDA1B1C1D1, проходящее через вершину D1 и середины ребер AB, BC.

Построим плоскость сечения, проходящее через указанные точки.

Сечением является пятиугольник EFGD1H.

ADCFE – проекция сечения на плоскость ABCD

SADCFE =SABCD - SBEF = ;8

7

8

11

17

3

11

1

RD

DRDRDCOS

DRDÈç

А

D C

F

BE

R

4

23

4

3 DBDR

.

;

;

;

:

4

34

16

34

14

23

1

21

2

2

21

21

221

1

RD

RD

RD

DDDRRD

DRDÈç

24

177

11

DRDCOS

SS ADCFE

HEFGD Ответ. 24

177

По теореме о площади ортогональной проекции многоугольника

Теорема о площади ортогональной проекции многоугольника:Площадь ортогональной проекции многоугольника на плоскость равна произведению его площади на косинус угла между плоскостью многоугольника и плоскостью проекции.

ïðîåêöèèåãîïëîñêîñòüþè

ñå÷åíèÿïëîñêîñòüþìåæäóóãîëãäå

ñå÷S

ïðS

cos

Page 10: Задачи на нахождение площади сечения многогранника

ЗАДАЧИ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОГО РЕШЕНИЯ

Page 11: Задачи на нахождение площади сечения многогранника

Найдите площадь сечения единичного куба ABCDA1B1C1D1, проходящее через вершины A, B, C1.

Ответ. . 2

Page 12: Задачи на нахождение площади сечения многогранника

Найдите площадь сечения единичного куба ABCDA1B1C1D1 , проходящее через середины ребер AB, BC, A1B1.

Ответ: 2

2

Page 13: Задачи на нахождение площади сечения многогранника

Найдите площадь сечения единичного куба ABCDA1B1C1D1, проходящее через вершину A и середины ребер CD, C1D1.

Ответ. .5

2

Page 14: Задачи на нахождение площади сечения многогранника

Найдите площадь сечения пирамиды SABCD, все ребра которой равны 1, проходящее через середины ребер SA, SB и SC.

Ответ. 0,25.

Page 15: Задачи на нахождение площади сечения многогранника

Найдите площадь сечения правильной треугольной призмы ABCA1B1C1, все ребра которой равны 1, проходящее через

середины ребер AA1, BB1, CC1.

Ответ. 0,5.

Page 16: Задачи на нахождение площади сечения многогранника

Найдите площадь сечения правильной треугольной призмы ABCA1B1C1, все ребра которой равны 1, проходящее через

вершины B, B1 и середину ребра AC.

Ответ. . 3

2

Page 17: Задачи на нахождение площади сечения многогранника

Найдите площадь сечения правильной шестиугольной призмы ABCDEFA1B1C1D1E1F1, все ребра которой равны 1,

проходящее через вершины A, C и C1.

Ответ. . 3

Page 18: Задачи на нахождение площади сечения многогранника

1. Найти площадь сечения куба ABCDA1B1C1D1 с ребром 2 плоскостью, проходящей через вершины C1 и В и точку E на ребре A1В1, если В1E = 0,4 А1E.

Е

Ответ. 7

116

Page 19: Задачи на нахождение площади сечения многогранника

В правильной четырехугольной призме сторона основания равна 4 см. Через диагональ основания под углом 45 к плоскости основания проведена плоскость, пресекающая боковое ребро. Найти площадь сечения.

Ответ. 28

Page 20: Задачи на нахождение площади сечения многогранника

Найти площадь сечения единичного куба ABCDA1B1C1D1

плоскостью, проходящей через вершины B1 и D и середину ребра CC1.

Ответ. 2

6

Page 21: Задачи на нахождение площади сечения многогранника

Найдите площадь сечения единичного куба ABCDA1B1C1D1, проходящее через вершины A, C и середину ребра С1D1.

Ответ: 8

11

Page 22: Задачи на нахождение площади сечения многогранника

Найдите площадь сечения пирамиды SABCD, все ребра которой равны 1, проходящее через вершины A, B и середину ребра SC.

Ответ: 16

113

Page 23: Задачи на нахождение площади сечения многогранника

Найдите площадь сечения правильной треугольной призмы ABCA1B1C1, все ребра которой равны 1, проходящее через

середины ребер AB, BC и CC1.

Ответ: 3 7

16

Page 24: Задачи на нахождение площади сечения многогранника

Найдите площадь сечения правильной шестиугольной призмы ABCDEFA1B1C1D1E1F1, все ребра которой равны 1,

проходящее через вершины A, D и C1.

Ответ:3 7

4

Page 25: Задачи на нахождение площади сечения многогранника

Найдите площадь сечения единичного куба ABCDA1B1C1D1, проходящее через вершину A и середины ребер BC, DD1.

Ответ: 16

213

Page 26: Задачи на нахождение площади сечения многогранника

Найдите площадь сечения единичного куба ABCDA1B1C1D1, проходящее через середины ребер AB, BC, CC1.

Ответ. 3 3

4

Page 27: Задачи на нахождение площади сечения многогранника

Найдите площадь сечения правильной шестиугольной призмы ABCDEFA1B1C1D1E1F1, все ребра которой равны 1,

проходящее через вершины A, B и D1.

Ответ: 3

Page 28: Задачи на нахождение площади сечения многогранника

Найти площадь сечения куба ABCDA1B1C1D1 с ребром 2 плоскостью, проходящей через вершину C1 и середины ребер A1D1 и CD.

Ответ. 4

213