Upload
dung
View
250
Download
3
Embed Size (px)
DESCRIPTION
Задачи на нахождение площади сечения многогранника. Подготовка к решению задач ЕГЭ. Автор: Ингинен Ольга Вячеславовна, учитель математики, МОУ «СОШ № 6» г. Луга. АС = СВ; СС 1 - общая Δ АСС 1 = Δ ВСС 1 (по двум катетам) Значит АС 1 = ВС 1 Δ АВС 1 - равнобедренный. - PowerPoint PPT Presentation
Citation preview
Задачи на нахождение площади сечения многогранника
Подготовка к решению задач ЕГЭ
Автор: Ингинен Ольга Вячеславовна,учитель математики,МОУ «СОШ № 6» г. Луга
А
В
С
А1
С1
В1
Найти площадь сечения правильной треугольной призмы ABCA1B1C1, все ребра которой равны 1, проходящее через
вершины A, B и C1. Построим плоскость сечения, проходящее через вершины A, B и C1.
Проведем высоту КC1.
1
.
;
;
;
:
2
2
11
1
21
2221
21
221
1
BÑ
BÑ
BÑ
ÑÑBÑBÑ
ÂÑÑÈç
К
.
;
;
;
:
2
7
4
31
2
12
1
21
222
1
221
21
1
ÊÑ
ÊÑ
ÊÑ
ÂÊÂÑÊÑ
ÂÊÑÈç
1
2
2
1
4
7
2
71
2
1
2
1
1
1 1
ÀÂÑ
ÀÂÑ
S
ÊÑÀÂS
Ответ. 4
7
АС = СВ; СС1 - общаяΔ АСС1 = Δ ВСС1 (по двум катетам)Значит АС1 = ВС1
Δ АВС1 - равнобедренный
ABCD – правильная треугольная пирамида все ребра которой равны 1. Найти площадь сечения пирамиды плоскостью, проходящей через точки D, C и М, где М – середина стороны АВ.
М
Построим плоскость сечения, проходящее через точки D, C и М.
Н
4
2
3
2
2
3
2
1
2
1
DÑÌ
DÑÌ
S
DHÑMS
Δ АВС - равносторонний
3
1
3
2 CMÑÍ
.
;
;
;
:
3
2
3
2
3
11
2
2
22
222
DÍ
DÍ
DH
CÍDCDH
DÍCÈç
2
3
2
3
ABÑM
Ответ. 4
2
Н – точка пересечения медиан. Применим свойство медиан: медианы треугольника пересекаются в отношении 2 к 1, считая от вершины СН : НМ = 2 : 1. Вся медиана СМ – это 3 части.
СН = СМ (2 части)
НМ = СМ (1 часть)
3
2
3
1
Ответ. 6
2
Найти площадь сечения единичного куба ABCDA1B1C1D1, проходящее через вершину A и середины ребер BB1 и DD1.
1
к
м
Построим плоскость сечения, проходящее через вершину A и точки К и М.
КМ = BD = АС =
.
;
;
;
:
5
5
12
1
21
2221
21
221
1
ÀÑ
ÀÑ
ÀÑ
ÑÑÀÑÀÑ
ÀÑÑÈç 2
2
623
2
1
2
1
1
1 1
ÌÀÊÑ
ÌÀÊÑ
S
ÊÌÀÑS
АКС1М – параллелограмм
ðîìáÌÀÊÑÇíà÷èò
ACKMBDKM
ACBDACCBDCCBD
ACBD
1
1
111
)(
Найти площадь сечения единичного куба ABCDA1B1C1D1
плоскостью, проходящей через вершину В и точки E и F на ребрах A1В1 и В1C1 соответственно, если В1E = 5A1E и C1F = 5В1F.
FE
Построим плоскость сечения, проходящее через вершины B, Е и F.
Δ ВEF - произвольный
6
1
6
5
6
26
36
26
6
1
6
522
21
21
21
EFFBEBEFEFÂÈç :
6
37
36
37
6
11
222
121
21
BFFBBBBFFBÂÈç :
6
61
36
61
6
51
222
121
21
BEEBBBBEEBÂÈç :
962
1
2cos
cos2222
222
EFBF
BEEFBFBFE
BFEFEBFEFBFBEПо теореме косинусов:
962
31
962
11cos1sin 2 BFEBFE
72
31
962
31
6
26
6
37
2
1
sin2
1
BEF
BEF
S
BEFEFBFS
Ответ. 72
31
Найти площадь сечения пирамиды SABCD, все ребра которой равны 1, проходящее через середины ребер AD, BC и SC.
мК
N
Построим плоскость сечения, проходящее через точки N, К и М.
Р
КМ= АВ =1, PN= DC=2
1
2
1
2
1
2
1КР= МN= AS =
м
NР
КH
4
1
2
11
2
1
2
1
)( PSKMÊÍ
2
1
4
1 .
;
;
;
:
4
3
16
3
4
1
2
1
2
222
222
ÐÍ
ÐÍ
ÐÍ
ÊÍÊÐÐÍ
ÊÐÍÈç
16
33
4
31
2
1
2
1
2
1
KPNM
KPNM
KPSM
S
S
PHKMPSS
КPSМ – равнобедренная трапеция
MNKPíèìèìåæäó
óãëóèñòîðîíàìäâóìïîMCNKDP
PSDP
SCDëèíèÿñðåäíÿÿPNNSCN
CDPN
PNKMSCDKMCDKM
)
(
)(
Ответ. 3 3
16
Найти площадь сечения правильной шестиугольной призмы ABCDEFA1B1C1D1E1F1, все ребра которой равны 1,
проходящее через вершины A, C и D1.
Построим плоскость сечения, проходящее через точки A, C и D1.
.
;
;
;
:
2
2
11
1
21
2221
21
221
1
ÀF
ÀF
ÀF
FFÀFÀF
ÀFFÈç
3AC
62311
11 1
FÀÑD
FÀÑD
S
AFÀÑS
Ответ. 6
íèêïðÿìîóãîëüFÀÑDÇíà÷èò
AFACFAAACAAAC
AFAC
ðàììïàðàëëåëîãFÀÑD
11
1
1
11
)(
Найти площадь сечения единичного куба ABCDA1B1C1D1 плоскостью, проходящей через вершины B1 и D и точку M на ребре CC1, если C1M = 2CM.
мК
3
1
3
2
Построим плоскость сечения, проходящее через вершины B, D1 и M.
Сечением является параллелограмм BMD1K.
3
10
9
10
3
11:
22222
BMMCBÑÂÌÂMCÈç
3
13
9
13
3
21: 1
222
1211
2111
MDMÑDCÌDDMCÈç
3
По теореме косинусов:
130
2cos
cos2
1
1121
221
BMD
BMDMDBMMDBMBD
65
63
130
41cos1sin 1
21 BMDBMD
3
14
65
63
3
13
3
10
sin
1
1 11
KBMD
KBMD
S
BMDMDBMS
Ответ. 3
14
Найти площадь сечения единичного куба ABCDA1B1C1D1, проходящее через вершину D1 и середины ребер AB, BC.
Построим плоскость сечения, проходящее через указанные точки.
Сечением является пятиугольник EFGD1H.
ADCFE – проекция сечения на плоскость ABCD
SADCFE =SABCD - SBEF = ;8
7
8
11
17
3
11
1
RD
DRDRDCOS
DRDÈç
А
D C
F
BE
R
4
23
4
3 DBDR
.
;
;
;
:
4
34
16
34
14
23
1
21
2
2
21
21
221
1
RD
RD
RD
DDDRRD
DRDÈç
24
177
11
DRDCOS
SS ADCFE
HEFGD Ответ. 24
177
По теореме о площади ортогональной проекции многоугольника
Теорема о площади ортогональной проекции многоугольника:Площадь ортогональной проекции многоугольника на плоскость равна произведению его площади на косинус угла между плоскостью многоугольника и плоскостью проекции.
ïðîåêöèèåãîïëîñêîñòüþè
ñå÷åíèÿïëîñêîñòüþìåæäóóãîëãäå
ñå÷S
ïðS
cos
ЗАДАЧИ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОГО РЕШЕНИЯ
Найдите площадь сечения единичного куба ABCDA1B1C1D1, проходящее через вершины A, B, C1.
Ответ. . 2
Найдите площадь сечения единичного куба ABCDA1B1C1D1 , проходящее через середины ребер AB, BC, A1B1.
Ответ: 2
2
Найдите площадь сечения единичного куба ABCDA1B1C1D1, проходящее через вершину A и середины ребер CD, C1D1.
Ответ. .5
2
Найдите площадь сечения пирамиды SABCD, все ребра которой равны 1, проходящее через середины ребер SA, SB и SC.
Ответ. 0,25.
Найдите площадь сечения правильной треугольной призмы ABCA1B1C1, все ребра которой равны 1, проходящее через
середины ребер AA1, BB1, CC1.
Ответ. 0,5.
Найдите площадь сечения правильной треугольной призмы ABCA1B1C1, все ребра которой равны 1, проходящее через
вершины B, B1 и середину ребра AC.
Ответ. . 3
2
Найдите площадь сечения правильной шестиугольной призмы ABCDEFA1B1C1D1E1F1, все ребра которой равны 1,
проходящее через вершины A, C и C1.
Ответ. . 3
1. Найти площадь сечения куба ABCDA1B1C1D1 с ребром 2 плоскостью, проходящей через вершины C1 и В и точку E на ребре A1В1, если В1E = 0,4 А1E.
Е
Ответ. 7
116
В правильной четырехугольной призме сторона основания равна 4 см. Через диагональ основания под углом 45 к плоскости основания проведена плоскость, пресекающая боковое ребро. Найти площадь сечения.
Ответ. 28
Найти площадь сечения единичного куба ABCDA1B1C1D1
плоскостью, проходящей через вершины B1 и D и середину ребра CC1.
Ответ. 2
6
Найдите площадь сечения единичного куба ABCDA1B1C1D1, проходящее через вершины A, C и середину ребра С1D1.
Ответ: 8
11
Найдите площадь сечения пирамиды SABCD, все ребра которой равны 1, проходящее через вершины A, B и середину ребра SC.
Ответ: 16
113
Найдите площадь сечения правильной треугольной призмы ABCA1B1C1, все ребра которой равны 1, проходящее через
середины ребер AB, BC и CC1.
Ответ: 3 7
16
Найдите площадь сечения правильной шестиугольной призмы ABCDEFA1B1C1D1E1F1, все ребра которой равны 1,
проходящее через вершины A, D и C1.
Ответ:3 7
4
Найдите площадь сечения единичного куба ABCDA1B1C1D1, проходящее через вершину A и середины ребер BC, DD1.
Ответ: 16
213
Найдите площадь сечения единичного куба ABCDA1B1C1D1, проходящее через середины ребер AB, BC, CC1.
Ответ. 3 3
4
Найдите площадь сечения правильной шестиугольной призмы ABCDEFA1B1C1D1E1F1, все ребра которой равны 1,
проходящее через вершины A, B и D1.
Ответ: 3
Найти площадь сечения куба ABCDA1B1C1D1 с ребром 2 плоскостью, проходящей через вершину C1 и середины ребер A1D1 и CD.
Ответ. 4
213