Тема урока:

Обобщающий урокпо теме

«Рациональные числа»

План урокаI. Организационный момент.II. Повторение правил выполнения действий.III. Устная работа.IV. Из истории возникновения отрицательных

чисел.V. Игра «Дешифровщик».VI. Тест: «Решение уравнений».VII. Математическое лото.VIII. Тренажёр «Круговые задания».IX. Домашнее задание.

Устная работа.1) (-3,2) + (-5) 7,8 – (-3) -315,4 + 14,4 -5 * (-0,001) -1,4 – 1,4 -15 – (-8) -10 + 9,9 15 * (-1/2)

-3 ½ + 3 ½ -0,52 + 1 -16 : (-0,01)4 : (-0,001)

2) |x| = 7 |x| = 10,5 |x| = ¾ |6| : |-0,5||-2| * |0,01| |-3| : |-0,1|

3) При каком значении x значение выражения равно 0. 3 * x * (-8) = 0

(-5 + x) * (-4) = 0 (3 – x) * (-4) = 0

4) Найти значение выражения.19 + (-19) + 0 – (-16) + 1615 – 15 + 3 – 4 + 4-3,5 + 8 ½ + 3,5 + 5

5) Какой должен быть знак х, чтобы выражение было положительным.

X * 3 * (-5) (-4 ½ ) * (-8,5) * x-12 * 2/3 * x

6) Какой должен быть знак х, чтобы выражение было отрицательным.

X * (-3,5) * 4 5,6 * x * 8

ОТРИЦАТЕЛЬНЫЕ ЧИСЛА

Введение отрицательных чисел было с необходимостью вызвано развитием алгебры как

науки, дающей общие способы решения арифметических задач, независимо от конкретного

содержания и исходных числовых данных. Необходимость введения в алгебру отрицательных

чисел возникает уже при решении задач, сводящихся к линейным уравнениям с одним неизвестным. В

индии еще в 6-11 вв. отрицательные числа систематически применялись при решении задач и

истолковывались в основном также, как это делается в настоящее время.

В европейской науке отрицательные числа окончательно вошли в употребление лишь со времени

Р.Декарта, давшего геометрическое истолкование отрицательным числам как направленных отрезков.

Диофант

Брахмагупта

Вот как можно выразить правила умножения и

деления:

a·a=a Друг моего друга - мой друг

b·b=a Враг моего врага - мой друг

a·b=b Друг моего врага – мой враг

b·a=b Враг моего друга – мой враг

Бхаскара

Страница из произведения Бхаскары.

ОТКРЫТИЕ ОТРИЦАТЕЛЬНЫХ ЧИСЕЛ

Мы считаем отрицательные числа чем-то естественным, но так было далеко не всегда.

На самых ранних ступенях развития люди знали только натуральные числа. Но этими числами нельзя обойтись даже в самых простых случаях жизни...

Первые сведения об отрицательных числах встречаются у китайских математиков во втором веке до нашей эры.

Впервые отрицательные числа были узаконены в Китае в III веке, но использовались лишь для исключительных случаев, так как считались, в общем, бессмысленными...

Чуть позднее отрицательные числа стали использоваться в Индии для обозначения долгов или признавались как промежуточный этап, полезный для вычисления окончательного, положительного результата.

Древнегреческий математик Диофант

в III веке уже знал правило знаков и умел умножать отрицательные числа. Однако и он рассматривал их лишь как временные значения.

Полезность и законность отрицательных чисел утверждались

постепенно. Индийский математик

Брахмагупта (VII век) уже рассматривал их наравне с положительными.

Вот как он излагал правила сложения и вычитания:

«Сумма двух имуществ есть имущество».

«Сумма двух долгов есть долг».

«Сумма имущества и долга равна их разности».

В Европе отрицательные числа появились благодаря Леонардо Пизанскому (Фибоначчи),

который тоже ввёл их для решения финансовых задач с долгами.

В 1202 году он впервые использовал отрицательные числа для подсчёта своих убытков.

Тем не менее до XVII века отрицательные числа не находили

признания. Их называли «ложными», «мнимыми» или

«абсурдными».

И даже в XVII веке знаменитый математик Блез Паскаль утверждал, что 0-4=0, ибо нет такого числа, которое может быть меньше, чем ничего, а вплоть до XIX века математики часто отбрасывали в своих вычислениях отрицательные числа, считая их бессмысленными…

Бомбелли и Жерар, напротив, считали отрицательные числа вполне допустимыми и полезными, в частности,

для обозначения недостачи чего-либо.

Отголоском тех времён

является то, что в современной арифметике операция вычитания и знак отрицательных чисел обозначаются одним и тем же символом:

- минус -

В XVII веке, с появлением аналитической геометрии, отрицательные числа получили наглядное

геометрическое представление на числовой оси. С этого момента наступает их полное равноправие.

Признанию отрицательных чисел способствовали работы французского ученого Рене Декарта.

Он предложил геометрическое истолкование положительных и отрицательных чисел - ввел координатную прямую (1637г.)

Тем не менее теория отрицательных чисел долго находилась в стадии становления. Оживлённо обсуждалась, например, странная пропорция:

1:(-1) = (-1):1 В ней первый член слева больше второго, а

справа - наоборот, и получается, что большее равно меньшему!

(«парадокс Арно»). ? ? ?

Непонятно было также, какой смысл имеет умножение отрицательных чисел, и почему

произведение отрицательных положительно; на эту тему проходили жаркие дискуссии.

Полная и вполне строгая теория отрицательных чисел была создана только в XIX веке

(Уильям Гамильтон и Герман Грассман).

- Задача, конечно, не слишком простая: Играя учить и учиться играя;

Но, если с учёбой сложить развлеченье, То праздником станет любое ученье.

ИГРА «Дешифровщик».Пергамент был очень дорогим материалом. Поэтому

переписчики всеми способами экономили его, стремясь уменьшить стоимость книг. Вот почему для написания рукописей иногда брали пергамент, уже использованный для каких-то книг, показавшихся переписчику ненужными.

Старый текст смывали или соскабливали и на очищенных таким образом местах писали слова. Такие рукописи имели особое название, происходящее от греческих слов, которые в переводе означают опять и скоблю.

Если вы верно выполните задания, то узнаете, как назывались такие рукописи.

(2 7/15 – 4) * (8 16/23 – 10) -2 В -3 1/15 К 3 1/15 Н 2 П(-8 5/9 + 7 2/9)*(-3 5/6 + 31/3) 2/3 А 5/6 Е 4/9 И 1/6 О

1 1/3 * (-3/4) – (-2 1/7)*1 2/5 -2 К 2 Л -1 П 1 С15,3 + (100,7 – 140) -24 И -17 К -20 Л -29 О(-0,2 + 1) : 3,2 - 4/15Л 4/15 Н 1/4 М -1/24Т

(-24,6 + 13,8) : 2,7 -3 А -5,2 Е -3,8 О -4 П

1 5/12 : (-5/6 + 2/3) -6 И 4 О -8,5 С -3,5 Т

(-2 – 1) + 4 7/12 * 4/11 0 А - 4/3 Е - 1/2 С - 2/9 У 2 2-1/2 * (-4) + 1/4 * (-8)

11 5/6Н -8 М 14 1/2Р 8 С

(4 1/5 – 2,2) * (-3,05) -5,15М 6,1 П -6,1 Т -4,7 Ц

I вариант

II вариант

В VII веке использование палимпсестов приобрело такое широкое распространение, что в 691 году Церковный собор вынес по этому поводу специальное постановление, запрещающее соскабливать священные книги.

«Палимпсест» - рукопись на пергаменте (реже папирусе) поверх смытого или соскобленного текста.

Палимпсест Архимеда

Палимпсест (греч. παλίμψηστον, от πάλιν — опять и

ψηστός — соскобленный) — рукопись на пергаменте (реже папирусе) поверх смытого или соскобленного текста.

Палимпсесты были вызваны дороговизной писчего материала, которая приводила к его неоднократному использованию.

При помощи новейших технических средств предыдущие записи иногда удаётся прочесть.

Палимпсест Архимеда – это книга, в которой нет ничего особенного. Но когда её прочитали поперёк, то увидели на тех же страницах древние трактаты. Стали читать при другом свете – нашли сочинения, считавшиеся утерянными. Начали смотреть рентгеном – опять обнаружили удивительный текст. И это всё – в одной книге. Удивительно? Пожалуй, да.

Архимед из Сиракуз – древнегреческий математик,

физик, инженер, жил в III веке до нашей эры. Сделал множество открытий в геометрии, заложил основы механики, гидростатики, автор ряда важных изобретений, он написал много ценных сочинений, которые впоследствии очень пригодились другим учёным. В древности качество работы копировальных аппаратов оставляло желать лучшего, поэтому всем этим учёным приходилось

пользоваться рукописными копиями трудов Архимеда. Один из таких экземпляров был сделан в десятом веке неизвестным переписчиком.

В XII веке книга подверглась некоторым изменениям. В то время материалы для письма были довольно дорогими. А так как рукопись сделана на пергаменте, то текст без особых проблем смыли. Затем страницы сложили пополам и нанесли на них некий христианский литургический текст. Первоначально было около 90 страниц, а после этой "модификации" их стало 177 (кое-что, очевидно, утрачено). Из-за дороговизны средств для письма в древности подобное практиковалось часто. В науке такие рукописи называют палимпсестами, что в буквальном переводе с греческого означает "опять соскобленный".

Спустя много веков – лишь в 1906 году — датскому филологу Йохану Людвигу Хайбергу, побывавшему в Константинополе, попалась эта книга. Он заметил, что с ней что-то не так, сфотографировал и опубликовал. Спустя некоторое время Томас Литтл Хит, британский специалист по античности, разобрал некоторые части прежнего текста, которые перевёл на английский.

Оказалось, что ранее там были написано семь архимедовых трактатов: "О равновесии плоских фигур", "О спиралях", "Измерение круга", "О шаре и цилиндре", "О плавающих телах", а также два труда, копии которых учёным больше нигде никогда не попадались, — "Стомахион" (о древнегреческой игре) и "Метод".

С момента этого открытия палимпсест Архимеда (так стали

называть документ) много лет пылился в константинопольском монастыре, до тех пор, пока не был украден оттуда в 1920-х годах. На протяжении XX века он кочевал по разным частным собраниям древностей. А официально появился 29 октября 1998 года на аукционе, где был куплен за 2 миллиона долларов неким любителем старины, пожелавшем остаться инкогнито. К счастью, он не запрятал раритет, а через несколько месяцев отдал его — на хранение – в художественный музей Уолтерса в Балтиморе.

Этот человек также дал специалистам разрешение на все необходимые для науки операции с палимпсестом: консервацию, фотографирование и вообще — изучение. Так на базе этого музея стартовал проект Archimedes Palimpsest. С тех пор было проведено много различных исследований, благо есть что изучать – в палимпсесте очень много неразобранных фрагментов.

Чего с ним только ни делали! Фотографировали, оцифровывали, просматривали на разных длинах волн видимого и ультрафиолетового света. А в 2005 году его изучали с помощью синхротронного излучения.

Благодаря этим разнообразным методам исследования получилось узнать немало важных вещей о палимпсесте и восстановить некоторые его

повреждённые места. В 2002-м доктор Натали

Чернецка из колледжа Тринити

обнаружила в палимпсесте ценнейшие тексты – две речи греческого оратора Гиперида, жившего в четвёртом веке до нашей эры. Они считались навсегда утраченными, однако благодаря тому, что кто-то на этом пергаменте переписал их около XI века нашей эры, речи удалось найти. В результате тщательной работы сотрудников музея Уолтерса и университета Стэнфорда к 2006 году их удалось разобрать примерно на 20 процентов.

Однако новое исследование потрясло всех ещё больше. О том, что данный объект является палимпсестом, науке известно более ста лет. Почти десятилетие она его исследуют самыми невероятными способами. И вот выясняется, что о нём не знали кое-чего очень важного.

Используя метод мультиспектрального изображения, учёные недавно нашли ещё более древние надписи. Смысл техники заключается в том, что при рассматривании рукописи применяют различные длины волн освещения. Когда же стали использовать более точный вариант этого метода, то обнаружилось нечто неизвестное – ещё один слой.

Изучая его, исследователи обнаружили ещё один текст, вероятно, третьего века нашей эры. По содержанию стало понятно, что он является комментарием к "Категориям" — сочинению древнегреческого философа Аристотеля. О том, кто автор комментариев, можно догадаться по надписям на краях страниц.

В результате расшифровки учёные предположили, что сочинил это Александр из Афродисиаса – античный философ II века до нашей эры, автора ряда трактатов, в том числе и комментирующих труды Аристотеля. Однако стопроцентной уверенности на счёт авторства пока нет.

Тем не менее, совершенно очевидно, что этот текст является одним из самых ранних комментариев к Аристотелю. Это являет собой просто огромный интерес для истории философии, потому что позволяет получить ещё одно представление о мировоззрении людей той эпохи.

По словам профессора Роберта Шарплза из университетского колледжа Лондона, одного из исследователей этого "многослойного" манускрипта, всего обнаружено семь исписанных с двух сторон листов с этими комментариями. Расшифрована пока половина.

Палимпсесты не такая уж и редкость. В древности они применялись очень часто, а некоторые переписывались десятки и сотни раз. Особенность палимпсеста Архимеда в том, что открытие каждого нового слоя представляет интерес не только как некий археологический факт, а становится ценнейшим вкладом в культуру. При этом новые находки добываются из одного и того же источника – разве это не удивительно?!

Пока точно неизвестно, какие слои ещё могут прятаться на этих старинных листах, и о чём они могли бы поведать – тоже не ясно. Поэтому не исключено, что ближайшие открытия расскажут о самых невероятных вещах.

1 2 3 4

5 + a = -12 13 -17 17 5-6 ½ + x = -1,5 -4,5 8 6 1/2 53 * a – 4 = -13 3 1/2 3 -3 2,8x/5 – 2 = -5 -15 -1,5 4 15

1 2 3 4X – (-5) = 28 -33 -23 23 15-4,5 + x/4 = -8 1,4 14 -18 -14X – (-1) = 0,286 0,14 -0,714 1,286 -0,375

0,13 + 0,7 * x = -0,08 0,3 3 4 1/2 -0,3

Тест «Решение уравнений»I вариант

II вариант

ОТВЕТ

I вариант: 2431

II вариант: 3424

I вариант II вариант

23 – 3 * (5 – 11) 34 – 4 : (0,8 – 1)

(-2) * (-13) + 4 : (-1/2) 4 : (-0,5) + (-72) * (-1/2)

60 * (-2 + 1,9) (-8 ½ + 4,5) * 2,5

8 * (-3 – 2 ½) (-6 ½ + 7) * 2

-4,2 : (0,3 – 1) -2,4 : (-8 + 7,4)

Математическое лото

416

18

-44 -6

Ответ I вариант Ответ II вариант

54

28 1 4

-10

Х – 5 = -2-42 * 0,5 + (-13) * (-2)

-5 * 3 + 3,8 : 0,2 7,5 : (-0,1) + 770 * 0,1

-10 – Х = -11I вариант начинает вычисления с 1 задания.

II вариант начинает работу со 2 задания.

Тренажёр «Круговые задания»

ОТВЕТ

I вариант: 134251

II вариант: 251342

1) Задумайте любое число.2) Прибавьте к нему какое-то число, умноженное на 2.3) Найденную сумму разделить на 2.4) Из частного вычесть то число, которое умножили на 2.5) Результат.

Математическая игра

Спасибо за работу !