Upload
linus
View
50
Download
0
Embed Size (px)
DESCRIPTION
ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΠΟΛΥΤΕΧΝΙΚΗ ΣΧΟΛΗ ΤΜΗΜΑ ΗΛΕΚΤΡΟΛΟΓΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ & ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ ΤΟΜΕΑΣ ΗΛΕΚΤΡΟΝΙΚΗΣ ΚΑΙ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ. Αναδρομικά Νευρωνικά Δίκτυα Με Διαγώνιο Πίνακα Βαρών Και Μελέτη Ευσταθών Αλγορίθμων Εκπαίδευσης. ΔΙΠΛΩΜΑΤΙΚΗ ΕΡΓΑΣΙΑ - PowerPoint PPT Presentation
Citation preview
ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣΠΟΛΥΤΕΧΝΙΚΗ ΣΧΟΛΗ
ΤΜΗΜΑ ΗΛΕΚΤΡΟΛΟΓΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ & ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ
ΤΟΜΕΑΣ ΗΛΕΚΤΡΟΝΙΚΗΣ ΚΑΙ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ
ΔΙΠΛΩΜΑΤΙΚΗ ΕΡΓΑΣΙΑ
Βακφάρης Γεώργιος Α.Ε.Μ. 3666
Επιβλέπων Καθηγητής κ.Θεοχάρης Ιωάννης
Θεσσαλονίκη 2003
Περιγραφή του Νευρωνικού Δικτύου
Block Diagonal Recurrent Neural Network
(χωρίς τους βρόχους ανάδρασης)
Full Recurrent Neural Network
(χωρίς τους βρόχους ανάδρασης)
CƒαW ƒαW
Περιγραφή του Νευρωνικού Δικτύου
FeedForward – Block Diagonal Recurrent Neural Network(FF-BDRNN)
BDRNN
FF
Σ
C
u
Περιγραφή του Νευρωνικού Δικτύου
Stabilizing Feedforward Neural Network (SFNN)
SFNN
W
Neural Networks( FF-BDRNN )
rs
rn
es
en
u
Περιγραφή του Νευρωνικού Δικτύου
Επαναπροσδιορισμός του Πίνακα Κατάστασης(Shadows)
Υπολογισμός του πίνακα καταστάσεων δυο φορές1. Forward pass2. Backward Pass
Έλεγχος του σφάλματος ( Shadow Error Function )
Υλοποίηση του Διαγώνιου BDRNN
Αρχιτεκτονική της BDRNN Δομής
ƒα
ƒα
z-1
z-1
x1(k+1)
x2(k+1)
s1
s2
Wx1(k)
x2(k)
Υλοποίηση του Διαγώνιου BDRNN
Forward Propagation
Backward Propagation – Τελεστές Lagrange
M
jjji
u
ujjjii kubkxwks
1,
1
, )1()1()(
όiiiu ,1,άiiu ,1
)1())(()(
,
kxksfwkx
jiaji
i
)()(
kxJ
ki
pi
)1())1(())(()()(,1 1
1
,,
kksfwckxcfkek jja
ij
No
h
N
j
u
ujihjjhbhi
όiiiu ,1,άiiu ,1
)()()( kykrke hhh
Υλοποίηση του Διαγώνιου BDRNN
Υπολογισμός της παραγώγου του σφάλματος
Update του πίνακα βαρών
kf
k
kf
k ji
ii
k
i
i
p
ji
p
wkx
kiwkx
kxJ
wJ
0 0 ,,
)()(
)()(
)(
kf
k ji
p
ji
pji tw
tkJtwtJ
tw0 ,,
, )(),(
)()(
)(
)()()(
)()1(,
2,
1,, twtP
Ktw
twtwji
p
f
jijiji
Υλοποίηση του Διαγώνιου BDRNN
Συνάρτηση Σφάλματος
→Στα υπόλοιπα δίκτυα ο Αλγόριθμος Εκπαίδευσης είναι ο συμβατικός Back Propagation
TpPJE ppp ,...1,
No
jjjp psequencekykrkJ
1
2 |))()((21)(
kf
kp
fp kJ
KJ
0
)(1
Ανάλυση της Διαδικασίας των Shadows
Στάδια Υπολογισμού
1. Forward Pass2. Backward Pass3. Shadow Error Function
Ανάλυση της Διαδικασίας των Shadows
Στάδια Υπολογισμού
1. Forward Pass Αν τότε και
2. Backward Pass3. Shadow Error Function
)( jsk sisi Njkxx ,...1),( Ni ,...1
N
jj
sj
fs kxcky1
)()(
Ανάλυση της Διαδικασίας των Shadows
Στάδια Υπολογισμού
1. Forward Pass2. Backward Pass• Αν τότε • Αλλιώς
3. Shadow Error Function
)( sk ssi
ri Njjxkx ,...1),()( Ni ,...,1
1
1,
11, )())1(([)(
u
uj
M
jjjij
raji
ri kubkxfwkx
N
j
rj
sj
rs kxcy1
)(
Ανάλυση της Διαδικασίας των Shadows
Στάδια Υπολογισμού
1. Forward Pass2. Backward Pass3. Shadow Error Function
)()()( kykyke fsrss
Ανάλυση της Διαδικασίας των Shadows
Αντιστροφή της Σιγμοειδούς και του Πίνακα Βαρών
0,)11ln()( 1
axxxf a
a
ww
w nnnn
,1,1
1
ww
w nnnn
,1,1
1
ww
w nnnn
1,1,
1
ww
w nnnn
1,1,
1 Nnwwwww nnnnnnnn ,...4,2,01,,11,1,
Αλγόριθμοι και Δίκτυα Ευστάθειας
Συνθήκες Ευστάθειας
Τοπική Ευστάθεια Γενική Ευστάθειαnnnn
nnnn
wwww
wwww
wwww
W
1
111
4443
3433
2221
1211
00000000
0000000000000000
2)( fi W
2))(( 2
1
max fTf WW
Αλγόριθμοι και Δίκτυα Ευστάθειας
Αλγόριθμοι και Δίκτυα Ευστάθειας
Συναρτήσεις Ευστάθειας
1. BDRNN με Κλιμακωτούς Ορθογώνιους Υποπίνακες (Scaled Orthogonal Stability)2. BDRNN με Υποπίνακες Ελεύθερης Μορφής και Γενική
Ευστάθεια (Free Form Global Stability)3. BDRNN με Υποπίνακες Ελεύθερης Μορφής και Τοπική
Ευστάθεια (Free Form Local stability)
Αλγόριθμοι και Δίκτυα Ευστάθειας
BDRNN με Κλιμακωτούς Ορθογώνιους Υποπίνακες
1,1,1
,11,12/
nnnn
nnnnn ww
wwW
1)(1))()((max2/
21
2/2/max nnT
n WWW
0.1,12
1,12 nnnn ww
Αλγόριθμοι και Δίκτυα Ευστάθειας
BDRNN με Κλιμακωτούς Ορθογώνιους Υποπίνακες
1,1,1
,11,12/
nnnn
nnnnn ww
wwW
min2/ )det( wWn
0.1,12
1,12
min nnnn www
Αλγόριθμοι και Δίκτυα Ευστάθειας
BDRNN με Κλιμακωτούς Ορθογώνιους Υποπίνακες
)0.1( ,12
1,12
2/ nnnndns wwfy
))(( ,12
1,12
min2/ nnnndn wwwfy
2/
1
2/
1
22 )()(21 N
i
N
iii
sis
p yryrP
0.1 iis rr
Αλγόριθμοι και Δίκτυα Ευστάθειας
BDRNN με Ελεύθερης Μορφής Υποπίνακες και Γενική Ευστάθεια
nnnn
nnnnn ww
wwW
,1,
,11,12/
0.12
])()][()()[(2
)(
21,,1
2,1,1
21,,1
2,1,1
,2
1,2
,12
1,12
nnnnnnnnnnnnnnnn
nnnnnnnn
wwwwwwww
wwwwA
Αλγόριθμοι και Δίκτυα Ευστάθειας
BDRNN με Ελεύθερης Μορφής Υποπίνακες και Γενική Ευστάθεια
nnnn
nnnnn ww
wwW
,1,
,11,12/
1,,1,1,1min
min2/ )det(
nnnnnnnn
n
wwwww
wW
Αλγόριθμοι και Δίκτυα Ευστάθειας
BDRNN με Ελεύθερης Μορφής Υποπίνακες και Γενική Ευστάθεια
)1(2/ Afy dnsg
))()(( 21,,1,,1
2min2/
2 nnnnnnnndn wwwwwfy
2/
1
2/
1
2222 )()(21 N
i
N
iiii
sgi
sgp yryrP
0.12 iisg rr
Αλγόριθμοι και Δίκτυα Ευστάθειας
BDRNN με ελεύθερης μορφής υποπίνακες και τοπική ευστάθεια
nnnn
nnnnn ww
wwW
,1,
,11,12/
0.11.,1,1,1 nnnnnnnn wwww
1,,1,1,1min
min2/ )det(
nnnnnnnn
n
wwwww
wW
Αλγόριθμοι και Δίκτυα Ευστάθειας
BDRNN με ελεύθερης μορφής υποπίνακες και τοπική ευστάθεια
0.1)( 1,,1,1,12/1 nnnnnnnndns wwwwfy
1,,11,1,1,12
,2
2/2 42 nnnnnnnnnnnndns wwwwwwfy
))()(( 21,,1,,1
2min2/
2 nnnnnnnndn wwwwwfy
2/
1
2/
1
2/
1
222222211 )()()(21 N
i
N
i
N
iiii
si
si
si
sp yryryrP
0.1221 iis
is rrr
Αλγόριθμοι και Δίκτυα Ευστάθειας
Συνάρτηση ευστάθειας ως Feedforward Δίκτυο
Σιγμοειδής
Είσοδος
1
1
wn-1,n-1
wn-1,n
-α1
ysn/2
1,1,11,11,12/ )()( nncnnnncnndns wfwwfwfy
Αλγόριθμοι και Δίκτυα Ευστάθειας
Παρατηρήσεις
1. Το SFNN χρησιμοποιεί τον Back Propagation Αλγόριθμο εκμάθησης,
2. Το FF-BDRNN εκπαιδεύεται συγκεντρώνοντας το συνολικό σφάλμα στη διάρκεια ενός epoch ,όπου τα βάρη W παραμένουν σταθερά
3. Το SFNN από την άλλη μεριά υπολογίζει το σφάλμα ευστάθειας στα μεσοδιαστήματα μεταξύ των epochs.
4. Τα βάρη W αναβαθμίζονται στο τέλος του κάθε epoch χρησιμοποιώντας τόσο τα gradients του FF-BDRNN όσο και αυτά του SFNN
5. Το SFNN δεν επιδρά στη διαδικασία εκμάθησης,αλλά αυτό που κάνει είναι να οδηγεί τα βάρη σε μια πιο ευσταθέστερη περιοχή τιμών .
Παραδείγματα Προσομοίωσης
Παράδειγμα 1 : Πρόβλεψη ενός βήματος (one step
prediction)
Παράδειγμα 2 : BDRNN με full recurrent πίνακα βαρών
Παράδειγμα 3 : Διαφορική εξίσωση MacKey - Glass
Παραδείγματα Προσομοίωσης
4 Block Diagonals Single input – single output (SISO) Κλιμακωτός Ορθογώνιος Σταθεροποιητής (Scaled Orthogonal
Stabilizer) Feedforward Δίκτυο με ένα κρυφό στρώμα και 10 νευρώνες
22 )2()1(1)(]0.1)2()[1()2()1()()1(
kxkx
kukxkukxkxkxkx pp
ppppppp
Παράδειγμα 1 : Πρόβλεψη ενός βήματος (one step prediction)
Παραδείγματα Προσομοίωσης
• Εκπαίδευση χωρίς τη διαδικασία Ευστάθειας
Παράμετροι ΕκπαίδευσηςlrBDRNN=0.0016
lrSFNN= -
Αριθμός Block Diagonals=4
Epochsize=50
Epochs to Converge=40000
Παραδείγματα Προσομοίωσης
• Η ευσταθής περιοχή βρίσκεται στο μεσοδιάστημα 0.5-1.0
• Εκπαίδευση χωρίς τη διαδικασία Ευστάθειας
Παραδείγματα Προσομοίωσης
• Προσθήκη Σταθεροποιητικού SFNN
Παράμετροι ΕκπαίδευσηςlrBDRNN=0.0016
lrSFNN=0.00001
Αριθμός Block Diagonals=4
Epochsize=100
Epochs to Converge=40000
Παραδείγματα Προσομοίωσης
• Προσθήκη Σταθεροποιητικού SFNN
Παραδείγματα Προσομοίωσης
• Προσθήκη Σταθεροποιητικού SFNN
Παραδείγματα Προσομοίωσης
Παρατηρήσεις – Επιλογή των Learning Rates
Τα learning rates πρέπει να κρατούνται σε χαμηλές τιμές διότι Αν αυξηθούν τότε κάθε δίκτυο ασκεί εντονότερη επίδραση στα
βάρη Υπάρχει κίνδυνος να οδηγηθούμε σε αστάθεια και το σύστημα
να ταλαντώνει σε μια περιοχή τιμών
• Προσθήκη Σταθεροποιητικού SFNN
Παραδείγματα Προσομοίωσης
•Επίδραση των παραμέτρων εκπαίδευσης
Παράμετροι ΕκπαίδευσηςlrBDRNN=0.0016
lrSFNN=0.001
Αριθμός Block Diagonals=4
Epochsize=50
Epochs to Converge=40000
Παραδείγματα Προσομοίωσης
•Επίδραση των παραμέτρων εκπαίδευσης
Παραδείγματα Προσομοίωσης
•Επίδραση των παραμέτρων εκπαίδευσης
•Είναι εμφανής η απόκλιση από την ευσταθή περιοχή
Παραδείγματα Προσομοίωσης
•Τροποποίηση της συνάρτησης ευστάθειας
)0.1( ,12
1,12
2/ nnnndns wwfy
0.12/ nsy 0.10.1,1
21,1
2 nnnn ww
Παραδείγματα Προσομοίωσης
•Τροποποίηση της συνάρτησης ευστάθειας
Παράμετροι ΕκπαίδευσηςlrBDRNN=0.0016
lrSFNN=0.0001
Αριθμός Block Diagonals=4
Epochsize=100
Epochs to Converge=40000
Παραδείγματα Προσομοίωσης
•Τροποποίηση της συνάρτησης ευστάθειας
Παραδείγματα Προσομοίωσης
•Τροποποίηση της συνάρτησης ευστάθειας
Σχόλια• Ομαλή κίνηση των ιδιοτιμών ,
χωρίς spikes
•Καλύτερη τοποθέτηση ,
ψηλότερα από τη μηδενική
περιοχή
Παραδείγματα Προσομοίωσης
•Επαναπροσδιορισμός του πίνακα κατάστασης (Shadows)
Παράμετροι ΕκπαίδευσηςlrBDRNN=0.0016
lrSFNN=0.0001
Αριθμός Block Diagonals=4
Epochsize=100
Epochs to Converge=40000
Παραδείγματα Προσομοίωσης
•Επαναπροσδιορισμός του πίνακα κατάστασης (Shadows)
Παραδείγματα Προσομοίωσης
•Επαναπροσδιορισμός του πίνακα κατάστασης (Shadows)
Ποσοστό Αποθήκευσης 50% 20% 10% 3,30% 2%
Αριθμός Ασταθειών 16,76 26,44 28,06 31,27 33,01
Παραδείγματα Προσομοίωσης
Παράδειγμα 2 : BDRNN με full recurrent πίνακα βαρών
4
1, )()1(
jj
pji
pai
p kxwfkx
059.1075.1356.0224.0463.0714.0242.0121.001.0196.0951.0076.0008.0193.0221.0024.1
}{ ,
jiwW
)()()()(1
)()()(42
32
22
12
311
kxkxkxkx
kxkxkypppp
pp
p
Παραδείγματα Προσομοίωσης
Παράμετροι ΕκπαίδευσηςlrBDRNN=0.032
lrSFNN=0.00001
Αριθμός Block Diagonals=2
Epochsize=48
Epochs to Converge=7000
•Ορθογώνιος Stabilizer
Παραδείγματα Προσομοίωσης
•Ορθογώνιος Stabilizer
Παραδείγματα Προσομοίωσης
•Ορθογώνιος Stabilizer
Παρατήρηση•Στο Σχήμα παρατηρούμε ότι οι ιδιοτιμές του ένός block diagonal κινήθηκαν προς τα κάτω και σαν εξισορρόπηση στην αντίδραση αυτήν,οι ιδιοτιμές του άλλου κινήθηκαν σε υψηλότερες τιμές..Αυτό μας κάνει να δείχνει ότι το σφάλμα ευστάθειας δεν έχει να κάνει με το κάθε block ξεχωριστά αλλά κατανέμεται εξίσου μεταξύ τους.Έτσι,μπορεί να υπολογίζεται τοπικά,αλλά το Δίκτυο βλέπει τη συνάρτηση Pp ενιαία.
Παραδείγματα Προσομοίωσης
•Ελεύθερη Μορφή και Γενική Ευστάθεια
Παράμετροι ΕκπαίδευσηςlrBDRNN=0.032
lrSFNN=0.00001
Αριθμός Block Diagonals=2
Epochsize=48
Epochs to Converge=7000
Παραδείγματα Προσομοίωσης
•Ελεύθερη Μορφή και Γενική Ευστάθεια
Παραδείγματα Προσομοίωσης
•Ελεύθερη Μορφή και Γενική Ευστάθεια
Παραδείγματα Προσομοίωσης
•Ελεύθερη Μορφή και Τοπική Ευστάθεια
Παράμετροι ΕκπαίδευσηςlrBDRNN=0.032
lrSFNN=0.00001
Αριθμός Block Diagonals=2
Epochsize=48
Epochs to Converge=7000
Παραδείγματα Προσομοίωσης
•Ελεύθερη Μορφή και Τοπική Ευστάθεια
Παραδείγματα Προσομοίωσης
•Ελεύθερη Μορφή και Τοπική Ευστάθεια
Παραδείγματα Προσομοίωσης
•Σύγκριση των Stabilizers
η απόδοσή τους είναι περίπου ίδια όσον αφορά τη σύγκλιση του αλγόρίθμου,αλλά είναι πολύ διαφορετική όσον αφορά τη σύγκλιση στην ευσταθή περιοχή.
•Καλύτερη ευστάθεια προσφέρει ο Ορθογώνιος,και μετά οι Ελεύθερης Μορφής τοπικός και γενικός αντίστοιχα..
Παραδείγματα Προσομοίωσης
•Ορθογώνιος Stabilizer
Παράμετροι ΕκπαίδευσηςlrBDRNN=0.032
lrSFNN=0.00001
Αριθμός Block Diagonals=2
Epochsize=48
Epochs to Converge=7000
Παραδείγματα Προσομοίωσης
•Ορθογώνιος Stabilizer
Παραδείγματα Προσομοίωσης
•Ορθογώνιος Stabilizer
Ποσοστό Αποθήκευσης 50% 20% 10% 3,30% 2%
Αριθμός Ασταθειών 11,17 15,36 19,67 22,12 24,68
Παραδείγματα Προσομοίωσης
•Ελεύθερη Μορφή και Γενική Ευστάθεια
Παράμετροι ΕκπαίδευσηςlrBDRNN=0.032
lrSFNN=0.00001
Αριθμός Block Diagonals=2
Epochsize=48
Epochs to Converge=7000
Παραδείγματα Προσομοίωσης
•Ελεύθερη Μορφή και Γενική Ευστάθεια
Παραδείγματα Προσομοίωσης
•Ελεύθερη Μορφή και Γενική Ευστάθεια
Παραδείγματα Προσομοίωσης
•Ελεύθερη Μορφή και Τοπική Ευστάθεια
Παράμετροι ΕκπαίδευσηςlrBDRNN=0.032
lrSFNN=0.00001
Αριθμός Block Diagonals=2
Epochsize=48
Epochs to Converge=7000
Παραδείγματα Προσομοίωσης
•Ελεύθερη Μορφή και Τοπική Ευστάθεια
Παραδείγματα Προσομοίωσης
•Ελεύθερη Μορφή και Τοπική Ευστάθεια
Παράδειγμα 3 : Διαφορική Εξίσωση MacKey - Glass
Παραδείγματα Προσομοίωσης
τ=30
Είσοδος :
Έξοδος :
Είσοδος στο FeedForward Δίκτυο :
8.0)( tx p
)30( tx p
)6( tx p
5,...,0),6( qqtx p
)(1.0)(1)(2.0)( 10 tx
txtxtx p
p
pp
Παραδείγματα Προσομοίωσης
•Ορθογώνιος Stabilizer , χωρίς παράλληλο FF
Παράμετροι ΕκπαίδευσηςlrBDRNN=0.128
lrSFNN=0.00005
Αριθμός Block Diagonals=2
Epochsize=100
Epochs to Converge=20000
Παραδείγματα Προσομοίωσης
•Ορθογώνιος Stabilizer , με παράλληλο FF
Παράμετροι ΕκπαίδευσηςlrBDRNN=0.128
lrSFNN=0.00005
Αριθμός Block Diagonals=2
Epochsize=100
Epochs to Converge=20000
Παραδείγματα Προσομοίωσης
•Ορθογώνιος Stabilizer με παράλληλο FF
Παραδείγματα Προσομοίωσης
•Ορθογώνιος Stabilizer με παράλληλο FF
•τα learning rates κρατήθηκαν αρκετά χαμηλά
•το BDRNN συνέκλινε πολύ γρήγορα και έτσι δεν επηρέασε την έπειτα προσπάθεια σταθεροποίησης των βαρών
Ποσοστό Αποθήκευσης 50% 20% 10% 3,30% 2%
Αριθμός Ασταθειών 8,32 9,06 12,11 14,7 16,16
Παραδείγματα Προσομοίωσης
•Ευστάθεια Ελεύθερης Μορφής , με Global Stabilizer
Παράμετροι ΕκπαίδευσηςlrBDRNN=0.128
lrSFNN=0.00005
Αριθμός Block Diagonals=2
Epochsize=100
Epochs to Converge=20000
Παραδείγματα Προσομοίωσης
•Ευστάθεια Ελεύθερης Μορφής , με Global Stabilizer
Παραδείγματα Προσομοίωσης
•Ευστάθεια Ελεύθερης Μορφής , με Global Stabilizer
Παραδείγματα Προσομοίωσης
•Ευστάθεια Ελεύθερης Μορφής , με Local Stabilizer
Παράμετροι ΕκπαίδευσηςlrBDRNN=0.128
lrSFNN=0.00005
Αριθμός Block Diagonals=2
Epochsize=100
Epochs to Converge=20000
Παραδείγματα Προσομοίωσης
•Ευστάθεια Ελεύθερης Μορφής , με Local Stabilizer
Παραδείγματα Προσομοίωσης
•Ευστάθεια Ελεύθερης Μορφής , με Local Stabilizer
Επίλογος - Συμπεράσματα
Ιδιαίτερα ο ορθογώνιος stabilizer και ο Free Form local stabilizer παρείχαν ικανοποιητική ευστάθεια στο δίκτυό μας.
Ο Free Form global stabilizer,λόγω της μεγαλύτερης ελευθερίας που παρέχει λειτούργησε λιγότερο αποτελεσματικά από τους άλλους δυο.
Επίλογος - Συμπεράσματα
Στα δίκτυα που εξομοιώσαμε χρησιμοποιήσαμε μικρό αριθμό νευρώνων,συνήθως δύο η τέσσερα blocks . Αντίθετα για την ευσταθή σύγκλιση των αντίστοιχων δομών με πλήρης πίνακα βαρών απαιτούνται πολλοί περισσότεροι νευρώνες.
Ο BPTT αλγόριθμος που παρουσιάστηκε στην παρούσα εργασία στηρίχθηκε στον υπολογισμό των gradients τοπικά,σε κάθε block diagonal.
Stabilizing feedforward neural network (SFNN)
Stabilizationalogorithm
ys
-rs
es
W
z-1 CB
x(k)
D1 D2 DL-1
Σ
BDRNN learning algorithm
Back Propagation Algorithm
-rn(k)
en(k)
yn(k)
u(k)
sigmoid unit
Επίλογος - Συμπεράσματα
ΤΕΛΟΣ