第四章自由曲线与曲面（一）

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第四章自由曲线与曲面第四章自由曲线与曲面（一）（一）哈尔滨工业大学计算机学院哈尔滨工业大学计算机学院

苏小红苏小红

22 哈工大计算机学院苏小红哈工大计算机学院苏小红

概述概述曲线的分类曲线的分类规则曲线规则曲线自由曲线自由曲线随机曲线随机曲线


概述概述研究分支研究分支计算几何计算几何

1969 Minsky, Papert1969 Minsky, Papert 提出提出1972 A.R.Forrest1972 A.R.Forrest 给出正式定义给出正式定义

CAGD (Computer Aided Geometrical Design)CAGD (Computer Aided Geometrical Design)1974 Barnhill, Riesenfeld, 1974 Barnhill, Riesenfeld, 美国美国 UtahUtah 大学的一次国大学的一次国际会议上提出际会议上提出


概述概述研究内容研究内容对几何外形信息的计算机表示对几何外形信息的计算机表示对几何外形信息的分析与综合对几何外形信息的分析与综合对几何外形信息的控制与显示对几何外形信息的控制与显示


概述概述对形状数学描述的要求？对形状数学描述的要求？从计算机对形状处理的角度来看从计算机对形状处理的角度来看（（ 11 ））唯一性唯一性（（ 22 ））几何不变性几何不变性

对在不同测量坐标系测得的同一组数据点进行拟合，对在不同测量坐标系测得的同一组数据点进行拟合，用同样的数学方法得到的拟合曲线形状不变。用同样的数学方法得到的拟合曲线形状不变。


概述概述（（ 33 ））易于定界易于定界（（ 44 ））统一性：统一性：统一的数学表示，便于建立统一的数据库统一的数学表示，便于建立统一的数据库

标量函数：平面曲线标量函数：平面曲线 y = f(x)y = f(x) 空间曲线空间曲线 y = f(x)y = f(x) z = g(x)z = g(x)矢量函数：平面曲线矢量函数：平面曲线 P(t) = [x(t) y(t)]P(t) = [x(t) y(t)] 空间曲线空间曲线 P(t) = [x(t) y(t) z(t)]P(t) = [x(t) y(t) z(t)]

],[)()()(

battzztyytxx


概述概述从形状表示与设计的角度来看从形状表示与设计的角度来看（（ 11 ）丰富的表达能力：表达两类曲线曲面）丰富的表达能力：表达两类曲线曲面（（ 22 ）易于实现光滑连接）易于实现光滑连接（（ 33 ）形状易于预测、控制和修改）形状易于预测、控制和修改（（ 44 ）几何意义直观，设计不必考虑其数学表达）几何意义直观，设计不必考虑其数学表达


自由曲线曲面的发展过程自由曲线曲面的发展过程目标：美观，且物理性能最佳目标：美观，且物理性能最佳19631963 年，美国波音飞机公司，年，美国波音飞机公司， FergusonFerguson 双三次曲双三次曲面片面片1964~19671964~1967 年，美国年，美国 MITMIT ，， CoonsCoons 双三次曲面片双三次曲面片19711971 年，法国雷诺汽车公司，年，法国雷诺汽车公司， BezierBezier 曲线曲面曲线曲面

19741974 年，美国通用汽车公司，年，美国通用汽车公司， CordonCordon 和和 Riesenfeld, Forrest, BRiesenfeld, Forrest, B 样样条曲线曲面条曲线曲面19751975 年，美国年，美国 SyracuseSyracuse 大学，大学， VersprilleVersprille 有理有理 BB 样条样条8080 年代，年代， PieglPiegl 和和 Tiller, NURBSTiller, NURBS 方法方法


参数曲线基础（参数曲线基础（ 1/61/6 ））曲线的表示形式曲线的表示形式非参数表示非参数表示

显式表示显式表示

隐式表示隐式表示

)()(xgzxfy

0),,(0),,(

zyxgzyxf


参数曲线基础（参数曲线基础（ 2/62/6 ））参数表示参数表示

参数的含义参数的含义时间，距离，角度，比例等等时间，距离，角度，比例等等规范参数区间规范参数区间 [0[0 ，， 1]1]

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battzztyytxx


参数曲线基础（参数曲线基础（ 3/63/6 ））参数矢量表示形式参数矢量表示形式例子：直线段的参数表示例子：直线段的参数表示

]1,0[10)1()01(0)( ttPPtPPtPtPP


参数曲线基础（参数曲线基础（ 4/64/6 ））参数连续性参数连续性传统的、严格的连续性传统的、严格的连续性称曲线称曲线 P = P(t)P = P(t) 在处在处 nn 阶参数连续，如阶参数连续，如果它在处果它在处 nn 阶左右导数存在，并且满足阶左右导数存在，并且满足

记号记号

0tt

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nkdttPd

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ttk

k

ttk

k

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nC


参数曲线基础（参数曲线基础（ 5/65/6 ））几何连续性几何连续性直观的、易于交互控制的连续性直观的、易于交互控制的连续性 00 阶几何连续阶几何连续称曲线称曲线 P=P(t)P=P(t) 在处在处 00 阶几何连续，如果它在阶几何连续，如果它在处位置连续，即处位置连续，即

记为记为 11 阶几何连续阶几何连续称曲线称曲线 P=P(t)P=P(t) 在处在处 11 阶几何连续，如果它在阶几何连续，如果它在该处该处 ,, 并且切矢量方向连续并且切矢量方向连续

记为记为

0tt 0t

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0GC

0tt 0GC

为任一常数0)()( 00 tPtP1GC


参数曲线基础（参数曲线基础（ 6/66/6 ）） 22 阶几何连续阶几何连续

称曲线称曲线 P=P(t)P=P(t) 在处在处 22 阶几何连续，如果它在处阶几何连续，如果它在处（（ 11 ））（（ 22 ）副法矢量方向连续）副法矢量方向连续（（ 33 ）曲率连续）曲率连续

0tt 0t

1GC

)()( 00 tBtB

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参数表示的好处参数表示的好处有更大的自由度来控制曲线、曲面的形状有更大的自由度来控制曲线、曲面的形状易于用矢量和矩阵表示几何分量，简化了计算易于用矢量和矩阵表示几何分量，简化了计算设计或表示形状更直观，许多参数表示的基函数设计或表示形状更直观，许多参数表示的基函数如如 BernsteinBernstein 基和基和 BB 样条函数，有明显的几何意样条函数，有明显的几何意义义


曲线曲面拟合方法曲线曲面拟合方法已知条件的表示方法已知条件的表示方法一系列有序的离散数据点型值点控制点边界条件连续性要求


曲线曲面拟合方法曲线曲面拟合方法生成方法生成方法插值插值

点点通过型值点点点通过型值点插值算法：线性插值、抛物样条插值、插值算法：线性插值、抛物样条插值、 HermiteHermite 插插值值

逼近逼近提供的是存在误差的实验数据提供的是存在误差的实验数据

最小二乘法、回归分析最小二乘法、回归分析提供的是构造曲线的轮廓线用的控制点提供的是构造曲线的轮廓线用的控制点

BezierBezier 曲线、曲线、 BB 样条曲线等样条曲线等拟合拟合


参数多项式曲线（参数多项式曲线（ 1/41/4 ））为什么采用参数多项式曲线为什么采用参数多项式曲线表示最简单表示最简单理论和应用最成熟理论和应用最成熟定义定义 --n--n 次多项式曲线次多项式曲线

]1,0[)()()(

10

10

10

ttztzztztytyytytxtxxtx

nn

nn

nn


参数多项式曲线（参数多项式曲线（ 2/42/4 ））矢量表示形式矢量表示形式

加权和形式加权和形式缺点缺点

没有明显的几何意义没有明显的几何意义与曲线的关系不明确，导致曲线的形状控制困难与曲线的关系不明确，导致曲线的形状控制困难

]1,0[

1

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10

10

10

tTC

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t

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n

n

n 记为

]1,0[)( 10 tPtPtPTCtP nn

iPiP


参数多项式曲线（参数多项式曲线（ 3/43/4 ））矩阵表示矩阵表示矩阵分解矩阵分解

几何矩阵几何矩阵控制顶点控制顶点基矩阵基矩阵 MM

确定了一组基函数确定了一组基函数

MGC

]1,0[)( tTMGTCtP

nGGGG 10

iG

TM


参数多项式曲线（参数多项式曲线（ 4/44/4 ））例子—直线段的矩阵表示例子—直线段的矩阵表示

]1,0[1

1011

)()1()(

100

10010

tt

PPP

tPPtPtPPtP

P0

P1

P0+P1几何矩阵 G 基矩阵 MT


三次三次 HermiteHermite 曲线曲线 (1/7)(1/7)

定义定义给定给定 44 个矢量，称满足条件的三次个矢量，称满足条件的三次多项式曲线多项式曲线 P(t)P(t) 为为 HermiteHermite 曲线曲线1010 ,,, RRPP

10

10

)1(,)0()1(,)0(

RPRPPPPP

P0

P1

R0

R1


三次三次 HermiteHermite 曲线曲线 (2/7)(2/7)矩阵表示矩阵表示条件条件

11

00

11

00

3210

|

0010

|

1111

|

0001

|

RMGTMG

RMGTMG

PMGTMG

PMGTMG

HHtHH

HHtHH

HHtHH

HHtHH


三次三次 HermiteHermite 曲线曲线 (3/7)(3/7) 合并合并

解解

HHH GRRPPMG取为

1010

3010201011100011

1100121023002301

3010201011100011 1

HM


三次三次 HermiteHermite 曲线曲线 (4/7)(4/7)基矩阵与基函数（调和函数）基矩阵与基函数（调和函数）

)()()()(

2232311

1100121023002301

1

0

1

0

32

32

32

3

3

2

tHtHtGtG

ttttttttt

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TM H


三次三次 HermiteHermite 曲线曲线 (5/7)(5/7)形状控制形状控制改变端点位置矢量改变端点位置矢量调节切矢量的方向调节切矢量的方向调节切矢量的长度调节切矢量的长度10 ,RR

10 ,PP10 ,RR



三次参数样条曲线三次参数样条曲线样条样条 ?? 曲线的定义曲线的定义

给定参数节点，型值点，求一条的分段三次参数曲线，使。P(t) 称为三次参数样条曲线

niit 0 niiP 0

]),[)(( 0 nttttP

itttP |)(

2C



优点：优点：简单，易于理解简单，易于理解缺点：缺点：难于给出两个端点处的切线矢量作为初始条件难于给出两个端点处的切线矢量作为初始条件不方便不方便

所有参数插值曲线的缺点：所有参数插值曲线的缺点：只限于作一条点点通过给定数据点的曲线只限于作一条点点通过给定数据点的曲线只适用于插值场合，如外形的数学放样只适用于插值场合，如外形的数学放样不适合于外形设计不适合于外形设计

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