מנחה: ד"ר ויקטור אוסטרובסקי כרמיאל

" אוסטרובסקי: ויקטור ר ד מנחהכרמיאל

במדעים ) בוגר לתואר מסכם שימושית( Sc.Bפרויקט במתמטיקה

מעגל – מעשי כאוסואה' צ

דיין: דודו מגיש

Chua Circuit

2

מבוא•( ' ואה צ מעגל( Leon Chuaלאון את שחקר 1983בשנת CHUAהמציא בעת

. , . למימוש ופשוטה פיזית מוחשית כאוטית תופעה ויצר לורנץ משוואות אתאלה • האלקטרוניקה מהנדסי של בעולמם רק לא רב עניין ויוצרת יצרה זו מערכת

. רבים ופיזיקאים מתמטיקאים של בעולמם גם•"( " לכאוס " המודל בתור בספרות הזה המעגל את Paradigm forמכנים

chaos.)", CHUAמתנד • נמצא מדומים אקראיים אותות של מעבדתי כגנרטור משמש

... , ועוד האנושי במוח תהליכים של בהדמיות מוצפנת בתקשורת רחב בשימושמתנד • של הכאוטי אופיו את לחקור הייתה הפרויקט דרכו CHUAמטרת ולהכיר

. תוכנת באמצעות נומרית התבצעה הכאוס חקירת הכאוס תופעת .MATLABאת

3

? כאוס מהואנליטי . • פתרון אין תתנהג דינאמית מערכת כיצד לקבוע היכולת חוסר

. נומרית – בצורה איטרטיבית לחשב עלינו כאוס המתארת משוואות למערכת• , , כלכלה פיזיקה כמו רבות דיסציפלינות על נפרס אשר במתמטיקה ענף

. , , האוויר, ומזג אומנות פילוסופיה ביולוגיה אלקטרוניקהבכאוס • משמעית – דטרמניסטינדון חד בצורה מאופיינת העתידית התנהגותו

. כלשהם – רנדומליים אלמנטים ללא ברורים ההתחלה תנאי ידי עלפזה • מרחב של חסום בתחום הזמן כל נמצא הכאוטית המערכת מסלול

. למושך שואפת והמערכת• , יחידה במשוואה כבר להופיע יכולה כאוטית התנהגות הפרש משוואות עבור

, . רגילות דיפרנציאליות משוואות עבור זאת לעומת הלוגיסטית המפה כמומשוואות שלוש לפחות בת ממערכת רק להופיע יכולה כאוטית התנהגות

. ראשון מסדר אוטונומיות

4

מוזר מושך• – שאליו פזה במרחב חסום תחום מושך

. המשיכה לתחום השייכים מסלולים נמשכים , בצורת להגיע יכול אך נקודתי לרוב הוא המושך

. מחזוריות תמיד אך כפולות או בודדות לולאות• , , בעל – לעיל שהוגדר כפי מושך הוא מוזר מושך

. Hausdorffממד לתנאי רגיש מאפס השונהבאופן מערכת של בפרמטרים ותלוי ההתחלה

.) , יציב ) מבנה בעל כלומר רציףהם • כה עד שנתגלו המוזרים המושכים כל

פרקטלים.• . כאוטית התנהגות מציגים מוזרים מושכים

זה חולפים אלא עצמם על חוזרים לא המסלולים . לנוע ימשיכו שהמסלולים היא החוקיות זה ליד

. המושך בסביבת

-1 0 1-0.200.20.4

-5

0

5

10

15

20

x 10-4

x(t)

Real Chua Original function

y(t)

z(t)

• הפונקציה - גרף מצירי אחד כל פאזה , דיאגרמת מיוצג אינו והזמן המצב של אחד ממד מייצג.בה

5

דיפרנציאליות משוואות של נומרי פתרוןליניאריות לא

• . " יותר מהירה התכנסות לצורך ר מד של נומרי לחישוב שיטות מספר ישנן ) מסדרים ) התכנסות שיטות נבחר איטרציות של יותר נמוך מספר לפתרון

. מאחד גבוהיםבחישוב • כרוכה ואינה גבוהים מסדרים התכנסות משיגה קוטה רונגה שיטת

. תוצאת, מוצגת הבאה בשקופית בלבד הפונקציה בערכי אלא נגזרותמסדר ) זאת שיטה של .MATLABב( 4המימוש

•MATLAB ode45 מסדרים זו שיטה על -4מבוססת .5ו

ווקטור • היא הראשונה העמודה שבה ערכים מטריצת מייצר המשוואות פותרועמודות הפתרונות 2,3,4הזמן ווקטורי - v1, v2הן . i3ו

6

דיפרנציאליות משוואות של נומרי פתרוןליניאריות (לא המשך)

-0.5 0 0.5 1 1.5 2 2.5-0.5

0

0.5-4

-3

-2

-1

0

1Original f function

x(t)

y(t)

z(t)

0 500 1000 1500 2000 2500-4

-3

-2

-1

0

1

2

3Time series

x(t)y(t)z(t)

This program uses R-K of order 4 step size = dt/1 = 0.01estimated error < Inftime in seconds = 3.5step size = dt/2 = 0.005estimated error < 0.00105452582235time in seconds = 6.9step size = dt/4 = 0.0025estimated error < 0.00101011464799time in seconds = 13.8step size = dt/8 = 0.00125estimated error < 0.00053596520172time in seconds = 27.6ERROR LIMIT SATISFIED

קוטה רונגה בנוסחאות לשימוש דוגמאב 4מסדר שימוש קוד. ODE45ללא

.' א בנספח מצורף התכנית

7

חסרות – CHUAמתנד למשוואות חשמלית מסכימהמימדים

•CHUA , ליניארי – לא ומרכיב וסליל קבלים נגדים ליניאריים מרכיבים המורכב בסיסיCHUA - NRדיודת–

{¿𝑑 𝑉1

𝑑𝑡 = 1𝐶 1

[ (𝑉 2−𝑉 1)𝐺− 𝑓 (𝑉 1) ]𝑑𝑉 2

𝑑𝑡 = 1𝐶2

[ (𝑉 1−𝑉 2 )𝐺+𝑖3]𝑑𝑖3

𝑑𝑡 =− 1𝐿 (𝑉 2 +𝑅0 𝑖3 )

𝐼= 𝑓 (V ) =𝐺𝑏V + 0 .5 (𝐺𝑎−𝐺𝑏) (|𝑉 +𝐸|−|𝑉 −𝐸|)

Gb

E

Gb

E

הפונקציה :fעל הבאים התנאים את לקייםרציפה • פונקציה• " ) נקודות ) י ע לפחות לינאריים קטעים תתי לשלושה מחולקת

. גזירות לא• . זוגית אי סימטריה

8

מימדים – CHUAמתנד חסרות למשוואות חשמלית מסכימה) המשך)

חסרת" • צורה שהיא המערכת של יותר מקובלת לצורה עוברים המשתנים החלפת י ע: ומנורמלת מימדים

דפוסי • של רחב מגוון שיוצרים פרמטרים משבעה מושפעות זה מעגל של המצב משוואות. למערכת התנהגות

מיקרו – ) - • עם לעבוד נוח לא שכך וטוב יחידות חסרות מימדים חסרות משוואות יתרונות. האלקטרוניקה(. מתחום מגיע שאינו למי גם לעבודה נוחות ונאנו

𝑥=𝑉 1

𝐸 ; 𝑦=𝑉 2

𝐸 ; 𝑧=𝑅𝑖3

𝐸 ;

𝛼=𝐶2

𝐶1;𝛽=

𝑅2𝐶2

𝐿 ;𝛾=𝑅0𝑅 𝐶2

𝐿 ;

𝑎=𝑅𝐺𝑎 ;𝑏=𝑅𝐺𝑏;𝜏=𝑡

𝑅𝐶2;𝑘=𝑠𝑔𝑛 ( 𝑅𝐶2 );

{¿

𝑑 x𝑑𝜏 =kα ( y− x−f ( x ) ) ;

𝑑 y𝑑𝜏=k ( x− y+ z ) ;

𝑑z𝑑𝜏=− 𝑘(𝛽 𝑦−𝛾 𝑧 );

𝑓 (𝑥 )=𝑏𝑥+0 .5 (𝑎−𝑏) {|𝑥+1|−|𝑥−1|}

9

במתנד התחלה – CHUAכאוס לתנאי רגישות• , למסלולים להתפצל יכולות מאוד קרובות נקודות שתי כאוטיות במערכות כמוכר

שונים.

-50 0 50 -500

50-0.2

-0.15

-0.1

-0.05

0

0.05

0.1

0.15

y(t)x(t)

X: 0.1Y: 0.2Z: 0.1326

Chua Dimensionless

z(t)

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5

x 104

-50

-40

-30

-20

-10

0

10

20

30

40

50Time series

x(t)y(t)z(t)*10e-2

-1 0 1 2 3

x 1050

-20

24

x 1050

-5

0

5

10

15

20

x 1047

x(t)

Chua Dimensionless

X: -8.248e+49Y: -9.834e+49Z: 1.584e+48

y(t)

z(t)

0 1000 2000 3000 4000 5000 6000 7000 8000 9000-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

2

2.5

3x 10

50 Time series

x(t)y(t)z(t)*10e-2

ההתחלה תנאי שינוי

ל

10

במתנד והטרוקליניים – – CHUAכאוס הומוקליניים Homoclinic & HeteroclinicמסלוליםOrbits

זהו • הומוקליני מסלולהלוך כיוון גם שבו מסלול

דרך עוברים חזור וגםמשקל שיווי נקודת אותה

אוכף מסוג-3 -2 -1 0 1 2 3 -0.5

0

0.5

-4

-3

-2

-1

0

1

2

3

y(t)

Chua homoclinic

x(t)

z(t)

0 500 1000 1500-4

-3

-2

-1

0

1

2

3Time series

x(t)y(t)z(t)

שיש • במצב זאת לעומתמשקל שיווי נקודות שתיהלוך, לכיוון אחת שונות

המצב לחזור והשנייהמסלול מתאר

0הטרוקליני. 500 1000 1500 2000 2500 3000 3500-4

-3

-2

-1

0

1

2

3

4Time series

x(t)y(t)z(t)

-3-2 -1 0 1

2 3 -0.4

-0.2

0

0.2

0.4

-4

-2

0

2

4

y(t)

Chua homoclinic

x(t)

z(t)

11

במתנד לכאוס - – CHUAכאוס מחזורית Period-doubling routeהכפלה

• , פיצול הדרגתית מאוד היא לכאוס הדרך שבה כאוטית משפחה היא לכאוס מחזורית הכפלה. פיצול אחר

פרמטר ) • שינוי עם זה אחר בזה מתרחשים הפיצוליםמחזור( עם נוסף חסום מעגל נוצר פעם ובכל נבחר

חדש.

ונוצר • יציבותה את מאבדת המשקל שיווי נקודת כאשרשנקרא – תהליך מתרחש חסום מעגלי מסלול

הופף אנדרונוב (.Andronov-Hopf )ביפורקציית

הפרמטר • להלן המובאת ( Rבדוגמא בין ) ישתנה נגד.1.0005Kל 1.1628Kהערכים

[World Scientific, Eleanora Bilotta, Pietro Pantano-A gallery of Chua attractors..P8]

12

במתנד לכאוס - – CHUAכאוס מחזורית ( Period-doubling routeהכפלה המשך)

עבור מסלול מעגלי חסום:

02

4

-0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8

-6

-5

-4

-3

-2

-1

0

1

2

x 10-3

x(t)


y(t)

X: 0Y: 0Z: 0.0002

z(t)

0 1000 2000 3000 4000 5000 6000 7000 8000-6

-5

-4

-3

-2

-1

0

1

2

3

4Time series

x(t)y(t)z(t)*10e-3

התכנסות לנקודת עבור שבת:

01

23

4 -0.2

-0.1

0

0.1

0.2

0.3

-4

-3

-2

-1

0

1

x 10-3

y(t)


x(t)

X: 0Y: 0Z: 0.0002

z(t)

0 1000 2000 3000 4000 5000 6000 7000-4

-3

-2

-1

0

1

2

3

4Time series

x(t)y(t)z(t)*10e-3

-4 -2 0 2 4

-0.4-0.200.20.4-4

-3

-2

-1

0

1

2

3

4

x 10-3

x(t)


y(t)

z(t)

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5

x 104

-4

-3

-2

-1

0

1

2

3

4Time series

x(t)y(t)z(t)*10e-3

DOUBLEהמערכת תגיע לשני מושכים– עבור SCROLL.

13

במתנד " )) CHUAכאוס טורוס– " Torus breakdownקריסת

הערכים • בין ישתנה הפרמטר להלן המובאת בדוגמא0.3nF 0.0266לnF.

המשקל • שיווי נקודת בהן הופף אנדרונוב מסוג ביפרקציות מספר דרך לכאוס מגיעה זו דרךחסום מעגלי מסלול ונוצר יציבותה את מאבדת

מושך • מקבלים אנו זה מסוג ביפורקציות שתי לאחרהמערכת. כי נראה השלישית בביפורקציה טבעתי

. כאוטי למצב הגיעה


14

במתנד " ) ) CHUAכאוס טורוס– " ( Torus breakdownקריסת המשך)

עבור נקבל מצב יציב - מסלול מעגלי חסום

-2.8-2.6

-2.4-2.2

-2-1.8

-0.4

-0.2

0

0.2

0.4-0.015

-0.01

-0.005

0

0.005

0.01

x(t)


y(t)

z(t)

0 1000 2000 3000 4000 5000 6000 7000 8000 9000-3

-2.5

-2

-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1Time series

x(t)y(t)z(t)*10e-2

עבור נקבל מושך טבעתי:

-6-4

-20

2

-1

-0.5

0

0.5

1-0.04

-0.02

0

0.02

0.04

x(t)


y(t)z(

t)

0 1000 2000 3000 4000 5000 6000 7000 8000 9000 10000-5

-4

-3

-2

-1

0

1

2

3Time series

x(t)y(t)z(t)*10e-2

-5

0

5

-0.4

-0.2

0

0.2

0.4-0.015

-0.01

-0.005

0

0.005

0.01

0.015

x(t)


y(t)

z(t)

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5

x 104

-5

-4

-3

-2

-1

0

1

2

3

4

5Time series

x(t)y(t)z(t)*10e-2

עבור נקבל מצב כאוטי יציב:

15

במתנד (Intermittencyערבוב – )CHUAכאוס

• , פוחתת הכאוס דומיננטיות הנבחר הפרמטר שינוי עם. מתגבר המחזורי והחלק

המצב • מחזוריות הלא הקפיצות שכמתווספות מיכן ולאחר מחזורי ממצב מתחילים זה במצב. לכאוטי הופך

הפרמטר • להלן המובאת הערכים Lבדוגמא בין ישתנה0.21mH 0.38לmH.


16

במתנד ( (Intermittencyערבוב – )CHUAכאוס המשך)

מסלול - יציב מצב נקבל עבורחסום מעגלי

-2-1

01

2

-0.4-0.2

0

0.2

0.4-3

-2

-1

0

1

2

3

x 10-3

x(t)


y(t)

z(t)

0 2000 4000 6000 8000 10000 12000 14000-3

-2

-1

0

1

2

3Time series

x(t)y(t)z(t)*10e-3

משולב כאוטי מסלול נקבל עבורמחזורי במסלול

-1.5-1

-0.50

0.5

-0.20

0.2

0.40.6

-0.5

0

0.5

1

1.5

2

2.5

x 10-3

x(t)


y(t)

z(t)

0 1000 2000 3000 4000 5000 6000-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

2

2.5Time series

x(t)y(t)z(t)*10e-3

של התחזקות נראה עבורהאזור והחלשות המחזורי האזור

הכאוטי.

-1.4-1.2

-1-0.8

-0.6-0.4

-0.10

0.1

0.2

0.30

0.5

1

1.5

2

x 10-3

x(t)


y(t)

z(t)

0 500 1000 1500 2000 2500 3000 3500 4000 4500 5000-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

2Time series

x(t)y(t)z(t)*10e-3

17

שלישית – ממעלה בפולינום :CUBIC FUNCTIONשימוש

חלקה - • לא אך רציפה פונקציה הינה זו זוגית אי נקודות piecewise linear פונקציה ושתי , , , , לתופעות לכאורה האחראיות היותן בשל החוקרים בקרב בעבר רב עניין יצרו השבר

הכאוטיות.

, CHUAמתנד • לינארי הלא החלק לייחודיות הודות היתר בין מעניינות בתופעות עשירfהפונקציה

קלה • ליניאריות חוסר בעלת בפונקציה נעסוק. פיזיקלי מימוש זאת לפונקציה גם

-6 -4 -2 0 2 4 6-100

-80

-60

-40

-20

0

20

40

60

80

100

x

-2.9315446532 x+0.4530092443 x3

חסר • המודל את נחקור להלן המובאת בדוגמאפרמטר עם שמשתנה בין הערכים αהמימדים

.3.5 ל 1.1225

18

שלישית – ממעלה בפולינום (: CUBIC FUNCTIONשימוש המשך)

00.5

11.5

22.5

-0.4-0.2

0

0.20.4-4

-3

-2

-1

0

1

2

x(t)

Cubic function alpha=1.1225

y(t)

X: 0Y: 0.3Z: 0.5

z(t)

0 1000 2000 3000 4000 5000 6000 7000 8000 9000 10000-4

-3

-2

-1

0

1

2

3Time series

x(t)y(t)z(t)

עבור נקבל מעגל חסום

-3 -2 -1 0 1 2 3-4

-2

0

2

4

-20

-10

0

10

20

y(t)

x(t)


z(t)

0 1000 2000 3000 4000 5000 6000 7000 8000 9000-20

-15

-10

-5

0

5

10

15

20Time series

x(t)y(t)z(t)

עבור נקבל מעגל חסום

19

שלישית – ממעלה בפולינום (: CUBIC FUNCTIONשימוש המשך)

:Double-Scroll נקבל שני מושכים α= 3.2 נקבל שרשרת פיצולים וב – α >1.8> 3.2עבור

-10

12

3

-5

0

5-30

-20

-10

0

10

20

x(t)


X: 0Y: 0.3Z: 0.5

y(t)

z(t)

-10

12

3

-4

-2

0

2

4-20

-10

0

10

20

x(t)


y(t)

z(t)

-2-1

01

23

-4

-2

0

2

4-20

-10

0

10

20

x(t)


y(t)

z(t)

-4-2

02

4

-4

-2

0

2

4-20

-10

0

10

20

x(t)


y(t)

z(t)

20

בפונקציות :nבעלות fשימוש מושכים הפונקציה • " fבשימוש תוספת י ע מושכים של יותר רב מספר לייצר נוכל למקוטעין הלינארית

. נוספים לינאריים קטעים תתי שללפונקציה • נתייחס ( fאם פונקציות ) למצוא נוכל מימדים חסר כמודל בלבד מתמטית כפונקציה

. מושכים של רב מספר ויוצרות דומה שמתנהגות נוספות• : הבאה למערכת נתייחס

{𝑑 x𝑑𝜏=α ( y− f ( x ) ) ;

𝑑 y𝑑𝜏=x − y+z ;

𝑑 z𝑑𝜏=𝛽 𝑦−𝛾 𝑧 ;

𝑓 (𝑥 )={𝑏𝜋2𝑎 ( x −2ac ) ; 𝑖𝑓 𝑥≥2𝑎𝑐

−bsin( 𝜋 𝑥2𝑎 +d); 𝑖𝑓 −2𝑎𝑐≤ 𝑥≤2𝑎𝑐

𝑏𝜋2𝑎 ( x+2ac ) ;𝑖𝑓 𝑥≤−2𝑎𝑐

-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5-0.2

-0.15

-0.1

-0.05

0

0.05

0.1

0.15

21

בפונקציות (nבעלות fשימוש ( : המשך מושכים

מייצרת זאת " . nמערכת הפרמטר י ע שנקבעים לפי dמושכים ערכו nאם– nנקבע אז זוגי איערכו , אחרת .0יהיה

-10

-5

0

5

10 -0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0 0.2 0.4 0.6

-10

-5

0

5

10

y(t)

sine function, 3 attractors

x(t)

z(t)

0 1000 2000 3000 4000 5000 6000 7000-10

-8

-6

-4

-2

0

2

4

6

8Time series

x(t)y(t)z(t)

מושכים שלושה נקבלכאוטיים

22

: עצביות נוירונים CNN – Cellular neural networkרשתות

•CNN ממעגל שהתפתח פופולרי מאוד תחום מתמטיקה. CHUAהוא פחות יש כאן אך. , כאן ארחיב לא לכן אלקטרוניקה ויותר

• , . בעלי נוירונים במקורב ישנם אנושי במוח במוח הנוירונים לרשתות מתמטי מודל זהו . בערך הינו נוירון לכל המיתוג זמן נוירון לכל . 0.001חיבורים סצנה עיבוד בזמן שניות

. במקביל רבים עיבודים מתבצעים במוח ספציפית•CNN " י ע לראשונה בשנת Leon Chuaהוצגה

לא 1988 אנלוגיים תאים של גדול מערך בתוראך. הצמודים שכניו עם מתקשר תא כל ליניאריים

. מרוחקים שכנים על בעקיפין להשפיע יכולבמתנד • הפרמטרים כל מכיל תא רגיל CHUAכל

. לסליל פרט

23

: עצביות נוירונים (CNN – Cellular neural networkרשתות המשך)

-6 -4 -2 0 2 4 6

-1

-0.5

0

0.5

1

x

abs(x + 1)/2 - abs(x - 1)/2

• . מתח ומקור מתח מבוקרים זרם מקורות כמה יש תא לכלבאמצעות ומתפקד התא במוצא הנמצא מתח מבוקר

הפונקציה :

•CNN מעבדי בפתוח בחומרה רחב בשימוש כיום גם. VLSIבטכנולוגיות CNNנמצאיםשל אפליקציות איתם ובונים כאלה מערכות שמדמים במודלים עשיר כיום התוכנה תחום

. אותות ועיבוד מלאכותית בינה

שמקורות • שולט המוצא מתח מקורתאים של מתח המבוקרים הזרם

: הבא באופן סמוכים

24

כאוטיות מערכות בין וסנכרון הצפנה. CHUAמתנד • מידע אות מאפננים זה בשימוש הצפנה לצרכי משמשים בכלל וכאוס

. כאוטי נושא גל בתוך ידוע• " או " לנחש אפשר אי הכאוטי האות שאת כיוון לגילוי ניתן אינו המידע אות זה במצב

. אותו שיצרה הכאוטית המערכת לגבי מוקדם ידע ללא לחזות

Transmitter Chaos Generator

Reciever Chaos Generator

Message Signal +S(t) r(t)

-S'(t)

מאופנן • מידע אות לאותו בהמשךלפענח יוכל אשר מקלט יש כאוטית

. יוכל המקלט המקורי האות אתורק אם המקורי האות את לשחזר

כאוטית מערכת בעצמו הוא אםומסונכרנת שבמשדר לזאת זהה

עמה.

25

כאוטיות מערכות בין וסנכרון (הצפנה המשך)

בנפרד • לעבוד שיכולות זהות כאוטיות מערכות שתי לדמיין יש המערכת הבנת לצורךהנגד . Rcאם , נמוך ערכו אם בסנכרון או לנתק שואף ביניהם הקשר ואז מאוד גדול

יותר

• " הנגד י ע מתבצע הכאוטיות המערכות אך. Rcסנכרון נוספות שיטות כמובן יש . זו בשיטה נתמקד

{𝑑𝑉 11

𝑑𝑡 =1𝐶11 [ (𝑉 21−𝑉 11)𝐺− 𝑓 (𝑉 11 )+ 1

𝑅𝑐(𝑉 12−𝑉 11)]

𝑑𝑉 21

𝑑𝑡 = 1𝐶21

[ (𝑉 11−𝑉 21 )𝐺+ 𝑖31 ]𝑑𝑖31

𝑑𝑡 =− 1𝐿 (𝑉 21+𝑅0𝑖31)

{𝑑𝑉 12

𝑑𝑡 =1𝐶11 [ (𝑉 22−𝑉 12 )𝐺− 𝑓 (𝑉 12 )+ 1

𝑅𝑐(𝑉 11−𝑉 12 )]

𝑑𝑉 22

𝑑𝑡 = 1𝐶21

[ (𝑉 12−𝑉 22 )𝐺+𝑖32 ]𝑑𝑖32

𝑑𝑡 =− 1𝐿 (𝑉 22+𝑅0 𝑖32 )

• . יכול הסנכרון כי לציין יש הבאות המשוואות ששת את נרכיב כירכהוף חוקי בשימושהמצב ממשתני אחד כל פי על .V1,V2,I3להתבצע

26


-3 -2 -1 0 1 2 3-0.50

0.5

-5

-4

-3

-2

-1

0

1

2

3

4

5

x 10-3


x(t)y(t)

z(t)

-3 -2 -1 0 1 2 3-0.50

0.5-5

-4

-3

-2

-1

0

1

2

3

4

5

x 10-3


x(t)y(t)

z(t)

0 500 1000 1500 2000 2500 3000 3500 4000 4500-2.5

-2

-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

2

2.5Time series for Transmitter

x(t)y(t)z(t)*10e-2

-2.5 -2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2 2.5-2.5

-2

-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

2

2.5

V11

V12

Correlation line

שתי בו מהמצב נתחילההתחלה ותנאי המערכות

. של ערכו לחלוטין זהים

27


ל ההתחלה מתנאי אחד את נשנהמסנכרון מובהקת יציאה ונראה

-2.5 -2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2 2.5-3

-2

-1

0

1

2

3

V11

V12

Correlation line

0 1000 2000 3000 4000 5000 6000-3

-2

-1

0

1

2

3Time series V1 - Transmitter & Reciever

V11V12

ונשנה סנכרון ליצירת את נשנה כעתההתחלה תנאי את משמעותית

-4-2

02

4

-0.4-0.2

0

0.20.4-5

0

5

x 10-3

X: 4Y: 0.01Z: 0.001

x(t)


y(t)

z(t)

-200 0 200 400 600 800 1000

1.8

1.85

1.9

1.95

2

2.05

2.1

2.15

2.2

Time series V1 - Transmitter & Reciever

V11V12

-3 -2 -1 0 1 2 3 4-2.5

-2

-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

2

2.5

V11

V12

Correlation line

28

כאוטיות מערכות בין וסנכרון (הצפנה המשך)שני • למצוא מאוד קשה יהיה אמתית פיזיקלית במערכת

להשתנות עלולות הפיזיקליות ותכונותיהם זהים באמת רכיבים. למשל בטמפרטורה כתלות עבודתם כדי תוך

• , וגם ההתחלה בתנאי גם יותר רב שינוי ניכר הבאים באיוריםכדי עד הוסתו וערכיהם הלינאריים הרכיבים דיוק . 5%בחוסר

-3 -2 -1 0 1 2 3 4-0.500.5

-6

-4

-2

0

2

4

6

x 10-3

X: 4Y: 0.01Z: 0.001


x(t)y(t)

z(t)

-3 -2 -1 0 1 2 3-0.50

0.5-6

-4

-2

0

2

4

6

x 10-3


x(t)

X: 0.0008854Y: 4.05e-05Z: -4.63e-07

y(t)

z(t)

0 0.5 1 1.5 2 2.5

x 104

-3

-2

-1

0

1

2

3

4Time series V1 - Transmitter & Reciever

V11V12

-3 -2 -1 0 1 2 3 4-3

-2

-1

0

1

2

3

V11

V12

Correlation line

𝐶11=1 .05𝑛𝐹 ,𝐶21=52 .5𝑛𝐹 ,𝑅1=1.05𝐾 𝑂h𝑚 ,𝑅𝑐=100𝑂h𝑚 ,𝑉 11 (0 )=4𝑉 ,𝑉 21 (0 )=0 .01𝑚𝑉 , 𝑖31 (0 )=1𝑚𝐴

29

מתנד מוחשי CHUAבניית

• , אך במתמטיקה פרויקט אמנם זהורציתי אלקטרוניקה מהנדס בתורעם ולהשוות המעגל את לבנות

. הסימולציה תוצאותבתכנת • נבנה ומוצג PSPICEהמעגל

של ריצה זמן .15msכאן

C 11 0 n

C 21 0 0 n

R 1

2 2 0

R 4

2 2 k

R 5

2 2 k

R 2

2 2 0

R 32 . 2 k

R 63 . 3 k

V C C

V 39

0

V D D

V 49

0

0

V C C

V D D

V C C

V D D

0

R 1 1 1

1 .8 k

U 8 A

TL 0 8 2

+3

-2

V +8

V -4

O U T1

U 9 B

TL 0 8 2

+5

-6

V +8

V -4

O U T7

0

L 11 8 m H

I

V V

0 100 200 300 400 500 600 700 800 900 1000-5

-4

-3

-2

-1

0

1

2

3

4

5Time series

x(t)y(t)z(t)*10e-3

-5

0

5 -1-0.5

0

0.5

1-5

0

5

x 10-3

y(t)


x(t)

z(t)

30

סיכום:• . אחד מעגל על מאמרים אלפי של תכנם את מלהכיל היריעה קצרהספק CHUAמתנד • ללא במערכות מודלהוא מגוונות תופעות ולייצור לכאוס

דינאמיות• , יוצר זה שמעגל המוזרים המושכים של הגאומטריה בחקירת ממשיכים מתמטיקאים

... ועוד נוספות לינאריות לא פונקציות במציאתכמו • שונים בתחומים נוספים שימושים הכאוטיות בתכונותיו למצוא ממשיכים מומחים

. , מרהיבות תמונות וביצירת במוזיקה אותות בעיבוד• " מחקרים " על ולשקוד הלימודים לספסל לחזור העונג לי היה זה בפרויקט

מרתקים.שהפעם • כיוון ייחודי הוא זה בפרויקט לאלקטרוניקה מתמטיקה בין השילוב

כמו אבסטרקטית תופעה בביסוס המתמטיקה את ששימשה זו היא האלקטרוניקהכאוס.

31

סיכום:• . שיש מסתבר אך פרקטי ולא תיאורטי מאוד תחום כמו בהתחלה לי נשמע כאוס

.) אליו ) להגיע פשוט שלא למרות ובואו בתוהו ושליטה סדרבעולמנו • רבות דינמיות שמערכות לראות מעניין

. פשוט מתנד לאותו דומים פרמטרים לפי מתנהגות – שימוש משמאל בתמונה לראות ניתן כך

. כלכלי לניתוח פאזה בדיאגרמתDOUBLE SCROLL. מושלם כמעט

[http://www.bentamari.com/PicturesEcometry/articals07-ChaosAndEconomics.pdf - page 4]

http://www.bentamari.com/PicturesEcometry/articals07-ChaosAndEconomics.pdf

http://www.bentamari.com/PicturesEcometry/articals07-ChaosAndEconomics.pdf

32

סוף

Documents

מנחה: ד"ר ויקטור אוסטרובסקי כרמיאל