- ١ -

معالجة االرتباط الذاتي

ا ھو بین االخطاء یلي أھم الطرق للتخلص من وجود االرتباط الذاتي فیما فكمذاتي وجود معروف ان اط ال ة المستخدمة ی االرتب ا الدال ل منھ ى عدة عوام رجع ال

رق تخدام الط الل اس ن خ ك م ن ذل د م نحاول التأك رات وس ض المتغی ال بع وإغف .ن االرتباط الذاتيالمختلفة للتخلص م

ا أن وه ھن ة بعض ویجب ان نن ي حال دم ف دار الطرق المستخدمة سوف تق االنحیمالخطي البسیط ك وذلك للتسھیل ویمكن تعم ة االنحدار تل ي حال الخطي الطرق ف

.المتعدد

الطریقة االولى

ابع كمتغ ر الت ر مستقل غالبا یلجأ االقتصادیون لتسھیل األمور بإدخال المتغی ین دأ م لة تب ت السلس ر إذا كان ي آخ ابع 1992بمعن ر الت رات .للمتغی ذلك المتغی وك

ام 1991فإنھ یمكن إدخال بیانات المتغیر التابع لعام المستقلھ مقابل المتغیر التابع لعولكن التتوافر في . أى متغیر ابطاء lagged variableوتسمى ھذه الطریقة 1992

ة المستخدمةمعظم األحیان البیا لة الزمنی ة . نات عن عام سابق للسلس ذه الحال ي ھ فف ذاتي ویوص اط ال ر االرتب ن أث تخلص م ر ال دة نظی اھدة واح حیة بمش ن التض یمك

:النحو التالي علىالنموذج

.YxY i1i2i10i

مثال

الىجدول الیعطى ات عن الت ت لألع البیان ة الكوی ترةـوام خالل الفـدول :متضمنة (1986-1962)

x = التصرف بھالدخل المتاح أو الدخل الذي یمكن.

= y لخاصاالستھالك ا.

تقدیر معادلة االنحدار البسیط مع إجراء اختبار وجود ارتباط ذاتي بین : والمطلوبم خاأل اء ث ة ااسط ن وتخدام الطریق تخلص م ى لل اط الول ود االرتب ج

الذاتى بین األخطاء

y x السنة

1962 1963 1964 1965 1966 1967 1968 1969 1970 1971 1972 1973 1974 1975 1976 1977 1978 1979 1980 1981 1982 1983

188.0 192.0 200.0 191.0 232.0 280.0 297.0 306.0 396.0 420.0 227.0 439.0 564.0 759.0 1030.0 1368.0 1474.0 1671.0 2196.0 2445.0 3287.0 3179.0

460.0 486.0 561.0 553.0 682.0

1010.0 793.0 840.0 851.0

1117.0 1102.0 1262.0 3532.0 3711.0 4281.0 4563.0 4977.0 7597.0 8757.0 8875.0 7612.0 7789.0

1984 1985 1986

2780.0 2774.0 2575.0

7893.0 7322.0 7164.0

الحــل

ة علىتم الحصول ن قیم امج DWواتسون –دارب ث SPSSبإستخدام برن حیDW =0.86467 ن ار درب راء اختب ول _ والج ب الحص ون یج ىواتس یم عل ق

UL d,d د ر واح اظرة لمتغی 1k( المن ( اھدات دد المش توى n = 25وع ومس20.1d , 45.1dحیث 05.0معنویة LU ومنھ نجد أن:

LdDW0 :أي أن

20.186467.00 :وبذلك نرفض فرض العدم

0:H0

: ونقبل الفرض البدیل0:H1

:تالیة ال من العالقة التقریبیة ویمكن حساب

0.56767

2/86467.00.12

DW1ˆ

اد 0.56767یساوي خطاءألوذلك یعني أن معامل اإلرتباط بین ا لذا الیمكن االعتم :ھا من معادلة االنحدار المقدرةعلیحصل النتائج التي ن على

. x32233.043725.30y

ین األخ ذاتي ب اط ال ل تخلیصھا من وجود االرتب ؤ قب . طاءوال یمكن استخدامھا للتنب .ألخطاء سوف نستخدم الطریقة األولىاآلن للتخلص من وجود االرتباط الذاتي بین ا

الىجدول المن البیانات في تخلص من وجود الت ر ابطاء لل سوف نستخدم متغین ار درب إجراء اختب ىواتسون _االرتباط الذاتي مع التحقق من ذلك ب األخطاء عل

. المقدره طبقا للنموذج الجدید

)1iy )z السنھ iy ix

1962 1963 1964 1965 1966 1967 1968 1969 1970 1971 1972 1973 1974 1975 1976 1977 1978 1979 1980 1981

- 188.0 192.0 200.0 191.0 232.0 280.0 297.0 306.0 396.0 420.0 227.0 439.0 564.0 759.0 1030.0 1368.0 1474.0 1671.0 2196.0

188.0 192.0 200.0 191.0 232.0 280.0 297.0 306.0 396.0 420.0 227.0 439.0 564.0 759.0

1030.0 1368.0 1474.0 1671.0 2196.0 2445.0

460.0 486.0 561.0 553.0 682.0

1010.0 793.0 840.0 851.0

1117.0 1102.0 1262.0 3532.0 3711.0 4281.0 4563.0 4977.0 7597.0 8757.0 8875.0

1982 1983 1984 1985 1986

2445.0 3287.0 3179.0 2780.0 2774.0

3287.0 3179.0 2780.0 2774.0 2575.0

7612.0 7789.0 7893.0 7322.0 7164.0

معادلة االنحدار المقدره سوف تكون

z69095.0x11354.02508.4y

ث اء zحی ر إبط و متغی ة . ھ ي DWقیم یم 2.23556 ھ LUوق d,d دما عن24n , 05.0 45.1:)تقریبا(ومتغیرین مستقلین ھماd , 2.1d UL و

)d4(DW2 U

2<2.23556<2.55

H0:0وبذلك نضمن عدم وجود ارتباط ذاتي بین األخطاء ونقبل فرض العدم DW1p/2 117.0حیث ا التقریبیة وھو ارتباط ضعیف بین األخطاء مم

.یؤكد القرار

الطریقة الثانیة

ھذه الطریقة في . أن أھمال احد المتغیرات قد یؤدي إلـى وجود االرتباط الذاتي رة السابقفي المثال .توصیف الدالھ وإدخال متغیرات ثم إھمالھایتم ت الفت ا كان ولم

ادة االست 1986-1982 ع زی دخل م ة ھتتصف بتراجع ال الك نتیجة لعوامل خارجیة ار أزم نفط الخام وآث اض اسعار ال ا انخف اخ"منھ ر " سوق المن یمكن إدخال متغی ف

ومساویة 1982-1986احد الصحیح خالل الفترة تكون قیمة مساویة الو wصوري ي دة معطاه ف ة االنحدار الجدی ة الیجاد معادل ات الالزم للصفر فیما عدا ذلك والبیان

.التالىجدول ال

w السنة y x

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1

1962 1963 1964 1965 1966 1967 1968 1969 1970 1971 1972 1973 1974 1975 1976 1977 1978 1979 1980 1981 1982

188.0 192.0 200.0 191.0 232.0 280.0 297.0 306.0 396.0 420.0 227.0 439.0 564.0 759.0 1030.0 1368.0 1474.0 1671.0 2196.0 2445.0 3287.0

460.0 486.0 561.0 553.0 682.0 1010.0 793.0 840.0 851.0 1117.0 1102.0 1262.0 3532.0 3711.0 4281.0 4563.0 4977.0 7597.0 8757.0 8875.0 7612.0

1 1 1 1

1983 1984 1985 1986

3179.0 2780.0 2774.0 2575.0

7789.0 7893.0 7322.0 7164.0

:الشكل علىمعادلة االنحدار المقدره سوف تكون

w102.1016x24375.0131.61y

ة ي DWقیم 55.1d , 21.1d , 1.36727ھ UL د ك عن وذل05.0, 2k , 25n نجد أن علیھ ءوبنا:

55.136727.121.155.1DW21.1

dDWd UL

H0:0العدم یوجد ارتباط ذاتي بین األخطاء ونقبل فرض وبالتالي ال .

الطریقة الثالثة

ال بع ل أو إغف ابقتین ان تجاھ ریقتین الس ن الط ح م ي اتض رات ف ض المتغیي النموذج األصلي توصیف النموذج ادى واقي ف ي للب اط ذات بدوره إلى وجود ارتب

اط ن اإلرتب تخلص م وذج لل ة النم ا الطریقتین أدتوبمعالج د أن كلت ذاتي وج ى ال إلین ي منطق DWتحس ع ف دم لتق رض الع ول ف H0:0ة قب . ة ة التالی والطریق

ة .الطریقة العامة للمربعات الصغرى علیھتستخدم مایطلق ىوتعتمد ھذه الطریق علا من الحصول ى تمكنن ىتحویل البیانات األصلیة إلي الصورة الت نموذج یكون عل

ات الصغرالالمتغیر ة المربع ة ىعشوائي فیھ خاضع لفروض طریق الي العادی وبالت .یمكن استخدام ھذه الطریقة في تقدیر المعالم

:بفرض النموذج)٣ ( ,xY ii10i

1 وi1ii u

:حیث

ji , 0)uE(u , ),0(N~u ji2ui

:علىنحصل i-1 بق في المشاھدةلساثم بكتابة النموذج ا

)٤ (,xY 1i1i101i

:لنموذج التاليا علىنحصل ) ٣(والطرح من في ) ٤(وبضرب طرفي

)٥ (,ux)1(Y i*i10

*i

:حیث

)٦ (,YYY 1ii*i

)٧ (,xxx 1ii*i

1iiiu :یصبح )٥(النموذج المحول

)٨ ( uxY ii10i

1100:حیث , )1( :وعلى ذلك

)1/(00

ذلك أ وموب ذي یحت وذج ال ل النم ن تحوی ىي ك وذج عل ى نم ذاتي إل اط ال االرتبات علىالیحتوي ة المربع ذلك یمكن استخدام طریق واقي وب إرتباط ذاتي بین البوذج األصلي الصغرى الم النم س مع الم وھي نف دیرات المع تقاق تق ة الش العادی

00)1(ماعدا المعلمة .ة ویجب مالحظة أن عدد المشاھدا ت المحولغیر مرتبط ذاتیا ونالحظ uiوأن المتغیر العشوائي n-1 التقدیر ھي الداخلة في

د ة تعتم ذه الطریق ىأن ھ ذاتي عل اط ال ل االرتب ة معام ة قیم ا معرف ادر م وندیرھات اج لتق الي نحت ة ، وبالت ذاتي معلوم ن سولح .كون قیمة معامل االرتباط ال

ذاتي الحظ یوجد عدد من الطرق المست اط ال ل االرتب ة معام دیر قیم خدمة لتق . وسوف نتناولھا الحقا

یتم وعلى ذلك فبعد اختبار وجود االرتباط الذاتي والحصول على تقدیر لـ تطبیق طریقة المربعـات الصغرى العـادیة على مجموع البیانات المحـولة

*i

*i x, y حیث تطرح من المشـاھدات األصـلیة في كل نقطة زمنیة حاصل

:في قیمة المتغیرات في الفترات السابقة كالتالي ضرب

1ii*i

1ii*i

xxx

,yyy

:معادلة االنحدار المقدرة سوف تكون على الشكل

*1

*0 xbb*y

bb)/1ˆ(حیث 00 و 11 bb .

طرق تقدیر

واتسون لتقدیر _طریقة دربن -١

ھ ذه الطریق تم ھ ا الي درجھ من االنحدار وت ھ یمكن تطبیقھ وھذه الطریق :كاآلتى

:يحیث یكتب بتفصیل كاآلت) ٨(نبدأ بالنموذج المحول )٩( i1ii101ii u)xx()1(YY

:علىنحصل ) ٩(وبإعادة تنظیم )١٠( n1,2,3...,i , uY)xx()1(Y i1i1ii10i

ج نحصل على تقدیر ت الصغرى لتقدیر معالم ھذا النموذوبإستخدام طریقة المربعا1iY باطئعامل المتوالذى یساوى م، ، أي لـ .

) tOrcul –Cochrane (طریقة كوكران اوركت -٢

i1iiوذلك بالنظر الى المعادلة u النموذج علىوالمفروضھii10i xY

:أي أن ر نقطة األصلإنحدار عب أنھا على

i1ii u

ث ابع ، iحی ر الت و المتغی و 1iھ تقل ، ھ ر المس أ و iuالمتغی د الخط ح1iiوبما أن . میل الخط عبر نقطة األصل , 1فنستخدم غیرمعروفینii e,e

ة المربعات علیالتى حصلنا ا بطریق ر الصغرىھ ر مستقل ومتغی ة كمتغی العادیل ب ونحص ى الترتی ابع عل ىت ـ عل دیر ل ة تق ر نقط تقیم عب ط مس دیر خ بتق

:من الصیغة التالیة األصل

21i

n

2i

i1in

2i

e

eeˆ

-طریقة ھیلدریث -٣ ول

دریث ة ھیل اك طریق –ھن لو ل دیر معام اط لتق دف االرتب ك بھ وذلویالت ي التح تخدامھا ف س ا) ٧(و ) ٦(اس ذ نف ى تتخ ذه إلوالت ذي تتخ لوب ال س

وكس ة ب ة –طریق دیر المعلم وكس لتق وى ك ل الق ي تحوی ھب Yف ین غی تحسالتي لو تلك القیمة -ریث إذ نختار في طریقة ھیلد. االنحدار صالحیة نموذج

ا ) ٨(واقي لنموذج االنحدار المحول بللعات الخطأ تجعل مجموع مرب اصغر م :یمكن

.)xbby()yy(SSE 2*i

*1

*0

*i

2*i

*i

وافر ة وتت اد قیم ب إلیج رامج حاس ل ب ى تجع ایمكن SSEالت غر م . أص

ث حسابیا بتشغیل انحدارات متكررة مع قیم مختلفة وبصورة بدیلة یمكننا أن نبحـ ـ ل ة ل ة التقریبی ك الستطالع القیم دار وذل ل إنح ي ك ل ف ى تجع SSEالت

ایمكن ة .أصغر م ا قیم ع فیھ ي تق رة الت ة الفت د معرف ل وعن ي تجع SSEالتغر ا ی أص ن م رة ،مك ذه الفت من ھ ث ض ن البح ىیمك ـ عل ة ل ر دق ة اكث . قیم

ة علىوبمجرد الحصول ل قیم ى تجع د SSEالت ا تحدی ایمكن یمكنن أصغر م . المقدرة المقابلة لتلك القیمة لـ معادلة االنحدار

ة ا أن قیم لمع وبم ذاتي ام اط ال ب وأن االرتب ي الغال رة ف ة كبی ھي قیمSSE كدالة في ـ رة ل یم كبی ى تكون مستقرة تماما من أجل ق د 1.0حت فق

وإذا كانت )٨(ل في النموذج المحو 0.1اقترح بعض اإلحصائیین استخدام 1 00)1(0فإن كمایلى) ٨(فیصبح النموذج المحول:

ii1i uxY

:حیث

)١١ (1iii YYY

)١٢ (1iii xxx

ة وھكذا نجد مرة أخرى أن الم نموذج االنحدار مباشرة بطریق دیر مع ھ یمكن تق

ىالمربعات الصغرى وترتكز ھذه المرة ر نقطة األصل عل ة . إنحدار عب معادل :االنحدار المقدرة سوف تكون

xby 1

:والعودة مرة أخرى إلى المتغیرات األصلیة كما یلي ویمكن تحویلھا xbby 10

xbyb ,: ث حی 10

. 11 bb : اخرى إستخدام صیغ-٤

ˆDW1/2. :یمكن استخدام الصیغة التالیة التي سبق أن تناولناھا وھى -*

:من الصیغة التالیة یمكن تقدیر معامل االرتباط الذاتي -*

,e

eeˆ

n

1i

2i

1iin

2i

مثال

ھ التالىجدول الیعطي الملیون جنی ا بیانات الواردات والناتج القومي ب د م ي بل ف .ومعالجتھ ط الذاتي والمطلوب اختبار االرتبا

الواردات السنةiy

الناتج ix iy iiالقومي yy 1ii ee

1950 1951 1952 1953 1954 1955 1956 1957 1958 1959 1960 1961 1962 1963 1964 1965 1966 1967 1968 1969

3748 4010 3711 4004 4151 4469 4582 4697 4753 5062 5669 5628 5736 5946 6501 6549 6705 7104 7609 8100

21777 22418 22308 23319 24180 24893 25310 25799 25886 26868 28134 29091 29450 30705 32372 33152 33764 34411 35429 36200

3615.5 3795.2 3764.4 4047.8 4289.2

4489.08 4605.9

4743.07 4767.4 5042.7 5397.6 5665.9 5766.5 6118.3 6585.7 6804.3 6975.9 7157.3

7442.6 7658.8

132.42 214.73 -53.42 -43.84 -138.2 -20.08 -23.98 -46.07 -14.46 19.25 271.35 -37.92 -30.56

-172.38 -84.70

-255.36 -270.92 -53.30 166.31 441.18

- 82.3

-268.16 9.58

-94.37 118.12 -3.90

-22.08 31.61 33.71 252.10 -309.28

7.36 -141.82 87.68

-170.66 -15.56 217.62 219.62 274.86

:ھي طریقة المربعات الصغرى العادیة فإن معادلة اإلنحدار المقدرهبإستخدام

x28.025.2489y :وإذا كان

491847)ee(

567861e2

1ii

2i

:واتسون فإن _وبتطبیق اختبار دربن

866.0567861491847

e

)ee(DW

n

1i

2i

21ii

n

2i

دول الرجوع للج ن وب ون –دارب ة واتس توى معنوی د مس دد 05.0عن وع

د 20مشاھدات تقل واح ر مس إن (k=1)ومتغی 41.1d , 2.1dف UL ا ولمت اط DW < dLكان ة االرتب ي موجب ولمعالج اط ذات ن الواضح وجود ارتب فم

:باط الذاتي حیثالذاتي نحسب أوال معامل االرت

380107.0567861215848

e

eeˆ

n

1i

2i

n

2i1ii

:فإنالطریقة الثالثة وبتطبیق

1ii*i

1ii*i

x 380107.0xx

y 380107.0yy

:للبیانات المحولة كانت النتیجة الصغرىوبإستخدام طریقة المربعات x290662.04.1727*y

ة ة DW =1.315وقیم ین DWونالحظ أن قیم ع ب ین Ldو Udتق 41.1أي ب ي تعني عدم وجود االرتباط الذاتيوالت 20.1و

مثال

الىجدول الیعطى رین الت ات لمتغی اط x , Y بیان ار االرتب وب اختب والمطل .الذاتي ومعالجتھ

الفترةi

(1)

iy (2)

ix (3)

ie (4)

1iiee (5)

2ie

1 2 3 4 5 6 7 8 9

10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20

3.63 4.20 3.33 4.54 2.89 4.87 4.90 5.29 6.18 7.20 7.25 6.09 6.80 8.65 8.43 8.29 7.18 7.90 8.45 8.23

0.97 0.95 0.99 0.91 0.98 0.90 0.89 0.86 0.85 0.82 0.79 0.83 0.81 0.77 0.76 0.80 0.83 0.79 0.76 0.78

0.2812 0.3654 0.4670 -0.2662 -0.2159 -0.1791 -0.3920 -0.7307 -0.0836 0.2077 -0.4710 -0.6594 -0.4352 0.4432 -0.0197 0.8119 0.4306 0.1790 0.0003 0.2661

- 0.1028 0.1706 -0.1243 0.0575 0.0387 0.0702 0.2864 0.0611 -0.0174 -0.0978 0.3106 0.2870 -0.1929 -0.0087 -0.0160 0.3496 0.0771 0.0001 0.0001

0.0791 0.1335 0.2181 0.0709 0.0466 0.0321 0.1537 0.5339 0.0070 0.0431 0.2218 0.4348 0.1894 0.1964 0.0004 0.6592 0.1854 0.0320 0.0000 0.0708

3082.3e 3547.1ee 2i

20

1i1ii

20

2i

الحــل

:فإن معادلة االنحدار المقدره هي الصغرىباستخدام طریقة المربعات

x28977.2490989.26y

DWقیمـة فـإن ذلـك علىیوضح البواقى لهذا النموذج و السابقجدول الفي 3 العمودحیـث n = 20و 05.0عنـد مقارنتهـا مـع القـیم الحرجـة عنـد والتـى 1.14 هـي 41.1d , 2.1d UL أن هنـــــــــــــــاك ارتبــــــــــــــاط ذاتـــــــــــــــي موجـــــــــــــــب إلن توضــــــــــــــح

Ld14.10 . التقدیر لمعامل االرتباط الذاتي یحسب من المعادلة:

.409.03082.33547.1

e

)ee(ˆ

2i

20

1i

1ii20

2i

:يالبیانات المحولة تحسب كالتال

1ii*i1ii

*i y409.0yy , x409.0xx

. التــالىجــدول الهــذه البیانـات المحولــة موضــحه فـي . i = 1, 2, …,20حیـث :سوف تكون الصغرىمعادلة االنحدار المقدره باستخدام طریقة المربعات

x19991.2485043.15y

i

(1) *ix

(2) *iy

(3) *ie

2 3 4 5 6 7 8 9

10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20

0.553 0.601 0.505 0.608 0.499 0.522 0.496 0.498 0.472 0.455 0.507 0.471 0.439 0.445 0.489 0.503 0.451 0.437 0.469

2.715 1.612 3.178 1.033 3.688 2.908 3.286 4.016 4.672 4.305 3.125 4.309 5.869 4.892 4.842 3.789 4.963 5.219 4.774

0.2504 0.3176 -0.4572 -0.1070 -0.0908 -0.3187 -0.5704 0.2153 0.2419 -0.5559 -0.4668 -0.1655 0.6212 -0.2010 0.8200 0.0985 0.0029 -0.0729 0.2660

د وبم. DW = 1.94للنموذج المحول ھو DWقیمة اإلحصاء ة عن ذه القیم قارنة ھ05.0 وn = 19 20.1,وd , 41.1d LU ) ا ا أن ) تقریب وبم

294.1d U 294.141.1 أي . وذج اء للنم تنتج أن األخط ا نس فإنن .ذاتياختزلت مشكلة االرتباط الالطریقة الثالثة ذلك فإن علىالمحول غیر مرتبطة و

ي 1في النموذج المحول تساوي 1إلى أن ھنا ویجب أن ننوه والموجودة فii10iصلي النموذج اال xY ذى الوالتالى جدول المقارنة بذلك علىو

ة ال لىعوالذى یعتمد الذى یلیھ جدول الیة ولالبیانات االص علىیعتمد ات المحول بیانھ ادت الى تقدیر للمیل یختلف قلیال الثالثة نجد أن ھذه الطریقة عن الذي حصلنا علی

غرى ات الص ة المربع تخدام طریق ن .باس دیرات م ة للتق اء المعیاری ة األخط بمقارنة نجد أن تقدیر المیل یندولـجال دیر من الطریقة الثالث ر من تق اري أكب ھ خطأ معی ل

ات غرىالمربع ة الص ن . العادی وع م زء المقط إن الج لیة ف رات االص ة المتغی بدالل :لصادات وخطأه المعیاري ھوامحور

, 26.81968 409.01

85043.151b

b 00

:الخطأ المعیاري لھ ھو

.6025.1409.01

9471.0ˆ1

)B(e.s)B(e.s 0

0

المعامالت التقدیر الخطأ المعیاري

1.1099 1.2978

26.90989 -24.28977

0

1

MSE = 0.1838 R2 = 0.95

المعامالت التقدیر الخطأ المعیاري

0.9471 1.9015

15.85043 -24.19991

0 1

MSE = 0.1547 R2 = 0.91

الطریقة الرابعة

.قبل تناول ھذه الطریقة سوف نتناول خواص حدود الخطأ

خواص حدود الخطأ

د بشكل خطى ة یعتم رة زمنی ل فت ا سبق ان الخطأ العشوائي لك ىعلمنا مم عل :وائي للفترات السابقة لھا إي أن الخطأ العش

, u i1ii

ii10iومن النموذج xY علىیمكن الحصول: , u 1i2i1i

:علىنحصل وبالتعویض

,uuu)u( i1i2i2

i1i2ii

2i3i واآلن بوضع u 2مكانi علىنحصل:

,uu i1i2i2

3i3

i :وباإلستمرار بھذه الطریقة نجد أن

)١٣ (,u...uuuu sis

0s3i

32i

21iii

رة ي الفت أ ف راھن iأى ان الخط طراب ال د االض ن ح ة م ھ خطی ل تركیب iuیمثرة ) ١٣(فإن < 1 > 0وعندما . والحدود السابقة لھ دت الفت تشیر إلى أن كلما بع

ة د قیم ي تحدی ات . iفي الماضى كلما كان لحد االضطراب وزن أقل ف ویمكن اثب ىـبھ األولـاالنحدار الذاتي من الرتفي نموذج خط iأن المتوسط لـ

, u i1ii :ھي كاآلتي

0)(E i

.)١٣(في iوذلك بأخذ توقع

:تباط الذاتي یكون كاآلتيتباین األخطاء العشوائیة في حالة االر

...)u(E)u(E)u(E)(E 22i

421i

22i

2i

:وبما أن

ji , 0)uE(u , )u(E ji2u

2i

:أذن

....2u

42u

22u

2 :أي أن

...)1( 422u

2

)١٤ (. )1/( 22u

وذج الخطي وائیة للنم ین األخطاء لعش ایر ب ا التغ دروس أم ھ الم یمكن الوصول الی :بالشكل التالي

...uuu 2i2

1iii :وكذلك

...uuu 3i2

2i1i1i :أذن

...)]uuu(

...)uuu[(E)(E

3i2

2i1i

2i2

1ii1ii

...)]}uu(u...)][uu(u{[E 3i2i1i2i1ii

:ذلك علىو

...][

...])u(E)u( [E

...)uu(E)(E

2u

22u

22i

221i

22i1i1ii

:أذن

...)1()(E 422u1ii

)١٥ ( 2

2u

-1

نجد أن) ١٤(مع ) ١٥(وبمقارنة

)١٦ (21ii )(E

22وللتسھیل سوف نضع :یمكن أن توضع بشكل عام كالتالي) ١٦(والعالقة في

.1-n0,1,2,...,s , )(E 2ssii

:فإن s = 0سبیل المثال لو كانت علىف2

0ii )(E :فإن s=1وفى حالھ

21ii )(E

:فإن s = 2أما إذا كانت 22

2ii )(E إذا كانت :فإن s = n-1وأخیرا

21n)1n(ii )(E

:ذلك معامل االرتباط بین حدود األخطاء ھو وعلى

1ii1ii

),(Cov 1ii

.

11

1

2

2

2

2

2

2

ذاتي اط ال ة االرتب ل أي أن معلم ھا معام ي نفس اط ھ اء االرتب دود األخط ین ح ب2المتجاورة حیث

u2 .

وا اء العش این لألخط ایر والتب فوفة التغ ي مص دود ف ذه الح ع ھ ة وبجم ي حال ئیة ف :لتالیة الذي على الصورة ا النموذج الخطي المتعدد

)١٧ ( XY

:نحصل على

223n22n21n

22n222

21n2222

..............

....

....

)(Cov

:إي أن

2

4n3n2n1n

2n2

1n32

2

1..............

....1

....1

)(Cov

أ دد إي أن الخط ي المتع دار الخط وذج اإلنح وائي لنم ع ) ١٧( العش وف یخض س :إي أن . لفرضیة وجود إرتباط ذاتي من الدرجة االولى

),0(N~ 2 ي دار الخط وذج اإلنح الم نم دیر مع ة) ١٧(ولتق ة الرابع ع الطریق ة (سوف نتب طریق

ع )المربعات الصغرى المرجحة ي الفصل الراب ا أوضحناه ف ط والتي تختلف عم فقن ث م فوفة أن حی ة المص ت قطری ة .لیس ذه الطریق ي ھ اد وف ن إیج د م الب

فوفة وس المص فوفة معك ة المص ون رتب ب أن تك م ویج ى حج اویة إل مسالي تكون المصفوفة n=2فمثال عند العینة . العینة تحت البحث على الشكل الت

:

11

:فإن n=3أما إذا كان حجم العینة

1

111

2

2

:سوف یكون وعلى ذلك فإن معكوس المصفوفة

101

01

)1(1 2

21

وبصورة عامة فإن المصفوفة 1 لعینة من الحجمn سوف تكون:

1- 00000-1 0000

00...01000...00100...0001

)1(1W

2

2

2

21

112 :التقدیر لمصفوفة التغایر والتباین سوف تكون )XX(s

:حیث أن

1knyXbyys

112

والمسمى ) ١٧(اآلن سوف نشرح الطریقة الرابعة لتقدیر معالم نموذج اإلنحدار

.وذلك من خالل المثال التالي المرجحة بطریقة المربعات الصغرى

مثال

اھدات ة مش وائیة ذات خمس ة عش رعین ن المتغی ل م ا ك ذ فیھ ابع ، اخ (Y) الت)x(),x(والمتغیرات المستقلة :المشاھدات التالیة 12

:y 4 , 8 , 6 , 2 , 9

:x1 2 , 5 , 2 , 1 , 10

:x 2 1 , 3 , 7 , 2 , 1

:المطلوب

:تقدیر معالم النموذج التالى

.xxY 22110

:مستخدما

:علما بأنالطریقة الرابعة

),0(N~ 2

)ˆ6.0(یتبع االرتباط الذاتي من الدرجة االولى مع )(وأن

الحـل

:اوال

Wy'XWXX' bbb

b 1

2

1

0

بان :علما

1 - 0 0 0 - 1 - 0 0

0 - 1 - 0

0 0 - 1 -

0 0 0 - 1

1

1W

2

2

2

2

:أذن

1 0.6- 0 0 00.6- 1.36 0.6- 0 0

0 0.6- 1.36 0.6 - 0

0 0 0.6- 1.36 0.6-0 0 0 0.6- 1

64.01W

:أذن

0.641

1 2 7 3 1

10 1 2 5 2

1 1 1 1 1

WX X 1

1 10 12 1 17 2 13 5 1

1 2 1

1 0.6 - 0 0 00.6- 1.36 0.6 - 0 00 0.6 1.36 0.6- 00 0 0.6- 1.36 0.6-

0 0 0 0.6- 1 1-

1

38.32 3.76 2.723.76 106.4 6.08

2.72 6.08 1.28 64.0

:امـا

,

24.2

98.84

7.76

64.01WyX

2.24

84.98

76.7

64.01

38.32 3.76 2.72

3.76 106.4 6.08

2.72 6.08 1.28

64.0

b

b

b 1

2

1

0

:أى أن

0

1

2

b 0.981b 0.856

0.478b

:أذن.21 x478.0x856.0981.0y