Ερατοσθένης - Υπολογισμός της περιφέρειας της γης

1

Γιάννης Μίχας, υπεύθυνος ΕΚΦΕ Εύβοιας 3-10-2013

ΕΚΦΕ Εύβοιας

Ο Ερατοσθένης διορίστηκε διευθυντής της βιβλιοθήκης της Αλεξάνδρειας, το 236

π.Χ. που αποτελούσε, για εκείνα τα χρόνια, το κέντρο της επιστήμης και

εκπαίδευσης όλου του κόσμου. Ήταν σύγχρονος του Αρχιμήδη και προσέφερε

σημαντικό έργο στην ανάπτυξη των επιστημών. Κορυφαία προσφορά του θεωρείται

ο υπολογισμός της περιφέρειας της γης το 240 π.Χ.

Ο Ερατοσθένης παρατήρησε ότι στις 21 Ιουνίου, στις 12 το μεσημέρι, κάθε χρόνο, ο

ήλιος έφτανε μέχρι το νερό ενός πηγαδιού στη Συήνη (σημερινό Ασσουάν) και ότι τα

αντικείμενα δεν άφηναν σκιά, εκείνη τη μέρα και ώρα. Ο ήλιος αντανακλούσε στο

πάτο ενός πηγαδιού (εικόνες 1, 2). Επίσης παρατήρησε ότι στην Αλεξάνδρεια την

ίδια μέρα και ώρα τα αντικείμενα άφηναν σκιά (εικόνα 3).

Εικόνα 1. Ο ήλιος αντανακλά στο νερό του πηγαδιού.

Υπολογισμός της

περιφέρειας της γης.

Η μέτρηση του Ερατοσθένη.

2


Εικόνα 2. Στη Συήνη δεν υπήρχε σκιά.

Εικόνα 3. Στην Αλεξάνδρεια υπήρχε σκιά.

Γιάννης Μίχας, υπεύθυνος ΕΚΦΕ Εύβοιας

Εικόνα 4

Συμπέρανε ότι η γη είναι στρογγυλή. Ο

βρισκόταν ακριβώς από πάνω

Αλεξάνδρεια (εικόνα 4). Ο ήλιος βρισκόταν πάνω στη προέκταση της ακτίνας της γης

στη Συήνη. Επίσης ήξερε ότι η Αλεξάνδρεια βρίσκεται βόρεια από τη Συήνη, στον

ίδιο περίπου μεσημβρινό (ο ίδιος είχε ανακαλύ

και ότι η απόσταση Αλεξάνδρειας

Εικόνα

φ

ΕΚΦΕ Εύβοιας 3-10-2013

πέρανε ότι η γη είναι στρογγυλή. Ο ήλιος εκείνη τη μέρα, το μεσημέρι

βρισκόταν ακριβώς από πάνω του στη Συήνη, αλλά σχημάτιζε γωνία στην

Ο ήλιος βρισκόταν πάνω στη προέκταση της ακτίνας της γης

Επίσης ήξερε ότι η Αλεξάνδρεια βρίσκεται βόρεια από τη Συήνη, στον

μεσημβρινό (ο ίδιος είχε ανακαλύψει το σύστημα των μεσημβρινών)

ότι η απόσταση Αλεξάνδρειας –Συήνης ήταν 5.000 στάδια, περίπου 9

Εικόνα 5

Α

Β Γ

3

ήλιος εκείνη τη μέρα, το μεσημέρι,

Συήνη, αλλά σχημάτιζε γωνία στην

Ο ήλιος βρισκόταν πάνω στη προέκταση της ακτίνας της γης

Επίσης ήξερε ότι η Αλεξάνδρεια βρίσκεται βόρεια από τη Συήνη, στον

μεσημβρινών)

000 στάδια, περίπου 950 km.

4


Εικόνα 5

Εικόνα 6

Μέτρησε µετά την γωνία φ (εικόνα 6). Αν δεν έχουµε µοιρογνωµόνιο, µπορούµε να µετρήσουµε τη γωνία, µετρώντας τη σκιά που άφηνε ένα ξύλο γνωστού µήκους τοποθετηµένου κατακόρυφα, από την εφφ =ΑΒ/ΑΓ = ύψος ραβδιού / µήκος σκιάς. Βρήκε φ = 7,2ο (εικόνα 5). Η γωνία αυτή είναι ακριβώς το 1/50 του κύκλου (360/50=7,2).

5


Βλέπουμε το βίντεο: http://www.eratosthenes.eu/spip/ video (2 min) ή / και το βίντεο:

http://www.youtube.com/watch?v=WC3_4fJRx8g (2,14 min)

Εικόνα 7. Ο Ερατοσθένης στην Αλεξάνδρεια (αριστερά) και στη Συήνη (δεξιά).

Εικόνα 8. Η απόσταση Αλεξάνδρειας – Συήνης είναι το 1/50 του κύκλου

Γιάννης Μίχας, υπεύθυνος ΕΚΦΕ Εύβοιας

Geogebra

Ανοίγουµε το αρχείο της

www.geogebratube.com δηµιουργός

Στις εικόνες 4, 8 και 10, φαίνεται ότι ο λόγος που η σκιά στην Αλεξάνδρεια σχηματίζει γωνία

7,2ο: είναι ότι η Αλεξάνδρεια βρίσκεται 7

γεωγραφικό πλάτος 23,5ο και η Αλεξάνδρεια 30,7

950 km είναι η οδική απόσταση Αλεξάνδρειας

παραλλήλων τους, σε ευθεία γραμμή

40.000 km. Η τιμή που αποδεχόμαστε

km* στον ισημερινό. Πρέπει να σημειωθεί ότι ο Ερατοσθένης υπολόγισε την απόσταση

Αλεξάνδρειας – Συήνης από το χρόνο που χρειάζονταν οι καμήλες για να καλύψουν την

απόσταση. Παρ’ όλα αυτά η μέτρησή του είναι

*(http://geography.about.com/library/faq/blqzcircumference.htm

Εικόνα 9

και μεγέθυνση της κάτω αριστερής γωνίας

Αλεξάνδρεια

ΕΚΦΕ Εύβοιας 3-10-2013

αρχείο της Geogebra “Eratosthenes.ggb” (το βρίσκουµε

δηµιουργός ymichas).

φαίνεται ότι ο λόγος που η σκιά στην Αλεξάνδρεια σχηματίζει γωνία

είναι ότι η Αλεξάνδρεια βρίσκεται 7,2ο πιο βόρεια από τη Συήνη (Η Συήνη

και η Αλεξάνδρεια 30,7ο. Οπότε προκύπτει:

είναι η οδική απόσταση Αλεξάνδρειας – Συήνης. Η απόσταση μεταξύ των

ε ευθεία γραμμή είναι 800 km και τότε η περιφέρεια της γης βγαίνει

Η τιμή που αποδεχόμαστε σήμερα για τη περιφέρεια της γης είναι 4

Πρέπει να σημειωθεί ότι ο Ερατοσθένης υπολόγισε την απόσταση

Συήνης από το χρόνο που χρειάζονταν οι καμήλες για να καλύψουν την

απόσταση. Παρ’ όλα αυτά η μέτρησή του είναι εντυπωσιακά ακριβής.

http://geography.about.com/library/faq/blqzcircumference.htm)

και μεγέθυνση της κάτω αριστερής γωνίας

Συήνη


6

βρίσκουµε στο

φαίνεται ότι ο λόγος που η σκιά στην Αλεξάνδρεια σχηματίζει γωνία

πιο βόρεια από τη Συήνη (Η Συήνη έχει

Η απόσταση μεταξύ των

και τότε η περιφέρεια της γης βγαίνει

σήμερα για τη περιφέρεια της γης είναι 40.075,16

Πρέπει να σημειωθεί ότι ο Ερατοσθένης υπολόγισε την απόσταση

Συήνης από το χρόνο που χρειάζονταν οι καμήλες για να καλύψουν την


Συήνη

7


Χάρτης Αιγύπτου

ΣΥΓΧΡΟΝΕΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΕΙΣ της ΜΕΤΡΗΣΗΣ του ΕΡΑΤΟΣΘΕΝΗ Μπορούμε να επαναλάβουμε τη μέτρηση του Ερατοσθένη, μετρώντας σκιές σε πόλεις της

Ελλάδας που βρίσκονται στον ίδιο μεσημβρινό, όπως οι Σέρρες, η Χαλκίδα και το Καστέλλι

Χανίων. Βρίσκουμε τις ευθείες αποστάσεις μεταξύ των πόλεων από το χάρτη της Ελλάδας ή

από το site: http://distancecalculator.globefeed.com/greece_Distance_Calculator.asp.

Βρίσκουμε και τα γεωγραφικά πλάτη τους, είτε στο χάρτη, είτε στο site

http://www.distancesfrom.com/Latitude-Longitude.aspx

Χαλκίδα Σέρρες Καστέλι Λάρισα Πολύκαστρο

Γεωγρ.Πλάτος 38,46 41,09 35,49 39,36 41,00

Γεωγρ. Μήκος 23,61 23,54 23,65 22,27 22,57

Ευθεία απόσταση 0 290 320 0 151

Επιστρέφουμε στο αρχείο της Geogebra “Eratosthenes.ggb” και θέτουμε το δρομέα α1 στη

τιμή 38,42 (το γεωγραφικό πλάτος της Χαλκίδας) και το δρομέα β1 στη τιμή 41,09 (το

800 km

8


γεωγραφικό πλάτος των Σερρών). Τοποθετούμε μετά, ένα μακρύ αντικείμενο γνωστού

μήκους σε κατακόρυφη θέση και μετράμε τη σκιά που αφήνει στις 12 το μεσημέρι

(χειμερινή ώρα) ή στις 1 μετά το μεσημέρι (θερινή ώρα). Διαιρούμε το μήκος της σκιάς με

το μήκος του αντικειμένου και κινούμε το δρομέα “shadow1” μέχρι η τιμή “shadow” να

δείξει το πηλίκο της διαίρεσης. Διαβάζουμε τη τιμή “shadow2” και επικοινωνούμε με ένα

σχολείο στις Σέρρες και τους λέμε τη τιμή “shadow2” που μετρήσαμε. Πρέπει να είναι η

σκιά που πέφτει από ένα αντικείμενο στις Σέρρες. Διαβάζουμε τη γωνία α (πράσινη). Είναι

το γεωγραφικό πλάτος του τόπου που εκείνη τη μέρα ο ήλιος δε ρίχνει καθόλου σκιά στις

12 το μεσημέρι. Υπολογίζουμε το μήκος της περιφέρειας της γης όπως ο Ερατοσθένης:

290 x 360/(41,09-38,46) = 39.696 km

Ο ήλιος βρίσκεται πάνω από τον ισημερινό (γεωγραφικό πλάτος 0ο) στις 22 Σεπτεμβρίου και

στις 22 Μαρτίου, πάνω από το Ασσουάν (γεωγραφικό πλάτος 23,5ο βόρειο) στις 21 Ιουνίου

και πάνω από το Σαο Πάολο της Βραζιλίας ή το Μαπούτο της Μοζαμβίκης (γεωγραφικό

πλάτος 23,5ο νότιο) στις 21 Δεκεμβρίου.

WOLFRAM Για πιο ακριβείς υπολογισμούς πηγαίνουμε στο site:

http://demonstrations.wolfram.com/CalculatingTheEarthsCircumferenceAtAnyDateFromAn

yLocation/

Το site αυτό υπολογίζει και τη διαφορά που οφείλεται στο ότι οι δύο τόποι δε βρίσκονται

ακριβώς στον ίδιο μεσημβρινό. Επίσης υπολογίζει τη κλίση του άξονα της γης ανάλογα το

μήνα και το χρόνο. Θέτουμε latitude φ1 (γεωγραφικό πλάτος) 38,46ο (της Χαλκίδας) και

longitude (γεωγραφικό μήκος) λ1 = 23,61ο και φ2= 41,09

ο, λ2= 23,54

ο (των Σερρών). Θέτουμε

Εικόνα 10

9


Standard Time Zone 2 (η διαφορά της ώρας της Ελλάδας από την ώρα Greenwich), την

ημερομηνία της μέρας που πάρθηκε η μέτρηση (3-10-2013) και το πρόγραμμα μας δίνει τη

γωνία δ = -4ο 33’ 30’’ που είναι το γεωγραφικό πλάτος των τόπων, όπου ο ήλιος δεν ρίχνει

σκιά στις 12 το μεσημέρι για εκείνη τη μέρα.

ΓΑΛΛΙΑ - ΙΝΔΙΑ Ακολουθεί ένα άλλο παράδειγμα από τη συνεργασία δύο σχολείων, ένα στη Γαλλία και ένα

στην Ινδία που επανέλαβαν τη μέτρηση του Ερατοσθένη στις 10 Φεβρουαρίου 2011. Το

γαλλικό σχολείο βρίσκεται στη πόλη Lafrancaise με γεωγραφικό πλάτος 44o 7’ 48’’ και

γεωγραφικό μήκος 1o 15’ 0’’. Η μέτρηση έγινε στις 13:9:16, τοπική ώρα. Το ινδικό σχολείο

βρίσκεται στη πόλη Meerut με γεωγραφικό πλάτος 29ο 0’ 0’’ και γεωγραφικό μήκος 77

ο 42’

0’’. Η μέτρηση έγινε στις 12:33:28, τοπική ώρα. Το πρόγραμμα δίνει το γεωγραφικό πλάτος

των τόπων, όπου τα αντικείμενα δεν είχαν καθόλου σκιά το μεσημέρι, εκείνης της μέρας:

δ = -14ο 51’ 12’’. Δηλαδή ποια ήταν η κλίση της γης.

Εικόνα 11

10


Στο site http://www.eratosthenes.eu/spip/ βλέπουμε φωτογραφίες και τις μετρήσεις:

Εικόνα 12

Εικόνα 13

Ύψος ραβδιού = 57,1 cm

Μήκος σκιάς = 54,2 cm

Γωνία = 43ο 30’

Ύψος ραβδιού = 100 cm

Μήκος σκιάς = 163 cm

Γωνία = 58ο 30’

11


Εικόνα 14. Η απόσταση μεταξύ των παραλλήλων των δύο πόλεων είναι 1670 km.

Εικόνα 15. Αφαιρούμε τα γεωγραφικά πλάτη των δύο πόλεων (58,5-43,5) και υπολογίζουμε την περιφέρεια

της γης.

12


Ερωτήσεις κατανόησης 1) Ποια μέρα η σκιά είναι πιο μεγάλη;

Στις 21 Δεκεμβρίου, ο ήλιος βρίσκεται στο πιο χαμηλό σημείο στον ουρανό, απ’ όλο

το χρόνο και ρίχνει τις μακρύτερες σκιές.

2) Ποια μέρα η σκιά είναι πιο μικρή; Στις 21 Ιουνίου, βρίσκεται στο πιο ψηλό σημείο.

Στο νότιο ημισφαίριο είναι αντίστροφα.

Πως αλλάζουν οι σκιές, όσο πάμε βορειότερα ή νοτιότερα; Όσο πιο βόρεια, τόσο πιο

μεγάλες οι σκιές. Όσο πιο νότια πάμε οι σκιές μικραίνουν με όριο ένα γεωγραφικό πλάτος

23,5ο που αλλάζει κατά τη διάρκεια του χρόνου. Σ’ αυτό το γεωγραφικό πλάτος δεν έχουμε

καθόλου σκιά. Νοτιότερα οι σκιές μεγαλώνουν πάλι, αλλά κοιτάνε προς το νότο αυτή τη

φορά. Καθόλου σκιά δεν έχουμε στις 21 Ιουνίου στους τόπους με γεωγραφικό πλάτος 23,5ο,

στις 21 Δεκεμβρίου στους τόπους με γεωγραφικό πλάτος -23,5ο, στις 22 Μαρτίου και στις

22 Σεπτεμβρίου στους τόπους με γεωγραφικό πλάτος 0ο (Ισημερινός). Τις υπόλοιπες μέρες

ο ήλιος κινείται ανάμεσα σ’ αυτά τα γεωγραφικά πλάτη.

http://demonstrations.wolfram.com/EratosthenessMeasureOfTheEarthsCircumference/

13


Εικόνα 16. Οι σκιές στο Ασσουάν, στην Αλεξάνδρεια, στη Χαλκίδα και Ελσίνκι στις 21 Ιουνίου.

3) Πως αλλάζουν οι σκιές, όσο πάμε πιο ανατολικά ή πιο δυτικά; Δεν επηρεάζονται. Το

αν ένας τόπος είναι ανατολικά ή δυτικά επηρεάζει μόνο το τι ώρα έχει. Αν στην

Αθήνα έχουμε 12 το μεσημέρι στη Ρώμη που είναι πιο δυτικά έχουν 11 το πρωί,

ενώ στη Μόσχα (ανατολικότερα) έχουν 1 μετά το μεσημέρι.

Ελσίνκι

Χαλκίδα

14


4) Σε ποιες πόλεις, ποιες μέρες δεν έχουμε καθόλου σκιά;

21 Δεκεμβρίου Σάο Πάολο Βραζιλία

Μαπούτο Μοζαμβίκη

Brisbane Αυστραλία

22 Μαρτίου και 22 Σεπτεμβρίου Κίτο Εκουαδόρ

Ναϊρόμπι Κένυα

Σιγκαπούρη Σιγκαπούρη

21 Ιουνίου Κουαν Τσου (Καντώνα) Κίνα

Μουμπάι (Βομβάη) Ινδία

Ασσουάν Αίγυπτος

Πόλη του Μεξικό Μεξικό

15


Documents

Ερατοσθένης - Υπολογισμός της περιφέρειας της γης