اختبارات حول متوسط المجتمع

١

اختبارات حول متوسط المجتمع Tests About a Population Mean

Statistical Hypotheses لفروض اإلحصائیةا) ١(

راراتت ة الق ي نظری ة .عتبر اختبارات الفروض اإلحصائیة أھم فرع ف ا نعرف بدق أوال دعن .ماذا نعني بالفرض اإلحصائي

اإلحصائي ھو جملة ما تخص واحد أو أكثر من المجتمعات، من الممكن أن فرض ال : تعریف .تكون صحیحة أو غیر صحیحة

للتأكد من صحة أو عدم صحة الفرض اإلحصائي ال بد من دراسة كل مفردات المجتمع تحت بدال من ذلك فإننا نختار عینة عشوائیة من . الدراسة وھذا بالطبع غیر عملي في معظم الحاالت

القرار . تمع ونستخدم المعلومات الموجودة في العینة لنتخذ قرار بقبول أو رفض اإلحصائيالمجبینما یكون . الذي نتخذه سوف یكون سلیم إذا كان الفرض صحیح وتم قبولھ أو خطأ وتم رفضھ

. القرار غیر سلیم إذا كان الفرض صحیح وتم رفضھ أو غیر صحیح وتم قبولھ

. null hypothesesعلى أمل أن نرفضھا تسمى فروض العدم الفروض التي نضعھا رفض فرض العدم یؤدي إلى قبول فرض بدیل . 0ویرمز لفرض العدم بالرمز

hypothesis alternative 1ویرمز للفرض البدیل بالرمز . فعلى سبیل المثال إذا كانفإن الفرض ) مقاسھ بالسنتیمتر( 160أن متوسط الطول في مجتمع ما 0فرض العدم

. 160أو 160أو 160قد یكون 1البدیل :لخطأ من النوع األول والخطأ من النوع الثانيا) ٢(

Type I Error and Type II Error

:سوف نسھل المفاھیم المستخدمة في اختبارات الفروض والتي تخص مجتمع ما بالمثال التالي بفرض أنھ تم إجراء اختبار قدرات لعدد من المتقدمین لشغل وظیفة ما في مجال الحاسب من . أجوبة ممكنة واحد منھم الصحیح 5سؤال وكل سؤال لھ 15 یشتمل االختبار على . اآللي

ھذا یعني أن المتقدم لدیھ بعض . درجات فأكثر 7شروط اجتیاز االختبار حصول المتقدم على مة فرض العدم في ھذه الحالة أن معل. المعلومات والتي تؤھلھ للعمل في مجال الحاسب اآللي

1pھو ) سؤال(في محاولة معطاة ) احتمال النجاح(ذي الحدین 5

أي أن الشخص المتقدم ،

1pالفرض البدیل في ھذه الحالة . لالختبار یعتمد على التخمین5

. وعلى ذلك یمكن وضع

:فرض العدم والفرض البدیل على الصورة التالیة

51p:0

51p:1

المتقدم لفقد یحص. إن الطریقة السابقة في اتخاذ القرار قد تؤدي إلى استنتاجین غیر صحیحینفي ھذه الحالة نكون قد وقعنا في خطأ عند . درجات أو أكثر عن طریق التخمین7للوظیفة على

٢

0رفض فرض العدم وقبول فرض البدیل مع أن من یسمى خطا مثل ھذا الخطأ. صحیحا .النوع األول

.یحدث الخطأ من النوع األول إذا كان فرض العدم صحیح ویتخذ قرار برفضھ : تعریف

النوع الثاني من الخطأ والذي یمكن الوقوع فیھ إذا حصل المتقدم للوظیفة على درجة أقل درجات وتستنتج أنھ یخمن بینما ھو في الحقیقة لدیھ بعض المعلومات عن اإلجابة 7من

.الصحیحة

.طأیحدث الخطأ من النوع الثاني إذا قبلنا فرض العدم وھو خ : تعریف

الذي یمثل عدد اإلجابات الصحیحة التي یعتمد قرارنا في ھذا المثال على اإلحصاء 2,1,0x,...,15یحصل علیھا المتقدم في االختبار حیث أن . تقسم 15إلى 0القیم الممكنة من

أما المجموعة الثانیة فتضم القیم التي 7تضم المجموعة األولى القیم األقل من . إلى مجموعتین regionفأكثر تكون منطقة الرفض 7كل الدرجات الممكنة والتي تساوي. فأكثر7تساوي

rejection تكون منطقة القبول 7بینما الدرجات التي أقل منacceptance region . الرقمإذا وقعت قیمة اإلحصاء الذي یعتمد علیھ قرارنا في . critical regionیسمى القیمة الحرجة 7

بینما إذا وقعت قیمة اإلحصاء 1فرض البدیلونقبل ال 0منطقة الرفض نرفض فرض العدم .1ونرفض 0في منطقة القبول نقبل

level of احتمال الوقوع في خطأ من النوع األول یسمى مستوى المعنویة : تعریف

significance لالختبار ویرمز لھ بالرمز .

ال بد من ولحساب قیمة احتمال الوقوع في خطأ من النوع الثاني یرمز لھ بالرمز .وضع فرض بدیل معین

ن ذي یجعل كال م و ال د ھ االختبار الجی عموما , ن الصعب الحصول ن وم ا یمك أصغر من ل م غیر ك ن تص ھ ال یمك ار ألن ذا االختب ى ھ عل , داھما غیر إح ث أن تص د حی ي آن واح ف

ددة لذلك لجأ اإلحصائیون إلى تثبیت مستوى المعنویة . یؤدى إلى تكبیر األخرى ة مح عند قیمة . أقل ما یمكن تم اختیار االختبار اإلحصائي الذي یجعل یم الشائعة لمستوى المعنوی ن الق م

05.0 01.0أو . وي ھ معن ار أن ال لالختب د significantیق ض 05.0عن إذا رفدم 05.0عند مستوى معنویة دمفرض الع دا إذا رفض فرض الع ویعتبر االختبار معنوي ج

.01.0 عند مستوي معنویة عندما یكون المجتمع متصال ال . من السھل توضیح المفاھیم السابقة بیانیا على سبیل المث

ا ھو ة م سم ضد 165إذا كان فرض العدم أن متوسط الطول لمجموعة من الطلبة في جامع :اختبار أي أننا نرغب في. سم 165الفرض البدیل أن متوسط الطول ال یساوى

165:H0 , 165:H1 .

بفرض أن االنحراف المعیاري . 165 أو 165الفرض البدیل یمكن أن یكون عینة ، اإلحصاء الذي سوف نبنى علیھ قرارنا والذي یعتمد على10 لمجتمع األطوال 30n عشوائیة من الحجم سوف یكونX والذي یعتبر التقدیر األكثر كفاءة للمعلمة . یتبع التوزیع الطبیعي بانحراف معیاريXالتوزیع العیني لإلحصاء من المعروف ان تقریبا

8.130/10n/X . بفرض أننا اخترنا منطقة الرفض ممثلة في قیمx األقل من

٣

161Xأي أن. 169التي أكبر من xأو قیم 161 161أوX شكل الوالموضحة في169X161 منطقة القبول سوف تكون. التالى .وعلى ذلك إذا وقع متوسط العینة x في

احتمال الوقوع في خطأ من النوع . 0Hوغیر ذلك نرفض 1Hونرفض 0Hمنطقة القبول نقبل األول، أو مستوى المعنویة لالختبار، یساوى مجموع المساحات المظللة في كل من جانبي

.التالىشكل الفي Xالتوزیع العیني لإلحصاء

:وعلى ذلك فإن 0Hصحیح |161XP 0Hصحیح |169XP

وائي ر العش رجتین للمتغی ین الح ین Zالقیمت ابلتین للقیمت 161x,169xوالمق 12 : صحیحة ھما 0Hعندما تكون

,22.28.1165161z1

.22.28.1165169z2

:وعلى ذلك فإن 22.2ZP22.2ZP

22.2ZP2 22.2Z0P5.02

.0264.0 :اختبارات جانب واحد أو من جانبین )٣(

tailed Tests –tailed and Two –One

یسمى االختبار ، ألي فرض إحصائي ، أنھ من جانب واحد إذا كان على الصورة , 00 :H

. 01 :H

:أو على الشكل , 00 :H . 01 :H

٤

دیل رفض للب ة ال رفض 0منطق ة ال ا منطق ع بینم ن التوزی ن م ب األیم ي الجان ع ف تق0 للبدیل . تقع في الجانب األیسر من التوزیع

:یسمى االختبار، ألي فرض إحصائي، أنھ من جانبین إذا كان على الصورة , 00 :H . 01 :H

دیل رفض للب ة ال ون 0منطق وف تك ن ٠ 0أو 0س ار م ین اختب لة ب المفاضھ ي الوصول إلی ذي یرغب الباحث ف تنتاج ال ى االس جانب واحد أو من جانبین سوف یتوقف عل

:عند رفض فرض العدم من جانبین اختبارات حول متوسط المجتمع ) ٤(

، یساوى قیمة 2بتباین معلوم طبیعى اختبار الفرض أن المتوسط لمجتمع :الحالة األولى :یكون على الشكل 0ضد الفرض البدیل ذي جانبین أن المتوسط ال یساوى 0معینة

, 00 :H 01 :H .

من المجتمع موضع الدراسة nإلجراء االختبار نختار عینة عشوائیة من الحجم :القیمة ونحسب منھا

.

n

xz 0

في المنطقة Zفإذا وقعت 22

zZz .0االستنتاج سوف یكون فوغیر ذلك نرفض

0H . 0ونقبل الفرض البدیل من 2sإذا كان تباین المجتمع مجھول فإننا نحسب تباین العینة 2ونستخدمھ بدال تحت شرط

30أن حجم العینة أكبر من أو یساوى 30n .

مثال

ة أوزان . ینتج مصنع لألغذیة المعلبة نوعا من المعلبات ة بمراقب رة طویل ام المسئولین خالل فت قاري انحراف معی ع الطبیعي ب ا تخضع للتوزی ادة . جرام 2.6ھذه المعلبات ووجد أنھ جرت الع

وزن الصافي وھو ن . جرام 300في المصنع أن یكتب على العلبة ال ة عشوائیة م رت عین اختیدم . 305xة وكان متوسط الوزن من العینة علب 20 ضد الفرض = 300أختبر فرض الع

300البدیل . = 0.01وذلك عند مستوى معنویة

:الحــل

.01.0 575.2z 005.0 575.2منطقة الرفض .والمستخرجة من جدول التوزیع الطبیعي القیاسيZ

575.2Zأو

,300:H0 .300:H1

٥

.6.8

206.2300305

n

xz 0

.تقع في منطقة الرفض zنرفض فرض العدم ألن

مثال طبیعیا إذا كان من المعروف أن كمیة المحصول بالمنتج من إحدى المحاصیل یتبع توزیعا

فدانا وتم حساب 15إردب للفدان ، اختیرت عینة عشوائیة مساحتھا 30بانحراف معیاري إردب للفدان أختبر الفرض القائل أن الكمیة المتوقعة 490متوسط المحصول في العینة فكانت

. 05.0إردب للفدان وذلك عند مستوى معنویة 500للمحصول تساوى

:الحــل

.05.0 96.1z 025.0 96.1منطقة الرفض .والمستخرجة من جدول التوزیع الطبیعي القیاسيZ أو

96.1Z .291.1

1530

500490

n

xz 0

.قبولتقع في منطقة ال zفرض العدم ألن قبلن

مثالة بمتوسط ة أتوماتیكی ا بطریق اس بسلعة م یس 55تستخدم آلة لملئ أكی ة . جرام للك رت عین اختی

ان 35عشوائیة من 57xكیس من ھذه اآللة وتم حساب متوسط وزن الكیس فك واالنحرافاري 3sالمعی دم رض الع ر ف H0:55جرام أختب دیل رض الب د الف H1:55ض ك وذل

. 05.0عند مستوى معنویة

:الحــل,55:H0 .55:H1

.05.0

30nبما أن فإنھ یمكننا استخدامs من . Zفي صیغة بدال96.1z 025.0 96.1منطقة الرفض .والمستخرجة من جدول التوزیع الطبیعي القیاسيZ أو96.1Z

.944.3

353

5557

ns

xz 0


,500:H0 .500:H1

٦

مثال

ت ل إذا كان اء الحوام ل النس دم لك یر ال ط س ل متوس دم . تمث رض الع ار ف الختب63.5:H0 دیل H1:63.5ضد الفرض الب ن ة عشوائیة م ى عین اد عل ك باالعتم وذل

ن الحجم 176nالنساء الحوامل م ن رفض . ھ یمك د أن ة 0Hفھل تعتق د مستوى معنوی عن01.0 1.6إذا كانتx,7.0s ؟

:الحــل,63.5:H0 .63.5:H1

.01.0

30nبما أن فإنھ یمكننا استخدامs من . Zفي صیغة بدال 575.2z 005.0 575.2منطقة الرفض .والمستخرجة من جدول التوزیع الطبیعي القیاسيZ

575.2Zأو .908.8

1767.0

63.51.6

ns

xz 0


مثالھ 35اختیرت عینة عشوائیة من د أن دخل الشھري لألسرة فوج $500أسرة وحسب متوسط ال

ع یساوى. $40 بانحراف معیاري ذا المجتم ي ھ اختبر فرض العدم أن متوسط دخل األسرة ف . 01.0 وذلك عند مستوى معنویة 450ضد الفرض البدیل $ 450

:الحــل,450:H0 .450:H1

.01.0 30nبما أن فإنھ یمكننا استخدامs من . Zفي صیغة بدال

575.2z 005.0 575.2منطقة الرفض .والمستخرجة من جدول التوزیع الطبیعي القیاسيZ 575.2Zأو

.395.7

3540

450500

ns

xz 0


٧

وم ، این معل ة2عند االھتمام باختبار الفرض أن متوسط المجتمع بتب ة معین ، یساوى قیم0 د أي ب واح ن جان دیل م رض الب د الف وف 0ض دیل س رض الب دم والف رض الع إن ف ف

:یكونان على الشكل ,:H 00

. 01 :H

م ن الحج ا nالجراء االختبار نختار عینة عشوائیة م ن المجتمع موضع الدراسة تحسب منھ م :القیمة

0 0xz

n

تصبح وعلى ذلك منطقة الرفض من الحجم zZ دیل ٠ ع 0للفرض الب سوف نتب

خطوات الطریقة السابقة فیما عدا أن منطقة الرفض سوف تكون zZ .

)مثالاتفق أحد مصدري البیض مع أحد التجار على أن یورد األخیر لألول عدد من البیض من الحجم

بیضة فوجد أن 100المصدر باختیار عینة عشوائیة منالكبیر ولما أحضر التاجر البیض قام H0:65اختبر فرض العدم. 6.1جراما بانحراف معیاري 67 متوسط وزن البیضة ضد

H1:65الفرض البدیل )05.0مستوى المعنویة (


.05.0 30nبما أن فإنھ یمكننا استخدامs من Z . 645.1zفي صیغة بدال 05.0

645.1Zمنطقة الرفض .والمستخرجة من جدول التوزیع الطبیعي القیاسي .5.12

1006.16567

ns

xz 0

.أي أن المورد سوف یقبل استالم البیض . تقع في منطقة الرفض zألن 0Hنرفض

مثالرت . دقیقة 25ال تزید مدة المكالمة التلیفونیة التي یطلبھا الموظف عن أن قررت شركة ما اختی

ن ت متوسط 35عینة عشوائیة م ة فأعطی اري 25.26مكالم انحراف معی ة ب ا 1.2دقیق ة م دقیق .05.0ناء على ھذه العینة وذلك عند مستوى معنویة االستنتاج الذي یمكن اتخاذه ب

:الحــل,25:H0

٨

.25:H1 .05.0

30nبما أن فإنھ یمكننا استخدامs من Z . 645.1zفي صیغة بدال 05.0 645.1Zمنطقة الرفض .والمستخرجة من جدول التوزیع الطبیعي القیاسي

.521.3

351.2

2525.26

ns

xz 0

.أي أن قرار الشركة ینفذ. تقع في منطقة الرفض zألن 0Hنرفض

مثالة ع اآلل ي المتوسط تطب ھ ف ي دار للنشر أن ا 45یعتقد مسئول ف د م ن مجل ة م ي الدقیق نسخة ف

اري انحراف معی ب ا طبیعی ة 1.2علما بأن المجتمع الذي اختیرت منھ العینة یتبع توزیعا دقیقة . ذت عین م أخ ع ث ة الطب ى آل دیالت عل م إدخال تع ع ت ي تطب خ الت دد النس ادة ع ة لزی ي محاول ف

ن الحجم 25nعشوائیة م ة ي الدقیق دد النسخ ف ان متوسط ع 55xفك . دم ر فرض الع اختب45:H0 45ضد الفرض البدیل 05.0عند مستوى معنویة٠



.8095.23

251.24555

n

xz 0

.تقع في منطقة الرفض zألن 0Hنرفض

مثالمن المعروف أن أحد أدویة إزالة األلم المستخدمة یمكنھا إزالة األلم للمریض في فترة زمنیة

ولمقارنة ھذا الدواء بدواء جدید إلزالة األلم اختیرت عینة عشوائیة من. دقیقة 7.3متوسطھامریضا وتم إعطاء الدواء الجدید لھم فكان المتوسط الحسابي لطول فترة إزالة األلم في ھذه 60

فھل تدل ھذه النتائج أن الدواء الجدید أفضل . دقیقة 2.1دقیقة بانحراف معیاري 2.2 العینةمن الدواء القدیم من حیث الفترة الالزمة إلزالة المرض ؟ وذلك عند مستوى معنویة

05.0 .

:الحــل,7.3:H0 .7.3:H1

.05.0 30nبما أن فإنھ یمكننا استخدامs من . Zفي صیغة بدال

645.1z 05.0 645.1منطقة الرفض .والمستخرجة من جدول التوزیع الطبیعي القیاسيZ

٩

.682.9

602.1

7.32.2

ns

xz 0

أي أن الدواء الجدید أفضل من الدواء القدیم . تقع في منطقة الرفض zنرفض فرض العدم ألن .من حیث الفترة الالزمة إلزالة المرض

مثال

ة د منطق ، أوج ا طبیعی ا ھ توزیع ع ل ن مجتم ا م للمعلومات التالیة إذا علم أن العینة تم اختیارھ وقرر ھل تقبل فرض العدم أم ال ؟ zالرفض وأحسب قیمة

.25x,05.0,20n,,6,30:H,30:H 10



.7268.3

206

3025

n

xz 0


مثالفي دراسة لمعرفة تأثیر نوع معین من معجون األسنان على مقاومة تسوس األسنان

طالبا وأشرف علیھم أحد المدرسین حتى یستعملوا ھذا المعجون 25اختیرت عینة عشوائیة من من یومیا ثم قیست المقاومة بعد ثالثة أشھر من ھذه المحاولة بمقیاس معین لعدد المیكروبات

5xنوع معروف موجود في اللعاب فكانت . فإذا كان معروف للباحث أن ھذا المقیاس یتبعفھل ھناك ما یدعو إلى االعتقاد بأن لھذا . 49.0التوزیع الطبیعي بانحراف معیاري

علما ؟ 01.0ویة ـعنسوس وذلك عند مستوى مـالمعجون فائدة على زیادة المقاومة ضد التH0:3ن أب .

:الحــل,3:H0 .3:H1 .01.0

325.2z 01.0 منطقة الرفض .والمستخرجة من جدول التوزیع الطبیعي القیاسي325.2Z

.40816.20

2549.0

35

n

xz 0

أي أن المعجون لیس لھ فائدة على زیادة . تقع في منطقة القبول zنقبل فرض العدم ألن .المقاومة ضد تسوس األسنان

١٠

دما یكون :ثانیة الحالة ال ع طبیعي عن ي تخص متوسط مجتم في بعض اختبارات الفروض الت30nمجھول وحجم العینة صغیر 2تباین المجتمع . د ة، سوف یعتم ذه الحال ي ھ تنتاجنا، ف اس

:بفرض اختبار من جانب واحد على الشكل . tعلى توزیع,:H 00 01 :H

م ن الحج وائیة م ة عش ار عین 30nنخت ط ب المتوس ع ونحس ن المجتم راف xم واالنح :وعلى ذلك sالمعیاري

ns

xt 0

ع Tھى قیمة لمتغیر عشوائي ة tلھ توزی درجات حری 1nب دما 0Hعن ة . صحیحا منطقع ة. tالرفض سوف تكون في الذیل األیسر من توزی ى لمستوى معنوی ن الحصول عل یمك

قیمة واحدة tt1 بحیث أن tT تمثل منطقة الرفض و tT ول ة القب ل منطق . تمث

:التالى شكل الحجم منطقة الرفض یساوى المساحة المظللة في

00منطقة الرفض للفرض البدیل :H ة ، ھى بمستوى معنوی tT . دیل للفرض الب

00 :H ة ة لمستوى معنوی رفض المقابل ة ال tT/2، ھى فإن منطق 2أو/tT ة tوعلى ذلك نحسب قیمة اإلحصاء ، أي قیمة ٠ ل t، وإذا وقعت قیم ول نقب ة القب ي منطق ف

.0H فرض العدم وغیر ذلك نرفض

مثالذیتھا م تغ ران وت ن ستة فئ ة عشوائیة م رت عین وزن اختی لمعرفة اثر غذاء معین على زیادة ال

: بھذا الغذاء وكانت الزیادة في أوزانھم بعد التغذیة ھى 5.2,7.1,4.1,4.1,5.2,3.2

ھ ك 2.1فھل یمكن الحكم على أن ھذه العینة من مجتمع متوسط الزیادة في الوزن فی أم ال ؟ وذل .وذلك تحت فرض أن العینة تم اختیارھا من مجتمع طبیعي . 05.0عند مستوى معنویة

١١

:الحــل,2.1:H0 .2.1:H1

.05.0 571.2t 025. 5توزیع عند درجات حریةجدول والمستخرجة من.

571.2T منطقة الرفض 571.2أوT

,967.16

8.11n

xx

n

1ii

n

)x(x

1n1s

n

1i

2in

1i

2i

.528.06

)8.11(6.2451 2

.5582.3

6528.0

2.1967.1

ns

xt 0

. تقع في منطقة الرفض tألن 0Hنرفض

مثال :فكانت أطوالھم بالبوصة ھي 10اختیرت عینة عشوائیة من

70,61,80,71,72,64,68,68,70,81 دیل 75اختبر الفرض القائل أن ة 75ضد الفرض الب د مستوى معنوی . 05.0عن

مع العلم بأن المجتمع الذي طبیعیا .اختیرت منھ العینة یتبع توزیعا


.05.0 262.2t 025. توزیع جدول والمستخرجة منt 9عند درجات حریة.

262.2T منطقة الرفض 262.2أوT

,5.7010705

n

xx

n

1ii

١٢

n

)x(x

1n1s

n

1i

2in

1i

2i

.22.610

)705(5005191 2

.29.2

1022.6

755.70

ns

xt 0

. تقع في منطقة الرفض tألن 0Hنرفض

مثالان متوسط . عبوة من مشروب بارد استخدمت آلة لتعبئتھ 20اختیرت عینة عشوائیة من فإذا ك

وة 5.7xالعب اري انحراف معی ة ب ة 47.0أوقی دم أن . أوقی رض الع ر ف د 8.7اختب ضة 8.7الفرض البدیل رت 01.0عند مستوى معنوی ذي اختی ع ال تحت فرض أن المجتم

طبیعیا .منھ العینة یتبع توزیعا

:الحــل,8.7:H0 .8.7:H1

.01.0 539.2t 01. توزیع جدول والمستخرجة منt 19عند درجات حریة.

539.2T منطقة الرفض ,5.7x 47.0s

.85.2

2047.0

8.75.7

ns

xt 0

. رفضتقع في منطقة ال tألن 0Hرفضن

Documents

اختبارات حول متوسط المجتمع