Сборник статей "Технология построения систем задач по математике"

ТТЕЕХХННООЛЛООГГИИ

1

ИИЯЯ ППООССТТРРООЕЕННИИЯЯ ССИИССТТЕЕММ

ППОО ММААТТЕЕММААТТИИККЕЕ

МОСКВА, 2012

ССССССССббббббббооооооооррррррррнннннннниииииииикккккккк ссссссссттттттттааааааааттттттттеееееееейййййййй

ММ ЗЗААДДААЧЧ

2

МЕЖДУНАРОДНЫЙ ЦЕНТР ОБРАЗОВАНИЯ «АТЛАНТИК» ГОРОДА МОСКВЫ

Ильязов И.Ф.

Технология построения систем задач по математике. Сборник статей /

И.Ф. Ильязов. – Москва: МЦО «Атлантик», 2012. – 24 с.

Рецензент: Сорокин Владимир Борисович, кандидат философских наук,

главный редактор журнала «Образование в современной школе»,

председатель координационного совета «Ассоциации творческих учителей

России», «Отличник народного просвещения».

© Международный центр образования «Атлантик»

© И.Ф. Ильязов

3

Содержание

1. Диагностика задач при построении системы разноуровневой сложности 4

2. Проектирование систематизированной системы задач с наперед заданными

свойствами 10

3. Система задач как средство развития интеллектуальной математической

деятельности школьников 17

4

Диагностика задач при построении системы разноуровневой сложности.

Аннотация: В данной статье – сформированы требования к определению уровня сложности задач;

– произведена диагностика задач по уровням сложности;

– изложены положения реализации системы задач разноуровневой сложности.

Ключевые слова: система задач, уровни сложности задач, диагностика задач,

педагогическая технология, интеллектуальная математическая деятельность.

Многолетний опыт обучения и наблюдения за школьниками с различными

способностями, и учитывая мнение некоторых психологов, позволяет сделать вывод, что

необходимо сделать процесс обучения для каждого ученика психологически комфортным,

сменив знак эмоционального фона учебного интеллектуального труда с отрицательного на положительный, а также постараться избавить их от старых познавательных стереотипов

и по возможности не формировать у них новых познавательных барьеров.

Посещение большого числа уроков учителей математики позволяет отметить, что

традиционно решение стандартных задач продолжается так долго и часто, что не остается

времени на решение задач повышенной сложности. К сожалению, на уроках математики

не учат решению и анализу таких задач. Задачи повышенной сложности, которые от случая к случаю появляются на уроках, адресуются, прежде всего, способным учащимся.

Их решение если и обсуждается на уроках, то происходит при пассивном участии

большинства учащихся, которые играют роль незаинтересованных зрителей.

Для решения вышеуказанных проблем появляется необходимость в создании такой

системы задач, которая годиться для всех учащихся, и является наиболее эффективным

средством развития интеллектуальной математической деятельности школьников.

В системе задачи классифицируется по трем уровням сложности. Выбор задачи

предполагает четкое понятие учителем тех умений, которыми должны овладеть учащиеся,

решая данные задачи. Это позволяет учителю легко оказать адресную помощь ученикам,

т.к. он знает, какие именно умения западают у школьников.

Мы считаем, что эффективно оценить сложность задачи можно лишь в случае, если

известно, как она решается. При построении системы вся совокупность учебных задач, в

рамках которых производилась оценка сложности, была описана или зафиксирована, чтобы имелась возможность сравнивать решения задач между собой на основе моделирования каждого решения.

В разработанной системе учебные задачи делятся на две группы:

1) задачи на усвоение основного материала по текущей теме, обеспечивающие готовность

школьника к изучению последующего материала; 2) задачи для совершенствования и углубления изучаемого материала соответственно

способностям и интересам школьников, направленные на развитие интеллектуальной

математической деятельности.

Формула расчета сложности задач условно состоит из двух взаимосвязанных частей:

– дифференциации по уровню усвоения школьниками учебного материала; – дифференциации по уровню содержания учебного материала. Уровни усвоения школьниками учебного материала мы рассматриваем следующим

образом:

5

– первый уровень сложности. Соответствует уровню актуального развития учащихся.

Предполагает подачу небольшого количества единиц учебного элемента направленных на понимание учебного материала; – второй уровень сложности. Соответствует уровню ближайшего развития учащихся.

Предполагает удвоение предыдущих единиц учебных элементов направленных на укрепление учебного материала; – третий уровень сложности. Соответствует уровню активного развития интеллектуальной

математической деятельности учащихся. Предполагает в два раза большей сложности

содержания единиц учебных элементов в учебном материале относительно второго

уровня и в три раза большему уровню единиц учебных элементов по сравнению с первым

уровнем направленных на углубление учебного материала. Различие задач по уровню содержания мы охарактеризовали следующим образом:

– на первом уровне задается набор базовых операций или элементов, при комбинировании

которых учащийся может получить полное решение задачи. В этот набор включаются

только те элементы, которые воспринимаются учащимися в поисках решения задачи как

не имеющие собственной структуры и, кроме того, могут считаться всегда готовыми к

использованию;

– на втором уровне элементами служат простейшие комбинации элементов первого

уровня. «Простейшие» – в том смысле, что связи, образующие комбинации, соединяют лишь детерминированные операции и сами относятся к «базовым»;

– на третьем уровне элементами являются комбинации, составленные из комбинаций

второго уровня.

Следуя теории измерения параметров математической задачи по К.Н. Лунгу [3], при

построении системы диагностику задач по уровням сложности мы осуществляли по трем

критериям: 1) информационная ёмкость задачи; 2) структура логических связей между её

элементами; 3) трудоёмкость выполняемых действий.

1. Информационная ёмкость задачи (V)

Информационную емкость задачи определяем как информационную ёмкость её

текста или совокупности учебных элементов. Информационная ёмкость – числовой

параметр, по которому учащийся ориентируется в том, насколько он знаком с теми или

иными учебными элементами; она отражает ориентировочную основу действия.

Информационная ёмкость задачи влияет на понимание её условий.

Приведем примеры задач разной информационной емкости по теме «Квадратичная

функция» из нашей системы задач.

Задача 1 (уровень 1). Постройте график функции 2 4 3y x x= − + − . Какие значения

принимает функция, если 0 3х≤ ≤ ?

Задача 2 (уровень 2). Постройте график функции 2 4

8 4

xy

x

−=

−.

Задача 3 (уровень 3). Постройте график функции 3 2

2

2

2

x x xy

x x

− −=

−. При каких

значениях х выполняет неравенство 3у ≤ ?

В задаче 1 имеем дело с тремя учебными элементами: 1) график функции; 2)

область определения функции; 3) квадратичная функция. В задаче 2 имеем четыре

учебных элемента: 1) график функции; 2) область определения функции; 3) квадратичная

6

функция; 4) линейная функция. В задаче 3 имеем пять учебных элементов: 1) график

функции; 2) область определения функции; 3) квадратичная функция; 4) линейная

функция; 5) область значения функции.

2. Диагностирование логических связей элементов задачи (S)

Диагностика задачи по этому параметру основывается на логической

структуризации учебных элементов, вопросов, тем, разделов и т.д. Логическая структура и

логические связи элементов задачи играют интегрирующую роль внутрипредметных и

межпредметных связей.

Мы исходим из следующей структуры курса «Алгебра 8 класса»: 1) Глава 1.

Преобразование выражений; 2) Глава 2. Квадратные корни; 3) Глава 3. Квадратные уравнения; 4) Глава 4. Квадратные неравенства; 5) Глава 5. Квадратичная функция.

Каждая из этих глав имеет собственную структуру – деление на параграфы и пункты.

Приведем примеры задач по теме «Квадратные уравнения» из нашей системы

задач. Задачам, содержащим учебные элементы одной главы и одного параграфа, сопоставим уровень 1; задачам, содержащим учебные элементы двух параграфов одной

главы, сопоставим уровень 2; задачам, содержащим учебные элементы разных глав и

параграфов, сопоставим уровень 3.

Задача 1 (уровень 1). Решите уравнение 25 12 7 0x x− + =

Задача 2 (уровень 2). Решите уравнение ( )( )2 24 4 17 60x x x x+ + − = −

Задача 3 (уровень 3). Решите уравнение 2

2

1 17 2 9х x

x x

+ − + =

В задаче 1 решение квадратного уравнения любым удобным способом, т.е. один

параграф одной главы. В задаче 2 решение квадратного уравнения любым удобным

способом используя метод замены переменной, т.е. два параграфа одной главы. В задаче 3

решение квадратного уравнения любым удобным способом используя метод замены

переменной, формулы сокращенного умножения и решение рациональных уравнений, т.е. две главы и четыре параграфа.

3. Диагностика трудоёмкости решения задачи (T)

Трудоёмкость задачи определяем по количеству и качеству применяемых методов

и приёмов, выполнения действий, необходимых для её решения, а также по времени,

необходимому (фактически) для решения задачи.

Приведём примеры задач трёх уровней трудоёмкости по теме «Квадратные неравенства» из нашей системы задач.

Задача 1 (уровень 1). Найдите область определения выражения 23 2х х− −

Задача 2 (уровень 2). Сравните значения выражений 101 102 и 99 104+ +

Задача 3 (уровень 3). Решите неравенство ( ) ( )2 22 2 3 1 3х х х+ + + >

В задаче 1 необходимо лишь указать о том, что выражение больше или равно нулю,

что вытекает из свойства квадратного корня и решить простое квадратное неравенство

методом интервалов. В задаче 2 необходимо сделать преобразования выражений, далее используя свойства квадратного корня и свойства дробей сравнить данные выражения. В

задаче 3 для решения неравенства необходимо использовать формулы сокращенного

умножения, сделать замену переменной и т.д., т.е. решить в несколько этапов и чтобы

получить результат, нужны содержательные вычисления.

7

В качестве оценки задачи можно принимать сумму трёх её критериев

K V S T= + + , или взвешенную сумму P aV bS cT= + + , где коэффициенты а, b, с

выражают важность того или иного параметра задачи.

Формируя мотивацию развития интеллектуальной математической деятельности в

процессе предлагаемых школьникам математических задач, мы исходим из следующих

положений:

– большинство задач, предлагаемых школьникам, помогут им при сдаче экзаменов;

– большинство задач опирается на математические знания основного материала; – решение части задач позволяет школьникам вместе с преподавателем найти

дополнительные пути решения.

Использование формулы расчета уровня сложности и диагностику задач дает

возможность построения такой системы, которая позволяет: – углубить знания по математике, предусматривающее развитие интеллектуальной

математической деятельности;

– выявить и развить математические способности;

– повысить уровень интеллектуального математического мышления;

– обеспечить интеллектуальное воспитание [1].

Для простроения системы задач использовался технологический подход,

вытекающий из педагогической технологии В.М. Монахова [4], который позволяет: – делать открытым учебный процесс для школьников;

– включать школьников в осознанную учебную деятельность;

– обеспечивать объективную и однозначно понимаемую оценку уровня усвоения

учебного материала; – организовать самостоятельную познавательную деятельность школьников и т.д.

Такая система задач способствует процессу самоопределения учащихся, помогает им

адекватно оценить свои математические способности, обеспечивая системное включение школьника в процесс самостоятельного построения знаний.

Выбор траектории движения ученика к микроцели выражается в выборе объема и

содержания самостоятельной деятельности учащихся. Дозирование самостоятельной

деятельности учащихся представляет собой определение совокупности задач, которые ученик должен выполнить самостоятельно. Это гарантированно подготовит ученика к

диагностики через самостоятельное выполнение определенного объема специально

подобранной системы упражнений, и приводит к приобретению опыта, который дает возможность:

– понимать и принимать цели предстоящей деятельности;

– осознанно выстраивать последовательность собственных действий;

– субъективно оценивать качество отдельных действий и результатов своей творческой

деятельности;

– обращаться к уже изученному материалу с новой точки зрения и т.д.

Поскольку уровни усвоения учебного материала школьником диагностируются по

каждой микроцели, то можно говорить об отлаженной системе мониторинга качества

образования, так как создана цепочка, совокупность непрерывных контролирующих

действий, позволяющих наблюдать и корректировать по мере необходимости

продвижение школьника в процессе обучения.

Мы считаем, что использование системы в педагогической технологии В.М.

8

Монахова соответствует активному интеллектуальному математическому развитию.

Ниже приведены примеры построения фрагмента карты-проекта учебного процесса (рисунок 1) и фрагмента технологической карты (рисунок 2), построенные по технологии

В.М. Монахова1.

Карта-проект учебного процесса Циклы Темы Микроцели

I

10 часов

Технологическая карта №1

Преобразование выражения

В1: уметь раскладывать

многочлен на множители с учётом

формул сокращённого

умножения.

В2: уметь раскладывать

многочлен на множители

способом группировки.

В3: уметь преобразовывать

выражения, используя различные способы разложения многочленов

на множители.

II

12 часов


Квадратные корни

В1: уметь применять свойства квадратного корня.

В2: уметь преобразовывать

выражения с квадратными

корнями

В3: уметь применять свойства

квадратного корня при

преобразовании выражений

III

16 часов


Квадратные уравнения

В1: уметь решать квадратные уравнения

В2: уметь решать уравнения

методом введения новой

переменной

В3: уметь решать рациональные

уравнения, используя метод

введения новой переменной

IV

14 часов


Квадратные неравенства

В1: уметь решать квадратные

неравенства


неравенства учитывая свойства

квадратного корня


неравенства применения метод

введения новой переменной

V

12 часов


Квадратичная функция

В1: знать свойства функции 2у ax bx c= + +

В2: уметь строить график

функции 2у ax bx c= + +

В3: уметь применять свойства

функции 2у ax bx c= + + и

строить ее график.

Рисунок 1. Карта-проект учебного процесса (фрагмент)

1 С правилами построения учебного процесса по технологии В.М. Монахова можно ознакомиться на сайте «Центра педагогических технологий В.М. Монахова» http://www.ctm-tlt.ru в разделе «Технология

проектирования учебного процесса».

9

Логическая структура

учебного процесса


Тема: Преобразование выражений

В1 Д1 Д2 Д3

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20

В.М. Монахов

Класс: 8

Предмет: Алгебра Учитель: Ильязов

Целеполагание Диагностика Коррекция

В1: уметь

раскладывать

многочлен на множители с учётом

формул сокращённого

умножения.

Д1: 1) Разложите на множители 2 2 29 12 4a b bc c− + −

2) Упростите выражение

( )2 2

3 6 4:

2 242

c c c c

c ccc

−− −

+ +−+

К1:

- трудности при

нахождение общего

множителя;

- вычислительные ошибки нахождение общего множителя;

В2: уметь

раскладывать

многочлен на множители способом

группировки.

Д2: 1) Положительные числа a и b связаны

соотношением 2 23 2 5a b ab− = Найдите значения

выражения 2

.3

b a

a b

−

+

2) Сократите дробь 2 2

2

2 5 3

2

x xy y

x xy

+ −

−

К2:

- трудности при

группировки членов

многочлена; - потеря знака

В3: уметь

преобразовывать

выражения, используя

различные способы

разложения

многочленов на множители.

Д3: 1) Упростите выражение 2

2

36 2 12

8 6 612 36

y y y y

y y yy y

−⋅ − +

− − −− +

2) Докажите тождество

( )( ) ( )( ) ( )( )

1 1 10

x y y z x z y z z x y x− − =

− − − − − −

Задачи повышенной сложности:

3) Разложите на множители 2 22a x ax a x− − − +

4) Представьте многочлен в виде произведения

двух множителей ( )( )( )1 2 3 15x x x x+ + + −

К3:

Дозирование самостоятельной работы

ДЗ1: ДЗ2: ДЗ3:

Рисунок 2. Технологическая карта (фрагмент)

Разработанная система задач разноуровневой сложности использовалась в различных

учебных заведениях. Результаты исследования показали, что система, во-первых, создает

условия для проявления математических способностей учащихся, во-вторых, делает понятными ученикам задачи обучения, которые ставит учитель, в-третьих, оптимизирует занятия.

Список литературы

1. Гельфман Э.Г., Холодная М.А. Психодидактика школьного учебника. Интеллектуальное воспитание учащихся. СПб.: Питер, 2006. – 380 с. 2. Гусев В.А. Теоретические основы обучения математике в средней школе: психология

математического образования. Москва: Дрофа, 2010. – 473 с. 3. Лунгу К.Н. Диагностическая модель математической задачи. Вестник МГОУ, серия

«Педагогика», №3, 2009. С. 136 – 139.

4. Монахов В.М. Введение в теорию педагогических технологий. Монография, г. Волгоград «Перемена» 2006. – 318 с. 5. Алгебра: сборник заданий для подготовки к итоговой аттестации в 9 кл./ Л.В.

Кузнецова, С.Б. Суворова и др. – Москва: Просвещение, 2006. – 192 с.

10

Проектирование систематизированной системы задач с наперед заданными

свойствами.

Аннотация: В данной статье речь идет о проектировании систематизированной

системы задач разноуровневой сложности по математике с наперед заданными

свойствами, направленная на развитие творческой математической деятельности

школьников. Для проектирования системы задач использовались технологический

подход, вытекающий из педагогической технологии В.М. Монахова и теория определения

сложности и трудности учебных задач по И.Д. Пехлецкому.

Ключевые слова: творческая математическая деятельность, индивидуальная

траектория обучения, уровни сложности задач, задачи повышенной сложности,

систематизация учебного материала, система задач.

Известно, что только незначительный процент учащихся выбирает математику как

основу своей будущей профессиональной деятельности. Однако надо учитывать

следующее: – элементы творческой деятельности необходимы всем учащимся, независимо от того,

чем они будут заниматься в жизни;

– творческая деятельность дает возможность развития каждого учащегося в рамках

обучения математике; – для тех, кто выберет математику основой своей будущей деятельности, выделенные элементы творчества станут базой, позволяющей глубже вникнуть в творческую

деятельность как деятельность профессиональную.

В научной педагогической литературе творческую деятельность характеризуют как:

– видение структуры объекта; – самостоятельный перенос знаний и умений в новую ситуацию;

– способность усматривать в массе факторов существенное и находить основания для их

взаимосвязи;

– комбинирование и преобразование ранее известных способов деятельности при

решении новой проблемы и т.д.

Используя задачи повышенной сложности в процессе обучения в течение ряда лет в

различных учебных заведениях мы пришли к выводу, что задачи указанного типа помогают преодолеть трудности, возникающие при формирование творческого подхода в

жизни у всех учащихся, а также в организации творческой деятельности на уроках

математики.

Под задачами повышенной сложности мы понимаем учебные задачи, которые имеют усложненную логическую структуру и характеризуются наличием латентных связей

между данными и искомыми элементами и при их решении в максимальной степени

выражаются такие параметры трудности как неочевидность разложения задачи в

последовательность шаблонных подзадач, необходимость использования нескольких тем,

методов и приемов из разных тематических областей.

Ниже приведены примеры задач повышенной сложности по теме «Квадратные

корни»:

1) Упростите выражение 2

2

x x x x

x x

+ −

−

11

Решение: ( )

( )

( )( )2 2 12 2 21

2 2 2 22

x x x x xx x x x x x x xx

x x x x xx x

+ − − ++ − + − − −= = = − = − = − −

− − − −−

Ответ: 1x− − 2) Между какими соседними целыми числами заключено значение выражения

1921

1...

35

1

13

1

+++

++

+?

Решение: 1 1 1 3 1 5 3 21 19

... ...3 1 5 3 21 193 1 5 3 21 19

− − −+ + + = + + + =

− − −+ + +

2

211

2

1921...3513 +−=

−++−+−= .

Так как 5214 << , то 41213 <−< ; 2

4

2

121

2

3<

−< ; 2

2

1211 <

−< .

Ответ: между числами 1 и 2.

Взяв за основу задачи повышенной сложности, нами разработана систематизированная система задач разноуровневой сложности с наперед заданными

свойствами с целью развития творческой математической деятельности [2], влияющей на развитие различных качеств у школьников. Последние являются фундаментом для

формирования личности.

Под наперед заданными свойствами мы понимаем принцип дифференциации,

оттачивание одаренности и формирование новых качеств индивидуума под

педагогическим воздействием.

Принцип дифференциации подразумевает разбиение группы на малые подгруппы

для более качественного построения индивидуальной траектории обучения школьников.

Оттачивание одаренности – это развитие у школьников способности быстро

схватывать смысл понятий, принципов, сосредотачиваться на интересующих материалах,

подмечать, рассуждать, выдвигать объяснения, получать удовольствия от деятельности.

Нами предпринято формирование следующих качеств индивидуума: – понимать и принимать цели предстоящей деятельности;

– осознанно выстраивать последовательность собственных действий;

– субъективно оценивать качество отдельных действий и результатов своей деятельности.

Анализ психолого-педагогической литературы позволил выделить условия,

способствующие организации познавательной деятельности школьников, направленной

на развитие творческой математической деятельности. Перечислим некоторые из них:

– развитие у школьников потребностей в знаниях об успешности их учебной деятельности

и коррекции этой деятельности при необходимости;

– развитие умений организовывать собственную учебную деятельность;

– формирование познавательной деятельности.

При развитие творческой математической деятельности необходимо учитывать

следующие дидактические условия:

– выполнение школьниками на каждом из этапов обучения задач, способствующих

пониманию школьниками гносеологических основ выполняемых действий и операций,

формированию структуры познавательной деятельности по решению задач;

– ознакомление школьников с элементами теории решения задач повышенной сложности,

а также структурой деятельности по их решению и методами, способами, приемами

12

решения;

– поэтапная структура учебного процесса, направленного на развитие творческой


В процессе проведения исследования мы пришли к выводу, что развитие у

школьников творческой математической деятельности в процессе решения задач

повышенной сложности станет управляемым, если:

– процесс обучения по развитию творческой математической деятельности носит системный и интегративный характер;

– четко отслеживается динамика развития творческой математической деятельности в

процессе решения школьниками задач повышенной сложности с целью коррекции

управления учебной деятельностью и стимулирования самостоятельности школьников;

– в процессе развития творческой математической деятельности используется

совокупность задач, обеспечивающих поэтапное нарастание сложности.

Следует отметить, что cформированность творческой математической деятельности

влияет на развитие следующих способностей школьников:

– планировать – выдвигать цели и подцели собственной интеллектуальной деятельности

[1], продумывать средства их реализации, выстраивать последовательность собственных

действий и т.д.;

– оценивать – субъективно определять качество отдельных «шагов» собственной

интеллектуальной деятельности;

– выбирать стратегию собственного обучения и модифицировать ее под влиянием новых

требований и с учетом своих интеллектуальных способностей.

Учитывая вышеуказанные особенности, специально разработанная система задач,

влияющая на развитие творческой математической деятельности, направлена на расширение знаний в изучаемой области, уплотнение учебного материала и

систематическое углубление знаний основных разделов школьного курса математики.

Система задач обеспечивает представление задач минимального уровня, усвоение которых обязательно для всех школьников и выбор каждым школьником собственной

траектории обучения.

Данная система задач позволяет как можно полнее развить потенциальные творческие способности школьника любого уровня, не ограничивая заранее сверху уровень

сложности учебного материала и максимально проявляя себя, активно включаться в

учебный процесс. Система задач характеризуется следующими основными

инвариантными признаками:

– целостность, т.е. наличие явных и латентных интегрирующих предметно-

содержательных и дидактических связей;

– функциональная достаточность, позволяющая реализовать стимулирующую,

обучающую, развивающую, воспитывающую и контролирующую функции задач;

– предметно-содержательная полнота относительно требований к уровням обученности по

завершению учебного курса, выраженная в наличии задач разных уровней сложности.

Предусмотренная в системе задач последовательность задач возрастающей

сложности дают возможность школьнику самому определить и построить траекторию

своего обучения, а также адекватно оценить свои математические способности,

обеспечивая системное включение в процесс самостоятельного построения знаний.

Каждый уровень представляет собой своеобразную ступеньку продвижения школьника к

13

овладению опытом творческой математической деятельности, определяемую уровнем

развития компонентов одаренности. Такая структура системы задач является основой для

проявления гибкости, обеспечивающей построение индивидуальных траекторий

обучения.

С целью оптимизации и повышения эффективности процесса обучения мы

использовали метод проектирования индивидуальной траектории обучения. В научно-

педагогической литературе проектирование индивидуальной траектории обучения

описывается как конструктивная познавательная деятельность, направленная на развитие личности школьника, обеспечивающая приобретение им опыта выполнения

специфических личностных функций: сознательный выбор, целеполагание, самореализация и др.

Для построения индивидуальной траектории обучения мы используем набор базовых

характеристик. К таким характеристикам относятся: цели обучения, начальный уровень

знаний обучаемого, индивидуальные способности к обучению и восприятию учебного

материала, особенности подачи учебных материалов, выбора диагностик. Набор базовых

характеристик и совокупность правил, которые на основании значений этих

характеристик представляют собой модель индивидуализации процесса обучения.

Индивидуальная траектория обучения дает нам возможность более точно

определять текущий уровень знаний обучаемого, предоставлять информацию обучаемым

о пробелах в знаниях, формировать адекватную последовательность подачи учебного

материала, наиболее точно соответствующего способностям обучаемого, направленно

адаптировать содержание изучаемого материала к уровню освоения дисциплины

обучаемым, тем самым повышая эффективность познавательной деятельности.

Построение индивидуальной кривой обучения с учётом образовательного запроса школьника с пошаговой коррекцией позволяет достичь высокого уровня

сформированности творческой математической деятельности и получить объективную

оценку его знаний, умений и навыков.

На наш взгляд, весьма перспективный путь, с помощью которого в условиях

школьного обучения можно выстроить индивидуальную траекторию обучения,

нацеленную на формирование у каждого школьника творческой математической

деятельности является возможность индивидуализации развития школьников средствами

учебного содержания. Решение этой задачи предполагает наличие специальных школьных

пособий, позволяющих каждому школьнику выбрать свою особую линию обучения при

работе с соответствующими задачами и создающих предпосылки для постепенного

выстраивания творческой математической деятельности.

Мы считаем, что для проектирования индивидуальной траектории обучения

необходимо выбрать правильную технологию обучения, которая обеспечивает интерес

школьника к предмету, а это, в свою очередь, предполагает: – ясность и понятность изложения изучаемого материала; – содержание изучаемого материала должно быть актуально, отличаться практичностью,

логичностью и структурной четкостью;

– школьник принимает и понимает то, что имеет для него значение. Для построения системы задач разноуровневой сложности мы используем

технологический подход, вытекающий из педагогической технологии В.М. Монахова [3],

которая позволяет включать школьника в осознанную учебную деятельность,

14

оптимизировать занятия и делать открытой логическую структуру курса. Согласно В.М.

Монахову, технологический подход требует: – рационально выстраивать систему занятий, позволяющих лучше раскрыть отдельные разделы учебной программы;

– отделить основной программный материал от необязательного и предъявить разные требования к этим порциям;

– переориентировать учебный процесс на итоговые результаты обучения.

В нашем исследовании наибольшую трудность при построении системы задач

вызвала трассификация задач. Возникла проблема определения уровня сложности задач.

Как правило, учителя интуитивно ориентируются в сложности учебного материала и

учебных задач. В зависимости от их опыта, педагогического мастерства их оценки

сложности могут быть адекватными в большей или меньшей степени.

В построенной системе задач учебные задачи трассифицируются по трем уровням

сложности. Трассификация задач помогает учителю ориентироваться в определении

сложности задач, предвидеть трудности в их выполнении и позволяет достаточно

обоснованно подбирать сложность задач, рассчитанных на повышение творческой

математической деятельности учащихся.

В системе задач учебные задачи направлены на формирование способности

усматривать в массе факторов существенное и находить основания для их взаимосвязи,

комбинировать и преобразовывать ранее известные способы деятельности при решении

новой задачи и т.д. Следуя теории определения роли и функции задачи по К.И. Нешкова и

А.Д. Семушина [4], к основным функциям задач мы относим познавательные, дидактические и развивающие. Задачи с дидактическими функциями предлагаются в

основном для закрепления теоретических положений. Они имеют наиболее важное значение для раскрытия существенных связей между различными терминами. В процессе решения задач с познавательными функциями углубляются обязательные для усвоения

вопросы, происходит знакомство с новыми методами решения. Содержание задач с развивающими функциями может отходить от основного курса математики, и каждый

школьник должен решать их в меру своих способностей.

Следуя теории определения сложности и трудности учебных задач по И.Д.

Пехлецкому [5], нами была создана следующая формула расчета сложности задач:

I уровень сложности II уровень сложности III уровень сложности

Х мин. количество операций (правил,

формул, вычислений и т.д.)

Х мин.+1

(количество операций на 1

больше, чем в I уровне)

Х мин.+2

(количество операций на 2

больше, чем во II уровне)

При построении системы задач мы систематизировали учебный материал. Это

позволяет усваивать больший его объем, совершенствовать самостоятельность и широту

ориентировки в математическом материале, учит упорядочивать информацию и знание о

ней с целью последовательного использования в учебной деятельности.

К основным функциям систематизации мы относим следующие: – мотивирующая функция систематизации теоретических знаний школьников состоит в

том, что школьник с системными знаниями понимает роль этих знаний, и это усиливает его стремления к их расширению и углублению;

– обучающая функция систематизации заключается в совершенствовании знаний и

умений, приведение их в систему. В процессе систематизации школьники повторяют и

15

закрепляют изученный материал, воспроизводят ранее изученное и применяют знания и

умения в новой ситуации;

– ориентирующая функция состоит в получении информации о степени достижения цели

обучения отдельным школьником, в определении уровня и глубины усвоения учебного

материала. Систематизация ориентирует школьников в их затруднениях и достижениях,

вскрывая их пробелы и ошибки, указывает им направления приложения сил по

совершенствованию знаний и умений, тем самым помогая школьникам оценить свои

знания и возможности, формируя собственную траекторию обучения;

– развивающая функция состоит в стимулировании познавательной активности

школьников, в развитии их математических способностей;

– оптимизирующая функция заключается в том, что в ходе систематизации

обнаруживается наиболее рациональный способ выполнения действия или решения

задачи за меньшее время.

Для эффективного использования системы задач нами предложена поэтапная

структура процесса обучения. На начальном этапе выполнения задач разноуровневой

сложности целесообразно подготовить школьников к предстоящей деятельности, т. е. использовать режим работы, при котором учитель может контролировать и направлять

школьников в необходимое русло.

На следующем этапе необходимо ввести в деятельность школьников элементы

самостоятельного обучения. Самостоятельное обучение является тем средством, которое приводит в действие познавательный механизм и способствует реализации творческой

потенции человека. Последний этап связан со сформированностью творческой математической

деятельности, что означает изменение роли учителя в учебном процессе: он выступает

больше как консультант, оказывая помощь в случае необходимости, школьники же самостоятельно выбирают для себя способы решения той или иной задачи.

После завершения каждого этапа школьникам предлагается проанализировать

полученные решения и выяснить, какие сведения им понадобились для решения задач, как

связана эта тема с ранее изученными, можно ли эти задачи решить другими способами.

При построении системы задач учитывались правила построения диагностики по

технологии В.М. Монахова2: полная диагностика состоит из четырёх задач, которые

позволяют дифференцированно оценить усвоение микроцели по трём уровням. Ученик

независимо от своих предыдущих успехов выполняет задачи в указанной

последовательности: 1, 2, 3, 4. Содержание всех задач диагностики должны однозначно

раскрывать содержание микроцели, усвоение которого они и проверяют. Ниже приведен пример построения фрагмента технологической карты по технологии

В.М. Монахова, как проекта учебного процесса, реализующего методику

систематического углубления математических знаний учащихся (рисунок 1).

2 С правилами построения учебного процесса по технологии В.М. Монахова можно ознакомиться на сайте

«Центра педагогических технологий В.М. Монахова» http://www.ctm-tlt.ru в разделе «Технология


16

Логическая

структура

учебного

процесса

Технологическая карта № 2

Тема: Квадратные корни

1В 1Д

2Д

3Д

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20


Класс: 8



1B :

1Д :

1K :


1ДЗ :


Мы привели лишь некоторые задачи. Данный учебный материал прошел

экспериментальную проверку. Результаты эксперимента показали, что, во-первых, знания

школьников по курсу математики стали более структурированы, во-вторых, повысился

интерес школьников к изучению курса математики, в-третьих, доказано, что

сформированность творческой математической деятельности школьников влияет на овладение процессами планирования и текущего контроля над деятельностью.



математического образования. Москва: Дрофа, 2010. – 473 с. 3. Монахов В.М. Введение в теорию педагогических технологий. Монография, г. Волгоград «Перемена» 2006. – 318 с. 4. Нешков К.И., Семушин А.Д. Функции задач в обучении. Математика в школе №3, 1971.

С. 4-7.

5. Пехлецкий И. Д. Сложность и трудность учебных текстов и задач: книга для

учителей и студентов педагогических вузов. Пермь: ПГПУ, 2008. – 101 с.

Целеполагание Диагностика

1B : уметь применять свойства

квадратного корня.

1Д : 1) Вычислить ( ) ( )6 45 3 20 : 3 5+

2) Извлечь корень ( )2

2 2 3−

2B : уметь раскладывать

многочлен на множители с учётом формул сокращённого

умножения.

2Д : 1) Упростить 5 3 5 3

5 3 5 3

− +−

+ −

2) Доказать, что: 21 12 3 2 3 3− = −

3B : уметь применять различные

способы разложения

многочленов на множители.

3Д : 1) Найти значение выражения 2 6 5 1a a− −

при 5 4a = +

2) Сократите дробь 10 2 10 2

24

− ⋅ +

Задачи повышенной сложности

3) Сравните числа

1990 1991 2 1991и+

4) Выполните действия

( ) ( )2 2

3 2 1 3 2 6+ + + − +

17

Система задач как средство развития интеллектуальной математической

деятельности школьников.

Аннотация: В статье – определены типы задач, решение которых может способствовать развитию

интеллектуальной математической деятельности школьников;

– сформированы требования к построению системы задач для развития интеллектуальной

математической деятельности школьников;

– изложены основные положения методики реализации этой системы задач и

конкретизируем их на примере изучения квадратных уравнений.

Ключевые слова: система задач, педагогическая технология, задачи вариативного

уровня, квадратные уравнения, интеллектуальная математическая деятельность.

В школьных курсах математики задачи последовательностей содержательно и

логически взаимосвязаны: решение каждой новой задачи, входящей в последовательность,

опирается на ранее решенные задачи; при этом в процессе решения используются только

допустимые преобразования и правила логического вывода. В то же время,

целесообразность последовательностей подобранных задач означает, что задачи в них,

выполняя разные дидактические функции, обеспечивают в совокупности достижение требуемых образовательных целей.

В процессе решения алгебраических задач школьники производят определенные действия, умение самостоятельно выполнять и свободно использовать эти действия при

решении математической задачи без прямого указания на необходимость его применения

можно рассматривать как характеристики развития компонентов интеллектуальной


Осознанный подход к решению математических задач в научно–педагогической

литературе характеризуется пониманием характера связей между знаниями, различием

существенных и несущественных связей, осмыслением оснований усвоенных знаний,

пониманием способов получения знаний, пониманием принципов, лежащих в основе способов применения знаний и др. Это проявляется

– в умении, проанализировав условие и требование задачи увидеть принцип, лежащий в

основе ее решения;

– в умении выбрать математически грамотный путь решения задачи;

– в умении предвидеть результат решения задачи и с этих позиций проанализировать само

решение; – в умении оценивать свои действия с точки зрения их правильности и целесообразности;

– в умении группировать знания в зависимости от задачи и применить всю совокупность

знаний при решении данных задач.

Мы считаем, если предлагать школьникам алгебраические задачи, направленные на развитие перечисленных умений, то это будет способствовать повышению уровня

владения ими и уровня сформированности интеллектуальной математической

деятельности.

Чтобы служить средством развития интеллектуальной математической деятельностью

школьников, задачи должны быть представлены в определенной системе, соответствуя

требованиям содержанию учебного материала по математике и учитывать временной

фактор обучения, вследствие чего содержать минимальное количество задач, посредством

которых достигаются все обозначенные ранее цели.

18

Анализ существующих подходов к отбору и содержанию учебного материала

позволил выделить следующие принципы построения системы задач:

– принцип модульности, предполагающий построение систем в соотнесении с определенным блоком учебного материала; – принцип полноты, предполагающий, что вся совокупность задач должна объективно

полно отражать все особенности изучаемого материала в объеме, предусмотренном

программой курса; – принцип вариативности, согласно которому в систему включаются задачи, из набора которых обучаемый может выбрать некоторые, опираясь на личные мотивы;

– принцип открытости, учет которого означает возможность изменения (включения или

удаления) некоторых задач вследствие корректировки поставленных целей.

Строение системы должно предусматривать определенную последовательность задач,

причем число однотипных упражнений не должно превышать трех; содержать

упражнения на систематизацию материала; отличаться разнообразием формулировок

задач.

При проектировании учебного процесса нами использовалась технология В.М.

Монахова3, так как ее процедуры удобно использовать для описания механизма создания

системы задач, развивающей интеллектуальную математическую деятельность учащегося.

Механизм создания такой системы задач состоит из следующих этапов:

1. Определение обязательного набора знаний и умений, которыми должны овладеть

учащиеся в результате изучения темы (микроцелей), определение порядка их

изучения, и логическое объединение микроцелей в рамках учебного цикла. Объединение микроцелей дает следующие преимущества: 1) большое количество микроцелей сложно диагностировать: для каждой микроцели нам

пришлось бы разработать самостоятельную работу из задач нескольких уровней, что

неудобно;

2) диагностируя умения, сформированные в результате реализации комплекса микроцелей, легко проверить, были ли эти микроцели достигнуты.

2. Разработка задач, соответствующих образцу, в количестве достаточном для

организации всех этапов учебной деятельности: объяснение нового материала, самостоятельная работа, диагностика, и составление образца самостоятельной

работы для диагностики выделенных знаний и умений.

В состав самостоятельной работы включают четыре задачи. Две задачи на репродуктивном уровне (основной уровень). В этих задачах учащиеся должны

продемонстрировать свои умения и знания в стандартных условиях. Третья задача –

вариативного уровня, где учащиеся должны продемонстрировать умение работать с

материалом, отличающимся по каким-то параметрам от материала, предложенного в

качестве учебного. Четвертая задача (задача повышенной сложности) –

исследовательского уровня, направлена на проверку умения свободного оперирования с изученным материалом.

3 С правилами построения учебного процесса по технологии В.М. Монахова можно ознакомиться на сайте

«Центра педагогических технологий В.М. Монахова» http://www.ctm-tlt.ru в разделе «Технология


19

Сформируем показатели, которые следует учитывать при определении сложности

задач, входящих в нашу систему, а также при конструировании задач заданной степени

сложности.

1) Очевидность способа решения задачи;

2) Количество данных, содержащихся в условии задачи;

3) Количество последовательных действий, приводящих к решению;

4) Количество возможных способов решения задачи.

При построении системы и конструировании задач особое внимание уделялось

задачам вариативного уровня, так как решение данного типа задач способствует

активному развитию интеллектуальной математической деятельности школьников.

Показателями задач вариативного уровня являются: техническая сложность;

небольшое количество, но четкая последовательность обоснований; увеличение количества действий, которые нужно выполнить для решения задачи.

К характеристикам задач вариативного уровня можно отнести следующее: – в процессе поиска решения могут оказаться неизвестными некоторые свойства объектов

задачи или способы деятельности;

– в процессе достижения цели становится ключевым моментом поиск модели решения.

Задачи вариативного уровня применяются для повышения уровня понимания и

интеллектуальной рефлексии, развития интеллектуальной саморегуляции и

интеллектуального математического мышления на уроках систематизации знаний.

В одной из своих работ А.С. Крыговская [4] выделяет несколько видов

математической деятельности, которые, по ее мнению, должны играть значительную роль

в обучении математике для всех, а также влияют на общее развитие школьников:

– замечать и использовать аналогии;

– схематизировать;

– формулировать данное определение, разумно пользоваться определением;

– дедуцировать и редуцировать;

– кодировать и рационально употреблять символический язык;

– алгоритмизировать, рационально пользоваться алгоритмами.

Перечисленные выше виды математической деятельности вместе с определениями

связанные с интеллектуальной деятельностью [1] являются компонентами

интеллектуальной математической деятельности.

Для эффективной реализации системы в процессе обучения важно и то, как

организована работа с этими задачами. Методика использования разработанной системы

задач в процессе обучения должна определяться, исходя из основных положений

педагогических технологий В.М. Монахова [5].

Методической особенностью использования данной системы является такое

изложение учебного материала, при котором содержание темы закрепляется на задачах

вариативного уровня. Такое последовательное изучение учебного материала учитывает

уровень подготовки и возрастные возможности учащихся.

Предложенная методика реализации системы задач для развития интеллектуальной

математической деятельности школьников позволяет включать такие задачи в процессе обучения, что не требует дополнительных затрат учебного времени и дает возможность

проводить целенаправленную работу по развитию интеллектуальной математической

20

деятельности школьников, не выходя за рамки содержания общеобразовательного курса

алгебры.

Проанализировав содержание обучения алгебре в 8–9 классах, для конструирования

системы задач, направленной на развитие интеллектуальной математической

деятельности учащихся наиболее удачным нам показался выбор темы «Квадратные уравнения».

Тема «Квадратные уравнения» является одной из важнейших в курсе алгебры, так как

создает базу для дальнейшего развития при изучении квадратичной функции,

квадратичных неравенств, алгебраических уравнений и их систем, а также при решении

текстовых задач (рисунок 1).

Рисунок 1. Квадратные уравнения (фрагмент)

При изучении темы «Квадратные уравнения» в классах, где проходил эксперимент, предполагалось более подробно проработать:

1) задачи на применение теоремы Виета; 2) решение уравнений, сводящихся к квадратным;

3) исследование квадратных уравнений с параметрами.

При проведении эксперимента мы учитывали методические рекомендации, которые приведены ниже. 1. На уроке – на этапах отработки и применения приемов учитель дает учащимся

индивидуальные дифференцированные задачи, снабжает письменными консультациями,

памятками по применению приемов решения задач и т.д. Методика занятий должна строиться таким образом, чтобы учащиеся могли самостоятельно применять известные приемы к новому для них содержанию, а также составлять новые приемы и применять их

к решению задач вариативного уровня и задач повышенной сложности.

2. Дополнительно к задачам на применение теоремы Виета, представленным в

обязательной части учебника, целесообразно также рассмотреть и такой тип задач: не решая квадратного уравнения, найти: а) сумму квадратов его корней; б) разность

квадратов его корней; в) сумму кубов его корней и т.п. Следует организовать работу с такими задачами так, чтобы учащиеся узнавали этот тип задач и уверенно выполняли преобразования, выделяя выражения, которые входят в

теорему Виета.

Вычисления Тождественные

преобразования

Равносильные преобразования

Построение и

чтение графиков

Квадратные уравнения

Текстовые задачи

Математический

анализ Геометрия Физика Химия Практика

21

3. К моменту рассмотрения квадратного уравнения с параметрами учащиеся имеют опыт решения линейных уравнений с параметрами и квадратных уравнений с числовыми

коэффициентами. В частности, им известны формула корней квадратного уравнения и

теорема Виета. Следует заметить, что решение ряда уравнений с параметрами не вызывает затруднений: если дискриминант квадратного уравнения с параметрами – целое число,

например ( ) ( )2 2 1 2 0x a x a a+ + + + = (1). Не вызывает особых затруднений решения

квадратных уравнений с параметрами и в случае, когда дискриминант представляет собой

полный квадрат суммы или разности двух выражений, например ( )2 1 0x m x m+ + + = (2).

Уравнение типа (1) можно включить в задание для самостоятельной работы перед

проведением урока, на котором будут изучаться квадратные уравнения с параметрами.

Следует обратить внимание учащихся на то, что эти уравнения содержат не числовые коэффициенты, а буквенные, значения которых нам известны. В данном случае все

коэффициенты в каждом из уравнений (1) и (2) выражаются через один параметр, то есть

уравнение с одним параметром.

В качестве следующего примера полезно предложить аналогичное уравнение, но в

некотором смысле «провокационную» задачу типа: ( )2 2 1 0kx k x+ + + = (3).

При обсуждении решений этих уравнений необходимо обратить внимание учащихся

на то, что в обоих случаях нам не пришлось находить те значения параметра, при которых

дискриминант квадратного трехчлена будет неотрицательным. Так бывает не всегда. Ниже приведены примеры построения фрагмента тематического планирования

обучения приемам учебной деятельности по технологии Е.О. Епишевой (рисунок 2) и

технологической карты по технологии В.М. Монахова (рисунок 3). Тематическое планирование обучения приемам учебной деятельности

Тема: «Квадратные уравнения»

Уроки Содержание материала

Повторение Знания и

навыки

Общеучебные приемы

Частные приемы

Специальные приемы

алгебры

Общие приемы

учебной

деятельности

по

математики

3 Теорема Виета Квадратные уравнения,

приемы работы

над теоремой

Понятия:

приведенное квадратное уравнение. Знать теорему

Виета, уметь

доказывать и

применять к

решению и

исследованию

квадратных

уравнений

Приемы

сравнения,

обобщения,

индуктивных

умозаключений,

выведения

следствий

Приемы

решения


уравнений,

исследование квадратных

уравнений на

основании

теоремы

Виета

Приемы

проверки

правильности

решения

уравнений

Приемы

работы над

теоремой

3 Уравнения,

приводимые к

квадратным

Квадратные уравнения,

уравнения вида

( )( ) 0ax b cx d+ + =

, приемы их

решения

Знать

некоторые виды

уравнений

приводимых к

квадратным, и

приемы их

решения

Приемы работы

с учебником,

сравнения,

обобщения

Приемы

составления


уравнений,

решения

биквадратных

уравнений

Приемы

решения

уравнений:

разложения

левой части

на

множители,

замена

переменной.

Общий прием

работы над

математической задачей

3 Исследование квадратных

уравнений с

параметрами

Квадратные уравнения,

параметры

Уметь

обобщать

знания при

исследовании


уравнений

Приемы

сравнения,

обобщения,

самоконтроля

Приемы

исследования


уравнений

Оформление записи

решения

уравнения

Общие приемы

проверки

правильности

решения

Рисунок 2. Тематическое планирование обучения приемам учебной деятельности (фрагмент)

22

Логическая

структура

учебного

процесса


Тема: Квадратные уравнения

1В 1Д 2Д 3Д

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24


Класс: 8



1B : уметь

применять

теорему Виета к

исследованию


уравнений

1Д : 1) Составьте квадратное уравнение с заданными корнями: -7

и -2.

2) Не вычисляя корней уравнения 23 8 1 0x x+ − = , найти

1 2

1 1

x x+

1K :

- вычислительные ошибки;

- невнимательное

отношение к знаку

коэффициентов

квадратного

уравнения и т.д.

3) Не решая уравнение 2 2 1 0x x− − = , найти сумму кубов его

корней.

4) Не вычисляя корней уравнения 22 5 1 0x x− + = , найдите

разность квадратов его корней.

2B : уметь

решать

уравнения

методом

введения новой

переменной

2Д : 1) Верно ли, что уравнение 4 27 8 0x x+ − = имеет два корня?

2) Решить уравнение: ( ) ( )4 2

5 3 5 4 0x x− − − − =

2K :

- затруднения при

нахождении новой

переменной;

- находят значение новой переменной,

забывая затем найти

значения

первоначальной

переменной и т.д.

3) Ученику было предложено решить уравнение: 2

2 3.1

xx

x

+ =

+ Он выполнил такое преобразование:

2 223

1 1

x xx

x x

− + =

+ + , а далее отказался продолжить работать с

уравнением. Что бы Вы посоветовали этому ученику.

4)Решить уравнение: 2

2

48 410 0

3 3

x x

x x

+ − − =

3B : уметь

обобщать знания

для решения


уравнений с параметрами

3Д : 1) Известно, что все корни уравнения 2 4 4 0x x− + =

являются корнями уравнения 2 2 11 0x b x b− + + = . Найти b

2) Решить уравнения с параметрами относительно x

( )2 22 1 0x a x a a− + + + =

3K :

3) При каких значениях a уравнения имеют хотя бы один

общий корень 2 0x a− = и ( )23 2 0x a x a− + + =

4) При каком значении m сумма квадратов корней уравнения

( )2 2 3 0x m x m− − − − = минимальна?


1CP : 2CP : 3CP :




математического образования. Москва: Дрофа, 2010. – 473 с. 3. Епишева О. Б. Общая методика обучения математике в средней школе: учеб. пособие

для студ. пед. вузов. Тобольск: Изд-во ТГПИ им. Д. И. Менделеева, 2008. – 202 с. 4. Крыговская А.С. Развитие математической деятельности учащихся и роль задач в этом

развитии. Математика в школе №6, 1966. С. 19-30.

5. Монахов В.М. Введение в теорию педагогических технологий. Монография, г. Волгоград: «Перемена», 2006. – 318 с.

23

Ильязов Ильдар Фяритович

Технология построения систем задач по математике

Сборник статей

Формат 60×80

Усл. печ. л. 1,25

Тираж 50 экз.

Международный центр образования «Атлантик» города Москвы

115088, г. Москва, ул. Шарикоподшипниковская, д.30А, стр.1

www.atlanticschool.ru

МЕЖДУНАРОДНЫЙ ЦЕНТР О

24

ЕЖДУНАРОДНЫЙ ЦЕНТР ОБРАЗОВАНИЯ «АТЛАНТИК»

Documents

Сборник статей "Технология построения систем задач по математике"