ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΄ ΛΥΚΕΙΟΥ (Προετοιμασία)

ΑΝΑΛΥΣΗ

Συναρτήσεις

Επανάληψη πριν το διαγώνισμα

Μιχάλης Μάγκος

Να προσέξεις:

• Όταν σου δίνουν μια συνάρτηση θα βρίσκεις πρώτα το πεδίο ορισμού της !

• Στη σύνθεση συναρτήσεων πρώτα θα βρίσκεις το πεδίο ορισμού της σύνθεσης και μετά τον τύπο !

• Για να δείξεις ότι μια συνάρτηση είναι αντιστρέψιμη, πρώτα θα δείχνεις ότι είναι 1 - 1

Μιχάλης Μάγκος

• ΠΡΟΣΟΧΗ:

• Η g○f ορίζεται όταν Dg○f ≠ . Πρώτα λοιπόν θα βρίσκω το πεδίο ορισμού της σύνθεσης και μετά τον τύπο της.

• Γενικά αν ορίζονται οι συναρτήσεις g○f και f ○ g , τότε αυτές δεν είναι υποχρεωτικά ίσες.

• Ισχύει η προσεταιριστική ιδιότητα: .

• Αν δύο συναρτήσεις f και g έχουν πεδίο ορισμού το R , τότε οι fog και gof έχουν πεδίο ορισμού το R.

• Αν μια συνάρτηση έχει το ίδιο είδος μονοτονίας σε δύο διαστήματα Α και Β δεν έχει απαραίτητα το ίδιο είδος μονοτονίας και στην ένωση Α Β αυτών.

fo(goh) (fog)oh

Μιχάλης Μάγκος

• Στις ασκήσεις με σύνθεση όπου:

• Α. Γνωρίζω την και την f και ζητάω τη g , τότε:

• Θέτω f(x) = ω και παίρνω περιορισμό αν χρειαστεί. • Λύνω την f(x) = ω ως προς x. • Αντικαθιστώ στον τύπο της την f(x) και το x.

• Β. Γνωρίζω την και τη g και ζητάω την f , τότε:

• 1. Θέτω στον τύπο της g όπου x το f(x) . • 2. Λύνω ως προς f(x) και βρίσκω τον τύπο της f .

• Π.χ Α6 σελ.148 σχολικού

Μιχάλης Μάγκος

• αν βρούμε δύο αριθμούς x1 , x2 με: x1 x2 ώστε f(x1) = f(x2) τότε η f δε θα είναι 1 – 1.

• Αν η f είναι 1 – 1 τότε κάθε οριζόντια ευθεία τέμνει τη γραφική παράσταση της f το πολύ σε ένα σημείο.

• Αν μια συνάρτηση είναι γνησίως μονότονη τότε είναι και 1 – 1. (Προσοχή: γενικά δεν ισχύει το αντίστροφο)

• Να θυμάσαι ότι:

1 1( ) , και ( ) = , ( ) f f x x x A f f y y y f A

Μιχάλης Μάγκος

• Οι γραφικές παραστάσεις των f και f -1 είναι συμμετρικές ως προς την ευθεία y = x.

• Για να βρούμε την f -1 : α) Εξετάζουμε αν η f είναι 1 – 1 (αν δεν είναι δεν υπάρχει αντίστροφη) β) Θέτουμε όπου f(x) το y και λύνουμε τον τύπο της f ως προς x. γ) Κατά την επίλυση θέτουμε τους περιορισμούς που προκύπτουν για το y , από τη συναλήθευση των οποίων προκύπτει το πεδίο ορισμού της f -1. δ) Για να βρούμε και τον τύπο της f -1 : κάνουμε εναλλαγή των μεταβλητών x και y στον τύπο που έχουμε βρει ως προς x στο β)

Μιχάλης Μάγκος

• ΠΡΟΣΟΧΗ:

• Αν x = y τότε f(x)=f(y)

• Αν f(x) = f(y) και η f είναι 1-1 τότε x = y

• Αν x > y και η f είναι γνησίως αύξουσα τότε f(x) > f(y)

• Αν f(x) > f(y) και η f είναι γνησίως αύξουσα τότε x > y.

• Αν x > y και η f είναι γνησίως φθίνουσα τότε f(x) < f(y)

• Αν f(x) < f(y) και η f είναι γνησίως φθίνουσα τότε x > y.

Μιχάλης Μάγκος

Μιχάλης Μάγκος

Άσκηση 1

• Δίνεται μια συνάρτηση f με πεδίο ορισμού το ( - 1 , 2 ].

• Να βρείτε τα πεδία ορισμού: α. της f(2x – 1) και

• β. της f(x2).

Μιχάλης Μάγκος

• Δίνεται η συνάρτηση f: R→R με f(f(x))=2x-1 για κάθε x∈R.

• α. Να αποδείξετε ότι: f(2x-1) = 2f(x) – 1.

• β. Να δείξετε ότι η εξίσωση f(x) = 1 έχει μία τουλάχιστον ρίζα στοR.

Άσκηση 2

Μιχάλης Μάγκος

• Δίνεται η συνάρτηση: και η g(x) = -x3. Να βρείτε τη συνάρτηση f.

Άσκηση 3

3f g x 1 x

Μιχάλης Μάγκος

Άσκηση 4

• Δίνεται η συνάρτηση: και η : .

• Να βρείτε τη συνάρτηση f.

g f x 2x 1

xg(x)

x 2

Μιχάλης Μάγκος

• Δίνεται μια συνάρτηση f:R→R η οποία είναι 1 – 1.

• Αν ισχύει : για κάθε x∈R , να βρείτε τη συνάρτηση f.

Άσκηση 5

f f f (x 1) f f (x 1)

Μιχάλης Μάγκος

• Δίνεται η συνάρτηση f(x) = x2 -2x + 3. Να εξετάσετε αν η f είναι «1-1»: α. στο R β. στο (-∞, 1).

Άσκηση 6

Μιχάλης Μάγκος

Άσκηση 7

• Δίνεται η συνάρτηση f:R→R για την οποία ισχύει: f(f(x)) = x3. Να αποδείξετε ότι:

• α. η f αντιστρέφεται.

• β. ισχύει: (f(x))3 = f(x3).

• γ. Να λυθεί η εξίσωση: f(x) = x στο R.

• δ. Να αποδείξετε ότι: [f(-1)]3 + [f(1)]3 = f(0).

• ε. Αν f(8) =64 να υπολογίσετε το f(2).

Μιχάλης Μάγκος

Άσκηση 8 • A. Δίνονται οι συναρτήσεις f:Α→R , g:B→R με f(A) B.

Να δείξετε ότι αν η συνάρτηση g είναι γνησίως φθίνουσα και η γνησίως αύξουσα, τότε η f είναι γνησίως φθίνουσα. Β. Δίνονται οι συναρτήσεις f και g με: και . α. Να βρείτε την και να δείξετε ότι g(f(x))=x για κάθε x∈R. β. Να βρείτε τη μονοτονία των g , και να δείξετε ότι η f είναι γνησίως φθίνουσα στο R. γ. Να λύσετε την ανίσωση: .

g f

x

x

e 1f (x)

e

g(x) ln x 1

g f

2 2

x 1 x 1 x 1 x 1e 1 e e 1 e

Μιχάλης Μάγκος

Άσκηση 9

• Δίνεται η συνάρτηση f: R*→R με: για κάθε x , y≠0, τέτοια ώστε η εξίσωση f(x) = 0 να έχει μοναδική ρίζα. α. Να λύσετε την εξίσωση: f(x) = 0. β. Να δείξετε ότι η f είναι 1 – 1. γ. Να δείξετε ότι: για κάθε x≠0. δ. Να λύσετε την εξίσωση: f(x) + f(x2+3) = f(x2+1) + f(x+1).

xf(x) f (y) f

y

1f(x) f 0

x

Μιχάλης Μάγκος

Άσκηση 10

• Δίνεται η συνάρτηση f:R→R για την οποία ισχύει: για κάθε x∈R. Να δείξετε ότι: α. η f αντιστρέφεται. β. . γ. f(4x+9)=4f(x)+9.

f f (x) 4x 9

1 1f (x) f x 9

4

Μιχάλης Μάγκος

kentromeletis@otenet.gr 2109311913

Άσκηση 11

• Δίνεται η συνάρτηση f:R→R η οποία είναι γνησίως μονότονη. Αν η γραφική παράσταση της f διέρχεται από τα σημεία Α(1 , 2) και Β(-1 , -2): α. να βρείτε τη μονοτονία της f. β. να λύσετε την ανίσωση: f(3x-1) + 2 < 0. γ. να δείξετε ότι υπάρχει η αντίστροφη της f. δ. να λυθεί η εξίσωση: f(ex-1) = 2. ε. να λυθεί η εξίσωση:f(2+f-1(x+2))=2.

• Δίνεται η συνάρτηση: f(x) = x3 – 6. α. Να δείξετε ότι η f αντιστρέφεται και να βρείτε την αντίστροφη συνάρτηση της f. β. Να βρείτε τα κοινά σημεία των γραφικών παραστάσεων των f και f-1.

Άσκηση 12

Μιχάλης Μάγκος

Άσκηση 14

5 5

f (x) x 1 0

• Δίνεται η συνάρτηση: f(x) = - x3 . α. Να δείξετε ότι η f αντιστρέφεται και να βρείτε την αντίστροφη συνάρτηση της f. β. Να βρείτε τα κοινά σημεία των γραφικών παραστάσεων των f και f-1.

Μιχάλης Μάγκος

• Δίνεται η συνάρτηση f: R R τέτοια ώστε:

𝑓(𝑥 5 + 𝑥5 − 1 = 0 , x R. α. Να βρείτε τα σημεία στα οποία η Cf τέμνει τον άξονα x΄x. β. Να δείξετε ότι η f είναι γνησίως φθίνουσα. γ. Να δείξετε ότι (f◦f)(x)=x ,για κάθε x R.

δ. Να βρείτε την f -1 .

Άσκηση 15

Μιχάλης Μάγκος

• Δίνεται η συνάρτηση f με τύπο f(x) = x3+x+2. α. Να δείξετε ότι η f αντιστρέφεται. β. Να βρείτε, αν ορίζεται το f-1(4). γ. Να λύσετε τις εξισώσεις: f(x) = 12 και f-1(x) = -2. δ. Να βρείτε τα κοινά σημεία της γραφικής παράστασης της f-1 με τους άξονες και την ευθεία y = x. ε. Να λύσετε την εξίσωση: (2-ημ2x)3=ημ3x + ημ2x + ημx – 2. στ. Να λύσετε τις ανισώσεις: f-1(x)<3 και f-1(x+1) x+5. ζ. Να μελετήσετε την f-1 ως προς τη μονοτονία.

Μιχάλης Μάγκος

Άσκηση 16

Αν f , g είναι δύο συναρτήσεις και ορίζονται οι g◦f και f◦g, τότε αυτές δεν είναι υποχρεωτικά ίσες .

Αν f , g , h είναι τρεις συναρτήσεις και ορίζεται η h ◦ (g◦f) , τότε ορίζεται και η (h ◦ g)◦f και ισχύει h ◦ (g◦f)= (h ◦ g)◦f .

Μια συνάρτηση f : είναι συνάρτηση 1 – 1 , όταν για οποιαδήποτε x1 , x2 A ισχύει η συνεπαγωγή: αν f(x1) = f(x2) , τότε x1 = x2 .

Μια συνάρτηση f είναι 1-1 αν και μόνο αν για κάθε στοιχείο y του συνόλου τιμών της η εξίσωση f(x) = y έχει ακριβώς μια λύση ως προς x. Μια συνάρτηση f είναι 1-1 αν και μόνο αν δεν υπάρχουν σημεία της γραφικής παράστασης με την ίδια τεταγμένη.

Αν μια συνάρτηση είναι γνησίως μονότονη, τότε είναι συνάρτηση 1-1.

Μια συνάρτηση f που είναι γνησίως μονότονη έχει πάντα μία ρίζα.

Έστω μια συνάρτηση f : A R . Τότε : f-1(f(x)) = x , x A.

Έστω μια συνάρτηση f : A R . Τότε : f (f-1 (y)) = y , y f(A). Οι γραφικές παραστάσεις των f και f -1 είναι συμμετρικές ως προς την ευθεία y = x. Οι γραφικές παραστάσεις των f και f -1 τέμνονται πάντα πάνω στην ευθεία y = x. Η αντίστροφη συνάρτηση της συνάρτησης f(x) = 10x είναι η g(x) = logx. Αν μια συνάρτηση είναι συνάρτηση 1-1 τότε είναι γνησίως μονότονη. Αν μια συνάρτηση f είναι 1-1 , τότε η εξίσωση f(x) = 0 έχει το πολύ μία ρίζα. Έστω μια συνάρτηση f :A R . Τότε : f (f-1 (y)) = y , y A.

Ερωτήσεις τύπου Σωστό - Λάθος

Μιχάλης Μάγκος

Μιχάλης Μάγκος