Универсальный сборник задач для поступающих и сдающих ЕГЭ

ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ

ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ

ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ

«УФИМСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ НЕФТЯНОЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ»

ЦЕНТР ДОВУЗОВСКОГО ОБРАЗОВАНИЯ

Р.Р.АБЗАЛИМОВ, В.Ф.ШАМШОВИЧ, А.В.СТОЛЯРОВ, Н.Ю. ФАТКУЛЛИН

Математика

Под редакцией доктора физико-математических наук,

профессора Р.Н. Бахтизина

Универсальный задачник для поступающих в вузы

Уфа 2010

УДК 51(07)

ББК 22.1я7

А 13

Утверждено Редакционно-издательским советом УГНТУ

в качестве учебного пособия

Рецензенты:

Доктор физико-математических наук, профессор А.М. Ахтямов

Учитель математики лицея №83 г. Уфы, Отличник просвещения

РФ, Заслуженный Учитель РБ С.Ю. Байрамгулов

Абзалимов Р.Р., Шамшович В.Ф., Столяров А.В., Фаткуллин Н.Ю.

А 13 Математика: учеб. пособие./Р.Р. Абзалимов, В.Ф. Шамшович, А.В.

Столяров, Н.Ю. Фаткуллин – Уфа: Изд-во УГНТУ, 2010. – 344 с.

ISBN 978-5-7831-0856-3

Данный задачник предназначен для подготовки учащихся к

ЕГЭ и к вступительным испытаниям проводимым в УГНТУ.

Задачник включает уровни «А», «В», «С» и «D» всех разделов

школьной математики с ответами.

УДК 51(07)

ББК 22.1я7

ISBN 978-5-7831-0856-3 © Уфимский государственный нефтяной

технический университет, 2010

© Абзалимов Р.Р., Шамшович В.Ф.,

Столяров А.В., Фаткуллин Н.Ю., 2010

От авторов

Задачник (состоит из нескольких частей), предлагаемый вниманию

абитуриентов, не случайно назван универсальным. Благодаря своей

удобной модульной структуре и четкому делению каждой темы на 4

уровня («А», «В», «С» и «D»), он может быть полезен как самым

«продвинутым» старшеклассникам, интересующимся высшей

математикой, так и тем, чья скромная задача – сдать ЕГЭ на «троечку».

Однако авторы, подбирая и составляя задачи, надеялись на то, что

постепенное продвижение от простого к сложному увлечет будущих

абитуриентов, поможет им поверить в свои силы и преодолеть страх перед

математикой, а, может быть, и полюбить эту прекраснейшую из наук.

Задачи успешно апробированы в различных образовательных

программах довузовской подготовки, организованных в Уфимском

государственном нефтяном техническом университете для разных

категорий абитуриентов (подготовительные курсы, университетские

классы, «Вечерний лицей», «Школа выходного дня», «Рабфак»,

«Альтернативный репетитор» и др.).

Авторы надеются, что решение предложенных задач поможет

учащимся ликвидировать пробелы в своих знаниях, успешно сдать ЕГЭ и

вступительный экзамен по математике (для заочной формы обучения) и с

легкостью освоить в дальнейшем вузовский курс высшей математики!

Ни пуха, ни пера!

Будем очень признательны, если Вы все замечания и предложения

напишите нам по электронной почте:

А[email protected] – Абзалимов Рамиль Рафикович, к.ф.-м.н., доцент

кафедры математики УГНТУ.

[email protected] – Шамшович Валентина Федоровна, к.э.н.,

Почетный работник общего образования РФ, доцент кафедры математики

УГНТУ.

[email protected] – Столяров Александр Викторович, Отличник

образования РБ, Победитель нацпроекта образования 2006, учитель

математики гимназии №93 г. Уфы.

[email protected] – Фаткуллин Николай Юрьевич, к.э.н., доцент

кафедры математики УГНТУ.

mailto:�[email protected]

mailto:[email protected]



ОГЛАВЛЕНИЕ Глава 1. Арифметические действия и преобразования выражений.

§1.1. Арифметические действия. §1.2. Преобразования алгебраических выражений. §1.3. Тригонометрические действия и преобразования. §1.4. Обратные тригонометрические выражения. §1.5. Логарифмические действия и преобразования.

Глава 2. Уравнения, неравенства и системы. §2.1. Рациональные уравнения и неравенства. §2.2. Уравнения и неравенства с модулем. §2.3. Иррациональные уравнения и неравенства. §2.4. Тригонометрические уравнения и неравенства. §2.5. Обратные тригонометрические уравнения и

неравенства. §2.6. Показательные уравнения и неравенства. §2.7. Логарифмические уравнения и неравенства. §2.8. Системы уравнений. §2.9. Совокупности и системы неравенств.

Глава 3. Функция. §3.1. Область определения функции. §3.2. Область значения функций. §3.3. Четность и нечетность функций. §3.4. Периодичность функций. §3.5. Сравнение функций. §3.6. Производная. Применение производной. §3.7. Касательная. §3.8. Монотонность функций. §3.9. Максимумы и минимумы. §3.10. Наибольшее и наименьшее значения функции. §3.11. Первообразная и неопределенный интеграл. §3.12. Функциональные уравнения и задачи. §3.13. Построение и преобразование графиков функций.

Глава 4. Векторная алгебра и геометрия. §4.1. Векторы. §4.2. Планиметрия. §4.3. Стереометрия.

Глава 5. Задачи на параметры. §5.1. Параметры в линейных уравнениях, неравенствах. §5.2. Квадратичный многочлен. §5.3. Параметры в рациональных уравнениях, неравенствах. §5.4. Задачи на параметры с модулем. §5.5. Параметры в иррациональных уравнениях,

неравенствах. §5.6. Параметры в логарифмических и показательных

уравнениях, неравенствах. §5.7. Параметры в тригонометрических уравнениях,

неравенствах. §5.8. Системы с параметрами. §5.9. Смешанные задачи.

Глава 6. Текстовые задачи, прогрессии и последовательности.

§6.1. Текстовые задачи. §6.2. Задачи на прогрессии и последовательности.

Глава 7. Элементы комбинаторики, теории вероятностей и математической статистики. Глава 8. Типовые варианты ЕГЭ-2010. Глава 9. Типовые варианты заданий УГНТУ. Приложение А. Основные формулы. Ответы:

Глава 1. Арифметические действия и преобразования выражений. Глава 2. Уравнения, неравенства и системы. Глава 3. Функция. Глава 4. Векторная алгебра и геометрия. Глава 5. Задачи на параметры. Глава 6. Текстовые задачи, прогрессии и последовательности. Глава 7. Элементы комбинаторики, теории вероятностей и математической статистики. Глава 8. Типовые варианты ЕГЭ-2010. Глава 9. Типовые варианты заданий УГНТУ.

Список литературы

3

Глава 1. Арифметические действия и

преобразования выражений

§1.1. Арифметические действия

Тренировочные задания

Вычислите:

1. 9-14 2. 15-90 3. 31-60 4. 90-101

5. -8-22 6. -17-35 7. -102-13 8. -93-29

9. 7+(–5) 10. -52+11 11. -11+13 12. 13+(-41)

13. -18+(-15) 14. 6-(-5) 15. -12-(-3) 16. 6∙(-3)

17. –20:(-5) 18. -13:5 19. -5∙(-11) 20. -90:4

21. 2,76+4,897 22. -2,76+1,3 23. -3,124+(-6,98)

24. -8,17+(-(-2,9)) 25. 2,98-1,37 26. 8,9-11,78

27. -1,79-5,4 28. -12,76-(-4,247) 29. 8,2-(-(-45,89))

30. 3,4∙2,05 31. -3,08∙(-49) 32. -3,6:0,04

33. 3,08∙(-1,2) 34. -6,2:(-0,5) 35. 3,1:6

36. -2,8:(-1,2) 37. 5

3

7

24 38.

6

5

3

1

39. 5

71

5

53 40.

2

15

6

18

41.

2

1

8

5

42. 5

26

3

14 43.

36

116

18

72- 44. 42

35

2439-

45.

13

24

3

28 46.

5

3:

3

21 47. 3,2

7

21

48. 3

15,4 49. 3,2

7

21 50.

4

1279,0 51. 25,0

3

11

52. 22

5: (−0,6) 53. 4,1

7

41 54.

3

2:75,1 55. 3,0

4

1

56.

7

3:1,0 57. (–0,2)

3 58. 1

1

3

2

59. −5

7

2

60. (-1)2010

61. (-1)2011

62. 23 63. 4

-1

64. 3-2

65.

3

3

1

66.

1

4

3

67.

2

4

3

4

68.

3

3

1

69.

3

3

1

70.

4

3

1

71.

4

3

1

72. 25 73. 25 74. 81

4 75.

2025

169

76. 2143 77. 2)143( 78. −𝟏𝟒𝟑𝟐

Уровень А Вычислите:

79. 33 4,27,1 80.

2

2

6,3

8,1 81. 3

1

6427

82. 2

1

2

1

9

1363

83. 7

10

7

5

7

2

4:44

84. 3

1

027,064,0 2

1

85. 10

35

5

552

Уровень В

Вычислите значение выражения:

86. 12 30

18∙ 24 87.

−21

4∙ −2 2

3,17−3,08 88.

−2,5∙0,16

7,9−8,1 2

89. 5,9−6,2 2

−0,2∙4,5 90.

12 30∙ 75

45∙ 105 91.

48∙ 72

6 122

92. 18 75

6∙ 4510 93.

30 6

10∙ 12 5 94.

15 18

10∙ 15 3


95. 7 − 4 2− 3 − 7

2

96. 2 3 − 3 2

+ 2 3 − 4 2

97. 8 − 5 2 2

+ 7 − 5 2 2 98. 2 − 2

2− 2 − 1,5

2

99. 3 − 7 2− 7 − 4

2 100. 3 − 3

2− 2 − 3

2

101. 5251229 102. 277616

103. 33612 104. – 28 − 16 3

24

+ 2 3

105. 323122142

106. 114 − 80 2 24

+ 5 2

5

107. 2 3 5 6 3 2 2

108. 2 1 2 9 4 2

109. 4 15 6 10 4 15 110. 3 6 31 2 3

4 1 2 3 13 4 311

111. 3 62 2 3 14 4 6

1103 112. 4 7 4 3 2 3

113. 4 7 − 83

∙ 8 + 4 73

∙ 363

114. 11

12

33 4975,27495,4

Уровень С Вычислите:

115. −−6,1 3 −1,08 3 +5,1(6)

0,5+ 0,5

116. 9008,2

008,2008,29

008,23008,2

3008,2

008,23008,2

3008,2 3

117. 009,244

009,2:

2009,22

1009,2

2009,22

1009,2

118. 09,209

09,202:

309,20

309,20

309,20

309,20

119. 41,201

81,2012

1,20124

1,2012

1,20124

21,201

120. 234,12

2

2234,1

234,1

234,1468,2

8234,1234,1

22

3

121.

3

876,9876,9

876,93876,9

27876,9:

876,9

3876,92

32

Уровень D

122. Вычислите 2324923013

123. Вычислите 33

27

8476

27

8476

6

Докажите тождества:

124. 3809809 33

125. 5420521028521028

126. nmnmmnmm 32926926 2222

127.

12

11

12

11

12

3

1

3

3

1

3

a

a

aa

a

aa

128. qpqppqpp 522521025210 2222

129.

1812318327

62049625625

130. 4223

1

20

1

12

1

6

12

n

n

nn

131. Найдите сумму 1

2!+

2

3!+ ⋯+

𝑛−1

𝑛 !.

§1.2. Преобразования алгебраических выражений

Тренировочные задания Упростить:

1. xx 32 2. xx 4 3. xx 25 4. xx 67

5. 43 aa 6.

3

7

a

a 7. 52a 8.

8,54,1 aa

9. 8,5

4,1

a

a 10. 8,54,1a 11.

143 xx 12.

3

7

d

d

13. 25,3 k 14. 5,22,3 xx 15.

8,2

2,7

d

d

16. 3,27

k

Разложить на множители:

17. xx 32 2 18. 24 84 xx

19. 23 2aba 20. abba 255 32

21. 22 bx 22. 252 x

23. 216 a 24.

249 b

25. 42100 bx 26. 1625 2 x

27. 22 6481 bx 28.

2416 ab

7

29. 42 2516 nx 30. 25102 xx

31. 442 xx 32. 9124 2 aa

33. 22 25204 aaxx 34.

422 25204 baba

Представить в виде многочлена стандартного вида:

35. 23a 36. 2

4x 37. 214 a

38. 223 x 39. 2

52 ba 40. 24 a

41. 422 x 42. 243 x 43. 452 xx

44. 25 xx 45. 452 xx 46. x455

47. 453 xx 48. 4321 x 49. 4263 x

50. 3245 xx 51. 2105 xx 52. xx 12344

53. 4523 xx 54. 241 xx 55. xx 542

56. 3223 xx

Уровень А Упростите выражение:

57. 8,54,1 aa 58.

8,5

4,1

a

a

59. 8,54,1a 60. 5

21532

x

Уровень В

Найдите значения выражений:

61. 8,2,:2 4

31

75,1

tåñëètt

62. 2,

3

43

2

3

11

2

3

1

aåñëè

a

aa

63. 49

3

3

5,0

5,0

5,0

kïðèk

k

k

k

64. a

aa

ba

ba

, если 25,16 ba .

65.

22

x

y

y

x

x

y

y

x, если 234,1;234,1 yx .

66. yx

y

y

yx

yx

yx

: , если 22;73 yx .

8

67. 29

97

819

81

xx

x

x

x

, если 9x .

68. 52222

xy

yx

yxy

yx

yxx ,если 2009;2009 yx .

69.

222

2112 xy

yx

yxyx, если 2;3 yx .

70.

xy

yxyx 1122 : , если 320;321 yx .

71. xx

xx

xx 3

14

164:

14

114

2

, если 121x .

72.

ba

a

b

ba

ab

ba

baaba

ba

3:

12

2

2222, если 10;33 ba .

73. baba

baab

ba

ba33

9

33

3

272

22

33

, если 1234;1234 ba .

74. xy

yx

x

y

y

x

yx

21

, если 100;1000 yx .

75. baa

b

ba

b

a

ba

ba

a

b

ba

3: , если 39;13 ba .

76. 1:2

2

2

2

yx

yx

yxyxx

yxyxx

yxyxx

yxyxx, если 8;12 yx .

Уровень С Упростите выражения:

77. 3233369 4:167 xxxxxx

78. baba

ba

b

a

a

b

abb

a

baaba

b

12:

222

79. 12

2

24

6

8

216

2

222

2

33

22

ab

b

baba

abb

ab

abba

ba

a

80.

2

22:

11211

ab

ba

bababa

81.

3

23

32

32

322 2x

xy

yxx

xyx

yxyx

9

82. 2

44

4221

2

45

6 22

2

xx

xx

x

xxxx

83. 219211

:3311

22

2

22

abba

c

abbacba

ab

c

ba

84. 1

1111:

1111

3232

a

a

aaaaaa

85. 1

2

1

1

1

14

3

23

2

23

2

x

x

xxx

xx

xxx

xx

86. 2009321

200932

...

...

xxxx

xxxx

87. zyyx

zx

xzyx

yz

xzzy

yx

88.

1

1222

yzxz

z

zyxy

y

zxyx

x

89.

zyxyzxz

z

zyxy

y

zxyx

x

1333

90.

zxzzyyyxx

yzxz

z

zyxy

y

zxyx

x

444

91.

zyx

xyz

zxxzyzzyxyyx

zxxzyzzyxyyx222222

333333

92. 96

4824126331

1

48

1

24

1

12

1

6

1

3

1

3x

xxxxxx

93. Известно, что 31

aa . Найти

2

2 1

aa .


aa . Найти

3

3 1

aa .


aa . Найти

4

4 1

aa .


aa . Найти

5

5 1

aa .


aa . Найти

2008

2008 1

aa .

10


aa . Найти

2009

2009 1

aa .

Уровень D

Докажите тождества:

99. 22222224 cbacbacbacbacba

100. accbbaaccbba 3333

101. accbbacbacba 33333

102. abccbacbacbacba 243333

103. Числа 𝛼 и 𝛽 удовлетворяют равенствам 𝛼3 − 3𝛼2 + 5𝛼 = 1, 𝛽3 − 3𝛽2 +5𝛽 = 5. Найдите 𝛼 + 𝛽.

104. Найдите все значения, которое может принять выражение 𝑥 + 𝑦 + 𝑧 , если 𝑥 + 𝑦 = 𝑥 + 𝑧 = 𝑧 + 𝑦 = 1/3..

§1.3. Преобразования тригонометрических выражений


Вычислите:

1. 6

sin

2. 2

cos

3. 2

sin

4. 3

cos

5. 3

sin

6. 4

tg 7.

2

ctg 8.

6

tg 9.

6

ctg 10.

3

ctg

Уровень А Упростите:

11. 2224 coscossinsin 12. 4222 coscossinsin

13. 2244 cossin2cossin 14. 2244 cossincossin

15. 244 sin2sincos 16. 1coscossincos 2224 Вычислите:

17. 55

ctgtg 18.

773

ctgtg 19. 2,42,4 ctgtg

20. 35355 ctgtg 21. 2

35,1 ctgtg

11

Упростите выражение:

22.

2

3coscos 22 23. 180sin270 22tg

24.

2

3cos2cos3cos2sin3sin

25. 2cos4sin6sin4cos2sin

26.

sin1

2cos

2sin

2

27. 4cos5,2cos5,1sin5,1cos5,2sin

28. 22cos6sin4sin6cos4cos

29.

2cos1

2cos1

30.

cos

sin2

2sin 31.

2cos1

cos2 2

32.

cos

3cos

sin

3sin 33. 2

3cos

9cos

3sin

9sin

34. 2

2sin

6sin

2cos

6cos

35.

sin

3coscos

sin

3sinsin 33

36.

2sin

cossin12

44

37. 22sinsincoscossincoscossin

38.

2sin

coscossinsin

2

22

39. ctgtgtgctgtgtg

40. ctgtgtgtgtg

41.

2

3

2cos

3

22cos

2

32sin

Вычислите:

42.

88cos2cos

34sin26sin22

43.

18cos18sin

63sin27sin 22

44.

32sin32cos

81sin55cos9sin55sin22

45.

13sin13cos

68cos48sin22cos48cos22

46.

9cos9sin

36sin72sin36cos18sin

12


47.

2

3cos2cos3cos2sin3sin

48.

2sin4cos2cos4sin2sin

49. 6sin4cos3sin3cos4sin

50. 4cos5,2cos5,1sin5,1cos5,2sin

51. 642246 coscossin3cossin3sin Найдите значение выражения:

52.

4cos

2cos2

4sin 22

при 3

53.

6cos

32sin3

6sin

32cos3

при

3

2

54.

cos2

sincos22

cossin

при

3

55.

2coscossin2

2sinsin

при

3

Найдите значение:

56. tg , если 5

1cos и 0

2

57. sin , если 6,0cos и 0

58. cos , если 4

3ctg и

22

59. x2sin50 , если 5

3cos x и 0 x

60. x2sin59 , если 3

2sin x и

22

x

Найдите значение выражения:

61.

2

22

2

1tgtgtg при

3

62.

tg

tgtg

tgtg

2

41

4

при 3

13

Вычислите:

63.

4tg , если

3

2tg 64.

2tg , если

3

4ctg

65.

4

tg , если 6,1ctg 66. tg , если

4

tg =3

Найдите:

67. , если 68. , если

69. , если 70. , если

71. , если 72. , если

73. xctg2 , если

22

3,

3

4 xctgx

74. Если ,;2

6,0sin

xèx то значение выражения x2sin равно

75. Если ,2

3;8,0cos

xèx то значение выражения x2sin равно


76. tt 2cos12cos1 , если

t2

77. tt 2cos12cos1 , если

22

3 t

78. tt 2cos12cos1 , если 2

0

t

Представьте в виде произведения:

79. tcos2

1 80. tsin

2

3 81. tcos21

82. tt sincos 83. 2

3sin x

Уровень В Найдите значение выражения:

84.

70cos10cos

10sin70sin 85.

10cos110sin

10sin110sin

86. 10cos40sin20sin 87. 25cos35cos85cos

t2sin

tt2

,13

5sin x2cos

20,8.0cos

xx

tctg2

tt2

,13

5sin xtg2

20,8.0cos

xx

t2cos

tt2

,13

5sin x2sin

2

3,

4

3 xtgx

14

88. 110sin130sin10sin 222

89. 22 cos2sin5 , если 1.0cos

90. 22 cos6sin2 , если 2.0sin

91. 22 cos7sin3 , если 1.0cos

92. 1cos3 2 , если 2.0sin2 93. 1sin5 2 , если 3.0cos 2

94.

2cossin5 , если 5.0sin

95.

cos

2sin4 , если 9.0cos

96.

cos4

2sin , если 4.0cos

97.

2

36cos162 2 , если

3

23cos

98. 2cos18 2 , если 3

243cos

99. sin21 , если 21

5cos ,

2

100. sin19 , если 19

3cos ,

2

3

101. sin15 , если 15

11cos ,

2

102. cos21 , если 21

5sin ,

2

103. 2sin59 , если 3

2sin и

22

Вычислить:

104. 6

17sin

3

19sin32

105.

3

8sin

4

25cos62

106. 6

13cos

3

19cos32

107.

6cos

12cos

24cos

48cos

48sin396

108. 9

cos9

2cos

9

4cos8

109.

20sin

5cos

20cos

5sin

110. 7

5sin

7

2sin

7

5cos

7

2cos

111. 4

sin12

cos4

cos12

sin

15

112. 12

11sin

12cos

12

11cos

12sin

113.

5sin

15

2sin

5cos

15

2cos


114. 4

cos8

3sin

8

5sin

8

3cos

8

5cos

115. 3

sin5

sin15

2cos

5cos

15

2sin

116. 4

sin12

sin4

cos12

cos

117. 4

sin12

cos4

cos12

sin

118. 7

5sin

7

2sin

7

5cos

7

2cos

Вычислите:

119. 80cos70sin10sin2 120. 20cos40cos20cos2

121. 70sin50sin10sin8 122. 15sin65sin270cos

123. 2cos4cos1cos3cos 22

124. 110sin130sin10sin 222

125. 5cos25cos35cos 222 126. 2cos4cos1cos3cos 22

127. 70cos50cos10sin2 128.

100cos4

40sin

60tg

Уровень С Упростить выражение:

129.

1

221 22

ctgtg

130. 14cos2sin2

2sin 44

õõõ

131. õõõ 4cos290sin490sin8 004

132.

14sin21

22212

22

tg

tgtg.

133. 32cos902702cos 00 õõtgõ

16

134.

2

02

2cos

2sin

245sin2

õõõ

135. 12cos434cos

32cos434cos22

22

.

136. 12

coscossin2sin 44

tg

137.

4cos12cos1

22

5sin

24cos

.

138. 2sin2sin2cos62cos 4224 .

139.

4sin4cos1

4cos4sin1

. 140.

14

52

14

2

2

2

tg

tg

141. .3coscos

3sinsin

142.

4cos21

44

5sin4

4

5

2

2

tg

143. .6cos5cos4cos

6sin5sin4sin

144. .

7cos5cos3cos

7sin5sin3sin

145. .5sin4sin3sin

5cos4cos3cos

146.

12sin24sin

6sin6cos2cos2sin2

147. .22

)38cos(1

ctgtg

148.

sin

sin

sin

sin 22

149. .4cos3cos2cos

4sin3sin2sin

150. .

3cos2cos3cos

3sin2sin3sin

151. .4sin2sin

2cos4cos

Вычислить значение выражения:

152. ,cossin 33 если n cossin



155. ,cossin если n cossin . 2

0

.

156. ,cossin если

2

3; ,

3

12sin

157. 2cos , если n cossin .

17

158. ctg , если q

p

sin

sin 159. tg , если

q

p

cos

cos

160.

2

xtg , если

5

1cossin xx 161. ctgtg , если a

4cos

162.

22

2cos1

tgctg

, если m cossin

163.

2cos52sin4

2cos32sin2

, если 3tg

164.

2 cos

45cos 0 , если a sincos .

165.

42

22

sin4cos4

sin42sin

, если mtg .

Упростить выражение:

166. 6sin2cos6cos2sin 33

167. cos3sin33cos3sincossin93cossin3

168. 1cossin4cossin4 6644 xxxx

169. Преобразовать в произведение 10cos14cos318cos322cos

Найти наибольшее значение выражения:

170. 8

0,48

17sin4

8

15sin 22

ïðè

171.

22

12cos

tgctg

при

20

Найти наименьшее значение выражения:

172. 8

0,

82

5sin1

22

ïðè

tgctg

173. 14cos

tgctg при

40

18

§1.4. Обратные тригонометрические выражения

Уровень А

Вычислите:

1. 2

2arcsin 2.

4

1arcsinsin 3.

2

1arcsinsin

4.

2

1arcsincos 5.

4

1arccossin 6.

2

3arccoscos

7.

5

1arcsincos 8.

2

3arccossin

Вычислить в градусах:

9. 132

3arccos

arcctg 10. 32

2

1arccos arcctg

11. 33

33 arcctgarctg

12. 12

2

3arcsin

4

1arctg

13. 321arccos2

1arctg 14.

3

1

2

2arcsin2 arcctg

15. 32

1arccos3 arctg

16.

3

1

3

1

2

1arcsin arctg

17. 330arccos arcctg

Уровень В Вычислите:

18.

2

2arccostg 19.

5

3arcsin2sin

20.

2

1arcsinctg 21.

5

3arcsin2cos

22.

13

5arcsin

5

3arcsincos 23.

13

10tgarctg

19

24.

5

3arccos

5

4arcsinsin 25. 5tgarctg

26.

5

3arcsin

13

12arcsintg 27. 12sinarccos

28.

13

12arccos

5

3arccostg 29. 8cosarcsin

30.

5

4arcsincos 31.

3

1arccostg

32.

3

1arccossin 33.

2

3

4

3 arccintg

34.

8

1arcsin

2

1cos 35. 3sin arctg

36.

13

5arcsin

2

1cos 37. 2cos arctg

38.

7

4sinarcsin

39.

9

11cosarccos

40.

9

11cosarccos

41.

2

3arccos21arcsinctg

42. 5sinarcsin 43. 321arccos2 arctgtg

44. 4cosarccos

45.

1

2

1arccos

2

2arcsin arctgtg

46. 2sinarcsin

47.

2

1arcsin33cos arctgarcctg

48. 7ctgarctg 49. 10cosarcsin

50. 15sinarccos 51.

5

3arccos

2

1sin

52.

5

4arccos

2

1cos 53.

33

32

arctgtg

20

54.

33

32

arcctgtg 55.

2

3arcsin

3sinarcsin

56.

4

1arccos2tg 57.

2

3arcsin25,0

3

352 arctgtg

58.

5

3arcsin

3

4tg 59.

3

2

1arccoslog arctg

60.

5

3arcsin

2sin5


61.

4

1arcsin15 tg 62.

5

4arccos4 tg

63.

7

4arccossin337 64.

2

3

1arcsin

tg

65.

2

4

1arccos

ctg 66.

2

2

1sin

arctg

67.

2

4

1arcsin

tg 68.

2

5

1arccos

ctg

69.

2

5

1sin

arctg 70.

2

8

1arccos

ctg

§1.5. Логарифмические действия и преобразования

Тренировочные задания Вычислите:

1. 4log2

2. 16log2

3. 8log2

4. 25log5

5. 81log3

6. 3

22log

7. 3

44log 8. 8

22log 9. 9

77log

10. 2

22log 11. 3

3

22log 12. 3

5

22log

13. 33

33log 14. 4

3

22log 15. 3

4

55log

21

16. 2 2

1111log 17. 2

1111log4 18. 2 2

1111log

19. 2 3

1717log 20. 2

1111log3 21.

5

1log

5

22. 8

1log

4 23.

16

1log

8 24.

81

1log

9

25. 81

1log

3

Уровень А Вычислите:

26. 35log25 27. 45log

25 28. 34log16

29. 316log16 30. 25log

25 31. 43log23

32. 34log2

4

33. 23log23

34. 43log13

35. 44log1

4

36. 32log3

4 37. 32log2

4

38. 32log3

2 39. 32log8 40.

34log34

41. 2log3log66

42. 2log72log66

43. 4log5log554

44. 9log12log366

45. 09,0

1log

3,0 46. 001,0lg

47. 55

1log

5 48.

24

1log

2 49.

32

5

16,0

1log


50. 20log15log12log888

51. 3

5

1

5

1

5

149log

2

328log10log2


53. 27log64log27

1log

3

3

4

3

4

54. 6log3log3log21log7673

Вычислите:

55. 8log52

35log 56. 27log4

3

32log 57. 16log3

2

43log

58. 4log92

53log 59. 9log5

3

35log 60. 27log

3

61. 8log2

62. 243log3

63. 27

1log

3

64. 8

1log

2 65.

7

75log

3

35log

55 66.

13

45log

5

39log

33

22

67. 5

24log

3

20log

22 68.

7

12log

4

21log

33 69.

17

12log

3

34log

22


70. a9log3

, если 5log3

a 71. c64log4

, если 5,0log4

c

72. ba lglg , если 5,201,0lg ab 73. ba 5lg2lg , если 5lg ab


74. 813log53

log

3

75. 325log225log4

5log

5

76.

10

4

1log52log

4

77.

5

5

1log825log2

5

78. 32log25.034log16

79. 125log

115log

3

3

80. 272log

16log

6

6

81.

130log

25log

6

6

82.

49log

2175log

5

5

83. 3log27lg

16lg2

84. 3log27log

16log2

5

5 85. 9log27log

16log4

5

5

86. 2log32log

27log3

7

7

Укажите числовое значение выражения:

87. 6425log8

45log

88. 814log4

32log

89. 1625log8

45log

90. 649log7

43log 91. 6416log8

24log


92.

1arccos

2

2arccoscoslog

2 93.

0arccos

2

2arccossinlog

2

Уровень В


94. 25log

42,7log5log

5

1

52log

66

95. 3log24log

5,0log

55

5

96. 5,0log50log

2,0log

88

2

97.

12log6log

5,0log4log2

3,03,0

3,03,0

23

98.

56log3

114log

150log2

130log

77

66

99. 5

1

4log a , если 10log 5

2a .

100.

m

5

1log

5 , если 2m 101. m5log

5 , если 35m

102. 4

5,02log a , если 4log

5,0a 103.

a

bb

3

log , если 4log ab

104. 310loga

, если 4lg a 105. b

a

a

b

2

2log3 , если 2log b

a

106. a

b

b

alog3 , если 5log b

a 107.

5

2

log21 e

a

b , если

4ln

,2ln2

b

a

108. bba6

log73 , если 6

1log b

a 109.

3log4

b

a

a

b, если 9log b

a

110. 325log225log4

5log

5

111. 31321 93

112. )9log3(log:)24log2log3(7777

113.

325,0log252log49

Уровень С

114. Упростите выражение 9log...4log3log2log10543

.

115. Прологарифмируйте по основанию а выражение: 4 7325 cb при 5a ,

5b , 625c

116. Прологарифмируйте по основанию а выражение: 7 2

40016,0

cc

b при

2.0a , 5b , 75c

117. Найдите значение выражения

89lg88lg3lg2lg1lg tgtgtgtgtg

Уровень D

Упростите выражения, указав допустимые значения букв:

118.

157:232

5log

2

1

49log43)12(27log4 2log a

aaa

a

119. 6 2

3

2

2

22

1

2

1log)1(log

1log1log

aa

aa

aa

aa

120.

1log

2

1log1log1

log

2

2

baabbaab abbaba

24

121. 1log)log)(log2log(log abbabbababa

122.

b

aab

b

aba

a

log1loglog

log1 3

123.

)(log)(log1

)(log1

log1

2

2

21

baba

baba

aa

aa

Упростите выражения и указать, при каких значениях букв возможны

преобразования:

124. 22loglog 44 baab

при ba 1 .

125. babaabab

loglog22loglog 44

126. xxx xxxx 2log5,0log342

4

)12(loglog

2

2

22log

2

1log2log

127. Докажите, что для любого натурального 𝑛 выполнено равенство

nnnnnnnn

n log...loglog...32

43 , где 𝑥

обозначает целую часть числа 𝑥.

25

Глава 2. Уравнения, неравенства и системы

§2.1. Рациональные уравнения и неравенства

Рациональные уравнения.


Решите уравнение:

1. 115 x 2. 117 x 3. 22,4 x

4. 6

510

8

514 y 5. 523 x 6. -0,7x=0

7. 2x = –3 8. 5y =8

52 9. -0,15x+6=51

10. 05,07

2 x 11. 42 x 12. 42 x

13. 44,12 x 14. 72 x 15. 0162 x

16. 06,01,04 2 x 17. 0)3,0( xx 18. 3x(2x–0,1)=0


19. 0)7

1)(3,0( xx

20. 0)4)(32( xx

21. 0)43)(54( xx 22. 0)2

125)(5,10

5

4(3 zz


23. 032 xx

24. 052 xx

25. xx 22

26. xx 52 2 27. 22,08,1 xx 28. 0652 xx

29. 0252 2 xx 30. 03176 2 xx 31. 01152 2 xx

32. 0375 2 xx 33. 0123 2 xx 34. 02

23

x

x

35. 05,0

42

x

x 36. 0

412

)3(2

x

x 37. 0

8

82

x

xx

38. 08

782

x

xx 39. 0

42

862

x

xx 40. 0

67

32

xx

x

41. 0103

52

xx

x 42. 0

6

2522

2

xx

xx

43. 0

6

522

2

xx

xx

26

Уровень А Решите уравнения:

44.

0)5,12(35

5,54

xx

x

45. 0

3

4

4

3

xx 46.

12

7

4

2

xx

47. 06

1

55

5

xx 48.

92

2

6

3

xx 49. 06,01,04 2 x

50. 05,4 2 x 51. 0162 x 52. 10

1191,17 2 x

53. 0)3

1(

25

1 2 x 54. 05,93

)5,23(54

x

x 55. 0

1

8

15

zz

56.

182

22

x

57. 097

51

49

4 2 xx 58. 22 622)12( xx

59. (x-2)(x-6)=5 60. 028)81(22 xx

61. 3

22

10

1211

3

)5)(2(

xxxx 62. 0283 24 xx

63. 012239 24 xx (в ответе укажите сумму всех корней).

64. 09374 24 yy (в ответе укажите сумму всех корней).

65. 0252 24 xx (в ответе укажите сумму всех корней).

66. 04133 24 xx (в ответе укажите произведение всех корней).

67. 0328168160 2 xx 68. 32409723240972 2 xx

69. 10088808801008 2 xx 70. 02835742528357425 2 xx

71. 032674,050

1732674,034,0 2 xx 72. 0

49

472

7

312

49

472

7

312 2 xx

Уровень В

73. Решите уравнение )12)(54()144)(5( 22 xxxxxx . В ответе

укажите сумму корней уравнения.

74. Решите уравнение )2)(44)(22()124)(21( 2 xxxxxx . В

ответе укажите сумму корней уравнения.

75. Решите уравнение )12)(124()1)(168( 22 xxxxx . В ответе

укажите сумму корней уравнения.

76. Решите уравнение )4,02()2()2)(2,0( 22 xxxxx . В ответе

укажите произведение всех различных корней уравнения.

27

77. Решите уравнение )2)(36()5,0()2( 22 xxxxx . В ответе

укажите произведение всех различных корней уравнения.

78. Решите уравнение 31

30

3

16

xx. В ответе укажите наименьший из

корней.


41

12

3

tt. В ответе укажите наименьший из

корней.


126

2

36

xx. В ответе укажите наименьший из

корней.


13

2

4

yy. В ответе укажите произведение

всех различных корней уравнения.


2

3

7

2

4

xx. В ответе укажите произведение


83. Решите уравнение xxx

3

4

6

2

3

. В ответе укажите произведение



3

75

4

3. В ответе укажите наибольший из

корней.


6

2

16

1

21

. В ответе укажите наибольший из

корней.


2

2

2

6

1

xxx. В ответе укажите наибольший

из корней.


5

6

1

3

7

xxx. В ответе укажите наибольший

из корней.


1

3

5

3

4

xxx. В ответе укажите

наибольший из корней.

89. Решите уравнение 5,23

2

2

3

x

x

x

x. В ответе укажите сумму из

корней.

28


14

2

1

1

2

x

x

x

x. В ответе укажите сумму из

корней.


3

3

22

x

x

x

x. В ответе укажите наибольший из

корней.


11

2

13

x

x

x

x. В ответе указать сумму корней.


53

x

x

x

x. В ответе указать сумму корней,

округленную до сотых.


52

yy

. В ответе указать сумму корней.


32

xx. В ответе укажите наименьший

из корней.

96. Решите уравнение 53,06,13,1

132

xx. В ответе укажите

наименьший из корней.


5

14,0

1

2

xx

. В ответе укажите наибольший

из корней.


12

82

3

3

13

211

2

xx

. В ответе укажите наибольший

из корней.


)3(2

2

xx

x. В ответе укажите наибольший из

корней.


)1(22

22

x

xx. В ответе указать сумму корней.


)32

7(

)21)(31(

xx

xx.

29

102. Решите уравнение 5,0)24)(5(

52

xx

x. В ответе укажите наибольший

из корней.


2

3

)21)(12(

2

x

xx. В ответе указать сумму

квадратов корней.

Решите уравнения:

104. 42

675 2

x

x

xx. 105. 4

3

3345 2

x

x

xx.

106. Сумма корней или корень (если он единственный) уравнения

52

12144 2

x

x

xx принадлежит промежутку: 1)(2,3;2,4); 2)[1,9;2];

3)(5,6;5,7); 4)(3,6;3,7).


32

8107 2

x

x

xx принадлежит промежутку: 1)[-2;-1,9);

2)(1,1;1,2); 3)(0,8;0,9); 4)(-1,2;-1,1).


43

4224 2

x

x

xx принадлежит промежутку: 1)(-2,2;-2,1);

2)(0,3;0,4); 3)[-3,1;-3]; 4)(3,3;3,4).


109. 23

1

1092

122

xxxx

. 110. 0792

1

45

122

xxxx

111. 018153

1

462

122

xxxx

112. 0341

1

1712

122

xxxx


5

56

422

xxxx

. В ответе укажите

квадрат наименьшего из корней.

Уровень С


11

32

622

xx

x

xx

x. В ответе укажите

сумму всех положительных корней.

30


3

784

422

xx

x

xx


сумму всех положительных корней.


7

23

222

xx

x

xx


сумму всех отрицательных корней.


5

2

3

24

222

xx

x

xx




5

3

422

xx

x

xx




2

1 2

2

2

2

xx

xx

xx


количество целочисленных корней.

120. Решите уравнение6

7

32

22

22

122

2

2

2

xx

xx

xx


количество целочисленных корней.


1

1516

1515

1514

15132

2

2

2

xx

xx

xx

xx. В ответе

укажите произведение всех корней.


56

43

73

916

2130122

2

x

x

x

x

x


произведение всех корней.


5

5

4

3

2

2

1

x

x

x

x

x

x

x




4

156

151022

2

xx

x

xx




2

1465

12522

2

xx

x

xx

xx. Укажите сумму всех

отрицательных корней.


45522

2

xx

x

xx



31


36222

2

xx

x

xx




3

1516

15222

2

xx

x

xx


целочисленных корней.


1522

2

xx

x

xx



130. Решите уравнение 0732)1( 24 xxx . Укажите сумму всех



31

22

2

xx

xx . В ответе укажите

минимальную длину отрезка, в которую входят все корни.


21

2

2

xx




111

22

2

xx



134. Решите уравнение

2

2

4

1429

2

127

xx




34

22

2

xx

xx . Укажите разность

между наибольшим и наименьшим корнями.

136. Решите уравнение 1004321 xxxx . Укажите разность


137. Решите уравнение 603212 xxxx . Укажите разность


138. Решите уравнение 120321 xxxx . Укажите разность между

наибольшим и наименьшим корнями.





32

141. Решите уравнение 2412832 xxxxx . В ответе укажите

минимальную целочисленную длину отрезка, в которую входят все

корни.

142. Решите уравнение 031210654 2 xxxxx . В ответе

укажите минимальную целочисленную длину отрезка, в которую

входят все корни.

143. Решите уравнение 22 1268263 xxxxx . В ответе укажите


корни.



корни.

145. Решите уравнение 21004863 xxxxx . В ответе укажите


корни.

Уровень D


146. 06116 23 xxx 147. 0632 23 xxx

148. 06923 xxx 149. 453911 23 xxx

150. 024269 23 xxx 151. 0122 234 xxxx

152. 0124

32 234 xxxx 153. 0653856 234 xxxx

154. 02112 234 xxxx 155. 0110 234 xxxx

156. 02

1

7

1

4

1

6

1

xxxx 157.

5

1

4

1

3

1

2

1

xxxx

158. 4

1

3

1

2

1

1

1

xxxx 159. 172

44 xx

160. 822 44 xx 161. 1725

44 xx

162. 97144 xx 163. 1653

44 xx

164. 644266 xx

165. Сумма двух рациональных чисел 𝑥 и 𝑦 – натуральное число, сумма

обратных к ним чисел 1

𝑥,

1

𝑦 – тоже натуральное число. Какими могут

быть 𝑥 и 𝑦?

33

166. Решите уравнение 𝑥3 + 𝑥2 + 𝑥 = −1

3.

167. Докажите, что уравнение 4𝑥 + (𝑥 + 1)2 = 𝑦2 относительно

натуральных чисел 𝑥 и 𝑦 не имеет решений.

168. Докажите, что уравнение 4𝑥2 + (𝑥 + 1)2 = 𝑦2 относительно

натуральных чисел 𝑥 и 𝑦 имеет по крайней мере два решения.

169. Докажите, что уравнение 4𝑥2 + (𝑥 + 1)2 = 𝑦2 относительно

натуральных чисел 𝑥 и 𝑦 имеет бесконечное множество решений.

170. Докажите, что уравнение 4𝑥𝑛 + (𝑥 + 1)2 = 𝑦2 относительно

натуральных чисел 𝑥 и 𝑦 не имеет решений для натуральных 𝑛 ≥ 3.

171. Докажите, что при любом натуральном 𝑎 ≠ 1 уравнение 1

𝑥+

1

𝑦=

1

𝑎

имеет по крайней мере три решения в натуральных числах 𝑥 и 𝑦.

172. Сколько решений в натуральных числах имеет уравнение вида: 1

𝑥+

1

𝑦=

1

2008?

173. Найдите хотя бы одно решение уравнения 𝑥3 + 𝑦3 + 𝑧3 = 𝑥2𝑦2𝑧2 в

натуральных числах.

174. Докажите, что уравнение 𝑥3 + 𝑦3 + 𝑧3 = 𝑛𝑥2𝑦2𝑧2 имеет

натуральное решение только при 𝑛 = 1 и 𝑛 = 3.

175. Найдите все решения уравнения 𝑥3 + 𝑦3 + 𝑧3 = 3𝑥2𝑦2𝑧2 в

натуральных числах.

176. Решите уравнение 𝑥 + 1

𝑥 = 1, где 𝑎 – дробная часть числа 𝑎.

177. Найдите все решения в целых числах (𝑥,𝑦) уравнения 𝑥3 − 13𝑥𝑦 +𝑦3 = 13.

178. (Р. Женодаров) Существуют ли такие натуральные числа 𝑥 и 𝑦, что

НОД 𝑥; 𝑦 + НОК 𝑥;𝑦 + 𝑥 + 𝑦 + 1999?

179. Существуют ли такие натуральные числа zyx ,, , что

2;2;21;1;1,, zyxНОКzyxНОКzyxНОД ?

34

Рациональные неравенства.


Решите неравенства:

180. 42 x 181. –3x ≥ 5 182. 4x ≤ –6

183. –7x ≤ –14 184. 4x > –5 185. 10x < –3

186. –9x > 4 187. 8x > 9 188. –8 ≤ 3x ≤ 10

189. –9 ≥ –6x ≥ –10 190. –10 <7x ≤ 14 191. 0 ≤ –3x < 15

192. 2x+7 ≤ 5 193. 123 x 194. 122 xx

195. 1512 xx 196. 745 xx 197. 1342 xx

198. 32 xx 199. 32 xx 200. 5252 xx

201. 34 xx 202. 34 xx

Уровень А Решите неравенства:

203. 3−4𝑥

4≥

5−4𝑥

8 204.

2−𝑥

−4<

𝑥+3

8 205.

7−2𝑥

3− 5

1

3< −

2𝑥+1

9

206. 𝑥+4

5−

3𝑥−1

2≤ 2 𝑥 − 1 207.

𝑥+1

4−

4𝑥+1

5≤

7−3𝑥

10

208. 5−2𝑥

9≥

𝑥+2

15−

7𝑥−1

5 209. (x-5)·(x+7)>0

210. (x-1)·(x+4)<0 211. (x+4)·(x+6)≥0 212. (x+12)·(x-1)≤0

213. (x-12)·(1-x)≤0 214. (x-5)·(6-2x)>0 215. 4−𝑥

𝑥−9≤ 0

216. 𝑥−4

𝑥−9≤ 0 217.

𝑥+11

𝑥−8> 0 218.

𝑥−11

𝑥−15≥ 0

219. 𝑥−3 𝑥+9

2𝑥−5≥ 0 220.

3−𝑥

𝑥+5 −2𝑥−4 > 0 221.

4𝑥+1 𝑥−3

12−2𝑥< 0

222. 3−6𝑥

𝑥+5 2𝑥−4 ≤ 0 223. x

2>1 224. x

2>x

225. x2≤64 226. 2x

2≥-4 227. x

2-4x+3≤0

228. 6x-2-4x2>0 229. 3x

2-4x-7>0 230. 3x-2-x

2≤0

231. 𝑥2+6𝑥+8

4−𝑥≤ 0 232.

𝑥−3

𝑥2+2𝑥−3≤ 0 233.

4𝑥−𝑥2+5

6𝑥+21≥ 0

234. 1−2𝑥

𝑥2−5𝑥+4> 0 235.

𝑥−10

𝑥2−6𝑥+8< 0

Уровень В

236. Найти сумму всех целых решений неравенства 𝑥 − 2 2 > 0,

принадлежащих промежутку −3; 5

237. Найти количество целых решений неравенства 3

2𝑥+1>

3

3𝑥−2,

принадлежащих отрезку −100; 100

238. Найти количество целых решений неравенства 3𝑥−5 3 𝑥+5 2 2𝑥−4

𝑥+1 4 −6−𝑥 5 ≤ 0,


35

239. Найти количество целых решений неравенства 𝑥−3 2 𝑥+1 8

𝑥−2 4 𝑥+3 10 ≤ 0. Если

таких решений бесконечно много – в ответе напишите «∞».

240. Найти количество целых решений неравенства 3𝑥−9 4 𝑥+5 3 2𝑥−4

𝑥+1 4 𝑥−7 5 ≥ 0,

принадлежащих отрезку −7; 7 241. Найти сумму решений вида n+0,5, где n – целое число, неравенства

1−2𝑥 7 3−2𝑥 4

2𝑥−5 5 ≤ 0, принадлежащих отрезку 0; 10

242. Найти количество целых решений неравенства 𝑥2−3𝑥+1

𝑙𝑛0,3≤ −

1

𝑙𝑛0,3. Если


243. Найти количество целых решений неравенства 𝑥2−3𝑥+1

𝑙𝑛0,3≥ −

1

𝑙𝑛0,3. Если


244. Найти сумму всех целых решений неравенства sin 1970 ∙ 2𝑥 − 3 ≥4 sin 1970, принадлежащих промежутку −1; 9

245. Найти сумму всех целых решений неравенства 𝑙𝑜𝑔40,3 ∙ 2𝑥 − 3 <𝑙𝑜𝑔40,3 ∙ 𝑥 + 1 , принадлежащих промежутку −2; 6

246. Найти сумму всех целых решений неравенства 𝑡𝑔2 ∙ 7𝑥 − 1 < 𝑡𝑔2 ∙ 𝑥 + 5 , принадлежащих промежутку −2; 4

247. Найти сумму всех целых решений неравенства 𝑐𝑡𝑔1930 ∙ 7𝑥 − 1 <𝑐𝑡𝑔1930 ∙ 𝑥 + 5 , принадлежащих промежутку −2; 4

248. Найти количество всех целых решений неравенства 8

9−𝑥2 ≥1

2. Если

целых решений бесконечно много – в ответе напишите «∞».

249. Найти сумму всех целых решений неравенства 3𝑥−1

2𝑥+5> 3. Если целых

решений бесконечно много – в ответе поставьте «∞».

250. Найдите наибольшее целое решение неравенства 30

𝑥+3 𝑥−4 −

4

𝑥−4≤ −1

251. Найти наименьшее целое решение неравенства 𝑥−3 𝑥−4

𝑥+3 𝑥+4 ≤

𝑥+5

𝑥−5


𝑥−7≤

1

2𝑥−1,


253. Найти количество целых решений неравенства 𝑥+5 6

𝑥−10≥ 0,


254. Найти количество целых решений неравенства 𝑥+7

𝑥+3< 𝑥 + 1,


255. Найти количество целых решений неравенства 𝑥 +1

𝑥+1≤ −2,


256. Найти количество всех целых решений неравенства 𝑥2−9𝑥+17

𝑥2−4𝑥+3≤ −

1

𝑥−3.

Если целых решений бесконечно много – в ответе напишите «∞».

36

257. Найти количество всех целых решений неравенства 14𝑥

𝑥+1<

9𝑥−30

𝑥−4. Если


258. Найти количество целых решений неравенства 𝑥+4 2−8𝑥−25

𝑥−6 4 > 0,


259. Найти наименьшее целое решение неравенства 3𝑥+2

𝑥2+𝑥−2< −1

260. Найдите наибольшее целое решение неравенства 36

𝑥2−4𝑥≥ 𝑥2 − 4𝑥

261. Найти сумму целых решений неравенства 𝑥 − 3 𝑥2 − 4𝑥 ≥ 0,


262. Найти сумму целых решений неравенства 𝑥−2 𝑥+5

𝑥+9≤ 0. Если целых

решений бесконечно много – в ответе напишите «∞».

263. Найти сумму целых решений неравенства 5+4𝑥−𝑥2

𝑥−1 > 0. Если целых

решений бесконечно много – в ответе напишите «∞».

264. Найти количество целых решений неравенства 𝑥2 − 6𝑥 + 4 +1

𝑥−2≤

1

𝑥−2− 1. Если целых решений бесконечно много – в ответе напишите

«∞».

265. Найти количество целых решений неравенства 𝑥2 + 3𝑥 − 1 −1

𝑥+1<

3 −1

𝑥+1. Если целых решений бесконечно много – в ответе напишите

«∞».

Уровень С

266. Найти количество целых решений неравенства 𝑥−1 2−𝑥

𝑥+7≤ 0. Если


267. Найти количество целых решений неравенства 𝑥+1 𝑥2+2𝑥



268. Найти сумму целых решений неравенства 𝑥+2 𝑥2+4𝑥+3



269. Найти количество целых решений неравенства 2𝑥 − 4 ∙ 𝑥 − 12 ≤ 0.


270. Найти количество целых решений неравенства 2𝑥 − 4 ∙ 𝑥 + 12 ≤ 0,

принадлежащих отрезку −20; 20 271. Найдите наибольшее целое решение неравенства

5𝑥+4

𝑥2+10𝑥+24 𝑥2+6𝑥+5 ≥

1

𝑥2+11𝑥+30

37

272. Найти сумму целых решений неравенства 1

𝑥2−11𝑥+28≤

8𝑥−37

𝑥2−8𝑥+16 𝑥2−9𝑥+14 . Если целых решений бесконечно

много – в ответе напишите «∞».

273. Найти количество целых решений неравенства

1

𝑥2+6𝑥+9≤

5𝑥+4

𝑥2+8𝑥+15 𝑥2+3𝑥 . Если целых решений бесконечно много – в

ответе напишите «∞».


𝑥 − 2 𝑥 + 1 𝑥 + 4 𝑥 + 7 ≤ 63, Если целых решений бесконечно

много – в ответе напишите «∞».


𝑥2−5𝑥−6 3𝑥2−2𝑥−1

5−𝑥≤

𝑥2−5𝑥−6 2+2𝑥−4𝑥2

5−𝑥, принадлежащих промежутку

−2; 7

276. Найти количество целых решений неравенства 4𝑥2−1

𝑥2−3𝑥+2> 1 − 2𝑥,

принадлежащих промежутку 0; 20


𝑥2+2𝑥−

3

𝑥2+2𝑥−2> 1.


278. Найти количество целых решений неравенства 𝑥2 + 1 >𝑥2−5

𝑥2+2,

принадлежащих отрезку −20; 20 279. Найти сумму чисел вида n+0,5, где n , являющихся решениями

неравенства 𝑥2−𝑥

𝑥2−𝑥+1>

𝑥2−𝑥+2

𝑥2−𝑥−2+ 1


𝑥2 + 3𝑥 + 1 𝑥2 + 3𝑥 − 3 ≥ 5, принадлежащих промежутку −5; 5 281. Найти сумму длин интервалов, на которых выполняется неравенство

𝑥2 − 𝑥 >36

𝑥2−𝑥. Если неравенство выполняется на неограниченном

множестве, то в ответ запишите знак «-».

282. Найти количество целых решений неравенства x4-15x

2+10x>-24



𝑥−1−

4

𝑥−2+

4

𝑥−3−

1

𝑥−4<

1

30, принадлежащих промежутку −20; 20

Уровень D

284. Доказать, что неравенство 𝑥 𝑥 + 1 𝑥 + 2 𝑥 + 3 + 2 ≥ 0

выполняется при любых действительных x.

285. Доказать, что неравенство 01258 xxxx выполняется при

любых действительных x .

38

286. Доказать, что неравенство 014912 xxxx выполняется при

любых действительных x .

287. Доказать, что при a>0 выполняется неравенство 𝑎10 +3

𝑎2 +4

𝑎≥ 8

288. Доказать, что для любых действительных чисел yx, выполняется

неравенство 036232 22 yxyxyx .

289. Доказать, что неравенство 014341226204 22 yxyxyx

выполняется при любых действительных x и y .

290. Доказать, что 0886555 222 yzxzxyzyx , если

0222 zyx

291. Доказать, что 01248619 222 yzxzxyzyx если

0222 zyx

292. Доказать, что если 0x , 0y и 1 yx , то 𝑥8 + 𝑦8 ≥1

128.

293. Доказать, что если 122 yx , то 22 yx .

294. Доказать, что при 0a , 0b выполняется неравенство

𝑎𝑏 + 6 2𝑎 + 3𝑏 9

𝑎2 +4

𝑏2 ≥ 288.

295. Доказать, что при любых cba ,, выполняется неравенство

abccba 42 244 .

296. Доказать, что если 0,0,0 cba , то abcaccbba 8))()((

297. Доказать неравенство

333

22

baba, где 0,0 ba

298. Доказать, что для любого натурального числа 1n справедливо

неравенство 1121

1

Nn

N

n

299. Доказать, что для любого натурального числа 1n справедливо

неравенство 4

1

12

1

1

2

N

n n

300. Доказать, что

n

nn

2

1! , где n - целое число, больше 1.

301. Доказать, что для любого действительного числа 1 и любого

натурального n верно неравенство nn

11 .

302. Пусть 2 ba , где a и b - действительные числа. Доказать, что

244 ba .

39

303. Доказать, что для любых действительных чисел cba ,, выполняется

неравенство cabcabcba 222.

304. Доказать, что для любых положительных и неравных между собой

действительных чисел cba ,, выполняется неравенство

9111

cbacba .

305. Доказать, что для любых положительных и неравных между собой

действительных чисел cba ,, выполняется неравенство

abccbacba 9222 .

306. Доказать, что для любых действительных чисел cba ,, выполняется

неравенство )(23222 cbacba .

307. Доказать справедливость неравенства

nn

nn

2

2

11

11

, при

любом целом положительном n

308. Доказать справедливость неравенства 113

1

2

1

1

1

nnn , при

любом натуральном n .

309. Доказать, что при любых положительных bиa и любом натуральном

n справедливо неравенство nnnnbaba 2 .

§2.2. Уравнения и неравенства с модулем

Уравнения с модулем.


1. 1x 2. 1x 3. 21 x

4. 031 x 5. 015 x 6. 2112 x

7. 0243 x 8. 064 x 9. 1764 x

10. 322 xx 11. 022 xx 12. 5132 x

13. 3532 x 14. 232 2 xx

40


15. 032 xx 16. 032 xx

17. 032 xx

Решите уравнения и в ответе укажите количество корней:

18. 22332 xx 19. xx 534

20. 1223 xx 21. 2532 xx

22. 121 xx

Решите уравнения и в ответе укажите наибольший корень:

23. xxx 21 24. 0122 xx

25. 0232 xx

Решите уравнения и в ответе укажите сумму всех корней:

26. 065552

xx 27. 41

2

x


3

x


1

x

x. В ответе укажите целую часть корня.


4

x

x. В ответе укажите сумму всех корней.

Уровень В

31. Решите уравнение xxx 543112 . В ответе укажите целую часть

корня.

32. Решите уравнение 3231214 xxx . В ответе укажите сумму

целых частей корней.

Решите уравнения и в ответе укажите количество корней:

33. xxx 345112

34. 5142 2 xx

35. 11 2 xx

36. xxx 22

Решите уравнения и в ответе укажите произведение всех корней:

37. 3124 2 xx 38. 1012 x

41


39. 11 2 xxx 40. 6565 22 xxxx

41. xxxx 22 25

Сколько целых корней имеют уравнения?

42. 22 3648114836 xxxx 43. 08265 22 xxxx

44. 043123 22 xxxx .

45. Решите уравнение 13122 22 xxxxx . В ответе укажите целую

часть наибольшего корня.


наибольший корень.

47. Решите уравнение 041 22 xxxx . В ответе укажите

количество различных корней.

48. Решите уравнение xx

x32

21

5

. В ответе укажите целую часть корня.

49. Решите уравнение x

x

x

x 1

1

.

Решите уравнения и в ответе укажите наибольший корень:

50. 51. 343 x

Уровень С


3

1

1

xx. В ответе укажите наибольший

корень.


2

21

1

xx. В ответе укажите наименьший

корень.


54. 45215 xx 55. 125 xxx

56. xxxx 22 212 57. 54332 2 xxxx


иррациональное решение.

532 x

42

59. Решите уравнение xxxxxxx 2323 2112 . В ответе

укажите сумму всех корней.


2

1

x

x

x

x. В ответе укажите количество

различных корней.


22

2

xx

x

x

Неравенства с модулем.


62. 2x 63. 2x

64. 11 x 65. 21 x

66. xx 21 67. 135 xx

68. 152 2 xxx 69. 12 2 xxx

70. xxxx 223 71. 12 22 xxx

Уровень В

72. Сколько целочисленных решений имеет неравенство 631 xx .

73. Решите неравенство 332 xx . В ответе укажите количество

целочисленных решений удовлетворяющих неравенству, при условии,

что 5x .


целочисленных значений удовлетворяющих неравенству, при условии,

что 5x .



что 55 x .

76. Решите неравенство 3153125 22 xxxx . В ответе укажите

количество целочисленных решений удовлетворяющих неравенству, при

условии, что 55 x .

43


количество целочисленных отрицательных чисел удовлетворяющих

неравенству.

78. Сколько целочисленных значений удовлетворяют неравенству,

32142124 222 xxxxxx

при условии, что 1010 x .

79. Сколько целочисленных решений имеет неравенство 222 31221 xxxxxx

при условии, что 12 x .

80. Сколько целочисленных решений имеет неравенство

7145 xxx

81. Сколько целочисленных решений имеет неравенство

31213 xxx

82. Решите неравенство 13221 xxx . В ответе укажите


условии, что x100 .



что 100100 x .


количество целочисленных значений удовлетворяющих неравенству.

85. Решите неравенство 021 22 xx . В ответе укажите количество


что 1100 x .

86. Решите неравенство 02332

xx . В ответе укажите количество


что 1020 x .


3


целочисленных значений удовлетворяющих неравенству.

44

Уровень С


2

1

4

xx. В ответе укажите количество всех

целочисленных решений.


4

31

222

xxxx



условии, что 1010 x .


1

122

xxxx


количество всех целочисленных решений.


3

1

2

xx. В ответе укажите количество


что 35 x .


1

1

1



что 21 x .


1

12

1


всех целочисленных решений.

94. Решите неравенство 01321 xxx . В ответе укажите количество

всех целочисленных решений удовлетворяющих условию 2

337 x .

95. Решите неравенство 031112 xxxx . В ответе укажите

наименьшее число являющееся решением неравенства.


наименьшее положительное число являющееся решением неравенства.



98. Решите неравенство 01232 32 xxxx

99. Решите неравенство 0242 32 xxxx

45





102. Решите неравенство 12141 xx . Укажите количество

целочисленных решений.

103. Решите неравенство 146512 xxx . В ответе укажите

количество интервалов входящих в решение.

Уровень D


104. 12112144 222 xxxxxxx

105. 528575 222 xxxxxx

106. 11223 222 xxxxxx

107. 1222 222 xxxxxx

108. 12112

22343 222 xx

xxxxx

109. 𝑥2−5 𝑥 +6

𝑥2−8𝑥+16> 0 110. 0

43

232

2

xx

xx

111.

031

7123

x

xx 112.

0

21

532

xx

xx

113. 01442213422 23232323 xxxxxxxxxxx

114. 0241221 233233 xxxxxxxxxx

46

§2.3. Иррациональные уравнения и неравенства

Иррациональные уравнения.


1. 1x 2. 31 x 3. 135 x

4. 176 x 5. 21 x 6. 034 x

7. 34 x 8. 313 x 9. 213 x

10. 213 x 11. 153 x 12. 1433 x

13. 114 x 14. 224 x 15. 5234 x

16. 0324 x 17. 215 x 18. 215 x

19. 015 x 20. 226 x 21. 226 x

22. 026 x

Уровень А

23. Решите уравнение 𝑥3/2 = 8.

Решите уравнения и в ответе укажите произведение корней:

24. 𝑥 + 1 2 3 = 2 25. 2)23( 2 x

26. 2124 2x 27. 1514 2

x

28. Решите уравнение 1236 3 x .

Уровень В

Решите уравнения (если корней несколько, то в ответе укажите

произведение корней):

29. 0231 2 xxx 30. 1 − 𝑥 + 𝑥2 𝑥 + 1 = 0

31. Решите уравнение 0453 xx . Если корней несколько, то в ответе

укажите произведение всех корней умноженную на 3.

Решите уравнения (если корней несколько, то в ответе укажите сумму

корней):

32. 0651 2 xxx 33. 011 22 xxx

34. 051 xx 35. 051 xx

47

36. Решите уравнение 0321 22 xxx . В ответе укажите значение

выражения 22

0x , где 0x наибольший корень уравнения.

37. Решите уравнение 0124 2 xxx . В ответе укажите значение


2

0 xx , где 0x наибольший корень уравнения.

38. Решите уравнение 023132 xxx . В ответе укажите значение

выражения 530110 xxxx , где

0x наибольший, а

1x наименьший

корни уравнения.

39. Решите уравнение 0513 2 xxx .

40. Решите уравнение 012 4 xx . В ответе укажите значение


23 xxxx , где 0

x наибольший, а 1

x наименьший

корни уравнения.

41. Решите уравнение 03213 xx . В ответе укажите значение


2

0 xx , где 0x корень уравнения.

42. Решите уравнение 05314 2 xx . В ответе укажите значение


2

0 xx , где

0x корень уравнения.


2 3 2 xxx

. В ответе укажите значение

выражения 803 3

0 x , где

0x корень уравнения.

44. Решите уравнение 02412/5

xx . В ответе укажите значение


0

2/1

0 xx , где 0x наибольший корень уравнения.

45. Решите уравнение 05132 47/2 xx .

46. Решите уравнение xx 1 .

Решите уравнения и в ответе укажите целую часть 0x , где 0x корень

уравнения:

47. 03 xx 48. 0112 xx

49. 0322 xx 50. 32 xx

51. Решите уравнение 753 2 xx . В ответе укажите сумму всех

корней.

48

52. Решите уравнение 0421 xx . В ответе укажите произведение

всех корней.

53. Решите уравнение 122 xx . В ответе укажите сумму всех

корней умноженную на 6.

54. Решите уравнение xx 13 . В ответе укажите количество целых

корней.

55. Решите уравнение 15 xx . В ответе укажите количество

целых корней.

56. Решите уравнение 44 122 xx . В ответе укажите количество

корней.

57. Решите уравнение 01214 xx .

58. Решите уравнение 0121 36 xx . В ответе укажите количество

целых корней.

59. Решите уравнение 33 2 11 xxx .

60. Решите уравнение 01212 3 23 2 xxxx . В ответе укажите

количество целых корней принадлежащих отрезку 2;3 .

Решите уравнения и в ответе укажите количество корней уравнения.

61. 021 33 2 xxx 62. 3621 xxx .

63. 12141 xxx 64. 253 xxx .

65. Решите уравнение xxx 620338 2 .


сумму всех корней.

67. Решите уравнение 1241 2 xxx .


x

x


13

x


корней.

49


1

x

x. В ответе укажите значение выражения

2

50x .


x

x. В ответе укажите сумму целых

значений, которые ближе всего расположены к корню уравнения слева и

справа.

72. Решите уравнение 2422 xxxx . В ответе укажите

наименьшее решение уравнения.


целое число, наиболее ближе расположенного к наименьшему решению

уравнения.


количество корней.




268 3

x

x

xx. В ответе укажите сумму

целых значений, которые ближе всего расположены к корню уравнения

слева и справа.

77. Решите уравнение 354 xx . В ответе укажите произведение

всех корней.


корней.

79. Решите уравнение 411 22 xxxx . В ответе укажите целое

число, наиболее ближе расположенного к наибольшему решению

уравнения.


корней.

81. Решите уравнение 425 xx . В ответе укажите сумму всех

корней умноженную на 9.

82. Решите уравнение 4 xxxx . В ответе укажите значение

выражения 63150x , где 0x - корень уравнения.

50

83. Решите уравнение 11111 xx

84. Решите уравнение 1168143 xxxx . В ответе

укажите количество всех целых решений уравнения.

85. Решите уравнение . В ответе укажите

значение выражения 490x , где

0x - корень уравнения.

86. Решите уравнение 24321 xxxx . Чему равна

сумма всех целых корней уравнения?

87. Решите уравнение 1543 xx .

Уровень С Решите уравнения:

88. 7235 xxx 89. xxx 2321 .

90. 7218317 xxx 91. 112 xxxx .

92. 01

4

3

2

xx 93. 0

2

2

1

1

xx.

94. 015

1

x

x

x 95. 02

12

1

x

x

x.

96. 033

44

1

3

x

x

x

x 97. 02

1

12

x

x

xx

98. 24

1

1

4

x

x

x

x 99. 21

6

8

2

6

xx

x

100. 3/23/2 187 xx 101. 4 3433 xx

102. 01 xx 103. 411

22

xxxxxx

104. 11111

x

x

x

x 105.

2

114

11

x

x

x

106. xx

x

5

11 107.

xxxxxxxx

222 3

4

2

5

2

3

108. 1

1

21

21

xxx

xx 109.

222

22 x

xx

xx

12121 xxx

51

110. 314

14 2

22

22

xx

xxxx

xxxx

111. xxxx 241221

112. xxxxxx 22 22

113. 381 33 xx 114. 291 33 xx

115. 211 33 xx 116. 271 33 xx

117. 11645 33 xx 118. 333 1131 xxx

119. 333 1212 xxx 120. xxxxx 3434 22

121. xxxxx 2352352 22 122. xxxx

xx 2212 2

123. xxxxx 210871087 22 124. 3161 44 xx

125. 2151 44 xx 126. 2117 44 xx

127. 21

1

1

144

x

x

x

x 128. 4 244 1211 xxx

129. 3 23 23 215141 xxx

130. 33 23 22787278 xxxx

131. 3 23 23 2 4131442414 xxxxx

132. 121212122

xxxx

133. 9665244 222 xxxxxx

134. 432816 22 xxxxx

135. xxxxx 211441 22

Уровень D Решите уравнения:

136. 062232 xxx 137. 1232 2/3 xxx

138. 01022252 xxx 139. xxxxx 28322

140. 42222 xxxxx 141. xxxx 212

142. 21131121 2222 xxxx

52

143. 4

71

xx 144.

3

2

1

123

xx

145. 143 34 xx 146. 13

25

1

124

xx

147. 2

4 11 xx 148. 22 2152 xxxx

149. 23 4 28 xx 150. 1242535

36 2 xxxx

151. 19834 2 xxxxx

152. 65816159 22 xxxxx

153. xx 111 154. 1111 2 xx

155. xx 3 3 3 111 156. xxxx 222 11

Сколько корней имеет уравнение:

157. 111 33 3 xx 158. 015 xx


159. 4

1

11 3/2

3

x

x

x

x 160.

1

111

83/2

12/13

xxx

x

161. 1118 422/7 xxxx

162. nnnx

nnx

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

2

1

22

12...

125

115

104

94

83

73

62

52

4

3

163. При каких целых m и n выполняется равенство 5 + 3 2 𝑚

=

3 + 5 2 𝑛

164. При каких целых m и n выполняется равенство 𝑎 + 𝑏 𝑑 𝑚

=

𝑏 + 𝑎 𝑑 𝑛

, где 𝑎 и 𝑏 (𝑎 ≠ 𝑏) - взаимно простые натуральные числа, а

𝑑 > 1 - натуральное число, среди делителей которого нет квадратов

простых чисел?

165. Найдите 8 натуральных чисел 𝑎1 , 𝑎2, 𝑎3 ,… , 𝑎8, таких, что

21...11882211

aaaaaa

53

Иррациональные неравенства.


166. 1x 167. 2x 168. 51 x .

169. 21 x 170. 43 x 171. 13 x .

172. 214 x 173. 124 x . 174. 012 xx

175. 012 xx . 176. 01212 xx 177. 021 xx .

178. 0124 xx 179. 0233 xx .

Уровень В

180. Укажите наименьшее целое число являющееся решением неравенства

xx 21 .

181. Решите неравенство xx 1 . В ответе укажите количество


182. Укажите длину интервала неотрицательной части решения неравенства

2121

2

1 xx .

183. Решите неравенство 15.02

3

x



184. Укажите длину интервала неотрицательной части решения неравенства

122

1

x

x.

185. Решите неравенство

11

5,12

x

x. В ответе укажите длину промежутка

являющегося решением неравенства и умноженную на 41

8.


x

x. В ответе укажите наименьшее целое

положительное число являющееся решением неравенства.

54

187. Сколько целочисленных значений удовлетворяют неравенству

5,02

15

x

x.

188. Сколько отрицательных целочисленных значений удовлетворяют

неравенству 15

3

5

x

x

x

x.

189. Решите неравенство 62 2 xx . В ответе укажите количество

целых чисел принадлежащих промежутку 1;2 и удовлетворяющих




191. Решите неравенство xxx 112 2. В ответе укажите количество

целых чисел принадлежащих промежутку 4;3 и удовлетворяющих


192. Решите неравенство 122 xx . В ответе укажите длину

промежутка отрицательной части решения.

193. Решите неравенство xx 24 . В ответе укажите длину промежутка

решения умноженную на 22 .

194. Решите неравенство xxx 12. В ответе укажите количество

целочисленных значений, меньших 10, удовлетворяющих неравенству.

195. Решите неравенство 0121 2 xxx . В ответе укажите

количество целочисленных значений, меньших 10, удовлетворяющих


196. Решите неравенство xxx 111 . В ответе укажите количество

целочисленных значений, меньших 20, удовлетворяющих неравенству.

Уровень С Решите неравенства:

197. x

x

x

x

2

1

2

12 198.

x

x

x

xx

31

32

13

12

199. 112

1

x

xx 200. 1

3

22

x

xx

201. 5,046

112 2

x

xxx 202. 2

1

1225 2

x

xxx

55

203. 3 23 2 11 xxxx 204. 0122 3 23 2 xxxx

205. 01312 xx 206. 0231 2 xxx

207. 011 xx 208. 0221 22 xxxx

209. 111 xx 210. 232 xx

211. 411 22 xxxx 212. xxx 212

213. xxxxx 1121 22 214. 22544 2 xxxx

215. xxx 213 216. xxx 21

217. 03

3

12

2

xx 218. 0

1

2

1

4

2

xxx

219. 022

22

xx

xx 220. 0

55

55

xx

xx

221. 133

33

xx

xx 222. 012 xx

223. 012 xx 224. 012 22 xxxx

225. 0122 22 xxxx 226. 112

312

xx

227. 212

11

xx

Уровень D Решите неравенства:

228. x

x1

4

7 229. xxx 22 2

230. 4 161

2x

x

231. 143 34 xx

232. Докажите, что для любых положительных чисел 𝑎 и 𝑏 выполняется

неравенство 2 𝑎 + 3 𝑏3

≥ 5 𝑎𝑏5

.

233. Докажите, что при любом натуральном 𝑛 выполняется неравенство: 1

2+

1

3 2+

1

4 3+ ⋯+

1

(𝑛+1) 𝑛< 2.

56

§2.4. Тригонометрические уравнения и неравенства

Тригонометрические уравнения.



1. 1cos x 2. 1cos x 3. 1sin x

4. 0tgx 5. 0sin x 6. 1sin x

7. 1tgx 8. 0cos x 9. 1tgx

10. 0ctgx 11. 2

1sin x 12.

2

3cos x

13. 2

2sin x 14. 3tgx 15.

2

1cos x

16. 3

1tgx 17.

2

3sin x 18.

2

2cos x

19. 2

2sin x 20. 3ctgx 21. 3tgx

22. 2

1sin x 23.

2

2cos x 24.

3

1ctgx

25. 2

1cos x 26.

3

1tgx


27. 06

2sin

x 28. 143

sin

x

29. 13

3

xtg

30. 13

2

2

xctg 31.

2

1

4

3

6sin

x 32.

2

3

12

55cos

x

33. 34

3

3

xtg 34. 3

94

xctg 35. 63

sin

x

36. 44

2cos

x

57

Уровень В

Найти решение уравнения на указанном промежутке (в ответе знак

градусной меры не писать):

37. 2

12cos x ,

900 x 38. 05

2cos

x,

270180 x

39. 13 xtg , 500 x 40. 0

2

3

xctg ,

900 x

41. 12

3sin

x,

2700 x 42. 03

4sin

x,

18090 x

43. 2

13cos x ,

750 x 44. 32

5

xtg ,

900 x

45. 2

12sin x ,

750 x 46. 35

2

xtg ,

1800 x

47. 2

23cos x ,

1200 x

Найти корень уравнения или сумму корней, если их несколько, на

указанном промежутке:

48. 02sin x , 40 x 49. 13cos x , 64 x

50. 04 xtg , 63 x 51. 0)1(2

xctg

, 51 x

52. 1)1(3

cos

x

, 90 x 53. 1)3(

2sin

x

, 93 x

54. 0)2(2

cos

x

, 72 x 55. 1)3(

4

xtg

, 95 x

56. 1)1(4

xctg

, 71 x 57. 0

9cos23

x, 208 x

58. 03

sin21

x, 42 x 59. 0

15cos21

x, 205 x

60. 08

cos21

x, 103 x 61. 0

3

4sin21

x, 10 x

62. 015

cos23

x, 3015 x 63. 0

3

2sin21

x, 21 x

58

Укажите наименьший положительный корень уравнения:

64. 2

1

12cos

x 65.

2

3

6cos

x

66. 2

1

6sin

x 67.

2

1

6cos

x

68. 2

1

12sin

x

Решить уравнение и в ответе укажите 0

36x

:

69. 2

1cos 2 x , где x0 - наименьший положительный корень.

70. 3

12 xctg , где x0 - наименьший положительный корень.

71. 4

3sin 2 x , где x0 - наименьший отрицательный корень.

72. 3

12 xtg , где x0 - наименьший отрицательный корень.

73. 4

3cos 2 x , где x0 - наименьший отрицательный корень.

Решить уравнение и в ответе укажите произведение 212

32xx

, где x1 -

наибольший отрицательный корень, x2 - наименьший положительный

корень:

74. 2

1sin 2 x 75. 12 xtg

Решить уравнение и в ответе укажите сумму

)(3221

xx , где x1 -

наибольший отрицательный корень, x2 - наименьший положительный

корень:

76. 04sin5cos2 2 xx . 77. 042sin72sin2 2 xx

78. 032cos72sin3 2 xx 79. 01sinsin2 2 xx

Решите уравнение и в ответе укажите количество корней

принадлежащих промежутку ba; :

80. 01sincos 2 xx , 2;0 81. 0sin2 ctgxx , ;0

82. 02

1cos tgxx , ; 83. 0

4

1sincos 2 xx , 0;3

59

84. 1cossincos 2 xxx , ;1 85. xx 22 cos2sin5 , 1;1

86. 0sincos 22 xx , 1;0 87. 0cos3sin 22 xx , 2;0

88. xx 22 cossin3 , ;

Решить уравнение и в ответе укажите количество отрицательных

корней, которые не меньше 𝒙𝟎:

89. 0cossinsin2 xxx , 2x0

. 90. 0cossincos 2 xxx , 0

x .

91. 02cos)606cos( xx , 3

x0

. 92. 02sin)459sin( xx ,

3

2x

0

.

93. 0)603cos( xtgx , 2

5x

0

. 94. 0)45cos(2sin xx ,

2

3x

0

.

95. 05sin)303cos( xx , 3

2x

0

.

Решить уравнение и в ответе укажите количество положительных

корней, которые не больше 0

x :

96. 04sin)120cos( xx , 2x0 .

97. 0)30cos()604sin( xx , 3x0 .

98. 0)602cos()1353sin( xx , 0

x .

99. 02

cos)602( x

xtg , 2x

0 .

100. 0603

sin)1203(

x

xctg ,2

3x

0

.

101. 30sin2cos)30sin( xxx ,5

4x

0

.

102. xxx 2cos2cos3sin , 3

5x

0

.

103. 60cos3cos)60cos(2 xxx ,5

2x

0

.

104. 1805sin6cos5sin xxx , 3x0 .

105. xxx 4sin)1802sin()904cos( , 3

2x

0

.

106. Решить уравнение 180)302sin( xtgxtgx . В ответе укажите

значение выражения 0

sin x , где 0

x - наименьший корень.

60

107. Решить уравнение xxx 2sin)904cos()1802sin( . В ответе укажите


3cos x , где 0

x - наибольший отрицательный

корень.

108. Решить уравнение xxx 2cos)905sin(2cos2 . В ответе укажите


20sin x , где 0


корень.

109. Решить уравнение xxx

3sin2703

cos23

sin3



9sin x , где 0


корень.

110. Решить уравнение xtgxx 2sin)2702cos( . В ответе укажите


sin x , где 0


корень.

111. Решить уравнение 0sin1

cos

x


0sin2 x , где

0x - наибольший отрицательный корень.

112. Решить уравнение 02cos1

2sin

x


0sin x , где


113. Решить уравнение 0

2

2cos

)45sin(

x

x



4cos x , где 0

x - наибольший отрицательный корень.


2

3cos

)60cos(

x

x



60sin x , где 0


115. Решить уравнение 02sin1

2cos

x


040sin x , где


116. Решить уравнение 0cos1

sin

x


010sin x , где


61

117. Решить уравнение 0)30cos(

5,0cos

x

x. В ответе укажите значение


2sin x , где 0


118. Решить уравнение 0)60cos(

5,0sin

x



6sin x , где 0

x - наименьший положительный корень.

119. Решить уравнение 05,0sin

2

3cos

x

x



6cos x , где 0



2

3cos

5,0sin

x



sin x , где 0


121. Решить уравнение xx 3sin2sin . В ответе укажите значение выражения

25sin0x , где 0x - наименьший положительный корень.

122. Решить уравнение xx

2cos3

cos . В ответе укажите значение выражения

07sin x , где

0x - наименьший положительный корень.

123. Решить уравнение xtgtgx 4 . В ответе укажите значение выражения

0

2sin x , где 0


Найти решение уравнения на указанном промежутке (в ответе знак

градусной меры не писать):

124. xx 2sin3cos , 15075 x 125. xx 2sin4cos ,

600 x

126. xx 6sin4cos , 9045 x 127. 05sin4cos xx ,

350270 x

128. xx 3sin6cos , 17090 x 129. 08sin2cos xx ,

450 x

130. 5404sin6302cos xx , 18090 x

131. 5406sin4503sin xx , 4510 x

132. 2702cos360cos xx , 360270 x

133. 450sin1803cos xx , 1800 x

134. 6304sin1805cos xx , 9040 x

135. 8109sin3603cos xx , 300 x

62

136. 902sin1804cos xx , 270180 x

137. 720sin902cos xx , 360180 x

138. 14sin

6sin

x

x,

200170 x 139. 12sin

3cos

x

x,

280180 x

140. 15cos

4sin

x

x,

15080 x 141. 17sin

2sin

x

x,

240150 x

142. 13cos

2sin

x

x,

900 x 143. 16cos

24sin

x

x,

3025 x

144. 14sin

5cos

x

x,

12080 x

Найдите число корней уравнения:

145. 32 441514cos xxxx 146. 02432sin42cos3 22 xxx

147. 0433 22 xxtg

Решите уравнение и в ответе укажите сумму корней , принадлежащих

промежутку 2;0 , умноженная на величину

1:

148. x

xtgx

cos

cos 149.

x

xctgx

sin

sin 150.

tgx

tgxx

2cos

151. ctgx

ctgxx

2sin 152.

x

xctgx

sin3

sin


153. 5

2cos45416 22 x

x

154. 5

3cos3729 22 x

x

155. 3

5cos43216 22 x

x

156. 4

15cos42516 22 x

x

157. 215cos215cos2 )110(42 xxx 158. 210cos310cos3 )320(82 xxx

159. 215sin215sin2 )35(93 xxx

160.

3

14cos3

3

14cos3122416 2 xx

xx

63

161.

4

5cos3

4

5cos3396025 2 xx

xx

162.

4

5cos2

4

5cos262025 2 xx

xx

163. 014sin16cos xx 164. 015sin4cos xx

165. 011sin ctgxx 166. 011cos tgxx

167. xx

x2cos

cos

2sin1 168. xxx sin22sin3cos 22

169. xxx cos22sincos3 22 170. xxx 2coscossin

171. xtgxtgx 2sin34

Найдите положительный корень (или сумму таких корней, если их

несколько) уравнения:

172. 5,345,1 4315

cos

xx

x

x 173. 522

4cos

x

x

x

174. xx

x5,0

log5,182

sin

175.

x

x

x2130

4cos63 1

176. Найдите корень (или сумму корней, если их несколько) уравнения

02733132

cos21 2 xxxx

Найдите все значения 2;0x , при которых имеет место равенство:

177. 4

coscos2

1

2

1

2

1

2

1 xx . 178.

4sincos

2

1

2

1

2

1

2

1 x .

179. Найдите положительный корень (или сумму таких корней, если их

несколько) уравнения 0658 2

xx

xtg


180. 1,2sin1)1(1

132

32

tgxx

xtgxtgxtgtgx

xtgxtgxtgtgxnn

n

181. xxx cos1sin1sin1 182. 12cos2

12cos

2

144 xx

64

183. xx

xxx

sin1sin1

sin1sin1sin2

184. xxxx cossin22sin12cos

185. 4.1cossin xx 186. xxx 455 sin2cossin

187.

xxx 4

3cos5cos3sin

2 188.

2sin22cos2sin32 2 x

xx

189. xxx 2sin4sincos32 190. xxx 2cos4cossin32

191. xxx 2sin22sincos2

192. xxxxx

xx 22

3

cos2cos6cossinsin

3sincos

193. xxx

xx

x

xxcos2sin3

2cos

3cossin

cos

3sincos 33

194. xxxxx

xx 22

3

sin2cos63sincoscos

3cossin

195. xxxxx

xx 22

3

sin2cos63sincoscos

3cossin

196. xxxxx cossinsin2cos1sin

197. xxxxx cossincos2sin1cos

198. xxxxx cossinsin2cos1sin

199. xxcoxxx cossin2sin1cos

200. x

x

x

x

2cos

6cos

sin

3sin2 201.

x

x

x

x

cos

3cos

4sin

6sin

202. x

x

x

x

2cos

6cos

sin

3sin2 203.

x

x

x

x

cos

3cos

4sin

6sin

204. 23sin

sin3

sin

3sin

x

x

x

x 205. 1

3cos

cos2

cos

3cos

x

x

x

x

206. 23sin

sin3

sin

3sin

x

x

x

x 207. 1

3cos

cos3

cos

3cos

x

x

x

x

208. 7

10

sincos2

cos3sin224

24

xx

xx 209.

10

7

sincos

cossin44

66

xx

xx

210. xxx

x

x

x3sinsin8

cos

5cos

3cos

cos 211. x

x

x

x

x2cos2

3sin

sin

sin

3sin

212. xxx 2sinsin3sin 213. xxx 2sincos3cos

65

Найдите все корни уравнения:

214. ,sincos

6cos

cossin

6sin

xx

x

xx

x

принадлежащих интервалу .

2;0

215. ,6sin

cossin3

6cos

sincos3

x

xx

x

xx

принадлежащих интервалу .0;

2


216. xxx cossinsin2

7 2 217. 02cos3

13 ctgxx

218. xxx cossincos2

3 2 219. xtgtgxx

xx2

2sin

cos2cos

220. xctgxx

tgxctgx2

2cossin3

221. xtg

xctgx

xx2

2sin

sincos2 2

222. xctgxx

tgxctgx2

2cos3cos

223. xxx sin3cos2cos5

224. xxx sin5cos32sin717 225. xxx cos3sin2cos5

226. xxx sin3cos52sin717

Найдите наименьшее натуральное число n, при котором выполняется

равенство:

227. 025cos70sin40sin80sin nnn

228. 015sin80sin80cos20cos nnn

229. 05cos50sin20sin100sin nnn

230. 075sin130sin10cos50cos nnn


231. xxx sin62coscos34 232. xxx cos2252cossin4

233. xxx sin42cos6cos7 234. tgxxx 2cos23

13sin8

235. x

xtgxcos

1sin

2

5105 236. tgxxx 2cos2sin247

237. x

xtgxcos

2sin32612

66

Уровень D

238. Решите уравнение 63322 xctgxtgxctgxtgctgxtgx

239. Сколько корней имеет уравнение 01sin22 xyxx в прямоугольнике

2y0 ,11 x ?

240. Сколько корней имеет уравнение 01cos2 24 xyxx в

прямоугольнике 2y0 ,11 x ?

241. Сколько корней уравнения 0sin yx принадлежит кругу

4

15,0 22

yx ?

242. Сколько корней уравнения 0sin yx принадлежит кругу

2

122 yx ?

243. Сколько корней уравнения

02

cos

yx принадлежит кругу

4

15,0

22 yx ?


244. xxx cos255 ? 245. xxx 2cos233 ?

246. x

xx

cos22

1

2

1

? 247. xxx sin211010 ?

248. x

xx

sin237

1

7

1

?


249.

xx

x

xxxx

xxxx

4sinsin

sin212

sin2sin3sin4sin

cos2cos3cos4cos2

250.

xx

x

xxxx

xxxx

4sinsin2

2cos

cos2cos3cos4cos

sin2sin3sin4sin

67

251.

xx

x

xxxx

xxxx

4cossin

cos212

sin2sin3sin4sin

cos2cos3cos4cos2

252.

xx

x

xxxx

xxxx

4cossin2

2cos

cos2cos3cos4cos

sin2sin3sin4sin

253. 1sin

5sin3sin2

x

xx 254.

3

sin

5sin3sin13

x

xx

255. 1cos

5cos3cos2

x

xx 256.

3

cos

5cos3cos13

x

xx

257. 5cos3sin2 105 xx 258. 1cossin 3620 xx

259. 1cossin 4754 xx 260. 210cos3sin 3111 xx

261. 62

3cos7cos5

xx 262. 34sin3sin2sin xxx

263. 39coscoscos 7 xxx

264. 12cos2sin9 1486 xxx

265. xxx 3cos42cos4cos 22 266. 03cos12sin 22 xx

267. 12sin6sin xx 268. 92cos

1cos 2 xtg

xx

269. 212cos yx 270. 1061

2 2

2

yy

xtg

tgx

271. 1781

1 2

2

2

yy

xtg

xtg 272. 40183cos12sin5 2 yyxx

273. )cos1(6cossinsin6 xxxx 274. xxx cos7sin72sin7

275. xxx 2sin1cossin 276. 12sincossin xxx

Тригонометрические неравенства.

Уровень А


277. 1cos x 278. 1cos x 279. 1cos x

280. 1cos x 281. 1sin x 282. 1sin x

283. 0cos x 284. 0cos x 285. 0sin x

68

286. 0sin x 287. 0tgx 288. 0tgx

289. 0ctgx 290. 0ctgx 291. 1cos x

292. 1cos x 293. 1sin x 294. 1sin x

295. 2

1sin x 296.

2

1sin x 297.

2

2sin x

298. 2

2sin x 299.

2

3sin x 300.

2

3sin x

301. 2

1cos x 302.

2

1cos x 303.

2

2cos x

304. 2

2cos x 305.

2

3cos x 306.

3

1tgx

307. 1tgx 308. 3tgx 309. 3

1сtgx

310. 1сtgx 311. 3сtgx

Все решения неравенства образуют промежуток, определите его длину:

312. 3

arccos

x 313. 6

arccos

x 314. 6

5arccos

x

315. 3

2arccos

x


316. 2

12sin x 317. 13sin2 x 318.

2

33cos x

319. 2

33sin x 320.

2

1

6sin

x 321. 2

2

43sin

x

322. 34

2

xtg 323. 3

3

63

x

ctg 324. 9

4sin x

325. 34 xtg 326. 44cos x 327. 33sin x

Уровень В

Найти наименьшее неотрицательное целое число являющееся

решением неравенства на промежутке ; :

328. 4

1sin сosxx 329. 02sincos4 xx 330. 02sinsin3 xx

69

331. 4

1sin сosxx .

Найти наименьшее натуральное число, которое является решением

неравенства:

332. 2cos2 x . 333. 1sin x . 334. 2

1cos x .

335. 1cos2 x . 336. 5,0sin x .

Найти число целых решений неравенства:

337. 35,0sin x на промежутке 0;2 .

338. 35,0)cos( x на промежутке

2

3;

2

3 .

339. 35,0)sin( x на промежутке 0;2 .

Решите неравенство и в ответе укажите количество целочисленных

решений, принадлежащих отрезку ba, :

340. tgxxtg 322 ,

4;

4

341. tgxxtg 523 ,

4;

4

342. 02sincos4 xx , ; 343. 02sinsin3 xx , ;

344. 02sin52cos xx ,

6

7;

6

345. 01sincos2 2 xx ,

4;

4

346. xx 2sinsin ,

2;

2

347. xx 2cos2sin3 ,

2;

2

348. 03sin7sin2 2 xx ,

2;

2

349. 04cos5sin2 2 xx ,

2;

2

350. 04cos5sin2 2 xx ,

2;

2

351. 3sin3cos4 2 xx ,

2;

2

.

352. 01cossin2 2 xx ,

3

2;

3

2 353. 1sin3cos xx ,

0;

3

4.

354. 1cos3sin xx , ;0 . 355. 2sincos3 xx ,

2

3;0

.

356. 2sincos3 xx ,

12

25;

12

19 357. 2sin3cos xx ,

2;

3

5

358. 2sin3cos xx , ;0 . 359. 05sin3sin3sin xxx , ;0

70

360. 03cos34cos2cos xxx ,

2;0

361. 03cos2cos5cos xxx ,

2;

2

362. 2cos2sinsin2 22 xxx ,

4;0

363. 2cos7cossin6sin3 22 xxxx ,

4;0

364. xxxx 22 coscossin8sin7 ,

;0 . 365. xxx cossin2cos41 2 , ;0 .

366. 1coscossin3sin6 22 xxxx ,

2;0

. 367. 3cossin2cos4 2 xxx ,

2;0

.

368. 4cos2cossin3sin7 22 xxxx ,

2;0

. 369. 06sin6cos xx ,

24

5;

24

.

370. 0cos2cos xx ,

2

3;0

. 371. 3sincos8cos2 2 xxx ,

4;0

.

372. xx cossin , ;0 .

373. 02cos34

cos2 2

xx

,

2;0

374. 2

3

3

2sin

x,

2;0

. 375. 2

3cos

2

3sin

xx ,

2;0

.

Уровень С Решите неравенства:

376. 8

333

2coscos3

2sinsin 33

xxxx

377. 03

22

xctgxctgctgx

378. 13sinsinsin2 2 xxx 379. 384422 xtgxtgtgxctgx

380. xxxx 4sin3sin2sinsin4 381. 0sin10sin102sin xxx

382. tgxx

x3

cos

2cos2

2

383. 5,0sinsincos3 32 xxx

71

384. 11cos2cos

3coscos2cos2

2

xx

xxx 385. 01sinsin8sin8 24 xxx

386. 1sin2 x . 387. xx cossin .

388. 0123 tgxxtgxtg . 389. 12sin6sin61sin2 2 xxx .

390. 12cos8cos81cos2 2 xxx .

391. 4

,02cos3sincos 22 xxxx .

392. 212cos2sin 2 xx . 393. xx

sin8

4cos354

394. xx

cos22

4cos74

395. x

xsin2

2

4cos74

396. xx

cos8

4cos354

Уровень D Докажите неравенства:

397. xx 2sincos1 398. 256

27cossin 62 xx

399. 1cossin xx 400. 4

33sin2sinsin xxx

401. ;0,03sin3

12sin

2

1sin xxxx

402.

2;0,

sin1

11

x

xtgx

403. 2,sin...2sinsin nnnxxx

404.

2;0,2sin

xxtgxx

405. ;0...,,,,sin...sinsin...sin212121

nnn

xxxxxxxxx

406. ;0...,,,,...

sinsin...sinsin21

21

21

n

n

nxxx

n

xxxxxx

72

§2.5. Обратные тригонометрические уравнения и

неравенства

Обратные тригонометрические уравнения.


1. 6

arcsin

x 2. 2

arcsin

x 3. 3

arcsin

x

4. 4

arcsin

x 5. 6

arcsin

x 6. 2

arcsin

x

7. 3

arcsin

x 8. 4

arcsin

x 9. 6

arccos

x .

10. 2

arccos

x 11. 3

arccos

x 12. 4

arccos

x

13. 6

xarctg . 14.

2

xarctg 15.

3

xarctg

16. 4

xarctg 17.

6

xarctg 18.

2

xarctg

19. 3

xarctg 20.

4

xarctg 21.

6

xarcctg .

22. 2

xarcctg 23.

3

xarcctg 24.

4

xarcctg

25. 6

xarcctg 26.

2

xarcctg 27.

3

xarcctg

28. 4

xarcctg

Уровень В

29. Найти значение величины 0

10x , где x0 – корень уравнения

3arccos arctgx .

30. Найти корень уравнения 1arcsin143arcsin 2 xxx или сумму

корней, если их несколько.

31. Решить уравнение 483arccos234arccos 22 xxxx . В

ответе указать значение величины pn 7 , где n – наибольший корень

уравнения, p – количество корней этого уравнения.

73

32. Решить уравнение 0984 22 arctgxxxarctg . Если корней

несколько, то в ответе указать сумму всех корней.


3arcsin

3

34arcsin

2

xxx

. Если корней


34. Решить уравнение 2,023arcsin2,0322arcsin 223 xxxxx . В

ответе указать сумму корней, умноженную на их количество.

Решить уравнение (если корней несколько, то в ответе указать сумму

всех корней):

35. 02

arcsin652 x

xx . 36. 02

arccos3722 2 x

xxx

37. 02arcsin3arcsin12 2 xx 38. 0arccos6

7arccos 2 xx

39. 222

4

5arccosarcsin xx

40. 0arccos2arccos6arcsin12 2 xxx

Уровень С


41. 55)94arccos(cos 2 xxx 42. 54)1arcsin(sin 2 xxx

43. 22 1arccos xx 44. 21arcsin2 xx

45. 42arcsin4arcsin 2 xx 46. 26arccos)163arccos( 2 xx

47. xx 2arcsinarcsin2 48. xx 2arcsin3arcsin2

49. 22

arcsinarcsin

x

x 50. 23

arcsinarcsin

x

x

51. 18

arccosarcsin2

xx 52. 221

arcsin4 2

xx

x

53. 234 22

1arcsin

1xxxx

54. 4 234 4431arcsin

3xxxx

55. 62 2313arcsin2

xxx


56. 0cossin5,0arcsin 66 xxx 57. 0cossin5,0arccos 55 xxx

74

Найдите произведение наибольшего и наименьшего корней уравнения:

58. 09lg25,0arcsin 2 xx . 59. 09ln4arcsin 22 xx .


60. 2

arcsin12

xx

xarctg 61.

22arccos

2

1

x

x

xarcctg

62. 2

3arcsin3

1

x

x

xarctg 63.

2arcsin

12

x

x

xarctg

64. xxarctg 8arccos3 65. xx 7arccos2arcsin2

66. xarcctgx 65arcsin 67. xx3

7arccosarccos2

Уровень D Решите уравнения:

68. arctgxarctgarctg 3

7

3

1 69. arctgxarctgarctg

3

4

3

2

Решить уравнение (если корней несколько, то в ответе указать сумму

всех корней):

70. 12sinarcsin xx 71. x

x6

3arcsin

72. 3

22arcsinarcsin

xx 73.

2arcsin3arcsin

xx

74. xarctgx 4arccos 75. 13

34arccos

13

27arcsin

xx

76. 2223arcsin xarcctgx 77. xx arccosarcsin2

78. 12 xarcctgxarctg 79. 4

19142arcsinsin xx

80. 2

13123arccoscos xx 81.

2

32arccos3arctan

xx

82. 1223 xarctgxarcctg 83. xx 7arccos2arcsin2

Решите уравнения (если корней несколько, то в ответе указать сумму

всех корней умноженную на количество корней):

84. xx arccos21arccos 85. xx 1arccosarcsin

86. Решить уравнение xx arctan2arcsin . В ответе указать произведение

наименьшего корня на количество корней этого уравнения.

75

87. Решить уравнение xx 35arctan243arccos . Если корней



526arccos2arcsin

xx . Если корней


89. Решить уравнение 1arcsin1arcsin yx . В ответе указать

значение величины a+b, где (a;b) – решение этого уравнения.

90. Решить уравнение yxyx arccosarccos . В ответе указать

значение величины a+b, где (a;b) – решение этого уравнения.


31arccoscos21arcsin

tgxx . В ответе

указать количество корней этого уравнения принадлежащие

2

7;

.


1...

arcsinarcsinarcsin32

xxx.

Неравенства.

Уровень D

Найти сумму наибольшего и наименьшего числа, удовлетворяющих

неравенству:

93. 8

7arcsin12arcsin 2 xx 94. 42arcsin12arcsin 2 xxx

95. Найти сумму наибольшего и наименьшего числа, удовлетворяющих

неравенству 3

211016arccos 2 xx .


96. 3

)12arccos(

x 97. 6

2arccos

x

98. 4

)32arcsin(

x 99. 6

5)74arccos(

x

100. )35arcsin()23arcsin( xx 101. arctgxx

arctg 1

76

§2.6. Показательные уравнения и неравенства

Показательные уравнения.

Тренировочные задания Решите уравнения:

1. 533 x 2. 366 x 3. 777 x 4. 51 88 x

5. 42 1313 x 6. 732 88 x 7. 513 33 xx 8. xx 54 1111

9. 5273 55 xx 10. 691 1113 xx 11. 364 xx ee 12. 1255 x

13. 15 x 14. 819 x 15. 273 x 16. 03 x

17. 255 4 x 18. 55 72 x 19. 14412 85 x 20. 14412 85 x

21. 19 4 x 22. 05 87 x 23. 164 xe


24. 3

13 31 x 25. 243 x

26. 279 2 x

27. 12552 x 28. 27

13 52 x

29. 216

16 1 x

30. 7497 7 x 31. 228 4 x 32. 255 4 x

33. 4

3 32

5

55 x 34.

4

62

10

1010 x 35.

5

7 5

6

636 x

36. 2

283 1 x 37.

5

4 5

3

279 x 38.

5

5253 12 x

39. 2

845 4 x 40.

7

4973 34 x 41.

2

424 25 x


42. 5

12

3

93 x 43. 51 27252 xx

44. 5655125 12 xx 45. 421 2154114 xx

46. 378757 2 xx 47. 21 6667 xx

48. 33383 23 xx 49. 4682527 31 xx

50. 580595 3 xx 51. 3

3256362 3 xx

77

52. 81

223153 22 xx

53.

91

7

4

16

49

x


54.

32

9

25

5

3

x

55.

73

64

27

3

4

x

56. 3

5

82

1

x

57.

42

4

5

5

4

x

58.

5

2

3

9

4

x

59.

134

25

36

6

5

x

60. 3

3

4

116

x 61.

123

81

4

2

9

x

62.

81

4

3

9

16

x

63. 067 221 xx 64. 075 23 xx 65. 032 242 xx

66. 023 482 xx 67. 053

1 42

2

x

x

68. 052

1 21

12

x

x

69. 0434

1 152

xx 70. 05416

5,06

x

x

71. 0365 2 xx

72. 064

13

223

xx

73. 2224338 xx 74. 41 610217 xx

75. 15845,2 xx 76. xxx 37573 1 77. xx 151057 1

78. 1212 219443 xx 79. 31 1316255 xx 80. 223 82 191522 xx

81. 142 25735 xx 82. 131 235,13 xx


83. 0543759 1 xx 84. 012154 11 xx

85. 060517525 2 xx 86. 05675549 11 xx

87. 012304 12 xx 88. 100𝑥 − 70 ∙ 10−𝑥 − 300 = 0

89. 025512025 1 xx 90. 033269 1 xx

91. 0162304 1 xx 92. 0254925 1 xx

93. 02332 937393103 xxxx 94. 05252 821027282 xxxx

95. 0727323 322 xxxx 96. 07722 2414434 xxxx

97. - 025253 2122222 xxxx 98. 0324322 323233 xxxx

99. 07233475 11 xxxx 100. 065564 211 xxxx

101. 02525 222212 xxxx 102. 023234 414144 xxxx

103. 1304

1

2

1

2

12

54

3

1

xx

x

x 104. 2589

19

3

13

3

2

1

1

x

x

x

x

78

105. 072525

15

5

1

2

)1(

x

x

x

106. 1326366

16 1

21

12

x

x

x

107. 43

2

48022

1

xx

x

108. 03994977

1 124

41

xx

x

109. 132816

144

4

1

22

)12(21

2

x

xx

x

110. 7705

125

5

15

42

2

41

14

x

x

x

x

111. 2979

13

3

14

3

2

x

x

x

Укажите промежуток, содержащий корень уравнения

112. 6

16 1 x

1). (-3;-1) 2). (-2;-1] 3). (-1;1) 4). (0;2]

113. 816 1 x 1). (-1;0) 2). (-1;-0,25] 3). (-2;-1] 4). (1;2]

114. 14412 85 x 1). (-3;-1) 2). (-2;-1] 3). (-1;1) 4). (0;2]

115. 09

13 210 x

1). (-3;-1) 2). (-2;-1] 3). (-1;1) 4). (0;2]

116. 025

15 26 x

1). (-3;-1) 2). (-2;-1] 3). (-1;1) 4). (0;2]

117. 08

12 36 x

1). (-3;-1) 2). (-2;-1] 3). (-1;1) 4). (0;2]

118. 00001,010 46 x 1). (-3;-1) 2). (-2;-1] 3). (-1;1) 4). (0;2]

119. 0381 25 xx 1). (-3;-1) 2). (-2;-1] 3). (-1;1) 4). (2;4]

120. 0981 25 xx 1). (-3;-1) 2). (-2;-1] 3). (-1;1) 4). (2;4]

121. 15 1242

xx 1). (-3;-1) 2). (-2;-1] 3). (-1;7) 4). [-2;6]

122. 11,0 1242

xx 1). [-6;2] 2). (-8;-1] 3). (-1;7) 4). [-2;6]

123. 51122

93 xx 1). [-6;-4] 2). (-8;-1] 3). (-1;7) 4). [0;6]

124. 4922

255 xx 1). [-6;-4] 2). (-8;-1] 3). (-1;7) 4). [0;6]

125. 4922

164 xx 1). [-6;-4] 2). (-8;-1] 3). (-1;0) 4). [0;6]

126.

x

2

1)25,0( 2

1

1). (-3;-1) 2). (-2;-1] 3). (-1;1) 4). (2;4]

127.

x

6,0

1)36,0( 2

1

1). (1;3) 2). (-2;-1,5] 3). (-3;-2,5) 4). (0;1]

79

Уровень В

Определите число корней уравнений:

128. xx 22 129. 245 xx 130. 2

4

1

2

1x

x

131. 11

2 x

x 132. 2

13 xx 133. xx 216

134. 210 xx 135. xx 14 15,0 136. xx 35 1

137. 103 1 xx


138. 013293 11 xx 139. 07787 44 xx

140. 026116 12 xx 141. xxx 42103255

142. 025315295 xxx 143. xx 5715

144.

xx313

412144

145. xx 6826

146. xx 333533 1 147. 5𝑥 − 25 = 5 − 5𝑥−1

148.

xx33

4314 149. xx 636826 2

150. xx 2972 151. xx 31153

152. xx 22972 1

Найдите значение выражений:

153. xx 55 , если axx 2525 154. xx 22 , если 5271616 xx

155. xx 55 , если 112525 xx 156. xx 33 , если 1499 xx


159. xx 44 , если 1421616 xx 160.

xx 22 , если 471616 xx


Найдите корень уравнения или сумму корней, если их несколько:

163.

12725528

28

5

5

28

xx

164.

1923319

19

7

7

19

xx

165.

xxxx 2928829

21

6

6

21

166.

2933371

28

5

5

37

xx

80

167. 5,1211210133

33

34

34

33

xx

168.

1605

528

14

5

5

14

xx

169. 107

1

33

1

19

14

5

7

51

xx

170.

2642425

25

2

2

25xxxx

171.

119221

9

23

23

9

xxx

172.

121

3

17

17

3

x

xxx


173. 72133 600625332 xxxx 174. xxxx 83416 540543

175. 363799 720532 xxxx 176. 743114185 504732 xxxx

177. 533921113 360532 xxxx 178. 3232475 5044934 xxxx

179. 5332107128 3602543 xxxx 180. xxx 34426310 700875

181. xxxx 35311 540543 182. 141252 6006495 xxxx

183. x

x

x

2274 2

3

184. x

xx

5,03

225,0

6 3329

185. x

x

x

55556 2

3

32 186.

32

25,13

5

4227x

xx

187. x

x

x

222744 42

1

2 188. 5,0

32

3 5455

x

xx

189. 2

13

4 6566

x

xx 190.

4

55,15,15,1 734277

xxx

191. 2

23

2

21

3263813

xx

x 192. 32

21

6

32

222xxx

Найдите корень уравнения или сумму корней, если их несколько:

193. 037515259

212

xxx 194. xxx 365812163

195. 016271284964 xxx 196. 222

9264 xxx

197. 02515152295 222 xxx 198. 02211472424

xxx

199. 032623212

xxx 200. 025210345222

xxx

201. 0165209254 xxx 202. 0932122169 xxx

Уровень D

Укажите число целых корней уравнения

203. 22

2100021000 xx 204. 22

39003900 xx

81

205. 22

48004800 xx 206. 22

6100061000 xx

207. 22

55005500 xx

Найдите корень (или произведение корней, если их несколько)

уравнений:

208. 5,4085,0 44 x

209. 2

985,0 44

x

210. 3

25627

3

144

x

211. 2,2571252,0 44 x

212. 5

361252,0 44

x

Показательные неравенства.



213. 744 x 214. 355 x 215.

5

3

1

3

1

x

216.

9

7

10

7

10

x

217.

7

10

7

10

7

x

218. 84,04,0 x

219. 744 x 220. 355 x 221.

5

3

1

3

1

x

222.

9

7

10

7

10

x

223.

7

10

7

10

7

x

224. 84,04,0 x

225. 164 x 226. 819 x 227. 273 x

228. 9

1

3

1

x

229. 125

8

5

2

x

230. 255 x

231. 49

1

7

1

x

232. 16,04,0 x 233. 322 x

234. 322 x 235. 02 x 236. 9

1

3

1

x

82

237. 93 x 238. 93 x 239. 49

1

7

1

x

240. 49

1

7

1

x

Уровень А

Найдите наименьшее целое x, удовлетворяющее неравенству

241. 64

14 52 x

242. 4

3 32

5

55 x 243.

4

62

10

1010 x

244. 2

283 1 x 245.

5

5253 12 x 246.

2

424 25 x

247. 51 27252 xx 248. 421 2154114 xx 249. 21 6667 xx

250. 4682527 31 xx 251. 3

3256362 3 xx

252.

91

7

4

16

49

x

253.

32

9

25

5

3

x

254.

73

64

27

3

4

x

255. 3

5

82

1

x

256.

42

4

5

5

4

x

257.

5

2

3

9

4

x

258.

134

25

36

6

5

x

259.

123

81

4

2

9

x

260.

81

4

3

9

16

x

261. 067 221 xx

262. xx 242 32 263. 42

2

53

1

x

x

264. 052

1 21

12

x

x

265. 0365 2 xx 266. 41 610217 xx 267. 15845,2 xx

268. xxx 37573 1 269. xx 151057 1 270. 1212 219443 xx

271. 31 1316255 xx 272. 223 82 191522 xx 273. 142 25735 xx

274. 131 235,13 xx

Найдите наименьшее целое x, удовлетворяющее неравенству

275. 821027282 5252 xxxx 276. 07233475 11 xxxx

277. 222212 2525 xxxx 278. 1304

1

2

1

2

12

54

3

1

xx

x

x

83

279. 2589

19

3

13

3

2

1

1

x

x

x

x 280. 3994977

1 124

41

xx

x

281. 2224338 xx 282. 1326366

16 1

21

12

x

x

x

283. xxxx 414144 23234 284. 2414434 7722 xxxx

Найдите наибольшее целое x, удовлетворяющее неравенству:

285. 164 3 x

286. 8

18 2 x

287. 42

1

x

288. 39

1 5

x

289. 255 4 x

290. 66

1 3

x

291. 2

12 3

2

x

292. 3

5

3

4

14

x

293. 3

19 7

2

x

294. 125

15 x 295. 273 x 296. 393 x

297. 216

16 1 x

298. 7497 7 x 299. 228 4 x

300. 255 4 x 301. 5

7 5

6

636 x 302.

5

4 5

3

279 x

303. 2

845 4 x 304.

7

4973 34 x 305.

5

12

3

93 x

306. 5655125 12 xx 307. 378757 2 xx 308. 33383 23 xx

309. 580595 3 xx 310. 81

223153 22 xx

311. 3

3

4

116

x

312. xx 23 75 313. 482 23 xx 314. 152 434

1

xx

315. x

x

54165,0

6

316. 3

223

64

1

xx


317. 322 727323 xxxx 318. xxxx 2122222 25253

319. 065564 211 xxxx 320. 72525

15

5

1

2

)1(

x

x

x

84

321. 132816

144

4

1

22

)12(21

2

x

xx

x

322. 7705

125

5

15

42

2

41

14

x

x

x

x

323. 2979

13

3

14

3

2

x

x

x

324. 43

2

48022

1

xx

x

325. 0324322 323233 xxxx 326. 02332 937393103 xxxx


327. 6

16 1 x

328. 14412 85 x

329. 025

15 26 x

330. 08

12 36 x

331. 0381 25 xx 332. 0981 25 xx

333. 11,0 1242

xx 334. 51122

93 xx

335. 4922

164 xx 336.

x

2

1)25,0( 2

1

337. 09

13 210 x

338. 00001,010 46 x

339. 15 1242

xx 340. 4922

255 xx

341.

x

6,0

1)36,0( 2

1

342. 0543759 1 xx

343. 012154 11 xx 344. 25𝑥 + 175 ∙ 5𝑥−2 − 60 ≥ 0

345. 05675549 11 xx 346. 0254925 1 xx

347. 012304 12 xx 348. 0301070100 1 xx

349. 025512025 1 xx 350. 033269 1 xx

351. 0162304 1 xx

Уровень В


352. 1

)1(1

5

815653

x

xx 353. 0

4

8045

2

2

x

x

354. 0323162 55 xx 355. 4

)4(4

3

3131934

x

xx

356. 032354 33 xx 357. x

xx

2

3252163

85

358. 057553 )3(3 xx 359. x

x

x 3613

732

360. 0244827 44 xx 361. xx

x

69626

81

362. 04

8045

2

2

x

x


363.

31

12

5

1

5

1

x

x

364. 5

12,0 2

33

x

x

365. 273

11

x

x

366. 32

15,0 1

1

x

x

367. 8

1

2

11

1

x

368. 3

7

7

3 5

1

x

x

369. 4

9

3

2 33

2

x

x

370. 366

1 21

x

x

371. 2

3

4

3 2

1

x

x

372. 4

9

3

2 33

2

x

x


373. 0)433(3 1 xxx 374. 0)111,01,0(1,0 11 xxx

375. 0)655(2,0 1 xxx 376. 0)13055(5 4 xxx

377. 03766

16 2

x

x

x 378. 0)877(7 12 xxx

379. 0)3722(4 5 xxx 380. 0)625,0(2 3 xxx

381. 0)2833(3 3 xxx 382. 0)622(2 3 xxx

383. 013293 11 xx 384. 07787 44 xx

385. 026116 12 xx 386.

12725528

28

5

5

28

xx

387.

1923319

19

7

7

19

xx

388. xxxx 2928829

21

6

6

21

389.

2933371

28

5

5

37

xx

390.

5,1211210133

33

34

34

33

xx

86

391. 160

x

55

x

28

14

5

5

14

392.

1071

33

1

19

14

5

7

51

xx

393. 2642425

25

2

2

25xxxx

394.

119221

9

23

23

9

xxx

395.

121

3

17

17

3

x

xxx

396. 64

27

4

32106

xx

397.

xxx

1622

9

1

3

1 398.

12212

2

1

2

1

xxx

399.

2

4

1

2

1xx

400.

100000

243

10

36322

xx

401. 4

25

5

21020225

xx

402. 64,08,0 2

)3(

xx

403.

2

3

13

49

4

7

2xx

404.

235,3

8

1

64

1xx

405.

1622

9

1

3

1

xxx

406. 4

25

5

2 52

56

x

x

Уровень С


407. 161

6

x

x

x 408. 25

5 x

x

x 409. 31

1

24

2

x

x

x

410. 33

3

333

3

x

x

x 411. 1

1

33

x

x

x 412. 21

1

55

5

x

x

x

413. 1

2

77

x

x

x 414. 22

12

416

4

x

x

x 415. 11

21

101

10

x

x

x

416. )1(2

1

24

x

x

x 417. 1)5,0( 25,02

xx 418. 1)2( 42

xx

419. 1)2,0( 04,02

xx 420. 1)2( 12

xx 421. 1)4( 92

xx

422. 1)5,0( 42

xx 423. 1)1( 12

xx 424. 1)1( 92

xx

87

425. 1)3( 162

xx 426. 1)3( 92

xx 427. x

x

x 5,0

2

2

42

2

428.

3

23

2 327x

xx 429. 12 44 xxx 430. 222 39 xxx


431. 132 25,025 xxxxx 432. x

x x

8125,0

2

433. 222 24 xx x 434. x

x

x 22

2

24

435. x

x x

2504,0

2

436. 1

2

5,02

x

x

xx

437. 1,010 13 x 438. 15157 x

439. 82 36 x 440. 033 1 x

441. 01,01,0 13 x 442. 72133 600625332 xxxx

443. xxxx 83416 540543 444. 363799 720532 xxxx

445. 743114185 504732 xxxx 446. 533921113 360532 xxxx

447. 3232475 5044934 xxxx 448. 5332107128 3602543 xxxx

449. xxx 34426310 700875 450. xxxx 35311 540543

451. 141252 6006495 xxxx

Уровень D


452. xx 3252

453. 1

210272110272)2( 22

x

xxx xxxx

454. 1652

1 2

662

xx

xx

455. 13215,24 7 xx

456. 1233

1 2

242

xx

xx

88

§2.7. Логарифмические уравнения и неравенства

Логарифмические уравнения.


Решить уравнения:

1. 1log4

x 2. 3log5

x 3. 2log5,0

x

4. 1log3,0

x 5. 2log4

x 6. 3log3

1x

7. 3)3(log3

x 8. 1)16(log4

x 9. 2)4(log4

x

10. 4)8(log2

x 11. 3loglog22

x 12. 4log)2(log77

x

13. 3loglog2

1

2

1x 14. 6loglog

1111x 15. 3log)3(log

22x

16. 22log1,0

x 17. 22log3

x 18. 323log2

x

19. 32log2

x 20. 22log5,0

x 21. 282log2

x

22. 3log3

1 x 23. 11log

3 x 24. 1log

2 x

25. 2log4

x 26. 232log2

x

Уровень A Решить уравнения:

27. 2

22log32log xx 28. 2

22log12log xx

29. 15log3loglog444

x 30. 12log3log)2(log444

x

31. 3log6loglog555

x 32. 3log6loglog555

x

33. 3ln)3ln()4ln( xx 34. 1)3(log3

x

35. 2)1(log3

x 36. 112log3

x

37. 13log2

x 38. 11log 3

3

1x

39. 11log 4

2

1x 40. 4)21(log

3 x

41. 4)32(log5

x 42. 0ln 2 x

43. 2)3(log 2

3x 44. 29log

25

x

45. 210log5

x


xx

89

47. 1log1log22

xx 48. 457

27log

x

x

49.

528,0158,0log

xx

50. 53log3log9

2

9 xxx

51. 1loglog2

342

xx

Решить уравнения. В ответе указать корень уравнения, если он

единственный или сумму корней, если их несколько:

52. xxx 210lglg 2 53. 2)1(log)1(log2

542

xx


единственный или произведение корней, если их несколько:

54. 0)6lg(1 2 x 55. 0lg1 2 x

Уровень B Решить уравнения:

56. 0)2(log3log3

2

1 x 57. 2log7log

3

3

1 x

58. 02

18log

7

64

x

59. 016log2

3

x

60. 013log2

12

x

x 61. 05loglog

5

5

1x

62. 2)6(loglog2

2

1 x 63. 0logloglog

247x

64. 0logloglog2215

x 65. 7logloglog2416

xxx

66. 7log2log3log3

19273

xxx 67. 6

11logloglog

125255 xxx

68. xxx 3722log 4

2 69. xx 42132log

3

70. xx 156log6

71. 23log3

xx

72. 622log5,0

xx



73. 21313log72213 xx

x

74.

64 254log x

x

75. 46log22

1

xx

x 76. 212log

22

1

xx

x

77. 4log22

2 xx

x 78. 01loglog2

16162 xx

79. 02loglog55

2 xx 80. 0)3lg()3(lg2 xx

81. 0loglog22

2 xx 82. 0)2(log)2(log9log44

2

3 xx

83. 39loglog3

x

x

90



84. 2117log7277 xx

x

85. 03lglg 22 xx

86. 0)4(log)4(log4log44

2

2 xx 87. 0)1(log9log)1(log

2322 xx

88.

055652

13log213log2

xx

89.

033432

11log211log2

xx

90.

055652

7log27log2

xx

91. 01log5log2 3222

32 xx

92. 4lglg2 22 xx 93. 01log4log2 422

4 xx


единственный или наибольший из корней, если их несколько:

94. 611 28511log

xx

95. 08log2log3

2

3 xx

96. 010log3log3

2

3 xx 97. 015log2log

2

2

2 xx

98. 2723log

xx 99. xx

x162log

100. 202lg2

x

x 101. 10lg xx


единственный или наименьший из корней, если их несколько:

102. 8log78)1(log18

x

x 103. 259log10259 xx

x

104. 05loglog3 222

2 xx

Уровень C



105. 02logcos3

11

1

3

x

xex

x

x

106. 02logsin2

11

2

x

xex

x

x

107. 02log)3(log 2

1

22

x

xextgx

108. 05log)23(log 12

1

33

x

xexctgx

109. 055logcos)23(log 12

1

53

x

xxx

110. 11,0lglog2loglog 12

3

3

23 xx

91

111. 111

1loglog7loglog

12

113

3

73

x

x

112. 225loglog13loglog 4

54

2

134 xx

113. 022032lg120cos 2 xxx



114. 1623 3log23

log

xx

x 115. 2010 lg2lg

xx

x

116. 545 5log25

log

xx

x 117. 100109 lg2lg

xx

x


118. 119.

120. 121.

122. 62log663log 22 xxxx xx

123. 52log132log 2

34

2

34

xxxx

xx

124. 262log 2 xxx

125. 2

777 log23log23log23log xxxx x


единственный или наибольший из корней, если их несколько:

126. 127.

128. 129.

130. 114log34log33

xx

131. Решить уравнение 2)961(log)1271(log 2

41

2

31

xxxx

xx. В ответе

указать значение 9x.

132. Решить уравнение )20163(log)103(log1 2

1032

xxx

xx. В ответе

указать значение 2x , где x целочисленный корень уравнения.

133. Решить уравнение 9log14log3log2433 xx

xx

. В ответе указать

сумму всех корней умноженную на 3.

134. Укажите наименьший корень уравнения

17loglog5loglog 12

73

3

53 xx

135. Укажите среднее арифметическое корней уравнения

24loglog3loglog 4

24

2

34 xx

1025

log

xxx

5672

7log72log

x

x x

322log 2 xxx

31912log 2

1

xx

x

172log12log77

xx 329log2

xx

xx 63log13

12134log3

xx

92


136. 03log3233log277

xxxx

137. xxxx 3log106203log333

138. 1073

73

lg

x

x

139.

27

13

43log3 x

x

140. 2

4

23 4

2

1log 9 16 2

log 3 4x

xx

141. .33

2

2

3log

5

6log2

1212

xxxx

142.

4,0

2

225log5

2log

289

xx

143. xx

5,0log24log

17 4

144. cos2(x sinx) = 1 + 1xxlog 22

5 .

145. 0612log42log2

4

2

4 xx

146. 07132log32log2

5,0

2

5,0 xx

147. xx 52,0 log13log2

148. 4log24log4log9log12log422

2

22

2

2 xxxxx

149. 11log1log2log3loglog442

1

2

1

2

2

1

2

2

1

2

1 xxxxx

150. 1100lg10lg10lg 2 xxx

151. 016log4log13

2

3 xxxx

152. xxxxxx 1618log322132log3

22

3

153. 33sin1logsin1log33

xxxx

154. Найти абсциссы точек пересечения графиков функций

4log4log42

xxy и 2811log 2

2 xxy

155. Найти абсциссы точек пересечения графиков функций

xxy 1log1log99

и 32log29

xy

93

156. Найдите нули функции 4 322 8893ln xxxxy .

157. Найдите нули функции 13233log 224

5 xxxxy .

158. Найти все x, при которых выражения xx 2

33 loglog2 и

3log

1log3

3

3

x

x принимают равные значения.

159. Найти все x, при которых выражения 1log1log 2

2

2 xxx и

4-2x принимают равные значения.

160. Найти количество корней уравнения

0log3log1log41log 2

225

2

5 xxxx

Уровень D Решить уравнения:

161. 42

2

2 427log2 xxxx

162. 2sin1log2

x

xx

163. xxxx 18log14log2

2

2

164.

23log423log223log 2

x

xxx

xxx

165.

x

xxx

xxx

56log456log256log 2

166. xxxxxxx

2sinlogsin3sinlog

10

62

10

62

167. xxxxxxx

2coslog3coscoslog

11

26

11

26

168. 12sinlog23coscoslog366

xxx

169. 097

92log

2

11log

7

2

49

x

xx

170. 020

52log

2

14log

3

2

9

x

xx

171. 4sin6log4sin6log4sin6log4sin6log5353

xxxx

172. 6sin5log6sin5log6sin5log6sin5log7373

xxxx

173. 8cos7log8cos7log87log8cos7log9595

xxcoxx

94

174. Найти все корни уравнения 14

25log5log

2524

xxxx,

удовлетворяющие неравенству xtgx 3cos .

175. Найти все корни уравнения 16log6

1log

6236

2

6

1

xxxx ,

удовлетворяющие неравенству tgxx 6sin .

Логарифмические неравенства.

Уровень A


176. 1log4

x 177. 3)3(log3

x

178. 1)16(log4

x 179. 1log4

1x

180. 3)3(log3

1x 181. 1)16(log

4

1x

182. 3loglog22

x 183. 4log)2(log77

x

184. 3loglog2

1

2

1x 185. 5log)5(log

3

1

3

1x

186. 22log3

x 187. 23log4

x

188. 38

12log

2

1

x 189. 011log

3

1x

190. 5log33log22

xx 191. 6log32log1313

xx

192. 6log32log22

xx 193. 5log33log7

1

7

1 xx

194. 6log32log13

1

13

1 xx 195. 15log3loglog

444x

196. 12log3loglog777

x 197. 12log3log)2(log 444 x

198. 15log3loglog11

1

11

1

11

1x 199. 12log3log)2(log 2,02,02,0 x

200. 18log3log)3(log 6,06,06,0 x 201. 4)21(log3

x

202. 4)21(log3

1 x 203. 4)21(log

2

1 x

204. 4)32(log5

x 205. 2log3 x

206. 282log2 x 207. 3log2

1 x

95

208. 11log3

1 x 209.

352,0

72,0log

x

x

210. 10611

411log

x

x 211.

528,0158,0log

xx

Найдите наименьшее целое x, удовлетворяющее неравенствам:

212. 2ln)3ln()2ln( xx 213. 2ln)3ln()4ln( xx

214. 2ln)4ln()6ln( xx 215. 13log5log)1015(log

2

1

2

1

2

1 x

216. 18log4log)1620(log9,09,09,0

x 217. xx33

log22log

218. 16log3log44

xx 219. 1log1log22

xx

Найдите наибольшее целое x, удовлетворяющее неравенствам:

220. 12log3log22

xx


xx

Сколько целых чисел являются решениями неравенства?

222. 4log3

x 223. 2log3

x 224. 14log2

x

225. 25log2

x 226. 2log5,0

x 227. 1log25,0

x

228. 210log2,0

x

Уровень B

Решить неравенства. В ответе укажите количество целых чисел,

удовлетворяющих решению неравенства:

229. 0)1lg(1 2 x 230. 0lg1 2 x

231. 3)2(log 2

2x 232. 3210log22log

18

2

18 xxx

233. xxx 210lglg 2 234. 33loglog6

2

6 xxx

235. 1loglog2

342

xx 236. 4loglog2

742

xx

Найдите наибольшее целое x, удовлетворяющее неравенствам:

237. 1)2(log5

x 238. 2)1(log

3

1 x

239. 29log25

x

240. 24log3

x

241. 29log6

x

242. 013log2

12

x

x

96

243. 016log2

3

x

244. 2log5log3

2

1 x

245. 2log7log3

3

1 x 246. 05loglog

5

5

1x

247. 1loglog5

2

1x 248. 2)6(loglog

2

2

1 x

249. 0logloglog247


x

251. 08log2log3

2

3 xx 252. 010log3log

3

2

3 xx

253. 015log2log2

2

2 xx 254. 27

23log

xx

255. xxx

162log 256. 10lg xx

257. 1lg xx 258. 7logloglog2416

xxx

259. 7log2log3log3

19273

xxx 260. 6logloglog3

133 xxx

261. xxx 3722log 4

2 262. xx 2732log

3

263. xx 156log6

264. 172log12log77

xx

265. 114log34log33

xx 266. 329log

2 xx

Решите неравенства. В ответе укажите произведение a∙b, если решением

неравенства является отрезок ba; :

267.

055652

13log213log2

xx

268.

033432

11log211log2

xx

269.

0111112112

3log23log2

xx

270. 02lg3lg2 xx

271. 03lglg 22 xx 272. 0)4(log)4(log4log44

2

2 xx

273. 01log4log2 422

4 xx 274. 9lglg3 22 xx

275. 0)1(log9log)1(log232

2 xx

Решите неравенства. В ответе укажите произведение a+b, если решением

неравенства является отрезок ba; :

276. 01loglog21616

2 xx 277. 02loglog55

2 xx

278. 0)3lg()3(lg2 xx 279. 0loglog22

2 xx

280. 0)2(log)2(log9log44

2

3 xx

Найдите наименьшее целое x, удовлетворяющее неравенству:

281. 012log2

6

x

x 282. 012log

3

x

x

97

283. 0)2(log3log3

2

1 x 284. 0)3(log2log

3

12

x

285. 0logloglog234


x

287. 0logloglog22

15

1x 288. 0)32(loglog

5

5

1x

289. 0)7(loglog2

7

1x

Решите неравенства. В ответе укажите количество целых решений

неравенства, принадлежащих промежутку 9;0 :

290. 11log 3

3

1 x 291. 113log2 x

292. 11log2 x 293. 12log 3

3

1x

Решите неравенства. В ответе укажите количество целых решений


294. 1)5ln( 2 x 295. 1ln 2 x

296. 1)5(log 2

2x 297. 11log 4

2

1x

298. 122log2log3

2

3 xxx 299. 3loglog

2

593

xx

300. 11log 3

3

1 x

Решите неравенства. В ответе укажите число целых решений


301. 0)6lg(1 2 x 302. 0)1(log3 2

2 x

303. 0)1lg(1 2 x

Уровень C

Найдите наибольшее число, удовлетворяющее неравенству :

304. 322log 2 xxx

305. 52log132log 2

34

2

34

xxxx

xx

306. 262log 2 xxx

Все решения неравенства образуют промежуток, длина которого

равна:

307. 162log

xx 308. 44log

x

x

309. 55log

xx 310. 33log

x

x

98

Решите неравенства. В ответе укажите произведение a∙b, если решением

неравенства является отрезок ;a b .

311. 1623 3log23

log

xx

x 312. 2010 lg2lg

xx

x 313. 545 5log25

log

xx

x

Найти сумму целочисленных решений неравенства:

314. 46log22

1

xx

x 315. 212log

22

1

xx

x

316. 218132log22

2

xx

x 317. 44log

22

3

xx

x

Решить неравенство:

318. xxx

4212104254log

319. 22

1 2

442

4log

x

x

x

320. 1722

9log

17

x

x 321. 12

2

5log

1

2

1

xx

322. 2log 2

12

x

x 323.

2

113log

2x

x

324. xx 22

55631log 325. xx 123log

2

1

326. 1732432 xx 327. 1331193 1 xxx

Уровень D Решить неравенства:

328. 012log35log43512

xxxx

329. 012log35log43512

xxxx

330.

2

12

4

1

log4

1log1

4

1log

39

2

12

x

x

xxx

331.

3

22

3

12

8

3

12

3

1

log3

1log

3

1log

x

x

xxx

332. 125

61log2log

25

61

xxx

x

333. xx

xxx

12

1log2

12

1log

334. 13101335 xx 335. 125422 1 xx

99

336. 12log12log14log 1

222

x

x

x

x

x

x

337. xx

x

xx

x

xx

x23log23log49log 2

222

338. 03

12loglog

2

2

3

1

x

xx 339. 0

6

30loglog

2

3

17

x

xx

340. 1log

1

22log

12

42

xx

341. 2log

1

32

log

13

82

xx

342. 392log224log2224

2

92

xxxxx

x

343. 3220log299log2299

2

220

xxxxx

x

344. 0232

8log

21

xx

xx

345.

03

1

32

6log

231

xx

xx

346. 191log2122

xxx

347. 173log282

xxx

348. 2lglg2lglg3 2222 xxxx

349. xxxx ln2ln2ln2ln32222

350.

4

93

2

2

log1log

2

2

31log

2

1

9log

xxx

x

x

351.

4

42

6

2

log1log

6

2

11log

6

1

4log

xxx

x

x

352. 03

2loglog

2

8

2

1

x

xx 353. 0

7

4loglog

2

2

15

x

xx

100

§2.8. Системы уравнений


Решите системы уравнений:

1.

3

,1

yx

yx

2.

963

,12

yx

yx

3.

1

,33

yx

yx

4.

823

,243

yx

yx

5.

1173

,64

yx

yx

6.

324

,12

yx

yx

7.

093

,13

yx

yx

8.

1042

,72

yx

yx

9.

1646

,132

yx

yx

Уровень А

10. Решите систему уравнений

6

5

xy

yx. В ответе укажите сумму всех

значений x и y являющиеся решениями системы.

Решите системы уравнений и в ответе укажите сумму квадратов всех

значений x и y являющиеся решениями системы:

11.

4

4

xy

yx. 12.

9

4122

yx

yx 13.

2

522

xy

yx.


3

1022

xy

yx. В ответе укажите

произведение всех значений x и y являющиеся решениями системы.

Решите системы уравнений и в ответе укажите сумму всех значений x и

y являющиеся решениями системы:

15.

2

222

yx

xyyx. 16.

5

522

xyyx

yx 17.

1

1022

xyyx

yx

18.

28

0122

2

xyx

xyy 19.

5

0622

yxxy

yxxy

101


69

10222

xyyx

yxyx. В ответе укажите

произведение значений y

x для всех пар x и y являющиеся решениями

системы.


08

22

yx

xyyx. В ответе укажите


Уровень В

Решите системы уравнений и в ответе укажите сумму значений yx ,

для всех пар x и y являющиеся решениями системы:

22.

6

02

22

xy

xyyx 23.

20

202

2

xy

yx.


1732

112322

22

yxyx


количество решений.


12

1822

yx

x

y

y

x

. В ответе укажите сумму

значений

22

44

yx, для всех пар x и y являющиеся решениями

системы.

Решите системы уравнений и в ответе укажите сумму значений yx ,

для всех пар x и y являющиеся решениями системы:

26.

15

1532

y

xxy

y

xxy

27.

3

933

yx

yx.

Решите системы уравнений и в ответе укажите сумму значений 22 yx ,

для всех пар x и y являющиеся решениями системы.

102

28.

3

2833

xy

yx. 29.

2

233

yx

yx 30.

3

1744

yx

yx

Решите системы уравнений и в ответе укажите произведение всех

значений x и y являющиеся решениями системы:

31.

4

8244

yx

yx. 32.

30

3522

33

xyyx

yx

Решите системы уравнений и в ответе укажите количество решений:

33.

43787

2956522

22

yxyx

yxyx. 34.

97

7844

33

yx

xyyx


.40

1622

22

yxyx

yxyx В ответе укажите

произведение всех полученных значений x и y являющиеся

решениями системы.


011

982222

yx


сумму всех значений x и y являющиеся решениями системы.


.07413372

010822222

22

yxyxyx

yxyxyx В ответе

укажите yx 2 .

38. Решите системы уравнений

1||

12

2

2

yx

yxx. В ответе укажите


Решите системы уравнений и в ответе укажите сумму всех значений x и


39.

03

032

xy

xy. 40.

22

2

28

02

yxx

xyy

Решите систему уравнений и укажите наибольшее значение yx из всех

полученных решений:

103

41.

64

1233

xy

xyyx. 42.

5

2

5

yx

x

y

y

x

43.

28

433

yx

yx 44.

2

3

3 233 2

33

yxyx

yx

45.

72

322 33

yx

yxyx


22

112 22

yx

yxyx. Укажите

наибольшее значение yx из всех полученных решений.


04

24

225

22

yxx

yxyx. Укажите

наибольшее значение yx из всех полученных решений.


6

6

111

3

33

xy

yx . Укажите наименьшее

значение yx из всех полученных решений.


72

36

2

2

xyxy

xyyx. Укажите значение

yx 4 .


283

363

yxyy

xyxx. Укажите значение

y

x.

51. Чему равно значение выражения yx , где x и y - наибольшие

значения входящие в решения системы уравнений

202

2923

yxyx

yxyx.

52. Чему равно значение выражения yx , где x - наименьшее, а y -

наибольшее из значений входящих в решения системы уравнений

104

1182

75

75

33

2222

2222

yx

yxyx

yxyx


53.

3

97223

xy

xy

. В ответе указать сумму х+у.

54.

012

31loglog22

yx

yx. В ответе указать разность х - у.

55.

3lg

10

xy

xx y

. В ответе указать произведение всех значений x и y

являющиеся решениями системы.

56.

2

33log

27

xy

y x

. В ответе указать произведение всех значений x и y


57.

82

0loglog22

24

yx

yx. В ответе указать сумму х + у.

58.

1832

1232xy

yx

. В ответе указать частное y

x.

59.

8

172

2

1

2

y

x

yx

. В ответе указать сумму х + у.

60.

5

322 22

yx

yx

. В ответе указать сумму х + у.

61. Найдите 2у2 + х + 1, если х и у решения системы .

9222

4

ух

ух

62. Найдите 2х2 – у + 1, где х и у – решения системы .

2422

1

ух

ух

63. Найдите х2 –2у + 20, где х и у – решения системы .

422

5

óõ

óõ

105

64. Найдите х2 + у + 3, где х и у – решения системы .

2633

111

ух

ух

65. Найдите 4х2 – 4у

3 + 1, где х и у – решения системы .

122

1

ух

ух

66. Найдите |х – у2|, где х и у – решения системы

9

423

4

ух

ух

67. Найдите сумму всех значений х и у, где х,у – решения системы

.1222

5

ух

ух


68.

10242

36)(5,0 ух

ху. В ответе укажите сумму всех значений x и y


69.

1222

5ух

ухи в ответе укажите сумму всех значений x и y


70. .5,0)(log

,4log22loglog

81

555

xy

yx В ответе указать значение x+y, где (x;y) –

решение системы.

71. .4log22

,32log

3

3

xy

yxyy

y

В качестве ответа указать сумму 22 yx .

72.

.

3

21024

,2432

1

x

x

y

y

В качестве ответа укажите сумму х+у.

73. .16

,3log2log42

22

yx

yx В ответе указать x

4+y

4.

74. .28lg4

,2lg 2

xy

xy В ответе укажите произведение xy, где (x;y) –

решение системы.

106

75.

.25,0lg2lg2lg

,115lg4lg 22

yxyx

yx В ответе указать x1x2+y1y2.

76. .16lglg2lg2

,4lglglg

yx

yx В ответе указать сумму x+y, где (x;y) – решение

системы.

Уровень С

Решите систему уравнений и в ответе укажите сумму всех значений x и


77.

22

12

5

zyx

zyx

zyx

78.

332

332

22

zyx

zyx

zyx

79.

02

132

12

zyx

zyx

zyx

.


80.

0322

23

233

zyx

zyx

zyx

. В ответе укажите значение выражения

222 zyx .

81.

5323

332

22

zyx

zyx

zyx

. В ответе укажите значение выражения zyx

275 .

82.

452

14

32

zyx

zyx

zyx

. В ответе укажите значение выражения zyx 2 .

83.

225

0423

022

zyx

zyx

zyx

. Сколько решений имеет система.

84.

.8)()(

,6

6 23

3

yxyx

yxyx. В ответе укажите значение выражения yx .

107

85.

.22

,1122 22

yx

yxyx. В ответе укажите значение выражения

yx 22

86.

.13

,55522

22

yx

yx. В ответе укажите произведение всех значений

x и y являющиеся решениями системы.

87.

.11

,11

yx

yx. Сколько решений имеет система.

88.

.12

,8

4 3223

4

yxyyxx

yxyx. В ответе укажите сумму всех значений x

и y являющиеся решениями системы.

89.

.41

),(322

22

yx

yxyxyxyx. В ответе укажите значение выражения

y

x.

90.

.1

,2

xyxy

yxyx. В ответе укажите значение выражения

y

x

17

20.

91.

2

1cossin

0cossin

22 yx

yx

. В ответе укажите значение выражения yx , где

x - наименьшее положительное, y - наибольшее отрицательное числа

входящие в решения системы.

92.

2819

39cos

cos2

tgxy

ytgx

. В ответе укажите значение выражения yx (целая

часть), где x - наименьшее положительное, y - наибольшее

отрицательное числа входящие в решения системы.

93.

yx

yx

sin2sin

3

5

. В ответе укажите значение выражения yx 5 (целая

часть), где x - наименьшее положительное, y - наибольшее


108

94.

75.0cossin

25.0cossin

xy

yx. В ответе укажите значение выражения yx 2

(целая часть), где x - наименьшее положительное, y - наибольшее


95.

2

1sincos

3

1

22 xx

yx

. В ответе укажите значение выражения 1 yx



96.

6

1

4

tgxtgy

yx

. В ответе укажите значение выражения yx , где x -

наименьшее положительное, y - наибольшее отрицательное числа


97.

yx

yx

cos3cos2

sinsin2. В ответе укажите значение выражения yx 46



98.

8.1

222

ctgyctgx

ytg

xtg

. В ответе укажите значение выражения xy , где



99.

422

5221

1

coscos

coscos

yx

yx

. В ответе укажите значение выражения xy 23 , где



100.

3

75.0sinsin

tgxtgy

yx. В ответе укажите значение выражения yx , где x

- наименьшее положительное, y - наибольшее отрицательное числа


109

101.

22arccosarcsin

232 223

yx

yxxx

. В ответе указать значение величины ba ,

где ba, – решение системы.

102.

24arccosarccos

12arcsinarcsin

2

2

yx

yx

. В ответе указать 1221

yxyx .

103.

.

2log31

loglog

,42log5log4loglog

27

3

13

3

1334

xyy

yx

xyx

В ответе указать значение

величины 3xy, где (x;y) – решение системы.

104.

.

log1log

,324

33

yxyx

x

y

y

x

В ответе указать x+y, где (x;y) – решение

системы.

105. .1

,

yx

yx yxyx

В ответе указать 3

2

3

1

3

2

3

1

3333

yyxx .

106.

.2

1loglog

,25

25,0

22

yxy

yx

В ответе указать x1y1+x2y2

107.

.lglglglg

lglglglg

yxxyxy

yxyyxx В качестве ответа указать сумму

22 yx .

108.

.

log3loglog

,loglog2log

1log

332

2212

xyxx

xyxx

В ответе указать x1+x2+y1+y2.

110

Уровень D


109.

.14

,124442

,644

zyx

zyx

zyx

110.

.5

16

,20

yxyxy

x

yxyxx

y

111.

.393112

,311293 44

xyxy

xyyx 112.

.22

,22

2222

xy

yxyx

113. .

43

18994

932

2

222

yxz

zyx

zyx

114.

06

log

412

log2log

5

2

1

22

2

xy

yxxyyx

115.

1log

2loglog

2

2

3

1

2

3

yx

yx

yx

y

x

116.

06

log

321

log2

log

5

1

2

1

2

2

2

xy

yx

xyyx

117.

1log

2loglog

2

2

3

1

2

3

yx

x

yyx

y

x

Решить системы уравнений

118.

.92

,loglog2log2log2

22

2

3

3

1

3

1

2

3

yxyx

yxyxyxyx

119.

.42

,2log22logloglog2

22

2

2

2

1

2

1

2

2

yxyx

yxyxyxyx

120.

.42

,log2log2log2log

22

2

3

3

1

3

1

2

3

yxyx

yxyxyxyx

111

121.

.92

,2log2logloglog2

22

2

2

2

1

2

1

2

3

yxyx

yxyxyxyx

122.

.

,8373

2

21

yxyx

yyx

123.

.2

,4272

2

51

yxyx

yyx

124.

.

,105165

2

51

yxyx

yyx

125.

.2

,103163

2

31

yxyx

yyx

126.

.132

,13log

1435log

32log

135log

22

2

2

5

5

xxyxy

yx

yx

xy

yx

127.

.221

,42log

12log

132log

52log

22

3

3

2

2

xyxxyy

yx

yx

xy

yx

128.

.132

,32log

153log

13log

1423log

22

7

7

2

2

yxxyy

yx

yx

xy

yx

129.

.1232

,132log

52log

42log

1243log

22

5

5

3

3

yxxxyy

yx

yx

xy

yx

130.

22log

532

y

xy

yyxx

x

131.

22

22log

514

y

xy

yyxx

x

132.

21

12log

743

y

xy

yyxx

x

133.

21

12log

651

y

xy

yyxx

x

134. .loglog

,log21log4

2

2

2

2

2

2

yx

yx 135.

.

22

,09

3

9log

8log1 9

x

x

yy

xy

xy

136.

.3sinsin3coscos5

,4sinsin7coscos3

yxyx

yxyx 137.

.1sincos3cossin5

,3sincos2cossin6

yxyx

yxyx

112

138.

.4sinsin3coscos7

,6sinsin5coscos9

yxyx

yxyx 139.

.2sincos5cossin7

,6sincos7cossin3

yxyx

yxyx

140.

.2sin24

32sin22cos

,cos24

3cos

3 xxy

yx

141.

.4

32sin2cos22cos

,sin23sin

2 xxy

yx

142.

.2sin24

32sin22sin

,cossin4

3sin

3 xxy

yyx

143.

.2sin4

32cos2sin2

,cossin3cos

2 yxx

yyx

144.

.sincossin

,2coscos722cos10

yxx

yxx 145.

.cossin3

42sin2

,342

yxx

tgyctgxtgx

146.

.cossin3cos

,2cossin2172cos17

yxx

yxx 147.

.sincos2sin3

4

,43

yxx

ctgytgxctgx

148. Докажите, что система уравнений

49105721697

52252

072

1594

23

23

xxxyx

x

xxx

yxyy

имеет хотя бы два различных решения.


499151957

5617

01420133

23

23

xxxx

yx

xxx

yxy

имеет единственное решение.


113

15816

9log1257

3105log

06294016

2

413413

23

xxx

yxyyx

y

xxx

xx


151. Докажите что система уравнений

yxxx

yxx

yx

xxx

4cos1691601001

1697,39

3sin1,17

09486310

22

23


152. Докажите что система уравнений

7125,0log5log10

2

02

2

322

32

yyx

x

xyxxyy

имеет два решения.


𝑥3 + 𝑥4 + 𝑥5

5 = 3𝑥1

𝑥4 + 𝑥5 + 𝑥1 5 = 3𝑥2

𝑥1 + 𝑥2 + 𝑥5 5 = 3𝑥3

𝑥1 + 𝑥2 + 𝑥3 5 = 3𝑥4

𝑥2 + 𝑥3 + 𝑥4 5 = 3𝑥5

.

154. Решите систему уравнений 𝑥 1 + 𝑦 = 𝑦 1 + 𝑧 = 𝑧 1 + 𝑥 = 2.

155. Решите систему уравнений 𝑥 + 𝑧 = 𝑦 + 𝑥 = 𝑧 + 𝑦 = 1.


𝑥 = 𝑦𝑧

𝑦+𝑧

𝑦 = 𝑥𝑧

𝑥+𝑧

𝑧 = 𝑦𝑥

𝑦+𝑥

.

114

§2.9. Системы и совокупности неравенств


Решите системы/совокупности неравенств:

1.

5

,3

x

x 2.

5

,6

x

x 3.

1

,3

x

x

4.

10

,3

x

x 5.

5

,7

x

x 6.

5

13

x

x

7.

5

,7

x

x 8.

15

,9

x

x 9.

0

,5

x

x

10.

7

,7

x

x 11.

7

,7

x

x 12.

5

,3

x

x

13.

5

,6

x

x 14.

1

,3

x

x 15.

10

,3

x

x

16.

5

,7

x

x 17.

5

13

x

x 18.

5

,7

x

x

19.

15

,9

x

x 20.

0

,5

x

x 21.

0204

,062

x

x

22.

0204

,062

x

x 23.

xx

x

32

,542 24.

xx

x

32

,542

25.

422

,243

x

x 26.

422

,243

x

x 27.

1052

,13

x

x

28.

1052

,13

x

x 29.

xx

xx

3254

,2163 30.

xx

xx

3254

,2163

Уровень А Решите системы/совокупности неравенств:

31. 2𝑥 − 6 > 0,4𝑥 − 20 < 0

32. 2𝑥−6>0,4𝑥−20<0

33. 0 < 1 − 3𝑥 < 1,

3 − 4𝑥 < 2 34.

3𝑥 + 6 > 1 − 2𝑥,4 − 5𝑥 ≥ 2 − 3𝑥

35. 3𝑥+6>1−2𝑥 ,4−5𝑥≤2−3𝑥

36. 𝑥2 − 3𝑥 + 3 ≥ 0,

𝑒2𝑥−1 > 𝑒𝑥

115

37. 23−𝑥 < 1024,𝑙𝑜𝑔3𝑥 < 2

38. 23−𝑥>1024𝑙𝑜𝑔3𝑥<2

39. 𝑙𝑛 5𝑥 − 1 ≤ 𝑙𝑛 3𝑥 − 2 ,

−4 < 2𝑥 ≤ 3 40. 𝑙𝑛

5𝑥−1 ≤𝑙𝑛 3𝑥−2

−4<2𝑥≤3

Уровень В 41. Найдите наибольшее целое x, удовлетворяющее системе неравенств

𝑥

3−

3𝑥−1

6<

2−𝑥

12−

𝑥+1

2+ 3,

𝑥 >5𝑥−4

10−

3𝑥−1

5− 2,5.

42. Найти наименьшее натуральное x, удовлетворяющее совокупности

неравенств 1+

3−𝑥

3≤

2𝑥−1

5,

−1>4𝑥−4

43. Найти сумму всех целых чисел, удовлетворяющих условию

−3 ≤ 2𝑥 − 1 ≤ 7,

𝑥≤−1,𝑥≥3

44. Найти сумму всех натуральных чисел, удовлетворяющих условию

𝑥<6,3,

𝑥−9

4−𝑥<

𝑥−1

2−𝑥−2

3,

2−𝑥>2𝑥−8

45. Найти число целых решений следующей совокупности 2𝑥+10≤0,𝑥>−7

𝑥+4≥0,3−𝑥≥0,

𝑥2−7𝑥+5>0

46. Найти число целых решений системы

4𝑥2 − 4𝑥 − 3 ≤ 0,1

𝑥2 ≥ 1,

3𝑥2 − 20𝑥 − 7 < 0

47. Найти количество целых чисел, не являющихся решениями

совокупности 3

3−2𝑥−𝑥2≤1,

11𝑥−𝑥2>28

48. Найти длину промежутка (или сумму длин промежутков, если их

несколько), являющихся решением системы 𝑥2 − 3𝑥 + 3 ≥ 0,

𝑒𝑥2≤ 𝑒𝑥

Уровень С 49. Найти длину промежутка (или сумму длин промежутков, если их

несколько), являющихся решением системы

𝑥2 + 3𝑥 + 1 𝑥2 + 3𝑥 − 3 ≥ 5,𝑥2+𝑥−6

𝑥≤ 0.

𝑥 < 10

116

50. Найти количество целых решений совокупности 𝑥 −1 −𝑥2+𝑥+6≤0,

5≤2𝑥<10

51. Найти количество целых решений системы

−10 ≤ 𝑥 < 5

4𝑙𝑜𝑔 2

2𝑥

𝑥2−2≥0,

3𝑥2+2−5𝑥

2−1>5𝑥2+1+3𝑥

2−1

52. Найти количество целых решений системы

𝑙𝑜𝑔0,1𝑥 + 𝑙𝑜𝑔0,1 𝑥 − 2 + 1 ≥ 𝑙𝑜𝑔0,10,3,

𝑙𝑜𝑔3 𝑥2 − 9 − 𝑥 +

1

3 ≥ 1

53. Найти произведение всех чисел, не являющихся решениями

совокупности

27𝑥−32𝑥+1+2∙3𝑥

1−𝑥2≥0,

𝜋−3 𝑥2≤ 𝜋−3 4

54. Найти середину интервала, являющегося решением системы

2𝑥2 + 5𝑥 − 6 > 2 − 𝑥

2𝑥 + 1 <2𝑥+4

2−𝑥

Уровень D

55. Найдите площадь фигуры, заданной на координатной плоскости

системой неравенств 𝑥2 + 𝑦2 ≤ 1,

𝑦 ≥ 𝑥 − 1

56. Найти все пары натуральных x и y, удовлетворяющих системе

𝑥 + 3𝑦 − 11 ≥ 0,𝑥 + 𝑦 − 8 ≤ 0,𝑥 − 2𝑦 + 4 ≥ 0.

Найдите площадь фигуры, заданной на координатной плоскости

системой неравенств:

57.

𝑥2+𝑦2≤1,𝑥≤0,𝑦≥0,

𝑥−𝑦+1≤0.

58.

𝑥 + 𝑦 ≤ 2,

𝑥2 + 𝑦2 ≥ 4 𝑥 + 𝑦 − 1

𝑦 − 3𝑥 − 2 3𝑦 − 𝑥 + 2 ≤ 0

59.

𝑥 + 𝑦 ≤ 4,

𝑥2 + 𝑦2 ≥ −8 𝑥 + 𝑦 + 2

7𝑦 − 𝑥 − 4 3𝑦 − 5𝑥 + 12 ≤ 0

60.

𝑥 + 𝑦 ≤ 5,

𝑥2 + 𝑦2 ≥ 5 2𝑥 − 2𝑦 − 5

7𝑥 + 3𝑦 + 15 𝑥 + 4𝑦 − 5 ≤ 0

61.

𝑥 + 𝑦 ≥ 2,

𝑥2 + 𝑦2 ≤ 4 𝑥

𝑥2 − 𝑦2 + 16 − 8𝑥 ≥ 0

62.

𝑥 + 𝑦 ≥ 2,

𝑥2 + 𝑦2 ≤ 4 𝑦

𝑥2 − 𝑦2 + 16 + 8𝑥 ≥ 0

63. 𝑙𝑜𝑔𝑦−𝑥 2𝑦 − 2𝑥𝑦 ≤ 2,

𝑥 ≤ 4 − 𝑦 64.

𝑙𝑜𝑔𝑥2+𝑦2−1 𝑥𝑦 ≤ 0,5,

𝑥 + 𝑦 ≤ 3

Гл

Фу

Фупризоопр

лава 3. Ф

ункция задан

а) областьб) областьв) промежг) промежд) точки ме) точки мж) наиболз) наимени) являетс

нечетнк) количе

функциуглом 4

л) все те звыполн

м) все те звыполн

ункция y =омежутке (ображен ределите:

а) количеб) количев) количег) количед) количе

Функция

Тр

на графиком

ь определениь значения фжутки возрастжутки убыванмаксимума фминимума фульшее значениньшее значенся ли функциой; ество касателии, которые н450 с оси ОХзначения x , дняется неравезначения x , дняется нераве

)(xf опреде(по графикграфик

ество промежество промежество точек мество точек мество касател

117

ренировочн

м, определит

ия; ункции; тания; ния; функции; ункции; ие функции; ние функции;ия четной или

ьных к графинаклонены по; для которых енство для которых енство

елена на коку), на рее произ

жутков возрасжутков убыванмаксимума фуминимума фуньных к графи

7

ые задания

те:

и

ику од

;

;

1.

2.

3.

4.

онечном рисунке зводной

стания; ния; ункции; нкции; ику

5.

6.

я

На

9.

13.

17.

21.

25.

На

27.

30.

33.

36.

функци3 += xy

е) количе

функциуглом 4

айдите облас

xy = .

. 3 xy =

. xy −= 3

. xy += 23

. xy 2log=

айдите облас

. 2 +=

xxxy

. x

ysin

1= .

. xy −= 2

. y 3 lolog=

ии, которые п

1+ или совпа

ество касателии, которые н450 с оси ОХ

§3.1. Обла

сть определе

10. y

14. y

x 18. y

x+ 22. y

. 26. y

сти определе

1−x. 2

3

x . 3

x2og . 3

118

параллельны адают с ней;

ьных к графинаклонены по;

асть опред

Уровен

ения функци

21+

=xy

xy =

5,11+

=x

y

3 25 3+= xxy

)ln(xxy =

Уровенения функци

28. 2 −=

xxy

31. 2

3

−−

=xxy

34. 411y

−=

37. xy 2=

8

прямой

ику од

7.

8.

деления фу

нь А

ий

11. y

15. y

19. y

1− 23. y

нь В ий:

4−x .

2323

+−+−

xx .

4x.

x3− .

ункции

x1

= 1

x= 1

xx 12 −

= 2

)(xtg= 2

29. y =

32. y =

35. =y

38. =y

12. xy =

16. 1−= xy

20. 1−

=x

xy

24. 3

sin(+

=x

xy

xx 1−− .

xx 2− .

3log 3

2

−xx .

)3arcsin( +x

1

3)

119

39. 1)sin(

4 +=

xxxy . 40. 1log 2

41 ++= xxy . 41. ( )xxy += 2

213 loglog

42. ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

−+

=xxy

11lg . 43. xy x 3log3log −= . 44.

22313

xxxy+−−

=

45. xy 21−= . 46. xy 1.02 −= . 47. 322.01 +−= xy .

48. ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛= 3

31log2

x

y 49. 1

222 −= x

x

y . 50. 1

1sin 911

−−

=x

xy .

51. )cos(1)sin(1

xxy

+−

= .

Уровень С Найдите области определения функций:

52. xxx

y x

−=

2

log 53. ( )

( )12log12arcsin

1 ++

=− x

xyx

54. ( )2logarccos xy x−= 55. 4

12arcsin

2 −−+

=x

xx

y

56. ( )1loglgln += xy x 57. ( )5arccos9sin 2

+−

=x

xy

58. ( )xxxxxy −++−−= 22 1arcsin2

59. )1ln(122

++++−

= xxxy 60. 2log 2 −+= xxy x

61. xy xx sinloglog= 62. ⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛−⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛

+−

= 111lg

2

xxy

§3.2. Область значений функций

Уровень А Найдите области значений функций: 1. 1−= xy . 2. xy 2log= . 3. xy 2/1log= . 4. xy 3/1log3−= .

5. xy 2log2 +−= . 6. ( )211ln3 ++= xy .

120

7. 1

1+

=x

y . 8. xy sin41

= .

9. 2cos += xy . 10. 5sin2 += xy .

11. 63sin xy −= . 12. 1+= xy .

13. 2+= xy . 14. 23 xxy ++= .

15. 12 +−= xxy . 16. 232 +−= xxy . 17. 532 2 ++−= xxy .

Уровень В Найдите наименьшие целые значения функций:

18. 12 ++= xxy 19. 1

12 +

=x

y

20. | | 21. 1cossin ++= xxy 22. xxy cossin 2 −= 23. xxy 2cos2sin +=

24. ( )2cossin xxy += 25. 121+=

xy

26. 51.0 −= xy 27. xx

y =

28. 322 ++−= xxy 29. xy sgn=

30. 11

−−

=xxy 31. xxy +=

Найдите наибольшие целые значения функций: 32. xxy cos12sin5 −= 33. xxy cossin= 34. 5sin2 += xy 35. ( )12arcsin += xy

Уровень С Найдите области значений функций:

36. 1

122 ++

+=

xxxy 37.

11

2 +−−

=xx

xy

38. 2

8 2

2

xx

y += 39. 1

2

+=

xxy

40. 2

1x

xy += 41.

11−

+=x

xy

42. 22 xxy −−= 43. 4 5 1+= xy

121

44. 22 ++−= xxy 45. xxy −+−= 323

46. 43221

−+

−−=xxy 47. xtgy 2=

48. xy sin= 49. xy cos=

50. xx

ysinsin

= 51. x

yarcsin

1=

52. 11arcsin

2

2

+−

=xxy 53.

11arcsin

2

2

+−

=xxy

54. ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ ++=

232cos3sinarccos xxy 55.

xx

y 2log=

56. ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

−+

=11ln

xxy 57.

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

++=

xy

lg121log 3/1

58. xy −= 11

2 59. 232

21 +−

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=

xx

y

60. 22

37 +−−

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=

xx

y

§3.3. Четность и нечетность функций

Уровень А

Укажите графики четных и нечетных функций соответственно, если функция четная, то в ответе укажите «Ч», нечетная – «Н», ни четная и ни нечетная – «О»:

1.

2.

122

3.

4.

5.

6.

7.

8.

9. Укажите, какая из заданных функций является четной.

1) xy = 2) 2xy = 3) 1+= xy 4) x

y 2=

10. Укажите, какая из заданных функций является четной. 1) 1=y 2) xy −= 3) 3xy = 4) xy =

11. Укажите, какая из заданных функций является четной. 1) =y tg x 2) xy sin= 3) xy cos= 4) xy 2sin=


1) xy ln= 2) x

y 1= 3) xy = 4)

11+

=x

y


123

1) xxy ln

= 2) x

xy sin= 3)

xxy

2sin= 4)

xxy

2ln=

14. Укажите, какая из заданных функций является четной. 1) xxxy ln2 ++= 2) xxxy ln++=

3) ( )1ln12 +−++= xxxy 4) xxxy ln23 −−= 15. Укажите, какая из заданных функций является четной.

1) xxxy sin122 −++= 2) xxxy cos2 −+−=

3) xxxy sin1 ++−= 4) xxxy cos322 +−+= 16. Укажите, какая из заданных функций является нечетной.

1) xy −= 2) xy = 3) xy = 4) 1=y 17. Укажите, какая из заданных функций является нечетной.

1) xy = 2) 3 xy = 3) 4 xy = 4) 8 xy = 18. Укажите, какая из заданных функций является нечетной.

1) xy sin= 2) xy cos= 3) xy sin= 4) xy cos= 19. Укажите, какая из заданных функций является нечетной.

1) 3 2cos xy = 2) 3 2sin xy = 3) xy 3sin= 4) xy 3cos= 20. Укажите, какая из заданных функций является нечетной.

1) xxxy +−= 53 2) 123 ++= xxy

3) xxx

xy −+= 5sin 4) xxx

y −+= 32

1

Уровень В

21. Четная функция y=f(x) определена на всей числовой прямой. Для

функции g(x)=6+(x-5)·f(x-5) вычислить g(4)+3·g(5)+g(6) 22. Четная функция y=f(x) определена на всей числовой прямой. Для

функции 5,2

)5,2(26)(

−−

+−=x

xfxxg вычислить g(2)+ g(3)

23. Четная функция y=f(x) определена на всей числовой прямой. Для любого x≥0 значения этой функции совпадают с соответствующими значениями функции g(x)=7x(x-5)(x+4)(2x-6). Сколько корней имеет уравнение f(x)=0?

24. Четная функция y=f(x) определена на всей числовой прямой. Для любого x≤0 значения этой функции совпадают с соответствующими значениями функции g(x)=7x(x-5)(x+4)(2x-6). Сколько корней имеет уравнение f(x)=0?

124

25. Нечетная функция y=f(x) определена на всей числовой прямой. Для функции g(x)=(x-1)·f(x-3)-f(x-1)-0,5x вычислить g(0)+4·g(1)+2g(2)+g(4)

26. Нечетная функция y=f(x) определена на всей числовой прямой. Для всякого неположительного значения x значения этой функции совпадают с соответствующими значениями функции g(x)=x(x-6)(x+6)(x+7). Найти значение выражения m×n, где m – сумма квадратов всех корней, а n – количество корней уравнения f(x)=0.

27. Нечетная функция y=f(x) определена на всей числовой прямой. Для всякого x≥1 значения этой функции совпадают с соответствующими значениями функции g(x)=(x-6)(x+6)(x+7)(x-4,5). Найти количество целых корней уравнения f(x)=0.

28. Четная функция y=f(x) определена на всей числовой прямой. Для любого x≥0 значения этой функции совпадают с соответствующими значениями функции g(x)=x2-4x+2. Найти наименьший корень уравнения f(x)=-1.

29. Нечетная функция y=f(x) определена на всей числовой прямой. Для любого x≥0 значения этой функции совпадают с соответствующими значениями функции g(x)=x2-7x. Найти наименьший корень уравнения f(x)=12.

§3.4. Периодичность функций

Уровень А

Укажите наименьший положительный период функции: 1. xy sin= 2. xy cos= 3. =y tg x

4. =y ctg x 5. xy 2sin= 6. 3

sin xy =

7. 4

cos xy = 8. xy 4sin31

= 9. ( )1sin61

+= xy

10. ( )32cos −= xy 11. xy sin= 12. xy cos=

13. 43

sin +=xy 14. ( ) 562cos −+= xy 15. xy sin3=

16. xy cos23

=

125

Уровень В

Укажите наименьший положительный период функций умноженную на π1 :

17. xxy cossin += 18. xxy cossin= .

19. 2

cos2

sin xxy += 20. 3

cos3

sin2 xxy +=

21. 2

cos3

sin xxy −= 22. 5

cos34

sin2 xxy +=

23. 2

3cos21

3sin3 xxy += 24. xxy 2sinsin +=

25. 1sin

1+

=x

y 26. 1cos

1+

=x

y

27. =y tg x +ctg x 28. =y tg2x +ctg

2x

29. xxxxy 4sin3sin2sinsin +++= 30. xxxxy 4cos3cos2coscos +++= В (31-35) периодическая функция )(xfy = определена для всех действительных чисел. 31. Период функции )(xfy = равен 3 и 1)2( =f . Найдите значение

выражения )7()5(2 −+− ff .

32. Период функции )(xfy = равен 23 и 3

21

=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛f . Найдите значение

выражения )1(35

2)5(3 −− ff .

33. Период функции )(xfy = равен 2 и 2)5( =f . Найдите значение

выражения )131(8)111(2 ff −− .

34. Период функции )(xfy = равен 4 и 2

3)1( =f . Найдите значение

выражения )3(2

1)1025(2 −− ff .

35. Период функции )(xfy = равен 2 и 1)121( =f . Найдите значение выражения )1(7)1(2 −− ff .

126

36. Периодическая нечетная функция y=f(x) определена на всей числовой прямой. Её период равен 5 и f(1)=3, f(2)=-4. Найдите значение выражения f(10)+f(-8)+f(4).

37. Периодическая функция y=f(x) с периодом равным 4определена на всей числовой прямой. На ( ]3;1− её значения совпадают с соответствующими значениями функции y=-x3+x2+3. Найти значение выражения f(-17)+2f(24).

38. Найти наименьший положительный период функции ( ) 748sin5,0 −+−= xy π

39. Функция y=f(x) является периодической. Её наименьший положительный период равен 7. Найти, чему равен наименьший положительный период функции ( ) 8)(95,0cos2 +−−= xfxy π

40. Периодическая функция y=f(x) определена на всей числовой прямой. Её период равен 6, а на [ ]3;3− её значения совпадают с соответствующими значениями функции y=x2-4. Найти f(11)-5f(-5)

41. Периодические функции y=f(x) и y=g(x) непрерывные на всей числовой прямой имеют наименьшие положительные периоды 6 и 8 соответственно. Найти наименьший положительный период функции y=6f(0,5x-9)+3g(2x+2)-8,6

42. Функция )(xfy = определена на всей числовой прямой и является четной периодической функцией с периодом, равным 6. На [ ]3;0 функция задана формулой 22)( xxxf −+= . Определите количество нулей этой функции на отрезке [ ]4;5− .

43. Функция )(xfy = определена на всей числовой прямой и является нечетной периодической функцией с периодом, равным 4. На (0;2) функция задана формулой 231)( xxxf ++= . Определите количество нулей этой функции на отрезке [ ]7;4− .

44. Функция )(xfy = определена на всей числовой прямой и является четной периодической функцией с периодом, равным 8. На [ ]4;0 функция задана формулой 4)( 2 −= xxf . Определите количество нулей этой функции на [ ]3;8− .

45. Функция )(xfy = определена на всей числовой прямой и является нечетной периодической функцией с периодом, равным 2. На (0;1) функция задана формулой 3)( 2 −−= xxxf . Определите количество нулей этой функции на [ ]4;2− .

46. Функция )(xfy = определена на всей числовой прямой и является

127

периодической функцией с периодом, равным 4. На [ ]2;2− функция задана формулой 24)( xxf −= . Определите количество нулей этой функции на [ ]6;8− .

47. Функция )(xfy = определена на всей числовой прямой и является периодической функцией с периодом, равным 3. На ( ]1;2− функция задана формулой xxxf −= 2)( . Определите количество нулей этой функции на [ ]4;4− .

48. Функция )(xfy = определена на всей числовой прямой и является периодической функцией с периодом, равным 5. На [ )3;2− функция задана формулой 2)( xxf = . Определите количество нулей этой функции на [ ]8;7− .

49. Функция )(xfy = определена на всей числовой прямой и является периодической функцией с периодом, равным 4. На ( ]1;3− функция задана формулой 21)( xxxf ++= . Найдите значение выражения

)10(2)13(4 ff − . 50. Функция )(xfy = определена на всей числовой прямой и является

периодической функцией с периодом, равным 3. На ( ]2;1− функция задана формулой 42)( 2 −= xxf . Найдите значение выражения

)2(4)11(2 ff − . 51. Функция )(xfy = определена на всей числовой прямой и является

периодической функцией с периодом, равным 5. На [ )3;2− функция задана формулой xxxf +−= 24)( . Найдите значение выражения

)4(5)23(3 ff − . 52. Функция )(xfy = определена на всей числовой

прямой и является периодической с периодом 4. На рисунке изображен график этой функции при

[ ]2;2−∈x . Найдите значение выражения )21()0()10( fff +⋅−

53. Функция )(xfy = определена на всей числовой прямой и является периодической с периодом 7. На рисунке изображен график этой функции при

[ )4;3−∈x . Найдите значение выражения ))11((2)8()52( ffff −⋅−

54.

55.

Яв

56.

59.

62.

65.

1.

2.

. Функцияпрямой иНа рисун

[ 3;4−∈x( )( )17ff

. Функциячисловойпериодомфункциивыражен

вляются ли ф

. sixy +=

. {xxy +=

. [ ]xy s+=

. cosxy =

На рису)(xfy = и

все те зннеравенств

На рису)(xfy =


я )(xfy = ои является пнке изображе]3 . Найди

) ( )( )21 fff +⋅

я (xfy =й прямой и м 6. На рисуи при [∈xния ( )( )14ff ⋅

функции пер

2in x 5

}x 6

xsin 6

2sins xx +

§3.5.

унке изобраи )(xgy = , начения x , во ()( xgxf ≤


128

определена нпериодическоен график этите значен

( )13)23( ff ⋅ )x определявляется пе

унке изображ[ )2;4− . Най

)9(3)0( ff +

Уровен

риодическим

57. 2+=

xy

60. xy +=

63. { }xy =

«Сравнен

Уровен

ажены графзаданных надля которы)x


8

на всей числой с периодотой функцииние выраж

ена на вериодическойжен график эйдите значе

нь D

ми (ответ обо

12sin ++ x

[ ]x+

xcos+

ие» функц

нь А

фики функа [-6;6). Укажых выполняе

фики функа (6;5]. Укажых выполняе

ловой ом 7. и при жения

всей й с этой ние

оснуйте):

58. xy =

61. {xy =

64. xy =

ций

кций жите ется


3sin3 xx +

{ }xx

2cossin xxx +

3.

4.

5.

6.

7.

8.

9.











На рису)(xfy =





унке изобраи )(xgy = , начения x , во ()( xgxf ≥






129








9

фики функа (-6;6]. Укажых выполняе

фики функа [-5;5]. Укажых выполняе

фики функа (-5;5). Укажых выполняе

фики функа (-6;6]. Укажых выполняе

фики функа [-5;4). Укажых выполняе

фики функа (0;6). Укажых выполняе









10.

11.

12.

13.

14.

15.

16.

17.

18.

19.

20.

. На рису)(xfy = и


. При какихвыше граф




. При какихне выше гр


. При какихне выше грдлину инте

. При какирасположеукажите об.

. При какирасположеукажите об

. При какирасположе

укажите об


х значениях фика функции

х значениях xфика функциих значениях фика функциих значениях фика функциих значениях рафика функцх значениях фика функции

х значениях рафика функервалов, удових значенияен не ниже грбщую длину

их значениен не выше бщую длину их значенияен не ниже г

бщую длину

130


x график фи xg 2)( −−=

x график фуи xxg )( 2−=

x график и )( 2−= xxgx график фи )( 3 += xxgx график фции )( = xxgx график ф

и )( 3 += xxg

Уровен

x график фкции ln)( =xgвлетворяющиях x грарафика функцинтервалов,

иях x граграфика фуинтервалов.ях x граграфика фун

интервалов у

0


функции (xfx3− .

нкции )(xfx2+ .

функции f1−+ x .

функции xf )(32 +x .

функции (xf132 ++− xxx

функции (xf1 .

нь В

функции (xf( )1n 2 ++ xx .

их неравенстафик функцции )( −=xgудовлетворя

афик функцункции )(xg

афик функцнкции )( =xg

умноженную


1) += xx рас

12 += x ра

xx −=)( рас

x23) += рас

1) 2 +−= xx

1) += xx рас

( )1ln) 2 += xx В ответе укатву 10≤x . ции l)( =xf

(log 22 +−− xx

яющих нераве

ции xf )( =

( 12log) 3 += x

ции l)(xf =

( 2log 5/1 +−= x

ю на 2

54 ++

сположен не

асположен не



расположен


расположенажите общую

( )2log 22/1 +x

)3+ . В ответеенству 0≥x

( )xx 3log 23 −

)2 . В ответе

( )25 4log xx −

)2 . В ответе

17 .

е

е

е

е

н

е

н ю

е

е

е

131

21. При каких значениях x график функции xxf 4)( −= расположен не выше графика функции 1424)( ++ +⋅= xxxxg . В ответе укажите общую длину интервалов, удовлетворяющих неравенству 10≤x .

Уровень С

22. При каких значениях x график функции xxf 9)( −= расположен не

ниже графика функции 1938)( ++ +⋅= xxxxg . 23. При каких значениях x график функции xxf 2sin)( = расположен не

выше графика функции xxg cos)( = . 24. При каких значениях x график функции xxf 2sin)( = расположен не

выше графика функции xxg 2cos)( = . 25. При каких значениях x график функции xxf sin)( = расположен не

выше графика функции xxg cos)( = .

26. При каких значениях x график функции 24)( 2 −−= xxxf расположен не выше графика функции 511 23)( −− += xxxg .

27. При каких значениях x график функции 76)( 2 −−= xxxf расположен не выше графика функции 29 72)( +− += xxxg .

28. При каких значениях x график функции xxxf 2)( ⋅= расположен не выше графика функции ( ) ( )1234)( −+−= xxxxg .

29. При каких значениях x график функции xxxf 3)( ⋅= расположен не выше графика функции ( ) ( )1323)( −+−= xxxxg .

30. При каких значениях 0>x график функции ( )( )22loglog)( 33 ++= xxf расположен не ниже графика функции xxg =)( .

31. При каких значениях 0>x график функции ( )( )11loglog)( 22 ++= xxf расположен не ниже графика функции xxg =)( .

32. При каких значениях x график функции ( )2arccos21)(

2

xxfx

+⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=

расположен не ниже графика функции ( )xxgx

−+⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=

−

arccos21)( .

132

33. При каких значениях x график функции ( )2arcsin2)(2

xxf x += расположен не выше графика функции xxg x arcsin2)( −= − .

§3.6. Производная. Применение производной

Уровень А

Найдите производные функций: 1. =y 1 2. xy = 3. =y xe 4. =y x2 5. =y xln 6. =y xsin 7. =y xcos 8. =y tgx 9. =y ctgx 10. =y xarcsin 11. =y xarccos 12. =y arctgx

13. 1+−= xxxy 14. 1sin −+= xxy 15. 22 2 −+= xxy

16. 33 xxy += 17. 152 ++= xey x 18. xxey x −+= − 3 19. xexy x −−= +1353 20. xxey x 2cos −+= 21. 32sin −+= xey x

22. xxey x ++= −2 23. xxxy −+= 2sincos 24. 2

cos xexy x +−= −

Найдите производные функций: 25. 256cos2 xxey x −+= 26. 232sin5 xxxy +−=

27. 372 xxtgxy +−= 28. xxx

y 641−+=

29. 200sincos5 xxxy −+= 30. xectgxxy +−= 1013

31. xxxy +−= 2sin3 32. xexxy −+−= 23sin2

33. xxxy 3cos5sin3 −+= 34. tgxxx

y −+= 1051

35. Найти ( )0y′ , если 4327cos2 −+−= xxey x 36. Найти ( )0y′ , если 5312sin5 2 −+−= xexy x 37. Найти ( )0y′ , если 9763cos7 4 −+−= xexxy

38. Найти ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛′

42 πy , если 121cos2 −= xy

39. Найти ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛−′

3πy , если tgxy

31

=

40. Найти , если 1sin3 += xy

133

41. Найти ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛′

3πy , если 654

51

−= xctgy

42. Найти ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛′

2πy , если 13sin2 −= xy

43. Найти ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛′

42 πy , если 1cos4 += xy

44. Найти ( )9y′ , если 4+= xy 45. Тело движется по координатной прямой согласно закону x(t)=0,5t2-

t+4, где x(t) - координата точки в момент времени t. Найти мгновенную скорость точки в момент времени t0=2.

46. Тело движется по координатной прямой согласно закону x(t)=0,5t2-t+4 , где x(t) - координата точки в момент времени t. В какой момент времени тело остановится?

47. Тело движется по координатной прямой согласно закону x(t)=5t2-7t+2 , где x(t) - координата точки в момент времени t. В какой момент времени тело остановится?

48. Тело движется по координатной прямой согласно закону x(t)=2t2-7t+3 , где x(t) - координата точки в момент времени t. В какой момент времени тело остановится?

Уровень В

Найти значение: 49. )3(y′ , если )2ln()2ln( −++= xxy . 50. )4(3y ′ , если )4ln( 2 −= xy . 51. )(πy′ , если xy 2sin 2= . 52. )0(y′ , если 2sin xxxy += . 53. )0(y′ , если xxexy += arcsin . 54. )(πy′ , если xxey x 2cos+= . 55. )0(y′ , если xxexy x cossin2 −= − .

56. )0(y′ , если xxexy x sin+= − .

57. )1(y′ , если x

xy+

=1

2

.

58. )0(y′ , если 4

12 −

=x

y .

134

59. )1(y′ , если 1+

=x

xy .

60. )1(2y′ , если .3 3xxy −=

61. )0(2 y′ , если 22 xxy −+= .

62. )0(y′ , если .11

xxy

+−

=

63. )2(15y′ , если .)9)(1( 22 xxy −−=

Уровень С

Найти производную функций:

64. xexy = 65. ( )3211

−⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ += x

xy

66. ( )1617 +⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −= x

xy 67. ( )2581

−⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ += x

xy

68. y=42

3

+xx 69. y=

12

2

−xx

70. y=x

xsin

71. Найти ( )1f ′ , если ( )100124)( −= xxf

72. Найти ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛′

4πf , если xtgxf 3)( =

73. Найти ( )ef ′ , если 1

ln)(+

=x

xxf

74. Найдите производную функции xxy = 75. Найдите производную функции xxy ln= . 76. Найдите производную функции 12 += xxy .

77. Найдите производную функции ( ) 12

1 +++= xxxy . В ответе укажите значение выражения ( )1y′ .

78. Найдите производную функции xxx exy sinsin += . В ответе укажите

значение выражения ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛′

2πy .

135

79. Дана прямоугольная трапеция с острым углом 450 и периметром 4 см. При каком значении длины высоты эта трапеция имеет наибольшую площадь?

80. Основанием пирамиды является прямоугольный треугольник с острым углом ϕ . Боковые ребра наклонены к плоскости основания под углом 300 и имеют длину 8 см. При каком значении ϕ объем этой пирамиды будет наибольшим? Вычислить этот наибольший объем.

81. Криволинейная трапеция ограничена кривой y=ex и прямыми y=0; x=0; x=1. В какой точке кривой y=ex (0<x<1) следует провести касательную, чтобы она отсекала от криволинейной трапеции обычную трапецию наибольшей площади?

82. Стороны прямоугольника равны 2 и 5. Через каждую точку на его меньшей стороне провели прямую, отсекающую прямоугольный треугольник с периметром 8. Найдите наименьшее значение площади оставшейся части прямоугольника.

83. Точка А лежит на графике функции y=f(x), точка В – на оси абсцисс, и её абсцисса в четыре раза больше ординаты точки А. найдите наибольшее значение площади треугольника ОАВ, где точка О –

начало координат, а ( ) xxxxf cos13sin37)( +−+= , при 8

94

3 ππ≤≤ x

84. Из трех досок одинаковой ширины сколачивается желоб с поперечным сечением в виде равнобедренной трапеции. При каком угле наклона площадь поперечного сечения желоба будет наибольшей?

85. На окружности радиуса 4 дана точка А. На каком расстоянии от А надо провести хорду ВС так, что прямая ВС параллельна касательной в точке А и площадь треугольника АВС – наибольшая?

86. Для монтажа оборудования необходима подставка объёмом 1296 дм3 в форме прямоугольного параллелепипеда. Квадратное основание подставки будет вмонтировано в пол, а её задняя стенка – в стену цеха. Для соединения подставки по рёбрам, не вмонтированным в пол или стену, используется сварка. Определите размеры подставки, при которых общая длина сварочного шва будет наименьшей.

87. Имеется участок площадью 2900 м2, который состоит из частей, в виде прямоугольников, и имеет форму многоугольника ABCDFGHM, изображенного на рисунке, где BC=20м., DC=10м., GH=40м. и HM 45м. Найдите наименьшее значение периметра такого участка и какие-либо значения длин AK, AL и HM, при которых периметр является наименьшим.

136

88. Имеется участок площадью 700 м2, который состоит из частей, в виде прямоугольников, и имеет форму многоугольника ABCDEFGK, изображенного на рисунке, где BC=10м., DC=15м., GH=35м. и DE 20м. Найдите наименьшее значение периметра такого участка и какие-либо значения длин AK, AL и DE, при которых периметр является наименьшим.

89. Имеется участок площадью 2650 м2, который состоит из 4 частей, в виде прямоугольников, и имеет форму многоугольника ABDGHKMLNP, изображенного на рисунке, где KH=10м., KL=10м., ML=20м., GH=25м. и MN 35м. Найдите наименьшее значение периметра такого участка и какие-либо значения длин AB, BD и MN, при которых периметр является наименьшим.

§3.7. Касательная

Уровень А

Составьте уравнение касательной к графику функции 1. 12 += xy , в точке ( )2;1P . 2. 123 ++= xxy , в точке ( )1;1−P . 3. , в точке . 4. xy ln= , в точке ( )0;1P . 5. xxy sin+= , в точке ( )ππ ;P .

6. xxy += 2 , в точке с абсциссой 10 =x . 7. xxy ln−= , в точке с абсциссой ex =0 . 8. xy 2log= , в точке с абсциссой 20 =x . Найдите угловой коэффициент касательной, проведенной к графику функции, в точке с абсциссой 0x 9. xxxy 223 −+= , 20 =x . 10. 13 23 +−+−= xxxy , 10 =x . 11. xxy cos+= , π=0x . 12. 342 3 +−= xxy , 10 =x 13. 122 −+= xxy , 14. 233 +−= xxy , 10 −=x

12 +−= xxy ( )1;1P

00 =x

137

15. 432 −+= xxy , 10 =x 16. 79 23 +−= xxy , 20 =x

17. 4+= xtgy , 40

π−=x 18. xctgy 2= ,

30

π=x .

Уровень В 19. Пусть baxy += - уравнение касательной к графику функции

xxf −= 3)( в точке с абсциссой 10 −=x . Найти сумму коэффициентов a и b.

20. Касательная к графику функции 2)( 2 +−= xxf перпендикулярна прямой 01=+− yx . Найти сумму координат точки касания.

21. Найти сумму абсцисс точек касания, в которых касательные к графику

функции 21

++

=xxy параллельны прямой 5+= xy .

22. Найти сумму абсциссы и ординаты точки, в которой нужно провести касательную к графику функции , чтобы она пересекала ось

ординат в точке ( )6;0 . 23. Найти сумму абсциссы и ординаты точки, в которой пересекаются

касательные к параболе ( )2121

−= xy , проведенные в точках ( )2;1− и

( )5,0;2 . 24. Найти абсциссу точки графика функции 123435,0 2 +−= xxy в

которой касательная, проведенная к этому графику параллельна оси Ох.

25. Найти абсциссу точки графика функции 532 2 −+= xxy в которой касательная, проведенная к этому графику параллельна оси Ох.

Найти абсциссу точки графика функции, в которой касательная, проведенная к этому графику параллельна оси Ох. В ответе указать ближайшее целое к полученному числу: 26. 253 2 −+= xxy 27. 523 2 −+= xxy

28. 16 2 −+= xxy 29. 673 2 −+= xxy

30. Найти абсциссу точки графика функции 123435,0 2 +−= xxy в которой касательная, проведенная к этому графику параллельна прямой 324 −= xy .

31. Найти абсциссу точки графика функции xxy −= в которой касательная, проведенная к этому графику параллельна прямой

5+= xy .

xxy 3+=

138

32. Найти абсциссу точки графика функции xxy 3+= в которой касательная, проведенная к этому графику параллельна прямой

14 −= xy . 33. Найти абсциссу точки графика функции 232 2 −−= xxy в которой

касательная, проведенная к этому графику параллельна прямой 25−= xy .

34. Найти абсциссу точки графика функции 253 2 −+= xxy в которой касательная, проведенная к этому графику параллельна прямой

9−−= xy . 35. Найти абсциссу точки графика функции 532 2 −+= xxy в которой

касательная, проведенная к этому графику параллельна прямой 15 +−= xy .

Составить уравнение касательной к графику функции в точке М. В ответе указать значение ( )0касy : 36. 32)( xxxf −= , М(1;1). 37. 32)( xxxf −−= , М(0;2) 38. 3)( xxf = , М(1;1) 39. 53)( 2 ++−= xxxf , М(-1;0)

40. x

xxf−−

=3

23)( , М(2;4) 41. x

xxf−−

=5

52)( , М(4;5)

42. x

xf 3)( = , М(-1;-3)

43. Касательная к графику функции 12 +−= xxy перпендикулярна прямой 12 += xy . Укажите значение выражения 2

020 yx + , где ( )−00 ; yx

точка касания. 44. Касательная к графику функции 123 +−= xxy перпендикулярна

прямой 032 =−+ xy . Укажите значение выражения 20

20 yx + , где

( )−00 ; yx точка касания. В ответе указать ближайшее целое к полученному числу.

45. Касательная к графику функции 242 −−= xxy перпендикулярна прямой 123 =− yx . Укажите целую часть значения выражения 2

020 yx +

, где ( )−00 ; yx точка касания.

139

46. Касательная к графику функции 423 2 +−−= xxy перпендикулярна прямой 12 +−= xy . Укажите целую часть значения выражения 2

020 yx +

, где ( )−00 ; yx точка касания.

47. Касательная к графику функции 23 xxy +−= перпендикулярна прямой 053 =+− xy . Укажите значение выражения 2

020 yx + , где ( )−00 ; yx

точка касания. 48. Касательная к графику функции 22 xxy ++−= имеет угловой

коэффициент 2=k . Найдите абсциссу точки пересечения касательной с осью ОХ.

49. Касательная к графику функции 4

412 xxy ++−= имеет угловой

коэффициент 3=k . Найдите абсциссу точки пересечения касательной с осью ОХ.

50. Касательная к графику функции 12 −+−= xxy проходит через начало

координат. Найдите значение выражения 00 yx − , где ( )−00 ; yx точка

касания, при условии, что 00 >x . 51. Касательная к графику функции 32 2 +−= xxy проходит через начало

координат. Найдите значение выражения 00 3223518 yx −⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+ , где

( )−00 ; yx точка касания, при условии, что 00 >x . 52. Касательная к графику функции 123 2 −−= xxy проходит через начало

координат. Найдите значение выражения ⋅⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ −−1

33617

020 3yx − , где

( )−00 ; yx точка касания, при условии, что 00 >x . 53. Касательная к графику функции xxy −= 2 проходит через точку

( )5;2− . Найдите значение выражения 00 yx − , где ( )−00 ; yx точка

касания, при условии, что 10 >x .

54. Касательная к графику функции 232 +−−= xxy проходит через точку

( )6;1− . Найдите значение выражения ( )227 + 20

20 yx − , где ( )−00 ; yx

точка касания, при условии, что 00 >x .

140

55. К графикам функции 1−+= xxy и xx

y −=1 проведены

касательные в точках с абсциссой 10 =x . Найдите тангенс угла между этими касательными.

56. К графикам функции 13ln −+= xxy и 3ln 2 ++−= xxy проведены касательные в точках с абсциссой 10 =x . Найдите тангенс угла между этими касательными.

§3.8. Монотонность функций

Уровень А

Укажите промежутки возрастания и убывания функций: 1. xy = 2. 2xy = 3. xy =

4. 232 += xy 5. xy 31−= 6. xxy =

7. x

y 1= 8.

11

2 +=

xy 9. xy 3/1log=

10. xy elog= 11. ( )3log += xy π 12. 1+= xy 13. xy sin= 14. xy cos= 15. tgxy = 16. xy arcsin= 17. 453 2 ++= xxy . 18. 385 2 +−= xxy . 19. 485 2 −−= xxy . 20. 872 −−= xxy . 21. 782 +−= xxy . 22. 169 2 +−= xxy . 23. 822 ++−= xxy . 24. 232 2 −+= xxy . 25. 673 2 −+= xxy . 26. 5 1

Уровень В

27. На [ ]3;3− укажите общую длину промежутков, на которых функция

12 +=

xxy является возрастающей.

28. На [ ]0;4− укажите общую длину промежутков, на которых функция

11−

+=x

xy является возрастающей.

141

29. На ⎥⎦⎤

⎢⎣⎡− 5;

43 укажите общую длину промежутков, умноженную на

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +

412 , на которых функция

112

++

=xxy является убывающей.

30. На ⎥⎦⎤

⎢⎣⎡

⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ −− 4;

21

21;4 U укажите общую длину промежутков, на которых

функция 2

2x

xy += является убывающей.

31. Укажите количество промежутков, на которых функция xxy 33 −= является убывающей.

32. Укажите количество промежутков, на которых функция 23 23 +−= xxy является возрастающей.

33. Укажите количество промежутков, на которых функция 4

12 −

=x

y

является возрастающей. 34. Укажите количество промежутков, на которых функция

322 +−= xxy является убывающей.

35. Укажите длину промежутков, в которой функция 11 +−−= xxy является постоянной.

36. Укажите количество промежутков, на которых функция 2312 +−+= xxy является убывающей.

37. Укажите количество промежутков, на которых функция 32 −= xy является возрастающей.

38. На [ ]3;3− укажите общую длину промежутков, на которых функция ( )xy πsin= является возрастающей.

39. На [ ]2;1− укажите общую длину промежутков, на которых функция ( )xy πcos= является убывающей.

40. На [ ]ππ 3;− укажите количество промежутков, на которых функция tgxy = является возрастающей.

41. На [ ]ππ ;3− укажите количество промежутков, на которых функция xy 2sin= является убывающей.

42. На [ ]ππ ;− укажите количество промежутков, на которых функция

xy 2cos= является возрастающей.

142

43. На [ ]5;5− укажите количество промежутков, на которых функция xtgy 2= является убывающей.

44. На [ ]4;2− укажите количество промежутков, на которых функция xctgy 3= является убывающей.

45. На [ ]ππ −−− 10;4 укажите общую длину промежутков, на которых функция xxy sin+= является возрастающей.

46. На [ ]5;1 укажите общую длину промежутков, на которых функция xxy ln+= является возрастающей.

Уровень С

47. Найдите промежутки возрастания функции 1

162

−+−

=x

xxy .

48. Найдите промежутки убывания функции 2

12

−+−

=x

xxy .

49. Найдите промежутки убывания функции xx

y+

=2

1 .

50. Найдите промежутки возрастания функции 232 +−= xxy .

51. Найдите промежутки возрастания функции 322 +−= xxy . 52. Найдите промежутки убывания функции xxy cos2sin += .

53. Найдите промежутки возрастания функции xy sin= .

54. Найдите промежутки возрастания функции xy cos= . 55. Укажите количество промежутков убывания функции xxy sin= на

отрезке [ ]10;10− . 56. Укажите количество промежутков убывания функции xxy cos= на

отрезке [ ]10;10− .

57. Найдите промежутки возрастания функции 1arcsin 2 += xy .

58. Найдите промежутки возрастания функции 1arccos 2 ++= xxy .

59. Найдите промежутки убывания функции3

12 23

+−+−

=x

xxxy .

143

§3.9. Точки максимума и минимума

Уровень А

Найти точки максимума функции (если таких точек несколько, то указать их сумму): 1. xy = 2. 2xy = 3. 12 += xy

4. 4xy −= 5. xy −= 6. 23 3xxy −=

7. xxy 22 +−= 8. 2xxy −−= 9. 24 xy −= Найти точки минимума функции (если таких точек несколько, то указать их сумму): 10. 12 2 += xy 11. 12 2 −+= xxy 12. xy =

13. xxxy ++= 23 2 14. 1

12 +

=x

y 15. xxy −= 3

16. xxy −= 5 Найти точки максимума и минимума функции: 17. 121834)( 23 +−+= xxxxf . 18. 82)( 2 +−= xxxf . 19. 45)( 2 ++−= xxxf . 20. 23)( 3 −+−= xxxf . 21. 23)( 3 +−= xxxf . 22. 562 +−= xxy . 23. 53 35 xxy −= . 24. 424 xxy −= .

25. 41

161

41 2 ++= xxy . 26. 323 xxy −= .

27. 32 24 −−= xxy . Уровень В

28. Найти количество точек максимума функции xy sin= , при [ ]ππ 2;−∈x . 29. Найти количество точек максимума функции xy cos= , при [ ]ππ ;2−∈x

30. Найти сумму точек минимума функции 2

sin xy π= , при ⎥⎦

⎤⎢⎣⎡−∈

23;

21x .

31. Найти сумму точек максимума функции 3

cos2 xy = , при [ ]ππ ;−∈x .

32. Найти сумму точек максимума функции 66 xxy −= .

144

33. Найти сумму точек максимума функции 1212

++

=x

xy , умноженную на

215 + .

34. Найти сумму точек максимума функции 12 +

=x

xy .

Уровень С

Найти точки максимума и минимума функции:

35. 9

32 +−

=x

xy , при 82 ≤−x 36. 4

122 +−

=x

xy , при 5.55.1 ≤−x .

37. 11

2 +−

=xxy , при 51 ≤−x . 38.

93

2 ++−

=x

xy , при 63 ≤−x .

39. 4

72 +

=x

xy , при 44 ≤+x . 40. ( )23log 22/1 +−= xxy .

41. ( )65log 23/1 +−= xxy . 42. ( )2

2 1log xy −= .

43. ( )23log xxy −= . 44. xxy ln1−= .

45. xey x sin= . 46. xey x cos= . 47. ( ) xexy −+= 1ln . 48. ( ) xexy 212ln −+= . 49. xexxy ++= cos . 50. xexxy −−+= sin .

51. 1

12 −

+=x

xy

52. Найдите максимум функции )5(log

53log 2.0

3

55)(+−

+−

=x

xxx

xf .

53. Найдите максимум функции )1(log

1

13log 3/1

2

33)(+−

+

+−

=x

x

xx

xf .

54. Найдите минимум функции )1(log

113log 2

5.02

3

2

2)(+−

+

+−

=x

xxx

xf .

145

§3.10. Наибольшее и наименьшее значение функции

Уровень А

Найдите наибольшее значение функции 1. xy = , при 75 ≤+x . 2. xy −= , на [ ]6;3−

3. xy = , на [ ]2;2− 4. 1+−= xy , на [ ]2;1−

5. xxy 22 += , на [ ]2;3− 6. 3xxy += , на [ ]2;1− 7. xy ln= , на [ ]e;1 8. ( )1ln 2 += xy , на [ ]1;1− 9. xy sin= 10. xy cos= Найдите наибольшее целое значение функции 11. xxy −= cos , на [ ]ππ ;− 12. Найдите наименьшее значение функции 13. 12 −= xy , при 31 ≤−x 14. 12 += xy , при [ ]3;1∈x

15. 232 xxy +−= , на [ ]4;1− 16. ( )1ln += xy , на [ ]1;0

17. , при [ ]2;1∈x 18. 2 2 3

Найдите наименьшее целое значение функции

19. 22

sin +=xy

20. xxy sin+= , на [ ]ππ ;−

Уровень В

Найдите наименьшее значение функции 21. 2ln xxy += , на [ ]2;1 22. xxy cos7sin24 += 23. =y tg 16cos6 22 ++ xx

24. 3312 +−−= xxy , на [ ]2;5−

25. 321 +++++= xxxy , на [ ]1;4−

( ) 112sin3 +−= xy

146

26. xxxy +−−+= 3221 , на [ ]4;0

27. 32 −+= xy x , на [ ]2;1

28. 13sinsin3coscos210 −+⋅= xxxxy

29. 122

8 ++−⋅= xxey , при [ ]3,2−∈x .

30. 232 2

2 ++−⋅= xxey , при [ ]1,3−∈x Найдите наибольшее значение функции

31. ( )22 1log xy −= , на ⎥⎦

⎤⎢⎣⎡−

21;

21

32. ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +−⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ +=

23sin

103sin ππ xxy , умноженную на 2 .

33. 1++= xxy , на [ ]3;3−

34. xxxy −−+−= 12124 , на [ ]2;1−

35. хх

y32

40+

= на промежутке [1; 7].

36. Найдите наибольшее целое значение функции 23sin4sin3cos4cos325 −+⋅= xxxxy

Уровень С

Найдите наименьшее значение функции

37. 9

22 +−

=x

xy , при 51 ≤−x .

38. 42 +

−=

xxy , при 5.35.2 ≤−x .

39. 3121)( 388 +−+−+−−= xxxxxf

40. ( ) 22322 41324)( xxxxxf −−+−−−= , при 31 ≤−x

41. xxxxxxxf +−+−+++= 33269)( 232 , при 3≤x

42. xxxxxxxf −−+−−++−= 12412)( 232 , при 21 ≤+x

43. 273)( 5/85/8 −+= −xxxf , при 1≥x

147

44. 1132)( 1111 −+= −xxxf , при 1≥x

45. 314)( 3/193/19 −+= −xxxf , при 1≥x 46. xxxf 44 cossin)( +=

47. 2

5452)(2

234

++++++

=xx

xxxxxf

48. 12

22544)(2

234

++++++

=xx

xxxxxf

49. xxxf arcsin1)( 2 +−= Найдите наибольшее значение функции

50. 11

2 ++

=xxy , при 42 ≤−x .

51. 93

2 ++

=xxy , при 41 ≤−x .

52. 2322 2131)( xxxxxf −+−+−−=

53. 13434)( 2322 −+−−−+−−= xxxxxxf

54. ( ) 22322 141)( xxxxxxxxf −−−+−+−−= , при 5.25.1 ≤−x

55. xxxxxxxf 21441)( 232 +−+−−++= , при 2≤x

56. 1253)( 12

−+= +−

xxxf , при 4−≤x

57. 1037)( 24

−+= +−


58. 1625)( 26

−+= +−


59. 2sin3sin4

1)(2 ++

=xx

xf

60. xxxf 44 cos3sin2)( += . 61. ( )( )( )( )6215)( ++−−= xxxxxf

62. xxxf arccos1)( +−=

63. 21cossin2)( ++= xxxf

64. 12cos3sin43)( +−= xxxf

148

§3.11. Первообразная и неопределенный интеграл

Уровень А

Найдите первообразную для функции )(xy , проходящую через точку Р(x,y): 1. 0=y , Р(1;1). 2. 1=y , Р(2;-1).

3. xy = , Р (-2;2). 4. x

y 1= , Р (e;1).

5. 211x

y+

= , Р (1;1). 6. 21

1x

y−

= , Р (0;1).

7. xy 3= , Р (1;2). 8. xey = , Р (-1;0). 9. xy sin= , Р ( )1;π . 10. xy cos= , Р ( )1;π− .

11. x

y2sin

1= , Р ⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ 1;

2π . 12.

xy

2cos1

= , Р (0;1).

13. 1

12 +

=x

y , Р ( )1;1 . 14. 4

12 −

=x

y , Р (-3;3).

15. x

y−

=1

1 , Р (-2;-1). 16. 12 −+= xxy , Р (0;1)

17. x

xy 1+= , Р (1;4). 18.

11+

=x

y , Р (3;1).

19. 2)1(

1+

=x

y , Р (-2;0). 20. 3)1(

1+

=x

y , Р (1;1).

21. x

xxysin

cossin += , Р ⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ 0;

3π . 22. xxey x 3−+= , Р (0;1).

23. xexxy 232 −+−= , Р (0;2).

Уровень В

Найдите первообразную )(xF для функции , проходящую через точку А , (24-37):

24. 21

++

=xxy , А(-1;1). В ответе укажите значение F(3) + ln5 - 2.

149

25. 3

2−

=x

xy , А(4;1). В ответе укажите значение F(5) - 6ln2 + 14.

26. 1

2

−=

xxy , А(3;-2). В ответе укажите значение F(3) + 19.

27. 1

2

+=

xxy , А(1;0). В ответе укажите значение F(2) – ln(3/2).

28. 1+

=x

xy , А(0;0). В ответе укажите значение ( ) 2ln1 +F .

29. )1(

1+

=xx

y , А(-2;2). В ответе укажите значение -2ln(2) + 2 – F(2).

30. )2)(1(

1++

=xx

y , А(3;1). В ответе укажите значение F(-3) + ln2 – ln5.

31. )1)(1(

1+−

=xx

y , А(2;0). В ответе укажите значение F(2).

32. xy 2cos= , А(0;0). В ответе укажите значение ( ) 2sin25,01 −F .

33. xxy

sin3cos

= , А ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ 0;

3π . В ответе укажите значение √ .

34. x

xycos2

sin= , А ⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ 1;

6π . В ответе укажите значение √ 2.

35. xxx

y2sincossin

1= , А ⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛

2;

4ππ . В ответе укажите значение - ⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛

41 ππ

F

36. xxy

sin2sin

= , А(0;1). В ответе укажите значение ( )πF - 2.

37. xx

xycossin2sin

= , А ( )1;1 . В ответе укажите значение ( )1−F .


38. ∫ ++ )2)(1( xxxdx 39. ∫ +− )1)(1( xx

xdx 40. ∫ .cossin 22 xx

dx

41. ∫+ .cos

cossinx

xdxx 42. ∫ .cos4 xdx 43. ∫ .ln dxxx

44. ∫ ++ 12 xxdx

45. ∫ −+ 22 xxdx

46. ∫ ++ 432 xxdx

47. ∫ ++− 122 2 xxdx

48. ∫ .dxxex 49. ∫ .cosxdxx

150

50. ∫ .sin xdxx

§3.12. Функциональные уравнения и задачи

Уровень А

Заданы функции: 1. xxf =)( и 1)( 2 += xxg . Найдите ( )( )xgf .

2. xxf =)( и 22)( += xxg . Найдите ( )( )xgf .

3. 12)( −= xxf и 1)( 2 += xxg . Найдите ( )( )xgf .

4. 3)( xxf = и 1

1)(+

+=x

xxg . Найдите ( )( )xgf .

5. и 1)( 2 += xxg . Найдите ( )( )xgf .

6. 1)( += xxf и 3)( xxg = . Найдите ( )( )xgf 3 .

7. 1)( −= xxf и 1)( 2 += xxg . Найдите ( )( )xgf 2 .

8. 3

)( xxf = и 1)( += xxg . Найдите ( )( )xgf 4 .

9. 1

)(+

=xxxf и ( )32 1)( += xxg . Найдите ( )( )3 xgf .

10. xxf =)( и 4)( xxg = . Найдите ( )( )4 xgf .

11. 11)(

+−

=xxxf и xxg sin)( = . Найдите ( )( )xgf 2 .

12. xxxf

+−

=11)( и xxg cos)( = . Найдите ( )( )xgf 2 .

13. 1)( 2 −= xxf и xxg cos)( = . Вычислите значение выражения

( )( )πgf .

14. 12)( += xxf и xxg sin)( = . Вычислите значение выражения

( )( )π2gf .

15. 21)( xxxf +−= и 3)( xxg = . Вычислите значение выражения .

16. и 2)( xxg = . Вычислите значение выражения ( )( )1gf .

3)( xxf =

( )( )81 gf +

xxxf

+−

=11)(

151

17. xxxf

+−

=11)( и

21)( +

=xxg . Вычислите значение выражения

( )( )1−gf .

Уровень В Заданы функции: 18. 1)( −= xxxf и 2)( xxg = . Решите уравнение ( )( ) 1−=xgf . 19. xxxf += 2)( и xxg cos)( = . Решите уравнение ( )( ) 0=xgf . Укажите

количество корней, если их бесконечное множество, то в ответе запишите «∞».

20. 2)( xxxf −= и xxg sin)( = . Решите уравнение ( )( ) 0=xgf . Укажите количество корней, если их бесконечное множество, то в ответе запишите «∞».

21. 1)( 2 −= xxf и xexg ln)( = . Решите уравнение ( )( ) 0=xgf . В ответе

укажите сумму всех корней умноженную на ( ) 121 −+ e . 22. 1)( 2 +−= xxxf и xxg sin)( = . В ответе укажите целое

положительное число наиболее близкое к наименьшему положительному корню уравнения ( )( ) 1=xgf .

23. 1)( +−= xxxf и xxg 2cos)( = . В ответе укажите целое число наиболее близкое к наименьшему положительному корню уравнения

( )( ) 1=xgf . 24. Найдите значение функции ( ) ( ) ( ) ( )xgxfxgxf −−− в точке 0x , если

известно, что функция f - четная, а функция g - нечетная, причем ( ) 10 =xf , ( ) 20 −=xg .

25. Найдите значение функции ( ) ( ) ( ) ( )xgxfxgxf −−−−−2 в точке 0x , если известно, что функция f - четная, а функция g - нечетная, причем ( ) 30 −=xf , ( ) 30 =xg .

26. Найдите значение функции ( )( )

( )( )xg

xfxg

xf −+

− в точке 0x , если известно,

что функция f - четная, а функция g - нечетная, причем ( ) 20 −=xf , ( ) 10 =xg .

152

Известно, что:

27. ( ) 2613 +=− xxf и ( )( ) xxgf 43−= . Найдите ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

41g .

28. ( ) 133 +=+− xxf и ( )( ) xxgf 24−= . Найдите ( )3g . 29. ( ) xxf 2325 +=− и ( )( ) xxgf += 4 . Найдите ( )0g .

30. ( ) xxf =+4 и ( )( ) 1+= xxgf . Найдите ( )0g .

31. ( ) xxf =+ 31 и ( )( ) 33 += xxgf . Найдите ( )1−g .

32. ( )x

xf 11 =− и ( )( )2

1+

=x

xgf . Найдите ( )1g .

33. ( ) 3 11 −=+− xxf и ( )( ) xxgf −= 2 . Найдите ( )2g .

34. ( )x

xxf−−

=4

12 . Упростите выражение ( )41

3 2 ++⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

−− xf

xxf и

вычислите его значение при 1=x .

35. ( )xxxxxf

/23/42

−−

= . Упростите выражение ( )131

33 −+⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

−− xf

xxf и

вычислите его значение при 1=x .

Уровень С

36. Решите уравнение ( )( ) ( )( ) 303 =++ xfgxgf , если известно, что

( ) 5421 4 +−= xxxf и ( )

⎪⎩

⎪⎨⎧

<−

+

≥=

4,5

92

4,25

xx

xxg

x.


( ) 14 +−= xxxf и ( )⎪⎩

⎪⎨⎧

<−

+

≥=

3,2

23

3,15

xx

xxg

x.


( ) 3931 4 +−= xxxf и ( )

⎪⎩

⎪⎨⎧

<−

+

≥=

0,2112

0,10

xx

xxg

x.


153

( ) 2682 +−= xxxf и ( )⎪⎩

⎪⎨⎧

<−

+

≥=

6,7244

6,5

xx

xxg

x.

40. Даны числа 2721 ,...,, xxx , которые удовлетворяют рекуррентному соотношению ( )kk xfx =+1 , 26,...,2,1=k , причем известно, что 027 =x

а ( )⎪⎩

⎪⎨

⎧

−>−+

−≤−+=

+−

3,33

213,635 1

4

xx

xxf

xx

. Найдите значение выражения

41115 2 xxx −+ . 41. Даны числа 4921 ,...,, xxx , которые удовлетворяют рекуррентному

соотношению ( )kk xfx =+1 , 48,...,2,1=k , причем известно, что 049 =x

а ( )⎪⎩

⎪⎨

⎧

−>−+

−≤−+=

+−

7,77

917,152 6

1

xx

xxf

xx

. Найдите значение выражения

243142 2 xxx −+ . 42. Известно, что функция )(xfy = определена на всей числовой оси и

удовлетворяет условию ( ) ( ) 212 xxfxf =−+ . Задайте функцию f формулой.

43. Известно, что функция )(xfy = определена на всей числовой оси и удовлетворяет условию ( )( ) ( ) xxfxff =− . Задайте функцию f формулой.

44. Функция )(xfy = определена на всей числовой оси и удовлетворяет условиям ( )( ) xxff 4= и 2)1( =f . Найдите значение выражения ( ) ( )32 ff − .

45. Функция )(xfy = определена на всей числовой оси и удовлетворяет условию ( )( ) 2+= xxff . Найдите значение выражения ( ) ( )20082009 ff − .

46. Функция )(xfy = определена на множестве натуральных чисел и принимает значения на этом множестве. При всех Ν∈n выполняется равенство ( )( ) ( ) 32 +=+ nnfnff . Найдите значение выражения ( )2009f .

154

47. Функция )(xfy = определена на множестве натуральных чисел и принимает значения на этом множестве. При всех Ν∈n выполняется равенство ( )( ) ( ) nnfnff 6=+ . Найдите значение выражения ( )1000f .

48. Функция )(xfy = определена на множестве натуральных чисел и принимает значения на этом множестве. При всех Ν∈n выполняется равенство ( )( ) ( ) nnnfnff +=+ 22 . Найдите значение выражения ( )2009f .

49. Функция )(xfy = определена на множестве натуральных чисел и принимает значения на этом множестве. При всех Ν∈n выполняется равенство ( )( ) ( ) 8522 ++=+ nnnfnff . Найдите значение выражения ( )2009f .

50. Известно, что функция )(xfy = возрастает на ( )+∞∞− ; , а )(xgy = возрастает на ( )+∞;0 . Решите уравнение

( ) ( ) ( ) ( )xxxgxfxgxxxf −+−−=−−−+ 232223 22 51. Известно, что функция )(xfy = возрастает на ( )+∞∞− ; , а )(xgy =

возрастает на ( )+∞;0 . Решите уравнение ( ) ( ) ( ) ( )xxxgxfxgxxxf −−−−=−−−− 232223 22

155

§3.13. Построение и определение графиков функций

Уровень А

1. Для каждого графика (представлено схематично) установите вид функции/уравнения (хотя бы один).

а б в

1

2

3

4

5

156

6

7

8

Уровень С

Постройте графики функций (схематично):

2. а) x

y−

=1

1 б) xxy 43 −= в) xx

xy +=

г) x

xy 1+= д) xxy cos= е) xxy sin=

ж) x

xy 1−= з) xxy −+−= 342 и)

11

2 −=

xy

к) 1

12 +

=x

y л) 11 ++−= xxy м) xy1

2=

н) )4ln(2 += xy о) xx

y = п) 22 −−= xxy

р) 1)1cos( +−= xy с) x

ycos

1= т)

xy

sin1

=

у) =y tg x2 ф) 12 −

=x

xy

157

Глава 4. Векторная алгебра и геометрия.

§4.1. Векторы


Найти координаты вектора , если: 1. A(2; 6), B(6; 8). 2. A(-11; 7), B(3; 5). 3. A(2; -4; 6), B(-3; 6; 8). 4. A(-5; 1; 7), B(3; 5; 0). 5. A(-11;7), B(3;5). 6. A(-5; 1; 7), B(3; 5; 0). Точка C – середина отрезка AB. Найти координаты точки С, если: 7. A(2;6), B(6;8). 8. A(-11;7), B(3;5). 9. A(2; -7; -1), B(6; -5; 7). 10. A(-1; 9; 8), B(3; 5; -8). 11. 3; 5 , 1; 4 . Найти 12. 3; 5 , 1; 5 . Найти 13. 3; 0; 7 , 9; 6; 4 . Найти 14. 3; 5; 7 , 3; 1; 5 . Найти 15. 3; 5 , 1; 5 . Найти 16. 8; 1 . Найти 4 17. 6; 4 . Найти 5 . 18. 7; 3; 2 . Найти 4 19. 6; 4; 2 . Найти 5 .

Уровень A

20. Даны точки A(-2;-3) и B(1;1). Найти длину отрезка АВ. 21. Даны точки A(-2;3;√12) и B(1;1;0). Найти длину отрезка АВ. 22. Даны точки A(9;0;√12) и B(12;-2;0). Найти . 23. Даны точки A(4;5;0) и B(-2;-3;0). Найти . 24. Дан вектор а={–3;4} . Найти |а|. 25. Дан вектор а 4; 5 . Найти √41 · |а|. 26. Дан вектор а 4; 5; 3 . Найти √2 · |а|. 27. Дан вектор а 1; 3; 4 . Найти √26 · |а|. Найти |а|, если: 28. а 4 5 . 29. а 4 3 . 30. а 4 5 √59 . 31. Пусть а 3 5 2 . Найти .

158

Найти скалярное произведение векторов а и , если: 32. а 1; 4 и 3; 1 . 33. а={-3;2} и 5;-1}. 34. а 1; 4; 3 и 3; 1; 2 . 35. а 2;3;-5} и -1;4;1}. Найти скалярное произведение векторов а и , если 36. |а| 3√2, 5, а а; 45 37. |а| 6, 7, а а; 60 38. |а| 2√3, 3, а а; 150 Найти x1+y1+r, где (x1;y1) – центр окружности, а r – ее радиус, если: 39. 5 4 40. 5 8 1641. 3 1 25 Найти угловой коэффициент прямой , параллельной прямой : 42. y kx k, y 5x 4. 43. y kx 3k, y 5,8x 444. Найти свободный коэффициент прямой , параллельной прямой : 44. y kx k, y 5x 4. 45. y kx 3k, y 5,8x 444. Найти угловой коэффициент прямой , перпендикулярной прямой : 46. y kx 3k, y 5,8x 444. 47. y kx 20, y 2x 5. Найти тангенс угла между прямой , и осью абсцисс: 48. – 0,2 18 49. 50.

Уровень B

Найти сумму координат точки С, если известно: 51. А 2; 1 , В 4; 0 , а точка С лежит на отрезке АВ, причем АС

СВ.

52. А 2; 1; 2 , В 4; 0; 1 , а точка С лежит на отрезке АВ, причем АССВ

. 53. А 2; 0; 0,5 Ошибка! Закладка не определена. , В 1; 0,5; 1 , а

точка С лежит на отрезке АВ, причем АССВ

.

54. А 0; 1 , В 4; 0 , а точка С лежит на отрезке АВ, причем АССВ

. При каких k векторы а и перпендикулярны, если: 55. а 2; 1 и 3к; 3 56. а 7; 4 и 2к; 7 57. а 4; 3; и 2 ; 5; 3 58. а 3к; 3к; 5 и 1; к; 3к 59. а 3к 1; 8к; 4к и к; 1; к При каких m векторы а и коллинеарны, если:

159

60. 4; и 6; 3 61. 4 ; и 3; 2 Найти сумму m и n, при которых векторы, а и коллинеарны, если: 62. 4; ; 6 и 6; 3; 63. 2; 3; 0,5 , 3; 0,5 ; 1,5 64. При каких m векторы 5 ; 2 и 1; 2 сонаправлены? В ответе

указать величину √

. 65. При каких m векторы {3m;1}и {1;m} сонаправлены? В ответе указать

величину √3m. 66. При каких m векторы {3m;-1} и{-2;2m} противоположно направлены?

В ответе указать величину √3m. 67. При каких m векторы {4m;2} и{6;2m} противоположно направлены? В

ответе указать величину 1,5m. 68. Найти сумму координат единичного вектора, сонаправленного

вектору{3;-4}. 69. Найти сумму координат единичного вектора, сонаправленного вектору

12; 9 70. Даны векторы а 1; 3 и 2; 2 . Найти скалярное

произведение векторов 3 и 2 . 71. Даны векторы а 4; 0 и 5; 1 . Найти скалярное

произведение векторов 2 и 4 2 . 72. Даны векторы а 2; 1; 0} и 1; 4; 3 . Найти скалярное

произведение векторов 2 3 и . 73. Даны векторы а 3; 1; 2 и 1; 3; 1 . Найти скалярное

произведение векторов 2 и 2 . 74. Даны точки А(5;-3;1), В(4;2;0), С(-3;1;1) и вектор 2; 1; 2 . Найти

2 3ВС . 75. Даны точки А(1;-2;4), В(5;0;-2), С(3;2;-1) и вектор 1; 1; 2 . Найти

3 2ВС . 76. Пусть 5; 7 , 1; 4 . Найдите √5 2 3 . 77. Пусть 7; 5 , 4; 1 . Найдите √10 2 . 78. При каком отрицательном p выполняется равенство | | √14, если

2 3 ? 79. При каком положительном p выполняется равенство | | √101, если

4 2 ? Найти угловой коэффициент прямой, проходящей через точки А и В: 80. 1; 2 и 1; 5 81. 1; 1 и 1; 3

160

Прямая y=kx+b проходит через точки M и N, найдите сумму k+b: 82. M(2;-1), N(-1;5) 83. M(-3;2) и N(1;-1) 84. Прямая y=kx+b, параллельная прямой y = –2x+8 проходит через точку

M(2;–1). Найдите сумму k+b. 85. Прямая y=kx+b, параллельная прямой y=3x–5 проходит через точку

M(–3;1). Найдите сумму k+b. 86. Прямая y=kx+b, параллельная прямой y=0,5x+6 проходит через точку

M(6;–1). Найдите сумму k+b. 87. Прямая y=kx+b, перпендикулярная прямой y=0,5x+7 проходит через

точку M(2;-1). Найдите сумму k+b. 88. Прямая y=kx+b, перпендикулярная прямой y = –0,2x–17 проходит

через точку M(3;–1). Найдите сумму k+b. При каких k точки А, В, С лежат на одной прямой, если известно: 89. A(1;2), B(3;6), C(7;k) 90. A(-2;6), B(8;-4), C(k;-4) 91. A(4;8), B(-2;4), C(-8;k) 92. Найти косинус наибольшего угла треугольника с вершинами 2; 1 ,

3; 0 , 1; 5 . В ответе указать значение найденной величины, умноженной на √34.

93. Найти косинус угла А треугольника с вершинами А(-2;4) , В(1;3) , С(2;5). В ответе указать значение найденной величины, умноженной на √170 .

94. Даны точки А(1;3;-2), В(3;2;-1) и С(2;2;0). Найти 6 cos , где α - угол между векторами АВ и АС.

95. Даны точки А(1;3;0), В(2;1;0) и С(2;3;0). Найти √5 cos , , где α - угол между векторами АВ и АС.

96. Дан треугольник АВС со сторонами АВ=4, АС=5, ВС=√21. Найти скалярное произведение векторов АВ и АС.

97. Дан треугольник АВС со сторонами АВ=2, АС=5, ВС=√14. Найти скалярное произведение векторов АВ и АС.

98. Найти угол между векторами и , если A(1; 1), B(3; 1), C(2; 2) 99. Найти площадь треугольника АВС, если А(-4; -1), В(0; 4), С(8; 2) 100. Найти площадь четырехугольника с вершинами в точках А(-8;3),

В(4;3), С(2;9), D(-4;9).

Уровень C

101. Найти скалярное произведение · 3 , если известно, что | | 2, | | 1, и угол между векторами и равен 1200.

102. Найти )2()35( babа −⋅+ , если a =2, b =3, .ba ⊥

161

103. Векторы a и b взаимно перпендикулярны, а вектор c образует с

ними углы, равные 3π .Зная, что 5,2,1 === cba . Найти

( )( )acba 4323 −− . 104. Найти скалярное произведение векторов nm 3− и mn +2 , если

1=m , 2=n и o45, =⎟⎠⎞⎜

⎝⎛ ∧

nm .

105. В четырехугольнике ABCD 4; 1; 5 , 2; 8; 1 , 3; 4; 2 . Найти модуль скалярного произведения векторов, заданных

диагоналями этого четырехугольника. В 106-107 найти сумму координат вершины D параллелограмма ABCD, если известны координаты его остальных вершин: 106. 2; 1; 7 , 4; 3; 5 , 2; 1; 6 . 107. 1; 1; 1 , 2; 2; 1 , 3; 1; 5 . 108. Найти острый угол ϕ между диагоналями параллелограмма,

построенного на векторах { }0;1;2=a и { }1;1;0 −=b . 109. Найти острый угол между диагоналями параллелограмма,

построенного на векторах { }5;4;3 −=a и { }9;3;2=b .

110. Найти , если | | 11, 23, 30. 111. Найти , если | | 13, 19, 24. 112. Найти| |, если =14, , 7, 12. 113. Найти | | , если 17, 10, 19. 114. Найти значение выражения · 3 √5 , где P – периметр

треугольника с вершинами А(2;-3;2), В(3;-3;2), С(2;-1;2). 115. Точки А(1;0;2), В(2;1;0), С(1;2;0) – три последовательные вершины

параллелограмма ABCD. Длина диагонали BD равна р. Найти р√

. 116. Найти сумму коэффициентов разложения вектора а 5; 9 по

векторам{2;3} и {3;-1}. 117. Найти произведение коэффициентов разложения вектора а

14; 2; 25 по векторам{0;0;1}, {3;1;-4} и {1;3;6}. 118. Найти сумму коэффициентов разложения вектора а 1; 15; 1 по

векторам {1;2;1}, {2;-4;1} и {0;1;-2}. 119. Дан параллелепипед ABCDA1B1C1D1, О – точка пересечения его

диагоналей. Найти сумму коэффициентов разложения вектора по векторам , , и .

162

120. Вычислить длины диагоналей параллелограмма, построенного на векторах 5 2 , 3 , если | | 2√2, | | 3, ,45 . В ответе указать меньшую из длин.

121. Четырехугольник ABCD задан координатами своих вершин А(-2;-3), B(1;4), С(8;7), D(5;0). Вычислить · · ·

122. Четырехугольник ABCD задан координатами своих вершин А(-2;-3), B(1;4), С(8;7), D(5;0). Найти радиус окружности, вписанной в этот четырехугольник.

123. При каких y векторы 2; 1; 3 , 3; 4; 2 , 10; ; 2} компланарны?

124. Прямая задана двумя точками A(-1;2;1) и B(2;1;-1). Найти сумму координат точки М, лежащей на этой прямой, если ее абсцисса – отрицательная и 3√14.

125. Найти уравнение прямой x+ay+b=0, содержащей биссектрису угла B треугольника ABC, если A(4;6), B(-4;0), C(-1;-4). В ответе написать сумму a+b.

126. Дан треугольник ABC. О – точка пересечения его медиан. Выразить вектор через вектора и . В ответе записать произведение коэффициентов разложения.

127. Вычислить площадь параллелограмма, построенного на векторах и , если 5 , 3 , | | 1, | | 2, ; . В ответе указать значение найденной площади, увеличенной в √3 раз.

Уровень D

128. Две стороны квадрата лежат на прямых x-2y+2=0 и x-2y-5=0. Найти

диагональ квадрата. 129. Вычислить модуль векторного произведения векторов а 3; 6; 2 и

2; 3; 6 . 130. Найти смешанное произведение векторов а 5; 7; 2 , 1; 1; 1 ,

2; 2; 1 . 131. Вектор xr , перпендикулярный к векторам { }6;0;5 −=a

r и

{ }7;0;3 −−=br

, образует с осью Oy тупой угол. Зная длину вектора 53=x

r, найти сумму его координат.

132. Вектор xr , перпендикулярный к векторам { }6;8;6=ar

и { }8;0;0=br

,

образует с осью Oy тупой угол. Зная длину вектора 40x =r

, найти сумму его координат.

163

133. На материальную точку действуют силы kjiL ++= 431 , kjL 432 −=

, kjiL ++=3 . Найти работу равнодействующей этих сил при перемещении точки из положения А(1,5,-5) в положение В(-1,3,-4).

134. На материальную точку действуют силы kjiP +−=1 , kjP −=2 ,

kjiP 5433 −−= . Найти работу равнодействующей этих сил при перемещении точки из положения А(0,1,2) в положение В(2,3,-1).

135. Основанием пирамиды FABC является треугольник АВС, в котором 90 , АВ = 3, ВС = 4. Ребро AF перпендикулярно плоскости

АВС и равно 4. Отрезки АМ и AL являются соответственно высотами треугольников AFB и AFC. Найдите объем пирамиды AMLC (решить задачу, используя векторный или координатный метод)

Используя векторы, решить систему уравнений:

136. 1,

. 137. 2,4,8

138. 0,

1 2 1 0,4 4 1 2 1

Решить задачи 139-141, используя векторный или координатный метод: 139. Ребро куба имеет длину 5√3. Найти расстояние между прямыми, на

которых лежат скрещивающиеся диагонали двух смежных граней куба.

140. Вычислить объем тетраэдра с вершинами в точках A1, A2, A3, A4 и его высоту, опущенную из вершины A4 на грань A1A2A3, где A1(-3;4;-7); A2 (1;5;-4); A3 (-5;-2;0); A4 (2;5; 4).

141. В основании треугольной пирамиды SABC лежит правильный треугольник ABC со стороной 1, ребро SA пирамиды перпендикулярно плоскости основания, SA = 3 . Плоскость α параллельна прямым SC и AC, плоскость β параллельна прямым SC и AB. Определите величину угла между плоскостями α и β.

142. Найти угол между плоскостью ,1P проходящей через точки ),1;4;2(1 −A ),0;2;1(2 −A ),3;2;0(3 −A и плоскостью ,2P заданной уравнением

.01325 =+−+ zyx 143. Найдем уравнение плоскости, проходящей через точки А(2, -1, 4) и

В(3, 2, -1) перпендикулярно плоскости х + у + 2z - 3 = 0. 144. Написать уравнение плоскости, проходящей через точку М(1;-1;2) и

перпендикулярную прямой пересечения плоскостей 3x-y-z-1=0, 2x+y+3z+4=0.

164

145. Вычислить расстояние от точки А(2;1;1) до прямой пересечения плоскостей 3x-y-z-1=0, 2x+y+3z+4=0.

146. Катеты прямоугольного треугольника равны 9 см и 12 см. Найти расстояние между точкой пересечения биссектрис и точкой пересечения медиан этого треугольника (решить задачу, используя метод координат)

147. В кубе ABCDA1B1C1D1, ребро которого равно 6, точки M и N – середины ребер AB и B1C1 соответственно, а точка K расположена на ребре DC так, что DK=2KC. Найти: 1) Расстояние от точки N до прямой AK; 2) Расстояние между прямыми MN и AK; 3) Расстояние от точки A1 до плоскости треугольника MNK. (Решить задачу, используя векторный и (или) координатный методы)

Решить задач 148-149, используя векторный и (или) координатный методы: 148. В кубе ABCDA1B1C1D1, ребро которого равно 4, точки E и F –

середины ребер AB и B1C1 соответственно, а точка P расположена на ребре DC так, что CP=3PD. Найти: 1) Расстояние от точки F до прямой AP; 2) Расстояние между прямыми EF и AP; 3) Расстояние от точки A1 до плоскости треугольника EFP.

149. Дан тетраэдр ABCD с прямыми плоскими углами при вершине D. Найти радиус сферы, описанной около тетраэдра, если DA=3, DB=4, DC=5.

150. В выпуклом пятиугольнике ABCDE с единичными сторонами середины P,Q сторон AB, CD и S,T сторон BC, DE соединены отрезками PQ и ST. Пусть M и N – середины отрезков PQ и ST. Найти длину отрезка MN (решить задачу, используя векторный метод)

Решить задачи, используя векторное произведение векторов 151. Вычислить площадь параллелограмма, построенного на векторах

kjia 236 −+= и kjib 623 +−= . Вычислить площадь треугольника с вершинами: 152. А(2;2;2), В(4;0;3), С(0;1;0). 153. А(1;2;0), В(3;0;-3), С(5;2;6). Найти векторное произведение ba× , если: 154. { } { }1;0;3,2;3;2 =−= ba 155. { } { }1;4;3,3;3;2 −−== ba

156. Даны векторы kjia 23 −−= и kjib −+= 2 . Найти векторное

произведение ( ) ( )baba 22 +×− .

165

Решить задачи, используя смешанное произведение векторов 157. С помощью смешанного произведения вычислить объем

параллелепипеда 1111 DCBABCDA если известно, что { }5;0;2 −−=AB , { }1;5;1 −−=AC , { }6;5;31 =AA

158. С помощью смешанного произведения вычислить объем пирамиды 1ABCA если известно, что { }5;2;2 −−−=AB , { }1;5;1 −−=AC , { }6;3;31 =AA .

159. С помощью смешанного произведения вычислить объем параллелепипеда, построенного на векторах ⎯ jiа 2+= , jib 43 −= и

{ }3;4;1−=с . 160. При каком значении m точки ( )1;2;0A , ( )0;1;1−B , ( )5;;3 mC и

( )3;2;1 −D лежат в одной плоскости? 161. При каком значении m точки ( )1;2;2A , ( )3;4;4B , ( )6;;4 mC и ( )1;4;3D

лежат в одной плоскости? 162. Найти смешанное произведение векторов cba : { }4;1;4 −=a ,

{ }10;3 −=b , { }5;1;1 −=c

163. Найти смешанное произведение векторов cba : { }1;2;0 −−=a ,

{ }3;1;2 −=b , { }3;2;1−=c 164. При каком значении m объем параллелепипеда 1111 DCBABCDA равен

56 , если ( )2;3;1−A , ( )2;4;−mB , ( )1;0;3C , ( )1;3;5−D . В ответе укажите наименьшее из значений.

165. При каком значении m объем пирамиды ABCD равен 328 , если

( )2;3;1−A , ( )2;4;−mB , ( )1;0;3C , ( )1;3;5−D . В ответе укажите наименьшее из значений.

166. Даны вершины тетраэдра OABC: О(-5;-4;8), А(2;3;1), В(4;1;-2), С(6;3;7). Вычислить длину h высоты, опущенной из вершины О на грань АВС (решить задачу, используя смешанное и векторное произведение векторов).

166

§4.2. Планиметрия.

Уровень А

1. Найти катет прямоугольного треугольника, если его гипотенуза равна 5, а другой катет равен 4.

2. Найти гипотенузу прямоугольного треугольника, если один из его катетов равен 12, а другой 16.


4. Найти гипотенузу прямоугольного треугольника, если один из его катетов равен 18, а другой 24.


6. Найти гипотенузу прямоугольного треугольника, если радиус описанной около этого треугольника окружности равен 4,5.

7. Найти медиану прямоугольного треугольника проведенную из вершины прямого угла, если радиус описанной около этого треугольника окружности равен 5.

8. Найти гипотенузу прямоугольного треугольника, если радиус описанной около этого треугольника окружности равен 11.

9. Найти медиану прямоугольного треугольника проведенную из вершины прямого угла, если диаметр описанной около этого треугольника окружности равен 8.

10. Найти радиус описанной около прямоугольного треугольника окружности, если гипотенуза равна 12.

11. Найти диагональ квадрата, сторона которого равна √2. 12. Найти сторону квадрата, если диагональ его равна 72. 13. Найти диагональ квадрата, сторона которого равна 2√2. 14. Найти сторону квадрата, если диагональ его равна 50. 15. Найти диагональ квадрата, сторона которого равна 3√2. 16. Один углов на 300 больше смежного к нему. Найти этот угол. 17. Один углов на 220 меньше смежного к нему. Найти этот угол. 18. Один углов на 400 больше смежного к нему. Найти этот угол. 19. Один углов на 100 меньше смежного к нему. Найти этот угол. 20. Один углов на 1040 больше смежного к нему. Найти этот угол. 21. Один углов в 2 раза меньше смежного к нему. Найти этот угол. 22. Один углов 2 раза больше смежного к нему. Найти этот угол. 23. Один углов в 3 раза меньше смежного к нему. Найти этот угол. 24. Один углов 9 раз больше смежного к нему. Найти этот угол. 25. Один углов в 4 раза меньше смежного к нему. Найти этот угол.

167

26. В равнобедренном треугольнике угол при основании равен 450. Найти больший угол этого треугольника.


28. В равностороннем треугольнике угол при основании равен 600. Найти углы этого треугольника.


30. В равнобедренном треугольнике угол при основании равен 650. Найти меньший угол этого треугольника.

31. При пересечении параллельных прямых секущей один из образовавшихся внутренних односторонних углов в 2 раза меньше другого. Найти меньший из этих углов.

32. При пересечении параллельных прямых секущей один из образовавшихся внутренних односторонних углов в 3 раза меньше другого. Найти меньший из этих углов.

33. При пересечении параллельных прямых секущей один из образовавшихся внутренних односторонних углов в 5 раз меньше другого. Найти больший из этих углов.

34. При пересечении параллельных прямых секущей один из образовавшихся внутренних односторонних углов в 8 раз больше другого. Найти меньший из этих углов.

35. При пересечении параллельных прямых секущей один из образовавшихся внутренних односторонних углов в 17 раз меньше другого. Найти больший из этих углов.

36. Медиана равнобедренного треугольника, проведенная к основанию длиной 8, равна 3. Найти периметр этого треугольника.

37. Медиана равнобедренного треугольника, проведенная к основанию длиной 16, равна 6. Найти периметр этого треугольника.

38. Высота равнобедренного треугольника, проведенная к основанию длиной 4, равна 1,5. Найти периметр этого треугольника.

39. Медиана равнобедренного треугольника, проведенная к основанию длиной 24, равна16. Найти периметр этого треугольника.

40. Биссектриса равнобедренного треугольника, проведенная к основанию длиной 32, равна 12. Найти периметр этого треугольника.

41. Угол между медианой, проведенной к основанию, и боковой стороной равнобедренного треугольника равен 400. Найти угол при основании этого треугольника.

42. Угол между высотой, проведенной к основанию, и боковой стороной равнобедренного треугольника равен 250. Найти угол при вершине этого треугольника.

168


44. Угол между биссектрисой, проведенной к основанию, и боковой стороной равнобедренного треугольника равен 470. Найти угол при основании этого треугольника.


46. В треугольнике MNB MN=5, NB=6, sin 0,2. Найти sin . 47. В треугольнике MNB MN=15, NB=18, sin 0,2. Найти sin . 48. В треугольнике MNB MN=20, NB=23, sin 0,23. Найти sin . 49. В треугольнике MNB MN=6, NB=9, sin 0,26. Найти sin . 50. В треугольнике MNB MN=6, NB=18, sin 0,25. Найти sin . 51. В треугольнике MNB MN=5, sin М 0,24, sin 0,2. Найти NB. 52. В треугольнике MNB MN=8, sin М 0,2425 sin 0,2. Найти NB. 53. В треугольнике MNB MN=12, sin М 0,243 , sin 0,2,1 Найти

NB. 54. В треугольнике АВС sin С 0,2, а радиус описанной окружности равен

4. Найти АВ. 55. В треугольнике АВС sin С 0,25 а радиус описанной окружности

равен 16. Найти АВ. 56. В треугольнике АВС sin С 0,2, а радиус описанной окружности равен

65. Найти АВ. 57. В треугольнике АВС АВ=3, ВС=2, а косинус угла между сторонами АВ

и ВС равен (-0,25). Найти длину стороны АС. 58. В треугольнике АВС АВ=9, ВС=6, а косинус угла между сторонами АВ

и ВС равен (-0,25). Найти длину стороны АС. 59. В треугольнике АВС АС=3, АВ=2, а косинус угла между сторонами АС

и АВ равен (-0,25). Найти длину стороны АС. 60. В треугольнике АВС АВ=4, ВС=7. Сколько натуральных значений

может принимать длина стороны АС? 61. В треугольнике АВС АВ=7, ВС=7. Сколько натуральных значений

может принимать длина стороны АС? 62. В треугольнике АВС АВ=15, ВС=10. Сколько натуральных значений

может принимать длина стороны АС? 63. АЕ – медиана треугольника АВС, О – точка пересечения его медиан,

АЕ=6. Найти ЕО. 64. АЕ – медиана треугольника АВС, О – точка пересечения его медиан,

АЕ=15. Найти АО. 65. АЕ – медиана треугольника АВС, О – точка пересечения его медиан,

АЕ=21. Найти ЕО.

169

66. ВК – биссектриса треугольника АСВ, АВ=2, ВС=4, АК=1. Найти КС. 67. ВК – биссектриса треугольника АСВ, АВ=6, ВС=12, АК=3. Найти КС. 68. ВК – биссектриса треугольника АСВ, АВ=10, ВС=20, АК=5. Найти

КС. 69. Найти площадь треугольника АВС, если сторона АВ равна 3, а высота,

проведенная из точки С, равна 0,2. 70. Найти площадь треугольника АВС, если сторона АВ равна 12, а высота,

проведенная из точки С, равна 2. 71. Найти площадь треугольника АВС, если сторона ВС равна 6, а высота,

проведенная из точки А, равна 5. 72. Найти площадь треугольника АВС, если сторона АВ равна 3, сторона

ВС равна 4, а угол АВС равен 300. 73. Найти площадь треугольника АВС, если сторона АВ равна 5, сторона




ВС равна 14, а угол АВС равен 300. 77. Найти площадь треугольника, если его периметр равен 18, а радиус

вписанной окружности равен 1. 78. Найти площадь треугольника, если его периметр равен 56, а радиус

вписанной окружности равен 2. 79. Найти площадь треугольника, если его периметр равен 24, а радиус

вписанной окружности равен 3. 80. Найти произведение всех сторон треугольника, если его площадь равна

4, а радиус описанной окружности равен 10. 81. Найти произведение всех сторон треугольника, если его площадь равна

8, а радиус описанной окружности равен 5. 82. Найти произведение всех сторон треугольника, если его площадь равна

5, а радиус описанной окружности равен 7. 83. Найти большее основание трапеции, если ее средняя линия равна 8, а

меньшее основание 6. 84. Найти меньшее основание трапеции, если ее средняя линия равна 8, а

большее основание 12. 85. Найти большее основание трапеции, если ее средняя линия равна 13, а

меньшее основание 6. 86. Площади подобных треугольников относятся, как 4:9. Найти

отношение большей стороны второго треугольника к большей стороне первого.

170

87. Площади подобных треугольников относятся, как 1:36. Найти отношение большей стороны первого треугольника к большей стороне второго.

88. Площади подобных треугольников относятся, как 1:64. Найти отношение большей стороны второго треугольника к большей стороне первого.

89. Площади подобных треугольников относятся, как 25:64. Найти отношение большей стороны первого треугольника к большей стороне второго.

90. Площади подобных треугольников относятся, как 4:25. Найти отношение большей стороны второго треугольника к большей стороне первого.

91. Найдите радиус круга, если его площадь 169 . 92. Найдите диаметр круга, если его площадь 625 . 93. Найдите радиус круга, если его площадь 125 . 94. Найдите диаметр круга, если его площадь 81 . 95. Найдите радиус круга, если его площадь 144 .

Уровень В

96. Точка К лежит на стороне АС треугольника АВС, причем АККС

.

Найти площадь треугольника АВК, если площадь треугольника СВК

равна 12.

97. Точка К лежит на стороне АС треугольника АВС, причем АККС 3

2 .

Найти площадь треугольника АВК, если площадь треугольника СВК равна 14.

98. Точка К лежит на стороне АС треугольника АВС, причем АККС 5

2 .

Найти площадь треугольника АВК, если площадь треугольника СВК равна 16.

99. Основание равнобедренного треугольника равно 48 см, а его площадь 432 см2. Найти в см радиус вписанной в треугольник окружности.

100. Основание равнобедренного треугольника равно 24 см, а его площадь 108 см2. Найти в см радиус вписанной в треугольник окружности.

101. В прямоугольный треугольник вписана окружность. Точка касания делит один из катетов на отрезки 6 и 10, считая от вершины прямого угла. Найти площадь треугольника.

171





106. В прямоугольном треугольнике АВС катет СВ равен 4,5, а синус угла ВАС равен . Найти площадь треугольника.

107. В прямоугольном треугольнике АВС катет СВ равен 0,5, а синус угла ВАС равен . Найти площадь треугольника.

108. В прямоугольном треугольнике известны длины катетов, равные 21 и 3,25. Вычислить радиус круга, описанного около треугольника.


110. В прямоугольном треугольнике известны длины катетов, равные 31,5 и 6,5. Вычислить диаметр круга, описанного около треугольника

111. В прямоугольном треугольнике известны длины катетов, равные 10,5 и 1,625. Вычислить диаметр круга, описанного около треугольника.


113. В треугольнике АВС В 90 , медиана ВМ равна 10√3. Окружность, вписанная в треугольник АВМ, касается гипотенузы АС в точке Т. Найдите катет ВС, если АТ

ТС1: 3.


ТС1: 3.

115. 1.3В треугольнике АВС В 90 , медиана ВМ равна5√3 . Окружность, вписанная в треугольник АВМ, касается гипотенузы АС в точке Т. Найдите катет ВС, если АТ

ТС1: 3.


ТС1: 3.

172

117. В треугольнике АВС В 90 , медиана ВМ равна40√3 . Окружность, вписанная в треугольник АВМ, касается гипотенузы АС в точке Т. Найдите катет ВС, если АТ

ТС1: 3.

118. В равнобедренной трапеции диагональ длины 4 образует с основанием угол 150. Найдите площадь трапеции.

119. В равнобедренной трапеции диагональ длины 6 образует с основанием угол 300. Найдите √3S трапеции.

120. В равнобедренной трапеции диагональ длины 8 образует с основанием угол 150. Найдите площадь трапеции.

121. В равнобедренную трапецию с площадью 60 вписан круг радиуса 2,5. Найти радиус круга, описанного вокруг этой трапеции.

122. Найдите площадь прямоугольного треугольника, если радиусы вписанной в него и описанной около него окружностей равны соответственно 2м и 5м.

123. Найдите площадь прямоугольного треугольника, если радиусы вписанной в него и описанной около него окружностей равны соответственно 1м и 2,5м.




127. Площадь треугольника АВС равна 20√3. Найдите АС, если сторона АВ равна 8 и она больше половины стороны АС, а медиана ВМ равна 5.

128. Площадь треугольника АВС равна 5√3. Найдите АС, если сторона АВ равна 4 и она больше половины стороны АС, а медиана ВМ равна 2,5.

129. Площадь треугольника АВС равна 45√3. Найдите АС, если сторона АВ равна 12 и она больше половины стороны АС, а медиана ВМ равна 7,5.

130. Площадь треугольника АВС равна80√3 . Найдите АС, если сторона АВ равна 16 и она больше половины стороны АС, а медиана ВМ равна 10.

131. Площадь треугольника АВС равна 180√3. Найдите АС, если сторона АВ равна 24 и она больше половины стороны АС, а медиана ВМ равна 15.

132. В равнобедренную трапецию, один из углов которой равен 60°, а площадь равна 24√3, вписана окружность. Найдите радиус этой окружности.

173

133. В равнобедренную трапецию, один из углов которой равен 60°, а площадь равна 96√3 , вписана окружность. Найдите диаметр этой окружности.

134. В равнобедренную трапецию, один из углов которой равен 30°, а площадь равна 24√3, вписана окружность. Найдите √3R этой окружности.

135. В равнобедренную трапецию, один из углов которой равен 60°, а площадь равна 216√3, вписана окружность. Найдите радиус этой окружности.

136. В равнобедренную трапецию, один из углов которой равен 30°, а площадь равна 96√3, вписана окружность. Найдите √3R этой окружности.

137. В треугольнике АВС проведена медиана АМ. Найдите площадь треугольника АВС, если АС =3√2, ВС = 10, ∠МАС = 45°.



140. В треугольнике АВС проведена медиана АМ. Найдите площадь треугольника АВС, если АС =4,5√2, ВС = 15, ∠МАС = 45°.


142. Трапеция ABCD вписана в окружность. Найдите среднюю линию трапеции, если ее большее основание АD равно 15, синус угла ВАС равен , синус угла АВD равен .


144. Трапеция ABCD вписана в окружность. Найдите среднюю линию трапеции, если ее большее основание АD равно 7.5, синус угла ВАС равен , синус угла АВD равен .



174

147. Дан ромб ABCD с острым углом В. Площадь ромба равна 320, а синус угла В равен 0,8. Высота СН пересекает диагональ BD в точке К. Найдите длину отрезка СК.


149. Дан ромб ABCD с острым углом В. Площадь ромба равна 12,8 , а синус угла В равен 0,8. Высота СН пересекает диагональ BD в точке К. Найдите длину отрезка СК.



152. Равнобедренная трапеция с острым углом 600 описана около окружности. Найти отношение ее большего основания к меньшему.

153. Равнобедренная трапеция с острым углом α описана около окружности.

Найти отношение ее большего основания к меньшему, если ctg 2α

=5.

154. Равнобедренная трапеция с острым углом α описана около окружности.

Найти отношение ее большего основания к меньшему, если ctg 2α

=13

155. Равнобедренная трапеция с острым углом α описана около окружности. Найти отношение ее большего основания к меньшему,

если ctg 2α

=√7.

156. Равнобедренная трапеция с острым углом 600 описана около окружности. Найти отношение ее меньшего основания к большему.

157. На диагонали AC параллелограмма ABCD взяли точку Е так, что AE:ЕC=3:1. Точка F - середина отрезка ED. Площадь треугольника AFD равна 15. Найти площадь параллелограмма ABCD.



175


161. На диагонали AC параллелограмма ABCD взяли точку Е так, что AE:ЕC=3:4. Точка F - середина отрезка ED. Площадь треугольника AFD равна 4,5. Найти площадь параллелограмма ABCD.

162. Трапеция, не являющаяся равнобочной, описана около круга. Диаметр этого круга, перпендикулярный основаниям трапеции, делит ее площадь делит ее площадь в отношении 1:2. Найти отношение синусов острых углов трапеции.





Уровень С

167. Дана трапеция ABCD с основанием АВ. Окружность, проходящая через

вершины A, D, C касается прямой ВС. Найдите АС, если АВ=2, CD=8. Указание: треугольники АВС и ADC подобные.

168. Дана трапеция ABCD с основанием АВ. Окружность, проходящая через вершины A, D, C касается прямой ВС. Найдите АС, если АВ=3, CD=12. Указание: треугольники АВС и ADC подобные.



176


§4.3. Стереометрия

Уровень А

1. Найти диагональ прямоугольного параллелепипеда со сторонами √2, 3 и 5.



4. Периметр основания прямой призмы равен 40 см, а боковое ребро призмы равно 3. Найти площадь боковой поверхности этой призмы.



7. Высота призмы равна 4см, а основание — квадрат со стороной 2 см. Найти объем призмы.

8. Объем пирамиды 180 см3 , а основание- квадрат со стороной 3 см. Найдите высоту пирамиды.


10. Объем пирамиды 108 см3 , а основание- квадрат со стороной 6 см. Найдите высоту пирамиды.


12. Объем призмы равен 600 см3, а боковое ребро 6 см. Найдите площадь перпендикулярного сечения призмы.

13. Объем призмы равен 800 см3, а боковое ребро 20 см. Найдите площадь перпендикулярного сечения призмы.

14. Объем призмы равен 540 см3, а высота пирамиды 12 см. Найдите площадь перпендикулярного сечения призмы.

15. Объем призмы равен 900 см3, а площадь перпендикулярного сечения призмы 200см2. Найдите боковое ребро призмы.

16. Объем призмы равен 1500 см3, а площадь перпендикулярного сечения призмы 300см2. Найдите боковое ребро призмы.

177

17. Найти площадь основания пирамиды, если ее объем равен 250 м3, а высота равна 15 м.

18. Найти высоту пирамиды, если ее объем равен 360 см3, а площадь основания 36 см2.



21. Найти высоту пирамиды, если ее объем равен 540 см3, а площадь основания 45 см2.

22. Найти объем усеченной пирамиды, если ее высота равна 3м, а площади оснований – 2 м2 и 8 м2.

23. Найти высоту усеченной пирамиды, если ее объем равен 156 см3, а площади оснований – 4 м2 и 25 м2.


25. Найти высоту усеченной пирамиды, если ее объем равен 175 см3, а площади оснований – 5 м2 и 20 м2.


27. Найти площадь боковой поверхности правильной пирамиды, если ее апофема равна 4 см, а периметр основания – 10 см.

28. Найти апофему правильной пирамиды, если площадь ее боковой поверхности равна 36 см2, а периметр основания 24см.



31. Найти апофему правильной пирамиды, если площадь ее боковой поверхности равна 100 см2, а периметр основания 40см.

32. Найти объем правильного тетраэдра с ребром 3√2. 33. Найти объем правильного тетраэдра с ребром 6√2. 34. Найти объем правильного тетраэдра с ребром 9√2. 35. Найти высоту правильного тетраэдра с ребром 2√6 см. 36. Найти радиус окружности, описанной около одной из граней

правильного тетраэдра с ребром 2√6 см. 37. Найти √2h правильного тетраэдра с ребром 6√3 см (где h-высота

тетраэдра). 38. Найти √10h правильного тетраэдра с ребром 5√15 см (где h-высота

тетраэдра). 39. Боковая поверхность цилиндра равна 3π см2, а высота равна 1 см. Найти

радиус основания цилиндра.

178

40. Найти высоту цилиндра, если боковая поверхность цилиндра равна 6π см2, а радиус основания равен 2 см.

41. Боковая поверхность цилиндра равна 10π см2, а высота равна 4 см. Найти радиус основания цилиндра.

42. Найти высоту цилиндра, если боковая поверхность цилиндра равна 12π см2, а радиус основания равен 3 см.

43. Боковая поверхность цилиндра равна 15π см2, а высота равна 5 см. Найти радиус основания цилиндра.

44. Объем цилиндра равен 338π, а высота равна 2. Найти радиус основания цилиндра.

45. Объем цилиндра равен 56π, а радиус основания равен 2. Найти высоту цилиндра.

46. Объем цилиндра равен 1200π, а высота равна 3. Найти радиус основания цилиндра.



49. Боковая поверхность конуса равна 140π м2, а радиус его основания равен 7 м. Найти образующую конуса.

50. Боковая поверхность конуса равна 128π м2, а образующая равна 8 м. Найти радиус основания конуса.


52. Радиус основания конуса равен 5 м, а его образующая 7 м. Найдите площадь боковой поверхности конуса.


54. Объем конуса равен 392π, а радиус его основания – 14. Найти высоту конуса.

55. Объем конуса равен 288π, а его высота 6. Найдите радиус основания конуса.

56. Объем конуса равен 100π, а радиус его основания – 5. Найти высоту конуса.

57. Радиус основания конуса 9 м, а высота равна 7 м. Найдите объем конуса. 58. Объем конуса равен 245π, а радиус его основания – 7м. Найти высоту

конуса. 59. Площадь сферы равна 400π. Найти радиус сферы. 60. Радиус сферы 5 м. Найдите площадь сферы. 61. Площадь сферы равна 196π. Найти диаметр сферы. 62. Радиус сферы 15 м. Найдите площадь сферы. 63. Площадь сферы равна 576π. Найти радиус сферы.

179

64. Объем шара равен 36π см3. Найти радиус шара. 65. Радиус шара равен 6 м. Найти объем шара.

66. Объем шара равен 8531 π см3. Найти радиус шара.

67. Радиус шара равен 7 м. Найти объем шара.

68. Объем шара равен 16632 π см3. Найти радиус шара.

Уровень В

69. Найти объем правильной четырехугольной пирамиды, высота которой

равна 4 см, а диагональ основания равна 6√2 см. 70. Найти высоту правильной четырехугольной пирамиды, объем которой

равен 252 см3, а диагональ основания равна 6√2 см. 71. Найти объем правильной четырехугольной пирамиды, высота которой

равна 5 см, а диагональ основания равна 5√2 см. 72. Найти высоту правильной четырехугольной пирамиды, объем которой

равен 392 см3, а диагональ основания равна 7√2 см. 73. Найти объем правильной четырехугольной пирамиды, высота которой

равна 6 см, а диагональ основания равна 3√2 см. 74. Сторона основания правильной шестиугольной пирамиды равна 3, а

боковое ребро равно 6. Найти угол наклона бокового ребра к плоскости основания.

75. Боковое ребро правильной шестиугольной пирамиды равно 10, а угол наклона бокового ребра к плоскости основания 300. Найти √3a, где а-сторона основания.

76. Сторона основания правильной шестиугольной пирамиды равна √3, а боковое ребро равно 2. Найти угол наклона бокового ребра к плоскости основания.

77. Боковое ребро правильной шестиугольной пирамиды равно 2, а угол наклона бокового ребра к плоскости основания 450. Найти √2a, где а-сторона основания.

78. Сторона основания правильной шестиугольной пирамиды равна 2, а боковое ребро равно 4. Найти угол наклона бокового ребра к плоскости основания.

79. Основание прямой призмы – прямоугольный треугольник, катеты которого равны 5 и 12, а боковое ребро призмы равно 10. Найдите площадь полной поверхности призмы.

80. Площадь полной поверхности призмы 240 м2, а катеты основания равны 6 м и 2,5м. Найдите боковое ребро призмы.

180


82. Площадь полной поверхности призмы 585 м2, а катеты основания равны 18 м и 7,5м. Найдите боковое ребро призмы.


84. Стороны основания прямоугольного параллелепипеда равны 6 и 8, боковое ребро равно 10. Найдите угол между диагональю параллелепипеда и плоскостью его основания.

85. Стороны основания прямоугольного параллелепипеда равны 3 и 4, а угол между диагональю параллелепипеда и плоскостью его основания 600. Найдите d, где d- диагональ параллелепипеда .


87. Стороны основания прямоугольного параллелепипеда равны 6 и 8, а угол между диагональю параллелепипеда и плоскостью его основания 600. Найдите d, где d- диагональ параллелепипеда .


89. Площадь сферы равна 100π м2. Расстояние от центра сферы до секущей плоскости равно 4 м. Найдите радиус сечения.

90. Расстояние от центра сферы до секущей плоскости равно 10 м, а радиус сечения 26 м. Найдите площадь сферы.


92. Расстояние от центра сферы до секущей плоскости равно 3 м, а радиус сечения 4 м. Найдите площадь сферы.


94. Высота правильной четырехугольной пирамиды равна 4 см, а апофема образует с высотой угол 450. Найти (√3 1)S, где S-площадь полной поверхности .

95. Высота правильной четырехугольной пирамиды равна 6 см. Найти √3L, где L- апофема пирамиды, если она образует с высотой угол 300

96. Высота правильной четырехугольной пирамиды равна 5 см, а апофема образует с высотой угол 450. Найти (√3 1)S, где S-площадь полной поверхности .

181

97. Высота правильной четырехугольной пирамиды равна 3 см. Найти √3L, где L- апофема пирамиды, если она образует с высотой угол 300

98. Высота правильной четырехугольной пирамиды равна 4 см, а апофема образует с высотой угол 600. Найти ( 32√15), где S-площадь полной поверхности.

Уровень С

99. Дан куб ABCDA1B1C1D1. Через точки B1, D1 и середину AB проведена секущая плоскость. Найдите площадь полной поверхности куба, если периметр сечения равен 6√2 4√5.

100. Дан куб ABCDA1B1C1D1. Через точки B1, D1 и середину AB проведена секущая плоскость. Найдите (7,5√2-5√5)Р, где Р- периметр сечения, если площадь полной поверхности куба равна 150.

101. Дан куб ABCDA1B1C1D1. Через точки B1, D1 и середину AB проведена секущая плоскость. Найдите площадь полной поверхности куба, если периметр сечения равен 6√5+9√2.

102. Дан куб ABCDA1B1C1D1. Через точки B1, D1 и середину AB проведена секущая плоскость. Найдите (2√5-3√2)Р, где Р- периметр сечения, если площадь полной поверхности куба равна 24.

103. Дан куб ABCDA1B1C1D1. Через точки B1, D1 и середину AB проведена секущая плоскость. Найдите площадь полной поверхности куба, если периметр сечения равен 8√5+12√2.

104. Основание пирамиды – прямоугольный треугольник с катетами, равными 5 и 12, а боковые грани наклонены к плоскости основания под углом 450. Найдите объем пирамиды.

105. Основание пирамиды – прямоугольный треугольник с катетами, равными 3 и 4, а объем пирамиды равен 2√3 .Найдите угол наклона боковых граней к плоскости основания.

106. Основание пирамиды – прямоугольный треугольник с катетами, равными 10 и 24, а боковые грани наклонены к плоскости основания под углом 450. Найдите объем пирамиды.

107. Основание пирамиды – прямоугольный треугольник с катетами, равными 3 и 4. Каждое ее боковое ребро наклонено к плоскости основания под углом 450. Найдите объем пирамиды.

108. Основание пирамиды – прямоугольный треугольник с катетами, равными 6 и 8, а объем пирамиды равен 16. Найдите угол наклона боковых граней к плоскости основания.

109. Секущая плоскость проходит через вершину конуса и образует с плоскостью основания угол и 600. Высота конуса равна 4√3, а радиус основания равен 5. Найдите площадь сечения конуса.

182

110. Секущая плоскость проходит через вершину конуса и образует с плоскостью основания угол и 300. Высота конуса равна 4, а площадь сечения конуса 32. Найдите радиус основания .

111. Секущая плоскость проходит через вершину конуса и образует с плоскостью основания угол и 600. Высота конуса равна 2√3, а радиус основания равен 2,5. Найдите площадь сечения конуса.

112. Секущая плоскость проходит через вершину конуса и образует с плоскостью основания угол и 300. Радиус основания конуса равен 2√57, а высота равна 8. Найдите площадь сечения конуса.

113. Секущая плоскость проходит через вершину конуса и образует с плоскостью основания угол и 600. Высота конуса равна 6√3, а радиус основания равен 7,5. Найдите площадь сечения конуса.

114. Угол между высотой конуса и плоскостью сечения, проходящей через вершину конуса, равен 300. Высота конуса равна 9√3, а радиус основания равен 45. Найдите площадь сечения конуса.

115. Высота конуса равна 3√3, а радиус основания равен 15. Найдите угол между высотой конуса и плоскостью сечения, проходящей через вершину конуса, если площадь сечения конуса 8√33 .

116. Угол между высотой конуса и плоскостью сечения, проходящей через вершину конуса, равен 450. Высота конуса равна 9√3, а радиус основания равен 9√6. Найдите √2S, где S-площадь сечения конуса.

117. Высота конуса равна 3√3, а радиус основания равен 3√6. Найдите угол между высотой конуса и плоскостью сечения, проходящей через вершину конуса, если площадь сечения конуса 27√2 .

118. Угол между высотой конуса и плоскостью сечения, проходящей через вершину конуса, равен 600. Высота конуса равна 27, а радиус основания равен 16. Найдите √39S, где S-площадь площадь сечения конуса.

119. Дана призма АВСDА1В1С1D1, в основании которой лежит квадрат, а боковые ребра наклонены к плоскости основания под углом в 60°. Отрезок D1A перпендикулярен плоскости основания. Найдите длину этого отрезка, если площадь боковой поверхности призмы равна 6 √3 2 .

120. Дана призма АВСDА1В1С1D1, в основании которой лежит квадрат, а боковые ребра наклонены к плоскости основания под углом в 30°. Отрезок D1A перпендикулярен плоскости основания и равен √3. Найдите (2-√3)S, где S- площадь боковой поверхности призмы.

121. Боковое ребро наклонной четырехугольной призмы равно 12 см, а перпендикулярным сечением является ромб со стороной 5 см. Найдите площадь боковой поверхности призмы.

122. Найдите ребро наклонной четырехугольной призмы, если перпендикулярным сечением является квадрат, сторона которого равна 10 см, площадь боковой поверхности призмы 300см2.

183

123. Боковое ребро наклонной четырехугольной призмы равно 5√3 см, а перпендикулярным сечением является квадрат со стороной 2√3 см. Найдите площадь боковой поверхности призмы.

124. Двугранные углы при основании правильной четырехугольной пирамиды равны 45°, а площадь боковой поверхности равна 36√2. Найдите объем пирамиды.

125. Двугранные углы при основании правильной четырехугольной пирамиды равны 45°, а объем пирамиды равен 36. Найдите √2S, где S-площадь боковой поверхности пирамиды.

126. Двугранные углы при основании правильной четырехугольной пирамиды равны 30°, а площадь боковой поверхности равна 64√3. Найдите объем пирамиды.

127. Двугранные углы при основании правильной четырехугольной пирамиды равны 45°, а площадь боковой поверхности равна 16√2. Найдите 3V, где V-объем пирамиды.

128. Двугранные углы при основании правильной четырехугольной пирамиды равны 60°, а площадь боковой поверхности равна 72. Найдите √3V, где V-объем пирамиды.

129. Концы отрезка ВС лежат на окружностях двух оснований цилиндра. Радиус основания цилиндра равен 25, длина отрезка ВС равна 14√2, а угол между прямой ВС и плоскостью основания цилиндра равен 45º. Найдите расстояние между осью цилиндра и параллельной ей плоскостью, проходящей через точки В и С.

130. Концы отрезка ВС лежат на окружностях двух оснований цилиндра. Радиус основания цилиндра равен 12,5, длина отрезка ВС равна 7√2, а угол между прямой ВС и плоскостью основания цилиндра равен 45º. Найдите расстояние между осью цилиндра и параллельной ей плоскостью, проходящей через точки В и С.

131. Концы отрезка ВС лежат на окружностях двух оснований цилиндра. Радиус основания цилиндра равен 5, длина отрезка ВС равна 5,6 , а угол между прямой ВС и образующей цилиндра равен 30º. Найдите расстояние между осью цилиндра и параллельной ей плоскостью, проходящей через точки В и С.

132. Концы отрезка ВС лежат на окружностях двух оснований цилиндра. Радиус основания цилиндра равен 25, длина отрезка ВС равна 28, а угол между прямой ВС и плоскостью основания цилиндра равен 60º. Найдите расстояние между осью цилиндра и параллельной ей плоскостью, проходящей через точки В и С.

133. Концы отрезка ВС лежат на окружностях двух оснований цилиндра. Радиус основания цилиндра равен 50, длина отрезка ВС равна 28√2 , а угол между прямой ВС и образующей цилиндра равен 45º. Найдите

184

расстояние между осью цилиндра и параллельной ей плоскостью, проходящей через точки В и С.

134. Основанием прямой призмы ABCDA1B1C1D1 является прямоугольник ABCD, стороны которого равны 6√5 и 12√5. Высота призмы равна 8. Секущая плоскость проходит через вершину D1 и середины ребер AD и СD. Найдите косинус угла между плоскостью основания и плоскостью сечения.

135. Основанием прямой призмы ABCDA1B1C1D1 является прямоугольник ABCD, стороны которого равны 24√5 и 12√5. Секущая плоскость проходит через вершину D1 и середины ребер AD и СD, а косинус угла между плоскостью основания и плоскостью сечения равен 0,6. Найдите высоту призмы.

136. Основанием прямой призмы ABCDA1B1C1D1 является прямоугольник ABCD, стороны которого равны 3√5 и 6√5. Высота призмы равна 4. Секущая плоскость проходит через вершину D1 и середины ребер AD и СD. Найдите косинус угла между плоскостью основания и плоскостью сечения.

137. Основанием прямой призмы ABCDA1B1C1D1 является прямоугольник ABCD, стороны которого равны 6√5 и 12√5. Секущая плоскость проходит через вершину D1 и середины ребер AD и СD, а синус угла между плоскостью основания и плоскостью сечения равен 0,8. Найдите высоту призмы.

138. Основанием прямой призмы ABCDA1B1C1D1 является прямоугольник ABCD, стороны которого равны 2√5 и 4√5. Высота призмы равна 1,5. Секущая плоскость проходит через вершину D1 и середины ребер AD и СD. Найдите синус угла между плоскостью основания и плоскостью сечения.

139. Высота правильной четырехугольной призмы ABCDA1B1C1D1 равна 8, а сторона основания равна 6√2. Найдите расстояние от вершины A до плоскости A1BD.

140. Найдите высоту правильной четырехугольной призмы ABCDA1B1C1D1, если сторона основания равна 3√2, а расстояние от вершины A до плоскости A1BD равно 2,4.

141. Высота правильной четырехугольной призмы ABCDA1B1C1D1 равна 4, а сторона основания равна 3√2. Найдите расстояние от вершины A до плоскости A1BD.

142. Найдите расстояние от вершины A до плоскости A1BD ,если высота правильной четырехугольной призмы ABCDA1B1C1D1 равна 7,2 , а сторона основания равна 9√2.

185

143. Высота правильной четырехугольной призмы ABCDA1B1C1D1 равна 12, а сторона основания равна 9√2 . Найдите расстояние от вершины A до плоскости A1BD.

Уровень D

144. Дана правильная треугольная пирамида со стороной основания, равной 2√7. Центр основания пирамиды является вершиной конуса, окружность основания которого вписана в боковую грань пирамиды. Найдите радиус основания конуса.

145. Основанием пирамиды FABC является треугольник АВС, в котором 90 , АВ = 3, ВС = 4. Ребро AF перпендикулярно плоскости

АВС и равно 4. Отрезки АМ и AL являются соответственно высотами треугольников AFВ и AFС. Найдите объем пирамиды AMLC.

146. Дана правильная призма АВСА1В1С1, где АА1, ВВ1 и СС1 – боковые ребра. Сфера, центр которой лежит на ребре АА1, пересекает ребро А1С1 в точке М и касается плоскости основания АВС и плоскости СВВ1. Известно, что АВ = 12, А1М : МС1 = 3 : 1. Найдите площадь боковой поверхности призмы.

147. Сфера радиуса 2 касается плоскости в точке А. В этой же плоскости лежит основание конуса. Прямая, проходящая через центр основания конуса (точку С) и точку сферы, диаметрально противоположную точке А, проходит через точку М. Точка М является точкой касания сферы и конуса (их единственная общая точка). Найдите высоту конуса, если АC = 1.

148. Основание пирамиды МАВСD – ромб АВСD, в котором ∠А = 60°. Все двугранные углы при ребрах основания пирамиды равны. Плоскость α, параллельная плоскости основания пирамиды, пересекает высоту МО пирамиды в точке Р так, что MP:PO=2:3. В образовавшуюся усеченную пирамиду вписан цилиндр, ось которого лежит на высоте пирамиды, а верхнее основание вписано в сечение пирамиды плоскостью α. Найдите объем пирамиды, если объем цилиндра равен 9 √3.

186

ГЛАВА 5. Задачи на параметры.

§5.1. Линейные уравнения и неравенства с параметрами. Линейные уравнения с параметрами.

Уровень А В зависимости от значений параметра a решить уравнения: 1. 0=ax . 2. 1=ax . 3. aax = . 4. При каких значениях параметра a , уравнение 01=+ax имеет решение. 5. Укажите все значения a , при которых уравнение 02 =+ axa имеет

более одного решения. 6. При каких значениях параметра p уравнение ( ) 031 =−+ xp не имеет

решений. 7. Найдите все значения параметра p , чтобы уравнение

( ) 12413 −=+− xxp не имело решений, если их несколько, то в ответе укажите сумму всех таких значений.

8. Найдите все значения параметра а, при которых уравнение 1)1( 2 +=− axa имеет более одного корня.

При каких a прямая l проходит через точку A : 9. l : axy += 3 , ( )5;1−А . 10. l : 3−= axy , ( )9;2−А . 11. При каких а уравнение (а+1)x-2=0 не имеет корней? 12. Найти такие а, при которых уравнение (а2-4а+3)x=0 имеет более одного

корня?


14

=+

−a

x , при всех значениях параметра a .

14. Укажите количество целых отрицательных значений параметра a , при

которых уравнение ( ) 41

352

=+

++

axa не имеет решений.

При каких значениях параметра a , 0xx = является решением уравнения:

15. 12 −=+− aaax , 10 =x . 16. 15

331

++−

=−+

aaxa

aax , 10 −=x .

17. 11

32 −

=−−

ax

aax , 10 =x .

187

18. Найдите все значения параметра a , при которых вся числовая ось

является решением уравнения 03

23

2=

−+

−+−

aax

axa .

Уровень В

При каких значениях параметра b уравнение имеет решение для любого значения a : 19. 13)2( ++=+ abxa . 20. 1)12( −+=− abxa . 21. abxa −=+ 2)1( . При каких значениях параметра a уравнение имеет бесконечное множество решений: 22. ( ) 53)1(6 −−=+− xaaax

23. ( )xax −+=− 334)1(

32 . В ответе указать a

23 .

При каких значениях параметра a уравнение не имеет корней:

24. 02=

+−

xax 25. 1)1( 2 +=− axa

При каких значениях параметра a функция: 26. 15)3( −+−= axay является нечетной? 27. 15)1( −+−= axay является четной? 28. 5)42( −+−= axay является четной? 29. 56)12( +−−= axay является нечетной? В ответе указать значение 6а. 30. 48)2( +−−= axаy является нечетной?

31. 56)12( +−−= axay является нечетной? В ответе указать a56 .

Линейные неравенства с параметрами.

Уровень А 32. Решить неравенство 1<ax , при 0<a . 33. Решите неравенство 0≥+ ax при всех значениях параметра a .

34. При каких значениях параметра a неравенство 05≤−

aax не имеет

решений.

188

35. Найдите все такие значения параметра a , при которых ax = является

решением неравенства 01

2

≥+−

axa .

36. Найдите все такие значения параметра a , при которых 12 ++= aax

является решением неравенства 03

3

<−−

aaxa .

37. При каких значениях параметра a неравенство 013

2

≥++ xaa не имеет

решений. 38. При каких значениях параметра p , решением неравенства

014

522 >

−−

+ ppx

p является вся действительная числовая ось.

Уровень В Решите неравенства при всех значениях параметра :

39. 01<−ax 40. 031>−ax 41. 3

5≥

− aax

42. ( ) 01 ≤+axa 43. ( )( ) 034 >++ axa 44. 04

3 2

≤−+

aaax

45. ( ) 0114

3≥+⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ +

+ axa

При каких значениях параметра a неравенство:

46. 415

1−≥−

+ axa , имеет только положительные решения.

47. 05≤

+−

axa , имеет только положительные решения.

48. 03

2

≥+−

aaxa , имеет только отрицательные решения.

49. 2

31 aax ≤+ , имеет только неотрицательные решения.

50. 245

32 axa≥+

− , имеет только неположительные решения.

Уровень С

Для каждого значения параметра а решите неравенства: 51. 35)73( −>− axa . 52. 13)32( −<− axa .

189

53. Найдите все такие значения параметра a , при которых числа 41 += ax

и ax 22 = являются решениями неравенства 02

12≥

−+−

axa .

Найдите все такие значения параметра a , при которых решение неравенство содержит в себе отрезок [a,b]:

54. 131

+≥+ aax , [ ] [ ]1,0, =ba . 55. 5

312 axxa −≥+ , [ ] [ ]1,1, −=ba .

Найдите все такие значения параметра p , при которых решение неравенства:

56. 514<

++

px содержит в себе промежуток [ )5,3 .

57. 11<

+−

ppx содержит в себе [ )+∞;0 .

58. 153

−>++ p

px не содержит положительных значений x .

59. 01

11

3<

−−

−+−

ppx

ppx не содержит отрицательных значений x .

§5.2. Квадратичный многочлен

Квадратичные уравнения с параметрами.

Уровень В

При каких значениях параметра a , уравнение: 1. x2+2x+3a-4=0 не имеет корней? 2. (а - 2)x2 + (4 - 2а)х +3 = 0 имеет единственное решение? 3. ах2 - 4х + а + 3 = 0 имеет более одного корня? 4. х2 - 2х(b + 1) + 6b - 3 имеет корни, среди которых только один корень

больше 2. 5. а(а +3)х2 + (2а +6)х – 3а – 9 = 0 имеет более одного корня? 6. 012 =+ax имеет хотя бы один корень. 7. ( ) 011 2 =−+ xa имеет два корня. 8. ( ) 042 22 =+−− axa имеет один корень. 9. ( ) 042 22 =+−− axa имеет более двух корней.

10. 0112

2 =−a

xa

имеет хотя бы один корень.

190

11. ( ) 012 =++ xaax имеет один корень. 12. 012 =++ axx имеет два корня. 13. ( ) 0122 =+−+ axax имеет корни различных знаков. Найдите все значения параметра k , при которых уравнения: 14. 012 =+− kxkx имеет два положительных корня. 15. ( ) 053 2 =−−+− kxxk имеют одинаковые знаки. 16. 0322 =−+ kxxk имеют отрицательные знаки.

17. 01212 =+⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

++

− xkkx имеют положительные знаки.

18. При каких значениях параметра a параболы 542 +−= axxy и 432 2 −+−= axxy пересекаются в точке с абсциссой 10 −=x ?

19. При каких значениях параметра a параболы 372 +−= xaxy и 5,345,0 2 +−= xaxy пересекаются в точке с ординатой 20 =y ?

20. При каких значениях параметра a функция 3)54(2 +++−= xaaxy является четной?

21. Определить, при каких значениях параметра a уравнения 0,01 22 =++=++ axxaxx имеют один общий корень.

Найдите все значения параметра а, при которых: 22. уравнения х2 + х + 4а = 0 и а2х2 + ах + 4а = 0 имеют общий

действительный корень. 23. корни уравнения 03)12()1( 22 =−++− xaxa лежат по разные стороны

от точки 10 =x . 24. квадратный трехчлен 322)2( 2 −+−− аaxxa имеет 2 различных корня

одного знака. 25. корни квадратного трехчлена 1)13()43( 22 ++−−+ xaxaa имеют

разные знаки и расположены по разные стороны от числа 1. 26. уравнение 0124)62(2 =+++− axax имеет по крайней мере один

корень, и каждый корень уравнения меньше 1. 27. два корня уравнения 04214 22 =+−+− aaaxx различны и каждый из

них больше 1. При каких значениях параметра a уравнение имеет единственный корень: 28. 033)62(2 =+++− axaax . 29. 05,13)24(2 =++++ axaax .

191

Найдите все значения параметра b, при которых уравнение имеет 2 различных действительных корня: 30. 01112)1( 22 =+−+− bxxb 31. 02152 22 =−−− bxbx Найдите все значения параметра а, при которых сумма 2 различных действительных корней уравнения: 32. 0342 =−+ xax больше 10. 33. 0252 =+− xax меньше 21.

Уровень С

34. Найдите а, если 1x и 2x - корни уравнения 01)12(2 2 =−+−+ axax удовлетворяют соотношению 1143 21 =− xx .

35. Найдите а, если 1x и 2x - корни уравнения 03)3(2 =++− xaax

удовлетворяют соотношению 5,12

1 =xx

.

36. Определите b, если один из корней уравнения 0154 2 =+− bxx является квадратом другого.

37. Определите p, если сумма кубов корней уравнения 082 2 =+− pxx равна 34.

38. Найдите коэффициенты a и b в уравнении каждой прямой baxy += , проходящей через точку А(0;2) и имеющей с параболой 241 xxy −−= единственную общую точку.

39. Найдите коэффициент a в уравнении параболы 23 xaxy +−= , имеющей единственную общую точку с прямой 12 −= xy .

Найдите все значения параметра а, при которых квадратный трехчлен имеет 2 различных действительных корня: 40. 1525,0 2 +−− axx , причем сумма кубов которых меньше 40. 41. 1342 2 +−+− axx , причем сумма кубов которых меньше 20. Найдите все значения параметра а, при которых функция: 42. 36)( 2 +−= xaxxf имеет наименьшее значение, и это значение меньше

2,5. 43. 54)( 2 ++= xaxxf имеет наибольшее значение, и это значение больше

5,5.

192

Уровень D 44. Докажите, что уравнение 02 =++ xbxc имеет 2 различных

действительных корня, если bc 5,025,0 <+ . 45. Докажите, что уравнение 02 =++ xbxc имеет 2 различных

действительных корня, если 05,125,2 <++ cb . 46. Графики квадратичных функций 2

111 xaxbcy ++= и 2222 xaxbcy ++=

пересекаются в точках с абсциссами 0 и 3. Докажите, что если 21 aa > , то 21 bb < .

47. Графики квадратичных функций 2111 xaxbcy ++= и 2

222 xaxbcy ++= имеют единственную общую точку, абсцисса которой равна 0. Докажите, что если 021 <bb , то 21 aa = .

Квадратичные неравенства с параметрами.

Уровень С

48. Найти наименьшее а, при котором неравенство x2+ax-7a<0 выполняется

при всех ( )2;1∈x . 49. Найдите все значения x , которые удовлетворяют неравенству

( ) ( ) axaxa 3112 2 ++<− при любом значении параметра a , принадлежащем промежутку ( )2;1∈a

Найдите все значения параметра а, при которых неравенства: 50. 0622)4( 2 <−+−+ aaxxa выполняется не при всех действительных х. 51. 01)1()3( 2 ≥+++−− axaxa выполняется при всех действительных х. Для каждого значения параметра а решите неравенства: 52. 01)32(2 ≤++−+ axaax . 53. 02)12()1( 2 >++−++ axaxa . 54. 05112)63( 22 <++++− aaxax

. 55. 0383)24( 22 >−+++− aaxax

.

56. 012≥

+−

xax . 57. 053

≥−−

axx .

Найдите все значения параметра а, при которых:

58. все решения неравенства 052<

−−

xx удовлетворяют неравенству

044)4(2 >+−−+ axax .

193

59. неравенство 042)2(2 <−−−− axax выполняется при всех х, для которых 21 <+x .

60. множество решений неравенства 0432 >−+ xx содержит все решения неравенства 08)18( 22 >−−+ axaax .

61. из неравенства 02)2( 22 >++− axaax следует неравенство 1−<x . Найдите все пары (a;b), для которых выполняется условие равносильности неравенств: 62. 03)3(2 ≤−−− axax и bx ≤− 2 . 63. 05)5(2 ≤++− bxbx и ax ≤− 7 .

§5.3. Рациональные уравнения и неравенства с параметрами.

Рациональные уравнения с параметрами.

Уровень В

1. Решить уравнение 1−

−хах = 0 относительно параметра.

2. Решить уравнение 02=

+−

xax относительно параметра.

3. При каких а уравнение 0 не имеет корней?

4. Уравнение х – 6 = xc имеет два различных действительных корня, если с

принадлежит множеству

5. При каких а уравнение 03

12

=+

+−х

axx имеет единственное решение?

6. Решить уравнение ( )( )115

131

+−+=

−+−

xaxaх относительно

параметра.

7. При каких значениях а все решения уравнения: 22)2(

7261

2 −−++

=+−

ххх

ха

неположительные? 8. Найти утроенное произведение всех значений параметра а, при которых

уравнение 0 имеет единственное решение?

194

9. Найти сумму всех значений параметра b, при которых уравнение 0 имеет единственное решение (равные корни

считать за один).

Уровень С

10. Решите уравнение 0)1( 23 =+−+ axax относительно параметра. 11. Решите уравнение на множестве действительных чисел

)22()2( 22 ++=− axxaxx . 12. Найдите все значения параметра а, при которых количество корней

уравнения (2,5-а)x3-2x2+x=0 равно количеству общих точек линий x2+y2=a и y=3-|x-1|.

13. Найдите все значения параметра р, при каждом из которых число различных корней уравнения 2 больше числа различных корней уравнения 3 4 6 9 0.

14. Найдите все значения параметра р, при каждом из которых число различных корней уравнения 4 меньше числа различных корней уравнения 2 6 4 2 0.

15. Найдите все значения а, для которых при каждом х из промежутка 3; 1 значение выражения 8 2 не равно значению

выражения . 16. Найдите все значения а, для которых при каждом х из промежутка

1; 2 значение выражения 3 не равно значению выражения 9 .

17. Найдите все значения а, для которых при каждом х из промежутка 2; 3 значение выражения 8 не равно значению выражения 2 1 .

18. Найдите все значения а, для которых при каждом х из промежутка 1; 2 значение выражения 3 не равно значению выражения

. Рациональные неравенства с параметрами.

Уровень В

19. Найти все значения х, при которых для всех положительных значений

параметра а > -2 выполняется неравенство ( )

01

411<

−

−⋅−

ax

xa.

195

20. Найти те значения m, при которых неравенство

( ) 04912

252

2

<++++

+−mxmmx

xx выполняются для любых действительных

значений х. 21. При каких а неравенство выполняется при любых x?

22. При каких а неравенство выполняется при любых x?



25. При каких а неравенство 0 выполняется при всех x, таких, что 1≤x≤2.

26. При каких значениях параметра а неравенство 341

22

2

≤++−−

xxxax верно при

всех значениях переменной? 27. При каких значениях параметра а система неравенств

2123

2

2

<+−−+

<−ххахх удовлетворяется для всех значений х?

§5.4. Задачи на параметры с модулем.

Параметры в уравнениях с модулем.

Уровень В

1. Для каждого значения параметра a решить уравнение |x - a| = x - 2; Определите значения параметра а, при которых количество корней уравнения 422 =−+− xax равно: 2. 0. 3. 1. 4. 2. Установите, при каких значениях параметра a уравнение |x − a| + |x − 2a| = 3a: 5. не имеет корней. 6. имеет единственный корень. 7. имеет не более двух корней. Установите, при каких значениях параметра a уравнение |x| + |x − 2| + a = 0: 8. не имеет корней. 9. имеет бесконечное множ-во корней. 10. имеет не менее двух корней.

196

Установите, при каких значениях параметра a уравнение |5x + 2| + |5x − 2| = ax + 2: 11. имеет ровно один корень. 12. имеет ровно два корня. 13. не имеет корней. Установите, при каких значениях параметра a уравнение |3x+4|+|3x−4| = ax+8 имеет ровно: 14. один корень. 15. два корня. При каких значениях параметра а уравнение |x2 + 2ax| = 1: 16. имеет четыре корня? 17. имеет два корня? 18. не имеет корней? Определите значения параметра а, при которых количество корней уравнения axx =−− 32 равно: 19. 0. 20. 2. 21. 3. 22. 4. 23. При каких значениях параметра а уравнение 02||242 =−+−−+ ааххх

имеет два решения. 24. Для каждого значения параметра a решить уравнение .1|| 2 xaxa −=− 25. Найти все значения параметра a, при каждом из которых уравнение

01|2| =−++⋅ aaxx имеет единственное решение 26. Для каждого значения параметра a определите число решений

уравнения .|32| 2 axx =−−

Уровень С

При каких значениях параметра а уравнение |x2 + 5x + 4| + |x2 + 5x + 6| = a: 27. не имеет решений. 28. имеет ровно три решения. 29. имеет ровно четыре решения. 30. имеет ровно два решения. 31. При каких значениях параметра а корни уравнения | х - а2 | = -а2 + 2а + 3

имеют одинаковые знаки? 32. Найти все значения параметра а, при каждом из которых уравнение х - а

= 2| 2|х| - а2 | имеет три различных корня. 33. Найдите все значения параметра a, при каждом из которых уравнение

имеет три различных корня; найдите эти корни: .|||2|2 2axax −=− 34. Укажите все значения параметра 0, при которых графики функций y

= |x2 − 2ax| и y = 3a имеют только две общие точки.

197

35. Укажите все значения параметра 0, при которых графики функций y = |3 | и /6 имеют только две общие точки.

36. Укажите все значения параметра a, при которых графики функций | | и y = (x+a)2 имеют одну общую точку.

37. Укажите все значения параметра a, при которых графики функций | |

– и y = |x + a| имеют одну общую точку.

38. Найти все значения параметра а, для которых числа х положительные и

удовлетворяют уравнению ( ) ( ) 021|1|

1121

=+−−+−

−−⋅+ axx

axa .

39. При каких а минимум функции ( ) axaxxf −++= на отрезке [ ]1;1−

больше максимума функции ( ) axxxg += 2 на этом же отрезке? Параметры в неравенствах с модулем.

Уровень В

40. При каких значениях параметра а неравенство 23 aх −>+ имеет решение?

41. При каких а уравнение ах = а2 равносильно неравенству | х-3| ≥ а ? При каких значениях параметра а неравенство |x − 3a| − |x + a| < 2a: 42. имеет только положительные решения. 43. имеет только отрицательные решения. 44. не имеет решений. При каких значениях параметра а неравенство |x + 2| − |2x + 8| > a: 45. не имеет решений. 46. имеет единственное решение. 47. выполняется для всех х 20; 15 .

Уровень С

48. При каких значениях параметра а неравенство | 5 6| не

имеет решений. 49. При каких значениях параметра a неравенство |ax2 − ax + 1|≤1

выполняется для всех значений x из промежутка [0;1]? 50. При каких значениях параметра a неравенство 3−|x−a| > x2 имеет по

крайней мере одно отрицательное решение? 51. Найдите все значения параметра a , при которых множество решений

неравенства )11)(1()2( −−+≤− xaxx содержит все члены некоторой

198

бесконечно убывающей геометрической прогрессии с первым членом, равным 1,7, и положительным знаменателем.

52. Найдите все значения параметра a , при которых множество решений неравенства )11)(1()2( −−+≤− xaxx содержит все члены некоторой бесконечно убывающей геометрической прогрессии с первым членом, равным 1,7, и положительным знаменателем.

§5.5. Иррациональные уравнения и неравенства с параметрами

Иррациональные уравнения с параметрами.

Уровень В

1. При каких значениях а уравнение xax =+ имеет два корня? 2. При каких а уравнение ( х -1)(х - а) = 0 имеет единственное решение? 3. Найти количество всех целых 3; 100 при которых уравнение

√ 9 0 имеет единственное решение? 4. Найти рациональные решения уравнения х + а = x а + a2 , где а –

рациональный параметр. 5. Найти положительное а (или их сумму, если таких а несколько), при

котором уравнение 2 1 √ 1 4 0 имеет единственное решение. Если таких а бесконечно много в ответе запишите «много».

6. При каких значениях параметра а уравнение 0312 =+−++ axax имеет решение?

7. При каких а уравнения х2 – а = 0 и х – а = 0 равносильны? 8. Найти число всех целых а (-100≤ а≤100), при которых уравнение

√2 √ 1 2 имеет единственный корень. При каких значениях параметра а уравнение: 9. 31 =−++ xax имеет решение? 10. 2=−− xax не имеет решения? 11. 2=−− xax имеет решение? 12. 11 =−−+ xax не имеет решения? 13. 11 =−−+ xax имеет решение?

14. 1lg21 −=++ xax имеет решение?

199

Уровень С

В зависимости от значений параметра a решите уравнение: 15. · √ 1 √ 1 √ . 16. √1 √1 . 17. При каких значениях параметра a корни уравнения

21222 22 +

=++−−xaaxx имеют разные знаки?

При каких значениях параметра a уравнение:

18. 044

5522

=++−−+xxxxaa имеет решение?

19. 222 axxaax +−−= не имеет решения?

20. 222 axxaax +−−= имеет решение?

21. )1)(2(31)3(3)1)(3( −+=

−+

−++− aaxxxxx не имеет решения?

22. )1)(2(31)3(3)1)(3( −+=

−+

−++− aaxxxxx имеет решение?

23. xaaaxaaaax −=−+++−+−++ 132221 232 имеет решение?

24. xaaaxaaaax −=−+++−+−++ 132221 232 не имеет решения?

25. 3222)12(222 −=−+−+ xxaxa имеет решение? 26. В зависимости от значений параметра а найти число корней уравнения

аххх =++++41

21 .

Уровень D

27. При каких значениях параметров a и b уравнение 244 =−+

++−

xaxb

xbxa

имеет решение? 28. Найдите все пары (a;b), при которых областью определения функции

107)4( 22 ++−++= baxbbaxy является множество ( ] [ ){ }+∞∪−∞−∈ ;12;|: xxM .

200

29. Найдите все пары (a;b), при которых области определения функций

)3)(2()( +−= xxxf и b

bxbaaxxq 164)2()(22 −+−+

= совпадают.

Иррациональные неравенства с параметрами.

Уровень В 30. Найти сумму трех наибольших целых а, при которых неравенство

√ 3 0 имеет единственное решение. Для каждого значения параметра а решите неравенства: 31. (а – 1) х ≤ 0. 32. √5 3 При каких значениях параметра а, неравенство не имеет решений: 33. 2 √ 0. 34. 2√ 1. 35. √1 2 .

Уровень С

В зависимости от значений параметра а решите неравенства: 36. √6 3 √ 5 3 37. √ √ 38. 4 5√ 39. √2

§5.6. Тригонометрические уравнения и неравенства с параметрами

Тригонометрические уравнения с параметрами.

Уровень В

1. Найдите все значения а, при которых функция xaxy sin−=

возрастает на всей числовой оси 2. Найдите все значения а, при которых функция xxay 2sin −= убывает

на всей числовой оси 3. Найдите наибольшее отрицательное значение α , удовлетворяющее

соотношению a

a 1sin2 +=α при некоторых значениях 0>a .

201

4. Найдите наименьшее положительное значение α , удовлетворяющее

соотношению a

a 1sin2 +=α при некоторых значениях 0>a .

5. Найдите все значения a и b, при которых система уравнений ⎩⎨⎧

==

btgxaxsin

имеет решение. 6. Найдите все значения m и n, при которых система уравнений

⎩⎨⎧

==

ntgxmxcos

имеет решение.

7. Найдите все значения a и b, при которых система уравнений ⎩⎨⎧

==

bctgxaxcos

имеет решение. 8. Найдите все значения m и n, при которых система уравнений

⎩⎨⎧

==

nctgxmxsin

имеет решение.

9. Найти сумму всех целых 10; 10 , при которых уравнение 3 0 имеет единственное решение.

10. Найти количество всех целых a, при которых уравнение 1 arccos 0 имеет единственное решение. Если таких а бесконечно много, в ответе напишите «много».

11. Найти наибольшее целое а, при котором уравнение 10 sin 8 cos имеет корни.

12. Найти количество целых а, при которых уравнение 15 sin 37 cos 3 имеет корни.

13. Найти наименьшее целое а, при котором уравнение 14 sin 59 cos 5 имеет корни.

14. Найти сумму всех целых положительных а, при которых уравнение 8 sin 10 3 cos 10 имеет более одного корня.

15. Найти наибольшее целое отрицательное а, при котором уравнение 9 sin 20 15 cos 20 не имеет корней.

16. Найти наименьшее целое положительное а, при котором уравнение 17 sin 2010 10 cos 2010 не имеет корней.

Установите, при каких значениях параметра а уравнение имеет решение, и решите его: 17. 325coscos 2 +−=+ aaxx . 18. 3442cossin 2 ++=− aaxx .

202

Определите при каких значениях параметра а уравнение:

19. ( ) 0sin21cos =−⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ + axx имеет 2 корня на промежутке [ ]π2;0 .

20. ( ) 0sin21cos =−⎟⎠⎞


21. ( ) 0sin21cos =−⎟⎠⎞


22. ( ) 0cos21sin =−⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ − axx имеет 2 корня на промежутке [ ]π2;0 .

23. ( ) 0cos21sin =−⎟⎠⎞


24. ( ) 0cos21sin =−⎟⎠⎞


Найдите значение параметра а (или произведение таких значений, если их несколько), при которых период функции:

25. ( )( )xaay 282cos 22 −+= равен 2π .

26. ( )( )xay 52sin += равен 2π .

27. ( )( )xaay 214sin 22 −−= равен 24π .

28. ( )( )xay 52sin += равен 2π .

29. ( )( )xay 112cos −= равен 4π .

30. При каких а (-1 ≤ а ≤ 1) уравнение 4 · 2 1 0 имеет решение?

Уровень С

31. Найдите все действительные значения параметра b, при которых

функция 14sin44sin85 222222 −−−−−+= xbxbby ππ определена лишь в конечном (ненулевом) числе точек вещественной оси.

203

32. Найдите все значения параметра а, при которых область определения функции xaxy 2sinsin ⋅−= содержится в точности 4 однозначных натуральных числа.

33. Найдите все значения параметра а, при которых область определения функции xaxy 2coscos ⋅−= содержится в точности 3 однозначных натуральных числа.

Решить уравнения относительно параметра: 34. xtgmmxxxm 22222 53cos)cos5(sin +=− .

35. 14

24 −=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −− cxtgxtg π

. 36. ( )tgxaxx 1

2sin1sin21 2

−=+− .

37. ( ) ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ −=++ xxaatgxx

4sin

4cos2sin21 2 ππ

.

38. ( ) ( )xxaxxx 33 sincoscossin2sin +=+ . 39. Найти все такие значения параметра а, при которых уравнение

( ) ( ) 03sin1)1812(cossin22)96( 222 =+++−−+−++− axааxxаа не имеет решений.

40. При каких а промежуток [a;0] содержит не менее 3 корней уравнения 11cos22cos2 −=−− xx ?

41. Найти а, при которых уравнение 11cos22cos2 −=−− xx имеет на

отрезке ⎥⎦⎤

⎢⎣⎡

85;

8ππ

ровно 4 корня.

42. Найти а, при которых уравнение xaxx sin)3sin())(2sin( =−−− ππ

имеет на отрезке ⎥⎦⎤

⎢⎣⎡

2;0 π

единственное решение.

43. Найти а, при которых уравнение 01sin22cos2 =−++ axax имеет на

интервале ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛− 0;

2π


При каких значениях параметра а уравнение:

44. 031cos

2)1( 2 =++−− ax

xtga имеет более одного решения на

интервале ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

2;0 π

?

204

45. 02

3sin213sin 2 =+⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +−

axax имеет ровно 3 корня, расположенных на

отрезке ⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ ππ ;

32

?

46. 023cos2723cos 222 =−+⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −+ axax имеет ровно 5 корней,

расположенных на отрезке ⎥⎦⎤

⎢⎣⎡−

2;

6ππ

?

47. Определить число корней уравнения 3sin

cos33cos

sin3−

−=

−−

xaxa

xaxa на отрезке

[ ]ππ 49;40 . При каких значениях параметра а уравнения равносильны: 48. 1sin 2 =x ; xxa 2sincos = 49. xx 2sin2sin = ; xaxax 2sin)1(2sin)1(3sin −−+= 50. )2cos1)(4(cos3coscos4 2 xaxaxx +−−=− ; xxxx 3cos2cos12coscos2 ++=⋅ 51. При каких действительных а множества решений уравнений

6cos4 22 −= ax и 6

2cos1 ax =− совпадают?

52. Найти все положительные числа а, при которых все различные неотрицательные значения х, удовлетворяющие уравнению

( ) ( )xaxa )1317(cos)719(cos +=− и расположенные в порядке возрастания, образуют арифметическую прогрессию.

Найти все целые значения параметра, при которых уравнение имеет решения:

53. ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ ++=

24cos21cos 2 xkx π

. 54. kxx 32

cos8sin45 22 =⎟⎠⎞

⎜⎝⎛−− .

55. ( )21cos1 +=+ axa .

56. При каких 0>a уравнение xa xx πsin224 ⋅⋅=+ имеет ровно одно решение?

57. Решить уравнение 3cos2sin =+ axx . 58. При каких значениях a, b, c равенство

0)sin(2

32sin2

3cos =++⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ ++⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ − πππ xcxbxa выполняется при всех

31

81

≤≤ x ?

205

59. При каких значениях a, b, c, d равенство dxcxbxa +⋅+= coscos2cos 2 является тождеством?

60. При каких значениях параметра а уравнение 2 · cos 0 имеет единственное решение?

61. Найти все пары (a;b), для которых неравенство sinsin выполняется при любом x.

62. Найти все значения а, при которых уравнение √ sin sin имеет хотя бы одно действительное решение.

63. При каких а число π является периодом функции ? В ответе указать значение а, если а – единственное, сумму всех а, если их несколько.

Тригонометрические неравенства с параметрами.

Уровень С

64. Пусть 43; 18 . Найти количество целых а, при каждом из которых неравенство 5 5 3 cos 0 выполняется для всех x.

65. При каких а неравенство sin cos 0 выполняется при любых x?

66. При каких а утверждение: «Неравенство 2 2 cos 2 верно при любом x» не является истинным.

67. При каких а решение неравенства sin 2 sin содержит промежуток ; ?

68. Найдите все значения параметра а, при каждом из которых неравенство 942sin)2(62cos9 ≤−+−− axax верно при всех значениях

переменной х. 69. Найдите все значения параметра а, при каждом из которых неравенство

1122

cos)4(2cos ≤⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −−

−+

axax верно при всех значениях

переменной х. 70. Найдите все значения параметра а, при каждом из которых неравенство

5,1sin1cossin 2 ≤−+ xaxx верно при всех значениях переменной х. 71. Найдите все значения параметра а, при каждом из которых неравенство

5,2cos2

cossin 2 ≤−+ xaxxa верно при всех значениях переменной х.

206

72. Найдите все значения параметра а, при которых неравенство 54sin2cos 24 >++ axxa верно при всех значениях переменной х.

73. Найти все значения параметра a, для которых неравенство

ax ≤−−31

31sin выполняется при всех х, таких что

320 π

≤≤ x .

74. Найдите все значения параметра а, при которых неравенство 07sin)3(2sin 2 >++−+ axaxa верно при всех значениях переменной

х. 75. Найдите все значения параметра а, при которых неравенство

( ) 0cossin342 222 <+−+− xxaa верно при всех значениях переменной х.

76. Найдите все значения параметра а, при каждом из которых неравенство

120cos56 122

≤⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

++axx

o верно для любого значения переменной [ ]2;6−∈x

. 77. Найдите все значения параметра а, при каждом из которых неравенство

12094 1410623

≥⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

−−+ axx

tg o верно для любого значения переменной

[ ]2;4−∈x . 78. Найти все значения параметра а, при которых неравенство

0)cos3(sin55 32 >−+++− xaxa выполняется при всех х. 79. Найти все значения параметра b, при которых неравенство

abxaxa ≤+− sin6cos)9( 2 имеет решение при любом а. 80. Найти все значения параметра а, при которых неравенство

3coscossin2sin3 22 ≤+++ axxxax выполняется при всех х. 81. Найти все значения параметра а, при которых неравенство

31cos3cossin)1(2sin 22 ≤+−+−− axxxax выполняется при всех х.

207

§5.7. Логарифмические, показательные уравнения и неравенства с параметрами.

Логарифмические и показательные уравнения с параметрами.

Уровень В 1. Найти количество всех целых a 3; 100 , при которых уравнение

x a log x 0 имеет единственное решение. 2. Пусть a 1; 0,5 . Найти сумму всех таких а, при которых уравнение

0 не имеет корней или имеет более одного корня. 3. Найти количество неотрицательных значений а, при которых уравнение

2x a log x 0 имеет ровно один корень. 4. Найти количество таких целых значений параметра а, что уравнение

√x a log x 2a не имеет корней, а значение параметра

находится в промежутке √2; 163 . 5. При каких а уравнение 4 a 3 2 4a 4 0 имеет один корень?

В ответе указать сумму таких целых а, если a 8; 5 . 6. Пусть a 43; 18 . Найти количество целых а, при каждом из которых

значения функции y a · 4 a 2 · 2 2 неположительны для всех x из промежутка 0; 1 .

7. Найти произведение наибольшего и наименьшего значений параметра а, при которых уравнение 4 a 5 · 2 a 9 0 не имеет корней.

8. При каких а уравнение log√ 4x a 4 имеет решение? 9. Найти все а, при которых уравнение lg sin x 2a · lg sin x a 2 0

не имеет корней. 10. Найти все значения а, при которых уравнение log x 4x 8 4

a имеет корни. 11. Найти все значения а, при которых уравнение log 3 sin x 4 cos x

14 a не имеет корней. 12. Найдите количество целых значений параметра а, при которых

уравнение a не имеет корней. 13. Найдите количество целых положительных значений параметра а, при

которых уравнение a имеет единственный корень.

14. Найдите все значения параметра а, при которых уравнение a имеет более одного корня.

208

15. Найти сумму всех целых а, при которых уравнение √2 a имеет более одного корня.

16. Найти все а, при которых уравнение √2 a не имеет корней. 17. Найти сумму всех таких а, при которых уравнение log |x 1|

|x 1| 3 2a имеет более одного корня 18. Найти все а, при которых уравнение log |x 1| |x 1| 3 a 1

не имеет корней. 19. При каких а уравнение log | | a имеет единственное решение? 20. Найти все значения x, удовлетворяющие уравнению log a x

5a x √6 x log 3 √x 1 при любых значениях параметра а.

Определить, при каких целых значениях параметра а уравнение имеет 2 различных действительных корня: 21. axx =⋅− 244 22. axx =−⋅ +12 332 . 23. axx 4222 222 =−⋅ +−−− . 24. axx 25253 1 =−⋅ + .

25. axx 5,03297 1 =⋅−⋅ +−− . 26. 3

55 112 axx =− ++ .

27. axx =− ++ 212 22 . 28. 2

339 1 axx =− + .

29. axx −=− −− 5,0981 . 30. axx 777 12 −=− + . 31. Найдите все значения а, для которых при каждом х из промежутка

( ]1;1− значение выражения xx a 4516 ⋅+ не равно значению выражения 14)1(5 +⋅++ xa

32. Найдите все значения а, для которых при каждом х из промежутка ( ]3;2 значение выражения xx 24 + не равно значению выражения

12 +⋅ xa 33. При каких значениях параметра а уравнение

0121025)4(25 2 =−+−−− aaa xx не имеет действительных корней? 34. При каких значениях параметра а уравнение

026)1(36 2 =−+−+ aaa xx имеет 2 действительных и различных корня?

209

Уровень С Решить уравнение относительно параметра:

35. axxx −=+⋅− 21264 ? 36. 3329

21373

3353

−⋅−=

+−

+−+

xxx

x

x

x b ?

37. 0122144 =+⋅− axx ?

38. ( ) ( ) ( )aaaa xx 412212352 22 −−=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ +⋅− ?

39. ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ +−=⋅⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ +

−x

x

x

aaaa3

3193

1 2 ?

40. Найдите все положительные значения параметра a, при которых в области определения функции ( ) 5,02 −+−= axx aay есть двузначные натуральные числа, но нет ни одного трехзначного натурального числа.

41. Шесть чисел образуют возрастающую арифметическую прогрессию. Первый, второй и четвертый члены этой прогрессии являются решениями неравенства log , log 0, а остальные не являются решениями этого неравенства. Найдите множество всех возможных значений первого члена таких прогрессий.

Логарифмические и показательные неравенства с параметрами.

Уровень С

42. Найдите все значения а, для которых при каждом х из промежутка [ ]3;0

8132

≤+axa . 43. Найдите все значения а, для которых при каждом х из промежутка [ ]3;0

1622

≤−axa . 44. Найдите все значения параметра а, при которых неравенство

023)1(29 222>−+−+ aa xx выполняется для любых значений х.

45. Найти все а, при которых неравенство 9 2 2a 1 3 4a 3 0 выполняется для всех x.

46. Найти все значения параметра а, при которых неравенство 9 20 ·3 a имеет хотя бы одно целочисленное решение.

47. При каких значениях параметра а числа 12 −a и 33 −a , являются

решениями неравенства 184

142

++

−+

≥ xx

xx

aa ?

210

48. При каких значениях параметра а числа 24 −a и 12 −a , являются

решениями неравенства 212

213

++

−−

≥ xx

xx

aa ?

49. Найти а, при которых каждое решение неравенства 3742 +≤++ xxx является решением уравнения 1222 112 +=−− +++ xxx a ?

50. Найти все целые значения параметра а, при которых неравенство

121

24)65(2

≤⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

+−− axax

выполняется при любом действительном значении х.

51. Найти сумму всех целых а, при которых среди решений неравенства log x 100 log ,

| | log | | содержится единственное целое число.

§5.8. Системы уравнений и неравенств с параметрами. Системы уравнений с параметрами.

Уровень В При каких значениях параметра a , система уравнений:

1. ⎩⎨⎧

=−=+ayx

yax 72, имеет решение.

2. ( )

⎩⎨⎧

=+=+−

4112

yaxyaxa

, не имеет решений.

3. ⎪⎩

⎪⎨⎧

=−

=+

−

824

22

1

yx

yax, имеет более одного решения.

4.

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

=++

=−

02

4

yax

yax

, имеет одно решение.

5. Определить число решений системы ⎩⎨⎧

=++−=++.8)5(2

,354)3(yax

ayxa

в

зависимости от значений параметра а.

211

6. При каких значениях a и b система уравнений 2 6,

6 10 имеет

бесконечно много решений. В ответе указать произведение ab. 7. Найти такое «а» (или сумму всех таких «а», если их несколько), при

котором система 4 16 ;4 9 27 имеет более одного решения.

8. Найти все а, при которых для любого b существуют четыре различных

значения с, при которых система ⎩⎨⎧

=+

+=+2

2

25,5

bcyxacbyx

имеет хотя бы одно

решение. При каких значениях параметра a , система уравнений

9. ( )⎪

⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

=−+

=+−

143

253

yaax

ayax

, имеет решение удовлетворяющее условию 0>+ yx .

10. ⎩⎨⎧

=+−

+=+2

2

432

aayxayax

, имеет решение удовлетворяющее условию 0>xy .

11. ⎩⎨⎧

=+++=−+

3)1(1)1(3

yxaayax

имеет решения?

12. При каких значениях параметра b система ⎩⎨⎧

=−=+

byaxayx3

имеет хотя бы

одно решение при любом значении параметра a? 13. При каких значениях параметра a найдется по крайней мере одно

значение параметра с такое, чтобы система ⎩⎨⎧

−=++=+

122 2

cybxcacbyx

имела хотя

бы одно решение при любом значении параметра b?

14. При каких значениях параметра b система ⎩⎨⎧

−=++=+

122 2

cybxcacbyx

имеет

решение при любом значении параметра a? Пусть ; . Найти количество всех целых a, при которых система уравнений:

15. | | | | 1,

| | имеет ровно четыре различных решения.

212

16. | | 1,

имеет одно решение.

17. | | | | 1, имеет одно решение.

18. | | | | 1,

имеет ровно два различных решения.

19. | | | | 1,

имеет ровно восемь различных решений.

При каких значениях параметра а система

20. ⎪⎩

⎪⎨⎧

=−

=+

axyyx 222

имеет 2 решения?

21. ⎪⎩

⎪⎨⎧

+=−

=−−+

)2(

0222 axaxy

ayx имеет 2 решения?

22. ( )⎪⎩

⎪⎨⎧

=

=++−

xyayax

212

2

222

имеет 4 различных решения?

Уровень С

23. При каких значениях параметра а система ⎪⎩

⎪⎨⎧

−=+

++=−

yxyxxyxaxy

1212)1(

имеет

решения? При каких значениях параметра а система имеет решение:

24. ⎪⎩

⎪⎨⎧

=−−+−−−

+=

01

1

22

2

ax

ayaxayxy

xy 25.

⎩⎨⎧

=+++−+−

+=

0)1()1(1

22

2

axayayxxy

26. ⎪⎩

⎪⎨⎧

=++−−

+=

034222 yxyx

yax 27.

⎪⎩

⎪⎨⎧

=++−

=+−++

020)1(13)1(

yxyxyaxaxy


⎪⎨

⎧

=+−+

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +=+

1)1(2

223

333

xyyxax

yaayx имеет

решения, удовлетворяющие условию 0=+ yx ?

213


⎪⎨⎧

−=

=−

axy

ayx

1 имеет

единственное решение?


⎪⎨⎧

−=

=−

axy

ayx

1 имеет решение,

удовлетворяющее условию 2yx ≥ ? 31. При каких значениях параметра а система

⎩⎨⎧

=++−+−+=++

03)32()1(023

aayayxxyy

имеет единственное решение?


⎪⎨⎧

=++

−=−+

2122)1(22

ayxayax

имеет

единственное решение?

33. При каких значениях параметра a система ⎩⎨⎧

=−−+−

=+

0)1(2

2zzbyxbaybx

имеет решения для любых значений параметра b? 34. Найти сумму всех рациональных значений параметра а, при которых

система 1,5 0,2 1 0 имеет единственное решение.

35. При каких а система | | 1,

2 15 0 имеет единственное

решение? 36. При каких значениях параметра а система уравнений

⎪⎩

⎪⎨⎧

+−−=

=++−−

23

,09)13(2)1( 2

xy

ayaya

имеет решения?

37. Решить систему уравнений ⎪⎩

⎪⎨⎧

=+−+

=+−+

.1

,1

bxay

bуах

38. Найти значение параметра а (или произведение таких значений, если их

несколько), при котором система 2 1 ,1 1

имеет

решение при любом b.

214


⎪⎨

⎧

=+++

−=

3)(

2

2 ayax

xxxy

имеет

единственное решение? 40. При каких значениях параметров а и b система

⎩⎨⎧

=++

−+=−−+−

141)2)(1()2(

22 axyxyybxyxyyxbx

имеет не менее 5 решений?


⎪⎨⎧

=+

−+=−+⋅

1

535232522

2

yx

axyxx

имеет единственное решение? 42. При каких значениях параметра а произведение yx ⋅ , где (x;y) -

решение системы ⎩⎨⎧

+−=+

−=+

5,0351

222 aayxayx

принимает наибольшее

значение? При каких значениях параметра a система:

43. ⎪⎩

⎪⎨⎧

+=+−

=−−

11

144

342

ayyx

ayxx не имеет решений?

44. ⎪⎩

⎪⎨⎧

+=+−

=−−

11

144

342

ayyx

ayxx имеет конечное множество решений?

45. ⎪⎩

⎪⎨⎧

+=+−

=−−

11

144

342

ayyx

ayxx имеет бесконечно много решений?

46.

⎪⎪

⎩

⎪⎪

⎨

⎧

−=

=++==

94

3

222

zxy

azyxzyx

имеет решения, удовлетворяющие условию 0≥xyz ?

47. В зависимости от значений параметров a, b, c решить систему

⎪⎩

⎪⎨

⎧

+−=+

++−=+

−+=+

azbycxzxbzcyaxyz

czaybxyx

22

22

22

.

215

48. При каких целых значениях параметра а система

arccos arcsin ,

arcsin · arccos имеет решения?

Системы неравенств с параметрами.

Уровень В

49. При каких целых а существуют ровно пять целых чисел, являющихся решениями системы 20,

1? В ответе указать все такие целые а без запятых и пробелов.

Для каждого значения параметра a решите систему неравенств:

50. ⎩⎨⎧

<−

≥+−

0045

22

2

axxx

51. ⎩⎨⎧

>−

≥−−

0076

22

2

axxx

При каких значениях параметра а система неравенств не имеет решения:

52. ⎪⎩

⎪⎨⎧

<−

<−

axx

4092

53. ⎪⎩

⎪⎨⎧

>−

>−

axx

3016 2

При каких значениях параметра a , система неравенств:

54. ⎩⎨⎧

≥+≤+−

1033

yxaxy

, имеет хотя бы одно решение.

55. ( )⎩⎨⎧

≥−+≤−

310yxa

ayx, не имеет решений.

Уровень С При каких значениях параметра a , система неравенств:

56. ⎩⎨⎧

≥+≤−

0yaxayx

, имеет решения содержащие отрезок [ ]1,0 оси ОХ.

57. ⎪⎩

⎪⎨⎧

≥+

≤−

+−

ayx

ayax 132 , имеет решения содержащие отрезок [ ]1,0 оси ОY.

216

58.

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

≤−

−−≥+−−

ayx

ayax

32

14 , имеет решения содержащие множество [ ] [ ]1,01,0 ×

плоскости ОХY.

59.

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

≥−+

−≥+−

0231

42

yxa

yxa

, имеет решения содержащие множество [ ] [ ]1,11,1 −×−

плоскости ОХY. Решите смешанные системы при всех значениях параметра p :

60. ( )

⎩⎨⎧

=+≥−+

pyxyppx 13

61. ⎪⎩

⎪⎨⎧

=−

≤+

+

32

3

ypx

pypx 62.

⎩⎨⎧

=+−≥−

22 2

pyxpypx

63. Найти значение параметра а (или произведение таких значений, если их

несколько), при котором система 3 2 ,2

имеет


§5.9. Смешанные задачи

Уровень С

1. Известно, что уравнение 01)3()32( 2 =++++ xpxp имеет хотя бы один корень. Найдите все значения параметра p , при которых число различных корней этого уравнения равно числу различных корней

уравнения 33

121

12+−

=−+

xpx .

2. Даны два уравнения: 4; 4

3 3 5. Значение параметра p выбирается так, что 3 и число различных корней первого уравнения в сумме с числом 3 дает число различных корней второго уравнения. Решите второе уравнение при каждом значении параметра, выбранном таким образом.

3. Даны два уравнения: ; 6 5 . Значение параметра p выбирается так, что 3 2 0 и число

217

различных корней первого уравнения равно сумме числа 3 и числа различных корней второго уравнения. Решите первое уравнение при каждом значении параметра, выбранном таким образом.

4. Даны два уравнения 54 73 3 24 19 3 3 2 ; 37

1 9 . Значение параметра p выбирается так, что 3 и

число различных корней первого уравнения равно сумме числа 2 и числа различных корней второго уравнения. Решите второе уравнение при каждом значении параметра, выбранном таким образом.

5. Найдите все значения а, при каждом из которых неравенство

| | | |0 имеет решение.


| | | |0 имеет решение.


| | | |0 не имеет решение.


| | | |0 не имеет решение.

9. Найдите все значения а, при каждом из которых неравенство | |

· ·0 не имеет решение.


· ·0 не имеет решение.

11. Найдите все значения a > 1, при каждом из которых все значения функции

| | принадлежат промежутку 6; log 1

12. Найдите все значения a > 1, при каждом из которых все значения функции

| | принадлежат промежутку 2; log 1

13. Найдите все значения a > 1, при каждом из которых все значения функции | | принадлежат промежутку 4; log 2

218

Глава 6. Текстовые задачи, прогрессии и последовательности.

§6.1. Текстовые задачи


Задачи на движение 1. Неутомимый мальчик прошел с одинаковой скоростью 60 км за 8 часов.

С какой скоростью шел неутомимый мальчик? 2. Неутомимый мальчик прошел 60 км с постоянной скоростью 12 км/ч. За

сколько часов прошел этот путь неутомимый мальчик? 3. Неутомимый мальчик шел 13 часов с постоянной скоростью 4 км/ч.

Какое расстояние прошел неутомимый мальчик? 4. Автомобиль «Запорожец» проехал 610 км с постоянной скоростью за 5

часов. С какой скоростью ехал автомобиль «Запорожец»? 5. Автомобиль «BMW» проехал 294км с постоянной скоростью 42 км/ч.

Какое время затратил на этот путь автомобиль «BMW»? 6. На соревнованиях среди асфальтоукладочных катков победитель ехал 8

часов с постоянной скоростью 52 км/ч. Какое расстояние проехал победитель?

7. Алихан и Асия, расстояние между которыми 17,5 км начинают двигаться навстречу друг другу со скоростями 3 км/ч и 4 км/ч. Через сколько часов после начала движения Алихан сможет обнять Асию?

8. Алихан и Асия, расстояние между которыми 17,5 км, начинают двигаться в противоположных друг другу направлениях со скоростями 3 км/ч и 4 км/ч.Какое расстояние будет между ними через 1,5 часа

9. Алихан и Асия, расстояние между которыми 6,5 км, начинают двигаться со скоростями 5 км/ч и 3 км/ч так, что Алихан догоняет Асию. Через сколько часов после начала движения Алихан сможет обнять Асию?

10. Алихан и Асия, расстояние между которыми 6,5 км, начинают двигаться со скоростями 5 км/ч и 3 км/ч так, что Алихан убегает от Асии. Какое расстояние будет между ними через 3,5 часа?

11. Велосипедист и мотоциклист, расстояние между которыми 227,5 км, выехали одновременно навстречу друг другу со скоростями 12 км/ч и 53 км/ч. Через сколько часов они встретятся?

12. Из одной точки в противоположных направлениях ползут две улитки со скоростями 6 см/ч и 8 см/ч. Через сколько часов расстояние между ними будет 1м 68 см?

219

13. Том, увидев Джерри на расстоянии 165 метров, начал погоню. Скорость Тома 500 м/мин, а скорость Джерри 420 м/мин. Сможет ли Том закусить Джерри, если через 2 минуты мультфильм закончится?

14. Терминатор – 2, скорость которого 350 км/ч и терминатор – 3, который бежит со скоростью 320 км/ч, двигаются в одном направлении. В 14-00 расстояние между ними было 55 км, причем терминатор – 2 бежал впереди. Какое расстояние будет между ними в 17-30 того же дня?

Задачи на движение по реке 15. Собственная скорость катера 22 км/ч, а скорость течения реки 2 км/ч.

Какова скорость катера против течения реки? 16. Собственная скорость катера 22 км/ч, а скорость течения реки 2 км/ч.

Какова скорость катера по течению реки? 17. Скорость катера по течению реки – 26 км/ч, а против течения – 20 км/ч.

Какова скорость течения реки? 18. Собственная скорость катера 24 км/ч, а его скорость по течению реки –

26 км/ч. Какова скорость катера против течения реки? 19. Собственная скорость катера 22 км/ч, а его скорость против течения

реки – 19 км/ч. Какова скорость катера по течению реки? 20. Скорость катера по течению реки 20 км/ч, а против течения – 18 км/ч.

Какова собственная скорость катера? Задачи на работу.

21. Работая с производительностью 20 баклашек в час, Будулай сделал 450 баклашек. Сколько часов работал Будулай?

22. Аппарат «Вася» потребляет за час 0,5 литров жидкости. Сколько литров жидкости потребит «Вася» за 3,5 часа?

23. Работая с постоянной производительностью, Дима за 8 часов обработал 976 бумаг. Какова производительность Димы?

24. Ирина за час делает 0,1 всей работы, а Саша – 0,15 этой же работы. За сколько часов Ирина и Саша сделают всю работу, работая вместе?

25. Дима надувает 6 шариков за минуту, а Оля – 8 шариков за минуту. За сколько минут они надуют вместе 574 шарика?

26. Ваня надувает 5 шариков за минуту, а Люда – 2 шарика. Сколько шариков они надуют вместе за 10 минут?

27. Тракторист Сабир за час обрабатывает 1,5 гектара картошки. За рабочий день Сабир обработал 13,5 гектаров картошки. Сколько часов работал в этот день Сабир?

28. Ненасытный ребенок съедает за минуту 16 грамм шоколада. Сколько грамм шоколада съест этот ненасытный ребенок за 23 минуты?

29. Корова Умница из вредности даёт одинаковое количество молока в сутки. За 12 дней она дала 180 литров молока. Какова производительность Умницы (в литрах в сутки)?

220

30. Первая труба наполняет 0,07 бассейна за час, а вторая – 0,13 бассейна. За какое время наполнится бассейн, если открыть обе трубы?

31. Оля за неделю делает 7 феничек, а Люда – 4 фенички. За сколько недель они сделают вместе 154 фенички?

32. Дима за сутки побеждает 13 компьютерных монстров, а Ваня – 11 таких же монстров. Сколько монстров они победят за неделю?

Задачи на проценты 33. Найти 40% числа 13 34. Найти 130% числа 26 35. Найти 0,6% числа 1200 36. Найти 28% числа 20,5 37. Найти 125% числа 350 38. Найти число, если 40% его равно 2. 39. Найти число, если 25% его равно 54,5. 40. Найти число, если 150% его равно 36. 41. Найти число, если 28% его равно 0,14. 42. Найти число, если 500% его равно 35. 43. Найти, сколько процентов составляет число 4 от числа 25. 44. Найти, сколько процентов составляет число 7,5 от числа 50. 45. Найти, сколько процентов составляет число 324 от числа 30. 46. Найти, сколько процентов составляет число 1,2 от числа 1,6. 47. Найти, сколько процентов составляет число 0,28 от числа 0,2.

Уровень A

Задачи на движение 48. Расстояние в 240 км автобус проехал за 5 часов, причем последние три

часа он ехал со скоростью на 5 км/ч большей, чем первые два часа. Найти скорость автобуса в первые два часа пути.

49. С туристической базы вышел пешеход, его скорость 4 км/ч. Через 4,5 ч по той же дороге выехал автомобиль со скоростью 76 км/ч. На каком расстоянии от базы автомобиль догонит пешехода?

50. Путь от города до поселка автомобиль проезжает за 2,5 ч. Если он увеличит скорость на 20 км/ч, то за 2 ч он проедет путь на 15 км больший, чем расстояние от города до поселка. Найдите это расстояние.

51. Легковой и грузовой автомобили проезжают расстояние между двумя сельскими пунктами соответственно за 3 ч и 4 ч. Определите их скорости, если скорости, легкового автомобиля на 20 км/ч больше скорости грузового.

52. Пешеход рассчитал, что, двигаясь с определенной скоростью, он пройдет намеченный путь за 2,5 ч. Но, увеличив скорость на 1 км/ч, он прошел этот путь за 2 ч. Найдите длину пути.

221

53. Из порта одновременно вышли два катера, один — на юг, другой на север. Через 3 ч расстояние между ними составило 96 км. Найдите скорость первого катера, если она на 10 км/ч больше скорости второго катера.

Задачи на движение по реке.

54. Скорость судна в стоячей воде 50 км/ч. На путь от А до В по течению реки оно тратит 3 ч, а на обратный путь 4,5 ч. Какова скорость течения реки?

55. Скорость течения реки 5 км/ч. На путь от М до N по течению реки судно тратит 3 ч, а на обратный путь 4.5 ч, Какова скорость судна в стоячей воде?

56. Моторная лодка плыла по течению реки 3 ч, а на тот же путь против течения реки моторная лодка затратила 5 ч. Какова скорость лодки в стоячей воде, если скорость течения реки равна 10 км/ч?

57. Катер проходит одно и то же расстояние по течению реки за 3 ч, а против течения — за 3,5 ч. Найдите скорость течения реки, если скорость катера в стоячей воде 25 км/ч.

Задачи на работу

58. Три цеха изготовили вместе 79 деталей, причем второй цех изготовил в три раза больше деталей, чем первый, а третий – на 5 деталей меньше, чем второй. Сколько деталей изготовил третий цех?

59. Бригада рабочих ежедневно перевыполняла норму на 16 деталей, поэтому она выполнила заказ за 4 дня, вместо шести по плану. Сколько деталей изготовляла бригада ежедневно?

60. Две бригады изготовили 116 деталей, причем первая бригада изготовила на 4 детали больше, чем вторая. Сколько деталей изготовила каждая бригада?

61. Трое рабочих сделали 105 тумбочек. Первый рабочий сделал в 2 раза больше тумбочек, чем второй и третий вместе, а второй рабочий — на 5 больше, чем третий. Сколько тумбочек сделал каждый?

62. На станции технического обслуживания трое автомехаников отремонтировали 68 автомобилей. Первый починил на 10 автомобилей меньше, чем второй, а третий — на 15 больше, чем второй. Сколько автомобилей починил каждый механик?

Задачи на проценты

63. При выполнении контрольной работы по математике 12% учеников не выполнили ни одного задания, 32% допустили ошибки, а остальные 14 человек решили задания верно. Сколько всего учеников в классе?

222

64. На заводе были изготовлены легковые и грузовые машины, причем 35% всех изготовленных машин — легковые. Определите число изготовленных машин, если грузовых изготовлено на 240 больше, чем легковых.

65. Первое число равно 0,6, а второе 0,2. Сколько процентов первое число составляет от суммы этих чисел?

66. Первое число равно 3,6, а второе 9. На сколько процентов второе число больше первого?

67. Цена товара дважды увеличивалась на 25%. На сколько процентов увеличилась цена товара по сравнению с первоначальной?

68. Цена товара дважды снижалась на 20%. На сколько процентов снизилась цена товара по сравнению с первоначальной?

69. Цена товара сначала снизилась на 30%, а потом повысилась на 30%. На сколько процентов изменилась цена товара?

70. Цена товара понизилась на 10%, а потом еще на 20%. На сколько процентов понизилась цена товара по сравнению с первоначальной?

71. Определите первоначальную стоимость продукта, если после подорожания последовательно на 120%, 200% и 100% его конечная стоимость составила 264 р.

72. Длина прямоугольника увеличилась на 20%, а ширина уменьшилась на 10%. На сколько процентов увеличилась площадь прямоугольника?

73. Найти, на сколько процентов увеличится объем параллелепипеда с квадратным основанием, если сторону квадрата в основании увеличить на 40%, а высоту параллелепипеда увеличить на 10%.

74. Капуста дороже свеклы на 25%. На сколько процентов свекла дешевле капусты?

75. Баран глупее осла на 50%. На сколько процентов осел умнее барана? 76. Лекарственная ромашка теряет при сушке 84% своей массы. Сколько

килограммов ромашки нужно собрать, чтобы получить 8 кг сухого растения?

77. При добавлении воды к раствору его объем увеличился на 42% и стал равным 71 л. Определите первоначальный объем раствора.

78. Ученики девятых и десятых классов посадили 176 деревьев. Сколько деревьев посадили десятиклассники, если они посадили на 20% больше деревьев, чем девятиклассники?

79. Ученики седьмых и восьмых классов получили в библиотеке 168 учебников, причем восьмиклассники получили на 10% книг больше, чем семиклассники. Сколько учебников получили семиклассники?

80. Из молока получается 21% сливок, а из сливок – 24% масла. Сколько килограммов молока нужно взять, чтобы получить 126 кг масла?

223

81. Собрали 100 кг ягод. 60% из них поступили в магазин. В магазине 11% поступивших ягод испортились и не поступили в продажу. Сколько килограммов ягод было продано?

82. Смешали 5 литров 17%-ого раствора кислоты, 2 литра 30%-ого раствора и 3 литра 20%-ого. Найти концентрацию полученного раствора.

83. Смешали 20 кг раствора кислоты с концентрацией 70% и 22,5 кг такого же раствора с концентрацией 50%. Определить концентрацию нового раствора (в процентах).

84. Купили бананы, ананасы и киви. Вес купленных ананасов бал на 12% больше веса бананов, а вес киви был на 20% меньше веса бананов. Сколько килограммов бананов купили, если вся покупка весила 14,6 кг?

Разные задачи

85. Масса туриста с рюкзаком в 5 раз больше массы одного рюкзака. Определите массы рюкзака и туриста в отдельности, если сумма масс двух рюкзаков и массы туриста равна 120 кг.

86. В трех поселках живут 6000 жителей. Во втором поселке вдвое больше жителей, чем в первом, а в третьем на 500 жителей меньше, чем во втором. Сколько жителей во втором поселке?

87. В трех универсальных магазинах работает 168 человек. Во втором магазине работает на 4 человека больше, чем в третьем магазине, а в третьем магазине на 7 человек больше, чем в первом магазине. Сколько человек работает в каждом магазине?

88. Три числа относятся, как 4:7:8, а их сумма равна 38. Найдите большее из этих чисел.

89. Стороны треугольника относятся, как 6:8:12. Найти длину меньшей стороны, если его периметр равен 104.

90. Найти большее из трех последовательных нечетных чисел, сумма которых равна 81.

91. Матери 50 лет, дочери 28. Сколько лет тому назад дочь была в 2 раза моложе матери?

92. Среднее арифметическое пяти чисел равно 25. Найти сумму этих чисел. 93. Среднее арифметическое пяти последовательных чисел равно 22. Найти

большее из этих чисел.

Уровень В Задачи на движение

94. Из города А в город Б выехали велосипедист и мотоциклист. Скорость велосипедиста на 10 км/ч меньше скорости мотоциклиста, поэтому он затратил на весь путь на 6 ч больше. С какой скоростью ехал мотоциклист, если расстояние между городами 120 км?

224

95. Товарный поезд был задержан в пути на 18 мин, а затем на расстоянии в 60 км наверстал это время, увеличив скорость на 10 км/ч. Найдите первоначальную скорость поезда.

96. Два туриста отправились одновременно из А в В. Расстояние между А и В 24 км. Скорость первого туриста была на 2 км/ч больше скорости второго туриста, а поэтому второй турист пришел в В на 2 часа позже первого. Найти скорость первого туриста (в км/ч).

97. Автомобиль был задержан в пути на 0,2 ч, а затем на расстоянии в 60 км наверстал это время, увеличив скорость на 15 км/ч. Найдите начальную скорость автомобиля.

98. Расстояние между двумя городами скорый поезд проходит на 4 ч быстрее товарного и на 1 ч быстрее пассажирского. Найдите скорости товарного и скорого поездов, если известно, что скорость товарного составляет 0,625 от скорости пассажирского и на 50 км/ч меньше скорости скорого.

99. Из городов А и В одновременно навстречу друг другу вышли два товарных поезда. Они встретились через 24 часа после начала движения. Первый поезд прибыл в В на 20 часов позднее, чем второй прибыл в А. Сколько часов был в пути первый поезд?

100. Из пункта А в пункт В выехал автомобилист и одновременно из В в А выехал велосипедист. Автомобилист, доехав до В, тотчас повернул назад и догнал велосипедиста через 2 часа после момента их первой встречи. Сколько часов после момента первой встречи ехал велосипедист до пункта А, если известно, что к моменту второй встречи он проехал 2/5 всего расстояния между А и В?

Задачи на движение по реке

101. Теплоход прошел 4 км против течения роки и затем прошел еще 33 км по течению, затратив на весь путь 1 ч. Найдите скорость теплохода в стоячей воде, если скорость течения реки равна 6,5 км/ч.

102. Моторная лодка прошла 25 км по течению реки и 3 км против течения, затратив на весь путь 2 ч. Какова скорость течения реки, если известно, что она не превосходит 5 км/ч, а скорость лодки в стоячей воде равна 12 км/ч?

103. Глиссер, собственная скорость которого равна 20 км/ч, прошел расстояние по реке, равное 60 км, и вернулся обратно. Определите скорость течения реки, если на весь путь глиссер затратил 6,25 ч.

104. Яхта прошла по течению реки 9 км и такой же путь против течения. Путь по течению занял на 2 ч меньше, чем путь против течения. Найдите скорость яхты в стоячей воде, если скорость течения реки равна 3 км/ч.

225

105. Катер, собственная скорость которого 15 км/ч, отправился от речного причала вниз по течению реки и, пройдя 36 км, догнал плот, который за 10 часов до отправления катера отплыл от того же причала. Найти скорость течения реки (в км/ч).


106. Две бригады рабочих должны к некоторому сроку изготовить по 300 деталей. Первая бригада, изготовляя в день на 10 деталей больше второй, затратила на выполнение задания на 1 день меньше. Сколько деталей в день изготовляла каждая бригада?

107. Вода, поступающая в первую трубу, может наполнить бассейн за 8 ч, а вода, вытекающая из второй трубы, может его опорожнить за 15. За сколько часов наполнится бассейн, если обе трубы будут одновременно открыты?

108. На обработку одной детали первый рабочий затрачивает на 1 мин меньше, чем второй. Сколько деталей обработает каждый из них за 0,7ч, если первый обрабатывает за это время на одну деталь больше, чем второй.

109. Один рабочий затрачивает на изготовление болта на 6 мин меньше, чем второй. Сколько болтов может изготовить каждый из них за 7 ч, если первый обрабатывает за это время на 8 болтов больше?

110. Ученик тратит на обработку одной болванки на 12 мин больше, чем мастер. Сколько болванок обработает каждый из них за 6 ч, если ученик обрабатывает за это время на 5 болванок меньше, чем мастер?

111. Двое рабочих, из которых второй начинает работать на 1,5 дня позже первого, могут отремонтировать квартиру за 7 дней. Если бы ремонт выполнял каждый в отдельности, то первому потребовалось бы на 3 дня больше, чем второму. За сколько дней каждый из них, работая в отдельности, может выполнить ремонт квартиры?

112. Две трубы, работая вместе, наполнили бассейн за 12 ч. Первая труба, работая в отдельности, наполняет бассейн на 18 ч быстрее, чем вторая. За сколько часов наполняет бассейн вторая труба?

113. Аквариум наполняется водой, поступающей в него через две трубки, за 3 ч. За сколько часов может наполнить аквариум первая трубка, если ей требуется для этого на 2,5 ч меньше, чем второй?

114. Для рытья котлована выделили два экскаватора. После того, как первый экскаватор проработал 2 часа, его сменил второй экскаватор, который за 3 часа закончил работу. Всю работу один второй экскаватор выполнил бы на 4 часа быстрее, чем один первый экскаватор. За сколько минут выполнят всю работу оба экскаватора, работая вместе?

115. Урожай с участка сначала убирал один комбайн. Через 4 часа после начала работы к нему присоединился второй, и, проработав совместно 8 ч, они закончили уборку урожая с участка. За сколько часов мог бы убрать урожай

226

с участка первый комбайн, работая отдельно, если известно, что для этого ему понадобилось бы на 8 часов больше, чем второму?

116. Бак заполняется водой за 3 часа 20 минут с помощью трех насосов, работающих вместе. Производительности насосов относятся, как 2:5:8. Сколько процентов объема бака будет заполнено за 2 часа 24 минуты совместной работы второго и третьего насосов?

117. Двум переводчикам поручили перевести книгу объемом 108 страниц на другой язык. Один переводчик взял себе 58 страниц, отдав остальные страницы второму. Первый выполнил свою работу за 29 дней, а второй свою – за 20 дней. На сколько страниц меньше должен был взять себе первый переводчик (увеличив число страниц второго), чтобы они, работая с прежней производительностью, выполнили свою работу за одинаковое число дней?

118. Насосы №1,№2 и №3, работая вместе, наполняют бассейн за 7,5 часов; №1,№3 и №5 – за 5 часов; №1,№3 и №4 – за 6 часов; №2,№4 и №5 – за 4 часа. За сколько часов наполнят бассейн все пять насосов, работая вместе?


119. Осенью цена на свеклу понизилась на 15% по сравнению с летом. На сколько процентов больше нужно продать свеклы осенью, чтобы выручка от ее продажи увеличилась на 2% по сравнению с летом?

120. Зимой цена на свеклу повысилась на 20% по сравнению с осенью. На сколько процентов заготовителю нужно уменьшить количество приобретаемой зимой свеклы, чтобы затраты на ее покупку увеличились только на 2% по сравнению с осенью?

121. Фермер предполагает продать огурцов на 15% меньше, чем в прошлом году. На сколько процентов ему надо повысить цену на свои огурцы, чтобы получить за них на 2% больше денег, чем в прошлом году?

122. Осенью цена на морковь снизилась на 10% по сравнению с летом. На сколько процентов больше нужно продать моркови осенью, чтобы выручка от ее продажи увеличилась на 8% по сравнению с летом?

123. Влажность фруктов 80%, а сухофруктов – 24%. Сколько нужно фруктов (в килограммах), чтобы получить 5 кг сухофруктов?

124. Собрали 100 кг грибов, влажность которых составила 99%. Когда грибы подсушили, их влажность снизилась до 98%. Какова стала их масса?

125. Рабочие кооператива решили работать 7 часов вместо 8. На сколько процентов им нужно повысить производительность труда, чтобы заработная плата (при тех же расценках) повысилась на 5%?

126. Раньше расходы предприятия на зарплату составляли 40% общих расходов. Сколько процентов будут составлять расходы на зарплату от общих расходов, если расходы на зарплату возрастут на 80%, а прочие расходы – на 30%.

227

127. Смешали 30%-ый раствор соляной кислоты с 10%-ым раствором и получили 600 г 15%-ого раствора. Сколько граммов каждого раствора было взято? Указать большее из полученных чисел.

128. Смешали раствор 78%-ой (по массе) соляной кислоты и 84%-ый раствор той же кислоты, в результате чего получили 82%-ый раствор. Найти отношение массы первого раствора к массе второго.

129. Сплавили два вида лома: в первом содержание цинка было 70%, а во втором – 82% и получили сплав с 80%-ым содержанием цинка . Найти отношение количества первого вида лома к количеству лома второго вида.

130. Имеется сталь двух сортов с содержанием никеля в 5% и 40%. Сколько нужно взять каждого из этих сортов стали, чтобы получить 140 т стали с содержанием никеля в 30%?

131. Сколько нужно добавить грамм 20%-ого раствора спирта к 30 граммам 80%-ого раствора, чтобы получить 40%-ый раствор спирта?

132. Сколько воды нужно выпарить из 100 кг раствора соли с концентрацией 10%, чтобы получить раствор с концентрацией 20%?

133. Летом цена сиропа уменьшилась на 50%, а газированной воды увеличилась на 50%, в результате чего цена стакана воды с сиропом увеличилась на 25%. На сколько процентов цена газированной воды была больше цены сиропа до изменения цен?

134. Сплавлено 40 г золота одной пробы и 60 г золота другой пробы и получено золото 62-й пробы. Какой пробы было золото первого и второго слитков, если при сплаве их поровну получается золото 61-й пробы?

135. В результате увеличения стоимости обедов в ресторане, число посетителей уменьшилось на 25%, а выручка ресторана (за обеды) уменьшилась на 6,25%. На сколько процентов увеличилась стоимость обедов?

136. Цена билета на стадион выросла на 40%, а выручка снизилась на 16%. На сколько процентов уменьшилось число зрителей?

137. Торговая база закупила у изготовителя партию альбомов и поставила ее магазину по оптовой цене, которая на 30% больше цены изготовителя. Магазин установил розничную цену на альбом на 20% выше оптовой. При распродаже в конце сезона магазин снизил розничную цену на альбом на 10%. На сколько рублей больше заплатил покупатель по сравнению с ценой изготовителя, если на распродаже он приобрел альбом за 70,2 р.?

138. По пенсионному вкладу банк выплачивает 10% годовых.. По истечении каждого года эти проценты капитализируются, т.е. начисленная сумма присоединяется к вкладу. На данный вид вклада был открыт счёт в

228

50000 рублей, который не пополнялся и с которого не снимали деньги в течение 3 лет. Какой доход был получен по истечении этого срока?

139. Для приготовления фирменного коктейля из бутылки вина отлили 1/3 содержимого, а оставшуюся часть долили фруктовой водой так, что бутылка оказалась заполненной на 5/6 первоначального объема. Какое процентное содержание спирта оказалось в сосуде, если в вине содержание спирта 10%, а во фруктовой воде – 0%?

140. Рабочие кооператива решили работать 7 часов вместо 8. На сколько процентов им нужно повысить производительность труда, чтобы заработная плата (при тех же расценках) повысилась на 5%?


141. Первую половину пути автомобиль ехал со скоростью 50 км/ч, а вторую половину со скоростью 30 км/ч. Какова средняя скорость (в км/ч) автомобиля на всем пути?

142. В магазине есть на равную сумму конфеты стоимостью 2 евро за килограмм и 3 евро за килограмм. Сколько будет стоить смесь этих конфет (в евро за килограмм)?

143. Сумма цифр двузначного числа равна 12. Если к этому числу прибавить 36, то получится число, записанное теми же цифрами, но в обратном порядке. Найти исходное число.

144. Если к двузначному натуральному числу приписать справа и слева цифру 4, то полученное четырехзначное число станет в 54 раза больше первоначального. Найти первоначальное двузначное число.

Уровень C

Задачи на движение 145. Пешеход вышел из пункта А в пункт В. Через ¾ ч из А в В выехал

велосипедист. Когда велосипедист прибыл в пункт В, пешеходу оставалось пройти 3/8 всего пути. Сколько времени потратил пешеход на весь путь, если известно, что велосипедист догнал пешехода на половине пути из пункта А в пункт В, а скорости велосипедиста и пешехода постоянны?

146. Из пункта А в пункт В, расстояние между которыми равно 70 км, выехал велосипедист, а через некоторое время — мотоциклист, двигавшийся со скоростью 50 км/ч. Мотоциклист догнал велосипедиста на расстоянии 20 км от пункта А. Прибыв в пункт В, мотоциклист через 48 мин выехал обратно в пункт А и встретился с велосипедистом спустя 2 ч 40 мин после выезда велосипедиста из пункта А. Найдите скорость велосипедиста.

147. Из пункта А в пункт В, расстояние между которыми 20 км, выехал велосипедист, а через 15 мин вслед за ним со скоростью 15 км/ч

229

отправился другой велосипедист, который, догнав первого, повернул назад и возвратился в А за 45 мин до прибытия первого велосипедиста в В. Найдите скорость первого велосипедиста.

148. Из городов А и В навстречу друг другу одновременно вышли два товарных поезда. Они двигались без остановки, встретились через 24 ч после начала движения и продолжи ли свой путь, причем первый поезд прибыл в пункт В на 20 ч позднее, чем второй поезд прибыл в А. Сколько времени был в пути первый поезд?

149. Переднее колесо велосипеда стирается через 400 км пробега, а заднее – через 600 км. Какое максимальное расстояние (в километрах) можно проехать на этом велосипеде, если вовремя поменять колеса?

150. По течению с полным баком моторная лодка может проехать 60 км, а против течения – 40 км. На какое максимальное расстояние (в километрах) можно отплыть на этой лодке от пристани, чтобы вернуться назад? (По течению, не включая мотор, плыть нельзя).

151. Из пункта А в пункт С, находящийся на расстоянии 80 км от А, выехал мотоциклист. Навстречу ему и одновременно с ним из пункта В, находящегося между А и С на расстоянии 5 км от С, выехал велосипедист, а из пункта С — автомобиль. Через какое время встретились мотоциклист и велосипедист, если известно, что это произошло через 20 мин после того, как автомобиль догнал велосипедиста, а мотоциклист до встречи с автомобилем провел в пути вдвое больше времени, чем велосипедист до того, как его догнал автомобиль?

Задачи на движение по реке

152. Из пункта А по реке отправляется плот. Одновременно навстречу ему из пункта В, расположенного ниже по течению относительно пункта А, отправляется катер. Встретив плот, катер сразу поворачивает и идет вниз по течению. Какую часть пути от А до В пройдет плот к моменту возвращения катера в пункт В, если скорость катера в стоячей воде в 4 раза больше скорости течения реки?

153. Из пункта А по реке отправляется плот. Через час из пункта А вниз по течению отправляется катер. Найдите время, требующееся катеру, чтобы догнать плот и возвратиться в пункт А, если скорость катера в стоячей воде вдвое больше скорости течения реки.


154. Урожай с участка сначала убирал один комбайн. Через 4 часа после начала работы к нему присоединился второй, и, проработав совместно 8 ч, они закончили уборку урожая с участка. За сколько часов мог бы убрать урожай с участка первый комбайн, работая отдельно, если

230

известно, что для этого ему понадобилось бы на 8 часов больше, чем второму?

155. Три цистерны одинакового объема начинают одновременно заполняться водой, причем в первую цистерну поступает 120 л воды в минуту, а во вторую — 40 л. Известно, что в начальный момент времени первая цистерна пуста, а объем воды в третьей цистерне в 2 раза меньше, чем во второй, и что все три цистерны будут заполнены одновременно. Сколько литров воды поступает в одну минуту в третью цистерну?

156. Два трактора разной мощности, работая одновременно, вспахали поле за 2 ч 40 мин. Если бы первый трактор увеличил скорость вспашки в 2 раза, а второй — в 1,5 раза, то поле было бы вспахано за 1 ч 36 мин. За какое время вспахал бы поле первый трактор, работая с первоначальной скоростью?

157. Три одинаковых комбайна, работая вместе, убрали первое поле, а затем 2 из них убрали второе поле (другой площади). Вся работа заняла 12 ч. Если бы 3 комбайна выполнили половину всей работы, а затем оставшуюся часть сделал один из них, то работа заняла бы 20 ч. За какое время 2 комбайна могут убрать первое поле?

158. Три бригады вспахали два поля общей площадью 96 га. Первое поле было вспахано за 3 дня, причем все три бригады работали вместе. Второе поле было вспахано за 6 дней второй и третьей бригадами. Если бы все три бригады проработали на втором поле 1 день, то оставшуюся часть второго поля первая бригада могла вспахать за 8 дней. Сколько гектаров в день вспахивает первая бригада?

159. Две машинистки, работая вместе, печатают в час 44 страницы текста. Первые 25% двухсотстраничной рукописи печатала первая машинистка, затем к ней присоединилась вторая, а последние 20% текста печатала только вторая машинистка. Сколько страниц в час печатает каждая машинистка, если на перепечатывание всей рукописи ушло 6 ч 40 мин, а первая машинистка работает быстрее второй?


160. Из бутыли, наполненной 12%-ным раствором соли, отлили 1 л и долили бутыль водой, затем отлили еще литр и опять долили водой. В бутыли оказался 3%-ный раствор соли. Какова вместимость бутыли?

161. Фляга наполнена 96%-ным раствором соляной кислоты. Из нее отлили 12 л кислоты и дополнили флягу водой. Потом из фляги отлили еще 18 л и снова дополнили ее водой, после чего концентрация кислоты во фляге составила 32%. Найдите объем фляги.

162. Имеются два сплава, состоящие из меди, цинка и олова. Известно, что первый сплав содержит 40% олова, а второй — 26% меди. Процентное содержание цинка в первом и втором сплавах одинаковое.

231

Сплавив 150 кг первого сплава и 250 кг второго, получили новый сплав, в котором оказалось 30% цинка. Определите, сколько килограммов олова содержится в получившемся новом сплаве.

163. Имеются два сплава, состоящие из меди, цинка и олова. Известно, что первый сплав содержит 25% цинка, а второй — 50% меди. Процентное содержание олова в первом сплаве в 2 раза выше, чем во втором. Сплавив 200 кг первого сплава и 300 кг второго, получили новый сплав, в котором оказалось 28% цинка. Определите, сколько килограммов меди содержится в получившемся новом сплаве.


164. Если двузначное число А записать впереди двузначного числа В и полученное четырехзначное число разделить на В, то в частном получится 121. Если же число В написать впереди числа А и полученное четырехзначное число разделить на А, то в частном получится 84, а в остатке 14. Найти число А.

165. После деления некоторого двузначного числа на сумму его цифр в частном получается 7 и в остатке 6. После деления этого же двузначного числа на произведение его цифр в частном получается 3 и в остатке 11. Найдите это двузначное число.

166. Сумма квадратов цифр некоторого двузначного числа на 1 больше утроенного произведения этих цифр. После деления этого двузначного числа на сумму его цифр в частном получается 7 и в остатке 6. Найдите это двузначное число.

Уровень D

Задачи на движение 167. Пешеход, велосипедист и мотоциклист движутся по шоссе в одну

сторону с постоянными скоростями. В тот момент, когда пешеход и велосипедист находились в одной точке, мотоциклист был на расстоянии 6 км позади них. В тот момент, когда мотоциклист догнал велосипедиста, пешеход отставал от них на 3 км. На сколько километров велосипедист обгонял пешехода в тот момент, когда пешехода настиг мотоциклист?

168. Из пункта А в пункт В вышел пешеход. Вслед за ним через 2 часа выехал велосипедист, а еще через 30 минут – мотоциклист. Через некоторое время после выезда мотоциклиста оказалось, что к этому моменту все трое преодолели одинаковую часть пути от А до В. На сколько минут раньше пешехода прибыл в пункт В велосипедист, если пешеход прибыл в пункт В на 1 час позже мотоциклиста?

169. Из А в В выехали одновременно «Жигули», «Москвич» и «Запорожец». «Жигули», доехав до В, повернул назад и встретил «Москвич» в 18 км, а

232

«Запорожец» - в 25 км от В. «Москвич», доехав до В, также повернул назад и встретил «Запорожец» в 8 км от В. Найти расстояние (в километрах) от А до В.


170. К двум бассейнам проведены по трубе (разного диаметра). Через первую трубу налили в первый бассейн определенный объем воды и сразу после этого во второй бассейн через вторую трубу налили такой же объем воды, причем на все это вместе ушло 16ч. Если бы через первую трубу вода текла столько времени, сколько она текла через вторую, а через вторую – столько, сколько она текла через первую, то через первую трубу налилось бы воды на 320 м3 меньше, чем через вторую. Если бы через первую трубу проходило в час воды на 10 м3 меньше, а через вторую – на 10 м3 в час больше, то чтобы налить в оба бассейна поочередно первоначальные объемы, ушло бы 20 часов. Сколько часов лилась вода через вторую трубу?

171. Цех по пошиву игрушек получил заказ на изготовление 14000 чебурашек и 2000 крокодилов. Каждый из 146 рабочих затрачивает на изготовление крокодила то же время, за которое он мог бы изготовить двух чебурашек. Каким образом следует разделить рабочих на две бригады так, чтобы заказ был выполнен за наименьшее время, при условии, что обе бригады приступят к работе одновременно, и каждая бригада будет изготовлять игрушки только одного типа (либо чебурашек, либо крокодилов)?


172. За время хранения вклада в банке проценты по нему начислялись ежегодно: сначала в размере 5% в год, затем 100/9% в год, затем 50/7% и, наконец, 12% в год. Известно, что под воздействием каждой новой процентной ставки вклад находился целое число лет, а по истечении срока хранения первоначальная сумма вклада увеличилась на 180%. Определить срок хранения вклада.

173. Определить наименьшее возможное число участников кружка по изучению башкирской рок – музыки, если процент девочек в это кружке составляет от 96,7% до 96,8%.

174. В кружке мягкой игрушки, где занимается Аделина, более 94% - мальчики. Определить наименьшее возможное количество участников кружка.

175. Имеется три сплава. Первый содержит 30% никеля и 70% меди, второй – 10% меди и 90% марганца, третий – 15% никеля, 25% меди и 60% марганца. Из них необходимо приготовить новый сплав, содержащий

233

40% марганца. Какое наибольшее и какое наименьшее количество меди (в процентах) может быть в этом новом сплаве?


176. На какое натуральное число надо разделить 180, чтобы остаток составил 25% частного?

177. В двух ящиках находится боле 29 одинаковых деталей. Число деталей в первом ящике, уменьшенное на 2, более чем в три раза превышает число во втором ящике. Утроенное число деталей в первом ящике превышает удвоенное число деталей во втором ящике, но менее, чем на 60. Сколько деталей в каждом ящике?

178. Мастер делает за 1 час целое число деталей, большее 5, а ученик – на 2 детали меньше. Один мастер выполняет заказ за целое число часов, а два ученика – на один час быстрее. Из какого количества деталей состоит заказ?

179. Когда Джордж пытался построить своих солдатиков в колонну по 4, по 5 или по 6, то у него всегда один солдатик оставался лишним, а когда он их построил в колонну по 7, то никого лишнего не осталось. Какое наименьшее количество солдатиков могло быть у Джорджа?

§6.2. Последовательности и прогрессии.


1. Последовательность задана формулой an=n2+3n-1. Найти a8. 2. Последовательность задана формулой an=3аn-1-2, а1=2. Найти a5. 3. Последовательность задана формулой an=(-1)n·n. Найти a7. 4. Последовательность задана формулой an=n2+3n-1. Найти a8. 5. Дана арифметическая прогрессия 2; 4;… Найти ее разность. 6. Дана арифметическая прогрессия -5; -9;… Найти ее разность. 7. Пятый член арифметической прогрессии равен 2, а ее разность равна 3.

Найти шестой член этой прогрессии. 8. Пятый член арифметической прогрессии равен 2, а ее разность равна (-

3). Найти четвертый член этой прогрессии. 9. Восьмой член арифметической прогрессии равен (-11), а ее разность

равна 4. Найти девятый член этой прогрессии. 10. Восьмой член арифметической прогрессии равен (-11), а ее разность

равна 4. Найти седьмой член этой прогрессии. 11. Дана геометрическая прогрессия 2; 8;… Найти ее знаменатель.

234

12. Дана геометрическая прогрессия 2; 0,5;… Найти ее знаменатель. 13. Дана геометрическая прогрессия 2; -8;… Найти ее знаменатель. 14. Дана геометрическая прогрессия -0,5; -2;… Найти ее знаменатель. 15. Пятый член геометрической прогрессии равен 4, а ее знаменатель равен

0,5. Найти шестой член этой прогрессии. 16. Пятый член геометрической прогрессии равен 4, а ее знаменатель равен

(-0,5). Найти четвертый член этой прогрессии. 17. Одиннадцатый член геометрической прогрессии равен (-4), а ее

знаменатель равен 5. Найти десятый член этой прогрессии. 18. Одиннадцатый член геометрической прогрессии равен (-4), а ее

знаменатель равен (-5). Найти двенадцатый член этой прогрессии.

Уровень А

19. Последовательность задана формулой an=n2+3n-1. Найти a8. 20. Последовательность задана формулой an=3аn-1-2, а1=2. Найти a5. 21. Последовательность задана формулой an=(-1)n·n. Найти a7. 22. Последовательность задана формулой an=n3-. Найти a8. 23. Последовательность задана формулой an=n2+3n-1. Найти a8. 24. Последовательность (сn) задана рекуррентно: с1=3, сn+1=3сn-2. Найти с4. 25. Последовательность (сn) задана рекуррентно: с1=2, сn+1=3сn-1-2. Найти с5. 26. Последовательность (сn) задана рекуррентно: с1=2, сn+1=сn+4. Найти с5. 27. Последовательность (сn) задана рекуррентно: с1=4, сn+1=2сn. Найти с6. 28. Последовательность (сn) задана рекуррентно: с1=1, сn=3сn-1-1. Найти с4. 29. Первый член арифметической прогрессии равен 8, а ее 33-й член равен

104. Найти сумму первых 33 членов этой прогрессии. 30. Первый член арифметической прогрессии равен (-10), а ее 2-й член

равен (-6). Найти сумму первых 9 членов этой прогрессии. 31. Первый член арифметической прогрессии равен 5, а ее 25-й член равен

(-163). Найти сумму первых 25 членов этой прогрессии. 32. Первый член арифметической прогрессии равен 5, а ее 100-й член равен

509. Найти сумму первых 100 членов этой прогрессии. 33. Первый член арифметической прогрессии равен 7, а ее 50-й член равен

(-385). Найти сумму первых 50 членов этой прогрессии. 34. Первый член арифметической прогрессии равен 8, а ее 33-й член равен

104. Найти разность этой прогрессии. 35. Первый член арифметической прогрессии равен 5, а ее 25-й член равен

(-163). Найти разность этой прогрессии.

235

36. Первый член арифметической прогрессии равен 5, а ее 100-й член равен 509. Найти разность этой прогрессии.

37. Первый член арифметической прогрессии равен 7, а ее 50-й член равен (-385). Найти разность этой прогрессии.

38. Первый член арифметической прогрессии равен 4, а ее 33-й член равен 100. Найти разность этой прогрессии.

39. Первый член арифметической прогрессии равен 11, а ее разность равна 8. Найти сумму первых 17-и членов этой прогрессии.

40. Первый член арифметической прогрессии равен 137, а ее разность равна (-7). Найти сумму первых 23 членов этой прогрессии.

41. Первый член арифметической прогрессии равен 25, а ее разность равна (-2). Найти сумму первых 12-и членов этой прогрессии.

42. Первый член арифметической прогрессии равен 5, а ее разность равна 2. Найти сумму первых 12-и членов этой прогрессии.

43. Первый член арифметической прогрессии равен 7, а ее разность равна (-8). Найти сумму первых 50-и членов этой прогрессии.

44. Первый член арифметической прогрессии равен (-5), а сумма ее первых 23 членов равна 1909. Найти разность этой прогрессии.

45. Первый член арифметической прогрессии равен 81, а сумма ее первых 34 членов равна 510. Найти разность этой прогрессии.


47. Первый член арифметической прогрессии равен 5, а сумма ее первых 23 членов равна (-149). Найти разность этой прогрессии.


49. В арифметической прогрессии двадцать третий член равен (-149), а разность равна (-7). Найти первый член этой прогрессии.

50. В арифметической прогрессии 15 член равен 50, а разность равна 3. Найти первый член этой прогрессии.

51. В арифметической прогрессии 20 член равен 59, а разность равна 3. Найти первый член этой прогрессии.

52. В арифметической прогрессии 10 член равен (-8), а разность равна (-5). Найти первый член этой прогрессии.

53. В арифметической прогрессии 25 член равен (-12), а разность равна (-4). Найти первый член этой прогрессии.

54. В арифметической прогрессии первый член равен 3, а восьмой – 24. Найти разность этой прогрессии.

55. В арифметической прогрессии первый член равен 8, а 33-й 104. Найти разность этой прогрессии.

56. В арифметической прогрессии первый член равен 5, а 25-й (-163). Найти разность этой прогрессии.

236

57. В арифметической прогрессии первый член равен 137, а 23-й (-17). Найти разность этой прогрессии.

58. В арифметической прогрессии первый член равен 96, а 24-й 4. Найти разность этой прогрессии.

59. В геометрической прогрессии (bn) , 81. Найти знаменатель прогрессии.

60. В геометрической прогрессии (bn) b1=0,5, b10=256 . Найти знаменатель прогрессии.

61. В геометрической прогрессии (bn) b1=80, b5=10 . Найти знаменатель прогрессии.

62. В геометрической прогрессии (bn) b1=90 , b4=331 . Найти знаменатель

прогрессии. 63. В геометрической прогрессии (bn) b1=2 , b10=1024. Найти знаменатель

прогрессии. 64. В геометрической прогрессии (bn) , q=2. Найти сумму первых

семи членов этой прогрессии. 65. В геометрической прогрессии (bn) b1=6 , q=2. Найти сумму первых пяти

членов этой прогрессии. 66. В геометрической прогрессии (bn) b1=4, q=-2. Найти сумму первых трех

членов этой прогрессии.

67. В геометрической прогрессии (bn) b4= 241 , q=0,5. Найти сумму первых

шести членов этой прогрессии. 68. В геометрической прогрессии (bn) b5=0,75, q=-2. Найти сумму первых

шести членов этой прогрессии. 69. В геометрической прогрессии (bn) 243, . Найти шестой член

этой прогрессии. 70. В геометрической прогрессии (bn) b1=-1,5 q=2 , . Найти 7-ой член этой

прогрессии. 71. В геометрической прогрессии (bn) b1=3, q=2. Найти 5-ый член этой

прогрессии. 72. В геометрической прогрессии (bn) b1=6, q=-2. Найти 8-ой член этой

прогрессии. 73. В геометрической прогрессии (bn) b1=96, q= 0,5. Найти шестой член этой

прогрессии. 74. Найти сумму всех членов бесконечной геометрической прогрессии с

первым членом 16 и знаменателем .

237

75. Найти сумму всех членов бесконечной геометрической прогрессии с

первым членом (-20) и знаменателем 71 .


первым членом 15 и знаменателем 61 .

77. Найти сумму всех членов бесконечной геометрической прогрессии с первым членом 18 и знаменателем (-0,2).


первым членом 130 и знаменателем 73 .

79. Найти первый член бесконечной геометрической прогрессии, если ее знаменатель равен , а сумма всех ее членов равна 80.

80. Найти сумму бесконечной геометрической прогрессии, если ее

знаменатель равен 31 ,а b2=7.

81. Найти сумму бесконечной геометрической прогрессии, если ее

знаменатель равен (-41 ), а b1=25.

82. Найти первый член бесконечной геометрической прогрессии, если ее

знаменатель равен 73 , а сумма всех ее членов равна 42.

83. Найти cумму бесконечной геометрической прогрессии, если ее

знаменатель равен (-41 ), а b1=16.

84. Найти знаменатель бесконечно убывающей геометрической прогрессии, если ее первый член равен 18, а сумма всех ее членов 15. –

85. Найти знаменатель бесконечно убывающей геометрической прогрессии, если ее первый член равен (-20), а сумма всех ее членов (-

2331 ).

86. Найти знаменатель бесконечно убывающей геометрической прогрессии, если ее первый член равен 16, а сумма всех ее членов 12,8. –

87. Найти знаменатель бесконечно убывающей геометрической прогрессии, если ее первый член равен 15, а сумма всех ее членов 18.

88. Найти знаменатель бесконечно убывающей геометрической прогрессии, если ее первый член равен 24, а сумма всех ее членов 42.

238

Уровень В

89. Дана последовательность . Найти номер члена

последовательности, равного 1 . 90. Дана последовательность an=n3-n . Найти номер члена

последовательности, равного 24. 91. Дана последовательность an=n(n-1). Найти номер члена

последовательности, равного 110.

92. Дана последовательность an= 312 −п . Найти номер члена

последовательности, равного 31. 93. Дана последовательность an= n2. Найти номер члена

последовательности, равного 576. 94. Найдите наибольший член последовательности, заданной формулой

10 18 2 . 95. Найдите наибольший член последовательности, заданной формулой

an=4n-3-n2 . 96. Найдите наибольший член последовательности, заданной формулой

an=6n-7-n2 . 97. Найдите наименьший член последовательности, заданной формулой

an=3n2+5n-2 . 98. Найдите наибольший член последовательности, заданной формулой

an=-n2+2n+8 . 99. В арифметической прогрессии 25-й член равен (-12), а сумма первых 25-

и первых членов равна 900. Найти разность прогрессии. 100. В арифметической прогрессии 33-й член равен 104, а сумма первых 33-х

п членов равна 1848. Найти разность прогрессии. 101. В арифметической прогрессии 25-й член равен (-163), а сумма первых

25-и членов равна -1975. Найти разность прогрессии. 102. В арифметической прогрессии 50-й член равен (-385), а сумма первых

50-и членов равна -9450. Найти разность прогрессии. 103. В арифметической прогрессии 17-й член равен 139, а сумма первых 17-и

членов равна 1275. Найти разность прогрессии. 104. Найти сумму всех двузначных натуральных чисел. 105. Найти сумму всех натуральных чисел, не превосходящих 170,которые

делятся на 6. 106. Найти сумму всех натуральных чисел, не превосходящих 200,которые

делятся на 8. 107. Найти сумму всех натуральных чисел, не превосходящих 400,которые

делятся на 9.

239

108. Найти сумму всех натуральных чисел, не превосходящих 370,которые делятся на 7.

109. Найти сумму всех трехзначных натуральных чисел, кратных 7. 110. Найти сумму всех натуральных чисел, кратных 3 и не превосходящих

150. 111. Найти сумму всех натуральных чисел, кратных 5 и не превосходящих

300. 112. Найти сумму всех натуральных чисел, не кратных 6 и не

превосходящих 200. 113. Найти сумму всех натуральных чисел, не кратных 3 и не

превосходящих 250. 114. Найти сумму всех двузначных чисел, которые при делении на 4 дают в

остатке единицу. 115. Найдите сумму всех последовательных натуральных чисел с 60 до 110

включительно. 116. Сколько последовательных натуральных чисел, начиная с 1, нужно

сложить, чтобы их сумма была равна 120? 117. Найдите сумму всех последовательных натуральных чисел с 50 до 120

включительно. 118. Сколько последовательных натуральных чисел, начиная с 1, нужно

сложить, чтобы их сумма была равна 105? 119. Найти сумму всех трехзначных чисел, не превосходящих 200, которые

при делении на 5 дают в остатке 3. 120. Найти сумму всех отрицательных членов арифметической прогрессии:

-7,1; -6,3… 121. Какое наибольшее число последовательных нечетных чисел, начиная с

1, нужно сложить, чтобы получившаяся сумма осталась меньше 300 ? 122. Найти сумму всех положительных членов арифметической прогрессии:

6,3; 5,8… 123. Какое наименьшее число последовательных нечетных чисел, начиная с

1, нужно сложить, чтобы получившаяся сумма была больше 500? 124. Числа 1 и √3 являются четвертым и седьмым членами геометрической

прогрессии. Найти десятый член этой прогрессии. 125. Числа 315 и 317 являются двенадцатым и четырнадцатым членами

геометрической прогрессии. Найти первый член этой прогрессии. 126. Числа 48 и 192 являются пятым и седьмым членами геометрической

прогрессии. Найти второй член этой прогрессии. 127. Числа 2-12 и 2-14 являются восьмым и десятым членами геометрической

прогрессии. Найти первый член этой прогрессии. 128. Числа 1024 и 4096 являются десятым и двенадцатым членами

геометрической прогрессии. Найти первый член этой прогрессии.

240

129. Найдите номер наименьшего положительного члена арифметической прогрессии, если ее второй член равен 2,9, а разность равна (-0,1).

130. Найдите номер первого положительного члена арифметической прогрессии, если ее второй член равен (-9,5), а разность равна 0,7.

131. Найдите номер первого отрицательного члена арифметической прогрессии, если ее второй член равен 11,2, а разность равна 1,3.

132. Сколько положительных членов в арифметической прогрессии 96,4; 91,8,…?

133. Сколько отрицательных членов в арифметической прогрессии -38,5; -35,8…?

134. В арифметической прогрессии а4=4, а9=11. Найдите разность этой прогрессии.




138. В арифметической прогрессии а3=13,5, а5=10,5. Найдите разность этой прогрессии.

139. Первый и пятидесятый члены арифметической прогрессии асоответственно равны 4 и 102. Найти сумму первых 50 ее членов.

140. Третий и седьмой члены арифметической прогрессии соответственно равны 1,1 и 2,3. Найти сумму первых десяти ее членов.

141. Первый и сороковой члены арифметической прогрессии соответственно равны 74 и (-43). Найти сумму первых 40 ее членов.

142. Первый и двадцатый члены арифметической прогрессии соответственно равны 2 и 59. Найти сумму первых 20 ее членов.

143. Первый и десятый члены арифметической прогрессии соответственно равны 37 и (-8). Найти сумму первых десяти ее членов.

144. Найти произведение √2 · √2 · √2 · √2 · … 145. Найти произведение 9900·0,23676767… 146. Найти произведение 3300·0,214151515… 147. Найти произведение 9·7,777… 148. Переведите в несократимую дробь число 0,(45) и найдите числитель

этой дроби. 149. В геометрической прогрессии b7=0,125, q=0,5. Найдите b2.

150. В геометрической прогрессии b4=331 , q=

31 . Найдите b2.

151. В геометрической прогрессии b6=81, q=3. Найдите b2. 152. В геометрической прогрессии b10=1024, q=2. Найдите b2.

241

153. В геометрической прогрессии b10=1, q=0,5. Найдите b7. 154. Сколько членов арифметической прогрессии 5; 9; 13; 17;…, чтобы

получить сумму, равную 10877? 155. Сколько членов арифметической прогрессии -10; -6; -2; 2;…, чтобы

получить сумму, равную 54? 156. Сколько членов арифметической прогрессии 4; 6; 18; …, чтобы



получить сумму, равную 145? 159. Сумма второго и пятого членов арифметической прогрессии равна 8, а

сумма третьего и седьмого равна 14. Найти разность этой прогрессии. 160. Сумма пятого и девятого членов арифметической прогрессии равна 40.

Найти а3+а7+а11. 161. Сумма третьего и одиннадцатого членов арифметической прогрессии

равна 20. Найти а7. 162. Сумма четвертого и шестого членов арифметической прогрессии равна

38. Найти а2+а5+а8. 163. Найдите сумму первых двенадцати членов арифметической прогрессии,

если а1=3, а15=31. 164. Сумма первых шести членов возрастающей арифметической прогрессии

равна 90, а разность пятого и второго ее членов равна 12. Найти шестой член этой прогрессии.

165. Дана арифметическая прогрессия(аn). Известно, что а1+а5= 35 , а3а4= 72

65 .

Найдите сумму первых 17 членов арифметической прогрессии. 166. Дана арифметическая прогрессия(аn). Известно, что а9=5а2, а13=2а6+5.

Найдите а1. 167. Дана арифметическая прогрессия(аn). Известно, что а3+а9=8. Найдите

сумму первых 11 членов арифметической прогрессии. 168. Дана арифметическая прогрессия(аn). Известно, что а13=3а3, а18=2а7+8.

Найдите а1. 169. Найти сумму первых 11 членов арифметической прогрессии, если сумма

третьего и девятого ее членов равна 10. 170. Найти сумму первых 10 членов арифметической прогрессии, если S3=0,

а S4=1 . 171. Найти сумму первых 11 членов арифметической прогрессии, если

а1 +а4+а13=-23? 172. Найти сумму первых 27 членов арифметической прогрессии, если

S15+8=S12.

242

173. Найти сумму первых 14 членов арифметической прогрессии, если а12-а6=14, а6+а3=4.

174. Найти первый член арифметической прогрессии, если сумма первых трех ее членов равна 27, сумма их квадратов равна 275, а разность прогрессии отрицательная.

175. Дана арифметическая прогрессия (аn).Найдите (а9-а7)2, если а8а4+27=а7а5.

176. Найти сумму первых 24 членов арифметической прогрессии, если а2=3а9 .

177. Найти сумму первых 10 членов арифметической прогрессии, если а2=3,1, а3=2,7.

178. Найти сумму первых 10 членов арифметической прогрессии, если а2+а5=41, а1а3=144.

179. Найти сумму членов с десятого по девятнадцатый включительно арифметической прогрессии -3;-1;…

180. Дана арифметическая прогрессия (аn).Найдите S28, если S8=32, S21=200.

181. Сумма первых пяти членов арифметической прогрессии равна 27,5, а сумма следующих пяти ее членов равна 90. Найдите сумму членов этой прогрессии с 11 по 15 включительно.

182. Дана арифметическая прогрессия (аn).Найдите S35, если S15=20, S20=15. 183. Сумма первых десяти членов арифметической прогрессии равна 95, а

сумма следующих десяти ее членов равна 295. Найдите сумму членов этой прогрессии с 21 по 30 включительно.

184. Найти сумму членов с третьего по шестой включительно геометрической прогрессии ; ; …

185. Дана геометрическая прогрессия (bn). Найдите b5, если q=3, S6=1820. 186. Дана геометрическая прогрессия (bn). Сумма первых ее трех членов

равна 9, а сумма следующих ее трех членов равна (-72). Найдите b8. 187. В геометрической прогрессии с четным числом членов сумма всех ее

членов в 3 раза больше суммы членов, стоящих на нечетных местах. Найдите знаменатель геометрической прогрессии.

188. Найти сумму членов с 15 по 21 включительно геометрической прогрессии , если S7=14, а S14=18.

189. В арифметической прогрессии (an) 175

133 =аа

. Найдите 47

2510аа⋅

.


44 =аа

. Найдите 47

2513аа⋅ .

243


49 =аа

. Найдите 31

2032аа⋅

.


38 =аа

. Найдите 40

1542аа⋅

.

193. Три различных числа a, b, c образуют геометрическую прогрессию, а числа a+b, b+c, a+c образуют арифметическую прогрессию. Чему равен знаменатель геометрической прогрессии?

194. Три положительных числа образуют возрастающую геометрическую прогрессию. Если последнее из них уменьшить вдвое, то получится арифметическая прогрессия. Чему равен знаменатель q этой прогрессии.

195. Три положительных числа a, b, c образуют геометрическую прогрессию, а числа a-b, b+c, b-c образуют арифметическую прогрессию. Чему равен знаменатель геометрической прогрессии?

196. Восьмой член арифметической прогрессии с ненулевой разностью равен 60. Известно, что первый, седьмой и двадцать пятый члены образуют геометрическую прогрессию. Чему равен знаменатель геометрической прогрессии?

197. Определить наименьшее число членов прогрессии 3, 5, 7,… которое нужно взять, чтобы их сумма была больше 143.

198. Дана арифметическая прогрессия (аn). Известно, что а1=429, d=-22. Сколько членов этой прогрессии нужно взять, чтобы их сумма была равна 3069 ?

199. Дана арифметическая прогрессия (аn). Известно, что а1=111, d=-6. Какое наименьшее число последовательных членов этой прогрессии, начиная с первого, нужно взять, чтобы их сумма была отрицательной ?

200. Дана арифметическая прогрессия (аn). Известно, что а1=-100, d=8. Какое наименьшее число последовательных членов этой прогрессии, начиная с первого, нужно взять, чтобы их сумма была положительной ?

201. Сколько надо взять последовательных натуральных чисел, кратных трем, начиная с трех, чтобы их сумма была равна 165?

Уровень С

202. Планируя выпуск нового электронного прибора, экономисты предприятия определили, что в первый месяц может быть изготовлено 200 приборов. Далее предполагалось ежемесячно увеличивать выпуск на 20 изделий. За сколько месяцев предприятие сможет изготовить по этому плану 11000 приборов?

203. За первый час работы Джону заплатили 3 доллара, а за каждый последующий платили на 4 доллара больше, чем за предыдущий.

244

Сколько долларов заплатили Джону за последний день работы, если за всю работу он получил в сумме 820 долларов?

204. Три числа образуют геометрическую прогрессию. Если среднее из них умножить на , то получится арифметическая прогрессия. Найти знаменатель исходной геометрической прогрессии, при условии, что он меньше единицы.

205. Сумма второго, шестого и десятого членов арифметической прогрессии равна 36, а произведение шестого и девятого членов равно 216. Найти сумму первых пятидесяти членов этой прогрессии.

206. Сумма первого и пятого членов арифметической прогрессии, все члены которой натуральные числа, меньше 24, а сумма второго и третьего членов больше 16. Найти сороковой член этой прогрессии, если ее разность равна 4.

207. Члены геометрической прогрессии – натуральные числа. Третий член этой прогрессии равен кубу первого, а сумма первых трех ее членов в 7 раз больше первого члена. Найти сумму первого члена и знаменателя этой прогрессии.

208. Сумма трех чисел, составляющих возрастающую геометрическую прогрессию, равна 70. Если из них вычесть соответственно 2, 8 и 24, то вновь полученные числа составят геометрическую прогрессию. Найти сумму первых двенадцати членов геометрической прогрессии.

Уровень D

209. Вычислить · · · ·

210. Вычислить · · ·

211. Три различных числа x,y,z образуют в указанном порядке

геометрическую прогрессию, а числа x+y, y+z, z+y образуют в указанном порядке арифметическую прогрессию. Найти знаменатель геометрической прогрессии.

212. Три целых числа составляют геометрическую прогрессию. Если из них третий член уменьшить на 64, то полученные три числа составят арифметическую прогрессию. Если затем второй член этой арифметической прогрессии уменьшить на 8, то получится геометрическая прогрессия. Определить меньшее из этих чисел.

213. Сумма бесконечно убывающей геометрической прогрессии равна 8, а сумма квадратов ее членов равна . Найти отношение первого члена к знаменателю прогрессии.

245

Глава 7. Элементы комбинаторики, теории вероятностей и математической статистики.


Вычислите: 1. 2! 2. 5! 3. 0! 4. 4! 5. 6!

6. 68C 7.

36C 8.

25C 9.

58C 10.

37C

11. 68A 12.

36A 13.

25A 14.

58A 15.

37A

16. Р2 17. Р3 18. Р4 19. Р5 20. Р6

Уровень А

Найти среднее арифметическое заданных числовых рядов: 21. 1; 3; 4; 3; -2; 4; 8; 4; 5; 4; -3. 22. 2; -5; 4; -3; -2; 1. 23. -2; -2; 3; 3; 3; 5; 5. 24. В следующей таблице приведены данные о рабочем стаже сотрудников

фирмы. Стаж работы 1 2 4 5 7 10 11 12 16 19 20 21 22 25 Число сотрудников

2 1 4 3 4 2 3 1 2 5 3 1 1 2

Найти среднее арифметическое рассматриваемой совокупности. 25. Найти среднее значение случайной величины X, заданной частотным

распределением: X -1 3 2 5 7 -3 8 1 M 6 5 1 5 3 10 10 5

Найти среднее значение этой величины. Найти моду заданных числовых рядов: 26. 1; 3; 4; 3; -2; 4; 8; 4; 5; 4; -3. 27. 1, 3, 5, 3, -2, 5, 8, 5, 5, 5, -3. 28. 1, -9, 0, 0, 9, 1, 7, -3, 9, 0, 7, 1 (или среднее арифметическое мод, если их

несколько) 29. В следующей таблице приведены данные о рабочем стаже сотрудников

фирмы. Стаж работы 1 2 4 5 7 10 11 12 16 19 20 21 22 25 Число 2 1 4 3 4 2 3 1 2 5 3 1 1 2

246

сотрудников Найти моду рассматриваемой совокупности.

30. Найти моду (или сумму мод, если их несколько) совокупности X, где случайная величина X задается частотным распределением:

X -1 3 2 5 7 -3 8 1 M 6 5 1 5 3 10 10 5

Найти размах заданных числовых рядов: 31. 1, 3, 4, 3, -2, 4, 8, 4, 5, 4, -3. 32. 2,4; 4,7; -1; 8,2. 33. В следующей таблице приведены данные о рабочем стаже сотрудников


2 1 4 3 4 2 3 1 2 5 3 1 1 2

Найти размах рассматриваемой совокупности. 34. Найти размах ряда, где случайная величина X, задается частотным

распределением: X -1 3 2 5 7 -3 8 1 M 6 5 1 5 3 10 10 5

35. Дан ряд чисел: 1, 3, 4, 3, -2, 4, 8, 4, 5, 4, -3. Найти медиану этого ряда. 36. Дан ряд чисел: 12,2; 13,2; 13,7; 18; 18,6; 12,2; 18,5; 12,4; 14,2; 17,8. Найти

медиану этого ряда. 37. Дан ряд чисел: 1, 1, 2, 2, 2, 3, 5, 5, 6, 6, 6, 9. Найти медиану этого ряда. 38. В следующей таблице приведены данные о рабочем стаже сотрудников


2 1 4 3 4 2 3 1 2 5 3 1 1 2

Найти медиану рассматриваемой совокупности. 39. Найти медиану ряда случайных величин, где случайная величина X,

задается частотным распределением: X -1 3 2 5 7 -3 7 1 M 6 5 1 5 3 10 10 5

40. В партии из 1000 лампочек обнаружено 35 бракованных. Найти относительную частоту появления бракованной лампочки.

41. В сентябре было 27 солнечных дней. Первоклассник Ваня наугад выбирает даты (с 1 по 30 сентября). Какова относительная частота появления той даты, в которой был солнечный день.

42. Препарат «Ремнин» излечил от лени 872 пациента из 1000. Какова относительная частота исцеления в рассмотренном исследовании?

247

43. В партии из 1000 лампочек обнаружено 35 бракованных. Найти процентную частоту появления бракованной лампочки.

44. В сентябре было 27 солнечных дней. Первоклассник Ваня наугад выбирает даты (с 1 по 30 сентября). Какова процентная частота появления той даты, в которой был солнечный день.

45. Препарат «Ремнин» излечил от лени 872 пациента из 1000. Какова процентная частота исцеления в рассмотренном исследовании?

46. Найти вероятность (в процентах) выборки красного шара из корзины, содержащей 4 белых, 8 зеленых и 8 красных шаров.

47. Для проведения лотереи отпечатали 75 билетов, среди которых 6 выигрышных. Найти вероятность (в процентах) того, что билет окажется без выигрыша?

48. Найти вероятность (в процентах) того, что при бросании шестигранного игрального кубика выпадет более двух очков.

49. Для экзамена подготовили билеты с номерами от 1 до 50 (включительно). Найти вероятность (в процентах) того, что взятый наугад билет имеет двузначный номер.

50. В коробке находятся 4 красных, 7 синих и 5 зеленых карандашей. Найти вероятность (в процентах) того, что взятый наугад карандаш окажется синим.

51. В коробке находятся 4 красных, 7 синих и 5 зеленых карандашей. Найти вероятность (в процентах) того, что взятый наугад карандаш окажется не синим.

52. Всхожесть семян конопли определенного сорта равна 0,85. Посадили 900 семян этого сорта. Найти ожидаемое число проросших семян.

53. Всхожесть семян конопли определенного сорта равна 92%. Посадили 900 семян этого сорта. Найти ожидаемое число проросших семян.

54. При опросе учеников первых классов на уроке математики вероятность верного ответа составляет 84%. Найти ожидаемое число верных ответов при опросе 26 первоклассников.

55. При опросе учеников первых классов на уроке математики вероятность верного ответа составляет 0,9. Найти ожидаемое число верных ответов при опросе 20 первоклассников.

56. Вероятность выигрыша в одну из лотерей составляет 0,07. Какова вероятность проигрыша в этой лотереи? Выразите полученную вероятность в процентах.

57. Вероятность вытащить невыученный билет для Васи Хулиганова составляет 0,92. Найти вероятность того, что Вася Хулиганов вытащит билет, который он выучил. Выразить полученную вероятность в процентах.

58. Вычислить

248

59. Вычислить 12 ·

60. Вычислить 12 · 61. Сколькими различными способами можно построить 9 солдат в

шеренгу? 62. Сколько различных анаграмм можно получить, переставляя буквы в

слове «черника»? 63. Сколько различных чисел можно получить, переставляя цифры в числе

14367? 64. Сколькими различными способами можно из группы в 7 человек

выбрать троих? 65. В магазине имеется 15 видов украшений для елки. Сколько различных

комплектов подарков из 3 видов украшений можно скомпоновать? 66. Сколькими различными способами в классе из 25 человек можно

назначить двух дежурных? 67. Сколькими различными способами в классе из 25 человек можно

назначить двух дежурных, один из которых – старший дежурный? 68. У разведчика есть 7 сигнальных ракет разного цвета. Сколько условных

сигналов 5 ракетами последовательно он сможет подать? 69. В некотором алфавите содержится 10 букв. Сколько слов из 4

различных букв можно составить? 70. Сколькими различными способами могут быть распределены золотая,

серебряная и бронзовая медали среди 13 участников соревнований по художественному скалолазанию?

71. У отца есть 5 различных книг, которые он дарит 8 сыновьям, причем каждому сыну – не более одной книги. Сколькими различными способами он может это сделать?

Уровень В

72. Найти дисперсию выборки 10; 12; 7; 11 73. Найти дисперсию выборки 5; 12; 7; 8; 18 74. Найти дисперсию выборки 6; 8; 10; 12; 9 75. Сколькими различными способами можно записать в виде произведения

простых множителей число 210? 76. Сколько различных анаграмм можно получить, переставляя буквы в

слове «математика»? 77. На окружности отмечено 10 различных точек. Сколько существует

различных треугольников с вершинами в этих точках?

249

78. На окружности отмечено 10 различных точек. Сколько различных выпуклых четырехугольников можно провести с концами в отмеченных точках?

79. Сколькими различными способами можно расставить белые фигуры (два коня, два слона, две ладьи, ферзя и короля) на первой линии шахматной доски?

80. У мамы 2 яблока, 3 груши и 4 апельсина. Каждый день она выдает сыну по одному фрукту. Сколькими различными способами это может быть сделано?

81. В компании из 18 человек каждый обменялся с каждым рукопожатием. Сколько всего было рукопожатий?

82. В чемпионате Англии по футболу участвуют 22 команды в один круг (каждая команда играет с каждой по одной игре). Сколько всего игр английского чемпионата играется за один сезон?

83. На плоскости отметили 12 точек. Сколько можно провести различных отрезков с концами в данных точках?

84. Найти количество диагоналей у выпуклого 100-угольника. 85. В продаже имеется 7 видов конвертов и 5 видов марок. Сколькими

различными способами можно выбрать конверт с маркой? 86. Из пункта А в пункт В ведут 12 дорог, а из В в С – 5 дорог. Сколькими

различными путями можно попасть из А в С через В? 87. Однажды 5 штангистов и 8 сумоистов встретились и сыграли каждый с

каждым по одной партии в шашки. Сколько было партий в которых встречались штангист и сумоист?

88. Из 12 английских, 8 французских и 20 башкирских слов выбирают по одному слову каждого языка. Сколькими способами можно сделать этот выбор?

89. Сколько различных трехзначных чисел можно составить из цифр 1, 2, 3, 4, 0 (цифры можно повторять)?

90. Сколько различных четырехзначных чисел можно составить из цифр 1, 2, 3, 4, 5, 0 (цифры можно повторять)?

91. Сколько различных трехзначных нечетных чисел можно составить из цифр 1, 2, 3, 4, 0 (цифры можно повторять)?

92. Сколько различных трехзначных четных чисел можно составить из цифр 1, 2, 3, 4, 0 (цифры можно повторять)?

93. Сколькими различными способами можно из 5 старших, 8 младших научных сотрудников и трех лаборанток отправить в командировку 2 старших, 1 младшего научного сотрудников и двух лаборанток?

94. На почте продается 5 различных конвертов без марок и 4 марки. Сколькими способами можно выбрать конверт с двумя марками для отправки письма?

250

95. В классе учатся 16 мальчиков и 12 девочек. Для уборки класса требуется выделить трех девочек и четырех мальчиков. Сколькими различными способами это можно сделать?

96. В классе учатся 16 мальчиков и 12 девочек. Чтобы сделать уборку в классе, классный руководитель Виктор Александрович назначает 3 девочек или 4 мальчиков. Сколькими различными способами Виктор Александрович может назначить дежурных?

97. Из отдела, в котором работают 8 человек, шеф хочет направить двоих на уборку территории, а троих – на покраску забора. Сколькими различными способами он может это сделать?

98. Из отдела, в котором работают 8 человек, шеф хочет направить двоих на уборку территории или троих – на покраску забора. Сколькими различными способами он может это сделать?

99. На уроке математики Вася Хулиганов и Дуся Отличникова всегда сидят за одной партой. Сколькими различными способами можно их рассадить, если в классе 15 двухместных парт?

100. У отца есть 5 книг, которые он дарит 8 сыновьям. Сколькими различными способами он может это сделать?

101. После того, как в лифт зашли 6 человек, он останавливается на четырех этажах. Сколькими различными способами эти 6 человек могут выйти из лифта?

102. Каждый их шести одноклассников собирается вечером пойти либо в казино, либо зарабатывать деньги. Сколькими различными способами эти шесть одноклассников смогли бы провести вечер?

103. Два почтальона должны разнести 10 писем по 10 адресам. Сколькими способами они могут распределить работу?

104. Случайным образом выбрали двузначное число. Какова вероятность того, что оно состоит из одинаковых цифр (выразить вероятность в процентах)?

105. Из 28 костей домино случайно выбрали одну. Найти вероятность того, что на ней не выпала «пятерка» (выразить вероятность в процентах).

106. В корзине находятся шары с номерами 1, 2, 3, 4, 5. Из коробки наугад выбирают два шара. Какова вероятность того, что сумма номеров на них равна 3? Выразить полученный результат в процентах.

107. Из пяти карт: четырех тузов разной масти и дамы пик случайным образом вытащили две карты. Найти вероятность того, что среди выбранных карт есть бубновый туз. Выразить полученную вероятность в процентах.

108. В одной партии деталей 4% бракованных, а в другой – 7% бракованных. Наугад берут по одной детали из каждой партии. Какова вероятность того, что обе детали окажутся бракованными (выразить вероятность в процентах)?

251

109. В семье трое детей. Какова вероятность (в процентах), что все они – мальчики? Считать, что вероятность рождения мальчика – 60%.

110. При изготовлении детали совершается две операции. Вероятность брака при первой операции 2%, а при второй – 5%. Найти вероятность того, что после двух операций деталь окажется стандартной (выразить вероятность в процентах).

111. При стрельбе по мишени первый стрелок попадает 800 раз из тысячи, а второй – 750 из тысячи. Оба стрелка выстрелили по мишени одновременно. Какова вероятность (в процентах) того, что мишень будет поражена?

Уровень С

112. Сколько различных четных чисел можно составить, переставляя цифры в числе 123450?

113. Сколько различных четных чисел можно составить, переставляя цифры в числе 122345000?

114. На окружности отмечено 10 различных точек А1, А2, …,А10. Сколько различных треугольников можно провести с концами в отмеченных точках, не имеющих общих точек с прямой А1А5?

115. Семь мальчиков, в число которых входят Тагир и Риф, становятся в ряд, причем Тагир и Риф должны стоять рядом. Найдите число возможных комбинаций таких расстановок.

116. Учитель физкультуры хочет построить в ряд 9 человек, среди которых Вася Хулиганов, Дуся Отличникова и Кеша Ударников. Сначала учитель поставил рядом Васю, Дусю и Кешу рядом в некотором порядке, а затем в один ряд с ними – оставшихся 6 человек. Сколькими способами учитель может построить учеников таким образом?

117. 12 ученикам даны два варианта контрольной работы. Сколькими различными способами можно посадить учеников в два ряда так, чтобы у сидящих рядом были разные варианты, а у сидящих друг за другом – один и тот же вариант.

118. Сколькими различными способами можно поставить на шахматную доску белого и черного королей так, чтобы они не били друг друга?

119. У англичан принято давать детям несколько различных имён. Сколькими различными способами можно назвать ребенка, если общее число имён равно 300, а ему дают не более трех имён (порядок важен, т.е. имена Вася – Саша и Саша – Вася различные)?

120. В племени Тумба - Юмба принято давать детям несколько различных имён. Сколькими различными способами можно назвать ребенка, если общее число имён равно 300, а ему дают не более трех имён (порядок не важен, т.е. имена Вася – Саша и Саша – Вася не различаются)?

252

121. Сколько различных натуральных чисел, содержащих не более трех разрядов, можно составить из цифр 0, 1,2,3,4?

122. Сколько существует шестизначных чисел, в записи которых есть хотя бы одна четная цифра?

123. Сколько существует различных натуральных четырехзначных чисел, в десятичной записи которых имеется цифра 3?

124. Сколькими различными способами первоклассник Ваня может выложить в тетради цветок из шести лепестков различного цвета?

125. В ящике находятся 4 белых и 2 черных шара. Наугад вынимают 2 шара. Найти вероятность того, что будут вынуты 2 белых шара (выразить вероятность в процентах).

126. В ящике находятся 4 белых и 2 черных и 3 красных шара. Наугад вынимают 2 шара. Найти вероятность того, что будут вынуты 2 красных шара. Выразить вероятность в процентах. В ответе записать целую часть полученного числа.

127. В ящике находятся 4 белых и 2 черных и 3 красных шара. Наугад вынимают 3 шара. Найти вероятность того, что будут вынуты 2 красных и 1 белый шар. Выразить вероятность в процентах. В ответе записать целую часть полученного числа.

128. В ящике находятся 4 зеленых и 6 красных шаров. Наугад вынимают 3 шара. Найти вероятность того, что среди выбранных шаров 2 окажутся красными, а один - зеленым. Выразить вероятность в процентах.

129. В ящике находятся 5 белых и 3 черных шара. Наугад вынимают 2 шара. Найти вероятность того, что будут вынуты шары одинакового цвета. Выразить вероятность в процентах. В ответе записать целую часть полученного числа.

130. В ящике находятся 4 белых и 2 черных и 3 красных шара. Наугад вынимают 3 шара. Найти вероятность того, что среди выбранных шаров будет хотя бы один красный шар. Выразить вероятность в процентах. В ответе записать целую часть полученного числа.

131. В вазе 11 гвоздик, из которых 4 красные. Наугад выбирают три гвоздики. Какова вероятность того, что хотя бы одна из них будет красной? Выразить вероятность в процентах. В ответе записать целую часть полученного числа.

132. При подготовке к коллоквиуму студент выучил 30 вопросов из 35. Какова вероятность того, что он ответит на все 3 вопроса в билете?

133. В мастерскую для ремонта поступили 10 часов. Известно, что 6 штук из них нуждаются в общей чистке механизма. Мастер берет первые попавшиеся 5 часов. Определить вероятность того, что двое из этих часов нуждаются в общей чистке механизма.

253

134. Из комнаты, в которой 9 отличников и 7 двоечников, случайно выбирают 7 человек. Какова вероятность того, что будут отобраны 5 отличников и 2 двоечника?

Уровень D

135. Садовнику необходимо высадить 14 саженцев в течении 5 дней, причем

каждый день он обязан высаживать хотя бы один саженец. Сколькими способами он может это сделать?

136. Шесть ящиков занумерованы числами от 1 до 6. Сколькими способами можно разложить по этим ящикам 20 одинаковых шаров так , чтобы ни один ящик не оказался пустым?

137. Садовнику необходимо высадить 14 саженцев в течении 5 дней. Сколькими способами он может это сделать?

138. Шесть ящиков занумерованы числами от 1 до 6. Сколькими способами можно разложить по этим ящикам 20 одинаковых шаров.

139. Сколько различных бус можно составить из шести бусинок разного цвета?

140. Учительница 1Г класса Ирина Талгатовна хочет разделить 12 человек на пары. Сколькими различными способами она сможет это сделать?

141. Учительница 1Г класса Ирина Талгатовна хочет разделить 12 человек на пары и построить эти пары в колонну. Сколькими различными способами она сможет это сделать?

142. Учительница 1Г класса Ирина Талгатовна хочет разделить 6 мальчиков и 6 девочек на пары для исполнения парного танца. Сколькими различными способами она сможет это сделать?

143. Учительница 1Г класса Ирина Талгатовна хочет 6 мальчиков и 6 девочек рассадить за 6 парт так, чтобы каждый мальчик сидел за одной партой с девочкой?

144. Учительница 1Г класса Ирина Талгатовна хочет 6 мальчиков и 6 девочек рассадить за 6 парт так, чтобы каждый мальчик сидел слева, а девочка - справа?

145. Найти вероятность того, что при четырех бросаниях игрального кубика «пятерка» выпадет ровно два раза.

146. Найти вероятность того, что при четырех бросаниях игрального кубика «пятерка» выпадет ровно три раза.

147. Вероятность получения удачного результата при производстве сложного химического опыта равна 2/3. Найти вероятность того, что пять опытов пройдут удачно, если их общее число шесть.

148. Баскетболист попадает в кольцо с вероятностью 0,9. За игру он произвел 6 бросков. Найти вероятность того, что он попал в кольцо 1 раз.

254

149. В первой урне содержится 4 черных и 3 белых шаров, во второй урне 6 черных и 2 белых шара, в третьей урне 7 черных и 5 белых шаров. Из случайно выбранной урны наудачу извлекли один шар. Найти вероятность того, что шар белый.

150. В первой коробке содержится 3 неокрашенных и 5 окрашенных деталей, во второй коробке 2 неокрашенных и 7 окрашенных деталей, в третьей коробке 3 неокрашенных и 2 окрашенных детали. Из случайно выбранной коробки наудачу извлекли одну деталь, оказавшуюся неокрашенной. Найти вероятность того, что она извлечена из первой коробки.

151. В четырех домиках живут жувчики – хрямзики и мымрики. В первом домике находятся 4 хрямзика и 6 мымриков, во втором – 3 хрямзика и 7 мымриков, в третьем – 2 хрямзика и 8 мымриков, в четвертом – 1 хрямзик и 9 мымриков. Из случайно выбранного домика случайным образом извлекли жувчика. Найти вероятность того, что выбранный жувчик является хрямзиком.

152. В четырех домиках живут жувчики – хрямзики и мымрики. В первом домике находятся 4 хрямзика и 6 мымриков, во втором – 3 хрямзика и 7 мымриков, в третьем – 2 хрямзика и 8 мымриков, в четвертом – 1 хрямзик и 9 мымриков. Из случайно выбранного домика случайным образом извлекли жувчика, который оказался хрямзиком. Найти вероятность того, что выбранный хрямзик жил в первом домике.

153. В первой урне 7 белых и 3 черных шара, во второй – 8 белых и 2 черных. При перевозке из первой урны во вторую урну перекатились два шара. После того, как шары во второй урне перемешались, из неё выкатился шар. Найти вероятность того, что выкатившийся из второй урны шар белый.

154. В первой урне 7 белых и 3 черных шара, во второй – 8 белых и 2 черных. При перевозке из первой урны во вторую урну перекатились два шара. После того, как шары во второй урне перемешались, из неё выкатился белый шар. Найти вероятность того, что из первой урны во вторую перекатились разноцветные шары.

155. Сообщение со спутника на землю передаётся в виде бинарного кода, то есть как упорядоченного набора нулей и единиц. Предположим, что послание на 70% состоит из нулей. Помехи приводят к тому, что только 80% нулей и единиц правильно распознаются приёмником. Если принят сигнал “1”, то какова вероятность того, что отправлен сигнал “0”?

255

Глава 8. Типовые варианты ЕГЭ.

Инструкция по выполнению работы

На выполнение экзаменационной работы по математике дается 4

часа (240 мин). Работа состоит из трех частей и содержит 26 заданий.

Часть 1 содержит 13 заданий (А1–А10 и В1–В3) базового уровня по

материалу курса математики. К каждому заданию А1–А10 приведены 4

варианта ответа, из которых только один верный. При выполнении этих

заданий надо указать номер верного ответа. К заданиям В1–В3 надо дать

краткий ответ.

Часть 2 содержит 10 более сложных заданий (В4–В11, С1, С2) по

материалу курса математики. К заданиям В4–В11 надо дать краткий

ответ, к заданиям С1 и С2 – записать решение.

Часть 3 содержит 3 самых сложных задания, два – алгебраических (С3,

С5) и одно – геометрическое (С4). При их выполнении надо записать

обоснованное решение.

Вариант №1

Часть 1

A1. Упростите выражение

1. 2. 3. 4.

A2. Вычислите:

1. 2. 3. 3 4. 18


1. 2. 3. -1 4. 0

A4. На одном из следующих рисунков изображен график четной функции.

Укажите этот рисунок.

1. 2.

256

3. 4.

A5. Найдите производную функции

1. 2.

3. 4.

A6. Найдите множество значений функции

1. 2. ( 3. (-∞;+∞) 4.

A7. На рисунке изображены графики функций

)(xfy и )(xgy , заданных на [-5;5].

Укажите все те значения x , для которых

выполняется неравенство )()( xgxf

1. 2.

3. 4. [

A8. Решите неравенство

1. 2.

3. 4.

A9. Решите уравнение

1. 2.

3. 4.


1. 2.

3. 4.

B1. Вычислите

B2. Решите уравнение 3

B3. Найдите значение выражения , если ,

Часть 2

В4. Решите уравнение . (если уравнение

имеет более одного корня, то в ответе укажите произведение корней).

257

В5. Функция определена на промежутке

. На рисунке изображен график ее

производной. Укажите число точек минимума

функции на промежутке .

В6. Найдите значение выражения .

B7. Найдите количество целочисленных решений неравенства

В8. Функция определена на множестве всех действительных

чисел и является периодической с периодом 5. На промежутке

[ она задается формулой . Найдите значение

выражения .

B9. Объемы ежегодной добычи нефти первой, второй и третьей

скважинами относятся как 4 : 5 : 7. Планируется уменьшить годовую

добычу нефти из первой скважины на 7% и из второй – тоже на 7%. На

сколько процентов нужно увеличить годовую добычу нефти из

третьей скважины, чтобы суммарный объем добываемой за год нефти

не изменился?

B10. Высота цилиндра равна 15, а радиус равен 2. На окружности

основания отмечены точки А, В и С так, что ,

и . Отрезок CC1 – образующая цилиндра. Найдите

тангенс угла между плоскостью основания и плоскостью ABC1.

B11. Точка М лежит на стороне СD параллелограмма ABCD так, что

CМ : МD = 2 : 3. Прямая AM пересекает луч ВC в точке Т, а

площадь треугольника CТМ равна 8. Найдите площадь

параллелограмма ABCD.

С1. Найдите наибольшее значение функции

при .

C2. Найдите все значения х, при каждом из которых выражения и

принимают равные значения.

Часть 3

C3. Найдите все значения , при каждом из которых неравенство

не имеет решений.

C4. Дан конус с вершиной М, радиус основания которого равен 23. В

основание этого конуса вписан четырехугольник ABCD так, что углы

BMA, CMB, DMC, AMD равны 60° каждый. На дуге BC

258

окружности основания конуса, не содержащей точки A, выбрана

точка F так, что объем пирамиды MABFCD наибольший. Найдите

расстояние от точки F до плоскости MAB .

C5. Для чисел верны равенства

Найдите , если известно, что , а

Вариант №2

Часть 1


1. 2. 3. 4.


1. 4 2. 3. 5 4. 10


1. 2. 3. -1 4. 4

A4. На одном из следующих рисунков изображен график нечетной

функции. Укажите этот рисунок.

1. 2.

3. 4.


1. 2.

3. 4.


1. 2. (5 3. (-∞;+∞) 4.

259

A7. Укажите рисунок, на котором изображен график функции,

принимающей на промежутке (− 3; 3) только отрицательные значения.


1. 2.

3. 4.


1. 2.

3. 4.

A10. Найдите область определения функции

1. 2.

3. 4.

B1. Вычислите , если

B2. Решите уравнение

B3. Найдите значение выражения , если cos ,

Часть 2

В4. Решите уравнение . (если уравнение

имеет более одного корня, то в ответе укажите произведение корней).

В5. Функция определена на

промежутке . На рисунке изображен

график ее производной. Укажите число точек

минимума функции на промежутке

.


260

B7. Найдите количество целочисленных решений неравенства

.


чисел и является периодической с периодом 4. На промежутке

[ она задается формулой . Найдите

значение выражения .

B9. Два маляра, работая вместе, могут за 1 ч покрасить стену

площадью 40 м2. Первый маляр, работая отдельно, может покрасить

50 м2 стены на 4 ч быстрее, чем второй покрасит 90 м

2 такой же

стены. За сколько часов первый маляр сможет покрасить 100 м2

стены?

B10. Основание прямой призмы ABCDA1B1C1D1 – параллелограмм

ABCD, в котором , ∠BAD = 120° . Высота призмы равна

6. Найдите тангенс угла между плоскостью основания призмы и

плоскостью ADC1.

B11. Дан ромб ABCD с острым углом С. Его сторона равна , а

косинус угла С равен . Высота ВТ пересекает диагональ АС в точке

К. Найдите длину отрезка КТ.

С1. Найдите наибольшее значение функции

при .

C2. Найдите все значения х, при каждом из которых выражения

и принимают равные

значения.

Часть 3

C3. Найдите все значения , при каждом из которых неравенство

не имеет решений.

C4. Дан конус с вершиной М, радиус основания которого равен 22.

На окружности его основания выбраны точки A, B, C так, что

углы BMA, AMC, CMB равны 900 каждый. Точка F выбрана на

дуге BC окружности основания конуса, не содержащей точки A,

так, что объем пирамиды MABFC наибольший. Найдите

расстояние от точки F до плоскости MAB .

C5. Для чисел верны равенства

Найдите , если известно, что , а

261

Вариант №3

Часть 1


1. 2. 3. 4.


1. 2. 3. 3 4.


1. 2. 3. -1 4. 0

A4. На рисунке изображен график одной из

перечисленных функций. Укажите эту функцию.

1. 2.

3. 4.


1. 2.

3. 4.


1. [2;4] 2. [-1;1] 3. (-∞;+∞) 4. [1;3]

A7. Хозяйка установила на утюге режим

«хлопок». В этом режиме спираль

утюга нагревается до 80°С, и

терморегулятор размыкает цепь.

Когда утюг остывает до 70°С, цепь

снова замыкается, и утюг

нагревается опять до 80°С, и т.д.

На рисунке представлен график

зависимости температуры T утюга

в промежутке времени t между

двумя последовательными

размыканиями цепи. Сколько

секунд цепь находилась в

разомкнутом состоянии?

1. 80 2.50

3. 30 4. 10

262


1. 2.

3. 4.


1. 2.

3. 4.


1. 2.

3. 4.

B1. Найдите значение выражения , если


B3. Для наружной окраски стен и двери

газетного киоска с окнами только спереди

(см. рисунок) необходимо приобрести

краску, которая продается в банках по 3

кг. Сколько банок потребуется купить для

выполнения этой работы, если средний

расход краски равен 100 г. на 1 м2?

Часть 2

В4. Решите уравнение . (если уравнение имеет

более одного корня, то в ответе укажите сумму корней).



график ее производной. Укажите число

точек минимума функции на

промежутке .



чисел и является периодической с периодом 5. Найдите значение

выражения , если и .

B8. Найдите все значения , при каждом из которых выполняется

cоотношение (Если таких

значений более одного, то в бланке ответов запишите

наибольшее значение)

263

В9. Магазин выставил на продажу товар с наценкой 45% от закупочной

цены (стоимости единицы товара). После продажи 0,75 всего товара

магазин снизил назначенную цену на 45% и распродал оставшийся

товар. Сколько процентов от закупочной стоимости товара составила

прибыль магазина?

B10. Угол между образующими CA и CB конуса равен 60° , высота

конуса равна 1, а радиус основания равен . Найдите градусную

меру угла между плоскостью ABC и плоскостью основания конуса.

B11. В параллелограмме ABCD биссектриса угла D пересекает сторону

АВ в точке К и прямую ВС в точке Р. Найдите периметр

треугольника ADK, если AD = 12, СD = 32, РК = 30.

С1. Найдите абсциссы всех точек графика функции

касательные в которых параллельны прямой или

совпадают с ней.

C2. Найдите все значения х, при каждом из которых произведение

значений выражений и положительно.

Часть 3

C3. Найдите все значения , при каждом из которых хотя бы

одно значение функции не принадлежит промежутку

.

C4. Дан прямоугольный параллелепипед ABCDA1B1C1D1, AB = 7, AD = 8,

AA1 = . Точка M лежит на диагонали BC1, точка N лежит

на диагонали BD, прямые AM и A1N пересекаются. Определите

тангенс угла между прямой MN и плоскостью ABC , если BN:ND =

3:8.

C5. Решите уравнение

Вариант №4

Часть 1


1. 2. 3. 4.


1. 2. 3. 4.

264


1. 2. 3. -1 4. 0

A4. На рисунке изображен график одной из

перечисленных функций. Укажите эту

функцию.

1. 2.

3. 4.


1. 2.

3. 4.


1. [2;4] 2. [-1;1] 3. (-∞;+∞) 4. [1;3]

A7. Хозяйка установила на утюге режим

«хлопок». В этом режиме спираль

утюга нагревается до 80°C, и

терморегулятор размыкает цепь. Когда

утюг остывает до 70°C, цепь снова

замыкается, и утюг нагревается опять до

80°C, и т.д. На рисунке представлен

график зависимости температуры T

утюга в промежутке времени t между

двумя последовательными

размыканиями цепи. Через сколько

секунд после замыкания цепи

температура утюга достигает заданной

максимальной величины?

1. 80 2. 50

3. 30 4. 40


1. 2.

3. 4.

A9. Решите уравнение sin

1. 2.

3. 4.


1. 2.

3. 4.

B1. Найдите значение выражения , если


265

B3. Для наружной окраски стен и двери

газетного киоска с окнами только спереди

(см. рисунок) необходимо приобрести

краску, которая продается в банках по 2

кг. Сколько банок потребуется купить для

выполнения этой работы, если средний

расход краски равен 100 г. на 1 м2?

Часть 2

В4. Решите уравнение . (если уравнение имеет

более одного корня, то в ответе укажите сумму корней).



график ее производной. Укажите число

точек максимума функции на

промежутке .



чисел и является периодической с периодом 3. Найдите значение

выражения , если и .

B8. Найдите все значения , при каждом из которых выполняется

cоотношение (Если таких значений

более одного, то в бланке ответов запишите наибольшее

значение).

В9. Магазин выставил на продажу товар с наценкой 55% от закупочной

цены (стоимости единицы товара). После продажи 0,75 всего товара

магазин снизил назначенную цену на 70% и распродал оставшийся

товар. Сколько процентов от закупочной стоимости товара составила

прибыль магазина?

B10. Угол между образующими CA и CB конуса равен 90° , высота

конуса равна 1, а радиус основания равен . Найдите градусную

меру угла между плоскостью ABC и плоскостью основания конуса.

B11. В параллелограмме ABCD биссектриса угла D пересекает сторону

АВ в точке К и прямую ВС в точке Р. Найдите периметр

треугольника ADK, если AD = 22, СD = 42, РК = 40.

С1. Найдите абсциссы всех точек графика функции

касательные в которых параллельны прямой или

совпадают с ней.

266

C2. Найдите все значения х, при каждом из которых произведение

значений выражений 3 и положительно.

Часть 3

C3. Найдите все значения , при каждом из которых хотя бы

одно значение функции принадлежит промежутку

[ ).

C4. Дан прямоугольный параллелепипед ABCDA1B1C1D1, AB = ,

AD = 12, AA1= 16 . Точка M лежит на отрезке BC1, точка N лежит

на отрезке BD, прямые AM и A1N пересекаются. Определите угол

между прямой D1M и плоскостью BCC1, если BN:ND = 1:4.

C5. Решите уравнение

Вариант №5

Демонстрационный вариант 2010 года

Инструкция по выполнению работы

На выполнение экзаменационной работы по математике дается 4

часа (240 мин). Работа состоит из двух частей и содержит 18 заданий.

Часть 1 содержит 12 заданий с кратким ответом (В1–В12) базового

уровня по материалу курса математики. Ответом на задания этой части

работы является целое число или конечная десятичная дробь.

Часть 2 содержит 6 более сложных заданий (С1-С6) по материалу

курса математики. При их выполнении надо записать полное решение и

записать ответ.

Желаем успеха!

Часть 1

В1. Билет на автобус стоит 15 рублей. Какое максимальное число билетов

можно будет купить на 100 рублей после повышения цены билета на

20%?

267

В2. На графике показано изменение температуры

воздуха на протяжении трех суток. На оси

абсцисс отмечается время суток в часах, на

оси ординат – значение температуры в

градусах. Определите по графику

наибольшую температуру воздуха 15

августа.

B3. Найдите корень уравнения 3x−2

= 27.

B4. Найдите если .

В5. Велосипедист собирается проехать из пункта

A в пункт E, в который ведут три маршрута:

через B, через С и через D. Расстояния в

километрах между соседними пунктами

показаны на схеме. Известно, что если ехать

через B, то средняя скорость будет равна 16

км/ч, если ехать через D – то 18 км/ч, а если

ехать через С – то 20 км/ч. Велосипедист

выбрал маршрут так, чтобы доехать до E за

наименьшее время. Сколько часов он

пробудет в пути? B6. На клетчатой бумаге с клетками размером 1

см х 1 см изображен треугольник (см. рис.).

Найдите его площадь в квадратных

сантиметрах.

В7. Вычислите значение выражения .

B8. На рисунке изображен график функции

и касательная к этому графику в

точке с абсциссой, равной 2. Найдите

значение производной этой функции в точке

.

B9. Камень брошен вертикально вверх. Пока камень не упал, высота, на

которой он находится, описывается формулой (h –

высота в метрах, t – время в секундах, прошедшее с момента броска).

Найдите, сколько секунд камень находился на высоте не менее 9 метров.

268

B10. Объем первого цилиндра равен 12 м

3. У второго цилиндра высота в три

раза больше, а радиус основания – в два раза меньше, чем у первого.

Найдите объем второго цилиндра.

B11. Найдите наименьшее значение функции на отрезке

.

B12 Двое рабочих, работая вместе, могут выполнить работу за 12 дней. За

сколько дней, работая отдельно, выполнит эту работу первый рабочий,

если он за два дня выполняет такую же часть работы, какую второй – за

три дня?

Часть 2

C1. Решите систему уравнений

С2. К диагонали куба провели перпендикуляры из остальных вершин куба.

На сколько частей и в каком отношении основания этих

перпендикуляров разделили диагональ?

С3. Решите неравенство .

C4. На стороне BA угла ABC, равного 300

, взята такая точка D, что AD =2 и

BD =1. Найдите радиус окружности, проходящей через точки A, D и

касающейся прямой BC.

С5. Найдите все значения a, при каждом из которых уравнение

имеет хотя бы один корень.

С6. Найдите все такие пары взаимно простых натуральных чисел a и b, что

если к десятичной записи числа a приписать справа через запятую

десятичную запись числа b, то получится десятичная запись числа,

равного .

269

Глава 9. Типовые варианты УГНТУ.

Вариант №1

1. Вычислить ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −⋅+

16925,1

31:

12125,0 .

Ответы: 1)-9/28; 2)-13/36; 3)-5/28; 4) 315,0− ; 5) нет прав. ответа.

2. Упростите выражение

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −

ab

ba : ⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ +−

ab

ba 2 :

baba

−+ .

Ответы: 1) ab ; 2) 22 ba − ; 3)1; 4); ab2− 5) ba + . 3. Два трактора, работая вместе, могут вспахать поле за 6 ч. Один трактор,

работая отдельно, может вспахать это поле на 5 ч быстрее, чем второй. За сколько часов может каждый трактор, работая отдельно, вспахать поле? В качестве ответа дать сумму полученных часов. Ответы: 1)12; 2)28; 3)42; 4)25; 5)15.

4. Площадь ромба равна Q, а острый угол α . Найти радиус вписанной окружности. Ответы:1) αsin5,0 Q ; 2) αsin25,0 Q ; 3) αsinQ ; 4) αsin2 Q ; 5)нет правильного ответа.

5. Решить неравенство 455 12 +>+ xx . Ответы: 1) ( )0;1− ; 2) ( )1;0. ; 3) ( )5;0 ; 4) ( )+∞;0 ; 5) ( )5;1− .

6. Вычислить без таблиц 0000 50sin20cos50cos200sin + . Ответы: 1) -0,5; 2)0,5; 3) 23 ; 4) 23− ; 5) 22 .

7. Найти наименьшее значение x , удовлетворяющее неравенству ( ) 6log1loglog 313131 ≤−+ xx , и вычислить 52 −= xy .

Ответы: 1) – 3; 2) – 1; 3) 1; 4) 3; 5) 5. 8. Сумма третьего и девятого членов арифметической прогрессии равна 8.

Найдите сумму первых 11 членов этой прогрессии. Ответы: 1) 28; 2) 33; 3) 36; 4) 40; 5) 44.

9. На кривой 12 +−= xxy найдите точку, в которой касательная параллельна прямой 13 −= xy . Ответы: 1) ( )3;2 ; 2) ( )1;1 ; 3) ( )3;1− ; 4) ( )7;3 ; 5) ( )1;0 .

10. Найти точку максимума функции ( ) ( )xxxf 21ln −+= . Ответы: 1)– 2; 2) – 1; 3) 21− ; 4)0; 5) 2ln21 +− .

270

11. Найти длину вектора bac 52 −= , если ,263 kjia +−=

kjib 22 +−−= .

Ответы:1). 195 ; 2) 341 ; 3) 295 ; 4) 390 ; 5)нет прав. ответа.

12. Решить неравенство 3

425

43

22 xxx

−>+− .

Ответы: 1) ( )1;19/6 ; 2)∅ ; 3) ( )∞;19/1 ; 4) ( )1;∞− ; 5) ( )∞;19/6 . 13. Если сфера проходит через все вершины прямоугольного

параллелепипеда с ребрами 4, 5 и 9 см, то площадь сферы (в кв. см) равна Ответы: 1)120π ; 2) 122π ; 3)124π ; 4)126π ; 5) 128π .

14. Решить систему ⎩⎨⎧

=−=+

35103075

yxyx

, в ответе указать yx + .

Ответы: 1)6; 2) 52 ; 3) 520 ; 4) 524 ; 5)нет такого ответа.

15. Решить систему неравенств ( ) ( )

⎪⎩

⎪⎨⎧

−<−

+≥−

443

211

13122

xx

xx.

Ответы: 1) ( )0;∞− ; 2) ( ]5;∞− ; 3) [ ]5;0 ; 4) [ )∞;5 ; 5) [ )∞;0 . 16. Найти число, если 13% его составляют 32,5% от 8,5.

Ответы: 1) 63,75; 2)42,5; 3)106,25; 4)8510 ; 5)21,25.

17. Найти область определения функции ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +

−++=

52

log

1526

1,0

2

xxxx

y .

Ответы: 1){ } ( )8;103;5;6 −−−− U ; 2){ }3;5;6 −− ; 3) ( )8;10− ; 4){ } ( )8;103;5 −− U ; 5) { } ]8;10(3;5;6 −−− U . 18. Найти интервал, которому принадлежат решения уравнения

xxxxx 107242562 22 −=−+−+− . Ответы:1)(0;1/2); 2)(1/2;1); 3)(-1/2;0); 4)(0;1/3); 5) (-1/2; 0].


6313 2

>−

−−+−x

xxx . Указать сумму целых

решений неравенства, принадлежащих отрезку [ ]8;3− . Ответы: 1) 10; 2) 13; 3)17; 4) 7; 5) 3.

271

20. При каких значениях параметра a неравенство

05

5cos3sinlog5

152 >⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ −++−

axxa выполняется при любых значениях

x ? Ответы: 1) ( ) ( )∞∈ ;108;7 Ua ; 2) ( ) ( )∞∈ ;128;5,7 Ua ; 3) ( )9;8∈a ; 4) ( )12;8∈a ; 5) ( ) ( )8;109;5,8 U∈a .

Вариант №2


⎜⎝⎛ +−−+

535

1541

18566,34,1

Ответы:1)-31/15; 2)-184/5; 3)48/25; 4)-48/5; 5) нет прав. ответа

2. Упростите выражение ( )1

22/1

2/1

2/1

2/1

2

−

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

⋅⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−+

−+−

baa

baba

baba .

Ответы: 1)6; 2) b8− ; 3) ba ; 4) a8 ; 5) ( )ba −22 . 3. Найдите двузначное число, зная, что цифра единиц искомого числа на 2

больше числа его десятков, а произведение этого числа на сумму его цифр равно 144 . В ответе укажите сумму цифр этого числа. Ответы: 1) 4; 2)6; 3)9; 4)12; 5)14.

4. В окружность радиуса R вписан треугольник с углами 015 и 060 . Найти площадь треугольника.

Ответы:1)16

32R ; 2)8

32R ; 3)4

32R ; 4)2

32R ; 5)нет прав. ответа

5. Решить неравенство 93109 −≤⋅− xx . Ответы: 1) [ ]1;0 ; 2) [ ]2;0 ; 3) [ ]2;1 ; 4) [ ] 1;1− ; 5) [ ]2;1− .

6. Вычислить без таблиц ( )20000 155sin5sin25cos5cos − . Ответы: 1) 41 ; 2) 43 ; 3)1/2; 4) 83 ; 5) нет правильного ответа.

7. Найти наибольшее целое отрицательное значение x из решения

уравнения 0282log2 ≥

−−

xx .

Ответы: 1) – 2; 2) – 1; 3) - 3 ; 4) – 4; 5) такого ответа нет. 8. Третий член возрастающей геометрической прогрессии равен 9, а сумма

первого и пятого ее членов равен 82. Найти произведение второго и пятого членов прогрессии. Ответы: 1) 27; 2) 81; 3) 243; 4) 729; 5) 2187.

272

9. Найдите уравнение касательной к параболе 372 +−= xxy , если эта касательная параллельна прямой 035 =−+ yx . Ответы: 1) 35 −−= xy ; 2) 35 +−= xy ; 3) 25 +−= xy ;

4) 62,0 += xy 5) 22,0 +−= xy . 10. Найти наименьшее значение функции ( ) 255 345 ++−= xxxxf на

отрезке [ ]2;1− . Ответы: 1)2; 2)3; 3)0; 4) – 6; 5) – 9.

11. При каком значении m справедливо равенство 7=a , если

?26 kjima +−= Ответы: 1) 2± ; 2)4; 3) 4± ; 4) 3± ; 5)– 5.

12. Решить неравенство xx 2469 −≤+ . Ответы: 1) ( ]710;−∞− ; 2) [ )∞− ;112 ; 3)∅ ;

4) [ ]112;710 −− ; 5) ( )∞∞− ; . 13. Если сфера радиуса 4,5 см проходит через все вершины прямоугольного

параллелепипеда, в основании которого прямоугольник со сторонами 4 и 8 см, то площадь полной поверхности этого параллелепипеда (в кв. см) равна Ответы: 1)82; 2)84; 3)86; 4)88; 5)90.


=−=+3262

xyxyx

, в ответе указать сумму значения 21 yy + .

Ответы: 1)1; 2)– 2; 3)5; 4)4; 5)нет такого ответа.

15. Решить систему неравенств ⎪⎩

⎪⎨

⎧

−>−

−≥

−

324

3154

825

423

x

xx

.

Ответы: 1) ( ]5,0;0 ; 2) ( ]5,0;25,0 ; 3) [ ]5,2;25,0 ; 4) ( ]5,2;0 ; 5)∅ 16. Яблоки при сушке потеряли 84% своей массы. Из 400 кг свежих яблок

сушеных получится Ответы: 1) 75 кг; 2)64 кг; 3). 51 кг 4). 36 кг 5). 45 кг

17. Найти область определения функции 1231

122 +++−+−

−=

xxxx

xy .

Ответы:1) ]2;( −−∞ ; 2) { }16

131;1 U⎟⎟⎠

⎞

⎢⎢⎣

⎡ +−− ;

273

3) {}16

131;1]2;( UU ⎟⎟⎠

⎞

⎢⎢⎣

⎡ +−−−−∞ ; 4) {}1

6131;1 U⎟

⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ +− ; 5) ( )2;−∞− .

18. Найти интервал, которому принадлежат решения уравнения ( ) ( ) xxxxx =−+++⋅−+ 253939 2 . Ответы: 1) ( )2;3− ; 2) ( )0;8− ; 3) [ ]5;0 ; 4) ( )10;1 ; 5) ( )5;8− .


4337 2

−<−

−++−x

xxx . Указать сумму целых

решений неравенства, принадлежащих отрезку [ ]8;5− . Ответы: 1) 13; 2)15; 3)19; 4)12; 5) 22.

20. Найдите все значения параметра a , при которых для любого b уравнение ( ) 22 3cos2cos axbxbbab =+++ имеет хотя бы одно решение. Ответы: 1){ }1− ; 2){ }1 ; 3){ } 0,61 ≠b ; 4){ }0 ; 5){ }π .

Вариант №3


⎜⎝⎛ −

15142

917 : ⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ −⋅⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ −−⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ +

145

75

201

43

531

322 .

Ответы: 1)3011 ; 2)

2031 ; 3)

4735

− ; 4)4835 ; 5)нет правильного ответа.

2. Упростите выражение 1

2/32/32/32/3−

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+

+

+⋅⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

−

− xyyx

yxxyyx

yx .

Ответы: 1) xy ; 2) yx + ; 3)1; 4)2; 5) yx − . 3. Заводу было заказано изготовить 105 двигателей. Чтобы выполнить этот

заказ на два дня раньше срока, завод изготовлял ежедневно на 6 двигателей больше, чем предусматривалось планом. Сколько двигателей изготовлял завод каждый день? Ответы: 1)12; 2)22; 3)21; 4)18; 5)14.

4. Если в треугольнике АВС заданы 7,6,5 === CABCAB , то синус угла А равен.

Ответы:1)35

68 ; 2)35

69 ; 3)35

610 ; 4)35

611 ; 5)35

612 .

5. Решить неравенство и найти наименьшее его решение xxx 659243 ⋅≤⋅+⋅ .

Ответы: 1)2; 2)1,5; 3)1; 4)0,5; 5)0.

274

6. Вычислить без таблиц 0000 115sin275cos115cos185cos + . Ответы:1) 23− ; 2) 21− ; 3) 21 ; 4) 23 ; 5) нет правильного ответа.

7. Найти наименьшее целое значение x из решения неравенства ( ) xx lg121lg 2 +≥+ и вычислить 32 += xy .

Ответы: 1) 9; 2)7; 3)5; 4) 1; 5) нет такого решения. 8. Найти величину dd 33 + , где −d разность арифметической прогрессии,

у которой сумма первого и пятого членов равна )2(− , а сумма второго и шестого членов равна 2. Ответы:1) 4; 2) 14; 3) 36; 4) 76; 5)140.

9. Прямая 12 −−= xy параллельна касательной к параболе 22xxy +−= . Найдите координаты точки касания. Ответы: 1) ( )83;41− ; 2) ( )1;21− ; 3) ( )81;41 − ; 4) ( )0;21 ; 5) ( )1;1 .

10. Найти наибольшее значение функции ( ) 22 xxxf −= на отрезке [ ]2;21. Ответы: 1)0; 2) 21 ; 3) 43 ; 4)1; 5) 23 .

11. Даны векторы { } { } { }.3;2;2,2;2;0,2;1;2 −−=−=−= cba Найти косинус угла

между векторами ca + и cb + .

Ответы:1)15412 ; 2)

75413 ; 3)

54615 4)

74618 ; 5) нет прав. ответа.

12. Решить неравенство xx 3245 −≥− . Ответы: 1) ( )∞∞− ; ; 2) ( )3;1 ; 3) [ )∞;3 ; 4) [ ]3;1 ; 5) ( ]1;∞− .

13. Если диагональ куба равна 6 см, то объем (в куб см) шара, касающегося всех граней этого куба равен Ответы: 1) π33 ; 2) π35,3 ; 3) π34 ; 4) π35,4 ; 5) π35 .


=+=−

42352

yxyx

, в ответе указать yx + .

Ответы: 1) – 1; 2)3; 3)2; 4)1; 5)нет такого ответа.

15. Решить систему неравенств ⎪⎩

⎪⎨

⎧

−−

>−

++

≤−−

541

213

13

12

32

xx

xx

.

Ответы: 1)∅ ; 2) ( ]81;∞− ; 3) [ ]73;81 ; 4) ( )83;∞− ; 5) ( )∞;73 .

275

16. Вследствие инфляции цены выросли на 150%. Дума потребовала от правительства возвращения цен к прежнему уровню. Для этого цены должны быть уменьшены на Ответы:1) 60%; 2)33,(3)%; 3)66,(6)%; 4) 122,(2)%; 5)150%.

17. Найти область определения функции x

xy

213

312

+−

−+= .

Ответы: 1) ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −∞−

21; ; 2) ]21;( −−∞ ; 3) [1;3); 4) )3;1[]2;( U−−∞ ; 5) ( )3;1 .

18. Найти интервал, которому принадлежат решения уравнения xxxxx −=+−−+− 22344 22 .

Ответы:1) [ ]1;0 ; 2) [ ]2;0 ; 3) [ ]3;1 ; 4) [ ]2;1 ; 5) [ ]3;2 .


624613 2

>−

−−+−x

xxx. Указать сумму целых

решений неравенства, принадлежащих отрезку [ ]5;3− . Ответы: 1) 10; 2)3; 3)5; 4) 7; 5) 12.

20. Найти все значения параметра a , при которых неравенство 3coscossin2sin3 22 ≤++⋅+ axxxax выполняется для любых значений

x . Ответы:1) [ ]0;5− ; 2) ( )1;5− ; 3) [ ]0;512− ; 4) [ ]1;0 ; 5) )[ 512;5− .

276

Приложение. Основные формулы

1. Степени и корни

( ) nnn baba ⋅=⋅ nnn baba ⋅=⋅ ( ) mnmn aa ⋅= mnmn aaa +=⋅ ( ) m kn

km n aa ⋅= mnn m aa ⋅=

n

n

n

ba

ba= n

nn

ba

ba

=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ m

nm n aa =

( ) 0, ≥= aaan

n ⎩⎨⎧

<≥

==0aa,-

0a,2

приприa

aa

aan n =2 2 0,1212 ≥−=− ++ aaa nn

2. Формулы сокращенного умножения. ( ) 222 2 bababa ++=+ ( ) 32233 33 babbaaba +++=+ ( ) 222 2 bababa +−=− ( ) 32233 33 babbaaba −+−=−

))((22 bababa +−=− 3 3 2 2( )( )a b a b a ab b− = − + + 3 3 2 2( )( )a b a b a ab b+ = + − +

3. Арифметическая прогрессия.

daa nn +=+1 dnaan ⋅−+= )1(1

naa

S nn 2

1 += nndaSn 2)1(2 1 −+⋅

=

4. Геометрическая прогрессия.

qbb nn ⋅= −1 knkn qbb ⋅=+ 11

2+−= nnn bbb

11, −<<⋅= − nkqbb knkn 1

1−⋅= n

n qbb

1,1

1 ≠−−⋅

= qq

bqbS n

n 10,1

1 <<−

=∞ qqb

S

277

Тригонометрия. 1. Значения тригонометрических функций для некоторых углов.

Радианы 0 6

π 4π

3π

2π

π 23π

π2

Градусы 0 30 45 60 90 180 270 360

αcos 1 23

22 2

1 0 -1 0 1

αsin 0 21

22

23 1 0 -1 0

αtg 0 33 1 3 - 0 - 0

αctg - 3 1 33 0 - 0 -

2. Формулы привидения.

ααπ cos2

sin =⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ ± ααπ sin

2cos m=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ ±

ααπ ctgtg m=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ ±

2 ααπ tgctg m=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ ±

2

ααπ cos2

3sin −=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ ± ααπ sin

23cos ±=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ ±

ααπ ctgtg m=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ ±

23 ααπ tgctg m=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ ±

23

( ) ααπ sinsin m=± ( ) ααπ coscos −=± ( ) ααπ sin2sin ±=± ( ) ααπ cos2cos =± ( ) ααπ tgtg ±=± ( ) ααπ ctgctg ±=± ( ) ααπ tgtg ±=±2 ( ) ααπ ctgctg ±=±2

3. Тригонометрические тождества.

1cossin 22 =+ αα ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +≠= ntg ππα

ααα

2cossin

( )nctg παααα ≠=

sincos ( )nec πα

αα ≠=

sin1cos

278

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +≠= nππα

αα

2cos1sec ⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ +≠=+ ntg ππα

αα

2cos11

22

( )nctg παα

α ≠=+2

2

sin11 1=⋅ αα ctgtg

4. Формулы сложения. ( ) βαβαβα sincoscossinsin ±=± ( ) βαβαβα sinsincoscoscos m=±

( )βαβαβα

tgtgtgtgtg⋅

±=±

m1 ( )

βαβαβα

ctgctgctgctgctg±⋅

=±1m

5. Формулы кратных аргументов.

ααααα21

2cossin22sintgtg

+⋅

=⋅⋅=

1cos211sincos2cos 2

2

222 −=

+−

=−= αααααα

tgtg

ααααα

tgctgtgtgtg

−=

−⋅

=2

122

2

2212

2 ααα

αα tgctgtg

ctgctg −=

⋅−

=

ααα 3sin4sin33sin −= ααα cos3cos43cos 3 −=

αααα

2

3

3133

tgtgtgtg

⋅−−⋅

= 13

332

3

−⋅⋅−

=α

αααctg

ctgctgctg

6. Формулы суммы и разности тригонометрических функций.

2cos

2sin2sinsin βαβαβα m

⋅±

⋅=±

2cos

2cos2coscos βαβαβα −

⋅+

⋅=+

2sin

2sin2coscos βαβαβα −

⋅+

⋅−=−

( )βα

βαβαcoscos

sin⋅±

=± tgtg ( )βα

βαβαcoscos

sin⋅±

±=± ctgctg

7. Произведения тригонометрических функций. ( ) ( ) αββαβα 22 sincoscoscos −=−+

( ) ( )[ ]βαβαβα +−−=⋅ coscos21sinsin

( ) ( )[ ]βαβαβα ++−=⋅ coscos21coscos

( ) ( ) αββαβα 22 coscossinsin −=−+

279

( ) ( )[ ]βαβαβα ++−=⋅ sinsin21cossin

βαβαβα

tgtgctgctgctgctg

++

=⋅ βαβαβα

ctgctgtgtgtgtg

++

=⋅

8. Степени тригонометрических функций.

αααα

2

22

122cos1sin

tgtg+

=−

=

α

αα2

2

11

22cos1cos

tg+=

+=

ααα

2cos12cos12

+−

=tg ααα

2cos12cos12

−+

=ctg

43sinsin3sin 3 ααα −

= 4

3coscos3cos3 ααα +=

9. Формулы половинного аргумента.

2cos1

2sin αα −

±= 2cos1

2cos αα +

±=

ααα

sincos1

2−

=tg α

ααcos1

sin2 +=tg

ααα

cos1sin

2 −=ctg

ααα

sincos1

2+

=ctg

10. Обратные тригонометрические функции. Ζ∈+⋅−=⇒= nnaxax n ,arcsin)1(sin π

Ζ∈+±=⇒= nnaxax ,2arccoscos π Ζ∈+=⇒= nnarctgaxatgx ,π Ζ∈+=⇒= nnarcctgaxactgx ,π

11. Решение простейших уравнений и неравенств.

;,,0sin Zkkxеслиx ∈== π ;,22

,1sin Zkkxеслиx ∈+−=−= ππ

;,22

,1sin Zkkxеслиx ∈+== ππ

;,22,0sin Zkkxkеслиx ∈+<<> πππ Zkkxkеслиx ∈<<+−< ,22,0sin πππ

;,2

,0cos Zkkxеслиx ∈+== ππ ;,2,1cos Zkkxеслиx ∈+=−= ππ

;,2,1cos Zkkxеслиx ∈== π

280

;,222

2,0cos Zkkxkеслиx ∈+<<−> ππππ

.,223

22,0cos Zkkxkеслиx ∈+<<+< ππππ

;,2

,0 Zkkxkеслиxtg ∈+<<> πππ ;,2

,0 Zkkxkеслиxtg ∈<<−< πππ

Логарифмы.

1. Основное логарифмическое тождество 0,log >= xxa xa

2. Формула перехода к новому основанию

1;0,loglog

log ≠>= bbbx

xa

ab

3. Логарифм произведения 0,0,logloglog >>+= yxyxxy aaa

4. Логарифм частного

0,0,logloglog >>−= yxyxyx

aaa

5. Свойства xa x

a =log bxb ax

a loglog ⋅= 1log =aa

0,log1log >= xxb

x ab

a

01log =a aa lglog10 = aae lnlog = )()(1;0,)()( xxfaaaa xfx ϕϕ =⇒≠>= .

⎩⎨⎧

≠>≠>

1,01,0

bbaa

, то bxgaxfba ccxgxf log)(log)()()( =⇔=

0)(,0)(),()()(log)(log >>=⇒= xxfприxxfxxf aa ϕϕϕ )(log)(log))()((log xgxfxgxf aaa +=⋅

)(log)(log)()(log xgxf

xgxf

aaa −=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

.,)(log))((log числочетноеpxfpxf ap

a −⋅=

281

Применение координат. Векторы.

1. Прямоугольная система координат на плоскости Расстояние между ),( 111 yxA и ),( 222 yxA :

( ) ( )212

21221 yyxxAA −+−=

Координаты середины отрезка 2

,2

1212 yyy

xxx

+=

+=

Уравнения прямых: αtgkbkxy =+= , , где α - угол между прямой и осью Ох. 0=++ cbyax - общее уравнение прямой. Уравнение окружности: ( ) ( ) 22

02

0 Ryyxx =−+− , где R - радиус окружности ( )00 , yx - координаты центра окружности. Уравнение параболы: cbxaxy ++= 2 , если 0>a тогда ветки параболы направлены вверх, если 0<a тогда ветки параболы направлены вверх.

2. Прямоугольная система координат в пространстве

Расстояние между точками ),,( 1111 zyxA и ),,( 2222 zyxA

( ) ( ) ( )212

212

21221 zzyyxxAA −+−+−=

Координаты середины отрезка: 2

,2

,2

121212 zzz

yyy

xxx

+=

+=

+=

Модуль вектора ),,( zyxar : 222 zyxa ++=r

Скалярное произведение ),,(),,( bbbaaa zyxbиzyxarr

( ) bababa zzyyxxbaba ⋅+⋅+⋅=⋅⋅= αcos,rrrr , где α - угол между

векторами ),,(),,( bbbaaa zyxbиzyxarr .

Угол между векторами ),,(),,( bbbaaa zyxbиzyxarr

222222

),(cosbbbaaa

bababa

zyxzyx

zzyyxx

baba

++⋅++

++=

⋅= rr

rr

ϕ

Условие перпендикулярности векторов: 00),( =++= bababa zzyyxxилиba

rr

282

Площадь треугольника заданный координатами ее вершин

( ) ( ) ( ) ( )1213131221 yyxxyyxxS −⋅−−−⋅−=

Планиметрия.

1. Треугольник произвольный Обозначения: a,b,c - стороны треугольника; α,β,γ - противолежащие им углы; р – полупериметр; R – радиус описанной окружности; r - радиус вписанной окружности; S – площадь; hа,hb,hc - высоты проведенные к соответствующим сторонам; mа,mb,mc - медианы проведенные к соответствующим сторонам; lа,lb,lc - биссектрисы проведенные к соответствующим сторонам;sа,sb,sc - медианы проведенные к соответствующим сторонам; Площадь треугольника:

cbaS cba h21h

21h

21

=== R

cbaS⋅⋅⋅

=4

rpS ⋅=

αγβ sin21sin

21sin

21

⋅⋅=⋅⋅=⋅⋅= cbbacaS 2

)( αtgappS −=

ГеронаформулаcpbpappS ,))()(( −−−= Теорема косинусов: αcos2222 ⋅⋅⋅−+= cbcba

Теорема синусов: Rcba 2sinsinsin

===γβα

Радиусы: S

abcR4

= - центр описанной окружности находится на

пересечении перпендикуляров, проведенных через середины

сторон треугольника. pSr = - центр вписанной окружности

находится в точке пересечения биссектрис.

Биссектриса: ( )bc

baccbc

cacla +−+

−⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

++=

22222

283

Высота: 2222

21 ⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ −+−=

cabcacha

Медиана: 222 2221 acbma −+=

2. Прямоугольный треугольник Обозначения: a,b - катеты треугольника; с – гипотенуза; R – радиус описанной окружности; S – площадь; ac,bc - проекции катетов на гипотенузу;

Площадь треугольника: ab21

=S

Зависимости сторон: 222 abc += - теорема Пифагора; ccc bah = ;

ccaa =2 ; ccbb =2 Зависимости сторон и углов: αsinca = ; βcosca = ; αtgba ⋅= ;

βctgba ⋅=

Радиусы: 2cR = ,

2cbar −+

=

3. Равносторонний и равнобедренный треугольник

Обозначения:a - сторона треугольника; R – радиус описанной окружности; S – площадь; r - радиус вписанной окружности; S – площадь; hа,hb,hc - высоты проведенные к соответствующим сторонам;

Площадь: 4

32aS = - для равностороннего треугольника

Радиусы: 6

3ar = ; 3

aR = - для равностороннего треугольника

Стороны: 32ra = ; 3Ra = - для равностороннего треугольника

4. Произвольный четырехугольник Обозначения: 21 dd , - диагонали; ϕ - угол между диагоналями.

Площадь: ϕsin21

21ddS =

284

5. Правильный многоугольник Обозначения: na - сторона правильного n-угольника; R - радиус

описанной окружности; r - радиус вписанной окружности; nP - периметр n-угольника

Площадь: n

nRrPS n

o360sin21

21 2==

6. Трапеция Обозначения: 21 dd , - диагонали; ϕ - угол между диагоналями; h - высота; ba, - основания; d - средняя линия

Площадь: hbaddS2

sin21

21

+== ϕ

Средняя линия: 2

bad +=

7. Параллелограмм Обозначения: 21 dd , - диагонали; ϕ - угол между диагоналями;

ba hh , - высоты; ba, - стороны

Площадь: ba hbhaS ⋅=⋅= ϕsin21

21ddS =

Свойства: ( )2222

21 2 badd +=+ ( )Aabbad ∠−+= cos2222

1 8. Ромб

Обозначения: 21 dd , - диагонали; h - высота; a - сторона; r - радиус вписанной окружности.

Площадь: haS ⋅= 2121 ddS = ( )AaS ∠= sin2

Свойства: 222

21 4add =+ 2/hr =

9. Прямоугольник и квадрат Обозначения: d - диагональ; a - сторона; r - радиус вписанной окружности; R - радиус описанной окружности

Площадь: 2aS = 4

2dS =

Радиусы: 2ar =

2dR =

285

10. Окружность и круг Обозначения: R - радиус Площадь круга: 2RS π= Длина окружности: Rl π2=

Стереометрия.

1. Произвольная призма Обозначения: l - боковое ребро; P - периметр основания; S - площадь основания; H - высота; сечP - периметр

перпендикулярного сечения; бокS - площадь боковой поверхности; V - объем Основные формулы: lSбок сечP= SHV =

2. Прямая призма Основная формула: lSбок P=

3. Параллелепипед Обозначения: cba ,, - длины ребер; d - диагональ Основные формулы: PHSбок = abcV = 2222 cbad ++=

4. Куб Обозначения: a - длина ребра Основные формулы: 3aV = 3ad =

5. Произвольная пирамида Обозначения: S - площадь основания; H - высота; V - объем

Основная формула: SHV31

=

6. Правильная пирамида

Обозначения: бокS - площадь боковой поверхности; P - периметр основания; l - апофема

286

Основные формулы: PlSбок 21

= SHV31

=

7. Произвольная усеченная пирамида

Обозначения: 21 , SS - площади оснований; H - высота; V - объем

Основная формула: ( )212131 SSSSHV ++=

8. Правильная усеченная пирамида Обозначения: 21 , PP - периметры оснований; l - апофема; бокS - площадь боковой поверхности

Основная формула: ( )lPPSбок 2121

+=

9. Цилиндр

Обозначения: R - радиус основания; H - высота; V - объем; бокS - площадь боковой поверхности Основные формулы: RHSбок π2= HRV 2π=

10. Конус Обозначения: R - радиус основания; H - высота;V - объем; бокS - площадь боковой поверхности; l - образующая

Основные формулы: RlSбок π= HRV 2

31π=

11. Усеченный конус Обозначения: R - радиус основания; H - высота; V - объем; бокS - площадь боковой поверхности; l - образующая

Основные формулы: lrRSбок )( += π )(31 22 rrRRHV +⋅+= π

12. Шар, сфера Обозначения: R - радиус шара; S - площадь сферической поверхности; V - объем

Основные формулы: 24 RS π= 3

34 RV π=

287

13. Шаровой сегмент Обозначения: R - радиус шара; S - площадь сферической поверхности; V - объем; h - высота сегмента

Основные формулы: RhS π2= ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −= hRhV

312π

14. Шаровой сектор Обозначения: R - радиус шара; V - объем; h - высота сегмента

Основная формула: hRV 2

32π=

15. Тетраэдр Обозначения: a - длина ребра; H - высота; R - радиус описанной сферы; r - радиус вписанной сферы; S - площадь поверхности

Объем: 12

23aV =

Площадь поверхности: 32aS =

Радиусы: 4

6aR = 12

6ar =

Высота: 3

6aH =

288

ОТВЕТЫ

Глава 1. Арифметические действия и преобразования

выражений. §1.1. Арифметические действия

1. -5 2. -75 3. -29 4. -11 5. -30

6. -52 7. -115 8. -122 9. 2 10. -41

11. 2 12. -28 13. -33 14. 11 15. -9

16. -18 17. 4 18. -2,6 19. 55 20. -22,5

21. 7,657 22. -1,46 23. -10,104 24. -5,27 25. 1,61

26. -2,88 27. -7,19 28. -8,513 29. -37,69 30. 6,97

31. 150,92 32. -90 33. -3,696 34. 12,4 35. 60

31

36. 3

12 37.

35

243 38.

2

1 39.

5

26 40.

3

22

41. 8

11 42.

15

1110 43.

36

258 44.

35

112 45. 36

46. 9

72 47.

70

11 48.

6

54 49. 3.2

7

21 50. 3,04

51. 3

1 52. -4 53. -5 54. -2,625 55. 0,075

56. 30

7 57. -0,008 58.

9

71 59.

49

25 60. 1

61. -1 62. 8 63. 0,25 64. 9

1 65. 27

66. 3

11 67.

9

71 68.

27

1 69. -27 70.

81

1

71. 81 72. 5 73. ∅ 74. 9

2 75.

45

13

76. 143 77. 143 78. ∅

79. 4,083 80. 0,25 81. 12 82. 21 83. 0,25

84. -3/8 85. 50 86. 10 87. -30 88. -10

89. -0,1 90. 60 91. 4 92. 30 93. 15

94. 9 95. 1 96. 1 97. 1 98. 0,5

99. -1 100. 1 101. 3 102. 1 103. 3

104. 4 105. 3 106. 8 107. -7 108. 1

109. -2 110. -3 111. 1 112. 1 113. 12

289

114. 49 115. 4,6 116. -2 117. 8 118. -6

119. -2 120. 0 121. 1 122. 5 123. 3

131. !

11

n

§1.2. Преобразования алгебраических выражений.

1. 5x 2. 3x 3. -3x 4. -13x 5. 7a

6. 4a 7.

10a 8. 2,.7a 9. 4,4a 10. 12,8a

11. 11x 12.

10d 13. 7k 14.

7,5x 15. 10d

16. 1,16k 17. 32 xx 18. 24 22 xx 19. 22 aba 20. 55 2 abab

21. bxbx 22. 55 xx 23. aa 44

24. bb 2323 25. 22 1010 bxbx 26. 4545 xx

27. bxbx 8989 28. abab 22 44 29. 22 5454 nxnx

30. 25x 31. 2

2x 32. 232 a 33. 2

52 ax

34. 2252 ba 35. 962 aa 36. 1682 ax 37. 1816 2 aa

38. 4129 2 xx 39. 22 25204 baba 40. 2816 aa

41. –4x-8 42. 12x–6 43. xx 810 2

44. –3x+4 45. xx 105 2 46. 4x 47. 2x–4

48. –6x–7 49. 12x–27 50. –3x+12 51. 15x+20

52. 16 53. 8215 2 xx 54. 274 2 xx 55. 20142 2 xx

56. 6136 2 xx 57. а7,2

58. а-4,4

59. а8,12

60. х-6

/4 61. 2 62. 36 63. 1,6 64. -4 65. 4 66. 0 67. ∅

68. ∅ 69. 0,5 70. 1 71. -121 72. 0,1 73. 1 74. 0,001 75. 1

76. 5 77. 0 78. 0 79. а/(2а-b) 80. 1 81. 0 82. 0,5 83. 3

84. 1/(а-1) 85. 0 86. х2010

87. 0 88. 0 89. 1 90. 1 91. xyz

92. 96 93. 7 94. 18 95. 47 96. 123 97. 2 98. 2 103. 2

104. 0; 0,5

§1.3. Преобразования тригонометрических выражений

1. 0,5 2. 0 3. 1 4. 0,5 5. 2

3 6. 1

7. 0 8. 3

3 9. 3 10.

3

3 11. 1 12. 1

13. 1 14. 0 15. 1 16. -1 17. 1 18. 3

19. 1 20. 5 21. 1 22. 1 23. 2cos

24. sin5cos 25. 0 26. 1 27. cos4sin

290

28. 2cos2 29. 2ctg 30. 0 31. 1 32. 2

33. 0 34. 0 35. 3 36. 0,5 37. 1 38. 4

39. 2 40. 1 41. 0 42. 1 43. -2 44. -1

45. -1 46. -2 47. sin5cos 48. 6coscos

49. 7sinsin 50. 4sincos 51. 1 52. 1

3

53. 2

3 54. 2 55. 3 56. -2 57. -0,8 58. -0,6

59. 48 60. -20 61. 2

3 62. 321 63.

5

1 64.

3

4

65. 13

3 66. -2 67.

169

120 68.

25

7 69.

120

119 70.

7

24

71. 169

119 72.

25

24 73.

24

7 74. 0,96 75. -0,96

76.

4sin2

t 77.

t

4sin2

78.

4sin2

t

79.

62cos

62sin2

tt 80.

62cos

62sin2

tt

81.

62cos

62cos4

tt 82.

4sin2

t

83.

62sin

62sin2

tt 84. 0 85. -1 86. 0

87. 0 88. 1,5 89. 4,97 90. 5,84 91. 2,9 92. 1,4

93. 2,5 94. -3 95. -2,7 96. -2 97. 27 98. 15

99. 4 100. -4 101. 2 102. -4 103. -20 104. 1,5

105. 3 106. 1,5 107. 9 108. 1 109. 2

2 110. -1

111. -0,5 112. 0 113. 0,5 114. 0,5 115. 0,75 116. 0,5

117. 0,5 118. -1 119. 1 120. 0,5 121. 1 122. 0,5

123. 1 124. 2 125. 0,5 126. 1 127. 0,25 128. 1,5

129. ctg2 130. 1 131. 4 132. 2sin2 2

133. 4 134. 2 135. 24tg

136. 2cos 137. tg 138. 8cos

139. 2tg 140. 4sin 141. 2tg 142. 2

1 143. 5tg

144. 5tg 145. 5tg 146. 2sin2 147. 4tg

291

148. sin 149. 3tg 150. 2tg 151. tg

152. nn

2

3 2

153. nn

2

3 2

154. 4

361 42 nn

155. 22 n 156.

3

2 157.

22 nn 158. ctgqp

qp

159. ctgpq

pq

160. }3/1,2{ 161.

12

22 a

162. 2

12 m

163. 4

9 164.

a2

2 165. 4m 166. 8sin

4

3 167. 2sin2 3

168. x2cos 3 169. 2cos16cos8 3 170.

16,

2

1 ïðè

171. 4

,2

1 ïðè 172.

16,2

ïðè 173.

8,2

ïðè

§1.4. Обратные тригонометрические выражения.

1. 4

2. 0,25 3. 0,5 4.

2

3 5.

4

15 6.

2

3

7. 0,5 8. 5

62 9. 435 10. 195 11. 120 12. 75

13. 210 14. -30 15. 420 16. -20 17. -360 18. 1

19. 25

24 20. 3 21.

25

7 22.

65

63 23.

13

3 24.

25

24

25. 25

26.

56

33

27. 122

9

28. 56

33

29. 82

5

30. 5

3

31. 22 32. 3

22 33.

3

7 34.

4

3

35. 10

3

36. 26

5

37. 5

1 38.

7

3 39.

9

7 40.

9

7 41. 3 42. 25

43. 3 44. 42

45. 3 46. 2 47.

2

1

48. 75,2

49. 102

5

50. 152

11

51. 5

5

52. 10

103

53. 0

54. 0

55. 0 56. 15 57. 1 58. 1 59. 1 60. 4

292

61. 1 62. 3 63. 33 64. 8 65. 15 66. 5

67. 15 68. 24 69. 26 70. 63

§1.5. Логарифмические действия и преобразования.

1. 2 2. 4 3. 3 4. 2 5. 4 6. 3

7. 3 8. 8 9. 9 10. 2 11. 9 12. 15

13. 9 14. 12 15. 12 16. -4 17. 8 18. 4

19. 6 20. -6 21. -1 22. -1,5 23. -4/3 24. -2

25. -4 26. 9 27. 16 28. 9 29. 3 30. 4

31. 36 32. 48 33. 18 34. 12 35. 16 36. 64

37. 81 38. 27 39. 27 40. 27 41. 1 42. 2

43. 5 44. 45. -2 46. -3 47. -1.5 48. -2,5

49. 2/3 50. 4/3 51. -2 52. 2 53. 4,5 54. 1

55. 9 56. 27 57. 16 58. 50 59. 6 60. 1,5

61. 1,5 62. 2,5 63. -1,5 64. -1,5 65. 3 66. 3

67. 5 68. 2 69. 3 70. 7 71. 2,5 72. 4,5

73. 6 74. 45 75. 24 76. 2,5 77. 1,6 78. 3

79. 1/3 80. 4 81. 2 82. 0,5 83. 4/3 84. 4/3

85. 4/3 86. 0,6 87. 12 88. 8 89. -0,5 90. 7

91. 24 92. -0,5 93. 8 94. 11,5 95. -3 96. -0,5

97. -3 98. 0,75 99. -5 100. -0,5 101. 125 102. 15

103. 7 104. 0,75 105. 0 106. 1 107. 15 108. -146

109. -2,5 110. 24 111. 27 112. -1/3 113. 25 114. 2lg

115. 12 116. 9 117. 0

118. 12 aa , где 0a и 2

51a

119. 1log 2 aa

, где 1a и 2a

120. 2baab , где 0a , 1a , 0b , 1b

121. ba

log , где 0a , 1a , 0b , 1b и 1ab

122. ba

log , где 0a , 1a , 0b , 1b и ba

123. 1) )(log1 baa

, если 0;,1;0 ba или aba ;0,;1 ; 2)

1)(log baa

, если aba ;0,1;0 или 0;,;1 ba

124. abba

loglog

125. 32

log1 x , где 1x .

126. 1) 0, если 10,10 ba или 1,1 ba ; 2) baab

loglog2 , если

10,1 ba или 1,10 ba

293

Глава 2. Уравнения, неравенства и системы

§2.1. Рациональные уравнения и неравенства

1. -16 2. -4 3. 2,2 4. 24

193 5. -1

6. 0 7. -1,5 8. 40

21 9. -300 10. 1,75

11. 2 12. Ø 13. 2,1 14. 7 15. Ø

16. 0; -0,3 17. ±0,2 18. 0; 0,05 19. 7

1;3,0 20. 1,5; -4

21. 3

11;8,0 22.

2

1;

8

113 23. 0; 3 24. 0; -5 25. 0; 0,5

26. 0; -2,5 27. 0; 9 28. 1; -6 29. 2; 0,5 30. 6

1;3

31. Ø 32. 09.17.0 33. -1; 1/3 34. 1,5 35. -0,5

36. Ø 37. 0 38. 7; 1 39. 4 40. 3

41. Ø 42. 0,5 43. 2,5 44. 13

8 45. 7

46. -10 47. ∅ 48. 33

4 49. ±

1

5 50. 0

51. ∅ 52. ±11

3 53. ±

3

5 54. −

17

30 55. −

4

7

56. -4;8 57. -10,5 58. ∅ 59. 1;7 60. -4 2; -2

61. -2,7; 8 62. 2; -2 63. 0 64. 0 65. 0

66. 4/3 67. -2,05; 1 68. -41

3; 1 69. -1;

1

9 70. -1;

34

55

71. -1; 0,039 72. 1; 58

87 73. 11 74. 0,5 75. -0,5

76. -2 77. 1,6 78. -5 79. 0 80. -4

81. -12 82. -9 83. -4 84. 10 85. 6

86. 18 87. 12 88. 1 89. 5 90. 1

91. 5 92. 6 93. -0,67 94. 0,5 95. -1

96. 1 97. 0,5 98. 1,5 99. 1,4 100. -1

101. 0,125 102. 0 103. 4 104. 1,75 105. 1,75

106. 4 107. 2 108. 4 109. -4 110. -3

111. -2,2 112. 0,8 113. 49 114. 4 115. 4

116. −11

3 117. −4 118. −5 119. 2 120. 2

121. 225 122. 3 123. 2 124. 375 125. -1,2

126. -2 127. − 10

2 128. −8 129. 2 130. 2

131. 1,5 132. 3+ 3 133. 2,5+ 5 134. 0,75 135. 13+ 57

4

136. 5 + 4 101 137. 7 138. 7 139. 21

294

140. 5 141. 10 142. 6 143. 26 144. 39

145. 25 146. 1;2;3 147. -2 148. .2

213;2

149. 3;5

150. 2; 3; 4 151. .2

53 152. 0,5; 2. 153.

3

1;3;2;

2

1 .

154. .2

53;2;

2

1 155. .32;

2

53

156. 5,2; 10.

157. 0,5. 158. 2,5. 159. 32

331 160. -3; 1.

161. 3; 4. 162. -2;3. 163. -5; -3. 164. 2; 4. 165. (1;1),(2;2)

166. −1

1+ 23 172. 92 173. 1;2;3

175. (1;1;1),

(1;2;3) 176. 2+ 3

177. (7,5); (7,6); (7, -11);(1,-3);(1,-1);(1,4);(-5,2). 178. нет 179. нет

180. 2;∞ 181. −∞;−5

3 182. −∞; −1,5

183. 2;∞ 184. −1,25;∞ 185. −∞; −0,3

186. −∞;−4

9 187. 1

1

8;∞ 188. 1

1

8;∞

189. −8

3;

10

3 190. 1,5;

5

3 191. −

10

7; 2

192. −5; 0 193. −∞; −0,3 194. ;1

195. ;1 196.

;

3

2

197.

6

51;

198. 1;

199. ; 200. Ø

201. ;

202. Ø 203. −∞; 0,25

204. −∞; 7 205. −6,5; ∞ 206. 1; ∞

207. −2,6; ∞ 208. −0,2; ∞ 209. −∞; −7 ∪ 5; ∞

210. −4; 1 211. −∞; −6 ∪ −4; ∞ 212. −12; 1

213. −∞; 1 ∪ 12; ∞ 214. 3; 5 215. −∞; 4 ∪ 9; ∞

216. 4; 9 217. −∞; −11 ∪ 8; ∞ 218. −∞; 11 ∪ 15; ∞

219. −9; 2,5 ∪ 3; ∞ 220. −5; −2 ∪ 3; ∞ 221. −0,25; 3 ∪ 6; ∞

222. −5; 0,5 ∪ 2; ∞ 223. −1; 1 224. −∞; 0 ∪ 1; ∞

225. −8; 8 226. −∞; −2 ∪ 0; ∞ 227. 1; 3

228. 0,5; 1 229. −∞; −1 ∪ 7

3; ∞ 230. −∞; 1 ∪ 2; ∞

231. −4; −2 ∪ 4; ∞ 232. −∞; −3 ∪ 1; 3 233. −∞; −3,5 ∪ −1; 5

234. 0,5; 1 ∪ 4; ∞ 235. 2; 4 ∪ 10; ∞

295

236. 10 237. 101 238. 8 239. 2 240. 10 241. 50

242. ∞ 243. 2 244. 6 245. 11 246. 11 247. -1

248. 5 249. -12 250. 3 251. 6 252. 21 253. 11

254. 19 255. 19 256. 2 257. 2 258. 4 259. -3

260. 5 261. 6 262. -24 263. 9 264. 4 265. 3

266. 9 267. 3 268. -8 269. 11 270. 1 271. 0

272. 25 273. 4 274. 10 275. 7 276. 18 277. 0

278. 41 279. 1 280. 9 281. 4 282. 35 283. 33

§2.2. Уравнения и неравенства с модулем. 1. 1 2. 3. 1; –3 4. 4; –2 5.

6. 0; 1 7. 0,25; 1,25 8. –1,5 9. 10. –1; 3

11. 0; 2 12. 3 13. 14. 2; –0,5 15. 0.5

16. ∅ 17. 2.5 18. 2 19. 1 20. 1

21. 1 22. 0 23. 24. −1 + 2 25. ∅

26. -20 27. -2 28. ∅ 29. 0 30. −31/4 31. 0 32. -1 33. 2 34. 4 35. 2

36. 2 37. -1 38. -9 39. 0 40. 0

41. 1.5 42. 2 43. 1 44. 1 45. 3

46. 1 47. 0 48. 0 49. 0.5 50. 0

51. 2 52. 2 + 7 53. 29−5

2 54. -0.1 55. 3

56. −1± 5

4 57. 2 ± 7 58. − 4

3 59. 0 60. 0

61. 1 62. (-2; 2) 63. ;22; 64. [-2; 0]

65. (-∞; -3)U(1; +∞) 66.

;

3

1 67. (-∞; 1)

68. 323;323 69. [1; 3]U{-1} 70.

2

71;

2

71

71.

;

2

31 72. 5 73. 4 74. 0

75. 11 76. 5 77. 0 78. 19 79. 0

80. 8 81. 5 82. 101 83. 200 84. 0

85. 102 86. 31 87. 0 88. 2 89. 10

90. 0 91. 6 92. 1 93. 1 94. 1

95. 15 96. 2

10 97.

12

333 98. 1 99. 2

296

100. 1 101. 2

43

102. 2 103. 2 104. R

105. 246;246104;104 106. 0

107. 223;72 108. [-2,5; 0] 109. (-∞; -3)U(-2; 2)U(3; 4)U(4; + ∞)

110. (-∞; -3)U(-1; 1)U(1; 2]U(3; + ∞) 111. (-∞; -4)U(-3; 3)U(3; +∞)

112. (-∞;-5) 113. 114. -1

§2.3. Иррациональные уравнения и неравенства. 1. 1 2. -8 3. 4/3 4. Ø 5. 3 6. ¾

7. Ø 8. 26 9. -7 10. 9 11. -4 12. 1

13. 2 14. -14 15. Ø 16. -1,5 17. -31 18. 33

19. 1 20. 62 21. Ø 22. -2 23. 4 24. -7

25. 1.25 26. -3.75 27. 0 28. 29. 2 30. -1

31. -20 32. -4 33. 0 34. -1 35. -6 36. 5

37. 2 38. 39. -1 40. -12 41. 8 42. -21

43. -112 44. 45. ∅ 46. ∅ 47. -2 48. 0

49. 0 50. 2 51. 3 52. -1 53. 2 54. 0

55. 0 56. 1 57. 0 58. 0 59. 0 60. 6

61. 0 62. 1 63. 0 64. 1 65. -2.5 66. 1

67. 7 68. 4 69. 1 70. -0.5 71. -1 72. 0

73. -2 74. 0 75. 4 76. -1 77. -20 78. 0

79. 2 80. 0 81. 130 82. 1 83. -1/4 84. 6

85. -1 86. 5 87. 4 88. 2/54 . 89. -3

90. 9 91. 0 92. 93. -0,4 94. -0,5

95. 6

375 96. 1; -0,2 97.

2

5

2

1 98. 1,5

99. 2 100. 27 101. 4; 84 102. 2

5

2

3

103. 104. 105. 106. 107. -1 108. 322

109. ±2 110. -1; 0 111. 2; 1 112. 0 113. 0 114. 1

115. 0 116. 7; -1 117. 80 118. -1 119. 12

3337

120. 0 121. -3/8; 4; 0 122. 8

173

8

5 123. 0; ±1

124. 0 125. -1 126. -1 127. 0 128. 0 129. 0; 63/65

130. -19; 0 131. 5

5 132. 2 133. -2,5 134. 3; -1 135.

2

51

297

136. 2 137. 1 138. 3 139. 1 140. 4 141.

4

152

142. 4

65 143. 4 144. 2 145. 4 146. 196 147. 0

148. -1 149. 0 150. 1 151. 1 152. 1 153.

2

5

2

1

154. 2

5

2

1

155. 3

3

6912108

26912108

6

1

156. 0;

2

5

2

1

157. 1 158. 1 159. 1 160. 1 161. 1 162. -2

163. m=0, n=0 164. 165. 𝑎𝑘 = 2𝑘 + 1 2, 𝑘 = 1,2, … ,8

166. (1;+∞) 167. 168. [24; +∞) 169. (-∞;-1]

170. (-∞;-64) 171. (-∞; 1] 172. [15; +∞) 173. (-∞; 1]

174. (-∞; -0,5]U{0} 175. {-2}U[1; +∞) 176. [-0,5; 1] 177. {1}U[2;

+∞)

178. (-1; 2) 179. [2; 3] 180. 1 181. 0

182. 0,5 183. 0 184. 1 185. 2 186. 1 187. 4

188. 4 189. 3 190. 0 191. 7 192. 0,5 193. 2

194. 8 195. 9 196. 18 197. [-0,5; 2)U(4; +∞)

198.

;

8

5

2

15; 199. (0,5; 3] 200. 2;3

2

154;

201.

;

2

3

2

15; 202.

2

61;1

2

61;

203. R 204. 205. [0,5; +∞) 206. {1}U[2; +∞)

207. [0; 1] 208. (-∞; -1)U(-1; +∞) 209. [-1; 1] 210.

211.

5

54;

5

54 212. (0,5; +∞) 213.

2

15;

10

219

214. [-0,4; +∞) 215. [-1; +∞) 216.

3

321;2

217. (0,5; 3) 218.

;

2

539

2

539;1 219. [2; +∞)

220. 221. 3 222. ;223 223. 2

298

224. -2; 1 225. ;2121; 226.

4

139;

2

1

227.

;6

2

3 228. (0; 4) 229. 4 230. (-1; 0) 231. 2

2

51;

§2.4. Тригонометрические уравнения и неравенства.

1. Zk ,2 kx 2. Zk ,2 kx

3. Zk ,22

kx

4. Zk ,2 kx

5. Zk , kx 6. Zk ,22

kx

7. Zk ,4

kx

8. Zk ,2

kx

9. Zk ,4

kx

10. Zk ,2

kx

11. Zk ,6

1 kxk

12. Zk ,26

5 kx

13. Zk ,4

1 kxk

14. Zk ,3

kx

15. Zk ,23

kx

16. Zk ,6

kx

17. Zk ,3

11

kxk

18. Zk ,24

kx

19. Zk ,4

11

kxk

20. Zk ,6

kx

21. Zk ,3

kx

22. Zk ,6

11

kxk

23. Zk ,24

5 kx

24. Zk ,

6 kx

25. Zk ,23

2 kx

26. Zk ,

6 kx

27. Zn ,212

n

x

28. Zn ,64

3 nx

299

29. Zn ,336

7

nx

30. Zn ,2

6 nx

31. Zn ,62

91 nx

n

32. Zn ,

5

2

3012

nx

33. Zn ,34

5 nx

34. Zn ,

472

17

nx

35. Zn ,6

arcsin13

nxn

36. Zn ,4

arccos2

1

8 nx

37. 30 38. 225 39. 45 40. 60 41. 180 42. 135

43. 10 44. 48 45. 15 46. 150 47. 105 48. 6

49. 5 50. 9 51. 6 52. 8 53. 12 54. 8

55. 8 56. 8 57. 10,5 58. 3,5 59. 10 60. 6

61. 0,8 62. 17,5 63. 1,75 64. 8 65. 5 66. 7

67. 4 68. 14 69. 9 70. 12 71. -12 72. -6

73. -6 74. -2 75. -2 76. -32 77. -16 78. 0

79. -12 80. 4 81. 1 82. 2 83. 2 84. 1

85. 2 86. 1 87. 2 88. 3 89. 4 90. 2

91. 3 92. 13 93. 9 94. 5 95. 5 96. 10

97. 11 98. 6 99. 5 100. 6 101. 1 102. 5

103. 2 104. 23 105. 3 106. 0,5 107. 0 108. 0

109. 0 110. 0,5 111. -2 112. 0 113. -1 114. 0

115. 0 116. 0 117. 0,75 118. 0 119. -1 120. -0,5

121. -2 122. 0 123. 0,75 124. 90 125. 15 126. 81

127. 310 128. 130 129. 27 130. 150 131. 30 132. 330

133. 90 134. 80 135. 15 136. 210 137. 240 138. 198

139. 234 140. 110 141. 216 142. 54 143. 27 144. 110

145. 3 146. 7 147. 10 148. 1 149. 2 150. 1

151. 2 152. 0 153. -1,25 154. -3,5 155. 1,5 156. -0,4

157. -0,1 158. -0,15 159. -0,6 160. -0,75 161. -1,2 162. 0,4

163. Zk ,28

k

x

164. Zk ,22

kx

165. Zk ,22

kx

, Zn ,24

3 nx

166. Zk ,2 kx , Zn ,24

3 nx

167. Zk , kx 168. Zk ,24

k

x

169. Zk ,24

k

x

170. Zk , kx , Zn ,4

nx

171. Zk , kx ,

Zn ,4

nx

172. 3 173. 2 174. 2 175. 10 176. 573 177. ;0

300

178. 2; 179. 20,8 180. k 181. kk 225arccos;12

182. 136

k

183. 142

k

184. kk

2;144

185. 22

1arctan2

k 186. 14

2k

187. 16

6k

188. Zkkxkxkxkx ,23

4,2

9

4,2

9

11,2

9

189. Zkkxkxkxkx ,218

29,2

6

7,2

18

17,2

6

4

190. Zkkxkxkxkx ,29

8,2

3

4,2

9

1,2

3

191. Zkkxkxkxkx ,24

7,2

12

13,2

12

11,2

4

192. Znnxn

xnx ,23

,24

,2

193. Znnxn

x ,23

,2

194. Znnxn

xnxn

,6

1,24

,

195. Znnxn

xnxn

,6

1,24

,1

196. Znnx

,22

51arccos

197. Znnxn

,2

51arcsin1

198. Znnx

,22

51arccos

199. Znnxn

,2

51arcsin1

200. Znnxnx

,2

12arccos

2

1,

2

61arccos

2

1

201. Znnxnx

,

4

1arccos

2

1,

6

202. Znnxnxnn

,2

12arccos

2

11,

2

61arccos

2

11

1

301

203. Znnxnx

,12

4

1arccos

2

1,

6

204. Znnx ,22

205. Znnx ,24

3

206. Znnxnx ,24

3,2

4

207. Znnxnx ,2,23

2

208. Znn

x ,26

209. Zn

nx ,

26

210. Znnxnx ,8

,

211. Znn

x ,24

212. Znnxnxnx ,3

,22

,;

213. Znnxnxnx ,6

,2

,2

214. 20

9,

20

215.

30

11

216. Znnarctgxnx ,25,24

217. Znnarctgx ,5

1

218. Znnarctgxnx ,23,24

3

219. Znnx ,24

3arccos

220. Znnxn

xn

,6

1,24

221. Znnx ,23

1arccos

222. Znnxn

x ,26

5arccos,

24

223. Zkkxkx ,28

5,2

8

302

224. Zkkxkx ,28

5,2

8

225. Zkkxkx ,28

3,2

8

226. Zkkxkx ,28

3,2

8

227. 105n 228. 235n 229. 165n 230. 65n

231. Znnxnx ,24

1arccos,2

232. Znnxnx ,23

1arccos,2

2

233. Znnxnx

,2

4

3arccos,2 234. Zkkx ,2

6

235. Zkkxkx ,25

1arccos;

5

1arccos 236. Zkkx ,

3

237. Zkkxkx ,23

1arccos;

3

1arccos 238. 14

4k

239. 2 240. 2 241. 242. 243. 244. 1

245. 1 246. 1 247. 1 248. 1

249. Znnxnxnarctgx ,14

5,

14,

2

1

250. Znnarctgx ,22

1

251. Znnarctgxnarctgx ,2

3,

2

1

252. Znnarctgx ,22

1

253.

3

2;

3;

2;

4

3;

4,,2

Znnx

254.

12

7;

12

5;

2;

4

3;

4,,2

Znnx

255.

4

3;0;

6,,2

Znnx

256.

4

3;0;

12,,2

Znnx

257. 258. Zk ,2

k

x

303

259. 𝑥 = 2𝜋𝑘, 𝑘 ∈ 𝑍, Zn ,2

nx

260. Zn ,22

nx

261. Zk ,4 kx 262. 263. Zk ,2 kx

264. 0 265. Zn ,2

nx

266. Zk , kx

267. 268. Zk ,2 kx 269. 𝑥 = 𝜋𝑘, 𝑘 ∈ 𝑍, 0ó

270. Zn ,4

nx

, 3ó 271. Zk , kx , 4y

272. Zn ,212

5 narctgx , 3ó

273. Zk ,2 kx , Zn ,22

nx

274. Zk ,2 kx , Zn ,22

nx

275. Zk ,2 kx , Zn ,22

nx

, Z ,4

x

276. Zk ,2 kx , Zn ,22

nx

, Z ,4

x

277. Zk ,2 kx 278. Zk ,2 kx

279. 280. 281. Zk ,22

kx

282. Zk ,22

kx

283. Z,22

3;2

2

kkkx

284. Zkkkx

,2

2;2

2

285. Zk ,12;2 kkx

286. Zkkkx ,2;2

287. Zkkkx

,;

2

288. Zkkkx

,

2;

289. Zkkkx

,1;

2

290. Zkkkx

,

2;

291. Rx

292. Rx 293. Zkkkx

,2

2;2

2

3

304

294. Zkkkx

,2

2

3;2

2

295. Zkkkx

,2

6;2

6

7

296. Zkkkx

,2

6

5;2

6

297. Zkkkx

,2

4;2

4

5

298. Zk ,24

3;2

4

kkx

299. Zkkkx

,2

3;2

3

4

300. Zk ,23

2;2

3

kkx

301. Zk ,2

3

4;2

3

2

kkx

302. Zk ,23

2;2

3

2

kkx

303. Zkkkx

,2

4

7;2

4

304. Zk ,24

;24

kkx

305. Zk ,2

6

7;2

6

5

kkx

306. Zk ,6

;2

kkx

2) 307. Zkkkx

,

4;

2

308. Zkkkx

,

3;

2

309. Zk ,1;

3

kx

310. Zk ,1;4

kx

311. Zk ,1;

6

kx

312. 2

3 313.

2

3 314.

2

31 315.

2

1

316. Znnn

,

12;

12

7

317. Zn

nn

,

3

2

18

7;

3

2

18

318. Znnn

,

3

2

18;

3

2

18

319. Zn

nn

,

3

2

9;

3

2

9

4

320. Znnn

,2

3

2;2

321. Znnn

,16;6

2

9

322. Znnn

,

28;

224

7 323. Znnn

,3

2;3

2

324. Zn

nn

22

9

4arcsin;2

9

4arcsin

325. Zn

nnarctg

48;

43

4

1

326. 327. 328. 0 329. 0 330. 0 331. 0

332. 1 333. 1 334. 2 335. 2 336. 3 337. 1

338. 2 339. 1 340. 1 341. 1 342. 3 343. 0

305

344. 4 345. 0 346. 1 347. 1 348. 2 349. 1

350. 1 351. 0 352. 5 353. 4 354. 2 355. 4

356. 2 357. 7 358. 0 359. 3 360. 1 361. 1

362. 0 363. 0 364. 0 365. 2 366. 1 367. 1

368. 1 369. 0 370. 4 371. 1 372. 1 373. 1

374. 0 375. 1 376. Znnn

,

62,

122

377. Znnnnnnn

,

9

5,

29

2,

9,

3

378.

n

nnnnnn4

52,

6

52

4

32,

42

62,

42

379. Znnn

,

488,

8

380. Znnnnnnn

,

4

52,

6

52

4

32,

42

62,

42

381. Znnnnn ,180360,8536010360,95360

382. Znnnnn

,

12,

22,

12

7

383. Znnn

,

183

2,

18

7

3

2 384. Znnn

,

32,

32

385. Znnx ,2

2

386. Zkkkkk

,2;2

6

52

6;2

387. Zkkk

,2

4

3;2

2

388. Znnnnn

,

4;

44;

2

389. Znn ,22

390. Znn ,2 391. Zn

,

4;

66;

4

392. 393. Znnxn ,24

52

4

394. Znnxn ,24

32

4

3

395. Znnxn ,24

52

4

396. Znnxn ,24

32

4

3

306

§2.5. Обратные тригонометрические уравнения и неравенства.

1. 0,5 2. 1 3. 2

3 4.

2

2 5. -0,5 6. -1

7. 2

3 8.

2

2 9.

2

3 10. 0 11. 0,5 12.

2

2

13. 3

1 14. 15. 3 16. 1 17.

3

1 18.

19. 3 20. -1 21. 3 22. 0 23. 3

1 24. 1

25. 3 26. 0 27. 3

1 28. -1 29. 1 30. -1

31. -3 32. 0,4 33. 1 34. 2 35. 2 36. 0,5

37. 1,5 38. 1 39. -1 40. -1,5 41. 2 42. 2

43. -1 44. -1 45. -2 46. 5 47. 0 48. 0

49. 5

2 50.

10

3 51.

5

2 52. 1 53. -1 54. 0

55. -2 56. 3 57. 4 58. -8 59. -4 60. 5

4x

61. 5

2x 62.

5

1x 63.

5

4x 64.

26

1 65.

8

1 66.

53

1

67. ∅ 68. ---- 69. ---- 70. 1 71. 0 72. 0,5

73. 0,5 74. 0 75. 2 76. 1 77. 0,5 78. 1

79. 1,25 80. 3,5 81. 2 82. 1 83. 0,125 84. 1

85. 2 86. -3 87. 3 88. 0,25 89. 2 90. 1

91. 2 92. 0,5 93. 0,5 94. 4,5 95. -0,625 96.

4

3;0

97.

2

1;

4

1 98.

1;

6

2

3

2 99.

14

3

7

4;

7

3

100. 1;01; 101.

2

1;

5

2

§2.6. Показательные уравнения и неравенства.

1. 5 2. 3 3. 7 4. 4 5. 2 6. 2

7. 3 8. 1 9. -2 10. -0,5 11. 3 12. 3

13. 0 14. 2 15. 3 16. Ø 17. 6 18. Ø

19. 2 20. Ø 21. –4 22. Ø 23. 1,5 24. 0,5

307

25. 2,5 26. -0,5 27. -1 28. -4 29. -4 30. 9,5

31. 3,5 32. 6 33. 2,625 34. -2,25 35. 7,8 36. 1,5

37. 0,6 38. 0,875 39. 2,25 40. 0,375 41. 1,6 42. 1,3

43. -4 44. 2 45. 0 46. 3 47. -2 48. -1

49. 5 50. 4 51. -1 52. -3 53. -5,5 54. 3

55. 7 56. 1,8 57. 2 58. 2,5 59. 6,5 60. 4,5

61. -8 62. -3 63. 1 64. 0 65. 2 66. 4

67. -2 68. 0,5 69. 0 70. 0 71. 0 72. 2/3

73. 5 74. 3 75. 2 76. 1 77. 1 78. -2

79. -2 80. 0,5 81. 1,5 82. -0,5 83. 3 84. -3

85. 1 86. -1 87. -4 88. 2 89. 2 90. -2

91. 4 92. -2 93. -2 94. -3 95. 4 96. 0,75

97. -1,5 98. 1 99. 2 100. 3 101. 1 102. 0,25

103. -6 104. 4 105. -4 106. 1,5 107. 8 108. 0,75

109. -2 110. 0,75 111. 7 112. 1 113. 1 114. 4

115. 3 116. 3 117. 3 118. 3 119. 4 120. 4

121. 4 122. 1 123. 2 124. 2 125. 4 126. 1

127. 1 128. 1 129. 2 130. 0 131. 2 132. 2

133. 1 134. 2 135. 1 136. 1 137. 0 138. -2

139. 4 140. -1 141. 0 142. 1 143. 1 144. 2

145. 1 146. 3 147. 2 148. 2 149. -1 150. 3

151. 2 152. 2 153. 2a 154. 5 155. 13 156. 4

157. 5 158. 6 159. 12 160. 3 161. 4 162. 4

163. 0 164. 0 165. 1 166. 16 167. 1,25 168. 0,04 169. -0,96 170. -5,5 171. 1 172. 9 173. 3 174. 2

175. 0,6 176. 1,5 177. 1,75 178. 0,125 179. -1 180. -1/3

181. 2 182. 0,5 183. 0,5 184. -1,5 185. -1 186. 4,5

187. 3 188. 1,5 189. 0,2 190. 6 191. 0,6 192. 0,75

193. 0,25 194. 0,5 195. 3 196. 0 197. -1 198. 2

199. 1 200. 0 201. 1 202. 2 203. 9 204. 5

205. 5 206. 3 207. 5 208. 4 209. 4 210. 4

211. 4 212. 2 213. ;7 214. ;3 215. 5;

216. ;9 217. 7; 218. 8; 219. 7; 220. 3;

221. ;5 222. 9; 223. ;7 224. ;8 225. ;2

226. ;2 227. 3; 228. ;2 229. 3; 230. 2;

231. ;2 232. 2; 233. 5; 234. Ø 235. ;

236. ; 237. Ø 238. ; 239. ; 240. Ø

241. -3 242. 3 243. -3 244. 2 245. 1 246. 2

247. -4 248. 0 249. -2 250. 5 251. -1 252. -5

253. 3 254. 7 255. 2 256. 2 257. -3 258. 6,5

259. -8 260. -3 261. 1 262. 2 263. -2 264. 0,5

308

265. 0 266. 4 267. 3 268. 0 269. 2 270. -1

271. -1 272. 1 273. 2 274. 0 275. -3 276. 2

277. 1 278. -6 279. 2 280. 1 281. 6 282. 2

283. 1 284. 1 285. 0 286. -4 287. 1 288. -3

289. 7 290. 2 291. -2 292. -1 293. 1 294. -4

295. 3 296. 2 297. 1 298. 10 299. -3 300. 6

301. 7 302. 0 303. 2 304. 0,375 305. 1 306. 1

307. 3 308. -1 309. 4 310. -3 311. 2,5 312. 0

313. 4 314. 0 315. 0 316. 2/3 317. 4 318. -2

319. 2 320. -4 321. -3 322. 0 323. 7 324. 8

325. 0 326. -2 327. );2[ 328. ]2;( 329. );0(

330. )2;3[ 331.

3

10; 332. );5,2[ 333. [-6;2] 334. (-8;-1)

335. [0;6] 336. 2; 337. );0( 338. ]0;( 339. [-2;6]

340. -1 341. );2( 342. );3[ 343. )25,0;( 344. );1[

345. );1[ 346. );2( 347. );4[ 348. );2[ 349. )2;(

350. )2;( 351. )4;( 352. -1 353. -2 354. 6

355. -4 356. 4 357. 2 358. -3 359. 1

360. -2 361. 0 362. -2 363. )4;1( 364. )2;5,0(

365. )4,0;0( 366. )5,1;1( 367. )5,0;0( 368. )2;5( 369. )1;8,0(

370. )4,0;5,0( 371. )2;4( 372. );1()8,0;( 373. )1;0(

374. )0;1( 375. )0;1( 376. )3;1( 377. ]2;0[ 378. ]0;1[

379. ]3;2[ 380. )1;2( 381. )3;0( 382. ]2;1[ 383. );2[

384. )25,0;( 385. );1[ 386. )2;2( 387. )1;1( 388. )1;0(

389. );16[ 390. );25,1[ 391. ]04,0;0( 392. ]96,0;1( 393. ]9,2;0[

394. }1{ 395. }9{ 396. )7;1( 397. )4;8( 398. )4;0(

399. )5,0;0( 400. )1;5,0( 401. )2,1;4,0( 402. )4;1( 403. )1;5,0(

404. )1;6( 405. )8;4( 406. )4,0;2( 407. )5;0[ 408. )04,0;0(

409. )2;1[ 410. )8;3[ 411. )9;0( 412. )5;1[ 413. )7;0(

414. )4;2[ 415. )9;1[ 416. )16;0( 417. )5,1;5,0( 418. )3;2(

419. )3;0( 420. )3;2[ 421. )5;4[ 422. )2;5,0( 423. )2;1(

424. )3;0( 425. )4;2( 426. )4;3( 427. ]2;0[ 428. ]3;0[

429. ]2;0[ 430. ]9;0[ 431. ]6;0[ 432. ]1;0[ 433. ]5,0;0[

434. ]4;0[ 435. ]1;0[ 436. )2;0[ 437. );( 438. );(

439. 440. );( 441. 442. );3[ 443. );2[

309

444. );6,0[ 445. );5,1[ 446. );75,1[ 447. );125,0[ 448. );1[

449.

;

3

1 450. );2[ 451. );5,0[ 452. );1( 453. ]2;1(

454. );( 455.

5;

3

1 456. );(

§2.7. Логарифмические уравнения и неравенства.

1. 4 2. 125 3. 0,25 4. 3

13 5.

16

1 6. 27

7. 9 8. 0,25 9. 4 10. 2 11. 3 12. 2

13. 3 14. 6 15. 1 16. 98 17. 11 18. 2

19. –6 20. –1,75 21. –6 22. 27

1 23. –4 24. –0,5

25. –16 26. 3

2 27. -3;1 28. 4; -3 29. 5 30. 2

31. 18 32. 2 33. -2,5 34. 36 35. 64 36. 5

37. 1 38. 26 39. 15 40. 4 41. 14 42. -1;1

43. -6;0 44. -2 45. -5 46. 0 47. 1 48. 1,5

49. 2 50. 5 51. 2 52. 3 53. 3 54. -16

55. -10 56. 11 57. 9 58. -6 59. 9 60. -7

61. 5 62. -10 63. 16 64. 4 65. 16 66. 27

67. 5 68. 3 69. 1 70. 0 71. 2 72. 3

73. -6 74. 5 75. 1 76. 1 77. 0,2 78. 16,25

79. 25,2 80. 17 81. 3 82. -1 83. 12 84. -16

85. 0,01 86. 0,125 87. 0 88. 13 89. 11 90. 7

91. 16 92. -100 93. -0,5 94. 7 95. 81 96. 243

97. 32 98. 27 99. 16 100. 20 101. 100 102. 7

103. 6 104. -32 105. 3 106. 1 107. 1 108. -3,5

109. ∅ 110. -2,5 111. -2,5 112. 2 113. 12 114. 1

115. 1 116. 1 117. 1 118. 5 119. 7; 2

1

7;7

1

120. 2 121. 3 122. 4 123. 4 124. 2 125. 0,5

126. 3 127. 3 128. 2 129. 0 130. 1 131. 2

132. 4 133. 2,5 134. -2,5 135. 1 136. –1,5; 4

137. –6 138. 9; –20,7 139. 1; 9 140. ±0,5 141. 6;11

142. 1/16 143. 64 144. 0 145. –2 146. 1,5625

147. ;25 148. 2; 8 149. 0,25; 162 150. 20 151. 3; 1/81

152. 2,5 153. -2 154. 8 155. 2

15 156. –2

157. 1 158. 1/9 159. 1; –0,75 160. 2 161. 1

310

162. 0,5 163. 0,5 164. 2;11;3

2

165. 5;11;6

5

166. 3

5x

167. 3

5;

3

168. Znnxnx ,2

3

2arcsin;2

4

3arcsin

169. 3;0;7321 xxx 170. 5;2;0

321 xxx

171. Znnxn

,6

11

172. Znnx ,22

173. Znnx ,2 174. -1 175. 3

1

176. ;4 177. 9;0 178. 25,0;0 179. 25,0;0 180. ;9

181. 25,0;0 182. 3;0 183. ;2 184. ;3 185. ;1

186. ;7 187. 19;3 188.

0;

16

1 189. 12;11 190. 4;1

191. 9;5,1 192. ;6 193. ;4 194. ;9 195. ;5

196. ;4 197. 2;0 198. 5;0 199. ;2 200. ;2

201. 4; 202. ;4 203. 5,1;5,0 204. 14;5,1 205. 0;9

206. 6; 207. 8; 208. 1;4 209. 1;7 210. ;8,2

211. 2;2,0 212. 8 213. -2 214. 5 215. 5

216. 1 217. 3 218. 7 219. 1 220. -1 221. 0

222. 81 223. 9 224. 2 225. 4 226. 3 227. 3

228. 2 229. 5 230. 6 231. 4 232. 9 233. 6

234. 3 235. 1 236. 2 237. 49 238. 64 239. 1

240. 1 241. 15 242. 2 243. 9 244. 3 245. 9

246. 5 247. 25 248. 4 249. 15 250. 8 251. 81

252. 243 253. 32 254. 27 255. 16 256. 100 257. 1

258. 16 259. 27 260. 27 261. 3 262. 0 263. 0

264. 3 265. 1 266. 3 267. 13 268. 11 269. 3

270. 1000 271. 0,01 272. 0,125 273. 0,25 274. 1000000

275. 0 276. 16,25 277. 25,2 278. 17 279. 3

280. -1 281. 3 282. 1 283. 3 284. 0 285. 3

286. 4 287. 3 288. 3 289. -4 290. 10 291. 9

292. 4 293. 7 294. 3 295. 2 296. 3 297. 0

298. 5 299. 8 300. 9 301. 2 302. 4 303. 2

304. 2 305. 4 306. 2 307. 3,75 308. 3,75 309. 4,8

310. 3

22 311. 1 312. 1 313. 1 314. 1 315. 1

316. 18 317. -1 318.

;1

5

1;

5

1

5

1;

311

319.

;2

3

2;00;22;

320. 4log0;2

1log

9

4log

777 xx 321. 1;12log

2

5 xx

322. 03

1 x 323. 10;0

4

1;

2

11 xxx

324. 26log;15

xx 325. 110log2

x

326. 1;2

213log

32

xx 327. 1

5

12log

3 x

328. 0;07

2;

5

2

2

1 xxx 329. 0;0

5

1;

3

1

2

1 xxx

330. 012

1;

4

3 xx 331.

12

10;

3

2 xx

332. 14

5;

4

25

9

25 xx 333. 113;1

3

1 xx

334. 110log2log;133

xx 335. 117log;012

xx

336. 0;12;3 337. 3;21;0

338. 65;2

73115

xx 339. 6

3

16;

3

2922371

xx

340. 2;1;2

1

8

1 xxx 341. 164;1

4

1;

4

10 xxx

342. 6621;153;5

1915;6214 xxxx

343. 91131;795

43;779;113111 xxxx

344. 8;27

11 xx 345.

7

30;6 xx

346. 87;2

136 xx 347. 65;

2

94 xx

348. 0;2 xx 349. 4;32;21;10 xxxx

350. 2

151;

2

150;0

2

51

xxx

351. 2

150;0

2

51;1

2

51

xxx

352. 64;46 xx 353. 2

71;1

2

7 xx

312

§2.8. Системы уравнений.

1. 1;2 2. 1;1 3. 1;0 4. 1;2 5. 2;1 6. Ø

7. Ø 8. 3;1 9. 1;2 10. 10 11. 8 12. 82

13. 10 14. 15. 2 16. 6 17. 8 18. 19. 20. 1 21. 22. 12 23. 18 24. 4

25. 10 26. 24 27. 4 28. 20 29. 1 30. 10

31. 9 32. 36 33. 4 34. 4 35. 9 36. 0

37. 8 38. 0 39. 3 40. 0 41. 64 42. 4

43. 27 44. 8 45. 9

65 46. 0 47. 6 48. 19

49. 0 50. 9 51. 36 52. 12 53. 7 54. -3

55. 20 56. 27 57. 6 58. 2 59. 0 60. 10

61. 6 62. 15 63. 30 64. 8 65. 5 66. 2

67. 10 68. 40 69. 30 70. 41 71. 6561 72. 8

73. 72 74. 0,36 75. 5 76. 5 77. 5 78. 0

79. 0 80. 2 81. 35

2 82.

3

8 83. 0 84. 64

85. 8 86. 36 87. 1 88. 36 89. 4

5 90. 1

91. 6

92. 2 93. 1 94. -1 95. -1

96. 2

1

3

1arctgarctg 97. 6 98.

2

12

2

52 arctgarctg

99. 9 100. 9

2 101. -3 102. 1,25 103. 2

104. 3. 105. 34. 106. 8,5 107. 1 108. 16.

109. (5,4,5) 110. (5,4) 111. (1,3) 112. 2;2

113.

4;3;3

1;3;12

zyx

zyx 114. 1;6,3;2 115. 1;3,

2

1;

2

3

116. 2;3,6;1 117. 1;3,2

1;

2

3

118.

27

728;

27

1459,0;3

119.

4

21;

4

43,0;2 120.

4

21;

2

11,0;2 121.

27

728;

27

731,0;3

313

122.

7

9log;

27

49log,

17

36log;0

333 123. 7log4;67log2,

71

128log;0

222

124. 8log2;38log2,141

250log;0

555

125. 8log3;48log2,

97

270log;0

323

126.

2

2

1;1

2

1

33 127.

2

3

1;1

3

1

33 128.

1

2

1;2

2

1

33

129.

1

3

1;2

3

1

33 130. 2;4 131. 2;6

132. 2;5 133. 2;3 134. 2;2 135. (9;3).

136.

ZkZnknyknx ,,6

;,6

137.

ZkZnk

nyk

nxkk

,,212

14

,212

14

1

138.

ZkZnknyknx ,,26

,26

139.

ZkZnn

kyn

kxnn

,,212

14

,212

14

11

140.

ZnnyZkk

xk

,24

3;,

2121

1

141.

ZnnyZkkxn

,4

1;,6

1

142.

ZnnyZkk

xnk

,4

14

;,212

1

143.

ZnnyZkkxn

,4

14

;,3

144.

ZmmyZkkxm

,6

5arcsin1;,2

3

2arccos

145.

Zmm

kkyZkkarctgx ,11

22

4

3arccos;,4

314

146.

Zmm

kkyZkkx ,11

22

10

15arccos;,

5

4arcsin

147.

Zmm

kkarctgyZkkarctgx ,11

2222;,

3

1

153. (0;0;0;0;0) (1/3;1/3;1/3;1/3;1/3); (-1/3;-1/3;-1/3;-1/3;-1/3)

154. (1;1;1) 156. (1/2;1/2;1/2); (-1/2;-1/2;-1/2).

§2.9. Совокупности и системы неравенств.

1. 5;3 2. ;6 3. 3; 4. 10;3

5. Ø 6. Ø 7. 5; 8. ;9

9. 0;5 10. 7 11. Ø 12. ;

13. ;5 14. 1; 15. ; 16. ;75;

17. ;135; 18. 7; 19. ;15 20. ;

21. 5;3 22. ; 23. ;5,4 24. ;5,0

25. 1; 26. 2; 27. Ø 28. ;5,22;

29. 1;1 30. ; 31. (3;5) 32. −∞; ∞

33. 1

4;

1

3 34. −1; 1 35. −1; ∞ 36. (1; ∞)

37. (0;9) 38. −∞;−7 ∪ 0; 9

39. 0,2; 1,5 40. −2; 2

41. 5 42. 3 43. 6 44. 21 45. 7

46. 1 47. 2 48. 1 49. 1 50. 6

51. 5 52. 1 53. -1 54. 1,5 55. π+2

2

56. (2;3), (3;3), (4;3), (4;4), (5;2), (5;3), (6;2), (6;3) 57. π

4−

1

2

58. 6-π 59. 4(6-π) 60. 6,25(6-π) 61. 4π+4 62. 4π+4

63. 10 −π

4 64. π-1

Глава 3. Функция

§3.1. Область определения функции.

9. ; 10. ; 11. (-∞; 0)U(0; +∞)

12. [0; +∞) 13. ; 14. ;

15. ; 16. [1; +∞) 17. (-∞; 3]

315

18. (-∞; -1,5)U(-1,5; +∞) 19. (-∞; 0)U(0; +∞) 20. (-∞; 1)U(1; +∞)

21. ; 22. ; 23. Zkkx ,2

24. (-∞; -3)U(-3; +∞) 25. (0; +∞) 26. (0; 1)U(1; +∞)

27.

;

2

51

2

51;

2

51

2

51; 28. [0; 2)U(2; +∞)

29. (-∞;-1] 30. Zkkx , 31. (-∞; 1)U(2; +∞)

32. (-∞; 0] 33. [0; +∞) 34. (-∞; -1)U(-1; 1)U(1; +∞)

35. (0; 3)U(3; +∞) 36. (1; +∞) 37. (-∞; 0]

38. [-4;-2] 39.

kk

kkkk 2;22;2

40. (-∞;+∞) 41.

2

51;01;

2

51

42. 1;0

43. 3;13

1;0

44.

;31;

2

1 45. (-∞;0]

46. ;2lg 47.

;

2

3 48. (-∞;-1)

49. (-∞; -1)U(-1;1)U(1; + ∞) 50. (1; +∞) 51. Zkkx ,

52. ;11;0 53. 54. 55.

2

1;2

56. 57.

58. ;21; 59.

2;

1

e

e

60. 1;0 61. 62. 0;11;

§3.2. Область значения функций.

1. ; 2. ; 3. ; 4. ;

5. ; 6. ; 7. ;11; 8.

4

1;

4

1

9. 3;1 10. 7;3 11.

6

1;

6

1 12. ;1

13. ;0 14.

;

4

11 15.

;

4

3 16.

;

4

1

17.

8

49; 18. 1 19. 1 20. 0

316

21. 0 22. -1 23. 0 24. 0

25. 2 26. -4 27. -1 28. 0

29. -1 30. -1 31. 0 32. 13

33. 0 34. 7 35. 1 36.

3

32;

3

32

37.

3

1;1 38. ;4 39. ; 40.

;

4

1

41. ; 42. 2; 43. ;1 44. ;4

45. ;0 46.

;

4

7 47. ;0 48. 1;0

49. 1;0 50. 1 51. ; 52.

2;

2

53.

2;0

54.

3

22arccos;0 55. 2lnlog2ln;

2ee

56. ;00; 57. ;2log3

58. ;0 59. 4 2;0

60.

4/3

27

7;0

§3.3. Четность и нечетность функций.

1. ННЧО 2. ЧНОО 3. ОЧОН 4. ЧНОО 3. ЧООО 4. ОНЧО

5. ЧНОО 6. ЧНОЧ 7. 2 8. 1 9. 3 10. 3

11. 2 12. 1 13. 4 14. 3 15. 2 16. 3

17. 2 18. 1 19. 2 20. 1 21. 30 22. 26

23. 5 24. 3 25. -2 26. 850 27. -4 28. -3

29. 3

§3.4. Периодичность функций.

1. 2 2. 2 3. 4. 5. 6. 6

7. 8 8. 2

9. 2 10. 11. 12.

13. 3 14. 2

15. 16. 2 17. 2 18. 1

19. 4 20. 6 21. 12 22. 40 23. 12 24. 2

25. 2 26. 2 27. 1 28. 2 29. 2 30. 2

31. -1. 32. 2.6 33. -2 34. 1.5 35. -5 36. -7

37. -9 38. 0,25 39. 28 40. 12 41. 12 42. 4

317

43. 0 44. 3 45. 0 46. 3 47. 6 48. 4

49. -8 50. 6 51. -16 52. -8 53. -10 54. 5

55. -3

§3.5. «Сравнение» функций. 1. [-6;1] 2. [2;5] 3. [-5;-4]U[4;5] 4. (-6;-4]U[2;5]

5. 4;21;4 6. [-5;0]U{4} 7. 4;22;5 8. 5;1

9. 51;14

10. 54

11.

4

3; 12.

13. 1 14. ;0 15. 2;02; 16. ;10;1

17. 10 18. 1 19. 5 20. 14

21. 10 22. ∅ 23.

kknnnn

26

5;2

22

6;2

2

24.

nnn

4;

4 25.

nnn

4;

4 26. 11;5

27. 9;2 28. 3;0 29. 2;0 30. 1;0

31. 1;0 32. 0;1 33. 0;1

§3.6. Производная. Применение производной.

1. 0y 2. 1y 3. xey 4. 2ln2xy

5. x

y1

6. xy cos 7. xy sin 8. x

y2cos

1

9. x

y2sin

1 10.

21

1

xy

11.

21

1

xy

12.

21

1

xy

13. 12

3 xy 14. xy cos1 15. xy 41 16. 3/22

3

13 xxy

17. 52 2 xey 18. x

xey x

2

13 2

19. 1315 134 xexy

20. 2sin xey x 21. xey x 2cos2 22. x

ey x

2

112 2

23. 12cos2sin xxy 24.

2sin

2

11

xey x

25. xxey x 112sin2

26. xxx

y 64cos52

1 27.

2

221

1

cos

1x

xxy

28. xx

y3

41

2

29. 199200cossin5 xxxy 30. xe

xxy

2

9

sin

1130

318

31. x

xy2

12cos3 32. xexxy 6cos2

33. x

xxy2

3sin5cos3 34.

xx

xy

2

9

2 cos

150

1

35. 8 36. 4 37. 1 38. -2 39. 4/3 40. -0,5

41. 15

2 42. 0 43. -4 44.

6

1 45. 5 46. 1

47. 0,7 48. 1,75 49. 1.2 50. 2 51. 0 52. 0

53. 2 54. ee 55. -1 56. ∅. 57. 0,75 58. 0

59. 0,25 60. 0 61. 1/2 62. -1 63. 4 64. xe

xy

x 2

21

65. 2

32

xy 66.

2

142

xy 67.

2

240

xy

68. 2

2

)2(

)3(

x

xxy 69.

22 )1(

2

x

xy 70.

2

sincos

x

xxxy

71. 800 72. 6 73. 0,5

74. xx xxxy ln 75. 1lnln2 xxxy 76. 122

1ln2

xx

xxy

77. 122ln24 78. 2/e 79. 12 см

80. 450, 64 81. e;5,0 82. 22/3

83. 16+6π 84. 3

2 85. 6

86. 12 дм, 12 дм и 9 дм 87. р= 88. р=190, AК=40, AL=40, DE=20.

89. р=320, AB=60, BD=60, MN=35.

§3.7. Касательная.

1. xy 2 2. 2 xy 3. xy 4. 1 xy

5. y 6. 2

1

2

5 xy 7. x

ey

11 8.

2ln

11

2ln2

1 xy

9. 14 10. 2 11. 1 12. 2 13. 2 14. 0

15. 5 16. -24 17. 2 18. 3

22 19. 1,5 20. 1,25

21. -4 22. 5 23. -0,5 24. 3 25. -0,75 26. -1

27. 0 28. 0 29. -1 30. 7 31. 0,0625 32. 0,25

33. 1 34. -1 35. -2 36. 2 37. 2 38. -2

39. 4 40. -10 41. -17 42. -6 43. ≈0,72 44. 1

319

45. 37 46. 16 47. 17 48. 1,125 49. -0,75 50. 2

51. 286,5 52. 1 53. 15 54. 205 55. 2,4 56. 0,6

§3.8. Монотонность функций.

№ Возрастает Убывает

1. ; ∅

2. ;0 0;

3. ;0 0;

4. ; ∅

5. ∅ ;

6. ; ∅

7. ∅ ;0;0;

8. 0; ;0

9. ∅ ;0

10. ;0 ∅

11. ;3 ∅

12. ;1 ∅

13.

kkk ,2

2;2

2

kkk ,2

2

3;2

2

14. kkk ,2;2 kkk ,2;2

15.

kkk ,

2;

2

∅

16. ∅ 1;1

17.

;

6

5

6

5;

18. ;8,0 8,0;

19. ;8,0 8,0;

20. ;5,3 5,3;

21. ;4 4;

22.

;

3

1

3

1;

23. 1; ;1

320

24. ;75,0 75,0;

25.

;

6

7

6

7;

26. ;5,2 5,2;

27. 2 28. 0 29. 1,9375 30. 3,5 31. 1 32. 2

33. 1 34. 1 35. 2 36. 1 37. 1 38. 3

39. 1,5 40. 5 41. 4 42. 2 43. 3 44. 3

45. 14. 46. 4. 47. ;1;1; 48. 32;2 49. ;0

50.

;

2

3 51. ;1 52.

kkk ,2

5

2arcsin

2

3;2

5

2arcsin

2

53.

kkk ,2

2;2

54.

kkk ,2;2

2

55. 4 56. 4 57. 2;1 58.

1;

2

51

59.

222;

2

1;222;

§3.9. Точки максимума и минимума.

1. Pmax= нет 2. Pmax= нет 3. Pmax= нет

4. Pmax= 0 5. Pmax= 0 6. Pmax= 0

7. Pmax= 1 8. Pmax= -0.5 9. Pmax= 0

10. Pmin= 0 11. Pmin= -0.25 12. Pmin= 0

13. Pmin= −1/3 14. Pmin= нет 15. Pmin= 3

1

16. Pmin= 4

5

1 17. Pmin= 1; Pmax= -1,5 18. Pmin= 1; Pmax= нет

19. Pmin= нет; Pmax= 2,5 20. Pmin= -1; Pmax= нет 21. Pmin= нет; Pmax= 1

22. Pmin= -4; Pmax= нет 23. Pmin= -1; Pmax= 1 24. Pmin= 0; Pmax= ± 2

25. Pmin= -0,125; Pmax= нет 26. Pmin= 0; Pmax= 2 27. Pmin= ±1; Pmax= 0

28. 1 29. 2 30. 1,25 31. 0 32. 1 33. 1

34. 1 35. Pmin= 3; Pmax= -3 36. Pmin= 2; Pmax= -2

37. Pmin= 21 ; Pmax= 21 38. Pmin= 233 ; Pmax= 233

39. Pmin= -2; Pmax= 2 40. Pmin= 1,5; Pmax= нет 41. Pmin= 2,5; Pmax= нет

42. Pmin= нет; Pmax= 0 43. Pmin= нет; Pmax= 0,5 44. Pmin= 1; Pmax= нет

321

45. Pmin= 4

; Pmax= нет 46. Pmin= нет; Pmax=

4

47. Pmin= нет; Pmax= 0

48. Pmin= нет; Pmax= 0 49. Pmin= нет; Pmax= нет 50. Pmin= нет; Pmax= нет

51. Pmin= нет; Pmax= 0 52. Pmax= 2 53. Pmax= 5/4 54. Pmin= 3

§3.10. Наибольшее и наименьшее значение функции. 1. 2 2. 3 3. 2 4. 1 5. 8 6. 10

7. 1 8. ln2 9. 1 10. 1 11. 2 12. 2

13. -5 14. 2 15. −1

3 16. 0 17. -1 18. -5

19. 1 20. -3 21. 1 22. -25 23. 2 24. -13

25. 2 26. -3 27. 0 28. 2 29. 1 30. 1

31. 0 32. 2 33. 7 34. 0 35. 8 36. -

37. −1

3 38. −

1

4 39.

2 3

9+ 5 40. −175 41. −72 42. −

200+44 22

27

43. 1 + 7 44. 1 + 13 45. 1 + 14 − 3 46. 0.5 47. 65

28

48. 2 49. –π

2 50.

2

4−2 2 51.

3 2

36−18 2 52. 3

53. 16 3

9− 1 54. 4 55. 2 56. −

971

81+ 25

3 57. −6

58. 60001

125 59.

16

23 60. 3 61. 196 62. π 63. 4 2 + 2

64. 3 14

4

§3.11. Первообразная и неопределенный интеграл.

1. 1 2. 3x 3. 22 x

4. xy ln

5. 14

xarctgy

6. 1arcsin xy

7. 23ln

3

3ln

3

x

y

8. e

ey x 1

9. xy cos

10. 1sin xy

11. 1 xctgy

12. 1 xtgy

13. 12

arcsin

xy

14. 35ln4

1

2

2ln

4

1

x

xy

15. 13ln1ln xy

16. 12

1

3

1 23 xxxy

17. 3

42

3

2 2/3 xxy

18. 312 xy

19. 11

1

xy

20.

8

9

12

12

xy

21. 2

3ln

3sinln

xxy

22.

2/32 22

1xxey x

322

23. 2

5

4

1

2

1 242 xxey x

24. 1 25. 17 26. 17 27. -0,5 28. 1 29. 0

30. -1 31. 0 32. 0,5 33. 0 34. -1 35. -0,5

36. -1 37. -3 38. Cx

x

1

2ln2 , где RC .

39. Cx 1ln2

1 2, где RC . 40. Cxctg

x 2

2sin

2, где RC .

41. Cxx cosln , где RC . 42. Cxxxx sincos4

12sin

16

3

8

3 3, где RC .

43. Cx 2ln2

1, где RC . 44. C

xarctg

3

12

3

2, где RC .

45. Cx

x

2

1ln

3

1, где RC . 46. C

xarctg

7

32

7

2, где RC .

47. Cxarctg 12 , где RC . 48. Cexe xx , где RC .

49. Cxxx cossin , где RC . 50. Cxxx sincos , где RC .

§3.12. Функциональные уравнения и задачи.

1. 12 x 2. 22 x 3. 112 2 x 4. 3

1

1

xx

5. 6. 7. 2x 8.

3

12

x

9. 2

1

2

2

x

x 10. 8 x 11.

x

x2

2

sin1

cos

12.

x

x2

2

cos1

sin

13. 0 14. 1 15. 7 16. 0 17. 1 18. 0.

19. ∞ 20. ∞ 21. 1 22. 2 23. 2 24. 4

25. -9 26. 0 27. -1 28. -4 29. 0,5 30. 5

31. 1 32. 8 33. 0 34. -11 35. 8 36. -1.

37. -1. 38. -2. 39. 2 40. -4. 41. 0. 42. 123

1)( 2 xxxf

43. xxf2

51)(

44. -2. 45. 1. 46. 2010.

47. 2000. 48. 2009. 49. 2011 50. 2.

51. 1; -1.

3 2 1x 1x

323

§3.13. Построение и определение графиков функций.

2. а) б) в)

г) д) е)

ж) з) и)

к) л) м)

н) о) п)

324

р) с) т)

у) ф)

Глава 4. Векторная алгебра и геометрия.

§4.1. Векторы.

1. {4; 2} 2. {14; -2} 3. {-5; 10; 2} 4. {8; 4; -7}

5. {-14; 2} 6. {-8; -4; 7} 7. (4; 7) 8. (-4; 6)

9. (4; -6; 3) 10. (1; 7; 0) 11. {2; 9} 12. {4; 0}

13. {12; -6; -11} 14. {0; 6; -12} 15. {-4; -10} 16. {-32; 4}

17. {-30; -20} 18. {-28; 12; -8} 19. {-30; 20; 10} 20. 5

21. 5 22. 5 23. 10 24. 5 25. 41 26. 10

27. 26 28. 41 29. 5 30. 10 31. 38 32. 1

33. -17 34. 7 35. 5 36. 15 37. 21 38. -9

39. -3 40. 17 41. 3 42. 5 43. -5,8 44. -5

45. 17,4 46. -0,2 47. 0,5 48. -0,2 49. -2 50. 3

51. 3,25 52. 3 53. 1,5 54. 2 55. 0,5 56. -2

57. -3 58. 0 или 4 59. 0 или 1 60. -2 61. -1,6 62. 7

63. 7 64. 0,2 65. 1 66. 1 67. -1,5 68. -0,2

69. 1,4 70. 54 71. 76 72. -62 73. -30 74. 61

75. -34 76. 65 77. 10 78. -1 79. 9 80. 1,5

81. 2 82. 1 83. -1 84. 1 85. 13 86. -3,5

87. 1 88. -11 89. 14 90. 8 91. 0 92. -5

93. 11 94. 5 95. 1 96. 10 97. 7,5 98. 450

99. 24 100. 54 101. 9 102. 13 103. -19,5 104. -12

105. 3 106. -5 107. -1 108. 2,0arccos 109. 33111

22arccos

110. 20 111. 22 112. 11 113. 25 114. 4 115. 0,4

325

116. -1 117. -5 118. 2 119. -0,5 120. 15 121. 200

122. 200

29 123. 6 124. 2 125. 11 126. -6 127. 48

128. 7 0,4 129. 49 130. 0 131. -53 132. -24 133. -26

134. 15 135. 128

41 136.

1

3;

1

3;

1

3 137. Ø

138. 0; 0;−1

2 , 0;

1

2; −

1

2 139. 5 140. V =

151

6, h =

151

2265. 141. arccos 1/5

142. arccos 17

703. 143. 11х-7у-2z-21=0. 144. 2x+11y-5z+19=0 145. 1,5

146. 1 147. 6 17

33;

18

53;

66

173 148. 6

13

17;

16

77;

36

93 149.

1

2 50

150. 0,25 151. 49 152. 2

65

153. 14 154. kji 983 155. 17;11;9

156. kji 35525 157. 30 158. 3

159. 30 160. 0m 161. 1m 162. 2 163. 1

164. -1 165. -1 166. 11

§4.2. Планиметрия. 1. 3 2. 20 3. 6 4. 30 5. 15

6. 9 7. 5 8. 22 9. 4 10. 6

11. 2 12. 6 13. 4 14. 5 15. 6

16. 1050 17. 790 18. 700 19. 850 20. 380

21. 600 22. 1200 23. 450 24. 1620 25. 360

26. 900 27. 1200 28. 600, 600 29. 1500 30. 500

31. 600 32. 450 33. 1500 34. 200 35. 1700

36. 18 37. 36 38. 9 39. 64 40. 72

41. 500 42. 500 43. 570 44. 430 45. 10

46. 0,24 47. 0,24 48. 0,345 49. 0,9 50. 0,5

51. 6 52. 10 53. 36 54. 0,8 55. 8

56. 13 57. 4 58. 12 59. 4 60. 12

61. 13 62. 24 63. 2 64. 10 65. 7

66. 2 67. 6 68. 10 69. 0,3 70. 12

71. 15 72. 3 73. 7,5 74. 20 2 75. 36

76. 31,5 77. 9 78. 56 79. 36 80. 160

81. 160 82. 140 83. 10 84. 4 85. 20

86. 1,5 87. 6 88. 8 89. 0,625 90. 2,5

91. 13 92. 25 93. 15 94. 9 95. 12

96. 30 97. 35 98. 56 99. 8 100. 4

101. 240 102. 10 103. 160 104. 640 105. 360

106. 5,4 107. 0,216 108. 10,625 109. 21,25 110. 31,875

326

111. 10,625 112. 31,875 113. 30 114. 60 115. 15

116. 90 117. 120 118. 4 119. 27 120. 16

121. 15,6 122. 24 123. 6 124. 96 125. 216

126. 384 127. 14 128. 7 129. 21 130. 28

131. 42 132. 3 133. 12 134. 3 135. 9

136. 6 137. 21 138. 84 139. 756 140. 47,25

141. 122,5 142. 12 143. 4 144. 6 145. 24

146. 36 147. 10 148. 5 149. 2 150. 20

151. 30 152. 3 153. 25 154. 169 155. 7

156. 1/3 157. 80 158. 100 159. 48 160. 160

161. 42 162. 2 163. 3 164. 1,5 165. 2,5

166. 0,75 167. 4 168. 6 169. 8 170. 10

171. 12

§4.3. Стереометрия. 1. 6 2. 8 3. 6 4. 120 5. 385

6. 481 7. 16 8. 20

9. 150 10. 3

11. 75 12. 100 13. 40 14. 45 15. 4,5

16. 5 17. 50 18. 30 19. 100 20. 49

21. 36 22. 14 23. 12 24. 63 25. 15

26. 56 27. 20 28. 3 29. 36 30. 63

31. 5 32. 9 33. 72 34. 243 35. 4

36. 2 37. 12 38. 50 39. 1,5 40. 1,5

41. 1,25 42. 2 43. 1,5 44. 13 45. 14

46. 20 47. 4 48. 2 49. 20 50. 16

51. 18 52. 35π 53. 10 54. 6 55. 12

56. 12 57. 100π 58. 15 59. 10 60. 100π

61. 8 62. 900π 63. 12 64. 3 65. 288π

66. 4 67. 4573

1π 68. 5 69. 144 70. 7

71. 125 72. 8 73. 54 74. 600

75. 15

76. 300

77. 15 78. 2

79. 360 80. 15

81. 84 82. 10 83. 336 84. 450 85. 15

86. 450

87. 30 88. 450

89. 3 90. 2704π

91. 6 92. 100π 93. 13 94. 64 95. 12

96. 100 97. 6 98. 192 99. 96 100. 62,5

101. 216 102. 2 103. 384 104. 20 105. 600

106. 160 107. 5 108. 450

109. 24 110. 8

111. 6 112. 96 113. 54 114. 648. 115. 300

116. 486. 117. 450 118. 702. 119. 3 120. 6

121. 240 122. 7,5 123. 120 124. 36 125. 36√2

126. 32 127. 32 128. 36 129. 24 130. 12

131. 4,8 132. 24 133. 48 134. 0,6 135. 16

136. 0,6 137. 8 138. 0,8 139. 4,8 140. 4

327

141. 2,4 142. 12 143. 7,2 144. 1 145. 128

41

146. 324 3 147. 250 148. 4

15

Глава 5. Задачи на параметры.

§5.1. Линейные уравнения и неравенства с параметрами.

1. при 0a , Rx ; при 0a , 0x 2. при а = 0, ; при а 0, х = а

1

3. при 0a , Rx ; при 0a , 1x 4. 0a

5. 0a 6. 1p 7. 1p 8. -1

9. 8a 10. 6a 11. -1 12. 1; 3

13. 1,1

412

a

ax 14. 1 15. 1a 16.

6

129

2

1a

17. 18. 0a 19. -1 20. 0.5 21. -0.5

22. -0.5 23. -1 24. -2 25. 1 26. 0.2

27. 1 28. 2 29. 5 30. 1 31. 0.5

32.

;

1

a 33. ;a 34. 35. ;10;1 a

36. ;30;1 a 37. 1;0 a 38. 0p

39. при 0a ,

a

1; ; при 0a ,

;

1

a; при 0a , R .

40. при 0a ,

a3

1; ; при 0a ,

;

3

1

a; при 0a , R .

41. при 5;0a ,

;3

15

ax ; при ;50; a ,

3

15;

ax ;

при 0a и 5a , .

42. при 0a , Rx ; при 0a ,

ax

1; .

43. при 4a , , при 4a , ;3ax ; при 4a , то ax 3; .

44. при 4a , ; при 0a , ; при , ax 3; ; при

;40; a , ;3ax .

Rx 4;0a

328

45. при 3a , ; при 1a , то ; при 1;3 a ,

ax

3

4; ;

при ;13; a ,

;

3

4

ax .

46. 3a 47. 0a 48. 3;a

49.

0;

3

1a 50. 2;a

51. 3

7a при

73

35

a

ax ;

3

7a при ;

3

7a при

73

35

a

ax .

52. 3

2a при

32

13

a

ax ;

3

2a при Rx

3

2a при

32

13

a

ax .

53. ;21; a 54. 55. 1;0 a .

56.

;

5

41; p 57. 1;p 58. 1;p

59. 5;322 p

§5.2. Квадратичный многочлен.

1.

;

3

5 2. а = 5. 3. -4<а<0 или 0<а<1.

4. b ≤ 3/2 или b = 2. 5. а = -3, или - ⅓ < а < 0, или а > 0. 6. а<0

7. a>-1 8. -2 9. 2 10. a>0 11. {0}U{-1}

12. (-∞;-2)U(2;+∞) 13. а<0 14. k>4 15. (-∞;-5)U(3;+∞)

16. 17. (-3;-2)U(-2;-5/3) 18. 7

12a 19. 25,3a 20. 25,1a

21. 2a

22. а = 0, или а = -1/2, или а = -3/2.

23. (-3;1)

24. 6;25,1;1 a 25. 2;4 a 26. 3;5,3 a 27. ;1a

28. 3;0;5,1a 29. 0;5,0;2 a 30. 3;11;11 b

31. 15;00;3 b 32. 6,1;00;1 a 33.

8

13;1

21

25;a

34. 35. 5,4;2a 36. 5,13;5,62b

37. 5p 38. 2;6 2;2 baилиba 39. 2 6 aилиa

40. 0;2,0a 41. 1;1a 42. 18;0a

43. 0;8a 48. 0,8 49. 2;1

Rx

329

50. 6a 51. 3

14a

52. 0a при ;2

16923

2

16923;

a

aa

a

aa;

0a при ;3

1

;

16

9a0 при

2

16923;

2

16923

a

aa

a

aa;

16

9a при .

53. 16

7-a1- при ;

2

16721

2

16721;

a

aa

a

aa;

1a при 3

1;-

;

1a при 2

16721;

2

16721

a

aa

a

aa;

16

7a при R .

54. 4a при 5;12 aa ; 4a при ; 4a при 12;5 aa .

55. 2a при ;313; aa ; 2a при ;133; aa

56. 0,5a при ;5,0; a ; 0,5a при -0,5\ R ;

0,5a при a;;5,0; .

57. 0,6a при 6,0; a ; 0,6a при ; 0,6a при a0,6; .

58.

3

22;a 59.

1;

3

1a 60. 1;5,0a

61. 1;2 a 62. 1;1 ba 63. 9;2 ba

§5.3. Рациональные уравнения и неравенства с параметрами.

1. если а 1, то х = а; если а = 1, то нет решений.

2. если 2a , то ax ; если 2a , то корней нет

3. −1

3

4. с (-9; 0)(0; +).

5. а = ±2 или а = -10/3.

6. при а = -3, х = 2; при а = 0, х = 4; при а ≠ 0 и а ≠ -3, х = 4 или х = -а -1.

7. -4/3 ≤ а < 14/9 или 14/9 < а < 3.

8. 40 (±2, −10

3)

9. -1,5 (b=-2 или b=0,5)

330

10. (−∞; −9) ∪ 7

9; +∞

11. ax 1

, 2),2( 2

3

2

2 aaxaax .

12. 1. Если 22 a , то уравнение имеет один корень x = -a. 2. Если a = 2

или a = -2, то уравнение имеет два корня 2

,21

axax . 3. Если a < -2

или a > 2, тогда уравнение имеет три корня: ax 1

,

2

4,

2

4 2

3

2

2

aax

aax

13. (-0,75; -0,5)U(-0,5;0) 14. (-∞;-10/9)U[0;+∞) 15. (-∞;-9)U[7/9;+∞)

16. (-∞;5]U(0,5;+∞) 17. (-∞;-0,5]U(2/3;+∞) 18. (-∞;-3)U[-0,5;+∞)

19.

4

1;

2

1x 20.

2

1; 21.

14

3; ∞

22. 10

3; ∞ 23. −∞;

2

3 24. −∞;

1

3

25. (0,5;1) 26. 7;1 27. 2;1

§5.4. Задачи на параметры с модулем.

1. 1. Если a = 2, тогда ).,2[ x 2. Если a > 2, тогда 2

2

ax . 3. Если

,2a то «нет решений».

2. 6a и 2 a . 3. 6a и 2 a 4. 62 a 5. a < 0. 6. a = 0 7. 𝑎 ∈ 𝑅

8. a > −2 9. a = −2 10. 𝑎 ≤ −2

11. a ∈ (−∞;−10] и a ∈ [10;+∞) 12. a ∈ (−10;−5] и a ∈ [5;10)

13. a ∈ (−5; 5) 14. a ∈ (−∞;−6] и a ∈ [6;+∞)

15. a ∈ (−6; 0) и a ∈ (0;6) 16. 𝑎 ≥ 1

17. 𝑎 < 1 18. ∅ 19. a<0.

20. 1,5a и 0 a 21. 1,5a 22. 1,50 a 23.

1;

3

7

24. 1. Если 1a , тогда .1

1

ax

2. Если ,11 a тогда уравнение не

имеет решений. 3. Если a = 1, тогда ).;0[ x 4. Если a > 1, тогда

1

12

a

ax .

25. 1. при ,0a нет корней. 2. при 0a и ,4a два корня. 3. при ,4a

три корня. 4. при ,40 a четыре корня.

331

26. 2

15 a , .1a 27. a < 2 28. a = 5/2 29. a ∈ (2;5/2)

30. a > 5/2 31. 2

711

a или .3

2

71

a 32. а = -2 или а = -1/2.

33. 1. .5

14,

15

26,2,2

321 xxxa

2. .

15

26,

5

14,2,2

321 xxxa

34. a ∈ (0;3). 35. a ∈ (−2;0). 36. a ∈ [6;8).

37. a ∈ [−6;−4) 38. ;11; 39.

4

419;1

40. 𝑎 ∈ 𝑅 41. а = 0. 42. a > 0

43. a < 0 44. a = 0 45. 𝑎 > 2

46. 𝑎 = 2 47. 𝑎 < −4 48. −2 − 6 ≤ 𝑎 ≤ 0

49. 0 ≤ 𝑎 ≤ 8 50. −∞; 0,7 51. −13/4 < a < 3.

52. ]7,0;(

§5.5. Иррациональные уравнения и неравенства с параметрами.

1. -1/4 < а ≤ 0. 2. а = 1 или а < 0. 3. 4 a < 0; a = 81

4. при а = ± 1, х = 1; а ≠ ± 1, ∅. 5. 4 6. 2a

7. а ≤ 0. 8. 102 9. 8;10a 10. a<2

11. 2a 12. a<0 13. 0a 14. 1;0a

15. При a ∈ (−∞; 0] ∪ [1;+∞) : решений нет, если a ∈ (0; 1) 𝑥 =𝑎4/5

1−𝑎4/5

16. Если a≤0, a>2 : решений нет; если 0 < a ≤ 2, 𝑥 = 3𝑎2± 3𝑎 8−𝑎3

6𝑎

3

− 1

17. 5,01 a , 25,1 a 18. 0;05,0a 19. a<0

20. 0a 21. a<0 22. 0a

23. a=1 24. 1a 25. 2

21a

26. Если а < 1/4 , нет решений; если а ≥ 1/4, то уравнение имеет единственное

решение.

27. 0ba 28. 10;60 ba 29. 10;4 ba

30. -12 (а≤-3) 31. если а 1, то х 0, если а > 1, то х = 0.

32. 𝑥 ≥ − 𝑎

2 33. 𝑎 = 0 34. 𝑎 ≤ 0 35. 𝑎 > 5

36. если 𝑎 < 3, 𝑥 ≥3−𝑎

5; 𝑎 = 3, 𝑥 ≥ 0; 𝑎 > 3, 𝑥 ≥ 𝑎 − 3

37. если 𝑎 ≤ 0 и 𝑎 ≥ 4, ∅; если 0 < 𝑎 < 2, −𝑎 ≤ 𝑥 ≤ 𝑎; 𝑎 = 2, −2 < 𝑥 < 2;

2 < 𝑎 < 4, −𝑎 𝑎 4−𝑎

2< 𝑥 <

𝑎 𝑎 4−𝑎

2

332

38. Если 𝑎 < 0 : решений нет, если 𝑎 = 0 ∶ 𝑥 > 0, если 𝑎 > 0 ∶ 𝑥 ∈ [0; 𝑎) ∪ (16𝑎; +∞).

39. Если a < 0 : 𝑎 1 + 2

2 ≤ 𝑥 ≤ 0; если a = 0 : x = 0; если a > 0 : 𝑎 1 −

2

2 ≤

𝑥 ≤ 2𝑎

§5.6. Тригонометрические уравнения и неравенства с

параметрами.

1. 1a 2. 22 a 3. 2

3 4.

2

5. Rba ,1 6. Rnm ,1 7. Rba ,1 8. Rnm ,1

9. 7 (a<-4; a≥-2) 10. много 11. 12 12. 33

13. -16 14. 36 15. -18 16. 20

17. Zkkxa ,2,1 18. Zkkxa ,22

,2

1

19. 1a 20. 2

3,1 aa 21.

2

3,1 aa

22. 1a 23. 2

3,1 aa 24.

2

3,1 aa

25. 384 26. 2,25 27. -135 28. 225 29. 14,25

30. −1;−1+ 13

4 31.

9

1,

5

142

bb 32.

1sin

1;

2sin

1

33.

7cos

1;

6cos

1

34. ZkkxmkxmkxRxm ,24

,0,24

3,0;

2,,0

35. 24

,0;2

2

2

1,0;20;

kxc

k

c

carctgxc

36.

,222;222;4

,1

;)1(2

44,0;11;222222;

2

akxa

ka

aaaarctgxa

37. .,1

2arccos

2

1 x;,;

2

1;,

2

1; Zkk

a

akxakxa

333

38.

.,22

2arcsin

2

11 x;

4,2;

3

2

;4

,;23

2;

Zkk

a

akxa

kxa

k

39. 6;13; a 40. .3

5;

a

41. .4;2a 42. ;51;a

43. ;123;a 44.

1;

2

1

2

1;

3

1a

45. 1 46. .2a 47. 9 48. 2a

49. ;43;20;a 50. ;54;31;a

51. ;1230;610;a 52.

35

1;

11

2;27;

5

17;

9

7a

53. Zk ,4 54. 1;0;1k 55. 0;1;2;3 a

56. 22a 57. .,;22

,14

4Znkkx

k

na

58. 0 cba

59. 0,,2 cadab 60. 0; 𝑡𝑔1 61. (-1;0), (0;0), (1;0)

62. 𝑎 ∈ −0,25; 0 63. 0 64. 18 (a>5/9) 65. −1

2;

1

2

66. −2 − 6; 2 67. −∞; 1 68. 2 69. 4

70. 4,2;0 71.

12

112;

8

71 72.

;

4

1 73.

3

1a

74. ;1 75.

11

3; 76. 4 77. 1

78. 13

5a 79. 66 b 80. 0

5

12 a 81.

5

171 a

§5.7. Логарифмические, показательные уравнения и неравенства с

параметрами.

1. 5 (а≤0, а=1) 2. -1 3. 2 4. 1 (-1)

5. -30 (а≤1, а=5) 6. 42 (а≤-2) 7. -9 8. −8; −3 ∪ 3; ∞

9. −1; 2 10. −∞; 2 11. −∞; 2 ∪

log319; ∞ 12. 10

13. 1 14. 8; ∞ 15. 6 16. −∞; 0 ∪ 4; ∞ 17. 0,5 18. 5 19. 2; ∞ 20. −∞; −1 ∪ 0; ∞

334

21. -3;-2;-1 22. -1 23. -3;-2;-1 24. -1

25. -2;-1 26. -3;-2;-1 27. -1 28. -1

29. 1;2 30. 1 31. );75,23[)25,1;( a

32. );875,8(]75,4;( a 33. 3;2a 34.

2

1;

3

1

3

1;0a

35. )3(2

1log ,223;3223;1

2

2

a

axa

36.

121log ,16;13;16b

;121log или 121log ,12;13b

нет; ,1612;

3

33

bx

bxbx

решенийb

37. ,1;a ;11log или 11log,1;1212

axaxa

38.

axa

axa

25

9log ,2;aR; x2,a ;,0;2;

3log,160;

44

39.

133

)1(2log ,1;aR; x,0a ;, 1;0;

133

)1(2log,0;

33

axa

axa

40. 0,8 ; 0,98 41. (2; 2,5) 42. 1

43. 2;1a 44. );1( a 45. −∞; −1 ∪ 0; ∞

46. −99; ∞ 47. 2log1;2log21;2log333

a

48. ;3log1;5,02

a 49. 1a 50. 6;5;4;3;2;1a

51. 1;2a

§5.8. Системы уравнений и неравенств с параметрами.

1. 2a 2. 2

1;0 a 3. 0a 4. 2a

5. Если а ≠ -7 и а ≠ -1, то система имеет единственное решение (заметим, что

значение а = -5 учтено); если а = -1, то решений бесконечно много; если а

= -7, то решений нет.

6. 36 7. – 0,75 8. 0 < а < 1.

9.

;

8

103

2

3

13

12;

8

103

2

3a 10.

;

2

1

2

1;

4

1

6

1;0 a

11. ;22;a

12. b=3 13. 0;1a

14. 20 b 15. 14 (а>1) 16. 1 (а=1) 17. 2 (а=±1)

335

18. 1(а=1) 19. 0 (𝑎 ∈ 2

2; 0 ) 20. 10;2 aa 21.

8

7;1a

22. a>3 23. 245,0 aa 24.

;

4

30;

3

4a

25. 4

3a 26.

4

3,3 aa 27.

2

1,10 aa

28. 2,0 aa 29. 2,1 aa 30. 0a

31. 3,1,12

11 aaa 32.

2;

3

2a 33. 25,05,0 a

34. 0,5 35. −5; 3 ∪ 15

2; 7 36. -1/15 ≤ а ≤ 8.

37. Если а ≥ b + 1, то bba

yx

4

)1( 2

; если а < b + 1, то решений нет.

38. -1 39. 21;2 a 40. a=-4, b – любое; a=4, b=2.

41. a=0,4 42. a=0 43. 2

510,

2

51

aa

44. 1

1,,

2

51,0

2

512

2

3

a

aay

aa

axaa

45. 1:1,1,0 4 yyxa 46. 3

4,

3

4,

3

4,

9

4 zyxa

47. 2

,2

,2

cbaz

cbay

cbax

48. 2 49. 15

50. 4a при ;41; aa ; -1a 4- при a;1 ; 0a1- при a;-a ;

0a при ; 1a0 при aa;- ; 4a 1 при a;1- ;

4a при ;41; aa .

51. 7a при и -7a при , -1a 7- при a;7-

,

0a 1- при 7;;1 aa ; 1a 0 при 7;;1 aa

7a1 при 7; a .

52. 1a 53. 7a 54. 1a 55. 2

51a

56. 1a 57.

0;

5

4a 58. 2a 59. 6;11;6 a

336

60. Если 2

3p , то

pyx

p

py ;

32

1 2

; если 2

3p , то

pyx

p

py ;

32

1 2

, при 2

3p - система не имеет решений.

61. если 1p , то 3 xy ; если 2p - система не имеет решений; если

1;2 p , тогда

3;

23

952

pxypp

px ; если

;12; p , тогда

3;

23

952

pxypp

px

62. если 2

1p , то ; если

2

1p - система не имеет

решений; если

2

1;

2

1p , тогда

2;12

52

pyxp

py ; если

;

2

1

2

1; p , тогда

2;12

52

pyxp

py

63. 2,25

§5.9. Смешанные задачи.

1. – 1,5; – 1 2. 1 3. 2,5 4. 5

5. −∞; −2 U(4 15; +∞) 6. −∞; 2 15 U(4; +∞)

7. [−4; 2 10] 8. [−4 2; 3] 9. (−1; 4 5] 10. [−4 2; 2)

11. a>4 12. a>49 13. a>27

Глава 6. Текстовые задачи, прогрессии и

последовательности. §6.1. Текстовые задачи.

1. 7,5 км/ч 2. 5 3. 52 км 4. 122 км/ч 5. 7 ч

6. 416 км 7. 2,5 8. 28 км 9. 3,25 10. 13,5 км

11. 3,5 12. 12 13. Нет 14. 160 км 15. 20 км/ч

16. 24 км/ч 17. 3 км/ч 18. 22 км/ч 19. 25 км/ч 20. 19 км/ч

21. 22,5 22. 1,75 23. 15,25 б/час 24. 4 25. 41

26. 70 27. 9 28. 368 29. 15 30. 5 ч

31. 14 32. 168 33. 5,2 34. 33,8 35. 7,2

36. 5,74 37. 437,5 38. 5 39. 218 40. 24

41. 0,5 42. 7 43. 16 44. 15 45. 1080

22

1 yx

337

46. 75 47. 140 48. 45 км/ч 49. 19 км/ч 50. 125 км

51. 50 и 30 км/ч 52. 10 км 53. 21 км/ч 54. 10 км/ч 55. 25 км/ч

56. 40 км/ч 57. 25/13 км/ч 58. 31 59. 48 60. 60 и 56

61. 70, 20 и 15 62. 11, 21 и 36 63. 25 64. 800 65. 25

66. 150 67. 56,25 68. 36 69. 9 70. 28

71. 20 72. 8 73. 115,6 74. 20 75. 100

76. 50 77. 50 78. 96 79. 80 80. 2500

81. 53,4 82. 20,5 83. 40 84. 5 85. 80 и 20 кг

86. 2600 87. 50, 61 и 57 88. 16 89. 24 90. 29

91. 6 92. 125 93. 24 94. 20 км/ч 95. 40 км/ч

96. 6 97. 60 км/ч 98. 50 и 100 км/ч 99. 60 100. 8,75

101. 32,5 км/ч 102. 5 км/ч 103. 4 км/ч 104. 6 км/ч 105. 3

106. 60 и 50 107. 10 108. 7 и 6 109. 28 и 8 110. 10 и 15

111. 14 и 11 112. 36 113. 5 114. 160 115. 24

116. / 117. / 118. 3 119. 20 120. 15

121. 20 122. 20 123. 19 124. 50 125. 50

126. 90 127. 450 128. 0,5 129. 0,2 130. 40 и 100 т

131. 60 132. 50 133. 200 134. 56 и 66 135. 20

136. 40 137. 20,2 138. 16550 139. 8 140. 20

141. 37,5 142. 2,4 143. 48 144. 91 145. 2 ч

146. 25 км/ч 147. 10 км/ч 148. 60 ч 149. 480 150. 24

151. 5/8 ч 152. 0,4 153. 2 ч 154. 24 155. 80

156. 8 157. 9 158. 5 159. 26,4 и 17,6 160. 2

161. 36 162. 170 163. 220 164. 42 165. 83

166. 83 167. 2 168. 48 169. 60 170. 6

171. 33 и 113 172. 12 лет 173. 31 174. 17 175. 40% и 43 1/3%

176. 11 177. 24 и 7 178. 24 179. 301

§6.2. Последовательности и прогрессии.

1. 39 2. 82 3. -7 4. 39 5. 2

6. -4 7. 5 8. 5 9. -7 10. -15

11. 4 12. 0,25 13. -4 14. 4 15. 2

16. -8 17. -0,8 18. 20 19. 39 20. 10

21. -7 22. 39 23. 39 24. 55 25. 82

26. 18 27. 128 28. 14 29. 1848 30. 54

31. -1975 32. 25700 33. -9450 34. 3 35. -7

36. 11

56 37. -8 38. 10 39. 1275 40. 1380

41. 168 42. 192 43. -9450 44. 8 45. -4

46. 3 47. -7 48. 2 49. 5 50. 8

51. 2 52. 37 53. 84 54. 3 55. 3

56. -7 57. -7 58. -4 59. 3 60. 2

338

61. 0,5 62. 3

1 63. 2 64. -190,5 65. 186

66. 12 67. 32

21 68. -

64

63 69. -32 70. -96

71. 48 72. -768 73. 3 74. 12,8 75. -233

1

76. 18 77. 15 78. 42 79. 130 80. 31,5

81. 20 82. 24 83. 12,8 84. 0,2 85. 7

1

86. 0,25 87. 6

1 88.

7

3 89. 16 90. 3

91. 11 92. 47 93. 24 94. 50 95. 1

96. 2 97. -412

1 98. 9 99. -4 100. 3

101. -7 102. -8 103. 8 104. 4905 105. 2436

106. 2600 107. 8910 108. 9646 109. 70336 110. 3825

111. 9150 112. 3825 113. 26965 114. 1210 115. 4335

116. 15 117. 6035 118. 14 119. 6020 120. -35,1

121. 17 122. 42,9 123. 23 124. 3 125. 34,-3

4

126. -6 127. 2-5

,-2-5

128. 2 129. 30 130. 0,3

131. -0,5 132. 19 133. 15 134. 1,4 135. 9

136. 2 137. 3 138. -1,5 139. 2650 140. 18,5

141. 620 142. 610 143. 145 144. 2 145. 2344

146. 7067 147. 7 148. 5 149. 4 150. 30

151. 1 152. 4 153. 8 154. 73 155. 9

156. 50 157. 40 158. 10 159. 2 160. 60

161. 10 162. 57 163. 28 164. 25 165. 3

119

166. 3 167. 44 168. 12 169. 55 170. 17,5

171. -843

1 172. 55 173. 126 174. 13 175. 36

176. 0 177. 17 178. 1089 179. 36 180. 392

181. 152,5 182. -35 183. 495 184. 3,5 185. 405

186. -384 187. 2 188. 17

1 189. 5,6 190. 22

191. 21 192. 17 193. -2 194. 2+√2 195. 3

1

196. 3 197. 12 198. 9 или 31 199. 39 200. 27

201. 10 202. 25 203. 79 204. 0,75 205. 2550

206. 159 207. 4 208. 40950 209. 0,99 210. 8

339

211. -2 212. 4 213. 9

40

Глава 7. Элементы комбинаторики, теории вероятностей и

математической статистики.

1. 2 2. 120 3. 1 4. 24 5. 720

6. 28 7. 20 8. 10 9. 56 10. 35

11. 56 12. 120 13. 60 14. 336 15. 210

16. 2 17. 6 18. 24 19. 120 20. 720

21. 31

11 22. -0,5 23.

15

7 24. 12 25.

112

45

26. 4 27. 5 28. 10

3 29. 19 30. 5

31. 11 32. 9,2 33. 24 34. 11 35. 3,5

36. 13,95 37. 4 38. 11 39. 2 40. 0,035

41. 0,9 42. 0,872 43. 3,5 44. 90 45. 87,5

46. 40 47. 92 48. 662

3 49. 82 50. 43,75

51. 56,25 52. 765 53. 828 54. 21,84 55. 18

56. 93 57. 8 58. 5,8 59. 96 60. 2

61. 362880 62. 5040 63. 120 64. 840 65. 455

66. 300 67. 600 68. 2520 69. 5040 70. 1716

71. 6720 72. 3,5 73. 22,4 74. 4 75. 24

76. 151200 77. 120 78. 210 79. 5040 80. 1260

81. 153 82. 231 83. 66 84. 4950 85. 35

86. 60 87. 40 88. 1920 89. 100 90. 1080

91. 40 92. 60 93. 240 94. 30 95. 400400

96. 2040 97. 560 98. 84 99. 30 100. 32768

101. 4096 102. 64 103. 1024 104. 10 105. 75

106. 10 107. 40 108. 0,28 109. 21,6 110. 93,1

111. 95 112. 312 113. 11760 114. 21 115. 1440

116. 30240 117. 2(6!)2 118. 3612 119. 26820600 120. 4500250

121. 124 122. 884375 123. 3168 124. 120 125. 40

126. 8 127. 14 128. 50 129. 46 130. 76

131. 78 132. 116

187 133.

5

21 134.

1323

5720 135. 715

136. 11628 137. 3060 138. 53130 139. 60 140. 10395

141. 10395·6! 142. 720 143. (6!)2·2

6 144. (6!)

2 145.

25

216

146. 20

64 147. 64

243 148. 0,000054 149.

23

63 150.

135

431

151. 0,25 152. 0,4 153. 47

330 154.

7

47 155. 0,37

340

Глава 8. Типовые варианты ЕГЭ.

Вариант-1

А1 А2 А3 А4 A5 A6 A7 A8 A9 A10

1 3 1 1 4 2 1 1 4 1

B1 B2 B3 B4 B5 B6 B7 B8 B9 B10 B11

4 0,5 -3 6 1 0.5 7 -13 9 5 68

C1 C2 C3 C4 C5

160.9375 𝜋

4+ 𝜋𝑘, 𝑘 ∈ 𝑍 (2; 2114

− 5] 23 2

3 -4

Вариант-2

А1 А2 А3 А4 A5 A6 A7 A8 A9 A10

3 2 2 4 1 2 4 3 4 2

B1 B2 B3 B4 B5 B6 B7 B8 B9 B10 B11

0.16 88 3 7 1 1 5 -62 4 0.5 1

C1 C2 C3 C4 C5

12960 0; -1 [−2; 3204

− 6) 22 6

3 -2

Вариант-3

А1 А2 А3 А4 A5 A6 A7 A8 A9 A10

1 3 1 3 2 1 3 2 2 4

B1 B2 B3 B4 B5 B6 B7 B8 B9 B10 B11

2 0.4 1 1.75 4 -4 -26,25 4 28,6875 30 42

C1 C2 C3 C4 C5

6; -6 −5; −𝜋 𝑈 −𝜋; 0 𝑈(0; 2] −∞; −1 𝑈(1; +∞) 11/4 13; -1; −6 ± 23

Вариант-4

А1 А2 А3 А4 A5 A6 A7 A8 A9 A10

4 1 4 4 3 1 3 2 3 1

341

B1 B2 B3 B4 B5 B6 B7 B8 B9 B10 B11

2.8 1 1 1 5 -2 -3 2 27,875 45 89.1

C1 C2 C3 C4 C5

4 −4; −𝜋

2 𝑈 −

𝜋

2;1

2 (1;27) 60

0 4; 2; −3 ± 17

Вариант 5

B1 B2 B3 B4 B5 B6 B7 B8 B9 B10 B11 B12

5 14 5 3.2 2 10 6 2 2.4 9 -13 20

C1 𝑥 = 2, 𝑦 = −1 𝑛𝜋

4+ 𝜋𝑛, 𝑛 ∈ 𝑍

C2 на три части в отношении 1:1:1

C3 [−2; −1), [0; 1] C4 1 или 7

C5 −8 ≤ а ≤ 6

C6 𝑎 = 2, 𝑏 = 5

Documents

Универсальный сборник задач для поступающих и сдающих ЕГЭ