1

محاضرة عن استخدام الدالـة المولـدة لالحتمـال والدالة الممیزة فى تحدید دالة كثافة االحتمال

كثافـــة دالـــة تحدیـــد اســـتخدام الدالـــة المولـــدة لالحتمـــال فـــى : اوال وغیـر صحیحة قیم على معرف X عشوائي متغیر ألي االحتمال

.سالبة

) العاملي العزم( المضروب لعزم المولدة الدالةمقدمة عن ) ١-١(The Factorial Moment Generation Function

دالتــه االحتمالیــة االحتمالیــة وكانــت ســالبة غیــر قیمــا یأخــذ متقطعــا عشــوائي متغیــر X كــان إذا بتولیــدها تقــوم والتــي المضــروب عــزوم باســتخدام العــزوم اشــتقاق الســهل مــن یكــون فإنــه f(x) هــي : التالي الشكل تأخذ والتي المضروب لعزم المولدة الدالة تسمى دالة

X xX

xG t E t t f (x).

XE(t التوقـع كـان إذا وذلـك ) بـین عالقـة یوجـد. t<1+h < 1-h الفتـرة فـي t قـیم لجمیـع موجـود

المولدة للعزوم الدالةtx

XX

M (t) e f(x) الدالة وبین XG tحیث :

X Xln tXG t E t E e

XM ln t . فقط المتقطع للتوزیع إال تستخدم ال المضروب لعزم المولدة الدالة :تذكر

XG دالة له عشوائیا متغیرا X كان إذا: ظریةن (t) فإن : X

X(r)X

G (1) E(X)G (1) E[X(X 1)]

G (1) E[X(X 1) (X r 1)]

rE(X،الصـفر حول r الدرجة من العزوم حساب الممكن ومن فعلـى. المضـروب عـزوم مـن،( : المثال سبیل

2

2E[X(X 1)] E[X X] 2E(X ) E(X)

:وعلى ذلك 2E(X ) E(X) E[X(X 1)]

XG الدالـــة مـــن بســـهولة إیجادهــا یمكـــن العلیـــا الـــدرجات مـــن المشـــتقات أن كمــا (t) الحـــال بعكـــس .المولدة للعزوم للدالة بالنسبة

)١(مثال

:االحتمال كثافة دالة له عشوائیا متغیرا X أن بفرضxef (x) , x = 0,1,2, ...

x! = 0 , e.w.

2 التباین أوجدX بإستخدام الدالة xG (t)؟

:الحــلx

X xX

0

G (t) E(t ) t ex!

.x

t

x 0

(t )e ex!

: ذلك وعلى

.r t

( r ) r tX r

d (e )G (t) edt

:فإن وبالتالي( r ) rXE [ X ( X 1) .. .( X r 1)] G (1)

2 2X E[(X(X 1)] E(X) [E(X)]

2 2 .

) ٢(مثال

:االحتمال كثافة دالة له عشوائیا متغیرا X كان إذا

3

x n xnf(x) p (1 p) , x = 1, 2,...,n

x = 0 , e.w.

؟2التباین أوجد

:الحــلn

X x x n xX

x 0

nG (t) E(t ) t p (1 p)

x

: ذلك وعلى

nx n x n

x 0

n(tp) (1 p) [tp (1 p)]

x

n 1X

X2

2 n 2X

2

2 2

G (t) np[tp (1 p)]E(X ) G (1) np

E(X ) E[X(X 1)] E(X),G (t) n (n 1)p [tp (1 p)]

E[X(X 1)] G (1) n(n 1)pE[X(X 1)] E(X) [E(X )]

2 2 2n(n 1)p np n p np[(n 1)p 1 np]

np[np p 1 np] np(1 p).

) ٣(مثال

:االحتمال كثافة دالة له عشوائیا متغیرا X كان إذاxf (x) 2 , x = 1,2,...

xG الدالة أوجد (t) العشوائي للمتغیر X ،األولى الخمسة المضروب عزوم وأوجد .

:الحــلx

x x xX

x 1 x 1

tG (t) E(t ) t 22

4

tt2 .t 2 t1

2

:عزوم المضروب

X 2 2

X 2

2

X 4 3

X 3

(2 t) ( t) 2G (t)(2 t) (2 t)2G (1) 2

(2 1)(2 t) (0) (2)( 2)(2 t) 4G (t)

(2 t) (2 t)4G (1) 4

(2 1)

3 2

x 6 4

x 4

2 t 0 4 3 2 t 12G t2 t 2 t

12G 1 12 .2 1

4(4)X

(2 1)(2 t) (0) (12G (t)

3

8 5

(4)X 5

5 4(5)X 10 6

(5)X 6

)( 4)(2 t) 48(2 t) (2 t)

48G (1) 48,(2 1)(2 t) (0) (48)( 5)(2 t) 240G (t)

(2 t) (2 t)240G (1) 240.

(2 1)

فـى تحدیـد دالـة كثافـة االحتمـال لمتغیـر استخدام الدالـة المولـدة لالحتمـال ) ٢-١( عشوائى معرف على قیم صحیحة وغیر سالبة

XG الدالــــة تســـمى (t) الدالــــة بوضــــع أنـــه أي. لالحتمــــال المولـــدة بالدالــــة األحیـــان بعــــض فـــي

XG (t) التالیــة الصــورة علــى :rXG (t) f(0) tf(1) ... t f (r) ... ،معامــل یكــونrt

5

ـــــة مفكـــــوك فـــــي XGالدال (t) هـــــو f (r) P(X r) أن أي :xX

x 1G (t) f (0) t f (x)

،

: أن یعني والذي

( r)X

1 G (0) P(X r) , r = 1,2,...r!

قـیم علـى معـرف X عشـوائي متغیـر ألي االحتمال كثافة دالة تحدد لالحتمال المولدة الدالة أن أي

.سالبة وغیر صحیحة

)٤(مثال

t، ) ١(مثال في XG (t) e الشكل على كتابتها یمكن والتي :

: وبالتالي فإن

X

X

2X

P(X 0) G (0) e

G (0) eP(X 1)1! 1!

G (0) eP(X 2) .2! 2!

) ٥(مثال

XGالدالة كانت إذا (t) الصورة على عشوائي لمتغیر:

0 حیث t 1, 0 و<p<1 ،XptG (t)

1 (1 p)t

. Xأوجد دالة كثافة االحتمال للمتغیر

:الحــل

: فإن

22

Xe eG (t) e t t ...

1 2!

6

X

X 2

X 3

f (0) G (0) 0pf (1) G (0) p

[1 (1 p)0]1 1 2p(1 p)f (2) G (0) p(1 p)2 2 [1 (1 p)0]

x=1,2,… x , : أن إثبات یمكن عموما 1f (x) p(1 p)

االحتمـــال كثافـــة دالـــة تحدیـــد اســـتخدام الدالـــة الممیـــزة فـــى : ثانیـــا . X عشوائي متغیر ألي

The Characteristic Function الممیزة الدالةمقدمة عن ) ١-٢(

المولـدة للعـزوم الدالـة مـن لكل الرئیسي العیبمن المعروف ان tx

XX

M (t) e f(x)X (t) والدالة XG (t) ذلـك خـالف علـى. االحتمالیـة التوزیعـات لبعض موجودین غیر أنهما

االحتمالیــة التوزیعـات لجمیـع معرفـة) Fourier transform فـوریر تحویلـه أو( الممیـزة الدالـة فـإن :كاآلتي تعرف X عشوائي لمتغیر الممیزة الدالة.

itxX

X

(t) e f(x)

:بینما المتقطع النوع من العشوائي المتغیر یكون عندماitx

X (t) e f (x) , - < t <

i هنـا. متصـل عشوائي متغیر X یكون عندما 1 الممیـزة ةالدالـ قـیم .التخیلـي العـدد أي معلومــات إلـى یحتـاج المولـدة الــدوال مـن النـوع هـذا واســتخدام فهـم فـإن ذلـك وعلــى مركبـة تكـون قـد المتقدمــة الكتــب علــى یقتصــر الممیــزة ةالدالــ دراســة فــإن لــذلك وتبعــا. المركبــة المتغیــرات نظریــة فــي باسـتخدام بسـهولة اشـتقاقها یمكـن االحتمالیة التوزیعات بین العالقات من كثیر.االحتمال نظریة في

. التوزیع دالة استخدام من أكثر الممیزة الدالة :الممیزة الدالة خصائص

X )أ (0) 1 X یساوي الدالة لهذه المركب المرافق) ب ( t) أن أي :

7

.X X(t) ( t)

Xأى ان tمحدودة لجمیع القیم الحقیقیة من (t)الدالة ) ج (t) 1 .

: الممیزة الدالة بداللة العزومtووضــــع t إلــــى بالنســــبة الممیــــزة الدالــــة بتفاضــــل 0 فــــإنx (0) i . ایضــــا

2x 2(0) i

:هو الصفر حول r الدرجة من العزمعموما (r)

r r

1 (0).i

: مهمة عالقات

X ممیزة بدالة عشوائیا متغیر X كان إذا (t) ذا :فأنY=aX+b كان وا.itb

Y (t) e (at)

اى أن. فى الدالة المولده للعزوم نحصل على الداله الممیزة tبدال من itبوضع X XM (it) (t).

)٦(مثال

:االحتمال كثافة دالة له ا عشوائی ا متغیر X كان إذا

. 2 2

a 1f (x) x ,a 0x a

,

الممیزة الدالة بینما موجودة غیر للعزوم المولدة الدالة أن أثبات المطلوب ).كوشي توزیع أي( . موجودة

:الحــل

)أtx

tXX 2 2

a eM (t) E(e )x a

عنـــدما ذلـــك إثبـــاتیمكـــن هفإنـــ وعلـــى ذلـــك حقیقـــي عـــدد t كانـــت إذا موجـــودة غیـــر تكـــون والتـــيx 0 و t 0 حیث:

2 2 2 2tx t x t xe 1 tx ...

2! 2

: وعلى ذلك

8

tx 2 2

2 2 2 20

a e at xdx dx2x a x a

.تباعدي األیمن الجانب في والتكامل )ب

itxitx

X 2 2

2 2 2 2

2 20

a e(t) E(e ) dxx a

a cos tx a! sin txdx dxx a x a

2a cos tx dxx a

2 2 2 2

2 2

Sin txa C o s tx aidx dxx a x aC o s tx2a dx.

x a

ate ویساوي موجود األخیر التكامل أن إثبات یمكن وعلى ذلك الداله الممیزه موجودة لهذا .التوزیع

)٧(مثال

عـدد یمثـل X عشـوائي لمتغیـر الصـفر حـولاالولـى الخمسـة العـزوم و للعـزوم المولدة الدالة أوجد الممیزة؟ المولدة الدالة أوجد ثم واحدة مرة زهرتین إلقاء عند 6 رقم الظهور مرات

:الحــل :هي Xداله كثافة االحتمال للمتغیر

2 1 0 x 1/36 10/36 25/36 F(x)

9

tx t (0) t (1) t (2)X

t 2tX

t 2t1 X t 0 t 0

t 2t2 X t 0 t 0

t 2t3 X t 0 t 0

4

25 10 1M (t) e f (x) e ( ) e ( ) e ( )36 36 36

25 10 1M (t) e ( ) e ( )36 36 36

10 2 12M (t) e ( ) e ( )36 36 3610 4 14M (t) e ( ) e ( )36 36 3610 8 18M (t) e ( ) e ( )36 36 36

(4) t 2tX t 0 t 0

(5) t 2t5 X t 0 t 0

10 16 26M (t) e ( ) e ( )36 36 3610 32 42M (t) e ( ) e ( ) .36 36 36

: نتبع اآلتي X العشوائي للمتغیر الممیزة الدالة إلیجاد :أن بما

.t 2 tX

1(t) (25 10e e )36

:هي X العشوائي للمتغیر الممیزة الدالة فإن

it 2itX X

it 2itX

1(t) M (it) (25 10e e )36

25 10 1(t) e e .36 36 36

)٨(مثال

: احتمال كثافة دالة له متصل ا عشوائی ا متغیر X كان إذا

a X a , 1f (x ) ,

2a

الدالة الممیزة ؟) ب( ؟X للمتغیر للعزوم المولدة الدالة) أ: أوجد

:الحــل )أ

10

atx tx

Xa

a txtx a

aa

ta ta

M (t) E(e ) e f (x)dx

1 1 e e dx2a 2a t1 (e e ).

2at

)ب a

itx itxX

aitx

aa

ita ita

1(t) E(e ) e dx2a

1 e 2a it1 (e e ).

2ait

:حیث أو بإستخدام العالقة بین الداله للعزوم والداله الممیزة

X X

ita ita

M (it) (t)1 = e e .

2a it

)٩(مثال

: كثافةاإلحتمال لدالة الممیزه الدالة أوجد1f (x) , a x b

b a

0 , e.w.

وأوجد التباین ؟

:الحــل :هي الممیزة الدالة

11

itx itxX

b bitxitx

a a

bitx itb ita

a

itb ita

r rXr

(t) E(e ) e f (x)dx

e 1dx e dxb a b a

1 e 1 e eb a it b a it it

e eit(b a)1E(X ) (0) r 1,2,3,...i

itxX

bb biox 2

Xa a a

(t) (ix)e f (x)dx

ixe ix ix(0) dx dxb a b a 2(b a)

2 2i i(b a)(b a)(b a )2(b a) 2(b a)

i b a a b i b a2 b a 2

bb 3 3 32

Xa a

2 2 2 2

X

1 1 x (b a )(0) (ix) dxb a b a 3 3(b a)

(b a)(b 2ab a ) (a 2ab b )3(b a) 3

1 i(a b) (a b)E(X) (0)i 2i 2

2 22

X2

2 2 2

2222 2

1 (a 2ab b )E(X ) (0)i 3

Var(X) E(X )

a b 2a b a(b ab a ) (a b) 3 2 2 12

12

اســتخدام الدالــة الممیــزة فــى تحدیــد فــى تحدیــد دالــة كثافــة االحتمــال الى ) ٢-٢( Xمتغیر عشوائى

:فـتعری : وكان f(x) االحتمال كثافة دالة له عشوائي متغیر X كان إذا

itxX (t) e f (x) یكون عندما X و متقطع عشوائي متغیر itx

X (t) e f (x)dx

تقــدیر بسـهولة یمكـن فـوریر تحویلـه نظریـة باسـتخدام هفإنـ متصـل عشـوائي متغیـر X یكـون عنـدما : حیث الممیزة الدالة من االحتمال كثافة دالة

.itxX

1f (x) e (t) dt2

inverse العكســـیة فــــوریر تحویلـــه أو inversion formula المحولـــة الصــــیغة والمســـماة

Fourier transform . .المتقطعة العشوائیة المتغیرات حالة في االحتمال كثافة دالة إیجاد یمكن مقارب بأسلوب

)١٠(مثال

كان إذا2t2(t) e

عشوائي لمتغیر الممیزة الدالة تمثل X أوجد، الطبیعي التوزیع یتبع

.بإستخدام الصیغة المحوله X للمتغیر االحتمالي التوزیع

:الحــل2t

itx 21f (x) e e dt2

.21 (t 2itx )

21 e dt2

: على نحصل األخیر التكامل في القوس داخل المربع وبإكمال

13

22 2

2 2

22

1 t 2itx ix (ix)2

1 t ix ix2

ix 1 t ix2 2

1f x e dt2 π

1 e dt2π

1 e e dt.2π

z : أن وبفرض t ix فإنdt dz وعلیه :

2 22 2

2 2

ix 1 x 1z z2 2 2 2

1 1x x2 2

1 1f x e e dz e e dz2π 2π

1 1e 2π e .2π 2π

x حیث .الطبیعي التوزیع یتبع عشوائي لمتغیر االحتمال كثافة دالة وهي . نـوع معرفـة عـدم حالـة فـي الممیـزة الدالـة بداللـة االحتمـال كثافة دالة إیجاد یمكن كیف اآلن السؤال : التالي لالختبار تبعا یتحدد التوزیع نوعان هو الجواب متقطع؟ أم متصل هو هل التوزیع : اآلتیة الدالة نفرض

citx

C xc

L e (t)dt

ـــــرة أن حیـــــث الفت c,c ـــــة هـــــي ـــــة فئ ـــــر فضـــــاء مـــــن جزئی ـــــإذا، العشـــــوائي المتغی أن الحظنـــــا فC

c

Llim 02c

أن یعنـــي فــذلك f(x) متقطـــع احتمـــال توزیـــع دالـــة أنهـــا نقـــول ذلـــك غیـــر ، متصـــلة. : أن نجد المثال هذا ففي

2 21 1cx zc 1 2 22

c

L 1 e e dz2c 2c

:وعلى ذلك 2 21 1cx zc 2 2

c c c c

L 1 1lim e . lim ( ). lim e dz 0.2c 4 c

14

)الفترة في معرفة x قیمة أیة عند مستمرة الدالة أن یعني وهذا , ) .دالة تمثل الدالة أن أي . المعیاري الطبیعي التوزیع

)١١(مثال

kx القیم یأخذ عشوائیا متغیرا X كان إذا kباحتماالت kpحیثk 1, 2,... n : أوجد

Xالدالة بداللة kp)ب( . X للمتغیر الممیزة الدالة) أ( (t) .

:الحــل

) أ( n

itx itkX x

k n(t) E(e ) e p .

X لــــ فــوریر مسلســـلةالمعادلـــة الســابقة تســمى عــادة (t) )تكـــون قــد n و ،) منتهیـــة غیــر kp .یرر معامالت فو تسمى

2 مــــن t إلــــى بالنســــبة التكامــــل وأخــــذ ijteفــــي الســــابقة المعادلــــة طرفــــي بضــــرب) ب( 0 : على نحصل

2 2nijt i(k j) t

x k kk n0 0

e (t)dt p e dt 2 p

k عندما j فإن: 22 i(k j) t

i(k j) t

0 0

ee dt 0i(k j)

:وذلك ألن 2i (k j) t i ( k j)(2 ) i ( k j)0

0

i (k j)(2 )

e e ei(k j) i(k j)

(e 1)i(k j)

:حیث i(k j)(2 )e Cos (k j)(2 ) iSin (k j)(2 )

1

k عندما j فإن:

15

2i(k j) t

0

e dt 2

:وعلى ذلك 2 2

ijtx k

0 0

k

e (t)dt p dt

2 p

2itj

j x0

1p e (t)dt.2

:فإن kبالحرف jاو استبدال 2

itkk x

0

1p e (t)dt.2

)١٢( مثال

؟ Cos(t) هي الممیزة الدالة كانت إذا االحتمال كثافة دالة أوجد

:الحــل : كالتالي علیها الحصول یمكن f(x) فإن Cos(it) هي الممیزة الدالة كانت إذا

2itk

k0

2 it ititk

0

2 2i(1 k)t i(1 k)t

0 0

1p e Cos(it) dt2

1 e ee dt2 2

1 1e dt e dt4 4

1 فإن k=1 عندما 1p2

.

1 فإن k=-1 وعندما 1p2 .

16

kpفإن kلكل القیم االخرى من 0 :أي أن

1 x 12f (x)1 x 12