الانحدار وكيفية معالجة مخالفات فروضه

١

فصل الرابعفصل الرابعالال

االنحدار الخطى البسیط واالرتباطاالنحدار الخطى البسیط واالرتباط

٢

مفاھیم أساسیة ) ١-٤(ابع أو ر الت مى المتغی ة، یس ع الدراس ي موض ر كم ین متغی ة ب دار بالعالق ل االنح تم تحلی یھ

ر استجابة رات response variable متغی رات أخرى تسمى متغی ن متغی ر م د أو أكث وواحتقلة ره independent variablesمس رات مفس أو explanatory variablesأو متغی . predictor variablesتنبؤ تمتغیرا

ر د أو أكث غالبا ما یستخدم تحلیل االنحدار في التنبؤ بالمتغیر التابع من المعلومات عن واحاھیم األساسیة وطرق االستدالل . قلةمن المتغیرات المست دم بعض المف ذا الفصل سوف نق في ھ

.لتحلیل االنحدار البسیط حیث یعتمد المتغیر التابع على متغیر مستقل واحد

مقدمة في االنحدار الخطي البسیط) ٢-٤(

بأزواج المشاھدات ممثلة nبفرض عینة عشوائیة من الحجم في وعلى ذلك قیمة . yونتوقع تغیر في قیم لعینات متكررة فإننا سوف نأخذ بالضبط قیم

غیر أي أن النتیجة التي یأخذھا. تمثل قیمة لمتغیر عشوائي الزوج المرتب لتمثل سوف نعرف . بواسطة الباحث علیھایمكن السیطرة وال uncertainمؤكدة

. وتباینھ بالرمز ونعرف متوسطة بالرمز ، xیقابل قیمة ثابتة Yمتغیر عشوائي بمتوسط یمثل المتغیر العشوائي فإن الرمز عندما ھمن الواضح أن

. وتباین

ة xبـترتبط خطیا أن االنحدار الخطي البسیط یعني أن بمعادلة انحدار المجتمع التالی :

دار امالت االنح ث مع ة ، حی اھدات العین ن مش دیرھما م وب تق ین مطل ثالن معلمت یمدار بـ أي أننا نقدر . تقدیر للمعلمة و تقدیر للمعلمة حیث ةمن انح العین

:أو خط االنحدار المقدر التالي

شكل االنتشار) ٣-٤( ات ب ل البیان و تمثی دار ھ ل االنح دء تحلی د لب لوب المفی رف یااألس ا یع و م وھ ا كل بنی ش

ة المشاھدات scatter plotاالنتشار ن فئ ك م ى شكل .وذل للحصول علور ص مح ار یخص ي( االنتش ور األفق ور ) المح ص مح ا یخص تقل بینم ر للمس ( للمتغی

ابع ) المحور الرأسي ر الت ي عددھا لكل زوج . للمتغی ن أزواج المشاھدات الت وم nم نقم ى الرس ع نقطة عل ي . بتوقی رامج الحاسب اآلل ن ب ر م وفر كثی دار تت الجاھزة والخاصة باالنح

امج ل برن ار Minitabو Statisticaو SPSSمث كال االنتش ى أش ول عل د .للحص كل یفی ش :فیما یلي االنتشار

فیما إذا كانت ھناك عالقة ظاھرة بین المتغیرین أم ) أ ( .ال یوضح عموما .عند وجود عالقة یوضح شكل االنتشار فیما إذا كانت العالقة خطیة أم ال ) ب(

i i{(x , y );i 1,2,...,n}xiy

i i(x , y )iYiYx|Y

x|Y2

x|Y

ix xiY | xiYix|Y

2x|Y i

x|Y

Y|x 0 1x

0 1 ,

0b01b1x|Yy

0 1y b b x .

}n,...,2,1i);y,x{( ii xy

)y,x(

٣

البة ) ج ( ت س ة) عكسیة(إذا كانت العالقة خطیة فإن شكل االنتشار یوضح فیما إذا كان أو موجب ).طردیھ(

)١-٤(مثال

: لــالح

كل ن ش ح م تقیم) ١-٤(یتض ط مس ى خ ع عل بط ، تق یس بالض ا ، ل نقط عموم ذا . أن ال ھ .بمعادلة خط مستقیم ) كتقریب أولي( یجعلنا نقترح أن العالقة بین المتغیرین یمكن وصفھا

)١-٤(شكل

وفیما یلى خطوات Mathematicaسوف یتم حل ھذا المثال بإستخدام برنامج مكتوب بلغة .البرنامج والمخرجات

x={20,22,30,34,42,43,46,53,55,69,70}; y={0.08,0.10,0.15,0.20,0.26,0.25,0.30,0.35,0.40,0.48,0.49}; t1=Transpose[{x,y}] {{20,0.08},{22,0.1},{30,0.15},{34,0.2},{42,0.26},{43,0.25},{46,0.3},{53,0.35},{55,0.4},{69,0.48},{70,0.49}}

ا ھي ائج كم ت النت ار وكان ة األعم ي معطاةفي إحدى التجارب وزن قرون عدد من الغزالن المختلف ف . المطلوب رسم شكل االنتشار وتحدید شكل العالقة بین المتغیرین . التالىجدول ال

x العمر 20 22 30 34 42 43 46 53 55 69 70

y الوزن 0.08 0.10 0.15 0.20 0.26 0.25 0.30 0.35 0.40 0.48 0.49

٤

c=PlotRange{{0,70},{0,.5}} PlotRange{{0,70},{0,0.5}} c2=Prolog{PointSize[0.03]} Prolog{PointSize[0.03]} l=ListPlot[t1]

Graphics w2=ListPlot[t1,c,c2]

Graphics

:وفیما یلى المدخالت و المخرجات لھذا البرنامج المدخالت : اوال

xالقائمة المسمى لقیم المتغیر المستقل والقائمة) العمر( .لقیم المتغیر التابع ) الوزن( y المسمى

المخرجات : ثانیا شكل االنتشار بدون خیارات من االمر

l=ListPlot[t1]

30 40 50 60 70

0.2

0.3

0.4

0.5

10 20 30 40 50 60 70

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

٥

یحدد المدى لقیم المتغیر cنحصل على شكل االنتشار حیث الخیار w2وبإستخدام االمر c2 والخیار 0.5 . إلى 0.0 و المدى لقیم المتغیر التابع من 70إلى 0.0 المستقل وھو من

.والذى یحدد حجم النقاط فى شكل االنتشار

)٢-٤( مثال

:الحل

وذلك بتحمیل الحزمة الجاھزة Mathematicaسوف یتم حل ھذا المثال بإستخدام برنامج Statistics`LinearRegression`

:وذلك من خالل االمر التالى <<Statistics`LinearRegression`

یتم ادخال البیانات التى تخص المتغیر المستقل فى قائمة تسمى

oppbavg كما یتم ادخال البیانات التى تخص المتغیر التابع فى قائمة تسمى winpct وشكل االنتشار نحصل علیھ من االمر

. dots :وفیما یلى خطوات البرنامج والمخرجات

<<Statistics`LinearRegression` oppbavg={0.240,0.254,0.249,0.245,0.250,0.252,0.254,0.270,0.274,0.264,0.280,0.266,0.268,0.286}; winpct={0.625,0.512,0.488,0.524,0.588,0.475,0.513,0.463,0.512,0.405,0.450,0.480,0.456,0.506}; dpoints=Table[{oppbavg[[i]],winpct[[i]]},{i,1,Length[winpct]}] {{0.24,0.625},{0.254,0.512},{0.249,0.488},{0.245,0.524},{0.25,0.588},{0.252,0.475},{0.254,0.513},{0.27,0.463},{0.274,0.512},{0.264,0.405},{0.28,0.45},{0.266,0.48},{0.268,0.456},{0.286,0.506}} Clear[dots] dots=ListPlot[dpoints,Prolog->{PointSize[0.02]}]

ة ات التالی ل البیان م تمث ربات الخص ط ض لة xمتوس رة الس ة ك ى لعب ك ف ا وذل ق م وز لفری بة الف ونس .والمطلوب رسم االنتشار وتحدید شكل االنتشار

X 0.240,0.254,0.249,0.245,0.250,0.252,0.254,0.270,0.274,0.264,0.280,0.266,0.268,0.286, Y 0.625,0.512,0.488,0.524,0.588,0.475,0.513,0.463,0.512,0.405,0.450,0.480,0.456,0.506.

٦

Graphics

نموذج االنحدار الخطي البسیط) ٤-٤(

ر في ث یوجد متغی دار الخطي البسیط حی ة االنح د مستقل حال ابع xواح ر ت إن Yومتغی فأزواج ل ب ات تمث اھدا البیان وائي س. ت المش ر عش ل متغی نعرف ك

ائي وذج إحص طات Statistical modelبنم ل المتوس رض أن ك ت ف ك تح وذلي شكل ا ھو موضح ف تقیم كم ى خط مس كعو .)٢-٤( تقع عل ى ذل إن ل ر ف كل متغی

:بنموذج انحدار بسیط كالتالي ھیمكن وصف)١- ٤ (

.النموذج ، البد أن یكون لھ متوسط یساوي صفر أ، خط حیث المتغیر العشوائي

)٢-٤(شكل

دار) (١-٤(في نموذج االنحدار تشیر المعلمة ي ) والتي ھي میل خط االنح ر ف ى التغی إلابع ر الت الي للمتغی ع االحتم ط التوزی ي Yمتوس ادة ف دة زی ل وح ة . xلك ا المعلم ل أم فتمث

دار ة . التقاطع الصادي لخط االنح ى القیم دى النموذج عل وى م ان وإذا احت تعطي فد ولیس للمعلمة . عندما Yمتوسط التوزیع االحتمالي لمتغیر ا كح أي تفسیر خاص بھ

.منفصل في نموذج االنحدار إذا لم یتضمن مجالھ القیمة ر المستقلانھ بسیط وخطي ) ١-٤(یقال عن النموذج ي المتغی الم وخطي ف ي المع و . ف فھ

ھ كأس ھ ال تظھر أي معلم الم ألن ي المع بسیط ألنھ یستخدم متغیرا مستقال واحدا فقط، وخطي فر ال یظھر إال مرفوعا ذا المتغی ر المستقل الن ھ ي المتغی أو مضروبة بمعلمھ أخرى، وخطي ف

0.25 0.26 0.27 0.28

0.45

0.5

0.55

0.6

}n,...,2,1i);y,x{( ii

ii x|YY

ix|YiY

, xY ii10ix|Yi i

i

1

0

0x 0

0x 0

0x

٧

د ألس الواح وذج . ل رف النم ا یع ن ا) ١-٤(أیض النموذج م ن ب ف ع ذي یختل ى وال ة األول لرتب : التاليالبسیط النموذج

ا ر یظھر مرفوع ذا المتغی ر المستقل الن ھ والذي یكون خطي في المعالم وغیر خطي في المتغی

.xمن الرتبة الثانیة في في المعالم ویمثل نموذج خطي و 2لألس :تحقق العالقة nعینة عشوائیة من الحجم في كل مشاھدة

ث ر حی ة للمتغی ة مفترض دما قیم ة عن ذ القیم ا . تأخ ر إلیھ ابقة ینظ ة الس المعادل

:معادلة خط االنحدار المقدرة فإن باستخدامبنفس الشكل ، . كنموذج لمشاھده مفرده

ث اقيتسمى حی د نقطة residual الب ق النموذج عن ي توفی ذي یصف خطأ ف والین. المشاھدة رقم رق ب ي شكل و الف الخط ) ٣ -٤(یوضح شكل و.)٣–٤(موضح ف

ات والمسمى ة البیان ن فئ ي المقدر م دار الحقیق اآلن . وخط االنحالطبع ومتین ب ر معل ین غی ط .معلمت دیر للخ در تق ط المق ر الخ در .یعتب ا یج ومم

ھ أن ا اإلشارة إلی ا، أم ن مالحظتھ ط یمك ا ألن الخ ن مالحظتھ ال یمك رض ف مفت .وغیر معروف

)٣-٤(شكل

فروض نموذج االنحدار الخطي البسیط) ٥-٤(

دار وذج االنح الم نم دیر مع أ ) ١– ٤(لتق د الخط ة لح روض التالی ع الف ماة توض والمس Gauss-Markov. فروض جاوس ـ ماركوف

, ,

.غیر مرتبطتین أي أن لكل حیث :وعلى ذلك

i2

10i xY

)y,x( ii*ii10i exy

*ieiiYiy

iy,exbby ii10i

iii yye iie*

iexbby 10x10x|Y

10 ,x|Y

ie*iex|Y

i

0)(E i 0) (E ji 22

i )(E ji n,...,1j,i ij ,

.)Y(Var ,x)Y(E 2ii10i

٨

ص روض تخ ارات ف ة واختب رات ثق راء فت د إج ا عن اج لھ رى نحت روض أخ اك ف ھن :أي أن ،یتبع التوزیع الطبیعي بمتوسط صفر وتباین وھي أن المعلمتین

) . ٤– ٤(موضح في شكل توزیع

) ٤– ٤(شكل

east Lethod of MThe طریقة المربعات الصغرى ) ٦-٤(squareS

ین دیرات للمعلمت ى تق ول عل رق للحص ن الط د م ود العدی ن وج الرغم م إال أن ب

. أفضل ھذه الطرق ھي طریقة المربعات الصغرىدیرین ت ى التق ات الصغرى الحصول عل ین تطلب طریقة المربع ك للمعلمت وذل

واقي(على التوالي اللذین یجعالن مجموع مربعات األخطاء ا یمك SSE) الب ل م ذین أي ، ناق اللواقي ات الب وع مربع غرى لمجم ة الص ان النھای واقي ، یحقق ات الب وع مربع رف مجم ث یع حی

:كاآلتي

:مناسبة الستخدام اآللة الحاسبة الو من الصیغة التالیة حساب یمكن

: حیث

: من الصیغة التالیة حساب كما یمكن

10 ,i2

. ),0(N~ 2i

i

0 1 ,

10 b,b10,

. xbby yye SSEn

1i

2i10i

n

1i

n

1i

2ii

2i

1b

1SXYbSXX

22 ii

i ii i

xSXX x ,

nx ySXY x y .

n

0b

. xbyb 10

٩

ث تقل حی ر المس ة للمتغی ابي للعین ط الحس زان للوس ابع xیرم ر الت ى Yوالمتغی عل . التوالي

)٣-٤(مثال

:لــالح

:نفترض النموذج الخطى البسیط :مجھولتان فإننا نقدرھما من مشاھدات العینة حیث بما أن

:معادلة االنحدار المقدرة سوف تكون على الشكل


x={.3,.6,.9,1.2,1.5,1.8,2.1,2.4};

y,x

0 1 , 2

i in 8 x 10.8 x 18.36

i i ix y 385.5 , x 1.35 , y 30, y 240.

i ii i

1 22 ii

x yx ySXY nbSXX ( x )x

n

2

(10.8)(240)385.58

(10.8)18.368

61.5 16.27,3.78

0 1b y b x 30 (16.27)(1.35) 8.036.

y 8.036 16.27 x.

ذرة ا . أجریت تجربة لدراسة العالقة بین التسمید ومحصول ال م الحصول علیھ ي ت ات الت البیان :التالىجدول المعطاة في السماد 0.3 0.6 0.9 1.2 1.5 1.8 2.1 2.4 المحصول 10 15 30 35 25 30 50 45

أوجد معادلة خط االنحدار المقدرة

xy

١٠

y={10,15,30,35,25,30,50,45}; a[x_]:=Length[x] k[x_]:=Apply[Plus,x]

n=a[x] 8 xb=w[x] 1.35 yb=w[y] 30 sxx=l[x,x] 3.78 sxy=l[x,y] 61.5

16.2698 b0=yb-b1*xb 8.03571 t=Transpose[{x,y}] {{0.3,10},{0.6,15},{0.9,30},{1.2,35},{1.5,25},{1.8,30},{2.1,50},{2.4,45}} c=PlotRange{{0,4},{0,60}} PlotRange{{0,4},{0,60}} c2=Prolog{PointSize[0.03]} Prolog{PointSize[0.03]} w=ListPlot[t,c,c2]

Graphics w2=Plot[b0+b1*x,{x,0,4}]

wx_: kxax

lx_, y_: kxy kxkyax

b1sxysxx

0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4

10

20

30

40

50

60

١١

Graphics Show[w,w2]

Graphics

:وفیما یلى المدخالت و المخرجات لھذا البرنامج

المدخالت : اوالxالقائمة المسمى لقیم المتغیر المستقل والقائمة .لقیم المتغیر التابع yالمسمى

المخرجات : ثانیا من االمرxb=w[x]

من االمر وyb=w[y]

من االمر التقدیر

من االمر والتقدیر

b0=yb-b1*xb وشكل االنتشار من االمر

w=ListPlot[t,c,c2] وتمثیل معادلة االنحدار بیانیا من االمر

w2=Plot[b0+b1*x,{x,0,4}] .Show[w,w2]وشكل االنتشار مع معادلة االنحدار بیانیا من االمر

1 2 3 4

10

20

30

40

50

60

70

0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4

10

20

30

40

50

60

x

y

1b

b1sxysxx

0b

١٢

)٤-٤(مثال

.المطلوب إیجاد معادلة االنحدار المقدرة )٢-٤(للمثال

وذلك بتحمیل الحزمة الجاھزة Mathematicaسوف یتم حل ھذا المثال بإستخدام برنامج Statistics`LinearRegression` وفیما یلى خطوات البرنامج والمخرجات.

<<Statistics`LinearRegression`

oppbavg={0.240,0.254,0.249,0.245,0.250,0.252,0.254,0.270,0.274,0.264,0.280,0.266,0.268,0.286}; winpct={0.625,0.512,0.488,0.524,0.588,0.475,0.513,0.463,0.512,0.405,0.450,0.480,0.456,0.506}; dpoints=Table[{oppbavg[[i]],winpct[[i]]},{i,1,Length[winpct]}] {{0.24,0.625},{0.254,0.512},{0.249,0.488},{0.245,0.524},{0.25,0.588},{0.252,0.475},{0.254,0.513},{0.27,0.463},{0.274,0.512},{0.264,0.405},{0.28,0.45},{0.266,0.48},{0.268,0.456},{0.286,0.506}} Clear[dots] dots=ListPlot[dpoints,Prolog->{PointSize[0.02]}]

Graphics Regress[dpoints,{1,x},x,RegressionReport->BestFit] {BestFit1.07813 -2.2171 x} lsq[x_]=Fit[dpoints,{1,x},x] 1.07813 -2.2171 x plotline=Plot[lsq[x],{x,0.24,0.29}, DisplayFunction->Identity]; Show[dots,plotline,DisplayFunction->$DisplayFunction]

0.25 0.26 0.27 0.28

0.45

0.5

0.55

0.6

١٣

Graphics

:لھذا البرنامج :یستخدام االمر

Regress[dpoints,{1,x},x,RegressionReport->BestFit]

:للحصول على معادلة االنحدار المقدرة والمخرج ھو .{BestFit1.07813 -2.2171 x}

:ونحصل على نفس النتیجة من االمر lsq[x_]=Fit[dpoints,{1,x},x]

:وباالمرین التالیین

plotline=Plot[lsq[x],{x,0.24,0.29}, DisplayFunction->Identity]; Show[dots,plotline,DisplayFunction->$DisplayFunction]

.یتم الحصول على شكل االنتشار مع معادلة االنحدار المقدرة بیانیا Analysis of Variance تحلیل االنحدار ) ٧-٤(

أي اختبار فرض العدم الختبار معنویة معامل االنحدار

ضد الفرض البدیل

:یجب دراسة مكونات مجموع المربعات الكلى ویمكن الرمز الیھ بالمتساویة التالیةSSTO = SSR+ SSE .

ات حیث ىمجموع المربع دار SSTO الكل ات االنح اوى مجموع مربع ى SSR یس مضاف إل :SSE مجموع المربعات حول االنحدار

: ھو مجموع المربعات الكلـي حیث

,

:النحدار ھو مجموع مربعات او

:ھو مجموع مربعات الخطـأو

0.25 0.26 0.27 0.28 0.29

0.45

0.5

0.55

0.6

1

0 1H : 0

1 1H : 0

22 i

iySSTO SYY yn

2(SXY)SSR ,SXX

١٤

.SSE = SSTO – SSR ھ ، ة خاصة ب ات درجات حری د أن لكل مجموع مربع ة اإلحصائیة نج ن الناحی ان م إذا ك ف

دینا ي nل ح ف كل الموض ى الش ون عل ة یك ات الحری ع درج إن توزی اھدات ف ن المش دول الم ج :التالى

درجات الحریة مجموع المربعات مجموع مربعات االنحدار مجموع مربعات الخطـأ مجموع المربعات الكلـي

1 n-2

n – 1 ات ا یسمي متوسط المربع ى م بقسمة مجموع المربعات بدرجات الحریة الخاصة بھ نحصل عل

mean squares ة این العین ر تب ات s2ویعتب ط المربع ال لمتوس ط . مث ك متوس ى ذل وعل :، ھو MSRمجموع مربعات االنحدار نرمز لھ بالرمز

.

:، ھو MSEومتوسط مربعات الخطأ ، نرمز لھ بالرمز

.

این ل التب ن اشتقاق جدول تحلی ، ANALYSIS OF VARIANCEمن النتائج السابقة یمك : التالىجدول ال، والموضح في ANOVAلالختصار جدول

مجموع متوسط مجموع المربعات

المربعاتدرجات الحریة

االختالف

SSR

SSE

1

n-2

االنحدار

الخطـأ

SSTO n – 1 الكلي :اآلن

دم رض الع ار ف دیل الختب رض الب د الف رض ض ار أن ف وباعتب :العدم صحیح فإن

,

ة Fیتبع توزیع Fقیمة لمتغیر عشوائي ة .بدرجات حری لمستوى معنویع حیث منطقة الرفض ي Fتستخرج من جدول توزی ف

یم . بدرجات حریة ) ٥(أو ملحق ) ٤(ملحق ى ق كما یمكن الحصول علf امج تخدام برن ى Mathematicaباس التوزیع العین اص ب ل الخ ى الفص حنا ف ا اوض إذا .كم

.H0في منطقة الرفض نرفض fوقعت

)٥-٤(مثال

SSRMSR1

SSEMSEn 2

1SSRMSR

2nSSEMSE

0 1H : 0 1 1H : 0

MSRfMSE

1 21, n 2 F f (1,n 2) f (1,n 2)

1 21, n 2

١٥

:لــالح

،

= 217.75 – (44.41385)(4.58333)

. = 14.187 : وعلى ذلك فإن معادلة خط االنحدار المقدرة ھي

. )٥-٤(شكل والموضحة في

i i in 12 x 55 x y 14060

iy 2613 , x 4.58333 , y 217.75, 2 2i ix 299 , y 661865

i ii i

x ySXY x yn

(55)(2613)14060 2083.75,12

22 i

i( x )SXX x

n

255299 46.91667,

12

1SXY 2083.75b 44.41385 ,SXX 46.91667

0 1b y b x

y 14.187 44.41385.

بالدقائق ) (وزمن الخدمة ) (قام باحث بجمع البیانات عن عدد األقراص الممغنطة المستخدمة : والبیانات معطاة في الجدول التالى لعمالء عددھم

.إیجاد معادلة االنحدار الخطى المقدرة ) أ: (المطلوب دم ) ب( رض الع ار ف دیل اختب رض الب د الف ة ض توى معنوی د مس عن

.

5 1 3 5 8 3 6 7 5 2 6 4 x 239 66 142 238 377 148 279 327 228 100 272 197 y

xy12

0 1H : 0 1 1H : 0 0.05

١٦

)٥-٤(شكل :اآلن نحسب

=

:نحصل على SSTOمن SSRوبطرح

SSE = SSTO – SSR = 92884.25 – 92547.362

= 336.888,

.التالىجدول الجدول تحلیل التباین معطى في

مصدر االختالف درجات الحریة المربعاتمجموع متوسط مجموع المربعات االنحدار 1 92547.362 92547.362

الخطأ 10 336.888 33.6888 الكلي 11 92884.25

= 2747.126. ع دول توزی ن ج تخرجة م ق Fوالمس ي ملح ة ) ٤(ف درجات حری برفض. ة ال ا ن . منطق رفض fوبم رفض ن ة ال ي منطق ع ف تق

H0. Estimating تقدیر ) ٨-٤(

ات األخطاء التقدیر للمعلمة ي مجموع مربع ، SSEیعتمد على النموذج ، أي یكون دالة ف :ویحسب من المعادلة اآلتیة

22 ii

( y )SSTO SYY yn

2(2613)661865 92884.25,12

2 2(SXY) (2083.75)SSRSXX 46.91667

92547.362.

SSR 92547.362MSR 92547.362.1 1

SSE 336.888MSE 33.6888.n 2 10

MSR 92547.362fMSE 33.6888

0.05f (1,10) 4.96

1 21, 10 F 4.96

222

2 SSEs MSE,n 2

١٧

ات الخطأ s2أي أن ة . یساوى متوسط مجموع مربع دیر بنقطة للمعلم و التق ذي ھ والدار ال . standard error of regressionیسمي الخطأ المعیاري لالنح إن ) ٥-٤( للمث ف

:

= 5.804. DeterminationCoefficient of Simpleمعامل التحدید البسیط ) ٩-٤(

:كالتالي یعرف معامل التحدید البسیط

.على خط االنحدار المقدر الواحد الصحیح عندما تقع القیم یأخذ

.فھذا یدل على عدم وجود عالقة خطیھ بین المتغیرین عندما

:والواحد الصحیح أي أن معامل التحدید دائما موجب وتتراوح قیمتھ بین الصفر

)٦-٤(مثال

ضد الفرض البدیل ختبار فرض العدم ال) ٥-٤(سوف یتم حل المثال

معامل و الخطأ المعیاري لالنحدار حساب و عند مستوى معنویة وفیما یلى خطوات Mathematicaوذلك بإستخدام برنامج مكتوب بلغة التحدید البسیط

.البرنامج والمخرجات p=1 1 =.05 0.05 x1={4,6.,2,5,7,6,3,8,5,3,1,5} {4,6.,2,5,7,6,3,8,5,3,1,5} y1={197.,272,100,228,327,279,148,377,238,142,66,239} {197.,272,100,228,327,279,148,377,238,142,66,239} l[x_]:=Length[x] h[x_]:=Apply[Plus,x] k[x_]:=h[x]/l[x] c[x_,y_]:=h[x*y]-((h[x]*h[y]))/l[x] xb=h[x1]/l[x1] 4.58333 yb=h[y1]/l[y1] 217.75 b1=c[x1,y1]/c[x1,x1] 44.4139 b0=yb-b1*xb 14.1865

2s

s MSE 33.6888

2r2 SSR SSTO SSE SSEr 1

SSTO SSTO SSTO

2r1 2 ny , y ,..., y2r 0

20 r 1

0 1H : 0

1 1H : 0 0.05

١٨

t1=Transpose[{x1,y1}] {{4,197.},{6.,272},{2,100},{5,228},{7,327},{6,279},{3,148},{8,377},{5,238},{3,142},{1,66},{5,239}} a=PlotRange{{0,9},{0,400}} PlotRange{{0,9},{0,400}} a1=Prolog{PointSize[.03]} Prolog{PointSize[0.03]} g= ListPlot[t1,a,a1]

Graphics d=Plot[b0+b1*x,{x,0,5}]

Graphics Show[g,d]

2 4 6 8

50

100

150

200

250

300

350

400

1 2 3 4 5

50

100

150

200

١٩

Graphics n=l[x1] 12 ssto=c[y1,y1] 92884.3 ssr=c[x1,y1]^2/c[x1,x1] 92547.4 sse=ssto-ssr 336.881 dto=n-1 11 msr=ssr/1 92547.4 dse=n-2 10 mse=sse/(n-2) 33.6881 f1=msr/mse 2747.18 th=TableHeadings{{source,regression,residual,total},{anova}} TableHeadings{{source,regression,residual,total},{anova}} rt1=List["df","SS","MS","F"] {df,SS,MS,F} rt2=List[p,ssr,msr,f1] {1,92547.4,92547.4,2747.18} rt3=List[dse,sse,mse,"---"] {10,336.881,33.6881,---} rt4=List[dto,ssto,"---","---"] {11,92884.3,---,---} tf=TableForm[{rt1,rt2,rt3,rt4},th]

2 4 6 8

50

100

150

200

250

300

350

400

٢٠

<<Statistics`ContinuousDistributions` f=Quantile[FRatioDistribution[1,10],1-] 4.9646 If[f1f,Print["reject H0"],Print["Accept H0"]] reject H0

5.80415

0.996373

:وفیما یلى المدخالت و المخرجات لھذا البرنامج المدخالت :اوال

عدد المتغیرات من االمرp=1

مستوى المعنویة من االمر=.05

x1القائمة المسمى لقیم المتغیر المستقل والقائمة .لقیم المتغیر التابع y1المسمى المخرجات : ثانیا

جدول تحلیل االنحدار من االمرtf=TableForm[{rt1,rt2,rt3,rt4},th]

f المحسوبة من االمر f1=msr/mse

f الجدولیة من االمر f=Quantile[FRatioDistribution[1,10],1-]

والقرار الذى یتخذ من االمر If[f1f,Print["reject H0"],Print["Accept H0"]]

والمخرج reject H0

الخطا المعیارى لالنحدار نحصل علیھ من االمر.اى رفض رفض العدم

ومعامل التحدید البسیط نحصل علیھ من االمر

استدالالت تخص معامالت االنحدار) ٠١-٤(Inferences concerning the regression coefficients

ین ة ب ة الخطی دیر العالق ب تق راض ,x Yبجان تم ألغ ة یھ ى التجرب ائم عل إن الق ؤ ف التنب

ص ـوصبال تدالالت تخ ى اس وعول إل زء المقط ل والج روض . المی ارات ف راء اختب إن إج

anovasource df SS MS Fregression 1 92547.4 92547.4 2747.18residual 10 336.881 33.6881

total 11 92884.3

smse

rssrssto

smse

rssrssto

٢١

ن ة لكل م رات ثق ى فت وذج ، والحصول عل ى نم ى وضع فروض إضافیة عل اج إل یحت ، n , 1 ,2...=i ، حیث حیث یفترض أن كل من) ١ –٤(االنحدار طبیعیا . تتبع توزیعا

Confidence interval for فترة ثقة للمعلمة ) ١-١٠-٤(

:على الشكل التالي فترة ثقة للمعلمة

ع حیث ن جدول توزی ي الملحق t تستخرج م ى المحور ) ٢(ف ي توجد عل والتع ى توزی ي تحت منحن ة t األفق درجات حری درھا ) n - 2(ب ا ق ى یمینھ ي المساحة عل والت

) .٦-٤(شكل الكما ھو موضح في

)٦-٤(شكل

)٧-٤(مثال

10

i

11

(1 )100% 12 2

1 2 1 1 2s sb t (n 2) b t (n 2) .

SXX SXX

2t n 2

2

2

2t

٢٢

:الحــل

=

,

=12.7532 .


في شكل .مع شكل اإلنتشار )٧-٤(والممثلة بیانیا

22

x yxynx

xn

1SXYbSXX

258.3 57

299.111

58.3311.09

11

3 1.428572.1

0 1b y b x 5.18182 1.42857 5.3

y 12.7532 1.42857 x

اس تج وقی ة المن م مراقب ائي، ت تج النھ تعتبر كمیة الرطوبة في منتج ما لھا تأثیر على كثافة المن .في شكل شفرة التالىجدول الكثافتھ و البیانات المسجلة معطاة في

x y x2 xy

58.3 57 311.09 299.1

.فترة ثقة للمعلمھ قدر معالم نموذج االنحدار الخطي البسیط وأوجد

4.7 3 22.09 14.15 3 25 155.2 4 27.04 20.85.2 10 27.04 52.5.9 2 34.81 11.84.7 9 22.09 42.35.9 3 34.81 17.75.2 7 27.04 36.45.9 6 34.81 35.45.6 6 31.36 33.65. 4 25. 20.

95%1

٢٣

)٧-٤(شكل

:التالى جدول المعطاة في القیم الالزمة لحساب

-y

57 57 2.66454× 10-15 65.3506

:اآلن

ع ي الملحق tوباستخدام جدول توزی إن ) ٢(ف . ف ة إذا ة للمعلم رة ثق فت :تحسب كاآلتي

:أي أن

:وعلى ذلك

2s

2yy yyy3 6.03896 - 3.03896 9.235283 5.61039 - 2.61039 6.814134 5.32468 - 1.32468 1.7547610 5.32468 4.67532 21.85872 4.32468 - 2.32468 5.404129 6.03896 2.96104 8.767753 4.32468 - 1.32468 1.754767 5.32468 1.67532 2.806716 4.32468 1.67532 2.806716 4.75325 1.24675 1.554394 5.61039 - 1.61039 2.59335

22 i iˆy y 65.3506s 7.26118 .

n 2 9

262.29t 025. %95

12 2

1 2 1 1 2s sb t (n 2) b t (n 2) .

SXX SXX

17.26118 7.261181.42857 2.262 1.42857 2.262 .

2.1 2.1

٢٤

:والتي تختصر إلى

lopeSesting on the THypothesisاختبارات فروض تخص المیل)٢-٠١-٤(

الختبار فرض العدم

:ضد فرض بدیل مناسب

أو

أو

ع ة tیمكننا استخدام توزی درجات حری ة رفض ب ى منطق ا سوف . للحصول عل قرارن : یعتمد على القیمة

.

:ھي فرض العدم حالة خاصة من :ضد الفرض البدیل

.

ة تخدام قیم ال باس ي المث دم أن ) ٧ – ٤(ف رض الع ر ف اختب .ضد الفرض البدیل

:الحــل,

ضد الفرض البدیل ,

, أو ومنطقة الرفض

.

11.42857 2.262 1.85949 1.42857 2.262 1.85949 .

15.63503 2.77789 .

*110 :

*111 :H

*111 :H

.:H *111

2n

SXXs

*11

2

bt

*0 1 1: 0 1: 0

1 1: 0

1b 1.42857

0 1H : 0 0 1H : 0

0: 10

0: 11

05.0 262.29t 025. 262.2T 262.2T

SXXs

0bt2

1

768259.0 8594.142857.1

1.226118.742857.1

٢٥

. المحسوبة تقع في منطقة القبول نقبل t وبما أن قیمة

ابق رض الس دم الف رض الع ول ف د قب دار فعن ة االنح رتبط بمعنوی ي ی ذا یعن فھین ة ب ة خطی ود عالق دم وج ا أن . ع ي إم ذا یعن م أن ھ ب أن نعل ة ویج ا قیم لھـ صغیرة في تفسیر االختالف في دیر ل د أ وأن أفضل تق ـ عن ة ل ھو ي قیم

كل ي ش ح ف و موض ا ھ ین )٨-٤(كم ة ب ة الحقیقی و أو أن العالق ا ھ ة كم لیست خطیدم . )٨ – ٤(موضح في شكل ذا أو كبدیل وعندما نرفض فرض الع إن ھ ، ف

ي أن ي یعن یر االختالف ف ي تفس ة ف ا قیم ض . لھ ا أن إن رف ي أم د یعن قكل ي ش ح ف و موض ا ھ و األنسب كم تقیم ھ ط المس وذج الخ ائج أو أن a) ٩-٤(نم أفضل نت

ي x یمكن الحصول علیھا بإضافة حدود من رتبة علیا من كثیرات الحدود في ا ھو موضح ف كم . b) ٩ -٤(شكل

)٩-٤(شكل

Confidence interval for فترة ثقة للمعلمة ) ٣-٠١-٤(

: تأخذ الصیغة التالیة فترة ثقة للمعلمة

.

ة واآلن إلیجاد ة للمعلم دار فترة ثق ي خط االنح ى ف اد عل باالعتم :نتبع اآلتي ) ٧ -٤(البیانات الخاصة بالمثال

0H

0 1H : 0 x , Yx

yyxy yax , Y

b0 1H : 0 xy0 1H : 0

00

(1 )100% 0

SXX

xn1s)2n(tb

SXXx

n1s)2n(tb

22

200

22

20

%950x10xY

)٨-٤(شكل

٢٦

و و .

: تعطى على الشكل فترة ثقة للمعلمة %95وعلى ذلك في

.

:وعلى ذلك

.

:أي أن .

:والتي تختزل إلى .

Hypothesis testing for اختبارات فروض تخص ) ٤-٠١-٤(

ضد أي فرض بدیل مناسب فإننا مرة أخري سوف الختبار فرض العدم ع تخدم توزی ة t نس درجات حری ا ب إن قرارن الي ف رفض وبالت ة ال ى منطق ول عل للحص

:سوف یعتمد على القیمة

ال ات المث تخدام بیان حة باس دم موض رض الع ار ف ة الختب ة المتبع توى ) ٧ – ٤(الطریق د مس عن :حیث فرض العدم معنوي


.

.

رفض ة ال ة . أو ومنطق ا أن قیم tوبم .المحسوبة تقع في منطقة القبول نقبل

)٨-٤(مثال

3.5x 1.2SXX 26118.7s2 7532.12b0

0

]SXX

xn1[s )2n(tb]

SXXx

n1[s)2n(tb

22

200

22

20

1.23.5

11126118.7262.27532.12

1.23.5

11126118.7262.27532.12

2

0

2

88873.9262.27532.1288873.9262.27532.12 0

1231.3561663.9 0

00

*0 0 0:

2n

*0 0

22

bt .1 xsn SXX

0.05 0 0: 0

1 0: 0

02

2

b 0.0t1 xsn SXX

1.289670162

12.7532 12.75329.888731 5.3

11 2.1

262.2)9(t 025. T 2.262T 2.262

0H

٢٧

اد امج الیج ل برن وب عم ة %95 المطل ة للمعلم رة ثق دار فت ة االنح ي معادل فدم و )٥-٤(مثال باالعتماد على البیانات في أختبر فرض الع . ضد الفرض البدیل

. ضد الفرض البدیل ثم أختبر فرض العدم وفیما یلى خطوات Mathematicaسوف یتم حل ھذا المثال بإستخدام برنامج مكتوب بلغة

.البرنامج والمخرجات =.05 0.05 x1={4.7,5,5.2,5.2,5.9,4.7,5.9,5.2,5.9,5.6,5.} {4.7,5,5.2,5.2,5.9,4.7,5.9,5.2,5.9,5.6,5.} y1={3.,3,4,10,2,9,3,7,6,6,4} {3.,3,4,10,2,9,3,7,6,6,4} l[x_]:=Length[x] h[x_]:=Apply[Plus,x] k[x_]:=h[x]/l[x] c[x_,y_]:=h[x*y]-((h[x]*h[y]))/l[x] n=l[x1] 11 xb=h[x1]/l[x1] 5.3 yb=h[y1]/l[y1] 5.18182 b1=c[x1,y1]/c[x1,x1] -1.42857 b0=yb-b1*xb 12.7532 sxx=c[x1,x1] 2.1 ssto=c[y1,y1] 69.6364 ssr=c[x1,y1]^2/c[x1,x1] 4.28571 sse=ssto-ssr 65.3506 mse=sse/(n-2) 7.26118 msr=ssr/1 4.28571 mse=sse/(n-2) 7.26118 <<Statistics`ContinuousDistributions`

2.26216

1 0, y|x 0 1x 0 1: 0

1 1: 0

0 0: 0 1 0: 0

t1 QuantileStudentTDistributionn2, 1

2

zmsesxx

٢٨

1.85949 e=t1*z 4.20646 l=b1-e -5.63503 u=b1+e 2.77789

9.88873 e1=t1*z1 22.3699 l=b0-e1 -9.61663 u=b0+e1 35.1231 tt1=b1/z -0.768259

tt0=b0/z1 1.28967

المدخالت : اوال مستوى المعنویة من االمر

=.05 x1القائمة المسماه لقیم المتغیر المستقل والقائمة .لقیم المتغیر التابع y1 المسماه

المخرجات : ثانیا التالیین مع المخرجات نحصل علیھا من االمریین فترة ثقة للمعلمھ l=b1-e

-5.63503 u=b1+e 2.77789

التالیین مع المخرجات نحصل علیھا من االمریینفترة ثقة للمعلمھ l=b0-e1

-9.61663 u=b0+e1 35.1231

:العدم فرض الختبار :ضد الفرض البدیل

یستخدم االمر التالى

z1mse1nxb^2sxx

a1 IfAbstt1 t1, Print"Reject H0",Print"Accept H0"

Accept H0


Accept H0

95%1

95%0

0 1: 0

1 1: 0

٢٩

والمخرج

.اى قبول فرض العدم

نحصل علیھا من االمر tحیث قیمة

:فرض العدم الختبار :ضد الفرض البدیل

. یستخدم االمر التالى

والمخرج

.اى قبول فرض العدم

Prediction التنبـؤ ) ١١ -٤(

ة تخدام المعادل ن اس ة یمك أ بقیم ث للتنب ن ، حی یس م ل

ن الضرورى م أن تكون واحدة م ن الحج ة العشوائیة م ي العین للمشاھدات nفة . تخدام المعادل ن اس ا یمك أ أیض للتنب

دة ة واح ر بقیم ي . للمتغی ى ف ون أعل وف یك أ س أ التنب ع أن خط وف نتوق ة س حالالم ة للمع قیمة واحدة متنبأ بھا عنھ في حالة التنبأ بالمتوسط وھذا سوف یؤثر على طول فترة الثق

.المراد تقدیرھا :من الصیغة التالیة فترة ثقة للمعلمة یمكن الحصول على

:من الصیغة التالیة فترة لقیمة مفردة یمكن الحصول علىایضا

Accept H0

t1 QuantileStudentTDistributionn 2, 1

2

0 0: 0

1 0: 0


Accept H0

x 0 1y b b x Y|x 'x

1 2 nx ,x ,..., x

1 1 2 2 n n(x , y ),(x , y ),...,(x , y )x 0 1y b b x

xy Y | x

(1 )100% Y|x '

2 22 2

/ 2 Y|x ' / 21 (x ' x) 1 (x ' x)ˆ ˆy t s ( ) y t s ( ) .n SXX n SXX

(1 )100% x 'y

a1 IfAbstt1 t1,Print"Reject H0",Print"Accept H0"

٣٠

)٩-٤(مثال

؟ فترة ثقة للمعلمة %95أوجد ) ٥-٤(للمثال باستخدام البیانات

:لــالح :من معادلة االنحدار المقدرة فإن

.= 191.84

:عرفنا مما سبق أن

t.025 =2.228 ھي فترة ثقة للمعلمة %95وعلى ذلك . 10بدرجات حریة:

.

:أي أن

:والتي تختصر إلى

)١٠-٤(مثال

لـ فترة ثقة %95أوجد ) ٥-٤(للمثال باستخدام البیانات

:لــالح :ھي y4فترة ثقة لـ %95وعلى ذلك ) ا(

2 2

/ 2 x ' / 21 (x ' x) 1 (x ' x)ˆ ˆy t (n 2) 1 y y t (n 2) 1 .n SXX n SXX

Y|4

4y 14.187 (44.41385)(4)

2SXX 46.91667 , x 4.58333 , s 33.6888,

4|Y

2

Y|41 (4 4.58333)191.84 2.228 33.6888

12 46.91667

21 (4 4.58333)191.84 2.228 33.688812 46.91667

Y|4191.84 (2.228)(1.7469) 191.84 (2.228)(1.7469)

Y|4187.94791 195.73209.

4y

2n 12 , s 33.6888 , x 4.58333

2

41 (4 4.58333)191.84 2.228 33.6888 1 y

12 46.91667

٣١

:أي أن 191.84 - 2.228(6.061) < y4 < 191.84 + 2.228 (6.06)

:والتي تختصر إلى 178.3 < y4 < 205.3

)١١-٤(مثال

ات ال للبیان ة بالمث امج )٥-٤(الخاص ل برن وب عم اد المطل ـ %95 الیج ة ل رة ثق و فت . فترة ثقة لـ 95% :لــالح


=.05 0.05 x1={4,6.,2,5,7,6,3,8,5,3,1,5} {4,6.,2,5,7,6,3,8,5,3,1,5} y1={197.,272,100,228,327,279,148,377,238,142,66,239} {197.,272,100,228,327,279,148,377,238,142,66,239} l[x_]:=Length[x] h[x_]:=Apply[Plus,x] k[x_]:=h[x]/l[x] c[x_,y_]:=h[x*y]-((h[x]*h[y]))/l[x] n=l[x1] 12 xb=h[x1]/l[x1] 4.58333 yb=h[y1]/l[y1] 217.75 b1=c[x1,y1]/c[x1,x1] 44.4139 b0=yb-b1*xb 14.1865 sxx=c[x1,x1] 46.9167 ssto=c[y1,y1] 92884.3 ssr=(c[x1,y1]^2)/c[x1,x1] 92547.4 sse=ssto-ssr 336.881 mse=sse/(n-2)

21 (4 4.58333)191.84 2.228 33.6888 112 46.91667

Y|4

4y

٣٢

33.6881 <<Statistics`ContinuousDistributions`

2.22814 xxb=4 4

1.7469 e1=t1*z1 3.89235 yy=b0+(b1*xxb) 191.842 ll=yy-e1 187.95 u=yy+e1 195.734

6.06133 e2=t1*z2 13.5055 l2=yy-e2 178.336 u2=yy+e2 205.347


المعنویة من االمرمستوى =.05

xالقائمة المسماه لقیم المتغیر المستقل والقائمة المتغیر التابع و y المسماه من االمر xxb=4

المخرجات : ثانیا نحصل علیھا من االمریین التالیین مع المخرج لكل امر فترة ثقة للمعلمة 95%

ll=yy-e1 187.95 u=yy+e1 195.734

نحصل علیھا من االمریین التالیین مع المخرج لكل امر قیمةفترة ثقة ل 95%l2=yy-e2 178.336 u2=yy+e2 205.347

t1 QuantileStudentTDistributionn2,

1

2

z1mse1nxxbxb^2

sxx

z2mse1 1nxxbxb^2

sxx

x

Y|4

4y

٣٣

) ١٢-٤(مثال ات في ال باالعتماد على البیان دم )٢-٤(مث ر فرض الع دیل أختب ضد الفرض الب

. ضد الفرض البدیل ثم أختبر فرض العدم

:ل ــالح

وذلك بتحمیل الحزمة الجاھزة Mathematicaسوف یتم حل ھذا المثال بإستخدام برنامج

<<Statistics`LinearRegression` .وفیما یلى خطوات البرنامج والمخرجات

<<Statistics`LinearRegression` oppbavg={0.240,0.254,0.249,0.245,0.250,0.252,0.254,0.270,0.274,0.264,0.280,0.266,0.268,0.286}; winpct={0.625,0.512,0.488,0.524,0.588,0.475,0.513,0.463,0.512,0.405,0.450,0.480,0.456,0.506}; dpoints=Table[{oppbavg[[i]],winpct[[i]]},{i,1,Length[winpct]}] {{0.24,0.625},{0.254,0.512},{0.249,0.488},{0.245,0.524},{0.25,0.588},{0.252,0.475},{0.254,0.513},{0.27,0.463},{0.274,0.512},{0.264,0.405},{0.28,0.45},{0.266,0.48},{0.268,0.456},{0.286,0.506}} Clear[dots] dots=ListPlot[dpoints,Prolog->{PointSize[0.02]}]

Graphics Regress[dpoints,{1,x},x]

0 1: 0

1 1: 0

0 0: 0 1 0: 0

0.25 0.26 0.27 0.28

0.45

0.5

0.55

0.6

٣٤

:لھذا البرنامج

وبإستخدام االمر

Regress[dpoints,{1,x},x] دولین ى ج ول عل تم الحص دیرین :ی ى التق وى عل دول االول یحت الج

وان ت العن وان Estimateتح ت العن ا SEوتح الخط

المعیارى لـ

الخطا المعیارى لـ . 0.25596ویساوى

اوى یم .0.979963ویس ا ق وان tایض ت العن وبة تح یم . TStatالمحس وان pق ت العن تحPVlue.

كما یوجد فى الجدول معامل التحدید و ایضا یوجد ما یسمى معامل التحدید المعدل .أما الجدول الثانى فیحتوى على جدول تحلیل التباین

ومن االمر

ParameterTableEstimate SE TStat PValue

1 1.07813 0.25596 4.21211 0.00120568x 2.2171 0.979963 2.26243 0.0430218

,RSquared0.299008,

AdjustedRSquared0.240592,

EstimatedVariance0.00236213,ANOVATable

DF SumOfSq MeanSq FRatio PValueModel 1 0.0120908 0.0120908 5.11859 0.0430218Error 12 0.0283456 0.00236213Total 13 0.0404364

Regressdpoints, 1, x, x,RegressionReport ParameterTable,

BasisNames b0, b1

ParameterTableEstimate SE TStat PValue

b0 1.07813 0.25596 4.21211 0.00120568b1 2.2171 0.979963 2.26243 0.0430218

0 1b 1.07813,b 2.2171

02s( )

SXX

12

2 1 xs ( )n SXX

Regressdpoints, 1, x, x,RegressionReport ParameterTable,

BasisNames b0, b1

٣٥

على مكونات الجدول االول ولكن بشكل اخرنحصل

) ١٣-٤(مثال

في معادلة االنحدار فترة ثقة للمعلمة %95أوجد ) ٢-٤(للمثال

وذلك بتحمیل الحزمة الجاھزة Mathematicaسوف یتم حل ھذا المثال بإستخدام برنامج Statistics`LinearRegression`

.والمخرجات وفیما یلى خطوات البرنامج <<Statistics`LinearRegression` oppbavg={0.240,0.254,0.249,0.245,0.250,0.252,0.254,0.270,0.274,0.264,0.280,0.266,0.268,0.286}; winpct={0.625,0.512,0.488,0.524,0.588,0.475,0.513,0.463,0.512,0.405,0.450,0.480,0.456,0.506}; dpoints=Table[{oppbavg[[i]],winpct[[i]]},{i,1,Length[winpct]}] {{0.24,0.625},{0.254,0.512},{0.249,0.488},{0.245,0.524},{0.25,0.588},{0.252,0.475},{0.254,0.513},{0.27,0.463},{0.274,0.512},{0.264,0.405},{0.28,0.45},{0.266,0.48},{0.268,0.456},{0.286,0.506}} Clear[dots] Regress[dpoints,{1,x},x,RegressionReport->ParameterCITable]

Regress[dpoints,{1,x},x,RegressionReport->ParameterCITable,ConfidenceLevel->0.90]

:لھذا البرنامج :وبإستخدام االمر

Regress[dpoints,{1,x},x,RegressionReport->ParameterCITable]

.CIتحت العنوان لكل من فترة ثقة %95 سوف نحصل على جدول یحتوى :بإستخدام االمر

Regress[dpoints,{1,x},x,RegressionReport->ParameterCITable,ConfidenceLevel->0.90]

:حیث أضیف الخیار

1 0, Y|x 0 1x

ParameterCITableEstimate SE CI

1 1.07813 0.25596 0.520442, 1.63582x 2.2171 0.979963 4.35225,0.0819426

ParameterCITableEstimate SE CI

1 1.07813 0.25596 0.621937, 1.53433x 2.2171 0.979963 3.96367,0.470523

1 0,

٣٦

ConfidenceLevel->0.90] ة %99 وذلك للحصول على جدول یحتوى لكل فترة ثق .CIتحت العنوان من

.كما یتضح من مخرجات االمر

)١٤-٤(مثال الى متوسط ضربات الخصم ا ) x(یعطى الجدول الت ق م وز لفری بة الف ة (y)ونس ي لعب ك ف وذل

:كرة السلة والمطلوب .رسم شكل االنتشار مع خط االنحدار المقدر ) أ( . ووضحھا بیانیا لعدة قیم من فترة ثقة ل %95إیجاد ) ب(

x y x2 xy

3.652 6.997 .9551 1.81976

: الحــل ي شكل ) أ ( در موضح ف دار المق دار )١٠-٤(شكل االنتشار مع خط االنح ة االنح ث معادل حی

:كالتالى وكانت Mathematicaالمقدرة ثم حسابھا باستخدام برنامج .

1 0,

xYx

0.24 0.625 0.0576 0.150.254 0.512 0.064516 0.1300480.249 0.488 0.062001 0.1215120.245 0.524 0.060025 0.128380.25 0.588 0.0625 0.1470.252 0.475 0.063504 0.11970.254 0.513 0.064516 0.1303020.27 0.463 0.0729 0.125010.274 0.512 0.075076 0.1402880.264 0.405 0.069696 0.106920.28 0.45 0.0784 0.1260.266 0.48 0.070756 0.127680.268 0.456 0.071824 0.1222080.286 0.506 0.081796 0.144716

x2171.207813.1y

٣٧

)١٠-٤(شكل

ـ) ب( ة ل رات ثق الى فت ن یعطي الجدول الت یم م دة ق ك لع ا xوذل م الحصول علیھ و ت

امج ث Mathematicaباستخدام الحزم الجاھزة لبرن ة 95%یرمز ل CIحی رة ثق فت ).١١-٤( وتلك الفترات موضحة بیانیا في شكل .لـ

القيم المتنبأ بها المشاهده Observed Predicted SE CI {Mean Prediction CTTable

0.625 0.512 0.488 0.524 0.588 0.475 0.513 0.463 0.512 0.405 0.45 0.48

0.456 0.506

0.546028 0.514989 0.526074 0.534943 0.523857 0.519423 0.514989 0.479515 0.470647 0.492818 0.457344 0.488383 0.483949 0.444042

0.0242175 0.0146246 0.0174281 0.0202533 0.0167906 0.0156224 0.0146246 0.0157797 0.0182922 0.0133495 0.0228174 0.0139328 0.0147553 0.0278533

{0.493263,0.598793} {0.483124,0.546853} {0.488102,0.564047} {0.490814,0.579071} {0.487273,0.560441} {0.485385,0.553461} {0.483124,0.546853} {0.445134,0.513896} {0.430791,0.510502} {0.463732,0.521904} {0.407629,0.507059} {0.458027,0.51874} {0.4518,0.516098}

{0.383354,0.504729}

xY

xY

٣٨

)١١-٤(شكل

:سوف یتم حل ھذا المثال بإستخدام الحزمة الجاھزة

Statistics`LinearRegression

.وفیما یلى خطوات البرنامج والمخرجات

<<Statistics`LinearRegression` oppbavg={0.240,0.254,0.249,0.245,0.250,0.252,0.254,0.270,0.274,0.264,0.280,0.266,0.268,0.286}; winpct={0.625,0.512,0.488,0.524,0.588,0.475,0.513,0.463,0.512,0.405,0.450,0.480,0.456,0.506}; dpoints=Table[{oppbavg[[i]],winpct[[i]]},{i,1,Length[winpct ]}] {{0.24,0.625},{0.254,0.512},{0.249,0.488},{0.245,0.524},{0.25,0.588},{0.252,0.475},{0.254,0.513},{0.27,0.463},{0.274,0.512},{0.264,0.405},{0.28,0.45},{0.266,0.48},{0.268,0.456},{0.286,0.506}} Clear[dots] Regress[dpoints,{1,x},x,RegressionReport->MeanPredictionCITable]

0.25 0.26 0.27 0.28

0.45

0.5

0.55

0.6

٣٩

Regress[dpoints,{1,x},x, RegressionReport->SinglePredictionCITable]

rtable=Regress[dpoints,{1,x},x, RegressionReport->MeanPredictionCITable]; {obs,pred,se,ci}=Transpose[(MeanPredictionCITable/.rtable)[[1]]] {{0.625,0.512,0.488,0.524,0.588,0.475,0.513,0.463,0.512,0.405,0.45,0.48,0.456,0.506},{0.546028,0.514989,0.526074,0.534943,0.523857,0.519423,0.514989,0.479515,0.470647,0.492818,0.457344,0.488383,0.483949,0.444042},{0.0242175,0.0146246,0.0174281,0.0202533,0.0167906,0.0156224,0.0146246,0.0157797,0.0182922,0.0133495,0.0228174,0.0139328,0.014755

MeanPredictionCITable

Observed Predicted SE CI0.625 0.546028 0.0242175 0.493263,0.5987930.512 0.514989 0.0146246 0.483124,0.5468530.488 0.526074 0.0174281 0.488102,0.5640470.524 0.534943 0.0202533 0.490814,0.5790710.588 0.523857 0.0167906 0.487273,0.5604410.475 0.519423 0.0156224 0.485385,0.5534610.513 0.514989 0.0146246 0.483124,0.5468530.463 0.479515 0.0157797 0.445134,0.5138960.512 0.470647 0.0182922 0.430791,0.5105020.405 0.492818 0.0133495 0.463732,0.5219040.45 0.457344 0.0228174 0.407629,0.5070590.48 0.488383 0.0139328 0.458027,0.518740.456 0.483949 0.0147553 0.4518,0.5160980.506 0.444042 0.0278533 0.383354,0.504729

SinglePredictionCITable

Observed Predicted SE CI0.625 0.546028 0.0543012 0.427716,0.664340.512 0.514989 0.0507544 0.404404,0.6255730.488 0.526074 0.0516321 0.413578,0.6385710.524 0.534943 0.0526529 0.420222,0.6496630.588 0.523857 0.0514204 0.411822,0.6358920.475 0.519423 0.0510509 0.408193,0.6306530.513 0.514989 0.0507544 0.404404,0.6255730.463 0.479515 0.0510992 0.368179,0.5908510.512 0.470647 0.0519301 0.357501,0.5837930.405 0.492818 0.0504018 0.383002,0.6026340.45 0.457344 0.0536914 0.340361,0.5743280.48 0.488383 0.0505594 0.378224,0.5985430.456 0.483949 0.0507922 0.373283,0.5946160.506 0.444042 0.0560173 0.32199,0.566093

٤٠

3,0.0278533},{{0.493263,0.598793},{0.483124,0.546853},{0.488102,0.564047},{0.490814,0.579071},{0.487273,0.560441},{0.485385,0.553461},{0.483124,0.546853},{0.445134,0.513896},{0.430791,0.510502},{0.463732,0.521904},{0.407629,0.507059},{0.458027,0.51874},{0.4518,0.516098},{0.383354,0.504729}}} predpts=Transpose[{oppbavg,pred}] {{0.24,0.546028},{0.254,0.514989},{0.249,0.526074},{0.245,0.534943},{0.25,0.523857},{0.252,0.519423},{0.254,0.514989},{0.27,0.479515},{0.274,0.470647},{0.264,0.492818},{0.28,0.457344},{0.266,0.488383},{0.268,0.483949},{0.286,0.444042}} lowerCI=Transpose[{oppbavg,Map[First,ci]}] {{0.24,0.493263},{0.254,0.483124},{0.249,0.488102},{0.245,0.490814},{0.25,0.487273},{0.252,0.485385},{0.254,0.483124},{0.27,0.445134},{0.274,0.430791},{0.264,0.463732},{0.28,0.407629},{0.266,0.458027},{0.268,0.4518},{0.286,0.383354}} upperCI=Transpose[{oppbavg,Map[Last,ci]}] {{0.24,0.598793},{0.254,0.546853},{0.249,0.564047},{0.245,0.579071},{0.25,0.560441},{0.252,0.553461},{0.254,0.546853},{0.27,0.513896},{0.274,0.510502},{0.264,0.521904},{0.28,0.507059},{0.266,0.51874},{0.268,0.516098},{0.286,0.504729}} <<Graphics`MultipleListPlot` MultipleListPlot[dpoints,predpts,lowerCI,upperCI,SymbolShap e->{PlotSymbol[Diamond],None,None,None},PlotJoined->{False,True,True,True},PlotStyle->{Automatic,GrayLevel[0.5],Dashing[Dot],Dashing[Dot]}] Graphics

٤١

یتم الحصول علیھ من االمر xوذلك لعدة قیم من ترات ثقة لـفجدول Regress[dpoints,{1,x},x,RegressionReport->MeanPredictionCITable]

من االمرتم الحصول علیھا )١١- ٤( موضحة بیانیا في شكلالوتلك الفترات

MultipleListPlot[dpoints,predpts,lowerCI,upperCI,SymbolShap e->{PlotSymbol[Diamond],None,None,None},PlotJoined->{False,True,True,True},PlotStyle->{Automatic,GrayLevel[0.5],Dashing[Dot],Dashing[Dot]}]

علیھ من االمریتم الحصول xوذلك لعدة قیم من ترات ثقة لـفجدول

Regress[dpoints,{1,x},x, RegressionReport->SinglePredictionCITable]

البواقى مخالفات نموزج االتحدار وكیفیة اكتشافھا ب) ١٢-٤(

اھدات ار الزواج المش كل االنتش ر ش ث یعتب وة i=1,2,…,n حی الخطین ة ب ي للعالق كل الریاض ان الش رار بش اذ ق ي اتخ روریة ف ى الض ي x,Y٠االول ف

ص روري فح ن الض ون م ار یك كل المخت ة ذات الش ق الدال رد توفی ق وبمج التطبیوذج تم ٠صالحیة النم ل ان ت اذج انحدار قب دة نم ى فحص ع اج ال ة نحت ي الحقیق ف

ائي ة االختیارالنھ ا ٠عملی وف نتن د س ذا البن ي ھ خیص ف دة لتش رق مفی دة ط ول ع ).١-٤(التالیة عن نموذج االنحدار الخطي البسیط ) المخالفات(ومعالجة االنحرافات

0.25 0.26 0.27 0.28

0.45

0.5

0.55

0.6

xY

xy

)iy,ix(

٤٢

٠لیست خطیة x,y العالقة بین .١ ٠حدود الخطا لیست طبیعیة .٢ ٠لیس ثابت التباین لحد الخطأ .٣ ٠حدود الخطأ لیست مرتبطھ .٤ .ال یساوي صفر التوقع لحد الخطأ .٥

ى نموذج االنحدار الخطي وبالرغم من إن دراستنا في ھذا البند سوف تقتصر علرات ى عدة متغی وي عل ي تحت اذج الت البسیط اال ان نفس االسلوب یمكن تعمیمھ للنم

مستقلة ة من الطرق الطرق التشخیصیة واقى لفئ diagnostic methodsتشیر تحلیل الب

ك باس دار وذل وذج االنح ص صالحیة نم واقي لفح residualsتخدام الب حیث

i=1,2,…,n . وف واقي س إن الب ات ف ب للبیان دار مناس وذج االنح ون نم دما یك عن ٠تعكس الخواص المفروضة لحدود الخطا في النموذج

:في بعض االحیان یكون من المفید التعامل مع البواقي المعیاریة

: ثحی

: ھناك صیغة اخرى للبواقي وھي بواقي ستیودنت والتي تعرف كالتالي

)yy( ii

n.,1,2,i, MSEe

d ii

. 2n

eMSE

2i

.n ,1,2,i

.

)SXX

)xx(n1(1MSE

er

2i

ii

٤٣

غالبا ، ٠وتعتبر بواقي ستیودنت مفیدة في تشخیص االنحرافات عن نموذج االنحدار في البیانات ذات الحجم الصغیر فان بواقي ستیودنت تكون اكثر كفاءة من البواقي

٠كبیرة سوف یكون ھناك اختالف صغیر بین الطریقتین nعندما تكون ٠المعیاریة

)١٥-٤(مثال

رین ات x,Y في عملیة صناعیة اجریت تجربة لدراسة العالقة بین متغی والبیان :التالى جدول المعطاة في

:و المطلوب

.حساب البواقي و البواقي المعیاریة وبواقي ستیودنت : لــالح

xy2xyx

100. 150. 10000. 15000.125 140 15625 17500125 180 15625 22500150 210 22500 31500150 190 22500 28500200 320 40000 64000200 280 40000 56000250 400 62500 100000250 430 62500 107500300 440 90000 132000300 390 90000 117000350 600 122500 210000400 610 160000 244000400 670 160000 268000

, 714.23514

3300nxx, 14n

, 857.35714

5010nyy

٤٤

.

:معادلة االنحدار المقدرة ھي

). ١٢-٤(االنتشار في شكل والممثلة بیانیا مع شكل

)١٢-٤(شكل

.وبواقي ستیودنت والبواقي المعیاریة البواقي التالى جدولالیعطي

2

14)3300(913750

14)5010)(3300(1413500

n

2)x(2x

nyxxy

SXXSXY

1b

, 71143.1135893232571

5519.45)714.235(71143.1857.357xbyb 10

. x71143.15519.45y

100 200 300 400 500 600x

100

200

300

400

500

600

700Y

ieidir

iridieiyiyix

٤٥


p=1 1 x1={100,125.,125,150,150,200,200,250,250,300,300,350,400,400} {100,125.,125,150,150,200,200,250,250,300,300,350,400,400} y1={150,140.,180,210,190,320,280,400,430,440,390,600,610,670} {150,140.,180,210,190,320,280,400,430,440,390,600,610,670} l[x_]:=Length[x] h[x_]:=Apply[Plus,x] k[x_]:=h[x]/l[x] c[x_,y_]:=h[x*y]-((h[x]*h[y]))/l[x] sxx=c[x1,x1] 135893. xb=h[x1]/l[x1] 235.714 yb=h[y1]/l[y1] 357.857 b1=c[x1,y1]/c[x1,x1] 1.71143 b0=yb-b1*xb

100. 150. 125.591 24.4087 0.664208 0.745861125 140 168.377 - 28.3771 - 0.772198 - 0.843355125 180 168.377 11.6229 0.316281 0.345426150 210 211.163 - 1.16294 - 0.031646 - 0.0338405150 190 211.163 - 21.1629 - 0.575885 - 0.615821200 320 296.735 23.2654 0.633099 0.660343200 280 296.735 - 16.7346 - 0.45538 - 0.474977250 400 382.306 17.6938 0.481484 0.500064250 430 382.306 47.6938 1.29784 1.34793300 440 467.878 - 27.8778 - 0.75861 - 0.800463300 390 467.878 - 77.8778 - 2.11921 - 2.23613350 600 553.449 46.5506 1.26673 1.38837400 610 639.021 - 29.021 - 0.789719 - 0.924322400 670 639.021 30.979 0.842999 0.986682

٤٦

-45.5519 t1=Transpose[{x1,y1}] {{100,150},{125.,140.},{125,180},{150,210},{150,190},{200,320},{200,280},{250,400},{250,430},{300,440},{300,390},{350,600},{400,610},{400,670}} a=PlotRange{{0,600},{0,700}} PlotRange{{0,600},{0,700}} PlotRange{{0,600},{0,700}} PlotRange{{0,600},{0,700}} a1=Prolog{PointSize[.02]} Prolog{PointSize[0.02]} g= ListPlot[t1,a,a1]

Graphics d=Plot[b0+b1*x,{x,0,600}]

Graphics Show[g,d]

100 200 300 400 500 600

100

200

300

400

500

600

700

100 200 300 400 500 600

200

400

600

800

1000

٤٧

Graphics n=l[x1] 14 ssto=c[y1,y1] 414236. ssr=c[x1,y1]^2/c[x1,x1] 398030. sse=ssto-ssr 16205.5 mse=sse/(n-2) 1350.45 yy=b0+(b1*x1) {125.591,168.377,168.377,211.163,211.163,296.735,296.735,382.306,382.306,467.878,467.878,553.449,639.021,639.021} e=y1-yy {24.4087,-28.3771,11.6229,-1.16294,-21.1629,23.2654,-16.7346,17.6938,47.6938,-27.8778,-77.8778,46.5506,-29.021,30.979}

{0.664208,-0.772198,0.316281,-0.031646,-0.575885,0.633099,-0.45538,0.481484,1.29784,-0.75861,-2.11921,1.26673,-0.789719,0.842999}

{0.745861,-0.843355,0.345426,-0.0338405,-0.615821,0.660343,-0.474977,0.500064,1.34793,-0.800463,-2.23613,1.38837,-0.924322,0.986682} def=t1=Transpose[{x1,y1,yy,e,di,ri}] {{100,150,125.591,24.4087,0.664208,0.745861},{125.,140.,168.377,-28.3771,-0.772198,-0.843355},{125,180,168.377,11.6229,0.316281,0.345426},{150,210,211.163,-1.16294,-0.031646,-0.0338405},{150,190,211.163,-21.1629,-0.575885,-0.615821},{200,320,296.735,23.2654,0.633099,0.660343},{20

100 200 300 400 500 600

100

200

300

400

500

600

700

di e mse

ri e mse1 1nx1xb^2

sxx N

٤٨

0,280,296.735,-16.7346,-0.45538,-0.474977},{250,400,382.306,17.6938,0.481484,0.500064},{250,430,382.306,47.6938,1.29784,1.34793},{300,440,467.878,-27.8778,-0.75861,-0.800463},{300,390,467.878,-77.8778,-2.11921,-2.23613},{350,600,553.449,46.5506,1.26673,1.38837},{400,610,639.021,-29.021,-0.789719,-0.924322},{400,670,639.021,30.979,0.842999,0.986682}} TableForm[def]


المدخالت : اوال

x1القائمة المسمى لقیم المتغیر المستقل والقائمة y1 المسمى .لقیم المتغیر التابع

المخرجات : ثانیا

كل المخرجات التى تكلمنا علیھا سابقا والجدید ھو البواقى نحصل علیھا من االمر e=y1-yy

والمخرج ھو {24.4087,-28.3771,11.6229,-1.16294,-21.1629,23.2654,-16.7346,17.6938,47.6938,-27.8778,-77.8778,46.5506,-29.021,30.979}

البواقى المعیاریة نحصل علیھا من االمر

والمخرج ھو

100 150 125.591 24.4087 0.664208 0.745861125. 140. 168.377 28.3771 0.772198 0.843355125 180 168.377 11.6229 0.316281 0.345426150 210 211.163 1.16294 0.031646 0.0338405150 190 211.163 21.1629 0.575885 0.615821200 320 296.735 23.2654 0.633099 0.660343200 280 296.735 16.7346 0.45538 0.474977250 400 382.306 17.6938 0.481484 0.500064250 430 382.306 47.6938 1.29784 1.34793300 440 467.878 27.8778 0.75861 0.800463300 390 467.878 77.8778 2.11921 2.23613350 600 553.449 46.5506 1.26673 1.38837400 610 639.021 29.021 0.789719 0.924322400 670 639.021 30.979 0.842999 0.986682

di e mse

٤٩

{0.664208,-0.772198,0.316281,-0.031646,-0.575885,0.633099,-0.45538,0.481484,1.29784,-0.75861,-2.11921,1.26673,-0.789719,0.842999}

بواقى ستودینت نحصل علیھا من االمر

والمخرج ھو

{0.745861,-0.843355,0.345426,-0.0338405,-0.615821,0.660343,-0.474977,0.500064,1.34793,-0.800463,-2.23613,1.38837,-0.924322,0.986682}

نحصل علیھ من االمر الجدول السابقTableForm[def]

التالیھ بعض الطرق البیانیھ والتحلیلیھ الكتشاف وتصحیح سوف نتناول في األجزاء .البواقيوذلك بإستخدام ) ١-٤(االنحرافات عن نموذج االنحدار الخطي

رسوم البواقى ) ١-١٢-٤( واقي واقى (سوف نتناول في ھذا الجزء بعض االنواع من رسوم الب أو رسوم الب

تیودنت وم س ة أو رس ن ) المعیاری ات ع ن االنحراف ف ع ي الكش تخدم ف ي تس والتدار وذج االنح ص ). ١-٤(نم ى تخ اھزه والت ي الج ب اآلل رامج الحاس ن ب ر م كثی

ة نح ي االنحدار تنتج تلك الرسوم حسب الطلب وفي ھذه الحال ل ف د قلی ى جھ اج إل ت .تشخیص االنحراف عن النموذج

:م البواقى مقابل القیم التقدیریھرس -ا

واقي م الب یتودنت( ان رس واقى س ھ أو ب واقي المعیاری یم ) أو الب ل الق مقابوفرة أو ال المقدره إذا . یفسر لنا بصورة عامة ما إذا كانت فروض التحلیل مت

ي شكل كان النموذج المقدر مالئما فإن شكل إنتشار البواقي یأخذ الشكل الموضح ف حول الصفر داخل ) ١٥-٤(والخاص بالمثال ) ١٣-٤( حیث النقاط تنتشر عشوائیا

ان تص حزام ین ك وءات أو اتجاه مع د نت اافقى وال توج نفس الشئ . اعدیا أو تنازلیي شكل ا ھو موضح ف واقى ستیودنت كم ة أو ب واقى المعیاری -٤(عند استخدام الب

.علي التوالى)) ١٥-٤(والخاص بالمثال ) (١٥-٤(، ) ١٤

ri e mse1 1nx1xb^2

sxx N

ieiy

٥٠

)١٣-٤(شكل

)١٤-٤(شكل

)١٥-٤(شكل

٥١

إذا كانت النقاط في رسم البواقى تتوزع علي شكل منحنى كما یتضح من شكل وھذا یعنى الحاجھ الى إضافة متغیرات مستقلھ . فھذا یدل علي عدم الخطیھ) ١٦-٤(

ي النموذج . أخرى ف د یكون ضروریا ع ق د التربی ال ح ي سبیل المث التحویالت . عل .ابع قد تكون مطلوبھالمتغیر الت) أو(علي المتغیر المستقل و

) ١٦ – ٤( شكل

ي شكل ) ١٧-٤(الحالھ التى یكون فیھا فرض التباین غیر متحقق موضحھ فوتسمى ھذه الحالة الشكل القمعي حیث یزداد االنتشار الرأسى للبواقى مع زیادة

ادة وھذا یعنى أن توزیعات . المفتوح من األمام . لھا تباین یزداد مع زیادة ) ١٨-٤(أما في شكل ع زی ذه فنجد االنتشار الرأسي للبواقى یقل م وتسمى ھ

ل وھذا یعنى أن توزیعات . الحالھ الشكل القمعي المفتوح من الخلف لھا تباین یقذى یوضح كال الشكلین السابقین اى ) ١٩-٤(واخیرا شكل . مع زیادة وال

یم دما تكون ق ذا یحدث عن ین شكل القوس المزدوج وھ ع ب ث 0 , 1نسب تق حیھ من الصفر او 0.5تباین نسبة ذى الحدین القریبھ من ر من اخرى قریب یكون اكب

حیح د الص واقى .الواح ة أو ب واقي المعیاری تخدام الب بفضل اس ا ي عموم یتودنت ف س .رسم البواقى

50 100 150 200 250 300

-60

-40

-20

20

40

60

iy

iYixY

iyiY

ixY

iy

e

e

٥٢

)١٧-٤(شكل

)١٨-٤(شكل

75 80 85 90 95 100

-15

-10

-5

5

10

15

20

e

٥٣

) ١٩-٤(شكل

واقى ل ایضا رسم الب ا عن المشاھدات الشاذه مقاب د یكشف لن ) الخوارج(قأن وجود بیانات شاذه في العینة . والتى تمثل مجموعة قلیلھ من المشاھدات في العینھ

إذا بدأ لنا من شكل االنتشار أن ھناك نقطة . قد یؤدى الى التوصل الى نتائج خاطئةة ذه النقط إن ھ یم ف ة الق حة عن بقی د بصورة واض اط تبع دة نق ل أو ع اط تمث أو النق

.بیانات شاذة یستدعى دراستھاد ون مفی تیودنت تك واقي س ة أو ب واقي المعیاری وم الب ا رس اف هأیض ي اكتش ف

ا . االنحراف عن االعتدال من %68عندما یكون توزیع األخطاء طبیعي فإن تقریبا 1+ ,1-البواقي المعیاریة سوف تقع بین ین %95وتقریب ع ب نھم یق ا 2+,2-م وم

). outliersالخوارج (یعتبر أخطاء شاذه یزید أو یقل عن ذلك :رسم البواقى مقابل متغیر مستقل -ب

واقى م الب د رس ل عن اط مقاب إن النق با ف وذج مناس ون النم دما یك وعنر اتجاھات ي حول الصفر دون ان تظھ علي الرسم تتبعثر عشوائیا داخل حزام افق

یم ان رسم البواقى . سالبھمنتظمھ ألن تكون موجبھ او افئ رسم مقابل ق یكھ مقابل القیم التقدیریة البواقى ھ وذلك الن القیم التقدیری ل دوال خطی تمث

یم ي الق دریج محور ف ط ھو ت أثر فق ذى یت ر المستقل وال یس النسق xللمتغی ول .األساسى للنقاط المرسومة

:رسم البواقى مقابل زمن -جا رات مستقلھ لھ ابع ومتغی ر ت ي متغی ي االنحدار تشتمل عل بعض التطبیقات ف

ھ. طبیعة ان تكون متتابعھ مع الزمن ھ تسمى السالسل الزمنی . البیانات في ھذه الحالإن فرض . نماذج االنحدار التى تستخدم السالسل الزمنیھ تنتشر في مجال االقتصاد

اء لبی تقالل لالخط اط أو االس دم االرتب ر ع ا غی ون غالب ھ یك ل الزمنی ات السالس انو عادة االخطاء في السالسل الزمنیھ تكون مرتبطة ،أي أن .متحقق ا. ا مرتبطھ ذاتی ة انھ ذه الحال إن . یقال لحدود الخطأ في ھ ة ف ذه الحال ي ھ ف

یتضح من . مقابل الزمن یكشف عن وجود االرتباط الذاتي للبواقى رسم البواقى

ieiy

ieix

ieixieiyiy

ix

0E ji

ji

ie

٥٤

ا وج) ٢٠-٤(شكل ھ تلیھ اط موجب دة نق اك ع ث تكون ھن ود ارتباط ذاتي موجب حی .عدة نقاط سالبھ

)٢٠-٤(شكل واقى ) ٢١-٤(أما شكل اط الب ث نق ي سالب حی اط ذات فیوضح وجود ارتب

ھ سالبھ ھ والرابع ھ موجب ھ سالبھ والثالث ثال والثانی تتعاقب باألشارة فاالولى موجبھ م .وھكذا

الزمن

)٢١-٤(شكل

)١٦-٤(مثال

د ة عن ذه العالق ر ، ولتقصي ھ ع العم ھ عضالت الشخص م ل كتل یتوقع أن تقھ من . النساء ھ نساء عشوائیا من كل شریحة عمری ة أربع 10اختار باحث تغذی

ر xالنتیجة ، التالىیعطي جدول . 79وتنتھي بالعمر 40بدا بالعمر تسنوات العم ) .١ – ٤( الخطى البسیط بافتراض نموذج االنحدار. قیاس كتلة العضلة yو . أوجد معادلة االنحدار المقدرة ) أ (

5 10 15 20

-10

-5

5

10

15

20

5 10 15 20

-10

-5

5

10

15

20

٥٥

احسب البواقي والبواقي المعیاریة وبواقي ستیودنت) ب ( ا ا بیانی دو .ومثلھ ھل تب . االنحدار الخطیة توفیقا جیددالھ

78 49 53 45 58 45 65 76 56 68 73 56 67 43 64 71 x

77 105 100 97 76 116 84 65 80 78 73 87 68 100 91 82 y

لــالحل ) ٢٢-٤(یتضح من شكل االنتشار ) أ( ة لتمثی أن الخط المستقیم ھو أفضل طریق

:ھذه البیانات

.أي أننا نفترض النموذج الخطى البسیط

)٢٢-٤(شكل االنتشار

:مجھولتان فإننا نقدرھما من مشاھدات العینة حیث بما أن

20 40 60 80 100x

20

40

60

80

100

120y

10 β,β

,60409x967x16n 2ii

.1379y, 1875.86y,4375.60x,81331yx iii

n)x(x

nyxyx

SXXSXYb 2

i2i

iiii

1

x

٥٦

.


مع شكل االنتشار في شكل .) ٢٣ – ٤(والموضحة بیانیا

)٢٣ -٤( شكل

:التالى جدول الالبواقي والبواقي المعیاریة وبواقي ستیودنت معطاة في ) ب(

16)967(60409

16)1379)(967(81331

2

, 02359.19375.19653125.2012

051.148)4375.60)(02359.1(1875.86xbyb 10

.x02359.1051.148y

20 40 60 80 100x

20

40

60

80

100

120y

irid2)iyiy( iyiy iyiy

٥٧

.)٢٤-٤(موضح في شكل مقابل رسم البواقي

)٢٤-٤(شكل

) .٢٥-٤(موضح في شكل مقابل رسم البواقي المعیاریة

82 75.3758 6.6241 43.8795 0.7939 0.822391 82.5409 8.4590 71.5553 1.0138 1.0480100 104.0363 - 4.0363 16.2920 - 0.4837 - 0.497268 79.4701 - 11.4701 131.5653 - 1.3747 - 1.422387 90.7296 - 3.7296 13.9104 - 0.4470 - 0.461173 73.3286 - 0.3286 0.1080 - 0.0393 - 0.040878 78.4466 - 0.4466 0.1994 - 0.0535 - 0.055380 90.7296 - 10.7296 115.1259 - 1.2859 - 1.326565 70.2578 - 5.2578 27.6454 - 0.6301 - 0.653584 81.5173 2.4826 6.1634 0.2975 0.3076116 101.9891 14.0108 196.3036 1.6792 1.727076 88.6824 - 12.6824 160.8457 - 1.5199 - 1.568897 101.9891 - 4.9891 24.8917 - 0.5979 - 0.6149100 93.8004 6.1995 38.4344 0.7430 0.7658105 97.8948 7.1051 50.4838 0.8515 0.876777 68.2107 8.7892 77.2515 1.0533 1.0931

ieiy

60 70 80 90 100 110 120y

-15

-10

-5

5

10

15e

idiy

٥٨

)٢٥-٤(شكل

) . ٢٦-٤(موضح في شكل مقابل رسم بواقي ستیودنت

)٢٦-٤(شكل ومن رسوم البواقي أن المعادلة المقدره تبدو ) ٢٢-٤(یتضح من شكل االنتشار

.توفیقا جیدوفیما یلى خطوات Mathematicaسوف یتم حل ھذا المثال بإستخدام برنامج مكتوب بلغة

.البرنامج والمخرجات p=1 1 x1={71.,64,43,67,56,73,68,56,76,65,45,58,45,53,49,78} {71.,64,43,67,56,73,68,56,76,65,45,58,45,53,49,78} y1={82.,91,100,68,87,73,78,80,65,84,116,76,97,100,105,77} {82.,91,100,68,87,73,78,80,65,84,116,76,97,100,105,77} l[x_]:=Length[x]

60 70 80 90 100 110 120y

-3

-2

-1

1

2

3d

iriy

d

٥٩

h[x_]:=Apply[Plus,x] k[x_]:=h[x]/l[x] c[x_,y_]:=h[x*y]-((h[x]*h[y]))/l[x] sxx=c[x1,x1] 1965.94 xb=h[x1]/l[x1] 60.4375 yb=h[y1]/l[y1] 86.1875 b1=c[x1,y1]/c[x1,x1] -1.02359 b0=yb-b1*xb 148.051 yy=b0+(b1*x1) {75.3758,82.541,104.036,79.4702,90.7297,73.3287,78.4466,90.7297,70.2579,81.5174,101.989,88.6825,101.989,93.8004,97.8948,68.2107} e=y1-yy {6.62416,8.45904,-4.03634,-11.4702,-3.72968,-0.32866,-0.446606,-10.7297,-5.25789,2.48263,14.0108,-12.6825,-4.98916,6.19955,7.1052,8.78929} t1=Transpose[{x1,y1}] {{71.,82.},{64,91},{43,100},{67,68},{56,87},{73,73},{68,78},{56,80},{76,65},{65,84},{45,116},{58,76},{45,97},{53,100},{49,105},{78,77}} a=PlotRange{{0,100},{0,120}} PlotRange{{0,100},{0,120}} a1=Prolog{PointSize[.02]} Prolog{PointSize[0.02]} g= ListPlot[t1,a,a1,AxesLabel{"x","y"}]

Graphics dd=Plot[b0+(b1*x),{x,0,100},AxesLabel{"x","y"}]

20 40 60 80 100x

20

40

60

80

100

120y

٦٠

Graphics Show[g,dd]

Graphics n=l[x1] 16 ssto=c[y1,y1] 3034.44 ssr=c[x1,y1]^2/c[x1,x1] 2059.78 sse=ssto-ssr 974.656 mse=sse/(n-2) 69.6183

{0.793906,1.01382,-0.483755,-1.3747,-0.447002,-0.0393899,-0.0535258,-1.28595,-0.630159,0.297543,1.6792,-1.52,-0.597951,0.743017,0.851559,1.0534}

{0.845946,1.05069,-0.546753,-1.43667,-0.464148,-0.042544,-0.0561594,-1.33528,-0.698323,0.309051,1.85859,-1.57238,-0.661831,0.779167,0.912464,1.19227} pp1=Transpose[{yy,e}]

20 40 60 80 100x

80

100

120

140

y

20 40 60 80 100x

20

40

60

80

100

120y

di e mse

ri e mse1 1nx1xb^2

sxx N

٦١

{{75.3758,6.62416},{82.541,8.45904},{104.036,-4.03634},{79.4702,-11.4702},{90.7297,-3.72968},{73.3287,-0.32866},{78.4466,-0.446606},{90.7297,-10.7297},{70.2579,-5.25789},{81.5174,2.48263},{101.989,14.0108},{88.6825,-12.6825},{101.989,-4.98916},{93.8004,6.19955},{97.8948,7.1052},{68.2107,8.78929}} aa=PlotRange{{50,120},{-15,15}} PlotRange{{50,120},{-15,15}} a2=Prolog{PointSize[.02]} Prolog{PointSize[0.02]}

Graphics pp2=Transpose[{yy,di}] {{75.3758,0.793906},{82.541,1.01382},{104.036,-0.483755},{79.4702,-1.3747},{90.7297,-0.447002},{73.3287,-0.0393899},{78.4466,-0.0535258},{90.7297,-1.28595},{70.2579,-0.630159},{81.5174,0.297543},{101.989,1.6792},{88.6825,-1.52},{101.989,-0.597951},{93.8004,0.743017},{97.8948,0.851559},{68.2107,1.0534}} aa=PlotRange{{50,120},{-3,3}} PlotRange{{50,120},{-3,3}} a2=Prolog{PointSize[.02]} Prolog{PointSize[0.02]}

g ListPlotpp1, aa, a2, AxesLabel "y", "e"

60 70 80 90 100 110 120y

-15

-10

-5

5

10

15e

g ListPlotpp2, aa, a2, AxesLabel "y", "d"

٦٢

Graphics pp3=Transpose[{yy,ri}] {{75.3758,0.845946},{82.541,1.05069},{104.036,-0.546753},{79.4702,-1.43667},{90.7297,-0.464148},{73.3287,-0.042544},{78.4466,-0.0561594},{90.7297,-1.33528},{70.2579,-0.698323},{81.5174,0.309051},{101.989,1.85859},{88.6825,-1.57238},{101.989,-0.661831},{93.8004,0.779167},{97.8948,0.912464},{68.2107,1.19227}} aa=PlotRange{{50,120},{-3,3}} PlotRange{{50,120},{-3,3}} a2=Prolog{PointSize[.02]} Prolog{PointSize[0.02]}

Graphics def=Transpose[{x1,y1,yy,e,di,ri}] {{71.,82.,75.3758,6.62416,0.793906,0.845946},{64,91,82.541,8.45904,1.01382,1.05069},{43,100,104.036,-4.03634,-0.483755,-0.546753},{67,68,79.4702,-11.4702,-1.3747,-1.43667},{56,87,90.7297,-3.72968,-0.447002,-0.464148},{73,73,73.3287,-0.32866,-0.0393899,-0.042544},{68,78,78.4466,-0.446606,-0.0535258,-

60 70 80 90 100 110 120y

-3

-2

-1

1

2

3d

g ListPlotpp3, aa, a2, AxesLabel "y", "r"

60 70 80 90 100 110 120y

-3

-2

-1

1

2

3r

٦٣

0.0561594},{56,80,90.7297,-10.7297,-1.28595,-1.33528},{76,65,70.2579,-5.25789,-0.630159,-0.698323},{65,84,81.5174,2.48263,0.297543,0.309051},{45,116,101.989,14.0108,1.6792,1.85859},{58,76,88.6825,-12.6825,-1.52,-1.57238},{45,97,101.989,-4.98916,-0.597951,-0.661831},{53,100,93.8004,6.19955,0.743017,0.779167},{49,105,97.8948,7.1052,0.851559,0.912464},{78,77,68.2107,8.78929,1.0534,1.19227}} TableForm[def]


:المدخالت اوال

x1القائمة المسمى لقیم المتغیر المستقل والقائمة y1 المسمى .لقیم المتغیر التابع


درة كل المخرجات التى تكلمنا علیھا سابقا والجدید ھو یم المق ل الق رسم البواقى مقاب

نحصل علیھا من االمر

والمخرج ھو

71. 82. 75.3758 6.62416 0.793906 0.84594664 91 82.541 8.45904 1.01382 1.0506943 100 104.036 4.03634 0.483755 0.54675367 68 79.4702 11.4702 1.3747 1.4366756 87 90.7297 3.72968 0.447002 0.46414873 73 73.3287 0.32866 0.0393899 0.04254468 78 78.4466 0.446606 0.0535258 0.056159456 80 90.7297 10.7297 1.28595 1.3352876 65 70.2579 5.25789 0.630159 0.69832365 84 81.5174 2.48263 0.297543 0.30905145 116 101.989 14.0108 1.6792 1.8585958 76 88.6825 12.6825 1.52 1.5723845 97 101.989 4.98916 0.597951 0.66183153 100 93.8004 6.19955 0.743017 0.77916749 105 97.8948 7.1052 0.851559 0.91246478 77 68.2107 8.78929 1.0534 1.19227


٦٤

Graphics

رسم البواقى المعیاریة مقابل القیم المقدرة نحصل علیھا من االمر

والمخرج ھو

Graphics

رسم بواقى ستودنت مقابل القیم المقدرة نحصل علیھا من االمر

والمخرج ھو

60 70 80 90 100 110 120y

-15

-10

-5

5

10

15e


60 70 80 90 100 110 120y

-3

-2

-1

1

2

3d


٦٥

Graphics

)١٧-٤(مثال

:الحزمة الجاھزةوذلك باستخدام ) ٢-٤(سوف یطبق على مثال ) ١٦- ٤(المطلوب فى المثال

:وذلك بكتابة االمر التالى

Statistics`LinearRegression` .وفیما یلى خطوات البرنامج والمخرجات

<<Statistics`LinearRegression` oppbavg={0.240,0.254,0.249,0.245,0.250,0.252,0.254,0.270,0.274,0.264,0.280,0.266,0.268,0.286}; winpct={0.625,0.512,0.488,0.524,0.588,0.475,0.513,0.463,0.512,0.405,0.450,0.480,0.456,0.506}; dpoints=Table[{oppbavg[[i]],winpct[[i]]},{i,1,Length[winpct]}]; res=Regress[dpoints,{1,x},x,RegressionReport->FitResiduals] {FitResiduals{0.0789719,-0.00298867,-0.0380742,-0.0109426,0.0641429,-0.0444229,-0.00198867,-0.0165151,0.0413533,-0.0878177,-0.00734412,-0.00838349,-0.0279493,0.0619585}} pr=Regress[dpoints,{1,x},x,RegressionReport->PredictedResponse] {PredictedResponse{0.546028,0.514989,0.526074,0.534943,0.523857,0.519423,0.514989,0.479515,0.470647,0.492818,0.457344,0.488383,0.483949,0.444042}} lsq[x_]=Fit[dpoints,{1,x},x] 1.07813 -2.2171 x

60 70 80 90 100 110 120y

-3

-2

-1

1

2

3r

٦٦

Map[lsq,oppbavg] {0.546028,0.514989,0.526074,0.534943,0.523857,0.519423,0.514989,0.479515,0.470647,0.492818,0.457344,0.488383,0.483949,0.444042} winpct-Map[lsq,oppbavg] {0.0789719,-0.00298867,-0.0380742,-0.0109426,0.0641429,-0.0444229,-0.00198867,-0.0165151,0.0413533,-0.0878177,-0.00734412,-0.00838349,-0.0279493,0.0619585} Regress[dpoints,{1,x},x,RegressionReport->{StandardizedResiduals,StudentizedResiduals}] {StandardizedResiduals{1.87411,-0.0644816,-0.839202,-0.247677,1.40636,-0.965242,-0.0429063,-0.359268,0.91839,-1.87916,-0.171141,-0.180051,-0.603555,1.55562},StudentizedResiduals{2.13351,-0.0617472,-0.828143,-0.237742,1.47337,-0.962259,-0.0410828,-0.345837,0.911923,-2.14166,-0.164055,-0.172619,-0.586836,1.66693}} predvals=pr[[1,2]] {0.546028,0.514989,0.526074,0.534943,0.523857,0.519423,0.514989,0.479515,0.470647,0.492818,0.457344,0.488383,0.483949,0.444042} errvals=res[[1,2]] {0.0789719,-0.00298867,-0.0380742,-0.0109426,0.0641429,-0.0444229,-0.00198867,-0.0165151,0.0413533,-0.0878177,-0.00734412,-0.00838349,-0.0279493,0.0619585} eps=(Max[oppbavg]-Min[oppbavg])/Length[oppbavg]; ListPlot[Transpose[{oppbavg,errvals}],Prolog->{PointSize[0.025]},AxesOrigin->{Min[oppbavg]-eps,0},PlotRange->{{Min[oppbavg]-eps,Max[oppbavg]+eps},{Min[errvals]-eps,Max[errvals]+eps}}]

Graphics eps=(Max[predvals]-Min[predvals])/Length[predvals]; ListPlot[Transpose[{predvals,errvals}],Prolog->{PointSize[0.03]},AxesOrigin->{Min[predvals]-eps,0},PlotRange->{{Min[predvals]-

0.24 0.25 0.26 0.27 0.28

-0.075

-0.05

-0.025

0.025

0.05

0.075

٦٧

eps,Max[predvals]+eps},{Min[errvals]-eps,Max[errvals]+eps}}]

Graphics errSTvals=Regress[dpoints,{1,x},x,RegressionReport->StandardizedResiduals][[1,2]] {1.87411,-0.0644816,-0.839202,-0.247677,1.40636,-0.965242,-0.0429063,-0.359268,0.91839,-1.87916,-0.171141,-0.180051,-0.603555,1.55562} eps=(Max[predvals]-Min[predvals])/Length[predvals]; ListPlot[Transpose[{predvals,errSTvals}],Prolog->{PointSize[0.02]},AxesOrigin->{Min[predvals]-eps,0},PlotRange->{{Min[predvals]-eps,Max[predvals]+eps},{Min[errSTvals]-eps,Max[errSTvals]+eps}}]

Graphics


البواقى نحصل علیھا من االمرres=Regress[dpoints,{1,x},x,RegressionReport->FitResiduals]

والمخرج ھو {FitResiduals{0.0789719,-0.00298867,-0.0380742,-0.0109426,0.0641429,-0.0444229,-0.00198867,-

0.44 0.46 0.48 0.5 0.52 0.54

-0.075

-0.05

-0.025

0.025

0.05

0.075

0.44 0.46 0.48 0.5 0.52 0.54

-1.5

-1

-0.5

0.5

1

1.5

٦٨

0.0165151,0.0413533,-0.0878177,-0.00734412,-0.00838349,-0.0279493,0.0619585}}

القیم المقدرة نحصل علیھا من االمر pr=Regress[dpoints,{1,x},x,RegressionReport->PredictedResponse]

والمخرج ھو {PredictedResponse{0.546028,0.514989,0.526074,0.534943,0.523857,0.519423,0.514989,0.479515,0.470647,0.492818,0.457344,0488383,0.483949,0.444042}}

معادلة االنحدار المقدرة معطاه من االمر

lsq[x_]=Fit[dpoints,{1,x},x]

والمخرج ھو 1.07813 -2.2171 x

نحصل علیھا من االمر وبواقى ستودنت البواقى المعیاریة Regress[dpoints,{1,x},x,RegressionReport->{StandardizedResiduals,StudentizedResiduals}]

والمخرج ھو {StandardizedResiduals{1.87411,-0.0644816,-0.839202,-

0.247677,1.40636,-0.965242,-0.0429063,-0.359268,0.91839,-1.87916,-0.171141,-0.180051,-

0.603555,1.55562},StudentizedResiduals{2.13351,-0.0617472,-0.828143,-0.237742,1.47337,-0.962259,-0.0410828,-0.345837,0.911923,-2.14166,-0.164055,-

0.172619,-0.586836,1.66693}} من االمرنحصل علیھا مقابل رسم البواقي

eps=(Max[oppbavg]-Min[oppbavg])/Length[oppbavg];

ListPlot[Transpose[{oppbavg,errvals}],Prolog->{PointSize[0.025]},AxesOrigin->{Min[oppbavg]-

eps,0},PlotRange->{{Min[oppbavg]-eps,Max[oppbavg]+eps},{Min[errvals]-

eps,Max[errvals]+eps}}] معیاریة مقابل القیم المقدرة نحصل علیھا من االمر رسم البواقى ال

eps=(Max[predvals]-Min[predvals])/Length[predvals]; ListPlot[Transpose[{predvals,errvals}],Prolog->{PointSize[0.03]},AxesOrigin->{Min[predvals]-eps,0},PlotRange->{{Min[predvals]-eps,Max[predvals]+eps},{Min[errvals]-eps,Max[errvals]+eps}}]

رسم بواقى ستودنت مقابل القیم المقدرة نحصل علیھا من االمر

ieix

٦٩

eps=(Max[predvals]-Min[predvals])/Length[predvals]; ListPlot[Transpose[{predvals,errSTvals}],Prolog->{PointSize[0.02]},AxesOrigin->{Min[predvals],0}]

رسوم بواقى اخرى الختبار االعتدال ) ٢-٢١-٤( ؤث دال ال ی ؤثر رأن االنحراف عن االعت دال ی دم االعت إن ع ى النموذج ف را عل كثی

ي إحصاءات ي F ،tكثیرا ف روض و الت ارات الف ة واختب رات الثق ي فت الي عل وبالتل . تعتمد على فرض االعتدال ھ ذی أكثر من ذلك فإن األخطاء التي تأتي من توزیع ل

ات أو ا حساس للفئ ات الصغرى لھ ق المربع ون توفی ن الطبیعي یك سع او اضیق ما . الصغیرة من البیانات أن توزیعات األخطاء التي لھا ذیل أوسع من الطبیعي غالب

ذا ). outliersالخوارج (تنتج من قیم شاذة ي ھ دم القسم ف واقي سوف نق رسوم بة ما إذا كانت حدود الخطأ ت أخرى و ذلك الختبار ع توزیعات طبیعی دما یكونتب عن

).١-٤( ھو مطلوب في نموذج االنحدار

المدرج التكراري - أدال ق من فرض االعت واقي للتحق راري للب درج التك دما . یمكن استخدام الم عن

ى شكل التعرف البصري بسھولة عل ھ ال یسمح ب یكون عدد البواقي صغیر جدا فإني ع الطبیع كل . التوزی ن ش ح م ا (a))٢٧-٤(یتض ق بینم دال متحق رض االعت أن ف

.أن توزیع األخطاء ملتوي ناحیة الیمین (b)) ٢٧-٤(یوضح شكل

(a) (b)

)٢٧-٤(شكل

)١٨-٤(مثال

-2 -1 1 2

0.10.20.30.40.5

2 4 6 8 10

0.050.10.150.20.250.3

٧٠

اھز امج ج تخدام برن ابق بإس ى سوف یتم الوصول الى الرسم الس ع الطبیع ع التوزی ات تتب د بیان م تولی ث ت حی وذلك باستخدام االمر على اعتبار انها تمثل البواقى

data1=RandomArray[NormalDistribution[0,1],50]

مع تمثيل هذه البواقى بيانيا بإستخدام االمر p1=normalHistogram[data1,10,DisplayFunction->Identity];

اى ايضـا .فـى نهايـة االمـر ;مع عـدم تنفيـذه وذلـك بوضـع ع ك ع مرب ع توزی ات تتب د بیان تم تولی علـى ی وذلك باستخدام االمر اعتبار انها تمثل البواقى

data2=RandomArray[ChiSquareDistribution[2],50]

مع تمثيل هذه البواقى بيانيا بإستخدام االمر p2=normalHistogram[data2,10,DisplayFunction->Identity];

لتمثیل البواقى فى الحالتین السابقتین باستخدام المدرج . فى نھایة االمر مع عدم تنفیذه وذلك بوضع الرمز التكرارى یستخدم االمر

Show[GraphicsArray[{p1,p2}]]

:وفیما یلى المدخالت و المخرجات لھذا البرنامج <<Graphics`Graphics` <<Statistics`ContinuousDistributions` Clear[normalHistogram] normalHistogram[data_,bars_:10,opts___]:=Module[{p1,p2min,max,stepsize,counts,heights,midpts,tograph}, min=Min[data]; max=Max[data]; mean=Mean[data]; sd=StandardDeviation[data]; stepsize=(max-min)/(bars-1); counts=BinCounts[data,{min-stepsize/2,max+stepsize/2,stepsize}]; heights=counts/(stepsize Length[data])//N; midpts=Table[i,{i,min,max,stepsize}]; tograph=Table[{N[midpts[[i]],3],heights[[i]],stepsize},{i,1,bars}]; p1=GeneralizedBarChart[tograph,PlotRange->All,DisplayFunction->Identity]; p2=Plot[PDF[NormalDistribution[mean,sd],x],{x,min,max},PlotStyle->{{GrayLevel[0.4],Thickness[0.01]}},DisplayFunction->Identity]; Show[p1,p2,opts,DisplayFunction->$DisplayFunction] ]

٧١

data1=RandomArray[NormalDistribution[0,1],50] {0.584876,0.164822,0.449716,1.28953,0.520173,-1.69339,-0.225564,0.462183,-0.446375,0.226037,0.570508,0.735886,2.59758,0.231171,1.0225,-1.31356,2.60839,1.31471,0.893,2.17977,0.184372,-0.661991,-0.066023,0.140468,-0.000891814,-0.291963,0.728657,0.713564,0.724345,-0.224926,0.256552,-0.771846,-0.525295,-0.0889038,-1.28344,-1.91511,-0.599998,-0.0474356,0.197584,-0.598371,-0.582649,0.238121,-0.566242,-0.484493,-1.61822,-2.08677,-0.191946,0.697967,1.81547,-1.39897} p1=normalHistogram[data1,10,DisplayFunction->Identity]; data2=RandomArray[ChiSquareDistribution[2],50] {3.48566,3.55124,2.26459,0.116474,1.56762,1.99768,1.57667,1.75057,1.90107,0.678585,0.955201,0.20144,1.13616,0.185295,0.44635,1.52742,0.423731,2.41548,0.524364,0.394676,6.45974,10.1795,0.721821,0.155046,0.291119,0.356386,1.963,0.0363703,1.79359,1.51655,0.166446,1.14102,7.69427,0.558897,2.40877,0.827852,1.5761,0.33758,1.38669,3.26832,0.874976,1.21096,0.627969,1.96591,1.00144,1.23365,6.79307,1.60237,0.598011,0.705157} p2=normalHistogram[data2,10,DisplayFunction->Identity]; Show[GraphicsArray[{p1,p2}]]

GraphicsArray

رسم االحتمال الطبیعى -ب

ر یم ف ي تقی ي ف الي الطبیع ورق االحتم تخدم ال ا یس ات عموم ة البیان ض تبعیي ع الطبیع ع للتوزی یم المتوق ع الق ا م وب اختبارھ اھدات المطل ع المش ث توق حی

ع طبیعي دما یكون التوزی ى . الحصول علیھا عن یم الناتجة عل إذا وقعت أزواج الق في ع الطبیع ع التوزی ات تتب ى أن البیان دل عل ذا ی إن ھ ا ف تقیم تقریب ط مس ا إذا . خ أم

ال یصبح مشكوكا انحرفت النقاط عن خط مستقیم بصورة واضحة فإن فرض االعتدحتھ ي ص بعض . ف دنا ب د تم ات ق ذه االنحراف ا ھ دث بھ ي تح ة الت ا أن الطریق كم

ذه األسباب .المعلومات عن أسباب عدم التبعیة للتوزیع الطبیعي ة ھ وبمجرد معرف .فإنھ من الممكن اتخاذ بعض اإلجراءات التصحیحیة

یكن ددھا ل ي ع واقي الت ل الب رض أن nتمث و بفل اعدیاتمث ا تص د ترتیبھ واقي بع أي أن . الب

-2 -1 1 2

0.10.20.30.40.5

2 4 6 8 10

0.050.10.150.20.250.3

n21 e,...,e,e

)n()2()1( e,...,ee )1(e

٧٢

یستخدم المقدار سوف.أكبر قیمة أصغر قیمة في البواقي و

ى یسار )في العینة(كتقریب لنسبة البواقي بفرض أن . التي تقع عند أو عل

:معرف من التوزیع الطبیعي القیاسى من العالقة التالیة المقدار

إن ا ف ل من أو یساوي وھن ة أق ى القیم ال الحصول عل ك ھو احتم وذلتخدام ع باس ي التوزی ي القیاس یم . الطبیع م أزواج الق ت وبرس وإذا كان

یم ین أزواج الق ة ب ا العالق ة تقریب دال .خطی ق فرض االعت ى تحق دل عل ذا ی إن ھ فاء ویمكن إجر .وھناك ورق احتمال طبیعي مصمم لذلك الغرض . لحدود األخطاء

الحسابات الالزمة للحصول على شكل رسم االحتمال الطبیعي باستخدام الحاسبات .كما یتضح من المثال التالىاآللیة

)١٩-٤(مثال

وذلك ) ٥-٤(للبواقي الخاصھ بالمثال القیم المرتبة التالىجدول الیعطي امج ي بإستخدام برن ي الحاسب اآلل ذ عل امج منف ع Mathematicaبإستخدام برن م

ع الطبیعي القیاسي القیم ثال من وقیم التوزی ال فم ذا االحتم جدول اللھ :نجد أن التالى

)n(en

)21i(

p )i(

ni

)i(e

)i(p

).i(pdz2

2z)i(

e21))i(Z(P))i((

)i(p)i(

),e( )i()i(

)i(e

)i(p)i(

.958333.0dz2z

e73166.1

21)73166.1Z(P

2

)i()i(p)i(eie

٧٣

مع قیم التوزیع الطبیعي القیاسي توقیع البواقى المرتبة ) ٢٨-٤(یوضح شكل ) ٢٨-٤(نالحظ من شكل . لنحصل في النھایة على رسم االحتمال الطبیعي

تقع تقریبا علي خط مستقیم وبالتالي فإننا نقبل أن ازواج القیم .فرضیھ تبعیھ حدود الخطأ للتوزیع الطبیعي

)٢٨-٤(شكل


)i(e

)i(

),e( )i()i(

5.15808 -8.66963 0.0416667 -1.73166-8.66963 -8.25577 0.125 -1.15035-3.01421 -5.42806 0.208333 -0.812218-8.25577 -3.01421 0.291667 -0.5485221.91652 -1.66963 0.375 -0.318639-1.66963 0.571936 0.458333 -0.1046330.571936 1.74423 0.541667 0.1046337.50266 1.91652 0.625 0.3186391.74423 2.74423 0.708333 0.548522-5.42806 5.15808 0.791667 0.8122187.39964 7.39964 0.875 1.150352.74423 7.50266 0.958333 1.73166

٧٤

x1={4,6.,2,5,7,6,3,8,5,3,1,5} {4,6.,2,5,7,6,3,8,5,3,1,5} y1={197.,272,100,228,327,279,148,377,238,142,66,239} {197.,272,100,228,327,279,148,377,238,142,66,239} p=1 1 l[x_]:=Length[x] h[x_]:=Apply[Plus,x] k[x_]:=h[x]/l[x] c[x_,y_]:=h[x*y]-((h[x]*h[y]))/l[x] n =l[x1] 12 sxx=c[x1,x1] 46.9167 xb=h[x1]/l[x1] 4.58333 yb=h[y1]/l[y1] 217.75 b1=c[x1,y1]/c[x1,x1] 44.4139 b0=yb-b1*xb 14.1865 yy=b0+(b1*x1) {191.842,280.67,103.014,236.256,325.083,280.67,147.428,369.497,236.256,147.428,58.6004,236.256} e=y1-yy {5.15808,-8.66963,-3.01421,-8.25577,1.91652,-1.66963,0.571936,7.50266,1.74423,-5.42806,7.39964,2.74423} ssgg=Sort[e] {-8.66963,-8.25577,-5.42806,-3.01421,-1.66963,0.571936,1.74423,1.91652,2.74423,5.15808,7.39964,7.50266} era=Table[(i-.5)/n,{i,1,n}] {0.0416667,0.125,0.208333,0.291667,0.375,0.458333,0.541667,0.625,0.708333,0.791667,0.875,0.958333} <<Statistics`ContinuousDistributions` qq[x_]:=Quantile[NormalDistribution[0,1],x] ffg=Map[qq,era] {-1.73166,-1.15035,-0.812218,-0.548522,-0.318639,-0.104633,0.104633,0.318639,0.548522,0.812218,1.15035,1.73166} wwwel=Transpose[{e,ssgg,era,ffg}] {{5.15808,-8.66963,0.0416667,-1.73166},{-8.66963,-8.25577,0.125,-1.15035},{-3.01421,-5.42806,0.208333,-0.812218},{-8.25577,-3.01421,0.291667,-0.548522},{1.91652,-1.66963,0.375,-0.318639},{-1.66963,0.571936,0.458333,-

٧٥

0.104633},{0.571936,1.74423,0.541667,0.104633},{7.50266,1.91652,0.625,0.318639},{1.74423,2.74423,0.708333,0.548522},{-5.42806,5.15808,0.791667,0.812218},{7.39964,7.39964,0.875,1.15035},{2.74423,7.50266,0.958333,1.73166}} TableForm[wwwel]

ssal=Transpose[{ssgg,ffg}] {{-8.66963,-1.73166},{-8.25577,-1.15035},{-5.42806,-0.812218},{-3.01421,-0.548522},{-1.66963,-0.318639},{0.571936,-0.104633},{1.74423,0.104633},{1.91652,0.318639},{2.74423,0.548522},{5.15808,0.812218},{7.39964,1.15035},{7.50266,1.73166}} ggo=ListPlot[ssal,Prolog{PointSize[.02]},PlotRange{{-9,8},{-2,9}}]

Graphics


5.15808 8.66963 0.0416667 1.731668.66963 8.25577 0.125 1.150353.01421 5.42806 0.208333 0.8122188.25577 3.01421 0.291667 0.5485221.91652 1.66963 0.375 0.3186391.66963 0.571936 0.458333 0.1046330.571936 1.74423 0.541667 0.1046337.50266 1.91652 0.625 0.3186391.74423 2.74423 0.708333 0.5485225.42806 5.15808 0.791667 0.8122187.39964 7.39964 0.875 1.150352.74423 7.50266 0.958333 1.73166

-7.5 -5 -2.5 2.5 5 7.5

-2

2

4

6

8

٧٦

نحصل علیھا من االمر البواقى المرتبة ssgg=Sort[e]

والمخرج ھو {-8.66963,-8.25577,-5.42806,-3.01421,-1.66963,0.571936,1.74423,1.91652,2.74423,5.15808,7.39964,7.50266}

:االحتماالت التجریبیة التجمیعیة

:نحصل علیھا من االمر التالى era=Table[(i-.5)/n,{i,1,n}]

:والمخرج ھو {0.0416667,0.125,0.208333,0.291667,0.375,0.458333,0.541667,0.625,0.708333,0.791667,0.875,0.958333}

ر التوزیع الطبیعي القیاسي یتم حسابھا باستخدام قیم من االم :التالى

ffg=Map[qq,era]

:والمخرج ھو {-1.73166,-1.15035,-0.812218,-0.548522,-0.318639,-0.104633,0.104633,0.318639,0.548522,0.812218,1.15035,1.73166}

ع للبواقي مع القیم القیم المرتبة الذى یحتوى على جدول ال وقیم التوزی :معطاه من االمر التالى الطبیعي القیاسي

TableForm[wwwe1]

ة ع الطبیعي القیاسي توقیع البواقى المرتب یم التوزی ع ق ى وحصلل م ل عل -:یعطى من االمر التالى )٢٨-٤(شكل الموضح فى رسم االحتمال الطبیعي

ggo=ListPlot[ssal,Prolog{PointSize[.02]},PlotRange{{-9,8},{-2,9}}]

فإننا نحصل a)٢٩-٤(عندما یكون توزیع حدود الخطأ طبیعي كما في شكل حیث تلتف b)٣٠-٤(كما ھو موضح في شكل رسم احتمال طبیعي مثالي على

(n)(2))1( e, ... , e, e

)i(p

.n/)21-(n , ... , n/)

21-(2 , n/)

211(

(n)(2))1( , ... , ,

)i(e)i(p

)i(

)i(e)i(

٧٧

-٤(عندما یكون التوزیع ملتوي ناحیة الیمین كما في شكل . النقاط حول خط مستقیم٢٩(c ن مقعرا من اسفل فإن رسم االحتمال الطبیعي سوف یكوdownward كما

أما إذا كان التوزیع ملتوي ناحیة الیسار فان رسم االحتمال . c)٣٠-٤(في شكل وإذا كان التوزیع لھ احتمال اعلي في . upwardالطبیعي یكون مقعرا من اعلي

او التوزیع b )٢٩-٤(كما في شكل الذیلین من التوزیع الطبیعي مثل التوزیع المنتظم ح فإن الرسم علي الورق االحتمالي الطبیعي یكون مقعرا من أسفل ناحیة المفلط

الركن األیسر السفلي ومقعرا من اعلي ناحیة الركن األیمن العلوي كما في والتي یمكن d)٢٩-٤(معطاه كما في شكل الحالة العكسیة . a)٣٠-٤(شكل

مالحظتھا في التوزیعات التي لھا احتمال أقل في الذیلین من التوزیع الطبیعي او d)٣٠-٤(والموضحھ في شكل المدببھ

)b( )(a

)d) (c(

)٢٩-٤(شكل

4

)a) (b (

٧٨

)d) (c(

)٣٠-٤(شكل

)٢٠-٤(مثال

: نستخدم البرنامج التالى) ٣٠-٤(وشكل )٢٩-٤(للحصول على شكل

<<Statistics`ContinuousDistributions` plot1=Plot[PDF[NormalDistribution[0,1],x],{x,-2,2},DisplayFunction->Identity]; plot2=Plot[PDF[UniformDistribution[0,1],x],{x,0,1},DisplayFunction->Identity]; plot3=Plot[PDF[ChiSquareDistribution[4],x],{x,0,15},DisplayFunction->Identity]; plot4=Plot[PDF[StudentTDistribution[1],x],{x,-10,10},DisplayFunction->Identity]; Show[GraphicsArray[{{plot1,plot2},{plot3,plot4}}]]

GraphicsArray normal=RandomArray[NormalDistribution[0,1],50]

2 4 6 8 101214

0.0250.050.0750.1

0.1250.150.175

-10 -5 5 10

0.050.10.150.20.250.3

-2 -1 1 2

0.1

0.2

0.3

0.4

0.2 0.4 0.6 0.8 1

0.5

1

1.5

2

٧٩

{-0.119447,0.566809,0.280831,0.22715,0.658255,1.56798,0.180001,0.187362,0.596641,0.430159,-0.0966329,-0.284134,0.358295,-1.26955,-0.27671,-0.0248395,-0.910254,-0.264412,-0.305139,1.64856,0.703,1.65633,-0.615424,1.11452,1.18427,-0.826099,0.203374,1.14628,-0.435058,-2.02507,0.921211,0.616495,-1.06946,-0.965814,-0.822306,0.629285,0.162396,-0.328231,0.716756,-0.658059,-0.273968,1.53388,-1.11519,-0.839082,1.80152,1.17551,-0.0521744,0.368834,0.286288,0.709404} n1=normalProbability[normal,DisplayFunction->Identity]; Pearson'sCorrelationCoefficient0.99369 uniform=RandomArray[UniformDistribution[0,1],50]; Short[uniform] {0.425167,48,0.924985} n2=normalProbability[uniform,DisplayFunction->Identity]; Pearson'sCorrelationCoefficient0.97522 chi=RandomArray[ChiSquareDistribution[4],50]; Short[chi] {3.46277,48,7.38896} n3=normalProbability[chi,DisplayFunction->Identity]; Pearson'sCorrelationCoefficient0.944491 student=RandomArray[StudentTDistribution[1],50]; Short[student] {0.742873,48,0.0998677} n4=normalProbability[student,DisplayFunction->Identity]; Pearson'sCorrelationCoefficient0.691211 Show[GraphicsArray[{{n1,n2},{n3,n4}}]]

GraphicsArray

: لھذا البرنامج یتبع االتى ) ٢٩-٤(للحصول على شكل

2 4 6 8 10 12

-2

-1

1

2

3Normal Probability Plot

-30 -20 -10

-3-2-1

12

Normal Probability Plot

-2 -1 1

-2

-1

1


0.2 0.4 0.6 0.8

-2

-1

1


٨٠

االمرplot1=Plot[PDF[NormalDistribution[0,1],x],{x,-2,2},DisplayFunction->Identity];

رسم التوزیع طبیعى واالمر یؤدى إلى الحصول على

plot2=Plot[PDF[UniformDistribution[0,1],x],{x,0,1},DisplayFunction->Identity];

واالمر .توزیع منتظم رسم یؤدى إلى الحصول على

plot3=Plot[PDF[ChiSquareDistribution[4],x],{x,0,15},DisplayFunction->Identity];

واالمر. توزیع مربع كاى بدرجة حریة اربعة یؤدى إلى الحصول على رسم

plot4=Plot[PDF[StudentTDistribution[1],x],{x,-10,10},DisplayFunction->Identity];

.توزیع ت بدرجة حریة واحدة یؤدى إلى الحصول رسم

:االوامر السابقة ال تنفذ اال بعد االمر التالى Show[GraphicsArray[{{plot1,plot2},{plot3,plot4}}]]

) .٢٩-٤(حیث تؤدى الى شكل

يقوم االمر ) ٣٠-٤(للحصول على شكل normal=RandomArray[NormalDistribution[0,1],50]

واالمر .بتوليد بيانات تتبع التوزيع الطبيعى uniform=RandomArray[UniformDistribution[0,1],50];

بتوليد بيانات تتبع التوزيع املنتظم واالمر chi=RandomArray[ChiSquareDistribution[4],50];

تتبع توزيع مربع كاى واالمر بتوليد بيانات student=RandomArray[StudentTDistribution[1],50];

كل االوامــر التاليــة تــؤدى اىل احلصــول علــى . بتوليــد بيانــات تتبــع توزيــع مربــع ت بــدون تنفيــذ )٢٩-٤(ش ):كما تؤدى اىل احلصول على معامل سبريمان والذى سوف نتناوله فيما بعد(

n1=normalProbability[normal,DisplayFunction->Identity]; Pearson'sCorrelationCoefficient0.99369 n2=normalProbability[uniform,DisplayFunction->Identity]; Pearson'sCorrelationCoefficient0.97522 n3=normalProbability[chi,DisplayFunction->Identity]; Pearson'sCorrelationCoefficient0.944491 n4=normalProbability[student,DisplayFunction->Identity];

٨١

Pearson'sCorrelationCoefficient0.691211

:نستخدم االمر التالى )٣٠-٤(للحصول على شكل Show[GraphicsArray[{{n1,n2},{n3,n4}}]]

نقص االعتدالىاختبار ) ٣-١٢-٤(

ة واقي المعیاری ب الب تم ترتی ار ی ذا االختب ي ھ ر ف ى االكب غر ال ن االص ماعدیا( ا تص ث ) ترتیب یم حی اب الق تم حس م ی ث

ع الطبیعي القیاسي ي والمستخرجھ من جدول التوزی فحیث ھا تساوى لوالتى المساحھ قب) ١(ملحق

ي بأستخدام امج ویمكن استخدام الحاسب اآلل Mathematica برن :الزواج القیم . في حساب قیم

:بفرض أن فرض العدم. )معامل بیرسون( یتم حساب معامل االرتباط البسیط

طبیعي) ١-٤(توزیع حدود الخطأ في توزیع االنحدار الخطى البسیط

:ضد الفرض البدیل

یط دار الخطى البس وذج االنح ي نم أ ف دود الخط ع ح ر ) ١-٤(توزی غی طبیعي

دما یكون إن عن حیح ف ر عشوائي ص ة لمتغی ا قیم ع احتم ھ توزی . لىلي ملحق من القیم الحرجھ ي الجدول ف دخل ) ١٠(معطاه ف اب م ى كت ف

ك نعم وذل د الم د عب روت محم دكتورة ث االت لل اء واالحتم دیث لالحص د ح عنة ة مختلف تویات معنوی رفض . مس ة ال ت منطق ة إذا وقع ي منطق ف

. الرفض نرفض

)٢١-٤(مثال

ال البواقى المعیاریة المرتبھ التالىعطى جدول ی ع ) ٥-٤(الخاصھ بالمث م . z(i)في حساب قیم Mathematicaحیث استخدم برنامج قیم

)i(d

)n()2()1( d...dd

)n()2()1( z...zz

)25.0n/()75.0i(p )i(

n,...,2,1i

)i(z

)z,d(),...,z,d(,z,d )n()n()2()2()1()1(

r

0H:

1H:

0HrrRCrR

CR rr

0H

)i(d

)i()i( p,z

)i(Z)i(p)i(d

٨٢

-1.63504 -1.11394 -0.791639 -0.536176 -0.311919 -0.102491 0.102491 0.311919 0.536176 0.791639 1.11394 1.63504

0.0510204 0.132653 0.214286 0.295918 0.377551 0.459184 0.540816 0.622449 0.704082 0.785714 0.867347 0.94898

-1.4937 -1.42239

-0.935205 -0.51932

-0.287661 0.0985392 0.300514 0.330198 0.472805 0.888689 1.27489 1.29264

:اختبار فرض العدم والمطلوب

توزیع حدود الخطأ طبیعیھ :ضد الفرض البدیل

توزیع حدود الخطأ غیر طبیعیھ

: التالیھ صیغة من البیانات فى الجدول السابق نحصل على

ھ توى معنوی إن لمس ن ف تخرجھ م والمسالموجود فى كتاب مدخل حدیث لالحصاء ( )١٠(جدول في ملحق ال

نعم د الم د عب روت محم دكتورة ث االت لل د )واالحتم ك عن وذلرفض . عند لعدم وجود قیمة لـ . منطقة ال

ا أن ول وبم ة القب ي منطق ع ف ل نتق ع . قب أ تتب دود الخط أى أن ح .التوزیع الطبیعي

0H:

1H:

r

nz

zn

dd

nzd

zdr

2)i(2

)i(

2)i(2

)i(

)i()i()i()i(

.981243.0)87237.9)(10(

74961.9r

05.918.0C 05.0

10n 05.C12n 918.0R r

r0H

٨٣

وفیما Mathematicaسوف یتم حل ھذا المثال بإستخدام برنامج مكتوب بلغة .یلى خطوات البرنامج والمخرجات

x1={4,6.,2,5,7,6,3,8,5,3,1,5} {4,6.,2,5,7,6,3,8,5,3,1,5} y1={197.,272,100,228,327,279,148,377,238,142,66,239} {197.,272,100,228,327,279,148,377,238,142,66,239} p=1 1 l[x_]:=Length[x] h[x_]:=Apply[Plus,x] k[x_]:=h[x]/l[x] c[x_,y_]:=h[x*y]-((h[x]*h[y]))/l[x] n =l[x1] 12 sxx=c[x1,x1] 46.9167 xb=h[x1]/l[x1] 4.58333 yb=h[y1]/l[y1] 217.75 b1=c[x1,y1]/c[x1,x1] 44.4139 b0=yb-b1*xb 14.1865 yy=b0+(b1*x1) {191.842,280.67,103.014,236.256,325.083,280.67,147.428,369.497,236.256,147.428,58.6004,236.256} e=y1-yy {5.15808,-8.66963,-3.01421,-8.25577,1.91652,-1.66963,0.571936,7.50266,1.74423,-5.42806,7.39964,2.74423} n=l[x1] 12 ssto=c[y1,y1] 92884.3 ssr=c[x1,y1]^2/c[x1,x1] 92547.4 sse=ssto-ssr 336.881 mse=sse/(n-2) 33.6881

{0.888689,-1.4937,-0.51932,-1.42239,0.330198,-0.287661,0.0985392,1.29264,0.300514,-0.935205,1.27489,0.472805} dii=Sort[di]

di e mse

٨٤

{-1.4937,-1.42239,-0.935205,-0.51932,-0.287661,0.0985392,0.300514,0.330198,0.472805,0.888689,1.27489,1.29264} nndd=Table[(i-.75)/(n+.25),{i,1,n}] {0.0204082,0.102041,0.183673,0.265306,0.346939,0.428571,0.510204,0.591837,0.673469,0.755102,0.836735,0.918367} <<Statistics`ContinuousDistributions` qq[x_]:=Quantile[NormalDistribution[0,1],x] ffg=Map[qq,nndd] {-2.04539,-1.27001,-0.901454,-0.627072,-0.393598,-0.180012,0.0255806,0.232272,0.449514,0.690633,0.981126,1.39417} ffgi=Sort[ffg] {-2.04539,-1.27001,-0.901454,-0.627072,-0.393598,-0.180012,0.0255806,0.232272,0.449514,0.690633,0.981126,1.39417} sss1=c[dii,dii] 10. sss2=c[dii,ffgi] 10.0895 sss3=c[ffgi,ffgi] 10.6044

0.979775

:لھذا البرنامج فإن

معامل ارتباط بیرسون یتم الحصول علیھ من االمر

) . ٢٠-٤(وللعلم یمكن الحصول على معامل سبیرمان من البرنامج الخاص بمثال

اختبار خطیة االنحدار) ١٣-٤( Test for Linearity of Regression

. اآلن سوف نقدم اختبار إحصائي لنقص التوفیق لنموذج االنحدار الخطي البسیط اك شك ط ھن تفترض الطریقة تحقق كل من االعتدال واالستقالل وثبات التباین وفق

. في وجود عالقة خط مستقیم بین

sss2sss1sss3

bxynxynk2

Y,x

٨٥

تجابة ى االس ررة عل اھدات متك ود مش ى وج ق إل ص التوفی ار نق اج اختب یحتمن بفرض إننا أخذنا عینة عشوائیة من . وذلك على األقل لمستوى واحد من

ة من المشاھدات وذلك باستخدام یم المختلف یكن ، من الق لوي ة تحت ث أن العین وائي بحی ر العش ن المتغی اھدة م ة مش ل ل قیم المقاب

وائي ر العش ن المتغی اھدة م ة مش ل ل قیم ة nmو ـالمقاب قیمنمش وائي اھدة م ر العش ل ل المتغی روري أن . ـالمقاب ن الض م

عند من المتغیر العشوائي لیمثل القیمة رقم سوف نعرف .

ث . و و حی

وسوف نعرف تقابل ن القیاسات على فإ وعلى ذلك عندما الرموز ك ھذه المشاھدات ب ى ذل .وعل

:إلى جزئین كالتالي البواقيیعتمد االختبار على تجزئة مجموع مربعات

ى الخطأ الخالص حیث ذي یرجع إل ات ال ) الصافي ( ھو مجموع المربع

pure error و أما . داخل قیمھ معطاة من أي االختالف بین قیم فھق إي أن یعكس االختالف العشوائي أو خطا مجموع مربعات نقص التوفی

.التجربة :حیث مجموع مربعات الخطأ الخالص ھو

د ات المصحح للمشاھدات المتكرره عن والذى نحصل علیھ بحساب مجموع المربعالعدد الكلى من درجات . xمن mثم الجمع علي كل المستویات xكل مستوى من

:ص ھوالحریة المرتبطة بمجموع مربعات الخطأ الخال

ا ق ام ص التوفی ات نق وع مربع تم الحصول عفمجم ادة ی ھع ن بطرح لی مد . ـمن درجات الحریة یرتبط ب یوجد . اإلحصاء الذي یعتم

:علیھ االختبار ھو

yxn

mxm21 x,...,x,x1n1Y

12 x و n2Y2xmYmx

k

1iinnijyjiY

ixk,...,2,1i و n,...,2,1j i

in

1jiji yyn/yy ii

3n4 4Y4xx

434241 y,y,y4342414 yyyy

, SSLFSSPESSE

SSPEyxSSLF

SSPE

j

2ij2

ijin

1j

m

1i

2iij

in

1j

m

1i ny

y(yySSPE

.mn)1n( im

1i

SSPESSE2m SSLF

٨٦

ى ررة عل ات متك دار بقیاس كلة االنح ي مش رض ف ار الف ة الختب ابات المطلوب الحس

:الجدول التالىاالستجابة یمكن تلخیصھا كما ھو موضح في

االنحدار الخطأ

نقص التوفیق

الخالصالخطأ

الكلي

ع Fفإن اإلحصاء صحیح عندما یكون فرض العدم یتبع توزیF ة درجات حری ة . m-2و n-mب ت قیم ة Fإذا كان ن قیم ل م وبة اق Fالمحس

ر ذ نختب ق وعندئ ي عدم نقص التوفی رة ف ة كبی اك ثق ى أن ھن دل عل ذا ی الجدولیة فھ :باستخدام اإلحصاء الفرضیة

. المحسوبة اكبر من الجدولیة فإننا نرفض فرض العدم Fوإذا كانت

كل ي ش ى ف ار المعط كل االنتش دم أن ) ٣١-٤(لش رض الع ول ف د قب وعندم رض الع ض ف دار ورف ة االنح إن معادل ف

:المقدرة سوف تكون

.

.

MSPEMSLF

mn/SSPE2m/SSLFF

FMsSSdfV.O.S

MSESSR

MSPEMSLF

SSR)2n/(SSEMSE

2mSSPESSEMSLF

mnSSPEMSPE

SSR

SSE

SSPESSE

SSPE

12n

2m

mn

1n

i10ix|Y x

0:H 10

0:H 10

i10ix|Y x0:H 10

xbby 10

. MSEMSRF

٨٧

)٣١-٤(شكل

دم أن النموذج ھو ) ٣٢-٤(شكل لشكل االنتشار المعطى في ول فرض الع د قب وعندم رض الع ول ف دار وقب ة االنح إن معادل ف

:المقدرة سوف تكون

)٣٢-٤(شكل

وعند رفض فرض العدم أن النموذج ھو ) ٣٣-٤(لشكل االنتشار المعطى في شكل

فإننا نحاول مع النموذج ورفض فرض العدم

د . أما إذا كان شكل االنتشار غیر ذلك فال بیم ى ق ویالت عل ل تح ن عم یم م ا أو ق تخدم (أو كالھم ر یس ى األكث وعل

.بعد ذلكھذا وھناك عدة طرق لتحویل البیانات سوف نتناولھا ) . التحویل لقیم

i10ix|Y x0:H 10

. yy

i10ix|Y x0:H 10

i2

ix2ix10iY xy

y

٨٨

)٣٣-٤(شكل

وعند رفض فرض العدم أن النموذج ھو ) ٣٤-٤(لشكل االنتشار والمعطى في شكل

دم رض الع ول ف وذج قب ع النم اول م نح

أما إذا كان االنتشار غیر ذلك فإننا نلجأ إلى .التحویالت

)٣٤-٤(شكل

)٢٢-٤(مثال

ي دم الالزواج القیاسات ف رض الع ر ف الى اختب دول الت رض : H0ج د الف ي ض وذج خط النم النموذج غیر خطي عند مستوى معنویة : H0البدیل

i10ix|Y x0:H 10

i2

ix2ix10iY

0.05

المشاھدات المشاھدات المشاھدات

yxyxyx

1 1.3 2.3 9 3.7 1.7 17 5.3 3.5 2 1.3 1.8 10 4.0 2.8 18 5.3 2.8 3 2.0 2.8 11 4.0 2.8 19 5.3 2.1 4 2.0 1.5 12 4.0 2.2 20 5.7 3.4 5 2.7 2.2 13 4.7 5.4 21 6.0 3.2 6 3.3 3.8 14 4.7 3.2 22 6.0 3.0 7 3.3 1.8 15 4.7 1.9 23 6.3 3.0

٨٩

: الحــل :النموذج الخطى : :النموذج غیر خطى :

. :سوف نوجد مجموع المربعات الخالص ثم مجموع مربعات قصور التوفیق كالتالي

:ھو مجموع مربعات الخطأ الخالص عند

. بدرجة حریة واحدة :ھو مجموع مربعات الخطأ الخالص عند

دة ة واح ة حری أ . بدرج ات الخط وع مربع اب مجم تم حس ة ی نفس الطریق ب . التالىجدول الكما في xالخالص للقیم الباقیة من

xمستوى درجات حریة

1 1 1 1 2 2 2 1

0.125 0.845 2.000 2.000 0.240 6.260 0.980 0.020

1.3 2.0 3.3 3.7 4.0 4.7 5.3 6.0

المجموع 12.470 11

:التالى جدول الجدول تحلیل التباین معطى في F MS SS df S.O.V

= 6.569 عند مستوى

=0.05معنویة

6.326

0.963=s2

6.326

21.192

1 22

االنحدار

الخطأ

0H

1H0.05

x 1.3

2 2 2(2.3) (1.8) (2.3) (1.8) / 2 0.125.

1n 2.1 1 x 2.0

2 2 2(2.8) (1.5) (2.8) (1.5) / 2 0.845.

2n 2 1 1

2iu i(y y )

963.0326.6f

٩٠

=0.699

0.793=MSL 1.134=

8.722 12.470

11 11

قصور التوفیق الخالصالخطأ

ن ا ان السابق جدول الم د وبم ن الواح ل م ا أق ة ألنھ ر معنوی ى ان غی ذا یعن فھا ان ى وبم وزج خط ة النم ن الجدولی ر م دم ) 4.5(اكب رض الع رفض ف ا ن فإنن


x={1.3,1.3,2,2,2.7,3.3,3.3,3.7,3.7,4,4,4,4.7,4.7,4.7,5,5.3,5.3,5.3,5.7,6,6,6.3,6.7}; y={2.3,1.8,2.8,1.5,2.2,3.8,1.8,3.7,1.7,2.8,2.8,2.2,5.4,3.2,1.9,1.8,3.5,2.8,2.1,3.4,3.2,3.0,3.0,5.9}; yy={{2.3,1.8},{2.8,1.5},{2.2},{3.8,1.8},{3.7,1.7},{2.8,2.8,2.2},{5.4,3.2,1.9},{1.8},{3.5,2.8,2.1},{3.4},{3.2,3.0},{3.0},{5.9}}; a[x_]:=Length[x] z[x_]:=Apply[Plus,x]

h=Map[c,yy] {0.125,0.845,0.,2.,2.,0.24,6.26,0.,0.98,0.,0.02,0.,0.} ssp=z[h] 12.47 q=Map[a,yy] {2,2,1,2,2,3,3,1,3,1,2,1,1} qq=q-1 {1,1,0,1,1,2,2,0,2,0,1,0,0} ne=z[qq] 11

1.13364 tx=Table[{1,x[[i]]},{i,1,a[x]}] {{1,1.3},{1,1.3},{1,2},{1,2},{1,2.7},{1,3.3},{1,3.3},{1,3.7},{1,3.7},{1,4},{1,4},{1,4},{1,4.7},{1,4.7},{1,4.7},{1,5},{1,5.3},{1,5.3},{1,5.3},{1,5.7},{1,6},{1,6},{1,6.3},{1,6.7}} a[tx] 24 u=Transpose[tx]

134.1793.0f 2

es

f 0.699 f 6.569

0:H 10

cx_: zx^2 zx2ax

s2esspne

٩١

{{1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1},{1.3,1.3,2,2,2.7,3.3,3.3,3.7,3.7,4,4,4,4.7,4.7,4.7,5,5.3,5.3,5.3,5.7,6,6,6.3,6.7}} t1=u.y {68.6,307.41} t2=Inverse[u.tx] {{0.361353,-0.075965},{-0.075965,0.0180511}} b=t1.t2 {1.4364,0.337886} b0=b[[1]] 1.4364 b1=b[[2]] 0.337886 yb=b0+b1*x {1.87565,1.87565,2.11217,2.11217,2.34869,2.55142,2.55142,2.68657,2.68657,2.78794,2.78794,2.78794,3.02446,3.02446,3.02446,3.12583,3.22719,3.22719,3.22719,3.36235,3.46371,3.46371,3.56508,3.70023} e=y-yb {0.424352,-0.0756476,0.687832,-0.612168,-0.148688,1.24858,-0.75142,1.01343,-0.986575,0.0120596,0.0120596,-0.58794,2.37554,0.175539,-1.12446,-1.32583,0.272808,-0.427192,-1.12719,0.0376531,-0.263713,-0.463713,-0.565079,2.19977} sse=e.e 21.1937 ssto=c[y] 27.5183 ssl=sse-ssp 8.72367 ssr=ssto-sse 6.32467 dsr=1 1 n=a[x] 24 dse=n-2 22 dst=n-1 23 nl=dse-ne 11

6.32467

0.963348

msrssrdsr

msessedse

٩٢

6.56529

0.793061

0.699572 ww=Transpose[{x,y}] {{1.3,2.3},{1.3,1.8},{2,2.8},{2,1.5},{2.7,2.2},{3.3,3.8},{3.3,1.8},{3.7,3.7},{3.7,1.7},{4,2.8},{4,2.8},{4,2.2},{4.7,5.4},{4.7,3.2},{4.7,1.9},{5,1.8},{5.3,3.5},{5.3,2.8},{5.3,2.1},{5.7,3.4},{6,3.2},{6,3.},{6.3,3.},{6.7,5.9}} ww1=PlotRange{{0,8},{0,7}} PlotRange{{0,8},{0,7}} ww2=Prolog{PointSize[0.03]} Prolog{PointSize[0.03]} ww3=ListPlot[ww,ww1,ww2]

Graphics ww5=Plot[b0+b1*x,{x,0,8}]

Graphics Show[ww3,ww5]

fmsrmse

mslsslnl

ffmsls2e

1 2 3 4 5 6 7 8

1

2

3

4

5

6

7

2 4 6 8

1.5

2.5

3

3.5

4

٩٣

Graphics th=TableHeadings{{soruce,regression,residual,lake,pure },{anova}} TableHeadings{{soruce,regression,residual,lake,pure},{anova}} tr1={"df","ss","ms","f"} {df,ss,ms,f} tr2={dsr,ssr,msr,f} {1,6.32467,6.32467,6.56529} tr3={dse,sse,mse,"---"} {22,21.1937,0.963348,---} tr4={nl,ssl,msl,ff} {11,8.72367,0.793061,0.699572} tr5={ne,ssp,s2e,"---"} {11,12.47,1.13364,---} TableForm[{tr1,tr2,tr3,tr4,tr5},th]

<<Statistics`ContinuousDistributions` =0.05; ff1=Quantile[FRatioDistribution[nl,ne],1-] 2.81793 If[ff>ff1,Print["RjectHo"],Print["AccpetHo"]] AccpetHo ff2=Quantile[FRatioDistribution[dsr,dse],1-] 4.30095 If[f>ff2,Print["RjectHo"],Print["AccpetHo"]] RjectHo


1 2 3 4 5 6 7 8

1

2

3

4

5

6

7

anovasoruce df ss ms fregression 1 6.32467 6.32467 6.56529residual 22 21.1937 0.963348

lake 11 8.72367 0.793061 0.699572pure 11 12.47 1.13364

٩٤

xالقائمة المسمى لقیم المتغیر المستقل والقائمة .لقیم المتغیر التابع y المسمى المخرجات : ثانیا

جدول تحلیل التباین یتم الحصول علیھ من االمر

TableForm[{tr1,tr2,tr3,tr4,tr5},th]

نحصل علیھا من االمر و

f الجدولیة من االمر

ff1=Quantile[FRatioDistribution[nl,ne],1-]

حیث المخرج 2.81793

القرار المتخذ نحصل علیھ من االمر If[ff>ff1,Print["RjectHo"],Print["AccpetHo"]]

والمخرج فى ھذه الحالة ھو AccpetHo.

. وھذا یعنى ان النموزج خطى نحصل علیھا من االمر ایضا


ff2=Quantile[FRatioDistribution[dsr,dse],1-]


القرار المتخذ نحصل علیھ من االمر If[f>ff2,Print["RjectHo"],Print["AccpetHo"]]

والمخرج فى ھذه الحالة ھو

RjectHo اى رفض فرض العدم

.وھذا یعنى انا لنموزج خطى

)٢٣-٤(مثال ة ت فعالی ر(درس ي ) جی ازولین ف تھالك الج یض اس ي تخف د ف ي جدی تجریبث 12 ر حی ذا الجی زة بھ ي xمحاولة استخدمت فیھا عربة نقل خفیفة مجھ جدول الف

f 0.699

ffmsls2e

f 6.569

fmsrmse

0:H 10

٩٥

األمیال المقطوعة لكل yلعربة االختبار و) بالمیل في الساعة(للسرعة الثابتة .التالى .جالون

؟ السابقجدول الفھل معادلة الخط المستقیم تالئم البیانات المعطاة في

لــالح )٣٥-٤(معطاة في شكل السابقجدول الشكل االنتشار للبیانات في

)٣٥-٤(شكل

:نوجد أوال معادلة الخط المستقیم المقدرة على افتراض أنھا تالئم البیانات حیث

yx35 2235 2040 2840 3145 3745 3850 4150 3955 3455 3760 2760 3 0

5.4712570

nxx , 32

12384

nyy

nxx

nyxxy

SXXSXYb 2

21

٩٦


)٣٦-٤(یا مع شكل االنتشار في شكل والممثلة بیان

)٣٦-٤(شكل

:التالى جدول الجدول تحلیل التباین معطى في

S.O.V df SS MS F

2.32224 96.1143 96.1143 1 االنحدار

,331429.0875290

1257027950

1238457018530

2

. 2571.61

5.47331429.032xbyb 10

. x331429.02571.16y

٩٧

-- 41.3886 413.886 10 الخطأ

-- -- 510 11 الكلي

ة ا أن قیم وبة Fبم ة المحس ة الجدولی ن القیم ل م أقواقي . فإننا نقبل فرض العدم م الب واآلن نختبر البواقي باستخدام رس

:من معادلة الخط المستقیم المقدرة

:التالى جدول الكما ھو معطى في لكل قیم نوجد

ri yi xi

32224.2 96.410,1F05. 0:H 10

. x331429.02571.16y

iii r,d,eix

idiyiye iy

٩٨

رسم ) ٣٧-٤(یوضح شكل ) ٢٢- ٤(والخاصة بالمثال السابقجدول الللبیانات في

مقابل

) ٣٧-٤(شكل ال السابقجدول الللبیانات في رسم ) ٣٨-٤( یوضح شكل ) ٢٣-٤(والخاصة بالمث

مقابل

22 27.8571 5.85714 0.910428 1.0597220 27.8571 7.85714 1.22131 1.4215728 29.5143 1.51429 0.235379 0.25494731 29.5143 1.48571 0.230938 0.25013737. 31.1714 5.82857 0.905987 0.94998138 31.1714 6.82857 1.06143 1.1129741 32.8286 8.17143 1.27016 1.3318439 32.8286 6.17143 0.95928 1.0058634 34.4857 0.485714 0.0754989 0.081775637 34.4857 2.51429 0.390818 0.42330927 36.1429 9.14286 1.42116 1.6541930 36.1429 6.14286 0.954839 1.11141

ieiy

idiy

25 30 35 40 45y

-4

-2

2

4

d

٩٩

)٣٨-٤(شكل

وعند استخدام بواقي ستیودنت نحصل على نفس الرسم ولكن مع اختالف في مقیاس ) ٣٩-٤( الرسم كما یتضح من شكل

)٣٩-٥( شكل ھ یشبھ ة من ومن مالحظة الرسم البیاني نرى بأن اك معادل ى أن ھن دل عل ا ی مم

ات ة للبیان ر مالئم ون اكث ة سوف تك وذج الخطي . درجة ثانی ال ) ١-٤(أي أن النم . )٣٥-٥(شكل االنتشار في شكل ھالبیانات والذي یوضح میالئ

Mathematicaبإستخدام برنامج مكتوب بلغة لكل قیم سوف یتم ایجاد .والمخرجات وفیما یلى خطوات البرنامج

p=1 1 x1={35,35,40.,40,45,45,50,50,55,55,60,60} {35,35,40.,40,45,45,50,50,55,55,60,60} y1={22,20,28,31,37.,38,41,39,34,37,27,30} {22,20,28,31,37.,38,41,39,34,37,27,30} l[x_]:=Length[x] h[x_]:=Apply[Plus,x] k[x_]:=h[x]/l[x] c[x_,y_]:=h[x*y]-((h[x]*h[y]))/l[x] sxx=c[x1,x1] 875. xb=h[x1]/l[x1] 47.5 yb=h[y1]/l[y1] 32. b1=c[x1,y1]/c[x1,x1] 0.331429 b0=yb-b1*xb

25 30 35 40 45y

-3

-2

-1

1

2

3r

iii r,d,eix

١٠٠

16.2571 yy=b0+(b1*x1) {27.8571,27.8571,29.5143,29.5143,31.1714,31.1714,32.8286,32.8286,34.4857,34.4857,36.1429,36.1429} e=y1-yy {-5.85714,-7.85714,-1.51429,1.48571,5.82857,6.82857,8.17143,6.17143,-0.485714,2.51429,-9.14286,-6.14286} t1=Transpose[{x1,y1}] {{35,22},{35,20},{40.,28},{40,31},{45,37.},{45,38},{50,41},{50,39},{55,34},{55,37},{60,27},{60,30}} a=PlotRange{{30,65},{10,45}} PlotRange{{30,65},{10,45}} a1=Prolog{PointSize[.02]} Prolog{PointSize[0.02]} g= ListPlot[t1,a,a1,AxesLabel{"x","y"}]


Graphics Show[g,dd]

35 40 45 50 55 60 65x

15

20

25

30

35

40

45y

35 40 45 50 55 60 65x

28

30

32

34

36

38y

١٠١

Graphics n=l[x1] 12 ssto=c[y1,y1] 510. ssr=c[x1,y1]^2/c[x1,x1] 96.1143 sse=ssto-ssr 413.886 mse=sse/(n-2) 41.3886

{-0.910428,-1.22131,-0.235379,0.230938,0.905987,1.06143,1.27016,0.95928,-0.0754989,0.390818,-1.42116,-0.954839}

{-1.05972,-1.42157,-0.254947,0.250137,0.949981,1.11297,1.33184,1.00586,-0.0817756,0.423309,-1.65419,-1.11141} pp1=Transpose[{yy,e}] {{27.8571,-5.85714},{27.8571,-7.85714},{29.5143,-1.51429},{29.5143,1.48571},{31.1714,5.82857},{31.1714,6.82857},{32.8286,8.17143},{32.8286,6.17143},{34.4857,-0.485714},{34.4857,2.51429},{36.1429,-9.14286},{36.1429,-6.14286}} aa=PlotRange{{20,40},{-15,15}} PlotRange{{20,40},{-15,15}} a2=Prolog{PointSize[.02]} Prolog{PointSize[0.02]}

35 40 45 50 55 60 65x

15

20

25

30

35

40

45y

di e mse

ri e mse1 1nx1xb^2

sxx N


١٠٢

Graphics pp2=Transpose[{yy,di}] {{27.8571,-0.910428},{27.8571,-1.22131},{29.5143,-0.235379},{29.5143,0.230938},{31.1714,0.905987},{31.1714,1.06143},{32.8286,1.27016},{32.8286,0.95928},{34.4857,-0.0754989},{34.4857,0.390818},{36.1429,-1.42116},{36.1429,-0.954839}} aa=PlotRange{{20,45},{-5,5}} PlotRange{{20,45},{-5,5}} a2=Prolog{PointSize[.02]} Prolog{PointSize[0.02]}

Graphics pp3=Transpose[{yy,ri}] {{27.8571,-1.05972},{27.8571,-1.42157},{29.5143,-0.254947},{29.5143,0.250137},{31.1714,0.949981},{31.1714,1.11297},{32.8286,1.33184},{32.8286,1.00586},{34.4857,-0.0817756},{34.4857,0.423309},{36.1429,-1.65419},{36.1429,-1.11141}} aa=PlotRange{{20,45},{-3,3}} PlotRange{{20,45},{-3,3}} a2=Prolog{PointSize[.02]} Prolog{PointSize[0.02]}

22.5 25 27.5 30 32.5 35 37.5 40y

-15

-10

-5

5

10

15e


25 30 35 40 45y

-4

-2

2

4

d


١٠٣

Graphics def=Transpose[{x1,y1,yy,e,di,ri}] {{35,22,27.8571,-5.85714,-0.910428,-1.05972},{35,20,27.8571,-7.85714,-1.22131,-1.42157},{40.,28,29.5143,-1.51429,-0.235379,-0.254947},{40,31,29.5143,1.48571,0.230938,0.250137},{45,37.,31.1714,5.82857,0.905987,0.949981},{45,38,31.1714,6.82857,1.06143,1.11297},{50,41,32.8286,8.17143,1.27016,1.33184},{50,39,32.8286,6.17143,0.95928,1.00586},{55,34,34.4857,-0.485714,-0.0754989,-0.0817756},{55,37,34.4857,2.51429,0.390818,0.423309},{60,27,36.1429,-9.14286,-1.42116,-1.65419},{60,30,36.1429,-6.14286,-0.954839,-1.11141}} TableForm[def]


المدخالت : اوالx1القائمة المسمى لقیم المتغیر المستقل والقائمة .لقیم المتغیر التابع y1 المسمى


درة دار المق ة االنح ث ( معادل حی نحصل علیھا من االمر

25 30 35 40 45y

-3

-2

-1

1

2

3r

35 22 27.8571 5.85714 0.910428 1.0597235 20 27.8571 7.85714 1.22131 1.4215740. 28 29.5143 1.51429 0.235379 0.25494740 31 29.5143 1.48571 0.230938 0.25013745 37. 31.1714 5.82857 0.905987 0.94998145 38 31.1714 6.82857 1.06143 1.1129750 41 32.8286 8.17143 1.27016 1.3318450 39 32.8286 6.17143 0.95928 1.0058655 34 34.4857 0.485714 0.0754989 0.081775655 37 34.4857 2.51429 0.390818 0.42330960 27 36.1429 9.14286 1.42116 1.6541960 30 36.1429 6.14286 0.954839 1.11141

. x331429.02571.16y 0b 16.2571

١٠٤

b0=yb-b1*xb


b1=sxy/sxx( یا مع شكل االنتشار من االمروالممثلة بیان

Show[g,dd]

الجدول السابق نحصل علیھ من االمر

TableForm[def]

نحصل علیھ من االمر مقابل رسم



:من المثال التالى للتأكید ویمكن عمل اختبار لنقص التوفیق

)٢٤-٤(مثال

: الختبار نقص التوفیق أي اختبار فرض العدم للمثال السابق اآلن

:ضد الفرض البدیل

:نتبع الخطوات التالیة :ھو =x 35مجموع مربعات الخطا الخالص عند

1b 0.331429

ieiyg ListPlotpp1, aa, a2, AxesLabel "y", "e"

idiyg ListPlotpp2, aa, a2, AxesLabel "y", "d"

iriy


ix10ix|Y:0H

ix10ix|Y:1H

2

}2/2022{2022 222

١٠٥

بدرجات حریة :ھو x=40مجموع مربعات الخطا الخالص عند

بدرجات حریة

ة من یم الباقی xبنفس الطریقة یمكن حساب مجموع مربعات الخطا الخالص للق :التالى جدول الكما ھو موضح في

درجات الحریة

:التالى جدول الجدول تحلیل التباین معطى في S.O.V df SS MS F االنحدار الخطأ

1 10

96.1143 413.886

96.1143 41.3886

2.32224 --

قصور التوفیق الخطأ الخالص

4 6

395.886 18

98.0714 3

32.9905 --

ة ا أن قیم ق Fبم ور التوفی وبة لقص ة المحس ة الجدولی ن القیم د ع تزیدم رض الع رفض ف ا ن ط وفإنن ة الخ إن معادل ك ف ى ذل اء عل بن

ات ة للبیان ر مالئم تقیم غی تخفالمس ة الن یمكن اس ة الثانی ن الدرج ة م دام معادل .اقل من


p=1 1 x={35.,35,40.,40,45,45,50,50,55,55,60,60} {35.,35,40.,40,45,45,50,50,55,55,60,60} y={22.,20.,28,31,37.,38,41,39,34,37,27,30} {22.,20.,28,31,37.,38,41,39,34,37,27,30} {22.`,20.`,28,31,37.`,38.,41,39,34,37,27,30} {22.,20.,28,31,37.,38.,41,39,34,37,27,30} yy={{22,20},{28,31},{37,38},{41,39},{34,37},{27,30}} {{22,20},{28,31},{37,38},{41,39},{34,37},{27,30}}

112n1

5.4 }2/3128{3128 222

112n2

in

1j

2iij yy

x

3 5 2 14 0 4 . 5 14 5 0 . 5 15 0 2 15 5 4 . 5 16 0 4 . 5 1

9905.32 53.46,4F05.

f 2.32224 .05F 1,10 4.9646

١٠٦

a[x_]:=Length[x] z[x_]:=Apply[Plus,x]

h=Map[c,yy]

ssp=z[h] 18 q=Map[a,yy] {2,2,2,2,2,2} qq=q-1 {1,1,1,1,1,1} ne=z[qq] 6

3 tx=Table[{1,x[[i]]},{i,1,a[x]}] {{1,35.},{1,35},{1,40.},{1,40},{1,45},{1,45},{1,50},{1,50},{1,55},{1,55},{1,60},{1,60}} a[tx] 12 u=Transpose[tx] {{1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1},{35.,35,40.,40,45,45,50,50,55,55,60,60}} t1=u.y {384.,18530.} t2=Inverse[u.tx] {{2.6619,-0.0542857},{-0.0542857,0.00114286}} b=t1.t2 {16.2571,0.331429} b0=b[[1]] 16.2571 b1=b[[2]] 0.331429 yb=b0+b1*x {27.8571,27.8571,29.5143,29.5143,31.1714,31.1714,32.8286,32.8286,34.4857,34.4857,36.1429,36.1429} e=y-yb {-5.85714,-7.85714,-1.51429,1.48571,5.82857,6.82857,8.17143,6.17143,-0.485714,2.51429,-9.14286,-6.14286} sse=e.e 413.886

cx_: zx^2 zx2ax

2, 9

2,1

2, 2,

9

2,9

2

s2esspne

١٠٧

ssto=c[y] 510. ssl=sse-ssp 395.886 ssr=ssto-sse 96.1143 dsr=1 1 n=a[x] 12 dse=n-2 10 dst=n-1 11 nl=dse-ne 4

96.1143

41.3886

2.32224

98.9714

32.9905 th=TableHeadings{{soruse,redession,residual,ftt,pure},{anova}} TableHeadings{{soruse,redession,residual,ftt,pure},{anova}} tr1={"df","ss","ms","f"} {df,ss,ms,f} tr2={dsr,ssr,msr,f} {1,96.1143,96.1143,2.32224} tr3={dse,sse,mse,"---"} {10,413.886,41.3886,---} tr4={nl,ssl,msl,ff} {4,395.886,98.9714,32.9905} tr5={ne,ssp,s2e,"---"} {6,18,3,---} TableForm[{tr1,tr2,tr3,tr4,tr5},th]

msrssrdsr

msessedse

fmsrmse

mslsslnl

ffmsls2e

١٠٨

<<Statistics`ContinuousDistributions` =0.05; ff1=Quantile[FRatioDistribution[nl,ne],1-] 4.53368 If[ff>ff1,Print["RjectHo"],Print["AccpetHo"]] RjectHo ff2=Quantile[FRatioDistribution[dsr,dse],1-] 4.9646 If[f>ff2,Print["RjectHo"],Print["AccpetHo"]] AccpetHo

المدخالت : اوالxالقائمة المسمى لقیم المتغیر المستقل والقائمة .لقیم المتغیر التابع y المسمى

المخرجات : ثانیا جدول تحلیل التباین یتم الحصول علیھ من االمر

TableForm[{tr1,tr2,tr3,tr4,tr5},th]



ff1=Quantile[FRatioDistribution[nl,ne],1-]


القرار المتخذ نحصل علیھ من االمر If[ff>ff1,Print["RjectHo"],Print["AccpetHo"]]

والمخرج فى ھذه الحالة ھو RjectHo

. وھذا یعنى ان النموزج غیر خطى نحصل علیھا من االمر ایضا


ff2=Quantile[FRatioDistribution[dsr,dse],1-]

حیث المخرج

anovasoruse df ss ms fredession 1 96.1143 96.1143 2.32224residual 10 413.886 41.3886

ftt 4 395.886 98.9714 32.9905pure 6 18 3

f 32.9005

ffmsls2e

f 2.3224

fmsrmse

١٠٩

4.9646

القرار المتخذ نحصل علیھ من االمر If[f>ff2,Print["RjectHo"],Print["AccpetHo"]]

والمخرج فى ھذه الحالة ھو

AccpetHo

اى قبول فرض العدم

تحویالت الى الخط المستقیم) ١٤-٤( Transformations to a Straight Line

ي دار الخط وذج االنح دیل لنم وذج ب راح نم رورة اقت إن ض

رة السابقة أو یرجع إما إلى اعتبارات نظریة أو من الخبفي كل حالة یكون من .من اختبار رسوم البواقي أو من اختبار نقص جودة التوفیق

دیرھا بسھ ك .ولةالضروري وضع نموذج معالمھ یمكن تق مجموعة خاصة من تل النماذج یمكن تعریفھا عن طریق ما یعرف بالدوال القابلة للتحویل إلى خطیة

intrinsically linear أو transformably linear .

ربط : تعریف ي ت ع تسمى الدالة الت ة إذا م ى خطی ل إل ة للتحوی ة القابل بالدالى ) أو (وأمكن إجراء تحویلة على ة عل ر تحویل ث یمكن التعبی بحی

ر المستقل المحول و حیث عن الدالة كاألتي المتغی . المتغیر التابع المحول

ة ت ى خطی ل إل ة للتحوی اذج إنحدارؤالدالة القابل ى نم ھ دي مباشرة إل ا خطی ومعالمھ . یمكن تقدیرھا بسھولھ باستخدام طریقة المربعات الصغرى العادیة

ین ى خطي ھو أن المعلمت ل إل المیزة األساسیة لنموذج االنحدار القابل للتحویفي النموذج المحول یمكن تقدیرھما باستخدام طریقة المربعات الصغرى

:كالتالي في صیغة كل من العادیة وذلك بالتعویض عن

0:H 10

iix10iY

xyxy

xy 10 x

y

10 , y , x 10 b , b

١١٠

دیرھاالنحدار نموذج المعالم في ر خطي األصلي یمكن تق ھ ألنا الغی ا تكون دال ھ . وذلك عند الضرورة في

.وفیما یلى بعض النمازج لتوضیح ذلك The Exponential Model النموذج األسى) ١-١٤-٤(

:معادلة النموذج األسى تكون على الصورة التالیة

دیرین حیث ات بالتق ن البیان والي c , dثابتان والمطلوب تقدیرھما م ى الت دیر . عل ن تق یمك :من منحنى االنحدار المقدر التالي بالقیمة

ن ) eلألساس ( بأخذ لوغاریتمات الطرفین در یمك في المعادلة السابقة فإن منحنى االنحدار المق

:كتابتھ على الشكل

:وكل زوج من المشاھدات في العینة یحقق العالقة

بالصیغ المستخدمة لنموذج یمكن إیجادوعلى ذلك . : حیث أن

بأخذ c , dثم إیجاد (xi , ln yi)االنحدار الخطى ، التي سبق أن تناولناھا ، باستخدام النقاط :على التوالي، أي أن القیم المقابلة للوغاریتمات لـ

. .التالي طریقة المربعات الصغرى لتوفیق منحنى أسى لفئة من المشاھدات موضحھ في المثال

)٢٥-٤(مثال

. nx

bny

b

,

n)x(

)x(

nyx

yxb

i1

i0

2i2

i

iiii

1

10 b , b

xx|Y

,

x|Yxy.dcy x

x

,x)d(lnclnyln x

,exbbex )d(lnclnyln ii10iii

clnb),d(lnb 01 10 b,b

10 b,b)bexp(c),bexp(d 01

وذج األسى التالىجدول الالزواج القیاسات في أوجد معادلة االنحدار المقدرة تحت فرض النم .

7 6 5 4 3 2 1 x 882 670 548 457 393 341 304 y

١١١

: الحــل بوضع : فإن

و

= 0.174241 .

b0= 6.1775926 – ( 0.174241) (4) = 5.4806286 .

: معادلة االنحدار المقدرة ھي

: وعلى ذلك

: وبالتالي فإن منحنى االنحدار المقدر بالمربعات الصغرى ھو

. )٤٠-٤(والتمثیل البیاني لھا موضح في شكل

ii ylny

243148.43y i

140x,28x,7n 2ii

1775926.6ny , 4x,85134.177yx i

ii

7)28(140

7)243148.43)(28(85134.177

b 21

.x174241.04806286.5y

,4806286.5bcln,174241.0bdln 01

.99752.239)bexp(c, 1903424.1)bexp(d 01

xdcy x)1903424.1)(99752.239(

١١٢

)٤٠-٤(شكل


x1={1,2,3,4,5,6,7} {1,2,3,4,5,6,7} yy3={304.0,341.0,393.0,457.0,548.0,670.0,882.0} {304.,341.,393.,457.,548.,670.,882.} y1=Log[yy3] {5.71703,5.83188,5.97381,6.12468,6.30628,6.50728,6.78219} l[x_]:=Length[x] h[x_]:=Apply[Plus,x] c[x_,y_]:=h[x*y]-((h[x]*h[y]))/l[x] k[x_]:=h[x]/l[x] xb=k[x1] 4 yb=k[y1] 6.17759 b1=c[x1,y1]/c[x1,x1] 0.174241 d=Exp[b1] 1.19034 b0=yb-b1*xb 5.48063 c=Exp[b0] 239.997 t1=Transpose[{x1,yy3}] {{1,304.},{2,341.},{3,393.},{4,457.},{5,548.},{6,670.},{7,882.}}

١١٣

a=PlotRange{{0,10},{100,1100}} PlotRange{{0,10},{100,1100}} a1=Prolog{PointSize[.03]} Prolog{PointSize[0.03]} g= ListPlot[t1,a,a1]

Graphics d=Plot[c*d^x,{x,0,10}]

Graphics Show[g,d]

Graphics

2 4 6 8 10

400

600

800

1000

2 4 6 8 10

600

800

1000

1200

2 4 6 8 10

400

600

800

1000

١١٤


x1القائمة المسمى لقیم المتغیر المستقل والقائمة .لقیم المتغیر التابع y1 المسمى المخرجات : ثانیا


تم الحصول علیھا من االمر حیث b0=yb-b1*xb


b1=c[x1,y1]/c[x1,x1]

: منحنى االنحدار المقدر بالمربعات الصغرى ھو

حیث

حیث نحصل علیھا من االمر

c=Exp[b0]


d=Exp[b1]

والتمثیل البیانى للمعادلة مع شكل االنتشار نحصل علیھ من االمر

Show[g,d]

Power Model نموذج القوى)٢-١٤-٤(

: معادلة نموذج القوى تكون على الصورة التالیة

دیرین حیث ات بالتق ن البیان والي co , doثابتان والمطلوب تقدیرھما م ى الت ن . عل یمك :من منحنى االنحدار المقدر التالي بالقیمة تقدیر

.x174241.04806286.5y

0b 5.4806286

1b 0.174241

xdcy x)1903424.1)(99752.239(

,4806286.5bcln,174241.0bdln 01

.99752.239)bexp(c, 1903424.1)bexp(d 01

0c exp(b ) 239.99752

1d exp(b ) 1.1903424

0aY|x 0a x

0 0a , a

x|Yxy

١١٥

: فإن منحنى االنحدار یمكن كتابتھ على الشكل ) eلألساس ( بأخذ لوغاریتمات الطرفین

:كل زوج من المشاھدات في العینة یحقق العالقة

ث ن إیجاد . حی ك یمك ى ذل وذج b0 , b1وعل بالصیغ المستخدمة لنماط ا ، باستخدام النق م إیجاد االنحدار الخطى، التي سبق أن تناولتاھ , coث

do حیث .

)٢٦-٤(مثال

: الحــل

= - 5.3996,

= 35.6684. :معادلة االنحدار المقدرة ھي

:وعلى ذلك

: أي أن

: والمعادلة األساسیة المقدرة ھي

odx oy c x .

x o oˆln y ln c d (ln x)

i o o i iln y ln c d (ln x ) e

o 1 i ib b (ln x ) e

1 o o ob d ,b ln c

i i(ln x ,ln y )1 o o ob d ,ln c b

i in 12 , ln x 74.412 , ln y 26.22601 , 2i i iln x 461.75874 , (ln x )(ln y ) 160.84601 ,

2iln y 67.74609.

1 2

(74.412)(26.22601)160.8460112b

(74.412)461.7587412

026.22061 ( 5.3996)(74.412)b

12

xy 35.6684 5.3996x.

o 0ln c b 35.6684

15

0 0c exp(b ) 3.094491530.10

0 1d b 5.3996

.أوجد معادلة االنحدار المقدرة تحت فرض نموذج القوى التالىجدول الالزواج القیاسات في

400 400 400 400 500 500 500 500 600 600 600 600 x 33.0 26.0 24.5 21.5 16.5 9.8 7.8 6.4 3.6 3.0 2.65 2.35 y

١١٦

) .٤١-٤(والتمثیل البیاني لھا موضح في شكل

)٤١-٤(شكل


xx3={600.0,600.0,600.,600.,500.,500.,500.,500.,400.,400.,400.,400.} {600.,600.,600.,600.,500.,500.,500.,500.,400.,400.,400.,400.} x1=Log[xx3] {6.39693,6.39693,6.39693,6.39693,6.21461,6.21461,6.21461,6.21461,5.99146,5.99146,5.99146,5.99146} yy3={2.35,2.65,3.,3.6,6.4,7.8,9.8,16.5,21.5,24.5,26.,33.} {2.35,2.65,3.,3.6,6.4,7.8,9.8,16.5,21.5,24.5,26.,33.} y1=Log[yy3] {0.854415,0.97456,1.09861,1.28093,1.8563,2.05412,2.28238,2.80336,3.06805,3.19867,3.2581,3.49651} l[x_]:=Length[x] h[x_]:=Apply[Plus,x] c[x_,y_]:=h[x*y]-((h[x]*h[y]))/l[x] k[x_]:=h[x]/l[x] xb=k[x1] 6.201 yb=k[y1] 2.1855 b1=c[x1,y1]/c[x1,x1] -5.39974 b0=yb-b1*xb 35.6693 c=Exp[b0]

015d 5.3996

x 0y c x (3.094491530 10) x .

3.097321015

١١٧

t1=Transpose[{xx3,yy3}] {{600.,2.35},{600.,2.65},{600.,3.},{600.,3.6},{500.,6.4},{500.,7.8},{500.,9.8},{500.,16.5},{400.,21.5},{400.,24.5},{400.,26.},{400.,33.}} a=PlotRange{{300,700},{0,40}} PlotRange{{300,700},{0,40}} a1=Prolog{PointSize[.03]} Prolog{PointSize[0.03]} g= ListPlot[t1,a,a1]

Graphics d=Plot[c*x^b1,{x,300,700}]

Graphics Show[g,d]

350 400 450 500 550 600 650 700

5

10

15

20

25

30

35

40

400 500 600 700

20

40

60

80

100

120

١١٨

Graphics


xx3القائمة المسمى بقیم المتغیر المستقل والقائمة .بقیم المتغیر التابع yy3 المسمى المخرجات : ثانیا


تم الحصول علیھا من االمر حیث

b0=yb-b1*xb

:وبما ان

: أي أن

ونحصل علیھا من االمر c=Exp[b0]

وایضا

من االمرونحصل علیھا b1=c[x1,y1]/c[x1,x1]

: والمعادلة األساسیة المقدرة ھي

350 400 450 500 550 600 650 700

5

10

15

20

25

30

35

40

xy 35.6684 5.3996x.

0b 35.6684

o 0ln c b 35.6684

15

0 0c exp(b ) 3.094491530.10

0 1d b 5.3996

١١٩

والتمثیل البیانى للمعادلة مع شكل االنتشار نحصل علیھ من االمر

Show[g,d]

نموذج یعطي معادلة االنحدار المقدرة على الشكل ) ٣-١٤-٤(

٢٧-٤(مثال

طالب في الدراسة خارج 30 عدد الساعات التي یقضیھا التالىجدول الیعطي ) (والدرجات التي حصلوا علیھا في مادة اإلحصاء ) (المدرج في األسبوع ھل یمكن تمثیل البیانات بمعادلة خط مستقیم ؟ . 200 حیث الدرجة النھائیة

015d 5.3996

x 0y c x (3.094491530 10) x .

xbby 10

xy

xy2xyx

١٢٠

: الحــل

)٤٢-٤(شكل االنتشار موضح في شكل

)٤٢-٤(شكل

0.5 40 0.25 200 .5 50 0.25 251 75 1 751 80 1 801.5 80 2.25 1201.5 95 2.25 142.52 100 4 2002 90 4 1802.5 114 6.25 2852.5 103 6.25 257.52.5 101 6.25 252.53 116 9 3483 120 9 3603.5 123 12.25 430.54 138 16 5524 133 16 5324.5 146 20.25 6575 152 25 7605 147 25 7355.5 157 30.25 863.55.5 164 30.25 9026 167 36 10026 162 36 9726.5 164 42.25 10667 173 49 12117 179 49 12538 186 64 14888 193 64 15449 190 81 17109 180 81 1620

19643.57293918127

١٢١

:فإن السابقجدول ل ایمثل البیانات فی) ١-٤( فرض أن نموذج االنحدار الخطي البسیطب

: معادلة خط االنحدار المقدرة سوف تكون على الشكل

:ولمعرفة مدى توفر شروط فروض التحلیل نتبع ما یلي

والنتائج معطاة في وبواقي ستيودنت و البواقي المعيارية نحسب قيم البواقي - ١ : ل التالى جدو ال

yi xi

6.13030

3918nyy , 23333.4

30127

nxx , 30n

30)127(729

30)3918)(127(5.19643

n)x(x

nyxxy

SXXSXYb 22

21

,9761.15191.3673057.3

. 9677.62)23333.4)(9761.15(6.130xbyb 10

. x9761.159677.62y

ieidir

iridieiy

١٢٢

)٤٣-٤(في شكل معطاةوالنتائج مقابل نرسم البواقي -٢

)٤٣-٤(شكل

0.5 40 70.9557 - 30.9557 - 2.7463 - 2.90480 .5 50 70.9557 - 20.9557 - 1.8591 - 1.96641 75 78.9438 - 3.9438 - 0.3498 - 0.36631 80 78.9438 1.0561 0.0937 0.09811.5 80 86.9318 - 6.9318 - 0.6149 - 0.63851.5 95 86.9318 8.0681 0.7157 0.74312 100 94.9199 5.0800 0.4506 0.46472 90 94.91996 - 4.9199 - 0.4364 - 0.45002.5 114 102.9080 11.0919 0.9840 1.00912.5 103 102.9080 0.0919 0.0081 0.00832.5 101 102.9080 - 1.9080 - 0.1692 - 0.17353 116 110.8960 5.1039 0.4528 0.46243 120 110.8960 9.1039 0.8076 0.82483.5 123 118.8841 4.1158 0.3651 0.37194 138 126.8722 11.1277 0.9872 1.00424 133 126.8722 6.1277 0.5436 0.55304.5 146 134.8603 11.1396 0.9882 1.00535 152 142.8483 9.1516 0.8119 0.82715 147 142.8483 4.1516 0.3683 0.37525.5 157 150.8364 6.1635 0.5468 0.55855.5 164 150.8364 13.1635 1.1678 1.19306 167 158.8245 8.1754 0.7253 0.74406 162 158.8245 3.1754 0.2817 0.28896.5 164 166.8125 - 2.8125 - 0.2495 - 0.25737 173 174.8006 - 1.8006 - 0.1597 - 0.16597 179 174.8006 4.1993 0.3725 0.38708 186 190.7767 - 4.7767 - 0.4237 - 0.44858 193 190.7767 2.2232 0.1972 0.20879 190 206.7529 - 16.7529 - 1.4862 - 1.61409 180 206.7529 - 26.7529 - 2.3734 - 2.5775

ieiy

١٢٣

مما نرى بأنھ على شكل منحنى ) ٤٣-٤(من مالحظة رسم البواقي في شكل

عند ) ٤٤- ٤(نفس الشيء في شكل. یدل على أن النموذج الخطي ال یالئم البیاناتعند رسم فنحصل علیھ )٤٥-٤(شكل أما . مقابل رسم البواقي المعیاریة

. بواقي ستیودنت مقابل رسم

)٤٤-٤(شكل

)٤٥-٤(شكل

وفیما یلى خطوات Mathematicaسوف یتم حل ھذا المثال بإستخدام برنامج مكتوب بلغة

.البرنامج والمخرجات

p=1 1 x1={.5,.5,1.,1,1.5,1.5,2,2,2.5,2.5,2.5,3,3,3.5,4,4,4.5,5,5,5.5,5.5,6,6,6.5,7,7,8,8,9,9} {0.5,0.5,1.,1,1.5,1.5,2,2,2.5,2.5,2.5,3,3,3.5,4,4,4.5,5,5,5.5,5.5,6,6,6.5,7,7,8,8,9,9} y1={40,50,75,80,80,95.,100,90,114,103,101,116,120,123,138

idiyiy

١٢٤

,133,146.,152,147,157,164,167,162,164,173,179,186,193,190,180} {40,50,75,80,80,95.,100,90,114,103,101,116,120,123,138,133,146.,152,147,157,164,167,162,164,173,179,186,193,190,180} l[x_]:=Length[x] h[x_]:=Apply[Plus,x] k[x_]:=h[x]/l[x] c[x_,y_]:=h[x*y]-((h[x]*h[y]))/l[x] sxx=c[x1,x1] 191.367 xb=h[x1]/l[x1] 4.23333 yb=h[y1]/l[y1] 130.6 b1=c[x1,y1]/c[x1,x1] 15.9761 b0=yb-b1*xb 62.9677 yy=b0+(b1*x1) {70.9558,70.9558,78.9438,78.9438,86.9319,86.9319,94.92,94.92,102.908,102.908,102.908,110.896,110.896,118.884,126.872,126.872,134.86,142.848,142.848,150.836,150.836,158.825,158.825,166.813,174.801,174.801,190.777,190.777,206.753,206.753} e=y1-yy {-30.9558,-20.9558,-3.94383,1.05617,-6.93189,8.06811,5.08004,-4.91996,11.092,0.09197,-1.90803,5.1039,9.1039,4.11583,11.1278,6.12777,11.1397,9.15163,4.15163,6.16356,13.1636,8.17549,3.17549,-2.81258,-1.80064,4.19936,-4.77678,2.22322,-16.7529,-26.7529} t1=Transpose[{x1,y1}] {{0.5,40},{0.5,50},{1.,75},{1,80},{1.5,80},{1.5,95.},{2,100},{2,90},{2.5,114},{2.5,103},{2.5,101},{3,116},{3,120},{3.5,123},{4,138},{4,133},{4.5,146.},{5,152},{5,147},{5.5,157},{5.5,164},{6,167},{6,162},{6.5,164},{7,173},{7,179},{8,186},{8,193},{9,190},{9,180}} a=PlotRange{{0,10},{30,200}} PlotRange{{0,10},{30,200}} a1=Prolog{PointSize[.02]} Prolog{PointSize[0.02]} g= ListPlot[t1,a,a1,AxesLabel{"x","y"}]

١٢٥


Graphics Graphics n=l[x1] 30 ssto=c[y1,y1] 52401.2 ssr=c[x1,y1]^2/c[x1,x1] 48843.8 sse=ssto-ssr 3557.36 mse=sse/(n-2) 127.048

{-2.74636,-1.85917,-0.349891,0.0937025,-0.614989,0.715792,0.450694,-0.436493,0.984065,0.00815946,-0.169278,0.452812,0.807686,0.365151,0.987241,0.543647,0.9883,0.811921,0.368327,0.546823,1.16785,0.725319,0.281726,-0.249528,-0.159751,0.372561,-0.42379,0.197241,-1.4863,-2.37348}

2 4 6 8 10x

75

100

125

150

175

200y

35 40 45 50 55 60 65x

700

800

900

1000

1100

y

di e mse

١٢٦

{-2.90488,-1.96648,-0.366376,0.0981172,-0.638529,0.743191,0.464707,-0.450064,1.00912,0.00836718,-0.173587,0.462458,0.824893,0.371935,1.00427,0.553023,1.00539,0.827116,0.37522,0.558599,1.193,0.744022,0.28899,-0.257393,-0.165951,0.387022,-0.44858,0.208779,-1.61408,-2.57754} pp1=Transpose[{yy,e}] {{70.9558,-30.9558},{70.9558,-20.9558},{78.9438,-3.94383},{78.9438,1.05617},{86.9319,-6.93189},{86.9319,8.06811},{94.92,5.08004},{94.92,-4.91996},{102.908,11.092},{102.908,0.09197},{102.908,-1.90803},{110.896,5.1039},{110.896,9.1039},{118.884,4.11583},{126.872,11.1278},{126.872,6.12777},{134.86,11.1397},{142.848,9.15163},{142.848,4.15163},{150.836,6.16356},{150.836,13.1636},{158.825,8.17549},{158.825,3.17549},{166.813,-2.81258},{174.801,-1.80064},{174.801,4.19936},{190.777,-4.77678},{190.777,2.22322},{206.753,-16.7529},{206.753,-26.7529}} aa=PlotRange{{30,250},{-50,15}} PlotRange{{30,250},{-50,15}} a2=Prolog{PointSize[.02]} Prolog{PointSize[0.02]}

Graphics pp2=Transpose[{yy,di}] {{70.9558,-2.74636},{70.9558,-1.85917},{78.9438,-0.349891},{78.9438,0.0937025},{86.9319,-0.614989},{86.9319,0.715792},{94.92,0.450694},{94.92,-0.436493},{102.908,0.984065},{102.908,0.00815946},{102.908,-0.169278},{110.896,0.452812},{110.896,0.807686},{118.884,0.365151},{126.872,0.987241},{126.872,0.543647},{134.86,0.9883},{142.848,0.811921},{142.848,0.368327},{150.836,0.546823},{150.836,1.16785},{158.825,0.725319},{158.825,0.28

ri e mse1 1nx1xb^2

sxx N


100 150 200 250y

-50

-40

-30

-20

-10

10

e

١٢٧

1726},{166.813,-0.249528},{174.801,-0.159751},{174.801,0.372561},{190.777,-0.42379},{190.777,0.197241},{206.753,-1.4863},{206.753,-2.37348}} aa=PlotRange{{30,250},{-5,5}} PlotRange{{30,250},{-5,5}} a2=Prolog{PointSize[.02]} Prolog{PointSize[0.02]}

Graphics pp3=Transpose[{yy,ri}] {{70.9558,-2.90488},{70.9558,-1.96648},{78.9438,-0.366376},{78.9438,0.0981172},{86.9319,-0.638529},{86.9319,0.743191},{94.92,0.464707},{94.92,-0.450064},{102.908,1.00912},{102.908,0.00836718},{102.908,-0.173587},{110.896,0.462458},{110.896,0.824893},{118.884,0.371935},{126.872,1.00427},{126.872,0.553023},{134.86,1.00539},{142.848,0.827116},{142.848,0.37522},{150.836,0.558599},{150.836,1.193},{158.825,0.744022},{158.825,0.28899},{166.813,-0.257393},{174.801,-0.165951},{174.801,0.387022},{190.777,-0.44858},{190.777,0.208779},{206.753,-1.61408},{206.753,-2.57754}} aa=PlotRange{{30,250},{-3,3}} PlotRange{{30,250},{-3,3}} a2=Prolog{PointSize[.02]} Prolog{PointSize[0.02]}


100 150 200 250y

-4

-2

2

4

d


١٢٨

Graphics def=Transpose[{x1,y1,yy,e,di,ri}] {{0.5,40,70.9558,-30.9558,-2.74636,-2.90488},{0.5,50,70.9558,-20.9558,-1.85917,-1.96648},{1.,75,78.9438,-3.94383,-0.349891,-0.366376},{1,80,78.9438,1.05617,0.0937025,0.0981172},{1.5,80,86.9319,-6.93189,-0.614989,-0.638529},{1.5,95.,86.9319,8.06811,0.715792,0.743191},{2,100,94.92,5.08004,0.450694,0.464707},{2,90,94.92,-4.91996,-0.436493,-0.450064},{2.5,114,102.908,11.092,0.984065,1.00912},{2.5,103,102.908,0.09197,0.00815946,0.00836718},{2.5,101,102.908,-1.90803,-0.169278,-0.173587},{3,116,110.896,5.1039,0.452812,0.462458},{3,120,110.896,9.1039,0.807686,0.824893},{3.5,123,118.884,4.11583,0.365151,0.371935},{4,138,126.872,11.1278,0.987241,1.00427},{4,133,126.872,6.12777,0.543647,0.553023},{4.5,146.,134.86,11.1397,0.9883,1.00539},{5,152,142.848,9.15163,0.811921,0.827116},{5,147,142.848,4.15163,0.368327,0.37522},{5.5,157,150.836,6.16356,0.546823,0.558599},{5.5,164,150.836,13.1636,1.16785,1.193},{6,167,158.825,8.17549,0.725319,0.744022},{6,162,158.825,3.17549,0.281726,0.28899},{6.5,164,166.813,-2.81258,-0.249528,-0.257393},{7,173,174.801,-1.80064,-0.159751,-0.165951},{7,179,174.801,4.19936,0.372561,0.387022},{8,186,190.777,-4.77678,-0.42379,-0.44858},{8,193,190.777,2.22322,0.197241,0.208779},{9,190,206.753,-16.7529,-1.4863,-1.61408},{9,180,206.753,-26.7529,-2.37348,-2.57754}} TableForm[def]

100 150 200 250y

-3

-2

-1

1

2

3r

١٢٩


المدخالت : اوالx1القائمة المسمى لقیم المتغیر المستقل والقائمة .لقیم المتغیر التابع y1 المسمى


معطى من االمر )٤٢-٤(موضح في شكلالشكل االنتشار g= ListPlot[t1,a,a1,AxesLabel{"x","y"}]

معادلة خط االنحدار المقدرة

نحصل علیھا من االمر حیث

0.5 40 70.9558 30.9558 2.74636 2.904880.5 50 70.9558 20.9558 1.85917 1.966481. 75 78.9438 3.94383 0.349891 0.3663761 80 78.9438 1.05617 0.0937025 0.09811721.5 80 86.9319 6.93189 0.614989 0.6385291.5 95. 86.9319 8.06811 0.715792 0.7431912 100 94.92 5.08004 0.450694 0.4647072 90 94.92 4.91996 0.436493 0.4500642.5 114 102.908 11.092 0.984065 1.009122.5 103 102.908 0.09197 0.00815946 0.008367182.5 101 102.908 1.90803 0.169278 0.1735873 116 110.896 5.1039 0.452812 0.4624583 120 110.896 9.1039 0.807686 0.8248933.5 123 118.884 4.11583 0.365151 0.3719354 138 126.872 11.1278 0.987241 1.004274 133 126.872 6.12777 0.543647 0.5530234.5 146. 134.86 11.1397 0.9883 1.005395 152 142.848 9.15163 0.811921 0.8271165 147 142.848 4.15163 0.368327 0.375225.5 157 150.836 6.16356 0.546823 0.5585995.5 164 150.836 13.1636 1.16785 1.1936 167 158.825 8.17549 0.725319 0.7440226 162 158.825 3.17549 0.281726 0.288996.5 164 166.813 2.81258 0.249528 0.2573937 173 174.801 1.80064 0.159751 0.1659517 179 174.801 4.19936 0.372561 0.3870228 186 190.777 4.77678 0.42379 0.448588 193 190.777 2.22322 0.197241 0.2087799 190 206.753 16.7529 1.4863 1.614089 180 206.753 26.7529 2.37348 2.57754

y 62.9677 15.9761x 0b 62.9677

١٣٠

b0=yb-b1*xb

نحصل علیھا من االمر xوb1=c[x1,y1]/c[x1,x1]

الجدول السابق نحصل علیھ من االمر

TableForm[def]




)٢٨-٤(مثال فإنھ یمكن عمل اختبار لنقص التوفیق بما أن ھناك تكرار لقیم للمثال السابق و

. التالى جدولال الخالص من الخطأیتم حساب مجموع مربعات : یلي كما

مجموع مربعات درجات الحریة x الخطأ الخالص

1 1 1 1

50 12.5 112.5

50

0.5 1

1.5 2

1b 15.9761

ieiyg ListPlotpp1, aa, a2, AxesLabel "y", "e"

idiyg ListPlotpp2, aa, a2, AxesLabel "y", "d"

iriy


x

١٣١

2 1 0 1 0 1 1 1 0 1 1 1

98 8 0

12.5 0

12.5 24.5 12.5

0 18

24.5 50

2.5 3

3.5 4

4.5 5

5.5 6

6.5 7 8 9

14 485.5 :ل التالى جدوالجدول تحلیل التباین معطى في

F MS SS df S.O.V.

االنحدار 1 48843.8 48843.8 384.45

الخطأ 28 3557.36 127.048 --

قصور التوفیق 14 3071.86 219.418 6.327

الخطأ الخالص 14 485.5 34.6786

الجدولیة Fأكبر من القیمة (6.327) المحسوبة لنقص المطابقة Fوبما أن قیمه لذا فإن النموذج الخطي ال عند مستوى معنویة

من خالل الذى یتضحیالئم البیانات بل أن هناك معادلة أخرى قد تالئم البیانات و .) ٤٢-٤(شكل االنتشار


53.2]14,14[F05. 05.0

١٣٢

x={.5,.5,1.,1,1.5,1.5,2,2,2.5,2.5,2.5,3,3,3.5,4,4,4.5,5,5,5.5,5.5,6,6,6.5,7,7,8,8,9,9} {0.5,0.5,1.,1,1.5,1.5,2,2,2.5,2.5,2.5,3,3,3.5,4,4,4.5,5,5,5.5,5.5,6,6,6.5,7,7,8,8,9,9} y={40.,50.,75,80,80,95.,100,90,114,103,101,116,120,123,138,133,146.,152,147,157,164,167,162,164,173,179,186,193,190,180} {40.,50.,75,80,80,95.,100,90,114,103,101,116,120,123,138,133,146.,152,147,157,164,167,162,164,173,179,186,193,190,180} yy={{40.,50},{75.,80},{80,95},{100,90},{114,103,101},{116,120},{123},{138,133},{146},{152,147},{157,164},{167,162},{164},{173,179},{186,193},{190,180}} {{40.,50},{75.,80},{80,95},{100,90},{114,103,101},{116,120},{123},{138,133},{146},{152,147},{157,164},{167,162},{164},{173,179},{186,193},{190,180}} a[x_]:=Length[x] z[x_]:=Apply[Plus,x]

h=Map[c,yy]

ssp=z[h] 485.5 q=Map[a,yy] {2,2,2,2,3,2,1,2,1,2,2,2,1,2,2,2} qq=q-1 {1,1,1,1,2,1,0,1,0,1,1,1,0,1,1,1} ne=z[qq] 14

34.6786 tx=Table[{1,x[[i]]},{i,1,a[x]}] {{1,0.5},{1,0.5},{1,1.},{1,1},{1,1.5},{1,1.5},{1,2},{1,2},{1,2.5},{1,2.5},{1,2.5},{1,3},{1,3},{1,3.5},{1,4},{1,4},

cx_: zx^2 zx2ax

50., 12.5, 225

2, 50, 98, 8, 0,

25

2, 0,

25

2,49

2,25

2, 0, 18,

49

2, 50

s2esspne

١٣٣

{1,4.5},{1,5},{1,5},{1,5.5},{1,5.5},{1,6},{1,6},{1,6.5},{1,7},{1,7},{1,8},{1,8},{1,9},{1,9}} a[tx] 30 u=Transpose[tx] {{1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1},{0.5,0.5,1.,1,1.5,1.5,2,2,2.5,2.5,2.5,3,3,3.5,4,4,4.5,5,5,5.5,5.5,6,6,6.5,7,7,8,8,9,9}} t1=u.y {3918.,19643.5} t2=Inverse[u.tx] {{0.126981,-0.0221216},{-0.0221216,0.00522557}} b=t1.t2 {62.9677,15.9761} b0=b[[1]] 62.9677 b1=b[[2]] 15.9761 yb=b0+b1*x {70.9558,70.9558,78.9438,78.9438,86.9319,86.9319,94.92,94.92,102.908,102.908,102.908,110.896,110.896,118.884,126.872,126.872,134.86,142.848,142.848,150.836,150.836,158.825,158.825,166.813,174.801,174.801,190.777,190.777,206.753,206.753} e=y-yb {-30.9558,-20.9558,-3.94383,1.05617,-6.93189,8.06811,5.08004,-4.91996,11.092,0.09197,-1.90803,5.1039,9.1039,4.11583,11.1278,6.12777,11.1397,9.15163,4.15163,6.16356,13.1636,8.17549,3.17549,-2.81258,-1.80064,4.19936,-4.77678,2.22322,-16.7529,-26.7529} sse=e.e 3557.36 ssto=c[y] 52401.2 ssl=sse-ssp 3071.86 ssr=ssto-sse 48843.8 dsr=1 1 n=a[x] 30 dse=n-2 28 dst=n-1 29 nl=dse-ne 14

١٣٤

48843.8

127.048

384.45

219.418

6.3272 ww=Transpose[{x,y}] {{0.5,40.},{0.5,50.},{1.,75},{1,80},{1.5,80},{1.5,95.},{2,100},{2,90},{2.5,114},{2.5,103},{2.5,101},{3,116},{3,120},{3.5,123},{4,138},{4,133},{4.5,146.},{5,152},{5,147},{5.5,157},{5.5,164},{6,167},{6,162},{6.5,164},{7,173},{7,179},{8,186},{8,193},{9,190},{9,180}} ww1=PlotRange{{0,10},{30,200}} PlotRange{{0,10},{30,200}} ww2=Prolog{PointSize[0.03]} Prolog{PointSize[0.03]} ww3=ListPlot[ww,ww1,ww2]

Graphics th=TableHeadings{{soruse,redession,residual,ftt,total},{anova}}

msrssrdsr

msessedse

fmsrmse

mslsslnl

ffmsls2e

2 4 6 8 10

75

100

125

150

175

200

١٣٥

TableHeadings{{soruse,redession,residual,ftt,total},{anova}} tr1={"df","ss","ms","f"} {df,ss,ms,f} tr2={dsr,ssr,msr,f} {1,48843.8,48843.8,384.45} tr3={dse,sse,mse,"---"} {28,3557.36,127.048,---} tr4={nl,ssl,msl,ff} {14,3071.86,219.418,6.3272} tr5={ne,ssp,s2e,"---"} {14,485.5,34.6786,---} TableForm[{tr1,tr2,tr3,tr4,tr5},th]

<<Statistics`ContinuousDistributions` =0.05; ff1=Quantile[FRatioDistribution[nl,ne],1-] 2.48373 If[ff>ff1,Print["RjectHo"],Print["AccpetHo"]] RjectHo ff2=Quantile[FRatioDistribution[dsr,dse],1-] 4.19597 If[f>ff2,Print["RjectHo"],Print["AccpetHo"]] RjectHo

)٢٩-٤(مثال

:حیث یمكن المحاولة مع تحویلة على االن : صبحتس معادلة االنحدار المقدرة

anovasoruse df ss ms fredession 1 48843.8 48843.8 384.45residual 28 3557.36 127.048

ftt 14 3071.86 219.418 6.3272total 14 485.5 34.6786

xxx

0 1b by x

١٣٦

:كل من یتم حساب التالىجدول الومن

yx,x,y,x 2

yx2xx yx

١٣٧

.)٤٦-٤( شكل االنتشار موضح في شكل فإنالزواج القیم

0.5 40 0.7071 0.5000 28.28420.5 50 0.7071 0.5000 35.3553

75 1 1 7580 1 1 80

1.5 80 1.2247 1.4999 97.97951.5 95 1.2247 1.4999 116.3507

100 1.4142 2.0000 141.421390 1.4142 2.0000 127.2792

2.5 114 1.5811 2.5000 180.24982.5 103 1.5811 2.5000 162.85722.5 101 1.5811 2.5000 159.6950

116 1.7320 2.9999 200.9178120 1.7320 2.9999 207.8460

3.5 123 1.8708 3.5 230.1119138 2 4 276133 2 4 266

4.5 146 2.1213 4.4999 309.7127152 2.2360 5.0000 339.8823147 2.2360 5.0000 328.7019

5.5 157 2.3452 5.5 368.19765.5 164 2.3452 5.5 384.6140

167 2.4494 5.9999 409.0647162 2.4494 5.9999 396.8173

6.5 164 2.5495 6.4999 418.1196173 2.6457 7.0000 457.7149179 2.6457 7.0000 473.5894186 2.8284 8.0000 526.0874193 2.8284 8.0000 545.8864190 3 9 570180 3 9 540

)y,x(

١٣٨

)٤٦-٤(شكل

:معادلة االنحدار المقدرة إلیجادیتم حساب القیم التالیة والالزمة اآلن

:معادلة الخط المستقیم المقدرة ھي

.للبیانات األصلیھ مع شكل االنتشار) ٤٧- ٤(والممثلھ بیانیا في شكل :والتي تصبح على الشكل

, 011.820SXY

, 1153.13SXX

, 5235.621153.13

011.820SXXSXYb1

. 78096.81.94837)(62.5235)(130.6x1byb0

x5235.6278096.8y

x5235.6278096.8y

١٣٩

)٤٧-٤(شكل :ل التالىجدوالجدول تحلیل التباین للبیانات المحولة معطى في

F MS SS df S.O.V

االنحدار 1 51270 51270 1269

الخطأ 28 1131.25 40.4017 --

الكلي 29 52401.2 -- --

فإننا نرفض الجدولیھ Fالمحسوبھ تزید عن قیمة Fبما أن قیمة وبواقي ستیودنت والبواقي المعیاریة البواقي . فرض العدم

:التالى جدول المعطاة في

2.4)28,1(F05. 0:H 10 ieid

ir

١٤٠

)٤٨- ٤(معطاة في شكل مقابل رسم البواقي

iridieiyiy

ix

0.707107 40. 52.9917 12.9917 2.04393 2.218010.707107 50 52.9917 2.99173 0.470676 0.510763

75 71.3044 3.69558 0.581409 0.61351180 71.3044 8.69558 1.36804 1.44357

1.22474 80 85.3563 5.35625 0.842677 0.875351.22474 95 85.3563 9.64375 1.51721 1.576041.41421 100 97.2025 2.79751 0.44012 0.4527681.41421 90 97.2025 7.20249 1.13314 1.16571.58114 114 107.639 6.36076 1.00071 1.023281.58114 103 107.639 4.63924 0.729872 0.7463291.58114 101 107.639 6.63924 1.04452 1.068081.73205 116 117.075 1.07478 0.16909 0.1722991.73205 120 117.075 2.92522 0.460213 0.4689471.87083 123 125.752 2.75165 0.432906 0.440411

138 133.828 4.17211 0.656381 0.667672133 133.828 0.827888 0.130248 0.132489

2.12132 146 141.413 4.58674 0.721613 0.7348172.23607 152 148.588 3.41233 0.536847 0.5478152.23607 147 148.588 1.58767 0.249782 0.2548862.34521 157 155.411 1.58852 0.249915 0.2557812.34521 164 155.411 8.58852 1.3512 1.382912.44949 167 161.932 5.06846 0.797399 0.8191842.44949 162 161.932 0.0684572 0.0107701 0.01106432.54951 164 168.185 4.18514 0.658431 0.679442.64575 173 174.202 1.2025 0.189184 0.1962182.64575 179 174.202 4.7975 0.754771 0.7828362.82843 186 185.624 0.37598 0.0591513 0.06208892.82843 193 185.624 7.37598 1.16043 1.21806

190 196.351 6.35135 0.999231 1.06377180 196.351 16.3514 2.57249 2.73864

ieiy

١٤١

)٤٨-٤(شكل

) .٤٩-٤(معطى في شكل مقابل أیضا رسم البواقي المعیاریة

)٤٩-٤(شكل

)٥٠-٤(معطى في شكل مقابل رسم بواقي ستیودنت وأخیرا

)٥٠-٤(شكل

النقاط أن ) ٥٠-٤(وشكل ) ٤٩-٤(شكل ) ٤٨-٤٥(یتضح من شكل تتوزع توزعا

حول الصفر مما یدل على أن النموذج المحول أكثر مالءمة من النموذج عشوائیا

idiy

iriy

١٤٢

أكبر من للنموذج الثاني ومما یؤكد ذلك أیضا أن . األول

للنموذج الثاني أصغر MSEوان للنموذج األول

.مناسبة من قیمتھ في النموذج األول وعلیھ فإن التحویلة وفیما یلى خطوات Mathematicaسوف یتم حل ھذا المثال بإستخدام برنامج مكتوب بلغة

.البرنامج والمخرجات p=1 1 xx={.5,.5,1.,1,1.5,1.5,2,2,2.5,2.5,2.5,3,3,3.5,4,4,4.5,5,5,5.5,5.5,6,6,6.5,7,7,8,8,9,9} {0.5,0.5,1.,1,1.5,1.5,2,2,2.5,2.5,2.5,3,3,3.5,4,4,4.5,5,5,5.5,5.5,6,6,6.5,7,7,8,8,9,9} y1={40,50,75,80,80,95.,100,90,114,103,101,116,120,123,138,133,146.,152,147,157,164,167,162,164,173,179,186,193,190,180} {40,50,75,80,80,95.,100,90,114,103,101,116,120,123,138,133,146.,152,147,157,164,167,162,164,173,179,186,193,190,180}

{0.707107,0.707107,1.,1.,1.22474,1.22474,1.41421,1.41421,1.58114,1.58114,1.58114,1.73205,1.73205,1.87083,2.,2.,2.12132,2.23607,2.23607,2.34521,2.34521,2.44949,2.44949,2.54951,2.64575,2.64575,2.82843,2.82843,3.,3.} l[x_]:=Length[x] h[x_]:=Apply[Plus,x] k[x_]:=h[x]/l[x] c[x_,y_]:=h[x*y]-((h[x]*h[y]))/l[x] sxx=c[x1,x1] 13.1153 xb=h[x1]/l[x1] 1.94837 yb=h[y1]/l[y1] 130.6 b1=c[x1,y1]/c[x1,x1] 62.5235 b0=yb-b1*xb 8.78096 yy=b0+(b1*x1) {52.9917,52.9917,71.3044,71.3044,85.3563,85.3563,97.2025,

2R

979.

2.5240151270

2R

932.0

16.524018.48843

xx

x1 Nxx N

١٤٣

97.2025,107.639,107.639,107.639,117.075,117.075,125.752,133.828,133.828,141.413,148.588,148.588,155.411,155.411,161.932,161.932,168.185,174.202,174.202,185.624,185.624,196.351,196.351} e=y1-yy {-12.9917,-2.99173,3.69558,8.69558,-5.35625,9.64375,2.79751,-7.20249,6.36076,-4.63924,-6.63924,-1.07478,2.92522,-2.75165,4.17211,-0.827888,4.58674,3.41233,-1.58767,1.58852,8.58852,5.06846,0.0684572,-4.18514,-1.2025,4.7975,0.37598,7.37598,-6.35135,-16.3514} t1=Transpose[{x1,y1}] {{0.707107,40},{0.707107,50},{1.,75},{1.,80},{1.22474,80},{1.22474,95.},{1.41421,100},{1.41421,90},{1.58114,114},{1.58114,103},{1.58114,101},{1.73205,116},{1.73205,120},{1.87083,123},{2.,138},{2.,133},{2.12132,146.},{2.23607,152},{2.23607,147},{2.34521,157},{2.34521,164},{2.44949,167},{2.44949,162},{2.54951,164},{2.64575,173},{2.64575,179},{2.82843,186},{2.82843,193},{3.,190},{3.,180}} a=PlotRange{{0,4},{0,200}} PlotRange{{0,4},{0,200}} a1=Prolog{PointSize[.02]} Prolog{PointSize[0.02]} g= ListPlot[t1,a,a1,AxesLabel{"x","y"}]


0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4x

25

50

75

100

125

150

175

200y

١٤٤

Graphics n=l[x1] 30 ssto=c[y1,y1] 52401.2 ssr=c[x1,y1]^2/c[x1,x1] 51270. sse=ssto-ssr 1131.25 mse=sse/(n-2) 40.4017

{-2.04393,-0.470676,0.581409,1.36804,-0.842677,1.51721,0.44012,-1.13314,1.00071,-0.729872,-1.04452,-0.16909,0.460213,-0.432906,0.656381,-0.130248,0.721613,0.536847,-0.249782,0.249915,1.3512,0.797399,0.0107701,-0.658431,-0.189184,0.754771,0.0591513,1.16043,-0.999231,-2.57249}

{-2.21801,-0.510763,0.613511,1.44357,-0.87535,1.57604,0.452768,-1.1657,1.02328,-0.746329,-1.06808,-0.172299,0.468947,-0.440411,0.667672,-0.132489,0.734817,0.547815,-0.254886,0.255781,1.38291,0.819184,0.0110643,-0.67944,-0.196218,0.782836,0.0620889,1.21806,-1.06377,-2.73864} pp1=Transpose[{yy,e}] {{52.9917,-12.9917},{52.9917,-2.99173},{71.3044,3.69558},{71.3044,8.69558},{85.3563,-5.35625},{85.3563,9.64375},{97.2025,2.79751},{97.2025,-7.20249},{107.639,6.36076},{107.639,-4.63924},{107.639,-6.63924},{117.075,-1.07478},{117.075,2.92522},{125.752,-2.75165},{133.828,4.17211},{133.828,-0.827888},{141.413,4.58674},{148.588,3.41233},{148.588,-1.58767},{155.411,1.58852},{155.411,8.58852},{161.932,5.06846},{161.932,0.0684572},{168.185,-4.18514},{174.202,-

2 4 6 8x

100

200

300

400

500

y

di e mse

ri e mse1 1nx1xb^2

sxx N

١٤٥

1.2025},{174.202,4.7975},{185.624,0.37598},{185.624,7.37598},{196.351,-6.35135},{196.351,-16.3514}} aa=PlotRange{{30,250},{-50,15}} PlotRange{{30,250},{-50,15}} a2=Prolog{PointSize[.02]} Prolog{PointSize[0.02]}

Graphics pp2=Transpose[{yy,di}] {{52.9917,-2.04393},{52.9917,-0.470676},{71.3044,0.581409},{71.3044,1.36804},{85.3563,-0.842677},{85.3563,1.51721},{97.2025,0.44012},{97.2025,-1.13314},{107.639,1.00071},{107.639,-0.729872},{107.639,-1.04452},{117.075,-0.16909},{117.075,0.460213},{125.752,-0.432906},{133.828,0.656381},{133.828,-0.130248},{141.413,0.721613},{148.588,0.536847},{148.588,-0.249782},{155.411,0.249915},{155.411,1.3512},{161.932,0.797399},{161.932,0.0107701},{168.185,-0.658431},{174.202,-0.189184},{174.202,0.754771},{185.624,0.0591513},{185.624,1.16043},{196.351,-0.999231},{196.351,-2.57249}} aa=PlotRange{{30,250},{-5,5}} PlotRange{{30,250},{-5,5}} a2=Prolog{PointSize[.02]} Prolog{PointSize[0.02]}


100 150 200 250y

-50

-40

-30

-20

-10

10

e


١٤٦

Graphics pp3=Transpose[{yy,ri}] {{52.9917,-2.21801},{52.9917,-0.510763},{71.3044,0.613511},{71.3044,1.44357},{85.3563,-0.87535},{85.3563,1.57604},{97.2025,0.452768},{97.2025,-1.1657},{107.639,1.02328},{107.639,-0.746329},{107.639,-1.06808},{117.075,-0.172299},{117.075,0.468947},{125.752,-0.440411},{133.828,0.667672},{133.828,-0.132489},{141.413,0.734817},{148.588,0.547815},{148.588,-0.254886},{155.411,0.255781},{155.411,1.38291},{161.932,0.819184},{161.932,0.0110643},{168.185,-0.67944},{174.202,-0.196218},{174.202,0.782836},{185.624,0.0620889},{185.624,1.21806},{196.351,-1.06377},{196.351,-2.73864}} aa=PlotRange{{30,250},{-3,3}} PlotRange{{30,250},{-3,3}} a2=Prolog{PointSize[.02]} Prolog{PointSize[0.02]}

Graphics def=Transpose[{x1,y1,yy,e,di,ri}]

100 150 200 250y

-4

-2

2

4

d


100 150 200 250y

-3

-2

-1

1

2

3r

١٤٧

{{0.707107,40,52.9917,-12.9917,-2.04393,-2.21801},{0.707107,50,52.9917,-2.99173,-0.470676,-0.510763},{1.,75,71.3044,3.69558,0.581409,0.613511},{1.,80,71.3044,8.69558,1.36804,1.44357},{1.22474,80,85.3563,-5.35625,-0.842677,-0.87535},{1.22474,95.,85.3563,9.64375,1.51721,1.57604},{1.41421,100,97.2025,2.79751,0.44012,0.452768},{1.41421,90,97.2025,-7.20249,-1.13314,-1.1657},{1.58114,114,107.639,6.36076,1.00071,1.02328},{1.58114,103,107.639,-4.63924,-0.729872,-0.746329},{1.58114,101,107.639,-6.63924,-1.04452,-1.06808},{1.73205,116,117.075,-1.07478,-0.16909,-0.172299},{1.73205,120,117.075,2.92522,0.460213,0.468947},{1.87083,123,125.752,-2.75165,-0.432906,-0.440411},{2.,138,133.828,4.17211,0.656381,0.667672},{2.,133,133.828,-0.827888,-0.130248,-0.132489},{2.12132,146.,141.413,4.58674,0.721613,0.734817},{2.23607,152,148.588,3.41233,0.536847,0.547815},{2.23607,147,148.588,-1.58767,-0.249782,-0.254886},{2.34521,157,155.411,1.58852,0.249915,0.255781},{2.34521,164,155.411,8.58852,1.3512,1.38291},{2.44949,167,161.932,5.06846,0.797399,0.819184},{2.44949,162,161.932,0.0684572,0.0107701,0.0110643},{2.54951,164,168.185,-4.18514,-0.658431,-0.67944},{2.64575,173,174.202,-1.2025,-0.189184,-0.196218},{2.64575,179,174.202,4.7975,0.754771,0.782836},{2.82843,186,185.624,0.37598,0.0591513,0.0620889},{2.82843,193,185.624,7.37598,1.16043,1.21806},{3.,190,196.351,-6.35135,-0.999231,-1.06377},{3.,180,196.351,-16.3514,-2.57249,-2.73864}} TableForm[def]

١٤٨

وقد تم حل ھذا المثال بنفس طریقة حل المثال السابق فقط تم اخذ الجذر التربیعى . للمتغیر المستقل

اكتشاف و تصحیح عدم ثبات التباین ) ١٤-٤(

0.707107 40 52.9917 12.9917 2.04393 2.218010.707107 50 52.9917 2.99173 0.470676 0.5107631. 75 71.3044 3.69558 0.581409 0.6135111. 80 71.3044 8.69558 1.36804 1.443571.22474 80 85.3563 5.35625 0.842677 0.875351.22474 95. 85.3563 9.64375 1.51721 1.576041.41421 100 97.2025 2.79751 0.44012 0.4527681.41421 90 97.2025 7.20249 1.13314 1.16571.58114 114 107.639 6.36076 1.00071 1.023281.58114 103 107.639 4.63924 0.729872 0.7463291.58114 101 107.639 6.63924 1.04452 1.068081.73205 116 117.075 1.07478 0.16909 0.1722991.73205 120 117.075 2.92522 0.460213 0.4689471.87083 123 125.752 2.75165 0.432906 0.4404112. 138 133.828 4.17211 0.656381 0.6676722. 133 133.828 0.827888 0.130248 0.1324892.12132 146. 141.413 4.58674 0.721613 0.7348172.23607 152 148.588 3.41233 0.536847 0.5478152.23607 147 148.588 1.58767 0.249782 0.2548862.34521 157 155.411 1.58852 0.249915 0.2557812.34521 164 155.411 8.58852 1.3512 1.382912.44949 167 161.932 5.06846 0.797399 0.8191842.44949 162 161.932 0.0684572 0.0107701 0.01106432.54951 164 168.185 4.18514 0.658431 0.679442.64575 173 174.202 1.2025 0.189184 0.1962182.64575 179 174.202 4.7975 0.754771 0.7828362.82843 186 185.624 0.37598 0.0591513 0.06208892.82843 193 185.624 7.37598 1.16043 1.218063. 190 196.351 6.35135 0.999231 1.063773. 180 196.351 16.3514 2.57249 2.73864

١٤٩

این لحدود یطلق على تحقق الفرض ات التب ثباین ، -تصارا ثبات التباین اخاالخطاء ، أو ا homoscedasticityتجانس التب بینم

این ات التب ذا الفرض یسمى عدم ثب ة ھ ات . heteroscedasticity مخالف ر ثب یعتب .التباین المطلب األساسي لتحلیل األنحدار

این انس التب دم تج ار ع دة الختب رق عدی د ط ي .یوج دم ف وف نق الي اس زء الت لج :الطریقة التالیة

این كوادت الكتشاف عدم ثبات التب -طریقة جولد) ١-١٤-٤(

:حیث )أو أكثر (یمكن أستخدام ھذه الطریقة في حالة وجود متغیر مستقل ازلي اعدي أو تن ب تص تقلة ترتی رات المس د المتغی ألح ا اھدات وفق ب المش م ترت ث

ز السلس% 20حذف ی یكن لمن المشاھدات من مرك ار (c)ة ول ل االختب ك یجع وذل

یة ر حساس ای .أكث ن المش تخدم الجزء األول م ة ھدات س اد معادل ي ایج ف

من جدول تحلیل االنحدار المطلوبة والحصول على مجموع مربعات الخطأ این رة .التب اھدات األخی تخدام المش ن باس ة ولك وة التالی ي الخط بق ف ا س رر م تك

ات الخطأ وعددھا أیضا ى مجموع مربع واجراء انحدار والحصول عل

د . د فیل دت –یستخدم اختبار جول ات كوان وعین من عدم ثب للكشف عن ن :التباین وھما

حیث xخطأ دالة تناقصیة في المتغیر المستقلالعندما یكون تباین حد ) أ(تباین حد الخطأ متجانس ضد الفرض : فرض العدم سوف یكون

وفي ھذا . تباین حد الخطأ دالة تناقصیة في المتغیر :البدیل :صیغة التالیةالذي یأخذ ال االختبار یستخدم األحصاء

.

ة ة قیم ة الخطأ F ومقارن درجات حری ة ب ا الجدولی المحسوبة بنظیرتھود والصف ةوإللعم ت قیم رفض Fذا كان ة ن ا الجدولی ر من نظیرتھ أكب

.فرض العدمر المستقل ) ب( ھ للمتغی ھ تزایدی د الخطأ دال این ح ن فرض إف xعندما یكون تب

ون دم یك دیل : الع رض الب د الف انس ض أ متج د الخط این ح : تب Fفي ھذا االختبار یستخدم االحصاء و x تباین حد الخطأ دالھ تزایدیھ في

: على الصورة التالیة

2ii )Y(Var)(Var

2)cn(

1SSE

2)cn(

2SSE

0H1Hx

F

2

1

2

1MSEMSE

2)cn(SSE2)cn(SSE

F

0H1H

١٥٠

.

المحسوبة بنظیرتھا الجدولیة بدرجات حریة الخطأ للعمود Fوبمقارنة قیمةأكبر من نظیراتھا الجدولیة نرفض فرض العدم Fانت قیمةذا كوإوالصف

.

)٣٠-٤(مثال

ار التالىجدول الالبیانات المعطاة في تمثل درجات اختبار القبول ودرجات اختب

ة ؤالتفاضل والتكامل لعشرة من طلبة الجامعة ، مع أمل أن یكون ھ الء العشرة عین . عشوائیة من مجتمع الطلبة في الجامعة والمطلوب اختبار تجانس التباین

الدرجة في امتحان الطالب القبول

الدرجة في امتحان التفاضل

1 39 65 2 43 74 3 21 52 4 64 82 5 57 92 6 47 74 7 28 73 8 75 98 9 34 56 10 52 75

: الحــل ى من n=10وحیث أن عدد أزواج المشاھدات ة أزواج االول فإننا نأخذ االربع

المتغیر المشاھدات ونستخدمھا في أیجاد جدول تحلیل التباین xالمرتبھ وفقاى ول عل ك للحص ى وذل ل عل ة نحص نفس الطریق الزواج وب

ر المشاھدات االربعة االخیرة المتغی ا ھ وفق ي xالمرتب ا ھو موضح ف ینجدولالكم .Fثم نحسب قیمة التالیین

F MS SS df Source

0.242351 -

28.6409 118.18

28.6409 236.359

1 2

Regression Residual

2)cn(SSE2)cn(SSE

F1

2

xy

1SSE2SSE

١٥١

- - 265 3 Total : فإن السابقجدول ال ومن

F MS SS df Source

2.486 - -

174.443 70.1535

-

174.443 140.307 314.75

1 2 3

Regression Residual

Total

: فإن السابقجدول ال ومن

: تكون) ٣٠-٤(للمثال Fوعلیة فقیمة ) ٣-٤(بالتعویض في المعادلة

.

ة لالمحسوبھ Fوبما أن قیم ة من أق ة القیم ل الجدولی ا نقب فإنن .فرض العدم وھو ثبات التباین


p=1 1 =.05 0.05 x1={21.,28,34,39} {21.,28,34,39} y1={52.,73,56,65} {52.,73,56,65} l[x_]:=Length[x] h[x_]:=Apply[Plus,x] k[x_]:=h[x]/l[x] c[x_,y_]:=h[x*y]-((h[x]*h[y]))/l[x] xb=h[x1]/l[x1] 30.5 yb=h[y1]/l[y1] 61.5 b1=c[x1,y1]/c[x1,x1] 0.39779 b0=yb-b1*xb 49.3674 n=l[x1] 4 ssto=c[y1,y1]

359.236SSE1

307.140SSE2

6845.12/307.1402/359.236F

19)2,2(F 05.0

١٥٢

265. ssr=c[x1,y1]^2/c[x1,x1] 28.6409 sse=ssto-ssr 236.359 dto=n-1 3 msr=ssr/1 28.6409 dse=n-2 2 mse=sse/(n-2) 118.18 f1=msr/mse 0.242351 th=TableHeadings{{source,regression,residual,total},{anova}} TableHeadings{{source,regression,residual,total},{anova}} rt1=List["df","SS","MS","F"] {df,SS,MS,F} rt2=List[p,ssr,msr,f1] {1,28.6409,28.6409,0.242351} rt3=List[dse,sse,mse,"---"] {2,236.359,118.18,---} rt4=List[dto,ssto,"---","---"] {3,265.,---,---} tf=TableForm[{rt1,rt2,rt3,rt4},th]

p=1 1 =.05 0.05 x11={52.,57,64,75} {52.,57,64,75} y11={75.,92,82,98} {75.,92,82,98} l[x_]:=Length[x] h[x_]:=Apply[Plus,x] k[x_]:=h[x]/l[x] c[x_,y_]:=h[x*y]-((h[x]*h[y]))/l[x]


total 3 265.

١٥٣

xb=h[x11]/l[x11] 62. yb=h[y11]/l[y11] 86.75 b1=c[x11,y11]/c[x11,x11] 0.765101 b0=yb-b1*xb 39.3138 n=l[x11] 4 ssto=c[y11,y11] 314.75 ssr=c[x11,y11]^2/c[x11,x11] 174.443 sse=ssto-ssr 140.307 dto=n-1 3 msr=ssr/1 174.443 dse=n-2 2 mse1=sse/(n-2) 70.1535 f1=msr/mse1 2.48659 th=TableHeadings{{source,regression,residual,total},{anova}} TableHeadings{{source,regression,residual,total},{anova}} rt1=List["df","SS","MS","F"] {df,SS,MS,F} rt2=List[p,ssr,msr,f1] {1,174.443,174.443,2.48659} rt3=List[dse,sse,mse1,"---"] {2,140.307,70.1535,---} rt4=List[dto,ssto,"---","---"] {3,314.75,---,---} tf1=TableForm[{rt1,rt2,rt3,rt4},th]

1.68458


total 3 314.75

ffMaxmse, mse1Minmse, mse1

١٥٤

<<Statistics`ContinuousDistributions` ffee=Quantile[FRatioDistribution[n-2,n-2],1-] 19. If[ff>=ffee,Print["Reject Ho"],Print["Accept Ho"]] Accept Ho

:لھذا المثال ر االربعة أزواج االولى من المشاھدات المتغی ان xالمرتبھ وفقا و من القائمت

نحصل علیھ من االمر جدول تحلیل التباین tf=TableForm[{rt1,rt2,rt3,rt4},th]

ى ول عل ك للحص ى وذل ل عل ة نحص نفس الطریق الزواج وب المتغیر المشاھدات االربعة االخیرة ان من القا xالمرتبھ وفقا جدول و ئمت

نحصل علیھ من االمر تحلیل التباین tf1=TableForm[{rt1,rt2,rt3,rt4},th]

f المحسوبة من االمر


ffee=Quantile[FRatioDistribution[n-2,n-2],1-] القرار الذى یتخذ من االمر

If[ff>=ffee,Print["Reject Ho"],Print["Accept Ho"]]

وھو قبول فرض العدم من المخرجAccept Ho

تصحیح عدم ثبات التباین ) ٢-١٥-٤(

أ این لحدود الخط وذج االنحدار الخطى البسیط عندما ال یتحقق ثبات التب ى نم اذ ) ١-٤(ف د من اتخ فالب : یتم تصحیح عدم ثبات التباین بطریقتین . تقریبا متساویة) أو ( اجراء و ذلك لجعل تباینات

. yعمل تحویل لقیم :الطریقة االولى -ا من استخدام : الطریقة الثانیة -ب استخدام طریقة المربعات الصغرى المرجحة بدال

ین تخدام وزن مع ك بإس ة وذل غرى العادی ات الص ة المربع ل طریق لجع :سوف نتناول الطریقتین في الجزء التالي . التباین لالخطاء متجانسة

طریقة تحویل قیم المتغیر التابع -اات ا yبفرض إننا نرغب في تحویل قیم این لتصحیح عدم االعتدال أو عدم ثب لتب

دار ة االنح ھ دال دم خطی وى .أو ع ة الق ي تحویل ویالت ھ ن التح دة م ة المفی العائل

x1, y1

1SSE2SSEx11, y11


i

iiY

iw

١٥٥

power transformation ا حیث دیر لھ وب إیجاد تق ى ،معلمھ مطل فعل

ال بیل المث ث س ي حی ذر التربیع ة الج تخدام تحویل ي اس و تعن

المعیار فى تحدید . تعني استخدام التحویلة اللوغاریتمیة حیث یم قیمة ة yالمناسبة لتحویل ق ات ھى ایجاد قیم ى تجعل مجموع مربع و الت

نستخدم سوف و ما یمكن النحدار خطى یستند إلى ذلك التحویل اصغر SSEالبواقى وكس ة ب وكس –طریق ى Box and Cox ك دخول ف دون ال ذا الغرض وب لھ

:التفاصیل سوف نستخدم برنامج جاھز لھذا الغرض وذلك من خالل المثال التالى )٣١-٤(مثال

ة الزواج قیم الى gradedata المسماه المعطاه فى القائم امج الت ى البرن الجاھز فة ال وب بلغ وكس نستخدم سوف Mathematicaمكت ة ب Box and كوكس –طریق

Cox المناسبة لتحویل قیم قیمة لحسابy مع فترة ثقة ل .وفیما یلى خطوات البرنامج والمخرجات

Off[General::spell1] <<Statistics`LinearRegression` <<Statistics`ContinuousDistributions` <<Statistics`DescriptiveStatistics` Clear[yp] yp[yij_,ytwiddle_,lambda_]:=(yij^lambda-1)/(lambda ytwiddle^(lambda-1)) /;lambda !=0; yp[yij_,ytwiddle_,lambda_]:=ytwiddle Log[yij] /; lambda ==0; Clear[sse] sse[data_,predictors_,indepvars_,ytwiddle_,lambda_,p_]:=Module[{resvals,withwvals}, withwvals=Table[MapAt[yp[#,ytwiddle,lambda]&,data[[j]],p],{j,1,Length[data]}]; resvals=Regress[withwvals,predictors,indepvars,RegressionReport->FitResiduals][[1,2]]; Sum[resvals[[i]]^2,{i,1,Length[resvals]}]] Options[boxCoxRegression]={limits->{-2,2},gridsize->20,confidence->0.95}; Clear[boxCoxRegression] boxCoxRegression[data_,pred_,indepvars_,opts___]:=Module[{lambdaminmax,grid,lambdavals,n,p,depvars,ytwiddle,table2,minval,lambdaposition,lambdahat,nu,ci,dist,chi2,var,table3,table4,table5,min,max,lambda1,lambda2}, lambdaminmax=limits /. {opts} /. Options[boxCoxRegression]; grid=gridsize/. {opts} /. Options[boxCoxRegression];

y

21

yy

0)yln(y

x, y

١٥٦

lambdavals=Table[lambdaminmax[[1]]+i(lambdaminmax[[2]]-lambdaminmax[[1]])/(grid-1),{i,0,grid-1}]; n=Length[data]; p=Length[data[[1]]]; depvars=Table[data[[i,p]],{i,1,Length[data]}]; ytwiddle=GeometricMean[depvars]//N; table2=Table[sse[data,pred,indepvars,ytwiddle,lambdavals[[i]],p],{i,1,Length[lambdavals]}]; minval=Min[table2]; lambdaposition=(Position[table2,minval]//Flatten)[[1]]; lambdahat=lambdavals[[lambdaposition]]; nu=n-p; ci=confidence /. {opts} /. Options[boxCoxRegression]; dist=ChiSquareDistribution[1]; chi2=Quantile[dist,ci]; var=-nu/2 Log[table2[[lambdaposition]]/nu]-1/2 chi2; table3=Map[-nu/2 Log[#/nu]&,table2]; table4=Map[#>var&,table3]; table5=Position[table4,True]//Flatten; min=Min[table5]; max=Max[table5]; lambda1=lambdavals[[min]]; lambda2=lambdavals[[max]]; Print["Box-Cox Transformation"]; {BoxCox->lambdahat//N,Confidence->100*ci"%" ,ConfidenceInterval->{lambda1//N,lambda2//N}} ] gradedata={{0.5,40},{0.5,50},{1,75},{1,80},{1.5,80},{1.5,95},{2,100},{2,90},{2.5,114},{2.5,103},{2.5,101},{3,116},{3,120},{3.5,123},{4,138},{4,133},{4.5,146},{5,152},{5,147},{5.5,157},{5.5,164},{6,167},{6,162},{6.5,164},{7,173},{7,179},{8,186},{8,193},{9,190},{9,180}}; boxCoxRegression[gradedata,{1,x},x] Box-Cox Transformation

{BoxCox2.,Confidence95. %,ConfidenceInterval{1.78947,2.}}

من االمر مع فترة ثقة ل ھى yالمناسبة لتحویل قیم قیمة boxCoxRegression[gradedata,{1,x},x]

و المخرج {BoxCox2.,Confidence95.

%,ConfidenceInterval{1.78947,2.}} طریقة المربعات الصغرى المرجحة -ب

Weighted least squares:

2

١٥٧

ة حیث بفرض أن للحصول و أوزان معروفات الصغرى المرجحة على تقدیرات للمعالم یمكن استخدام طریقة المربع

Weight Least Squares (WLS) حیث:

,

.

ال إذا . في كثیر من المشاكل فإن األوزان یمكن تقدیرھا بسھولة ى سبیل المث علا كانت مشاھدة في الحقیقة تمثل متوسط مشاھدات مأخوذة من عینة حجمھاین وإذا كانت كل المشاھدات األصلیة لھا تباین ثابت عند إن تب ھو ف

وو وزن ھ ون ال ذلك یك ان . ل ض األحی ي بع فاین تقل تب ر المس ي المتغی ة ف ون دال ال xیك بیل المث ى س ، فعل

ا استخدام ا یمكنن ة فإنن ذه الحال في ھ

وزن ون . ك د یك ق ا ك أیض ى ذل ى وعل والت

ات إحصائیة تأخذ شكل ى بیان د عل ي تعتم ي الدراسات األبحاث الت ف را ر كثی تظھة ة cross-section dataالبیانات المقطعی ات المقطعی ث تشتت مشاھدات البیان حی

كبیرا من مستوى الى أخر من مستویات الخاصة بالمتغیر التابع قد تختلف اختالفالمثال في دراسة العالقة بین دخل وأنفاق األسر على فعلى سبیل ا. المتغیر المستقل

رة ة كبی ع بمرون ة تتمت مختلف السلع والخدمات نجد أن األسر ذات الدخول المرتفعفي األنفاق ، في حین أن أنفاق األسر ذات الدخول المنخفضة یقع عادة ضمن حدود

ن عند قیم الدخول ضیقة وعلیھ فإن التباین عند الدخول الكبیر ، یكون أكبر من التبایذة ل ھ ي مث ة الجدوى ف این تصبح عدیم ات التب الصغیرة وھكذا نجد أن فرضیة ثبي الحاالت وبالتالي یواجھ الباحث مشكلة عدم ثبات التباین والتى سوف نصححھا ف

المثال التالي

)٣٢-٤(مثال

ة مكونالتالى جدول الیعطي اق الشھري لعین دخل واإلنف 20ة من بیانات عن ال

العینة في كل . مشاھدة مقسمة إلى أربعة مجامیع وكل مجموعة بھا خمس مشاھدات

i22

ii w)(Var iw10 ,

i

2ii

i2i

i

iiiiiii

1

w)wx(wx

wwywxwyx

b

i

iiwwx

1i

ii0 b

wwyb

iyin

ix2iY i

2ii n/σεVarYVar in

iY

i2

ii x)(Var)Y(Var i

i x1w

2i

2i xYVar 2

ii

x1w

١٥٨

اق الشھري د نفس 1000$مجموعة تم الحصول علیھا بتقدیر اإلنف لخمس أسر عندخل رض أن . ال ت ف ي تح دار الخط وذج االنح الم نم دیرات مع د تق أوج

.

الدخل$1000

المجموعة $ 1000االنفاق الشھري

5.0 2.1 2.0 2.0 2.0 1.8 1 10.0 3.6 3.5 3.5 3.2 3.0 2 15.0 5.0 4.8 4.5 4.2 4.2 3 20.0 6.2 6.0 5.7 5.0 4.8 4

.أن العالقة بین اإلنفاق والدخل الشھري عالقة خطیة) ٥١-٤(یوضح شكل

)٥١-٤(شكل

:التالىجدول الالبیانات الالزمة لحساب معادلة االنحدار المقدرة معطاة في

2i

2i xVar

2.5 5 7.5 10 12.5 15 17.5 20

2

4

6

8

10

١٥٩

:حیث

، 5.1220250

nxx

855.320

1.77nyy

xy y x

250 77.1 3750 1112

2x

5 1.8 25 95 2 25 105 2 25 105 2 25 105 2.1 25 10.510 3 100 3010 3.2 100 3210 3.5 100 3510 3.5 100 3510 3.6 100 3615 4.2 225 6315 4.2 225 6315 4.5 225 67.515 4.8 225 7215 5 225 7520 4.8 400 9620 5 400 10020 5.7 400 11420 6 400 12020 6.2 400 124

١٦٠

:وعلى ذلك معادلة االنحدار المقدرة ھي

في شكل مع شكل االنتشار) ٥٢-٤(والممثلة بیانیا

nyxyxSXY ii

ii

20

1.772501112

,25.148

nxxSXX

2i2

,62520

25037502

,2372.0625

25.148SXXSXYb1

5.122372.0855.3xbyb 10 89.0

y 0.89 0.2372x

2.5 5 7.5 10 12.5 15 17.5 20

2

4

6

8

10

١٦١

)٥٢-٤(شكل

. والبواقي المعیاریة والبواقي القیاسیة البواقي التالىجدول الیعطي

y x -0.79786

-0.219701 -0.219701 -0.219701 0.0693792 -0.724443 -0.171433 0.658082 0.658082 0.934587 -0.685733 -0.685733 0.143783 0.973298 1.52631 -2.41093 -1.83277 0.190793 1.05803 1.63619

-0.739905 -0.203742 -0.203742 -0.203742 0.0643396 -0.702374 -0.166211 0.638034 0.638034 0.906116 -0.664842 -0.664842 0.139402 0.943647 1.47981 -2.2358 -1.69964 0.176934 0.981179 1.51734

-0.276 -0.076 -0.076 -0.076 0.024 -0.262 -0.062 0.238 0.238 0.338 -0.248 -0.248 0.052 0.352 0.552 -0.834 -0.634 0.066 0.366 0.566

2.076 2.076 2.076 2.076 2.076 3.262 3.262 3.262 3.262 3.262 4.448 4.448 4.448 4.448 4.448 5.634 5.634 5.634 5.634 5.634

1.8 2 2 2

2.1 3

3.2 3.5 3.5 3.6 4.2 4.2 4.5 4.8 5

4.8 5

5.7 6

6.2

5 5 5 5 5 10 10 10 10 10 15 15 15 15 15 20 20 20 20 20

.على التوالي) ٥٥-٤(وشكل ) ٥٤-٤(وشكل ) ٥٣-٤(والموضحة بیانیا في شكل

ieidir

iridieiy

2 4 6 8 10

-1

-0.75

-0.5

-0.25

0.25

0.5

0.75

1

١٦٢

)٥٣-٤(شكل

)٥٤-٤(شكل

)٥٥-٤(شكل

أن ) ٥٥-٤(وشكل ) ٥٤-٤(وشكل ) ٥٣-٤(یتضح من رسم البواقي في شكل

.الشكل القمعي المفتوح من أعليتباین البواقي غیر ثابت وذلك لظھور :.سوف نستخدم برنامج جاھز لھذا الغرض وذلك من خالل المثال التالى

)٣٢-٤(مثال

وفیما یلى خطوات Mathematicaبإستخدام برنامج مكتوب بلغة السابق سوف یتم حل المثال البرنامج والمخرجات

p=1 1

2 4 6 8 10

-3

-2

-1

1

2

3

2 4 6 8 10

-2

-1.5

-1

-0.5

0.5

1

1.5

2

١٦٣

y1={1.8,2,2,2,2.1,3,3.2,3.5,3.5,3.6,4.2,4.2,4.5,4.8,5,4.8,5,5.7,6,6.2} {1.8,2,2,2,2.1,3,3.2,3.5,3.5,3.6,4.2,4.2,4.5,4.8,5,4.8,5,5.7,6,6.2} {1.8,2,2,2,2.1,3,3.2,3.5,3.5,3.6,4.2,4.2,4.5,4.8,5,4.8,5,5.7,6,6.2} {1.8,2,2,2,2.1,3,3.2,3.5,3.5,3.6,4.2,4.2,4.5,4.8,5,4.8,5,5.7,6,6.2} x1={5.,5,5,5,5,10,10.,10,10,10.,15,15,15,15,15,20,20,20,20,20} {5.,5,5,5,5,10,10.,10,10,10.,15,15,15,15,15,20,20,20,20,20} {5.,5,5,5,5,10,10.,10,10,10.,15,15,15,15,15,20,20,20,20,20} {5.,5,5,5,5,10,10.,10,10,10.,15,15,15,15,15,20,20,20,20,20} l[x_]:=Length[x] h[x_]:=Apply[Plus,x] k[x_]:=h[x]/l[x] c[x_,y_]:=h[x*y]-((h[x]*h[y]))/l[x] sxx=c[x1,x1] 625. xb=h[x1]/l[x1] 12.5 yb=h[y1]/l[y1] 3.855 b1=c[x1,y1]/c[x1,x1] 0.2372 b0=yb-b1*xb 0.89 yy=b0+(b1*x1) {2.076,2.076,2.076,2.076,2.076,3.262,3.262,3.262,3.262,3.262,4.448,4.448,4.448,4.448,4.448,5.634,5.634,5.634,5.634,5.634} e=y1-yy {-0.276,-0.076,-0.076,-0.076,0.024,-0.262,-0.062,0.238,0.238,0.338,-0.248,-0.248,0.052,0.352,0.552,-0.834,-0.634,0.066,0.366,0.566} t1=Transpose[{x1,y1}] {{5.,1.8},{5,2},{5,2},{5,2},{5,2.1},{10,3},{10.,3.2},{10,

١٦٤

3.5},{10,3.5},{10.,3.6},{15,4.2},{15,4.2},{15,4.5},{15,4.8},{15,5},{20,4.8},{20,5},{20,5.7},{20,6},{20,6.2}} a=PlotRange{{0,20},{0,10}} PlotRange{{0,20},{0,10}} a1=Prolog{PointSize[.02]} Prolog{PointSize[0.02]} g= ListPlot[t1,a,a1,AxesLabel{"x","y"}]


Graphics Show[g,dd]

Graphics

2.5 5 7.5 10 12.5 15 17.5 20x

2

4

6

8

10y

5 10 15 20x

1

2

3

4

5

y

2.5 5 7.5 10 12.5 15 17.5 20x

2

4

6

8

10y

١٦٥

n=l[x1] 20 ssto=c[y1,y1] 37.6695 ssr=c[x1,y1]^2/c[x1,x1] 35.1649 sse=ssto-ssr 2.5046 mse=sse/(n-2) 0.139144

{-0.739905,-0.203742,-0.203742,-0.203742,0.0643396,-0.702374,-0.166211,0.638034,0.638034,0.906116,-0.664842,-0.664842,0.139402,0.943647,1.47981,-2.2358,-1.69964,0.176934,0.981179,1.51734}

{-0.79786,-0.219701,-0.219701,-0.219701,0.0693792,-0.724443,-0.171433,0.658082,0.658082,0.934587,-0.685733,-0.685733,0.143783,0.973298,1.52631,-2.41093,-1.83277,0.190793,1.05803,1.63619} pp1=Transpose[{yy,e}] {{2.076,-0.276},{2.076,-0.076},{2.076,-0.076},{2.076,-0.076},{2.076,0.024},{3.262,-0.262},{3.262,-0.062},{3.262,0.238},{3.262,0.238},{3.262,0.338},{4.448,-0.248},{4.448,-0.248},{4.448,0.052},{4.448,0.352},{4.448,0.552},{5.634,-0.834},{5.634,-0.634},{5.634,0.066},{5.634,0.366},{5.634,0.566}} aa=PlotRange{{0,8},{-1,1}} PlotRange{{0,8},{-1,1}} a2=Prolog{PointSize[.02]} Prolog{PointSize[0.02]}

Graphics pp2=Transpose[{yy,di}];

di emse

ri e mse1 1nx1xb^2

sxx N


1 2 3 4 5 6 7 8y

-1

-0.75

-0.5

-0.25

0.25

0.5

0.75

1e

١٦٦

aa=PlotRange{{0,8},{-3,3}} PlotRange{{0,8},{-3,3}} a2=Prolog{PointSize[.02]} Prolog{PointSize[0.02]}

Graphics pp3=Transpose[{yy,ri}]; aa=PlotRange{{0,10},{-2,2}} PlotRange{{0,10},{-2,2}} a2=Prolog{PointSize[.02]} Prolog{PointSize[0.02]}

Graphics def=Transpose[{x1,y1,yy,e,di,ri}];

TableForm[def];

)٣٣-٤(مثال

د للمثال السابق ول ار جول إجراء اختب وم ب این نق ات التب لتحقق أكثر من وجود عدم ثبى قسمین. كواندت –فیلد القسم . وإلجراء ھذا االختبار نقوم بتقسیم المشاھدات إل

والقسم الثاني یشمل الدخول العالیھ 10.000$إلي 5.000$األول یشمل الدخول في


1 2 3 4 5 6 7 8y

-3

-2

-1

1

2

3d


2 4 6 8 10y

-2

-1.5

-1

-0.5

0.5

1

1.5

2r

١٦٧

ي $15.000 ن 20.000$إل اھدات م ا مش تبعد ھن وم والیس ك تق د ذل ن بع الوسط ومرة من بتقدیر معادلة االنحدار للقیم الصغیرة من یم الكبی ث وأخرى للق حی

:معادلة االنحدار المقدرة للقیم الصغیرة من الدخل ھي

:ومعادلة االنحدار المقدرة للقیم الكبیرة من الدخل ھي

نجد أن قیمة بالقیمة الجدولیة (6.7)المحسوبة وبمقارنة قیمةالمحسوبة أكبرمن القیمة الجدولیة وھذا یعني رفض فرض العدم وقبول الفرض

.البدیل بعدم تجانس التباین

وفیما یلى خطوات Mathematicaبإستخدام برنامج مكتوب بلغة المثالھذا سوف یتم حل البرنامج والمخرجات

p=1 1 =.01 0.01 y1={1.8,2,2,2,2.1,3,3.2,3.5,3.5,3.6} {1.8,2,2,2,2.1,3,3.2,3.5,3.5,3.6} x1={5.,5,5,5,5,10,10.,10,10,10.} {5.,5,5,5,5,10,10.,10,10,10.} l[x_]:=Length[x] h[x_]:=Apply[Plus,x] k[x_]:=h[x]/l[x] c[x_,y_]:=h[x*y]-((h[x]*h[y]))/l[x] xb=h[x1]/l[x1] 7.5 yb=h[y1]/l[y1] 2.67 b1=c[x1,y1]/c[x1,x1] 0.276 b0=yb-b1*xb 0.6 n=l[x1] 10 ssto=c[y1,y1] 5.061 ssr=c[x1,y1]^2/c[x1,x1]

ixix

y .6 0.276x

1SSE .3

y 1.54 0.20x

2SSE 2.024

F 03.68,8F 01.0 F

١٦٨

4.761 sse=ssto-ssr 0.3 dto=n-1 9 msr=ssr/1 4.761 dse=n-2 8 mse=sse/(n-2) 0.0375 f1=msr/mse 126.96 th=TableHeadings{{source,regression,residual,total},{anova}} TableHeadings{{source,regression,residual,total},{anova}} rt1=List["df","SS","MS","F"] {df,SS,MS,F} rt2=List[p,ssr,msr,f1] {1,4.761,4.761,126.96} rt3=List[dse,sse,mse,"---"] {8,0.3,0.0375,---} rt4=List[dto,ssto,"---","---"] {9,5.061,---,---} tf=TableForm[{rt1,rt2,rt3,rt4},th]

y11={4.2,4.2,4.5,4.8,5,4.8,5,5.7,6,6.2} {4.2,4.2,4.5,4.8,5,4.8,5,5.7,6,6.2} x11={15,15,15,15,15,20,20,20,20,20} {15,15,15,15,15,20,20,20,20,20} l[x_]:=Length[x] h[x_]:=Apply[Plus,x] k[x_]:=h[x]/l[x] c[x_,y_]:=h[x*y]-((h[x]*h[y]))/l[x] xb=h[x11]/l[x11]

yb=h[y11]/l[y11] 5.04 b1=c[x11,y11]/c[x11,x11]


total 9 5.061

35

2

١٦٩

0.2 b0=yb-b1*xb 1.54 n=l[x11] 10 ssto=c[y11,y11] 4.524 ssr=c[x11,y11]^2/c[x11,x11] 2.5 sse=ssto-ssr 2.024 dto=n-1 9 msr=ssr/1 2.5 dse=n-2 8 mse1=sse/(n-2) 0.253 f1=msr/mse1 9.88142 th=TableHeadings{{source,regression,residual,total},{anova}} TableHeadings{{source,regression,residual,total},{anova}} rt1=List["df","SS","MS","F"] {df,SS,MS,F} rt2=List[p,ssr,msr,f1] {1,2.5,2.5,9.88142} rt3=List[dse,sse,mse1,"---"] {8,2.024,0.253,---} rt4=List[dto,ssto,"---","---"] {9,4.524,---,---} tf1=TableForm[{rt1,rt2,rt3,rt4},th]

6.74667 <<Statistics`ContinuousDistributions` ffee=Quantile[FRatioDistribution[n-2,n-2],1-] 6.02887 If[ff>=ffee,Print["Reject Ho"],Print["Accept Ho"]]

Reject Ho


total 9 4.524


١٧٠

)٣٤-٤(مثال

ة و للمثال السابق ات الالزم إن البیان بإستخدام طریقة المربعات الصغرى المرجحة ف .التالىجدول المعطاة في لحساب تقدیرات المعالم

01,

yw xyw xw y x 2x1w

١٧١

:وعلى ذلك

i

2ii2

ii

i

iiiiiii

1

wxwxw

wywxwyxw

b

5 1.8 0.04 0.2 0.36 0.0725 2 1

2515

25

225

5 2 125

15

25

225

5 2 125

15

25

225

5 2.1 125

15

0.42 0.084

10 3 1100

110

310

3100

10 3.2 0.01 0.1 0.32 0.03210 3.5 1

100110

0.35 0.035

10 3.5 1100

110

0.35 0.035

10 3.6 0.01 0.1 0.36 0.03615 4.2 1

225115

0.28 0.0186667

15 4.2 1225

115

0.28 0.018667

15 4.5 1225

115

0.3 0.02

15 4.8 1225

115

0.32 0.0213333

15 5 1225

115

13

145

20 4.8 1400

120

0.24 0.012

20 5 1400

120

14

180

20 5.7 1400

120

0.285 0.01425

20 6 1400

120

310

3200

20 6.2 1400

120

0.31 0.0155

١٧٢

=0.752923 :وعلى ذلك معادلة االنحدار المقدرة سوف تكون

.التالىجدول الیتم حساب مجموع مربعات البواقى من البیانات في

w y

,249487.0

i

ii1ii0 w

xwbywb

x249487.0752923.0y

y yy 2)yy( 2)yy(w

١٧٣

:حیث مجموع المربعات البواقي سوف تكون

:مجموع المربعات الكلي سوف یكون


0.04 1.8 2.00036 - 0.200359 0.0401437 0.00160575125

2 2.00036 - 0.000358974 1.28863 ´ 10-7 5.1545 ´ 10-9

125

2 2.00036 - 0.000358974 1.28863 ´ 10-7 5.1545 ´ 10-9

125

2 2.00036 - 0.000358974 1.28863 ´ 10-7 5.1545 ´ 10-9

125

2.1 2.00036 0.099641 0.00992833 0.000397133

1100

3 3.24779 - 0.247795 0.0614023 0.000614023

0.01 3.2 3.24779 - 0.0477949 0.00228435 0.00002284351100

3.5 3.24779 0.252205 0.0636074 0.000636074

1100

3.5 3.24779 0.252205 0.0636074 0.000636074

0.01 3.6 3.24779 0.352205 0.124048 0.001240481225

4.2 4.49523 - 0.295231 0.0871612 0.000387383

1225

4.2 4.49523 - 0.295231 0.0871612 0.000387383

1225

4.5 4.49523 0.00476923 0.0000227456 1.01091 ´ 10-7

1225

4.8 4.49523 0.304769 0.0928843 0.000412819

1225

5 4.49523 0.504769 0.254792 0.00113241

1400

4.8 5.74267 - 0.942667 0.88862 0.00222155

1400

5 5.74267 - 0.742667 0.551554 0.00137888

1400

5.7 5.74267 - 0.0426667 0.00182044 4.55111 ´ 10-6

1400

6 5.74267 0.257333 0.0662204 0.000165551

1400

6.2 5.74267 0.457333 0.209154 0.000522884

2ii yywSSE

i

2ii

i2

i wywwySSTO

307804.0

١٧٤

ن دول الم ابقج ة الس ا أن قیم ة وبم ة الجدولی ن القیم د ع وبة تزی المحس . فإننا نقبل الفرض البدیل أن

، كما یعطي مقابل رسم البواقي ) ٥٦-٤(یعطي شكل -٤(یتضح من شكل . مقابل رسم البواقي ) ٥٧-٤(شكل

.أن البواقي تنتشر حول الصفر وھذا یعني تجانس التباین) ٥٧-٤(وشكل ) ٥٦

)٥٦-٤(شكل

F 413.418,1F 05.0 0:H 11

yyw ii yw ii yyw ii xw

0.25 0.3 0.35 0.4 0.45 0.5

-0.1

-0.05

0.05

0.1

1 2 3 4 5

-0.1

-0.05

0.05

0.1

١٧٥

)٥٧-٤(شكل یلى خطوات وفیما Mathematicaبإستخدام برنامج مكتوب بلغة السابق سوف یتم حل المثال

.البرنامج والمخرجات

ww={5.,5,5,5,5,10,10.,10,10,10.,15,15,15,15,15,20,20,20,20,20} {5.,5,5,5,5,10,10.,10,10,10.,15,15,15,15,15,20,20,20,20,20} w=N[1/ww^2] {0.04,0.04,0.04,0.04,0.04,0.01,0.01,0.01,0.01,0.01,0.00444444,0.00444444,0.00444444,0.00444444,0.00444444,0.0025,0.0025,0.0025,0.0025,0.0025} p=1; y1={1.8,2,2,2,2.1,3,3.2,3.5,3.5,3.6,4.2,4.2,4.5,4.8,5,4.8,5,5.7,6,6.2}; x1={5.,5,5,5,5,10,10.,10,10,10.,15,15,15,15,15,20,20,20,20,20}; l[x_]:=Length[x] ff[x_]:=Apply[Plus,x] g[x_]:=((ff[x])^2)/l[x] h[x_]:=ff[x^2] rr[x_]:=h[x]-g[x] n=l[x1] 20

0.249487

0.752923 yy=b0+b1*x1; err=ff[w*((y1-yy)^2)];

b1ffx1y1w

ffx1wffy1wffw

ffx1^2w ffwx1^2

ffw

b0ffy1wffw

b1 ffx1w

ffw

١٧٦

0.0117659 0.0117659

; ss=Transpose[{x1,y1,w,x1*w,x1*y1*w,y1*w}]; TableForm[ss]; yy=b0+b1*x1; sss=Transpose[{w,y1,yy,y1-yy,(y1-yy)^2,w*(y1-yy)^2}]; TableForm[sss]; ssr=ssto-err; 0.296038 mssrr=ssr/p; 0.296038 dfr=(n-p-1); 18 s2=err/dfr; 0.000653662 f=mssrr/s2; 452.891 th=TableHeadings->{{source,regression,residual, Total},{anova}} TableHeadings{{source,regression,residual,Total},{anova}}; rt1=List["df","SS","MS","F"]; {df,SS,MS,F} rt2=List[p,ssr,mssrr,f]; rt3=List[dfr,err,s2,"--"]; rt4=List[n-1,ssto,"--","--"]; tf=TableForm[{rt1,rt2,rt3,rt4},th]

<<Statistics` ContinuousDistributions` ffee=Quantile[FRatioDistribution[p,n-p-1],.95] 4.41387 If[f>=ffee,Print["Reject Ho"],Print["Accept Ho"]] Reject Ho

eefk=ListPlot[eede,Prolog{PointSize[.02]},PlotRange->{{.2,.5},{-.1,.1}}]


Total 19 0.307804

١٧٧

Graphics

eefk=ListPlot[ee1,Prolog{PointSize[.02]},PlotRange->{{0,5},{-.1,.1}}]

Graphics طریقة لحساب االوزان )٣-١٥-٤(

دیرھا في كثیر من المشاكل فإن االوزان التكون معروفھ في البدایھ ونحتاج إلى تقرح وف نش الي س زء الت ي الج ھ ف غرى العادی ات الص ائج المربع ى نت اد عل باالعتم

:إلیجاد االوزان ةطریق

:نتبع الخطوات التالیة wiإلیجاد األوزان

ة وترسم .١ ات العادی ة المربع درة باستخدام طریق ة االنحدار المق نحسب معادلي شكل أو البواقي مقابل واقي عل م الب ي رس إذا كان انتشار النقاط ف

دم ي ع دل عل ذا ی ین فھ كل قوس ي ش فل عل ن أس ى أو م ن أعل وح م ع مفت قم .تجانس التباین

0.25 0.3 0.35 0.4 0.45 0.5

-0.1

-0.05

0.05

0.1

1 2 3 4 5

-0.1

-0.05

0.05

0.1

iw

iyix

١٧٨

درة باستخدام طریقة المربعات الصغرى العادیة نحسب معاد .٢ لة االنحدار المق .أو قیم مقابل قیم باستخدام القیم المطلقة

نستخدم معادلة االنحدار المقدرة المحسوبة من الخطوة الثانیة في تقدیر .الالزمة لطریقة المربعات الصغرى المرجحة wiاألوزان

)٣٥-٤(مثال

تھتم باحثة صحیة بدراسة العالقة بین ضغط الدم االنبساطي والعمر عند النساء د 60و 20البالغات اللواتي یتمتعن بصحة جیدة وتتراوح أعمارھم بین ، وق ا عام

ن ائیة ع ات إحص ت بیان ي 54جمع اه ف ات معط رأة والبیان دول الأم الىج . التي شكل یوضح شكل االنتشار ین ان ال )٥٨-٤(المعطي ف ة ب ھ x , Yعالق عالق

.خطیھ

ieixiy

xy2xyx

١٧٩

2 1 . 6 6 . 4 4 1 . 1 3 8 6 .2 2 . 6 3 4 8 4 . 1 3 8 6 .2 4 7 5 5 7 6 1 8 0 02 3 7 0 5 2 9 1 6 1 02 0 6 5 4 0 0 1 3 0 02 0 7 0 4 0 0 1 4 0 02 4 7 2 5 7 6 1 7 2 82 7 7 3 7 2 9 1 9 7 12 5 7 1 6 2 5 1 7 7 52 9 7 9 8 4 1 2 2 9 12 5 6 8 6 2 5 1 7 0 02 8 6 7 7 8 4 1 8 7 62 6 7 9 6 7 6 2 0 5 43 2 7 6 1 0 2 4 2 4 3 23 3 6 9 1 0 8 9 2 2 7 73 1 6 6 9 6 1 2 0 4 63 4 7 3 1 1 5 6 2 4 8 23 3 7 6 1 0 8 9 2 5 0 83 0 7 3 9 0 0 2 1 9 03 1 8 0 9 6 1 2 4 8 03 8 9 1 1 4 4 4 3 4 5 83 7 7 8 1 3 6 9 2 8 8 63 8 8 7 1 4 4 4 3 3 0 63 5 7 9 1 2 2 5 2 7 6 53 7 6 8 1 3 6 9 2 5 1 63 9 7 5 1 5 2 1 2 9 2 54 0 7 0 1 6 0 0 2 8 0 04 2 7 2 1 7 6 4 3 0 2 44 3 8 0 1 8 4 9 3 4 4 04 3 7 5 1 8 4 9 3 2 2 54 4 7 1 1 9 3 6 3 1 2 44 0 9 0 1 6 0 0 3 6 0 04 2 8 5 1 7 6 4 3 5 7 04 6 8 9 2 1 1 6 4 0 9 44 9 1 0 1 2 4 0 1 4 9 4 94 6 8 3 2 1 1 6 3 8 1 84 6 8 0 2 1 1 6 3 6 8 04 7 9 6 2 2 0 9 4 5 1 24 5 9 2 . 2 0 2 5 4 1 4 0 .4 9 8 0 2 4 0 1 3 9 2 04 8 7 0 2 3 0 4 3 3 6 05 4 7 1 2 9 1 6 3 8 3 45 2 8 6 2 7 0 4 4 4 7 25 3 7 9 2 8 0 9 4 1 8 75 2 8 5 2 7 0 4 4 4 2 05 0 7 1 2 5 0 0 3 5 5 05 0 9 1 2 5 0 0 4 5 5 05 2 1 0 0 2 7 0 4 5 2 0 05 5 7 6 3 0 2 5 4 1 8 05 7 9 9 3 2 4 9 5 6 4 35 6 9 2 3 1 3 6 5 1 5 25 9 9 0 3 4 8 1 5 3 1 05 8 8 0 3 3 6 4 4 6 4 05 7 1 0 9 3 2 4 9 6 2 1 3

١٨٠

)٥٨-٤(شكل

:اآلن نحسب معادلة االنحدار المقدرة كالتالي

10 20 30 40 50 60 70

20

40

60

80

100

120

nxx

nyxxy

b 22

1

2.705956.4094

54213791629

5442722137173155

2

,580031.0

xbyb 10

١٨١

.

:االنحدار المقدرة سوف تكونمعادلة

. التالىجدول المعطاة في البواقي

e x

1569.565741.39)580031.0(1111.79

x580031.01569.56y

iyiyie

yy

١٨٢

21 66 68.3376 - 2.3375822 63 68.9176 - 5.9176124 75 70.0777 4.9223323 70 69.4976 0.50236220 65 67.7575 - 2.7575520 70 67.7575 2.2424524 72 70.0777 1.9223327 73 71.8178 1.1822425 71 70.6577 0.34230129 79 72.9778 6.0221825 68 70.6577 - 2.657728 67 72.3978 - 5.3977926 79 71.2377 7.7622732 76 74.7179 1.2820933 69 75.2979 - 6.2979531 66 74.1379 - 8.1378834 73 75.878 - 2.8779833 76 75.2979 0.70205430 73 73.5579 - 0.55785331 80 74.1379 5.8621238 91 78.1981 12.801937 78 77.6181 0.38193138 87 78.1981 8.801935 79 76.458 2.5419937 68 77.6181 - 9.6180739 75 78.7781 - 3.7781340 70 79.3582 - 9.3581642 72 80.5182 - 8.5182243 80 81.0983 - 1.0982543 75 81.0983 - 6.0982544 71 81.6783 - 10.678340 90 79.3582 10.641842 85 80.5182 4.4817846 89 82.8383 6.1616549 101 84.5784 16.421646 83 82.8383 0.16165446 80 82.8383 - 2.8383547 96 83.4184 12.581645 92 82.2583 9.7416849 80 84.5784 - 4.5784448 70 83.9984 - 13.998454 71 87.4786 - 16.478652 86 86.3185 - 0.31853153 79 86.8986 - 7.8985652 85 86.3185 - 1.3185350 71 85.1585 - 14.158550 91 85.1585 5.8415352 100 86.3185 13.681555 76 88.0586 - 12.058657 99 89.2187 9.7813256 92 88.6387 3.3613559 90 90.3787 - 0.37874658 80 89.7987 - 9.7987257 109 89.2187 19.7813

١٨٣

واقي ل یوضح رسم الب ي شكل مقاب واقي ) ٥٩-٤(والموضح ف این الب أن تب .األمامغیر ثابت حیث شكل االنتشار یأخذ شكل القمع المفتوح من

)٥٩-٤(شكل

تخدم یماآلن نس ات و ق ن البیان ك م درة وذل دار المق ة االنح اد معادل ألیج :التالىجدول الالمعطاة في

ieix

65 70 75 80 85 90 95

-30

-20

-10

10

20

30

ieix

xe2xex

١٨٤

14847.1 91629 339.822 2137

2 1 2 . 3 3 7 5 8 4 4 1 . ` 4 9 . 0 8 9 12 2 5 . 9 1 7 6 1 4 8 4 . ` 1 3 0 . 1 8 7 `2 4 4 . 9 2 2 3 3 5 7 6 1 1 8 . 1 3 62 3 0 . 5 0 2 3 6 2 5 2 9 1 1 . 5 5 4 32 0 2 . 7 5 7 5 5 4 0 0 5 5 . 1 5 0 92 0 2 . 2 4 2 4 5 4 0 0 4 4 . 8 4 9 12 4 1 . 9 2 2 3 3 5 7 6 4 6 . 1 3 62 7 1 . 1 8 2 2 4 7 2 9 3 1 . 9 2 0 52 5 0 . 3 4 2 3 0 1 6 2 5 8 . 5 5 7 5 22 9 6 . 0 2 2 1 7 8 8 4 1 1 7 4 . 6 4 32 5 2 . 6 5 7 6 9 9 6 2 5 6 6 . 4 4 2 52 8 5 . 3 9 7 7 9 2 7 8 4 1 5 1 . 1 3 82 6 7 . 7 6 2 2 7 6 7 6 2 0 1 . 8 1 93 2 1 . 2 8 2 0 9 1 0 2 4 4 1 . 0 2 6 73 3 6 . 2 9 7 9 5 1 0 8 9 2 0 7 . 8 3 23 1 8 . 1 3 7 8 8 9 6 1 2 5 2 . 2 7 43 4 2 . 8 7 7 9 8 1 1 5 6 9 7 . 8 5 1 23 3 0 . 7 0 2 0 5 4 1 0 8 9 2 3 . 1 6 7 83 0 0 . 5 5 7 8 5 3 9 0 0 1 6 . 7 3 5 63 1 5 . 8 6 2 1 2 9 6 1 1 8 1 . 7 2 63 8 1 2 . 8 0 1 9 1 4 4 4 4 8 6 . 4 7 23 7 0 . 3 8 1 9 3 1 1 3 6 9 1 4 . 1 3 1 53 8 8 . 8 0 1 9 1 4 4 4 3 3 4 . 4 7 23 5 2 . 5 4 1 9 9 1 2 2 5 8 8 . 9 6 9 73 7 9 . 6 1 8 0 7 1 3 6 9 3 5 5 . 8 6 93 9 3 . 7 7 8 1 3 1 5 2 1 1 4 7 . 3 4 74 0 9 . 3 5 8 1 6 1 6 0 0 3 7 4 . 3 2 64 2 8 . 5 1 8 2 2 2 1 7 6 4 3 5 7 . 7 6 54 3 1 . 0 9 8 2 5 1 8 4 9 4 7 . 2 2 4 94 3 6 . 0 9 8 2 5 1 8 4 9 2 6 2 . 2 2 54 4 1 0 . 6 7 8 2 8 1 9 3 6 4 6 9 . 8 4 54 0 1 0 . 6 4 1 8 3 1 6 0 0 4 2 5 . 6 7 44 2 4 . 4 8 1 7 8 1 7 6 4 1 8 8 . 2 3 54 6 6 . 1 6 1 6 5 2 1 1 6 2 8 3 . 4 3 64 9 1 6 . 4 2 1 6 2 4 0 1 8 0 4 . 6 5 74 6 0 . 1 6 1 6 5 2 1 1 6 7 . 4 3 6 0 84 6 2 . 8 3 8 3 5 2 1 1 6 1 3 0 . 5 6 44 7 1 2 . 5 8 1 6 2 2 0 9 5 9 1 . 3 3 64 5 9 . 7 4 1 6 8 2 0 2 5 4 3 8 . 3 7 64 9 4 . 5 7 8 4 4 2 4 0 1 2 2 4 . 3 4 34 8 1 3 . 9 9 8 4 2 3 0 4 6 7 1 . 9 2 45 4 1 6 . 4 7 8 6 2 9 1 6 8 8 9 . 8 4 45 2 0 . 3 1 8 5 3 1 2 7 0 4 1 6 . 5 6 3 65 3 7 . 8 9 8 5 6 1 2 8 0 9 4 1 8 . 6 2 45 2 1 . 3 1 8 5 3 2 7 0 4 6 8 . 5 6 3 65 0 1 4 . 1 5 8 5 2 5 0 0 7 0 7 . 9 2 35 0 5 . 8 4 1 5 3 2 5 0 0 2 9 2 . 0 7 75 2 1 3 . 6 8 1 5 2 7 0 4 7 1 1 . 4 3 65 5 1 2 . 0 5 8 6 3 0 2 5 6 6 3 . 2 2 45 7 9 . 7 8 1 3 2 3 2 4 9 5 5 7 . 5 3 55 6 3 . 3 6 1 3 5 3 1 3 6 1 8 8 . 2 3 55 9 0 . 3 7 8 7 4 6 3 4 8 1 2 2 . 3 4 65 8 9 . 7 9 8 7 2 3 3 6 4 5 6 8 . 3 2 65 7 1 9 . 7 8 1 3 3 2 4 9 1 1 2 7 . 5 3

14847ex , 916292x

822.339e , 2137x

١٨٥

:حیث

:وعلى ذلك معادلة االنحدار المقدرة سوف تكون

.تمثل االنحرافات المعیاریةs حیث اھده ل مش اري لك راف المعی اد األنح ة yiواألن ألیج وض بقیم ھ xiنع ي المعادل ف

ابقھ وزن . الس اھده wiال ل مش اري yiلك راف المعی ع األنح وس مرب و معك ھ . التالىجدول الوالمحسوب من المعادلھ المقدره السابقھ والمعطى في

0.14657 0.126617 0.0972512 0.110485 0.171608

2.61214 2.81031 3.20666 3.00849 2.41397

nxx

nex

exb

22

1

54

213791629

54822.33921371.14847

2

,198172.02.7059

94.1398

nx

bn

|e|b i

1i

0

5741.39198172.029301.6 .54998.1

x198172.054948.1s

ws1 2 s

١٨٦

0.171608 0.0972512 0.0692093 0.0862599 0.0567564 0.0862599 0.0625204 0.077032 0.0435472 0.040157 0.0473853 0.0371481 0.0401571 0.0517542 0.0473853 0.0279539 0.0299026 0.0279539 0.034465 0.0299026 0.0261896 0.0245873 0.0217942 0.0205728 0.0205728 0.0194513 0.0245837 0.0217942 0.0174669 0.015047 0.0174669 0.0174669 0.0165867 0.0165867 0.0184191 0.0150147 0.0157714 0.0119395 0.0130449 0.0124738 0.0130449 0.0143112 0.0143112 0.0130449 0.0114387 0.0105273 0.0109688

0.00972062 0.0101119 0.0105273

2.41397 3.20666 3.80117 3.40483 4.19752 3.40483 3.99935

3.603 4.79204 4.99021 4.59386 5.18838 4.99021 4.39569 4.59386 5.98107 5.38655 5.7829

5.98107 5.38655 5.7829

6.17924 6.37741 6.77376 6.97193 6.97193 7.1701

6.37741 6.77376 7.56645 8.16097 7.56645 7.56645 7.76462 7.36828 8.16097 7.96279 9.151839 8.75548 8.95365 8.75548 8.35914 8.35914 8.75548

9.35 9.74634 9.54817 10.1427 9.94452 9.74634

١٨٧

:كالتالي اآلن نوجد تقدیرات للمعالم

دم . دیل الختبار فرض الع نحسب ضد الفرض الب

:حیثالتالى مجموع مربعات البواقي المرجحة من جدول تحلیل التباین

= 76.5135,

:مجموع المربعات الكلیة سوف تكون

=159.854.

F MS SS df Source

56.64 83.3408 83.3408 1 Regression

10 ,

i

2ii

i2

i

i

iiiiiii

1

wwxwx

wwywxwyx

b

,596342.0

nwxb

nwyb ii

1ii

0

.5658.55

0:H 10 0:H 11

2iii )yy(wSSE

iw

2iwiy

iw2iySYY

١٨٨

- -

1.47141 -

76.5135 159.854

52 53

Residual Total

ة ا أن قیم وبة Fبم ة (56.64)المحس ن قیم د ع ھ Fتزی الجدولی .H0فإننا نرفض فرض العدم

:الحزمة الجاھزةسوف یتم حل ھذا المثال وذلك باستخدام

Statistics LinearRegression

.وفیما یلى خطوات البرنامج والمخرجات

<<Statistics`LinearRegression` bpdata={{21,66},{22,63},{24,75},{23,70},{20,65},{20,70},{24,72},{27,73},{25,71},{29,79},{25,68},{28,67},{26,79},{32,76},{33,69},{31,80},{34,73},{33,76},{30,73},{31,66},{38,87},{37,78},{38,91},{35,79},{37,68},{39,75},{40,70},{42,72},{43,80},{43,75},{44,71},{40,90},{42,85},{46,89},{49,101},{46,83},{46,80},{47,96},{45,92},{49,80},{48,70},{54,71},{52,86},{53,79},{52,85},{50,71},{50,91},{52,100},{55,76},{57,99},{56,92},{59,90},{58,80},{57,109}}; ListPlot[bpdata,PlotRange->{{0,70},{0,120}}]

Graphics rgbp=Regress[bpdata,{1,x},x,RegressionReport->BestFit] {BestFit56.1569 +0.580031 x} rs=Regress[bpdata,{1,x},x,RegressionReport->FitResiduals][[1,2]] {-2.33758,-5.91761,4.92233,0.502362,-2.75755,2.24245,1.92233,1.18224,0.342301,6.02218,-2.6577,-5.39779,7.76227,1.28209,-6.29795,5.86212,-2.87798,0.702054,-0.557853,-8.13788,8.8019,0.381931,12.8019,2.54199,-9.61807,-3.77813,-9.35816,-8.51822,-1.09825,-6.09825,-10.6783,10.6418,4.48178,6.16165,16.4216,0.161654,-

08.4]52,1[05.0F

10 20 30 40 50 60 70

20

40

60

80

100

120

١٨٩

2.83835,12.5816,9.74168,-4.57844,-13.9984,-16.4786,-0.318531,-7.89856,-1.31853,-14.1585,5.84153,13.6815,-12.0586,9.78132,3.36135,-0.378746,-9.79872,19.7813} ages=Transpose[bpdata][[1]]; respoints2=Table[{ages[[j]],rs[[j]]},{j,1,Length[ages]}] {{21,-2.33758},{22,-5.91761},{24,4.92233},{23,0.502362},{20,-2.75755},{20,2.24245},{24,1.92233},{27,1.18224},{25,0.342301},{29,6.02218},{25,-2.6577},{28,-5.39779},{26,7.76227},{32,1.28209},{33,-6.29795},{31,5.86212},{34,-2.87798},{33,0.702054},{30,-0.557853},{31,-8.13788},{38,8.8019},{37,0.381931},{38,12.8019},{35,2.54199},{37,-9.61807},{39,-3.77813},{40,-9.35816},{42,-8.51822},{43,-1.09825},{43,-6.09825},{44,-10.6783},{40,10.6418},{42,4.48178},{46,6.16165},{49,16.4216},{46,0.161654},{46,-2.83835},{47,12.5816},{45,9.74168},{49,-4.57844},{48,-13.9984},{54,-16.4786},{52,-0.318531},{53,-7.89856},{52,-1.31853},{50,-14.1585},{50,5.84153},{52,13.6815},{55,-12.0586},{57,9.78132},{56,3.36135},{59,-0.378746},{58,-9.79872},{57,19.7813}} ListPlot[respoints2,PlotRange->{{0,100},{-30,30}}]

Graphics sqres=Table[rs[[j]]^2,{j,1,Length[rs]}] {5.46426,35.0181,24.2293,0.252368,7.60406,5.0286,3.69536,1.39769,0.11717,36.2666,7.06337,29.1362,60.2528,1.64374,39.6641,34.3644,8.28275,0.49288,0.3112,66.2252,77.4734,0.145871,163.889,6.46173,92.5072,14.2743,87.5752,72.5601,1.20616,37.1887,114.026,113.249,20.0863,37.966,269.668,0.026132,8.05621,158.297,94.9004,20.9621,195.955,271.544,0.101462,62.3873,1.73852,200.462,34.1235,187.183,145.41,95.6741,11.2986,0.143449,96.0148,391.3} absres=Table[Abs[rs[[j]]],{j,1,Length[rs]}]; absrespoints=Table[{ages[[j]],absres[[j]]},{j,1,Length[ages]}];

20 40 60 80 100

-30

-20

-10

10

20

30

١٩٠

absregress=Regress[absrespoints,{1,x},x,RegressionReport->BestFit] {BestFit-1.54948+0.198172 x} pred=absregress=Regress[absrespoints,{1,x},x,RegressionReport->PredictedResponse] {PredictedResponse{2.61214,2.81031,3.20666,3.00849,2.41397,2.41397,3.20666,3.80117,3.40483,4.19752,3.40483,3.99935,3.603,4.79204,4.99021,4.59386,5.18838,4.99021,4.39569,4.59386,5.98107,5.7829,5.98107,5.38655,5.7829,6.17924,6.37741,6.77376,6.97193,6.97193,7.1701,6.37741,6.77376,7.56645,8.16097,7.56645,7.56645,7.76462,7.36828,8.16097,7.96279,9.15183,8.75548,8.95365,8.75548,8.35914,8.35914,8.75548,9.35,9.74634,9.54817,10.1427,9.94452,9.74634}} f[x_]:=1/x^2 wghts1=Map[f,pred[[1,2]]] {0.146557,0.126617,0.0972512,0.110485,0.171608,0.171608,0.0972512,0.0692093,0.0862599,0.0567564,0.0862599,0.0625204,0.077032,0.0435472,0.0401571,0.0473853,0.0371481,0.0401571,0.0517542,0.0473853,0.0279539,0.0299026,0.0279539,0.034465,0.0299026,0.0261896,0.0245873,0.0217942,0.0205728,0.0205728,0.0194513,0.0245873,0.0217942,0.0174669,0.0150147,0.0174669,0.0174669,0.0165867,0.0184191,0.0150147,0.0157714,0.0119395,0.0130449,0.0124738,0.0130449,0.0143112,0.0143112,0.0130449,0.0114387,0.0105273,0.0109688,0.00972062,0.0101119,0.0105273} rg1=Regress[bpdata,{1,x},x,Weights->wghts1,RegressionReport->{BestFit,ANOVATable}]


المدخالت : اوال bpdataالقائمة .الزواج قیم المتغیر المستقل والمتغیر التابع


معطى من االمر شكل االنتشارListPlot[bpdata,PlotRange->{{0,70},{0,120}}]

معادلة االنحدار المقدرة من االمر rgbp=Regress[bpdata,{1,x},x,RegressionReport->BestFit]

BestFit55.56580.596342x,ANOVATable

DF SumOfSq MeanSq FRatio PValueModel 1 83.3408 83.3408 56.64 7.186811010

Error 52 76.5135 1.47141Total 53 159.854

١٩١

البواقى من االمر rs=Regress[bpdata,{1,x},x,RegressionReport-

>FitResiduals][[1,2]]

من االمر مقابل یوضح رسم البواقي [respoints2,PlotRange->{{0,100},{-30,30}}]

:معادلة االنحدار المقدرة

من االمر absregress=Regress[absrespoints,{1,x},x,RegressionReport->BestFit]

نحصل علیھا من االمر تمثل االنحرافات المعیاریةوالتى s pred=absregress=Regress[absrespoints,{1,x},x,RegressionReport->PredictedResponse]

معطى من االمر yiلكل مشاھده wiالوزن wghts1=Map[f,pred[[1,2]]]

جدول تحلیل التباین من االمرrg1=Regress[bpdata,{1,x},x,Weights-

>wghts1,RegressionReport->{BestFit,ANOVATable}]

ستخدام طریقة المربعات الصغرى حیث یحتوى الجدول على معادلة االنحدار القدرة با المرجحة

حیث تم استخدام الخیار Weights->wghts1 فى االمر السابق.

معامـل االرتبـاط الخطى البسیـط ) ١٦-٤(

Correlation Coefficient The Simple Linear

رات ن المتغی ات ع ن المعلوم ك م ر وذل أ بمتغی ا بالتنب ان اھتمامن دار ك كلة االنح ي مش فرین أو ین متغی ة ب اس العالق المستقلة ، بینما في مشكلة االرتباط فإن اھتمامنا سوف یكون في قی

ر دار . أكث كلة االنح ي مش ة ف ت ثابت تقلة كان رات المس یم المتغی إن ق رى ف رة أخ وف .م اآلن سعیختل رین . ف الوض ین متغی ة ب اس للعالق ھ مقی ى بأن اط الخط ل االرتب رف معام وف نع س

الرمز. X,Yعشوائیین ھ ب ران . r وسوف نرمز ل ع X,Yسوف نفترض أن المتغی ا توزی لھم . احتمالي ثنائي

ن أزواج المشاھدات ة عشوائیة م ار عین ) . x , y( لحساب معامل االرتباط الخطى نختى إذا كانت دل عل ذا ی ل موجب ، فھ ھ می دار ل وق وحول خط انح نقاط شكل االنتشار تتركز ف

اط طردي ( ارتباط موجب قوى بین المتغیرین ي شكل ) ارتب ا ھو موضح ف ) a) (٦٠-٤( كمل . ھ می دار ل ط انح ول خ وق وح ز ف ار تترك كل االنتش اط ش ت نق ة أخرى ، إذا كان ن ناحی وم

رین سالب فھذا یدل على ارتباط قوى ین المتغی اط عكسي ( سالب ب ي ) ارتب ا ھو موضح ف كم

ieix

x198172.054948.1s

١٩٢

كل إن ) b) (٦٠-٤( ش دار ف ط االنح وق خ ول وف ار ح كل االنتش اط ش ار نق ا زاد انتش كلما االرتباط یقل عددیا بین المتغیرین ، إذا كانت نقاط شكل االنتشار تنتشر بطریقة عشوائیة كم

كل ي ش ى أن ) c) ( ٦٠-٤( ف ذا یعن ین ونس فھ ة ب ود عالق دم وج ا . X,Yتنتج ع ولمإن ك ف ى ذل ا وعل ھ بینھم ة الخطی اس للعالق ر مقی كان معامل االرتباط بین متغیرین یعتب

ة . تعنى قصور في الخطیة ولیست قصور في االرتباط اك عالق د تكون ھن ال ق ى سبیل المث علھ ر خطی ة غی ا عالق ة م. ولكنھ ة قوی دت عالق ال إذا وج بیل المث ى س ین فعل ة ب ة الثانی ن الدرج

. فھذا یعنى أن ) d) ( ٦٠-٤(كما ھوموضح في شكل X,Yالمتغیرین

)٦٠-٤(شكل

أو اختصارا معامل االرتباط أكثر ) معامل بیرسون لالرتباط ( یعتبر معامل االرتباط الخطى

.مقاییس االرتباط الخطى انتشارا :یتم حساب معامل االرتباط من المعادلة التالیة

.العینة في المجتمع حیث

)٣٦-٤(مثال

r 0r 0

r 0

SXYSXX.SYY

r

i ii i

2 22 2i ii i

x yx ynr

( x ) ( y )x yn n

١٩٣

: الحــل

= 2.3826,

= 434.5375. :وعلى ذلك

ك ة وذل في المناقشة السابقة لم نضع فروض قویة على توزیع المجتمع الذي اختبرت منھ العین

ع للحصول على تقدیر بنقطة للمعلمة اط المجتم ى . والتي ترمز إلى معامل ارتب للحصول علة ارات فروض تخص فترة ثقة للمعلم ة أو اختب ا نفترض أن العین فإنن

the bivarate normal distributionمأخوذة من مجتمع یتبع التوزیع الطبیعي الثنائي ن متغیرین عشوائیین حیث دالة التوزیع الھامشیة لك X , Y أي أن ع Y , Xل م ع التوزی تتب

. الطبیعي

اختبارات فروض وفترات ثقة تخص Tests Hypotheses and Confidence Intervals Concerning

i in 16 , x 1.656 , y 170.6 , 2i i ix 0.196912 , x y 20.0397 ,

2iy 2253.56.

i ii i

x ySXY x yn

(1.656)(170.6)20.039716

22 ii

( x )SXX xn

2(1.656)0.196912 0.025516,16

2 22 ii

( y ) (170.6)SYY y 2253.56n 16

SXY 2.3826r 0.716.SXX.SYY (0.025516)(434.5375)

(1 )100%

ز األوزون ین تركی ة ب ة العالق اس ( Ozone (X) لدراس ون ) PPMمق ز الكرب (Y)وتركی :تم الحصول على البیانات المعطاة في الجدول التالى ) g / m3مقاس (

0.100 0.057 0.186 0.162 0.050 0.120 0.088 0.066 x 11.8 2.5 15.4 13.8 6.3 9.5 11.6 4.6 y 0.110 0.071 0.140 0.111 0.074 0.154 0.055 0.112 x 13.0 2.8 17.9 9.2 16.6 20.6 7.0 8.0 y

.أوجد معامل االرتباط البسیط

١٩٤

دیل الختبار فرض العدم دیل ضد الفرض الب أو الفرض الب :وبافتراض صحة فرض العدم فإن أو الفرض البدیل

وائي ر عش ة لمتغی ي قیم ع Tھ ھ توزی ة tل درجات حری توى . ب ك لمس ى ذل وعلفإن منطقة الرفض سوف تكون ) اختبار ذي جانبین ( وللفرض البدیل معنویة

ة tالمستخرجة من جدول توزیع tھي قیمة حیث درجات حری بدیل . رفض للب ة ال إن منطق دیل ف ة وللب إن منطق ف

. الرفض

)٣٧-٤(مثال

ي ائي الطبیع ع الثن ع التوزی ع یتب ن مجتم أخوذة م ابق م ال الس ي المث ات ف رض أن البیان . بفدم رض الع ار ف وب اختب دیل : المطل رض الب د الف د ض ك عن وذل

. مستوى معنویة

: الحــل

t0.01= 2.624 ع ي ملحق tوالمستخرجة من جدول توزی ة ) ٢(ف درجات حری . ب

. H0تقع في منطقة الرفض ، نرفض tوبما أن . T > 2.624منطقة الرفض دم X,Yیقیس قوة االرتباط الخطى بین متغیرین وبما أن في المجتمع فإن فرض الع

ع ي المجتم رین ف ین المتغی اط ب ود ارتب دم وج ى ع دل عل ات أن . ی ن إثب یمك

اف ارین متك ى أن االختب ذا یعن ى . ئین وھ وعلة X , Yذلك إذا كان االھتمام فقط بقیاس قوة العالقة بین متغیرین ى معادل ولیس الحصول عل

ار إن اختب ار االنحدار الخطى ف ن اختب ة tیكون اسھل م ة قلیل ب كمی ھ یتطل ألن .من الحسابات

ار دما األسلوب المستخدم الختب ي عن ة مستخدمة ف افئ أي طریق ال یك

ل االنحدار ل xn , yn),…,( x2 , y2) ,(x1 , y1)( بفرض أن أزواج المشاھدات . تحلی تمثت ائي الطبیعي وإذا كان ع الثن افتراض nعینة عشوائیة مأخوذة من مجتمع یتبع التوزی رة وب كبی

:صحة فرض العدم فإن

0H : 0 1H : 0

1H : 0 1H : 0

2

r n 2t1 r

2n

1H : 0

2/2/ tTortT 2/t2n 0:H1 tT0:H1

tT

0H : 0 1H : 0 0.01

2 2

r n 2 0.716 14t 3.84.1 r 1 (0.716)

n 2 16 2 14

0H : 0 2 2

1t r n 2 / 1 r b / s /SXX

0H : 0

0 0H : 0 0

١٩٥

یتبع Vھي قیمة لمتغیر عشوائي التوزیع الطبیعي بمتوسط تقریبا

:، وعلى ذلك فإن ، حیث التباین ال یعتمد على وتباین

.

وائي ر عش ة لمتغی ي قیم ي Zھ ي القیاس ع الطبیع ع التوزی یتب ا ى . تقریب الى یعط دول الت الج

الفروض

.البدیلة ومنطقة الرفض لكل فرض بدیل عند مستوى معنویة

البدیلةالفروض منطقة الرفض

Z > z Z < - z

)٣٨-٤(مثال

:إذا كان لدیك البیانات التالیة

؟ = 0.05عند مستوى معنویة أختبر الفرض

: الحــل

:أي أننا نرغب في اختبار

: فإن وحیث أن

: وعلى ذلك فإن

1 1 rv ln2 1 r

0V

0

11 ln2 1

2V

1n 3

0

0

11v ln2 1

z1/ n 3

/ 2 / 2Z z or Z z . 01 :H

01 :H

01 :H

2i in 20 , y 690.30 , y 29040.29 ,

2i i i ix y 10818.56 , x 285.90 x 4409.55,

0.5 p 0.8

0 1H : 0.5 , H : 0.5 , =0.05. r .733

1 1 .733v ln .935,2 1 .733

V1 1 .5ln .549.2 1 .5

١٩٦

z0.05= 1.645 ق ي ملح ي ف ي القیاس ع الطبیع دول التوزی ن ج تخرجة م ة ) . ١(والمس منطق

. H0تقع في منطقة القبول نقبل zوبما أن . Z > 1.645الرفض : من الصیغة التالیة فترة ثقة للمعلمة 100%(-1)یمكن الحصول على

حیث أن

: للبیانات في المثال السابق فإن

:كالتالي فترة ثقة للمعلمة %95بالتعویض في الصیغة التالیة یمكن الحصول على

:والتي تختزل إلى 0.43 < < 0.89

)٣٩-٤(مثال

: المطلوب

. فترة ثقة للمعلمة %90و 95% )١(

0 01v ln (1 ) /(1 )2z

1/ n 3

(.935 .549) 17 1.59.

1e1e

1e1e

2

2

1

1

c2

c2

c2

c2

/ 2 / 22 1

z zc v , c vn 3 n 3

r 0.733 , v 0.935 , n 20,

1c .935 1.96 / 17 .460,

2c .935 1.96 / 17 1.410

2(.460) 2(1.410)

2(.460) 2(1.410)e 1 e 1e 1 e 1

:للبیانات التالیة 0.240,0.254,0.249,0.245,0.250,0.252,0.254,0.270,0.274,0.264,0.280,0.266,0.268,0.286, Y 0.625,0.512,0.488,0.524,0.588,0.475,0.513,0.463,0.512,0.405,0.450,0.480,0.456,0.506.

١٩٧

دم) ٢( دیل : اختبار فرض الع د مستوى ضد الفرض الب ك عن وذل

. معنویة

دم) ٣( دیل : اختبار فرض الع د مستوى ضد الفرض الب ك عن وذل . معنویة

دیل : اختبار فرض العدم) ٤( د مستوى ضد الفرض الب ك عن وذل . معنویة

وفیما یلى Mathematicaمكتوب بلغة جاھز سوف یتم حل ھذا المثال بإستخدام برنامج

.خطوات البرنامج والمخرجات Off[General::spell1] <<Statistics`MultiDescriptiveStatistics` <<Statistics`NormalDistribution` z[r_]:=0.5 Log[(1+r)/(1-r)] Options[singleCorrelationCI]={confidence->0.95}; singleCorrelationCI[data1_,data2_,opts___]:=Module[{c,alpha,r,n,zalpha,upperz,lowerz,upperr,lowerr}, c=confidence/. {opts} /. Options[singleCorrelationCI]; alpha=1-c; r=Correlation[data1,data2]; n=Length[data1]; zalpha=Quantile[NormalDistribution[0,1],1-alpha/2]; upperz=z[r]+zalpha/Sqrt[n-3]; lowerz=z[r]-zalpha/Sqrt[n-3]; upperr=Tanh[upperz]; lowerr=Tanh[lowerz]; {lowerr,upperr}] Off[General::spell1] <<Statistics`MultiDescriptiveStatistics` <<Statistics`NormalDistribution` z[r_]:=0.5 Log[(1+r)/(1-r)] equalZero[r_,p0_,n_,tail_]:=Module[{p,teststat}, teststat=r*Sqrt[(n-2)/(1-r^2)]; If[tail==1,p=1-CDF[StudentTDistribution[n-2],Abs[teststat]],p=2*(1-CDF[StudentTDistribution[n-2],Abs[teststat]])]; Print["{Sample Correlation Coefficient -> ",r,","];

0H : 0 1H : 0 0.05

0H : 0 1H : 0 0.05

0H : .5 1H : .5 0.05

١٩٨

Print["Test Statistic -> ",teststat,","]; Print["Distribution -> StudentTDistribution[",n-2,"],"]; Print[tail,"-sided p-value -> ",p,"}"]] notEqualZero[r_,p0_,n_,tail_]:=Module[{p,teststat}, teststat=(z[r]-z[p0])Sqrt[n-3]//N; If[tail==1,p=1-CDF[NormalDistribution[0,1],Abs[teststat]],p=2*(1-CDF[NormalDistribution[0,1],Abs[teststat]])]; Print["{Sample Correlation Coefficient -> ",r,","]; Print["Test Statistic -> ",teststat,","]; Print["Distribution -> NormalDistribution[0,1],"]; Print[tail,"-sided p-value -> ",p,"}"]] Options[singleCorrelationTest]={rhoZero->0,sided->2}; singleCorrelationTest[data1_,data2_,opts___]:=Module[{n,p0,r,tail}, n=Length[data1]; r=Correlation[data1,data2]; p0=rhoZero/. {opts} /. Options[singleCorrelationTest]; tail=sided/. {opts} /. Options[singleCorrelationTest]; If[p0==0,equalZero[r,p0,n,tail],notEqualZero[r,p0,n,tail]]]; oppbavg={0.240,0.254,0.249,0.245,0.250,0.252,0.254,0.270,0.274,0.264,0.280,0.266,0.268,0.286}; winpct={0.625,0.512,0.488,0.524,0.588,0.475,0.513,0.463,0.512,0.405,0.450,0.480,0.456,0.506}; singleCorrelationCI[oppbavg,winpct] {-0.835107,-0.0228726} singleCorrelationCI[oppbavg,winpct,confidence->0.90] {-0.803981,-0.117343} singleCorrelationTest[oppbavg,winpct] {Sample Correlation Coefficient -> -0.546816 , Test Statistic -> -2.26243 , Distribution -> StudentTDistribution[ 12 ], 2 -sided p-value -> 0.0430218 } singleCorrelationTest[oppbavg,winpct,sided->1] {Sample Correlation Coefficient -> -0.546816 , Test Statistic -> -2.26243 , Distribution -> StudentTDistribution[ 12 ], 1 -sided p-value -> 0.0215109 } singleCorrelationTest[oppbavg,winpct,rhoZero->-0.5] {Sample Correlation Coefficient -> -0.546816 , Test Statistic -> -0.213995 , Distribution -> NormalDistribution[0,1],

2 -sided p-value -> 0.830551 }

١٩٩


المدخالت : اوال oppbavgالقائمة لقیم المتغیر المستقل و winpct .لقیم المتغیر التابع

المخرجات : ثانیا من االمریین التالیین مع المخرج لكل امر) ١(المطلوب

singleCorrelationCI[oppbavg,winpct] {-0.835107,-0.0228726} singleCorrelationCI[oppbavg,winpct,confidence->0.90] {-0.803981,-0.117343}

مع المخرج التالىمن االمر ) ٢(والمطلوب singleCorrelationTest[oppbavg,winpct] {Sample Correlation Coefficient -> -0.546816 , Test Statistic -> -2.26243 ,

Distribution -> StudentTDistribution[ 12 ], 2 -sided p-value -> 0.0430218 }

وبما ان p-value -> 0.0430218 }

فھذا یعنى قبول فرض البدیل

من االمر التالى مع المخرج) ٣(والمطلوب singleCorrelationTest[oppbavg,winpct,sided->1]

{Sample Correlation Coefficient -> -0.546816 , Test Statistic -> -2.26243 ,

Distribution -> StudentTDistribution[ 12 ], 1 -sided p-value -> 0.0215109 }

وبما ان p-value -> 0.0215109 }

الن قیمة االحصاء ولیس فھذا یعنى قبول فرض البدیل

.سالبة

من االمر التالى مع المخرج) ٤(والمطلوب singleCorrelationTest[oppbavg,winpct,rhoZero->-0.5] {Sample Correlation Coefficient -> -0.546816 , Test Statistic -> -0.213995 , Distribution -> NormalDistribution[0,1],

2 -sided p-value -> 0.830551 } وبما ان

p-value -> 0.830551 } فھذا یعنى قبول فرض

1H : 0

1H : 0 1H : 0

1H : .5

٢٠٠

)٤٠-٤(مثال

بإستخدام برنامج مكتوب بلغة السابق مثاللل الخطى البسیطایجاد معامل االرتباط سوف یتم

Mathematica وفیما یلى خطوات البرنامج والمخرجات. oppbavg={0.240,0.254,0.249,0.245,0.250,0.252,0.254,0.270,0.274,0.264,0.280,0.266,0.268,0.286}; winpct={0.625,0.512,0.488,0.524,0.588,0.475,0.513,0.463,0.512,0.405,0.450,0.480,0.456,0.506}; l[x_]:=Length[x] h[x_]:=Apply[Plus,x] c[x_,y_]:=h[x*y]-((h[x]*h[y]))/l[x] ss1=c[oppbavg,winpct] -0.00545343 ss2=c[oppbavg,oppbavg] 0.00245971 ss3=c[winpct,winpct] 0.0404364

-0.546816

نحصل علیھ من االمر االرتباط البسیطمعامل لھذا المثال فإن

فصل الخامسفصل الخامسالال

نمازج االنحدار الخطى المتعدد و نمازج نمازج االنحدار الخطى المتعدد و نمازج االنحدار من الدرجة الثانیة االنحدار من الدرجة الثانیة

والنمازج الغیر خطیةوالنمازج الغیر خطیة

rss1

ss2ss3

rss1

ss2ss3

٢٠١

Linear Multiple Regression االنحدار الخطى المتعدد ) ١-٥(

ل دة یمث ة أو السیاسیة معق في الغالب تكون العالقات الفعلیة سواء االقتصادیة أو االجتماعیي ك ف فیھا متغیر واحد تابع وعدد من المتغیرات األساسیة المستقلة ومن األمثلة العدیدة على ذل

الوة ع ا ع لعة ذاتھ عر الس أثر بس ا تت لعة م ن س تھلكة م ة المس د أن الكمی ال االقتصاد نج ى مج لتھلك ى ذوق المس افة إل ا باإلض ة وأیض لع البدیل عار الس ل . أس أثر بالعم اج تت ة اإلنت ذلك كمی ك

ة ة اإلنتاجی ن عناصر العملی ا م وارد الوسیطیة وغیرھ ال والم أمین . ورأسي الم ي مجال الت وف .یتوقف القسط التأمیني على عمر المؤمن ودخلھ وقیمة الوثیقة وطول فترات التأمین

Least Square Method مربعات الصغرىطریقة ال

ن ة م ى فئ اد عل ابع باالعتم ر ت ة متغی أ بقیم دیر والتنب كلة التق اول مش وف نتن اآلن ستقلة رات مس دة متغی ن ع أخوذة م اھدات الم دار . X1, X2, …,Xpالمش ة االنح ي حال ا ف كم

ة م . الخطي البسیط ، القیمة لكل متغیر مستقل والمختارة بواسطة الباحث سوف تظل ثابت إذا ت : من المجتمع فإن بیانات العینة سوف تكون على الشكل nاختیار عینة عشوائیة من الحجم

1i 2i pi i{x ,x ,...,x ;y );i 1,2,...,n ة ة ل yiمرة أخرى القیم ل قیم وائي تمث ر عش دد . Yiمتغی دار الخطي المتع وذج االنح نم

:النظري سوف یكون على الشكل 1 2 p 0 1 1 2 2 p pY|x ,x ,...,x x x ... x ,

0حیث أن 1 p, ,..., در . تمثل المعالم المطلوب تقدیرھا نموذج االنحدار الخطي المتعدد المق :سوف یكون على الشكل

0 1 1 p py b b x ... b x ,

الم b0, b1, ….bpحیث أن 0التقدیرات المطلوب الحصول علیھا للمع 1 p, ,..., . ى ة ف حال . X1 , X2 (p=2)وجود متغیرین مستقلین

:ونموذج االنحدار الخطي المقدر سوف یكون على الشكل

0 1 1 2 2y b b x b x ,

٢٠٢

ات الصغرى الحصول على معرفتنا لنظریة المصفوفات سوف یساعدنا في ,b0تقدیرات المربعb1, b2. النتائج یمكن تعمیمھا إلى عدة متغیرات مستقلة.

: ویمكن حل المثال بإستخدام المصفوفات كما ھو موضح في المثال التالي

)١-٥(مثال

: الحــل إلیجاد معادلة اإلنحدار المقدرة

.0 1 1 2 2y b b x b x ,

:یكونان على الشكل التالي yوالمتجھ Xفإن المصفوفة السابقجدول الوبإستخدام البیانات في

إستخدم البیانات في . 2xوكمیة السماد المستخدم 1xیتأثر محصول الفراولة بكمیة األمطارلتوفیق معادلة إنحدار خطي متعدد بإستخدام كمیة األمطار وكمیة السماد التالىجدول ال

.كمتغیرات مستقلة 2x y 1x

16 510 100022 450 45023 500 120013 425 70017 450 80025 475 110018 515 105020 500 115021 490 100019 510 95022. 525 1300.

٢٠٣

1 16 510 10001 22 450 4501 23 500 12001 13 425 7001 17 450 800

X 1 25 475 , y 11001 18 515 10501 20 500 11501 21 490 10001 19 510 9501 22 525 1300

:ستكون على الشكل التالي XXالمصفوفة

6

1 16 5101 1 1 10700

1 22 450X X 16 22 22 , X'y 213250

510 450 525 5.26525 101 22 525

:تقدیرات المربعات الصغرى سوف نحصل علیھا كالتالي. 1b X X X y

:أي1

0

16 6

2

b 11 216 5350 10700b 216 4362 105410 213250b 5350 105410 2.6124 10 5.26525 10

6

23.0157 0.0271387 0.0460394 10700 1928.240.0271387 0.00922992 0.000316848 213250 9.612210.0460394 0.000316848 0.000107453 5.576535026525 10

:معادلة اإلنحدار المتعدد المقدرة سوف تكون على الشكلوعلى ذلك

.1 2y 1928.24 9.61221x 5.57653x :eوالبواقى yوالقیم المقدرة yیعطى الجدول التالى المشاھدات

٢٠٤

yye y y


p=2 2 y={1000,450,1200,700,800,1100,1050,1150,1000,950,1300.} {1000,450,1200,700,800,1100,1050,1150,1000,950,1300.} x1={16,22,23,13,17,25,18,20,21,19,22.} {16,22,23,13,17,25,18,20,21,19,22.} x2={510,450,500,425,450,475,515,500,490,510,525} {510,450,500,425,450,475,515,500,490,510,525} ss=Transpose[{x1,x2,y}] {{16,510,1000},{22,450,450},{23,500,1200},{13,425,700},{17,450,800},{25,475,1100},{18,515,1050},{20,500,1150},{21,490,1000},{19,510,950},{22.,525,1300.}} TableForm[ss]

l[x_]:=Length[x] xx=Table[{1,x1[[i]],x2[[i]]},{i,1,l[x1]}] {{1,16,510},{1,22,450},{1,23,500},{1,13,425},{1,17,450},{

1000 1069.58 69.5826450 792.664 342.6641200 1081.1 118.897700 566.741 133.259800 744.603 55.39671100 960.914 139.0861050 1116.69 66.68961150 1052.27 97.73381000 1006.11 6.1131950 1098.42 148.4191300. 1210.9 89.0963

16 510 100022 450 45023 500 120013 425 70017 450 80025 475 110018 515 105020 500 115021 490 100019 510 95022. 525 1300.

٢٠٥

1,25,475},{1,18,515},{1,20,500},{1,21,490},{1,19,510},{1,22.,525}} xpr=Transpose[xx] {{1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1},{16,22,23,13,17,25,18,20,21,19,22.},{510,450,500,425,450,475,515,500,490,510,525}} w=xpr.xx

v=Inverse[w] {{23.0157,-0.0271387,-0.0460394},{-0.0271387,0.00922992,-0.000316848},{-0.0460394,-0.000316848,0.000107453}} xpy=xpr.y

bb=v.xpy {-1928.24,9.61221,5.57653} yy =bb[[1]]+bb[[2]]*x1+bb[[3]]*x2 {1069.58,792.664,1081.1,566.741,744.603,960.914,1116.69,1052.27,1006.11,1098.42,1210.9} e=y-yy {-69.5826,-342.664,118.897,133.259,55.3967,139.086,-66.6896,97.7338,-6.1131,-148.419,89.0963} ss22=Transpose[{y,yy,e}] {{1000,1069.58,-69.5826},{450,792.664,-342.664},{1200,1081.1,118.897},{700,566.741,133.259},{800,744.603,55.3967},{1100,960.914,139.086},{1050,1116.69,-66.6896},{1150,1052.27,97.7338},{1000,1006.11,-6.1131},{950,1098.42,-148.419},{1300.,1210.9,89.0963}} TableForm[ss22]


المدخالت : اوال المتغیرات من االمرعدد

p=2 x1والقائمة المسماه القائمة المسماه لقیم المتغیر المستقل االول و x2 لقیم المتغیر المستقل الثانى والقائمة المسمى y لقیم المتغیر التابع.

11., 216., 5350., 216., 4362., 105410., 5350., 105410., 2.6124106

10700., 213250., 5.26525106

1000 1069.58 69.5826450 792.664 342.6641200 1081.1 118.897700 566.741 133.259800 744.603 55.39671100 960.914 139.0861050 1116.69 66.68961150 1052.27 97.73381000 1006.11 6.1131950 1098.42 148.4191300. 1210.9 89.0963

٢٠٦

المخرجات : ثانیا :معادلة اإلنحدار المتعدد المقدرة

.1 2y 1928.24 9.61221x 5.57653x

والمخرج ھو bbنحصل علیھا من االمر

{-1928.24,9.61221,5.57653} : والجدول السابق نحصل علیھ من االمر

TableForm[ss22] oefficient of Multiple Determinationمعامل التحدید المتعدد) ٢-٥(

:ھو R2معامل التحدید المتعدد ، یرمز لھ بالرمز 2 SSR SSER 1

SSTO SSTO .

د البسیط R2في حالة وجود متغیر مستقل واحد فإن ة . r2یصبح معامل التحدی راوح قیم R2یت

:من الصفر إلى الواحد الصحیح ، أي أن 0 < R2 < 1

فھذا یعنى أن جمیع القیم المشاھدة R2 = 1وعندما b1 = b2 = 0فھذا یعنى أن R2 = 0عندما yi تقع على المستوى المقدر.

: ویمكن حل المثال بإستخدام المصفوفات كما ھو موضح في المثال التالي

)٢-٥(مثال

)١-٥(للمثال : فإن معامل قیمة معامل التحدید تحسب كالتالي

2j( y )

SYY y yn

2(10700)1100000011

591818 , 2

j( y )SSR b X'y

n

10779427.8 10408181.8 371246 ,

SSE y y b X'y SYY SSR

591818 371246 220572 .

:التالى جدول الجدول تحلیل التباین معطى في

٢٠٧

F MS SS df S.O.V 6.73243

- -

185623 27571.5

-

371246 220572 591818

2 8 10

اإلنحدار الخطأ الكلي

2 SSR 371246R .627.

SYY 591818

2Rالیجاد قیمة Mathematicaسوف یتم حل ھذا المثال بإستخدام برنامج مكتوب بلغة

i 0,iوایضا الجراء اختبارات تخص 0,1,2 وفیما یلى خطوا البرنامج والمخرجات .

=.05 0.05 p=2 2 y={1000.,450,1200,700,800,1100,1050,1150,1000,950,1300.} {1000.,450,1200,700,800,1100,1050,1150,1000,950,1300.} x1={16,22.,23,13,17,25,18,20,21,19,22.} {16,22.,23,13,17,25,18,20,21,19,22.} x2={510,450,500,425,450,475,515,500,490,510,525} {510,450,500,425,450,475,515,500,490,510,525} ss=Transpose[{x1,x2,y}] {{16,510,1000.},{22.,450,450},{23,500,1200},{13,425,700},{17,450,800},{25,475,1100},{18,515,1050},{20,500,1150},{21,490,1000},{19,510,950},{22.,525,1300.}} TableForm[ss]

l[x_]:=Length[x] xx=Table[{1,x1[[i]],x2[[i]]},{i,1,l[x1]}]

16 510 1000.22. 450 45023 500 120013 425 70017 450 80025 475 110018 515 105020 500 115021 490 100019 510 95022. 525 1300.

٢٠٨

{{1,16,510},{1,22.,450},{1,23,500},{1,13,425},{1,17,450},{1,25,475},{1,18,515},{1,20,500},{1,21,490},{1,19,510},{1,22.,525}} xpr=Transpose[xx] {{1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1},{16,22.,23,13,17,25,18,20,21,19,22.},{510,450,500,425,450,475,515,500,490,510,525}} w=xpr.xx

v=Inverse[w] {{23.0157,-0.0271387,-0.0460394},{-0.0271387,0.00922992,-0.000316848},{-0.0460394,-0.000316848,0.000107453}} xpy=xpr.y

bb=v.xpy {-1928.24,9.61221,5.57653} yy =bb[[1]]+bb[[2]]*x1+bb[[3]]*x2 {1069.58,792.664,1081.1,566.741,744.603,960.914,1116.69,1052.27,1006.11,1098.42,1210.9} e=y-yy {-69.5826,-342.664,118.897,133.259,55.3967,139.086,-66.6896,97.7338,-6.1131,-148.419,89.0963} ss22=Transpose[{y,yy,e}] {{1000.,1069.58,-69.5826},{450,792.664,-342.664},{1200,1081.1,118.897},{700,566.741,133.259},{800,744.603,55.3967},{1100,960.914,139.086},{1050,1116.69,-66.6896},{1150,1052.27,97.7338},{1000,1006.11,-6.1131},{950,1098.42,-148.419},{1300.,1210.9,89.0963}} TableForm[ss22]

err=e.e 220572. h[x_]:=Apply[Plus,x] c[x_]:=h[x^2]-(h[x]^2)/l[x]

11., 216., 5350., 216., 4362., 105410.,5350., 105410., 2.6124106

10700., 213250., 5.26525106

1000. 1069.58 69.5826450 792.664 342.6641200 1081.1 118.897700 566.741 133.259800 744.603 55.39671100 960.914 139.0861050 1116.69 66.68961150 1052.27 97.73381000 1006.11 6.1131950 1098.42 148.4191300. 1210.9 89.0963

٢٠٩

ssto=c[y] 591818. ssr=ssto-err 371246. mssr=ssr/p 185623. dfr=(l[x1]-p-1) 8 mmerr=err/dfr 27571.5 f=mssr/mmerr 6.73243 th=TableHeadings->{{source,regression,residual, Total},{anova}} TableHeadings{{source,regression,residual,Total},{anova}} rt1=List["df","SS","MS","F"] {df,SS,MS,F} rt2=List[p,ssr,mssr,f] rt3=List[dfr,err,mmerr,"--"] rt4=List[l[x1]-1,ssto,"--","--"] tf=TableForm[{rt1,rt2,rt3,rt4},th] {2,371246.,185623.,6.73243} {8,220572.,27571.5,--} {10,591818.,--,--}

R2=ssr/ssto 0.627298 errorm=mmerr*v {{634577.,-748.255,-1269.37},{-748.255,254.483,-8.73597},{-1269.37,-8.73597,2.96263}} ggg[x_]:=Sqrt[x] nn=Map[ggg,errorm] {{796.604,0. +27.3542 ,0. +35.6283 },{0. +27.3542 ,15.9525,0. +2.95567 },{0. +35.6283 ,0. +2.95567 ,1.72123}} standbo=nn[[1,1]] 796.604 standb1=nn[[2,2]] 15.9525 standb3=nn[[3,3]] 1.72123 t11=bb[[1]]/standbo -2.42058

anovasource df SS MS Fregression 2 371246. 185623. 6.73243residual 8 220572. 27571.5

Total 10 591818.

٢١٠

t22=bb[[2]]/standb1 0.602551 t33=bb[[3]]/standb3 3.23985 <<Statistics`ContinuousDistributions` TT=Quantile[StudentTDistribution[l[x1]-p-1],1-(/2)] 2.306 ww=bb[[1]]+TT*standbo -91.2698 uu=bb[[1]]-TT*standbo -3765.21 jj=bb[[2]]+TT*standb1 46.3988 qq=bb[[2]]-TT*standb1 -27.1744 aa=bb[[3]]+TT*standb3 9.54569 pp=bb[[3]]-TT*standb3 1.60736 ffee=Quantile[FRatioDistribution[p,l[x1]-p-1],1-] 4.45897 If[f>=ffee,Print["Reject Ho"],Print["Accept Ho"]] Reject Ho If[Abs[t11]>=TT,Print["Reject Ho"],Print["Accept Ho"]] Reject Ho If[Abs[t22]>=TT,Print["Reject Ho"],Print["Accept Ho"]] Accept Ho If[Abs[t33]>=TT,Print["Reject Ho"],Print["Accept Ho"]] Reject Ho

ن االمر ة م 05.مستوى المعنوی المصفوفة و 1X X ن االمر ا م ایضا. vنحصل علیھ2R نحصل علیھا من االمر

R2=ssr/ssto والمخرج ھو 0.627298

مصفوفة التغایر والتباین 12s X X نحصل علیھا من االمر errorm=mmerr*v

0أي اختبار فرض العدم االنحدار تالختبار معنویة معامال 1 2H : 0 ل من ضد الفرض البدیل i 0,iان واحد على االق 1,2 . ل ى جدول تحلی نحصل عل

التباین من االمر tf=TableForm[{rt1,rt2,rt3,rt4},th]

f المحسوبة من االمر f=mssr/mmerr

f الجدولیة من االمر ffee=Quantile[FRatioDistribution[p,l[x1]-p-1],1-

] القرار الذي یتخذ من االمر

٢١١

If[f>=ffee,Print["Reject Ho"],Print["Accept Ho"]] والمخرج ھو Reject Ho

ختبار فرض العدمال .اى رفض فرض العدم

0 0H : 0 ضد الفرض البدیل

1 0H : 0

القرار الذي یتخذ من االمر If[Abs[t11]>=TT,Print["Reject Ho"],Print["Accept Ho"]]

والمخرج ھو Reject Ho

ختبار فرض العدمال .اى رفض فرض العدم0 1H : 0


1 1H : 0


والمخرج ھو Accept Ho

ختبار فرض العدمال .اى قبول فرض العدم0 2H : 0


1 2H : 0



.اى رفض فرض العدم من االمریین التالیین 0فترة ثقة ل 95%

ww=bb[[1]]+TT*standbo uu=bb[[1]]-TT*standbo

من االمریین التالیین 1فترة ثقة ل 95%jj=bb[[2]]+TT*standb1 qq=bb[[2]]-TT*standb1

من االمریین التالیین 2فترة ثقة ل 95%

٢١٢

aa=bb[[3]]+TT*standb3 pp=bb[[3]]-TT*standb3

)٣-٥(مثال

:الحل وذلك باستخدام Mathematicaسوف یتم حل ھذا المثال بإستخدام برنامج مكتوب بلغة

الحزمة الجاھزةStatistics`LinearRegression`

.وفیما یلى خطوات البرنامج والمخرجات <<Statistics`LinearRegression` teamera={3.33,3.51,3.55,3.65,3.80,4.20,4.22,4.27,4.31,4.48,4.53,4.55,4.62,5.86}; ownbavg={0.276,0.249,0.249,0.260,0.271,0.241,0.269,0.264,0.270,0.240,0.259,0.252,0.258,0.293}; oppbavg={0.240,0.254,0.249,0.245,0.250,0.252,0.254,0.270,0.274,0.264,0.280,0.266,0.268,0.286}; winpct={0.625,0.512,0.488,0.524,0.588,0.475,0.513,0.463,0.512,0.405,0.450,0.480,0.456,0.506}; Clear[dpoints] dpoints=Table[{teamera[[i]],ownbavg[[i]],oppbavg[[i]],winpct[[i]]},{i,1,Length[winpct]}] {{3.33,0.276,0.24,0.625},{3.51,0.249,0.254,0.512},{3.55,0.249,0.249,0.488},{3.65,0.26,0.245,0.524},{3.8,0.271,0.25,0.588},{4.2,0.241,0.252,0.475},{4.22,0.269,0.254,0.513},{4.27,0.264,0.27,0.463},{4.31,0.27,0.274,0.512},{4.48,0.24,0.264,0.405},{4.53,0.259,0.28,0.45},{4.55,0.252,0.266,0.48},{4.62,0.258,0.268,0.456},{5.86,0.293,0.286,0.506}} ListPlot[Transpose[{teamera,winpct}],Prolog->{PointSize[0.02]},AxesOrigin->{Min[teamera],Min[winpct]},PlotLabel->"Team ERA vs. Winning Percentage"]

لتوفیق معادلة إنحدار خطي متعدد التالیةإستخدم البیانات X1={3.33,3.51,3.55,3.65,3.80,4.20,4.22,4.27,4.31,4.48,4.53,4.55,4.62,5.86}; X2={0.276,0.249,0.249,0.260,0.271,0.241,0.269,0.264,0.270,0.240,0.259,0.252,0.258,0.293}; X3={0.240,0.254,0.249,0.245,0.250,0.252,0.254,0.270,0.274,0.264,0.280,0.266,0.268,0.286}; y={0.625,0.512,0.488,0.524,0.588,0.475,0.513,0.463,0.512,0.405,0.450,0.480,0.456,0.506};

٢١٣

Graphics ListPlot[Transpose[{ownbavg,winpct}],Prolog->{PointSize[0.02]},AxesOrigin->{Min[ownbavg],Min[winpct]},PlotLabel->"Own Batting Average vs. Winning Percentage"]

Graphics ListPlot[Transpose[{oppbavg,winpct}],Prolog->{PointSize[0.02]},AxesOrigin->{Min[oppbavg],Min[winpct]},PlotLabel->"Opponent Batting Average vs. Winning Percentage"]

Graphics

3.5 4 4.5 5 5.50.4

0.45

0.5

0.55

0.6

Team ERA vs. Winning Percentage

0.25 0.26 0.27 0.28 0.290.4

0.45

0.5

0.55

0.6

Own Batting Average vs. Winning Percentage

0.25 0.26 0.27 0.280.4

0.45

0.5

0.55

0.6

Opponent Batting Average vs. Winning Percentage

٢١٤

Regress[dpoints,{1,x1,x2,x3},{x1,x2,x3},RegressionReport->BestFit] {BestFit0.302668 -0.0303858 x1+3.16123 x2-1.91482 x3} Fit[dpoints,{1,x1,x2,x3},{x1,x2,x3}] 0.302668 -0.0303858 x1+3.16123 x2-1.91482 x3 Regress[dpoints,{1,x1,x2,x3},{x1,x2,x3}]

Regress[dpoints,{1,x1,x2,x3,x1 x2,x2 x3,x1 x3},{x1,x2,x3}]

cov=Regress[dpoints,{1,x1,x2,x3,x1 x2,x2 x3,x1 x3},{x1,x2,x3},RegressionReport->CovarianceMatrix]

corr=Regress[dpoints,{1,x1,x2,x3,x1 x2,x2 x3,x1 x3},{x1,x2,x3},RegressionReport->CorrelationMatrix]; corr[[1,2]]

ParameterTable

Estimate SE TStat PValue1 0.302668 0.196793 1.538 0.155066x1 0.0303858 0.0190012 1.59915 0.14087x2 3.16123 0.442659 7.14147 0.0000313646x3 1.91482 0.864137 2.21587 0.0510505

, RSquared 0.885111,

AdjustedRSquared 0.850644,

EstimatedVariance 0.00046457, ANOVATable


ParameterTable

Estimate SE TStat PValue1 4.3393 6.70683 0.646997 0.538264x1 0.146461 0.528633 0.277055 0.789741x2 8.45276 23.6866 0.356858 0.731713x3 24.2133 35.3193 0.685554 0.515049x1x2 1.64926 2.42043 0.68139 0.517525x2x3 70.7988 126.636 0.559074 0.593538x1x3 0.959189 1.41262 0.679013 0.518942

,RSquared 0.894145,


EstimatedVariance 0.000611483,ANOVATable


CovarianceMatrix

44.9816 2.73914 155.174 234.987 14.7961 836.777 4.139072.73914 0.279453 10.5961 15.0672 1.03209 58.082 0.0360002155.174 10.5961 561.055 804.323 49.0586 2961.71 7.89514234.987 15.0672 804.323 1247.45 81.6642 4420.59 23.254314.7961 1.03209 49.0586 81.6642 5.8585 283.878 1.88114836.777 58.082 2961.71 4420.59 283.878 16036.7 58.79844.13907 0.0360002 7.89514 23.2543 1.88114 58.7984 1.9955

٢١٥

corrmat=corr[[1,2,1]] {{1.,0.772577,-0.976785,-0.992006,-0.911457,0.985224,0.436877},{0.772577,1.,-0.84623,-0.806985,-0.806625,0.867621,-0.0482087},{-0.976785,-0.84623,1.,0.961426,0.855696,-0.987375,-0.235956},{-0.992006,-0.806985,0.961426,1.,0.955271,-0.988351,-0.466086},{-0.911457,-0.806625,0.855696,0.955271,1.,-0.926149,-0.550177},{0.985224,0.867621,-0.987375,-0.988351,-0.926149,1.,0.328687},{0.436877,-0.0482087,-0.235956,-0.466086,-0.550177,0.328687,1.}} corrmat[[1,3]] -0.976785


teameraالقائمة المسماه القائمة المسماه لقیم المتغیر المستقل االول و ownbavg ستقل الثانى ولقیم المتغیر الم oppbavgالقائمة المسماه لقیم المتغیر المستقل الثالث والقائمة .لقیم المتغیر التابع winpct المسماه

المخرجات: ثانیا شكل االنتشار بین المتغیر المستقل االول والمتغیر التابع تعطى من االمر

ListPlot[Transpose[{teamera,winpct}],Prolog->{PointSize[0.02]},AxesOrigin->{Min[teamera],Min[winpct]},PlotLabel->"Team ERA vs. Winning Percentage"]

شكل االنتشار بین المتغیر المستقل الثانى والمتغیر التابع تعطى من االمر ListPlot[Transpose[{ownbavg,winpct}],Prolog->{PointSize[0.02]},AxesOrigin->{Min[ownbavg],Min[winpct]},PlotLabel->"Own Batting Average vs. Winning Percentage"]

شكل االنتشار بین المتغیر المستقل الثالث والمتغیر التابع تعطى من االمر

ListPlot[Transpose[{oppbavg,winpct}],Prolog->{PointSize[0.02]},AxesOrigin->{Min[oppbavg],Min[winpct]},PlotLabel->"Opponent Batting Average vs. Winning Percentage"]

:معادلة اإلنحدار المتعدد المقدرة سوف تكون على الشكل .

1 2 3y .302668 .0303858x 3.16123x 1.91482x ونحصل علیھا من االمر

1. 0.772577 0.976785 0.992006 0.911457 0.985224 0.4368770.772577 1. 0.84623 0.806985 0.806625 0.867621 0.04820870.976785 0.84623 1. 0.961426 0.855696 0.987375 0.2359560.992006 0.806985 0.961426 1. 0.955271 0.988351 0.4660860.911457 0.806625 0.855696 0.955271 1. 0.926149 0.5501770.985224 0.867621 0.987375 0.988351 0.926149 1. 0.3286870.436877 0.0482087 0.235956 0.466086 0.550177 0.328687 1.

٢١٦

Regress[dpoints,{1,x1,x2,x3},{x1,x2,x3},RegressionReport->BestFit]

والمخرج ھو{BestFit0.302668 -0.0303858 x1+3.16123 x2-1.91482 x3}

او من االمر Fit[dpoints,{1,x1,x2,x3},{x1,x2,x3}]

:والمخرج ھو 0.302668 -0.0303858 x1+3.16123 x2-1.91482 x3

من االمر

Regress[dpoints,{1,x1,x2,x3},{x1,x2,x3}]

:التالىنحصل على الجدول

0أي اختبار فرض العدم االنحدار تالختبار معنویة معامال 1 2 3H : 0

i 0,iان واحد على االقل من ضد الفرض البدیل 1,2,3 ل نحصل على جدول تحلیث التباین السابق ة حی ة 25.6801 ھى محسوبةال fقیم ا ا ن قیم ل منp وبم 01.اق ا فإنن

دل .نرفض فرض العدم ى ان ) 850644.(قیمة معامل التحدید المع ى تعن ر %85والت ن التغی مر ى المتغی ابع ف تقلةالت رات المس ى المتغی ود ال ة .یع د ان قیم ة نج دول المعلم ن ج ا م ایض

0000313646 =p للمتغیرx2 والتى تعنى معنویة ھذا المتغیر. 1تحت فرض متغیرات جدیدة مثل 2 1 3 2 3x x ,x x ,x x وباستخدام االمر

Regress[dpoints,{1,x1,x2,x3,x1 x2,x2 x3,x1 x3},{x1,x2,x3}]

:نحصل على الجدول التالى

ParameterTable

Estimate SE TStat PValue1 0.302668 0.196793 1.538 0.155066x1 0.0303858 0.0190012 1.59915 0.14087x2 3.16123 0.442659 7.14147 0.0000313646x3 1.91482 0.864137 2.21587 0.0510505



EstimatedVariance 0.00046457,ANOVATable


٢١٧

دم رض الع ار ف دیل الختب رض الب د الف ن ض ل م ى االق د عل i 0,iان واح 1,2,...7

ة .9.85473ھى الجدولیة fقیمة حیث تحلیل التباین السابقنحصل على جدول ا ان قیم وبمp01.اقل من دم رفض فرض الع ا ن دل .فإنن د المع ة معامل التحدی ى ) 803413.(قیم والت

ى ان ر %80.3تعن ى المتغی ر ف ن التغی ابعم تقلة الت رات المس ى المتغی ود ال ن جدول .یع ایضا م . غیر معنویة لجمیع المتغیرات pالمعالم نجد ان قیمة

مصفوفة التغایر والتباین نحصل علیھا من االمر cov=Regress[dpoints,{1,x1,x2,x3,x1 x2,x2 x3,x1 x3},{x1,x2,x3},RegressionReport->CovarianceMatrix]

:والمخرج ھو

مصفوفة االرتباط نحصل علیھا من االمر corr=Regress[dpoints,{1,x1,x2,x3,x1 x2,x2 x3,x1 x3},{x1,x2,x3},RegressionReport->CorrelationMatrix]; corr[[1,2]]

والمخرج ھو

مصفوفة االرتباط نحصل علیھا على شكل قائمة من االمر

corrmat=corr[[1,2,1]] والمخرج ھو

{{1.,0.772577,-0.976785,-0.992006,-

0.911457,0.985224,0.436877},{0.772577,1.,-0.84623,-0.806985,-0.806625,0.867621,-0.0482087},{-0.976785,-0.84623,1.,0.961426,0.855696,-0.987375,-0.235956},{-

ParameterTable

Estimate SE TStat PValue1 4.3393 6.70683 0.646997 0.538264x1 0.146461 0.528633 0.277055 0.789741x2 8.45276 23.6866 0.356858 0.731713x3 24.2133 35.3193 0.685554 0.515049x1x2 1.64926 2.42043 0.68139 0.517525x2x3 70.7988 126.636 0.559074 0.593538x1x3 0.959189 1.41262 0.679013 0.518942

,RSquared0.894145,

AdjustedRSquared0.803413,



CovarianceMatrix

44.9816 2.73914 155.174 234.987 14.7961 836.777 4.139072.73914 0.279453 10.5961 15.0672 1.03209 58.082 0.0360002155.174 10.5961 561.055 804.323 49.0586 2961.71 7.89514234.987 15.0672 804.323 1247.45 81.6642 4420.59 23.254314.7961 1.03209 49.0586 81.6642 5.8585 283.878 1.88114836.777 58.082 2961.71 4420.59 283.878 16036.7 58.79844.13907 0.0360002 7.89514 23.2543 1.88114 58.7984 1.9955

1. 0.772577 0.976785 0.992006 0.911457 0.985224 0.4368770.772577 1. 0.84623 0.806985 0.806625 0.867621 0.04820870.976785 0.84623 1. 0.961426 0.855696 0.987375 0.2359560.992006 0.806985 0.961426 1. 0.955271 0.988351 0.4660860.911457 0.806625 0.855696 0.955271 1. 0.926149 0.5501770.985224 0.867621 0.987375 0.988351 0.926149 1. 0.3286870.436877 0.0482087 0.235956 0.466086 0.550177 0.328687 1.

٢١٨

0.992006,-0.806985,0.961426,1.,0.955271,-0.988351,-0.466086},{-0.911457,-0.806625,0.855696,0.955271,1.,-

0.926149,-0.550177},{0.985224,0.867621,-0.987375,-0.988351,-0.926149,1.,0.328687},{0.436877,-0.0482087,-

0.235956,-0.466086,-0.550177,0.328687,1.}}

نستخدم االمر ) المثال على سبیل(للحصول عل معامل االرتباط بین المتغیر االول والمتغیر الثالث

corrmat[[1,3]]

Quadratic Regression االنحدار من الدرجة الثانیة) ٣-٥(

ى سبیل ة فعل ن الدرجة الثانی في بعض األحیان تكون العالقة بین متغیرین على شكل منحنى م

:المثال بفرض أننا نرغب في تقدیر معالم النموذج 2

Y|x 0 1 2x x

:في الحقیقة نرغب في تقدیر معالم النموذج انحدار خطى متعدد على الشكل Y|x 0 1 1 2 2b b x b x

.في المعادلة السابقة x2 = x2 , x1 = xوذلك بوضع

)٤-٥(مثال

: الحــل

:معادلة االنحدار المقدرة ھي 2

xy 1.48083 3.792313x 0.223674x .

.)١-٥(والتمثیل البیاني لھا موضح في شكل )١-٥(شكل

الىجدول الالقیاسات المعطاة في ألزواج ن الدرجة الت وذج انحدار م درة لنم دار المق د االنح أوج .الثانیة

10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 x 62.00 53.80 46.00 38.50 32.20 25.95 20.50 15.35 10.20 5.0 y

٢١٩

وفیما یلى خطوات . Mathematicaسوف یتم حل ھذا المثال بإستخدام برنامج مكتوب بلغة

. البرنامج والمخرجات

p=2 2 x1={1.,2,3,4,5,6,7,8,9,10} {1.,2,3,4,5,6,7,8,9,10} y={5.,10.2,15.35,20.5,25.95,32.2,38.5,46,53.8,62} {5.,10.2,15.35,20.5,25.95,32.2,38.5,46,53.8,62} x2=x1^2 {1.,4,9,16,25,36,49,64,81,100} ss=Transpose[{x1,x2,y}] {{1.,1.,5.},{2,4,10.2},{3,9,15.35},{4,16,20.5},{5,25,25.95},{6,36,32.2},{7,49,38.5},{8,64,46},{9,81,53.8},{10,100,62}} l[x_]:=Length[x] xx=Table[{1,x1[[i]],x2[[i]]},{i,1,l[x1]}] {{1,1.,1.},{1,2,4},{1,3,9},{1,4,16},{1,5,25},{1,6,36},{1,7,49},{1,8,64},{1,9,81},{1,10,100}} xpr=Transpose[xx] {{1,1,1,1,1,1,1,1,1,1},{1.,2,3,4,5,6,7,8,9,10},{1.,4,9,16,25,36,49,64,81,100}} w=xpr.xx {{10.,55.,385.},{55.,385.,3025.},{385.,3025.,25333.}} v=Inverse[w] {{1.38333,-0.525,0.0416667},{-0.525,0.241288,-0.0208333},{0.0416667,-0.0208333,0.00189394}} xpy=xpr.y {309.5,2218.1,17708.2} bb=v.xpy {1.48083,3.79231,0.223674} yy =bb[[1]]+bb[[2]]*x1+bb[[3]]*x2

٢٢٠

{5.49682,9.96015,14.8708,20.2289,26.0342,32.287,38.987,46.1345,53.7292,61.7714} t1=Transpose[{x1,y}] {{1.,5.},{2,10.2},{3,15.35},{4,20.5},{5,25.95},{6,32.2},{7,38.5},{8,46},{9,53.8},{10,62}} a=PlotRange{{0,15},{0,70}} PlotRange{{0,15},{0,70}} a1=Prolog{PointSize[.02]} Prolog{PointSize[0.02]} g= ListPlot[t1,a,a1,AxesLabel{"x","y"}]

Graphics dd=Plot[bb[[1]]+bb[[2]]*x+bb[[3]]*x^2,{x,0,15},AxesLabel{"x","y"}]

Graphics Show[g,dd]

2 4 6 8 10 12 14x

10

20

30

40

50

60

70y

2 4 6 8 10 12 14x

20

40

60

80

100

y

٢٢١

Graphics

)٥-٥(مثال

:الحل

وذلك باستخدام Mathematicaسوف یتم حل ھذا المثال بإستخدام برنامج مكتوب بلغة الحزمة الجاھزة


<<Statistics`LinearRegression` oppbavg={0.240,0.254,0.249,0.245,0.250,0.252,0.254,0.270,0.274,0.264,0.280,0.266,0.268,0.286}; winpct={0.625,0.512,0.488,0.524,0.588,0.475,0.513,0.463,0.512,0.405,0.450,0.480,0.456,0.506}; dpoints=Table[{oppbavg[[i]],winpct[[i]]},{i,1,Length[winpct]}]; Regress[dpoints,{1,x,x^2},x]

2 4 6 8 10 12 14x

10

20

30

40

50

60

70y

.االنحدار المقدرة لنموذج انحدار من الدرجة الثانیةمعادلة أوجد للبیانات التالیة X 0.240,0.254,0.249,0.245,0.250,0.252,0.254,0.270,0.274,0.264,0.280,0.266,0.268,0.286, Y 0.625,0.512,0.488,0.524,0.588,0.475,0.513,0.463,0.512,0.405,0.450,0.480,0.456,0.506.

٢٢٢

Regress[dpoints,{1,x,x^2,x^3},x]

من االمر Regress[dpoints,{1,x,x^2},x]

المخرج لھذا .نحصل على الجدول التالى والذى نتعامل معھ كما فى الجداول المخرجة فى حالة االنحدار المتعدد:االمر ھو

:الثالثة نستخدم االمر التالى للحصول على معادلة من الدرجة

Regress[dpoints,{1,x,x^2,x^3},x]

: حیث نحصل على الجدول التالى

ParameterTable

Estimate SE TStat PValue1 12.9504 4.17042 3.10529 0.0100092x 92.8343 31.8034 2.91901 0.0139622x2 172.464 60.5108 2.85014 0.0157927

, RSquared 0.59678,




ParameterTable

Estimate SE TStat PValue1 48.0489 82.9408 0.579316 0.575193x 494.226 947.803 0.521444 0.613409

x2 1700.06 3605.45 0.471525 0.647385x3 1934.66 4565.52 0.423755 0.680715





ParameterTable

Estimate SE TStat PValue1 12.9504 4.17042 3.10529 0.0100092x 92.8343 31.8034 2.91901 0.0139622x2 172.464 60.5108 2.85014 0.0157927

, RSquared 0.59678,




٢٢٣

.والذى نتعامل معھ كما فى الجداول المخرجة فى حالة االنحدار المتعدد

)٦-٥(مثال

: الحــل ).٢-٥(شكل االنتشار موضح في شكل

)٢-٥(شكل

:نموذج اإلنحدار المقدر ھو. والذي یوضح عالقة من الدرجة الثانیة

ParameterTable

Estimate SE TStat PValue1 48.0489 82.9408 0.579316 0.575193x 494.226 947.803 0.521444 0.613409

x2 1700.06 3605.45 0.471525 0.647385x3 1934.66 4565.52 0.423755 0.680715





ار و xحیث التالىجدول الألزواج المشاھدات المعطاة في د اإلزھ ام بع دد األی y (Kg/ha)تمثل عر ة واختب ن الدرجة الثانی دره م دار المق ة االنح د، أوجد معادل ي الھن ا ف المحصول الناتج من نبات م

:فرض العدم.0 1 2H : 0

30 28 26 24 22 20 18 16 x

3883 3500 3190 3057 3423 3304 2518 2508 y

46 44 42 40 38 36 34 32 x

2776 3103 3241 3517 3333 3708 3646 3823 y

٢٢٤

2y 1070.4 293.48x 4 5358x .

.شكل االنتشار مع) ٣-٥(شكل والموضح بیانیا في

)٣-٥(شكل


S.O.V df SS MS F 1 2 0, 2 2084779.4 1042389.691 25.077 41568.336 540388.37 13 الخطأ 2625167.8 15 الكلي

ةالجد ولی F قیمة نتزید ع) 077.25(تساوي السابق جدولا لالمحسوبة من F بما أن قیمةو (13 ,2)عند درجتي حریة 0.05F (2,13) 3.81), 0.05 فإننا نرفض فرض

.العدم


p=2 2 y={2508.,2518,3304,3423,3057,3190,3500,3883,3823,3646,3708, 3333,3517,3241,3103,2776} {2508.,2518,3304,3423,3057,3190,3500,3883,3823,3646,3708,3333,3517,3241,3103,2776} x1={16,18,20.,22,24,26,28,30,32,34,36,38,40,42,44,46} {16,18,20.,22,24,26,28,30,32,34,36,38,40,42,44,46} x2=x1^2 {256,324,400.,484,576,676,784,900,1024,1156,1296,1444,1600,1764,1936,2116}

٢٢٥

ss=Transpose[{x1,x2,y}] {{16,256,2508.},{18,324,2518},{20.,400.,3304},{22,484,3423},{24,576,3057},{26,676,3190},{28,784,3500},{30,900,3883},{32,1024,3823},{34,1156,3646},{36,1296,3708},{38,1444,3333},{40,1600,3517},{42,1764,3241},{44,1936,3103},{46,2116,2776}} TableForm[ss]

l[x_]:=Length[x] xx=Table[{1,x1[[i]],x2[[i]]},{i,1,l[x1]}] {{1,16,256},{1,18,324},{1,20.,400.},{1,22,484},{1,24,576},{1,26,676},{1,28,784},{1,30,900},{1,32,1024},{1,34,1156},{1,36,1296},{1,38,1444},{1,40,1600},{1,42,1764},{1,44,1936},{1,46,2116}} xpr=Transpose[xx] {{1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1},{16,18,20.,22,24,26,28,30,32,34,36,38,40,42,44,46},{256,324,400.,484,576,676,784,900,1024,1156,1296,1444,1600,1764,1936,2116}} w=xpr.xx

v=Inverse[w] {{9.16565,-0.617069,0.00958508},{-0.617069,0.0427959,-0.000678396},{0.00958508,-0.000678396,0.0000109419}} xpy=xpr.y

bb=v.xpy {-1070.4,293.483,-4.5358} yy =bb[[1]]+bb[[2]]*x1+bb[[3]]*x2

16 256 2508.18 324 251820. 400. 330422 484 342324 576 305726 676 319028 784 350030 900 388332 1024 382334 1156 364636 1296 370838 1444 333340 1600 351742 1764 324144 1936 310346 2116 2776

16., 496., 16736., 496., 16736., 603136., 16736., 603136., 2.2825110

52530., 1.64511106, 5.55659107

٢٢٦

{2464.16,2742.7,2984.94,3190.9,3360.57,3493.96,3591.06,3651.87,3676.4,3664.64,3616.59,3532.26,3411.64,3254.73,3061.54,2832.06} e=y-yy {43.8358,-224.696,319.059,232.101,-303.571,-303.957,-91.0562,231.131,146.604,-18.6356,91.4107,-199.257,105.363,-13.7317,41.4603,-56.0613} ss22=Transpose[{y,yy,e}] {{2508.,2464.16,43.8358},{2518,2742.7,-224.696},{3304,2984.94,319.059},{3423,3190.9,232.101},{3057,3360.57,-303.571},{3190,3493.96,-303.957},{3500,3591.06,-91.0562},{3883,3651.87,231.131},{3823,3676.4,146.604},{3646,3664.64,-18.6356},{3708,3616.59,91.4107},{3333,3532.26,-199.257},{3517,3411.64,105.363},{3241,3254.73,-13.7317},{3103,3061.54,41.4603},{2776,2832.06,-56.0613}} TableForm[ss22]

err=e.e 540388. h[x_]:=Apply[Plus,x] c[x_]:=h[x^2]-(h[x]^2)/l[x] ssto=c[y]

ssr=ssto-err

mssr=ssr/p

dfr=(l[x1]-p-1) 13

2508. 2464.16 43.83582518 2742.7 224.6963304 2984.94 319.0593423 3190.9 232.1013057 3360.57 303.5713190 3493.96 303.9573500 3591.06 91.05623883 3651.87 231.1313823 3676.4 146.6043646 3664.64 18.63563708 3616.59 91.41073333 3532.26 199.2573517 3411.64 105.3633241 3254.73 13.73173103 3061.54 41.46032776 2832.06 56.0613

2.62517106

2.08478106

1.04239106

٢٢٧

mmerr=err/dfr 41568.3 f=mssr/mmerr 25.0765 th=TableHeadings->{{source,regression,residual, Total},{anova}} TableHeadings{{source,regression,residual,Total},{anova}} rt1=List["df","SS","MS","F"] {df,SS,MS,F} rt2=List[p,ssr,mssr,f] rt3=List[dfr,err,mmerr,"--"] rt4=List[l[x1]-1,ssto,"--","--"] tf=TableForm[{rt1,rt2,rt3,rt4},th]

{13,540388.,41568.3,--}

errorm=v*mmerr {{381001.,-25650.5,398.436},{-25650.5,1778.95,-28.1998},{398.436,-28.1998,0.454836}} g[x_]:=Sqrt[x] nn=Map[g,errorm] {{617.253,0. +160.158 ,19.9609},{0. +160.158 ,42.1776,0. +5.31035 },{19.9609,0. +5.31035 ,0.674415}} standbo=nn[[1,1]] 617.253 standb1=nn[[2,2]] 42.1776 standb3=nn[[3,3]] 0.674415 t11=bb[[1]]/standbo -1.73413 t22=bb[[2]]/standb1 6.95826 t33=bb[[3]]/standb3 -6.72554 <<Statistics`ContinuousDistributions` TT=Quantile[StudentTDistribution[l[x1]-p-1],.975] 2.16037 ww=bb[[1]]+TT*standbo 263.096

2, 2.08478106, 1.04239106, 25.0765

15, 2.62517106, ,

anovasource df SS MS Fregression 2 2.08478106 1.04239106 25.0765residual 13 540388. 41568.3

Total 15 2.62517106

٢٢٨

uu=bb[[1]]-TT*standbo -2403.89 jj=bb[[2]]+TT*standb1 384.602 qq=bb[[2]]-TT*standb1 202.364 aa=bb[[3]]+TT*standb3 -3.07882 pp=bb[[3]]-TT*standb3 -5.99279 TTa=N[%,5] -5.99279 ffee=Quantile[FRatioDistribution[p,l[x1]-p-1],.95] 3.80557 If[f>=ffee,Print["Reject Ho"],Print["Accept Ho"]] Reject Ho If[Abs[t11]>=TT,Print["Reject Ho"],Print["Accept Ho"]] Accept Ho If[Abs[t22]>=TT,Print["Reject Ho"],Print["Accept Ho"]] Reject Ho If[Abs[t33]>=TT,Print["Reject Ho"],Print["Accept Ho"]] Reject Ho


المدخالت : اوالx1القائمة المسمى لقیم المتغیر المستقل والقائمة .لقیم المتغیر التابع y المسمى

المخرجات : ثانیا :معادلة اإلنحدار المتعدد المقدرة

.2y 1070.4 293.483x 4.5358x

حیث المخرج ھو bbنحصل علیھا من االمر

{-1070.4,293.483,-4.5358} 0أي اختبار فرض العدم االنحدار تالختبار معنویة معامال 1 2H : 0

ل من ضد الفرض البدیل i 0,iان واحد على االق 1,2 . ل ى جدول تحلی نحصل عل التباین من االمر

(tf=TableForm[{rt1,rt2,rt3,rt4},th] f المحسوبة من االمر

f=mssr/mmerr f الجدولیة من االمر

ffee=Quantile[FRatioDistribution[p,l[x1]-p-1],.95] القرار الذي یتخذ من االمر

If[f>=ffee,Print["Reject Ho"],Print["Accept Ho"]] والمخرج ھو Reject Ho

ختبار فرض العدمال .اى رفض فرض العدم

٢٢٩

0 0H : 0


1 0H : 0


والمخرج ھو Accept Ho

ختبار فرض العدمال .اى قبول فرض العدم0 1H : 0


1 1H : 0



ختبار فرض العدمال .اى رفض فرض العدم0 2H : 0


1 2H : 0



.رفض فرض العدماى

من االمریین التالیین 0فترة ثقة ل 95%ww=bb[[1]]+TT*standbo

٢٣٠

uu=bb[[1]]-TT*standbo

من االمریین التالیین 1فترة ثقة ل 95%jj=bb[[2]]+TT*standb1 qq=bb[[2]]-TT*standb1

من االمریین التالیین 2فترة ثقة ل 95%aa=bb[[3]]+TT*standb3 pp=bb[[3]]-TT*standb3

التحلیل فى االنحدارالمتعدد اكتشاف مخالفات فروض) ٤-٥( عند تناولنا لنموذج االنحدار البسیط أنھ من المستحسن الكشف عن مخالفات ذكرنا

ة . فروض النموذج وذلك بإستخدام تحلیل البواقي أو أختبارات إحصائیة معین ایضاة .ناقشنا الطرق العالجیھ لتصحیح ھذه المخالفات ي حال ھ ف نفس الشيء یمكن تطبیق

.ت صغیرهاالنحدار الخطى المتعدد مع إجراء تعدیالان طرق الكشف عن المخالفات لفروض نموذج االنحدار الخطي المتعدد تشمل

: الكشف عن المخالفات التالیة ٠دالة االنحدار لیست خطیة .١ ٠حدود الخطأ لیست مرتبطھ .٢ن .٣ ل م دة او قلی اھدة واح تثناء مش اھدات باس ع المش م لجمی وذج مالئ النم

٠المشاھدات القاصیة ٠لیست طبیعیة حدود الخطأ .٤ ٠حدود الخطأ لیس لھا تباین ثابت .٥متغیر مستقل مھم واحد او عدد من المتغیرات المستقلة المھمة قد حذفت من .٦

٠النموذج رسوم البواقى) ١-٤-٥(

ى صالحیة jeالبواقي م عل ي الحك م ف دد تلعب دور مھ من نموذج االنحدار المتعة ٠النموذج كما ھو الحال في نموذج االنحدار الخطي البسیط ي حال رسوم البواقي ف

٢٣١

ھذا وھناك عدة ٠االنحدار الخطي البسیط یمكن تطبیقھا مباشرة في االنحدار المتعدد : وھي رسوم مھمة للبواقي في تحلیل االنحدار المتعدد

ا اذا -١ ي الكشف عم د ف ذي یفی ي وال ال الطبیع ى ورق االحتم واقي عل م الب رس ٠كانت حدود الخطأ تتوزع بصورة طبیعیة وفق التوزیع الطبیعي

درة لإل -٢ ث jyستجابة رسم البواقي مقابل القیم المق n,,2,1jحی ذي والى یفید في تقییم صالحیة دالة اال نحدار وثبات تباین حدود الخطأ باالضافة ال

.) الخوارج(تقدیم معلومات عن المشاھدات القاصیة رسم البواقي في التتابع الزمني ان وجد والذي یمكن ان یقدم معلومات حول -٣

.ارتباطات ممكنة بین حدود الخطأ ث ixرسم البواقي مقابل كل متغیر مستقل -٤ k,,2,1jحی ذي یمكن وال

ذلك بة ل دار بالنس وذج االنح الحیة نم ول ص افیة ح ات اض دم معلوم ان یقتقل ر المس ر ( المتغی ك المتغی أثیر ذل ى لت ل منحن ى تمثی اج ال د نحت ثال ق ) م

ر ذلك المتغی ق ب ا یتعل أ فیم این الخط دار تب ي مق ة ف رات ممكن ول تغی وح ٠المستقل

ا اذا رسم البواقي مقابل -٥ ة م ة حذفت من النموذج لرؤی متغیرات مستقلة مھمم نتعرف ابع ل ر الت ى المتغی ة عل اثیرات مھم كان لھذه المتغیرات المحذوفة ت

واقي ٠علیھا بعد من خالل نموذج االنحدار م الب د رس إن شكل االنتشار عنذوف ر المح ل المتغی د مقاب د أن ق دد الب دار المتع وذج االنح ى أن نم یر إل یش

.وي على ھذا المتغیریحتل -٦ وذج مث ملھا النم م یش ي ل ل الت دود التفاع ل ح واقي مقاب م الب و 21xxرس

31xx 32وxx بعض حدود وذلك لرؤیة ما اذا كنا نحتاج ، في النموذج ، ل ٠التفاعل ھذه او لھا جمیعا

ixمقابل المتغیر المستقل ixرسم المتغیر المستقل -٧ و)ii ( ھذا الرسمات تت البیان تقلة وتش رات المس ین المتغی ة ب ة العالق ي دراس د ف دما ٠مفی عن

iiیكون ھناك ارتباط قوي بین x,x على الرسم فان ھذا یعني عدم ضرورةرین وجو iiد المتغی x,x وذج ي النم ا ف رین مستقلین ٠مع دما یوجد متغی عن

ة ات الخطی دد العالق كلة تع اك مش ول ان ھن ا نق ة فانن ة قوی ا عالق بینھمmulticollinearity في البیانات ھذه المشكلة تؤثر على تقدیرات المربعات

دة ت ذات فائ ا لیس غرى وتجعلھ م ٠الص ل ixرس ixمقاب ي ا ف د ایض مفی ٠اكتشاف النقاط البعیدة عن بقیة النقاط والتي تؤثر على خواص النموذج

ھا واقى سوف نناقش اك رسوم أخرى للب ابقھ ھن وم الس ي الرس وباإلضافة إل .بإختصار

٢٣٢

)٧-٥(مثال

ة في دراسة عن العالقة بین امتصاص الماء في دقیق القمح و الخواص المختلف

ي ات ف ى البیان م الحصول عل دد ت للدقیق وتحت فرض نموذج انحدار خطي متعكمیة البروتین x1(%)تمثل كمیة امتصاص الماء و Y)(%حیث التالىجدول الx(%)و د 2 اس بوحدات (كمیة النشا الذي یتعرض للفق تحطم مق ) Farrandال

:ورسم ،والمطلوب إیجاد معادلة االنحدار المقدرة iyمقابل ieرسم البواقي ) ب( 2xمقابل 1xرسم ) أ( 2xو 1xمقابل ieرسم البواقي ) ج(

y 2x 1x

٢٣٣

:الحــل

:ھما yو Xالمصفوفتان

49.2

32.730.9

y

282.131

39.8125.81

X

X Xالمصفوفة ھي:

8 . 5 2 3 0 . 98 . 9 3 3 2 . 71 0 . 6 3 3 6 . 71 0 . 2 2 0 4 1 . 99 . 8 2 2 4 0 . 91 0 . 8 2 0 4 2 . 91 1 . 6 3 1 4 6 . 31 2 3 2 4 7 . 21 2 . 5 3 1 4 41 0 . 4 2 8 4 7 . 71 . 2 3 6 4 3 . 91 1 . 9 2 8 4 6 . 81 1 . 3 3 0 4 6 . 21 3 2 7 4 71 2 . 9 2 4 4 6 . 81 2 2 5 4 5 . 91 2 . 9 2 8 4 8 . 81 3 . 1 2 8 4 6 . 21 1 . 4 3 2 4 7 . 81 3 . 2 2 8 . 4 9 . 2

٢٣٤

. 133228.5271478

8.527188.25152.2184782.21820

2813.21

38.9128.51

. 2832

13.28.98.5111

X X

: ھو y Xوالمتجھ

. 21894.89710.06

879.8

49.2

32.730.9

. 2832

2.139.85.8111

y X

: تعطى من العالقة التالیة bقیم y X X) X(b 1-

:حیث

. 0.438

0.6396426.5433

21894.89710.06879.8

50.0005336330.00022407-0.0103092-30.00022407-0.007484090.0762961-

0.0103092-0.0762961-1.12878

21894.89710.06879.8

133228.5271478

8.527188.25152.2184782.21820

bbb 1

2

1

0

:إذن معادلة االنحدار المقدرة ھي

٢٣٥

21 x438.0x63964.05433.26y واقي ي jeالب اة ف دول المعط الى ج ثالت ة jeحی ة التالی ن العالق ب م : تحس

jjj yye .

je jy jy

) :٤-٥(موضح في شكل 1xمقابل 2xرسم) أ( 2x

1x

3 0 . 9 3 2 . 8 5 6 3 - 1 . 9 5 6 2 83 2 . 7 3 3 . 5 5 0 1 - 0 . 8 5 0 1 3 13 6 . 7 3 4 . 6 3 7 5 2 . 0 6 2 4 84 1 . 9 4 1 . 8 2 7 7 0 . 0 7 2 3 4 3 14 0 . 9 4 2 . 4 4 7 8 - 1 . 5 4 7 84 2 . 9 4 2 . 2 1 1 4 0 . 6 8 8 5 5 94 6 . 3 4 7 . 5 4 1 1 - 1 . 2 4 1 1 54 7 . 2 4 8 . 2 3 5 - 1 . 0 3 54 4 4 8 . 1 1 6 8 - 4 . 1 1 6 8 34 7 . 7 4 5 . 4 5 9 6 2 . 2 4 0 4 24 3 . 9 4 3 . 0 7 8 9 0 . 8 2 1 1 1 34 6 . 8 4 6 . 4 1 9 0 . 3 8 0 9 5 84 6 . 2 4 6 . 9 1 1 3 - 0 . 7 1 1 2 5 74 7 4 6 . 6 8 4 6 0 . 3 1 5 3 5 34 6 . 8 4 5 . 3 0 6 7 1 . 4 9 3 3 24 5 . 9 4 5 . 1 6 9 0 . 7 3 0 9 9 24 8 . 8 4 7 . 0 5 8 7 1 . 7 4 1 3 24 6 . 2 4 7 . 1 8 6 6 - 0 . 9 8 6 6 1 14 7 . 8 4 7 . 8 5 1 2 - 0 . 0 5 1 2 2 0 54 9 . 2 4 7 . 2 5 0 6 1 . 9 4 9 4 3

2.5 5 7.5 10 12.5 15 17.5 20

10

20

30

40

50

٢٣٦

)٤-٥(شكل .وجود بعض المشاھدات القاصیة) ٤-٥( یتضح من شكل

) :٥-٥(موضح في شكل iyمقابل ieرسم البواقي ) ب( ie

)٥-٥(شكل

) :٦-٥(موضح في شكل 1xمقابل ieرسم البواقي) ج(

e

1x

)٦-٥(شكل

10 20 30 40 50y

-3

-2

-1

1

2

3e

2.5 5 7.5 10 12.5 15 17.5 20

-3

-2

-1

1

2

3

٢٣٧

) :٧-٥(موضح في شكل 2xمقابل ieرسم البواقي

)٧-٥(شكل

البواقى المعیاریة وبواقى ستیودنت ) ٢-٤-٥(

واقي السابقفي الفصل ة وب واقي المعیاری ا الب تناولنا نوعین من البواقي ھمي ة Y٠ستیودنت وذلك للكشف عن مشاھدات قاصیة ف واقي المعیاری تعرف الب

. كالتالي

n,1,2,j , MSE

ed j

j

ةفان رسم ) ٧-٥(للمثال ل jdالبواقي المعیاری ي شكل yمقاب ) ٨-٥(معطاة ف ٠ التالىجدول الوذلك من البیانات المعطاة في

jd jy

5 10 15 20 25 30 35 40x2

-3

-2

-1

1

2

3e

٢٣٨

)٨-٥(شكل

:یمكن تعریف بواقي ستیودنت كالتالي

n,1,2,j , )h1(MSE

er

jj

jj

3 2 . 8 5 6 3 - 1 . 1 2 6 4 63 3 . 5 5 0 1 - 0 . 4 8 9 5 2 23 4 . 6 3 7 5 1 . 1 8 7 6 24 1 . 8 2 7 7 0 . 0 4 1 6 5 6 64 2 . 4 4 7 8 - 0 . 8 9 1 2 5 44 2 . 2 1 1 4 0 . 3 9 6 4 8 64 7 . 5 4 1 1 - 0 . 7 1 4 6 7 84 8 . 2 3 5 - 0 . 5 9 5 9 7 64 8 . 1 1 6 8 - 2 . 3 7 0 5 54 5 . 4 5 9 6 1 . 2 9 0 0 84 3 . 0 7 8 9 0 . 4 7 2 8 1 34 6 . 4 1 9 0 . 2 1 9 3 6 34 6 . 9 1 1 3 - 0 . 4 0 9 5 5 64 6 . 6 8 4 6 0 . 1 8 1 5 8 64 5 . 3 0 6 7 0 . 8 5 9 8 8 14 5 . 1 6 9 0 . 4 2 0 9 24 7 . 0 5 8 7 1 . 0 0 2 6 84 7 . 1 8 6 6 - 0 . 5 6 8 1 14 7 . 8 5 1 2 - 0 . 0 2 9 4 9 3 84 7 . 2 5 0 6 1 . 1 2 2 5 2

32.5 35 37.5 40 42.5 45 47.5 50y

-2

-1.5

-1

-0.5

0.5

1

1.5

2d

٢٣٩

ث ح ي jjhی ر الرئیس ى القط ر عل و العنص فوفة للھ X)XX(XHمص 1

1h0و القبعةبمصفوفة والمسماه jj .

٠التالىجدول المعطاة في jrالبواقي و jjhقیم كل من ) ٧-٥(للمثال

jr jjh e

.)٩-٥(معطاة في شكل jyمقابل jrرسم البواقي

)٩-٥(شكل

- 1.95628 0.325752 - 1.37185- 0.850131 0.294507 - 0.5828092.06248 0.280913 1.400510.0723431 0.0606484 0.0429803- 1.5478 0.0602024 - 0.9193570.688559 0.0580149 0.408513- 1.24115 0.0782682 - 0.744403- 1.035 0.0899469 - 0.624735- 4.11683 0.0907619 - 2.486052.24042 0.0618541 1.331930.821113 0.886413 1.40290.380958 0.0644865 0.226797- 0.711257 0.0699287 - 0.4246740.315353 0.0849159 0.1898251.49332 0.0795539 0.896270.730992 0.0590002 0.4339151.74132 0.0849517 1.0482- 0.986611 0.0908409 - 0.595816- 0.0512205 0.08503 - 0.03083381.94943 0.0940101 1.17932

٢٤٠

xاستخدم مصفوفة القبعة للتعرف على مشاھدات قاصیة فى قیم) ٣-٤-٥(

ة jjhالعنصر القطري فوفة القبع ي مص ر Hف د شمؤ یعتب ت ر مفی ا إذا كان لموھو یشیر . وذلك في دراسة متعددة المتغیرات x المشاھدة قاصیة أم ال بالنسبة لقیم

ك ألن jللمشاھدة xإلى ما إذا كانت القیم ى المسافة jjhقاصیة أم ال وذل یشیر إلبر قیمة وھكذا یشیر ك .جمیعا nللمشاھدات xومتوسط القیم jللمشاھدة xبین قیم

ا jإلى أن المشاھدة jjhالعزم ة .بعیدة عن مركز المشاھدات جمیع ر قیم وعادة تعتب

jjh كبیرة إذا تجاوزت ضعف متوسط قیمjjh ] ونرمز لھ بالرمزh حیث: jjh p 1h

n n

.معالم نموذج االنحدر الخطي عدد العناصر القطریة یساوىوذلك ألن مجموع قیم

p)2التي تزید عن jjhوبالتالي فإن قیم 1)2 تعتبر وفقا لھذه القاعدة مؤشرا لوجود

یم ث ق ذه المشاھدات xمؤشرات قاصیة من حی انى ایضا .لھ راح ث اك اقت أن ھنن ھ ع د قیمت ى تزی ھ الت تدعي 0.5الرافع اذه وتس ة ش ى أن الحال یر إل ره وتش كبی

ر من الحاالت الشاذة . دراستھا ع ترشیح عدد كبی وألنھ في العینات الصغیرة یتوقا فھناك اقتراح ثالث بلفحصھا یم رافعتھ د ق ى تزی عن ) jjh(دراسة كل الحاالت الت

jjط قیمة الرافعات ثالثھ أضعاف متوس3(p 1)h

n

ى بدال من دراسة الحاالت الت

jjعن ضعف متوسط قیم الرافعات jjhتزید قیم رافعتھا 2(p 1)h

n

.

یم رافمن ح تضی) ٧-٥(للمثال د ق اك حالتین تزی ة ان ھن یم الرافع ا عجدول ق تھیم ط ق عف متوس ن ض اتع p)2 الرافع 1) 2(3) 0.3

2 20

ي ذا ). 11(و ) 1(وھ ھ

والي ي الت ذه الحاالت عل اظرة لھ ات المن یم الرافع ت ق د بلغ , 0.886413وق

32.5 35 37.5 40 42.5 45 47.5 50y

-3

-2

-1

1

2

3r

٢٤١

م . 0.325752 ة رق د أن الحال انى فنج االقتراح الث ذنا ب ة ) 11(وإذا اخ ى الحال ھیم ا ة اضعاف متوسط ق ا عن ثالث ة رافعتھ ات الوحیدة التى تزید قیم . (0.45)لرافع

م ة رق ) 11(واذا اخذنا باالقتراح الثالث نالحظ وجود حالة قاصیھ واحدة وھي الحال .0.5والتى تزید عن

ر ) ٤-٤-٥( یم قاصیة للمتغی ى ق رف عل ة للتع واقى ستیودنت المحذوف استخدم ب

التابع

: یعرف كالتالى باقي یسمى باقي ستیودنت المحذوف

. jj 2

( j) jj

et ,j 1,2, ,n

s (1 h )

:حیث

2

j jj2( j)

(n p 1)MSE [e (1 h )]s

n p 2

nبدرجات حریھ tیتبع توزیع jtفإنھ تحت الفروض القیاسیھ فان p 2 تعتبر ٠واقي ستیودنت ٠بواقي ستیودنت المحذوفة طریقة مناسبة ألكتشاف القیم القاصیھ ب

٠التالىجدول الالمحذوفھ معطاة في

یم ویتم مقارنة ة jtق ة الجدولی بالقیم1

2

t (n p 2)

ة د درجات حری nعن p 2

ك و ابع الذل ر الت اھدات المتغی د مش یھلتحدی ال قاص ا ان . )٧-٥(للمث وبم

٢٤٢

0.05t (16) 1.746 ث 1.حی امج ن برن ة م ذه القیم ى ھ ول عل ن الحص ویمكMathematica

اھدة ا أن المش 9yوبم 44 اقي ا ب ذوف لھ تودنت المح 9tس 2.56256 ا أن وبم9t 2.56256 1.746 9فإننا نعتبر أن المشاھدةy قاصیھمشاھدة.

jt jjh

٠) ١٠-٥(معطاة في شكل jyرسم بواقي ستیودنت المحذوفة مقابل

1.95628 0.325752 1.414070.850131 0.294507 0.6007462.06248 0.280913 1.443610.0723431 0.0606484 0.04430311.5478 0.0602024 0.9476520.688559 0.0580149 0.4210851.24115 0.0782682 0.7673131.035 0.0899469 0.6439624.11683 0.0907619 2.562562.24042 0.0618541 1.372920.821113 0.886413 1.446070.380958 0.0644865 0.2337770.711257 0.0699287 0.4377430.315353 0.0849159 0.1956671.49332 0.0795539 0.9238540.730992 0.0590002 0.4472691.74132 0.0849517 1.080460.986611 0.0908409 0.6141540.0512205 0.08503 0.03178281.94943 0.0940101 1.21561

٢٤٣

)١٠-٥(شكل

)٨-٥(مثال

وفیما Mathematicaبإستخدام برنامج مكتوب بلغة ) ٧-٥(سوف یتم حل ھذا المثال

.یلى خطوات البرنامج والمخرجات

p=2 2 y={30.9,32.7,36.7,41.9,40.9,42.9,46.3,47.2,44,47.7,43.9, 46.8,46.2,47,46.8,45.9,48.8,46.2,47.8,49.2}; x1={8.5,8.9,10.6,10.2,9.8,10.8,11.6,12,12.5,10.4,1.2,11.9,11.3,13,12.9,12,12.9,13.1,11.4,13.2}; x2={2,3,3,20,22,20,31,32,31,28,36,28,30,27,24,25,28,28,32,28} {2,3,3,20,22,20,31,32,31,28,36,28,30,27,24,25,28,28,32,28} ss=Transpose[{x1,x2,y}]; TableForm[ss]; l[x_]:=Length[x] xx=Table[{1,x1[[i]],x2[[i]]},{i,1,l[x1]}]; xpr=Transpose[xx]; w=xpr.xx; v=Inverse[w]; xpy=xpr.y {879.8,9710.06,21894.8} {879.8`,9710.06`,21894.8`};

32.5 35 37.5 40 42.5 45 47.5 50y

-3

-2

-1

1

2

3t

٢٤٤

bb=v.xpy {26.5433,0.63964,0.438} yy =bb[[1]]+bb[[2]]*x1+bb[[3]]*x2 ; e=y-yy; ss22=Transpose[{y,yy,e}]; TableForm[ss22]; t=Transpose[{x1,x2}]; c=PlotRange{{0,20},{0,50}} PlotRange{{0,20},{0,50}} c2=Prolog{PointSize[0.03]} Prolog{PointSize[0.03]} g= ListPlot[t,c,c2,AxesLabel{"x1","x2"}]

Graphics t=Transpose[{y,e}]; c=PlotRange{{0,50},{-3,3}} PlotRange{{0,50},{-3,3}} c2=Prolog{PointSize[0.03]} Prolog{PointSize[0.03]} g1= ListPlot[t,c,c2,AxesLabel{"y","e"}]

Graphics t=Transpose[{x1,e}]; c=PlotRange{{0,20},{-3,3}} PlotRange{{0,20},{-3,3}} c2=Prolog{PointSize[0.03]} Prolog{PointSize[0.03]}

2.5 5 7.5 10 12.5 15 17.5 20x1

10

20

30

40

50x2

10 20 30 40 50y

-3

-2

-1

1

2

3e

٢٤٥

g2= ListPlot[t,c,c2,AxesLabel{"x1","e"}]

Graphics t=Transpose[{x2,e}]; c=PlotRange{{0,40},{-3,3}} PlotRange{{0,40},{-3,3}} c2=Prolog{PointSize[0.03]} Prolog{PointSize[0.03]} g2= ListPlot[t,c,c2,AxesLabel{"x2","e"}]

Graphics n=l[x1] 20 k[x_]:=Apply[Plus,x]

2.5 5 7.5 10 12.5 15 17.5 20x1

-3

-2

-1

1

2

3e

5 10 15 20 25 30 35 40x2

-3

-2

-1

1

2

3e

٢٤٦

mse=k[e^2]/(n-p-1) 2.83856

{-1.16113,-0.504588,1.22417,0.0429386,-0.918683,0.408688,-0.736673,-0.614318,-2.44351,1.32978,0.487365,0.226114,-0.422161,0.187175,0.886345,0.433874,1.03354,-0.585594,-0.0304015,1.15706} pp3=Transpose[{yy,di}]; TableForm[pp3]; aa=PlotRange{{30,50},{-2,2}} PlotRange{{30,50},{-2,2}} a2=Prolog{PointSize[.02]} Prolog{PointSize[0.02]}

Graphics hjj=xx.v.xpr; hii={hjj[[1,1]],hjj[[2,2]],hjj[[3,3]],hjj[[4,4]],hjj[[5,5]],hjj[[6,6]],hjj[[7,7]],hjj[[8,8]],hjj[[9,9]],hjj[[10,10]],hjj[[11,11]],hjj[[12,12]],hjj[[13,13]],hjj[[14,14]],hjj[[15,15]],hjj[[16,16]],hjj[[17,17]],hjj[[18,18]],hjj[[19,19]],hjj[[20,20]]}

di e mse

g ListPlotpp3,aa,a2, AxesLabel "y","d"

32.5 35 37.5 40 42.5 45 47.5 50y

-2

-1.5

-1

-0.5

0.5

1

1.5

2d

٢٤٧

{0.325752,0.294507,0.280913,0.0606484,0.0602024,0.0580149,0.0782682,0.0899469,0.0907619,0.0618541,0.886413,0.0644865,0.0699287,0.0849159,0.0795539,0.0590002,0.0849517,0.0908409,0.08503,0.0940101}

{-1.41407,-0.600746,1.44361,0.0443031,-0.947652,0.421085,-0.767313,-0.643962,-2.56256,1.37292,1.44607,0.233777,-0.437743,0.195667,0.923854,0.447269,1.08046,-0.614154,-0.0317828,1.21561} pp4=Transpose[{e,hii,ri}]; TableForm[pp4]; pp5=Transpose[{yy,ri}]; aa=PlotRange{{30,50},{-3,3}} PlotRange{{30,50},{-3,3}} a2=Prolog{PointSize[.02]} Prolog{PointSize[0.02]}

Graphics kk=3 3

{2.66122,2.95194,2.64624,3.01562,2.85665,2.98451,2.91152,2. 9424,1.85097,2.68157,2.64498,3.00627,2.98197,3.00918,2.86455,2.98048,2.80886,2.94905,3.01579,2.75381}

{-1.46043,-0.589096,1.49515,0.0429828,-0.944647,0.41066,-0.757639,-0.632497,-3.1734,1.41254,1.49805,0.227163,-

rie

mse1hii N

g ListPlotpp5,aa,a2, AxesLabel "y","r"

32.5 35 37.5 40 42.5 45 47.5 50y

-3

-2

-1

1

2

3r

s2jnkkmsee21hii

nkk1

tje

s2j1hii N

٢٤٨

0.427087,0.190039,0.919654,0.436491,1.08615,-0.602538,-0.0308347,1.23418} pp7=Transpose[{e,hii,tj}]; TableForm[pp7]; pp9=Transpose[{yy,tj}]; aa=PlotRange{{30,50},{-3,3}} PlotRange{{30,50},{-3,3}} a2=Prolog{PointSize[.02]} Prolog{PointSize[0.02]}

Graphics <<Statistics`ContinuousDistributions` =.1 0.1 TT=Quantile[StudentTDistribution[n-kk-1],1-(/2)] 1.74588

المدخالت : اوالx1القائمة المسماه القائمة المسماه لقیم المتغیر المستقل االول و x2 لقیم المتغیر المستقل الثانى والقائمة المسمى y لقیم المتغیر التابع.


:معادلة االنحدار المقدرة ھي 21 x438.0x63964.05433.26y

ونحصل علیھا من االمر

bb=v.xpy

والمخرج ھو

{26.5433,0.63964,0.438} نحصل علیھا من االمر jeالبواقيe=y-yy

g33 ListPlotpp9,aa,a2, AxesLabel "y","t"

32.5 35 37.5 40 42.5 45 47.5 50y

-3

-2

-1

1

2

3t

٢٤٩

jجدول j jˆy , y ,e نحصل علیھ من االمر

TableForm[ss22]

نحصل علیھ من االمر) ٤-٥(موضح في شكل ال 1xمقابل 2xرسم g= ListPlot[t,c,c2,AxesLabel{"x1","x2"}]

نحصل علیھ من االمر )٥-٥(موضح في شكل ال yمقابل eرسم البواقي g1= ListPlot[t,c,c2,AxesLabel{"y","e"}]

نحصل علیھ من االمر )٦-٥(موضح في شكل ال 1xمقابل eرسم البواقي


نحصل علیھ من االمر) ٧-٥(موضح في شكل ال 2xمقابل eرسم البواقي


jالمعیاریة جدول البواقى jy , d نحصل علیھ من االمر

TableForm[pp3] ا من ) ٨-٥(معطاة في شكل ال yمقابل d رسم البواقي المعیاریة نحصل علیھ

االمر

jجدول j jh , e , r البواقي وr نحصل علیھا من االمر

TableForm[pp4]

نحصل علیھ من االمر ) ٩-٥(معطاة في شكل ال yمقابل irرسم البواقي

,hقیم كل من جدول e البواقي وjt نحصل علیھا من االمر TableForm[pp7]

نحصل علیھ من االمر ) ١٠-٥(معطاة في شكل ال yمقابل jtرسم البواقي

g ListPlotpp3,aa,a2, AxesLabel "y","d"

g ListPlotpp5,aa,a2, AxesLabel "y","r"

٢٥٠

)٩-٥(مثال

:الحل



<<Statistics`LinearRegression` teamera={3.33,3.51,3.55,3.65,3.80,4.20,4.22,4.27,4.31,4.48,4.53,4.55,4.62,5.86}; ownbavg={0.276,0.249,0.249,0.260,0.271,0.241,0.269,0.264,0.270,0.240,0.259,0.252,0.258,0.293}; oppbavg={0.240,0.254,0.249,0.245,0.250,0.252,0.254,0.270,0.274,0.264,0.280,0.266,0.268,0.286}; winpct={0.625,0.512,0.488,0.524,0.588,0.475,0.513,0.463,0.512,0.405,0.450,0.480,0.456,0.506}; Clear[dpoints] dpoints=Table[{teamera[[i]],ownbavg[[i]],oppbavg[[i]],winpct[[i]]},{i,1,Length[winpct]}]; Regress[dpoints,{1,x1,x2,x3},{x1,x2,x3},RegressionReport->StudentizedResiduals] {StudentizedResiduals{0.639771,0.789271,-0.862064,-1.06129,1.20324,1.24538,-1.35245,-1.49127,0.620229,-0.813636,0.131561,1.51698,-0.412657,0.25586}} <<Statistics`NormalDistribution`

g33 ListPlotpp9,aa,a2, AxesLabel "y","t"

:للتعرف على مشاھدات قاصیة للمتغیر التابع التالیةإستخدم البیانات X1={3.33,3.51,3.55,3.65,3.80,4.20,4.22,4.27,4.31,4.48,4.53,4.55,4.62,5.86}; X2={0.276,0.249,0.249,0.260,0.271,0.241,0.269,0.264,0.270,0.240,0.259,0.252,0.258,0.293}; X3={0.240,0.254,0.249,0.245,0.250,0.252,0.254,0.270,0.274,0.264,0.280,0.266,0.268,0.286}; y={0.625,0.512,0.488,0.524,0.588,0.475,0.513,0.463,0.512,0.405,0.450,0.480,0.456,0.506};

٢٥١

n=14; kk=4; =0.05; Quantile[StudentTDistribution[n-kk-1],1-(/2)] 2.26216

المدخالت : اوال teameraالقائمة المسماه القائمة المسماه لقیم المتغیر المستقل االول و ownbavg لقیم المتغیر المستقل

القائمة المسماه الثانى و oppbavg لقیم المتغیر المستقل الثالث والقائمة لقیم المتغیر winpct المسمى ایضا حجم العینة من االمر .التابع

n=14 وعدد المعالم من االمر kk=4


من االمر jtقیم البواقي Regress[dpoints,{1,x1,x2,x3},{x1,x2,x3},RegressionReport->StudentizedResiduals]

ة jtقیم ویتم مقارنة ة الجدولی بالقیم1

2

t (n p 2)

ة د درجات حری nعن p 2

ابع الو ر الت اھدات المتغی د مش ك لتحدی یھذل ال قاص ا ان ) ٩-٥(للمث وبم0.05t (9) 2.26216 ث 05.حی امج ن البرن ة م ذه القیم ى ھ ول عل ن الحص ویمك

التالى وباستخدام االمر Quantile[StudentTDistribution[n-kk-1],1-(/2)]

.یالحظ عدم وجود اى مشاھدات قاصیة

تحدید المشاھدات المؤثرة ) ٥-٤-٥(

ي ا ف ي ) او(و xبعد تحدید المشاھدات القاصیھ بالنسبة لقیمھ ا ف تكون yقیمتھ ام ال؟ (in fluential)لخطوه التالیھ ھو تحدید ما إذا كانت ھي المشاھدات مؤثرة

وذج یم نم وتعتبر المشاھدة مؤثرة إذا كان استبعادھا یحدث تغیرا ملحوظا في قوسوف نناقش ھنا مقیاس للتأثیر وھي مقاییس . االنحدار واإلحصاءات المرتبطة بھا

ي التط ع ف اق واس ى نط تخدمة عل ذف مس ي ح اییس عل ل مق د ك ي ویعتم ق العمل بی .مشاھدة واحدة لقیاس تأثیرھا

التاثیر على القیم المقدرة) ا( :علي القیمة المقدرة سوف تستخدم المقیاس التالي jلقیاس تأثیر المشاھدة

j ( j)j 2

( j) jj

ˆ ˆy yDFFITS , j 1,2,...,n.

s h

٢٥٢

عند استخدام jyللمشاھدة jyللفرق بین القیمة المقدره DFویرمز الحرفان التي j(y(في إیجاد معادلة االنحدار المقدرة وبین القیمة المقدرة nجمیع المشاھدات

ي . في عملیة تقدیر معادلة االنحدار المقدرة jنحصل علیھا عند حذف المشاھدة وعلدره یمث jDFFITSذلك د jyل عدد االنحرافات المعیاریة والتى تتغیرھا القیم المق عن

اھدة ذف المش اب . jح ن حس ن jDFFITSویمك وفره م ائج المت ط النت تخدمین فق مس للعالقة التالیة :تقدیر مجموع البیانات بكاملھا وذلك تبعا

1 12 2

jj jjj j

jj jj

h hDFFITS t

1 h 1 h

. تمثل باقي ستیودنت المحذوف jtحیث فى العینات الكبیرة أى مشاھدة عموما

jتكون لھا p 1DFFITS 2

n

ؤثرة ر م ات الصغیرة والمتوسطة. تعتب ى العین ا ف ام

jDFFITSفإن أى مشاھدة تكون لھا 1 تعتبر مؤثرة .

معامالت االنحدارالتاثیر على ) ب(

)مقیاس كوك(مقیاس االثر علي كل معامالت االنحداررح د اقت اس (cook 1979)لق وك(مقی افة ك دیر ) مس ین تق افة ب ع المس لمرب

ى عددھا ل المشاھدات الت ى ك ى عل دیر nالمربعات الصغرى المبن )والتق j)b ذى ال . jنحصل علیھ بعد حذف المشاھدة رقم

بدون تقدیر نموذج انحدار جدید في كل jDویمكن حساب مقیاس مسافة كوك :مرة تحذف فیھا مشاھدة مختلفة والصیغة المكافئھ جبریا ھي

2j jj

jjj

e hD

(p 1) MSE 1 h

م اھدة رق ر المش د أث ة jولتحدی ارن قیم دار تق امالت االنح ي مع j Dعل المئین ب

تعتبر مؤثرة إذا jو المشاھدة رقم (p+1, n-p-2)بدرجات حریة Fالعشرین لتوزیع j Dكانت قیمة تعتبر مؤثرة جدا إذا jو المشاھدة رقم .اكبر من المئین العشرین j Dكانت قیمة .اكبر من المئین الخمسین

مقیاس االثر علي معامالت االنحدار

٢٥٣

لقد اقترح إحصاء لقیاس الفرق بین قیم معامالت االنحدار المقدره بإستخدام كل م nالمشاھدات التى عددھا د حذف المشاھده رق دره بع وقیم معامالت االنحدار المق

(j) أي بإستخدام(n-1) من المشاھدات ھذا اإلحصاء یأخذ الشكل التالي:

ii2

)j(

)j(iij,i

cs

bbDFBETAS

-1للمصفوفة iھو العنصر رقم iicحیث )j(i X)(X' , b ھي معامل االنحدار رقم

i المحسوبة بدون استخدام المشاھدة رقمj . العینات الصغیرةتعتبر الحالة مؤثرة اي :مؤثرة إذا تحقق الشرط التالي jتعتبر الحالة رقم

1DFBETAS j,i

في حالة العینات الكبیرة تكون

n/2DFBETAS j,i

.نموذج انحدار (n)تحتاج لتقدیر j,iDFBETASویالحظ أنھ لحساب

)١٠-٥(مثال

ة عشوائیة ذات حجم مشاھدات ) n = 14(البیانات في الجدول التالى تمثل عین321والمتغیرات المستقلھ Yلكل من المتغیر التابع x,x,x .

x3 x2 x1 y

0.625 0.512 0.488 0.524 0.588 0.475 0.513 0.463 0.512

0.24 0.254 0.249 0.245 0.25 0.252 0.254 0.27 0.274

0.276 0.249 0.249 0.26 0.271 0.241 0.269 0.264 0.27

3.33 3.51 3.55 3.65 3.8 4.2

4.22 4.27 4.31

٢٥٤

0.405 0.45 0.48 0.456 0.506

0.264 0.28 0.266 0.268 0.268

0.24 0.259 0.252 0.258 0.293

4.48 4.53 4.55 4.62 5.86

یم د ق ن DFBETASi,jو jDFFITSأوج تنتج م اذا تس وك للمشاھدات وم افة ك ومس تلك القیم؟

:الحــل

یم ة بق الى قائم jjjیعطى الجدول الت h , D , DFFITS ـ ین jDبالنسبة ل المئع رین لتوزی ة Fالعش درجات حری ة (10 ,4)ب ات حری زم (درج ن الح أخوذ م م

امج اء لبرن ة باإلحص اھزة الخاص اوى ) Mathematicالج ظ أن 0.406574یس یالحة ذه القیم ن ھ ل م وك أق افھ ك یم مس ل ق ي . ك ؤثرة ف ة م د اى حال ك الیوج ي ذل وعل

و ین ھ ین الخمس إن المئ ة ف ـ 0.898817الحقیق ة ل د أي قیم ك ال توج ي ذل jDوعل .تقترب من المستوى الضرورى لوجود حالة مؤثرة على نموذج االنحدار

hj jD DFFITSj

0.446993 0.231595 0.169291 0.182651 0.192002 0.3769 0.174635 0.179229 0.315062 0.318829 0.3171122 0.153562

0.0879027 0.0487779 0.0388601 0.0621402 0.0823222 0.222289 0.0893455 0.18167 0.0471378 0.0801743 0.00283181 0.0923556

0.575188 0.433307 -0.389163 -0.501698 0.586544 0.96858 -0.622104 -0.696866 0.420653 -0.556649 0.101065 0.646137

٢٥٥

0.119834 0.768295

0.00632049 0.059614

-0.152264 0.465906

یم بة لق ـ jDFFITSاآلن بالنس یم ل ود أى ق دم وج ك لع ؤثره وذل یم م د أي ق الیوج

jDFFIT ن د ع ن . 1تزی ة م ة القریب ي 1القیم ابق ھ دول الس ي الج 96858ف .والمقابلة للمشاھدة السادسة

یم ة بق الى قائم دول الت ى الج ث DFBETASi,jیعط حی0.1.2.3i , 14,...,2,1j . فى الجدول التالى یتضح 14الى 1للمشاھدات من

ـ ھ ل یم مطلق ود ق دم وج حیح DFBETASi,jع د الص ن الواح د ع ك . تزی ي ذل وعل .الیوجد أي حاالت لھا تاثیر معنوي علي نموذج االنحدار

0b 1b 2b 3b

-0.0143844 -0.0559135 -0.123586 -0.235483 -0.0000106592 0.835436 -0.226309 0.486631 -0.355183 -0.309542 -0.0680988 0.25121 -0.0263566 -0.0907156

-0.115759 -0.289016 0.108709 -0.0653034 -0.0497338 0.62326 -0.307155 0.446869 -0.301588 -0.233555 -0.059592 0.2822 -0.0593643 -0.234257

0.382709 -0.101049 0.126155 -0.0718679 0.358846 -0.674636 -0.220736 -0.124454 0.150272 0.470109 -0.00941033 -0.396119 0.0557525 0.199504

-0.136519 0.209172 -0.00171137 0.257519 -0.156987 -0.59404 0.409338 -0.530767 0.345162 0.105511 0.0865301 -0.105235 0.0124995 -0.10239

ال وب ) ١٠-٥(للمث ة المطل فوفة القبع تخدام مص ي Hاس رف عل للتع . وتحدید المشاھدات المؤثرة xمشاھدات قاصیة في قیم

ة وب بلغ امج مكت تخدام برن ال بإس ذا المث ل ھ تم ح وف ی تخدام Mathematicaس ك باس وذل الحزمة الجاھزة


٢٥٦

<<Statistics`LinearRegression` teamera={3.33,3.51,3.55,3.65,3.80,4.20,4.22,4.27,4.31,4.48,4.53,4.55,4.62,5.86}; ownbavg={0.276,0.249,0.249,0.260,0.271,0.241,0.269,0.264,0.270,0.240,0.259,0.252,0.258,0.293}; oppbavg={0.240,0.254,0.249,0.245,0.250,0.252,0.254,0.270,0.274,0.264,0.280,0.266,0.268,0.286}; winpct={0.625,0.512,0.488,0.524,0.588,0.475,0.513,0.463,0.512,0.405,0.450,0.480,0.456,0.506}; Clear[dpoints] dpoints=Table[{teamera[[i]],ownbavg[[i]],oppbavg[[i]],winpct[[i]]},{i,1,Length[winpct]}]; hd=Regress[dpoints,{1,x1,x2,x3},{x1,x2,x3},RegressionReport->HatDiagonal] {HatDiagonal{0.446993,0.231595,0.169291,0.182651,0.192002,0.3769,0.174635,0.179229,0.315062,0.318829,0.371122,0.153562,0.119834,0.768295}} hdlist=hd[[1,2]] {0.446993,0.231595,0.169291,0.182651,0.192002,0.3769,0.174635,0.179229,0.315062,0.318829,0.371122,0.153562,0.119834,0.768295} hdlist[[1]] 0.446993 Sum[hdlist[[i]],{i,1,Length[hdlist]}] 4. kk=4; n=14; 2kk/n//N 0.571429 Regress[dpoints,{1,x1,x2,x3},{x1,x2,x3},RegressionReport->CookD] {CookD{0.0879027,0.0487779,0.0388601,0.0621402,0.0823222,0.222289,0.0893455,0.108167,0.0471378,0.0801743,0.00283181,0.0923556,0.00632049,0.0598614}} <<Statistics`NormalDistribution` n=14; kk=4; Quantile[FRatioDistribution[p,n-kk],0.2] 0.406574 Quantile[FRatioDistribution[p,n-kk],0.50] 0.898817

٢٥٧

Regress[dpoints,{1,x1,x2,x3},{x1,x2,x3},RegressionReport->PredictedResponseDelta] {PredictedResponseDelta{0.575188,0.433307,-0.389163,-0.501698,0.586544,0.96858,-0.622104,-0.696866,0.420653,-0.556649,0.101065,0.646137,-0.152264,0.465906}} Regress[dpoints,{1,x1,x2,x3},{x1,x2,x3},RegressionReport->BestFitParametersDelta]

{BestFitParametersDelta{{-0.0143844,-0.115759,0.382709,-0.136519},{-0.0559135,-0.289016,-

0.101049,0.209172},{-0.123586,0.108709,0.126155,-0.00171137},{-0.235483,-0.0653034,-0.0718679,0.257519},{-

0.0000106592,-0.0497338,0.358846,-0.156987},{0.835436,0.62326,-0.674636,-0.59404},{-

0.226309,-0.307155,-0.220736,0.409338},{0.486631,0.446869,-0.124454,-

0.530767},{-0.355183,-0.301588,0.150272,0.345162},{-0.309542,-0.233555,0.47019,0.105511},{-0.0680988,-0.059592,-0.00941033,0.0865301},{0.25121,0.2822,-

0.396119,-0.105235},{-0.0263566,-0.0593643,0.0557525,0.0124995},{-

0.0907156,0.234257,0.199504,-0.10239}}} :وفیما یلى المدخالت والمخرجات لھذا البرنامج

المدخالت : اوالteameraالقائمة المسماه القائمة المسماه لمتغیر المستقل االول ولقیم ا ownbavg لقیم المتغیر المستقل

القائمة المسماه الثانى و oppbavg لقیم المتغیر المستقل الثالث والقائمة لقیم المتغیر winpct المسمى ایضا حجم العینة من االمر .التابع

n=14 وعدد المعالم من االمر kk=4

المخرجات : ثانیا رلمصفوفة القبعة یمكن الحصول علیھا من االم عناصر القطر

hdlist=hd[[1,2]]

من االمر jj2 h 2(p 1) .571429n n

نحصل على 2kk/n//N

.فتعتبر مشاھدة قاصیةوبما ان المشاهدة االخيرة هى الوحيدة التى اكبر من القيمة السابقة

یعطى االمر Regress[dpoints,{1,x1,x2,x3},{x1,x2,x3},RegressionReport->CookD]

jDقائمة بقیم

٢٥٨

ع رین لتوزی ین العش ة Fالمئ درجات حری اوى (10 ,4)ب ة یس ات حری درج0.406574

یتم الحصول علیھ من االمر Quantile[FRatioDistribution[kk,n-kk],0.2]

ل ق ظ أن ك ةیالح ذه القیم ن ھ ل م وك أق افھ ك ة . یم مس د اى حال ك الیوج ي ذل وعل 0.898817المئین الخمسین ھو في الحقیقة فإن .مؤثرة

یتم الحصول علیھ من االمر

Quantile[FRatioDistribution[kk,n-kk],0.50]

ـ ة jDوعلي ذلك ال توجد أي قیمة ل رب من المستوى الضرورى لوجود حال تقت .مؤثرة على نموذج االنحدار

و یعطى االمر Regress[dpoints,{1,x1,x2,x3},{x1,x2,x3},RegressionReport->PredictedResponseDelta]

jحیث jDFFITSقائمة بقیم 1, 2,...,14

د jDFFITSیالحظ من مخرج االمر السابق عدم وجود قیم مطلقھ لـ د عن الواح تزی .وعلي ذلك الیوجد أي حاالت لھا تاثیر معنوي علي نموذج االنحدار. الصحیح

یعطى االمر Regress[dpoints,{1,x1,x2,x3},{x1,x2,x3},RegressionReport->BestFitParametersDelta]

0.1.2.3i , 14,...,2,1jحیث DFFITSi,jائمة بقیم الـ ق ى 1للمشاھدات من الـ . 14 ھ ل د عن DFFITSi,jیالحظ من مخرجات ھذا االمر عدم وجود قیم مطلق تزی

حیح د الص وذج . الواح ي نم وي عل اثیر معن ا ت االت لھ د أي ح ك الیوج ي ذل وعل .االنحدار

Autocorrelationاالرتباط الذاتى) ٦-٤-٥(

ق ب تحق ي فیج دار الخط وذج اإلنح الم نم دیر مع ھ لتق بق أن ا س ا فیم علمن

:الفروض التالیة لحدود الخطأ

٢٥٩

ji , 0 )E( )Var( 0)(E ji2

ii

لغرض إختبارات الفروض والحصول على فترات ثقة عادة یضاف فرض اإلعتدال ~ ,NID(0( :إي أن 2

i . رات ى متغی تمل عل دار تش ات اإلنح ض تطبیق بعة ذه الحال ي ھ ات ف زمن و البیان مستقلة ومتغیر إستجابة یكون لھ طبیعة التتابع مع ال

ة . تسمى السالسل الزمنیة معظم المسائل اإلقتصادیة تكون على شكل سالسل زمنیة رة زمنی ي فت ع الخطأ یكون iمما یؤدي إلى أن الخطأ ف رة jمرتبطا م ي فت ف

وھذا یخالف إحدى فروض نموذج اإلنحدار الخطي وھو عدم )ji(زمنیة أخرى اط ، في فترة زمنیة ما عن قیمتھا في فترة زمنیة سابقة إرتباط قیمة إي أن اإلرتب

jiبین , 0(ال یساوي الصفر)(E( ji . ذاتي اط ال ومعنى ذلك وجود اإلرتبواإلرتباط الذاتي حالة خاصة من اإلرتباط إذ یقیس لنا درجة . أو اإلرتباط التسلسلي

ین یس ب ددة ول ة مح رة زمنی الل فت ر خ نفس المتغی ة ل یم المتتالی ین الق اط ب اإلرتبرین أو ر متغی ة . أكث ي حال یطة وھ ة البس ى الحال ط عل ا فق تنا ھن ر دراس وستقتص

العالقة الخطیة بین إي قیمتین متتالیتین من قیم واقي یم الب ر إشارة ق ذاتي حسب تغی رت ، وتتحدد إشارة معامل اإلرتباط ال إذا تغی ف

اریخ اط إشارة القیم المتتالیة بإستمرار فیأخذ المنحنى الت ان اإلرتب ي شكل األسنان كیم ، سالبا والعكس إذا حدث التغیر بأن یتلو عددا من القیم الموجبة عددا أخر من الق

.السالبة كان اإلرتباط موجبا فإن ، إذا كانت حدود الخطأ في نموذج اإلنحدار مرتبطة إرتباط ذاتي موجب

:قب المھمة وھي إستخدام طریقة المربعات الصغرى یترتب علیھ عدد من العوال -١ ك خاصیة أق ا ال تمتل زة إال أنھ ر متحی درة غی امالت اإلنحدار المق ال تزال مع

.تباین .متوسط مربعات الخطأ یمكن أن یشكل تقدیرا بالنقصان لتباین حدود الخطأ -٢ ،تعطى التقدیرات لألخطاء المعیاریة لمقدرات معامالت اإلنحدار -٣k0,1,2,...,i , )B( es i ، دیرا غرى تق ات الص ة المربع وبة بطریق والمحس

.iBبالنقصان لإلنحراف المعیاري الحقیقي للمقدر .قابلة للتطبیق Fأو tلم تعد فترات الثقة واإلختبارات التي تستخدم توزیعات -٤

ى تنا عل تقالل األخطاء وسوف تقتصر دراس دم اس رة الكتشاف ع توجد طرق كثی .واتسون -اختبار دربن واتسون -اختبار دربن

في وجود ارتباط ذاتي من الرتبھ األولى ) ١-٤(إن النموذج الخطى :ھو

٢٦٠

:حیث

i1ii u

ث حیث ذاتى بحی ع iuو 1معامل االرتباط ال ع التوزی ر عشوائي یتب متغی2الطبیعي بمتوسط یساوي صفر وتباین ثابت

u وji,0)uu(E ji .

:واتسون الختبار ثالثة فروض وھي -یستخدم اختبار دربن :وجود ارتباط ذاتي موجب -١

H0:0فرض العدم

:ضد الفرض البدیل 0:H0 .

:وجود ارتباط ذاتي سالب -٢H0:0فرض العدم

:ضد الفرض البدیل 0:H0 .

) :اختبار ذو جانبین (وجود ارتباط ذاتي سالب أو موجب -٣H0:0فرض العدم :ضد الفرض البدیل

0:H1 .

:وینحصر االختبار بالخطوات التالیة ى تقدیر معالم االنحدار باستخدام أسلوب - أ ات الصغرى للحصول عل المربع

.معامالت االنحدار :طرح قیم المتغیر التابع من القیم المشاھدة للحصول على البواقي - ب

.yye iii

:على النحو التالي DWحساب قیمة إحصائیة مقدرة نرمز لھا بالرمز -ج

i 0 1 i iY x

٢٦١

.e

)ee(DW

2i

n

1i

21ii

n

2i

:مع مالحظة أن

.4DW0 ن - د داول درب تخدام ج ق -اس ي الملح ون ف دار () ٨(واتس اب االنح ى كت ف

ن )للدكتورة ثروت واتسون -إلجراء االختبار ومن المالحظ أن جداول دربرات المستقلة nتأخذ في االعتبار كل من عدد المشاھدات ) k(وعدد المتغی

في حالة اختبار 2في حالة اختبار من جانب واحد و ومستوى المعنویة رض . ذو جانبین ر شیوعا ھو الف ذكر أن الفرض األكث ا ھو جدیر بال ومم

H1:0:البدیل ین إحداھما ى قیمت ة dLویحتوي الجدول عل وھي القیمجدول الالعلیا ثم تتم المقارنة على النحو التالي الموضح في Udالصغرى و

.التالى الحالة المقدره DWقیمة القرار

dL < DW < 4 1-4 ارتباط ذاتي سالب

dU<DW<4-dL 2-4 قرار غیر محدد

DW < 4-dU 3 > 2 الیوجد ارتباط ذاتي

dU < DW < 2 4 الیوجد ارتباط ذاتي

Ld قرار غیر محدد < DW < dU 5

DW < dL 6 > 0 ارتباط ذاتي موجب

:مما تقدم نجد أن ھناك ثالث نتائج لالختبار . 3 4,ال یوجد ارتباط ذاتي في الحالتین .١ك .٢ ي وذل اط ذات قرار غیر محدد أي الیمكن الجزم بوجود أو عدم وجود ارتب

.2,5یستلزم إضافة بیانات إلى السلسلة الزمنیة إن أمكن كما في الحالتین ي .٣ اط ذات ود ارتب ى أو وج ة االول ي الحال ا ف الب كم ي س اط ذات ود ارتب وج

.موجب كما في الحالة السادسة

٢٦٢

)١١-٥(مثال

ات ین البیان ي تب دول الف الىج رین الت یم لمتغی وائیة x, Yق ة عش ن عین ھ م . ناتج

مستوي معنویة وأذكر 05.0المطلوب إجراء اختبار لالرتباط الذاتي مستخدما .الفرضیات البدیلة وقاعدة القرار والنتیجة

x 18 14 10 15 7 12 13 8 9 17 15 12

y 20 11 14 16 10 10 17 11 12 20 18 12

:الحــل دم :أوال ارفرض الع H0:0إلختب دیل رض الب د الف H1:0:ض تم ی

غرى ات الص ة المربع دار البسیط بطریق وذج االنح الم نم دیرات مع اد تق إیج :حیث

5.12

12150

nx

x

25.1412171

ny

y

i

i

12)171(2010

12)150)(171(2255

n)x(

x

nyx

yxb

22i2

i

iiii

1

37037.3xbyb

, 87037.0135

5.117

10

:وبالتالي فإن معادلة اإلنحدار المقدرة سوف تكون

.x87037.037037.3y

الىجدول الیعطي ن الت ة الحصاء درب ة لحساب قیم یم الالزم ومن . واتسون -الق :على النحو التالي DWالقیم الواردة بالجدول یتم حساب

٢٦٣

69363.29815.55794.150

e

)ee(DW

2i

n

1i

21ii

n

2i

ي LUقیمت d,d ن دول درب ن ج ق -م ي ملح ون ف دار () ٨(واتس اب االنح ى كت ف

روت دكتورة ث ة )لل د مستوي معنوی 15n, 1kو 05.0عن ) ود دم وج لع36.1d , 08.1d: ھي)n=12قیمة عند UL

ة ظ أن قیم ین DWنالح ـع ب Ld4تق وUd4 ین 08.14أي ب , 36.14 ى 2.64و 2.92أي بین م عل ھ ال یمكن الحك ر محدد أي أن رار غی ة ق ي منطق ف

د من المشاھداتفي ھذه الحالة فإننا نحتاج . DWقیمة ات . الى مزی ة بیان ى حال وفات او سالسل زمنیة قد یكون من المستحیل، بالطبع ، الحصول على مزید من البیانر اخیر كبی ى ت ؤدي إل ا ی من الممكن أن تتوافر المشاھدات المطلوبة في المستقبل مم

.عند االنتظار للحصول علیھا

iy ix iy ie 1ie 21ii )ee( 2

ie

20 18 19.0376 0.9624 - - 0.9273

11 14 15.556 -4.556 0.9624 30.4527 20.757

14 10 12.0744 1.9256 -4.556 42.0111 3.7079

16 15 16.426 -0.4264 1.9256 5.5319 0.1818

10 7 9.4632 0.5360 -0.4264 0.9278 0.2882

10 12 13.8152 -3.8152 0.5368 18.7379 14.5558

17 13 14.6856 2.3144 -3.8152 37.5770 5.3564

11 8 10.336 0.664 2.3144 2.7238 0.4409

12 9 11.204 0.796 0.664 0.0174 0.6336

20 17 18.1672 1.8328 0.796 1.0750 3.3592

18 15 16.4264 1.5736 1.832 0.0672 2.4762

٢٦٤

12 12 13.8152 -1.8252 1.5736 11.4840 3.2950

)١٢-٥(مثال

:الحل


Statistics`LinearRegression`

وفیما یلى خطوات البرنامج والمخرجات <<Statistics`LinearRegression` teamera={3.33,3.51,3.55,3.65,3.80,4.20,4.22,4.27,4.31,4.48,4.53,4.55,4.62,5.86}; ownbavg={0.276,0.249,0.249,0.260,0.271,0.241,0.269,0.264,0.270,0.240,0.259,0.252,0.258,0.293}; oppbavg={0.240,0.254,0.249,0.245,0.250,0.252,0.254,0.270,0.274,0.264,0.280,0.266,0.268,0.286}; winpct={0.625,0.512,0.488,0.524,0.588,0.475,0.513,0.463,0.512,0.405,0.450,0.480,0.456,0.506}; Clear[dpoints] dpoints=Table[{teamera[[i]],ownbavg[[i]],oppbavg[[i]],winpct[[i]]},{i,1,Length[winpct]}]; Regress[dpoints,{1,x1,x2,x3},{x1,x2,x3},RegressionReport->DurbinWatsonD]

{DurbinWatsonD2.09999}

من ھذا المثال نحصل علیھا من االمر واتسون -قیمة داربن dpoints=Table[{teamera[[i]],ownbavg[[i]],oppbavg[[i]],winpct[[i]]},{i,1,Length[winpct]}];

) ٣-٥مثال (واتسون لالرتباط الذاتى للبواقى -الختبار دربن التالیةإستخدم البیانات X1={3.33,3.51,3.55,3.65,3.80,4.20,4.22,4.27,4.31,4.48,4.53,4.55,4.62,5.86}; X2={0.276,0.249,0.249,0.260,0.271,0.241,0.269,0.264,0.270,0.240,0.259,0.252,0.258,0.293}; X3={0.240,0.254,0.249,0.245,0.250,0.252,0.254,0.270,0.274,0.264,0.280,0.266,0.268,0.286}; y={0.625,0.512,0.488,0.524,0.588,0.475,0.513,0.463,0.512,0.405,0.450,0.480,0.456,0.506};

٢٦٥

Regress[dpoints,{1,x1,x2,x3},{x1,x2,x3},RegressionReport->DurbinWatsonD]

ھو والمخرج

{DurbinWatsonD2.09999}

إلختبارفرض العدم :كما ذكرنا سابقا الختبار واتسون -داربن والمطلوب استخدام لجداول0:H0 0:ضد الفرض البدیل:H1

مشكلة عدم الخطیة ) ٧-٤-٥(

ث ixرسم البواقي مقابل كل متغیر مستقل k,,2,1jحی ذي یمكن ان والر ذلك المتغی یقدم معلومات اضافیة حول صالحیة نموذج االنحدار بالنسبة ل

تقل ر ( المس ك المتغی أثیر ذل ى لت ل منحن ى تمثی اج ال د نحت ثال ق ول ) م وح ٠ن الخطأ فیما یتعلق بذلك المتغیر المستقلتغیرات ممكنة في مقدار تبای

)١٣-٥(مثال

) ١٢-٥(لھذا االختبار سوف نستخدم المثال ة وب بلغ امج مكت تخدام برن ال بإس ذا المث ل ھ تم ح وف ی تخدام Mathematicaس ك باس وذل


.وفیما یلى خطوات البرنامج والمخرجات <<Statistics`LinearRegression` teamera={3.33,3.51,3.55,3.65,3.80,4.20,4.22,4.27,4.31,4.48,4.53,4.55,4.62,5.86}; ownbavg={0.276,0.249,0.249,0.260,0.271,0.241,0.269,0.264,0.270,0.240,0.259,0.252,0.258,0.293}; oppbavg={0.240,0.254,0.249,0.245,0.250,0.252,0.254,0.270,0.274,0.264,0.280,0.266,0.268,0.286}; winpct={0.625,0.512,0.488,0.524,0.588,0.475,0.513,0.463,0.512,0.405,0.450,0.480,0.456,0.506}; Clear[dpoints] dpoints=Table[{teamera[[i]],ownbavg[[i]],oppbavg[[i]],winpct[[i]]},{i,1,Length[winpct]}]; multiSTerr=Regress[dpoints,{1,x1,x2,x3},{x1,x2,x3}, RegressionReport->StandardizedResiduals][[1,2]] {0.659547,0.804585,-0.873353,-1.05465,1.17717,1.21243,-1.29964,-1.40762,0.64024,-0.827745,0.138544,1.42698,-0.430921,0.268724} eps=(Max[teamera]-Min[teamera])/Length[teamera];ListPlot[Transpose[{teamera,multiSTerr}],Prolog->{PointSize[0.02]},AxesOrigin->{Min[teamera]-eps,0},PlotRange->{{Min[teamera]-eps,Max[teamera]+eps},{Min[multiSTerr]-eps,Max[multiSTerr]+eps}}]

٢٦٦

Graphics eps=(Max[ownbavg]-Min[ownbavg])/Length[ownbavg]; ListPlot[Transpose[{ownbavg,multiSTerr}],Prolog->{PointSize[0.02]},AxesOrigin->{Min[ownbavg]-eps,0},PlotRange->{{Min[ownbavg]-eps,Max[ownbavg]+eps},{Min[multiSTerr]-eps,Max[multiSTerr]+eps}}]

Graphics eps=(Max[oppbavg]-Min[oppbavg])/Length[oppbavg]; ListPlot[Transpose[{oppbavg,multiSTerr}],Prolog->{PointSize[0.02]},AxesOrigin->{Min[oppbavg]-eps,0},PlotRange->{{Min[oppbavg]-eps,Max[oppbavg]+eps},{Min[multiSTerr]-eps,Max[multiSTerr]+eps}}]

3.5 4 4.5 5 5.5 6

-1.5

-1

-0.5

0.5

1

1.5

0.24 0.25 0.26 0.27 0.28 0.29

-1

-0.5

0.5

1

٢٦٧

Graphics

نحصل علیھ من االمر rمقابل 1xرسمeps=(Max[teamera]-Min[teamera])/Length[teamera];ListPlot[Transpose[{teamera,multiSTerr} ],Prolog->{PointSize[0.02]},AxesOrigin->{Min[teamera]-eps,0},PlotRange->{{Min[teamera]-eps,Max[teamera]+eps},{Min[multiSTerr]-eps,Max[multiSTerr]+eps}}]

نحصل علیھ من االمر rمقابل 2xرسمeps=(Max[ownbavg]-Min[ownbavg])/Length[ownbavg]; ListPlot[Transpose[{ownbavg,multiSTerr}],Prolog->{PointSize[0.02]},AxesOrigin->{Min[ownbavg]-eps,0},PlotRange->{{Min[ownbavg]-eps,Max[ownbavg]+eps},{Min[multiSTerr]-eps,Max[multiSTerr]+eps}}]

نحصل علیھ من االمر rمقابل 3xرسمeps=(Max[oppbavg]-Min[oppbavg])/Length[oppbavg]; ListPlot[Transpose[{oppbavg,multiSTerr}],Prolog->{PointSize[0.02]},AxesOrigin->{Min[oppbavg]-eps,0},PlotRange->{{Min[oppbavg]-eps,Max[oppbavg]+eps},{Min[multiSTerr]-eps,Max[multiSTerr]+eps}}]

ا وم الس ن الرس كل م ك الن ش اط وذل كلة االرتب ود مش دم وج ح ع بقة یتض

.االنتشار عشوائى فى جمیع الرسوم

االرتباط الخطى المتعدد وطرق الكشف علیھ ) ٨-٤-٥(

0.24 0.25 0.26 0.27 0.28

-1

-0.5

0.5

1

٢٦٨

ال ، ال االعم ي مج ات ف ن الدراس د م ي العدی تقلة ف رات المس ل المتغی تمیا ا بینھ ة فیم ون مرتبط ي ان تك ة ، ال ة والبیولوجی وم االجتماعی اد ، والعل االقتص

ي النموذج . ومرتبطة مع متغیرات اخرى ذات صلة بالمتغیر التابع وغیر موجوده فدخل : م لالسره علي المتغیرات المستقلھعلي سبیل المثال ، في إنحدار نفقات الطعا

تقلھ رات المس تكون المتغی ره ، س ر رب األس ره ، وعم وفیرات االس ره ، ت االسا ا بینھ ھ فیم ا . مرتبط ھ ایض تقلھ مرتبط رات المس تكون المتغی ك س ن ذل ر م وأكثات –بمتغیرات اجتماعیة ي نفق ا عل اقتصادیة غیر موجوده في النموذج ولھا تاثیرھ

ا . سره ، مثل حجم االسرهطعام اال رات المستقلھ مرتبطة فیم دما تكون المتغی وعن .بینھا یقال انھ یوجد ارتباط خطي متعدد فیما بینھا

عوامل التضخم )ا(فوفة ي المص ة ف فوفة ( X'X-1تسمي العناصر القطری ي شكل مص ي عل والت

این ) االرتباط ارھم مق (VIFi)عوامل تضخم التب ث یمكن اعتب ام للكشف حی اس ھ ییمكن Cعلي القطر للمصفوفة iرقم cii وعلى ذلك العنصر. عن االرتباط الخطي12كتابتھ علي الشكل

iii )R1(c 2، حیثiR ھو معامل التحدید الذي نحصل

رات المستقلھ وعددھا iعلیھ لنموذج انحدار المتغیر المستقل رقم ة المتغی ي بقی علk-1 .یمكن تعریف معامل تضخم التباین كالتالي:

12iiii )R1(cVIF

ة . یدل علي وجود االرتباط الخطي VIFكبر واحد أو اكثر من تدل الخبره التجریبید عن VIFعلي أن أي واحد من امالت 10یزی ي أن مع االنحدار یكون مؤشر عل

اط الخطي ق بسبب وجود االرتب ر دقی دیرھا غی ر . تق ا غی خم قیم ل التض ذ عام یأخ0VIFسالبھ أى ان

تحلیل القیم الممیزة )ب(فوفة زه للمص یم الممی تخدام الق ن اس ,,..., , 'XXیمك k21 اس ، كمقی

عند وجود واحد أو اكثر من المتغیرات بینھما . لوجود االرتباط الخطي في البیانات بعض . ارتباط خطي قوي فإن واحد أو اكثر من القیم الممیزة سوف تكون صغیرة

ة م الحال ار رق لون اختب ین یفض فوفة condition numberالمحلل X'Xللمص :والمعرف كالتالي

minmaxw

عموما إذا كان رقم .اصغر قیمة ممیزة min اكبر قیمة ممیزة و max حیث ن ل م ة اق ي 100الحال اط الخط كلة االرتب ود مش دم وج ي ع دل عل ذا ی ام . فھ ارق

د 100 , 1000الحالة بین دما تزی وى وعن 1000عن wتدل علي ارتباط خطي ق :وقد یستخدم جذر الرقم السابق اى ،فھذا یدل علي وجود ارتباط خطي قوي جدا

٢٦٩

max

min

ة ر الحال مى مؤش ر یس اس آخ اك مقی ابھ condition indexوھن تم حس ذى ی وال :كمایلى

i

*i

maxw

:وقد یستخدم جذر الرقم السابق اى

i

max

.ارتباط خطيیدل على وجود 30واى رقم یزید على

)١٤-٥(مثال

لھذا االختبار سوف نستخدم المثال السابق وذلك باستخدام Mathematicaسوف یتم حل ھذا المثال بإستخدام برنامج مكتوب بلغة


والمخرجاتوفیما یلى خطوات البرنامج <<Statistics`LinearRegression` teamera={3.33,3.51,3.55,3.65,3.80,4.20,4.22,4.27,4.31,4.48,4.53,4.55,4.62,5.86}; ownbavg={0.276,0.249,0.249,0.260,0.271,0.241,0.269,0.264,0.270,0.240,0.259,0.252,0.258,0.293}; oppbavg={0.240,0.254,0.249,0.245,0.250,0.252,0.254,0.270,0.274,0.264,0.280,0.266,0.268,0.286}; winpct={0.625,0.512,0.488,0.524,0.588,0.475,0.513,0.463,0.512,0.405,0.450,0.480,0.456,0.506}; Clear[dpoints] dpoints=Table[{teamera[[i]],ownbavg[[i]],oppbavg[[i]],winpct[[i]]},{i,1,Length[winpct]}]; Regress[dpoints,{1,x1,x2,x3},{x1,x2,x3},RegressionReport->VarianceInflation] {VarianceInflation{0.,4.17858,1.14993,3.95366}} Regress[dpoints,{1,x1,x2,x3},{x1,x2,x3},RegressionReport->EigenstructureTable]

٢٧٠

نحصل علیھا من االمر VIFقیم Regress[dpoints,{1,x1,x2,x3},{x1,x2,x3},RegressionReport-

>VarianceInflation]

اط خطى 10ال تزید عن VIFوبما ان كل قیم ى عدم وجود مشكلة ارتب ذا یعن فھ

.بین المتغیرات المستقلة

االمر Regress[dpoints,{1,x1,x2,x3},{x1,x2,x3},RegressionReport->EigenstructureTable]

زة یم الممی ى الق ھ عل ود االول ل وى العم دول یحت ى ج ول عل ى الحص ؤدى إل ی1 2 3, ,

ث 1حی 2 32.05464, .813183, .132175 یم و قi

max

ى ا ف ة لھ المقابل

وبما ان اكبر قیمة ل 1,1.58955,3.9427العمود الثانى i

max

30 30ال تزید عن

.فھذا یعنى عدم وجود مشكلة ارتباط خطى بین المتغیرات المستقلة

نمازج االنحدار الغیر خطیة ) ٥-٥(

في .یتناول ھذا الفصل مقدمھ مختصره عن مشاكل التقدیر للنماذج الغیر خطیھ ان ات الفصل السابق ك ة المربع اذج االنحدار ، بإستخدام طریق ق نم ا بتوفی اھتمامن

:الصغري ، والتى تكون خطیھ في المعالم وعلي الشكل

EigenstructureTable

EigenV Index x1 x2 x32.05464 1. 0.0505137 0.0649444 0.05082540.813183 1.58955 0.0147281 0.899539 0.03383970.132175 3.9427 0.934758 0.035517 0.915335

٢٧١

0 0 1 2 2 p pY X X ... X .

اك حاالت إن ھن ات ف ده من العالق واع عدی ل أن وبالرغم من أن النموذج السابق یمثال . یكون فیھا ھذا النموذج غیر مناسب ي سبیل المث اك معلومات عل ت ھن ، إذا كان

ذا ل بھ تقلھ ال تمث رات المس ابع والمتغی ر الت ین المتغی ة ب كل العالق ن ش وفره ع مت .النموذج

:یكتب نموذج االنحدار الغیر خطي علي الصورة التالیھ n.,2,...,j , ),x(fY jjj

ھ وائي ل د الخطأ العش ث ح E( , )(Var(0حی j2

j . رض أن ادة یفت ع

j الدالھ . یتبع التوزیع الطبیعيf ث ھي دالھ التوقع او نموذج انحدار المجتمع حی

jx قیمة من متغیرات االنحدار و متجھ من الدرجةk x 1) ( ر الم الغی من المعھ د ال. معلوم ظ أن ح ا یالح ي ایض أ تجمیع ابھ . additiveخط اك تش ظ أن ھن یالح

دا أن ا ع وذج الخطي فیم ذا النموذج والنم jE(Yكبیر بین ھ ي ( ھ ف ر خطی ھ غی دال . المعالم

ھ ل من مشتقات دال ي األق إن واحد عل ر خطي ف اآلن في نماذج االنحدار الغی

التوقع بالنسبة للمعالم تعتمد علي واحد علي االقل من المعالم اما فى نماذج االنحدار .s'الخطیھ فإن المشتقات ال تكون دوال في

ات الصغرى دیر ان استخدام طریقة المربع اج لتق ر خطى تحت الم النموزج الغی معالطریقة االكثر انتشارا في البرامج الجاھزه . الى عملیات كثیرة ولھا بعض العیوب

علي الحاسب اآللي والمتخصصھ في االنحدار الغیر خطي ھي طریقة التكرارات لـ اوس وتن –ج ة . Gauss-Newlonین ذه الطریق ینات لھ ض التحس اك بع وھن

ر خطى ودون الدخول فى . الم النموزج الغی دیر مع التفاصیل سوف نوضح كیفیة تقتخدام امج جاھز باس الیین Mathematicaببرن الیین الت وللحصول .من خالل المث

.على تفاصیل اكثر یمكن الرجوع الى كتاب االنحدار للدكتورة ثروت )١٥-٥(مثال

ھ (y)فى تجربھ لقیاس درجة حراره كوب من الشاي ھ مختلف م (x)عند ازم ت .الحصول علي البیانات المعطاه في الجدول التالى

x y x y x y x y

0 70.86 1 68.71 2 66.67 3 64.73 4 63.25 5 61.57 6 60.25 7 58.74

٢٧٢

8 57.6 9 56.17 10 54.94 11 53.82 12 52.64 13 51.7 14 50.64 15 49.81 16 48.85 17 48.04 18 47.24 19 46.45 20 45.8 21 45.03 22 44.27 23 43.64 24 43.01 25 42.27 26 41.78 27 41.05 28 40.57 29 39.97 30 39.37 31 38.9 32 38.31 33 37.84 34 37.37 35 36.71 36 36.33 37 35.79 38 35.41 39 34.98 40 34.53 41 34.18 42 33.81 43 33.39 44 33.05 45 32.72 46 32.38 47 32.04 48 31.82 49 31.48 50 31.15 51 30.92 52 30.59 53 30.63 54 30.03 55 29.81 56 29.59 57 29.36 58 29.14 59 28.81 60 28.59 57 29.36 58 29.14 59 28.81 60 28.59 61 28.09 62 28.25 63 28.03 64 27.81 65 27.7 66 27.48 67 27.37 68 27.15 69 27.04 70 26.82 71 26.7 72 26.69 73 26.37 74 26.26 75 26.15 76 26.04 77 25.82 78 25.71 79 25.71 80 25.49 81 25.38 82 25.27 83 25.16 84 24.59 85 24.95 86 24.94 87 24.73 88 24.62 89 24.51 90 24.39 91 24.28 92 24.17 93 24.17 94 24.06 95 23.95 96 23.84 97 23.73 98 23.73

:والمطلوب توفیق النموذج

3 jxj 1 2 jy e

:الحــل ي شكل ). ١١-٥(شكل االنتشار للبیانات معطاه في الجدول السابق معطاه ف

:معادلة االنحدار المقدره ھي

٢٧٣

0.033242e 0884.47978.21y

كل ي ش ا ف ھ بیانی دار ). ١٢-٥(والممثل ھ االنح ع معادل ات م ار للبیان كل االنتش ش ).١٣-٥(المقدره معطي في شكل

)١١-٥(شكل

)١٢-٥(شكل

20 40 60 80 100

10

20

30

40

50

60

70

20 40 60 80 100

10

20

30

40

50

60

70

20 40 60 80 100

10

20

30

40

50

60

70

٢٧٤

)١٣-٥(شكل


Statistics`NonlinearFit` . وفیما یلى خطوات البرنامج و المخرجات

<<Statistics`NonlinearFit` temps={{0,70.86},{1,68.71},{2,66.67}, {3,64.73},{4,63.25},{5,61.57},{6,60.25}, {7,58.74},{8,57.6},{9,56.17},{10,54.94}, {11,53.82},{12,52.64},{13,51.7},{14,50.64}, {15,49.81},{16,48.85},{17,48.04},{18,47.24}, {19,46.45},{20,45.8},{21,45.03},{22,44.27}, {23,43.64},{24,43.01},{25,42.27},{26,41.78}, {27,41.05},{28,40.57},{29,39.97},{30,39.37}, {31,38.9},{32,38.31},{33,37.84},{34,37.37}, {35,36.71},{36,36.33},{37,35.79},{38,35.41}, {39,34.98},{40,34.53},{41,34.18},{42,33.81}, {43,33.39},{44,33.05},{45,32.72},{46,32.38}, {47,32.04},{48,31.82},{49,31.48},{50,31.15}, {51,30.92},{52,30.59},{53,30.63},{54,30.03}, {55,29.81},{56,29.59},{57,29.36},{58,29.14}, {59,28.81},{60,28.59},{61,28.09},{62,28.25}, {63,28.03},{64,27.81},{65,27.7},{66,27.48}, {67,27.37},{68,27.15},{69,27.04},{70,26.82}, {71,26.7},{72,26.69},{73,26.37},{74,26.26}, {75,26.15},{76,26.04},{77,25.82},{78,25.71}, {79,25.71},{80,25.49},{81,25.38},{82,25.27}, {83,25.16},{84,24.95},{85,24.95},{86,24.94}, {87,24.73},{88,24.62},{89,24.51},{90,24.39}, {91,24.28},{92,24.17},{93,24.17},{94,24.06}, {95,23.95},{96,23.84},{97,23.73},{98,23.73}}; everyOtherTemps=Table[temps[[j]],{j,1,99,2}]; dots=ListPlot[everyOtherTemps,PlotRange->{0,70},PlotStylePointSize[0.015]]

Graphics

20 40 60 80 100

10

20

30

40

50

60

70

٢٧٥

NonlinearFit[temps,beta0 Exp[beta1*t]+eps,t,{beta0,beta1,eps}] NonlinearFit::lmpnocon: Warning: The sum of squares has achieved a minimum, but at least one parameter estimate fails to satisfy either an accuracy goal of 1 digit(s) or a precision goal of 1 digit(s). These goals are less strict than those for the sum of squares, specified by AccuracyGoal->6 and PrecisionGoal->6. NonlinearFit::lmcv: NonlinearFit failed to converge to the requested accuracy or precision for the sum of squares within 30 iterations.

NonlinearFit[temps,beta0 Exp[beta1*t]+eps,t,{beta0,beta1,eps},MaxIterations->40] NonlinearFit::lmpnocon: Warning: The sum of squares has achieved a minimum, but at least one parameter estimate fails to satisfy either an accuracy goal of 1 digit(s) or a precision goal of 1 digit(s). These goals are less strict than those for the sum of squares, specified by AccuracyGoal->6 and PrecisionGoal->6. NonlinearFit::lmcv: NonlinearFit failed to converge to the requested accuracy or precision for the sum of squares within 40 iterations.

NonlinearFit[temps,beta0 Exp[beta1*t]+eps,t,{beta0,beta1,eps},Method->FindMinimum] FindMinimum::fmmp: Machine precision is insufficient to achieve the requested accuracy or precision.

approx=Plot[T[t],{t,0,100},PlotRange->{0,70}]

Graphics Show[approx,dots]

1. 9.553941023 E1.t

1.9.330021026 E1.t

21.978 47.0884E0.0332431t

Tt_: 21.9779835282673641

47.0883658406797778 E0.0332431321361424636 t

20 40 60 80 100

10

20

30

40

50

60

70

٢٧٦

Graphics

المدخالت : اوالtempsالقائمة المسماه .الزواج قیم المتغیر المستقل و المتغیر التابع

المخرجات : ثانیا نحصل علیھ من االمر ) ١١-٥(شكل

everyOtherTemps=Table[temps[[j]],{j,1,99,2}]; dots=ListPlot[everyOtherTemps,PlotRange->{0,70},PlotStylePointSize[0.015]]

.معادلة االنحدار المقدرة وقد فشل االمر التالى فى الحصول علىNonlinearFit[temps,beta0 Exp[beta1*t]+eps,t,{beta0,beta1,eps}]

1حيث 3 2beta0 ,beta1 ,eps . االن المحاولة الثانیة مع االمر التالى

NonlinearFit[temps,beta0 Exp[beta1*t]+eps,t,{beta0,beta1,eps},MaxIterations->40]

حیث اضیف إلیھ الخیار التالىMaxIterations->40

.وقد فشل ایضا ھذا االمر اى ان عدد التكرارات اربعین

االن المحاولة الثالثة مع االمر التالى

NonlinearFit[temps,beta0 Exp[beta1*t]+eps,t,{beta0,beta1,eps},Method->FindMinimum] FindMinimum::fmmp: Machine precision is insufficient to achieve the requested accuracy or precision.

حیث اضیف إلیھ الخیار التالى

Method->FindMinimum معادلة االنحدار المقدرة من المخرج

20 40 60 80 100

10

20

30

40

50

60

70

21.978 47.0884E0.0332431t

٢٧٧

نحصل علیھ من االمر) ١٢-٥(شكل

approx=Plot[T[t],{t,0,100},PlotRange->{0,70}]

نحصل علیھ من االمر) ١٣-٥(شكل

Show[approx,dots] .والذى یتضح منھ تطابق البیانات مغ معادلة االنحدار المقدرة

)١٥-٥(مثال

:بفرض النموزج الغیر خطى التالى

jj2

1j x

y

ة Michaelis-Menten (1913)والمسمى معادلة والتي استخدمت لوصف العالق .ینرالعالقة بین متغی

.,21والمطلوب ایجاد تقدیر لكل من x, yیعطي الجدول التالى بیانات لقیم

y x

٢٧٨

).١٤-٥(معطاه في شكل شكل االنتشار للبیانات المعطاه في الجدول السابق

)١٤-٥(شكل

اھز خاص باالنحدار والمسمي امج ج م استخدام برن ال ت ذا المث LevenbergلھMarquardt والذي یربط بین طریقةSteepest ماركوف –و طریقة جاوس.

یم ى ق ة الحصول عل ذه الطریق ر خطي بھ اذج االنحدار الغی یتطلب توفیق نموذج الم النم ھ لمع ة. مبدئی یم المبدئی دة ، أي ان الق یم الجی یم الق ن ق رب م ي تقت والت

ارب ى تصغیر صعوبات التق ؤدي ال د . المعالم الحقیقیة سوف ت ار الجی ا االختی دائما في نم. للقیم المبدئیھ یكون مفید اذج االنحدار الغیر خطیھ فإن المعالم غالبا یكون لھ

.معني فیزیائي وھذا یساعد في اختیار القیم المبدئیھ للمعالم

وزج الم النم ھ لمع یم المبدئی ة الق ف أن معرف ال سوف نوضح كی ذا المث ي ھ فوع ا أن مجم الم كم دیر المع ة لتق ة النھائی ى القیم ول ال ي الوص اعدنا ف وف تس س

ة عدم مرب ي حال ك ف واقي وذل عات البواقي سوف یكون أقل من مجموع مربعات الب .معرفة القیم المبدئیھ لمعالم النموزج

0.417 0.07738950.417 0.06887140.417 0.08193510.833 0.07370340.833 0.07387530.833 0.07123961.67 0.0650421.67 0.05476673.75 0.04971283.75 0.06427276.25 0.06130056.25 0.06435766.25 0.0393892

1 2 3 4 5 6

0.02

0.04

0.06

0.08

0.1

٢٧٩

1 , 1بإستخدام 12 كقیم مبدئیھ فإن معادلة االنحدار المقدره ھي:

440374.4421171.0y

).١٥-٥(والممثلھ بیانیا مع شكل االنتشار في شكل

)١٥-٥(شكل

ت واقي كان ات الب وع مربع ات . 0.00212771مجم اك معلوم رض أن ھن اآلن بف21مبدئیھ عن , 17,5.0حیث 21 فإن معادلة االنحدار المقدره ھي:

x838.10875918.0y

).١٦-٥(والممثلھ بیانیا مع شكل االنتشار موضحھ في شكل

1 2 3 4 5 6 7

0.05

0.06

0.07

0.08

0.09

٢٨٠

)١٦-٥(شكل ت واقي كان ات الب وع مربع ات 000910677.مجم وع مربع ن مجم ل م ى أق والت

ھ یم المبدئی ة الق دم معرف ة ع ي حال واقي ف یم . الب تخدام الق ل باس ي أن الح ذا یعن وھ17,5.0المبدئیھ 21 ى الحل . كانت أكثر دقھ رارات للوصول ال عدد التك

.النھائي معطاه في الجدول التالى

1 الخطوه 2 1 2

0.5 0.997294 0.924735

0.9117 0.90256

0.885534 0.877484 0.876086 0.875935 0.87592

0.785918

17 7.1388

8.25897 9.47141 10.3259 10.6872 10.8141 10.8354 10.8377 108379 10.838

:سوف تكون فإن مصفوفھ التغایر للمتجھ s2= 0.00008279وبما أن

0.0632335 0.8864520.886452 12.6386

1 2 3 4 5 6 7

0.05

0.06

0.07

0.08

٢٨١

وعلي ذلك خطا معیاري مقرب للمعالم سوف یكون0.0632335 0.251463,

12.6386 3.55508.

:االرتباط ھيمصفوفة معامالت

1991589.0

991589.01

.جدول تحلیل التباین معطي في الجدول التالى

S.O.V df SS MS F

336.9 0.02789 0.0557833 2 االنحدار

0.00008279 0.0009107 11 الخطأ

0.056694 13 الكلي

وذلك باستخدام Mathematicaسوف یتم حل ھذا المثال بإستخدام برنامج مكتوب بلغة

الحزمة الجاھزةStatistics`NonlinearFit`

. وفیما یلى خطوات البرنامج و المخرجات <<Statistics`NonlinearFit` ecology={{0.417,0.0773895},{0.417,0.0688714},{0.417,0.0819351},{0.833,0.0737034},{0.833,0.0738753},{0.833,0.0712396},{1.670,0.0650420},{1.670,0.0547667},{3.750,0.0497128},{3.750,0.0642727},{6.250,0.0613005},{6.250,0.0643576},{6.250,0.0393892}}; NonlinearFit[ecology,v/(k+x),x,{v,k}]

NonlinearFit[ecology,v/(k+x),x,{{v,0.5},{k,17}}]

ecoplot=ListPlot[ecology,DisplayFunction->Identity];

aplot=Plot[app[x],{x,0,7},DisplayFunction->Identity]; Show[ecoplot,aplot,DisplayFunction->$DisplayFunction]

0.421171

4.40374 x

0.875918

10.838 x

appx_: 0.87591798080941636310.8379705459261256`x

٢٨٢

Graphics

aplot2=Plot[app2[x],{x,0,7},DisplayFunction->Identity]; Show[ecoplot,aplot2,DisplayFunction->$DisplayFunction]

Graphics nrg1=NonlinearRegress[ecology,v/(k+x),x,{v,k},RegressionReport->FitResiduals] {FitResiduals{-0.00997692,-0.018495,-0.00543132,-0.00672275,-0.00655085,-0.00918655,-0.00430092,-0.0145762,-0.00194091,0.012619,0.0217678,0.0248249,-0.000143484}} err1=nrg1[[1,2]]; sumsq1=Sum[err1[[j]]^2,{j,1,Length[err1]}] 0.00212771 nrg1=NonlinearRegress[ecology,v/(k+x),x,{v,k},RegressionReport->StartingParameters] {StartingParameters{v1,k1}} nrg2=NonlinearRegress[ecology,v/(k+x),x,{{v,0.5},{k,17}},RegressionReport->FitResiduals]

1 2 3 4 5 6 7

0.05

0.06

0.07

0.08

app2x_: 0.4211710442089164454.4037426263852204`x

1 2 3 4 5 6 7

0.05

0.06

0.07

0.08

0.09

٢٨٣

{FitResiduals{-0.000435491,-0.00895359,0.00411011,-0.0013476,-0.0011757,-0.0038114,-0.00498679,-0.0152621,-0.0103311,0.00422885,0.0100412,0.0130983,-0.0118701}} err2=nrg2[[1,2]]; sumsq2=Sum[err2[[j]]^2,{j,1,Length[err2]}] 0.000910677 NonlinearRegress[ecology,v/(k+x),x,{{v,0.5},{k,17}},ShowProgress->True] Iteration:1 ChiSquared:0.0211263 Parameters:{0.5,17.} Iteration:2 ChiSquared:0.0273833 Parameters:{0.997294,7.1388} Iteration:3 ChiSquared:0.00913711 Parameters:{0.924735,8.25897} Iteration:4 ChiSquared:0.00340141 Parameters:{0.9117,9.47141} Iteration:5 ChiSquared:0.0015738 Parameters:{0.90256,10.3259} Iteration:6 ChiSquared:0.00104566 Parameters:{0.885534,10.6872} Iteration:7 ChiSquared:0.000927715 Parameters:{0.877484,10.8141} Iteration:8 ChiSquared:0.000912423 Parameters:{0.876086,10.8354} Iteration:9 ChiSquared:0.000910851 Parameters:{0.875935,10.8377} Iteration:10 ChiSquared:0.000910693 Parameters:{0.87592,10.8379} Iteration:11 ChiSquared:0.000910677 Parameters:{0.875918,10.838} NonlinearRegress[ecology,v/(k+x),x,{{v,0.5},{k,17}}]

٢٨٤

NonlinearRegress[ecology,v/(k+x),x,{{v,0.5},{k,17}},RegressionReport->AsymptoticCovarianceMatrix]

NonlinearRegress[ecology,v/(k+x),x,{{v,0.5},{k,17}},RegressionReport->HatDiagonal] {HatDiagonal{0.172201,0.172201,0.172201,0.120973,0.120973,0.120973,0.0817874,0.0817874,0.133218,0.133218,0.230156,0.230156,0.230156}} p=2; n=Length[ecology]; 2 p/n//N 0.307692 NonlinearRegress[ecology,v/(k+x),x,{{v,0.5},{k,17}},RegressionReport->StandardizedResiduals] {StandardizedResiduals{-0.0526054,-1.08156,0.496484,-0.157969,-0.137819,-0.446784,-0.571957,-1.75048,-1.21956,0.499207,1.25776,1.64069,-1.48685}}

. لى خطوات البرنامج و المخرجاتوفیما ی المدخالت : اوال

ecologyالقائمة المسماه .الزواج قیم المتغیر المستقل و المتغیر التابع المخرجات : ثانیا

1 , 1بإستخدام 12 كقیم مبدئیھ فإن معادلة االنحدار المقدره ھي:

BestFitParametersv0.875918,k10.838,

ParameterCITableEstimate AsymptoticSE CI

v 0.875918 0.251463 0.322452,1.42938k 10.838 3.55508 3.01329,18.6627

,


DF SumOfSq MeanSqModel 2 0.0557833 0.0278916Error 11 0.00091068 0.000082789UncorrectedTotal 13 0.056694CorrectedTotal 12 0.00165764

,

AsymptoticCorrelationMatrix 1. 0.9915890.991589 1.

,

FitCurvatureTable

CurvatureMaxIntrinsic 0.0771249MaxParameterEffects 0.73479495.%ConfidenceRegion 0.50111

AsymptoticCovarianceMatrix 0.0632335 0.8864520.886452 12.6386

٢٨٥

440374.4421171.0y

:التالى نحصل علیھا من االمر

NonlinearFit[ecology,v/(k+x),x,{v,k}] حیث 1 2v , k

ة ذه الحال ي ھ درة ف نحصل )) ١٥-٥(شكل (شكل االنتشار مع معادلة االنحدار المق :علیھ من االمر التالى

Show[ecoplot,aplot2,DisplayFunction->$DisplayFunction]

من االمر 0.00212771مجموع مربعات البواقي كانت

sumsq1=Sum[err1[[j]]^2,{j,1,Length[err1]}]

ن ھ ع ات مبدئی اك معلوم رض أن ھن 21بف , ث 17,5.0حی 21 إن ف :معادلة االنحدار المقدره ھي

x838.10875918.0y

:نحصل علیھا من االمر التالى NonlinearFit[ecology,v/(k+x),x,{{v,0.5},{k,17}}]

من االمر0.000910677 مجموع مربعات البواقي كانتsumsq2=Sum[err2[[j]]^2,{j,1,Length[err2]}]

نحصل )) ١٦-٥(شكل (شكل االنتشار مع معادلة االنحدار المقدرة في ھذه الحالة

:علیھ من االمر التالىShow[ecoplot,aplot,DisplayFunction->$DisplayFunction]

عدد التكرارات للوصول الى الحل النھائي نحصل علیھا من االمرNonlinearRegress[ecology,v/(k+x),x,{{v,0.5},{k,17}},ShowProgress->True]

s2= 0.00008279 و خطا معیاري مقرب للمعالم: 0.0632335 0.251463,

12.6386 3.55508.

:ومصفوفة معامالت االرتباط

٢٨٦

1991589.0

991589.01

21فترة ثقة لـ %95وجدول تحلیل التباین و ,: یھم (18.6628 , 3.01329) , (142938 , 322452) والي نحصل عل علي الت

فى الجدول من االمر التالى NonlinearRegress[ecology,v/(k+x),x,{{v,0.5},{k,17}}]

و مصفوفھ التغایر للتقدیرات0.0632335 0.8864520.886452 12.6386

نحصل علیھا من االمرNonlinearRegress[ecology,v/(k+x),x,{{v,0.5},{k,17}},RegressionReport->AsymptoticCovarianceMatrix]

Documents

الانحدار وكيفية معالجة مخالفات فروضه