1

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3

ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΡΕΥΣΤΩΝ

2

3-1) ΕΙΣΑΓΩΓΗ

Στο κεφάλαιο αυτό θα ασχοληθούμε με τη μελέτη των ρευστών. Η δομή του

κεφαλαίου (που βρίσκεται εντός της ύλης των πανελληνίων εξετάσεων) περιλαμβάνει

τις ακόλουθες ενότητες:

3-2) ΠΙΕΣΗ ΣΕ ΕΝΑ ΡΕΥΣΤΟ

3-3) ΜΕΤΑΔΟΣΗ ΠΙΕΣΕΩΝ ΣΤΑ ΡΕΥΣΤΑ. ΑΡΧΗ ΤΟΥ PASCAL.

3-4) ΑΝΩΣΗ

3-5) ΡΟΗ ΡΕΥΣΤΩΝ

3-6) ΕΞΙΣΩΣΗ BERNOULLI

3-7) Η ΤΡΙΒΗ ΣΤΑ ΡΕΥΣΤΑ

3

3-2) ΠΙΕΣΗ ΣΕ ΕΝΑ ΡΕΥΣΤΟ

Όταν ένα ρευστό (δηλαδή υγρό η αέριο) ηρεμεί, ασκεί μια κάθετη δύναμη σε κάθε

επιφάνεια που είναι σε επαφή με αυτό (πχ τοιχώματα δοχείου που το περιέχει). Έστω

μια φανταστική επιφάνεια μέσα στο ρευστό. Το ρευστό πρέπει να ασκεί ίσες και

αντίθετες δυνάμεις στις δύο πλευρές της επιφάνειας αυτής διαφορετικά η επιφάνεια

αυτή θα έπρεπε να επιταχύνεται και το ρευστό δεν θα ισορροπούσε.

Η πίεση ορίζεται ως η δύναμη ανά μονάδα επιφάνειας. Δηλαδή η πίεση p σε κάποιο

σημείο του ρευστού ορίζεται ως ο λόγος της κάθετης δύναμης

πάνω σε μία μικρή (στοιχειώδης) επιφάνεια dA γύρω από το σημείο αυτό, προς την

επιφάνεια αυτή.

dA

dFp

Αν η πίεση είναι η ίδια σε όλα τα σημεία μιας πεπερασμένης επιφάνειας με εμβαδό

A , τότε:

A

Fp

Μονάδα πίεσης στο S.I.: 2

11m

NPa .

Ατμοσφαιρική πίεση είναι η πίεση της ατμόσφαιρας της Γης (η πίεση στη βάση του

αέριου όγκου που ονομάζεται ατμόσφαιρα). Η ατμοσφαιρική πίεση αλλάζει με τις

καιρικές μεταβολές και το ύψος.

Η ατμοσφαιρική πίεση στην επιφάνεια της θάλασσας (στην ουσία η μέση τιμή της)

είναι: Papat510013,1 .

Υδροστατική πίεση

Αν το βάρος ενός ρευστού μπορεί να αγνοηθεί, η πίεση παντού μέσα στο ρευστό είναι

η ίδια. Όμως σε πολλές περιπτώσεις το βάρος ενός ρευστού δεν είναι αμελητέο. Για

παράδειγμα κατά τη διάρκεια μιας κατάδυσης η πίεση αυξάνεται πολύ με το βάθος.

Επίσης η ατμοσφαιρική πίεση είναι μεγαλύτερη στην επιφάνεια της θάλασσας από

ότι στις κορυφές των βουνών. Σκοπός μας είναι ο προσδιορισμός μιας γενικής σχέσης

μεταξύ της πίεσης σε οποιοδήποτε σημείο ενός ρευστού και του ύψους του σημείου.

4

Έστω ότι την εφαρμόζουμε για ένα σημείο της επιφάνειας του υγρού (δηλαδή σε

μηδενικό βάθος) όπου η πίεση θα είναι 0p και ένα τυχαίο σημείο σε κάποιο βάθος h

όπου η πίεση είναι p .

Ισχύει:

120 yygpp hgpp 0 hgpp

, όπου 0p η πίεση στην επιφάνεια του υγρού (που βρίσκεται σε ανοιχτό δοχείο), που

είναι η ατμοσφαιρική πίεση.

Επομένως προκύπτει:

hgpp (3.1)

, όπου p η ατμοσφαιρική πίεση.

η πυκνότητα του υγρού

g η επιτάχυνση της βαρύτητας

p η πίεση σε βάθος h από την επιφάνεια του υγρού.

Ο όρος hg αποτελεί την υδροστατική πίεση, δηλαδή:

hgp

Νόμος της υδροστατικής

Η υδροστατική πίεση είναι ανάλογη:

1. με την πυκνότητα του υγρού στο οποίο την μετράμε.

2. με την επιτάχυνση της βαρύτητας g .

3. με το βάθος h από την επιφάνεια του υγρού.

hgp (3.2)

Αποδεικνύεται ότι:

1212 yygpp

Όπου 2,1 pp η πίεση σε ύψος 21, yy αντίστοιχα

η πυκνότητα του υγρού και g η επιτάχυνση

της βαρύτητας.

Η παραπάνω σχέση μπορεί να εφαρμοστεί για

δύο οποιαδήποτε σημεία του υγρού.

1y

02 pp

12 yyh

2ypp 1

5

p η υδροστατική πίεση (μονάδα μέτρησης στο S.I. 2m

NPa )

η πυκνότητα του υγρού (μονάδα μέτρησης στο S.I. 3m

kg)

g η επιτάχυνση της βαρύτητας (μονάδα μέτρησης στο S.I. 2s

m)

h το ύψος από την επιφάνεια του υγρού (μονάδα μέτρησης στο S.I. m )

Στο σημείο αυτό πρέπει να σημειωθεί ότι η υδροστατική πίεση έχει νόημα μόνο

εφόσον το υγρό βρίσκεται σε πεδίο βαρύτητας.

Προσοχή! Η υδροστατική πίεση δεν εξαρτάται από το σχήμα του δοχείου ή από τον

όγκο του υγρού. Για παράδειγμα στο παρακάτω σχήμα βλέπουμε δύο δοχεία

διαφορετικού σχήματος που περιέχουν νερό. Επίσης ο όγκος του νερού στο δοχείο 1

είναι μεγαλύτερος από τον όγκο του νερού στο δοχείο 2. Παρ’ όλα αυτά η

υδροστατική πίεση στο σημείο Α του πρώτου δοχείου είναι η ίδια με τη υδροστατική

πίεση στο σημείο Β του δεύτερου δοχείου καθώς τα σημεία αυτά βρίσκονται στο ίδιο

βάθος. (Σκεφτείτε ότι αισθανόμαστε την ίδια πίεση στα αυτιά μας είτε βυθιστούμε

κατά 1 μέτρο σε μια μικρή πισίνα με θαλασσινό νερό είτε βυθιστούμε κατά 1 μέτρο

στη μέση ενός ωκεανού)

Εφαρμογές της υδροστατικής πίεσης

Συγκοινωνούντα δοχεία

Έστω ότι γεμίζουμε με κάποιο υγρό μια σειρά από δοχεία διαφορετικού σχήματος

που συγκοινωνούν μέσω ενός κοινού οριζόντιου σωλήνα. Παρατηρούμε ότι σε όλα τα

δοχεία η επιφάνεια του υγρού βρίσκεται στο ίδιο οριζόντιο επίπεδο. Αυτό οφείλεται

στο νόμο της υδροστατικής. Εάν σε κάποιο από τα δοχεία η στάθμη του υγρού ήταν

σε υψηλότερο επίπεδο η πίεση στον κοινό οριζόντιο σωλήνα θα ήταν μεγαλύτερη στο

σημείο του σωλήνα που αντιστοιχεί στο δοχείο αυτό καθώς το σημείο εκείνο θα ήταν

σε μεγαλύτερο βάθος. Επομένως θα υπήρχε διαφορά πίεσης στον οριζόντιο σωλήνα,

δηλαδή θα υπήρχε κίνηση του υγρού με αποτέλεσμα να μην μπορεί να ισορροπήσει.

Επομένως, δύο σημεία ενός υγρού που ισορροπεί έχουν την ίδια πίεση όταν

βρίσκονται στο ίδιο βάθος, δηλαδή στο ίδιο οριζόντιο επίπεδο. Αυτό συμβαίνει

Στα σημεία Α και Β η

υδροστατική πίεση είναι η ίδια

διότι βρίσκονται στο ίδιο βάθος.

Δοχείο 1 Δοχείο 2

6

ακόμα και όταν το υγρό βρίσκεται σε διαφορετικά, αλλά συγκοινωνούντα,

δοχεία.

Μια ευρέως γνωστή εφαρμογή των συγκοινωνούντων δοχείων είναι οι δεξαμενές

ύδρευσης. Οι δεξαμενές ύδρευσης κατασκευάζονται σε ψηλά σημεία έτσι ώστε το

νερό να μπορεί να κυκλοφορεί στα διαμερίσματα (τα οποία βρίσκονται σε

χαμηλότερο υψόμετρο) χωρίς να χρειάζεται αντλία.

3-3) ΜΕΤΑΔΟΣΗ ΠΙΕΣΕΩΝ ΣΤΑ ΡΕΥΣΤΑ. ΑΡΧΗ ΤΟΥ PASCAL

Τα υγρά είναι ασυμπίεστα. Η συγκεκριμένη ιδιότητα των υγρών οδήγησε στη

διατύπωση της αρχής του Pascal (Η αρχή του Pascal πήρε το συγκεκριμένο όνομα

από το Γάλλο φυσικό Blaise Pascal που τη διατύπωσε πρώτος).

Αρχή του Pascal: Η πίεση που δημιουργεί ένα εξωτερικό αίτιο σε κάποιο σημείο

του υγρού μεταφέρεται αναλλοίωτη σε όλα τα σημεία του.

Για παράδειγμα, στο δοχείο του σχήματος 3.3, τα μανόμετρα δείχνουν όλα την ίδια

πίεση όταν το δοχείο βρίσκεται εκτός πεδίου βαρύτητας. Αν αυξηθεί η δύναμη που

ασκείται στο έμβολο κατά F θα αυξηθεί και η πίεση σε όλα τα μανόμετρα κατά

A

F ( Α εμβαδόν του εμβόλου).

Εάν τώρα το δοχείο βρίσκεται εντός του πεδίου βαρύτητας, η πίεση που δείχνουν τα

μανόμετρα είναι διαφορετική στο κάθε ένα από αυτά ανάλογα με το βάθος στο οποίο

βρίσκεται. Αν πάλι αυξηθεί η δύναμη που ασκείται στο έμβολο κατά ΔF θα αυξηθεί

και η πίεση σε όλα τα μανόμετρα κατά A

F.

Επομένως, αν κάποιο υγρό ισορροπεί σε ανοιχτό δοχείο, στην ελεύθερη επιφάνειά

του ασκείται η ατμοσφαιρική πίεση. Για το λόγο αυτό η πίεση σε βάθος h θα είναι

hgpp

Στο διπλανό σχήμα παρατηρούμε 4

συγκοινωνούντα δοχεία διαφορετικών σχημάτων.

Η ελεύθερη επιφάνεια του υγρού σε κάθε δοχείο

βρίσκεται στο ίδιο οριζόντιο επίπεδο.

F

FdF

7

ακριβώς επειδή, όπως προβλέπει η αρχή του Pascal, η ατμοσφαιρική πίεση

μεταφέρεται σε όλα τα σημεία του υγρού.

Η αρχή του Pascal έχει σημαντικές τεχνολογικές εφαρμογές, όπως η υδραυλική

αντλία και τα υδραυλικά φρένα των αυτοκινήτων.

Στο παρακάτω σχήμα περιγράφεται η λειτουργία της υδραυλικής αντλίας:

Έστω ότι ασκούμε μία δύναμη 1F στο έμβολο εμβαδού

1 . Επομένως στο υγρό της

αντλίας θα ασκείται (εκτός από την ατμοσφαιρική πίεση) και πίεση 1

11

F

P . Όμως

σύμφωνα με την αρχή του Pascal η πίεση P ασκείται σε κάθε σημείου του υγρού.

Επομένως το υγρό θα ασκεί πίεση 2P στο έμβολο με εμβαδό επιφάνειας

2 , που

είναι ίση με την 1P , δηλαδή

12 PP (αφού λόγω της αρχής του Pascal η πίεση 1P

ασκείται σε κάθε σημείο του υγρού). Όμως λόγω της πίεσης 2P , ασκείται στο έμβολο

εμβαδού 2 δύναμη

2F .

Άρα προκύπτει το παρακάτω συμπέρασμα:

1

1

22

1

1

2

212 FF

FFPP

(3.3)

, όμως 11

221

.

Επομένως ασκώντας μικρή δύναμη στο έμβολο εμβαδού 1 ασκούμε μεγάλη δύναμη

στο έμβολο εμβαδού 2 . Όσο μεγαλύτερο είναι το εμβαδό

2 από το εμβαδό 1

τόσο μεγαλώνει η δύναμη 2F .

Αν για παράδειγμα 551

212

, προκύπτει:

1

1

22 FF 12 5FF . Δηλαδή η

δύναμη πενταπλασιάστηκε.

3-4) ΑΝΩΣΗ

Έστω ένα πλοίο που επιπλέει στη θάλασσα. Στο πλοίο ασκείται το βάρος του, το

οποίο έχει κατεύθυνση προς το βυθό της θάλασσας. Όμως όπως γνωρίζουμε τα πλοία

δεν βουλιάζουν αλλά επιπλέουν στη θάλασσα. Άρα πρέπει να υπάρχει και κάποια

Όπως φαίνεται στο διπλανό σχήμα η

υδραυλική αντλία αποτελείται από δύο

δοχεία διαφορετικών διαστάσεων που

επικοινωνούν. Μέσα στην υδραυλική

αντλία υπάρχει υγρό που είναι

περιορισμένο σε αυτήν μέσω δύο

εμβόλων στην κορυφή κάθε δοχείου

με εμβαδά 1 και

2 όπου 21 .

1F

2F

Επιφάνεια

εμβαδού 1

Επιφάνεια

εμβαδού 2

8

άλλη δύναμη πέραν του βάρους του έτσι ώστε η συνισταμένη δύναμη που ασκείται

στο πλοίο να είναι μηδέν και να μπορεί να ισορροπεί πάνω στο νερό, δηλαδή να

επιπλέει. Η δύναμη αυτή ασκείται από το νερό και ονομάζεται άνωση. Η άνωση είναι

η δύναμη που βοηθάει τα πλοία να επιπλέουν στο νερό, που μας επιτρέπει να

κολυμπάμε και που μας εμποδίζει να βουλιάξουμε ένα μπαλόνι με αέρα μέσα στο

νερό. Η άνωση όμως δεν αποτελεί κάποια χαρακτηριστική ιδιότητα του νερού.

Ασκείται από όλα τα υγρά και τα αέρια, δηλαδή από όλα τα ρευστά. Άνωση ασκεί και

ο ατμοσφαιρικός αέρας. Άνωση ονομάζεται η δύναμη που ασκείται σε ένα σώμα

όταν αυτό βρίσκεται μέσα σε ρευστό, η οποία έχει διεύθυνση κατακόρυφη με

φορά προς τα πάνω.

Για να γίνει πλήρως κατανοητή η έννοια της άνωσης κάνουμε το παρακάτω πείραμα:

Άρα, στην περίπτωση αυτή ισχύει: FFF 00

Επομένως στο δεύτερο πείραμα η ένδειξη του δυναμομέτρου έχει μικρότερη τιμή.

Αυτό οφείλεται στην άνωση καθώς η ισορροπία επιτυγχάνεται πλέον υπό την

επίδραση τριών δυνάμεων.

Από το παραπάνω πείραμα προκύπτει το συμπέρασμα ότι η ένδειξη του

δυναμομέτρου είναι ίση με το βάρος του σώματος μόνο στην περίπτωση του πρώτου

πειράματος. Στην περίπτωση του δεύτερου πειράματος η ένδειξη του δυναμομέτρου

δίνεται από τη σχέση F , δηλαδή έχει μικρότερη τιμή από το βάρος του

σώματος. Για το λόγο αυτό πολλές φορές δημιουργείται η αίσθηση ότι το βάρος των

σωμάτων στο νερό είναι μικρότερο. Αυτό όπως φάνηκε και στο παραπάνω πείραμα

δεν ισχύει! Το βάρος ενός σώματος σε δεδομένο τόπο παραμένει σταθερό.

Στο σχήμα 1 έχουμε κρεμάσει μία μικρή

μεταλλική σφαίρα από ένα δυναμόμετρο. Η μικρή

μεταλλική σφαίρα ισορροπεί υπό την επήρεια του

βάρους της και της δύναμης του ελατηρίου του

δυναμομέτρουF . Επομένως για την πρώτη

σφαίρα ισχύει: FFF 00

(Η δύναμη F αποτελεί την ένδειξη του

δυναμομέτρου)

Στο σχήμα 2 επαναλαμβάνουμε το ίδιο πείραμα με

τη διαφορά ότι η μικρή μεταλλική σφαίρα

βρίσκεται σε μία λεκάνη με νερό. Στην

περίπτωση αυτή η μικρή μεταλλική σφαίρα

ισορροπεί υπό την επήρεια του βάρους της (που

παραμένει σταθερό) της δύναμης του ελατηρίου

του δυναμομέτρουF και της άνωσης του

νερού.

(Η δύναμη F αποτελεί τη νέα ένδειξη του

δυναμομέτρου)

F

F

Σχήμα 1 Σχήμα 2

9

Πού οφείλεται η άνωση;

Αν διαιρέσουμε τις σχέσεις (1) και (2) κατά μέλη προκύπτει:

SP

SP

F

F

P

P

F

F

hg

hg

F

F

h

h

F

F

Όμως 1

h

hhh

Άρα,

1h

h

F

F

1F

F FF

Επομένως υπάρχει συνισταμένη δύναμη στον κύβο η οποία δίνεται από τη σχέση:

FF

Η δύναμη αυτή είναι η άνωση.

Επομένως η άνωση οφείλεται στη διαφορά της υδροστατικής πίεσης στην πάνω

και την κάτω επιφάνεια του κύβου (ή γενικότερα οποιοδήποτε σώματος).

Σημείωση: Λόγω υδροστατικής πίεσης ασκούνται δυνάμεις και στα πλευρικά

τοιχώματα του κύβου που όμως αλληλοαναιρούνται.

Έστω ένας κύβος βυθισμένος σε νερό, όπως

στο διπλανό σχήμα. Σε κάθε πλευρά του

κύβου ασκείται υδροστατική πίεση από το

νερό.

Στην επάνω επιφάνεια του κύβου, η

υδροστατική πίεση έχει τιμή: hgP

Στην επάνω επιφάνεια του κύβου, η οποία

έστω ότι έχει εμβαδό S ασκείται δύναμη

λόγω υδροστατικής πίεσης, η οποία έχει

τιμή: SPF (1) (διότι

S

FP ).

Αντίστοιχα, στην κάτω επιφάνεια του

κύβου, η υδροστατική πίεση έχει τιμή,

hgP με αποτέλεσμα η δύναμη που

της ασκείται να έχει τιμή SPF (2).

Ελεύθερη

επιφάνεια νερού

h

h F

F

Υδροστατική πίεση )( P

Υδροστατική πίεση )( P

10

Από ποιους παράγοντες εξαρτάται η άνωση;

Η άνωση εξαρτάται από:

1. Από την πυκνότητα του υγρού (μεγαλύτερη πυκνότηταμεγαλύτερη

άνωση).

2. Από τον όγκο του σώματος το οποίο είναι βυθισμένο στο υγρό (μεγαλύτερος

όγκος βυθισμένος στο νερόμεγαλύτερη άνωση).

Η άνωση δεν εξαρτάται από:

1. Από το σχήμα του σώματος

2. Από το βάρος του σώματος

3. Από το βάθος στο οποίο βυθίσαμε το σώμα

Ο μεγάλος Έλληνας μαθηματικός και φυσικός Αρχιμήδης κατάφερε να συνοψίσει της

παραπάνω παρατηρήσεις σε μία πρόταση:

Αρχή του Αρχιμήδη

Τα υγρά (και τα αέρια) ασκούν δύναμη σε κάθε σώμα που βυθίζεται μέσα σε

αυτά. Η δύναμη αυτή ονομάζεται άνωση, έχει διεύθυνση κατακόρυφη και φορά

προς τα πάνω και το μέτρο της ισούται με το βάρος του υγρού που εκτοπίζεται

από το σώμα.

Άνωση = Βάρος του υγρού ή του αερίου που εκτοπίζεται

Άνωση = (Μάζα του υγρού ή του αερίου που εκτοπίζεται) g

Άνωση = (Όγκος του υγρού ή του αερίου που εκτοπίζεται) ( πυκνότητα υγρού) g

Δηλαδή,

gm gV

Όμως ο όγκος του υγρού που εκτοπίζεται ισούται με τον όγκο του σώματος που είναι

βυθισμένο στο νερό. Άρα:

. Vg (3.4)

Άνωση που ασκείται σε σώμα βυθισμένο σε υγρό ή αέριο

Πυκνότητα υγρού ή αερίου

.V Όγκος ή μέρος του όγκου του σώματος που είναι βυθισμένο

Σημείωση: Υπενθυμίζουμε ότι η πυκνότητα ενός σώματος δίνεται από τη σχέση

V

m

11

Προσοχή! Ο όγκος .V είναι ο όγκος του σώματος που είναι βυθισμένος στο υγρό

ή στο αέριο και όχι ο συνολικός όγκος του σώματος. Επομένως όσο μεγαλύτερο

μέρος του όγκου ενός σώματος είναι βυθισμένο στο υγρό ή στο αέριο, τόσο

μεγαλύτερη τιμή παίρνει η άνωση. Επίσης η αρχή του Αρχιμήδη παρά το γεγονός

ότι διατυπώθηκε για τα υγρά, ισχύει και για τα αέρια.

3-5) ΡΟΗ ΤΩΝ ΡΕΥΣΤΩΝ

Κατά την κίνηση των ρευστών αναπτύσσονται δυνάμεις τριβής μεταξύ των μορίων

τους (εσωτερική τριβή) αλλά και μεταξύ των μορίων τους και των τοιχωμάτων του

σωλήνα μέσα στον οποίο πραγματοποιείται η κίνηση (δυνάμεις συναφείας). Αν οι

δυνάμεις που προαναφέραμε υπερβούν κάποιο όριο το ρευστό δημιουργεί κατά τη

ροή του δίνες και η ροή λέγεται τυρβώδης ή στροβιλώδης. Η μελέτη μιας τέτοιας

κίνησης είναι πολύπλοκη. Εμείς θα περιοριστούμε στη μελέτη της ροής ενός ρευστού

που δεν παρουσιάζει εσωτερικές τριβές και τριβές με τα τοιχώματά του σωλήνα μέσα

στον οποίο ρέει και επιπλέον είναι ασυμπίεστο. Ένα τέτοιο ρευστό χαρακτηρίζεται

ως ιδανικό.

Στην πραγματικότητα η συμπεριφορά των κινούμενων ρευστών διαφέρει πολύ ή λίγο

από τη συμπεριφορά των ιδανικών ρευστών. Για να διακρίνουμε τα υπαρκτά ρευστά

από τα ιδανικά θα τα ονομάζουμε πραγματικά ρευστά.

Η ροή ενός ιδανικού ρευστού είναι στρωτή, δηλαδή δεν παρουσιάζει στροβίλους.

Ρευματικές γραμμές - Φλέβα

Το σύνολο των θέσεων από τις οποίες περνά κάθε μόριο του ρευστού στη διάρκεια

της κίνησής του ορίζει μια γραμμή που την ονομάζουμε ρευματική γραμμή. Εφόσον

η ρευματική γραμμή είναι στην πραγματικότητα η τροχιά του μορίου, η ταχύτητά του

σε κάθε θέση θα είναι εφαπτομένη της ρευματικής γραμμής πράγμα που σημαίνει ότι

δύο ρευματικές γραμμές δεν είναι δυνατόν να τέμνονται .

Αν θεωρήσουμε μια επιφάνεια Α κάθετη στη διεύθυνση του σωλήνα (ως σωλήνας

ορίζεται κάθε μορφής τοιχώματα που περιορίζουν το κινούμενο ρευστό), μέσα στον

οποίο κινείται ένα ρευστό και από κάθε σημείο του περιγράμματος της Α

σχεδιάσουμε την αντίστοιχη ρευματική γραμμή μέσα στο ρευστό σχηματίζεται ένας

νοητός σωλήνας που ονομάζεται φλέβα.

12

Όπως φαίνεται από τον ορισμό της το ρευστό που κυλάει σε κάποια φλέβα δεν

αναμιγνύεται με το περιεχόμενο άλλης φλέβας του σωλήνα.

Διατήρηση της ύλης, Εξίσωση της συνέχειας, Παροχή

Το παρακάτω σχήμα δείχνει τμήμα ενός σωλήνα ροής μεταξύ δύο σταθερών

διατομών με εμβαδό 1A και 2A . Οι ταχύτητες του ρευστού σε αυτές τις τομές είναι

1 και 2 . Το ρευστό δεν περνά το πλευρικό τοίχωμα σε κανένα σημείο. Κατά τη

διάρκεια ενός μικρού χρονικού διαστήματος dt , το ρευστό στη διατομή 1A κινείται

κατά ένα διάστημα dt1 . Ο όγκος 1dV του ρευστού που διέρχεται από την 1A σε αυτό

το διάστημα είναι το ρευστό μέσα στον κυλινδρικό δοχείο με βάση 1A και ύψος dt1 .

Άρα,

dtAdV 111

Αν η πυκνότητα του ρευστού είναι , η μάζα 1dm που εισρέει στο σωλήνα είναι:

dtAdm 111

Ομοίως η μάζα 2dm που εκρέει μέσα από την 2A στον ίδιο χρόνο είναι:

dtAdm 222

Στη μόνιμη ροή, η ολική μάζα μέσα στο θεωρούμενο τμήμα του σωλήνα ροής είναι

σταθερή, οπότε 21 dmdm . Άρα,

dtA 11 dtA 22

2211 AA (3.5)

Η σχέση (3.5) ονομάζεται εξίσωση συνέχειας.

13

Η σχέση (3.7) δείχνει ότι η παροχή είναι σταθερή κατά μήκος οποιουδήποτε σωλήνα

ροής, Όταν η εγκάρσια διατομή ενός σωλήνα ροής ελαττώνεται, η ταχύτητα

αυξάνεται. Η φλέβα νερού από μια βρύση στενεύει καθώς αυξάνει η ταχύτητά της,

αλλά η παροχή dt

dV είναι παντού η ίδια κατά μήκος του ρεύματος.

Δηλαδή κατά μήκος ενός σωλήνα ή μιας φλέβας η παροχή διατηρείται σταθερή. Σε

σημεία όπου ο σωλήνας στενεύει η ταχύτητα ροής είναι πιο μεγάλη. Κατά μήκος ενός

ποταμού με σταθερό πλάτος πολλές φορές το βάθος ποικίλει. Όπου το ποτάμι έχει

μικρό βάθος έχει και μικρή εγκάρσια διατομή. Επειδή η παροχή είναι σταθερή, στις

περιοχές όπου το ποτάμι είναι ρηχό το νερό κυλάει γρηγορότερα. Παραστατικά

μπορούμε να πούμε ότι εκεί που οι ρευματικές γραμμές πυκνώνουν η ταχύτητα ροής

είναι πιο μεγάλη.

Παροχή μάζας

Η παροχή μάζας, dt

dm, δηλαδή ο ρυθμός ροής μάζας ανά μονάδα χρόνου διαμέσου

μιας εγκάρσιας διατομής, ισούται με την πυκνότητα επί το ρυθμό παροχής όγκου:

dt

dV

dt

dm

Το γινόμενο A ονομάζεται παροχή και

είναι ο ρυθμός με τον οποίο ο όγκος περνάει

από μια διατομή A του σωλήνα:

Adt

dV

A (3.6)

Επομένως, η σχέση (3.5) γράφεται ως:

.21 (3.7)

Η ταχύτητα ροής είναι μεγαλύτερη εκεί

που πυκνώνουν οι ρευματικές γραμμές.

Το γινόμενο A

είναι σταθερό για

ασυμπίεστο ρευστό

14

Αξίζει να σημειωθεί ότι στην περίπτωση όπου το ρευστό δεν είναι ασυμπίεστο,

δηλαδή οι πυκνότητες στις διατομές 1 και 2 είναι 1 και 2 αντίστοιχα, τότε:

222111 AA

3-6) Η ΕΞΙΣΩΣΗ ΤΟΥ BERNOULLI

Από την καθημερινή μας εμπειρία γνωρίζουμε ότι η πίεση ενός ρευστού που ρέει

μέσα σε ένα σωλήνα είναι, εν γένει, διαφορετική ανάμεσα σε δύο σημεία που έχουν

υψομετρική διαφορά. Το νερό στις βρύσες του πέμπτου ορόφου έχει μικρότερη πίεση

από το νερό στις βρύσες του ισογείου. Σε ένα σωλήνα που η διατομή του δεν είναι

παντού ίδια, η ταχύτητα του υγρού μεταβάλλεται (εξίσωση της συνέχειας). Δηλαδή

μια μικρή μάζα dm του υγρού σε άλλες περιοχές του σωλήνα επιταχύνεται και σε

άλλες επιβραδύνεται. Στις περιπτώσεις αυτές η συνολική δύναμη που δέχεται αυτή η

μάζα από το περιβάλλον υγρό δεν είναι μηδενική και κατά συνέπεια η πίεση δε

μπορεί να είναι ίδια σε όλες τις περιοχές του σωλήνα.

Το 1738 ο Ελβετός Daniel Bernoulli βρήκε μια σχέση που συνδέει την πίεση με την

ταχύτητα και με το ύψος.

Για να εξαγάγουμε την εξίσωση Bernoulli, εφαρμόζουμε το θεώρημα έργου –

ενέργειας στο ρευστό, σε ένα τμήμα ενός σωλήνα ροής.

Τώρα θα υπολογίσουμε το έργο που προσφέρεται σε αυτό το ρευστό κατά τη

διάρκεια του dt . Η ολική δύναμη πάνω στη διατομή α είναι 111 ApF και στη

διατομή c 222 ApF , όπου 21, pp είναι η πίεση στα δύο άκρα.

Στο διπλανό σχήμα θεωρούμε το ρευστό που

κάποια αρχική στιγμή, βρίσκεται μεταξύ των

διατομών α και c. Η ταχύτητα στο

χαμηλότερο άκρο είναι 1 και η πίεση 1p .

Μέσα σε ένα μικρό χρονικό διάστημα dt , το

ρευστό που βρίσκεται αρχικά στη διατομή α

μετακινείται στη b κατά μια απόσταση

dtds 1 . Κατά το ίδιο χρονικό διάστημα

dt , το ρευστό που βρίσκεται αρχικά στη

διατομή c μετακινείται στην d κατά μια

απόσταση dtds 22 . Οι εγκάρσιες διατομές

στα δύο άκρα είναι 1A και 2A αντίστοιχα.

Από την εξίσωση της συνέχειας προκύπτει

ότι ο όγκος του ρευστού dV , που διέρχεται

από οποιαδήποτε διατομή στο χρονικό

διάστημα dt είναι:

2211 dsAdsAdV

15

Το συνολικό έργο dW που προσφέρεται στο στοιχείο κατά τη διάρκεια αυτής της

μετατόπισης θα είναι:

2211 dsFdsFdW 222111 dsApdsApdW dVppdW 21

Στο σημείο αυτό εξισώνουμε το έργο αυτό με την ολική μεταβολή της ενέργειας του

στοιχείου του ρευστού, κινητική και δυναμική. Η ενέργεια του ρευστού που

βρίσκεται μεταξύ των διατομών b και c δεν μεταβάλλεται. Στην αρχή του dt το

ρευστό μεταξύ των α και b έχει όγκο:

11 dsA ,

, μάζα:

11 dsA

και κινητική ενέργεια:

2

12

1dm 2

1112

1 dsA

Ομοίως στο τέλος του dt , το ρευστό μεταξύ των c και d έχει κινητική ενέργεια:

2

22

1dm 2

2222

1 dsA

Άρα, η συνολική μεταβολή της κινητικής ενέργειας κατά τη διάρκεια του dt είναι:

2

111

2

2222

1 dsAdsAdK 212

22

1 dVdK

Ακολουθεί ο υπολογισμός της μεταβολής της δυναμικής ενέργειας. Η δυναμική

ενέργεια της μάζας που περιέχεται μεταξύ των α και b στην αρχή του dt είναι:

1ygdm

Η δυναμική ενέργεια της μάζας μεταξύ των c και d στο τέλος του dt είναι:

2ygdm

Η συνολική μεταβολή της δυναμικής ενέργειας κατά τη διάρκεια του dt είναι:

12 yygdmdU 12 yygdVdU

Αντικαθιστώντας στο θεώρημα έργου ενέργειας dKdUdW προκύπτει:

16

dVpp 21 2

1

2

22

1 dV 12 yygdV

21 pp 2

1

2

22

1 12 yyg

1

2

112

1gyp 2

2

222

1gyp (3.8)

Οι δείκτες 1 και 2 αναφέρονται σε οποιαδήποτε δύο σημεία κατά μήκος τους σωλήνα,

οπότε μπορούμε να γράψουμε:

2

1 2 gyp

Η εξίσωση (3.8) είναι η εξίσωση Bernoulli για ιδανικό ρευστό.

Από την εξίσωση του Bernoulli προκύπτει ότι το άθροισμα της πίεσης (p), της

κινητικής ενέργειας ανά μονάδα όγκου ﴾ 2

2

1 ﴿ και της δυναμικής ενέργειας ανά

μονάδα όγκου ( gy ) έχει την ίδια σταθερή τιμή σε οποιοδήποτε σημείο της

ρευματικής γραμμής. Η εξίσωση του Bernoulli αποτελεί έκφραση της αρχής

διατήρησης της ενέργειας στη ροή των ρευστών. Αν ο σωλήνας είναι οριζόντιος η

εξίσωση του Bernoulli παίρνει τη μορφή:

.2

1 2 p

από όπου φαίνεται ότι σε περιοχές όπου πυκνώνουν οι ρευματικές γραμμές (μικρή

διατομή του σωλήνα) και η ταχύτητα ροής αυξάνεται, η πίεση ελαττώνεται.

3-7) Η ΤΡΙΒΗ ΣΤΑ ΡΕΥΣΤΑ

Μέχρι τώρα θεωρήσαμε ότι τα ρευστά ρέουν χωρίς να αναπτύσσονται δυνάμεις

τριβής στο εσωτερικό τους, δηλαδή δυνάμεις που να αντιτίθενται στην κίνηση ενός

τμήματος του ρευστού ως προς ένα άλλο τμήμα του. Στα πραγματικά ρευστά οι

δυνάμεις αυτές υπάρχουν κι έχουν πολύ σημαντικές πρακτικές εφαρμογές, όπως για

παράδειγμα στη λίπανση των τμημάτων μιας μηχανής που θα ήταν αδύνατη αν το

Στο στενό μέρος του σωλήνα η

ταχύτητα του υγρού είναι μεγαλύτερη.

Το ύψος της στάθμης του υγρού πάνω

από την περιοχή αυτή δείχνει ότι η

πίεση στο σωλήνα είναι μικρότερη

17

λιπαντικό δεν παρουσίαζε κατά τη ροή του τέτοιες δυνάμεις. Η εσωτερική τριβή

μέσα σ’ ένα ρευστό ονομάζεται ιξώδες. Ας θεωρήσουμε δύο γυάλινες οριζόντιες πλάκες εμβαδού Α όπως στο σχήμα:

Σταθεροποιούμε την κάτω πλάκα και απλώνουμε πάνω της ένα στρώμα από μέλι

πάχους l. Στη συνέχεια τοποθετούμε τη δεύτερη πλάκα πάνω στο μέλι και τη

μετακινούμε με σταθερή ταχύτητα υ σε σχέση με την κάτω ακίνητη πλάκα.

Διαπιστώνουμε ότι για να συνεχιστεί η κίνηση απαιτείται να ασκηθεί κάποια δύναμη

F. Η δύναμη αυτή απαιτείται για να αντισταθμίσει τις τριβές (ιξώδες), που

αναπτύσσονται μεταξύ των στρωμάτων του μελιού που κινούνται το ένα σε σχέση με

το άλλο. Βλέπουμε ότι το ανώτερο στρώμα έχει προσκολληθεί στην πάνω πλάκα και

κινείται με ταχύτητα υ ενώ το κατώτερο έχει προσκολληθεί στην κάτω πλάκα και

παραμένει ακίνητο. Όλα τα ενδιάμεσα στρώμα- τα έχουν ταχύτητες διαφορετικές

μεταξύ τους, που αυξάνουν σταδιακά από 0 έως υ καθώς πηγαίνουμε από την κάτω

πλάκα προς την πάνω.

Εάν αντικαταστήσουμε το μέλι με ένα άλλο ρευστό που ρέει ευκολότερα, για

παράδειγμα το λάδι, διαπιστώνουμε ότι η δύναμη που πρέπει να ασκούμε στην πάνω

πλάκα για να διατηρείται η ταχύτητά της σταθερή είναι μικρότερη. Επίσης η δύναμη

είναι μικρότερη εάν, για το ίδιο ρευστό, μεταξύ των πλακών αυξήσουμε το πάχος του

l. Αντίθετα η δύναμη γίνεται μεγαλύτερη αν οι επιφάνειες των πλακών είναι

μεγαλύτερες ή αν επιχειρήσουμε να μετακινήσουμε την πάνω πλάκα με μεγαλύτερη

ταχύτητα. Αποδεικνύεται ότι το μέτρο της δύναμης F

δίνεται από τη σχέση:

lAF

(3.9)

O συντελεστής η είναι χαρακτηριστικός κάθε ρευστού ονομάζεται συντελεστής

ιξώδους και στο S.I., μετριέται σε 2m

sN . Στην πράξη ο συντελεστής ιξώδους

μετριέται σε poise (πουάζ)

2

11

cm

sdynP . Παρακάτω παραθέτουμε έναν πίνακα με

το συντελεστή ιξώδους διαφόρων ρευστών:

18

Πρέπει να πούμε ότι δεν υπακούουν όλα τα ρευστά στην εξίσωση (3.9). Δεν υπάρχει

σε όλα τα ρευστά γραμμική αναλογία ανάμεσα στην εσωτερική τριβή που

παρουσιάζουν κατά τη ροή τους και την ταχύτητα ροής. Τα ρευστά που υπακούουν

στην (3.9) τα ονομάζουμε νευτώνεια ρευστά. Το αίμα παρουσιάζει κάποια

ενδιαφέρουσα ιδιαιτερότητα. Το αίμα είναι ένα αιώρημα στερεών σωματιδίων μέσα

σε υγρό. Καθώς αυξάνει η ταχύτητα ροής, για να μην αυξηθούν υπέρμετρα οι

εσωτερικές τριβές, τα σωματίδια παραμορφώνονται και προσανατολίζονται με τέτοιο

τρόπο ώστε να διευκολύνουν τη ροή.

Διάγραμμα ταχυτήτων για ένα ρευστό

σε κυλινδρικό σωλήνα ακτίνας R.