КОРОЛЕВСКИЙ ИНСТИТУТУПРАВЛЕНИЯ, ЭКОНОМИКИ И СОЦИОЛОГИИ

СТАТИСТИКАМетодические указания и задания

для контрольной работы

Королев 2011

1

Предназначены для индивидуального выполнения заданий по дисциплине «Статистика» студентами ФЗО.

Составитель – Цветков Н.Д.

2

Раздел 1. Задания для контрольной работы

1.1. Общие положенияНомер варианта задания для выполнения контрольной работы определяется

индивидуально для каждого студента по последней цифре номера зачетной книжки. При выполнении заданий следует изучить основные теоретические положения

темы задания, привести формулы, развернутый расчет с краткими пояснениями и дать подробный анализ полученных результатов.

При выполнении контрольной работы следует руководствоваться основными положениями:

- текст работы необходимо оформить на листах формата А4;- записи следует выполнять аккуратно и разборчиво (текст желательно набрать на

компьютере);- страницы должны быть пронумерованы и иметь поля для замечаний;- все расчеты следует проводить с достаточной точностью (до 0,001), соблюдая при

этом принятые в статистике масштаб и размерность единиц;- задания должны быть дополнительно выполнены с использованием процессора

Microsoft Excel.

1.2. Варианты заданий На основе данных приложения 1 выполните следующие задания.

1. Методом выборочного исследования роста группы студентов оцените их средний рост. Для этого получите точечную оценку математического ожидания роста и вычислите односторонний (левосторонний и правосторонний) и двусторонний доверительный интервал для математического ожидания роста при уровне значимости 0,05. Оцените необходимое количество измерений для построения двустороннего доверительного интервала требуемой точности ±2 см.

2. Методом выборочного исследования группы банков оцените их среднюю прибыль. Для этого получите точечную оценку математического ожидания прибыли и вычислите односторонний (левосторонний и правосторонний) и двусторонний доверительный интервал для оценки математического ожидания прибыли при уровне значимости 0,05.

3. Проведено маркетинговое исследование: проведен опрос потенциальных покупателей предпочитающих товар А или В. Оцените долю потенциальных покупателей, предпочитающих товар А, постройте для нее односторонний (левосторонний и правосторонний) и двусторонний доверительный интервал при уровне значимости 0,05. Оцените необходимое количество опрошенных потенциальных покупателей для построения двустороннего доверительного интервала требуемой точности ±0,1.

3

Приложение 1 Исходные данные к задаче 1

Номер интервала

Рост, смКоличество студентов, имеющих данный рост

Вариант1 2 3 4 5 6 7 8 9 0

1 150…155 2 0 5 1 7 3 2 4 6 62 155…160 7 5 4 5 5 6 6 6 9 83 160…165 12 9 11 9 12 9 9 8 12 94 165…170 11 11 12 12 14 14 13 9 16 115 170…175 14 10 15 14 15 12 12 14 14 126 175…180 15 8 9 8 11 15 11 12 8 147 180…185 8 4 7 9 7 8 6 8 6 88 185…190 3 2 1 4 9 4 7 6 5 79 190…195 1 1 0 2 2 1 2 0 1 2

Итого 74 52 67 68 87 78 75 75 86 77

Исходные данные к задаче 2

Номер банка

Прибыль, млн рубВариант

1 2 3 4 5 6 7 8 9 01 4,6 6,2 6,2 4,7 12,0 7,6 4,3 7,0 8,8 5,82 8,5 11,9 8,6 7,2 5,1 10,5 6,0 9,6 6,2 7,83 5,3 7,6 5,4 4,0 7,8 8,1 6,4 8,1 4,1 6,94 8,8 10,5 7,0 5,8 5,4 8,3 12,0 5,2 8,2 4,35 6,2 8,1 9,6 7,8 6,4 12,0 5,1 7,3 3,6 6,06 4,1 8,3 8,1 6,9 8,3 5,1 7,8 8,2 4,1 6,47 8,2 12,0 5,2 4,3 5,2 7,8 5,4 5,4 3,3 12,08 3,6 5,1 7,3 6,0 4,7 5,4 6,4 3,1 5,2 5,19 4,1 7,8 8,2 6,4 7,2 6,4 8,3 4,4 12,0 7,810 3,3 5,4 5,4 4,1 4,0 8,3 5,2 3,0 5,1 5,411 5,2 6,4 3,1 2,7 5,8 5,2 7,0 4,3 7,8 6,412 5,8 8,3 4,4 3,0 7,8 12,0 9,6 6,0 5,4 8,313 3,3 5,2 3,0 2,2 6,9 5,1 8,1 6,4 6,4 5,214 4,7 6,2 6,2 4,6 4,3 7,8 5,2 12,0 8,3 5,315 7,2 8,6 11,9 8,5 6,0 5,4 7,3 5,1 5,2 8,816 4,0 5,4 7,6 5,3 6,4 6,4 8,2 7,8 6,0 6,217 5,8 7,0 10,5 8,8 4,1 8,3 5,4 5,4 6,4 4,118 7,8 9,6 8,1 6,2 2,7 5,2 3,1 6,4 4,1 8,219 6,9 8,1 8,3 4,1 3,0 6,4 4,4 8,3 2,7 3,620 4,3 5,2 12,0 8,2 2,2 8,3 3,0 5,2 3,0 8,3

Исходные данные к задаче 3Количество опрошенны

х

Число опрошенных, предпочитающих товар АВариант

1 2 3 4 5 6 7 8 9 0250 120 190 40 65 210 95 80 140 75 180

4

Раздел 2. Методические указания по выполнению контрольной работыЗадача 1. Оценка математического ожидания (средней величины) в большой

выборке. Пусть распределение значений количественного признака в большой выборке

(n>30 ) известно и записано в табличной форме:

 Значение, x i Частота,

ni x1

2x…

mx

1n

…

nmИтого n

Выборочные среднее и дисперсия рассчитываются по формулам:

x̄=

∑i=1

m

x i⋅ni

n (1.1)

s2=

∑i=1

m

(x i− x̄ )2⋅nin (1.2)

Величины x̄ и s2

являются оценками параметров генеральной совокупности:

математического ожидания μ и дисперсии σ2

. Оценка x̄ является случайной величиной,

распределенной по нормальному закону. Величина x= x̄−μ

s⋅√n

является центрированной (математическое ожидание равно нулю) и нормированной (дисперсия

равна 1), поэтому для нахождения квантилей распределения xα можно использовать таблицы функции распределения стандартного нормального распределения.

Истинное значение параметра μ можно оценить при помощи доверительного интервала, который его включает

P { x̄−d≤μ≤ x̄+d }=1−α , (1.3)где 1−α− доверительная вероятность (надежность оценки), а α−уровень значимости, то есть вероятность ошибки.Величина предельной ошибки равна:

повторная выборка

d=

xα⋅s

√n , (1.4) бесповторная выборка

d=

xα⋅s

√n⋅√1− n

N . (1.5)Если объем генеральной совокупности существенно больше объема выборки, либо

неизвестен, то пользуются формулой (1.4).Средние ошибки выборки находят по формулам

δ= s

√n и δ= s

√n⋅√1− n

N . (1.6)Интервал может быть двусторонним, либо односторонним.

5

Пример 1.1. Произведены измерения признака, распределенного на элементах генеральной совокупности неизвестного объема. Результаты измерений и вычислений приведены в таблице.

№ п/п x i ni x i⋅n i |x i− x̄| (x i− x̄)2 (x i− x̄)2⋅ni1 6 5 30 1,98 3,92 19,62 7 10

00,98 0,96 9,6

3 8 20 160 0,02 0,0004 0,0084 9 11 99 1,02 1,04 11,445 10 4 40 2,02 4,08 16,32

Итого 50 399 56,968

Точечные оценки находим по формулам (1.1) и (1.2).

x̄=399

50=7 ,98

; s2=56 ,968

50=1 ,14

; s=1,068 .

правосторонний интервал, α=0 ,05 .

По таблице нормального распределения находим xα=1 ,64 .

По формуле (1.4) найдем d=1 ,64⋅1 ,068

√50=0 ,248

.

Следовательно, μ≤7 ,98+0 ,248=8 ,228 с вероятностью 0,95 .

левосторонний интервал, α=0 ,05 .

Проводим те же вычисления и находим: μ≥7 ,98−0 ,248=7 ,732 с вероятностью 0,95 .

двусторонний интервал, α=0 ,05 .

Так как интервал двусторонний, квантиль распределения находим для α

2=0 ,025

: xα=1 ,96 .

По формуле (1.4) найдем d=1 ,96⋅1 ,0682

√50=0 ,296

.

Вычисляем левую и правую границы интервала: x л=7 ,98−0 ,296=7 ,684 ; xпр=7 ,98+0 ,296=8 ,276 .

Получили: 7 ,684≤μ≤8 ,276 с вероятностью 0,95 .

Если задана предельная ошибка и доверительная вероятность, из формулы (1.4) можно найти необходимое количество измерений (объем выборки):

n≥( xα⋅sd )

2

(1.7)Пример 1.2. В условиях Примера 1.1 определить необходимое число измерений, если α=0 ,05 и d=0,2 . Из таблиц нормального распределения для двустороннего интервала

находим xα=1 ,96 . По формуле (1.7) получаем:

n≥( 1 ,96⋅1 ,068

0,2 )2

=109 ,5 ; то есть n=110 .

6

Задача 2. Оценка математического ожидания (средней величины) в малой выборке.

Если объем выборки небольшой (n<30 ) , то методика расчета доверительных интервалов немного изменяется. Для сгруппированных данных выборочное среднее определяем, как и ранее (1.1), а дисперсию по формуле:

s2= 1

n−1⋅∑i=1

m

(x i− x̄ )2⋅ni. (2.1)

Для не сгруппированных данных используем формулы:

x̄=1n⋅∑i=1

n

x i (2.2)

s2= 1

n−1⋅∑i=1

n

(x i− x̄ )2 . (2.3)

Величина t= x̄−μ

s⋅√n−1

описывается стандартным t−распределением Стьюдента с k=n−1 степенями свободы, поэтому для нахождения квантилей

распределения tα используют таблицы t−распределения. Предельная ошибка для повторной выборки будет равна

d=

tα⋅s

√n−1 . (2.4)Пример 2.1. Произведены измерения признака, распределенного на элементах генеральной совокупности неизвестного объема. Результаты измерений и вычислений приведены в таблице.

По формулам (1.1) и (2.1) получаем точечные оценки.№ п/п x i ni x i⋅n i |x i− x̄| (x i− x̄)2 (x i− x̄)2⋅ni

1 6 1 6 1,9 3,61 3,612 7 3 21 0,9 0,81 2,433 8 3 24 0,1 0,01 0,034 9 2 18 1,1 1,21 2,425 10 1 10 2,1 4,41 4,41

Итого 10 79 12,9

x̄=79

10=7,9

; s2=12 ,9

10−1=1 ,43

; s=1,196 .

правосторонний интервал, α=0 ,05 .По таблице t−распределения для односторонней критической области и числа

степеней свободы k=10−1=9 находим tα=1,83 .

По формуле (2.4) найдем d=1 ,83⋅1 ,196

√10−1=0 ,73

.

Следовательно, μ≤7,9+0 ,73=8 ,63 с вероятностью 0,95 .

левосторонний интервал, α=0 ,05 .

7

Находим: μ≥7,9−0 ,73=7 ,17 с вероятностью 0,95 .

двусторонний интервал, α=0 ,05 .

Для двусторонней критической области, квантиль распределения tα=2 ,26 .

По формуле (2.4) найдем d=2 ,26⋅1 ,196

√10−1=0,9

.

Вычисляем левую и правую границы интервала: x л=7,9−0,9=7,0 ; xпр=7,9+0,9=8,8 .

Получили: 7,0≤μ≤8,8 с вероятностью 0,95 . Задача 3. Оценка вероятности или доли элементов генеральной совокупности, обладающих определенным признаком.

Выборочная доля (или оценка вероятности) определяется как отношение числа m элементов выборки с изучаемым признаком к её общему объёму n :

p¿=

mn . (3.1)

Выборочная дисперсия доли определяется величиной

s2=

p¿⋅(1−p¿)n . (3.2)

Величина предельной ошибки для доли равна: повторная выборка

d= xα⋅s , (3.3) бесповторная выборка

d= xα⋅s⋅√1− n

N . (3.4)Если объем генеральной совокупности существенно больше объема выборки, либо

неизвестен, то пользуются формулой (3.3).Минимальный объём выборки, который обеспечивает требуемую точность,

находят по формуле

n≥

p¿⋅(1−p¿ )⋅xα2

d2 . (3.5)

Пример 3.1. Имеется совокупность 10 000 деталей, произведенных на двух предприятиях. Для определения доли деталей, произведенных на первом предприятии, осуществили случайный бесповторный отбор 100 деталей. В выборке оказалось 20 деталей, произведенных на первом предприятии. Определить:

1) двусторонний доверительный интервал для доли, если уровень значимости α=0 ,05 ;

2) требуемый объем выборки, если предельная ошибка d=0 ,02 .Решение.1) Выборочную долю и дисперсию определяем по (3.1) и (3.2):

p¿=

20100

=0,2 ;

s2=0,2⋅(1−0,2 )100

=0 ,0016 ; s=0 ,04.

Предельную ошибку находим по (3.4) для xα=1 ,96

d=1,96⋅0 ,04⋅√1−100

10000=0 ,0784⋅0 ,995=0 ,078

.Как видно для условий примера практически нет разницы между повторным и

8

бесповторным отбором.

Левая и правая границы равны: pл=0,2−0 ,078=0 ,122 ; pпр=0,2+0 ,078=0 ,278 .

Можно утверждать, что с вероятностью 0,95 выполняется 0 ,122≤p≤0 ,278 .

2) Если d=0 ,02 и α=0 ,05 , то получим (3.5): n≥

0,2⋅(1−0,2 )⋅1 ,962

0 ,022=1536 ,64

; то есть n=1537.

Использование для решения задач Microsoft Excel

1. Введите исходные данные в соответствии с рис. 1.1.

№ п/п x i ni1 6 52 7 103 8 204 9 115 10 4

Итого 50

Рис. 1.1.

Раскроем сгруппированный массив данных в соответствии с рис.1.2.

Рис. 1.2.

Найдем необходимые показатели для всей совокупности данных.

9

Найдем среднее значение

Найдем стандартное отклонение

10

Стандартное отклонение умножаем на корректирующий смещенность оценки

коэффициент √ n−1n

.

Квантиль нормального распределения для одностороннего интервала

11

Для одностороннего интервала

Для двустороннего интервала

12

ПолучилиСреднее значение 7,98Стандартное отклонение 1,06752Квантиль нормального распределения односторонний интервал

1,644854

двусторонний интервал

1,959964

Далее рассчитываем по формулам предельное отклонение и границы доверительных интервалов.

Заметим, что предельную ошибку для двустороннего интервала можно найти, воспользовавшись функцией

13

Получаем предельная ошибка равна 0,29589601.Если используется Excel 2010, предельную ошибку для двустороннего интервала

находим при помощи статистической функции ДОВЕРИТНОРМ.

2. В задаче 2 показатели находим аналогично.

Квантиль распределения Стьюдента находим

14

Для одностороннего интервала

Для двустороннего интервала

15

ПолучилиСреднее значение 7,9

Стандартное отклонение1,19721

9Квантиль распределения Стьюдента односторонний интервал

1,833113

двусторонний интервал

2,262157

Далее рассчитываем по формулам предельное отклонение и границы доверительных интервалов.

Если используется Excel 2010, предельную ошибку для двустороннего интервала находим при помощи статистической функции ДОВЕРИТСТЬЮДЕНТ.

16