ΓΡΑΠΤΕΣ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΠΕΡΙΟΔΟΥ ΜΑΙΟΥ-ΙΟΥΝΙΟΥ 2007 ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α. ΘΕΩΡΙΑ ΘΕΜΑ 1ο: α) Να συμπληρώσετε τις ισότητες: αμ. αν =…………., αμ:αν = …………,(αμ)ν =…………,αν.βν =…………,

ν

ν

βα =………….,(

βα )-ν =…………..,α-ν =………….,α0 =…………..

β) Τι πρόσημο έχει μια δύναμη με βάση i) αρνητικό αριθμό και εκθέτη άρτιο ii)αρνητικό αριθμό και εκθέτη περιττό; ΘΕΜΑ 2ο: α) Να διατυπώσετε το Πυθαγόρειο Θεώρημα και το αντίστροφό του. β) Στο διπλανό σχήμα να συμπληρώσετε τις ισότητες: α2 =……………… β2 =……………… γ2 =………………. Β΄. ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑ 1ο: α) Να υπολογίσετε την τιμή του χ=(-3)2+(-2)(+5)-1 Β) Για την τιμή του χ που βρήκατε να υπολογίσετε την τιμή της παράστασης

Α=2χ+2χ+1+2χ+2+2χ+3-4

15

ΘΕΜΑ 2ο :Να βρεθούν οι κοινές ακέραιες λύσεις των ανισώσεων

65−Χ <

3Χ -

21+Χ

9+2(3χ+5)<7(χ+3) ΘΕΜΑ 3ο :Στο διπλανό σχήμα η γωνία ΔΒΓ=30ο και η ΔΓ=5cm.Να υπολογίσετε τη γωνία ΒΑΓ και το μήκος του τόξου ΒΓ .

ΓΡΑΠΤΕΣ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΠΕΡΙΟΔΟΥ ΜΑΪΟΥ-ΙΟΥΝΙΟΥ 2007 ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ

ΤΑΞΗ Β ΘΕΜΑ 1ο : α) Να διατυπώσετε το Πυθαγόρειο Θεώρημα, να γίνει το σχήμα και να γραφεί η σχέση του. β) Δώστε τον ορισμό της τετραγωνικής ρίζας θετικού αριθμού α. γ) Αν 22 β=a τι συμπεραίνετε για τους αριθμούς α και β; (Να το δικαιολογήσετε). ΘΕΜΑ 2ο : α) Να γράψετε τις ιδιότητες των δυνάμεων β) Αν ισχύει τι συμπεραίνετε για τους α και β; (Να το δικαιολογήσετε).

22 β=a

γ) Να συμπληρώσετε τις ισότητες:

i) iii) ...120 = ...)7( 0 =−ii) ...0 iv) 1 = ...0 2 =−

ΑΣΚΗΣΕΙΣ 1η: Να υπολογίσετε τις τιμές των παραστάσεων Α και Β:

33224

4

4*)21()

23(*)

23(

5)10(

−−−+−

=Α −

1482 )

31(:])3[( −−−−=Β

και να υπολογίσετε το γινόμενο: 1)1( −

Β⋅Α=Γ

2η: Να λύσετε την εξίσωση: 23

16

221 +−

=+−

−xxx

3η: Στο διπλανό σχήμα η ΒΓ είναι διάμετρος του κύκλου και ΑΒ=8cm και ΑΓ=6cm. Να υπολογίσετε:

α) Τη διάμετρο ΒΓ και το εμβαδόν του τριγώνου ΑΒΓ. β) Το εμβαδόν και την περίμετρο του κύκλου.

Β Α

Γ

Να απαντήσετε σε ένα θέμα θεωρίας και σε δύο ασκήσεις κατ’ επιλογή δική σας.

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ : Β΄ Τάξη Θ Ε Μ Α Τ Α: Α. ΘΕΩΡΙΑ 1.α. Πότε δύο αριθμοί ονομάζονται ομόσημοι και πότε ετερόσημοι;

β. Πως προσθέτουμε ετερόσημους και πως ομόσημους;

γ. Πως πολλαπλασιάζουμε ομόσημους και πως ετερόσημους; (με

παραδείγματα)

2.α. Πότε δύο ποσά ονομάζονται ανάλογα;

β. Ποιες ιδιότητες έχουν τα ανάλογα ποσά: (αντίστροφα)

αναφέρατε δύο ανάλογα ποσά παράδειγμα

Β. ΑΣΚΗΣΕΙΣ

1. Να λυθεί η εξίσωση 5χ+4 = - 3 και με την τιμή του χ που βρήκατε 2 Να υπολογισθεί η παράσταση Α= (-1/2 )3χ+2 +3(- 1/3 )2χ+1 -10(-1/5)χ+2 2. Δίνεται κύκλος με διάμετρο ΒΓ ΑΓ=5 , η γωνία Β = 30°

Α

α) Να βρείτε την ακτίνα του κύκλου. β) το εμβαδόν του κύκλου γ) το μήκος του τόξου ΑΓ και δ) το εμβαδόν του κ.τ. (ΑΟΒ) Γ) Μια σφαίρα βρίσκεται μέσα σε ένα κύβο και εφάπτεται των εδρών του κύβου, η ακμή του κύβου είναι 10 cm α) Να βρείτε τον όγκο μεταξύ σφαίρας και κύβου β) την επιφάνεια της σφαίρας γ) την ολική επιφάνεια του κύβου.

Γ Β

Ο

. 30

ΓΡΑΠΤΕΣ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΠΕΡΙΟΔΟΥ ΜΑΙΟΥ – ΙΟΥΝΙΟΥ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΩΡΙΑ ΘΕΜΑ 1ο : α) Πώς υπολογίζουμε το γινόμενο πολλών παραγόντων διαφόρων του μηδενός ; β) Τι πρόσημο έχει η δύναμη όταν η βάση είναι αρνητικός και ο εκθέτης φυσικός ; ΘΕΜΑ 2ο : α) Πότε μια γωνία λέγεται επίκεντρη και πότε εγγεγραμμένη ; β) Ποια είναι η σχέση επίκεντρης και εγγεγραμμένης γωνίας που αντιστοιχούν στο ίδιο τόξο ; γ) Πότε ένα πολύγωνο λέγεται κανονικό ; ΑΣΚΗΣΕΙΣ

ΘΕΜΑ 1ο : Δίνεται η ανίσωση : 3

2126

34 −+>−

− xxx

α) Να λυθεί η ανίσωση και οι λύσεις να παρασταθούν στον άξονα β) Αν χ η μεγαλύτερη ακέραια λύση του ερωτήματος (α) να βρεθεί η τιμή της παράστασης

Α = 21

1

)49()2007()1(71 ++

−

−+−+−+⎟⎠⎞

⎜⎝⎛− xxx

x

ΘΕΜΑ 2ο : Τρίγωνο ΑΒΓ έχει περίμετρο 40 cm και η πλευρά του ΒΓ είναι 17 cm

Αν η πλευρά ΑΒ είναι 158 της ΑΓ τότε :

α) Να υπολογιστούν οι πλευρές ΑΒ και ΑΓ . β) Να αποδειχτεί ότι το τρίγωνο ΑΒΓ είναι ορθογώνιο . γ) Να βρεθούν : ημΒ , εφΓ , συνΒ . ΘΕΜΑ 3ο : Δίνεται κύκλος με κέντρο Ο και ακτίνα ρ = 2 . (Διπλανό σχήμα ) Αν ΟΑ και ΟΒ είναι δύο ακτίνες κάθετες μεταξύ τους και Μ τυχαίο σημείο του

τόξου τότε : ∩

ΑΒ α) Να υπολογιστεί το μήκος της χορδής ΑΒ β) Να βρεθεί το εμβαδόν του γραμμοσκιασμένου κυκλικού τμήματος

γ) Να βρεθεί η γωνία Β∧

Μ A (Διπλανό σχήμα )

Γραπτές προαγωγικές εξετάσεις περιόδου Μαΐου –Ιουνίου στα Μαθηματικά

ΘΕΩΡΙΑ Θέμα 1ο :α) Να διατυπώσετε το Πυθαγόρειο Θεώρημα και το αντίστροφο του. β) Για το παρακάτω σχήμα να συμπληρώσετε τις ισότητες: i) α 2 = ………… ii) β2 =…………

α β

γ

Θέμα 2ο α) Να δώσετε τους ορισμούς της επίκεντρης και της εγγεγραμ- μένης γωνίας. β) Τι σχέση έχει η εγγεγραμμένη γωνία με την επίκεντρη γωνία που έχει το ίδιο αντίστοιχο τόξο; ΑΣΚΗΣΕΙΣ Θέμα 1ο : Να βρεθούν οι κοινές λύσεις των ανισώσεων 7(χ+3)≥ 2(3χ+5)+9 και >

+−

21

3xx

65−x

Θέμα 2ο : Δίνονται οι παραστάσεις : Α=(32-23)2007 + 20070

και Β= 215:213+2-2-(-2)2

α) Να υπολογίσετε τις τιμές των παραστάσεων Α και Β. β) Να λύσετε την εξίσωση Αχ=Β+

21−x

Θέμα 3ο : Δίνεται κύκλος με διάμετρο ΒΓ και ένα σημείο Α του κύκλου τέτοιο ‘ώστε ΑΒ=8cm και ΑΓ=6 cm.

Να υπολογίσετε: α) το μήκος του κύκλου και το εμβαδό του κύκλου. Β) το εμβαδό μέρους του κυκλικού δίσκου που βρίσκεται έξω από το τρίγωνο ΑΒΓ

ΘΕΜΑΤΑ

ΘΕΩΡΙΑ

1. Α. Να γράψετε το πυθαγόρειο θεώρημα και να κάνετε σχήμα. Β. Να γράψετε το αντίστροφο του πυθαγορείου θεωρήματος. 2. Α. Τι ονομάζουμε επίκεντρη και τι εγγεγραμμένη γωνία; Ποια σχέση τις συνδέει; Β. Πότε ένα πολύγωνο λέγεται κανονικό; Ποιος είναι ο τύπος υπολογισμού της

κεντρικής του γωνίας;

ΑΣΚΗΣΕΙΣ 1. Α. Να λυθούν οι εξισώσεις: α) 5χ – 2(χ-1) = 3χ

β) 6

12

23

2 +−=

−+

− xxxx

Β. Να βρείτε τις κοινές λύσεις των ανισώσεων: 2χ – 4 > 3χ - 8 και 3(χ-1) – 2(1-χ) ≥ 5 - 4(χ-2) 2. Η διάμετρος ενός κύκλου είναι 8 cm. Να βρείτε: Α. Την ακτίνα του κύκλου και την περίμετρο του. Β. Το εμβαδόν του κυκλικού δίσκου.

3. Δίνεται ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ με Α=90ο και πλευρά ΒΓ=20cm. Αν ημΒ=108 ,

να βρείτε:

Α. Το συνΓ. Β. Την εφΓ. (Να απαντήσετε σ’ ένα από τα δύο θέματα θεωρίας και σε δύο από τα τρία θέματα των ασκήσεων) Καλή Επιτυχία

ΓΡΑΠΤΕΣ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΜΑΙΟΥ- ΙΟΥΝΙΟΥ 2006-2007 ΣΤΟ ΜΑΘΗΜΑ ΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΘΕΜΑΤΑ Θεωρία 1η α.) Να γράψετε πως ορίζονται οι τριγωνομετρικοί αριθμοί οξείας γωνίας (και σχήμα) β.) Να γράψετε πως μεταβάλλεται το ημίτονο, το συνημίτονο και η εφαπτόμενη οξείας γωνίας όταν μεταβάλλεται η οξεία γωνία. Θεωρία 2η α.) Να γράψετε πότε δύο ποσά λέγονται ανάλογα και πότε αντιστρόφως ανάλογα. β.)Να γράψετε την συνάρτηση με την οποία εκφράζονται δύο ποσά που είναι ανάλογα και την συνάρτηση με την οποία εκφράζονται δύο ποσά που είναι αντιστρόφως ανάλογα καθώς και τι ξέρετε για τις γραφικές παραστάσεις των συναρτήσεων αυτών. Άσκηση 1η

α.) Να λυθούν οι εξισώσεις: ( ) y64y

3y212,013x21x2 =

+−

−−=+−− .

β.) Για και 3x −= 2y = να υπολογισθούν οι τιμές των παραστάσεων:

( ) ( ) ( )y3x23yx46B,y1x4yxyxA

5023 ++−=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−⋅++−+=

−

)

Άσκηση 2η Σε τρίγωνο ΑΒΓ οι γωνίες είναι ανάλογες με τους αριθμούς 9 , 6 , 3 αντίστοιχα. α.) Να αποδείξετε ότι το τρίγωνο είναι ορθογώνιο με .

Γ,B,A090A =

β.) Αν και να βρείτε τις άλλες δύο πλευρές του τριγώνου και το ύψος που αντιστοιχεί στην υποτείνουσα.

cm4AB = 5,030ημ 0 =

Άσκηση 3η Γ Έστω κύκλος ( και διάμετρος αυτού ρ,O ABΑν Γ ένα σημείο του κύκλου τέτοιο ώστε το τόξο ο74ΓA =

) , η χορδή 6m6ΑΓ = o74 m

και η χορδή . m8ΓB =α.) Να βρείτε τις γωνίες του τριγώνου και να δικαιολογήσετε την Α 0 Β ΓAB απάντησή σας. β.) Να υπολογίσετε το μήκος του κύκλου και το εμβαδόν του. Από τις δύο θεωρίες θα διαλέξετε να γράψετε την μία και από τις τρεις ασκήσεις θα διαλέξετε να γράψετε τις δύο.

m8

Οι απαντήσεις να γραφούν στα φύλλα απάντησης. Διάρκεια εξέτασης 2 ώρες.

ΓΡΑΠΤΕΣ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΠΕΡΙΟΔΟΥ ΜΑΪΟΥ – ΙΟΥΝΙΟΥ 2007

ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΟΝΟΜΑΤΕΠΩΝΥΜΟ ……………………………………………….…..

Α ΘΕΩΡΙΑ ΘΕΜΑ 1ο

α) . Να διατυπώσετε την πρόταση που λέγεται Πυθαγόρειο θεώρημα .

β) .Να συμπληρώσετε (στο γραπτό σας ) τις παρακάτω ισότητες που προκύπτουν από το Πυθαγόρειο θεώρημα από το διπλανό σχήμα

ΑΔ2=ΑΒ2 ………….

ΓΔ2= …………….

ΒΓ2= ………….. ΘΕΜΑ 2ο 1. Πότε μια γωνία λέγεται:

• Εγγεγραμμένη • Επίκεντρη

2. Ποια είναι η σχέση μεταξύ μιας εγγεγραμμένης γωνίας και της αντίστοιχης επίκεντρης

• Δυο εφεξής και παραπληρωματικές γωνίες • Δυο Κατακορυφήν γωνίες

3.Πότε δύο τόξα των 60ο είναι ίσα Β ΑΣΚΗΣΕΙΣ

ΑΣΚΗΣΗ 1η

Αν 0 1 2 3 4 5 6( 1) ( 1) ( 1) ( 1) ( 1) ( 1) ( 1)= − + − + − + − + − + − − −xνα υπολογίσετε τις τιμές των παραστάσεων

3 22 3 3 2 ,2 3− −= ⋅ − ⋅ + −x x

x xΑ2

και

2 22 ( 2)− −= − − + xΒ

ΑΣΚΗΣΗ 2η Να λύσετε τις ανισώσεις

• 5 9+ 7 (x 3) 2 (3x )⋅ + ≥ ⋅ + • x x 1 x 5

3 2 6+ −

− >

και στη συνεχεία να βρείτε τις κοινές λύσεις τους

Ποιοι από του αριθμούς 3 , -2 , 5 είναι κοινές λύσεις; ΑΣΚΗΣΗ 3η

Δίνεται o κύκλος (του διπλανού σχήματος) με κέντρο Ο και ακτίνα 2cm Να υπολογίσετε

τις γωνίες x∧

, ψ ,ω ,

∧ ∧

Το μήκος του κύκλου

Το εμβαδόν του κύκλου

ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΗ : Να απαντήσετε:

σε ένα (1) από τα δυο (2) θέματα θεωρίας και σε δυο (2) από τις τρεις (3) ασκήσεις .

ΚΑΛΗ ΕΠΙΤΥΧΙΑ

ΟΝΟΜΑΤΕΠΩΝΥΜΟ ……………………………………………….…..

Α ΘΕΩΡΙΑ

ΘΕΜΑ 1ο

I. Να διατυπώσετε το Πυθαγόρειο θεώρημα . II. Να σχεδιάσετε ένα ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ με 090=Γ και να γράψετε γι΄

αυτό το Πυθαγόρειο θεώρημα ΘΕΜΑ 2ο

I. Αν ΑΒΓ ορθογώνιο τρίγωνο και ω μια οξεία γωνία του, να γράψετε με τι ισούται το ημω , συνω και εφω

II. Αφού σχεδιάσετε το κατάλληλο σχήμα, να υπολογίσετε τους τριγωνομετρικούς αριθμούς των 45ο.

Β ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΑΣΚΗΣΗ 1η

I. Να λύσετε την εξίσωση 21

5)1x(2

101x4

53x2

−+

=−

−−

II. Για χ=-1 , να βρείτε την αριθμητική τιμή της παράστασης

( ) ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−+−−+−⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛−

⋅⎟⎠⎞

⎜⎝⎛= − 2

60x2 3

444xx

x4

84K

83x

ΑΣΚΗΣΗ 2η

Στο διπλανό σχήμα είναι ΑΓ=10cm.BO=OΓ και τόξο . Να βρείτε:

060=ΑΓ

I. Τις γωνίες του τριγώνου ΑΒΓ

II. Το εμβαδόν του τριγώνου ΑΒΓ

III. Το εμβαδόν της γραμμοσκιασμένης επιφάνειας

ΑΣΚΗΣΗ 3η

Δίνεται κύκλος (Κ,6cm) και μια εγγεγραμμένη γωνία ΑΓΒ=60ο . Να υπολογίσετε

I. :το μήκος του τόξου ΑΒ

II. Το μήκος του κύκλου

III. Το εμβαδόν του κύκλου

ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΗ : Να απαντήσετε σε ένα (1) από τα δυο (2) θέματα θεωρίας και σε δυο (2) από τις τρεις (3) ασκήσεις .

ΚΑΛΗ ΕΠΙΤΥΧΙΑ

Γραπτές ανακεφαλαιωτικές εξετάσεις περιόδου Μαΐου-Ιουνίου στα Μαθηματικά Ονομ/μο μαθητή :…..…………………………

Θεωρία

να επιλέξετε ένα από τα δύο θέματα Θεωρίας.

Θέμα 1ο Α) Σε τρίγωνο ΑΒΓ να διατυπώσετε το Πυθαγόρειο θεώρημα αφού κάνετε και το αντίστοιχο σχήμα. Β) Όταν το τετράγωνο της μεγαλύτερης πλευράς ενός τριγώνου είναι ίσο με το άθροισμα των τετραγώνων των δύο άλλων πλευρών του τότε το τρίγωνο είναι οξυγώνιο , ορθογώνιο ή αμβλυγώνιο; Να αιτιολογήσετε την απάντησή σας. Γ) Τι λέγεται τετραγωνική ρίζα ενός θετικού αριθμού; Να δώσετε ένα παράδειγμα.

Θέμα 2ο

Α) Πότε δύο ποσά θα λέγονται ανάλογα; Β) Πότε δύο ποσά θα λέγονται αντιστρόφως ανάλογα; Γ) Τα ποσά χ.ψ συνδέονται με τον αριθμό α με τη σχέση

α) χαψ •= ή β) χαψ =

σε ποια από τις δύο περιπτώσεις θα τα ονομάζουμε ανάλογα και σε ποια αντιστρόφως ανάλογα;

Ασκήσεις

να επιλέξετε δύο από τα τρία θέματα Ασκήσεων.

Άσκηση 1η

Στο διπλανό σχήμα οι ΑΒ και ΓΔ είναι κάθετες , Α

Β

Γ ∆Ο40

30

80

100

xz

ακόμη ΑΟ=40cm ΟΔ=80cm,ΔΒ=100cm, και ΟΓ=30cm . Να υπολογίσετε τις ΑΓ και ΟΒ Καθώς και τους τριγωνομετρικούς αριθμούς : ημχ= ; συνz= ;

Άσκηση 2η Να λύσετε την εξίσωση:

67302

220 χχχ ⋅

+=⋅+−

Άσκηση 3η

Κ

Γ

Β

Α

∆x

140

80

40

w

Στο διπλανό σχήμα τα σημεία Α.Β.Γ.Δ ορίζουν τα τόξα

ΑΒ∩

=400 ΒΓ =800 . ∩

Να υπολογίσετε την εγγεγραμμένη γωνία X, και την επίκεντρη γωνία W. Να δικαιολογίσετε την απάντησή σας.

ΘΕΜΑΤΑ ΓΡΑΠΤΩΝ ΑΝΑΚΕΦΑΛΑΙΩΤΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ

ΠΕΡΙΟΔΟΥ ΜΑΪΟΥ-ΙΟΥΝΙΟΥ 2007 ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΗΣ B΄ ΤΑΞΗΣ

Να συμπληρώσετε τις παρακάτω ισότητες που αναφέρονται στους ορισμούς και τις ιδιότητες των δυνάμεων με βάση ρητό και εκθέτη ακέραιο ( κ ≥ 2 και α,β≠0 όπου απαιτείται ) :

Ο Ρ Ι Σ Μ Ο Ι Ι Δ Ι Ο Τ Η Τ Ε Σ

=⋅α μαν=α0

=α1 =α μαν :

=ακ =⋅ βναν

=−α κ=

βναν

( ) =α μν

Να διατυπώσετε λεκτικά α) Το Πυθαγόρειο θεώρημα. β) Το αντίστροφο του Πυθαγορείου θεωρήματος.

13

22

1+=

−+

+ χχχΝα λύσετε την εξίσωση:

Στο διπλανό σχήμα να υπολογίσετε το ύψος υ του δένδρου.

Να υπολογίσετε α) το εμβαδόν των κυκλικών δίσκων του σχήματος. β) το εμβαδόν του γραμμοσκιασμένου τμήματος . Δίνεται η ακτίνα του εξωτερικού και διάμετρος του εσωτερικού κύκλου ΚΒ = 4 cm

Β30o

Α

Γ

υ

12 m

Κ Α Β Παρατήρηση: Να απαντήσετε σε ένα θέμα θεωρίας και σε δύο θέματα ασκήσεων.

Γραπτές ανακεφαλαιωτικές εξετάσεις περιόδου Ιουνίου 2007 ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ

ΘΕΩΡΙΑ ΘΕΜΑ 1ο α) Δώστε τον ορισμό του ημίτονου και του συνημιτόνου μιας οξείας γωνίας ω ενός ορθογωνίου τριγώνου ΑΒΓ ( A =90o) β)Με τη βοήθεια κατάλληλου τριγώνου να υπολογίσετε τους τριγωνομετρικούς αριθμούς ημ60o, συν60o, εφ60o ΘΕΜΑ 2ο α) Τι ονομάζεται επίκεντρη και τι εγγεγραμμένη γωνία σε κύκλο; β) Ποιο πολύγωνο λέγεται κανονικό;

γ) Να αποδείξετε ότι το μήκος τόξου μ μοιρών δίνεται από τον τύπο S= ο

οπρμ180

.

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΑΣΚΗΣΗ 1η: Να βρείτε τις κοινές λύσεις των ανισώσεων:

23

122

1<

++

− xx και 12)7(3)4(2 +≤−−− xxx

ΑΣΚΗΣΗ 2η Στο παρακάτω ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ το ΑΔ είναι υψος. να υπολογίσετε τα μήκη x, y και ω.

ΑΣΚΗΣΗ 3η Στο διπλανό σχήμα το Ο είναι το κέντρο του κύκλου, OA=4cm και η γωνία ΓΔΒ=30 . Να βρείτε: o

α) Το εμβαδον του κύκλου β) το μήκος του τόξου ΓΒ γ) το εμβαδο του κυκλικού τομέα ΑΟΓ

ΤΑΞΗ Β ΜΑΘΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΩΡΙΑ ΘΕΜΑ 1ον

α) Αν το γινόμενο δυο αριθμών είναι αρνητικός αριθμός και έχουν την ίδια απόλυτη τιμή τι έχετε να πείτε γι το άθροισμα τους και το πηλίκο τους ; .Να δικαιολογήσετε την απάντηση σας .

β) Να συμπληρώσετε τις ταυτότητες ι) αναμ =

ιι) αν:αμ = με ν,μ φυσικούς αριθμούς ιιι) (αν)μ=

ΘΕΜΑ 2ον Για οξεία γωνία ορθογωνίου τριγώνου ΑΒΓ α)Δώστε τον ορισμό του ημίτονου β)Πως μεταβάλετε το ημίτονο γ)Μεταξύ ποιων αριθμών βρίσκετε το ημίτονο

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑ 1ον α) Να λύσετε την εξίσωση 23Χ=-24 β) Για την τιμή του χ που βρήκατε στο α ) ερώτημα να υπολογίστε την παράσταση 8χχ-1+4χχ+2χχ-1

ΘΕΜΑ 2ον Να λύσετε τις εξισώσεις α) 2(χ+8)-4=3(3-χ)+8

β)4

3−x -23

)2( x− =3-5

)3(2 −x

ΘΕΜΑ 3ον Δίδεται κύκλος (Ο,3cm) και εγγεγραμμένη γωνία ΑΚΒ=30Ο.Να υπολογίσετε

α) το τμήμα ΑΒ β)το μήκος του τόξου ΑΒ Από τα δυο θέματα θεωρεία να γράψετε το ένα και από τις τρεις ασκήσεις τις δυο ΚΑΛΗ ΕΠΙΤΥΧΙΑ

ΤΑΞΗ Β ΔΕΥΤΕΡΑ ΜΑΘΗΜΑ : ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α) Θ Ε Ω Ρ Ι Α 1ο ΘΕΜΑ α)Πώς προσθέτουμε δύο ρητούς; β)Πώς πολ/με δύο ρητούς; γ)Δύο αριθμοί έχουν γινόμενο θετικό και άθροισμα αρνητικό. Τι συμπεραίνετε για τα πρόσημά τους; 2ο ΘΕΜΑ α)Τι είναι το ακτίνιο (rad); β)Πόσα ακτίνια έχει ένας κύκλος; γ) Αν S=πρμ/180 και Εκ τομέα= πρ2μ/360 να αποδείξετε ότι Εκ.τομέα= ½ S.ρ Β)ΑΣΚΗΣΕΙΣ 1η ) Αν α=5[7-(-1)]+[6:(-4)](-8)-[(-6) 4-4]: (-7)

και [ ]20

22

31)2()2(

−+−−−−−

=β να βρεθεί το α-β

2η ) Σε ένα ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ ( ) οι κάθετες πλευρές του β, γ είναι ανάλογες των αριθμών 3 και 4 αντίστοιχα. Αν η περίμετρος του τριγώνου είναι 36cm, να βρεθούν τα μήκη των πλευρών του τριγώνου.

ο90=Α∧

3η) Να λυθεί η ανίσωση:

3

432

161

9)1(2 +

−+>+−− χχχχ

.

ΓΡΑΠΤΕΣ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΠΕΡΙΟΔΟΥ ΜΑΙΟΥ – ΙΟΥΝΙΟΥ 2007

ΣΤΟ ΜΑΘΗΜΑ ΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΤΗΣ Β΄ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΘΕΩΡΙΑ

ΘΕΜΑ 1ο α/ Πότε μια γωνία λέγεται i/ Επίκεντρη , ii/ Εγγεγραμμένη; β/ Ποια η σχέση επίκεντρης και εγγεγραμένης γωνίας που βαίνουν στο ίδιο τόξο; ΘΕΜΑ 2ο α/Σε ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ με γων Α=90ο να ορίσεις τους τριγωνομετρικούς αριθμούς της γωνίας Β β/ Όταν μεγαλώνει μια γωνία , πως μεταβάλλονται το ημίτονο και το συνημίτονο της γωνίας;

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑ 1ο

α/Να λυθεί η εξίσωση: 1232

312

+=−

−− xxx

β/ Αν χ η λύση της εξίσωσης , να αποδειχθεί ότι : (χ4 + 32)1-x = 125

ΘΕΜΑ 2ο

Στο παραπάνω σχήμα το ευθύγραμμο τμήμα ΑΒ είναι εφαπτόμενο του κύκλου. Δίνεται ότι

Α

Β

Γ Ο

ΟΑ=ρ=10 m , OB=2ρ=20 m

Αν είναι γνωστό ότι ημ30ο = 12

και συν30ο = 32

, να υπολογίσεις

α/ Τις γωνίες ΑΒΟ και ΑΟΒ β/ Το μήκος του τόξου ΑΓ γ/ Το εμβαδόν του επιπέδου χωρίου μεταξύ του τόξου ΑΓ και των ευθυγράμμων τμημάτων ΑΒ και ΒΓ ΘΕΜΑ 3ο Αν είναι α = (-1)2 +(-1)3 + (-1)4 + (-1)5 + (-2)1 +(-1)0

β= 45

533

52

43

+−− , και γ = α + β

i/ Να υπολογίσεις την αριθμητική τιμή των α, β , γ .

ii/ Να υπολογίσεις την αριθμητική τιμή της παράστασης Α = γβαβαγαβ++

++ 7)(+

ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΗ Να γράψετε ένα από τα δύο θέματα της θεωρίας και δύο από τα τρία θέματα των ασκήσεων

ΘΕΩΡΙΑ

1. Να διατυπώσετε το Πυθαγόρειο Θεώρημα και να γράψετε τη σχετική

μαθηματική σχέση. (Σχήμα) 2. Τι γνωρίζετε για τη γραφική παράσταση της συνάρτησης xay ⋅= και τι

για τη γραφική παράσταση της συνάρτησης bxay +⋅= ( x πραγματικός αριθμός )

ΑΣΚΗΣΕΙΣ

1 α.) Υπολογίστε την τιμή της παράστασης: ( ) ( )10033 1312 −⋅++− . β.) Υπολογίστε την τιμή του κλάσματος:

( ) ( ) ( )

( ) ( )10043

25210

1312

31231

34

−⋅++−

−−−⋅−−⎟⎠⎞

⎜⎝⎛−⋅⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛−

−

.

2 Να βρείτε τις κοινές ακέραιες λύσεις των ανισώσεων:

52127 +>+ xx

61

21

321 xxx −

−>−

−−

.

3 Στο τρίγωνο ΑΒΓ, Α∆ είναι το ύψος του

( =ορθή) , ΑΒ=10cm, Β∆=8cm ∧

Δ

και είναι . ω=ΔΑΓ=ΑΒΔ∧∧

Να υπολογιστούν : α.) η Α∆ . β.) η ∆Γ.

A

10cm

ω

ω

B ΓΔ8cm

Να απαντήσετε σε ένα θέμα από τη θεωρία και σε δυο ασκήσεις.

Θέματα Γραπτών Προαγωγικών Εξετάσεων Περιόδου Ιουνίου 2007 στα ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ

ΤΑΞΗ Β ΘΕΩΡΙΑ

1ο ΘΕΜΑ: α) Πως πολλαπλασιάζουμε:

i) δύο ετερόσημους ακεραίους και ii) δυο αρνητικούς ακεραίους; β) Να συμπληρωθούν οι ιδιότητες του πολλ/σμού: i) α.β = …… ii) 0.α = ……..

iii) 1.α = …. iv) ( α . β ).γ = ……..….. v) α. (β+ γ) = ………. vi) α.β –α.γ = ……… γ) Πότε δύο ακέραιοι λέγονται: i) αντίστροφοι και ii) αντίθετοι

2ο ΘΕΜΑ:

^α) i) Πότε ένα πολύγωνο λέγεται κανονικό; ii) Ποιος τύπος δίνει την κεντρική γωνία ω ενός κανονικού ν-γώνου;

β) Να γράψετε τους τύπους που μας δίνουν: i) Το μήκος Γ κύκλου και ii) Το εμβαδόν Ε κυκλικού δίσκου, επεξηγώντας κάθε σύμβολο.

γ) Γράψτε τους τύπους που μας δίνουν: i) Το μήκος S τόξου μο και ii) Το μήκος Ε κυκλικού τομέα.

ΑΣΚΗΣΕΙΣ

1η: Να βρείτε τις κοινές λύσεις των ανισώσεων και να τις παραστήσετε στον άξονα:

14

13

326

−−

≤−

−xxx

7x – 3 > 3 (x - 2 ) + 2.( 3 – x ) ∧ 2η: Στο διπλανό ορθογώνιο τριγ. ΑΒΓ ( Α = 1 ) είναι:

ΑΒ = 12 cm, ΒΓ = 13cm, ΑΔ: ύψος, ΔΑΓ = 42ο. Να υπολογισθούν: i) Η πλευρά ΑΓ = ; ii) Το ύψος ΑΔ = ; Δίνονται: ημ 420 = 0,669 συν 42ο = 0,743 εφ 42ο = 0,900

ΓΔ

Α Β 3η: Στο διπλανό σχήμα είναι: ΒΔ = 40ο και ΓΕ = 64ο

^ ^ ^ Να υπολογισθούν οι γωνίες: i) χ = ; ii) ψ = ; iii) ω = ;

ΣΗΜΕΙΩΣΗ: Απαντάτε σε 1 θέμα θεωρίας και λύνετε 2 ασκήσεις.

•Α

ω

64ο

Δ

Ε Γ

χ

ψΟ

40Ο Β

ΓΡΑΠΤΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΠΕΡΙΟΔΟΥ ΜΑΙΟΥ ΙΟΥΝΙΟΥ 2007

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΑΞΗ Β

ΘΕΩΡΙΑ

ΘΕΜΑ 1ο α) Να συμπληρώσετε τις ισότητες του ορισμού δύναμης με βάση ρητό και εκθέτη ακέραιο: i) … ii) iii) ιv) =0α ...1 =α ...=να ...=−να β) Να συμπληρώσετε τις ιδιότητες των δυνάμεων: i) ii) .... =νμ αα ...: =νμ αα

iii) iv).... =νν βα ...=ν

ν

βα v) ( ) ...=

νμα

ΘΕΜΑ 2ο α) Να διατυπώσετε το Πυθαγόρειο Θεώρημα ( σχήμα και τύπος) β) Σημειώστε Σ (σωστό) ή Λ (λάθος) σε κάθε μια από τις παρακάτω ισότητες i) 222 γβα =+ii) 222 γβα −=iii) 222 βαγ +=iv) 222 αγβ −=v) 222 2 αγβ −=

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑ 1ο Να υπολογίσετε την τιμή της παράστασης Α= ( ) ( )[ ]χψψχψχχ −−÷−−−− 22232 αν χ=2 και ψ= -1 ΘΕΜΑ 2ο Να βρείτε τις κοινές λύσεις των ανισώσεων ( )χχ −− 32 < ( 15 ÷ )χ και

62111

23

312χ χ ÷

÷<÷

+− χ

ΘΕΜΑ 3ο Δίνονται τα ημικύκλια με διαμέτρους ΑΒ=6cm, ΒΓ=2cm και ΑΓ. Να υπολογίσετε το εμβαδόν του γραμμοσκιασμένου χώρου.

ΤΑΞΗ Β΄ Θέματα προαγωγικών εξετάσεων περιόδου Μαΐου- Ιουνίου

στα Μαθηματικά ΘΕΩΡΙΑ

Θέμα 1. α) Να διατυπώστε το πυθαγόρειο Θεώρημα και να γράψετε την μαθηματική σχέση αυτού

για ένα τρίγωνο ΚΛΜ όταν . 90=Α∧

β) Τα μήκη των πλευρών ενός τριγώνου είναι 5cm, 13cm, 12cm. Να εξετάσετε αν το

τρίγωνο είναι ορθογώνιο. Δικαιολογείστε την απάντησή σας. Πού στηριζόσαστε;

Θέμα 2.

α) Να δοθεί ο ορισμός της νιοστής δύναμης ενός ρητού αριθμού α για 1⟩ν . Τι γίνεται για

0=ν και 1=ν ;

β) Πώς μπορούμε να καθορίσουμε το πρόσημο της δύναμης ; να

γ) Να συμπληρωθούν οι ισότητες :

, K=⋅ νμ αα K=μ

μ

βα , , K=−να ( ) K=

νμα

ΑΣΚΗΣΕΙΣ 1. Να δείξετε ότι οι αριθμοί α, β είναι αντίστροφοι όταν

( ) ( ) ( )[ ] ( )5:1223 833 −−⋅−−+−=a

( ) ( )⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡−+⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛−

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡−−⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛=

−0

24

2

1332:1

23β

2. Να βρεθούν οι κοινές λύσεις των ανισώσεων

41

3432

323

−Χ

⟩−Χ

−−Χ και ( ) ( )123132 +Χ⟩Χ−+Χ

(Να δοθεί η λύση και στον άξονα) 3.

Στο διπλανό ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ είναι ΑΒ=8cm,

ΑΓ=6cm. Με διάμετρο την ΒΓ έχει γραφεί ημικύκλιο. Να

υπολογιστεί η περίμετρος και το εμβαδό της

γραμμοσκιασμένης επιφάνειας.

Οι εισηγητές

Γραπτές προαγωγικές εξετάσεις περιόδου Μαΐου-Ιουνίου 2007 ΜΑΘΗΜΑ: Μαθηματικά ΤΑΞΗ: β΄ Γυμνασίου

ΘΕΩΡΙΑ ΘΕΜΑ 1ο: α) Γράψτε τον ορισμό της δύναμης ρητού αριθμού με εκθέτη φυσικό. β) Γράψτε συμπληρωμένες τις παρακάτω ιδιότητες των δυνάμεων:

i.μ να .α = … ii. … iii. … iv. μ να :α = ( )νμα = ( )να.β = … v.

να =β⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠ … vi. -να = …

ΘΕΜΑ 2ο: Να διατυπώσετε και να γράψετε τη σχέση του Πυθαγορείου θεωρήματος για ορθογώνιο

τρίγωνο . ΑΒΓ Α=1∧⎛ ⎞⊥⎜ ⎟⎜ ⎟

⎝ ⎠ΑΣΚΗΣΕΙΣ

1. Αν να υπολογιστεί η τιμή της παράστασης: . x=4 ( )x-3 x-4 x-5 2-xΑ=4.2 -3.3 -6.3 + 8-3x .2

2. Να βρεθούν οι κοινές ακέραιες λύσεις των ανισώσεων:

και -1x-1 x-2 3

≥ ( )4-2 x-1 >x+3

3. Ο εγγεγραμμένος κύκλος του σχήματος έχει μήκος . Να υπολογίσετε: Γ=10πcm i) την ακτίνα του κύκλου ii) το μήκος της χορδής ΑΒiii) το εμβαδόν της γραμμοσκιασμένης επιφάνειας.

Α

Β Γ

∆

Λ

Μ

Ν

κ

ΓΡΑΠΤΕΣ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΜΑΪΟΥ – ΙΟΥΝΙΟΥ

ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΑΞΗ : Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

Α. ΘΕΩΡΙΑ Θέμα 1ο

i. Πώς υπολογίζουμε το γινόμενο πολλών παραγόντων; ii. Αν οι αριθμοί α, β είναι αντίστροφοι και γ , δ είναι αντίθετοι τι πρόσημο έχει

το γινόμενο α*β*γ*δ; Θέμα 2ο

i. Τι ονομάζουμε τετραγωνική ρίζα θετικού αριθμού α; ii. Να χαρακτηρίσετε με Σωστό ή Λάθος τα παρακάτω :

Α) ( a )2 = α

Β) β 22 =a τότε το α=β

Β. ΑΣΚΗΣΕΙΣ 1η :

i. Να λυθεί η εξίσωση : 23

617

22

321

−+

−=−− xxx

ii. Το χ = 4 είναι ρίζα της παραπάνω εξίσωσης; 2η :

i. Αν Α=-3 +2*[-3+(-2+5)]-[-22 + (-3)3] : (-2)0 και

Β=(-32− )-5 * (

32 )-7 * (1-

21−

)-12 να υπολογιστούν οι παραστάσεις Α και Β.

3η : Δίνεται κύκλος διαμέτρου ΒΓ με ^Γ =30ο και ΑΒ = 5cm. Να βρεθεί :

i. Η ακτίνα του κύκλου.

ii. Το μήκος του τόξου . ∩

ΑΓiii. Η παράσταση (ημΒ)2 + 4*(συνΒ)-1 – (εφΒ)2

Α Β Ο Γ

ΣΧΟΛΙΚΟ ΕΤΟΣ 2006‐07 ΤΑΞΗ Β’

ΘΕΩΡΙΑ

ΘΕΜΑ 1Ο : α) Πότε δύο ποσά λέγονται ανάλογα;

β) Αν δύο ποσά χ, ψ είναι ανάλογα τότε ποια είναι η συνάρτηση που τα συνδέει και τι παριστάνει η συνάρτηση αυτή στο σύστημα αξόνων;

ΘΕΜΑ 2Ο : α) Γράψτε τον αριθμό της δύναμης ρητού αριθμού με εκθέτη φυσικό αριθμό αν

β) Να συμπληρώσετε τις παρακάτω ιδιότητες δυνάμεων:

Ι) αν.αμ= ΙΙ) = ΙΙΙ) (αν)μ=

ΙV) (α.β)ν= V) α0= VΙ) α‐ν=

ΑΣΚΗΣΕΙΣ

1) Δίνεται ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ με =900 και ΑΓ= 4 cm, ΑΒ=3 cm

και ΒΓ= 5 cm. α) Να υπολογίσετε τους τριγωνομετρικούς αριθμούς της γωνίας Β. β) Να υπολογίσετε την τιμή της παράστασης

Α = ‐2007 ( εφΒ)2006 1

2) α) Να λυθεί η εξίσωση : 2Χ= +

β) Για την τιμή του Χ που λύνει την προηγούμενη εξίσωση να βρεθεί η τιμή της παράστασης: Α= Χ3 2007X 2007‐Χ

3) Στα παρακάτω σχήματα να βρεθεί η πλευρά Χ των τριγώνων ΑΒΓ και ΚΛΜ αν είναι γνωστό ότι η ακτίνα του κύκλου είναι ρ=5cm

Μ Β Χ

2 Χ 6

A 3 Γ Κ ρ Ο ρ Λ

3

1

Θέματα

Γραπτών προαγωγικών εξετάσεων περιόδου ΙΟΥΝΙΟΥ

Στα Μαθηματικά – τάξη Β’

Α’ ΘΕΩΡΙΑ

1 α) Δώστε τον ορισμό ημιτόνου – συνημίτονου οξείας γωνίας ορθογωνίου τριγώνου (σχήμα).

β) Να δικαιολογήσετε γιατί το ημίτονο και το συνημίτονο είναι θετικοί αριθμοί μικρότεροι της μονάδας.

2 α) Δώστε τον ορισμό της δύναμης αν, με βάση το ρητό αριθμό α και εκθέτη τον φυσικό αριθμό ν>1

β) Να συμπληρώσετε τις παρακάτω ισότητες:

αν: αμ=…, (αν)μ=…,

γ) Να χαρακτηρίσετε Σωστό ή Λάθος τις παρακάτω ισότητες τις παρακάτω ισότητες:

, ,

Α’ ΑΣΚΗΣΕΙΣ

1 Να λυθεί η εξίσωση

x‐

2 Δίνεται κύκλος κέντρου Ο και τρίγωνο ΑΒΓ εγγεγραμμένο στον κύκλο, όπου η ΒΓ είναι διάμετρος του κύκλου και Α σημείο του κύκλου, με ΑΒ=8cm και ΑΓ=6cm. Να βρεθούν το μήκος του κύκλου και το εμβαδόν του κυκλικού δίσκου.

3 Να υπολογισθεί η τομή της παράστασης:

αν α=1 και β=‐1

ΓΡΑΠΤΕΣ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΜΑΪΟΥ-ΙΟΥΝΙΟΥ 2007 ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ

Α. ΘΕΩΡΙΑ Θέμα 1ο α. Πότε δυο ποσά λέγονται ανάλογα; β. Αν δύο ποσά είναι ανάλογα τότε οι τιμές ψ του ενός με ποια σχέση εκφράζονται ως συνάρτηση των τιμών χ του άλλου και ποια είναι η γραφική της παράσταση; γ. Στις παρακάτω προτάσεις να γράψετε τον αριθμό της ερώτησης και δίπλα σωστό (Σ), αν η πρόταση είναι σωστή και λάθος (Λ), αν η πρόταση είναι λανθασμένη. i) Το μήκος ενός υφάσματος και η τιμή του δεν είναι ποσά ανάλογα ii) Η ηλικία ενός αγοριού σε έτη και το ύψος του σε cm είναι ανάλογα iii) Η περίμετρος ενός τετραγώνου και η πλευρά του είναι ανάλογα Θέμα 2ο α. Να γράψετε με πόσο ισούται το μήκος: i)κύκλου ακτίνας ρ ii) τόξου μο ενός κύκλου ακτίνας ρ β. Τι είναι το ακτίνιο; Με πόσο ισούται το μήκος S ενός τόξου α rad κύκλου ακτίνας ρ; Β. ΑΣΚΗΣΕΙΣ Θέμα 1ο Να βρεθούν οι κοινές λύσεις των ανισώσεων 3(χ-3) + 2χ > 7χ – 13

32+χ -

21+χ < χ +

613 +χ

Θέμα 2ο Σε ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ (Α=90ο) είναι ΑΒ=3cm και ΒΓ=5cm. Να βρεθούν: i) Η πλευρά ΑΓ ii) Οι τριγωνομετρικοί αριθμοί της γωνίας Β(ημΒ, συνΒ, εφΒ) Θέμα 3ο Να υπολογίσετε τον όγκο ενός κυλίνδρου του οποίου το ύψος είναι 10cm (υ=10cm) και η ακτίνα της βάσης του είναι το

51 του ύψους του.

Παρατήρηση: από τα δύο θέματα θεωρίας να απαντήσετε στο ένα και από τα τρία θέματα ασκήσεων στα δύο.

Τάξη: Β Γυμνασίου Μάθημα: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ

ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΠΕΡΙΟΔΟΥ ΜΑΪΟΥ- ΙΟΥΝΙΟΥ 2007

ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑ Θέμα 1 α) Να διατυπωθεί το Πυθαγόρειο θεώρημα. Θέμα 2 α)Να δοθεί ο ορισμός της επίκεντρης γωνίας και της εγγεγραμμένης γωνίας ; Ποια είναι η μεταξύ τους σχέση; ΑΣΚΗΣΕΙΣ Θέμα 1

A) Να υπολογίσετε τις παραστάσεις:

Α= (-1)-6 + (-1)-3 + (-1)0+ (-1)3+ (-1)6

Β=(-2+3)2 + 32(-21 )3 + (-3-1)4

B) Να δείξετε ότι η τιμή της παράστασης Α= - (-8+ψ+χ) + [ χ - (1+χ) ] – [- (χ +ψ)+ 10 +χ ] +χ+6

είναι ανεξάρτητη από τους αριθμούς χ, ψ.

Θέμα 2

A) Να λύσετε την εξίσωση

57

24

22

2−χ=

−χ+

−χ+

−χ

Θέμα 3 Α) Σε ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ (Α ) είναι ΑΒ=8 cm και ΒΓ=10 cm. Να βρείτε το ημίτονο, το συνημίτονο και την εφαπτομένη των οξειών γωνιών του.

ο= 90

ΓΡΑΠΤΕΣ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΠΕΡΙΟΔΟΥ ΜΑΪΟΥ –ΙΟΥΝΙΟΥ 2007

ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΗΣ Β΄ΤΑΞΗΣ

Α.ΘΕΩΡΙΑ ΘΕΜΑ 1o

α)Τι ονομάζουμε δύναμη με βάση τον ρητό αριθμό α και εκθέτη τον φυσικό αριθμό ν >1 ; β)Με την βοήθεια των ιδιοτήτων των δυνάμεων να αντιστοιχίσετε κάθε στοιχείο της Στήλης Α με το ίσο του της Στήλης Β .Οι μ,ν είναι φυσικοί αριθμοί και οι α,β ρητοί διάφοροι του μηδενός .

Στήλη Α Στήλη Β 1.α . α μ ν i. νμ−a

2. ν

μ

αa ii.α νμ+

3. νμα )( iii.αμ.ν

4. νν βα . iv. ν

ν

βα

5.ν

βα⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ v.(α.β)ν

6. 0aΣτην στήλη Α περισσεύει μια γραμμή.

ΘΕΜΑ 2o α)Να διατυπώσετε την πρόταση που λέγεται Πυθαγόρειο Θεώρημα. β) Σε ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ με την γωνία Β=90ο να απαντήσετε Σωστό(Σ) ή Λάθος(Λ) για κάθε μια από τις παρακάτω προτάσεις :

I. ΑΒ2=ΑΓ2 –ΒΓ2 II. ΒΓ2=ΑΒ 2+ ΑΓ2

B.ΑΣΚΗΣΕΙΣ

ΑΣΚΗΣΗ 1η α)Να λύσετε την ανίσωση:

31

25

312 −

−−

++− xxxx

f

β)Να παραστήσετε το σύνολο των λύσεων πάνω στον άξονα των πραγματικών αριθμών και να βρείτε τον μεγαλύτερο ακέραιο αριθμό ο οποίος αποτελεί λύση της ανίσωσης.

ΑΣΚΗΣΗ 2η Μια κυλιόμενη σκάλα ΑΒ συνδέει το ισόγειο με τον 1ο όροφο ενός καταστήματος .Η κλίση της σκάλας είναι 44,5% και το μήκος της είναι 10m. Με την βοήθεια του πίνακα τριγωνομετρικών αριθμών καθώς και των τύπων οι οποίοι δίνουν τους τριγωνομετρικούς αριθμούς οξείας γωνίας ορθογωνίου τριγώνου, να βρείτε: α) πόσες μοίρες είναι η γωνία ΑΒΓ β) την οριζόντια απόσταση ΓΒ των σημείων Γ και Β γ) το ύψος ΑΓ του 1ου ορόφου του καταστήματος. Α

Β

Γ

ΑΣΚΗΣΗ 3η Στο παρακάτω σχήμα έχουμε μια μηχανή που κόβει (κουρεύει) το χόρτο σε κήπους .Να βρείτε : α)πόση επιφάνεια χόρτου κόβει σε μια πλήρη περιστροφή β)πόσες περιστροφές θα κάνει για να κόψει το χόρτο ενός ορθογώνιου κήπου με διαστάσεις 30m και 20,41m.

ΟΔΗΓΙΑ: Να απαντήσετε σε ένα από τα θέματα της θεωρίας και σε δύο από τα θέματα των ασκήσεων.

ΘΕΩΡΙΑ: ΘΕΜΑ 1Ο α. Να διατυπώσετε το Πυθαγόρειο θεώρημα β. Να διατυπώσετε το αντίστροφο του Πυθαγορείου θεωρήματος ΘΕΜΑ 2Ο

α. Αν ω είναι οξεία γωνία ορθογωνίου τριγώνου, να δώσετε τον ορισμό των: ημω, συνω, εφω. β. Πως μεταβάλλεται το ημω και το συνω μιας γωνίας όταν αυτή ελαττώνεται; ΑΣΚΗΣΕΙΣ:

1. Να υπολογίσετε τις τιμές των παραστάσεων :

α) Α= - 24 - [-3 -8 -( -3)3 ]+ 2 (-5)2 - 48 β) Β= - 5(α - 1) - (3 - α) + 2 (4 - 3α)

2. Να λυθεί η εξίσωση:

12

156

524

13 +=

−−

− xxx

3. Στο σχήμα η ΑΒ διάμετρος ΑΜ=6cm και ΜΒ=8cm.

i) Τι είδους γωνία είναι η και γιατί; ii) Να βρείτε την ακτίνα του κύκλου. iii) Να βρείτε το μήκος του κύκλου. iv) Να βρείτε την εμβαδόν του κυκλικού δίσκου.

AMB

Θ Ε Μ Α Τ Α

Θ Ε Ω Ρ Ι Α Θ Ε Μ Α 10 α) Τι ονομάζουμε δύναμη με βάση ρητό αριθμό και εκθέτη φυσικό; β) Ποιο το πρόσημο δύναμης με βάση αρνητικό αριθμό; γ) Να συμπληρωθούν οι ισότητες : αμ·αν = …… , (αμ)ν = …… , (α·β)ν = …… , α0 = …… , α-ν = …… Θ Ε Μ Α 20 α) Με την βοήθεια του πιο κάτω ορθογωνίου τριγώνου να ορισθούν οι τριγωνομετρικοί αριθμοί ημω , συνω , εφω . β) Πώς μεταβάλλεται το ημω και το συνω όταν η οξεία γωνία αυξάνεται ;

Α Σ Κ Η Σ Ε Ι Σ Θ Ε Μ Α 10 Να βρεθούν οι κοινές λύσεις των ανισώσεων ( αν υπάρχουν ) :

13

12−≤

− χχ και - 6

131

21 χχ −

≥+−

Θ Ε Μ Α 20 Στο πιο κάτω σχήμα το τετράγωνο ΑΓΔΕ έχει εμβαδό 16τ.μ. και η πλευρά ΒΓ = 5μ. (i) Να υπολογισθούν οι πλευρές ΑΓ και ΑΒ. (ii) Να βρεθούν τα ημΒ , συνΒ , και εφΒ .

Θ Ε Μ Α 30 Στο πιο κάτω σχήμα δίνονται : ΑΓ διάμετρος, γωνία ΒΑΓ = 500 , ΑΕ = ΔΓ τόξο ΔΓ = 700 . Να υπολογισθούν :

(i) Οι γωνίες : χ και ψ . (ii) Τα τόξα : ΑΕ και ΔΕ . (iii) Οι γωνίες : ω και ρ . (Να δικαιολογηθούν οι απαντήσεις )

ΓΡΑΠΤΕΣ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΠΕΡΙΟΔΟΥ ΜΑΪΟΥ – ΙΟΥΝΙΟΥ 2007

ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ

ΤΑΞΗ: Β΄

ΟΝΟΜΑΤΕΠΩΝΥΜΟ: ……………………………………………………ΗΜ/ΝΙΑ: 6/6/07

ΘΕΩΡΙΑ

1. Να διατυπώσετε το Πυθαγόρειο Θεώρημα με λόγια και με μαθηματική σχέση, επεξηγώντας

με σχήμα.

2. α) Με ποιον τρόπο υπολογίζουμε ένα γινόμενο πολλών παραγόντων;

β) Να συμπληρώσετε τους παρακάτω ορισμούς και ιδιότητες δυνάμεων ρητών με εκθέτη

ακέραιο.

………… ……….. =0α ...............=−να =⋅ νμ αα ............: =νμ αα

( ) .............=⋅ νβα ..................=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ν

βα ( ) ................=

νμα

ΑΣΚΗΣΕΙΣ

1. Να υπολογίσετε την αριθμητική τιμή των παρακάτω παραστάσεων:

( )1004

32

12157

555

−+⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ ++−−

⋅=Α και ( ) ( ) 1

10

3

432

262007

8882 −

−− ++

⋅⋅=Β

2. Να λύσετε την εξίσωση:

42

438

1216

3 xxxx−

−=

−+

−

3. Έστω ένας κυκλικός τομέας 45ο ακτίνας ρ=10 cm.

α) Να βρείτε το μήκος του τόξου και το εμβαδό του κυκλικού τομέα.

β) Αν θέλαμε να φτιάξουμε αυτό το σχήμα από χαρτόνι και χρησιμοποιούσαμε ένα

τετράγωνο χαρτόνι πλευράς 10 cm, πόσο χαρτόνι θα μας περίσσευε;

Όλα τα θέματα είναι ισοδύναμα.

Να απαντήσετε σε 1 από τα 2 θέματα θεωρίας και σε 2 από τις 3 ασκήσεις.

Η ΔΙΕΥΘΥΝΤΡΙΑ

Η ΕΙΣΗΓΗΤΡΙΑ

ΓΡΑΠΤΕΣ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΠΕΡΙΟΔΟΥ ΜΑΙΟΥ- ΙΟΥΝΙΟΥ 2007 ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΗΣ Β΄ΤΑΞΗΣ

ΘΕΩΡΙΑ 1: α)Τι ονομάζεται δύναμη με να α ρητό και ν φυσικό αριθμό ;

β)Να συμπληρώσετε τις παρακάτω ισότητες:

ι) ( ) .......................)......................)...................... ===⋅νμ

ν

μνμ αιιι

ααιιαα

v) )0(........,..........) ≠=− ααι νv .....................=⋅ νν βα.

ΘΕΩΡΙΑ2:α)Τι ονομάζεται ημίτονο, συνημίτονο και εφαπτομένη οξείας γωνίας ορθογωνίου τριγώνου; β)Πώς μεταβάλλονται το ημίτονο,το συνημίτονο και η εφαπτομένη όταν η οξεία γωνία αυξάνεται;

ΑΣΚΗΣΗ 1: Nα βρείτε τις κοινές λύσεις των ανισώσεων:

11375 +≤+ χχ και 14

1212

106

2+

−<

+−

+ χχχ

Γ ΑΣΚΗΣΗ 2:Το τρίγωνο ΑΒΓ είναι ορθογώνιο(Α=90 0 ).

και το εικονιζόμενο ημικύκλιο έχει διάμετρο την πλευρά ΒΓ: Αν ΑΓ=16cm, AΒ=12cm. ι) Nα υπολογίσετε την ΒΓ

16cm ιι) την περίμετρο και ιιι) το εμβαδό της γρομμοσκιασμένου σχήματος.

ΑΣΚΗΣΗ 3: Το ύψος ενός κώνου είναι 8dm και η ακτίνα της βάσης του είναι τα 43 του ύψους του.

12cm B A

Να υπολογίσετε :ι)τη γενέτειρα του ιι)το εμβαδό της ολικής του επιφάνειας ιιι) τον όγκο του.

(Eπιλέγετε 1 θέμα θεωρίας και 2 ασκήσεις)

ΓΡΑΠΤΕΣ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΠΕΡΙΟΔΟΥ ΙΟΥΝΙΟΥ 2007 ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β. ΤΑΞΗΣ Α/ΘΕΩΡΙΑ 1α) Να δώσετε τον ορισμό της δύναμης ρητού αριθμού με εκθέτη φυσικό αριθμό. 1β) Να συμπληρώσετε τις ισότητες . (αν)μ =…., (α/β)ν=…, αν .αμ =…, αν / αμ =…, α0 =… Β /ΘΕΩΡΙΑ 2α) Πότε δυο ποσά λέγονται ανάλογα; 2β) Ποια συνάρτηση συνδέει δυο ανάλογα ποσά και ποια είναι η γραφική παράσταση της συνάρτησης αυτής σε ορθογώνιο σύστημα αξόνων. ΑΣΚΗΣΕΙΣ 1) Δίνονται οι ανισώσεις : −

+3

24x 4

12 −x < χ + 65

5χ -2(5-2χ) ≤ 3χ-1 α) Να βρεθούν οι κοινές λύσεις των ανισώσεων.

β) Η τιμή χ=21 συναληθεύει τις ανισώσεις αυτές;

2) Στο παρακάτω σχήμα δίνεται ισοσκελές τραπέζιο ΑΒΓΔ . ΑΒ=14cm , ΒΓ=ΑΔ=5cm και ΓΔ=20cm. α) Να βρεθεί το ύψος ΒΛ του τραπεζίου. β) Να βρείτε τους τριγωνομετρικούς αριθμούς (ημίτονο, συνημίτονο, εφαπτομένη ) της γωνίας Γ στο ορθογώνιο τρίγωνο ΒΓΛ. 14cm Α Β 5cm 5cm Δ Κ Λ Γ

Στο παρακάτω σχήμα να βρείτε α) το εμβαδόν και β) την περίμετρο του γραμμοσκιασμένου τμήματος ΑΟΓ. Δίνεται 0Α=ρ=4cm και ΟΒ=ΒΓ=2cm. Α

ρ=4

Ο Β Γ Να απαντήσετε σε ένα θέμα θεωρίας και σε δυο ασκήσεις. ΚΑΛΗ ΕΠΙΤΥΧΙΑ

ΤΑΞΗ Β΄ ΘΕΜΑΤΑ ΓΡΑΠΤΩΝ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΠΕΡΙΟΔΟΥ ΜΑΪΟΥ-ΙΟΥΝΙΟΥ ΣΤΟ ΜΑΘΗΜΑ ΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ

ΘΕΩΡΙΑ

1. α) Πότε ένα πολύγωνο λέγεται κανονικό; Πώς βρίσκουμε την κεντρική του

γωνία; β) Δώστε τους τύπους υπολογισμού του μήκους τόξου ενός κύκλου καθώς και του εμβαδού κυκλικού τομέα. γ) Τι είναι το ακτίνιο ή rad;

2. α) Πώς ορίζεται η δύναμη αν; β) Συμπληρώστε τις ισότητες: i) αμ.αν=…… ii) (α.β)ν=…… iii) α0=…….. iv) (αν)μ=………. v) α-ν=……… vi) α1=………… γ) Πώς μπορούμε να απαλείψουμε μία παρένθεση που έχει μπροστά το – και πώς όταν έχει μπροστά το +;

ΑΣΚΗΣΕΙΣ

1. Να λυθούν οι εξισώσεις: α) 12χ-1=5χ+6 και

β) 315

23 +

=−xx

2.Να υπολογίσετε σε κάθε περίπτωση το χ:

ε1//ε2 ΑΒ=ΑΓ

3. α) Να υπολογίσετε τα ημίτονα και τα συνημίτονα των οξειών γωνιών του

παρακάτω ορθογωνίου τριγώνου. Δίνονται: ΑΒ= 24mm, ΑΓ=7mm, ΒΓ=25mm Γ Α Β β) Να υπολογίσετε την υποτείνουσα ΒΓ του παρακάτω ορθογωνίου τριγώνου:

Δίνεται: εφ370=0,75 ΑΒ=8cm Β)

=370 Β 8cm Α

Γ

ΝΑ ΓΡΑΨΕΤΕ ΕΝΑ ΘΕΜΑ ΘΕΩΡΙΑΣ ΚΑΙ ΔΥΟ ΑΣΚΗΣΕΙΣ

ΘΕΜΑΤΑ ΓΡΑΠΤΩΝ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ

ΠΕΡΙΟΔΟΥ ΜΑΪΟΥ - ΙΟΥΝΙΟΥ 2007

ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑ ΘΕΜΑ 1Ο Α) Διατυπώστε το αντίστροφο του πυθαγόρειου θεωρήματος. Β) Τι ονομάζουμε τετραγωνική ρίζα ενός θετικού αριθμού; ΘΕΜΑ 2Ο Α) Τι λέγεται απόσταση ενός σημείου εκτός επιπέδου απ’ το επίπεδο; Β) Τι ονομάζουμε κανονική πυραμίδα; ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑ 1Ο Α) Να γίνει απαλοιφή παρενθέσεων στην παράσταση Α=3-[α-(β-χ)]-(y-α)-(β-1) Β) Να υπολογιστεί η αριθμητική της τιμή όταν x+y=-6 ΘΕΜΑ 2Ο

Να λυθεί η εξίσωση: 3

652

1 +−=−

+ xxx

ΘΕΜΑ 3Ο Στο σχήμα να υπολογιστεί η γωνία χ όταν η ευθεία ε είναι εφαπτόμενη του κύκλου στο Α.

1

ΟΝΟΜΑΤΕΠΩΝΥΜΟ:________________________________________________

ΘΕΩΡΙΑ

1. i) Πότε μια γωνία λέγεται επίκεντρη;

ii) Πότε μια γωνία λέγεται εγγεγραμμένη;

iii) Ποια η σχέση μεταξύ της εγγεγραμμένης και της αντίστοιχης επίκεντρης;

2. i) Τι ονομάζουμε νιοστή δύναμη ενός ρητού α σε εκθέτη φυσικό ν μεγαλύτερο

του 1.

ii) Τι ονομάζουμε νιοστή δύναμη ενός ρητού α ≠ 0 με εκθέτη αρνητικό

ακέραιο και πως με εκθέτη μηδέν.

iii) Γράψτε συμπληρωμένες τις παρακάτω ιδιότητες των δυνάμενων:

α) αμ · αν=…. δ) (α · β)ν=….

β) .....=ν

μ

αα ε) ....=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ν

βα

γ) ( ) ....=νμα

ΑΣΚΗΣΕΙΣ

1. Να λυθεί η εξίσωση: 4

43

42

8 −−

−=

− xxx

2. Στο διπλανό σχήμα δίνονται ΑΔ=12,

ΒΔ=9, ΔΓ=16. i) Να υπολογισθούν οι

ΑΒ, ΑΓ ii) Να υπολογισθεί το

ημίτονο, συνημίτονο και η

εφαπτομένη της γωνίας Γ. iii) Να

αποδείξετε ότι το τρίγωνο ΑΒΓ είναι

ορθογώνιο

Α

12

3. Το μήκος του κύκλου είναι 12,56 cm.

Το ΑΒΓΔ είναι τετράγωνο.

i) Να υπολογισθεί η πλευρά α του τετραγώνου.

ii) Να υπολογισθεί το εμβαδόν του

γραμμοσκιασμένου μέρους

iii) να υπολογισθεί το μήκος του τόξου ΕΖ και το

εμβαδόν του κυκλικού τομέα ΟΕΖ. ΕΓΔ

Ζα

Γ 16 Δ 9 Β

12

Α α Β

Ο α

α

2

ΘΕΜΑΤΑ Γραπτών ανακεφαλαιωτικών προαγωγικών εξετάσεων περιόδου Μαΐου – Ιουνίου 2007 στα Μαθηματικά.

ΘΕΩΡΙΑ ΘΕΜΑ 1Ο : α) Να διατυπώσετε το Πυθαγόρειο Θεώρημα. β) Να διατυπώσετε το αντίστροφο του Πυθαγόρειου Θεωρήματος. γ) Τι ονομάζεται τετραγωνική ρίζα ενός θετικού αριθμού α; ΘΕΜΑ 2Ο : α) Πότε μια γωνία ονομάζεται εγγεγραμμένη;

β) Ποια είναι η σχέση της εγγεγραμμένης γωνίας προς την επίκεντρη που αντιστοιχεί στο ίδιο τόξο; γ) Πότε ένα πολύγωνο ονομάζεται κανονικό;

ΑΣΚΗΣΕΙΣ

ΘΕΜΑ 1Ο : Να λύσετε την εξίσωση x 8 x 5 x 47

2 3 4− − −

− = − .

ΘΕΜΑ 2Ο : Σε ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ ( Α = 90° ) έχουμε ΑΒ=3cm και ΑΓ=4cm.

α)Να υπολογίσετε τους τριγωνομετρικούς αριθμούς της γωνίας Β.

β)Να βρείτε την τιμή της παράστασης ( ) ( )( )

−ημΒ συνΒ εφΒ ⎛ ⎞Κ = − −⎜ ⎟⎝ ⎠εφΒ

1 97 2

100

14

.

ΘΕΜΑ 3Ο : Στο παρακάτω σχήμα το ΒΓ είναι διάμετρος ΑΒ=8cm , ΑΓ=6cm. Nα υπολογίσετε

το εμβαδόν του γραμμοσκιασμένου χωρίου.

ΤΑΞΗ Β΄ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Γραπτές προαγωγικές εξετάσεις περιόδου Μαΐου-Ιουνίου 2007

στα ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΩΡΙΑ: 1. α) Να μεταφέρετε τις παρακάτω ισότητες στην κόλα σας και να συμπληρώσετε τα κενά. α1=... , α0=... , α-ν=... β) Να χαρακτηρίσετε σωστή (Σ) ή λάθος (Λ) κάθε μία από τις παρακάτω ισότητες: i) α2 = (-α)2 ii) α3= (-α)3 iii) α5 = -α5 2. Δίνεται κύκλος ακτίνας R. Να αντιστοιχίσετε στην κόλα σας τους τύπους της 2ης γραμμής του παρακάτω πίνακα στην 1η γραμμή. 1η Μήκος κύκλου Εμβαδόν κύκλου Μήκος ημικυκλίου Εμβαδόν ημικυκλίου 2ης πR2 πR 2πR πR/2 πR2/2 ΑΣΚΗΣΕΙΣ: 1. Να υπολογίσετε τα εξαγόμενα:

α) 65

631

101010101010

−−

−−−

⋅⋅⋅⋅

β) 1234 2222 −−−− +++ χχχχ , όταν 1=χ

2. Τα σπίτια τριών φίλων έχουν τις θέσεις Α, Β, Γ του παρακάτω σχήματος. Να υπολογίσετε την απόσταση του σπιτιού του Α, από το σπίτι του Β. Α Β 150 m 170 m Γ 3. Όπως γνωρίζετε ο ετήσιος βαθμός κάθε μαθήματος υπολογίζεται από το μέσο όρο των τριών τριμήνων και του γραπτού του Ιουνίου. α. Αν μία μαθήτρια είχε στα μαθηματικά, στο Α΄ τρίμηνο 16, στο Β΄ 18, στο Γ΄ 19 και γράψει 15, ποίος θα είναι ο βαθμός της; β. Να υπολογίσετε αν θα μπορούσε η παραπάνω μαθήτρια γράφοντας καλύτερα να βγάλει ετήσιο βαθμό 19.

------------------------------------------------------------------------------------------------- ( Από τα δύο θέματα θεωρίας γράφετε το ένα και από τις τρεις ασκήσεις γράφετε τις δύο . Τα θέματα όλα είναι ισοδύναμα).

ΘΕΩΡΙΑ ΘΕΜΑ 1Ο A Γράψτε τους ορισμούς της επίκεντρης και της εγγεγραμμένης γωνίας

σε κύκλο (Ο,ρ) Β. Ποία σχέση συνδέει την επίκεντρη και την εγγεγραμμένη πού έχει

το ίδιο αντίστοιχο τόξο ; Γ. Ποία σχέση συνδέει την εγγεγραμμένη γωνία και το αντίστοιχο τόξο

της; ΘΕΜΑ 2ο Α. Να συμπληρώσετε τις ισότητες: i) α-ν=……….. ii) αμ.αν=…………. iii) αμ/αν=…………… μ>ν iv)(α.β)ν=………. Β. Να διατυπώσετε με λόγια τις ιδιότητες: ii), iii), iv) του ερωτήματος Α. ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑ 1: Δίνονται οι ανισώσεις 3χ+2(χ+2)<7(χ+3)-5 και

5

1+x +2x >χ-

1085 +x

α.Να λυθούν οι ανισώσεις β.Να βρεθούν οι κοινές λύσεις των παραπάνω ανισώσεων. ΘΕΜΑ 2: Δίνεται κύκλος με διάμετρο ΒΓ και ένα σημείο Α του κύκλου τέτοιο Ώστε ΑΒ=16cm καιΑΓ=12cm. Να υπολογίσετε: α. Το μήκος του κύκλου και το εμβαδόν του κύκλου β. Να βρεθούν οι τριγωνομετρικοί αριθμοί της γωνίας Β γ. Να υπολογίσετε το μέρος του κυκλικού δίσκου που βρίσκεται έξω από

το τρίγωνο ΘΕΜΑ 3: Δίνεται η συνάρτηση ψ=αχ+3 η οποία παριστάνει ευθεία που διέρχεται από

το σημείο Α (1,1). α. Να βρεθεί η τιμή του α β. Για α= -2 i. Να βρεθούν τα σημεία τομής της συνάρτησης με τους άξονες χ΄χ και

ψ΄ψ ii. Να γίνει η γραφική παράσταση της παραπάνω συνάρτησης. iii. Διέρχεται η παραπάνω ευθεία από το σημείο Β(2, -1) ;

ΝΑ ΑΠΑΝΤΗΣΕΤΕ ΣΕ ΕΝΑ ΘΕΜΑ ΘΕΩΡΙΑΣ ΚΑΙ ΣΕ ΔΥΟ ΘΕΜΑΤΑ ΑΣΚΗΣΕΩΝ

ΚΑΛΗ ΕΠΙΤΥΧΙΑ

ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑΣ ΘΕΜΑ 1Ο Α) Τι ονομάζουμε δύναμη με βάση το ρητό αριθμό α και εκθέτη φυσικό ν>1 (αν); B) Ποιο είναι το πρόσημο δύναμης με βάση αρνητικό αριθμό; Γ) Να συμπληρώσετε τις παρακάτω ισότητες: αμ.αν= (α.β)ν= αο= (αμ)ν= α-ν= ΘΕΜΑ 2Ο Α) Ποια γωνία ονομάζεται επίκεντρη και ποια εγγεγραμένη σε κύκλο (ο,ρ) ; Β) Ποια σχέση υπάρχει ανάμεσα στην εγγεγραμμένη γωνία και την επίκεντρη που έχει το ίδιο αντίστοιχο τόξο; Γ) Να γράψετε για ένα κύκλο (ο,ρ) τους τύπους για το μήκος κύκλου και το μήκος τόξου μο

ΑΣΚΗΣΕΙΣ

α + 1 2α -1 1. Α) Να λυθεί η εξίσωση: α – = 4 3 χ χ Β) Αν η τιμή του α=1, να λυθεί η ανίσωση : – < α 3 2 3 2. Σε ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ με Α =90ο δίνεται ότι ημ Β = και 5 η πλευρά ΑΓ=6cm

Α) Να βρείτε την πλευρά ΑΒ του τριγώνου Β) Να βρεθούν το συν Β και η εφ Γ και να επαληθευθεί η σχέση (ημ Β )2 + (συν Β )2 = 1

3. Δίνεται κύκλος διαμέτρου ΒΓ και οι πλευρές ΑΒ = 8cm, ΑΓ= 6cm

Να βρείτε : Α) Την ακτίνα του κύκλου διαμέτρου ΑΒΓ Β) Το μήκος του κύκλου και το εμβαδόν του κυκλικού δίσκου Γ)Το εμβαδό του γραμμοσκιασμένου μέρους του σχήματος

ΘΕΩΡΙΑ ΘΕΜΑ 1ο Α. Γράψτε τον ορισμό της δύναμης ρητού αριθμού με εκθέτη φυσικό Β. Γράψτε συμπληρωμένες τις παρακάτω ιδιότητες των δυνάμεων: i) αμ αν =….. ii) αμ / αν = ….. iii) (αμ)ν =….. iv) (αβ)ν = …… v) (α/β)ν =…. ΘΕΜΑ 2ο Α. Ποια ποσά λέγονται ανάλογα; Β. Ποια συνάρτηση συνδέει δυο ποσά χ,y που είναι ανάλογα και τι παριστάνει αυτή στο σύστημα αξόνων;

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΑΣΚΗΣΗ 1η Α. Να λυθεί η ανίσωση 3(Χ+1) 2Χ -1 Χ - --------- > -------- 4 3 Β. Να παρασταθούν γραφικά οι λύσεις της ανίσωσης και να ελέγξετε αν ο αριθμός Χ= -1 αποτελεί λύση της παραπάνω ανίσωσης ΑΣΚΗΣΗ 2η Στο παρακάτω τραπέζιο ΑΒΓΔ , Α=Δ=90ο ισχύουν ΑΒ =12cm, ΒΓ=5cm, ΓΔ=8cm. Α Γ

Α. Να βρεθεί το ύψος ΓΕ του τραπεζίου

Δ E B

Β. Να βρεθούν οι τριγωνομετρικοί αριθμοί ημίτονο, συνημίτονο και εφαπτομένη της γωνίας Β. ΑΣΚΗΣΗ 3η

Να βρεθούν τρείς αριθμοί x,y,z που είναι ανάλογοι του 7 του 8 και του 12, αν το άθροισμά τους είναι 81. ΝΑ ΑΠΑΝΤΗΣΕΤΕ ΣΕ ΕΝΑ ΘΕΜΑ ΘΕΩΡΙΑΣ ΚΑΙ ΣΕ ΔΥΟ ΘΕΜΑΤΑ ΑΣΚΗΣΕΩΝ

ΤΑΞΗ Β΄

ΘΕΩΡΙΑ ΘΕΜΑ 10 Α. α) Να συμπληρώσετε τα κενά : i) Για να προσθέσουμε δύο ετερόσημους αριθμούς, ……………τη μικρότερη απόλυτη τιμή από τη μεγαλύτερη και στο αποτέλεσμα βάζουμε το ………. του αριθμού που έχει την …….. απόλυτη τιμή ii) Αν ένα γινόμενο πολλών παραγόντων περιέχει …….. πλήθος ……….. παραγόντων, τότε το γινό μενο είναι θετικό. β) i) Για τους αριθμούς α,β ισχύει α+β = 0. Από τις παρακάτω προτάσεις σωστή είναι ή Α: α,β αντίστροφοι , Β: α=0 και β# 0 , Γ: α,β αντίθετοι , Δ: α # 0 και β=0 Ε:α,β ομόσημοι ii) Για τους αριθμούς α,β ισχύει ότι α . β = 1. Από τις παρακάτω προτάσεις σωστή είναι ή Α: α = 1 και β # 0 , Β: α,β αντίθετοι , Γ: α = 0 και β # 0 , Δ: α.β αντίστροφοι , Ε: α,β ετερόσημοι. Β. α) Ελέγξτε ποια από τις παρακάτω προτάσεις είναι σωστή η λάθος. Βάλτε σε κύκλο το αντίστοιχο γράμμα Αν α.β > 0 , τότε οι αριθμοί α ,β είναι ετερόσημοι Σ . Λ

Αν βa < 0 με β # 0, τότε οι αριθμοί α,β είναι ετερόσημοι Σ . Λ

Αν α,β ομόσημοι αριθμοί και α.β.γ < 0 , τότε γ > 0 Σ . Λ β) Να συμπληρώσετε τον πίνακα βάζοντας στη στήλη Β το χαρακτηρισμό Σ (σωστό) η Λ (λάθος). Οπου βάλετε λάθος, να συμπληρώσετε στη στήλη Γ τη σωστή απάντηση

ΣΤΛΗ Α ΣΤΗΛΗ Β ΣΤΗΛΗ Γ (χ-ψ)-(α-β)=χ-ψ-α+β Σ .Λ -(χ-ω)-(-χ-ψ)=ω-ψ Σ . Λ α-β+γ= -(-α)-(β+γ) Σ . Λ -3(χ-5ψ)= -3χ+15ψ Σ . Λ -5χ+10ψ-15ω= -5(χ-2ψ-3ω) Σ . Λ

Γ. α) Να συμπληρώσετε τις παρακάτω ισότητες:

αν.αμ = ……… , αν.βν = ……….. , αν:αμ = ………, ν

ν

βa =……….., (αν)μ =………..,α-ν =………

β) Χρησιμοποιώντας τις παραπάνω ιδιότητες να συμπληρώσετε τα κενά

35.3 = 314 , 5 .2 =103 , 78 : 7 = 75 , [ ]4)2(− = 220 , (-2) = - 81

ΘΕΜΑ 20 Α. α) Να διατυπώσετε το Πυθαγόρειο Θεώρημα και να το εφαρμόσετε σε τρίγωνο ΑΒΓ με γωνία Γ= 90ο. β) Ενός ορθογωνίου τριγώνου η υποτείνουσα έχει μήκος 13cm και η μια κάθετη πλευρά του έχει μήκος 12cm . Να βρείτε το μήκος της άλλης κάθετης πλευράς. Β. α) Να διατυπώσετε το αντίστροφο του Πυθαγόρειου Θεωρήματος. β) Να ελέγξετε αν ένα τρίγωνο που έχει πλευρές 2cm, 13 cm,και 3cm μπορεί να είναι ορθογώνιο. Γ. α) Να βρείτε ποιες από τις παρακάτω ισότητες που αναφέρονται στο σχήμα είναι σωστές και ποιες

β) Να αντιστοιχήσετε κάθε στοιχείο της στήλης Α με ένα στοιχείο της στήλης Β. ΣΤΗΛΗ Α ΣΤΗΛΗ Β 0 δεν υπάρχει 1 3 2)2(− 1

23 0 4− 2

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑ 10 Να συναληθεύσετε τις ανισώσεις :

1- 4x >

32 x− +

6x και 19- (χ+9) < 8 ( χ – 1)

ΘΕΜΑ 20 α) Σε ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ (γωνία Α=90ο ), να δείξετε ότι :

i) Β+ΓΒ+Γ

ημσυνσυνημ = εφΓ ii) ημΒ +συνΒ = ημΓ + συν Γ .

β) Αν στο ορθογώνιο αυτό τρίγωνο οι κάθετες πλευρές είναι ΑΒ=9cm και ΑΓ=12cm, να υπολογίσετε το ημΒ και συνΓ. Τι παρατηρείτε ; ΘΕΜΑ 3Ο

Μ

Γ

Ο

Μ

Στο σχήμα είναι γωνίαΜ=30Οκαι ακτίνα ρ=6cm . α) Να βρείτε το μήκος του τόξου ΒΜΓ. β) Να υπολογίσετε το εμβαδόν του κυκλικού τμήματος ΒΜΓΒ

Β

Β

Γ

ΑΒ2+ΒΔ2=ΑΔ2 , ΑΔ2+ΔΓ2=ΑΓ2 , ΒΓ2-ΑΓ2=ΑΒ2 Δ ΑΒ2+ΑΓ2=ΑΔ2 , ΑΒ2-ΒΔ2=ΑΔ2 , ΑΓ2-ΑΔ2=ΔΓ2

Α (ΑΔ ύψος)

Α’ ΘΕΩΡΙΑ: ΘΕΜΑ 1ο α) Να σχεδιάσετε ένα ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ (Α=90°) και να ορίσετε τους

τριγωνομετρικούς αριθμούς της οξείας γωνίας Β.

β) Ποιες είναι οι δυνατές τιμές του ημιτόνου και του συνημιτόνου οξείας γωνίας και

γιατί;

γ) Να υπολογίσετε τους τριγωνομετρικούς αριθμούς γωνίας 60°. ΘΕΜΑ 2ο α) Να συμπληρώσετε τις παρούσες ισότητες :

i) α · α = ν μ ii) α : α = ν μ iii) α = 0

iv) (α )ν μ = v) α = vi) (-1) =

vii) -1 =

β) Δυο αριθμοί έχουν γινόμενο αρνητικό και άθροισμα αρνητικό. Τι συμπεραίνετε για

τα πρόσημα και τις απόλυτες τιμές τους;

(Από τα 2 θέματα της θεωρίας θα απαντήσετε στο 1)

Β’ ΑΣΚΗΣΕΙΣ :

ν− 2007

2006

ΑΣΚΗΣΗ 1η : Να δείξετε ότι οι τιμές των παραστάσεων α=(-2)·(+1)-10:(-2) , β=(23 ) 2− +(-1) 4 -

(34 ) 2 είναι α=3 και β=-

31 .

Στη συνέχεια να υπολογίσετε την παράσταση (α+β -(α·β α +β

ΑΣΚΗΣΗ 2η : Να βρεθούν οι κοινές ακέραιες λύσεις των ανισώσεων

) 2 ) 5 - 0 1−

52x -

42−x >

21+x και

2)1(3 −x +1>x-

32+x

ΑΣΚΗΣΗ 3η : Κανονική τετραγωνική πυραμίδα έχει ακμή βάσης 6 cm και παράπλευρο ύψος

h=5 cm α) Να υπολογίσετε τον όγκο της.

β) Αν η πλευρά της βάσης διπλασιαστεί ποια μεταβολή θα έχει ο όγκος της πυραμίδας;

(Από τις 3 ασκήσεις θα λύσετε τις 2)

ΚΑΛΗ ΕΠΙΤΥΧΙΑ

ΓΡΑΠΤΕΣ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ

ΠΕΡΙΟΔΟΥ ΜΑΪΟΥ - ΙΟΥΝΙΟΥ ΤΑΞΗ: Β΄ Γυμνασίου. ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: Μαθηματικά. .

ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑ 1. Να συμπληρώσετε τους παρακάτω ορισμούς και ιδιότητες των

δυνάμεων: α) α = ……… (με ν >1) ν

β) α = ………. (με α 0) 0 ≠

γ) α = ………. 1

δ) α-ν = …….. ε) αμ · αν = ………..

στ) ν

μ

αa = ………. (με α 0) ≠

ζ) (α · β) = ……….. ν

η) (βα ) = ………. (με β 0)

ν≠

θ) (αμ)ν = …………

2. α) Τι ονομάζουμε τετραγωνική ρίζα ενός θετικού αριθμού α; β) Γιατί δεν ορίζεται τετραγωνική ρίζα αρνητικού αριθμού; γ) Να συμπληρώσετε τις ισότητες: 1. 0 = …..

2. ( α )2

= ….. ΑΣΚΗΣΕΙΣ

8

6Α Γ

Β

1. Δίνονται οι παραστάσεις: Α = 25+2·[(-3)2-(-1)]-[-2+(-8):(+4)]-6·(-7)+2 Β = -2·(-5+7-12)+(3-5+8)·(-2+3)+5·(-5) Να υπολογίσετε τις τιμές των παραστάσεων Α και Β και στην συνέχεια να υπολογίσετε την τιμή της παράστασης: Γ = 2·Α2·10-1 + 7·Β-2.

2. Δίνεται ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ,

με =900 , ΑΒ=8 cm και ΑΓ=6cm,

∧

A όπως φαίνεται στο διπλανό σχήμα..

α) Να υπολογίσετε την υποτείνουσα ΒΓ β) Να υπολογίσετε το ημ

∧

Γ γ) Να υπολογίσετε το συν

∧

Γ δ) Να υπολογίσετε την εφ

∧

Γ ε) Να υπολογίσετε το άθροισμα: (ημ

∧

Γ )2 + (συν

∧

Γ )2.

3. Δίνεται ορθογώνιο ΑΒΓΔ με AB=10 cm

και ΒΓ=15 cm και έστω Ε το μέσο του ΑΒ. Στο εσωτερικό του ορθογωνίου γράφουμε το ημικύκλιο (Ε,5cm) και το τεταρτοκύκλιο (Γ,5cm) το οποίο τέμνει τις πλευρές ΒΓ και ΓΔ στα σημεία Ζ και Η αντίστοιχα, όπως φαίνεται στο διπλανό σχήμα.. Να υπολογίσετε: α) το εμβαδό του ορθογωνίου ΑΒΓΔ. β) το εμβαδό του ημικυκλικού δίσκου (Ε,5cm) γ) το εμβαδό του κυκλικού τομέα (Γ.ΖΗ). δ) το μήκος του ημικυκλίου ΑΒ ε) το μήκος του τεταρτοκυκλίου ΖΗ

Α

Β Γ

∆

E H

Z

στ) το εμβαδό και την περίμετρο της γραμμοσκιασμένης μεικτόγραμμης επιφάνειας ΑΒΖΗΔΑ.

------------------------------------------------------------------------------------------------------

Να απαντήσετε σε ένα θέμα θεωρίας και δύο θέματα ασκήσεων. Όλα τα θέματα είναι βαθμολογικά ισοδύναμα. ΚΑΛΗ ΕΠΙΤΥΧΙΑ.

Γραπτές προαγωγικές εξετάσεις περιόδου Μαΐου-Ιουνίου 2007 στα Μαθηματικά

τάξη Β' Θεωρία 1η ) α. Να γράψετε τον ορισμό της δύναμης ρητού αριθμού με εκθέτη φυσικό αριθμό β. Να συμπληρώσετε τις ισότητες Ι) ( α ^ν )^μ=…. ΙΙ) α^μ/α^ν=…. ΙΙΙ) ( αβ )^ν=…. 2η ) Αν ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ (Α=90ο ) τότε Ι) να συμπληρώσετε τις ισότητες ημΓ=……. συνΓ=……. εφΓ=…….. ΙΙ)να βάλετε το κατάλληλο σύμβολο στα παρακάτω (<, >, =) ημ60……ημ70 , συν30…….συν40 , εφ50……..εφ40 Ασκήσεις 1η) Δίνονται οι παραστάσεις Α=(-2)^x + (-1)^x+5 και Β=(x-2)^5 + (5-x)^2 Αν x=2 τότε Ι) να υπολογίσετε τις παραστάσεις Α και Β ΙΙ) να υπολογίσετε την παράσταση Α^2-Β+2ΑΒ 2η) Να λυθεί η εξίσωση

3η) Να υπολογίσετε το εμβαδόν του γραμμοσκιασμένου χώρου αν γνωρίζετε ότι τα τις τιμές των τόξων ΑΒ=90o , ΒΓ=50o , ΓΔ=100o και η ακτίνα ρ=2cm

ΘΕΜΑΤΑ Θεωρία

Θέμα 1ο

Να συμπληρώσετε τους παρακάτω ορισμούς και ιδιότητες των δυνάμεων :

αν=……. α0=…… α1=…. α-ν=….

αν*αμ=…. (α*β)μ=…. (αν)μ=…. αμ:αν=…. Θέμα 2ο

Να διατυπώσετε το Πυθαγόρειο Θεώρημα.

Ασκήσεις

Άσκηση 1η : Να υπολογιστεί η τιμή των παραστάσεων :

Α= (+1)1-(+1)2+(+1)3-(+1)4

Β= (-1)100+(-1)101+(-1)200+(-1)201 Άσκηση 2η : Να λυθεί η εξίσωση :

3(χ-5)=2(χ+7)-14

Άσκηση 3η :Δίνεται ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ(Α=90ο ).

Να δικαιολογήσετε τις παρακάτω σχέσεις :

α) ημΒ=συνΓ Β) ημ2Β+ημ2Γ=1

Να απαντήσετε σ’ ένα θέμα θεωρίας και σε δύο ασκήσεις.

ΓΡΑΠΤΕΣ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΠΕΡΙΟΔΟΥ ΜΑΙΟΥ – ΙΟΥΝΙΟΥ 2007

ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ : ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΣΧΟΛΙΚΟ ΕΤΟΣ 2006 - 2007

ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑΣ

1) Α) Να διατυπώσετε το πυθαγόρειο θεώρημα . ( να γίνει και σχήμα ) B) Να γράψετε τις ιδιότητες των δυνάμεων ενός ρητού αριθμού με εκθέτη φυσικό.

2) A) Ποια γωνία ονομάζεται επίκεντρη , ποια εγγεγραμμένη . Υπάρχει σχέση μεταξύ τους και πότε ;

Β) Να ορίσετε σε ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ ( τους )A 90=

τριγωνομετρικούς αριθμούς της γωνίας ΓΑΣΚΗΣΕΙΣ

1) Να γίνουν οι πράξεις και να υπολογιστεί η παράσταση :

( )12 2

123 1 1 1A 1 2 : 14 6 3 2

−− −−⎡ ⎤⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞= − − − + − −⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎢ ⎥⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎣ ⎦

2) Να λυθεί η εξίσωση : 12 x 2 x x

4 3 6− −− =

3) Να βρείτε το εμβαδόν και τη περίμετρο του κυκλικού δακτυλίου στο σχήμα. ( δίνονται OA= 10 cm , OB= 20 cm και )

π 3,14=

ΚΑΛΗ ΕΠΙΤΥΧΙΑ !!!

ΠΡΟΣΟΧΗ !!! Από τα δύο θέματα θεωρίας να απαντηθεί μόνο το ένα και από τις τρεις ασκήσεις μόνο οι δύο

ΘΕΜΑΤΑ

ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΩΝ ΚΑΙ ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΠΕΡΙΟΔΟΥ ΜΑΪΟΥ ΙΟΥΝΙΟΥ

ΘΕΩΡΙΑ

ΘΕΜΑ 1Ο Α) Να διατυπώσετε το Πυθαγόρειο Θεώρημα. Β) Τι ονομάζεται τετραγωνική ρίζα ενός θετικού αριθμού α; ΘΕΜΑ 2Ο

Α) Πότε δυο ποσά λέγονται ανάλογα; Β)Τι είναι κλίμακα ; Πότε έχουμε σμίκρυνση και πότε μεγέθυνση;

ΑΣΚΗΣΕΙΣ

ΑΣΚΗΣΗ 1η

Να υπολογίσετε την τιμή των παραστάσεων i) Α= 5 ⋅ [1+ 8 : ( -2 )] – 3 ⋅ (6 – 4 ⋅3) ii) Β= (204-x)x-2 –(- x)x + 5x-1+ x-1+(1-x)2007, όταν x=2 iii) 3 ⋅B-1 - A3

A , B οι τιμές των παραστάσεων των ερωτημάτων i),ii) αντίστοιχα. ΑΣΚΗΣΗ 2η

Να λύσετε την εξίσωση :

1 3 2

2 4 3x x x+ + −

− = −2

ΑΣΚΗΣΗ 3η

Στο παρακάτω σχήμα και ΒΓ=10cm διάμετρος του κύκλου.Nα βρείτε: 2ΑΒ = ΑΓ i) Πόσων μοιρών είναι κάθε ένα από

ΟΒ Γ

Α τα τόξα , ,ΑΒ ΑΓ ΒΓ

ii) Τις γωνίες του τριγώνου ΑΒΓ iii) Την περίμετρο του τριγώνου ΑΒΓ Δίνονται: ημ30ο=0,5

συν30ο 0,866 εφ30ο 0,577

Nα απαντήσετε σε ένα από τα δυο θέματα θεωρίας και σε δυο από τις τρεις ασκήσεις.

ΚΑΛΗ ΕΠΙΤΥΧΙΑ!!!

ΘΕΜΑΤΑ

ΘΕΩΡΙΑ

Α) α)Δώσατε τον ορισμό ημιτόνου, συνημιτόνου και εφαπτομένης οξείας γωνίας ορθογωνίου τριγώνου. β)Όταν η γωνία αυξάνεται η εφαπτομένη τι κάνει; Β) α)Ποια ποσά λέγονται ανάλογα; β)Ποια ποσά λέγονται αντίστροφα; γ)Ποια σχέση συνδέει δύο ανάλογα ποσά x,y;

ΑΣΚΗΣΕΙΣ 1) α)Να λυθεί η εξίσωση:

412

1211

32

−−=− xx −

β)Αληθεύει η λύση της παραπάνω εξίσωσης την ανίσωση 3

22

1 xx+<

+ ;

2) ^ Δίνεται ορθογώνιο τρίγωνο με γωνία Α=90° και ΑΒ=12cm, ΒΓ=13cm. α)Να βρεθεί η πλευρά ΑΓ ^ β)Να βρεθούν οι τριγωνομετρικοί αριθμοί της γωνίας Β. 3) Ένας κύκλος έχει διάμετρο 12m. α)Να βρείτε το μήκος του και το εμβαδόν του. β)Να βρείτε το μήκος του τόξου που αντιστοιχεί σε γωνία 60°.

ΓΡΑΠΤΕΣ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΠΕΡΙΟΔΟΥ ΜΑΪΟΥ - ΙΟΥΝΙΟΥ

ΘΕΩΡΙΑ ΘΕΜΑ 1ο α) Αν ω είναι μια (οξεία) γωνία του ορθογωνίου τριγώνου του σχήματος.

υποτείνουσα

Να ορίσετε τους τριγωνομετρικούς αριθμούς εφω , ημω , συνω β) Να συμπληρωθει η παρακάτω πρόταση , στο γραπτό σας ,βάζοντας μια από τις δυο λέξεις των παρενθέσεων : “ Όσο αυξάνεται η οξεία γωνία ω ………( αυξάνεται , ελαττώνεται )το ημίτονο και ………( αυξάνεται, ελαττώνεται )το συνημίτονο και ………( αυξάνεται, ελαττώνεται ) η εφαπτομένη της..” γ) Να αιτολογίσετε ότι για το ημω και το συνω οξείας γωνίας ισχύει 0<ημω<1 και 0<συνω<1 . ΘΕΜΑ 2ο Να γράψετε τον ορισμό της: α) Eπίκεντρης γωνίας β)Της εγγεγραμμένης γωνίας. γ) Ποια η σχέση εγγεγραμμένης –επίκεντρης γωνίας ,που αντιστοιχούν στο ίδιο τόξο;

ω

Απέναντι κάθετη

Προσκείμενη κάθετη

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑ 1ο

α) Να υπολογιστούν: -8+(-4)= ( )[ ]210 −−− :(-4)= =⋅+−⋅⋅−⋅− 1821)55(14,3)2007(8 ( ) ( ) ( ) =−+−−+− 0200620082007 1111

β) Να γίνουν οι πράξεις. 2·(3χ-5)= ( )

=⋅

54

139

χ

χχ

γ) Να υπολογιστούν οι τιμές των παραστάσεων

=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛⋅⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛

20072007

34

43 :1003 52006− =−5

ΘΕΜΑ 20

Α) Να λυθούν οι ανισώσεις:

5χ-4≤11 και 5

324

14

3 +−

+<−

+− xxxx

Β) ι) Να παρασταθούν γραφικά οι λύσεις των δυο ανισώσεων σε κοινό άξονα και να βρείτε τις κοινές λύσεις των δυο ανισώσεων. ιι) Να ελέγξετε αν ο αριθμός χ=3 αποτελεί λύση και των δυο παραπάνω ανισώσεων . ΘΕΜΑ 3ο

Αν ΒΓ διάμετρος του κύκλου στο παρακάτω σχήμα και ΑΒ=8cm ,ΑΓ=6cm.

α) Να αιτιολογίσετε ότι η είναι ορθή. Α∧

β) Να υπολογίσετε την πλευρά ΒΓ και το εμβαδόν του κυκλικού δίσκου γ) Να υπολογιστούν το ημΒ ,το συνΒ και η εφΒ. A

Διευκρινήσεις: Από τα δυο θέματα θεωρίας να κάνετε ένα και από τις τρεις ασκήσεις τις δυο. Όλες οι απαντήσεις να δίνονται στην κόλλα διαγωνίσματος. Τα σχήματα μπορεί να τα σχεδιάσετε και με μολύβι.

Γ B

86

ΓΡΑΠΤΕΣ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΠΕΡΙΟΔΟΥ ΜΑΪΟΥ-ΙΟΥΝΙΟΥ 2007 ΘΕΩΡΙΑ ΘΕΜΑ 1Ο Α. Να γράψετε το Πυθαγόρειο θεώρημα. Β. Αν ΑΒΓ είναι ένα ορθογώνιο τρίγωνο με υποτείνουσα ΒΓ, να χαρακτηρίσετε τις

ισότητες που ακολουθούν γράφοντας στο τετράδιό σας την ένδειξη Σ (Σωστό) ή Λ (Λάθος) δίπλα στο γράμμα που αντιστοιχεί σε κάθε σχέση. Β

α) ΒΓ2 =ΑΒ2+ΑΓ2 β) ΑΒ2=ΑΓ2+ΒΓ2 γ) ΑΓ2=ΒΓ2 −ΑΒ2 δ) ΑΒ2=ΑΓ2−ΒΓ2 Α Γ Γ. Πως ορίζεται η τετραγωνική ρίζα ενός θετικού αριθμού α;

ΘΕΜΑ 2Ο Α. Πώς ορίζεται η δύναμη αν με βάση το ρητό α και εκθέτη φυσικό ν>1; Β. Να γράψετε τις ιδιότητες των δυνάμεων. Γ. Να γράψετε συμπληρωμένες τις ισότητες: ...............,......., 10 === −νaaa ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑ 1Ο α) Να λυθεί η εξίσωση: ( ) 23x=4529 +++− xx

β) Να βρείτε τις κοινές λύσεις των ανισώσεων:

( ) ( ) 247342 +<−−− xxx και 12

324

16

2 −+≤

−+

+ xxx

ΘΕΜΑ 2Ο α) Δίνεται ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ (Â=900). Αν ΒΓ=15cm και ∧

Β =200, να υπολογίσετε τις κάθετες πλευρές του. (ημ200 =0,34 , συν200 =0,94 , εφ200 =0,36 ) Α

β) Σε ένα ισοσκελές τρίγωνο ΑΒΓ (ΑΒ= ΑΓ) η διάμεσος ΑΜ που αντιστοιχεί στη βάση του

είναι 12,6 cm και η γωνία = 640. Να βρεθεί ∧

Γ η περίμετρος του ισοσκελούς τριγώνου. ( ημ640 =0,9 , συν640 =0,44 , εφ640 =2,1 )

ΘΕΜΑ 3Ο α) Να υπολογίσετε τις γωνίες στο παρακάτω σχήμα : ∧∧∧

ωικayx,

12,6 64

0 Β Μ Γ

ω

χ

y

700

800

1100

β) Δίνεται κύκλος κέντρου Ο και διαμέτρου ΑΒ=10cm.

i. Nα βρείτε το μήκος και το εμβαδόν του κύκλου. ii. Αν Δ σημείο του κύκλου ώστε ΑΔ=6cm, να βρείτε το μήκος της χορδής ΒΔ.

ΑΠΟ ΤΑ ΔΥΟ ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑΣ ΝΑ ΑΠΑΝΤΗΘΕΙ ΜΟΝΟ ΤΟ ΕΝΑ ΚΑΙ ΑΠΟ ΤΑ ΤΡΙΑ ΘΕΜΑΤΑ ΑΣΚΗΣΕΩΝ ΝΑ ΑΠΑΝΤΗΘΟΥΝ ΜΟΝΟ ΤΑ ΔΥΟ

ΓΡΑΠΤΕΣ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΠΕΡΙΟΔΟΥ ΜΑÏΟΥ- ΙΟΥΝΙΟΥ

ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΑΞΗ Β΄

ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑ 1η α) Να διατυπώσετε το Πυθαγόρειο Θεώρημα. (ευθύ και αντίστροφο). β) Τι ονομάζουμε τετραγωνική ρίζα ενός θετικού αριθμού α; ΘΕΩΡΙΑ 2η α) Να δώσετε τους ορισμούς του ημιτόνου, του συνημιτόνου και της

εφαπτομένης μιας οξείας γωνίας ενός ορθογωνιο τριγώνου.

β) Πως μεταβάλλονται το ημίτονο και το συνημίτονο μιας οξείας γωνίας όταν αυτή αυξάνεται;

ΑΣΚΗΣΗ 1η α) Να υπολογίσετε την τιμή της παράστασης:

343200723

212:4])3(2[

−

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛−+−−=Α

β) Αν χ=-1, να υπολογίσετε την τιμή της παράστασης: 7212 −−+=Β + χχχ χ

ΑΣΚΗΣΗ 2η Στο παρακάτω σχήμα η περίμετρος του τριγώνου ΑΒΓ είναι 24 εκ.. α) Να υπολογίσετε το χ. β) Να αποδείξετε ότι το τρίγωνο ΑΒΓ είναι ορθογώνιο.

Β

2χ-4 2

53 +χ

Α Γχ+3

Α Β

Γ

Κ

Λ

Μ

ΝΔ

α

α

α

α

α

α

α α

ΑΣΚΗΣΗ 3η Στο διπλανό σχήμα η πλευρά του τετραγώνου είναι 8 εκ. Να βρείτε: α) το μήκος του τόξου ΚΛ. β) την περίμετρο του γραμμοσκιασμένου χωρίου. γ) το εμβαδόν του γραμμοσκιασμένου χωρίου.

(Απαντήστε σε ένα θέμα θεωρίας και σε δύο ασκήσεις)

ΘΕΜΑΤΑ ΓΡΑΠΤΩΝ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ

ΠΕΡΙΟΔΟΥ ΙΟΥΝΙΟΥ 2007 ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β΄ΤΑΞΗΣ

Θεωρία 1η. Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ με γων.Α=900 και ΑΒ=γ, ΑΓ=β, ΒΓ=α

1. Να ορισθούν οι τριγωνομετρικοί αριθμοί ημΒ, συνΒ, εφΒ

2. Ισχύει ημΒ<1 εξηγείστε γιατί. 3. Αν εφΒ=1 τότε να βρεθεί το είδος του τριγώνου

Θεωρία 2η.α) Πότε μία γωνία λέγεται επίκεντρη. β) Πότε μία γωνία λέγεται εγγεγραμμένη. γ) ποια σχέση συνδέει την εγγεγραμμένη, την επίκεντρη και το μέτρο του τόξου στο οποίο αντιστοιχούν? Άσκηση 1η. Να λυθεί η ανίσωση

2 1

3 2x x+ −

≤

Άσκηση 2η Δίνονται τα ορθογώνια τρίγωνα ΑΒΓκαι ΒΓΔ με γωνΒΑΓ=900, γωνΒΔΓ=900, ΑΒ=8cm ,ΑΓ=6cm και ΒΔ=ΔΓ. Να υπολογιστεί το χ. Β χ 8cm Δ

χ Α Γ 6cm Άσκηση 3η. Δίνεται το ΑΒΓΔ τετράγωνο, A 4cm B πλευράς ΑΒ=4cm και δυο τεταρτοκύκλια (Δ,4 cm),(Β,4 cm) . Να υπολογιστεί το εμβαδόν του καμπυλόγραμμου σχήματος . 4cm Δ Γ

ΓΡΑΠΤΕΣ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΜΑΙΟΥ-ΙΟΥΝΙΟΥ 2007

ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ : ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΑΞΗ : Β΄ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

ΟΝΟΜΑΤΕΠΩΝΥΜΟ ΜΑΘΗΤΗ:……………………………………………… ΘΕΩΡΙΑ ΘΕΩΡΙΑ 1η α) ∆ιατυπώστε το Πυθαγόρειο Θεώρημα. β) ∆ιατυπώστε το αντίστροφο του Πυθαγορείου Θεωρήματος. ΘΕΩΡΙΑ 2η α) Πότε δυο ποσά λέγονται ανάλογα; β)Τι γνωρίζετε για τη γραφική παράσταση της συνάρτησης y = αχ ,με χ πραγματικό αριθμό ;

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΑΣΚΗΣΗ 1η Nα γίνουν οι πράξεις:

02007⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ −⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

-1 -2 -3 -41 1 1 1- + - + - + -2 2 3 2

ΑΣΚΗΣΗ 2η Να βρεθούν οι κοινές λύσεις των ανισώσεων :

2x+1 2x-1 14

-3(x - 2) - 2(x +3) > 0 και - <3 2 6

ΑΣΚΗΣΗ 3η Να δείξετε ότι το παρακάτω τρίγωνο ΑΒΓ είναι ορθογώνιο .

Να απαντήσετε σε μια (1) θεωρία και δυο (2) ασκήσεις. Η ΔΙΕΥΘΥΝΤΡΙΑ Ο ΕΙΣΗΓΗΤΗΣ

1

ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΠΕΡΙΟΔΟΥ ΜΑΪΟΥ – ΙΟΥΝΙΟΥ 2007

ΜΑΘΗΜΑ : ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΑΞΗ: Β’ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

ΘΕΜΑΤΑ

ΜΕΡΟΣ Α: ΘΕΩΡΙΕΣ Θεωρία 1η

i) Πότε μία γωνία λέγεται επίκεντρη και πότε εγγεγραμμένη;

(μονάδες 1,66)

ii) Ποια η σχέση της εγγεγραμμένης γωνίας προς την επίκεντρη που αντιστοιχεί στο ίδιο τόξο: Να αποδειχθεί στην περίπτωση που η πλευρά της εγγεγραμμένης περιέχει το κέντρο του κύκλου

(μονάδες 5) Θεωρία 2η

i) Πως μεταβάλλεται το ημίτονο, το συνημίτονο και η εφαπτομένη μιας οξείας γωνίας όταν μεταβάλλεται η γωνία;

(μονάδες 2,66)

ii) Τι τιμές παίρνει το ημίτονο και το συνημίτονο οξείας γωνίας ορθογωνίου τριγώνου; (μονάδες 2)

iii) Τι σημαίνει κλίση α 00 μιας ευθείας ( )ε

(μονάδες 2)

2

ΜΕΡΟΣ Β: ΑΣΚΗΣΕΙΣ

Άσκηση 1η Α. Αν να υπολογιστεί η τιμή της παράστασης 2x −=

x2xx2x x

413x2x3A ⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛++⋅−⋅= +−−

(μονάδες 3,66) Β. Να υπολογιστούν τα γινόμενα

054

23

23

23

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛−⋅⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛−⋅⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛−

−

i)

( )555

443

31

−⋅⎟⎠⎞

⎜⎝⎛−⋅⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛−ii)

(μονάδες 3) Άσκηση 2η Να βρείτε τις κοινές λύσεις των παρακάτω ανισώσεων και να γίνει η γραφική τους παράσταση σε άξονα

4x12x +

−≥+− και 6x81

32x3

21x2x +

<+

−−

+

(μονάδες 6,66) Άσκηση 3η Δίνεται κανονική τετραγωνική πυραμίδα. Το εμβαδόν της παράπλευρης επιφάνειας της είναι ίση με

2cm240 και το παράπλευρο ύψος της Να υπολογιστεί i) Η παράπλευρη ακμή

(μονάδες 3,66) ii) Ο όγκος της

(μονάδες 3) ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΗ

cm10

: Να επιλέξετε ένα (μόνο) θέμα από το ΜΕΡΟΣ Α: ΘΕΩΡΙΕΣ (από τις δύο που υπάρχουν στη σελίδα 1) και να επιλέξετε δύο (μόνο) θέματα από το ΜΕΡΟΣ Β: ΑΣΚΗΣΕΙΣ (από τις τρεις που υπάρχουν στη σελίδα 2)

Κ Α Λ Η Ε Π Ι Τ Υ Χ Ι Α

Θέματα γραπτών Ανακεφαλαιωτικών Προαγωγικών Εξετάσεων

στο μάθημα των Μαθηματικών

Ονοματεπώνυμο………………………………………………………………………………… ΘΕΩΡΙΑ 1 Αν ω μια οξεία γωνία ενός ορθογωνίου τριγώνου ΑΒΓ (Α= ) να γράψετε τους ορισμούς των τριγωνομετρικών αριθμών

090

(α) ημω, (β) συνω, (γ) εφω Σχεδιάστε κατάλληλο σχήμα. ΘΕΩΡΙΑ 2 (α) Να διατυπώσετε το Πυθαγόρειο θεώρημα και να γράψετε την ισότητα που προκύπτει από αυτό σε ένα ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ (Α= ) . Σχεδιάστε κατάλληλο σχήμα. 090(β) Να διατυπώσετε το αντίστροφο του Πυθαγορείου θεωρήματος. ΑΣΚΗΣΗ 1 Αν χ=2 να υπολογίσετε την αριθμητική τιμή της παράστασης

30 2)3(:9)3(232 −−+−+−⋅−⋅+⋅=Α χχ χχχ ΑΣΗΣΗ 2 (α) Να βρείτε τις κοινές λύσεις των ανισώσεων

21

126

312 −

≥−

−−χ χ χ και χχ 543 >+

(β) Να παραστήσετε γραφικά τις κοινές λύσεις. (γ) Να βρείτε το μεγαλύτερο ακέραιο που επαληθεύει ταυτόχρονα και τις δύο αυτές ανισώσεις. ΑΣΚΗΣΗ 3 Δίνετε κύκλος ( Κ,5cm) και μια χορδή του ΑΒ=6cm και η διάμετρος του ΒΓ. A

Να υπολογίσετε: (α) Το μήκος του τόξου ΒΓ(β) Το εμβαδόν του κυκλικού δίσκου. (γ) Το εμβαδόν του χωρίου εντός του κυκλικού δίσκου και εκτός του τριγώνου. B

Κ Γ ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΗ Να γράψετε ένα (1) θέμα θεωρίας και δύο (2) ασκήσεις

ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑ ΘΕΜΑ 1Ο:α)Να διατυπώσετε τους ορισμούς της επίκεντρης και της εγγεγραμμένης γωνίας. β)Ποια σχέση ικανοποιούν η επίκεντρη και η εγγεγραμμένη γωνία που βαίνουν στο ίδιο τόξο; ΘΕΜΑ 2Ο:α)Να διατυπώσετε το Πυθαγόρειο θεώρημα. β)Να διατυπώσετε το αντίστροφο του Πυθαγορείου θεωρήματος.

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑ 1Ο:α)Στο παρακάτω σχήμα να βρείτε πόσες μοίρες είναι η γωνία Α και να υπολογίσετε τη διάμετρο δ του ημικυκλίου. β)Να βρείτε το μήκος του ημικυκλίου και το εμβαδό της σκιασμένης επιφάνειας.

ΘΕΜΑ 2Ο:Να υπολογίσετε τις τιμές των παρακάτω παραστάσεων:

( ) ( ) ( )[ ]97100223

22

20

2:254552

421)3(2007

+−⋅+−⋅−=

−⎟⎠⎞

⎜⎝⎛+−+=

−

B

A

ΘΕΜΑ 3Ο:Να βρείτε τις κοινές λύσεις των παρακάτω ανισώσεων:

32

45

23

21

312

31

−+

−<

−

≤−⋅

−+

χχχ

χ χ

ΣΗΜΕΙΩΣΗ:Να απαντηθούν: ένα θέμα θεωρίας και δύο θέματα ασκήσεων.

ΘΕΩΡΙΑ

ΝΑ ΑΠΑΝΤΗΣΕΤΕ ΣΕ ΕΝΑ ΑΠΟ ΤΑ ΔΥΟ ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑΣ ΚΑΙ ΣΕ ΔΥΟ ΑΠΟ ΤΑ ΤΡΙΑ ΘΕΜΑΤΑ ΑΣΚΗΣΕΩΝ

ΘΕΜΑ 1ο α) Να διατυπώσετε το Πυθαγόρειο Θεώρημα (ευθύ). β) Να διατυπώσετε το αντίστροφο του Πυθαγορείου Θεωρήματος.

γ) Αν ΑΒΓ ορθογώνιο τρίγωνο με πλευρές α, β, γ και ∧

Γ =90ο , να συμπληρώσετε τις παρακάτω ισότητες: α2=…………………. , β2 =……………….. , γ2=……………….. . ΘΕΜΑ 2ο Έστω ΑΒΓ ορθογώνιο τρίγωνο με υποτείνουσα α και κάθετες πλευρές β, γ.

α) Η πλευρά ……………… είναι η απέναντι κάθετη πλευρά της γωνίας και η πλευρά

…………… είναι η προσκείμενη κάθετη πλευρά της γωνίας

∧

Γ∧

Γ .

β) Να γράψετε τους τριγωνομετρικούς αριθμούς της γωνίας∧

Γ . γ) Όταν μια οξεία γωνία αυξάνεται, τότε το ημίτονο της …………………, το συνημίτονο της …………………. και η εφαπτομένη της …………………… . ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑ 1ο Αν Α= 10)]5312()2:1841()21(3[ − −+−+ − − − − −−⋅−− και Β= , να υπολογίσετε την τιμή της παράστασης Γ=(Α+Β2007+1)2 - (Α-10)2.

)12(1065 3]3:)33[( +−⋅⋅−

ΘΕΜΑ 2ο

Να λύσετε την εξίσωση: )1(24

3−=

+− xxx

ΘΕΜΑ 3ο Στο διπλανό σχήμα, το ΑΒΓΔ είναι ορθογώνιο, με ΒΓ=3 cm και ΑΓ= 5 cm.

Γ

A Δ

B

Να υπολογίσετε το εμβαδόν του ημικυκλίου που έχει διάμετρο την ΑΒ.

ΓΡΑΠΤΕΣ ΑΝΑΚΕΦΑΛΑΙΩΤΙΚΕΣ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ

ΠΕΡΙΟΔΟΥ ΜΑΪΟΥ-ΙΟΥΝΙΟΥ

ΘΕΩΡΙΑ

ΖΗΤΗΜΑ 1ο α) Σε ένα ορθογώνιο τρίγωνο, αν ω είναι μια οξεία γωνία του να δώσετε τους ορισμούς ημω, συνω και εφω . β) Πως μεταβάλλεται το ημίτονο και το συνημίτονο όταν μεταβάλλεται η γωνία;

ΖΗΤΗΜΑ 2ο α) Πότε δύο ποσά λέγονται ανάλογα; β) Τι γνωρίζετε για τη γραφική παράσταση της συνάρτησης y=αx με x πραγματικό αριθμό;

ΑΣΚΗΣΕΙΣ

ΖΗΤΗΜΑ 1ο

Να λύσετε την εξίσωση 3

124

)1(3 −=

+−

xxx

ΖΗΤΗΜΑ 2ο Έστω τετράγωνο ΑΒΓΔ πλευράς α= 4cm. Με κέντρο Α και ακτίνα α γράφουμε εσωτερικά τόξο, όπως στο σχήμα. α) Να υπολογίσετε την περίμετρο του γραμμοσκιασμένου σχήματος. β) Να υπολογίσετε το εμβαδό του γραμμοσκιασμένου χωρίου. ΖΗΤΗΜΑ 3ο Ένα ισοσκελές τρίγωνο έχει βάση 6cm και περίμετρο 16cm. Να υπολογίσετε το ύψος που αντιστοιχεί στη βάση του και το εμβαδό του. Να απαντήσετε σε ένα ζήτημα από τη θεωρία και σε δύο ζητήματα από τις ασκήσεις

Καλή επιτυχία