УДК 517.958:532:519.711.3 ББК 22.181 Ш 96 М.М. Шумафов, Р. Цей

Алгоритм решения задачи определения фильтрационно-ёмкостных параметров газоносного пласта методом модулирующих функций

(Рецензирована)

Аннотация В работе приводится общая схема решения задачи определения фильтрационно-

ёмкостных параметров газоносного пласта методом модулирующих функций. Приме-нение метода иллюстрируется на примере решения обратной задачи для дифференци-ального уравнения, описывающего процесс неустановившейся фильтрации газа в по-ристой среде.

Ключевые слова: обратная задача, математическое моделирование, идентификация, дифференциальные уравнения, модулирующие функции, теория фильтрации, фильтра-ционные и ёмкостные параметры, газоносный пласт.

Введение

Как хорошо известно, одним из эффективных способов изучения математическими методами процессов, протекающих в окружающем нас мире, является моделирование этих процессов в виде дифференциальных уравнений. При этом, как правило, полу-чаемые дифференциальные уравнения содержат коэффициенты, связанные с физиче-скими характеристиками (параметрами) среды, в которой протекают эти процессы.

Подавляющее большинство существующих методов определения этих параметров (и, вообще, параметров систем, описываемых дифференциальными уравнениями) осно-вано на использовании решений уравнений. В частности, это относится и к обратным задачам теории фильтрации.

Однако всем этим методам присущи серьезные недостатки (см., например, [1,2]). К недостаткам следует отнести следующее: низкая точность определяемых параметров, трудности обработки опытных данных, большое количество расчетных схем и формул, сложная структура формул, неохватность расчетными формулами сложных случаев фильтрации. Главный из недостатков – низкая точность определяемых параметров.

Одной из актуальных задач теории фильтрации является задача определения пара-метров нефтегазоносного пласта по натурным наблюдениям значений давления, насы-щенности и др. с помощью контрольных скважин. Задаче определения фильтрацион-ных и емкостных параметров газоносного пласта было посвящено немало работ. Обзор этих работ можно найти в [2].

В настоящей работе приводится общая схема решения задачи определения фильт-рационно-ёмкостных параметров газоносного пласта методом модулирующих функ-ций (далее, М-метод).

Идея применения М-метода для решения обратных задач восходит к работам Дж. Лоэба и Г. Кахена (J. Loeb, G. Cahen) [3, 4]. Возможность применения М-метода для решения задач нефтегазовой науки впервые была высказана В.Б. Георгиевским и им были разработаны унифицированные алгоритмы для решения обратных задач подзем-ной гидрогазодинамики [1]. В работах [5,6] сделана программная реализация на основе унифицированных алгоритмов, разработанных в работах В.Б. Георгиевского [см., на-пример, 1]. В работе [7] метод модулирующих функций обобщен на случай любой сте-пени полиномов разложения неизвестных параметров газоносного пласта.

М-метод позволяет определить параметры модели без использования решения краевых задач. Идея М-метода состоит в том, что дифференциальное уравнение ум-ножается на специальные «модулирующие» функции и интегрируется по частям. В ре-зультате, происходит «освобождение» от операции дифференцирования решения (ис-ходного дифференциального уравнения) и «переход» этой операции к модулирующим функциям, которые можно выбирать достаточно гладкими. В итоге, исходное диффе-ренциальное уравнение заменяется его интегральным аналогом.

Особо отметим, что в полученных выражениях отсутствуют производные от экспе-риментальных функций, что позволяет ликвидировать трудности, связанные с непо-средственным дифференцированием экспериментальных функций. Эти трудности про-истекают из-за того, что операция дифференцирования экспериментальных функ-ций является некорректной.

Алгоритм определения фильтрационно-ёмкостных параметров

Приведем общую схему решения задачи определения фильтрационно-ёмкостных

параметров пласта методом модулирующих функций на примере решения обратной задачи для дифференциального уравнения, описывающего процесс неустановившейся фильтрации газа в неоднородной по коллекторским свойствам пористой среде.

Дано дифференциальное уравнение (1), описывающее процесс неустановившейся фильтрации газа в неоднородной по коллекторским свойствам пористой среде (в без-размерном виде) [8]

атpyxhtyxQ

pz

p

tyxB

y

ppyxA

yx

ppyxA

x),(),,(2

)(),(),,(),,(

22

+

∂∂=

∂∂

∂∂+

∂∂

∂∂

, (1)

где )()(

),(),(),,(

pzp

yxhyxkpyxA

µ= , ),(),(),(2),( yxhyxmyxyxB α= , k(x,y) – коэффициент про-

ницаемости, m(x,y) – коэффициент пористости, h(x,y) – эффективная толщина пласта, α(x,y) – коэффициент газонасыщенности, p(x,y,t) – давление в точке пласта (x,y) в мо-мент времени t, µ(p) и z(p) – соответственно коэффициенты динамической вязкости и сверхпроницаемости газа при давлении p и пластовой температуре, Q(x,y,t) – объемный расход газа, отнесенный к единице площади пласта в точке пласта (x,y) в момент вре-мени t к pат (атмосферное давление) и Tпл (пластовая температура).

Требуется определить коэффициенты A(x,y,p) и B(x,y) – «обобщенные» фильтраци-онные параметры.

Шаг 1. Разложить искомые функции A(x,y,p) и B(x,y) по формуле Тейлора. Отбро-сив остаточные члены, получаем следующее приближенное равенство

∑=

≈AN

kji

kjiijk pyxapyxA

0,,

),,( ∑=

≈BN

nm

nmmn yxbyxB

0,

),( . (2)

Здесь NA и NB – степени аппроксимации параметров A(x,y,p) и B(x,y) многочленами Тейлора. Тогда имеем

∑∑=

+

= ∂∂

+=

∂∂=

∂∂ AA N

kji

kji

ijk

N

kji

kjiijk x

pyxa

kx

ppyxa

x

ppyxA

0,,

2

0,,

22

2

2),,( ,

∑=

+

+∂

∂+

=∂∂ AN

kji

kji

ijk y

pyxa

ky

ppyxA

0,,

22

2

2),,( L .

(3)

Далее следует заменить выражения в квадратных скобках в (1) соответственно их приближенными значениями (3).

Шаг 2. Умножить полученное уравнение (1) на гладкие, непрерывные функции –модулирующие функции )(xsϕ , )(ysϕ , )(tsϕ (причем )(xsϕ и )(ysϕ – дважды непре-

рывно дифференцируемые функции и )(tsϕ – непрерывно дифференцируемая функ-

ция). Модулирующие функции )(xsϕ , )(ysϕ , )(tsϕ можно, например, в виде

2

22

1 )()()( xxxxxx ss −−=ϕ , 21 xxx ≤≤ ,

22

21 )()()( yyyyyy s

s −−=ϕ , 21 yyy ≤≤ ,

))(()( 21 tttttt ss −−=ϕ , 21 ttt ≤≤ .

Далее следует проинтегрировать полученные уравнения в соответствующих преде-

лах. Степень точности определения искомых параметров A(x,y,p) и B(x,y) определяется числом членов разложения A(x,y,p) и B(x,y) в степенные ряды. Для увеличения точности определения A(x,y,p) и B(x,y) следует брать многочлены более высокой степени (т.е. увеличить верхние границы аппроксимации NA и NB). Тем самым увеличится и верхнее значение индекса s, нумерующего модулирующие функции )(xsϕ , )(ysϕ , )(tsϕ .

Шаг 3. Применить формулу интегрирования по частям к тем интегралам, в которых присутствуют производные экспериментальной функции p(x,y,t) необходимое число раз, что приведет от дифференцирования экспериментальной функции (которая является не-корректной операцией) к дифференцированию гладких модулирующих функций. Имеем:

,)()()(),(),,(2)()()()(

)()())((2

2)()())((

2

2

0,

0,,

2

0,,

2

∫∑ ∫

∑ ∫∑ ∫

=

=

+

=

+

=′+

′′+

+′′+

V

sss

N

nmsss

V

nmmn

N

kjiss

is

j

V

kijk

N

kjiss

js

i

V

kijk

dVtyxyxhtyxQdVtyxyxpz

pb

dVtxxyypak

dVtyyxxpak

B

AA

ϕϕϕϕϕϕ

ϕϕϕϕϕϕ

)0;,...,1,0,,( AA NkjiNkji ≤++≤= ,

)0;,...,1,0,( BB NnmNnm ≤+≤= , ),...,1,0( Ss = ,

],[],[],[ 212121 ttyyxxV ××= , dxdydtdV = .

Шаг 4. Получить систему алгебраических уравнений относительно неизвестных

aijk, bmn – коэффициентов разложения A(x,y,p) и B(x,y).

[ ]

,)()()(),(),,(2

)()()()(

)()())(()())((2

2

0,

0,,

2

∫

∑ ∫

∑ ∫

=

=′+

+′′+′′+

=

=

+

V

sss

N

nmsss

V

nmmn

N

kjis

V

si

sj

sj

sik

ijk

dVtyxyxhtyxQ

dVtyxyxPz

Pb

dVtxxyyyyxxPak

B

A

ϕϕϕ

ϕϕϕ

ϕϕϕϕϕ

)0;,...,1,0,,( AA NkjiNkji ≤++≤= ,

)0;,...,1,0,( BB NnmNnm ≤+≤= , ),...,1,0( Ss = .

(4)

Шаг 5. Вычислить тройные интегралы ∫V

– коэффициенты системы уравнений (4)

сведением их к повторным и применением к последним квадратурных формул (напри-мер, Ньютона-Котеса, Гаусса, Монте-Карло, метод сплайнов и др.).

Шаг 6. Решить систему уравнений (4) хорошо известными методами (прямыми ме-тодами: Ньютона, исключения Гаусса, или итерационными методами: Якоби, Гаусса-Зейделя и др.).

Шаг 7. Записать найденные значения неизвестных коэффициентов aijk, bmn в разло-жениях (2) искомых «обобщенных» фильтрационных параметров A(x,y,p) и B(x,y).

Заключение

В статье приведен алгоритм решения задачи определения фильтрационно-

ёмкостных параметров пласта методом модулирующих функций на примере решения обратной задачи для дифференциального уравнения, описывающего процесс неустано-вившейся фильтрации газа в неоднородной по коллекторским свойствам пористой сре-де.

Следуя данной схеме, можно построить алгоритмы для решения и других обратных коэффициентных задач. Следует напомнить, что при применении М-метода отсутству-ет принципиальный источник погрешности – использование решений прямых краевых задач. Теоретически, М-метод не имеет погрешности в том смысле, что все используе-мые в нем преобразования эквивалентны. Источником погрешностей могут служить численные методы решения интегралов, а также аппроксимация экспериментальной функции. Но эти погрешности можно свести к минимуму, повысив точность вычисле-ний с использованием вычислительных мощностей современных ПЭВМ.

Описанный выше алгоритм, основанный на М-методе, эффективен и прост для ре-шения различных прикладных задач.

Примечания:

1. Георгиевский В.Б. Унифицированные алго-ритмы для определения фильтрационных параметров. Справочник. – Киев: Наукова думка, 1971. – 328 с.

2. Мирзаджанзаде А.Х., Хасанов М.М., Бахти-зин Р.Н. Моделирование процессов нефте-газодобычи. Нелинейность, неравновес-ность, неопределенность. – Москва-Ижевск: Институт компьютерных исследо-ваний, 2004. – 368 с.

3. Loeb J., Cahen G. Extraction, a partik des enregistrements de mesures, des parametres dynamiques d um system. // Automatisme. – 1963. – № 12. – PP. 17-28.

4. Loeb J., Cahen G. More about process identification. // Trans. on Automatic Control. – 1965. – PP. 359-361.

5. Лукнер Л., Шестаков В.М. Моделирование геофильтрации. – М.: Недра, 1976. – 407 с.

6. Трофимов В.В., Батищева Г.А. Реализация на ЭВМ унифицированных алгоритмов В.Б. Георгиевского. – Об. научн. тр. Юж-НИИгидротех. и мелиор., 1976, вып. 9. – С. 111-114.

7. Юдин А.И., Юдина О.К. Расчет фильтраци-онно-ёмкостных параметров по промысло-вым данным эксплуатации газового место-рождения // Термодинамика кооператив-ных процессов в гетерогенных средах. Тю-мень, 1985. – С. 80-85.

8. Закиров С.Н., Лапук Б.Б. Проектирование и разработка газовых месторождений. – М.: Недра, 1974. – С. 39.