РАЗРЕШАЮЩАЯ СПОСОБНОСТЬ ОПТИЧЕСКИХ ПРИБОРОВ

В. А. Пахотин, С. В. Молостова, М. А. Никитин, А. С. Чугайнов

26 26

УДК 681.586.69


РАЗРЕШАЮЩАЯ СПОСОБНОСТЬ ОПТИЧЕСКИХ ПРИБОРОВ

Представлены результаты обработки дифракционных изображений точечных источников методом максимального правдоподобия. Показа-но, что разрешение двух точечных источников может быть лучше, чем рэлеевское. Представлены результаты модельных расчетов.

Results of processing of diffraction images of dot sources are presented by

a method of the maximum credibility. It is shown that the permission of two dot sources can be better, than the Releevsky permission. Results of modeling calculations are presented.

Ключевые слова: оптические приборы, дифракция, теория оптимального

приема, разрешающая способность, критерий Рэлея. Key words: optic instruments, diffraction, theory of optimum reception, resolu-

tion capability, Rayleigh criterion. Разрешающая способность оптических приборов ограничена явле-

нием дифракции света. В ее результате на входном зрачке оптической системы точечный источник света преобразуется в протяженный объ-ект — дифракционное распределение света. Ширина главного макси-мума определяется известным выражением.

0,61 λθR

, (1)

где λ -длина волны, R -радиус входного зрачка оптической системы [1]. При наличии двух точечных источников света, согласно критерию

Рэлея, их главные дифракционные максимумы будут наблюдаться раз-дельно, если угловое различие точечных источников Δφ ≥ 0,61λ. Этим условием определяется разрешающая способность микроскопов, теле-скопов, глаза человека, т. е. всех оптических приборов, световой поток которых ограничен входным зрачком.

В настоящей работе рассмотрена теория оптических приборов с точ-ки зрения метода максимального правдоподобия [2]. При этом решаются две задачи. Первая связана с оценкой углового положения одного точеч-ного источника света φ0 и его амплитуды по дифракционному распре-делению поля при известных значениях радиуса отверстия и длины вол-ны. Определяется также дисперсия параметра φ0. Во второй задаче оце-нивается угловое различие между двумя точечными источниками света и их амплитуды по дифракционному распределению светового поля. Принято, что дифракционные распределения света от разных источни-ков складываются аддитивно, без учета фазовых зависимостей.

Вестник Балтийского федерального университета им. И. Канта. 2012. Вып. 4. С. 26—33.

Разрешающая способность оптических приборов

27 27

Рассмотрим явление дифракции точечного источника света на круглом отверстии радиуса R . Длина волны светового потока равна λ . В этом случае напряженность светового поля в зависимости от угла ди-фракции q определяется известным соотношением

1 00

0

2 sinsin ш

J kR q qU q U U q

kR q q

, (2)

где 0U — амплитуда напряженности поля, 0 0q j — угловое положе-

ние точечного источника света, 1 0sinJ kR q q — функция Бесселя

первого порядка, шU q — шумовая добавка, которая характеризуется

нормальным распределением с дисперсией 2S и средним значением, равным нулю [1]. Запишем на основании выражения (2) логарифм функции правдоподобия [2]:

2

1 00 0 02

0

2 sin1ln ,2 sin

τ

k τ

J kR θ θL θ U U θ U dθ

σ τ kR θ θ

. (3)

Учитывая, что он является выпуклой функцией, продифференци-руем выражение (3) по амплитуде 0U и приравняем нулю. В результате

получим

0

02

0

,

,

τ

τ0 τ

τ

U θ f θ θ dθ

U θ

f θ θ dθ

, (4)

где

1 0

00

2 sin,

sinJ kR θ θ

f θ θkR θ θ

.

Математическое ожидание от решения выражения (4) будет:

df

dff

UUM2

0

00

00

,

,,. (5)

Оценим дисперсию параметров. Для этого получим двумерную информационную матрицу Фишера по выражению [3].

lg

iji j

d L aJ M

da da

, (6)

где 0 0,Ta U θ — вектор параметров сигнала.

В результате двойного дифференцирования логарифма функции прав-доподобия, согласно (6), получим информационную матрицу Фишера:


28 28

11 122

21 22

1ˆk

a aJ

a aσ τ

, (7)

где

211 0,

τ

τ

a f θ θ dθ

; 012 21 0

0

,,

τ

τ

d f θ θa a f θ θ dθ

dθ

;

2

022

0

,τ

τ

d f θ θa dθ

dθ

.

Вычисляя диагональные элементы матрицы, обратной к информа-ционной матрице Фишера, получим дисперсию амплитуды UD и дис-персию углового положения точечного источника Dq.

Точечный источник расположен под углом 20 . Полуширина ди-фракционного пятна определяется первым нулевым значением и со-гласно выражению (1) равна 2,33 , что отражено на рисунке 1.

Рис. 1. Зависимость дифракционного распределения света от точечного источника от угла дифракции

На рисунке 2 показана производная функции по углу дифракции.

Модуль производной функции часто используется вместо самой функ-ции для более точной оценки углового положения точечного источни-ка по минимуму.

В качестве примера можно привести пеленгационную характери-стику при пеленгации разностным методом [2]. Она часто применяется для слежения за пеленгом. Если ввести нормированный коэффициент

корреляции 2211

12

aa

ar , то можно получить дисперсию амплитуды и

дисперсию углового положения точечного источника света в виде

2

211 1

kU

S tD

a r

;

2

222 1

kq

S tD

a r

. (8)


29 29

Рис. 2. Производная функции по углу дифракции По аналогии с сигналами в радиотехнике [2; 3] 11a и 22a имеют

смысл обобщенной энергии. Следовательно, дисперсии UD и qD зави-сят от отношения «сигнал/шум» и от коэффициента корреляции меж-ду функцией и ее производной.

Таким образом, метод максимального правдоподобия позволяет дать оценку углового положения точечного источника света. Эта оцен-ка не зависит от размера дифракционного пятна. Она определяется с точностью, определяемой дисперсией углового положения источника света. Вместо дифракционного пятна (протяженного объекта) в резуль-тате данной обработки можно получить точечное изображение, угло-вое положение которого случайно и характеризуется дисперсией. Эф-фект дифракции, который можно отождествить с аппаратной функци-ей оптических приборов, может быть исключен. Контуры протяжен-ных объектов могут быть уточнены до значений дисперсии.

Рассмотрим случай дифракции двух точечных источников света на круглом отверстии радиуса R . В этом случае распределение света в за-висимости от угла дифракции будет представлено в виде суммы двух дифракционных распределений:

1 1 1 21 2

1 2

2 sin 2 sinsin sin ш

J kR θ θ J kR θ θU θ U U U θ

kR θ θ kR θ θ

, (9)

где 1 2,q q — угловые положения точечных источников света, 1 2,U U — их амплитудные значения. Обозначим

1 1

1 11

2 sin,

sinJ kR θ θ

f θ θkR θ θ

;

1 22 1

2

2 sin,

sinJ kR θ θ

f θ θkR θ θ

(10)

и запишем логарифм функции правдоподобия на основании (9). Дифференцируя и приравнивая дифференциалы к нулю, получим

систему уравнений.

21 1 1 1 2 1 1 2 2

22 2 1 1 1 2 2 2 1

, , , , ,

, , , ,

U θ f θ θ U f θ θ U f θ θ f θ θ

U θ f θ θ U f θ θ f θ θ U f θ θ

. (11)


30 30

Черта сверху означает интегрирование по параметру q . Решим эту

систему:

21 1 2 2 1 2 2

1 2 2 21 1 2 2 1

22 2 1 1 1 1 1

1 2 2 21 1 2 2 1

, , ,,

, ,

, , ,

, ,

U θ f θ θ f θ θ R U θ f θ θU

f θ θ f θ θ R

U θ f θ θ f θ θ R U θ f θ θU

f θ θ f θ θ R

(12)

Если угловое различие между дифракционными максимумами удовлетворяет соотношению

2 1 0,61 λΔθ θ θR

, (13)

то коэффициент корреляции близок к нулю и решения уравнения (13) совпадают с классическими решениями:

1 1 2 2

1 22 21 1 2 2

, ,,

, ,

U θ f θ θ U θ f θ θU U

f θ θ f θ θ

.

Если угловое различие меньше, чем определено в условии (13), то, согласно классическим представлениям (критерий Рэлея), светящиеся точки сливаются вместе. Коэффициент корреляции в этом случае будет отличен от нуля. Однако решения (12) и в этом случае дают более точ-ные оценки угловых положений двух светящихся точек. Решения нахо-дятся по значению поверхности функционала в двумерном про-

странстве углов 1 и 2 . Функционал определяется выражением и

зависит от амплитуд и угловых положений источников света. Переби-

рая все значения углов 1 и 2 , получим полную поверхность функ-

ционала. Минимум этой поверхности определяет решения, т. е. оце-

ночные значения амплитуд 1U и 2U и углов 1 и 2 двух точечных ис-

точников. Решения (12) несмещенные. Они учитывают взаимную кор-реляцию между дифракционными максимумами двух светящихся то-чек и дают более точные значения их угловых положений.

Оценим дисперсии углового положения двух светящихся точек и их амплитудных значений напряженности поля. Для этого дважды про-дифференцируем логарифм функции правдоподобия. Получим эле-менты информационной матрицы Фишера:

11 122

21 22

1ˆk

a aJ

a aσ τ

, (14)

где 211 1 11 ,a f θ θ ; 12 21 1 1 2 21 1 , , 1a a f θ θ f θ θ R ; 2

22 2 21 ,a f θ θ .

Определяя диагональные элементы матрицы, обратной к инфор-мационной матрице Фишера, получим дисперсии амплитуд света от первой и второй точек 1 2,U UD D .


31 31

2 2

22 111 22 2

11 22 11 22

1 1,1 1 1 1 1 1

k kU U

a S t a S tD D

a a R a a R

. (15)

Аналогично можно получить дисперсии угловых положений све-тящихся точек 1 2,q qD D . В этом случае информационная матрица Фи-

шера будет

11 122 2

21 22

2 21ˆ2 2k

a aJ

a aσ τ

,

где

2

1 1211 1

1

,2

df θ θa U

dθ

, 2

2 2222 2

2

,2

df θ θa U

dθ

,

1 1 2 2

12 21 2 11 2

, ,2 2 2

df θ θ df θ θa a R U U

dθ dθ

.

Определяя диагональные элементы обратной матрицы, получим

2 222 11

1 22 2 2 21 11 22 2 11 22

2 2,1 1 2 1 1 2

k kθ θ

a σ τ a σ τD D

U a a R U a a R

.

Таким образом, дисперсия угловых положений светящихся точек зависит от отношений «сигнал/шум» и взаимной корреляции дифрак-ционных максимумов. Дисперсии будут минимальны, когда 2R = 0. Однако, если отношение «сигнал/шум» достаточно большое (более 20 дБ), при приемлемых дисперсиях коэффициент корреляции может дости-гать значения 0,9 и выше. Это сильно перекрывающиеся дифрак-ционные максимумы.

Предварительные модельные расчеты проведены с целью иллюст-рации принципиальной возможности получения более точного реше-ния задачи разрешения двух точечных источников света по их ди-фракционным изображениям, чем это следует из работы [1]. Принято следующее. Амплитуды напряженности поля от точечных источников света равны 2 и 1,5. Угловое положение первого из них 20 , второго — меняется в пределах от 26 до 21. Отношение «сигнал/шум» равно 30 дБ, радиуса отверстия к длине волны /R = 15. Обработка дифрак-ционного распределения поля проводилось согласно классическим представлениям. Это соответствует методу Фурье с рэлеевским ограни-чением на разрешение двух светящихся точек. Вместе с тем обработка дифракционного распределения поля проводилось и по методу мак-симального правдоподобия (табл.).

Как видно из таблицы, благодаря методу максимального правдопо-добия можно решить данную задачу вплоть до угла 2φ = 21,5 и, в прин-ципе, эта возможность зависит от отношения «сигнал/шум». Метод Фу-рье позволяет решить задачу практически лишь до угла 2φ = 24 вне за-висимости от отношения «сигнал/шум».


32 32

Таблица 1

Сравнение работы ММП и метода Фурье при решении дифракционной задачи

Метод максимального

правдоподобия Метод Фурье Модельное,

значение, 2

1U 2U

1 2 1U

2U 1

2

26,0 1,97 1,47 20,0 26,0 2,0 1,51 20,0 25,9 25,0 1,97 1,48 20,0 25,0 1,99 1,51 20,0 25,1 24,0 1,97 1,5 20,0 24,0 1,9 1,41 19,9 24,1 23,0 1,97 1,52 20,0 23,0 1,93 — 20,8 — 22,0 1,96 1,52 20,0 22,0 2,67 — 20,8 — 21,5 2,22 1,28 19,9 21,7 2,98 — 20,6 — 21,0 3,03 0,4 19,7 21,9 — — — — На рисунке 3 показана поверхность обратного функционала 1/D Δ , зависящая от значений углов 11F θ и 22F θ . Максимум об-

ратного функционала определяет решение. По одному максимуму оцениваются одновременно два значения угловых положений светя-щихся точек. Необходимости введения термина «разрешение (разре-шающая способность)» в методе максимального правдоподобия нет. В методе же Фурье каждой светящейся точке соответствует свой макси-мум и возникает задача их разрешения.

Рис. 3. Вид обратного функционала В настоящей работе представлено решение задач оценки парамет-

ров и разрешения подобных сигналов в области дифракции света на круглом отверстии (входном зрачке оптических приборов). Решения


33 33

получены методом максимального правдоподобия. Угловое положение точечного источника света в новом методе решения позволяет исклю-чить дифракционное пятно. Точечный источник преобразуется в то-чечный со случайным распределением углового положения, которое оценивается дисперсией, а не угловым размером. В результате границы светящихся областей будут определяться с большей точностью.

Разрешающая способность при цифровой обработке дифракционных максимумов, полученных от двух светящихся точек методом максималь-ного правдоподобия, может быть увеличена по сравнению с рэлеевской разрешающей способностью. Ограничение на разрешение точек в новом решении связано с отношением «сигнал/шум». Новое решение задачи уг-лового разрешения двух светящихся точек имеет большое значение для цифровых оптических систем: телескопов, микроскопов.

Список литературы

1. Сивухин Д. В. Оптика. М., Наука, 1980. 2. Пахотин В. А., Бессонов В. А., Молостова С. В., Власова К. В. Теоретические

основы оптимальной обработки сигналов : курс лекций для радиофизических специальностей. Калининград, 2008.

3. Перов А. И. Статистическая теория радиотехнических систем : учебное по-собие для вузов. М., 2003.

Об авторах

Валерий Анатольевич Пахотин — д-р физ.-мат. наук, проф., Балтийский

федеральный университет им. И. Канта, Калининград. E-mail: [email protected]

Светлана Валерьевна Молостова — канд. физ.-мат. наук, доц., Балтийский федеральный университет им. И. Канта, Калининград.

E-mail: [email protected]

Михаил Анатольевич Никитин — д-р физ.-мат. наук, проф., Балтийский федеральный университет им. И. Канта, Калининград.


Александр Сергеевич Чугайнов — асп., Балтийский федеральный универ-ситет им. И. Канта, Калининград.


About authors Valery Pakhotin — Dr, professor, I. Kant Baltic Federal University, Kaliningrad. E-mail: [email protected]

Svetlana Molostova — PhD, associate professor, I. Kant Baltic Federal University, Kaliningrad.


Mikhail Nikitin — Dr, professor, I. Kant Baltic Federal University, Kaliningrad. E-mail: [email protected] Alexander Chygainov— PhD student, I. Kant Baltic Federal University, Kaliningrad. E-mail: [email protected]

Documents

РАЗРЕШАЮЩАЯ СПОСОБНОСТЬ ОПТИЧЕСКИХ ПРИБОРОВ