ΙΣΤΟΡΙΑ ΤΗΣ ΛΟΓΙΚΗΣ

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣΤΜΗΜΑΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ

ΔΙΔΑΣΚΟΥΣΑ: ΑΛΛΑ ΣΙΡΟΚΟΦΣΚΙΧΕΑΡΗΝΟ ΕΞΑΜΗΝΟ ΑΚΑΔΗΜΑΙΚΟΥ ΕΤΟΥΣ 2008

ΕΡΓΑΣΙΑ: ΕΥΤΥΧΗΣ ΦΡΑΓΚΙΟΥΔΑΚΗΣ2ο ΕΤΟΣ. Α.Μ. 3403

2

KURT GODEL

ΤΟ ΠΡΩΤΟ ΘΕΩΡΗΜΑ ΤΗΣ ΜΗ ΠΛΗΡΟΤΗΤΑΣ

1931

ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ: 3Κεφαλαιο 1: Βασικοι ορισμοι-συνθηκες που επικρατουσαν. Σελ. 4 i)Peano αριθμητικη. ii)Συνεπης θεωρια. iii)Πληρης θεωρια. Σελ. 5 iv)Αναδρομικο συνολο αξιωματων. v)Αναπαραστισιμη συναρτηση. vi)Συνθηκες που επικρατουσαν. Σελ. 6 vii)Τι μας λεει το πρωτο θεωρημα του Godel.Κεφαλαιο 2: Η εργασια του Godel. Σελ. 7 i)Κωδικοποιηση κατα Godel. ii)Θεωρημα σταθερου σημειου. Σελ. 8 iii)Ω-συνεπεια και σχεση της με την συνεπεια. Σελ. 9 iv)Το θεωρημα της μη πληροτητας.Κεφαλαιο 3: Συνεπειες του θεωρηματος της μη πληροτητας. Σελ. 11 i)Αντιδρασεις συναδελφων: α) Carnap. β) Hilbert . γ) Zermelo. Σελ. 12 δ) Russell . ε) Von Neuman. ii)Επιδραση του θεωρηματος. Σελ. 13 iii)Η φιλια των Godel-Einstein και η θεωρια της σχετικοτητας. Σελ. 14 iv)Λογοτεχνια τεχνη. Σελ. 17Κεφαλαιο 4: Λιγα λογια για τον Godel. Σελ. 18 i)Μικρα μυστικα για μια μεγαλη διανοια. ii)Ο Godel ως φιλοσοφος. Σελ. 20 iii)Παρουσιαστικο. Σελ. 21Κεφαλαιο 5: Επιλογος... Σελ. 24 i)Σχολια του συγγραφεα. ii)Επεξηγησεις-βιβλιογραφια-πηγες. Σελ. 26

Σημειωση:Τα συμβολα π i ειναι παραπομπες (επεξηγησεις) που υπαρχουν στο τελος.

Κεφαλαιο 1 4

ΒΑΣΙΚΟΙ ΟΡΙΣΜΟΙ-ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΕΙΣ

● PEANO ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ Ειναι η αριθμητικη που εχει ως αξιωματα, τα αξιωματα του PEANO. ( π 0 )

ΑΞΙΩΜΑΤΑ PEANO ( π 1 )✔ Το μηδεν ( 0 ) ειναι φυσικος αριθμος. (P1)✔ Για καθε n ισχυει οτι, αν το n ειναι ενας φυσικος αριθμος τοτε και ο

επομενος του ειναι φυσικος αριθμος. (P2)✔ Αν δυο ( 2 ) αριθμοι εχουν τον ιδιο επομενο αριθμο, τοτε αυτοι οι αριθμοι

ειναι ταυτοσημοι. (P3)✔ Το μηδεν ( 0 ) δεν ειναι επομενος φυσικου αριθμου. (P4)✔ Αν για ενα υποσυνολο Α του συνολου των φυσικων ισχυει οτι:

α)το 0 ανηκει στο Α.β)Αν για καθε ν που ανηκει στο Α τοτε το ν+1 ανηκει στο Α. (P5)

● ΣΥΝΕΠΗΣ ΘΕΩΡΙΑ Μια θεωρια θα την λεμε συνεπης οταν δεν οδηγει σε αντιφασεις. Δηλαδη οταν για καθε προταση της θεωριας μας υπαρχουν τυπικες αποδειξεις ωστε να ισχυει τοσο η προταση οσο και η αρνηση της.

Για παραδειγμα αν στην γεωμετρια αποδεικνυαμε οτι το αθροισμα των γωνιων καθε τριγωνου ειναι ισο με 180 μοιρες αλλα επισης οτι το αθροισμα δεν ισουτε με 180 μοιρες τοτε η θεωρια μας ειναι ασυνεπης.

Αν σε μια θεωρια βρεθει εστω και μια (σατανικη) αντιφαση, δηλαδη η θεωρια μας ειναι ασυνεπης, τοτε καθε προταση αποδεικνυεται.

● ΠΛΗΡΗΣ ΘΕΩΡΙΑ 5θα λεμε οτι μια θεωρια ειναι πληρης οταν για καθε προταση που ισχυει υπαρχει τυπικη αποδειξη που να αποδεικνυει την προταση.

● ΑΝΑΔΡΟΜΙΚΟ ΣΥΝΟΛΟ ΑΞΙΩΜΑΤΩΝ Οταν ''φτιαχνουμε'' τα αξιωματα μας με αναδρομικο τροπο. Αυτα μπορει να ειναι πεπερασμενα ή αριθμησιμα το πληθος. Ομως οταν ορισουμε τα αξιωματα αναδρομικα ειναι πιο ευκολο να τα χειριστουμε και να παραγουμε προτασεις.

● ΑΝΑΠΑΡΑΣΤΙΣΙΜΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ Μια συναρτηση θα λεμε οτι ειναι αναπαραστισιμη αν υπαρχει τυπος στο P ωστε η συναρτηση να εκφραζετε αναδρομικα με τις γνωστες πραξεις της PEANO αριθμητικης.

ΛΙΓΑ ΛΟΓΙΑ ΓΙΑ ΤΗΣ ΣΥΝΘΗΚΕΣ ΠΟΥ 6

ΕΠΙΚΡΑΤΟΥΣΑΝ● Το 1900 στο δευτερο ( 2ο ) παγκοσμιο συνεδριο μαθηματικων που εγινε

στο παρισι, ο HILBERTπρωτοτυπει στην ομιλια του και αντι να μιλισει για τις εργασιες του η καποια μεθοδο, μιλαει για αλυτα προβληματα τα οποια οπως υποστηριζει θα απασχολησουν τις επομενες γενιες μαθηματικων. Αυτη η διασημη πλεον λιστα περιεχει 23 προβληματα εκ των οποιων καποια εχουν λυθει (θετικα ή αρνητικα) ενω καποια αλλα παραμενων ακομα και σημερα ανοικτα.Αυτο που θα απασχολεισει εμας ειναι το 2ο προβλημα της λιστας του. HILBERT.

● To 2ο προβλημα ζητουσε να αποδειχθει η πληρότητα και μη αντιφατικοτητα των αξιωματων της αριθμητικης.

ΤΙ ΛΕΕΙ ΤΟ 1ο ΘΕΩΡΗΜΑ

Ο Godel με αυτο το θεωρημα αποδεικνυει οτι καθε θεωρια που μπορει να εκφρασει την αριθμητικη δεν μπορει να ειναι συνεπης και πληρης.

Δηλαδη σε μια θεωρια με αξιωματα που ειναι συνεπη (δηλαδη δεν οδηγουν σε αντιφασεις) μπορει να κατασκευαστει μια προταση που να ειναι αληθης και να μην μπορει να αποδειχθει τυπικα απο τα αξιωματα οτι ειναι αληθεις.Συνεπως η θεωρια μας ΔΕΝ ειναι πληρης.Με αυτον τον τροπο δοθηκε αρνητικη απαντηση στο 2ο προβλμα του HILBERT.

Κεφαλαιο 2 7

ΕΡΓΑΣΙΑ ΤΟΥ GODEL ( π 2 )

● ΚΩΔΙΚΟΠΟΙΗΣΗ ΚΑΤΑ GODELΟ Godel προσπαθησε να κωδικοποιησει τις συμβολικες προτασεις. Δηλαδη σε κάθε πρόταση θελησε να αντοιστηχείσι ενα αριθμο με μοναδικο τροπο. Ετσι, χρησιμοποιωντας το θεωρημα αναλυσης σε πρωτους εξασφαλισε τη μοναδικοτητα.

Σε καθε συμβολο αντιστοιχουμε εναν αριθμο, ο οποιος θα ειναι ο κωδικος του και ονομαζετε κωδικος Godel.Συμβολισμος :

c( u i )= 3i (οπου u i η i-οστη μεταβλητη) c( ∃ )=5 c( )=7 c( ∀ )=11 c( ( )=13 c( ) )=15 c( [ )=17 c( ] )=19 c( Κ )=23 c( T )=25 c( ^ )=29 c( A )=31

ΣΗΜΕΙΩΣΗΑν καποιος απο τους κωδικους Godel ηταν καποια δυναμη του 3 π.χ. C( ] )=27 τοτε οταν αποκωδικοποιουσαμε τον αριθμο δεν θα γνωριζαμε αν το 27 ειναι ο κωδικος του “]” ή “η 3η μεταβλητη” αφου 27= 33

.

8Επομενος αν μια προταση της προτασιακης λογικης που εχει ν χαρακτηρες θελησουμε να την κωδικοποιησουμε γραφουμε το γινομενο τον ν πρωτων πρωτων αριθμων με αυξουσα σειρα και σε καθε πρωτο υψωνουμε για εκθετη τον κωδικο Godel που του αντιστοιχει.

Για παραδειγμα, αν θελουμε να κωδικοποιησουμε την προταση “για καθε αγορι υπαρχει κοριτσι που να ειναι το ταιρι του” θα το κανουμε με τον εξης τροπο.Αν A(x) τα αγορια Κ(x) τα κοριτσια και T(x,y) το ταιρι y του αγοριου x τοτε η προταση στην γλωσσα μας θα ειναι: ∀ x[A(x) ∃ yK(y)^T(x,y)]

και ο κωδικος της: α= 211 33517 731117 135176 239 2919 31293519

Η προταση αυτη ειναι κωδικοποιημενη με μοναδικο τροπο.Με τον ιδιο τροπο μπορουμε να κωδικοποιησουμε μια ακολουθια εκφρασεων.

Φυσικα με αυτου του ειδους την κωδικοποιηση αν και ειναι μοναδικη ακομα και ο κωδικος μιας πολυ μικρης προτασης ειναι ενας πολυ μεγαλος αριθμος για να τον χειριστουμε και επισης δεν ειναι ευκολο να γραψουμε τον κωδικο Godel μιας προτασης ή μιας εκφρασης σαν γινομενο πρωτων σε καποια δυναμη. Επομενως δεν ειναι ''βολικος'' για εμας. Ομως αντιθετα, θεωρητικα ειναι πολυ σημαντικη η κωδικοποιηση του Godel, καθως χωρις αυτη δεν θα ειχε καταληξει στο θεωρημα της μη πληροτητας.Για παραδειγμα (αν εκανα σωστα τις πραξεις) ενα χονδροειδες κατω φραγμα ειναι ο αριθμος 10147 . Δηλαδη α> 10147 που ειναι ενας αριθμος με τουλαχιστον 148ψηφια!!!

Θεωρημα (1)Αν το P ειναι συνεπες τοτε καθε συναρτηση αναπαραστασιμη στο P ειναι αναδρομικη.

Θεωρημα του σταθερου σημειουΓια καθε τυπο Φ(x) υπαρχει μια προταση τ ωστε μεσα στο P υπαρχει τυπικη αποδειξη της τ αν και μονο αν υπαχει τυπικη αποδειξη της Φ('τ')

Δηλαδη υπαρχει τυπικη αποδειξη ωστε να αποδεικνυετε η τ. 9Το συμβολο 'τ' ειναι ο κωδικος Godel της προτασης τ.Σημειωση.Για την αποδειξη του παραπανω θεωρηματος χρησιμοποιηται το διαγωνιο επιχειρημα του CANTOR. ( π 0 )

ΟΡΙΣΜΟΣ: Ω-ΣΥΝΕΠΕΙΑΕνα συνολο προτασεων Τ λεμε οτι ειναι ω-συνεπες αν και μονο αν για καθε τυπο Φ(x) ισχυει:αν οχι Φ(n) για καθε n στους φυσικους τοτε δεν υπαρχει x ωστε xΦ(x).

ΣΧΕΣΗ ΤΗΣ Ω-ΣΥΝΕΠΕΙΑΣ ΚΑΙ ΤΗΣ ΣΥΝΕΠΕΙΑΣ

Αν το Τ ειναι ω-συνεπες τοτε το Τ ειναι συνεπες.

ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΗ:Το αντιστροφο δεν ισχυει οποτε η ω-συνεπεια ειναι ισχυροτερη απο την συνεπεια.

ΤΟ ΘΕΩΡΗΜΑ ΤΗΣ ΜΗ ΠΛΗΡΟΤΗΤΑΣΥπαρχει προταση Τ ωστε :

α)Αν το P ειναι συνεπες τοτε δεν υπαρχει αποδειξη που να αποδεικνυει την Τ. Καιβ)Αν το P ειναι ω-συνεπες δεν υπαρχει αποδειξη που να αποδεικνυει την αρνηση της Τ.

Δηλαδη συμβολικα εχουμε:

α)αν P συνεπες τοτε P T

β)αν P ω-συνεπες τοτε P ¬ T

10

ΣΚΙΑΓΡΑΦΙΣΗ ΤΗΣ ΑΠΟΔΕΙΞΗΣ

Η σχεση PF ειναι εκφρασημη στο P αφου ειναι αναδρομικη και υποθεσαμε οτι το P ειναι συνεπες (προηγουμενο θεωρημα (1) ).Εστω φPF(x,y) ο τυπος που αναπαριστα την PF στο P.Τοτε εφαρμοζοντας το θεωρημα του σταθερου σημειου για τον τυπο ∀ x¬ φPF(x,y) εχουμε οτι υπαρχει μια προταση τ τετοια ωστε

P|-τ ⇔ ∀ x¬φPF(x,[τ]) (*)

τοτε

α)Αν το P συνεπες και P|-τ.Τοτε υπαρχει τυπικη αποδειξη του τ με αριθμο Godel, εστω p. Τοτε ισχυει P|-PF(p,[τ]). Ομως λογο της (*) καταληγουμε σε αντιφαση.

β)Εστω οτι το P ειναι ω-συνεπες και P|-¬τ. Τοτε παλι λογο της (*) και της ω-συνεπειας επεται οτι υπαρχει φυσικος αριθμος ν ωστε: P ¬φPF(ν,[τ]) .

Και αφου το P ειναι συνεπες προκυπτει οτι P τ, αρα για καθε φυσικο ν, ο ν δεν ειναι αριθμος Godel τυπικης αποδειξης του τ απο το P.Ετσι, τελικα καταληγουμε σε αντιφαση.

● ΣΥΜΠΕΡΑΣΜΑΤΑ ✔ Η μαθηματικη αληθεια δεν ειναι ταυτοσιμη με την τυπικη αποδειξη.✔ Δεν γινεται να εχουμε στην θεωρια μας συνεπεια πληροτητα και ορισμο

αξιωματων με αναδρομικο τροπο.

Κεφαλαιο 3 11

ΣΥΝΕΠΕΙΕΣ ΤΟΥ ΘΕΩΡΗΜΑΤΟΣ...● Προκαλεσε εντονη αναστατωση στους μαθηματικους εκεινης της εποχης

που ειχαν αφιερωσει την ζωη τους στην επιλυση αλυτων προβληματων γιατι το θεωρημα εισηγαγε την αμφιβολια για την υπαρξη ή μη της αποδειξης.

● Το αποτελεσμα αυτο δεν το περιμενε ουτε ο ιδιος ο Godel ποσο μαλλον η υπολοιπη μαθηματικη κοινoτητα.

● Με το θεωρημα αυτο εχουμε την ουσιαστικη καταργηση του προγραμματος HILBERT για τον φορμαλισμο των μαθηματικων.

● Το θεωρημα αυτο αποτελει ''πληγμα'' στα θεμελια των μαθηματικων εκεινης της εποχης και αλλαζει τον τροπο με τον οποιο οι νεοτεροι μαθηματικοι ''προσεγγιζουν'' τα μαθηματικα.

ΑΝΤΙΔΡΑΣΕΙΣ ΣΥΝΑΔΕΛΦΩΝ● CARNAP ( π 0 )

Λιγες ημερες μετα την αποκαλυψη της ανακαλυψης του στον CARNAP (σε ενα καφε στο ραιχσρατ) εκεινος υποστηριξε οτι η συνεπεια πρεπει να αποτελει βαση των τυπικων μαθηματικων θεωριων.Ενα χρονο αργο αργοτερα ο CARNAP εξομολογηται πως ακομα δεν καταλαβαινει τα αποτελεσματα του Godel.

● HILBERT ( π 0 )Αντεδρασε με θυμο στην ανακαλυψη του Godel και προτεινε να εμπλουτιστουν τα φορμαλιστικα συστηματα με εναν καινουργιο κανονα παραγωγικης συνεπαγωγης που θα επετρεπε εφαρμογη απειρων προτασεων ακυρωνοντας με αυτον τον τροπο το θεωρημα του Godel. Ομως στην συνεχεια εγκατελειψε την

12ιδεα αυτη. Ετσι μη εχοντας αλλη επιλογη φαινετε πως αποδεχετε το θεωρημα, μιας και σε ενα εγχειριδιο μαθηματικης λογικης που γραφει ο ιδιος συμπεριελαμβανει την εργασια του Godel.

Επισης ο βοηθος του HILBERT ζηταει βοηθεια απο τον ιδιο τον Godel για καποιες λεπτομεριες της απογδειξης του.

● ZERMELO ( π 0 )Για τον ZERMELO ο Godel ηταν ο μαθηματικος του αντιπαλος. Μαλιστα, εγραψε στον Godel οτι ανακαλυψε ενα μεγαλο κενο στην αποδειξη του, για να λαβει μια δεκασελιδη απαντηση. Ομως αυτο δεν ειχε κανενα αποτελεσμα.Ο ZERMELO συνεχισε να τον κατακρινει. Ετσι ο Godel επαψε να ασχολειται μαζι του.Ακομη και ο CARNAP παραδεχτηκε οτι ο ZERMELO εχει παρανοησει εντελως το επιτευμα του Godel.

● RUSSELL Ο RUSSELL αν και αναγνωριζει την σημασια αλλα δεν φαινετε να ειχε κατανοησει σε βαθος το αποτελεσμα αφου ρωταει αμηχανα: «δηλαδη να πιστεψουμε οτι 2+2 δεν κανει 4 αλλα 4,001;» Χαρακτηριστικα ο Godel αναφερει σε ενα γραμμα οτι: «o RUSSELL προφανως παρερμηνευει τα ευρηματα μου, αλλα ο τροπος που το κανειεχει πολυ ενδιαφερον.»

● VON NEUMAN Ο VON NEUMAN ηταν απο τους λιγους της εποχης που οχι μονο καταλαβε το θεωρημα αλλα κατεληξε και σε ενα επιπλεον αποτελεσμα που σημερα ονομαζεται ''το δευτερο θεωρημα της μη πληροτητας''. Οταν το κοινοποιησε στον Godel αυτος απαντησε προς απογοητευση του πρωτου... « Θα με ενδιεφερε πολυ να ακουσω τις αποψεις σας πανω σε αυτο... Αν ενδιαφερεστε θα σας στειλω την αναλυτικη αποδειξη»

13

ΕΠΗΔΡΑΣΗ ΤΟΥ ΘΕΩΡΗΜΑΤΟΣ

● «Ο θεος υπαρχει αφου τα μαθηματικα ειναι συνεπη και ο διαβολος υπαρχει αφου δεν μπορουμε να το αποδειξουμε.»

-ANDRE WEIL-

● «Ο φιλεσπλαχνος θεος μας προστατευει τα μαθηματικα απο το να πνιγουν στα ρηχα νερα της τεχνικης.»

-SIMONE WEIL-

● «Χαρη στα μαθηματικα του Godel γνωριζουμε πως η μαθηματικη σκεψη ειναι κατ' ουσια δημιουργικη.»

-EMIL POST-

● «Κορυφαια μαθηματικη προσωπικοτητα του εικοστου αιωνα.» -περιοδικο TIME-

14

Η ΦΙΛΙΑ ΤΟΥ ΜΕ ΤΟΝ EINSTEIN

● «Ο Godel ηταν ο μονος απο τους συναδελφους μας που μιλουσε με τον EINSTEIN επι ισοις οροις.»

-FREEMAN-

(O Kurt Godel με τον φιλο του Albert Einstein.)

15

(Kurt Godel και Albert Einstein στο ινστιτουτο ανωτερων μελετων.) ( π 4 )

16

GODEL ΚΑΙ ΘΕΩΡΙΑ ΤΗΣ ΣΧΕΤΙΚΟΤΗΤΑΣΚατι που δεν ειναι γνωστο ειναι οτι ο Godel ασχοληθηκε με την φυσικη. Ισως και λογο της φιλιας του με τον Einstein ασχοληθηκε με την θεωρια της σχετικοτητας

και το 1949 δημοσιευσε μια εργασια οπου υποστηριζε οτι υπαρχουν κοσμοι στους οποιους ο χρονος δεν ''υφισταται''. Η εργασια του ηταν τοσο ρηξικελευθη που

αναγκασε τον Στιβεν Χοκινγκ να εισαγει τη λεγομενη ''εικασια προστασιας της χρονολογιας'' ωστε να αποκλεισει μοντελα του Godel. ( π 5 )

(Στα 70α γεννεθλια του Einstein.)

17

ΛΟΓΟΤΕΧΝΙΑ-ΤΕΧΝΗ

Δεκαδες μυθιστορηματα και βιβλια εκλαϊκευμενης επιστημης εχουν εκδοθει ανα τον κοσμο που αναφερονται στην δοιανεια του Godel, στα θεωρηματα του και στις φιλοσοφικες προεκτασεις τους.Χαρακτηριστικα θα αναφερω μερικα βιβλια που ετυχε ή ''εμελε'' να πεσουν στα χερια μου και αναφερονται στον Godel: Ο θειος Πετρος και η εικασια του Goldbach, επιστολες σε μια νεαρη μαθηματικο.Ενω βιβλια εκλαϊκευμενης επιστημης και μυθηστορηματα που ''βασιζονται'' στον Godel ειναι τα εξης: ενας κοσμος διχως χρονο, πυθαγορεια εγκληματα, ο αιχμαλωτος των μαθηματικων. Το θεωρημα εχει εμπνευση ποιητες, φιλοσοφους και εχουν γινει θεατρικες παραστασεις. Χαρακτηριστικο παραδειγμα ειναι το θεατρικο εργο δεκατη εβδομη νυχτα ( π 3 ), που εγραψε ο Αποστολος Δοξιαδης με σκηνοθετη τον Αντωνη Καφετζοπουλο και στον ρολο του Godel ο ηθοποιος Γιωργος Κοτανιδης.

(Απο αριστερα προς τα δεξια Δοξιαδης-Κοτανιδης-Καφετζοπουλος.)

18

Κεφαλαιο 4

ΜΙΚΡΑ ΜΥΣΤΙΚΑ ΓΙΑ ΜΙΑ ΜΕΓΑΛΗ ΔΟΙΑΝΕΙΑ.

● Στην ηληκια των 8 ετων συνειδητοποιει οτι οι διανοητικοι οριζοντες των γονιων του ειναι περιορισμενοι και δεν μπορουν να τον καλυψουν νοητικα.

● Του αρεσαν παρα πολυ τα παραμυθια. Μαλιστα ειχε αναφερει οτι: «Μονο οι μυθοι παρουσιαζουν τον κοσμο οπως θα επρεπε να ειναι για να εχει καποιο νοημα.» Αγαπημενο του παραμυθι ηταν το διασημο η χιονατη και οι εφτα νανοι.Επισης εβλεπε κινουμενα σχεδια κυριως Walt Disney, ενω αντιπαθουσε τις κωμωδιες.

● Ηταν μελος του διασημου κυκλου της Βιεννης οπυ ειχε ''θερμες'' αντιπαραθεσεις με τον Wittgenstein.

● Εκτος απο τα μαθηματικα, του αρεσαν επισης η φιλοσοφια. Μελετησε αρκετους φιλοσοφους και μαλιστα ηταν βαθυτατα πλατωνιστης.

● Ηταν παντρεμενος με την κατα 6 χρονια μεγαλυτερη Adele Porkert η οποια ηταν χορευτρια και αποκαλουσε το ινστιτουτο ανωτερων μελετων οικο ευγηριας.

19

(Η Adele, γυναικα του Godel.)

20

Ο GODEL ΩΣ ΦΙΛΟΣΟΦΟΣΕνα ακομη σημειο στο οποιο υπηρχαν αντιπαραθεσεις ειναι στο κατα ποσο ο Godel ηταν φιλοσοφος. Στα χρονια της ακαδημαικης του σταδιοδρομιας ειχε την φοβια μηπως ηταν φιλοσοφικα ημιμαθης. Ειχε μελετησει το εργο σημαντικων φιλοσοφων οπως των Frege, Carnap, Russell, Leibniz, Kant καθως επισης Αριστοτελη και Πλατωνα.

Για τηνφιλοσοφια ο Godel ειχε πει:«Η ενασχοληση μου με την φιλοσοφια ειναι σωτηρια, ακομη κι οταν δεν οδηγει σε θετικα αποτελεσματα...Τα χρωματα ειναι πιο φωτεινα και η πραγματικοτητα φανταζει πιο πραγματικη.»

«Ζουμε σε ενα κοσμο οπου το 90% των ομορφων πραγματων καταστρεφονται πανω στο ανθος τους.»

-KURT GODEL-

21

ΠΑΡΟΥΣΙΑΣΤΙΚΟ(επιγραμματικα)

● Ηταν λεπτος (κοκαλιαρης), ειχε 1,70m υψος (μετρα). Φορουσε ακομα και το καλοκαιρι κασκολ και παλτο αφου απεχθανοταν το κρυο. Επισης πιστευε απο μικρος οτι οσο λιγοτερο τρωει τοσο το καλυτερο.

● Εκανε το παν για να απεχει απο περιττες κοινωνικες συνευρεσεις, ενω απο την αλλη του αρεσε να συζηταει διαφορα θεματα με αλλους επιστημονες σε καποιο καλο καφε (κυριως οταν ηταν στην Βιεννη).

● Σε νεαρη ηληκια επαθε ρευματικο πυρετο κατι που τον εκανε καχυποπτο απεναντι στους γιατρους και τελικα εξελιχθηκε σε νευρωση με μοιραια αποτελεσματα. Επισης (τα τελευταια χρονια της ζωης του) πιστευε οτι απο το ψυγειο εβγαινε ''χαλασμενος αερας'' ή τοξικα αερια.

● Πεθανε στις 11 Ιανουαριου του 1978 με βαρος μολις 32 με 35 κιλα.Η διαγνωση των γιατρων εκανε λογο για υποσιτισμο οφειλομενο σε διαταραχη της προσωπικοτητας......

22(Χαρακτηριστικες φωτογραφιες που φανερωνουν το ''σκελετωμενο'' κορμι του, ειδικα τα τελευταια χρονια

της ζωης του.)

(Φανερη διαφορα βαρους και η ελλειψη αυτου στην 2η φωτογραφια.)

23

«Αραγε η ψυχικη του αρρωστια ειναι συνεπεια του οτι απεδειξε (τη μη αποδειξημοτητα της φορμαλιστικης αριθμιτικης) ή μηπως η αρρωστια του ειναι αναγκαια για ενα τετοιο εγχειρημα;»

-FILIP FURTWANGLER-

(......)

Κεφαλαιο 5 24

ΣΧΟΛΙΑ1)Το γεγονος οτι τωρα δεχονται ''ολοι'' οι ''μαθηματικοι'' το θεωρημα δεν σημαινει οτι το καταλαβαινουν κιολας (ποσο μαλλον εγω, που προσπαθω να γινω ''μαθηματικος'').Αραγε υπαρχει καποιος που θα ειχε κατανοησει εννοιες οπως η βαρυτητα και πως λειτουργουν οι νομοι της φυσης (κατι που ισως το θεωρουμαι απλο) αν απο δυο ( 2 ) χρονων δεν ακουγαμαι συνεχεια για αυτα; (και αν υπαρχει πιο ειναι το ποσοστο αυτων των ανθρωπων σε σχεση με τον γενικο πληθησμο;;)Ποσοι απο τους ''μαθηματικους'' του σημερα αν αυριο αποδεικνυοταν το θεωρημα της μη πληροτητας θα ηταν προετοιμασμενοι να ακουσουν κατι τετοιο;

Νομιζω πως τετοιου ειδους ερωτηματα κανουν αυτα τα ''μονο'' δυο ( 2 )θεωρηματα ξεχωριστα μεσα στο πληθος των ολο και περισσοτερων νεων θεωρηματων (καθε χρονο ''παραγονται'' περιπου 50.000 σελιδες μαθηματικων) και κανουν τον GODEL των δυο ( 2 ) θεωρηματων να ξεχωριζει, ενω αλλοι μαθηματικοι με δεκαδες δημοσιευσεις (η μοδα της εποχης) να ειναι στην μαθηματικη ''αφανεια''...

2)Το θεωρημα του Godel για τους μαθηματικους εκεινης της εποχης ηταν σαν μια βομβα στα θεμελια του πιο κομψου οικοδομιματος της επιστημης. Τα μαθηματικα. Η πηγη αυτης της αντιλιψης ηταν το γεγονος οτι πιστευαν οτι η ενοια της αληθειας συνδεετε -η μαλλον ταυτιζεται- με την ενοια της αποδειξης. Ομως αντι για την δυση της επιστημης των μαθηματικων μετα απο αυτο το ανελπιστο θεωρημα ειχαμε ενα ομορφο ηλιοβασιλεμα.

Και δεν ηταν μονο αυτο. Μια καινουργια μερα πλεον ξημερωνε...Αντι οι μαθηματικοι να μειωσουν τις προσπαθειες τους (λογο της αγνοιας τους για το αν υπαρχει αποδειξη στο προβλημα που προσπαθουν να λυσουν) εξακολουθουν να ασχολουνται με ανοιχτα προβληματα. Μαλιστα ο Ρωσος με Ευραϊκη καταγωγη μαθηματικος Perelman χρειαστηκε περιπου 500 σελιδες για να αποδειξη την εικασια του Poincare. Ακουγετε Τρελο...

25Μεσα απο τις προσπαθειες καποιων προικισμενων ανθρωπων που τους αρεσουν τα μαθηματικα αντικατοπτριζεται το πισμα και η θεληση του ανθρωπου για να μαθει την αληθεια και να πετυχαινει τους στοχους του. (Δυστηχως πολλες φορες με οδυνηρες συνεπειες για τον ιδιο τον ανθρωπο.)Ο Godel μας δειχνει την διαχωριστικη γραμμη την οποια οι μαθηματικοι δεν θα μπορεσουν ποτε να ξεπερασουν.....

Υ.Γ.Κατι αντιστιχο εγινε και στην φυσικη στον τομεα της κβαντομηχανικης με την ΑΡΧΗ ΤΗΣ ΑΒΕΒΑΙΩΤΗΤΑΣ, που εκανε τον Einstein να σχολιασει με θυμο: «ο θεος δεν παιζει ζαρια με τον κοσμο!!!»

«Τον Αρχιμηδη θα τον θυμουνται ολοι οταν ο Αισχυλος θα εχει ξεχαστει, γιατι οι γλωσσες πεθαινουν ενω οι μαθηματικες αληθειες ειναι παντοτινες. Η «αθανασια» ισως να ειναι μια λεξη ανοητη, αλλα αν σημαινει κατι, αυτο το διεκδικει πολυ περισσοτερο απο τον καθενα ο μαθηματικος»

-HARDY-

26

ΕΠΕΞΗΓΗΣΕΙΣπ 0 : Σε οσα ονοματα μαθηματικων υπαρχει αυτο το συμβολο, εχουν γινει

εργασιες για αυτους στα πλαισια του μαθηματος ΙΣΤΟΡΙΑ ΤΗΣ ΛΟΓΙΚΗΣ (εαρηνο εξαμηνο του ακαδημαϊκου ετους 2007-2008). Περισσοτερες πληροφοριες στην ιστοσελιδα http://web-server.math.uoc.gr:1080//Members/asirokof .

✔ Carnap: Τσαπακη Σοφια (Α. Μ. 3265).✔ Cantor: Μαρινακη Κωνσταντινα (Α. Μ. 3318).✔ Peano: Ζαχαριαδης Θωμας (Α. Μ. 3153).✔ Hilbert: Μαυραγανη Αμαρυλλις (Α. Μ. 2851).✔ Zermelo: Καραπετσας Αθανασιος (Α. Μ. 1633)

π 1 Αναλυτικες πληροφοριες σχετικα με τα αξιωματα Peano υπαρχουν στην ιστοσελιδα της κ. Αλλα Σιροκοφσκιχ στην εργασια που εκανε ο Ζαχαριαδης Θωμας (Α. Μ. 3153).

π 2 : Οι αυστηρες αποδειξεις της εργασιας του Godel στις σημειωσεις του κ. Κ. Ι. Δημητρακοπουλου ''Σημειωσεις μαθηματικης λογικης''.http://www.math.ucla.edu/~ynm/

π 3 : Πληροφοριες για την παρασταση 17η νυχτα ή για τον Αποστολο Δοξιαδη υπαρχουν στις ιστοσελιδεςhttp://www.naftemporiki.gr/t+z/story.asp?id=1266304http://news.kathimerini.gr/4dcgi/_w_articles_civ_2_11/02/2007_215232Επισης ο Δοξιαδης εχει γραψει το παγκοσμιο best seller ''Ο θειος Πετρος και η εικασια του Goldbach.''Πληροφοριες σχετικα με τον Δοξιαδη θα βρειτε στην ιστοσελιδα τουhttp://www.apostolosdoxiadis.com/page/

π 4 : Ινστιτουτο ανωτερων μελετων του Πριστον. Ειναι το φημισμενο ιδρυμα οπου καποια απο τα μεγαλυτερα ''μυαλα'' εχουν εργαστει εκει. Οι μονες ''υποχρεωσεις'' που εχουν οσοι εργαζονται εκει ειναι απλα να ερευνουν. Οι καθηγητες ειναι απαλλαγμενοι απο την διδασκαλια και ''απλως'' πληρωνονται για να σκεφτονται.

Για περισσοτερες πληροφοριες 27http://www.ias.edu/

π 5 : Μια γευση απο τα αποτελεσματα του Godel στην φυσικη στο βιβιλιο ''Ενας κοσμος διχως χρονο'', Palle Yourgrau εκδοσεις Τραυλος.

ΕΡΓΟΓΡΑΦΙΑ

ΒΙΒΛΙΟΓΡΑΦΙΑ➢ ''Σημειωσεις μαθηματικης λογικης'' Κ. Ι. Δημητρακοπουλος.

➢ ''Ενας κοσμος διχως χρονο'', Palle Yourgrau εκδοσεις Τραυλος.

➢ ''Thinking about mathematics'', S. Shapiro (μεταφρασμενο απο τον Κ. Δροσο και Δ. Σπανο, με τιτλο ''Σκεψεις για τα μαθηματικα'')

ΙΣΤΟΣΕΛΙΔΕΣ ΣΤΑ ΕΛΛΗΝΙΚΑ➢ http://el.wikipedia.org/wiki/%CE%9A%CF%8D%CF%81%CE%B9%CE%

B1_%CE%A3%CE%B5%CE%BB%CE%AF%CE%B4%CE%B1➢ http://www.physics4u.gr/articles/2008/Goedel.html ➢ http://charalambos-kappa.blogspot.com/2007/03/blog-post.html ➢ http://www.travlos.gr/Logeion/enasKosmos_dixosXrono.htm ➢ http://www.sciencenews.gr/index.php?option=com_content&task=view&id

=158&Itemid=43➢ http://www.wikipedia.gr/%CE%BC/%CE%B1/%CE%B8/%CE%9C%CE

%B1%CE%B8%CE%B7%CE%BC%CE%B1%CF%84%CE%B9%CE%BA%CE%AE_%CE%BB%CE%BF%CE%B3%CE%B9%CE%BA%CE%AE.html

➢ http://paramethorios.blogspot.com/2007/11/blog-post_08.html ➢ http://tovima.dolnet.gr/print.php?e=B&f=14926&m=S04&aa=1 ➢ http://mouroulis.freehost.gr/thewrima%20mi%20plirotitas.htm ➢ http://www.methexi.gr/thewrima%20mi%20plirotitas.htm ➢ http://www.oodegr.com/oode/epistimi/goedel1.htm ➢ http://mkaragiannis.blogspot.com/2007/08/blog-post_27.html

28ΞΕΝΟΓΛΩΣΣΕΣ ΙΣΤΟΣΕΛΙΔΕΣ

➢ http://en.wikipedia.org/wiki/G%C3%B6del's_incompleteness_theorems ➢ http://www.math.hawaii.edu/~dale/godel/godel.html ➢ http://www.myrkul.org/recent/godel.htm

➢ http://www.amazon.com/Incompleteness-Proof-Paradox-Godel - Discoveries/dp/0393051692

➢ http://plato.stanford.edu/entries/goedel/ ➢ http://cscs.umich.edu/~crshalizi/notebooks/godels-theorem.html ➢ http://www.edge.org/3rd_culture/goldstein05/goldstein05_index.html ➢ http://en.wikipedia.org/wiki/G%C3%B6del's_completeness_theorem ➢ http://www.usna.edu/Users/math/meh/godel.html

ΕΥΧΑΡΙΣΤΙΕΣ

Για την εργασια αυτη δεν μπορω παρα να ευχαριστησω την κ. Αλλα Σιροκοφσκιχ γιατι μου εδωσε την ευκαιρια να κανω εργασια πανω σε εναν ξεχωριστο μαθηματικο που οχι απλως με την εργασια του εβαλε το δικο του λιθο στο οικοδομημα των μαθηματικων αλλα ταραξε το συνολο των μαθηματικων και οχι μια περιοχη καποιου τομεα των μαθηματικων. Επισης με βοηθησε να κατανοησω διαφορα πραγματα σχετικα εργασια του Godel και ηταν υπομονετικη με τις εκνευριστηκα συχνες επισκεψεις (αν και θεωρητικα και αυτη ειναι μια απο τις υποχρεωσεις των καθηγητων ) στο γραφειο της για να την ρωτησω σχετικα με την εργασια.Επισης ενα μεγαλο ευχαριστω στον κ. Θεμη Μητση που ηταν για καλη μου τυχη (εδω κολλαει το ''κοιμαμαι και η τυχη μου δουλευει'' ) συμβουλος καθηγητης στο 1ο ετος. Φυσικα δεν εχω σταματησει να τον συμβουλευομαι για το οτιδηποτε και πριν κανω την παρουσίαση και την εργασια μου ηθελα να ακουσω την γνωμη του. Αυτος αν και δεν τον αφορα το μαθημα (δεν ειναι καν στον τομεα του) το εκανε με μεγαλη ευχαριστηση (οπως καθε φορα που τον ρωταω για οτιδηποτε) και του οφειλω ΤΟΥΛΑΧΙΣΤΟΝ ενα ευχαριστω και μια συγνωμη γιατι για αλλη μια φορα ''εφαγα'' λιγο απο τον χρονο του.

29ΑΦΙΕΡΩΣΗ

Αν και δεν θα διαβασει κανεις αλλος την εργασια, θελω να την αφιερωσω στην γιαγια μου που ''εφυγε'' ξαφνικα τον Δεκεμβριο του 2006.....

Υ.Γ.Οντας ανορθογραφος ειμαι σιγουρος οτι το κειμενο εχει παραπανω απο ''πολλα'' λαθη.

30