ε3

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2

Ορια-Συνέχεια

1. Πρέπει να γνωρίζουμε καλά Ορισμό συνάρτησης , εύρεση πεδίου ορισμού Ορισμοί πράξεων συναρτήσεων ,σύνθεση Ορισμοί μονοτονίας και ακροτάτων συνάρτησης Εύρεση αντίστροφης συνάρτησης Λυση της εξίσωσης Τις ιδιότητες του ορίου για και Τους ορισμους και ιδιότητες συνεχων συναρτήσεων Τα βασικά θεωρήματα συνεχών συναρτήσεων Bolzano-ΘΕΤ

2. Προσέχουμε πάντα τα χ για τα οποία ορίζεται μία συνάρτηση ή μία συναρτησιακή σχέση. Αν δεν μας δίνονται πρέπει να τα βρίσκουμε.

3. Για κάθε συνάρτηση με πεδίο ορισμου ισχύειΓια κάθε με

4. Για τη σύνθεση της με την ισχύουν Για το πεδίο ορισμού της λαμβάνουμε

υπόψη ότι ώστε . Αν το σύνολο τιμών της περιέχεται στο πεδίο ορισμού της

τότε το πεδίο ορισμού της συμπίπτει με το πεδίο ορισμού της .

Αν μας δίνεται ο τύπος και γνωρίζουμε την τότε κάνουμε αντικατάσταση… και βρίσκουμε τον τύπο της (: )

Αν μας δίνεται ο τύπος και γνωρίζουμε την τότε στην βάζουμε όπου χ το και εξισώνουμε τις δύο ισότητες οι οποίες προκύπτουν ….. κατόπιν βρίσκουμε εύκολα την .

Α► ΤΙ ΠΡΟΣΕΧΟΥΜΕ

►ΚΛΕΙΔΙΑ ΓΙΑ ΤΙΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ

Αν οι έχουν το ίδιο είδος μονοτονίας τότε η σύνθεση της με την , δηλαδή η , είναι γνησίως αύξουσα. (Απόδειξη εύκολη με βάση τον ορισμό).

Αν οι έχουν διαφορετικό είδος μονοτονίας τότε η σύνθεση της με την , δηλαδή η , είναι γνησίως φθίνουσα. (Απόδειξη εύκολη με βάση τον ορισμό).

5. Για μια γνήσια μονότονη συνάρτηση ισχύουν Αν η είναι γνησίως αύξουσα στο τότε

Για κάθε

Αν η είναι γνησίως φθίνουσα στο τότε

Για κάθε

Αν η είναι γνήσια μονότονη αύξουσα στο τότεη εξίσωση έχει μια το πολύ ρίζα στο

Ισοδύναμα το παραπάνω σημαίνει ότι η γραφική παράσταση τέμνει τον άξονα σε ένα το πολύ σημείο.

Αν μια συνάρτηση είναι γνησίως μονότονη σε ένα διάστημα Δ και σε κάποιο χο του Δ μηδενίζεται τότε στο σημείο αυτό θα αλλάζει πρόσημο. Βρίσκουμε το πρόσημό της χρησιμοποιώντας τον ορισμό της μονοτονίας.

6. Για την αντιστρεψιμότητα μιας συνάρτησης και την αντίστροφη της ισχύουν Η αντίστροφη συνάρτηση της συνάρτησης ορίζεται μόνο αν η

είναι «1-1» και έχει πεδίο ορισμού το σύνολο τιμών της . Είναι γνησίως μονότονη, η , στο σύνολο τιμών της αν η

είναι γνησίως μονότονη στο πεδίο ορισμού της και έχει το ίδιο είδος μονοτονίας.

Για κάθε y που ανήκει στο σύνολο τιμών της υπάρχει μοναδικό x που ανήκει στο πεδίο ορισμού της ώστε: , εφόσον ορίζεται η .

Για κάθε x που ανήκει στο σύνολο τιμών της , εφόσον ορίζεται η

Για κάθε x που ανήκει στο πεδίο ορισμού της , εφόσον ορίζεται η

Σημαντικές σχέσεις για την επίλυση ανισώσεων ή στην απόδειδη΄΄ανισοτικών΄΄ σχέσεων

Οι γραφικές παραστάσεις των , εφόσον ορίζεται η , είναι συμμετρικές ως προς την διχοτόμο 1ου και 3ου τεταρτημορίου δηλαδή την ευθεία ψ=χ.

Το (χο , ψο) ανήκει στην γραφική παράσταση της (χο)=ψο και εφόσον η αντιστρέψιμη , (ψο)=χο το (ψο , χο) ανήκει στην γραφική παράσταση της . Βέβαια απαιτείται και χο στοιχείο του πεδίου ορισμού της .

Αν η γραφική παράσταση της τέμνει την ψ=χ σε ένα σημείο τότε και η γραφική παράσταση της θα τέμνει την ψ=χ στο ίδιο σημείο.

Οι γραφικές παραστάσεις των θα τέμνονται μόνο πάνω στην ψ=χ αν η είναι γνησίως αύξουσα κάτι που δεν ισχύει αν η δεν είναι γνησίως αύξουσα.

7. Αν ένας αριθμός κ ανήκει στο σύνολο τιμών μιας συνάρτησης τότε η εξίσωση θα έχει ρίζα στο πεδίο ορισμού της , δηλαδή υπάρχει χο στο πεδίο ορισμού της ώστε:

8. Από την ισότητα μπορούμε να συμπεράνουμε α = β , εφόσον γνωρίζουμε ότι η συνάρτηση είναι «1-1» ή γνησίως μονότονη στο σύνολο όπου υπ΄ρχουν τα α, β.Δηλαδή

9. Όταν μια συνάρτηση δεν είναι «1-1» τότε υπάρχουν α, β στο πεδίο ορισμού της για τα οποία ισχύει

10.Για τα όρια της μορφής ισχύουν

Α. Η εύρεση του ορίου προυποθέτει ότι η f ορίζεται σε διάστημα της μορφής (α , χο )( χο , β).

Β. Η εφαρμογή των ιδιοτήτων προυποθέτει ότι υπάρχουν τα όρια και οι πράξεις μεταξύ τους είναι επιτρεπτές.

Σημαντική σχέση για την επίλυση εξισώσεων ή στην απόδειδη ΄΄ισοτικών΄΄ σχέσεωνσχέσεων

Γ. ΓΕΝΙΚΑ στην εύρεση του

Εξετάζουμε αν εφαρμόζοντας τις βασικές ιδιότητες του ορίου ή το Κριτ. Παρεμβολής ή τα βασικά τριγ. όρια βρίσκουμε όριο πραγμ. αριθμό.

Αν ΝΑΙ ΤΕΛΟΣ Αν ΟΧΙ τότε

ΣΤΗΝ ΑΠΡ/ΣΤΙΑ κάνουμε όλες εκείνες τις ενέργειες

(παραγοντοποίηση , απαλοιφή απολύτου , συζυγή παράσταση……. ώστε να οδηγηθούμε σε άρση της

απροσδιοριστίας ή σε απροσδιοριστία .

Η ΑΠΡ/ΣΤΙΑ μας οδηγεί σε όριο

11. Χρησιμοποιούμε το κριτήριο παρεμβολής ,όταν μας δίνεται ανισοτική σχέση της μορφής ή η συνάρτηση έχει μια από τις παρακάτω μορφές

ή ή

12. ΟΡΙΟ ΑΠΟ ΣΧΕΣΗ ΟΡΙΟΥΔίνεται ότι (δηλαδή είναι γνωστό το όριο μιας

δοσμένης παράστασης της )

Και ζητείται το ή το

δηλαδή το όριο μιας άλλης παράστασης της f .

Εργαζόμαστε ως εξής Συμβολίζουμε τη δοσμένη παράσταση της f . Π.χ.

(1) Λύνουμε την (1) ως προς την f και στη συνέχεια παίρνουμε

όρια

13. Προσοχή!!! Μπορούμε να γράφουμε μόνον όταν

γνωρίζουμε ότι η συνάρτηση είναι συνεχής στο χο. Όταν για μια συνάρτηση, (του βιβλίου σας) , γνωρίζουμε τον τύπο της ασυνέχεια ενδεχομένως να έχουμε μόνο στα σημεία που αλλάζει ο τύπος της. Αν δεν γνωρίζουμε τον τύπο της συνάρτησης τα συμπεράσματά μας , για τη συνέχεια, θα προκύπτουν μόνο από τα δεδομένα.

14. Αν σε κάποια συνάρτηση δεν μπορούμε να βρούμε απευθείας την τιμή της στο χο ενδεχομένως να χρειάζεται να υπολογίσουμε το όριό της στο χο. Αν έχουμε ότι η συνάρτηση είναι συνεχής στο χο , τότε η τιμή της θα συμπίπτει με το όριό της. Αν συνεχής στο χο τότε:

.

15. Για τα όρια της μορφής ισχύουν

Α. Η εύρεση του ορίου προυποθέτει ότι η f ορίζεται σε διάστημα της μορφής Β. Η εφαρμογή των ιδιοτήτων προυποθέτει ότι υπάρχουν τα όρια και οι πράξεις μεταξύ τους είναι επιτρεπτές.

Γ. ΓΕΝΙΚΑ στην εύρεση του Μπορούμε να εργαστούμε κατά περίπτωση εφαρμόζοντας τις

παρακάτω ΜΕΘΟΔΟΥΣ ή Να εργαστούμε εφαρμόζοντας γενικά

Τις ιδιότητες του ορίου στο Το Κριτήριο Παρεμβολής Παραγοντοποιώντας ,κατά περίπτωση ,τις

μεγιστοβάθμιες δυνάμεις του και κάνοντας χρήση των βασικών ορίων

και

16. Προσοχή!!! Δεν υπάρχουν τα όρια και . Σε περίπτωση που τα συναντάμε σε κάποια παράσταση χρησιμοποιούμε το Κ.Π. λαμβάνοντας υπόψιν μας τις ιδιότητες: , , για κάθε χ. Η ισότητα στην τελευταία ανίσωση ισχύει μόνο στο 0.

17. Αν το είναι ένας θετικός ή αρνητικός αριθμός τότε κοντά στο

xο οι τιμές της συνάρτησης θα είναι θετικοί ή αρνητικοί αριθμοί αντίστοιχα, μια σημαντική βοήθεια όταν θέλουμε να απαλείψουμε απόλυτα ή να κάνουμε Bolzano ή …… Παρόμοια συμπεράσματα έχουμε και στις περιπτώσεις που , το όριο της συνάρτησης είναι

18. Αν το υπάρχει και είναι αριθμός και η συνάρτηση έχει τιμές ,

κοντά στο χο , θετικές ή 0 τότε (προσοχή μπορεί να είναι

και 0 το όριο ακόμη και αν κοντά στο χο).

19. Αν γνωρίζουμε ότι κοντά στο χο και τότε και

με δεδομένο ότι θα ισχύει το συμπέρασμά μας , από το

Κ.Π. θα είναι ότι . Παρόμοιο συμπέρασμα θα έχουμε και για

το - .

Αν για την f ισχύει Για κάθε χ1 , χ2 ε Α με χ1 χ2 f (χ1) = f ( χ2)

Β ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ - ΑΣΚΗΣΕΙΣ

░οι απαντησεις στις σελίδες ………………..

2.1

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ

Τ ότε η f είναι συνάρτηση ;

Έστω συνάρτηση "1 - 1". Σε πόσα σημεία η γραφική παράσταση της μπορεί να τέμνει την ευθεία ψ=2006 ;

Έστω η συνάρτηση . Απαντήστε σύντομα στις παρακάτω ερωτήσεις α. Πότε η είναι αντιστρέψιμη ; β. Ποιο είναι το πεδίο ορισμού της -1 ; γ. Τι γνωρίζετε για τις γραφικές παραστάσεις των και-1 δ. Πότε οι συναρτήσεις ο-1 και -1ο είναι ίσες; ε. Αν η είναι γνησίως μονότονη στο Α τι γνωρίζετε για τη μονοτονία της -1

Να συμπληρώσετε με Σ ή Λ στα παρακάτω 1. Δύο συναρτήσεις f, g είναι ίσες, αν υπάρχουν κάποια x R,

ώστε να ισχύει f (x) = g (x). 6. 2. Αν μια συνάρτηση f είναι 1 - 1, τότε είναι πάντοτε περιττή. 3. Αν οι συναρτήσεις f και g είναι 1 - 1 στο R, τότε και η συνάρτηση gof είναι 1 - 1 στο R.

Να βάλετε κυκλάκι στο σωστό

1. Το πεδίο ορισμού της συνάρτησης f (x) = είναι το σύνολο

Α. R - {- 2, 2} Β. R Γ. R - {- 2} Δ. [2, + ) Ε. R - {2}

2. Το πεδίο ορισμού της συνάρτησης f (x) = ln (4 - x2) είναι το σύνολο

Α. R - {- 2, 2} Β. R - {2} Γ. [2, + ) Δ. (-2, 2) Ε. (- , -2) (2, + )

2.2

2.3

2.4

2.5

3. Η συνάρτηση f (x) = 2ex έχει αντίστροφη την

Α. g (x) = ln

2x

B. h (x) = ln

x2

Γ. φ (x) = 21

lnx

Δ. σ (x) = E. t (x) = ln ( x-2)

4.Η συνάρτηση της οποίας η γραφική παράσταση είναι συμμετρική της γραφικής παράστασης της y = f (x) ως προς τον άξονα x΄x είναι

ηΑ. y = f (-x) B. y = - f (x) Γ. y = (x) f

Δ. y = 2f (x) E. y = - f (-x)

5. Το πλήθος των σημείων τομής της γραφικής παράστασης της

συνάρτησης f (x) = x2004 + x2002 + x2000 + 5 με τον άξονα x΄x είναι

Α. 2004 B. 7 Γ. 2002 Δ. 3 E. 0

Δίνεται το πολυώνυμο Ρ(χ) = ανχν + αν-1χν-1 + ….+ α1χ + α0 , χ ε IR.

Να αποδείξετε ότι:

Να συμπληρώσετε με Σ ή Λ στα παρακάτω 1. Αν η συνάρτηση f είναι ορισμένη στο IR και

= τότε .

2. Αν για δύο συναρτήσεις f , g ισχύουν : και

τότε το όριο είναι καλά ορισμένο και είναι

ίσο με το 0.

3. Αν η συνάρτηση f είναι ορισμένη και συνεχής στο διάστημα Δ και ισχύει: για κάθε x ε Δ τότε η f θα διατηρεί σταθερό πρόσημο στο Δ.

2.6

2.7

4. Αν η συνάρτηση f είναι ορισμένη και συνεχής στο διάστημα [α , β] και υπάρχει x0 ε (α , β) ώστε , τότε θα ισχύει

Να αποδείξετε ότι, αν μία συνάρτηση f είναι συνεχής στο κλειστό

διάστημα [α,β] και f(α) f(β), τότε για κάθε αριθμό ξ μεταξύ των

f(α) και f(β) υπάρχει τουλάχιστον ένας xoε(α,β) τέτοιος ώστε να

ισχύει f(xo)=ξ

Έστω η συνάρτηση f (x) = xx

- 1.

Υπάρχει το ;

Δίνεται η συνάρτηση f (x) = .Ποιόν αριθμό

προσεγγίζει με ικανοποιητική ακρίβεια Η τιμή f (102006);

Να βρεθεί το πεδίο ορισμου της συνάρτησης

f(x) =

Να βρεθεί ο λεR ώστε πεδίο ορισμού της συνάρτησης: f(x)= , να είναι το R.

Αν f γν.αύξουσα στο R και όπου τότε να λυθεί η ανίσωση:

2.8

2.9

2.10

ΑΣΚΗΣΕΙΣ

2.11

2.12

2.13

Δίνεται η συνάρτηση f : RR με f(x) = 3x-7 + ex-2

α) Να τη μελετήσετε ως προς τη μονοτονία β) Να λύσετε την εξίσωση f(x)=0 γ) Να βρείτε τα χ για τα οποία η f παίρνει αρνητικές τιμές

Έστω οι συναρτήσεις f, g με πεδίο ορισμού το ΙR .Δίνεται ότι η συνάρτηση της σύνθεσης fog είναι 1-1. α. Να δείξετε ότι η g είναι 1-1. β. Να λύσετε την εξίσωση: g(f(x) + x3 + x) = g(f(x) + 2

Έστω f:RR μια γνησίως φθίνουσα συνάρτηση α) Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση RR με g(x) = f(x)-x είναι γνησίως φθίνουσα συνάρτηση β) Να μελετηθεί ως προς τη μονοτονία η συνάρτηση f με , χ ε R και 0< α< 1 γ) Να βρεθουν οι πραγματικές τιμές του λ για τις οποίες ισχύει η ισότητα όπου 0<α<1 (1)

Δίνεται η συνάρτηση για την οποία ισχύει ότι για κάθε . (α) Να δείξετε ότι η συνάρτηση αντιστρέφεται (β) Να βρείτε την

Δίνεται η συνάρτηση για την οποία ισχύει ότι (1) για κάθε . (α) Να δείξετε ότι η συνάρτηση αντιστρέφεται (β) Να δείξετε ότι (γ) Να λυθεί η εξίσωση (δ)Να δείξετε ότι η συνάρτηση είναι ταυτοτική , δηλαδή

Δίνoνται oι συναρτήσεις για τις οποίες ισχύει Η συνάρτηση είναι γνησίως αύξουσα στο και

2.14

2.15

2.16

2.17

2.18

2.19

(1) για κάθε . (α) Να βρείτε τον τύπο της (β) Να βρείτε την

Να υπολογιστεί το όριο :

Δίνεται η συνάρτηση .

Αν η διέρχεται από το σημείο Α(2 , 5) και , να βρείτε τους α και β.

Να υπολογιστεί το όριο:

Δίνονται οι συναρτήσεις για τις οποίες ισχύει (1) για κάθε . Να υπολογίσετε τα όρια

Αν για τις συνάρτήσεις και ισχύει (1) για κάθε και ,να δείξετε ότι

Δίνονται οι συναρτήσεις και

Να βρείτε το όριο

Έστω η συνάρτηση

Να βρεθεί ο ώστε

2.20

2.21

2.22

2.22

2.23

2.24

2.25

Αν

να βρείτε το

Αν για τη συνάρτηση ισχύει , να βρείτε το όριο

Δίνεται η συνάρτηση f ορισμένη στο R με =2 . Να

βρεθεί ο μ

Δίνεται η συνάρτηση .Να βρείτε το

για τις διάφορες τιμές του .

Δίνεται η συνάρτηση .Να βρείτε τους

α , β ,ώστε =5.

Δίνεται η συνάρτηση για την οποία ισχύει

. Να βρείτε το

Έστω συνάρτηση

Να την εξετάσετε ως προς τη συνέχεια στο πεδίο ορισμού της

2.26

2.27

2.28

2.29

2.30

2.31

2.32

Δίνεται η συνάρτηση με

Να προσδιοριστεί το α ώστε η συνάρτηση να είναι συνεχής στο . ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΔΕΣΜΩΝ 1989

Αν f : RR συνεχής στο R και

να βρεθεί το f (0)

(α) Αν f : RR και (1) για κάθε , να δείξετε ότι η συνάρτηση f είναι συνεχής στο x0=1 (β) Αν f ,g : RR όπου g συνεχής στο x0=0 και g(0)=0 και (2) για κάθε ,να δείξετε ότι η συνάρτηση f είναι συνεχής στο x0=0

Έστω η συνάρτηση f : RR με για κάθε x , ψ ε R. (α) Αν η f είναι 1-1 να βρείτε τον τύπο της (β) Αν είναι f (1)=α+10 και η f είναι είναι συνεχής στο x0=1 να βρείτε τον α

Έστω η συνάρτηση f : RR με (1)

(α)Να μελετήσετε ως προς τη συνέχεια τη συνάρτηση f στο x0=3 (β)Αν η συνάρτηση f είναι συνεχής x0=3 , να υπολογίσετε το

2.33

2.34

2.35

2.36

2.37

Έστω οι συναρτήσεις f ,g για τις οποίες ισχύει (1) για κάθε χ ε R. (α)Να αποδείξετε ότι

Οι f ,g είναι συνεχείς στο R

(β) Να υπολογίσετε τα όρια

Δίνεται η συνάρτηση όπου α , β ,γ ε R. Αν α+β+γ-10 >0 να δείξετε ότι η εξίσωση έχει μια τουλάχιστον πραγματική ρίζα στο διάστημα (0 , 1).

Με βάση την γραφική παράσταση της f(x) : (α) H εξίσωση f(x)=0 έχει λύση στο (α , β) ; (β)Ισχύει το Θ. Bolzano για την f(x) στο (α , β) ; (γ)Τι συμπέρασμα προκύπτει ;

Έστω οι συναρτήσεις , είναι συνεχείς στο ,η εξίσωση έχει δύο ρίζες ετερόσημες και όπου .Να δείξετε ότι η εξίσωση έχει μια τουλάχιστο ρίζα στο διάστημα .

Δίνεται ότι η συνάρτηση είναι συνεχής στο γν. αύξουσα στο διάστημα [1,2] και γν. φθίνουσα στα [0,1] και [2 , 3]. Αν ισχύει ότι με να δείξετε ότι η εξίσωση έχει 3 ακριβώς ρίζες στο (0 , 3).

2.38

2.39

ψ

0 ξ α β χ

2.40

2.41

2.42

Δίνονται οι συναρτήσεις και .Να δείξετε ότι οι γραφικές παραστάσεις έχουν ένα τουλάχιστο κοινό σημείο με .

Να βρεθεί το όριο:

Να βρεθεί το όριο:

Να βρεθούν τα α , β :

Να βρεθεί το όριο :

Έστω μια συνάρτηση ορισμένη στο και για την οποία ισχύει (1) για κάθε Να βρείτε το

Έστω η συνάρτηση με (1) Να βρείτε τα όρια

(α) (β)

Δίνονται οι συναρτήσεις για τις οποίες ισχύει

και .

2.43

2.44

2.45

2.46

2.47

2.48

2.49

2.50

Να βρείτε τον ώστε

Δίνεται η συνάρτηση για την οποία ισχύει .Να βρεθούν τα όρια

(α) και (β)

Έστω η συνάρτηση για την οποία ισχύει (1) για κάθε .

Αν να βρείτε το

Δίνεται ότι ,γνησίως αύξουσες στο . Δίνεται ακόμη ότι η γραφική παράσταση της συνάρτησης

διέρχεται από το σημείο Α(κ,1002)

όπου κ >0. Να βρεθεί το όριο

Να βρεθεί το όριο

(ΕΞΕΤΆΣΕΙΣ 1981)

Να βρεθεί το όριο

Για τη συνάρτηση f ισχύει (1) για κάθε

2.51

2.52

2.53

2.54

2.55

2.56

χ , ψ ε R. Να δείξετε ότι : (α) Αν η f είναι συνεχής στο χ0=0 τότε είναι συνεχής στο R (β) Αν η f είναι συνεχής στο χ0=2005 τότε είναι συνεχής στο R

Αν για τη συνάρτηση ισχύει ότι για κάθε α, β να δείξετε ότι είναι συνεχής

Ένας μαθητής προετοιμάζεται για το διαγώνισμα στο 1ο κεφάλαιο της Ανάλυσης της θετικής κατεύθυνσης Γ΄ Λυκείου. Ο καθηγητήςτου μαθήματος ,που διδάσκει τον συγκεκριμένο μαθητή , έχει υπολογίσει ότι αν ο μαθητής προετοιμαστεί για χ ώρες τότε ο βαθμός του , εκτός απρόοπτου , θα υπολογίζεται από την συνάρτηση F(χ) = 5 + 15(1-2-0,2χ ). α) Τι θα συμβεί αν ο μαθητής πάει απροετοίμαστος στο διαγώνισμα ; β) Διαβάζοντας περίπου 5 ώρες ο μαθητής με ποιόν μαθηματικό τρόπο μπορούμε να υπολογίσουμε τον βαθμό τον οποίο θα πλησιάσει ο μαθητής ; Ποιος είναι αυτός ο βαθμός ; γ) Τι θα συμβεί αν ο μαθητής προετοιμαστεί για πάρα πολλές ώρες (: «άπειρες» ;) δ) Ποιο είναι το σύνολο τιμών της βαθμολογίας του μαθητή; συνεχής στο

2.56

2.57

ΘΕΜΑ 10

Α. Να συμπληρώσετε με Σ ή Λ στα παρακάτω

1.Αν το 0 xx

lim f (x) είναι αρνητικόςαριθμός, τότε η f παίρνει

αρνητικές τιμές κοντά στο x0.

2. Ισχύει ότι = α με α 0

3. Αν 0 xx

lim f (x) = - , τότε

0 xx lim (x) f

1 = 0.

4. Αν 0 xx

lim |f (x)| = | | 0, τότε

0 xx lim (x) f

1 =

1 .

5. Ισχύει

Μονάδες 10

Β. Να αποδείξετε ότι, αν μία συνάρτηση f είναι συνεχής στο κλειστό διάστημα [α,β] και f(α) f(β), τότε για κάθε αριθμό ξ μεταξύ των f(α) και f(β) υπάρχει τουλάχιστον ένας xoε(α,β) τέτοιος ώστε να ισχύει f(xo)=ξ

Μονάδες 5

Γ

20 ΚΡΙΤΗΡΙΟ ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗΣ ΧΡΟΝΟΣ 3 ΩΡΕΣ ΕΝΟΤΗΤΑ ΟΡΙΑ - ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΟ

Γ. Έστω μια συνάρτηση f, η οποία είναι ορισμένη στο κλειστό διάστημα [-2006 ,2006] και συνεχής. Αν η f είναι γνησίως μονότονη στο [-2006 , 2006] σημειώστε αν είναι σωστές ή λάθος (Σ ή Λ) οι παρακάτω προτάσεις:

1. Η f έχει ελάχιστη τιμή το f(-2006) και μέγιστη το f(2006)

2. Αν f(-2002) < f(2002) τότε η f είναι γνησίως φθίνουσα στο [-2002 ,2002]

3. Η f έχει ελάχιστη ή μέγιστη τιμή το f(-2002) ή το f(2002)

4. Αν f(-2002) >2002 και f(2002) < -2002 τότε οι αριθμοί -2002 και 2002 είναι τιμές της f.

5. Ο αριθμός 0,5.[f(-2002) + f(2002)] είναι τιμή της f.

Μονάδες 10

ΘΕΜΑ 20

Α. Αν να βρεθούν οι

ώστε .

Μονάδες 8Β. Να υπολογίσετε τα παρακάτω όρια:

α)

β)

Μονάδες 8 Γ. Να εξεταστεί αν η συνάρτηση

είναι συνεχής στο . Μονάδες 9

ΘΕΜΑ 30

Α. Δίνονται οι συναρτήσεις για τις οποίες ισχύει (1) για κάθε . Να υπολογίσετε τα όρια Μονάδες 12

Β. Αν για τη συνάρτηση ισχύει (1) για κάθε να βρεθούν τα όρια

(α) (β) Μονάδες

13

ΘΕΜΑ 40

Α. Έστω f: συνεχής συνάρτηση με f(1) + f(2) + f(3) = 0. Να αποδειχθεί ότι η εξίσωση f(χ) = 0 έχει μια τουλάχιστον ρίζα.

Μονάδες 8

Β. Έστω συνεχής στο και τέτοια ώστε , και . Να αποδείξετε ότι η δεν είναι ¨1-1¨.

Μονάδες 8

Γ. Για μια συνεχή συνάρτηση f στο [0,1] ισχύει f(0) = 2 και f(1) = 4. Αν η συνάρτηση f είναι γνησίως αύξουσα, να δείξετε ότι υπάρχει μοναδικό ξ που ανήκει στο (0,1) ώστε:

f(ξ) = 1 2 3 4f f f f5 5 5 5

4

.

Μονάδες 9

2.1 Όχι

2.2Σε ένα σημείο αφού το 2006 ανήκει στο σύνολο τιμών της

2.3Θεωρία

2.4Λ , Λ , Σ

2.5 , , , ,

2.6 Θεωρία2.7 , , ,2.8Θεωρία2.9 Oxι γιατί

2.10 Είναι άρα

2.11 Πρέπει

Γ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ - ΛΥΣΕΙΣ░

Οπότε το Π.Ο. της συνάρτησης είναι Αf =(2 , e+3) (e+3 , +∞)

2.12 Αρκεί ≥0 για κάθε χ ε R Δ= λ2-12 ≤ 0

2.13 Έχουμε

3 ή 1 άρα034

αφού 33

αφού 33

33

αφού 33

33

2

2

2

2

2

2

xx

fxxx

xxfogxfxxf

xfxxffog

fxfxxfgf

xxxfg

2.14 α)Το πεδίο ορισμού της f είναι Α=RΥποθέτουμε ότι χ1,χ2 ε R με χ1 < χ2 (1) .Τότε 3χ1 < 3χ2 3χ1 -7< 3χ2 -7 Από (1) χ1-2 < χ2 -2 (αφού η συνάρτηση ψ=ex είναι γν. αύξουσα)

3χ1 -7+ < 3χ2 -7 + .ατά συνέπεια η f είναι γν. αύξουσα στο R.β) Η εξίσωση f(x)=0 έχει φανερή ρίζα την χ=2 Πράγματι f(2)=3.2-7 + e2-2 =-1+1=0.(2)Επειδή η f είναι γν. αύξουσα στο R η χ=2 θα είναι μοναδική ρίζα.γ)Είναι f(x) < 0 (λόγω (2)) f (x) < f (2)x <2 (3)2.15 α) Έστω g(x1)= g(x2)(αφού f είναι συνάρτηση) f (g(x1))= f (g(x2)) ( αφού fοg είναι 1-1 συνάρτηση) x1= x2.Άρα η συνάρτηση g είναι 1-1.

β) Έχουμε g(f(x) + x3 + x) = g(f(x) + 2) (αφού η συνάρτηση g είναι 1-1) f(x) + x3 + x= f(x) + 2 x3 + x=2 x3 + x-2=0 (χ-1)(χ2+χ+2)=0χ=1(Η εξίσωση χ 2+χ+2=0 είναι αδύνατη γιατί

Δ=-7<0)

2.16 α)Έστω χ1,χ2 ε R με χ1 < χ2 f(x1)>f(x2) (γιατί f γνησίως φθίνουσα στο R συνάρτηση). Επίσης -χ1 > - χ2 Οπότε με πρόσθεση είναι f(x1) -χ1 > f(x2)- χ2 g(x1)>g(x2). Κατά συνέπεια η συνάρτηση g είναι γνησίως φθίνουσα συνάρτηση στοR. β) Η συνάρτηση ψ=αχ με 0< α< 1 είναι γνησίως φθίνουσα στο R οπότε σύμφωνα με το α) ερώτημα η συνάρτηση f(χ)=αχ-χ είναι γνησίως φθίνουσα στο R.

γ)Αφού η συνάρτηση f(χ)=αχ-χ είναι γνησίως φθίνουσα στο R θα είναι και 1-1 (2) οπότε από τη σχέση (1) f(λ2-4λ)= f(5λ-20) λ2-4λ = 5λ-20 λ2-9λ +20=0 λ = 4 ή λ=5

2.17 (α) Έστω

Οπότε με πρόσθεση προκύπτει άρα και

οπότε θα έχουμε άρα η συνάρτηση είναι 1-1 και κατά συνέπεια θα είναι αντιστρέψιμη. (β)Έχουμε .Θέτουμε αντι για και ισοδύναμα έχουμε

2.18(α) Έστω με

οπότε με αφαίρεση προκύπτει (λόγω (1))

δηλαδή η συνάρτηση είναι 1-1 και κατά συνέπεια αντιστρέφεται.

(β)Από (1) για έχουμε

(γ) Αν θέσουμε στην (1) όπου το έχουμε

(δ) Αν θέσουμε στην (1) όπου το τότε έχουμε

2.19(α) Έχουμε ) (2) για κάθε . Από (2) έχουμε

για κάθε . Άρα (3).(β) Η είναι 1-1 αφούΓια κάθε με

οπότε θα αντιστρέφεται.Αν θέσουμε στην (3) όπου το και έχουμε

2.20 Είναι ( )= ( )=0 Κατά συνέπεια έχουμε απρ/στία 0 / 0 Έχουμε

=

1 0 -3 2 11 1 -2

1 1 -2 0Από σχήμα Horner έχουμε

Οπότε για είναι Άρα

2.21 Ισχύει

Είναι

οπότε από (1)

2.22 Έχουμε

= =

=

= =

2.23 Η σχέση (1) ισοδύναμα γράφεται

(2)

(3)

Όμως Οπότε λόγω της (3) από Κριτήριο Παρεμβολής θα έχουμε

και

2.23(α) Η σχέση (1) γράφεται ισοδύναμα (2)

Όμως

Οπότε λόγω της (2) από Κριτήριο Παρεμβολής θα έχουμε και (3)

Θέτουμε τότε οπότε έχουμε

10+0 = 10

2.24 Έχουμε

οπότε

(1)

Όμως ,κατά συνέπεια από την (2) λόγω

Κρ. Παρεμβολής θα έχουμε =0

2.25 Αρκεί να βρούμε το α ώστε (1)

Είναι

Άρα (2)

Όμως οπότε λόγω (2) από

Κρ.Παρεμβολής έχουμε .

Από (2)

2.26 Θέτουμε οπότε

(1). Όμως

Οπότε (2)

και .Άρα από Κρ. Παρεμβολής θα είναι

.

Από σχέση (1) =2004+0-2005=-1

2.27 =

(1)

Όμως

=

=

=

Οπότε από (1) =

24+12=36

2.28 Θέτουμε (1)

Έχουμε

ΣΗΜΕΙΩΣΗ

Ισχύει

γιατί , αν θέσουμε τότε

οπότε

2.29 Είναι και .Κατά

συνέπεια έχουμε ΄΄απρ/στία΄΄ α-6 / 0 οπότε Αν θέσουμε τότε

Α. Αν έχουμε

Β. Αν έχουμε

Γ. Αν έχουμε ,οπότε

Κατά συνέπεια το υπάρχει, όταν α=6.

2.30 Είναι

(1) Διακρίνουμε τις περιπτώσεις

Αν τότε = που είναι άτοπο. Οπότε πρέπει (2) (Αναγκαία συνθήκη)

Θέτουμε και έχουμε

.

Οπότε από (2)

2.31 Θέτουμε (1)

Έχουμε οπότε .

Είναι = .

2.32 Ο τύπος της συνάρτησης γράφεται ισοδύναμα

με πεδίο ορισμού Α=

Έχουμε

Η συνάρτηση f είναι συνεχής στα διαστήματα και

σαν πηλίκο συνεχών συναρτήσεων Θα εξετάσουμε αν , δηλαδή αν η συνάρτηση είναι

συνεχής στη θέση χ0=0.Είναι

Αφού τα πλευρικά όρια δεν είναι ίσα , δεν υπάρχει το και κατά συνέπεια η συνάρτηση f δεν είναι συνεχής στο χ0=0.

Κατά συνέπεια η συνάρτηση f δεν είναι συνεχής στο πεδίο ορισμού της.Είναι όμως συνεχής στο υποσύνολο του

2.33 Αρκει να ισχύει . (1) Όμως

= =

Οπότε η (2) = =

2.34 Αφού η f είναι συνεχής στο R θα είναι συνεχής και στο x0=0 .Κατά συνέπεια θα έχουμε

Έστω τότε (2)

Οπότε

2.35(α)Η (1) γράφεται ισοδύναμα (3)

Όμως

Οπότε λόγω της (3) από Κριτήριο Παρεμβολής θα έχουμε

και κατά συνέπεια η συνάρτηση f είναι συνεχής

στο x0=1

(β)Αφού η συνάρτηση g είναι συνεχής στο x0=0 θα ισχύει

Η (2) γράφεται ισοδύναμα (5)Αν θέσουμε στην (5) όπου x=0 γράφεται

(6)

Όμως

Κατά συνέπεια λόγω της (5) από Κριτ. Παρ. θα είναι και

.Κατά συνέπεια η συνάρτηση f είναι συνεχής

στο x0=0.

2.36(α) Η (1) (2) x , ψ ε R. Για χ=ψ=0 η (3) Για χ=ψ η

(Θέτω όπου 2χ=t χ=t/2) (4)

(β) Αφού η συνάρτηση f είναι συνεχής στο x0=1 θα ισχύει

α+10 (5)

Όμως

Οπότε η (5) α+10=

2.37(α) Έστω τότε

(2)Είναι

Άρα -9 οπότε διακρίνουμε τις περιπτώσεις

Αν τότε και κατά συνέπεια η f δεν είναι συνεχής στο χ0=3

Αν τότε και κατά συνέπεια η f είναι συνεχής στο χ0=3

(β) Από υπόθεση έχουμε =-9 (3)

Είναι

=

2.38(α) Στη σχέση (1) θέτουμε χ=0 και προκύπτει οπότε (2)

Η σχέση (1) ισοδύναμα γράφεται

(3)

(4)

Όμως Οπότε λόγω της (4) από Κριτήριο Παρεμβολής θα έχουμε

και

Κατά συνέπεια οι συναρτήσεις f ,g είναι συνεχείς στο χ0 =0.

(β)Από τις σχέσεις (3) προκύπτουν ισοδύναμα οι

(5)

Όμως Οπότε λόγω της (5) από Κριτήριο Παρεμβολής θα έχουμε

και

Έχουμε

=

=

2.39 Η συνάρτηση είναι συνεχής στο R σαν πολυωνυμική και κατά συνέπεια είναι συνεχής και στο [0 , 1]

Είναι <0 και οπότεΑπό τα παραπάνω προκύπτει ότι ισχύει το Θ. Bolzano και κατά συνέπεια η εξίσωση έχει μια τουλάχιστο πραγματική ρίζα στο διάστημα (0 , 1)

2.40(β) Η συνάρτηση f(x) φανερά δεν είναι συνεχής στο [α , β] , αφού η γραφική της παράσταση παράσταση ΄΄κόβεται΄΄ και κατά συνέπεια δεν ισχύει το Θ. Bolzano.(γ)Από τα παραπάνω γίνεται φανερό ότι δεν ισχύει το αντίστροφο του Θ. Bolzano.Δηλαδή αν η εξίσωση f(x)=0 έχει μια τουλάχιστο λύση στο (α , β) δεν έπεται ότι ισχύουν οι δύο προυποθέσεις του θεωρήματος.

2.41 Έστω (1)Είναι και (2) Φανερά η είναι συνεχής στο και κατά συνέπεια και στο

διάστημα .

Οπότε από το Θ. Bolzano η εξίσωση έχει μια τουλάχιστο ρίζα στο διάστημα .

Οπότε

2.42 Φανερά η είναι συνεχής σε κάθε ένα από τα διαστήματα [0,1] , [2,3] και [1,2]

Είναι επίσης , (αφού ) , (αφού ) και οπότε

, και Ισχύουν λοιπόν οι προυποθέσεις του Θ.Bolzano στα διαστήματα [0,1] , [2,3] και [1,2]. Κατά συνέπεια η εξίσωση έχει από μια τουλάχιστο ρίζα στα διαστήματα (0,1) , (1,2) και (2,3).Όμως η είναι γν. μονότονη σ΄αυτά τα διαστήματα και κατά συνέπεια οι ρίζες της είναι ακριβώς τρείς.

2.43 Αρκεί να δείξουμε ότι η εξίσωση έχει μια τουλάχιστο ρίζα στο διάστημα (0 , 2)Θεωρούμε τη συνάρτηση

(1).Έχουμε Η είναι συνεχής στο R (σαν πολυωνυμική) και κατά

συνέπεια είναι συνεχής και στο διάστημα [0,2]. Είναι και οπότε . Από τα

παραπάνω προκύπτει ότι ισχύει το Θ. Bolzano και κατά συνέπεια η εξίσωση έχει μια τουλάχιστο πραγματική ρίζα στο διάστημα (0,2).

2.44

= =

2.45 Είναι = =

ΠΡΟΣΟΧΗΓια να απαλείψουμε το απόλυτο μας ενδιαφέρειτο πρόσημο της παράστασης μέσα σε αυτό.Όμως

Κατά συνέπεια

2.46 Αν τότε ,

που είναι άτοπο.

τότε

Πράγματι για α=-3 και β=7 είναι , οπότε

2.47 Είναι = =Δηλαδή έχουμε απρ/στία .Έχουμε

== =

+ =

οπότε

( )=

2.48 Από τη σχέση (1) έχουμε ισοδύναμα

Προσέξτε

=0

(2)

Όμως = ,οπότε από

Κρ. Παρεμβολής ,λόγω (2) έχουμε .

2.49 Είναι

Οπότε = = =

(β)Είναι

Οπότε = = =

ΣΗΜΕΙΩΣΗ

Αποδεικνύουμε απλά με κριτήριο παρεμβολής ότι και

2.50 Θέτουμε

οποτε (1)

Έτσι έχουμε

=

Οπότε είναι

2.51(α) Θέτουμε οπότε

(1) οπότε θα έχουμε

(β)Είναι και

.κατά συνέπεια έχουμε απρ/στία 0/0 και δεν μπορούμε να χρησιμοποιήσουμε την ιδιότητα ορίου πηλίκου. Έχουμε

=

= =

0 1

- +

.

2.52 Θέτουμε (2)

Έχουμε = = =

=

2.53 Ισχύουν και

(2)Όμοια προκύπτει ότι

Είνα ι

= =

=

2.54 . Κατά συνέπεια έχουμε απρ/στία 0 / 0 .ΈχουμεΤο πρόσημο του x είναι όμως x1 και κατά συνέπεια το x ε (α , 1)(1 , β) , οπότε χ > 0 |χ| = χ

2.55 Είναι και

.Κατά

συνέπεια για τα χ ΄΄ κοντα΄΄ στο ισχύει ότι και

οπότε

=

2.56(α) Θέτουμε στην (1) όπου χ=ψ=0 και προκύπτει .Οπότε αφού η f είναι συνεχής στο χ0=0

θα ισχύει (2)

Για να δείξουμε ότι η f είναι συνεχής στο R αρκεί

όπου χ0 τυχαίος πραγμ. αριθμός.Θέτουμε χ=χ0 + h οπότε όταν χχ0 θα είναι και h0.

Έχουμε =

(λόγω (2)) = .Κατά συνέπεια η f είναι συνεχής στο R.

(β)Αφού η f είναι συνεχής στο χ0=2003 θα ισχύει (3)

Για να δείξουμε ότι η f είναι συνεχής στο R αρκεί

όπου χ0 τυχαίος πραγμ. αριθμός.Θέτουμε χ=χ0 -2005 + h οπότε όταν χχ0 θα είναι και h2005.Έχουμε

=(λόγω (3)) = 2003)=f(x0)-f(2003)+f(2005) =f(x0).Κατά συνέπεια η f είναι συνεχής στο R.

2.57 Για α=χ και β=χ0 η δοσμενη σχέση γράφεται

και από το κριτήριο παρεμβολής προκύπτει ότι