Утверждено научно-методическим советом математическогофакультета 20 декабря 2007 года, протокол № 4

Рецензент: Б.Н. Садовский

Учебно-методическое пособие подготовлено на кафедре алгебры итопологических методов анализа математического факультета

Воронежского госуниверситета.

Рекомендуется для студентов 1 курса математического факультетаочной формы обучения, обучающихся по специальности 010101 (010100) -Математика и по направлению 010100 (510100) - Математика

2

§ 1. Множества

1. Понятие множества. Понятие множества является одним изнаиболее общих и важных математических понятий. Оно было введенов математику в 1872 году создателем теории множеств немецким мате-матиком Георгом Кантором (1845ҷ1918).

Всякое математическое определение выражает определяемое поня-тие через другие более общие понятия. Понятие же множества не удаетсясвести к другим понятиям, поскольку более общего понятия, чем мно-жество, в математике нет. Поэтому в м е с т о о п р е д е л е н и я понятиямножества дают его о п и с а н и е и иллюстрируют примерами.

Следуя Кантору, под множеством понимают совокупность (семей-ство, набор, класс и т. д.) каких-либо р а з л и ч н ы х, доступных нашемувоображению объектов, объединенных в одно целое. Объекты, из кото-рых составлено множество, называют элементами этого множества.

У самого Кантора сказано следующее: «Под "множеством" мы пони-маем любое объединение в одно целое M определенных в п о л н е р а з-л и ч а е м ых объектов m из нашего восприятия или мысли (которыеназываются "элементами" M)».

Можно говорить о множестве простых чисел, заключенных между1и 100; о множестве всех вершин данного многоугольника; о множественатуральных чисел; о множестве всех точек на прямой; о множествевсех функций, заданных на отрезке [a, b]; о множестве жителей данногогорода; о множестве листов в данной книге и т. д.

Множества обычно обозначают п р о п и с н ы ми, а их элементы єс т р о ч н ым и буквами.

Факт принадлежности элемента множеству обозначается символом∈: запись a ∈ A означает, что a является элементом множества A, азапись a /∈ A (или a∈A) є что a не является элементом множества A.Запись A = {a, b, c} указывает, что множество A состоит в точности изэлементов a, b, c.

3

Не всегда заранее известно, что рассматриваемое множество содер-жит хотя бы один элемент (например, множество корней данного уравне-ния), поэтому для правомочности рассуждений целесообразно ввести по-нятие множества, не содержащего ни одного элемента. Такое множествоназывается пустым и обозначается ∅.

Всякое множество, число элементов которого равно одному из чисел0, 1, 2, . . . , называется конечным. Множества, не являющиеся конечны-ми, называются бесконечными.

Задание всякого конкретного множества заключается в указаниивсех составляющих его элементов. Возможны различные способы зада-ния множества. Основной способ задания множества состоит в указаниихарактеристического свойства его элементов, т. е. свойства, которымобладают те и только те элементы, которые принадлежат данному мно-жеству. Например, свойство «положительности целого числа» задаетмножество натуральных чисел N. Обозначая символом P (a) характерис-тическое свойство элементов множества A, будем писать A = {a : P (a)}.Конечное множество можно задать также указанием перечня (списка)всех его элементов: A = {a1, a2, . . . , an}. Для конечных множеств с боль-шим числом элементов такой способ задания громоздок или практиче-ски неприменим.

З а м е ч а н и е 1. Согласно описанию понятия множества, всеэлементы множества различны. При первом знакомстве с теорией мно-жеств читателю полезно дать себе сознательный отчет в том, что двуходинаковых элементов не бывает. Поэтому выражение «элементы a и b

равны» означает, что мы имеем дело не с двумя одинаковыми объек-тами, а с о д н им о б ъ е к т о м, который один раз поименован a, а дру-гой є b. Таким образом, условие, что все элементы множества различны,означает, что в с я к и й э л ем е н т в мн о же с т в е м о же т в с т р е т и-т ь с я т о л ь к о о д и н р а з.

Несмотря на то, что всякий элемент входит в множество только одинраз, в символьной записи множества допускается повторение символов

4

(имен), отвечающих одному элементу, сколько угодно раз, и, значит,всякое множество может быть записано бесконечным числом способов.Например, множество из трех чисел 0, 1, 2 можно записать {0, 1, 2}, атакже {2, 0, 1, 0} или {1, 0, 2, 2, 1, 2} и т. д. Использование такой непонят-ной на первый взгляд системы записи множества целесообразно ужепотому, что избавляет от необходимости проверять единственность запи-си каждого элемента и возникающих при этом не всегда преодолимыхтрудностей. Для конечных множеств с большим числом элементов такаяпроверка может быть весьма трудоемкой, а для бесконечных мно-жеств є и вовсе не всегда возможной. Ситуация осложняется еще тем,что один и тот же элемент в символьной записи множества может высту-пать под разными именами, и задача выяснения того, что под разнымиименами скрывается один и тот же элемент, может быть совсем непро-стой. Рассмотрим, например, множество {a, b}, элементом a которогоявляется пустое множество, а элементом b є множество всех положи-тельных целочисленных решений уравнений xn +yn = zn для всех нату-ральных n > 2. Задача выяснения совпадения элементов a и b составляетзнаменитую проблему Ферма, на решение которой математикам потре-бовалось более 350 лет.

Подчеркнем, наконец, что при рассмотрении вопросов, связанных сподсчетом числа элементов множества, естественно, используются толь-ко такие записи множеств, в которых каждому элементу соответствуетлишь один символ.

Множества A и B, состоящие из одних и тех же элементов, называютравными и пишут: A = B.

На практике д л я д о к а з а т е л ь с т в а р а в е н с т в а д в у х м н о-ж е с т в п о к а з ы в а ю т, ч т о в с я к и й э л е м е н т о д н о г о м н ож е-с т в а п р и н а д л е жи т д р у г ом у, и н а о б о р о т.

П р е д у п р е ж д е н и е. Не следует смешивать одноэлементноемножество {a} с его единственным элементом a. Отождествление мно-жества {a} с элементом a может приводить к недоразумениям: если

5

элемент a сам является множеством a = {b1, b2, . . . } с числом элементов,отличным от единицы, то равенство {a} = a означает равенство разныхмножеств {a} и {b1, b2, . . . } (с разным числом элементов!).

Схематически множество изображают кругами (или другими связ-ными фигурами) на плоскости, их называют диаграммами Эйлера, атакже диаграммами Венна. При такой иллюстрации множество мыс-лится как совокупность точек изображающей его фигуры.

2. Конструирование множеств. Из данных множеств можно кон-струировать другие множества. Приведем наиболее важные, необходи-мые в дальнейшем способы конструирования.

1◦. П о д м н о ж е с т в о («дочерний объект»). Пусть A є произволь-ное множество. Рассмотрим некоторую часть B его элементов как само-стоятельное множество (случаи B = A, B = ∅ не исключаются). Обра-зованное таким образом множество B называется подмножеством мно-жества A. Говорят, что B вложено (или включено, содержится) в A, ипишут B ⊂ A (рис. 1).

Рис. 1

A

B

П р и м е р 1. N ⊂ Z, Z ⊂ Q, Q ⊂ R.Для всякого множества A имеют место вложения ∅ ⊂ A, A ⊂ A.

Подмножества, отличные от ∅ и A, называются собственными подмно-жествами множества A.

Очевидно, что если B ⊂ A и C ⊂ B, то C ⊂ A. Это свойствоназывается свойством транзитивности вложения.

6

Ясно, что A = B тогда и только тогда, когда A ⊂ B и B ⊂ A.2◦. О б ъ е д и н е н и е м н о же с т в. Объединением A∪B множеств A

и B называется множество, состоящее из всех элементов, принадлежа-щих хотя бы одному из множеств A и B, т. е.

A ∪B = {a : a ∈ A или a ∈ B} (рис. 2).

BAРис. 2

П р и м е р 2. Объединение множества всех четных чисел и множе-ства всех нечетных чисел есть множество всех целых чисел.

Аналогично определяется объединение любого (конечного или беско-нечного) числа множеств: если Aα, α ∈ I є произвольные множества,то их объединением

⋃α∈I

Aα называется множество, состоящее из всех

элементов, принадлежащих хотя бы одному из множеств Aα.3◦. П е р е с е ч е н и е м н о ж е с т в. Пересечением A∩B множеств A и

B называется множество, состоящее из всех элементов, принадлежащихкак A, так и B, т. е.

A ∩B = {a : a ∈ A, a ∈ B} (рис. 3).

A BРис. 3

П р и м е р 3. Пересечением множества всех нечетных чисел и

7

множества всех целых чисел, делящихся на 5, является множество всехцелых чисел, оканчивающихся цифрой 5.

Пересечением⋂α∈I

Aα любого (конечного или бесконечного) числа

множеств Aα, α ∈ I называется множество элементов, принадлежащихкаждому из множеств Aα.

Если A∩B = ∅, то множества A, B называются непересекающимися.4◦. Р а з н о с т ь мн о же с т в. Разностью A \ B множеств A и B

называется совокупность элементов из A, не принадлежащих B, т. е.

A \B = {a : a ∈ A, a /∈ B} (рис. 4).

При этом, вообще говоря, не предполагается, что B ⊂ A.П р и м е р 4. Разностью Z \ 2Z является множество всех нечетных

чисел.Разность A\B в случае B ⊂ A называют также дополнением множе-

ства B (относительно A) и обозначают CAB или CB, а также B, когдаясно, относительно какого множества рассматривается дополнение.

Иногда рассматривают так называемую симметрическую разностьA4B множеств A и B, которая определяется как объединение разностейA \B и B \ A (рис. 5), т. е.

A4B = (A \B) ∪ (B \ A).

A BРис. 4 Рис. 5

A B

5◦. Д е к а р т о в о п р о и з в е д е н и е м н ож е с т в. Декартовым про-изведением (или просто произведением) A×B множеств A и B называ-ется множество всех упорядоченных пар вида (a, b), у которых на первом

8

месте стоят элементы из множества A, а на втором є элементы из B, т. е.

A×B = {(a, b) : a ∈ A, b ∈ B}.П р и м е р 5. Если множества A и B состоят из вещественных чисел,

то пару (a, b), где a ∈ A, b ∈ B, можно рассматривать как точку плоско-сти с абсциссой a и ординатой b. В такой интерпретации произведениеA×B отрезков A = [α, β], B = [γ, δ] представляет собой множество всехточек прямоугольника, изображенного на рис. 6, а произведение R× Rє множество всех точек плоскости.

Рис. 6x

y

α β

γ

δ

Аналогично определяется произведение A1× · · · ×Ak любого конеч-ного набора множеств A1, . . . , Ak как множество всех упорядоченныхнаборов из k элементов (a1, . . . , ak), где a1 ∈ A1, . . . , ak ∈ Ak, т. е.

A1 × · · · × Ak = {(a1, . . . , ak) : ai ∈ Ai, i = 1, . . . , k}.

6◦. Ф а к т о р - м н о ж е с т в о. Пусть A є произвольное множество.Будем рассматривать теперь только множества, элементами которых яв-ляются подмножества множества A. Наибольшее из таких множеств,т. е. множество всевозможных подмножеств множества A, обозначают 2A

(выбор такого обозначения становится понятным, если подсчитать числовсех подмножеств конечного множества). Иначе говоря, мы ограничимсярассмотрением подмножеств множества 2A. Среди множеств такого видаважную роль играют так называемые п о к р ы ти я и р а з б и е н и я.

Всякое семейство S = {Bα}α∈I непустых подмножеств множества A

называется покрытием множества A, если каждый элемент множества

9

A принадлежит х о т я б ы о д н о м у из множеств Bα семейства S, т. е.⋃α∈I

Bα = A. Покрытие S = {Bα}α∈I множества A называется разбиением

множества A, если каждый элемент множества A принадлежит т о л ь-к о о д н о м у из множеств Bα покрытия S. Иными словами, всякое се-мейство S = {Bα}α∈I непустых подмножеств множества A называетсяразбиением множества A, если его множества попарно не пересекаются,а объединение всех множеств семейства есть множество A, т. е.

1) Bα1∩Bα2

= ∅,∀α1, α2 ∈ I, α1 6= α2;2)

⋃α∈I

Bα = A.

Bα1

Bα2

Рис. 7

A

Подмножества Bα разбиения S называют классами данного разбие-ния, а само разбиение S, т. е. множество, элементами которого являютсяклассы разбиения, называют также фактор-множеством множества A.Таким образом, задание фактор-множества сводится к заданию классовразбиения. Основным инструментом для описания классов разбиенияявляется понятие отношения эквивалентности. Дадим краткое описаниеэтого важного понятия.

Пусть A є некоторое множество. Всякое подмножествоR произведе-ния A× A называется бинарным отношением в A, т. е. бинарное отно-шение є это некоторое множество «отмеченных» упорядоченных парэлементов из A. Факт (a, b) ∈ R принадлежности пары (a, b) множествуR будем записывать также a ∼

Rb и говорить, что элемент a связан с

элементом b отношением R.

10

П р и м е р 6. В данной группе людей можно задать бинарноеотношение, «отметив» пары по принципу знакомства людей из пары(«отношение знакомства»).

Бинарное отношение R в множестве A называется отношением эк-вивалентности, если оно обладает следующими свойствами:

1) a ∼R

a ∀ a ∈ A (рефлексивность);

2) если a ∼R

b, то b ∼R

a (симметричность);

3) если a ∼R

b и b ∼R

c, то a ∼R

c (транзитивность).Для данного отношения эквивалентности R в множестве A и всяко-

го элемента a ∈ A обозначим [a] є множество всех элементов x из A,эквивалентных элементу a : x ∼

Ra, и назовем классом эквивалентности

элемента a (по отношению эквивалентности R).Т е о р е м а 1. Пуcть A є некоторое множество и R є некоторое

отношение эквивалентности в A. Тогда семейство {[a]}a∈A классов явля-ется разбиением множества A.

Д о к а з а т е л ь с т в о. Всякий элемент a ∈ A в силу рефлексивно-сти принадлежит классу [a], поэтому

⋃a∈A

[a] = A. Для проверки второго

условия покажем, что для любых элементов a, b ∈ A классы [a] и [b]

либо не пересекаются, либо совпадают. Пусть [a]∩ [b] 6= ∅ и c ∈ [a]∩ [b].Пусть x є какой-нибудь элемент из [a], т. е. x ∼

Ra (рис. 8).

x

a

bc

[a] [b]

A

Рис. 8

11

По условию c ∼R

a, в силу симметричности, имеем a ∼R

c. Из отношенийx ∼

Ra, a ∼

Rc, c ∼

Rb, в силу транзитивности, получаем x ∼

Rb, т. е.

x ∈ [b], поэтому [a] ⊂ [b]. Аналогично доказывается обратное включение[b] ⊃ [a]. Следовательно, [a] = [b].

¥

Таким образом, всякое отношение эквивалентности задает разбие-ние. С другой стороны, всякое разбиение {Bα}α∈I множества A можнозадать с помощью отношения эквивалентности, считая, что a ∼

Rb тогда и

только тогда, когда элемент a принадлежит тому же множеству разбие-ния {Bα}α∈I , что и элемент b. В этом случае семейство{Bα}α∈I совпада-ет с семейством классов эквивалентности {[a]}a∈A. Фактор-множествомножества A, заданное отношением эквивалентности R, называют фак-тор-множеством множества A по отношению эквивалентности R иобозначают A/R.

П р и м е р 7. На плоскости P зафиксируем некоторую прямую l изададим во множестве точек P следующее отношение эквивалентностиR : a ∼

Rb, если прямая, параллельная l, проходящая через точку b,

содержит точку a. Фактор-множество P/R состоит из всех прямых плос-кости P , параллельных прямой l.

П р и м е р 8. «Отношение знакомства», приведенное в примере 6, неявляется отношением эквивалентности, поскольку не обладает свойст-вом транзитивности.

3. Свойства операций над множествами. Для операций ∪, ∩, \,4, × над множествами справедливы многие привычные свойства опера-ций сложения и умножения над числами.

Например, операции объединения и пересечения множеств по самомусвоему определению коммутативны:

A ∪B = B ∪ A,

A ∩B = B ∩ A

12

и ассоциативны:(A ∪B) ∪ C = A ∪ (B ∪ C),

(A ∩B) ∩ C = A ∩ (B ∩ C).

Кроме того, они взаимно дистрибутивны, т. е. пересечение дистрибу-тивно относительно объединения:

(A ∪B) ∩ C = (A ∩ C) ∪ (B ∩ C) (1)

и объединение дистрибутивно относительно пересечения:

(A ∩B) ∪ C = (A ∪ C) ∩ (B ∪ C). (2)

Проверим, например, равенство (1). Пусть элемент x принадлежитмножеству, стоящему в левой части равенства (1), т. е. x ∈ (A∪B)∩C.Это означает, что x ∈ C и x принадлежит по крайней мере одному измножеств A или B. Тогда x принадлежит по крайней мере одному измножеств A ∩ C или B ∩ C, и, значит, x ∈ (A ∩ C) ∪ (B ∩ C). Обратно,пусть x ∈ (A ∩ C) ∪ (B ∩ C). Тогда x принадлежит по крайней мереодному из множеств A ∩ C или B ∩ C. Значит, x ∈ C, и, кроме того, x

принадлежит A или B, т. е. x ∈ A∪B. Следовательно, x ∈ (A∪B)∩C.Равенство (1) доказано. Аналогично доказывается равенство (2).

Ясно, что операция симметрической разности множеств коммутатив-на, а операции разности и произведения множеств не коммутативны.

Операция произведения множеств ассоциативна по определению.У п р а ж н е н и е 1. Покажите, что операция симметрической

разности множеств ассоциативна, а операция разности множеств не ассо-циативна.

Из свойств дистрибутивности для операций ∪, ∩, \, 4, ×, кромеуказанных выше, отметим еще необходимое нам в дальнейшем свойстводистрибутивности пересечения относительно симметрической разности:

(A4B) ∩ C = (A ∩ C)4(B ∩ C). (3)

У п р а ж н е н и е 2. Докажите равенство (3).

13

Важную роль в теории множеств играет принцип двойственности,основанный на двух равенствах є формулах де Моргана:

1) дополнение объединения равно пересечению дополнений

X \⋃α

Aα =⋂α

(X \ Aα); (4)

2) дополнение пересечения равно объединению дополнений

X \⋂α

Aα =⋃α

(X \ Aα) (5)

(в равенствах (4), (5) все множества семейства {Aα} являются подмно-жествами множества X).

У п р а ж н е н и е 3. Покажите справедливость равенств (4), (5).Пр и нц и п д в о й с т в е н н о с т и заключается в следующем: из вся-

кого равенства, относящегося к системе подмножеств фиксированногомножества, можно получить другое равенство (называемое двойствен-ным к исходному), если заменить в нём все объединяемые и пересека-емые множества их дополнениями, объединения множеств є пересече-ниями, а пересечения є объединениями.

П р е д у п р е ж д е н и е. При применении принципа двойственностинельзя совершать указанные замены множеств и знаков ∪ и ∩ в отдель-ных частях («уменьшаемом» и «вычитаемом») неразделимых символовразностей множеств, а также в симметрических разностях множеств.Например, множество (A∪B)\(D∩F ) следует заменить на CX

((A∪ B)\

\(D ∩ F )), а не на

((CXA) ∩ (CXB)

)\

((CXD) ∪ (CXF )

).

П р и м е р 9. Для любых подмножеств A,B всякого множества X

справедливо равенство

(A \B) ∪ (B \ A) = (A ∪B) \ (A ∩B)

(покажите!). Применяя принцип двойственности к последнему равен-ству, получаем равенство

(CX(A \B)

)∩

(CX(B \ A)

)= CX

((A ∪B) \ (A ∩B)

).

14

Упражнения

1. Каких из подмножеств у множества из 10 элементов больше: из 3

элементов или из 7?2. Старейший математик среди шахматистов и старейший шахма-

тист среди математиков є это один и тот же человек или (возможно)разные?

3. Покажите равносильность следующих трех соотношений: A ⊂ B,A ∩B = B, A ∪B = B.

4. Покажите, что A ∩B = A \ (A \B).5. Докажите, что произведение дистрибутивно относительно объеди-

нения и относительно пересечения:A × (B ∪ C) = (A × B) ∪ (A × C), (B ∪ C) × A = (B × A) ∪ (C × A);A× (B ∩ C) = (A×B) ∩ (A× C), (B ∩ C)× A = (B × A) ∩ (C × A).

6. Докажите, что для любых множеств A,B,C справедливы равен-ства

(A ∪B) \ C = (A \ C) ∪ (B \ C),

(A ∩B) \ C = (A \ C) ∩ (B \ C),

а равенстваC \ (A ∪B) = (C \ A) ∪ (C \B),

C \ (A ∩B) = (C \ A) ∩ (C \B)

в общем случае неверны (т. е. не выполнено одно из условий дистрибу-тивности разности относительно объединения и относительно пересече-ния).

7. На множестве R действительных чисел зададим следующее бинар-ное отношение R : a ∼

Rb, если x− y ∈ Z. Докажите, что R є отношение

эквивалентности, опишите элементы фактор-множества R/R.8. Пусть n ≥ 1 є некоторое целое число. На множестве Z целых

чисел зададим следующее бинарное отношение R : p ∼R

q, если число p−q

делится на n. Докажите, что R є отношение эквивалентности, опишите

15

элементы фактор-множества Z/R (фактор-множество Z/R обозначаютZn, его элементы называют кл а с с а ми в ы ч е т о в п о м о д у л ю n).

9. На плоскости P с фиксированной декартовой системой координатзададим следующие бинарные отношения R1, R2:

1) (a1, a2) ∼R1

(b1, b2), если a1 = b1, a2 − b2 ∈ Z;

2) (a1, a2) ∼R2

(b1, b2), если a1 − b1, a2 − b2 ∈ Z.

Докажите, что R1, R2 є отношения эквивалентности, опишите элементыфактор-множеств P/R1, P/R2.

10. Покажите, что на множествах из двух, трех и четырех элементовможно задать соответственно 2, 5 и 15 различных фактор-множеств.

16

§ 2. Отображения

1. Отображения множеств. Естественным обобщением понятияфункции, вводимого в анализе, является понятие отображения є одноиз важнейших понятий математики.

Пусть X, Y є непустые множества. Отображением множества X вмножество Y называется правило, по которому каждому элементу из X

поставлен в соответствие вполне определенный элемент из Y .Отображения обозначают буквами. Для отображения f , действую-

щего из X в Y, используют символическую запись f : X → Y ; множе-ство X называют областью определения, а множество Y є областьюзначений отображения f . Запись a

f7→ b означает, что элементу a ∈ X

при отображении f : X → Y соответствует элемент b ∈ Y . Вместо запи-си a

f7→ b используют также более краткую запись a 7→ b, когда ясно, окаком отображении идёт речь.

Задание соответствия элементу a ∈ X элемента b ∈ Y эквивалентнозаданию упорядоченной пары (a, b) ∈ X×Y. Поэтому понятие отображе-ния можно определить также следующим образом: подмножество f де-картова произведения X×Y называется отображением из X в Y , еслидля всякого элемента a ∈ X существует и единственен элемент b ∈ Y

такой, что (a, b) ∈ f.

Если a є элемент из X, то отвечающий ему элемент b при отображе-нии f : X → Y называется образом элемента a (при отображении f) иобозначается f(a). Совокупность всех элементов из X, образом которыхявляется данный элемент b ∈ Y , называется прообразом (полным прооб-разом) элемента b и обозначается f−1(b).

Пусть A є некоторое подмножество множества X; множество{f(a) : a ∈ A} называется образом множества A и обозначается f(A).Образ f(X) области определения X отображения f называют такжеобразом отображения f и обозначают Imf . Если B є некоторое под-множество множества Y , то множество {f−1(b) : b ∈ B} называется

17

прообразом (полным прообразом) множества B и обозначается f−1(B).Ясно, что f(A) = ∅ тогда и только тогда, когда A = ∅. Отметим, чтопрообраз f−1(B) может быть пустым множеством и в том случае, когдаB 6= ∅, точнее f−1(B) = ∅ тогда и только тогда, когда B ∩ f(X) = ∅(убедитесь!).

Отображения f : X → Y , g : X ′ → Y ′ называют равными и пишутf = g, если X = X ′, Y = Y ′ и f(x) = g(x) для всякого x ∈ X.

У п р а ж н е н и е 1. Покажите, что для всякого отображенияf : X → Y и любых подмножеств A ⊂ X, B ⊂ Y справедливо равенствои включение f(f−1(B)) = B ∩ f(X), f−1(f(A)) ⊃ A. Приведите пример,когда f−1(f(A)) 6= A.

П р и м е р 1. Пусть X є некоторое множество. ОтображениеX → X, переводящее каждый элемент x ∈ X в себя, называется тож-дественным (или единичным) и обозначается I

Xили просто I (когда

это не может привести к путанице). Таким образом, IX(x) = x, ∀x ∈ X .

П р и м е р 2. Пусть X, Y є некоторые множества и y0 є некоторыйэлемент из Y . Отображение f : X → Y , определенное равенством f(x) =

= y0, ∀x ∈ X, называется постоянным.П р и м е р 3. Пуcть X є некоторое непустое множество. Всякое

отображение f : N → X называется последовательностью элементовмножества X. Элемент f(n) обозначается xn, а сама последовательностьобозначается {x1, x2, . . . } или {xn}.

П р и м е р 4. Всякое отображение f : X1 × · · · × Xn → Y , n ≥ 2,определенное на произведении множеств, называется отображением(функцией) n переменных.

Рассмотрим наиболее общие классы отображений. Отображениеf : X → Y называется инъективным (или инъекцией), если для любыхдвух различных элементов x1, x2 ∈ X их образы f(x1), f(x2) также раз-личны, т. е. из равенства f(x1) = f(x2) следует x1 = x2; иначе говоря,если прообраз f−1(y) всякого элемента y ∈ Y состоит не более чем изодного элемента. Отображение f : X → Y называется сюръективным

18

(или сюръекцией), если для всякого элемента y ∈ Y существует элементx ∈ X такой, что f(x) = y, т. е. f(X) = Y ; иначе говоря, если прообразf−1(y) всякого элемента y ∈ Y не пуст. Отображение f : X → Y называ-ется биективным (или биекцией), если оно инъективно и сюръективноодновременно, т. е. если прообраз f−1(y) всякого элемента y ∈ Y состоитровно из одного элемента.

У п р а ж н е н и е 2. Докажите, что если X є конечное мно-жество, то инъективность отображения f : X → X равносильна егосюръективности.

Установим некоторые свойства отображений.Т е о р е м а 1. Для всякого отображения f : X → Y и любых

множеств A и B из X образ объединения равен объединению образовэтих множеств, а образ пересечения содержится в пересечении образов,т. е.

f(A ∪B) = f(A) ∪ f(B), (1)

f(A ∩B) ⊂ f(A) ∩ f(B). (2)

Д о к а з а т е л ь с т в о. Докажем равенство (1). Пусть y ∈ f(A ∪ B).Тогда y = f(x) для некоторого x ∈ A∪B. Так как элемент x принадле-жит по крайней мере одному из множеств A или B, то элемент y = f(x)

принадлежит по крайней мере одному из множеств f(A) или f(B), и,значит, y ∈ f(A) ∪ f(B). Обратно, если y ∈ f(A) ∪ f(B), то элементy принадлежит по крайней мере одному из множеств f(A) или f(B),следовательно, по крайней мере в одном из множеств A или B найдетсяэлемент x такой, что y = f(x). Тогда x ∈ A ∪ B, поэтому y = f(x) ∈∈ f(A ∪B).

Докажем включение (2). Пусть y ∈ f(A ∩ B). Тогда y = f(x) длянекоторого x ∈ A ∩ B. Таким образом, x ∈ A и x ∈ B, следовательно,f(x) ∈ f(A) и f(x) ∈ f(B), значит y = f(x) ∈ f(A) ∩ f(B).

¥

19

З а м е ч а н и е 1. Образ пересечения множеств, вообще говоря, неравен пересечению образов. Рассмотрим, например постоянное отобра-жение f : X → Y , f(x) = y0, x ∈ X . Пусть x1, x2 ∈ X, x1 6= x2.Положим A = {x1}, B = {x2}. Тогда A∩B = ∅ и, значит, f(A∩B) = ∅,но f(A) ∩ f(B) = {y0}.

Т е о р е м а 2. Для всякого отображения f : X → Y и любыхмножеств A и B из Y прообраз объединения (пересечения) равен объеди-нению (пересечению) прообразов этих множеств, т. е.

f−1(A ∪B) = f−1(A) ∪ f−1(B), (3)

f−1(A ∩B) = f−1(A) ∩ f−1(B). (4)

Д о к а з а т е л ь с т в о. Докажем равенство (3). Пусть x ∈∈ f−1(A∪B). Это означает, что f(x) ∈ A∪B, поэтому элемент f(x) при-надлежит по крайней мере одному из множеств A или B. Тогда элементx принадлежит хотя бы одному из множеств f−1(A) или f−1(B), значитx ∈ f−1(A) ∪ f−1(B). Обратно, если x ∈ f−1(A) ∪ f−1(B), то элемент x

принадлежит по крайней мере одному из множеств f−1(A) или f−1(B).Поэтому элемент f(x) принадлежит хотя бы одному из множеств A илиB, следовательно, f(x) ∈ A ∪B, значит x∈f−1(A ∪B).

Докажем равенство (4). Если x ∈ f−1(A ∩ B), то f(x) ∈ A ∩ B, т. е.f(x) ∈ A и f(x) ∈ B, следовательно, x ∈ f−1(A) и x ∈ f−1(B), значитx ∈ f−1(A)∩f−1(B). Обратно, если x ∈ f−1(A)∩f−1(B), то x ∈ f−1(A) иx ∈ f−1(B), следовательно, f(x) ∈ A и f(x) ∈ B, поэтому f(x) ∈ A∩B,

значит x ∈ f−1(A ∩B).

¥

У п р а ж н е н и е 3. Докажите, что прообраз дополнения равендополнению прообраза. Справедливо ли аналогичное утверждение дляобраза дополнения?

З а м е ч а н и е 2. Язык отображений удобен для задания разбие-ний множества. Всякое отображение задает разбиение и, обратно, всякое

20

разбиение можно задать при помощи некоторого отображения. Действи-тельно, если f : X → Y є отображение, то семейство {f−1(y): y∈f(X)},очевидно, является разбиением множества X. Обратно, пусть X є неко-торое множество и {Aα}α∈I є некоторое его разбиение. Обозначим черезY множество подмножеств {Aα}α∈I . Зададим отображение π : X → Y ,ставя в соответствие каждому элементу x ∈ X тот класс (т. е. элементиз Y ), которому x принадлежит. Тогда семейство {π−1(y) : y ∈ Y } сов-падает с семейством {Aα}α∈I .

2. Конструирование отображений. Из данных отображений мо-жно конструировать другие отображения. Приведем некоторые способыконструирования, необходимые в дальнейшем.

1◦. С у же н и е о т о б р аж е ни я («дочерний объект»). Пустьf : X → Y є отображение и A є подмножество множества X. Отобра-жение f |A : A → Y , определенное равенством f |A(x) = f(x), x ∈ A,называется сужением (или ограничением) отображения f на множес-тво A.

П р и м е р 5. Пусть R+ є множество всех положительных действи-тельных чисел, а R− є множество всех отрицательных действительныхчисел. Тогда для функции f : R → R, f(x) = |x| имеем: f |R+

(x) = x,f |R−(x) = −x.

2◦. С у п е р п о з и ц и я о т о б р а ж ен и й. Пусть X, Y, Z є множестваи f : X → Y , g : Y → Z є отображения. Суперпозицией (или компози-цией) отображений f и g называется отображение g ◦ f : X → Z, опре-деленное равенством

(g ◦ f)(x) = g(f(x)),∀x ∈ X.

П р и м е р 6. Рассмотрим функции f, g : R→ R, f(x) = x2, g(x) =

= 2x. Суперпозицией g ◦ f : R → R является функция (g ◦ f)(x) = 2x2,а суперпозицией f ◦ g : R → R є функция (f ◦ g)(x) = 22x. (Здесьg ◦ f 6= f ◦ g !)

3◦. О б р а т н о е о т о б р а ж ен и е. Пусть f є отображение множес-

21

тва X в множество Y . Отображение g : Y → X называется обратнымк отображению f , если

g ◦ f = IX, f ◦ g = I

Y. (5)

Отображение, для которого существует обратное отображение, назы-вается обратимым.

У п р а ж н е н и е 4. Приведите пример отображений f : X → Y,

g : Y → X таких, что g ◦ f = IX, но f ◦ g 6= I

Y.

Т е о р е м а 3. Отображение обратимо тогда и только тогда, когдаоно биективно.

Доказательство теоремы опирается на следующее утверждение.Л е м м а. Пусть f : X → Y, g : Y → X є отображения. Тогда:1) если g ◦ f инъективно, то и f инъективно;2) если g ◦ f сюръективно, то и g сюръективно.Д о к а з а т е л ь с т в о. 1) Если x1, x2 ∈ X и f(x1) = f(x2), то

(g ◦ f)(x1) = g(f(x1)) = g(f(x2)) = (g ◦ f)(x2). Так как отображениеg ◦ f инъективно, то из последних равенств получаем x1 = x2, т. е.отображение f инъективно.

2) Пусть x є какой-нибудь элемент из X. В силу сюръективностиотображения g ◦ f существует элемент x′ ∈ X такой, что (g ◦ f)(x′) = x,

т. е. g(y) = x, где y = f(x′), следовательно, g сюръективно.

¥

С л е д с т в и е. Если отображения f : X → Y, g : Y → X

удовлетворяют условиюg ◦ f = I

X, (6)

то f инъективно, а g сюръективно.Д о к а з а т е л ь с т в о т е о р е м ы 3. Н е о б х о д и м о с т ь.

Пусть отображение f : X → Y обратимо и g : Y → X є обратноеотображение к f. Согласно следствию леммы, из равенства g ◦ f = I

X

следует инъективность f, а из равенства f ◦ g = IY

є сюръективностьf, т. е. f биективно.

22

Д о с т а т о ч н о с т ь. Если отображение f : X → Y биективно, тодля всякого элемента y ∈ Y прообраз f−1(y) состоит из одного элементамножества X. Зададим отображение g : Y → X равенством g(y)=f−1(y)

для всякого y ∈ Y . Тогда (f ◦ g)(y) = f(g(y)) = f(f−1(y)) = y, т. е.f ◦ g = I

Y; (g ◦ f)(x) = g(f(x)) = f−1(f(x)) = x, т. е. g ◦ f = I

X.

Следовательно, g є обратное отображение к f .

¥

З а м е ч а н и е 3. Отображение не может иметь более одногообратного отображения. Действительно, если g : Y → X є отображение,обратное к отображению f : X → Y, то, в силу биективности f, длявсякого элемента y ∈ Y прообраз f−1(y) состоит из одного элемента,который, в силу условия f(g(y)) = y, равен g(y). Таким образом, обрат-ное отображение к f определено однозначно, его обозначают в тради-циях алгебры f−1.

П р и м е р 7. Обратным к отображению f : R→ R, f(x) = x2k−1,

k ∈ N, является отображение f−1(x) = x1

2k−1 . Для отображенияg : R → R, g(x) = x2k, k ∈ N, обратное отображение не определено,поскольку g не биективно.

П р и м е р 8. Для всякого множества X имеем I−1X

= IX. Всякое

постоянное отображение f : X → Y множества X, состоящего болеечем из одного элемента, не биективно, и, значит, отображение f−1 неопределено.

Ясно, что для всякого биективного отображения f обратное к немуотображение f−1 также биективно и (f−1)−1 = f .

З а м е ч а н и е 4. Для всякого отображения f : X → Y полныйпрообраз элемента y ∈ Y обозначается f−1(y). Если же отображение f

биективно, то определено обратное отображение f−1 : Y → X, и записьf−1(y) можно понимать также как образ элемента y при отображенииf−1. Однако такое совпадение обозначений к путанице не приводит, по-скольку для биективного отображения полный прообраз f−1(y) состоит

23

из одного элемента є образа элемента y при отображении f−1.3. Свойства операций над отображениями. Укажем некоторые

свойства, необходимые в дальнейшем.Т е о р е м а 4. Операция суперпозиции отображений ассоциативна,

т. е. если f : X → Y , g : Y → Z, h : Z → H є три отображения, то

(h ◦ g) ◦ f = h ◦ (g ◦ f). (7)

Д о к а з а т е л ь с т в о. Равенство (7) следует из равенств

((h◦g)◦f)(x) = (h◦g)(f(x)) = h(g(f(x))) = h((g◦f)(x)) = (h◦(g◦f))(x).

¥

Т е о р е м а 5. Пусть f : X → Y , g : Y → Z є отображения иh = g ◦ f . Тогда:

1) если f и g инъективны, то и h инъективно;2) если f и g сюръективны, то и h сюръективно;3) если f и g биективны, то и h биективно.Д о к а з а т е л ь с т в о. 1) Пусть h(x1) = h(x2). Тогда

h(x1) = (g ◦ f)(x1) = g(f(x1))

||h(x2) = (g ◦ f)(x2) = g(f(x2)),

откуда g(f(x1)) = g(f(x2)). Из последнего равенства, в силу инъектив-ности g, получаем f(x1) = f(x2), откуда, в силу инъективности f , следу-ет x1 = x2.

2) Пусть z є некоторый элемент из Z. В силу сюръективности g,существует элемент y ∈ Y такой, что g(y) = z, а в силу сюръективностиf , существует элемент x ∈ X такой, что f(x) = y. Поэтому h(x) =

= (g ◦ f)(x) = g(f(x)) = g(y) = z, т. е. h(x) = z.Утверждение 3) является следствием утверждений 1), 2).

¥

24

У п р а ж н е н и е 5. Пусть f : X → Y , g : Y → Z є биективныеотображения. Покажите, что (g ◦ f)−1 = f−1 ◦ g−1.

Упражнения

1. Приведите примеры отображений инъективных, но не сюръектив-ных; сюръективных, но не инъективных; биективных.

2. Приведите пример отображений f и g таких, что f не сюръектив-но, g не инъективно, но g ◦ f биективно.

3. Покажите, что для всякого инъективного отображения f : X → Y

и любого подмножества A ⊂ X справедливо равенство f−1(f(A)) = A.4. Покажите, что для всякого сюръективного отображения f : X→Y

и любого подмножества B ⊂ Y справедливо равенство f(f−1(B)) = B.5. Покажите, что для всякого отображения f : X → X справедливы

включенияf(X) ⊃ f(f(X)) ⊃ f(f(f(X))) ⊃ . . .

6. Докажите, что если X и Y є конечные множества и |X| = n,|Y | = k, то число различных отображений X → Y равно kn.

7. Покажите, что для всякого отображения f : X → Y и любых под-множеств A ⊂ X,B ⊂ Y справедливо равенство f |−1

A (B)=f−1(B) ∩ A.

25

§ 3.Сравнение множеств

1. Задача классификации. Сравнение множеств. Понятие

о мощности множества. Одной из важных задач всякой науки яв-ляется задача к л а с с иф и к а ц ии, которая на языке теории множествзаключается в разбиении множества всех объектов, исследуемых в рам-ках какой-то проблемы, на непересекающиеся классы, в каждом из ко-торых сосредоточены похожие, т. е. эквивалентные в некотором смыслеобъекты, точнее є объекты, имеющие одинаковые свойства в пределахданной проблемы. Например, классификация множества Z целых чисел,в связи с задачей нахождения остатка при делении целого числа на 10,состоит из 10 классов, в каждом из которых содержатся все целые чис-ла, оканчивающиеся на одну и ту же цифру. Классификация позволяетупорядочить полученные знания об объектах и избавляет от необходи-мости изучать отдельно каждый из объектов множества: в каждом изклассов разбиения выделяют по одному какому-нибудь представителю(множество всех таких представителей часто также называют классифи-кацией) и для выяснения свойств любого интересующего объекта иссле-дуют свойства представителя из того же класса, что и рассматриваемыйобъект.

Рассмотрим теперь задачу классификации всех объектов теории мно-жеств, т. е. разбиение множества всех возможных множеств. Но уже впостановке задачи мы сталкиваемся с неожиданной трудностью. Мно-жество всех возможных множеств, несмотря на простоту описания, обла-дает свойством, не присущим типичным множествам: будучи множест-вом, содержащим в качестве элементов все возможные множества, онос о д е р ж ит и с е б я в к а ч е с т в е э л е м е н т а. В п. 5 мы покажем, чтов качестве множества такой объект некорректен, допущение его в каче-стве множества позволяет делать выводы, противоречащие друг другу(там же мы обсудим причины этого парадокса). Таким образом, мы нерасполагаем описанием множества всех объектов теории множеств. По

26

этой причине при рассмотрении задачи классификации мы ограничим-ся любой совокупностью множеств, заданной без противоречий, составкоторой не вызывает сомнений.

В теории множеств изучают свойства множеств, не зависящие отсвойств элементов, из которых они состоят. Исследуя множества, отвле-каются от свойств (элиминируют свойства) элементов, составляющихрассматриваемые множества. Рассмотрим задачу классификации мно-жеств при таком подходе обезличивания элементов. Какие множества втакой ситуации следует считать эквивалентными? При элиминации всехсвойств элементов возможность различения элементов обеспечивают ихимена («этикетки»), которые, разумеется, могут быть выбраны разнымиспособами. Поэтому естественно не различать множества A и B, есливозможно «переклеить этикетки» с элементов множества B на элементымножества A, т. е. если можно переименовать элементы множества A

именами элементов множества B так, что имя каждого из элементовмножества B будет использовано и притом только один раз. На языкеотображений процедура переименования элементов множества A озна-чает задание отображения из A в B, а тот факт, что имя каждого изэлементов множества B будет использовано и притом только один раз,означает биективность этого отображения. Описанный способ сравнениямножеств по принципу биективности был внедрён в математику Канто-ром. Для конечных множеств он эквивалентен сравнению множеств почислу их элементов; именно так до Кантора сравнивали множества, втом числе и бесконечные. Однако сравнение множеств по числу элемен-тов не позволяет различать бесконечные множества: все бесконечныемножества имеют одно и то же є бесконечное число элементов и, значит,попадают в один класс. В отличие от способа сравнения множеств почислу элементов, способ сравнения по принципу биективности позволяетполучить тонкую классификацию бесконечных множеств, имеющую бес-конечное число классов.

Множество A называется эквивалентным или равномощным мно-

27

жеству B, если существует биективное отображение f : A → B. Ясно,что если множество A равномощно множеству B, то и множество B

равномощно множеству A, поэтому употребляют также выражение«множества A и B равномощны». Если A и B равномощны, то говорят,что они имеют одну и ту же мощность, и пишут |A| = |B|.

У п р а ж н е н и е 1. Покажите, что для всякой совокупности мно-жеств отношение равномощности множеств является отношением экви-валентности на данной совокупности.

Два конечных множества имеют одну и ту же мощность, если онисостоят из одного и того же числа элементов. Поэтому понятие мощностимножества можно рассматривать как обобщение понятия числа элемен-тов конечного множества. Мощность є это то общее, что есть у любыхдвух равномощных множеств. Следует отметить, что для бесконечныхмножеств некоторые свойства мощности отличаются от свойств числаэлементов конечных множеств. Например, если B є подмножество ко-нечного множества A и B 6= A, то |B| 6= |A|. Для бесконечных множествэто свойство не имеет места: N 6= 2N, но |N| = |2N| (см. ниже пример 1 ).

Рассмотрим важные классы множеств.2. Счетные множества. Множество называется счетным, если

оно равномощно множеству N натуральных чисел. Мощность счетногомножества обозначают ℵ0 (ℵ є первая буква древнееврейского алфави-та, называемая «алеф»).

Всякое биективное отображение f : A → N задает естественнуюнумерацию элементов множества A: элемент a получает номер n = f(a)

(пишут an). Обратно, всякая нумерация множества A числами множес-тва N задает биекцию A → N. Поэтому множество счетно, если егоэлементы можно занумеровать числами натурального ряда.

П р и м е р 1. Множество 2N всех четных положительных чиселсчетно. Биекцией f : N → 2N может служить отображение, определен-ное равенством f(n) = 2n, ∀n ∈ N.

У п р а ж н е н и е 2. Докажите счетность множеств Z всех целых

28

чисел и 2N+ 1 всех нечетных положительных чисел.Т е о р е м а 1. Множество Q рациональных чисел счетно.Д о к а з а т е л ь с т в о. Всякое рациональное число однозначно

записывается в виде несократимой дроби p/q, q > 0. Назовем сумму|p| + q высотой рационального числа p/q. Ясно, что для всякого n ∈ Nчисло дробей, имеющих высоту n, конечно. Занумеруем все рациональ-ные числа по возрастанию высоты, т. е. сначала выпишем единственноечисло 0/1 высоты 1, затем все числа −1/1, 1/1, 0/2 высоты 2 и т. д. Приэтом каждое рациональное число получит некоторый номер, т. е. будетзадано биективное отображение N→ Q.

¥

Приведем некоторые свойства счетных множеств.Т е о р е м а 2. Всякое подмножество счетного множества конечно

или счетно.Д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть A є счетное множество и B є его

подмножество. Если B = ∅, то утверждение справедливо. Пусть B 6= ∅.Занумеруем элементы множества A : a1, a2, . . . . Пусть an1

, an2, . . . є

те из них, которые принадлежат B. Если среди чисел n1, n2, . . . естьнаибольшее, то B конечно, если наибольшего нет, то B счетно, так какего члены an1

, an2, . . . занумерованы числами 1, 2, . . . .

¥

Т е о р е м а 3. Всякое бесконечное множество имеет счетное подмно-жество.

Д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть A є бесконечное множество. Выберемв A какой-либо элемент a1. В бесконечном множестве A \ {a1} выберемэлемент a2, затем в бесконечном множестве A\{a1, a2} выберем элементa3 и т. д. Таким образом мы построим множество {a1, a2, a3, . . . }, котороеявляется счетным подмножеством множества A.

¥

29

Последнее утверждение показывает, что счетные множества явля-ются «самыми маленькими» среди бесконечных множеств.

Т е о р е м а 4. Объединение конечного или счетного семействасчетных множеств есть счетное множество.

Д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть

A1, A2, . . . (1)

є счетные множества. Не ограничивая общности, можно считать, чтомножества (1) попарно не пересекаются, иначе вместо них мы рассмотре-ли бы множества A1, A2 \A1, A3 \ (A1 ∪ A2), . . . (каждое из которыхконечно или счетно, по теореме 2), объединение которых совпадает собъединением множеств (1). Все элементы множеств (1) запишем в видетаблицы, поместив в i-й строке элементы множества Ai. Поскольку мно-жества (1) попарно не пересекаются, то среди элементов таблицы нетодинаковых, поэтому элементы таблицы є это в точности все элементыобъединения множеств (1). Занумеруем элементы таблицы «по диагона-лям», т. е. двигаясь в порядке, указанном на таблице стрелками, начинаяс элемента a11:

A1 : a11 → a12 a13 → a14 . . .

↙ ↗ ↙A2 : a21 a22 a23 a24 . . .

↓ ↗ ↙A3 : a31 a32 a33 a34 . . .

↙A4 : a41 a42 a43 a44 . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Ясно, что каждый элемент таблицы получит определенный номер, т. е.будет установлена биекция между объединением множеств (1) и мно-жеством N.

¥

30

У п р а ж н е н и е 3. Покажите, что декартово произведение двухсчетных множеств счетно.

Приведем еще один полезный факт.Т е о р е м а 5. Всякое бесконечное множество равномощно его

объединению со счетным множеством.Д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть A є некоторое бесконечное мно-

жество, а B є какое-нибудь счетное множество. Тогда в силу теоремы 3множество A имеет некоторое счетное подмножество C. Согласно теоре-ме 4, множества C и C∪B равномощны. Пусть g:C →C∪B є некотораябиекция. Если A = C, то утверждение справедливо, если A 6= C, то за-дадим отображение f : A → A ∪B равенством

f(x) =

{x, если x ∈ A \ C,

g(x), если x ∈ C.

Ясно, что отображение f биективно.¥

3. Множества мощности континуума. Следующее утверждениепоказывает, что не всякое бесконечное множество является счетным.

Т е о р е м а 6 (Кантор). Множество действительных чисел интер-вала (0, 1) несчетно.

Д о к а з а т е л ь с т в о. Каждое число из интервала (0, 1) мож-но записать в виде бесконечной десятичной дроби, причем не более чемдвумя способами. Точнее, числа вида p

10k , где p, k ∈ N, p < 10k, и толькоони, допускают два представления: одно є с нулем в периоде, а другое єс девяткой в периоде (например, 0, 200 · · · = 0, 199 . . . ). Для чисел, име-ющих две различные записи, выберем одну, не содержащую цифру 9

в периоде. Предположим теперь, что множество чисел интервала (0, 1)

счетно. Занумеруем их:

α1 = 0, a11a12a13 . . .

α2 = 0, a21a22a23 . . .

α3 = 0, a31a32a33 . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . .

(2)

31

Рассмотрим число β = 0, b1b2b3 · · · ∈ (0, 1), где b1 є любая цифра от1 до 8, отличная от a11, b2 є любая цифра от 1 до 8, отличная от a22

и т. д. Так как bn 6= ann для всякого n ∈ N, то число β отлично откаждого из чисел (2), т. е. β /∈ (0, 1). Противоречие.

¥

Множество называется континуальным или множеством мощностиконтинуума, если оно равномощно множеству всех действительных чи-сел интервала (0, 1). Мощность континуального множества обозначаютc (це готическое).

П р и м е р 2. Всякий интервал (a, b), множество R действитель-ных чисел и множество R+ положительных действительных чисел име-ют мощность континуума. Биекциями могут служить отображения:f : (0, 1) → (a, b), f(x) = a + x(b − a); g : R+ → (0, 1), g(x) = 1

x+1 ,h : R→ (0, 1), h(x) = 1

2x+1 .У п р а ж н е н и е 4. Покажите, что всякий отрезок [a, b] имеет

мощность континуума.4. О равенстве и неравенстве мощностей. Говорят, что мощ-

ность множества A не больше мощности множества B, и пишут|A| ≤ |B|, если множество A равномощно некоторому подмножествумножества B. Если, кроме того, |A| 6= |B|, то говорят, что мощностьмножества A меньше мощности множества B, и пишут |A| < |B|.

Следующее утверждение является одним из основных в теории мно-жеств.

Т е о р е м а 7 (Кантор ҷ Бернштейн). Если |A| ≤ |B| и |B| ≤ |A|,то |A| = |B|.

Д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть f : A → B1, g : B → A1 єнекоторые биективные отображения множеств A,B на некоторые под-множества B1, A1 множеств B,A соответственно. Построим биективноеотображение h : A → B. Не ограничивая общности, можно считать, что

32

A ∩ B = = ∅. Пусть x є какой-нибудь элемент из множества A. Опре-делим для него последовательность {xn} элементов из множества A∪B

следующим образом. Положим x0 = x. Если xn уже определен, то при n

четном положим xn+1 = g−1(xn) (если элемент g−1(xn) ∈ B существует),а при n нечетном положим xn+1 = f−1(xn) (если элемент f−1(xn) ∈ A

существует). Логически возможны два случая.1◦. При некотором n элемент xn существует, а элемент xn+1 не су-

ществует, т. е. последовательность {xn} конечна. Это n назовем поряд-ком элемента x.

2◦. Элемент xn+1 существует для всякого n ∈ N, т. е. последователь-ность {xn} бесконечна. В этом случае назовемx элементом бесконечногопорядка.

Разобьем множество A на три подмножества: Aчет є всех элементовчетного порядка, Aнеч є всех элементов нечетного порядка, A∞ є всехэлементов бесконечного порядка. Аналогичным образом разобьем мно-жество B на три подмножества Bчет, Bнеч, B∞. Тогда f(Aчет) = Bнеч,f(A∞) = B∞, g−1(Aнеч) = Bчет. Действительно, если {xn}є последова-тельность, соответствующая элементу x ∈ A, то элементу y = f(x) ∈ B

соответствует последовательность {yn},

yn =

{y, если n = 0,

xn−1, если n ≥ 1,

поэтому

f(x) ∈{

Bнеч, если x ∈ Aчет,

B∞, если x ∈ A∞,

значит f(Aчет) ⊂ Bнеч, f(A∞) ⊂ B∞. С другой стороны, если {yn} єпоследовательность, соответствующая элементу y ∈ B, то y1 = f−1(y), иэлементу x = y1 ∈ A соответствует последовательность {xn}, xn = yn+1,поэтому

f−1(y) ∈{

Aчет, если y ∈ Bнеч,

A∞, если y ∈ B∞,

33

следовательно, f−1(Bнеч) ⊂ Aчет, f−1(B∞) ⊂ A∞, т. е. f(Aчет) ⊃⊃ Bнеч, f(A∞) ⊃ B∞. Таким образом, f(Aчет) = Bнеч, f(A∞) = B∞.Аналогичным образом для отображения g : B → A1 имеет место равен-ство g(Bчет) = Aнеч, т. е. g−1(Aнеч) = Bчет. Зададим теперь биектив-ное отображение h : A → B по правилу

h(x) =

{f(x), если x ∈ Aчет ∪ A∞;

g−1(x), если x ∈ Aнеч.

¥

Теорема Кантора ҷ Бернштейна позволяет значительно упрощать до-казательства равномощности множеств. Например, для доказательстваравномощности круга и кольца достаточно выбрать в кольце какой-ни-будь круг, а в круге є какое-нибудь кольцо и, учитывая, что любыедва круга и любые два кольца биективны, воспользоваться теоремойКантора ҷ Бернштейна.

У п р а ж н е н и е 5. Покажите, что любые интервал (a, b), полуин-тервал [c, d) и отрезок [g, h] равномощны.

Мы рассмотрели два класса бесконечных множеств: счетные множе-ства и множества мощности континуума. Оказалось, что среди бесконеч-ных множеств счетные являются «самыми маленькими». Следующаятеорема показывает, что множества мощности континуума не «самыебольшие».

Т е о р е м а 8 (Кантор). Мощность всякого множества A меньшемощности множества 2A всех его подмножеств.

Д о к а з а т е л ь с т в о. Если A = ∅, то утверждение справедливо.Пусть A 6= ∅ и C =

{{a} : a ∈ A

}є множество всех одноэлементных

подмножеств множества A. Отображение f : A → C, определенное ра-венством f(a) = {a}, a ∈ A, очевидно, является биекцией множестваA на подмножество C множества 2A. Покажем теперь, что |A| 6= |2A|.Предположим противное. Пусть g : A → 2A є биективное отображение.

34

Рассмотрим два подмножества множества A:

A1 = {a ∈ A : a ∈ g(a)}, A2 = {a ∈ A : a /∈ g(a)}.Множества A1, A2 не пусты: множество A1 содержит элемент a∗ : g(a∗) =

= A, а множество A2 содержит элемент a∗ : g(a∗) = ∅. Ясно, чтоA1 ∪ A2 = A и A1 ∩ A2 = ∅. Поскольку g є биекция, то существуетэлемент a′ ∈ A такой, что g(a′) = A2. Если a′ ∈ A1, то a′ ∈ g(a′) = A2.Противоречие. Если же a′ ∈ A2, то a /∈ g(a′) = A2. Противоречие.

¥

Из теоремы 8 следует, что для любой мощности можно построитьмножество большей мощности, затем на его основе еще большей и т. д.,получая таким образом неограниченную шкалу мощностей.

Рассмотрим задачу о зависимости мощности множества 2M от мощ-ности множества M , когда M конечно или счетно. В случае конечногомножества задача сводится к упражнению из комбинаторики.

У п р а ж н е н и е 6. Покажите, что семейство 2M всех подмно-жеств множества M , состоящего из n элементов, имеет 2n элементов,т. е. |2M | = 2|M |.

Для случая счетного множества справедливо следующее утвержде-ние.

Т е о р е м а 9. Если M є счетное множество, то множество 2M всехего подмножеств континуально.

Д о к а з а т е л ь с т в о. Покажем сначала, что множество 2M всехподмножеств множества M = {a1, a2, . . . , an, . . . } равномощно множе-ству Σ всех последовательностей из нулей и единиц. Зададим отобра-жение f : 2M → Σ по правилу: для каждого подмножества A ∈ ∈ 2M

положим f(A) = (ε1, ε2, . . . , εn, . . . ), где

εk =

{1, если ak ∈ A,

0, если ak /∈ A.

Ясно, что отображение f биективно, следовательно, множества 2M

и Σ равномощны.

35

Обозначим через Σ′ множество всех последовательностей из множе-ства Σ, которые имеют лишь конечное число нулей, т. е. все члены кото-рых, начиная с некоторого номера, равны единице. Для всякого чис-ла k ∈ N множество Σ′

k всех тех последовательностей из множестваΣ′, которые имеют ровно k нулей, счетно (покажите!). Поскольку Σ′ =

=∞⋃

k=0Σ′

k, то согласно теореме 4 множество Σ′ счетно и в силу теоремы 5

множество Σ = (Σ \ Σ′) ∪ Σ′ равномощно множеству Σ \ Σ′.Теперь для доказательства теоремы достаточно показать, что мно-

жество Σ\Σ′ континуально. Покажем, что оно равномощно полуинтерва-лу [0, 1).

Каждое число из полуинтервала [0, 1) можно записать в виде беско-нечной двоичной дроби 0, a1a2 . . . an · · · = a1

2 + a2

22 + · · · + an

2n + . . . , гдекаждое ai равно 0 или 1, причем не более чем двумя способами. Точнее,числа вида p

2k , где p, k ∈ N, p < 2k, и только они допускают два представ-ления: одно є с бесконечным числом нулей, а другое є с конечнымчислом нулей, т. е. с единицей в периоде. Таким образом, одно из двухпредставлений чисел вида p

2k имеет единицу в периоде. С другой сторо-ны, всякое число из полуинтервала [0, 1), двоичная запись которого име-ет единицу в периоде, имеет вид p

2k : 0, a1a2 . . . an11 · · · = a1

2 + a2

22 + · · ·++an

2n + 12n+1 + 1

2n+2 + · · · = a12n−1+a22n−2+···+an+12n . Исключим из рассмотрения

двоичные представления чисел, имеющие единицу в периоде, тогда каж-дое число из полуинтервала [0, 1) будет иметь единственное двоичноепредставление.

Зададим теперь отображение g : (Σ \ Σ′) → [0, 1) по правилу:

g((a1, a2, . . . , an, . . . )) = 0, a1, a2, . . . , an, . . . .

Очевидно, что отображение g биективно, значит множества Σ\Σ′ и [0, 1)

равномощны.

¥

36

5. Парадоксы теории множеств и аксиоматическая теория

множеств. Кантор, располагая вместо определения понятия множествалишь описанием этого фундаментального понятия создаваемой им тео-рии множеств, полагал, что непосредственная очевидность понятия мно-жества не оставит свободы в его понимании. Однако развитие теориимножеств довольно быстро опровергло его предположение. Уже в се-редине 1890-х годов в теории множеств были обнаружены противоречия(называемые парадоксами или антиномиями), основа которых была вразличном толковании понятия множества. Первым в 1897 году был от-крыт парадокс Бурали ҷ Форти (Кантору он был известен еще в 1895 го-ду), затем парадокс Кантора (1899 г.), парадокс Рассела (1902 г.) и ещецелая серия парадоксов. Рассмотрим лишь два из этих парадоксов, наи-более простых для описания.

Пар а д о к с К а нто р а. Рассмотрим множествоM всех возможныхмножеств. Согласно теореме Кантора, мощность множества 2M всех под-множеств множества M больше мощности множества M . С другой сто-роны, поскольку элементами множества 2M являются множества, то2M ⊂ M, значит мощность множества 2M не превосходит мощностимножества M . Противоречие.

Отметим, что множество M из парадокса Кантора, несмотря на про-стоту описания, обладает свойством, которым типичные множества необладают: M, будучи множеством, является элементом множества M

всех множеств, т. е. M содержит себя в качестве элемента. Множества стаким свойством служат основой для следующего парадокса.

Пар а д о к с Р а с с е л а. Рассмотрим множество S, состоящее из всехтех множеств, которые не содержат себя в качестве элемента. Обладаетли само множество S указанным свойством своих элементов? Предполо-жим, что S ∈ S, тогда, согласно определению множества S, множествоS не является элементом из S, т. е. S /∈ S. Противоречие. Предположимтеперь, что S /∈ S, тогда, согласно определению множества S, множествоS является своим элементом, т. е. S ∈ S. Противоречие. Таким образом,

37

не может быть ни S ∈ S, ни S /∈ S.В 1919 году Рассел предложил также следующий популярный вари-

ант этого парадокса.Пар а д о к с б р а д о б р е я. Парикмахер, живущий в некоторой дерев-

не, бреет всех тех и только тех жителей деревни, которые не бреютсясами. Бреет ли он самого себя? Если он себя бреет, то относится к темжителям деревни, которые бреются сами, и, значит, брить себя не дол-жен. Если же он себя не бреет, то относится к тем жителям деревни,которые не бреются сами, и, значит, должен себя брить.

Парадоксы теории множеств основаны на использовании «слишкомбольших множеств», они демонстрируют трудности, неизбежно связан-ные с попыткой построить теорию множеств на интуитивной основе,исходя из канторовской концепции множества, и обозначают проблему:как видоизменить теорию множеств, чтобы в ней не возникали парадок-сы? Создатели теории множеств решали эту задачу разными способами.

Сп о с о б К а нто р а. Основатель теории множеств предложил за-претить в теории множеств все действия и операции ведущие к пара-доксам: разрешается работать с множествами, которые «встречаютсяв природе», и с множествами, которые получаются из них разумнымитеоретико-множественными операциями.

Канторовскую теорию множеств в том виде, как она историческивозникла, называют «наивной» теорией множеств. Изложенная в этойглаве теория множеств и есть канторовская «наивная» теория множеств;при решении вопроса, какие объекты являются множествами, мы, как иКантор, руководствовались собственной интуицией. Мы старались дер-жаться подальше от опасной черты, лишь один раз приблизившись кней достаточно близко: рассматривая задачу классификации множеств,мы исключили из рассмотрения в качестве объекта теории множествмн ож е с т в о в с е х в о з м ож н ых м н ож е с т в.

А к с и ом атич е с к и й с п о с о б. Этот способ позволяет построитьстрогую теорию множеств без определения понятия множества и преодо-

38

леть трудности, возникающие в «наивной» теории множеств из-за отсут-ствия определения этого понятия. Суть метода в следующем. Принципы«наивной» теории множеств выражаются в виде системы аксиом. Акси-омы не объясняют, что такое множество, а формулируют ключевые мо-менты «наивной» теории множеств, достаточные для построения теории.Теперь множество є это нечто, удовлетворяющее аксиомам. Системааксиом выбирается таким образом, чтобы ограничить понятие множе-ства, сделав невозможным образование «слишком больших множеств»,являющихся основой известных парадоксов, но, в то же время, чтобы наоснове этой системы можно было построить теорию (аксиоматическуютеорию множеств), результаты которой содержали бы результаты «наив-ной» теории множеств.

Впервые такая система аксиом была построена Э. Цермело в 1908 го-ду, ее обозначают первой буквой фамилии создателя Z. В дальнейшемона была развита, усовершенствована и видоизменена рядом ученых. Всистеме Z оказалось невозможным формализовать некоторые разделыматематики, и в 1922 году А. Френкель предложил пополнить систему Z

еще одной аксиомой, названной им аксиомой подстановки. Пополненнаясистема называется системой Цермело ҷ Френкеля и обозначается ZF .Теория ZF значительно сильнее теории Z, все обычные математическиетеоремы формализуются в ZF . Другую аксиоматику теории множествуказал Дж. Нейман. Он предложил ввести в теорию множеств новоепервичное понятие «класса» и рассматривать два вида совокупностей:совокупности первого вида, называемые «множествами», могут не толь-ко содержать элементы, но и сами быть элементами других совокупнос-тей, совокупности второго вида, называемые «классами», не могут слу-жить элементами других совокупностей. В системе Неймана парадоксКантора невозможен, поскольку совокупность всех «множеств» явля-ется «классом», но не является «множеством». Система Неймана былатщательно переработана П. Бернайсом и К. Гёделем и получила наиме-нование NBG. Есть и другие, менее популярные аксиоматические теории

39

множеств.Чтобы читатель мог составить себе представление о системах аксиом

теории множеств, приведем одну из форм системы ZF .1. А к с и ом а о б ъ емн о сти. Два множества A и B равны, если (и

только если) они состоят из одних и тех же элементов.2. А к с и ом а вы д е л е н и я. Для любого множества A и предиката

P (x), имеющего смысл для всех элементов множества A (т. е. такого,что для любого x ∈ A, P (x) либо истинно, либо ложно), существуетмножество, состоящее в точности из тех элементов A, для которых P (x)

истинно.3. А к с и ом а п а ры. Если a и b є различные объекты, то существу-

ет множество {a, b}, состоящее в точности из a и b.4. А к с и ом а о б ъ е д и н е н и я. Для любого множества множеств A

существует множество ∪A, состоящее в точности из всех элементов, при-надлежащих элементам множества A.

5. А к с и ом а б е с к о н е ч н о сти. Существует по крайней мере однобесконечное множество є множество {1, 2, 3, . . . } натуральных чисел.

6. А к с и о м а мн оже ств а ҷ ст е п е н и. Для любого множестваA существует множество 2A всех подмножеств A.

7. А к с и ом а вы б о р а. Для любого непустого множества S попарнонепересекающихся множеств существует некоторое множество C, содер-жащее в качестве своих элементов ровно по одному элементу из каждогоэлемента множества S.

8. А к с и ом а п о д ста н о в к и. Для каждого множества A и одно-значной функции f , определенной на A, существует множество, содер-жащее в точности объекты f(x), для x ∈ A.

6. Континуум-гипотеза. Одна из проблем теории множеств, назы-ваемая континуум-гипотезой, заслуживает отдельного внимания. Онасыграла важную роль не только в развитии теории множеств, но и мате-матики в целом.

Из утверждения упражнения 5 для конечных множеств следует, что

40

от множества M к множеству 2M мощность претерпевает скачок2|M | − |M |; таким образом, при |M | > 1 между мощностями |M | и2|M | имеются промежуточные мощности |M | + 1, |M | + 2, . . . , 2|M | − 1.Естественно предположить, что аналогичная ситуация будет иметь ме-сто и в том случае, когда M счетно. Поскольку в данном случае множес-тво 2M континуально (теорема 9), то предположение можно сформули-ровать следующим образом: существует множество, мощность которогоявляется промежуточной между мощностями счетного и континуаль-ного множеств. Однако попытки построить множество промежуточноймощности оказались безуспешными, и в 1878 году Кантор сформули-ровал знаменитую континуум-гипотезу: между мощностями счетногои континуального множеств нет промежуточных мощностей. Решениеэтой проблемы не удавалось найти многие годы. В начале 20 века многиематематики пришли к убеждению, что проблема не может быть решенатрадиционными средствами теории множеств. Эта точка зрения былаподтверждена развитием математики. Решение (и метод, и результат)проблемы оказалось нестандартным и стало возможным лишь после то-го, как была создана аксиоматическая теория множеств и формализова-ны логические средства вывода. Континуум-гипотеза была рассмотренав аксиоматической теории множеств; там стало возможным точно поста-вить, а затем и решить вопрос о ее неразрешимости. В 1939 году К. Гё-дель показал, что если система аксиом ZF непротиворечива, то она оста-ется непротиворечивой и после добавления к ней континуум-гипотезы и,значит, континуум-гипотезу нельзя опровергнуть в ZF теории. В 1963году П. Коэн показал, что если система аксиом ZF непротиворечива,то она остается непротиворечива и после добавления к ней отрицанияконтинуум-гипотезы, значит континуум-гипотезу нельзя вывести из ак-сиом системы ZF . Континуум-гипотезу или ее отрицание можно присо-единять к аксиомам теории множеств є при этом получаются разныетеории множеств, и с точки зрения математики ни одна из них не лучшедругой. Вопрос же о том, какая из этих теорий больше отвечает реаль-

41

ному физическому миру, скорее вопрос физики, чем математики.

Упражнения

1. Пусть A и B є конечные множества. Покажите, что |A×B| == |A| · |B|, |A ∪B| = |A|+ |B| − |A ∩B|.

2. Докажите, что множество всех интервалов с рациональными кон-цами действительной прямой R счетно.

3. Докажите, что всякое семейство попарно непересекающихся интер-валов конечно или счетно.

4. Докажите, что множество всех точек плоскости, имеющих рацио-нальные координаты, счетно.

5. Докажите, что множество всех конечных подмножеств счетногомножества счетно.

6. Докажите, что если множества A \ B, B \ A равномощны, то имножества A,B равномощны.

7. Укажите конкретные биекции для любой пары из следующих мно-жеств (0, 1), (0, 1], [0, 1], (0, +∞), [0, +∞), (−∞, +∞).

8. Покажите, что если A =∞⋃

n=1An и A имеет мощность континуума,

то по крайней мере одно из множеств An имеет мощность континуума.

42

Литература

[1] Александров П.С. Введение в теорию множеств и общую топологию /П.С. Александров. ҷ М. : Наука, 1977. ҷ 368 с.

[2] Брудно А.Л. Теория функций действительного переменного /А.Л. Брудно. ҷ М. : Наука : Глав. ред. физ.-мат. лит., 1971. ҷ 120 с.

[3] Верещагин Н.К. Лекции по математической логике и теории алго-ритмов. Начала теории множеств / Н.К. Верещагин, А. Шень. ҷ 2-еизд., испр. ҷ М. : МЦНМО, 2002. ҷ 128 с.

[4] Виленкин Н.Я. Рассказы о множествах / Н.Я. Виленкин. ҷ 2-е изд.,испр. и доп. ҷ М. : Наука, 1969. ҷ 160 с.

[5] Калужнин Л.А. Введение в общую алгебру / Л.А. Калужнин. ҷ М. :Наука, 1973. ҷ 448 с.

[6] Клини С.К. Математическая логика / С.К. Клини ; под ред. Г.Е. Мин-ца ; пер. с англ. Ю.А. Гастева. ҷ М. : Мир, 1973. ҷ 480 с.

[7] Колмогоров А.Н. Элементы теории функций и функционального ана-лиза / А.Н. Колмогоров, С.В. Фомин. ҷ 5-е изд. ҷ М. : Наука, 1981. ҷ544 с.

[8] Очан Ю.С. Сборник задач по математическому анализу : общая тео-рия множеств и функций : учеб. пособие для студ. физ.-мат. фак.пед. ин-тов / Ю.С. Очан. ҷ М. : Просвещение, 1981. ҷ 271 с.

43

Содержание

§ 1. Множества . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

1. Понятие множества . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32. Конструирование множеств . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63. Свойства операций над множествами . . . . . . . . . . . . . . 12Упражнения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

§ 2. Отображения. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

1. Отображения множеств . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 172. Конструирование отображений . . . . . . . . . . . . . . . . . 213. Свойства операций над отображениями . . . . . . . . . . . . . 24Упражнения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

§ 3. Сравнение множеств . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

1. Задача классификации. Сравнение множеств. Понятие о мощ-ности множества . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

2. Счетные множества . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 283. Множества мощности континуума . . . . . . . . . . . . . . . . 314. О равенстве и неравенстве мощностей . . . . . . . . . . . . . 325. Парадоксы теории множеств и аксиоматическая теория мно-

жеств . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 376. Континуум-гипотеза . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40Упражнения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42

Литература . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43

Содержание . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44

44

Для заметок

45

Для заметок

46

Учебное изданиеЭлементы теории множеств

Учебно-методическое пособие для вузов

Составители: Близняков Николай Михайлович

Редактор Бунина Т.Д.

47