Санкт�Петербург2007

ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮГосударственное образовательное учреждение

высшего профессионального образования

САНКТ�ПЕТЕРБУРГСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТАЭРОКОСМИЧЕСКОГО ПРИБОРОСТРОЕНИЯ

ОСНОВЫКОМПЬЮТЕРНОГО ПРОЕКТИРОВАНИЯ

И МОДЕЛИРОВАНИЯРАДИОЭЛЕКТРОННЫХ СИСТЕМ

Программа,методические указания и

контрольные задания

2

Сдано в набор 02.02.07. Подписано в печать 20.02.07. Формат 60 × 84 1/16.Бумага офсетная. Печать офсетная. Усл. печ. л. 1,56. Уч.�изд. л. 1,5.

Тираж 100 экз. Заказ №

Редакционно�издательский центр ГУАП190000, Санкт�Петербург, Б. Морская ул., 67

© ГУАП, 2007

Редактор Г. Д. БакастоваВерстальщик С. В. Барашкова

Составитель О. С. АстратовРецензенты: кафедра радиотехнических систем ГУАП;кандидат технических наук доцент В. В. Саломасов

Приведена программа курса «Основы компьютерного проектированияи моделирования радиоэлектронных систем» с подробным списком лите�ратуры по каждому из разделов. Кроме того, даны контрольные заданиядля самостоятельного решения по тематике основных разделов курса,включающие принципиальные схемы с конкретными данными по радио�техническим элементам, и методические указания по их выполнению. Про�грамма и контрольные задания предназначены для студентов заочного фа�культета по направлению «Радиотехника».

Подготовлены кафедрой радиопередающих и телевизионных системи рекомендованы редакционно�издательским советом Санкт�Петербург�ского государственного университета аэрокосмического приборостроения.

3

ВВЕДЕНИЕ

Курс «Основы компьютерного проектирования и моделирования радио�электронных систем» изучается студентами, обучающимися по направле�нию «Радиотехника». Цель дисциплины — ознакомление студентов с осно�вами компьютерного проектирования и моделирования с применением со�временных пакетов прикладных программ для автоматизированного проек�тирования радиоэлектронных средств.

В процессе изучения дисциплины решаются следующие задачи:— определение целей, способов, задач и процессов автоматизированно�

го компьютерного проектирования и моделирования;— изучение математических основ компьютерного моделирования ком�

понентов радиоэлектронных систем (РЭС) различного уровня сложностии электромагнитных полей;

— ознакомление с алгоритмами компьютерного анализа и оптимиза�ции аналоговых и цифровых устройств;

— ознакомление с современными пакетами прикладных программ дляавтоматизированного компьютерного проектирования РЭС и методами ихиспользования.

Автоматизированное проектирование электронных схем освобождаетинженера от разработки и настройки натурных моделей, заменяя их мате�матическими моделями электронных схем; оно призвано преодолеть прин�ципиальное противоречие между стремительно растущей сложностью со�временной электронной аппаратуры и необходимостью ее проектированияв сжатые сроки, ограниченные временем морального старения аппаратуры.

Основное внимание в курсе уделяется методам автоматизированногополучения метематических моделей схем, методам детерминированногои статистического анализа электронных устройств и систем, их оптимиза�ции, изучению и использованию методов вычислительной математики примашинном анализе электронных схем.

Для изучения курса необходимы знания программирования, явных и не�явных методов численного интегрирования систем обыкновенных диффе�ренциальных уравнений, различных методов анализа электронных схемв статическом и динамическом режимах, методов параметрической опти�мизации, теории линейной алгебры, методов математической статистики.

Общей задачей дисциплины является подготовка радиоинженеров ши�рокого профиля, способных использовать современную вычислительнуютехнику и методы вычислительной математики при проектировании ра�диоэлектронной аппаратуры и оптимизации ее параметров.

Дисциплина базируется на следующих курсах, изучаемых в академии:— высшая математика;— информатика;— вычислительная математика;— электронные и квантовые приборы;

4

— радиотехнические цепи и сигналы;— схемотехника аналоговых электронных устройств;— радиотехнические системы.Основная форма изучения курса для студентов заочного факультета —

самостоятельная работа над учебным материалом. Для успешного изуче�ния курса приведена программа, в каждом разделе которой указана лите�ратура и вопросы для самопроверки.

В процессе изучения курса студенты должны выполнить две конт�рольные и две лабораторные работы в дисплейном классе. Выполнение кон�трольных и лабораторных работ способствует усвоению теоретических зна�ний и закреплению навыков работы с ЭВМ. По каждой из лабораторныхработ студенты сдают отчет.

5

1. ЦЕЛИ И ЗАДАЧИ ДИСЦИПЛИНЫ, ЕЕ МЕСТОВ УЧЕБНОМ ПРОЦЕССЕ

1.1. Цель преподавания дисциплины

Основной целью преподавания дисциплины является ознакомле�ние студентов с современными методами проектирования радиоэлект�ронных устройств и систем — автоматизированным проектировани�ем, машинным анализом электронных схем и радиотехнических сис�тем, ознакомление с алгоритмами компьютерного анализа и оптими�зации аналоговых и цифровых устройств; ознакомление с современ�ными пакетами прикладных программ для автоматизированного ком�пьютерного проектирования РЭС и методами их использования.

В курсе рассматриваются вопросы анализа электронных схем, оп�тимизации их параметров, методика разработки алгоритмов расчетаэлектронных схем, анализ чувствительности, современные пакетыСАПР РЭС.

1.2. Задачи изучения дисциплины

В результате изучения дисциплины студент должен знать:— математические основы составления моделей и макромоделей

компонентов РЭС;— методы машинного анализа электронных схем в статическом

и динамическом режимах;— математические модели радиосигналов и помех;— принципы статистического моделирования сложных РЭС;— методы анализа чувствительности и оптимизации параметров

и характеристик РЭС.Студент должен уметь:— описывать РЭС на входных языках пакетов прикладных программ

(ППП) для автоматизированного компьютерного проектирования;— составлять и рассчитывать математические модели РЭС с при�

менением ППП;— проводить вычислительные эксперименты на базе современных

ЭВМ и ПЭВМ.Общей задачей дисциплины является подготовка радиоинженеров

широкого профиля, способных использовать современную вычисли�тельную технику, программное обеспечение и методы вычислитель�ной математики при проектировании радиоэлектронной аппаратуры.

6

Дисциплина ориентирована на изучение методов и средств авто�матизированного проектирования радиоэлектронных устройств и си�стем. Распределение времени в часах по видам занятий приведенов табл. 1.

Таблица 1

2. СОДЕРЖАНИЕ ДИСЦИПЛИНЫ

Тема 1. Предмет и задачи курса.Значение автоматизированного проектирования при разработке

радиоэлектронной аппаратуры. Основные задачи и методы проекти�рования радиосхем и систем. Этапы проектирования РЭА и местов них машинных методов проектирования. Связь с другими дисцип�линами. Понятие технологического процесса проектирования. Фун�кциональный, конструкторский и технологический уровни проек�тирования. Место схемотехнического проектирования и статисти�ческого моделирования в сквозном цикле проектирования РЭА.

Объем в часах:— лекционные занятия — 1,— самостоятельная работа — 2.Литература [1, с. 7–23; 2, с. 12–36; 6, с. 3–8].

Вопросы для самопроверки

1. Достоинства и возможности САПР РЭС.2. Основные этапы проектирования РЭС и место в них методов

машинного проектирования.3. Задачи синтеза и задачи анализа при проектировании РЭС.

Тема 2. Автоматизация составления топологических матриц элек3тронных схем.

Определение математической модели. Модели компонентов элек�тронных схем, макромодели. Иерархия и примеры моделей для раз�ных функциональных уровней проектирования. Получение тополо�гических матриц. Топологические уравнения электронных схем.

ремоНартсемес

огесВвосач иицкеЛ �ротаробаЛ

ытобареын

�яотсомаСяаньлет

атобарнемазкЭ течаЗ

�ьлортноKеын

ытобар

9 )63(77 21 21 14 течаЗ 1

7

Объем в часах:— лекционные занятия — 1,— самостоятельные занятия — 2.Литература [1, с. 62–101; 2, с. 85–96; 3, с. 71–113, 178–228; 6,

с. 8–17, 31–39].

Вопросы для самопроверки

1. Основные требования, предъявляемые к математическим моде�лям компонентов электронных схем.

2. Граф схемы, дерево графа, главное сечение и главный контур,структурная матрица.

3. Матрица главных сечений, главных контуров и полная тополо�гическая система уравнений.

Тема 3. Машинные методы анализа электронных схем.Общий вид математической модели электронных схем (ММЭС).

Возможность представления ММЭС в форме Коши. Метод перемен�ных состояний в общем виде для схем без особенностей. Методы чис�ленного интегрирования, их сравнительная оценка, выбор шага ин�тегрирования. Метод узловых потенциалов и особенности его машин�ной реализации. Примеры расчета переходных процессов.

Объем в часах:— лекционные занятия — 2,— самостоятельные занятия — 2.Литература [1, с. 102–137; 2, с. 97–114; 3, с. 129–140; 6, с. 17–

30, 51–72; 9, с. 136–143, 174–186].

Вопросы для самопроверки

1. Особенности метода переменных состояния.2. Методы численного интегрирования, применяемые при анали�

зе электронных схем, их особенности.3. Матрица узловых проводимостей и ее место при анализе схем

методом узловых потенциалов.4. LU�метод.

Тема 4. Моделирование радиосигналов и радиопомех.Особенности моделирования радиосигналов и помех. Принципы

и алгоритмы моделирования базовых случайных последовательнос�тей. Моделирование последовательностей с заданным законом рас�

8

пределения. Алгоритмы моделирования нормальных случайных пос�ледовательностей. Методы проверки статистических гипотез. Кри�терий согласия Пирсона.

Объем в часах:— лекционные занятия — 2,— самостоятельные занятия — 2.Литература [1, с. 285–289; 7, с. 3–33].

Вопросы для самопроверки

1. Базовая случайная последовательность, параметры, методыформирования.

2. Методы формирования последовательностей с заданным зако�ном распределения.

3. Алгоритм применения критерия согласия Пирсона.4. Критическая область, уровни значимости, доверительные гра�

ницы.

Тема 5. Моделирование типовых случайных процессов.Особенности алгоритма скользящего суммирования и рекурент�

ного алгоритма. Методы моделирования нормальных случайных про�цессов. Задача анализа. Задача синтеза. Примеры моделированиянормального стационарного случайного процесса с заданной корре�ляционной функцией.

Объем в часах:— лекционные занятия — 1,— самостоятельные занятия — 3.Литература [7, с. 33–96].

Вопросы для самопроверки

1. Алгоритмы работы линейных цифровых фильтров.2. Основные параметры случайных процессов.3. Моделирование стационарного нормального случайного про�

цесса.

Тема 6. Метод статистического моделирования РЭС.Структурная схема метода статистического моделирования, его

особенности и достоинства. Точечные и интервальные оценки. Оцен�ка точности при проведении статистического моделирования. Поня�

9

тие чувствительности. Метод приращений и метод наихудшего слу�чая.

Объем в часах:— лекционные занятия — 1,— самостоятельные занятия — 2.Литература [1, с. 233–268; 7, с. 24–33; 8, с. 3–16; 9, с. 157–162,

170–173].

Вопросы для самопроверки

1. Сравнение натурного эксперимента и статистического модели�рования РЭС.

2. Требования к оценкам.3. Надежность и точность оценки, представительность выборки.

Тема 7. Цифровые модели непрерывных динамических систем.Модели, основанные на дискретной свертке. Моделирование с по�

мощью рекурсивных алгоритмов с использованием Z�преобразования.Пример цифрового моделирования радиолокационного дальномера.

Объем в часах:— лекционные занятия — 2,— самостоятельные занятия — 2.Литература [9, с. 435–451].

Вопросы для самопроверки

1. Импульсная характеристика, коэффициент передачи линейнойсистемы.

2. Свойства Z�преобразования.3. Достоинства рекурентных методов моделирования.

Тема 8. Методы использования пакетов прикладных программ(ППП) при компьютерном проектировании РЭС.

Определение ППП для автоматизированного проектирования РЭС.Классификация ППП. Особенности ППП для автоматизированногосхемотехнического проектирования и конструкторско�технологичес�кого проектирования. Виды обеспечения ППП.

Объем в часах:— лекционные занятия — 2,— самостоятельные занятия — 2.Литература [1, с. 460–471; 2, с. 223–234].

10

Вопросы для самопроверки

1. Перечислите известные ППП и их возможности.2. Основные составляющие обеспечения автоматизированного

проектирования РЭС.3. Состав и классификация информационного обеспечения.

2.2. Лабораторные занятия, их наименование и объем в часах

Целью выполнения лабораторных работ является закреплениеу студентов знаний, полученных в результате прослушивания теоре�тического курса, практическое использование полученных знанийпри анализе конкретных схем и систем, выработка и закрепление на�выков практической работы на ЦВМ и навыков программирования.

Лабораторная работа № 1.Метод переменных состояния. Анализ радиоэлектронных схем

с помощью пакета прикладных программ МС6 или МС7.Объем в часах:— аудиторные занятия — 4,— самостоятельные занятия — 4,Литература [10, 11].

Лабораторная работа № 2.Моделирование шумовых входных воздействий с заданными ста�

тистическими характеристиками. Изучение случайных последователь�ностей с различными распределениями с помощью пакета MatLab 6.5.

Объем в часах:— аудиторные занятия — 4,— самостоятельные занятия — 4.Литература [10, 11].

Лабораторная работа № 3.Автоматизированное исследование разрешающей способности

оптико�электронного звена системы передачи информации с исполь�зованием либо алгоритмических языков, либо пакета MathLab.

Объем в часах:— аудиторные занятия — 4,— самостоятельные занятия — 4.Литература [10, 11].

11

3. КОНТРОЛЬНЫЕ ЗАДАНИЯ

Студенты должны выполнить контрольную работу, состоящуюиз двух заданий [12]:

1. Операции над матрицами.2. Расчет переходного процесса электронных схем.Обе работы выполняются по заданиям, приведенным ниже, в со�

ответствии с положенным вариантом. Выбор варианта производитсяпо последней цифре студенческого билета. Студенты с номером сту�денческого билета оканчивающимся на 0, выполняют 10�й вариантзадания.

3.1. Контрольное задание № 1

1. Что называется следом квадратной матрицы?2. Рассмотреть пример нахождения следа квадратной матрицы

в соответствии с заданием.3. Что такое определить матрицы?4. Рассмотреть пример нахождения определителя матрицы про�

изведения двух матриц. В качестве второй матрицы берется матрицаследующего по номеру варианта. Для варианта № 10 вторая матрицаберется из варианта № 1.

5. Что такое обратная матрица?6. Рассмотреть пример нахождения обратной матрицы.7. Найти неизвестный вектор Х из матричного уравнения АХ = В,

где А — квадратная матрица (по варианту задания); В — вектор (пер�вый столбец матрицы следующего по номеру задания; для варианта№ 10 — первый столбец матрицы из варианта № 1).

8. Вычислить билинейную форму Z = XAY, где А — квадратнаяматрица, X и Y — векторы, соответственно первый и третий столбцызаданной матрицы.

Варианты матриц порядка 3 × 3 для контрольной работы № 1:

1тнаираВ 2тнаираВ 3тнаираВ 4тнаираВ 5тнаираВ3 2 5 1 7 3 4 3 2 2 1 6 2 4 81 4 7 2 5 6 1 5 3 3 2 1 3 1 56 1 2 1 3 2 3 7 1 5 4 3 4 2 3

6тнаираВ 7тнаираВ 8тнаираВ 9тнаираВ 01тнаираВ3 1 6 1 2 1 4 1 3 2 3 5 2 3 42 4 1 7 5 3 3 5 7 1 2 4 4 1 25 7 2 3 6 2 2 3 1 6 1 3 8 5 3

12

3.2. Контрольное задание № 2

Рассчитать переходной процесс схемы по методу переменных со�стояния. В отчете представить:

— принципиальную схему;— граф схемы;— собственное дерево графа и главные сечения;— матрицу главных сечений;— главные контуры;— матрицу главных контуров;— систему топологических уравнений;— полную систему обыкновенных дифференциальных уравнений

(ОДУ) для динамических компонентов схемы (C, L);— программу численного интегрирования: ОДУ на 30 шагов ин�

тегрирования явным методом Эйлера;— распечатку расчета переходного процесса на динамических ком�

понентах схемы.Шаг интегрирования min(0,2...0,5) .h = τПоследний пункт отчета может быть выполнен в дисплейном клас�

се кафедры и приложен к отчету. Для выполнения работы следуетознакомиться с литературой [2, 7]. Принятые обозначения, напри�мер, по варианту № 1: R6, 300 — соответствует 300 Ом; L8, 0.5 —соответствует 0,5 Гн, C3, 0.5 — соответствует 0,5 мкФ.

13

4. МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯК ВЫПОЛНЕНИЮ КОНТРОЛЬНОЙ РАБОТЫ

ПО ЗАДАНИЮ № 2

АНАЛИЗ РАДИОЭЛЕКТРОННЫХ СХЕММЕТОДОМ ПЕРЕМЕННЫХ СОСТОЯНИЯ

4.1. Топологическое описание цепи

Анализ электронных схем на ЭВМ производят с помощью матема�тической модели, которая представляет собой систему уравнений,описывающих работу исследуемой схемы. Алгоритмы автоматиче�ского составления уравнений с помощью ЭВМ основаны на использо�вании топологического описания цепей. В основе топологическогоописания схем лежит понятие графа.

14

Графом электронной схемы называется скелетная схема, изобра�жающая топологию элементов схемы, т. е. соединения элементов меж�ду собой. Вершины графа соответствуют узлам схемы, ребра — отдель�ным элементам. Построение графа производят по эквивалентной схе�ме. В общем виде эквивалентную схему получают из принципиальнойэлектрической путем замены нелинейных элементов (транзисторы,диоды) их упрощенными эквивалентными схемами, но в данной ра�боте мы ограничимся рассмотрением линейных цепей, предполагая,что замена нелинейных элементов уже произведена.

Пусть задана эквивалентная схема (рис. 1). Построим граф и вы�берем его собственное дерево.

1. Обозначим узлы на схеме, учитывая, что каждый элемент схе�мы: источник напряжения, емкость, резистор, индуктивность, ис�точник тока находятся между узлами. Нумерацию узлов обозначимарабскими цифрами, шину «земля» принципиальной схемы обозна�чим узлом «0».

2. Пронумеруем элементы схемы, давая им сквозную нумерацию.При этом будем соблюдать иерархию: источники напряжения, емко�сти, резисторы, индуктивности, источники тока (E, C, R, L, I).

3. Нанесем узлы на чертеж графа (рис. 2), сохраняя нумерациюузлов эквивалентной схемы. Их следует располагать так, чтобы повозможности избежать взаимных пересечений ребер.

4. Узлы на графе соединяют линиями произвольной длины и фор�мы, которые называются ребрами. Ребра графа сохраняют номераэлементов, которые они заменяют.

5. На ребрах графа стрелками обозначают положительные направ�ления токов и напряжений, принятые на эквивалентной схеме.

После построения графа выбирают собственное дерево графа.Деревом графа называется совокупность ребер, содержащая все узлы

графа, но не образующая ни одного замкнутого контура (рис. 3). Реб�

Рис. 1. Эквивалентная схема Рис. 2. Граф эквивалентной схемы

1 2 3 4

Е1

R3 R4 R6

R5

L7

I8C2

15

ра, вошедшие в дерево, называютсяветвями, ребра, дополняющие дере�во графа — хордами.

Граф может иметь ряд деревьев(рис. 3). Если граф содержит n узлов,то каждое дерево графа состоит из mветвей, где m = n – 1. Для графа,изображенного на рис. 2, m = n – 1 == 5 – 1 = 4.

С учетом упомянутой иерархии E1,С2, R3, R4, R5, R6, L7, I8 (см. рис. 1)образуется последовательность ре�бер 1%2%3%4%5%6%7%8. Из этой последо�вательности выбираем по порядкуномеров ребра, не образующие ни од�ного замкнутого контура. В резуль�тате этого получаем собственное нор�мальное дерево 1%2%4%6 (рис. 3).

На рис. 4 сплошными линиямиизображено собственное дерево гра�фа с ветвями 1%2%4%6, а пунктирны�ми линиями — хорды 3%5%7%8. Соб�ственное нормальное дерево содер�жит все источники напряжения, всеемкости и часть резисторов и не со�держит индуктивностей и источни�ков тока.

Оставшаяся часть резисторов, всеиндуктивности и источники токавходят в хорды. Такое распределе�ние элементов эквивалентной схемысвязано с принятой иерархией нуме�рации (E, C, R, L, I) эквивалентнойсхемы.

Информация, содержащаяся в гра�фе, переводится на алгоритмиче�ский язык с помощью топологиче�ских матриц — матрицы главныхсечений графа, матрицы главныхконтуров и структурной матрицыграфа.

Рис. 4. Дерево графа с ветвямии хордами

Рис. 3. Собственное нормальноедерево

16

4.2. Матрица главных сечений графа

Сечением графа называется линия, делящая граф на две несвя�занные части. На рис. 5, а изображены произвольные сечения графа(A, B, C, D). Линии сечения на этом рисунке пересекают произволь�ное число ребер и хорд.

Для получения главного сечения графа нужно линию сечения гра�фа провести таким образом, чтобы она пересекала только одну ветвьпри произвольном пересечении хорд. Так как главное сечение графапересекает только одну ветвь, то число главных сечений равно числуветвей дерева. На рис. 5, б сечения A, B, C, D — главные.

Построим матрицу главных сечений АС, строки которой соответ�ствуют главным сечениям, а столбцы — ребрам графа. Начальныестолбцы матрицы соответствуют ветвям в порядке возрастания но�меров ветвей графа, остальные — хордам в порядке возрастания хордграфа.

РЕБРАВетви Хорды

1 0 0 0 1 0 0 00 1 0 0 1 1 0 1

0 0 1 0 0 1 1 10 0 0 1 0 0 1 1

C

−− −= −A (1)

Каждый элемент аij матрицы АС равен: аij = +1, если j%е ребро пере�секает i�е сечение в том же направлении, что и ветвь, определяющаяэто сечение; аij = –1, если j�е ребро пересекает i%е сечение в направле�нии, противоположном направлению ветви, определяющей это сече�ние; aij = 0, если j�е ребро не пересекает i�е сечение.

Рис. 5. Сечения графа: а — произвольные; б — главные

17

Сформированная матрица главных сечений АС состоит из двухподматриц: матрицы главных сечений для ветвей и матрицы глав�ных сечений для хорд. Из способа формирования матрицы АС оче�видно, что каждый из диагональных элементов аij первой подматрицыравен единице, поэтому первая подматрица — матрица главных сече�ний для ветвей — представляет собой единичную матрицу E. Вторуюподматрицу — матрицу главных сечений для хорд — обозначим F.

Таким образом, матрица главных сечений может быть представ�лена как

АС = |E F|. (2)

Матрицу главных сечений АС можно использовать для записи урав�нений по первому закону Кирхгофа, если придать ее элементам опре�деленный физический смысл: каждый идентичный элемент в j�м столб�це означает ток Ij в j�м ребре, сумма токов каждой i�й строки равнаалгебраической сумме токов, протекающих через i�е сечение. По прин�ципу нейтральности зарядов алгебраическая сумма токов, протека�ющих через каждое сечение, должна быть равна нулю. Для рассмат�риваемого графа (рис. 5, б)

1 3

2 3 5 8

4 5 7 8

6 7 8

0,0,0,

0.

i ii i i ii i i i

i i i

− =⎧⎪ − + − =⎪⎨ − + − =⎪

+ + =⎪⎩

(3)

Система уравнений (3) является первым законом Кирхгофа, обоб�щенным на сечения схемы.

Систему (3) можно представить как

1

2

4

6

3

5

7

8

1 0 0 0 1 0 0 00 0 0 0 1 1 0 1

00 0 1 0 0 1 1 10 0 0 1 0 0 1 1

iiiiiiii

−− − ⋅ =− (4)

либо

0,C =A I (5)

где I — вектор�столбец токов ребер.

18

В векторе I последовательность элементов должна соответство�вать последовательности столбцов в АС.

Уравнение (5) обозначает, что АС можно использовать как опера�тор алгебраического суммирования токов ребер при составлении урав�нений по первому закону Кирхгофа. Матричное уравнение (5) явля�ется экономной формой записи уравнений (3).

Вектор токов I состоит из двух подвекторов: вектора токов ветвейIВ и вектора токов хорд IХ.

TT1 2 4 6 3 5 7 8 ,B

Xi i i i i i i i= = I

II

(6)

С учетом (6) и (2) уравнение (5) преобразуется к виду

, ,BC B X X B

X= ⋅ = + = +I

А I E F EI FI FI II

(7)

или

.XI = −Fi

Уравнение (7) выражает зависимость токов ветвей через токи хорд.Для рассматриваемой схемы

31

2 5

4 7

6 8

1 0 0 0 1 1 0 1

, 0 1 1 1 0 0 1 1

iii ii ii i

−= ⋅− −− −

4.3. Матрица главных контуров

Для получения матрицы главных контуров нанесем на граф ли�нии главных контуров (см. рис. 4). Главный контур получается пу�тем подключения к дереву хорды, подключение к дереву хорды 3 при�водит к формированию контура А, подключение хорды 5 — к получе�нию главного контура В, хорды 7 — к получению главного контураС, 8 — к D . Число главных контуров равно числу хорд графа. Поло�жительным направлением каждого контура выбирается совпадаю�щиее с положительным направлением хорды, с помощью которой онобразовался.

Построим матрицу главных контуров АК, строки которой соответ�ствуют главным контурам, а столбцы — ребрам графа. Как и в матри�це главных сечений, начальные столбцы матрицы соответствуют вет�вям, остальные — хордам:

19

РЕБРАВетви Хорды

К

1 1 0 0 1 0 0 00 1 1 0 0 1 0 0

.0 0 1 1 0 0 1 00 0 1 1 0 0 0 1

−= − −− −

A (8)

Каждый элемент аij матрицы АК равен: аij = +1, если направлениеj%го ребра совпадает с направлением главного контура, аij = –1, еслинаправление j�го ребра противоположно направлению главного кон�тура, аij = 0, если j�е ребро не образует главного контура.

Матрица АК состоит из двух подматриц, из которых вторая пред�ставляет собой единичную матрицу, а первая, как видно из сравне�ния АС и АК, представляет собой транспонированную матрицу F, взя�тую со знаком минус (–FT).

Матрицу главных контуров можно использовать для записи урав�нений по второму закону Кирхгофа, придав ее элементам определен�ны физический смысл.

Каждый единичный элемент в j�м столбце обозначает напряжениеu в j�м ребре, алгебраическая сумма напряжений вдоль замкнутых кон�туров цепи равна нулю. Обозначив напряжения на ребрах 1,2 ... 8,в графе через u1, u2, ..., u8 запишем для главных контуров уравненияпо второму закону Кирхгофа

1 2 3

2 4 5

4 6 7

2 4 6 8

0,0,0,

0.

u u uu u uu u u

u u u u

+ + =⎧⎪ − + + =⎪⎨ − − + =⎪

− − + =⎪⎩

(9)

Систему (9) можно представить в виде произведения АК на вектор�столбец напряжений U:

1

2

4

6

3

5

7

8

1 1 0 0 1 0 0 00 1 1 0 0 1 0 0

0 ,0 0 1 1 0 0 1 00 1 1 1 0 0 0 1

uuuuuuuu

− ⋅ =− −− −

(10)

либо

AК U = 0. (11)

20

В векторе U последовательность элементов должна соответство�вать последовательности столбцов в матрице АК.

Уравнение (11) означает, что АК можно использовать как опера�тор алгебраического суммирования напряжений при составленииуравнений по второму закону Кирхгофа. Матричное уравнение (11)является экономной формой записи уравнения (9).

Вектор напряжений U состоит из двух подвекторов: вектора на�пряжений ветвей UВ и вектора напряжений хорд UХ:

T1 2 4 6 3 5 7 8 .

Х

Bu u u u u u u u= = UU

U(12)

С учетом (12) и (8) уравнение (11) преобразуется к видуT T T

К , ,BB X B X

X= − ⋅ = − + = − +U

A U F E F U EU F U UU

или

T .X B=U F U (13)

Уравнение (13) выражает зависимость напряжений хорд от на�пряжений ветвей. Для рассматриваемой схемы уравнение (13) запи�сывается в виде

3 1

5 2

47

68

1 1 0 0 0 1 1 0

. 0 0 1 1 0 1 1 1

u uu u

uuuu

− −−= ⋅

−

4.4. Топологическое уравнение цепи

Уравнения (7) и (13), полученные путем использования первогои второго законов Кирхгофа, объединяют в одно матричное уравнение

В Х

Х ВT

0.

0

−= ⋅

FI IU UF

(14)

и называют топологическим уравнением цепи. Форма (14) удобна длясоставления машинных программ анализа электронных схем, одна�ко формирование матрицы F, описанное в подразд. 1.2, удобно лишьпри ручном составлении уравнений. При составлении уравнений с по�мощью ЭВМ матрицу F формируют с помощью алгоритма Гаусса изструктурной матрицы.

21

4.5. Реализация метода переменных состояния

Для уменьшения числа уравнений в системе, полностью описыва�ющей поведение электронной схемы с динамическими реактивнымиэлементами С и L, перейдем с помощью топологической системы урав�нений (14) и компонентных уравнений к системе уравнений перемен�ных состояния. Переменными состояния называются токи в индук�тивностях L и напряжение на емкостях U. Обозначим вектор пере�менных состояния через Х. Тогда, если схема имеет m индуктивнос�тей и n емкостей, то число составляющих вектора Х, т. е. порядоксистемы уравнений переменных состояния, будет m + n. Для дина�мических элементов компонентные уравнения в общем виде можнозаписать так

( ) ( ); .l l c cd du Li i Cudt dt

= =

или

( )0 0 ( ),

0 0cс

l l

d td tdt dt

′= = =C C xui SxL Lu i

где

1

2

1

2

0 ... 00 ... 0

0. . . .0 0 ...0

.0 0 ... 0

0 ... 00

. . . .0 0 ...

n

n

СC

CL

L

L

= =CS

L

Выразим токи IС через матрицу F, поскольку емкости входятв ветви IВ = –FIХ , откуда IС = –FIХ. Аналогично UХ = FTUВ, откудаUL = FL

TUВ, где FC и FLT — те строки матриц F и FT, которые относятся

к емкостям и индуктивностям.При этом метод переменных состояния предусматривает такое

преобразование уравнений (14), при котором напряжения и токи не�реактивных элементов резисторов выражаются через переменные со�стояния iL и uC и независимые источники тока и напряжения. Векторнереактивных токов и напряжений обозначим y(t). Тогда полнуюсистему уравнений можно записать

1( ) ( ( ), ( )),x t f X t A t=� (15)

22

2( ) ( ( ), ( )).f X t t=y t A (16)

где А(t) — вектор независимых источников тока и напряжения, вхо�дящих в рассматриваемую схему.

Решение полученной системы обыкновенных дифференциальныхуравнений (ОДУ) (15) и алгебраической системы уравнений (16) вы�полняется в следующем порядке.

Из физических соображений или из начальных заданных условийопределяются начальные значения переменных состояния uC и iL,которые, например, представляют собой значения напряжений и то�ков в момент включения схемы и, следовательно, равны нулю. Позначениям uC и iL находятся значения y, т. е. значения токов и на�пряжений на резисторах схемы в начальный момент времени. Далее,решая систему ОДУ методами численного интегрирования, вычис�ляют значения переменных состояния в конце интервала дискрети�зации, называемого шагом интегрирования: x(uC1, iL1). ПодставляяuC1 и iL1, вычисленные на первом шаге, в y(t), получаем значения то�ков и напряжений на нереактивных элементах в конце первого шагаи приступаем к решению системы (15) на втором шаге, вычисляя uC2,iL2 и т. д. В результате этих вычислений будет получен весь переход�ный процесс в виде последовательности значений в дискретные мо�менты времени t1, t2, ..., tk. Выбор шага интегрирования Δt = ti – ti–1зависит в первую очередь от постоянных времени схемы и практиче�ски определяется наименьшей из них, а также от конкретного мето�да интегрирования и его сходимости. Общее же число шагов опреде�ляется максимальной постоянной времени.

Для нашего примера полная топологическая система уравненийв раскрытом виде с обозначениями типов элементов запишется сле�дующим образом:

331

2 3 5 85

4 5 7 87

6 8 7 8

1 0 0 0 1 1 0 1

, 0 1 1 1 0 0 1 1

RRE

C R RR

R R LL

R L

iiii i i iii i i iii i i i

− −−= ⋅ =− − − −− − − −

(17)

3 1 21

2 425

4 4 67

68 2 4 6

1 1 0 0 0 1 1 0

. 0 0 1 1 0 1 1 1

R CE

C RCR

R R RL

R C R R

u E uuu uuu

u u uuuu u u u

− −− −−−= ⋅ = +

− − + +

(18)

Переменными состояния в нашей схеме являются iL7 , uC2. Именночерез них необходимо выразить токи и напряжения резисторов iR3,

23

iR5, uR4, uR6, входящие в систему уравнений (17), используя уравне�ния (18) и компонентные уравнения. Проведя указанные операции,получаем

iR3 = uR3/R3 = (–E1 – uC2)(R3)–1,

iR5 = uR5/R5 = (uC2 – uR4)(R5)–1,

uR4 = iR4R4 = (iR5 – iL7 – i8)R4.

Подставляя uR4 в выражение для iR5, получим

iR5 = [uC2 – (iR5 – iL7 – i8)R4](R5)–1.

Находим из полученного уравнения iR5

iR5 = (uC2 + iL7R4 + i8R4)R5–1 (1 + R4R5–1)–1.

Подобным же образом находим

uR4 = R4iR4 = R4[(uC2 + iL7R4 + i8R4)R5–1 (1 + R4R5–1)–1–iL7–i8],

uR6 = R6iR6 = R6(–iL7–i8).

Из компонентных уравнений для реактивных элементов C2 и L7:

2 72 7, ,C L

C Ldu di

i C u Ldt dt

= =

получаем систему из двух обыкновенных дифференциальных урав�нений в форме Коши:

( )( ) ( )

122

121

112 7 8 8

2

1 32 ,

4 4 5 1 4 5

СС

С

C L

duC i

dt

E u RC

u i R i R R R R i

−

−−

−−

= =

⎡ ⎤− − −⎢ ⎥=⎢ ⎥− + + + +⎣ ⎦

( ) ( )( )

177

112 7 8 7 81

7 8

7

4 4 4 5 1 4 57 .

6

LL

C L L

L

diL u

dt

R u i R i R R R R i iL

R i i

−

−−−

= =

⎧ ⎫⎡ ⎤+ + + − − +⎪ ⎪⎢ ⎥⎣ ⎦= ⎨ ⎬⎪ ⎪+ − −⎩ ⎭

(19)

24

Применим явный метод численного интегрирования Эйлера длярешения системы ОДУ. В соответствии с эти методом

( ) ( )

( ) ( )

2 22

7 77

1,

1.

u n u nut h

i n i nit h

− −Δ =Δ

− −Δ =Δ

где Δ =t h — интервал дискретизации по осям времени или шаг чис�ленного интегрирования: ( ) ( )2 7,u n i n — значения переменных состо�яния на n�м шаге интегрирования: ( ) ( )2 71 , 1u n i n− − — значения пе�ременных состояния на (n–1)�м шаге численного интегрирования.

Используя выражение (19), получим систему из двух рекуррент�ных алгебраических выражений

( ) ( )( )( )

( )( ) ( )

2 2

12

12 11

87 8

1

1 1 3

2 ,15 1 4 5

1 4 4L

u n u n

E u n R

hC u nR R R i

i n R i R

−

−−−

= − +

⎡ ⎤− − − −⎢ ⎥⎢ ⎥+ ⎛ ⎞− +⎢ ⎥− + +⎜ ⎟⎜ ⎟+ − +⎢ ⎥⎝ ⎠⎣ ⎦

( ) ( )( ) ( )( ) ( )( )

( )( )

17 7

112 7 8

7 8

7 8

1 7

1 1 4 4 5 1 4 54

,1

6 1

C L

L

L

i n i n h L

u n i n R i R R R RR

i n i

R i n i

−

−−

= − + ∗ ×

⎧ ⎫⎡ ⎤− + − + + −⎪ ⎪⎢ ⎥ +⎪ ⎪⎢ ⎥× − − − +⎨ ⎬⎣ ⎦⎪ ⎪

+ − − −⎪ ⎪⎩ ⎭

где в качестве начальных условий можно принять нулевые началь�ные условия ( ) ( )2 70 0, 0 0.C Lu i= =

4.6. Пример программы расчета переходного процесса

Программа реализована на языке универсального пакета MatLAB.%Лабораторная работа 1 САПР%Присвоение номинальных значений компонентам схемыe1=10;e2=20;c3=0.5e�6;c4=0.2e�6;r5=500;r6=300;r7=1000;l8=0.5;i9=50e�3;h=7e�6;%Присвоение нулевых начальных условий переменным состоянияuc3=zeros(1,1000);uc4=zeros(1,1000);i8=zeros(1,1000);%Расчет переходного процесса путем организации цикла для расчета

переменных состояния

25

for i=2:1000 uc3(1,i)=uc3(1,i�1)+h/c3*((�e2�uc3(1,i�1))/r5+... (�e2�uc3(1,i�1)�uc4(1,i�1))/r6�uc3(1,i�1)/r7�i8(1,i�1)�i9); uc4(1,i)=uc4(1,i�1)+h/c4*((�e2�uc4(1,i�1)�uc3(1,i�1))/r6); i8(1,i)=i8(1,i�1)+h/l8*(�e1+e2+uc3(1,i�1)); end%Построение грфиковi=1:1:1000;plot(i,uc3,'r',i,uc4,'g')gridtitle('Переходные процессы на С3 и С4');xlabel('t, h=7e�6');ylabel('uc3, uc4')figureplot(i,i8,'b')gridtitle('Переходные процессы в L8');xlabel('t, h=7e�6');ylabel('i8')

Результаты расчета приведены на рис. 6

Рис. 6. Переходные процессы на реактивностях схемы по варианту 1

Переходные процессы на С3 и С4uc3, uc4 u

5

0

–5

–10

–15

–20

–25

–300 100 200 300 400 500 600 700 800 900 t, h = 7e�6

Переходные процессы в L8i8 i

0

–0.01

–0.02

–0.03

–0.04

–0.05

–0.060 100 200 300 400 500 600 700 800 900 t, h = 7e�6

26

4.7. Контрольные вопросы

1. Дайте определение графа схемы.2. Что такое «собственное дерево графа»?3. Что называется главным сечением графа?4. Как получается матрица главных сечений?5. Как получается матрица главных контуров?6. Что такое топологическое уравнение цепи?7. Объясните метод переменных состояния, его достоинства.8. Назовите методы решения системы ОДУ?

Библиографический список

Основная

1. Алексеев О. В., Головков А. А. и др. Автоматизация проектированиячрадиоэлектронных средств. М.: Высш. шк., 2001. 479 с.

2. Норенков И. П. Основы автоматизированного проектирования/МГТУим. Н. Э. Баумана. М., 2001. 360 с.

3. Разевиг В. Д. Система схемотехнического моделирования MICRO�CAP6. М.: Горячая линия, 2001. 344 с.

Дополнительная

4. Норенков И. П. Введение а автоматизированное проектирование тех�нических устройств и систем. М.: Высш. шк., 1986.

5. Черноруцкий И. Г. Оптимальный параметрический синтез. Л.: Энер�гоатомиздат, 1987. 127 с.

6. Астратов О. С., Сорин В. Я. Автоматизация схемотехнического про�ектирования: учеб. пособие/ЛИАП. Л., 1987. 75 с.

7. Астратов О. С. Цифровое моделирование радиосигналов/ЛИАП. Л.,1983. 72 с.

8. Астратов О. С., Сорин В. Я. Автоматизация проектирования радио�схем и систем. Анализ чувствительноссти, оптимизация/ЛИАП. Л., 1992.28 с.

9. Разевиг В. Д. Система сквозного проектирования электронных уст�ройств Design Lab 8.0 М.: Солон, 1999. 735 с.

10. САПР радиоэлектронных устройств: программа, метод. указ. и конт�рольные задания/сост.: О. С. Астратов, В. Я. Сорин; ГААП. СПб., 1997. 16 с.

11. Основы компьютерного проектирования и моделирования РЭУ: метод.указ. к выполнению лабораторных работ/сост.: О. С. Астратов, Н. А. Обухо�ва; ГУАП. СПб., 2004. 67 с.

12. Половко А. М., Бутусов П. Н. MatLAB для студентов. СПб.: БХВ�Петербург, 2005. 320 с.

27

СОДЕРЖАНИЕ

Введение ............................................................................ 31. Цели и задачи дисциплины, ее место в учебном процессе ........ 5

1.1. Цель преподавания дисциплины ................................. 51.2. Задачи изучения дисциплины ..................................... 5

2. Содержание дисциплины .................................................. 63. Контрольные задания ...................................................... 11

3.1. Контрольное задание № 1 .......................................... 113.2. Контрольное задание № 2 .......................................... 12

4. Методические указания к выполнению контрольной работы позаданию № 2 «Анализ радиоэлектронных схем методом перемен�ных состояния» .................................................................. 13

4.1. Топологическое описание цепи ................................... 134.2. Матрица главных сечений графа ................................. 164.3. Матрица главных контуров........................................ 184.4. Топологическое уравнение цепи .................................. 204.5. Реализация метода переменных состояния ................... 214.6. Пример программы расчета переходного процесса .......... 244.7. Контрольные вопросы ............................................... 26

Библиографический список .................................................. 26