Петрозаводский государственный университет

ВВЕДЕНИЕ В ЛАБОРАТОРНЫЙ ПРАКТИКУМ

ПО КУРСУ ОБЩЕЙ ФИЗИКИ

Методические указания к лабораторной работе

Петрозаводск 1999

2

Рассмотрены и рекомендованы к печати на заседании редакционной комиссии по отрасли науки и техники laquoобщая и ядерная физикаraquo 22 декабря 1998 года

Печатается по решению редакционно-издательского совета

Петрозаводского государственного университета Составители И С Жукова кф-мн доцент

Л И Бутина старший преподаватель С И Крылова кф-мн доцент

Издание осуществлено при поддержке ОАО laquoКондопогаraquo

3

ЗАДАЧИ ФИЗИЧЕСКОГО ПРАКТИКУМА Физический практикум играет большую роль в изучении

курса общей физики Можно выделить три основных его цели 1 Ознакомление с приборами и методами измерения различных

физических величин 2 Экспериментальное изучение физических законов и явлений 3 Ознакомление с методами статистической обработки

результатов измерений Часть I настоящих методических указаний посвящена

третьей из указанных выше задач В части II дается краткая методика по оформлению лабораторных работ и порядку работы в лаборатории

ЧАСТЬ I

СТАТИСТИЧЕСКАЯ ОБРАБОТКА РЕЗУЛЬТАТОВ ИЗМЕРЕНИЙ

Глава I Введение в теорию погрешностей

sect 1 Измерения и их погрешности

Измерением называется определение значения физической

величины опытным путем с помощью специальных технических средств Значение величины найденное путем измерения называется результатом измерения Измерения делятся на прямые и косвенные

Прямым называется измерение при котором искомое значение величины находится непосредственно из опыта путем отсчета по шкале измерительного прибора например измерение длины линейкой определение массы тела на равноплечных весах определение температуры тела термометром и т д

4

Косвенным называется измерение при котором искомое значение величины находят на основании известной зависимости между этой величиной и величинами подвергаемыми прямым измерениям например определение плотности тела по его геометрическим размерам и массе определение силы тока по напряжению и сопротивлению и т д

Никакое измерение не может быть выполнено абсолютно точно поэтому результат измерения в той или иной мере отклоняется от истинного значения измеряемой величины Разница между результатом измерения и истинным значением измеряемой величины называется абсолютной погрешностью измерения Она определяется формулой Δxi = xi ndash X где Х ndash истинное значение измеряемой величины хi ndash результат i-того измерения Δxi ndash абсолютная погрешность i-того измерения

Абсолютная погрешность выражается в единицах измеряемой величины

Наряду с абсолютной погрешностью (Δx) используется относительная погрешность (η) равная отношению абсолютной погрешности к истинному значению измеряемой величины

ηi = Δxi X Относительная погрешность может быть выражена в

процентах Качество измерений отражающее близость их результатов к

истинному значению измеряемой величины называется точностью измерений Очевидно что чем меньше погрешности всех видов тем выше точность измерений

По характеру влияния на результаты измерений погрешности делятся на 3 типа систематические случайные промахи

5

sect 2 Типы погрешностей 1 Систематические погрешности Систематическими называются погрешности величина

которых не меняется при повторении измерений данной величины в тех же условиях (тем же методом теми же приборами и т д)

Если результаты отдельных измерений (xi) и истинное значение измеряемой величины (Х) отложить на оси х то при наличии только систематических погрешностей результаты отдельных измерений xi расположатся относительно истинного значения измеряемой величины Х так как показано на рисунке 1

X x1 = x2 =hellip= xn

Δ х = хi - Х = const х

Рис 1 Представление результатов измерений при наличии систематической погрешности

Систематические погрешности возникают в тех случаях

когда не учитывается влияние на результаты эксперимента различных постоянно действующих факторов температуры давления влажности воздуха выталкивающей силы Архимеда сопротивления подводящих проводов контактных ЭДС и т п Источниками систематических погрешностей могут быть также измерительные приборы вследствие неточности их градуировки или неисправности

Исключение систематических погрешностей требует принятия специальных мер предосторожности К ним относятся 1 Своевременный ремонт и систематическая проверка приборов 2 Использование специальных способов измерения (например

двойное взвешивание для исключения неравноплечности весов использование охранных колец при измерении объемного сопротивления плохих проводников позволяющее исключить влияние их поверхности)

6

3 Внесение соответствующих поправок на влияние внешних факторов

2 Случайные погрешности Случайными называются погрешности величина и знак

которых меняется непредсказуемым образом при повторных измерениях данной величины в тех же условиях Случайные погрешности могут быть вызваны действием различных неконтролируемых факторов толчков воздушных течений пылинок и т д Источником случайных ошибок может быть и сам экспериментатор из-за несовершенства органов его чувств Так например результаты повторных измерений периода колебаний математического маятника с помощью очень точного секундомера обязательно окажутся несколько отличными друг от друга вследствие того что моменты нахождения маятника в соответствующих фазах отклонения фиксируются неточно при пуске секундомера экспериментатор может несколько замешкаться при его остановке наоборот поспешить Случайные погрешности отклоняют результат то в одну то в другую сторону от истиного значения измеряемой величины поэтому результаты (хi) большого числа измерений симметрично располагаются относительно Х (рис 2)

Рис 2 Представление результатов измерений при наличии случайных погрешностей

Влияние случайных погрешностей можно существенно

уменьшить усреднением результатов большого числа измерений

7

В самом деле пусть x1 x2 x3hellipxn ndash результаты отдельных измерений а

Δx1 = x1 ndash X Δx2 = x2 ndash X Δx3 = x3 ndash X (11) hellip hellip hellip Δxn = xn ndash X

ndash их абсолютные погрешности Δxn где n ndash полное число измерений Сложив почленно равенства (11) получим

sum sum= =

minus=Δn

i

n

iii nXxx

1 1

откуда

sum sum= =

Δminus=n

i

n

iii x

nx

nX

1 1

11 (12)

Величина sum=

=n

ii xx

n 1

1 называется средним арифметическим

результатом серии измерений Так как при большом числе измерений величина x очень

мала то можно считать что Xx cong Чем больше n тем точнее выполняется это равенство те x ndash х ltlt Δxi

3 Промахи Промах ndash это очень грубая погрешность вызванная

невнимательностью экспериментатора (неверный отсчет показаний прибора описка при записи показаний и т д) Промахи могут сильно исказить результаты измерений особенно в тех случаях когда их число невелико

Вывод при выполнении работы нужно быть очень внимательным не спешить не отвлекаться

8

Глава II Статистическая обработка результатов прямых измерений

Ранее было показано что усреднением результатов

достаточно большого числа измерений можно существенно уменьшить влияние случайных погрешностей Однако практически n бывает не так уж велико и x может заметно отличаться от Х Как оценить возможное отличие x от Х Соответствующие методы разработаны в теории погрешностей которая оперирует понятиями теории вероятностей

sect 1 Вероятность случайного события В теории вероятностей всякий исход испытания называется

событием Случайными называются события о наступлении которых нельзя сделать точного предсказания Так если в урне смешать неотличимые на ощупь шары разного цвета а затем не глядя вынимать их то появление шара какого-либо определенного цвета будет событием случайным так как точно предсказать цвет вынимаемого шара в каждом отдельном случае невозможно Однако если провести большое число испытаний в одних и тех же условиях (вынутый шар кладется обратно в урну и шары тщательно перемешиваются) то о результатах такой серии измерений можно будет сделать вполне определенные утверждения статистического характера

Пусть nA ndash число испытаний при которых наступило событие А (например вынут красный шар) а n ndash общее число испытаний Отношение РА = lim nAn называется вероятностью

nrarrinfin события А При достаточно большом n РА cong nAn

Зная вероятность РА события можно достаточно точно предсказать сколько раз оно наступит при большом числе испытаний nA = n РА

Вероятность любого события может быть заключена в пределах от нуля до единицы Если РА = 1 событие называется

9

достоверным если РА = 0 событие называется невозможным (оно либо не наступает никогда либо чрезвычайно редко)

Если рассматриваемая совокупность событий такова что одно из них обязательно наступает при каждом испытании то такие события образуют полную группу Нетрудно показать что сумма вероятностей событий образующих полную группу равна единице

Так например в случае одинакового числа шаров белого красного и синего цвета события выражающиеся в том что вынутый шар будет белым красным или синим образуют полную группу Вероятность каждого отдельного события равна 13 а их сумма равна единице

sect 2 Нормальный закон распределения случайных погрешностей

Если погрешности носят чисто случайный характер то по

результатам измерений можно оценить вероятности их появления Пусть х1 х2hellipхn ndash результаты отдельных измерений Примем

что n достаточно велико и при оценке погрешностей будем считать что

sum=

==n

iix

nxX

11

(21)

xxx ii minus=Δ Определив погрешности Δxi рассортируем их по величине

Для этого весь диапазон полученных значений Δxi разобъем на одинаковые малые интервалы Δε и подсчитаем сколько раз величина ошибки попадает в каждый интервал Если в интервале номер laquokraquo оказалось заключено Δnk значений погрешности то вероятность попадания погрешности в этот интервал

Pk cong Δnkn (22)

10

Если значения вероятности для каждого интервала отложить по оси ординат то получится ступенчатая диаграмма изображенная на рисунке 3 Она называется гистограммой

Рис 3 Гистограмма Так как Рк зависит от Δε то по оси ординат удобнее

откладывать не Рк а величину εε Δsdot

Δ=

Δ=

nnP

y kk называемую

плотностью распределения вероятностей Очевидно y = Pk при Δε =1 Это значит что у есть вероятность отнесенная к единичному интервалу Δε Вид гистограммы y (Δхi ) будет таким же как и вид гистограммы Рк (Δхi ) (рис 3)

11

Рис4 Кривая распределения вероятностей случайных погрешностей Если увеличить число измерений n (n rarrinfin) и строить

гистограммы для все более малых интервалов Δε то при Δεrarr0 середины верхних площадок прямоугольников сольются в плавную кривую называемую кривой распределения вероятностей Опыт показал что в большинстве случаев распределение погрешностей соответствует так называемому нормальному закону найденному Гауссом Согласно гауссову распределению плотность вероятности y и величина погрешности Δxi связаны соотношением

( )πσ 2

1=Δ ixy

( )2

2

2σixΔ

minusl (23)

где l minus основание натурального логарифма σ2 ndash некоторый постоянный параметр называемый дисперсией распределения (смысл его выясняется далее)

12

Вид кривой распределения соответствующий некоторому значению σ показан на рисунке 4

Пользуясь законом распределения можно производить многие важные расчеты

Из формулы εΔsdot

Δ=

nn

y k следует что вероятность P(Δxk)

того что величина погрешности заключена в интервале Δxk divide Δxk + Δε определяется формулой

P(Δxk) = y(Δxk)middotΔε Численно эта вероятность равна площади зачерненного

прямоугольника С с основанием Δε (рис 4) Вероятность того что модуль погрешности не превзойдет некоторого значения изобразится площадью заштрихованной фигуры АВС с основанием 2 Δxk (рис 4)

На рисунке 5 представлены кривые распределения соответствующие разным σ Видно что с ростом σ максимум кривой распределения понижается а ее laquoкрыльяraquo поднимаются В соответствии со сказанным ранее о геометрическом смысле вероятности это означает что с ростом σ вероятность малых погрешностей уменьшается а вероятность больших ndash растет Следовательно чем больше дисперсия распределения σ2 тем меньше точность измерений

Важно подчеркнуть что кривая y(Δxi) характеризует не какую-то серию измерений а некоторую воображаемую совокупность бесконечного числа измерений данной величины в одних и тех же условиях Такая совокупность называется генеральной Всякая же конечная серия измерений называется случайной выборкой из генеральной совокупности

13

Рис 5 Влияние дисперсии на вид кривой распределения вероятностей случайных погрешностей

sect 3 Среднеквадратичная погрешность

Пусть х1 х2hellipхn ndash результаты некоторой серии n измерений

проведенных в одинаковых условиях Как уже подчеркивалось величина случайной погрешности не постоянна и меняется от опыта к опыту Возникает необходимость охарактеризовать погрешности результатов отдельных измерений данной серии некоторой средней величиной Иногда в качестве такой характеристики используют среднюю арифметическую погрешность

sum=

Δ=Δn

iix

nx

11

Однако удобнее использовать так называемую среднеквадратичную погрешность выборки Sn определяемую формулой

14

( )

11

2

minus

minus=

sum=

n

xxS

n

ii

n (24)

Sn называют также выборочным стандартным отклонением Можно показать что при достаточно большом числе

измерений Sn cong σ и следовательно дисперсия распределения

( ) ( )

11

2

1

2

22

n

xx

n

xxS

n

ii

n

ini

n

sumsum==

minuscong

minus

minus=congσ (25)

Таким образом дисперсия распределения приблизительно

равна среднему квадрату погрешности отдельных измерений найденному при достаточно большом n Для генеральной совокупности (n rarr infin) равенство (25) выполняется точно Из него следует что величина дисперсии зависит от условий в которых проводятся измерения чем благоприятнее условия измерений тем меньше разброс результатов и меньше дисперсия

sect 4 Среднеквадратичная погрешность среднего Допустим что мы провели серию n измерений некоторой

величины х результаты которых равны х1 х2hellipхn Наилучшим приближением к истинному значению является величина

sum=

=n

iix

nx

1

1 называемая cредним выборочным значением

измеряемой величины Если серию по n измерений в каждой повторить m раз то мы получим m значений x несколько отличающихся друг от друга и от истинного значения Х измеряемой величины Погрешности Xxx kk minus=Δ являются случайными и так же как погрешности отдельных измерений Δxi = xi ndash Х подчиняются гауссову распределению но с другой

15

дисперсией 2xσ lt 2σ Величина 2

xσ называемая дисперсией среднего является мерой погрешности среднего значения x найденного в серии из n измерений В теории погрешности доказывается что

22

nxσσ = (26a)

Это значит что xσ в отличие от σ зависит от числа проведенных измерений

nx

σσ = (26б)

Таким образом среднеквадратичная погрешность среднего результата n измерений в n12 раз меньше среднеквадратичной погрешности отдельных измерений Из формул (25) и (26) следует что при большом n

( ))1(

1

2

minus

minus=cong

sum=

nn

xx

nS

n

ii

nx

σ

Величина

( ))1(

1

2

minus

minus=

sum=

nn

xxS

n

ii

x (27)

называется выборочной среднеквадратичной погрешностью среднего

sect 5 Доверительный интервал и доверительная вероятность Как уже указывалось для любой конечной выборки x neХ

Практически очень важно оценить возможную величину отклонения среднего значения x от истинного Х то есть x ndash Х

16

Интервал plusmnx ΔХ в который с заданной вероятностью α попадает истинное значение Х измеряемой величины называется доверительным интервалом соответствующим вероятности α Вероятность α называется также доверительной вероятностью или надежностью Величина ΔХ характеризует точность оценки Чем меньше разность x ndash Х тем выше точность

Надежность соответствующую заданной точности ΔХ можно вычислить теоретически воспользовавшись гауссовым распределением если известна дисперсия 2

xσ В соответствии со сказанным ранее (гл II sect2) величина α

равна площади заштрихованной фигуры АВС опирающейся на отрезок 2ΔХ (рис 6)

Рис 6 Кривая распределения вероятностей случайных

погрешностей среднего

17

Так как =2xσ σ2n то надежность соответствующая

заданной точности ΔХ растет с ростом числа измерений и величины дополнительного интервала

Можно показать что α является функцией величины

к = x

XσΔ

График функции α = F(k) показан на рисунке 7

Рис 7 График функции α = ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ Δ

x

XFσ

Видно что с ростом k растет и доверительная вероятность α

Так α = 068 для k = 1 α = 095 для k = 2 α = 0997 для k = 3 Результаты расчетов F для различных k приведены в соответствующей литературе (см Список литературы ndash 1 2)

Если n мало (n lt 30) то xx Sneσ и для расчета распределением Гаусса пользоваться нельзя В этом случае используют распределение выведенное английским математиком и химиком Госсетом (псевдоним laquoСтьюдентraquo)

В распределении Стьюдента плотность распределения вероятностей рассматривается как функция величины

18

xx SXx

SXt minus

=Δ

= называемой коэффициентом Стьюдента

(среднеквадратичная погрешность среднего арифметического xS определяется формулой (27))

Распределение Стьюдента зависит от n и при nrarrinfin переходит в распределение Гаусса

Рис 8 Кривые распределения Стьюдента для выборок различного объема

На рисунке 8 показаны кривые y(t) при разных n Вычислив

по результатам измерений xS и задав величину ΔX можно найти t и α соответствующие данному n Наоборот задав надежность α можно вычислить tαn и соответствующую точность ΔX = tαn xS при данном значении n Соответствующие друг другу значения

19

α и tαn при разных n приводятся в специальных таблицах (см Приложение)

На практике задание величины ΔX определяется конкретными условиями Допустим что некоторое предприятие изготовляет резисторы определенного номинала Естественно что благодаря действию различных случайных факторов величины сопротивлений R будут отклоняться от их номинальных значений Измерив R для большой партии резисторов (ngtgt30) можно построить кривую y (ΔR) и найти дисперсию 2

Rσ Величина 2Rσ определяется тем насколько хорошо контролируется и

поддерживается постоянной технология изготовления резисторов Если разброс значений R а значит и 2

Rσ велик то задавая малое значение доверительного интервала Xx Δplusmn получим и малую надежность α При этом лишь малая доля значений R попадает в заданный доверительный интервал и процент брака будет соответственно велик Напротив при выборе большой надежности уменьшится процент брака но зато увеличится разброс значений R (увеличится ширина доверительного интервала x plusmn ΔX)

Если по условиям работы приборов в которых используются эти резисторы доверительный интервал должен быть малым то для сохранения большой надежности необходимо улучшить технологию их производства

Точность электроизмерительных приборов определяется классом их точности и соответствует надежности α = 0997 (ΔX = 3σ x ) В лабораторных условиях обычно довольствуются надежностью α = 090 095

Для оценки доверительного интервала прямых измерений предлагается следующий порядок 1 Провести серию измерений изучаемой величины Х и оценить

среднее выборочное x sum=

=n

iix

nx

1

1

2 Найти абсолютную погрешность единичного измерения Δхi Δxi = xi ndash x

20

3 Определить среднюю квадратичную ошибку среднего арифметического

( ))1(

1

2

minus

minus=

sum=

nn

xxS

n

ii

x

4 Определить точность измерения ΔX при заданных n и α ΔX = nx tS αsdot

5 Записать доверительный интервал для истинного значения измеряемой величины Х = x plusmn ΔX или x ndash ΔX leΧle xi +ΔX

Для удобства расчетов данные оформляются в виде таблицы xi Δxi = xi - x Δxi

2 xS αn ΔX

1 2

Ср Σ Δxi2=

Абсолютная ошибка Δхi рассчитывается по модулю

sect 6 Совместный учет систематической и случайной погрешностей Строгий учет систематической погрешности труден Если

систематическая погрешность обусловлена точностью прибора (что мы и будем предполагать) то можно оценить верхнюю границу возможных ошибок зная класс его точности Если точность обусловленная случайной погрешностью ndashΔХ а величина систематической погрешности ndashδ то величина суммарной точности ΔХ определяется формулой

( )2

2

3 ⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ sdot

+Δ=Δδαk

XX (28)

где kα = tα(infin) ndash коэффициент Стьюдента при n = infin

21

Глава III Статистическая обработка результатов косвенных измерений

sect 1 Два способа оценки погрешности косвенного

измерения В большинстве случаев имеют дело с косвенными

измерениями Пусть x y z ndash непосредственно измеряемые величины а W = f (x y z) ndash их функция то есть величина измеряемая косвенно Рассмотрим два способа оценки погрешности величины W

I способ Если косвенные измерения проводятся в невоспроизводимых условиях то значения Wi вычисляются для каждого отдельного измерения а затем обрабатываются как прямые измерения

II способ позволяет вычислить погрешность косвенного измерения как функцию погрешностей прямых измерений Далее остановимся подробнее на этом способе

sect 2 Частные погрешности и общая погрешность косвенного измерения Обрабатывая прямые измерения мы находим их

выборочные средние значения zyx hellip являющиеся как было показано выше случайными величинами Очевидно что и величина WW = ( zyx hellip) представляющая собой выборочное среднее искомой функции будет также случайной величиной Задача как и в случае прямых измерений состоит в том чтобы определить с какой вероятностью искомая величина W может быть заключена в некотором заданном интервале W plusmn ΔW В общем случае эта задача весьма сложна и мы ограничимся лишь ее приближенным решением

Рассмотрим сначала случай когда W является функцией только одной переменной то есть W = W(x) Разложим функцию W(x) в ряд Тейлора в окрестности точки х = Х (Х ndash истинное

22

значение х) В случае когда погрешность прямого измерения достаточно мала можно ограничиться лишь линейным членом и считать что

)()()( Xxdx

dWXWxWXx

minussdot⎟⎠⎞

⎜⎝⎛+=

=

Отсюда )()()( Xxdx

dWXWxWXx

minussdot⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=minus

=

(31)

Из (31) следует что

xxx

W Sdx

dWS sdot⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=

=

(32)

где xS и WS ndash средние квадратичные погрешности величин

x и W Доверительный интервал величины W соответствующий надежности α определяется как

Xdx

dWWWWxx

Δsdot⎟⎠⎞

⎜⎝⎛plusmn=Δplusmn

=

(33)

где ΔW ndash точность величины х соответствующая той же надежности α

Если результат косвенного измерения W является функцией многих переменных то есть W = W(x y z) то по формуле (33) можно вычислить погрешности ΔWx ΔWy ΔWzhellip обусловленные каждым аргументом и называемые частными погрешностями Они равны

Zz

WW

YyWW

Xx

WW

zzz

yyy

xxx

Δsdot⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

partpart

=Δ

Δsdot⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛partpart

=Δ

Δsdot⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

partpart

=Δ

=

=

=

(34)

и так далее

23

В формулах (34) z

WyW

xW

partpart

partpart

partpart являются частными

производными и вычисляются так как будто другие аргументы ndash постоянные величины

Общая погрешность косвенного измерения в этом случае вычисляется по формуле (см Список литературы ndash 4)

222zyx WWWW Δ+Δ+Δ=Δ и

22

22

22

Zz

WYyWX

xWW Δ⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛

partpart

+Δ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛partpart

+Δ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

partpart

=Δ (35)

sect 3 Относительная погрешность косвенного измерения Очень часто бывает удобно вычислить относительную

погрешность результата косвенного измерения WdW

W =η

На основании известной формулы dlnu = duu можно сформулировать следующее правило расчета относительной погрешности Допустим сначала что W = W(x) ndash функция одной переменой Тогда относительная погрешность

WdWdW

W ln==η (36)

то есть для нахождения ηW необходимо сначала прологарифмировать выражение W(x) а затем продифференцировать его по х

В случае многих переменных можно как и для абсолютных погрешностей ввести частные относительные погрешности равные

24

ln xWxx Δsdot

partpart

=η

ln

ln

zWz

yWy

z

y

Δsdotpartpart

=

Δsdotpartpart

=

η

η (37)

Тогда общая относительная погрешность определится как

K222zyxW ηηηη ++= (38)

Расчет погрешности по формулам (37) и (38) особенно удобно производить в случае когда функция имеет одночленную (логарифмическую) формулу Пусть например

yxAW 4=

где А ndash константа Используя правило (37) имеем lnln4lnln 2

1 yxAW minus+=

21 4

y yy

xx

xΔ

minus=Δ

= ηη

4

116 22

22 y

yx

xΔsdot+Δsdot=η

Замечание Прежде чем сделать расчет по формуле (38) произведите оценку относительных погрешностей по отдельным аргументам вычисленных по формулам (37) Если при этом отдельные частные погрешности меньше максимальной хотя бы в три раза ими можно пренебречь В таком случае общая формула (38) значительно упростится

Определив относительную погрешность ηW можно рассчитать абсолютную погрешность (точность) по формуле

ΔW = ηWW (39)

25

Глава IV Определение параметров линейной зависимости

На опыте часто измеряют пары величин х и y причем одна

из них y является функцией другой ndash х Пусть в результате эксперимента получен ряд измерений величины y y1 y2hellipyn соответствующих значениям аргумента х1 х2 hellipхn

Необходимо установить эмпирическую зависимость между y и х Задача состоит в том чтобы по экспериментальным точкам провести линию которая как можно лучше соответствовала бы истинной функциональной зависимости y = f(x) При этом ограничимся лишь случаем линейной функции

y = ax + b (41) Линейная зависимость очень широко распространена в

физике Даже в случаях когда зависимость нелинейная обычно стараются преобразовать ее так чтобы свести к линейной Например зависимость y = Aeαx преобразуется к виду ln y = ln A + αx и на графике строится зависимость

ln y = f(1x)

Ниже приведены два метода нахождения наиболее вероятных параметров линии (коэффициентов а и в уравнения (41)) проходящих через набор экспериментальных точек

sect 1 Метод парных точек Метод парных точек является наиболее простым и

применяется в основном для определения лишь наклона прямой то есть коэффициента а

Допустим что у нас имеется 8 точек лежащих на одной прямой Требуется найти наилучшее значение тангенса угла наклона а и его погрешность Пронумеруем точки по порядку от

26

1 до 8 (рис 9) Возьмем точки 1 и 5 ими определится некоторая прямая и угол ее наклона В качестве наилучшего значения а выбирается его среднее значение a и обычным способом находится его среднеквадратичная погрешность и доверительный интервал

y 8 7 6 5 3 4 2

1 0

х Рис 9 Нумерация экспериментальных точек для расчета а

методом парных точек

Таким образом полученная прямая линия будет иметь угловой коэффициент a и проходить через точку соответствующую средним значениям переменных х и y (следующий параграф)

Такой метод дает удовлетворительные результаты лишь тогда когда величины (x5 ndash x1) (x6 ndash x2) (x7 ndash x3) (x8 ndash x4) примерно одинаковы

sect 2 Метод наименьших квадратов (МНК) МНК является одним из стандартных методов статистики

Сущность этого метода заключается в следующем Допустим что имеется n пар измеренных значений (x1 y1) (x2 y2)hellip(xn yn) Предположим что ошибки содержат лишь величины y

27

(На практике это предположение часто оправдывается) По результатам измерений необходимо построить прямую линию

В основе описываемого метода лежит положение согласно которому наилучшим приближением будет такая прямая линия для которой сумма квадратов расстояний по вертикали от точек до прямой (сумма квадратов погрешностей величины y (рис 10)) является минимальной то есть наиболее вероятные

Рис 10 Распределение экспериментальных точек относительно искомой прямой

значения параметров а и в (41) выбираются так чтобы сумма

( )sum sum= =

minusminus==n

i

n

iiii baxydS

1 1

22 (42)

была минимальной Это значит что

( )sum=

=minus+=partpart n

iiii xybax

aS

1

02

( )sum=

=minus+=partpart n

iii ybax

bS

1

02 (43)

28

Таким образом искомые величины а и в получаются

решением системы уравнений

sum sum sum= = =

=+n

i

n

i

n

iiiii yxxbxa

1 1 1

2 (44)

sum sum= =

=+n

i

n

iii ybnxa

1 1

(45)

Из уравнения (45) следует что наилучшая прямая проходит через точку с координатами

sumsum==

==n

ii

n

ii y

nyx

nx

1

_

1

_

11 (46)

(В этом можно легко убедиться поделив равенство (45) почленно на n) Из уравнений (44) и (45) находим

1 1

2

1 1

sum sum

sum sum

= =

= =

minus

minus= n

i

n

iii

n

i

n

iiii

xxx

yyyxa (47)

sum sumsum sum

sum sum= =

= =

= =

minus

minusminus=

n

i

n

in

i

n

iii

n

i

n

iiii

ii

xxx

yyyxx

ny

nb

1 1

1 1

2

1 111 (48)

29

В лабораторном практикуме обычно бывает достаточно оценить погрешность коэффициента a Формула для среднеквадратичной ошибки величины а имеет вид (см Список литературы ndash 3)

2

1 2

minusminus

=n

rSS

Sx

ya (49)

где ( )sum=

minusminus

=n

iiy yy

nS

1

2 1

1 (410)

( )sum=

minusminus

=n

iix xx

nS

1

2

11

(411)

( ) ( )

( ) 1

1

yx

n

iii

SSn

yyxxr

sdotminus

minusminus=

sum= (412)

Интервал в котором с установленной вероятностью α может находиться коэффициент а записывается в виде

22 anan StaaSta sdot+lelesdotminus minusminus αα (413)

где a определяется формулой (47) aS ndash формулой (49) tαn-2 ndash коэффициент Стьюдента для надежности α и числа измерений n ndash число пар точек

При использовании метода наименьших квадратов рекомендуется следующий порядок действий

1 Составить таблицу

изм xi yi xiyi xi

2 1 2

i n

sumxi sumyi sumxiyi sumxi2

30

2 Рассчитать

а) sum=

n

iii yx

1 б) sum

=

=n

i

i

nx

x1

в) sum=

n

iiy

1

г) sum=

n

iix

1

д) sum=

n

iix

1

2 е) sum=

=n

i

i

ny

y1

3 Рассчитать наилучшие значения углового коэффициента а по

формуле (47) 4 Зная коэффициенты а и б провести наилучшую прямую она

должна проходить через точку с координатами x и y 5 Для расчета погрешности величины а по формулам (49 ndash 412) составить таблицу

пп

yi - y

xi - x

(yi - y )2

(xi - x )2

Sx

Sy

r

31

ЧАСТЬ II

ПРАВИЛА РАБОТЫ В ЛАБОРАТОРИИ

ОФОРМЛЕНИЕ РЕЗУЛЬТАТОВ РАБОТЫ sect 1 Правила работы в лаборатории Каждая лабораторная работа рассчитана на одно занятие

В начале семестра составляется и вывешивается в лаборатории график выполнения работ на весь семестр

Студент должен заранее знать тему своей лабораторной работы и подготовиться к ней по методическому руководству и другой указанной в нем литературе

Перед выполнением каждой лабораторной работы необходимо пройти краткое собеседование с преподавателем и получить разрешение на ее выполнение Оно дается в том случае если студент четко знает цель работы методику проведения эксперимента умеет пользоваться приборами

ПРИСТУПАТЬ К ВЫПОЛНЕНИЮ ЛАБОРАТОРНЫХ

РАБОТ БЕЗ РАЗРЕШЕНИЯ ПРЕПОДАВАТЕЛЯ КАТЕГОРИЧЕСКИ ВОСПРЕЩАЕТСЯ

В конце занятия студент обязан предъявить преподавателю

результаты своей работы Работа считается выполненной если результаты утверждены и подписаны преподавателем После этого необходимо выключить установку привести в порядок рабочее место и получить методические указания к следующей работе

32

sect 2 Журнал лабораторных работ Результаты измерений и наблюдений должны тотчас же

фиксироваться в специальном журнале в форме протоколов Временные записи результатов на черновых листочках не допускаются

Единую форму протоколов пригодную для всех работ дать невозможно и нецелесообразно Тем не менее можно сформулировать некоторые общие требования которым должны удовлетворять записи в журнале лабораторных работ

1 Должны быть указаны название работы и дата ее выполнения

конкретная цель работы и ее упражнений 2 Целесообразно привести расчетную формулу и пояснить

физический смысл входящих в нее символов 3 Результаты всех измерений заносятся в заранее

подготовленные удобные таблицы из которых было бы ясно какие физические величины и в каких единицах измерялись сколько раз повторялись измерения каждой физической величины

4 Необходимо указать приборы использовавшиеся для измерения различных величин и их точности

5 Зафиксировать (если это важно) условия опыта (температуру давление влажность воздуха и т д)

6 Записи в журнале должны быть аккуратными и четкими журнал лабораторных работ ndash не черновик В нем не должно содержаться никаких записей не относящихся к выполняемой работе Прикидочные расчеты должны проводиться на черновых листках

7 Для пометок и замечаний целесообразно оставлять поля шириной 3 см Ниже приведена схема оформления протокола одной из

лабораторных работ

33

081098 Определение модуля Юнга по изгибу стержня Цель работы ndash проверка закона Гука и определение модуля

Юнга для стального и медного стержней Расчетная формула

4 3

3

habPLE =

где Е ndash модуль Юнга Р ndash величина нагрузки приложенной к середине стержня L ndash длина деформируемой части стержня равная расстоянию между ребрами опорных призм а ndash ширина стержня в ndash его толщина h ndash стрела прогиба

Таблица 1 Определение размеров стержня

опыта L мм а мм в мм

1 5

Измерительный прибор и его точность

Штанген-циркуль plusmn 01 мм

Микрометр plusmn0005 мм

Микрометр plusmn0005 мм

Таблица 2 Измерение стрелы прогиба нагружаемого стержня

РкГс 0 01 02 03 04 hellip

h мм

205 207 203 208 205

255 248 251 249 252

hellip hellip hellip hellip

Измерительный прибор ndash микрометр точность ~ plusmn 0005 мм

Подпись преподавателя

34

sect 3 Оформление отчетов По результатам каждой лабораторной работы составляется

отчет Он должен включать 1 Краткую формулировку идеи метода расчетную формулу

пояснение физического смысла входящих в нее символов 2 Таблицы с результатами измерений и расчетов 3 Статистическую обработку результатов измерений 4 Выводы 5 На титульном листе должны быть указаны название

лабораторной работы факультет курс группа фамилия и инициалы исполнителя Отчет должен быть написан в хорошем стиле аккуратным

разборчивым почерком При его оформлении не следует также пренебрегать и эстетической стороной вопроса Заголовки выводы и формулы целесообразно выделять пастой другого цвета подчеркнуть и т п Это облегчает чтение отчета

Выводы должны быть аргументированы ссылками на соответствующие таблицы и графики поэтому они должны быть пронумерованы

sect 4 Графики Графики используются для наглядного представления

результатов При их построении необходимо соблюдать ряд правил 1 Графики нужно строить только на миллиметровой бумаге 2 На осях необходимо нанести масштабную сетку указать

единицы измерения и символы изображаемых величин 3 Масштаб должен быть простым удобным для отсчета его

долей Например 1 см = 01 1 2 или 10 единиц Кроме того масштаб выбирают так чтобы все экспериментальные точки вошли в график и достаточно далеко отстояли друг от друга

35

Иногда для этой цели бывает удобно сместить вдоль осей начало отсчета Масштаб по осям Х и У может быть различен

Рис 11 Пример построения графика функции по экспериментальным точкам

4 Экспериментальные точки следует наносить с максимальной

точностью так чтобы они четко выделялись на фоне графика не сливаясь с ним

5 График должен представлять собой плавную кривую без изломов и перегибов Нужно стремиться провести кривую так чтобы экспериментальные точки равномерно распределялись по обе стороны от нее (рис 11)

Графики выполненные на миллиметровой бумаге

аккуратно вклеиваются в отчет где для них необходимо предусмотреть соответствующее место

36

sect 5 Точность вычислений Точность вычислений определяется погрешностью

измерений Не имеет смысла вычислять какуюndashлибо величину до пятого знака после запятой если погрешность измерений такова что неуверенно определяется ее третий знак

Чтобы погрешностью вычислений можно было пренебречь она должна быть на порядок (то есть в 10 раз) меньше погрешности наименее точно измеряемой величины

Пример Модуль Юнга по изгибу стержня вычисляется по

формуле E = PL3 4ab3middoth Анализ исходных данных показывает как правило что с наибольшей относительной погрешностью измеряется стрела прогиба h Так как ΔEE gt Δh h то допускаемая относительная погрешность вычислений ΔE выч E cong 01 Δhh Для стали E cong 2middot104 кГсмм2 поэтому при Δhh =10-2 ΔEвыч cong 10 кГсмм2 Это значит что вычисления Е целесообразно проводить лишь с точностью до четвертой значащей цифры

Обычно нас интересует лишь порядок величины погрешностей поэтому последние рекомендуется вычислять лишь до второй значащей цифры а затем округлять результат до одной значащей цифры

Приводя значение измеренной Вами величины проверьте согласуется ли порядок приведенных значащих цифр с порядком погрешности

Порядок последней значащей цифры измеренной величины и порядок погрешности должны быть одинаковы

Запись Е = (1845127 plusmn 20) 107 Па неграмотна Величина ошибки свидетельствует о том что неуверенно определяется уже четвертый знак поэтому результат должен быть соответственно округлен

Е = (18450 plusmn 20) 107 Па

37

Приложение

Таблица 3 Значения коэффициентов Стьюдента

Коэффициент надежности Число

изме рений

N 08 09 095 098 099 0999

2 31 631 1271 3182 6366 63662 3 19 292 431 696 992 3160 4 16 235 318 454 584 1294 5 15 213 278 375 460 861 6 15 202 257 336 403 686 7 14 194 245 314 371 596 8 14 190 236 300 350 540 9 14 186 231 290 336 504

10 14 183 226 282 325 478 infin 13 165 196 233 259 331

38

Список литературы

1 Деденко Л Г Керженцев В В Математическая обработка и оформление результатов эксперимента М Издndashво МГУ 1977

2 Зайдель А Н Ошибки измерения физических величин Л

Наука 1974 3 Кассандрова О Н Лебедев В В Обработка результатов из-

мерений М Наука 1970 4 Сквайрс Дж Практическая физика М Мир 1971 5 Соловьев В А Яхонтова В Е Элементарные методы обра-

ботки результатов измерений Л Издndashво ЛГУ 1977

39

СОДЕРЖАНИЕ

Задачи физического практикума 3

Часть I Статистическая обработка результатов измерений

Глава I Введение в теорию погрешностей 3 sect1 Измерения и их погрешности 3 sect2 Типы погрешностей 5

1 Систематические погрешности 5 2 Случайные погрешности 6 3 Промахи 7

Глава II Статистическая обработка результатов прямых измерений 8 sect1 Вероятность случайного события 8 sect2 Нормальный закон распределения случайных погрешностей 9 sect3 Среднеквадратичная погрешность 13 sect4 Среднеквадратичная погрешность среднего 14 sect5 Доверительный интервал и доверительная вероятность 15 sect6 Совместный учет систематической и случайной погрешностей 20 Глава III Статистическая обработка результатов косвенных измерений 21 sect1 Два способа оценки погрешностей косвенного измерения 21 sect2 Частные погрешности и общая погрешность косвенного измерения 21 sect3 Относительная погрешность косвенного измерения 23 Глава IV Определение параметров линейной зависимости 25 sect1 Метод парных точек 25 sect2 Метод наименьших квадратов (МНК) 26

40

Часть II Правила работы в лаборатории оформление

результатов работы

sect1 Правила работы в лаборатории 31 sect2 Журнал лабораторных работ 32 sect3 Оформление отчетов 34 sect4 Графики 34 sect5 Точность вычислений 36 Приложение 37 Список литературы 38

41

Составители Жукова Ида Степановна Бутина Лариса Иосифовна Крылова Светлана Ивановна

ВВЕДЕНИЕ В ЛАБОРАТОРНЫЙ ПРАКТИКУМ ПО КУРСУ ОБЩЕЙ ФИЗИКИ

Методические указания

к лабораторной работе

Редактор Козина О В

ЛР 040 110 Подписано к печати 090999 Формат 60х84 116 Бумага газетная Офсетная печать 25 уч-издл

11 услкр-отт Тираж 500 экз Изд 19 laquoСraquo

Издательство Петрозаводского государственного университета

185640 Петрозаводск пр Ленина 33

2

Рассмотрены и рекомендованы к печати на заседании редакционной комиссии по отрасли науки и техники laquoобщая и ядерная физикаraquo 22 декабря 1998 года

Печатается по решению редакционно-издательского совета

Петрозаводского государственного университета Составители И С Жукова кф-мн доцент

Л И Бутина старший преподаватель С И Крылова кф-мн доцент

Издание осуществлено при поддержке ОАО laquoКондопогаraquo

3

ЗАДАЧИ ФИЗИЧЕСКОГО ПРАКТИКУМА Физический практикум играет большую роль в изучении

курса общей физики Можно выделить три основных его цели 1 Ознакомление с приборами и методами измерения различных

физических величин 2 Экспериментальное изучение физических законов и явлений 3 Ознакомление с методами статистической обработки

результатов измерений Часть I настоящих методических указаний посвящена

третьей из указанных выше задач В части II дается краткая методика по оформлению лабораторных работ и порядку работы в лаборатории

ЧАСТЬ I

СТАТИСТИЧЕСКАЯ ОБРАБОТКА РЕЗУЛЬТАТОВ ИЗМЕРЕНИЙ

Глава I Введение в теорию погрешностей

sect 1 Измерения и их погрешности

Измерением называется определение значения физической

величины опытным путем с помощью специальных технических средств Значение величины найденное путем измерения называется результатом измерения Измерения делятся на прямые и косвенные

Прямым называется измерение при котором искомое значение величины находится непосредственно из опыта путем отсчета по шкале измерительного прибора например измерение длины линейкой определение массы тела на равноплечных весах определение температуры тела термометром и т д

4

Косвенным называется измерение при котором искомое значение величины находят на основании известной зависимости между этой величиной и величинами подвергаемыми прямым измерениям например определение плотности тела по его геометрическим размерам и массе определение силы тока по напряжению и сопротивлению и т д

Никакое измерение не может быть выполнено абсолютно точно поэтому результат измерения в той или иной мере отклоняется от истинного значения измеряемой величины Разница между результатом измерения и истинным значением измеряемой величины называется абсолютной погрешностью измерения Она определяется формулой Δxi = xi ndash X где Х ndash истинное значение измеряемой величины хi ndash результат i-того измерения Δxi ndash абсолютная погрешность i-того измерения

Абсолютная погрешность выражается в единицах измеряемой величины

Наряду с абсолютной погрешностью (Δx) используется относительная погрешность (η) равная отношению абсолютной погрешности к истинному значению измеряемой величины

ηi = Δxi X Относительная погрешность может быть выражена в

процентах Качество измерений отражающее близость их результатов к

истинному значению измеряемой величины называется точностью измерений Очевидно что чем меньше погрешности всех видов тем выше точность измерений

По характеру влияния на результаты измерений погрешности делятся на 3 типа систематические случайные промахи

5

sect 2 Типы погрешностей 1 Систематические погрешности Систематическими называются погрешности величина

которых не меняется при повторении измерений данной величины в тех же условиях (тем же методом теми же приборами и т д)

Если результаты отдельных измерений (xi) и истинное значение измеряемой величины (Х) отложить на оси х то при наличии только систематических погрешностей результаты отдельных измерений xi расположатся относительно истинного значения измеряемой величины Х так как показано на рисунке 1

X x1 = x2 =hellip= xn

Δ х = хi - Х = const х

Рис 1 Представление результатов измерений при наличии систематической погрешности

Систематические погрешности возникают в тех случаях

когда не учитывается влияние на результаты эксперимента различных постоянно действующих факторов температуры давления влажности воздуха выталкивающей силы Архимеда сопротивления подводящих проводов контактных ЭДС и т п Источниками систематических погрешностей могут быть также измерительные приборы вследствие неточности их градуировки или неисправности

Исключение систематических погрешностей требует принятия специальных мер предосторожности К ним относятся 1 Своевременный ремонт и систематическая проверка приборов 2 Использование специальных способов измерения (например

двойное взвешивание для исключения неравноплечности весов использование охранных колец при измерении объемного сопротивления плохих проводников позволяющее исключить влияние их поверхности)

6

3 Внесение соответствующих поправок на влияние внешних факторов

2 Случайные погрешности Случайными называются погрешности величина и знак

которых меняется непредсказуемым образом при повторных измерениях данной величины в тех же условиях Случайные погрешности могут быть вызваны действием различных неконтролируемых факторов толчков воздушных течений пылинок и т д Источником случайных ошибок может быть и сам экспериментатор из-за несовершенства органов его чувств Так например результаты повторных измерений периода колебаний математического маятника с помощью очень точного секундомера обязательно окажутся несколько отличными друг от друга вследствие того что моменты нахождения маятника в соответствующих фазах отклонения фиксируются неточно при пуске секундомера экспериментатор может несколько замешкаться при его остановке наоборот поспешить Случайные погрешности отклоняют результат то в одну то в другую сторону от истиного значения измеряемой величины поэтому результаты (хi) большого числа измерений симметрично располагаются относительно Х (рис 2)

Рис 2 Представление результатов измерений при наличии случайных погрешностей

Влияние случайных погрешностей можно существенно

уменьшить усреднением результатов большого числа измерений

7

В самом деле пусть x1 x2 x3hellipxn ndash результаты отдельных измерений а

Δx1 = x1 ndash X Δx2 = x2 ndash X Δx3 = x3 ndash X (11) hellip hellip hellip Δxn = xn ndash X

ndash их абсолютные погрешности Δxn где n ndash полное число измерений Сложив почленно равенства (11) получим

sum sum= =

minus=Δn

i

n

iii nXxx

1 1

откуда

sum sum= =

Δminus=n

i

n

iii x

nx

nX

1 1

11 (12)

Величина sum=

=n

ii xx

n 1

1 называется средним арифметическим

результатом серии измерений Так как при большом числе измерений величина x очень

мала то можно считать что Xx cong Чем больше n тем точнее выполняется это равенство те x ndash х ltlt Δxi

3 Промахи Промах ndash это очень грубая погрешность вызванная

невнимательностью экспериментатора (неверный отсчет показаний прибора описка при записи показаний и т д) Промахи могут сильно исказить результаты измерений особенно в тех случаях когда их число невелико

Вывод при выполнении работы нужно быть очень внимательным не спешить не отвлекаться

8

Глава II Статистическая обработка результатов прямых измерений

Ранее было показано что усреднением результатов

достаточно большого числа измерений можно существенно уменьшить влияние случайных погрешностей Однако практически n бывает не так уж велико и x может заметно отличаться от Х Как оценить возможное отличие x от Х Соответствующие методы разработаны в теории погрешностей которая оперирует понятиями теории вероятностей

sect 1 Вероятность случайного события В теории вероятностей всякий исход испытания называется

событием Случайными называются события о наступлении которых нельзя сделать точного предсказания Так если в урне смешать неотличимые на ощупь шары разного цвета а затем не глядя вынимать их то появление шара какого-либо определенного цвета будет событием случайным так как точно предсказать цвет вынимаемого шара в каждом отдельном случае невозможно Однако если провести большое число испытаний в одних и тех же условиях (вынутый шар кладется обратно в урну и шары тщательно перемешиваются) то о результатах такой серии измерений можно будет сделать вполне определенные утверждения статистического характера

Пусть nA ndash число испытаний при которых наступило событие А (например вынут красный шар) а n ndash общее число испытаний Отношение РА = lim nAn называется вероятностью

nrarrinfin события А При достаточно большом n РА cong nAn

Зная вероятность РА события можно достаточно точно предсказать сколько раз оно наступит при большом числе испытаний nA = n РА

Вероятность любого события может быть заключена в пределах от нуля до единицы Если РА = 1 событие называется

9

достоверным если РА = 0 событие называется невозможным (оно либо не наступает никогда либо чрезвычайно редко)

Если рассматриваемая совокупность событий такова что одно из них обязательно наступает при каждом испытании то такие события образуют полную группу Нетрудно показать что сумма вероятностей событий образующих полную группу равна единице

Так например в случае одинакового числа шаров белого красного и синего цвета события выражающиеся в том что вынутый шар будет белым красным или синим образуют полную группу Вероятность каждого отдельного события равна 13 а их сумма равна единице

sect 2 Нормальный закон распределения случайных погрешностей

Если погрешности носят чисто случайный характер то по

результатам измерений можно оценить вероятности их появления Пусть х1 х2hellipхn ndash результаты отдельных измерений Примем

что n достаточно велико и при оценке погрешностей будем считать что

sum=

==n

iix

nxX

11

(21)

xxx ii minus=Δ Определив погрешности Δxi рассортируем их по величине

Для этого весь диапазон полученных значений Δxi разобъем на одинаковые малые интервалы Δε и подсчитаем сколько раз величина ошибки попадает в каждый интервал Если в интервале номер laquokraquo оказалось заключено Δnk значений погрешности то вероятность попадания погрешности в этот интервал

Pk cong Δnkn (22)

10

Если значения вероятности для каждого интервала отложить по оси ординат то получится ступенчатая диаграмма изображенная на рисунке 3 Она называется гистограммой

Рис 3 Гистограмма Так как Рк зависит от Δε то по оси ординат удобнее

откладывать не Рк а величину εε Δsdot

Δ=

Δ=

nnP

y kk называемую

плотностью распределения вероятностей Очевидно y = Pk при Δε =1 Это значит что у есть вероятность отнесенная к единичному интервалу Δε Вид гистограммы y (Δхi ) будет таким же как и вид гистограммы Рк (Δхi ) (рис 3)

11

Рис4 Кривая распределения вероятностей случайных погрешностей Если увеличить число измерений n (n rarrinfin) и строить

гистограммы для все более малых интервалов Δε то при Δεrarr0 середины верхних площадок прямоугольников сольются в плавную кривую называемую кривой распределения вероятностей Опыт показал что в большинстве случаев распределение погрешностей соответствует так называемому нормальному закону найденному Гауссом Согласно гауссову распределению плотность вероятности y и величина погрешности Δxi связаны соотношением

( )πσ 2

1=Δ ixy

( )2

2

2σixΔ

minusl (23)

где l minus основание натурального логарифма σ2 ndash некоторый постоянный параметр называемый дисперсией распределения (смысл его выясняется далее)

12

Вид кривой распределения соответствующий некоторому значению σ показан на рисунке 4

Пользуясь законом распределения можно производить многие важные расчеты

Из формулы εΔsdot

Δ=

nn

y k следует что вероятность P(Δxk)

того что величина погрешности заключена в интервале Δxk divide Δxk + Δε определяется формулой

P(Δxk) = y(Δxk)middotΔε Численно эта вероятность равна площади зачерненного

прямоугольника С с основанием Δε (рис 4) Вероятность того что модуль погрешности не превзойдет некоторого значения изобразится площадью заштрихованной фигуры АВС с основанием 2 Δxk (рис 4)

На рисунке 5 представлены кривые распределения соответствующие разным σ Видно что с ростом σ максимум кривой распределения понижается а ее laquoкрыльяraquo поднимаются В соответствии со сказанным ранее о геометрическом смысле вероятности это означает что с ростом σ вероятность малых погрешностей уменьшается а вероятность больших ndash растет Следовательно чем больше дисперсия распределения σ2 тем меньше точность измерений

Важно подчеркнуть что кривая y(Δxi) характеризует не какую-то серию измерений а некоторую воображаемую совокупность бесконечного числа измерений данной величины в одних и тех же условиях Такая совокупность называется генеральной Всякая же конечная серия измерений называется случайной выборкой из генеральной совокупности

13

Рис 5 Влияние дисперсии на вид кривой распределения вероятностей случайных погрешностей

sect 3 Среднеквадратичная погрешность

Пусть х1 х2hellipхn ndash результаты некоторой серии n измерений

проведенных в одинаковых условиях Как уже подчеркивалось величина случайной погрешности не постоянна и меняется от опыта к опыту Возникает необходимость охарактеризовать погрешности результатов отдельных измерений данной серии некоторой средней величиной Иногда в качестве такой характеристики используют среднюю арифметическую погрешность

sum=

Δ=Δn

iix

nx

11

Однако удобнее использовать так называемую среднеквадратичную погрешность выборки Sn определяемую формулой

14

( )

11

2

minus

minus=

sum=

n

xxS

n

ii

n (24)

Sn называют также выборочным стандартным отклонением Можно показать что при достаточно большом числе

измерений Sn cong σ и следовательно дисперсия распределения

( ) ( )

11

2

1

2

22

n

xx

n

xxS

n

ii

n

ini

n

sumsum==

minuscong

minus

minus=congσ (25)

Таким образом дисперсия распределения приблизительно

равна среднему квадрату погрешности отдельных измерений найденному при достаточно большом n Для генеральной совокупности (n rarr infin) равенство (25) выполняется точно Из него следует что величина дисперсии зависит от условий в которых проводятся измерения чем благоприятнее условия измерений тем меньше разброс результатов и меньше дисперсия

sect 4 Среднеквадратичная погрешность среднего Допустим что мы провели серию n измерений некоторой

величины х результаты которых равны х1 х2hellipхn Наилучшим приближением к истинному значению является величина

sum=

=n

iix

nx

1

1 называемая cредним выборочным значением

измеряемой величины Если серию по n измерений в каждой повторить m раз то мы получим m значений x несколько отличающихся друг от друга и от истинного значения Х измеряемой величины Погрешности Xxx kk minus=Δ являются случайными и так же как погрешности отдельных измерений Δxi = xi ndash Х подчиняются гауссову распределению но с другой

15

дисперсией 2xσ lt 2σ Величина 2

xσ называемая дисперсией среднего является мерой погрешности среднего значения x найденного в серии из n измерений В теории погрешности доказывается что

22

nxσσ = (26a)

Это значит что xσ в отличие от σ зависит от числа проведенных измерений

nx

σσ = (26б)

Таким образом среднеквадратичная погрешность среднего результата n измерений в n12 раз меньше среднеквадратичной погрешности отдельных измерений Из формул (25) и (26) следует что при большом n

( ))1(

1

2

minus

minus=cong

sum=

nn

xx

nS

n

ii

nx

σ

Величина

( ))1(

1

2

minus

minus=

sum=

nn

xxS

n

ii

x (27)

называется выборочной среднеквадратичной погрешностью среднего

sect 5 Доверительный интервал и доверительная вероятность Как уже указывалось для любой конечной выборки x neХ

Практически очень важно оценить возможную величину отклонения среднего значения x от истинного Х то есть x ndash Х

16

Интервал plusmnx ΔХ в который с заданной вероятностью α попадает истинное значение Х измеряемой величины называется доверительным интервалом соответствующим вероятности α Вероятность α называется также доверительной вероятностью или надежностью Величина ΔХ характеризует точность оценки Чем меньше разность x ndash Х тем выше точность

Надежность соответствующую заданной точности ΔХ можно вычислить теоретически воспользовавшись гауссовым распределением если известна дисперсия 2

xσ В соответствии со сказанным ранее (гл II sect2) величина α

равна площади заштрихованной фигуры АВС опирающейся на отрезок 2ΔХ (рис 6)

Рис 6 Кривая распределения вероятностей случайных

погрешностей среднего

17

Так как =2xσ σ2n то надежность соответствующая

заданной точности ΔХ растет с ростом числа измерений и величины дополнительного интервала

Можно показать что α является функцией величины

к = x

XσΔ

График функции α = F(k) показан на рисунке 7

Рис 7 График функции α = ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ Δ

x

XFσ

Видно что с ростом k растет и доверительная вероятность α

Так α = 068 для k = 1 α = 095 для k = 2 α = 0997 для k = 3 Результаты расчетов F для различных k приведены в соответствующей литературе (см Список литературы ndash 1 2)

Если n мало (n lt 30) то xx Sneσ и для расчета распределением Гаусса пользоваться нельзя В этом случае используют распределение выведенное английским математиком и химиком Госсетом (псевдоним laquoСтьюдентraquo)

В распределении Стьюдента плотность распределения вероятностей рассматривается как функция величины

18

xx SXx

SXt minus

=Δ

= называемой коэффициентом Стьюдента

(среднеквадратичная погрешность среднего арифметического xS определяется формулой (27))

Распределение Стьюдента зависит от n и при nrarrinfin переходит в распределение Гаусса

Рис 8 Кривые распределения Стьюдента для выборок различного объема

На рисунке 8 показаны кривые y(t) при разных n Вычислив

по результатам измерений xS и задав величину ΔX можно найти t и α соответствующие данному n Наоборот задав надежность α можно вычислить tαn и соответствующую точность ΔX = tαn xS при данном значении n Соответствующие друг другу значения

19

α и tαn при разных n приводятся в специальных таблицах (см Приложение)

На практике задание величины ΔX определяется конкретными условиями Допустим что некоторое предприятие изготовляет резисторы определенного номинала Естественно что благодаря действию различных случайных факторов величины сопротивлений R будут отклоняться от их номинальных значений Измерив R для большой партии резисторов (ngtgt30) можно построить кривую y (ΔR) и найти дисперсию 2

Rσ Величина 2Rσ определяется тем насколько хорошо контролируется и

поддерживается постоянной технология изготовления резисторов Если разброс значений R а значит и 2

Rσ велик то задавая малое значение доверительного интервала Xx Δplusmn получим и малую надежность α При этом лишь малая доля значений R попадает в заданный доверительный интервал и процент брака будет соответственно велик Напротив при выборе большой надежности уменьшится процент брака но зато увеличится разброс значений R (увеличится ширина доверительного интервала x plusmn ΔX)

Если по условиям работы приборов в которых используются эти резисторы доверительный интервал должен быть малым то для сохранения большой надежности необходимо улучшить технологию их производства

Точность электроизмерительных приборов определяется классом их точности и соответствует надежности α = 0997 (ΔX = 3σ x ) В лабораторных условиях обычно довольствуются надежностью α = 090 095

Для оценки доверительного интервала прямых измерений предлагается следующий порядок 1 Провести серию измерений изучаемой величины Х и оценить

среднее выборочное x sum=

=n

iix

nx

1

1

2 Найти абсолютную погрешность единичного измерения Δхi Δxi = xi ndash x

20

3 Определить среднюю квадратичную ошибку среднего арифметического

( ))1(

1

2

minus

minus=

sum=

nn

xxS

n

ii

x

4 Определить точность измерения ΔX при заданных n и α ΔX = nx tS αsdot

5 Записать доверительный интервал для истинного значения измеряемой величины Х = x plusmn ΔX или x ndash ΔX leΧle xi +ΔX

Для удобства расчетов данные оформляются в виде таблицы xi Δxi = xi - x Δxi

2 xS αn ΔX

1 2

Ср Σ Δxi2=

Абсолютная ошибка Δхi рассчитывается по модулю

sect 6 Совместный учет систематической и случайной погрешностей Строгий учет систематической погрешности труден Если

систематическая погрешность обусловлена точностью прибора (что мы и будем предполагать) то можно оценить верхнюю границу возможных ошибок зная класс его точности Если точность обусловленная случайной погрешностью ndashΔХ а величина систематической погрешности ndashδ то величина суммарной точности ΔХ определяется формулой

( )2

2

3 ⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ sdot

+Δ=Δδαk

XX (28)

где kα = tα(infin) ndash коэффициент Стьюдента при n = infin

21

Глава III Статистическая обработка результатов косвенных измерений

sect 1 Два способа оценки погрешности косвенного

измерения В большинстве случаев имеют дело с косвенными

измерениями Пусть x y z ndash непосредственно измеряемые величины а W = f (x y z) ndash их функция то есть величина измеряемая косвенно Рассмотрим два способа оценки погрешности величины W

I способ Если косвенные измерения проводятся в невоспроизводимых условиях то значения Wi вычисляются для каждого отдельного измерения а затем обрабатываются как прямые измерения

II способ позволяет вычислить погрешность косвенного измерения как функцию погрешностей прямых измерений Далее остановимся подробнее на этом способе

sect 2 Частные погрешности и общая погрешность косвенного измерения Обрабатывая прямые измерения мы находим их

выборочные средние значения zyx hellip являющиеся как было показано выше случайными величинами Очевидно что и величина WW = ( zyx hellip) представляющая собой выборочное среднее искомой функции будет также случайной величиной Задача как и в случае прямых измерений состоит в том чтобы определить с какой вероятностью искомая величина W может быть заключена в некотором заданном интервале W plusmn ΔW В общем случае эта задача весьма сложна и мы ограничимся лишь ее приближенным решением

Рассмотрим сначала случай когда W является функцией только одной переменной то есть W = W(x) Разложим функцию W(x) в ряд Тейлора в окрестности точки х = Х (Х ndash истинное

22

значение х) В случае когда погрешность прямого измерения достаточно мала можно ограничиться лишь линейным членом и считать что

)()()( Xxdx

dWXWxWXx

minussdot⎟⎠⎞

⎜⎝⎛+=

=

Отсюда )()()( Xxdx

dWXWxWXx

minussdot⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=minus

=

(31)

Из (31) следует что

xxx

W Sdx

dWS sdot⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=

=

(32)

где xS и WS ndash средние квадратичные погрешности величин

x и W Доверительный интервал величины W соответствующий надежности α определяется как

Xdx

dWWWWxx

Δsdot⎟⎠⎞

⎜⎝⎛plusmn=Δplusmn

=

(33)

где ΔW ndash точность величины х соответствующая той же надежности α

Если результат косвенного измерения W является функцией многих переменных то есть W = W(x y z) то по формуле (33) можно вычислить погрешности ΔWx ΔWy ΔWzhellip обусловленные каждым аргументом и называемые частными погрешностями Они равны

Zz

WW

YyWW

Xx

WW

zzz

yyy

xxx

Δsdot⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

partpart

=Δ

Δsdot⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛partpart

=Δ

Δsdot⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

partpart

=Δ

=

=

=

(34)

и так далее

23

В формулах (34) z

WyW

xW

partpart

partpart

partpart являются частными

производными и вычисляются так как будто другие аргументы ndash постоянные величины

Общая погрешность косвенного измерения в этом случае вычисляется по формуле (см Список литературы ndash 4)

222zyx WWWW Δ+Δ+Δ=Δ и

22

22

22

Zz

WYyWX

xWW Δ⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛

partpart

+Δ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛partpart

+Δ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

partpart

=Δ (35)

sect 3 Относительная погрешность косвенного измерения Очень часто бывает удобно вычислить относительную

погрешность результата косвенного измерения WdW

W =η

На основании известной формулы dlnu = duu можно сформулировать следующее правило расчета относительной погрешности Допустим сначала что W = W(x) ndash функция одной переменой Тогда относительная погрешность

WdWdW

W ln==η (36)

то есть для нахождения ηW необходимо сначала прологарифмировать выражение W(x) а затем продифференцировать его по х

В случае многих переменных можно как и для абсолютных погрешностей ввести частные относительные погрешности равные

24

ln xWxx Δsdot

partpart

=η

ln

ln

zWz

yWy

z

y

Δsdotpartpart

=

Δsdotpartpart

=

η

η (37)

Тогда общая относительная погрешность определится как

K222zyxW ηηηη ++= (38)

Расчет погрешности по формулам (37) и (38) особенно удобно производить в случае когда функция имеет одночленную (логарифмическую) формулу Пусть например

yxAW 4=

где А ndash константа Используя правило (37) имеем lnln4lnln 2

1 yxAW minus+=

21 4

y yy

xx

xΔ

minus=Δ

= ηη

4

116 22

22 y

yx

xΔsdot+Δsdot=η

Замечание Прежде чем сделать расчет по формуле (38) произведите оценку относительных погрешностей по отдельным аргументам вычисленных по формулам (37) Если при этом отдельные частные погрешности меньше максимальной хотя бы в три раза ими можно пренебречь В таком случае общая формула (38) значительно упростится

Определив относительную погрешность ηW можно рассчитать абсолютную погрешность (точность) по формуле

ΔW = ηWW (39)

25

Глава IV Определение параметров линейной зависимости

На опыте часто измеряют пары величин х и y причем одна

из них y является функцией другой ndash х Пусть в результате эксперимента получен ряд измерений величины y y1 y2hellipyn соответствующих значениям аргумента х1 х2 hellipхn

Необходимо установить эмпирическую зависимость между y и х Задача состоит в том чтобы по экспериментальным точкам провести линию которая как можно лучше соответствовала бы истинной функциональной зависимости y = f(x) При этом ограничимся лишь случаем линейной функции

y = ax + b (41) Линейная зависимость очень широко распространена в

физике Даже в случаях когда зависимость нелинейная обычно стараются преобразовать ее так чтобы свести к линейной Например зависимость y = Aeαx преобразуется к виду ln y = ln A + αx и на графике строится зависимость

ln y = f(1x)

Ниже приведены два метода нахождения наиболее вероятных параметров линии (коэффициентов а и в уравнения (41)) проходящих через набор экспериментальных точек

sect 1 Метод парных точек Метод парных точек является наиболее простым и

применяется в основном для определения лишь наклона прямой то есть коэффициента а

Допустим что у нас имеется 8 точек лежащих на одной прямой Требуется найти наилучшее значение тангенса угла наклона а и его погрешность Пронумеруем точки по порядку от

26

1 до 8 (рис 9) Возьмем точки 1 и 5 ими определится некоторая прямая и угол ее наклона В качестве наилучшего значения а выбирается его среднее значение a и обычным способом находится его среднеквадратичная погрешность и доверительный интервал

y 8 7 6 5 3 4 2

1 0

х Рис 9 Нумерация экспериментальных точек для расчета а

методом парных точек

Таким образом полученная прямая линия будет иметь угловой коэффициент a и проходить через точку соответствующую средним значениям переменных х и y (следующий параграф)

Такой метод дает удовлетворительные результаты лишь тогда когда величины (x5 ndash x1) (x6 ndash x2) (x7 ndash x3) (x8 ndash x4) примерно одинаковы

sect 2 Метод наименьших квадратов (МНК) МНК является одним из стандартных методов статистики

Сущность этого метода заключается в следующем Допустим что имеется n пар измеренных значений (x1 y1) (x2 y2)hellip(xn yn) Предположим что ошибки содержат лишь величины y

27

(На практике это предположение часто оправдывается) По результатам измерений необходимо построить прямую линию

В основе описываемого метода лежит положение согласно которому наилучшим приближением будет такая прямая линия для которой сумма квадратов расстояний по вертикали от точек до прямой (сумма квадратов погрешностей величины y (рис 10)) является минимальной то есть наиболее вероятные

Рис 10 Распределение экспериментальных точек относительно искомой прямой

значения параметров а и в (41) выбираются так чтобы сумма

( )sum sum= =

minusminus==n

i

n

iiii baxydS

1 1

22 (42)

была минимальной Это значит что

( )sum=

=minus+=partpart n

iiii xybax

aS

1

02

( )sum=

=minus+=partpart n

iii ybax

bS

1

02 (43)

28

Таким образом искомые величины а и в получаются

решением системы уравнений

sum sum sum= = =

=+n

i

n

i

n

iiiii yxxbxa

1 1 1

2 (44)

sum sum= =

=+n

i

n

iii ybnxa

1 1

(45)

Из уравнения (45) следует что наилучшая прямая проходит через точку с координатами

sumsum==

==n

ii

n

ii y

nyx

nx

1

_

1

_

11 (46)

(В этом можно легко убедиться поделив равенство (45) почленно на n) Из уравнений (44) и (45) находим

1 1

2

1 1

sum sum

sum sum

= =

= =

minus

minus= n

i

n

iii

n

i

n

iiii

xxx

yyyxa (47)

sum sumsum sum

sum sum= =

= =

= =

minus

minusminus=

n

i

n

in

i

n

iii

n

i

n

iiii

ii

xxx

yyyxx

ny

nb

1 1

1 1

2

1 111 (48)

29

В лабораторном практикуме обычно бывает достаточно оценить погрешность коэффициента a Формула для среднеквадратичной ошибки величины а имеет вид (см Список литературы ndash 3)

2

1 2

minusminus

=n

rSS

Sx

ya (49)

где ( )sum=

minusminus

=n

iiy yy

nS

1

2 1

1 (410)

( )sum=

minusminus

=n

iix xx

nS

1

2

11

(411)

( ) ( )

( ) 1

1

yx

n

iii

SSn

yyxxr

sdotminus

minusminus=

sum= (412)

Интервал в котором с установленной вероятностью α может находиться коэффициент а записывается в виде

22 anan StaaSta sdot+lelesdotminus minusminus αα (413)

где a определяется формулой (47) aS ndash формулой (49) tαn-2 ndash коэффициент Стьюдента для надежности α и числа измерений n ndash число пар точек

При использовании метода наименьших квадратов рекомендуется следующий порядок действий

1 Составить таблицу

изм xi yi xiyi xi

2 1 2

i n

sumxi sumyi sumxiyi sumxi2

30

2 Рассчитать

а) sum=

n

iii yx

1 б) sum

=

=n

i

i

nx

x1

в) sum=

n

iiy

1

г) sum=

n

iix

1

д) sum=

n

iix

1

2 е) sum=

=n

i

i

ny

y1

3 Рассчитать наилучшие значения углового коэффициента а по

формуле (47) 4 Зная коэффициенты а и б провести наилучшую прямую она

должна проходить через точку с координатами x и y 5 Для расчета погрешности величины а по формулам (49 ndash 412) составить таблицу

пп

yi - y

xi - x

(yi - y )2

(xi - x )2

Sx

Sy

r

31

ЧАСТЬ II

ПРАВИЛА РАБОТЫ В ЛАБОРАТОРИИ

ОФОРМЛЕНИЕ РЕЗУЛЬТАТОВ РАБОТЫ sect 1 Правила работы в лаборатории Каждая лабораторная работа рассчитана на одно занятие

В начале семестра составляется и вывешивается в лаборатории график выполнения работ на весь семестр

Студент должен заранее знать тему своей лабораторной работы и подготовиться к ней по методическому руководству и другой указанной в нем литературе

Перед выполнением каждой лабораторной работы необходимо пройти краткое собеседование с преподавателем и получить разрешение на ее выполнение Оно дается в том случае если студент четко знает цель работы методику проведения эксперимента умеет пользоваться приборами

ПРИСТУПАТЬ К ВЫПОЛНЕНИЮ ЛАБОРАТОРНЫХ

РАБОТ БЕЗ РАЗРЕШЕНИЯ ПРЕПОДАВАТЕЛЯ КАТЕГОРИЧЕСКИ ВОСПРЕЩАЕТСЯ

В конце занятия студент обязан предъявить преподавателю

результаты своей работы Работа считается выполненной если результаты утверждены и подписаны преподавателем После этого необходимо выключить установку привести в порядок рабочее место и получить методические указания к следующей работе

32

sect 2 Журнал лабораторных работ Результаты измерений и наблюдений должны тотчас же

фиксироваться в специальном журнале в форме протоколов Временные записи результатов на черновых листочках не допускаются

Единую форму протоколов пригодную для всех работ дать невозможно и нецелесообразно Тем не менее можно сформулировать некоторые общие требования которым должны удовлетворять записи в журнале лабораторных работ

1 Должны быть указаны название работы и дата ее выполнения

конкретная цель работы и ее упражнений 2 Целесообразно привести расчетную формулу и пояснить

физический смысл входящих в нее символов 3 Результаты всех измерений заносятся в заранее

подготовленные удобные таблицы из которых было бы ясно какие физические величины и в каких единицах измерялись сколько раз повторялись измерения каждой физической величины

4 Необходимо указать приборы использовавшиеся для измерения различных величин и их точности

5 Зафиксировать (если это важно) условия опыта (температуру давление влажность воздуха и т д)

6 Записи в журнале должны быть аккуратными и четкими журнал лабораторных работ ndash не черновик В нем не должно содержаться никаких записей не относящихся к выполняемой работе Прикидочные расчеты должны проводиться на черновых листках

7 Для пометок и замечаний целесообразно оставлять поля шириной 3 см Ниже приведена схема оформления протокола одной из

лабораторных работ

33

081098 Определение модуля Юнга по изгибу стержня Цель работы ndash проверка закона Гука и определение модуля

Юнга для стального и медного стержней Расчетная формула

4 3

3

habPLE =

где Е ndash модуль Юнга Р ndash величина нагрузки приложенной к середине стержня L ndash длина деформируемой части стержня равная расстоянию между ребрами опорных призм а ndash ширина стержня в ndash его толщина h ndash стрела прогиба

Таблица 1 Определение размеров стержня

опыта L мм а мм в мм

1 5

Измерительный прибор и его точность

Штанген-циркуль plusmn 01 мм

Микрометр plusmn0005 мм

Микрометр plusmn0005 мм

Таблица 2 Измерение стрелы прогиба нагружаемого стержня

РкГс 0 01 02 03 04 hellip

h мм

205 207 203 208 205

255 248 251 249 252

hellip hellip hellip hellip

Измерительный прибор ndash микрометр точность ~ plusmn 0005 мм

Подпись преподавателя

34

sect 3 Оформление отчетов По результатам каждой лабораторной работы составляется

отчет Он должен включать 1 Краткую формулировку идеи метода расчетную формулу

пояснение физического смысла входящих в нее символов 2 Таблицы с результатами измерений и расчетов 3 Статистическую обработку результатов измерений 4 Выводы 5 На титульном листе должны быть указаны название

лабораторной работы факультет курс группа фамилия и инициалы исполнителя Отчет должен быть написан в хорошем стиле аккуратным

разборчивым почерком При его оформлении не следует также пренебрегать и эстетической стороной вопроса Заголовки выводы и формулы целесообразно выделять пастой другого цвета подчеркнуть и т п Это облегчает чтение отчета

Выводы должны быть аргументированы ссылками на соответствующие таблицы и графики поэтому они должны быть пронумерованы

sect 4 Графики Графики используются для наглядного представления

результатов При их построении необходимо соблюдать ряд правил 1 Графики нужно строить только на миллиметровой бумаге 2 На осях необходимо нанести масштабную сетку указать

единицы измерения и символы изображаемых величин 3 Масштаб должен быть простым удобным для отсчета его

долей Например 1 см = 01 1 2 или 10 единиц Кроме того масштаб выбирают так чтобы все экспериментальные точки вошли в график и достаточно далеко отстояли друг от друга

35

Иногда для этой цели бывает удобно сместить вдоль осей начало отсчета Масштаб по осям Х и У может быть различен

Рис 11 Пример построения графика функции по экспериментальным точкам

4 Экспериментальные точки следует наносить с максимальной

точностью так чтобы они четко выделялись на фоне графика не сливаясь с ним

5 График должен представлять собой плавную кривую без изломов и перегибов Нужно стремиться провести кривую так чтобы экспериментальные точки равномерно распределялись по обе стороны от нее (рис 11)

Графики выполненные на миллиметровой бумаге

аккуратно вклеиваются в отчет где для них необходимо предусмотреть соответствующее место

36

sect 5 Точность вычислений Точность вычислений определяется погрешностью

измерений Не имеет смысла вычислять какуюndashлибо величину до пятого знака после запятой если погрешность измерений такова что неуверенно определяется ее третий знак

Чтобы погрешностью вычислений можно было пренебречь она должна быть на порядок (то есть в 10 раз) меньше погрешности наименее точно измеряемой величины

Пример Модуль Юнга по изгибу стержня вычисляется по

формуле E = PL3 4ab3middoth Анализ исходных данных показывает как правило что с наибольшей относительной погрешностью измеряется стрела прогиба h Так как ΔEE gt Δh h то допускаемая относительная погрешность вычислений ΔE выч E cong 01 Δhh Для стали E cong 2middot104 кГсмм2 поэтому при Δhh =10-2 ΔEвыч cong 10 кГсмм2 Это значит что вычисления Е целесообразно проводить лишь с точностью до четвертой значащей цифры

Обычно нас интересует лишь порядок величины погрешностей поэтому последние рекомендуется вычислять лишь до второй значащей цифры а затем округлять результат до одной значащей цифры

Приводя значение измеренной Вами величины проверьте согласуется ли порядок приведенных значащих цифр с порядком погрешности

Порядок последней значащей цифры измеренной величины и порядок погрешности должны быть одинаковы

Запись Е = (1845127 plusmn 20) 107 Па неграмотна Величина ошибки свидетельствует о том что неуверенно определяется уже четвертый знак поэтому результат должен быть соответственно округлен

Е = (18450 plusmn 20) 107 Па

37

Приложение

Таблица 3 Значения коэффициентов Стьюдента

Коэффициент надежности Число

изме рений

N 08 09 095 098 099 0999

2 31 631 1271 3182 6366 63662 3 19 292 431 696 992 3160 4 16 235 318 454 584 1294 5 15 213 278 375 460 861 6 15 202 257 336 403 686 7 14 194 245 314 371 596 8 14 190 236 300 350 540 9 14 186 231 290 336 504

10 14 183 226 282 325 478 infin 13 165 196 233 259 331

38

Список литературы

1 Деденко Л Г Керженцев В В Математическая обработка и оформление результатов эксперимента М Издndashво МГУ 1977

2 Зайдель А Н Ошибки измерения физических величин Л

Наука 1974 3 Кассандрова О Н Лебедев В В Обработка результатов из-

мерений М Наука 1970 4 Сквайрс Дж Практическая физика М Мир 1971 5 Соловьев В А Яхонтова В Е Элементарные методы обра-

ботки результатов измерений Л Издndashво ЛГУ 1977

39

СОДЕРЖАНИЕ

Задачи физического практикума 3

Часть I Статистическая обработка результатов измерений

Глава I Введение в теорию погрешностей 3 sect1 Измерения и их погрешности 3 sect2 Типы погрешностей 5

1 Систематические погрешности 5 2 Случайные погрешности 6 3 Промахи 7

Глава II Статистическая обработка результатов прямых измерений 8 sect1 Вероятность случайного события 8 sect2 Нормальный закон распределения случайных погрешностей 9 sect3 Среднеквадратичная погрешность 13 sect4 Среднеквадратичная погрешность среднего 14 sect5 Доверительный интервал и доверительная вероятность 15 sect6 Совместный учет систематической и случайной погрешностей 20 Глава III Статистическая обработка результатов косвенных измерений 21 sect1 Два способа оценки погрешностей косвенного измерения 21 sect2 Частные погрешности и общая погрешность косвенного измерения 21 sect3 Относительная погрешность косвенного измерения 23 Глава IV Определение параметров линейной зависимости 25 sect1 Метод парных точек 25 sect2 Метод наименьших квадратов (МНК) 26

40

Часть II Правила работы в лаборатории оформление

результатов работы

sect1 Правила работы в лаборатории 31 sect2 Журнал лабораторных работ 32 sect3 Оформление отчетов 34 sect4 Графики 34 sect5 Точность вычислений 36 Приложение 37 Список литературы 38

41

Составители Жукова Ида Степановна Бутина Лариса Иосифовна Крылова Светлана Ивановна

ВВЕДЕНИЕ В ЛАБОРАТОРНЫЙ ПРАКТИКУМ ПО КУРСУ ОБЩЕЙ ФИЗИКИ

Методические указания

к лабораторной работе

Редактор Козина О В

ЛР 040 110 Подписано к печати 090999 Формат 60х84 116 Бумага газетная Офсетная печать 25 уч-издл

11 услкр-отт Тираж 500 экз Изд 19 laquoСraquo

Издательство Петрозаводского государственного университета

185640 Петрозаводск пр Ленина 33

3

ЗАДАЧИ ФИЗИЧЕСКОГО ПРАКТИКУМА Физический практикум играет большую роль в изучении

курса общей физики Можно выделить три основных его цели 1 Ознакомление с приборами и методами измерения различных

физических величин 2 Экспериментальное изучение физических законов и явлений 3 Ознакомление с методами статистической обработки

результатов измерений Часть I настоящих методических указаний посвящена

третьей из указанных выше задач В части II дается краткая методика по оформлению лабораторных работ и порядку работы в лаборатории

ЧАСТЬ I

СТАТИСТИЧЕСКАЯ ОБРАБОТКА РЕЗУЛЬТАТОВ ИЗМЕРЕНИЙ

Глава I Введение в теорию погрешностей

sect 1 Измерения и их погрешности

Измерением называется определение значения физической

величины опытным путем с помощью специальных технических средств Значение величины найденное путем измерения называется результатом измерения Измерения делятся на прямые и косвенные

Прямым называется измерение при котором искомое значение величины находится непосредственно из опыта путем отсчета по шкале измерительного прибора например измерение длины линейкой определение массы тела на равноплечных весах определение температуры тела термометром и т д

4

Косвенным называется измерение при котором искомое значение величины находят на основании известной зависимости между этой величиной и величинами подвергаемыми прямым измерениям например определение плотности тела по его геометрическим размерам и массе определение силы тока по напряжению и сопротивлению и т д

Никакое измерение не может быть выполнено абсолютно точно поэтому результат измерения в той или иной мере отклоняется от истинного значения измеряемой величины Разница между результатом измерения и истинным значением измеряемой величины называется абсолютной погрешностью измерения Она определяется формулой Δxi = xi ndash X где Х ndash истинное значение измеряемой величины хi ndash результат i-того измерения Δxi ndash абсолютная погрешность i-того измерения

Абсолютная погрешность выражается в единицах измеряемой величины

Наряду с абсолютной погрешностью (Δx) используется относительная погрешность (η) равная отношению абсолютной погрешности к истинному значению измеряемой величины

ηi = Δxi X Относительная погрешность может быть выражена в

процентах Качество измерений отражающее близость их результатов к

истинному значению измеряемой величины называется точностью измерений Очевидно что чем меньше погрешности всех видов тем выше точность измерений

По характеру влияния на результаты измерений погрешности делятся на 3 типа систематические случайные промахи

5

sect 2 Типы погрешностей 1 Систематические погрешности Систематическими называются погрешности величина

которых не меняется при повторении измерений данной величины в тех же условиях (тем же методом теми же приборами и т д)

Если результаты отдельных измерений (xi) и истинное значение измеряемой величины (Х) отложить на оси х то при наличии только систематических погрешностей результаты отдельных измерений xi расположатся относительно истинного значения измеряемой величины Х так как показано на рисунке 1

X x1 = x2 =hellip= xn

Δ х = хi - Х = const х

Рис 1 Представление результатов измерений при наличии систематической погрешности

Систематические погрешности возникают в тех случаях

когда не учитывается влияние на результаты эксперимента различных постоянно действующих факторов температуры давления влажности воздуха выталкивающей силы Архимеда сопротивления подводящих проводов контактных ЭДС и т п Источниками систематических погрешностей могут быть также измерительные приборы вследствие неточности их градуировки или неисправности

Исключение систематических погрешностей требует принятия специальных мер предосторожности К ним относятся 1 Своевременный ремонт и систематическая проверка приборов 2 Использование специальных способов измерения (например

двойное взвешивание для исключения неравноплечности весов использование охранных колец при измерении объемного сопротивления плохих проводников позволяющее исключить влияние их поверхности)

6

3 Внесение соответствующих поправок на влияние внешних факторов

2 Случайные погрешности Случайными называются погрешности величина и знак

которых меняется непредсказуемым образом при повторных измерениях данной величины в тех же условиях Случайные погрешности могут быть вызваны действием различных неконтролируемых факторов толчков воздушных течений пылинок и т д Источником случайных ошибок может быть и сам экспериментатор из-за несовершенства органов его чувств Так например результаты повторных измерений периода колебаний математического маятника с помощью очень точного секундомера обязательно окажутся несколько отличными друг от друга вследствие того что моменты нахождения маятника в соответствующих фазах отклонения фиксируются неточно при пуске секундомера экспериментатор может несколько замешкаться при его остановке наоборот поспешить Случайные погрешности отклоняют результат то в одну то в другую сторону от истиного значения измеряемой величины поэтому результаты (хi) большого числа измерений симметрично располагаются относительно Х (рис 2)

Рис 2 Представление результатов измерений при наличии случайных погрешностей

Влияние случайных погрешностей можно существенно

уменьшить усреднением результатов большого числа измерений

7

В самом деле пусть x1 x2 x3hellipxn ndash результаты отдельных измерений а

Δx1 = x1 ndash X Δx2 = x2 ndash X Δx3 = x3 ndash X (11) hellip hellip hellip Δxn = xn ndash X

ndash их абсолютные погрешности Δxn где n ndash полное число измерений Сложив почленно равенства (11) получим

sum sum= =

minus=Δn

i

n

iii nXxx

1 1

откуда

sum sum= =

Δminus=n

i

n

iii x

nx

nX

1 1

11 (12)

Величина sum=

=n

ii xx

n 1

1 называется средним арифметическим

результатом серии измерений Так как при большом числе измерений величина x очень

мала то можно считать что Xx cong Чем больше n тем точнее выполняется это равенство те x ndash х ltlt Δxi

3 Промахи Промах ndash это очень грубая погрешность вызванная

невнимательностью экспериментатора (неверный отсчет показаний прибора описка при записи показаний и т д) Промахи могут сильно исказить результаты измерений особенно в тех случаях когда их число невелико

Вывод при выполнении работы нужно быть очень внимательным не спешить не отвлекаться

8

Глава II Статистическая обработка результатов прямых измерений

Ранее было показано что усреднением результатов

достаточно большого числа измерений можно существенно уменьшить влияние случайных погрешностей Однако практически n бывает не так уж велико и x может заметно отличаться от Х Как оценить возможное отличие x от Х Соответствующие методы разработаны в теории погрешностей которая оперирует понятиями теории вероятностей

sect 1 Вероятность случайного события В теории вероятностей всякий исход испытания называется

событием Случайными называются события о наступлении которых нельзя сделать точного предсказания Так если в урне смешать неотличимые на ощупь шары разного цвета а затем не глядя вынимать их то появление шара какого-либо определенного цвета будет событием случайным так как точно предсказать цвет вынимаемого шара в каждом отдельном случае невозможно Однако если провести большое число испытаний в одних и тех же условиях (вынутый шар кладется обратно в урну и шары тщательно перемешиваются) то о результатах такой серии измерений можно будет сделать вполне определенные утверждения статистического характера

Пусть nA ndash число испытаний при которых наступило событие А (например вынут красный шар) а n ndash общее число испытаний Отношение РА = lim nAn называется вероятностью

nrarrinfin события А При достаточно большом n РА cong nAn

Зная вероятность РА события можно достаточно точно предсказать сколько раз оно наступит при большом числе испытаний nA = n РА

Вероятность любого события может быть заключена в пределах от нуля до единицы Если РА = 1 событие называется

9

достоверным если РА = 0 событие называется невозможным (оно либо не наступает никогда либо чрезвычайно редко)

Если рассматриваемая совокупность событий такова что одно из них обязательно наступает при каждом испытании то такие события образуют полную группу Нетрудно показать что сумма вероятностей событий образующих полную группу равна единице

Так например в случае одинакового числа шаров белого красного и синего цвета события выражающиеся в том что вынутый шар будет белым красным или синим образуют полную группу Вероятность каждого отдельного события равна 13 а их сумма равна единице

sect 2 Нормальный закон распределения случайных погрешностей

Если погрешности носят чисто случайный характер то по

результатам измерений можно оценить вероятности их появления Пусть х1 х2hellipхn ndash результаты отдельных измерений Примем

что n достаточно велико и при оценке погрешностей будем считать что

sum=

==n

iix

nxX

11

(21)

xxx ii minus=Δ Определив погрешности Δxi рассортируем их по величине

Для этого весь диапазон полученных значений Δxi разобъем на одинаковые малые интервалы Δε и подсчитаем сколько раз величина ошибки попадает в каждый интервал Если в интервале номер laquokraquo оказалось заключено Δnk значений погрешности то вероятность попадания погрешности в этот интервал

Pk cong Δnkn (22)

10

Если значения вероятности для каждого интервала отложить по оси ординат то получится ступенчатая диаграмма изображенная на рисунке 3 Она называется гистограммой

Рис 3 Гистограмма Так как Рк зависит от Δε то по оси ординат удобнее

откладывать не Рк а величину εε Δsdot

Δ=

Δ=

nnP

y kk называемую

плотностью распределения вероятностей Очевидно y = Pk при Δε =1 Это значит что у есть вероятность отнесенная к единичному интервалу Δε Вид гистограммы y (Δхi ) будет таким же как и вид гистограммы Рк (Δхi ) (рис 3)

11

Рис4 Кривая распределения вероятностей случайных погрешностей Если увеличить число измерений n (n rarrinfin) и строить

гистограммы для все более малых интервалов Δε то при Δεrarr0 середины верхних площадок прямоугольников сольются в плавную кривую называемую кривой распределения вероятностей Опыт показал что в большинстве случаев распределение погрешностей соответствует так называемому нормальному закону найденному Гауссом Согласно гауссову распределению плотность вероятности y и величина погрешности Δxi связаны соотношением

( )πσ 2

1=Δ ixy

( )2

2

2σixΔ

minusl (23)

где l minus основание натурального логарифма σ2 ndash некоторый постоянный параметр называемый дисперсией распределения (смысл его выясняется далее)

12

Вид кривой распределения соответствующий некоторому значению σ показан на рисунке 4

Пользуясь законом распределения можно производить многие важные расчеты

Из формулы εΔsdot

Δ=

nn

y k следует что вероятность P(Δxk)

того что величина погрешности заключена в интервале Δxk divide Δxk + Δε определяется формулой

P(Δxk) = y(Δxk)middotΔε Численно эта вероятность равна площади зачерненного

прямоугольника С с основанием Δε (рис 4) Вероятность того что модуль погрешности не превзойдет некоторого значения изобразится площадью заштрихованной фигуры АВС с основанием 2 Δxk (рис 4)

На рисунке 5 представлены кривые распределения соответствующие разным σ Видно что с ростом σ максимум кривой распределения понижается а ее laquoкрыльяraquo поднимаются В соответствии со сказанным ранее о геометрическом смысле вероятности это означает что с ростом σ вероятность малых погрешностей уменьшается а вероятность больших ndash растет Следовательно чем больше дисперсия распределения σ2 тем меньше точность измерений

Важно подчеркнуть что кривая y(Δxi) характеризует не какую-то серию измерений а некоторую воображаемую совокупность бесконечного числа измерений данной величины в одних и тех же условиях Такая совокупность называется генеральной Всякая же конечная серия измерений называется случайной выборкой из генеральной совокупности

13

Рис 5 Влияние дисперсии на вид кривой распределения вероятностей случайных погрешностей

sect 3 Среднеквадратичная погрешность

Пусть х1 х2hellipхn ndash результаты некоторой серии n измерений

проведенных в одинаковых условиях Как уже подчеркивалось величина случайной погрешности не постоянна и меняется от опыта к опыту Возникает необходимость охарактеризовать погрешности результатов отдельных измерений данной серии некоторой средней величиной Иногда в качестве такой характеристики используют среднюю арифметическую погрешность

sum=

Δ=Δn

iix

nx

11

Однако удобнее использовать так называемую среднеквадратичную погрешность выборки Sn определяемую формулой

14

( )

11

2

minus

minus=

sum=

n

xxS

n

ii

n (24)

Sn называют также выборочным стандартным отклонением Можно показать что при достаточно большом числе

измерений Sn cong σ и следовательно дисперсия распределения

( ) ( )

11

2

1

2

22

n

xx

n

xxS

n

ii

n

ini

n

sumsum==

minuscong

minus

minus=congσ (25)

Таким образом дисперсия распределения приблизительно

равна среднему квадрату погрешности отдельных измерений найденному при достаточно большом n Для генеральной совокупности (n rarr infin) равенство (25) выполняется точно Из него следует что величина дисперсии зависит от условий в которых проводятся измерения чем благоприятнее условия измерений тем меньше разброс результатов и меньше дисперсия

sect 4 Среднеквадратичная погрешность среднего Допустим что мы провели серию n измерений некоторой

величины х результаты которых равны х1 х2hellipхn Наилучшим приближением к истинному значению является величина

sum=

=n

iix

nx

1

1 называемая cредним выборочным значением

измеряемой величины Если серию по n измерений в каждой повторить m раз то мы получим m значений x несколько отличающихся друг от друга и от истинного значения Х измеряемой величины Погрешности Xxx kk minus=Δ являются случайными и так же как погрешности отдельных измерений Δxi = xi ndash Х подчиняются гауссову распределению но с другой

15

дисперсией 2xσ lt 2σ Величина 2

xσ называемая дисперсией среднего является мерой погрешности среднего значения x найденного в серии из n измерений В теории погрешности доказывается что

22

nxσσ = (26a)

Это значит что xσ в отличие от σ зависит от числа проведенных измерений

nx

σσ = (26б)

Таким образом среднеквадратичная погрешность среднего результата n измерений в n12 раз меньше среднеквадратичной погрешности отдельных измерений Из формул (25) и (26) следует что при большом n

( ))1(

1

2

minus

minus=cong

sum=

nn

xx

nS

n

ii

nx

σ

Величина

( ))1(

1

2

minus

minus=

sum=

nn

xxS

n

ii

x (27)

называется выборочной среднеквадратичной погрешностью среднего

sect 5 Доверительный интервал и доверительная вероятность Как уже указывалось для любой конечной выборки x neХ

Практически очень важно оценить возможную величину отклонения среднего значения x от истинного Х то есть x ndash Х

16

Интервал plusmnx ΔХ в который с заданной вероятностью α попадает истинное значение Х измеряемой величины называется доверительным интервалом соответствующим вероятности α Вероятность α называется также доверительной вероятностью или надежностью Величина ΔХ характеризует точность оценки Чем меньше разность x ndash Х тем выше точность

Надежность соответствующую заданной точности ΔХ можно вычислить теоретически воспользовавшись гауссовым распределением если известна дисперсия 2

xσ В соответствии со сказанным ранее (гл II sect2) величина α

равна площади заштрихованной фигуры АВС опирающейся на отрезок 2ΔХ (рис 6)

Рис 6 Кривая распределения вероятностей случайных

погрешностей среднего

17

Так как =2xσ σ2n то надежность соответствующая

заданной точности ΔХ растет с ростом числа измерений и величины дополнительного интервала

Можно показать что α является функцией величины

к = x

XσΔ

График функции α = F(k) показан на рисунке 7

Рис 7 График функции α = ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ Δ

x

XFσ

Видно что с ростом k растет и доверительная вероятность α

Так α = 068 для k = 1 α = 095 для k = 2 α = 0997 для k = 3 Результаты расчетов F для различных k приведены в соответствующей литературе (см Список литературы ndash 1 2)

Если n мало (n lt 30) то xx Sneσ и для расчета распределением Гаусса пользоваться нельзя В этом случае используют распределение выведенное английским математиком и химиком Госсетом (псевдоним laquoСтьюдентraquo)

В распределении Стьюдента плотность распределения вероятностей рассматривается как функция величины

18

xx SXx

SXt minus

=Δ

= называемой коэффициентом Стьюдента

(среднеквадратичная погрешность среднего арифметического xS определяется формулой (27))

Распределение Стьюдента зависит от n и при nrarrinfin переходит в распределение Гаусса

Рис 8 Кривые распределения Стьюдента для выборок различного объема

На рисунке 8 показаны кривые y(t) при разных n Вычислив

по результатам измерений xS и задав величину ΔX можно найти t и α соответствующие данному n Наоборот задав надежность α можно вычислить tαn и соответствующую точность ΔX = tαn xS при данном значении n Соответствующие друг другу значения

19

α и tαn при разных n приводятся в специальных таблицах (см Приложение)

На практике задание величины ΔX определяется конкретными условиями Допустим что некоторое предприятие изготовляет резисторы определенного номинала Естественно что благодаря действию различных случайных факторов величины сопротивлений R будут отклоняться от их номинальных значений Измерив R для большой партии резисторов (ngtgt30) можно построить кривую y (ΔR) и найти дисперсию 2

Rσ Величина 2Rσ определяется тем насколько хорошо контролируется и

поддерживается постоянной технология изготовления резисторов Если разброс значений R а значит и 2

Rσ велик то задавая малое значение доверительного интервала Xx Δplusmn получим и малую надежность α При этом лишь малая доля значений R попадает в заданный доверительный интервал и процент брака будет соответственно велик Напротив при выборе большой надежности уменьшится процент брака но зато увеличится разброс значений R (увеличится ширина доверительного интервала x plusmn ΔX)

Если по условиям работы приборов в которых используются эти резисторы доверительный интервал должен быть малым то для сохранения большой надежности необходимо улучшить технологию их производства

Точность электроизмерительных приборов определяется классом их точности и соответствует надежности α = 0997 (ΔX = 3σ x ) В лабораторных условиях обычно довольствуются надежностью α = 090 095

Для оценки доверительного интервала прямых измерений предлагается следующий порядок 1 Провести серию измерений изучаемой величины Х и оценить

среднее выборочное x sum=

=n

iix

nx

1

1

2 Найти абсолютную погрешность единичного измерения Δхi Δxi = xi ndash x

20

3 Определить среднюю квадратичную ошибку среднего арифметического

( ))1(

1

2

minus

minus=

sum=

nn

xxS

n

ii

x

4 Определить точность измерения ΔX при заданных n и α ΔX = nx tS αsdot

5 Записать доверительный интервал для истинного значения измеряемой величины Х = x plusmn ΔX или x ndash ΔX leΧle xi +ΔX

Для удобства расчетов данные оформляются в виде таблицы xi Δxi = xi - x Δxi

2 xS αn ΔX

1 2

Ср Σ Δxi2=

Абсолютная ошибка Δхi рассчитывается по модулю

sect 6 Совместный учет систематической и случайной погрешностей Строгий учет систематической погрешности труден Если

систематическая погрешность обусловлена точностью прибора (что мы и будем предполагать) то можно оценить верхнюю границу возможных ошибок зная класс его точности Если точность обусловленная случайной погрешностью ndashΔХ а величина систематической погрешности ndashδ то величина суммарной точности ΔХ определяется формулой

( )2

2

3 ⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ sdot

+Δ=Δδαk

XX (28)

где kα = tα(infin) ndash коэффициент Стьюдента при n = infin

21

Глава III Статистическая обработка результатов косвенных измерений

sect 1 Два способа оценки погрешности косвенного

измерения В большинстве случаев имеют дело с косвенными

измерениями Пусть x y z ndash непосредственно измеряемые величины а W = f (x y z) ndash их функция то есть величина измеряемая косвенно Рассмотрим два способа оценки погрешности величины W

I способ Если косвенные измерения проводятся в невоспроизводимых условиях то значения Wi вычисляются для каждого отдельного измерения а затем обрабатываются как прямые измерения

II способ позволяет вычислить погрешность косвенного измерения как функцию погрешностей прямых измерений Далее остановимся подробнее на этом способе

sect 2 Частные погрешности и общая погрешность косвенного измерения Обрабатывая прямые измерения мы находим их

выборочные средние значения zyx hellip являющиеся как было показано выше случайными величинами Очевидно что и величина WW = ( zyx hellip) представляющая собой выборочное среднее искомой функции будет также случайной величиной Задача как и в случае прямых измерений состоит в том чтобы определить с какой вероятностью искомая величина W может быть заключена в некотором заданном интервале W plusmn ΔW В общем случае эта задача весьма сложна и мы ограничимся лишь ее приближенным решением

Рассмотрим сначала случай когда W является функцией только одной переменной то есть W = W(x) Разложим функцию W(x) в ряд Тейлора в окрестности точки х = Х (Х ndash истинное

22

значение х) В случае когда погрешность прямого измерения достаточно мала можно ограничиться лишь линейным членом и считать что

)()()( Xxdx

dWXWxWXx

minussdot⎟⎠⎞

⎜⎝⎛+=

=

Отсюда )()()( Xxdx

dWXWxWXx

minussdot⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=minus

=

(31)

Из (31) следует что

xxx

W Sdx

dWS sdot⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=

=

(32)

где xS и WS ndash средние квадратичные погрешности величин

x и W Доверительный интервал величины W соответствующий надежности α определяется как

Xdx

dWWWWxx

Δsdot⎟⎠⎞

⎜⎝⎛plusmn=Δplusmn

=

(33)

где ΔW ndash точность величины х соответствующая той же надежности α

Если результат косвенного измерения W является функцией многих переменных то есть W = W(x y z) то по формуле (33) можно вычислить погрешности ΔWx ΔWy ΔWzhellip обусловленные каждым аргументом и называемые частными погрешностями Они равны

Zz

WW

YyWW

Xx

WW

zzz

yyy

xxx

Δsdot⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

partpart

=Δ

Δsdot⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛partpart

=Δ

Δsdot⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

partpart

=Δ

=

=

=

(34)

и так далее

23

В формулах (34) z

WyW

xW

partpart

partpart

partpart являются частными

производными и вычисляются так как будто другие аргументы ndash постоянные величины

Общая погрешность косвенного измерения в этом случае вычисляется по формуле (см Список литературы ndash 4)

222zyx WWWW Δ+Δ+Δ=Δ и

22

22

22

Zz

WYyWX

xWW Δ⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛

partpart

+Δ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛partpart

+Δ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

partpart

=Δ (35)

sect 3 Относительная погрешность косвенного измерения Очень часто бывает удобно вычислить относительную

погрешность результата косвенного измерения WdW

W =η

На основании известной формулы dlnu = duu можно сформулировать следующее правило расчета относительной погрешности Допустим сначала что W = W(x) ndash функция одной переменой Тогда относительная погрешность

WdWdW

W ln==η (36)

то есть для нахождения ηW необходимо сначала прологарифмировать выражение W(x) а затем продифференцировать его по х

В случае многих переменных можно как и для абсолютных погрешностей ввести частные относительные погрешности равные

24

ln xWxx Δsdot

partpart

=η

ln

ln

zWz

yWy

z

y

Δsdotpartpart

=

Δsdotpartpart

=

η

η (37)

Тогда общая относительная погрешность определится как

K222zyxW ηηηη ++= (38)

Расчет погрешности по формулам (37) и (38) особенно удобно производить в случае когда функция имеет одночленную (логарифмическую) формулу Пусть например

yxAW 4=

где А ndash константа Используя правило (37) имеем lnln4lnln 2

1 yxAW minus+=

21 4

y yy

xx

xΔ

minus=Δ

= ηη

4

116 22

22 y

yx

xΔsdot+Δsdot=η

Замечание Прежде чем сделать расчет по формуле (38) произведите оценку относительных погрешностей по отдельным аргументам вычисленных по формулам (37) Если при этом отдельные частные погрешности меньше максимальной хотя бы в три раза ими можно пренебречь В таком случае общая формула (38) значительно упростится

Определив относительную погрешность ηW можно рассчитать абсолютную погрешность (точность) по формуле

ΔW = ηWW (39)

25

Глава IV Определение параметров линейной зависимости

На опыте часто измеряют пары величин х и y причем одна

из них y является функцией другой ndash х Пусть в результате эксперимента получен ряд измерений величины y y1 y2hellipyn соответствующих значениям аргумента х1 х2 hellipхn

Необходимо установить эмпирическую зависимость между y и х Задача состоит в том чтобы по экспериментальным точкам провести линию которая как можно лучше соответствовала бы истинной функциональной зависимости y = f(x) При этом ограничимся лишь случаем линейной функции

y = ax + b (41) Линейная зависимость очень широко распространена в

физике Даже в случаях когда зависимость нелинейная обычно стараются преобразовать ее так чтобы свести к линейной Например зависимость y = Aeαx преобразуется к виду ln y = ln A + αx и на графике строится зависимость

ln y = f(1x)

Ниже приведены два метода нахождения наиболее вероятных параметров линии (коэффициентов а и в уравнения (41)) проходящих через набор экспериментальных точек

sect 1 Метод парных точек Метод парных точек является наиболее простым и

применяется в основном для определения лишь наклона прямой то есть коэффициента а

Допустим что у нас имеется 8 точек лежащих на одной прямой Требуется найти наилучшее значение тангенса угла наклона а и его погрешность Пронумеруем точки по порядку от

26

1 до 8 (рис 9) Возьмем точки 1 и 5 ими определится некоторая прямая и угол ее наклона В качестве наилучшего значения а выбирается его среднее значение a и обычным способом находится его среднеквадратичная погрешность и доверительный интервал

y 8 7 6 5 3 4 2

1 0

х Рис 9 Нумерация экспериментальных точек для расчета а

методом парных точек

Таким образом полученная прямая линия будет иметь угловой коэффициент a и проходить через точку соответствующую средним значениям переменных х и y (следующий параграф)

Такой метод дает удовлетворительные результаты лишь тогда когда величины (x5 ndash x1) (x6 ndash x2) (x7 ndash x3) (x8 ndash x4) примерно одинаковы

sect 2 Метод наименьших квадратов (МНК) МНК является одним из стандартных методов статистики

Сущность этого метода заключается в следующем Допустим что имеется n пар измеренных значений (x1 y1) (x2 y2)hellip(xn yn) Предположим что ошибки содержат лишь величины y

27

(На практике это предположение часто оправдывается) По результатам измерений необходимо построить прямую линию

В основе описываемого метода лежит положение согласно которому наилучшим приближением будет такая прямая линия для которой сумма квадратов расстояний по вертикали от точек до прямой (сумма квадратов погрешностей величины y (рис 10)) является минимальной то есть наиболее вероятные

Рис 10 Распределение экспериментальных точек относительно искомой прямой

значения параметров а и в (41) выбираются так чтобы сумма

( )sum sum= =

minusminus==n

i

n

iiii baxydS

1 1

22 (42)

была минимальной Это значит что

( )sum=

=minus+=partpart n

iiii xybax

aS

1

02

( )sum=

=minus+=partpart n

iii ybax

bS

1

02 (43)

28

Таким образом искомые величины а и в получаются

решением системы уравнений

sum sum sum= = =

=+n

i

n

i

n

iiiii yxxbxa

1 1 1

2 (44)

sum sum= =

=+n

i

n

iii ybnxa

1 1

(45)

Из уравнения (45) следует что наилучшая прямая проходит через точку с координатами

sumsum==

==n

ii

n

ii y

nyx

nx

1

_

1

_

11 (46)

(В этом можно легко убедиться поделив равенство (45) почленно на n) Из уравнений (44) и (45) находим

1 1

2

1 1

sum sum

sum sum

= =

= =

minus

minus= n

i

n

iii

n

i

n

iiii

xxx

yyyxa (47)

sum sumsum sum

sum sum= =

= =

= =

minus

minusminus=

n

i

n

in

i

n

iii

n

i

n

iiii

ii

xxx

yyyxx

ny

nb

1 1

1 1

2

1 111 (48)

29

В лабораторном практикуме обычно бывает достаточно оценить погрешность коэффициента a Формула для среднеквадратичной ошибки величины а имеет вид (см Список литературы ndash 3)

2

1 2

minusminus

=n

rSS

Sx

ya (49)

где ( )sum=

minusminus

=n

iiy yy

nS

1

2 1

1 (410)

( )sum=

minusminus

=n

iix xx

nS

1

2

11

(411)

( ) ( )

( ) 1

1

yx

n

iii

SSn

yyxxr

sdotminus

minusminus=

sum= (412)

Интервал в котором с установленной вероятностью α может находиться коэффициент а записывается в виде

22 anan StaaSta sdot+lelesdotminus minusminus αα (413)

где a определяется формулой (47) aS ndash формулой (49) tαn-2 ndash коэффициент Стьюдента для надежности α и числа измерений n ndash число пар точек

При использовании метода наименьших квадратов рекомендуется следующий порядок действий

1 Составить таблицу

изм xi yi xiyi xi

2 1 2

i n

sumxi sumyi sumxiyi sumxi2

30

2 Рассчитать

а) sum=

n

iii yx

1 б) sum

=

=n

i

i

nx

x1

в) sum=

n

iiy

1

г) sum=

n

iix

1

д) sum=

n

iix

1

2 е) sum=

=n

i

i

ny

y1

3 Рассчитать наилучшие значения углового коэффициента а по

формуле (47) 4 Зная коэффициенты а и б провести наилучшую прямую она

должна проходить через точку с координатами x и y 5 Для расчета погрешности величины а по формулам (49 ndash 412) составить таблицу

пп

yi - y

xi - x

(yi - y )2

(xi - x )2

Sx

Sy

r

31

ЧАСТЬ II

ПРАВИЛА РАБОТЫ В ЛАБОРАТОРИИ

ОФОРМЛЕНИЕ РЕЗУЛЬТАТОВ РАБОТЫ sect 1 Правила работы в лаборатории Каждая лабораторная работа рассчитана на одно занятие

В начале семестра составляется и вывешивается в лаборатории график выполнения работ на весь семестр

Студент должен заранее знать тему своей лабораторной работы и подготовиться к ней по методическому руководству и другой указанной в нем литературе

Перед выполнением каждой лабораторной работы необходимо пройти краткое собеседование с преподавателем и получить разрешение на ее выполнение Оно дается в том случае если студент четко знает цель работы методику проведения эксперимента умеет пользоваться приборами

ПРИСТУПАТЬ К ВЫПОЛНЕНИЮ ЛАБОРАТОРНЫХ

РАБОТ БЕЗ РАЗРЕШЕНИЯ ПРЕПОДАВАТЕЛЯ КАТЕГОРИЧЕСКИ ВОСПРЕЩАЕТСЯ

В конце занятия студент обязан предъявить преподавателю

результаты своей работы Работа считается выполненной если результаты утверждены и подписаны преподавателем После этого необходимо выключить установку привести в порядок рабочее место и получить методические указания к следующей работе

32

sect 2 Журнал лабораторных работ Результаты измерений и наблюдений должны тотчас же

фиксироваться в специальном журнале в форме протоколов Временные записи результатов на черновых листочках не допускаются

Единую форму протоколов пригодную для всех работ дать невозможно и нецелесообразно Тем не менее можно сформулировать некоторые общие требования которым должны удовлетворять записи в журнале лабораторных работ

1 Должны быть указаны название работы и дата ее выполнения

конкретная цель работы и ее упражнений 2 Целесообразно привести расчетную формулу и пояснить

физический смысл входящих в нее символов 3 Результаты всех измерений заносятся в заранее

подготовленные удобные таблицы из которых было бы ясно какие физические величины и в каких единицах измерялись сколько раз повторялись измерения каждой физической величины

4 Необходимо указать приборы использовавшиеся для измерения различных величин и их точности

5 Зафиксировать (если это важно) условия опыта (температуру давление влажность воздуха и т д)

6 Записи в журнале должны быть аккуратными и четкими журнал лабораторных работ ndash не черновик В нем не должно содержаться никаких записей не относящихся к выполняемой работе Прикидочные расчеты должны проводиться на черновых листках

7 Для пометок и замечаний целесообразно оставлять поля шириной 3 см Ниже приведена схема оформления протокола одной из

лабораторных работ

33

081098 Определение модуля Юнга по изгибу стержня Цель работы ndash проверка закона Гука и определение модуля

Юнга для стального и медного стержней Расчетная формула

4 3

3

habPLE =

где Е ndash модуль Юнга Р ndash величина нагрузки приложенной к середине стержня L ndash длина деформируемой части стержня равная расстоянию между ребрами опорных призм а ndash ширина стержня в ndash его толщина h ndash стрела прогиба

Таблица 1 Определение размеров стержня

опыта L мм а мм в мм

1 5

Измерительный прибор и его точность

Штанген-циркуль plusmn 01 мм

Микрометр plusmn0005 мм

Микрометр plusmn0005 мм

Таблица 2 Измерение стрелы прогиба нагружаемого стержня

РкГс 0 01 02 03 04 hellip

h мм

205 207 203 208 205

255 248 251 249 252

hellip hellip hellip hellip

Измерительный прибор ndash микрометр точность ~ plusmn 0005 мм

Подпись преподавателя

34

sect 3 Оформление отчетов По результатам каждой лабораторной работы составляется

отчет Он должен включать 1 Краткую формулировку идеи метода расчетную формулу

пояснение физического смысла входящих в нее символов 2 Таблицы с результатами измерений и расчетов 3 Статистическую обработку результатов измерений 4 Выводы 5 На титульном листе должны быть указаны название

лабораторной работы факультет курс группа фамилия и инициалы исполнителя Отчет должен быть написан в хорошем стиле аккуратным

разборчивым почерком При его оформлении не следует также пренебрегать и эстетической стороной вопроса Заголовки выводы и формулы целесообразно выделять пастой другого цвета подчеркнуть и т п Это облегчает чтение отчета

Выводы должны быть аргументированы ссылками на соответствующие таблицы и графики поэтому они должны быть пронумерованы

sect 4 Графики Графики используются для наглядного представления

результатов При их построении необходимо соблюдать ряд правил 1 Графики нужно строить только на миллиметровой бумаге 2 На осях необходимо нанести масштабную сетку указать

единицы измерения и символы изображаемых величин 3 Масштаб должен быть простым удобным для отсчета его

долей Например 1 см = 01 1 2 или 10 единиц Кроме того масштаб выбирают так чтобы все экспериментальные точки вошли в график и достаточно далеко отстояли друг от друга

35

Иногда для этой цели бывает удобно сместить вдоль осей начало отсчета Масштаб по осям Х и У может быть различен

Рис 11 Пример построения графика функции по экспериментальным точкам

4 Экспериментальные точки следует наносить с максимальной

точностью так чтобы они четко выделялись на фоне графика не сливаясь с ним

5 График должен представлять собой плавную кривую без изломов и перегибов Нужно стремиться провести кривую так чтобы экспериментальные точки равномерно распределялись по обе стороны от нее (рис 11)

Графики выполненные на миллиметровой бумаге

аккуратно вклеиваются в отчет где для них необходимо предусмотреть соответствующее место

36

sect 5 Точность вычислений Точность вычислений определяется погрешностью

измерений Не имеет смысла вычислять какуюndashлибо величину до пятого знака после запятой если погрешность измерений такова что неуверенно определяется ее третий знак

Чтобы погрешностью вычислений можно было пренебречь она должна быть на порядок (то есть в 10 раз) меньше погрешности наименее точно измеряемой величины

Пример Модуль Юнга по изгибу стержня вычисляется по

формуле E = PL3 4ab3middoth Анализ исходных данных показывает как правило что с наибольшей относительной погрешностью измеряется стрела прогиба h Так как ΔEE gt Δh h то допускаемая относительная погрешность вычислений ΔE выч E cong 01 Δhh Для стали E cong 2middot104 кГсмм2 поэтому при Δhh =10-2 ΔEвыч cong 10 кГсмм2 Это значит что вычисления Е целесообразно проводить лишь с точностью до четвертой значащей цифры

Обычно нас интересует лишь порядок величины погрешностей поэтому последние рекомендуется вычислять лишь до второй значащей цифры а затем округлять результат до одной значащей цифры

Приводя значение измеренной Вами величины проверьте согласуется ли порядок приведенных значащих цифр с порядком погрешности

Порядок последней значащей цифры измеренной величины и порядок погрешности должны быть одинаковы

Запись Е = (1845127 plusmn 20) 107 Па неграмотна Величина ошибки свидетельствует о том что неуверенно определяется уже четвертый знак поэтому результат должен быть соответственно округлен

Е = (18450 plusmn 20) 107 Па

37

Приложение

Таблица 3 Значения коэффициентов Стьюдента

Коэффициент надежности Число

изме рений

N 08 09 095 098 099 0999

2 31 631 1271 3182 6366 63662 3 19 292 431 696 992 3160 4 16 235 318 454 584 1294 5 15 213 278 375 460 861 6 15 202 257 336 403 686 7 14 194 245 314 371 596 8 14 190 236 300 350 540 9 14 186 231 290 336 504

10 14 183 226 282 325 478 infin 13 165 196 233 259 331

38

Список литературы

1 Деденко Л Г Керженцев В В Математическая обработка и оформление результатов эксперимента М Издndashво МГУ 1977

2 Зайдель А Н Ошибки измерения физических величин Л

Наука 1974 3 Кассандрова О Н Лебедев В В Обработка результатов из-

мерений М Наука 1970 4 Сквайрс Дж Практическая физика М Мир 1971 5 Соловьев В А Яхонтова В Е Элементарные методы обра-

ботки результатов измерений Л Издndashво ЛГУ 1977

39

СОДЕРЖАНИЕ

Задачи физического практикума 3

Часть I Статистическая обработка результатов измерений

Глава I Введение в теорию погрешностей 3 sect1 Измерения и их погрешности 3 sect2 Типы погрешностей 5

1 Систематические погрешности 5 2 Случайные погрешности 6 3 Промахи 7

Глава II Статистическая обработка результатов прямых измерений 8 sect1 Вероятность случайного события 8 sect2 Нормальный закон распределения случайных погрешностей 9 sect3 Среднеквадратичная погрешность 13 sect4 Среднеквадратичная погрешность среднего 14 sect5 Доверительный интервал и доверительная вероятность 15 sect6 Совместный учет систематической и случайной погрешностей 20 Глава III Статистическая обработка результатов косвенных измерений 21 sect1 Два способа оценки погрешностей косвенного измерения 21 sect2 Частные погрешности и общая погрешность косвенного измерения 21 sect3 Относительная погрешность косвенного измерения 23 Глава IV Определение параметров линейной зависимости 25 sect1 Метод парных точек 25 sect2 Метод наименьших квадратов (МНК) 26

40

Часть II Правила работы в лаборатории оформление

результатов работы

sect1 Правила работы в лаборатории 31 sect2 Журнал лабораторных работ 32 sect3 Оформление отчетов 34 sect4 Графики 34 sect5 Точность вычислений 36 Приложение 37 Список литературы 38

41

Составители Жукова Ида Степановна Бутина Лариса Иосифовна Крылова Светлана Ивановна

ВВЕДЕНИЕ В ЛАБОРАТОРНЫЙ ПРАКТИКУМ ПО КУРСУ ОБЩЕЙ ФИЗИКИ

Методические указания

к лабораторной работе

Редактор Козина О В

ЛР 040 110 Подписано к печати 090999 Формат 60х84 116 Бумага газетная Офсетная печать 25 уч-издл

11 услкр-отт Тираж 500 экз Изд 19 laquoСraquo

Издательство Петрозаводского государственного университета

185640 Петрозаводск пр Ленина 33

4

Косвенным называется измерение при котором искомое значение величины находят на основании известной зависимости между этой величиной и величинами подвергаемыми прямым измерениям например определение плотности тела по его геометрическим размерам и массе определение силы тока по напряжению и сопротивлению и т д

Никакое измерение не может быть выполнено абсолютно точно поэтому результат измерения в той или иной мере отклоняется от истинного значения измеряемой величины Разница между результатом измерения и истинным значением измеряемой величины называется абсолютной погрешностью измерения Она определяется формулой Δxi = xi ndash X где Х ndash истинное значение измеряемой величины хi ndash результат i-того измерения Δxi ndash абсолютная погрешность i-того измерения

Абсолютная погрешность выражается в единицах измеряемой величины

Наряду с абсолютной погрешностью (Δx) используется относительная погрешность (η) равная отношению абсолютной погрешности к истинному значению измеряемой величины

ηi = Δxi X Относительная погрешность может быть выражена в

процентах Качество измерений отражающее близость их результатов к

истинному значению измеряемой величины называется точностью измерений Очевидно что чем меньше погрешности всех видов тем выше точность измерений

По характеру влияния на результаты измерений погрешности делятся на 3 типа систематические случайные промахи

5

sect 2 Типы погрешностей 1 Систематические погрешности Систематическими называются погрешности величина

которых не меняется при повторении измерений данной величины в тех же условиях (тем же методом теми же приборами и т д)

Если результаты отдельных измерений (xi) и истинное значение измеряемой величины (Х) отложить на оси х то при наличии только систематических погрешностей результаты отдельных измерений xi расположатся относительно истинного значения измеряемой величины Х так как показано на рисунке 1

X x1 = x2 =hellip= xn

Δ х = хi - Х = const х

Рис 1 Представление результатов измерений при наличии систематической погрешности

Систематические погрешности возникают в тех случаях

когда не учитывается влияние на результаты эксперимента различных постоянно действующих факторов температуры давления влажности воздуха выталкивающей силы Архимеда сопротивления подводящих проводов контактных ЭДС и т п Источниками систематических погрешностей могут быть также измерительные приборы вследствие неточности их градуировки или неисправности

Исключение систематических погрешностей требует принятия специальных мер предосторожности К ним относятся 1 Своевременный ремонт и систематическая проверка приборов 2 Использование специальных способов измерения (например

двойное взвешивание для исключения неравноплечности весов использование охранных колец при измерении объемного сопротивления плохих проводников позволяющее исключить влияние их поверхности)

6

3 Внесение соответствующих поправок на влияние внешних факторов

2 Случайные погрешности Случайными называются погрешности величина и знак

которых меняется непредсказуемым образом при повторных измерениях данной величины в тех же условиях Случайные погрешности могут быть вызваны действием различных неконтролируемых факторов толчков воздушных течений пылинок и т д Источником случайных ошибок может быть и сам экспериментатор из-за несовершенства органов его чувств Так например результаты повторных измерений периода колебаний математического маятника с помощью очень точного секундомера обязательно окажутся несколько отличными друг от друга вследствие того что моменты нахождения маятника в соответствующих фазах отклонения фиксируются неточно при пуске секундомера экспериментатор может несколько замешкаться при его остановке наоборот поспешить Случайные погрешности отклоняют результат то в одну то в другую сторону от истиного значения измеряемой величины поэтому результаты (хi) большого числа измерений симметрично располагаются относительно Х (рис 2)

Рис 2 Представление результатов измерений при наличии случайных погрешностей

Влияние случайных погрешностей можно существенно

уменьшить усреднением результатов большого числа измерений

7

В самом деле пусть x1 x2 x3hellipxn ndash результаты отдельных измерений а

Δx1 = x1 ndash X Δx2 = x2 ndash X Δx3 = x3 ndash X (11) hellip hellip hellip Δxn = xn ndash X

ndash их абсолютные погрешности Δxn где n ndash полное число измерений Сложив почленно равенства (11) получим

sum sum= =

minus=Δn

i

n

iii nXxx

1 1

откуда

sum sum= =

Δminus=n

i

n

iii x

nx

nX

1 1

11 (12)

Величина sum=

=n

ii xx

n 1

1 называется средним арифметическим

результатом серии измерений Так как при большом числе измерений величина x очень

мала то можно считать что Xx cong Чем больше n тем точнее выполняется это равенство те x ndash х ltlt Δxi

3 Промахи Промах ndash это очень грубая погрешность вызванная

невнимательностью экспериментатора (неверный отсчет показаний прибора описка при записи показаний и т д) Промахи могут сильно исказить результаты измерений особенно в тех случаях когда их число невелико

Вывод при выполнении работы нужно быть очень внимательным не спешить не отвлекаться

8

Глава II Статистическая обработка результатов прямых измерений

Ранее было показано что усреднением результатов

достаточно большого числа измерений можно существенно уменьшить влияние случайных погрешностей Однако практически n бывает не так уж велико и x может заметно отличаться от Х Как оценить возможное отличие x от Х Соответствующие методы разработаны в теории погрешностей которая оперирует понятиями теории вероятностей

sect 1 Вероятность случайного события В теории вероятностей всякий исход испытания называется

событием Случайными называются события о наступлении которых нельзя сделать точного предсказания Так если в урне смешать неотличимые на ощупь шары разного цвета а затем не глядя вынимать их то появление шара какого-либо определенного цвета будет событием случайным так как точно предсказать цвет вынимаемого шара в каждом отдельном случае невозможно Однако если провести большое число испытаний в одних и тех же условиях (вынутый шар кладется обратно в урну и шары тщательно перемешиваются) то о результатах такой серии измерений можно будет сделать вполне определенные утверждения статистического характера

Пусть nA ndash число испытаний при которых наступило событие А (например вынут красный шар) а n ndash общее число испытаний Отношение РА = lim nAn называется вероятностью

nrarrinfin события А При достаточно большом n РА cong nAn

Зная вероятность РА события можно достаточно точно предсказать сколько раз оно наступит при большом числе испытаний nA = n РА

Вероятность любого события может быть заключена в пределах от нуля до единицы Если РА = 1 событие называется

9

достоверным если РА = 0 событие называется невозможным (оно либо не наступает никогда либо чрезвычайно редко)

Если рассматриваемая совокупность событий такова что одно из них обязательно наступает при каждом испытании то такие события образуют полную группу Нетрудно показать что сумма вероятностей событий образующих полную группу равна единице

Так например в случае одинакового числа шаров белого красного и синего цвета события выражающиеся в том что вынутый шар будет белым красным или синим образуют полную группу Вероятность каждого отдельного события равна 13 а их сумма равна единице

sect 2 Нормальный закон распределения случайных погрешностей

Если погрешности носят чисто случайный характер то по

результатам измерений можно оценить вероятности их появления Пусть х1 х2hellipхn ndash результаты отдельных измерений Примем

что n достаточно велико и при оценке погрешностей будем считать что

sum=

==n

iix

nxX

11

(21)

xxx ii minus=Δ Определив погрешности Δxi рассортируем их по величине

Для этого весь диапазон полученных значений Δxi разобъем на одинаковые малые интервалы Δε и подсчитаем сколько раз величина ошибки попадает в каждый интервал Если в интервале номер laquokraquo оказалось заключено Δnk значений погрешности то вероятность попадания погрешности в этот интервал

Pk cong Δnkn (22)

10

Если значения вероятности для каждого интервала отложить по оси ординат то получится ступенчатая диаграмма изображенная на рисунке 3 Она называется гистограммой

Рис 3 Гистограмма Так как Рк зависит от Δε то по оси ординат удобнее

откладывать не Рк а величину εε Δsdot

Δ=

Δ=

nnP

y kk называемую

плотностью распределения вероятностей Очевидно y = Pk при Δε =1 Это значит что у есть вероятность отнесенная к единичному интервалу Δε Вид гистограммы y (Δхi ) будет таким же как и вид гистограммы Рк (Δхi ) (рис 3)

11

Рис4 Кривая распределения вероятностей случайных погрешностей Если увеличить число измерений n (n rarrinfin) и строить

гистограммы для все более малых интервалов Δε то при Δεrarr0 середины верхних площадок прямоугольников сольются в плавную кривую называемую кривой распределения вероятностей Опыт показал что в большинстве случаев распределение погрешностей соответствует так называемому нормальному закону найденному Гауссом Согласно гауссову распределению плотность вероятности y и величина погрешности Δxi связаны соотношением

( )πσ 2

1=Δ ixy

( )2

2

2σixΔ

minusl (23)

где l minus основание натурального логарифма σ2 ndash некоторый постоянный параметр называемый дисперсией распределения (смысл его выясняется далее)

12

Вид кривой распределения соответствующий некоторому значению σ показан на рисунке 4

Пользуясь законом распределения можно производить многие важные расчеты

Из формулы εΔsdot

Δ=

nn

y k следует что вероятность P(Δxk)

того что величина погрешности заключена в интервале Δxk divide Δxk + Δε определяется формулой

P(Δxk) = y(Δxk)middotΔε Численно эта вероятность равна площади зачерненного

прямоугольника С с основанием Δε (рис 4) Вероятность того что модуль погрешности не превзойдет некоторого значения изобразится площадью заштрихованной фигуры АВС с основанием 2 Δxk (рис 4)

На рисунке 5 представлены кривые распределения соответствующие разным σ Видно что с ростом σ максимум кривой распределения понижается а ее laquoкрыльяraquo поднимаются В соответствии со сказанным ранее о геометрическом смысле вероятности это означает что с ростом σ вероятность малых погрешностей уменьшается а вероятность больших ndash растет Следовательно чем больше дисперсия распределения σ2 тем меньше точность измерений

Важно подчеркнуть что кривая y(Δxi) характеризует не какую-то серию измерений а некоторую воображаемую совокупность бесконечного числа измерений данной величины в одних и тех же условиях Такая совокупность называется генеральной Всякая же конечная серия измерений называется случайной выборкой из генеральной совокупности

13

Рис 5 Влияние дисперсии на вид кривой распределения вероятностей случайных погрешностей

sect 3 Среднеквадратичная погрешность

Пусть х1 х2hellipхn ndash результаты некоторой серии n измерений

проведенных в одинаковых условиях Как уже подчеркивалось величина случайной погрешности не постоянна и меняется от опыта к опыту Возникает необходимость охарактеризовать погрешности результатов отдельных измерений данной серии некоторой средней величиной Иногда в качестве такой характеристики используют среднюю арифметическую погрешность

sum=

Δ=Δn

iix

nx

11

Однако удобнее использовать так называемую среднеквадратичную погрешность выборки Sn определяемую формулой

14

( )

11

2

minus

minus=

sum=

n

xxS

n

ii

n (24)

Sn называют также выборочным стандартным отклонением Можно показать что при достаточно большом числе

измерений Sn cong σ и следовательно дисперсия распределения

( ) ( )

11

2

1

2

22

n

xx

n

xxS

n

ii

n

ini

n

sumsum==

minuscong

minus

minus=congσ (25)

Таким образом дисперсия распределения приблизительно

равна среднему квадрату погрешности отдельных измерений найденному при достаточно большом n Для генеральной совокупности (n rarr infin) равенство (25) выполняется точно Из него следует что величина дисперсии зависит от условий в которых проводятся измерения чем благоприятнее условия измерений тем меньше разброс результатов и меньше дисперсия

sect 4 Среднеквадратичная погрешность среднего Допустим что мы провели серию n измерений некоторой

величины х результаты которых равны х1 х2hellipхn Наилучшим приближением к истинному значению является величина

sum=

=n

iix

nx

1

1 называемая cредним выборочным значением

измеряемой величины Если серию по n измерений в каждой повторить m раз то мы получим m значений x несколько отличающихся друг от друга и от истинного значения Х измеряемой величины Погрешности Xxx kk minus=Δ являются случайными и так же как погрешности отдельных измерений Δxi = xi ndash Х подчиняются гауссову распределению но с другой

15

дисперсией 2xσ lt 2σ Величина 2

xσ называемая дисперсией среднего является мерой погрешности среднего значения x найденного в серии из n измерений В теории погрешности доказывается что

22

nxσσ = (26a)

Это значит что xσ в отличие от σ зависит от числа проведенных измерений

nx

σσ = (26б)

Таким образом среднеквадратичная погрешность среднего результата n измерений в n12 раз меньше среднеквадратичной погрешности отдельных измерений Из формул (25) и (26) следует что при большом n

( ))1(

1

2

minus

minus=cong

sum=

nn

xx

nS

n

ii

nx

σ

Величина

( ))1(

1

2

minus

minus=

sum=

nn

xxS

n

ii

x (27)

называется выборочной среднеквадратичной погрешностью среднего

sect 5 Доверительный интервал и доверительная вероятность Как уже указывалось для любой конечной выборки x neХ

Практически очень важно оценить возможную величину отклонения среднего значения x от истинного Х то есть x ndash Х

16

Интервал plusmnx ΔХ в который с заданной вероятностью α попадает истинное значение Х измеряемой величины называется доверительным интервалом соответствующим вероятности α Вероятность α называется также доверительной вероятностью или надежностью Величина ΔХ характеризует точность оценки Чем меньше разность x ndash Х тем выше точность

Надежность соответствующую заданной точности ΔХ можно вычислить теоретически воспользовавшись гауссовым распределением если известна дисперсия 2

xσ В соответствии со сказанным ранее (гл II sect2) величина α

равна площади заштрихованной фигуры АВС опирающейся на отрезок 2ΔХ (рис 6)

Рис 6 Кривая распределения вероятностей случайных

погрешностей среднего

17

Так как =2xσ σ2n то надежность соответствующая

заданной точности ΔХ растет с ростом числа измерений и величины дополнительного интервала

Можно показать что α является функцией величины

к = x

XσΔ

График функции α = F(k) показан на рисунке 7

Рис 7 График функции α = ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ Δ

x

XFσ

Видно что с ростом k растет и доверительная вероятность α

Так α = 068 для k = 1 α = 095 для k = 2 α = 0997 для k = 3 Результаты расчетов F для различных k приведены в соответствующей литературе (см Список литературы ndash 1 2)

Если n мало (n lt 30) то xx Sneσ и для расчета распределением Гаусса пользоваться нельзя В этом случае используют распределение выведенное английским математиком и химиком Госсетом (псевдоним laquoСтьюдентraquo)

В распределении Стьюдента плотность распределения вероятностей рассматривается как функция величины

18

xx SXx

SXt minus

=Δ

= называемой коэффициентом Стьюдента

(среднеквадратичная погрешность среднего арифметического xS определяется формулой (27))

Распределение Стьюдента зависит от n и при nrarrinfin переходит в распределение Гаусса

Рис 8 Кривые распределения Стьюдента для выборок различного объема

На рисунке 8 показаны кривые y(t) при разных n Вычислив

по результатам измерений xS и задав величину ΔX можно найти t и α соответствующие данному n Наоборот задав надежность α можно вычислить tαn и соответствующую точность ΔX = tαn xS при данном значении n Соответствующие друг другу значения

19

α и tαn при разных n приводятся в специальных таблицах (см Приложение)

На практике задание величины ΔX определяется конкретными условиями Допустим что некоторое предприятие изготовляет резисторы определенного номинала Естественно что благодаря действию различных случайных факторов величины сопротивлений R будут отклоняться от их номинальных значений Измерив R для большой партии резисторов (ngtgt30) можно построить кривую y (ΔR) и найти дисперсию 2

Rσ Величина 2Rσ определяется тем насколько хорошо контролируется и

поддерживается постоянной технология изготовления резисторов Если разброс значений R а значит и 2

Rσ велик то задавая малое значение доверительного интервала Xx Δplusmn получим и малую надежность α При этом лишь малая доля значений R попадает в заданный доверительный интервал и процент брака будет соответственно велик Напротив при выборе большой надежности уменьшится процент брака но зато увеличится разброс значений R (увеличится ширина доверительного интервала x plusmn ΔX)

Если по условиям работы приборов в которых используются эти резисторы доверительный интервал должен быть малым то для сохранения большой надежности необходимо улучшить технологию их производства

Точность электроизмерительных приборов определяется классом их точности и соответствует надежности α = 0997 (ΔX = 3σ x ) В лабораторных условиях обычно довольствуются надежностью α = 090 095

Для оценки доверительного интервала прямых измерений предлагается следующий порядок 1 Провести серию измерений изучаемой величины Х и оценить

среднее выборочное x sum=

=n

iix

nx

1

1

2 Найти абсолютную погрешность единичного измерения Δхi Δxi = xi ndash x

20

3 Определить среднюю квадратичную ошибку среднего арифметического

( ))1(

1

2

minus

minus=

sum=

nn

xxS

n

ii

x

4 Определить точность измерения ΔX при заданных n и α ΔX = nx tS αsdot

5 Записать доверительный интервал для истинного значения измеряемой величины Х = x plusmn ΔX или x ndash ΔX leΧle xi +ΔX

Для удобства расчетов данные оформляются в виде таблицы xi Δxi = xi - x Δxi

2 xS αn ΔX

1 2

Ср Σ Δxi2=

Абсолютная ошибка Δхi рассчитывается по модулю

sect 6 Совместный учет систематической и случайной погрешностей Строгий учет систематической погрешности труден Если

систематическая погрешность обусловлена точностью прибора (что мы и будем предполагать) то можно оценить верхнюю границу возможных ошибок зная класс его точности Если точность обусловленная случайной погрешностью ndashΔХ а величина систематической погрешности ndashδ то величина суммарной точности ΔХ определяется формулой

( )2

2

3 ⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ sdot

+Δ=Δδαk

XX (28)

где kα = tα(infin) ndash коэффициент Стьюдента при n = infin

21

Глава III Статистическая обработка результатов косвенных измерений

sect 1 Два способа оценки погрешности косвенного

измерения В большинстве случаев имеют дело с косвенными

измерениями Пусть x y z ndash непосредственно измеряемые величины а W = f (x y z) ndash их функция то есть величина измеряемая косвенно Рассмотрим два способа оценки погрешности величины W

I способ Если косвенные измерения проводятся в невоспроизводимых условиях то значения Wi вычисляются для каждого отдельного измерения а затем обрабатываются как прямые измерения

II способ позволяет вычислить погрешность косвенного измерения как функцию погрешностей прямых измерений Далее остановимся подробнее на этом способе

sect 2 Частные погрешности и общая погрешность косвенного измерения Обрабатывая прямые измерения мы находим их

выборочные средние значения zyx hellip являющиеся как было показано выше случайными величинами Очевидно что и величина WW = ( zyx hellip) представляющая собой выборочное среднее искомой функции будет также случайной величиной Задача как и в случае прямых измерений состоит в том чтобы определить с какой вероятностью искомая величина W может быть заключена в некотором заданном интервале W plusmn ΔW В общем случае эта задача весьма сложна и мы ограничимся лишь ее приближенным решением

Рассмотрим сначала случай когда W является функцией только одной переменной то есть W = W(x) Разложим функцию W(x) в ряд Тейлора в окрестности точки х = Х (Х ndash истинное

22

значение х) В случае когда погрешность прямого измерения достаточно мала можно ограничиться лишь линейным членом и считать что

)()()( Xxdx

dWXWxWXx

minussdot⎟⎠⎞

⎜⎝⎛+=

=

Отсюда )()()( Xxdx

dWXWxWXx

minussdot⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=minus

=

(31)

Из (31) следует что

xxx

W Sdx

dWS sdot⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=

=

(32)

где xS и WS ndash средние квадратичные погрешности величин

x и W Доверительный интервал величины W соответствующий надежности α определяется как

Xdx

dWWWWxx

Δsdot⎟⎠⎞

⎜⎝⎛plusmn=Δplusmn

=

(33)

где ΔW ndash точность величины х соответствующая той же надежности α

Если результат косвенного измерения W является функцией многих переменных то есть W = W(x y z) то по формуле (33) можно вычислить погрешности ΔWx ΔWy ΔWzhellip обусловленные каждым аргументом и называемые частными погрешностями Они равны

Zz

WW

YyWW

Xx

WW

zzz

yyy

xxx

Δsdot⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

partpart

=Δ

Δsdot⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛partpart

=Δ

Δsdot⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

partpart

=Δ

=

=

=

(34)

и так далее

23

В формулах (34) z

WyW

xW

partpart

partpart

partpart являются частными

производными и вычисляются так как будто другие аргументы ndash постоянные величины

Общая погрешность косвенного измерения в этом случае вычисляется по формуле (см Список литературы ndash 4)

222zyx WWWW Δ+Δ+Δ=Δ и

22

22

22

Zz

WYyWX

xWW Δ⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛

partpart

+Δ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛partpart

+Δ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

partpart

=Δ (35)

sect 3 Относительная погрешность косвенного измерения Очень часто бывает удобно вычислить относительную

погрешность результата косвенного измерения WdW

W =η

На основании известной формулы dlnu = duu можно сформулировать следующее правило расчета относительной погрешности Допустим сначала что W = W(x) ndash функция одной переменой Тогда относительная погрешность

WdWdW

W ln==η (36)

то есть для нахождения ηW необходимо сначала прологарифмировать выражение W(x) а затем продифференцировать его по х

В случае многих переменных можно как и для абсолютных погрешностей ввести частные относительные погрешности равные

24

ln xWxx Δsdot

partpart

=η

ln

ln

zWz

yWy

z

y

Δsdotpartpart

=

Δsdotpartpart

=

η

η (37)

Тогда общая относительная погрешность определится как

K222zyxW ηηηη ++= (38)

Расчет погрешности по формулам (37) и (38) особенно удобно производить в случае когда функция имеет одночленную (логарифмическую) формулу Пусть например

yxAW 4=

где А ndash константа Используя правило (37) имеем lnln4lnln 2

1 yxAW minus+=

21 4

y yy

xx

xΔ

minus=Δ

= ηη

4

116 22

22 y

yx

xΔsdot+Δsdot=η

Замечание Прежде чем сделать расчет по формуле (38) произведите оценку относительных погрешностей по отдельным аргументам вычисленных по формулам (37) Если при этом отдельные частные погрешности меньше максимальной хотя бы в три раза ими можно пренебречь В таком случае общая формула (38) значительно упростится

Определив относительную погрешность ηW можно рассчитать абсолютную погрешность (точность) по формуле

ΔW = ηWW (39)

25

Глава IV Определение параметров линейной зависимости

На опыте часто измеряют пары величин х и y причем одна

из них y является функцией другой ndash х Пусть в результате эксперимента получен ряд измерений величины y y1 y2hellipyn соответствующих значениям аргумента х1 х2 hellipхn

Необходимо установить эмпирическую зависимость между y и х Задача состоит в том чтобы по экспериментальным точкам провести линию которая как можно лучше соответствовала бы истинной функциональной зависимости y = f(x) При этом ограничимся лишь случаем линейной функции

y = ax + b (41) Линейная зависимость очень широко распространена в

физике Даже в случаях когда зависимость нелинейная обычно стараются преобразовать ее так чтобы свести к линейной Например зависимость y = Aeαx преобразуется к виду ln y = ln A + αx и на графике строится зависимость

ln y = f(1x)

Ниже приведены два метода нахождения наиболее вероятных параметров линии (коэффициентов а и в уравнения (41)) проходящих через набор экспериментальных точек

sect 1 Метод парных точек Метод парных точек является наиболее простым и

применяется в основном для определения лишь наклона прямой то есть коэффициента а

Допустим что у нас имеется 8 точек лежащих на одной прямой Требуется найти наилучшее значение тангенса угла наклона а и его погрешность Пронумеруем точки по порядку от

26

1 до 8 (рис 9) Возьмем точки 1 и 5 ими определится некоторая прямая и угол ее наклона В качестве наилучшего значения а выбирается его среднее значение a и обычным способом находится его среднеквадратичная погрешность и доверительный интервал

y 8 7 6 5 3 4 2

1 0

х Рис 9 Нумерация экспериментальных точек для расчета а

методом парных точек

Таким образом полученная прямая линия будет иметь угловой коэффициент a и проходить через точку соответствующую средним значениям переменных х и y (следующий параграф)

Такой метод дает удовлетворительные результаты лишь тогда когда величины (x5 ndash x1) (x6 ndash x2) (x7 ndash x3) (x8 ndash x4) примерно одинаковы

sect 2 Метод наименьших квадратов (МНК) МНК является одним из стандартных методов статистики

Сущность этого метода заключается в следующем Допустим что имеется n пар измеренных значений (x1 y1) (x2 y2)hellip(xn yn) Предположим что ошибки содержат лишь величины y

27

(На практике это предположение часто оправдывается) По результатам измерений необходимо построить прямую линию

В основе описываемого метода лежит положение согласно которому наилучшим приближением будет такая прямая линия для которой сумма квадратов расстояний по вертикали от точек до прямой (сумма квадратов погрешностей величины y (рис 10)) является минимальной то есть наиболее вероятные

Рис 10 Распределение экспериментальных точек относительно искомой прямой

значения параметров а и в (41) выбираются так чтобы сумма

( )sum sum= =

minusminus==n

i

n

iiii baxydS

1 1

22 (42)

была минимальной Это значит что

( )sum=

=minus+=partpart n

iiii xybax

aS

1

02

( )sum=

=minus+=partpart n

iii ybax

bS

1

02 (43)

28

Таким образом искомые величины а и в получаются

решением системы уравнений

sum sum sum= = =

=+n

i

n

i

n

iiiii yxxbxa

1 1 1

2 (44)

sum sum= =

=+n

i

n

iii ybnxa

1 1

(45)

Из уравнения (45) следует что наилучшая прямая проходит через точку с координатами

sumsum==

==n

ii

n

ii y

nyx

nx

1

_

1

_

11 (46)

(В этом можно легко убедиться поделив равенство (45) почленно на n) Из уравнений (44) и (45) находим

1 1

2

1 1

sum sum

sum sum

= =

= =

minus

minus= n

i

n

iii

n

i

n

iiii

xxx

yyyxa (47)

sum sumsum sum

sum sum= =

= =

= =

minus

minusminus=

n

i

n

in

i

n

iii

n

i

n

iiii

ii

xxx

yyyxx

ny

nb

1 1

1 1

2

1 111 (48)

29

В лабораторном практикуме обычно бывает достаточно оценить погрешность коэффициента a Формула для среднеквадратичной ошибки величины а имеет вид (см Список литературы ndash 3)

2

1 2

minusminus

=n

rSS

Sx

ya (49)

где ( )sum=

minusminus

=n

iiy yy

nS

1

2 1

1 (410)

( )sum=

minusminus

=n

iix xx

nS

1

2

11

(411)

( ) ( )

( ) 1

1

yx

n

iii

SSn

yyxxr

sdotminus

minusminus=

sum= (412)

Интервал в котором с установленной вероятностью α может находиться коэффициент а записывается в виде

22 anan StaaSta sdot+lelesdotminus minusminus αα (413)

где a определяется формулой (47) aS ndash формулой (49) tαn-2 ndash коэффициент Стьюдента для надежности α и числа измерений n ndash число пар точек

При использовании метода наименьших квадратов рекомендуется следующий порядок действий

1 Составить таблицу

изм xi yi xiyi xi

2 1 2

i n

sumxi sumyi sumxiyi sumxi2

30

2 Рассчитать

а) sum=

n

iii yx

1 б) sum

=

=n

i

i

nx

x1

в) sum=

n

iiy

1

г) sum=

n

iix

1

д) sum=

n

iix

1

2 е) sum=

=n

i

i

ny

y1

3 Рассчитать наилучшие значения углового коэффициента а по

формуле (47) 4 Зная коэффициенты а и б провести наилучшую прямую она

должна проходить через точку с координатами x и y 5 Для расчета погрешности величины а по формулам (49 ndash 412) составить таблицу

пп

yi - y

xi - x

(yi - y )2

(xi - x )2

Sx

Sy

r

31

ЧАСТЬ II

ПРАВИЛА РАБОТЫ В ЛАБОРАТОРИИ

ОФОРМЛЕНИЕ РЕЗУЛЬТАТОВ РАБОТЫ sect 1 Правила работы в лаборатории Каждая лабораторная работа рассчитана на одно занятие

В начале семестра составляется и вывешивается в лаборатории график выполнения работ на весь семестр

Студент должен заранее знать тему своей лабораторной работы и подготовиться к ней по методическому руководству и другой указанной в нем литературе

Перед выполнением каждой лабораторной работы необходимо пройти краткое собеседование с преподавателем и получить разрешение на ее выполнение Оно дается в том случае если студент четко знает цель работы методику проведения эксперимента умеет пользоваться приборами

ПРИСТУПАТЬ К ВЫПОЛНЕНИЮ ЛАБОРАТОРНЫХ

РАБОТ БЕЗ РАЗРЕШЕНИЯ ПРЕПОДАВАТЕЛЯ КАТЕГОРИЧЕСКИ ВОСПРЕЩАЕТСЯ

В конце занятия студент обязан предъявить преподавателю

результаты своей работы Работа считается выполненной если результаты утверждены и подписаны преподавателем После этого необходимо выключить установку привести в порядок рабочее место и получить методические указания к следующей работе

32

sect 2 Журнал лабораторных работ Результаты измерений и наблюдений должны тотчас же

фиксироваться в специальном журнале в форме протоколов Временные записи результатов на черновых листочках не допускаются

Единую форму протоколов пригодную для всех работ дать невозможно и нецелесообразно Тем не менее можно сформулировать некоторые общие требования которым должны удовлетворять записи в журнале лабораторных работ

1 Должны быть указаны название работы и дата ее выполнения

конкретная цель работы и ее упражнений 2 Целесообразно привести расчетную формулу и пояснить

физический смысл входящих в нее символов 3 Результаты всех измерений заносятся в заранее

подготовленные удобные таблицы из которых было бы ясно какие физические величины и в каких единицах измерялись сколько раз повторялись измерения каждой физической величины

4 Необходимо указать приборы использовавшиеся для измерения различных величин и их точности

5 Зафиксировать (если это важно) условия опыта (температуру давление влажность воздуха и т д)

6 Записи в журнале должны быть аккуратными и четкими журнал лабораторных работ ndash не черновик В нем не должно содержаться никаких записей не относящихся к выполняемой работе Прикидочные расчеты должны проводиться на черновых листках

7 Для пометок и замечаний целесообразно оставлять поля шириной 3 см Ниже приведена схема оформления протокола одной из

лабораторных работ

33

081098 Определение модуля Юнга по изгибу стержня Цель работы ndash проверка закона Гука и определение модуля

Юнга для стального и медного стержней Расчетная формула

4 3

3

habPLE =

где Е ndash модуль Юнга Р ndash величина нагрузки приложенной к середине стержня L ndash длина деформируемой части стержня равная расстоянию между ребрами опорных призм а ndash ширина стержня в ndash его толщина h ndash стрела прогиба

Таблица 1 Определение размеров стержня

опыта L мм а мм в мм

1 5

Измерительный прибор и его точность

Штанген-циркуль plusmn 01 мм

Микрометр plusmn0005 мм

Микрометр plusmn0005 мм

Таблица 2 Измерение стрелы прогиба нагружаемого стержня

РкГс 0 01 02 03 04 hellip

h мм

205 207 203 208 205

255 248 251 249 252

hellip hellip hellip hellip

Измерительный прибор ndash микрометр точность ~ plusmn 0005 мм

Подпись преподавателя

34

sect 3 Оформление отчетов По результатам каждой лабораторной работы составляется

отчет Он должен включать 1 Краткую формулировку идеи метода расчетную формулу

пояснение физического смысла входящих в нее символов 2 Таблицы с результатами измерений и расчетов 3 Статистическую обработку результатов измерений 4 Выводы 5 На титульном листе должны быть указаны название

лабораторной работы факультет курс группа фамилия и инициалы исполнителя Отчет должен быть написан в хорошем стиле аккуратным

разборчивым почерком При его оформлении не следует также пренебрегать и эстетической стороной вопроса Заголовки выводы и формулы целесообразно выделять пастой другого цвета подчеркнуть и т п Это облегчает чтение отчета

Выводы должны быть аргументированы ссылками на соответствующие таблицы и графики поэтому они должны быть пронумерованы

sect 4 Графики Графики используются для наглядного представления

результатов При их построении необходимо соблюдать ряд правил 1 Графики нужно строить только на миллиметровой бумаге 2 На осях необходимо нанести масштабную сетку указать

единицы измерения и символы изображаемых величин 3 Масштаб должен быть простым удобным для отсчета его

долей Например 1 см = 01 1 2 или 10 единиц Кроме того масштаб выбирают так чтобы все экспериментальные точки вошли в график и достаточно далеко отстояли друг от друга

35

Иногда для этой цели бывает удобно сместить вдоль осей начало отсчета Масштаб по осям Х и У может быть различен

Рис 11 Пример построения графика функции по экспериментальным точкам

4 Экспериментальные точки следует наносить с максимальной

точностью так чтобы они четко выделялись на фоне графика не сливаясь с ним

5 График должен представлять собой плавную кривую без изломов и перегибов Нужно стремиться провести кривую так чтобы экспериментальные точки равномерно распределялись по обе стороны от нее (рис 11)

Графики выполненные на миллиметровой бумаге

аккуратно вклеиваются в отчет где для них необходимо предусмотреть соответствующее место

36

sect 5 Точность вычислений Точность вычислений определяется погрешностью

измерений Не имеет смысла вычислять какуюndashлибо величину до пятого знака после запятой если погрешность измерений такова что неуверенно определяется ее третий знак

Чтобы погрешностью вычислений можно было пренебречь она должна быть на порядок (то есть в 10 раз) меньше погрешности наименее точно измеряемой величины

Пример Модуль Юнга по изгибу стержня вычисляется по

формуле E = PL3 4ab3middoth Анализ исходных данных показывает как правило что с наибольшей относительной погрешностью измеряется стрела прогиба h Так как ΔEE gt Δh h то допускаемая относительная погрешность вычислений ΔE выч E cong 01 Δhh Для стали E cong 2middot104 кГсмм2 поэтому при Δhh =10-2 ΔEвыч cong 10 кГсмм2 Это значит что вычисления Е целесообразно проводить лишь с точностью до четвертой значащей цифры

Обычно нас интересует лишь порядок величины погрешностей поэтому последние рекомендуется вычислять лишь до второй значащей цифры а затем округлять результат до одной значащей цифры

Приводя значение измеренной Вами величины проверьте согласуется ли порядок приведенных значащих цифр с порядком погрешности

Порядок последней значащей цифры измеренной величины и порядок погрешности должны быть одинаковы

Запись Е = (1845127 plusmn 20) 107 Па неграмотна Величина ошибки свидетельствует о том что неуверенно определяется уже четвертый знак поэтому результат должен быть соответственно округлен

Е = (18450 plusmn 20) 107 Па

37

Приложение

Таблица 3 Значения коэффициентов Стьюдента

Коэффициент надежности Число

изме рений

N 08 09 095 098 099 0999

2 31 631 1271 3182 6366 63662 3 19 292 431 696 992 3160 4 16 235 318 454 584 1294 5 15 213 278 375 460 861 6 15 202 257 336 403 686 7 14 194 245 314 371 596 8 14 190 236 300 350 540 9 14 186 231 290 336 504

10 14 183 226 282 325 478 infin 13 165 196 233 259 331

38

Список литературы

1 Деденко Л Г Керженцев В В Математическая обработка и оформление результатов эксперимента М Издndashво МГУ 1977

2 Зайдель А Н Ошибки измерения физических величин Л

Наука 1974 3 Кассандрова О Н Лебедев В В Обработка результатов из-

мерений М Наука 1970 4 Сквайрс Дж Практическая физика М Мир 1971 5 Соловьев В А Яхонтова В Е Элементарные методы обра-

ботки результатов измерений Л Издndashво ЛГУ 1977

39

СОДЕРЖАНИЕ

Задачи физического практикума 3

Часть I Статистическая обработка результатов измерений

Глава I Введение в теорию погрешностей 3 sect1 Измерения и их погрешности 3 sect2 Типы погрешностей 5

1 Систематические погрешности 5 2 Случайные погрешности 6 3 Промахи 7

Глава II Статистическая обработка результатов прямых измерений 8 sect1 Вероятность случайного события 8 sect2 Нормальный закон распределения случайных погрешностей 9 sect3 Среднеквадратичная погрешность 13 sect4 Среднеквадратичная погрешность среднего 14 sect5 Доверительный интервал и доверительная вероятность 15 sect6 Совместный учет систематической и случайной погрешностей 20 Глава III Статистическая обработка результатов косвенных измерений 21 sect1 Два способа оценки погрешностей косвенного измерения 21 sect2 Частные погрешности и общая погрешность косвенного измерения 21 sect3 Относительная погрешность косвенного измерения 23 Глава IV Определение параметров линейной зависимости 25 sect1 Метод парных точек 25 sect2 Метод наименьших квадратов (МНК) 26

40

Часть II Правила работы в лаборатории оформление

результатов работы

sect1 Правила работы в лаборатории 31 sect2 Журнал лабораторных работ 32 sect3 Оформление отчетов 34 sect4 Графики 34 sect5 Точность вычислений 36 Приложение 37 Список литературы 38

41

Составители Жукова Ида Степановна Бутина Лариса Иосифовна Крылова Светлана Ивановна

ВВЕДЕНИЕ В ЛАБОРАТОРНЫЙ ПРАКТИКУМ ПО КУРСУ ОБЩЕЙ ФИЗИКИ

Методические указания

к лабораторной работе

Редактор Козина О В

ЛР 040 110 Подписано к печати 090999 Формат 60х84 116 Бумага газетная Офсетная печать 25 уч-издл

11 услкр-отт Тираж 500 экз Изд 19 laquoСraquo

Издательство Петрозаводского государственного университета

185640 Петрозаводск пр Ленина 33

5

sect 2 Типы погрешностей 1 Систематические погрешности Систематическими называются погрешности величина

которых не меняется при повторении измерений данной величины в тех же условиях (тем же методом теми же приборами и т д)

Если результаты отдельных измерений (xi) и истинное значение измеряемой величины (Х) отложить на оси х то при наличии только систематических погрешностей результаты отдельных измерений xi расположатся относительно истинного значения измеряемой величины Х так как показано на рисунке 1

X x1 = x2 =hellip= xn

Δ х = хi - Х = const х

Рис 1 Представление результатов измерений при наличии систематической погрешности

Систематические погрешности возникают в тех случаях

когда не учитывается влияние на результаты эксперимента различных постоянно действующих факторов температуры давления влажности воздуха выталкивающей силы Архимеда сопротивления подводящих проводов контактных ЭДС и т п Источниками систематических погрешностей могут быть также измерительные приборы вследствие неточности их градуировки или неисправности

Исключение систематических погрешностей требует принятия специальных мер предосторожности К ним относятся 1 Своевременный ремонт и систематическая проверка приборов 2 Использование специальных способов измерения (например

двойное взвешивание для исключения неравноплечности весов использование охранных колец при измерении объемного сопротивления плохих проводников позволяющее исключить влияние их поверхности)

6

3 Внесение соответствующих поправок на влияние внешних факторов

2 Случайные погрешности Случайными называются погрешности величина и знак

которых меняется непредсказуемым образом при повторных измерениях данной величины в тех же условиях Случайные погрешности могут быть вызваны действием различных неконтролируемых факторов толчков воздушных течений пылинок и т д Источником случайных ошибок может быть и сам экспериментатор из-за несовершенства органов его чувств Так например результаты повторных измерений периода колебаний математического маятника с помощью очень точного секундомера обязательно окажутся несколько отличными друг от друга вследствие того что моменты нахождения маятника в соответствующих фазах отклонения фиксируются неточно при пуске секундомера экспериментатор может несколько замешкаться при его остановке наоборот поспешить Случайные погрешности отклоняют результат то в одну то в другую сторону от истиного значения измеряемой величины поэтому результаты (хi) большого числа измерений симметрично располагаются относительно Х (рис 2)

Рис 2 Представление результатов измерений при наличии случайных погрешностей

Влияние случайных погрешностей можно существенно

уменьшить усреднением результатов большого числа измерений

7

В самом деле пусть x1 x2 x3hellipxn ndash результаты отдельных измерений а

Δx1 = x1 ndash X Δx2 = x2 ndash X Δx3 = x3 ndash X (11) hellip hellip hellip Δxn = xn ndash X

ndash их абсолютные погрешности Δxn где n ndash полное число измерений Сложив почленно равенства (11) получим

sum sum= =

minus=Δn

i

n

iii nXxx

1 1

откуда

sum sum= =

Δminus=n

i

n

iii x

nx

nX

1 1

11 (12)

Величина sum=

=n

ii xx

n 1

1 называется средним арифметическим

результатом серии измерений Так как при большом числе измерений величина x очень

мала то можно считать что Xx cong Чем больше n тем точнее выполняется это равенство те x ndash х ltlt Δxi

3 Промахи Промах ndash это очень грубая погрешность вызванная

невнимательностью экспериментатора (неверный отсчет показаний прибора описка при записи показаний и т д) Промахи могут сильно исказить результаты измерений особенно в тех случаях когда их число невелико

Вывод при выполнении работы нужно быть очень внимательным не спешить не отвлекаться

8

Глава II Статистическая обработка результатов прямых измерений

Ранее было показано что усреднением результатов

достаточно большого числа измерений можно существенно уменьшить влияние случайных погрешностей Однако практически n бывает не так уж велико и x может заметно отличаться от Х Как оценить возможное отличие x от Х Соответствующие методы разработаны в теории погрешностей которая оперирует понятиями теории вероятностей

sect 1 Вероятность случайного события В теории вероятностей всякий исход испытания называется

событием Случайными называются события о наступлении которых нельзя сделать точного предсказания Так если в урне смешать неотличимые на ощупь шары разного цвета а затем не глядя вынимать их то появление шара какого-либо определенного цвета будет событием случайным так как точно предсказать цвет вынимаемого шара в каждом отдельном случае невозможно Однако если провести большое число испытаний в одних и тех же условиях (вынутый шар кладется обратно в урну и шары тщательно перемешиваются) то о результатах такой серии измерений можно будет сделать вполне определенные утверждения статистического характера

Пусть nA ndash число испытаний при которых наступило событие А (например вынут красный шар) а n ndash общее число испытаний Отношение РА = lim nAn называется вероятностью

nrarrinfin события А При достаточно большом n РА cong nAn

Зная вероятность РА события можно достаточно точно предсказать сколько раз оно наступит при большом числе испытаний nA = n РА

Вероятность любого события может быть заключена в пределах от нуля до единицы Если РА = 1 событие называется

9

достоверным если РА = 0 событие называется невозможным (оно либо не наступает никогда либо чрезвычайно редко)

Если рассматриваемая совокупность событий такова что одно из них обязательно наступает при каждом испытании то такие события образуют полную группу Нетрудно показать что сумма вероятностей событий образующих полную группу равна единице

Так например в случае одинакового числа шаров белого красного и синего цвета события выражающиеся в том что вынутый шар будет белым красным или синим образуют полную группу Вероятность каждого отдельного события равна 13 а их сумма равна единице

sect 2 Нормальный закон распределения случайных погрешностей

Если погрешности носят чисто случайный характер то по

результатам измерений можно оценить вероятности их появления Пусть х1 х2hellipхn ndash результаты отдельных измерений Примем

что n достаточно велико и при оценке погрешностей будем считать что

sum=

==n

iix

nxX

11

(21)

xxx ii minus=Δ Определив погрешности Δxi рассортируем их по величине

Для этого весь диапазон полученных значений Δxi разобъем на одинаковые малые интервалы Δε и подсчитаем сколько раз величина ошибки попадает в каждый интервал Если в интервале номер laquokraquo оказалось заключено Δnk значений погрешности то вероятность попадания погрешности в этот интервал

Pk cong Δnkn (22)

10

Если значения вероятности для каждого интервала отложить по оси ординат то получится ступенчатая диаграмма изображенная на рисунке 3 Она называется гистограммой

Рис 3 Гистограмма Так как Рк зависит от Δε то по оси ординат удобнее

откладывать не Рк а величину εε Δsdot

Δ=

Δ=

nnP

y kk называемую

плотностью распределения вероятностей Очевидно y = Pk при Δε =1 Это значит что у есть вероятность отнесенная к единичному интервалу Δε Вид гистограммы y (Δхi ) будет таким же как и вид гистограммы Рк (Δхi ) (рис 3)

11

Рис4 Кривая распределения вероятностей случайных погрешностей Если увеличить число измерений n (n rarrinfin) и строить

гистограммы для все более малых интервалов Δε то при Δεrarr0 середины верхних площадок прямоугольников сольются в плавную кривую называемую кривой распределения вероятностей Опыт показал что в большинстве случаев распределение погрешностей соответствует так называемому нормальному закону найденному Гауссом Согласно гауссову распределению плотность вероятности y и величина погрешности Δxi связаны соотношением

( )πσ 2

1=Δ ixy

( )2

2

2σixΔ

minusl (23)

где l minus основание натурального логарифма σ2 ndash некоторый постоянный параметр называемый дисперсией распределения (смысл его выясняется далее)

12

Вид кривой распределения соответствующий некоторому значению σ показан на рисунке 4

Пользуясь законом распределения можно производить многие важные расчеты

Из формулы εΔsdot

Δ=

nn

y k следует что вероятность P(Δxk)

того что величина погрешности заключена в интервале Δxk divide Δxk + Δε определяется формулой

P(Δxk) = y(Δxk)middotΔε Численно эта вероятность равна площади зачерненного

прямоугольника С с основанием Δε (рис 4) Вероятность того что модуль погрешности не превзойдет некоторого значения изобразится площадью заштрихованной фигуры АВС с основанием 2 Δxk (рис 4)

На рисунке 5 представлены кривые распределения соответствующие разным σ Видно что с ростом σ максимум кривой распределения понижается а ее laquoкрыльяraquo поднимаются В соответствии со сказанным ранее о геометрическом смысле вероятности это означает что с ростом σ вероятность малых погрешностей уменьшается а вероятность больших ndash растет Следовательно чем больше дисперсия распределения σ2 тем меньше точность измерений

Важно подчеркнуть что кривая y(Δxi) характеризует не какую-то серию измерений а некоторую воображаемую совокупность бесконечного числа измерений данной величины в одних и тех же условиях Такая совокупность называется генеральной Всякая же конечная серия измерений называется случайной выборкой из генеральной совокупности

13

Рис 5 Влияние дисперсии на вид кривой распределения вероятностей случайных погрешностей

sect 3 Среднеквадратичная погрешность

Пусть х1 х2hellipхn ndash результаты некоторой серии n измерений

проведенных в одинаковых условиях Как уже подчеркивалось величина случайной погрешности не постоянна и меняется от опыта к опыту Возникает необходимость охарактеризовать погрешности результатов отдельных измерений данной серии некоторой средней величиной Иногда в качестве такой характеристики используют среднюю арифметическую погрешность

sum=

Δ=Δn

iix

nx

11

Однако удобнее использовать так называемую среднеквадратичную погрешность выборки Sn определяемую формулой

14

( )

11

2

minus

minus=

sum=

n

xxS

n

ii

n (24)

Sn называют также выборочным стандартным отклонением Можно показать что при достаточно большом числе

измерений Sn cong σ и следовательно дисперсия распределения

( ) ( )

11

2

1

2

22

n

xx

n

xxS

n

ii

n

ini

n

sumsum==

minuscong

minus

minus=congσ (25)

Таким образом дисперсия распределения приблизительно

равна среднему квадрату погрешности отдельных измерений найденному при достаточно большом n Для генеральной совокупности (n rarr infin) равенство (25) выполняется точно Из него следует что величина дисперсии зависит от условий в которых проводятся измерения чем благоприятнее условия измерений тем меньше разброс результатов и меньше дисперсия

sect 4 Среднеквадратичная погрешность среднего Допустим что мы провели серию n измерений некоторой

величины х результаты которых равны х1 х2hellipхn Наилучшим приближением к истинному значению является величина

sum=

=n

iix

nx

1

1 называемая cредним выборочным значением

измеряемой величины Если серию по n измерений в каждой повторить m раз то мы получим m значений x несколько отличающихся друг от друга и от истинного значения Х измеряемой величины Погрешности Xxx kk minus=Δ являются случайными и так же как погрешности отдельных измерений Δxi = xi ndash Х подчиняются гауссову распределению но с другой

15

дисперсией 2xσ lt 2σ Величина 2

xσ называемая дисперсией среднего является мерой погрешности среднего значения x найденного в серии из n измерений В теории погрешности доказывается что

22

nxσσ = (26a)

Это значит что xσ в отличие от σ зависит от числа проведенных измерений

nx

σσ = (26б)

Таким образом среднеквадратичная погрешность среднего результата n измерений в n12 раз меньше среднеквадратичной погрешности отдельных измерений Из формул (25) и (26) следует что при большом n

( ))1(

1

2

minus

minus=cong

sum=

nn

xx

nS

n

ii

nx

σ

Величина

( ))1(

1

2

minus

minus=

sum=

nn

xxS

n

ii

x (27)

называется выборочной среднеквадратичной погрешностью среднего

sect 5 Доверительный интервал и доверительная вероятность Как уже указывалось для любой конечной выборки x neХ

Практически очень важно оценить возможную величину отклонения среднего значения x от истинного Х то есть x ndash Х

16

Интервал plusmnx ΔХ в который с заданной вероятностью α попадает истинное значение Х измеряемой величины называется доверительным интервалом соответствующим вероятности α Вероятность α называется также доверительной вероятностью или надежностью Величина ΔХ характеризует точность оценки Чем меньше разность x ndash Х тем выше точность

Надежность соответствующую заданной точности ΔХ можно вычислить теоретически воспользовавшись гауссовым распределением если известна дисперсия 2

xσ В соответствии со сказанным ранее (гл II sect2) величина α

равна площади заштрихованной фигуры АВС опирающейся на отрезок 2ΔХ (рис 6)

Рис 6 Кривая распределения вероятностей случайных

погрешностей среднего

17

Так как =2xσ σ2n то надежность соответствующая

заданной точности ΔХ растет с ростом числа измерений и величины дополнительного интервала

Можно показать что α является функцией величины

к = x

XσΔ

График функции α = F(k) показан на рисунке 7

Рис 7 График функции α = ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ Δ

x

XFσ

Видно что с ростом k растет и доверительная вероятность α

Так α = 068 для k = 1 α = 095 для k = 2 α = 0997 для k = 3 Результаты расчетов F для различных k приведены в соответствующей литературе (см Список литературы ndash 1 2)

Если n мало (n lt 30) то xx Sneσ и для расчета распределением Гаусса пользоваться нельзя В этом случае используют распределение выведенное английским математиком и химиком Госсетом (псевдоним laquoСтьюдентraquo)

В распределении Стьюдента плотность распределения вероятностей рассматривается как функция величины

18

xx SXx

SXt minus

=Δ

= называемой коэффициентом Стьюдента

(среднеквадратичная погрешность среднего арифметического xS определяется формулой (27))

Распределение Стьюдента зависит от n и при nrarrinfin переходит в распределение Гаусса

Рис 8 Кривые распределения Стьюдента для выборок различного объема

На рисунке 8 показаны кривые y(t) при разных n Вычислив

по результатам измерений xS и задав величину ΔX можно найти t и α соответствующие данному n Наоборот задав надежность α можно вычислить tαn и соответствующую точность ΔX = tαn xS при данном значении n Соответствующие друг другу значения

19

α и tαn при разных n приводятся в специальных таблицах (см Приложение)

На практике задание величины ΔX определяется конкретными условиями Допустим что некоторое предприятие изготовляет резисторы определенного номинала Естественно что благодаря действию различных случайных факторов величины сопротивлений R будут отклоняться от их номинальных значений Измерив R для большой партии резисторов (ngtgt30) можно построить кривую y (ΔR) и найти дисперсию 2

Rσ Величина 2Rσ определяется тем насколько хорошо контролируется и

поддерживается постоянной технология изготовления резисторов Если разброс значений R а значит и 2

Rσ велик то задавая малое значение доверительного интервала Xx Δplusmn получим и малую надежность α При этом лишь малая доля значений R попадает в заданный доверительный интервал и процент брака будет соответственно велик Напротив при выборе большой надежности уменьшится процент брака но зато увеличится разброс значений R (увеличится ширина доверительного интервала x plusmn ΔX)

Если по условиям работы приборов в которых используются эти резисторы доверительный интервал должен быть малым то для сохранения большой надежности необходимо улучшить технологию их производства

Точность электроизмерительных приборов определяется классом их точности и соответствует надежности α = 0997 (ΔX = 3σ x ) В лабораторных условиях обычно довольствуются надежностью α = 090 095

Для оценки доверительного интервала прямых измерений предлагается следующий порядок 1 Провести серию измерений изучаемой величины Х и оценить

среднее выборочное x sum=

=n

iix

nx

1

1

2 Найти абсолютную погрешность единичного измерения Δхi Δxi = xi ndash x

20

3 Определить среднюю квадратичную ошибку среднего арифметического

( ))1(

1

2

minus

minus=

sum=

nn

xxS

n

ii

x

4 Определить точность измерения ΔX при заданных n и α ΔX = nx tS αsdot

5 Записать доверительный интервал для истинного значения измеряемой величины Х = x plusmn ΔX или x ndash ΔX leΧle xi +ΔX

Для удобства расчетов данные оформляются в виде таблицы xi Δxi = xi - x Δxi

2 xS αn ΔX

1 2

Ср Σ Δxi2=

Абсолютная ошибка Δхi рассчитывается по модулю

sect 6 Совместный учет систематической и случайной погрешностей Строгий учет систематической погрешности труден Если

систематическая погрешность обусловлена точностью прибора (что мы и будем предполагать) то можно оценить верхнюю границу возможных ошибок зная класс его точности Если точность обусловленная случайной погрешностью ndashΔХ а величина систематической погрешности ndashδ то величина суммарной точности ΔХ определяется формулой

( )2

2

3 ⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ sdot

+Δ=Δδαk

XX (28)

где kα = tα(infin) ndash коэффициент Стьюдента при n = infin

21

Глава III Статистическая обработка результатов косвенных измерений

sect 1 Два способа оценки погрешности косвенного

измерения В большинстве случаев имеют дело с косвенными

измерениями Пусть x y z ndash непосредственно измеряемые величины а W = f (x y z) ndash их функция то есть величина измеряемая косвенно Рассмотрим два способа оценки погрешности величины W

I способ Если косвенные измерения проводятся в невоспроизводимых условиях то значения Wi вычисляются для каждого отдельного измерения а затем обрабатываются как прямые измерения

II способ позволяет вычислить погрешность косвенного измерения как функцию погрешностей прямых измерений Далее остановимся подробнее на этом способе

sect 2 Частные погрешности и общая погрешность косвенного измерения Обрабатывая прямые измерения мы находим их

выборочные средние значения zyx hellip являющиеся как было показано выше случайными величинами Очевидно что и величина WW = ( zyx hellip) представляющая собой выборочное среднее искомой функции будет также случайной величиной Задача как и в случае прямых измерений состоит в том чтобы определить с какой вероятностью искомая величина W может быть заключена в некотором заданном интервале W plusmn ΔW В общем случае эта задача весьма сложна и мы ограничимся лишь ее приближенным решением

Рассмотрим сначала случай когда W является функцией только одной переменной то есть W = W(x) Разложим функцию W(x) в ряд Тейлора в окрестности точки х = Х (Х ndash истинное

22

значение х) В случае когда погрешность прямого измерения достаточно мала можно ограничиться лишь линейным членом и считать что

)()()( Xxdx

dWXWxWXx

minussdot⎟⎠⎞

⎜⎝⎛+=

=

Отсюда )()()( Xxdx

dWXWxWXx

minussdot⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=minus

=

(31)

Из (31) следует что

xxx

W Sdx

dWS sdot⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=

=

(32)

где xS и WS ndash средние квадратичные погрешности величин

x и W Доверительный интервал величины W соответствующий надежности α определяется как

Xdx

dWWWWxx

Δsdot⎟⎠⎞

⎜⎝⎛plusmn=Δplusmn

=

(33)

где ΔW ndash точность величины х соответствующая той же надежности α

Если результат косвенного измерения W является функцией многих переменных то есть W = W(x y z) то по формуле (33) можно вычислить погрешности ΔWx ΔWy ΔWzhellip обусловленные каждым аргументом и называемые частными погрешностями Они равны

Zz

WW

YyWW

Xx

WW

zzz

yyy

xxx

Δsdot⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

partpart

=Δ

Δsdot⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛partpart

=Δ

Δsdot⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

partpart

=Δ

=

=

=

(34)

и так далее

23

В формулах (34) z

WyW

xW

partpart

partpart

partpart являются частными

производными и вычисляются так как будто другие аргументы ndash постоянные величины

Общая погрешность косвенного измерения в этом случае вычисляется по формуле (см Список литературы ndash 4)

222zyx WWWW Δ+Δ+Δ=Δ и

22

22

22

Zz

WYyWX

xWW Δ⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛

partpart

+Δ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛partpart

+Δ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

partpart

=Δ (35)

sect 3 Относительная погрешность косвенного измерения Очень часто бывает удобно вычислить относительную

погрешность результата косвенного измерения WdW

W =η

На основании известной формулы dlnu = duu можно сформулировать следующее правило расчета относительной погрешности Допустим сначала что W = W(x) ndash функция одной переменой Тогда относительная погрешность

WdWdW

W ln==η (36)

то есть для нахождения ηW необходимо сначала прологарифмировать выражение W(x) а затем продифференцировать его по х

В случае многих переменных можно как и для абсолютных погрешностей ввести частные относительные погрешности равные

24

ln xWxx Δsdot

partpart

=η

ln

ln

zWz

yWy

z

y

Δsdotpartpart

=

Δsdotpartpart

=

η

η (37)

Тогда общая относительная погрешность определится как

K222zyxW ηηηη ++= (38)

Расчет погрешности по формулам (37) и (38) особенно удобно производить в случае когда функция имеет одночленную (логарифмическую) формулу Пусть например

yxAW 4=

где А ndash константа Используя правило (37) имеем lnln4lnln 2

1 yxAW minus+=

21 4

y yy

xx

xΔ

minus=Δ

= ηη

4

116 22

22 y

yx

xΔsdot+Δsdot=η

Замечание Прежде чем сделать расчет по формуле (38) произведите оценку относительных погрешностей по отдельным аргументам вычисленных по формулам (37) Если при этом отдельные частные погрешности меньше максимальной хотя бы в три раза ими можно пренебречь В таком случае общая формула (38) значительно упростится

Определив относительную погрешность ηW можно рассчитать абсолютную погрешность (точность) по формуле

ΔW = ηWW (39)

25

Глава IV Определение параметров линейной зависимости

На опыте часто измеряют пары величин х и y причем одна

из них y является функцией другой ndash х Пусть в результате эксперимента получен ряд измерений величины y y1 y2hellipyn соответствующих значениям аргумента х1 х2 hellipхn

Необходимо установить эмпирическую зависимость между y и х Задача состоит в том чтобы по экспериментальным точкам провести линию которая как можно лучше соответствовала бы истинной функциональной зависимости y = f(x) При этом ограничимся лишь случаем линейной функции

y = ax + b (41) Линейная зависимость очень широко распространена в

физике Даже в случаях когда зависимость нелинейная обычно стараются преобразовать ее так чтобы свести к линейной Например зависимость y = Aeαx преобразуется к виду ln y = ln A + αx и на графике строится зависимость

ln y = f(1x)

Ниже приведены два метода нахождения наиболее вероятных параметров линии (коэффициентов а и в уравнения (41)) проходящих через набор экспериментальных точек

sect 1 Метод парных точек Метод парных точек является наиболее простым и

применяется в основном для определения лишь наклона прямой то есть коэффициента а

Допустим что у нас имеется 8 точек лежащих на одной прямой Требуется найти наилучшее значение тангенса угла наклона а и его погрешность Пронумеруем точки по порядку от

26

1 до 8 (рис 9) Возьмем точки 1 и 5 ими определится некоторая прямая и угол ее наклона В качестве наилучшего значения а выбирается его среднее значение a и обычным способом находится его среднеквадратичная погрешность и доверительный интервал

y 8 7 6 5 3 4 2

1 0

х Рис 9 Нумерация экспериментальных точек для расчета а

методом парных точек

Таким образом полученная прямая линия будет иметь угловой коэффициент a и проходить через точку соответствующую средним значениям переменных х и y (следующий параграф)

Такой метод дает удовлетворительные результаты лишь тогда когда величины (x5 ndash x1) (x6 ndash x2) (x7 ndash x3) (x8 ndash x4) примерно одинаковы

sect 2 Метод наименьших квадратов (МНК) МНК является одним из стандартных методов статистики

Сущность этого метода заключается в следующем Допустим что имеется n пар измеренных значений (x1 y1) (x2 y2)hellip(xn yn) Предположим что ошибки содержат лишь величины y

27

(На практике это предположение часто оправдывается) По результатам измерений необходимо построить прямую линию

В основе описываемого метода лежит положение согласно которому наилучшим приближением будет такая прямая линия для которой сумма квадратов расстояний по вертикали от точек до прямой (сумма квадратов погрешностей величины y (рис 10)) является минимальной то есть наиболее вероятные

Рис 10 Распределение экспериментальных точек относительно искомой прямой

значения параметров а и в (41) выбираются так чтобы сумма

( )sum sum= =

minusminus==n

i

n

iiii baxydS

1 1

22 (42)

была минимальной Это значит что

( )sum=

=minus+=partpart n

iiii xybax

aS

1

02

( )sum=

=minus+=partpart n

iii ybax

bS

1

02 (43)

28

Таким образом искомые величины а и в получаются

решением системы уравнений

sum sum sum= = =

=+n

i

n

i

n

iiiii yxxbxa

1 1 1

2 (44)

sum sum= =

=+n

i

n

iii ybnxa

1 1

(45)

Из уравнения (45) следует что наилучшая прямая проходит через точку с координатами

sumsum==

==n

ii

n

ii y

nyx

nx

1

_

1

_

11 (46)

(В этом можно легко убедиться поделив равенство (45) почленно на n) Из уравнений (44) и (45) находим

1 1

2

1 1

sum sum

sum sum

= =

= =

minus

minus= n

i

n

iii

n

i

n

iiii

xxx

yyyxa (47)

sum sumsum sum

sum sum= =

= =

= =

minus

minusminus=

n

i

n

in

i

n

iii

n

i

n

iiii

ii

xxx

yyyxx

ny

nb

1 1

1 1

2

1 111 (48)

29

В лабораторном практикуме обычно бывает достаточно оценить погрешность коэффициента a Формула для среднеквадратичной ошибки величины а имеет вид (см Список литературы ndash 3)

2

1 2

minusminus

=n

rSS

Sx

ya (49)

где ( )sum=

minusminus

=n

iiy yy

nS

1

2 1

1 (410)

( )sum=

minusminus

=n

iix xx

nS

1

2

11

(411)

( ) ( )

( ) 1

1

yx

n

iii

SSn

yyxxr

sdotminus

minusminus=

sum= (412)

Интервал в котором с установленной вероятностью α может находиться коэффициент а записывается в виде

22 anan StaaSta sdot+lelesdotminus minusminus αα (413)

где a определяется формулой (47) aS ndash формулой (49) tαn-2 ndash коэффициент Стьюдента для надежности α и числа измерений n ndash число пар точек

При использовании метода наименьших квадратов рекомендуется следующий порядок действий

1 Составить таблицу

изм xi yi xiyi xi

2 1 2

i n

sumxi sumyi sumxiyi sumxi2

30

2 Рассчитать

а) sum=

n

iii yx

1 б) sum

=

=n

i

i

nx

x1

в) sum=

n

iiy

1

г) sum=

n

iix

1

д) sum=

n

iix

1

2 е) sum=

=n

i

i

ny

y1

3 Рассчитать наилучшие значения углового коэффициента а по

формуле (47) 4 Зная коэффициенты а и б провести наилучшую прямую она

должна проходить через точку с координатами x и y 5 Для расчета погрешности величины а по формулам (49 ndash 412) составить таблицу

пп

yi - y

xi - x

(yi - y )2

(xi - x )2

Sx

Sy

r

31

ЧАСТЬ II

ПРАВИЛА РАБОТЫ В ЛАБОРАТОРИИ

ОФОРМЛЕНИЕ РЕЗУЛЬТАТОВ РАБОТЫ sect 1 Правила работы в лаборатории Каждая лабораторная работа рассчитана на одно занятие

В начале семестра составляется и вывешивается в лаборатории график выполнения работ на весь семестр

Студент должен заранее знать тему своей лабораторной работы и подготовиться к ней по методическому руководству и другой указанной в нем литературе

Перед выполнением каждой лабораторной работы необходимо пройти краткое собеседование с преподавателем и получить разрешение на ее выполнение Оно дается в том случае если студент четко знает цель работы методику проведения эксперимента умеет пользоваться приборами

ПРИСТУПАТЬ К ВЫПОЛНЕНИЮ ЛАБОРАТОРНЫХ

РАБОТ БЕЗ РАЗРЕШЕНИЯ ПРЕПОДАВАТЕЛЯ КАТЕГОРИЧЕСКИ ВОСПРЕЩАЕТСЯ

В конце занятия студент обязан предъявить преподавателю

результаты своей работы Работа считается выполненной если результаты утверждены и подписаны преподавателем После этого необходимо выключить установку привести в порядок рабочее место и получить методические указания к следующей работе

32

sect 2 Журнал лабораторных работ Результаты измерений и наблюдений должны тотчас же

фиксироваться в специальном журнале в форме протоколов Временные записи результатов на черновых листочках не допускаются

Единую форму протоколов пригодную для всех работ дать невозможно и нецелесообразно Тем не менее можно сформулировать некоторые общие требования которым должны удовлетворять записи в журнале лабораторных работ

1 Должны быть указаны название работы и дата ее выполнения

конкретная цель работы и ее упражнений 2 Целесообразно привести расчетную формулу и пояснить

физический смысл входящих в нее символов 3 Результаты всех измерений заносятся в заранее

подготовленные удобные таблицы из которых было бы ясно какие физические величины и в каких единицах измерялись сколько раз повторялись измерения каждой физической величины

4 Необходимо указать приборы использовавшиеся для измерения различных величин и их точности

5 Зафиксировать (если это важно) условия опыта (температуру давление влажность воздуха и т д)

6 Записи в журнале должны быть аккуратными и четкими журнал лабораторных работ ndash не черновик В нем не должно содержаться никаких записей не относящихся к выполняемой работе Прикидочные расчеты должны проводиться на черновых листках

7 Для пометок и замечаний целесообразно оставлять поля шириной 3 см Ниже приведена схема оформления протокола одной из

лабораторных работ

33

081098 Определение модуля Юнга по изгибу стержня Цель работы ndash проверка закона Гука и определение модуля

Юнга для стального и медного стержней Расчетная формула

4 3

3

habPLE =

где Е ndash модуль Юнга Р ndash величина нагрузки приложенной к середине стержня L ndash длина деформируемой части стержня равная расстоянию между ребрами опорных призм а ndash ширина стержня в ndash его толщина h ndash стрела прогиба

Таблица 1 Определение размеров стержня

опыта L мм а мм в мм

1 5

Измерительный прибор и его точность

Штанген-циркуль plusmn 01 мм

Микрометр plusmn0005 мм

Микрометр plusmn0005 мм

Таблица 2 Измерение стрелы прогиба нагружаемого стержня

РкГс 0 01 02 03 04 hellip

h мм

205 207 203 208 205

255 248 251 249 252

hellip hellip hellip hellip

Измерительный прибор ndash микрометр точность ~ plusmn 0005 мм

Подпись преподавателя

34

sect 3 Оформление отчетов По результатам каждой лабораторной работы составляется

отчет Он должен включать 1 Краткую формулировку идеи метода расчетную формулу

пояснение физического смысла входящих в нее символов 2 Таблицы с результатами измерений и расчетов 3 Статистическую обработку результатов измерений 4 Выводы 5 На титульном листе должны быть указаны название

лабораторной работы факультет курс группа фамилия и инициалы исполнителя Отчет должен быть написан в хорошем стиле аккуратным

разборчивым почерком При его оформлении не следует также пренебрегать и эстетической стороной вопроса Заголовки выводы и формулы целесообразно выделять пастой другого цвета подчеркнуть и т п Это облегчает чтение отчета

Выводы должны быть аргументированы ссылками на соответствующие таблицы и графики поэтому они должны быть пронумерованы

sect 4 Графики Графики используются для наглядного представления

результатов При их построении необходимо соблюдать ряд правил 1 Графики нужно строить только на миллиметровой бумаге 2 На осях необходимо нанести масштабную сетку указать

единицы измерения и символы изображаемых величин 3 Масштаб должен быть простым удобным для отсчета его

долей Например 1 см = 01 1 2 или 10 единиц Кроме того масштаб выбирают так чтобы все экспериментальные точки вошли в график и достаточно далеко отстояли друг от друга

35

Иногда для этой цели бывает удобно сместить вдоль осей начало отсчета Масштаб по осям Х и У может быть различен

Рис 11 Пример построения графика функции по экспериментальным точкам

4 Экспериментальные точки следует наносить с максимальной

точностью так чтобы они четко выделялись на фоне графика не сливаясь с ним

5 График должен представлять собой плавную кривую без изломов и перегибов Нужно стремиться провести кривую так чтобы экспериментальные точки равномерно распределялись по обе стороны от нее (рис 11)

Графики выполненные на миллиметровой бумаге

аккуратно вклеиваются в отчет где для них необходимо предусмотреть соответствующее место

36

sect 5 Точность вычислений Точность вычислений определяется погрешностью

измерений Не имеет смысла вычислять какуюndashлибо величину до пятого знака после запятой если погрешность измерений такова что неуверенно определяется ее третий знак

Чтобы погрешностью вычислений можно было пренебречь она должна быть на порядок (то есть в 10 раз) меньше погрешности наименее точно измеряемой величины

Пример Модуль Юнга по изгибу стержня вычисляется по

формуле E = PL3 4ab3middoth Анализ исходных данных показывает как правило что с наибольшей относительной погрешностью измеряется стрела прогиба h Так как ΔEE gt Δh h то допускаемая относительная погрешность вычислений ΔE выч E cong 01 Δhh Для стали E cong 2middot104 кГсмм2 поэтому при Δhh =10-2 ΔEвыч cong 10 кГсмм2 Это значит что вычисления Е целесообразно проводить лишь с точностью до четвертой значащей цифры

Обычно нас интересует лишь порядок величины погрешностей поэтому последние рекомендуется вычислять лишь до второй значащей цифры а затем округлять результат до одной значащей цифры

Приводя значение измеренной Вами величины проверьте согласуется ли порядок приведенных значащих цифр с порядком погрешности

Порядок последней значащей цифры измеренной величины и порядок погрешности должны быть одинаковы

Запись Е = (1845127 plusmn 20) 107 Па неграмотна Величина ошибки свидетельствует о том что неуверенно определяется уже четвертый знак поэтому результат должен быть соответственно округлен

Е = (18450 plusmn 20) 107 Па

37

Приложение

Таблица 3 Значения коэффициентов Стьюдента

Коэффициент надежности Число

изме рений

N 08 09 095 098 099 0999

2 31 631 1271 3182 6366 63662 3 19 292 431 696 992 3160 4 16 235 318 454 584 1294 5 15 213 278 375 460 861 6 15 202 257 336 403 686 7 14 194 245 314 371 596 8 14 190 236 300 350 540 9 14 186 231 290 336 504

10 14 183 226 282 325 478 infin 13 165 196 233 259 331

38

Список литературы

1 Деденко Л Г Керженцев В В Математическая обработка и оформление результатов эксперимента М Издndashво МГУ 1977

2 Зайдель А Н Ошибки измерения физических величин Л

Наука 1974 3 Кассандрова О Н Лебедев В В Обработка результатов из-

мерений М Наука 1970 4 Сквайрс Дж Практическая физика М Мир 1971 5 Соловьев В А Яхонтова В Е Элементарные методы обра-

ботки результатов измерений Л Издndashво ЛГУ 1977

39

СОДЕРЖАНИЕ

Задачи физического практикума 3

Часть I Статистическая обработка результатов измерений

Глава I Введение в теорию погрешностей 3 sect1 Измерения и их погрешности 3 sect2 Типы погрешностей 5

1 Систематические погрешности 5 2 Случайные погрешности 6 3 Промахи 7

Глава II Статистическая обработка результатов прямых измерений 8 sect1 Вероятность случайного события 8 sect2 Нормальный закон распределения случайных погрешностей 9 sect3 Среднеквадратичная погрешность 13 sect4 Среднеквадратичная погрешность среднего 14 sect5 Доверительный интервал и доверительная вероятность 15 sect6 Совместный учет систематической и случайной погрешностей 20 Глава III Статистическая обработка результатов косвенных измерений 21 sect1 Два способа оценки погрешностей косвенного измерения 21 sect2 Частные погрешности и общая погрешность косвенного измерения 21 sect3 Относительная погрешность косвенного измерения 23 Глава IV Определение параметров линейной зависимости 25 sect1 Метод парных точек 25 sect2 Метод наименьших квадратов (МНК) 26

40

Часть II Правила работы в лаборатории оформление

результатов работы

sect1 Правила работы в лаборатории 31 sect2 Журнал лабораторных работ 32 sect3 Оформление отчетов 34 sect4 Графики 34 sect5 Точность вычислений 36 Приложение 37 Список литературы 38

41

Составители Жукова Ида Степановна Бутина Лариса Иосифовна Крылова Светлана Ивановна

ВВЕДЕНИЕ В ЛАБОРАТОРНЫЙ ПРАКТИКУМ ПО КУРСУ ОБЩЕЙ ФИЗИКИ

Методические указания

к лабораторной работе

Редактор Козина О В

ЛР 040 110 Подписано к печати 090999 Формат 60х84 116 Бумага газетная Офсетная печать 25 уч-издл

11 услкр-отт Тираж 500 экз Изд 19 laquoСraquo

Издательство Петрозаводского государственного университета

185640 Петрозаводск пр Ленина 33

6

3 Внесение соответствующих поправок на влияние внешних факторов

2 Случайные погрешности Случайными называются погрешности величина и знак

которых меняется непредсказуемым образом при повторных измерениях данной величины в тех же условиях Случайные погрешности могут быть вызваны действием различных неконтролируемых факторов толчков воздушных течений пылинок и т д Источником случайных ошибок может быть и сам экспериментатор из-за несовершенства органов его чувств Так например результаты повторных измерений периода колебаний математического маятника с помощью очень точного секундомера обязательно окажутся несколько отличными друг от друга вследствие того что моменты нахождения маятника в соответствующих фазах отклонения фиксируются неточно при пуске секундомера экспериментатор может несколько замешкаться при его остановке наоборот поспешить Случайные погрешности отклоняют результат то в одну то в другую сторону от истиного значения измеряемой величины поэтому результаты (хi) большого числа измерений симметрично располагаются относительно Х (рис 2)

Рис 2 Представление результатов измерений при наличии случайных погрешностей

Влияние случайных погрешностей можно существенно

уменьшить усреднением результатов большого числа измерений

7

В самом деле пусть x1 x2 x3hellipxn ndash результаты отдельных измерений а

Δx1 = x1 ndash X Δx2 = x2 ndash X Δx3 = x3 ndash X (11) hellip hellip hellip Δxn = xn ndash X

ndash их абсолютные погрешности Δxn где n ndash полное число измерений Сложив почленно равенства (11) получим

sum sum= =

minus=Δn

i

n

iii nXxx

1 1

откуда

sum sum= =

Δminus=n

i

n

iii x

nx

nX

1 1

11 (12)

Величина sum=

=n

ii xx

n 1

1 называется средним арифметическим

результатом серии измерений Так как при большом числе измерений величина x очень

мала то можно считать что Xx cong Чем больше n тем точнее выполняется это равенство те x ndash х ltlt Δxi

3 Промахи Промах ndash это очень грубая погрешность вызванная

невнимательностью экспериментатора (неверный отсчет показаний прибора описка при записи показаний и т д) Промахи могут сильно исказить результаты измерений особенно в тех случаях когда их число невелико

Вывод при выполнении работы нужно быть очень внимательным не спешить не отвлекаться

8

Глава II Статистическая обработка результатов прямых измерений

Ранее было показано что усреднением результатов

достаточно большого числа измерений можно существенно уменьшить влияние случайных погрешностей Однако практически n бывает не так уж велико и x может заметно отличаться от Х Как оценить возможное отличие x от Х Соответствующие методы разработаны в теории погрешностей которая оперирует понятиями теории вероятностей

sect 1 Вероятность случайного события В теории вероятностей всякий исход испытания называется

событием Случайными называются события о наступлении которых нельзя сделать точного предсказания Так если в урне смешать неотличимые на ощупь шары разного цвета а затем не глядя вынимать их то появление шара какого-либо определенного цвета будет событием случайным так как точно предсказать цвет вынимаемого шара в каждом отдельном случае невозможно Однако если провести большое число испытаний в одних и тех же условиях (вынутый шар кладется обратно в урну и шары тщательно перемешиваются) то о результатах такой серии измерений можно будет сделать вполне определенные утверждения статистического характера

Пусть nA ndash число испытаний при которых наступило событие А (например вынут красный шар) а n ndash общее число испытаний Отношение РА = lim nAn называется вероятностью

nrarrinfin события А При достаточно большом n РА cong nAn

Зная вероятность РА события можно достаточно точно предсказать сколько раз оно наступит при большом числе испытаний nA = n РА

Вероятность любого события может быть заключена в пределах от нуля до единицы Если РА = 1 событие называется

9

достоверным если РА = 0 событие называется невозможным (оно либо не наступает никогда либо чрезвычайно редко)

Если рассматриваемая совокупность событий такова что одно из них обязательно наступает при каждом испытании то такие события образуют полную группу Нетрудно показать что сумма вероятностей событий образующих полную группу равна единице

Так например в случае одинакового числа шаров белого красного и синего цвета события выражающиеся в том что вынутый шар будет белым красным или синим образуют полную группу Вероятность каждого отдельного события равна 13 а их сумма равна единице

sect 2 Нормальный закон распределения случайных погрешностей

Если погрешности носят чисто случайный характер то по

результатам измерений можно оценить вероятности их появления Пусть х1 х2hellipхn ndash результаты отдельных измерений Примем

что n достаточно велико и при оценке погрешностей будем считать что

sum=

==n

iix

nxX

11

(21)

xxx ii minus=Δ Определив погрешности Δxi рассортируем их по величине

Для этого весь диапазон полученных значений Δxi разобъем на одинаковые малые интервалы Δε и подсчитаем сколько раз величина ошибки попадает в каждый интервал Если в интервале номер laquokraquo оказалось заключено Δnk значений погрешности то вероятность попадания погрешности в этот интервал

Pk cong Δnkn (22)

10

Если значения вероятности для каждого интервала отложить по оси ординат то получится ступенчатая диаграмма изображенная на рисунке 3 Она называется гистограммой

Рис 3 Гистограмма Так как Рк зависит от Δε то по оси ординат удобнее

откладывать не Рк а величину εε Δsdot

Δ=

Δ=

nnP

y kk называемую

плотностью распределения вероятностей Очевидно y = Pk при Δε =1 Это значит что у есть вероятность отнесенная к единичному интервалу Δε Вид гистограммы y (Δхi ) будет таким же как и вид гистограммы Рк (Δхi ) (рис 3)

11

Рис4 Кривая распределения вероятностей случайных погрешностей Если увеличить число измерений n (n rarrinfin) и строить

гистограммы для все более малых интервалов Δε то при Δεrarr0 середины верхних площадок прямоугольников сольются в плавную кривую называемую кривой распределения вероятностей Опыт показал что в большинстве случаев распределение погрешностей соответствует так называемому нормальному закону найденному Гауссом Согласно гауссову распределению плотность вероятности y и величина погрешности Δxi связаны соотношением

( )πσ 2

1=Δ ixy

( )2

2

2σixΔ

minusl (23)

где l minus основание натурального логарифма σ2 ndash некоторый постоянный параметр называемый дисперсией распределения (смысл его выясняется далее)

12

Вид кривой распределения соответствующий некоторому значению σ показан на рисунке 4

Пользуясь законом распределения можно производить многие важные расчеты

Из формулы εΔsdot

Δ=

nn

y k следует что вероятность P(Δxk)

того что величина погрешности заключена в интервале Δxk divide Δxk + Δε определяется формулой

P(Δxk) = y(Δxk)middotΔε Численно эта вероятность равна площади зачерненного

прямоугольника С с основанием Δε (рис 4) Вероятность того что модуль погрешности не превзойдет некоторого значения изобразится площадью заштрихованной фигуры АВС с основанием 2 Δxk (рис 4)

На рисунке 5 представлены кривые распределения соответствующие разным σ Видно что с ростом σ максимум кривой распределения понижается а ее laquoкрыльяraquo поднимаются В соответствии со сказанным ранее о геометрическом смысле вероятности это означает что с ростом σ вероятность малых погрешностей уменьшается а вероятность больших ndash растет Следовательно чем больше дисперсия распределения σ2 тем меньше точность измерений

Важно подчеркнуть что кривая y(Δxi) характеризует не какую-то серию измерений а некоторую воображаемую совокупность бесконечного числа измерений данной величины в одних и тех же условиях Такая совокупность называется генеральной Всякая же конечная серия измерений называется случайной выборкой из генеральной совокупности

13

Рис 5 Влияние дисперсии на вид кривой распределения вероятностей случайных погрешностей

sect 3 Среднеквадратичная погрешность

Пусть х1 х2hellipхn ndash результаты некоторой серии n измерений

проведенных в одинаковых условиях Как уже подчеркивалось величина случайной погрешности не постоянна и меняется от опыта к опыту Возникает необходимость охарактеризовать погрешности результатов отдельных измерений данной серии некоторой средней величиной Иногда в качестве такой характеристики используют среднюю арифметическую погрешность

sum=

Δ=Δn

iix

nx

11

Однако удобнее использовать так называемую среднеквадратичную погрешность выборки Sn определяемую формулой

14

( )

11

2

minus

minus=

sum=

n

xxS

n

ii

n (24)

Sn называют также выборочным стандартным отклонением Можно показать что при достаточно большом числе

измерений Sn cong σ и следовательно дисперсия распределения

( ) ( )

11

2

1

2

22

n

xx

n

xxS

n

ii

n

ini

n

sumsum==

minuscong

minus

minus=congσ (25)

Таким образом дисперсия распределения приблизительно

равна среднему квадрату погрешности отдельных измерений найденному при достаточно большом n Для генеральной совокупности (n rarr infin) равенство (25) выполняется точно Из него следует что величина дисперсии зависит от условий в которых проводятся измерения чем благоприятнее условия измерений тем меньше разброс результатов и меньше дисперсия

sect 4 Среднеквадратичная погрешность среднего Допустим что мы провели серию n измерений некоторой

величины х результаты которых равны х1 х2hellipхn Наилучшим приближением к истинному значению является величина

sum=

=n

iix

nx

1

1 называемая cредним выборочным значением

измеряемой величины Если серию по n измерений в каждой повторить m раз то мы получим m значений x несколько отличающихся друг от друга и от истинного значения Х измеряемой величины Погрешности Xxx kk minus=Δ являются случайными и так же как погрешности отдельных измерений Δxi = xi ndash Х подчиняются гауссову распределению но с другой

15

дисперсией 2xσ lt 2σ Величина 2

xσ называемая дисперсией среднего является мерой погрешности среднего значения x найденного в серии из n измерений В теории погрешности доказывается что

22

nxσσ = (26a)

Это значит что xσ в отличие от σ зависит от числа проведенных измерений

nx

σσ = (26б)

Таким образом среднеквадратичная погрешность среднего результата n измерений в n12 раз меньше среднеквадратичной погрешности отдельных измерений Из формул (25) и (26) следует что при большом n

( ))1(

1

2

minus

minus=cong

sum=

nn

xx

nS

n

ii

nx

σ

Величина

( ))1(

1

2

minus

minus=

sum=

nn

xxS

n

ii

x (27)

называется выборочной среднеквадратичной погрешностью среднего

sect 5 Доверительный интервал и доверительная вероятность Как уже указывалось для любой конечной выборки x neХ

Практически очень важно оценить возможную величину отклонения среднего значения x от истинного Х то есть x ndash Х

16

Интервал plusmnx ΔХ в который с заданной вероятностью α попадает истинное значение Х измеряемой величины называется доверительным интервалом соответствующим вероятности α Вероятность α называется также доверительной вероятностью или надежностью Величина ΔХ характеризует точность оценки Чем меньше разность x ndash Х тем выше точность

Надежность соответствующую заданной точности ΔХ можно вычислить теоретически воспользовавшись гауссовым распределением если известна дисперсия 2

xσ В соответствии со сказанным ранее (гл II sect2) величина α

равна площади заштрихованной фигуры АВС опирающейся на отрезок 2ΔХ (рис 6)

Рис 6 Кривая распределения вероятностей случайных

погрешностей среднего

17

Так как =2xσ σ2n то надежность соответствующая

заданной точности ΔХ растет с ростом числа измерений и величины дополнительного интервала

Можно показать что α является функцией величины

к = x

XσΔ

График функции α = F(k) показан на рисунке 7

Рис 7 График функции α = ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ Δ

x

XFσ

Видно что с ростом k растет и доверительная вероятность α

Так α = 068 для k = 1 α = 095 для k = 2 α = 0997 для k = 3 Результаты расчетов F для различных k приведены в соответствующей литературе (см Список литературы ndash 1 2)

Если n мало (n lt 30) то xx Sneσ и для расчета распределением Гаусса пользоваться нельзя В этом случае используют распределение выведенное английским математиком и химиком Госсетом (псевдоним laquoСтьюдентraquo)

В распределении Стьюдента плотность распределения вероятностей рассматривается как функция величины

18

xx SXx

SXt minus

=Δ

= называемой коэффициентом Стьюдента

(среднеквадратичная погрешность среднего арифметического xS определяется формулой (27))

Распределение Стьюдента зависит от n и при nrarrinfin переходит в распределение Гаусса

Рис 8 Кривые распределения Стьюдента для выборок различного объема

На рисунке 8 показаны кривые y(t) при разных n Вычислив

по результатам измерений xS и задав величину ΔX можно найти t и α соответствующие данному n Наоборот задав надежность α можно вычислить tαn и соответствующую точность ΔX = tαn xS при данном значении n Соответствующие друг другу значения

19

α и tαn при разных n приводятся в специальных таблицах (см Приложение)

На практике задание величины ΔX определяется конкретными условиями Допустим что некоторое предприятие изготовляет резисторы определенного номинала Естественно что благодаря действию различных случайных факторов величины сопротивлений R будут отклоняться от их номинальных значений Измерив R для большой партии резисторов (ngtgt30) можно построить кривую y (ΔR) и найти дисперсию 2

Rσ Величина 2Rσ определяется тем насколько хорошо контролируется и

поддерживается постоянной технология изготовления резисторов Если разброс значений R а значит и 2

Rσ велик то задавая малое значение доверительного интервала Xx Δplusmn получим и малую надежность α При этом лишь малая доля значений R попадает в заданный доверительный интервал и процент брака будет соответственно велик Напротив при выборе большой надежности уменьшится процент брака но зато увеличится разброс значений R (увеличится ширина доверительного интервала x plusmn ΔX)

Если по условиям работы приборов в которых используются эти резисторы доверительный интервал должен быть малым то для сохранения большой надежности необходимо улучшить технологию их производства

Точность электроизмерительных приборов определяется классом их точности и соответствует надежности α = 0997 (ΔX = 3σ x ) В лабораторных условиях обычно довольствуются надежностью α = 090 095

Для оценки доверительного интервала прямых измерений предлагается следующий порядок 1 Провести серию измерений изучаемой величины Х и оценить

среднее выборочное x sum=

=n

iix

nx

1

1

2 Найти абсолютную погрешность единичного измерения Δхi Δxi = xi ndash x

20

3 Определить среднюю квадратичную ошибку среднего арифметического

( ))1(

1

2

minus

minus=

sum=

nn

xxS

n

ii

x

4 Определить точность измерения ΔX при заданных n и α ΔX = nx tS αsdot

5 Записать доверительный интервал для истинного значения измеряемой величины Х = x plusmn ΔX или x ndash ΔX leΧle xi +ΔX

Для удобства расчетов данные оформляются в виде таблицы xi Δxi = xi - x Δxi

2 xS αn ΔX

1 2

Ср Σ Δxi2=

Абсолютная ошибка Δхi рассчитывается по модулю

sect 6 Совместный учет систематической и случайной погрешностей Строгий учет систематической погрешности труден Если

систематическая погрешность обусловлена точностью прибора (что мы и будем предполагать) то можно оценить верхнюю границу возможных ошибок зная класс его точности Если точность обусловленная случайной погрешностью ndashΔХ а величина систематической погрешности ndashδ то величина суммарной точности ΔХ определяется формулой

( )2

2

3 ⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ sdot

+Δ=Δδαk

XX (28)

где kα = tα(infin) ndash коэффициент Стьюдента при n = infin

21

Глава III Статистическая обработка результатов косвенных измерений

sect 1 Два способа оценки погрешности косвенного

измерения В большинстве случаев имеют дело с косвенными

измерениями Пусть x y z ndash непосредственно измеряемые величины а W = f (x y z) ndash их функция то есть величина измеряемая косвенно Рассмотрим два способа оценки погрешности величины W

I способ Если косвенные измерения проводятся в невоспроизводимых условиях то значения Wi вычисляются для каждого отдельного измерения а затем обрабатываются как прямые измерения

II способ позволяет вычислить погрешность косвенного измерения как функцию погрешностей прямых измерений Далее остановимся подробнее на этом способе

sect 2 Частные погрешности и общая погрешность косвенного измерения Обрабатывая прямые измерения мы находим их

выборочные средние значения zyx hellip являющиеся как было показано выше случайными величинами Очевидно что и величина WW = ( zyx hellip) представляющая собой выборочное среднее искомой функции будет также случайной величиной Задача как и в случае прямых измерений состоит в том чтобы определить с какой вероятностью искомая величина W может быть заключена в некотором заданном интервале W plusmn ΔW В общем случае эта задача весьма сложна и мы ограничимся лишь ее приближенным решением

Рассмотрим сначала случай когда W является функцией только одной переменной то есть W = W(x) Разложим функцию W(x) в ряд Тейлора в окрестности точки х = Х (Х ndash истинное

22

значение х) В случае когда погрешность прямого измерения достаточно мала можно ограничиться лишь линейным членом и считать что

)()()( Xxdx

dWXWxWXx

minussdot⎟⎠⎞

⎜⎝⎛+=

=

Отсюда )()()( Xxdx

dWXWxWXx

minussdot⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=minus

=

(31)

Из (31) следует что

xxx

W Sdx

dWS sdot⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=

=

(32)

где xS и WS ndash средние квадратичные погрешности величин

x и W Доверительный интервал величины W соответствующий надежности α определяется как

Xdx

dWWWWxx

Δsdot⎟⎠⎞

⎜⎝⎛plusmn=Δplusmn

=

(33)

где ΔW ndash точность величины х соответствующая той же надежности α

Если результат косвенного измерения W является функцией многих переменных то есть W = W(x y z) то по формуле (33) можно вычислить погрешности ΔWx ΔWy ΔWzhellip обусловленные каждым аргументом и называемые частными погрешностями Они равны

Zz

WW

YyWW

Xx

WW

zzz

yyy

xxx

Δsdot⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

partpart

=Δ

Δsdot⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛partpart

=Δ

Δsdot⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

partpart

=Δ

=

=

=

(34)

и так далее

23

В формулах (34) z

WyW

xW

partpart

partpart

partpart являются частными

производными и вычисляются так как будто другие аргументы ndash постоянные величины

Общая погрешность косвенного измерения в этом случае вычисляется по формуле (см Список литературы ndash 4)

222zyx WWWW Δ+Δ+Δ=Δ и

22

22

22

Zz

WYyWX

xWW Δ⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛

partpart

+Δ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛partpart

+Δ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

partpart

=Δ (35)

sect 3 Относительная погрешность косвенного измерения Очень часто бывает удобно вычислить относительную

погрешность результата косвенного измерения WdW

W =η

На основании известной формулы dlnu = duu можно сформулировать следующее правило расчета относительной погрешности Допустим сначала что W = W(x) ndash функция одной переменой Тогда относительная погрешность

WdWdW

W ln==η (36)

то есть для нахождения ηW необходимо сначала прологарифмировать выражение W(x) а затем продифференцировать его по х

В случае многих переменных можно как и для абсолютных погрешностей ввести частные относительные погрешности равные

24

ln xWxx Δsdot

partpart

=η

ln

ln

zWz

yWy

z

y

Δsdotpartpart

=

Δsdotpartpart

=

η

η (37)

Тогда общая относительная погрешность определится как

K222zyxW ηηηη ++= (38)

Расчет погрешности по формулам (37) и (38) особенно удобно производить в случае когда функция имеет одночленную (логарифмическую) формулу Пусть например

yxAW 4=

где А ndash константа Используя правило (37) имеем lnln4lnln 2

1 yxAW minus+=

21 4

y yy

xx

xΔ

minus=Δ

= ηη

4

116 22

22 y

yx

xΔsdot+Δsdot=η

Замечание Прежде чем сделать расчет по формуле (38) произведите оценку относительных погрешностей по отдельным аргументам вычисленных по формулам (37) Если при этом отдельные частные погрешности меньше максимальной хотя бы в три раза ими можно пренебречь В таком случае общая формула (38) значительно упростится

Определив относительную погрешность ηW можно рассчитать абсолютную погрешность (точность) по формуле

ΔW = ηWW (39)

25

Глава IV Определение параметров линейной зависимости

На опыте часто измеряют пары величин х и y причем одна

из них y является функцией другой ndash х Пусть в результате эксперимента получен ряд измерений величины y y1 y2hellipyn соответствующих значениям аргумента х1 х2 hellipхn

Необходимо установить эмпирическую зависимость между y и х Задача состоит в том чтобы по экспериментальным точкам провести линию которая как можно лучше соответствовала бы истинной функциональной зависимости y = f(x) При этом ограничимся лишь случаем линейной функции

y = ax + b (41) Линейная зависимость очень широко распространена в

физике Даже в случаях когда зависимость нелинейная обычно стараются преобразовать ее так чтобы свести к линейной Например зависимость y = Aeαx преобразуется к виду ln y = ln A + αx и на графике строится зависимость

ln y = f(1x)

Ниже приведены два метода нахождения наиболее вероятных параметров линии (коэффициентов а и в уравнения (41)) проходящих через набор экспериментальных точек

sect 1 Метод парных точек Метод парных точек является наиболее простым и

применяется в основном для определения лишь наклона прямой то есть коэффициента а

Допустим что у нас имеется 8 точек лежащих на одной прямой Требуется найти наилучшее значение тангенса угла наклона а и его погрешность Пронумеруем точки по порядку от

26

1 до 8 (рис 9) Возьмем точки 1 и 5 ими определится некоторая прямая и угол ее наклона В качестве наилучшего значения а выбирается его среднее значение a и обычным способом находится его среднеквадратичная погрешность и доверительный интервал

y 8 7 6 5 3 4 2

1 0

х Рис 9 Нумерация экспериментальных точек для расчета а

методом парных точек

Таким образом полученная прямая линия будет иметь угловой коэффициент a и проходить через точку соответствующую средним значениям переменных х и y (следующий параграф)

Такой метод дает удовлетворительные результаты лишь тогда когда величины (x5 ndash x1) (x6 ndash x2) (x7 ndash x3) (x8 ndash x4) примерно одинаковы

sect 2 Метод наименьших квадратов (МНК) МНК является одним из стандартных методов статистики

Сущность этого метода заключается в следующем Допустим что имеется n пар измеренных значений (x1 y1) (x2 y2)hellip(xn yn) Предположим что ошибки содержат лишь величины y

27

(На практике это предположение часто оправдывается) По результатам измерений необходимо построить прямую линию

В основе описываемого метода лежит положение согласно которому наилучшим приближением будет такая прямая линия для которой сумма квадратов расстояний по вертикали от точек до прямой (сумма квадратов погрешностей величины y (рис 10)) является минимальной то есть наиболее вероятные

Рис 10 Распределение экспериментальных точек относительно искомой прямой

значения параметров а и в (41) выбираются так чтобы сумма

( )sum sum= =

minusminus==n

i

n

iiii baxydS

1 1

22 (42)

была минимальной Это значит что

( )sum=

=minus+=partpart n

iiii xybax

aS

1

02

( )sum=

=minus+=partpart n

iii ybax

bS

1

02 (43)

28

Таким образом искомые величины а и в получаются

решением системы уравнений

sum sum sum= = =

=+n

i

n

i

n

iiiii yxxbxa

1 1 1

2 (44)

sum sum= =

=+n

i

n

iii ybnxa

1 1

(45)

Из уравнения (45) следует что наилучшая прямая проходит через точку с координатами

sumsum==

==n

ii

n

ii y

nyx

nx

1

_

1

_

11 (46)

(В этом можно легко убедиться поделив равенство (45) почленно на n) Из уравнений (44) и (45) находим

1 1

2

1 1

sum sum

sum sum

= =

= =

minus

minus= n

i

n

iii

n

i

n

iiii

xxx

yyyxa (47)

sum sumsum sum

sum sum= =

= =

= =

minus

minusminus=

n

i

n

in

i

n

iii

n

i

n

iiii

ii

xxx

yyyxx

ny

nb

1 1

1 1

2

1 111 (48)

29

В лабораторном практикуме обычно бывает достаточно оценить погрешность коэффициента a Формула для среднеквадратичной ошибки величины а имеет вид (см Список литературы ndash 3)

2

1 2

minusminus

=n

rSS

Sx

ya (49)

где ( )sum=

minusminus

=n

iiy yy

nS

1

2 1

1 (410)

( )sum=

minusminus

=n

iix xx

nS

1

2

11

(411)

( ) ( )

( ) 1

1

yx

n

iii

SSn

yyxxr

sdotminus

minusminus=

sum= (412)

Интервал в котором с установленной вероятностью α может находиться коэффициент а записывается в виде

22 anan StaaSta sdot+lelesdotminus minusminus αα (413)

где a определяется формулой (47) aS ndash формулой (49) tαn-2 ndash коэффициент Стьюдента для надежности α и числа измерений n ndash число пар точек

При использовании метода наименьших квадратов рекомендуется следующий порядок действий

1 Составить таблицу

изм xi yi xiyi xi

2 1 2

i n

sumxi sumyi sumxiyi sumxi2

30

2 Рассчитать

а) sum=

n

iii yx

1 б) sum

=

=n

i

i

nx

x1

в) sum=

n

iiy

1

г) sum=

n

iix

1

д) sum=

n

iix

1

2 е) sum=

=n

i

i

ny

y1

3 Рассчитать наилучшие значения углового коэффициента а по

формуле (47) 4 Зная коэффициенты а и б провести наилучшую прямую она

должна проходить через точку с координатами x и y 5 Для расчета погрешности величины а по формулам (49 ndash 412) составить таблицу

пп

yi - y

xi - x

(yi - y )2

(xi - x )2

Sx

Sy

r

31

ЧАСТЬ II

ПРАВИЛА РАБОТЫ В ЛАБОРАТОРИИ

ОФОРМЛЕНИЕ РЕЗУЛЬТАТОВ РАБОТЫ sect 1 Правила работы в лаборатории Каждая лабораторная работа рассчитана на одно занятие

В начале семестра составляется и вывешивается в лаборатории график выполнения работ на весь семестр

Студент должен заранее знать тему своей лабораторной работы и подготовиться к ней по методическому руководству и другой указанной в нем литературе

Перед выполнением каждой лабораторной работы необходимо пройти краткое собеседование с преподавателем и получить разрешение на ее выполнение Оно дается в том случае если студент четко знает цель работы методику проведения эксперимента умеет пользоваться приборами

ПРИСТУПАТЬ К ВЫПОЛНЕНИЮ ЛАБОРАТОРНЫХ

РАБОТ БЕЗ РАЗРЕШЕНИЯ ПРЕПОДАВАТЕЛЯ КАТЕГОРИЧЕСКИ ВОСПРЕЩАЕТСЯ

В конце занятия студент обязан предъявить преподавателю

результаты своей работы Работа считается выполненной если результаты утверждены и подписаны преподавателем После этого необходимо выключить установку привести в порядок рабочее место и получить методические указания к следующей работе

32

sect 2 Журнал лабораторных работ Результаты измерений и наблюдений должны тотчас же

фиксироваться в специальном журнале в форме протоколов Временные записи результатов на черновых листочках не допускаются

Единую форму протоколов пригодную для всех работ дать невозможно и нецелесообразно Тем не менее можно сформулировать некоторые общие требования которым должны удовлетворять записи в журнале лабораторных работ

1 Должны быть указаны название работы и дата ее выполнения

конкретная цель работы и ее упражнений 2 Целесообразно привести расчетную формулу и пояснить

физический смысл входящих в нее символов 3 Результаты всех измерений заносятся в заранее

подготовленные удобные таблицы из которых было бы ясно какие физические величины и в каких единицах измерялись сколько раз повторялись измерения каждой физической величины

4 Необходимо указать приборы использовавшиеся для измерения различных величин и их точности

5 Зафиксировать (если это важно) условия опыта (температуру давление влажность воздуха и т д)

6 Записи в журнале должны быть аккуратными и четкими журнал лабораторных работ ndash не черновик В нем не должно содержаться никаких записей не относящихся к выполняемой работе Прикидочные расчеты должны проводиться на черновых листках

7 Для пометок и замечаний целесообразно оставлять поля шириной 3 см Ниже приведена схема оформления протокола одной из

лабораторных работ

33

081098 Определение модуля Юнга по изгибу стержня Цель работы ndash проверка закона Гука и определение модуля

Юнга для стального и медного стержней Расчетная формула

4 3

3

habPLE =

где Е ndash модуль Юнга Р ndash величина нагрузки приложенной к середине стержня L ndash длина деформируемой части стержня равная расстоянию между ребрами опорных призм а ndash ширина стержня в ndash его толщина h ndash стрела прогиба

Таблица 1 Определение размеров стержня

опыта L мм а мм в мм

1 5

Измерительный прибор и его точность

Штанген-циркуль plusmn 01 мм

Микрометр plusmn0005 мм

Микрометр plusmn0005 мм

Таблица 2 Измерение стрелы прогиба нагружаемого стержня

РкГс 0 01 02 03 04 hellip

h мм

205 207 203 208 205

255 248 251 249 252

hellip hellip hellip hellip

Измерительный прибор ndash микрометр точность ~ plusmn 0005 мм

Подпись преподавателя

34

sect 3 Оформление отчетов По результатам каждой лабораторной работы составляется

отчет Он должен включать 1 Краткую формулировку идеи метода расчетную формулу

пояснение физического смысла входящих в нее символов 2 Таблицы с результатами измерений и расчетов 3 Статистическую обработку результатов измерений 4 Выводы 5 На титульном листе должны быть указаны название

лабораторной работы факультет курс группа фамилия и инициалы исполнителя Отчет должен быть написан в хорошем стиле аккуратным

разборчивым почерком При его оформлении не следует также пренебрегать и эстетической стороной вопроса Заголовки выводы и формулы целесообразно выделять пастой другого цвета подчеркнуть и т п Это облегчает чтение отчета

Выводы должны быть аргументированы ссылками на соответствующие таблицы и графики поэтому они должны быть пронумерованы

sect 4 Графики Графики используются для наглядного представления

результатов При их построении необходимо соблюдать ряд правил 1 Графики нужно строить только на миллиметровой бумаге 2 На осях необходимо нанести масштабную сетку указать

единицы измерения и символы изображаемых величин 3 Масштаб должен быть простым удобным для отсчета его

долей Например 1 см = 01 1 2 или 10 единиц Кроме того масштаб выбирают так чтобы все экспериментальные точки вошли в график и достаточно далеко отстояли друг от друга

35

Иногда для этой цели бывает удобно сместить вдоль осей начало отсчета Масштаб по осям Х и У может быть различен

Рис 11 Пример построения графика функции по экспериментальным точкам

4 Экспериментальные точки следует наносить с максимальной

точностью так чтобы они четко выделялись на фоне графика не сливаясь с ним

5 График должен представлять собой плавную кривую без изломов и перегибов Нужно стремиться провести кривую так чтобы экспериментальные точки равномерно распределялись по обе стороны от нее (рис 11)

Графики выполненные на миллиметровой бумаге

аккуратно вклеиваются в отчет где для них необходимо предусмотреть соответствующее место

36

sect 5 Точность вычислений Точность вычислений определяется погрешностью

измерений Не имеет смысла вычислять какуюndashлибо величину до пятого знака после запятой если погрешность измерений такова что неуверенно определяется ее третий знак

Чтобы погрешностью вычислений можно было пренебречь она должна быть на порядок (то есть в 10 раз) меньше погрешности наименее точно измеряемой величины

Пример Модуль Юнга по изгибу стержня вычисляется по

формуле E = PL3 4ab3middoth Анализ исходных данных показывает как правило что с наибольшей относительной погрешностью измеряется стрела прогиба h Так как ΔEE gt Δh h то допускаемая относительная погрешность вычислений ΔE выч E cong 01 Δhh Для стали E cong 2middot104 кГсмм2 поэтому при Δhh =10-2 ΔEвыч cong 10 кГсмм2 Это значит что вычисления Е целесообразно проводить лишь с точностью до четвертой значащей цифры

Обычно нас интересует лишь порядок величины погрешностей поэтому последние рекомендуется вычислять лишь до второй значащей цифры а затем округлять результат до одной значащей цифры

Приводя значение измеренной Вами величины проверьте согласуется ли порядок приведенных значащих цифр с порядком погрешности

Порядок последней значащей цифры измеренной величины и порядок погрешности должны быть одинаковы

Запись Е = (1845127 plusmn 20) 107 Па неграмотна Величина ошибки свидетельствует о том что неуверенно определяется уже четвертый знак поэтому результат должен быть соответственно округлен

Е = (18450 plusmn 20) 107 Па

37

Приложение

Таблица 3 Значения коэффициентов Стьюдента

Коэффициент надежности Число

изме рений

N 08 09 095 098 099 0999

2 31 631 1271 3182 6366 63662 3 19 292 431 696 992 3160 4 16 235 318 454 584 1294 5 15 213 278 375 460 861 6 15 202 257 336 403 686 7 14 194 245 314 371 596 8 14 190 236 300 350 540 9 14 186 231 290 336 504

10 14 183 226 282 325 478 infin 13 165 196 233 259 331

38

Список литературы

1 Деденко Л Г Керженцев В В Математическая обработка и оформление результатов эксперимента М Издndashво МГУ 1977

2 Зайдель А Н Ошибки измерения физических величин Л

Наука 1974 3 Кассандрова О Н Лебедев В В Обработка результатов из-

мерений М Наука 1970 4 Сквайрс Дж Практическая физика М Мир 1971 5 Соловьев В А Яхонтова В Е Элементарные методы обра-

ботки результатов измерений Л Издndashво ЛГУ 1977

39

СОДЕРЖАНИЕ

Задачи физического практикума 3

Часть I Статистическая обработка результатов измерений

Глава I Введение в теорию погрешностей 3 sect1 Измерения и их погрешности 3 sect2 Типы погрешностей 5

1 Систематические погрешности 5 2 Случайные погрешности 6 3 Промахи 7

Глава II Статистическая обработка результатов прямых измерений 8 sect1 Вероятность случайного события 8 sect2 Нормальный закон распределения случайных погрешностей 9 sect3 Среднеквадратичная погрешность 13 sect4 Среднеквадратичная погрешность среднего 14 sect5 Доверительный интервал и доверительная вероятность 15 sect6 Совместный учет систематической и случайной погрешностей 20 Глава III Статистическая обработка результатов косвенных измерений 21 sect1 Два способа оценки погрешностей косвенного измерения 21 sect2 Частные погрешности и общая погрешность косвенного измерения 21 sect3 Относительная погрешность косвенного измерения 23 Глава IV Определение параметров линейной зависимости 25 sect1 Метод парных точек 25 sect2 Метод наименьших квадратов (МНК) 26

40

Часть II Правила работы в лаборатории оформление

результатов работы

sect1 Правила работы в лаборатории 31 sect2 Журнал лабораторных работ 32 sect3 Оформление отчетов 34 sect4 Графики 34 sect5 Точность вычислений 36 Приложение 37 Список литературы 38

41

Составители Жукова Ида Степановна Бутина Лариса Иосифовна Крылова Светлана Ивановна

ВВЕДЕНИЕ В ЛАБОРАТОРНЫЙ ПРАКТИКУМ ПО КУРСУ ОБЩЕЙ ФИЗИКИ

Методические указания

к лабораторной работе

Редактор Козина О В

ЛР 040 110 Подписано к печати 090999 Формат 60х84 116 Бумага газетная Офсетная печать 25 уч-издл

11 услкр-отт Тираж 500 экз Изд 19 laquoСraquo

Издательство Петрозаводского государственного университета

185640 Петрозаводск пр Ленина 33

7

В самом деле пусть x1 x2 x3hellipxn ndash результаты отдельных измерений а

Δx1 = x1 ndash X Δx2 = x2 ndash X Δx3 = x3 ndash X (11) hellip hellip hellip Δxn = xn ndash X

ndash их абсолютные погрешности Δxn где n ndash полное число измерений Сложив почленно равенства (11) получим

sum sum= =

minus=Δn

i

n

iii nXxx

1 1

откуда

sum sum= =

Δminus=n

i

n

iii x

nx

nX

1 1

11 (12)

Величина sum=

=n

ii xx

n 1

1 называется средним арифметическим

результатом серии измерений Так как при большом числе измерений величина x очень

мала то можно считать что Xx cong Чем больше n тем точнее выполняется это равенство те x ndash х ltlt Δxi

3 Промахи Промах ndash это очень грубая погрешность вызванная

невнимательностью экспериментатора (неверный отсчет показаний прибора описка при записи показаний и т д) Промахи могут сильно исказить результаты измерений особенно в тех случаях когда их число невелико

Вывод при выполнении работы нужно быть очень внимательным не спешить не отвлекаться

8

Глава II Статистическая обработка результатов прямых измерений

Ранее было показано что усреднением результатов

достаточно большого числа измерений можно существенно уменьшить влияние случайных погрешностей Однако практически n бывает не так уж велико и x может заметно отличаться от Х Как оценить возможное отличие x от Х Соответствующие методы разработаны в теории погрешностей которая оперирует понятиями теории вероятностей

sect 1 Вероятность случайного события В теории вероятностей всякий исход испытания называется

событием Случайными называются события о наступлении которых нельзя сделать точного предсказания Так если в урне смешать неотличимые на ощупь шары разного цвета а затем не глядя вынимать их то появление шара какого-либо определенного цвета будет событием случайным так как точно предсказать цвет вынимаемого шара в каждом отдельном случае невозможно Однако если провести большое число испытаний в одних и тех же условиях (вынутый шар кладется обратно в урну и шары тщательно перемешиваются) то о результатах такой серии измерений можно будет сделать вполне определенные утверждения статистического характера

Пусть nA ndash число испытаний при которых наступило событие А (например вынут красный шар) а n ndash общее число испытаний Отношение РА = lim nAn называется вероятностью

nrarrinfin события А При достаточно большом n РА cong nAn

Зная вероятность РА события можно достаточно точно предсказать сколько раз оно наступит при большом числе испытаний nA = n РА

Вероятность любого события может быть заключена в пределах от нуля до единицы Если РА = 1 событие называется

9

достоверным если РА = 0 событие называется невозможным (оно либо не наступает никогда либо чрезвычайно редко)

Если рассматриваемая совокупность событий такова что одно из них обязательно наступает при каждом испытании то такие события образуют полную группу Нетрудно показать что сумма вероятностей событий образующих полную группу равна единице

Так например в случае одинакового числа шаров белого красного и синего цвета события выражающиеся в том что вынутый шар будет белым красным или синим образуют полную группу Вероятность каждого отдельного события равна 13 а их сумма равна единице

sect 2 Нормальный закон распределения случайных погрешностей

Если погрешности носят чисто случайный характер то по

результатам измерений можно оценить вероятности их появления Пусть х1 х2hellipхn ndash результаты отдельных измерений Примем

что n достаточно велико и при оценке погрешностей будем считать что

sum=

==n

iix

nxX

11

(21)

xxx ii minus=Δ Определив погрешности Δxi рассортируем их по величине

Для этого весь диапазон полученных значений Δxi разобъем на одинаковые малые интервалы Δε и подсчитаем сколько раз величина ошибки попадает в каждый интервал Если в интервале номер laquokraquo оказалось заключено Δnk значений погрешности то вероятность попадания погрешности в этот интервал

Pk cong Δnkn (22)

10

Если значения вероятности для каждого интервала отложить по оси ординат то получится ступенчатая диаграмма изображенная на рисунке 3 Она называется гистограммой

Рис 3 Гистограмма Так как Рк зависит от Δε то по оси ординат удобнее

откладывать не Рк а величину εε Δsdot

Δ=

Δ=

nnP

y kk называемую

плотностью распределения вероятностей Очевидно y = Pk при Δε =1 Это значит что у есть вероятность отнесенная к единичному интервалу Δε Вид гистограммы y (Δхi ) будет таким же как и вид гистограммы Рк (Δхi ) (рис 3)

11

Рис4 Кривая распределения вероятностей случайных погрешностей Если увеличить число измерений n (n rarrinfin) и строить

гистограммы для все более малых интервалов Δε то при Δεrarr0 середины верхних площадок прямоугольников сольются в плавную кривую называемую кривой распределения вероятностей Опыт показал что в большинстве случаев распределение погрешностей соответствует так называемому нормальному закону найденному Гауссом Согласно гауссову распределению плотность вероятности y и величина погрешности Δxi связаны соотношением

( )πσ 2

1=Δ ixy

( )2

2

2σixΔ

minusl (23)

где l minus основание натурального логарифма σ2 ndash некоторый постоянный параметр называемый дисперсией распределения (смысл его выясняется далее)

12

Вид кривой распределения соответствующий некоторому значению σ показан на рисунке 4

Пользуясь законом распределения можно производить многие важные расчеты

Из формулы εΔsdot

Δ=

nn

y k следует что вероятность P(Δxk)

того что величина погрешности заключена в интервале Δxk divide Δxk + Δε определяется формулой

P(Δxk) = y(Δxk)middotΔε Численно эта вероятность равна площади зачерненного

прямоугольника С с основанием Δε (рис 4) Вероятность того что модуль погрешности не превзойдет некоторого значения изобразится площадью заштрихованной фигуры АВС с основанием 2 Δxk (рис 4)

На рисунке 5 представлены кривые распределения соответствующие разным σ Видно что с ростом σ максимум кривой распределения понижается а ее laquoкрыльяraquo поднимаются В соответствии со сказанным ранее о геометрическом смысле вероятности это означает что с ростом σ вероятность малых погрешностей уменьшается а вероятность больших ndash растет Следовательно чем больше дисперсия распределения σ2 тем меньше точность измерений

Важно подчеркнуть что кривая y(Δxi) характеризует не какую-то серию измерений а некоторую воображаемую совокупность бесконечного числа измерений данной величины в одних и тех же условиях Такая совокупность называется генеральной Всякая же конечная серия измерений называется случайной выборкой из генеральной совокупности

13

Рис 5 Влияние дисперсии на вид кривой распределения вероятностей случайных погрешностей

sect 3 Среднеквадратичная погрешность

Пусть х1 х2hellipхn ndash результаты некоторой серии n измерений

проведенных в одинаковых условиях Как уже подчеркивалось величина случайной погрешности не постоянна и меняется от опыта к опыту Возникает необходимость охарактеризовать погрешности результатов отдельных измерений данной серии некоторой средней величиной Иногда в качестве такой характеристики используют среднюю арифметическую погрешность

sum=

Δ=Δn

iix

nx

11

Однако удобнее использовать так называемую среднеквадратичную погрешность выборки Sn определяемую формулой

14

( )

11

2

minus

minus=

sum=

n

xxS

n

ii

n (24)

Sn называют также выборочным стандартным отклонением Можно показать что при достаточно большом числе

измерений Sn cong σ и следовательно дисперсия распределения

( ) ( )

11

2

1

2

22

n

xx

n

xxS

n

ii

n

ini

n

sumsum==

minuscong

minus

minus=congσ (25)

Таким образом дисперсия распределения приблизительно

равна среднему квадрату погрешности отдельных измерений найденному при достаточно большом n Для генеральной совокупности (n rarr infin) равенство (25) выполняется точно Из него следует что величина дисперсии зависит от условий в которых проводятся измерения чем благоприятнее условия измерений тем меньше разброс результатов и меньше дисперсия

sect 4 Среднеквадратичная погрешность среднего Допустим что мы провели серию n измерений некоторой

величины х результаты которых равны х1 х2hellipхn Наилучшим приближением к истинному значению является величина

sum=

=n

iix

nx

1

1 называемая cредним выборочным значением

измеряемой величины Если серию по n измерений в каждой повторить m раз то мы получим m значений x несколько отличающихся друг от друга и от истинного значения Х измеряемой величины Погрешности Xxx kk minus=Δ являются случайными и так же как погрешности отдельных измерений Δxi = xi ndash Х подчиняются гауссову распределению но с другой

15

дисперсией 2xσ lt 2σ Величина 2

xσ называемая дисперсией среднего является мерой погрешности среднего значения x найденного в серии из n измерений В теории погрешности доказывается что

22

nxσσ = (26a)

Это значит что xσ в отличие от σ зависит от числа проведенных измерений

nx

σσ = (26б)

Таким образом среднеквадратичная погрешность среднего результата n измерений в n12 раз меньше среднеквадратичной погрешности отдельных измерений Из формул (25) и (26) следует что при большом n

( ))1(

1

2

minus

minus=cong

sum=

nn

xx

nS

n

ii

nx

σ

Величина

( ))1(

1

2

minus

minus=

sum=

nn

xxS

n

ii

x (27)

называется выборочной среднеквадратичной погрешностью среднего

sect 5 Доверительный интервал и доверительная вероятность Как уже указывалось для любой конечной выборки x neХ

Практически очень важно оценить возможную величину отклонения среднего значения x от истинного Х то есть x ndash Х

16

Интервал plusmnx ΔХ в который с заданной вероятностью α попадает истинное значение Х измеряемой величины называется доверительным интервалом соответствующим вероятности α Вероятность α называется также доверительной вероятностью или надежностью Величина ΔХ характеризует точность оценки Чем меньше разность x ndash Х тем выше точность

Надежность соответствующую заданной точности ΔХ можно вычислить теоретически воспользовавшись гауссовым распределением если известна дисперсия 2

xσ В соответствии со сказанным ранее (гл II sect2) величина α

равна площади заштрихованной фигуры АВС опирающейся на отрезок 2ΔХ (рис 6)

Рис 6 Кривая распределения вероятностей случайных

погрешностей среднего

17

Так как =2xσ σ2n то надежность соответствующая

заданной точности ΔХ растет с ростом числа измерений и величины дополнительного интервала

Можно показать что α является функцией величины

к = x

XσΔ

График функции α = F(k) показан на рисунке 7

Рис 7 График функции α = ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ Δ

x

XFσ

Видно что с ростом k растет и доверительная вероятность α

Так α = 068 для k = 1 α = 095 для k = 2 α = 0997 для k = 3 Результаты расчетов F для различных k приведены в соответствующей литературе (см Список литературы ndash 1 2)

Если n мало (n lt 30) то xx Sneσ и для расчета распределением Гаусса пользоваться нельзя В этом случае используют распределение выведенное английским математиком и химиком Госсетом (псевдоним laquoСтьюдентraquo)

В распределении Стьюдента плотность распределения вероятностей рассматривается как функция величины

18

xx SXx

SXt minus

=Δ

= называемой коэффициентом Стьюдента

(среднеквадратичная погрешность среднего арифметического xS определяется формулой (27))

Распределение Стьюдента зависит от n и при nrarrinfin переходит в распределение Гаусса

Рис 8 Кривые распределения Стьюдента для выборок различного объема

На рисунке 8 показаны кривые y(t) при разных n Вычислив

по результатам измерений xS и задав величину ΔX можно найти t и α соответствующие данному n Наоборот задав надежность α можно вычислить tαn и соответствующую точность ΔX = tαn xS при данном значении n Соответствующие друг другу значения

19

α и tαn при разных n приводятся в специальных таблицах (см Приложение)

На практике задание величины ΔX определяется конкретными условиями Допустим что некоторое предприятие изготовляет резисторы определенного номинала Естественно что благодаря действию различных случайных факторов величины сопротивлений R будут отклоняться от их номинальных значений Измерив R для большой партии резисторов (ngtgt30) можно построить кривую y (ΔR) и найти дисперсию 2

Rσ Величина 2Rσ определяется тем насколько хорошо контролируется и

поддерживается постоянной технология изготовления резисторов Если разброс значений R а значит и 2

Rσ велик то задавая малое значение доверительного интервала Xx Δplusmn получим и малую надежность α При этом лишь малая доля значений R попадает в заданный доверительный интервал и процент брака будет соответственно велик Напротив при выборе большой надежности уменьшится процент брака но зато увеличится разброс значений R (увеличится ширина доверительного интервала x plusmn ΔX)

Если по условиям работы приборов в которых используются эти резисторы доверительный интервал должен быть малым то для сохранения большой надежности необходимо улучшить технологию их производства

Точность электроизмерительных приборов определяется классом их точности и соответствует надежности α = 0997 (ΔX = 3σ x ) В лабораторных условиях обычно довольствуются надежностью α = 090 095

Для оценки доверительного интервала прямых измерений предлагается следующий порядок 1 Провести серию измерений изучаемой величины Х и оценить

среднее выборочное x sum=

=n

iix

nx

1

1

2 Найти абсолютную погрешность единичного измерения Δхi Δxi = xi ndash x

20

3 Определить среднюю квадратичную ошибку среднего арифметического

( ))1(

1

2

minus

minus=

sum=

nn

xxS

n

ii

x

4 Определить точность измерения ΔX при заданных n и α ΔX = nx tS αsdot

5 Записать доверительный интервал для истинного значения измеряемой величины Х = x plusmn ΔX или x ndash ΔX leΧle xi +ΔX

Для удобства расчетов данные оформляются в виде таблицы xi Δxi = xi - x Δxi

2 xS αn ΔX

1 2

Ср Σ Δxi2=

Абсолютная ошибка Δхi рассчитывается по модулю

sect 6 Совместный учет систематической и случайной погрешностей Строгий учет систематической погрешности труден Если

систематическая погрешность обусловлена точностью прибора (что мы и будем предполагать) то можно оценить верхнюю границу возможных ошибок зная класс его точности Если точность обусловленная случайной погрешностью ndashΔХ а величина систематической погрешности ndashδ то величина суммарной точности ΔХ определяется формулой

( )2

2

3 ⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ sdot

+Δ=Δδαk

XX (28)

где kα = tα(infin) ndash коэффициент Стьюдента при n = infin

21

Глава III Статистическая обработка результатов косвенных измерений

sect 1 Два способа оценки погрешности косвенного

измерения В большинстве случаев имеют дело с косвенными

измерениями Пусть x y z ndash непосредственно измеряемые величины а W = f (x y z) ndash их функция то есть величина измеряемая косвенно Рассмотрим два способа оценки погрешности величины W

I способ Если косвенные измерения проводятся в невоспроизводимых условиях то значения Wi вычисляются для каждого отдельного измерения а затем обрабатываются как прямые измерения

II способ позволяет вычислить погрешность косвенного измерения как функцию погрешностей прямых измерений Далее остановимся подробнее на этом способе

sect 2 Частные погрешности и общая погрешность косвенного измерения Обрабатывая прямые измерения мы находим их

выборочные средние значения zyx hellip являющиеся как было показано выше случайными величинами Очевидно что и величина WW = ( zyx hellip) представляющая собой выборочное среднее искомой функции будет также случайной величиной Задача как и в случае прямых измерений состоит в том чтобы определить с какой вероятностью искомая величина W может быть заключена в некотором заданном интервале W plusmn ΔW В общем случае эта задача весьма сложна и мы ограничимся лишь ее приближенным решением

Рассмотрим сначала случай когда W является функцией только одной переменной то есть W = W(x) Разложим функцию W(x) в ряд Тейлора в окрестности точки х = Х (Х ndash истинное

22

значение х) В случае когда погрешность прямого измерения достаточно мала можно ограничиться лишь линейным членом и считать что

)()()( Xxdx

dWXWxWXx

minussdot⎟⎠⎞

⎜⎝⎛+=

=

Отсюда )()()( Xxdx

dWXWxWXx

minussdot⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=minus

=

(31)

Из (31) следует что

xxx

W Sdx

dWS sdot⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=

=

(32)

где xS и WS ndash средние квадратичные погрешности величин

x и W Доверительный интервал величины W соответствующий надежности α определяется как

Xdx

dWWWWxx

Δsdot⎟⎠⎞

⎜⎝⎛plusmn=Δplusmn

=

(33)

где ΔW ndash точность величины х соответствующая той же надежности α

Если результат косвенного измерения W является функцией многих переменных то есть W = W(x y z) то по формуле (33) можно вычислить погрешности ΔWx ΔWy ΔWzhellip обусловленные каждым аргументом и называемые частными погрешностями Они равны

Zz

WW

YyWW

Xx

WW

zzz

yyy

xxx

Δsdot⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

partpart

=Δ

Δsdot⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛partpart

=Δ

Δsdot⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

partpart

=Δ

=

=

=

(34)

и так далее

23

В формулах (34) z

WyW

xW

partpart

partpart

partpart являются частными

производными и вычисляются так как будто другие аргументы ndash постоянные величины

Общая погрешность косвенного измерения в этом случае вычисляется по формуле (см Список литературы ndash 4)

222zyx WWWW Δ+Δ+Δ=Δ и

22

22

22

Zz

WYyWX

xWW Δ⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛

partpart

+Δ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛partpart

+Δ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

partpart

=Δ (35)

sect 3 Относительная погрешность косвенного измерения Очень часто бывает удобно вычислить относительную

погрешность результата косвенного измерения WdW

W =η

На основании известной формулы dlnu = duu можно сформулировать следующее правило расчета относительной погрешности Допустим сначала что W = W(x) ndash функция одной переменой Тогда относительная погрешность

WdWdW

W ln==η (36)

то есть для нахождения ηW необходимо сначала прологарифмировать выражение W(x) а затем продифференцировать его по х

В случае многих переменных можно как и для абсолютных погрешностей ввести частные относительные погрешности равные

24

ln xWxx Δsdot

partpart

=η

ln

ln

zWz

yWy

z

y

Δsdotpartpart

=

Δsdotpartpart

=

η

η (37)

Тогда общая относительная погрешность определится как

K222zyxW ηηηη ++= (38)

Расчет погрешности по формулам (37) и (38) особенно удобно производить в случае когда функция имеет одночленную (логарифмическую) формулу Пусть например

yxAW 4=

где А ndash константа Используя правило (37) имеем lnln4lnln 2

1 yxAW minus+=

21 4

y yy

xx

xΔ

minus=Δ

= ηη

4

116 22

22 y

yx

xΔsdot+Δsdot=η

Замечание Прежде чем сделать расчет по формуле (38) произведите оценку относительных погрешностей по отдельным аргументам вычисленных по формулам (37) Если при этом отдельные частные погрешности меньше максимальной хотя бы в три раза ими можно пренебречь В таком случае общая формула (38) значительно упростится

Определив относительную погрешность ηW можно рассчитать абсолютную погрешность (точность) по формуле

ΔW = ηWW (39)

25

Глава IV Определение параметров линейной зависимости

На опыте часто измеряют пары величин х и y причем одна

из них y является функцией другой ndash х Пусть в результате эксперимента получен ряд измерений величины y y1 y2hellipyn соответствующих значениям аргумента х1 х2 hellipхn

Необходимо установить эмпирическую зависимость между y и х Задача состоит в том чтобы по экспериментальным точкам провести линию которая как можно лучше соответствовала бы истинной функциональной зависимости y = f(x) При этом ограничимся лишь случаем линейной функции

y = ax + b (41) Линейная зависимость очень широко распространена в

физике Даже в случаях когда зависимость нелинейная обычно стараются преобразовать ее так чтобы свести к линейной Например зависимость y = Aeαx преобразуется к виду ln y = ln A + αx и на графике строится зависимость

ln y = f(1x)

Ниже приведены два метода нахождения наиболее вероятных параметров линии (коэффициентов а и в уравнения (41)) проходящих через набор экспериментальных точек

sect 1 Метод парных точек Метод парных точек является наиболее простым и

применяется в основном для определения лишь наклона прямой то есть коэффициента а

Допустим что у нас имеется 8 точек лежащих на одной прямой Требуется найти наилучшее значение тангенса угла наклона а и его погрешность Пронумеруем точки по порядку от

26

1 до 8 (рис 9) Возьмем точки 1 и 5 ими определится некоторая прямая и угол ее наклона В качестве наилучшего значения а выбирается его среднее значение a и обычным способом находится его среднеквадратичная погрешность и доверительный интервал

y 8 7 6 5 3 4 2

1 0

х Рис 9 Нумерация экспериментальных точек для расчета а

методом парных точек

Таким образом полученная прямая линия будет иметь угловой коэффициент a и проходить через точку соответствующую средним значениям переменных х и y (следующий параграф)

Такой метод дает удовлетворительные результаты лишь тогда когда величины (x5 ndash x1) (x6 ndash x2) (x7 ndash x3) (x8 ndash x4) примерно одинаковы

sect 2 Метод наименьших квадратов (МНК) МНК является одним из стандартных методов статистики

Сущность этого метода заключается в следующем Допустим что имеется n пар измеренных значений (x1 y1) (x2 y2)hellip(xn yn) Предположим что ошибки содержат лишь величины y

27

(На практике это предположение часто оправдывается) По результатам измерений необходимо построить прямую линию

В основе описываемого метода лежит положение согласно которому наилучшим приближением будет такая прямая линия для которой сумма квадратов расстояний по вертикали от точек до прямой (сумма квадратов погрешностей величины y (рис 10)) является минимальной то есть наиболее вероятные

Рис 10 Распределение экспериментальных точек относительно искомой прямой

значения параметров а и в (41) выбираются так чтобы сумма

( )sum sum= =

minusminus==n

i

n

iiii baxydS

1 1

22 (42)

была минимальной Это значит что

( )sum=

=minus+=partpart n

iiii xybax

aS

1

02

( )sum=

=minus+=partpart n

iii ybax

bS

1

02 (43)

28

Таким образом искомые величины а и в получаются

решением системы уравнений

sum sum sum= = =

=+n

i

n

i

n

iiiii yxxbxa

1 1 1

2 (44)

sum sum= =

=+n

i

n

iii ybnxa

1 1

(45)

Из уравнения (45) следует что наилучшая прямая проходит через точку с координатами

sumsum==

==n

ii

n

ii y

nyx

nx

1

_

1

_

11 (46)

(В этом можно легко убедиться поделив равенство (45) почленно на n) Из уравнений (44) и (45) находим

1 1

2

1 1

sum sum

sum sum

= =

= =

minus

minus= n

i

n

iii

n

i

n

iiii

xxx

yyyxa (47)

sum sumsum sum

sum sum= =

= =

= =

minus

minusminus=

n

i

n

in

i

n

iii

n

i

n

iiii

ii

xxx

yyyxx

ny

nb

1 1

1 1

2

1 111 (48)

29

В лабораторном практикуме обычно бывает достаточно оценить погрешность коэффициента a Формула для среднеквадратичной ошибки величины а имеет вид (см Список литературы ndash 3)

2

1 2

minusminus

=n

rSS

Sx

ya (49)

где ( )sum=

minusminus

=n

iiy yy

nS

1

2 1

1 (410)

( )sum=

minusminus

=n

iix xx

nS

1

2

11

(411)

( ) ( )

( ) 1

1

yx

n

iii

SSn

yyxxr

sdotminus

minusminus=

sum= (412)

Интервал в котором с установленной вероятностью α может находиться коэффициент а записывается в виде

22 anan StaaSta sdot+lelesdotminus minusminus αα (413)

где a определяется формулой (47) aS ndash формулой (49) tαn-2 ndash коэффициент Стьюдента для надежности α и числа измерений n ndash число пар точек

При использовании метода наименьших квадратов рекомендуется следующий порядок действий

1 Составить таблицу

изм xi yi xiyi xi

2 1 2

i n

sumxi sumyi sumxiyi sumxi2

30

2 Рассчитать

а) sum=

n

iii yx

1 б) sum

=

=n

i

i

nx

x1

в) sum=

n

iiy

1

г) sum=

n

iix

1

д) sum=

n

iix

1

2 е) sum=

=n

i

i

ny

y1

3 Рассчитать наилучшие значения углового коэффициента а по

формуле (47) 4 Зная коэффициенты а и б провести наилучшую прямую она

должна проходить через точку с координатами x и y 5 Для расчета погрешности величины а по формулам (49 ndash 412) составить таблицу

пп

yi - y

xi - x

(yi - y )2

(xi - x )2

Sx

Sy

r

31

ЧАСТЬ II

ПРАВИЛА РАБОТЫ В ЛАБОРАТОРИИ

ОФОРМЛЕНИЕ РЕЗУЛЬТАТОВ РАБОТЫ sect 1 Правила работы в лаборатории Каждая лабораторная работа рассчитана на одно занятие

В начале семестра составляется и вывешивается в лаборатории график выполнения работ на весь семестр

Студент должен заранее знать тему своей лабораторной работы и подготовиться к ней по методическому руководству и другой указанной в нем литературе

Перед выполнением каждой лабораторной работы необходимо пройти краткое собеседование с преподавателем и получить разрешение на ее выполнение Оно дается в том случае если студент четко знает цель работы методику проведения эксперимента умеет пользоваться приборами

ПРИСТУПАТЬ К ВЫПОЛНЕНИЮ ЛАБОРАТОРНЫХ

РАБОТ БЕЗ РАЗРЕШЕНИЯ ПРЕПОДАВАТЕЛЯ КАТЕГОРИЧЕСКИ ВОСПРЕЩАЕТСЯ

В конце занятия студент обязан предъявить преподавателю

результаты своей работы Работа считается выполненной если результаты утверждены и подписаны преподавателем После этого необходимо выключить установку привести в порядок рабочее место и получить методические указания к следующей работе

32

sect 2 Журнал лабораторных работ Результаты измерений и наблюдений должны тотчас же

фиксироваться в специальном журнале в форме протоколов Временные записи результатов на черновых листочках не допускаются

Единую форму протоколов пригодную для всех работ дать невозможно и нецелесообразно Тем не менее можно сформулировать некоторые общие требования которым должны удовлетворять записи в журнале лабораторных работ

1 Должны быть указаны название работы и дата ее выполнения

конкретная цель работы и ее упражнений 2 Целесообразно привести расчетную формулу и пояснить

физический смысл входящих в нее символов 3 Результаты всех измерений заносятся в заранее

подготовленные удобные таблицы из которых было бы ясно какие физические величины и в каких единицах измерялись сколько раз повторялись измерения каждой физической величины

4 Необходимо указать приборы использовавшиеся для измерения различных величин и их точности

5 Зафиксировать (если это важно) условия опыта (температуру давление влажность воздуха и т д)

6 Записи в журнале должны быть аккуратными и четкими журнал лабораторных работ ndash не черновик В нем не должно содержаться никаких записей не относящихся к выполняемой работе Прикидочные расчеты должны проводиться на черновых листках

7 Для пометок и замечаний целесообразно оставлять поля шириной 3 см Ниже приведена схема оформления протокола одной из

лабораторных работ

33

081098 Определение модуля Юнга по изгибу стержня Цель работы ndash проверка закона Гука и определение модуля

Юнга для стального и медного стержней Расчетная формула

4 3

3

habPLE =

где Е ndash модуль Юнга Р ndash величина нагрузки приложенной к середине стержня L ndash длина деформируемой части стержня равная расстоянию между ребрами опорных призм а ndash ширина стержня в ndash его толщина h ndash стрела прогиба

Таблица 1 Определение размеров стержня

опыта L мм а мм в мм

1 5

Измерительный прибор и его точность

Штанген-циркуль plusmn 01 мм

Микрометр plusmn0005 мм

Микрометр plusmn0005 мм

Таблица 2 Измерение стрелы прогиба нагружаемого стержня

РкГс 0 01 02 03 04 hellip

h мм

205 207 203 208 205

255 248 251 249 252

hellip hellip hellip hellip

Измерительный прибор ndash микрометр точность ~ plusmn 0005 мм

Подпись преподавателя

34

sect 3 Оформление отчетов По результатам каждой лабораторной работы составляется

отчет Он должен включать 1 Краткую формулировку идеи метода расчетную формулу

пояснение физического смысла входящих в нее символов 2 Таблицы с результатами измерений и расчетов 3 Статистическую обработку результатов измерений 4 Выводы 5 На титульном листе должны быть указаны название

лабораторной работы факультет курс группа фамилия и инициалы исполнителя Отчет должен быть написан в хорошем стиле аккуратным

разборчивым почерком При его оформлении не следует также пренебрегать и эстетической стороной вопроса Заголовки выводы и формулы целесообразно выделять пастой другого цвета подчеркнуть и т п Это облегчает чтение отчета

Выводы должны быть аргументированы ссылками на соответствующие таблицы и графики поэтому они должны быть пронумерованы

sect 4 Графики Графики используются для наглядного представления

результатов При их построении необходимо соблюдать ряд правил 1 Графики нужно строить только на миллиметровой бумаге 2 На осях необходимо нанести масштабную сетку указать

единицы измерения и символы изображаемых величин 3 Масштаб должен быть простым удобным для отсчета его

долей Например 1 см = 01 1 2 или 10 единиц Кроме того масштаб выбирают так чтобы все экспериментальные точки вошли в график и достаточно далеко отстояли друг от друга

35

Иногда для этой цели бывает удобно сместить вдоль осей начало отсчета Масштаб по осям Х и У может быть различен

Рис 11 Пример построения графика функции по экспериментальным точкам

4 Экспериментальные точки следует наносить с максимальной

точностью так чтобы они четко выделялись на фоне графика не сливаясь с ним

5 График должен представлять собой плавную кривую без изломов и перегибов Нужно стремиться провести кривую так чтобы экспериментальные точки равномерно распределялись по обе стороны от нее (рис 11)

Графики выполненные на миллиметровой бумаге

аккуратно вклеиваются в отчет где для них необходимо предусмотреть соответствующее место

36

sect 5 Точность вычислений Точность вычислений определяется погрешностью

измерений Не имеет смысла вычислять какуюndashлибо величину до пятого знака после запятой если погрешность измерений такова что неуверенно определяется ее третий знак

Чтобы погрешностью вычислений можно было пренебречь она должна быть на порядок (то есть в 10 раз) меньше погрешности наименее точно измеряемой величины

Пример Модуль Юнга по изгибу стержня вычисляется по

формуле E = PL3 4ab3middoth Анализ исходных данных показывает как правило что с наибольшей относительной погрешностью измеряется стрела прогиба h Так как ΔEE gt Δh h то допускаемая относительная погрешность вычислений ΔE выч E cong 01 Δhh Для стали E cong 2middot104 кГсмм2 поэтому при Δhh =10-2 ΔEвыч cong 10 кГсмм2 Это значит что вычисления Е целесообразно проводить лишь с точностью до четвертой значащей цифры

Обычно нас интересует лишь порядок величины погрешностей поэтому последние рекомендуется вычислять лишь до второй значащей цифры а затем округлять результат до одной значащей цифры

Приводя значение измеренной Вами величины проверьте согласуется ли порядок приведенных значащих цифр с порядком погрешности

Порядок последней значащей цифры измеренной величины и порядок погрешности должны быть одинаковы

Запись Е = (1845127 plusmn 20) 107 Па неграмотна Величина ошибки свидетельствует о том что неуверенно определяется уже четвертый знак поэтому результат должен быть соответственно округлен

Е = (18450 plusmn 20) 107 Па

37

Приложение

Таблица 3 Значения коэффициентов Стьюдента

Коэффициент надежности Число

изме рений

N 08 09 095 098 099 0999

2 31 631 1271 3182 6366 63662 3 19 292 431 696 992 3160 4 16 235 318 454 584 1294 5 15 213 278 375 460 861 6 15 202 257 336 403 686 7 14 194 245 314 371 596 8 14 190 236 300 350 540 9 14 186 231 290 336 504

10 14 183 226 282 325 478 infin 13 165 196 233 259 331

38

Список литературы

1 Деденко Л Г Керженцев В В Математическая обработка и оформление результатов эксперимента М Издndashво МГУ 1977

2 Зайдель А Н Ошибки измерения физических величин Л

Наука 1974 3 Кассандрова О Н Лебедев В В Обработка результатов из-

мерений М Наука 1970 4 Сквайрс Дж Практическая физика М Мир 1971 5 Соловьев В А Яхонтова В Е Элементарные методы обра-

ботки результатов измерений Л Издndashво ЛГУ 1977

39

СОДЕРЖАНИЕ

Задачи физического практикума 3

Часть I Статистическая обработка результатов измерений

Глава I Введение в теорию погрешностей 3 sect1 Измерения и их погрешности 3 sect2 Типы погрешностей 5

1 Систематические погрешности 5 2 Случайные погрешности 6 3 Промахи 7

Глава II Статистическая обработка результатов прямых измерений 8 sect1 Вероятность случайного события 8 sect2 Нормальный закон распределения случайных погрешностей 9 sect3 Среднеквадратичная погрешность 13 sect4 Среднеквадратичная погрешность среднего 14 sect5 Доверительный интервал и доверительная вероятность 15 sect6 Совместный учет систематической и случайной погрешностей 20 Глава III Статистическая обработка результатов косвенных измерений 21 sect1 Два способа оценки погрешностей косвенного измерения 21 sect2 Частные погрешности и общая погрешность косвенного измерения 21 sect3 Относительная погрешность косвенного измерения 23 Глава IV Определение параметров линейной зависимости 25 sect1 Метод парных точек 25 sect2 Метод наименьших квадратов (МНК) 26

40

Часть II Правила работы в лаборатории оформление

результатов работы

sect1 Правила работы в лаборатории 31 sect2 Журнал лабораторных работ 32 sect3 Оформление отчетов 34 sect4 Графики 34 sect5 Точность вычислений 36 Приложение 37 Список литературы 38

41

Составители Жукова Ида Степановна Бутина Лариса Иосифовна Крылова Светлана Ивановна

ВВЕДЕНИЕ В ЛАБОРАТОРНЫЙ ПРАКТИКУМ ПО КУРСУ ОБЩЕЙ ФИЗИКИ

Методические указания

к лабораторной работе

Редактор Козина О В

ЛР 040 110 Подписано к печати 090999 Формат 60х84 116 Бумага газетная Офсетная печать 25 уч-издл

11 услкр-отт Тираж 500 экз Изд 19 laquoСraquo

Издательство Петрозаводского государственного университета

185640 Петрозаводск пр Ленина 33

8

Глава II Статистическая обработка результатов прямых измерений

Ранее было показано что усреднением результатов

достаточно большого числа измерений можно существенно уменьшить влияние случайных погрешностей Однако практически n бывает не так уж велико и x может заметно отличаться от Х Как оценить возможное отличие x от Х Соответствующие методы разработаны в теории погрешностей которая оперирует понятиями теории вероятностей

sect 1 Вероятность случайного события В теории вероятностей всякий исход испытания называется

событием Случайными называются события о наступлении которых нельзя сделать точного предсказания Так если в урне смешать неотличимые на ощупь шары разного цвета а затем не глядя вынимать их то появление шара какого-либо определенного цвета будет событием случайным так как точно предсказать цвет вынимаемого шара в каждом отдельном случае невозможно Однако если провести большое число испытаний в одних и тех же условиях (вынутый шар кладется обратно в урну и шары тщательно перемешиваются) то о результатах такой серии измерений можно будет сделать вполне определенные утверждения статистического характера

Пусть nA ndash число испытаний при которых наступило событие А (например вынут красный шар) а n ndash общее число испытаний Отношение РА = lim nAn называется вероятностью

nrarrinfin события А При достаточно большом n РА cong nAn

Зная вероятность РА события можно достаточно точно предсказать сколько раз оно наступит при большом числе испытаний nA = n РА

Вероятность любого события может быть заключена в пределах от нуля до единицы Если РА = 1 событие называется

9

достоверным если РА = 0 событие называется невозможным (оно либо не наступает никогда либо чрезвычайно редко)

Если рассматриваемая совокупность событий такова что одно из них обязательно наступает при каждом испытании то такие события образуют полную группу Нетрудно показать что сумма вероятностей событий образующих полную группу равна единице

Так например в случае одинакового числа шаров белого красного и синего цвета события выражающиеся в том что вынутый шар будет белым красным или синим образуют полную группу Вероятность каждого отдельного события равна 13 а их сумма равна единице

sect 2 Нормальный закон распределения случайных погрешностей

Если погрешности носят чисто случайный характер то по

результатам измерений можно оценить вероятности их появления Пусть х1 х2hellipхn ndash результаты отдельных измерений Примем

что n достаточно велико и при оценке погрешностей будем считать что

sum=

==n

iix

nxX

11

(21)

xxx ii minus=Δ Определив погрешности Δxi рассортируем их по величине

Для этого весь диапазон полученных значений Δxi разобъем на одинаковые малые интервалы Δε и подсчитаем сколько раз величина ошибки попадает в каждый интервал Если в интервале номер laquokraquo оказалось заключено Δnk значений погрешности то вероятность попадания погрешности в этот интервал

Pk cong Δnkn (22)

10

Если значения вероятности для каждого интервала отложить по оси ординат то получится ступенчатая диаграмма изображенная на рисунке 3 Она называется гистограммой

Рис 3 Гистограмма Так как Рк зависит от Δε то по оси ординат удобнее

откладывать не Рк а величину εε Δsdot

Δ=

Δ=

nnP

y kk называемую

плотностью распределения вероятностей Очевидно y = Pk при Δε =1 Это значит что у есть вероятность отнесенная к единичному интервалу Δε Вид гистограммы y (Δхi ) будет таким же как и вид гистограммы Рк (Δхi ) (рис 3)

11

Рис4 Кривая распределения вероятностей случайных погрешностей Если увеличить число измерений n (n rarrinfin) и строить

гистограммы для все более малых интервалов Δε то при Δεrarr0 середины верхних площадок прямоугольников сольются в плавную кривую называемую кривой распределения вероятностей Опыт показал что в большинстве случаев распределение погрешностей соответствует так называемому нормальному закону найденному Гауссом Согласно гауссову распределению плотность вероятности y и величина погрешности Δxi связаны соотношением

( )πσ 2

1=Δ ixy

( )2

2

2σixΔ

minusl (23)

где l minus основание натурального логарифма σ2 ndash некоторый постоянный параметр называемый дисперсией распределения (смысл его выясняется далее)

12

Вид кривой распределения соответствующий некоторому значению σ показан на рисунке 4

Пользуясь законом распределения можно производить многие важные расчеты

Из формулы εΔsdot

Δ=

nn

y k следует что вероятность P(Δxk)

того что величина погрешности заключена в интервале Δxk divide Δxk + Δε определяется формулой

P(Δxk) = y(Δxk)middotΔε Численно эта вероятность равна площади зачерненного

прямоугольника С с основанием Δε (рис 4) Вероятность того что модуль погрешности не превзойдет некоторого значения изобразится площадью заштрихованной фигуры АВС с основанием 2 Δxk (рис 4)

На рисунке 5 представлены кривые распределения соответствующие разным σ Видно что с ростом σ максимум кривой распределения понижается а ее laquoкрыльяraquo поднимаются В соответствии со сказанным ранее о геометрическом смысле вероятности это означает что с ростом σ вероятность малых погрешностей уменьшается а вероятность больших ndash растет Следовательно чем больше дисперсия распределения σ2 тем меньше точность измерений

Важно подчеркнуть что кривая y(Δxi) характеризует не какую-то серию измерений а некоторую воображаемую совокупность бесконечного числа измерений данной величины в одних и тех же условиях Такая совокупность называется генеральной Всякая же конечная серия измерений называется случайной выборкой из генеральной совокупности

13

Рис 5 Влияние дисперсии на вид кривой распределения вероятностей случайных погрешностей

sect 3 Среднеквадратичная погрешность

Пусть х1 х2hellipхn ndash результаты некоторой серии n измерений

проведенных в одинаковых условиях Как уже подчеркивалось величина случайной погрешности не постоянна и меняется от опыта к опыту Возникает необходимость охарактеризовать погрешности результатов отдельных измерений данной серии некоторой средней величиной Иногда в качестве такой характеристики используют среднюю арифметическую погрешность

sum=

Δ=Δn

iix

nx

11

Однако удобнее использовать так называемую среднеквадратичную погрешность выборки Sn определяемую формулой

14

( )

11

2

minus

minus=

sum=

n

xxS

n

ii

n (24)

Sn называют также выборочным стандартным отклонением Можно показать что при достаточно большом числе

измерений Sn cong σ и следовательно дисперсия распределения

( ) ( )

11

2

1

2

22

n

xx

n

xxS

n

ii

n

ini

n

sumsum==

minuscong

minus

minus=congσ (25)

Таким образом дисперсия распределения приблизительно

равна среднему квадрату погрешности отдельных измерений найденному при достаточно большом n Для генеральной совокупности (n rarr infin) равенство (25) выполняется точно Из него следует что величина дисперсии зависит от условий в которых проводятся измерения чем благоприятнее условия измерений тем меньше разброс результатов и меньше дисперсия

sect 4 Среднеквадратичная погрешность среднего Допустим что мы провели серию n измерений некоторой

величины х результаты которых равны х1 х2hellipхn Наилучшим приближением к истинному значению является величина

sum=

=n

iix

nx

1

1 называемая cредним выборочным значением

измеряемой величины Если серию по n измерений в каждой повторить m раз то мы получим m значений x несколько отличающихся друг от друга и от истинного значения Х измеряемой величины Погрешности Xxx kk minus=Δ являются случайными и так же как погрешности отдельных измерений Δxi = xi ndash Х подчиняются гауссову распределению но с другой

15

дисперсией 2xσ lt 2σ Величина 2

xσ называемая дисперсией среднего является мерой погрешности среднего значения x найденного в серии из n измерений В теории погрешности доказывается что

22

nxσσ = (26a)

Это значит что xσ в отличие от σ зависит от числа проведенных измерений

nx

σσ = (26б)

Таким образом среднеквадратичная погрешность среднего результата n измерений в n12 раз меньше среднеквадратичной погрешности отдельных измерений Из формул (25) и (26) следует что при большом n

( ))1(

1

2

minus

minus=cong

sum=

nn

xx

nS

n

ii

nx

σ

Величина

( ))1(

1

2

minus

minus=

sum=

nn

xxS

n

ii

x (27)

называется выборочной среднеквадратичной погрешностью среднего

sect 5 Доверительный интервал и доверительная вероятность Как уже указывалось для любой конечной выборки x neХ

Практически очень важно оценить возможную величину отклонения среднего значения x от истинного Х то есть x ndash Х

16

Интервал plusmnx ΔХ в который с заданной вероятностью α попадает истинное значение Х измеряемой величины называется доверительным интервалом соответствующим вероятности α Вероятность α называется также доверительной вероятностью или надежностью Величина ΔХ характеризует точность оценки Чем меньше разность x ndash Х тем выше точность

Надежность соответствующую заданной точности ΔХ можно вычислить теоретически воспользовавшись гауссовым распределением если известна дисперсия 2

xσ В соответствии со сказанным ранее (гл II sect2) величина α

равна площади заштрихованной фигуры АВС опирающейся на отрезок 2ΔХ (рис 6)

Рис 6 Кривая распределения вероятностей случайных

погрешностей среднего

17

Так как =2xσ σ2n то надежность соответствующая

заданной точности ΔХ растет с ростом числа измерений и величины дополнительного интервала

Можно показать что α является функцией величины

к = x

XσΔ

График функции α = F(k) показан на рисунке 7

Рис 7 График функции α = ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ Δ

x

XFσ

Видно что с ростом k растет и доверительная вероятность α

Так α = 068 для k = 1 α = 095 для k = 2 α = 0997 для k = 3 Результаты расчетов F для различных k приведены в соответствующей литературе (см Список литературы ndash 1 2)

Если n мало (n lt 30) то xx Sneσ и для расчета распределением Гаусса пользоваться нельзя В этом случае используют распределение выведенное английским математиком и химиком Госсетом (псевдоним laquoСтьюдентraquo)

В распределении Стьюдента плотность распределения вероятностей рассматривается как функция величины

18

xx SXx

SXt minus

=Δ

= называемой коэффициентом Стьюдента

(среднеквадратичная погрешность среднего арифметического xS определяется формулой (27))

Распределение Стьюдента зависит от n и при nrarrinfin переходит в распределение Гаусса

Рис 8 Кривые распределения Стьюдента для выборок различного объема

На рисунке 8 показаны кривые y(t) при разных n Вычислив

по результатам измерений xS и задав величину ΔX можно найти t и α соответствующие данному n Наоборот задав надежность α можно вычислить tαn и соответствующую точность ΔX = tαn xS при данном значении n Соответствующие друг другу значения

19

α и tαn при разных n приводятся в специальных таблицах (см Приложение)

На практике задание величины ΔX определяется конкретными условиями Допустим что некоторое предприятие изготовляет резисторы определенного номинала Естественно что благодаря действию различных случайных факторов величины сопротивлений R будут отклоняться от их номинальных значений Измерив R для большой партии резисторов (ngtgt30) можно построить кривую y (ΔR) и найти дисперсию 2

Rσ Величина 2Rσ определяется тем насколько хорошо контролируется и

поддерживается постоянной технология изготовления резисторов Если разброс значений R а значит и 2

Rσ велик то задавая малое значение доверительного интервала Xx Δplusmn получим и малую надежность α При этом лишь малая доля значений R попадает в заданный доверительный интервал и процент брака будет соответственно велик Напротив при выборе большой надежности уменьшится процент брака но зато увеличится разброс значений R (увеличится ширина доверительного интервала x plusmn ΔX)

Если по условиям работы приборов в которых используются эти резисторы доверительный интервал должен быть малым то для сохранения большой надежности необходимо улучшить технологию их производства

Точность электроизмерительных приборов определяется классом их точности и соответствует надежности α = 0997 (ΔX = 3σ x ) В лабораторных условиях обычно довольствуются надежностью α = 090 095

Для оценки доверительного интервала прямых измерений предлагается следующий порядок 1 Провести серию измерений изучаемой величины Х и оценить

среднее выборочное x sum=

=n

iix

nx

1

1

2 Найти абсолютную погрешность единичного измерения Δхi Δxi = xi ndash x

20

3 Определить среднюю квадратичную ошибку среднего арифметического

( ))1(

1

2

minus

minus=

sum=

nn

xxS

n

ii

x

4 Определить точность измерения ΔX при заданных n и α ΔX = nx tS αsdot

5 Записать доверительный интервал для истинного значения измеряемой величины Х = x plusmn ΔX или x ndash ΔX leΧle xi +ΔX

Для удобства расчетов данные оформляются в виде таблицы xi Δxi = xi - x Δxi

2 xS αn ΔX

1 2

Ср Σ Δxi2=

Абсолютная ошибка Δхi рассчитывается по модулю

sect 6 Совместный учет систематической и случайной погрешностей Строгий учет систематической погрешности труден Если

систематическая погрешность обусловлена точностью прибора (что мы и будем предполагать) то можно оценить верхнюю границу возможных ошибок зная класс его точности Если точность обусловленная случайной погрешностью ndashΔХ а величина систематической погрешности ndashδ то величина суммарной точности ΔХ определяется формулой

( )2

2

3 ⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ sdot

+Δ=Δδαk

XX (28)

где kα = tα(infin) ndash коэффициент Стьюдента при n = infin

21

Глава III Статистическая обработка результатов косвенных измерений

sect 1 Два способа оценки погрешности косвенного

измерения В большинстве случаев имеют дело с косвенными

измерениями Пусть x y z ndash непосредственно измеряемые величины а W = f (x y z) ndash их функция то есть величина измеряемая косвенно Рассмотрим два способа оценки погрешности величины W

I способ Если косвенные измерения проводятся в невоспроизводимых условиях то значения Wi вычисляются для каждого отдельного измерения а затем обрабатываются как прямые измерения

II способ позволяет вычислить погрешность косвенного измерения как функцию погрешностей прямых измерений Далее остановимся подробнее на этом способе

sect 2 Частные погрешности и общая погрешность косвенного измерения Обрабатывая прямые измерения мы находим их

выборочные средние значения zyx hellip являющиеся как было показано выше случайными величинами Очевидно что и величина WW = ( zyx hellip) представляющая собой выборочное среднее искомой функции будет также случайной величиной Задача как и в случае прямых измерений состоит в том чтобы определить с какой вероятностью искомая величина W может быть заключена в некотором заданном интервале W plusmn ΔW В общем случае эта задача весьма сложна и мы ограничимся лишь ее приближенным решением

Рассмотрим сначала случай когда W является функцией только одной переменной то есть W = W(x) Разложим функцию W(x) в ряд Тейлора в окрестности точки х = Х (Х ndash истинное

22

значение х) В случае когда погрешность прямого измерения достаточно мала можно ограничиться лишь линейным членом и считать что

)()()( Xxdx

dWXWxWXx

minussdot⎟⎠⎞

⎜⎝⎛+=

=

Отсюда )()()( Xxdx

dWXWxWXx

minussdot⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=minus

=

(31)

Из (31) следует что

xxx

W Sdx

dWS sdot⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=

=

(32)

где xS и WS ndash средние квадратичные погрешности величин

x и W Доверительный интервал величины W соответствующий надежности α определяется как

Xdx

dWWWWxx

Δsdot⎟⎠⎞

⎜⎝⎛plusmn=Δplusmn

=

(33)

где ΔW ndash точность величины х соответствующая той же надежности α

Если результат косвенного измерения W является функцией многих переменных то есть W = W(x y z) то по формуле (33) можно вычислить погрешности ΔWx ΔWy ΔWzhellip обусловленные каждым аргументом и называемые частными погрешностями Они равны

Zz

WW

YyWW

Xx

WW

zzz

yyy

xxx

Δsdot⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

partpart

=Δ

Δsdot⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛partpart

=Δ

Δsdot⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

partpart

=Δ

=

=

=

(34)

и так далее

23

В формулах (34) z

WyW

xW

partpart

partpart

partpart являются частными

производными и вычисляются так как будто другие аргументы ndash постоянные величины

Общая погрешность косвенного измерения в этом случае вычисляется по формуле (см Список литературы ndash 4)

222zyx WWWW Δ+Δ+Δ=Δ и

22

22

22

Zz

WYyWX

xWW Δ⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛

partpart

+Δ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛partpart

+Δ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

partpart

=Δ (35)

sect 3 Относительная погрешность косвенного измерения Очень часто бывает удобно вычислить относительную

погрешность результата косвенного измерения WdW

W =η

На основании известной формулы dlnu = duu можно сформулировать следующее правило расчета относительной погрешности Допустим сначала что W = W(x) ndash функция одной переменой Тогда относительная погрешность

WdWdW

W ln==η (36)

то есть для нахождения ηW необходимо сначала прологарифмировать выражение W(x) а затем продифференцировать его по х

В случае многих переменных можно как и для абсолютных погрешностей ввести частные относительные погрешности равные

24

ln xWxx Δsdot

partpart

=η

ln

ln

zWz

yWy

z

y

Δsdotpartpart

=

Δsdotpartpart

=

η

η (37)

Тогда общая относительная погрешность определится как

K222zyxW ηηηη ++= (38)

Расчет погрешности по формулам (37) и (38) особенно удобно производить в случае когда функция имеет одночленную (логарифмическую) формулу Пусть например

yxAW 4=

где А ndash константа Используя правило (37) имеем lnln4lnln 2

1 yxAW minus+=

21 4

y yy

xx

xΔ

minus=Δ

= ηη

4

116 22

22 y

yx

xΔsdot+Δsdot=η

Замечание Прежде чем сделать расчет по формуле (38) произведите оценку относительных погрешностей по отдельным аргументам вычисленных по формулам (37) Если при этом отдельные частные погрешности меньше максимальной хотя бы в три раза ими можно пренебречь В таком случае общая формула (38) значительно упростится

Определив относительную погрешность ηW можно рассчитать абсолютную погрешность (точность) по формуле

ΔW = ηWW (39)

25

Глава IV Определение параметров линейной зависимости

На опыте часто измеряют пары величин х и y причем одна

из них y является функцией другой ndash х Пусть в результате эксперимента получен ряд измерений величины y y1 y2hellipyn соответствующих значениям аргумента х1 х2 hellipхn

Необходимо установить эмпирическую зависимость между y и х Задача состоит в том чтобы по экспериментальным точкам провести линию которая как можно лучше соответствовала бы истинной функциональной зависимости y = f(x) При этом ограничимся лишь случаем линейной функции

y = ax + b (41) Линейная зависимость очень широко распространена в

физике Даже в случаях когда зависимость нелинейная обычно стараются преобразовать ее так чтобы свести к линейной Например зависимость y = Aeαx преобразуется к виду ln y = ln A + αx и на графике строится зависимость

ln y = f(1x)

Ниже приведены два метода нахождения наиболее вероятных параметров линии (коэффициентов а и в уравнения (41)) проходящих через набор экспериментальных точек

sect 1 Метод парных точек Метод парных точек является наиболее простым и

применяется в основном для определения лишь наклона прямой то есть коэффициента а

Допустим что у нас имеется 8 точек лежащих на одной прямой Требуется найти наилучшее значение тангенса угла наклона а и его погрешность Пронумеруем точки по порядку от

26

1 до 8 (рис 9) Возьмем точки 1 и 5 ими определится некоторая прямая и угол ее наклона В качестве наилучшего значения а выбирается его среднее значение a и обычным способом находится его среднеквадратичная погрешность и доверительный интервал

y 8 7 6 5 3 4 2

1 0

х Рис 9 Нумерация экспериментальных точек для расчета а

методом парных точек

Таким образом полученная прямая линия будет иметь угловой коэффициент a и проходить через точку соответствующую средним значениям переменных х и y (следующий параграф)

Такой метод дает удовлетворительные результаты лишь тогда когда величины (x5 ndash x1) (x6 ndash x2) (x7 ndash x3) (x8 ndash x4) примерно одинаковы

sect 2 Метод наименьших квадратов (МНК) МНК является одним из стандартных методов статистики

Сущность этого метода заключается в следующем Допустим что имеется n пар измеренных значений (x1 y1) (x2 y2)hellip(xn yn) Предположим что ошибки содержат лишь величины y

27

(На практике это предположение часто оправдывается) По результатам измерений необходимо построить прямую линию

В основе описываемого метода лежит положение согласно которому наилучшим приближением будет такая прямая линия для которой сумма квадратов расстояний по вертикали от точек до прямой (сумма квадратов погрешностей величины y (рис 10)) является минимальной то есть наиболее вероятные

Рис 10 Распределение экспериментальных точек относительно искомой прямой

значения параметров а и в (41) выбираются так чтобы сумма

( )sum sum= =

minusminus==n

i

n

iiii baxydS

1 1

22 (42)

была минимальной Это значит что

( )sum=

=minus+=partpart n

iiii xybax

aS

1

02

( )sum=

=minus+=partpart n

iii ybax

bS

1

02 (43)

28

Таким образом искомые величины а и в получаются

решением системы уравнений

sum sum sum= = =

=+n

i

n

i

n

iiiii yxxbxa

1 1 1

2 (44)

sum sum= =

=+n

i

n

iii ybnxa

1 1

(45)

Из уравнения (45) следует что наилучшая прямая проходит через точку с координатами

sumsum==

==n

ii

n

ii y

nyx

nx

1

_

1

_

11 (46)

(В этом можно легко убедиться поделив равенство (45) почленно на n) Из уравнений (44) и (45) находим

1 1

2

1 1

sum sum

sum sum

= =

= =

minus

minus= n

i

n

iii

n

i

n

iiii

xxx

yyyxa (47)

sum sumsum sum

sum sum= =

= =

= =

minus

minusminus=

n

i

n

in

i

n

iii

n

i

n

iiii

ii

xxx

yyyxx

ny

nb

1 1

1 1

2

1 111 (48)

29

В лабораторном практикуме обычно бывает достаточно оценить погрешность коэффициента a Формула для среднеквадратичной ошибки величины а имеет вид (см Список литературы ndash 3)

2

1 2

minusminus

=n

rSS

Sx

ya (49)

где ( )sum=

minusminus

=n

iiy yy

nS

1

2 1

1 (410)

( )sum=

minusminus

=n

iix xx

nS

1

2

11

(411)

( ) ( )

( ) 1

1

yx

n

iii

SSn

yyxxr

sdotminus

minusminus=

sum= (412)

Интервал в котором с установленной вероятностью α может находиться коэффициент а записывается в виде

22 anan StaaSta sdot+lelesdotminus minusminus αα (413)

где a определяется формулой (47) aS ndash формулой (49) tαn-2 ndash коэффициент Стьюдента для надежности α и числа измерений n ndash число пар точек

При использовании метода наименьших квадратов рекомендуется следующий порядок действий

1 Составить таблицу

изм xi yi xiyi xi

2 1 2

i n

sumxi sumyi sumxiyi sumxi2

30

2 Рассчитать

а) sum=

n

iii yx

1 б) sum

=

=n

i

i

nx

x1

в) sum=

n

iiy

1

г) sum=

n

iix

1

д) sum=

n

iix

1

2 е) sum=

=n

i

i

ny

y1

3 Рассчитать наилучшие значения углового коэффициента а по

формуле (47) 4 Зная коэффициенты а и б провести наилучшую прямую она

должна проходить через точку с координатами x и y 5 Для расчета погрешности величины а по формулам (49 ndash 412) составить таблицу

пп

yi - y

xi - x

(yi - y )2

(xi - x )2

Sx

Sy

r

31

ЧАСТЬ II

ПРАВИЛА РАБОТЫ В ЛАБОРАТОРИИ

ОФОРМЛЕНИЕ РЕЗУЛЬТАТОВ РАБОТЫ sect 1 Правила работы в лаборатории Каждая лабораторная работа рассчитана на одно занятие

В начале семестра составляется и вывешивается в лаборатории график выполнения работ на весь семестр

Студент должен заранее знать тему своей лабораторной работы и подготовиться к ней по методическому руководству и другой указанной в нем литературе

Перед выполнением каждой лабораторной работы необходимо пройти краткое собеседование с преподавателем и получить разрешение на ее выполнение Оно дается в том случае если студент четко знает цель работы методику проведения эксперимента умеет пользоваться приборами

ПРИСТУПАТЬ К ВЫПОЛНЕНИЮ ЛАБОРАТОРНЫХ

РАБОТ БЕЗ РАЗРЕШЕНИЯ ПРЕПОДАВАТЕЛЯ КАТЕГОРИЧЕСКИ ВОСПРЕЩАЕТСЯ

В конце занятия студент обязан предъявить преподавателю

результаты своей работы Работа считается выполненной если результаты утверждены и подписаны преподавателем После этого необходимо выключить установку привести в порядок рабочее место и получить методические указания к следующей работе

32

sect 2 Журнал лабораторных работ Результаты измерений и наблюдений должны тотчас же

фиксироваться в специальном журнале в форме протоколов Временные записи результатов на черновых листочках не допускаются

Единую форму протоколов пригодную для всех работ дать невозможно и нецелесообразно Тем не менее можно сформулировать некоторые общие требования которым должны удовлетворять записи в журнале лабораторных работ

1 Должны быть указаны название работы и дата ее выполнения

конкретная цель работы и ее упражнений 2 Целесообразно привести расчетную формулу и пояснить

физический смысл входящих в нее символов 3 Результаты всех измерений заносятся в заранее

подготовленные удобные таблицы из которых было бы ясно какие физические величины и в каких единицах измерялись сколько раз повторялись измерения каждой физической величины

4 Необходимо указать приборы использовавшиеся для измерения различных величин и их точности

5 Зафиксировать (если это важно) условия опыта (температуру давление влажность воздуха и т д)

6 Записи в журнале должны быть аккуратными и четкими журнал лабораторных работ ndash не черновик В нем не должно содержаться никаких записей не относящихся к выполняемой работе Прикидочные расчеты должны проводиться на черновых листках

7 Для пометок и замечаний целесообразно оставлять поля шириной 3 см Ниже приведена схема оформления протокола одной из

лабораторных работ

33

081098 Определение модуля Юнга по изгибу стержня Цель работы ndash проверка закона Гука и определение модуля

Юнга для стального и медного стержней Расчетная формула

4 3

3

habPLE =

где Е ndash модуль Юнга Р ndash величина нагрузки приложенной к середине стержня L ndash длина деформируемой части стержня равная расстоянию между ребрами опорных призм а ndash ширина стержня в ndash его толщина h ndash стрела прогиба

Таблица 1 Определение размеров стержня

опыта L мм а мм в мм

1 5

Измерительный прибор и его точность

Штанген-циркуль plusmn 01 мм

Микрометр plusmn0005 мм

Микрометр plusmn0005 мм

Таблица 2 Измерение стрелы прогиба нагружаемого стержня

РкГс 0 01 02 03 04 hellip

h мм

205 207 203 208 205

255 248 251 249 252

hellip hellip hellip hellip

Измерительный прибор ndash микрометр точность ~ plusmn 0005 мм

Подпись преподавателя

34

sect 3 Оформление отчетов По результатам каждой лабораторной работы составляется

отчет Он должен включать 1 Краткую формулировку идеи метода расчетную формулу

пояснение физического смысла входящих в нее символов 2 Таблицы с результатами измерений и расчетов 3 Статистическую обработку результатов измерений 4 Выводы 5 На титульном листе должны быть указаны название

лабораторной работы факультет курс группа фамилия и инициалы исполнителя Отчет должен быть написан в хорошем стиле аккуратным

разборчивым почерком При его оформлении не следует также пренебрегать и эстетической стороной вопроса Заголовки выводы и формулы целесообразно выделять пастой другого цвета подчеркнуть и т п Это облегчает чтение отчета

Выводы должны быть аргументированы ссылками на соответствующие таблицы и графики поэтому они должны быть пронумерованы

sect 4 Графики Графики используются для наглядного представления

результатов При их построении необходимо соблюдать ряд правил 1 Графики нужно строить только на миллиметровой бумаге 2 На осях необходимо нанести масштабную сетку указать

единицы измерения и символы изображаемых величин 3 Масштаб должен быть простым удобным для отсчета его

долей Например 1 см = 01 1 2 или 10 единиц Кроме того масштаб выбирают так чтобы все экспериментальные точки вошли в график и достаточно далеко отстояли друг от друга

35

Иногда для этой цели бывает удобно сместить вдоль осей начало отсчета Масштаб по осям Х и У может быть различен

Рис 11 Пример построения графика функции по экспериментальным точкам

4 Экспериментальные точки следует наносить с максимальной

точностью так чтобы они четко выделялись на фоне графика не сливаясь с ним

5 График должен представлять собой плавную кривую без изломов и перегибов Нужно стремиться провести кривую так чтобы экспериментальные точки равномерно распределялись по обе стороны от нее (рис 11)

Графики выполненные на миллиметровой бумаге

аккуратно вклеиваются в отчет где для них необходимо предусмотреть соответствующее место

36

sect 5 Точность вычислений Точность вычислений определяется погрешностью

измерений Не имеет смысла вычислять какуюndashлибо величину до пятого знака после запятой если погрешность измерений такова что неуверенно определяется ее третий знак

Чтобы погрешностью вычислений можно было пренебречь она должна быть на порядок (то есть в 10 раз) меньше погрешности наименее точно измеряемой величины

Пример Модуль Юнга по изгибу стержня вычисляется по

формуле E = PL3 4ab3middoth Анализ исходных данных показывает как правило что с наибольшей относительной погрешностью измеряется стрела прогиба h Так как ΔEE gt Δh h то допускаемая относительная погрешность вычислений ΔE выч E cong 01 Δhh Для стали E cong 2middot104 кГсмм2 поэтому при Δhh =10-2 ΔEвыч cong 10 кГсмм2 Это значит что вычисления Е целесообразно проводить лишь с точностью до четвертой значащей цифры

Обычно нас интересует лишь порядок величины погрешностей поэтому последние рекомендуется вычислять лишь до второй значащей цифры а затем округлять результат до одной значащей цифры

Приводя значение измеренной Вами величины проверьте согласуется ли порядок приведенных значащих цифр с порядком погрешности

Порядок последней значащей цифры измеренной величины и порядок погрешности должны быть одинаковы

Запись Е = (1845127 plusmn 20) 107 Па неграмотна Величина ошибки свидетельствует о том что неуверенно определяется уже четвертый знак поэтому результат должен быть соответственно округлен

Е = (18450 plusmn 20) 107 Па

37

Приложение

Таблица 3 Значения коэффициентов Стьюдента

Коэффициент надежности Число

изме рений

N 08 09 095 098 099 0999

2 31 631 1271 3182 6366 63662 3 19 292 431 696 992 3160 4 16 235 318 454 584 1294 5 15 213 278 375 460 861 6 15 202 257 336 403 686 7 14 194 245 314 371 596 8 14 190 236 300 350 540 9 14 186 231 290 336 504

10 14 183 226 282 325 478 infin 13 165 196 233 259 331

38

Список литературы

1 Деденко Л Г Керженцев В В Математическая обработка и оформление результатов эксперимента М Издndashво МГУ 1977

2 Зайдель А Н Ошибки измерения физических величин Л

Наука 1974 3 Кассандрова О Н Лебедев В В Обработка результатов из-

мерений М Наука 1970 4 Сквайрс Дж Практическая физика М Мир 1971 5 Соловьев В А Яхонтова В Е Элементарные методы обра-

ботки результатов измерений Л Издndashво ЛГУ 1977

39

СОДЕРЖАНИЕ

Задачи физического практикума 3

Часть I Статистическая обработка результатов измерений

Глава I Введение в теорию погрешностей 3 sect1 Измерения и их погрешности 3 sect2 Типы погрешностей 5

1 Систематические погрешности 5 2 Случайные погрешности 6 3 Промахи 7

Глава II Статистическая обработка результатов прямых измерений 8 sect1 Вероятность случайного события 8 sect2 Нормальный закон распределения случайных погрешностей 9 sect3 Среднеквадратичная погрешность 13 sect4 Среднеквадратичная погрешность среднего 14 sect5 Доверительный интервал и доверительная вероятность 15 sect6 Совместный учет систематической и случайной погрешностей 20 Глава III Статистическая обработка результатов косвенных измерений 21 sect1 Два способа оценки погрешностей косвенного измерения 21 sect2 Частные погрешности и общая погрешность косвенного измерения 21 sect3 Относительная погрешность косвенного измерения 23 Глава IV Определение параметров линейной зависимости 25 sect1 Метод парных точек 25 sect2 Метод наименьших квадратов (МНК) 26

40

Часть II Правила работы в лаборатории оформление

результатов работы

sect1 Правила работы в лаборатории 31 sect2 Журнал лабораторных работ 32 sect3 Оформление отчетов 34 sect4 Графики 34 sect5 Точность вычислений 36 Приложение 37 Список литературы 38

41

Составители Жукова Ида Степановна Бутина Лариса Иосифовна Крылова Светлана Ивановна

ВВЕДЕНИЕ В ЛАБОРАТОРНЫЙ ПРАКТИКУМ ПО КУРСУ ОБЩЕЙ ФИЗИКИ

Методические указания

к лабораторной работе

Редактор Козина О В

ЛР 040 110 Подписано к печати 090999 Формат 60х84 116 Бумага газетная Офсетная печать 25 уч-издл

11 услкр-отт Тираж 500 экз Изд 19 laquoСraquo

Издательство Петрозаводского государственного университета

185640 Петрозаводск пр Ленина 33

9

достоверным если РА = 0 событие называется невозможным (оно либо не наступает никогда либо чрезвычайно редко)

Если рассматриваемая совокупность событий такова что одно из них обязательно наступает при каждом испытании то такие события образуют полную группу Нетрудно показать что сумма вероятностей событий образующих полную группу равна единице

Так например в случае одинакового числа шаров белого красного и синего цвета события выражающиеся в том что вынутый шар будет белым красным или синим образуют полную группу Вероятность каждого отдельного события равна 13 а их сумма равна единице

sect 2 Нормальный закон распределения случайных погрешностей

Если погрешности носят чисто случайный характер то по

результатам измерений можно оценить вероятности их появления Пусть х1 х2hellipхn ndash результаты отдельных измерений Примем

что n достаточно велико и при оценке погрешностей будем считать что

sum=

==n

iix

nxX

11

(21)

xxx ii minus=Δ Определив погрешности Δxi рассортируем их по величине

Для этого весь диапазон полученных значений Δxi разобъем на одинаковые малые интервалы Δε и подсчитаем сколько раз величина ошибки попадает в каждый интервал Если в интервале номер laquokraquo оказалось заключено Δnk значений погрешности то вероятность попадания погрешности в этот интервал

Pk cong Δnkn (22)

10

Если значения вероятности для каждого интервала отложить по оси ординат то получится ступенчатая диаграмма изображенная на рисунке 3 Она называется гистограммой

Рис 3 Гистограмма Так как Рк зависит от Δε то по оси ординат удобнее

откладывать не Рк а величину εε Δsdot

Δ=

Δ=

nnP

y kk называемую

плотностью распределения вероятностей Очевидно y = Pk при Δε =1 Это значит что у есть вероятность отнесенная к единичному интервалу Δε Вид гистограммы y (Δхi ) будет таким же как и вид гистограммы Рк (Δхi ) (рис 3)

11

Рис4 Кривая распределения вероятностей случайных погрешностей Если увеличить число измерений n (n rarrinfin) и строить

гистограммы для все более малых интервалов Δε то при Δεrarr0 середины верхних площадок прямоугольников сольются в плавную кривую называемую кривой распределения вероятностей Опыт показал что в большинстве случаев распределение погрешностей соответствует так называемому нормальному закону найденному Гауссом Согласно гауссову распределению плотность вероятности y и величина погрешности Δxi связаны соотношением

( )πσ 2

1=Δ ixy

( )2

2

2σixΔ

minusl (23)

где l minus основание натурального логарифма σ2 ndash некоторый постоянный параметр называемый дисперсией распределения (смысл его выясняется далее)

12

Вид кривой распределения соответствующий некоторому значению σ показан на рисунке 4

Пользуясь законом распределения можно производить многие важные расчеты

Из формулы εΔsdot

Δ=

nn

y k следует что вероятность P(Δxk)

того что величина погрешности заключена в интервале Δxk divide Δxk + Δε определяется формулой

P(Δxk) = y(Δxk)middotΔε Численно эта вероятность равна площади зачерненного

прямоугольника С с основанием Δε (рис 4) Вероятность того что модуль погрешности не превзойдет некоторого значения изобразится площадью заштрихованной фигуры АВС с основанием 2 Δxk (рис 4)

На рисунке 5 представлены кривые распределения соответствующие разным σ Видно что с ростом σ максимум кривой распределения понижается а ее laquoкрыльяraquo поднимаются В соответствии со сказанным ранее о геометрическом смысле вероятности это означает что с ростом σ вероятность малых погрешностей уменьшается а вероятность больших ndash растет Следовательно чем больше дисперсия распределения σ2 тем меньше точность измерений

Важно подчеркнуть что кривая y(Δxi) характеризует не какую-то серию измерений а некоторую воображаемую совокупность бесконечного числа измерений данной величины в одних и тех же условиях Такая совокупность называется генеральной Всякая же конечная серия измерений называется случайной выборкой из генеральной совокупности

13

Рис 5 Влияние дисперсии на вид кривой распределения вероятностей случайных погрешностей

sect 3 Среднеквадратичная погрешность

Пусть х1 х2hellipхn ndash результаты некоторой серии n измерений

проведенных в одинаковых условиях Как уже подчеркивалось величина случайной погрешности не постоянна и меняется от опыта к опыту Возникает необходимость охарактеризовать погрешности результатов отдельных измерений данной серии некоторой средней величиной Иногда в качестве такой характеристики используют среднюю арифметическую погрешность

sum=

Δ=Δn

iix

nx

11

Однако удобнее использовать так называемую среднеквадратичную погрешность выборки Sn определяемую формулой

14

( )

11

2

minus

minus=

sum=

n

xxS

n

ii

n (24)

Sn называют также выборочным стандартным отклонением Можно показать что при достаточно большом числе

измерений Sn cong σ и следовательно дисперсия распределения

( ) ( )

11

2

1

2

22

n

xx

n

xxS

n

ii

n

ini

n

sumsum==

minuscong

minus

minus=congσ (25)

Таким образом дисперсия распределения приблизительно

равна среднему квадрату погрешности отдельных измерений найденному при достаточно большом n Для генеральной совокупности (n rarr infin) равенство (25) выполняется точно Из него следует что величина дисперсии зависит от условий в которых проводятся измерения чем благоприятнее условия измерений тем меньше разброс результатов и меньше дисперсия

sect 4 Среднеквадратичная погрешность среднего Допустим что мы провели серию n измерений некоторой

величины х результаты которых равны х1 х2hellipхn Наилучшим приближением к истинному значению является величина

sum=

=n

iix

nx

1

1 называемая cредним выборочным значением

измеряемой величины Если серию по n измерений в каждой повторить m раз то мы получим m значений x несколько отличающихся друг от друга и от истинного значения Х измеряемой величины Погрешности Xxx kk minus=Δ являются случайными и так же как погрешности отдельных измерений Δxi = xi ndash Х подчиняются гауссову распределению но с другой

15

дисперсией 2xσ lt 2σ Величина 2

xσ называемая дисперсией среднего является мерой погрешности среднего значения x найденного в серии из n измерений В теории погрешности доказывается что

22

nxσσ = (26a)

Это значит что xσ в отличие от σ зависит от числа проведенных измерений

nx

σσ = (26б)

Таким образом среднеквадратичная погрешность среднего результата n измерений в n12 раз меньше среднеквадратичной погрешности отдельных измерений Из формул (25) и (26) следует что при большом n

( ))1(

1

2

minus

minus=cong

sum=

nn

xx

nS

n

ii

nx

σ

Величина

( ))1(

1

2

minus

minus=

sum=

nn

xxS

n

ii

x (27)

называется выборочной среднеквадратичной погрешностью среднего

sect 5 Доверительный интервал и доверительная вероятность Как уже указывалось для любой конечной выборки x neХ

Практически очень важно оценить возможную величину отклонения среднего значения x от истинного Х то есть x ndash Х

16

Интервал plusmnx ΔХ в который с заданной вероятностью α попадает истинное значение Х измеряемой величины называется доверительным интервалом соответствующим вероятности α Вероятность α называется также доверительной вероятностью или надежностью Величина ΔХ характеризует точность оценки Чем меньше разность x ndash Х тем выше точность

Надежность соответствующую заданной точности ΔХ можно вычислить теоретически воспользовавшись гауссовым распределением если известна дисперсия 2

xσ В соответствии со сказанным ранее (гл II sect2) величина α

равна площади заштрихованной фигуры АВС опирающейся на отрезок 2ΔХ (рис 6)

Рис 6 Кривая распределения вероятностей случайных

погрешностей среднего

17

Так как =2xσ σ2n то надежность соответствующая

заданной точности ΔХ растет с ростом числа измерений и величины дополнительного интервала

Можно показать что α является функцией величины

к = x

XσΔ

График функции α = F(k) показан на рисунке 7

Рис 7 График функции α = ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ Δ

x

XFσ

Видно что с ростом k растет и доверительная вероятность α

Так α = 068 для k = 1 α = 095 для k = 2 α = 0997 для k = 3 Результаты расчетов F для различных k приведены в соответствующей литературе (см Список литературы ndash 1 2)

Если n мало (n lt 30) то xx Sneσ и для расчета распределением Гаусса пользоваться нельзя В этом случае используют распределение выведенное английским математиком и химиком Госсетом (псевдоним laquoСтьюдентraquo)

В распределении Стьюдента плотность распределения вероятностей рассматривается как функция величины

18

xx SXx

SXt minus

=Δ

= называемой коэффициентом Стьюдента

(среднеквадратичная погрешность среднего арифметического xS определяется формулой (27))

Распределение Стьюдента зависит от n и при nrarrinfin переходит в распределение Гаусса

Рис 8 Кривые распределения Стьюдента для выборок различного объема

На рисунке 8 показаны кривые y(t) при разных n Вычислив

по результатам измерений xS и задав величину ΔX можно найти t и α соответствующие данному n Наоборот задав надежность α можно вычислить tαn и соответствующую точность ΔX = tαn xS при данном значении n Соответствующие друг другу значения

19

α и tαn при разных n приводятся в специальных таблицах (см Приложение)

На практике задание величины ΔX определяется конкретными условиями Допустим что некоторое предприятие изготовляет резисторы определенного номинала Естественно что благодаря действию различных случайных факторов величины сопротивлений R будут отклоняться от их номинальных значений Измерив R для большой партии резисторов (ngtgt30) можно построить кривую y (ΔR) и найти дисперсию 2

Rσ Величина 2Rσ определяется тем насколько хорошо контролируется и

поддерживается постоянной технология изготовления резисторов Если разброс значений R а значит и 2

Rσ велик то задавая малое значение доверительного интервала Xx Δplusmn получим и малую надежность α При этом лишь малая доля значений R попадает в заданный доверительный интервал и процент брака будет соответственно велик Напротив при выборе большой надежности уменьшится процент брака но зато увеличится разброс значений R (увеличится ширина доверительного интервала x plusmn ΔX)

Если по условиям работы приборов в которых используются эти резисторы доверительный интервал должен быть малым то для сохранения большой надежности необходимо улучшить технологию их производства

Точность электроизмерительных приборов определяется классом их точности и соответствует надежности α = 0997 (ΔX = 3σ x ) В лабораторных условиях обычно довольствуются надежностью α = 090 095

Для оценки доверительного интервала прямых измерений предлагается следующий порядок 1 Провести серию измерений изучаемой величины Х и оценить

среднее выборочное x sum=

=n

iix

nx

1

1

2 Найти абсолютную погрешность единичного измерения Δхi Δxi = xi ndash x

20

3 Определить среднюю квадратичную ошибку среднего арифметического

( ))1(

1

2

minus

minus=

sum=

nn

xxS

n

ii

x

4 Определить точность измерения ΔX при заданных n и α ΔX = nx tS αsdot

5 Записать доверительный интервал для истинного значения измеряемой величины Х = x plusmn ΔX или x ndash ΔX leΧle xi +ΔX

Для удобства расчетов данные оформляются в виде таблицы xi Δxi = xi - x Δxi

2 xS αn ΔX

1 2

Ср Σ Δxi2=

Абсолютная ошибка Δхi рассчитывается по модулю

sect 6 Совместный учет систематической и случайной погрешностей Строгий учет систематической погрешности труден Если

систематическая погрешность обусловлена точностью прибора (что мы и будем предполагать) то можно оценить верхнюю границу возможных ошибок зная класс его точности Если точность обусловленная случайной погрешностью ndashΔХ а величина систематической погрешности ndashδ то величина суммарной точности ΔХ определяется формулой

( )2

2

3 ⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ sdot

+Δ=Δδαk

XX (28)

где kα = tα(infin) ndash коэффициент Стьюдента при n = infin

21

Глава III Статистическая обработка результатов косвенных измерений

sect 1 Два способа оценки погрешности косвенного

измерения В большинстве случаев имеют дело с косвенными

измерениями Пусть x y z ndash непосредственно измеряемые величины а W = f (x y z) ndash их функция то есть величина измеряемая косвенно Рассмотрим два способа оценки погрешности величины W

I способ Если косвенные измерения проводятся в невоспроизводимых условиях то значения Wi вычисляются для каждого отдельного измерения а затем обрабатываются как прямые измерения

II способ позволяет вычислить погрешность косвенного измерения как функцию погрешностей прямых измерений Далее остановимся подробнее на этом способе

sect 2 Частные погрешности и общая погрешность косвенного измерения Обрабатывая прямые измерения мы находим их

выборочные средние значения zyx hellip являющиеся как было показано выше случайными величинами Очевидно что и величина WW = ( zyx hellip) представляющая собой выборочное среднее искомой функции будет также случайной величиной Задача как и в случае прямых измерений состоит в том чтобы определить с какой вероятностью искомая величина W может быть заключена в некотором заданном интервале W plusmn ΔW В общем случае эта задача весьма сложна и мы ограничимся лишь ее приближенным решением

Рассмотрим сначала случай когда W является функцией только одной переменной то есть W = W(x) Разложим функцию W(x) в ряд Тейлора в окрестности точки х = Х (Х ndash истинное

22

значение х) В случае когда погрешность прямого измерения достаточно мала можно ограничиться лишь линейным членом и считать что

)()()( Xxdx

dWXWxWXx

minussdot⎟⎠⎞

⎜⎝⎛+=

=

Отсюда )()()( Xxdx

dWXWxWXx

minussdot⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=minus

=

(31)

Из (31) следует что

xxx

W Sdx

dWS sdot⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=

=

(32)

где xS и WS ndash средние квадратичные погрешности величин

x и W Доверительный интервал величины W соответствующий надежности α определяется как

Xdx

dWWWWxx

Δsdot⎟⎠⎞

⎜⎝⎛plusmn=Δplusmn

=

(33)

где ΔW ndash точность величины х соответствующая той же надежности α

Если результат косвенного измерения W является функцией многих переменных то есть W = W(x y z) то по формуле (33) можно вычислить погрешности ΔWx ΔWy ΔWzhellip обусловленные каждым аргументом и называемые частными погрешностями Они равны

Zz

WW

YyWW

Xx

WW

zzz

yyy

xxx

Δsdot⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

partpart

=Δ

Δsdot⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛partpart

=Δ

Δsdot⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

partpart

=Δ

=

=

=

(34)

и так далее

23

В формулах (34) z

WyW

xW

partpart

partpart

partpart являются частными

производными и вычисляются так как будто другие аргументы ndash постоянные величины

Общая погрешность косвенного измерения в этом случае вычисляется по формуле (см Список литературы ndash 4)

222zyx WWWW Δ+Δ+Δ=Δ и

22

22

22

Zz

WYyWX

xWW Δ⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛

partpart

+Δ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛partpart

+Δ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

partpart

=Δ (35)

sect 3 Относительная погрешность косвенного измерения Очень часто бывает удобно вычислить относительную

погрешность результата косвенного измерения WdW

W =η

На основании известной формулы dlnu = duu можно сформулировать следующее правило расчета относительной погрешности Допустим сначала что W = W(x) ndash функция одной переменой Тогда относительная погрешность

WdWdW

W ln==η (36)

то есть для нахождения ηW необходимо сначала прологарифмировать выражение W(x) а затем продифференцировать его по х

В случае многих переменных можно как и для абсолютных погрешностей ввести частные относительные погрешности равные

24

ln xWxx Δsdot

partpart

=η

ln

ln

zWz

yWy

z

y

Δsdotpartpart

=

Δsdotpartpart

=

η

η (37)

Тогда общая относительная погрешность определится как

K222zyxW ηηηη ++= (38)

Расчет погрешности по формулам (37) и (38) особенно удобно производить в случае когда функция имеет одночленную (логарифмическую) формулу Пусть например

yxAW 4=

где А ndash константа Используя правило (37) имеем lnln4lnln 2

1 yxAW minus+=

21 4

y yy

xx

xΔ

minus=Δ

= ηη

4

116 22

22 y

yx

xΔsdot+Δsdot=η

Замечание Прежде чем сделать расчет по формуле (38) произведите оценку относительных погрешностей по отдельным аргументам вычисленных по формулам (37) Если при этом отдельные частные погрешности меньше максимальной хотя бы в три раза ими можно пренебречь В таком случае общая формула (38) значительно упростится

Определив относительную погрешность ηW можно рассчитать абсолютную погрешность (точность) по формуле

ΔW = ηWW (39)

25

Глава IV Определение параметров линейной зависимости

На опыте часто измеряют пары величин х и y причем одна

из них y является функцией другой ndash х Пусть в результате эксперимента получен ряд измерений величины y y1 y2hellipyn соответствующих значениям аргумента х1 х2 hellipхn

Необходимо установить эмпирическую зависимость между y и х Задача состоит в том чтобы по экспериментальным точкам провести линию которая как можно лучше соответствовала бы истинной функциональной зависимости y = f(x) При этом ограничимся лишь случаем линейной функции

y = ax + b (41) Линейная зависимость очень широко распространена в

физике Даже в случаях когда зависимость нелинейная обычно стараются преобразовать ее так чтобы свести к линейной Например зависимость y = Aeαx преобразуется к виду ln y = ln A + αx и на графике строится зависимость

ln y = f(1x)

Ниже приведены два метода нахождения наиболее вероятных параметров линии (коэффициентов а и в уравнения (41)) проходящих через набор экспериментальных точек

sect 1 Метод парных точек Метод парных точек является наиболее простым и

применяется в основном для определения лишь наклона прямой то есть коэффициента а

Допустим что у нас имеется 8 точек лежащих на одной прямой Требуется найти наилучшее значение тангенса угла наклона а и его погрешность Пронумеруем точки по порядку от

26

1 до 8 (рис 9) Возьмем точки 1 и 5 ими определится некоторая прямая и угол ее наклона В качестве наилучшего значения а выбирается его среднее значение a и обычным способом находится его среднеквадратичная погрешность и доверительный интервал

y 8 7 6 5 3 4 2

1 0

х Рис 9 Нумерация экспериментальных точек для расчета а

методом парных точек

Таким образом полученная прямая линия будет иметь угловой коэффициент a и проходить через точку соответствующую средним значениям переменных х и y (следующий параграф)

Такой метод дает удовлетворительные результаты лишь тогда когда величины (x5 ndash x1) (x6 ndash x2) (x7 ndash x3) (x8 ndash x4) примерно одинаковы

sect 2 Метод наименьших квадратов (МНК) МНК является одним из стандартных методов статистики

Сущность этого метода заключается в следующем Допустим что имеется n пар измеренных значений (x1 y1) (x2 y2)hellip(xn yn) Предположим что ошибки содержат лишь величины y

27

(На практике это предположение часто оправдывается) По результатам измерений необходимо построить прямую линию

В основе описываемого метода лежит положение согласно которому наилучшим приближением будет такая прямая линия для которой сумма квадратов расстояний по вертикали от точек до прямой (сумма квадратов погрешностей величины y (рис 10)) является минимальной то есть наиболее вероятные

Рис 10 Распределение экспериментальных точек относительно искомой прямой

значения параметров а и в (41) выбираются так чтобы сумма

( )sum sum= =

minusminus==n

i

n

iiii baxydS

1 1

22 (42)

была минимальной Это значит что

( )sum=

=minus+=partpart n

iiii xybax

aS

1

02

( )sum=

=minus+=partpart n

iii ybax

bS

1

02 (43)

28

Таким образом искомые величины а и в получаются

решением системы уравнений

sum sum sum= = =

=+n

i

n

i

n

iiiii yxxbxa

1 1 1

2 (44)

sum sum= =

=+n

i

n

iii ybnxa

1 1

(45)

Из уравнения (45) следует что наилучшая прямая проходит через точку с координатами

sumsum==

==n

ii

n

ii y

nyx

nx

1

_

1

_

11 (46)

(В этом можно легко убедиться поделив равенство (45) почленно на n) Из уравнений (44) и (45) находим

1 1

2

1 1

sum sum

sum sum

= =

= =

minus

minus= n

i

n

iii

n

i

n

iiii

xxx

yyyxa (47)

sum sumsum sum

sum sum= =

= =

= =

minus

minusminus=

n

i

n

in

i

n

iii

n

i

n

iiii

ii

xxx

yyyxx

ny

nb

1 1

1 1

2

1 111 (48)

29

В лабораторном практикуме обычно бывает достаточно оценить погрешность коэффициента a Формула для среднеквадратичной ошибки величины а имеет вид (см Список литературы ndash 3)

2

1 2

minusminus

=n

rSS

Sx

ya (49)

где ( )sum=

minusminus

=n

iiy yy

nS

1

2 1

1 (410)

( )sum=

minusminus

=n

iix xx

nS

1

2

11

(411)

( ) ( )

( ) 1

1

yx

n

iii

SSn

yyxxr

sdotminus

minusminus=

sum= (412)

Интервал в котором с установленной вероятностью α может находиться коэффициент а записывается в виде

22 anan StaaSta sdot+lelesdotminus minusminus αα (413)

где a определяется формулой (47) aS ndash формулой (49) tαn-2 ndash коэффициент Стьюдента для надежности α и числа измерений n ndash число пар точек

При использовании метода наименьших квадратов рекомендуется следующий порядок действий

1 Составить таблицу

изм xi yi xiyi xi

2 1 2

i n

sumxi sumyi sumxiyi sumxi2

30

2 Рассчитать

а) sum=

n

iii yx

1 б) sum

=

=n

i

i

nx

x1

в) sum=

n

iiy

1

г) sum=

n

iix

1

д) sum=

n

iix

1

2 е) sum=

=n

i

i

ny

y1

3 Рассчитать наилучшие значения углового коэффициента а по

формуле (47) 4 Зная коэффициенты а и б провести наилучшую прямую она

должна проходить через точку с координатами x и y 5 Для расчета погрешности величины а по формулам (49 ndash 412) составить таблицу

пп

yi - y

xi - x

(yi - y )2

(xi - x )2

Sx

Sy

r

31

ЧАСТЬ II

ПРАВИЛА РАБОТЫ В ЛАБОРАТОРИИ

ОФОРМЛЕНИЕ РЕЗУЛЬТАТОВ РАБОТЫ sect 1 Правила работы в лаборатории Каждая лабораторная работа рассчитана на одно занятие

В начале семестра составляется и вывешивается в лаборатории график выполнения работ на весь семестр

Студент должен заранее знать тему своей лабораторной работы и подготовиться к ней по методическому руководству и другой указанной в нем литературе

Перед выполнением каждой лабораторной работы необходимо пройти краткое собеседование с преподавателем и получить разрешение на ее выполнение Оно дается в том случае если студент четко знает цель работы методику проведения эксперимента умеет пользоваться приборами

ПРИСТУПАТЬ К ВЫПОЛНЕНИЮ ЛАБОРАТОРНЫХ

РАБОТ БЕЗ РАЗРЕШЕНИЯ ПРЕПОДАВАТЕЛЯ КАТЕГОРИЧЕСКИ ВОСПРЕЩАЕТСЯ

В конце занятия студент обязан предъявить преподавателю

результаты своей работы Работа считается выполненной если результаты утверждены и подписаны преподавателем После этого необходимо выключить установку привести в порядок рабочее место и получить методические указания к следующей работе

32

sect 2 Журнал лабораторных работ Результаты измерений и наблюдений должны тотчас же

фиксироваться в специальном журнале в форме протоколов Временные записи результатов на черновых листочках не допускаются

Единую форму протоколов пригодную для всех работ дать невозможно и нецелесообразно Тем не менее можно сформулировать некоторые общие требования которым должны удовлетворять записи в журнале лабораторных работ

1 Должны быть указаны название работы и дата ее выполнения

конкретная цель работы и ее упражнений 2 Целесообразно привести расчетную формулу и пояснить

физический смысл входящих в нее символов 3 Результаты всех измерений заносятся в заранее

подготовленные удобные таблицы из которых было бы ясно какие физические величины и в каких единицах измерялись сколько раз повторялись измерения каждой физической величины

4 Необходимо указать приборы использовавшиеся для измерения различных величин и их точности

5 Зафиксировать (если это важно) условия опыта (температуру давление влажность воздуха и т д)

6 Записи в журнале должны быть аккуратными и четкими журнал лабораторных работ ndash не черновик В нем не должно содержаться никаких записей не относящихся к выполняемой работе Прикидочные расчеты должны проводиться на черновых листках

7 Для пометок и замечаний целесообразно оставлять поля шириной 3 см Ниже приведена схема оформления протокола одной из

лабораторных работ

33

081098 Определение модуля Юнга по изгибу стержня Цель работы ndash проверка закона Гука и определение модуля

Юнга для стального и медного стержней Расчетная формула

4 3

3

habPLE =

где Е ndash модуль Юнга Р ndash величина нагрузки приложенной к середине стержня L ndash длина деформируемой части стержня равная расстоянию между ребрами опорных призм а ndash ширина стержня в ndash его толщина h ndash стрела прогиба

Таблица 1 Определение размеров стержня

опыта L мм а мм в мм

1 5

Измерительный прибор и его точность

Штанген-циркуль plusmn 01 мм

Микрометр plusmn0005 мм

Микрометр plusmn0005 мм

Таблица 2 Измерение стрелы прогиба нагружаемого стержня

РкГс 0 01 02 03 04 hellip

h мм

205 207 203 208 205

255 248 251 249 252

hellip hellip hellip hellip

Измерительный прибор ndash микрометр точность ~ plusmn 0005 мм

Подпись преподавателя

34

sect 3 Оформление отчетов По результатам каждой лабораторной работы составляется

отчет Он должен включать 1 Краткую формулировку идеи метода расчетную формулу

пояснение физического смысла входящих в нее символов 2 Таблицы с результатами измерений и расчетов 3 Статистическую обработку результатов измерений 4 Выводы 5 На титульном листе должны быть указаны название

лабораторной работы факультет курс группа фамилия и инициалы исполнителя Отчет должен быть написан в хорошем стиле аккуратным

разборчивым почерком При его оформлении не следует также пренебрегать и эстетической стороной вопроса Заголовки выводы и формулы целесообразно выделять пастой другого цвета подчеркнуть и т п Это облегчает чтение отчета

Выводы должны быть аргументированы ссылками на соответствующие таблицы и графики поэтому они должны быть пронумерованы

sect 4 Графики Графики используются для наглядного представления

результатов При их построении необходимо соблюдать ряд правил 1 Графики нужно строить только на миллиметровой бумаге 2 На осях необходимо нанести масштабную сетку указать

единицы измерения и символы изображаемых величин 3 Масштаб должен быть простым удобным для отсчета его

долей Например 1 см = 01 1 2 или 10 единиц Кроме того масштаб выбирают так чтобы все экспериментальные точки вошли в график и достаточно далеко отстояли друг от друга

35

Иногда для этой цели бывает удобно сместить вдоль осей начало отсчета Масштаб по осям Х и У может быть различен

Рис 11 Пример построения графика функции по экспериментальным точкам

4 Экспериментальные точки следует наносить с максимальной

точностью так чтобы они четко выделялись на фоне графика не сливаясь с ним

5 График должен представлять собой плавную кривую без изломов и перегибов Нужно стремиться провести кривую так чтобы экспериментальные точки равномерно распределялись по обе стороны от нее (рис 11)

Графики выполненные на миллиметровой бумаге

аккуратно вклеиваются в отчет где для них необходимо предусмотреть соответствующее место

36

sect 5 Точность вычислений Точность вычислений определяется погрешностью

измерений Не имеет смысла вычислять какуюndashлибо величину до пятого знака после запятой если погрешность измерений такова что неуверенно определяется ее третий знак

Чтобы погрешностью вычислений можно было пренебречь она должна быть на порядок (то есть в 10 раз) меньше погрешности наименее точно измеряемой величины

Пример Модуль Юнга по изгибу стержня вычисляется по

формуле E = PL3 4ab3middoth Анализ исходных данных показывает как правило что с наибольшей относительной погрешностью измеряется стрела прогиба h Так как ΔEE gt Δh h то допускаемая относительная погрешность вычислений ΔE выч E cong 01 Δhh Для стали E cong 2middot104 кГсмм2 поэтому при Δhh =10-2 ΔEвыч cong 10 кГсмм2 Это значит что вычисления Е целесообразно проводить лишь с точностью до четвертой значащей цифры

Обычно нас интересует лишь порядок величины погрешностей поэтому последние рекомендуется вычислять лишь до второй значащей цифры а затем округлять результат до одной значащей цифры

Приводя значение измеренной Вами величины проверьте согласуется ли порядок приведенных значащих цифр с порядком погрешности

Порядок последней значащей цифры измеренной величины и порядок погрешности должны быть одинаковы

Запись Е = (1845127 plusmn 20) 107 Па неграмотна Величина ошибки свидетельствует о том что неуверенно определяется уже четвертый знак поэтому результат должен быть соответственно округлен

Е = (18450 plusmn 20) 107 Па

37

Приложение

Таблица 3 Значения коэффициентов Стьюдента

Коэффициент надежности Число

изме рений

N 08 09 095 098 099 0999

2 31 631 1271 3182 6366 63662 3 19 292 431 696 992 3160 4 16 235 318 454 584 1294 5 15 213 278 375 460 861 6 15 202 257 336 403 686 7 14 194 245 314 371 596 8 14 190 236 300 350 540 9 14 186 231 290 336 504

10 14 183 226 282 325 478 infin 13 165 196 233 259 331

38

Список литературы

1 Деденко Л Г Керженцев В В Математическая обработка и оформление результатов эксперимента М Издndashво МГУ 1977

2 Зайдель А Н Ошибки измерения физических величин Л

Наука 1974 3 Кассандрова О Н Лебедев В В Обработка результатов из-

мерений М Наука 1970 4 Сквайрс Дж Практическая физика М Мир 1971 5 Соловьев В А Яхонтова В Е Элементарные методы обра-

ботки результатов измерений Л Издndashво ЛГУ 1977

39

СОДЕРЖАНИЕ

Задачи физического практикума 3

Часть I Статистическая обработка результатов измерений

Глава I Введение в теорию погрешностей 3 sect1 Измерения и их погрешности 3 sect2 Типы погрешностей 5

1 Систематические погрешности 5 2 Случайные погрешности 6 3 Промахи 7

Глава II Статистическая обработка результатов прямых измерений 8 sect1 Вероятность случайного события 8 sect2 Нормальный закон распределения случайных погрешностей 9 sect3 Среднеквадратичная погрешность 13 sect4 Среднеквадратичная погрешность среднего 14 sect5 Доверительный интервал и доверительная вероятность 15 sect6 Совместный учет систематической и случайной погрешностей 20 Глава III Статистическая обработка результатов косвенных измерений 21 sect1 Два способа оценки погрешностей косвенного измерения 21 sect2 Частные погрешности и общая погрешность косвенного измерения 21 sect3 Относительная погрешность косвенного измерения 23 Глава IV Определение параметров линейной зависимости 25 sect1 Метод парных точек 25 sect2 Метод наименьших квадратов (МНК) 26

40

Часть II Правила работы в лаборатории оформление

результатов работы

sect1 Правила работы в лаборатории 31 sect2 Журнал лабораторных работ 32 sect3 Оформление отчетов 34 sect4 Графики 34 sect5 Точность вычислений 36 Приложение 37 Список литературы 38

41

Составители Жукова Ида Степановна Бутина Лариса Иосифовна Крылова Светлана Ивановна

ВВЕДЕНИЕ В ЛАБОРАТОРНЫЙ ПРАКТИКУМ ПО КУРСУ ОБЩЕЙ ФИЗИКИ

Методические указания

к лабораторной работе

Редактор Козина О В

ЛР 040 110 Подписано к печати 090999 Формат 60х84 116 Бумага газетная Офсетная печать 25 уч-издл

11 услкр-отт Тираж 500 экз Изд 19 laquoСraquo

Издательство Петрозаводского государственного университета

185640 Петрозаводск пр Ленина 33

10

Если значения вероятности для каждого интервала отложить по оси ординат то получится ступенчатая диаграмма изображенная на рисунке 3 Она называется гистограммой

Рис 3 Гистограмма Так как Рк зависит от Δε то по оси ординат удобнее

откладывать не Рк а величину εε Δsdot

Δ=

Δ=

nnP

y kk называемую

плотностью распределения вероятностей Очевидно y = Pk при Δε =1 Это значит что у есть вероятность отнесенная к единичному интервалу Δε Вид гистограммы y (Δхi ) будет таким же как и вид гистограммы Рк (Δхi ) (рис 3)

11

Рис4 Кривая распределения вероятностей случайных погрешностей Если увеличить число измерений n (n rarrinfin) и строить

гистограммы для все более малых интервалов Δε то при Δεrarr0 середины верхних площадок прямоугольников сольются в плавную кривую называемую кривой распределения вероятностей Опыт показал что в большинстве случаев распределение погрешностей соответствует так называемому нормальному закону найденному Гауссом Согласно гауссову распределению плотность вероятности y и величина погрешности Δxi связаны соотношением

( )πσ 2

1=Δ ixy

( )2

2

2σixΔ

minusl (23)

где l minus основание натурального логарифма σ2 ndash некоторый постоянный параметр называемый дисперсией распределения (смысл его выясняется далее)

12

Вид кривой распределения соответствующий некоторому значению σ показан на рисунке 4

Пользуясь законом распределения можно производить многие важные расчеты

Из формулы εΔsdot

Δ=

nn

y k следует что вероятность P(Δxk)

того что величина погрешности заключена в интервале Δxk divide Δxk + Δε определяется формулой

P(Δxk) = y(Δxk)middotΔε Численно эта вероятность равна площади зачерненного

прямоугольника С с основанием Δε (рис 4) Вероятность того что модуль погрешности не превзойдет некоторого значения изобразится площадью заштрихованной фигуры АВС с основанием 2 Δxk (рис 4)

На рисунке 5 представлены кривые распределения соответствующие разным σ Видно что с ростом σ максимум кривой распределения понижается а ее laquoкрыльяraquo поднимаются В соответствии со сказанным ранее о геометрическом смысле вероятности это означает что с ростом σ вероятность малых погрешностей уменьшается а вероятность больших ndash растет Следовательно чем больше дисперсия распределения σ2 тем меньше точность измерений

Важно подчеркнуть что кривая y(Δxi) характеризует не какую-то серию измерений а некоторую воображаемую совокупность бесконечного числа измерений данной величины в одних и тех же условиях Такая совокупность называется генеральной Всякая же конечная серия измерений называется случайной выборкой из генеральной совокупности

13

Рис 5 Влияние дисперсии на вид кривой распределения вероятностей случайных погрешностей

sect 3 Среднеквадратичная погрешность

Пусть х1 х2hellipхn ndash результаты некоторой серии n измерений

проведенных в одинаковых условиях Как уже подчеркивалось величина случайной погрешности не постоянна и меняется от опыта к опыту Возникает необходимость охарактеризовать погрешности результатов отдельных измерений данной серии некоторой средней величиной Иногда в качестве такой характеристики используют среднюю арифметическую погрешность

sum=

Δ=Δn

iix

nx

11

Однако удобнее использовать так называемую среднеквадратичную погрешность выборки Sn определяемую формулой

14

( )

11

2

minus

minus=

sum=

n

xxS

n

ii

n (24)

Sn называют также выборочным стандартным отклонением Можно показать что при достаточно большом числе

измерений Sn cong σ и следовательно дисперсия распределения

( ) ( )

11

2

1

2

22

n

xx

n

xxS

n

ii

n

ini

n

sumsum==

minuscong

minus

minus=congσ (25)

Таким образом дисперсия распределения приблизительно

равна среднему квадрату погрешности отдельных измерений найденному при достаточно большом n Для генеральной совокупности (n rarr infin) равенство (25) выполняется точно Из него следует что величина дисперсии зависит от условий в которых проводятся измерения чем благоприятнее условия измерений тем меньше разброс результатов и меньше дисперсия

sect 4 Среднеквадратичная погрешность среднего Допустим что мы провели серию n измерений некоторой

величины х результаты которых равны х1 х2hellipхn Наилучшим приближением к истинному значению является величина

sum=

=n

iix

nx

1

1 называемая cредним выборочным значением

измеряемой величины Если серию по n измерений в каждой повторить m раз то мы получим m значений x несколько отличающихся друг от друга и от истинного значения Х измеряемой величины Погрешности Xxx kk minus=Δ являются случайными и так же как погрешности отдельных измерений Δxi = xi ndash Х подчиняются гауссову распределению но с другой

15

дисперсией 2xσ lt 2σ Величина 2

xσ называемая дисперсией среднего является мерой погрешности среднего значения x найденного в серии из n измерений В теории погрешности доказывается что

22

nxσσ = (26a)

Это значит что xσ в отличие от σ зависит от числа проведенных измерений

nx

σσ = (26б)

Таким образом среднеквадратичная погрешность среднего результата n измерений в n12 раз меньше среднеквадратичной погрешности отдельных измерений Из формул (25) и (26) следует что при большом n

( ))1(

1

2

minus

minus=cong

sum=

nn

xx

nS

n

ii

nx

σ

Величина

( ))1(

1

2

minus

minus=

sum=

nn

xxS

n

ii

x (27)

называется выборочной среднеквадратичной погрешностью среднего

sect 5 Доверительный интервал и доверительная вероятность Как уже указывалось для любой конечной выборки x neХ

Практически очень важно оценить возможную величину отклонения среднего значения x от истинного Х то есть x ndash Х

16

Интервал plusmnx ΔХ в который с заданной вероятностью α попадает истинное значение Х измеряемой величины называется доверительным интервалом соответствующим вероятности α Вероятность α называется также доверительной вероятностью или надежностью Величина ΔХ характеризует точность оценки Чем меньше разность x ndash Х тем выше точность

Надежность соответствующую заданной точности ΔХ можно вычислить теоретически воспользовавшись гауссовым распределением если известна дисперсия 2

xσ В соответствии со сказанным ранее (гл II sect2) величина α

равна площади заштрихованной фигуры АВС опирающейся на отрезок 2ΔХ (рис 6)

Рис 6 Кривая распределения вероятностей случайных

погрешностей среднего

17

Так как =2xσ σ2n то надежность соответствующая

заданной точности ΔХ растет с ростом числа измерений и величины дополнительного интервала

Можно показать что α является функцией величины

к = x

XσΔ

График функции α = F(k) показан на рисунке 7

Рис 7 График функции α = ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ Δ

x

XFσ

Видно что с ростом k растет и доверительная вероятность α

Так α = 068 для k = 1 α = 095 для k = 2 α = 0997 для k = 3 Результаты расчетов F для различных k приведены в соответствующей литературе (см Список литературы ndash 1 2)

Если n мало (n lt 30) то xx Sneσ и для расчета распределением Гаусса пользоваться нельзя В этом случае используют распределение выведенное английским математиком и химиком Госсетом (псевдоним laquoСтьюдентraquo)

В распределении Стьюдента плотность распределения вероятностей рассматривается как функция величины

18

xx SXx

SXt minus

=Δ

= называемой коэффициентом Стьюдента

(среднеквадратичная погрешность среднего арифметического xS определяется формулой (27))

Распределение Стьюдента зависит от n и при nrarrinfin переходит в распределение Гаусса

Рис 8 Кривые распределения Стьюдента для выборок различного объема

На рисунке 8 показаны кривые y(t) при разных n Вычислив

по результатам измерений xS и задав величину ΔX можно найти t и α соответствующие данному n Наоборот задав надежность α можно вычислить tαn и соответствующую точность ΔX = tαn xS при данном значении n Соответствующие друг другу значения

19

α и tαn при разных n приводятся в специальных таблицах (см Приложение)

На практике задание величины ΔX определяется конкретными условиями Допустим что некоторое предприятие изготовляет резисторы определенного номинала Естественно что благодаря действию различных случайных факторов величины сопротивлений R будут отклоняться от их номинальных значений Измерив R для большой партии резисторов (ngtgt30) можно построить кривую y (ΔR) и найти дисперсию 2

Rσ Величина 2Rσ определяется тем насколько хорошо контролируется и

поддерживается постоянной технология изготовления резисторов Если разброс значений R а значит и 2

Rσ велик то задавая малое значение доверительного интервала Xx Δplusmn получим и малую надежность α При этом лишь малая доля значений R попадает в заданный доверительный интервал и процент брака будет соответственно велик Напротив при выборе большой надежности уменьшится процент брака но зато увеличится разброс значений R (увеличится ширина доверительного интервала x plusmn ΔX)

Если по условиям работы приборов в которых используются эти резисторы доверительный интервал должен быть малым то для сохранения большой надежности необходимо улучшить технологию их производства

Точность электроизмерительных приборов определяется классом их точности и соответствует надежности α = 0997 (ΔX = 3σ x ) В лабораторных условиях обычно довольствуются надежностью α = 090 095

Для оценки доверительного интервала прямых измерений предлагается следующий порядок 1 Провести серию измерений изучаемой величины Х и оценить

среднее выборочное x sum=

=n

iix

nx

1

1

2 Найти абсолютную погрешность единичного измерения Δхi Δxi = xi ndash x

20

3 Определить среднюю квадратичную ошибку среднего арифметического

( ))1(

1

2

minus

minus=

sum=

nn

xxS

n

ii

x

4 Определить точность измерения ΔX при заданных n и α ΔX = nx tS αsdot

5 Записать доверительный интервал для истинного значения измеряемой величины Х = x plusmn ΔX или x ndash ΔX leΧle xi +ΔX

Для удобства расчетов данные оформляются в виде таблицы xi Δxi = xi - x Δxi

2 xS αn ΔX

1 2

Ср Σ Δxi2=

Абсолютная ошибка Δхi рассчитывается по модулю

sect 6 Совместный учет систематической и случайной погрешностей Строгий учет систематической погрешности труден Если

систематическая погрешность обусловлена точностью прибора (что мы и будем предполагать) то можно оценить верхнюю границу возможных ошибок зная класс его точности Если точность обусловленная случайной погрешностью ndashΔХ а величина систематической погрешности ndashδ то величина суммарной точности ΔХ определяется формулой

( )2

2

3 ⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ sdot

+Δ=Δδαk

XX (28)

где kα = tα(infin) ndash коэффициент Стьюдента при n = infin

21

Глава III Статистическая обработка результатов косвенных измерений

sect 1 Два способа оценки погрешности косвенного

измерения В большинстве случаев имеют дело с косвенными

измерениями Пусть x y z ndash непосредственно измеряемые величины а W = f (x y z) ndash их функция то есть величина измеряемая косвенно Рассмотрим два способа оценки погрешности величины W

I способ Если косвенные измерения проводятся в невоспроизводимых условиях то значения Wi вычисляются для каждого отдельного измерения а затем обрабатываются как прямые измерения

II способ позволяет вычислить погрешность косвенного измерения как функцию погрешностей прямых измерений Далее остановимся подробнее на этом способе

sect 2 Частные погрешности и общая погрешность косвенного измерения Обрабатывая прямые измерения мы находим их

выборочные средние значения zyx hellip являющиеся как было показано выше случайными величинами Очевидно что и величина WW = ( zyx hellip) представляющая собой выборочное среднее искомой функции будет также случайной величиной Задача как и в случае прямых измерений состоит в том чтобы определить с какой вероятностью искомая величина W может быть заключена в некотором заданном интервале W plusmn ΔW В общем случае эта задача весьма сложна и мы ограничимся лишь ее приближенным решением

Рассмотрим сначала случай когда W является функцией только одной переменной то есть W = W(x) Разложим функцию W(x) в ряд Тейлора в окрестности точки х = Х (Х ndash истинное

22

значение х) В случае когда погрешность прямого измерения достаточно мала можно ограничиться лишь линейным членом и считать что

)()()( Xxdx

dWXWxWXx

minussdot⎟⎠⎞

⎜⎝⎛+=

=

Отсюда )()()( Xxdx

dWXWxWXx

minussdot⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=minus

=

(31)

Из (31) следует что

xxx

W Sdx

dWS sdot⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=

=

(32)

где xS и WS ndash средние квадратичные погрешности величин

x и W Доверительный интервал величины W соответствующий надежности α определяется как

Xdx

dWWWWxx

Δsdot⎟⎠⎞

⎜⎝⎛plusmn=Δplusmn

=

(33)

где ΔW ndash точность величины х соответствующая той же надежности α

Если результат косвенного измерения W является функцией многих переменных то есть W = W(x y z) то по формуле (33) можно вычислить погрешности ΔWx ΔWy ΔWzhellip обусловленные каждым аргументом и называемые частными погрешностями Они равны

Zz

WW

YyWW

Xx

WW

zzz

yyy

xxx

Δsdot⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

partpart

=Δ

Δsdot⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛partpart

=Δ

Δsdot⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

partpart

=Δ

=

=

=

(34)

и так далее

23

В формулах (34) z

WyW

xW

partpart

partpart

partpart являются частными

производными и вычисляются так как будто другие аргументы ndash постоянные величины

Общая погрешность косвенного измерения в этом случае вычисляется по формуле (см Список литературы ndash 4)

222zyx WWWW Δ+Δ+Δ=Δ и

22

22

22

Zz

WYyWX

xWW Δ⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛

partpart

+Δ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛partpart

+Δ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

partpart

=Δ (35)

sect 3 Относительная погрешность косвенного измерения Очень часто бывает удобно вычислить относительную

погрешность результата косвенного измерения WdW

W =η

На основании известной формулы dlnu = duu можно сформулировать следующее правило расчета относительной погрешности Допустим сначала что W = W(x) ndash функция одной переменой Тогда относительная погрешность

WdWdW

W ln==η (36)

то есть для нахождения ηW необходимо сначала прологарифмировать выражение W(x) а затем продифференцировать его по х

В случае многих переменных можно как и для абсолютных погрешностей ввести частные относительные погрешности равные

24

ln xWxx Δsdot

partpart

=η

ln

ln

zWz

yWy

z

y

Δsdotpartpart

=

Δsdotpartpart

=

η

η (37)

Тогда общая относительная погрешность определится как

K222zyxW ηηηη ++= (38)

Расчет погрешности по формулам (37) и (38) особенно удобно производить в случае когда функция имеет одночленную (логарифмическую) формулу Пусть например

yxAW 4=

где А ndash константа Используя правило (37) имеем lnln4lnln 2

1 yxAW minus+=

21 4

y yy

xx

xΔ

minus=Δ

= ηη

4

116 22

22 y

yx

xΔsdot+Δsdot=η

Замечание Прежде чем сделать расчет по формуле (38) произведите оценку относительных погрешностей по отдельным аргументам вычисленных по формулам (37) Если при этом отдельные частные погрешности меньше максимальной хотя бы в три раза ими можно пренебречь В таком случае общая формула (38) значительно упростится

Определив относительную погрешность ηW можно рассчитать абсолютную погрешность (точность) по формуле

ΔW = ηWW (39)

25

Глава IV Определение параметров линейной зависимости

На опыте часто измеряют пары величин х и y причем одна

из них y является функцией другой ndash х Пусть в результате эксперимента получен ряд измерений величины y y1 y2hellipyn соответствующих значениям аргумента х1 х2 hellipхn

Необходимо установить эмпирическую зависимость между y и х Задача состоит в том чтобы по экспериментальным точкам провести линию которая как можно лучше соответствовала бы истинной функциональной зависимости y = f(x) При этом ограничимся лишь случаем линейной функции

y = ax + b (41) Линейная зависимость очень широко распространена в

физике Даже в случаях когда зависимость нелинейная обычно стараются преобразовать ее так чтобы свести к линейной Например зависимость y = Aeαx преобразуется к виду ln y = ln A + αx и на графике строится зависимость

ln y = f(1x)

Ниже приведены два метода нахождения наиболее вероятных параметров линии (коэффициентов а и в уравнения (41)) проходящих через набор экспериментальных точек

sect 1 Метод парных точек Метод парных точек является наиболее простым и

применяется в основном для определения лишь наклона прямой то есть коэффициента а

Допустим что у нас имеется 8 точек лежащих на одной прямой Требуется найти наилучшее значение тангенса угла наклона а и его погрешность Пронумеруем точки по порядку от

26

1 до 8 (рис 9) Возьмем точки 1 и 5 ими определится некоторая прямая и угол ее наклона В качестве наилучшего значения а выбирается его среднее значение a и обычным способом находится его среднеквадратичная погрешность и доверительный интервал

y 8 7 6 5 3 4 2

1 0

х Рис 9 Нумерация экспериментальных точек для расчета а

методом парных точек

Таким образом полученная прямая линия будет иметь угловой коэффициент a и проходить через точку соответствующую средним значениям переменных х и y (следующий параграф)

Такой метод дает удовлетворительные результаты лишь тогда когда величины (x5 ndash x1) (x6 ndash x2) (x7 ndash x3) (x8 ndash x4) примерно одинаковы

sect 2 Метод наименьших квадратов (МНК) МНК является одним из стандартных методов статистики

Сущность этого метода заключается в следующем Допустим что имеется n пар измеренных значений (x1 y1) (x2 y2)hellip(xn yn) Предположим что ошибки содержат лишь величины y

27

(На практике это предположение часто оправдывается) По результатам измерений необходимо построить прямую линию

В основе описываемого метода лежит положение согласно которому наилучшим приближением будет такая прямая линия для которой сумма квадратов расстояний по вертикали от точек до прямой (сумма квадратов погрешностей величины y (рис 10)) является минимальной то есть наиболее вероятные

Рис 10 Распределение экспериментальных точек относительно искомой прямой

значения параметров а и в (41) выбираются так чтобы сумма

( )sum sum= =

minusminus==n

i

n

iiii baxydS

1 1

22 (42)

была минимальной Это значит что

( )sum=

=minus+=partpart n

iiii xybax

aS

1

02

( )sum=

=minus+=partpart n

iii ybax

bS

1

02 (43)

28

Таким образом искомые величины а и в получаются

решением системы уравнений

sum sum sum= = =

=+n

i

n

i

n

iiiii yxxbxa

1 1 1

2 (44)

sum sum= =

=+n

i

n

iii ybnxa

1 1

(45)

Из уравнения (45) следует что наилучшая прямая проходит через точку с координатами

sumsum==

==n

ii

n

ii y

nyx

nx

1

_

1

_

11 (46)

(В этом можно легко убедиться поделив равенство (45) почленно на n) Из уравнений (44) и (45) находим

1 1

2

1 1

sum sum

sum sum

= =

= =

minus

minus= n

i

n

iii

n

i

n

iiii

xxx

yyyxa (47)

sum sumsum sum

sum sum= =

= =

= =

minus

minusminus=

n

i

n

in

i

n

iii

n

i

n

iiii

ii

xxx

yyyxx

ny

nb

1 1

1 1

2

1 111 (48)

29

В лабораторном практикуме обычно бывает достаточно оценить погрешность коэффициента a Формула для среднеквадратичной ошибки величины а имеет вид (см Список литературы ndash 3)

2

1 2

minusminus

=n

rSS

Sx

ya (49)

где ( )sum=

minusminus

=n

iiy yy

nS

1

2 1

1 (410)

( )sum=

minusminus

=n

iix xx

nS

1

2

11

(411)

( ) ( )

( ) 1

1

yx

n

iii

SSn

yyxxr

sdotminus

minusminus=

sum= (412)

Интервал в котором с установленной вероятностью α может находиться коэффициент а записывается в виде

22 anan StaaSta sdot+lelesdotminus minusminus αα (413)

где a определяется формулой (47) aS ndash формулой (49) tαn-2 ndash коэффициент Стьюдента для надежности α и числа измерений n ndash число пар точек

При использовании метода наименьших квадратов рекомендуется следующий порядок действий

1 Составить таблицу

изм xi yi xiyi xi

2 1 2

i n

sumxi sumyi sumxiyi sumxi2

30

2 Рассчитать

а) sum=

n

iii yx

1 б) sum

=

=n

i

i

nx

x1

в) sum=

n

iiy

1

г) sum=

n

iix

1

д) sum=

n

iix

1

2 е) sum=

=n

i

i

ny

y1

3 Рассчитать наилучшие значения углового коэффициента а по

формуле (47) 4 Зная коэффициенты а и б провести наилучшую прямую она

должна проходить через точку с координатами x и y 5 Для расчета погрешности величины а по формулам (49 ndash 412) составить таблицу

пп

yi - y

xi - x

(yi - y )2

(xi - x )2

Sx

Sy

r

31

ЧАСТЬ II

ПРАВИЛА РАБОТЫ В ЛАБОРАТОРИИ

ОФОРМЛЕНИЕ РЕЗУЛЬТАТОВ РАБОТЫ sect 1 Правила работы в лаборатории Каждая лабораторная работа рассчитана на одно занятие

В начале семестра составляется и вывешивается в лаборатории график выполнения работ на весь семестр

Студент должен заранее знать тему своей лабораторной работы и подготовиться к ней по методическому руководству и другой указанной в нем литературе

Перед выполнением каждой лабораторной работы необходимо пройти краткое собеседование с преподавателем и получить разрешение на ее выполнение Оно дается в том случае если студент четко знает цель работы методику проведения эксперимента умеет пользоваться приборами

ПРИСТУПАТЬ К ВЫПОЛНЕНИЮ ЛАБОРАТОРНЫХ

РАБОТ БЕЗ РАЗРЕШЕНИЯ ПРЕПОДАВАТЕЛЯ КАТЕГОРИЧЕСКИ ВОСПРЕЩАЕТСЯ

В конце занятия студент обязан предъявить преподавателю

результаты своей работы Работа считается выполненной если результаты утверждены и подписаны преподавателем После этого необходимо выключить установку привести в порядок рабочее место и получить методические указания к следующей работе

32

sect 2 Журнал лабораторных работ Результаты измерений и наблюдений должны тотчас же

фиксироваться в специальном журнале в форме протоколов Временные записи результатов на черновых листочках не допускаются

Единую форму протоколов пригодную для всех работ дать невозможно и нецелесообразно Тем не менее можно сформулировать некоторые общие требования которым должны удовлетворять записи в журнале лабораторных работ

1 Должны быть указаны название работы и дата ее выполнения

конкретная цель работы и ее упражнений 2 Целесообразно привести расчетную формулу и пояснить

физический смысл входящих в нее символов 3 Результаты всех измерений заносятся в заранее

подготовленные удобные таблицы из которых было бы ясно какие физические величины и в каких единицах измерялись сколько раз повторялись измерения каждой физической величины

4 Необходимо указать приборы использовавшиеся для измерения различных величин и их точности

5 Зафиксировать (если это важно) условия опыта (температуру давление влажность воздуха и т д)

6 Записи в журнале должны быть аккуратными и четкими журнал лабораторных работ ndash не черновик В нем не должно содержаться никаких записей не относящихся к выполняемой работе Прикидочные расчеты должны проводиться на черновых листках

7 Для пометок и замечаний целесообразно оставлять поля шириной 3 см Ниже приведена схема оформления протокола одной из

лабораторных работ

33

081098 Определение модуля Юнга по изгибу стержня Цель работы ndash проверка закона Гука и определение модуля

Юнга для стального и медного стержней Расчетная формула

4 3

3

habPLE =

где Е ndash модуль Юнга Р ndash величина нагрузки приложенной к середине стержня L ndash длина деформируемой части стержня равная расстоянию между ребрами опорных призм а ndash ширина стержня в ndash его толщина h ndash стрела прогиба

Таблица 1 Определение размеров стержня

опыта L мм а мм в мм

1 5

Измерительный прибор и его точность

Штанген-циркуль plusmn 01 мм

Микрометр plusmn0005 мм

Микрометр plusmn0005 мм

Таблица 2 Измерение стрелы прогиба нагружаемого стержня

РкГс 0 01 02 03 04 hellip

h мм

205 207 203 208 205

255 248 251 249 252

hellip hellip hellip hellip

Измерительный прибор ndash микрометр точность ~ plusmn 0005 мм

Подпись преподавателя

34

sect 3 Оформление отчетов По результатам каждой лабораторной работы составляется

отчет Он должен включать 1 Краткую формулировку идеи метода расчетную формулу

пояснение физического смысла входящих в нее символов 2 Таблицы с результатами измерений и расчетов 3 Статистическую обработку результатов измерений 4 Выводы 5 На титульном листе должны быть указаны название

лабораторной работы факультет курс группа фамилия и инициалы исполнителя Отчет должен быть написан в хорошем стиле аккуратным

разборчивым почерком При его оформлении не следует также пренебрегать и эстетической стороной вопроса Заголовки выводы и формулы целесообразно выделять пастой другого цвета подчеркнуть и т п Это облегчает чтение отчета

Выводы должны быть аргументированы ссылками на соответствующие таблицы и графики поэтому они должны быть пронумерованы

sect 4 Графики Графики используются для наглядного представления

результатов При их построении необходимо соблюдать ряд правил 1 Графики нужно строить только на миллиметровой бумаге 2 На осях необходимо нанести масштабную сетку указать

единицы измерения и символы изображаемых величин 3 Масштаб должен быть простым удобным для отсчета его

долей Например 1 см = 01 1 2 или 10 единиц Кроме того масштаб выбирают так чтобы все экспериментальные точки вошли в график и достаточно далеко отстояли друг от друга

35

Иногда для этой цели бывает удобно сместить вдоль осей начало отсчета Масштаб по осям Х и У может быть различен

Рис 11 Пример построения графика функции по экспериментальным точкам

4 Экспериментальные точки следует наносить с максимальной

точностью так чтобы они четко выделялись на фоне графика не сливаясь с ним

5 График должен представлять собой плавную кривую без изломов и перегибов Нужно стремиться провести кривую так чтобы экспериментальные точки равномерно распределялись по обе стороны от нее (рис 11)

Графики выполненные на миллиметровой бумаге

аккуратно вклеиваются в отчет где для них необходимо предусмотреть соответствующее место

36

sect 5 Точность вычислений Точность вычислений определяется погрешностью

измерений Не имеет смысла вычислять какуюndashлибо величину до пятого знака после запятой если погрешность измерений такова что неуверенно определяется ее третий знак

Чтобы погрешностью вычислений можно было пренебречь она должна быть на порядок (то есть в 10 раз) меньше погрешности наименее точно измеряемой величины

Пример Модуль Юнга по изгибу стержня вычисляется по

формуле E = PL3 4ab3middoth Анализ исходных данных показывает как правило что с наибольшей относительной погрешностью измеряется стрела прогиба h Так как ΔEE gt Δh h то допускаемая относительная погрешность вычислений ΔE выч E cong 01 Δhh Для стали E cong 2middot104 кГсмм2 поэтому при Δhh =10-2 ΔEвыч cong 10 кГсмм2 Это значит что вычисления Е целесообразно проводить лишь с точностью до четвертой значащей цифры

Обычно нас интересует лишь порядок величины погрешностей поэтому последние рекомендуется вычислять лишь до второй значащей цифры а затем округлять результат до одной значащей цифры

Приводя значение измеренной Вами величины проверьте согласуется ли порядок приведенных значащих цифр с порядком погрешности

Порядок последней значащей цифры измеренной величины и порядок погрешности должны быть одинаковы

Запись Е = (1845127 plusmn 20) 107 Па неграмотна Величина ошибки свидетельствует о том что неуверенно определяется уже четвертый знак поэтому результат должен быть соответственно округлен

Е = (18450 plusmn 20) 107 Па

37

Приложение

Таблица 3 Значения коэффициентов Стьюдента

Коэффициент надежности Число

изме рений

N 08 09 095 098 099 0999

2 31 631 1271 3182 6366 63662 3 19 292 431 696 992 3160 4 16 235 318 454 584 1294 5 15 213 278 375 460 861 6 15 202 257 336 403 686 7 14 194 245 314 371 596 8 14 190 236 300 350 540 9 14 186 231 290 336 504

10 14 183 226 282 325 478 infin 13 165 196 233 259 331

38

Список литературы

1 Деденко Л Г Керженцев В В Математическая обработка и оформление результатов эксперимента М Издndashво МГУ 1977

2 Зайдель А Н Ошибки измерения физических величин Л

Наука 1974 3 Кассандрова О Н Лебедев В В Обработка результатов из-

мерений М Наука 1970 4 Сквайрс Дж Практическая физика М Мир 1971 5 Соловьев В А Яхонтова В Е Элементарные методы обра-

ботки результатов измерений Л Издndashво ЛГУ 1977

39

СОДЕРЖАНИЕ

Задачи физического практикума 3

Часть I Статистическая обработка результатов измерений

Глава I Введение в теорию погрешностей 3 sect1 Измерения и их погрешности 3 sect2 Типы погрешностей 5

1 Систематические погрешности 5 2 Случайные погрешности 6 3 Промахи 7

Глава II Статистическая обработка результатов прямых измерений 8 sect1 Вероятность случайного события 8 sect2 Нормальный закон распределения случайных погрешностей 9 sect3 Среднеквадратичная погрешность 13 sect4 Среднеквадратичная погрешность среднего 14 sect5 Доверительный интервал и доверительная вероятность 15 sect6 Совместный учет систематической и случайной погрешностей 20 Глава III Статистическая обработка результатов косвенных измерений 21 sect1 Два способа оценки погрешностей косвенного измерения 21 sect2 Частные погрешности и общая погрешность косвенного измерения 21 sect3 Относительная погрешность косвенного измерения 23 Глава IV Определение параметров линейной зависимости 25 sect1 Метод парных точек 25 sect2 Метод наименьших квадратов (МНК) 26

40

Часть II Правила работы в лаборатории оформление

результатов работы

sect1 Правила работы в лаборатории 31 sect2 Журнал лабораторных работ 32 sect3 Оформление отчетов 34 sect4 Графики 34 sect5 Точность вычислений 36 Приложение 37 Список литературы 38

41

Составители Жукова Ида Степановна Бутина Лариса Иосифовна Крылова Светлана Ивановна

ВВЕДЕНИЕ В ЛАБОРАТОРНЫЙ ПРАКТИКУМ ПО КУРСУ ОБЩЕЙ ФИЗИКИ

Методические указания

к лабораторной работе

Редактор Козина О В

ЛР 040 110 Подписано к печати 090999 Формат 60х84 116 Бумага газетная Офсетная печать 25 уч-издл

11 услкр-отт Тираж 500 экз Изд 19 laquoСraquo

Издательство Петрозаводского государственного университета

185640 Петрозаводск пр Ленина 33

11

Рис4 Кривая распределения вероятностей случайных погрешностей Если увеличить число измерений n (n rarrinfin) и строить

гистограммы для все более малых интервалов Δε то при Δεrarr0 середины верхних площадок прямоугольников сольются в плавную кривую называемую кривой распределения вероятностей Опыт показал что в большинстве случаев распределение погрешностей соответствует так называемому нормальному закону найденному Гауссом Согласно гауссову распределению плотность вероятности y и величина погрешности Δxi связаны соотношением

( )πσ 2

1=Δ ixy

( )2

2

2σixΔ

minusl (23)

где l minus основание натурального логарифма σ2 ndash некоторый постоянный параметр называемый дисперсией распределения (смысл его выясняется далее)

12

Вид кривой распределения соответствующий некоторому значению σ показан на рисунке 4

Пользуясь законом распределения можно производить многие важные расчеты

Из формулы εΔsdot

Δ=

nn

y k следует что вероятность P(Δxk)

того что величина погрешности заключена в интервале Δxk divide Δxk + Δε определяется формулой

P(Δxk) = y(Δxk)middotΔε Численно эта вероятность равна площади зачерненного

прямоугольника С с основанием Δε (рис 4) Вероятность того что модуль погрешности не превзойдет некоторого значения изобразится площадью заштрихованной фигуры АВС с основанием 2 Δxk (рис 4)

На рисунке 5 представлены кривые распределения соответствующие разным σ Видно что с ростом σ максимум кривой распределения понижается а ее laquoкрыльяraquo поднимаются В соответствии со сказанным ранее о геометрическом смысле вероятности это означает что с ростом σ вероятность малых погрешностей уменьшается а вероятность больших ndash растет Следовательно чем больше дисперсия распределения σ2 тем меньше точность измерений

Важно подчеркнуть что кривая y(Δxi) характеризует не какую-то серию измерений а некоторую воображаемую совокупность бесконечного числа измерений данной величины в одних и тех же условиях Такая совокупность называется генеральной Всякая же конечная серия измерений называется случайной выборкой из генеральной совокупности

13

Рис 5 Влияние дисперсии на вид кривой распределения вероятностей случайных погрешностей

sect 3 Среднеквадратичная погрешность

Пусть х1 х2hellipхn ndash результаты некоторой серии n измерений

проведенных в одинаковых условиях Как уже подчеркивалось величина случайной погрешности не постоянна и меняется от опыта к опыту Возникает необходимость охарактеризовать погрешности результатов отдельных измерений данной серии некоторой средней величиной Иногда в качестве такой характеристики используют среднюю арифметическую погрешность

sum=

Δ=Δn

iix

nx

11

Однако удобнее использовать так называемую среднеквадратичную погрешность выборки Sn определяемую формулой

14

( )

11

2

minus

minus=

sum=

n

xxS

n

ii

n (24)

Sn называют также выборочным стандартным отклонением Можно показать что при достаточно большом числе

измерений Sn cong σ и следовательно дисперсия распределения

( ) ( )

11

2

1

2

22

n

xx

n

xxS

n

ii

n

ini

n

sumsum==

minuscong

minus

minus=congσ (25)

Таким образом дисперсия распределения приблизительно

равна среднему квадрату погрешности отдельных измерений найденному при достаточно большом n Для генеральной совокупности (n rarr infin) равенство (25) выполняется точно Из него следует что величина дисперсии зависит от условий в которых проводятся измерения чем благоприятнее условия измерений тем меньше разброс результатов и меньше дисперсия

sect 4 Среднеквадратичная погрешность среднего Допустим что мы провели серию n измерений некоторой

величины х результаты которых равны х1 х2hellipхn Наилучшим приближением к истинному значению является величина

sum=

=n

iix

nx

1

1 называемая cредним выборочным значением

измеряемой величины Если серию по n измерений в каждой повторить m раз то мы получим m значений x несколько отличающихся друг от друга и от истинного значения Х измеряемой величины Погрешности Xxx kk minus=Δ являются случайными и так же как погрешности отдельных измерений Δxi = xi ndash Х подчиняются гауссову распределению но с другой

15

дисперсией 2xσ lt 2σ Величина 2

xσ называемая дисперсией среднего является мерой погрешности среднего значения x найденного в серии из n измерений В теории погрешности доказывается что

22

nxσσ = (26a)

Это значит что xσ в отличие от σ зависит от числа проведенных измерений

nx

σσ = (26б)

Таким образом среднеквадратичная погрешность среднего результата n измерений в n12 раз меньше среднеквадратичной погрешности отдельных измерений Из формул (25) и (26) следует что при большом n

( ))1(

1

2

minus

minus=cong

sum=

nn

xx

nS

n

ii

nx

σ

Величина

( ))1(

1

2

minus

minus=

sum=

nn

xxS

n

ii

x (27)

называется выборочной среднеквадратичной погрешностью среднего

sect 5 Доверительный интервал и доверительная вероятность Как уже указывалось для любой конечной выборки x neХ

Практически очень важно оценить возможную величину отклонения среднего значения x от истинного Х то есть x ndash Х

16

Интервал plusmnx ΔХ в который с заданной вероятностью α попадает истинное значение Х измеряемой величины называется доверительным интервалом соответствующим вероятности α Вероятность α называется также доверительной вероятностью или надежностью Величина ΔХ характеризует точность оценки Чем меньше разность x ndash Х тем выше точность

Надежность соответствующую заданной точности ΔХ можно вычислить теоретически воспользовавшись гауссовым распределением если известна дисперсия 2

xσ В соответствии со сказанным ранее (гл II sect2) величина α

равна площади заштрихованной фигуры АВС опирающейся на отрезок 2ΔХ (рис 6)

Рис 6 Кривая распределения вероятностей случайных

погрешностей среднего

17

Так как =2xσ σ2n то надежность соответствующая

заданной точности ΔХ растет с ростом числа измерений и величины дополнительного интервала

Можно показать что α является функцией величины

к = x

XσΔ

График функции α = F(k) показан на рисунке 7

Рис 7 График функции α = ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ Δ

x

XFσ

Видно что с ростом k растет и доверительная вероятность α

Так α = 068 для k = 1 α = 095 для k = 2 α = 0997 для k = 3 Результаты расчетов F для различных k приведены в соответствующей литературе (см Список литературы ndash 1 2)

Если n мало (n lt 30) то xx Sneσ и для расчета распределением Гаусса пользоваться нельзя В этом случае используют распределение выведенное английским математиком и химиком Госсетом (псевдоним laquoСтьюдентraquo)

В распределении Стьюдента плотность распределения вероятностей рассматривается как функция величины

18

xx SXx

SXt minus

=Δ

= называемой коэффициентом Стьюдента

(среднеквадратичная погрешность среднего арифметического xS определяется формулой (27))

Распределение Стьюдента зависит от n и при nrarrinfin переходит в распределение Гаусса

Рис 8 Кривые распределения Стьюдента для выборок различного объема

На рисунке 8 показаны кривые y(t) при разных n Вычислив

по результатам измерений xS и задав величину ΔX можно найти t и α соответствующие данному n Наоборот задав надежность α можно вычислить tαn и соответствующую точность ΔX = tαn xS при данном значении n Соответствующие друг другу значения

19

α и tαn при разных n приводятся в специальных таблицах (см Приложение)

На практике задание величины ΔX определяется конкретными условиями Допустим что некоторое предприятие изготовляет резисторы определенного номинала Естественно что благодаря действию различных случайных факторов величины сопротивлений R будут отклоняться от их номинальных значений Измерив R для большой партии резисторов (ngtgt30) можно построить кривую y (ΔR) и найти дисперсию 2

Rσ Величина 2Rσ определяется тем насколько хорошо контролируется и

поддерживается постоянной технология изготовления резисторов Если разброс значений R а значит и 2

Rσ велик то задавая малое значение доверительного интервала Xx Δplusmn получим и малую надежность α При этом лишь малая доля значений R попадает в заданный доверительный интервал и процент брака будет соответственно велик Напротив при выборе большой надежности уменьшится процент брака но зато увеличится разброс значений R (увеличится ширина доверительного интервала x plusmn ΔX)

Если по условиям работы приборов в которых используются эти резисторы доверительный интервал должен быть малым то для сохранения большой надежности необходимо улучшить технологию их производства

Точность электроизмерительных приборов определяется классом их точности и соответствует надежности α = 0997 (ΔX = 3σ x ) В лабораторных условиях обычно довольствуются надежностью α = 090 095

Для оценки доверительного интервала прямых измерений предлагается следующий порядок 1 Провести серию измерений изучаемой величины Х и оценить

среднее выборочное x sum=

=n

iix

nx

1

1

2 Найти абсолютную погрешность единичного измерения Δхi Δxi = xi ndash x

20

3 Определить среднюю квадратичную ошибку среднего арифметического

( ))1(

1

2

minus

minus=

sum=

nn

xxS

n

ii

x

4 Определить точность измерения ΔX при заданных n и α ΔX = nx tS αsdot

5 Записать доверительный интервал для истинного значения измеряемой величины Х = x plusmn ΔX или x ndash ΔX leΧle xi +ΔX

Для удобства расчетов данные оформляются в виде таблицы xi Δxi = xi - x Δxi

2 xS αn ΔX

1 2

Ср Σ Δxi2=

Абсолютная ошибка Δхi рассчитывается по модулю

sect 6 Совместный учет систематической и случайной погрешностей Строгий учет систематической погрешности труден Если

систематическая погрешность обусловлена точностью прибора (что мы и будем предполагать) то можно оценить верхнюю границу возможных ошибок зная класс его точности Если точность обусловленная случайной погрешностью ndashΔХ а величина систематической погрешности ndashδ то величина суммарной точности ΔХ определяется формулой

( )2

2

3 ⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ sdot

+Δ=Δδαk

XX (28)

где kα = tα(infin) ndash коэффициент Стьюдента при n = infin

21

Глава III Статистическая обработка результатов косвенных измерений

sect 1 Два способа оценки погрешности косвенного

измерения В большинстве случаев имеют дело с косвенными

измерениями Пусть x y z ndash непосредственно измеряемые величины а W = f (x y z) ndash их функция то есть величина измеряемая косвенно Рассмотрим два способа оценки погрешности величины W

I способ Если косвенные измерения проводятся в невоспроизводимых условиях то значения Wi вычисляются для каждого отдельного измерения а затем обрабатываются как прямые измерения

II способ позволяет вычислить погрешность косвенного измерения как функцию погрешностей прямых измерений Далее остановимся подробнее на этом способе

sect 2 Частные погрешности и общая погрешность косвенного измерения Обрабатывая прямые измерения мы находим их

выборочные средние значения zyx hellip являющиеся как было показано выше случайными величинами Очевидно что и величина WW = ( zyx hellip) представляющая собой выборочное среднее искомой функции будет также случайной величиной Задача как и в случае прямых измерений состоит в том чтобы определить с какой вероятностью искомая величина W может быть заключена в некотором заданном интервале W plusmn ΔW В общем случае эта задача весьма сложна и мы ограничимся лишь ее приближенным решением

Рассмотрим сначала случай когда W является функцией только одной переменной то есть W = W(x) Разложим функцию W(x) в ряд Тейлора в окрестности точки х = Х (Х ndash истинное

22

значение х) В случае когда погрешность прямого измерения достаточно мала можно ограничиться лишь линейным членом и считать что

)()()( Xxdx

dWXWxWXx

minussdot⎟⎠⎞

⎜⎝⎛+=

=

Отсюда )()()( Xxdx

dWXWxWXx

minussdot⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=minus

=

(31)

Из (31) следует что

xxx

W Sdx

dWS sdot⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=

=

(32)

где xS и WS ndash средние квадратичные погрешности величин

x и W Доверительный интервал величины W соответствующий надежности α определяется как

Xdx

dWWWWxx

Δsdot⎟⎠⎞

⎜⎝⎛plusmn=Δplusmn

=

(33)

где ΔW ndash точность величины х соответствующая той же надежности α

Если результат косвенного измерения W является функцией многих переменных то есть W = W(x y z) то по формуле (33) можно вычислить погрешности ΔWx ΔWy ΔWzhellip обусловленные каждым аргументом и называемые частными погрешностями Они равны

Zz

WW

YyWW

Xx

WW

zzz

yyy

xxx

Δsdot⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

partpart

=Δ

Δsdot⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛partpart

=Δ

Δsdot⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

partpart

=Δ

=

=

=

(34)

и так далее

23

В формулах (34) z

WyW

xW

partpart

partpart

partpart являются частными

производными и вычисляются так как будто другие аргументы ndash постоянные величины

Общая погрешность косвенного измерения в этом случае вычисляется по формуле (см Список литературы ndash 4)

222zyx WWWW Δ+Δ+Δ=Δ и

22

22

22

Zz

WYyWX

xWW Δ⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛

partpart

+Δ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛partpart

+Δ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

partpart

=Δ (35)

sect 3 Относительная погрешность косвенного измерения Очень часто бывает удобно вычислить относительную

погрешность результата косвенного измерения WdW

W =η

На основании известной формулы dlnu = duu можно сформулировать следующее правило расчета относительной погрешности Допустим сначала что W = W(x) ndash функция одной переменой Тогда относительная погрешность

WdWdW

W ln==η (36)

то есть для нахождения ηW необходимо сначала прологарифмировать выражение W(x) а затем продифференцировать его по х

В случае многих переменных можно как и для абсолютных погрешностей ввести частные относительные погрешности равные

24

ln xWxx Δsdot

partpart

=η

ln

ln

zWz

yWy

z

y

Δsdotpartpart

=

Δsdotpartpart

=

η

η (37)

Тогда общая относительная погрешность определится как

K222zyxW ηηηη ++= (38)

Расчет погрешности по формулам (37) и (38) особенно удобно производить в случае когда функция имеет одночленную (логарифмическую) формулу Пусть например

yxAW 4=

где А ndash константа Используя правило (37) имеем lnln4lnln 2

1 yxAW minus+=

21 4

y yy

xx

xΔ

minus=Δ

= ηη

4

116 22

22 y

yx

xΔsdot+Δsdot=η

Замечание Прежде чем сделать расчет по формуле (38) произведите оценку относительных погрешностей по отдельным аргументам вычисленных по формулам (37) Если при этом отдельные частные погрешности меньше максимальной хотя бы в три раза ими можно пренебречь В таком случае общая формула (38) значительно упростится

Определив относительную погрешность ηW можно рассчитать абсолютную погрешность (точность) по формуле

ΔW = ηWW (39)

25

Глава IV Определение параметров линейной зависимости

На опыте часто измеряют пары величин х и y причем одна

из них y является функцией другой ndash х Пусть в результате эксперимента получен ряд измерений величины y y1 y2hellipyn соответствующих значениям аргумента х1 х2 hellipхn

Необходимо установить эмпирическую зависимость между y и х Задача состоит в том чтобы по экспериментальным точкам провести линию которая как можно лучше соответствовала бы истинной функциональной зависимости y = f(x) При этом ограничимся лишь случаем линейной функции

y = ax + b (41) Линейная зависимость очень широко распространена в

физике Даже в случаях когда зависимость нелинейная обычно стараются преобразовать ее так чтобы свести к линейной Например зависимость y = Aeαx преобразуется к виду ln y = ln A + αx и на графике строится зависимость

ln y = f(1x)

Ниже приведены два метода нахождения наиболее вероятных параметров линии (коэффициентов а и в уравнения (41)) проходящих через набор экспериментальных точек

sect 1 Метод парных точек Метод парных точек является наиболее простым и

применяется в основном для определения лишь наклона прямой то есть коэффициента а

Допустим что у нас имеется 8 точек лежащих на одной прямой Требуется найти наилучшее значение тангенса угла наклона а и его погрешность Пронумеруем точки по порядку от

26

1 до 8 (рис 9) Возьмем точки 1 и 5 ими определится некоторая прямая и угол ее наклона В качестве наилучшего значения а выбирается его среднее значение a и обычным способом находится его среднеквадратичная погрешность и доверительный интервал

y 8 7 6 5 3 4 2

1 0

х Рис 9 Нумерация экспериментальных точек для расчета а

методом парных точек

Таким образом полученная прямая линия будет иметь угловой коэффициент a и проходить через точку соответствующую средним значениям переменных х и y (следующий параграф)

Такой метод дает удовлетворительные результаты лишь тогда когда величины (x5 ndash x1) (x6 ndash x2) (x7 ndash x3) (x8 ndash x4) примерно одинаковы

sect 2 Метод наименьших квадратов (МНК) МНК является одним из стандартных методов статистики

Сущность этого метода заключается в следующем Допустим что имеется n пар измеренных значений (x1 y1) (x2 y2)hellip(xn yn) Предположим что ошибки содержат лишь величины y

27

(На практике это предположение часто оправдывается) По результатам измерений необходимо построить прямую линию

В основе описываемого метода лежит положение согласно которому наилучшим приближением будет такая прямая линия для которой сумма квадратов расстояний по вертикали от точек до прямой (сумма квадратов погрешностей величины y (рис 10)) является минимальной то есть наиболее вероятные

Рис 10 Распределение экспериментальных точек относительно искомой прямой

значения параметров а и в (41) выбираются так чтобы сумма

( )sum sum= =

minusminus==n

i

n

iiii baxydS

1 1

22 (42)

была минимальной Это значит что

( )sum=

=minus+=partpart n

iiii xybax

aS

1

02

( )sum=

=minus+=partpart n

iii ybax

bS

1

02 (43)

28

Таким образом искомые величины а и в получаются

решением системы уравнений

sum sum sum= = =

=+n

i

n

i

n

iiiii yxxbxa

1 1 1

2 (44)

sum sum= =

=+n

i

n

iii ybnxa

1 1

(45)

Из уравнения (45) следует что наилучшая прямая проходит через точку с координатами

sumsum==

==n

ii

n

ii y

nyx

nx

1

_

1

_

11 (46)

(В этом можно легко убедиться поделив равенство (45) почленно на n) Из уравнений (44) и (45) находим

1 1

2

1 1

sum sum

sum sum

= =

= =

minus

minus= n

i

n

iii

n

i

n

iiii

xxx

yyyxa (47)

sum sumsum sum

sum sum= =

= =

= =

minus

minusminus=

n

i

n

in

i

n

iii

n

i

n

iiii

ii

xxx

yyyxx

ny

nb

1 1

1 1

2

1 111 (48)

29

В лабораторном практикуме обычно бывает достаточно оценить погрешность коэффициента a Формула для среднеквадратичной ошибки величины а имеет вид (см Список литературы ndash 3)

2

1 2

minusminus

=n

rSS

Sx

ya (49)

где ( )sum=

minusminus

=n

iiy yy

nS

1

2 1

1 (410)

( )sum=

minusminus

=n

iix xx

nS

1

2

11

(411)

( ) ( )

( ) 1

1

yx

n

iii

SSn

yyxxr

sdotminus

minusminus=

sum= (412)

Интервал в котором с установленной вероятностью α может находиться коэффициент а записывается в виде

22 anan StaaSta sdot+lelesdotminus minusminus αα (413)

где a определяется формулой (47) aS ndash формулой (49) tαn-2 ndash коэффициент Стьюдента для надежности α и числа измерений n ndash число пар точек

При использовании метода наименьших квадратов рекомендуется следующий порядок действий

1 Составить таблицу

изм xi yi xiyi xi

2 1 2

i n

sumxi sumyi sumxiyi sumxi2

30

2 Рассчитать

а) sum=

n

iii yx

1 б) sum

=

=n

i

i

nx

x1

в) sum=

n

iiy

1

г) sum=

n

iix

1

д) sum=

n

iix

1

2 е) sum=

=n

i

i

ny

y1

3 Рассчитать наилучшие значения углового коэффициента а по

формуле (47) 4 Зная коэффициенты а и б провести наилучшую прямую она

должна проходить через точку с координатами x и y 5 Для расчета погрешности величины а по формулам (49 ndash 412) составить таблицу

пп

yi - y

xi - x

(yi - y )2

(xi - x )2

Sx

Sy

r

31

ЧАСТЬ II

ПРАВИЛА РАБОТЫ В ЛАБОРАТОРИИ

ОФОРМЛЕНИЕ РЕЗУЛЬТАТОВ РАБОТЫ sect 1 Правила работы в лаборатории Каждая лабораторная работа рассчитана на одно занятие

В начале семестра составляется и вывешивается в лаборатории график выполнения работ на весь семестр

Студент должен заранее знать тему своей лабораторной работы и подготовиться к ней по методическому руководству и другой указанной в нем литературе

Перед выполнением каждой лабораторной работы необходимо пройти краткое собеседование с преподавателем и получить разрешение на ее выполнение Оно дается в том случае если студент четко знает цель работы методику проведения эксперимента умеет пользоваться приборами

ПРИСТУПАТЬ К ВЫПОЛНЕНИЮ ЛАБОРАТОРНЫХ

РАБОТ БЕЗ РАЗРЕШЕНИЯ ПРЕПОДАВАТЕЛЯ КАТЕГОРИЧЕСКИ ВОСПРЕЩАЕТСЯ

В конце занятия студент обязан предъявить преподавателю

результаты своей работы Работа считается выполненной если результаты утверждены и подписаны преподавателем После этого необходимо выключить установку привести в порядок рабочее место и получить методические указания к следующей работе

32

sect 2 Журнал лабораторных работ Результаты измерений и наблюдений должны тотчас же

фиксироваться в специальном журнале в форме протоколов Временные записи результатов на черновых листочках не допускаются

Единую форму протоколов пригодную для всех работ дать невозможно и нецелесообразно Тем не менее можно сформулировать некоторые общие требования которым должны удовлетворять записи в журнале лабораторных работ

1 Должны быть указаны название работы и дата ее выполнения

конкретная цель работы и ее упражнений 2 Целесообразно привести расчетную формулу и пояснить

физический смысл входящих в нее символов 3 Результаты всех измерений заносятся в заранее

подготовленные удобные таблицы из которых было бы ясно какие физические величины и в каких единицах измерялись сколько раз повторялись измерения каждой физической величины

4 Необходимо указать приборы использовавшиеся для измерения различных величин и их точности

5 Зафиксировать (если это важно) условия опыта (температуру давление влажность воздуха и т д)

6 Записи в журнале должны быть аккуратными и четкими журнал лабораторных работ ndash не черновик В нем не должно содержаться никаких записей не относящихся к выполняемой работе Прикидочные расчеты должны проводиться на черновых листках

7 Для пометок и замечаний целесообразно оставлять поля шириной 3 см Ниже приведена схема оформления протокола одной из

лабораторных работ

33

081098 Определение модуля Юнга по изгибу стержня Цель работы ndash проверка закона Гука и определение модуля

Юнга для стального и медного стержней Расчетная формула

4 3

3

habPLE =

где Е ndash модуль Юнга Р ndash величина нагрузки приложенной к середине стержня L ndash длина деформируемой части стержня равная расстоянию между ребрами опорных призм а ndash ширина стержня в ndash его толщина h ndash стрела прогиба

Таблица 1 Определение размеров стержня

опыта L мм а мм в мм

1 5

Измерительный прибор и его точность

Штанген-циркуль plusmn 01 мм

Микрометр plusmn0005 мм

Микрометр plusmn0005 мм

Таблица 2 Измерение стрелы прогиба нагружаемого стержня

РкГс 0 01 02 03 04 hellip

h мм

205 207 203 208 205

255 248 251 249 252

hellip hellip hellip hellip

Измерительный прибор ndash микрометр точность ~ plusmn 0005 мм

Подпись преподавателя

34

sect 3 Оформление отчетов По результатам каждой лабораторной работы составляется

отчет Он должен включать 1 Краткую формулировку идеи метода расчетную формулу

пояснение физического смысла входящих в нее символов 2 Таблицы с результатами измерений и расчетов 3 Статистическую обработку результатов измерений 4 Выводы 5 На титульном листе должны быть указаны название

лабораторной работы факультет курс группа фамилия и инициалы исполнителя Отчет должен быть написан в хорошем стиле аккуратным

разборчивым почерком При его оформлении не следует также пренебрегать и эстетической стороной вопроса Заголовки выводы и формулы целесообразно выделять пастой другого цвета подчеркнуть и т п Это облегчает чтение отчета

Выводы должны быть аргументированы ссылками на соответствующие таблицы и графики поэтому они должны быть пронумерованы

sect 4 Графики Графики используются для наглядного представления

результатов При их построении необходимо соблюдать ряд правил 1 Графики нужно строить только на миллиметровой бумаге 2 На осях необходимо нанести масштабную сетку указать

единицы измерения и символы изображаемых величин 3 Масштаб должен быть простым удобным для отсчета его

долей Например 1 см = 01 1 2 или 10 единиц Кроме того масштаб выбирают так чтобы все экспериментальные точки вошли в график и достаточно далеко отстояли друг от друга

35

Иногда для этой цели бывает удобно сместить вдоль осей начало отсчета Масштаб по осям Х и У может быть различен

Рис 11 Пример построения графика функции по экспериментальным точкам

4 Экспериментальные точки следует наносить с максимальной

точностью так чтобы они четко выделялись на фоне графика не сливаясь с ним

5 График должен представлять собой плавную кривую без изломов и перегибов Нужно стремиться провести кривую так чтобы экспериментальные точки равномерно распределялись по обе стороны от нее (рис 11)

Графики выполненные на миллиметровой бумаге

аккуратно вклеиваются в отчет где для них необходимо предусмотреть соответствующее место

36

sect 5 Точность вычислений Точность вычислений определяется погрешностью

измерений Не имеет смысла вычислять какуюndashлибо величину до пятого знака после запятой если погрешность измерений такова что неуверенно определяется ее третий знак

Чтобы погрешностью вычислений можно было пренебречь она должна быть на порядок (то есть в 10 раз) меньше погрешности наименее точно измеряемой величины

Пример Модуль Юнга по изгибу стержня вычисляется по

формуле E = PL3 4ab3middoth Анализ исходных данных показывает как правило что с наибольшей относительной погрешностью измеряется стрела прогиба h Так как ΔEE gt Δh h то допускаемая относительная погрешность вычислений ΔE выч E cong 01 Δhh Для стали E cong 2middot104 кГсмм2 поэтому при Δhh =10-2 ΔEвыч cong 10 кГсмм2 Это значит что вычисления Е целесообразно проводить лишь с точностью до четвертой значащей цифры

Обычно нас интересует лишь порядок величины погрешностей поэтому последние рекомендуется вычислять лишь до второй значащей цифры а затем округлять результат до одной значащей цифры

Приводя значение измеренной Вами величины проверьте согласуется ли порядок приведенных значащих цифр с порядком погрешности

Порядок последней значащей цифры измеренной величины и порядок погрешности должны быть одинаковы

Запись Е = (1845127 plusmn 20) 107 Па неграмотна Величина ошибки свидетельствует о том что неуверенно определяется уже четвертый знак поэтому результат должен быть соответственно округлен

Е = (18450 plusmn 20) 107 Па

37

Приложение

Таблица 3 Значения коэффициентов Стьюдента

Коэффициент надежности Число

изме рений

N 08 09 095 098 099 0999

2 31 631 1271 3182 6366 63662 3 19 292 431 696 992 3160 4 16 235 318 454 584 1294 5 15 213 278 375 460 861 6 15 202 257 336 403 686 7 14 194 245 314 371 596 8 14 190 236 300 350 540 9 14 186 231 290 336 504

10 14 183 226 282 325 478 infin 13 165 196 233 259 331

38

Список литературы

1 Деденко Л Г Керженцев В В Математическая обработка и оформление результатов эксперимента М Издndashво МГУ 1977

2 Зайдель А Н Ошибки измерения физических величин Л

Наука 1974 3 Кассандрова О Н Лебедев В В Обработка результатов из-

мерений М Наука 1970 4 Сквайрс Дж Практическая физика М Мир 1971 5 Соловьев В А Яхонтова В Е Элементарные методы обра-

ботки результатов измерений Л Издndashво ЛГУ 1977

39

СОДЕРЖАНИЕ

Задачи физического практикума 3

Часть I Статистическая обработка результатов измерений

Глава I Введение в теорию погрешностей 3 sect1 Измерения и их погрешности 3 sect2 Типы погрешностей 5

1 Систематические погрешности 5 2 Случайные погрешности 6 3 Промахи 7

Глава II Статистическая обработка результатов прямых измерений 8 sect1 Вероятность случайного события 8 sect2 Нормальный закон распределения случайных погрешностей 9 sect3 Среднеквадратичная погрешность 13 sect4 Среднеквадратичная погрешность среднего 14 sect5 Доверительный интервал и доверительная вероятность 15 sect6 Совместный учет систематической и случайной погрешностей 20 Глава III Статистическая обработка результатов косвенных измерений 21 sect1 Два способа оценки погрешностей косвенного измерения 21 sect2 Частные погрешности и общая погрешность косвенного измерения 21 sect3 Относительная погрешность косвенного измерения 23 Глава IV Определение параметров линейной зависимости 25 sect1 Метод парных точек 25 sect2 Метод наименьших квадратов (МНК) 26

40

Часть II Правила работы в лаборатории оформление

результатов работы

sect1 Правила работы в лаборатории 31 sect2 Журнал лабораторных работ 32 sect3 Оформление отчетов 34 sect4 Графики 34 sect5 Точность вычислений 36 Приложение 37 Список литературы 38

41

Составители Жукова Ида Степановна Бутина Лариса Иосифовна Крылова Светлана Ивановна

ВВЕДЕНИЕ В ЛАБОРАТОРНЫЙ ПРАКТИКУМ ПО КУРСУ ОБЩЕЙ ФИЗИКИ

Методические указания

к лабораторной работе

Редактор Козина О В

ЛР 040 110 Подписано к печати 090999 Формат 60х84 116 Бумага газетная Офсетная печать 25 уч-издл

11 услкр-отт Тираж 500 экз Изд 19 laquoСraquo

Издательство Петрозаводского государственного университета

185640 Петрозаводск пр Ленина 33

12

Вид кривой распределения соответствующий некоторому значению σ показан на рисунке 4

Пользуясь законом распределения можно производить многие важные расчеты

Из формулы εΔsdot

Δ=

nn

y k следует что вероятность P(Δxk)

того что величина погрешности заключена в интервале Δxk divide Δxk + Δε определяется формулой

P(Δxk) = y(Δxk)middotΔε Численно эта вероятность равна площади зачерненного

прямоугольника С с основанием Δε (рис 4) Вероятность того что модуль погрешности не превзойдет некоторого значения изобразится площадью заштрихованной фигуры АВС с основанием 2 Δxk (рис 4)

На рисунке 5 представлены кривые распределения соответствующие разным σ Видно что с ростом σ максимум кривой распределения понижается а ее laquoкрыльяraquo поднимаются В соответствии со сказанным ранее о геометрическом смысле вероятности это означает что с ростом σ вероятность малых погрешностей уменьшается а вероятность больших ndash растет Следовательно чем больше дисперсия распределения σ2 тем меньше точность измерений

Важно подчеркнуть что кривая y(Δxi) характеризует не какую-то серию измерений а некоторую воображаемую совокупность бесконечного числа измерений данной величины в одних и тех же условиях Такая совокупность называется генеральной Всякая же конечная серия измерений называется случайной выборкой из генеральной совокупности

13

Рис 5 Влияние дисперсии на вид кривой распределения вероятностей случайных погрешностей

sect 3 Среднеквадратичная погрешность

Пусть х1 х2hellipхn ndash результаты некоторой серии n измерений

проведенных в одинаковых условиях Как уже подчеркивалось величина случайной погрешности не постоянна и меняется от опыта к опыту Возникает необходимость охарактеризовать погрешности результатов отдельных измерений данной серии некоторой средней величиной Иногда в качестве такой характеристики используют среднюю арифметическую погрешность

sum=

Δ=Δn

iix

nx

11

Однако удобнее использовать так называемую среднеквадратичную погрешность выборки Sn определяемую формулой

14

( )

11

2

minus

minus=

sum=

n

xxS

n

ii

n (24)

Sn называют также выборочным стандартным отклонением Можно показать что при достаточно большом числе

измерений Sn cong σ и следовательно дисперсия распределения

( ) ( )

11

2

1

2

22

n

xx

n

xxS

n

ii

n

ini

n

sumsum==

minuscong

minus

minus=congσ (25)

Таким образом дисперсия распределения приблизительно

равна среднему квадрату погрешности отдельных измерений найденному при достаточно большом n Для генеральной совокупности (n rarr infin) равенство (25) выполняется точно Из него следует что величина дисперсии зависит от условий в которых проводятся измерения чем благоприятнее условия измерений тем меньше разброс результатов и меньше дисперсия

sect 4 Среднеквадратичная погрешность среднего Допустим что мы провели серию n измерений некоторой

величины х результаты которых равны х1 х2hellipхn Наилучшим приближением к истинному значению является величина

sum=

=n

iix

nx

1

1 называемая cредним выборочным значением

измеряемой величины Если серию по n измерений в каждой повторить m раз то мы получим m значений x несколько отличающихся друг от друга и от истинного значения Х измеряемой величины Погрешности Xxx kk minus=Δ являются случайными и так же как погрешности отдельных измерений Δxi = xi ndash Х подчиняются гауссову распределению но с другой

15

дисперсией 2xσ lt 2σ Величина 2

xσ называемая дисперсией среднего является мерой погрешности среднего значения x найденного в серии из n измерений В теории погрешности доказывается что

22

nxσσ = (26a)

Это значит что xσ в отличие от σ зависит от числа проведенных измерений

nx

σσ = (26б)

Таким образом среднеквадратичная погрешность среднего результата n измерений в n12 раз меньше среднеквадратичной погрешности отдельных измерений Из формул (25) и (26) следует что при большом n

( ))1(

1

2

minus

minus=cong

sum=

nn

xx

nS

n

ii

nx

σ

Величина

( ))1(

1

2

minus

minus=

sum=

nn

xxS

n

ii

x (27)

называется выборочной среднеквадратичной погрешностью среднего

sect 5 Доверительный интервал и доверительная вероятность Как уже указывалось для любой конечной выборки x neХ

Практически очень важно оценить возможную величину отклонения среднего значения x от истинного Х то есть x ndash Х

16

Интервал plusmnx ΔХ в который с заданной вероятностью α попадает истинное значение Х измеряемой величины называется доверительным интервалом соответствующим вероятности α Вероятность α называется также доверительной вероятностью или надежностью Величина ΔХ характеризует точность оценки Чем меньше разность x ndash Х тем выше точность

Надежность соответствующую заданной точности ΔХ можно вычислить теоретически воспользовавшись гауссовым распределением если известна дисперсия 2

xσ В соответствии со сказанным ранее (гл II sect2) величина α

равна площади заштрихованной фигуры АВС опирающейся на отрезок 2ΔХ (рис 6)

Рис 6 Кривая распределения вероятностей случайных

погрешностей среднего

17

Так как =2xσ σ2n то надежность соответствующая

заданной точности ΔХ растет с ростом числа измерений и величины дополнительного интервала

Можно показать что α является функцией величины

к = x

XσΔ

График функции α = F(k) показан на рисунке 7

Рис 7 График функции α = ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ Δ

x

XFσ

Видно что с ростом k растет и доверительная вероятность α

Так α = 068 для k = 1 α = 095 для k = 2 α = 0997 для k = 3 Результаты расчетов F для различных k приведены в соответствующей литературе (см Список литературы ndash 1 2)

Если n мало (n lt 30) то xx Sneσ и для расчета распределением Гаусса пользоваться нельзя В этом случае используют распределение выведенное английским математиком и химиком Госсетом (псевдоним laquoСтьюдентraquo)

В распределении Стьюдента плотность распределения вероятностей рассматривается как функция величины

18

xx SXx

SXt minus

=Δ

= называемой коэффициентом Стьюдента

(среднеквадратичная погрешность среднего арифметического xS определяется формулой (27))

Распределение Стьюдента зависит от n и при nrarrinfin переходит в распределение Гаусса

Рис 8 Кривые распределения Стьюдента для выборок различного объема

На рисунке 8 показаны кривые y(t) при разных n Вычислив

по результатам измерений xS и задав величину ΔX можно найти t и α соответствующие данному n Наоборот задав надежность α можно вычислить tαn и соответствующую точность ΔX = tαn xS при данном значении n Соответствующие друг другу значения

19

α и tαn при разных n приводятся в специальных таблицах (см Приложение)

На практике задание величины ΔX определяется конкретными условиями Допустим что некоторое предприятие изготовляет резисторы определенного номинала Естественно что благодаря действию различных случайных факторов величины сопротивлений R будут отклоняться от их номинальных значений Измерив R для большой партии резисторов (ngtgt30) можно построить кривую y (ΔR) и найти дисперсию 2

Rσ Величина 2Rσ определяется тем насколько хорошо контролируется и

поддерживается постоянной технология изготовления резисторов Если разброс значений R а значит и 2

Rσ велик то задавая малое значение доверительного интервала Xx Δplusmn получим и малую надежность α При этом лишь малая доля значений R попадает в заданный доверительный интервал и процент брака будет соответственно велик Напротив при выборе большой надежности уменьшится процент брака но зато увеличится разброс значений R (увеличится ширина доверительного интервала x plusmn ΔX)

Если по условиям работы приборов в которых используются эти резисторы доверительный интервал должен быть малым то для сохранения большой надежности необходимо улучшить технологию их производства

Точность электроизмерительных приборов определяется классом их точности и соответствует надежности α = 0997 (ΔX = 3σ x ) В лабораторных условиях обычно довольствуются надежностью α = 090 095

Для оценки доверительного интервала прямых измерений предлагается следующий порядок 1 Провести серию измерений изучаемой величины Х и оценить

среднее выборочное x sum=

=n

iix

nx

1

1

2 Найти абсолютную погрешность единичного измерения Δхi Δxi = xi ndash x

20

3 Определить среднюю квадратичную ошибку среднего арифметического

( ))1(

1

2

minus

minus=

sum=

nn

xxS

n

ii

x

4 Определить точность измерения ΔX при заданных n и α ΔX = nx tS αsdot

5 Записать доверительный интервал для истинного значения измеряемой величины Х = x plusmn ΔX или x ndash ΔX leΧle xi +ΔX

Для удобства расчетов данные оформляются в виде таблицы xi Δxi = xi - x Δxi

2 xS αn ΔX

1 2

Ср Σ Δxi2=

Абсолютная ошибка Δхi рассчитывается по модулю

sect 6 Совместный учет систематической и случайной погрешностей Строгий учет систематической погрешности труден Если

систематическая погрешность обусловлена точностью прибора (что мы и будем предполагать) то можно оценить верхнюю границу возможных ошибок зная класс его точности Если точность обусловленная случайной погрешностью ndashΔХ а величина систематической погрешности ndashδ то величина суммарной точности ΔХ определяется формулой

( )2

2

3 ⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ sdot

+Δ=Δδαk

XX (28)

где kα = tα(infin) ndash коэффициент Стьюдента при n = infin

21

Глава III Статистическая обработка результатов косвенных измерений

sect 1 Два способа оценки погрешности косвенного

измерения В большинстве случаев имеют дело с косвенными

измерениями Пусть x y z ndash непосредственно измеряемые величины а W = f (x y z) ndash их функция то есть величина измеряемая косвенно Рассмотрим два способа оценки погрешности величины W

I способ Если косвенные измерения проводятся в невоспроизводимых условиях то значения Wi вычисляются для каждого отдельного измерения а затем обрабатываются как прямые измерения

II способ позволяет вычислить погрешность косвенного измерения как функцию погрешностей прямых измерений Далее остановимся подробнее на этом способе

sect 2 Частные погрешности и общая погрешность косвенного измерения Обрабатывая прямые измерения мы находим их

выборочные средние значения zyx hellip являющиеся как было показано выше случайными величинами Очевидно что и величина WW = ( zyx hellip) представляющая собой выборочное среднее искомой функции будет также случайной величиной Задача как и в случае прямых измерений состоит в том чтобы определить с какой вероятностью искомая величина W может быть заключена в некотором заданном интервале W plusmn ΔW В общем случае эта задача весьма сложна и мы ограничимся лишь ее приближенным решением

Рассмотрим сначала случай когда W является функцией только одной переменной то есть W = W(x) Разложим функцию W(x) в ряд Тейлора в окрестности точки х = Х (Х ndash истинное

22

значение х) В случае когда погрешность прямого измерения достаточно мала можно ограничиться лишь линейным членом и считать что

)()()( Xxdx

dWXWxWXx

minussdot⎟⎠⎞

⎜⎝⎛+=

=

Отсюда )()()( Xxdx

dWXWxWXx

minussdot⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=minus

=

(31)

Из (31) следует что

xxx

W Sdx

dWS sdot⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=

=

(32)

где xS и WS ndash средние квадратичные погрешности величин

x и W Доверительный интервал величины W соответствующий надежности α определяется как

Xdx

dWWWWxx

Δsdot⎟⎠⎞

⎜⎝⎛plusmn=Δplusmn

=

(33)

где ΔW ndash точность величины х соответствующая той же надежности α

Если результат косвенного измерения W является функцией многих переменных то есть W = W(x y z) то по формуле (33) можно вычислить погрешности ΔWx ΔWy ΔWzhellip обусловленные каждым аргументом и называемые частными погрешностями Они равны

Zz

WW

YyWW

Xx

WW

zzz

yyy

xxx

Δsdot⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

partpart

=Δ

Δsdot⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛partpart

=Δ

Δsdot⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

partpart

=Δ

=

=

=

(34)

и так далее

23

В формулах (34) z

WyW

xW

partpart

partpart

partpart являются частными

производными и вычисляются так как будто другие аргументы ndash постоянные величины

Общая погрешность косвенного измерения в этом случае вычисляется по формуле (см Список литературы ndash 4)

222zyx WWWW Δ+Δ+Δ=Δ и

22

22

22

Zz

WYyWX

xWW Δ⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛

partpart

+Δ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛partpart

+Δ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

partpart

=Δ (35)

sect 3 Относительная погрешность косвенного измерения Очень часто бывает удобно вычислить относительную

погрешность результата косвенного измерения WdW

W =η

На основании известной формулы dlnu = duu можно сформулировать следующее правило расчета относительной погрешности Допустим сначала что W = W(x) ndash функция одной переменой Тогда относительная погрешность

WdWdW

W ln==η (36)

то есть для нахождения ηW необходимо сначала прологарифмировать выражение W(x) а затем продифференцировать его по х

В случае многих переменных можно как и для абсолютных погрешностей ввести частные относительные погрешности равные

24

ln xWxx Δsdot

partpart

=η

ln

ln

zWz

yWy

z

y

Δsdotpartpart

=

Δsdotpartpart

=

η

η (37)

Тогда общая относительная погрешность определится как

K222zyxW ηηηη ++= (38)

Расчет погрешности по формулам (37) и (38) особенно удобно производить в случае когда функция имеет одночленную (логарифмическую) формулу Пусть например

yxAW 4=

где А ndash константа Используя правило (37) имеем lnln4lnln 2

1 yxAW minus+=

21 4

y yy

xx

xΔ

minus=Δ

= ηη

4

116 22

22 y

yx

xΔsdot+Δsdot=η

Замечание Прежде чем сделать расчет по формуле (38) произведите оценку относительных погрешностей по отдельным аргументам вычисленных по формулам (37) Если при этом отдельные частные погрешности меньше максимальной хотя бы в три раза ими можно пренебречь В таком случае общая формула (38) значительно упростится

Определив относительную погрешность ηW можно рассчитать абсолютную погрешность (точность) по формуле

ΔW = ηWW (39)

25

Глава IV Определение параметров линейной зависимости

На опыте часто измеряют пары величин х и y причем одна

из них y является функцией другой ndash х Пусть в результате эксперимента получен ряд измерений величины y y1 y2hellipyn соответствующих значениям аргумента х1 х2 hellipхn

Необходимо установить эмпирическую зависимость между y и х Задача состоит в том чтобы по экспериментальным точкам провести линию которая как можно лучше соответствовала бы истинной функциональной зависимости y = f(x) При этом ограничимся лишь случаем линейной функции

y = ax + b (41) Линейная зависимость очень широко распространена в

физике Даже в случаях когда зависимость нелинейная обычно стараются преобразовать ее так чтобы свести к линейной Например зависимость y = Aeαx преобразуется к виду ln y = ln A + αx и на графике строится зависимость

ln y = f(1x)

Ниже приведены два метода нахождения наиболее вероятных параметров линии (коэффициентов а и в уравнения (41)) проходящих через набор экспериментальных точек

sect 1 Метод парных точек Метод парных точек является наиболее простым и

применяется в основном для определения лишь наклона прямой то есть коэффициента а

Допустим что у нас имеется 8 точек лежащих на одной прямой Требуется найти наилучшее значение тангенса угла наклона а и его погрешность Пронумеруем точки по порядку от

26

1 до 8 (рис 9) Возьмем точки 1 и 5 ими определится некоторая прямая и угол ее наклона В качестве наилучшего значения а выбирается его среднее значение a и обычным способом находится его среднеквадратичная погрешность и доверительный интервал

y 8 7 6 5 3 4 2

1 0

х Рис 9 Нумерация экспериментальных точек для расчета а

методом парных точек

Таким образом полученная прямая линия будет иметь угловой коэффициент a и проходить через точку соответствующую средним значениям переменных х и y (следующий параграф)

Такой метод дает удовлетворительные результаты лишь тогда когда величины (x5 ndash x1) (x6 ndash x2) (x7 ndash x3) (x8 ndash x4) примерно одинаковы

sect 2 Метод наименьших квадратов (МНК) МНК является одним из стандартных методов статистики

Сущность этого метода заключается в следующем Допустим что имеется n пар измеренных значений (x1 y1) (x2 y2)hellip(xn yn) Предположим что ошибки содержат лишь величины y

27

(На практике это предположение часто оправдывается) По результатам измерений необходимо построить прямую линию

В основе описываемого метода лежит положение согласно которому наилучшим приближением будет такая прямая линия для которой сумма квадратов расстояний по вертикали от точек до прямой (сумма квадратов погрешностей величины y (рис 10)) является минимальной то есть наиболее вероятные

Рис 10 Распределение экспериментальных точек относительно искомой прямой

значения параметров а и в (41) выбираются так чтобы сумма

( )sum sum= =

minusminus==n

i

n

iiii baxydS

1 1

22 (42)

была минимальной Это значит что

( )sum=

=minus+=partpart n

iiii xybax

aS

1

02

( )sum=

=minus+=partpart n

iii ybax

bS

1

02 (43)

28

Таким образом искомые величины а и в получаются

решением системы уравнений

sum sum sum= = =

=+n

i

n

i

n

iiiii yxxbxa

1 1 1

2 (44)

sum sum= =

=+n

i

n

iii ybnxa

1 1

(45)

Из уравнения (45) следует что наилучшая прямая проходит через точку с координатами

sumsum==

==n

ii

n

ii y

nyx

nx

1

_

1

_

11 (46)

(В этом можно легко убедиться поделив равенство (45) почленно на n) Из уравнений (44) и (45) находим

1 1

2

1 1

sum sum

sum sum

= =

= =

minus

minus= n

i

n

iii

n

i

n

iiii

xxx

yyyxa (47)

sum sumsum sum

sum sum= =

= =

= =

minus

minusminus=

n

i

n

in

i

n

iii

n

i

n

iiii

ii

xxx

yyyxx

ny

nb

1 1

1 1

2

1 111 (48)

29

В лабораторном практикуме обычно бывает достаточно оценить погрешность коэффициента a Формула для среднеквадратичной ошибки величины а имеет вид (см Список литературы ndash 3)

2

1 2

minusminus

=n

rSS

Sx

ya (49)

где ( )sum=

minusminus

=n

iiy yy

nS

1

2 1

1 (410)

( )sum=

minusminus

=n

iix xx

nS

1

2

11

(411)

( ) ( )

( ) 1

1

yx

n

iii

SSn

yyxxr

sdotminus

minusminus=

sum= (412)

Интервал в котором с установленной вероятностью α может находиться коэффициент а записывается в виде

22 anan StaaSta sdot+lelesdotminus minusminus αα (413)

где a определяется формулой (47) aS ndash формулой (49) tαn-2 ndash коэффициент Стьюдента для надежности α и числа измерений n ndash число пар точек

При использовании метода наименьших квадратов рекомендуется следующий порядок действий

1 Составить таблицу

изм xi yi xiyi xi

2 1 2

i n

sumxi sumyi sumxiyi sumxi2

30

2 Рассчитать

а) sum=

n

iii yx

1 б) sum

=

=n

i

i

nx

x1

в) sum=

n

iiy

1

г) sum=

n

iix

1

д) sum=

n

iix

1

2 е) sum=

=n

i

i

ny

y1

3 Рассчитать наилучшие значения углового коэффициента а по

формуле (47) 4 Зная коэффициенты а и б провести наилучшую прямую она

должна проходить через точку с координатами x и y 5 Для расчета погрешности величины а по формулам (49 ndash 412) составить таблицу

пп

yi - y

xi - x

(yi - y )2

(xi - x )2

Sx

Sy

r

31

ЧАСТЬ II

ПРАВИЛА РАБОТЫ В ЛАБОРАТОРИИ

ОФОРМЛЕНИЕ РЕЗУЛЬТАТОВ РАБОТЫ sect 1 Правила работы в лаборатории Каждая лабораторная работа рассчитана на одно занятие

В начале семестра составляется и вывешивается в лаборатории график выполнения работ на весь семестр

Студент должен заранее знать тему своей лабораторной работы и подготовиться к ней по методическому руководству и другой указанной в нем литературе

Перед выполнением каждой лабораторной работы необходимо пройти краткое собеседование с преподавателем и получить разрешение на ее выполнение Оно дается в том случае если студент четко знает цель работы методику проведения эксперимента умеет пользоваться приборами

ПРИСТУПАТЬ К ВЫПОЛНЕНИЮ ЛАБОРАТОРНЫХ

РАБОТ БЕЗ РАЗРЕШЕНИЯ ПРЕПОДАВАТЕЛЯ КАТЕГОРИЧЕСКИ ВОСПРЕЩАЕТСЯ

В конце занятия студент обязан предъявить преподавателю

результаты своей работы Работа считается выполненной если результаты утверждены и подписаны преподавателем После этого необходимо выключить установку привести в порядок рабочее место и получить методические указания к следующей работе

32

sect 2 Журнал лабораторных работ Результаты измерений и наблюдений должны тотчас же

фиксироваться в специальном журнале в форме протоколов Временные записи результатов на черновых листочках не допускаются

Единую форму протоколов пригодную для всех работ дать невозможно и нецелесообразно Тем не менее можно сформулировать некоторые общие требования которым должны удовлетворять записи в журнале лабораторных работ

1 Должны быть указаны название работы и дата ее выполнения

конкретная цель работы и ее упражнений 2 Целесообразно привести расчетную формулу и пояснить

физический смысл входящих в нее символов 3 Результаты всех измерений заносятся в заранее

подготовленные удобные таблицы из которых было бы ясно какие физические величины и в каких единицах измерялись сколько раз повторялись измерения каждой физической величины

4 Необходимо указать приборы использовавшиеся для измерения различных величин и их точности

5 Зафиксировать (если это важно) условия опыта (температуру давление влажность воздуха и т д)

6 Записи в журнале должны быть аккуратными и четкими журнал лабораторных работ ndash не черновик В нем не должно содержаться никаких записей не относящихся к выполняемой работе Прикидочные расчеты должны проводиться на черновых листках

7 Для пометок и замечаний целесообразно оставлять поля шириной 3 см Ниже приведена схема оформления протокола одной из

лабораторных работ

33

081098 Определение модуля Юнга по изгибу стержня Цель работы ndash проверка закона Гука и определение модуля

Юнга для стального и медного стержней Расчетная формула

4 3

3

habPLE =

где Е ndash модуль Юнга Р ndash величина нагрузки приложенной к середине стержня L ndash длина деформируемой части стержня равная расстоянию между ребрами опорных призм а ndash ширина стержня в ndash его толщина h ndash стрела прогиба

Таблица 1 Определение размеров стержня

опыта L мм а мм в мм

1 5

Измерительный прибор и его точность

Штанген-циркуль plusmn 01 мм

Микрометр plusmn0005 мм

Микрометр plusmn0005 мм

Таблица 2 Измерение стрелы прогиба нагружаемого стержня

РкГс 0 01 02 03 04 hellip

h мм

205 207 203 208 205

255 248 251 249 252

hellip hellip hellip hellip

Измерительный прибор ndash микрометр точность ~ plusmn 0005 мм

Подпись преподавателя

34

sect 3 Оформление отчетов По результатам каждой лабораторной работы составляется

отчет Он должен включать 1 Краткую формулировку идеи метода расчетную формулу

пояснение физического смысла входящих в нее символов 2 Таблицы с результатами измерений и расчетов 3 Статистическую обработку результатов измерений 4 Выводы 5 На титульном листе должны быть указаны название

лабораторной работы факультет курс группа фамилия и инициалы исполнителя Отчет должен быть написан в хорошем стиле аккуратным

разборчивым почерком При его оформлении не следует также пренебрегать и эстетической стороной вопроса Заголовки выводы и формулы целесообразно выделять пастой другого цвета подчеркнуть и т п Это облегчает чтение отчета

Выводы должны быть аргументированы ссылками на соответствующие таблицы и графики поэтому они должны быть пронумерованы

sect 4 Графики Графики используются для наглядного представления

результатов При их построении необходимо соблюдать ряд правил 1 Графики нужно строить только на миллиметровой бумаге 2 На осях необходимо нанести масштабную сетку указать

единицы измерения и символы изображаемых величин 3 Масштаб должен быть простым удобным для отсчета его

долей Например 1 см = 01 1 2 или 10 единиц Кроме того масштаб выбирают так чтобы все экспериментальные точки вошли в график и достаточно далеко отстояли друг от друга

35

Иногда для этой цели бывает удобно сместить вдоль осей начало отсчета Масштаб по осям Х и У может быть различен

Рис 11 Пример построения графика функции по экспериментальным точкам

4 Экспериментальные точки следует наносить с максимальной

точностью так чтобы они четко выделялись на фоне графика не сливаясь с ним

5 График должен представлять собой плавную кривую без изломов и перегибов Нужно стремиться провести кривую так чтобы экспериментальные точки равномерно распределялись по обе стороны от нее (рис 11)

Графики выполненные на миллиметровой бумаге

аккуратно вклеиваются в отчет где для них необходимо предусмотреть соответствующее место

36

sect 5 Точность вычислений Точность вычислений определяется погрешностью

измерений Не имеет смысла вычислять какуюndashлибо величину до пятого знака после запятой если погрешность измерений такова что неуверенно определяется ее третий знак

Чтобы погрешностью вычислений можно было пренебречь она должна быть на порядок (то есть в 10 раз) меньше погрешности наименее точно измеряемой величины

Пример Модуль Юнга по изгибу стержня вычисляется по

формуле E = PL3 4ab3middoth Анализ исходных данных показывает как правило что с наибольшей относительной погрешностью измеряется стрела прогиба h Так как ΔEE gt Δh h то допускаемая относительная погрешность вычислений ΔE выч E cong 01 Δhh Для стали E cong 2middot104 кГсмм2 поэтому при Δhh =10-2 ΔEвыч cong 10 кГсмм2 Это значит что вычисления Е целесообразно проводить лишь с точностью до четвертой значащей цифры

Обычно нас интересует лишь порядок величины погрешностей поэтому последние рекомендуется вычислять лишь до второй значащей цифры а затем округлять результат до одной значащей цифры

Приводя значение измеренной Вами величины проверьте согласуется ли порядок приведенных значащих цифр с порядком погрешности

Порядок последней значащей цифры измеренной величины и порядок погрешности должны быть одинаковы

Запись Е = (1845127 plusmn 20) 107 Па неграмотна Величина ошибки свидетельствует о том что неуверенно определяется уже четвертый знак поэтому результат должен быть соответственно округлен

Е = (18450 plusmn 20) 107 Па

37

Приложение

Таблица 3 Значения коэффициентов Стьюдента

Коэффициент надежности Число

изме рений

N 08 09 095 098 099 0999

2 31 631 1271 3182 6366 63662 3 19 292 431 696 992 3160 4 16 235 318 454 584 1294 5 15 213 278 375 460 861 6 15 202 257 336 403 686 7 14 194 245 314 371 596 8 14 190 236 300 350 540 9 14 186 231 290 336 504

10 14 183 226 282 325 478 infin 13 165 196 233 259 331

38

Список литературы

1 Деденко Л Г Керженцев В В Математическая обработка и оформление результатов эксперимента М Издndashво МГУ 1977

2 Зайдель А Н Ошибки измерения физических величин Л

Наука 1974 3 Кассандрова О Н Лебедев В В Обработка результатов из-

мерений М Наука 1970 4 Сквайрс Дж Практическая физика М Мир 1971 5 Соловьев В А Яхонтова В Е Элементарные методы обра-

ботки результатов измерений Л Издndashво ЛГУ 1977

39

СОДЕРЖАНИЕ

Задачи физического практикума 3

Часть I Статистическая обработка результатов измерений

Глава I Введение в теорию погрешностей 3 sect1 Измерения и их погрешности 3 sect2 Типы погрешностей 5

1 Систематические погрешности 5 2 Случайные погрешности 6 3 Промахи 7

Глава II Статистическая обработка результатов прямых измерений 8 sect1 Вероятность случайного события 8 sect2 Нормальный закон распределения случайных погрешностей 9 sect3 Среднеквадратичная погрешность 13 sect4 Среднеквадратичная погрешность среднего 14 sect5 Доверительный интервал и доверительная вероятность 15 sect6 Совместный учет систематической и случайной погрешностей 20 Глава III Статистическая обработка результатов косвенных измерений 21 sect1 Два способа оценки погрешностей косвенного измерения 21 sect2 Частные погрешности и общая погрешность косвенного измерения 21 sect3 Относительная погрешность косвенного измерения 23 Глава IV Определение параметров линейной зависимости 25 sect1 Метод парных точек 25 sect2 Метод наименьших квадратов (МНК) 26

40

Часть II Правила работы в лаборатории оформление

результатов работы

sect1 Правила работы в лаборатории 31 sect2 Журнал лабораторных работ 32 sect3 Оформление отчетов 34 sect4 Графики 34 sect5 Точность вычислений 36 Приложение 37 Список литературы 38

41

Составители Жукова Ида Степановна Бутина Лариса Иосифовна Крылова Светлана Ивановна

ВВЕДЕНИЕ В ЛАБОРАТОРНЫЙ ПРАКТИКУМ ПО КУРСУ ОБЩЕЙ ФИЗИКИ

Методические указания

к лабораторной работе

Редактор Козина О В

ЛР 040 110 Подписано к печати 090999 Формат 60х84 116 Бумага газетная Офсетная печать 25 уч-издл

11 услкр-отт Тираж 500 экз Изд 19 laquoСraquo

Издательство Петрозаводского государственного университета

185640 Петрозаводск пр Ленина 33

13

Рис 5 Влияние дисперсии на вид кривой распределения вероятностей случайных погрешностей

sect 3 Среднеквадратичная погрешность

Пусть х1 х2hellipхn ndash результаты некоторой серии n измерений

проведенных в одинаковых условиях Как уже подчеркивалось величина случайной погрешности не постоянна и меняется от опыта к опыту Возникает необходимость охарактеризовать погрешности результатов отдельных измерений данной серии некоторой средней величиной Иногда в качестве такой характеристики используют среднюю арифметическую погрешность

sum=

Δ=Δn

iix

nx

11

Однако удобнее использовать так называемую среднеквадратичную погрешность выборки Sn определяемую формулой

14

( )

11

2

minus

minus=

sum=

n

xxS

n

ii

n (24)

Sn называют также выборочным стандартным отклонением Можно показать что при достаточно большом числе

измерений Sn cong σ и следовательно дисперсия распределения

( ) ( )

11

2

1

2

22

n

xx

n

xxS

n

ii

n

ini

n

sumsum==

minuscong

minus

minus=congσ (25)

Таким образом дисперсия распределения приблизительно

равна среднему квадрату погрешности отдельных измерений найденному при достаточно большом n Для генеральной совокупности (n rarr infin) равенство (25) выполняется точно Из него следует что величина дисперсии зависит от условий в которых проводятся измерения чем благоприятнее условия измерений тем меньше разброс результатов и меньше дисперсия

sect 4 Среднеквадратичная погрешность среднего Допустим что мы провели серию n измерений некоторой

величины х результаты которых равны х1 х2hellipхn Наилучшим приближением к истинному значению является величина

sum=

=n

iix

nx

1

1 называемая cредним выборочным значением

измеряемой величины Если серию по n измерений в каждой повторить m раз то мы получим m значений x несколько отличающихся друг от друга и от истинного значения Х измеряемой величины Погрешности Xxx kk minus=Δ являются случайными и так же как погрешности отдельных измерений Δxi = xi ndash Х подчиняются гауссову распределению но с другой

15

дисперсией 2xσ lt 2σ Величина 2

xσ называемая дисперсией среднего является мерой погрешности среднего значения x найденного в серии из n измерений В теории погрешности доказывается что

22

nxσσ = (26a)

Это значит что xσ в отличие от σ зависит от числа проведенных измерений

nx

σσ = (26б)

Таким образом среднеквадратичная погрешность среднего результата n измерений в n12 раз меньше среднеквадратичной погрешности отдельных измерений Из формул (25) и (26) следует что при большом n

( ))1(

1

2

minus

minus=cong

sum=

nn

xx

nS

n

ii

nx

σ

Величина

( ))1(

1

2

minus

minus=

sum=

nn

xxS

n

ii

x (27)

называется выборочной среднеквадратичной погрешностью среднего

sect 5 Доверительный интервал и доверительная вероятность Как уже указывалось для любой конечной выборки x neХ

Практически очень важно оценить возможную величину отклонения среднего значения x от истинного Х то есть x ndash Х

16

Интервал plusmnx ΔХ в который с заданной вероятностью α попадает истинное значение Х измеряемой величины называется доверительным интервалом соответствующим вероятности α Вероятность α называется также доверительной вероятностью или надежностью Величина ΔХ характеризует точность оценки Чем меньше разность x ndash Х тем выше точность

Надежность соответствующую заданной точности ΔХ можно вычислить теоретически воспользовавшись гауссовым распределением если известна дисперсия 2

xσ В соответствии со сказанным ранее (гл II sect2) величина α

равна площади заштрихованной фигуры АВС опирающейся на отрезок 2ΔХ (рис 6)

Рис 6 Кривая распределения вероятностей случайных

погрешностей среднего

17

Так как =2xσ σ2n то надежность соответствующая

заданной точности ΔХ растет с ростом числа измерений и величины дополнительного интервала

Можно показать что α является функцией величины

к = x

XσΔ

График функции α = F(k) показан на рисунке 7

Рис 7 График функции α = ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ Δ

x

XFσ

Видно что с ростом k растет и доверительная вероятность α

Так α = 068 для k = 1 α = 095 для k = 2 α = 0997 для k = 3 Результаты расчетов F для различных k приведены в соответствующей литературе (см Список литературы ndash 1 2)

Если n мало (n lt 30) то xx Sneσ и для расчета распределением Гаусса пользоваться нельзя В этом случае используют распределение выведенное английским математиком и химиком Госсетом (псевдоним laquoСтьюдентraquo)

В распределении Стьюдента плотность распределения вероятностей рассматривается как функция величины

18

xx SXx

SXt minus

=Δ

= называемой коэффициентом Стьюдента

(среднеквадратичная погрешность среднего арифметического xS определяется формулой (27))

Распределение Стьюдента зависит от n и при nrarrinfin переходит в распределение Гаусса

Рис 8 Кривые распределения Стьюдента для выборок различного объема

На рисунке 8 показаны кривые y(t) при разных n Вычислив

по результатам измерений xS и задав величину ΔX можно найти t и α соответствующие данному n Наоборот задав надежность α можно вычислить tαn и соответствующую точность ΔX = tαn xS при данном значении n Соответствующие друг другу значения

19

α и tαn при разных n приводятся в специальных таблицах (см Приложение)

На практике задание величины ΔX определяется конкретными условиями Допустим что некоторое предприятие изготовляет резисторы определенного номинала Естественно что благодаря действию различных случайных факторов величины сопротивлений R будут отклоняться от их номинальных значений Измерив R для большой партии резисторов (ngtgt30) можно построить кривую y (ΔR) и найти дисперсию 2

Rσ Величина 2Rσ определяется тем насколько хорошо контролируется и

поддерживается постоянной технология изготовления резисторов Если разброс значений R а значит и 2

Rσ велик то задавая малое значение доверительного интервала Xx Δplusmn получим и малую надежность α При этом лишь малая доля значений R попадает в заданный доверительный интервал и процент брака будет соответственно велик Напротив при выборе большой надежности уменьшится процент брака но зато увеличится разброс значений R (увеличится ширина доверительного интервала x plusmn ΔX)

Если по условиям работы приборов в которых используются эти резисторы доверительный интервал должен быть малым то для сохранения большой надежности необходимо улучшить технологию их производства

Точность электроизмерительных приборов определяется классом их точности и соответствует надежности α = 0997 (ΔX = 3σ x ) В лабораторных условиях обычно довольствуются надежностью α = 090 095

Для оценки доверительного интервала прямых измерений предлагается следующий порядок 1 Провести серию измерений изучаемой величины Х и оценить

среднее выборочное x sum=

=n

iix

nx

1

1

2 Найти абсолютную погрешность единичного измерения Δхi Δxi = xi ndash x

20

3 Определить среднюю квадратичную ошибку среднего арифметического

( ))1(

1

2

minus

minus=

sum=

nn

xxS

n

ii

x

4 Определить точность измерения ΔX при заданных n и α ΔX = nx tS αsdot

5 Записать доверительный интервал для истинного значения измеряемой величины Х = x plusmn ΔX или x ndash ΔX leΧle xi +ΔX

Для удобства расчетов данные оформляются в виде таблицы xi Δxi = xi - x Δxi

2 xS αn ΔX

1 2

Ср Σ Δxi2=

Абсолютная ошибка Δхi рассчитывается по модулю

sect 6 Совместный учет систематической и случайной погрешностей Строгий учет систематической погрешности труден Если

систематическая погрешность обусловлена точностью прибора (что мы и будем предполагать) то можно оценить верхнюю границу возможных ошибок зная класс его точности Если точность обусловленная случайной погрешностью ndashΔХ а величина систематической погрешности ndashδ то величина суммарной точности ΔХ определяется формулой

( )2

2

3 ⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ sdot

+Δ=Δδαk

XX (28)

где kα = tα(infin) ndash коэффициент Стьюдента при n = infin

21

Глава III Статистическая обработка результатов косвенных измерений

sect 1 Два способа оценки погрешности косвенного

измерения В большинстве случаев имеют дело с косвенными

измерениями Пусть x y z ndash непосредственно измеряемые величины а W = f (x y z) ndash их функция то есть величина измеряемая косвенно Рассмотрим два способа оценки погрешности величины W

I способ Если косвенные измерения проводятся в невоспроизводимых условиях то значения Wi вычисляются для каждого отдельного измерения а затем обрабатываются как прямые измерения

II способ позволяет вычислить погрешность косвенного измерения как функцию погрешностей прямых измерений Далее остановимся подробнее на этом способе

sect 2 Частные погрешности и общая погрешность косвенного измерения Обрабатывая прямые измерения мы находим их

выборочные средние значения zyx hellip являющиеся как было показано выше случайными величинами Очевидно что и величина WW = ( zyx hellip) представляющая собой выборочное среднее искомой функции будет также случайной величиной Задача как и в случае прямых измерений состоит в том чтобы определить с какой вероятностью искомая величина W может быть заключена в некотором заданном интервале W plusmn ΔW В общем случае эта задача весьма сложна и мы ограничимся лишь ее приближенным решением

Рассмотрим сначала случай когда W является функцией только одной переменной то есть W = W(x) Разложим функцию W(x) в ряд Тейлора в окрестности точки х = Х (Х ndash истинное

22

значение х) В случае когда погрешность прямого измерения достаточно мала можно ограничиться лишь линейным членом и считать что

)()()( Xxdx

dWXWxWXx

minussdot⎟⎠⎞

⎜⎝⎛+=

=

Отсюда )()()( Xxdx

dWXWxWXx

minussdot⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=minus

=

(31)

Из (31) следует что

xxx

W Sdx

dWS sdot⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=

=

(32)

где xS и WS ndash средние квадратичные погрешности величин

x и W Доверительный интервал величины W соответствующий надежности α определяется как

Xdx

dWWWWxx

Δsdot⎟⎠⎞

⎜⎝⎛plusmn=Δplusmn

=

(33)

где ΔW ndash точность величины х соответствующая той же надежности α

Если результат косвенного измерения W является функцией многих переменных то есть W = W(x y z) то по формуле (33) можно вычислить погрешности ΔWx ΔWy ΔWzhellip обусловленные каждым аргументом и называемые частными погрешностями Они равны

Zz

WW

YyWW

Xx

WW

zzz

yyy

xxx

Δsdot⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

partpart

=Δ

Δsdot⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛partpart

=Δ

Δsdot⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

partpart

=Δ

=

=

=

(34)

и так далее

23

В формулах (34) z

WyW

xW

partpart

partpart

partpart являются частными

производными и вычисляются так как будто другие аргументы ndash постоянные величины

Общая погрешность косвенного измерения в этом случае вычисляется по формуле (см Список литературы ndash 4)

222zyx WWWW Δ+Δ+Δ=Δ и

22

22

22

Zz

WYyWX

xWW Δ⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛

partpart

+Δ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛partpart

+Δ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

partpart

=Δ (35)

sect 3 Относительная погрешность косвенного измерения Очень часто бывает удобно вычислить относительную

погрешность результата косвенного измерения WdW

W =η

На основании известной формулы dlnu = duu можно сформулировать следующее правило расчета относительной погрешности Допустим сначала что W = W(x) ndash функция одной переменой Тогда относительная погрешность

WdWdW

W ln==η (36)

то есть для нахождения ηW необходимо сначала прологарифмировать выражение W(x) а затем продифференцировать его по х

В случае многих переменных можно как и для абсолютных погрешностей ввести частные относительные погрешности равные

24

ln xWxx Δsdot

partpart

=η

ln

ln

zWz

yWy

z

y

Δsdotpartpart

=

Δsdotpartpart

=

η

η (37)

Тогда общая относительная погрешность определится как

K222zyxW ηηηη ++= (38)

Расчет погрешности по формулам (37) и (38) особенно удобно производить в случае когда функция имеет одночленную (логарифмическую) формулу Пусть например

yxAW 4=

где А ndash константа Используя правило (37) имеем lnln4lnln 2

1 yxAW minus+=

21 4

y yy

xx

xΔ

minus=Δ

= ηη

4

116 22

22 y

yx

xΔsdot+Δsdot=η

Замечание Прежде чем сделать расчет по формуле (38) произведите оценку относительных погрешностей по отдельным аргументам вычисленных по формулам (37) Если при этом отдельные частные погрешности меньше максимальной хотя бы в три раза ими можно пренебречь В таком случае общая формула (38) значительно упростится

Определив относительную погрешность ηW можно рассчитать абсолютную погрешность (точность) по формуле

ΔW = ηWW (39)

25

Глава IV Определение параметров линейной зависимости

На опыте часто измеряют пары величин х и y причем одна

из них y является функцией другой ndash х Пусть в результате эксперимента получен ряд измерений величины y y1 y2hellipyn соответствующих значениям аргумента х1 х2 hellipхn

Необходимо установить эмпирическую зависимость между y и х Задача состоит в том чтобы по экспериментальным точкам провести линию которая как можно лучше соответствовала бы истинной функциональной зависимости y = f(x) При этом ограничимся лишь случаем линейной функции

y = ax + b (41) Линейная зависимость очень широко распространена в

физике Даже в случаях когда зависимость нелинейная обычно стараются преобразовать ее так чтобы свести к линейной Например зависимость y = Aeαx преобразуется к виду ln y = ln A + αx и на графике строится зависимость

ln y = f(1x)

Ниже приведены два метода нахождения наиболее вероятных параметров линии (коэффициентов а и в уравнения (41)) проходящих через набор экспериментальных точек

sect 1 Метод парных точек Метод парных точек является наиболее простым и

применяется в основном для определения лишь наклона прямой то есть коэффициента а

Допустим что у нас имеется 8 точек лежащих на одной прямой Требуется найти наилучшее значение тангенса угла наклона а и его погрешность Пронумеруем точки по порядку от

26

1 до 8 (рис 9) Возьмем точки 1 и 5 ими определится некоторая прямая и угол ее наклона В качестве наилучшего значения а выбирается его среднее значение a и обычным способом находится его среднеквадратичная погрешность и доверительный интервал

y 8 7 6 5 3 4 2

1 0

х Рис 9 Нумерация экспериментальных точек для расчета а

методом парных точек

Таким образом полученная прямая линия будет иметь угловой коэффициент a и проходить через точку соответствующую средним значениям переменных х и y (следующий параграф)

Такой метод дает удовлетворительные результаты лишь тогда когда величины (x5 ndash x1) (x6 ndash x2) (x7 ndash x3) (x8 ndash x4) примерно одинаковы

sect 2 Метод наименьших квадратов (МНК) МНК является одним из стандартных методов статистики

Сущность этого метода заключается в следующем Допустим что имеется n пар измеренных значений (x1 y1) (x2 y2)hellip(xn yn) Предположим что ошибки содержат лишь величины y

27

(На практике это предположение часто оправдывается) По результатам измерений необходимо построить прямую линию

В основе описываемого метода лежит положение согласно которому наилучшим приближением будет такая прямая линия для которой сумма квадратов расстояний по вертикали от точек до прямой (сумма квадратов погрешностей величины y (рис 10)) является минимальной то есть наиболее вероятные

Рис 10 Распределение экспериментальных точек относительно искомой прямой

значения параметров а и в (41) выбираются так чтобы сумма

( )sum sum= =

minusminus==n

i

n

iiii baxydS

1 1

22 (42)

была минимальной Это значит что

( )sum=

=minus+=partpart n

iiii xybax

aS

1

02

( )sum=

=minus+=partpart n

iii ybax

bS

1

02 (43)

28

Таким образом искомые величины а и в получаются

решением системы уравнений

sum sum sum= = =

=+n

i

n

i

n

iiiii yxxbxa

1 1 1

2 (44)

sum sum= =

=+n

i

n

iii ybnxa

1 1

(45)

Из уравнения (45) следует что наилучшая прямая проходит через точку с координатами

sumsum==

==n

ii

n

ii y

nyx

nx

1

_

1

_

11 (46)

(В этом можно легко убедиться поделив равенство (45) почленно на n) Из уравнений (44) и (45) находим

1 1

2

1 1

sum sum

sum sum

= =

= =

minus

minus= n

i

n

iii

n

i

n

iiii

xxx

yyyxa (47)

sum sumsum sum

sum sum= =

= =

= =

minus

minusminus=

n

i

n

in

i

n

iii

n

i

n

iiii

ii

xxx

yyyxx

ny

nb

1 1

1 1

2

1 111 (48)

29

В лабораторном практикуме обычно бывает достаточно оценить погрешность коэффициента a Формула для среднеквадратичной ошибки величины а имеет вид (см Список литературы ndash 3)

2

1 2

minusminus

=n

rSS

Sx

ya (49)

где ( )sum=

minusminus

=n

iiy yy

nS

1

2 1

1 (410)

( )sum=

minusminus

=n

iix xx

nS

1

2

11

(411)

( ) ( )

( ) 1

1

yx

n

iii

SSn

yyxxr

sdotminus

minusminus=

sum= (412)

Интервал в котором с установленной вероятностью α может находиться коэффициент а записывается в виде

22 anan StaaSta sdot+lelesdotminus minusminus αα (413)

где a определяется формулой (47) aS ndash формулой (49) tαn-2 ndash коэффициент Стьюдента для надежности α и числа измерений n ndash число пар точек

При использовании метода наименьших квадратов рекомендуется следующий порядок действий

1 Составить таблицу

изм xi yi xiyi xi

2 1 2

i n

sumxi sumyi sumxiyi sumxi2

30

2 Рассчитать

а) sum=

n

iii yx

1 б) sum

=

=n

i

i

nx

x1

в) sum=

n

iiy

1

г) sum=

n

iix

1

д) sum=

n

iix

1

2 е) sum=

=n

i

i

ny

y1

3 Рассчитать наилучшие значения углового коэффициента а по

формуле (47) 4 Зная коэффициенты а и б провести наилучшую прямую она

должна проходить через точку с координатами x и y 5 Для расчета погрешности величины а по формулам (49 ndash 412) составить таблицу

пп

yi - y

xi - x

(yi - y )2

(xi - x )2

Sx

Sy

r

31

ЧАСТЬ II

ПРАВИЛА РАБОТЫ В ЛАБОРАТОРИИ

ОФОРМЛЕНИЕ РЕЗУЛЬТАТОВ РАБОТЫ sect 1 Правила работы в лаборатории Каждая лабораторная работа рассчитана на одно занятие

В начале семестра составляется и вывешивается в лаборатории график выполнения работ на весь семестр

Студент должен заранее знать тему своей лабораторной работы и подготовиться к ней по методическому руководству и другой указанной в нем литературе

Перед выполнением каждой лабораторной работы необходимо пройти краткое собеседование с преподавателем и получить разрешение на ее выполнение Оно дается в том случае если студент четко знает цель работы методику проведения эксперимента умеет пользоваться приборами

ПРИСТУПАТЬ К ВЫПОЛНЕНИЮ ЛАБОРАТОРНЫХ

РАБОТ БЕЗ РАЗРЕШЕНИЯ ПРЕПОДАВАТЕЛЯ КАТЕГОРИЧЕСКИ ВОСПРЕЩАЕТСЯ

В конце занятия студент обязан предъявить преподавателю

результаты своей работы Работа считается выполненной если результаты утверждены и подписаны преподавателем После этого необходимо выключить установку привести в порядок рабочее место и получить методические указания к следующей работе

32

sect 2 Журнал лабораторных работ Результаты измерений и наблюдений должны тотчас же

фиксироваться в специальном журнале в форме протоколов Временные записи результатов на черновых листочках не допускаются

Единую форму протоколов пригодную для всех работ дать невозможно и нецелесообразно Тем не менее можно сформулировать некоторые общие требования которым должны удовлетворять записи в журнале лабораторных работ

1 Должны быть указаны название работы и дата ее выполнения

конкретная цель работы и ее упражнений 2 Целесообразно привести расчетную формулу и пояснить

физический смысл входящих в нее символов 3 Результаты всех измерений заносятся в заранее

подготовленные удобные таблицы из которых было бы ясно какие физические величины и в каких единицах измерялись сколько раз повторялись измерения каждой физической величины

4 Необходимо указать приборы использовавшиеся для измерения различных величин и их точности

5 Зафиксировать (если это важно) условия опыта (температуру давление влажность воздуха и т д)

6 Записи в журнале должны быть аккуратными и четкими журнал лабораторных работ ndash не черновик В нем не должно содержаться никаких записей не относящихся к выполняемой работе Прикидочные расчеты должны проводиться на черновых листках

7 Для пометок и замечаний целесообразно оставлять поля шириной 3 см Ниже приведена схема оформления протокола одной из

лабораторных работ

33

081098 Определение модуля Юнга по изгибу стержня Цель работы ndash проверка закона Гука и определение модуля

Юнга для стального и медного стержней Расчетная формула

4 3

3

habPLE =

где Е ndash модуль Юнга Р ndash величина нагрузки приложенной к середине стержня L ndash длина деформируемой части стержня равная расстоянию между ребрами опорных призм а ndash ширина стержня в ndash его толщина h ndash стрела прогиба

Таблица 1 Определение размеров стержня

опыта L мм а мм в мм

1 5

Измерительный прибор и его точность

Штанген-циркуль plusmn 01 мм

Микрометр plusmn0005 мм

Микрометр plusmn0005 мм

Таблица 2 Измерение стрелы прогиба нагружаемого стержня

РкГс 0 01 02 03 04 hellip

h мм

205 207 203 208 205

255 248 251 249 252

hellip hellip hellip hellip

Измерительный прибор ndash микрометр точность ~ plusmn 0005 мм

Подпись преподавателя

34

sect 3 Оформление отчетов По результатам каждой лабораторной работы составляется

отчет Он должен включать 1 Краткую формулировку идеи метода расчетную формулу

пояснение физического смысла входящих в нее символов 2 Таблицы с результатами измерений и расчетов 3 Статистическую обработку результатов измерений 4 Выводы 5 На титульном листе должны быть указаны название

лабораторной работы факультет курс группа фамилия и инициалы исполнителя Отчет должен быть написан в хорошем стиле аккуратным

разборчивым почерком При его оформлении не следует также пренебрегать и эстетической стороной вопроса Заголовки выводы и формулы целесообразно выделять пастой другого цвета подчеркнуть и т п Это облегчает чтение отчета

Выводы должны быть аргументированы ссылками на соответствующие таблицы и графики поэтому они должны быть пронумерованы

sect 4 Графики Графики используются для наглядного представления

результатов При их построении необходимо соблюдать ряд правил 1 Графики нужно строить только на миллиметровой бумаге 2 На осях необходимо нанести масштабную сетку указать

единицы измерения и символы изображаемых величин 3 Масштаб должен быть простым удобным для отсчета его

долей Например 1 см = 01 1 2 или 10 единиц Кроме того масштаб выбирают так чтобы все экспериментальные точки вошли в график и достаточно далеко отстояли друг от друга

35

Иногда для этой цели бывает удобно сместить вдоль осей начало отсчета Масштаб по осям Х и У может быть различен

Рис 11 Пример построения графика функции по экспериментальным точкам

4 Экспериментальные точки следует наносить с максимальной

точностью так чтобы они четко выделялись на фоне графика не сливаясь с ним

5 График должен представлять собой плавную кривую без изломов и перегибов Нужно стремиться провести кривую так чтобы экспериментальные точки равномерно распределялись по обе стороны от нее (рис 11)

Графики выполненные на миллиметровой бумаге

аккуратно вклеиваются в отчет где для них необходимо предусмотреть соответствующее место

36

sect 5 Точность вычислений Точность вычислений определяется погрешностью

измерений Не имеет смысла вычислять какуюndashлибо величину до пятого знака после запятой если погрешность измерений такова что неуверенно определяется ее третий знак

Чтобы погрешностью вычислений можно было пренебречь она должна быть на порядок (то есть в 10 раз) меньше погрешности наименее точно измеряемой величины

Пример Модуль Юнга по изгибу стержня вычисляется по

формуле E = PL3 4ab3middoth Анализ исходных данных показывает как правило что с наибольшей относительной погрешностью измеряется стрела прогиба h Так как ΔEE gt Δh h то допускаемая относительная погрешность вычислений ΔE выч E cong 01 Δhh Для стали E cong 2middot104 кГсмм2 поэтому при Δhh =10-2 ΔEвыч cong 10 кГсмм2 Это значит что вычисления Е целесообразно проводить лишь с точностью до четвертой значащей цифры

Обычно нас интересует лишь порядок величины погрешностей поэтому последние рекомендуется вычислять лишь до второй значащей цифры а затем округлять результат до одной значащей цифры

Приводя значение измеренной Вами величины проверьте согласуется ли порядок приведенных значащих цифр с порядком погрешности

Порядок последней значащей цифры измеренной величины и порядок погрешности должны быть одинаковы

Запись Е = (1845127 plusmn 20) 107 Па неграмотна Величина ошибки свидетельствует о том что неуверенно определяется уже четвертый знак поэтому результат должен быть соответственно округлен

Е = (18450 plusmn 20) 107 Па

37

Приложение

Таблица 3 Значения коэффициентов Стьюдента

Коэффициент надежности Число

изме рений

N 08 09 095 098 099 0999

2 31 631 1271 3182 6366 63662 3 19 292 431 696 992 3160 4 16 235 318 454 584 1294 5 15 213 278 375 460 861 6 15 202 257 336 403 686 7 14 194 245 314 371 596 8 14 190 236 300 350 540 9 14 186 231 290 336 504

10 14 183 226 282 325 478 infin 13 165 196 233 259 331

38

Список литературы

1 Деденко Л Г Керженцев В В Математическая обработка и оформление результатов эксперимента М Издndashво МГУ 1977

2 Зайдель А Н Ошибки измерения физических величин Л

Наука 1974 3 Кассандрова О Н Лебедев В В Обработка результатов из-

мерений М Наука 1970 4 Сквайрс Дж Практическая физика М Мир 1971 5 Соловьев В А Яхонтова В Е Элементарные методы обра-

ботки результатов измерений Л Издndashво ЛГУ 1977

39

СОДЕРЖАНИЕ

Задачи физического практикума 3

Часть I Статистическая обработка результатов измерений

Глава I Введение в теорию погрешностей 3 sect1 Измерения и их погрешности 3 sect2 Типы погрешностей 5

1 Систематические погрешности 5 2 Случайные погрешности 6 3 Промахи 7

Глава II Статистическая обработка результатов прямых измерений 8 sect1 Вероятность случайного события 8 sect2 Нормальный закон распределения случайных погрешностей 9 sect3 Среднеквадратичная погрешность 13 sect4 Среднеквадратичная погрешность среднего 14 sect5 Доверительный интервал и доверительная вероятность 15 sect6 Совместный учет систематической и случайной погрешностей 20 Глава III Статистическая обработка результатов косвенных измерений 21 sect1 Два способа оценки погрешностей косвенного измерения 21 sect2 Частные погрешности и общая погрешность косвенного измерения 21 sect3 Относительная погрешность косвенного измерения 23 Глава IV Определение параметров линейной зависимости 25 sect1 Метод парных точек 25 sect2 Метод наименьших квадратов (МНК) 26

40

Часть II Правила работы в лаборатории оформление

результатов работы

sect1 Правила работы в лаборатории 31 sect2 Журнал лабораторных работ 32 sect3 Оформление отчетов 34 sect4 Графики 34 sect5 Точность вычислений 36 Приложение 37 Список литературы 38

41

Составители Жукова Ида Степановна Бутина Лариса Иосифовна Крылова Светлана Ивановна

ВВЕДЕНИЕ В ЛАБОРАТОРНЫЙ ПРАКТИКУМ ПО КУРСУ ОБЩЕЙ ФИЗИКИ

Методические указания

к лабораторной работе

Редактор Козина О В

ЛР 040 110 Подписано к печати 090999 Формат 60х84 116 Бумага газетная Офсетная печать 25 уч-издл

11 услкр-отт Тираж 500 экз Изд 19 laquoСraquo

Издательство Петрозаводского государственного университета

185640 Петрозаводск пр Ленина 33

14

( )

11

2

minus

minus=

sum=

n

xxS

n

ii

n (24)

Sn называют также выборочным стандартным отклонением Можно показать что при достаточно большом числе

измерений Sn cong σ и следовательно дисперсия распределения

( ) ( )

11

2

1

2

22

n

xx

n

xxS

n

ii

n

ini

n

sumsum==

minuscong

minus

minus=congσ (25)

Таким образом дисперсия распределения приблизительно

равна среднему квадрату погрешности отдельных измерений найденному при достаточно большом n Для генеральной совокупности (n rarr infin) равенство (25) выполняется точно Из него следует что величина дисперсии зависит от условий в которых проводятся измерения чем благоприятнее условия измерений тем меньше разброс результатов и меньше дисперсия

sect 4 Среднеквадратичная погрешность среднего Допустим что мы провели серию n измерений некоторой

величины х результаты которых равны х1 х2hellipхn Наилучшим приближением к истинному значению является величина

sum=

=n

iix

nx

1

1 называемая cредним выборочным значением

измеряемой величины Если серию по n измерений в каждой повторить m раз то мы получим m значений x несколько отличающихся друг от друга и от истинного значения Х измеряемой величины Погрешности Xxx kk minus=Δ являются случайными и так же как погрешности отдельных измерений Δxi = xi ndash Х подчиняются гауссову распределению но с другой

15

дисперсией 2xσ lt 2σ Величина 2

xσ называемая дисперсией среднего является мерой погрешности среднего значения x найденного в серии из n измерений В теории погрешности доказывается что

22

nxσσ = (26a)

Это значит что xσ в отличие от σ зависит от числа проведенных измерений

nx

σσ = (26б)

Таким образом среднеквадратичная погрешность среднего результата n измерений в n12 раз меньше среднеквадратичной погрешности отдельных измерений Из формул (25) и (26) следует что при большом n

( ))1(

1

2

minus

minus=cong

sum=

nn

xx

nS

n

ii

nx

σ

Величина

( ))1(

1

2

minus

minus=

sum=

nn

xxS

n

ii

x (27)

называется выборочной среднеквадратичной погрешностью среднего

sect 5 Доверительный интервал и доверительная вероятность Как уже указывалось для любой конечной выборки x neХ

Практически очень важно оценить возможную величину отклонения среднего значения x от истинного Х то есть x ndash Х

16

Интервал plusmnx ΔХ в который с заданной вероятностью α попадает истинное значение Х измеряемой величины называется доверительным интервалом соответствующим вероятности α Вероятность α называется также доверительной вероятностью или надежностью Величина ΔХ характеризует точность оценки Чем меньше разность x ndash Х тем выше точность

Надежность соответствующую заданной точности ΔХ можно вычислить теоретически воспользовавшись гауссовым распределением если известна дисперсия 2

xσ В соответствии со сказанным ранее (гл II sect2) величина α

равна площади заштрихованной фигуры АВС опирающейся на отрезок 2ΔХ (рис 6)

Рис 6 Кривая распределения вероятностей случайных

погрешностей среднего

17

Так как =2xσ σ2n то надежность соответствующая

заданной точности ΔХ растет с ростом числа измерений и величины дополнительного интервала

Можно показать что α является функцией величины

к = x

XσΔ

График функции α = F(k) показан на рисунке 7

Рис 7 График функции α = ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ Δ

x

XFσ

Видно что с ростом k растет и доверительная вероятность α

Так α = 068 для k = 1 α = 095 для k = 2 α = 0997 для k = 3 Результаты расчетов F для различных k приведены в соответствующей литературе (см Список литературы ndash 1 2)

Если n мало (n lt 30) то xx Sneσ и для расчета распределением Гаусса пользоваться нельзя В этом случае используют распределение выведенное английским математиком и химиком Госсетом (псевдоним laquoСтьюдентraquo)

В распределении Стьюдента плотность распределения вероятностей рассматривается как функция величины

18

xx SXx

SXt minus

=Δ

= называемой коэффициентом Стьюдента

(среднеквадратичная погрешность среднего арифметического xS определяется формулой (27))

Распределение Стьюдента зависит от n и при nrarrinfin переходит в распределение Гаусса

Рис 8 Кривые распределения Стьюдента для выборок различного объема

На рисунке 8 показаны кривые y(t) при разных n Вычислив

по результатам измерений xS и задав величину ΔX можно найти t и α соответствующие данному n Наоборот задав надежность α можно вычислить tαn и соответствующую точность ΔX = tαn xS при данном значении n Соответствующие друг другу значения

19

α и tαn при разных n приводятся в специальных таблицах (см Приложение)

На практике задание величины ΔX определяется конкретными условиями Допустим что некоторое предприятие изготовляет резисторы определенного номинала Естественно что благодаря действию различных случайных факторов величины сопротивлений R будут отклоняться от их номинальных значений Измерив R для большой партии резисторов (ngtgt30) можно построить кривую y (ΔR) и найти дисперсию 2

Rσ Величина 2Rσ определяется тем насколько хорошо контролируется и

поддерживается постоянной технология изготовления резисторов Если разброс значений R а значит и 2

Rσ велик то задавая малое значение доверительного интервала Xx Δplusmn получим и малую надежность α При этом лишь малая доля значений R попадает в заданный доверительный интервал и процент брака будет соответственно велик Напротив при выборе большой надежности уменьшится процент брака но зато увеличится разброс значений R (увеличится ширина доверительного интервала x plusmn ΔX)

Если по условиям работы приборов в которых используются эти резисторы доверительный интервал должен быть малым то для сохранения большой надежности необходимо улучшить технологию их производства

Точность электроизмерительных приборов определяется классом их точности и соответствует надежности α = 0997 (ΔX = 3σ x ) В лабораторных условиях обычно довольствуются надежностью α = 090 095

Для оценки доверительного интервала прямых измерений предлагается следующий порядок 1 Провести серию измерений изучаемой величины Х и оценить

среднее выборочное x sum=

=n

iix

nx

1

1

2 Найти абсолютную погрешность единичного измерения Δхi Δxi = xi ndash x

20

3 Определить среднюю квадратичную ошибку среднего арифметического

( ))1(

1

2

minus

minus=

sum=

nn

xxS

n

ii

x

4 Определить точность измерения ΔX при заданных n и α ΔX = nx tS αsdot

5 Записать доверительный интервал для истинного значения измеряемой величины Х = x plusmn ΔX или x ndash ΔX leΧle xi +ΔX

Для удобства расчетов данные оформляются в виде таблицы xi Δxi = xi - x Δxi

2 xS αn ΔX

1 2

Ср Σ Δxi2=

Абсолютная ошибка Δхi рассчитывается по модулю

sect 6 Совместный учет систематической и случайной погрешностей Строгий учет систематической погрешности труден Если

систематическая погрешность обусловлена точностью прибора (что мы и будем предполагать) то можно оценить верхнюю границу возможных ошибок зная класс его точности Если точность обусловленная случайной погрешностью ndashΔХ а величина систематической погрешности ndashδ то величина суммарной точности ΔХ определяется формулой

( )2

2

3 ⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ sdot

+Δ=Δδαk

XX (28)

где kα = tα(infin) ndash коэффициент Стьюдента при n = infin

21

Глава III Статистическая обработка результатов косвенных измерений

sect 1 Два способа оценки погрешности косвенного

измерения В большинстве случаев имеют дело с косвенными

измерениями Пусть x y z ndash непосредственно измеряемые величины а W = f (x y z) ndash их функция то есть величина измеряемая косвенно Рассмотрим два способа оценки погрешности величины W

I способ Если косвенные измерения проводятся в невоспроизводимых условиях то значения Wi вычисляются для каждого отдельного измерения а затем обрабатываются как прямые измерения

II способ позволяет вычислить погрешность косвенного измерения как функцию погрешностей прямых измерений Далее остановимся подробнее на этом способе

sect 2 Частные погрешности и общая погрешность косвенного измерения Обрабатывая прямые измерения мы находим их

выборочные средние значения zyx hellip являющиеся как было показано выше случайными величинами Очевидно что и величина WW = ( zyx hellip) представляющая собой выборочное среднее искомой функции будет также случайной величиной Задача как и в случае прямых измерений состоит в том чтобы определить с какой вероятностью искомая величина W может быть заключена в некотором заданном интервале W plusmn ΔW В общем случае эта задача весьма сложна и мы ограничимся лишь ее приближенным решением

Рассмотрим сначала случай когда W является функцией только одной переменной то есть W = W(x) Разложим функцию W(x) в ряд Тейлора в окрестности точки х = Х (Х ndash истинное

22

значение х) В случае когда погрешность прямого измерения достаточно мала можно ограничиться лишь линейным членом и считать что

)()()( Xxdx

dWXWxWXx

minussdot⎟⎠⎞

⎜⎝⎛+=

=

Отсюда )()()( Xxdx

dWXWxWXx

minussdot⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=minus

=

(31)

Из (31) следует что

xxx

W Sdx

dWS sdot⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=

=

(32)

где xS и WS ndash средние квадратичные погрешности величин

x и W Доверительный интервал величины W соответствующий надежности α определяется как

Xdx

dWWWWxx

Δsdot⎟⎠⎞

⎜⎝⎛plusmn=Δplusmn

=

(33)

где ΔW ndash точность величины х соответствующая той же надежности α

Если результат косвенного измерения W является функцией многих переменных то есть W = W(x y z) то по формуле (33) можно вычислить погрешности ΔWx ΔWy ΔWzhellip обусловленные каждым аргументом и называемые частными погрешностями Они равны

Zz

WW

YyWW

Xx

WW

zzz

yyy

xxx

Δsdot⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

partpart

=Δ

Δsdot⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛partpart

=Δ

Δsdot⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

partpart

=Δ

=

=

=

(34)

и так далее

23

В формулах (34) z

WyW

xW

partpart

partpart

partpart являются частными

производными и вычисляются так как будто другие аргументы ndash постоянные величины

Общая погрешность косвенного измерения в этом случае вычисляется по формуле (см Список литературы ndash 4)

222zyx WWWW Δ+Δ+Δ=Δ и

22

22

22

Zz

WYyWX

xWW Δ⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛

partpart

+Δ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛partpart

+Δ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

partpart

=Δ (35)

sect 3 Относительная погрешность косвенного измерения Очень часто бывает удобно вычислить относительную

погрешность результата косвенного измерения WdW

W =η

На основании известной формулы dlnu = duu можно сформулировать следующее правило расчета относительной погрешности Допустим сначала что W = W(x) ndash функция одной переменой Тогда относительная погрешность

WdWdW

W ln==η (36)

то есть для нахождения ηW необходимо сначала прологарифмировать выражение W(x) а затем продифференцировать его по х

В случае многих переменных можно как и для абсолютных погрешностей ввести частные относительные погрешности равные

24

ln xWxx Δsdot

partpart

=η

ln

ln

zWz

yWy

z

y

Δsdotpartpart

=

Δsdotpartpart

=

η

η (37)

Тогда общая относительная погрешность определится как

K222zyxW ηηηη ++= (38)

Расчет погрешности по формулам (37) и (38) особенно удобно производить в случае когда функция имеет одночленную (логарифмическую) формулу Пусть например

yxAW 4=

где А ndash константа Используя правило (37) имеем lnln4lnln 2

1 yxAW minus+=

21 4

y yy

xx

xΔ

minus=Δ

= ηη

4

116 22

22 y

yx

xΔsdot+Δsdot=η

Замечание Прежде чем сделать расчет по формуле (38) произведите оценку относительных погрешностей по отдельным аргументам вычисленных по формулам (37) Если при этом отдельные частные погрешности меньше максимальной хотя бы в три раза ими можно пренебречь В таком случае общая формула (38) значительно упростится

Определив относительную погрешность ηW можно рассчитать абсолютную погрешность (точность) по формуле

ΔW = ηWW (39)

25

Глава IV Определение параметров линейной зависимости

На опыте часто измеряют пары величин х и y причем одна

из них y является функцией другой ndash х Пусть в результате эксперимента получен ряд измерений величины y y1 y2hellipyn соответствующих значениям аргумента х1 х2 hellipхn

Необходимо установить эмпирическую зависимость между y и х Задача состоит в том чтобы по экспериментальным точкам провести линию которая как можно лучше соответствовала бы истинной функциональной зависимости y = f(x) При этом ограничимся лишь случаем линейной функции

y = ax + b (41) Линейная зависимость очень широко распространена в

физике Даже в случаях когда зависимость нелинейная обычно стараются преобразовать ее так чтобы свести к линейной Например зависимость y = Aeαx преобразуется к виду ln y = ln A + αx и на графике строится зависимость

ln y = f(1x)

Ниже приведены два метода нахождения наиболее вероятных параметров линии (коэффициентов а и в уравнения (41)) проходящих через набор экспериментальных точек

sect 1 Метод парных точек Метод парных точек является наиболее простым и

применяется в основном для определения лишь наклона прямой то есть коэффициента а

Допустим что у нас имеется 8 точек лежащих на одной прямой Требуется найти наилучшее значение тангенса угла наклона а и его погрешность Пронумеруем точки по порядку от

26

1 до 8 (рис 9) Возьмем точки 1 и 5 ими определится некоторая прямая и угол ее наклона В качестве наилучшего значения а выбирается его среднее значение a и обычным способом находится его среднеквадратичная погрешность и доверительный интервал

y 8 7 6 5 3 4 2

1 0

х Рис 9 Нумерация экспериментальных точек для расчета а

методом парных точек

Таким образом полученная прямая линия будет иметь угловой коэффициент a и проходить через точку соответствующую средним значениям переменных х и y (следующий параграф)

Такой метод дает удовлетворительные результаты лишь тогда когда величины (x5 ndash x1) (x6 ndash x2) (x7 ndash x3) (x8 ndash x4) примерно одинаковы

sect 2 Метод наименьших квадратов (МНК) МНК является одним из стандартных методов статистики

Сущность этого метода заключается в следующем Допустим что имеется n пар измеренных значений (x1 y1) (x2 y2)hellip(xn yn) Предположим что ошибки содержат лишь величины y

27

(На практике это предположение часто оправдывается) По результатам измерений необходимо построить прямую линию

В основе описываемого метода лежит положение согласно которому наилучшим приближением будет такая прямая линия для которой сумма квадратов расстояний по вертикали от точек до прямой (сумма квадратов погрешностей величины y (рис 10)) является минимальной то есть наиболее вероятные

Рис 10 Распределение экспериментальных точек относительно искомой прямой

значения параметров а и в (41) выбираются так чтобы сумма

( )sum sum= =

minusminus==n

i

n

iiii baxydS

1 1

22 (42)

была минимальной Это значит что

( )sum=

=minus+=partpart n

iiii xybax

aS

1

02

( )sum=

=minus+=partpart n

iii ybax

bS

1

02 (43)

28

Таким образом искомые величины а и в получаются

решением системы уравнений

sum sum sum= = =

=+n

i

n

i

n

iiiii yxxbxa

1 1 1

2 (44)

sum sum= =

=+n

i

n

iii ybnxa

1 1

(45)

Из уравнения (45) следует что наилучшая прямая проходит через точку с координатами

sumsum==

==n

ii

n

ii y

nyx

nx

1

_

1

_

11 (46)

(В этом можно легко убедиться поделив равенство (45) почленно на n) Из уравнений (44) и (45) находим

1 1

2

1 1

sum sum

sum sum

= =

= =

minus

minus= n

i

n

iii

n

i

n

iiii

xxx

yyyxa (47)

sum sumsum sum

sum sum= =

= =

= =

minus

minusminus=

n

i

n

in

i

n

iii

n

i

n

iiii

ii

xxx

yyyxx

ny

nb

1 1

1 1

2

1 111 (48)

29

В лабораторном практикуме обычно бывает достаточно оценить погрешность коэффициента a Формула для среднеквадратичной ошибки величины а имеет вид (см Список литературы ndash 3)

2

1 2

minusminus

=n

rSS

Sx

ya (49)

где ( )sum=

minusminus

=n

iiy yy

nS

1

2 1

1 (410)

( )sum=

minusminus

=n

iix xx

nS

1

2

11

(411)

( ) ( )

( ) 1

1

yx

n

iii

SSn

yyxxr

sdotminus

minusminus=

sum= (412)

Интервал в котором с установленной вероятностью α может находиться коэффициент а записывается в виде

22 anan StaaSta sdot+lelesdotminus minusminus αα (413)

где a определяется формулой (47) aS ndash формулой (49) tαn-2 ndash коэффициент Стьюдента для надежности α и числа измерений n ndash число пар точек

При использовании метода наименьших квадратов рекомендуется следующий порядок действий

1 Составить таблицу

изм xi yi xiyi xi

2 1 2

i n

sumxi sumyi sumxiyi sumxi2

30

2 Рассчитать

а) sum=

n

iii yx

1 б) sum

=

=n

i

i

nx

x1

в) sum=

n

iiy

1

г) sum=

n

iix

1

д) sum=

n

iix

1

2 е) sum=

=n

i

i

ny

y1

3 Рассчитать наилучшие значения углового коэффициента а по

формуле (47) 4 Зная коэффициенты а и б провести наилучшую прямую она

должна проходить через точку с координатами x и y 5 Для расчета погрешности величины а по формулам (49 ndash 412) составить таблицу

пп

yi - y

xi - x

(yi - y )2

(xi - x )2

Sx

Sy

r

31

ЧАСТЬ II

ПРАВИЛА РАБОТЫ В ЛАБОРАТОРИИ

ОФОРМЛЕНИЕ РЕЗУЛЬТАТОВ РАБОТЫ sect 1 Правила работы в лаборатории Каждая лабораторная работа рассчитана на одно занятие

В начале семестра составляется и вывешивается в лаборатории график выполнения работ на весь семестр

Студент должен заранее знать тему своей лабораторной работы и подготовиться к ней по методическому руководству и другой указанной в нем литературе

Перед выполнением каждой лабораторной работы необходимо пройти краткое собеседование с преподавателем и получить разрешение на ее выполнение Оно дается в том случае если студент четко знает цель работы методику проведения эксперимента умеет пользоваться приборами

ПРИСТУПАТЬ К ВЫПОЛНЕНИЮ ЛАБОРАТОРНЫХ

РАБОТ БЕЗ РАЗРЕШЕНИЯ ПРЕПОДАВАТЕЛЯ КАТЕГОРИЧЕСКИ ВОСПРЕЩАЕТСЯ

В конце занятия студент обязан предъявить преподавателю

результаты своей работы Работа считается выполненной если результаты утверждены и подписаны преподавателем После этого необходимо выключить установку привести в порядок рабочее место и получить методические указания к следующей работе

32

sect 2 Журнал лабораторных работ Результаты измерений и наблюдений должны тотчас же

фиксироваться в специальном журнале в форме протоколов Временные записи результатов на черновых листочках не допускаются

Единую форму протоколов пригодную для всех работ дать невозможно и нецелесообразно Тем не менее можно сформулировать некоторые общие требования которым должны удовлетворять записи в журнале лабораторных работ

1 Должны быть указаны название работы и дата ее выполнения

конкретная цель работы и ее упражнений 2 Целесообразно привести расчетную формулу и пояснить

физический смысл входящих в нее символов 3 Результаты всех измерений заносятся в заранее

подготовленные удобные таблицы из которых было бы ясно какие физические величины и в каких единицах измерялись сколько раз повторялись измерения каждой физической величины

4 Необходимо указать приборы использовавшиеся для измерения различных величин и их точности

5 Зафиксировать (если это важно) условия опыта (температуру давление влажность воздуха и т д)

6 Записи в журнале должны быть аккуратными и четкими журнал лабораторных работ ndash не черновик В нем не должно содержаться никаких записей не относящихся к выполняемой работе Прикидочные расчеты должны проводиться на черновых листках

7 Для пометок и замечаний целесообразно оставлять поля шириной 3 см Ниже приведена схема оформления протокола одной из

лабораторных работ

33

081098 Определение модуля Юнга по изгибу стержня Цель работы ndash проверка закона Гука и определение модуля

Юнга для стального и медного стержней Расчетная формула

4 3

3

habPLE =

где Е ndash модуль Юнга Р ndash величина нагрузки приложенной к середине стержня L ndash длина деформируемой части стержня равная расстоянию между ребрами опорных призм а ndash ширина стержня в ndash его толщина h ndash стрела прогиба

Таблица 1 Определение размеров стержня

опыта L мм а мм в мм

1 5

Измерительный прибор и его точность

Штанген-циркуль plusmn 01 мм

Микрометр plusmn0005 мм

Микрометр plusmn0005 мм

Таблица 2 Измерение стрелы прогиба нагружаемого стержня

РкГс 0 01 02 03 04 hellip

h мм

205 207 203 208 205

255 248 251 249 252

hellip hellip hellip hellip

Измерительный прибор ndash микрометр точность ~ plusmn 0005 мм

Подпись преподавателя

34

sect 3 Оформление отчетов По результатам каждой лабораторной работы составляется

отчет Он должен включать 1 Краткую формулировку идеи метода расчетную формулу

пояснение физического смысла входящих в нее символов 2 Таблицы с результатами измерений и расчетов 3 Статистическую обработку результатов измерений 4 Выводы 5 На титульном листе должны быть указаны название

лабораторной работы факультет курс группа фамилия и инициалы исполнителя Отчет должен быть написан в хорошем стиле аккуратным

разборчивым почерком При его оформлении не следует также пренебрегать и эстетической стороной вопроса Заголовки выводы и формулы целесообразно выделять пастой другого цвета подчеркнуть и т п Это облегчает чтение отчета

Выводы должны быть аргументированы ссылками на соответствующие таблицы и графики поэтому они должны быть пронумерованы

sect 4 Графики Графики используются для наглядного представления

результатов При их построении необходимо соблюдать ряд правил 1 Графики нужно строить только на миллиметровой бумаге 2 На осях необходимо нанести масштабную сетку указать

единицы измерения и символы изображаемых величин 3 Масштаб должен быть простым удобным для отсчета его

долей Например 1 см = 01 1 2 или 10 единиц Кроме того масштаб выбирают так чтобы все экспериментальные точки вошли в график и достаточно далеко отстояли друг от друга

35

Иногда для этой цели бывает удобно сместить вдоль осей начало отсчета Масштаб по осям Х и У может быть различен

Рис 11 Пример построения графика функции по экспериментальным точкам

4 Экспериментальные точки следует наносить с максимальной

точностью так чтобы они четко выделялись на фоне графика не сливаясь с ним

5 График должен представлять собой плавную кривую без изломов и перегибов Нужно стремиться провести кривую так чтобы экспериментальные точки равномерно распределялись по обе стороны от нее (рис 11)

Графики выполненные на миллиметровой бумаге

аккуратно вклеиваются в отчет где для них необходимо предусмотреть соответствующее место

36

sect 5 Точность вычислений Точность вычислений определяется погрешностью

измерений Не имеет смысла вычислять какуюndashлибо величину до пятого знака после запятой если погрешность измерений такова что неуверенно определяется ее третий знак

Чтобы погрешностью вычислений можно было пренебречь она должна быть на порядок (то есть в 10 раз) меньше погрешности наименее точно измеряемой величины

Пример Модуль Юнга по изгибу стержня вычисляется по

формуле E = PL3 4ab3middoth Анализ исходных данных показывает как правило что с наибольшей относительной погрешностью измеряется стрела прогиба h Так как ΔEE gt Δh h то допускаемая относительная погрешность вычислений ΔE выч E cong 01 Δhh Для стали E cong 2middot104 кГсмм2 поэтому при Δhh =10-2 ΔEвыч cong 10 кГсмм2 Это значит что вычисления Е целесообразно проводить лишь с точностью до четвертой значащей цифры

Обычно нас интересует лишь порядок величины погрешностей поэтому последние рекомендуется вычислять лишь до второй значащей цифры а затем округлять результат до одной значащей цифры

Приводя значение измеренной Вами величины проверьте согласуется ли порядок приведенных значащих цифр с порядком погрешности

Порядок последней значащей цифры измеренной величины и порядок погрешности должны быть одинаковы

Запись Е = (1845127 plusmn 20) 107 Па неграмотна Величина ошибки свидетельствует о том что неуверенно определяется уже четвертый знак поэтому результат должен быть соответственно округлен

Е = (18450 plusmn 20) 107 Па

37

Приложение

Таблица 3 Значения коэффициентов Стьюдента

Коэффициент надежности Число

изме рений

N 08 09 095 098 099 0999

2 31 631 1271 3182 6366 63662 3 19 292 431 696 992 3160 4 16 235 318 454 584 1294 5 15 213 278 375 460 861 6 15 202 257 336 403 686 7 14 194 245 314 371 596 8 14 190 236 300 350 540 9 14 186 231 290 336 504

10 14 183 226 282 325 478 infin 13 165 196 233 259 331

38

Список литературы

1 Деденко Л Г Керженцев В В Математическая обработка и оформление результатов эксперимента М Издndashво МГУ 1977

2 Зайдель А Н Ошибки измерения физических величин Л

Наука 1974 3 Кассандрова О Н Лебедев В В Обработка результатов из-

мерений М Наука 1970 4 Сквайрс Дж Практическая физика М Мир 1971 5 Соловьев В А Яхонтова В Е Элементарные методы обра-

ботки результатов измерений Л Издndashво ЛГУ 1977

39

СОДЕРЖАНИЕ

Задачи физического практикума 3

Часть I Статистическая обработка результатов измерений

Глава I Введение в теорию погрешностей 3 sect1 Измерения и их погрешности 3 sect2 Типы погрешностей 5

1 Систематические погрешности 5 2 Случайные погрешности 6 3 Промахи 7

Глава II Статистическая обработка результатов прямых измерений 8 sect1 Вероятность случайного события 8 sect2 Нормальный закон распределения случайных погрешностей 9 sect3 Среднеквадратичная погрешность 13 sect4 Среднеквадратичная погрешность среднего 14 sect5 Доверительный интервал и доверительная вероятность 15 sect6 Совместный учет систематической и случайной погрешностей 20 Глава III Статистическая обработка результатов косвенных измерений 21 sect1 Два способа оценки погрешностей косвенного измерения 21 sect2 Частные погрешности и общая погрешность косвенного измерения 21 sect3 Относительная погрешность косвенного измерения 23 Глава IV Определение параметров линейной зависимости 25 sect1 Метод парных точек 25 sect2 Метод наименьших квадратов (МНК) 26

40

Часть II Правила работы в лаборатории оформление

результатов работы

sect1 Правила работы в лаборатории 31 sect2 Журнал лабораторных работ 32 sect3 Оформление отчетов 34 sect4 Графики 34 sect5 Точность вычислений 36 Приложение 37 Список литературы 38

41

Составители Жукова Ида Степановна Бутина Лариса Иосифовна Крылова Светлана Ивановна

ВВЕДЕНИЕ В ЛАБОРАТОРНЫЙ ПРАКТИКУМ ПО КУРСУ ОБЩЕЙ ФИЗИКИ

Методические указания

к лабораторной работе

Редактор Козина О В

ЛР 040 110 Подписано к печати 090999 Формат 60х84 116 Бумага газетная Офсетная печать 25 уч-издл

11 услкр-отт Тираж 500 экз Изд 19 laquoСraquo

Издательство Петрозаводского государственного университета

185640 Петрозаводск пр Ленина 33

15

дисперсией 2xσ lt 2σ Величина 2

xσ называемая дисперсией среднего является мерой погрешности среднего значения x найденного в серии из n измерений В теории погрешности доказывается что

22

nxσσ = (26a)

Это значит что xσ в отличие от σ зависит от числа проведенных измерений

nx

σσ = (26б)

Таким образом среднеквадратичная погрешность среднего результата n измерений в n12 раз меньше среднеквадратичной погрешности отдельных измерений Из формул (25) и (26) следует что при большом n

( ))1(

1

2

minus

minus=cong

sum=

nn

xx

nS

n

ii

nx

σ

Величина

( ))1(

1

2

minus

minus=

sum=

nn

xxS

n

ii

x (27)

называется выборочной среднеквадратичной погрешностью среднего

sect 5 Доверительный интервал и доверительная вероятность Как уже указывалось для любой конечной выборки x neХ

Практически очень важно оценить возможную величину отклонения среднего значения x от истинного Х то есть x ndash Х

16

Интервал plusmnx ΔХ в который с заданной вероятностью α попадает истинное значение Х измеряемой величины называется доверительным интервалом соответствующим вероятности α Вероятность α называется также доверительной вероятностью или надежностью Величина ΔХ характеризует точность оценки Чем меньше разность x ndash Х тем выше точность

Надежность соответствующую заданной точности ΔХ можно вычислить теоретически воспользовавшись гауссовым распределением если известна дисперсия 2

xσ В соответствии со сказанным ранее (гл II sect2) величина α

равна площади заштрихованной фигуры АВС опирающейся на отрезок 2ΔХ (рис 6)

Рис 6 Кривая распределения вероятностей случайных

погрешностей среднего

17

Так как =2xσ σ2n то надежность соответствующая

заданной точности ΔХ растет с ростом числа измерений и величины дополнительного интервала

Можно показать что α является функцией величины

к = x

XσΔ

График функции α = F(k) показан на рисунке 7

Рис 7 График функции α = ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ Δ

x

XFσ

Видно что с ростом k растет и доверительная вероятность α

Так α = 068 для k = 1 α = 095 для k = 2 α = 0997 для k = 3 Результаты расчетов F для различных k приведены в соответствующей литературе (см Список литературы ndash 1 2)

Если n мало (n lt 30) то xx Sneσ и для расчета распределением Гаусса пользоваться нельзя В этом случае используют распределение выведенное английским математиком и химиком Госсетом (псевдоним laquoСтьюдентraquo)

В распределении Стьюдента плотность распределения вероятностей рассматривается как функция величины

18

xx SXx

SXt minus

=Δ

= называемой коэффициентом Стьюдента

(среднеквадратичная погрешность среднего арифметического xS определяется формулой (27))

Распределение Стьюдента зависит от n и при nrarrinfin переходит в распределение Гаусса

Рис 8 Кривые распределения Стьюдента для выборок различного объема

На рисунке 8 показаны кривые y(t) при разных n Вычислив

по результатам измерений xS и задав величину ΔX можно найти t и α соответствующие данному n Наоборот задав надежность α можно вычислить tαn и соответствующую точность ΔX = tαn xS при данном значении n Соответствующие друг другу значения

19

α и tαn при разных n приводятся в специальных таблицах (см Приложение)

На практике задание величины ΔX определяется конкретными условиями Допустим что некоторое предприятие изготовляет резисторы определенного номинала Естественно что благодаря действию различных случайных факторов величины сопротивлений R будут отклоняться от их номинальных значений Измерив R для большой партии резисторов (ngtgt30) можно построить кривую y (ΔR) и найти дисперсию 2

Rσ Величина 2Rσ определяется тем насколько хорошо контролируется и

поддерживается постоянной технология изготовления резисторов Если разброс значений R а значит и 2

Rσ велик то задавая малое значение доверительного интервала Xx Δplusmn получим и малую надежность α При этом лишь малая доля значений R попадает в заданный доверительный интервал и процент брака будет соответственно велик Напротив при выборе большой надежности уменьшится процент брака но зато увеличится разброс значений R (увеличится ширина доверительного интервала x plusmn ΔX)

Если по условиям работы приборов в которых используются эти резисторы доверительный интервал должен быть малым то для сохранения большой надежности необходимо улучшить технологию их производства

Точность электроизмерительных приборов определяется классом их точности и соответствует надежности α = 0997 (ΔX = 3σ x ) В лабораторных условиях обычно довольствуются надежностью α = 090 095

Для оценки доверительного интервала прямых измерений предлагается следующий порядок 1 Провести серию измерений изучаемой величины Х и оценить

среднее выборочное x sum=

=n

iix

nx

1

1

2 Найти абсолютную погрешность единичного измерения Δхi Δxi = xi ndash x

20

3 Определить среднюю квадратичную ошибку среднего арифметического

( ))1(

1

2

minus

minus=

sum=

nn

xxS

n

ii

x

4 Определить точность измерения ΔX при заданных n и α ΔX = nx tS αsdot

5 Записать доверительный интервал для истинного значения измеряемой величины Х = x plusmn ΔX или x ndash ΔX leΧle xi +ΔX

Для удобства расчетов данные оформляются в виде таблицы xi Δxi = xi - x Δxi

2 xS αn ΔX

1 2

Ср Σ Δxi2=

Абсолютная ошибка Δхi рассчитывается по модулю

sect 6 Совместный учет систематической и случайной погрешностей Строгий учет систематической погрешности труден Если

систематическая погрешность обусловлена точностью прибора (что мы и будем предполагать) то можно оценить верхнюю границу возможных ошибок зная класс его точности Если точность обусловленная случайной погрешностью ndashΔХ а величина систематической погрешности ndashδ то величина суммарной точности ΔХ определяется формулой

( )2

2

3 ⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ sdot

+Δ=Δδαk

XX (28)

где kα = tα(infin) ndash коэффициент Стьюдента при n = infin

21

Глава III Статистическая обработка результатов косвенных измерений

sect 1 Два способа оценки погрешности косвенного

измерения В большинстве случаев имеют дело с косвенными

измерениями Пусть x y z ndash непосредственно измеряемые величины а W = f (x y z) ndash их функция то есть величина измеряемая косвенно Рассмотрим два способа оценки погрешности величины W

I способ Если косвенные измерения проводятся в невоспроизводимых условиях то значения Wi вычисляются для каждого отдельного измерения а затем обрабатываются как прямые измерения

II способ позволяет вычислить погрешность косвенного измерения как функцию погрешностей прямых измерений Далее остановимся подробнее на этом способе

sect 2 Частные погрешности и общая погрешность косвенного измерения Обрабатывая прямые измерения мы находим их

выборочные средние значения zyx hellip являющиеся как было показано выше случайными величинами Очевидно что и величина WW = ( zyx hellip) представляющая собой выборочное среднее искомой функции будет также случайной величиной Задача как и в случае прямых измерений состоит в том чтобы определить с какой вероятностью искомая величина W может быть заключена в некотором заданном интервале W plusmn ΔW В общем случае эта задача весьма сложна и мы ограничимся лишь ее приближенным решением

Рассмотрим сначала случай когда W является функцией только одной переменной то есть W = W(x) Разложим функцию W(x) в ряд Тейлора в окрестности точки х = Х (Х ndash истинное

22

значение х) В случае когда погрешность прямого измерения достаточно мала можно ограничиться лишь линейным членом и считать что

)()()( Xxdx

dWXWxWXx

minussdot⎟⎠⎞

⎜⎝⎛+=

=

Отсюда )()()( Xxdx

dWXWxWXx

minussdot⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=minus

=

(31)

Из (31) следует что

xxx

W Sdx

dWS sdot⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=

=

(32)

где xS и WS ndash средние квадратичные погрешности величин

x и W Доверительный интервал величины W соответствующий надежности α определяется как

Xdx

dWWWWxx

Δsdot⎟⎠⎞

⎜⎝⎛plusmn=Δplusmn

=

(33)

где ΔW ndash точность величины х соответствующая той же надежности α

Если результат косвенного измерения W является функцией многих переменных то есть W = W(x y z) то по формуле (33) можно вычислить погрешности ΔWx ΔWy ΔWzhellip обусловленные каждым аргументом и называемые частными погрешностями Они равны

Zz

WW

YyWW

Xx

WW

zzz

yyy

xxx

Δsdot⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

partpart

=Δ

Δsdot⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛partpart

=Δ

Δsdot⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

partpart

=Δ

=

=

=

(34)

и так далее

23

В формулах (34) z

WyW

xW

partpart

partpart

partpart являются частными

производными и вычисляются так как будто другие аргументы ndash постоянные величины

Общая погрешность косвенного измерения в этом случае вычисляется по формуле (см Список литературы ndash 4)

222zyx WWWW Δ+Δ+Δ=Δ и

22

22

22

Zz

WYyWX

xWW Δ⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛

partpart

+Δ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛partpart

+Δ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

partpart

=Δ (35)

sect 3 Относительная погрешность косвенного измерения Очень часто бывает удобно вычислить относительную

погрешность результата косвенного измерения WdW

W =η

На основании известной формулы dlnu = duu можно сформулировать следующее правило расчета относительной погрешности Допустим сначала что W = W(x) ndash функция одной переменой Тогда относительная погрешность

WdWdW

W ln==η (36)

то есть для нахождения ηW необходимо сначала прологарифмировать выражение W(x) а затем продифференцировать его по х

В случае многих переменных можно как и для абсолютных погрешностей ввести частные относительные погрешности равные

24

ln xWxx Δsdot

partpart

=η

ln

ln

zWz

yWy

z

y

Δsdotpartpart

=

Δsdotpartpart

=

η

η (37)

Тогда общая относительная погрешность определится как

K222zyxW ηηηη ++= (38)

Расчет погрешности по формулам (37) и (38) особенно удобно производить в случае когда функция имеет одночленную (логарифмическую) формулу Пусть например

yxAW 4=

где А ndash константа Используя правило (37) имеем lnln4lnln 2

1 yxAW minus+=

21 4

y yy

xx

xΔ

minus=Δ

= ηη

4

116 22

22 y

yx

xΔsdot+Δsdot=η

Замечание Прежде чем сделать расчет по формуле (38) произведите оценку относительных погрешностей по отдельным аргументам вычисленных по формулам (37) Если при этом отдельные частные погрешности меньше максимальной хотя бы в три раза ими можно пренебречь В таком случае общая формула (38) значительно упростится

Определив относительную погрешность ηW можно рассчитать абсолютную погрешность (точность) по формуле

ΔW = ηWW (39)

25

Глава IV Определение параметров линейной зависимости

На опыте часто измеряют пары величин х и y причем одна

из них y является функцией другой ndash х Пусть в результате эксперимента получен ряд измерений величины y y1 y2hellipyn соответствующих значениям аргумента х1 х2 hellipхn

Необходимо установить эмпирическую зависимость между y и х Задача состоит в том чтобы по экспериментальным точкам провести линию которая как можно лучше соответствовала бы истинной функциональной зависимости y = f(x) При этом ограничимся лишь случаем линейной функции

y = ax + b (41) Линейная зависимость очень широко распространена в

физике Даже в случаях когда зависимость нелинейная обычно стараются преобразовать ее так чтобы свести к линейной Например зависимость y = Aeαx преобразуется к виду ln y = ln A + αx и на графике строится зависимость

ln y = f(1x)

Ниже приведены два метода нахождения наиболее вероятных параметров линии (коэффициентов а и в уравнения (41)) проходящих через набор экспериментальных точек

sect 1 Метод парных точек Метод парных точек является наиболее простым и

применяется в основном для определения лишь наклона прямой то есть коэффициента а

Допустим что у нас имеется 8 точек лежащих на одной прямой Требуется найти наилучшее значение тангенса угла наклона а и его погрешность Пронумеруем точки по порядку от

26

1 до 8 (рис 9) Возьмем точки 1 и 5 ими определится некоторая прямая и угол ее наклона В качестве наилучшего значения а выбирается его среднее значение a и обычным способом находится его среднеквадратичная погрешность и доверительный интервал

y 8 7 6 5 3 4 2

1 0

х Рис 9 Нумерация экспериментальных точек для расчета а

методом парных точек

Таким образом полученная прямая линия будет иметь угловой коэффициент a и проходить через точку соответствующую средним значениям переменных х и y (следующий параграф)

Такой метод дает удовлетворительные результаты лишь тогда когда величины (x5 ndash x1) (x6 ndash x2) (x7 ndash x3) (x8 ndash x4) примерно одинаковы

sect 2 Метод наименьших квадратов (МНК) МНК является одним из стандартных методов статистики

Сущность этого метода заключается в следующем Допустим что имеется n пар измеренных значений (x1 y1) (x2 y2)hellip(xn yn) Предположим что ошибки содержат лишь величины y

27

(На практике это предположение часто оправдывается) По результатам измерений необходимо построить прямую линию

В основе описываемого метода лежит положение согласно которому наилучшим приближением будет такая прямая линия для которой сумма квадратов расстояний по вертикали от точек до прямой (сумма квадратов погрешностей величины y (рис 10)) является минимальной то есть наиболее вероятные

Рис 10 Распределение экспериментальных точек относительно искомой прямой

значения параметров а и в (41) выбираются так чтобы сумма

( )sum sum= =

minusminus==n

i

n

iiii baxydS

1 1

22 (42)

была минимальной Это значит что

( )sum=

=minus+=partpart n

iiii xybax

aS

1

02

( )sum=

=minus+=partpart n

iii ybax

bS

1

02 (43)

28

Таким образом искомые величины а и в получаются

решением системы уравнений

sum sum sum= = =

=+n

i

n

i

n

iiiii yxxbxa

1 1 1

2 (44)

sum sum= =

=+n

i

n

iii ybnxa

1 1

(45)

Из уравнения (45) следует что наилучшая прямая проходит через точку с координатами

sumsum==

==n

ii

n

ii y

nyx

nx

1

_

1

_

11 (46)

(В этом можно легко убедиться поделив равенство (45) почленно на n) Из уравнений (44) и (45) находим

1 1

2

1 1

sum sum

sum sum

= =

= =

minus

minus= n

i

n

iii

n

i

n

iiii

xxx

yyyxa (47)

sum sumsum sum

sum sum= =

= =

= =

minus

minusminus=

n

i

n

in

i

n

iii

n

i

n

iiii

ii

xxx

yyyxx

ny

nb

1 1

1 1

2

1 111 (48)

29

В лабораторном практикуме обычно бывает достаточно оценить погрешность коэффициента a Формула для среднеквадратичной ошибки величины а имеет вид (см Список литературы ndash 3)

2

1 2

minusminus

=n

rSS

Sx

ya (49)

где ( )sum=

minusminus

=n

iiy yy

nS

1

2 1

1 (410)

( )sum=

minusminus

=n

iix xx

nS

1

2

11

(411)

( ) ( )

( ) 1

1

yx

n

iii

SSn

yyxxr

sdotminus

minusminus=

sum= (412)

Интервал в котором с установленной вероятностью α может находиться коэффициент а записывается в виде

22 anan StaaSta sdot+lelesdotminus minusminus αα (413)

где a определяется формулой (47) aS ndash формулой (49) tαn-2 ndash коэффициент Стьюдента для надежности α и числа измерений n ndash число пар точек

При использовании метода наименьших квадратов рекомендуется следующий порядок действий

1 Составить таблицу

изм xi yi xiyi xi

2 1 2

i n

sumxi sumyi sumxiyi sumxi2

30

2 Рассчитать

а) sum=

n

iii yx

1 б) sum

=

=n

i

i

nx

x1

в) sum=

n

iiy

1

г) sum=

n

iix

1

д) sum=

n

iix

1

2 е) sum=

=n

i

i

ny

y1

3 Рассчитать наилучшие значения углового коэффициента а по

формуле (47) 4 Зная коэффициенты а и б провести наилучшую прямую она

должна проходить через точку с координатами x и y 5 Для расчета погрешности величины а по формулам (49 ndash 412) составить таблицу

пп

yi - y

xi - x

(yi - y )2

(xi - x )2

Sx

Sy

r

31

ЧАСТЬ II

ПРАВИЛА РАБОТЫ В ЛАБОРАТОРИИ

ОФОРМЛЕНИЕ РЕЗУЛЬТАТОВ РАБОТЫ sect 1 Правила работы в лаборатории Каждая лабораторная работа рассчитана на одно занятие

В начале семестра составляется и вывешивается в лаборатории график выполнения работ на весь семестр

Студент должен заранее знать тему своей лабораторной работы и подготовиться к ней по методическому руководству и другой указанной в нем литературе

Перед выполнением каждой лабораторной работы необходимо пройти краткое собеседование с преподавателем и получить разрешение на ее выполнение Оно дается в том случае если студент четко знает цель работы методику проведения эксперимента умеет пользоваться приборами

ПРИСТУПАТЬ К ВЫПОЛНЕНИЮ ЛАБОРАТОРНЫХ

РАБОТ БЕЗ РАЗРЕШЕНИЯ ПРЕПОДАВАТЕЛЯ КАТЕГОРИЧЕСКИ ВОСПРЕЩАЕТСЯ

В конце занятия студент обязан предъявить преподавателю

результаты своей работы Работа считается выполненной если результаты утверждены и подписаны преподавателем После этого необходимо выключить установку привести в порядок рабочее место и получить методические указания к следующей работе

32

sect 2 Журнал лабораторных работ Результаты измерений и наблюдений должны тотчас же

фиксироваться в специальном журнале в форме протоколов Временные записи результатов на черновых листочках не допускаются

Единую форму протоколов пригодную для всех работ дать невозможно и нецелесообразно Тем не менее можно сформулировать некоторые общие требования которым должны удовлетворять записи в журнале лабораторных работ

1 Должны быть указаны название работы и дата ее выполнения

конкретная цель работы и ее упражнений 2 Целесообразно привести расчетную формулу и пояснить

физический смысл входящих в нее символов 3 Результаты всех измерений заносятся в заранее

подготовленные удобные таблицы из которых было бы ясно какие физические величины и в каких единицах измерялись сколько раз повторялись измерения каждой физической величины

4 Необходимо указать приборы использовавшиеся для измерения различных величин и их точности

5 Зафиксировать (если это важно) условия опыта (температуру давление влажность воздуха и т д)

6 Записи в журнале должны быть аккуратными и четкими журнал лабораторных работ ndash не черновик В нем не должно содержаться никаких записей не относящихся к выполняемой работе Прикидочные расчеты должны проводиться на черновых листках

7 Для пометок и замечаний целесообразно оставлять поля шириной 3 см Ниже приведена схема оформления протокола одной из

лабораторных работ

33

081098 Определение модуля Юнга по изгибу стержня Цель работы ndash проверка закона Гука и определение модуля

Юнга для стального и медного стержней Расчетная формула

4 3

3

habPLE =

где Е ndash модуль Юнга Р ndash величина нагрузки приложенной к середине стержня L ndash длина деформируемой части стержня равная расстоянию между ребрами опорных призм а ndash ширина стержня в ndash его толщина h ndash стрела прогиба

Таблица 1 Определение размеров стержня

опыта L мм а мм в мм

1 5

Измерительный прибор и его точность

Штанген-циркуль plusmn 01 мм

Микрометр plusmn0005 мм

Микрометр plusmn0005 мм

Таблица 2 Измерение стрелы прогиба нагружаемого стержня

РкГс 0 01 02 03 04 hellip

h мм

205 207 203 208 205

255 248 251 249 252

hellip hellip hellip hellip

Измерительный прибор ndash микрометр точность ~ plusmn 0005 мм

Подпись преподавателя

34

sect 3 Оформление отчетов По результатам каждой лабораторной работы составляется

отчет Он должен включать 1 Краткую формулировку идеи метода расчетную формулу

пояснение физического смысла входящих в нее символов 2 Таблицы с результатами измерений и расчетов 3 Статистическую обработку результатов измерений 4 Выводы 5 На титульном листе должны быть указаны название

лабораторной работы факультет курс группа фамилия и инициалы исполнителя Отчет должен быть написан в хорошем стиле аккуратным

разборчивым почерком При его оформлении не следует также пренебрегать и эстетической стороной вопроса Заголовки выводы и формулы целесообразно выделять пастой другого цвета подчеркнуть и т п Это облегчает чтение отчета

Выводы должны быть аргументированы ссылками на соответствующие таблицы и графики поэтому они должны быть пронумерованы

sect 4 Графики Графики используются для наглядного представления

результатов При их построении необходимо соблюдать ряд правил 1 Графики нужно строить только на миллиметровой бумаге 2 На осях необходимо нанести масштабную сетку указать

единицы измерения и символы изображаемых величин 3 Масштаб должен быть простым удобным для отсчета его

долей Например 1 см = 01 1 2 или 10 единиц Кроме того масштаб выбирают так чтобы все экспериментальные точки вошли в график и достаточно далеко отстояли друг от друга

35

Иногда для этой цели бывает удобно сместить вдоль осей начало отсчета Масштаб по осям Х и У может быть различен

Рис 11 Пример построения графика функции по экспериментальным точкам

4 Экспериментальные точки следует наносить с максимальной

точностью так чтобы они четко выделялись на фоне графика не сливаясь с ним

5 График должен представлять собой плавную кривую без изломов и перегибов Нужно стремиться провести кривую так чтобы экспериментальные точки равномерно распределялись по обе стороны от нее (рис 11)

Графики выполненные на миллиметровой бумаге

аккуратно вклеиваются в отчет где для них необходимо предусмотреть соответствующее место

36

sect 5 Точность вычислений Точность вычислений определяется погрешностью

измерений Не имеет смысла вычислять какуюndashлибо величину до пятого знака после запятой если погрешность измерений такова что неуверенно определяется ее третий знак

Чтобы погрешностью вычислений можно было пренебречь она должна быть на порядок (то есть в 10 раз) меньше погрешности наименее точно измеряемой величины

Пример Модуль Юнга по изгибу стержня вычисляется по

формуле E = PL3 4ab3middoth Анализ исходных данных показывает как правило что с наибольшей относительной погрешностью измеряется стрела прогиба h Так как ΔEE gt Δh h то допускаемая относительная погрешность вычислений ΔE выч E cong 01 Δhh Для стали E cong 2middot104 кГсмм2 поэтому при Δhh =10-2 ΔEвыч cong 10 кГсмм2 Это значит что вычисления Е целесообразно проводить лишь с точностью до четвертой значащей цифры

Обычно нас интересует лишь порядок величины погрешностей поэтому последние рекомендуется вычислять лишь до второй значащей цифры а затем округлять результат до одной значащей цифры

Приводя значение измеренной Вами величины проверьте согласуется ли порядок приведенных значащих цифр с порядком погрешности

Порядок последней значащей цифры измеренной величины и порядок погрешности должны быть одинаковы

Запись Е = (1845127 plusmn 20) 107 Па неграмотна Величина ошибки свидетельствует о том что неуверенно определяется уже четвертый знак поэтому результат должен быть соответственно округлен

Е = (18450 plusmn 20) 107 Па

37

Приложение

Таблица 3 Значения коэффициентов Стьюдента

Коэффициент надежности Число

изме рений

N 08 09 095 098 099 0999

2 31 631 1271 3182 6366 63662 3 19 292 431 696 992 3160 4 16 235 318 454 584 1294 5 15 213 278 375 460 861 6 15 202 257 336 403 686 7 14 194 245 314 371 596 8 14 190 236 300 350 540 9 14 186 231 290 336 504

10 14 183 226 282 325 478 infin 13 165 196 233 259 331

38

Список литературы

1 Деденко Л Г Керженцев В В Математическая обработка и оформление результатов эксперимента М Издndashво МГУ 1977

2 Зайдель А Н Ошибки измерения физических величин Л

Наука 1974 3 Кассандрова О Н Лебедев В В Обработка результатов из-

мерений М Наука 1970 4 Сквайрс Дж Практическая физика М Мир 1971 5 Соловьев В А Яхонтова В Е Элементарные методы обра-

ботки результатов измерений Л Издndashво ЛГУ 1977

39

СОДЕРЖАНИЕ

Задачи физического практикума 3

Часть I Статистическая обработка результатов измерений

Глава I Введение в теорию погрешностей 3 sect1 Измерения и их погрешности 3 sect2 Типы погрешностей 5

1 Систематические погрешности 5 2 Случайные погрешности 6 3 Промахи 7

Глава II Статистическая обработка результатов прямых измерений 8 sect1 Вероятность случайного события 8 sect2 Нормальный закон распределения случайных погрешностей 9 sect3 Среднеквадратичная погрешность 13 sect4 Среднеквадратичная погрешность среднего 14 sect5 Доверительный интервал и доверительная вероятность 15 sect6 Совместный учет систематической и случайной погрешностей 20 Глава III Статистическая обработка результатов косвенных измерений 21 sect1 Два способа оценки погрешностей косвенного измерения 21 sect2 Частные погрешности и общая погрешность косвенного измерения 21 sect3 Относительная погрешность косвенного измерения 23 Глава IV Определение параметров линейной зависимости 25 sect1 Метод парных точек 25 sect2 Метод наименьших квадратов (МНК) 26

40

Часть II Правила работы в лаборатории оформление

результатов работы

sect1 Правила работы в лаборатории 31 sect2 Журнал лабораторных работ 32 sect3 Оформление отчетов 34 sect4 Графики 34 sect5 Точность вычислений 36 Приложение 37 Список литературы 38

41

Составители Жукова Ида Степановна Бутина Лариса Иосифовна Крылова Светлана Ивановна

ВВЕДЕНИЕ В ЛАБОРАТОРНЫЙ ПРАКТИКУМ ПО КУРСУ ОБЩЕЙ ФИЗИКИ

Методические указания

к лабораторной работе

Редактор Козина О В

ЛР 040 110 Подписано к печати 090999 Формат 60х84 116 Бумага газетная Офсетная печать 25 уч-издл

11 услкр-отт Тираж 500 экз Изд 19 laquoСraquo

Издательство Петрозаводского государственного университета

185640 Петрозаводск пр Ленина 33

16

Интервал plusmnx ΔХ в который с заданной вероятностью α попадает истинное значение Х измеряемой величины называется доверительным интервалом соответствующим вероятности α Вероятность α называется также доверительной вероятностью или надежностью Величина ΔХ характеризует точность оценки Чем меньше разность x ndash Х тем выше точность

Надежность соответствующую заданной точности ΔХ можно вычислить теоретически воспользовавшись гауссовым распределением если известна дисперсия 2

xσ В соответствии со сказанным ранее (гл II sect2) величина α

равна площади заштрихованной фигуры АВС опирающейся на отрезок 2ΔХ (рис 6)

Рис 6 Кривая распределения вероятностей случайных

погрешностей среднего

17

Так как =2xσ σ2n то надежность соответствующая

заданной точности ΔХ растет с ростом числа измерений и величины дополнительного интервала

Можно показать что α является функцией величины

к = x

XσΔ

График функции α = F(k) показан на рисунке 7

Рис 7 График функции α = ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ Δ

x

XFσ

Видно что с ростом k растет и доверительная вероятность α

Так α = 068 для k = 1 α = 095 для k = 2 α = 0997 для k = 3 Результаты расчетов F для различных k приведены в соответствующей литературе (см Список литературы ndash 1 2)

Если n мало (n lt 30) то xx Sneσ и для расчета распределением Гаусса пользоваться нельзя В этом случае используют распределение выведенное английским математиком и химиком Госсетом (псевдоним laquoСтьюдентraquo)

В распределении Стьюдента плотность распределения вероятностей рассматривается как функция величины

18

xx SXx

SXt minus

=Δ

= называемой коэффициентом Стьюдента

(среднеквадратичная погрешность среднего арифметического xS определяется формулой (27))

Распределение Стьюдента зависит от n и при nrarrinfin переходит в распределение Гаусса

Рис 8 Кривые распределения Стьюдента для выборок различного объема

На рисунке 8 показаны кривые y(t) при разных n Вычислив

по результатам измерений xS и задав величину ΔX можно найти t и α соответствующие данному n Наоборот задав надежность α можно вычислить tαn и соответствующую точность ΔX = tαn xS при данном значении n Соответствующие друг другу значения

19

α и tαn при разных n приводятся в специальных таблицах (см Приложение)

На практике задание величины ΔX определяется конкретными условиями Допустим что некоторое предприятие изготовляет резисторы определенного номинала Естественно что благодаря действию различных случайных факторов величины сопротивлений R будут отклоняться от их номинальных значений Измерив R для большой партии резисторов (ngtgt30) можно построить кривую y (ΔR) и найти дисперсию 2

Rσ Величина 2Rσ определяется тем насколько хорошо контролируется и

поддерживается постоянной технология изготовления резисторов Если разброс значений R а значит и 2

Rσ велик то задавая малое значение доверительного интервала Xx Δplusmn получим и малую надежность α При этом лишь малая доля значений R попадает в заданный доверительный интервал и процент брака будет соответственно велик Напротив при выборе большой надежности уменьшится процент брака но зато увеличится разброс значений R (увеличится ширина доверительного интервала x plusmn ΔX)

Если по условиям работы приборов в которых используются эти резисторы доверительный интервал должен быть малым то для сохранения большой надежности необходимо улучшить технологию их производства

Точность электроизмерительных приборов определяется классом их точности и соответствует надежности α = 0997 (ΔX = 3σ x ) В лабораторных условиях обычно довольствуются надежностью α = 090 095

Для оценки доверительного интервала прямых измерений предлагается следующий порядок 1 Провести серию измерений изучаемой величины Х и оценить

среднее выборочное x sum=

=n

iix

nx

1

1

2 Найти абсолютную погрешность единичного измерения Δхi Δxi = xi ndash x

20

3 Определить среднюю квадратичную ошибку среднего арифметического

( ))1(

1

2

minus

minus=

sum=

nn

xxS

n

ii

x

4 Определить точность измерения ΔX при заданных n и α ΔX = nx tS αsdot

5 Записать доверительный интервал для истинного значения измеряемой величины Х = x plusmn ΔX или x ndash ΔX leΧle xi +ΔX

Для удобства расчетов данные оформляются в виде таблицы xi Δxi = xi - x Δxi

2 xS αn ΔX

1 2

Ср Σ Δxi2=

Абсолютная ошибка Δхi рассчитывается по модулю

sect 6 Совместный учет систематической и случайной погрешностей Строгий учет систематической погрешности труден Если

систематическая погрешность обусловлена точностью прибора (что мы и будем предполагать) то можно оценить верхнюю границу возможных ошибок зная класс его точности Если точность обусловленная случайной погрешностью ndashΔХ а величина систематической погрешности ndashδ то величина суммарной точности ΔХ определяется формулой

( )2

2

3 ⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ sdot

+Δ=Δδαk

XX (28)

где kα = tα(infin) ndash коэффициент Стьюдента при n = infin

21

Глава III Статистическая обработка результатов косвенных измерений

sect 1 Два способа оценки погрешности косвенного

измерения В большинстве случаев имеют дело с косвенными

измерениями Пусть x y z ndash непосредственно измеряемые величины а W = f (x y z) ndash их функция то есть величина измеряемая косвенно Рассмотрим два способа оценки погрешности величины W

I способ Если косвенные измерения проводятся в невоспроизводимых условиях то значения Wi вычисляются для каждого отдельного измерения а затем обрабатываются как прямые измерения

II способ позволяет вычислить погрешность косвенного измерения как функцию погрешностей прямых измерений Далее остановимся подробнее на этом способе

sect 2 Частные погрешности и общая погрешность косвенного измерения Обрабатывая прямые измерения мы находим их

выборочные средние значения zyx hellip являющиеся как было показано выше случайными величинами Очевидно что и величина WW = ( zyx hellip) представляющая собой выборочное среднее искомой функции будет также случайной величиной Задача как и в случае прямых измерений состоит в том чтобы определить с какой вероятностью искомая величина W может быть заключена в некотором заданном интервале W plusmn ΔW В общем случае эта задача весьма сложна и мы ограничимся лишь ее приближенным решением

Рассмотрим сначала случай когда W является функцией только одной переменной то есть W = W(x) Разложим функцию W(x) в ряд Тейлора в окрестности точки х = Х (Х ndash истинное

22

значение х) В случае когда погрешность прямого измерения достаточно мала можно ограничиться лишь линейным членом и считать что

)()()( Xxdx

dWXWxWXx

minussdot⎟⎠⎞

⎜⎝⎛+=

=

Отсюда )()()( Xxdx

dWXWxWXx

minussdot⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=minus

=

(31)

Из (31) следует что

xxx

W Sdx

dWS sdot⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=

=

(32)

где xS и WS ndash средние квадратичные погрешности величин

x и W Доверительный интервал величины W соответствующий надежности α определяется как

Xdx

dWWWWxx

Δsdot⎟⎠⎞

⎜⎝⎛plusmn=Δplusmn

=

(33)

где ΔW ndash точность величины х соответствующая той же надежности α

Если результат косвенного измерения W является функцией многих переменных то есть W = W(x y z) то по формуле (33) можно вычислить погрешности ΔWx ΔWy ΔWzhellip обусловленные каждым аргументом и называемые частными погрешностями Они равны

Zz

WW

YyWW

Xx

WW

zzz

yyy

xxx

Δsdot⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

partpart

=Δ

Δsdot⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛partpart

=Δ

Δsdot⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

partpart

=Δ

=

=

=

(34)

и так далее

23

В формулах (34) z

WyW

xW

partpart

partpart

partpart являются частными

производными и вычисляются так как будто другие аргументы ndash постоянные величины

Общая погрешность косвенного измерения в этом случае вычисляется по формуле (см Список литературы ndash 4)

222zyx WWWW Δ+Δ+Δ=Δ и

22

22

22

Zz

WYyWX

xWW Δ⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛

partpart

+Δ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛partpart

+Δ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

partpart

=Δ (35)

sect 3 Относительная погрешность косвенного измерения Очень часто бывает удобно вычислить относительную

погрешность результата косвенного измерения WdW

W =η

На основании известной формулы dlnu = duu можно сформулировать следующее правило расчета относительной погрешности Допустим сначала что W = W(x) ndash функция одной переменой Тогда относительная погрешность

WdWdW

W ln==η (36)

то есть для нахождения ηW необходимо сначала прологарифмировать выражение W(x) а затем продифференцировать его по х

В случае многих переменных можно как и для абсолютных погрешностей ввести частные относительные погрешности равные

24

ln xWxx Δsdot

partpart

=η

ln

ln

zWz

yWy

z

y

Δsdotpartpart

=

Δsdotpartpart

=

η

η (37)

Тогда общая относительная погрешность определится как

K222zyxW ηηηη ++= (38)

Расчет погрешности по формулам (37) и (38) особенно удобно производить в случае когда функция имеет одночленную (логарифмическую) формулу Пусть например

yxAW 4=

где А ndash константа Используя правило (37) имеем lnln4lnln 2

1 yxAW minus+=

21 4

y yy

xx

xΔ

minus=Δ

= ηη

4

116 22

22 y

yx

xΔsdot+Δsdot=η

Замечание Прежде чем сделать расчет по формуле (38) произведите оценку относительных погрешностей по отдельным аргументам вычисленных по формулам (37) Если при этом отдельные частные погрешности меньше максимальной хотя бы в три раза ими можно пренебречь В таком случае общая формула (38) значительно упростится

Определив относительную погрешность ηW можно рассчитать абсолютную погрешность (точность) по формуле

ΔW = ηWW (39)

25

Глава IV Определение параметров линейной зависимости

На опыте часто измеряют пары величин х и y причем одна

из них y является функцией другой ndash х Пусть в результате эксперимента получен ряд измерений величины y y1 y2hellipyn соответствующих значениям аргумента х1 х2 hellipхn

Необходимо установить эмпирическую зависимость между y и х Задача состоит в том чтобы по экспериментальным точкам провести линию которая как можно лучше соответствовала бы истинной функциональной зависимости y = f(x) При этом ограничимся лишь случаем линейной функции

y = ax + b (41) Линейная зависимость очень широко распространена в

физике Даже в случаях когда зависимость нелинейная обычно стараются преобразовать ее так чтобы свести к линейной Например зависимость y = Aeαx преобразуется к виду ln y = ln A + αx и на графике строится зависимость

ln y = f(1x)

Ниже приведены два метода нахождения наиболее вероятных параметров линии (коэффициентов а и в уравнения (41)) проходящих через набор экспериментальных точек

sect 1 Метод парных точек Метод парных точек является наиболее простым и

применяется в основном для определения лишь наклона прямой то есть коэффициента а

Допустим что у нас имеется 8 точек лежащих на одной прямой Требуется найти наилучшее значение тангенса угла наклона а и его погрешность Пронумеруем точки по порядку от

26

1 до 8 (рис 9) Возьмем точки 1 и 5 ими определится некоторая прямая и угол ее наклона В качестве наилучшего значения а выбирается его среднее значение a и обычным способом находится его среднеквадратичная погрешность и доверительный интервал

y 8 7 6 5 3 4 2

1 0

х Рис 9 Нумерация экспериментальных точек для расчета а

методом парных точек

Таким образом полученная прямая линия будет иметь угловой коэффициент a и проходить через точку соответствующую средним значениям переменных х и y (следующий параграф)

Такой метод дает удовлетворительные результаты лишь тогда когда величины (x5 ndash x1) (x6 ndash x2) (x7 ndash x3) (x8 ndash x4) примерно одинаковы

sect 2 Метод наименьших квадратов (МНК) МНК является одним из стандартных методов статистики

Сущность этого метода заключается в следующем Допустим что имеется n пар измеренных значений (x1 y1) (x2 y2)hellip(xn yn) Предположим что ошибки содержат лишь величины y

27

(На практике это предположение часто оправдывается) По результатам измерений необходимо построить прямую линию

В основе описываемого метода лежит положение согласно которому наилучшим приближением будет такая прямая линия для которой сумма квадратов расстояний по вертикали от точек до прямой (сумма квадратов погрешностей величины y (рис 10)) является минимальной то есть наиболее вероятные

Рис 10 Распределение экспериментальных точек относительно искомой прямой

значения параметров а и в (41) выбираются так чтобы сумма

( )sum sum= =

minusminus==n

i

n

iiii baxydS

1 1

22 (42)

была минимальной Это значит что

( )sum=

=minus+=partpart n

iiii xybax

aS

1

02

( )sum=

=minus+=partpart n

iii ybax

bS

1

02 (43)

28

Таким образом искомые величины а и в получаются

решением системы уравнений

sum sum sum= = =

=+n

i

n

i

n

iiiii yxxbxa

1 1 1

2 (44)

sum sum= =

=+n

i

n

iii ybnxa

1 1

(45)

Из уравнения (45) следует что наилучшая прямая проходит через точку с координатами

sumsum==

==n

ii

n

ii y

nyx

nx

1

_

1

_

11 (46)

(В этом можно легко убедиться поделив равенство (45) почленно на n) Из уравнений (44) и (45) находим

1 1

2

1 1

sum sum

sum sum

= =

= =

minus

minus= n

i

n

iii

n

i

n

iiii

xxx

yyyxa (47)

sum sumsum sum

sum sum= =

= =

= =

minus

minusminus=

n

i

n

in

i

n

iii

n

i

n

iiii

ii

xxx

yyyxx

ny

nb

1 1

1 1

2

1 111 (48)

29

В лабораторном практикуме обычно бывает достаточно оценить погрешность коэффициента a Формула для среднеквадратичной ошибки величины а имеет вид (см Список литературы ndash 3)

2

1 2

minusminus

=n

rSS

Sx

ya (49)

где ( )sum=

minusminus

=n

iiy yy

nS

1

2 1

1 (410)

( )sum=

minusminus

=n

iix xx

nS

1

2

11

(411)

( ) ( )

( ) 1

1

yx

n

iii

SSn

yyxxr

sdotminus

minusminus=

sum= (412)

Интервал в котором с установленной вероятностью α может находиться коэффициент а записывается в виде

22 anan StaaSta sdot+lelesdotminus minusminus αα (413)

где a определяется формулой (47) aS ndash формулой (49) tαn-2 ndash коэффициент Стьюдента для надежности α и числа измерений n ndash число пар точек

При использовании метода наименьших квадратов рекомендуется следующий порядок действий

1 Составить таблицу

изм xi yi xiyi xi

2 1 2

i n

sumxi sumyi sumxiyi sumxi2

30

2 Рассчитать

а) sum=

n

iii yx

1 б) sum

=

=n

i

i

nx

x1

в) sum=

n

iiy

1

г) sum=

n

iix

1

д) sum=

n

iix

1

2 е) sum=

=n

i

i

ny

y1

3 Рассчитать наилучшие значения углового коэффициента а по

формуле (47) 4 Зная коэффициенты а и б провести наилучшую прямую она

должна проходить через точку с координатами x и y 5 Для расчета погрешности величины а по формулам (49 ndash 412) составить таблицу

пп

yi - y

xi - x

(yi - y )2

(xi - x )2

Sx

Sy

r

31

ЧАСТЬ II

ПРАВИЛА РАБОТЫ В ЛАБОРАТОРИИ

ОФОРМЛЕНИЕ РЕЗУЛЬТАТОВ РАБОТЫ sect 1 Правила работы в лаборатории Каждая лабораторная работа рассчитана на одно занятие

В начале семестра составляется и вывешивается в лаборатории график выполнения работ на весь семестр

Студент должен заранее знать тему своей лабораторной работы и подготовиться к ней по методическому руководству и другой указанной в нем литературе

Перед выполнением каждой лабораторной работы необходимо пройти краткое собеседование с преподавателем и получить разрешение на ее выполнение Оно дается в том случае если студент четко знает цель работы методику проведения эксперимента умеет пользоваться приборами

ПРИСТУПАТЬ К ВЫПОЛНЕНИЮ ЛАБОРАТОРНЫХ

РАБОТ БЕЗ РАЗРЕШЕНИЯ ПРЕПОДАВАТЕЛЯ КАТЕГОРИЧЕСКИ ВОСПРЕЩАЕТСЯ

В конце занятия студент обязан предъявить преподавателю

результаты своей работы Работа считается выполненной если результаты утверждены и подписаны преподавателем После этого необходимо выключить установку привести в порядок рабочее место и получить методические указания к следующей работе

32

sect 2 Журнал лабораторных работ Результаты измерений и наблюдений должны тотчас же

фиксироваться в специальном журнале в форме протоколов Временные записи результатов на черновых листочках не допускаются

Единую форму протоколов пригодную для всех работ дать невозможно и нецелесообразно Тем не менее можно сформулировать некоторые общие требования которым должны удовлетворять записи в журнале лабораторных работ

1 Должны быть указаны название работы и дата ее выполнения

конкретная цель работы и ее упражнений 2 Целесообразно привести расчетную формулу и пояснить

физический смысл входящих в нее символов 3 Результаты всех измерений заносятся в заранее

подготовленные удобные таблицы из которых было бы ясно какие физические величины и в каких единицах измерялись сколько раз повторялись измерения каждой физической величины

4 Необходимо указать приборы использовавшиеся для измерения различных величин и их точности

5 Зафиксировать (если это важно) условия опыта (температуру давление влажность воздуха и т д)

6 Записи в журнале должны быть аккуратными и четкими журнал лабораторных работ ndash не черновик В нем не должно содержаться никаких записей не относящихся к выполняемой работе Прикидочные расчеты должны проводиться на черновых листках

7 Для пометок и замечаний целесообразно оставлять поля шириной 3 см Ниже приведена схема оформления протокола одной из

лабораторных работ

33

081098 Определение модуля Юнга по изгибу стержня Цель работы ndash проверка закона Гука и определение модуля

Юнга для стального и медного стержней Расчетная формула

4 3

3

habPLE =

где Е ndash модуль Юнга Р ndash величина нагрузки приложенной к середине стержня L ndash длина деформируемой части стержня равная расстоянию между ребрами опорных призм а ndash ширина стержня в ndash его толщина h ndash стрела прогиба

Таблица 1 Определение размеров стержня

опыта L мм а мм в мм

1 5

Измерительный прибор и его точность

Штанген-циркуль plusmn 01 мм

Микрометр plusmn0005 мм

Микрометр plusmn0005 мм

Таблица 2 Измерение стрелы прогиба нагружаемого стержня

РкГс 0 01 02 03 04 hellip

h мм

205 207 203 208 205

255 248 251 249 252

hellip hellip hellip hellip

Измерительный прибор ndash микрометр точность ~ plusmn 0005 мм

Подпись преподавателя

34

sect 3 Оформление отчетов По результатам каждой лабораторной работы составляется

отчет Он должен включать 1 Краткую формулировку идеи метода расчетную формулу

пояснение физического смысла входящих в нее символов 2 Таблицы с результатами измерений и расчетов 3 Статистическую обработку результатов измерений 4 Выводы 5 На титульном листе должны быть указаны название

лабораторной работы факультет курс группа фамилия и инициалы исполнителя Отчет должен быть написан в хорошем стиле аккуратным

разборчивым почерком При его оформлении не следует также пренебрегать и эстетической стороной вопроса Заголовки выводы и формулы целесообразно выделять пастой другого цвета подчеркнуть и т п Это облегчает чтение отчета

Выводы должны быть аргументированы ссылками на соответствующие таблицы и графики поэтому они должны быть пронумерованы

sect 4 Графики Графики используются для наглядного представления

результатов При их построении необходимо соблюдать ряд правил 1 Графики нужно строить только на миллиметровой бумаге 2 На осях необходимо нанести масштабную сетку указать

единицы измерения и символы изображаемых величин 3 Масштаб должен быть простым удобным для отсчета его

долей Например 1 см = 01 1 2 или 10 единиц Кроме того масштаб выбирают так чтобы все экспериментальные точки вошли в график и достаточно далеко отстояли друг от друга

35

Иногда для этой цели бывает удобно сместить вдоль осей начало отсчета Масштаб по осям Х и У может быть различен

Рис 11 Пример построения графика функции по экспериментальным точкам

4 Экспериментальные точки следует наносить с максимальной

точностью так чтобы они четко выделялись на фоне графика не сливаясь с ним

5 График должен представлять собой плавную кривую без изломов и перегибов Нужно стремиться провести кривую так чтобы экспериментальные точки равномерно распределялись по обе стороны от нее (рис 11)

Графики выполненные на миллиметровой бумаге

аккуратно вклеиваются в отчет где для них необходимо предусмотреть соответствующее место

36

sect 5 Точность вычислений Точность вычислений определяется погрешностью

измерений Не имеет смысла вычислять какуюndashлибо величину до пятого знака после запятой если погрешность измерений такова что неуверенно определяется ее третий знак

Чтобы погрешностью вычислений можно было пренебречь она должна быть на порядок (то есть в 10 раз) меньше погрешности наименее точно измеряемой величины

Пример Модуль Юнга по изгибу стержня вычисляется по

формуле E = PL3 4ab3middoth Анализ исходных данных показывает как правило что с наибольшей относительной погрешностью измеряется стрела прогиба h Так как ΔEE gt Δh h то допускаемая относительная погрешность вычислений ΔE выч E cong 01 Δhh Для стали E cong 2middot104 кГсмм2 поэтому при Δhh =10-2 ΔEвыч cong 10 кГсмм2 Это значит что вычисления Е целесообразно проводить лишь с точностью до четвертой значащей цифры

Обычно нас интересует лишь порядок величины погрешностей поэтому последние рекомендуется вычислять лишь до второй значащей цифры а затем округлять результат до одной значащей цифры

Приводя значение измеренной Вами величины проверьте согласуется ли порядок приведенных значащих цифр с порядком погрешности

Порядок последней значащей цифры измеренной величины и порядок погрешности должны быть одинаковы

Запись Е = (1845127 plusmn 20) 107 Па неграмотна Величина ошибки свидетельствует о том что неуверенно определяется уже четвертый знак поэтому результат должен быть соответственно округлен

Е = (18450 plusmn 20) 107 Па

37

Приложение

Таблица 3 Значения коэффициентов Стьюдента

Коэффициент надежности Число

изме рений

N 08 09 095 098 099 0999

2 31 631 1271 3182 6366 63662 3 19 292 431 696 992 3160 4 16 235 318 454 584 1294 5 15 213 278 375 460 861 6 15 202 257 336 403 686 7 14 194 245 314 371 596 8 14 190 236 300 350 540 9 14 186 231 290 336 504

10 14 183 226 282 325 478 infin 13 165 196 233 259 331

38

Список литературы

1 Деденко Л Г Керженцев В В Математическая обработка и оформление результатов эксперимента М Издndashво МГУ 1977

2 Зайдель А Н Ошибки измерения физических величин Л

Наука 1974 3 Кассандрова О Н Лебедев В В Обработка результатов из-

мерений М Наука 1970 4 Сквайрс Дж Практическая физика М Мир 1971 5 Соловьев В А Яхонтова В Е Элементарные методы обра-

ботки результатов измерений Л Издndashво ЛГУ 1977

39

СОДЕРЖАНИЕ

Задачи физического практикума 3

Часть I Статистическая обработка результатов измерений

Глава I Введение в теорию погрешностей 3 sect1 Измерения и их погрешности 3 sect2 Типы погрешностей 5

1 Систематические погрешности 5 2 Случайные погрешности 6 3 Промахи 7

Глава II Статистическая обработка результатов прямых измерений 8 sect1 Вероятность случайного события 8 sect2 Нормальный закон распределения случайных погрешностей 9 sect3 Среднеквадратичная погрешность 13 sect4 Среднеквадратичная погрешность среднего 14 sect5 Доверительный интервал и доверительная вероятность 15 sect6 Совместный учет систематической и случайной погрешностей 20 Глава III Статистическая обработка результатов косвенных измерений 21 sect1 Два способа оценки погрешностей косвенного измерения 21 sect2 Частные погрешности и общая погрешность косвенного измерения 21 sect3 Относительная погрешность косвенного измерения 23 Глава IV Определение параметров линейной зависимости 25 sect1 Метод парных точек 25 sect2 Метод наименьших квадратов (МНК) 26

40

Часть II Правила работы в лаборатории оформление

результатов работы

sect1 Правила работы в лаборатории 31 sect2 Журнал лабораторных работ 32 sect3 Оформление отчетов 34 sect4 Графики 34 sect5 Точность вычислений 36 Приложение 37 Список литературы 38

41

Составители Жукова Ида Степановна Бутина Лариса Иосифовна Крылова Светлана Ивановна

ВВЕДЕНИЕ В ЛАБОРАТОРНЫЙ ПРАКТИКУМ ПО КУРСУ ОБЩЕЙ ФИЗИКИ

Методические указания

к лабораторной работе

Редактор Козина О В

ЛР 040 110 Подписано к печати 090999 Формат 60х84 116 Бумага газетная Офсетная печать 25 уч-издл

11 услкр-отт Тираж 500 экз Изд 19 laquoСraquo

Издательство Петрозаводского государственного университета

185640 Петрозаводск пр Ленина 33

17

Так как =2xσ σ2n то надежность соответствующая

заданной точности ΔХ растет с ростом числа измерений и величины дополнительного интервала

Можно показать что α является функцией величины

к = x

XσΔ

График функции α = F(k) показан на рисунке 7

Рис 7 График функции α = ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ Δ

x

XFσ

Видно что с ростом k растет и доверительная вероятность α

Так α = 068 для k = 1 α = 095 для k = 2 α = 0997 для k = 3 Результаты расчетов F для различных k приведены в соответствующей литературе (см Список литературы ndash 1 2)

Если n мало (n lt 30) то xx Sneσ и для расчета распределением Гаусса пользоваться нельзя В этом случае используют распределение выведенное английским математиком и химиком Госсетом (псевдоним laquoСтьюдентraquo)

В распределении Стьюдента плотность распределения вероятностей рассматривается как функция величины

18

xx SXx

SXt minus

=Δ

= называемой коэффициентом Стьюдента

(среднеквадратичная погрешность среднего арифметического xS определяется формулой (27))

Распределение Стьюдента зависит от n и при nrarrinfin переходит в распределение Гаусса

Рис 8 Кривые распределения Стьюдента для выборок различного объема

На рисунке 8 показаны кривые y(t) при разных n Вычислив

по результатам измерений xS и задав величину ΔX можно найти t и α соответствующие данному n Наоборот задав надежность α можно вычислить tαn и соответствующую точность ΔX = tαn xS при данном значении n Соответствующие друг другу значения

19

α и tαn при разных n приводятся в специальных таблицах (см Приложение)

На практике задание величины ΔX определяется конкретными условиями Допустим что некоторое предприятие изготовляет резисторы определенного номинала Естественно что благодаря действию различных случайных факторов величины сопротивлений R будут отклоняться от их номинальных значений Измерив R для большой партии резисторов (ngtgt30) можно построить кривую y (ΔR) и найти дисперсию 2

Rσ Величина 2Rσ определяется тем насколько хорошо контролируется и

поддерживается постоянной технология изготовления резисторов Если разброс значений R а значит и 2

Rσ велик то задавая малое значение доверительного интервала Xx Δplusmn получим и малую надежность α При этом лишь малая доля значений R попадает в заданный доверительный интервал и процент брака будет соответственно велик Напротив при выборе большой надежности уменьшится процент брака но зато увеличится разброс значений R (увеличится ширина доверительного интервала x plusmn ΔX)

Если по условиям работы приборов в которых используются эти резисторы доверительный интервал должен быть малым то для сохранения большой надежности необходимо улучшить технологию их производства

Точность электроизмерительных приборов определяется классом их точности и соответствует надежности α = 0997 (ΔX = 3σ x ) В лабораторных условиях обычно довольствуются надежностью α = 090 095

Для оценки доверительного интервала прямых измерений предлагается следующий порядок 1 Провести серию измерений изучаемой величины Х и оценить

среднее выборочное x sum=

=n

iix

nx

1

1

2 Найти абсолютную погрешность единичного измерения Δхi Δxi = xi ndash x

20

3 Определить среднюю квадратичную ошибку среднего арифметического

( ))1(

1

2

minus

minus=

sum=

nn

xxS

n

ii

x

4 Определить точность измерения ΔX при заданных n и α ΔX = nx tS αsdot

5 Записать доверительный интервал для истинного значения измеряемой величины Х = x plusmn ΔX или x ndash ΔX leΧle xi +ΔX

Для удобства расчетов данные оформляются в виде таблицы xi Δxi = xi - x Δxi

2 xS αn ΔX

1 2

Ср Σ Δxi2=

Абсолютная ошибка Δхi рассчитывается по модулю

sect 6 Совместный учет систематической и случайной погрешностей Строгий учет систематической погрешности труден Если

систематическая погрешность обусловлена точностью прибора (что мы и будем предполагать) то можно оценить верхнюю границу возможных ошибок зная класс его точности Если точность обусловленная случайной погрешностью ndashΔХ а величина систематической погрешности ndashδ то величина суммарной точности ΔХ определяется формулой

( )2

2

3 ⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ sdot

+Δ=Δδαk

XX (28)

где kα = tα(infin) ndash коэффициент Стьюдента при n = infin

21

Глава III Статистическая обработка результатов косвенных измерений

sect 1 Два способа оценки погрешности косвенного

измерения В большинстве случаев имеют дело с косвенными

измерениями Пусть x y z ndash непосредственно измеряемые величины а W = f (x y z) ndash их функция то есть величина измеряемая косвенно Рассмотрим два способа оценки погрешности величины W

I способ Если косвенные измерения проводятся в невоспроизводимых условиях то значения Wi вычисляются для каждого отдельного измерения а затем обрабатываются как прямые измерения

II способ позволяет вычислить погрешность косвенного измерения как функцию погрешностей прямых измерений Далее остановимся подробнее на этом способе

sect 2 Частные погрешности и общая погрешность косвенного измерения Обрабатывая прямые измерения мы находим их

выборочные средние значения zyx hellip являющиеся как было показано выше случайными величинами Очевидно что и величина WW = ( zyx hellip) представляющая собой выборочное среднее искомой функции будет также случайной величиной Задача как и в случае прямых измерений состоит в том чтобы определить с какой вероятностью искомая величина W может быть заключена в некотором заданном интервале W plusmn ΔW В общем случае эта задача весьма сложна и мы ограничимся лишь ее приближенным решением

Рассмотрим сначала случай когда W является функцией только одной переменной то есть W = W(x) Разложим функцию W(x) в ряд Тейлора в окрестности точки х = Х (Х ndash истинное

22

значение х) В случае когда погрешность прямого измерения достаточно мала можно ограничиться лишь линейным членом и считать что

)()()( Xxdx

dWXWxWXx

minussdot⎟⎠⎞

⎜⎝⎛+=

=

Отсюда )()()( Xxdx

dWXWxWXx

minussdot⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=minus

=

(31)

Из (31) следует что

xxx

W Sdx

dWS sdot⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=

=

(32)

где xS и WS ndash средние квадратичные погрешности величин

x и W Доверительный интервал величины W соответствующий надежности α определяется как

Xdx

dWWWWxx

Δsdot⎟⎠⎞

⎜⎝⎛plusmn=Δplusmn

=

(33)

где ΔW ndash точность величины х соответствующая той же надежности α

Если результат косвенного измерения W является функцией многих переменных то есть W = W(x y z) то по формуле (33) можно вычислить погрешности ΔWx ΔWy ΔWzhellip обусловленные каждым аргументом и называемые частными погрешностями Они равны

Zz

WW

YyWW

Xx

WW

zzz

yyy

xxx

Δsdot⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

partpart

=Δ

Δsdot⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛partpart

=Δ

Δsdot⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

partpart

=Δ

=

=

=

(34)

и так далее

23

В формулах (34) z

WyW

xW

partpart

partpart

partpart являются частными

производными и вычисляются так как будто другие аргументы ndash постоянные величины

Общая погрешность косвенного измерения в этом случае вычисляется по формуле (см Список литературы ndash 4)

222zyx WWWW Δ+Δ+Δ=Δ и

22

22

22

Zz

WYyWX

xWW Δ⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛

partpart

+Δ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛partpart

+Δ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

partpart

=Δ (35)

sect 3 Относительная погрешность косвенного измерения Очень часто бывает удобно вычислить относительную

погрешность результата косвенного измерения WdW

W =η

На основании известной формулы dlnu = duu можно сформулировать следующее правило расчета относительной погрешности Допустим сначала что W = W(x) ndash функция одной переменой Тогда относительная погрешность

WdWdW

W ln==η (36)

то есть для нахождения ηW необходимо сначала прологарифмировать выражение W(x) а затем продифференцировать его по х

В случае многих переменных можно как и для абсолютных погрешностей ввести частные относительные погрешности равные

24

ln xWxx Δsdot

partpart

=η

ln

ln

zWz

yWy

z

y

Δsdotpartpart

=

Δsdotpartpart

=

η

η (37)

Тогда общая относительная погрешность определится как

K222zyxW ηηηη ++= (38)

Расчет погрешности по формулам (37) и (38) особенно удобно производить в случае когда функция имеет одночленную (логарифмическую) формулу Пусть например

yxAW 4=

где А ndash константа Используя правило (37) имеем lnln4lnln 2

1 yxAW minus+=

21 4

y yy

xx

xΔ

minus=Δ

= ηη

4

116 22

22 y

yx

xΔsdot+Δsdot=η

Замечание Прежде чем сделать расчет по формуле (38) произведите оценку относительных погрешностей по отдельным аргументам вычисленных по формулам (37) Если при этом отдельные частные погрешности меньше максимальной хотя бы в три раза ими можно пренебречь В таком случае общая формула (38) значительно упростится

Определив относительную погрешность ηW можно рассчитать абсолютную погрешность (точность) по формуле

ΔW = ηWW (39)

25

Глава IV Определение параметров линейной зависимости

На опыте часто измеряют пары величин х и y причем одна

из них y является функцией другой ndash х Пусть в результате эксперимента получен ряд измерений величины y y1 y2hellipyn соответствующих значениям аргумента х1 х2 hellipхn

Необходимо установить эмпирическую зависимость между y и х Задача состоит в том чтобы по экспериментальным точкам провести линию которая как можно лучше соответствовала бы истинной функциональной зависимости y = f(x) При этом ограничимся лишь случаем линейной функции

y = ax + b (41) Линейная зависимость очень широко распространена в

физике Даже в случаях когда зависимость нелинейная обычно стараются преобразовать ее так чтобы свести к линейной Например зависимость y = Aeαx преобразуется к виду ln y = ln A + αx и на графике строится зависимость

ln y = f(1x)

Ниже приведены два метода нахождения наиболее вероятных параметров линии (коэффициентов а и в уравнения (41)) проходящих через набор экспериментальных точек

sect 1 Метод парных точек Метод парных точек является наиболее простым и

применяется в основном для определения лишь наклона прямой то есть коэффициента а

Допустим что у нас имеется 8 точек лежащих на одной прямой Требуется найти наилучшее значение тангенса угла наклона а и его погрешность Пронумеруем точки по порядку от

26

1 до 8 (рис 9) Возьмем точки 1 и 5 ими определится некоторая прямая и угол ее наклона В качестве наилучшего значения а выбирается его среднее значение a и обычным способом находится его среднеквадратичная погрешность и доверительный интервал

y 8 7 6 5 3 4 2

1 0

х Рис 9 Нумерация экспериментальных точек для расчета а

методом парных точек

Таким образом полученная прямая линия будет иметь угловой коэффициент a и проходить через точку соответствующую средним значениям переменных х и y (следующий параграф)

Такой метод дает удовлетворительные результаты лишь тогда когда величины (x5 ndash x1) (x6 ndash x2) (x7 ndash x3) (x8 ndash x4) примерно одинаковы

sect 2 Метод наименьших квадратов (МНК) МНК является одним из стандартных методов статистики

Сущность этого метода заключается в следующем Допустим что имеется n пар измеренных значений (x1 y1) (x2 y2)hellip(xn yn) Предположим что ошибки содержат лишь величины y

27

(На практике это предположение часто оправдывается) По результатам измерений необходимо построить прямую линию

В основе описываемого метода лежит положение согласно которому наилучшим приближением будет такая прямая линия для которой сумма квадратов расстояний по вертикали от точек до прямой (сумма квадратов погрешностей величины y (рис 10)) является минимальной то есть наиболее вероятные

Рис 10 Распределение экспериментальных точек относительно искомой прямой

значения параметров а и в (41) выбираются так чтобы сумма

( )sum sum= =

minusminus==n

i

n

iiii baxydS

1 1

22 (42)

была минимальной Это значит что

( )sum=

=minus+=partpart n

iiii xybax

aS

1

02

( )sum=

=minus+=partpart n

iii ybax

bS

1

02 (43)

28

Таким образом искомые величины а и в получаются

решением системы уравнений

sum sum sum= = =

=+n

i

n

i

n

iiiii yxxbxa

1 1 1

2 (44)

sum sum= =

=+n

i

n

iii ybnxa

1 1

(45)

Из уравнения (45) следует что наилучшая прямая проходит через точку с координатами

sumsum==

==n

ii

n

ii y

nyx

nx

1

_

1

_

11 (46)

(В этом можно легко убедиться поделив равенство (45) почленно на n) Из уравнений (44) и (45) находим

1 1

2

1 1

sum sum

sum sum

= =

= =

minus

minus= n

i

n

iii

n

i

n

iiii

xxx

yyyxa (47)

sum sumsum sum

sum sum= =

= =

= =

minus

minusminus=

n

i

n

in

i

n

iii

n

i

n

iiii

ii

xxx

yyyxx

ny

nb

1 1

1 1

2

1 111 (48)

29

В лабораторном практикуме обычно бывает достаточно оценить погрешность коэффициента a Формула для среднеквадратичной ошибки величины а имеет вид (см Список литературы ndash 3)

2

1 2

minusminus

=n

rSS

Sx

ya (49)

где ( )sum=

minusminus

=n

iiy yy

nS

1

2 1

1 (410)

( )sum=

minusminus

=n

iix xx

nS

1

2

11

(411)

( ) ( )

( ) 1

1

yx

n

iii

SSn

yyxxr

sdotminus

minusminus=

sum= (412)

Интервал в котором с установленной вероятностью α может находиться коэффициент а записывается в виде

22 anan StaaSta sdot+lelesdotminus minusminus αα (413)

где a определяется формулой (47) aS ndash формулой (49) tαn-2 ndash коэффициент Стьюдента для надежности α и числа измерений n ndash число пар точек

При использовании метода наименьших квадратов рекомендуется следующий порядок действий

1 Составить таблицу

изм xi yi xiyi xi

2 1 2

i n

sumxi sumyi sumxiyi sumxi2

30

2 Рассчитать

а) sum=

n

iii yx

1 б) sum

=

=n

i

i

nx

x1

в) sum=

n

iiy

1

г) sum=

n

iix

1

д) sum=

n

iix

1

2 е) sum=

=n

i

i

ny

y1

3 Рассчитать наилучшие значения углового коэффициента а по

формуле (47) 4 Зная коэффициенты а и б провести наилучшую прямую она

должна проходить через точку с координатами x и y 5 Для расчета погрешности величины а по формулам (49 ndash 412) составить таблицу

пп

yi - y

xi - x

(yi - y )2

(xi - x )2

Sx

Sy

r

31

ЧАСТЬ II

ПРАВИЛА РАБОТЫ В ЛАБОРАТОРИИ

ОФОРМЛЕНИЕ РЕЗУЛЬТАТОВ РАБОТЫ sect 1 Правила работы в лаборатории Каждая лабораторная работа рассчитана на одно занятие

В начале семестра составляется и вывешивается в лаборатории график выполнения работ на весь семестр

Студент должен заранее знать тему своей лабораторной работы и подготовиться к ней по методическому руководству и другой указанной в нем литературе

Перед выполнением каждой лабораторной работы необходимо пройти краткое собеседование с преподавателем и получить разрешение на ее выполнение Оно дается в том случае если студент четко знает цель работы методику проведения эксперимента умеет пользоваться приборами

ПРИСТУПАТЬ К ВЫПОЛНЕНИЮ ЛАБОРАТОРНЫХ

РАБОТ БЕЗ РАЗРЕШЕНИЯ ПРЕПОДАВАТЕЛЯ КАТЕГОРИЧЕСКИ ВОСПРЕЩАЕТСЯ

В конце занятия студент обязан предъявить преподавателю

результаты своей работы Работа считается выполненной если результаты утверждены и подписаны преподавателем После этого необходимо выключить установку привести в порядок рабочее место и получить методические указания к следующей работе

32

sect 2 Журнал лабораторных работ Результаты измерений и наблюдений должны тотчас же

фиксироваться в специальном журнале в форме протоколов Временные записи результатов на черновых листочках не допускаются

Единую форму протоколов пригодную для всех работ дать невозможно и нецелесообразно Тем не менее можно сформулировать некоторые общие требования которым должны удовлетворять записи в журнале лабораторных работ

1 Должны быть указаны название работы и дата ее выполнения

конкретная цель работы и ее упражнений 2 Целесообразно привести расчетную формулу и пояснить

физический смысл входящих в нее символов 3 Результаты всех измерений заносятся в заранее

подготовленные удобные таблицы из которых было бы ясно какие физические величины и в каких единицах измерялись сколько раз повторялись измерения каждой физической величины

4 Необходимо указать приборы использовавшиеся для измерения различных величин и их точности

5 Зафиксировать (если это важно) условия опыта (температуру давление влажность воздуха и т д)

6 Записи в журнале должны быть аккуратными и четкими журнал лабораторных работ ndash не черновик В нем не должно содержаться никаких записей не относящихся к выполняемой работе Прикидочные расчеты должны проводиться на черновых листках

7 Для пометок и замечаний целесообразно оставлять поля шириной 3 см Ниже приведена схема оформления протокола одной из

лабораторных работ

33

081098 Определение модуля Юнга по изгибу стержня Цель работы ndash проверка закона Гука и определение модуля

Юнга для стального и медного стержней Расчетная формула

4 3

3

habPLE =

где Е ndash модуль Юнга Р ndash величина нагрузки приложенной к середине стержня L ndash длина деформируемой части стержня равная расстоянию между ребрами опорных призм а ndash ширина стержня в ndash его толщина h ndash стрела прогиба

Таблица 1 Определение размеров стержня

опыта L мм а мм в мм

1 5

Измерительный прибор и его точность

Штанген-циркуль plusmn 01 мм

Микрометр plusmn0005 мм

Микрометр plusmn0005 мм

Таблица 2 Измерение стрелы прогиба нагружаемого стержня

РкГс 0 01 02 03 04 hellip

h мм

205 207 203 208 205

255 248 251 249 252

hellip hellip hellip hellip

Измерительный прибор ndash микрометр точность ~ plusmn 0005 мм

Подпись преподавателя

34

sect 3 Оформление отчетов По результатам каждой лабораторной работы составляется

отчет Он должен включать 1 Краткую формулировку идеи метода расчетную формулу

пояснение физического смысла входящих в нее символов 2 Таблицы с результатами измерений и расчетов 3 Статистическую обработку результатов измерений 4 Выводы 5 На титульном листе должны быть указаны название

лабораторной работы факультет курс группа фамилия и инициалы исполнителя Отчет должен быть написан в хорошем стиле аккуратным

разборчивым почерком При его оформлении не следует также пренебрегать и эстетической стороной вопроса Заголовки выводы и формулы целесообразно выделять пастой другого цвета подчеркнуть и т п Это облегчает чтение отчета

Выводы должны быть аргументированы ссылками на соответствующие таблицы и графики поэтому они должны быть пронумерованы

sect 4 Графики Графики используются для наглядного представления

результатов При их построении необходимо соблюдать ряд правил 1 Графики нужно строить только на миллиметровой бумаге 2 На осях необходимо нанести масштабную сетку указать

единицы измерения и символы изображаемых величин 3 Масштаб должен быть простым удобным для отсчета его

долей Например 1 см = 01 1 2 или 10 единиц Кроме того масштаб выбирают так чтобы все экспериментальные точки вошли в график и достаточно далеко отстояли друг от друга

35

Иногда для этой цели бывает удобно сместить вдоль осей начало отсчета Масштаб по осям Х и У может быть различен

Рис 11 Пример построения графика функции по экспериментальным точкам

4 Экспериментальные точки следует наносить с максимальной

точностью так чтобы они четко выделялись на фоне графика не сливаясь с ним

5 График должен представлять собой плавную кривую без изломов и перегибов Нужно стремиться провести кривую так чтобы экспериментальные точки равномерно распределялись по обе стороны от нее (рис 11)

Графики выполненные на миллиметровой бумаге

аккуратно вклеиваются в отчет где для них необходимо предусмотреть соответствующее место

36

sect 5 Точность вычислений Точность вычислений определяется погрешностью

измерений Не имеет смысла вычислять какуюndashлибо величину до пятого знака после запятой если погрешность измерений такова что неуверенно определяется ее третий знак

Чтобы погрешностью вычислений можно было пренебречь она должна быть на порядок (то есть в 10 раз) меньше погрешности наименее точно измеряемой величины

Пример Модуль Юнга по изгибу стержня вычисляется по

формуле E = PL3 4ab3middoth Анализ исходных данных показывает как правило что с наибольшей относительной погрешностью измеряется стрела прогиба h Так как ΔEE gt Δh h то допускаемая относительная погрешность вычислений ΔE выч E cong 01 Δhh Для стали E cong 2middot104 кГсмм2 поэтому при Δhh =10-2 ΔEвыч cong 10 кГсмм2 Это значит что вычисления Е целесообразно проводить лишь с точностью до четвертой значащей цифры

Обычно нас интересует лишь порядок величины погрешностей поэтому последние рекомендуется вычислять лишь до второй значащей цифры а затем округлять результат до одной значащей цифры

Приводя значение измеренной Вами величины проверьте согласуется ли порядок приведенных значащих цифр с порядком погрешности

Порядок последней значащей цифры измеренной величины и порядок погрешности должны быть одинаковы

Запись Е = (1845127 plusmn 20) 107 Па неграмотна Величина ошибки свидетельствует о том что неуверенно определяется уже четвертый знак поэтому результат должен быть соответственно округлен

Е = (18450 plusmn 20) 107 Па

37

Приложение

Таблица 3 Значения коэффициентов Стьюдента

Коэффициент надежности Число

изме рений

N 08 09 095 098 099 0999

2 31 631 1271 3182 6366 63662 3 19 292 431 696 992 3160 4 16 235 318 454 584 1294 5 15 213 278 375 460 861 6 15 202 257 336 403 686 7 14 194 245 314 371 596 8 14 190 236 300 350 540 9 14 186 231 290 336 504

10 14 183 226 282 325 478 infin 13 165 196 233 259 331

38

Список литературы

1 Деденко Л Г Керженцев В В Математическая обработка и оформление результатов эксперимента М Издndashво МГУ 1977

2 Зайдель А Н Ошибки измерения физических величин Л

Наука 1974 3 Кассандрова О Н Лебедев В В Обработка результатов из-

мерений М Наука 1970 4 Сквайрс Дж Практическая физика М Мир 1971 5 Соловьев В А Яхонтова В Е Элементарные методы обра-

ботки результатов измерений Л Издndashво ЛГУ 1977

39

СОДЕРЖАНИЕ

Задачи физического практикума 3

Часть I Статистическая обработка результатов измерений

Глава I Введение в теорию погрешностей 3 sect1 Измерения и их погрешности 3 sect2 Типы погрешностей 5

1 Систематические погрешности 5 2 Случайные погрешности 6 3 Промахи 7

Глава II Статистическая обработка результатов прямых измерений 8 sect1 Вероятность случайного события 8 sect2 Нормальный закон распределения случайных погрешностей 9 sect3 Среднеквадратичная погрешность 13 sect4 Среднеквадратичная погрешность среднего 14 sect5 Доверительный интервал и доверительная вероятность 15 sect6 Совместный учет систематической и случайной погрешностей 20 Глава III Статистическая обработка результатов косвенных измерений 21 sect1 Два способа оценки погрешностей косвенного измерения 21 sect2 Частные погрешности и общая погрешность косвенного измерения 21 sect3 Относительная погрешность косвенного измерения 23 Глава IV Определение параметров линейной зависимости 25 sect1 Метод парных точек 25 sect2 Метод наименьших квадратов (МНК) 26

40

Часть II Правила работы в лаборатории оформление

результатов работы

sect1 Правила работы в лаборатории 31 sect2 Журнал лабораторных работ 32 sect3 Оформление отчетов 34 sect4 Графики 34 sect5 Точность вычислений 36 Приложение 37 Список литературы 38

41

Составители Жукова Ида Степановна Бутина Лариса Иосифовна Крылова Светлана Ивановна

ВВЕДЕНИЕ В ЛАБОРАТОРНЫЙ ПРАКТИКУМ ПО КУРСУ ОБЩЕЙ ФИЗИКИ

Методические указания

к лабораторной работе

Редактор Козина О В

ЛР 040 110 Подписано к печати 090999 Формат 60х84 116 Бумага газетная Офсетная печать 25 уч-издл

11 услкр-отт Тираж 500 экз Изд 19 laquoСraquo

Издательство Петрозаводского государственного университета

185640 Петрозаводск пр Ленина 33

18

xx SXx

SXt minus

=Δ

= называемой коэффициентом Стьюдента

(среднеквадратичная погрешность среднего арифметического xS определяется формулой (27))

Распределение Стьюдента зависит от n и при nrarrinfin переходит в распределение Гаусса

Рис 8 Кривые распределения Стьюдента для выборок различного объема

На рисунке 8 показаны кривые y(t) при разных n Вычислив

по результатам измерений xS и задав величину ΔX можно найти t и α соответствующие данному n Наоборот задав надежность α можно вычислить tαn и соответствующую точность ΔX = tαn xS при данном значении n Соответствующие друг другу значения

19

α и tαn при разных n приводятся в специальных таблицах (см Приложение)

На практике задание величины ΔX определяется конкретными условиями Допустим что некоторое предприятие изготовляет резисторы определенного номинала Естественно что благодаря действию различных случайных факторов величины сопротивлений R будут отклоняться от их номинальных значений Измерив R для большой партии резисторов (ngtgt30) можно построить кривую y (ΔR) и найти дисперсию 2

Rσ Величина 2Rσ определяется тем насколько хорошо контролируется и

поддерживается постоянной технология изготовления резисторов Если разброс значений R а значит и 2

Rσ велик то задавая малое значение доверительного интервала Xx Δplusmn получим и малую надежность α При этом лишь малая доля значений R попадает в заданный доверительный интервал и процент брака будет соответственно велик Напротив при выборе большой надежности уменьшится процент брака но зато увеличится разброс значений R (увеличится ширина доверительного интервала x plusmn ΔX)

Если по условиям работы приборов в которых используются эти резисторы доверительный интервал должен быть малым то для сохранения большой надежности необходимо улучшить технологию их производства

Точность электроизмерительных приборов определяется классом их точности и соответствует надежности α = 0997 (ΔX = 3σ x ) В лабораторных условиях обычно довольствуются надежностью α = 090 095

Для оценки доверительного интервала прямых измерений предлагается следующий порядок 1 Провести серию измерений изучаемой величины Х и оценить

среднее выборочное x sum=

=n

iix

nx

1

1

2 Найти абсолютную погрешность единичного измерения Δхi Δxi = xi ndash x

20

3 Определить среднюю квадратичную ошибку среднего арифметического

( ))1(

1

2

minus

minus=

sum=

nn

xxS

n

ii

x

4 Определить точность измерения ΔX при заданных n и α ΔX = nx tS αsdot

5 Записать доверительный интервал для истинного значения измеряемой величины Х = x plusmn ΔX или x ndash ΔX leΧle xi +ΔX

Для удобства расчетов данные оформляются в виде таблицы xi Δxi = xi - x Δxi

2 xS αn ΔX

1 2

Ср Σ Δxi2=

Абсолютная ошибка Δхi рассчитывается по модулю

sect 6 Совместный учет систематической и случайной погрешностей Строгий учет систематической погрешности труден Если

систематическая погрешность обусловлена точностью прибора (что мы и будем предполагать) то можно оценить верхнюю границу возможных ошибок зная класс его точности Если точность обусловленная случайной погрешностью ndashΔХ а величина систематической погрешности ndashδ то величина суммарной точности ΔХ определяется формулой

( )2

2

3 ⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ sdot

+Δ=Δδαk

XX (28)

где kα = tα(infin) ndash коэффициент Стьюдента при n = infin

21

Глава III Статистическая обработка результатов косвенных измерений

sect 1 Два способа оценки погрешности косвенного

измерения В большинстве случаев имеют дело с косвенными

измерениями Пусть x y z ndash непосредственно измеряемые величины а W = f (x y z) ndash их функция то есть величина измеряемая косвенно Рассмотрим два способа оценки погрешности величины W

I способ Если косвенные измерения проводятся в невоспроизводимых условиях то значения Wi вычисляются для каждого отдельного измерения а затем обрабатываются как прямые измерения

II способ позволяет вычислить погрешность косвенного измерения как функцию погрешностей прямых измерений Далее остановимся подробнее на этом способе

sect 2 Частные погрешности и общая погрешность косвенного измерения Обрабатывая прямые измерения мы находим их

выборочные средние значения zyx hellip являющиеся как было показано выше случайными величинами Очевидно что и величина WW = ( zyx hellip) представляющая собой выборочное среднее искомой функции будет также случайной величиной Задача как и в случае прямых измерений состоит в том чтобы определить с какой вероятностью искомая величина W может быть заключена в некотором заданном интервале W plusmn ΔW В общем случае эта задача весьма сложна и мы ограничимся лишь ее приближенным решением

Рассмотрим сначала случай когда W является функцией только одной переменной то есть W = W(x) Разложим функцию W(x) в ряд Тейлора в окрестности точки х = Х (Х ndash истинное

22

значение х) В случае когда погрешность прямого измерения достаточно мала можно ограничиться лишь линейным членом и считать что

)()()( Xxdx

dWXWxWXx

minussdot⎟⎠⎞

⎜⎝⎛+=

=

Отсюда )()()( Xxdx

dWXWxWXx

minussdot⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=minus

=

(31)

Из (31) следует что

xxx

W Sdx

dWS sdot⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=

=

(32)

где xS и WS ndash средние квадратичные погрешности величин

x и W Доверительный интервал величины W соответствующий надежности α определяется как

Xdx

dWWWWxx

Δsdot⎟⎠⎞

⎜⎝⎛plusmn=Δplusmn

=

(33)

где ΔW ndash точность величины х соответствующая той же надежности α

Если результат косвенного измерения W является функцией многих переменных то есть W = W(x y z) то по формуле (33) можно вычислить погрешности ΔWx ΔWy ΔWzhellip обусловленные каждым аргументом и называемые частными погрешностями Они равны

Zz

WW

YyWW

Xx

WW

zzz

yyy

xxx

Δsdot⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

partpart

=Δ

Δsdot⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛partpart

=Δ

Δsdot⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

partpart

=Δ

=

=

=

(34)

и так далее

23

В формулах (34) z

WyW

xW

partpart

partpart

partpart являются частными

производными и вычисляются так как будто другие аргументы ndash постоянные величины

Общая погрешность косвенного измерения в этом случае вычисляется по формуле (см Список литературы ndash 4)

222zyx WWWW Δ+Δ+Δ=Δ и

22

22

22

Zz

WYyWX

xWW Δ⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛

partpart

+Δ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛partpart

+Δ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

partpart

=Δ (35)

sect 3 Относительная погрешность косвенного измерения Очень часто бывает удобно вычислить относительную

погрешность результата косвенного измерения WdW

W =η

На основании известной формулы dlnu = duu можно сформулировать следующее правило расчета относительной погрешности Допустим сначала что W = W(x) ndash функция одной переменой Тогда относительная погрешность

WdWdW

W ln==η (36)

то есть для нахождения ηW необходимо сначала прологарифмировать выражение W(x) а затем продифференцировать его по х

В случае многих переменных можно как и для абсолютных погрешностей ввести частные относительные погрешности равные

24

ln xWxx Δsdot

partpart

=η

ln

ln

zWz

yWy

z

y

Δsdotpartpart

=

Δsdotpartpart

=

η

η (37)

Тогда общая относительная погрешность определится как

K222zyxW ηηηη ++= (38)

Расчет погрешности по формулам (37) и (38) особенно удобно производить в случае когда функция имеет одночленную (логарифмическую) формулу Пусть например

yxAW 4=

где А ndash константа Используя правило (37) имеем lnln4lnln 2

1 yxAW minus+=

21 4

y yy

xx

xΔ

minus=Δ

= ηη

4

116 22

22 y

yx

xΔsdot+Δsdot=η

Замечание Прежде чем сделать расчет по формуле (38) произведите оценку относительных погрешностей по отдельным аргументам вычисленных по формулам (37) Если при этом отдельные частные погрешности меньше максимальной хотя бы в три раза ими можно пренебречь В таком случае общая формула (38) значительно упростится

Определив относительную погрешность ηW можно рассчитать абсолютную погрешность (точность) по формуле

ΔW = ηWW (39)

25

Глава IV Определение параметров линейной зависимости

На опыте часто измеряют пары величин х и y причем одна

из них y является функцией другой ndash х Пусть в результате эксперимента получен ряд измерений величины y y1 y2hellipyn соответствующих значениям аргумента х1 х2 hellipхn

Необходимо установить эмпирическую зависимость между y и х Задача состоит в том чтобы по экспериментальным точкам провести линию которая как можно лучше соответствовала бы истинной функциональной зависимости y = f(x) При этом ограничимся лишь случаем линейной функции

y = ax + b (41) Линейная зависимость очень широко распространена в

физике Даже в случаях когда зависимость нелинейная обычно стараются преобразовать ее так чтобы свести к линейной Например зависимость y = Aeαx преобразуется к виду ln y = ln A + αx и на графике строится зависимость

ln y = f(1x)

Ниже приведены два метода нахождения наиболее вероятных параметров линии (коэффициентов а и в уравнения (41)) проходящих через набор экспериментальных точек

sect 1 Метод парных точек Метод парных точек является наиболее простым и

применяется в основном для определения лишь наклона прямой то есть коэффициента а

Допустим что у нас имеется 8 точек лежащих на одной прямой Требуется найти наилучшее значение тангенса угла наклона а и его погрешность Пронумеруем точки по порядку от

26

1 до 8 (рис 9) Возьмем точки 1 и 5 ими определится некоторая прямая и угол ее наклона В качестве наилучшего значения а выбирается его среднее значение a и обычным способом находится его среднеквадратичная погрешность и доверительный интервал

y 8 7 6 5 3 4 2

1 0

х Рис 9 Нумерация экспериментальных точек для расчета а

методом парных точек

Таким образом полученная прямая линия будет иметь угловой коэффициент a и проходить через точку соответствующую средним значениям переменных х и y (следующий параграф)

Такой метод дает удовлетворительные результаты лишь тогда когда величины (x5 ndash x1) (x6 ndash x2) (x7 ndash x3) (x8 ndash x4) примерно одинаковы

sect 2 Метод наименьших квадратов (МНК) МНК является одним из стандартных методов статистики

Сущность этого метода заключается в следующем Допустим что имеется n пар измеренных значений (x1 y1) (x2 y2)hellip(xn yn) Предположим что ошибки содержат лишь величины y

27

(На практике это предположение часто оправдывается) По результатам измерений необходимо построить прямую линию

В основе описываемого метода лежит положение согласно которому наилучшим приближением будет такая прямая линия для которой сумма квадратов расстояний по вертикали от точек до прямой (сумма квадратов погрешностей величины y (рис 10)) является минимальной то есть наиболее вероятные

Рис 10 Распределение экспериментальных точек относительно искомой прямой

значения параметров а и в (41) выбираются так чтобы сумма

( )sum sum= =

minusminus==n

i

n

iiii baxydS

1 1

22 (42)

была минимальной Это значит что

( )sum=

=minus+=partpart n

iiii xybax

aS

1

02

( )sum=

=minus+=partpart n

iii ybax

bS

1

02 (43)

28

Таким образом искомые величины а и в получаются

решением системы уравнений

sum sum sum= = =

=+n

i

n

i

n

iiiii yxxbxa

1 1 1

2 (44)

sum sum= =

=+n

i

n

iii ybnxa

1 1

(45)

Из уравнения (45) следует что наилучшая прямая проходит через точку с координатами

sumsum==

==n

ii

n

ii y

nyx

nx

1

_

1

_

11 (46)

(В этом можно легко убедиться поделив равенство (45) почленно на n) Из уравнений (44) и (45) находим

1 1

2

1 1

sum sum

sum sum

= =

= =

minus

minus= n

i

n

iii

n

i

n

iiii

xxx

yyyxa (47)

sum sumsum sum

sum sum= =

= =

= =

minus

minusminus=

n

i

n

in

i

n

iii

n

i

n

iiii

ii

xxx

yyyxx

ny

nb

1 1

1 1

2

1 111 (48)

29

В лабораторном практикуме обычно бывает достаточно оценить погрешность коэффициента a Формула для среднеквадратичной ошибки величины а имеет вид (см Список литературы ndash 3)

2

1 2

minusminus

=n

rSS

Sx

ya (49)

где ( )sum=

minusminus

=n

iiy yy

nS

1

2 1

1 (410)

( )sum=

minusminus

=n

iix xx

nS

1

2

11

(411)

( ) ( )

( ) 1

1

yx

n

iii

SSn

yyxxr

sdotminus

minusminus=

sum= (412)

Интервал в котором с установленной вероятностью α может находиться коэффициент а записывается в виде

22 anan StaaSta sdot+lelesdotminus minusminus αα (413)

где a определяется формулой (47) aS ndash формулой (49) tαn-2 ndash коэффициент Стьюдента для надежности α и числа измерений n ndash число пар точек

При использовании метода наименьших квадратов рекомендуется следующий порядок действий

1 Составить таблицу

изм xi yi xiyi xi

2 1 2

i n

sumxi sumyi sumxiyi sumxi2

30

2 Рассчитать

а) sum=

n

iii yx

1 б) sum

=

=n

i

i

nx

x1

в) sum=

n

iiy

1

г) sum=

n

iix

1

д) sum=

n

iix

1

2 е) sum=

=n

i

i

ny

y1

3 Рассчитать наилучшие значения углового коэффициента а по

формуле (47) 4 Зная коэффициенты а и б провести наилучшую прямую она

должна проходить через точку с координатами x и y 5 Для расчета погрешности величины а по формулам (49 ndash 412) составить таблицу

пп

yi - y

xi - x

(yi - y )2

(xi - x )2

Sx

Sy

r

31

ЧАСТЬ II

ПРАВИЛА РАБОТЫ В ЛАБОРАТОРИИ

ОФОРМЛЕНИЕ РЕЗУЛЬТАТОВ РАБОТЫ sect 1 Правила работы в лаборатории Каждая лабораторная работа рассчитана на одно занятие

В начале семестра составляется и вывешивается в лаборатории график выполнения работ на весь семестр

Студент должен заранее знать тему своей лабораторной работы и подготовиться к ней по методическому руководству и другой указанной в нем литературе

Перед выполнением каждой лабораторной работы необходимо пройти краткое собеседование с преподавателем и получить разрешение на ее выполнение Оно дается в том случае если студент четко знает цель работы методику проведения эксперимента умеет пользоваться приборами

ПРИСТУПАТЬ К ВЫПОЛНЕНИЮ ЛАБОРАТОРНЫХ

РАБОТ БЕЗ РАЗРЕШЕНИЯ ПРЕПОДАВАТЕЛЯ КАТЕГОРИЧЕСКИ ВОСПРЕЩАЕТСЯ

В конце занятия студент обязан предъявить преподавателю

результаты своей работы Работа считается выполненной если результаты утверждены и подписаны преподавателем После этого необходимо выключить установку привести в порядок рабочее место и получить методические указания к следующей работе

32

sect 2 Журнал лабораторных работ Результаты измерений и наблюдений должны тотчас же

фиксироваться в специальном журнале в форме протоколов Временные записи результатов на черновых листочках не допускаются

Единую форму протоколов пригодную для всех работ дать невозможно и нецелесообразно Тем не менее можно сформулировать некоторые общие требования которым должны удовлетворять записи в журнале лабораторных работ

1 Должны быть указаны название работы и дата ее выполнения

конкретная цель работы и ее упражнений 2 Целесообразно привести расчетную формулу и пояснить

физический смысл входящих в нее символов 3 Результаты всех измерений заносятся в заранее

подготовленные удобные таблицы из которых было бы ясно какие физические величины и в каких единицах измерялись сколько раз повторялись измерения каждой физической величины

4 Необходимо указать приборы использовавшиеся для измерения различных величин и их точности

5 Зафиксировать (если это важно) условия опыта (температуру давление влажность воздуха и т д)

6 Записи в журнале должны быть аккуратными и четкими журнал лабораторных работ ndash не черновик В нем не должно содержаться никаких записей не относящихся к выполняемой работе Прикидочные расчеты должны проводиться на черновых листках

7 Для пометок и замечаний целесообразно оставлять поля шириной 3 см Ниже приведена схема оформления протокола одной из

лабораторных работ

33

081098 Определение модуля Юнга по изгибу стержня Цель работы ndash проверка закона Гука и определение модуля

Юнга для стального и медного стержней Расчетная формула

4 3

3

habPLE =

где Е ndash модуль Юнга Р ndash величина нагрузки приложенной к середине стержня L ndash длина деформируемой части стержня равная расстоянию между ребрами опорных призм а ndash ширина стержня в ndash его толщина h ndash стрела прогиба

Таблица 1 Определение размеров стержня

опыта L мм а мм в мм

1 5

Измерительный прибор и его точность

Штанген-циркуль plusmn 01 мм

Микрометр plusmn0005 мм

Микрометр plusmn0005 мм

Таблица 2 Измерение стрелы прогиба нагружаемого стержня

РкГс 0 01 02 03 04 hellip

h мм

205 207 203 208 205

255 248 251 249 252

hellip hellip hellip hellip

Измерительный прибор ndash микрометр точность ~ plusmn 0005 мм

Подпись преподавателя

34

sect 3 Оформление отчетов По результатам каждой лабораторной работы составляется

отчет Он должен включать 1 Краткую формулировку идеи метода расчетную формулу

пояснение физического смысла входящих в нее символов 2 Таблицы с результатами измерений и расчетов 3 Статистическую обработку результатов измерений 4 Выводы 5 На титульном листе должны быть указаны название

лабораторной работы факультет курс группа фамилия и инициалы исполнителя Отчет должен быть написан в хорошем стиле аккуратным

разборчивым почерком При его оформлении не следует также пренебрегать и эстетической стороной вопроса Заголовки выводы и формулы целесообразно выделять пастой другого цвета подчеркнуть и т п Это облегчает чтение отчета

Выводы должны быть аргументированы ссылками на соответствующие таблицы и графики поэтому они должны быть пронумерованы

sect 4 Графики Графики используются для наглядного представления

результатов При их построении необходимо соблюдать ряд правил 1 Графики нужно строить только на миллиметровой бумаге 2 На осях необходимо нанести масштабную сетку указать

единицы измерения и символы изображаемых величин 3 Масштаб должен быть простым удобным для отсчета его

долей Например 1 см = 01 1 2 или 10 единиц Кроме того масштаб выбирают так чтобы все экспериментальные точки вошли в график и достаточно далеко отстояли друг от друга

35

Иногда для этой цели бывает удобно сместить вдоль осей начало отсчета Масштаб по осям Х и У может быть различен

Рис 11 Пример построения графика функции по экспериментальным точкам

4 Экспериментальные точки следует наносить с максимальной

точностью так чтобы они четко выделялись на фоне графика не сливаясь с ним

5 График должен представлять собой плавную кривую без изломов и перегибов Нужно стремиться провести кривую так чтобы экспериментальные точки равномерно распределялись по обе стороны от нее (рис 11)

Графики выполненные на миллиметровой бумаге

аккуратно вклеиваются в отчет где для них необходимо предусмотреть соответствующее место

36

sect 5 Точность вычислений Точность вычислений определяется погрешностью

измерений Не имеет смысла вычислять какуюndashлибо величину до пятого знака после запятой если погрешность измерений такова что неуверенно определяется ее третий знак

Чтобы погрешностью вычислений можно было пренебречь она должна быть на порядок (то есть в 10 раз) меньше погрешности наименее точно измеряемой величины

Пример Модуль Юнга по изгибу стержня вычисляется по

формуле E = PL3 4ab3middoth Анализ исходных данных показывает как правило что с наибольшей относительной погрешностью измеряется стрела прогиба h Так как ΔEE gt Δh h то допускаемая относительная погрешность вычислений ΔE выч E cong 01 Δhh Для стали E cong 2middot104 кГсмм2 поэтому при Δhh =10-2 ΔEвыч cong 10 кГсмм2 Это значит что вычисления Е целесообразно проводить лишь с точностью до четвертой значащей цифры

Обычно нас интересует лишь порядок величины погрешностей поэтому последние рекомендуется вычислять лишь до второй значащей цифры а затем округлять результат до одной значащей цифры

Приводя значение измеренной Вами величины проверьте согласуется ли порядок приведенных значащих цифр с порядком погрешности

Порядок последней значащей цифры измеренной величины и порядок погрешности должны быть одинаковы

Запись Е = (1845127 plusmn 20) 107 Па неграмотна Величина ошибки свидетельствует о том что неуверенно определяется уже четвертый знак поэтому результат должен быть соответственно округлен

Е = (18450 plusmn 20) 107 Па

37

Приложение

Таблица 3 Значения коэффициентов Стьюдента

Коэффициент надежности Число

изме рений

N 08 09 095 098 099 0999

2 31 631 1271 3182 6366 63662 3 19 292 431 696 992 3160 4 16 235 318 454 584 1294 5 15 213 278 375 460 861 6 15 202 257 336 403 686 7 14 194 245 314 371 596 8 14 190 236 300 350 540 9 14 186 231 290 336 504

10 14 183 226 282 325 478 infin 13 165 196 233 259 331

38

Список литературы

1 Деденко Л Г Керженцев В В Математическая обработка и оформление результатов эксперимента М Издndashво МГУ 1977

2 Зайдель А Н Ошибки измерения физических величин Л

Наука 1974 3 Кассандрова О Н Лебедев В В Обработка результатов из-

мерений М Наука 1970 4 Сквайрс Дж Практическая физика М Мир 1971 5 Соловьев В А Яхонтова В Е Элементарные методы обра-

ботки результатов измерений Л Издndashво ЛГУ 1977

39

СОДЕРЖАНИЕ

Задачи физического практикума 3

Часть I Статистическая обработка результатов измерений

Глава I Введение в теорию погрешностей 3 sect1 Измерения и их погрешности 3 sect2 Типы погрешностей 5

1 Систематические погрешности 5 2 Случайные погрешности 6 3 Промахи 7

Глава II Статистическая обработка результатов прямых измерений 8 sect1 Вероятность случайного события 8 sect2 Нормальный закон распределения случайных погрешностей 9 sect3 Среднеквадратичная погрешность 13 sect4 Среднеквадратичная погрешность среднего 14 sect5 Доверительный интервал и доверительная вероятность 15 sect6 Совместный учет систематической и случайной погрешностей 20 Глава III Статистическая обработка результатов косвенных измерений 21 sect1 Два способа оценки погрешностей косвенного измерения 21 sect2 Частные погрешности и общая погрешность косвенного измерения 21 sect3 Относительная погрешность косвенного измерения 23 Глава IV Определение параметров линейной зависимости 25 sect1 Метод парных точек 25 sect2 Метод наименьших квадратов (МНК) 26

40

Часть II Правила работы в лаборатории оформление

результатов работы

sect1 Правила работы в лаборатории 31 sect2 Журнал лабораторных работ 32 sect3 Оформление отчетов 34 sect4 Графики 34 sect5 Точность вычислений 36 Приложение 37 Список литературы 38

41

Составители Жукова Ида Степановна Бутина Лариса Иосифовна Крылова Светлана Ивановна

ВВЕДЕНИЕ В ЛАБОРАТОРНЫЙ ПРАКТИКУМ ПО КУРСУ ОБЩЕЙ ФИЗИКИ

Методические указания

к лабораторной работе

Редактор Козина О В

ЛР 040 110 Подписано к печати 090999 Формат 60х84 116 Бумага газетная Офсетная печать 25 уч-издл

11 услкр-отт Тираж 500 экз Изд 19 laquoСraquo

Издательство Петрозаводского государственного университета

185640 Петрозаводск пр Ленина 33

19

α и tαn при разных n приводятся в специальных таблицах (см Приложение)

На практике задание величины ΔX определяется конкретными условиями Допустим что некоторое предприятие изготовляет резисторы определенного номинала Естественно что благодаря действию различных случайных факторов величины сопротивлений R будут отклоняться от их номинальных значений Измерив R для большой партии резисторов (ngtgt30) можно построить кривую y (ΔR) и найти дисперсию 2

Rσ Величина 2Rσ определяется тем насколько хорошо контролируется и

поддерживается постоянной технология изготовления резисторов Если разброс значений R а значит и 2

Rσ велик то задавая малое значение доверительного интервала Xx Δplusmn получим и малую надежность α При этом лишь малая доля значений R попадает в заданный доверительный интервал и процент брака будет соответственно велик Напротив при выборе большой надежности уменьшится процент брака но зато увеличится разброс значений R (увеличится ширина доверительного интервала x plusmn ΔX)

Если по условиям работы приборов в которых используются эти резисторы доверительный интервал должен быть малым то для сохранения большой надежности необходимо улучшить технологию их производства

Точность электроизмерительных приборов определяется классом их точности и соответствует надежности α = 0997 (ΔX = 3σ x ) В лабораторных условиях обычно довольствуются надежностью α = 090 095

Для оценки доверительного интервала прямых измерений предлагается следующий порядок 1 Провести серию измерений изучаемой величины Х и оценить

среднее выборочное x sum=

=n

iix

nx

1

1

2 Найти абсолютную погрешность единичного измерения Δхi Δxi = xi ndash x

20

3 Определить среднюю квадратичную ошибку среднего арифметического

( ))1(

1

2

minus

minus=

sum=

nn

xxS

n

ii

x

4 Определить точность измерения ΔX при заданных n и α ΔX = nx tS αsdot

5 Записать доверительный интервал для истинного значения измеряемой величины Х = x plusmn ΔX или x ndash ΔX leΧle xi +ΔX

Для удобства расчетов данные оформляются в виде таблицы xi Δxi = xi - x Δxi

2 xS αn ΔX

1 2

Ср Σ Δxi2=

Абсолютная ошибка Δхi рассчитывается по модулю

sect 6 Совместный учет систематической и случайной погрешностей Строгий учет систематической погрешности труден Если

систематическая погрешность обусловлена точностью прибора (что мы и будем предполагать) то можно оценить верхнюю границу возможных ошибок зная класс его точности Если точность обусловленная случайной погрешностью ndashΔХ а величина систематической погрешности ndashδ то величина суммарной точности ΔХ определяется формулой

( )2

2

3 ⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ sdot

+Δ=Δδαk

XX (28)

где kα = tα(infin) ndash коэффициент Стьюдента при n = infin

21

Глава III Статистическая обработка результатов косвенных измерений

sect 1 Два способа оценки погрешности косвенного

измерения В большинстве случаев имеют дело с косвенными

измерениями Пусть x y z ndash непосредственно измеряемые величины а W = f (x y z) ndash их функция то есть величина измеряемая косвенно Рассмотрим два способа оценки погрешности величины W

I способ Если косвенные измерения проводятся в невоспроизводимых условиях то значения Wi вычисляются для каждого отдельного измерения а затем обрабатываются как прямые измерения

II способ позволяет вычислить погрешность косвенного измерения как функцию погрешностей прямых измерений Далее остановимся подробнее на этом способе

sect 2 Частные погрешности и общая погрешность косвенного измерения Обрабатывая прямые измерения мы находим их

выборочные средние значения zyx hellip являющиеся как было показано выше случайными величинами Очевидно что и величина WW = ( zyx hellip) представляющая собой выборочное среднее искомой функции будет также случайной величиной Задача как и в случае прямых измерений состоит в том чтобы определить с какой вероятностью искомая величина W может быть заключена в некотором заданном интервале W plusmn ΔW В общем случае эта задача весьма сложна и мы ограничимся лишь ее приближенным решением

Рассмотрим сначала случай когда W является функцией только одной переменной то есть W = W(x) Разложим функцию W(x) в ряд Тейлора в окрестности точки х = Х (Х ndash истинное

22

значение х) В случае когда погрешность прямого измерения достаточно мала можно ограничиться лишь линейным членом и считать что

)()()( Xxdx

dWXWxWXx

minussdot⎟⎠⎞

⎜⎝⎛+=

=

Отсюда )()()( Xxdx

dWXWxWXx

minussdot⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=minus

=

(31)

Из (31) следует что

xxx

W Sdx

dWS sdot⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=

=

(32)

где xS и WS ndash средние квадратичные погрешности величин

x и W Доверительный интервал величины W соответствующий надежности α определяется как

Xdx

dWWWWxx

Δsdot⎟⎠⎞

⎜⎝⎛plusmn=Δplusmn

=

(33)

где ΔW ndash точность величины х соответствующая той же надежности α

Если результат косвенного измерения W является функцией многих переменных то есть W = W(x y z) то по формуле (33) можно вычислить погрешности ΔWx ΔWy ΔWzhellip обусловленные каждым аргументом и называемые частными погрешностями Они равны

Zz

WW

YyWW

Xx

WW

zzz

yyy

xxx

Δsdot⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

partpart

=Δ

Δsdot⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛partpart

=Δ

Δsdot⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

partpart

=Δ

=

=

=

(34)

и так далее

23

В формулах (34) z

WyW

xW

partpart

partpart

partpart являются частными

производными и вычисляются так как будто другие аргументы ndash постоянные величины

Общая погрешность косвенного измерения в этом случае вычисляется по формуле (см Список литературы ndash 4)

222zyx WWWW Δ+Δ+Δ=Δ и

22

22

22

Zz

WYyWX

xWW Δ⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛

partpart

+Δ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛partpart

+Δ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

partpart

=Δ (35)

sect 3 Относительная погрешность косвенного измерения Очень часто бывает удобно вычислить относительную

погрешность результата косвенного измерения WdW

W =η

На основании известной формулы dlnu = duu можно сформулировать следующее правило расчета относительной погрешности Допустим сначала что W = W(x) ndash функция одной переменой Тогда относительная погрешность

WdWdW

W ln==η (36)

то есть для нахождения ηW необходимо сначала прологарифмировать выражение W(x) а затем продифференцировать его по х

В случае многих переменных можно как и для абсолютных погрешностей ввести частные относительные погрешности равные

24

ln xWxx Δsdot

partpart

=η

ln

ln

zWz

yWy

z

y

Δsdotpartpart

=

Δsdotpartpart

=

η

η (37)

Тогда общая относительная погрешность определится как

K222zyxW ηηηη ++= (38)

Расчет погрешности по формулам (37) и (38) особенно удобно производить в случае когда функция имеет одночленную (логарифмическую) формулу Пусть например

yxAW 4=

где А ndash константа Используя правило (37) имеем lnln4lnln 2

1 yxAW minus+=

21 4

y yy

xx

xΔ

minus=Δ

= ηη

4

116 22

22 y

yx

xΔsdot+Δsdot=η

Замечание Прежде чем сделать расчет по формуле (38) произведите оценку относительных погрешностей по отдельным аргументам вычисленных по формулам (37) Если при этом отдельные частные погрешности меньше максимальной хотя бы в три раза ими можно пренебречь В таком случае общая формула (38) значительно упростится

Определив относительную погрешность ηW можно рассчитать абсолютную погрешность (точность) по формуле

ΔW = ηWW (39)

25

Глава IV Определение параметров линейной зависимости

На опыте часто измеряют пары величин х и y причем одна

из них y является функцией другой ndash х Пусть в результате эксперимента получен ряд измерений величины y y1 y2hellipyn соответствующих значениям аргумента х1 х2 hellipхn

Необходимо установить эмпирическую зависимость между y и х Задача состоит в том чтобы по экспериментальным точкам провести линию которая как можно лучше соответствовала бы истинной функциональной зависимости y = f(x) При этом ограничимся лишь случаем линейной функции

y = ax + b (41) Линейная зависимость очень широко распространена в

физике Даже в случаях когда зависимость нелинейная обычно стараются преобразовать ее так чтобы свести к линейной Например зависимость y = Aeαx преобразуется к виду ln y = ln A + αx и на графике строится зависимость

ln y = f(1x)

Ниже приведены два метода нахождения наиболее вероятных параметров линии (коэффициентов а и в уравнения (41)) проходящих через набор экспериментальных точек

sect 1 Метод парных точек Метод парных точек является наиболее простым и

применяется в основном для определения лишь наклона прямой то есть коэффициента а

Допустим что у нас имеется 8 точек лежащих на одной прямой Требуется найти наилучшее значение тангенса угла наклона а и его погрешность Пронумеруем точки по порядку от

26

1 до 8 (рис 9) Возьмем точки 1 и 5 ими определится некоторая прямая и угол ее наклона В качестве наилучшего значения а выбирается его среднее значение a и обычным способом находится его среднеквадратичная погрешность и доверительный интервал

y 8 7 6 5 3 4 2

1 0

х Рис 9 Нумерация экспериментальных точек для расчета а

методом парных точек

Таким образом полученная прямая линия будет иметь угловой коэффициент a и проходить через точку соответствующую средним значениям переменных х и y (следующий параграф)

Такой метод дает удовлетворительные результаты лишь тогда когда величины (x5 ndash x1) (x6 ndash x2) (x7 ndash x3) (x8 ndash x4) примерно одинаковы

sect 2 Метод наименьших квадратов (МНК) МНК является одним из стандартных методов статистики

Сущность этого метода заключается в следующем Допустим что имеется n пар измеренных значений (x1 y1) (x2 y2)hellip(xn yn) Предположим что ошибки содержат лишь величины y

27

(На практике это предположение часто оправдывается) По результатам измерений необходимо построить прямую линию

В основе описываемого метода лежит положение согласно которому наилучшим приближением будет такая прямая линия для которой сумма квадратов расстояний по вертикали от точек до прямой (сумма квадратов погрешностей величины y (рис 10)) является минимальной то есть наиболее вероятные

Рис 10 Распределение экспериментальных точек относительно искомой прямой

значения параметров а и в (41) выбираются так чтобы сумма

( )sum sum= =

minusminus==n

i

n

iiii baxydS

1 1

22 (42)

была минимальной Это значит что

( )sum=

=minus+=partpart n

iiii xybax

aS

1

02

( )sum=

=minus+=partpart n

iii ybax

bS

1

02 (43)

28

Таким образом искомые величины а и в получаются

решением системы уравнений

sum sum sum= = =

=+n

i

n

i

n

iiiii yxxbxa

1 1 1

2 (44)

sum sum= =

=+n

i

n

iii ybnxa

1 1

(45)

Из уравнения (45) следует что наилучшая прямая проходит через точку с координатами

sumsum==

==n

ii

n

ii y

nyx

nx

1

_

1

_

11 (46)

(В этом можно легко убедиться поделив равенство (45) почленно на n) Из уравнений (44) и (45) находим

1 1

2

1 1

sum sum

sum sum

= =

= =

minus

minus= n

i

n

iii

n

i

n

iiii

xxx

yyyxa (47)

sum sumsum sum

sum sum= =

= =

= =

minus

minusminus=

n

i

n

in

i

n

iii

n

i

n

iiii

ii

xxx

yyyxx

ny

nb

1 1

1 1

2

1 111 (48)

29

В лабораторном практикуме обычно бывает достаточно оценить погрешность коэффициента a Формула для среднеквадратичной ошибки величины а имеет вид (см Список литературы ndash 3)

2

1 2

minusminus

=n

rSS

Sx

ya (49)

где ( )sum=

minusminus

=n

iiy yy

nS

1

2 1

1 (410)

( )sum=

minusminus

=n

iix xx

nS

1

2

11

(411)

( ) ( )

( ) 1

1

yx

n

iii

SSn

yyxxr

sdotminus

minusminus=

sum= (412)

Интервал в котором с установленной вероятностью α может находиться коэффициент а записывается в виде

22 anan StaaSta sdot+lelesdotminus minusminus αα (413)

где a определяется формулой (47) aS ndash формулой (49) tαn-2 ndash коэффициент Стьюдента для надежности α и числа измерений n ndash число пар точек

При использовании метода наименьших квадратов рекомендуется следующий порядок действий

1 Составить таблицу

изм xi yi xiyi xi

2 1 2

i n

sumxi sumyi sumxiyi sumxi2

30

2 Рассчитать

а) sum=

n

iii yx

1 б) sum

=

=n

i

i

nx

x1

в) sum=

n

iiy

1

г) sum=

n

iix

1

д) sum=

n

iix

1

2 е) sum=

=n

i

i

ny

y1

3 Рассчитать наилучшие значения углового коэффициента а по

формуле (47) 4 Зная коэффициенты а и б провести наилучшую прямую она

должна проходить через точку с координатами x и y 5 Для расчета погрешности величины а по формулам (49 ndash 412) составить таблицу

пп

yi - y

xi - x

(yi - y )2

(xi - x )2

Sx

Sy

r

31

ЧАСТЬ II

ПРАВИЛА РАБОТЫ В ЛАБОРАТОРИИ

ОФОРМЛЕНИЕ РЕЗУЛЬТАТОВ РАБОТЫ sect 1 Правила работы в лаборатории Каждая лабораторная работа рассчитана на одно занятие

В начале семестра составляется и вывешивается в лаборатории график выполнения работ на весь семестр

Студент должен заранее знать тему своей лабораторной работы и подготовиться к ней по методическому руководству и другой указанной в нем литературе

Перед выполнением каждой лабораторной работы необходимо пройти краткое собеседование с преподавателем и получить разрешение на ее выполнение Оно дается в том случае если студент четко знает цель работы методику проведения эксперимента умеет пользоваться приборами

ПРИСТУПАТЬ К ВЫПОЛНЕНИЮ ЛАБОРАТОРНЫХ

РАБОТ БЕЗ РАЗРЕШЕНИЯ ПРЕПОДАВАТЕЛЯ КАТЕГОРИЧЕСКИ ВОСПРЕЩАЕТСЯ

В конце занятия студент обязан предъявить преподавателю

результаты своей работы Работа считается выполненной если результаты утверждены и подписаны преподавателем После этого необходимо выключить установку привести в порядок рабочее место и получить методические указания к следующей работе

32

sect 2 Журнал лабораторных работ Результаты измерений и наблюдений должны тотчас же

фиксироваться в специальном журнале в форме протоколов Временные записи результатов на черновых листочках не допускаются

Единую форму протоколов пригодную для всех работ дать невозможно и нецелесообразно Тем не менее можно сформулировать некоторые общие требования которым должны удовлетворять записи в журнале лабораторных работ

1 Должны быть указаны название работы и дата ее выполнения

конкретная цель работы и ее упражнений 2 Целесообразно привести расчетную формулу и пояснить

физический смысл входящих в нее символов 3 Результаты всех измерений заносятся в заранее

подготовленные удобные таблицы из которых было бы ясно какие физические величины и в каких единицах измерялись сколько раз повторялись измерения каждой физической величины

4 Необходимо указать приборы использовавшиеся для измерения различных величин и их точности

5 Зафиксировать (если это важно) условия опыта (температуру давление влажность воздуха и т д)

6 Записи в журнале должны быть аккуратными и четкими журнал лабораторных работ ndash не черновик В нем не должно содержаться никаких записей не относящихся к выполняемой работе Прикидочные расчеты должны проводиться на черновых листках

7 Для пометок и замечаний целесообразно оставлять поля шириной 3 см Ниже приведена схема оформления протокола одной из

лабораторных работ

33

081098 Определение модуля Юнга по изгибу стержня Цель работы ndash проверка закона Гука и определение модуля

Юнга для стального и медного стержней Расчетная формула

4 3

3

habPLE =

где Е ndash модуль Юнга Р ndash величина нагрузки приложенной к середине стержня L ndash длина деформируемой части стержня равная расстоянию между ребрами опорных призм а ndash ширина стержня в ndash его толщина h ndash стрела прогиба

Таблица 1 Определение размеров стержня

опыта L мм а мм в мм

1 5

Измерительный прибор и его точность

Штанген-циркуль plusmn 01 мм

Микрометр plusmn0005 мм

Микрометр plusmn0005 мм

Таблица 2 Измерение стрелы прогиба нагружаемого стержня

РкГс 0 01 02 03 04 hellip

h мм

205 207 203 208 205

255 248 251 249 252

hellip hellip hellip hellip

Измерительный прибор ndash микрометр точность ~ plusmn 0005 мм

Подпись преподавателя

34

sect 3 Оформление отчетов По результатам каждой лабораторной работы составляется

отчет Он должен включать 1 Краткую формулировку идеи метода расчетную формулу

пояснение физического смысла входящих в нее символов 2 Таблицы с результатами измерений и расчетов 3 Статистическую обработку результатов измерений 4 Выводы 5 На титульном листе должны быть указаны название

лабораторной работы факультет курс группа фамилия и инициалы исполнителя Отчет должен быть написан в хорошем стиле аккуратным

разборчивым почерком При его оформлении не следует также пренебрегать и эстетической стороной вопроса Заголовки выводы и формулы целесообразно выделять пастой другого цвета подчеркнуть и т п Это облегчает чтение отчета

Выводы должны быть аргументированы ссылками на соответствующие таблицы и графики поэтому они должны быть пронумерованы

sect 4 Графики Графики используются для наглядного представления

результатов При их построении необходимо соблюдать ряд правил 1 Графики нужно строить только на миллиметровой бумаге 2 На осях необходимо нанести масштабную сетку указать

единицы измерения и символы изображаемых величин 3 Масштаб должен быть простым удобным для отсчета его

долей Например 1 см = 01 1 2 или 10 единиц Кроме того масштаб выбирают так чтобы все экспериментальные точки вошли в график и достаточно далеко отстояли друг от друга

35

Иногда для этой цели бывает удобно сместить вдоль осей начало отсчета Масштаб по осям Х и У может быть различен

Рис 11 Пример построения графика функции по экспериментальным точкам

4 Экспериментальные точки следует наносить с максимальной

точностью так чтобы они четко выделялись на фоне графика не сливаясь с ним

5 График должен представлять собой плавную кривую без изломов и перегибов Нужно стремиться провести кривую так чтобы экспериментальные точки равномерно распределялись по обе стороны от нее (рис 11)

Графики выполненные на миллиметровой бумаге

аккуратно вклеиваются в отчет где для них необходимо предусмотреть соответствующее место

36

sect 5 Точность вычислений Точность вычислений определяется погрешностью

измерений Не имеет смысла вычислять какуюndashлибо величину до пятого знака после запятой если погрешность измерений такова что неуверенно определяется ее третий знак

Чтобы погрешностью вычислений можно было пренебречь она должна быть на порядок (то есть в 10 раз) меньше погрешности наименее точно измеряемой величины

Пример Модуль Юнга по изгибу стержня вычисляется по

формуле E = PL3 4ab3middoth Анализ исходных данных показывает как правило что с наибольшей относительной погрешностью измеряется стрела прогиба h Так как ΔEE gt Δh h то допускаемая относительная погрешность вычислений ΔE выч E cong 01 Δhh Для стали E cong 2middot104 кГсмм2 поэтому при Δhh =10-2 ΔEвыч cong 10 кГсмм2 Это значит что вычисления Е целесообразно проводить лишь с точностью до четвертой значащей цифры

Обычно нас интересует лишь порядок величины погрешностей поэтому последние рекомендуется вычислять лишь до второй значащей цифры а затем округлять результат до одной значащей цифры

Приводя значение измеренной Вами величины проверьте согласуется ли порядок приведенных значащих цифр с порядком погрешности

Порядок последней значащей цифры измеренной величины и порядок погрешности должны быть одинаковы

Запись Е = (1845127 plusmn 20) 107 Па неграмотна Величина ошибки свидетельствует о том что неуверенно определяется уже четвертый знак поэтому результат должен быть соответственно округлен

Е = (18450 plusmn 20) 107 Па

37

Приложение

Таблица 3 Значения коэффициентов Стьюдента

Коэффициент надежности Число

изме рений

N 08 09 095 098 099 0999

2 31 631 1271 3182 6366 63662 3 19 292 431 696 992 3160 4 16 235 318 454 584 1294 5 15 213 278 375 460 861 6 15 202 257 336 403 686 7 14 194 245 314 371 596 8 14 190 236 300 350 540 9 14 186 231 290 336 504

10 14 183 226 282 325 478 infin 13 165 196 233 259 331

38

Список литературы

1 Деденко Л Г Керженцев В В Математическая обработка и оформление результатов эксперимента М Издndashво МГУ 1977

2 Зайдель А Н Ошибки измерения физических величин Л

Наука 1974 3 Кассандрова О Н Лебедев В В Обработка результатов из-

мерений М Наука 1970 4 Сквайрс Дж Практическая физика М Мир 1971 5 Соловьев В А Яхонтова В Е Элементарные методы обра-

ботки результатов измерений Л Издndashво ЛГУ 1977

39

СОДЕРЖАНИЕ

Задачи физического практикума 3

Часть I Статистическая обработка результатов измерений

Глава I Введение в теорию погрешностей 3 sect1 Измерения и их погрешности 3 sect2 Типы погрешностей 5

1 Систематические погрешности 5 2 Случайные погрешности 6 3 Промахи 7

Глава II Статистическая обработка результатов прямых измерений 8 sect1 Вероятность случайного события 8 sect2 Нормальный закон распределения случайных погрешностей 9 sect3 Среднеквадратичная погрешность 13 sect4 Среднеквадратичная погрешность среднего 14 sect5 Доверительный интервал и доверительная вероятность 15 sect6 Совместный учет систематической и случайной погрешностей 20 Глава III Статистическая обработка результатов косвенных измерений 21 sect1 Два способа оценки погрешностей косвенного измерения 21 sect2 Частные погрешности и общая погрешность косвенного измерения 21 sect3 Относительная погрешность косвенного измерения 23 Глава IV Определение параметров линейной зависимости 25 sect1 Метод парных точек 25 sect2 Метод наименьших квадратов (МНК) 26

40

Часть II Правила работы в лаборатории оформление

результатов работы

sect1 Правила работы в лаборатории 31 sect2 Журнал лабораторных работ 32 sect3 Оформление отчетов 34 sect4 Графики 34 sect5 Точность вычислений 36 Приложение 37 Список литературы 38

41

Составители Жукова Ида Степановна Бутина Лариса Иосифовна Крылова Светлана Ивановна

ВВЕДЕНИЕ В ЛАБОРАТОРНЫЙ ПРАКТИКУМ ПО КУРСУ ОБЩЕЙ ФИЗИКИ

Методические указания

к лабораторной работе

Редактор Козина О В

ЛР 040 110 Подписано к печати 090999 Формат 60х84 116 Бумага газетная Офсетная печать 25 уч-издл

11 услкр-отт Тираж 500 экз Изд 19 laquoСraquo

Издательство Петрозаводского государственного университета

185640 Петрозаводск пр Ленина 33

20

3 Определить среднюю квадратичную ошибку среднего арифметического

( ))1(

1

2

minus

minus=

sum=

nn

xxS

n

ii

x

4 Определить точность измерения ΔX при заданных n и α ΔX = nx tS αsdot

5 Записать доверительный интервал для истинного значения измеряемой величины Х = x plusmn ΔX или x ndash ΔX leΧle xi +ΔX

Для удобства расчетов данные оформляются в виде таблицы xi Δxi = xi - x Δxi

2 xS αn ΔX

1 2

Ср Σ Δxi2=

Абсолютная ошибка Δхi рассчитывается по модулю

sect 6 Совместный учет систематической и случайной погрешностей Строгий учет систематической погрешности труден Если

систематическая погрешность обусловлена точностью прибора (что мы и будем предполагать) то можно оценить верхнюю границу возможных ошибок зная класс его точности Если точность обусловленная случайной погрешностью ndashΔХ а величина систематической погрешности ndashδ то величина суммарной точности ΔХ определяется формулой

( )2

2

3 ⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ sdot

+Δ=Δδαk

XX (28)

где kα = tα(infin) ndash коэффициент Стьюдента при n = infin

21

Глава III Статистическая обработка результатов косвенных измерений

sect 1 Два способа оценки погрешности косвенного

измерения В большинстве случаев имеют дело с косвенными

измерениями Пусть x y z ndash непосредственно измеряемые величины а W = f (x y z) ndash их функция то есть величина измеряемая косвенно Рассмотрим два способа оценки погрешности величины W

I способ Если косвенные измерения проводятся в невоспроизводимых условиях то значения Wi вычисляются для каждого отдельного измерения а затем обрабатываются как прямые измерения

II способ позволяет вычислить погрешность косвенного измерения как функцию погрешностей прямых измерений Далее остановимся подробнее на этом способе

sect 2 Частные погрешности и общая погрешность косвенного измерения Обрабатывая прямые измерения мы находим их

выборочные средние значения zyx hellip являющиеся как было показано выше случайными величинами Очевидно что и величина WW = ( zyx hellip) представляющая собой выборочное среднее искомой функции будет также случайной величиной Задача как и в случае прямых измерений состоит в том чтобы определить с какой вероятностью искомая величина W может быть заключена в некотором заданном интервале W plusmn ΔW В общем случае эта задача весьма сложна и мы ограничимся лишь ее приближенным решением

Рассмотрим сначала случай когда W является функцией только одной переменной то есть W = W(x) Разложим функцию W(x) в ряд Тейлора в окрестности точки х = Х (Х ndash истинное

22

значение х) В случае когда погрешность прямого измерения достаточно мала можно ограничиться лишь линейным членом и считать что

)()()( Xxdx

dWXWxWXx

minussdot⎟⎠⎞

⎜⎝⎛+=

=

Отсюда )()()( Xxdx

dWXWxWXx

minussdot⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=minus

=

(31)

Из (31) следует что

xxx

W Sdx

dWS sdot⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=

=

(32)

где xS и WS ndash средние квадратичные погрешности величин

x и W Доверительный интервал величины W соответствующий надежности α определяется как

Xdx

dWWWWxx

Δsdot⎟⎠⎞

⎜⎝⎛plusmn=Δplusmn

=

(33)

где ΔW ndash точность величины х соответствующая той же надежности α

Если результат косвенного измерения W является функцией многих переменных то есть W = W(x y z) то по формуле (33) можно вычислить погрешности ΔWx ΔWy ΔWzhellip обусловленные каждым аргументом и называемые частными погрешностями Они равны

Zz

WW

YyWW

Xx

WW

zzz

yyy

xxx

Δsdot⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

partpart

=Δ

Δsdot⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛partpart

=Δ

Δsdot⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

partpart

=Δ

=

=

=

(34)

и так далее

23

В формулах (34) z

WyW

xW

partpart

partpart

partpart являются частными

производными и вычисляются так как будто другие аргументы ndash постоянные величины

Общая погрешность косвенного измерения в этом случае вычисляется по формуле (см Список литературы ndash 4)

222zyx WWWW Δ+Δ+Δ=Δ и

22

22

22

Zz

WYyWX

xWW Δ⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛

partpart

+Δ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛partpart

+Δ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

partpart

=Δ (35)

sect 3 Относительная погрешность косвенного измерения Очень часто бывает удобно вычислить относительную

погрешность результата косвенного измерения WdW

W =η

На основании известной формулы dlnu = duu можно сформулировать следующее правило расчета относительной погрешности Допустим сначала что W = W(x) ndash функция одной переменой Тогда относительная погрешность

WdWdW

W ln==η (36)

то есть для нахождения ηW необходимо сначала прологарифмировать выражение W(x) а затем продифференцировать его по х

В случае многих переменных можно как и для абсолютных погрешностей ввести частные относительные погрешности равные

24

ln xWxx Δsdot

partpart

=η

ln

ln

zWz

yWy

z

y

Δsdotpartpart

=

Δsdotpartpart

=

η

η (37)

Тогда общая относительная погрешность определится как

K222zyxW ηηηη ++= (38)

Расчет погрешности по формулам (37) и (38) особенно удобно производить в случае когда функция имеет одночленную (логарифмическую) формулу Пусть например

yxAW 4=

где А ndash константа Используя правило (37) имеем lnln4lnln 2

1 yxAW minus+=

21 4

y yy

xx

xΔ

minus=Δ

= ηη

4

116 22

22 y

yx

xΔsdot+Δsdot=η

Замечание Прежде чем сделать расчет по формуле (38) произведите оценку относительных погрешностей по отдельным аргументам вычисленных по формулам (37) Если при этом отдельные частные погрешности меньше максимальной хотя бы в три раза ими можно пренебречь В таком случае общая формула (38) значительно упростится

Определив относительную погрешность ηW можно рассчитать абсолютную погрешность (точность) по формуле

ΔW = ηWW (39)

25

Глава IV Определение параметров линейной зависимости

На опыте часто измеряют пары величин х и y причем одна

из них y является функцией другой ndash х Пусть в результате эксперимента получен ряд измерений величины y y1 y2hellipyn соответствующих значениям аргумента х1 х2 hellipхn

Необходимо установить эмпирическую зависимость между y и х Задача состоит в том чтобы по экспериментальным точкам провести линию которая как можно лучше соответствовала бы истинной функциональной зависимости y = f(x) При этом ограничимся лишь случаем линейной функции

y = ax + b (41) Линейная зависимость очень широко распространена в

физике Даже в случаях когда зависимость нелинейная обычно стараются преобразовать ее так чтобы свести к линейной Например зависимость y = Aeαx преобразуется к виду ln y = ln A + αx и на графике строится зависимость

ln y = f(1x)

Ниже приведены два метода нахождения наиболее вероятных параметров линии (коэффициентов а и в уравнения (41)) проходящих через набор экспериментальных точек

sect 1 Метод парных точек Метод парных точек является наиболее простым и

применяется в основном для определения лишь наклона прямой то есть коэффициента а

Допустим что у нас имеется 8 точек лежащих на одной прямой Требуется найти наилучшее значение тангенса угла наклона а и его погрешность Пронумеруем точки по порядку от

26

1 до 8 (рис 9) Возьмем точки 1 и 5 ими определится некоторая прямая и угол ее наклона В качестве наилучшего значения а выбирается его среднее значение a и обычным способом находится его среднеквадратичная погрешность и доверительный интервал

y 8 7 6 5 3 4 2

1 0

х Рис 9 Нумерация экспериментальных точек для расчета а

методом парных точек

Таким образом полученная прямая линия будет иметь угловой коэффициент a и проходить через точку соответствующую средним значениям переменных х и y (следующий параграф)

Такой метод дает удовлетворительные результаты лишь тогда когда величины (x5 ndash x1) (x6 ndash x2) (x7 ndash x3) (x8 ndash x4) примерно одинаковы

sect 2 Метод наименьших квадратов (МНК) МНК является одним из стандартных методов статистики

Сущность этого метода заключается в следующем Допустим что имеется n пар измеренных значений (x1 y1) (x2 y2)hellip(xn yn) Предположим что ошибки содержат лишь величины y

27

(На практике это предположение часто оправдывается) По результатам измерений необходимо построить прямую линию

В основе описываемого метода лежит положение согласно которому наилучшим приближением будет такая прямая линия для которой сумма квадратов расстояний по вертикали от точек до прямой (сумма квадратов погрешностей величины y (рис 10)) является минимальной то есть наиболее вероятные

Рис 10 Распределение экспериментальных точек относительно искомой прямой

значения параметров а и в (41) выбираются так чтобы сумма

( )sum sum= =

minusminus==n

i

n

iiii baxydS

1 1

22 (42)

была минимальной Это значит что

( )sum=

=minus+=partpart n

iiii xybax

aS

1

02

( )sum=

=minus+=partpart n

iii ybax

bS

1

02 (43)

28

Таким образом искомые величины а и в получаются

решением системы уравнений

sum sum sum= = =

=+n

i

n

i

n

iiiii yxxbxa

1 1 1

2 (44)

sum sum= =

=+n

i

n

iii ybnxa

1 1

(45)

Из уравнения (45) следует что наилучшая прямая проходит через точку с координатами

sumsum==

==n

ii

n

ii y

nyx

nx

1

_

1

_

11 (46)

(В этом можно легко убедиться поделив равенство (45) почленно на n) Из уравнений (44) и (45) находим

1 1

2

1 1

sum sum

sum sum

= =

= =

minus

minus= n

i

n

iii

n

i

n

iiii

xxx

yyyxa (47)

sum sumsum sum

sum sum= =

= =

= =

minus

minusminus=

n

i

n

in

i

n

iii

n

i

n

iiii

ii

xxx

yyyxx

ny

nb

1 1

1 1

2

1 111 (48)

29

В лабораторном практикуме обычно бывает достаточно оценить погрешность коэффициента a Формула для среднеквадратичной ошибки величины а имеет вид (см Список литературы ndash 3)

2

1 2

minusminus

=n

rSS

Sx

ya (49)

где ( )sum=

minusminus

=n

iiy yy

nS

1

2 1

1 (410)

( )sum=

minusminus

=n

iix xx

nS

1

2

11

(411)

( ) ( )

( ) 1

1

yx

n

iii

SSn

yyxxr

sdotminus

minusminus=

sum= (412)

Интервал в котором с установленной вероятностью α может находиться коэффициент а записывается в виде

22 anan StaaSta sdot+lelesdotminus minusminus αα (413)

где a определяется формулой (47) aS ndash формулой (49) tαn-2 ndash коэффициент Стьюдента для надежности α и числа измерений n ndash число пар точек

При использовании метода наименьших квадратов рекомендуется следующий порядок действий

1 Составить таблицу

изм xi yi xiyi xi

2 1 2

i n

sumxi sumyi sumxiyi sumxi2

30

2 Рассчитать

а) sum=

n

iii yx

1 б) sum

=

=n

i

i

nx

x1

в) sum=

n

iiy

1

г) sum=

n

iix

1

д) sum=

n

iix

1

2 е) sum=

=n

i

i

ny

y1

3 Рассчитать наилучшие значения углового коэффициента а по

формуле (47) 4 Зная коэффициенты а и б провести наилучшую прямую она

должна проходить через точку с координатами x и y 5 Для расчета погрешности величины а по формулам (49 ndash 412) составить таблицу

пп

yi - y

xi - x

(yi - y )2

(xi - x )2

Sx

Sy

r

31

ЧАСТЬ II

ПРАВИЛА РАБОТЫ В ЛАБОРАТОРИИ

ОФОРМЛЕНИЕ РЕЗУЛЬТАТОВ РАБОТЫ sect 1 Правила работы в лаборатории Каждая лабораторная работа рассчитана на одно занятие

В начале семестра составляется и вывешивается в лаборатории график выполнения работ на весь семестр

Студент должен заранее знать тему своей лабораторной работы и подготовиться к ней по методическому руководству и другой указанной в нем литературе

Перед выполнением каждой лабораторной работы необходимо пройти краткое собеседование с преподавателем и получить разрешение на ее выполнение Оно дается в том случае если студент четко знает цель работы методику проведения эксперимента умеет пользоваться приборами

ПРИСТУПАТЬ К ВЫПОЛНЕНИЮ ЛАБОРАТОРНЫХ

РАБОТ БЕЗ РАЗРЕШЕНИЯ ПРЕПОДАВАТЕЛЯ КАТЕГОРИЧЕСКИ ВОСПРЕЩАЕТСЯ

В конце занятия студент обязан предъявить преподавателю

результаты своей работы Работа считается выполненной если результаты утверждены и подписаны преподавателем После этого необходимо выключить установку привести в порядок рабочее место и получить методические указания к следующей работе

32

sect 2 Журнал лабораторных работ Результаты измерений и наблюдений должны тотчас же

фиксироваться в специальном журнале в форме протоколов Временные записи результатов на черновых листочках не допускаются

Единую форму протоколов пригодную для всех работ дать невозможно и нецелесообразно Тем не менее можно сформулировать некоторые общие требования которым должны удовлетворять записи в журнале лабораторных работ

1 Должны быть указаны название работы и дата ее выполнения

конкретная цель работы и ее упражнений 2 Целесообразно привести расчетную формулу и пояснить

физический смысл входящих в нее символов 3 Результаты всех измерений заносятся в заранее

подготовленные удобные таблицы из которых было бы ясно какие физические величины и в каких единицах измерялись сколько раз повторялись измерения каждой физической величины

4 Необходимо указать приборы использовавшиеся для измерения различных величин и их точности

5 Зафиксировать (если это важно) условия опыта (температуру давление влажность воздуха и т д)

6 Записи в журнале должны быть аккуратными и четкими журнал лабораторных работ ndash не черновик В нем не должно содержаться никаких записей не относящихся к выполняемой работе Прикидочные расчеты должны проводиться на черновых листках

7 Для пометок и замечаний целесообразно оставлять поля шириной 3 см Ниже приведена схема оформления протокола одной из

лабораторных работ

33

081098 Определение модуля Юнга по изгибу стержня Цель работы ndash проверка закона Гука и определение модуля

Юнга для стального и медного стержней Расчетная формула

4 3

3

habPLE =

где Е ndash модуль Юнга Р ndash величина нагрузки приложенной к середине стержня L ndash длина деформируемой части стержня равная расстоянию между ребрами опорных призм а ndash ширина стержня в ndash его толщина h ndash стрела прогиба

Таблица 1 Определение размеров стержня

опыта L мм а мм в мм

1 5

Измерительный прибор и его точность

Штанген-циркуль plusmn 01 мм

Микрометр plusmn0005 мм

Микрометр plusmn0005 мм

Таблица 2 Измерение стрелы прогиба нагружаемого стержня

РкГс 0 01 02 03 04 hellip

h мм

205 207 203 208 205

255 248 251 249 252

hellip hellip hellip hellip

Измерительный прибор ndash микрометр точность ~ plusmn 0005 мм

Подпись преподавателя

34

sect 3 Оформление отчетов По результатам каждой лабораторной работы составляется

отчет Он должен включать 1 Краткую формулировку идеи метода расчетную формулу

пояснение физического смысла входящих в нее символов 2 Таблицы с результатами измерений и расчетов 3 Статистическую обработку результатов измерений 4 Выводы 5 На титульном листе должны быть указаны название

лабораторной работы факультет курс группа фамилия и инициалы исполнителя Отчет должен быть написан в хорошем стиле аккуратным

разборчивым почерком При его оформлении не следует также пренебрегать и эстетической стороной вопроса Заголовки выводы и формулы целесообразно выделять пастой другого цвета подчеркнуть и т п Это облегчает чтение отчета

Выводы должны быть аргументированы ссылками на соответствующие таблицы и графики поэтому они должны быть пронумерованы

sect 4 Графики Графики используются для наглядного представления

результатов При их построении необходимо соблюдать ряд правил 1 Графики нужно строить только на миллиметровой бумаге 2 На осях необходимо нанести масштабную сетку указать

единицы измерения и символы изображаемых величин 3 Масштаб должен быть простым удобным для отсчета его

долей Например 1 см = 01 1 2 или 10 единиц Кроме того масштаб выбирают так чтобы все экспериментальные точки вошли в график и достаточно далеко отстояли друг от друга

35

Иногда для этой цели бывает удобно сместить вдоль осей начало отсчета Масштаб по осям Х и У может быть различен

Рис 11 Пример построения графика функции по экспериментальным точкам

4 Экспериментальные точки следует наносить с максимальной

точностью так чтобы они четко выделялись на фоне графика не сливаясь с ним

5 График должен представлять собой плавную кривую без изломов и перегибов Нужно стремиться провести кривую так чтобы экспериментальные точки равномерно распределялись по обе стороны от нее (рис 11)

Графики выполненные на миллиметровой бумаге

аккуратно вклеиваются в отчет где для них необходимо предусмотреть соответствующее место

36

sect 5 Точность вычислений Точность вычислений определяется погрешностью

измерений Не имеет смысла вычислять какуюndashлибо величину до пятого знака после запятой если погрешность измерений такова что неуверенно определяется ее третий знак

Чтобы погрешностью вычислений можно было пренебречь она должна быть на порядок (то есть в 10 раз) меньше погрешности наименее точно измеряемой величины

Пример Модуль Юнга по изгибу стержня вычисляется по

формуле E = PL3 4ab3middoth Анализ исходных данных показывает как правило что с наибольшей относительной погрешностью измеряется стрела прогиба h Так как ΔEE gt Δh h то допускаемая относительная погрешность вычислений ΔE выч E cong 01 Δhh Для стали E cong 2middot104 кГсмм2 поэтому при Δhh =10-2 ΔEвыч cong 10 кГсмм2 Это значит что вычисления Е целесообразно проводить лишь с точностью до четвертой значащей цифры

Обычно нас интересует лишь порядок величины погрешностей поэтому последние рекомендуется вычислять лишь до второй значащей цифры а затем округлять результат до одной значащей цифры

Приводя значение измеренной Вами величины проверьте согласуется ли порядок приведенных значащих цифр с порядком погрешности

Порядок последней значащей цифры измеренной величины и порядок погрешности должны быть одинаковы

Запись Е = (1845127 plusmn 20) 107 Па неграмотна Величина ошибки свидетельствует о том что неуверенно определяется уже четвертый знак поэтому результат должен быть соответственно округлен

Е = (18450 plusmn 20) 107 Па

37

Приложение

Таблица 3 Значения коэффициентов Стьюдента

Коэффициент надежности Число

изме рений

N 08 09 095 098 099 0999

2 31 631 1271 3182 6366 63662 3 19 292 431 696 992 3160 4 16 235 318 454 584 1294 5 15 213 278 375 460 861 6 15 202 257 336 403 686 7 14 194 245 314 371 596 8 14 190 236 300 350 540 9 14 186 231 290 336 504

10 14 183 226 282 325 478 infin 13 165 196 233 259 331

38

Список литературы

1 Деденко Л Г Керженцев В В Математическая обработка и оформление результатов эксперимента М Издndashво МГУ 1977

2 Зайдель А Н Ошибки измерения физических величин Л

Наука 1974 3 Кассандрова О Н Лебедев В В Обработка результатов из-

мерений М Наука 1970 4 Сквайрс Дж Практическая физика М Мир 1971 5 Соловьев В А Яхонтова В Е Элементарные методы обра-

ботки результатов измерений Л Издndashво ЛГУ 1977

39

СОДЕРЖАНИЕ

Задачи физического практикума 3

Часть I Статистическая обработка результатов измерений

Глава I Введение в теорию погрешностей 3 sect1 Измерения и их погрешности 3 sect2 Типы погрешностей 5

1 Систематические погрешности 5 2 Случайные погрешности 6 3 Промахи 7

Глава II Статистическая обработка результатов прямых измерений 8 sect1 Вероятность случайного события 8 sect2 Нормальный закон распределения случайных погрешностей 9 sect3 Среднеквадратичная погрешность 13 sect4 Среднеквадратичная погрешность среднего 14 sect5 Доверительный интервал и доверительная вероятность 15 sect6 Совместный учет систематической и случайной погрешностей 20 Глава III Статистическая обработка результатов косвенных измерений 21 sect1 Два способа оценки погрешностей косвенного измерения 21 sect2 Частные погрешности и общая погрешность косвенного измерения 21 sect3 Относительная погрешность косвенного измерения 23 Глава IV Определение параметров линейной зависимости 25 sect1 Метод парных точек 25 sect2 Метод наименьших квадратов (МНК) 26

40

Часть II Правила работы в лаборатории оформление

результатов работы

sect1 Правила работы в лаборатории 31 sect2 Журнал лабораторных работ 32 sect3 Оформление отчетов 34 sect4 Графики 34 sect5 Точность вычислений 36 Приложение 37 Список литературы 38

41

Составители Жукова Ида Степановна Бутина Лариса Иосифовна Крылова Светлана Ивановна

ВВЕДЕНИЕ В ЛАБОРАТОРНЫЙ ПРАКТИКУМ ПО КУРСУ ОБЩЕЙ ФИЗИКИ

Методические указания

к лабораторной работе

Редактор Козина О В

ЛР 040 110 Подписано к печати 090999 Формат 60х84 116 Бумага газетная Офсетная печать 25 уч-издл

11 услкр-отт Тираж 500 экз Изд 19 laquoСraquo

Издательство Петрозаводского государственного университета

185640 Петрозаводск пр Ленина 33

21

Глава III Статистическая обработка результатов косвенных измерений

sect 1 Два способа оценки погрешности косвенного

измерения В большинстве случаев имеют дело с косвенными

измерениями Пусть x y z ndash непосредственно измеряемые величины а W = f (x y z) ndash их функция то есть величина измеряемая косвенно Рассмотрим два способа оценки погрешности величины W

I способ Если косвенные измерения проводятся в невоспроизводимых условиях то значения Wi вычисляются для каждого отдельного измерения а затем обрабатываются как прямые измерения

II способ позволяет вычислить погрешность косвенного измерения как функцию погрешностей прямых измерений Далее остановимся подробнее на этом способе

sect 2 Частные погрешности и общая погрешность косвенного измерения Обрабатывая прямые измерения мы находим их

выборочные средние значения zyx hellip являющиеся как было показано выше случайными величинами Очевидно что и величина WW = ( zyx hellip) представляющая собой выборочное среднее искомой функции будет также случайной величиной Задача как и в случае прямых измерений состоит в том чтобы определить с какой вероятностью искомая величина W может быть заключена в некотором заданном интервале W plusmn ΔW В общем случае эта задача весьма сложна и мы ограничимся лишь ее приближенным решением

Рассмотрим сначала случай когда W является функцией только одной переменной то есть W = W(x) Разложим функцию W(x) в ряд Тейлора в окрестности точки х = Х (Х ndash истинное

22

значение х) В случае когда погрешность прямого измерения достаточно мала можно ограничиться лишь линейным членом и считать что

)()()( Xxdx

dWXWxWXx

minussdot⎟⎠⎞

⎜⎝⎛+=

=

Отсюда )()()( Xxdx

dWXWxWXx

minussdot⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=minus

=

(31)

Из (31) следует что

xxx

W Sdx

dWS sdot⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=

=

(32)

где xS и WS ndash средние квадратичные погрешности величин

x и W Доверительный интервал величины W соответствующий надежности α определяется как

Xdx

dWWWWxx

Δsdot⎟⎠⎞

⎜⎝⎛plusmn=Δplusmn

=

(33)

где ΔW ndash точность величины х соответствующая той же надежности α

Если результат косвенного измерения W является функцией многих переменных то есть W = W(x y z) то по формуле (33) можно вычислить погрешности ΔWx ΔWy ΔWzhellip обусловленные каждым аргументом и называемые частными погрешностями Они равны

Zz

WW

YyWW

Xx

WW

zzz

yyy

xxx

Δsdot⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

partpart

=Δ

Δsdot⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛partpart

=Δ

Δsdot⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

partpart

=Δ

=

=

=

(34)

и так далее

23

В формулах (34) z

WyW

xW

partpart

partpart

partpart являются частными

производными и вычисляются так как будто другие аргументы ndash постоянные величины

Общая погрешность косвенного измерения в этом случае вычисляется по формуле (см Список литературы ndash 4)

222zyx WWWW Δ+Δ+Δ=Δ и

22

22

22

Zz

WYyWX

xWW Δ⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛

partpart

+Δ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛partpart

+Δ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

partpart

=Δ (35)

sect 3 Относительная погрешность косвенного измерения Очень часто бывает удобно вычислить относительную

погрешность результата косвенного измерения WdW

W =η

На основании известной формулы dlnu = duu можно сформулировать следующее правило расчета относительной погрешности Допустим сначала что W = W(x) ndash функция одной переменой Тогда относительная погрешность

WdWdW

W ln==η (36)

то есть для нахождения ηW необходимо сначала прологарифмировать выражение W(x) а затем продифференцировать его по х

В случае многих переменных можно как и для абсолютных погрешностей ввести частные относительные погрешности равные

24

ln xWxx Δsdot

partpart

=η

ln

ln

zWz

yWy

z

y

Δsdotpartpart

=

Δsdotpartpart

=

η

η (37)

Тогда общая относительная погрешность определится как

K222zyxW ηηηη ++= (38)

Расчет погрешности по формулам (37) и (38) особенно удобно производить в случае когда функция имеет одночленную (логарифмическую) формулу Пусть например

yxAW 4=

где А ndash константа Используя правило (37) имеем lnln4lnln 2

1 yxAW minus+=

21 4

y yy

xx

xΔ

minus=Δ

= ηη

4

116 22

22 y

yx

xΔsdot+Δsdot=η

Замечание Прежде чем сделать расчет по формуле (38) произведите оценку относительных погрешностей по отдельным аргументам вычисленных по формулам (37) Если при этом отдельные частные погрешности меньше максимальной хотя бы в три раза ими можно пренебречь В таком случае общая формула (38) значительно упростится

Определив относительную погрешность ηW можно рассчитать абсолютную погрешность (точность) по формуле

ΔW = ηWW (39)

25

Глава IV Определение параметров линейной зависимости

На опыте часто измеряют пары величин х и y причем одна

из них y является функцией другой ndash х Пусть в результате эксперимента получен ряд измерений величины y y1 y2hellipyn соответствующих значениям аргумента х1 х2 hellipхn

Необходимо установить эмпирическую зависимость между y и х Задача состоит в том чтобы по экспериментальным точкам провести линию которая как можно лучше соответствовала бы истинной функциональной зависимости y = f(x) При этом ограничимся лишь случаем линейной функции

y = ax + b (41) Линейная зависимость очень широко распространена в

физике Даже в случаях когда зависимость нелинейная обычно стараются преобразовать ее так чтобы свести к линейной Например зависимость y = Aeαx преобразуется к виду ln y = ln A + αx и на графике строится зависимость

ln y = f(1x)

Ниже приведены два метода нахождения наиболее вероятных параметров линии (коэффициентов а и в уравнения (41)) проходящих через набор экспериментальных точек

sect 1 Метод парных точек Метод парных точек является наиболее простым и

применяется в основном для определения лишь наклона прямой то есть коэффициента а

Допустим что у нас имеется 8 точек лежащих на одной прямой Требуется найти наилучшее значение тангенса угла наклона а и его погрешность Пронумеруем точки по порядку от

26

1 до 8 (рис 9) Возьмем точки 1 и 5 ими определится некоторая прямая и угол ее наклона В качестве наилучшего значения а выбирается его среднее значение a и обычным способом находится его среднеквадратичная погрешность и доверительный интервал

y 8 7 6 5 3 4 2

1 0

х Рис 9 Нумерация экспериментальных точек для расчета а

методом парных точек

Таким образом полученная прямая линия будет иметь угловой коэффициент a и проходить через точку соответствующую средним значениям переменных х и y (следующий параграф)

Такой метод дает удовлетворительные результаты лишь тогда когда величины (x5 ndash x1) (x6 ndash x2) (x7 ndash x3) (x8 ndash x4) примерно одинаковы

sect 2 Метод наименьших квадратов (МНК) МНК является одним из стандартных методов статистики

Сущность этого метода заключается в следующем Допустим что имеется n пар измеренных значений (x1 y1) (x2 y2)hellip(xn yn) Предположим что ошибки содержат лишь величины y

27

(На практике это предположение часто оправдывается) По результатам измерений необходимо построить прямую линию

В основе описываемого метода лежит положение согласно которому наилучшим приближением будет такая прямая линия для которой сумма квадратов расстояний по вертикали от точек до прямой (сумма квадратов погрешностей величины y (рис 10)) является минимальной то есть наиболее вероятные

Рис 10 Распределение экспериментальных точек относительно искомой прямой

значения параметров а и в (41) выбираются так чтобы сумма

( )sum sum= =

minusminus==n

i

n

iiii baxydS

1 1

22 (42)

была минимальной Это значит что

( )sum=

=minus+=partpart n

iiii xybax

aS

1

02

( )sum=

=minus+=partpart n

iii ybax

bS

1

02 (43)

28

Таким образом искомые величины а и в получаются

решением системы уравнений

sum sum sum= = =

=+n

i

n

i

n

iiiii yxxbxa

1 1 1

2 (44)

sum sum= =

=+n

i

n

iii ybnxa

1 1

(45)

Из уравнения (45) следует что наилучшая прямая проходит через точку с координатами

sumsum==

==n

ii

n

ii y

nyx

nx

1

_

1

_

11 (46)

(В этом можно легко убедиться поделив равенство (45) почленно на n) Из уравнений (44) и (45) находим

1 1

2

1 1

sum sum

sum sum

= =

= =

minus

minus= n

i

n

iii

n

i

n

iiii

xxx

yyyxa (47)

sum sumsum sum

sum sum= =

= =

= =

minus

minusminus=

n

i

n

in

i

n

iii

n

i

n

iiii

ii

xxx

yyyxx

ny

nb

1 1

1 1

2

1 111 (48)

29

В лабораторном практикуме обычно бывает достаточно оценить погрешность коэффициента a Формула для среднеквадратичной ошибки величины а имеет вид (см Список литературы ndash 3)

2

1 2

minusminus

=n

rSS

Sx

ya (49)

где ( )sum=

minusminus

=n

iiy yy

nS

1

2 1

1 (410)

( )sum=

minusminus

=n

iix xx

nS

1

2

11

(411)

( ) ( )

( ) 1

1

yx

n

iii

SSn

yyxxr

sdotminus

minusminus=

sum= (412)

Интервал в котором с установленной вероятностью α может находиться коэффициент а записывается в виде

22 anan StaaSta sdot+lelesdotminus minusminus αα (413)

где a определяется формулой (47) aS ndash формулой (49) tαn-2 ndash коэффициент Стьюдента для надежности α и числа измерений n ndash число пар точек

При использовании метода наименьших квадратов рекомендуется следующий порядок действий

1 Составить таблицу

изм xi yi xiyi xi

2 1 2

i n

sumxi sumyi sumxiyi sumxi2

30

2 Рассчитать

а) sum=

n

iii yx

1 б) sum

=

=n

i

i

nx

x1

в) sum=

n

iiy

1

г) sum=

n

iix

1

д) sum=

n

iix

1

2 е) sum=

=n

i

i

ny

y1

3 Рассчитать наилучшие значения углового коэффициента а по

формуле (47) 4 Зная коэффициенты а и б провести наилучшую прямую она

должна проходить через точку с координатами x и y 5 Для расчета погрешности величины а по формулам (49 ndash 412) составить таблицу

пп

yi - y

xi - x

(yi - y )2

(xi - x )2

Sx

Sy

r

31

ЧАСТЬ II

ПРАВИЛА РАБОТЫ В ЛАБОРАТОРИИ

ОФОРМЛЕНИЕ РЕЗУЛЬТАТОВ РАБОТЫ sect 1 Правила работы в лаборатории Каждая лабораторная работа рассчитана на одно занятие

В начале семестра составляется и вывешивается в лаборатории график выполнения работ на весь семестр

Студент должен заранее знать тему своей лабораторной работы и подготовиться к ней по методическому руководству и другой указанной в нем литературе

Перед выполнением каждой лабораторной работы необходимо пройти краткое собеседование с преподавателем и получить разрешение на ее выполнение Оно дается в том случае если студент четко знает цель работы методику проведения эксперимента умеет пользоваться приборами

ПРИСТУПАТЬ К ВЫПОЛНЕНИЮ ЛАБОРАТОРНЫХ

РАБОТ БЕЗ РАЗРЕШЕНИЯ ПРЕПОДАВАТЕЛЯ КАТЕГОРИЧЕСКИ ВОСПРЕЩАЕТСЯ

В конце занятия студент обязан предъявить преподавателю

результаты своей работы Работа считается выполненной если результаты утверждены и подписаны преподавателем После этого необходимо выключить установку привести в порядок рабочее место и получить методические указания к следующей работе

32

sect 2 Журнал лабораторных работ Результаты измерений и наблюдений должны тотчас же

фиксироваться в специальном журнале в форме протоколов Временные записи результатов на черновых листочках не допускаются

Единую форму протоколов пригодную для всех работ дать невозможно и нецелесообразно Тем не менее можно сформулировать некоторые общие требования которым должны удовлетворять записи в журнале лабораторных работ

1 Должны быть указаны название работы и дата ее выполнения

конкретная цель работы и ее упражнений 2 Целесообразно привести расчетную формулу и пояснить

физический смысл входящих в нее символов 3 Результаты всех измерений заносятся в заранее

подготовленные удобные таблицы из которых было бы ясно какие физические величины и в каких единицах измерялись сколько раз повторялись измерения каждой физической величины

4 Необходимо указать приборы использовавшиеся для измерения различных величин и их точности

5 Зафиксировать (если это важно) условия опыта (температуру давление влажность воздуха и т д)

6 Записи в журнале должны быть аккуратными и четкими журнал лабораторных работ ndash не черновик В нем не должно содержаться никаких записей не относящихся к выполняемой работе Прикидочные расчеты должны проводиться на черновых листках

7 Для пометок и замечаний целесообразно оставлять поля шириной 3 см Ниже приведена схема оформления протокола одной из

лабораторных работ

33

081098 Определение модуля Юнга по изгибу стержня Цель работы ndash проверка закона Гука и определение модуля

Юнга для стального и медного стержней Расчетная формула

4 3

3

habPLE =

где Е ndash модуль Юнга Р ndash величина нагрузки приложенной к середине стержня L ndash длина деформируемой части стержня равная расстоянию между ребрами опорных призм а ndash ширина стержня в ndash его толщина h ndash стрела прогиба

Таблица 1 Определение размеров стержня

опыта L мм а мм в мм

1 5

Измерительный прибор и его точность

Штанген-циркуль plusmn 01 мм

Микрометр plusmn0005 мм

Микрометр plusmn0005 мм

Таблица 2 Измерение стрелы прогиба нагружаемого стержня

РкГс 0 01 02 03 04 hellip

h мм

205 207 203 208 205

255 248 251 249 252

hellip hellip hellip hellip

Измерительный прибор ndash микрометр точность ~ plusmn 0005 мм

Подпись преподавателя

34

sect 3 Оформление отчетов По результатам каждой лабораторной работы составляется

отчет Он должен включать 1 Краткую формулировку идеи метода расчетную формулу

пояснение физического смысла входящих в нее символов 2 Таблицы с результатами измерений и расчетов 3 Статистическую обработку результатов измерений 4 Выводы 5 На титульном листе должны быть указаны название

лабораторной работы факультет курс группа фамилия и инициалы исполнителя Отчет должен быть написан в хорошем стиле аккуратным

разборчивым почерком При его оформлении не следует также пренебрегать и эстетической стороной вопроса Заголовки выводы и формулы целесообразно выделять пастой другого цвета подчеркнуть и т п Это облегчает чтение отчета

Выводы должны быть аргументированы ссылками на соответствующие таблицы и графики поэтому они должны быть пронумерованы

sect 4 Графики Графики используются для наглядного представления

результатов При их построении необходимо соблюдать ряд правил 1 Графики нужно строить только на миллиметровой бумаге 2 На осях необходимо нанести масштабную сетку указать

единицы измерения и символы изображаемых величин 3 Масштаб должен быть простым удобным для отсчета его

долей Например 1 см = 01 1 2 или 10 единиц Кроме того масштаб выбирают так чтобы все экспериментальные точки вошли в график и достаточно далеко отстояли друг от друга

35

Иногда для этой цели бывает удобно сместить вдоль осей начало отсчета Масштаб по осям Х и У может быть различен

Рис 11 Пример построения графика функции по экспериментальным точкам

4 Экспериментальные точки следует наносить с максимальной

точностью так чтобы они четко выделялись на фоне графика не сливаясь с ним

5 График должен представлять собой плавную кривую без изломов и перегибов Нужно стремиться провести кривую так чтобы экспериментальные точки равномерно распределялись по обе стороны от нее (рис 11)

Графики выполненные на миллиметровой бумаге

аккуратно вклеиваются в отчет где для них необходимо предусмотреть соответствующее место

36

sect 5 Точность вычислений Точность вычислений определяется погрешностью

измерений Не имеет смысла вычислять какуюndashлибо величину до пятого знака после запятой если погрешность измерений такова что неуверенно определяется ее третий знак

Чтобы погрешностью вычислений можно было пренебречь она должна быть на порядок (то есть в 10 раз) меньше погрешности наименее точно измеряемой величины

Пример Модуль Юнга по изгибу стержня вычисляется по

формуле E = PL3 4ab3middoth Анализ исходных данных показывает как правило что с наибольшей относительной погрешностью измеряется стрела прогиба h Так как ΔEE gt Δh h то допускаемая относительная погрешность вычислений ΔE выч E cong 01 Δhh Для стали E cong 2middot104 кГсмм2 поэтому при Δhh =10-2 ΔEвыч cong 10 кГсмм2 Это значит что вычисления Е целесообразно проводить лишь с точностью до четвертой значащей цифры

Обычно нас интересует лишь порядок величины погрешностей поэтому последние рекомендуется вычислять лишь до второй значащей цифры а затем округлять результат до одной значащей цифры

Приводя значение измеренной Вами величины проверьте согласуется ли порядок приведенных значащих цифр с порядком погрешности

Порядок последней значащей цифры измеренной величины и порядок погрешности должны быть одинаковы

Запись Е = (1845127 plusmn 20) 107 Па неграмотна Величина ошибки свидетельствует о том что неуверенно определяется уже четвертый знак поэтому результат должен быть соответственно округлен

Е = (18450 plusmn 20) 107 Па

37

Приложение

Таблица 3 Значения коэффициентов Стьюдента

Коэффициент надежности Число

изме рений

N 08 09 095 098 099 0999

2 31 631 1271 3182 6366 63662 3 19 292 431 696 992 3160 4 16 235 318 454 584 1294 5 15 213 278 375 460 861 6 15 202 257 336 403 686 7 14 194 245 314 371 596 8 14 190 236 300 350 540 9 14 186 231 290 336 504

10 14 183 226 282 325 478 infin 13 165 196 233 259 331

38

Список литературы

1 Деденко Л Г Керженцев В В Математическая обработка и оформление результатов эксперимента М Издndashво МГУ 1977

2 Зайдель А Н Ошибки измерения физических величин Л

Наука 1974 3 Кассандрова О Н Лебедев В В Обработка результатов из-

мерений М Наука 1970 4 Сквайрс Дж Практическая физика М Мир 1971 5 Соловьев В А Яхонтова В Е Элементарные методы обра-

ботки результатов измерений Л Издndashво ЛГУ 1977

39

СОДЕРЖАНИЕ

Задачи физического практикума 3

Часть I Статистическая обработка результатов измерений

Глава I Введение в теорию погрешностей 3 sect1 Измерения и их погрешности 3 sect2 Типы погрешностей 5

1 Систематические погрешности 5 2 Случайные погрешности 6 3 Промахи 7

Глава II Статистическая обработка результатов прямых измерений 8 sect1 Вероятность случайного события 8 sect2 Нормальный закон распределения случайных погрешностей 9 sect3 Среднеквадратичная погрешность 13 sect4 Среднеквадратичная погрешность среднего 14 sect5 Доверительный интервал и доверительная вероятность 15 sect6 Совместный учет систематической и случайной погрешностей 20 Глава III Статистическая обработка результатов косвенных измерений 21 sect1 Два способа оценки погрешностей косвенного измерения 21 sect2 Частные погрешности и общая погрешность косвенного измерения 21 sect3 Относительная погрешность косвенного измерения 23 Глава IV Определение параметров линейной зависимости 25 sect1 Метод парных точек 25 sect2 Метод наименьших квадратов (МНК) 26

40

Часть II Правила работы в лаборатории оформление

результатов работы

sect1 Правила работы в лаборатории 31 sect2 Журнал лабораторных работ 32 sect3 Оформление отчетов 34 sect4 Графики 34 sect5 Точность вычислений 36 Приложение 37 Список литературы 38

41

Составители Жукова Ида Степановна Бутина Лариса Иосифовна Крылова Светлана Ивановна

ВВЕДЕНИЕ В ЛАБОРАТОРНЫЙ ПРАКТИКУМ ПО КУРСУ ОБЩЕЙ ФИЗИКИ

Методические указания

к лабораторной работе

Редактор Козина О В

ЛР 040 110 Подписано к печати 090999 Формат 60х84 116 Бумага газетная Офсетная печать 25 уч-издл

11 услкр-отт Тираж 500 экз Изд 19 laquoСraquo

Издательство Петрозаводского государственного университета

185640 Петрозаводск пр Ленина 33

22

значение х) В случае когда погрешность прямого измерения достаточно мала можно ограничиться лишь линейным членом и считать что

)()()( Xxdx

dWXWxWXx

minussdot⎟⎠⎞

⎜⎝⎛+=

=

Отсюда )()()( Xxdx

dWXWxWXx

minussdot⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=minus

=

(31)

Из (31) следует что

xxx

W Sdx

dWS sdot⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=

=

(32)

где xS и WS ndash средние квадратичные погрешности величин

x и W Доверительный интервал величины W соответствующий надежности α определяется как

Xdx

dWWWWxx

Δsdot⎟⎠⎞

⎜⎝⎛plusmn=Δplusmn

=

(33)

где ΔW ndash точность величины х соответствующая той же надежности α

Если результат косвенного измерения W является функцией многих переменных то есть W = W(x y z) то по формуле (33) можно вычислить погрешности ΔWx ΔWy ΔWzhellip обусловленные каждым аргументом и называемые частными погрешностями Они равны

Zz

WW

YyWW

Xx

WW

zzz

yyy

xxx

Δsdot⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

partpart

=Δ

Δsdot⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛partpart

=Δ

Δsdot⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

partpart

=Δ

=

=

=

(34)

и так далее

23

В формулах (34) z

WyW

xW

partpart

partpart

partpart являются частными

производными и вычисляются так как будто другие аргументы ndash постоянные величины

Общая погрешность косвенного измерения в этом случае вычисляется по формуле (см Список литературы ndash 4)

222zyx WWWW Δ+Δ+Δ=Δ и

22

22

22

Zz

WYyWX

xWW Δ⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛

partpart

+Δ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛partpart

+Δ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

partpart

=Δ (35)

sect 3 Относительная погрешность косвенного измерения Очень часто бывает удобно вычислить относительную

погрешность результата косвенного измерения WdW

W =η

На основании известной формулы dlnu = duu можно сформулировать следующее правило расчета относительной погрешности Допустим сначала что W = W(x) ndash функция одной переменой Тогда относительная погрешность

WdWdW

W ln==η (36)

то есть для нахождения ηW необходимо сначала прологарифмировать выражение W(x) а затем продифференцировать его по х

В случае многих переменных можно как и для абсолютных погрешностей ввести частные относительные погрешности равные

24

ln xWxx Δsdot

partpart

=η

ln

ln

zWz

yWy

z

y

Δsdotpartpart

=

Δsdotpartpart

=

η

η (37)

Тогда общая относительная погрешность определится как

K222zyxW ηηηη ++= (38)

Расчет погрешности по формулам (37) и (38) особенно удобно производить в случае когда функция имеет одночленную (логарифмическую) формулу Пусть например

yxAW 4=

где А ndash константа Используя правило (37) имеем lnln4lnln 2

1 yxAW minus+=

21 4

y yy

xx

xΔ

minus=Δ

= ηη

4

116 22

22 y

yx

xΔsdot+Δsdot=η

Замечание Прежде чем сделать расчет по формуле (38) произведите оценку относительных погрешностей по отдельным аргументам вычисленных по формулам (37) Если при этом отдельные частные погрешности меньше максимальной хотя бы в три раза ими можно пренебречь В таком случае общая формула (38) значительно упростится

Определив относительную погрешность ηW можно рассчитать абсолютную погрешность (точность) по формуле

ΔW = ηWW (39)

25

Глава IV Определение параметров линейной зависимости

На опыте часто измеряют пары величин х и y причем одна

из них y является функцией другой ndash х Пусть в результате эксперимента получен ряд измерений величины y y1 y2hellipyn соответствующих значениям аргумента х1 х2 hellipхn

Необходимо установить эмпирическую зависимость между y и х Задача состоит в том чтобы по экспериментальным точкам провести линию которая как можно лучше соответствовала бы истинной функциональной зависимости y = f(x) При этом ограничимся лишь случаем линейной функции

y = ax + b (41) Линейная зависимость очень широко распространена в

физике Даже в случаях когда зависимость нелинейная обычно стараются преобразовать ее так чтобы свести к линейной Например зависимость y = Aeαx преобразуется к виду ln y = ln A + αx и на графике строится зависимость

ln y = f(1x)

Ниже приведены два метода нахождения наиболее вероятных параметров линии (коэффициентов а и в уравнения (41)) проходящих через набор экспериментальных точек

sect 1 Метод парных точек Метод парных точек является наиболее простым и

применяется в основном для определения лишь наклона прямой то есть коэффициента а

Допустим что у нас имеется 8 точек лежащих на одной прямой Требуется найти наилучшее значение тангенса угла наклона а и его погрешность Пронумеруем точки по порядку от

26

1 до 8 (рис 9) Возьмем точки 1 и 5 ими определится некоторая прямая и угол ее наклона В качестве наилучшего значения а выбирается его среднее значение a и обычным способом находится его среднеквадратичная погрешность и доверительный интервал

y 8 7 6 5 3 4 2

1 0

х Рис 9 Нумерация экспериментальных точек для расчета а

методом парных точек

Таким образом полученная прямая линия будет иметь угловой коэффициент a и проходить через точку соответствующую средним значениям переменных х и y (следующий параграф)

Такой метод дает удовлетворительные результаты лишь тогда когда величины (x5 ndash x1) (x6 ndash x2) (x7 ndash x3) (x8 ndash x4) примерно одинаковы

sect 2 Метод наименьших квадратов (МНК) МНК является одним из стандартных методов статистики

Сущность этого метода заключается в следующем Допустим что имеется n пар измеренных значений (x1 y1) (x2 y2)hellip(xn yn) Предположим что ошибки содержат лишь величины y

27

(На практике это предположение часто оправдывается) По результатам измерений необходимо построить прямую линию

В основе описываемого метода лежит положение согласно которому наилучшим приближением будет такая прямая линия для которой сумма квадратов расстояний по вертикали от точек до прямой (сумма квадратов погрешностей величины y (рис 10)) является минимальной то есть наиболее вероятные

Рис 10 Распределение экспериментальных точек относительно искомой прямой

значения параметров а и в (41) выбираются так чтобы сумма

( )sum sum= =

minusminus==n

i

n

iiii baxydS

1 1

22 (42)

была минимальной Это значит что

( )sum=

=minus+=partpart n

iiii xybax

aS

1

02

( )sum=

=minus+=partpart n

iii ybax

bS

1

02 (43)

28

Таким образом искомые величины а и в получаются

решением системы уравнений

sum sum sum= = =

=+n

i

n

i

n

iiiii yxxbxa

1 1 1

2 (44)

sum sum= =

=+n

i

n

iii ybnxa

1 1

(45)

Из уравнения (45) следует что наилучшая прямая проходит через точку с координатами

sumsum==

==n

ii

n

ii y

nyx

nx

1

_

1

_

11 (46)

(В этом можно легко убедиться поделив равенство (45) почленно на n) Из уравнений (44) и (45) находим

1 1

2

1 1

sum sum

sum sum

= =

= =

minus

minus= n

i

n

iii

n

i

n

iiii

xxx

yyyxa (47)

sum sumsum sum

sum sum= =

= =

= =

minus

minusminus=

n

i

n

in

i

n

iii

n

i

n

iiii

ii

xxx

yyyxx

ny

nb

1 1

1 1

2

1 111 (48)

29

В лабораторном практикуме обычно бывает достаточно оценить погрешность коэффициента a Формула для среднеквадратичной ошибки величины а имеет вид (см Список литературы ndash 3)

2

1 2

minusminus

=n

rSS

Sx

ya (49)

где ( )sum=

minusminus

=n

iiy yy

nS

1

2 1

1 (410)

( )sum=

minusminus

=n

iix xx

nS

1

2

11

(411)

( ) ( )

( ) 1

1

yx

n

iii

SSn

yyxxr

sdotminus

minusminus=

sum= (412)

Интервал в котором с установленной вероятностью α может находиться коэффициент а записывается в виде

22 anan StaaSta sdot+lelesdotminus minusminus αα (413)

где a определяется формулой (47) aS ndash формулой (49) tαn-2 ndash коэффициент Стьюдента для надежности α и числа измерений n ndash число пар точек

При использовании метода наименьших квадратов рекомендуется следующий порядок действий

1 Составить таблицу

изм xi yi xiyi xi

2 1 2

i n

sumxi sumyi sumxiyi sumxi2

30

2 Рассчитать

а) sum=

n

iii yx

1 б) sum

=

=n

i

i

nx

x1

в) sum=

n

iiy

1

г) sum=

n

iix

1

д) sum=

n

iix

1

2 е) sum=

=n

i

i

ny

y1

3 Рассчитать наилучшие значения углового коэффициента а по

формуле (47) 4 Зная коэффициенты а и б провести наилучшую прямую она

должна проходить через точку с координатами x и y 5 Для расчета погрешности величины а по формулам (49 ndash 412) составить таблицу

пп

yi - y

xi - x

(yi - y )2

(xi - x )2

Sx

Sy

r

31

ЧАСТЬ II

ПРАВИЛА РАБОТЫ В ЛАБОРАТОРИИ

ОФОРМЛЕНИЕ РЕЗУЛЬТАТОВ РАБОТЫ sect 1 Правила работы в лаборатории Каждая лабораторная работа рассчитана на одно занятие

В начале семестра составляется и вывешивается в лаборатории график выполнения работ на весь семестр

Студент должен заранее знать тему своей лабораторной работы и подготовиться к ней по методическому руководству и другой указанной в нем литературе

Перед выполнением каждой лабораторной работы необходимо пройти краткое собеседование с преподавателем и получить разрешение на ее выполнение Оно дается в том случае если студент четко знает цель работы методику проведения эксперимента умеет пользоваться приборами

ПРИСТУПАТЬ К ВЫПОЛНЕНИЮ ЛАБОРАТОРНЫХ

РАБОТ БЕЗ РАЗРЕШЕНИЯ ПРЕПОДАВАТЕЛЯ КАТЕГОРИЧЕСКИ ВОСПРЕЩАЕТСЯ

В конце занятия студент обязан предъявить преподавателю

результаты своей работы Работа считается выполненной если результаты утверждены и подписаны преподавателем После этого необходимо выключить установку привести в порядок рабочее место и получить методические указания к следующей работе

32

sect 2 Журнал лабораторных работ Результаты измерений и наблюдений должны тотчас же

фиксироваться в специальном журнале в форме протоколов Временные записи результатов на черновых листочках не допускаются

Единую форму протоколов пригодную для всех работ дать невозможно и нецелесообразно Тем не менее можно сформулировать некоторые общие требования которым должны удовлетворять записи в журнале лабораторных работ

1 Должны быть указаны название работы и дата ее выполнения

конкретная цель работы и ее упражнений 2 Целесообразно привести расчетную формулу и пояснить

физический смысл входящих в нее символов 3 Результаты всех измерений заносятся в заранее

подготовленные удобные таблицы из которых было бы ясно какие физические величины и в каких единицах измерялись сколько раз повторялись измерения каждой физической величины

4 Необходимо указать приборы использовавшиеся для измерения различных величин и их точности

5 Зафиксировать (если это важно) условия опыта (температуру давление влажность воздуха и т д)

6 Записи в журнале должны быть аккуратными и четкими журнал лабораторных работ ndash не черновик В нем не должно содержаться никаких записей не относящихся к выполняемой работе Прикидочные расчеты должны проводиться на черновых листках

7 Для пометок и замечаний целесообразно оставлять поля шириной 3 см Ниже приведена схема оформления протокола одной из

лабораторных работ

33

081098 Определение модуля Юнга по изгибу стержня Цель работы ndash проверка закона Гука и определение модуля

Юнга для стального и медного стержней Расчетная формула

4 3

3

habPLE =

где Е ndash модуль Юнга Р ndash величина нагрузки приложенной к середине стержня L ndash длина деформируемой части стержня равная расстоянию между ребрами опорных призм а ndash ширина стержня в ndash его толщина h ndash стрела прогиба

Таблица 1 Определение размеров стержня

опыта L мм а мм в мм

1 5

Измерительный прибор и его точность

Штанген-циркуль plusmn 01 мм

Микрометр plusmn0005 мм

Микрометр plusmn0005 мм

Таблица 2 Измерение стрелы прогиба нагружаемого стержня

РкГс 0 01 02 03 04 hellip

h мм

205 207 203 208 205

255 248 251 249 252

hellip hellip hellip hellip

Измерительный прибор ndash микрометр точность ~ plusmn 0005 мм

Подпись преподавателя

34

sect 3 Оформление отчетов По результатам каждой лабораторной работы составляется

отчет Он должен включать 1 Краткую формулировку идеи метода расчетную формулу

пояснение физического смысла входящих в нее символов 2 Таблицы с результатами измерений и расчетов 3 Статистическую обработку результатов измерений 4 Выводы 5 На титульном листе должны быть указаны название

лабораторной работы факультет курс группа фамилия и инициалы исполнителя Отчет должен быть написан в хорошем стиле аккуратным

разборчивым почерком При его оформлении не следует также пренебрегать и эстетической стороной вопроса Заголовки выводы и формулы целесообразно выделять пастой другого цвета подчеркнуть и т п Это облегчает чтение отчета

Выводы должны быть аргументированы ссылками на соответствующие таблицы и графики поэтому они должны быть пронумерованы

sect 4 Графики Графики используются для наглядного представления

результатов При их построении необходимо соблюдать ряд правил 1 Графики нужно строить только на миллиметровой бумаге 2 На осях необходимо нанести масштабную сетку указать

единицы измерения и символы изображаемых величин 3 Масштаб должен быть простым удобным для отсчета его

долей Например 1 см = 01 1 2 или 10 единиц Кроме того масштаб выбирают так чтобы все экспериментальные точки вошли в график и достаточно далеко отстояли друг от друга

35

Иногда для этой цели бывает удобно сместить вдоль осей начало отсчета Масштаб по осям Х и У может быть различен

Рис 11 Пример построения графика функции по экспериментальным точкам

4 Экспериментальные точки следует наносить с максимальной

точностью так чтобы они четко выделялись на фоне графика не сливаясь с ним

5 График должен представлять собой плавную кривую без изломов и перегибов Нужно стремиться провести кривую так чтобы экспериментальные точки равномерно распределялись по обе стороны от нее (рис 11)

Графики выполненные на миллиметровой бумаге

аккуратно вклеиваются в отчет где для них необходимо предусмотреть соответствующее место

36

sect 5 Точность вычислений Точность вычислений определяется погрешностью

измерений Не имеет смысла вычислять какуюndashлибо величину до пятого знака после запятой если погрешность измерений такова что неуверенно определяется ее третий знак

Чтобы погрешностью вычислений можно было пренебречь она должна быть на порядок (то есть в 10 раз) меньше погрешности наименее точно измеряемой величины

Пример Модуль Юнга по изгибу стержня вычисляется по

формуле E = PL3 4ab3middoth Анализ исходных данных показывает как правило что с наибольшей относительной погрешностью измеряется стрела прогиба h Так как ΔEE gt Δh h то допускаемая относительная погрешность вычислений ΔE выч E cong 01 Δhh Для стали E cong 2middot104 кГсмм2 поэтому при Δhh =10-2 ΔEвыч cong 10 кГсмм2 Это значит что вычисления Е целесообразно проводить лишь с точностью до четвертой значащей цифры

Обычно нас интересует лишь порядок величины погрешностей поэтому последние рекомендуется вычислять лишь до второй значащей цифры а затем округлять результат до одной значащей цифры

Приводя значение измеренной Вами величины проверьте согласуется ли порядок приведенных значащих цифр с порядком погрешности

Порядок последней значащей цифры измеренной величины и порядок погрешности должны быть одинаковы

Запись Е = (1845127 plusmn 20) 107 Па неграмотна Величина ошибки свидетельствует о том что неуверенно определяется уже четвертый знак поэтому результат должен быть соответственно округлен

Е = (18450 plusmn 20) 107 Па

37

Приложение

Таблица 3 Значения коэффициентов Стьюдента

Коэффициент надежности Число

изме рений

N 08 09 095 098 099 0999

2 31 631 1271 3182 6366 63662 3 19 292 431 696 992 3160 4 16 235 318 454 584 1294 5 15 213 278 375 460 861 6 15 202 257 336 403 686 7 14 194 245 314 371 596 8 14 190 236 300 350 540 9 14 186 231 290 336 504

10 14 183 226 282 325 478 infin 13 165 196 233 259 331

38

Список литературы

1 Деденко Л Г Керженцев В В Математическая обработка и оформление результатов эксперимента М Издndashво МГУ 1977

2 Зайдель А Н Ошибки измерения физических величин Л

Наука 1974 3 Кассандрова О Н Лебедев В В Обработка результатов из-

мерений М Наука 1970 4 Сквайрс Дж Практическая физика М Мир 1971 5 Соловьев В А Яхонтова В Е Элементарные методы обра-

ботки результатов измерений Л Издndashво ЛГУ 1977

39

СОДЕРЖАНИЕ

Задачи физического практикума 3

Часть I Статистическая обработка результатов измерений

Глава I Введение в теорию погрешностей 3 sect1 Измерения и их погрешности 3 sect2 Типы погрешностей 5

1 Систематические погрешности 5 2 Случайные погрешности 6 3 Промахи 7

Глава II Статистическая обработка результатов прямых измерений 8 sect1 Вероятность случайного события 8 sect2 Нормальный закон распределения случайных погрешностей 9 sect3 Среднеквадратичная погрешность 13 sect4 Среднеквадратичная погрешность среднего 14 sect5 Доверительный интервал и доверительная вероятность 15 sect6 Совместный учет систематической и случайной погрешностей 20 Глава III Статистическая обработка результатов косвенных измерений 21 sect1 Два способа оценки погрешностей косвенного измерения 21 sect2 Частные погрешности и общая погрешность косвенного измерения 21 sect3 Относительная погрешность косвенного измерения 23 Глава IV Определение параметров линейной зависимости 25 sect1 Метод парных точек 25 sect2 Метод наименьших квадратов (МНК) 26

40

Часть II Правила работы в лаборатории оформление

результатов работы

sect1 Правила работы в лаборатории 31 sect2 Журнал лабораторных работ 32 sect3 Оформление отчетов 34 sect4 Графики 34 sect5 Точность вычислений 36 Приложение 37 Список литературы 38

41

Составители Жукова Ида Степановна Бутина Лариса Иосифовна Крылова Светлана Ивановна

ВВЕДЕНИЕ В ЛАБОРАТОРНЫЙ ПРАКТИКУМ ПО КУРСУ ОБЩЕЙ ФИЗИКИ

Методические указания

к лабораторной работе

Редактор Козина О В

ЛР 040 110 Подписано к печати 090999 Формат 60х84 116 Бумага газетная Офсетная печать 25 уч-издл

11 услкр-отт Тираж 500 экз Изд 19 laquoСraquo

Издательство Петрозаводского государственного университета

185640 Петрозаводск пр Ленина 33

23

В формулах (34) z

WyW

xW

partpart

partpart

partpart являются частными

производными и вычисляются так как будто другие аргументы ndash постоянные величины

Общая погрешность косвенного измерения в этом случае вычисляется по формуле (см Список литературы ndash 4)

222zyx WWWW Δ+Δ+Δ=Δ и

22

22

22

Zz

WYyWX

xWW Δ⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛

partpart

+Δ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛partpart

+Δ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

partpart

=Δ (35)

sect 3 Относительная погрешность косвенного измерения Очень часто бывает удобно вычислить относительную

погрешность результата косвенного измерения WdW

W =η

На основании известной формулы dlnu = duu можно сформулировать следующее правило расчета относительной погрешности Допустим сначала что W = W(x) ndash функция одной переменой Тогда относительная погрешность

WdWdW

W ln==η (36)

то есть для нахождения ηW необходимо сначала прологарифмировать выражение W(x) а затем продифференцировать его по х

В случае многих переменных можно как и для абсолютных погрешностей ввести частные относительные погрешности равные

24

ln xWxx Δsdot

partpart

=η

ln

ln

zWz

yWy

z

y

Δsdotpartpart

=

Δsdotpartpart

=

η

η (37)

Тогда общая относительная погрешность определится как

K222zyxW ηηηη ++= (38)

Расчет погрешности по формулам (37) и (38) особенно удобно производить в случае когда функция имеет одночленную (логарифмическую) формулу Пусть например

yxAW 4=

где А ndash константа Используя правило (37) имеем lnln4lnln 2

1 yxAW minus+=

21 4

y yy

xx

xΔ

minus=Δ

= ηη

4

116 22

22 y

yx

xΔsdot+Δsdot=η

Замечание Прежде чем сделать расчет по формуле (38) произведите оценку относительных погрешностей по отдельным аргументам вычисленных по формулам (37) Если при этом отдельные частные погрешности меньше максимальной хотя бы в три раза ими можно пренебречь В таком случае общая формула (38) значительно упростится

Определив относительную погрешность ηW можно рассчитать абсолютную погрешность (точность) по формуле

ΔW = ηWW (39)

25

Глава IV Определение параметров линейной зависимости

На опыте часто измеряют пары величин х и y причем одна

из них y является функцией другой ndash х Пусть в результате эксперимента получен ряд измерений величины y y1 y2hellipyn соответствующих значениям аргумента х1 х2 hellipхn

Необходимо установить эмпирическую зависимость между y и х Задача состоит в том чтобы по экспериментальным точкам провести линию которая как можно лучше соответствовала бы истинной функциональной зависимости y = f(x) При этом ограничимся лишь случаем линейной функции

y = ax + b (41) Линейная зависимость очень широко распространена в

физике Даже в случаях когда зависимость нелинейная обычно стараются преобразовать ее так чтобы свести к линейной Например зависимость y = Aeαx преобразуется к виду ln y = ln A + αx и на графике строится зависимость

ln y = f(1x)

Ниже приведены два метода нахождения наиболее вероятных параметров линии (коэффициентов а и в уравнения (41)) проходящих через набор экспериментальных точек

sect 1 Метод парных точек Метод парных точек является наиболее простым и

применяется в основном для определения лишь наклона прямой то есть коэффициента а

Допустим что у нас имеется 8 точек лежащих на одной прямой Требуется найти наилучшее значение тангенса угла наклона а и его погрешность Пронумеруем точки по порядку от

26

1 до 8 (рис 9) Возьмем точки 1 и 5 ими определится некоторая прямая и угол ее наклона В качестве наилучшего значения а выбирается его среднее значение a и обычным способом находится его среднеквадратичная погрешность и доверительный интервал

y 8 7 6 5 3 4 2

1 0

х Рис 9 Нумерация экспериментальных точек для расчета а

методом парных точек

Таким образом полученная прямая линия будет иметь угловой коэффициент a и проходить через точку соответствующую средним значениям переменных х и y (следующий параграф)

Такой метод дает удовлетворительные результаты лишь тогда когда величины (x5 ndash x1) (x6 ndash x2) (x7 ndash x3) (x8 ndash x4) примерно одинаковы

sect 2 Метод наименьших квадратов (МНК) МНК является одним из стандартных методов статистики

Сущность этого метода заключается в следующем Допустим что имеется n пар измеренных значений (x1 y1) (x2 y2)hellip(xn yn) Предположим что ошибки содержат лишь величины y

27

(На практике это предположение часто оправдывается) По результатам измерений необходимо построить прямую линию

В основе описываемого метода лежит положение согласно которому наилучшим приближением будет такая прямая линия для которой сумма квадратов расстояний по вертикали от точек до прямой (сумма квадратов погрешностей величины y (рис 10)) является минимальной то есть наиболее вероятные

Рис 10 Распределение экспериментальных точек относительно искомой прямой

значения параметров а и в (41) выбираются так чтобы сумма

( )sum sum= =

minusminus==n

i

n

iiii baxydS

1 1

22 (42)

была минимальной Это значит что

( )sum=

=minus+=partpart n

iiii xybax

aS

1

02

( )sum=

=minus+=partpart n

iii ybax

bS

1

02 (43)

28

Таким образом искомые величины а и в получаются

решением системы уравнений

sum sum sum= = =

=+n

i

n

i

n

iiiii yxxbxa

1 1 1

2 (44)

sum sum= =

=+n

i

n

iii ybnxa

1 1

(45)

Из уравнения (45) следует что наилучшая прямая проходит через точку с координатами

sumsum==

==n

ii

n

ii y

nyx

nx

1

_

1

_

11 (46)

(В этом можно легко убедиться поделив равенство (45) почленно на n) Из уравнений (44) и (45) находим

1 1

2

1 1

sum sum

sum sum

= =

= =

minus

minus= n

i

n

iii

n

i

n

iiii

xxx

yyyxa (47)

sum sumsum sum

sum sum= =

= =

= =

minus

minusminus=

n

i

n

in

i

n

iii

n

i

n

iiii

ii

xxx

yyyxx

ny

nb

1 1

1 1

2

1 111 (48)

29

В лабораторном практикуме обычно бывает достаточно оценить погрешность коэффициента a Формула для среднеквадратичной ошибки величины а имеет вид (см Список литературы ndash 3)

2

1 2

minusminus

=n

rSS

Sx

ya (49)

где ( )sum=

minusminus

=n

iiy yy

nS

1

2 1

1 (410)

( )sum=

minusminus

=n

iix xx

nS

1

2

11

(411)

( ) ( )

( ) 1

1

yx

n

iii

SSn

yyxxr

sdotminus

minusminus=

sum= (412)

Интервал в котором с установленной вероятностью α может находиться коэффициент а записывается в виде

22 anan StaaSta sdot+lelesdotminus minusminus αα (413)

где a определяется формулой (47) aS ndash формулой (49) tαn-2 ndash коэффициент Стьюдента для надежности α и числа измерений n ndash число пар точек

При использовании метода наименьших квадратов рекомендуется следующий порядок действий

1 Составить таблицу

изм xi yi xiyi xi

2 1 2

i n

sumxi sumyi sumxiyi sumxi2

30

2 Рассчитать

а) sum=

n

iii yx

1 б) sum

=

=n

i

i

nx

x1

в) sum=

n

iiy

1

г) sum=

n

iix

1

д) sum=

n

iix

1

2 е) sum=

=n

i

i

ny

y1

3 Рассчитать наилучшие значения углового коэффициента а по

формуле (47) 4 Зная коэффициенты а и б провести наилучшую прямую она

должна проходить через точку с координатами x и y 5 Для расчета погрешности величины а по формулам (49 ndash 412) составить таблицу

пп

yi - y

xi - x

(yi - y )2

(xi - x )2

Sx

Sy

r

31

ЧАСТЬ II

ПРАВИЛА РАБОТЫ В ЛАБОРАТОРИИ

ОФОРМЛЕНИЕ РЕЗУЛЬТАТОВ РАБОТЫ sect 1 Правила работы в лаборатории Каждая лабораторная работа рассчитана на одно занятие

В начале семестра составляется и вывешивается в лаборатории график выполнения работ на весь семестр

Студент должен заранее знать тему своей лабораторной работы и подготовиться к ней по методическому руководству и другой указанной в нем литературе

Перед выполнением каждой лабораторной работы необходимо пройти краткое собеседование с преподавателем и получить разрешение на ее выполнение Оно дается в том случае если студент четко знает цель работы методику проведения эксперимента умеет пользоваться приборами

ПРИСТУПАТЬ К ВЫПОЛНЕНИЮ ЛАБОРАТОРНЫХ

РАБОТ БЕЗ РАЗРЕШЕНИЯ ПРЕПОДАВАТЕЛЯ КАТЕГОРИЧЕСКИ ВОСПРЕЩАЕТСЯ

В конце занятия студент обязан предъявить преподавателю

результаты своей работы Работа считается выполненной если результаты утверждены и подписаны преподавателем После этого необходимо выключить установку привести в порядок рабочее место и получить методические указания к следующей работе

32

sect 2 Журнал лабораторных работ Результаты измерений и наблюдений должны тотчас же

фиксироваться в специальном журнале в форме протоколов Временные записи результатов на черновых листочках не допускаются

Единую форму протоколов пригодную для всех работ дать невозможно и нецелесообразно Тем не менее можно сформулировать некоторые общие требования которым должны удовлетворять записи в журнале лабораторных работ

1 Должны быть указаны название работы и дата ее выполнения

конкретная цель работы и ее упражнений 2 Целесообразно привести расчетную формулу и пояснить

физический смысл входящих в нее символов 3 Результаты всех измерений заносятся в заранее

подготовленные удобные таблицы из которых было бы ясно какие физические величины и в каких единицах измерялись сколько раз повторялись измерения каждой физической величины

4 Необходимо указать приборы использовавшиеся для измерения различных величин и их точности

5 Зафиксировать (если это важно) условия опыта (температуру давление влажность воздуха и т д)

6 Записи в журнале должны быть аккуратными и четкими журнал лабораторных работ ndash не черновик В нем не должно содержаться никаких записей не относящихся к выполняемой работе Прикидочные расчеты должны проводиться на черновых листках

7 Для пометок и замечаний целесообразно оставлять поля шириной 3 см Ниже приведена схема оформления протокола одной из

лабораторных работ

33

081098 Определение модуля Юнга по изгибу стержня Цель работы ndash проверка закона Гука и определение модуля

Юнга для стального и медного стержней Расчетная формула

4 3

3

habPLE =

где Е ndash модуль Юнга Р ndash величина нагрузки приложенной к середине стержня L ndash длина деформируемой части стержня равная расстоянию между ребрами опорных призм а ndash ширина стержня в ndash его толщина h ndash стрела прогиба

Таблица 1 Определение размеров стержня

опыта L мм а мм в мм

1 5

Измерительный прибор и его точность

Штанген-циркуль plusmn 01 мм

Микрометр plusmn0005 мм

Микрометр plusmn0005 мм

Таблица 2 Измерение стрелы прогиба нагружаемого стержня

РкГс 0 01 02 03 04 hellip

h мм

205 207 203 208 205

255 248 251 249 252

hellip hellip hellip hellip

Измерительный прибор ndash микрометр точность ~ plusmn 0005 мм

Подпись преподавателя

34

sect 3 Оформление отчетов По результатам каждой лабораторной работы составляется

отчет Он должен включать 1 Краткую формулировку идеи метода расчетную формулу

пояснение физического смысла входящих в нее символов 2 Таблицы с результатами измерений и расчетов 3 Статистическую обработку результатов измерений 4 Выводы 5 На титульном листе должны быть указаны название

лабораторной работы факультет курс группа фамилия и инициалы исполнителя Отчет должен быть написан в хорошем стиле аккуратным

разборчивым почерком При его оформлении не следует также пренебрегать и эстетической стороной вопроса Заголовки выводы и формулы целесообразно выделять пастой другого цвета подчеркнуть и т п Это облегчает чтение отчета

Выводы должны быть аргументированы ссылками на соответствующие таблицы и графики поэтому они должны быть пронумерованы

sect 4 Графики Графики используются для наглядного представления

результатов При их построении необходимо соблюдать ряд правил 1 Графики нужно строить только на миллиметровой бумаге 2 На осях необходимо нанести масштабную сетку указать

единицы измерения и символы изображаемых величин 3 Масштаб должен быть простым удобным для отсчета его

долей Например 1 см = 01 1 2 или 10 единиц Кроме того масштаб выбирают так чтобы все экспериментальные точки вошли в график и достаточно далеко отстояли друг от друга

35

Иногда для этой цели бывает удобно сместить вдоль осей начало отсчета Масштаб по осям Х и У может быть различен

Рис 11 Пример построения графика функции по экспериментальным точкам

4 Экспериментальные точки следует наносить с максимальной

точностью так чтобы они четко выделялись на фоне графика не сливаясь с ним

5 График должен представлять собой плавную кривую без изломов и перегибов Нужно стремиться провести кривую так чтобы экспериментальные точки равномерно распределялись по обе стороны от нее (рис 11)

Графики выполненные на миллиметровой бумаге

аккуратно вклеиваются в отчет где для них необходимо предусмотреть соответствующее место

36

sect 5 Точность вычислений Точность вычислений определяется погрешностью

измерений Не имеет смысла вычислять какуюndashлибо величину до пятого знака после запятой если погрешность измерений такова что неуверенно определяется ее третий знак

Чтобы погрешностью вычислений можно было пренебречь она должна быть на порядок (то есть в 10 раз) меньше погрешности наименее точно измеряемой величины

Пример Модуль Юнга по изгибу стержня вычисляется по

формуле E = PL3 4ab3middoth Анализ исходных данных показывает как правило что с наибольшей относительной погрешностью измеряется стрела прогиба h Так как ΔEE gt Δh h то допускаемая относительная погрешность вычислений ΔE выч E cong 01 Δhh Для стали E cong 2middot104 кГсмм2 поэтому при Δhh =10-2 ΔEвыч cong 10 кГсмм2 Это значит что вычисления Е целесообразно проводить лишь с точностью до четвертой значащей цифры

Обычно нас интересует лишь порядок величины погрешностей поэтому последние рекомендуется вычислять лишь до второй значащей цифры а затем округлять результат до одной значащей цифры

Приводя значение измеренной Вами величины проверьте согласуется ли порядок приведенных значащих цифр с порядком погрешности

Порядок последней значащей цифры измеренной величины и порядок погрешности должны быть одинаковы

Запись Е = (1845127 plusmn 20) 107 Па неграмотна Величина ошибки свидетельствует о том что неуверенно определяется уже четвертый знак поэтому результат должен быть соответственно округлен

Е = (18450 plusmn 20) 107 Па

37

Приложение

Таблица 3 Значения коэффициентов Стьюдента

Коэффициент надежности Число

изме рений

N 08 09 095 098 099 0999

2 31 631 1271 3182 6366 63662 3 19 292 431 696 992 3160 4 16 235 318 454 584 1294 5 15 213 278 375 460 861 6 15 202 257 336 403 686 7 14 194 245 314 371 596 8 14 190 236 300 350 540 9 14 186 231 290 336 504

10 14 183 226 282 325 478 infin 13 165 196 233 259 331

38

Список литературы

1 Деденко Л Г Керженцев В В Математическая обработка и оформление результатов эксперимента М Издndashво МГУ 1977

2 Зайдель А Н Ошибки измерения физических величин Л

Наука 1974 3 Кассандрова О Н Лебедев В В Обработка результатов из-

мерений М Наука 1970 4 Сквайрс Дж Практическая физика М Мир 1971 5 Соловьев В А Яхонтова В Е Элементарные методы обра-

ботки результатов измерений Л Издndashво ЛГУ 1977

39

СОДЕРЖАНИЕ

Задачи физического практикума 3

Часть I Статистическая обработка результатов измерений

Глава I Введение в теорию погрешностей 3 sect1 Измерения и их погрешности 3 sect2 Типы погрешностей 5

1 Систематические погрешности 5 2 Случайные погрешности 6 3 Промахи 7

Глава II Статистическая обработка результатов прямых измерений 8 sect1 Вероятность случайного события 8 sect2 Нормальный закон распределения случайных погрешностей 9 sect3 Среднеквадратичная погрешность 13 sect4 Среднеквадратичная погрешность среднего 14 sect5 Доверительный интервал и доверительная вероятность 15 sect6 Совместный учет систематической и случайной погрешностей 20 Глава III Статистическая обработка результатов косвенных измерений 21 sect1 Два способа оценки погрешностей косвенного измерения 21 sect2 Частные погрешности и общая погрешность косвенного измерения 21 sect3 Относительная погрешность косвенного измерения 23 Глава IV Определение параметров линейной зависимости 25 sect1 Метод парных точек 25 sect2 Метод наименьших квадратов (МНК) 26

40

Часть II Правила работы в лаборатории оформление

результатов работы

sect1 Правила работы в лаборатории 31 sect2 Журнал лабораторных работ 32 sect3 Оформление отчетов 34 sect4 Графики 34 sect5 Точность вычислений 36 Приложение 37 Список литературы 38

41

Составители Жукова Ида Степановна Бутина Лариса Иосифовна Крылова Светлана Ивановна

ВВЕДЕНИЕ В ЛАБОРАТОРНЫЙ ПРАКТИКУМ ПО КУРСУ ОБЩЕЙ ФИЗИКИ

Методические указания

к лабораторной работе

Редактор Козина О В

ЛР 040 110 Подписано к печати 090999 Формат 60х84 116 Бумага газетная Офсетная печать 25 уч-издл

11 услкр-отт Тираж 500 экз Изд 19 laquoСraquo

Издательство Петрозаводского государственного университета

185640 Петрозаводск пр Ленина 33

24

ln xWxx Δsdot

partpart

=η

ln

ln

zWz

yWy

z

y

Δsdotpartpart

=

Δsdotpartpart

=

η

η (37)

Тогда общая относительная погрешность определится как

K222zyxW ηηηη ++= (38)

Расчет погрешности по формулам (37) и (38) особенно удобно производить в случае когда функция имеет одночленную (логарифмическую) формулу Пусть например

yxAW 4=

где А ndash константа Используя правило (37) имеем lnln4lnln 2

1 yxAW minus+=

21 4

y yy

xx

xΔ

minus=Δ

= ηη

4

116 22

22 y

yx

xΔsdot+Δsdot=η

Замечание Прежде чем сделать расчет по формуле (38) произведите оценку относительных погрешностей по отдельным аргументам вычисленных по формулам (37) Если при этом отдельные частные погрешности меньше максимальной хотя бы в три раза ими можно пренебречь В таком случае общая формула (38) значительно упростится

Определив относительную погрешность ηW можно рассчитать абсолютную погрешность (точность) по формуле

ΔW = ηWW (39)

25

Глава IV Определение параметров линейной зависимости

На опыте часто измеряют пары величин х и y причем одна

из них y является функцией другой ndash х Пусть в результате эксперимента получен ряд измерений величины y y1 y2hellipyn соответствующих значениям аргумента х1 х2 hellipхn

Необходимо установить эмпирическую зависимость между y и х Задача состоит в том чтобы по экспериментальным точкам провести линию которая как можно лучше соответствовала бы истинной функциональной зависимости y = f(x) При этом ограничимся лишь случаем линейной функции

y = ax + b (41) Линейная зависимость очень широко распространена в

физике Даже в случаях когда зависимость нелинейная обычно стараются преобразовать ее так чтобы свести к линейной Например зависимость y = Aeαx преобразуется к виду ln y = ln A + αx и на графике строится зависимость

ln y = f(1x)

Ниже приведены два метода нахождения наиболее вероятных параметров линии (коэффициентов а и в уравнения (41)) проходящих через набор экспериментальных точек

sect 1 Метод парных точек Метод парных точек является наиболее простым и

применяется в основном для определения лишь наклона прямой то есть коэффициента а

Допустим что у нас имеется 8 точек лежащих на одной прямой Требуется найти наилучшее значение тангенса угла наклона а и его погрешность Пронумеруем точки по порядку от

26

1 до 8 (рис 9) Возьмем точки 1 и 5 ими определится некоторая прямая и угол ее наклона В качестве наилучшего значения а выбирается его среднее значение a и обычным способом находится его среднеквадратичная погрешность и доверительный интервал

y 8 7 6 5 3 4 2

1 0

х Рис 9 Нумерация экспериментальных точек для расчета а

методом парных точек

Таким образом полученная прямая линия будет иметь угловой коэффициент a и проходить через точку соответствующую средним значениям переменных х и y (следующий параграф)

Такой метод дает удовлетворительные результаты лишь тогда когда величины (x5 ndash x1) (x6 ndash x2) (x7 ndash x3) (x8 ndash x4) примерно одинаковы

sect 2 Метод наименьших квадратов (МНК) МНК является одним из стандартных методов статистики

Сущность этого метода заключается в следующем Допустим что имеется n пар измеренных значений (x1 y1) (x2 y2)hellip(xn yn) Предположим что ошибки содержат лишь величины y

27

(На практике это предположение часто оправдывается) По результатам измерений необходимо построить прямую линию

В основе описываемого метода лежит положение согласно которому наилучшим приближением будет такая прямая линия для которой сумма квадратов расстояний по вертикали от точек до прямой (сумма квадратов погрешностей величины y (рис 10)) является минимальной то есть наиболее вероятные

Рис 10 Распределение экспериментальных точек относительно искомой прямой

значения параметров а и в (41) выбираются так чтобы сумма

( )sum sum= =

minusminus==n

i

n

iiii baxydS

1 1

22 (42)

была минимальной Это значит что

( )sum=

=minus+=partpart n

iiii xybax

aS

1

02

( )sum=

=minus+=partpart n

iii ybax

bS

1

02 (43)

28

Таким образом искомые величины а и в получаются

решением системы уравнений

sum sum sum= = =

=+n

i

n

i

n

iiiii yxxbxa

1 1 1

2 (44)

sum sum= =

=+n

i

n

iii ybnxa

1 1

(45)

Из уравнения (45) следует что наилучшая прямая проходит через точку с координатами

sumsum==

==n

ii

n

ii y

nyx

nx

1

_

1

_

11 (46)

(В этом можно легко убедиться поделив равенство (45) почленно на n) Из уравнений (44) и (45) находим

1 1

2

1 1

sum sum

sum sum

= =

= =

minus

minus= n

i

n

iii

n

i

n

iiii

xxx

yyyxa (47)

sum sumsum sum

sum sum= =

= =

= =

minus

minusminus=

n

i

n

in

i

n

iii

n

i

n

iiii

ii

xxx

yyyxx

ny

nb

1 1

1 1

2

1 111 (48)

29

В лабораторном практикуме обычно бывает достаточно оценить погрешность коэффициента a Формула для среднеквадратичной ошибки величины а имеет вид (см Список литературы ndash 3)

2

1 2

minusminus

=n

rSS

Sx

ya (49)

где ( )sum=

minusminus

=n

iiy yy

nS

1

2 1

1 (410)

( )sum=

minusminus

=n

iix xx

nS

1

2

11

(411)

( ) ( )

( ) 1

1

yx

n

iii

SSn

yyxxr

sdotminus

minusminus=

sum= (412)

Интервал в котором с установленной вероятностью α может находиться коэффициент а записывается в виде

22 anan StaaSta sdot+lelesdotminus minusminus αα (413)

где a определяется формулой (47) aS ndash формулой (49) tαn-2 ndash коэффициент Стьюдента для надежности α и числа измерений n ndash число пар точек

При использовании метода наименьших квадратов рекомендуется следующий порядок действий

1 Составить таблицу

изм xi yi xiyi xi

2 1 2

i n

sumxi sumyi sumxiyi sumxi2

30

2 Рассчитать

а) sum=

n

iii yx

1 б) sum

=

=n

i

i

nx

x1

в) sum=

n

iiy

1

г) sum=

n

iix

1

д) sum=

n

iix

1

2 е) sum=

=n

i

i

ny

y1

3 Рассчитать наилучшие значения углового коэффициента а по

формуле (47) 4 Зная коэффициенты а и б провести наилучшую прямую она

должна проходить через точку с координатами x и y 5 Для расчета погрешности величины а по формулам (49 ndash 412) составить таблицу

пп

yi - y

xi - x

(yi - y )2

(xi - x )2

Sx

Sy

r

31

ЧАСТЬ II

ПРАВИЛА РАБОТЫ В ЛАБОРАТОРИИ

ОФОРМЛЕНИЕ РЕЗУЛЬТАТОВ РАБОТЫ sect 1 Правила работы в лаборатории Каждая лабораторная работа рассчитана на одно занятие

В начале семестра составляется и вывешивается в лаборатории график выполнения работ на весь семестр

Студент должен заранее знать тему своей лабораторной работы и подготовиться к ней по методическому руководству и другой указанной в нем литературе

Перед выполнением каждой лабораторной работы необходимо пройти краткое собеседование с преподавателем и получить разрешение на ее выполнение Оно дается в том случае если студент четко знает цель работы методику проведения эксперимента умеет пользоваться приборами

ПРИСТУПАТЬ К ВЫПОЛНЕНИЮ ЛАБОРАТОРНЫХ

РАБОТ БЕЗ РАЗРЕШЕНИЯ ПРЕПОДАВАТЕЛЯ КАТЕГОРИЧЕСКИ ВОСПРЕЩАЕТСЯ

В конце занятия студент обязан предъявить преподавателю

результаты своей работы Работа считается выполненной если результаты утверждены и подписаны преподавателем После этого необходимо выключить установку привести в порядок рабочее место и получить методические указания к следующей работе

32

sect 2 Журнал лабораторных работ Результаты измерений и наблюдений должны тотчас же

фиксироваться в специальном журнале в форме протоколов Временные записи результатов на черновых листочках не допускаются

Единую форму протоколов пригодную для всех работ дать невозможно и нецелесообразно Тем не менее можно сформулировать некоторые общие требования которым должны удовлетворять записи в журнале лабораторных работ

1 Должны быть указаны название работы и дата ее выполнения

конкретная цель работы и ее упражнений 2 Целесообразно привести расчетную формулу и пояснить

физический смысл входящих в нее символов 3 Результаты всех измерений заносятся в заранее

подготовленные удобные таблицы из которых было бы ясно какие физические величины и в каких единицах измерялись сколько раз повторялись измерения каждой физической величины

4 Необходимо указать приборы использовавшиеся для измерения различных величин и их точности

5 Зафиксировать (если это важно) условия опыта (температуру давление влажность воздуха и т д)

6 Записи в журнале должны быть аккуратными и четкими журнал лабораторных работ ndash не черновик В нем не должно содержаться никаких записей не относящихся к выполняемой работе Прикидочные расчеты должны проводиться на черновых листках

7 Для пометок и замечаний целесообразно оставлять поля шириной 3 см Ниже приведена схема оформления протокола одной из

лабораторных работ

33

081098 Определение модуля Юнга по изгибу стержня Цель работы ndash проверка закона Гука и определение модуля

Юнга для стального и медного стержней Расчетная формула

4 3

3

habPLE =

где Е ndash модуль Юнга Р ndash величина нагрузки приложенной к середине стержня L ndash длина деформируемой части стержня равная расстоянию между ребрами опорных призм а ndash ширина стержня в ndash его толщина h ndash стрела прогиба

Таблица 1 Определение размеров стержня

опыта L мм а мм в мм

1 5

Измерительный прибор и его точность

Штанген-циркуль plusmn 01 мм

Микрометр plusmn0005 мм

Микрометр plusmn0005 мм

Таблица 2 Измерение стрелы прогиба нагружаемого стержня

РкГс 0 01 02 03 04 hellip

h мм

205 207 203 208 205

255 248 251 249 252

hellip hellip hellip hellip

Измерительный прибор ndash микрометр точность ~ plusmn 0005 мм

Подпись преподавателя

34

sect 3 Оформление отчетов По результатам каждой лабораторной работы составляется

отчет Он должен включать 1 Краткую формулировку идеи метода расчетную формулу

пояснение физического смысла входящих в нее символов 2 Таблицы с результатами измерений и расчетов 3 Статистическую обработку результатов измерений 4 Выводы 5 На титульном листе должны быть указаны название

лабораторной работы факультет курс группа фамилия и инициалы исполнителя Отчет должен быть написан в хорошем стиле аккуратным

разборчивым почерком При его оформлении не следует также пренебрегать и эстетической стороной вопроса Заголовки выводы и формулы целесообразно выделять пастой другого цвета подчеркнуть и т п Это облегчает чтение отчета

Выводы должны быть аргументированы ссылками на соответствующие таблицы и графики поэтому они должны быть пронумерованы

sect 4 Графики Графики используются для наглядного представления

результатов При их построении необходимо соблюдать ряд правил 1 Графики нужно строить только на миллиметровой бумаге 2 На осях необходимо нанести масштабную сетку указать

единицы измерения и символы изображаемых величин 3 Масштаб должен быть простым удобным для отсчета его

долей Например 1 см = 01 1 2 или 10 единиц Кроме того масштаб выбирают так чтобы все экспериментальные точки вошли в график и достаточно далеко отстояли друг от друга

35

Иногда для этой цели бывает удобно сместить вдоль осей начало отсчета Масштаб по осям Х и У может быть различен

Рис 11 Пример построения графика функции по экспериментальным точкам

4 Экспериментальные точки следует наносить с максимальной

точностью так чтобы они четко выделялись на фоне графика не сливаясь с ним

5 График должен представлять собой плавную кривую без изломов и перегибов Нужно стремиться провести кривую так чтобы экспериментальные точки равномерно распределялись по обе стороны от нее (рис 11)

Графики выполненные на миллиметровой бумаге

аккуратно вклеиваются в отчет где для них необходимо предусмотреть соответствующее место

36

sect 5 Точность вычислений Точность вычислений определяется погрешностью

измерений Не имеет смысла вычислять какуюndashлибо величину до пятого знака после запятой если погрешность измерений такова что неуверенно определяется ее третий знак

Чтобы погрешностью вычислений можно было пренебречь она должна быть на порядок (то есть в 10 раз) меньше погрешности наименее точно измеряемой величины

Пример Модуль Юнга по изгибу стержня вычисляется по

формуле E = PL3 4ab3middoth Анализ исходных данных показывает как правило что с наибольшей относительной погрешностью измеряется стрела прогиба h Так как ΔEE gt Δh h то допускаемая относительная погрешность вычислений ΔE выч E cong 01 Δhh Для стали E cong 2middot104 кГсмм2 поэтому при Δhh =10-2 ΔEвыч cong 10 кГсмм2 Это значит что вычисления Е целесообразно проводить лишь с точностью до четвертой значащей цифры

Обычно нас интересует лишь порядок величины погрешностей поэтому последние рекомендуется вычислять лишь до второй значащей цифры а затем округлять результат до одной значащей цифры

Приводя значение измеренной Вами величины проверьте согласуется ли порядок приведенных значащих цифр с порядком погрешности

Порядок последней значащей цифры измеренной величины и порядок погрешности должны быть одинаковы

Запись Е = (1845127 plusmn 20) 107 Па неграмотна Величина ошибки свидетельствует о том что неуверенно определяется уже четвертый знак поэтому результат должен быть соответственно округлен

Е = (18450 plusmn 20) 107 Па

37

Приложение

Таблица 3 Значения коэффициентов Стьюдента

Коэффициент надежности Число

изме рений

N 08 09 095 098 099 0999

2 31 631 1271 3182 6366 63662 3 19 292 431 696 992 3160 4 16 235 318 454 584 1294 5 15 213 278 375 460 861 6 15 202 257 336 403 686 7 14 194 245 314 371 596 8 14 190 236 300 350 540 9 14 186 231 290 336 504

10 14 183 226 282 325 478 infin 13 165 196 233 259 331

38

Список литературы

1 Деденко Л Г Керженцев В В Математическая обработка и оформление результатов эксперимента М Издndashво МГУ 1977

2 Зайдель А Н Ошибки измерения физических величин Л

Наука 1974 3 Кассандрова О Н Лебедев В В Обработка результатов из-

мерений М Наука 1970 4 Сквайрс Дж Практическая физика М Мир 1971 5 Соловьев В А Яхонтова В Е Элементарные методы обра-

ботки результатов измерений Л Издndashво ЛГУ 1977

39

СОДЕРЖАНИЕ

Задачи физического практикума 3

Часть I Статистическая обработка результатов измерений

Глава I Введение в теорию погрешностей 3 sect1 Измерения и их погрешности 3 sect2 Типы погрешностей 5

1 Систематические погрешности 5 2 Случайные погрешности 6 3 Промахи 7

Глава II Статистическая обработка результатов прямых измерений 8 sect1 Вероятность случайного события 8 sect2 Нормальный закон распределения случайных погрешностей 9 sect3 Среднеквадратичная погрешность 13 sect4 Среднеквадратичная погрешность среднего 14 sect5 Доверительный интервал и доверительная вероятность 15 sect6 Совместный учет систематической и случайной погрешностей 20 Глава III Статистическая обработка результатов косвенных измерений 21 sect1 Два способа оценки погрешностей косвенного измерения 21 sect2 Частные погрешности и общая погрешность косвенного измерения 21 sect3 Относительная погрешность косвенного измерения 23 Глава IV Определение параметров линейной зависимости 25 sect1 Метод парных точек 25 sect2 Метод наименьших квадратов (МНК) 26

40

Часть II Правила работы в лаборатории оформление

результатов работы

sect1 Правила работы в лаборатории 31 sect2 Журнал лабораторных работ 32 sect3 Оформление отчетов 34 sect4 Графики 34 sect5 Точность вычислений 36 Приложение 37 Список литературы 38

41

Составители Жукова Ида Степановна Бутина Лариса Иосифовна Крылова Светлана Ивановна

ВВЕДЕНИЕ В ЛАБОРАТОРНЫЙ ПРАКТИКУМ ПО КУРСУ ОБЩЕЙ ФИЗИКИ

Методические указания

к лабораторной работе

Редактор Козина О В

ЛР 040 110 Подписано к печати 090999 Формат 60х84 116 Бумага газетная Офсетная печать 25 уч-издл

11 услкр-отт Тираж 500 экз Изд 19 laquoСraquo

Издательство Петрозаводского государственного университета

185640 Петрозаводск пр Ленина 33

25

Глава IV Определение параметров линейной зависимости

На опыте часто измеряют пары величин х и y причем одна

из них y является функцией другой ndash х Пусть в результате эксперимента получен ряд измерений величины y y1 y2hellipyn соответствующих значениям аргумента х1 х2 hellipхn

Необходимо установить эмпирическую зависимость между y и х Задача состоит в том чтобы по экспериментальным точкам провести линию которая как можно лучше соответствовала бы истинной функциональной зависимости y = f(x) При этом ограничимся лишь случаем линейной функции

y = ax + b (41) Линейная зависимость очень широко распространена в

физике Даже в случаях когда зависимость нелинейная обычно стараются преобразовать ее так чтобы свести к линейной Например зависимость y = Aeαx преобразуется к виду ln y = ln A + αx и на графике строится зависимость

ln y = f(1x)

Ниже приведены два метода нахождения наиболее вероятных параметров линии (коэффициентов а и в уравнения (41)) проходящих через набор экспериментальных точек

sect 1 Метод парных точек Метод парных точек является наиболее простым и

применяется в основном для определения лишь наклона прямой то есть коэффициента а

Допустим что у нас имеется 8 точек лежащих на одной прямой Требуется найти наилучшее значение тангенса угла наклона а и его погрешность Пронумеруем точки по порядку от

26

1 до 8 (рис 9) Возьмем точки 1 и 5 ими определится некоторая прямая и угол ее наклона В качестве наилучшего значения а выбирается его среднее значение a и обычным способом находится его среднеквадратичная погрешность и доверительный интервал

y 8 7 6 5 3 4 2

1 0

х Рис 9 Нумерация экспериментальных точек для расчета а

методом парных точек

Таким образом полученная прямая линия будет иметь угловой коэффициент a и проходить через точку соответствующую средним значениям переменных х и y (следующий параграф)

Такой метод дает удовлетворительные результаты лишь тогда когда величины (x5 ndash x1) (x6 ndash x2) (x7 ndash x3) (x8 ndash x4) примерно одинаковы

sect 2 Метод наименьших квадратов (МНК) МНК является одним из стандартных методов статистики

Сущность этого метода заключается в следующем Допустим что имеется n пар измеренных значений (x1 y1) (x2 y2)hellip(xn yn) Предположим что ошибки содержат лишь величины y

27

(На практике это предположение часто оправдывается) По результатам измерений необходимо построить прямую линию

В основе описываемого метода лежит положение согласно которому наилучшим приближением будет такая прямая линия для которой сумма квадратов расстояний по вертикали от точек до прямой (сумма квадратов погрешностей величины y (рис 10)) является минимальной то есть наиболее вероятные

Рис 10 Распределение экспериментальных точек относительно искомой прямой

значения параметров а и в (41) выбираются так чтобы сумма

( )sum sum= =

minusminus==n

i

n

iiii baxydS

1 1

22 (42)

была минимальной Это значит что

( )sum=

=minus+=partpart n

iiii xybax

aS

1

02

( )sum=

=minus+=partpart n

iii ybax

bS

1

02 (43)

28

Таким образом искомые величины а и в получаются

решением системы уравнений

sum sum sum= = =

=+n

i

n

i

n

iiiii yxxbxa

1 1 1

2 (44)

sum sum= =

=+n

i

n

iii ybnxa

1 1

(45)

Из уравнения (45) следует что наилучшая прямая проходит через точку с координатами

sumsum==

==n

ii

n

ii y

nyx

nx

1

_

1

_

11 (46)

(В этом можно легко убедиться поделив равенство (45) почленно на n) Из уравнений (44) и (45) находим

1 1

2

1 1

sum sum

sum sum

= =

= =

minus

minus= n

i

n

iii

n

i

n

iiii

xxx

yyyxa (47)

sum sumsum sum

sum sum= =

= =

= =

minus

minusminus=

n

i

n

in

i

n

iii

n

i

n

iiii

ii

xxx

yyyxx

ny

nb

1 1

1 1

2

1 111 (48)

29

В лабораторном практикуме обычно бывает достаточно оценить погрешность коэффициента a Формула для среднеквадратичной ошибки величины а имеет вид (см Список литературы ndash 3)

2

1 2

minusminus

=n

rSS

Sx

ya (49)

где ( )sum=

minusminus

=n

iiy yy

nS

1

2 1

1 (410)

( )sum=

minusminus

=n

iix xx

nS

1

2

11

(411)

( ) ( )

( ) 1

1

yx

n

iii

SSn

yyxxr

sdotminus

minusminus=

sum= (412)

Интервал в котором с установленной вероятностью α может находиться коэффициент а записывается в виде

22 anan StaaSta sdot+lelesdotminus minusminus αα (413)

где a определяется формулой (47) aS ndash формулой (49) tαn-2 ndash коэффициент Стьюдента для надежности α и числа измерений n ndash число пар точек

При использовании метода наименьших квадратов рекомендуется следующий порядок действий

1 Составить таблицу

изм xi yi xiyi xi

2 1 2

i n

sumxi sumyi sumxiyi sumxi2

30

2 Рассчитать

а) sum=

n

iii yx

1 б) sum

=

=n

i

i

nx

x1

в) sum=

n

iiy

1

г) sum=

n

iix

1

д) sum=

n

iix

1

2 е) sum=

=n

i

i

ny

y1

3 Рассчитать наилучшие значения углового коэффициента а по

формуле (47) 4 Зная коэффициенты а и б провести наилучшую прямую она

должна проходить через точку с координатами x и y 5 Для расчета погрешности величины а по формулам (49 ndash 412) составить таблицу

пп

yi - y

xi - x

(yi - y )2

(xi - x )2

Sx

Sy

r

31

ЧАСТЬ II

ПРАВИЛА РАБОТЫ В ЛАБОРАТОРИИ

ОФОРМЛЕНИЕ РЕЗУЛЬТАТОВ РАБОТЫ sect 1 Правила работы в лаборатории Каждая лабораторная работа рассчитана на одно занятие

В начале семестра составляется и вывешивается в лаборатории график выполнения работ на весь семестр

Студент должен заранее знать тему своей лабораторной работы и подготовиться к ней по методическому руководству и другой указанной в нем литературе

Перед выполнением каждой лабораторной работы необходимо пройти краткое собеседование с преподавателем и получить разрешение на ее выполнение Оно дается в том случае если студент четко знает цель работы методику проведения эксперимента умеет пользоваться приборами

ПРИСТУПАТЬ К ВЫПОЛНЕНИЮ ЛАБОРАТОРНЫХ

РАБОТ БЕЗ РАЗРЕШЕНИЯ ПРЕПОДАВАТЕЛЯ КАТЕГОРИЧЕСКИ ВОСПРЕЩАЕТСЯ

В конце занятия студент обязан предъявить преподавателю

результаты своей работы Работа считается выполненной если результаты утверждены и подписаны преподавателем После этого необходимо выключить установку привести в порядок рабочее место и получить методические указания к следующей работе

32

sect 2 Журнал лабораторных работ Результаты измерений и наблюдений должны тотчас же

фиксироваться в специальном журнале в форме протоколов Временные записи результатов на черновых листочках не допускаются

Единую форму протоколов пригодную для всех работ дать невозможно и нецелесообразно Тем не менее можно сформулировать некоторые общие требования которым должны удовлетворять записи в журнале лабораторных работ

1 Должны быть указаны название работы и дата ее выполнения

конкретная цель работы и ее упражнений 2 Целесообразно привести расчетную формулу и пояснить

физический смысл входящих в нее символов 3 Результаты всех измерений заносятся в заранее

подготовленные удобные таблицы из которых было бы ясно какие физические величины и в каких единицах измерялись сколько раз повторялись измерения каждой физической величины

4 Необходимо указать приборы использовавшиеся для измерения различных величин и их точности

5 Зафиксировать (если это важно) условия опыта (температуру давление влажность воздуха и т д)

6 Записи в журнале должны быть аккуратными и четкими журнал лабораторных работ ndash не черновик В нем не должно содержаться никаких записей не относящихся к выполняемой работе Прикидочные расчеты должны проводиться на черновых листках

7 Для пометок и замечаний целесообразно оставлять поля шириной 3 см Ниже приведена схема оформления протокола одной из

лабораторных работ

33

081098 Определение модуля Юнга по изгибу стержня Цель работы ndash проверка закона Гука и определение модуля

Юнга для стального и медного стержней Расчетная формула

4 3

3

habPLE =

где Е ndash модуль Юнга Р ndash величина нагрузки приложенной к середине стержня L ndash длина деформируемой части стержня равная расстоянию между ребрами опорных призм а ndash ширина стержня в ndash его толщина h ndash стрела прогиба

Таблица 1 Определение размеров стержня

опыта L мм а мм в мм

1 5

Измерительный прибор и его точность

Штанген-циркуль plusmn 01 мм

Микрометр plusmn0005 мм

Микрометр plusmn0005 мм

Таблица 2 Измерение стрелы прогиба нагружаемого стержня

РкГс 0 01 02 03 04 hellip

h мм

205 207 203 208 205

255 248 251 249 252

hellip hellip hellip hellip

Измерительный прибор ndash микрометр точность ~ plusmn 0005 мм

Подпись преподавателя

34

sect 3 Оформление отчетов По результатам каждой лабораторной работы составляется

отчет Он должен включать 1 Краткую формулировку идеи метода расчетную формулу

пояснение физического смысла входящих в нее символов 2 Таблицы с результатами измерений и расчетов 3 Статистическую обработку результатов измерений 4 Выводы 5 На титульном листе должны быть указаны название

лабораторной работы факультет курс группа фамилия и инициалы исполнителя Отчет должен быть написан в хорошем стиле аккуратным

разборчивым почерком При его оформлении не следует также пренебрегать и эстетической стороной вопроса Заголовки выводы и формулы целесообразно выделять пастой другого цвета подчеркнуть и т п Это облегчает чтение отчета

Выводы должны быть аргументированы ссылками на соответствующие таблицы и графики поэтому они должны быть пронумерованы

sect 4 Графики Графики используются для наглядного представления

результатов При их построении необходимо соблюдать ряд правил 1 Графики нужно строить только на миллиметровой бумаге 2 На осях необходимо нанести масштабную сетку указать

единицы измерения и символы изображаемых величин 3 Масштаб должен быть простым удобным для отсчета его

долей Например 1 см = 01 1 2 или 10 единиц Кроме того масштаб выбирают так чтобы все экспериментальные точки вошли в график и достаточно далеко отстояли друг от друга

35

Иногда для этой цели бывает удобно сместить вдоль осей начало отсчета Масштаб по осям Х и У может быть различен

Рис 11 Пример построения графика функции по экспериментальным точкам

4 Экспериментальные точки следует наносить с максимальной

точностью так чтобы они четко выделялись на фоне графика не сливаясь с ним

5 График должен представлять собой плавную кривую без изломов и перегибов Нужно стремиться провести кривую так чтобы экспериментальные точки равномерно распределялись по обе стороны от нее (рис 11)

Графики выполненные на миллиметровой бумаге

аккуратно вклеиваются в отчет где для них необходимо предусмотреть соответствующее место

36

sect 5 Точность вычислений Точность вычислений определяется погрешностью

измерений Не имеет смысла вычислять какуюndashлибо величину до пятого знака после запятой если погрешность измерений такова что неуверенно определяется ее третий знак

Чтобы погрешностью вычислений можно было пренебречь она должна быть на порядок (то есть в 10 раз) меньше погрешности наименее точно измеряемой величины

Пример Модуль Юнга по изгибу стержня вычисляется по

формуле E = PL3 4ab3middoth Анализ исходных данных показывает как правило что с наибольшей относительной погрешностью измеряется стрела прогиба h Так как ΔEE gt Δh h то допускаемая относительная погрешность вычислений ΔE выч E cong 01 Δhh Для стали E cong 2middot104 кГсмм2 поэтому при Δhh =10-2 ΔEвыч cong 10 кГсмм2 Это значит что вычисления Е целесообразно проводить лишь с точностью до четвертой значащей цифры

Обычно нас интересует лишь порядок величины погрешностей поэтому последние рекомендуется вычислять лишь до второй значащей цифры а затем округлять результат до одной значащей цифры

Приводя значение измеренной Вами величины проверьте согласуется ли порядок приведенных значащих цифр с порядком погрешности

Порядок последней значащей цифры измеренной величины и порядок погрешности должны быть одинаковы

Запись Е = (1845127 plusmn 20) 107 Па неграмотна Величина ошибки свидетельствует о том что неуверенно определяется уже четвертый знак поэтому результат должен быть соответственно округлен

Е = (18450 plusmn 20) 107 Па

37

Приложение

Таблица 3 Значения коэффициентов Стьюдента

Коэффициент надежности Число

изме рений

N 08 09 095 098 099 0999

2 31 631 1271 3182 6366 63662 3 19 292 431 696 992 3160 4 16 235 318 454 584 1294 5 15 213 278 375 460 861 6 15 202 257 336 403 686 7 14 194 245 314 371 596 8 14 190 236 300 350 540 9 14 186 231 290 336 504

10 14 183 226 282 325 478 infin 13 165 196 233 259 331

38

Список литературы

1 Деденко Л Г Керженцев В В Математическая обработка и оформление результатов эксперимента М Издndashво МГУ 1977

2 Зайдель А Н Ошибки измерения физических величин Л

Наука 1974 3 Кассандрова О Н Лебедев В В Обработка результатов из-

мерений М Наука 1970 4 Сквайрс Дж Практическая физика М Мир 1971 5 Соловьев В А Яхонтова В Е Элементарные методы обра-

ботки результатов измерений Л Издndashво ЛГУ 1977

39

СОДЕРЖАНИЕ

Задачи физического практикума 3

Часть I Статистическая обработка результатов измерений

Глава I Введение в теорию погрешностей 3 sect1 Измерения и их погрешности 3 sect2 Типы погрешностей 5

1 Систематические погрешности 5 2 Случайные погрешности 6 3 Промахи 7

Глава II Статистическая обработка результатов прямых измерений 8 sect1 Вероятность случайного события 8 sect2 Нормальный закон распределения случайных погрешностей 9 sect3 Среднеквадратичная погрешность 13 sect4 Среднеквадратичная погрешность среднего 14 sect5 Доверительный интервал и доверительная вероятность 15 sect6 Совместный учет систематической и случайной погрешностей 20 Глава III Статистическая обработка результатов косвенных измерений 21 sect1 Два способа оценки погрешностей косвенного измерения 21 sect2 Частные погрешности и общая погрешность косвенного измерения 21 sect3 Относительная погрешность косвенного измерения 23 Глава IV Определение параметров линейной зависимости 25 sect1 Метод парных точек 25 sect2 Метод наименьших квадратов (МНК) 26

40

Часть II Правила работы в лаборатории оформление

результатов работы

sect1 Правила работы в лаборатории 31 sect2 Журнал лабораторных работ 32 sect3 Оформление отчетов 34 sect4 Графики 34 sect5 Точность вычислений 36 Приложение 37 Список литературы 38

41

Составители Жукова Ида Степановна Бутина Лариса Иосифовна Крылова Светлана Ивановна

ВВЕДЕНИЕ В ЛАБОРАТОРНЫЙ ПРАКТИКУМ ПО КУРСУ ОБЩЕЙ ФИЗИКИ

Методические указания

к лабораторной работе

Редактор Козина О В

ЛР 040 110 Подписано к печати 090999 Формат 60х84 116 Бумага газетная Офсетная печать 25 уч-издл

11 услкр-отт Тираж 500 экз Изд 19 laquoСraquo

Издательство Петрозаводского государственного университета

185640 Петрозаводск пр Ленина 33

26

1 до 8 (рис 9) Возьмем точки 1 и 5 ими определится некоторая прямая и угол ее наклона В качестве наилучшего значения а выбирается его среднее значение a и обычным способом находится его среднеквадратичная погрешность и доверительный интервал

y 8 7 6 5 3 4 2

1 0

х Рис 9 Нумерация экспериментальных точек для расчета а

методом парных точек

Таким образом полученная прямая линия будет иметь угловой коэффициент a и проходить через точку соответствующую средним значениям переменных х и y (следующий параграф)

Такой метод дает удовлетворительные результаты лишь тогда когда величины (x5 ndash x1) (x6 ndash x2) (x7 ndash x3) (x8 ndash x4) примерно одинаковы

sect 2 Метод наименьших квадратов (МНК) МНК является одним из стандартных методов статистики

Сущность этого метода заключается в следующем Допустим что имеется n пар измеренных значений (x1 y1) (x2 y2)hellip(xn yn) Предположим что ошибки содержат лишь величины y

27

(На практике это предположение часто оправдывается) По результатам измерений необходимо построить прямую линию

В основе описываемого метода лежит положение согласно которому наилучшим приближением будет такая прямая линия для которой сумма квадратов расстояний по вертикали от точек до прямой (сумма квадратов погрешностей величины y (рис 10)) является минимальной то есть наиболее вероятные

Рис 10 Распределение экспериментальных точек относительно искомой прямой

значения параметров а и в (41) выбираются так чтобы сумма

( )sum sum= =

minusminus==n

i

n

iiii baxydS

1 1

22 (42)

была минимальной Это значит что

( )sum=

=minus+=partpart n

iiii xybax

aS

1

02

( )sum=

=minus+=partpart n

iii ybax

bS

1

02 (43)

28

Таким образом искомые величины а и в получаются

решением системы уравнений

sum sum sum= = =

=+n

i

n

i

n

iiiii yxxbxa

1 1 1

2 (44)

sum sum= =

=+n

i

n

iii ybnxa

1 1

(45)

Из уравнения (45) следует что наилучшая прямая проходит через точку с координатами

sumsum==

==n

ii

n

ii y

nyx

nx

1

_

1

_

11 (46)

(В этом можно легко убедиться поделив равенство (45) почленно на n) Из уравнений (44) и (45) находим

1 1

2

1 1

sum sum

sum sum

= =

= =

minus

minus= n

i

n

iii

n

i

n

iiii

xxx

yyyxa (47)

sum sumsum sum

sum sum= =

= =

= =

minus

minusminus=

n

i

n

in

i

n

iii

n

i

n

iiii

ii

xxx

yyyxx

ny

nb

1 1

1 1

2

1 111 (48)

29

В лабораторном практикуме обычно бывает достаточно оценить погрешность коэффициента a Формула для среднеквадратичной ошибки величины а имеет вид (см Список литературы ndash 3)

2

1 2

minusminus

=n

rSS

Sx

ya (49)

где ( )sum=

minusminus

=n

iiy yy

nS

1

2 1

1 (410)

( )sum=

minusminus

=n

iix xx

nS

1

2

11

(411)

( ) ( )

( ) 1

1

yx

n

iii

SSn

yyxxr

sdotminus

minusminus=

sum= (412)

Интервал в котором с установленной вероятностью α может находиться коэффициент а записывается в виде

22 anan StaaSta sdot+lelesdotminus minusminus αα (413)

где a определяется формулой (47) aS ndash формулой (49) tαn-2 ndash коэффициент Стьюдента для надежности α и числа измерений n ndash число пар точек

При использовании метода наименьших квадратов рекомендуется следующий порядок действий

1 Составить таблицу

изм xi yi xiyi xi

2 1 2

i n

sumxi sumyi sumxiyi sumxi2

30

2 Рассчитать

а) sum=

n

iii yx

1 б) sum

=

=n

i

i

nx

x1

в) sum=

n

iiy

1

г) sum=

n

iix

1

д) sum=

n

iix

1

2 е) sum=

=n

i

i

ny

y1

3 Рассчитать наилучшие значения углового коэффициента а по

формуле (47) 4 Зная коэффициенты а и б провести наилучшую прямую она

должна проходить через точку с координатами x и y 5 Для расчета погрешности величины а по формулам (49 ndash 412) составить таблицу

пп

yi - y

xi - x

(yi - y )2

(xi - x )2

Sx

Sy

r

31

ЧАСТЬ II

ПРАВИЛА РАБОТЫ В ЛАБОРАТОРИИ

ОФОРМЛЕНИЕ РЕЗУЛЬТАТОВ РАБОТЫ sect 1 Правила работы в лаборатории Каждая лабораторная работа рассчитана на одно занятие

В начале семестра составляется и вывешивается в лаборатории график выполнения работ на весь семестр

Студент должен заранее знать тему своей лабораторной работы и подготовиться к ней по методическому руководству и другой указанной в нем литературе

Перед выполнением каждой лабораторной работы необходимо пройти краткое собеседование с преподавателем и получить разрешение на ее выполнение Оно дается в том случае если студент четко знает цель работы методику проведения эксперимента умеет пользоваться приборами

ПРИСТУПАТЬ К ВЫПОЛНЕНИЮ ЛАБОРАТОРНЫХ

РАБОТ БЕЗ РАЗРЕШЕНИЯ ПРЕПОДАВАТЕЛЯ КАТЕГОРИЧЕСКИ ВОСПРЕЩАЕТСЯ

В конце занятия студент обязан предъявить преподавателю

результаты своей работы Работа считается выполненной если результаты утверждены и подписаны преподавателем После этого необходимо выключить установку привести в порядок рабочее место и получить методические указания к следующей работе

32

sect 2 Журнал лабораторных работ Результаты измерений и наблюдений должны тотчас же

фиксироваться в специальном журнале в форме протоколов Временные записи результатов на черновых листочках не допускаются

Единую форму протоколов пригодную для всех работ дать невозможно и нецелесообразно Тем не менее можно сформулировать некоторые общие требования которым должны удовлетворять записи в журнале лабораторных работ

1 Должны быть указаны название работы и дата ее выполнения

конкретная цель работы и ее упражнений 2 Целесообразно привести расчетную формулу и пояснить

физический смысл входящих в нее символов 3 Результаты всех измерений заносятся в заранее

подготовленные удобные таблицы из которых было бы ясно какие физические величины и в каких единицах измерялись сколько раз повторялись измерения каждой физической величины

4 Необходимо указать приборы использовавшиеся для измерения различных величин и их точности

5 Зафиксировать (если это важно) условия опыта (температуру давление влажность воздуха и т д)

6 Записи в журнале должны быть аккуратными и четкими журнал лабораторных работ ndash не черновик В нем не должно содержаться никаких записей не относящихся к выполняемой работе Прикидочные расчеты должны проводиться на черновых листках

7 Для пометок и замечаний целесообразно оставлять поля шириной 3 см Ниже приведена схема оформления протокола одной из

лабораторных работ

33

081098 Определение модуля Юнга по изгибу стержня Цель работы ndash проверка закона Гука и определение модуля

Юнга для стального и медного стержней Расчетная формула

4 3

3

habPLE =

где Е ndash модуль Юнга Р ndash величина нагрузки приложенной к середине стержня L ndash длина деформируемой части стержня равная расстоянию между ребрами опорных призм а ndash ширина стержня в ndash его толщина h ndash стрела прогиба

Таблица 1 Определение размеров стержня

опыта L мм а мм в мм

1 5

Измерительный прибор и его точность

Штанген-циркуль plusmn 01 мм

Микрометр plusmn0005 мм

Микрометр plusmn0005 мм

Таблица 2 Измерение стрелы прогиба нагружаемого стержня

РкГс 0 01 02 03 04 hellip

h мм

205 207 203 208 205

255 248 251 249 252

hellip hellip hellip hellip

Измерительный прибор ndash микрометр точность ~ plusmn 0005 мм

Подпись преподавателя

34

sect 3 Оформление отчетов По результатам каждой лабораторной работы составляется

отчет Он должен включать 1 Краткую формулировку идеи метода расчетную формулу

пояснение физического смысла входящих в нее символов 2 Таблицы с результатами измерений и расчетов 3 Статистическую обработку результатов измерений 4 Выводы 5 На титульном листе должны быть указаны название

лабораторной работы факультет курс группа фамилия и инициалы исполнителя Отчет должен быть написан в хорошем стиле аккуратным

разборчивым почерком При его оформлении не следует также пренебрегать и эстетической стороной вопроса Заголовки выводы и формулы целесообразно выделять пастой другого цвета подчеркнуть и т п Это облегчает чтение отчета

Выводы должны быть аргументированы ссылками на соответствующие таблицы и графики поэтому они должны быть пронумерованы

sect 4 Графики Графики используются для наглядного представления

результатов При их построении необходимо соблюдать ряд правил 1 Графики нужно строить только на миллиметровой бумаге 2 На осях необходимо нанести масштабную сетку указать

единицы измерения и символы изображаемых величин 3 Масштаб должен быть простым удобным для отсчета его

долей Например 1 см = 01 1 2 или 10 единиц Кроме того масштаб выбирают так чтобы все экспериментальные точки вошли в график и достаточно далеко отстояли друг от друга

35

Иногда для этой цели бывает удобно сместить вдоль осей начало отсчета Масштаб по осям Х и У может быть различен

Рис 11 Пример построения графика функции по экспериментальным точкам

4 Экспериментальные точки следует наносить с максимальной

точностью так чтобы они четко выделялись на фоне графика не сливаясь с ним

5 График должен представлять собой плавную кривую без изломов и перегибов Нужно стремиться провести кривую так чтобы экспериментальные точки равномерно распределялись по обе стороны от нее (рис 11)

Графики выполненные на миллиметровой бумаге

аккуратно вклеиваются в отчет где для них необходимо предусмотреть соответствующее место

36

sect 5 Точность вычислений Точность вычислений определяется погрешностью

измерений Не имеет смысла вычислять какуюndashлибо величину до пятого знака после запятой если погрешность измерений такова что неуверенно определяется ее третий знак

Чтобы погрешностью вычислений можно было пренебречь она должна быть на порядок (то есть в 10 раз) меньше погрешности наименее точно измеряемой величины

Пример Модуль Юнга по изгибу стержня вычисляется по

формуле E = PL3 4ab3middoth Анализ исходных данных показывает как правило что с наибольшей относительной погрешностью измеряется стрела прогиба h Так как ΔEE gt Δh h то допускаемая относительная погрешность вычислений ΔE выч E cong 01 Δhh Для стали E cong 2middot104 кГсмм2 поэтому при Δhh =10-2 ΔEвыч cong 10 кГсмм2 Это значит что вычисления Е целесообразно проводить лишь с точностью до четвертой значащей цифры

Обычно нас интересует лишь порядок величины погрешностей поэтому последние рекомендуется вычислять лишь до второй значащей цифры а затем округлять результат до одной значащей цифры

Приводя значение измеренной Вами величины проверьте согласуется ли порядок приведенных значащих цифр с порядком погрешности

Порядок последней значащей цифры измеренной величины и порядок погрешности должны быть одинаковы

Запись Е = (1845127 plusmn 20) 107 Па неграмотна Величина ошибки свидетельствует о том что неуверенно определяется уже четвертый знак поэтому результат должен быть соответственно округлен

Е = (18450 plusmn 20) 107 Па

37

Приложение

Таблица 3 Значения коэффициентов Стьюдента

Коэффициент надежности Число

изме рений

N 08 09 095 098 099 0999

2 31 631 1271 3182 6366 63662 3 19 292 431 696 992 3160 4 16 235 318 454 584 1294 5 15 213 278 375 460 861 6 15 202 257 336 403 686 7 14 194 245 314 371 596 8 14 190 236 300 350 540 9 14 186 231 290 336 504

10 14 183 226 282 325 478 infin 13 165 196 233 259 331

38

Список литературы

1 Деденко Л Г Керженцев В В Математическая обработка и оформление результатов эксперимента М Издndashво МГУ 1977

2 Зайдель А Н Ошибки измерения физических величин Л

Наука 1974 3 Кассандрова О Н Лебедев В В Обработка результатов из-

мерений М Наука 1970 4 Сквайрс Дж Практическая физика М Мир 1971 5 Соловьев В А Яхонтова В Е Элементарные методы обра-

ботки результатов измерений Л Издndashво ЛГУ 1977

39

СОДЕРЖАНИЕ

Задачи физического практикума 3

Часть I Статистическая обработка результатов измерений

Глава I Введение в теорию погрешностей 3 sect1 Измерения и их погрешности 3 sect2 Типы погрешностей 5

1 Систематические погрешности 5 2 Случайные погрешности 6 3 Промахи 7

Глава II Статистическая обработка результатов прямых измерений 8 sect1 Вероятность случайного события 8 sect2 Нормальный закон распределения случайных погрешностей 9 sect3 Среднеквадратичная погрешность 13 sect4 Среднеквадратичная погрешность среднего 14 sect5 Доверительный интервал и доверительная вероятность 15 sect6 Совместный учет систематической и случайной погрешностей 20 Глава III Статистическая обработка результатов косвенных измерений 21 sect1 Два способа оценки погрешностей косвенного измерения 21 sect2 Частные погрешности и общая погрешность косвенного измерения 21 sect3 Относительная погрешность косвенного измерения 23 Глава IV Определение параметров линейной зависимости 25 sect1 Метод парных точек 25 sect2 Метод наименьших квадратов (МНК) 26

40

Часть II Правила работы в лаборатории оформление

результатов работы

sect1 Правила работы в лаборатории 31 sect2 Журнал лабораторных работ 32 sect3 Оформление отчетов 34 sect4 Графики 34 sect5 Точность вычислений 36 Приложение 37 Список литературы 38

41

Составители Жукова Ида Степановна Бутина Лариса Иосифовна Крылова Светлана Ивановна

ВВЕДЕНИЕ В ЛАБОРАТОРНЫЙ ПРАКТИКУМ ПО КУРСУ ОБЩЕЙ ФИЗИКИ

Методические указания

к лабораторной работе

Редактор Козина О В

ЛР 040 110 Подписано к печати 090999 Формат 60х84 116 Бумага газетная Офсетная печать 25 уч-издл

11 услкр-отт Тираж 500 экз Изд 19 laquoСraquo

Издательство Петрозаводского государственного университета

185640 Петрозаводск пр Ленина 33

27

(На практике это предположение часто оправдывается) По результатам измерений необходимо построить прямую линию

В основе описываемого метода лежит положение согласно которому наилучшим приближением будет такая прямая линия для которой сумма квадратов расстояний по вертикали от точек до прямой (сумма квадратов погрешностей величины y (рис 10)) является минимальной то есть наиболее вероятные

Рис 10 Распределение экспериментальных точек относительно искомой прямой

значения параметров а и в (41) выбираются так чтобы сумма

( )sum sum= =

minusminus==n

i

n

iiii baxydS

1 1

22 (42)

была минимальной Это значит что

( )sum=

=minus+=partpart n

iiii xybax

aS

1

02

( )sum=

=minus+=partpart n

iii ybax

bS

1

02 (43)

28

Таким образом искомые величины а и в получаются

решением системы уравнений

sum sum sum= = =

=+n

i

n

i

n

iiiii yxxbxa

1 1 1

2 (44)

sum sum= =

=+n

i

n

iii ybnxa

1 1

(45)

Из уравнения (45) следует что наилучшая прямая проходит через точку с координатами

sumsum==

==n

ii

n

ii y

nyx

nx

1

_

1

_

11 (46)

(В этом можно легко убедиться поделив равенство (45) почленно на n) Из уравнений (44) и (45) находим

1 1

2

1 1

sum sum

sum sum

= =

= =

minus

minus= n

i

n

iii

n

i

n

iiii

xxx

yyyxa (47)

sum sumsum sum

sum sum= =

= =

= =

minus

minusminus=

n

i

n

in

i

n

iii

n

i

n

iiii

ii

xxx

yyyxx

ny

nb

1 1

1 1

2

1 111 (48)

29

В лабораторном практикуме обычно бывает достаточно оценить погрешность коэффициента a Формула для среднеквадратичной ошибки величины а имеет вид (см Список литературы ndash 3)

2

1 2

minusminus

=n

rSS

Sx

ya (49)

где ( )sum=

minusminus

=n

iiy yy

nS

1

2 1

1 (410)

( )sum=

minusminus

=n

iix xx

nS

1

2

11

(411)

( ) ( )

( ) 1

1

yx

n

iii

SSn

yyxxr

sdotminus

minusminus=

sum= (412)

Интервал в котором с установленной вероятностью α может находиться коэффициент а записывается в виде

22 anan StaaSta sdot+lelesdotminus minusminus αα (413)

где a определяется формулой (47) aS ndash формулой (49) tαn-2 ndash коэффициент Стьюдента для надежности α и числа измерений n ndash число пар точек

При использовании метода наименьших квадратов рекомендуется следующий порядок действий

1 Составить таблицу

изм xi yi xiyi xi

2 1 2

i n

sumxi sumyi sumxiyi sumxi2

30

2 Рассчитать

а) sum=

n

iii yx

1 б) sum

=

=n

i

i

nx

x1

в) sum=

n

iiy

1

г) sum=

n

iix

1

д) sum=

n

iix

1

2 е) sum=

=n

i

i

ny

y1

3 Рассчитать наилучшие значения углового коэффициента а по

формуле (47) 4 Зная коэффициенты а и б провести наилучшую прямую она

должна проходить через точку с координатами x и y 5 Для расчета погрешности величины а по формулам (49 ndash 412) составить таблицу

пп

yi - y

xi - x

(yi - y )2

(xi - x )2

Sx

Sy

r

31

ЧАСТЬ II

ПРАВИЛА РАБОТЫ В ЛАБОРАТОРИИ

ОФОРМЛЕНИЕ РЕЗУЛЬТАТОВ РАБОТЫ sect 1 Правила работы в лаборатории Каждая лабораторная работа рассчитана на одно занятие

В начале семестра составляется и вывешивается в лаборатории график выполнения работ на весь семестр

Студент должен заранее знать тему своей лабораторной работы и подготовиться к ней по методическому руководству и другой указанной в нем литературе

Перед выполнением каждой лабораторной работы необходимо пройти краткое собеседование с преподавателем и получить разрешение на ее выполнение Оно дается в том случае если студент четко знает цель работы методику проведения эксперимента умеет пользоваться приборами

ПРИСТУПАТЬ К ВЫПОЛНЕНИЮ ЛАБОРАТОРНЫХ

РАБОТ БЕЗ РАЗРЕШЕНИЯ ПРЕПОДАВАТЕЛЯ КАТЕГОРИЧЕСКИ ВОСПРЕЩАЕТСЯ

В конце занятия студент обязан предъявить преподавателю

результаты своей работы Работа считается выполненной если результаты утверждены и подписаны преподавателем После этого необходимо выключить установку привести в порядок рабочее место и получить методические указания к следующей работе

32

sect 2 Журнал лабораторных работ Результаты измерений и наблюдений должны тотчас же

фиксироваться в специальном журнале в форме протоколов Временные записи результатов на черновых листочках не допускаются

Единую форму протоколов пригодную для всех работ дать невозможно и нецелесообразно Тем не менее можно сформулировать некоторые общие требования которым должны удовлетворять записи в журнале лабораторных работ

1 Должны быть указаны название работы и дата ее выполнения

конкретная цель работы и ее упражнений 2 Целесообразно привести расчетную формулу и пояснить

физический смысл входящих в нее символов 3 Результаты всех измерений заносятся в заранее

подготовленные удобные таблицы из которых было бы ясно какие физические величины и в каких единицах измерялись сколько раз повторялись измерения каждой физической величины

4 Необходимо указать приборы использовавшиеся для измерения различных величин и их точности

5 Зафиксировать (если это важно) условия опыта (температуру давление влажность воздуха и т д)

6 Записи в журнале должны быть аккуратными и четкими журнал лабораторных работ ndash не черновик В нем не должно содержаться никаких записей не относящихся к выполняемой работе Прикидочные расчеты должны проводиться на черновых листках

7 Для пометок и замечаний целесообразно оставлять поля шириной 3 см Ниже приведена схема оформления протокола одной из

лабораторных работ

33

081098 Определение модуля Юнга по изгибу стержня Цель работы ndash проверка закона Гука и определение модуля

Юнга для стального и медного стержней Расчетная формула

4 3

3

habPLE =

где Е ndash модуль Юнга Р ndash величина нагрузки приложенной к середине стержня L ndash длина деформируемой части стержня равная расстоянию между ребрами опорных призм а ndash ширина стержня в ndash его толщина h ndash стрела прогиба

Таблица 1 Определение размеров стержня

опыта L мм а мм в мм

1 5

Измерительный прибор и его точность

Штанген-циркуль plusmn 01 мм

Микрометр plusmn0005 мм

Микрометр plusmn0005 мм

Таблица 2 Измерение стрелы прогиба нагружаемого стержня

РкГс 0 01 02 03 04 hellip

h мм

205 207 203 208 205

255 248 251 249 252

hellip hellip hellip hellip

Измерительный прибор ndash микрометр точность ~ plusmn 0005 мм

Подпись преподавателя

34

sect 3 Оформление отчетов По результатам каждой лабораторной работы составляется

отчет Он должен включать 1 Краткую формулировку идеи метода расчетную формулу

пояснение физического смысла входящих в нее символов 2 Таблицы с результатами измерений и расчетов 3 Статистическую обработку результатов измерений 4 Выводы 5 На титульном листе должны быть указаны название

лабораторной работы факультет курс группа фамилия и инициалы исполнителя Отчет должен быть написан в хорошем стиле аккуратным

разборчивым почерком При его оформлении не следует также пренебрегать и эстетической стороной вопроса Заголовки выводы и формулы целесообразно выделять пастой другого цвета подчеркнуть и т п Это облегчает чтение отчета

Выводы должны быть аргументированы ссылками на соответствующие таблицы и графики поэтому они должны быть пронумерованы

sect 4 Графики Графики используются для наглядного представления

результатов При их построении необходимо соблюдать ряд правил 1 Графики нужно строить только на миллиметровой бумаге 2 На осях необходимо нанести масштабную сетку указать

единицы измерения и символы изображаемых величин 3 Масштаб должен быть простым удобным для отсчета его

долей Например 1 см = 01 1 2 или 10 единиц Кроме того масштаб выбирают так чтобы все экспериментальные точки вошли в график и достаточно далеко отстояли друг от друга

35

Иногда для этой цели бывает удобно сместить вдоль осей начало отсчета Масштаб по осям Х и У может быть различен

Рис 11 Пример построения графика функции по экспериментальным точкам

4 Экспериментальные точки следует наносить с максимальной

точностью так чтобы они четко выделялись на фоне графика не сливаясь с ним

5 График должен представлять собой плавную кривую без изломов и перегибов Нужно стремиться провести кривую так чтобы экспериментальные точки равномерно распределялись по обе стороны от нее (рис 11)

Графики выполненные на миллиметровой бумаге

аккуратно вклеиваются в отчет где для них необходимо предусмотреть соответствующее место

36

sect 5 Точность вычислений Точность вычислений определяется погрешностью

измерений Не имеет смысла вычислять какуюndashлибо величину до пятого знака после запятой если погрешность измерений такова что неуверенно определяется ее третий знак

Чтобы погрешностью вычислений можно было пренебречь она должна быть на порядок (то есть в 10 раз) меньше погрешности наименее точно измеряемой величины

Пример Модуль Юнга по изгибу стержня вычисляется по

формуле E = PL3 4ab3middoth Анализ исходных данных показывает как правило что с наибольшей относительной погрешностью измеряется стрела прогиба h Так как ΔEE gt Δh h то допускаемая относительная погрешность вычислений ΔE выч E cong 01 Δhh Для стали E cong 2middot104 кГсмм2 поэтому при Δhh =10-2 ΔEвыч cong 10 кГсмм2 Это значит что вычисления Е целесообразно проводить лишь с точностью до четвертой значащей цифры

Обычно нас интересует лишь порядок величины погрешностей поэтому последние рекомендуется вычислять лишь до второй значащей цифры а затем округлять результат до одной значащей цифры

Приводя значение измеренной Вами величины проверьте согласуется ли порядок приведенных значащих цифр с порядком погрешности

Порядок последней значащей цифры измеренной величины и порядок погрешности должны быть одинаковы

Запись Е = (1845127 plusmn 20) 107 Па неграмотна Величина ошибки свидетельствует о том что неуверенно определяется уже четвертый знак поэтому результат должен быть соответственно округлен

Е = (18450 plusmn 20) 107 Па

37

Приложение

Таблица 3 Значения коэффициентов Стьюдента

Коэффициент надежности Число

изме рений

N 08 09 095 098 099 0999

2 31 631 1271 3182 6366 63662 3 19 292 431 696 992 3160 4 16 235 318 454 584 1294 5 15 213 278 375 460 861 6 15 202 257 336 403 686 7 14 194 245 314 371 596 8 14 190 236 300 350 540 9 14 186 231 290 336 504

10 14 183 226 282 325 478 infin 13 165 196 233 259 331

38

Список литературы

1 Деденко Л Г Керженцев В В Математическая обработка и оформление результатов эксперимента М Издndashво МГУ 1977

2 Зайдель А Н Ошибки измерения физических величин Л

Наука 1974 3 Кассандрова О Н Лебедев В В Обработка результатов из-

мерений М Наука 1970 4 Сквайрс Дж Практическая физика М Мир 1971 5 Соловьев В А Яхонтова В Е Элементарные методы обра-

ботки результатов измерений Л Издndashво ЛГУ 1977

39

СОДЕРЖАНИЕ

Задачи физического практикума 3

Часть I Статистическая обработка результатов измерений

Глава I Введение в теорию погрешностей 3 sect1 Измерения и их погрешности 3 sect2 Типы погрешностей 5

1 Систематические погрешности 5 2 Случайные погрешности 6 3 Промахи 7

Глава II Статистическая обработка результатов прямых измерений 8 sect1 Вероятность случайного события 8 sect2 Нормальный закон распределения случайных погрешностей 9 sect3 Среднеквадратичная погрешность 13 sect4 Среднеквадратичная погрешность среднего 14 sect5 Доверительный интервал и доверительная вероятность 15 sect6 Совместный учет систематической и случайной погрешностей 20 Глава III Статистическая обработка результатов косвенных измерений 21 sect1 Два способа оценки погрешностей косвенного измерения 21 sect2 Частные погрешности и общая погрешность косвенного измерения 21 sect3 Относительная погрешность косвенного измерения 23 Глава IV Определение параметров линейной зависимости 25 sect1 Метод парных точек 25 sect2 Метод наименьших квадратов (МНК) 26

40

Часть II Правила работы в лаборатории оформление

результатов работы

sect1 Правила работы в лаборатории 31 sect2 Журнал лабораторных работ 32 sect3 Оформление отчетов 34 sect4 Графики 34 sect5 Точность вычислений 36 Приложение 37 Список литературы 38

41

Составители Жукова Ида Степановна Бутина Лариса Иосифовна Крылова Светлана Ивановна

ВВЕДЕНИЕ В ЛАБОРАТОРНЫЙ ПРАКТИКУМ ПО КУРСУ ОБЩЕЙ ФИЗИКИ

Методические указания

к лабораторной работе

Редактор Козина О В

ЛР 040 110 Подписано к печати 090999 Формат 60х84 116 Бумага газетная Офсетная печать 25 уч-издл

11 услкр-отт Тираж 500 экз Изд 19 laquoСraquo

Издательство Петрозаводского государственного университета

185640 Петрозаводск пр Ленина 33

28

Таким образом искомые величины а и в получаются

решением системы уравнений

sum sum sum= = =

=+n

i

n

i

n

iiiii yxxbxa

1 1 1

2 (44)

sum sum= =

=+n

i

n

iii ybnxa

1 1

(45)

Из уравнения (45) следует что наилучшая прямая проходит через точку с координатами

sumsum==

==n

ii

n

ii y

nyx

nx

1

_

1

_

11 (46)

(В этом можно легко убедиться поделив равенство (45) почленно на n) Из уравнений (44) и (45) находим

1 1

2

1 1

sum sum

sum sum

= =

= =

minus

minus= n

i

n

iii

n

i

n

iiii

xxx

yyyxa (47)

sum sumsum sum

sum sum= =

= =

= =

minus

minusminus=

n

i

n

in

i

n

iii

n

i

n

iiii

ii

xxx

yyyxx

ny

nb

1 1

1 1

2

1 111 (48)

29

В лабораторном практикуме обычно бывает достаточно оценить погрешность коэффициента a Формула для среднеквадратичной ошибки величины а имеет вид (см Список литературы ndash 3)

2

1 2

minusminus

=n

rSS

Sx

ya (49)

где ( )sum=

minusminus

=n

iiy yy

nS

1

2 1

1 (410)

( )sum=

minusminus

=n

iix xx

nS

1

2

11

(411)

( ) ( )

( ) 1

1

yx

n

iii

SSn

yyxxr

sdotminus

minusminus=

sum= (412)

Интервал в котором с установленной вероятностью α может находиться коэффициент а записывается в виде

22 anan StaaSta sdot+lelesdotminus minusminus αα (413)

где a определяется формулой (47) aS ndash формулой (49) tαn-2 ndash коэффициент Стьюдента для надежности α и числа измерений n ndash число пар точек

При использовании метода наименьших квадратов рекомендуется следующий порядок действий

1 Составить таблицу

изм xi yi xiyi xi

2 1 2

i n

sumxi sumyi sumxiyi sumxi2

30

2 Рассчитать

а) sum=

n

iii yx

1 б) sum

=

=n

i

i

nx

x1

в) sum=

n

iiy

1

г) sum=

n

iix

1

д) sum=

n

iix

1

2 е) sum=

=n

i

i

ny

y1

3 Рассчитать наилучшие значения углового коэффициента а по

формуле (47) 4 Зная коэффициенты а и б провести наилучшую прямую она

должна проходить через точку с координатами x и y 5 Для расчета погрешности величины а по формулам (49 ndash 412) составить таблицу

пп

yi - y

xi - x

(yi - y )2

(xi - x )2

Sx

Sy

r

31

ЧАСТЬ II

ПРАВИЛА РАБОТЫ В ЛАБОРАТОРИИ

ОФОРМЛЕНИЕ РЕЗУЛЬТАТОВ РАБОТЫ sect 1 Правила работы в лаборатории Каждая лабораторная работа рассчитана на одно занятие

В начале семестра составляется и вывешивается в лаборатории график выполнения работ на весь семестр

Студент должен заранее знать тему своей лабораторной работы и подготовиться к ней по методическому руководству и другой указанной в нем литературе

Перед выполнением каждой лабораторной работы необходимо пройти краткое собеседование с преподавателем и получить разрешение на ее выполнение Оно дается в том случае если студент четко знает цель работы методику проведения эксперимента умеет пользоваться приборами

ПРИСТУПАТЬ К ВЫПОЛНЕНИЮ ЛАБОРАТОРНЫХ

РАБОТ БЕЗ РАЗРЕШЕНИЯ ПРЕПОДАВАТЕЛЯ КАТЕГОРИЧЕСКИ ВОСПРЕЩАЕТСЯ

В конце занятия студент обязан предъявить преподавателю

результаты своей работы Работа считается выполненной если результаты утверждены и подписаны преподавателем После этого необходимо выключить установку привести в порядок рабочее место и получить методические указания к следующей работе

32

sect 2 Журнал лабораторных работ Результаты измерений и наблюдений должны тотчас же

фиксироваться в специальном журнале в форме протоколов Временные записи результатов на черновых листочках не допускаются

Единую форму протоколов пригодную для всех работ дать невозможно и нецелесообразно Тем не менее можно сформулировать некоторые общие требования которым должны удовлетворять записи в журнале лабораторных работ

1 Должны быть указаны название работы и дата ее выполнения

конкретная цель работы и ее упражнений 2 Целесообразно привести расчетную формулу и пояснить

физический смысл входящих в нее символов 3 Результаты всех измерений заносятся в заранее

подготовленные удобные таблицы из которых было бы ясно какие физические величины и в каких единицах измерялись сколько раз повторялись измерения каждой физической величины

4 Необходимо указать приборы использовавшиеся для измерения различных величин и их точности

5 Зафиксировать (если это важно) условия опыта (температуру давление влажность воздуха и т д)

6 Записи в журнале должны быть аккуратными и четкими журнал лабораторных работ ndash не черновик В нем не должно содержаться никаких записей не относящихся к выполняемой работе Прикидочные расчеты должны проводиться на черновых листках

7 Для пометок и замечаний целесообразно оставлять поля шириной 3 см Ниже приведена схема оформления протокола одной из

лабораторных работ

33

081098 Определение модуля Юнга по изгибу стержня Цель работы ndash проверка закона Гука и определение модуля

Юнга для стального и медного стержней Расчетная формула

4 3

3

habPLE =

где Е ndash модуль Юнга Р ndash величина нагрузки приложенной к середине стержня L ndash длина деформируемой части стержня равная расстоянию между ребрами опорных призм а ndash ширина стержня в ndash его толщина h ndash стрела прогиба

Таблица 1 Определение размеров стержня

опыта L мм а мм в мм

1 5

Измерительный прибор и его точность

Штанген-циркуль plusmn 01 мм

Микрометр plusmn0005 мм

Микрометр plusmn0005 мм

Таблица 2 Измерение стрелы прогиба нагружаемого стержня

РкГс 0 01 02 03 04 hellip

h мм

205 207 203 208 205

255 248 251 249 252

hellip hellip hellip hellip

Измерительный прибор ndash микрометр точность ~ plusmn 0005 мм

Подпись преподавателя

34

sect 3 Оформление отчетов По результатам каждой лабораторной работы составляется

отчет Он должен включать 1 Краткую формулировку идеи метода расчетную формулу

пояснение физического смысла входящих в нее символов 2 Таблицы с результатами измерений и расчетов 3 Статистическую обработку результатов измерений 4 Выводы 5 На титульном листе должны быть указаны название

лабораторной работы факультет курс группа фамилия и инициалы исполнителя Отчет должен быть написан в хорошем стиле аккуратным

разборчивым почерком При его оформлении не следует также пренебрегать и эстетической стороной вопроса Заголовки выводы и формулы целесообразно выделять пастой другого цвета подчеркнуть и т п Это облегчает чтение отчета

Выводы должны быть аргументированы ссылками на соответствующие таблицы и графики поэтому они должны быть пронумерованы

sect 4 Графики Графики используются для наглядного представления

результатов При их построении необходимо соблюдать ряд правил 1 Графики нужно строить только на миллиметровой бумаге 2 На осях необходимо нанести масштабную сетку указать

единицы измерения и символы изображаемых величин 3 Масштаб должен быть простым удобным для отсчета его

долей Например 1 см = 01 1 2 или 10 единиц Кроме того масштаб выбирают так чтобы все экспериментальные точки вошли в график и достаточно далеко отстояли друг от друга

35

Иногда для этой цели бывает удобно сместить вдоль осей начало отсчета Масштаб по осям Х и У может быть различен

Рис 11 Пример построения графика функции по экспериментальным точкам

4 Экспериментальные точки следует наносить с максимальной

точностью так чтобы они четко выделялись на фоне графика не сливаясь с ним

5 График должен представлять собой плавную кривую без изломов и перегибов Нужно стремиться провести кривую так чтобы экспериментальные точки равномерно распределялись по обе стороны от нее (рис 11)

Графики выполненные на миллиметровой бумаге

аккуратно вклеиваются в отчет где для них необходимо предусмотреть соответствующее место

36

sect 5 Точность вычислений Точность вычислений определяется погрешностью

измерений Не имеет смысла вычислять какуюndashлибо величину до пятого знака после запятой если погрешность измерений такова что неуверенно определяется ее третий знак

Чтобы погрешностью вычислений можно было пренебречь она должна быть на порядок (то есть в 10 раз) меньше погрешности наименее точно измеряемой величины

Пример Модуль Юнга по изгибу стержня вычисляется по

формуле E = PL3 4ab3middoth Анализ исходных данных показывает как правило что с наибольшей относительной погрешностью измеряется стрела прогиба h Так как ΔEE gt Δh h то допускаемая относительная погрешность вычислений ΔE выч E cong 01 Δhh Для стали E cong 2middot104 кГсмм2 поэтому при Δhh =10-2 ΔEвыч cong 10 кГсмм2 Это значит что вычисления Е целесообразно проводить лишь с точностью до четвертой значащей цифры

Обычно нас интересует лишь порядок величины погрешностей поэтому последние рекомендуется вычислять лишь до второй значащей цифры а затем округлять результат до одной значащей цифры

Приводя значение измеренной Вами величины проверьте согласуется ли порядок приведенных значащих цифр с порядком погрешности

Порядок последней значащей цифры измеренной величины и порядок погрешности должны быть одинаковы

Запись Е = (1845127 plusmn 20) 107 Па неграмотна Величина ошибки свидетельствует о том что неуверенно определяется уже четвертый знак поэтому результат должен быть соответственно округлен

Е = (18450 plusmn 20) 107 Па

37

Приложение

Таблица 3 Значения коэффициентов Стьюдента

Коэффициент надежности Число

изме рений

N 08 09 095 098 099 0999

2 31 631 1271 3182 6366 63662 3 19 292 431 696 992 3160 4 16 235 318 454 584 1294 5 15 213 278 375 460 861 6 15 202 257 336 403 686 7 14 194 245 314 371 596 8 14 190 236 300 350 540 9 14 186 231 290 336 504

10 14 183 226 282 325 478 infin 13 165 196 233 259 331

38

Список литературы

1 Деденко Л Г Керженцев В В Математическая обработка и оформление результатов эксперимента М Издndashво МГУ 1977

2 Зайдель А Н Ошибки измерения физических величин Л

Наука 1974 3 Кассандрова О Н Лебедев В В Обработка результатов из-

мерений М Наука 1970 4 Сквайрс Дж Практическая физика М Мир 1971 5 Соловьев В А Яхонтова В Е Элементарные методы обра-

ботки результатов измерений Л Издndashво ЛГУ 1977

39

СОДЕРЖАНИЕ

Задачи физического практикума 3

Часть I Статистическая обработка результатов измерений

Глава I Введение в теорию погрешностей 3 sect1 Измерения и их погрешности 3 sect2 Типы погрешностей 5

1 Систематические погрешности 5 2 Случайные погрешности 6 3 Промахи 7

Глава II Статистическая обработка результатов прямых измерений 8 sect1 Вероятность случайного события 8 sect2 Нормальный закон распределения случайных погрешностей 9 sect3 Среднеквадратичная погрешность 13 sect4 Среднеквадратичная погрешность среднего 14 sect5 Доверительный интервал и доверительная вероятность 15 sect6 Совместный учет систематической и случайной погрешностей 20 Глава III Статистическая обработка результатов косвенных измерений 21 sect1 Два способа оценки погрешностей косвенного измерения 21 sect2 Частные погрешности и общая погрешность косвенного измерения 21 sect3 Относительная погрешность косвенного измерения 23 Глава IV Определение параметров линейной зависимости 25 sect1 Метод парных точек 25 sect2 Метод наименьших квадратов (МНК) 26

40

Часть II Правила работы в лаборатории оформление

результатов работы

sect1 Правила работы в лаборатории 31 sect2 Журнал лабораторных работ 32 sect3 Оформление отчетов 34 sect4 Графики 34 sect5 Точность вычислений 36 Приложение 37 Список литературы 38

41

Составители Жукова Ида Степановна Бутина Лариса Иосифовна Крылова Светлана Ивановна

ВВЕДЕНИЕ В ЛАБОРАТОРНЫЙ ПРАКТИКУМ ПО КУРСУ ОБЩЕЙ ФИЗИКИ

Методические указания

к лабораторной работе

Редактор Козина О В

ЛР 040 110 Подписано к печати 090999 Формат 60х84 116 Бумага газетная Офсетная печать 25 уч-издл

11 услкр-отт Тираж 500 экз Изд 19 laquoСraquo

Издательство Петрозаводского государственного университета

185640 Петрозаводск пр Ленина 33

29

В лабораторном практикуме обычно бывает достаточно оценить погрешность коэффициента a Формула для среднеквадратичной ошибки величины а имеет вид (см Список литературы ndash 3)

2

1 2

minusminus

=n

rSS

Sx

ya (49)

где ( )sum=

minusminus

=n

iiy yy

nS

1

2 1

1 (410)

( )sum=

minusminus

=n

iix xx

nS

1

2

11

(411)

( ) ( )

( ) 1

1

yx

n

iii

SSn

yyxxr

sdotminus

minusminus=

sum= (412)

Интервал в котором с установленной вероятностью α может находиться коэффициент а записывается в виде

22 anan StaaSta sdot+lelesdotminus minusminus αα (413)

где a определяется формулой (47) aS ndash формулой (49) tαn-2 ndash коэффициент Стьюдента для надежности α и числа измерений n ndash число пар точек

При использовании метода наименьших квадратов рекомендуется следующий порядок действий

1 Составить таблицу

изм xi yi xiyi xi

2 1 2

i n

sumxi sumyi sumxiyi sumxi2

30

2 Рассчитать

а) sum=

n

iii yx

1 б) sum

=

=n

i

i

nx

x1

в) sum=

n

iiy

1

г) sum=

n

iix

1

д) sum=

n

iix

1

2 е) sum=

=n

i

i

ny

y1

3 Рассчитать наилучшие значения углового коэффициента а по

формуле (47) 4 Зная коэффициенты а и б провести наилучшую прямую она

должна проходить через точку с координатами x и y 5 Для расчета погрешности величины а по формулам (49 ndash 412) составить таблицу

пп

yi - y

xi - x

(yi - y )2

(xi - x )2

Sx

Sy

r

31

ЧАСТЬ II

ПРАВИЛА РАБОТЫ В ЛАБОРАТОРИИ

ОФОРМЛЕНИЕ РЕЗУЛЬТАТОВ РАБОТЫ sect 1 Правила работы в лаборатории Каждая лабораторная работа рассчитана на одно занятие

В начале семестра составляется и вывешивается в лаборатории график выполнения работ на весь семестр

Студент должен заранее знать тему своей лабораторной работы и подготовиться к ней по методическому руководству и другой указанной в нем литературе

Перед выполнением каждой лабораторной работы необходимо пройти краткое собеседование с преподавателем и получить разрешение на ее выполнение Оно дается в том случае если студент четко знает цель работы методику проведения эксперимента умеет пользоваться приборами

ПРИСТУПАТЬ К ВЫПОЛНЕНИЮ ЛАБОРАТОРНЫХ

РАБОТ БЕЗ РАЗРЕШЕНИЯ ПРЕПОДАВАТЕЛЯ КАТЕГОРИЧЕСКИ ВОСПРЕЩАЕТСЯ

В конце занятия студент обязан предъявить преподавателю

результаты своей работы Работа считается выполненной если результаты утверждены и подписаны преподавателем После этого необходимо выключить установку привести в порядок рабочее место и получить методические указания к следующей работе

32

sect 2 Журнал лабораторных работ Результаты измерений и наблюдений должны тотчас же

фиксироваться в специальном журнале в форме протоколов Временные записи результатов на черновых листочках не допускаются

Единую форму протоколов пригодную для всех работ дать невозможно и нецелесообразно Тем не менее можно сформулировать некоторые общие требования которым должны удовлетворять записи в журнале лабораторных работ

1 Должны быть указаны название работы и дата ее выполнения

конкретная цель работы и ее упражнений 2 Целесообразно привести расчетную формулу и пояснить

физический смысл входящих в нее символов 3 Результаты всех измерений заносятся в заранее

подготовленные удобные таблицы из которых было бы ясно какие физические величины и в каких единицах измерялись сколько раз повторялись измерения каждой физической величины

4 Необходимо указать приборы использовавшиеся для измерения различных величин и их точности

5 Зафиксировать (если это важно) условия опыта (температуру давление влажность воздуха и т д)

6 Записи в журнале должны быть аккуратными и четкими журнал лабораторных работ ndash не черновик В нем не должно содержаться никаких записей не относящихся к выполняемой работе Прикидочные расчеты должны проводиться на черновых листках

7 Для пометок и замечаний целесообразно оставлять поля шириной 3 см Ниже приведена схема оформления протокола одной из

лабораторных работ

33

081098 Определение модуля Юнга по изгибу стержня Цель работы ndash проверка закона Гука и определение модуля

Юнга для стального и медного стержней Расчетная формула

4 3

3

habPLE =

где Е ndash модуль Юнга Р ndash величина нагрузки приложенной к середине стержня L ndash длина деформируемой части стержня равная расстоянию между ребрами опорных призм а ndash ширина стержня в ndash его толщина h ndash стрела прогиба

Таблица 1 Определение размеров стержня

опыта L мм а мм в мм

1 5

Измерительный прибор и его точность

Штанген-циркуль plusmn 01 мм

Микрометр plusmn0005 мм

Микрометр plusmn0005 мм

Таблица 2 Измерение стрелы прогиба нагружаемого стержня

РкГс 0 01 02 03 04 hellip

h мм

205 207 203 208 205

255 248 251 249 252

hellip hellip hellip hellip

Измерительный прибор ndash микрометр точность ~ plusmn 0005 мм

Подпись преподавателя

34

sect 3 Оформление отчетов По результатам каждой лабораторной работы составляется

отчет Он должен включать 1 Краткую формулировку идеи метода расчетную формулу

пояснение физического смысла входящих в нее символов 2 Таблицы с результатами измерений и расчетов 3 Статистическую обработку результатов измерений 4 Выводы 5 На титульном листе должны быть указаны название

лабораторной работы факультет курс группа фамилия и инициалы исполнителя Отчет должен быть написан в хорошем стиле аккуратным

разборчивым почерком При его оформлении не следует также пренебрегать и эстетической стороной вопроса Заголовки выводы и формулы целесообразно выделять пастой другого цвета подчеркнуть и т п Это облегчает чтение отчета

Выводы должны быть аргументированы ссылками на соответствующие таблицы и графики поэтому они должны быть пронумерованы

sect 4 Графики Графики используются для наглядного представления

результатов При их построении необходимо соблюдать ряд правил 1 Графики нужно строить только на миллиметровой бумаге 2 На осях необходимо нанести масштабную сетку указать

единицы измерения и символы изображаемых величин 3 Масштаб должен быть простым удобным для отсчета его

долей Например 1 см = 01 1 2 или 10 единиц Кроме того масштаб выбирают так чтобы все экспериментальные точки вошли в график и достаточно далеко отстояли друг от друга

35

Иногда для этой цели бывает удобно сместить вдоль осей начало отсчета Масштаб по осям Х и У может быть различен

Рис 11 Пример построения графика функции по экспериментальным точкам

4 Экспериментальные точки следует наносить с максимальной

точностью так чтобы они четко выделялись на фоне графика не сливаясь с ним

5 График должен представлять собой плавную кривую без изломов и перегибов Нужно стремиться провести кривую так чтобы экспериментальные точки равномерно распределялись по обе стороны от нее (рис 11)

Графики выполненные на миллиметровой бумаге

аккуратно вклеиваются в отчет где для них необходимо предусмотреть соответствующее место

36

sect 5 Точность вычислений Точность вычислений определяется погрешностью

измерений Не имеет смысла вычислять какуюndashлибо величину до пятого знака после запятой если погрешность измерений такова что неуверенно определяется ее третий знак

Чтобы погрешностью вычислений можно было пренебречь она должна быть на порядок (то есть в 10 раз) меньше погрешности наименее точно измеряемой величины

Пример Модуль Юнга по изгибу стержня вычисляется по

формуле E = PL3 4ab3middoth Анализ исходных данных показывает как правило что с наибольшей относительной погрешностью измеряется стрела прогиба h Так как ΔEE gt Δh h то допускаемая относительная погрешность вычислений ΔE выч E cong 01 Δhh Для стали E cong 2middot104 кГсмм2 поэтому при Δhh =10-2 ΔEвыч cong 10 кГсмм2 Это значит что вычисления Е целесообразно проводить лишь с точностью до четвертой значащей цифры

Обычно нас интересует лишь порядок величины погрешностей поэтому последние рекомендуется вычислять лишь до второй значащей цифры а затем округлять результат до одной значащей цифры

Приводя значение измеренной Вами величины проверьте согласуется ли порядок приведенных значащих цифр с порядком погрешности

Порядок последней значащей цифры измеренной величины и порядок погрешности должны быть одинаковы

Запись Е = (1845127 plusmn 20) 107 Па неграмотна Величина ошибки свидетельствует о том что неуверенно определяется уже четвертый знак поэтому результат должен быть соответственно округлен

Е = (18450 plusmn 20) 107 Па

37

Приложение

Таблица 3 Значения коэффициентов Стьюдента

Коэффициент надежности Число

изме рений

N 08 09 095 098 099 0999

2 31 631 1271 3182 6366 63662 3 19 292 431 696 992 3160 4 16 235 318 454 584 1294 5 15 213 278 375 460 861 6 15 202 257 336 403 686 7 14 194 245 314 371 596 8 14 190 236 300 350 540 9 14 186 231 290 336 504

10 14 183 226 282 325 478 infin 13 165 196 233 259 331

38

Список литературы

1 Деденко Л Г Керженцев В В Математическая обработка и оформление результатов эксперимента М Издndashво МГУ 1977

2 Зайдель А Н Ошибки измерения физических величин Л

Наука 1974 3 Кассандрова О Н Лебедев В В Обработка результатов из-

мерений М Наука 1970 4 Сквайрс Дж Практическая физика М Мир 1971 5 Соловьев В А Яхонтова В Е Элементарные методы обра-

ботки результатов измерений Л Издndashво ЛГУ 1977

39

СОДЕРЖАНИЕ

Задачи физического практикума 3

Часть I Статистическая обработка результатов измерений

Глава I Введение в теорию погрешностей 3 sect1 Измерения и их погрешности 3 sect2 Типы погрешностей 5

1 Систематические погрешности 5 2 Случайные погрешности 6 3 Промахи 7

Глава II Статистическая обработка результатов прямых измерений 8 sect1 Вероятность случайного события 8 sect2 Нормальный закон распределения случайных погрешностей 9 sect3 Среднеквадратичная погрешность 13 sect4 Среднеквадратичная погрешность среднего 14 sect5 Доверительный интервал и доверительная вероятность 15 sect6 Совместный учет систематической и случайной погрешностей 20 Глава III Статистическая обработка результатов косвенных измерений 21 sect1 Два способа оценки погрешностей косвенного измерения 21 sect2 Частные погрешности и общая погрешность косвенного измерения 21 sect3 Относительная погрешность косвенного измерения 23 Глава IV Определение параметров линейной зависимости 25 sect1 Метод парных точек 25 sect2 Метод наименьших квадратов (МНК) 26

40

Часть II Правила работы в лаборатории оформление

результатов работы

sect1 Правила работы в лаборатории 31 sect2 Журнал лабораторных работ 32 sect3 Оформление отчетов 34 sect4 Графики 34 sect5 Точность вычислений 36 Приложение 37 Список литературы 38

41

Составители Жукова Ида Степановна Бутина Лариса Иосифовна Крылова Светлана Ивановна

ВВЕДЕНИЕ В ЛАБОРАТОРНЫЙ ПРАКТИКУМ ПО КУРСУ ОБЩЕЙ ФИЗИКИ

Методические указания

к лабораторной работе

Редактор Козина О В

ЛР 040 110 Подписано к печати 090999 Формат 60х84 116 Бумага газетная Офсетная печать 25 уч-издл

11 услкр-отт Тираж 500 экз Изд 19 laquoСraquo

Издательство Петрозаводского государственного университета

185640 Петрозаводск пр Ленина 33

30

2 Рассчитать

а) sum=

n

iii yx

1 б) sum

=

=n

i

i

nx

x1

в) sum=

n

iiy

1

г) sum=

n

iix

1

д) sum=

n

iix

1

2 е) sum=

=n

i

i

ny

y1

3 Рассчитать наилучшие значения углового коэффициента а по

формуле (47) 4 Зная коэффициенты а и б провести наилучшую прямую она

должна проходить через точку с координатами x и y 5 Для расчета погрешности величины а по формулам (49 ndash 412) составить таблицу

пп

yi - y

xi - x

(yi - y )2

(xi - x )2

Sx

Sy

r

31

ЧАСТЬ II

ПРАВИЛА РАБОТЫ В ЛАБОРАТОРИИ

ОФОРМЛЕНИЕ РЕЗУЛЬТАТОВ РАБОТЫ sect 1 Правила работы в лаборатории Каждая лабораторная работа рассчитана на одно занятие

В начале семестра составляется и вывешивается в лаборатории график выполнения работ на весь семестр

Студент должен заранее знать тему своей лабораторной работы и подготовиться к ней по методическому руководству и другой указанной в нем литературе

Перед выполнением каждой лабораторной работы необходимо пройти краткое собеседование с преподавателем и получить разрешение на ее выполнение Оно дается в том случае если студент четко знает цель работы методику проведения эксперимента умеет пользоваться приборами

ПРИСТУПАТЬ К ВЫПОЛНЕНИЮ ЛАБОРАТОРНЫХ

РАБОТ БЕЗ РАЗРЕШЕНИЯ ПРЕПОДАВАТЕЛЯ КАТЕГОРИЧЕСКИ ВОСПРЕЩАЕТСЯ

В конце занятия студент обязан предъявить преподавателю

результаты своей работы Работа считается выполненной если результаты утверждены и подписаны преподавателем После этого необходимо выключить установку привести в порядок рабочее место и получить методические указания к следующей работе

32

sect 2 Журнал лабораторных работ Результаты измерений и наблюдений должны тотчас же

фиксироваться в специальном журнале в форме протоколов Временные записи результатов на черновых листочках не допускаются

Единую форму протоколов пригодную для всех работ дать невозможно и нецелесообразно Тем не менее можно сформулировать некоторые общие требования которым должны удовлетворять записи в журнале лабораторных работ

1 Должны быть указаны название работы и дата ее выполнения

конкретная цель работы и ее упражнений 2 Целесообразно привести расчетную формулу и пояснить

физический смысл входящих в нее символов 3 Результаты всех измерений заносятся в заранее

подготовленные удобные таблицы из которых было бы ясно какие физические величины и в каких единицах измерялись сколько раз повторялись измерения каждой физической величины

4 Необходимо указать приборы использовавшиеся для измерения различных величин и их точности

5 Зафиксировать (если это важно) условия опыта (температуру давление влажность воздуха и т д)

6 Записи в журнале должны быть аккуратными и четкими журнал лабораторных работ ndash не черновик В нем не должно содержаться никаких записей не относящихся к выполняемой работе Прикидочные расчеты должны проводиться на черновых листках

7 Для пометок и замечаний целесообразно оставлять поля шириной 3 см Ниже приведена схема оформления протокола одной из

лабораторных работ

33

081098 Определение модуля Юнга по изгибу стержня Цель работы ndash проверка закона Гука и определение модуля

Юнга для стального и медного стержней Расчетная формула

4 3

3

habPLE =

где Е ndash модуль Юнга Р ndash величина нагрузки приложенной к середине стержня L ndash длина деформируемой части стержня равная расстоянию между ребрами опорных призм а ndash ширина стержня в ndash его толщина h ndash стрела прогиба

Таблица 1 Определение размеров стержня

опыта L мм а мм в мм

1 5

Измерительный прибор и его точность

Штанген-циркуль plusmn 01 мм

Микрометр plusmn0005 мм

Микрометр plusmn0005 мм

Таблица 2 Измерение стрелы прогиба нагружаемого стержня

РкГс 0 01 02 03 04 hellip

h мм

205 207 203 208 205

255 248 251 249 252

hellip hellip hellip hellip

Измерительный прибор ndash микрометр точность ~ plusmn 0005 мм

Подпись преподавателя

34

sect 3 Оформление отчетов По результатам каждой лабораторной работы составляется

отчет Он должен включать 1 Краткую формулировку идеи метода расчетную формулу

пояснение физического смысла входящих в нее символов 2 Таблицы с результатами измерений и расчетов 3 Статистическую обработку результатов измерений 4 Выводы 5 На титульном листе должны быть указаны название

лабораторной работы факультет курс группа фамилия и инициалы исполнителя Отчет должен быть написан в хорошем стиле аккуратным

разборчивым почерком При его оформлении не следует также пренебрегать и эстетической стороной вопроса Заголовки выводы и формулы целесообразно выделять пастой другого цвета подчеркнуть и т п Это облегчает чтение отчета

Выводы должны быть аргументированы ссылками на соответствующие таблицы и графики поэтому они должны быть пронумерованы

sect 4 Графики Графики используются для наглядного представления

результатов При их построении необходимо соблюдать ряд правил 1 Графики нужно строить только на миллиметровой бумаге 2 На осях необходимо нанести масштабную сетку указать

единицы измерения и символы изображаемых величин 3 Масштаб должен быть простым удобным для отсчета его

долей Например 1 см = 01 1 2 или 10 единиц Кроме того масштаб выбирают так чтобы все экспериментальные точки вошли в график и достаточно далеко отстояли друг от друга

35

Иногда для этой цели бывает удобно сместить вдоль осей начало отсчета Масштаб по осям Х и У может быть различен

Рис 11 Пример построения графика функции по экспериментальным точкам

4 Экспериментальные точки следует наносить с максимальной

точностью так чтобы они четко выделялись на фоне графика не сливаясь с ним

5 График должен представлять собой плавную кривую без изломов и перегибов Нужно стремиться провести кривую так чтобы экспериментальные точки равномерно распределялись по обе стороны от нее (рис 11)

Графики выполненные на миллиметровой бумаге

аккуратно вклеиваются в отчет где для них необходимо предусмотреть соответствующее место

36

sect 5 Точность вычислений Точность вычислений определяется погрешностью

измерений Не имеет смысла вычислять какуюndashлибо величину до пятого знака после запятой если погрешность измерений такова что неуверенно определяется ее третий знак

Чтобы погрешностью вычислений можно было пренебречь она должна быть на порядок (то есть в 10 раз) меньше погрешности наименее точно измеряемой величины

Пример Модуль Юнга по изгибу стержня вычисляется по

формуле E = PL3 4ab3middoth Анализ исходных данных показывает как правило что с наибольшей относительной погрешностью измеряется стрела прогиба h Так как ΔEE gt Δh h то допускаемая относительная погрешность вычислений ΔE выч E cong 01 Δhh Для стали E cong 2middot104 кГсмм2 поэтому при Δhh =10-2 ΔEвыч cong 10 кГсмм2 Это значит что вычисления Е целесообразно проводить лишь с точностью до четвертой значащей цифры

Обычно нас интересует лишь порядок величины погрешностей поэтому последние рекомендуется вычислять лишь до второй значащей цифры а затем округлять результат до одной значащей цифры

Приводя значение измеренной Вами величины проверьте согласуется ли порядок приведенных значащих цифр с порядком погрешности

Порядок последней значащей цифры измеренной величины и порядок погрешности должны быть одинаковы

Запись Е = (1845127 plusmn 20) 107 Па неграмотна Величина ошибки свидетельствует о том что неуверенно определяется уже четвертый знак поэтому результат должен быть соответственно округлен

Е = (18450 plusmn 20) 107 Па

37

Приложение

Таблица 3 Значения коэффициентов Стьюдента

Коэффициент надежности Число

изме рений

N 08 09 095 098 099 0999

2 31 631 1271 3182 6366 63662 3 19 292 431 696 992 3160 4 16 235 318 454 584 1294 5 15 213 278 375 460 861 6 15 202 257 336 403 686 7 14 194 245 314 371 596 8 14 190 236 300 350 540 9 14 186 231 290 336 504

10 14 183 226 282 325 478 infin 13 165 196 233 259 331

38

Список литературы

1 Деденко Л Г Керженцев В В Математическая обработка и оформление результатов эксперимента М Издndashво МГУ 1977

2 Зайдель А Н Ошибки измерения физических величин Л

Наука 1974 3 Кассандрова О Н Лебедев В В Обработка результатов из-

мерений М Наука 1970 4 Сквайрс Дж Практическая физика М Мир 1971 5 Соловьев В А Яхонтова В Е Элементарные методы обра-

ботки результатов измерений Л Издndashво ЛГУ 1977

39

СОДЕРЖАНИЕ

Задачи физического практикума 3

Часть I Статистическая обработка результатов измерений

Глава I Введение в теорию погрешностей 3 sect1 Измерения и их погрешности 3 sect2 Типы погрешностей 5

1 Систематические погрешности 5 2 Случайные погрешности 6 3 Промахи 7

Глава II Статистическая обработка результатов прямых измерений 8 sect1 Вероятность случайного события 8 sect2 Нормальный закон распределения случайных погрешностей 9 sect3 Среднеквадратичная погрешность 13 sect4 Среднеквадратичная погрешность среднего 14 sect5 Доверительный интервал и доверительная вероятность 15 sect6 Совместный учет систематической и случайной погрешностей 20 Глава III Статистическая обработка результатов косвенных измерений 21 sect1 Два способа оценки погрешностей косвенного измерения 21 sect2 Частные погрешности и общая погрешность косвенного измерения 21 sect3 Относительная погрешность косвенного измерения 23 Глава IV Определение параметров линейной зависимости 25 sect1 Метод парных точек 25 sect2 Метод наименьших квадратов (МНК) 26

40

Часть II Правила работы в лаборатории оформление

результатов работы

sect1 Правила работы в лаборатории 31 sect2 Журнал лабораторных работ 32 sect3 Оформление отчетов 34 sect4 Графики 34 sect5 Точность вычислений 36 Приложение 37 Список литературы 38

41

Составители Жукова Ида Степановна Бутина Лариса Иосифовна Крылова Светлана Ивановна

ВВЕДЕНИЕ В ЛАБОРАТОРНЫЙ ПРАКТИКУМ ПО КУРСУ ОБЩЕЙ ФИЗИКИ

Методические указания

к лабораторной работе

Редактор Козина О В

ЛР 040 110 Подписано к печати 090999 Формат 60х84 116 Бумага газетная Офсетная печать 25 уч-издл

11 услкр-отт Тираж 500 экз Изд 19 laquoСraquo

Издательство Петрозаводского государственного университета

185640 Петрозаводск пр Ленина 33

31

ЧАСТЬ II

ПРАВИЛА РАБОТЫ В ЛАБОРАТОРИИ

ОФОРМЛЕНИЕ РЕЗУЛЬТАТОВ РАБОТЫ sect 1 Правила работы в лаборатории Каждая лабораторная работа рассчитана на одно занятие

В начале семестра составляется и вывешивается в лаборатории график выполнения работ на весь семестр

Студент должен заранее знать тему своей лабораторной работы и подготовиться к ней по методическому руководству и другой указанной в нем литературе

Перед выполнением каждой лабораторной работы необходимо пройти краткое собеседование с преподавателем и получить разрешение на ее выполнение Оно дается в том случае если студент четко знает цель работы методику проведения эксперимента умеет пользоваться приборами

ПРИСТУПАТЬ К ВЫПОЛНЕНИЮ ЛАБОРАТОРНЫХ

РАБОТ БЕЗ РАЗРЕШЕНИЯ ПРЕПОДАВАТЕЛЯ КАТЕГОРИЧЕСКИ ВОСПРЕЩАЕТСЯ

В конце занятия студент обязан предъявить преподавателю

результаты своей работы Работа считается выполненной если результаты утверждены и подписаны преподавателем После этого необходимо выключить установку привести в порядок рабочее место и получить методические указания к следующей работе

32

sect 2 Журнал лабораторных работ Результаты измерений и наблюдений должны тотчас же

фиксироваться в специальном журнале в форме протоколов Временные записи результатов на черновых листочках не допускаются

Единую форму протоколов пригодную для всех работ дать невозможно и нецелесообразно Тем не менее можно сформулировать некоторые общие требования которым должны удовлетворять записи в журнале лабораторных работ

1 Должны быть указаны название работы и дата ее выполнения

конкретная цель работы и ее упражнений 2 Целесообразно привести расчетную формулу и пояснить

физический смысл входящих в нее символов 3 Результаты всех измерений заносятся в заранее

подготовленные удобные таблицы из которых было бы ясно какие физические величины и в каких единицах измерялись сколько раз повторялись измерения каждой физической величины

4 Необходимо указать приборы использовавшиеся для измерения различных величин и их точности

5 Зафиксировать (если это важно) условия опыта (температуру давление влажность воздуха и т д)

6 Записи в журнале должны быть аккуратными и четкими журнал лабораторных работ ndash не черновик В нем не должно содержаться никаких записей не относящихся к выполняемой работе Прикидочные расчеты должны проводиться на черновых листках

7 Для пометок и замечаний целесообразно оставлять поля шириной 3 см Ниже приведена схема оформления протокола одной из

лабораторных работ

33

081098 Определение модуля Юнга по изгибу стержня Цель работы ndash проверка закона Гука и определение модуля

Юнга для стального и медного стержней Расчетная формула

4 3

3

habPLE =

где Е ndash модуль Юнга Р ndash величина нагрузки приложенной к середине стержня L ndash длина деформируемой части стержня равная расстоянию между ребрами опорных призм а ndash ширина стержня в ndash его толщина h ndash стрела прогиба

Таблица 1 Определение размеров стержня

опыта L мм а мм в мм

1 5

Измерительный прибор и его точность

Штанген-циркуль plusmn 01 мм

Микрометр plusmn0005 мм

Микрометр plusmn0005 мм

Таблица 2 Измерение стрелы прогиба нагружаемого стержня

РкГс 0 01 02 03 04 hellip

h мм

205 207 203 208 205

255 248 251 249 252

hellip hellip hellip hellip

Измерительный прибор ndash микрометр точность ~ plusmn 0005 мм

Подпись преподавателя

34

sect 3 Оформление отчетов По результатам каждой лабораторной работы составляется

отчет Он должен включать 1 Краткую формулировку идеи метода расчетную формулу

пояснение физического смысла входящих в нее символов 2 Таблицы с результатами измерений и расчетов 3 Статистическую обработку результатов измерений 4 Выводы 5 На титульном листе должны быть указаны название

лабораторной работы факультет курс группа фамилия и инициалы исполнителя Отчет должен быть написан в хорошем стиле аккуратным

разборчивым почерком При его оформлении не следует также пренебрегать и эстетической стороной вопроса Заголовки выводы и формулы целесообразно выделять пастой другого цвета подчеркнуть и т п Это облегчает чтение отчета

Выводы должны быть аргументированы ссылками на соответствующие таблицы и графики поэтому они должны быть пронумерованы

sect 4 Графики Графики используются для наглядного представления

результатов При их построении необходимо соблюдать ряд правил 1 Графики нужно строить только на миллиметровой бумаге 2 На осях необходимо нанести масштабную сетку указать

единицы измерения и символы изображаемых величин 3 Масштаб должен быть простым удобным для отсчета его

долей Например 1 см = 01 1 2 или 10 единиц Кроме того масштаб выбирают так чтобы все экспериментальные точки вошли в график и достаточно далеко отстояли друг от друга

35

Иногда для этой цели бывает удобно сместить вдоль осей начало отсчета Масштаб по осям Х и У может быть различен

Рис 11 Пример построения графика функции по экспериментальным точкам

4 Экспериментальные точки следует наносить с максимальной

точностью так чтобы они четко выделялись на фоне графика не сливаясь с ним

5 График должен представлять собой плавную кривую без изломов и перегибов Нужно стремиться провести кривую так чтобы экспериментальные точки равномерно распределялись по обе стороны от нее (рис 11)

Графики выполненные на миллиметровой бумаге

аккуратно вклеиваются в отчет где для них необходимо предусмотреть соответствующее место

36

sect 5 Точность вычислений Точность вычислений определяется погрешностью

измерений Не имеет смысла вычислять какуюndashлибо величину до пятого знака после запятой если погрешность измерений такова что неуверенно определяется ее третий знак

Чтобы погрешностью вычислений можно было пренебречь она должна быть на порядок (то есть в 10 раз) меньше погрешности наименее точно измеряемой величины

Пример Модуль Юнга по изгибу стержня вычисляется по

формуле E = PL3 4ab3middoth Анализ исходных данных показывает как правило что с наибольшей относительной погрешностью измеряется стрела прогиба h Так как ΔEE gt Δh h то допускаемая относительная погрешность вычислений ΔE выч E cong 01 Δhh Для стали E cong 2middot104 кГсмм2 поэтому при Δhh =10-2 ΔEвыч cong 10 кГсмм2 Это значит что вычисления Е целесообразно проводить лишь с точностью до четвертой значащей цифры

Обычно нас интересует лишь порядок величины погрешностей поэтому последние рекомендуется вычислять лишь до второй значащей цифры а затем округлять результат до одной значащей цифры

Приводя значение измеренной Вами величины проверьте согласуется ли порядок приведенных значащих цифр с порядком погрешности

Порядок последней значащей цифры измеренной величины и порядок погрешности должны быть одинаковы

Запись Е = (1845127 plusmn 20) 107 Па неграмотна Величина ошибки свидетельствует о том что неуверенно определяется уже четвертый знак поэтому результат должен быть соответственно округлен

Е = (18450 plusmn 20) 107 Па

37

Приложение

Таблица 3 Значения коэффициентов Стьюдента

Коэффициент надежности Число

изме рений

N 08 09 095 098 099 0999

2 31 631 1271 3182 6366 63662 3 19 292 431 696 992 3160 4 16 235 318 454 584 1294 5 15 213 278 375 460 861 6 15 202 257 336 403 686 7 14 194 245 314 371 596 8 14 190 236 300 350 540 9 14 186 231 290 336 504

10 14 183 226 282 325 478 infin 13 165 196 233 259 331

38

Список литературы

1 Деденко Л Г Керженцев В В Математическая обработка и оформление результатов эксперимента М Издndashво МГУ 1977

2 Зайдель А Н Ошибки измерения физических величин Л

Наука 1974 3 Кассандрова О Н Лебедев В В Обработка результатов из-

мерений М Наука 1970 4 Сквайрс Дж Практическая физика М Мир 1971 5 Соловьев В А Яхонтова В Е Элементарные методы обра-

ботки результатов измерений Л Издndashво ЛГУ 1977

39

СОДЕРЖАНИЕ

Задачи физического практикума 3

Часть I Статистическая обработка результатов измерений

Глава I Введение в теорию погрешностей 3 sect1 Измерения и их погрешности 3 sect2 Типы погрешностей 5

1 Систематические погрешности 5 2 Случайные погрешности 6 3 Промахи 7

Глава II Статистическая обработка результатов прямых измерений 8 sect1 Вероятность случайного события 8 sect2 Нормальный закон распределения случайных погрешностей 9 sect3 Среднеквадратичная погрешность 13 sect4 Среднеквадратичная погрешность среднего 14 sect5 Доверительный интервал и доверительная вероятность 15 sect6 Совместный учет систематической и случайной погрешностей 20 Глава III Статистическая обработка результатов косвенных измерений 21 sect1 Два способа оценки погрешностей косвенного измерения 21 sect2 Частные погрешности и общая погрешность косвенного измерения 21 sect3 Относительная погрешность косвенного измерения 23 Глава IV Определение параметров линейной зависимости 25 sect1 Метод парных точек 25 sect2 Метод наименьших квадратов (МНК) 26

40

Часть II Правила работы в лаборатории оформление

результатов работы

sect1 Правила работы в лаборатории 31 sect2 Журнал лабораторных работ 32 sect3 Оформление отчетов 34 sect4 Графики 34 sect5 Точность вычислений 36 Приложение 37 Список литературы 38

41

Составители Жукова Ида Степановна Бутина Лариса Иосифовна Крылова Светлана Ивановна

ВВЕДЕНИЕ В ЛАБОРАТОРНЫЙ ПРАКТИКУМ ПО КУРСУ ОБЩЕЙ ФИЗИКИ

Методические указания

к лабораторной работе

Редактор Козина О В

ЛР 040 110 Подписано к печати 090999 Формат 60х84 116 Бумага газетная Офсетная печать 25 уч-издл

11 услкр-отт Тираж 500 экз Изд 19 laquoСraquo

Издательство Петрозаводского государственного университета

185640 Петрозаводск пр Ленина 33

32

sect 2 Журнал лабораторных работ Результаты измерений и наблюдений должны тотчас же

фиксироваться в специальном журнале в форме протоколов Временные записи результатов на черновых листочках не допускаются

Единую форму протоколов пригодную для всех работ дать невозможно и нецелесообразно Тем не менее можно сформулировать некоторые общие требования которым должны удовлетворять записи в журнале лабораторных работ

1 Должны быть указаны название работы и дата ее выполнения

конкретная цель работы и ее упражнений 2 Целесообразно привести расчетную формулу и пояснить

физический смысл входящих в нее символов 3 Результаты всех измерений заносятся в заранее

подготовленные удобные таблицы из которых было бы ясно какие физические величины и в каких единицах измерялись сколько раз повторялись измерения каждой физической величины

4 Необходимо указать приборы использовавшиеся для измерения различных величин и их точности

5 Зафиксировать (если это важно) условия опыта (температуру давление влажность воздуха и т д)

6 Записи в журнале должны быть аккуратными и четкими журнал лабораторных работ ndash не черновик В нем не должно содержаться никаких записей не относящихся к выполняемой работе Прикидочные расчеты должны проводиться на черновых листках

7 Для пометок и замечаний целесообразно оставлять поля шириной 3 см Ниже приведена схема оформления протокола одной из

лабораторных работ

33

081098 Определение модуля Юнга по изгибу стержня Цель работы ndash проверка закона Гука и определение модуля

Юнга для стального и медного стержней Расчетная формула

4 3

3

habPLE =

где Е ndash модуль Юнга Р ndash величина нагрузки приложенной к середине стержня L ndash длина деформируемой части стержня равная расстоянию между ребрами опорных призм а ndash ширина стержня в ndash его толщина h ndash стрела прогиба

Таблица 1 Определение размеров стержня

опыта L мм а мм в мм

1 5

Измерительный прибор и его точность

Штанген-циркуль plusmn 01 мм

Микрометр plusmn0005 мм

Микрометр plusmn0005 мм

Таблица 2 Измерение стрелы прогиба нагружаемого стержня

РкГс 0 01 02 03 04 hellip

h мм

205 207 203 208 205

255 248 251 249 252

hellip hellip hellip hellip

Измерительный прибор ndash микрометр точность ~ plusmn 0005 мм

Подпись преподавателя

34

sect 3 Оформление отчетов По результатам каждой лабораторной работы составляется

отчет Он должен включать 1 Краткую формулировку идеи метода расчетную формулу

пояснение физического смысла входящих в нее символов 2 Таблицы с результатами измерений и расчетов 3 Статистическую обработку результатов измерений 4 Выводы 5 На титульном листе должны быть указаны название

лабораторной работы факультет курс группа фамилия и инициалы исполнителя Отчет должен быть написан в хорошем стиле аккуратным

разборчивым почерком При его оформлении не следует также пренебрегать и эстетической стороной вопроса Заголовки выводы и формулы целесообразно выделять пастой другого цвета подчеркнуть и т п Это облегчает чтение отчета

Выводы должны быть аргументированы ссылками на соответствующие таблицы и графики поэтому они должны быть пронумерованы

sect 4 Графики Графики используются для наглядного представления

результатов При их построении необходимо соблюдать ряд правил 1 Графики нужно строить только на миллиметровой бумаге 2 На осях необходимо нанести масштабную сетку указать

единицы измерения и символы изображаемых величин 3 Масштаб должен быть простым удобным для отсчета его

долей Например 1 см = 01 1 2 или 10 единиц Кроме того масштаб выбирают так чтобы все экспериментальные точки вошли в график и достаточно далеко отстояли друг от друга

35

Иногда для этой цели бывает удобно сместить вдоль осей начало отсчета Масштаб по осям Х и У может быть различен

Рис 11 Пример построения графика функции по экспериментальным точкам

4 Экспериментальные точки следует наносить с максимальной

точностью так чтобы они четко выделялись на фоне графика не сливаясь с ним

5 График должен представлять собой плавную кривую без изломов и перегибов Нужно стремиться провести кривую так чтобы экспериментальные точки равномерно распределялись по обе стороны от нее (рис 11)

Графики выполненные на миллиметровой бумаге

аккуратно вклеиваются в отчет где для них необходимо предусмотреть соответствующее место

36

sect 5 Точность вычислений Точность вычислений определяется погрешностью

измерений Не имеет смысла вычислять какуюndashлибо величину до пятого знака после запятой если погрешность измерений такова что неуверенно определяется ее третий знак

Чтобы погрешностью вычислений можно было пренебречь она должна быть на порядок (то есть в 10 раз) меньше погрешности наименее точно измеряемой величины

Пример Модуль Юнга по изгибу стержня вычисляется по

формуле E = PL3 4ab3middoth Анализ исходных данных показывает как правило что с наибольшей относительной погрешностью измеряется стрела прогиба h Так как ΔEE gt Δh h то допускаемая относительная погрешность вычислений ΔE выч E cong 01 Δhh Для стали E cong 2middot104 кГсмм2 поэтому при Δhh =10-2 ΔEвыч cong 10 кГсмм2 Это значит что вычисления Е целесообразно проводить лишь с точностью до четвертой значащей цифры

Обычно нас интересует лишь порядок величины погрешностей поэтому последние рекомендуется вычислять лишь до второй значащей цифры а затем округлять результат до одной значащей цифры

Приводя значение измеренной Вами величины проверьте согласуется ли порядок приведенных значащих цифр с порядком погрешности

Порядок последней значащей цифры измеренной величины и порядок погрешности должны быть одинаковы

Запись Е = (1845127 plusmn 20) 107 Па неграмотна Величина ошибки свидетельствует о том что неуверенно определяется уже четвертый знак поэтому результат должен быть соответственно округлен

Е = (18450 plusmn 20) 107 Па

37

Приложение

Таблица 3 Значения коэффициентов Стьюдента

Коэффициент надежности Число

изме рений

N 08 09 095 098 099 0999

2 31 631 1271 3182 6366 63662 3 19 292 431 696 992 3160 4 16 235 318 454 584 1294 5 15 213 278 375 460 861 6 15 202 257 336 403 686 7 14 194 245 314 371 596 8 14 190 236 300 350 540 9 14 186 231 290 336 504

10 14 183 226 282 325 478 infin 13 165 196 233 259 331

38

Список литературы

1 Деденко Л Г Керженцев В В Математическая обработка и оформление результатов эксперимента М Издndashво МГУ 1977

2 Зайдель А Н Ошибки измерения физических величин Л

Наука 1974 3 Кассандрова О Н Лебедев В В Обработка результатов из-

мерений М Наука 1970 4 Сквайрс Дж Практическая физика М Мир 1971 5 Соловьев В А Яхонтова В Е Элементарные методы обра-

ботки результатов измерений Л Издndashво ЛГУ 1977

39

СОДЕРЖАНИЕ

Задачи физического практикума 3

Часть I Статистическая обработка результатов измерений

Глава I Введение в теорию погрешностей 3 sect1 Измерения и их погрешности 3 sect2 Типы погрешностей 5

1 Систематические погрешности 5 2 Случайные погрешности 6 3 Промахи 7

Глава II Статистическая обработка результатов прямых измерений 8 sect1 Вероятность случайного события 8 sect2 Нормальный закон распределения случайных погрешностей 9 sect3 Среднеквадратичная погрешность 13 sect4 Среднеквадратичная погрешность среднего 14 sect5 Доверительный интервал и доверительная вероятность 15 sect6 Совместный учет систематической и случайной погрешностей 20 Глава III Статистическая обработка результатов косвенных измерений 21 sect1 Два способа оценки погрешностей косвенного измерения 21 sect2 Частные погрешности и общая погрешность косвенного измерения 21 sect3 Относительная погрешность косвенного измерения 23 Глава IV Определение параметров линейной зависимости 25 sect1 Метод парных точек 25 sect2 Метод наименьших квадратов (МНК) 26

40

Часть II Правила работы в лаборатории оформление

результатов работы

sect1 Правила работы в лаборатории 31 sect2 Журнал лабораторных работ 32 sect3 Оформление отчетов 34 sect4 Графики 34 sect5 Точность вычислений 36 Приложение 37 Список литературы 38

41

Составители Жукова Ида Степановна Бутина Лариса Иосифовна Крылова Светлана Ивановна

ВВЕДЕНИЕ В ЛАБОРАТОРНЫЙ ПРАКТИКУМ ПО КУРСУ ОБЩЕЙ ФИЗИКИ

Методические указания

к лабораторной работе

Редактор Козина О В

ЛР 040 110 Подписано к печати 090999 Формат 60х84 116 Бумага газетная Офсетная печать 25 уч-издл

11 услкр-отт Тираж 500 экз Изд 19 laquoСraquo

Издательство Петрозаводского государственного университета

185640 Петрозаводск пр Ленина 33

33

081098 Определение модуля Юнга по изгибу стержня Цель работы ndash проверка закона Гука и определение модуля

Юнга для стального и медного стержней Расчетная формула

4 3

3

habPLE =

где Е ndash модуль Юнга Р ndash величина нагрузки приложенной к середине стержня L ndash длина деформируемой части стержня равная расстоянию между ребрами опорных призм а ndash ширина стержня в ndash его толщина h ndash стрела прогиба

Таблица 1 Определение размеров стержня

опыта L мм а мм в мм

1 5

Измерительный прибор и его точность

Штанген-циркуль plusmn 01 мм

Микрометр plusmn0005 мм

Микрометр plusmn0005 мм

Таблица 2 Измерение стрелы прогиба нагружаемого стержня

РкГс 0 01 02 03 04 hellip

h мм

205 207 203 208 205

255 248 251 249 252

hellip hellip hellip hellip

Измерительный прибор ndash микрометр точность ~ plusmn 0005 мм

Подпись преподавателя

34

sect 3 Оформление отчетов По результатам каждой лабораторной работы составляется

отчет Он должен включать 1 Краткую формулировку идеи метода расчетную формулу

пояснение физического смысла входящих в нее символов 2 Таблицы с результатами измерений и расчетов 3 Статистическую обработку результатов измерений 4 Выводы 5 На титульном листе должны быть указаны название

лабораторной работы факультет курс группа фамилия и инициалы исполнителя Отчет должен быть написан в хорошем стиле аккуратным

разборчивым почерком При его оформлении не следует также пренебрегать и эстетической стороной вопроса Заголовки выводы и формулы целесообразно выделять пастой другого цвета подчеркнуть и т п Это облегчает чтение отчета

Выводы должны быть аргументированы ссылками на соответствующие таблицы и графики поэтому они должны быть пронумерованы

sect 4 Графики Графики используются для наглядного представления

результатов При их построении необходимо соблюдать ряд правил 1 Графики нужно строить только на миллиметровой бумаге 2 На осях необходимо нанести масштабную сетку указать

единицы измерения и символы изображаемых величин 3 Масштаб должен быть простым удобным для отсчета его

долей Например 1 см = 01 1 2 или 10 единиц Кроме того масштаб выбирают так чтобы все экспериментальные точки вошли в график и достаточно далеко отстояли друг от друга

35

Иногда для этой цели бывает удобно сместить вдоль осей начало отсчета Масштаб по осям Х и У может быть различен

Рис 11 Пример построения графика функции по экспериментальным точкам

4 Экспериментальные точки следует наносить с максимальной

точностью так чтобы они четко выделялись на фоне графика не сливаясь с ним

5 График должен представлять собой плавную кривую без изломов и перегибов Нужно стремиться провести кривую так чтобы экспериментальные точки равномерно распределялись по обе стороны от нее (рис 11)

Графики выполненные на миллиметровой бумаге

аккуратно вклеиваются в отчет где для них необходимо предусмотреть соответствующее место

36

sect 5 Точность вычислений Точность вычислений определяется погрешностью

измерений Не имеет смысла вычислять какуюndashлибо величину до пятого знака после запятой если погрешность измерений такова что неуверенно определяется ее третий знак

Чтобы погрешностью вычислений можно было пренебречь она должна быть на порядок (то есть в 10 раз) меньше погрешности наименее точно измеряемой величины

Пример Модуль Юнга по изгибу стержня вычисляется по

формуле E = PL3 4ab3middoth Анализ исходных данных показывает как правило что с наибольшей относительной погрешностью измеряется стрела прогиба h Так как ΔEE gt Δh h то допускаемая относительная погрешность вычислений ΔE выч E cong 01 Δhh Для стали E cong 2middot104 кГсмм2 поэтому при Δhh =10-2 ΔEвыч cong 10 кГсмм2 Это значит что вычисления Е целесообразно проводить лишь с точностью до четвертой значащей цифры

Обычно нас интересует лишь порядок величины погрешностей поэтому последние рекомендуется вычислять лишь до второй значащей цифры а затем округлять результат до одной значащей цифры

Приводя значение измеренной Вами величины проверьте согласуется ли порядок приведенных значащих цифр с порядком погрешности

Порядок последней значащей цифры измеренной величины и порядок погрешности должны быть одинаковы

Запись Е = (1845127 plusmn 20) 107 Па неграмотна Величина ошибки свидетельствует о том что неуверенно определяется уже четвертый знак поэтому результат должен быть соответственно округлен

Е = (18450 plusmn 20) 107 Па

37

Приложение

Таблица 3 Значения коэффициентов Стьюдента

Коэффициент надежности Число

изме рений

N 08 09 095 098 099 0999

2 31 631 1271 3182 6366 63662 3 19 292 431 696 992 3160 4 16 235 318 454 584 1294 5 15 213 278 375 460 861 6 15 202 257 336 403 686 7 14 194 245 314 371 596 8 14 190 236 300 350 540 9 14 186 231 290 336 504

10 14 183 226 282 325 478 infin 13 165 196 233 259 331

38

Список литературы

1 Деденко Л Г Керженцев В В Математическая обработка и оформление результатов эксперимента М Издndashво МГУ 1977

2 Зайдель А Н Ошибки измерения физических величин Л

Наука 1974 3 Кассандрова О Н Лебедев В В Обработка результатов из-

мерений М Наука 1970 4 Сквайрс Дж Практическая физика М Мир 1971 5 Соловьев В А Яхонтова В Е Элементарные методы обра-

ботки результатов измерений Л Издndashво ЛГУ 1977

39

СОДЕРЖАНИЕ

Задачи физического практикума 3

Часть I Статистическая обработка результатов измерений

Глава I Введение в теорию погрешностей 3 sect1 Измерения и их погрешности 3 sect2 Типы погрешностей 5

1 Систематические погрешности 5 2 Случайные погрешности 6 3 Промахи 7

Глава II Статистическая обработка результатов прямых измерений 8 sect1 Вероятность случайного события 8 sect2 Нормальный закон распределения случайных погрешностей 9 sect3 Среднеквадратичная погрешность 13 sect4 Среднеквадратичная погрешность среднего 14 sect5 Доверительный интервал и доверительная вероятность 15 sect6 Совместный учет систематической и случайной погрешностей 20 Глава III Статистическая обработка результатов косвенных измерений 21 sect1 Два способа оценки погрешностей косвенного измерения 21 sect2 Частные погрешности и общая погрешность косвенного измерения 21 sect3 Относительная погрешность косвенного измерения 23 Глава IV Определение параметров линейной зависимости 25 sect1 Метод парных точек 25 sect2 Метод наименьших квадратов (МНК) 26

40

Часть II Правила работы в лаборатории оформление

результатов работы

sect1 Правила работы в лаборатории 31 sect2 Журнал лабораторных работ 32 sect3 Оформление отчетов 34 sect4 Графики 34 sect5 Точность вычислений 36 Приложение 37 Список литературы 38

41

Составители Жукова Ида Степановна Бутина Лариса Иосифовна Крылова Светлана Ивановна

ВВЕДЕНИЕ В ЛАБОРАТОРНЫЙ ПРАКТИКУМ ПО КУРСУ ОБЩЕЙ ФИЗИКИ

Методические указания

к лабораторной работе

Редактор Козина О В

ЛР 040 110 Подписано к печати 090999 Формат 60х84 116 Бумага газетная Офсетная печать 25 уч-издл

11 услкр-отт Тираж 500 экз Изд 19 laquoСraquo

Издательство Петрозаводского государственного университета

185640 Петрозаводск пр Ленина 33

34

sect 3 Оформление отчетов По результатам каждой лабораторной работы составляется

отчет Он должен включать 1 Краткую формулировку идеи метода расчетную формулу

пояснение физического смысла входящих в нее символов 2 Таблицы с результатами измерений и расчетов 3 Статистическую обработку результатов измерений 4 Выводы 5 На титульном листе должны быть указаны название

лабораторной работы факультет курс группа фамилия и инициалы исполнителя Отчет должен быть написан в хорошем стиле аккуратным

разборчивым почерком При его оформлении не следует также пренебрегать и эстетической стороной вопроса Заголовки выводы и формулы целесообразно выделять пастой другого цвета подчеркнуть и т п Это облегчает чтение отчета

Выводы должны быть аргументированы ссылками на соответствующие таблицы и графики поэтому они должны быть пронумерованы

sect 4 Графики Графики используются для наглядного представления

результатов При их построении необходимо соблюдать ряд правил 1 Графики нужно строить только на миллиметровой бумаге 2 На осях необходимо нанести масштабную сетку указать

единицы измерения и символы изображаемых величин 3 Масштаб должен быть простым удобным для отсчета его

долей Например 1 см = 01 1 2 или 10 единиц Кроме того масштаб выбирают так чтобы все экспериментальные точки вошли в график и достаточно далеко отстояли друг от друга

35

Иногда для этой цели бывает удобно сместить вдоль осей начало отсчета Масштаб по осям Х и У может быть различен

Рис 11 Пример построения графика функции по экспериментальным точкам

4 Экспериментальные точки следует наносить с максимальной

точностью так чтобы они четко выделялись на фоне графика не сливаясь с ним

5 График должен представлять собой плавную кривую без изломов и перегибов Нужно стремиться провести кривую так чтобы экспериментальные точки равномерно распределялись по обе стороны от нее (рис 11)

Графики выполненные на миллиметровой бумаге

аккуратно вклеиваются в отчет где для них необходимо предусмотреть соответствующее место

36

sect 5 Точность вычислений Точность вычислений определяется погрешностью

измерений Не имеет смысла вычислять какуюndashлибо величину до пятого знака после запятой если погрешность измерений такова что неуверенно определяется ее третий знак

Чтобы погрешностью вычислений можно было пренебречь она должна быть на порядок (то есть в 10 раз) меньше погрешности наименее точно измеряемой величины

Пример Модуль Юнга по изгибу стержня вычисляется по

формуле E = PL3 4ab3middoth Анализ исходных данных показывает как правило что с наибольшей относительной погрешностью измеряется стрела прогиба h Так как ΔEE gt Δh h то допускаемая относительная погрешность вычислений ΔE выч E cong 01 Δhh Для стали E cong 2middot104 кГсмм2 поэтому при Δhh =10-2 ΔEвыч cong 10 кГсмм2 Это значит что вычисления Е целесообразно проводить лишь с точностью до четвертой значащей цифры

Обычно нас интересует лишь порядок величины погрешностей поэтому последние рекомендуется вычислять лишь до второй значащей цифры а затем округлять результат до одной значащей цифры

Приводя значение измеренной Вами величины проверьте согласуется ли порядок приведенных значащих цифр с порядком погрешности

Порядок последней значащей цифры измеренной величины и порядок погрешности должны быть одинаковы

Запись Е = (1845127 plusmn 20) 107 Па неграмотна Величина ошибки свидетельствует о том что неуверенно определяется уже четвертый знак поэтому результат должен быть соответственно округлен

Е = (18450 plusmn 20) 107 Па

37

Приложение

Таблица 3 Значения коэффициентов Стьюдента

Коэффициент надежности Число

изме рений

N 08 09 095 098 099 0999

2 31 631 1271 3182 6366 63662 3 19 292 431 696 992 3160 4 16 235 318 454 584 1294 5 15 213 278 375 460 861 6 15 202 257 336 403 686 7 14 194 245 314 371 596 8 14 190 236 300 350 540 9 14 186 231 290 336 504

10 14 183 226 282 325 478 infin 13 165 196 233 259 331

38

Список литературы

1 Деденко Л Г Керженцев В В Математическая обработка и оформление результатов эксперимента М Издndashво МГУ 1977

2 Зайдель А Н Ошибки измерения физических величин Л

Наука 1974 3 Кассандрова О Н Лебедев В В Обработка результатов из-

мерений М Наука 1970 4 Сквайрс Дж Практическая физика М Мир 1971 5 Соловьев В А Яхонтова В Е Элементарные методы обра-

ботки результатов измерений Л Издndashво ЛГУ 1977

39

СОДЕРЖАНИЕ

Задачи физического практикума 3

Часть I Статистическая обработка результатов измерений

Глава I Введение в теорию погрешностей 3 sect1 Измерения и их погрешности 3 sect2 Типы погрешностей 5

1 Систематические погрешности 5 2 Случайные погрешности 6 3 Промахи 7

Глава II Статистическая обработка результатов прямых измерений 8 sect1 Вероятность случайного события 8 sect2 Нормальный закон распределения случайных погрешностей 9 sect3 Среднеквадратичная погрешность 13 sect4 Среднеквадратичная погрешность среднего 14 sect5 Доверительный интервал и доверительная вероятность 15 sect6 Совместный учет систематической и случайной погрешностей 20 Глава III Статистическая обработка результатов косвенных измерений 21 sect1 Два способа оценки погрешностей косвенного измерения 21 sect2 Частные погрешности и общая погрешность косвенного измерения 21 sect3 Относительная погрешность косвенного измерения 23 Глава IV Определение параметров линейной зависимости 25 sect1 Метод парных точек 25 sect2 Метод наименьших квадратов (МНК) 26

40

Часть II Правила работы в лаборатории оформление

результатов работы

sect1 Правила работы в лаборатории 31 sect2 Журнал лабораторных работ 32 sect3 Оформление отчетов 34 sect4 Графики 34 sect5 Точность вычислений 36 Приложение 37 Список литературы 38

41

Составители Жукова Ида Степановна Бутина Лариса Иосифовна Крылова Светлана Ивановна

ВВЕДЕНИЕ В ЛАБОРАТОРНЫЙ ПРАКТИКУМ ПО КУРСУ ОБЩЕЙ ФИЗИКИ

Методические указания

к лабораторной работе

Редактор Козина О В

ЛР 040 110 Подписано к печати 090999 Формат 60х84 116 Бумага газетная Офсетная печать 25 уч-издл

11 услкр-отт Тираж 500 экз Изд 19 laquoСraquo

Издательство Петрозаводского государственного университета

185640 Петрозаводск пр Ленина 33

35

Иногда для этой цели бывает удобно сместить вдоль осей начало отсчета Масштаб по осям Х и У может быть различен

Рис 11 Пример построения графика функции по экспериментальным точкам

4 Экспериментальные точки следует наносить с максимальной

точностью так чтобы они четко выделялись на фоне графика не сливаясь с ним

5 График должен представлять собой плавную кривую без изломов и перегибов Нужно стремиться провести кривую так чтобы экспериментальные точки равномерно распределялись по обе стороны от нее (рис 11)

Графики выполненные на миллиметровой бумаге

аккуратно вклеиваются в отчет где для них необходимо предусмотреть соответствующее место

36

sect 5 Точность вычислений Точность вычислений определяется погрешностью

измерений Не имеет смысла вычислять какуюndashлибо величину до пятого знака после запятой если погрешность измерений такова что неуверенно определяется ее третий знак

Чтобы погрешностью вычислений можно было пренебречь она должна быть на порядок (то есть в 10 раз) меньше погрешности наименее точно измеряемой величины

Пример Модуль Юнга по изгибу стержня вычисляется по

формуле E = PL3 4ab3middoth Анализ исходных данных показывает как правило что с наибольшей относительной погрешностью измеряется стрела прогиба h Так как ΔEE gt Δh h то допускаемая относительная погрешность вычислений ΔE выч E cong 01 Δhh Для стали E cong 2middot104 кГсмм2 поэтому при Δhh =10-2 ΔEвыч cong 10 кГсмм2 Это значит что вычисления Е целесообразно проводить лишь с точностью до четвертой значащей цифры

Обычно нас интересует лишь порядок величины погрешностей поэтому последние рекомендуется вычислять лишь до второй значащей цифры а затем округлять результат до одной значащей цифры

Приводя значение измеренной Вами величины проверьте согласуется ли порядок приведенных значащих цифр с порядком погрешности

Порядок последней значащей цифры измеренной величины и порядок погрешности должны быть одинаковы

Запись Е = (1845127 plusmn 20) 107 Па неграмотна Величина ошибки свидетельствует о том что неуверенно определяется уже четвертый знак поэтому результат должен быть соответственно округлен

Е = (18450 plusmn 20) 107 Па

37

Приложение

Таблица 3 Значения коэффициентов Стьюдента

Коэффициент надежности Число

изме рений

N 08 09 095 098 099 0999

2 31 631 1271 3182 6366 63662 3 19 292 431 696 992 3160 4 16 235 318 454 584 1294 5 15 213 278 375 460 861 6 15 202 257 336 403 686 7 14 194 245 314 371 596 8 14 190 236 300 350 540 9 14 186 231 290 336 504

10 14 183 226 282 325 478 infin 13 165 196 233 259 331

38

Список литературы

1 Деденко Л Г Керженцев В В Математическая обработка и оформление результатов эксперимента М Издndashво МГУ 1977

2 Зайдель А Н Ошибки измерения физических величин Л

Наука 1974 3 Кассандрова О Н Лебедев В В Обработка результатов из-

мерений М Наука 1970 4 Сквайрс Дж Практическая физика М Мир 1971 5 Соловьев В А Яхонтова В Е Элементарные методы обра-

ботки результатов измерений Л Издndashво ЛГУ 1977

39

СОДЕРЖАНИЕ

Задачи физического практикума 3

Часть I Статистическая обработка результатов измерений

Глава I Введение в теорию погрешностей 3 sect1 Измерения и их погрешности 3 sect2 Типы погрешностей 5

1 Систематические погрешности 5 2 Случайные погрешности 6 3 Промахи 7

Глава II Статистическая обработка результатов прямых измерений 8 sect1 Вероятность случайного события 8 sect2 Нормальный закон распределения случайных погрешностей 9 sect3 Среднеквадратичная погрешность 13 sect4 Среднеквадратичная погрешность среднего 14 sect5 Доверительный интервал и доверительная вероятность 15 sect6 Совместный учет систематической и случайной погрешностей 20 Глава III Статистическая обработка результатов косвенных измерений 21 sect1 Два способа оценки погрешностей косвенного измерения 21 sect2 Частные погрешности и общая погрешность косвенного измерения 21 sect3 Относительная погрешность косвенного измерения 23 Глава IV Определение параметров линейной зависимости 25 sect1 Метод парных точек 25 sect2 Метод наименьших квадратов (МНК) 26

40

Часть II Правила работы в лаборатории оформление

результатов работы

sect1 Правила работы в лаборатории 31 sect2 Журнал лабораторных работ 32 sect3 Оформление отчетов 34 sect4 Графики 34 sect5 Точность вычислений 36 Приложение 37 Список литературы 38

41

Составители Жукова Ида Степановна Бутина Лариса Иосифовна Крылова Светлана Ивановна

ВВЕДЕНИЕ В ЛАБОРАТОРНЫЙ ПРАКТИКУМ ПО КУРСУ ОБЩЕЙ ФИЗИКИ

Методические указания

к лабораторной работе

Редактор Козина О В

ЛР 040 110 Подписано к печати 090999 Формат 60х84 116 Бумага газетная Офсетная печать 25 уч-издл

11 услкр-отт Тираж 500 экз Изд 19 laquoСraquo

Издательство Петрозаводского государственного университета

185640 Петрозаводск пр Ленина 33

36

sect 5 Точность вычислений Точность вычислений определяется погрешностью

измерений Не имеет смысла вычислять какуюndashлибо величину до пятого знака после запятой если погрешность измерений такова что неуверенно определяется ее третий знак

Чтобы погрешностью вычислений можно было пренебречь она должна быть на порядок (то есть в 10 раз) меньше погрешности наименее точно измеряемой величины

Пример Модуль Юнга по изгибу стержня вычисляется по

формуле E = PL3 4ab3middoth Анализ исходных данных показывает как правило что с наибольшей относительной погрешностью измеряется стрела прогиба h Так как ΔEE gt Δh h то допускаемая относительная погрешность вычислений ΔE выч E cong 01 Δhh Для стали E cong 2middot104 кГсмм2 поэтому при Δhh =10-2 ΔEвыч cong 10 кГсмм2 Это значит что вычисления Е целесообразно проводить лишь с точностью до четвертой значащей цифры

Обычно нас интересует лишь порядок величины погрешностей поэтому последние рекомендуется вычислять лишь до второй значащей цифры а затем округлять результат до одной значащей цифры

Приводя значение измеренной Вами величины проверьте согласуется ли порядок приведенных значащих цифр с порядком погрешности

Порядок последней значащей цифры измеренной величины и порядок погрешности должны быть одинаковы

Запись Е = (1845127 plusmn 20) 107 Па неграмотна Величина ошибки свидетельствует о том что неуверенно определяется уже четвертый знак поэтому результат должен быть соответственно округлен

Е = (18450 plusmn 20) 107 Па

37

Приложение

Таблица 3 Значения коэффициентов Стьюдента

Коэффициент надежности Число

изме рений

N 08 09 095 098 099 0999

2 31 631 1271 3182 6366 63662 3 19 292 431 696 992 3160 4 16 235 318 454 584 1294 5 15 213 278 375 460 861 6 15 202 257 336 403 686 7 14 194 245 314 371 596 8 14 190 236 300 350 540 9 14 186 231 290 336 504

10 14 183 226 282 325 478 infin 13 165 196 233 259 331

38

Список литературы

1 Деденко Л Г Керженцев В В Математическая обработка и оформление результатов эксперимента М Издndashво МГУ 1977

2 Зайдель А Н Ошибки измерения физических величин Л

Наука 1974 3 Кассандрова О Н Лебедев В В Обработка результатов из-

мерений М Наука 1970 4 Сквайрс Дж Практическая физика М Мир 1971 5 Соловьев В А Яхонтова В Е Элементарные методы обра-

ботки результатов измерений Л Издndashво ЛГУ 1977

39

СОДЕРЖАНИЕ

Задачи физического практикума 3

Часть I Статистическая обработка результатов измерений

Глава I Введение в теорию погрешностей 3 sect1 Измерения и их погрешности 3 sect2 Типы погрешностей 5

1 Систематические погрешности 5 2 Случайные погрешности 6 3 Промахи 7

Глава II Статистическая обработка результатов прямых измерений 8 sect1 Вероятность случайного события 8 sect2 Нормальный закон распределения случайных погрешностей 9 sect3 Среднеквадратичная погрешность 13 sect4 Среднеквадратичная погрешность среднего 14 sect5 Доверительный интервал и доверительная вероятность 15 sect6 Совместный учет систематической и случайной погрешностей 20 Глава III Статистическая обработка результатов косвенных измерений 21 sect1 Два способа оценки погрешностей косвенного измерения 21 sect2 Частные погрешности и общая погрешность косвенного измерения 21 sect3 Относительная погрешность косвенного измерения 23 Глава IV Определение параметров линейной зависимости 25 sect1 Метод парных точек 25 sect2 Метод наименьших квадратов (МНК) 26

40

Часть II Правила работы в лаборатории оформление

результатов работы

sect1 Правила работы в лаборатории 31 sect2 Журнал лабораторных работ 32 sect3 Оформление отчетов 34 sect4 Графики 34 sect5 Точность вычислений 36 Приложение 37 Список литературы 38

41

Составители Жукова Ида Степановна Бутина Лариса Иосифовна Крылова Светлана Ивановна

ВВЕДЕНИЕ В ЛАБОРАТОРНЫЙ ПРАКТИКУМ ПО КУРСУ ОБЩЕЙ ФИЗИКИ

Методические указания

к лабораторной работе

Редактор Козина О В

ЛР 040 110 Подписано к печати 090999 Формат 60х84 116 Бумага газетная Офсетная печать 25 уч-издл

11 услкр-отт Тираж 500 экз Изд 19 laquoСraquo

Издательство Петрозаводского государственного университета

185640 Петрозаводск пр Ленина 33

37

Приложение

Таблица 3 Значения коэффициентов Стьюдента

Коэффициент надежности Число

изме рений

N 08 09 095 098 099 0999

2 31 631 1271 3182 6366 63662 3 19 292 431 696 992 3160 4 16 235 318 454 584 1294 5 15 213 278 375 460 861 6 15 202 257 336 403 686 7 14 194 245 314 371 596 8 14 190 236 300 350 540 9 14 186 231 290 336 504

10 14 183 226 282 325 478 infin 13 165 196 233 259 331

38

Список литературы

1 Деденко Л Г Керженцев В В Математическая обработка и оформление результатов эксперимента М Издndashво МГУ 1977

2 Зайдель А Н Ошибки измерения физических величин Л

Наука 1974 3 Кассандрова О Н Лебедев В В Обработка результатов из-

мерений М Наука 1970 4 Сквайрс Дж Практическая физика М Мир 1971 5 Соловьев В А Яхонтова В Е Элементарные методы обра-

ботки результатов измерений Л Издndashво ЛГУ 1977

39

СОДЕРЖАНИЕ

Задачи физического практикума 3

Часть I Статистическая обработка результатов измерений

Глава I Введение в теорию погрешностей 3 sect1 Измерения и их погрешности 3 sect2 Типы погрешностей 5

1 Систематические погрешности 5 2 Случайные погрешности 6 3 Промахи 7

Глава II Статистическая обработка результатов прямых измерений 8 sect1 Вероятность случайного события 8 sect2 Нормальный закон распределения случайных погрешностей 9 sect3 Среднеквадратичная погрешность 13 sect4 Среднеквадратичная погрешность среднего 14 sect5 Доверительный интервал и доверительная вероятность 15 sect6 Совместный учет систематической и случайной погрешностей 20 Глава III Статистическая обработка результатов косвенных измерений 21 sect1 Два способа оценки погрешностей косвенного измерения 21 sect2 Частные погрешности и общая погрешность косвенного измерения 21 sect3 Относительная погрешность косвенного измерения 23 Глава IV Определение параметров линейной зависимости 25 sect1 Метод парных точек 25 sect2 Метод наименьших квадратов (МНК) 26

40

Часть II Правила работы в лаборатории оформление

результатов работы

sect1 Правила работы в лаборатории 31 sect2 Журнал лабораторных работ 32 sect3 Оформление отчетов 34 sect4 Графики 34 sect5 Точность вычислений 36 Приложение 37 Список литературы 38

41

Составители Жукова Ида Степановна Бутина Лариса Иосифовна Крылова Светлана Ивановна

ВВЕДЕНИЕ В ЛАБОРАТОРНЫЙ ПРАКТИКУМ ПО КУРСУ ОБЩЕЙ ФИЗИКИ

Методические указания

к лабораторной работе

Редактор Козина О В

ЛР 040 110 Подписано к печати 090999 Формат 60х84 116 Бумага газетная Офсетная печать 25 уч-издл

11 услкр-отт Тираж 500 экз Изд 19 laquoСraquo

Издательство Петрозаводского государственного университета

185640 Петрозаводск пр Ленина 33

38

Список литературы

1 Деденко Л Г Керженцев В В Математическая обработка и оформление результатов эксперимента М Издndashво МГУ 1977

2 Зайдель А Н Ошибки измерения физических величин Л

Наука 1974 3 Кассандрова О Н Лебедев В В Обработка результатов из-

мерений М Наука 1970 4 Сквайрс Дж Практическая физика М Мир 1971 5 Соловьев В А Яхонтова В Е Элементарные методы обра-

ботки результатов измерений Л Издndashво ЛГУ 1977

39

СОДЕРЖАНИЕ

Задачи физического практикума 3

Часть I Статистическая обработка результатов измерений

Глава I Введение в теорию погрешностей 3 sect1 Измерения и их погрешности 3 sect2 Типы погрешностей 5

1 Систематические погрешности 5 2 Случайные погрешности 6 3 Промахи 7

Глава II Статистическая обработка результатов прямых измерений 8 sect1 Вероятность случайного события 8 sect2 Нормальный закон распределения случайных погрешностей 9 sect3 Среднеквадратичная погрешность 13 sect4 Среднеквадратичная погрешность среднего 14 sect5 Доверительный интервал и доверительная вероятность 15 sect6 Совместный учет систематической и случайной погрешностей 20 Глава III Статистическая обработка результатов косвенных измерений 21 sect1 Два способа оценки погрешностей косвенного измерения 21 sect2 Частные погрешности и общая погрешность косвенного измерения 21 sect3 Относительная погрешность косвенного измерения 23 Глава IV Определение параметров линейной зависимости 25 sect1 Метод парных точек 25 sect2 Метод наименьших квадратов (МНК) 26

40

Часть II Правила работы в лаборатории оформление

результатов работы

sect1 Правила работы в лаборатории 31 sect2 Журнал лабораторных работ 32 sect3 Оформление отчетов 34 sect4 Графики 34 sect5 Точность вычислений 36 Приложение 37 Список литературы 38

41

Составители Жукова Ида Степановна Бутина Лариса Иосифовна Крылова Светлана Ивановна

ВВЕДЕНИЕ В ЛАБОРАТОРНЫЙ ПРАКТИКУМ ПО КУРСУ ОБЩЕЙ ФИЗИКИ

Методические указания

к лабораторной работе

Редактор Козина О В

ЛР 040 110 Подписано к печати 090999 Формат 60х84 116 Бумага газетная Офсетная печать 25 уч-издл

11 услкр-отт Тираж 500 экз Изд 19 laquoСraquo

Издательство Петрозаводского государственного университета

185640 Петрозаводск пр Ленина 33

39

СОДЕРЖАНИЕ

Задачи физического практикума 3

Часть I Статистическая обработка результатов измерений

Глава I Введение в теорию погрешностей 3 sect1 Измерения и их погрешности 3 sect2 Типы погрешностей 5

1 Систематические погрешности 5 2 Случайные погрешности 6 3 Промахи 7

Глава II Статистическая обработка результатов прямых измерений 8 sect1 Вероятность случайного события 8 sect2 Нормальный закон распределения случайных погрешностей 9 sect3 Среднеквадратичная погрешность 13 sect4 Среднеквадратичная погрешность среднего 14 sect5 Доверительный интервал и доверительная вероятность 15 sect6 Совместный учет систематической и случайной погрешностей 20 Глава III Статистическая обработка результатов косвенных измерений 21 sect1 Два способа оценки погрешностей косвенного измерения 21 sect2 Частные погрешности и общая погрешность косвенного измерения 21 sect3 Относительная погрешность косвенного измерения 23 Глава IV Определение параметров линейной зависимости 25 sect1 Метод парных точек 25 sect2 Метод наименьших квадратов (МНК) 26

40

Часть II Правила работы в лаборатории оформление

результатов работы

sect1 Правила работы в лаборатории 31 sect2 Журнал лабораторных работ 32 sect3 Оформление отчетов 34 sect4 Графики 34 sect5 Точность вычислений 36 Приложение 37 Список литературы 38

41

Составители Жукова Ида Степановна Бутина Лариса Иосифовна Крылова Светлана Ивановна

ВВЕДЕНИЕ В ЛАБОРАТОРНЫЙ ПРАКТИКУМ ПО КУРСУ ОБЩЕЙ ФИЗИКИ

Методические указания

к лабораторной работе

Редактор Козина О В

ЛР 040 110 Подписано к печати 090999 Формат 60х84 116 Бумага газетная Офсетная печать 25 уч-издл

11 услкр-отт Тираж 500 экз Изд 19 laquoСraquo

Издательство Петрозаводского государственного университета

185640 Петрозаводск пр Ленина 33

40

Часть II Правила работы в лаборатории оформление

результатов работы

sect1 Правила работы в лаборатории 31 sect2 Журнал лабораторных работ 32 sect3 Оформление отчетов 34 sect4 Графики 34 sect5 Точность вычислений 36 Приложение 37 Список литературы 38

41

Составители Жукова Ида Степановна Бутина Лариса Иосифовна Крылова Светлана Ивановна

ВВЕДЕНИЕ В ЛАБОРАТОРНЫЙ ПРАКТИКУМ ПО КУРСУ ОБЩЕЙ ФИЗИКИ

Методические указания

к лабораторной работе

Редактор Козина О В

ЛР 040 110 Подписано к печати 090999 Формат 60х84 116 Бумага газетная Офсетная печать 25 уч-издл

11 услкр-отт Тираж 500 экз Изд 19 laquoСraquo

Издательство Петрозаводского государственного университета

185640 Петрозаводск пр Ленина 33

41

Составители Жукова Ида Степановна Бутина Лариса Иосифовна Крылова Светлана Ивановна

ВВЕДЕНИЕ В ЛАБОРАТОРНЫЙ ПРАКТИКУМ ПО КУРСУ ОБЩЕЙ ФИЗИКИ

Методические указания

к лабораторной работе

Редактор Козина О В

ЛР 040 110 Подписано к печати 090999 Формат 60х84 116 Бумага газетная Офсетная печать 25 уч-издл

11 услкр-отт Тираж 500 экз Изд 19 laquoСraquo

Издательство Петрозаводского государственного университета

185640 Петрозаводск пр Ленина 33