107

Èçó÷åíèå ãåîìåòðè÷åñêèõ òåë ñðåäñòâàìè êîìïüþòåðíîé ãðàôèêè

107ÏÐÅÄÌÅÒÍÎÅ ÎÁÓ×ÅÍÈÅ

ÈÇÓ×ÅÍÈÅ ÃÅÎÌÅÒÐÈ×ÅÑÊÈÕ ÒÅË

ÑÐÅÄÑÒÂÀÌÈ ÊÎÌÏÜÞÒÅÐÍÎÉ ÃÐÀÔÈÊÈ

Ãåéíö Øóìàí

ÂÂÅÄÅÍÈÅ

Êàêèì òðåáîâàíèÿì äîëæåí óäîâëåò-âîðÿòü êîìïüþòåðíûé èíñòðóìåíò, èñïîëü-çóåìûé â ïðåïîäàâàíèè ñòåðåîìåòðèè? Îíäîëæåí:

� îáåñïå÷èâàòü âîçìîæíîñòü îáðà-ùàòüñÿ ñ ãåîìåòðè÷åñêèì òåëîì òàê, êàêáóäòî äåðæèøüåãî â ðóêå;

� ïîçâîëÿòü íåïîñðåäñòâåííî èçìå-íÿòü ðàçìåðû è ïîëîæåíèå òåëà;

� ïðåäîñòàâëÿòü âûáîð ðàçíûõ ñïî-ñîáîâ ïðåäñòàâëåíèÿ òåëà;

� ïîçâîëèòü ïåðåéòè îò ÷èñòî âèçó-àëüíîãî âîñïðèÿòèÿ èçîáðàæåííîãî íà ýê-ðàíå òåëà ê åãî «îñÿçàíèþ»;

� èñïîëüçîâàòüñÿ â êà÷åñòâå èíñòðó-ìåíòà äëÿ èçìåðåíèÿ ñàìîãî òåëà è åãî÷àñòåé;

� èñïîëüçîâàòüñÿ â êà÷åñòâå ñðåäñòâàêîíñòðóèðîâàíèÿ íîâûõ òåë ïóòåì ðàçáè-åíèÿ, ñîåäèíåíèÿ, âðàùåíèÿ, äåôîðìàöèèèëè âïèñûâàíèÿ îäíèõ òåë â äðóãèå.

Ïðîãðàììà KOÅRPERGEOMETRIE(Bauer è äð., 1999), ñîçäàííàÿ ïîäWindows, â çíà÷èòåëüíîé ñòåïåíè óäîâëåò-âîðÿåò âûøåóêàçàííûì òðåáîâàíèÿì èïîýòîìó ìîæåò èñïîëüçîâàòüñÿ

� äëÿ ðàçâèòèÿ è òðåíèðîâêè ïðî-ñòðàíñòâåííîãî âîîáðàæåíèÿ,

� ýêñïåðèìåíòèðîâàíèÿ è èçîáðåòà-òåëüñòâà (îòêðûòèå íîâûõ ãåîìåòðè÷åñêèõôàêòîâ, ñîçäàíèå íîâûõ òåë è ò. ä.),

� ïîääåðæêè òâîð÷åñêîé äåÿòåëüíî-ñòè (íàïðèìåð, ðàáîòà ñ îòêðûòûìè çàäà-÷àìè).

Äàëåå ìû ïîêàæåì íà ïðèìåðå ðÿäàãåîìåòðè÷åñêèõ òåë, êàê ðåàëèçóþòñÿ óïî-ìÿíóòûå âîçìîæíîñòè ïðîãðàììûKOÅRPERGEOMETRIE â ïðåïîäàâàíèèñòåðåîìåòðèè. Ðàáîòó ñ ïðîñòðàíñòâåííû-ìè îáúåêòàìè ìîæíî ðàññìàòðèâàòü ñ äâóõòî÷åê çðåíèÿ � èíñòðóìåíòàëüíîé è òåî-ðåòè÷åñêîé. Ïåðâàÿ èç íèõ (âèçóàëèçàöèÿ,ïðåäñòàâëåíèå, èçìåðåíèå, êîíñòðóèðîâà-íèå îáúåêòîâ) îáðàçóåò èíäóêòèâíûé áà-çèñ äëÿ ïîñëåäóþùåãî îáîñíîâàíèÿ è äî-êàçàòåëüñòâà íàáëþäàåìûõ ñâîéñòâ èëèâûâîäà ôîðìóë.  òî æå âðåìÿ îíà ïîçâî-ëÿåò êîíêðåòèçèðîâàòü è äåëàòü íàãëÿäíû-ìè îáùèå òåîðåòè÷åñêèå ïîëîæåíèÿ. Èç-çà íåäîñòàòêà ìåñòà ìû îãðàíè÷èìñÿ ÷è-ñòî èíñòðóìåíòàëüíîé òî÷êîé çðåíèÿ. Êòîìó æå îäíà èç ïðåñëåäóåìûõ íàìè öå-ëåé � íàó÷èòü ó÷åíèêà è ó÷èòåëÿ ðàáîòàòüñ êîìïüþòåðîì. Ìîæåò áûòü, ÷òåíèå äàí-íîé ñòàòüè ïîáóäèò ÷èòàòåëÿ ïðèîáðåñòèñîáñòâåííûé îïûò ðàáîòû â íîâîé ãðà-ôè÷åñêîé ñðåäå. Ïî íàøåìó ìíåíèþ, îâ-ëàäåíèå îñíîâíûìè ïðèíöèïàìè ðàáîòûâ òàêîé áîãàòîé âîçìîæíîñòÿìè ñðåäåïîâûøàåò êîìïåòåíòíîñòü ó÷èòåëÿ.

ÃÅÎÌÅÒÐÈ×ÅÑÊÈÅ ÒÅËÀ ÊÎÌÏÜÞÒÅÐÍÎÉ ÃÐÀÔÈÊÅ

Ïðåäâàðèòåëüíûå çàìå÷àíèÿ.Äëÿ ðàññìîòðåíèÿ âûáðàí 12-ãðàí-

íèê, ãðàíè êîòîðîãî ÿâëÿþòñÿ êîíãðóýíò-íûìè ðîìáàìè. Òàêîé ìíîãîóãîëüíèê ïðè-âëåêàòåëåí ñ ýñòåòè÷åñêîé òî÷êè çðåíèÿ èê òîìó æå ïðåäîñòàâëÿåò ðàçíîîáðàçíûåâîçìîæíîñòè äëÿ èññëåäîâàíèÿ.

108

Ã. Øóìàí

© ÊÎÌÏÜÞÒÅÐÍÛÅ ÈÍÑÒÐÓÌÅÍÒÛ Â ÎÁÐÀÇÎÂÀÍÈÈ. ¹ 3-4, 2002 ã.

Äàííàÿ òåìà îòíîñèòñÿ ê ïðîãðàììåïî ãåîìåòðèè 9/10 êëàññà.

Ñðåäñòâà ïå÷àòè, ê ñîæàëåíèþ, ïëî-õî ïðèñïîñîáëåíû äëÿ àäåêâàòíîãî îòðà-æåíèÿ âñåãî ïðîöåññà è ðåçóëüòàòîâ ðàáî-òû ñ êîìïüþòåðíûì èíñòðóìåíòîì.

Ïîñòðîåíèå ãåîìåòðè÷åñêèõ òåë.Ìû èñõîäèì èç «äâîéíîé» ïèðàìè-

äû, ñîñòàâëåííîé èç äâóõ îäèíàêîâûõ ÷å-òûðåõóãîëüíûõ ïèðàìèä, âûñîòû êîòîðûõðàâíû ïîëîâèíå ñòîðîíû îñíîâàíèÿ (ðè-ñóíîê 1). Ýòó ïèðàìèäó ìîæíî âûðåçàòüèç êóáèêà (ðèñóíîê 2) èëè ïîñòðîèòü âñðåäå KOÅRPERGEOMETRIE.

Íà ðèñóíêàõ 3, 4, 5 ïîêàçàíî, êàêèç òàêîé ïèðàìèäû ìîæíî âûðåçàòü òåëî,ãðàíÿìè êîòîðîãî ÿâëÿþòñÿ ðîìáû. Íà ðè-ñóíêå 5 ïîêàçàíà òàêæå ðàçâåðòêà ãðàíåé,ñîñòîÿùàÿ èç 12-òè êîíãðóýíòíûõ ðîìáîâ(Ïî÷åìó îíè êîíãðóýíòíû? ×åìó ðàâíî îò-íîøåíèå èõ äèàãîíàëåé?). Ýòîò 12-ãðàí-íèê èìååò 24 ðåáðà è 14 âåðøèí.

Ïîñòðîåííîå òåëî íàçûâàåòñÿ ðîì-áîäîäåêàýäð (Rhombic Dodecahedron � âàíãëîÿçû÷íîé ëèòåðàòóðå).

Âèçóàëèçàöèÿ.Òåïåðü íóæíî ñäåëàòü ðîìáîäîäåêà-

ýäð «îñÿçàåìûì». Äëÿ ýòîãî åãî ðàçâåðò-êà, ïîñòðîåííàÿ àâòîìàòè÷åñêè èëè âðó÷-íóþ, âûâîäèòñÿ íà ïå÷àòü, çàòåì âûðåçàåò-ñÿ è èç íåå ñêëàäûâàåòñÿ ðîìáîäîäåêà-ýäð. Ìîäåëü çàêðåïëÿåòñÿ, íàïðèìåð, ñêîò-÷åì. Îäíà èç ãðàíåé ìîæåò ñëóæèòü«îêîøêîì», ÷åðåç êîòîðîå ìîæíî çàãëÿ-íóòü âíóòðü ðîìáîäîäåêàýäðà.

Ñ ïîìîùüþ ìûøè ìîæíî ìåíÿòü ïî-ëîæåíèå ðîìáîäîäåêàýäðà, ñòàâÿ åãî íàâåðøèíû 3- è 4-ãðàííûõ óãëîâ, íà ðåáðà,íà ãðàíè (ðèñóíêè 6�9). Åãî ìîæíî ïî-âåðíóòü òàê, ÷òî åãî ïðîåêöèÿ íà ýêðàíáóäåò âûãëÿäåòü, êàê êâàäðàò èëè ïðàâèëü-íûé 6-óãîëüíèê. Íà ðèñóíêå 10 ïîêàçàíàðàñêðàøåííàÿ ìîäåëü. Ðàñêðàñêà ïîìîãà-åò ïðè ïîñòðîåíèè ìîäåëè âðó÷íóþ. Íàðèñóíêå 11 èìèòèðîâàíî îñâåùåíèå ìî-äåëè, à íà ðèñóíêå 12 èçîáðàæåíî òåëî âïåðñïåêòèâíîì èçîáðàæåíèè. Äàëüíåéøèåâîçìîæíîñòè âèçóàëèçàöèè ïðîäåìîíñòðè-ðîâàíû íà ðèñóíêàõ 13�14, íà êîòîðûõïîêàçàíû ïðîåêöèè òåëà íà òðè âçàèìíîïåðïåíäèêóëÿðíûå ïëîñêîñòè.

Ðèñóíîê 1 Ðèñóíîê 2 Ðèñóíîê 3

Ðèñóíîê 4Ðèñóíîê 5

109

Èçó÷åíèå ãåîìåòðè÷åñêèõ òåë ñðåäñòâàìè êîìïüþòåðíîé ãðàôèêè

109ÏÐÅÄÌÅÒÍÎÅ ÎÁÓ×ÅÍÈÅ

ÐÀÑ×ÅÒ È ÈÇÌÅÐÅÍÈÅ

 äàííîì òåëå èìåþòñÿ 2- , 3- è 4-ãðàííûå óãëû. Ïëîñêèåóãëû ïðè âåðøèíàõ 4-ãðàííûõ óãëîâ � îñòðûå, èõ ìîæíî èçìåðèòüíåïîñðåäñòâåííî. Ðåçóëüòàò èçìåðåíèÿ � 70,5î (×åìó ðàâíî òî÷íîåçíà÷åíèå?). Êàæäîå ðåáðî ñîåäèíÿåò îäèí 3-ãðàííûé óãîë ñ ÷å-òûðüìÿ 4-ãðàííûìè óãëàìè. Ìíîæåñòâî âñåõ ðåáåð ñîñòîèò èç ÷å-òûðåõ ïîäìíîæåñòâ, ïî 6 ïàðàëëåëüíûõ ðåáåð â êàæäîì. Èçìåðå-íèå ïîêàçûâàåò, ÷òî ãðàíè ïåðåñåêàþòñÿ ïîä óãëîì 120î (ðèñóíîê16, à îáîñíîâàíèå?). Ïðè äâèæåíèè ìûøè âäîëü òåëà âûñâå÷èâàþò-ñÿ äëèíû ðåáåð è ïëîùàäè ãðàíåé. Ïðè äëèíå ðåáðà â 2 åäèíèöûïðîãðàììà KOÅRPERGEOMETRIE äàåò äëÿ îáúåìà òåëà è ïëîùà-äè åãî ïîâåðõíîñòè çíà÷åíèÿ 24,4 è 45,0 ñîîòâåòñòâóþùèõ åäèíèö.(Êàêîâû ôîðìóëû, âûðàæàþùèå çàâèñèìîñòü îáúåìà ðîìáîäîäå-êàýäðà è ïëîùàäè åãî ïîâåðõíîñòè îò äëèíû ðåáðà?).

ÏÎÑÒÐÎÅÍÈÅ ÎÁÚÅÊÒÎÂ ÂÍÓÒÐÈ ÒÅËÀ È ÍÀ ÍÅÌ

Ïðîâåäåì ñíà÷àëà äèàãîíàëè âíóòðè òåëà. Èç âåðøèíû 4-ãðàííîãî óãëà âûõîäÿò 5 äèàãîíàëåé, èç êîòîðûõ 4 ðàâíû äðóãäðóãó (ðèñóíîê 17), à èç âåðøèíû 3-ãðàííîãî óãëà � 7 äèàãîíà-ëåé, èç êîòîðûõ 3 ïàðû îäèíàêîâûõ (ðèñóíîê 18). Âñåãî 43 äèà-ãîíàëè, èõ ìîæíî ðàçáèòü íà 4 ïîäãðóïïû, îáúåäèíÿÿ â îäíó ïîä-ãðóïïó äèàãîíàëè îäèíàêîâîé äëèíû. Êàêèå èç äèàãîíàëåé ÿâëÿ-þòñÿ îñÿìè ñèììåòðèè? Äèàãîíàëè, ñîåäèíÿþùèå äèàìåòðàëüíîïðîòèâîïîëîæíûå óãëû, ïîêàçàíû íà ðèñóíêå 19. Âîêðóã ðîìáî-äîäåêàýäðà íåëüçÿ îïèñàòü ñôåðó, òàê êàê ðàññòîÿíèå ìåæäó äèà-ìåòðàëüíî ïðîòèâîïîëîæíûìè 3-ãðàííûìè óãëàìè êîðî÷å, ÷åì

Ðèñóíîê 10

Ðèñóíîê 11

Ðèñóíîê 13 Ðèñóíîê 14

Ðèñóíîê 6 Ðèñóíîê 7 Ðèñóíîê 8 Ðèñóíîê 9

Ðèñóíîê 12

110

Ã. Øóìàí

© ÊÎÌÏÜÞÒÅÐÍÛÅ ÈÍÑÒÐÓÌÅÍÒÛ Â ÎÁÐÀÇÎÂÀÍÈÈ. ¹ 3-4, 2002 ã.

ìåæäó òàêèìè æå 4-ãðàííûìè óãëàìè. Ïðîâåðèì, ìîæíî ëè âïè-ñàòü â ðîìáîäîäåêàýäð ñôåðó. Äëÿ ýòîãî ñîåäèíèì ñåðåäèíû ïðî-òèâîïîëîæíûõ ãðàíåé (ðèñóíîê 20), èçìåðèì äëèíû ýòèõ îòðåç-êîâ è ïðîâåðèì, ïåðïåíäèêóëÿðíû ëè îíè ñîîòâåòñòâóþùèì ãðà-íÿì (ðèñóíîê 21). Îêàçûâàåòñÿ, âïèñàííàÿ ñôåðà ñóùåñòâóåò, íîïîñòðîèòü åå ñðåäñòâàìè KOÅRPERGEOMETRIE íåâîçìîæíî.

Êàêèå ïëîñêîñòè è ñêîëüêî èõ ìîæíî ïðîâåñòè ÷åðåç äèà-ãîíàëè ðîìáîäîäåêàýäðà? Êàêèå èç íèõ ÿâëÿþòñÿ ïëîñêîñòÿìèñèììåòðèè, òî åñòü äåëÿò òåëî íà çåðêàëüíî ñèììåòðè÷íûå ÷àñòè?Ðèñóíîê 22 äàåò ïðèìåð îòñóòñòâèÿ çåðêàëüíîé ñèììåòðèè. Íàðèñóíêå 23 ïîâåðõíîñòü ðàçðåçàíà íà äâå ñèììåòðè÷íûå ÷àñòè.Êàêèå ìíîãîóãîëüíèêè ïîëó÷àþòñÿ ïðè ñå÷åíèè ïîâåðõíîñòè ïëîñ-êîñòÿìè, ïðîõîäÿùèìè ÷åðåç äèàãîíàëè?

Ðàññìîòðèì òåïåðü ñå÷åíèÿ ðîìáîäîäåêàýäðà. Íàïðèìåð, ñå-÷åíèå ïëîñêîñòüþ, ïðîõîäÿùåé ÷åðåç ñîîòâåòñòâóþùèå âåðøèíû(ðèñóíîê 24), ÿâëÿåòñÿ êâàäðàòîì, â ÷åì ìîæíî óáåäèòüñÿ, ïîâåð-íóâ ìíîãîãðàííèê òàê, ÷òîáû ñå÷åíèå ñòàëî ïàðàëëåëüíî ýêðàíó.Åñëè ñåêóùóþ ïëîñêîñòü ïåðåíåñòè ïàðàëëåëüíî ñàìîé ñåáå òàê,÷òîáû îíà ïðîõîäèëà ÷åðåç ñåðåäèíû ðåáåð(ðèñóíîê 25), òî ñå÷å-íèå ïðèíèìàåò ôîðìó ïðàâèëüíîãî âîñüìèóãîëüíèêà. Ïðîâîäÿ ñå-÷åíèå ÷åðåç òðè äðóãèå òî÷êè (ðèñóíîê 26), ïîëó÷àåì ïðàâèëüíûéòðåóãîëüíèê. Ïàðàëëåëüíûé ïåðåíîñ ïðèâîäèò ê ïðàâèëüíîìó øå-ñòèóãîëüíèêó (ðèñóíîê 27), à çàòåì ê îñåñèììåòðè÷íîìó ðàâíî-ñòîðîííåìó äåâÿòèóãîëüíèêó (ðèñóíîê 28). Ñóùåñòâóåò ëè ñå÷å-íèå ñ åùå áîëüøèì ÷èñëîì âåðøèí?

ÂÏÈÑÛÂÀÍÈÅ È ÐÀÇÂÅÐÒÊÀ

Êàêèå òåëà ìîæíî âïèñàòü â ðîìáîäîäåêàýäð? Íàïðèìåð,ìîæíî âïèñàòü êóáèê (ðèñóíîê 29).

Ðèñóíîê 15 Ðèñóíîê 16

Ðèñóíîê 17

Ðèñóíîê 18

Ðèñóíîê 19

Ðèñóíîê 20 Ðèñóíîê 21

Ðèñóíîê 18

111

Èçó÷åíèå ãåîìåòðè÷åñêèõ òåë ñðåäñòâàìè êîìïüþòåðíîé ãðàôèêè

111ÏÐÅÄÌÅÒÍÎÅ ÎÁÓ×ÅÍÈÅ

Ðèñóíîê 22 Ðèñóíîê 23

Ðèñóíîê 24 Ðèñóíîê 25

Ðèñóíîê 26 Ðèñóíîê 27

Ðèñóíîê 28 Ðèñóíîê 29

112

Ã. Øóìàí

© ÊÎÌÏÜÞÒÅÐÍÛÅ ÈÍÑÒÐÓÌÅÍÒÛ Â ÎÁÐÀÇÎÂÀÍÈÈ. ¹ 3-4, 2002 ã.

×åìó ðàâíà äëèíà åãî ðåáðà? Ðèñó-íîê 30 ïîêàçûâàåò, êàêèå ñå÷åíèÿ âûðå-çàþò êóáèê. Ñèììåòðè÷íîñòü êóáèêà îï-ðåäåëÿåò õàðàêòåð ñèììåòðèè ñå÷åíèé òàêæå, êàê ñèììåòðèÿ äâîéíîé ïèðàìèäûïîðîæäàåò ñâîéñòâà ñèììåòðèè ðîìáîäî-äåêàýäðà. Íàø äîäåêàýäð ìîæíî ïðåä-ñòàâëÿòü êàê ðåçóëüòàò ñîåäèíåíèÿ øåñ-òè ÷åòûðåõóãîëüíûõ ïèðàìèä, âûñîòà êî-òîðûõ ðàâíà ïîëîâèíå âûñîòû êóáèêà.Ýòî ìîæíî ïðåäñòàâèòü åùå è òàê: âåð-øèíà ïèðàìèäû çåðêàëüíî îòðàæàåòñÿ îò-íîñèòåëüíî ïëîñêîñòè ñå÷åíèÿ, è îòðà-æåííàÿ âåðøèíà ïîïàäàåò â öåíòð êóáè-êà (ðèñóíîê 31).

Ðèñóíîê 32 ïîêàçûâàåò êàðêàñ êó-áèêà è åãî ðàçáèåíèå íà ÷àñòè. Íà ðèñóí-êå 33 øåñòü ïèðàìèä ñîåäèíÿþòñÿ â îäèíêóáèê. Îáúåì äîäåêàýäðà ðàâåí óäâîåí-íîìó îáúåìó êóáèêà. (Ãîëîâîëîìêà: â êó-áèêå, ñîñòàâëåííîì èç 8 òàêèõ êóáèêîâäîëæíû ïîìåñòèòüñÿ 4 äîäåêàýäðà. Êàê ýòîâûãëÿäèò? Ïîäñêàçêà: 3 äîäåêàýäðà íóæ-

íî ðàñïîëîæèòü òàê, êàê ïîêàçàíî íà ðè-ñóíêå 34.) Êðîìå òîãî, ñþäà ìîãóò áûòüâïèñàíû: ïðàâèëüíûé îêòàýäð (ðèñóíîê 35,«îáîëî÷êà» è êàðêàñ), ïðàâèëüíûé òåòðà-ýäð (ðèñóíîê 36), êóáîêòàýäð (ðèñóíîê 37).Âïèñàâ îäèí ïðàâèëüíûé òåòðàýäð â äðó-ãîé, ïîëó÷èì «çâåçäíûé» ìíîãîãðàííèê, íà-çûâàåìûé STELLA OCTANGULA (âîñüìè-óãîëüíàÿ çâåçäà), êîòîðûé íå ìîæåò áûòüïîëó÷åí â KORPERGEOMETRIE, òàê êàêýòà ïðîãðàììà ïîääåðæèâàåò ñîçäàíèå ëèøüâûïóêëûõ òåë. Äîïîëíèòåëüíî ìû ðàññìàò-ðèâàåì ðàçëîæåíèå ðîìáîäîäåêàýäðà íà 4êîíãðóýíòíûõ ïàðàëëåëåïèïåäà ñ ðîìáà-ìè â êà÷åñòâå ãðàíåé (ðèñóíîê 38), èç êî-òîðûõ îäèí ïîêàçàí íà ðèñóíîê 39. Íà-êîíåö, ñðåçàÿ âåðøèíû øåñòè ÷åòûðåõ-ãðàííûõ óãëîâ ïî ñåðåäèíàì ðåáåð, ïîëó-÷àåì òàê íàçûâàåìûé ðîìáîêóáîîêòàýäð(ðèñóíêè 40, 41, 42).

Êàê çàâèñÿò äëèíû ðåáåð, âûñîòû,îáúåìû è ïëîùàäè ïîâåðõíîñòåé ýòèõ òåëîò äëèíû ðåáðà ðîìáîäîäåêàýäðà?

Ðèñóíîê 30 Ðèñóíîê 31

Ðèñóíîê 32 Ðèñóíîê 33

113

Èçó÷åíèå ãåîìåòðè÷åñêèõ òåë ñðåäñòâàìè êîìïüþòåðíîé ãðàôèêè

113ÏÐÅÄÌÅÒÍÎÅ ÎÁÓ×ÅÍÈÅ

Ðèñóíîê 34

Ðèñóíîê 35

Ðèñóíîê 36

Ðèñóíîê 37

Ðèñóíîê 38

Ðèñóíîê 39

Ðèñóíîê 40

Ðèñóíîê 41

114

Ã. Øóìàí

© ÊÎÌÏÜÞÒÅÐÍÛÅ ÈÍÑÒÐÓÌÅÍÒÛ Â ÎÁÐÀÇÎÂÀÍÈÈ. ¹ 3-4, 2002 ã.

ÏÐÈÑÎÅÄÈÍÅÍÈÅÈ ÇÀÏÎËÍÅÍÈÅ

Ïðèñîåäèíÿÿ ðîìáîäîäåêàýäðû äðóã ê äðó-ãó, ìîæíî çàïîëíèòü ïðîñòðàíñòâî áåç ïóñòîò.Äëÿ èëëþñòðàöèè ñîåäèíèì ïÿòü òàêèõ äîäåêà-ýäðîâ (ðèñóíêè 43 è 44). Âîïðîñ äëÿ ëþáèòåëåé:êàêèå ðàçëè÷íûå, òî åñòü íåêîíãðóýíòíûå ïðî-ñòðàíñòâåííûå ôîðìû ìîæíî ïîëó÷èòü, ñîåäè-íÿÿ ïîäõîäÿùèì îáðàçîì 3, 4, ... êîíãðóýíòíûõðîìáîäîäåêàýäðà?

Ðåøåíèÿ ïîêàçàíû íà ðèñóíêå 45 (ñì. òàêæåhttp://www.johnrausch.com/PuzzlingWorld/chap18b.htm ). Êðèñòàëëû òàêîé ôîðìû âñòðå-÷àþòñÿ â ïðèðîäå, íàïðèìåð, Rhodochrosit(Magnesiumcarbonat) èëè ãðàíàò.

Ðèñóíîê 42

Ðèñóíîê 45

Ðèñóíîê 44

Ðèñóíîê 43

115

Èçó÷åíèå ãåîìåòðè÷åñêèõ òåë ñðåäñòâàìè êîìïüþòåðíîé ãðàôèêè

115ÏÐÅÄÌÅÒÍÎÅ ÎÁÓ×ÅÍÈÅ

Ïåðñïåêòèâà.Ýêñêóðñèÿ â ìèð ðîìáîäîäåêàýäðà

ìîæåò áûòü ïðîäîëæåíà â äâóõ íàïðàâëå-íèÿõ. Ñóùåñòâóþò ëè åùå êàêèå-íèáóäüäâåíàäöàòèãðàííèêè, êðîìå ðîìáîäîäåêà-ýäðà è ïðàâèëüíîãî ïåíòàãîíäîäåêàýäðà?Êàêèå åùå òåëà, êðîìå ðîìáîïàðàëëåëå-ïèïåäà, ìîæíî ñîòàâèòü èç êîíãðóýíòíûõðîìáîâ? Äëÿ ÷àñòè÷íûõ îòâåòîâ íà ýòèâîïðîñû ìû èñïîëüçóåì Èíòåðíåò.

Ëèòåðàòóðà.1. Bauer, H., Freiberger, U., Kuhlewind, G. Schumann, H. (1999): KORPER-

GEOMETRIE (Software mit Manual). Berlin Cornelsen.2. Schumann, H.(2000): Computerunterstutztes Losen offener raumgeometrischer.3. Aufgaben. In: ZDM Zentralblatt für Didaktik der Mathematik Nr. 6.4. Schumann, H.(2001): Raumgeometrie, Unterricht mit Computerwerkzeugen. Berlin.

Cornelsen.

Ïî êëþ÷åâîìó ñëîâó «dodecahedra»ïðîãðàììà Fireball íàõîäèò 722 ñòðàíèöû (ñî-ñòîÿíèå íà èþëü 2001) è êàê ðàç ïåðâûåäåñÿòü èç íèõ ïðèíàäëåæàò ñïåöèàëèñòó ïîìíîãîãðàííèêàì Ãåîðãó Õàðòó (George W. Hart)(http://www.georgehart.com/virtual-polyhedra/dodecahedra.html).  íèõ ñîäåðæèòñÿ èíòåðå-ñóþùàÿ íàñ èíôîðìàöèÿ. Ìîæíî òàêæå âîñ-ïîëüçîâàòüñÿ ïîèñêîâîé ïðîãðàììîé ñàìîãîÕàðòà: http://www.georgehart.com/search.html).

Heinz Schumann,Prof. Dr. habil, Fakultat III,Mathematik/Informatik,Institur fur BildungsinformatikUniversity of Education (PH),Weingarten, Germany.

Ïåðåâîä Ì.È. Þäîâèíà.