Министерство образования Российской Федерации

ОРЕНБУРГСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

Кафедра начертательной геометрии, инженерной и компьютерной графики

А.П. Иванова

А.Д. Припадчев

МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ к расчетно-графической работе «Метрические задачи»

Оренбург 2000

ББК 22.15я7 И 20 УДК 514.18(076.5)

Рекомендовано к изданию Редакционно-издательским Советом ОГУ

Рецензент Ст. преподаватель Л.М. Винокурова

Иванова А.П. Припадчев А.Д.

И 20 Метрические задачи: методические указания. - Оренбург: ОГУ, 2000. –

15с.

Методические указания предназначены для студентов инженерно-технических специальностей вуза в соответствии с программой курса начертательной геометрии. Рассмотрены возможности решения метрических задач различными способами, предлагаются лаконичные алгоритмы. Методические указания позволяют активизировать самостоятельную работу студентов по освоению раздела решения метрических задач.

ББК 22.15я7

с Иванова А.П., Припадчев А.Д.,2000 с ОГУ, 2000

Введение

В начертательной геометрии задачи, решение которых связано с

нахождением характеристик геометрических фигур, - координат, углов,

расстояний, площадей плоскостей и поверхностей называются метрическими.

Решение метрических задач упрощается, если рассматриваемые

геометрические элементы занимают частное положение относительно

плоскостей проекций (то есть параллельны или перпендикулярны плоскости

проекций). В большинстве случаев заданные геометрические элементы

занимают общее положения относительно плоскостей проекций.

Преобразование положения геометрических элементов относительно данной

системы плоскостей проекций производится приемом вращения относительно

новой оси или приемом замены плоскости проекций.

Положительный результат при решении метрических задач достигается

аккуратностью и точностью графических построений. Данные задачи успешно

развивают пространственное мышление, повышают интеллект и общий уровень

графической культуры.

В предлагаемой работе содержится пять основных метрических задач на

определение расстояний, решенные несколькими способами, с изложением

алгоритма и графического исполнения.

Для получения дополнительных теоретических знаний следует

воспользоваться учебными пособиями /1,2,3,4/.

4

Задача 1: Определить натуральную величину отрезка АВ

Данную задачу возможно решить тремя способами. Первый способ - способ прямоугольного треугольника.

Натуральная величина отрезка прямой общего положения равна гипотенузе прямоугольного треугольника, построенного на его фронтальной (горизонтальной или профильной) проекции являющейся катетом, при этом второй катет треугольника равен разности высот концов отрезка (∆x,∆y,∆z). Алгоритм решения:

а) из произвольной точки А или В в любую сторону проводится луч а под углом 900 к АВ (рисунок 1); б) на нем откладывается разность координат точки А и точки В(∆х,∆у,∆z), в результате получается точка А\ (или точка В\); в) соединяя полученную точку А\ (или точку В\) с началом отрезка, получаем натуральную величину отрезка АВ (гипотенуза прямоугольного треугольника). При правильном и точном построении, натуральная величина АВ на всех

трех плоскостях проекции должна быть одинаковой.

Рисунок 1 5

Второй способ - способ перемены плоскостей проекций. Задаем новую систему Х1 П1/П2

1, в которой прямая будет занимать положение параллельное фронтальной плоскости проекции П2

1, то есть она будет фронтальной уровня и значит будет проецироваться на П2

1 в натуральную величину. Алгоритм решения:

а) вводим новую дополнительную фронтальную плоскость П2

1, она перпендикулярна к плоскости П1 и параллельна заданному отрезку АВ (рисунок 2);

б) затем из точки А и точки В проводим лучи под углом 900 к оси Х1 и находим точку А2

1 и точку В21.

Отрезок А2

1В21 является натуральной величиной отрезка АВ.

Рисунок 2 6

Третий способ - способ вращения (вокруг проецирующей прямой). Алгоритм решения: а) вводим ось вращения i(i1,i2) перпендикулярно к П1, проходящую через точку В(В1,В2) (рисунок 3);

б) так как точка В(В1,В2) принадлежит оси вращения i то она не будет менять своего положения в процессе вращения;

в) поворачиваем прямую АВ до положения параллельного фронтальной плоскости проекции. В этом случае горизонтальная проекция отрезка А1

1В11 должна быть параллельно оси Х, а на фронтальную плоскость

проекции АВ проецируется в натуральную величину. Отрезок А1В1 является натуральной величиной АВ.

Рисунок 3 7

Задача 2: Определение расстояния от точки до плоскости Решение данной задачи возможно тремя способами. Определить

расстояние от точки А до плоскости Р(∆ВСD) – общего положения методом вспомогательных плоскостей. Алгоритм решения:

а) провести перпендикуляр к плоскости Р(∆BCD): 1) провести горизонталь h(D121 и D222); горизонтальная проекция

перпендикуляра l1 перпендикулярна D1 21 (рисунок 4); 2) провести фронталь f(B111 и B212); фронтальная проекция

перпендикуляра l2 перпендикулярна В212; б) построить точку пересечения перпендикуляра с плоскостью Р(∆BCD):

1) проводится вспомогательная горизонтально проецирующая плоскость (Г1) через перпендикуляр l1(Г1 ≡ l1);

2) находим линию пересечения плоскости Г1 с плоскостью Р(∆BCD). Г∩Р(∆ВСD) = NM(N1M1, N2M2);

3) определяем точку пересечения перпендикуляра с плоскостью Р(∆BCD) - К (К1 К2), К = MN∩l;

в) А1\К1 действительная величина отрезка АК построенная методом

прямоугольного треугольника (см. способ прямоугольного треугольника).

Рисунок 4 8

Определить расстояние от точки А до плоскости Р(∆BCD) - способом перемены плоскостей проекций.

Для того чтобы перейти к новой системе Х1 П1/П21 в которой плоскость

Р(∆ВСD) займет проецирующее положение необходимо: а) заменяем плоскость П2 на новую фронтальную плоскость П2

1(П21П1).

Для этого проведем горизонталь h (h1 и h2) и перпендикулярно горизонтальной проекции горизонтали (h1) проведем ось Х1(Х1⊥h1) (рисунок 5);

б) строится новая фронтальная проекция ∆B21C2

1D21, где плоскость

B21C2

1D21 занимает фронтально проецирующее положение;

в) из точки А21 восстанавливаем перпендикуляр к плоскости

B21C2

1D21(l2

1⊥B21C2

1D21). Отрезок А2

1К21 есть действительная величина

расстояния от точки А до плоскости Р(∆BCD).

Рисунок 5 9

Определить расстояние от точки А до плоскости Р(Р1Р2) - методом перемены плоскостей проекций.

Для того чтобы перейти к новой системе Х1 П1/П21 в которой след Р2

будет занимать положение параллельное фронтальной плоскости проекций П21

необходимо: а) заменить плоскость П2 на новую фронтальную плоскость П2

1, для этого проведем горизонталь h(h1,h2), отметим точку N(N1,N2) и перпендикулярно горизонтальному следу Р1 проведем ось Х1 (рисунок 6);

б) определяем положение точки N21 и строим новую фронтальную

проекцию следа Р21, аналогично находим точку А2

1; в) из точки А2

1 восстанавливаем перпендикуляр к следу Р21. Отрезок

А21К2

1 есть действительная величина расстояния от точки А(А1,А2) до плоскости Р(Р1,Р2).

Рисунок 6 10

Задача 3: Определение расстояния от точки до прямой Определить расстояние от точки А до прямой ВС – общего положения.

Решение возможно двумя способами. Первый способ - способ вспомогательных плоскостей. Алгоритм

решения: а) через точку А(А1А2) проводится плоскость Г, перпендикулярная ВС и заданная пересекающимися прямыми; горизонталью h, (h1⊥В1С1) и фронталью f, (f2⊥В2С2 ) (рисунок 7).

б) строится точка пересечения прямой ВС с плоскостью Г(h,f) – результат точка К;

в) определяется действительная величина отрезка АК способом прямоугольного треугольника (см. способ прямоугольного треугольника).

Рисунок 7 11

Второй способ – способ перемены плоскостей проекции. Для того чтобы определить расстояние от точки А до прямой ВС методом

перемены плоскостей проекции необходимо перейти к такой системе плоскостей проекции, в которой прямая ВС займет проецирующее положение. Для этого необходимо:

а) заменить фронтальную плоскость П2 на новую дополнительную фронтальную плоскость П2

1(П21//ВС) и построим прямую В2

1С21 и точку

А21 в системе Х1П1/П2

1 (рисунок 8); б) проводим плоскость П1

1 перпендикулярно ВС(П11⊥П2

1), ось Х2 перпендикулярна В2

1С21;

в) l11 расстояние от точки А до прямой ВС.

Рисунок 8 12

Задача 4: Определить расстояние между скрещивающимися прямыми АВ и СD

Решение возможно двумя способами. Первый способ - способ вспомогательных плоскостей. Алгоритм решения:

а) через точку С(С1С2) проводится прямая k(k1k2) параллельная АВ. Эта прямая совместно с СD определяет плоскость Q параллельную АВ (рисунок 9);

б) из точки А(А1А2) проводится перпендикуляр l(l1,l2) к плоскости Q и определяется точка К(К1К2) - точка встречи перпендикуляра с плоскостью Q;

в) АК - расстояние между скрещивающимися прямыми АВ и СD, определена способом прямоугольного треугольника.

Рисунок 9 13

Второй способ - способ перемены плоскостей проекции. Алгоритм решения:

а) так как CD параллельна плоскости П2 то есть фронталь, то задача решается одной заменой плоскости. Заменяем плоскость П1 на новую дополнительную горизонтальную плоскость П1

1 которая перпендикулярна C2D2 (рисунок 10);

б) на плоскости П11 строим прямые А1

1В11 и C1

1D11 которые

проецируются в точку; в) перпендикуляр С1

1К11 есть расстояние между скрещивающимися

прямыми АВ и CD.

Рисунок 10

14

Задача 5: Определить расстояние между параллельными прямыми АВ и CD

Решение возможно двумя способами. Первый способ - способ параллельного перемещения. Алгоритм решения:

а) перемещаем прямые АВ и CD в пространстве до положения параллельного плоскости П2, при этом прямые А1

1В11 и С1

1D11

параллельны оси Х (рисунок 11); б) отмечаем на прямой C2

1D21 точку М2

1 и проводим прямую перпендикулярную прямой АВ, MN - перпендикуляр;

в) натуральная величина перпендикуляра находится методом прямоугольного треугольника.

Рисунок 11 15

Второй способ - способ перемены плоскостей проекции.

Для того чтобы определить расстояние между параллельными прямыми АВ и CD методом перемены плоскостей проекции необходимо перейти к такой системе плоскостей проекции, в которой прямые АВ и CD займут проецирующее положение. Для этого необходимо:

а) заменяем фронтальную плоскость П2 на новую дополнительную фронтальную плоскость П2

1, расположенную параллельно прямым А1В1 и C1D1(Х1//C1D1) и строим новые прямые А2

1В21 и C2

1D21 в системе

Х1П1/П21 (рисунок 12);

б) вводим новую горизонтальную плоскость П11 перпендикулярно А2

1В21

и C21D2

1(П11⊥П2

1), ось Х2 перпендикулярна прямым А21В2

1 и C21D2

1; в) l1

1 расстояние между параллельными прямыми АВ и CD.

Рисунок 12 16

Список использованных источников

1 Гордон В.О., Семенцов – Огниевский М.А. Курс начертательной геометрии. -М.: Наука, 1988. – 272 с.

2 Иванов Г.С. Начертательная геометрия. -М.: Машиностроение, 1995. – 224 с.

3 Фролов С.А. Начертательная геометрия. -М.: Машиностроение, 1983. – 240 с.

4 Арустамов Х.А. Сборник задач по начертательной геометрии. -М.: Машиностроение, 1965. – 375 с.

17