Математическое моделирование школьникам. 1 Линейные модели

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  • . .

    1

    2007

  • 517.122 22.143

    A-13

    - - - -

    : .-. , . .

    : .-. . ., .-. . .

    A-13 . . 1. -

    : / .: -, 2007.112 .

    ISBN 978-5-93000-045-0

    , , , , , - , , , . . , .

    ISBN 978-5-93000-045-0 c , 2007

    c ..,2007

  • 5

    6

    1. 71.1. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71.2. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111.3. . . . . . . . 171.4.

    . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 201.5. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

    2. 282.1. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 282.2. . . . . . . 312.3.

    . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 342.4. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39

    3. 423.1. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 433.2. . . . . 473.3. . . . . . . . . . . . . . . . 503.4. . . . . . . . . . . . . . . . 533.5. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54

    4. 574.1.

    . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 574.2. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 604.3.

    . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 634.4. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 664.5. . . . . . 684.6. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70

  • 4.7. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73

    5. - 765.1. . . . . . . . . . . . . . . . . 765.2. . . . . . . . . 785.3. . . . . . . . . . . . . . . . 825.4. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89

    6. 916.1. 916.2. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 936.3.

    - . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 966.4. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101

    103

    110

  • - - , - - . - , , - . , - , , , , , - () . . , , - - , , - , . - . - - -, , -, . , , . - , , , -, -. - , .

    , -, , , , - , , .

    . .

  • , , - . - .

    -, . , - , -.

    - ( ), , , , , , - .

    - , , , -, - .

    , 41 . . - - - .

    , .

    . .

  • 1.

    1.1.

    . ( ) . - . , . . (-) ().1 , . -.2 .

    . l, O, - . O , , . - M, l, x R :

    (1) O x = 0;(2) M ,

    x := OM , OM OM ;

    (3) M , - x := OM .

    x M . x R M l: x = 0, M = O; x > 0, M - OM x; x < 0, M OM - x. , (-

    1 . . [11].

    2 (15961650) , , -. (1637) - .

  • 8 1.

    , . [14]):

    -

    ,

    .

    , C AB, c a b A B -, . . , A , a < c < b.

    . . - O. . , , - . - . - , , ( Ox), - , , ( Oy). - xOy.

    6

    -O

    1

    1 x

    y

    M

    x0

    y0

    . 2.

    M (x0; y0), x0 y0 - M Ox Oy -. x0 M , y0 M (.. 2).

    , - - (. [14]), - :

    -

    -

    .

    , :(1) -

    ;

  • 1.1. 9

    (2) - , - .

    . X , . . X R. x X ( ) f - y. y f(x). , , X, , , X R, f : X R. f(x) x f f x y = f(x) f : x 7 y. x X - . x - x0, . . x := x0, x0 f(x0) y0 = f(x0). - X f . , y = f(x) (x X), - .

    : , -, , . .

    () : y = 6x+ 20.() :

    x 10 11 12 13 14 15 16 17y 80 88 96 104 112 120 128 136

    () : 1, - 0, . .

    () : -, , - , . y = |x|. ,

    y = |x| :={

    x, x > 0,

    x, x < 0.

    () (. . 1):

  • 10 1.

    6

    -O

    32

    3

    x

    y

    . 1.

    f : X R g : Y R - f = g, X = Y f(x) = g(x) x X. , , , (), y = 2x + 3 (x R); , (), y = 8x(x {10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17}), , (), y =

    x2.

    graph(f) f : X R (x; f(x)), x - X; ,

    graph(f) := {(x; f(x)) : x X}.

    xOy. - , f : M R - xOy (x; f(x)), x -.

    . -. (VVI . . .) . (16431727), -, . , XVII - , XVII , (15691650) , - ; - . , , . - (16011665) ,

  • 1.2. 11

    1694 . - (16461716), . . , , -. , -. (17071783). - (18051859). . . . ( ) . , ( ) - [3].

    1. .2. ?3. .4. .5. ?6. -

    .7. ?8. -

    .

    1.2.

    . R R - , y = kx + b(x R), k b (-), x .

    y = kx+ b.1.

    R.2. , b = 0; , k = 0;

    , k 6= 0 b 6= 0.3. y = kx + b k 6= 0

    x = b/k, k = 0 b 6= 0, k = 0 b = 0.

    4. y = kx + b k > 0 (. . 3) k < 0 (. . 3).

  • 12 1.

    6

    -O

    y = kx+ b

    bk

    b

    x

    y

    k > 0

    )

    6

    -O

    bk

    b

    x

    y

    y = kx+ bk < 0

    )

    . 3.

    6

    -O x

    y

    y = kx,

    k > 0

    . 4.

    . . b = 0, y = kx ( -). - , - (. . 4).

    . k = 0, - y = b . , Ox (b 6= 0) Ox (b = 0).

    (-), Oy ( Ox) . -, , . y = kx+ b, k b , . .

    1. . , -

    y = kx+ b, k b , - .

  • 1.2. 13

    C . - l .

    1. l (. 5). - Oy , , (0; b). l Ox, y = b. y 6= b. -, , (0; b) y = b.

    6

    -O x

    y

    b l

    a)

    6

    -x

    y

    O

    M

    M1x0

    y0

    N

    N1x1

    y1

    )

    6

    -O x

    y

    N

    x1

    y1

    N1

    M

    x0

    y0

    M1

    )

    6

    -

    l

    l

    O

    K

    B

    M

    x

    y

    x

    y

    )

    . 5.

    6

    -O x

    y

    K

    M

    l

    l

    B

    x

    y

    )

    2. l -. l , . . I III (. . 5) l - , . . II IV (. . 5).

    l M(x0; y0) - N(x1; y1), M N

  • 14 1.

    . M N , - Oy. M1(x0; 0) N1(x1; 0) - Ox.

    , MOM1 NON1 , MOM1. :

    MM1M1O

    =NN1N1O

    .

    : l I III - (. 5), MM1M1O = k, l -

    II IV (. 5), MM1M1O = k.

    y0x0=

    y1x1= k.

    N(x1; y1) , (x; y) l, . . yx = k. , (x; y) l y = kx, l - y = kx.

    3. l . Oy , -, B(0; b), b 6= 0. - l b > 0 . 5 5. b < 0 .

    l, - l. l M(x; y) - , Oy. K l - OBKM . OB MK OB = b, MK = b, K (x; kx). M(x; y) l - y = kx, K (x; kx + b), . . y = kx+ b. (x; y) l y = kx+ b, . . l y = kx+ b

    . y = kx+ b. y = kx+ b (x; kx+ b) .

  • 1.2. 15

    (0; b) (1; k+ b), - . (0; b) (1; k + b) l. , l - , , y = kx+b. (0; b) (1; k + b) , -: b = b, kx+b = kx+b, . . k = k. l y = kx+ b, .

    . y = kx + b - , (0; b) (b/k; 0).

    k b. b - . - y = kx+ b Oy.

    k y =kx+ b. k > 0, - , . . k = tg ( . 6 = MNM )., - tg = MM

    M N = k (. 1, 2).

    k < 0, , - (k = tg) (. 6 = MNM ). , tg = MM

    M N = k (. - 1, 2).

    6

    -O

    y = kx+ b

    M

    M

    x2

    y2

    Nx1

    x

    y

    k > 0

    )

    . 6.

    6

    -O

    y = kx+ b

    x

    y

    k < 0

    Nx1

    M

    M

    x2

    y2

    )

    . y = k1x+ b1 y = k2x+ b2.

    , , , k1, k2, b1 b2.

  • 16 1.

    () , k1 = k2 b1 = b2.

    6

    -O x

    y

    y = k1x+ b1

    y = k2x+ b2

    . 7a.

    C , k1 = k2 b1 = b2, , - . -, y =k1x+ b1 y = k2x+ b2 , . .

    graph(f1) = {(x; k1x+ b1) : x R} == graph(f2) = {(x; k2x+ b2) : x R},

    (. . 7). (x1; k1x1+b1) (x2; k2x2+b2) -, x1 = x2 k1x1 + b1 = k2x2 + b2.

    k1x + b1 = k2x + b2 x R. , (k1 k2)x = b2 b1, x, x := 0 , b1 = b2, x := 1 k1 = k2. B

    () , k1 = k2 b1 6= b2.

    C k1 = k2 , (. .7). b1 6= b2, (a). -, .

    , y = k1x + b1 y = k2x + b2. - . - c 6= 0 , y = k1x+ b1 + c y = k2x+ b2. , k1x+ b1 + c = k2x+ b2 x R. , (), b2 = b1 + c 6= b1 k1 = k2. B

    6

    - O x

    yy = k1x+ b1

    y = k2x+ b2

    )

    6

    -O x

    y

    y = k1x+ b1

    y = k2x+ b2

    )

    . 7.

  • 1.3. 17

    () , k1 6= k2.C ,

    . () () - , k1 6= k2,(. . 7 ).

    , k1 6= k2, , () (). B

    1. .2. .3. ?4. y =

    kx + b?5. -

    ?6. y = kx?7. y = b?8. y = k1x + b1

    y = k2x + b2 , , ?

    1.3.

    . ax+by+c = 0, a, b, c - (), x y , ( 1- ) . a b , c .

    x0 y0 x y , - , . (x; y). - x y (x0; y0), x0 x y0 y.

    - . , . -, (. . -). ,

  • 18 1.

    . . , - , .

    - . . , , .

    (a) a 6= 0 b 6= 0. ax+by+c = 0 - y y = abx