Приближенное решение задач комбинаторной оптимизации: алгоритмы и трудность, осень 2016: Задача об относительном

Ïðèáëèæåííîå ðåøåíèåçàäà÷ êîìáèíàòîðíîé îïòèìèçàöèè:

àëãîðèòìû è òðóäíîñòüËåêöèÿ 3: Çàäà÷à îá îòíîñèòåëüíîì ðàçðåçå.

Òåîðåìà Áóðãåéíà

Ì. Âÿëûé

Âû÷èñëèòåëüíûé öåíòð

èì. À.À.Äîðîäíèöûíà

ÔÈÖ ÈÓ ÐÀÍ

Ñàíêò-Ïåòåðáóðã, Computer Science Club, 2016

Ì. Âÿëûé (ÂÖ ÔÈÖ ÈÓ ÐÀÍ) Ëåêöèÿ 3: Sparsest cut ÑÏá, CSclub, 2016 1 / 34

Îäíîðîäíàÿ çàäà÷à îá îòíîñèòåëüíîì ðàçðåçå

Îòíîñèòåëüíûé âåñ ðàçðåçà (S ,V \ S), ∅ ⊂ S ⊂ V , â ãðàôå G (V ,E )

rG (S) =E (S ,V \ S)

|S | · |V \ S |,

(äîëÿ ð¼áåð ãðàôà â ìíîæåñòâå ïàð (âåðøèíà â S , âåðøèíà âíå S)).

Çàäà÷à îá îòíîñèòåëüíîì ðàçðåçå (the sparsest cut problem)

Äàíî: ãðàô G (V ,E )

Íàéòè: ìèíèìàëüíóþ âåëè÷èíó îòíîñèòåëüíîãî ðàçðåçà

rG = min∅⊂S⊂V

rG (S).


Îäíîðîäíàÿ çàäà÷à îá îòíîñèòåëüíîì ðàçðåçå

Îòíîñèòåëüíûé âåñ ðàçðåçà (S ,V \ S), ∅ ⊂ S ⊂ V , â ãðàôå G (V ,E )

rG (S) =E (S ,V \ S)

|S | · |V \ S |,

(äîëÿ ð¼áåð ãðàôà â ìíîæåñòâå ïàð (âåðøèíà â S , âåðøèíà âíå S)).

Çàäà÷à îá îòíîñèòåëüíîì ðàçðåçå (the sparsest cut problem)

Äàíî: ãðàô G (V ,E )

Íàéòè: ìèíèìàëüíóþ âåëè÷èíó îòíîñèòåëüíîãî ðàçðåçà

rG = min∅⊂S⊂V

rG (S).


Ñëó÷àé ðåãóëÿðíûõ ãðàôîâ: ð¼áåðíîå ðàñøèðåíèå

Ãðàô ðåãóëÿðíûé, åñëè ñòåïåíè âñåõ âåðøèí ãðàôà îäèíàêîâû.

Êîýôôèöèåíò ð¼áåðíîãî ðàñøèðåíèÿ

hE (G ) = min∅⊂S⊂V

hE (S ,V \ S);

hE (S ,V \ S) =E (S ,V \ S)

d min(|S |, |V \ S |).

Çàäà÷à

Äëÿ d-ðåãóëÿðíîãî ãðàôà íà n âåðøèíàõ

d

n· hE (G ) 6 rG 6

2d

n· hE (G ).


Ñëó÷àé ðåãóëÿðíûõ ãðàôîâ: ð¼áåðíîå ðàñøèðåíèå

Ãðàô ðåãóëÿðíûé, åñëè ñòåïåíè âñåõ âåðøèí ãðàôà îäèíàêîâû.

Êîýôôèöèåíò ð¼áåðíîãî ðàñøèðåíèÿ

hE (G ) = min∅⊂S⊂V

hE (S ,V \ S);

hE (S ,V \ S) =E (S ,V \ S)

d min(|S |, |V \ S |).

Çàäà÷à


d

n· hE (G ) 6 rG 6

2d

n· hE (G ).


Ñëó÷àé ðåãóëÿðíûõ ãðàôîâ: ñïåêòðàëüíûå îöåíêè

Ìàòðèöà áëóæäàíèÿ ïî ðåãóëÿðíîìó ãðàôó: ìàòðèöà ñìåæíîñòè

ãðàôà, óìíîæåííàÿ íà 1/d (ñëó÷àéíî âûáèðàåì ðåáðî, èñõîäÿùåå èç

âåðøèíû).

Ñïåêòðàëüíûé çàçîð λG ðàçíîñòü λ1 − λ2 = 1− λ2 ìåæäó ïåðâûì è

âòîðûì ñîáñòâåííûìè ÷èñëàìè ìàòðèöû áëóæäàíèÿ ïî ãðàôó.

Òåîðåìà


d

n· λG 6 rG 6

2√2 · dn

√λG .

Òî÷íîñòü ðåëàêñàöèè 2√2/√λG ìîæåò áûòü ïëîõîé (ïîðÿäêà n).





âåðøèíû).



Òåîðåìà


d

n· λG 6 rG 6

2√2 · dn

√λG .






âåðøèíû).



Òåîðåìà


d

n· λG 6 rG 6

2√2 · dn

√λG .



Îáùàÿ çàäà÷à îá îòíîñèòåëüíîì ðàçðåçå

Íà ïàðàõ âåðøèí ãðàôà îïðåäåëèì âåñà äâóõ òèïîâ: öåíû è çàïðîñû.

Îòíîñèòåëüíûé âåñ ðàçðåçà: îòíîøåíèå ñóììû öåí íà ïàðàõ âåðøèí,

âõîäÿùèõ â ðàçíûå äîëè ðàçðåçà, ê ñóììå çàïðîñîâ íà òåõ æå ïàðàõ.

Îáùàÿ çàäà÷à îá îòíîñèòåëüíîì ðàçðåçå (non-uniform sparsest cut)

ñîñòîèò â íàõîæäåíèè ðàçðåçà ìèíèìàëüíîãî îòíîñèòåëüíîãî âåñà.

Â îäíîðîäíîé çàäà÷å îá îòíîñèòåëüíîì ðàçðåçå ð¼áðà ãðàôà èìåþò

öåíó 1, íåð¼áðà öåíó 0; âñå ïàðû âåðøèí èìåþò òðåáîâàíèå 1.


Íåîäíîðîäíàÿ çàäà÷à îá îòíîñèòåëüíîì ðàçðåçå

Äëÿ äâóõ ãðàôîâ G (V ,EG ), H(V ,EH) íà îäíîì è òîì æå ìíîæåñòâå

âåðøèí íåîäíîðîäíûé îòíîñèòåëüíûé âåñ ðàçðåçà (S ,V \ S)

rG ,H(S) =EG (S ,V \ S)

EH(S ,V \ S).

Äðóãèìè ñëîâàìè, ðàññìàòðèâàåì òàêîé ñëó÷àé îáùåé çàäà÷è îá

îòíîñèòåëüíîì ðàçðåçå, êîãäà è öåíû, è çàïðîñû ïðèíèìàþò òîëüêî

çíà÷åíèÿ èç 0, 1.


Äàíî: äâà ãðàôà G (V ,EG ), H(V ,EH) íà îäíîì è òîì æå

ìíîæåñòâå âåðøèí.

Íàéòè: ìèíèìàëüíóþ âåëè÷èíó íåîäíîðîäíîãî îòíîñèòåëüíîãî

ðàçðåçà

rG ,H = min∅⊂S⊂V

rG ,H(S).



Äëÿ äâóõ ãðàôîâ G (V ,EG ), H(V ,EH) íà îäíîì è òîì æå ìíîæåñòâå

âåðøèí íåîäíîðîäíûé îòíîñèòåëüíûé âåñ ðàçðåçà (S ,V \ S)

rG ,H(S) =EG (S ,V \ S)

EH(S ,V \ S).

Äðóãèìè ñëîâàìè, ðàññìàòðèâàåì òàêîé ñëó÷àé îáùåé çàäà÷è îá

îòíîñèòåëüíîì ðàçðåçå, êîãäà è öåíû, è çàïðîñû ïðèíèìàþò òîëüêî

çíà÷åíèÿ èç 0, 1.


Äàíî: äâà ãðàôà G (V ,EG ), H(V ,EH) íà îäíîì è òîì æå

ìíîæåñòâå âåðøèí.

Íàéòè: ìèíèìàëüíóþ âåëè÷èíó íåîäíîðîäíîãî îòíîñèòåëüíîãî

ðàçðåçà

rG ,H = min∅⊂S⊂V

rG ,H(S).


Ìíîãîãðàííèê ðàçðåçîâ: (0, 1)-êîîðäèíàòû

Õàðàêòåðèñòè÷åñêàÿ ôóíêöèÿ ðàçðåçà (S ,V \ S):

dS(u, v) = |χS(u)− χS(v)|, χS(v) =

1, åñëè v ∈ S ,

0, èíà÷å.

(dS(u, v))u,v∈V (0, 1)-âåêòîð â n2-ìåðíîì ïðîñòðàíñòâå, n = |V |.Ìíîãîãðàííèê ðàçðåçîâ âûïóêëàÿ îáîëî÷êà õàðàêòåðèñòè÷åñêèõ

ôóíêöèé ðàçðåçîâ â n-âåðøèííîì ãðàôå.

Âåëè÷èíà ðàçðåçà ëèíåéíàÿ ôóíêöèÿ íà ýòîì ìíîãîãðàííèêå

EG (S ,V \ S) =∑

(u,v)∈E(G)

dS(u, v).




dS(u, v) = |χS(u)− χS(v)|, χS(v) =


0, èíà÷å.




EG (S ,V \ S) =∑

(u,v)∈E(G)

dS(u, v).




dS(u, v) = |χS(u)− χS(v)|, χS(v) =


0, èíà÷å.




EG (S ,V \ S) =∑

(u,v)∈E(G)

dS(u, v).


Íåðàâåíñòâà äëÿ ìíîãîãðàííèêà ðàçðåçîâ

Î÷åâèäíûå: 0 6 dS(u, v) 6 1, ñèììåòðè÷íîñòü d(u, v) = d(v , u).

Êàêèå åù¼?

Åñòåñòâåííàÿ èäåÿ: îãðàíè÷èòüñÿ ïîäìíîæåñòâàìè âåðøèí è âûÿñíèòü,

êàêèì íåðàâåíñòâàì óäîâëåòâîðÿåò õàðàêòåðèñòè÷åñêàÿ ôóíêöèÿ íà

ýòèõ âåðøèíàõ. Åñëè ðàññìàòðèâàòü k = 2, 3, . . . âåðøèí, ïîëó÷àåòñÿèåðàðõèÿ ðåëàêñàöèé ØåðàëèÀäàìñà.

Ñëó÷àé äâóõ âåðøèí k = 2

Íè÷åãî èíòåðåñíîãî. Íà äèàãîíàëè âñåãäà íóëè, dS(u, u) = 0. Îñòà¼òñÿ

dS(u, v), u 6= v . Âûäåëÿåòñÿ (0, 1)-îãðàíè÷åíèÿìè.




Êàêèå åù¼?










Êàêèå åù¼?








Òðè âåðøèíû: íåðàâåíñòâî òðåóãîëüíèêà

Íàáëþäåíèå

dS(u, v) + dS(v ,w) > dS(u,w).

Çàäà÷à

Çàäàéòå ìíîãîãðàííèê ðàçðåçîâ íà òð¼õ âåðøèíàõ íåðàâåíñòâàìè.

Ïîëóìåòðèêà

Ôóíêöèÿ d : V × V → R íàçûâàåòñÿ ïîëóìåòðèêîé, åñëè äëÿ âñåõ

u, v ,w ∈ V âûïîëíÿþòñÿ íåðàâåíñòâà

d(u, v) > 0,

d(u, u) = 0,

d(u, v) = d(v , u),

d(u, v) + d(v ,w) > d(u,w).





Çàäà÷à





d(u, v) > 0,

d(u, u) = 0,

d(u, v) = d(v , u),

d(u, v) + d(v ,w) > d(u,w).





Çàäà÷à





d(u, v) > 0,

d(u, u) = 0,

d(u, v) = d(v , u),

d(u, v) + d(v ,w) > d(u,w).


Àïïðîêñèìàöèÿ ËåéòîíàÐàî

Çàäà÷à îá îòíîñèòåëüíîì ðàçðåçå:

rG ,H = min∅6=S⊂V

∑(u,v)∈EG

dS(u, v)∑(u,v)∈EH

dS(u, v).

Çàìåíèì ìèíèìóì ïî âñåì ðàçðåçàì íà ìèíèìóì ïî âñåì

ïîëóìåòðèêàì:

LRG ,H = mind(·,·)∈M

∑(u,v)∈EG

d(u, v)∑(u,v)∈EH

d(u, v).

ÇäåñüM îáîçíà÷àåò êîíóñ ïîëóìåòðèê.

Âîïðîñ

Êàê ïðåäñòàâèòü ýòó çàäà÷ó â âèäå ëèíåéíîé ïðîãðàììû?





∑(u,v)∈EG


dS(u, v).




∑(u,v)∈EG


d(u, v).


Âîïðîñ






∑(u,v)∈EG


dS(u, v).




∑(u,v)∈EG


d(u, v).


Âîïðîñ



Çàïèñü â âèäå ëèíåéíîé ïðîãðàììû


Öåëåâàÿ ôóíêöèÿ â àïïðîêñèìàöèè ËåéòîíàÐàî îäíîðîäíàÿ: ïðè

óìíîæåíèè d(·, ·) íà ÷èñëî îíà íå èçìåíÿåòñÿ.

Ëåììà

LRG ,H ñîâïàäàåò ñ ìèíèìóìîì ëèíåéíîé ïðîãðàììû∑(u,v)∈EG

du,v → min

∑(u,v)∈EH

du,v = 1,

du,v 6 du,w + dw ,v , ∀u, v ,w ∈ V ,

du,v > 0, ∀u, v ∈ V .

Ïåðåìåííûå du,v èíäåêñèðîâàíû íåóïîðÿäî÷åííûìè ïàðàìè âåðøèí.


Òî÷íîñòü ðåëàêñàöèè ËåéòîíàÐàî

Òåîðåìà

Äëÿ íåêîòîðîé êîíñòàíòû C è ëþáûõ ãðàôîâ G , H âûïîëíÿþòñÿ

íåðàâåíñòâà

LRG ,H 6 rG ,H 6 C log |V | · LRG ,H .

Ïåðâîå íåðàâåíñòâî î÷åâèäíî: ìèíèìóì ïî ìíîæåñòâó íå áîëüøå

ìèíèìóìà ïî ïîäìíîæåñòâó.

Âòîðîå íåðàâåíñòâî äîêàçûâàåòñÿ â äâà øàãà:

1 Ïðîâåðèòü, ÷òî ìèíèìóì ïî ïîëóìåòðèêàì ðàçðåçîâ ñîâïàäàåò ñ

ìèíèìóìîì ïî `1-ïîëóìåòðèêàì.

2 Âëîæèòü ëþáóþ ïîëóìåòðèêó íà ìíîæåñòâå V â ïðîñòðàíñòâî ñ

`1-ìåòðèêîé, èñêàæàÿ ðàññòîÿíèÿ íå áîëåå, ÷åì â O(log |V |) ðàç.(Òåîðåìà Áóðãåéíà ãîâîðèò î âîçìîæíîñòè òàêîãî âëîæåíèÿ.)



Òåîðåìà













Òåîðåìà













Òåîðåìà












`1-ïîëóìåòðèêè

`1-ìåòðèêà íà Rm

‖(x1, . . . , xm)− (y1, . . . , ym)‖1 =m∑i=1

|xi − yi |.

Îáùàÿ `1-ïîëóìåòðèêà:

òàêàÿ ôóíêöèÿ d : V × V → R, äëÿ êîòîðîé ñóùåñòâóåò âëîæåíèå

f : V → Rm, óäîâëåòâîðÿþùåå ðàâåíñòâàì

d(u, v) = ‖f (u)− f (v)‖1 äëÿ âñåõ u, v ∈ V .




‖(x1, . . . , xm)− (y1, . . . , ym)‖1 =m∑i=1

|xi − yi |.








‖(x1, . . . , xm)− (y1, . . . , ym)‖1 =m∑i=1

|xi − yi |.







Õàðàêòåðèñòè÷åñêàÿ ôóíêöèÿ ðàçðåçîâ `1-ïîëóìåòðèêà,çàäà¼òñÿ âëîæåíèåì â R1

dS(u, v) = |χS(u)− χS(v)|.

Àïïðîêñèìàöèÿ `1-ïîëóìåòðèêàìè

Îáîçíà÷èì ÷åðåç r1G ,H ìèíèìàëüíûé îòíîñèòåëüíûé âåñ ðàçðåçà ïî `1-ìåòðèêàì.

Ëåììà îá îïòèìàëüíîñòè `1-ïîëóìåòðèê

Äëÿ ëþáîé ïàðû ãðàôîâ G (V ,EG ), H(V ,EH) âûïîëíÿåòñÿ r1G ,H = rG ,H .

Êðîìå òîãî, ñóùåñòâóåò ïîëèíîìèàëüíûé àëãîðèòì, êîòîðûé ïî

âëîæåíèþ f : V → Rd íàõîäèò òàêîé ðàçðåç S , ÷òî îòíîñèòåëüíûé âåñ

ðàçðåçà S íå áîëüøå îòíîøåíèÿ âåñîâ ãðàôîâ îòíîñèòåëüíî `1-ìåòðèêè, èíäóöèðîâàííîé âëîæåíèåì f .


Ñðàâíåíèå ÷àñòíûõ

Çàäà÷à

Äîêàæèòå, ÷òî äëÿ ëþáûõ ÷èñåë x1, . . . xn è ïîëîæèòåëüíûõ ÷èñåë

y1, . . . , yn âûïîëíÿåòñÿ íåðàâåíñòâî

x1 + · · ·+ xny1 + · · ·+ yn

> mini

xiyi.

Ïîäñêàçêà

Íóæíî óâèäåòü, ÷òî ýòî åù¼ îäíà ôîðìà óòâåðæäåíèÿ ¾ñðåäíåå íå

ìåíüøå ìèíèìóìà¿.


Ñðàâíåíèå ÷àñòíûõ

Çàäà÷à

Äîêàæèòå, ÷òî äëÿ ëþáûõ ÷èñåë x1, . . . xn è ïîëîæèòåëüíûõ ÷èñåë

y1, . . . , yn âûïîëíÿåòñÿ íåðàâåíñòâî

x1 + · · ·+ xny1 + · · ·+ yn

> mini

xiyi.

Ïîäñêàçêà

Íóæíî óâèäåòü, ÷òî ýòî åù¼ îäíà ôîðìà óòâåðæäåíèÿ ¾ñðåäíåå íå

ìåíüøå ìèíèìóìà¿.


Äîêàçàòåëüñòâî ëåììû îá îïòèìàëüíîñòè `1-ïîëóìåòðèê

Íåðàâåíñòâî r1G ,H 6 rG ,H î÷åâèäíî, òàê êàê ïîëóìåòðèêè ðàçðåçîâ

ÿâëÿþòñÿ `1-ïîëóìåòðèêàìè.

Óòâåðæäåíèå

Ìèíèìàëüíîå çíà÷åíèå r1G ,H äîñòèãàåòñÿ íà âëîæåíèÿõ â R1.

Äîêàçàòåëüñòâî

Ñðàâíèì îòíîøåíèå âåëè÷èí îòíîñèòåëüíûõ ðàçðåçîâ äëÿ âëîæåíèÿ

f : V → Rm è åãî ïðîåêöèé íà êîîðäèíàòû fi : v 7→ f (v)i :∑(u,v)∈EG

‖f (u)− f (v)‖1∑(u,v)∈EH

‖f (u)− f (v)‖1=

∑i

∑(u,v)∈EG

|fi (u)− fi (v)|∑i

∑(u,v)∈EH

|fi (u)− fi (v)|>

> mini

∑(u,v)∈EG

|fi (u)− fi (v)|∑(u,v)∈EH

|fi (u)− fi (v)|.










‖f (u)− f (v)‖1∑(u,v)∈EH

‖f (u)− f (v)‖1=

∑i

∑(u,v)∈EG

|fi (u)− fi (v)|∑i

∑(u,v)∈EH

|fi (u)− fi (v)|>

> mini

∑(u,v)∈EG


|fi (u)− fi (v)|.










‖f (u)− f (v)‖1∑(u,v)∈EH

‖f (u)− f (v)‖1=

∑i

∑(u,v)∈EG

|fi (u)− fi (v)|∑i

∑(u,v)∈EH

|fi (u)− fi (v)|>

> mini

∑(u,v)∈EG


|fi (u)− fi (v)|.


Äîêàçàòåëüñòâî îïòèìàëüíîñòè 1-ìåðíûõ `1-ïîëóìåòðèê

Íóæíî äëÿ ïðîèçâîëüíîãî 1-ìåðíîãî âëîæåíèÿ g : V → R äîêàçàòü

ñóùåñòâîâàíèå ðàçðåçà S , îòíîñèòåëüíûé âåñ êîòîðîãî íå áîëüøå

îòíîøåíèÿ âåñîâ ãðàôîâ îòíîñèòåëüíî ìåòðèêè, èíäóöèðîâàííîé

âëîæåíèåì g .

Ãðàíèöó t âûáèðàåì ñëó÷àéíî è ðàâíîìåðíî èç îòðåçêà

[min g(v);max g(v)].






âëîæåíèåì g .Òàêîé ðàçðåç áóäåì èñêàòü ñðåäè ðàçðåçîâ âèäà

St = v ∈ V : g(v) 6 t

min g(v) max g(v)t

St








âëîæåíèåì g .Òàêîé ðàçðåç áóäåì èñêàòü ñðåäè ðàçðåçîâ âèäà

St = v ∈ V : g(v) 6 t

min g(v) max g(v)t

St




Ðàçäåëåíèå âåðøèí ðàçðåçîì St

min g(v) max g(v)t

St

Îòíîøåíèå âåñîâ ãðàôîâ íå èçìåíÿåòñÿ ïðè ëèíåéíûõ

ïðåîáðàçîâàíèÿõ R. Ïîýòîìó áåç îãðàíè÷åíèÿ îáùíîñòè ñ÷èòàåì, ÷òî

minv∈V

g(v) = 0, maxv∈V

g(v) = 1.

Äëÿ ëþáûõ u, v âåðîÿòíîñòü ïîïàñòü â ðàçíûå äîëè ðàçðåçà ðàâíà

|g(u)− g(v)|. Äðóãèìè ñëîâàìè,

Et

[|χSt (u)− χSt (v)|

]= |g(u)− g(v)|.


Ðàçäåëåíèå âåðøèí ðàçðåçîì St

min g(v) max g(v)t

St

Îòíîøåíèå âåñîâ ãðàôîâ íå èçìåíÿåòñÿ ïðè ëèíåéíûõ

ïðåîáðàçîâàíèÿõ R. Ïîýòîìó áåç îãðàíè÷åíèÿ îáùíîñòè ñ÷èòàåì, ÷òî

minv∈V

g(v) = 0, maxv∈V

g(v) = 1.

Äëÿ ëþáûõ u, v âåðîÿòíîñòü ïîïàñòü â ðàçíûå äîëè ðàçðåçà ðàâíà

|g(u)− g(v)|. Äðóãèìè ñëîâàìè,

Et


]= |g(u)− g(v)|.


Îïòèìàëüíîñòü 1-ìåðíûõ `1-ïîëóìåòðèê (çàâåðøåíèå)

Ïîëüçóÿñü ðàâåíñòâîì

Et


]= |g(u)− g(v)|,

îöåíèì ñíèçó îòíîøåíèå g -âåñîâ ãðàôîâ:

∑(u,v)∈EG

|g(u)− g(v)|∑(u,v)∈EH

|g(u)− g(v)|=

Et

[∑(u,v)∈EG

|χSt (u)− χSt (v)|]

Et

[∑(u,v)∈EH

|χSt (u)− χSt (v)|] >

> mint

rG ,H(St) > rG ,H .

Ïîýòîìó r1G ,H > rG ,H , ÷òî è òðåáîâàëîñü äîêàçàòü.


Àëãîðèòìè÷åñêàÿ ÷àñòü ëåììû

Ïðèâåä¼ííîå âûøå äîêàçàòåëüñòâî êîíñòðóêòèâíî. ×òîáû íàéòè

ðàçðåç, îòíîñèòåëüíûé âåñ êîòîðîãî íå ïðåâîñõîäèò îòíîøåíèÿ f -âåñîâãðàôîâ, íóæíî:

1 Íàéòè òó êîîðäèíàòó i , äëÿ êîòîðîé îòíîøåíèå fi -âåñîâ íåïðåâîñõîäèò îòíîøåíèÿ f -âåñîâ.

2 Äëÿ g = fi íàéòè ïîäõîäÿùèé ðàçðåç St . Êîëè÷åñòâî ðàçðåçîâ

âèäà St ðàâíî |V | − 1.

Îáà øàãà âûïîëíÿþòñÿ äåòåðìèíèðîâàííûì àëãîðèòìîì çà

ïîëèíîìèàëüíîå âðåìÿ.

Âåðîÿòíîñòè áûëè íóæíû òîëüêî â îöåíêå.

































Òåîðåìà

Ñóùåñòâóåò òàêàÿ êîíñòàíòà C , ÷òî äëÿ ëþáîé ïîëóìåòðèêè d(·, ·) íàn-ýëåìåíòíîì ìíîæåñòâå V ñóùåñòâóåò òàêîå âëîæåíèå f : V → Rm,

÷òî äëÿ ëþáûõ u, v ∈ V âûïîëíÿåòñÿ

‖f (u)− f (v)‖1 6 d(u, v) 6 C log n · ‖f (u)− f (v)‖1.

Âåðîÿòíîñòíàÿ ôîðìóëèðîâêà

Ñóùåñòâóåò òàêàÿ êîíñòàíòà C , ÷òî äëÿ ëþáîé ïîëóìåòðèêè d(·, ·) íàn-ýëåìåíòíîì ìíîæåñòâå V ñóùåñòâóåò òàêîå ðàñïðåäåëåíèå D ñ

êîíå÷íûì íîñèòåëåì â ìíîæåñòâå âëîæåíèé g : V → R, ÷òî äëÿ ëþáûõ

u, v ∈ V

Eg←D

[|g(u)− g(v)|

]6 d(u, v) 6 C log n · E

g←D

[|g(u)− g(v)|

].



Òåîðåìà

Ñóùåñòâóåò òàêàÿ êîíñòàíòà C , ÷òî äëÿ ëþáîé ïîëóìåòðèêè d(·, ·) íàn-ýëåìåíòíîì ìíîæåñòâå V ñóùåñòâóåò òàêîå âëîæåíèå f : V → Rm,

÷òî äëÿ ëþáûõ u, v ∈ V âûïîëíÿåòñÿ

‖f (u)− f (v)‖1 6 d(u, v) 6 C log n · ‖f (u)− f (v)‖1.

Âåðîÿòíîñòíàÿ ôîðìóëèðîâêà

Ñóùåñòâóåò òàêàÿ êîíñòàíòà C , ÷òî äëÿ ëþáîé ïîëóìåòðèêè d(·, ·) íàn-ýëåìåíòíîì ìíîæåñòâå V ñóùåñòâóåò òàêîå ðàñïðåäåëåíèå D ñ

êîíå÷íûì íîñèòåëåì â ìíîæåñòâå âëîæåíèé g : V → R, ÷òî äëÿ ëþáûõ

u, v ∈ V

Eg←D

[|g(u)− g(v)|

]6 d(u, v) 6 C log n · E

g←D

[|g(u)− g(v)|

].


Ýêâèâàëåíòíîñòü ôîðìóëèðîâîê

Äëÿ ëþáûõ u, v âûïîëíÿåòñÿ

Eg←D

[|g(u)− g(v)|

]=∑

pi |gi (u)− gi (v)| = ‖f (u)− f (v)‖1,

ãäå

f (v)i = pigi (v).

Â äðóãóþ ñòîðîíó: äëÿ âëîæåíèÿ f : V → Rm îïðåäåëèì

íîðìèðîâàííûå ïðîåêöèè íà êîîðäèíàòû

gi (v) = mf (v)i .

Òîãäà äëÿ ðàâíîìåðíîãî ðàñïðåäåëåíèÿ íà gi ïîëó÷àåì

‖f (u)− f (v)‖1 =1

m

m∑i=1

|mf (u)i −mf (v)i | = Eg←U

[|g(u)− g(v)|

].


Ýêâèâàëåíòíîñòü ôîðìóëèðîâîê

Äëÿ ëþáûõ u, v âûïîëíÿåòñÿ

Eg←D

[|g(u)− g(v)|

]=∑

pi |gi (u)− gi (v)| = ‖f (u)− f (v)‖1,

ãäå

f (v)i = pigi (v).

Â äðóãóþ ñòîðîíó: äëÿ âëîæåíèÿ f : V → Rm îïðåäåëèì

íîðìèðîâàííûå ïðîåêöèè íà êîîðäèíàòû

gi (v) = mf (v)i .

Òîãäà äëÿ ðàâíîìåðíîãî ðàñïðåäåëåíèÿ íà gi ïîëó÷àåì

‖f (u)− f (v)‖1 =1

m

m∑i=1

|mf (u)i −mf (v)i | = Eg←U

[|g(u)− g(v)|

].


Îöåíêà òî÷íîñòè àïïðîêñèìàöèè ËåéòîíàÐàî èçòåîðåìû Áóðãåéíà

Äîêàæåì, ÷òî rG ,H = r1G ,H 6 C log |V | · LRG ,H .

Ïóñòü ìèíèìàëüíîå çíà÷åíèå LRG ,H äîñòèãàåòñÿ íà ïîëóìåòðèêå

d(·, ·), à f ñîîòâåòñòâóþùåå âëîæåíèå èç òåîðåìû Áóðãåéíà.

Òîãäà

r1G ,H 6

6

∑(u,v)∈EG

‖f (u)− f (v)‖1∑(u,v)∈EH

‖f (u)− f (v)‖16

∑(u,v)∈EG


1C log |V | · d(u, v)

=

= C log |V | · LRG ,H ,






Òîãäà

r1G ,H 6

6

∑(u,v)∈EG

‖f (u)− f (v)‖1∑(u,v)∈EH

‖f (u)− f (v)‖16

∑(u,v)∈EG


1C log |V | · d(u, v)

=

= C log |V | · LRG ,H ,






Òîãäà

r1G ,H 6

6

∑(u,v)∈EG

‖f (u)− f (v)‖1∑(u,v)∈EH

‖f (u)− f (v)‖16

∑(u,v)∈EG


1C log |V | · d(u, v)

=

= C log |V | · LRG ,H ,


Êàêèå âëîæåíèÿ áóäóò èñïîëüçîâàòüñÿ

Äëÿ ìíîæåñòâà A ⊆ V îïðåäåëèì d(·, ·)-ðàññòîÿíèå îò òî÷êè äî

ìíîæåñòâà A:gA(v) = min

a∈Ad(v , a).

v

uA

gA(v)

gA(u)

Ìíîæåñòâî A áóäåì âûáèðàòü ñëó÷àéíî, ïî ïîäõîäÿùåìó

ðàñïðåäåëåíèþ (ðàâíîìåðíîå íå ïîäõîäèò).


Êàêèå âëîæåíèÿ áóäóò èñïîëüçîâàòüñÿ

Äëÿ ìíîæåñòâà A ⊆ V îïðåäåëèì d(·, ·)-ðàññòîÿíèå îò òî÷êè äî

ìíîæåñòâà A:gA(v) = min

a∈Ad(v , a).

v

uA

gA(v)

gA(u)

Ìíîæåñòâî A áóäåì âûáèðàòü ñëó÷àéíî, ïî ïîäõîäÿùåìó

ðàñïðåäåëåíèþ (ðàâíîìåðíîå íå ïîäõîäèò).


Ðàññòîÿíèå äî ìíîæåñòâà ñæèìàþùåå îòîáðàæåíèå


Äëÿ ëþáûõ u, v ∈ V âûïîëíÿåòñÿ |gA(u)− gA(v)| 6 d(u, v).





v

v∗

u

u∗ A

d(v, v∗)

d(u, u∗)

d(u, v)≥ d(v, v∗)





v

v∗

u

u∗ A

d(v, v∗)

d(u, u∗)

d(u, v)≥ d(v, v∗)

gA(u) =

= d(u∗, u) > d(u∗, v)− d(u, v) > d(v∗, v)− d(u, v) = gA(v)− d(u, v).

Àíàëîãè÷íî gA(v) = d(v∗, v) > d(u∗, u)− d(u, v) = gA(u)− d(u, v).





v

v∗

u

u∗ A

d(v, v∗)

d(u, u∗)

d(u, v)≥ d(v, v∗)

gA(u) =

= d(u∗, u) > d(u∗, v)− d(u, v) > d(v∗, v)− d(u, v) = gA(v)− d(u, v).

Àíàëîãè÷íî gA(v) = d(v∗, v) > d(u∗, u)− d(u, v) = gA(u)− d(u, v).Çíà÷èò, d(u, v) > gA(v)− gA(u); d(u, v) > gA(u)− gA(v).


Èäåÿ íèæíåé îöåíêè (íå ñëèøêîì ñæèìàþùåå)

v

uA

B(v, r)

B(u,R)

1 Ïóñòü êàæäàÿ âåðøèíà âêëþ÷àåòñÿ â ìíîæåñòâî A íåçàâèñèìî ñ

âåðîÿòíîñòüþ p.

2 Åñëè A ∩ B(u,R) = ∅ è A ∩ B(v , r) 6= ∅, R > r , òî

gA(u) > R > r > gA(v) =⇒ gA(u)− gA(v) > R − r .

3 Ïóñòü nr = |B(v , r)|, nR = |B(u,R)|. Åñëè r + R < d(u, v), òî

Pr[ñîáûòèå ï. 2] = (1− p)nR ·(1− (1− p)nr

)êîíñòàíòà, åñëè nr è nR ïðèìåðíî ðàâíû 1/p.



v

uA

B(v, r)

B(u,R)










v

uA

B(v, r)

B(u,R)









Ïëàí ðåàëèçàöèè èäåè

Íóæíî ó÷åñòü, ÷òî øàðû ðàçíîãî ðàäèóñà â ðàçíûõ òî÷êàõ ðàçíîãî

ðàçìåðà.

Âìåñòî îäíîãî p âîçüì¼ì ðàâíîìåðíóþ ñìåñü O(log |V |)ðàñïðåäåëåíèé, ïàðàìåòðû p äîëæíû ïîêðûâàòü âåñü èíòåðâàë

âîçìîæíûõ îáú¼ìîâ îò 1 äî |V |. (Òî÷íîñòü â îöåíêåâåðîÿòíîñòè ìóëüòèïëèêàòèâíàÿ êîíñòàíòà.)

Äëÿ êàæäîé ïàðû òî÷åê êàêîå-òî èç ðàñïðåäåëåíèé îêàæåòñÿ

õîðîøèì, îáùàÿ ïîòåðÿ ïîðÿäêà 1/ log |V |.




ðàçìåðà.








ðàçìåðà.






Êîíñòðóêöèÿ ðàñïðåäåëåíèÿ

Ðàñïðåäåëåíèå Dt

Êàæäóþ âåðøèíó v ∈ V âêëþ÷àåì â ñëó÷àéíîå ìíîæåñòâî A ñ

âåðîÿòíîñòüþ 2−t , ãäå t > 0 öåëî÷èñëåííûé ìàñøòàáíûé ïàðàìåòð.

Ðàñïðåäåëåíèå D

1 Âûáèðàåì ñëó÷àéíî è ðàâíîâåðîÿòíî öåëî÷èñëåííûé ìàñøòàáíûé

ïàðàìåòð 0 6 t 6 log |V |;2 Âûáèðàåì A èç ðàñïðåäåëåíèÿ Dt .


Êîíñòðóêöèÿ ðàñïðåäåëåíèÿ

Ðàñïðåäåëåíèå Dt

Êàæäóþ âåðøèíó v ∈ V âêëþ÷àåì â ñëó÷àéíîå ìíîæåñòâî A ñ

âåðîÿòíîñòüþ 2−t , ãäå t > 0 öåëî÷èñëåííûé ìàñøòàáíûé ïàðàìåòð.

Ðàñïðåäåëåíèå D

1 Âûáèðàåì ñëó÷àéíî è ðàâíîâåðîÿòíî öåëî÷èñëåííûé ìàñøòàáíûé

ïàðàìåòð 0 6 t 6 log |V |;2 Âûáèðàåì A èç ðàñïðåäåëåíèÿ Dt .


Âûáîð ïîñëåäîâàòåëüíîñòè ðàäèóñîâ øàðîâ

Ïóñòü ρt(u) ðàññòîÿíèå îò u äî (2t)-é òî÷êè, ñ÷èòàÿ îò u, ò.å.

|B(u, ρt(u)− 1)| < 2t(ρ′ < ρt(u)

); |B(u, ρt(u))| > 2t .

ßñíî, ÷òî ïîñëåäîâàòåëüíîñòü ρt(u) íåóáûâàþùàÿ.Äëÿ êîíêðåòíîé ïàðû âåðøèí u, v ∈ V íåìíîãî èñïîðòèì

ïîñëåäîâàòåëüíîñòü ðàäèóñîâ ñ ó÷¼òîì ðàññòîÿíèÿ d(u, v). Îïðåäåëèìäâå ïîñëåäîâàòåëüíîñòè ðàäèóñîâ äëÿ êàæäîé èç âûáðàííûõ âåðøèí:

rt = min(ρt(v), d(u, v)/3),

Rt = min(ρt(u), d(u, v)/3).


Âûáîð ïîñëåäîâàòåëüíîñòè ðàäèóñîâ øàðîâ

Ïóñòü ρt(u) ðàññòîÿíèå îò u äî (2t)-é òî÷êè, ñ÷èòàÿ îò u, ò.å.

|B(u, ρt(u)− 1)| < 2t(ρ′ < ρt(u)

); |B(u, ρt(u))| > 2t .

ßñíî, ÷òî ïîñëåäîâàòåëüíîñòü ρt(u) íåóáûâàþùàÿ.Äëÿ êîíêðåòíîé ïàðû âåðøèí u, v ∈ V íåìíîãî èñïîðòèì

ïîñëåäîâàòåëüíîñòü ðàäèóñîâ ñ ó÷¼òîì ðàññòîÿíèÿ d(u, v). Îïðåäåëèìäâå ïîñëåäîâàòåëüíîñòè ðàäèóñîâ äëÿ êàæäîé èç âûáðàííûõ âåðøèí:

rt = min(ρt(v), d(u, v)/3),



Âûáîð ïîðîãîâîãî ìàñøòàáà

Îáîçíà÷èì ÷åðåç t∗ íàèáîëüøèé ìàñøòàá, äî êîòîðîãî ðàäèóñû ρt(u),ρt(v) ìåíüøå d(u, v)/3, à ïîñëå êîòîðîãî õîòÿ áû îäèí ñòàíîâèòñÿ íå

ìåíüøå d(u, v)/3:

ρt∗(u) <1

3· d(u, v), ρt∗(v) <

1

3· d(u, v);

ρt∗+1(u) >1

3· d(u, v) èëè ρt∗+1(v) >

1

3· d(u, v).

Ñ ó÷¼òîìrt = min(ρt(v), d(u, v)/3),


ïîëó÷àåì

Rt∗+1 + rt∗+1 − R0 − r0 >d(u, v)

3(R0 = r0 = 0) .


Âûáîð ïîðîãîâîãî ìàñøòàáà

Îáîçíà÷èì ÷åðåç t∗ íàèáîëüøèé ìàñøòàá, äî êîòîðîãî ðàäèóñû ρt(u),ρt(v) ìåíüøå d(u, v)/3, à ïîñëå êîòîðîãî õîòÿ áû îäèí ñòàíîâèòñÿ íå

ìåíüøå d(u, v)/3:

ρt∗(u) <1

3· d(u, v), ρt∗(v) <

1

3· d(u, v);

ρt∗+1(u) >1

3· d(u, v) èëè ρt∗+1(v) >

1

3· d(u, v).

Ñ ó÷¼òîìrt = min(ρt(v), d(u, v)/3),


ïîëó÷àåì

Rt∗+1 + rt∗+1 − R0 − r0 >d(u, v)

3(R0 = r0 = 0) .


Íèæíÿÿ îöåíêà äëÿ ðàñïðåäåëåíèÿ Dt

Îñíîâíîå óòâåðæäåíèå

Ñóùåñòâóåò òàêàÿ êîíñòàíòà c > 0, ÷òî äëÿ ëþáîãî 0 6 t 6 t∗ è ëþáîé

ïàðû òî÷åê u, v ∈ V âûïîëíÿåòñÿ

EA←Dt

[|gA(u)− gA(v)|

]> c ·

((rt+1 − Rt) + (Rt+1 − rt)

).

Âûâîä òåîðåìû Áóðãåéíà èç ýòîãî óòâåðæäåíèÿ

Äëÿ îöåíêè ìàòîæèäàíèÿ |gA(u)− gA(v)| óñðåäíèì îöåíêó èç

óòâåðæäåíèÿ ïî äèàïàçîíó 0 6 t 6 t∗. Ïðîìåæóòî÷íûå ðàäèóñûñîêðàùàþòñÿ: (rt+1 − Rt) + (Rt+1 − rt) = (Rt+1 − Rt) + (rt+1 − rt)Ïîýòîìó ïîëó÷àåì

EA←D

[|gA(u)−gA(v)|

]>

c

1 + log n·(Rt∗+1+rt∗+1−R0−r0) >

c ′

log n·d(u, v)

3






EA←Dt

[|gA(u)− gA(v)|

]> c ·

((rt+1 − Rt) + (Rt+1 − rt)

).




EA←D

[|gA(u)−gA(v)|

]>

c

1 + log n·(Rt∗+1+rt∗+1−R0−r0) >

c ′

log n·d(u, v)

3






EA←Dt

[|gA(u)− gA(v)|

]> c ·

((rt+1 − Rt) + (Rt+1 − rt)

).




EA←D

[|gA(u)−gA(v)|

]>

c

1 + log n·(Rt∗+1+rt∗+1−R0−r0) >

c ′

log n·d(u, v)

3


Äîêàçàòåëüñòâî îñíîâíîãî óòâåðæäåíèÿ

v

uA

B(v, rt)

B(u,Rt+1)



v

uA

B(v, rt)

B(u,Rt+1)

Óêàæåì äâà íåñîâìåñòíûõ ñîáûòèÿ, êàæäîå èç êîòîðûõ ïðîèñõîäèò ñ

âåðîÿòíîñòüþ Ω(1), ïðè÷¼ì îäíî ñîáûòèå ãàðàíòèðóåò íåðàâåíñòâî

|gA(u)− gA(v)| > Rt+1 − rt , à âòîðîå |gA(u)− gA(v)| > rt+1 − Rt .

Ýòîãî äîñòàòî÷íî äëÿ èñêîìîé îöåíêè.

Íàïîìíèì, ÷òî äîêàçûâàåì íåðàâåíñòâî

EA←Dt

[|gA(u)− gA(v)|

]> c ·

((rt+1 − Rt) + (Rt+1 − rt)

).



v

uA

B(v, rt)

B(u,Rt+1)

Óêàæåì äâà íåñîâìåñòíûõ ñîáûòèÿ, êàæäîå èç êîòîðûõ ïðîèñõîäèò ñ

âåðîÿòíîñòüþ Ω(1), ïðè÷¼ì îäíî ñîáûòèå ãàðàíòèðóåò íåðàâåíñòâî

|gA(u)− gA(v)| > Rt+1 − rt , à âòîðîå |gA(u)− gA(v)| > rt+1 − Rt .

Ýòîãî äîñòàòî÷íî äëÿ èñêîìîé îöåíêè.

Ïåðâîå ñîáûòèå: A ∩ B(u,Rt+1) = ∅ è A ∩ B(v , rt) 6= ∅.Âòîðîå ñîáûòèå: A ∩ B(u, rt+1) = ∅ è A ∩ B(v ,Rt) 6= ∅.Ñîáûòèÿ íåñîâìåñòíû: èç A ∩ B(u,Rt+1) = ∅ ñëåäóåò

A ∩ B(v ,Rt) = ∅, òàê êàê Rt+1 > Rt .

Ñîáûòèÿ ñèììåòðè÷íû, ïîýòîìó îöåíèì âåðîÿòíîñòü ïåðâîãî èç íèõ.



v

uA

B(v, rt)

B(u,Rt+1)

Øàðû B(u,Rt+1) è B(v , rt) íå ïåðåñåêàþòñÿ (òàê êàê ðàäèóñ êàæäîãî

íå ïðåâîñõîäèò d(u, v)/3).Òàê êàê t 6 t∗, òî rt = ρt(v). Äëÿ îáú¼ìîâ øàðîâ âûïîëíÿþòñÿ îöåíêè

|B(u,Rt+1)| 6 2t+1, |B(v , rt)| > 2t .



v

uA

B(v, rt)

B(u,Rt+1)

Âåðîÿòíîñòü ïåðâîãî ñîáûòèÿ íå ìåíüøå

(1− 2−t)|B(u,Rt+1)| ·(1− (1− 2−t)|B(v ,rt)|) >

> (1− 2−t)2t+1 ·

(1− (1− 2−t)2

t) ≈ e−2(1− e−1) = Ω(1).


|B(u,Rt+1)| 6 2t+1 |B(v , rt)| > 2t

Î ïîãðåøíîñòè àïïðîêñèìàöèè ËåéòîíàÐàî

Äîêàçàòåëüñòâî îïòèìàëüíîñòè `1-ïîëóìåòðèê áûëîêîíñòðóêòèâíûì. Òåïåðü íóæíî ïîñòðîèòü àëãîðèòì, êîòîðûé

íàõîäèò âëîæåíèå â `1, îòâå÷àþùåå îöåíêå òåîðåìû Áóðãåéíà.

Òðóäíîñòü: ðàçìåðíîñòü âëîæåíèÿ ðàâíà ìîùíîñòè íîñèòåëÿ

ðàñïðåäåëåíèÿ D, òî åñòü ýêñïîíåíöèàëüíî âåëèêà.

Ïðåîäîëåíèå òðóäíîñòè: âûáåðåì íåñêîëüêî ìíîæåñòâ A1, . . . , Am

íåçàâèñèìî ïî ðàñïðåäåëåíèþ D è îïðåäåëèì âëîæåíèå êàê

f (u) =1

m

(gA1(u), gA2(u), . . . , gAm(u)

).

Ñðåäíåå çíà÷åíèå |gAi(u)− gAi

(v)| ïðè ñëó÷àéíîì âûáîðå i áóäåòíå ñèëüíî îòêëîíÿòüñÿ îò ìàòîæèäàíèÿ. Ïîýòîìó ñ çàìåòíîé

âåðîÿòíîñòüþ âëîæåíèå f áóäåò èçìåíÿòü ðàññòîÿíèÿ â O(log |V |)ðàç.









f (u) =1

m

(gA1(u), gA2(u), . . . , gAm(u)

).












f (u) =1

m

(gA1(u), gA2(u), . . . , gAm(u)

).












f (u) =1

m

(gA1(u), gA2(u), . . . , gAm(u)

).





Îöåíêà âåðîÿòíîñòè õîðîøåãî âëîæåíèÿ

Âàðèàíò îöåíêè ×åðíîâà

Ïóñòü ñëó÷àéíûå âåëè÷èíû Xi , 1 6 i 6 m ñ êîíå÷íûì íîñèòåëåì

íåçàâèñèìû è 0 6 Xi 6 1 äëÿ âñåõ i . Îáîçíà÷èì X = X1 + · · ·+ Xm.

Òîãäà

Pr[E[X ]− X > ma

]6 e−ma2/4.






Òîãäà

Pr[E[X ]− X > ma

]6 e−ma2/4.

Ïóñòü Xi = |gAi(u)− gAi

(v)|/d(u, v).Îòîáðàæåíèå v 7→ gA(v) ñæèìàþùåå, ïîýòîìó 0 6 Xi 6 1.

Èç òåîðåìû Áóðãåéíà:

E[Xi ] >c

log |V |.






Òîãäà

Pr[E[X ]− X > ma

]6 e−ma2/4.

Ïóñòü Xi = |gAi(u)− gAi

(v)|/d(u, v).Ïðè a = c/(2 log |V |) èç îöåíêè ×åðíîâà ïîëó÷àåì

Pr

[X 6 m

c

2 log |V |

]6 Pr

[E[X ]− X > m

c

2 log |V |

]6

6 exp(−m

c2

4 log2 |V |

).

Ïðè m = θ(log3 |V |) ýòà âåðîÿòíîñòü ìåíüøå 1/|V |3.


E[Xi ] >c

log |V |





Òîãäà

Pr[E[X ]− X > ma

]6 e−ma2/4.

Ïðè m = θ(log3 |V |) âåðîÿòíîñòü òîãî, ÷òî âëîæåíèå v 7→ f (v) ñæèìàåòñëèøêîì ñèëüíî, íå ïðåâîñõîäèò 1/|V | (îöåíêà îáúåäèíåíèÿ ïî ïàðàì

âåðøèí).

Ïîëó÷èëè ïîëèíîìèàëüíûé âåðîÿòíîñòíûé àëãîðèòì, êîòîðûé ñ

âåðîÿòíîñòüþ îøèáêè < 1/|V | íàõîäèò `1-ìåòðèêó, äîñòèãàþùóþîöåíêè â òåîðåìå Áóðãåéíà ñ òî÷íîñòüþ äî êîíñòàíòíîãî ìíîæèòåëÿ.


E[Xi ] >c

log |V | Pr

[X/m 6 c

2 log |V |

]6 exp

(−m c2

4 log2 |V |

)

Documents

Приближенное решение задач комбинаторной оптимизации: алгоритмы и трудность, осень 2016: Задача об относительном