Upload
cs-center
View
54
Download
0
Embed Size (px)
Citation preview
Ïðèáëèæåííîå ðåøåíèåçàäà÷ êîìáèíàòîðíîé îïòèìèçàöèè:
àëãîðèòìû è òðóäíîñòüËåêöèÿ 6: Òðóäíîñòü ïðèáëèæ¼ííîãî ðåøåíèÿ çàäà÷
îïòèìèçàöèè
Ì. Âÿëûé
Âû÷èñëèòåëüíûé öåíòð
èì. À.À.Äîðîäíèöûíà
ÔÈÖ ÈÓ ÐÀÍ
Ñàíêò-Ïåòåðáóðã, Computer Science Club, 2016
Ì. Âÿëûé (ÂÖ ÔÈÖ ÈÓ ÐÀÍ) Ëåêöèÿ 6: òðóäíîñòü ïðèáëèæåíèÿ ÑÏá, CSclub, 2016 1 / 29
Ïðèáëèæ¼ííûå àëãîðèòìû: âîçìîæíîñòè è îãðàíè÷åíèÿ
Çàäà÷à Àëãîðèòì Òðóäíîñòü
MAX-3SAT 7/8 = 0.875 7/8 + ε
MAX-CUT αGW ≈ 0.878 16/17 ≈ 0.94
MAX-2SAT ≈ 0.940 21/22 ≈ 0.955
MIN-VC 2 ≈ 1.36
MAX-IND O(
log3 nn(log log n)2
)Ω(n−c), c > 0
sparsest cut O(√log n) ?
Åñëè P 6= NP, òî äëÿ çàäà÷è íåò ïîëèíîìèàëüíîãî àëãîðèòìà ñ
óêàçàííîé òî÷íîñòüþ àïïðîêñèìàöèè.
Ì. Âÿëûé (ÂÖ ÔÈÖ ÈÓ ÐÀÍ) Ëåêöèÿ 6: òðóäíîñòü ïðèáëèæåíèÿ ÑÏá, CSclub, 2016 2 / 29
Ïðèáëèæ¼ííûå àëãîðèòìû: âîçìîæíîñòè è îãðàíè÷åíèÿ
Çàäà÷à Àëãîðèòì Òðóäíîñòü
MAX-3SAT 7/8 = 0.875 7/8 + ε
MAX-CUT αGW ≈ 0.878 16/17 ≈ 0.94
MAX-2SAT ≈ 0.940 21/22 ≈ 0.955
MIN-VC 2 ≈ 1.36
MAX-IND O(
log3 nn(log log n)2
)Ω(n−c), c > 0
sparsest cut O(√log n) ?
Åñëè P 6= NP, òî äëÿ çàäà÷è íåò ïîëèíîìèàëüíîãî àëãîðèòìà ñ
óêàçàííîé òî÷íîñòüþ àïïðîêñèìàöèè.
Ì. Âÿëûé (ÂÖ ÔÈÖ ÈÓ ÐÀÍ) Ëåêöèÿ 6: òðóäíîñòü ïðèáëèæåíèÿ ÑÏá, CSclub, 2016 2 / 29
Ïðèáëèæ¼ííûå àëãîðèòìû: âîçìîæíîñòè è îãðàíè÷åíèÿ
Çàäà÷à Àëãîðèòì Òðóäíîñòü
MAX-3SAT 7/8 = 0.875 7/8 + ε
MAX-CUT αGW ≈ 0.878 16/17 ≈ 0.94
MAX-2SAT ≈ 0.940 21/22 ≈ 0.955
MIN-VC 2 ≈ 1.36
MAX-IND O(
log3 nn(log log n)2
)Ω(n−c), c > 0
sparsest cut O(√log n) ?
Åñëè P 6= NP, òî äëÿ çàäà÷è íåò ïîëèíîìèàëüíîãî àëãîðèòìà ñ
óêàçàííîé òî÷íîñòüþ àïïðîêñèìàöèè.
Ì. Âÿëûé (ÂÖ ÔÈÖ ÈÓ ÐÀÍ) Ëåêöèÿ 6: òðóäíîñòü ïðèáëèæåíèÿ ÑÏá, CSclub, 2016 2 / 29
Ïðèáëèæ¼ííûå àëãîðèòìû: âîçìîæíîñòè è îãðàíè÷åíèÿ
Çàäà÷à Àëãîðèòì Òðóäíîñòü
MAX-3SAT 7/8 = 0.875 7/8 + ε
MAX-CUT αGW ≈ 0.878 16/17 ≈ 0.94
MAX-2SAT ≈ 0.940 21/22 ≈ 0.955
MIN-VC 2 ≈ 1.36
MAX-IND O(
log3 nn(log log n)2
)Ω(n−c), c > 0
sparsest cut O(√log n) ?
Åñëè P 6= NP, òî äëÿ çàäà÷è íåò ïîëèíîìèàëüíîãî àëãîðèòìà ñ
óêàçàííîé òî÷íîñòüþ àïïðîêñèìàöèè.
Ì. Âÿëûé (ÂÖ ÔÈÖ ÈÓ ÐÀÍ) Ëåêöèÿ 6: òðóäíîñòü ïðèáëèæåíèÿ ÑÏá, CSclub, 2016 2 / 29
Unique games conjecture: óñèëåíèå ðåçóëüòàòîâ
Õîò âûñêàçàë ãèïîòåçó, óñèëèâàþùóþ ðåçóëüòàòû î òðóäíîñòè
ïðèáëèæåíèÿ. Íåÿñíî, âåðíà ëè îíà. Âîò òàáëèöà äîñòèæåíèé â
ïðåäïîëîæåíèè èñòèííîñòè ãèïîòåçû Õîòà è ãèïîòåçû P 6= NP:
Çàäà÷à Àëãîðèòì Òðóäíîñòü
MAX-CUT αGW ≈ 0.878 αGW + ε
MAX-2SAT αLLZ ≈ 0.940 αLLZ + ε
MIN-VC 2 2− εsparsest cut O(
√log n) > C (C ëþáîå)
Ì. Âÿëûé (ÂÖ ÔÈÖ ÈÓ ÐÀÍ) Ëåêöèÿ 6: òðóäíîñòü ïðèáëèæåíèÿ ÑÏá, CSclub, 2016 3 / 29
Ñìûñë óñëîâíûõ ðåçóëüòàòîâ î òðóäíîñòè
problem
problem 1
problem 2
problem 3
. . .
problem N
. . .
Class
Åñëè ñóùåñòâóåò ýôôåêòèâíûé àëãîðèòì äëÿ çàäà÷è, òî ñóùåñòâóþò
ýôôåêòèâíûå àëãîðèòìû äëÿ âñåõ çàäà÷ èç íåêîòîðîãî êëàññà.
Ñòðåëêè îáîçíà÷àþò ñâîäèìîñòè.
Ì. Âÿëûé (ÂÖ ÔÈÖ ÈÓ ÐÀÍ) Ëåêöèÿ 6: òðóäíîñòü ïðèáëèæåíèÿ ÑÏá, CSclub, 2016 4 / 29
Ñìûñë óñëîâíûõ ðåçóëüòàòîâ î òðóäíîñòè
problem
problem 1
problem 2
problem 3
. . .
problem N
. . .
Class
Åñëè ñóùåñòâóåò ýôôåêòèâíûé àëãîðèòì äëÿ çàäà÷è, òî ñóùåñòâóþò
ýôôåêòèâíûå àëãîðèòìû äëÿ âñåõ çàäà÷ èç íåêîòîðîãî êëàññà.
Ñòðåëêè îáîçíà÷àþò ñâîäèìîñòè.
Ì. Âÿëûé (ÂÖ ÔÈÖ ÈÓ ÐÀÍ) Ëåêöèÿ 6: òðóäíîñòü ïðèáëèæåíèÿ ÑÏá, CSclub, 2016 4 / 29
Ìîäåëè âû÷èñëåíèé è ðåñóðñû
Àëãîðèòì ñïîñîá âû÷èñëåíèÿ (÷àñòè÷íî îïðåäåë¼ííîé) ôóíêöèè
f : Σ∗ → Σ∗, |Σ| <∞. Áåç îãðàíè÷åíèÿ îáùíîñòè Σ = 0, 1.Îñíîâíàÿ ìîäåëü: ìíîãîëåíòî÷íàÿ ìàøèíà Òüþðèíãà.
Âðåìÿ ðàáîòû: êîëè÷åñòâî òàêòîâ äî îñòàíîâêè.
Âðåìÿ ðàáîòû íà âõîäàõ äëèíû n: íàèõóäøåå âðåìÿ ïî âñåì âõîäàì
äëèíû n.
Ì. Âÿëûé (ÂÖ ÔÈÖ ÈÓ ÐÀÍ) Ëåêöèÿ 6: òðóäíîñòü ïðèáëèæåíèÿ ÑÏá, CSclub, 2016 5 / 29
Ìîäåëè âû÷èñëåíèé è ðåñóðñû
Àëãîðèòì ñïîñîá âû÷èñëåíèÿ (÷àñòè÷íî îïðåäåë¼ííîé) ôóíêöèè
f : Σ∗ → Σ∗, |Σ| <∞. Áåç îãðàíè÷åíèÿ îáùíîñòè Σ = 0, 1.Îñíîâíàÿ ìîäåëü: ìíîãîëåíòî÷íàÿ ìàøèíà Òüþðèíãà.
Âðåìÿ ðàáîòû: êîëè÷åñòâî òàêòîâ äî îñòàíîâêè.
Âðåìÿ ðàáîòû íà âõîäàõ äëèíû n: íàèõóäøåå âðåìÿ ïî âñåì âõîäàì
äëèíû n.
Ì. Âÿëûé (ÂÖ ÔÈÖ ÈÓ ÐÀÍ) Ëåêöèÿ 6: òðóäíîñòü ïðèáëèæåíèÿ ÑÏá, CSclub, 2016 5 / 29
Àëãîðèòìè÷åñêèå çàäà÷è
Çàäà÷à ðàçðåøåíèÿ äëÿ ÿçûêà L
Âõîä x ∈ Σ∗. Âåðíî ëè, ÷òî x ∈ L?
Ïðèìåð: çàäà÷à âûïîëíèìîñòè ÊÍÔ. Îïèñàíèÿ âûïîëíèìûõ ÊÍÔ
(äâîè÷íûå ñëîâà) îáðàçóþò ÿçûê SAT.
Âû÷èñëåíèå ôóíêöèè f : 0, 1∗ → 0, 1∗
Âõîä x ∈ Σ∗. Ðåçóëüòàò f (x).
Ïðèìåð: çàäà÷à MAX-3SAT çíà÷åíèå ôóíêöèè ðàâíî ìàêñèìàëüíîìó
÷èñëó äèçúþíêòîâ, êîòîðûå ìîæíî âûïîëíèòü íà íåêîòîðîì
ïðèñâàèâàíèè.
Ì. Âÿëûé (ÂÖ ÔÈÖ ÈÓ ÐÀÍ) Ëåêöèÿ 6: òðóäíîñòü ïðèáëèæåíèÿ ÑÏá, CSclub, 2016 6 / 29
Àëãîðèòìè÷åñêèå çàäà÷è
Çàäà÷à ðàçðåøåíèÿ äëÿ ÿçûêà L
Âõîä x ∈ Σ∗. Âåðíî ëè, ÷òî x ∈ L?
Ïðèìåð: çàäà÷à âûïîëíèìîñòè ÊÍÔ. Îïèñàíèÿ âûïîëíèìûõ ÊÍÔ
(äâîè÷íûå ñëîâà) îáðàçóþò ÿçûê SAT.
Âû÷èñëåíèå ôóíêöèè f : 0, 1∗ → 0, 1∗
Âõîä x ∈ Σ∗. Ðåçóëüòàò f (x).
Ïðèìåð: çàäà÷à MAX-3SAT çíà÷åíèå ôóíêöèè ðàâíî ìàêñèìàëüíîìó
÷èñëó äèçúþíêòîâ, êîòîðûå ìîæíî âûïîëíèòü íà íåêîòîðîì
ïðèñâàèâàíèè.
Ì. Âÿëûé (ÂÖ ÔÈÖ ÈÓ ÐÀÍ) Ëåêöèÿ 6: òðóäíîñòü ïðèáëèæåíèÿ ÑÏá, CSclub, 2016 6 / 29
Êëàññû P è FP
Îïðåäåëåíèå êëàññà P
ßçûê L ïðèíàäëåæèò êëàññó P, åñëè ñóùåñòâóþò àëãîðèòì M (ìàøèíà
Òüþðèíãà) è ïîëèíîì p(·) òàêèå, ÷òî M(x) = 1 ðàâíîñèëüíî x ∈ L äëÿ ëþáîãî x ;
âðåìÿ ðàáîòû M íà âõîäå x íå ïðåâîñõîäèò p(|x |).
Îïðåäåëåíèå êëàññà FP
Ôóíêöèÿ f : 0, 1∗ → 0, 1∗ ïðèíàäëåæèò êëàññó FP, åñëèñóùåñòâóþò àëãîðèòì M è ïîëèíîì p(·) òàêèå, ÷òî M(x) = f (x) äëÿ ëþáîãî x ;
âðåìÿ ðàáîòû M íà âõîäå x íå ïðåâîñõîäèò p(|x |).
Ì. Âÿëûé (ÂÖ ÔÈÖ ÈÓ ÐÀÍ) Ëåêöèÿ 6: òðóäíîñòü ïðèáëèæåíèÿ ÑÏá, CSclub, 2016 7 / 29
Êëàññû P è FP
Îïðåäåëåíèå êëàññà P
ßçûê L ïðèíàäëåæèò êëàññó P, åñëè ñóùåñòâóþò àëãîðèòì M (ìàøèíà
Òüþðèíãà) è ïîëèíîì p(·) òàêèå, ÷òî M(x) = 1 ðàâíîñèëüíî x ∈ L äëÿ ëþáîãî x ;
âðåìÿ ðàáîòû M íà âõîäå x íå ïðåâîñõîäèò p(|x |).
Îïðåäåëåíèå êëàññà FP
Ôóíêöèÿ f : 0, 1∗ → 0, 1∗ ïðèíàäëåæèò êëàññó FP, åñëèñóùåñòâóþò àëãîðèòì M è ïîëèíîì p(·) òàêèå, ÷òî M(x) = f (x) äëÿ ëþáîãî x ;
âðåìÿ ðàáîòû M íà âõîäå x íå ïðåâîñõîäèò p(|x |).
Ì. Âÿëûé (ÂÖ ÔÈÖ ÈÓ ÐÀÍ) Ëåêöèÿ 6: òðóäíîñòü ïðèáëèæåíèÿ ÑÏá, CSclub, 2016 7 / 29
Ïîëèíîìèàëüíàÿ ñâîäèìîñòü
Îïðåäåëåíèå ïîëèíîìèàëüíîé ñâîäèìîñòè
A 6p B åñëè ñóùåñòâóåò òàêîå îòîáðàæåíèå f ∈ FP , ÷òî x ∈ Aðàâíîñèëüíî f (x) ∈ B .
Ëåììà
Ïîëèíîìèàëüíàÿ ñâîäèìîñòü òðàíçèòèâíà: èç A 6p B , B 6p C ñëåäóåò
A 6p C .
Ì. Âÿëûé (ÂÖ ÔÈÖ ÈÓ ÐÀÍ) Ëåêöèÿ 6: òðóäíîñòü ïðèáëèæåíèÿ ÑÏá, CSclub, 2016 8 / 29
Ïîëèíîìèàëüíàÿ ñâîäèìîñòü
Îïðåäåëåíèå ïîëèíîìèàëüíîé ñâîäèìîñòè
A 6p B åñëè ñóùåñòâóåò òàêîå îòîáðàæåíèå f ∈ FP , ÷òî x ∈ Aðàâíîñèëüíî f (x) ∈ B .
A
A
B
B
Ëåììà
Ïîëèíîìèàëüíàÿ ñâîäèìîñòü òðàíçèòèâíà: èç A 6p B , B 6p C ñëåäóåò
A 6p C .
Ì. Âÿëûé (ÂÖ ÔÈÖ ÈÓ ÐÀÍ) Ëåêöèÿ 6: òðóäíîñòü ïðèáëèæåíèÿ ÑÏá, CSclub, 2016 8 / 29
Ïîëèíîìèàëüíàÿ ñâîäèìîñòü
Îïðåäåëåíèå ïîëèíîìèàëüíîé ñâîäèìîñòè
A 6p B åñëè ñóùåñòâóåò òàêîå îòîáðàæåíèå f ∈ FP , ÷òî x ∈ Aðàâíîñèëüíî f (x) ∈ B .
A
A
B
B
Ëåììà
Ïîëèíîìèàëüíàÿ ñâîäèìîñòü òðàíçèòèâíà: èç A 6p B , B 6p C ñëåäóåò
A 6p C .
Ì. Âÿëûé (ÂÖ ÔÈÖ ÈÓ ÐÀÍ) Ëåêöèÿ 6: òðóäíîñòü ïðèáëèæåíèÿ ÑÏá, CSclub, 2016 8 / 29
Êëàññ NP
Îïðåäåëåíèå êëàññà NP
ßçûê L ïðèíàäëåæèò êëàññó NP, åñëè ñóùåñòâóþò àëãîðèòì M,
ðàáîòàþùèé íà äâóõ âõîäàõ x , y è ïîëèíîìû p(·), q(·) òàêèå, ÷òî âðåìÿ ðàáîòû M íà âõîäå x , y íå ïðåâîñõîäèò p(|x |+ |y |). åñëè x ∈ L, òî ñóùåñòâóåò òàêîé y , ÷òî M(x , y) = 1 è |y | 6 q(|x |); åñëè x /∈ L, òî äëÿ ëþáîãî y èç |y | 6 q(|x |) ñëåäóåò M(x , y) = 0.
Ñëîâî y ìîæíî ïîíèìàòü êàê ¾äîêàçàòåëüñòâî¿ ïðèíàäëåæíîñòè
ñëîâà x ÿçûêó L.
NP-òðóäíûå è NP-ïîëíûå ÿçûêè
ßçûê A íàçûâàåòñÿ NP-òðóäíûì, åñëè äëÿ ëþáîãî L ∈ NPâûïîëíÿåòñÿ L 6p A.Åñëè äîïîëíèòåëüíî A ∈ NP, òî A íàçûâàåòñÿ NP-ïîëíûì.
Ì. Âÿëûé (ÂÖ ÔÈÖ ÈÓ ÐÀÍ) Ëåêöèÿ 6: òðóäíîñòü ïðèáëèæåíèÿ ÑÏá, CSclub, 2016 9 / 29
Êëàññ NP
Îïðåäåëåíèå êëàññà NP
ßçûê L ïðèíàäëåæèò êëàññó NP, åñëè ñóùåñòâóþò àëãîðèòì M,
ðàáîòàþùèé íà äâóõ âõîäàõ x , y è ïîëèíîìû p(·), q(·) òàêèå, ÷òî âðåìÿ ðàáîòû M íà âõîäå x , y íå ïðåâîñõîäèò p(|x |+ |y |). åñëè x ∈ L, òî ñóùåñòâóåò òàêîé y , ÷òî M(x , y) = 1 è |y | 6 q(|x |); åñëè x /∈ L, òî äëÿ ëþáîãî y èç |y | 6 q(|x |) ñëåäóåò M(x , y) = 0.
Ñëîâî y ìîæíî ïîíèìàòü êàê ¾äîêàçàòåëüñòâî¿ ïðèíàäëåæíîñòè
ñëîâà x ÿçûêó L.
NP-òðóäíûå è NP-ïîëíûå ÿçûêè
ßçûê A íàçûâàåòñÿ NP-òðóäíûì, åñëè äëÿ ëþáîãî L ∈ NPâûïîëíÿåòñÿ L 6p A.Åñëè äîïîëíèòåëüíî A ∈ NP, òî A íàçûâàåòñÿ NP-ïîëíûì.
Ì. Âÿëûé (ÂÖ ÔÈÖ ÈÓ ÐÀÍ) Ëåêöèÿ 6: òðóäíîñòü ïðèáëèæåíèÿ ÑÏá, CSclub, 2016 9 / 29
Òåîðåìà Êóêà Ëåâèíà
Òåîðåìà (Êóê, Ëåâèí)
ßçûê SAT ÿâëÿåòñÿ NP-ïîëíûì.
Ëåììà
Åñëè A 6p B è ANP-òðóäíûé, òî è B NP-òðóäíûé.
Äîêàçàòåëüñòâî NP-òðóäíîñòè ñâîäèìîñòÿìè: áåð¼ì èçâåñòíóþ
òðóäíóþ çàäà÷ó è ñâîäèì ê äàííîé.
Ñâîäèìîñòü îçíà÷àåò ïîçèòèâíîå óòâåðæäåíèå ñóùåñòâîâàíèå
àëãîðèòìà. Ïîýòîìó ñâîäèìîñòè ñòðîèòü îòíîñèòåëüíî ëåãêî è
êîëè÷åñòâî NP-òðóäíûõ çàäà÷ î÷åíü âåëèêî.
Èëëþñòðàöèÿ
SAT 6p 3SAT 6p 3-ðàñêðàñêà. Ïîýòîìó 3-ðàñêðàñêà NP-ïîëíàÿ.
Ì. Âÿëûé (ÂÖ ÔÈÖ ÈÓ ÐÀÍ) Ëåêöèÿ 6: òðóäíîñòü ïðèáëèæåíèÿ ÑÏá, CSclub, 2016 10 / 29
Òåîðåìà Êóêà Ëåâèíà
Òåîðåìà (Êóê, Ëåâèí)
ßçûê SAT ÿâëÿåòñÿ NP-ïîëíûì.
Ëåììà
Åñëè A 6p B è ANP-òðóäíûé, òî è B NP-òðóäíûé.
Äîêàçàòåëüñòâî NP-òðóäíîñòè ñâîäèìîñòÿìè: áåð¼ì èçâåñòíóþ
òðóäíóþ çàäà÷ó è ñâîäèì ê äàííîé.
Ñâîäèìîñòü îçíà÷àåò ïîçèòèâíîå óòâåðæäåíèå ñóùåñòâîâàíèå
àëãîðèòìà. Ïîýòîìó ñâîäèìîñòè ñòðîèòü îòíîñèòåëüíî ëåãêî è
êîëè÷åñòâî NP-òðóäíûõ çàäà÷ î÷åíü âåëèêî.
Èëëþñòðàöèÿ
SAT 6p 3SAT 6p 3-ðàñêðàñêà. Ïîýòîìó 3-ðàñêðàñêà NP-ïîëíàÿ.
Ì. Âÿëûé (ÂÖ ÔÈÖ ÈÓ ÐÀÍ) Ëåêöèÿ 6: òðóäíîñòü ïðèáëèæåíèÿ ÑÏá, CSclub, 2016 10 / 29
Òåîðåìà Êóêà Ëåâèíà
Òåîðåìà (Êóê, Ëåâèí)
ßçûê SAT ÿâëÿåòñÿ NP-ïîëíûì.
Ëåììà
Åñëè A 6p B è ANP-òðóäíûé, òî è B NP-òðóäíûé.
Äîêàçàòåëüñòâî NP-òðóäíîñòè ñâîäèìîñòÿìè: áåð¼ì èçâåñòíóþ
òðóäíóþ çàäà÷ó è ñâîäèì ê äàííîé.
Ñâîäèìîñòü îçíà÷àåò ïîçèòèâíîå óòâåðæäåíèå ñóùåñòâîâàíèå
àëãîðèòìà. Ïîýòîìó ñâîäèìîñòè ñòðîèòü îòíîñèòåëüíî ëåãêî è
êîëè÷åñòâî NP-òðóäíûõ çàäà÷ î÷åíü âåëèêî.
Èëëþñòðàöèÿ
SAT 6p 3SAT 6p 3-ðàñêðàñêà. Ïîýòîìó 3-ðàñêðàñêà NP-ïîëíàÿ.
Ì. Âÿëûé (ÂÖ ÔÈÖ ÈÓ ÐÀÍ) Ëåêöèÿ 6: òðóäíîñòü ïðèáëèæåíèÿ ÑÏá, CSclub, 2016 10 / 29
Òåîðåìà Êóêà Ëåâèíà
Òåîðåìà (Êóê, Ëåâèí)
ßçûê SAT ÿâëÿåòñÿ NP-ïîëíûì.
Ëåììà
Åñëè A 6p B è ANP-òðóäíûé, òî è B NP-òðóäíûé.
Äîêàçàòåëüñòâî NP-òðóäíîñòè ñâîäèìîñòÿìè: áåð¼ì èçâåñòíóþ
òðóäíóþ çàäà÷ó è ñâîäèì ê äàííîé.
Ñâîäèìîñòü îçíà÷àåò ïîçèòèâíîå óòâåðæäåíèå ñóùåñòâîâàíèå
àëãîðèòìà. Ïîýòîìó ñâîäèìîñòè ñòðîèòü îòíîñèòåëüíî ëåãêî è
êîëè÷åñòâî NP-òðóäíûõ çàäà÷ î÷åíü âåëèêî.
Èëëþñòðàöèÿ
SAT 6p 3SAT 6p 3-ðàñêðàñêà. Ïîýòîìó 3-ðàñêðàñêà NP-ïîëíàÿ.
Ì. Âÿëûé (ÂÖ ÔÈÖ ÈÓ ÐÀÍ) Ëåêöèÿ 6: òðóäíîñòü ïðèáëèæåíèÿ ÑÏá, CSclub, 2016 10 / 29
Çàäà÷è ñ àïðèîðíîé èíôîðìàöèåé (promise problems)
Âû÷èñëåíèå ÷àñòè÷íî îïðåäåë¼ííîãî ïðåäèêàòà.
Î âõîäíûõ äàííûõ çàðàíåå èçâåñòíà íåêîòîðàÿ èíôîðìàöèÿ.
Èíòåðåñóåò àëãîðèòì ðåøåíèÿ, êîððåêòíî ðàáîòàþùèé íà òàêèõ âõîäàõ
(íà îñòàëüíûõ íåâàæíî êàê ðàáîòàåò).
Ôîðìàëüíî çàäà¼òñÿ ïàðîé ÿçûêîâ (Lyes, Lno), Lyes ∩ Lno = ∅.  ïåðâîì
ñëó÷àå îòâåò 1, âî âòîðîì 0.
Íà çàäà÷è ñ àïðèîðíîé èíôîðìàöèåé ïåðåíîñÿòñÿ åñòåñòâåííûì
îáðàçîì îïðåäåëåíèÿ ïîëèíîìèàëüíîé ñâîäèìîñòè è NP-òðóäíîñòè.
Ì. Âÿëûé (ÂÖ ÔÈÖ ÈÓ ÐÀÍ) Ëåêöèÿ 6: òðóäíîñòü ïðèáëèæåíèÿ ÑÏá, CSclub, 2016 11 / 29
Çàäà÷è ñ àïðèîðíîé èíôîðìàöèåé (promise problems)
Âû÷èñëåíèå ÷àñòè÷íî îïðåäåë¼ííîãî ïðåäèêàòà.
Î âõîäíûõ äàííûõ çàðàíåå èçâåñòíà íåêîòîðàÿ èíôîðìàöèÿ.
Èíòåðåñóåò àëãîðèòì ðåøåíèÿ, êîððåêòíî ðàáîòàþùèé íà òàêèõ âõîäàõ
(íà îñòàëüíûõ íåâàæíî êàê ðàáîòàåò).
Ôîðìàëüíî çàäà¼òñÿ ïàðîé ÿçûêîâ (Lyes, Lno), Lyes ∩ Lno = ∅.  ïåðâîì
ñëó÷àå îòâåò 1, âî âòîðîì 0.
Íà çàäà÷è ñ àïðèîðíîé èíôîðìàöèåé ïåðåíîñÿòñÿ åñòåñòâåííûì
îáðàçîì îïðåäåëåíèÿ ïîëèíîìèàëüíîé ñâîäèìîñòè è NP-òðóäíîñòè.
Ì. Âÿëûé (ÂÖ ÔÈÖ ÈÓ ÐÀÍ) Ëåêöèÿ 6: òðóäíîñòü ïðèáëèæåíèÿ ÑÏá, CSclub, 2016 11 / 29
Çàäà÷è ðàçðåøåíèÿ èç çàäà÷ îïòèìèçàöèè
Çàôèêñèðóåì íåêîòîðóþ ýôôåêòèâíî âû÷èñëèìóþ îöåíêó M(I ) âçàäà÷å ìàêñèìèçàöèè.
(Íàïðèìåð, äëÿ MAX-3SAT ýòî îáùåå êîëè÷åñòâî äèçúþíêòîâ).
Çàäà÷à ñî ùåëüþ
Ýòî çàäà÷à ñ àïðèîðíîé èíôîðìàöèåé. Çàäà¼òñÿ äâóìÿ ÷èñëîâûìè
ïàðàìåòðàìè c (ïîëíîòà), s (êîððåêòíîñòü), c > s.Àïðèîðíûå óñëîâèÿ äëÿ âõîäíûõ äàííûõ I :
ëèáî OPT(I ) > cM(I );
ëèáî OPT(I ) < sM(I ).
Çàäà÷à ñîñòîèò â òîì, ÷òîáû âûÿñíèòü, êàêîé èç äâóõ ñëó÷àåâ èìååò
ìåñòî äëÿ âõîäíûõ äàííûõ.
Ì. Âÿëûé (ÂÖ ÔÈÖ ÈÓ ÐÀÍ) Ëåêöèÿ 6: òðóäíîñòü ïðèáëèæåíèÿ ÑÏá, CSclub, 2016 12 / 29
Ñâÿçü ñ ïðèáëèæ¼ííûìè àëãîðèòìàìè
Ïóñòü äëÿ çàäà÷è ìàêñèìèçàöèè åñòü ïðèáëèæ¼ííûé àëãîðèòì A ñ
òî÷íîñòüþ ðåëàêñàöèè k .Åãî ìîæíî ïðåîáðàçîâàòü â àëãîðèòì ðåøåíèÿ çàäà÷è ñî ùåëüþ
(c , kc).Ïî ðåçóëüòàòó A(I ) ðàáîòû àëãîðèòìà ðàçëè÷àåì äâà ñëó÷àÿ:
íà âõîäå ñ OPT(I ) > cM(I ) âûïîëíÿåòñÿ A(I ) > kcM(I ),íà âõîäå ñ OPT(I ) < kcM(I ) âûïîëíÿåòñÿ A(I ) < kcM(I ).
Ëåììà
Åñëè çàäà÷à ñî ùåëüþ (c , s) NP-òðóäíà, òî ñóùåñòâîâàíèå
ïðèáëèæ¼ííîãî ïîëèíîìèàëüíîãî àëãîðèòìà ñ òî÷íîñòüþ s/c âëå÷¼ò
P = NP.
Äëÿ äîêàçàòåëüñòâà NP-òðóäíîñòè çàäà÷ ñî ùåëüþ íóæíû ñâîäèìîñòè,
ïðè êîòîðûõ ùåëü èçìåíÿåòñÿ êîíòðîëèðóåìûì îáðàçîì.
Ì. Âÿëûé (ÂÖ ÔÈÖ ÈÓ ÐÀÍ) Ëåêöèÿ 6: òðóäíîñòü ïðèáëèæåíèÿ ÑÏá, CSclub, 2016 13 / 29
Ñâÿçü ñ ïðèáëèæ¼ííûìè àëãîðèòìàìè
Ïóñòü äëÿ çàäà÷è ìàêñèìèçàöèè åñòü ïðèáëèæ¼ííûé àëãîðèòì A ñ
òî÷íîñòüþ ðåëàêñàöèè k .Åãî ìîæíî ïðåîáðàçîâàòü â àëãîðèòì ðåøåíèÿ çàäà÷è ñî ùåëüþ
(c , kc).Ïî ðåçóëüòàòó A(I ) ðàáîòû àëãîðèòìà ðàçëè÷àåì äâà ñëó÷àÿ:
íà âõîäå ñ OPT(I ) > cM(I ) âûïîëíÿåòñÿ A(I ) > kcM(I ),íà âõîäå ñ OPT(I ) < kcM(I ) âûïîëíÿåòñÿ A(I ) < kcM(I ).
Ëåììà
Åñëè çàäà÷à ñî ùåëüþ (c , s) NP-òðóäíà, òî ñóùåñòâîâàíèå
ïðèáëèæ¼ííîãî ïîëèíîìèàëüíîãî àëãîðèòìà ñ òî÷íîñòüþ s/c âëå÷¼ò
P = NP.
Äëÿ äîêàçàòåëüñòâà NP-òðóäíîñòè çàäà÷ ñî ùåëüþ íóæíû ñâîäèìîñòè,
ïðè êîòîðûõ ùåëü èçìåíÿåòñÿ êîíòðîëèðóåìûì îáðàçîì.
Ì. Âÿëûé (ÂÖ ÔÈÖ ÈÓ ÐÀÍ) Ëåêöèÿ 6: òðóäíîñòü ïðèáëèæåíèÿ ÑÏá, CSclub, 2016 13 / 29
Ñâÿçü ñ ïðèáëèæ¼ííûìè àëãîðèòìàìè
Ïóñòü äëÿ çàäà÷è ìàêñèìèçàöèè åñòü ïðèáëèæ¼ííûé àëãîðèòì A ñ
òî÷íîñòüþ ðåëàêñàöèè k .Åãî ìîæíî ïðåîáðàçîâàòü â àëãîðèòì ðåøåíèÿ çàäà÷è ñî ùåëüþ
(c , kc).Ïî ðåçóëüòàòó A(I ) ðàáîòû àëãîðèòìà ðàçëè÷àåì äâà ñëó÷àÿ:
íà âõîäå ñ OPT(I ) > cM(I ) âûïîëíÿåòñÿ A(I ) > kcM(I ),íà âõîäå ñ OPT(I ) < kcM(I ) âûïîëíÿåòñÿ A(I ) < kcM(I ).
Ëåììà
Åñëè çàäà÷à ñî ùåëüþ (c , s) NP-òðóäíà, òî ñóùåñòâîâàíèå
ïðèáëèæ¼ííîãî ïîëèíîìèàëüíîãî àëãîðèòìà ñ òî÷íîñòüþ s/c âëå÷¼ò
P = NP.
Äëÿ äîêàçàòåëüñòâà NP-òðóäíîñòè çàäà÷ ñî ùåëüþ íóæíû ñâîäèìîñòè,
ïðè êîòîðûõ ùåëü èçìåíÿåòñÿ êîíòðîëèðóåìûì îáðàçîì.
Ì. Âÿëûé (ÂÖ ÔÈÖ ÈÓ ÐÀÍ) Ëåêöèÿ 6: òðóäíîñòü ïðèáëèæåíèÿ ÑÏá, CSclub, 2016 13 / 29
Çàäà÷à î ìèíèìàëüíîé ðàñêðàñêå
Ôîðìóëèðîâêà
Äàíî: ãðàô G .
Íàéòè: õðîìàòè÷åñêîå ÷èñëî ãðàôà χ(G ), òî åñòü ìèíèìàëüíîå
êîëè÷åñòâî öâåòîâ k = χ(G ), äëÿ êîòîðîãî ñóùåñòâóåò
ïðàâèëüíàÿ ðàñêðàñêà G â k öâåòîâ.
Òåîðåìà
 ïðåäïîëîæåíèè P 6= NP äëÿ çàäà÷è î ìèíèìàëüíîé ðàñêðàñêå íåò
ïîëèíîìèàëüíîãî àëãîðèòìà ñ òî÷íîñòüþ 6 4/3− ε.
Ì. Âÿëûé (ÂÖ ÔÈÖ ÈÓ ÐÀÍ) Ëåêöèÿ 6: òðóäíîñòü ïðèáëèæåíèÿ ÑÏá, CSclub, 2016 14 / 29
Çàäà÷à î ìèíèìàëüíîé ðàñêðàñêå
Ôîðìóëèðîâêà
Äàíî: ãðàô G .
Íàéòè: õðîìàòè÷åñêîå ÷èñëî ãðàôà χ(G ), òî åñòü ìèíèìàëüíîå
êîëè÷åñòâî öâåòîâ k = χ(G ), äëÿ êîòîðîãî ñóùåñòâóåò
ïðàâèëüíàÿ ðàñêðàñêà G â k öâåòîâ.
Òåîðåìà
 ïðåäïîëîæåíèè P 6= NP äëÿ çàäà÷è î ìèíèìàëüíîé ðàñêðàñêå íåò
ïîëèíîìèàëüíîãî àëãîðèòìà ñ òî÷íîñòüþ 6 4/3− ε.
Ì. Âÿëûé (ÂÖ ÔÈÖ ÈÓ ÐÀÍ) Ëåêöèÿ 6: òðóäíîñòü ïðèáëèæåíèÿ ÑÏá, CSclub, 2016 14 / 29
Òðóäíîñòü ïðèáëèæåíèÿ äëÿ ìèíèìàëüíîé ðàñêðàñêè
Íàïîìèíàíèå
NP-ïîëíà çàäà÷à î 3-ðàñêðàñêå.
Ñâîäèìîñòü 3-ðàñêðàñêè ê ìèíèìàëüíîé ðàñêðàñêå ñî ùåëüþ
(3n, 4n − 1) (îöåíêà M(I ) = 1):
ãðàôó G íà n âåðøèíàõ ñîïîñòàâëÿåì ãðàô Kn · G (â êàæäóþ âåðøèíó
ïîëíîãî ãðàôà âêëåèâàåì êîïèþ ãðàôà G ).Õðîìàòè÷åñêîå ÷èñëî óìíîæàåòñÿ íà n: â êàæäîé èç n êîïèé ãðàôà Gíóæíî èñïîëüçîâàòü ñâîé êîìïëåêò öâåòîâ.
Ì. Âÿëûé (ÂÖ ÔÈÖ ÈÓ ÐÀÍ) Ëåêöèÿ 6: òðóäíîñòü ïðèáëèæåíèÿ ÑÏá, CSclub, 2016 15 / 29
Êîððåêòíîñòü ñâîäèìîñòè
Ïîýòîìó äëÿ 3-ðàñêðàøèâàåìîãî ãðàôà χ(Kn · G ) = 3n, à åñëèχ(G ) > 4, òî χ(Kn · G ) > 4n > 4n − 1.
Âîïðîñ
 ýòîì ðàññóæäåíèè åñòü íåòî÷íîñòü.  ÷¼ì îíà ñîñòîèò è êàê å¼
èñïðàâèòü?
Ñâîäèìîñòü íåêîððåêòíà íà ãðàôàõ ñ χ(G ) < 3
Óòî÷íåíèå ñâîäèìîñòè
Ïðîâåðêà χ(G ) < 3 âîçìîæíà çà ïîëèíîìèàëüíîå âðåìÿ.
Åñëè χ(G ) < 3, òî ãðàôó G ñîïîñòàâëÿåì ãðàô Kn · Kn.
Ì. Âÿëûé (ÂÖ ÔÈÖ ÈÓ ÐÀÍ) Ëåêöèÿ 6: òðóäíîñòü ïðèáëèæåíèÿ ÑÏá, CSclub, 2016 16 / 29
Êîððåêòíîñòü ñâîäèìîñòè
Ïîýòîìó äëÿ 3-ðàñêðàøèâàåìîãî ãðàôà χ(Kn · G ) = 3n, à åñëèχ(G ) > 4, òî χ(Kn · G ) > 4n > 4n − 1.
Âîïðîñ
 ýòîì ðàññóæäåíèè åñòü íåòî÷íîñòü.  ÷¼ì îíà ñîñòîèò è êàê å¼
èñïðàâèòü?
Ñâîäèìîñòü íåêîððåêòíà íà ãðàôàõ ñ χ(G ) < 3
Óòî÷íåíèå ñâîäèìîñòè
Ïðîâåðêà χ(G ) < 3 âîçìîæíà çà ïîëèíîìèàëüíîå âðåìÿ.
Åñëè χ(G ) < 3, òî ãðàôó G ñîïîñòàâëÿåì ãðàô Kn · Kn.
Ì. Âÿëûé (ÂÖ ÔÈÖ ÈÓ ÐÀÍ) Ëåêöèÿ 6: òðóäíîñòü ïðèáëèæåíèÿ ÑÏá, CSclub, 2016 16 / 29
Êîððåêòíîñòü ñâîäèìîñòè
Ïîýòîìó äëÿ 3-ðàñêðàøèâàåìîãî ãðàôà χ(Kn · G ) = 3n, à åñëèχ(G ) > 4, òî χ(Kn · G ) > 4n > 4n − 1.
Âîïðîñ
 ýòîì ðàññóæäåíèè åñòü íåòî÷íîñòü.  ÷¼ì îíà ñîñòîèò è êàê å¼
èñïðàâèòü?
Ñâîäèìîñòü íåêîððåêòíà íà ãðàôàõ ñ χ(G ) < 3
Óòî÷íåíèå ñâîäèìîñòè
Ïðîâåðêà χ(G ) < 3 âîçìîæíà çà ïîëèíîìèàëüíîå âðåìÿ.
Åñëè χ(G ) < 3, òî ãðàôó G ñîïîñòàâëÿåì ãðàô Kn · Kn.
Ì. Âÿëûé (ÂÖ ÔÈÖ ÈÓ ÐÀÍ) Ëåêöèÿ 6: òðóäíîñòü ïðèáëèæåíèÿ ÑÏá, CSclub, 2016 16 / 29
Êîððåêòíîñòü ñâîäèìîñòè
Ïîýòîìó äëÿ 3-ðàñêðàøèâàåìîãî ãðàôà χ(Kn · G ) = 3n, à åñëèχ(G ) > 4, òî χ(Kn · G ) > 4n > 4n − 1.
Âîïðîñ
 ýòîì ðàññóæäåíèè åñòü íåòî÷íîñòü.  ÷¼ì îíà ñîñòîèò è êàê å¼
èñïðàâèòü?
Ñâîäèìîñòü íåêîððåêòíà íà ãðàôàõ ñ χ(G ) < 3
Óòî÷íåíèå ñâîäèìîñòè
Ïðîâåðêà χ(G ) < 3 âîçìîæíà çà ïîëèíîìèàëüíîå âðåìÿ.
Åñëè χ(G ) < 3, òî ãðàôó G ñîïîñòàâëÿåì ãðàô Kn · Kn.
Ì. Âÿëûé (ÂÖ ÔÈÖ ÈÓ ÐÀÍ) Ëåêöèÿ 6: òðóäíîñòü ïðèáëèæåíèÿ ÑÏá, CSclub, 2016 16 / 29
Çàäà÷à êîììèâîÿæ¼ðà
Ôîðìóëèðîâêà
Äàíî: ïîëíûé âçâåøåííûé ãðàô.
Íàéòè: ãàìèëüòîíîâ öèêë íàèìåíüøåãî âåñà (âåñ ñóììà âåñîâ
ð¼áåð öèêëà).
Òåîðåìà
 ïðåäïîëîæåíèè P 6= NP äëÿ ëþáîãî C > 0 äëÿ çàäà÷è
êîììèâîÿæ¼ðà íåò ïîëèíîìèàëüíîãî àëãîðèòìà ñ òî÷íîñòüþ C .
Èäåÿ äîêàçàòåëüñòâà
Ñâåñòè ê êîììèâîÿæ¼ðó ñî ùåëüþ NP-ïîëíóþ çàäà÷ó î ñóùåñòâîâàíèè
ãàìèëüòîíîâà öèêëà â ãðàôå.
Ì. Âÿëûé (ÂÖ ÔÈÖ ÈÓ ÐÀÍ) Ëåêöèÿ 6: òðóäíîñòü ïðèáëèæåíèÿ ÑÏá, CSclub, 2016 17 / 29
Çàäà÷à êîììèâîÿæ¼ðà
Ôîðìóëèðîâêà
Äàíî: ïîëíûé âçâåøåííûé ãðàô.
Íàéòè: ãàìèëüòîíîâ öèêë íàèìåíüøåãî âåñà (âåñ ñóììà âåñîâ
ð¼áåð öèêëà).
Òåîðåìà
 ïðåäïîëîæåíèè P 6= NP äëÿ ëþáîãî C > 0 äëÿ çàäà÷è
êîììèâîÿæ¼ðà íåò ïîëèíîìèàëüíîãî àëãîðèòìà ñ òî÷íîñòüþ C .
Èäåÿ äîêàçàòåëüñòâà
Ñâåñòè ê êîììèâîÿæ¼ðó ñî ùåëüþ NP-ïîëíóþ çàäà÷ó î ñóùåñòâîâàíèè
ãàìèëüòîíîâà öèêëà â ãðàôå.
Ì. Âÿëûé (ÂÖ ÔÈÖ ÈÓ ÐÀÍ) Ëåêöèÿ 6: òðóäíîñòü ïðèáëèæåíèÿ ÑÏá, CSclub, 2016 17 / 29
Çàäà÷à êîììèâîÿæ¼ðà
Ôîðìóëèðîâêà
Äàíî: ïîëíûé âçâåøåííûé ãðàô.
Íàéòè: ãàìèëüòîíîâ öèêë íàèìåíüøåãî âåñà (âåñ ñóììà âåñîâ
ð¼áåð öèêëà).
Òåîðåìà
 ïðåäïîëîæåíèè P 6= NP äëÿ ëþáîãî C > 0 äëÿ çàäà÷è
êîììèâîÿæ¼ðà íåò ïîëèíîìèàëüíîãî àëãîðèòìà ñ òî÷íîñòüþ C .
Èäåÿ äîêàçàòåëüñòâà
Ñâåñòè ê êîììèâîÿæ¼ðó ñî ùåëüþ NP-ïîëíóþ çàäà÷ó î ñóùåñòâîâàíèè
ãàìèëüòîíîâà öèêëà â ãðàôå.
Ì. Âÿëûé (ÂÖ ÔÈÖ ÈÓ ÐÀÍ) Ëåêöèÿ 6: òðóäíîñòü ïðèáëèæåíèÿ ÑÏá, CSclub, 2016 17 / 29
Âîïðîñ ïîòðóäíåå
Âîïðîñ
Çàäà÷à MAX-3SAT: åñòü ëè ïîëèíîìèàëüíûå ïðèáëèæåííûå
àëãîðèòìû ñ òî÷íîñòüþ 1− ε äëÿ ëþáîãî ε > 0?
Íàïîìèíàíèå
Åñòü ïîëèíîìèàëüíûå àëãîðèòìû ñ òî÷íîñòüþ 7/8.
Ì. Âÿëûé (ÂÖ ÔÈÖ ÈÓ ÐÀÍ) Ëåêöèÿ 6: òðóäíîñòü ïðèáëèæåíèÿ ÑÏá, CSclub, 2016 18 / 29
Îáùàÿ çàäà÷à âûïîëíèìîñòè
Îáùàÿ çàäà÷à âûïîëíèìîñòè íàçûâàåòñÿ CSP (constraint satisfaction
problem). Íóæíî âûïîëíèòü íàáîð óñëîâèé, ïåðåìåííûå íå îáÿçàòåëüíî
áóëåâû.
Çàäà÷à CSP
Äàíî: Ãèïåðãðàô îãðàíè÷åíèé G (V ,E ,Σ, c). Âåðøèíû ãðàôà
ïåðåìåííûå, ãèïåðð¼áðà óïîðÿäî÷åííûå ñïèñêè âåðøèí.
Íà êàæäîì ðåáðå e ∈ V k çàäàíî îãðàíè÷åíèå ce ⊆ Σk .
Ïðèñâàèâàíèå σ : V → Σ. (Êàæäîé ïåðåìåííîé
ïðèñâîåíî îäíî èç âîçìîæíûõ çíà÷åíèé.)
Îãðàíè÷åíèå ce íà ðåáðå e = (v1, . . . , vk) âûïîëíåíî íà
ïðèñâàèâàíèè, åñëè
(σ(v1), . . . , σ(vk)) ∈ ce ⊆ Σk .
Íàéòè: ìàêñèìàëüíîå êîëè÷åñòâî îãðàíè÷åíèé, êîòîðûå
âûïîëíÿþòñÿ íà íåêîòîðîì ïðèñâàèâàíèè.
Ì. Âÿëûé (ÂÖ ÔÈÖ ÈÓ ÐÀÍ) Ëåêöèÿ 6: òðóäíîñòü ïðèáëèæåíèÿ ÑÏá, CSclub, 2016 19 / 29
Îáùàÿ çàäà÷à âûïîëíèìîñòè
Îáùàÿ çàäà÷à âûïîëíèìîñòè íàçûâàåòñÿ CSP (constraint satisfaction
problem). Íóæíî âûïîëíèòü íàáîð óñëîâèé, ïåðåìåííûå íå îáÿçàòåëüíî
áóëåâû.
Çàäà÷à CSP
Äàíî: Ãèïåðãðàô îãðàíè÷åíèé G (V ,E ,Σ, c). Âåðøèíû ãðàôà
ïåðåìåííûå, ãèïåðð¼áðà óïîðÿäî÷åííûå ñïèñêè âåðøèí.
Íà êàæäîì ðåáðå e ∈ V k çàäàíî îãðàíè÷åíèå ce ⊆ Σk .
Ïðèñâàèâàíèå σ : V → Σ. (Êàæäîé ïåðåìåííîé
ïðèñâîåíî îäíî èç âîçìîæíûõ çíà÷åíèé.)
Îãðàíè÷åíèå ce íà ðåáðå e = (v1, . . . , vk) âûïîëíåíî íà
ïðèñâàèâàíèè, åñëè
(σ(v1), . . . , σ(vk)) ∈ ce ⊆ Σk .
Íàéòè: ìàêñèìàëüíîå êîëè÷åñòâî îãðàíè÷åíèé, êîòîðûå
âûïîëíÿþòñÿ íà íåêîòîðîì ïðèñâàèâàíèè.
Ì. Âÿëûé (ÂÖ ÔÈÖ ÈÓ ÐÀÍ) Ëåêöèÿ 6: òðóäíîñòü ïðèáëèæåíèÿ ÑÏá, CSclub, 2016 19 / 29
Îáùàÿ çàäà÷à âûïîëíèìîñòè
Îáùàÿ çàäà÷à âûïîëíèìîñòè íàçûâàåòñÿ CSP (constraint satisfaction
problem). Íóæíî âûïîëíèòü íàáîð óñëîâèé, ïåðåìåííûå íå îáÿçàòåëüíî
áóëåâû.
Çàäà÷à CSP
Äàíî: Ãèïåðãðàô îãðàíè÷åíèé G (V ,E ,Σ, c). Âåðøèíû ãðàôà
ïåðåìåííûå, ãèïåðð¼áðà óïîðÿäî÷åííûå ñïèñêè âåðøèí.
Íà êàæäîì ðåáðå e ∈ V k çàäàíî îãðàíè÷åíèå ce ⊆ Σk .
Ïðèñâàèâàíèå σ : V → Σ. (Êàæäîé ïåðåìåííîé
ïðèñâîåíî îäíî èç âîçìîæíûõ çíà÷åíèé.)
Îãðàíè÷åíèå ce íà ðåáðå e = (v1, . . . , vk) âûïîëíåíî íà
ïðèñâàèâàíèè, åñëè
(σ(v1), . . . , σ(vk)) ∈ ce ⊆ Σk .
Íàéòè: ìàêñèìàëüíîå êîëè÷åñòâî îãðàíè÷åíèé, êîòîðûå
âûïîëíÿþòñÿ íà íåêîòîðîì ïðèñâàèâàíèè.
Ì. Âÿëûé (ÂÖ ÔÈÖ ÈÓ ÐÀÍ) Ëåêöèÿ 6: òðóäíîñòü ïðèáëèæåíèÿ ÑÏá, CSclub, 2016 19 / 29
Îáùàÿ çàäà÷à âûïîëíèìîñòè
Îáùàÿ çàäà÷à âûïîëíèìîñòè íàçûâàåòñÿ CSP (constraint satisfaction
problem). Íóæíî âûïîëíèòü íàáîð óñëîâèé, ïåðåìåííûå íå îáÿçàòåëüíî
áóëåâû.
Çàäà÷à CSP
Äàíî: Ãèïåðãðàô îãðàíè÷åíèé G (V ,E ,Σ, c). Âåðøèíû ãðàôà
ïåðåìåííûå, ãèïåðð¼áðà óïîðÿäî÷åííûå ñïèñêè âåðøèí.
Íà êàæäîì ðåáðå e ∈ V k çàäàíî îãðàíè÷åíèå ce ⊆ Σk .
Ïðèñâàèâàíèå σ : V → Σ. (Êàæäîé ïåðåìåííîé
ïðèñâîåíî îäíî èç âîçìîæíûõ çíà÷åíèé.)
Îãðàíè÷åíèå ce íà ðåáðå e = (v1, . . . , vk) âûïîëíåíî íà
ïðèñâàèâàíèè, åñëè
(σ(v1), . . . , σ(vk)) ∈ ce ⊆ Σk .
Íàéòè: ìàêñèìàëüíîå êîëè÷åñòâî îãðàíè÷åíèé, êîòîðûå
âûïîëíÿþòñÿ íà íåêîòîðîì ïðèñâàèâàíèè.
Ì. Âÿëûé (ÂÖ ÔÈÖ ÈÓ ÐÀÍ) Ëåêöèÿ 6: òðóäíîñòü ïðèáëèæåíèÿ ÑÏá, CSclub, 2016 19 / 29
Çàäà÷à âûïîëíèìîñòè ñî ùåëüþ
Ïîòåðè íà ïðèñâàèâàíèè unsatσ(G ): äîëÿ îãðàíè÷åíèé, êîòîðûå
íàðóøàþòñÿ íà ïðèñâàèâàíèè σ. Ïîòåðè â çàäà÷å CSP ýòî
unsat(G ) = minσ unsatσ(G ).
Çàäà÷à MAX-kCSPq(a, b) ñî ùåëüþ
Äàíî: ãèïåðãðàô îãðàíè÷åíèé G (V ,E ,Σ, c), E ⊆ V k , |Σ| = q.
Èçâåñòíî: ëèáî unsat(G ) 6 1− a, ëèáî unsat(G ) > 1− b.
Âûÿñíèòü: êàêîé èç âàðèàíòîâ èìååò ìåñòî.
Çàìå÷àíèÿ1 Çàäà÷à MAX-kCSPq(1, < 1) ýòî îáû÷íàÿ çàäà÷à âûïîëíèìîñòè.
2 Âçâåøåííûé âàðèàíò îãðàíè÷åíèÿì ïðèñâîåíû âåñà, ïîòåðè
ñóììèðóþòñÿ ñ âåñàìè.
Ì. Âÿëûé (ÂÖ ÔÈÖ ÈÓ ÐÀÍ) Ëåêöèÿ 6: òðóäíîñòü ïðèáëèæåíèÿ ÑÏá, CSclub, 2016 20 / 29
Çàäà÷à âûïîëíèìîñòè ñî ùåëüþ
Ïîòåðè íà ïðèñâàèâàíèè unsatσ(G ): äîëÿ îãðàíè÷åíèé, êîòîðûå
íàðóøàþòñÿ íà ïðèñâàèâàíèè σ. Ïîòåðè â çàäà÷å CSP ýòî
unsat(G ) = minσ unsatσ(G ).
Çàäà÷à MAX-kCSPq(a, b) ñî ùåëüþ
Äàíî: ãèïåðãðàô îãðàíè÷åíèé G (V ,E ,Σ, c), E ⊆ V k , |Σ| = q.
Èçâåñòíî: ëèáî unsat(G ) 6 1− a, ëèáî unsat(G ) > 1− b.
Âûÿñíèòü: êàêîé èç âàðèàíòîâ èìååò ìåñòî.
Çàìå÷àíèÿ1 Çàäà÷à MAX-kCSPq(1, < 1) ýòî îáû÷íàÿ çàäà÷à âûïîëíèìîñòè.
2 Âçâåøåííûé âàðèàíò îãðàíè÷åíèÿì ïðèñâîåíû âåñà, ïîòåðè
ñóììèðóþòñÿ ñ âåñàìè.
Ì. Âÿëûé (ÂÖ ÔÈÖ ÈÓ ÐÀÍ) Ëåêöèÿ 6: òðóäíîñòü ïðèáëèæåíèÿ ÑÏá, CSclub, 2016 20 / 29
Çàäà÷à âûïîëíèìîñòè ñî ùåëüþ
Ïîòåðè íà ïðèñâàèâàíèè unsatσ(G ): äîëÿ îãðàíè÷åíèé, êîòîðûå
íàðóøàþòñÿ íà ïðèñâàèâàíèè σ. Ïîòåðè â çàäà÷å CSP ýòî
unsat(G ) = minσ unsatσ(G ).
Çàäà÷à MAX-kCSPq(a, b) ñî ùåëüþ
Äàíî: ãèïåðãðàô îãðàíè÷åíèé G (V ,E ,Σ, c), E ⊆ V k , |Σ| = q.
Èçâåñòíî: ëèáî unsat(G ) 6 1− a, ëèáî unsat(G ) > 1− b.
Âûÿñíèòü: êàêîé èç âàðèàíòîâ èìååò ìåñòî.
Çàìå÷àíèÿ1 Çàäà÷à MAX-kCSPq(1, < 1) ýòî îáû÷íàÿ çàäà÷à âûïîëíèìîñòè.
2 Âçâåøåííûé âàðèàíò îãðàíè÷åíèÿì ïðèñâîåíû âåñà, ïîòåðè
ñóììèðóþòñÿ ñ âåñàìè.
Ì. Âÿëûé (ÂÖ ÔÈÖ ÈÓ ÐÀÍ) Ëåêöèÿ 6: òðóäíîñòü ïðèáëèæåíèÿ ÑÏá, CSclub, 2016 20 / 29
Çàäà÷à âûïîëíèìîñòè ñî ùåëüþ
Ïîòåðè íà ïðèñâàèâàíèè unsatσ(G ): äîëÿ îãðàíè÷åíèé, êîòîðûå
íàðóøàþòñÿ íà ïðèñâàèâàíèè σ. Ïîòåðè â çàäà÷å CSP ýòî
unsat(G ) = minσ unsatσ(G ).
Çàäà÷à MAX-kCSPq(a, b) ñî ùåëüþ
Äàíî: ãèïåðãðàô îãðàíè÷åíèé G (V ,E ,Σ, c), E ⊆ V k , |Σ| = q.
Èçâåñòíî: ëèáî unsat(G ) 6 1− a, ëèáî unsat(G ) > 1− b.
Âûÿñíèòü: êàêîé èç âàðèàíòîâ èìååò ìåñòî.
Çàìå÷àíèÿ1 Çàäà÷à MAX-kCSPq(1, < 1) ýòî îáû÷íàÿ çàäà÷à âûïîëíèìîñòè.
2 Âçâåøåííûé âàðèàíò îãðàíè÷åíèÿì ïðèñâîåíû âåñà, ïîòåðè
ñóììèðóþòñÿ ñ âåñàìè.
Ì. Âÿëûé (ÂÖ ÔÈÖ ÈÓ ÐÀÍ) Ëåêöèÿ 6: òðóäíîñòü ïðèáëèæåíèÿ ÑÏá, CSclub, 2016 20 / 29
×àñòíûå ñëó÷àè çàäà÷è MAX-kCSPq
Çàäà÷à MAX-3SAT (àðíîñòü 3, àëôàâèò ðàçìåðà 2)
Âåðøèíû ãèïåðãðàôà ïåðåìåííûå èç ÊÍÔ.
мáðà òðîéêè ïåðåìåííûõ, âõîäÿùèõ â äèçúþíêòû.
Îãðàíè÷åíèÿ: `1 ∨ `2 ∨ `3 = 1, ãäå `i ëèòåðàëû, âõîäÿùèå â äèçúþíêò.
Çàäà÷à 3-ðàñêðàñêà (àðíîñòü 2, àëôàâèò ðàçìåðà 3)
Ðåáðà ãðàôà ðåáðà ãðàôà.
Îãðàíè÷åíèÿ: öâåòà êîíöîâ ðåáðà ðàçëè÷íû (îäèíàêîâîå îãðàíè÷åíèå
äëÿ âñåõ ð¼áåð).
Çàäà÷à MAX-CUT (àðíîñòü 2, àëôàâèò ðàçìåðà 2)
Ïåðåìåííûå áóëåâû è îòâå÷àþò âåðøèíàì ãðàôà. Îãðàíè÷åíèÿ
îäèíàêîâû íà êàæäîì ðåáðå è èìåþò âèä íåðàâåíñòâà: σ(u) 6= σ(v).
Ì. Âÿëûé (ÂÖ ÔÈÖ ÈÓ ÐÀÍ) Ëåêöèÿ 6: òðóäíîñòü ïðèáëèæåíèÿ ÑÏá, CSclub, 2016 21 / 29
×àñòíûå ñëó÷àè çàäà÷è MAX-kCSPq
Çàäà÷à MAX-3SAT (àðíîñòü 3, àëôàâèò ðàçìåðà 2)
Âåðøèíû ãèïåðãðàôà ïåðåìåííûå èç ÊÍÔ.
мáðà òðîéêè ïåðåìåííûõ, âõîäÿùèõ â äèçúþíêòû.
Îãðàíè÷åíèÿ: `1 ∨ `2 ∨ `3 = 1, ãäå `i ëèòåðàëû, âõîäÿùèå â äèçúþíêò.
Çàäà÷à 3-ðàñêðàñêà (àðíîñòü 2, àëôàâèò ðàçìåðà 3)
Ðåáðà ãðàôà ðåáðà ãðàôà.
Îãðàíè÷åíèÿ: öâåòà êîíöîâ ðåáðà ðàçëè÷íû (îäèíàêîâîå îãðàíè÷åíèå
äëÿ âñåõ ð¼áåð).
Çàäà÷à MAX-CUT (àðíîñòü 2, àëôàâèò ðàçìåðà 2)
Ïåðåìåííûå áóëåâû è îòâå÷àþò âåðøèíàì ãðàôà. Îãðàíè÷åíèÿ
îäèíàêîâû íà êàæäîì ðåáðå è èìåþò âèä íåðàâåíñòâà: σ(u) 6= σ(v).
Ì. Âÿëûé (ÂÖ ÔÈÖ ÈÓ ÐÀÍ) Ëåêöèÿ 6: òðóäíîñòü ïðèáëèæåíèÿ ÑÏá, CSclub, 2016 21 / 29
×àñòíûå ñëó÷àè çàäà÷è MAX-kCSPq
Çàäà÷à MAX-3SAT (àðíîñòü 3, àëôàâèò ðàçìåðà 2)
Âåðøèíû ãèïåðãðàôà ïåðåìåííûå èç ÊÍÔ.
мáðà òðîéêè ïåðåìåííûõ, âõîäÿùèõ â äèçúþíêòû.
Îãðàíè÷åíèÿ: `1 ∨ `2 ∨ `3 = 1, ãäå `i ëèòåðàëû, âõîäÿùèå â äèçúþíêò.
Çàäà÷à 3-ðàñêðàñêà (àðíîñòü 2, àëôàâèò ðàçìåðà 3)
Ðåáðà ãðàôà ðåáðà ãðàôà.
Îãðàíè÷åíèÿ: öâåòà êîíöîâ ðåáðà ðàçëè÷íû (îäèíàêîâîå îãðàíè÷åíèå
äëÿ âñåõ ð¼áåð).
Çàäà÷à MAX-CUT (àðíîñòü 2, àëôàâèò ðàçìåðà 2)
Ïåðåìåííûå áóëåâû è îòâå÷àþò âåðøèíàì ãðàôà. Îãðàíè÷åíèÿ
îäèíàêîâû íà êàæäîì ðåáðå è èìåþò âèä íåðàâåíñòâà: σ(u) 6= σ(v).
Ì. Âÿëûé (ÂÖ ÔÈÖ ÈÓ ÐÀÍ) Ëåêöèÿ 6: òðóäíîñòü ïðèáëèæåíèÿ ÑÏá, CSclub, 2016 21 / 29
Ïðèìåðû ñâîäèìîñòåé
Ëåììà (óìåíüøåíèå àðíîñòè çà ñ÷¼ò óâåëè÷åíèÿ àëôàâèòà)
∀ε MAX-kCSPq(1, 1− ε) 6p MAX-2CSPqk (1, 1− ε/k).
Ñâîäèìîñòü: G (V ,E ,Σ, c) k-àðíûé ãèïåðãðàô ïðåîáðàçóåòñÿ â
îáû÷íûé äâóäîëüíûé ãðàô G ′ ñ àëôàâèòîì Σk .
Ì. Âÿëûé (ÂÖ ÔÈÖ ÈÓ ÐÀÍ) Ëåêöèÿ 6: òðóäíîñòü ïðèáëèæåíèÿ ÑÏá, CSclub, 2016 22 / 29
Ïðèìåðû ñâîäèìîñòåé
Ëåììà (óìåíüøåíèå àðíîñòè çà ñ÷¼ò óâåëè÷åíèÿ àëôàâèòà)
∀ε MAX-kCSPq(1, 1− ε) 6p MAX-2CSPqk (1, 1− ε/k).
Ñâîäèìîñòü: G (V ,E ,Σ, c) k-àðíûé ãèïåðãðàô ïðåîáðàçóåòñÿ â
îáû÷íûé äâóäîëüíûé ãðàô G ′ ñ àëôàâèòîì Σk .
Âåðøèíû G ′: âåðøèíû G (îäíà äîëÿ) è ð¼áðà G (äðóãàÿ äîëÿ).
Îáîçíà÷åíèå âåðøèí G ′: v , e.
Ì. Âÿëûé (ÂÖ ÔÈÖ ÈÓ ÐÀÍ) Ëåêöèÿ 6: òðóäíîñòü ïðèáëèæåíèÿ ÑÏá, CSclub, 2016 22 / 29
Ïðèìåðû ñâîäèìîñòåé
Ëåììà (óìåíüøåíèå àðíîñòè çà ñ÷¼ò óâåëè÷åíèÿ àëôàâèòà)
∀ε MAX-kCSPq(1, 1− ε) 6p MAX-2CSPqk (1, 1− ε/k).
Ñâîäèìîñòü: G (V ,E ,Σ, c) k-àðíûé ãèïåðãðàô ïðåîáðàçóåòñÿ â
îáû÷íûé äâóäîëüíûé ãðàô G ′ ñ àëôàâèòîì Σk .
Âåðøèíû G ′: âåðøèíû G (îäíà äîëÿ) è ð¼áðà G (äðóãàÿ äîëÿ).
Îáîçíà÷åíèå âåðøèí G ′: v , e.мáðà G ′: ïàðû (v , e), v ∈ e â èñõîäíîì ãèïåðãðàôå G .
ev3
v2
v1
E(G) V (G)
v1v2v3
e ∈ E(G)
Ì. Âÿëûé (ÂÖ ÔÈÖ ÈÓ ÐÀÍ) Ëåêöèÿ 6: òðóäíîñòü ïðèáëèæåíèÿ ÑÏá, CSclub, 2016 22 / 29
Ïðèìåðû ñâîäèìîñòåé
Ëåììà (óìåíüøåíèå àðíîñòè çà ñ÷¼ò óâåëè÷åíèÿ àëôàâèòà)
∀ε MAX-kCSPq(1, 1− ε) 6p MAX-2CSPqk (1, 1− ε/k).
Ñâîäèìîñòü: G (V ,E ,Σ, c) k-àðíûé ãèïåðãðàô ïðåîáðàçóåòñÿ â
îáû÷íûé äâóäîëüíûé ãðàô G ′ ñ àëôàâèòîì Σk .
Îãðàíè÷åíèÿ â ãðàôå G ′. e = (v1, . . . , vk) ∈ E (G )
e vj
σ′(e) = (α1, . . . , αj , . . . , αk) σ′(vj) = (β1, . . . , βj , . . . , βk)
Îãðàíè÷åíèå íà ðåáðå (e, vj) âûïîëíåíî:
(α1, . . . , αj , . . . , αk) ∈ c(e) è αj = β1.
 âåðøèíàõ v âàæíà òîëüêî ïåðâàÿ êîìïîíåíòà ñèìâîëà σ′(v).
Ì. Âÿëûé (ÂÖ ÔÈÖ ÈÓ ÐÀÍ) Ëåêöèÿ 6: òðóäíîñòü ïðèáëèæåíèÿ ÑÏá, CSclub, 2016 22 / 29
Êîððåêòíîñòü ñâîäèìîñòè, îöåíêà ùåëè
Óòâåðæäåíèå
unsat(G ) > unsat(G ′) > 1kunsat(G ).
Èç ïåðâîãî íåðàâåíñòâà: åñëè unsat(G ) = 0, òî unsat(G ′) = 0.
Èç âòîðîãî íåðàâåíñòâà: unsat(G ) > ε, òî unsat(G ′) > ε/k .Ïóñòü ïðèñâàèâàíèå σ îïòèìàëüíî äëÿ G .
1 Ïîëàãàåì σ′(v)(1) = σ(v), σ′(e) = (σ(v1), . . . , σ(vk)).
2 Îáùåå êîëè÷åñòâî íàðóøåíèé â σ′ â k ðàç áîëüøå, ÷åì â σ. Äîëÿòà æå. Ò.å. unsat(G ′) 6 unsatσ′(G ′) = unsatσ(G ) = unsat(G ).
Âòîðîå íåðàâåíñòâî. Ïóñòü σ′ îïòèìàëüíî äëÿ G ′.
1 Ïîëàãàåì σ(v) = σ′(v)(1).
2 Êàæäîå íàðóøåíèå â σ äà¼ò õîòÿ áû îäíî íàðóøåíèå â σ′.
3 À êîëè÷åñòâî ð¼áåð â G ′ â k ðàç áîëüøå. Çíà÷èò,
unsat(G ′) = unsatσ′(G ′) > 1kunsatσ(G ) > 1
kunsat(G ).
Ì. Âÿëûé (ÂÖ ÔÈÖ ÈÓ ÐÀÍ) Ëåêöèÿ 6: òðóäíîñòü ïðèáëèæåíèÿ ÑÏá, CSclub, 2016 23 / 29
Êîððåêòíîñòü ñâîäèìîñòè, îöåíêà ùåëè
Óòâåðæäåíèå
unsat(G ) > unsat(G ′) > 1kunsat(G ).
Èç ïåðâîãî íåðàâåíñòâà: åñëè unsat(G ) = 0, òî unsat(G ′) = 0.
Èç âòîðîãî íåðàâåíñòâà: unsat(G ) > ε, òî unsat(G ′) > ε/k .Ïóñòü ïðèñâàèâàíèå σ îïòèìàëüíî äëÿ G .
1 Ïîëàãàåì σ′(v)(1) = σ(v), σ′(e) = (σ(v1), . . . , σ(vk)).
2 Îáùåå êîëè÷åñòâî íàðóøåíèé â σ′ â k ðàç áîëüøå, ÷åì â σ. Äîëÿòà æå. Ò.å. unsat(G ′) 6 unsatσ′(G ′) = unsatσ(G ) = unsat(G ).
Âòîðîå íåðàâåíñòâî. Ïóñòü σ′ îïòèìàëüíî äëÿ G ′.
1 Ïîëàãàåì σ(v) = σ′(v)(1).
2 Êàæäîå íàðóøåíèå â σ äà¼ò õîòÿ áû îäíî íàðóøåíèå â σ′.
3 À êîëè÷åñòâî ð¼áåð â G ′ â k ðàç áîëüøå. Çíà÷èò,
unsat(G ′) = unsatσ′(G ′) > 1kunsatσ(G ) > 1
kunsat(G ).
Ì. Âÿëûé (ÂÖ ÔÈÖ ÈÓ ÐÀÍ) Ëåêöèÿ 6: òðóäíîñòü ïðèáëèæåíèÿ ÑÏá, CSclub, 2016 23 / 29
Êîððåêòíîñòü ñâîäèìîñòè, îöåíêà ùåëè
Óòâåðæäåíèå
unsat(G ) > unsat(G ′) > 1kunsat(G ).
Èç ïåðâîãî íåðàâåíñòâà: åñëè unsat(G ) = 0, òî unsat(G ′) = 0.
Èç âòîðîãî íåðàâåíñòâà: unsat(G ) > ε, òî unsat(G ′) > ε/k .Ïóñòü ïðèñâàèâàíèå σ îïòèìàëüíî äëÿ G .
1 Ïîëàãàåì σ′(v)(1) = σ(v), σ′(e) = (σ(v1), . . . , σ(vk)).
2 Îáùåå êîëè÷åñòâî íàðóøåíèé â σ′ â k ðàç áîëüøå, ÷åì â σ. Äîëÿòà æå. Ò.å. unsat(G ′) 6 unsatσ′(G ′) = unsatσ(G ) = unsat(G ).
Âòîðîå íåðàâåíñòâî. Ïóñòü σ′ îïòèìàëüíî äëÿ G ′.
1 Ïîëàãàåì σ(v) = σ′(v)(1).
2 Êàæäîå íàðóøåíèå â σ äà¼ò õîòÿ áû îäíî íàðóøåíèå â σ′.
3 À êîëè÷åñòâî ð¼áåð â G ′ â k ðàç áîëüøå. Çíà÷èò,
unsat(G ′) = unsatσ′(G ′) > 1kunsatσ(G ) > 1
kunsat(G ).
Ì. Âÿëûé (ÂÖ ÔÈÖ ÈÓ ÐÀÍ) Ëåêöèÿ 6: òðóäíîñòü ïðèáëèæåíèÿ ÑÏá, CSclub, 2016 23 / 29
Êîððåêòíîñòü ñâîäèìîñòè, îöåíêà ùåëè
Óòâåðæäåíèå
unsat(G ) > unsat(G ′) > 1kunsat(G ).
Èç ïåðâîãî íåðàâåíñòâà: åñëè unsat(G ) = 0, òî unsat(G ′) = 0.
Èç âòîðîãî íåðàâåíñòâà: unsat(G ) > ε, òî unsat(G ′) > ε/k .Ïóñòü ïðèñâàèâàíèå σ îïòèìàëüíî äëÿ G .
1 Ïîëàãàåì σ′(v)(1) = σ(v), σ′(e) = (σ(v1), . . . , σ(vk)).
2 Îáùåå êîëè÷åñòâî íàðóøåíèé â σ′ â k ðàç áîëüøå, ÷åì â σ. Äîëÿòà æå. Ò.å. unsat(G ′) 6 unsatσ′(G ′) = unsatσ(G ) = unsat(G ).
Âòîðîå íåðàâåíñòâî. Ïóñòü σ′ îïòèìàëüíî äëÿ G ′.
1 Ïîëàãàåì σ(v) = σ′(v)(1).
2 Êàæäîå íàðóøåíèå â σ äà¼ò õîòÿ áû îäíî íàðóøåíèå â σ′.
3 À êîëè÷åñòâî ð¼áåð â G ′ â k ðàç áîëüøå. Çíà÷èò,
unsat(G ′) = unsatσ′(G ′) > 1kunsatσ(G ) > 1
kunsat(G ).
Ì. Âÿëûé (ÂÖ ÔÈÖ ÈÓ ÐÀÍ) Ëåêöèÿ 6: òðóäíîñòü ïðèáëèæåíèÿ ÑÏá, CSclub, 2016 23 / 29
Êîððåêòíîñòü ñâîäèìîñòè, îöåíêà ùåëè
Óòâåðæäåíèå
unsat(G ) > unsat(G ′) > 1kunsat(G ).
Èç ïåðâîãî íåðàâåíñòâà: åñëè unsat(G ) = 0, òî unsat(G ′) = 0.
Èç âòîðîãî íåðàâåíñòâà: unsat(G ) > ε, òî unsat(G ′) > ε/k .Ïóñòü ïðèñâàèâàíèå σ îïòèìàëüíî äëÿ G .
1 Ïîëàãàåì σ′(v)(1) = σ(v), σ′(e) = (σ(v1), . . . , σ(vk)).
2 Îáùåå êîëè÷åñòâî íàðóøåíèé â σ′ â k ðàç áîëüøå, ÷åì â σ. Äîëÿòà æå. Ò.å. unsat(G ′) 6 unsatσ′(G ′) = unsatσ(G ) = unsat(G ).
Âòîðîå íåðàâåíñòâî. Ïóñòü σ′ îïòèìàëüíî äëÿ G ′.
1 Ïîëàãàåì σ(v) = σ′(v)(1).
2 Êàæäîå íàðóøåíèå â σ äà¼ò õîòÿ áû îäíî íàðóøåíèå â σ′.
3 À êîëè÷åñòâî ð¼áåð â G ′ â k ðàç áîëüøå. Çíà÷èò,
unsat(G ′) = unsatσ′(G ′) > 1kunsatσ(G ) > 1
kunsat(G ).
Ì. Âÿëûé (ÂÖ ÔÈÖ ÈÓ ÐÀÍ) Ëåêöèÿ 6: òðóäíîñòü ïðèáëèæåíèÿ ÑÏá, CSclub, 2016 23 / 29
Êîððåêòíîñòü ñâîäèìîñòè, îöåíêà ùåëè
Óòâåðæäåíèå
unsat(G ) > unsat(G ′) > 1kunsat(G ).
Èç ïåðâîãî íåðàâåíñòâà: åñëè unsat(G ) = 0, òî unsat(G ′) = 0.
Èç âòîðîãî íåðàâåíñòâà: unsat(G ) > ε, òî unsat(G ′) > ε/k .Ïóñòü ïðèñâàèâàíèå σ îïòèìàëüíî äëÿ G .
1 Ïîëàãàåì σ′(v)(1) = σ(v), σ′(e) = (σ(v1), . . . , σ(vk)).
2 Îáùåå êîëè÷åñòâî íàðóøåíèé â σ′ â k ðàç áîëüøå, ÷åì â σ. Äîëÿòà æå. Ò.å. unsat(G ′) 6 unsatσ′(G ′) = unsatσ(G ) = unsat(G ).
Âòîðîå íåðàâåíñòâî. Ïóñòü σ′ îïòèìàëüíî äëÿ G ′.
1 Ïîëàãàåì σ(v) = σ′(v)(1).
2 Êàæäîå íàðóøåíèå â σ äà¼ò õîòÿ áû îäíî íàðóøåíèå â σ′.
3 À êîëè÷åñòâî ð¼áåð â G ′ â k ðàç áîëüøå. Çíà÷èò,
unsat(G ′) = unsatσ′(G ′) > 1kunsatσ(G ) > 1
kunsat(G ).
Ì. Âÿëûé (ÂÖ ÔÈÖ ÈÓ ÐÀÍ) Ëåêöèÿ 6: òðóäíîñòü ïðèáëèæåíèÿ ÑÏá, CSclub, 2016 23 / 29
2-âûïîëíèìîñòü ê MAX-3SAT
Ëåììà (ðåäóêöèÿ àëôàâèòà)
∀α∃ε MAX-2CSPq(1, 1− α) 6p MAX-3SAT(1, 1− ε).
Çàêîäèðóåì ñèìâîëû q-è÷íîãî àëôàâèòà ñ ïîìîùüþ k äâîè÷íûõ áèòîâ
è ðàññìîòðèì áóëåâû ôóíêöèè fe(x1, . . . , x2k): fe(x) = 1 òîãäà è òîëüêî
òîãäà, êîãäà (x1, . . . , xk) è (xk+1, . . . , x2k) êîäèðóþò ñèìâîëû àëôàâèòà
σ1 è σ2 è ce(σ1, σ2) âûïîëíÿåòñÿ.Ïðåäñòàâèì fe êàê ñîâåðøåííóþ ÊÍÔ Ce , êàæäûé äèçúþíêò êîòîðîé
ñîäåðæèò 2k ëèòåðàëîâ. Îáùåå ÷èñëî äèçúþíêòîâ 6 22k .
Íàïîìèíàíèå: â ñîâåðøåííîé ÊÍÔ êàæäîìó íóëþ a ôóíêöèè fîòâå÷àåò äèçúþíêò Da, êîòîðûé îáðàùàåòñÿ â 0 òîëüêî â òî÷êå a.
Ïðèìåð: a = (1, 0, 0, 1), Da = ¬x1 ∨ x2 ∨ x3 ∨ ¬x4.
Ì. Âÿëûé (ÂÖ ÔÈÖ ÈÓ ÐÀÍ) Ëåêöèÿ 6: òðóäíîñòü ïðèáëèæåíèÿ ÑÏá, CSclub, 2016 24 / 29
2-âûïîëíèìîñòü ê MAX-3SAT
Ëåììà (ðåäóêöèÿ àëôàâèòà)
∀α∃ε MAX-2CSPq(1, 1− α) 6p MAX-3SAT(1, 1− ε).
Çàêîäèðóåì ñèìâîëû q-è÷íîãî àëôàâèòà ñ ïîìîùüþ k äâîè÷íûõ áèòîâ
è ðàññìîòðèì áóëåâû ôóíêöèè fe(x1, . . . , x2k): fe(x) = 1 òîãäà è òîëüêî
òîãäà, êîãäà (x1, . . . , xk) è (xk+1, . . . , x2k) êîäèðóþò ñèìâîëû àëôàâèòà
σ1 è σ2 è ce(σ1, σ2) âûïîëíÿåòñÿ.Ïðåäñòàâèì fe êàê ñîâåðøåííóþ ÊÍÔ Ce , êàæäûé äèçúþíêò êîòîðîé
ñîäåðæèò 2k ëèòåðàëîâ. Îáùåå ÷èñëî äèçúþíêòîâ 6 22k .
Íàïîìèíàíèå: â ñîâåðøåííîé ÊÍÔ êàæäîìó íóëþ a ôóíêöèè fîòâå÷àåò äèçúþíêò Da, êîòîðûé îáðàùàåòñÿ â 0 òîëüêî â òî÷êå a.
Ïðèìåð: a = (1, 0, 0, 1), Da = ¬x1 ∨ x2 ∨ x3 ∨ ¬x4.
Ì. Âÿëûé (ÂÖ ÔÈÖ ÈÓ ÐÀÍ) Ëåêöèÿ 6: òðóäíîñòü ïðèáëèæåíèÿ ÑÏá, CSclub, 2016 24 / 29
2-âûïîëíèìîñòü ê MAX-3SAT
Ëåììà (ðåäóêöèÿ àëôàâèòà)
∀α∃ε MAX-2CSPq(1, 1− α) 6p MAX-3SAT(1, 1− ε).
Çàêîäèðóåì ñèìâîëû q-è÷íîãî àëôàâèòà ñ ïîìîùüþ k äâîè÷íûõ áèòîâ
è ðàññìîòðèì áóëåâû ôóíêöèè fe(x1, . . . , x2k): fe(x) = 1 òîãäà è òîëüêî
òîãäà, êîãäà (x1, . . . , xk) è (xk+1, . . . , x2k) êîäèðóþò ñèìâîëû àëôàâèòà
σ1 è σ2 è ce(σ1, σ2) âûïîëíÿåòñÿ.Ïðåäñòàâèì fe êàê ñîâåðøåííóþ ÊÍÔ Ce , êàæäûé äèçúþíêò êîòîðîé
ñîäåðæèò 2k ëèòåðàëîâ. Îáùåå ÷èñëî äèçúþíêòîâ 6 22k .
Íàïîìèíàíèå: â ñîâåðøåííîé ÊÍÔ êàæäîìó íóëþ a ôóíêöèè fîòâå÷àåò äèçúþíêò Da, êîòîðûé îáðàùàåòñÿ â 0 òîëüêî â òî÷êå a.
Ïðèìåð: a = (1, 0, 0, 1), Da = ¬x1 ∨ x2 ∨ x3 ∨ ¬x4.
Ì. Âÿëûé (ÂÖ ÔÈÖ ÈÓ ÐÀÍ) Ëåêöèÿ 6: òðóäíîñòü ïðèáëèæåíèÿ ÑÏá, CSclub, 2016 24 / 29
2-âûïîëíèìîñòü ê MAX-3SAT
Ëåììà (ðåäóêöèÿ àëôàâèòà)
∀α∃ε MAX-2CSPq(1, 1− α) 6p MAX-3SAT(1, 1− ε).
Çàêîäèðóåì ñèìâîëû q-è÷íîãî àëôàâèòà ñ ïîìîùüþ k äâîè÷íûõ áèòîâ
è ðàññìîòðèì áóëåâû ôóíêöèè fe(x1, . . . , x2k): fe(x) = 1 òîãäà è òîëüêî
òîãäà, êîãäà (x1, . . . , xk) è (xk+1, . . . , x2k) êîäèðóþò ñèìâîëû àëôàâèòà
σ1 è σ2 è ce(σ1, σ2) âûïîëíÿåòñÿ.Ïðåäñòàâèì fe êàê ñîâåðøåííóþ ÊÍÔ Ce , êàæäûé äèçúþíêò êîòîðîé
ñîäåðæèò 2k ëèòåðàëîâ. Îáùåå ÷èñëî äèçúþíêòîâ 6 22k .
Íàïîìèíàíèå: â ñîâåðøåííîé ÊÍÔ êàæäîìó íóëþ a ôóíêöèè fîòâå÷àåò äèçúþíêò Da, êîòîðûé îáðàùàåòñÿ â 0 òîëüêî â òî÷êå a.
Ïðèìåð: a = (1, 0, 0, 1), Da = ¬x1 ∨ x2 ∨ x3 ∨ ¬x4.
Ì. Âÿëûé (ÂÖ ÔÈÖ ÈÓ ÐÀÍ) Ëåêöèÿ 6: òðóäíîñòü ïðèáëèæåíèÿ ÑÏá, CSclub, 2016 24 / 29
Ïðîäîëæåíèå äîêàçàòåëüñòâà
Òåïåðü ïîñòðîèì 3-ÊÍÔ Te , çàìåíÿÿ êàæäûé äèçúþíêò
`1 ∨ `2 ∨ · · · ∨ `2k
íà 3-ÊÍÔ
(x ∨ `1 ∨ t1)(¬t1 ∨ `2 ∨ t2) . . . (¬tk−1 ∨ `k ∨ x)∧α,β
(¬x ∨ yα ∨ zβ)
ñî âñïîìîãàòåëüíûìè ïåðåìåííûìè ti , x , y , z (ñâîè äëÿ êàæäîãî
äèçúþíêòà). Êîëè÷åñòâî äèçúþíêòîâ â Te íå áîëüøå (2k + 4)22k .
Íàáëþäåíèå
Âûïîëíèìîñòü Ce ðàâíîñèëüíà âûïîëíèìîñòè Te . (Ïîñëåäíèå
äèçúþíêòû âî âòîðîé ôîðìóëå âûíóæäàþò x = 0.)
Ì. Âÿëûé (ÂÖ ÔÈÖ ÈÓ ÐÀÍ) Ëåêöèÿ 6: òðóäíîñòü ïðèáëèæåíèÿ ÑÏá, CSclub, 2016 25 / 29
Ïðîäîëæåíèå äîêàçàòåëüñòâà
Òåïåðü ïîñòðîèì 3-ÊÍÔ Te , çàìåíÿÿ êàæäûé äèçúþíêò
`1 ∨ `2 ∨ · · · ∨ `2k
íà 3-ÊÍÔ
(x ∨ `1 ∨ t1)(¬t1 ∨ `2 ∨ t2) . . . (¬tk−1 ∨ `k ∨ x)∧α,β
(¬x ∨ yα ∨ zβ)
ñî âñïîìîãàòåëüíûìè ïåðåìåííûìè ti , x , y , z (ñâîè äëÿ êàæäîãî
äèçúþíêòà). Êîëè÷åñòâî äèçúþíêòîâ â Te íå áîëüøå (2k + 4)22k .
Íàáëþäåíèå
Âûïîëíèìîñòü Ce ðàâíîñèëüíà âûïîëíèìîñòè Te . (Ïîñëåäíèå
äèçúþíêòû âî âòîðîé ôîðìóëå âûíóæäàþò x = 0.)
Ì. Âÿëûé (ÂÖ ÔÈÖ ÈÓ ÐÀÍ) Ëåêöèÿ 6: òðóäíîñòü ïðèáëèæåíèÿ ÑÏá, CSclub, 2016 25 / 29
Çàâåðøåíèå äîêàçàòåëüñòâà
Ñâîäèìîñòü: G 7→ T =∧
e Te .
Êîððåêòíîñòü ñâîäèìîñòè: unsat(G ) = 0
 ãðàôå îãðàíè÷åíèé G âñå îãðàíè÷åíèÿ âûïîëíÿþòñÿ íà σ.Êîäû çíà÷åíèé ïåðåìåííûõ â σ è ïîäõîäÿùèå çíà÷åíèÿ
âñïîìîãàòåëüíûõ ïåðåìåííûõ âûïîëíÿò âñå äèçúþíêòû T .
Êîððåêòíîñòü ñâîäèìîñòè: unsat(G ) > α
Ëþáîå ïðèñâàèâàíèå â ãðàôå G íàðóøàåò äîëþ > α îãðàíè÷åíèé.
Òîãäà ëþáîå ïðèñâàèâàíèå áóëåâûõ ïåðåìåííûõ, âõîäÿùèõ â ÊÍÔ T ,
ñäåëàåò õîòÿ áû äîëþ
ε =α
(2k + 4)22k
äèçúþíêòîâ ëîæíûìè.
Ì. Âÿëûé (ÂÖ ÔÈÖ ÈÓ ÐÀÍ) Ëåêöèÿ 6: òðóäíîñòü ïðèáëèæåíèÿ ÑÏá, CSclub, 2016 26 / 29
Çàâåðøåíèå äîêàçàòåëüñòâà
Ñâîäèìîñòü: G 7→ T =∧
e Te .
Êîððåêòíîñòü ñâîäèìîñòè: unsat(G ) = 0
 ãðàôå îãðàíè÷åíèé G âñå îãðàíè÷åíèÿ âûïîëíÿþòñÿ íà σ.Êîäû çíà÷åíèé ïåðåìåííûõ â σ è ïîäõîäÿùèå çíà÷åíèÿ
âñïîìîãàòåëüíûõ ïåðåìåííûõ âûïîëíÿò âñå äèçúþíêòû T .
Êîððåêòíîñòü ñâîäèìîñòè: unsat(G ) > α
Ëþáîå ïðèñâàèâàíèå â ãðàôå G íàðóøàåò äîëþ > α îãðàíè÷åíèé.
Òîãäà ëþáîå ïðèñâàèâàíèå áóëåâûõ ïåðåìåííûõ, âõîäÿùèõ â ÊÍÔ T ,
ñäåëàåò õîòÿ áû äîëþ
ε =α
(2k + 4)22k
äèçúþíêòîâ ëîæíûìè.
Ì. Âÿëûé (ÂÖ ÔÈÖ ÈÓ ÐÀÍ) Ëåêöèÿ 6: òðóäíîñòü ïðèáëèæåíèÿ ÑÏá, CSclub, 2016 26 / 29
Çàâåðøåíèå äîêàçàòåëüñòâà
Ñâîäèìîñòü: G 7→ T =∧
e Te .
Êîððåêòíîñòü ñâîäèìîñòè: unsat(G ) = 0
 ãðàôå îãðàíè÷åíèé G âñå îãðàíè÷åíèÿ âûïîëíÿþòñÿ íà σ.Êîäû çíà÷åíèé ïåðåìåííûõ â σ è ïîäõîäÿùèå çíà÷åíèÿ
âñïîìîãàòåëüíûõ ïåðåìåííûõ âûïîëíÿò âñå äèçúþíêòû T .
Êîððåêòíîñòü ñâîäèìîñòè: unsat(G ) > α
Ëþáîå ïðèñâàèâàíèå â ãðàôå G íàðóøàåò äîëþ > α îãðàíè÷åíèé.
Òîãäà ëþáîå ïðèñâàèâàíèå áóëåâûõ ïåðåìåííûõ, âõîäÿùèõ â ÊÍÔ T ,
ñäåëàåò õîòÿ áû äîëþ
ε =α
(2k + 4)22k
äèçúþíêòîâ ëîæíûìè.
Ì. Âÿëûé (ÂÖ ÔÈÖ ÈÓ ÐÀÍ) Ëåêöèÿ 6: òðóäíîñòü ïðèáëèæåíèÿ ÑÏá, CSclub, 2016 26 / 29
2-âûïîëíèìîñòü ñ ôóíêöèîíàëüíûìè îãðàíè÷åíèÿìè
Çàäà÷à MAX-LCk (Label Cover)
Äàíî: äâóäîëüíûé ãðàô îãðàíè÷åíèé; âåðøèíû â äîëå V1 èìåþò
îäèíàêîâóþ ñòåïåíü; îãðàíè÷åíèÿ èìåþò âèä ôóíêöèé
(projection property) äëÿ êàæäîãî ðåáðà e = (v1, v2)çàäàíà ôóíêöèÿ fe : Σ→ Σ, îãðàíè÷åíèå íà ðåáðåâûïîëíåíî ïðèñâàèâàíèåì σ, åñëè fe(σ(v1)) = σ(v2).Ðàçìåð àëôàâèòà ðàâåí k .
Íàéòè: ïðèñâàèâàíèå, âûïîëíÿþùåå ìàêñèìàëüíîå êîëè÷åñòâî
îãðàíè÷åíèé.
Ëåììà (ïåðåõîä ê ôóíêöèîíàëüíûì îãðàíè÷åíèÿì)
MAX-3SAT(1, 1− ε) 6p MAX-LC7(1, 1− ε/3).
Ì. Âÿëûé (ÂÖ ÔÈÖ ÈÓ ÐÀÍ) Ëåêöèÿ 6: òðóäíîñòü ïðèáëèæåíèÿ ÑÏá, CSclub, 2016 27 / 29
2-âûïîëíèìîñòü ñ ôóíêöèîíàëüíûìè îãðàíè÷åíèÿìè
Çàäà÷à MAX-LCk (Label Cover)
Äàíî: äâóäîëüíûé ãðàô îãðàíè÷åíèé; âåðøèíû â äîëå V1 èìåþò
îäèíàêîâóþ ñòåïåíü; îãðàíè÷åíèÿ èìåþò âèä ôóíêöèé
(projection property) äëÿ êàæäîãî ðåáðà e = (v1, v2)çàäàíà ôóíêöèÿ fe : Σ→ Σ, îãðàíè÷åíèå íà ðåáðåâûïîëíåíî ïðèñâàèâàíèåì σ, åñëè fe(σ(v1)) = σ(v2).Ðàçìåð àëôàâèòà ðàâåí k .
Íàéòè: ïðèñâàèâàíèå, âûïîëíÿþùåå ìàêñèìàëüíîå êîëè÷åñòâî
îãðàíè÷åíèé.
Ëåììà (ïåðåõîä ê ôóíêöèîíàëüíûì îãðàíè÷åíèÿì)
MAX-3SAT(1, 1− ε) 6p MAX-LC7(1, 1− ε/3).
Ì. Âÿëûé (ÂÖ ÔÈÖ ÈÓ ÐÀÍ) Ëåêöèÿ 6: òðóäíîñòü ïðèáëèæåíèÿ ÑÏá, CSclub, 2016 27 / 29
Äîêàçàòåëüñòâî ëåììû: îïèñàíèå ñâîäèìîñòè
Ïî 3-ÊÍÔ C = `1 ∨ · · · ∨ `m îò n ïåðåìåííûõ x1, . . . , xn ñòðîèì
äâóäîëüíûé ãðàô G , îäíó äîëþ êîòîðîãî îáðàçóþò äèçúþíêòû, à
äðóãóþ ïåðåìåííûå.
¬x1 ∨ x2 ∨ x7
x1
x2
x7
Σ = 0, 13 \ (0, 0, 0), |Σ| = 7.
 ëåâîé äîëå: çíà÷åíèÿ 3 ëèòåðàëîâ.
 ïðàâîé äîëå: çíà÷åíèå ïåðåìåííîé
(êîäèðóåòñÿ äâóìÿ ñèìâîëàìè èç Σ).Îãðàíè÷åíèå âûïîëíåíî, åñëè â êîäàõ
çíà÷åíèå âåðøèíû-ïåðåìåííîé â ïðà-
âîé äîëå ñîîòâåòñòâóåò çíà÷åíèþ ëèòå-
ðàëà â ëåâîé äîëå.
Ïðèìåð: ñëåâà (0, 1, 0), ñïðàâà â x2: êîä0. Îãðàíè÷åíèå íàðóøåíî.
Ïðèìåð: ñëåâà (1, 0, 0), ñïðàâà â x7: êîä0. Îãðàíè÷åíèå âûïîëíåíî.
Ì. Âÿëûé (ÂÖ ÔÈÖ ÈÓ ÐÀÍ) Ëåêöèÿ 6: òðóäíîñòü ïðèáëèæåíèÿ ÑÏá, CSclub, 2016 28 / 29
Äîêàçàòåëüñòâî ëåììû: îïèñàíèå ñâîäèìîñòè
Ïî 3-ÊÍÔ C = `1 ∨ · · · ∨ `m îò n ïåðåìåííûõ x1, . . . , xn ñòðîèì
äâóäîëüíûé ãðàô G , îäíó äîëþ êîòîðîãî îáðàçóþò äèçúþíêòû, à
äðóãóþ ïåðåìåííûå.
¬x1 ∨ x2 ∨ x7
x1
x2
x7
Σ = 0, 13 \ (0, 0, 0), |Σ| = 7.
 ëåâîé äîëå: çíà÷åíèÿ 3 ëèòåðàëîâ.
 ïðàâîé äîëå: çíà÷åíèå ïåðåìåííîé
(êîäèðóåòñÿ äâóìÿ ñèìâîëàìè èç Σ).Îãðàíè÷åíèå âûïîëíåíî, åñëè â êîäàõ
çíà÷åíèå âåðøèíû-ïåðåìåííîé â ïðà-
âîé äîëå ñîîòâåòñòâóåò çíà÷åíèþ ëèòå-
ðàëà â ëåâîé äîëå.
Ïðèìåð: ñëåâà (0, 1, 0), ñïðàâà â x2: êîä0. Îãðàíè÷åíèå íàðóøåíî.
Ïðèìåð: ñëåâà (1, 0, 0), ñïðàâà â x7: êîä0. Îãðàíè÷åíèå âûïîëíåíî.
Ì. Âÿëûé (ÂÖ ÔÈÖ ÈÓ ÐÀÍ) Ëåêöèÿ 6: òðóäíîñòü ïðèáëèæåíèÿ ÑÏá, CSclub, 2016 28 / 29
Äîêàçàòåëüñòâî ëåììû: îïèñàíèå ñâîäèìîñòè
Ïî 3-ÊÍÔ C = `1 ∨ · · · ∨ `m îò n ïåðåìåííûõ x1, . . . , xn ñòðîèì
äâóäîëüíûé ãðàô G , îäíó äîëþ êîòîðîãî îáðàçóþò äèçúþíêòû, à
äðóãóþ ïåðåìåííûå.
¬x1 ∨ x2 ∨ x7
x1
x2
x7
Σ = 0, 13 \ (0, 0, 0), |Σ| = 7.
 ëåâîé äîëå: çíà÷åíèÿ 3 ëèòåðàëîâ.
 ïðàâîé äîëå: çíà÷åíèå ïåðåìåííîé
(êîäèðóåòñÿ äâóìÿ ñèìâîëàìè èç Σ).Îãðàíè÷åíèå âûïîëíåíî, åñëè â êîäàõ
çíà÷åíèå âåðøèíû-ïåðåìåííîé â ïðà-
âîé äîëå ñîîòâåòñòâóåò çíà÷åíèþ ëèòå-
ðàëà â ëåâîé äîëå.
Ïðèìåð: ñëåâà (0, 1, 0), ñïðàâà â x2: êîä0. Îãðàíè÷åíèå íàðóøåíî.
Ïðèìåð: ñëåâà (1, 0, 0), ñïðàâà â x7: êîä0. Îãðàíè÷åíèå âûïîëíåíî.
Ì. Âÿëûé (ÂÖ ÔÈÖ ÈÓ ÐÀÍ) Ëåêöèÿ 6: òðóäíîñòü ïðèáëèæåíèÿ ÑÏá, CSclub, 2016 28 / 29
Äîêàçàòåëüñòâî ëåììû: îïèñàíèå ñâîäèìîñòè
Ïî 3-ÊÍÔ C = `1 ∨ · · · ∨ `m îò n ïåðåìåííûõ x1, . . . , xn ñòðîèì
äâóäîëüíûé ãðàô G , îäíó äîëþ êîòîðîãî îáðàçóþò äèçúþíêòû, à
äðóãóþ ïåðåìåííûå.
¬x1 ∨ x2 ∨ x7
x1
x2
x7
Σ = 0, 13 \ (0, 0, 0), |Σ| = 7.
 ëåâîé äîëå: çíà÷åíèÿ 3 ëèòåðàëîâ.
 ïðàâîé äîëå: çíà÷åíèå ïåðåìåííîé
(êîäèðóåòñÿ äâóìÿ ñèìâîëàìè èç Σ).Îãðàíè÷åíèå âûïîëíåíî, åñëè â êîäàõ
çíà÷åíèå âåðøèíû-ïåðåìåííîé â ïðà-
âîé äîëå ñîîòâåòñòâóåò çíà÷åíèþ ëèòå-
ðàëà â ëåâîé äîëå.
Ïðèìåð: ñëåâà (0, 1, 0), ñïðàâà â x2: êîä0. Îãðàíè÷åíèå íàðóøåíî.
Ïðèìåð: ñëåâà (1, 0, 0), ñïðàâà â x7: êîä0. Îãðàíè÷åíèå âûïîëíåíî.
Ì. Âÿëûé (ÂÖ ÔÈÖ ÈÓ ÐÀÍ) Ëåêöèÿ 6: òðóäíîñòü ïðèáëèæåíèÿ ÑÏá, CSclub, 2016 28 / 29
Äîêàçàòåëüñòâî ëåììû: êîððåêòíîñòü ñâîäèìîñòè
1 Ïóñòü unsata(C ) = 0 (âñå äèçúþíêòû èñòèííûå). Òîãäà
unsatσ(G ) = 0, ãäå σ êîäèðóåò çíà÷åíèÿ ïåðåìåííûõ è òðîåê
ïåðåìåííûõ, âõîäÿùèõ â äèçúþíêòû, â ñîîòâåòñòâèè ñ a.
2 Ïóñòü unsat(C ) > ε. Ïðè ëþáîì σ äëÿ G â > ε äîëå âåðøèíëåâîé äîëè íàðóøàåòñÿ õîòÿ áû îäíî èç òð¼õ îãðàíè÷åíèé.
Çíà÷èò, unsat(G ) > ε/3.
Ì. Âÿëûé (ÂÖ ÔÈÖ ÈÓ ÐÀÍ) Ëåêöèÿ 6: òðóäíîñòü ïðèáëèæåíèÿ ÑÏá, CSclub, 2016 29 / 29
Äîêàçàòåëüñòâî ëåììû: êîððåêòíîñòü ñâîäèìîñòè
1 Ïóñòü unsata(C ) = 0 (âñå äèçúþíêòû èñòèííûå). Òîãäà
unsatσ(G ) = 0, ãäå σ êîäèðóåò çíà÷åíèÿ ïåðåìåííûõ è òðîåê
ïåðåìåííûõ, âõîäÿùèõ â äèçúþíêòû, â ñîîòâåòñòâèè ñ a.
2 Ïóñòü unsat(C ) > ε. Ïðè ëþáîì σ äëÿ G â > ε äîëå âåðøèíëåâîé äîëè íàðóøàåòñÿ õîòÿ áû îäíî èç òð¼õ îãðàíè÷åíèé.
Çíà÷èò, unsat(G ) > ε/3.
Ì. Âÿëûé (ÂÖ ÔÈÖ ÈÓ ÐÀÍ) Ëåêöèÿ 6: òðóäíîñòü ïðèáëèæåíèÿ ÑÏá, CSclub, 2016 29 / 29