151
Что можно делать с вещественными числами и нельзя делать с целыми числами Ю. В. Матиясевич Санкт-Петербургское отделение Математического института им. В. А. Стеклова РАН http://logic.pdmi.ras.ru/~yumat

Что можно делать с вещественными числами и нельзя с целыми, осень 2013: Десятая проблема Гильберта. Диофантовы

Embed Size (px)

Citation preview

Page 1: Что можно делать с вещественными числами и нельзя с целыми, осень 2013: Десятая проблема Гильберта. Диофантовы

Что можно делатьс вещественными числамии нельзя делать с целыми

числами

Часть 2. Десятая проблема Гильберта

Ю.В.Матиясевич

Санкт-Петербургское отделениеМатематического института им. В. А. Стеклова РАН

http://logic.pdmi.ras.ru/~yumat

Page 2: Что можно делать с вещественными числами и нельзя с целыми, осень 2013: Десятая проблема Гильберта. Диофантовы

Что можно делатьс вещественными числамии нельзя делать с целыми

числами

Часть 2. Десятая проблема Гильберта

Ю.В.Матиясевич

Санкт-Петербургское отделениеМатематического института им. В. А. Стеклова РАН

http://logic.pdmi.ras.ru/~yumat

Page 3: Что можно делать с вещественными числами и нельзя с целыми, осень 2013: Десятая проблема Гильберта. Диофантовы

Что можно делатьс вещественными числамии нельзя делать с целыми

числамиЧасть 2. Десятая проблема Гильберта

Ю.В.Матиясевич

Санкт-Петербургское отделениеМатематического института им. В. А. Стеклова РАН

http://logic.pdmi.ras.ru/~yumat

Page 4: Что можно делать с вещественными числами и нельзя с целыми, осень 2013: Десятая проблема Гильберта. Диофантовы

Давид Гильберт, “Математические проблемы” , [1900]

10. Entscheidung der Losbarkeit einer diophantischenGleichung. Eine diophantische Gleichung mit irgendwelchenUnbekannten und mit ganzen rationalen Zahlkoefficienten seivorgelegt: man soll ein Verfahren angeben, nach welchen sichmittels einer endlichen Anzahl von Operationen entscheiden lasst,ob die Gleichung in ganzen rationalen Zahlen losbar ist.

10. Решение проблемы разрешимости для произвольногодиофантова уравнения. Пусть дано произвольноедиофантово уравнение с произвольным числом неизвестных ицелыми рациональными коэффициентами; требуется указатьобщий метод, следуя которому можно было бы в конечноечисло шагов узнать, имеет ли данное уравнение решение вцелых рациональных числах или нет.

Page 5: Что можно делать с вещественными числами и нельзя с целыми, осень 2013: Десятая проблема Гильберта. Диофантовы

Давид Гильберт, “Математические проблемы” , [1900]10. Entscheidung der Losbarkeit einer diophantischenGleichung. Eine diophantische Gleichung mit irgendwelchenUnbekannten und mit ganzen rationalen Zahlkoefficienten seivorgelegt: man soll ein Verfahren angeben, nach welchen sichmittels einer endlichen Anzahl von Operationen entscheiden lasst,ob die Gleichung in ganzen rationalen Zahlen losbar ist.

10. Решение проблемы разрешимости для произвольногодиофантова уравнения. Пусть дано произвольноедиофантово уравнение с произвольным числом неизвестных ицелыми рациональными коэффициентами; требуется указатьобщий метод, следуя которому можно было бы в конечноечисло шагов узнать, имеет ли данное уравнение решение вцелых рациональных числах или нет.

Page 6: Что можно делать с вещественными числами и нельзя с целыми, осень 2013: Десятая проблема Гильберта. Диофантовы

Давид Гильберт, “Математические проблемы” , [1900]10. Entscheidung der Losbarkeit einer diophantischenGleichung. Eine diophantische Gleichung mit irgendwelchenUnbekannten und mit ganzen rationalen Zahlkoefficienten seivorgelegt: man soll ein Verfahren angeben, nach welchen sichmittels einer endlichen Anzahl von Operationen entscheiden lasst,ob die Gleichung in ganzen rationalen Zahlen losbar ist.

10. Решение проблемы разрешимости для произвольногодиофантова уравнения. Пусть дано произвольноедиофантово уравнение с произвольным числом неизвестных ицелыми рациональными коэффициентами; требуется указатьобщий метод, следуя которому можно было бы в конечноечисло шагов узнать, имеет ли данное уравнение решение вцелых рациональных числах или нет.

Page 7: Что можно делать с вещественными числами и нельзя с целыми, осень 2013: Десятая проблема Гильберта. Диофантовы

Диофантовы уравненияОпределение. Диофантово уравнение имеет вид

M(x1, . . . , xm) = 0,

где M – многочлен с целыми коэффициентами.

Греческий математик Диофант жил, скорее всего, в 3-ем векенашей эры.

Page 8: Что можно делать с вещественными числами и нельзя с целыми, осень 2013: Десятая проблема Гильберта. Диофантовы

Диофантовы уравненияОпределение. Диофантово уравнение имеет вид

M(x1, . . . , xm) = 0,

где M – многочлен с целыми коэффициентами.

Греческий математик Диофант жил, скорее всего, в 3-ем векенашей эры.

Page 9: Что можно делать с вещественными числами и нельзя с целыми, осень 2013: Десятая проблема Гильберта. Диофантовы

Полиномиальные уравнения у древних греков

x2 = 2

1

1

������������

x

Page 10: Что можно делать с вещественными числами и нельзя с целыми, осень 2013: Десятая проблема Гильберта. Диофантовы

Полиномиальные уравнения у древних греков

x2 = 2

1

1

������������

x

Page 11: Что можно делать с вещественными числами и нельзя с целыми, осень 2013: Десятая проблема Гильберта. Диофантовы

Полиномиальные уравнения у древних греков

x2 = 2

1

1

������������

x

Page 12: Что можно делать с вещественными числами и нельзя с целыми, осень 2013: Десятая проблема Гильберта. Диофантовы

Полиномиальные уравнения у древних греков

x2 = 2

1

1

������������

x

Page 13: Что можно делать с вещественными числами и нельзя с целыми, осень 2013: Десятая проблема Гильберта. Диофантовы

Давид Гильберт, “Математические проблемы” , [1900]10. Решение проблемы разрешимости для произвольногодиофантова уравнения. Пусть дано произвольноедиофантово уравнение с произвольным числом неизвестных ицелыми рациональными коэффициентами; требуется указатьобщий метод, следуя которому можно было бы в конечноечисло шагов узнать, имеет ли данное уравнение решение вцелых рациональных числах или нет.

Целые рациональные числа – что это такое? – это числа 0,±1, ±2, ±3, . . .

Page 14: Что можно делать с вещественными числами и нельзя с целыми, осень 2013: Десятая проблема Гильберта. Диофантовы

Давид Гильберт, “Математические проблемы” , [1900]10. Решение проблемы разрешимости для произвольногодиофантова уравнения. Пусть дано произвольноедиофантово уравнение с произвольным числом неизвестных ицелыми рациональными коэффициентами; требуется указатьобщий метод, следуя которому можно было бы в конечноечисло шагов узнать, имеет ли данное уравнение решение вцелых рациональных числах или нет.

Целые рациональные числа

– это числа 0, ±1, ±2, ±3, . . .

Page 15: Что можно делать с вещественными числами и нельзя с целыми, осень 2013: Десятая проблема Гильберта. Диофантовы

Давид Гильберт, “Математические проблемы” , [1900]10. Решение проблемы разрешимости для произвольногодиофантова уравнения. Пусть дано произвольноедиофантово уравнение с произвольным числом неизвестных ицелыми рациональными коэффициентами; требуется указатьобщий метод, следуя которому можно было бы в конечноечисло шагов узнать, имеет ли данное уравнение решение вцелых рациональных числах или нет.

Целые рациональные числа – это числа 0, ±1, ±2, ±3, . . .

Page 16: Что можно делать с вещественными числами и нельзя с целыми, осень 2013: Десятая проблема Гильберта. Диофантовы

Диофантовы уравненияОпределение. Диофантово уравнение имеет вид

M(x1, . . . , xm) = 0,

где M – многочлен с целыми коэффициентами.

Диофант искал решения в (положительных) рациональныхчислах

Гильберт спрашивал про решение диофантовых уравнений вцелых числах

Можно также ограничиться только решениями вположительных целых числах или только в неотрицательныхцелых числах

Page 17: Что можно делать с вещественными числами и нельзя с целыми, осень 2013: Десятая проблема Гильберта. Диофантовы

Диофантовы уравненияОпределение. Диофантово уравнение имеет вид

M(x1, . . . , xm) = 0,

где M – многочлен с целыми коэффициентами.

Диофант искал решения в (положительных) рациональныхчислах

Гильберт спрашивал про решение диофантовых уравнений вцелых числах

Можно также ограничиться только решениями вположительных целых числах или только в неотрицательныхцелых числах

Page 18: Что можно делать с вещественными числами и нельзя с целыми, осень 2013: Десятая проблема Гильберта. Диофантовы

Диофантовы уравненияОпределение. Диофантово уравнение имеет вид

M(x1, . . . , xm) = 0,

где M – многочлен с целыми коэффициентами.

Диофант искал решения в (положительных) рациональныхчислах

Гильберт спрашивал про решение диофантовых уравнений вцелых числах

Можно также ограничиться только решениями вположительных целых числах или только в неотрицательныхцелых числах

Page 19: Что можно делать с вещественными числами и нельзя с целыми, осень 2013: Десятая проблема Гильберта. Диофантовы

Диофантовы уравненияОпределение. Диофантово уравнение имеет вид

M(x1, . . . , xm) = 0,

где M – многочлен с целыми коэффициентами.

Диофант искал решения в (положительных) рациональныхчислах

Гильберт спрашивал про решение диофантовых уравнений вцелых числах

Можно также ограничиться только решениями вположительных целых числах или только в неотрицательныхцелых числах

Page 20: Что можно делать с вещественными числами и нельзя с целыми, осень 2013: Десятая проблема Гильберта. Диофантовы

Диофантовы уравненияОпределение. Диофантово уравнение имеет вид

M(x1, . . . , xm) = 0,

где M – многочлен с целыми коэффициентами.

Диофант искал решения в (положительных) рациональныхчислах

Гильберт спрашивал про решение диофантовых уравнений вцелых числах

Можно также ограничиться только решениями вположительных целых числах или только в неотрицательныхцелых числах

Page 21: Что можно делать с вещественными числами и нельзя с целыми, осень 2013: Десятая проблема Гильберта. Диофантовы

От Диофанта до ГильбертаДиофант жил – когда?

Page 22: Что можно делать с вещественными числами и нельзя с целыми, осень 2013: Десятая проблема Гильберта. Диофантовы

От Диофанта до ГильбертаДиофант жил, скорее всего, в 3-ем веке нашей эры.

Page 23: Что можно делать с вещественными числами и нельзя с целыми, осень 2013: Десятая проблема Гильберта. Диофантовы

От Диофанта до ГильбертаДиофант жил, скорее всего, в 3-ем веке нашей эры.

Гильберт сформулировал проблемы – когда?

Page 24: Что можно делать с вещественными числами и нельзя с целыми, осень 2013: Десятая проблема Гильберта. Диофантовы

От Диофанта до ГильбертаДиофант жил, скорее всего, в 3-ем веке нашей эры.

Гильберт сформулировал проблемы в 1900 году

Page 25: Что можно делать с вещественными числами и нельзя с целыми, осень 2013: Десятая проблема Гильберта. Диофантовы

Давид Гильберт, “Математические проблемы” , [1900]

10. Решение проблемы разрешимости для произвольногодиофантова уравнения. Пусть дано произвольноедиофантово уравнение с произвольным числом неизвестных ицелыми рациональными коэффициентами; требуется указатьобщий метод, следуя которому можно было бы в конечноечисло шагов узнать, имеет ли данное уравнение решение вцелых рациональных числах или нет.

Page 26: Что можно делать с вещественными числами и нельзя с целыми, осень 2013: Десятая проблема Гильберта. Диофантовы

Давид Гильберт, “Математические проблемы” , [1900]10. Решение проблемы разрешимости для произвольногодиофантова уравнения. Пусть дано произвольноедиофантово уравнение с произвольным числом неизвестных ицелыми рациональными коэффициентами; требуется указатьобщий метод, следуя которому можно было бы в конечноечисло шагов узнать, имеет ли данное уравнение решение вцелых рациональных числах или нет.

Page 27: Что можно делать с вещественными числами и нельзя с целыми, осень 2013: Десятая проблема Гильберта. Диофантовы

Массовые проблемыВ современной терминологии 10-я проблема Гильбертаявляется массовой проблемой, то есть проблемой, состоящейиз счетного числа вопросов, на каждый из которых требуетсядать ответ ДА или НЕТ. Суть массовой проблемы состоит втребовании найти единый универсальный метод, которыйпозволял бы ответить на любой из этих вопросов.

Среди двадцати трёх “Математических проблем” Гильберта10-я является единственной массовой проблемой и она можетрассматриваться как проблема информатики.

Page 28: Что можно делать с вещественными числами и нельзя с целыми, осень 2013: Десятая проблема Гильберта. Диофантовы

Массовые проблемыВ современной терминологии 10-я проблема Гильбертаявляется массовой проблемой, то есть проблемой, состоящейиз счетного числа вопросов, на каждый из которых требуетсядать ответ ДА или НЕТ. Суть массовой проблемы состоит втребовании найти единый универсальный метод, которыйпозволял бы ответить на любой из этих вопросов.

Среди двадцати трёх “Математических проблем” Гильберта10-я является единственной массовой проблемой

и она можетрассматриваться как проблема информатики.

Page 29: Что можно делать с вещественными числами и нельзя с целыми, осень 2013: Десятая проблема Гильберта. Диофантовы

Массовые проблемыВ современной терминологии 10-я проблема Гильбертаявляется массовой проблемой, то есть проблемой, состоящейиз счетного числа вопросов, на каждый из которых требуетсядать ответ ДА или НЕТ. Суть массовой проблемы состоит втребовании найти единый универсальный метод, которыйпозволял бы ответить на любой из этих вопросов.

Среди двадцати трёх “Математических проблем” Гильберта10-я является единственной массовой проблемой и она можетрассматриваться как проблема информатики.

Page 30: Что можно делать с вещественными числами и нельзя с целыми, осень 2013: Десятая проблема Гильберта. Диофантовы

Массовые проблемыВ современной терминологии 10-я проблема Гильбертаявляется массовой проблемой, то есть проблемой, состоящейиз счетного числа вопросов, на каждый из которых требуетсядать ответ ДА или НЕТ. Суть массовой проблемы состоит втребовании найти единый универсальный метод, которыйпозволял бы ответить на любой из этих вопросов.

Среди двадцати трёх “Математических проблем” Гильберта10-я является единственной массовой проблемой и она можетрассматриваться как проблема информатики.

Page 31: Что можно делать с вещественными числами и нельзя с целыми, осень 2013: Десятая проблема Гильберта. Диофантовы

ОтветСегодня мы знаем, что 10-я проблема Гильберта решения неимеет. Это означает, что она неразрешима как массоваяпроблема:

Теорема (Неразрешимость 10-й проблемы Гильберта) Несуществует алгоритма, который по узнавал бы попроизвольному диофантову уравнению, имеет ли оно решения.

В этом смысле говорят об отрицательном решении 10-йпроблемы Гильберта.

Page 32: Что можно делать с вещественными числами и нельзя с целыми, осень 2013: Десятая проблема Гильберта. Диофантовы

ОтветСегодня мы знаем, что 10-я проблема Гильберта решения неимеет. Это означает, что она неразрешима как массоваяпроблема:

Теорема (Неразрешимость 10-й проблемы Гильберта) Несуществует алгоритма, который по узнавал бы попроизвольному диофантову уравнению, имеет ли оно решения.

В этом смысле говорят об отрицательном решении 10-йпроблемы Гильберта.

Page 33: Что можно делать с вещественными числами и нельзя с целыми, осень 2013: Десятая проблема Гильберта. Диофантовы

ОтветСегодня мы знаем, что 10-я проблема Гильберта решения неимеет. Это означает, что она неразрешима как массоваяпроблема:

Теорема (Неразрешимость 10-й проблемы Гильберта) Несуществует алгоритма, который по узнавал бы попроизвольному диофантову уравнению, имеет ли оно решения.

В этом смысле говорят об отрицательном решении 10-йпроблемы Гильберта.

Page 34: Что можно делать с вещественными числами и нельзя с целыми, осень 2013: Десятая проблема Гильберта. Диофантовы

Давид Гильберт, “Математические проблемы” , [1900]

10. Решение проблемы разрешимости для произвольногодиофантова уравнения. Пусть дано произвольноедиофантово уравнение с произвольным числом неизвестных ицелыми рациональными коэффициентами; требуется указатьобщий метод, следуя которому можно было бы в конечноечисло шагов узнать, имеет ли данное уравнение решение вцелых рациональных числах или нет.

Page 35: Что можно делать с вещественными числами и нельзя с целыми, осень 2013: Десятая проблема Гильберта. Диофантовы

Давид Гильберт, “Математические проблемы” , [1900]10. Решение проблемы разрешимости для произвольногодиофантова уравнения. Пусть дано произвольноедиофантово уравнение с произвольным числом неизвестных ицелыми рациональными коэффициентами; требуется указатьобщий метод, следуя которому можно было бы в конечноечисло шагов узнать, имеет ли данное уравнение решение вцелых рациональных числах или нет.

Page 36: Что можно делать с вещественными числами и нельзя с целыми, осень 2013: Десятая проблема Гильберта. Диофантовы

Первая неразрешимая массовая проблема в чистойматематике

A. A. Марков (сын) Emil L. Post1903–1979 1897–1954

Page 37: Что можно делать с вещественными числами и нельзя с целыми, осень 2013: Десятая проблема Гильберта. Диофантовы

Recursively enumerable sets ofpositive integers and their deci-sion problems. Bulletin AMS,50, 284–316 (1944); reprintedin: The Collected Works ofE. L. Post, Davis, M. (ed),Birkhauser, Boston, 1994.

Hilbert’s 10th problem “begs foran unsolvability proof” Emil L. Post

1897–1954

Page 38: Что можно делать с вещественными числами и нельзя с целыми, осень 2013: Десятая проблема Гильберта. Диофантовы

Хронология

I Начало 50-х годов: гипотеза, которую выдвинул MartinDavis.

I Начало 60-х годов: частичный прогресс, который достиглиMartin Davis, Hilary Putnam и Julia Robinson.

I 1970 год: последний шаг сделал Ю.Матиясевич.

Page 39: Что можно делать с вещественными числами и нельзя с целыми, осень 2013: Десятая проблема Гильберта. Диофантовы

ХронологияI Начало 50-х годов: гипотеза, которую выдвинул Martin

Davis.

I Начало 60-х годов: частичный прогресс, который достиглиMartin Davis, Hilary Putnam и Julia Robinson.

I 1970 год: последний шаг сделал Ю.Матиясевич.

Page 40: Что можно делать с вещественными числами и нельзя с целыми, осень 2013: Десятая проблема Гильберта. Диофантовы

ХронологияI Начало 50-х годов: гипотеза, которую выдвинул Martin

Davis.I Начало 60-х годов: частичный прогресс, который достигли

Martin Davis, Hilary Putnam и Julia Robinson.

I 1970 год: последний шаг сделал Ю.Матиясевич.

Page 41: Что можно делать с вещественными числами и нельзя с целыми, осень 2013: Десятая проблема Гильберта. Диофантовы

ХронологияI Начало 50-х годов: гипотеза, которую выдвинул Martin

Davis.I Начало 60-х годов: частичный прогресс, который достигли

Martin Davis, Hilary Putnam и Julia Robinson.I 1970 год: последний шаг сделал Ю.Матиясевич.

Page 42: Что можно делать с вещественными числами и нельзя с целыми, осень 2013: Десятая проблема Гильберта. Диофантовы

An e-mail

Dear Professor,

you are wrong. I am a brilliant young programmer andlast night I wrote a sophisticated program in Java##.My program solves Hilbert’s tenth problem in the__positive__ sense. Namely, for every Diophantineequation given as input, the program will print 1 or 0depending on whether the equation has a solution ornot.

The attachment contains my ingenious program. You canrun it on your favorite Diophantine equations and seehow fast my program works.

Have a fun, Professor!

Page 43: Что можно делать с вещественными числами и нельзя с целыми, осень 2013: Десятая проблема Гильберта. Диофантовы

An e-mailDear Professor,

you are wrong. I am a brilliant young programmer andlast night I wrote a sophisticated program in Java##.My program solves Hilbert’s tenth problem in the__positive__ sense. Namely, for every Diophantineequation given as input, the program will print 1 or 0depending on whether the equation has a solution ornot.

The attachment contains my ingenious program. You canrun it on your favorite Diophantine equations and seehow fast my program works.

Have a fun, Professor!

Page 44: Что можно делать с вещественными числами и нельзя с целыми, осень 2013: Десятая проблема Гильберта. Диофантовы

Точка зрения студента

Для любого многочлена M:

S

-M = 0

-1, если существует хотя бы одно

решение

0, если решений вообще не суще-ствует

Page 45: Что можно делать с вещественными числами и нельзя с целыми, осень 2013: Десятая проблема Гильберта. Диофантовы

Точка зрения студента

Для любого многочлена M:

S-M = 0

-1, если существует хотя бы одно

решение

0, если решений вообще не суще-ствует

Page 46: Что можно делать с вещественными числами и нельзя с целыми, осень 2013: Десятая проблема Гильберта. Диофантовы

Точка зрения студента

Для любого многочлена M:

S-M = 0

-1, если существует хотя бы одно

решение

0, если решений вообще не суще-ствует

Page 47: Что можно делать с вещественными числами и нельзя с целыми, осень 2013: Десятая проблема Гильберта. Диофантовы

Точка зрения студентаДля любого многочлена M:

S-M = 0

-1, если существует хотя бы одно

решение

0, если решений вообще не суще-ствует

Page 48: Что можно делать с вещественными числами и нельзя с целыми, осень 2013: Десятая проблема Гильберта. Диофантовы

Точка зрения профессора:

Существует многочлен MS такой, что

S-MS = 0

-

0, но решение существует1, но решений не существуетДРУГОЙ ОТВЕТостановка без ответане останавливаетсяи ничего не печатает

Page 49: Что можно делать с вещественными числами и нельзя с целыми, осень 2013: Десятая проблема Гильберта. Диофантовы

Точка зрения профессора:Существует многочлен MS такой, что

S-MS = 0

-

0, но решение существует1, но решений не существуетДРУГОЙ ОТВЕТ

ОШИБКА

остановка без ответане останавливаетсяи ничего не печатает

Page 50: Что можно делать с вещественными числами и нельзя с целыми, осень 2013: Десятая проблема Гильберта. Диофантовы

Точка зрения профессора:Существует многочлен MS такой, что

S-MS = 0

-

0, но решение существует1, но решений не существуетДРУГОЙ ОТВЕТ

ОШИБКА

остановка без ответане останавливаетсяи ничего не печатает

Page 51: Что можно делать с вещественными числами и нельзя с целыми, осень 2013: Десятая проблема Гильберта. Диофантовы

Точка зрения профессора:Существует многочлен MS такой, что

S-MS = 0

-

0, но решение существует

1, но решений не существуетДРУГОЙ ОТВЕТостановка без ответане останавливаетсяи ничего не печатает

Page 52: Что можно делать с вещественными числами и нельзя с целыми, осень 2013: Десятая проблема Гильберта. Диофантовы

Точка зрения профессора:Существует многочлен MS такой, что

S-MS = 0

-

0, но решение существует1, но решений не существует

ДРУГОЙ ОТВЕТостановка без ответане останавливаетсяи ничего не печатает

Page 53: Что можно делать с вещественными числами и нельзя с целыми, осень 2013: Десятая проблема Гильберта. Диофантовы

Точка зрения профессора:Существует многочлен MS такой, что

S-MS = 0

-

0, но решение существует1, но решений не существуетДРУГОЙ ОТВЕТ

остановка без ответане останавливаетсяи ничего не печатает

Page 54: Что можно делать с вещественными числами и нельзя с целыми, осень 2013: Десятая проблема Гильберта. Диофантовы

Точка зрения профессора:Существует многочлен MS такой, что

S-MS = 0

-

0, но решение существует1, но решений не существуетДРУГОЙ ОТВЕТостановка без ответа

не останавливаетсяи ничего не печатает

Page 55: Что можно делать с вещественными числами и нельзя с целыми, осень 2013: Десятая проблема Гильберта. Диофантовы

Точка зрения профессора:Существует многочлен MS такой, что

S-MS = 0

-

0, но решение существует1, но решений не существуетДРУГОЙ ОТВЕТостановка без ответане останавливаетсяи ничего не печатает

Page 56: Что можно делать с вещественными числами и нельзя с целыми, осень 2013: Десятая проблема Гильберта. Диофантовы

Программа профессора

P-S

-MS = 0

S - ОШИБКА

Page 57: Что можно делать с вещественными числами и нельзя с целыми, осень 2013: Десятая проблема Гильберта. Диофантовы

Программа профессора

P

-S

-MS = 0

S - ОШИБКА

Page 58: Что можно делать с вещественными числами и нельзя с целыми, осень 2013: Десятая проблема Гильберта. Диофантовы

Программа профессора

P-S

-MS = 0

S - ОШИБКА

Page 59: Что можно делать с вещественными числами и нельзя с целыми, осень 2013: Десятая проблема Гильберта. Диофантовы

Программа профессора

P-S

-MS = 0

S - ОШИБКА

Page 60: Что можно делать с вещественными числами и нельзя с целыми, осень 2013: Десятая проблема Гильберта. Диофантовы

Программа профессора

P-S

-MS = 0

S -

ОШИБКА

Page 61: Что можно делать с вещественными числами и нельзя с целыми, осень 2013: Десятая проблема Гильберта. Диофантовы

Программа профессора

P-S

-MS = 0

S - ОШИБКА

Page 62: Что можно делать с вещественными числами и нельзя с целыми, осень 2013: Десятая проблема Гильберта. Диофантовы

Усовершенствованная программа профессора

P-SS-MS = 0 - ОШИБКА

Page 63: Что можно делать с вещественными числами и нельзя с целыми, осень 2013: Десятая проблема Гильберта. Диофантовы

Усовершенствованная программа профессора

P-SS-MS = 0 - ОШИБКА

Формальное доказательство того,что S ошибется на MS

-�

Page 64: Что можно делать с вещественными числами и нельзя с целыми, осень 2013: Десятая проблема Гильберта. Диофантовы

Усовершенствованная программа профессора

P-SS-MS = 0 -

0, но решение существует1, но решений нетДРУГОЙ ОТВЕТостановка без ответане останавливается

Формальное доказательство того,что S ошибется на MS

-�

Page 65: Что можно делать с вещественными числами и нельзя с целыми, осень 2013: Десятая проблема Гильберта. Диофантовы

Усовершенствованная программа профессора

P-SS-MS = 0 -

0, но решение существует1, но решений нетДРУГОЙ ОТВЕТостановка без ответане останавливается

Доказательство того, что:

I если S выдает 0, то уравнениеMS = 0 имеет решение

I если S выдает 1, то уравнениеMS = 0 решений не имеет

-�

Page 66: Что можно делать с вещественными числами и нельзя с целыми, осень 2013: Десятая проблема Гильберта. Диофантовы

Диофантовы уравненияОпределение. Диофантово уравнение имеет вид

M(x1, . . . , xm) = 0,

где M – многочлен с целыми коэффициентами.

Диофант искал решения в (положительных) рациональныхчислах

Гильберт спрашивал про решение диофантовых уравнений вцелых числах

Можно также ограничиться только решениями вположительных целых числах или только в неотрицательныхцелых числах

Page 67: Что можно делать с вещественными числами и нельзя с целыми, осень 2013: Десятая проблема Гильберта. Диофантовы

Диофантовы уравненияОпределение. Диофантово уравнение имеет вид

M(x1, . . . , xm) = 0,

где M – многочлен с целыми коэффициентами.

Диофант искал решения в (положительных) рациональныхчислах

Гильберт спрашивал про решение диофантовых уравнений вцелых числах

Можно также ограничиться только решениями вположительных целых числах или только в неотрицательныхцелых числах

Page 68: Что можно делать с вещественными числами и нельзя с целыми, осень 2013: Десятая проблема Гильберта. Диофантовы

Диофантовы уравненияОпределение. Диофантово уравнение имеет вид

M(x1, . . . , xm) = 0,

где M – многочлен с целыми коэффициентами.

Диофант искал решения в (положительных) рациональныхчислах

Гильберт спрашивал про решение диофантовых уравнений вцелых числах

Можно также ограничиться только решениями вположительных целых числах или только в неотрицательныхцелых числах

Page 69: Что можно делать с вещественными числами и нельзя с целыми, осень 2013: Десятая проблема Гильберта. Диофантовы

Диофантовы уравненияОпределение. Диофантово уравнение имеет вид

M(x1, . . . , xm) = 0,

где M – многочлен с целыми коэффициентами.

Диофант искал решения в (положительных) рациональныхчислах

Гильберт спрашивал про решение диофантовых уравнений вцелых числах

Можно также ограничиться только решениями вположительных целых числах или только в неотрицательныхцелых числах

Page 70: Что можно делать с вещественными числами и нельзя с целыми, осень 2013: Десятая проблема Гильберта. Диофантовы

Диофантовы уравненияОпределение. Диофантово уравнение имеет вид

M(x1, . . . , xm) = 0,

где M – многочлен с целыми коэффициентами.

Диофант искал решения в (положительных) рациональныхчислах

Гильберт спрашивал про решение диофантовых уравнений вцелых числах

Можно также ограничиться только решениями вположительных целых числах или только в неотрицательныхцелых числах

Page 71: Что можно делать с вещественными числами и нельзя с целыми, осень 2013: Десятая проблема Гильберта. Диофантовы

Натуральные числа против целых

(x + 1)3 + (y + 1)3 = (z + 1)3

Имеет ли это уравнение решение в целых числах?Да, и это тривиально: y = −1, z = x .

Имеет ли это уравнение решение в неотрицательных целыхчислах?Нет, не имеет, но это нетривиально (частный случай Великойтеоремы Ферма).

Page 72: Что можно делать с вещественными числами и нельзя с целыми, осень 2013: Десятая проблема Гильберта. Диофантовы

Натуральные числа против целых

(x + 1)3 + (y + 1)3 = (z + 1)3

Имеет ли это уравнение решение в целых числах?

Да, и это тривиально: y = −1, z = x .

Имеет ли это уравнение решение в неотрицательных целыхчислах?Нет, не имеет, но это нетривиально (частный случай Великойтеоремы Ферма).

Page 73: Что можно делать с вещественными числами и нельзя с целыми, осень 2013: Десятая проблема Гильберта. Диофантовы

Натуральные числа против целых

(x + 1)3 + (y + 1)3 = (z + 1)3

Имеет ли это уравнение решение в целых числах?Да, и это тривиально: y = −1, z = x .

Имеет ли это уравнение решение в неотрицательных целыхчислах?Нет, не имеет, но это нетривиально (частный случай Великойтеоремы Ферма).

Page 74: Что можно делать с вещественными числами и нельзя с целыми, осень 2013: Десятая проблема Гильберта. Диофантовы

Натуральные числа против целых

(x + 1)3 + (y + 1)3 = (z + 1)3

Имеет ли это уравнение решение в целых числах?Да, и это тривиально: y = −1, z = x .

Имеет ли это уравнение решение в неотрицательных целыхчислах?

Нет, не имеет, но это нетривиально (частный случай Великойтеоремы Ферма).

Page 75: Что можно делать с вещественными числами и нельзя с целыми, осень 2013: Десятая проблема Гильберта. Диофантовы

Натуральные числа против целых

(x + 1)3 + (y + 1)3 = (z + 1)3

Имеет ли это уравнение решение в целых числах?Да, и это тривиально: y = −1, z = x .

Имеет ли это уравнение решение в неотрицательных целыхчислах?Нет, не имеет, но это нетривиально (частный случай Великойтеоремы Ферма).

Page 76: Что можно делать с вещественными числами и нельзя с целыми, осень 2013: Десятая проблема Гильберта. Диофантовы

От целых чисел к натуральнымДиофантово уравнение

P(x1, . . . , xm) = 0

имеет решение в целых числах x1, . . . , xm тогда и только тогда,когда диофантово уравнение

P(p1 − q1, . . . , pm − qm) = 0.

имеет решение в натуральных числах p1, . . . , pm, q1, . . . , qm.

Говорят, что массовая проблема распознавания разрешимостидиофантовых уравнений в целых числах сводится к массовойпроблеме распознавания разрешимости диофантовыхуравнений в натуральных числах.

Page 77: Что можно делать с вещественными числами и нельзя с целыми, осень 2013: Десятая проблема Гильберта. Диофантовы

От целых чисел к натуральнымДиофантово уравнение

P(x1, . . . , xm) = 0

имеет решение в целых числах x1, . . . , xm тогда и только тогда,когда диофантово уравнение

P(p1 − q1, . . . , pm − qm) = 0.

имеет решение в натуральных числах p1, . . . , pm, q1, . . . , qm.

Говорят, что массовая проблема распознавания разрешимостидиофантовых уравнений в целых числах сводится к массовойпроблеме распознавания разрешимости диофантовыхуравнений в натуральных числах.

Page 78: Что можно делать с вещественными числами и нельзя с целыми, осень 2013: Десятая проблема Гильберта. Диофантовы

От натуральных чисел к целымДиофантово уравнение

P(p1, . . . , pm) = 0

имеет решение в натуральных числах тогда и только тогда,когда диофантово уравнение

P(w21 + x2

1 + y21 + z2

1 , . . . ,w2m + x2

m + y2m + z2

m) = 0.

имеет решение в целых числах.

Теорема (Joseph-Louis Lagrange [1770], знал и PierreFermat, но не опубликовал) Каждое натуральное числоявляется суммой четырех квадратов.

Таким образом, массовая проблема распознаванияразрешимости диофантовых уравнений в натуральных целыхчислах сводится к массовой проблеме распознаванияразрешимости диофантовых уравнений в целых числах.

Page 79: Что можно делать с вещественными числами и нельзя с целыми, осень 2013: Десятая проблема Гильберта. Диофантовы

От натуральных чисел к целымДиофантово уравнение

P(p1, . . . , pm) = 0

имеет решение в натуральных числах тогда и только тогда,когда диофантово уравнение

P(w21 + x2

1 + y21 + z2

1 , . . . ,w2m + x2

m + y2m + z2

m) = 0.

имеет решение в целых числах.

Теорема (Joseph-Louis Lagrange [1770], знал и PierreFermat, но не опубликовал) Каждое натуральное числоявляется суммой четырех квадратов.

Таким образом, массовая проблема распознаванияразрешимости диофантовых уравнений в натуральных целыхчислах сводится к массовой проблеме распознаванияразрешимости диофантовых уравнений в целых числах.

Page 80: Что можно делать с вещественными числами и нельзя с целыми, осень 2013: Десятая проблема Гильберта. Диофантовы

От натуральных чисел к целымДиофантово уравнение

P(p1, . . . , pm) = 0

имеет решение в натуральных числах тогда и только тогда,когда диофантово уравнение

P(w21 + x2

1 + y21 + z2

1 , . . . ,w2m + x2

m + y2m + z2

m) = 0.

имеет решение в целых числах.

Теорема (Joseph-Louis Lagrange [1770], знал и PierreFermat, но не опубликовал) Каждое натуральное числоявляется суммой четырех квадратов.

Таким образом, массовая проблема распознаванияразрешимости диофантовых уравнений в натуральных целыхчислах сводится к массовой проблеме распознаванияразрешимости диофантовых уравнений в целых числах.

Page 81: Что можно делать с вещественными числами и нельзя с целыми, осень 2013: Десятая проблема Гильберта. Диофантовы

Натуральные числа против целыхУ нас есть два сведения:

I массовая проблема распознавания разрешимостидиофантовых уравнений в целых числах сводится кмассовой проблеме распознавания разрешимостидиофантовых уравнений в натуральных числах.

I массовая проблема распознавания разрешимостидиофантовых уравнений в натуральных целых числахсводится к массовой проблеме распознаванияразрешимости диофантовых уравнений в целых числах.

Таким образом, массовая проблема распознаванияразрешимости диофантовых уравнений в целых числахэквивалентна массовой проблеме распознавания разрешимостидиофантовых уравнений в натуральных числах.

Мы будем заниматься решением уравнений в натуральныхчислах 0, 1, 2, . . .

Page 82: Что можно делать с вещественными числами и нельзя с целыми, осень 2013: Десятая проблема Гильберта. Диофантовы

Натуральные числа против целыхУ нас есть два сведения:

I массовая проблема распознавания разрешимостидиофантовых уравнений в целых числах сводится кмассовой проблеме распознавания разрешимостидиофантовых уравнений в натуральных числах.

I массовая проблема распознавания разрешимостидиофантовых уравнений в натуральных целых числахсводится к массовой проблеме распознаванияразрешимости диофантовых уравнений в целых числах.

Таким образом, массовая проблема распознаванияразрешимости диофантовых уравнений в целых числахэквивалентна массовой проблеме распознавания разрешимостидиофантовых уравнений в натуральных числах.

Мы будем заниматься решением уравнений в натуральныхчислах 0, 1, 2, . . .

Page 83: Что можно делать с вещественными числами и нельзя с целыми, осень 2013: Десятая проблема Гильберта. Диофантовы

Натуральные числа против целыхУ нас есть два сведения:

I массовая проблема распознавания разрешимостидиофантовых уравнений в целых числах сводится кмассовой проблеме распознавания разрешимостидиофантовых уравнений в натуральных числах.

I массовая проблема распознавания разрешимостидиофантовых уравнений в натуральных целых числахсводится к массовой проблеме распознаванияразрешимости диофантовых уравнений в целых числах.

Таким образом, массовая проблема распознаванияразрешимости диофантовых уравнений в целых числахэквивалентна массовой проблеме распознавания разрешимостидиофантовых уравнений в натуральных числах.

Мы будем заниматься решением уравнений в натуральныхчислах 0, 1, 2, . . .

Page 84: Что можно делать с вещественными числами и нельзя с целыми, осень 2013: Десятая проблема Гильберта. Диофантовы

Давид Гильберт, “Математические проблемы” , [1900]10. Решение проблемы разрешимости для произвольногодиофантова уравнения. Пусть дано произвольноедиофантово уравнение с произвольным числом неизвестных ицелыми рациональными коэффициентами; требуется указатьобщий метод, следуя которому можно было бы в конечноечисло шагов узнать, имеет ли данное уравнение решение вцелых рациональных числах или нет.

Page 85: Что можно делать с вещественными числами и нельзя с целыми, осень 2013: Десятая проблема Гильберта. Диофантовы

Уравнения с параметрамиСемейство диофантовых уравнений имеет вид

M(a1, . . . , an, x1, . . . , xm) = 0,

где M – многочлен с целыми коэффициентами, переменныекоторго разделены на две группы:

I параметры a1, . . . ,an;I неизвестные x1, . . . ,xm.

Рассмотрим множествоM такое, что

〈a1, . . . , an〉 ∈ M⇐⇒∃x1 . . . xm{M(a1, . . . , an, x1, . . . , xm) = 0}.

Множества, имеющие такие представления называютсядиофантовыми.

Page 86: Что можно делать с вещественными числами и нельзя с целыми, осень 2013: Десятая проблема Гильберта. Диофантовы

Уравнения с параметрамиСемейство диофантовых уравнений имеет вид

M(a1, . . . , an, x1, . . . , xm) = 0,

где M – многочлен с целыми коэффициентами, переменныекоторго разделены на две группы:

I параметры a1, . . . ,an;

I неизвестные x1, . . . ,xm.Рассмотрим множествоM такое, что

〈a1, . . . , an〉 ∈ M⇐⇒∃x1 . . . xm{M(a1, . . . , an, x1, . . . , xm) = 0}.

Множества, имеющие такие представления называютсядиофантовыми.

Page 87: Что можно делать с вещественными числами и нельзя с целыми, осень 2013: Десятая проблема Гильберта. Диофантовы

Уравнения с параметрамиСемейство диофантовых уравнений имеет вид

M(a1, . . . , an, x1, . . . , xm) = 0,

где M – многочлен с целыми коэффициентами, переменныекоторго разделены на две группы:

I параметры a1, . . . ,an;I неизвестные x1, . . . ,xm.

Рассмотрим множествоM такое, что

〈a1, . . . , an〉 ∈ M⇐⇒∃x1 . . . xm{M(a1, . . . , an, x1, . . . , xm) = 0}.

Множества, имеющие такие представления называютсядиофантовыми.

Page 88: Что можно делать с вещественными числами и нельзя с целыми, осень 2013: Десятая проблема Гильберта. Диофантовы

Уравнения с параметрамиСемейство диофантовых уравнений имеет вид

M(a1, . . . , an, x1, . . . , xm) = 0,

где M – многочлен с целыми коэффициентами, переменныекоторго разделены на две группы:

I параметры a1, . . . ,an;I неизвестные x1, . . . ,xm.

Рассмотрим множествоM такое, что

〈a1, . . . , an〉 ∈ M⇐⇒∃x1 . . . xm{M(a1, . . . , an, x1, . . . , xm) = 0}.

Множества, имеющие такие представления называютсядиофантовыми.

Page 89: Что можно делать с вещественными числами и нельзя с целыми, осень 2013: Десятая проблема Гильберта. Диофантовы

Уравнения с параметрамиСемейство диофантовых уравнений имеет вид

M(a1, . . . , an, x1, . . . , xm) = 0,

где M – многочлен с целыми коэффициентами, переменныекоторго разделены на две группы:

I параметры a1, . . . ,an;I неизвестные x1, . . . ,xm.

Рассмотрим множествоM такое, что

〈a1, . . . , an〉 ∈ M⇐⇒∃x1 . . . xm{M(a1, . . . , an, x1, . . . , xm) = 0}.

Множества, имеющие такие представления называютсядиофантовыми.

Page 90: Что можно делать с вещественными числами и нельзя с целыми, осень 2013: Десятая проблема Гильберта. Диофантовы

Примеры диофантовых множеств

I Множество всех полных квадратов, представленоуравнением

a− x2 = 0

I Множество всех составных чисел, представленоуравнением

a− (x1 + 2)(x2 + 2) = 0

I Множество всех нестепеней числа 2, представленоуравнением

a− (2x1 + 3)x2 = 0

Page 91: Что можно делать с вещественными числами и нельзя с целыми, осень 2013: Десятая проблема Гильберта. Диофантовы

Примеры диофантовых множествI Множество всех полных квадратов, представлено

уравнением

a− x2 = 0

I Множество всех составных чисел, представленоуравнением

a− (x1 + 2)(x2 + 2) = 0

I Множество всех нестепеней числа 2, представленоуравнением

a− (2x1 + 3)x2 = 0

Page 92: Что можно делать с вещественными числами и нельзя с целыми, осень 2013: Десятая проблема Гильберта. Диофантовы

Примеры диофантовых множествI Множество всех полных квадратов, представлено

уравнениемa− x2 = 0

I Множество всех составных чисел, представленоуравнением

a− (x1 + 2)(x2 + 2) = 0

I Множество всех нестепеней числа 2, представленоуравнением

a− (2x1 + 3)x2 = 0

Page 93: Что можно делать с вещественными числами и нельзя с целыми, осень 2013: Десятая проблема Гильберта. Диофантовы

Примеры диофантовых множествI Множество всех полных квадратов, представлено

уравнениемa− x2 = 0

I Множество всех составных чисел, представленоуравнением

a− (x1 + 2)(x2 + 2) = 0

I Множество всех нестепеней числа 2, представленоуравнением

a− (2x1 + 3)x2 = 0

Page 94: Что можно делать с вещественными числами и нельзя с целыми, осень 2013: Десятая проблема Гильберта. Диофантовы

Примеры диофантовых множествI Множество всех полных квадратов, представлено

уравнениемa− x2 = 0

I Множество всех составных чисел, представленоуравнением

a− (x1 + 2)(x2 + 2) = 0

I Множество всех нестепеней числа 2, представленоуравнением

a− (2x1 + 3)x2 = 0

Page 95: Что можно делать с вещественными числами и нельзя с целыми, осень 2013: Десятая проблема Гильберта. Диофантовы

Примеры диофантовых множествI Множество всех полных квадратов, представлено

уравнениемa− x2 = 0

I Множество всех составных чисел, представленоуравнением

a− (x1 + 2)(x2 + 2) = 0

I Множество всех нестепеней числа 2, представленоуравнением

a− (2x1 + 3)x2 = 0

Page 96: Что можно делать с вещественными числами и нельзя с целыми, осень 2013: Десятая проблема Гильберта. Диофантовы

Примеры диофантовых множествI Множество всех полных квадратов, представлено

уравнениемa− x2 = 0

I Множество всех составных чисел, представленоуравнением

a− (x1 + 2)(x2 + 2) = 0

I Множество всех нестепеней числа 2, представленоуравнением

a− (2x1 + 3)x2 = 0

Page 97: Что можно делать с вещественными числами и нельзя с целыми, осень 2013: Десятая проблема Гильберта. Диофантовы

Программа Диофанта

〈a1, . . . , an〉 ∈ M⇐⇒

∃x1 . . . xm{P(a1, . . . , an, x1, . . . , xm) = 0

}

D-〈a1, . . . , an〉 -остановка, если 〈a1, . . . , an〉 ∈ M

вечная работа в противном случае

for (y=0;;y++)

for (x1=0;x1<y;x1++)........................for (xm=0;xm<y;xm++)if (P(a1,...,an,x1,...,xm)=0) STOP

Page 98: Что можно делать с вещественными числами и нельзя с целыми, осень 2013: Десятая проблема Гильберта. Диофантовы

Программа Диофанта

〈a1, . . . , an〉 ∈ M⇐⇒

∃x1 . . . xm{P(a1, . . . , an, x1, . . . , xm) = 0

}

D-〈a1, . . . , an〉 -остановка, если 〈a1, . . . , an〉 ∈ M

вечная работа в противном случае

for (y=0;;y++)

for (x1=0;x1<y;x1++)........................for (xm=0;xm<y;xm++)if (P(a1,...,an,x1,...,xm)=0) STOP

Page 99: Что можно делать с вещественными числами и нельзя с целыми, осень 2013: Десятая проблема Гильберта. Диофантовы

Программа Диофанта

〈a1, . . . , an〉 ∈ M⇐⇒ ∃x1 . . . xm{P(a1, . . . , an, x1, . . . , xm) = 0}

D-〈a1, . . . , an〉 -остановка, если 〈a1, . . . , an〉 ∈ M

вечная работа в противном случае

for (y=0;;y++)

for (x1=0;x1<y;x1++)........................for (xm=0;xm<y;xm++)if (P(a1,...,an,x1,...,xm)=0) STOP

Page 100: Что можно делать с вещественными числами и нельзя с целыми, осень 2013: Десятая проблема Гильберта. Диофантовы

Программа Диофанта

〈a1, . . . , an〉 ∈ M⇐⇒ ∃x1 . . . xm{P(a1, . . . , an, x1, . . . , xm) = 0}

D-〈a1, . . . , an〉 -остановка, если 〈a1, . . . , an〉 ∈ M

вечная работа в противном случае

for (y=0;;y++)

for (x1=0;x1<y;x1++)........................for (xm=0;xm<y;xm++)if (P(a1,...,an,x1,...,xm)=0) STOP

Page 101: Что можно делать с вещественными числами и нельзя с целыми, осень 2013: Десятая проблема Гильберта. Диофантовы

Программа Диофанта

〈a1, . . . , an〉 ∈ M⇐⇒ ∃x1 . . . xm{P(a1, . . . , an, x1, . . . , xm) = 0}

D

-〈a1, . . . , an〉 -остановка, если 〈a1, . . . , an〉 ∈ M

вечная работа в противном случае

for (y=0;;y++)

for (x1=0;x1<y;x1++)........................for (xm=0;xm<y;xm++)if (P(a1,...,an,x1,...,xm)=0) STOP

Page 102: Что можно делать с вещественными числами и нельзя с целыми, осень 2013: Десятая проблема Гильберта. Диофантовы

Программа Диофанта

〈a1, . . . , an〉 ∈ M⇐⇒ ∃x1 . . . xm{P(a1, . . . , an, x1, . . . , xm) = 0}

D-〈a1, . . . , an〉

-остановка, если 〈a1, . . . , an〉 ∈ M

вечная работа в противном случае

for (y=0;;y++)

for (x1=0;x1<y;x1++)........................for (xm=0;xm<y;xm++)if (P(a1,...,an,x1,...,xm)=0) STOP

Page 103: Что можно делать с вещественными числами и нельзя с целыми, осень 2013: Десятая проблема Гильберта. Диофантовы

Программа Диофанта

〈a1, . . . , an〉 ∈ M⇐⇒ ∃x1 . . . xm{P(a1, . . . , an, x1, . . . , xm) = 0}

D-〈a1, . . . , an〉 -остановка, если 〈a1, . . . , an〉 ∈ M

вечная работа в противном случае

for (y=0;;y++)for (x1=0;x1<y;x1++)........................for (xm=0;xm<y;xm++)if (P(a1,...,an,x1,...,xm)=0) STOP

Page 104: Что можно делать с вещественными числами и нельзя с целыми, осень 2013: Десятая проблема Гильберта. Диофантовы

Программа Диофанта

〈a1, . . . , an〉 ∈ M⇐⇒ ∃x1 . . . xm{P(a1, . . . , an, x1, . . . , xm) = 0}

D-〈a1, . . . , an〉 -остановка, если 〈a1, . . . , an〉 ∈ M

вечная работа в противном случае

for (y=0;;y++)

for (x1=0;x1<y;x1++)........................for (xm=0;xm<y;xm++)if (P(a1,...,an,x1,...,xm)=0) STOP

Page 105: Что можно делать с вещественными числами и нельзя с целыми, осень 2013: Десятая проблема Гильберта. Диофантовы

Перечислимые множества

Определение. МножествоM, состоящее из n-ок натуральныхчисел называется перечислимым, если можно написатьпрограмму R, такую что

R-〈a1, . . . , an〉 -остановка, если 〈a1, . . . , an〉 ∈ M

вечная работа в противном случае

Эквивалентное определение. МножествоM, состоящее изn-ок натуральных чисел называется перечислимым, еслиможно написать программу P которая (работая бесконечнодолго) будет печатать только элементы множестваM инапечатает каждое из них, быть может, много раз.

Page 106: Что можно делать с вещественными числами и нельзя с целыми, осень 2013: Десятая проблема Гильберта. Диофантовы

Перечислимые множестваОпределение. МножествоM, состоящее из n-ок натуральныхчисел называется перечислимым, если можно написатьпрограмму R, такую что

R-〈a1, . . . , an〉 -остановка, если 〈a1, . . . , an〉 ∈ M

вечная работа в противном случае

Эквивалентное определение. МножествоM, состоящее изn-ок натуральных чисел называется перечислимым, еслиможно написать программу P которая (работая бесконечнодолго) будет печатать только элементы множестваM инапечатает каждое из них, быть может, много раз.

Page 107: Что можно делать с вещественными числами и нельзя с целыми, осень 2013: Десятая проблема Гильберта. Диофантовы

Перечислимые множестваОпределение. МножествоM, состоящее из n-ок натуральныхчисел называется перечислимым, если можно написатьпрограмму R, такую что

R-〈a1, . . . , an〉 -остановка, если 〈a1, . . . , an〉 ∈ M

вечная работа в противном случае

Эквивалентное определение. МножествоM, состоящее изn-ок натуральных чисел называется перечислимым, еслиможно написать программу P которая (работая бесконечнодолго) будет печатать только элементы множестваM инапечатает каждое из них, быть может, много раз.

Page 108: Что можно делать с вещественными числами и нельзя с целыми, осень 2013: Десятая проблема Гильберта. Диофантовы

Вторая программа Диофанта

〈a1, . . . , an〉 ∈ M⇐⇒∃x1 . . . xm{P(a1, . . . , an, x1, . . . , xm) = 0}

for (y=0;;y++)for (a1=0;a1<y;a1++).......................for (an=0;an<y;an++)for (x1=0;x1<y;x1++)........................for (xm=0;xm<y;xm++)if (P(a1,...,an,x1,...,xm)=0)

print(a1,...,an)

Page 109: Что можно делать с вещественными числами и нельзя с целыми, осень 2013: Десятая проблема Гильберта. Диофантовы

Вторая программа Диофанта

〈a1, . . . , an〉 ∈ M⇐⇒∃x1 . . . xm{P(a1, . . . , an, x1, . . . , xm) = 0}

for (y=0;;y++)for (a1=0;a1<y;a1++).......................for (an=0;an<y;an++)for (x1=0;x1<y;x1++)........................for (xm=0;xm<y;xm++)if (P(a1,...,an,x1,...,xm)=0)

print(a1,...,an)

Page 110: Что можно делать с вещественными числами и нельзя с целыми, осень 2013: Десятая проблема Гильберта. Диофантовы

Пример

P(a1, x1, x2) = a1 − (x1 + 2)(x2 + 2)

for y dofor a1 to y dofor x1 to y dofor x2 to y doif a1 - (x1 + 2)*(x2 + 2)=0 thenprint(a1) fi

od od od od

4, 4, 4, 6, 6, 4, 6, 6, 4, 6, 6, 8, 8, 4, 6, 6, 8, 8, 9, 4, 6, 6, 8, 8, 9,10, 10, 4, 6, 6, 8, 8, 9, 10, 10, 4, 6, 6, 8, 8, 9, 10, 10, 12, 12, 12,12, 4, 6, 6,. . .

Page 111: Что можно делать с вещественными числами и нельзя с целыми, осень 2013: Десятая проблема Гильберта. Диофантовы

Пример

P(a1, x1, x2) = a1 − (x1 + 2)(x2 + 2)

for y dofor a1 to y dofor x1 to y dofor x2 to y doif a1 - (x1 + 2)*(x2 + 2)=0 thenprint(a1) fi

od od od od

4, 4, 4, 6, 6, 4, 6, 6, 4, 6, 6, 8, 8, 4, 6, 6, 8, 8, 9, 4, 6, 6, 8, 8, 9,10, 10, 4, 6, 6, 8, 8, 9, 10, 10, 4, 6, 6, 8, 8, 9, 10, 10, 12, 12, 12,12, 4, 6, 6,. . .

Page 112: Что можно делать с вещественными числами и нельзя с целыми, осень 2013: Десятая проблема Гильберта. Диофантовы

Пример

P(a1, x1, x2) = a1 − (x1 + 2)(x2 + 2)

for y dofor a1 to y dofor x1 to y dofor x2 to y doif a1 - (x1 + 2)*(x2 + 2)=0 thenprint(a1) fi

od od od od

4, 4, 4, 6, 6, 4, 6, 6, 4, 6, 6, 8, 8, 4, 6, 6, 8, 8, 9, 4, 6, 6, 8, 8, 9,10, 10, 4, 6, 6, 8, 8, 9, 10, 10, 4, 6, 6, 8, 8, 9, 10, 10, 12, 12, 12,12, 4, 6, 6,. . .

Page 113: Что можно делать с вещественными числами и нельзя с целыми, осень 2013: Десятая проблема Гильберта. Диофантовы

Перечислимые множества

Определение. МножествоM, состоящее из n-ок натуральныхчисел называется перечислимым, если можно написатьпрограмму R, такую что

R-〈a1, . . . , an〉 -остановка, если 〈a1, . . . , an〉 ∈ M

вечная работа в противном случае

Эквивалентное определение. МножествоM, состоящее изn-ок натуральных чисел называется перечислимым, еслиможно написать программу P которая (работая бесконечнодолго) будет печатать только элементы множестваM инапечатает каждое из них, быть может, много раз.

Page 114: Что можно делать с вещественными числами и нельзя с целыми, осень 2013: Десятая проблема Гильберта. Диофантовы

Перечислимые множестваОпределение. МножествоM, состоящее из n-ок натуральныхчисел называется перечислимым, если можно написатьпрограмму R, такую что

R-〈a1, . . . , an〉 -остановка, если 〈a1, . . . , an〉 ∈ M

вечная работа в противном случае

Эквивалентное определение. МножествоM, состоящее изn-ок натуральных чисел называется перечислимым, еслиможно написать программу P которая (работая бесконечнодолго) будет печатать только элементы множестваM инапечатает каждое из них, быть может, много раз.

Page 115: Что можно делать с вещественными числами и нельзя с целыми, осень 2013: Десятая проблема Гильберта. Диофантовы

Перечислимые множестваОпределение. МножествоM, состоящее из n-ок натуральныхчисел называется перечислимым, если можно написатьпрограмму R, такую что

R-〈a1, . . . , an〉 -остановка, если 〈a1, . . . , an〉 ∈ M

вечная работа в противном случае

Эквивалентное определение. МножествоM, состоящее изn-ок натуральных чисел называется перечислимым, еслиможно написать программу P которая (работая бесконечнодолго) будет печатать только элементы множестваM инапечатает каждое из них, быть может, много раз.

Page 116: Что можно делать с вещественными числами и нельзя с целыми, осень 2013: Десятая проблема Гильберта. Диофантовы

Гипотеза Martin’a Davis’а

Тривиальный факт. Каждое диофантово множество являетсяперечислимым.

Гипотеза M. Davis’а (начало 50-х). Каждое перечислимоемножество является диофантовым.

Гипотеза M. Davis’а была доказана в 1970 году.

DPRM-теорема. Понятия перечислимое множество идиофантово множество совпадают.

Martin Davis, Hilary Putnam, Julia Robinson, Юрий Матиясевич

Page 117: Что можно делать с вещественными числами и нельзя с целыми, осень 2013: Десятая проблема Гильберта. Диофантовы

Гипотеза Martin’a Davis’а

Тривиальный факт. Каждое диофантово множество являетсяперечислимым.

Гипотеза M. Davis’а (начало 50-х). Каждое перечислимоемножество является диофантовым.

Гипотеза M. Davis’а была доказана в 1970 году.

DPRM-теорема. Понятия перечислимое множество идиофантово множество совпадают.

Martin Davis, Hilary Putnam, Julia Robinson, Юрий Матиясевич

Page 118: Что можно делать с вещественными числами и нельзя с целыми, осень 2013: Десятая проблема Гильберта. Диофантовы

Гипотеза Martin’a Davis’а

Тривиальный факт. Каждое диофантово множество являетсяперечислимым.

Гипотеза M. Davis’а (начало 50-х). Каждое перечислимоемножество является диофантовым.

Гипотеза M. Davis’а была доказана в 1970 году.

DPRM-теорема. Понятия перечислимое множество идиофантово множество совпадают.

Martin Davis, Hilary Putnam, Julia Robinson, Юрий Матиясевич

Page 119: Что можно делать с вещественными числами и нельзя с целыми, осень 2013: Десятая проблема Гильберта. Диофантовы

Гипотеза Martin’a Davis’а

Тривиальный факт. Каждое диофантово множество являетсяперечислимым.

Гипотеза M. Davis’а (начало 50-х). Каждое перечислимоемножество является диофантовым.

Гипотеза M. Davis’а была доказана в 1970 году.

DPRM-теорема. Понятия перечислимое множество идиофантово множество совпадают.

Martin Davis, Hilary Putnam, Julia Robinson, Юрий Матиясевич

Page 120: Что можно делать с вещественными числами и нельзя с целыми, осень 2013: Десятая проблема Гильберта. Диофантовы

Гипотеза Martin’a Davis’а

Тривиальный факт. Каждое диофантово множество являетсяперечислимым.

Гипотеза M. Davis’а (начало 50-х). Каждое перечислимоемножество является диофантовым.

Гипотеза M. Davis’а была доказана в 1970 году.

DPRM-теорема. Понятия перечислимое множество идиофантово множество совпадают.

Martin Davis, Hilary Putnam, Julia Robinson, Юрий Матиясевич

Page 121: Что можно делать с вещественными числами и нельзя с целыми, осень 2013: Десятая проблема Гильберта. Диофантовы

Перечисление диофантовых уравнений

M1(a, x) = 0, . . . , Mk(a, x) = 0, . . .

Page 122: Что можно делать с вещественными числами и нельзя с целыми, осень 2013: Десятая проблема Гильберта. Диофантовы

Программа профессора

Генератор уравнений

?

M1(a, x) = 0, . . . , Mk(a, x) = 0, . . .

Page 123: Что можно делать с вещественными числами и нельзя с целыми, осень 2013: Десятая проблема Гильберта. Диофантовы

Программа профессора

Генератор уравнений

?

M1(a, x) = 0, . . . ,

?

Mk(a, x) = 0, . . .?

. . . . . .S(M1(1, x) = 0) S(Mk(k, x) = 0)

Page 124: Что можно делать с вещественными числами и нельзя с целыми, осень 2013: Десятая проблема Гильберта. Диофантовы

Программа профессора

Генератор уравнений

?

M1(a, x) = 0, . . . ,

?

Mk(a, x) = 0, . . .?

. . . . . .S(M1(1, x) = 0) S(Mk(k, x) = 0)

? ?

if S outputs 0then print(1)

if S outputs 0then print(k). . . . . .

? ?

Page 125: Что можно делать с вещественными числами и нельзя с целыми, осень 2013: Десятая проблема Гильберта. Диофантовы

Программа профессора

Генератор уравнений

?

M1(a, x) = 0, . . . ,

?

Mk(a, x) = 0, . . .?

. . . . . .S(M1(1, x) = 0) S(Mk(k, x) = 0)

? ?

if S outputs 0then print(1)

if S outputs 0then print(k). . . . . .

? ?

Page 126: Что можно делать с вещественными числами и нельзя с целыми, осень 2013: Десятая проблема Гильберта. Диофантовы

Программа профессора

Генератор уравнений

?

M1(a, x) = 0, . . . ,

?

Mk(a, x) = 0, . . .?

. . . . . .S(M1(1, x) = 0) S(Mk(k, x) = 0)

? ?

if S outputs 0then print(1)

if S outputs 0then print(k). . . . . .

? ?

S(Mk(k , x) = 0) = 0 ⇔ k ∈MS

Page 127: Что можно делать с вещественными числами и нельзя с целыми, осень 2013: Десятая проблема Гильберта. Диофантовы

Программа профессора

Генератор уравнений

?

M1(a, x) = 0, . . . ,

?

Mk(a, x) = 0, . . .?

. . . . . .S(M1(1, x) = 0) S(Mk(k, x) = 0)

? ?

if S outputs 0then print(1)

if S outputs 0then print(k). . . . . .

? ?

S(Mk(k, x) = 0) = 0 ⇔ k ∈MS

Page 128: Что можно делать с вещественными числами и нельзя с целыми, осень 2013: Десятая проблема Гильберта. Диофантовы

Программа профессора

Генератор уравнений

?

M1(a, x) = 0, . . . ,

?

Mk(a, x) = 0, . . .?

. . . . . .S(M1(1, x) = 0) S(Mk(k, x) = 0)

? ?

if S outputs 0then print(1)

if S outputs 0then print(k). . . . . .

? ?

S(Mk(k , x) = 0) = 0 ⇔ k ∈MS ⇔ ∃x{MS(k , x) = 0}

Page 129: Что можно делать с вещественными числами и нельзя с целыми, осень 2013: Десятая проблема Гильберта. Диофантовы

Программа профессора

Генератор уравнений

?

M1(a, x) = 0, . . . ,

?

Mk(a, x) = 0, . . .?

. . . . . .S(M1(1, x) = 0) S(Mk(k, x) = 0)

? ?

if S outputs 0then print(1)

if S outputs 0then print(k). . . . . .

? ?

S(Mk(k, x) = 0) = 0 ⇔ k ∈MS ⇔ ∃x{MkS (k, x) = 0}

Page 130: Что можно делать с вещественными числами и нельзя с целыми, осень 2013: Десятая проблема Гильберта. Диофантовы

Программа профессора

Генератор уравнений

?

M1(a, x) = 0, . . . ,

?

Mk(a, x) = 0, . . .?

. . . . . .S(M1(1, x) = 0) S(Mk(k, x) = 0)

? ?

if S outputs 0then print(1)

if S outputs 0then print(k). . . . . .

? ?

S(Mk(k, x) = 0) = 0 ⇔ k ∈MS ⇔ ∃x{MkS (k, x) = 0}

S(MkS (kS , x) = 0)

Page 131: Что можно делать с вещественными числами и нельзя с целыми, осень 2013: Десятая проблема Гильберта. Диофантовы

Программа профессора

Генератор уравнений

?

M1(a, x) = 0, . . . ,

?

Mk(a, x) = 0, . . .?

. . . . . .S(M1(1, x) = 0) S(Mk(k, x) = 0)

? ?

if S outputs 0then print(1)

if S outputs 0then print(k). . . . . .

? ?

S(Mk(k, x) = 0) = 0 ⇔ k ∈MS ⇔ ∃x{MkS (k, x) = 0}

S(MkS (kS , x) = 0) =?

Page 132: Что можно делать с вещественными числами и нельзя с целыми, осень 2013: Десятая проблема Гильберта. Диофантовы

Программа профессора

Генератор уравнений

?

M1(a, x) = 0, . . . ,

?

Mk(a, x) = 0, . . .?

. . . . . .S(M1(1, x) = 0) S(Mk(k, x) = 0)

? ?

if S outputs 0then print(1)

if S outputs 0then print(k). . . . . .

? ?

S(Mk(k, x) = 0) = 0 ⇔ k ∈MS ⇔ ∃x{MkS (k, x) = 0}

S(MkS (kS , x) = 0) = 0

Page 133: Что можно делать с вещественными числами и нельзя с целыми, осень 2013: Десятая проблема Гильберта. Диофантовы

Программа профессора

Генератор уравнений

?

M1(a, x) = 0, . . . ,

?

Mk(a, x) = 0, . . .?

. . . . . .S(M1(1, x) = 0) S(Mk(k, x) = 0)

? ?

if S outputs 0then print(1)

if S outputs 0then print(k). . . . . .

? ?

S(Mk(k, x) = 0) = 0 ⇔ k ∈MS ⇔ ∃x{MkS (k, x) = 0}

S(MkS (kS , x) = 0) = 0 ⇒ kS ∈MS

Page 134: Что можно делать с вещественными числами и нельзя с целыми, осень 2013: Десятая проблема Гильберта. Диофантовы

Программа профессора

Генератор уравнений

?

M1(a, x) = 0, . . . ,

?

Mk(a, x) = 0, . . .?

. . . . . .S(M1(1, x) = 0) S(Mk(k, x) = 0)

? ?

if S outputs 0then print(1)

if S outputs 0then print(k). . . . . .

? ?S(Mk(k, x) = 0) = 0 ⇔ k ∈MS ⇔ ∃x{MkS (k, x) = 0}

S(MkS (kS , x) = 0) = 0 ⇒ kS ∈MS ⇒ ∃x{MkS (kS , x) = 0}

Page 135: Что можно делать с вещественными числами и нельзя с целыми, осень 2013: Десятая проблема Гильберта. Диофантовы

Программа профессора

Генератор уравнений

?

M1(a, x) = 0, . . . ,

?

Mk(a, x) = 0, . . .?

. . . . . .S(M1(1, x) = 0) S(Mk(k, x) = 0)

? ?

if S outputs 0then print(1)

if S outputs 0then print(k). . . . . .

? ?

S(Mk(k, x) = 0) = 0 ⇔ k ∈MS ⇔ ∃x{MkS (k, x) = 0}

S(MkS (kS , x) = 0) = 1

Page 136: Что можно делать с вещественными числами и нельзя с целыми, осень 2013: Десятая проблема Гильберта. Диофантовы

Программа профессора

Генератор уравнений

?

M1(a, x) = 0, . . . ,

?

Mk(a, x) = 0, . . .?

. . . . . .S(M1(1, x) = 0) S(Mk(k, x) = 0)

? ?

if S outputs 0then print(1)

if S outputs 0then print(k). . . . . .

? ?

S(Mk(k, x) = 0) = 0 ⇔ k ∈MS ⇔ ∃x{MkS (k, x) = 0}

S(MkS (kS , x) = 0) = 1 ⇒ kS 6∈ MS

Page 137: Что можно делать с вещественными числами и нельзя с целыми, осень 2013: Десятая проблема Гильберта. Диофантовы

Программа профессора

Генератор уравнений

?

M1(a, x) = 0, . . . ,

?

Mk(a, x) = 0, . . .?

. . . . . .S(M1(1, x) = 0) S(Mk(k, x) = 0)

? ?

if S outputs 0then print(1)

if S outputs 0then print(k). . . . . .

? ?S(Mk(k, x) = 0) = 0 ⇔ k ∈MS ⇔ ∃x{MkS (k, x) = 0}

S(MkS (kS , x) = 0) = 1 ⇒ kS 6∈ MS ⇒ ¬∃x{MkS (kS , x) = 0}

Page 138: Что можно делать с вещественными числами и нельзя с целыми, осень 2013: Десятая проблема Гильберта. Диофантовы

Универсальное уравнение

Список всех однопараметрических уравнений:

M1(a, x1, . . . ) = 0, . . . ,Mk(a, x1, . . . ) = 0, . . .

〈a, k〉 ∈ U⇔ ∃x1, . . . {Mk(a, x1, . . . ) = 0}

〈a, k〉 ∈ U ⇔ ∃y1 . . . yn{U(a, k , y1, . . . , yn) = 0}

∃x1, . . . {Mk(a, x1, . . . ) = 0} ⇔ ∃y1 . . . yn{U(a, k , y1, . . . , yn) = 0}

Page 139: Что можно делать с вещественными числами и нельзя с целыми, осень 2013: Десятая проблема Гильберта. Диофантовы

Универсальное уравнениеСписок всех однопараметрических уравнений:

M1(a, x1, . . . ) = 0, . . . ,Mk(a, x1, . . . ) = 0, . . .

〈a, k〉 ∈ U⇔ ∃x1, . . . {Mk(a, x1, . . . ) = 0}

〈a, k〉 ∈ U ⇔ ∃y1 . . . yn{U(a, k , y1, . . . , yn) = 0}

∃x1, . . . {Mk(a, x1, . . . ) = 0} ⇔ ∃y1 . . . yn{U(a, k , y1, . . . , yn) = 0}

Page 140: Что можно делать с вещественными числами и нельзя с целыми, осень 2013: Десятая проблема Гильберта. Диофантовы

Универсальное уравнениеСписок всех однопараметрических уравнений:

M1(a, x1, . . . ) = 0, . . . ,Mk(a, x1, . . . ) = 0, . . .

〈a, k〉 ∈ U⇔ ∃x1, . . . {Mk(a, x1, . . . ) = 0}

〈a, k〉 ∈ U ⇔ ∃y1 . . . yn{U(a, k , y1, . . . , yn) = 0}

∃x1, . . . {Mk(a, x1, . . . ) = 0} ⇔ ∃y1 . . . yn{U(a, k , y1, . . . , yn) = 0}

Page 141: Что можно делать с вещественными числами и нельзя с целыми, осень 2013: Десятая проблема Гильберта. Диофантовы

Универсальное уравнениеСписок всех однопараметрических уравнений:

M1(a, x1, . . . ) = 0, . . . ,Mk(a, x1, . . . ) = 0, . . .

〈a, k〉 ∈ U⇔ ∃x1, . . . {Mk(a, x1, . . . ) = 0}

〈a, k〉 ∈ U ⇔ ∃y1 . . . yn{U(a, k , y1, . . . , yn) = 0}

∃x1, . . . {Mk(a, x1, . . . ) = 0} ⇔ ∃y1 . . . yn{U(a, k , y1, . . . , yn) = 0}

Page 142: Что можно делать с вещественными числами и нельзя с целыми, осень 2013: Десятая проблема Гильберта. Диофантовы

Универсальное уравнениеСписок всех однопараметрических уравнений:

M1(a, x1, . . . ) = 0, . . . ,Mk(a, x1, . . . ) = 0, . . .

〈a, k〉 ∈ U⇔ ∃x1, . . . {Mk(a, x1, . . . ) = 0}

〈a, k〉 ∈ U ⇔ ∃y1 . . . yn{U(a, k , y1, . . . , yn) = 0}

∃x1, . . . {Mk(a, x1, . . . ) = 0} ⇔ ∃y1 . . . yn{U(a, k , y1, . . . , yn) = 0}

Page 143: Что можно делать с вещественными числами и нельзя с целыми, осень 2013: Десятая проблема Гильберта. Диофантовы

Текущие рекордыЗадача о решении произвольного параметрическогодиофантова уравнения может быть сведена к решениюэквивалентного диофантова уравнения, имеющего степень D иN неизвестных, где в качестве 〈D,N〉 можно взять любую изследующих пар:

〈4, 58〉, 〈8, 38〉, 〈12, 32〉, 〈16, 29〉, 〈20, 28〉, 〈24, 26〉, 〈28, 25〉, 〈36, 24〉,〈96, 21〉, 〈2668, 19〉, 〈2× 105, 14〉, 〈6.6× 1043, 13〉, 〈1.3× 1044, 12〉,

〈4.6× 1044, 11〉, 〈8.6× 1044, 10〉, 〈1.6× 1045, 9〉.

Page 144: Что можно делать с вещественными числами и нельзя с целыми, осень 2013: Десятая проблема Гильберта. Диофантовы

Непростой многочлен для простых чиселТеорема (J.P.Jones, D.Sato, H.Wada, D.Wiens, [1976])Множество всех простых чисел – это в точности множествовсех положительных значений, принимаемых многочленом

(k + 2) { 1 −[wz + h + j − q]2

− [(gk + 2g + k + 1)(h + j) + h − z]2

− [2n + p + q + z − e]2

−[16(k + 1)3(k + 2)(n + 1)2 + 1− f 2]2

−[e3(e + 2)(a+ 1)2 + 1− o2]2

−[(a2 − 1)y2 + 1− x2]2

−[16r2y4(a2 − 1) + 1− u2]2 − [n + l + v − y ]2

−[((a+ u2(u2 − a))2 − 1

)(n + 4dy)2 + 1− (x + cu)2

]2−

[(a2 − 1)l2 + 1−m2]2

−[q + y(a− p − 1) + s(2ap + 2a− p2 − 2p − 2)− x

]2−

[z + pl(a− p) + t(2ap − p2 − 1)− pm

]2− [ai + k + 1− l − i ]2

−[p + l(a− n − 1) + b(2an + 2a− n2 − 2n − 2)−m

]2 }при натуральных значениях 26 переменных a, b, c , . . . , x , y , z .

Page 145: Что можно делать с вещественными числами и нельзя с целыми, осень 2013: Десятая проблема Гильберта. Диофантовы

Диофантовы машиныФормализация недетерминизма

Leonard Adleman и Kenneth Manders [1976] ввели понятиенедетерминированной диофантовой машины, NDDM .

NDDM

P(a, x1, . . . , xm)?= 0 �-

? --

входa

угадатьx1, . . . , xm

ДА НЕТ

принять a отвергнуть

DPRM-теорема: NDDM имееют такую же вычислительнуюсилу как, например, машины Тьюринга, то есть любоемножество, принимаемое некоторой машиной Тьюринга,принимается некоторой NDDM, и, очевидно, наоборот.

Page 146: Что можно делать с вещественными числами и нельзя с целыми, осень 2013: Десятая проблема Гильберта. Диофантовы

Диофантовы машиныФормализация недетерминизма

Leonard Adleman и Kenneth Manders [1976] ввели понятиенедетерминированной диофантовой машины, NDDM .

NDDM

P(a, x1, . . . , xm)?= 0 �-

? --

входa

угадатьx1, . . . , xm

ДА НЕТ

принять a отвергнуть

DPRM-теорема: NDDM имееют такую же вычислительнуюсилу как, например, машины Тьюринга, то есть любоемножество, принимаемое некоторой машиной Тьюринга,принимается некоторой NDDM, и, очевидно, наоборот.

Page 147: Что можно делать с вещественными числами и нельзя с целыми, осень 2013: Десятая проблема Гильберта. Диофантовы

Диофантовы машиныФормализация недетерминизма

Leonard Adleman и Kenneth Manders [1976] ввели понятиенедетерминированной диофантовой машины, NDDM .

NDDM

P(a, x1, . . . , xm)?= 0 �-

? --

входa

угадатьx1, . . . , xm

ДА НЕТ

принять a отвергнуть

DPRM-теорема: NDDM имееют такую же вычислительнуюсилу как, например, машины Тьюринга, то есть любоемножество, принимаемое некоторой машиной Тьюринга,принимается некоторой NDDM, и, очевидно, наоборот.

Page 148: Что можно делать с вещественными числами и нельзя с целыми, осень 2013: Десятая проблема Гильберта. Диофантовы

Диофантова сложностьОпределения

NDDM

P(a, x1, . . . , xm)?= 0 �-

? --

входa

угадатьx1, . . . , xm

ДА НЕТ

принять a отвергнуть

SIZE(a)=минимально возможное значение |x1|+ · · ·+ |xm|, где|x | обозначает длину двоичной записи x .

Page 149: Что можно делать с вещественными числами и нельзя с целыми, осень 2013: Десятая проблема Гильберта. Диофантовы

Диофантова сложностьОпределения

NDDM

P(a, x1, . . . , xm)?= 0 �-

? --

входa

угадатьx1, . . . , xm

ДА НЕТ

принять a отвергнуть

SIZE(a)=минимально возможное значение |x1|+ · · ·+ |xm|, где|x | обозначает длину двоичной записи x .

Page 150: Что можно делать с вещественными числами и нельзя с целыми, осень 2013: Десятая проблема Гильберта. Диофантовы

Диофантова сложностьD vs NP

Leonard Adleman и Kenneth Manders [1975] ввели врассмотрение класс D состоящий из множествM имеющихпредставления вида

a ∈M ⇐⇒⇐⇒ ∃x1 . . . xm

[P(a, x1, . . . , xm) = 0& |x1|+ · · ·+ |xm| ≤ |a|k

].

Открытая проблема. D ?= NP.

Page 151: Что можно делать с вещественными числами и нельзя с целыми, осень 2013: Десятая проблема Гильберта. Диофантовы

Диофантова сложностьD vs NP

Leonard Adleman и Kenneth Manders [1975] ввели врассмотрение класс D состоящий из множествM имеющихпредставления вида

a ∈M ⇐⇒⇐⇒ ∃x1 . . . xm

[P(a, x1, . . . , xm) = 0& |x1|+ · · ·+ |xm| ≤ |a|k

].

Открытая проблема. D ?= NP.