اقتصاد رياضي 6-8 - rezahajargasht.webs.comrezahajargasht.webs.com/MathEcon 6-9.pdf · (زاﺮﻴﺷ ﻩﺎﮕﺸﻧاد) ﺖﺸﮔﺮﺠﺣ ﺎﺿﺮﻣﻼﻏ ﺮﺘﮐد

Math Econ

Matrix Algebra II

)دانشگاه شيراز(دکتر غالمرضا حجرگشت اقتصاد رياضی 15/11/88

)دانشگاه شيراز (دکتر غالمرضا حجرگشت اقتصاد رياضی 2/11/86

Eigenvalues

را طوري تعريف v و بردار r ميتوان اسكالر Aبراي هر ماتريس مربع •كرد كه

ما ميتوانيم . بردار ويژه ناميده ميشود v مقدار ويژه و بردار rاسكالر •سيستم فوق را بصورت زير بنويسيم

r=Av v

( )

rrr

− =− =

− =

Av v 0Av Iv 0A I v 0


Eigenvalues II

بر طبق آنچه در بحث سيستمهاي معادالت خطي همگن •گفته شده اين سيستم در صورتي جواب غير صفر دارد كه

براي يك ماتريس دترمينان فوق به يك چند جمله • تبديل ميشود كه چند جمله اي مشخصه nاي از مرتبه

ناميده ميشود كه از حل آن مقادير ويژه محاسبه ميشوند

( )det r 0− =A I


مقادير و بردارهاي ويژه ماتريسهاي زير را پيدا كنيد •

1 32 0−⎡ ⎤⎢ ⎥⎣ ⎦

1 0 20 5 03 0 2

⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

Examples


Important Thoerems

قضيه زير رابطه مقادير ويژه با اثر و دترمينان را نشان •.ميدهد

r1,…..,rk با مقادير ويژه k در k ماتريسي Aفرض كنيد •در اينصورت خواهيم داشت . باشد

1 2 k

1 2 k

r r ....... r trace( )r .r .......r det( )+ + + =

=A

A


: احكام زير را ثابت كنيد •اگر ماتريسي وارون ناپذير باشد حداقل يكي از مقادير •

ويژه آن صفر است و بعكس براي يك ماتريس مثلثي درايه هاي روي قطر اصلي مقادير •

ويژه ماتريس هستند دترمينان يك ماتريس خودتوان برابر صفر يا يك است؟ • مقادير ويژه يك ماتريس خودتوان برابر صفر يا يك •

هستند؟

Examples


مقادير r1,r2, ….,rk. باشدk در k ماتريسي Aفرض كنيد : قضيه•

ماتريس . بردارهاي ويژه متناظر باشندv1, v2,…..vkويژه آن و زير را تشكيل دهيد

معكوسپذير باشد آنگاه Pاگر •

ماتريسي P-1AP=Dبرعكس قضيه نيز صادق است يعني اگر • D بردارهاي ويژه و عناصر روي قطر Pقطري باشد ستونهاي

هستندAمقادير ويژه

1 2 k[ ,......., ]P = v , v v

1

2

k

r 0 00 r

00 0 r

⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥=⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

-1P AP

L

M

M OL

Matrix Diagonalization


سه حالت زير قابل تصور است •

مقادير ويژه متفاوت r1,r2,…..,rh فرض كنيد :قضيه •در اينصورت بردارهاي ويژه . باشد ) k در k) Aماتريس

v1,v2,…..,vh از همديگر مستقل خطي هستند .

را براحتي ميتوان تشكيل داد Pدر حالت اول فوق ماتريس •ولي براي ساير حاالت اينچنين نيست اما اين حاالت خارج

از بحث اين كالس است

Matrix Diagonalization II


براي ماتريس زير •

صحت قضيه پيشين را تحقيق كنيد

قضيه را براي حالت كلي ثابت نمائيد •

1 32 0−⎡ ⎤⎢ ⎥⎣ ⎦

Examples


معادله اي بشكل زير معادله تفاضلي ناميده ميشود •

در هر دوره معادل مقدار yاين معادله ميگويد كه مقدار • ميباشد aآن در دوره قبل ضربدر مقدارثابت

بر ynمنظور از حل معادله تفاضلي بدست آوردن مقدار •ميباشد y0حسب مقدار آن در سال پايه

n 1 ny ay+ =

Difference Equations


Solutions

1 0y ay=2

2 1 0 0y ay a(ay ) a y= = =2 3

3 2 0 0y ay a(a y ) a y= = =n 1 n

n n 1 0 0y ay a(a y ) a y−−= = =

n 1 ny (1 r)y+ = +

براي حل معادله تفاضلي فوق بصورت زير ميتوان عمل •كرد

از اقتصاد مالي ميدانيم كه : مثال •

مقدار پول در بانك بر حسب سال پايه چقدر خواهد بود •


System of Equations

حاال دستگاه معادالت تفاضلي دو متغيره زير را در نظر بگيريد كه •در آن هر متغير تركيبي خطي از آن متغير و متغيري ديگر از دوره

قبلي ميباشد

يا بزبان ماتريسي •

n 1 n n

n 1 n n

x ax byy cx dy

+

+

= +⎧⎨ = +⎩


Bivariate Systems

دستگاه معادالت . باشد b=c=0اگر در معادالت فوق •بصورت زير خواهد شد

در اين صورت ما ميتوانيم دستگاه را به صورت دو معادله •مجزا حل كنيم

n 1 n

n 1 n

x axy dy

+

+

=⎧⎨ =⎩

nn 0

nn 0

x ax

y dy

⎧ =⎪⎨

=⎪⎩


Solution of Systems

• Suppose

• Use the following change of variables

• Then

-1Z= P z

n+1 nz = Az

n 1 n 1 n( )+ + = =-1 -1 -1nZ =P z P Az P AP Z


• We have

Solution of Systems


• Transforming back to z variables

مثال زير را با استفاده از اين روش حل نمائيد •

n 1 n n

n 1 n n

x x 4yy 0.5x 0y

+

+

= +⎧⎨ = +⎩

Solution of Systems


A stochastic process is a rule which gives the probability that a system will be in state i at time n+1 given the probabilities of its being in the various states in previous periods. This probability could depend on the whole previous history of the system but when the probability that system was at time n+1 depends only on what the system was at time n, the stochastic process is called a Markov process. For a Markov process, only the immediate past matters.

The key elements of Markov process are:(1) the probability of xi(n) that state i occurs at time period n, or alternatively, the fraction of the population under study that is in state i at time period n; and(2) the transition probabilities mij where mij is the probability that process will be in state I at time n+1 if it isin state j at time n

Markov Process


• We can put the transition probabilities into a matrix called

transition or Markov matrix

• Suppose that xj(n) denotes the fraction of a population of size N that is in state j in time period n. then the total number of members in state j in period n is xj(n)N. By hypothesis of these will be in state i in period(n+1). The total number of population members in state i in period (n+1), xi(n+1)N, is the sum over j of the numbers that move from j to i:

11 12 1k

21 22 2n

k1 k2 kk

m m mm m m

m m m

⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥=⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

M

L

L

M O

L

ki j

ijj 1

x (n 1)N m x (n)N=

+ =∑

jijm x (n)

Markov Process II


• or in Matrix notation after dividing by N

• The above system is called a Markov process

1 111 12 1k

21 22 2k

k kk1 k2 kk

m m mx (n 1) x (n)m m m

m m mx (n 1) x (n)

⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎡ ⎤+⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎢ ⎥⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎢ ⎥=⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎢ ⎥⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎢ ⎥⎜ ⎟ ⎜ ⎟+ ⎣ ⎦⎝ ⎠ ⎝ ⎠

L

LM M

M OM M

L

(n 1) (n)+ =x Mx

Markov Process III


Theorem: Let M be a regular Markov Matrix

Theorem


فرض كنيد در يك جمعيت مورد مطالعه هر فرد يا شاغل • درصد جمعيتي كه در x1(n)فرض كنيد . يا بيكار باشد

درصد جمعيت بيكار در پايان x2(n) بيكار و nپايان دوره درصد 90فرض كنيد هر شخص شاغل . باشد nدوره

شانس شاغل ماندن در دوره بعدي را داشته باشد و شانس درصد 40يافتن شغل براي شخص بيكار در دوره بعدي

. باشد معادالت حاكم بر ديناميك سيستم را بنويسيد ) 1 (درصد جمعيت شاغل و بيكار در جمعيت چقدر ) 2 (

خواهد بود؟

Example


. و متقارن باشد k در k ماتريسي Aفرض كنيد : قضيه•

حقيقي هستندr1,r2, ….,rk تمام مقادير ويژه آن -1 مستقل خطي هستندA بردارهاي ويژه متناظر با مقادير ويژه متمايز -2 حتي در صورتيكه كه تكرر مقادير ويژه داشته باشيم ماتريس -3

ونهاي آن بردارهاي ويژه وجود دارد كه ست هستند و

مستقل خطي هستند) الف) ب) ج

k[ ]1 2P = w ,w , .......,w

1

2T

k

r 0 00 r

00 0 r

⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥= =⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

-1P AP P AP

L

M

M O

L

-1 TP = Pk1 2w ,w , .......,w

Diagonalization of Symetric Matrices


ماتريسهاي زير را قطري نمائيد •Examples


متغيره 2فرم درجه دوم •

فرم درجه دوم سه متغيره •

فرم درجه دوم در حالت كلي •k k

1 k ij i ji 1 j 1

Q(x ,...., x ) a x x= =

=∑∑

Quadratic Formst


Quadratic Forms II

.


يك فرم درجه دوم مثبت معين، مثبت نيمه معين، منفي • معين، منفي نيمه معين و غير معين ناميده ميشود اگر

Positive and Negative Definitness


مقادير ويژه و فرم درجه دوم معين

قضيه زير رابطه مقادير ويژه و منفي يا مثبت معين بودن •ماتريسها را نشان ميدهد


شرط الزم و كافي براي مثبت معين بودن اينست كه تمام •مينورهاي اصلي مثبت باشند يعني

شرط الزم و كافي براي منفي معين بودن اينست كه دترمينان •مينورهاي اصلي بتناوب منفي و مثبت باشند يعني

11 12 1n

11 12 12 22 2n1 11 2 n

12 22

1n 2n nn

a .5a ... .5aa .5a .5a a .... .5a

D | a | 0, D 0, ....., D 0.5a a

.5a .5a ... a

= > = > = >

Determinant Conditions

11 12 n1 11 2 3 n

12 22

a .5aD | a | 0, D 0, D 0, ..... , ( 1) D 0

.5a a= < = > < − >


دو و سه متغيره قضيه فوق را براي حالت دو و سه متغيره نشان دهيد •

( )11 12 13 1

1 2 3 21 22 23 2

31 32 33 3

a a a xx x x a a a x

a a a x

⎛ ⎞⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟ =⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠⎝ ⎠

2 2213 12 23 12 13 312 2

1 1 2 3 2 3 313 11 1 2 2

a a a a a | A |a | A || A | x x x x x xa a | A | | A | | A |

⎛ ⎞ ⎛ ⎞−+ + + + +⎜ ⎟ ⎜ ⎟

⎝ ⎠⎝ ⎠


فرمهاي درجه دوم زير مثبت معين هستند يا خير؟ •

2 2 21 2 3 1 2 2 31) u 6u 3u 2u u 4u u+ + − −

2 2 22) 2u 3v w 6uv 8uw 2vw+ − + − −

Examples


مساله معين بودن فرم درجه دوم دو متغيره زير را در •نظر بگيريد

مشروط بر •

Constrained Quadratic Forms


در حالت كلي •

مشروط بر •

Constraioned Quadratic Forms II


Define H as

(a) If det(H) has the same sign as (-1)n and n-m leading principal minors alternate in sign then Q is negative definite

(b) If det(H) and the last n-m leading principal minors has the same sign as (-1)n then Q is positive definite

(c) If both of the above conditions are violated by non-zero leading principal minors then Q is not definite

11 1n

m m m n m1 mnT

n n 11 m1 11 1n

1n mn n1 nn

0 0 B B

0 0 B BH

B B a a

B B a a

× ×

×

⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎛ ⎞

= = ⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎜ ⎟

⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

0 BB A

L L

M O M M O M

L L

L L

M O M M O M

L L

Constrained Quadratic Fortms III


مثبت يا منفي معين بودن عبارت زير را •

مشروط بر محدوديتهاي زير

تعيين كنيد

Examples

Documents

اقتصاد رياضي 6-8 - rezahajargasht.webs.comrezahajargasht.webs.com/MathEcon 6-9.pdf · (زاﺮﻴﺷ ﻩﺎﮕﺸﻧاد) ﺖﺸﮔﺮﺠﺣ ﺎﺿﺮﻣﻼﻏ ﺮﺘﮐد