제 7 장 . 정수계획모형

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제 제 77 장장 . . 정수계획모형정수계획모형

경영과학 1

2008. 가을김민경 ([email protected])

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학습목표학습목표

정수계획법의 모형화 정수계획법의 해법 분단탐색법 K-opt 를 이용한 정수계획모형의 풀이 정수계획법의 적용사례

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정수계획법 (IP ; Integer Programming) : 의사결정변수가 정수의 값만을 갖는 수리계획법

정수선형계획법 (ILP) : IP 중에서도 목적함수와 제약조건이 모두 1 차식인 경우

정수계획모형의 종류 - 순수정수계획모형 : 모든 변수가 정수인 모형- 혼합정수계획모형 : 일부가 정수인 모형- 0-1 정수계획모형 : 모든 변수가 0 또는 1 인 모형

정수계획법이 중요하게 다루어지는 이유- 실제 의사결정 상황이 정수인 해를 요구- 정수계획모형으로 모형화하면 보다 쉽게 해결되는 경우

모형화 : 정수계획 모형은 선형계획모형에 변수가 정수이어야 한다는 조건을 추가

정수계획법의 모형화정수계획법의 모형화

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예제 7-1 한국슈퍼연쇄점은 최근 사세확장을 위하여 신규점포와 중간저장설비를

신설할 계획으로 155 억원의 자금을 확보하였다 . 신규점포는 신설비용이 개당 10 억원이 소요되며 이를 통해 한 달에 3000 만원의 수익을 올릴 수 있고 , 저장설비는 개당 30 억원의 자금이 소요되며 이를 통해 한 달에 7200 만원의 수익을 올릴 수 있다 . 경영층에서는 최소한 한 개의 신규저장설비를 설치할 예정이며 신규점포는 5 개를 넘지 않는 범위에서 설치하려고 한다 . 한국슈퍼는 확보된 자금으로 최대의 수익을 얻을 수 있는 신설계획을 수립하고자 한다 .

의사결정변수 : 신설점포수와 신설저장시설의 수 → 정수계획모형 X1 : 신설점포의 수 , X2 : 신설저장시설의 수 ( X1 과 X2 는 음이 아닌 정수이어야 함 )

정수계획법의 모형화와 해법 정수계획법의 모형화와 해법

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예제 7-1 의사결정변수 : 신설점포수와 신설저장시설의 수 → 정수계획모형

X1 : 신설점포의 수 , X2 : 신설저장시설의 수 ( X1 과 X2 는 음이 아닌 정수이어야 함 )

목적함수는 월간 예상총이익을 최대화 ( 단위 : 만원 ) Max. Z = 3000X1 + 7200X2

제약조건 s. t. 10X1 + 30X2 ≤ 155 ( 자금제약식 , 단위 : 억원 ) X1 ≤ 5 ( 신규점포제약 ) X2 ≥ 1 ( 신규창고제약 ) X1, X2 는 음이 아닌 정수

정수계획법의 모형화와 해법 정수계획법의 모형화와 해법

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해법의 종류

① 열거법

② 선형계획법의 해를 이용한 근사법

③ 절단평면법 (cutting plane method)

④ 분단탐색법 (branch and bound method)

정수계획법의 해법 정수계획법의 해법

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LP 의 실행가능영역

열거법 : 실행가능해를 모두 열거하여 최적해를 찾는 방법

x2

x1

5

1

05

정수 최적해 (3 , 4) Z = 3 억 7800만원


실행가능정수해

4

3

2

4321

등이익선

LP 의 최적해 (5 , 3.5)Z = 4 억 200 만원

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열거법의 문제점•그래프를 이용한 분석의 경우 변수가 두 개인 모형만 가능•꼭지점에서 최적해가 발생한다는 성질이 없으므로 최적해를 구하기

위해서는 제약조건을 만족하는 거의 모든 정수해 들을 조사해야 함•But, 선형계획법의 해법과 같은 효율적인 해법은 아직 없는 상태

절단평면법 새로운 제약식 ( 절단평면 ) 을 추가하여 기존의 실행가능영역 중 정수해를 포함하지 않는 부분을 제외 위 과정을 반복하여 최적 정수해를 구하는 방법

☞ 선형계획법의 민감도분석의 기법을 적용하는 것으로 개념적으로는 우수하지만 계산상의 효율성이 떨어짐


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분단탐색법 해의 집합을 열거해 가면서 최적해의 가능성을 검토 가능성이 없는 집합은 고려대상에서 제외시켜 검토 영역을 좁혀나감으로써 최적정수해를 찾는 방법 해의 집합을 열거하기 때문에 부분적인 열거법이라고 함

☞ 다른 해법에 비해 개념상으로나 계산상으로 가장 우수한 방법

선형계획법에 의한 근사법

변수의 정수제약조건을 완화한 선형계획모형 (LP relaxation) 의 해를 구하여 ,

그 값을 반올림 , 반내림하거나 절삭하여 정수해를 구하는 방법☞ 매우 쉬운 방법이기는 하지만 최적해를 얻지 못하거나 실행불가능한 해를 얻을 수도 있다 .

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분단탐색법의 절차

(1) 문제 나누기 (branching) - 완화된 LP 문제의 실행가능영역을 비정수인 변수의 측면에서 두 개의 상호

배타적인 영역으로 나누어 , 두 개의 부분문제를 만든다 . (2) 한계 정하기 (bounding) - 두개로 나누어진 문제에 대하여 각각의 해를 구하고 , 이를 토대로 원래의 문제가 가질 수 있는 한계 값을 정한다 . (3) 검토하기 (fathoming) - 목적함수의 한계 값이 결정된 각 문제에 대하여 최적해로서의 가능성을 검토하고 , 최적해의 가능성이 없는 문제는 고려 대상에서 제외시킨다 .

분단탐색법분단탐색법

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예제 7-1 : 분단탐색법 적용

선형계획법의 최적해 : (X1, X2) = (5, 3.5), Z = 4 억 200 만원

목적함수값 4 억 200 만원은 최적정수해가 가질 수 있는 목적함수값의 상한

X2 는 3 에서 4 사이의 값을 가질 수 없음 -> X2≤3 혹은 X2≥4


Z*=40200

X1*=5, X2*=3.5

Z*=36600

X1*=5, X2*=3

Z*=39300

X1*=3.5, X2*=4

Z*=39000

X1*=3, X2*=4.2

실행불가능

Z*=37800

X1*=3, X2*=4

Z*=37500

X1*=0.5, X2*=5

X2 ≤ 3 X2 ≥ 4

X1 ≤ 3 X1 ≥ 4

X2 ≤ 4 X2 ≥ 5

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분단탐색법 적용 예제 Max. Z = 4X1 + 6X2

s. t. 5X1 + 10X2 ≤ 38 X1 + X2 ≤ 5

X2 ≥ 1 X1, X2 ≥ 0

x2

x1

5

1

05

등이익선

실행가능영역

LP 의 최적해 (2.4,2.6)Z = 25.2

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x2

x1

5

1

05

(2,2.8)

②번 문제의실행가능영역

③번 문제의실행가능영역(3,2)

X1=2 X1=3

(1) 문제 나누기 X1, X2 둘다 정수가 아님 → 문제 나누기 필요 ( 일반적으로 소수점이하 부분이 정수에 더 가까운 것부터 분기 ) X1 을 분기 → ② ,③ 번 문제 생성

②번 : 원래 문제에 X1 ≤ 2 추가 ③번 : X1 ≥ 3 제약을 추가

(2) 한계 정하기 ② 번 문제의 최적해

(X1, X2) = (2, 2.8), Z = 24.8 ③ 번 문제의 최적해

(X1, X2) = (3, 2), Z = 24 → 정수해이므로 최적해의 후보 ( 목적함수의 하한 : 24)


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5

(3) 검토하기

②번 문제의 X2 를 분기

→ ④ ,⑤ 번 문제 생성

④ 번 문제의 최적해 (X1, X2) = (2, 2), Z = 20

→ 정수조건을 만족

(but, 24 보다 작으므로 탈락 )

⑤ 번 문제의 최적해 (X1, X2) = (1.6, 3), Z = 24.4

→ 정수조건을 만족 하지 못하므로 다시 분기 (⑥, ⑦ 문제 생성 )

x2

x1

5

1

0

④번 문제의실행가능영역

(2,2)

X2=3

X2=2

(1.6,3)

⑤번 문제의실행가능영역


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X1 = 2.4, X2 = 2.6Z= 25.2

X1 = 2, X2 = 2.8Z= 24.8

X1 = 2, X2 = 2Z= 20

X1 = 2, X2 = 2Z= 20

X1 = 3, X2 = 2Z= 24

X1 = 3, X2 = 2Z= 24

X1 = 1.6, X2 = 3Z= 24.4

X1 = 1, X2 = 3.3Z= 23.8

실행불가능

①

③②

⑤④

⑦⑥

< 정수해 > : 최적해

X1 ≤ 2 X1 ≥ 3

X2 ≤ 2, X2 ≥ 3

< 정수해 > X1 ≤ 1 X1 ≥ 2

23.8 ≤ 현재의 하한값 (24)


분단탐색법 적용 예제

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K-opt 분단탐색법을 이용하여 연속적인 변수와 0 또는 1 만이 될 수 있는

이진변수가 혼합되어 있는 혼합정수계획모형을 풀 수 있다 . K-opt 가 풀수 있는 최대 크기는

제약식의 개수 : 100 개 이하 변수들 ( 연속변수 및 이진변수 ) 의 총 개수 : 100 개 이하 이진변수들의 개수 : 20 개 이하

K-opt 의 한계 이진변수만을 취급할 수 있으므로 예제 7-1 과 같이 모든 정수값을 가질

수 있는 정수변수를 갖는 개수결정문제는 직접 해결할 수 없음 일반적인 정수변수를 이진변수와 변환하여 K-opt 활용가능

K-optK-opt 를 이용한 정수계획법의 풀이를 이용한 정수계획법의 풀이

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예제 7-2 : 자금운용계획 (Capital Budgeting) H 그룹은 다음 3 년간의 ; 투자계획으로서 3 가지의 사업을 고려하고 있다 .

각 사업에 소요되는 자금의 연도별 예상액과 이 사업이 가져올 사업이익금의 현재가치가 표와 같이 주어져 있다 . H 그룹은 가용자금 한도 안에서 총 사업이익의 현재가치가 최대가 되도록 사업을 선택하고자 한다 .

H 그룹 투자계획 관련 자료 ( 단위 : 억원 )

정수계획법의 적용사례정수계획법의 적용사례

사업 사업이익의 현재가치

자금소요계획

첫해 둘째 해 셋째 해

공장확장 450 100 100 100

창고신설 200 150 50 50

첨단기계설치 350 50 200 100

가용자금 250 400 200

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예제 7-2 : 자금운용계획 (Capital Budgeting) 의사결정변수

X1 = 1, 공장확장을 추진하는 경우 0, 공장확장을 취소하는 경우 X2 = 1, 창고신설을 추진하는 경우 0, 창고신설을 취소하는 경우 X3 = 1, 첨단기계설치를 추진하는 경우 0, 첨단기계설치를 취소하는 경우

목적함수 ( 총이익의 최대화 , 단위 : 억원 ) Max Z = 450 X1 +200 X2 +350 X3


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예제 7-2 : 자금운용계획 (Capital Budgeting) 제약식

100X1 +150X2+ 50X3 ≤ 250 100X1 + 50X2+200X3 ≤ 400 50X1 + 200X2+100X3 ≤ 200 X1, X2, X3 은 0 또는 1

선형계획모형Max 450 X1 +200 X2 +350 X3

s.t 100X1 +150X2+ 50X3 ≤ 250

100X1 + 50X2+200X3 ≤ 400

100X1 + 50X2+100X3 ≤ 200

X1, X2, X3 은 0 또는 1


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예제 7-2 : 자금운용계획 (Capital Budgeting) – K-opt 풀이 입력

분석결과


¸ñÀûÇÔ¼ö °ª : 800.00000

º¯ ¼ö ÃÖ Àû ÇØ ----------------------------------------- X1 1 X2 0 X3 1

Á¦¾à½Ä Á¾·ù ¿©À¯/À×¿© º¯¼ö ------------------------------------------ 1 <= 100.00000 2 <= 100.00000 3 <= 50.00000

¸ñÀûÇÔ¼ö °ª : 800.00000

º¯ ¼ö ÃÖ Àû ÇØ ----------------------------------------- X1 1 X2 0 X3 1

Á¦¾à½Ä Á¾·ù ¿©À¯/À×¿© º¯¼ö ------------------------------------------ 1 <= 100.00000 2 <= 100.00000 3 <= 50.00000

Max 450 X1 +200 X2 +350 X3st 100X1 +150X2+ 50X3 < 250 100X1 + 50X2+200X3 < 400 50X1 + 200X2+100X3 < 200integer X1 X2 X3end

Max 450 X1 +200 X2 +350 X3st 100X1 +150X2+ 50X3 < 250 100X1 + 50X2+200X3 < 400 50X1 + 200X2+100X3 < 200integer X1 X2 X3end

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고정비문제 선형계획모형의 비례의 조건을 완화 생산활동의 수준에 관계없이 발생하는 고정비 (fixed cost) 고려 가능 변동비를 a, 고정비를 f, 생산수준이 X 일 때의 총 비용 C(X)

C(X) = f + aX, X >0 일 때

0 , X=0 일 때


총비용

생산수준

총비용 = 고정비용 + 변동비용

변동비용 =( 변동비 × 생산수준 )

고정비용

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고정비문제 정수변수 Y 의 도입

Y = 1 , X > 0 일 때 ( 즉 , 생산할 때 )

0 , X = 0 일 때 ( 즉 , 생산하지 않을 때 )

C(X) = fY + aX

X ≤ MY ( M : X 가 가질 수 있는 값의 범위 이상되는 양수 )


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예제 7-3 : 고정비문제 K 공업은 20000 단위의 제품을 3 개의 기계를 통하여 생산하고 있는데 각

기계를 가동시키기 위해서는 일정한 고정비가 소요된다 . 각 기계의 고정비 , 변동비 및 생산능력 등이 다음 표에 정리되어 있다 .

K 공업은 20000 단위의 제품을 어느 기계로 생산하는 것이 총생산비를 최소화하는지 알아보고 싶다 .


기계 고정비 ( 만원 )변동비 ( 만원 /단위 )

생산능력

1 300 2 8000

2 100 10 13000

3 200 5 14000

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예제 7-3 : 고정비문제 의사결정변수

Yj = 1, 기계 j 를 가동시키는 경우 ,

0, 기계 j 를 사용치 않는 경우 , j = 1, 2, 3 Xj = 기계 j 의 생산수준 , j = 1, 2, 3

목적함수 ( 총생산비의 최소화 , 단위 : 만원 ) Min Z = 300Y1 + 100Y2 + 200Y3 + 2X1 + 10X2 + 5X3

제약식 X1 + X2 + X3 ≥20000 X1 ≤ 8000Y1 X2 ≤ 13000Y2 X3 ≤ 14000Y3 X1, X2, X3 ≥0, Y1, Y2, Y3 = 0 또는 1


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예제 7-3 : 고정비문제 – K-opt 풀이 입력 분석결과


Min 300Y1 + 100Y2 + 200Y3 + 2X1 + 10X2 + 5X3stX1 + X2 + X3 > 20000X1 - 8000Y1 < 0X2 - 13000Y2 <0X3 - 14000Y3 < 0integer Y1 Y2 Y3 end

Min 300Y1 + 100Y2 + 200Y3 + 2X1 + 10X2 + 5X3stX1 + X2 + X3 > 20000X1 - 8000Y1 < 0X2 - 13000Y2 <0X3 - 14000Y3 < 0integer Y1 Y2 Y3 end

*** ºÐ ¼® °á °ú ***

¼öÇàµÈ ºÐ´ÜÅ½»ö ÃÑ È¸¼ö : 0

¼öÇàµÈ ½ÉÇÃ·º½º ÃÑ È¸¼ö : 33

¸ñÀûÇÔ¼ö °ª : 76500.00000

º¯ ¼ö ÃÖ Àû ÇØ ----------------------------------------- Y1 1 Y2 0 Y3 1 X1 8000.00000 X2 0.00000 X3 12000.00000

Á¦¾à½Ä Á¾·ù ¿©À¯/À×¿© º¯¼ö ------------------------------------------ 1 >= 0.00000 2 <= 0.00000 3 <= 0.00000 4 <= 2000.00000

*** ºÐ ¼® °á °ú ***



¸ñÀûÇÔ¼ö °ª : 76500.00000

º¯ ¼ö ÃÖ Àû ÇØ ----------------------------------------- Y1 1 Y2 0 Y3 1 X1 8000.00000 X2 0.00000 X3 12000.00000

Á¦¾à½Ä Á¾·ù ¿©À¯/À×¿© º¯¼ö ------------------------------------------ 1 >= 0.00000 2 <= 0.00000 3 <= 0.00000 4 <= 2000.00000

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예제 7-4 : 공장신설문제 현재 A 지역에 공장을 갖고서 L, M, N 세 지역의 수요를 공급하고 있는 제일산업은

내년에 수요의 급증이 예상됨에 따라 B, C, D, E 등 4 군데에 공장의 신설을 고려 중에 있다 . 공장신설 고려대상이 되는 지역에는 수요지까지의 단위당 수송비 ( 단위 :만원 ) 는 다음에 주어진 표와 같다 .

한편 B, C, D 지역에 신설되는 공장의 총 건설비는 각각 17 억 5 천만원 , 30 억원 , 37 억 5 천만원 , 50 억원으로 공장건설비의 연간금융비용은 10% 의 이율을 적용할 떄 각각 1 억 7500 만원 , 3 억원 , 3 억 7500 만원 , 5 억원 씩이다 . 이 회사에서는 연간 총 수송비와 금융비용의 합을 최소화하는 건설 및 수송계획을 수립하고자 한다 .


수요지

공장L M N 연간생산능력 금융비용 ( 만원 )

B 0.5 0.2 0.3 10000 17500

C 0.4 0.3 0.4 20000 30000

D 0.9 0.7 0.5 30000 37500

E 1 0.4 0.2 40000 50000

A 0.8 0.4 0.3 30000 -

연간수요 30000 20000 20000

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예제 7-4 : 공장신설문제 의사결정변수

YB, YC, YD, YE = 각각 지역 B, C, D, E 에 공장을 신설할지를 결정하는

이진 변수 ( 즉 , 0 또는 1)

Xij = i 공장에서 수요지 j 로의 공급량

목적함수 ( 총비용의 최소화 , 단위 : 만원 )

Min 17500YB +30000YC +37500YD +50000YE + 0.5XBL +0.2XBM

+0.3XBN

+0.4XCL +0.3XCM+0.4XCN+0.9XDL +0.7XDM +0.5XDN +XEL

+0.4XEM +0.2XEN

+0.8XAL +0.4XAM +0.3XAN


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예제 7-4 : 공장신설문제 제약식

XBL + XBM + XBN -10000YB ≤ 0

XCL + XCM + XCN -20000Yc ≤ 0

XDL + XDM + XDN -30000YD ≤ 0

XEL + XEM + XEN - 40000YE ≤ 0

XAL + XAM + XAN ≤ 30000

XBL +XCL +XDL +XEL +XAL ≥ 30000

XBM +XCM +XDM +XEM +XAM ≥ 20000

XBN +XCN +XDN +XEN +XAN ≥ 20000

Xij ≥ 0, for all i and j

YB, YC, YD, YE = 0 또는 1


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예제 7-4 : 공장신설문제 K-opt 결과


Á¦¾à½Ä Á¾·ù ¿©À¯/À×¿© º¯¼ö ------------------------------------------ 1 <= 0.00000 2 <= 0.00000 3 <= 0.00000 4 <= 0.00000 5 <= 0.00000 6 >= 0.00000 7 >= 0.00000 8 >= 0.00000

Á¦¾à½Ä Á¾·ù ¿©À¯/À×¿© º¯¼ö ------------------------------------------ 1 <= 0.00000 2 <= 0.00000 3 <= 0.00000 4 <= 0.00000 5 <= 0.00000 6 >= 0.00000 7 >= 0.00000 8 >= 0.00000

지역 E 에 공장을 신성하고 공장 E 에서는 M 과 N 지역에 공급하고 기존의 공장 A에서는 L 지역에 공급하는 것이 최적

지역 E 에 공장을 신성하고 공장 E 에서는 M 과 N 지역에 공급하고 기존의 공장 A에서는 L 지역에 공급하는 것이 최적



¸ñÀûÇÔ¼ö °ª : 86000.00000

º¯ ¼ö ÃÖ Àû ÇØ ----------------------------------------- YB 0 YC 0 YD 0 YE 1 XBL 0.00000 XBM 0.00000 XBN 0.00000 XCL 0.00000 XCM 0.00000 XCN 0.00000 XDL 0.00000 XDM 0.00000 XDN 0.00000 XEL 0.00000 XEM 20000.00000 XEN 20000.00000 XAL 30000.00000 XAM 0.00000 XAN 0.00000



¸ñÀûÇÔ¼ö °ª : 86000.00000

º¯ ¼ö ÃÖ Àû ÇØ ----------------------------------------- YB 0 YC 0 YD 0 YE 1 XBL 0.00000 XBM 0.00000 XBN 0.00000 XCL 0.00000 XCM 0.00000 XCN 0.00000 XDL 0.00000 XDM 0.00000 XDN 0.00000 XEL 0.00000 XEM 20000.00000 XEN 20000.00000 XAL 30000.00000 XAM 0.00000 XAN 0.00000

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예제 7-5 : 공공시설배치문제 새로이 건설되고 있는 H 시에는 7 개의 행정구역이 있는데 이 구역을 담당하기 위한 파출소의 위치를 고려하고 있다 . 고려대상이 되는 위치는 A, B, C, D, E, F, G 등 7곳인데 각 위치에서 담당할 수 있는 행정구역은 다음과 같다 .

H 시에서는 개설해야 하는 파출소의 개수가 최소가 되는 설치계획을 구하고자 한다 .


A B C D E F G

담당구역 1,5,7 1,2,5,7 1,3,5 2,4,5 3,4,6 4,5,6 1,5,6

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예제 7-5 : 공공시설배치문제 의사결정변수

XA ,XB, XC, XD, XE, XF, XG = 각각 지역 A, B, C, D, E, F, G 에 파출소 설치 여부를 결정하는 이진변수 (즉 , 0 또는 1)

목적함수 ( 설치 파출소 개수의 최소화 )

Min XA+ XB + XC + XD + XE + XF + XG


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예제 7-5 : 공공시설배치문제 제약식

XA+ XB + XC + XG ≥1

XB + XD ≥1

XC + XE ≥1

XD + XE + XF ≥1

XA+ XB + XC + XD + XF + XG ≥1

XE + XF + XG ≥1

XA+ XB ≥1

XA, XB, XC, XD, XE, XF, XG = 0 또는 1

최적해 XB =1, XE =1, 즉 B 와 E 에 파출소를 하나씩 설치하는 것이 최적


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예제 7-1 을 K-opt 로 풀기 Max. 3000X1 + 7200X2

s. t. 10X1 + 30X2 ≤ 155

X1 ≤ 5

X2 ≥ 1

X1, X2 는 음이 아닌 정수

X1 = 20Y1 + 21Y2 + 22Y3 = Y1 + 2Y2 + 4Y3

X2 = 20Y4 + 21Y5 + 22Y6 = Y4 + 2Y5 + 4Y6

Max. 3000Y1 + 6000Y2 + 12000Y3 + 7200 Y4 + 14400Y5 + 28800Y6

s. t. 10Y1 + 20Y2 + 40Y3 + 30Y4 + 60Y5 + 120Y6 ≤ 155

Y1 + 2Y2 + 4Y3 ≤ 5

Y4 + 2Y5 + 4Y6 ≥ 1

Y1, Y2, Y3, Y4 , Y5, Y6 = 0 또는 1

개수결정문제와 개수결정문제와 K-optK-opt

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예제 7-1 을 K-opt 로 풀기

개수결정문제와 개수결정문제와 K-optK-opt

*** ºÐ ¼® °á °ú ***



¸ñÀûÇÔ¼ö °ª : 37800.00000

º¯ ¼ö ÃÖ Àû ÇØ ----------------------------------------- Y1 1 Y2 1 Y3 0 Y4 0 Y5 0 Y6 1

Á¦¾à½Ä Á¾·ù ¿©À¯/À×¿© º¯¼ö ------------------------------------------ 1 <= 5.00000 2 <= 2.00000 3 >= 3.00000

*** ºÐ ¼® °á °ú ***



¸ñÀûÇÔ¼ö °ª : 37800.00000

º¯ ¼ö ÃÖ Àû ÇØ ----------------------------------------- Y1 1 Y2 1 Y3 0 Y4 0 Y5 0 Y6 1

Á¦¾à½Ä Á¾·ù ¿©À¯/À×¿© º¯¼ö ------------------------------------------ 1 <= 5.00000 2 <= 2.00000 3 >= 3.00000

X1 = 20Y1 + 21Y2 + 22Y3 = Y1 + 2Y2 + 4Y3 = 1x1 + 2x1 + 4x0

= 3

X2 = 20Y4 + 21Y5 + 22Y6 = Y4 + 2Y5 + 4Y6 = 1x0 + 2x0 + 4x1

= 4

X1 = 20Y1 + 21Y2 + 22Y3 = Y1 + 2Y2 + 4Y3 = 1x1 + 2x1 + 4x0

= 3

X2 = 20Y4 + 21Y5 + 22Y6 = Y4 + 2Y5 + 4Y6 = 1x0 + 2x0 + 4x1

= 4

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제 7 장 . 정수계획모형