Н.В. Дорофеев, Е.С. Шубин

Домашняя работа по алгебре за 7 класс

к задачнику «Алгебра. 7 кл.: В двух частях. Ч. 2 :

Задачник для общеобразоват. учреждений / А.Г. Мордкович, Т.Н. Мишустина, Е.Е. Тульчинская.

— 6-е изд., испр.» — М.: «Мнемозина», 2003 г.

2

ГЛАВА 1. Математическая модель, математический язык

§ 1. Числовые и алгебраические выражения

№ 1 а) 3,5 +4,5=8; б) 3,5+(−4,5)= –1; в) −3,5 +4,5=1; г) –3,5+(−4,5)=−8.

№ 2 а) 3,5–4,5=−1; б) 3,5−(−4,5)=8; в) −3,5−4,5=−8; г) –3,5−(−4,5)=1.

№ 3 а) 15+7,5=22,5;

б) 36,6−5 13

=3653 −5 1

3= 183 16 549 80 469 431 ;

5 3 15 15 15−

− = = =

в) 13,7·3,5= 7 5 137 7 959 1913 3 47 ;10 10 10 2 20 20

⋅ = ⋅ = =

г) 2 1 23 7 23 27 : 2 : 3 .3 3 3 3 7 7

= = =

№ 4 а) 1,5 · 3 = 4,5; б) −1,5 · 3 = −4,5; в) 1,5 · (−3)=−4,5; г) −1,5 · (−3)=4,5.

№ 5 а) 1,5 : 3 = 0,5; б) −1,5 : 3 = −0,5; в) 1,5 : (−3)=−0,5; г) −1,5 : (−3)=0,5.

№ 6

а) 1 12 3 6 35;2 3

⎛ ⎞+ ⋅ =⎜ ⎟⎝ ⎠

;

1) 1 1 5 10 15 202 3 35;2 3 2 3 6

++ = + = = 2) 35 35 66 35;

6 6 1⋅ = ⋅ =

б) 1 1 12 3 6 222 3 2+ ⋅ = ;

1) 1 10 63 6 203 3 1⋅ = ⋅ = ; 2) 1 5 20 5 40 45 12 20 22

2 2 1 2 2 2+

+ = + = = = ;

в) 1 1 12 6 3 182 3 3⋅ + =

1) 1 5 62 6 5 3 152 2 1⋅ = ⋅ = ⋅ = ; 2) 1 15 10 45 10 55 115 3 18

3 1 3 3 3 3+

+ = + = = = ;

г) 1 12 2 3 3 152 3⋅ + ⋅ = .

1) 1 5 2 102 2 52 2 1 2⋅ = ⋅ = = ; 2) 1 10 3 303 3 10

3 3 1 3⋅ = ⋅ = = ; 3) 5 + 10 = 15.

3

№ 7

а) 1 1 1(4 3 ) :113 ;3 5 15+ =

1) 4 1 1 13 16 65 48 113 83 73 5 3 5 15 15 15

++ = + = = = ; 2) 8 113 1 17 :113

15 15 113 15= ⋅ = ;

б) 1 117 : (4 3 ) 153 5− = ;

1) 1 1 13 16 65 48 17 24 3 13 5 3 5 15 15 15

−− = − = = = ;

2) 2 17 15 17 1517 :1 17 : 17 1515 15 17 1 17

= = ⋅ = ⋅ = ;

в) 1 2 26 7 18 9 3

⎛ ⎞ ⎛ ⎞− ⋅ + = −⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

;

1) 1 6 57 48 57 9 16 7 18 1 8 8 8 8

−− = − = = − = − ; 2) 2 2 2 6 8

9 3 9 9+

+ = = ;

3) 1 8 9 81 18 9 8 9

− ⋅ = − ⋅ = − ;

г) 1 14 3 115 4 3 2 78 15 5 4

⎛ ⎞ ⎛ ⎞− ⋅ − =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

;

1) 1 15 33 120 33 87 715 4 108 1 8 8 8 8

−− = − = = = ;

2) 4 3 59 13 59 49 10 23 215 5 15 5 15 15 3

−− = − = = = ; 3) 7 2 87 2 29 110 7

8 3 8 3 4 4⋅ = ⋅ = = .

№ 8

а) 1 17 : 2 4 :1 6;3 3+ = ;

1) 1 7 7 7 37 : 2 : 33 1 3 1 7= = ⋅ = ; 2) 1 4 4 4 34 :1 : 3

3 1 3 1 4= = ⋅ = ; 3) 3 + 3 = 6 ;

б) 2 1 4 412 6 : 75 5 3 5

⎛ ⎞− =⎜ ⎟⎝ ⎠

;

1) 2 1 62 31 31 112 6 65 5 5 5 5 5− = − = = ; 2) 6 1 3 31 31 31 4 4: 7 : ;

5 4 5 4 5 31 5= = ⋅ =

в) 1 1 58 4 : 3 77 7 8− = ;

1) 1 5 29 29 29 8 8 14 : 3 : 17 8 7 8 7 29 7 7

= = ⋅ = = ; 2) 1 18 1 77 7− = ;

4

г) 1 6 1 3 142 2 : 5 13 7 4 4 23⋅ − = ;

1) 1 6 7 62 23 7 3 7⋅ = ⋅ = ; 2) 1 3 9 23 9 4 92 : 5 :

4 4 4 4 4 23 23= = ⋅ = ;

3) 9 46 9 37 142 123 23 23 23

−− = = = .

№ 9 а) (0,018 + 0,982) : (8 · 0,5 – 0,8) = 0,3125; 1) 0,018 + 0,982 = 1; 2) 8 · 0,5 − 0,8 = 4 − 0,8 = 3,2; 3) 1 : 3,2 = 0,3125;

б) ( ) ( ) ( )273 51 22 1000027,3 5,1 2,2 : 0,00181000 18⋅ ⋅ − ⎛ ⎞⋅ ⋅ − − = ⋅ − =⎜ ⎟

⎝ ⎠

273 51 220 273 51 220 97 17 110 17017018 3 3 2⋅ ⋅ ⋅ ⋅

= = = ⋅ ⋅ =⋅ ⋅

;

в) (0,008 + 0,992) : (5 · 0,6 – 1,4) = 1 : (3 – 1,4) = 1: 1,6 = 0,625;

г) ( ) ( ) ( )135 91 33 10000013,5 9,1 3,3 : 0,0001310 10 10 13⋅ ⋅ − −

⋅ ⋅ − − = ⋅ =⋅ ⋅

= 135 · 3300 · 91 : 13 = 135 · 3300 · 7 = 3118500. № 10

а) 1 13 2,5 16 433 3+ ⋅ = ; б) 1 42 2 2,4 3,6

7 5⋅ − = ;

1) 2,5 · 16 = 40; 1) 1 4 15 142 2 3 2 67 5 7 5⋅ = ⋅ = ⋅ = ;

2) 1 13 40 433 3+ = ; 2) 6 – 2,4 = 3,6;

в) (24 +5,6) · (24 – 5,6) = 544,64; г) 6 25 6 11 :119 38 19 2

⎛ ⎞− =⎜ ⎟⎝ ⎠

;

1) 24 + 5,6 = 29,6; 1) 6 25 50 25 25119 38 38 38

−− = = ;

2) 24 – 5,6 = 18,4; 3) 29,6 · 18,4 = 544,64; 2) 25 6 25 19 1:138 19 38 25 2

= ⋅ = .

№ 11

а) 1 1 12 2,4 15 2 36 383 3 3+ ⋅ = + = ;

б) 2 92 1 1,25 225 16

⋅ − = ;

1) 2 9 52 25 52 132 1 3,2525 16 25 16 16 4

⋅ = ⋅ = = = ;

2) 3,25 – 1,25 = 2;

5

в) (25 + 5,2) · (25 – 5,2) = 30,2 · 19,8 = 597,96;

г) 8 1 1 24 1 :1 215 3 3 5

⎛ ⎞− =⎜ ⎟⎝ ⎠

;

1) 8 1 68 4 68 20 48 14 1 315 3 15 3 15 15 5

−− = − = = = ;

2) 1 1 16 4 16 3 12 23 :1 : 25 3 5 3 5 4 5 5

= = ⋅ = = .

№ 12

а) 1 4 28 39 : 73 3 3 4

= ⋅ = ; б) 1 2 7 14 212 7 73 3 3 3 3+ ⋅ = + = = ;

в) 2 1 16 1 16 16 354 1 : 3 : 75 5 35 5 35 5 16

⎛ ⎞− = = ⋅ =⎜ ⎟⎝ ⎠

;

г) 1 2 13 41 17 103 123 85 103 1058 5 6 75 3 15 5 3 15 15 15

+ −+ − = + − = = = ;

№ 13 а) 2 – 4,5 = –2,5; б) (2,3 + (–14,8)) : 5 = –12,5 : 5 = –2,5;

в) 1 2 1 19 22 75 95 132 75 37 753 4 2 2,56 5 37 6 5 37 30 37 30 37

−⎛ ⎞ ⎛ ⎞− ⋅ = − ⋅ = ⋅ = − ⋅ = −⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

;

г) 6 + 2,4 – 10,9 = 8,4 – 10,9 = –2,5. № 14

а) Переместительный закон сложения. б) Переместительный закон умножения. в) Сочетательный закон сложения. г) Распределительный закон сложения относительно умножения.

№ 15

а) 1 2 1 12 1 1 6;2 3 2 3+ + + = 1) 1 11 2

2 2+ = ; 2) 2 12 1 4

3 3+ = ; 3) 4 + 2 = 6;

б) 2 33 2 5 7 2895 7⋅ ⋅ ⋅ = ;

1) 2 173 5 5 175 5⋅ = ⋅ = ; 2) 3 112 7 7 17

7 7⋅ = ⋅ = ; 3)17 ·1 7 = 289.

в) 3 2 1 3 2 1 3 414 14 14 714 7 2 14 7 2 14

−⎛ ⎞ ⎛ ⎞− + = − ⋅ + ⋅ = ⋅ + =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

1 14 7 614

− ⋅ + = ;

г) 2 2 2 2 6 2 8 112 24 16 : 2 12 24 : 2 16 : 2 36 : 2 89 3 15 9 9 5 9 5

⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ − = + − = − =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

= 4 1 166 41 830 369 461 1118 8 10 .9 5 9 5 45 45 15

−− = − = = =

6

№ 16 а) 4,16 + 2,5 + 6,04 + 3,5 = 4,16 + 6,04 + 2,5 + 3,5 = 10,2 + 6 = 16,2; б) 7,3 + 1,6 – 0,3 – 0,6 = 7,3 – 0,3 + 1,6 – 0,6 = 7 + 1 = 8; в) –1,06 + 0,04 – 7,04 + 2,16 = – 1,06 + 2,16 –7 = 1,1 – 7 = –5,9; г) 18,9 – 6,8 – 5,2 – 4,1 = 12,1 – 4,1 – 5,2 = 8 – 5,2 = 2,8.

№ 17 а) 7,8 · 6,3 + 7,8 · 13,7 = 7,8 · ( 6,3 + 13,7 ) = 7,8 · 20 =15,6 б) 6,95 · 3,42 · 5,05 = 6,95 · 3,42 · ( 5 + 0,05 ) = 6,95 · ( 17,1 + 0,171 ) = = ( 7 – 0,05 ) · 17,271 = 120,897 – 0,86355 = 120,03345; в) 17,96 · 0,1 – 0,1 · 81,96 = 0,1 · ( 17,96 – 81,96 ) = 0,1 · (– 64 ) = – 6,4; г) 4,03 · 27,9 – 17,9 · 4,03 = 4,03 · ( 27,9 – 17,9 ) = 4,03 · 10 = 40,3.

№ 18

а) ( )1 1 1 157 6,8 7 3,2 7 6,8 3,2 10 752 2 2 2⋅ + ⋅ = ⋅ + = ⋅ = ;

б) ( )3 3 3 342,4 2,4 42,4 2,4 40 304 4 4 4⋅ − ⋅ = ⋅ − = ⋅ = ;

в) ( )1 1 1 132,5 16,5 32,5 16,5 16 44 4 4 4⋅ − ⋅ = ⋅ − = ⋅ = ;

г) 1 16 · 4,8 6 · 5,2 6,2 · (4,8 5,2) 6,2 · 10 62.5 5

+ = + = =

№ 19 а) а · 60 · 60 = а · 3600 – секунд в а часах; б) X · 24 · 60 = X · 1440 – минут в X сутках;

в) X · 1000 : 60 = X · 32166 –

мин.м. ;

г) u : 1000 · 3600 = u · 36 : 10 = u · 18 : 5 = 3,6 · u км/ч. № 20

а) x = –3,5; 3x = 3 · (–3,5) = –10,5; б) x = –1; 3x = 3 · (–1) = –3;

в) 47

x = ; 4 12 53 3 17 7 7

x = ⋅ = = ; г) 133

x = ; 1 3 103 3 3 103 1 3

x = ⋅ = ⋅ = .

№ 21 а) y = –1; –5y = –5 · (–1) = 5; б) y = 0; –5y = –5 · 0 = 0; в) y = 1; –5y = –5 · 1 = –5; г) y = 3,4; –5y = –5 · 3,4 = –17.

№ 22 а) a = 3, d = 2; 48a + 12d = 48 · 3 + 12 · 2 = 144 + 24 = 168; б) u = 6, v = 1; u – 3uv = 6 – 3 · 6 · 1 = 6 – 18 = –12; в) z = –8, t = –2; 8z – 11t = 8 · (–8) – 11 · (–2) = –64 + 22 = –42; г) p = –3, q = 6; 5p – 4q = 5 · (–3) – 4 · 6 = –15 – 24 = –39.

7

№ 23

A 1 2 3 14

14

− –3 –2 –1

B 1 3 2 13

13

− –2 –3 –1

2A–2B 0 –2 2 16

16

− –2 2 0

1) 2 · 1 – 2 · 1 = 2 – 2 = 0; 2) 2 · 2 – 2 · 3 = 4 – 6 = –2;

3) 2 · 3 – 2 · 2 = 6 – 4 = 2; 4) 1 1 1 2 3 4 12 24 3 2 3 6 6

−⋅ − ⋅ = − = = − ;

5) 1 1 1 2 4 3 12 24 3 2 3 6 6

−⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞⋅ − − ⋅ − = − − − = =⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

;

6) 2 · (–3) – 2 · (–2) = –6 + 4 = –2; 7) 2 · (–2) – 2 · (–3) = 6 – 4 = 2; 8) 2 · (–1) – 2 · (–1) = –2 + 2 = 0.

№ 24

A 1 2 3 14

14

− –3 –2 –1

B 1 3 2 13

13

− –2 –3 –1

2AB–1 1 11 11 56

56

− 11 11 1

1) 2 ·1 · 1 – 1 = 2 – 1 = 1; 2) 2 · 2 · 3 – 1 = 12 – 1 = 11;

3) 2 · 3 · 2 – 1 = 12 – 1 = 11; 4) 1 1 1 1 1 52 1 1 14 3 2 3 6 6⋅ ⋅ − = ⋅ − = − = − ;

5) 1 1 1 1 1 52 1 1 14 3 2 3 6 6

⎛ ⎞ ⎛ ⎞⋅ − ⋅ − − = ⋅ − = − = −⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

;

6) 2 · (–3) · (–2) – 1 = 12 – 1 =11; 7) 2 · (–2) · (–3) – 1 = 12 – 1 =11; 8) 2 · (–1) · (–1) – 1 = 2 – 1 =1.

№ 25 a+b = 10, c = 7. а) a + b +2 · c = 10 + 2 · 7 = 10 + 14 = 24; б) (a + b) : 2 – c = 10 : 2 – 7 = 5 – 7 = –2;

в) 10 7 17 18 8,52 2 2 2

a b c+ + += = = = ;

г) ( )7 2 7 10 2 7 70 14 84 14 4,23 1 3 7 1 21 1 20 5

a b cc+ + ⋅ + ⋅ +

= = = = =− ⋅ − −

.

№ 26 а) Если a – b = 12, то b – a = –1 · (a – b) = –1 · 12 = –12; б) Если c – d = 0, то d – c = 0.

8

№ 27

baba

−− 22

– ?

а) a = 1, b = 2; 2 2 2 21 2 1 4 3 3 ; 1 2 3 ;

1 2 1 1a b a b

a b− − −

= = = = + = + =− − −

б) a = 3, b = 1; 2 23 1 9 1 8 4 ; 3 1 4 ;3 1 2 2

a b− −= = = + = + =

−;

в) a = 1,4, b = 1; 2 2 2 21,4 1 0,96 2,4

1,4 1 0,4a b

a b− −

= = =− −

, a + b =1,4 + 1 = 2,4;

г) a = –3, b = 1; 2 2 9 1 8 2

3 1 4a b

a b− −

= = = −− − − −

; a + b = –3 + 1 = –2.

№ 28

а) x=2, y=3; ( )( ) ( )( )

2 2 2 22 2 2 2 2 3 2 4 2 9 10 22 3 2 3 1 5 5

x yx y x y⋅ − ⋅ ⋅ − ⋅ ⋅ − ⋅ −

= = = =− + − + − ⋅ −

;

б) x=1,5, y=( )( )

2 22 2 2 2

3 1 9 22 21 2 2 77 362 3 2 9; 211 73 1 3 13 18 776 62 3 2 3

x yx y x y

⋅ − ⋅ −⋅ − ⋅= = = =

− + ⎛ ⎞⎛ ⎞ ⋅− +⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠⎝ ⎠

;

в) x = –2, y = 0; ( )( ) ( )( )

2 2 2 22 2 2 2 2 0 8 22 0 2 0 4

x yx y x y⋅ − ⋅ ⋅ − − ⋅

= = =− + − − − +

г) x = 1,3, y = –0,5;

( )( )( )

( )( )

222 2 2 1,3 2 0,52 2 2 1,69 2 0,25 2,88 21,3 0,5 1,3 0,5 0,8 1,8 1,44

x yx y x y

⋅ − ⋅ −⋅ − ⋅ ⋅ − ⋅= = = =

− + + − ⋅.

№ 29 а) x = 7, y = 4; 5x – 3y = 5 · 7 – 3 · 4 = 35 – 12 = 23; б) x = 6,5, y = 2,1; 5x – 3y = 5 · 6,5 – 3 · 2,1 = 32,5 – 6,3 = 26,2;

в) x = 2125

, y = 293

; 5x – 3y = 5 · 2125

– 3 · 293⋅ = 62 – 29 = 33;

г) x = 18, y = 7,4; 5x – 3y = 5 · 18 – 3 · 7,4 = 90 – 22,2 = 67,8. № 30

а) a = 20, b = 12; 6 7 6 20 7 12 120 84 204 173 4 3 20 4 12 60 48 12

a ba b+ ⋅ + ⋅ +

= = = =− ⋅ − ⋅ −

;

б) a = 2,4, b = 0,8; 6 7 6 2,4 7 0,8 14,4 5,6 20 53 4 3 2,4 4 0,8 7,2 3,2 4

a ba b+ ⋅ + ⋅ +

= = = =− ⋅ − ⋅ −

;

в) a = 10,8, b=6; 6 7 6 10,8 7 6 64,8 42 106,8 5123 4 3 10,8 4 6 32,4 24 8,4 7

a ba b+ ⋅ + ⋅ +

= = = =− ⋅ − ⋅ −

;

9

г) a = 12, b=5,6; 6 7 6 12 7 5,6 72 39,2 111,2 383 4 3 12 4 5,6 36 22,4 13,6 17

a ba b+ ⋅ + ⋅ +

= = = =− ⋅ − ⋅ −

.

№ 31 а) x = 8, y = 3; 2 22x xy y+ + = 64 + 2 · 8 · 3 + 9 = 64 + 48 + 9 = 121;

2 2( ) 11 121x y+ = = ;

б) x = 7,6, y = 1,4; 2 22x xy y+ + = 57,76 + 2 · 7,6 · 1,4 + 1,96 =

= 57,76 + 21,28 +1,96 = 81; 2 2( ) 9 81x y+ = = ;

в) x = 10, y = 2,6; 2 22x xy y+ + = 100 + 2 · 10 ·2,6 + 6,76 =

= 100 + 52 + 6,76 = 158,76; 2 2( ) 12,6 158,76x y+ = = ;

г) x = 1,5, y = 3; 2 22x xy y+ + = 2,25 + 2 · 1,5 · 3 + 9 =

= 2,25 + 9 + 9 = 20,25; 2 2( ) 4,5 20,25x y+ = = . № 32

а) a = 13, b = 12; a – b = 13 – 12 = 1; 2 2 2 22 13 2 13 12 12 169 312 144 1

13 12 1a ab b

a b− + − ⋅ ⋅ + − +

= = =− −

;

б) a = 2,4, b = 2,3; a – b = 2,4 – 2,3 = 0,1; 2 2 2 22 2,4 2 2,4 2,3 2,3 5,76 11,04 5,29 0,1

2,4 2,3 0,1a ab b

a b− + − ⋅ ⋅ + − +

= = =− −

;

в) a = 3,5, b = 2,5; a – b = 3,5 – 2,5 = 1; 2 2 2 22 3,5 2 3,5 2,5 2,5 12,25 17,5 6,25 1

3,5 2,5 1a ab b

a b− + − ⋅ ⋅ + − +

= = =− −

;

г) a = 7,4, b = 3,6; a – b = 7,4 – 3,6 = 3,8; 2 2 2 22 7,4 2 7,4 3,6 3,6 54,76 53,28 12,96 3,8

7,4 3,6 3,8a ab b

a b− + − ⋅ ⋅ + − +

= = =− −

№ 33 а) x – любое число; б) а – не равно нулю; в) y – любое число; г) b – не равно нулю.

№ 34 а) x – не равно (–3); б) а – не равно (–2); в) d – не равно (–9); г) c – не равно (–13).

№ 35 а)z – не равно 3; б) t – не равно 2; в) m – не равно 9; г) n – не равно 6.

№ 36 а) 5x = 150; б) 6x = –54; в) –0,7x = 343; г) –0,5x = –0,25; x = 150 : 5; x = –54 : 6; x = 343 : –0,7; x = –0,25 : (–0,5); x = 30; x = –9; x = –490; x = 0,5.

10

№ 37

а) 7x + 9 = 100; б) 1,4x – 0,8 = 7; в) 1 1 12 3 6

x⋅ − = ; г) 17,5x – 0,5 = 34,5;

7x = 100 – 9; 1,4x = 7 + 0,8; 1 1 12 6 3

x⋅ = + ; 17,5x = 34,5 + 0,5;

x = 91 : 7; x = 7,8 : 1,4; 1 1:2 2

x = ; x = 35 : 17,5;

x = 13; x = 457

; x = 1; x = 2.

№ 38 а) 13x + 9 = 35 + 26x; 13x – 26x = 35 – 9; x = 26 : (–13); x = 2;

б) 7 23 59 3

x x⋅ + = ⋅ + ; 7 2 5 39 3

x x⋅ − ⋅ = − ; 1 23

x⋅ = ; x = 6;

в) 0,81x – 71 = 1,11x +1; 0,81x – 1,11x = 1 + 71; –0,3x = 72; x = –240;

г) 2 1 1 53 2 4

y y y⋅ − ⋅ = ⋅ − ; 1 1 56 4

y y⋅ − ⋅ = − ; 1 512

y− ⋅ = − ; y = 60.

№ 39 а) u = –1,5, v = 2,4;

2 2 2 2(1,5 2,4) 0,9 0,81; 1,5 2,4 2,25 5,76 8,01+ = = + = + = ; б) u = 3,1, v = –0,8;

2 2 2 2(3,1 (0,8)) 2,3 5,29; 3,1 (0,8) 9,61 0,64 10,25+ = = + = + = ; в) u = 14, v = 1,4;

2 2 2 2(14 1,4) 15,4 237,16; 14 1,4 196 1,96 197,96+ = = + = + = ; г) u = –1,2, v = –2,8;

2 2 2 2(1,2 (2,8)) 4 16; 1,2 2,8 1,44 7,84 9,28+ = = + = + = .

№ 40 а) 3x – 2 = 10; 3x = 12; x = 12 : 3; x = 4; б) 4y –1 = 3y + 5; 4y – 3y = 5 + 1; y = 6.

№ 41 а) 2 · 5k = 4k + 12; 10k – 4k = 12; 6k = 12; k = 2; б) p + 3 = 4 · (7p – 33); p + 3 = 28p – 132; p – 28p = –132 –3; –27p = –135; p = 5.

№ 42

а) 5 1 52 3 6⋅ = ; б) 2 1 2 1 51 1

3 6 3 6 6+ − = + = ;

в) 11 2 2 2 5 5:6 11 5 6 2 6⋅ = ⋅ = ; г) (–10 + 15) : 6 = 5 : 6 = 5

6.

11

№ 43

а) 4 9 25 9 25 16 15 1 35 5 5 5 5 5

−− + = − = = − = − ;

б) 7 3 3 7 16 3 16 1: 35 16 7 5 3 7 5 5

⋅ ⋅− ⋅ = − = − = −

⋅ ⋅;

в) (–17 + 1) : 5 = –16 : 5 = 135

− ;

г) 1 32 7 40 32 32 32 16 120 3 32 165 2 165 2 165 5 5

−⎛ ⎞− + ⋅ = ⋅ = − ⋅ = − = −⎜ ⎟⎝ ⎠

.

№ 44

а) 7 17 1 58 2 2,7 4 : 0,65 912 36 3 6

⎛ ⎞− ⋅ − =⎜ ⎟⎝ ⎠

;

1) 7 17 21 17 4 18 2 8 2 6 612 36 36 36 36 9

− = − = = ;

2) 1 55 27 33 16 2,7 169 9 10 2 2⋅ = ⋅ = = ;

3) 1 13 20 20 24 : 0,65 63 3 13 3 3

= ⋅ = = ;

4) 1 2 33 20 99 40 56 516 6 96 3 2 3 6 6 6

−− = − = = = ;

б) 11 13 81 1,44 0,5625 2,3224 36 15

⎛ ⎞+ ⋅ − ⋅ =⎜ ⎟⎝ ⎠

;

1) 11 13 33 26 591 1 124 36 72 72 72

+ = + = ;

2) 59 131 144 131 2 2621 1,44 2,62;72 72 100 100 100

⋅⋅ = ⋅ = = = ;

3) 8 8 5625 375 15 25 30,5625 0,315 15 10000 1250 50 25 10

⋅⋅ = ⋅ = = = =

⋅;

4) 2,62 – 0,3 = 2,32;

в) 8 21 1 26 4 4,5 2 : 0,52 515 45 6 15

⎛ ⎞− ⋅ − =⎜ ⎟⎝ ⎠

;

1) 8 21 24 21 3 16 4 6 4 2 215 45 45 45 45 15

− = − = = ;

2) 1 31 9 31 45 31 3 932 4,5 9,315 15 2 15 10 10 10

⋅⋅ = ⋅ = ⋅ = = = ;

3) 1 13 52 13 25 25 12 : 0,52 : 46 6 100 6 13 6 6

= = ⋅ = = ;

12

4) 1 93 25 279 125 154 29,3 4 56 10 6 30 30 30 15

− = − = − = =

г) 9 12 81 1,32 0,1625 2,2422 33 13

⎛ ⎞+ ⋅ − ⋅ =⎜ ⎟⎝ ⎠

;

1) 9 12 27 24 51 171 1 1 122 33 66 66 66 22

+ = + = = ;

2) 17 39 132 39 6 2341 1,32 2,3422 22 100 100 100

⋅⋅ = ⋅ = = = ;

3) 8 8 1625 125 10,1625 0,113 13 10000 1250 10

⋅ = ⋅ = = = ; 4) 2,34 – 0,1 = 2,24.

№ 45 а) 18 · (182 – 122) = 18 · (324 – 144) 18 · 180 = 3240 ;

б) 18 12 12 412 : 12 :15 0,82 15 5+⎛ ⎞ = = = =⎜ ⎟

⎝ ⎠;

в) 18 + 18 : 12=18 + 1,5 = 19,5; г) 18 · 12 – 18 : 12 = 216 – 1,5 = 214,5. № 46

а) 7,2 6,47,2 7,2 0,4 2,882−⎛ ⎞⋅ = ⋅ =⎜ ⎟

⎝ ⎠;

б) ( ) ( )2 2 6,46,4 : 7,2 6,4 6,4 : 51,84 40,96 6,4 :10,8810,88

− = − = = =

= 0,1 1 100 100,17 10 17 17

= ⋅ = ;

в) 36 5 9 36 9 283 45 3337,2 7,2 : 6,4 7,2 7,25 32 8 5 8 40 40

++ = + ⋅ = + = + = = =

138 8,32540

= ;

г) 7,2 · 6,4 – 7,2 : 6,4 = 46,08 – 1,125 = 44,955 . № 47

A –3 –2 –1 0 1 3 6 B 2 4 6 3 5 –2 0 C 7 –3 5 –2 4 1 8

2

2 22 73

A BCA B C

+ +

+ +

417

1349

−3457

15

− 35

611

15144

2( )( )

( )A B B C

A B+ +

+ –9

12

125

13

112

–1 113

( )B A B CABC+ + –3 2 –5 –6

172

− 3 –42

2

2 2( 3 )

2A B CAA B C+

+

1219

819

9325

5113

15316

517

− 313

13

№ 48

а)

12 : 2 1,8 0,4 0,310

3,15 : 22,5

⎛ ⎞− ⋅ +⎜ ⎟⎝ ⎠ – дробь равна нулю;

1) 1 21 212 : 2 : 2 1,0510 10 20

= = = ;

2) 1,05 – 1,8 = –0,75; 3) –0,75 · 0,4 = –0,3; 4) –0,3 + 0,3 = 0;

б)

1 1 11,24 1 2,5 :25 6 3

1,4 : 0,1 2

⎛ ⎞− ⋅ −⎜ ⎟⎝ ⎠

− – дробь не равна нулю;

1) 11,24 1 1,24 1,04 1,225

− = − = ; 2) 1,2 · 2,5 = 3 ;

3) 1 1 1 3 1: 0,56 3 6 1 2

= ⋅ = = ; 4) 3 – 0,5 = 2,5;

Числитель дроби не равен нулю, значит и сама дробь не равна нулю. № 49

а) 3,5 · 1, 24310 1,6 : · 0, 4 0, 45

⎛ ⎞+ −⎜ ⎟⎝ ⎠

– дробь не имеет смысла;

1) 3 3 2 60, 4 0, 245 5 5 25⋅ = ⋅ = = ; 2) 0,24 – 0,4 = –0,16;

3) 1,6 : (–0,16) = 160 : (–16) = –10; 4) 10 + (–10) = 0; Знаменатель дроби равен нулю, значит дробь не имеет смысла; б) 4, 2 : 2 1

1 5 1 10,89 9 6 3

−⎛ ⎞+ ⋅ ⋅ −⎜ ⎟⎝ ⎠

– дробь смысла не имеет;

1) 1 4 1 4 20,86 5 6 30 15⋅ = ⋅ = = ; 2) 2 1 2 5 3 1

15 3 15 15 5− −

− = = = − ;

3) 5 1 5 1 19 5 9 5 9

⋅⎛ ⎞⋅ − = − = −⎜ ⎟ ⋅⎝ ⎠; 4) 1 1 0

9 9⎛ ⎞+ − =⎜ ⎟⎝ ⎠

;

Знаменатель дроби равен нулю, значит дробь смысла не имеет. № 50

а) 7 · 6 + 24 : 3 – 2 = 42 + 8 – 2 = 48 – наименьшее; б) 7 · (6 + 24 : (3 – 2)) = 7 · (6 + 24) = 7 · 30 = 210 – наибольшее.

№ 51 а) (1 + 23 – 4) · 5 = 20 · 5 = 100; б) 111 – 11 = 100; в) (5 + 5 + 5 + 5) · 5 = 100; г) (1 + 23 – 4) · 5 – 6 + 7 + 8 – 9 = 100.

№ 52 1) 4 + 4 – 4 – 4 = 0; 2) 4 : 4 –4 + 4 = 1; 3) 4 : 4 + 4 : 4 = 2; 4) (4 + 4 + 4) : 4 = 3; 5) (4 – 4) · 4 + 4 = 4; 6) (4 · 4 + 4) : 4 =5; 7) (4 + 4) : 4 + 4 =6; 8) 44 : 4 – 4 = 7; 9) 4 · 4 – 4 – 4 = 8; 10) 4 + 4 + 4 : 4 = 9; 11) (44 – 4) : 4 = 10.

14

§ 2. Что такое математический язык № 53

а) a + b; б) с – d; в) x · y; г) t : v. № 54

а) (z + x) : 2; б) (p – q) : 2; в) 2x ; г) 3y .

№ 55 а) x + a · b; б) y – a : b; в) a · (b + c); г) z : (x – y).

№ 56 а) (m + n ) : 3; б) (p – q) · 2; в) (x + y) · 2 · z; г) p : (a + b) : 2.

№ 57 а) 2( )a b+ ; б) 3( )x y− ; в) 2 2t w− ; г) 3 3c d+ .

№ 58

а) m nm n+⋅

; б)( )2c d

c d−

⋅ +; в)

2 2m nm n+⋅

; г) ( )3 3

2p q

p q−

⋅ +.

№ 59 а) Сумма чисел x и 2; в) Произведение чисел 8 и z; б) Разность чисел c и d; г) Частное от деления числа p на q.

№ 60 а) Сумма квадратов чисел a и b; б) Разность квадратов чисел x и y; в) Сумма кубов чисел z и t; г) Разность кубов чисел m и n.

№ 61 а) Квадрат суммы чисел s и p; б) Квадрат разности чисел u и v; в) Куб суммы чисел p и q; г) Куб разности чисел f и q.

№ 62 а) Отношение суммы чисел x и y к числу 2; б) Отношение разности чисел a и b к числу 2; в) Отношение произведения чисел x и y к их удвоенной разности; г) Отношение суммы чисел x и y к их произведению.

№ 63 а) a + b = b + a; б)ab = ba; в) a + (b + c) = (a + b) + c; г) a + (b – c) = (a + b) – c.

№ 64 а) Чтобы к числу прибавить сумму двух чисел, можно сначала приба-вить к нему первое слагаемое, а затем к полученной сумме второе сла-гаемое. б) Чтобы из числа вычесть сумму двух других чисел, можно сначала вычесть первое слагаемое, а затем из полученной разности вычесть дру-гое слагаемое.

15

в) При сложение любого числа а с нулюм, полусается тоже самое число а. г) При умножение любого числа а на еденицу, получается тоже самое число а.

№ 65 а) При умножении любого числа а на ноль получается ноль. б) Частное от деления нуля на любое число а не равное нулю, получает-ся ноль. в) При делении любого числа а на еденицу, получается тоже самое число а. г) При умножении любого числа а не равного нулю на частное от деле-ния единицы на это же самое число а, получается еденица.

№ 66 а) Произведение числа 3 и квадрата суммы чисел x и y. б) Произведение числа 2 и квадрата суммы чисел a и b. в) Произведение числа 2 и квадрата разности чисел p и q. г) Произведение числа 3 и квадрата разности чисел z и r.

№ 67 а) Отношение квадрата разности чисел m и n к числу 2. б) Отношение квадрата суммы чисел t и w к числу 2. в) Отношение куба суммы чисел a и b к числу 3. г) Отношение квадрата разности чисел p и q к числу 4.

№ 68 а) (a + b) · c = a · c + b · c; б) x · (y – z) = x · y – x · z; в) a – (b +c) = (a – b) – c; г) a – (b – c) = (a – b) + c

№ 69

а) a a cb b c

⋅=

⋅, где с не равно нулю; б) a x a x

b y b y⋅

⋅ =⋅

;

в) a cb b= , где с не равно нулю; г) :a c a d a d

b d b c b c⋅

= ⋅ =⋅

№ 70

а) 100a pb ⋅

= ; б) 100bap⋅

= ;

в) Если a cb d= , то ad=bc; г) Если , то и .a c

b dδ χ α ββ α χ δ

= = =

§ 3. Что такое математическая модель № 71

а) x · y = 9; б) a : b = 2; в) b = c; г) 2 · p = 3 · q. № 72

а) a – 18 = b; б) b + 39 = c; в) x : y = 6; г) a : b = 291 .

16

№ 73 а) a + b = 43; б) m – n = 214; в) a + b + 6 = ab; г) p – q – 17 = p : q.

№ 74 а) a + b = d – c; б) a – d = b + c; в) a = b + c + d; г) a + b = 2 · (c – d).

№ 75 № 76 № 77 № 78 t – v = 3. 3 · x = 2 · y. 5 · b = 6 · a. x+25>3 · x – 15.

№ 79 № 80 № 81 № 82

0,5⋅a<0,5⋅a + b. x–5,8=y + 14,2. x+3,7=1,5 x–5,36. 6

3 4z z += .

№ 83 № 84 № 85 № 86 5a + 3b = m. (x+7) · 3–4,7=x (x–8) · 2=y + 8. x+4⋅x+x+50=470

№ 87 № 88 № 89

c+4,8=1,4⋅c–5,2 d+15=4 · d + 3. 2,5

5 4x x += .

№ 90 а) На чайных весах на одной чаше лежит яблоко весом x кг., а на дру-гой чаше лежит апельсин весом y кг. Весы находятся в равновесии. б) Стоимость одного килограмма яблок – b рублей, а стоимость одного килограмма апельсинов – a рублей. Причем апельсины в два раза доро-же яблок. в) Три килограмма огурцов стоят столько же, скольео два килограмма помидоров. При этом известно что 1 кг. Огурцов стоит с рублей, а один килограмм помидоров d рублей. г) В первом цехе работает 6 бригад по m человек в каждой, а во втором цече работает 11 бригад по n человек в каждой. При этом известно что число рабочих в обоих цехах одинаково.

№ 91 а) Первое число равно а, второе число равно b. Если из первого числа вычесть единицу, а второе оставить без изменений то получатся два одинаковых числа. б) В одной корзине лежит а персиков, а в другой b персиков. Если в первую корзину положить два персика, то в корзинах персиков станет поровну в) В первом букете z гвоздик, во втором в два раза больше. Когда к пер-вому букету добавили три гвоздики, число гвоздик в обоих букетах ста-ло поровну. г) У Кости x марок, а у Васи y марок. Если Костя добавит в свою кол-лекцию 3 марки, то у него станет марок в коллекции в два раза меньше, чем у Васи в коллекции.

17

№ 92 а) В первой бригаде работает a человек, а во второй бригаде работает b человек. Если в первую бригаду придет 7 человек, то в обоих бригадах число человек станет равное. б) Первый спортсмен пробежал дистанцию за a секунд, а второй спорт-смен пробежал дистанцию за b секунд. При этом первый спортсмен пробежал дистанцию на 3 секунды быстрее. в) Первое число равно а, второе число равно b. Если к первому числу прибавить 2, а ко второму 8 то получатся одинаковые результаты. г) В первой корзине лежало а кг. Мандаринов, а во второй b кг. Манда-ринов. После того как из первой корзины взяли три кг. мандаринов, а во вторцю добавили 1 кг., то мандаринов в корзинах станет поровну.

№ 93 а) Первое число равно а, второе число равно b. При этом известно, что первое в 4 раза больше второго.

б) Первое число равно x, второе число равно y. При этом 31 второго

числа равна первому числу. в) На стройке работало 5 бригад по d человек в каждой. После того, как на работу пришло еще двое человек, рабочих стало с. г) Первое число равно m, а второе число равно n. Если второе число умно-

жить на 3 и вычесть из него 4, то его 17

часть будет равна первому числу.

№ 94 а) В саду 7 участков. На каждом растет по x яблонь. После того как на каждом участке посадили по одной яблоне, деревьев в саду стало равно y. б) Первое число равно a, второе число равно b. Удвоенная сумма этих чисел равна 3. в) Расстояние от пункта А до пункта B – с км., а от пункта B до пункта С – d км. Из пункта А в пункт B выехало 3 велосипедиста, а из пункта B в С путь продолжили только два велосипедиста. В общей сложности велосипедисты проделали путь 8 км. г) Первое число равно m, а второе число равно n. Если первое число умножить на три, а второе на семь, то их сумма будет равнятся 12.

№ 95 Пусть x км/ч – скорость велосипедиста. Тогда (x +18) – скорость мотоциклиста. 5 · x = (x + 18) · 2; 5 · x – 2 · x =2 · 18; 3 · x = 36; x = 12 км/ч – скорость велосипедиста. 18 + 12 = 30 км/ч – скорость мотоциклиста. 5 · 12 = 60 км – расстояние между городами. Ответ: 12, 30, 60.

18

№ 96 Пусть x квартир в первом доме. Тогда (x + 86) квартир во втором доме. x + x + 86 = 792; 2 · x = 706; x = 353 – квартир в первом доме. 353 + 86 = 439 – квартир во втором доме. Ответ: 353; 439.

№ 97 Пусть x трехкомнатных квартир в доме. Тогда (x + 10) – двухкомнатных квартир в доме, (x – 5) – однокомнатных квартир в доме. x + x +10 + x – 5 = 215; 3 · x = 210; x = 70 – трехкомнатных квартир. 70 + 10 = 80 – двухкомнатных квартир. 70 – 5 = 65 – однокомнатных квартир. Ответ: 65.

№ 98 Пусть x мест в малом зале. Тогда 3 · x мест в большом зале. 3 · x + x = 460; 4 · x =460; x = 115 – мест в малом зале. 115 · 3 = 345 – мест в большом зале. Ответ: 345.

№ 99 Пусть x книг на второй полке. Тогда 2 · x книг на второй полке. 2 · x + x = 48; 3 · x = 48; x = 16 – книг на второй полке. 2 · 16 = 32 – книг на первой полке. Ответ: 32.

№ 100 Пусть x деталей изготовил ученик за один день. Тогда 3 · x деталей изготовил мастер за один день. (x + 3 · x) · 2 = 312; 4 · x = 156; x = 39 – деталей изготовляет ученик за один день. 3 · 39 = 117 – деталей изготовляет мастер за один день. Ответ: 117, 39.

№ 101 Пусть x деталей изготовили на первом станке. Тогда (x + 10) деталей изготовили на втором станке. x + x +10 = 346; 2 · x = 336; x = 168 – деталей изготовили на первом станке. 168 + 10 = 178 – деталей изготовили на втором станке. Ответ: 168; 178.

19

№ 102 Пусть x тонн зерна собрали с первого участка. Тогда 1,2 · x тонн зерна собрали со второго участка. 1,2 · x + x = 39,6; 2,2 · x = 39,6; x = 18 тонн зерна собрали с первого участка. 1,2 · 18 = 21,6 тонн зерна собрали со второго участка. Ответ: 18; 21,6.

№ 103 Пусть x – это число. Тогда имеем: x + 23 = 7 · (x – 1); x + 23 = 7 · x – 7; –6 · x = –30; x = 5; Ответ: 5.

№ 104 Пусть x лет дочке. Тогда (x + 25) – лет маме, x +25 + x = 35; 2 · x = 10; x = 5 – лет дочке; 5 + 25 = 30 – лет маме.

№ 105 Пусть x яблонь на первом участке. Если с первого участка пересадить на второй одну яблоню, то (x – 1) – на первом останется, 3 · (x – 1) на втором. x – 1 + 3 · (x – 1) = 84; 4 · (x – 1) = 84; x – 1 = 21; x = 22 – на первом участке. 84 – 22 = 62 – на втором. Ответ: 22; 62.

№ 106

а) a + b = 7 · a · b; б) x = 3 · y + 1; в) ( )dcdc =−⋅3 ; г) a = 12 · b + 5.

№ 107 а) N=10 · a+b; б) M = 100 · a+10 · b+c; в) a · 1000 + b · 10; г) 100 · r + 7.

№ 108 Пусть t часов был в пути первый теплоход. Тогда (t – 3) часов был в пути второй теплоход. 22 · t + 26 · (t – 3) = 306; 48 · t = 306 + 78; t = 384 : 48; t = 8 часов был в пути первый теплоход. 8 – 3 = 5 часов был в пути второй теплоход. Ответ: 8; 5.

№ 109 Пусть x книг на первой полке. Тогда 2 · x – книг на первой полке. 2 · x – 5 – книг на третей полке. x + 2 · x + 2 · x – 5 =75; 5 · x = 80; x = 16 – книг на второй полке.

20

2 · 16 = 32 – книг на первой полке. 32 – 5 = 27 – книг на третей полке. Ответ: 36; 18; 31.

№ 110 Пусть x – рабочих во втором цехе. Тогда 1,5 · x – рабочих в первом цехе. 1,5 · x + 110 – рабочих в третем цехе. x + 1,5 · x + 1,5 · x + 110 = 310; 4 · x = 200; x = 50 – рабочих во втором цехе. 1,5 · 50 = 75 – рабочих в первом цехе. 75 + 110 = 185 – рабочих в третем цехе. Ответ: 75; 50; 185.

№ 111 Пусть x см. – AB. Тогда 2 · x см. – BC. (x + 4) см. – AC. x + 2 · x + x + 4 = 44; 4 · x = 40; x = 10 см. – АB. 2 · 10 = 20 см. – BC. 10 + 4 = 14 см. – АС. Ответ: 10; 20; 14.

№ 112 Пусть x учеников учится в старших классах. Тогда 3 · x учеников учится в начальных классах. 6 · x учеников учится в средних классах. x + 3 · x + 6 · x = 900; 10 · x = 900; x = 90 – учеников учится в старших классах. 3 · 90 = 270 – учеников учится в начальных классах. 6 · 90 = 540 – учеников учится в средних классах. Ответ: 270; 540; 90.

№ 113 Пусть x учеников всего.

Тогда 2x – учеников изучает математику.

4x – учеников изучает природу.

7x – учеников размышляет.

32 4 7x x x x+ + + = ; 3

2 4 7x x xx − − − = ; 28 14 7 4 3

28x x x x⋅ − ⋅ − ⋅ − ⋅

= ;

3 328

x⋅= ; x = 28 – учеников всего.

Ответ: 28.

21

№ 114 Пусть x – дней отработали. Тогда (30 – x) – дней не работали. 48 · x = 12 · ( 30 – x); 48 · x + 12 · x = 12 · 30; 60 · x = 360; x = 6 дней отработали. Ответ: 6.

№ 115 Пусть x – учеников всего.

Если придет 12 4x xx⎛ ⎞+ + +⎜ ⎟

⎝ ⎠ учеников, то

x + x + 2 4x x+ +1= 100; 2 · x + 3 99

4x⋅= ; 11 99

4x⋅= ; 11 · x = 396;

x = 36 – учеников всего. Ответ: 36.

№ 116 Пусть x – мужчин; 4 алтына = 12 коп.; 120 гривен = 1200 коп. Тогда (120 – x) – женщин; 3 алтына = 9 коп. 12 · x + (120 – x) · 9 = 1200; 12 · x + 1080 – 9 · x = 1200; 3 · x = 1200 – 1080; x = 40 – мужчин. 120 – 40 = 80 – женщин. Ответ: 40; 80.

ГЛАВА 2. Степень с натуральным показателем и ее свойства

§ 4. Что такое степень с натуральным показателем

№ 117 а) 3 · 3 · 3 · 3 = 34; в) 0,5 · 0,5 = ( 0,5 )2; б) 7 · 7 · 7 · 7 · 7 · 7 = 76; г) 8,4 · 8,4 · 8,4 · 8,4 · 8,4 = ( 8,4 )5.

№ 118 а) x8; б) y5; в) z6; г) q3.

№ 119

а) (–4)5; б) 42

3⎛ ⎞−⎜ ⎟⎝ ⎠

; в) (–2,5)3; г) 275

8⎛ ⎞−⎜ ⎟⎝ ⎠

.

№ 120 а) (– c )4; б) (– d )3; в) (– r )5; г) (– s )6.

№ 121 а) ( ab )4; б) ( pq )3; в) ( mn )5; г) ( xy )6.

№ 122 а) ( c – d )3; б) ( z + t )2; в) ( p – q )4; г) ( x + y )6.

22

№ 123

а) 135 · 53; б) 0,72 · 21

2⎛ ⎞−⎜ ⎟⎝ ⎠

; в) (– 0,45 )2 · 73; г) 31

9⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

· 0,12.

№ 124

а) 53 · 73; б) (– 0,3 )3 · 23

5⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

; в) ( 7,95 )2 · 133; г) 312

3⎛ ⎞−⎜ ⎟⎝ ⎠

· ( 17,8 )2.

№ 125 а) x · x · x · x · x · x · x · x; в) (– y )3 · (– y )3 · (– y )3 · (– y )3; б) (– 2a ) · (– 2a ) · (– 2a ) · (– 2a ); г) ( 3b )2 · ( 3b )2 · ( 3b )2.

№ 126 а) 4pq · 4pq; в) (z – x) · (z – x) · (z – x);

б) 2a

b⎛ ⎞−⎜ ⎟⎝ ⎠

· 2a

b⎛ ⎞−⎜ ⎟⎝ ⎠

; г) dc

65 ·

dc

65 ·

dc

65 ·

dc

65 ·

dc

65 .

№ 127 а) 2; б) 4; в) 32; г) 16.

№ 128 а) 27; б) 0; в) –8; г) 1.

№ 129 а) 25; б) –5; в) –125; г) –3125.

№ 130

а) 1; б) 81; в) 161 ; г)

811 .

№ 131 а) 35 = 405; б) (– 0,5)4 = 0,0625;

в) 33

4⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

= 2764

; г) 211

7⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

= 28

7⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

= 64 15149 49

= .

№ 132

а) 9 см2; б) 49 см2; в) 2,25 см2; г) 116

см2.

№ 133

а) 2197 м3; б) 64 м3; в) 0,216 м3; г) 27343

м3.

№ 134

а) (– 3)5 = – 405; б) 31

2⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

= 18

; в) (–0,4)2 = 0,16; г) 41

5⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

= 1625

.

23

№ 135 а) 171 = 17; б) 115 = 1; в) 321 = 32; г) 072 = 0.

№ 136 а) – 72 = – 49; б) (– 1)4 = 1; в) (– 0,5)3 = – 0,125; г) – 82 = – 64.

№ 137

а) 31

4⎛ ⎞−⎜ ⎟⎝ ⎠

= 164

− ; б) 23

10⎛ ⎞−⎜ ⎟⎝ ⎠

= 9100

;

в) 32

3⎛ ⎞− −⎜ ⎟⎝ ⎠

= 827

; г) – (– 0,1)4 = – 0,0001.

№ 138 а) 3 · (– 4)2 = 3 · 16 = 48; в) 81 · 71 = 8 · 7 = 56; б) (– 2)5 · 3 = – 32 · 3 = – 96; г) (– 0,5)2 · (– 2)2 = 0,25 · 4 = 1.

№ 139

а) 23 1 9 4 31

4 3 16 3 4⎛ ⎞ ⋅ = ⋅ =⎜ ⎟⎝ ⎠

; б) 34 ·32

3⎛ ⎞−⎜ ⎟⎝ ⎠

= 81 · 827

⎛ ⎞−⎜ ⎟⎝ ⎠

= 3 · (– 8) = – 24;

в) 1 : 31

3⎛ ⎞−⎜ ⎟⎝ ⎠

= 1 : 127

⎛ ⎞−⎜ ⎟⎝ ⎠

= – 27; г) 23

5⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

· 2 9 5 313 25 3 5= ⋅ =

№ 140

а) 40,2 0,0016 0,00004

40 40= = ; в)

( ) ( )31 1 1000

0,0010,1= = −

−−;

б) ( )2

1,8 1,8 200,090,3

= = ; г) ( )2

1,6 1,6 100,160,4

= = .

№ 141

а) 212

5⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

= 211

5⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

= 121 21425 25

= ;

б) 313

3⎛ ⎞−⎜ ⎟⎝ ⎠

= 310

3⎛ ⎞−⎜ ⎟⎝ ⎠

= 1000 13727 27

− = − ;

в) 421

3⎛ ⎞−⎜ ⎟⎝ ⎠

= 45

3⎛ ⎞−⎜ ⎟⎝ ⎠

= 625 58781 81

= ;

г) 215

4⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

= 221

4⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

= 441 92716 16

= .

№ 142 а) 29; б) 1845; в) (– 5)17; г) (– 9)12.

24

№ 143 а) x7; б) ( ab )45; в) ( z – y )105; г) ( r + s )31.

№ 144 а) 6 m; б) (– 7) n; в) a r; г) b m.

№ 145 а) ( xy ) n; б) (– cd ) m; в) ( m – n ) r; г) ( t + v ) n.

№ 146 а) c r · d n; б) (– a) n · b r; в) ( a – b ) m · ( x – z ); г) ( p – q ) 2 · ( x – y) m.

№ 147 Пусть S – площадь одной стороны. Тогда 6 · S – полная поверхность. S = 7 · 7 = 49 см2; 6 · 49 = 294 см2 – полная поверхность. Ответ: 294 см2.

№ 148 Пусть S – площадь пола, P – площадь одной стены, S = 9 = 3 · 3. Так как пол квадратный, то сторона квадрата равна трем. P = 3 · 3 = 9 м2; 9 · 4 = 36 м2 – потребуется обоев. Ответ: 36 м2.

№ 149 Пусть S – площадь пола. S = 4 · 4 = 16 м2; 16 · 200 = 3200 г. = 3,2 кг. – потребуется краски. Ответ: 3,2 килограмма.

№ 150 Пусть S – площадь стороны куба, V – объем куба. S = 40 · 40 =1600 см2 = 0,16 м2; V = 1600 · 40 = 64000 см3 = 0,064 м3; Ответ: 0,064 м3.

№ 151 а) 3 · 24 + 2 · 34 = 3 · 16 + 2 · 81 = 48 + 162 = 210; б) 7 · 32 + 3 · 72 = 7 · 9 + 3 · 49 = 63 + 147 = 210; в) 5 · 33 + 3 · 52 = 5 · 27 + 3 · 25 = 135 + 75 = 210; г) 7 · 52 + 5 · 72 = 7 · 25 + 5 · 49 = 175 + 245 = 420.

№ 152 а) 7 · 103 – 8 · 102 = 7 · 1000 – 8 · 100 = 7000 – 800 = 6200; б) 92 · 3 + 100 · (0,1)2 = 81 · 3 + 100 · 0,01 = 243 + 1 = 244.

№ 153

а)21

9⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

· 27+(0,1)4 · 5000 = 1 1 1 2 3 527 0,0001 500081 3 2 6 6

+⋅ + ⋅ = + = = ;

б) 100 : 52 – 21

8⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

· 128 = 100 : 25 – 1 128 4 2 264

⋅ = − = .

25

№ 154

а) 322

3⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

– 321

3⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

= 38

3⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

– 35

3⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

= 512 125 387 11427 27 27 3

− = = ;

б) 411

4⎛ ⎞−⎜ ⎟⎝ ⎠

+ 212

16⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

= 45

4⎛ ⎞−⎜ ⎟⎝ ⎠

– 233

16⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

= 625 1089 1714 89256 256 256 128

+ = = .

№ 155 а) 228 = 2 · 114 = 2 · 2 · 57 = 2 · 2 · 3 · 19 = 22 · 3 · 19; б) 432 = 2 · 216 = 2 · 2 · 108 = 2 · 2 · 2 · 54 = 24 · 27 = 24 · 33; в) 600 = 2 · 300 = 2 · 2 · 150 = 23 · 75 = 23 · 5 · 15 = 23 · 52 ·3; г) 752 = 2 · 376 = 2 · 2 · 188 = 2 · 2 · 2 · 94 = 24 · 47.

№ 156 а) 3969 = 3 · 1323 = 3 · 3 ·441 = 3 · 3 · 3 ·147 = 34 ·49 = 34 · 72; б) 64800 = 2 · 32400 = 2 · 2 · 16200 = 23 · 8100 = 23 · 90 · 90 = = 23 · 9 ·10 · 9 · 10 = 23 · 32 · 5 · 2 · 32 · 5 · 2 = 25 · 34 · 52; в) 21600 = 2 · 10800 = 2 · 2 · 5400 = 2 · 2 · 2 · 2700 = 2 3 · 27 · 100 = = 23 · 3 · 3 · 3 · 10 · 10 = 23 · 33 · 2 · 5 · 2 · 5 = 25 · 33 · 52; г) 17640 = 2 · 8820 = 2 · 2 · 4410 = 2 · 2 · 2 · 2205 = 23 · 5 · 441 = = 23 · 5 · 3 · 147 = 23 · 5 · 3 · 3 · 49 = 23 · 5 · 32 · 72.

№ 157 а) 22 · 23 и 22 + 3; б) 32 · 31 и 32 + 1; 1) 22 · 23 = 2 · 2 · 2 · 2 · 2 = 25; 1) 32 · 31 = 3 · 3 · 3 = 33; 2) 22 + 3 = 25. 2) 32 + 1 = 33. Ответ: числа равны. Ответ: числа равны. в) 71 · 72 и 71 + 2; г) 41 · 43 и 41 + 3; 71 · 72 = 7 · 7 · 7 = 73; 1) 41 · 43 = 4 · 4 · 4 · 4 = 44; 71 + 2 = 73. 2) 41 + 3 = 44. Ответ: числа равны. Ответ: числа равны.

§ 5. Таблица основных степеней № 158 N 1 2 3 4 5 6 3 n 3 9 27 81 243 729 5 n 5 25 125 625 3125 15625 7 n 7 49 343 2401 16807 117649 № 159

а) 16 = 42; б) 24 2

49 7⎛ ⎞= ⎜ ⎟⎝ ⎠

; в) 0,81 = (0,9)2; г) 225 5

64 8⎛ ⎞= ⎜ ⎟⎝ ⎠

2.

№ 160

а) 125 = 53; б) 31 1

64 4⎛ ⎞= ⎜ ⎟⎝ ⎠

; в) – 0,216 = (– 0,6)3; г) 3343 7

512 8⎛ ⎞= −⎜ ⎟⎝ ⎠

.

26

№ 161 а) 1; б) 1; в) – 1; г) 1.

№ 162 а) 0; б) 0; в) – 1; г) 0.

№ 163 а) (– 1)10 + 012 + 145 = 1 + 0 + 1 = 2; б) (– 1)6 + (– 1)7 – 08 = 1 – 1 – 0 = 0; в) 012 + 141 + (– 1)11 = 0 + 1 – 1 = 0; г) 0502 – 114 + 113 + (– 1)2 = 0 – 1 + 1 + 1 = 1.

№ 164 а) (– 1)4 + (– 1)3 + (– 1)2 + (– 1) = 1 – 1 + 1 – 1 = 0; б) (– 1)7 + 18 + 015 + 119 + (– 1)4 = –1 + 1 + 0 + 1 + 1 = 2; в) (– 1)2 – (– 1)3 – (– 1)4 – (– 1)5 = 1 – (– 1) – 1 – (– 1) = 2; г) (– 1)12 + 01 – 124 + 03 – (–1)5 = 1 + 0 – 1 + 0 + 1 = 1.

№ 165 а) 103 = 1000; б) 104 = 10000; в) 105 = 100000; г) 107 = 10000000.

№ 166 а) 1000000000 = 109; б) 10 = 101; в) 1000000 = 106; г) 10 n.

№ 167

а) (– 2)5 = –32; б) (– 3)4 = 81; в) (– 0,5)3 = – 0,125; г) 2

41⎟⎠⎞

⎜⎝⎛− =

161 .

№ 168 а) (– 2,5)2 + 1,52 = 6,25 + 2,25 = 8,5;

б) 42

3⎛ ⎞−⎜ ⎟⎝ ⎠

– 22

9⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

= 16 4 16 4 12 481 81 81 81 27

−− = = = ;

в) (– 0,5)3 + (– 0,4)2 = –0,125 + 0,16 = 0,035;

г) 21

6⎛ ⎞−⎜ ⎟⎝ ⎠

– 31

3⎛ ⎞−⎜ ⎟⎝ ⎠

= 1 1 1 1 3 4 736 27 36 27 108 108

+⎛ ⎞− − = + = =⎜ ⎟⎝ ⎠

.

№ 169 а) a2 ≥ 0; б) – a2 ≤ 0; в) (x + 5)2 ≥ 0; г) –3 · (x – 7)2 ≤ 0.

№ 170 а) x2 + y2 ≥ 0; б) (a + 51)2 + (b2 – 13)2 ≥ 0; в) 5 · (a2 + b2) ≥ 0; г) –94 · (x + y)2 ≤ 0.

№ 171 а) 2 r = 512; б) 5 m = 625; в) 7 m = 343; г) 3 r = 729 r = 9 m = 4 m = 3 r = 6 Ответ: 9 Ответ: 4 Ответ: 3 Ответ: 6

27

№ 172 а) 3 · 104 + 4 · 104 + 7 · 103 + 2 · 102 + 8 · 10 + 4 = = 30000 + 40000 + 7000 +200 + 80 + 4 = 77284; б) 8 · 106 + 9 · 103 + 5 = 8000000 + 9000 + 5 = 8009005; в) 1 · 104 + 1 · 102 + 1 = 10000 + 100 + 1 = 10101; г) 3 · 105 + 5 · 103 + 4 · 102 + 8 = 300000 + 5000 + 400 + 8 = 305408.

№ 173 а) 17285 = 10000 + 7000 + 200 + 80 + 5 = = 1 · 104 + 7 · 103 + 2 · 102 + 8 · 10 + 5; б) 213149 = 200000 + 10000 + 3000 + 100 + 40 + 9 = = 2 · 105 + 1 · 104 + 3 · 103 + 1 · 102 + 4 · 10 + 9; в) 1495643 = 1000000 + 400000 + 90000 + 5000 + 600 + 40 + 3 = = 1 · 106 + 4 · 105 + 9 · 104 + 5 · 103 + 6 · 102 + 4 · 10 + 3; г) 75003400 = 70000000 + 5000000 + 3000 + 400 = = 7 · 107 + 5 · 106 + 3 · 103 + 4 · 102.

№ 174 а) При а = 1, а2 = 12 = 1, (– а)2 = (– 1)2 = 1, – а2 = – 12 = – 1. При а = – 1, а2 = (– 1)2 = 1, (– а)2 = 12 = 1, – а2 = – (– 1)2 = – 1. При а = 0, а2 = 02 = 0, (– а)2 = (– 0)2 = 0, – а2 = – 02 = 0. При а = 10, а2 = 102 = 100, (– а)2 = (– 10)2 = 100. – а2 = – 102 = – 100. б) При b = 1, b4 = 14 = 1, (– b)5 = (– 1)5 = – 1, – b5 = – 15 = – 1. При b = 0, b4 = 04 = 0, (– b)5 = (– 0)5 = 0, – b5 = – 05 = 0. При b = –1, b4 = (– 1)4 = 1, (– b)5 = 15 = 1, – b5 = – (– 1)5 = 1. При b = 10, b4 = 104 = 10000, (– b)5 = (– 10)5 = – 100000. – b5 = – 105 = – 100000. в) c2 + (– c)3 + c4. При c = 1, 12 + (– 1)3 + 14 = 1 – 1 + 1 = 1. При c = 0, 02 + (– 0)3 + 04 = 0 + 0 + 0 = 0. При c = 10, 102 + (– 10)3 + 104 = 100 – 1000 + 10000 = 9100. При c = –1, (– 1)2 + 13 + (– 1)4 = 1 + 1 + 1 = 3. г) d4 – d2 + d + 1. При d = –1, (– 1)4 – (– 1)2 + (– 1) + 1= 1 – 1 – 1 + 1 = 0. При d = 0, 04 – 02 + 0 + 1= 0 – 0 + 0 + 1 = 1. При d = 1, 14 – 12 + 1 + 1= 1 – 1 + 1 + 1 = 2. При d = 10, 104 – 102 + 10 + 1= 10000 – 100 + 10 + 1 = 9911.

№ 175

а) 4 42 2 16 16 48 16 64 17

3 9 3 9 9 9 9 9−

− = − − = − − = − = − ;

б) ( )2 2

32 5 4 25 2 25 23 35

4 8 4 4 4 4 42−

− = − = − = − = − ;

28

в) ( )32

2 3 8 3 32 15 47 725 5 4 20 20 202− +

− = − − = − = − = − ;

г) ( )

4

3 214 2 14 16 14 48 34 71

27 9 27 27 273 3

−− = − = = − = −

−.

№ 176 а) 322 > 0; б) (– 54)2 > 0;

в) 32 и 23; г) 31

3⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

и 21

2⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

;

1) 32 = 9; 2) 23 = 8. 1) 31

3⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

= 19

; 2) 21

2⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

= 14

.

Ответ: 32 > 23. Ответ: 21

2⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

> 31

3⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

.

№ 177 а) (– 17,2)2 > (– 17,2)3; в) (– 0,3)3 < (– 0,3)2;

б) 43

5⎛ ⎞−⎜ ⎟⎝ ⎠

= 43

5⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

; г) 21

5⎛ ⎞−⎜ ⎟⎝ ⎠

> 41

5⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

.

№ 178

а) (– 7)3 < (– 0,4)3 < 31( )7

< (– 1,5)2;

б) 3)311(− < 3)

73(− < (– 1,8)2 < (– 2,1)2;

в) 3)32(− < (0,8)3 < (– 1,1)2 < (– 1,5)2;

г) 3)43(− < (0,3)2 < 2)

52(− 2 < (– 1,2)2.

№ 179 а) 2 n = 1024; 3 r =81; б) 7 n = 49; 5 r = 625. n =10; r = 4; n = 2; r = 4; n + r = 10 + 4 = 14. n + r = 2 + 4 = 6. Ответ: 14. Ответ: 6.

№ 180 а) 22x = 128; б) 3 x – 3 = 243; в) 5 x : 2 = 125; г) 2 2 – 3x = 256; 2x = 7; x – 3 = 5; x : 2 = 3; 2 – 3x = 8; x = 3,5. x = 8. x = 6. x = –2. Ответ: 3,5. Ответ: 8. Ответ: 6. Ответ: –2.

29

§ 6. Свойства степеней с натуральными показателями № 181

а) x2 · x3 = x5; б) y6 · y4 = y10; в) z5 · z12 = z17; г) t10 · t24 = t34. № 182

а) a5 · a = a6; б)b · b6 = b7; в)c7 · c = c8; г)d n · d = d n+1.

№ 183 а) s3 · s5 · s8 = s3 + 5+ 8 = s16; б) r14 · r12 · r51 = r14 + 12 + 51 = r67. в) m13 · m8 · m = m13 + 8 + 1 = m22; г) n4 · n · n10 = n4 + 1 + 10 = n15.

№ 184 а) u15 · u23 · u · u7 = u15 + 23 + 1 + 7 = u46; б) r4 · r12 · r51 = r4 + 12 +51 = r67; в) v3 · v9 · v4 · v = v3 + 9 + 4 + 1 = v17; г) q13 · q8 · q7 · q21 = q13 + 8 + 7 + 21 =q49.

№ 185 а) ( a – b )3 · ( a – b )2 = ( a – b )3 + 2 = ( a – b )5; б) ( c + d )7 · ( c + d )8 = ( c + d )7 + 8 = ( c + d )15; в) ( q + r )15 · ( q + r )8 = ( q + r )15 + 8 = ( q + r )23; г) ( m – n )5 · ( m – n )4 = ( m – n )5 + 4 = ( m – n )9.

№ 186 а) ( ax )5 · ( ax )7 · ( ax ) = ( ax )5 + 7 + 1 = ( ax )13; б) ( cd )8 · ( cd )8 · ( cd ) = ( cd )8 + 8 + 1 = ( cd )17; в) ( cd )8 · ( cd )8 · ( cd ) = ( cd )8 + 8 + 1 = ( cd )17; г) (– pq)13 · (– pq) · ( pq ) = (– pq)13 + 1 · ( pq ) = ( pq )15.

№ 187 а) x7 · x18; б) x9 · x16; в) x24 · x; г) x · x24.

№ 188 а) r3 · ∗ = r11; б) ∗ · r14 = r10; в) r13 · ∗ · r18 = r43; г) ∗ · r21 · r11 = r40; 11 – 3 = 8; 10 – 14 = –4; 43 – 13 – 18 = 12; 40 – 21 – 11 = 8; r3 · r8 = r11; r –4 · r14 = r10; r13 · r12 · r18 = r43; r8 · r21 · r11 = r40.

№ 189 а) r12 · ∗ · r3 · ∗ = r26; в) ∗ · r7 · ∗ · r9 · r13 = r48; 26 – 12 – 3 = 11; 48 – 7 – 9 – 13 = 19; 11 = 5 + 6; 19 = 9 + 10; r12 · r5 · r3 · r6 = r26; r9 · r7 · r10 · r9 · r13 = r48; б) r44 · ∗ · r · ∗ = r51; г) r · r14 · ∗ · r20 · ∗ = r72; 51 – 44 – 1 = 6; 72 – 1 – 14 – 20 = 37; 6 = 3 + 3; 37 = 17 + 20; r44 · r3 · r · r3 = r51; r · r14 · r17 · r20 · r20 = r72.

№ 190 а) 25 · 24 = 25 + 4 = 29 = 512; б) 33 · 32 = 33 + 2 = 35 = 243; в) 72 · 7 = 72 + 1 = 73 = 343; г) 9 · 92 = 91 + 2 = 93 = 729.

30

№ 191 а) 4 · 2 = 22 · 2 = 22 + 1 = 23; б) 32 · 8 = 25 · 23 = 25 + 3 = 28; в) 64 · 512 = 26 · 29 = 26 + 9 = 215; г) 16 · 32 = 24 · 25 = 24 + 5 = 29.

№ 192 а) 5 · 25 = 5 · 52 = 51 + 2 = 53; б) 53 · 625 = 53 · 54 = 53 + 4 = 57; в) 54 · 125 = 54 · 53 = 54 + 3 = 57; г) 59 · 3125 = 59 · 55 = 59 + 5 = 514.

№ 193 а) a = (– 13)9 · (– 13)8; б) a = (– 17)17 · (– 17)71; 9 + 8 = 17 – нечетное. 17 + 71 = 88 – четное. Ответ: отрицательное. Ответ: положительное. в) а = (– 28)2 · (– 28)6; г) а = (– 43)41 · (– 43)14; 2 + 6 = 8 – четное. 41 + 14 = 55 – нечетное. Ответ: положительное. Ответ: отрицательное.

№ 194 а) x · 73 = 75; б) 122 · x = 123; в) 46 · x = 48; г) x · 56 = 59; x = 75 : 73; x = 123 : 122; x = 48 : 46; x = 59 : 56; x = 72; x = 121; x = 42; x = 53; x = 49. x =12. x =16. x = 125. Ответ: 49. Ответ: 12. Ответ: 16. Ответ: 125.

№ 195 а) x7 : x4 = x7 – 4 = x3; б) y16 : y12 = y16 – 12 = y4; в) z13 : z = z13 – 1 = z12; г) m28 : m27 = m28 – 27 = m1 = m.

№ 196 а) a12 : a10 : a = a12 – 10 – 1 = a1 = a; б) b45 : b15 : b29 = b45 – 15 – 29 = b1 = b; в) c3 : c : c = c3 – 1 – 1 = c1 = c; г) d43 : d14 : d5 = d43 – 14 – 5 = d24.

№ 197 а) (a – b)3 : (a – b)2 = (a – b)3 –2 = (a – b)1 = (a – b); б) (z + r)13 : (z + r)8 : (z + r)3 = (z + r)13 – 8 – 3 = (z + r)2; в) (c + d)8 : (c + d)5 = (c + d)8 – 5 = (c + d)3; г) (m – n)42 : (m – n)12 : (m – n)29 = (m – n)42 – 12 – 29 = (m – n)1 = (m – n).

№ 198 а) 1013 : 108 = 1013 – 8 = 105 = 100000; б) 1217 : 1216 = 1217 – 16 = 12; в) (–324)3:(–324)2=(– 324)3 – 2 = –324; г) 0,75127:0,75126=0,75127 – 26=0,751;

№ 199

а) 8

577

= 73 = 343; б) 7

50,60,6

= 0,62 = 0,36;

в) ( )( )

6

20,2

0,2

−

− = (– 0,2)4 = 0,0016; г)

4

3

113113

⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

= 111

3⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

= 113

.

31

№ 200

а) 1811

3⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

: 1711

3⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

= 18 1711

3

−⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

= 113

;

б) 612

7⎛ ⎞−⎜ ⎟⎝ ⎠

: 412

7⎛ ⎞−⎜ ⎟⎝ ⎠

= 6 412

7

−⎛ ⎞−⎜ ⎟⎝ ⎠

= 215

7⎛ ⎞−⎜ ⎟⎝ ⎠

= 22549

= 29449

;

в) 2323

9⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

: 2123

9⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

= 23 2123

9

−⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

= 229

9⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

= 841 311081 81

= ;

г) 1571

8⎛ ⎞−⎜ ⎟⎝ ⎠

: 1471

8⎛ ⎞−⎜ ⎟⎝ ⎠

= 15 1471

8

−⎛ ⎞−⎜ ⎟⎝ ⎠

= 171

8⎛ ⎞−⎜ ⎟⎝ ⎠

= 718

− .

№ 201 а) x5 : x2 = x3; б) x18 : x7 = x11; в) x49 : x36 = x13; г) x104 : x5 = x99.

№ 202 а) x52 : x10 : x2 = x52 – 10 – 2 = x40; б) r44 · r20 · r : r14 = r44 + 20 + 1 – 14 = r51; в) x45 : x30 : x15 · x = x45 – 30 – 15 + 1 = x; г) x100 : x26 : x = x100 – 26 – 1 = x73.

№ 203 а) 128 n : 12856 = 12842; n – 56 = 42; n = 98; Ответ: 98. б) 2163 : 216 n = 216; 3 – n =1; n = 2; Ответ: 2. в) 395 n : 395 = 3959; n – 1 = 9; n = 10; Ответ: 10. г) 5484 : 548 n = 5483; 4 – n = 3; n = 1; Ответ: 1.

№ 204 а) x : 25 = 23; б) 36 : x = 34; в) 78 : x = 74; г) x : 52 = 5; x = 23 · 25; x = 36 : 34; x = 78 : 74 x = 5 · 52; x = 28; x = 32; x = 74; x = 53; x = 256. x = 9. x = 2401. x = 125. Ответ: 256. Ответ: 9. Ответ: 2401. Ответ: 125.

№ 205

а) 3 12

3 12 14 114

7 7 7 7 77

+ −⋅= = = ; б)

15 7

1910 10

10⋅ = 1015 + 7 – 19 = 103 = 1000;

в) 13

1215 15

15⋅ = 151 + 13 – 12 = 152 = 225; г)

12 1212 11

6 5 1143 43 43 43

43 43 43−= = =

⋅.

№ 206

а) ( )3 12 152

13 130,3 0,3 0,3 0,3 0,09

0,3 0,3⋅

= = = ; б)

16 17

2

15 15

7 7 77 498 8 88 647 7

8 8

⎛ ⎞ ⎛ ⎞⋅⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎛ ⎞⎝ ⎠ ⎝ ⎠= = =⎜ ⎟⎝ ⎠⎛ ⎞ ⎛ ⎞

⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

;

32

в) 5 4 9

27 7

0,09 0,09 0,09 0,09 0,00810,09 0,09⋅

= = = ;г)

3 2 5

41 1 1·

1 13 3 31 1 3 813 3

⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎛ ⎞⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠= = =⎜ ⎟

⎝ ⎠.

№ 207

а) 5 8 13

103 3

x x x xx x⋅

= = ; б) 7 9 16

115 5

y y y yy y⋅

= = ;

в) 12 10 22

21 21c c c c

c c⋅

= = ; г) 18 12 30

1515 15

d d d dd d⋅

= = .

№ 208 а) ( x3 )2 = x3 · 2 = x6; б) ( x5 )6 = x5 · 6 = x30; в) ( x7 )12 = x7 · 12 = x84; г) ( x10 )13 = x10 · 13 = x130.

№ 209 а) ( 28 )5; б) ( 210 )4; в) ( 220 )2; г) ( 24 )10.

№ 210 а) ( m6 )3; б) ( m16 )3; в) ( a18 )3; г) ( b7 )3.

№ 211 а) ( 73 )2 = 73 · 2 = 76 = 117649; б) ( 33 )2 = 33 · 2 = 36 = 729; в) ( 42 )3 = 42 · 3 = 46 = 4096; г) ( 22 )5 = 22 · 5 = 210 = 1024.

№ 212 а) ( a6 )5 = a6 · 5 = a30; б) ( b2 )7 = b2 · 7 = b14; в) ( z4 )3 = z4 · 3 = z12; г) ( p12 )2 = p12 · 2 = p24.

№ 213 а) ( a3 )6 · a4 = a3 · 6 + 4 = a22; б) b5 · ( b3 )4 = b5 + 3 · 4 = b17; в) c6 · ( c2 )3 = c6 + 2 · 3 = c12; г) ( d8 )4 · d23 = d8 · 4 + 23 = d55.

№ 214

а) 2 5 6 2 5 6

7 8 14 7 8 14: 1:

a a a a aaa a a a

+ −

+ −⋅

= = =⋅

; б) 13 12 3 13 12 3 22

20 4 20 4 1 23: 1:

b b b b bbb b b b b

+ −

+ −⋅

= = =⋅

;

в) 3 17 43 2 3 17 43 2

19 44 19 44z z q q z q z q

z q z q

+ +⋅ ⋅⋅ = ⋅ = ⋅ ;

г) 79 4 63 57 79 4 63 57

24 899 96 99 96 16

1m m m m m m m mm m m m m

+ +⋅ ⋅⋅ = ⋅ = ⋅ = .

№ 215 а) y3; б) y6; в) y10; г) y20.

№ 216 а) ( x5 )4 · ( x6 )7 = x5 · 4 + 6 · 7 = x20 + 42 = x62; б) ( y8 )2 · ( y12 )3 = y8 · 2 + 12 · 3 = y16 + 36 = y52;

33

в) ( z13 )3 · ( z5 )9 = z13 · 3 + 5 · 9 = y39 + 45 = y84; г) ( t25 )2 · ( t10 )4 = t25 · 2 + 10 · 4 = y50 + 40 = y90.

№ 217 а) ( z5 )6 : z7 = z5 · 6 – 7 = z30 – 7 = z23; б) ( p3 )4 : p10 = p3 · 4 – 10 = p12 – 10 = p2; в) ( u14 )3 : u20 = u14 · 3 – 20 = u42 – 20 = z22; г) ( q8 )6 : q70 = q8 · 6 – 70 = q48 – 70 = q– 22.

№ 218

а) ( )43 7 3 4 7 19

415 15 15

x x x x xx x x

⋅ +⋅= = = ; б)

( ) ( )( )

7 45 2 5 7 2 4 43

14 314 423

y y y y yy yy

⋅ + ⋅

⋅

⋅= = = ;

в) ( )( )

53 5 3 5 5 202

3 6 3 186

c c c c cc cc

⋅ +

⋅

⋅= = = ; г)

( )( )

32 15 2 3 15 219

3 4 3 124

d d d d dd dd

⋅ +

⋅

⋅= = = .

№ 219 а) ( x3 )n = x 3n; б) ( yn )5 = y5n; в) (– a4 )2n = a8n; г) (– b3 )6n = b18n.

№ 220

а) ( )56 3 6 3 5 21

318 18 18

2 2 2 2 2 82 2 2

+ ⋅⋅= = = = ; б)

( )36 8 6 3 8 264

22 22 22

5 5 5 5 5 6255 5 5

⋅ +⋅= = = = ;

в) ( )26 6 2 12

73 3 2 5

3 3 3 3 21573 9 3 3

⋅

+= = = =⋅

; г) ( )

7 7 2 9

4 2 4 82

4 16 4 4 44 44

+

⋅⋅

= = = .

§ 7. Умножение и деление степеней с одинаковыми показателями

№ 221 а) (2a)4 = 24 · a4; б) ( 3b )5 = 35 · b5; в) ( 6n )3 = 63 · n3; г) ( 8n )2 = 82 · n2.

№ 222 а) (– 2p)3 = (– 2)3 · p3; б) (– 5q)4 = (– 5)4 · q4; в) (– 7c)2 = (– 7)2 · c2; г) (– 3d)5 = (– 3)5 · d5.

№ 223 а) ( mn )6 = m6 · n6; б) ( ab )4 = a4 · b4; в) ( pq )3 = p3 · q3; г) (cd)10=c10 ·d10.

№ 224 а) (– ac )17 = (– a)17 · c17; б) (– am )8 = (– a)8 · m8; в) (– rs )3 = (– r)3 · s3; г) (– xy )12 = (– x)12 · y12.

№ 225 а) ( xy3 )2 = x2 · y6; б) ( a2bc3 )4 = a8 · b4 · c12; в) ( p3cd6 )18 = p54 · c18 · d108; г) ( u5v4t7 )8 = u40 · v32 · t56.

34

№ 226 а) ( 3p2r8 )5 = 35 · p10 · r40; б) ( 6a5bx3 )3 = 63 · a15 · b3 · x9; в) ( 10a2b5 )4 = 104 · a8 · b20; г) ( 4r5q8p9 )2 = 42 · r10 · q16 · p18.

№ 227 а) 36a2 = (6a)2; б) 49b2 = (7b)2; в) 81c2 = (9c)2; г) 64d2 = (8d)2.

№ 228 а) a2 · b2 · c2 = (abc)2; б) x3 · y3 · z3 = (xyz)3; в) m5 · n5 · s5 = (mns)5; г) p12 · q12 · r12 = (pqr)2.

№ 229 а) 16 · x4 · y4 · z4 = (2xyz)4; б) 125 · c3 · d3 · z3 = (5cdz)3; в) 81 · m2 · p2 · q2 = (9mpq)2; г) 32 · r5 · s5 · q5 = (2rsq)5.

№ 230 а) a2 · b10 = (ab5)2; б) x8 · y12 = (x4y6)2; в) x2 · y4 · z24 = (xy2z12)2; г) p8 · q10 · z30 = ( p4q5z15 )2.

№ 231 а) x4 · y6 = (x2y3)2; б) 16 · q18 · r34 = (4q9r17 )2; в) 81 · c8 · d16 · f28 = ( 9c4d8f14 )2; г) 121 · m12 · n16 · r54 = ( 11m6n8r27 )2.

№ 232 а) 23 · 53 = 2 · 2 · 2 · 5 · 5 · 5 = (2 · 5) · (2 · 5) · (2 · 5) = 103 = 1000;

б) 31 ; в) 0,66 · 56 = (0,6 · 5)6 = 36 = 729;

г) 3 33 3 3 335 6 2 35 · 6 · 2 35 · 12 1 1· ·

24 7 5 24 · 7 · 5 24 · 35 2 8⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞= = = =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟

⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠ ⎝ ⎠.

№ 233

а)12 12

12a ab b

⎛ ⎞ =⎜ ⎟⎝ ⎠

; б)17 17

17c cd d

⎛ ⎞ =⎜ ⎟⎝ ⎠

; в)4 4

4a ab b

⎛ ⎞− =⎜ ⎟⎝ ⎠

; г )5 5

5c cd d

⎛ ⎞⎛ ⎞− = −⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠.

№ 234

а)6 6 6 6

6 6 62 2 · 643 3 · 729a a ab b b

⎛ ⎞ = =⎜ ⎟⎝ ⎠

; б)2 2 2 2

2 2 27 7 · 498 8 · 64

x x xy y y

⎛ ⎞= =⎜ ⎟

⎝ ⎠;

в)5 5 5

5 5 52 2 · 32c c cd d d

⎛ ⎞ = =⎜ ⎟⎝ ⎠

; г)3 3 3 3

3 3 33 3 · 275 5 · 125m m mn n n

⎛ ⎞− = − = −⎜ ⎟⎝ ⎠

.

№ 235

а)25 10

2 43 3 59049

24017 7

⎛ ⎞= =⎜ ⎟⎜ ⎟

⎝ ⎠; б)

25 10

2 42 2 1024 3991

625 6255 5

⎛ ⎞= = =⎜ ⎟⎜ ⎟

⎝ ⎠;

35

в)42 8 8

48 40968b b b⎛ ⎞−

= =⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

; г) 23 6

2 4( 3) 3 729

2401( 7) 7

⎛ ⎞−= =⎜ ⎟⎜ ⎟−⎝ ⎠

.

№ 236

а)88

83 3

55⎛ ⎞= ⎜ ⎟⎝ ⎠

; б)99

97 7

1111⎛ ⎞= ⎜ ⎟⎝ ⎠

; в)33

8 2m m⎛ ⎞= ⎜ ⎟

⎝ ⎠; г)

44

16 2c c⎛ ⎞= ⎜ ⎟

⎝ ⎠.

№ 237 а) b3x3=(bx)3; б) 25a4=(5a2)2; в) 32x10y5 = (2x2y)5; г) 16a8b12 = ( 2a2b3 )4.

№ 238 а) 85 · 0,1255 = (8 · 0,125)5 = 15 = 1; б) 46 · 0,256 = (4 · 0,25)6 = 16 = 1; в) 54 · 0,44 = (5 · 0,4)4 = 24 = 16; г) 1,257 · 87 = (1,25 · 8)7 = 107 = 10000000.

№ 239

а)33 3 35 7 5 7 5 125 17· · 4

7 3 7 3 3 27 27⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞− − = − − = = =⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟

⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠;

б)1010 10

107 8 7 8· · 1 18 7 8 7

⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞− − = − − = =⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠

;

в) 6 6 6

65 12 5 12· · 2 646 5 6 5

⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞= = =⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

; г) 4 4 4

43 8 3 8· · 2 164 3 4 3

⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞= = =⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

.

№ 240

а) ( )

6 6 3 9

4 4 82

5 125 5 5 5 525 55

⋅ ⋅= = = ; б)

11 11 142

6 2 6 123 27 3 27 3 3 9;

9 (3 ) 3⋅ ⋅

= = = =

в) 5 5 3 8

23 2 3 6

2 8 2 2 2 2 44 (2 ) 2⋅ ⋅

= = = = ; г) 4 6 24

47 2 7 6 2016 (2 ) 2 2 16

4 64 (2 ) 2 2= = = =

⋅ ⋅.

№ 241

а) ( )88 8 82

6 6 62 32 3 6 6 36

6 6 6⋅⋅

= = = = ; б) ( )55 5 52

3 3 33 43 4 12 12 144

12 12 12⋅⋅

= = = = ;

в) ( )1111 11 11

10 10 107 97 9 63 63

63 63 63⋅⋅

= = = ; г) ( )88 8 8

7 7 72 82 8 16 16

16 16 16⋅⋅

= = = .

№ 242

а) ( )2 62 4 2 2 46

2 2 227 3 327 9 27 (3 ) 3 729

81 81 81⋅ ⋅⋅ ⋅

= = = = ;

б) ( )

2 12 126

6 6 6 610 10 10 10 1000000

2 5 102 5= = = =

⋅ ⋅;

36

в) ( )1616 16 162

14 14 145 35 3 15 15 225

15 15 15⋅⋅

= = = = ; г) ( )

6 6 6

5 5 5 512 12 12 12

3 4 123 4= = =

⋅ ⋅.

№ 243

а) 8 4 5 9

15 4 4 4( ) ( )( ) ( )

x xx x

⋅

⋅ = 5;

8 4 5 9

15 4 4 4 5xx

⋅ + ⋅

⋅ + ⋅ = ;32 45

60 16 5;xx

+

+ =77

76 5xx

= ; x = 5.

б)17 23

8 3 5 2 5( ) ( )x x

x x x⋅

⋅ ⋅=104;

17 23

8 3 5 2 5 104xx

+

⋅ + + ⋅ = ;40

24 5 10 104xx + + = ;

40

39 104xx

= ; x=104.

в)45 2 40 2

5 4 11( ) : ( ) 1347

( ) :x x

x x= ;

45 2 40 2

5 4 11 1347xx

⋅ − ⋅

⋅ − = ;90 80

20 11 1347xx

−

− = ;10

9 1347xx

= ; x=1347.

г)51 2 14 7

300 25 4( ) ( ) 349

: ( )x x xx x

⋅ ⋅= .

51 2 14 7 1

300 25 4 349xx

⋅ + ⋅ +

− ⋅ = ;102 98 1

300 100 349xx

+ +

− = ; 201

200 349xx

= ; x=349.

§ 8. Степень с нулевым показателем № 244

Найдите 23

R⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

.

а) R = 3; 23

R⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

= 32

3⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

= 827

; б) R = 0; 23

R⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

= 02 1

3⎛ ⎞ =⎜ ⎟⎝ ⎠

;

в) R = 1; 23

R⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

= 12

3⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

= 23

; г) R = 5; 23

R⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

= 52

3⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

= 32243

;.

№ 245 а) a = 1; a5 = 15 = 1 ; б) a = 0; a5 = 05 = 0 ; в) a = – 2; a5 = (– 2)5 = – 32 ; г) a = 10; a5 = 105 = 100000 .

№ 246

а) 2 01 1

3 3⎛ ⎞ ⎛ ⎞<⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

; 1 19< ; б)

2 01 14 4

⎛ ⎞ ⎛ ⎞− <⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

; 1161< ;

в) (– 2)3 < (– 2)0 ; – 8 < 1; г) 50 < 54 . 1 < 625. № 247

а) - 23 < – 20 ; б) 0 23 3

4 4⎛ ⎞ ⎛ ⎞> −⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

; в) 2

01 ( 2)2

⎛ ⎞− < −⎜ ⎟⎝ ⎠

; г) – 55 < – 50 .

–8 < – 1; 9116

> − ; 1 14

− < ; – 3125 < –1.

37

№ 248 а) 35 + 44 + 80 = 243 + 256 + 1 = 500;

б) 2 3 02 1 7 4 1 32 9 41· · 1

3 2 8 9 8 72 72+⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ = + = =⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟

⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠;

в) 30 · 25 – 152 = 1 · 32 – 225 = – 193; г) (1,5)3 + 44 + 150 =3,375 + 256 + 1 = 260,375.

№ 249 а) a12 · a5 : a17 = a12 + 5 – 17 = a0 = 1; б) c9 : (c5 · c4) = c9 – (5 + 4) = c0 = 1; в) b13 : b5 : b8 = b13 – 5 – 8 = b0 = 1; г) d15 · d4 : d19 = d15 + 4 – 19 = d0 = 1.

№ 250 а) (a – b)10 · (a – b) : (a – b)11 = (a – b)10 + 1 – 11 = (a – b)0 = 1;

б) 5 3 8 5 3 8 0

· : 12 2 2 2 2p p p p p+ −

⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞= = =⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

;

в) (r + l)4 : (r + l)3 · (r + l)2 : (r + l)3 = (r + l)4 – 3 + 2 – 3 = (r + l)0 =1; г) (–pq)14 · (–pq)13 : (–pq)27 = (–pq)14 + 13 – 27 = (–pq)0 = 1.

№ 251

а)2 0 2 2 05 25 5 5 5 5: · : · 1 1

2 4 2 2 2 2

⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎜ ⎟− = − = − = −⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠;

б) 3 5 3 2 5 3 2 5 01 1 1 1 1 1 1 1· : · : 1

3 9 3 3 3 3 3 3

+ −⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎜ ⎟− = − = − = − =⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠;

в) 1,54 : (– 1,5)3 · (– 1,5)2 : 1,5 = 1,53 : (– 1,5) = – 1,52 = – 2,25;

г) 2 0 3 28 2 16 2 2 2: · : · 1

27 3 81 3 3 3⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞= =⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

.

№ 252

а) 2 0 2

21,6 3,8 ·16· 0,4 0,4 2,56 1 ·6,4 0,16 2,72 6,4

1,88 0,04 1,841,88 0,2− ⋅ + − + −

= = =−−

3,68 21,84

= − ;

б) 2 2

0 01,2 1,8 1,44 3,24 1,8 5

0,6 0,96 0,361,2 ·0,6 1,8 ·0,96− −

= = =−−

;

в) 34

– (120)3 – 211

2⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

+ 43 · 0,1 = 43 – 13 –

232

⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

+ 64 · 0.1 =

= 0,75 – 1 – 94

+ 6,4 =5,4 – 1,5 = 3,9;

г) ((– 8)0)5 – 62 · 16

– 52 · 0,2 = 15 – 36 : 6 – 25 · 0,2 = 1 – 6 – 5 = – 10.

38

ГЛАВА 3. Одночлены. Операции над одночленами § 9. Понятие одночлена. Стандартный вид одночлена

№ 253

а) 3xy – одночлен; б) 12

a2bc3 – одночлен;

3 – коэффициент; 12

– коэффициент;

xy – буквенная часть; a2bc3 – буквенная часть; в) – 0,3c5d9 – одночлен; г) (– 2)3u nz nw n – одночлен; – 0,3 – коэффициент; (– 2)3 – коэффициент; c5d9 – буквенная часть; u nz nw n – буквенная часть.

№ 254 а) 0 – одночлен; 0 – коэффициент. б) y – одночлен; y–буквенная часть; в)–0,6–одночлен; –0,6–коэффициент. г) zn–одночлен; zn–буквенная часть.

№ 255

а) x – y – не одночлен; б) 3

434

pq

– не одночлен;

в) 2(c2 + d2) – не одночлен; г) 3 3

3 3c dc d

+

− – не одночлен.

№ 256

а) 93

cd

– не одночлен; г) 3

31819

mn

– не одночлен;

б) – 12m3n2 – одночлен; в) 611cd – одночлен;

– 12 – коэффициент; 611

– коэффициент;

m3n2 – буквенная часть; cd – буквенная часть. № 257

а) 6a2b3, 0,5ab8; б) a8b9, a3b4; в) 3ab, 3a10b; г) 6a2b, 10a2b. № 258

а) 4pq3, 20pq3, 0,1pq3; б) 3p2q, 3p8q4, 3pq10. № 259

а) при x = 0 7x3 = 7 · 03 =0; при x = 1 7x3 = 7 · 13 =7; при x = – 1 7x3 = 7 · (– 1)3 = – 7; б) при y = 2 9y2 = 9 · 22 = 36; при y = – 2 9y2 = 9 · (– 2)2 = 36; при y = 10 9y2 = 9 · 102 = 900; в) c = 15, d = – 2; 0,04cd2 = 0,04 · 15 · (– 2)2 = 0,6 · 4 = 2,4;

г) p = 1, q = 2; 83 pq3 =

83 · 1 · 23 =

83 · 8 = 3.

39

№ 260 а) 3m4 · m = 3m5; 3 – коэффициент; m5 – буквенная часть; б) 5x · 10y2 = 50xy2; 50 – коэффициент; xy2 – буквенная часть; в) 42y5 · y8 · y12 = 42y25; 42 – коэффициент; y25 – буквенная часть; г) – 7z3 · 4t8 = – 28z3t8; 28 – коэффициент; z3t8 – буквенная часть.

№ 261 а) 7a · 3b · 4c = 84abc; б) 15q · 2p2 · 4r5 = 120qp2r5; 84 – коэффициент; 120 – коэффициент; abc – буквенная часть; qp2r5 – буквенная часть;

в) 8u4 · 4v3 · (– 2w5) = – 64u4v3w5; г) –21 c12 · 2d18 · s10 = – c12d18s10;

– 64 – коэффициент; – 1 – коэффициент; u4v3w5 – буквенная часть; c12d18s10 – буквенная часть.

№ 262 а) a2b10cd2; a = 0,2, b = – 1, c = 15, d = – 2; a2b10cd2 = 0,22 · (– 1)10 · 15 · (– 2)2 = 0,04 · 1 · 15 · 4 = 2,4;

б) 49

s3t4r6; s = 1, t = 2, r = – 1;

49

s3t4r6 = 49

· 13 · 24 · (– 1)6 = 49

· 16 · 1 = 64 179 9= .

№ 263 а) 13a · 2b · 4b · 8a = 104a2 · 8b2 = 832a2b2;

832 – коэффициент, a2b2 – буквенная часть. б) 52 · pq2 · (– 4)2 · qpq = 25 · 16 · p2 q4 = 400 p2 q4; 400 – коэффициент, p2q4 – буквенная часть; в) 43c3d6 · (– 5)2cd2c4d = 64 · 25 · c8d9 = 1600c8d9; 1600 – коэффициент, c8d9 – буквенная часть; г) 24x9y8 · (– 2)2(– x)4(– y)3 = – 16 · 4 · x13y11 = – 64x13y11; 64 – коэффициент, x13y11 – буквенная часть.

№ 264

а) 0,45a2bc5 · 119

a7b6c = 9 1020 9

⋅ a9b7c6 = 0,5a9b7c6;

0,5 – коэффициент, a5b7c6 – буквенная часть,

б) 0,4b3x4y · 124

bx3y7 = 2 15 24⋅ b4x7y8 = 1

60b4x7y8;

160

– коэффициент, b4x7y8 – буквенная часть;

в) – 6p4n32 21

3n p⎛ ⎞−⎜ ⎟

⎝ ⎠ = 2p6n5; 2 – коэффициент, p6n5 – буквенная часть;

г) – 3a2b43 41

9a b⎛ ⎞−⎜ ⎟

⎝ ⎠ = 13

a5b8; 13

– коэффициент, a5b8 – буквенная часть.

40

№ 265 а) 17x ny8z3 · 2xy5z4 = 34x n + 1y13z7; 34 – коэффициент, x n + 1y13z7 – буквенная часть;

б) 12p3q2r105 61

12pr q⎛ ⎞

⎜ ⎟⎝ ⎠ = p4q8r15;

1 – коэффициент, p4q8r15 – буквенная часть;

в) – 2x3c5d361

2c dx⎛ ⎞−⎜ ⎟

⎝ ⎠ = – 2x4c11d4;

2 – коэффициент, x4c11d4 – буквенная часть;

г) – 99a ms nt n133

n r ma s t⎛ ⎞−⎜ ⎟⎝ ⎠ = 3am + ns n + r t n + m;

3 – коэффициент, am + n sn + r tn + m – буквенная часть. № 266

а) 1. 3ab · 4a2 = 12a3b; 2. 2,5b 2 · 5a3 = 12,5a3b2; 3. 1,2a2 · 5b = 6a2b; 4. 7a2b · 12ab = 84a3b. У 2-го и 4-го одинаковая буквенная часть. б) 1. 8pq · 3p2 = 24p3q; 2. 1,4p2 · 15pq = 21p3q; 3. 0,7 · 12p3 = 8,4p3; 4. 4,3p23q = 12,9p2q. У 1-го и 2-го одинаковая буквенная часть. в) 1. 0,125st2 · 8t2 = st4; 2. 0,25t4 · 4s = st4; 3. 2,5t · 8st5 = 20st6; 4. 0,2st · 14t3 = 2,8st4. У 1-го, 2-го и 4-го одинаковая буквенная часть. г) 1. 15mn3 · 2m2 = 30m3n3; 2. 4m3 · 3n2 = 12m3n2; 3. 7,8n3 · 5m2 = 39n3m2; 4. 2m2n · 6,4n2 = 12,8m2n3. У 3-го и 4-го одинаковая буквенная часть.

§ 10. Сложение и вычитание одночленов № 267

а) 3a и 4a подобные; б) 19x2 и 35x2 подобные; в) 3y3 и 3y3 подобные; г) mn и 5mn подобные.

№ 268

а) 3a2b3c и 4a2b3c подобные; б) 27

x3y4z и 910

x3y4z подобные;

в) –0,2m2n4p8 и –0,38m2n4p8 подобные;

г) 313

r3s2t5 и 1118

r3s2t5 подобные.

№ 269 а) 7a2 и 3a3 не подобные; б) 6x2 и 15x5 не подобные;

в) 17,8c3d6 и 3,01c12d 4 не подобные; г) 21 y2z и

31 yz2 не подобные.

41

№ 270 а) 1,7x2y6 и 5,1x2y6; б) 10,8a2b2c9 и 3,6a2b2c9;

в) c3d12z5 и 3c3d12z5; г) 13

m2n8p14 и m2n8p14.

№ 271 а) 3x2y; 7x2y; 0,25x2y подобные; б) 12a2b2; 5a2b2; 2,04a2b2 подобные;

в) 9c5d12; 0,1c5d12; c5d12 подобные; г) 17

m11n15; 38

m11n15 подобные.

№ 272

а) m · m2 · m3 · 8 · m =8m7; б) 1213

m · m3 · m5 = 1213

m9;

в) 36m3 · m · 2 · m · 0,1 · m4 = 7,2m9; г) 12

m13 · m7 · 0,5 = m20.

Одночлены под пунктами б) и в) подобны. № 273

а) 3x + 5x = 8x; б) 6y + 7y = 13y; в) 3p + 5p + p = 9p; г) 7q+9q+4q = 20q. № 274

а) 1,2c + 1,2c = 2,4 c; в) 3,5d + 8,4d = 11,9d;

б) 1 1 32 4 4

m m+ = m; г) 1 3 15 10 2

n n n+ = .

№ 275 а) 13x2 + 20x2 = 33x2; в) 2,1z3 + 3,05z3 = 5,15z3;

б) 7 7 71 3 132 7 14

p p p+ = ; г) 1 1 73 4 12

k k kp p p+ = .

№ 276 а) 1,7d4 – 0,7d4 = d4; в) m4 – m4 = 0; б) 7p8 – 3p8 – 2p8 = 2p8; г) 2x8 – x8 = x8.

№ 277 а) 20y – 12y – y – 2y = 5y; в) 30x2 – 15x2 – 7x2 =8x2;

б)2 2 22

3 3 3a a a

− = ; г) 2 2 23 1 14 4 2

a b a b a b= .

№ 278 а) 5x2y + 6x2y = 11x2y; в) 3,5d + 8,4d = 11,9d;

б) 12

c3d + 12

c3d = c3d; г) 318

m3n4 + 1316

m3n4 = 5416

m3n4.

№ 279 а) 5a2b3 + 8a2b3 = 13a2b3; в) 7,4pq – 3,4pq = 4pq; б) – 12x3 – 12x3 = – 24x3; г) 1,2m2n + 0,5m2n = 1,7m2n.

42

№ 280 а) – 18a5b7 – (– 18a5b7) = 0; в) – 7,2st4 + 6st4 = – 1,2t4; б) – 12x3yz – (– 36x3yz) = 24x3yz; г) 13xyz – (– 5,3xyz) = 18,3xyz.

№ 281 а) 1. 4cd2 + 2cd2 = 6cd2; 2. cd2 + 5cd2 = 6cd2; 3. 10cd2 – 4cd2 = 6cd2; 4. –5cd2 + 11cd2 = 6cd2; б) 1. 50x3y2 – x3y2 = 49x3y2; 2. –11 x3y2 + 60 x3y2 = 49 x3y2; 3. 40 x3y2 + 9 x3y2 = 49 x3y2; 4. 33 x3y2 + 16 x3y2 = 49 x3y2.

№ 282 а) 5x · 2y + 3x · 6y + 2x · 7y = 10xy + 18xy + 14xy = 42xy; б) 3y2x + 6x · 3y · 2y + 2yxy = 3y2x + 36y2x + 2y2x = 41y2x; в) – 11ab + a · 8 · b + 5ab = 2ab; г) ab2 + 9abb + 3bab + abb = ab2 + 9ab2 + 3ab2 + ab2 = 14ab2.

№ 283 а) 3a2b + 7a · 9ba + 10b · 3a2 · (–1) = 3a2b + 63a2b – 30a2b = 36a2b; б) x2y2 · 7 + 19x · 2xyy – 9x · 3yxy = 7x2y2 + 38x2y2 – 27x2y2 = 18x2y2; в) az3 + 7az3 – 6z · 2az2 – 5az3 = 8az3 – 12az3 – 5az3 = – 9az3; г) m8n4 + 2m3 · 3m5n4 – 7m8n4 = – 6m8n4 + 6m8n4 = 0.

№ 284 а) 5x + 4x = 9; 9x = 9; x = 1. Ответ: x = 1. б) 11x – 4x = 14; 7x = 14; x = 2. Ответ: x = 2. в) 19x – 3x + 4x = 80; 20x = 80; x = 4. Ответ: x = 4.

г) 20x – 13x – 12x = 6; 5x = 6; x = 115

. Ответ: x = 115

.

№ 285

а) 2 1 9· 1 · · 15 2 10

x x x+ − = − ; 4 15 9· · · 110 10 10

x x x+ − = − 10· 110

x = − . x = – 1.

б) 5 5 17 1· · ·9 4 18 4

x x x− + = − ; 20 63 34 1· · ·26 30 26 4

x x x− + = − ; 1 14 4

x− ⋅ = − ; x = 1.

в) 1 1 1· · · 53 4 12

x x x+ − = ; 4 3 1· · · 512 12 12

x x x+ − = ; 1· 52

x = .

г) 242 5 6x x x+ + = ; 3 2 24

2 5 6x x x+ + = ; x = 24 .

№ 286

а) 0,71x – 13 = 10 – 0,29x; в) 5 71,3 0,5312 8

x x⋅ + = + ⋅

0,71x + 0,29x = 10 + 13; 5 7· · 0,53 1,312 8

x x− = − ;

43

x = 23. 11· 0,7724

x− = − ;

Ответ: 23. x = 1,68. Ответ: 1,68.

б) 1 7 11 1· · · 29 18 27 2

x x x+ − = ; г) 1 3· 0,82 · 1,376 8

x x− = − ;

6 21 22 1· · · 254 54 54 2

x x x+ = ; 1 3· · 1,37 0,826 8

x x− = − + ;

5 5·54 2

x = ; x = 27. 5 0,5524

x− ⋅ = − ; x = 2,64.

Ответ: 27. Ответ: 2,64. № 287

а) 1,2 + 310

x⋅ = 8 0,7815

x⋅ + ; 16 9· 1,2 0,7830 30

x − = − ; 7 4,230

x= ; x = 18.

Ответ: x = 18.

б) 1 7 11 1· · · 29 18 27 2

x x x+ − = ; 6 21 22 1· · · 254 54 54 2

x x x+ = ; 5 5·54 2

x = ; x = 27.

Ответ: 27.

в) 5 7· 1,3 0,53 ·12 8

x x+ = + ; 5 7· · 0,53 1,312 8

x x− = − ; 11· 0,7724

x− = − ; x = 1,68.

Ответ: 1,68.

г) 1 30,82 1,376 8

x x⋅ − = ⋅ − ; 1 3· · 1,37 0,826 8

x x− = − + ; 5 · 0,5524

x− = − ; x=2,64.

Ответ: 2,64. № 288

Пусть x – страниц в книге; 25⋅ x + 240 = x; 3· 240

5x = ; x = 400 – страниц в книге.

Отвтет : 400. № 289

Пусть x м. – длина дистанции; 38

· x + 3125 = x; 5· 31258

x = ; x = 5000 м. – длина дистанции.

Ответ: 5000 м. № 290

3,2⋅ 5 28= т. – отходов;

3,2 – 2 = 1,2 – льняного шоита. Ответ: 1,2 т.

44

№ 291 Пусть х т. – масса одного мотора.

Тогда х·752 кг. – масса другого мотора;

52 · 527

x x+ = ; 53 · 527

x = ; 26· 527

x = ;

x = 14 т. – масса первого мотора; 5 192 ·14 ·14 387 7

= = т. – масса другого мотора.

Ответ: 14; 38. № 292

Пусть x – первое число.

Тогда x⋅158 – второе число; x⋅

522 – третее число.

8 3· 2 · 49615 5

х х х+ + = ; 15 8 39· · ·15 15 15х х х+ + = 496 ; 62· 496

15х = ;

x = 120 – первое число; 8 ·120 6415

= – второе число;

13·120 3125

= – третее число.

Ответ: 120; 64; 312. № 293

Пусть х – неизвестное число; 2 1· · 73 2

x x x+ = + ; 7· 76

x x− = ; х = 42.

Ответ: 42. № 294

Пусть х – неизвестное число; 1 1 1· · 5 ·4 6 2х х х+ + = ; 1 1 1· · · 5

2 4 6х х х− − = ; 6 3 2· · · 5

12 12 12х х х− − = ; 5

12х= ;

х = 60 – это неизвестное число. Ответ: 60.

№ 295 Пусть х – второе число. Тогда 2,5 · х – первое число; 2,5 + 1,5 = х + 8,4; 1,5 · х = 6,9; х = 4,6 – второе число; 2,5 · 4,6 = 11,5 – первое число. Ответ: 4,6; 11,5.

№ 296 Пусть х – второе число. Тогда 1,5 · х – первое число;

45

2 · 1,5 · х = 1· 243х + ; 13 · 24

3х х− = ; 8· 24

3х = ; х = 9 – второе число;

1,5 · 9 = 13,5 – первое число. Ответ: 9; 13,5

№ 297 а) 42b2c3d2 + 54b2c3d4 + 48b2c3d2 + 12b2c3d2 = 102b2c3d2 + 54 b2c3d2; б) 1,8m2c3d2 + 54b2c3d4 + 48b2c3d2 + 12b2c3d2 = 102b2c3d2 + 54 b2c3d2.

№ 298

а) 12

a2b2cn + 13 a2b2cn +

18 a2b2cn =

1224 a2b2cn +

824 a2b2cn +

324 a2b2cn=

= 2423

a2b2cn;

б) 3,09xnynzn + 101

xnynzn + 0,01xnynzn + 201

xnynzn = 3,1xnynzn +

+ 0,1xnynzn + 0,05xnynzn = 3,25xnynzn. № 299

а) – 1,4a3 – (– 0,09a3) + (– 1,5a3) + 2a3 = – 1,31a3 + 0,5a3 = – 0,81a3; б) 3,9x4 + (– 2,7x4) – (– 0,8x4) + (– 2x4) = 1,2x4 – 1,2x4 = 0.

№ 300

а) 2 2 35 3 3 60 5 3 5 60 20c c c c c c c c c⎛ ⎞ ⎛ ⎞− + − − − − = − − + − = −⎜ ⎟ ⎜ ⎟

⎝ ⎠ ⎝ ⎠;

б) 2 25 5 4 60 5 3 4 60 5p p p p p p p p p⎛ ⎞ ⎛ ⎞− − − − + − = − + − − =⎜ ⎟ ⎜ ⎟

⎝ ⎠ ⎝ ⎠.

№ 301 а) 3x · 2y + 5x · 2y + 6x · 2y = 6xy + 10xy + 12xy = 28xy; б) 1,2a2b + 3,2aba + 6,8aab + 8,8baa = 1,2a2b + 3,2a2b + 6,8a2b + + 8,8a2b = 8a2b + 12a2b = 20a2b;

в) 12

xy2x + 13

xyxy + 16

xy2x = 36

x2y2 + 26

x2y2 + 16

x2y2 = x2y2;

г) 1 35

mn3r8 + 710

n2r5nr3m + 320

mr7n2nr = 3220

mn3r8 + 1420

mn3r8 +

+ 320

mn3r8 = 2 920

mn3r8..

№ 302 а) 12a2b – 3aba – 4baa = 12a2b – 3a2b – 4a2b = 5a2b; б) 31c3d2 – 12cdc2d – 3cdccd = 31c3d2 – 12c3d2 – 3c3d2 = 16c3d2; в) 21xyx2y3x–8x2y2xyxy–2xy3x3y–3x4y3y=21x4y4–8x4y4–2x4y4 – 3x4y4 = 8x4y4; г) 5znqn – 3zn – 1qnz – qn – 1zqzn – 1 =5znqn – 3znqn – znqn = znqn.

46

№ 303

а) 21 abca +

43 b(– a)ca –

121 acba +

245 (– b)aca =

= 2412 a2bc –

2418 a2bc –

242 a2bc –

245 a2bc = –

2413 a2bc;

б) 3nmr · 4n –83 nm · ⎟

⎠

⎞⎜⎝

⎛322 · nr +

92 n2m · ⎟

⎠

⎞⎜⎝

⎛−414 r =

= 12n2mr – n2mr – n2mr = 10n2mr. № 304

(16x2y4 – 13x2y4) + (23x2y4 + 10x2y4) = 3x2y4 + 33x2y4 = 36x2y4. № 305

(43a3b4 + (– 27a3b2)) + (34a3b2 – 20a3b2) = = 43a3b4 – 27a3b2 + 14a3b2 = 43a3b4 – 13a3b2.

№ 306 (2,38n4p + (– 1,48n4p)) + (4,72n4p – (– 1,28n4p)) = 0,9n4p + 6n4p = 6,9n4p.

№ 307 (2,57r3n4 – (– 1,43r3n4)) – ( – 8,39r3n4 + 5,39r3n4)=4r3n4 – (– 3r3n4) = 7r3n4.

№ 308 а) 25a2b4 = 3a2b4 + 5a2b4 + 7a2b4 + 10a2b4; б) 43x3y9 = 50x3y9 – 7x3y9; в) 79c8d10 = 85 c8d10 – 10c8d10 + 4c8d10; г) 99pnqnzn = 100pnqnzn + 10pnqnzn – 15pnqnzn + 4pnqnzn.

№ 309 Пусть x кг – апельсинов; 3x кг – бананов.

23x =

32 x + 70;

23 x –

32 x = 70;

65 x = 70; x = 84 кг – апельсинов;

3 ·84 = 256 – бананов. Ответ: 84; 256.

№ 310

Пусть x км – длина пути, тогда 227 x км – в первый день,

31 (x –

227 x) км – во второй день.

227 x +

31 (x –

227 x) + 25 = x;

227 x +

31 (x –

227 x) – x = – 25;

7 5 22 2522 22 22

x x x+ − = − ; 10 25;22

x− = − x=55.

Ответ: 55 км.

47

№ 311 Пусть x – количество кирпича в начале дня,

тогда 51 x – отправили на первую стройку,

⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛ − xx51

31 – на вторую стройку.

Пусть y – остаток кирпича на складе, тогда 43 y =120, y = 160.

1 1 15 3 5

x x x⎛ ⎞+ −⎜ ⎟⎝ ⎠

+ 120 = x – 160; 1 45 15

x x+ + 280 = x;

15 3 4 28015 15 15

x x x− − = ; 715

x = 280; x = 600.

Ответ: 600. № 312

Пусть x – некоторое число. (x – 0,15x) + 0,1(x – 0,15x) + 13 = x; 0,85x + 0,085x + 13 = x; x – 0,85x – 0,085x = 13; 0,065x = 13; x = 200. Ответ: 200.

№ 313 Пусть x – задуманное число. (x + 0,12) – 0,24(x + 0,12x) + 186 = x; 1,12x – 0,24 · 1,12x + 186 = x; 2825

x – 625

· 2825

x + 186 = x; 700625

x – 168625

x + 186 = x;

625625

x – 532625

x = 186; 93625

x = 186; x = 1250.

Ответ: 1250. № 314

Пусть x – учеников 7-х классов;

0,3( 16

x + 23

x) = 21; 0,3 · 56

x = 21; 0,25x = 21; x = 84.

Ответ: 84.

§ 11. Умножение одночленов. Возведение одночлена в натуральную степень

№ 315 а) 2x · 3y = 6xy; б) 7a · 5b = 35ab; в) 31c · 3d = 93cd; г) 15z · 3t = 45zt.

№ 316 а) 7a · 2b · 3c = 42abc; б) 10x2 · 2y2 · 3z3 = 60x2y2z3; в) 10m · 5n · 2q = 100mnq; г) 17p2 · 2q2 · 0,5s3 = 17p2q2s3.

48

№ 317

а) 7x2 · 5x2 · 6x3 = 210x7; б) 21 a2 ·

21 b3 ·

61 c4 =

241 a2b3c4;

в) 71x2y3z8 · 2xyz = 142x3y4z9; г) 54c2d2f3 · cd3f = 54c3d5f4. № 318

а) – 5a2b · (– 6ab2) = 30a3b3; б) 41c2d · (–4cd) = 164c3d2; в) – 17x3y · (– 2x2y2) = 34x5y3; г) – 13m2n2p3 · (– 2mn2p) = 26m3n4p4.

№ 319

а) 0,2c2d · 5,4c3d3 = 1,08c5d4; б) 231 m2p3 · 5

71 mp = 12m3p4;

в) – b3 · 0,5b2 = – 0,5b5; г) 8x2 · (–163 y) = –

23 x2y.

№ 320

а) 0,6x2y3z · 0,8xy2z = 0,48x3y5z2; б) 621 n2q · 7

131 nq3 = 46n3q4;

в) 0,75d3 · (– d4) = – 0,75d7; г) –203 x2y ·

4140 xy2 = –

416 x3y3.

№ 321

а) 5,1p3q4 · (– 2pq8) = – 10,2p4q12; б) – 27z3 · (53 z4) = – 1,62z7;

в) – 7,81abc3 · 2ab2c = – 15,62a2b3c4; г) ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛−

43 xy2 · (–0,1x2y3)= 0,075x3y5.

№ 322

а) (3a2c)2 = 3a4c2; б) (–31 xy2)4 =

811 x4y8;

в) (– 0,2c3d)4 = 0,0016c12d4; г) (–21 abc)5 = –

321 a5b5c5.

№ 323

а) (– 6x3y3)0 = 1; б) (–31 xy2)4 =

811 x4y8;

в) (– 10x2y4)5 = – 100000x10y20; г) – (– 2ax3y2)4 = – 16a4x12y8. № 324

а) 56x2y3z8 = 28xy2z7 · 2xyz; б) 102m2n3p4 = 51m2np · 2n2p3;

в) 0,21c9d14f43 = 0,3c5d3f40 · 0,7c4d11f3; г) 21 r7s9t12 =

41 r3s8t4 · 2r4st8.

№ 325 а) – 6x3y4 · 4x3y5; б) 2xy · (– 3x4y5) · 4xy3; в) x2y · (– x2y3) · (2xy) · 12xy4; г) 24xy3 · x3y · (– y2) · xy · xy2.

49

№ 326 а) 3b · 3b2 = 9b3; б) 8a2b4 · (– a3b) = – 8a5b5; в) – 4a3b4 · (– 4a4b5) = 16a7b9; г) – 17a8b12 · (– 2ab) = 34a9b13.

№ 327 а) (6x3y6)2 = 36x6y12; б) (– 2ab3)4 = 16a4b12; в) (– m3n)5 = – m15n5; г) (– 3a2bc3)3 = – 27a6b3c9.

№ 328 а) 81a4 = (9a2)2; б) 36b6 = (6b3)2; в) 144c12 = (12c6)2; г) 169d4 = (13d2)2.

№ 329 а) 0,008b6 = (0,2b2)3; б) 0,027b9 = (0,3b3)3;

в) 0,001y24 = (0,1y8)3; г) –278 a6 = (–

32 a2)3.

№ 330 а) 20a3 · (5a)2 = 20a3 · 25a2 = 500a5; б) – 0,4x5 · (2x3)4 = – 0,4x5 · 16x12 = – 6,4x17; в) (– c3)2 · 12c6 = c6 · 12c6 = 12c12; г) (4ac2)3 · (0,5a3c) = 64a3c6 · (0,5a3c) = 32a6c7.

№ 331

а) (3x6y3)4 · (–811 xy2) = 81x24y12 · (–

811 xy2) = – x25y14;

б) (32 x2y3)3 · (– 9x4)2 =

278 x6y9 · 81x8 = 24x14y9;

в) (3a2)2 · (– 6a3) = 9a4 · (– 6a3) = – 54a7;

г) (81 x2y3) · (2x6y)4 =

81 x2y3 · 16x24y4 = 2x26y7.

№ 332

а) (0,2b6) · 5b = b7; б) 169 p7 · (– 1

31 p4)0 =

169 p7;

в) (– c3)2 · 12c6 = c6 · 12c6 = 12c12;

г) (331 a2)3 · 81a5 = 1000

27a6 · 81 · a5 =3000a11

№ 333

а) 53 a2b2c · 5ab2c3 ·

31 ac2 =

53 · 5 ·

31 a4b4c6 = a4b4c6;

б) 81 x5y4z3 · (– 8xy3z) = – x6y7z4;

в) 3,5xz3 · (– 321 x2z) · (– 5xz) = – 3,5 · 3,5 · (– 5)x4z5 = 61,25x4z5;

50

г) 2cd3 · (–21 cd2) · (–2c2d2) = 2 · ⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛−

21 · (–2)c4d7 = 2c4d7.

№ 334 а) ab · (– a2b) ·(– ab2) = a4b4; б) x2y · xy · (– x2y2) = – x5y4; в) mn · (–m2n5) · (– m8n4) = m11n10; г) (–p3q4) · (–pq) · (– 2p2q2) = – 2p6q7.

№ 335

а) 161 cd · (–

76 c3d2) = – c4d3;

б) –54 a2b3c7 · (– 1

151 ab7c8) =

54 ·

1516 a3b10c15 =

7564 a3b10c15;

в) 0,75d3 · (–d4) = – 0,75d7;

г) – 14xyz · (– 254 x2y3z6) = 14 ·

1514 x3y4z7 = 39

51 x3y4z7..

№ 336 а) (0,2a3b4)4 = 0,0016a12b16;

б) (131 x2y5z8)3 = (

34 x2y5z8)3 =

916 x6y15z24 = 1

97 x6y15z24;

в) ( – 0,3b8c7d6)2 = 0,09b16c14d12; г) (–91 a3x3y3)0 = 1.

№ 337

а) (– 0,5a2b3c9)2 = 0,25a4b6c18; б) (131 x2y5z8) = 1

31 x2y5z8;

в) (– 2a8b5c9)8 = 256a64b40c72; г) (–43 x2y3z8)3= – 64

27x6y9z24.

№ 338 а) (–a2b3c5)0 = 1;

б) (– 141 p2q2z8)4 = (–

45 p2q2z8)4 =

1625 p8q8z32 = 1

169 p8q8z32;

в) (– 1,6m3n2p9)2 = 2,56m6n4p18;

г) (– 253 r9s15t12)2 = (–

513 r9s15t12)2 =

25169 r18s30t24 = 6

2519 r18s30t24.

№ 339 а) 9a3b4c6; б) 12a3b5c9; в) 5xy3z9; г)4xy3z6.

№ 340 а) 6c3b4f9; б) 12a3b5c9; в) 2p2q10r100; г) 4a9b54c324.

№ 341 а) нет; б) нет; в) нет; г) нет.

51

№ 342 а) нет; б) нет; в) нет; г) нет.

№ 343 а) (10a2y)2 · (3ay2)3 = 100a4y2 · 27a3y6 = 2700a7y8;

б) (–21 xy3)3 · (4y5)2 = –

81 x3y9 · 16y10 = – 2x3y19;

в) – (3x6y2)3 · (– x2y)4 = – 27x18y6 · x8y4 = – 27x26y10; г) (– 5ab6)4 · (0,3a6b)4 = 25a4b24 · 0.0081a24b4 = 0,2025a28b28.

№ 344 а) (– 4a3b4)2 · 0,25b7 = 16a6b8 · 0,25b7 = 4a6b15;

б) (–32 pq4)0 · (– 27pq5) = 1 · (– 27pq5) = – 27pq5;

в) (0,4a2bc)2 · (– 1,5ab3c4) = 0,16a4b2c2 · (– 1,5ab3c4) = – 0,24a5b5c6;

г) (41 m4n)3 · (–32m4n) =

641 m12n3 · (– 32m4n) =–

21 m16n4..

№ 345 а) (– 4,5a3b2y)2 · (– 2aby) = 20,25a6b4y2 · (– 2aby) = – 40,5a7b5y3;

б) (– 3bc3d)3 · (–271 b2cx) = – 27b3c9d3 · (–

271 b2cx) = b5c10d3x;

в) (– 0,8p3x2z)2 · (– 2,5px3z4) = 0,64p6x4z2 · (– 2,5px3z4) = –1,6p7x7z6;

г) (– 331 a2)3 · 81a7 = (–

310 a2)3 · 81a7 = –

271000 a6 · 81a7 = – 3000a13.

№ 346

а) (– 6a3x2)2 · (– 31 a2x2)3 = 36a6x4 · (–

271 a6x6) = – 1

31 a12x10;

б) (– 4m3n2)5 · (– 31 mn4)7 = – 1024m15n10 · (–

21871 m7n28) = =

21871024 m22n38;

в) (– 91 a2c4)2 · (– 3a5c3)2 =

811 a4c8 · 9a10c6 =

91 a14c14;

г) (– 23 a7b4)2 · (–

32 a6b)0 =

49 a14b8 · 1 = 2

41 a14b8.

№ 347 а) (2bc)2 · (ac)3 = 4a3b2c5; б) (– 3p)3 · (x2y)2 = – 27p3x4y2; в) (2cd)4 · (d3n)3 = 16c4d13n3; г) (bn)5 · (9b4t2)2 = 81b13n5t4.

§ 12. Деление одночлена на одночлен № 348

а) a3 : a2 = a; б) y20 : y18 = y2; в) x8 : x3 = x5; г) z54 : z50 = z4.

52

№ 349

а) 31 x : 3 =

91 x; б)

51 y : y

5011

1110

= ;

в) 5 25 7:7 49 5

a a⎛ ⎞− = −⎜ ⎟⎝ ⎠

; г) 13 26 1: 115 45 2

b b⎛ ⎞− − =⎜ ⎟⎝ ⎠

.

№ 350 а) – 8x : (– 4x) = 2; б) 3c : c = 3; в) 7a : (– a) = – 7; г) – 9b : (– b) = 9.

№ 351 а) 6x3 : x2 = 6x; б) – 27y2 : (– 9y2) = 3; в) – 15z8 : z8 = – 15; г) – 90p4 : (– 5p) = 18p3.

№ 352 а) – 19a : (– 19a) = 1; б) – 45b : (– 15b) = 3; в) – 100cd : 20cd = – 5; г) 18dy : 6dy = 3.

№ 353 а) 16abc : 8a = 2bc; б) 24pqr : ( – 4pq) = – 6r; в) – 42cdm : 12c = – 3,5dm; г) – 99xyz : (– 9x) = 11yz.

№ 354 а) 4,8axy : 1,6xy = 3a; б) (– 8,8abc) : 1,1b = – 8ac;

в) – 0,81pqs : 0,009pq = – 90s; г) 6,4xz : (–1,3z) = – 41312 x.

№ 355 а) 18a12 : 6a4 = 3a8; в) 12a7y4 : 6a2y3 = 2a5y; б) 24b10 : 6b10 = 4; г) 6b5x3 : 3b3x2 = 2b2x.

№ 356 а) 44a3b2c6 : 11a2bc5 = 4abc; б) 198x4y4z2 : 2x4y3z = 99yz; в) 144m8n9r4 : 12m2n7r = 12m6n2r3; г) 258p8q4r17 : 3p6q2r15 = 86p2q2r2.

№ 357 а) некорректно; б) корректно; в) некорректно; г) корректно.

№ 358 а) нет; б) да; в) да; г) нет.

№ 359 а) 30x5y6z7 : 6x2y4z = 5x3y2z6; б) 75a8b11c31 : 5a3b4c10 = 15a5b7c21; в) p11m6q16 : p3m2q7 = p8m4q9; г) d2n3z10 : dnz5 = dn2z5.

№ 360 а) (5a2b2)3 : (5ab)2 = 125a6b6 : 25a2b2 = 5a4b4; б) (10x3y3)4 : (2x4y3)2 = 10000x12y12 : 4x8y6 = 2500x4y6; в) ( 49z10t14) : (7zt)0 = 49z10t14 : 1 = 49z10t14; г) (– x2y3z)4 : xyz = x8y12z4 : xyz = x7y11z3.

53

№ 361 а) (2m2n2)4 : (4mn)2 = 16m8n8 : 16m2n2 = m6n6; б) 55p3q4 : (5pq)0 = 55p3q4 : 1 = 55p3q4; в) (– x2y3z4)5 : (– xyz)6 = x10y15z20 : x6y6z6 = x4y9z14; г) (– 5ac3d)3 : (5cd)2 = – 125a3c9d3 : 25c2d2 = – 5a3c7d.

№ 362

а) 3 2 5

2 3(2 ) ·8

(4 )cy c y

c y=

2 6 5

6 34 ·8

64c y c y

c y=

7 7

6 33264

c yc y

= 12

cy4;

б) 3 4 3

2 2 4 9(9 )

(3 ) ·27a b

a b a b=

9 12

4 2 4 9729

9 ·27a b

a b a b=

3 9 12

2 8 119

9 ·3a ba b

= 3ab;

в) 2 3 2 15 4

2 5(3 ) ·9

(3 )x c x c

x c=

4 6 15 4

5 10 59 ·9

3x c x c

x c=

4 19 10

5 10 533

x cx c

= 13

x9c5;

г) 3 3 2 2 3

3 2 3(7 ) ·( )

( 2 )a b a b

a b−

−=

6 6 6 3

9 649 ·( )

8a b a b

a b−

−=

12 9

9 6498

a ba b

= 6 18

a3b3..

ГЛАВА 4. Многочлены. Операции над многочленами

§ 13. Основные понятия № 366

а) 3a + 4b – многочлен; б) 5x2 – 3y2 – многочлен; в) 5(5x2 – 12y2) – многочлен; г) (a +1)(b – 2) – многочлен.

№ 367

а) 5x2 – 6x2 + 1x

– не многочлен; б) 2

234

a bab

– не многочлен;

в) 2

4b + 12z2 –

5ab – многочлен; г) 0,3p2 + 13p – 1 – многочлен.

№ 368

а) 3x2 + 5y + 7c

– не многочлен; б)8

4a –

6

5b +

4

7c +

3

9d – многочлен;

в) 9x3 – 4y2 – 5 – многочлен; г) 510z

+ 32z

+ 25z

– 111z

– многочлен.

№ 369 а) 5a + 8a2 – 2,5ab; б) 5a – 4ab + 8a2 – 2,5ab;

в) 5a – 4ab + 8a2; 12a – 2,5ab – a2; г) 5a – 4ab + 21

8a.

54

№ 370 а) 0,5x2 + 12xy + 4xy2; б) 0,5x2y – xy2 – 3xy2; в) 0,5x2y – xy2 + 12xy; –3x2y – 0,2xy + 4xy2

г) 12xy – 3x2y + 21

4xy – 0,2xy.

№ 371 а) 5x2–3x2 – x3 = 2x2 – x3; б) 1,2c5 + 2,8c5 – 4c5;

в) 7y3 + y3 + 12y3 = 20y3; г) 12

dn – 13

dn + 16

dn = 13

dn.

№ 372 а) 5x2 – 3xy – 2xy = 5x2 – 5xy; б) 7a2b – 5a2b + ab2 + 2ab2 = 2a2b + 3ab2; в) 3t2 – 5t2 – 11t – 3t2 + 5t + 11 = –5t2 – 6t + 11; г) z3 + 2z2 + z3 – 4z – z2 = 2z3 + z2 – 4z.

№ 373 а) 4b2 + a2 + 6ab – 11b2 – 6ab = –7b2 + a2; б) 3a2x + 3ax2 5a3 – 3ax2 – 8a2x – 10a3 = –5a2x – 5a3; в) 9x3 – 8xy – 6y2 – 9x3 – xy = – 9xy – 6y2; г) m4 – 3m3n + n2m2 – m2n2 = m4 – 3m3n.

№ 374 а) m · m · m · m – n · n · n = m4 – n3; б) pq · pq – qp · qp = (pq)2 – (qp)2 = (qp)2 – (qp)2 = 0; в) 3s · 2r + 2rs + 4r · 8s = 6rs + 2rs + 32rs = 40rs; г) 12m · 2n – 3m · 4n – 7m · 8n = 24mn – 12mn – 56mn = –44mn.

№ 375 а) 4p3 · 2p+3p2 · 4p+2p2 · 2p2 – 2p3 · 4 = 8p4 + 12p3 + 4p4 – 8p3=12p4 + 4p3; б) y · 2y – 3y – y2 – 5 + 2y · y – y · 5 + y · 7y2 = = 2y2 – 3y – y2 – 5 + 2y2 – 5y + 7y3 = 7y3 + 3y2 – 8y – 5;

в) x · 23

x+ 14

x+0,8x – x · 16

x – x = 812

x2 + 312

x + 45

x – 16

x2–x= 12

x2+ 120

x;

г) 5/6a · a 1/3a – 0,6a · a + a · 0,1a = 56

a2 + 13

a 0,6a2 + 0,1a2 = 13

a + 13

a2.

№ 376 а) 2x · 4y – 3x · 2y – 0,2x · 5y + y · 5x – 5xy + 8xy = = 8xy – 6xy – xy + 5xy – 5xy + 8xy = 9xy; б) x · p · x · x – p · 3px – p · 4x3 + 7p · x · p = = x3 · p – 3p2 · x – 4x3 · p + 7p2 · x = 4p2 · x – 3x3 · p; в) 7x⋅a⋅x+a · 2a⋅x+x · 9x · a–8a · x · a=7x2 · a+2a2x+9x2a–8a2x=10x2a– 6a2x; г) 15r3s – s · r · s · r2 – 3s · r · r · r + 2r2 · s · r = 15r3s – 5r3s + 2r3s = 9r3s.

55

№ 377 а) 15p + 18p2 + 4 – 12p + 3p2 – p4 = –p4 + 21p2 + 3p + 4; б) 1,4x2 – 4,1x3 + x – 3,1 + x + 1,3x3 = –2,8x3 + 1,4x2 + 2x – 3,1;

в) 41 a +

53 a2 –

43 a2 +

87 –

32 a = –

203 a2 –

125 a +

87 ;

г) 0,2y4 – 3,5y – 1,2y4 – 1 + 3,5y = – y4 – 1. № 378

а) a3b + a2b – 3ab + 2a2b + 2ab2 = a3b + 3a2b + 2ab2 – 3ab; при а = – 1; b = 2; (– 1) 3 · 2 + 3 · (– 1) 2 · 2 + 2 · 1 · 22 – 3 · (– 1) · 2 = = – 2 + 6 + 8 + 6 = 18;

б) 21 x –

31 y3 + 0,3x – x +

95 y2 = – 0,2x +

92 y2;

при x = 5; y = 43 ; – 0,2 · 5 +

92 ·

2

43⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ = – 1 +

81 = –

87 ;

в) m4 – 3m3n + m2n2 – m3n – 4m2n2 = m4 – 4m3n – 3m2n2;

при m = – 21 ; y =

31 ;

4

21⎟⎠⎞

⎜⎝⎛− – 4 ·

3

21⎟⎠⎞

⎜⎝⎛− ·

31 – 3 ·

2

21⎟⎠⎞

⎜⎝⎛− ·

2

31⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ ;

г) 6p2q – 5pq2 + 5p3 + 2pq2 – 8p3 – 3p2q = 3p2q – 3pq2 – 3p3. № 379

а) x3 + 2x2 + 7x + 8x – x3 – x2 – x2 = 15x; 15x = 1; x = 51 .

Ответ: 51 .

б) 0,5y3 + 2,7y2 + 3,5y + 6,5y – 0,5y3 – 2y2 – 0,7y2 = 10y; 10y = 1; y = 101 .

Ответ: 101 .

в) 3z4 – z2 + 4z + z + z2 – 2z4 – z4 + 8 = 5z + 8; 5z + 8 = 1; 5z = – 7;

z = – 57 ; z = –1

52 .

Ответ: – 1,4 г) 6p3 – p2 + 4p3 + p2 – 10p3 – 3p + 19 = – 3p + 19; –3p + 19 = 1; 3p = 18; p = 6. Ответ: 6.

№ 380 3a + 11; a = 5x + 4; 11 + 3(5x + 4) = 11 + 15x +12 = 15x + 23.

56

№ 381 14 – 8a; a = 3x2 – 4x + 2; 14 – 8(3x2 – 4x + 2) = 14 – 24x2 + 32x – 16 = – 24x2 + 32x – 2.

№ 382

а) c · 21 c – 0,1c5 – c3 + c · c2 · 2c2 – c ·

81 c + c · c · c =

= 21 c2–0,1c5–c3 + 2c5 –

81 c2 + c3 = 2c5 – 0,1c5 +

84 c2 –

81 c2=1,9c5 +

83 c2;

б) 91 m · m–m ·

21 m · m+0,5m+m · m · 1/8m–1/3m2 +

21 m=

91 m2–

21 m3+

+ 0,5m + 81 m3 +

21 m =

243 m3 –

2412 m3 –

248 m3 +

91 m3 +

91 m2 + m =

= 2417

− m3 + 91 m2 + m;

в) aba + aa – a · 2ab + bab – 2ba · 2b – 6a · 2b2 – aa= = a2b + a2 – 2a2b + ab2 – 4b2a – 12ab2 – a2 = – a2b – 15ab2; г) y · 2yy – y · 5xy + x· 3xy – xy · 6y + x · 12xy – y3= = 2y3 – 5xy2 + 3x2y – 6xy2 + 12x2y – y3 = y3 – 11xy2 + 15x2y.

№ 383 а) 12m · 0,2 m3 + 3,5m · 2m – 27 + 4,5m2 · 0,2m – 15m = = 2,4m4 + 7m2 – 27 + 0,9m3 – 15m = 2,4m4 + 0,9m3 + 7m2 – 15m – 27; б) 3,6r · 5r2 – 0,4r2 · 7r + 1,4r3 – 10r2 · 2r + 15r · 0,5r2 = = 18r4 – 2,8r3 + 1,4r3 – 20r3 +7,5r3 = 18r4 – 13,r3; в) 9a3 · 0,3a – 12a · 0,4a2 + 7a · 0,2a3 + 1,7a2 · (– 3a) – 13a · 0,5a = = 2,7a4 – 4,8a3 + 1,4a4 – 5,1a3 – 6,5a2 = 1,3a4 – 9,9a3 – 6,5a2; г) 0,5b · 4b2 – 5b · 0,3b – 3b2 · (–0,2b) + 14b2 · 0,5 – 25b · 0,3b2 = 2b3 – – 1,5b2 + 0,6b3 + 7b2 – 7,5b3 = – 4,9b3 + 5,5b2.

№ 384 а) 5a–13+8a–7a + 25 + (– 6a) = 12; б) 7b–15+10a – 2a + 13 – 8a = 7b – 2; в) 12a–23+2a–3a + b + (– 11a) = b – 23; г) 8a2 – 7a2 – 4 + (– a2) = – 4.

№ 385 а) a2 + 2a2 – b2 – 3c + (– 3a2) = – b2 – 3c; б) 3ax2 – 5x3 +4a2 + 8x2a2 – 5 + 11a2 + (– 15a2 = 3ax2 – 5x3 + 8x2a – 5; в) 2x2 + 3ax – 9a2 + 8x2 – 5ax + 8a2 + a2 = 10x2 – 2ax; г) 2y2 – 5ay + a2 + 7y2 + 3ay – 5a2 + 4a2 = 9y2 – 2ay.

№ 386 а) 7x + 4y – 11; y = 3x2 – 12x + 5; 7x + 4(3x2 – 12x + 5) – 11 = 7x + 12x2 – 48x + 20 – 11 = 12x2 – 41x + 9; б) 13a + 6b – 7; b = 4 – a2 + 3a; 13a + 6(4 – a2 + 3a) – 7 = 13a + 24 – 6a2 + 18a – 7 = – 6a2 + 31a + 17.

57

№ 387 Пусть x = 3a +12; y = 13 – a; z = 5 +4a; а) x + y + z = 3a + 12 +13 – a + 5 + 4a = 6a + 30; б) x – y + z = 3a + 12 – 13 + a + 5 + 4a = 8a + 4; в) y – x + z = 13 – a – 3a – 12 + 5 + 4a = 6; г) z – x – y = 5 +4a – 3a – 12 – 13 + a = 2a – 20.

№ 388 Пусть a = 3x2 + 4x + 8; b = 1,2 – 2x2 – 7x; c = 12,5x2 – 3,5x + 21,8; а) a+b+c=3x2+4x+8+1,2–2x2 – 7x + 12,5x2 – 3,5x + 21,8=13,5x2 – 6,5x + 31; б) a–b+c=3x2 + 4x + 8–1,2+2x2+7x + 12,5x2–3,5x+21,8=17,5x2+7,5x + 28,6; в) b–a–c=1,2–2x2–7x–3x2–4x–8 – 12,5x2 + 3,5x – 21,8=–17,5x2–7,5x – 28,6; г) c– b–a=12,x2–3,5x+21,8–1,2+2x2 + 7x – 3x2 – 4x – 8=11,5x2 – 0,5x + 12,6.

№ 389 Пусть R = 5a3 + 4a2b + 8ab2 – 24b3, L = 7a3 – 13a2b – 4ab2 + 17b3, m = –12a3 + 9a2b – 4ab2 + 15b3; а) R + L + m = 5a3 + 4a2b + 8ab2 – 24b3 + 7a3 – 13a2b – 4ab2 + 17b3 + + (– 12a3) + 9a2b – 4ab2 + 15b3 = 8b3; б) L + R – m = 7a3 – 13a2b – 4ab2 + 17b3 + 5a3 + 4a2b +8ab2 – 24b3 + + 12a3 – 9a2b + 4ab2 – 15b3 = 24a3 – 18a2b + 8ab2 – 22b3; в) m – L – r = – 12a3 + 9a2b – 4ab2 + 15b3 – 7a3 + 13a2b + 4ab2 – 17b3 – – 5a3 – 4a2b – 8ab2 + 24b3 = – 24a3 + 18a2b – 8ab2 +22b3; г) L – R + m = 7a3 – 13a2b – 4ab2 + 17b3 – 5a3 – 4a2b – 8ab2 + 24b3 – – 12a3 + 9a2b – 4ab2 + 15b3 = – 10a3 – 8a2b – 16ab2 + 56b3.

§ 14. Сложение и вычитание многочленов № 390

Найдите P(a) = P1(a) + P2(a), если а) P1(a) = 2a + 5; P2(a) = 3a – 7; P(a) = 2a + 5 + 3a – 7 = 5a – 2; б) P1(a) = 7 – 2a; P2(a) = – 1 – 5a; P(a) = 7 – 2a – 1 – 5a = – 7a + 6; в) P1(a) = 3a – 4; P2(a) = 11 – 3a; P(a) = 3a – 4 + 11 – 3a = 7; г) P1(a) = – 4 – 3a; P2(a) = 7 – 8a; P(a) = – 4 – 3a + 7 – 8a = 11a + 3.

№ 391 Найдите P(x) = P1(x) + P2(x), если : а) P1(x) = 2x3 + 5; P2(x) = 3x3 + 7; P(x) = 2x3 + 5 + 3x3 + 7 = 5x3 + 12; б) P1(x) = 6x2 – 4; P2(x) = 5x2 – 10; P(x) = 6x2 – 4 + 5x2 – 10 = 11x2 – 14; в) P1(x)=4x5+2x+1; P2(x)=x5+x–2; P(x)=4x5+2x+1+x5+x–2=5x5 + 3x – 1; г) P1(x)=x11+x6–3; P2(x)=2x11+3x6+1; P(x)=x11+x6–3+2x11+3x6+1=3x11+4x6 – 2.

№ 392 Найдите P(a,b) = P1(a,b) +P2(a,b) а) P1(a,b) = a + 3b; P2(a,b) = 3a – 3b;P(a,b) = a + 3b + 3a – 3b = 4a; б) P1(a,b) = a2 – 5ab – 3b2; P2(a,b) = a2 + b2;

58

P(a,b) = a2 – 5ab – 3b2 + a2 + b2 = 2a2 – 5ab – 2b2; в) P1(a,b) = 8a3 + 3a2b – 5ab2 + b3; P2(a,b) = 18a3 – 3a2b – 5ab2 + 2b3; P(a,b) = 8a3+3a2b–5ab2 + b3 + 18a3 – 3a2b – 5ab2 + 2b3=26a3 – 10a2b +3b3; г) P1(a,b) = 10a4 – 7a3b – a2b2 + 6; P2(a,b) = 17a4 – 10a3b + a2b2 + 3; P(a,b) =10a4 – 7a3b – a2b2 + 6 + 17a4 – 10a3b + a2b2 + 3 = 27a4– 17a3b + 9.

№ 393 Найдите P(y) = P1(y) – P2(y), если: а) P1(y) = 2y2 + 8y – 11; P2(y) = 3y3 – 6y + 3; P(y) = 2y2 + 8y – 11 – 3y3 + 6y – 3 = – 3y3 + 2y2 + 14y – 14; б) P1(y) = 4y4 + 4y2 – 13; P2(y) = 4y4 – 4y2 + 13; P(y) = 4y4 + 4y2 – 13 – 4y4 + 4y2 – 13 = 8y2 – 26; в) P1(y) = y3 – y + 7; P2(y) = y3 + 5y +11; P(y) = y3 – y + 7 – y3 – 5y – 11 = – 6y – 4; г) P1(y) = 15 – 7y2; P2(y) = y3 – y2 – 15; P(y) = 15 – 7y2 – y3 + y2 + 15 = – y3 – 6y2 + 30.

№ 394 Найдите P(c,d) = P1(c,d) – P2(c,d), если: а) P1(c,d) = 3c2 + d; P2(c,d) = 2c2 – 3d; P(c,d) = 3c2 + d – 2c2 + 3d = c2 + 4d; б) P1(c,d) = 5c4 + 3c2d – d3; P2(c,d) = 2c2 – 3c2d + d2; P(c,d) = 5c4 + 3c2d – d3 – 2c2 + 3c2d – d2 = 5c4 + 6c2d – d3 – d2 – 2c2; в) P1(c,d) = 12c2d – 3cd2 + 4; P2(c,d) = 6c2d – 5cd2 + 2c; P(c,d) = 12c2d – 3cd2 + 4 – 6c2d + 5cd2 – 2c = 6c2d + 2cd2 – 2c + 4; г) P1(c,d) = c2 + 2cd + d2; P2(c,d) = 5c2 – 6cd – 7d2; P(c,d) = c2 + 2cd + d2 – 5c2 + 6cd + 7d2 = – 4c2 + 8cd + 8d2.

№ 395 а) (5x – 3) + (7x – 4) = 8 – (15 – 11x); 5x – 3 + 7x – 4 = 8 – 15 + 11x; 12x – 11x = – 7 + 7; x = 0. Ответ: 0. б) (4x + 3) – (10x + 11) = 7 + (13 – 4x); 4x + 3 – 10x – 11 = 7 + 13 – 4x; 4x – 10x + 4x = 20 + 11 – 3; – 2x = 28; x = – 14. Ответ: –14. в) (7 –10x) – (8 – 8x) + (10x +6) = – 8; 7 – 10x – 8 + 8x + 10x + 6 = – 8;

8x = – 8 – 6 + 8 – 7; x = – 138

; x = – 1 58

.

Ответ: – 1 58

.

г) (2x + 3) + ( 3x + 4) + (5x + 5 ) = 12 – 7x; 2x + 3 + 3x + 4 + 5x + 5 = 12 – 7x; 10x + 7x = 12 – 12; 17x = 0; x = 0. Ответ: 0.

59

№ 396

а) 34

y – 5 1,256

y⎛ ⎞−⎜ ⎟⎝ ⎠

= 0,55; 912

y – 1012

y + 1,25 = 0,55;

– 112

y = 0,55 – 1,25; – 112

y = – 0,7; y = 8,4.

Ответ: 8,4.

б) 38

x – 1 2,43

x⎛ ⎞−⎜ ⎟⎝ ⎠

= – 0,4; 924

x – 824

x + 2,4 = – 0,4;

124

x = – 0,4 – 2,4; 124

x = – 2,8; x = – 67,2.

Ответ: – 67,2.

в) 34

x – (0,25x – 3) = 1,2; 0,75x – 0,25x + 3 = 1,2; 0,5x = – 1,8; x = – 3,6.

Ответ: – 3,6.

г) 12

x – (2,5x – 3) = 1,8; 0,5x – 2,5x +3 = 1,8; – 2x = – 1,2; x = 0,6.

Ответ: 0,6. № 397

а) x – 1; б) (x – 0,5) + (x – 1) + (x – 1,5) = 3x –3; в) x + x – 0,5 = 2x – 0,5; г) x + (x – 0,5) + (x – 1) + (x – 1,5) = 4x – 3.

№ 398 P1(a) = 2a3 + 3a3 – a + 1; P2(a) = 4a4 + 6a3 – 2a2 + 2a; P3(a) = 2a5 + 3a4 – a3 + a2; а) P1(a) + P2(a) + P3(a) = 2a3 + 3a3 – a + 1 + 4a4 + 6a3 – 2a2 + 2a + + 2a5 + 3a4 – a3 + a2 = 7a3 + 2a2 + a + 1 + 7a4 + 2a5; б) P1(a) – P2(a) + P3(a) = 2a3 + 3a3 – a + 1 – 4a4 – 6a3 + 2a2 – 2a + + 2a5 + 3a4 – a3 + a2 = 2a5 – a4 – 5a3 + 6a2 – 3a + 1; в) P1(a) + P2(a) – P3(a) = 2a3 + 3a3 – a + 1 + 4a4 + 6a3 – 2a2 + 2a – – 2a5 – 3a4 + a3 – a2 = – 2a5 – 3a4 + a3 – a2; г) P1(a) – P2(a) – P3(a) = 2a3 + 3a3 – a + 1 – 4a4 – 6a3 + 2a2 – 2a – 2a5 – – 3a4 + a3 – a2 = – 2a5 – 7a4 – 3a3 + 4a2 – 3a + 1.

№ 399 P1(x,y) = 27x3 – 27x2y + 9xy2 – y3; P2(x,y) = 20x3 – 15x2y + 4xy2 – 3y3; P3(x,y) = 10x3 + 12x2y – 5xy2 + y2; а) P(x,y) = P1(x,y) + P2(x,y) + P3(x,y) = 27x3 – 27x2y + 9xy2 – y3 + + 20x3 – 15x2y + 4xy2 – 3y3 + 10x3 + 12x2y – 5xy2 + y2 = = 67x3 – 30x2y + 8xy2 – 4y3 + y2; б) P(x,y) = P1(x,y) – P2(x,y) + P3(x,y) = 27x3 – 27x2y + 9xy2 – y3 – – 20x3 + 15x2y – 4xy2 + 3y3 + 10x3 + 12x2y – 5xy2 + y2 = = 17x3 + 10x2y + 2y3 + y2;

60

в) P(x,y) = P1(x,y) + P2(x,y) – P3(x,y) = 27x3 – 27x2y + 9xy2 – y3 + + 20x3 – 15x2y + 4xy2 – 3y3 – 10x3 – 12x2y + 5xy2 – y2 = = 37x3 – 44x2y + 18xy2 – 4y3 – y2; г) P(x,y) = P1(x,y) – P2(x,y) – P3(x,y) = 27x3 – 27x2y + 9xy2 – y3 – – 20x3 + 15x2y – 4xy2 + 3y3 – 10x3 – 12x2y + 5xy2 – y2 = = – 3x3 – 24x2y + 10xy2 + 2y3 – y2.

№ 400 а) 2x2 – (2x2 – 5x) – (4x – 2) = 5; 2x2 – 2x2 + 5x – 4x + 2 = 5; x = 5 – 2; x = 3. Ответ: 3. б) 3y3 – (3y3 – 6y) – (3y + 4) = 2; 3y3 – 3y3 + 6y – 3y – 4 = 2; 3y = 6; y =2. Ответ: 2. в) (x2 – 7x – 11) – (5x2 – 13x – 18) = 16 – 4x2; x2 – 7x – 11 – 5x2 + 13x + 18 = 16 – 4x2; x2 – 5x2 + 4x2 – 7x + 13x = 16 – 18 +11; 6x = 9; x = 1,5. Ответ: 1,5. г) (y2 – 5y – 19) – (5y2 – 6y – 9) = 26 – 4y – 4y2; y2 – 5y – 19 – 5y2 + 6y + 9 = 26 – 4y – 4y2; y2 – 5y2 + 4y2 – 5y + 6y + 4y = 26 – 9 + 19; 5y = 36; y =7,2. Ответ: 7,2.

№ 401 Второй столбец 4x + 1 а) 9x + 7 – 5x – 6 = 4x + 1; 0 б) a3 + 2a2b + b3 – a3 – 2a2b – b3 = 0; – 4mn в) m2 – 2mn + n2 – m2 – 2mn – n2 = – 4mn; – 2c2d – 3cd2 + 8 г) 0 – 2c2d – 3cd2 + 8 = – 2c2d – 3cd2 + 8.

№ 402 а) 6a2 – (2 – (1,56a – (a2 + 0,36a)) + (5,5a2 + 1,2a – 1)) = = 6a2 – (2 – 1,56a + a2 + 0,36a + 5,5a2 + 1,2a – 1) = = 6a2 – a2 – 5,5a2 + 1,56a – 0,36a – 1,2a – 2 + 1 = 0,5a2 – 1; б) (a2 + 2x2) – (5a2 – 1,2ax + (2,8x2 – (1,5a2 – 0,5ax + 1,8x2))) = = a2 + 2x2 – (5a2 – 1,2ax + (2,8x2 – 1,5a2 + 0,5ax – 1,8x2)) = = a2 + 2x2 – (5a2 – 1,2ax + 2,8x2 – 1,5a2 + 0,5ax – 1,8x2) = = a2 + 2x2 – 5a2 + 1,2ax – 2,8x2 + 1,5a2 – 0,5ax + 1,8x2 = = a2–5a2 +1,5a2 + 2x2 – 2,8x2 + 1,8x2 + 1,2ax – 0,5ax=– 2,5a2 + x2 + 0,7ax; в) 12,5x2 + y2 – (8x2 – 5y2 – ( – 10x2 + (5,5x2 – 6y2))) = = 12,5x2 + y2 – (8x2 – 5y2 – ( – 10x2 + 5,5x2 – 6y2)) = = 12,5x2 + y2 – (8x2 – 5y2 + 10x2 – 5,5x2 + 6y2) = = 12,5x2 + y2 – 8x2 + 5y2 – 10x2 + 5,5x2 – 6y2 = = 12,5x2 – 8x2 – 10x2 + 5,5x2 + y2 + 5y2 – 6y2 = 0;

61

г) (y3 + 3z2) – (y3 – 6az + (2y3 – (3z2 + 4az – 1,2y3))) = = y3 + 3z2 – (y3 – 6az + (2y3 – 3z2 – 4az + 1,2y3)) = = y3 + 3z2 – (y3 – 6az + 2y3 – 3z2 – 4az + 1,2y3) = = y3 + 3z2 – y3 + 6az – 2y3 + 3z2 + 4az – 1,2y3 = = y3 – y3 – 2y3 – 1,2y3 +3z2 + 3z2 +6az + 4az = – 3,2y3 + 6z2 + 10az.

§ 15. Умножение многочлена на одночлен № 403

а) 2x(x2 + 5x + 3) = 2x3 10x2 + 6x; б) – 2xy(x2 + 2xy – y2) = – 2x3y – 4x2y2 + 2xy3; в) 3y(y3 – 3y – 4) = 3y4 – 9y2 – 12y; г) – 5mn(m3 + 3m2n – n3) = – 5m4n – 15m3n2 + 5mn4.

№ 404 а) x2y2 (x + y) = x3y2 + x2y3; б) – c3d4 (c2 – d3) = – c5d4 + c3d7; в) – p5q8 (p3 + 3pq – q4) = – p8q8 – 3p6q9 + p5q12; г) r7s12 (r10 + 2rs – s5) = r17s12 + 2r8s13 – r7s17.

№ 405 а) 3x(x + y) – 3x2 = 3x2 + 3xy – 3x2 = 3xy; б) 7a(a – b) – 7a2 = 7a2 – 7ab – 7a2 = – 7ab; в) 5c(c2 – d2) – 5c3 = 5c3 – 5cd2 – 5c3 = – 5cd2; г) 10m( m5 + n6) – 10m6 + 10mn6 – 10m6 = 10mn6.

№ 406 а) 3x(x – 5) – 5x(x + 3) = 3x2 – 15x – 5x2 – 15x = – 2x2 – 30x; б) 2y(x – y) + y(3y – 2x) = 2xy – 2y2 + 3y2 – 2xy = y2; в) 2a(a –b) + 2b(a + b) = 2a2 – 2ab + 2ab +2b2 = 2a2 + 2b2; г) 3p(8c + 1) – 8c(3p – 5) = 24pc + 3p – 24pc + 40c = 3p + 40c.

№ 407 а) 5x(2x – 3) – 2,5x(4x – 2) = 10x2 – 15x – 10x2 + 5x = – 10x; При x = – 0,01; – 10x = – 10 · (– 0,01) = 0,1. Ответ: 0,1. б) 5a(a2 – 4a) – 4a(a3 – 5a) = 5a3 – 20a2 – 4a3 + 20a2 = a3; При a = – 3; a3 = (– 3) 3 = – 27. Ответ: – 27. в) 12(2 – p) + 29p – 9(p + 1) = 24 – 12p + 29p – 9p – 9 = 8p + 15;

При p = 41 ; 8p + 15 = 8 ·

41 + 15 = 17.

Ответ: 17. г) 3(3d – 1) + 7(2d + 1) = 9d – 3 + 14d + 7 = 23d + 4;

При d = 2 423

; 23d + 4 = 23 · 5023

+ 4 = 54.

Ответ: 54.

62

№ 408 а) 3(x – 1) – 2(3 – 7x) = 2(x –2); 3x – 3 – 6 + 14x = 2x – 4;

17x – 2x = – 4 + 9; 15x = 5; x = 13

.

Ответ: 13

.

б) 10(1 – 2x) = 5(2x – 3) – 3(11x – 5); 10 – 20x = 10x – 15 – 33x + 15;

– 20 – 10x + 33x = – 10; 3x = – 10; x = – 3 13

.

Ответ: – 3 13

.

в) 2(x + 3) – 3(2 – 7x) = 2(x – 2); 2x + 6 – 6 +14x = 2x – 4;

16x – 2x = – 4; 14x = – 4; x = – 27

.

Ответ: – 27

г) 5(3x – 2) = 3(x +1) – 2(x +2); 15x – 10 = 3x + 3 – 2x – 4;

15x – x = 3 –4 + 10; 14x = 9; x = 914

.

Ответ: 914

.

№ 409

а) 2 15

x + = 1; 2x + 1 = 1; 2x = 4; x = 2.

Ответ: =2.

б) 11 3 14 2

x−= ; 11 – 3x = 2; 3x = 9; x = 3.

Ответ: 3.

в) 3 7 6 45 5

x x+ += ; 3x + 7 = 6x + 4; – 3x = – 3; x = 1.

Ответ: 1.

г) 7 3 156 2

x x−= + ; 7x – 3 = 30x + 3; 23x = – 6; x = – 6

23.

Ответ: – 623

.

№ 410

а) 2 1 3 15 7

x x+ ++ = 2; в) 2x – 2 3

3x + = 6

3x − ;

7(2x + 1) + 5(3x + 1) = 70; 2x · 3 = 2x + 3 + x – 6;

63

14x + 7 + 15x + 5 = 70; 6x = 3x – 3; 29x = 58; 3x = – 3; x = 2. x = – 1. Ответ: 2. Ответ: – 1.

б) 8 37

x − – 3 110x + = 2; г) 14 6 1

5 7x x+ +

− = 2.

10(8x – 3) – 7(3x + 1) = 140; 7(x+14) – 5(6x + 1) =70; 80x – 30 – 21x – 7 =140; 7x + 98 – 30x – 5 =70; 59x = 177; – 23x = – 23; x = 3. x = 1. Ответ: 3. Ответ: 1.

№ 411 а) 2x2 – x(2x – 5) – 2(2x – 1) – 5 = 0; 2x2 – 2x2 + 5x – 4x + 4 – 5 = 0; x = 5 – 4; x = 1. Ответ: 1. б) 6x(x + 2) – 0,5(12x2 – 7x) – 31 = 0; 6x2 + 12x – 6x2 + 3,5x – 31 = 0; 15,5x = 31; x = 2. Ответ: 2. в) 12x(x – 8) – 4x(3x – 5) = 10 – 26x; 12x2 – 96x – 12x2 + 20x = 10 – 26x;

–76x + 26x = 10 – 26x; –50x = 10; x = – 15

.

Ответ: – 1,2. г) 8(x2 – 5) – 5x(x + 8) = 3x2 – 11x + 18; 8x2 – 40 – 5x2 – 40x = 3x2 – 11x + 18; 8x2 – 5x2 – 3x2 – 40x + 11x = 19 + 40; –29x = 58; x = –2. Ответ: – 2.

№ 412 Пусть t ч. – время затраченное первым велосипедистом. Тогда (t – 0,5) ч. – время затраченное вторым велосипедистом. 12t = 14(t – 0,5); 12t = 14t – 7; 2t = 7; t = 3,5 ч. Значит расстояние между пунктами А и В равно 3,5 · 12 = 42 км. Ответ: 42 км.

№ 413

Пусть V км.ч.

– скорость лодки.

Тогда (V + 3) км.ч.

– скорость лодки по течению;

(V – 3) км.ч.

– скорость лодки против течения;

6 · (v + 3) + 4(v – 3) = 126; 6v + 18 + 4v – 12 = 126;

64

10v + 6 = 126; 10v = 120; V = 12 км.ч.

– скорость лодки.

Ответ: 12 км.ч.

.

№ 414 Пусть t ч. – время затраченное на обратный путь. Тогда (t + 1) ч. – затраченно на обратный путь. 10(t + 1) = 15t; 10t + 10 = 15t; 5t = 10; t = 2 ч. Значит расстояние равно 2 · 15 = 30 км. Ответ: 30 км.

№ 415

Пусть V ч.км. – скорость катера.

Тогда (V + 2) ч.км. – скорость катера по течению;

(V – 2) ч.км. – скорость катера против течения;

4(V + 2) + 3(V – 2) = 93; 4v + 8 + 3v – 6 = 93; 7v + 2 = 93; 7v = 91;

v = 13 ч.км. .

Ответ: 13 ч.км.

№ 416

а) 14a · 7

2+a + 25a2 · 534 a− = 2a · (a + 2) + 5a2 · (4 – 3a) =

= 2a2 + 4a + 20a2 – 15a3 = – 15a3 + 22a2 + 4a;

б) 24b3 · 6

13 −+ bb + 26b2 · 13

43 23 +− bb =

= 4b3 (b3 + b – 1) + 2b2 (b3 – 3b2 + 4) = = 4b6 + 4b4 – 4b3 + 2b5 – 6b4 + 8b2 = 4b6 + 2b5 – 2b4 – 4b3 + 8b2;

в) 3r2 · 1,0

45 2 −r + 5r · 5,0

37 3 rr − = 30r2 (5r2 – 4) + 10r(7r3 – 3r) =

= 150r4 – 120r2 + 70r4 – 30r2 = 220r4 – 150r2;

г) 8a · 4,0

51213 23 +− aa – 9a2 · 3,0

1124 2 −+ aa =

= 20a(13a3 – 12a2 + 5) – 30a2 (4a2 + 12a – 1) = 260a4 – 240a3 + 100a – – 120a4 – 360a3 + 30a2 = 140a4 – 600a3 + 30a2 + 100a.

65

№ 417

а) 18a2 · 9

132 +− aa – 2a · 4,0

3 23 aaa +− + a4 – 3a3 + a2 =

= 2a2 (a2 – 3a + 1) – 5a(a3 – 3a2 + a) + a4 – 3a3 + a2 = 2a4 – 6a3 + 2a2 – – 5a4 + 15a3 – 5a2 + a4 – 3a3 + a2 = – 2a4 + 6a3 – 2a2;

б) 12x ·6

yx + – 27y ·9

2 yx − – y(y + 1) = 2x(x +y) – 3y(2x – y) – y2 – y =

= 2x2 + 2xy – 6xy + 3y2 – y2 – y = 2x2 + 2y – 4xy – y;

в) 33c3 · 11

1+c – 10c · 5

5 23 ccc +− + c4 – 3c =

= 3c3 (c+1) – 2c(c3 – 5c2 + c) + c4 – 3c = = 3c4 + 3c3 – 2c4 + 10c3 – 2c2 + c4 – 3c = 2c4 + 13c3 – 3c;

г) 28p2 · 7,0

152 −+ pp – 3p · 1,0

5,0 23 ppp −+ + 2p4 + 10p3 – 2p2 =

= 40p2 (p2 + 5p – 1) – 30p(p3 + 0,5p2 – p) + 2p4 + 10p3 – 2p2 = = 40p4 + 200p3 – 40p2 – 30p4 – 15p3 + 30p2 + 2p4 + 10p3 – 2p2 = = 12p4 + 195p3 – 12p2.

№ 418 a = 3x2 + 4x – 8, b = 2x2 – 7x + 12, c = 5x2 + 3x – 27; а) 2(3x2 + 4x – 8) + 3(5x2 + 3x – 27) + 4(2x2 – 7x + 12) = = 6x2 + 8x – 16 + 15x2 + 9x – 81 + 8x2 – 28x + 48 = 29x2 – 11x – 49; б) 7x(3x2+4x–8)–12x + 15x(5x2 + 3x – 27) – 13 = 21x3 + 28x2 – 56x – 12x + + 75x3 + 45x2 – 405x – 13 = 96x3 + 73x2 – 473x – 13; в) 72x(3x2 + 4x – 8) – 4(2x2 – 7x + 12) + 3x(5x2 + 3x – 27) + 4 = = 216x3 + 288x2 – 576x – 8x2 + 28x – 48 +15x3 + 9x2 – 81x + 4 = = 31x3 + 289x2 – 629x – 44; г) 0,1x2 (3x2 + 4x – 8) + 0,5x(5x2 + 3x – 27) – 0,6x3 (2x2 – 7x + 12) – 17= = 0,3x4 + 0,4x3 – 0,8x2 + 2,5x3 + 1,5x2 – 13,5x – 1,2x5 + 4,2x4 – 7,2x3 – – 17 = – 1,2x5 + 4,5x4 – 4,3x3 + 0,7x2 – 13,5x – 17.

№ 419 x = 3a2 + 4, y =12a – 13, z = a2 – a + 1, r = 5a3, L = 12a2, m = 4a а) 2(3a2 + 4) + 5a3 (12a – 13) – 12a2 (a2 – a + 1) = = 6a2 + 8 + 60a4 – 65a3 – 12a4 + 12a3 – 12a2 = 48a4 – 53a3 – 60a2 + 8; б) 12a2 (3a2 + 4) – 3 · 4a(12a – 13) = 36a4 + 48a2 – 144a2 + 156a = = 36a4 – 96a2 + 156a; в) 5a3 (3a2 + 4) + 12a2 (12a – 13) – 4a(a2 – a + 1) = 15a5 + 20a3 + + 144a3 – 156a2 – 4a3 + 4a2 – 4a = 15a5 + 160a3 – 152a2 – 4a; г) 4a(3a2 + 4) – 12a2 (a2 – a + 1) + 4 · 5a3 (3a2 + 4) – 14 = = 12a3 + 16a – 12a4 + 12a3 – 12a2 + 60a5 + 80a3 – 14 = = 60a5 – 12a4 + 104a3 + 16a – 14.

66

№ 420 x(3 + 2) – x2 (x + 3) + (x3 2x + 9) = 3x2 + 2x – x3 – 3x2 + x3 – 2x + 9 = 9. Тождественно равно 9.

№ 421

6x(x – 3) – 9( 232 x – 2x +4) = 6x2 – 18x – 6x2 + 18x – 36 = – 36.

Тождественно равно – 36. № 422

а) 2 33

x − + 7 136

x − + 5 22

x− = x – 1;

2(2x – 3) + 7x – 13 +3(5 – 2x) = 6(x –1); 4x – 6 + 7x – 13 + 15 – 6x = 6x – 6; 5x – 6x = – 6 + 4; x = – 2; x = 2. Ответ: 2.

б) 25

x − + 2 54

x − + 4 120x − = 4 – x;

4(x – 2) + 5(2x – 5) + 4x – 1 = 20(4 – x); 4x – 8 + 10x – 25 + 4x – 1 = 80 – 20x; 20x + 4x + 10x + 4x = 80 + 8 + 25 + 1; 38x = 114; x = 3. Ответ: 3.

в) 5 43

x − + 3 26

x − + 2 12

x − = 3x – 2;

2(5x – 4) + 3x – 2 + 6x – 3 = 18x – 12; 10x + 3x + 6x – 18x = – 12 + 3 + 2 + 8; x = 1. Ответ: =1.

г) x2 – 5x + 3 – 23 5 7

3x x− − =

31 ; 3(x2 – 5x + 3) – (3x2 – 5x – 7) = 1;

3x2 – 15x + 9 – 3x2 + 5x + 7 = 1; –10x = 1 – 7 – 9; –10x = – 15; x =1 12

.

Ответ: 1 12

№ 423 а) 2x + x(3 – (x + 1)) = x(2 – x) + 12; 2x + 3x – x2 – x = 2x – x2 + 12; 4x = 2x – x2 + 12; 2x = 12; x = 6. Ответ: 6. б) x(2x + 3) – 5(x2 – 3x) = 3x(7 – x); 2x2 + 3x – 5x2 + 15x = 21x – 3x2; 18x = 21x – 3x2 + 5x2 – 2x2; –3x = 0; x = 0. Ответ: 0. в) x(4x + 11) – 7(x2 – 5x) = – 3x(x + 3); 4x2 + 11x – 7x2 + 35x = – 3x2 – 9x; 4x2 – 7x2 + 3x2 + 11x + 35x + 9x = 0; 55x = 0; x = 0. Ответ: 0.

67

г) x(12 – x) – 5 = 4x – x(10 – (3 – x)); 12x – x2 – 5 = 4x – 10x + 3x – x2;

12x – 4x + 10x – 3x = 5; 15x = 5; x = 13

.

Ответ: 13

.

№ 424 Пусть t ч. – время затраченное пешеходом. Тогда (t – 0,25) ч. – время затраченное велосипедистом.

4t + 12(t – 0,25) = 17; 4t + 12t – 3 = 17; 16t = 20; t = 141 ч.

141 · 4 = 5 км – прошел пешеход.

(141 –

41 ) · 12 = 12 км – проехал велосипедист.

Ответ: 5; 12. № 425

Пусть х км – прошел в первый день.

Тогда (х – 5) км – во второй день; 73 (х + (х – 5)) – в третий день.

73 (2x – 5) + x + x – 5 = 110; 2x – 5 +

73 (2x – 5) = 110;

710 (2x – 5) = 110; 2x – 5 = 77; 2x = 82;

x = 41 км – в первый день; 41 – 5 = 36 км – во второй день;

73 (2 · 41 – 5) = 33 км – в третий день.

Ответ: 41; 36; 33. № 426

Пусть х ч.км. – скорость первого самолета.

Тогда 1,5х ч.км. – скорость второго самолета.

0,5x + 0,5 · 1,5x = 2400 – 1400; 1,25x = 1000;

x = 800 ч.км. – скорость первого самолета.

1,5 · 800 = 1200 ч.км. – скорость второго самолета.

Ответ: 800 ч.км. ; 1200

ч.км. .

68

№ 427

Пусть х ч.км. – скорсть велосипедиста.

Тогда 4х ч.км. – скорость автомобиля.

52 x +

52 · 4x = 30 – 10; 2x = 20;

x = 10 ч.км. – скорость велосипедиста.

4 · 10 = 40 ч.км. – скорость автомобиля.

Ответ: 10 ч.км. .

№ 428 Пусть х га – убрал за день первый фермер. Тогда (х – 2,5) га – убрал за день второй фермер. 8x = 10(x – 2,5) + 2; 8x = 10x – 25 + 2; 2x = 23;

x = 1121 га – убрал первый фермер за день.

1121 – 2

21 = 9 га – убрал за день второй фермер.

Ответ: 1121 га; 9 га.

№ 429 Пусть х деталей изготовил ученик за 2 часа. Тогда (х + 8) деталей изготовил мастер. 6x + 8(x + 8) = 232; 6x + 8x + 64 = 232; 14x = 168; x = 12 – деталей изготовил ученик. Ответ: 12 деталей.

№ 430 Пусть х жителей в первом поселке. Тогда 2х жителей живет во втором поселке. (2х – 400) жителей живет в третем поселке. x + 2x + (2x – 400) = 6000; 5x = 6400; x = 1280 – жителей в первом поселке. 2 · 1280 = 2560 – жителей во втором поселке. 2560 – 400 = 2160 – жителей в третьем поселке. Ответ: 1280; 2560; 2160.

69

№ 431 Пусть х рабочих – во втором цехе. Тогда 1,5х рабочих в первом цехе. (х – 200) рабочих в третем цехе. 1,5x + x – 200 = 800; 2,5x = 1000; x = 400 – рабочих во вторм цехе. Ответ: 400 рабочих.

№ 432 Пусть х деталей изготовил третий цех. Тогда 3х деталей изготовил вторй цех. (3х + х) деталей изготовил первый цех. x + 3x + 3x + x =2648; 8x = 2648; x = 331 деталей изготовил третий цех. 3 · 331 = 993 детали изготовил второй цех. 4 · 331 = 1324 детали изготовил первый цех. Ответ: 1324; 993; 331.

№ 433

Пусть V = (Vв – Vп) ч.км. – разность скорости велосипедиста и пешехода.

Тогда 54 V = 10 – 2; V = 10

ч.км. – разность между скоростями.

2 · 10 = 20 км. – расстояние между ними. Ответ: 20 км.

№ 434

Пусть V = (Vв – Vп) ч.км. – разность скорости велосипедиста и пешехода.

Тогда 43 V = 7 – 1;

43 V = 6; V = 8

ч.км. – разность скоростей.

1,5 · 8 = 12 км. Ответ: 12 км.

§ 16. Умножение многочлена на многочлен № 435

а) (x +1)(x + 2) = x(x + 1) + 2(x+1) = x2 + x + 2x + 1 = x2 + 3x + 1; б) (a – 3)(a + 8) = a(a + 8) – 3(a + 8) = a2 + 8a – 3a – 24 = a2 + 5a – 24; в) (b+10)(b–4) = b(b – 4) + 10(b – 4) = b2 – 4b + 10b – 40 = b2 + 6b – 40; г) (y – 5)(y – 9) = y(y – 5) – 9(y – 5) = y2 – 5y – 9y + 45 = y2 – 14y + 45.

№ 436 а) (x – 5)(9 – x) = 9(x – 5) – x(x – 5) = 9x – 45 – x2 + 5x = –x2 + 14x – 45; б) (y–10)(–y–6) = –y(y – 10) – 6(y – 10) = –y2 + 10y – 6y + 60=–y2 + 4y – 60;

70

в) (b + 10)(b – 4) = b(b – 4) + 10(b – 4) = b2 – 4b + 10b – 40 = b2 + 6b – 40; г) (–7 – b)(a – 4) = a( –7 – b) – 4( –7 – b) = –7a – ab + 28 + 4b.

№ 437 а) (2a + 4)(5a + 6) = 2a(5a + 6) + 4(5a + 6) = 10a2 +32a + 24; б) (7b – 3)(8b + 4) = 7b(8b + 4) – 3(8b + 4) = 56b2 + 4b – 12; в) (8c + 12)(3c – 1) = 8c(3c – 1) + 12(3c – 1) = 24c2 + 28c + 12; г) (15d + 27)(–5d – 9) = –75d2 – 135d – 135d – 243 = –75d2 – 270d – 243.

№ 438 а) (m2 + n)(m + n) = m2 (m + n) + n(m + n) = m3 + m2n + mn + n; б) (2x2 – 1)(x + 3) = 2x2 (x + 3) – (x + 3) = 2x3 + 6x2 – x + 3; в) (3y2 + 5)(y – 6) = 3y2 (y – 6) + 5(y – 6) = 3y3 + 5y – 18y2 – 30; г) (7c2 – 1)(c – 3) = 7c2 (c – 3) – (c – 3) = 7c3 – 21c2 – c + 3.

№ 439 а) (3a + 5)(3a – 6) + 30 = 9a2 + 15a – 18a – 30 + 30 = 9a2 – 3a; б) (8 – y)(8 + y) – (y2 + 4) = 64 – y2 –y2 – 4 = 60 – 2y2; в) x(x – 3) + (x + 1)(x + 4) = x2 – 3x + x2 + 5x + 4 = 2x2 + 2x + 4; г) (c + 2)c – (c + 3)(c – 3) = c2 + 2c – c2 + 9 = 2c + 9.

№ 440 а) 0,3a(4a2 – 3)(2a2 + 5 = 0,3a(8a4 – 6a2 + 20a2 – 15) = = 0,3(8a4 + 14a2 – 15) = 2,4a4 + 4,2a2 – 4,5; б) 1,5x(3x2 – 5)(2x2 + 3) = 1,5x(6x4 – x2 – 15 = 9x5 – 1,5x3 – 22,5x; в) 3p(2p + 4) · 2p(2p – 3) = 6p2 (4p2 + 2p – 12) = 24p4 + 12p3 – 72p2; г) –0,5y(4 – 2y2)(y2 + 3) = –0,5y(4y2 – 2y4 + 12 – 6y2) = y3 + y5 – 6y.

№ 441 а) (3m3+5)(3m2–10)=3m3 (3m2–10) + 5(3m2 – 10)=9m5 + 15m2 – 30m3 – 50; б) (4n5 – 1)(2n3 + 3) = 4n5 (2n3 + 3) – (2n3 + 3) = 8n8 – 2n3 + 12n5 – 3; в) (5k4 + 2)(6k2 – 1) = 5k4 (6k2 – 1) + 2(6k2 – 1) = 30k6 + 12k2 – 5k4 – 2; г) (6p8 – 4)(2p2 + 5) = 6p8(2p2 + 5) – 4(2p2 + 5) = 12p10 – 8p2 + 30p8 –20.

№ 442 а) (a + 2)(a2 – a – 3) = a3 + 2a2 – a2 – 2a – 3a – 6 = a3 + a2 – 5a – 6; б) (5b – 1)(b2 – 5b + 1) 5b3 – b2 – 25b2 + 5b + 5b – 1 = 5b3 – 26b2 + 10b – 1; в) (m – n + 1)(m + n) = m2 + mn – mn – n2 + m + n = m2 – n2 + m + n; г) (c – 2d)(c + 2d – 1) = (c – 2d)(c + 2d) – c + 2d = c2 – 4d2 – c + 2d.

№ 443 а) (x2 – xy + y2)(x + y) =x(x2 – xy + y2) + y(x2 – xy + y2) = = x3 – x2y + y2x + yx2 – x2y + y3 = x3 + y3; б) (n2 + np + p2)(n – p) = n(n2 + np + p2) – p(n2 + np + p2) = = n3 + n2p + np2 – pn2 – np2 – p3 = n3 – p3; в) (a + x)(a2 + ax + x2) = a(a2 + ax + x2) + x(a2 + ax + x2) = = a3 + a2x + ax2 + xa2 + ax2 + x3 = a3 + x3 + 2ax2 + 2a2x;

71

г) (c2 + cd + d2)(c – d) = c(c2 + cd + d2) – d(c2 + cd + d2) = = c3 + c2d + cd2 – dc2 – d2c – d3 = c3 – d3.

№ 444 а) (2a+ 3b)(4a2 – 6ab + 9b2) = 2a(4a2 – 6ab + 9b2) + 3b(4a2 – 6ab + b2) = = 8a3 – 12a2b + 18ab2 + 12a2b – 18ab2 + 27b2 = 8a3 + 27b3; б) (5x + 2y)(25x2 + 10xy + 4y2)=5x(25x2+10xy+4y2)+2y(25x2 + 10xy + 4y2) = = 125x3 + 50x2y + 20xy2 + 50yx2 + 20xy2 + 8y3; в) (5 – 2a + a2)(4a2 – 3a – 1) = 20a2 – 8a3 + 4a4 – 15a + 6a2 – 3a3 – 5 + + 2a – a2 = 4a4 – 11a3 + 25a2 – 13a – 5; г) (m2 – m + 2)(3m2 + m – 2) = 3m4 – 3m3 + 6m2 + m3 – m2 + 2m – 2m2 + + 2m – 4 = 3m4 – 2m3 + 3m2 + 4m – 4.

№ 445 а) (a–1)(a–2)–(a–5)(a + 3) = a2 – 3a + 2 – a2 + 2a + 15 = 17 – a=17+8 = 27; б) (a–3)(a+4)–(a+2)(a+5)=a2 + a – 12 – a2 – 7a – 10= –6a–24=1–24 = – 23; в) (a–7)(a+4)–(a+3)(a–10)=a2 – 3a – 28 – a2 + 7a + 30=4a+2=–0,6+2 = 1,4; г) (a + 2)(a + 5) – (a + 3)(a + 4) = a2 + 7a + 10 – a2 – 7a – 12=10 – 12 = –2.

№ 446 а) 12x2 – (4x – 3)(3x + 1) = –2; 12x2 – 12x2 + 5x + 3 = –2; 5x + 5 = 0; x = – 1. Ответ: –1. б) (x + 1)(x + 2) – (x + 3)(x + 4) = 0; x2 + 3x + 2 – x2 – 7x – 12 = 0; –4x – 10 = 0; x = – 2,5. Ответ: – 2,5. в) 10x2 – (2x – 3)(5x – 1) = 31; 10x2 – 10x2 + 17x – 3 = 31; 17x = 34; x = 2. Ответ: 2. г) 16x2 – (4x – 1)(4x – 3) =13; 16x2 – 16x2 + 16x – 3 = 13; 16x = 16; x = 1. Ответ: 1.

№ 447 а) (3x + 5)(4x – 1) = (6x – 3)(2x + 7); 12x2 + 17x – 5 = 12x2 + 36x – 21;

19x = 16; x = 1916 .

Ответ: 1916 .

б) (5x – 1)(2 – x) = (x – 3)(2 – 5x); 11x – 2 – 5x2 = 17x – 6 – 5x2;

6x =4; x = 32 .

Ответ: 32 .

72

в) (5x + 1)(2x – 3) = (10x – 3)(x + 1); 10x2 – 13x – 3 = 10x2 + 7x – 3; 20x = 0; x = 0. Ответ: 0. г) (7x – 1)(x + 5) = (3 + 7x)(x + 3); 7x2 + 34x – 5 = 7x2 + 24x + 9;

10x = 14; x = 1 25

.

Ответ: 1 25

.

№ 448 Пусть х м. – длина прямоугольника. Тогда (х – 20) м. – его ширина. (x – 10)(x – 20 + 6 = x(x – 20) + 12; x2 – 10x – 20x + 200 + 6x = x2 – 20x + 12; –4x + 200 = 12; 4x = 188; x = 47; 47 – 20 = 27 м. – ширина прямоугольника. Ответ: 47; 27.

№ 449 Пусть х – наименьшее натуральное число из этих чисел. Тогда (x + 1) – второе число. (х + 2) – третее число. (х + 3) – четвертое число. (x + 2)(x + 3) – x(x + 1) = 58; x2 + 5x + 6 – x2 – x = 58; 4x = 52; x = 13; 13 + 1 = 14 – второе число. 13 + 2 = 15 – третее число. 13 + 3 = 16 – третее число. Ответ: 13; 14; 15; 16.

№ 450 Пусть х см. – длина прямоугольника.

Тогда ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ − x

260 см. – ширина прямоугольника.

(x + 10)(30 – x – 6) = x(30 – x) – 32; (x + 10)(24 – x) = 30x – x2 – 32; 14x + 240 – x2 = 30x – x2 – 32; 16x = 272; x = 17 см. – длина прямоугольника. Из того что площадь прямоугольника равна произведению его длины на ширину следует, что S = 17 · (30 – 17) = 17 · 13 = 221 см2. Ответ: 221 см2.

№ 451 Пусть х – меньшее число. Тогда (х + 1) – второе число. (х + 2) – третее число. x2 + 65 = (a + 1)(a +2); x2 + 65 = x2 + 3a + 2; 3x = 63;

73

x = 21 – первое число. 21 + 1 = 22 – второе число. 21 + 2 = 23 – третее число. Ответ: 21; 22; 23.

№ 452 а) a(3a2–4)(3a2+4)=(3a3 – 4a)(3a2 + 4) = 9a5 – 12a3 + 12a3 – 16a=9a5–16a; б) (a – 5)(a + 5)(a2 + 25) = (a2 – 5a + 5a – 25)(a2 + 25) = = (a2 – 25)(a2 + 25) = a4 – 25a2 + 25a2 – 625 = a4 – 625; в) (a2 + 9)(a +3)(a – 3) = (a2 + 9)(a2 – 3a + 3a – 9) = (a2 + 9)(a2 – 9) = = a4 – 9a2 + 9a2 – 81 = a4 – 81; г) (a2 + 16)(a – 4)(a + 4) = (a2 + 16)(a2 – 4a + 4a – 16) = = (a2 + 16)(a2 – 16) = a4 – 16a2 + 16a2 – 256 = a4 – 256.

№ 453 а) (3,5p–1,2k)(3,5p + 1,2k) = 12,25p2 – 4,2p + 4,2p – 1,44 = 12,25p2 – 1,44; б) (1,7s+0,3t2)(0,3t2–1,7s)=0,09t4 – 0,51st2 + 0,51st2 – 2,89s2=0,09t4–2,89s2; в) (2,4m2–0,8n2)(0,8n2+2,4m2)=5,76m4–1,92m2n2+1,92m2n2–0,64n4 = = 5,76m4 – 0,64n4; г) (1,3x3–1,8y2)(1,8y2+1,3x3)=1,69x6–2,34y2x3+2,34y2x3–3,24y4=1,69x6–3,24y4.

№ 454 а) (a2 + a – 1)(a2 – a + 1) = a4 – a3 + a2 + a3 – a2 + a – a2 + a – 1 = = a4 – a2 + 2a – 1; б) (m2 + 2m – 1)(m2 – 2m + 1) = m4 + 2m3 – m2 – 2m3 – 4m2 + 2m + m2 + + 2m – 1 = m4 – 4m2 + 4m – 1; в) (2x2 + 3x + 2)(–2x2 + 3x – 2) = = – 4x4 – 6x3 – 4x2 + 6x3 + 9x2 + 6x – 4x2 – 6x – 4 = –4x4 + x2 – 4; г) (b3 + 5b + 3)(– b3 – 5b + 3) = –b6 – 5b4 –3b3 – 5b4 – 25b2 – 15b + + 3b3 + 15b + 9 = 9 – b6 – 10b4 – 25b2.

№ 455 а) (m – 1)(m3 + m2 + m +1) =m4 – m3 + m3 – m2 + m2 – m + m – 1=m4 – 1; б) (2 – s)(16 + 8s + 4s2 + 2s3 + s4) = = 32 – 16s + 16s – 8s2 + 8s2 – 4s3 + 4s3 – 2s4 + 2s4 – s5 = 32 – s5; в) (x + y)(x3 – x2y + xy2 – y3) = = x4 + x3y – x3y – x2y2 +x2y2 + xy3 – xy3 – y4 = x4 – y4; г) (a + 3)(81 – 27a + 9a2 – 3a3 + a4) = 81a + 243 – 27a2 – 81a + 9a3 + + 21a2 – 3a4 – 9a3 + a5 + 3a4 = 243 – 6a2 + a5.

№ 456 Пусть х см. – длина первого прямоугольника. Тогда (61 – х) – ширина первого прямоугольника; (х – 5) см. – длина второго прямоугольника; (61 – (х – 5) см. – ширина второго прямоугольника; (x – 5)(66 – x) – 120 = x(61 – x); 66x – 330 + 5x – x2 – 120 = 61x – x2;

74

9x = 450; x = 50 см. Из того что площадь прямоугольника равна произведению его сторон следует: 50 · (61 – 50) = 50 · 11 = 550 см2 – площадь первого; 550 + 120 = 670 см2 – площадь второго прямоугольника. Ответ: 550 см2; 670 см2.

№ 457 Пусть х см. – длина прямоугольника. Тогда (120 – х) см. – ширина прямоугольника. (x – 14)(130 – x) – 4 = x(120 – x); 130x – 1820 + 14x – x2 – 4 = 120x – x2; 24x = 1824; x = 76 см. – длина прямоугольника; 120 – 76 = 44 см. – ширина прямоугольника. Ответ: 44 см.; 76 см.

№ 458 Пусть х – первое число. Тогда (х + 3) – второе число; (х + 6) – третее число. x(x + 6) + 54 = (x + 3)(x + 6); x2 + 6x + 54 = x2 + 9x + 18; 3x = 36; x = 12 – первое число; 12 + 3 = 15 – второе число; 12 + 6 = 18 – третее число. Ответ: 12; 15; 18.

№ 459 Пусть х – первое число. Тогда (х + 12) – второе число; (х + 24) – третее число. x(x + 12) + 432 = (x + 12)(x + 24); x2 + 12x + 432 = x2 + 36x + 288; 24x = 144; x = 6 – первое число; 6 + 12 = 18 – второе число; 6 + 24 = 18 – третее число. Ответ: 6; 12; 18.

№ 460 Пусть х – первое число. Тогда (х + 3) – второе число; (х + 8) – третее число; (х + х + 3) – четвертое число. x(x+3)=(x + 8)2 – (2x + 3) – 74,2; x2 + 3x = x2 + 8x + 8x + 64 – 2x – 3 – 74,2; 8x + 8x – 2x – 3x = –64 + 3 + 74,2; 11x = 13,2; x = 1,2 – первое число; 1,2 + 3 = 4,2 – второе число; 1,2 + 8 = 9,2 – третее число; 2 · 1,2 + 3 = 5,4 – четвертое число. Ответ: 1,2; 4,1; 9,2; 5,4.

§ 17. Формулы сокращенного умножения № 461

а) (a + x) 2 = a2 + 2ax + x2; б) (b – y) 2 = b2 – 2by + y2; в) (c + d) 2 = c2 + 2cd + d2; г) (m – n) 2 = m2 – 2mn + n2.

75

№ 462 а) (x + 1) 2 = x2 + 2x + 1; б) (y – 2) 2 = y2 – 4y + 4; в) (a – 5) 2 = a2 – 10a + 25; г) (c + 8) 2 = c2 + 16c + 64.

№ 463 а) (7 – a) 2 = 49 – 14a + a2; б) (9 + b) 2 = 81 + 18b + b2; в) (4 + n) 2 = 16 + 8n + n2; г) (12 – p) 2 = 144 – 24p + p2.

№ 464 а) (–x + 1) 2 = 1 – 2x + x2; б) (–z – 3) 2 = z2 + 6z + 9; в) (–n + 8) 2 = 64 – 16n + n2; г) (–m – 10) 2 = m2 – 20m + 100.

№ 465 а) (2a + 1) 2 = 4a2 + 4a + 1; б) (3c – 2) 2 = 9c2 – 12c + 4; в) (6x – 3) 2 = 36x2 – 36x + 9; г) (7y + 6) 2 = 49y2 + 84y + 36.

№ 466 а) (8x + 3y) 2 = 64x2 + 48xy + 9y2; б) (6m – 4n) 2 = 36m2 – 48mn + 16n2; в) (9p – 2q) 2 = 81p2 – 36pq + 4q2; г) (10z + 3t) 2 = 100z2 + 60zt + 9t2.

№ 467 а) ( –3a + 5x)2 = 25x2 – 30ax + 9a2; б) (– 6y – 2z)2 = 36y2 + 24yz +4z2; в) (– 3m + 4n) 2 = 16n2 – 24mn + 9m2; г) (–12z – 3t)2 =9t2 + 72tz + 144z2.

№ 468 а) (0,2x – 0,5a) 2 = 0,04x – 0,2xa + 0,25a2;

б) 2

341

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ + n = 9n2 +

23 mn +

161 ; в)

2

616 ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −a = 36a2 – 2a +

361 ;

г) (10c + 0,1) 2 = 100c + 2cy + 0,01y2. № 469

а) (x2 + 1) 2 = x4 + 2x2 + 1; б) (y2 – 6) 2 = y4 – 12y2 + 36; в) (p2 – 10) 2 = p4 – 20p2 + 100; г) (q2 + 8) 2 = q4 + 16q2 + 64.

№ 470 а) (a2 + 3x) 2 = a4 + 6a2x + 9x2; б) (b2 – 5y) 2 = b4 – 10b2y + 25y2; в) (m2 – 6n) 2 = m4 – 12m2n + 36n2; г) (r2 + 4s) 2 = r4 + 8r2s + 16s2.

№ 471 а) (c2 + d2) 2 = c4 + 2c2d2 + d4; б) (m2 – n3) 2 = m4 – 2m2n3 + n6; в) (p2 – q2) 2 = p4 – 2p2q2 + q4; г) (z2 + t3) 2 = z4 + 2z2t3 + t6.

№ 472 а) (a3 + 3b) 2 = a4 + 6a2b + 9b2; б) (4x2 – 3c) 2 = 16x4 – 24x2x + 9c2; в) (5m2 + 3n2) 2 = 25m4 + 30m2n2 + 9n4; г) (6p2 – 8q3) 2 = 36p4 – 96p2q3 + 64q6.

76

№ 473

а) 2

1411

312 ⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ − ba =

2

1415

37

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ − ba =

949 a2 – 5ab +

196225 b2 =

= 594 a2 – 5ab 1

19629 ;

б) 2

271319,0 ⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ + yx =

2

274019,0 ⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ + yx = 0,81x2 + 2

32 xy +

7291600 y2 =

= 0,81x2 + 232 xy + 2

729142 ;

в) 22

6252,1

6142,1 ⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ +=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ −− yxyx =1,44x2 + 10xy +

36625 y2 =

= 1,44x + 10xy + 173613 ;

г) =⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ −−

22

1023

2325

23213,2 ybba

529625 b2 – 5ab + 5,29a2 =

= 152996 b2 – 5ab + 5,29a2.

№ 474 а) 792 = (80 – 1) 2 = 6400 – 160 + 1 = 6241; б) 392 = (40 – 1) 2 = 1600 – 80 + 1 = 1521; в) 592 = (60 – 1) 2 = 3600 – 120 + 1 = 3481; г) 692 = (70 – 1) 2 = 4900 – 140 + 1 = 4761.

№ 475 а) 212 = (20 + 1) 2 = 400 + 40 + 1 = 441; б) 312 = (30 + 1) 2 = 900 + 60 + 1 = 961; в) 612 = (60 + 1) 2 = 3600 + 120 + 1 = 3721; г) 912 = (90 + 1) 2 = 8100 + 180 + 1 = 8281.

№ 476 а) 422 = (40 + 2) 2 = 1600 + 160 + 4 = 1764; б) 622 = (60 + 2) 2 = 3600 + 240 + 4 = 3844; в) 822 = (80 + 2) 2 = 6400 + 320 + 4 = 6724; г) 322 = (30 + 2) 2 = 900 + 120 + 4 = 1024.

№ 477 а) 982 = (100 – 2) 2 = 10000 – 400 – 4 = 9596; б) 282 = (30 – 2) 2 = 900 – 120 – 4 = 776; в) 882 = (90 – 2) = 8100 – 360 + 4 = 7736; г) 582 = (60 – 2) 2 = 3600 – 240 – 4 = 3356.

77

№ 478

а) 144

1146144

1214412112

12112

22

=++=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ ;

б) 49453

494449

727

727

22

=++=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −−=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛− ;

в) 169

9175169

9616913313

13313

22

=++=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −−=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛− ;

г) 196

952196

93491437

1437

22

=++=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ .

№ 479

а) 169

1169169

1216913113

131212

22

=+−=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ ;

б) 2254221

22544225

15215

151314

22

=+−=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ ;

в) 1600

115981600

12160040140

403939

22

=+−=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ ;

г) 2569250

25696256

16316

161315

22

=+−=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ .

№ 480 а) (a – b)(a + b) = a2 – b2; б) (c – d)(c + d) = c2 – d2; в) (m – n)(m + n) = m2 – n2; г) (p – q)(p + q) = p2 – q2.

№ 481 а) (x – 1)(x + 1) = x2 – 1; б) (c – 2)(c + 2) = c2 – 4; в) (10m – 4)(10m + 4) = 100m2 – 16; г) (8a – 1)(8a + 1) = 64a2 – 1.

№ 482 а) (3b – 1)(3b + 1) = 9b2 – 1; б) (6x – 2)(6x + 2) = 36x2 – 4; в) (10m – 4)(10m + 4) = 100m2 – 16; г) (8a – 1)(8a + 1) = 64a2 – 1.

№ 483 а) (4a – b)(4a + b) = 16a2 – b2; б) (x + 7)(7 – x) = 49 – x2; в) (4b + 1)(4b – 1) = 16b2 – 1; г) (5m + 2)(5m – 2) = 25m2 – 4.

№ 484 а) (3x – 5y)(3x + 5y) = 9x2 – 25y2; б) (7a – 8b)(7a + 8b) = 49a2 – 64b2 в) (13c – 11d)(13c + 11d) = 169c2 – 121d2; г) (8m – 9n)(8m + 9n) = 64m2 – 81n2.

78

№ 485 а) (5x – 2y2)(5x + 2y2) = 25x2 – 4y4; б) (2c – 3a2)(2c + 3a2 = 4c2 – 9a4; в) (10p3–7q)(10p3+7q)=100p6 – 49q2; г) (8d + 6c3)(6c3 – 8d) = 36c6 – 64d2.

№ 486 а) (4x2–2y2)(4x2+2y2)=16x4–4y4; б) (10a3+5b2)(10a3–5b2)=100a6–25b4; в) (3n4–m4)(3n4 + m4) = 9n8 – m8; г) (10m8+8n8)(10m8–8n8)=100m16–64n16.

№ 487 а) 69 · 71 = (70 – 1)(70 + 1) = 4900 – 1 = 4899; б) 31 · 29 = (30 + 1)(30 – 1) = 900 – 1 = 8999; в) 89 · 91 = (90 – 1)(90 + 1) = 8100 – 1 = 8099; г) 99 · 101 = (100 – 1)(100 + 1) = 10000 – 1 = 9999.

№ 488 а) 58 · 62 = (60 – 2)(60 + 2) = 3600 – 4 = 3596; б) 82 · 78 = (80 + 2)(80 – 2) = 6400 – 4 = 6396; в) 42 · 38 = (40 + 2)(40 – 2) = 1600 – 4 = 1596; г) 18 · 22 = (20 – 2)(20 + 2) = 400 – 4 = 396.

№ 489 а) 0,49 · 0,51 = (0,5 – 0,01)(0,5 + 0,01) = 0,25 – 0,0001 = 0,2499; б) 0,78 · 0,82 = (0,8 – 0,02)(0,8 + 0,02) = 0,64 – 0,0004 = 0,6396; в) 0,67 · 0,73 = (0,7 – 0,03)(0,7 + 0,03) = 0,49 – 0,0009 = 0,4891; г) 1,21 · 1,19 = (1,2 + 0,01)(1,2 – 0,01) = 1,44 – 0,01 = 1,4399.

№ 490

а) =−⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ −⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +=⋅

1969

14110

143

14139

143

14139

759

7110

2

=+

−=−−=−+−=196

8280100196

81420100

1969

1961

710100

492698

19610498

196921100 ==−= ;

б) 494580

49481

729

729

759

7210 =−=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ −⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +=⋅ ;

в) 989999

9110000

31100

31100

31100

3299 =−=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ −⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +=⋅ ;

г) 252463

25164

518

518

518

5472,8

547 =−=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ +⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −=⋅=⋅ = 63,96.

№ 491 а) (x – 1)(x2 + x + 1) = x3 – 1; б) (x – 2)(x2 + 2x + 4) = x3 – 8; в) (x + 3)(x2 – 3x + 9) = x3 – 27; г) (x + 4)(x2 – 4x + 16) = x3 – 64.

79

№ 492 а) (5m + 3n)(25m2 – 15mn + 9n2) = 125m3 + 27n3; б) (2a – 3x)(4a2 + 6ax + 9x2) = 8a3 – 27x3; в) (4x – 5y)(16x2 + 20xy + 25y2) = 64x3 – 125y3; г) (3x + 5y)(9x2 – 15xy + 25y2) = 27x3 + 125y3.

№ 493 а) 3(x – y) 2 = 3x2 – 6xy + 3y2; б) b(1 +2b) 2 = b(1 + 4b + 4b2 = b + 4b2 + 4b3; в) –6(5m – n) 2 = –6(25m2 – 10mn + n2) = – 150m2 + 60mn – 6n2; г) –c(3a + c) 2 = –c(9a2 + 6ac + c2) = –9a2c – 6ac2 – c3.

№ 494 а) a2 + (3a – b) 2 = a2 + 9a2 – 6ab + b2 = 10a2 – 6ab + b2; б) 9p2 – (q – 3p) 2 = 9p2 – q2 + 6qp – p2 = 8p2 + 6qp – q2; в) (5c + 7d) 2 – 70cd = 25c2 + 70cd + 49d2 – 70cd = 25c2 + 49d2; г) (8m – n) 2 – 64m2 = 64m2 – 16mn + n2 – 65m2 = n2 – 16mn.

№ 495 а) (a – 4) 2 + a(a + 8) = a2 – 8a + 16 + a2 + 8a = 2a2 + 16; б) (x – 7)x + (x +3) 2 = x2 – 7x + x2 + 6x + 9 = 2x2 – x + 9; в) (y – 5) 2 – (y – 2) = y2 – 10y + 25 – y + 2 = y2 – 11y + 27; г) b(b +4) – (b + 2) 2 = b2 + 4b – b2 – 4b – 4 = –4.

№ 496 а) (3a – b)(3a + b) + b2 = 9a2 – b2 + b2 = 9a2; б) 9x2 – (y +4x)(y – 4x) = 9x2 – y2 + 16x2 = 25x2 – y2; в) (5c – 6d)(5c + 6d) – 25c2 = 25c2 – 36d2 – 25c2 = – 36d2; г) (7m – 10n)(7m + 10n) – 100n2 = 49m2 – 100n2 – 100n2 = 49m2 – 200n2.

№ 497 а) 2(a – 2)(a + 2) = 2(a2 – 4) = 2a2 – 8; б) x(x + 4)(x – 4) = x(x2 – 16) = x3 – 16x; в) 5c(c + 3)(c – 3) = 5c(c2 – 9) = 5c3 – 45c; г) 7d2 (d – 1)(d + 1) = 7d2 (d2 – 1) = 7d4 – 7d2.

№ 498 а) (a – c)(a + c) – (a – 2c) 2 = a2 – c2 – a2 + 4ac – 4c2 = –5c2 + 4ac; б) (x – 4)(x + 4) – (x + 8)(x – 8) = x2 – 16 – x2 + 64 = 48; в) (3b – 1)(3b + 1) – (b – 5)(b + 5) = 9b2 – 1 – b2 + 25 = 8b2 + 24; г) (m+3n) 2 + (m + 3n)(m – 3n) = m2 + 6mn + 9n2 + m2 – 9n2 = 2m2 + 6mn.

№ 499 а) (b – 5)(b + 5)(b2 + 5) = (b2 – 25)(b2 + 25) = b4 – 625; б) (3 – y)(3 + y)(9 + y2) = (9 – y2)(9 + y2) = 81 – y4; в) (a – 2)(a + 2)(a2 – 4) = (a2 – 4)(a2 + 4) = a4 – 16; г) (c2 – 1)(c2 + 1)(c4 + 1) = (c4 – 1)(c4 + 1) = c8.

80

№ 500 (2a – b)(2a + b) + (b – c)(b + c) + (c – 2a)(c + 2a) = = 4a2 – b2 + b2 – c2 + c2 – 4a2 = 0.

№ 501 а) (a+3) 2–(a – 2)(a + 2) = a2 + 6a + 9 – a2 + 4 = 6a + 13=–3,5 · 6 + 13 = –8; б) (x–3) 2–(x +3)(x – 3) = x2 – 6x + 9 – x2 + 9 = 18 – 6x = 18 + 0,1 · 6 = 18,6; в) (m+3) 2–(m – 9)(m + 9) = m2 + 6m + 9 – m2 + 81 = 6m + 100=100–3 = 97; г) (c + 2) 2 – (c +4)(c – 4) = c2 +4c + 4 – c2 + 16 = 4c + 20 = 1 +20 = 21.

№ 502 а) (5a – 10) 2 – (3a – 8) 2 + 132a = 25a2 – 100a + 100 – 9a2 + 48a – 64 + + 132a = 16a2 + 80a + 36 = 16a2 + 48a + 36 + 32a = (4a + 6) 2 + 32a = = 182 – 192 = 324 – 192 = 132; б) (3p – 8) 2 + (4p + 6) 2 + 100p = 9p2 – 48p + 64 + 16p2 + 48p + 36 + + 100p = 25p2 + 100p + 100 = (5p + 10) 2 = 0; в) (5b – 3) 2 + (12b – 4) 2 – 4b = 25b2 – 30b + 9 + 144b2 – 96b + 16 – – 4b = 169b2 – 130b + 25 = (13b – ) 2 = 182 = 324; г) (13 – 5m) 2 – (12 – 4m) 2 + 4m = 169 – 130m + 25m2 – 144 + 96m – – 16m2 + 4m = 9m2 – 30m + 25 = (3m – 5) 2 = 72 = 49.

№ 503 а) 8x(1 + 2x – (4x + 3)(4x – 3) = 2x; 8x + 16x2 – 16x2 + 9 = 2x;

6x = – 9; x = –23 .

Ответ: – 23 .

б) x – 3x(1 – 12x) = 11 – (5 – 6x)(5 + 6x); x – 3x + 36x2 = 11 – 25 + 36x2; –2x = –14; x = 7. Ответ: 7. в) (6x – 1)(6x + 1) – 4x(9x + 2) = – 1; 36x2 – 1 – 36x2 – 8x = –1; –8x = 0; x = 0. Ответ: 0. г) (8 – 9x)x = –40 + (6 – 3x)(6 + 3x) ; 8x – 9x2 = – 40 + 36 – 9x2;

8x = –4; x = – 12

.

Ответ: – 12

.

№ 504 а) (x – 6) 2 – x(x + 8) =2; x2 – 12x + 36 – x2 – 8x = 2;

20x = 34; x = 1 710

.

Ответ: 1,7.

81

б) 9x(x + 6) – (3x + 1) 2 = 1; 9x2 + 54x – 9x2 – 6x – 1 = 1;

48x = 2; x = 241 .

Ответ: 241 .

в) x(x – 1) – (x – 5) 2; x2 – x – x2 + 10x – 25 = 0;

9x = 25; x = 925 .

Ответ: 297 .

г) 16x(2 – x) + (4x – 5) 2 = 1; 32x – 16x2 + 16x2 – 40x + 25 = 1; –8x = –24; x = 3. Ответ: 3.

№ 505 а) 9x2 – 1 – (3x – 2) 2 = 0; 9x2 – 1 – 9x2 + 12x – 4 = 0;

12x = 5; x = 125 .

Ответ: 125 .

б) x + (5x +2) 2 = 25(1+ x2); x + 25x2 + 20x + 4 = 25 + 25x2; 21x = 21; x = 1. Ответ: 1. в) (2x – 3) 2 – 2x(4 + 2x) = 11; 4x2 – 12x + 9 – 8x – 4x2 = 11;

–20x = 2; x = – 220

.

Ответ: –0,1.

г) (4x – 3)(3 + 4x) – 2x(8x – 1) = 0; 16x2 – 9 – 16x2 = 2x = 0; 2x=9; x = 92

.

Ответ: 4,5. № 506

а) (x – 1)(x +1) = 2(x – 3) 2 – x2; x2 – 1 = 2x2 – 24x + 18 – x2;

24x = 19 30x = –71; x = 1924

.

Ответ: 1924

.

б) 3(x +5) 2 – 4x2 = (2 – x)(2 + x); 3x2 + 30x + 75 – 4x2 = 4 – x2; x = – 7130

.

Ответ: – 2 130

.

82

в) (2x + 3) 2 – 4(x – 1)(x + 1) = 49; 4x2 + 12x + 9 – 4x2 + 4 = 49;

12x = 26; x = 6

13 .

Ответ: 261 .

г) (3x + 1) 2 – (3x – 2)(2 + 3x) = 17; 9x2 + 6x + 1 – 9x2 + 4 = 17; 6x = 12; x = 2. Ответ: 2.

№ 507 а) (10x2 – 4xy3) 2 = 100x4 – 80x3y3 + 16x2y6; б) (8p3 + 5p2q) 2 = 64p6 + 80p5 + 25p4q2; в) (0,6b3 – 5b2c4) 2 = 0,36b6 – 6b5c4 + 25b4c8; г) (3z7 + 0,5z3t) 2 = 9z14 + 3z10t + 0,25z6t2.

№ 508 а) 20x3z + 0,03z2) 2 = 400x6z2 + 1,2x3z3 + 0,0009z4;

б) 2

3 2 6 5 2 43 94 3 168 64

n mn n mn m n⎛ ⎞+ = +⎜ ⎟⎝ ⎠

;

в) (0,15r4n3 – 10n4) 2 = 0,625r8n6 – 3r4n7 + 100n8;

г) 2

2 163

a ab⎛ ⎞−⎜ ⎟⎝ ⎠

= 36a4 – 4a3b + 19

a2b2.

№ 509 а) (xn – 23)(xn + 23) = x2n – 26; б) (a2n + bn)(a2n – bn) = a4n – b2n; в) (cn – d3n)(cn + d3n) = c2n – d6n); г) (an + 1 – bn – 1)(an + 1 + bn – 1) = a2n + 2 – b2n – 2.

№ 510 а) (3x2 – 2)(9x4 + 6x2 + 4) = 27x6 – 8; б) (5x2 + 3)(25x4 – 15x2 + 9) = 152x6 + 27; в) (8b2 + 3)(64b4 – 24b2 + 9) = 512b6 + 27; г) (7a2 – 1)(49a4 + 7a2 + 1) = 343a3 – 1.

№ 511 а) (x – 2) 2 (x + 2) 2 = (x2 – 4) 2 = x4 – 8x2 + 4; б) (y – 4) 2 (y + 4) = (y2 – 4) (y – 4) = y3 – 4y – 4y2 + 16; в) (m – 6) 2 (m + 6) 2 = (m2 – 36) = m4 – 72m2 + 1296; г) (n – 7) 2 (7 + n) = (n2 – 7)(n – 7) = n3 – 7n – 7n2 + 49.

№ 512 а) (x – y)(x + y)(x2 + y2) = (x2 – y2)(x2 + y2) = x4 – y4; б) (3a – b)(3a + b); б) (9a2 + b2) = (9a2 – b2)(9a2 + b2) = 81a4 – b4;

83

в) (p3 + q)(p3 – q)(p6 + q2) = (p6 – q2)(p6 + q2) = p12 – q4; г) (s4 + r4)(s – r)(s + r)(s2 + r2) = (s4 – r4)(s4 + r4) = s8 – r8.

№ 513 а) (3x2 + 4) 2 + (3x2 – 4) 2 – 2(5 – 3x2)(5 + 3x2) = 9x4 + 24x2 + 16 + + 19x4 – 24x2 + 16 + 9x4 – 24x2 + 16 – 50 + 18x4 = 36x4 – 18; б) (4a3+5) 2+(4a3–1) 2–2(4a3+5)(4a3 – 1) = (4a3 + 5 – 4a3 + 1) 2 = 62 = 36; в) p(p – 2c)(p +2c) – (p – c)(p2 + pc + c2) = p3 – p · 4c2 – p3 + c3 = c3 – 4pc2; г) m(2m–1) 2–2(m+1)(m2 –m + 1) = 4m3–4m2+m–2m3–2=2m3 – 4m2 + m – 2.

№ 514 а) (a – b)(a + b)(a2 + b2)(a4 + b4)(a8 + b8) = (a8 – b8)(a8 + b8) = a16 – b16; б) x32 – (x – 1)(x + 1)(x2 + 1)(x4 +1)(x8 + 1) (x16 + 1) = x32 – x32 + 1 = 1.

№ 515 а) (6a5 + ∗1) 2 = ∗2 + ∗3 + 25x2; ∗1

2 = 25x2, значит ∗1 = 5x; ∗2 = (6a5) 2 = 36a10; ∗3 = 6a5 · ∗1 · 2 = 6a5 · 5x · 2 = 60a5x; б) (10m5 + ∗1) 2 = ∗2 + ∗3 + 36m4n6; ∗1

2 = 36m4n6, значит ∗1 = 6m2n3; ∗2 = (10m5) 2 = 100m10; ∗3 = 2 · ∗1 · 10m5 = 2 · 6m2n3 · 10m5 = 120m7n3; в) (∗1 – 4x7) 2 = 25x4y2 – ∗2 + ∗3; (∗1) 2 = 25x4y2, значит ∗1 = 5x2y; ∗2 = 2 · ∗1 · 4x7 = 2 · 5x2y · 4x7 = 40x9y; ∗3 = (4x7) 2 = 16x14; г) (8a3 – ∗1) 2 = ∗2 – ∗3 + 49a8b6; ∗1

2 = 49a8b6, значит ∗1 = 7a4b3; ∗2 = (8a3) 2 = 64a6; ∗3 = 2 · 8a3 · ∗1 = 16a3 · 7a4b3 = 112a7b3.

№ 516 а) (∗1 + 4d4) 2 = ∗2 + 24c2d5 + ∗3; ∗3 = (4d4) 2 = 16d8; 2 · ∗1 · 4d4 = 24c2d5, значит ∗1 = 3c2d; ∗2 = (∗1) 2 = (3c2d) 2 = 9c4d2; б) (∗1 – 8a4) 2 = 81a6b2 – ∗2 + ∗3; (∗1) 2 = 81a6b2, значит ∗1 = 9a3b; ∗2 = 2 · ∗1 · 8a4 = 2 · 9a3b · 8a4 = 144a7b; ∗3 =(8a4) 2 = 64a8; в) (4p2q2 + ∗1) 2 = ∗2 + ∗3 + 0,01q8; (∗1) 2 = 0,01q8, значит ∗1 = 0,1q4; ∗2 = (4p2q2) 2 = 16p4q4; ∗3 = 2 · ∗1 · 4p2q2 = 8p2q2 · 0,1q4 = 0,8 p2q6; г) (8q4t 3 – ∗1) 2 = ∗2 – ∗3 + 0,16t4; (∗1) 2 = 0,16t4, значит ∗1 = 0,4t2; ∗2 = (8q4t3) 2 = 64q8t6; ∗3 = 2 · 8q4t3 · ∗1 = 16q4t3 · 0,4t2 = 6,4q4t5.

№ 517 а) (5b3 – 7c) 2 = 25b6 – 70b3c + 49c2; б) (9x – 10x2y3) 2 = 81x2 – 180x3y3 + 100x4y6; в) (7x3 +5y2) 2 = 49x6 + 70x3y2 + 25y4; г) (6c5 – 4d3) 2 = 36c10 – 48c5 + 16d6.

№ 518 а) (2c – 15a)(2c + 15a) = 4c2 – 225a2; б) (9a + 11c)(9a – 11c) = 81a2 – 121c2;

в) 2 3 2 3 4 63 3 90,5 0,5 0,254 4 16

y x y x y x⎛ ⎞⎛ ⎞− + = −⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠⎝ ⎠

;

г) (10m3 – 0,4n2)(10m3 + 0,4n2) =100m6 – 0,16n4.

84

№ 519 а) (0,7x3 – 10z2)(0,7x3 +10z2) = 0,49x6 – 100z4;

б) 6 2 6 24 47 711 11

p q p q⎛ ⎞⎛ ⎞+ −⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠⎝ ⎠

= 49p12 – 16121

q4;

в) 7 2 5 7 2 53 3 11 8 1 8 34 4 16

x y z x y z⎛ ⎞⎛ ⎞− + =⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠⎝ ⎠

x14 – 64y4z10;

г) (5a4 – 6x2) 2 25a8 – 60a4x2 + 36x4. № 520

а) 125 – (5 – 3x)(25 + 15x + 9x2) = 125 – 125 + 27x3=27x3=– 27 · 2764 = –64;

б) 25 – (2 – 3a)(4 + 6a + 9a2) = 25 – 8 + 27a3 =17 + 27a3 = 17 – 1 = 16; в) 127+(5c–3)(25c2+15c+9)=127+125c–27=125c+100=100–125 · 1,2= – 50; г) 64 – (4 – 3a)(16 + 12a + 9a2) = 64 – 64 + 27a3 = – 8.

№ 521 а) (2 – 1)(2 + 1)(22 + 1)(24 + 1)(28 +1) – 216 = 216 – 216 = 0; б) 3(22 + 1)(24 + 1)(28 +1)(216 +1) – 232 = = (22 – 1)(22 + 1)(24 + 1)(28 +1)(216 +1) – 232 = 232 – 232 = 0.

№ 522 (32 + 22)(34 + 24)(38 +28)(316 + 216) =

= 2 2 2 2 4 4 8 8 16 16

2 2(3 2 )(3 2 )(3 2 )(3 2 )(3 2 )

3 2− + + + +

−=

32 323 25− = 0,2(332 – 232).

§ 18. Деление многочлена на одночлен № 523

а) (12 + 8) : 4 = 20 : 4 = 5; б) (54d + 36) : (– 18) = – 3d – 2; в) (44y + 22) : 11 = 4y + 2; г) (– 15y – 5y) : (– 5) = – 20y : (– 5) = 4y.

№ 524 а) (a – ab) : a = 1 – b; б) (x – xy) : (– x) = y – 1; в) (– m – mn) : m = – 1 – n; г) (– c + cd) : (– c) = 1 – d.

№ 525 а) (a2 + 3ab) : a = a + 3b; б) (m3 – m2n) : m2 = m – n; в) ( c2 – 2cd) : c = c – 2d; г) (p4 – p3q) : p3 = p – q.

№ 526 а) (4ab2 + 3ab) : ab = ab + 3; б) (1,2cd3 – 0,7cd) : cd = 1,2d2 – 0,7; в) (– 3,5m2n – 0,2mn) : mn = – 3,5m – 0,2;

г) ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +− yxxy 3

31

21 : mn = –

21 +

31 x2.

85

№ 527

а) (3x2y – 4xy2) : 5xy = 53 x –

54 y = 0,6x – 0,8y;

б) (4x + 12y – 16) : (– 4) = – x – 3y + 4; в) (2ab + 6a2b2 – 4b2) : (– 2b) = – a – 3a2b + 2b; г) (– a5b3 + 3a6b2) : 4a2b2 = – 0,25a3b + 0,75a4.

№ 528 а) (18a4 – 27a3) : 9a2 – 10a3 : 5a = 2a2 – 3a – 2a2 = – 3a = 24;

б) (36x2y – 4xy2) : 4y + yx = 9x2 – xy + xy = 9x2 = 91 .

№ 529 а) x, x2, 1; б) x, 2x, 7x; в) ab, 5ab, a2b2; г) mn, m2n2, 5mn.

№ 530 а) нет; б) нет; в) (2x3y2 + 3x2y – 5x4y4) : xy = 2x2y + 3x – 5x3y3; г) (2x3y2 + 3x2y – 5x4y4) : (– x2y) = – 2xy – 3 + 5x2y3.

№ 531

а) 8 6 6 8

3 35 5

12 60 3 154

a b a b a b aba b+

= + ; б) 7 9 9 7

6 615 45

5a x a x

a x− = 3ax3 – 9a3x;

в) 3 2 2 3 2 4132 44 110

22n p n p n p

np− + = 6n2p – 2np2 + 5np3;

г) 4 2 3 3 2 4108 144 180

36k n k n k n

kn− − = 3k3n – 4k2n2 – 5kn3.

№ 532

а) (7a2 + 10a3b) : a4 = 2 27 10 7 10ab b

aa a+

= + ;

б) (4x2 – 3x) : (– x2) = – 4 + 3x

; в) (27a3 – 81b3) : 9a3b3 = 33b

– 9 · 31a

;

г) (42x3y – 63xy3 + 14xy) : 7xy = 6x2 – 9y2 + 2. № 533

а) kL, kL; б) pq, p2q2; в) cd, c2d2; г) xy, x2y2. № 534

а) bc, b2c2, b2c, b2c3, b2c4; б) xy, x2y2, xy2, x2y, x; в) z, m, zm, z2m, z3m; г) k, L, kL, kL2, kL3.

№ 535 а) xy; б) xy2z, 5z, 6xyz, 20xy; в) y2, 3, 142xyz, 15x; г) 4xy2, y2z, 8, 7xyz, 2xy2z.

86

№ 536

а) 4 2 3

2 22 2

15 * 24 * 24355 5

a b a b a ba b a b

− += − + ; ∗ = 5a2 · 7ab = 35a3b2.

Ответ:4 3 2 2 3

215 35 24

5a b a b a b

a b− +

= 3a2 – 7ab + 524 b2.

б) 2 4 2

13

* 100 7525a b ab

ab− + = 3a2 – ∗2 + ∗3;

∗1 = 3a2 · 25ab3 = 75a3b3; ∗2 = 2 4

3100

25a bab

= 4ab; ∗3 = 2

375 325

abbab

= .

Ответ: 3 3 2 4 2

375 100 75

25a b a b ab

ab− + = 3а2 – 4ab +

b3 .

в) 3 4

1

2

* 24*

a x− = 7a2 – 8ax3; ∗2 = 3 4

3248

a xax

= 3a2x;

∗1 = ∗2 · 7a2 = 7a2 · 3a2x = 21a4x.

Ответ: 2 3 4

43 24

21a x a x

a x− = 7a2 – 8ax3.

г) 1

2334

*3857 dcdc − = 3cd2 – ∗2; ∗1 =

4 3

2573

c dcd

= 19c3d;

∗2 =3 2 3 2

31

38 38* 19c d c d

c d= = 2d.

Ответ: 4 3 3 2

357 38

19c d c d

c d = 3cd2 – 2d.

№ 537

а) 2 4 3 3 4 2

1

4 21 72*

a x a x a x+ = ∗2 – ∗3 + 12a2x;

∗1 =4 2

27272

a xa x

= 6a2x; ∗2 = 2 4

246a xa x

= 23

x3;

∗3 = 3 3

1

21*a x =

3 3

2216

a xa x

= 72

ax2;

б) 3 3 2 4

1

2

30 175 **

k p k p − = 3k2 – ∗3 – 14p2; ∗2 =3 3

230

3k pk

=10kp3;

∗1 = 14p2 · 10kp3 = 240kp5; ∗3 = 2 4

2

175*k p =

2

317510

kkp

=17,5kp;

87

в) 10 3 2 7

1

2

45 54 **

nc d c d++ − =∗3 + 3,6cnd5 – 2c6d8;

∗2 =2 7

5543,6

n

nc d

c d

+= 15c2d2; ∗1 = 2c6d8 · ∗2 = 2c6d8 · 15c2d2 = 30c8d10;

∗3 = 10 3

2

45*c d =

10 3

2 24515

c dc d

= 3c8d;

г) 5

1 2

3

* * 63*

na x− + = 2a5x3 – 3a6x2 + 4,5an – 3x; ∗3 = 5

363

4,5

n

na xa x− = 14a3x4;

∗1 = ∗3 · 2a5x3 = 14a3x4 · 2a5x3 = 28a8x7; ∗2 = ∗3 · 3a6x2 = 14a3x4 · 3a6x2 42a9x6.

№ 538 а) 3a3 – 1, 2ab – частное; 10b3 – делитель; 30a4b – 12ab2 – частное; b2 делитель; б) нет; в) нет; г) 15a4b3 – 6a2b4 – частное; 2 – делитель; 3a2 – 1,2b – частное; 10a2b3 – делитель.

№ 539 а) (6x4y3 + 8x3y) · 7xy = 42x5y4 + 56x4y2; б) (21x2y3 + 28xy) · 2x3y = 42x5y4 + 56 x4y2; в) (4,2x4y2 + 5,6x3) · 10xy2 = 42x5y2 + 56x4y2; г) (10,5x2y3 + 14xy) · 4x3y = 42x5y4 + 56x4y2.

ГЛАВА 5. Разложение многочленов на множители § 19. Что такое разложение многочленов

на множители и зачем оно нужно

№ 540 а) x(x + 2) = 0; x = 0; x = – 2; б) y( y – 8) = 0; y = 0; y = 8; в) z(z + 1,6) = 0; z = 0; z = – 1,6;

г) t ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −

21t = 0; t = 0; t =

21 .

№ 541 а) (x + 1)(x + 4) = 0; x = – 1; x = – 4. Ответ: – 1; – 4. в) (y + 2)(y – 6) = 0; y = – 2; y = 6. Ответ: – 2; 6. б) (c – 12)(c + 25) = 0; c = 12; c = – 25. Ответ: 12; – 25. г) (d – 7)(d + 1,4) = 0. d = 7; d = – 1,4. Ответ: 7; – 1,4.

88

№ 542 а) (2x + 3)(3x – 6) = 0; б) (11b + 44)(13b + 26) = 0; 2x + 3 = 0; 3x – 6 = 0; 11b + 44 = 0; 13b + 26 = 0; 2x = – 3; 3x = 6; 11b = – 44; 13b = – 26; x = – 1,5; x = 2. b = – 4; b = – 2. Ответ: – 1,5; 2. Ответ: – 4; – 2. в) (4a – 8)(6a – 12) = 0; г) (25c – 125)(54c – 108) =0; 4a – 8 =0; 6a – 12 = 0; 25c – 125 = 0; 54c – 108 = 0; 4a = 8; 6a = 12; 25c = 125; 54c = 108; a = 2; a = 2. c = 5; c = 2. Ответ: 2. Ответ: 5; 2.

№ 543 а) m(m + 1)(m + 2) = 0; б) n(n – 3)(n – 8) = 0; m = 0; m + 1 =0; m + 2 =0; n = 0; n – 3 =0; n – 8 =0; m = – 1; m = – 2. n = 3; n = 8. Ответ: – 1; – 2. Ответ: 3; 8. в) p(p + 13)(p – 17) = 0; г) q(q – 21)(q – 105) = 0; p =0; p + 13 = 0; p – 17 = 0; q = 0; q – 21 = 0; q – 105 = 0; p = – 13; p = 17. q = 21; q = 105. Ответ: – 13; 17. Ответ: 21; 105.

№ 544 а) (4x + 12)(15x + 30)(17x + 34) = 0; 4x + 12 = 0; 15x + 30 = 0; 17x + 34 = 0; 4x = – 12; 15x = – 30; 17x = – 34; x = – 3; x = – 2; x = – 2. Ответ: – 3; – 2. б) (9y + 18)(12y – 48)(36y – 72) = 0; 9y + 18 = 0; 12y – 48 =0; 36y – 72 = 0; y = – 2; y = 4; y =2. Ответ: – 2; 4; 2. в) (23z – 46)(45z + 90)(3z + 24) = 0; 23z – 46 = 0; 45z + 90 = 0; 3z + 24 = 0; z = 2; z = – 2; z = – 8. Ответ: 2; – 2; – 8. г) (4t – 1)(8t – 3)(12t – 17) = 0; 4t – 1 = 0; 8t – 3 = 0; 12t – 17 = 0;

t = 14

; t = 38

; t = 1712

= 1 512

.

Ответ: 14

; 38

; 1 512

.

№ 545 а) x2 – x = 0; x(x – 1) =0; x = 0; x = 1. Ответ: 0; 1. б) 2x2 + 4x = 0; 2x(x + 2) = 0; x = 0; x = – 2. Ответ: 0; – 2.

в) 3x2 – 7x = 0; x(3x – 7) = 0; x = 0; x = 2 13

. Ответ: 0; 2 13

.

г) x2 =4x; x(x – 4) = 0; x = 0; x= 4. Ответ: 0; 4.

89

№ 546 а) x2 – 16 = 0; (x – 4)(x + 4) = 0; x = 4; x = – 4. Ответ: 4; – 4. б) y2 – 25 = 0; y – 5)(y + 5) = 0; y = 5; y = – 5. Ответ: 5; – 5. в) z2 – 36 = 0; (z – 6)(z + 6) = 0; z = 6; z = – 6. Ответ: 6; – 6. г) t2 – 100 = 0; (t – 10)(t + 10) = 0; t = 10; t = – 10. Ответ: 10; – 10.

№ 547 а) 532 – 432 = (53 – 43)(53 + 43) = 10 · 96 = 960; б) 1082 – 982 = (108 – 98)(108 + 98) = 10 · 206 = 2060;

в) 2 21 1 1 1 1 1 2 26 5 6 5 6 5 1 11 11

3 3 3 3 3 3 3 3⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎛ ⎞− = − + = ⋅ =⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠

;

г) 2 21 1 1 1 1 17 3 7 3 7 3

2 2 2 2 2 2⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎛ ⎞− = − +⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠

= 4 · 11 = 44.

№ 548 а) 0,25a2 – 9 = 0; б) 0,04b2 – 4 = 0; (0,5a – 3)(0,5 + 3) = 0; (0,2b – 2)(0,2b + 2) = 0; 0,5a – 3 = 0; 0,5a + 3 = 0; 0,2b – 2 = 0; 0,2b + 2 = 0; a = 6; a = – 6. b = 10; b = – 10. Ответ: 6; – 6. Ответ: 10, – 10. в) 4x2 – 144 = 0; г) 0,25y2 – 25 = 0; (2x – 12)(2x + 12) = 0; (0,5y – 5)(0,5y + 5) = 0; 2x – 12 = 0; 2x + 12 = 0; 0,5y – 5 = 0; 0,5y + 5 =0; x = 6; x = – 6. y = 10; y = – 10. Ответ: 6; – 6. Ответ: 10; – 10.

№ 549

а) ( )( )2 2

910 910 910 13 1137 123 137 123 14 260 14 26 4137 123

= = = =− + ⋅ ⋅−

;

б) ( )( )2 2 274 34 274 34274 34 240 308 308 77960 960 960 4

− +− ⋅= = = = ;

в) ( )( )2 2 324 36 324 36324 36 288 360 288 721440 1440 1440 4

− +− ⋅= = = = ;

г) ( )( )2 2 352 52 352 52352 52 300 404 300 150808 808 808 2

− +− ⋅= = = = .

№ 550

а) ( )( )( )( )

2 2 4

2 2 5144 18 144 18144 18 126 162 2 2 3 4 11153 90 153 90 63 243 3 3153 90 3

− +− ⋅ ⋅ ⋅= = = = =

− + ⋅−;

б) ( )( )( )( )

2 2

2 253 27 53 2753 27 24 80 6 8 4879 51 79 51 28 130 7 13 9179 51− +− ⋅ ⋅

= = = =− + ⋅ ⋅−

;

90

в) ( )( )( )( )

2 2

2 278 30 78 3078 30 48 108 4 108 108 6 1166 6 66 6 60 72 5 72 5 18 5 566 6− +− ⋅ ⋅

= = = = = =− + ⋅ ⋅ ⋅−

;

г) ( )( )( )( )

2 2

2 2101 31 101 31101 31 70 132 7 132 7 12 1139 29 139 29 110 168 11 168 168 2139 29

− +− ⋅ ⋅ ⋅= = = = =

− + ⋅ ⋅−

№ 551

а) ( )7,8 8,7 1,37,8 8,7 7,8 1,3 7,8 10100 100 100

+⋅ + ⋅ ⋅= = = 0,78;

б) ( )13,2 9,8 2,213,2 9,8 13,2 2,2 13,2 1224 24 24

+⋅ + ⋅ ⋅= = = 6,6;

в) ( )5,4 2,6 0,62,6 5,4 5,4 0,6 5,4 3,210,8 10,8 10,8

+⋅ + ⋅ ⋅= = = 1,6;

г) ( )4,5 3,1 2,14,5 3,1 4,5 2,1 4,5 5,20,1 0,1 0,1

+⋅ + ⋅ ⋅= = = 4,5 · 52 = 234.

§ 20. Вынесение общего множителя за скобки

№ 552 а) 1, 2, 2m; б) x, 2x, 4x; в) a, b, ab; г) z, 2z, 7z.

№ 553 а) (3x + 3y) = 3(x + y); б) (5a – 5b) = 5(a – b); в) 7a + 7y = 7(a + y); г) 8x – 8a = 8(x – a).

№ 554 а) 3x + 6y = 3(x + 2y); б) 5a – 15b = 5(a – 3b); в) 7a + 14y = 7(a + 2y); г) 8x – 32a = 8(x – 4a).

№ 555 а) 8x + 28y = 4(x + 3y); б) 15a – 25 b = 5(3a – 5b); в) 21a + 28y = 7(3a + 4y); г) 24x – 32a = 8(3x – 4a).

№ 556 а) 2,4x + 7,2y = 2,4(x + 3y); б) 1,8a – 2,4b = 0,6(3a – 4b); в) 0,01a + 0,03y = 0,01(a + 3y); г) 1,25x – 1,75a =0,25(5x – 7a).

№ 557

а) 31 x +

34 y =

31 (x + 4y); б)

98 a –

2716 b =

98 (a –

32 b);

в) 18 12 6 3 225 35 5 5 7

a y a y⎛ ⎞+ = +⎜ ⎟⎝ ⎠

; г) 1249

x – 328

y = 3 4 17 7 4

x y⎛ ⎞−⎜ ⎟⎝ ⎠

.

№ 558

а) 1 2 16 17 13 35 5 5 5 5

x y x y+ = + = (16x + 17y);

91

б) 2 1 30 15 154 17 14 7 14 14

a b a b− = − = (4a – b).

№ 559 а) 3b2 – 3b = 3b(b – 1); б) a4 + 2a2 = a2(a2 + 2); в) 4c2 – 12c5 = 4c2(1 – 3c3); г) 8d4 – 32d2 = 8d2(d2 – 4).

№ 560 а) x3 – 3x2 – x = x(x2 – 3x – 1); в) 2m6–4m3 + 6m = 2m(m5 – 2m3 + 3); б) y5 – 2y4 + y2 = y2(y3 – 2y2 + 1); г) 9p4 – 18p2 – 27p = 9p(p3 – 2p – 3).

№ 561 а) ab – a2b = ab(1 – a); б) – p2q2 – pq = – pq(pq + 1); в) x2y – xy2 = xy(x – y); г) m3n2 – n3m2 = n2m2(m – n).

№ 562 а) 2z5q2 – 4z3q + 6z2q3 = 2z2q(z3q – 2z + 3q3); б) xy3 + 5x2y2 – 3x2y = xy(y2 + 5xy – 3x); в) 7a4b3 – 14a3b4 + 21a2b5 = 7a2b3(a2 – 2ab + 3b2); г) 8x3y2 + 88x2y3 – 16x3y4 = 8x2y2(x + 11y – 2xy2).

№ 563 а) 15x3y2 + 10x2y – 20x2y3 = 5x2y(3xy + 2 – 4y2); б) 12a2b4 – 36a2b + 44abc = 4ab(3ab3 – 9a + 11c); в) 195c6p5 – 91c5p6 + 221c3p10 = 13c3p5(15c3 – 7c2p + 17p5); г) 42a4b – 48a3b2 – 78a2b3 = 6a2b(7a2 – 8ab – 13b2).

№ 564 а) 3x(a+b)+y(a+b)=(a +b)(3x + y); б) m(x – y) – (x – y) = (x – y)(m – 1); в) (c + 2) – d(c + 2) = (c + 2)(1 – d); г) 5p(r–s) + 6q(r – s) = (r – s)(5p +6q).

№ 565 а) 15c(a+b)+8(b+a)=(15c+8)(a + b); б) n(2a+1)+m(1+a) = (n +m)(2a + 1); в) 4a(x+y)–9b(y+x)=(4a–9b)(x+); г) 11p(c+8d)–9(8d+c)=(11p–9)(8d+c).

№ 566 а) a(b–c)+3(c–b)=(a – 3)(b – c); б) 6(m – n) + s(n – m) = (6 – s)(m – n); в) 4(p–q)–a(q–p)=(4+a)(p – q); г) 7z(x – y) – 5(y – x) = (7z + 5)(x – y).

№ 567 а) (x – y)2 – a(x – y) = (x –y)(x – y –a); б) 5(a + 3)2 – (a +3) = (a +3)(5(a +3) – 1) = (a +3)(5a + 14); в) 8c(m+n)2 + 9d(m + n) = (m + n)(8c(m + n) + 9d)=(m + n)(8mc + 8cn + 8); г) (p2 – 6) – q(p2 – 6) = (p2 – 6)(1 – q(p2 – 6)) = (p2 – 6)(1 – qp2 + 6q).

№ 568 а) x2 – 3x = 0; x(x – 3) = 0; x = 0; x = 3. Ответ: 0; 3. б) y2 – 5y = 0; y(y – 5) = 0; y = 0; y = 5. Ответ: 0; 5.

92

в) a2 + 10a = 0; a(a + 10) = 0; a = 0; a = – 10. Ответ: 0; – 10. г) b2 + 20b = 0; b(b + 20) = 0; b = 0; b = – 20. Ответ: 0; – 20.

№ 569 а) 0,45p2 + 18p = 0; б) 9m2 + 0,27m = 0;

920

p(p + 40) = 0; 0,27m 100 13

m⎛ ⎞+⎜ ⎟⎝ ⎠

= 0;

920

p = 0; p + 40 = 0; 0,27m = 0; 3

100 m + 1 = 0;

p =0; p = – 40. m = 0; m = – 0,03. Ответ: 0; – 40. Ответ: 0; – 0,03. в) 4q2 + 3q = 0; г) 7x2 + 2x = 0; q(4q + 3) = 0; x(7x + 2) = 0;

q = 0; q = – 34

. x = 0; x = – 27

.

Ответ: 0; – 34

. Ответ: 0; – 27

.

№ 570 а) 1542 + 154 · 46 = 154(154 + 46) = 154 · 200 = 308 · 100 = 30800; б) 0,23 + 0,22 · 0,8 = 0,22(0,2 + 0,8) = 0,22 = 0,04; в) 1672 – 167 · 67 = 167(167 – 67) = 167 · 100 = 16700; г) 0,93–0,81 · 0,29=0,81 · 0,9–0,81 · 2,9=0,81(0,9–2,9)=0,81 · (– 2) = – 1,62.

№ 571 а) a(2a–b)(a+b)–3a(a + b)2 = a(a + b)(2a – b – 3a – 3b) = – a(a + b)(a + 4b); б) 5x2(3x–8) + 10x(3x – 8)2 = 5x(3x – 8)(x + 6x – 16) = 5x(3x – 8)(7x – 16); в) 4c(4c – 1) – 3(4c – 1)2 = (4c – 1)(4c – 12c + 3) = (4c – 1)(3 – 8c); г) 6d2(2d–5)2–12d2(2d–5)(d+5)=6d2(2d–5)(2d–5 – 2d – 10) = – 90d2(2d – 5).

№ 572 а) 0,7562 – 0,241 · 0,756 – 0,415 · 0,756 = = 0,756(0,756 – 0,241 – 0,415) = 0,756 · 0,1 = 0,0756; б) 2,49 · 1,63–2,12 · 1,63 + 1,632 = 1,63(2,49 – 2,12 + 1,63)=1,63 · 2 = 3,26; в) 0,252 · 2,4 + 0,25 · 2,42 – 0,25 · 2,4 · 0,65 = = 0,25 · 2,4(0,25 + 2,4 – 0,65) = 0,25 · 2,4 · 2 = 0,5 · 2,4 = 1,2; г) 0,16 · 6,41 · 1,25 – 0,16 · 1,252 – 0,162 · 1,25 = = 0,16 · 1,25(6,41 – 1,25 – 0,16) = 0,16 · 1,25 · 5 = 1.

№ 573 а) 176 + 175 = 175(17 + 1) = 175 · 18; кратно 18; б) 428 + 427 = 427(42 + 1) = 427 · 43; кратно 43; в) 317 + 315 = 315(32 +1) = 315 · 10 = 314 · 30; кратно 30; г) 223 + 220 = 220(23 + 1) = 220 · 9 = 217 · 8 · 9 = 217 · 72; кратно 72.

93

№ 574 а) 87 – 218 = 87 – 86 = 86(8 – 1) = 4 · 2 · 85 · 7; кратно 4; б) 106 – 57 = 56 · 26 – 57 = 56(64 – 5) = 56 · 59; кратно 59; в) 97 + 312 = 97 + 96 = 96(9 + 1) = 95 · 90; кратно 90; г) 810 – 227 = 810 – 89 = 89 (8 – 1) = 88 · 4 · 14. кратно 14.

§ 21. Способ групировки № 575

а) 2x – x2 = x(2 – x); – 3ax + 2x2 = x(2x – 3a); 2ax2 – 3a2x = ax(2x – 3a); 4xy – 2x2y = 2xy(2 – x). Ответ: 2x – x2, 4xy – 2x2y; 2x2 – 3ax, 2ax2 – 3a2x. б) ab – 3b2 = b(a – 3b); a2 – 3ab = a(a – 3b); 5 + 10x = 5(1 + 2x); a + 2ax = a(1 + 2x). Ответ: ab – 3b2, a2 – 3ab; 5 + 10x, a + 2ax. в) n2 – nm = n(n – m); 6a2 – 9ab = 3a(2a – 3b); mn – n2 = n(m – n); 2ab – 3b2 = b(2a – 3b). Ответ: 6a2 – 9ab, 2ab – 3b2. г) 4x – 8 = 4(x – 2); x2 – 2x = x(x – 2); –5 – 15m = – 5(m + 3); 21mn + 7n = 7n(3m + 1). Ответ: 4x – 8, x2 – 2x.

№ 576 а) 2by – bz = b(2y – z); 4ax – az = a(4x – z); 2ay – az = a(2y – z); 4bx – bz = b(4x – z). Ответ: 2by – bz, 2ay – az; 4ax – az, 4bx – bz. б) 6ax – 3x = 3x(2a – 1); – 2a – 1; 3by – 3y = 3y(b – 1); c – cb = c(1 – b). Ответ: таких двучленов нет. в) a3 – 2a2 = a2(a – 2); 4ab – 2a2b = 2ab(2 – a); 5ac2 – 10ac = 5ac(c – 2); 3a – 6 = 3(a –2). Ответ: a3 – 2a2, 3a – 6. г) 3mn2 – 6m2n = 3mn(n – 2m); abn – 2abm = ab(n – 2m); a2x3 – 9a2x = a2x(x2 – 9); 9x2 – x4 = x2(9 – x2). Ответ: 3mn2 – 6m2n, abn – 2abm.

№ 577 а) 3a + 3 – na – n = 3(a + 1) – n(a +1) = (a + 1)(3 – n); б) 6mx – 2m + 9x – 3 = 2m(3x – 1) + 3(3x – 1) = (2m + 3)(3x – 1); в) ax – 3x – 4a + 12 = x(a – 3) – 4(a – 3) =(x – 4)(a – 3); г) 2mx – 3m – 4x + 6 = m(2x – 3) – 2(2x – 3) = (m – 2)(2x – 3).

№ 578 а) 7kn – 6k +14n – 12 = k(7n – 6) + 2(7n – 6) = (k + 2)(7n – 6); б) 5a2 – 5ax – 7a + 7x = 5a(a – x) – 7(a – x) = (5a – 7)(a – x);

94

в) 9m2 – 9mn – 5m + 5n = 9m(m – n) – 5(m – n) = (9m – n)(m – n); г) 6a2 – 2ab – 3ac + bc = 2a(3a – b) – c(3a – b) = (2a – c)(3a – b).

№ 579 а) 7c2 – c – c3 + 7 = c2(7 – c) + 7 – c = (c2 +1)(7 – c); б) x3 + 28 – 14x2 – 2x = x(x2 – 2) – 14(x2 – 2) = (x – 14)(x2 – 2); в) 2b3 – 6 – 4b2 + 3b = 2b2(b – 2) + 3(b – 2) = (2b3 + 3)(b – 2); г) x3 – 6 + 2x – 3x2 = x2(x – 3) + 2(x – 3) = (x2 + 2)(x – 3).

№ 580 а) 16ab2+5b2c+10c3+32ac2=16a(b2+2c2)+5c(b2+2c2) = (16a + 5c)(b2 + 2c2); б) 18a2+27ab + 14ac + 21bc = 9a(2a + 3b) + 7c(2a + 3b)=(9a+7c)(2a + 3b); в) 20n2 – 35a – 14an + 50n = 10n(2n + 5) – 7a(2n + 5) = (10n – 7a)(2n + 5); г) 2x2yz–15yz–3xz2+10xy2 = xz(2xy – 3z) + 5y(2xy – 3z) = (xz + 5y)(2xy – 3z).

№ 581 ax – 2a – 3x + 6 = x(a – 3) – 2(a – 3) = (x – 2)(a – 3); а) 4; б) 0; в) – 2,25; г) 0.

№ 582 2a + b + 2a2 + ab = (2a + b) + a(2a + b) = (2a + b)(a + 1); а) (– 2 + 998)(– 1 + 1) = 0; б) (91 – 3)(45,5 + 1) = 46,5 · 88 = 4092; в) (2 · 7,4 + (– 2))(7,4 + 1) = 12,8 · 8,4 = 107,52;

г) 21 83

⎛ ⎞− +⎜ ⎟⎝ ⎠

(– 0,5 + 1) = 7 23

· 0,5 = 23 1 533 2 6⋅ = .

№ 583 5ab – 7b + 5a2 – 7a = b(5a – 7) + a(5a – 7) = (a + b)(5a – 7); а) (0,2+1)(1 – 7) = 1,2 · (– 6) = – 7,2; б) (2,5–0,5)(12,5 – 7) = 2 · 5,5 = 11; в) (3,7 – 3,7)(5 · 3,7 – 7) = 0; г) ((1,4 + 11)(7 – 7) = 0.

№ 584 а) 40a3b2c + 21bc – 56ac2 – 15a2b3 = 8ac(5a2b2 – 7c) + 3b(7c – 5a2b2) = = (8ac – 3b)(5a2b2 – 7c); б) 16xy2–5y2z–10z3+32xz2 = 16x(y2 + 2z2) – 5z(y2 + 2z2)=(16x – 5z)(y2 + 2z2); в) 30x2 + 10c – 25cx – 12x = 5x(6x – 5c) + 2(5c – 6x) = (5x – 2)(6x – 5c); г) 18x2z – 10kxy + 20k2y – 36kxz = 18xz(x – 2k) – 10ky(x – 2k) = = (18xz – 10ky)(x – 2k) = 2(9xz – 5ky)(x – 2k).

№ 585 а) ax2–ay–bx2 + cy + by – cx2 = a(x2–y)–b(x2–y)– c(x2– y)=(x2 – y)(a – b – c); б) xy2–by2 – ax + ab + y2 – a = x(y2 – a) – b(y2 – a)+y2–a=(y2 – a)(x – b + 1); в) ax + bx + cx + ay + by + cy = (x + y)(a + b + c); г) ab – a2b2 + a3b3 – c + abc – ca2b2 = = ab(1 – ab +a2b2) – c(1 – ab + a2b2) = (ab – c)(1 – ab + a2b2).

95

№ 586 21a2b – 4b – 12a + 7ab2 = 7ab(3a + b) – 4(b + 3a) = (3a + b)(7ab – 4);

а) (– 1 + 2) 14 43

⎛ ⎞− −⎜ ⎟⎝ ⎠

= 14 12 26 21 83 3 3

− −⎛ ⎞⋅ = − = −⎜ ⎟⎝ ⎠

;

б) ( )112 4 47

⎛ ⎞+ −⎜ ⎟⎝ ⎠

=0;

в) 8 1 8 1 8 13 7 4 37 2 7 2 7 2

⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎛ ⎞⋅ + ⋅ ⋅ − = ⋅ + ⋅⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠⎝ ⎠ ⎝ ⎠

(4 – 4) = 0;

г) (– 2 + 3) 2 3 7 43

⎛ ⎞− ⋅ ⋅ −⎜ ⎟⎝ ⎠

= 1 · (– 14 – 4) = – 18.

№ 587 а) 2,7 · 6,2 – 9,3 · 1,2 + 6,2 · 9,3 – 1,2 · 2,7 = = 2,7(6,1 – 1,2) – 9,3(1,2 – 6,2) = (6,2 – 1,2)(2,7 + 9,3) = 12 · 5 = 60; б) 125 · 48 – 31 · 82 – 31 · 43 – 125 · 83 = 125(48 – 83) – 31(82 + 53) = = 125(48 – 83 – 31) = 125 · (– 66) = – 8250; в) 14,9 · 1,25 + 0,75 · 1,1 + 14,9 · 0,75 + 1,1 · 25 = = 14,9(1,25 + 0,75) + 1,1(25 + 0,75) = 14,9 · 2 + 1,1 · 25,72 = = 29,8 + 28,325 = 58,125;

г) ( )1 1 2 1 4 2 2 1 1 43 4 4,2 3 2 2,8 2,8 4,2 3 4 23 5 3 3 5 3 3 3 5 5

⎛ ⎞⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅ = + + + =⎜ ⎟⎝ ⎠

1 13 7 3 7 7 4 283 3

= ⋅ + ⋅ = ⋅ = .

№ 588 а) 109 · 9,17 – 5,37 · 72 – 37 · 9,17 + 1,2 · 72 = = 9,17(109 – 37) – 72(5,37 – 1,2) = 9,17 · 72 – 72 · 4,17 = 72 · 5 = 360; б) 19,9 · 18 – 19,9 · 16 + 30,1 · 18 – 30,1 · 16 = = (19,9 + 30,1)(18 – 16) = 50 · 2 = 100; в) 15,5 · 20,8 + 51,5 · 9,2 – 3,5 · 20,8 – 3,5 · 9,2 = = 15,5(20,8 + 9,2) – 3,5(20,8 + 9,2) = 30 · 12 = 360; г) 77,3 · 13 + 8 · 37,3 – 77,3 · 8 – 13 · 37,3 = = 13(77,3 – 37,3) + 8(37,3 – 77,3) = 40 · 5 = 200.

№ 589 а) x2 + 6x + 8 = x2 + 2x + 4x + 8 = x(x + 2) + 4(x + 2) = (x + 4)(x + 2); б) x2 – 8x + 15 = x2 – 3x – 5x + 15 = x(x – 3) – 5(x – 3) = (x – 5)(x – 3); в) x2 + 3x + 2 = x2 + x + 2x + 2 = x(x + 1) + 2(x + 1) = (x + 2)(x + 1); г) x2 – 5x + 6 = x2 – 2x – 3x + 6 = x(x – 2) – 3(x – 2) = (x – 2)(x – 3).

№ 590 а) a2 – 7a + 6 = a2 – a – 6a + 6 = a(a – 1) – 6(a – 1) = (a – 6)(a – 1); б) b2 + 9b – 10 = b2 – b + 10b – 10 = b(b – 1) + 10(b – 1) = (b – 1)(b + 10);

96

в) y2 – 10y + 24 = y2 – 4y – 6y + 24 = y(y – 4) – 6(y – 4) = (y – 6)(y – 4); г) z2 – 18z – 40 = z2 + 2z – 20z – 40 = z(z + 2) – 20(z + 2) = (z – 20)(z + 2).

№ 591 а) a2 + 8ab – 9b2 = a2 + ab – 9ab – 9b2 = a(a + b) – 9b(a+b)=(a – 9b)(a + b); б) a2 + 16ab + 55b2 = a2 + 5ab + 11ab + 55b2 = = a(a + 5b) + 11b(a + 5b) = (a +11b)(a + 5b); в) x2 + 4xy – 12y2 = x2 – 2xy + 6xy – 12y2 = = x(x – 2y) + 6y(x – 2y) = (x + 6y)(x – 6y); г) x2 + 16xy + 39y2 = x2 + 13xy + 3xy + 39xy2 = = x(x + 3y) + 13y(x + 3y) = (x + 13y)(x + 3y).

№ 592 а) x2 – 3x + 2 = 0; б) x2 + 8x + 15 = 0; x2 – x – 2x + 2 =0; x2 + 3x + 5x + 15 = 0; x(x – 2) – (x – 2) =0; x(x + 3) + 5(x + 3) = 0; (x – 1)(x – 2) =0; (x + 3)(x + 5) = 0; x = 1; x = – 3; x = 2. x = – 5. Ответ: 1; 2. Ответ: – 3; – 5. в) x2 – 6x + 8 =0; г) x2 – 3x – 4 = 0; x2 – 2x – 4x + 8 =0; x2 + x – 4x – 4 = 0; (x – 2)(x – 4) = 0; (x – 4)(x + 1) = 0; x = 2; x = 4; x = 4. x = – 1. Ответ: 2; 4. Ответ: 4; – 1.

№ 593 а) 2x2 – 5x + 2 = 0; б) 3x2 + 10x + 3 = 0; 2x2 – 4x – x + 2 = 0; 3x2 + 9x + x + 3 = 0; 2x(x – 2) – (x – 2) = 0; 3x(x + 3) + (x + 3) = 0; (2x – 1)(x – 2) = 0; (3x + 1)(x + 3) = 0;

x = 12

; x = 2. x = – 13

; x = – 3.

Ответ: 12

; 2. Ответ: – 13

; – 3.

в) 4x2 + 5x – 6 =0; г) 3x2 – x – 2 = 0; 4x2 + 8x – 3x – 6 = 0; 3x2 – 3x + 2x – 2 = 0; 4x(x + 2) – 3(x + 2) = 0; 3x(x – 1) + 2(x – 1) = 0; (4x – 3)(x + 2) = 0; (3x + 2)(x – 1) = 0;

x = 34

; x = – 2. x = – 23

; x = 1.

Ответ: 34

; – 2. Ответ: – 23

; 1.

97

§ 22. Разложение многочлена на множители с помощью формул сокращенного умножения

№ 594 а) 4z2 = 2z · 2z = (2z)2; 9b4 = 3b2 · 3b2 = (3b2)2; 25m2 = 5m · 5m = (5m)2; 64p2 = 8p · 8p = (8p)2; б) 16a2b4 = (4ab2)2; 81x6y4 = (9x3y2)2; 49s2t8 = (7st4)2; 25k2t10 = (5kt5)2;

в) 1625

p2s4t2 = 2

245

ps t⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

; 916

m4n12 = 2

2 634

m n⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

;

449

a2b12 = 2

629

ab⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

; 2581

x4y8z16 = 2

2 4 859

x y z⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

;

г) 0,01a4b8 = (0,1a2b4)2; 0,04x6y6 = (0,2x3y3)2; 0,49k2L10 = (0,7k4L5)2; 1,21m6n4 = (1,1m3n2)2.

№ 595 а) 4 – 36a2 = 22 – (6a)2 = (2 – 6a)(2 + 6a); б) 100 – 49b2 = 102 – (7b)2 = (10 – 7b)(10 + 7b); в) 400 – 121c2 = 202 – (11c)2 = (20 – 11c)(20 + 11c); г) 225 – 144d2 = 152 – (12d)2 =(15 – 12d)(15 + 12d).

№ 596 а) a2 – 9b2 = (a – 3b)(a + 3b); б) c2 – 16d2 = (c – 4d)(c + 4d); в) m2 – 64n2 = (m – 8n)(m + 8n); г) p2 – 100q2 = (p – 10q)(p + 10q).

№ 597 а) 59x2–121a2=(7x – 11a)(7x + 11a); б) 64p2 – 81q2 = (8p – 9q)(8p + 9q); в) 9m2 – 16n2 = (3m – 4n)(3m + 4n); г) 144y2–81r2 = (12y – 9r)(12y + 9r).

№ 598 а) x2y2–1=(xy)2–12 = (xy – 1)(xy + 1); б) c2d2–4=(cd)2–22=(cd – 2)(cd + 2); в) m2n2 – 25 = (mn)2 – 52 = (mn – 5)(mn + 5); г) p2q2 – 100 = (pq)2 – 102 = (pq – 10)(pq + 10).

№ 599 а) 25 – 36p2c2 = 52 – (6pc)2 = (5 – 6pc)(5 + 6pc); б) 100m2n2 – 81 = (10mn)2 – 92 = (10mn – 9)(10mn + 9); в) 49x2y2 – 400 = (7xy)2 – 202 = (7xy – 20)(7xy + 20); г) 225 – 144c2d2 = 152 – (12cd)2 = (15 – 12cd)(15 + 12cd).

№ 600 а) c2d2 – m2 = (cd)2 – m2 = (cd – m)(cd + m); б) a2x2 – 0,25p2q2 =(ax)2 – (0,5pq)2 = (ax – 0,5pq)(ax + 0,5pq); в) 16y2z2 – 4a2n2 = (4yz)2 – (2an)2 = (4yz – 2an)(4yz + 2an); г) x2y2 – 0,25p2q2 = (xy)2 – (0,5pq)2 = (xy – 0,5pq)(xy + 0,5pq).

98

№ 601 а) 144a4 – 625c2 = (12a2)2 – (25c)2 = (12a2 – 25c)(12a2 + 25c);

б) 25p10 – 19

q12 = (5p5)2 – 2

6 5 6 5 61 1 15 53 3 3

q p q p q⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎛ ⎞= − +⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠

;

в) 169x8 – 400y16 = (13x4 )2 – (20y8)2 = (13x4 – 20y8)(13x4 + 20y8);

г) 4b16 – 116

d4 = (2b8)2 – 2

2 8 2 8 21 1 12 24 4 4

d b d b d⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎛ ⎞= − −⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠

.

№ 602 а) x2 – 49 = 0; б) y2 – 100 = 0; (x – 7)(x + 7) = 0; (y – 10)(y + 10) = 0; x – 7 = 0; x + 7 = 0; y – 10 = 0; y + 10 = 0; x = 7; x = – 7. y = 10; y = – 10. Ответ: 7; – 7. Ответ: 10; – 10. в) z2 – 625 = 0; г) t2 – 1 = 0; (z – 25)(z + 25) = 0; ( t – 1)(t + 1) = 0; z – 25 = 0; z + 25 = 0; t – 1 = 0; t + 1 = 0; z = 25; z = – 25. t = 1; t = – 1. Ответ: 25; – 25. Ответ: 1; – 1.

№ 603 а) 4x2 – 1 = 0; б) 25y2 – 49 = 0; (2x – 1)(2x + 1) = 0; (5y – 7)(5y + 7) = 0; 2x – 1 = 0; 2x + 1 = 0; 5y – 7 = 0; 5y + 7 = 0;

x = 12

; x = – 12

. y = 57

; y = – 57

.

Ответ: 12

;– 12

. Ответ: 57

; – 57

.

в) 26a2 – 25 = 0; г) 144z2 – 1 = 0; (6a – 5)(6a + 5) = 0; (12z – 1)(12z + 1) = 0; 6a = 5; 6a = – 5; 12z = 1; 12z = – 1;

a = 1,2; a = – 1,2. z = 112

; z = – 112

.

Ответ: 1,2; – 1,2. Ответ: 112

; – 112

.

№ 604 а) a + b; a2 – ab + b2; б) m2 + 2n2; m4 – 2m2n2 + 4n4 в) 2c + 3d; 2c2 – 6cd + 9d2; г) 3p + 4q2; 9p2 – 12pq2 + 16q4.

№ 605 а) k –L; k2 + kL + L2; б) 5a2 – b2; 25a4 + 5a2b2 + b4; в) 3p – 2m; 9p2 + 6pm + 4m2; г) 4s – 3t2; 16s2 + 125t2 + 9t4.

99

№ 606 а) a3b3 = (ab)3, x6y9 = (x2y3)3, 8m3n9 = (2mn3)3, 125k9t27 = (5k3t9)3;

б) 164

p9 = 31

4p⎛ ⎞

⎜ ⎟⎝ ⎠

, 27125

s18 = 3

635

s⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

; 1343

m12 = 417

m⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

, 24125216

a =3

856

a⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

в) 0,064a3b3 = (0,4ab)3, 0,125x9y3 = (0,5x3y)3, 0,216m3n18 = (0,6mn6)3, 0,008p9q12 = (0,2p3q4)3; г) 125x3y6z9 =(5xy2z3)3, 216a12b36c24 = (6a4b12c8)3, 8m6n3p12 = (2m2np4)3, 0,343k9L18p15 = (0,7k3L6p5)3.

№ 607 а) a3 + 8 = a3 + 23 = (a + 2)(a2 – 2a + 4); б) b3 – 27 = b3 – 33 = (b – 3)(b2 + 3b + 9); в) c3 – 64 = c3 – 43 = (c – 4)(c2 + 4c + 16); г) d3 + 125 = d3 + 53 = (d + 5)(d2 – 5d + 25).

№ 608 а) 216 – m3 = 63 – m3 = (6 – m)(36 + 6m + m2); б) 1000 + m3 = 103 + m3 = (10 + m)(100 – 10m + m2); в) 729 + p3 = 93 + p3 = (9 + p)(81 – 9p + p2); г) 343 – q3 = 73 – q3 = (7 – q)(49 + 7q + q2).

№ 609 а) 64a3 + 1 = (4a + 1)(16a2 – 4a + 1); б) 27d3 – 8=(3d – 2)(9d2 + 6d + 4); в) 512b3 – 125 = (8b – 5)(64b2 + 40b + 25); г) 216c3 + 1000 = (6c + 10)(36c2 – 60c + 100).

№ 610 а) a3b3–1=(ab – 1)(a2b2 + ab + 1); б) 8 + c3d3 = (2 + cd)(4 – 2cd + c2d2); в) m3n3–27=(mn–3)(m2n2+3mn+9); г) p3q3+64=(pq + 64)(p2q2 – 4pq + 16).

№ 611 а) a2 – 2ab + b2 = (a – b)2; б) x2 + 2xy + y2 = (x + y)2; в) z2 + 2zt + t2 = (z + t)2; г) m2 – 2mn + n2 = (m – n)2.

№ 612 а) m2 + 4m + 4 = m2 + 2 · 2m + 22 = (m + 2)2; б) a2 – 12a + 36 = a2 – 2 · 6a + 62 = (a – 6)2; в) 1 – 2b + b2 = (1 – b)2; г) y2 + 18y + 81 = y + 2 · 9y + 92 = (y + 9)2.

№ 613 а) p2 + 10p + 25 = p2 + 2 · 5p + 52 = (p + 5)2; б) x2 – 14x + 49 = x2 – 2 · 7x + 72 = (x – 7)2; в) 225 – 30y + y2 = 152 – 2 · 15y + y2 = (15 – y)2; г) 64 + 16z + z2 = 82 + 2 · 8z + z2 = (z + 8)2.

100

№ 614 а) 4y2 – 12y + 9 = (2y)2 – 2 · 3 · 2y + 32 = (2y – 3)2; б) 9p2 + 48pq + 64q2 = (3p)2 + 2 · 3p · 8q + (8q)2 = (3p + 8q)2; в) 9m2 + 24m + 16 = (3m)2 + 2 · 4 · 3m + 42 = (3m + 4)2; г) 9a2 – 30a + 25 = (3a)2 – 2 · 5 · 3a + 52 = (3a – 5)2.

№ 615 а) 9x2 + 24xy + 26y2 = (3x)2 + 2 · 3x · 4y + (4y)2 = (3x + 4y)2; б) 36a2 – 84ab + 49b2 = (6a)2 – 2 · 6a · 7b + (7b)2 = (6a – 7b)2; в) 4m2 – 28mn + 49n2 = (2m)2 – 2 · 2m · 7n + (7n)2 = (2m – 7n)2; г) 0,25x2 + 3xy + 9y2 = (0,5x)2 + 2 · 0,5x · 3y + (3y)2.

№ 616 а) a2 – 10a + 25 = (a – 5)2 – неотрицательное; б) 49 + 14a + a2 = (a + 7)2 – неотрицательное; в) – a2 – 4a – 4 = – 1 · (a2 + 4a + 4) = – (a + 2)2 – неположительное; г) – a2 – 12a – 36 = – 1 · (a2 + 12a + 36) = – (a + 6)2 – неположительное.

№ 617 а) 342 + 2 · 34 · 36 + 362 = (34 + 36)2 = 702 = 4900; б) 272 – 2 · 27 · 13 + 132 = (27 – 13)2 = 142 = 196; в) 982 – 2 · 98 · 8 + 82 = (98 – 8)2 = 902 = 8100; г) 76,4 + 13,6 + 2 · 76,4 · 13,6 = (76,4 + 13,6)2 = 902 = 8100.

№ 618 а) 2572 – 1432 = (257 – 143)(257 + 143) = 114 · 400 = 45600; б) 73,62 – 26,42 = (73,6 – 26,4)(73,6 + 26,4) = 37,2 · 100 = 3720; в) 1652 – 652 = (165 – 65)(165 + 65) = 100 · 230 = 23000; г) 72,52 – 47,52 = (72,5 – 47,5)(72,5 + 47,5) = 25 · 120 = 3000.

№ 619 а) (x + 1)2 – 25 = (x + 1 – 5)(x + 1 + 5) = (x – 4)(x + 6); б) (y – 2)2 – 4 = (y – 2 – 2)(y – 2 + 2) = y(y – 4); в) (z + 10)2 – 100 = (z + 10 – 10)(z + 10 + 10) = z(z + 20); г) (t – 7)2 – 100 = (t – 7 – 10)(t – 7 + 10)= (t – 17)(t + 3).

№ 620 а) 49 – (m – 3)2 = (7 – m + 3)(7 + m – 3) = (m + 4)(10 – m); б) 400 – (a + 9)2 = (20 – a – 9)(20 + a + 9) = (11 – a)(29 + a); в) 625 – (n + 12)2 = (25 – n – 12)(25 + n + 12) = (13 – n)(37 + n); г) 121 – (b – 13)2 = (11 – b + 13)(11 + b – 13) = (24 – b)(b – 2).

№ 621 а) (a+4)2–(b+2)2=(a + 4 – b – 2)(a + 4 + b + 2) = (a – b + 2)(a + b + 6); б) (x–5)2–(y + 8)2 = (x – 5 – y – 8)(x – 5 + y + 8) = (x – y – 13)(x + y +3); в) (m+10)2–(n–12)2 = (m+10–n+12)(m+10+n – 12)=(m – n + 22)(m + n – 2); г) (c–1)2–(d – 23)2 = (c – 1 – d + 23)(c – 1+ d – 23) =(c – d + 22)(c + d – 24).

101

№ 622 а) (3x+1)2–(4x + 3)2 = (3x + 1 – 4x – 3)(3x + 1 + 4x + 3) = – (x + 2)(7x + 4); б) (6y – 7)2–(9y + 4)2=(6y – 7 – 9y – 4)(6y – 7 + 9y +4)=(– 3y – 11)(15y – 3); в) (15z + 4)2 – (3z – 2)2 = (15z + 4 – 3z + 2)(15z + 4 + 3z – 2) = = (12z + 6)(18z + 2) = 12(2z + 1)(3z + 2); г) (3t – 9)2 – (8t – 7)2 = (13t – 9 – 8t + 7)(13t – 9 +8t – 7)=(5t – 2)(21t – 16).

№ 623

а) 21 116 25

a − = 0; 1 1 1 14 5 4 5

a a⎛ ⎞⎛ ⎞− +⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠⎝ ⎠

= 0; 1 14 5

a = ; 1 14 5

a = − ;

a = 45

; a = 45

− . Ответ: 45

; 45

− .

б) 24 1649 121

b − = 0; 2 4 2 47 11 7 11

b b⎛ ⎞⎛ ⎞− +⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠⎝ ⎠

= 0; 2 47 11

b = ; 2 47 11

b = −

b = 1 311

; b = – 1 311

. Ответ: 1 311

; – 1 311

.

в) 29 8116 100

c − = 0; 3 9 3 94 10 4 10

c c⎛ ⎞⎛ ⎞− +⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠⎝ ⎠

= 0; 3 94 10

c = ; 3 94 10

c = − ;

c = 1 15

; c = – 1 15

. Ответ: 1 15

; – 1 15

.

г) 361225

d2 – 64441

= 0; 6 8 6 835 21 35 21

d d⎛ ⎞⎛ ⎞− +⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠⎝ ⎠

= 0;

6 835 21

d = ; 6 835 21

d = − ; d = 2 29

; d = – 2 29

. Ответ: 2 29

; – 2 29

.

№ 624 а) (2x – 5)2 – 36 =0; б) (4 – 11y)2 – 1= 0; (2x – 41)(2x + 31) = 0; (3 – 11y)(5 – 11y) = 0; 2x = 41; 2x = – 31; 11y = 3; 11y = 5;

x = 2021 ; x = – 15

21 . y =

113 ; y =

115 .

Ответ: 2021 ; – 15

21 . Ответ:

113 ;

115 .

в) (5z – 3)2 – 9z2 = 0; г) (4t – 3)2 – 25t2 = 0; (2z – 3)(14z – 3) = 0; (– t – 3)(9t – 3) = 0; 2z = 3; 14z = 3; – t = 3; 9t = 3;

z = 121 ; z =

143 . t = – 3; t =

31 .

Ответ: 1; 143 . Ответ: – 3;

31 .

102

№ 625 а) (a + 1)2 – (2a + 3)2 = 0; б) (3b – 2)2 – (b + 1)2 = 0; (– a – 2)(3a + 4) = 0; (2b – 3)(4b – 1) = 0; a = – 2; 2b = 3; 3a = – 4; 4b = 1;

a = – 131 . b = 1

21 ;

b = 41 .

Ответ: – 2; – 131 . Ответ: 1

21 ;

41 .

в) (5c + 8)2 – (c – 10)2 = 0; г) (7d – 13)2 – (9d – 25)2 = 0; (4c + 18)(6c – 2) = 0; (– 2d + 12)(16d – 38) = 0; 4c = – 18; 2d = 12; 6c = 2; 16d = 38;

c = – 421 ; d = 6;

c = 3. d =283 .

Ответ: – 421 ; 3. Ответ: 6; 2

83 .

№ 626

а) 3 3 2 21 8 1 2 1 1 48 27 2 3 4 3 9

a b a b a ab b⎛ ⎞⎛ ⎞− = − + +⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠⎝ ⎠

;

б) 3 3 2 264 729 8 9 64 36 81343 1000 7 10 49 35 100

c d c d c cd d⎛ ⎞⎛ ⎞+ = + − +⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠⎝ ⎠

;

в) 3 3 2 2125 216 5 6 25 15 36512 343 8 7 64 28 49

x y x y x xy y⎛ ⎞⎛ ⎞− = − + +⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠⎝ ⎠

;

г) 3 3 2 21 125 1 5 1 5 25729 216 9 6 81 54 36

m n m n m mn n⎛ ⎞⎛ ⎞+ = + − +⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠⎝ ⎠

.

№ 627 а) a6 – 8 = (a2)3 – 23 = (a2 – 2)(a4 + 2a2 + 4); б) 27 + b9 = 33 + (b3)3 = (3 + b3)(9 – 3b3 + b6);

в) ( )2 36 2 2 2 41 1 1 1 1

8 2 2 4 2x x x x x⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎛ ⎞− = − = − + +⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟

⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠;

г) – 641 – x6 = 6 2 2 41 1 1 1

64 4 16 4y y y y⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎛ ⎞− + = − − − +⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟

⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠.

103

№ 628 а) x3y3 – c3 = (xy)3 – c3 = (xy – c)(x2y2 + xyc + c2); б) a3 + m3n9 = a3 + (mn3)3 = (a + mn3)(a2 – amn3 + m2n6); в) m6n3 – p12 = (m2n)3 – (p4)3 = (m2n – p4)(m4n2 + m2np4 + p8); г) q3 + c15d18 = q3 + (c5d6)3 = (q + c5d6)(q2 – qc5d6 + c10d12).

№ 629

а) ( )3 36 9 2 3 2 3 4 2 3 61 1 1 1 1

8 2 2 4 2a b a b a b a a b b⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎛ ⎞− = − = − + +⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟

⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠;

б) 278 a3 + x9 =

323

a⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

+ (x3)3 = 3 2 3 62 4 23 9 3

a x a ax x⎛ ⎞⎛ ⎞+ − +⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠⎝ ⎠

;

в) ( )3 33 6 2 2 2 2 41 1 1 1 1

125 5 5 25 5x y x y x y x xy y⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎛ ⎞+ = + = + − +⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟

⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠;

г) 3 6

3 664 343 4 7729 1000 9 10

m n m n⎛ ⎞ ⎛ ⎞− = − =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

2 2 2 44 7 16 14 499 10 81 45 100

m n m mn n⎛ ⎞⎛ ⎞− + +⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠⎝ ⎠

.

№ 630 а)(2с + 1)3 – 64 = (2c + 1)3 – 43 =(2c + 1 – 4)((2c + 1)2 + 4(2c + 1)+42) = = (2c – 3)(4c2 + 4c + 1 + 8c + 4 + 16) = (2c – 3)(4c2 + 12c + 21); б) (3p – 4)3 + 1 = (3p – 4 + 1)((3p – 4)2 – 3p + 4 + 1) = = (3p – 3)(9p2 – 24p + 16 – 3p + 4 + 1) = 3(p – 1)(9p2 – 27p + 21) = = 9(p – 1)(3p2 – 9p + 7); в) 8 – (3 – k)3 = (k – 1)(4 + 6 – 2k + 9 – 6k + k2) = (k – 1)(k2 – 8k + 19); г) (5a + 4)3 – 27 = (5a + 1)(25a2 + 40a + 16 + 15a + 12 + 9) = = (5a + 1)(25a2 + 55a + 37).

№ 631 а) (6b + 8)3 – 125 = (6b + 8 – 5)((6b + 8)2 + 5(6b + 8) + 25) = = 9(2b + 1)(12b2 + 42b + 43); б) 1000 + (3q + 12)3 = (3q + 12)(100 – 10(3q + 12) + (3q + 12)2) = = (3q + 12)(100 – 30q – 120 + 9q2 + 72q + 144) =3(q + 4)(9q2 + 42q + 124); в) 8x3–(5x–3)3=(2x–5x+3)((2x)2 + 2x(5x – 3) + (5x–3)2)=– 3(x–1)(4x2+10x2 – – 6x + 25x2 – 30x + 9) = – 9(x – 1)(13x2 – 12x + 3); г)(3x + 2y)3 + 729y3 = (3x + 2y + 9y)((3x + 2y)2 – 9y(3x + 2y) + 81y2) = = (3x+11y)(9x2+12xy+4y3–27xy–18y2+81y2)= (3x + 11y)(9x2 – 15xy + 67y2).

№ 632

а) 2 2 2

2 29 16 3 4 3 42 216 9 4 3 4 3

a ab b a ab b a b⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞− + = − + = −⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

;

б) 2 2

6 2 4 4 2 6 2 2 2 2 2 29 25 3 525 36 5 6

a b a b a b a b a a b b⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎜ ⎟+ + = + +⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠

=a2b2

22 23 5

5 6a b⎛ ⎞+⎜ ⎟

⎝ ⎠ ;

104

в) b8 + a2b4 + 41 a4 =(b4)2 + a2b4 +

2 22 4 21 1

2 2a b a⎛ ⎞ ⎛ ⎞= +⎜ ⎟ ⎜ ⎟

⎝ ⎠ ⎝ ⎠;

г) 0,01x4 + y2 – 0,2x2y = (0,1x2)2 – 0,2x2y + y2 = (0,1x2 – y)2. № 633

а) 513 – 263 = (51 – 26)(512 + 51 · 26 + 262) = 25 · (512 + 51 · 26 + 262) 25 – это сомножитель, значит, выражение делится на 25; б) 433 + 173 = (43 + 17)(432 – 43 · 17 + 172) = 60(432 – 43 · 17 + 172) 60 – это сомножитель, значит, выражение делится на 60; в) 543 – 143 = (54 – 14)(542 – 54 · 14 + 142) = 40(542 – 54 · 14 + 142) 40 – это сомножитель, значит, выражение делится на 40; г) 383 + 373 = (38 + 37)(382 – 38 · 37 + 372) = 75(382 – 38 · 37 + 372) 75 – это сомножитель, значит, выражение делится на 75.

№ 634 а) (532+222–472–162) : (652 – 2 · 65 · 59 + 592) = (532 – 472 + 222 – 162) : : (65 – 59)2 = ((53 – 47)(53 + 47) + (22 – 16)(22 + 16)) : 62 = = (100 · 6 + 38 · 6) : 36 = 6 · (100 + 38) : 36 = 138 : 6 = 23;

б) 3 359 4118− + 59 · 41 = (59 – 41)(592 + 59 · 41 + 412) : 18 + 59 · 41 =

592 + 2 · 59 · 41 + 412 = (59 + 41)2 = 1002 = 10000; в) (1092 – 2 · 109 · 61 + 612) : (792 + 732 – 492 – 552) = = (109 – 61)2 : ((79 – 49)(79 + 49) + (73 – 55)(73 + 55)) =

= 482 : (30 · 128 + 18 · 128) = 482 : (128· (30 + 18)) = 48 : 128 = 83 ;

г) 3 367 52119+ – 67 · 52 = (67 + 52)(672 – 67 · 52 + 522) : 119 – 67 · 52 =

= 672 – 2 · 67 · 52 + 522 = (67 – 52)2 = 152 = 225. № 635

а)3 397 53 97 5344

⎛ ⎞−+ ⋅⎜ ⎟⎜ ⎟

⎝ ⎠: (152,52 – 27,52) = =

( )( )2 297 53 97 97 53 53

44

⎛ ⎞− + ⋅ +⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

:

: ((152,5–27,5)(152,5+27,5)) = (972 +2 · 97 · 53 + 532) : (125 · 180) = = (97 + 53)2 : 22500 = 1502 : 22500 = 1;

б) (36,52 – 27,52) : 3 357 33 57 3390

⎛ ⎞+− ⋅⎜ ⎟⎜ ⎟

⎝ ⎠=

= ((36,5–27,5)(36,5+27,5)) ( )( )2 257 33 57 57 33 33

57 3390

⎛ ⎞+ − ⋅ +⎜ ⎟− ⋅⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

=

= (9 · 64) : (572 – 2 · 57 · 33 + 332) = 576 : (57 – 33)2 = 1;

105

в) 3 379 41 79 4138

⎛ ⎞−+ ⋅⎜ ⎟⎜ ⎟

⎝ ⎠: (133,52 – 58,52) =

( )( )2 279 41 79 79 41 4179 41

38

⎛ ⎞− + ⋅ +⎜ ⎟+ ⋅⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

· (133,5–58,5)(133,5+ 58,5) = (79 + 41)2 : (75 · 192) = 1202 : 14400 = 1;

г) (94,52 – 30,52) : 3 369 29 69 2998

⎛ ⎞+− ⋅⎜ ⎟⎜ ⎟

⎝ ⎠=

= (94,5 – 30,5)(94,5 + 30,5) 2 2(69 29)(69 69 · 29 29 ) 69 · 29

98

⎛ ⎞+ − +⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

=

= 64 · 125 : (69 – 29)2 = 8000 : 1600 = 5. № 636

а) a2 + ∗ + b2 = (a + b)2; (a + b)2 = a2 + 2ab + b2; ∗ = 2ab; б) b2 + 20ab + ∗ = (b + 10)2; (b + 10)2 = b2 + 20ab + 100; ∗ = 100; в) ∗ – 56a + 49 = (4a – 7)2; (4a – 7)2 = 16a2 – 56a + 49; ∗ = 16a; г) ∗1 – 12c + ∗2 = (3c – 2)2; (3c – 2)2 = 9c2 – 12c + 4; ∗1 = 9c2, ∗2 = 4.

№ 637 а) b2 – 20b + ∗1 = (∗2 – 10)2; (∗2–10)2=∗2

2 – 2 · ∗2 · 10 + 100; ∗1=100, ∗2=b; б) ∗1 – 42pq+49q2 = (3p – ∗2)2; (3p–∗2)2=9p2–2 · ∗2 · 3p+∗2

2; ∗1=9p2, ∗2=7q;

в) 25a2 + ∗1 + 41 b2 = (∗2 +

21 b)2;

(∗2 + 21 b)2 = ∗2

2 + ∗2b + 41 b2; ∗2 = 5a, ∗1 = ∗2 · b = 5ab;

г) 0,01b2 + ∗1 + 100c2 = (0,1b + ∗2)2; (0,1b + ∗2)2 = 0,01b2 – 0,2b · ∗2 + ∗22;

∗2 = 10c, ∗1 = ∗2 · 0,2b = 10c · 0,2b = 2bc. № 638

а) ∗1 + 56ab + 49b2 = (4a + ∗2)2; (4a + ∗2)2 = 16a2 + 2 · ∗2 · 4a + ∗2

2; ∗1 = 16a2, ∗2 = 7b; б) 225x2 – ∗1 + 64y2 = (15x – ∗2)2; (15x – ∗2)2 = 225x2 – 2 · 15x · ∗2 + ∗2

2; ∗2 = 8y, ∗1 = 30x · ∗2 = 30x · 8y = 240xy; в) ∗1 + 96xy + 36y2 = (8x + ∗2)2; (8x + ∗2)2 = 64x2 + 16x · ∗2 + ∗2

2; ∗1 = 64x2, ∗2 = 6y; г) 100a2 + ∗1 + 49b2 = (10a + ∗2)2; (10a + ∗2)2 = 100a2 + 20a · ∗2 + ∗2

2; ∗2 = 7b, ∗1 = 140ab. № 639

а) m2 + 40m + ∗1 = (∗2 + 20)2; (∗2 + 20)2 = ∗2

2 + 2 · 20 · ∗2 + 400; ∗1 = 400, ∗2 = m; б) ∗1 – 70pq + ∗2 = (7p – ∗3)2; (7p – ∗3)2 = 49p2 – 2 · 7p · ∗3 + ∗3

2;

106

∗1 = 49p2, ∗3 = ppq

1470 = 5q, ∗2 = 25q2;

в) ∗1 + 42ac + 49c2 = (∗2 + ∗3)2;

∗3 = 7c, 2 · ∗2 · ∗3 = 42ac, ∗2 = cac

721 = 3a, ∗1 = ∗2

2 = 9a2;

г) 25z2 – ∗1 + ∗2 = (∗3 – 8t)2; ∗2 = (8t)2 = 64t2, ∗3 = 5z, ∗1 = 5z · 8t · 2 = 80zt.

§ 23. Разложение многочлена на множители с помощью комбинаций различных приемов

№ 640 а) 5x2 – 5 = 5(x2 – 1) = 5(x – 1)(x + 1); б) 10x2 – 10y2 = 10(x2 – y2) = 10(x – y)(x + y); в) 3a2 – 12 = 3(a2 – 4) = 3(a – 2)(a + 2); г) 9b3 – b = b(9b2 – 1) = b(3b – 1)(3b + 1).

№ 641 а) 9x2 – 81x = 9x(x – 9); б) y3 – 100y = y(y2 – 100) = y(y – 10)(y + 10); в) 64a – a3 = a(64 – a2) = a(8 – a)(8 + a); г) b3 – 144b = b(b2 – 122) = b(b – 12)(b + 12).

№ 642 а) c3 – 25c = c(c2 – 25) = c(c – 5)(c + 5); б) 50m – 2n2m = 2m(25 – n2) = 2m(5 – n)(5 + n); в) 0,04s – sa2 = s(0,04 – a2) = s(0,2 – a)(0,2 + a);

г) 2 3 2 216 16 4 449 49 7 7

p q q q p q q p q p q⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎛ ⎞− = − = − +⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠

.

№ 643 а) 5a2 + 10ab + 5b2 = 5(a2 + 2ab + b2) = 5(a + b)2; б) 2x2 + 4xy + 2y2 = 2(x2 + 2xy + y2) = 2(x + y)2; в) 3m2 + 3n2 – 6mn = 3(m2 – 2mn + n2) = 3(m – n)2; г) 8n2 – 16n + 8 = 8(n2 – 2n + 1) = 8(n – 1)2.

№ 644 а) –3x2 + 12x – 12 = –3(x2 – 4x + 4) = –3(x – 2)2; б) –2a2 + 20ab – 50b2 = –2(a2 – 10ab + 25b2) = –2(a – 5b)2; в) –5p2 – 10pq – 5q2 = –5(p2 + 2pq + q2) = –5(p + q)2; г) –12z3 – 12z2 – 3z = –3z(4z2 + 4z + 1) = –3z(2z + 1)2.

№ 645 а) a4 – 16 = (a2)2 – 42 = (a2 – 4)(a2 + 4) = (a – 2)(a + 2)(a2 + 4); б) b4 – 81 = (b2 – 9)(b2 + 9) = (b – 3)(b + 3)(b2 + 81);

107

в) y8–1=(y4 – 1)(y4 + 1) = (y2 – 1)(y2 + 1)(y4 + 1)=(y–1)(y+1)(y2 + 1)(y4 + 1); г) x4 – z4 = (x2 – z2)(x2 + z2) = (x – z)(x + z)(x2 + z2).

№ 646 а) 4m3 – 4n3 = 4(m3 – n3) = 4(m – n)(m2 + mn + n2); б) 13a3 + 13b3 = 13(a3 + b3) = 13(a + b)(a2 – ab + b2); в) 15c3 + 15d3 = 15(c3 + d3) = 15(c + d)(c2 – cd + d2); г) 21s3 – 21t3 = 21(s3 – t3) = 21(s – t)(s2 + st + t2).

№ 647 а) 6x5y – 24xy3 = 6xy(x4 – 4y2) = 6xy(x2 – 2y)(x2 + 2y); б) 3a4b2 + 24ab5 = 3ab2(a3 + 8b3) = 3ab(a + 2b)(a2 – 2ab + 4b2; в) 0,3y2 – 2,7y6 = 0,3y2(1 – 9y4) = 0,3y2(1 – 3y2)(1 + 3y2); г) 0,1x4y – 2,7xy4 = 0,1xy(x3 – 27y3) = 0,1xy(x – 3y)(x2 + 3xy + 9y2).

№ 648 а) (m + 3)3 – 8 = (m + 3 – 2)((m + 3)2 + 2(m + 3) + 4) = = (m + 1)(m2 + 6m + 9 + 2m + 6 + 4) = (m + 1)(m2 + 8m + 19); б) (c–1)3+27 = (c – 1 + 3)(c2 – 2c + 1 – 3c + 3 + 9) = (c + 2)(c2 – 5c + 12); в) (a–12)3–125 = (a–12–5)(a2–24a+144+5a–60+25)=(a – 17)(a2–19a+109); г) (b+4)3+64=(b+4+4)(b2+8b+16+4b+16+16) = (b + 8)(b2 + 12b + 48).

№ 649 а) (x2 + 1)2 – 4x2 = (x2 + 1 – 2x)(x2 + 1 + 2x) = (x – 1)2(x + 1)2; б) (y2 + 2y)2 – 1 = (y2 + 2y – 1)(y2 + 2t + 1) = (y2 + 2y – 1)(y + 1)2; в) 81 – (c2 + 6c)2 = (9 – c2 – 6c)(9 + c2 + 6c) = (9 – c2 – 6c)(c + 3)2; г) 16m2 – (m – n)2 = (4m – m + n)(4m + m – n) = (3m + n)(5m – n).

№ 650 а) (a2 + 2ab + b2) – c2 = (a + b)2 – c2 = (a + b – c)(a + b +c); б) 16 – (x2 – 2xy + y2) = 16 – (x – y)2 = (4 – x + y)(4 + x – y); в) 1 – m2 – 2mn – n2 = 1 – (m + n)2 = (1 – m – n)( 1 + m + n); г) 4 – p2 – 2pq – q2 = 4 – (p + q)2 = (2 – p – q)(2 + p + q).

№ 651 а) x2 – 2xc + c2 – d2 = (x – c)2 – d2 = (x – c – d)(x – c + d); б) a2 + 2a – b2 + 1 = (a + 1)2 – b2 = (a + 1 – b)(a + 1 + b); в) c2 – d2 + 6c + 9 = (c + 3)2 – d2 = (c + 3 – d)(c + 3 + d); г) r2 – s2 – 10s – 25 = r2 – (s + 5)2 = (r – s – 5)(r + s + 5).

№ 652 а) x2 + 2xy – m2 + y2 = (x + y)2 – m2 = (x = y – m)(x = y + m); б) c2 – a2 + 2ab – b2 = c2 – (a – b)2 = (c – a + b)(c + a – b); в) m2 – n2 – 8m + 16 = (m – 4)2 – n2 = (m – 4 – n)(m – 4 + n); г) 9 – p2 + q2 – 6q = (q – 3)2 – p2 = (q – 3 – p)(q – 3 + p).

108

№ 653 а) x3 – x2y – xy2 + y3 = x3 + y3 – x2y – xy2 = (x + y)(x2 – xy + y2) – xy(x + y) = = (x + y)(x2 – xy + y2 – xy) = (x + y)(x2 – 2xy + y2) = (x + y)(x – y)2; б) a3 + a2b – ab2 – b3 = (a – b)(a2 + ab + b2) + ab(a – b) = = (a – b)(a2 + 2ab + b2) = (a – b)(a + b)2; в) c2+2c–d2+2d=c2–d2+2 (c + d) = (c – d)(c + d) + 2 (c + d)=(c+d)(c – d + 2); г) m2 – 2n – m – 4n2 = m2 – 4n2 – (2n + m) = = (m – 2n)(m + 2n) – (2n + m) = (2n + m)(m – 2n – 1).

№ 654 а) x2(x – 3) – 2x(x – 3) + (x – 3) = (x – 3)(x2 – 2x + 1) = (x – 3)(x – 1)2; б) (1 – a)2 – 4a(1 – a)2 + 4a(1 – a)2 = (1 – a)2(1 – 4a + 4a) = (1 – a)2.

№ 655 а) a3 + 8b3 + a2 – 2ab + 4b2 = (a + 2b)(a2 – 2ab + 4b2) + a2 – 2ab + 4b2 = = (a + 2b + 1)(a2 – 2ab + 4b2); б) 8c3 – d3 + 4c2 + 2cd + d2 = (2c – d)(4c2 + 2cd + d2) + 4c2 + 2cd + d2 = = (2c – d + 1)(4c2 + 2cd + d2).

№ 656 а) x3 + 8y3 + x2 + 4xy + 4y2 = (x + 2y)(x2 – 2xy + 4y2 ) + (x + 2y)2 = = (x + 2y)(x2 – 2xy + 4y2 + x + 2y); б) 8p3 – q3 + 4p2 – 4pq + q2 = (2p – q)(4p2 + 2pq + q2) + (2p – q)2 = = (2p – q)(q2 + 2pq + 4p2 + 2p – q).

№ 657 а) a3 – a2 – 2a + 8 = a3 + 8 – a(a + 2) = (a + 2)(a2 – 2a + 4) – a(a + 2) = = (a + 2)(a2 – 2a + 4 – a) = (a + 2)(a2 – 3a + 4); б) b3 – 6b2 – 6b + 1 = b3 + 1 – 6b(b + 1) = (b + 1)(b2 – b + 1) – 6b(b + 1) = = (b + 1)(b2 – b + 1 – 6b) = (b + 1)(b2 – 7b + 1).

№ 658 а) x2 – 10x + 24 = x2 – 10x + 25 – 1 = (x – 5)2 – 1 = (x – 6)(x – 4); б) y2 – 14y + 40 = y2 – 14y + 49 – 9 = (y – 7)2 – 9 = (y – 10)(y – 4); в) b4 + 4b2 – 5 = b4 + 4b2 + 4 – 9 = (b2 + 2)2 – 9 = = (b2 + 2 – 3)(b2 + 2 + 3) = (b2 – 1)(b2 + 5) = (b – 1)(b + 1)(b2 + 5); г) a2 – 6a + 5 = a2 – 6a + 9 – 4 = (a – 3)2 – 4 = (a – 5)(a – 1).

№ 659 а) 4a2 – 12ab + 5b2 = 4a2 – 12ab + 9b2 – 4b2 = (2a – 3b)2 – 4b2 = = (2a – 5b)(2a – b); б) 9c2 – 24cd + 7d2 = 9c2 – 24cd + 16d2 – 9d2 = (3c – 4d)2 – 9d2 = = (3c – 7d)(3c – d); в) 25a2 – 20ab – 12b2 = 25a2 – 20ab + 4b2 – 16b2 = (5a + 2b)2 – 16b2 = = (5a – 2b)(5a + 6b); г) 9m2 – 30mk + 16k2 = 9m2 – 30mk + 25k2 – 9k2 = (3m – 5k2) – 9k2 = = (3m – 8k)(3m – 2k).

109

№ 660 а) a2 + 7a + 10 = a2 + 5a + 2a + 10 = a(a + 5) + 2(a + 5) = (a + 2)(a + 5); б) x4+7x2+12 = x4 + 3x2 + 4x2 + 12 = x2(x2 + 3) + 4(x2 + 3) = (x2 + 4)(x2 + 3); в) b2 – 3b – 4 = b2 – 1 – 3b – 3 = (b – 1)(b + 1) – 3(b + 1) = (b – 4)(b + 1) г) y4 – 5y2 + 4 = y4 – 4y2 – y2 + 4 = y2(y2 – 4) – y2 – 4 = = (y2 – 1)(y2 – 4) = (y – 1)(y + 1)(y – 2)(y + 2).

№ 661 а) x2+5xy+6y2=x2 + 2xy + 3xy + 6y2 = x(x + 2y) + 3y(x + 2y)=(x+3y)(x + 2y); б) 4m2–5mn+n2=4m2–4mn – mn + n2 = 4m(m – n) + n(n – m)=(m–n)(4m – n); в) p2–pq–2q2=p2+pq–2q2 – 2pq = p(p + q) – 2q(p + q) = (p + q)(p – 2q); г) a2+7ab+6b2=a2 + ab + 6ab + 6b2 = a(a + b) + 6b(a + b) = (a + b)(a + 6b).

№ 662 а) x3 – x = 0; б) 16y – y3 = 0; x(x2 – 1) = 0; y(16 – y2) = 0; x(x – 1)(x +1) = 0; y(4 – y)(4 + y) = 0; x = 0, x = 1, x = –1. y = 0, y = 4, y = –4. Ответ: 0; 1; –1. Ответ: 0; 4; –4. в) c3 + c2 = 0; г) d3 + d = 0; c2(c + 1) = 0; d(d2 + 1) = 0; c = 0, c = –1. d = 0, d2 + 1 ≠ 0 не при каких d. Ответ: 0; –1. Ответ: 0.

№ 663 а) x3 + x2 – 4x – 4 = 0; б) y3 + 2y2 – 4y – 8 = 0; x2(x + 1) – 4(x + 1) = 0; y2(y + 2) – 4(y + 2); (x2 – 4)(x + 1) = 0; (y2 – 4)(y + 2) = 0; (x – 2)(x + 2)(x + 1) = 0; (y – 2)(y + 2)2 = 0; x = 2, x = –2, x = –1. y = 2, y = – 2. Ответ: 2; –2; –1. Ответ: 2; –2. в) 9z + 9 – z3 – z2 = 0; г) p3 – p2 – 4p + 4 = 0; 9(z + 1) – z2(z + 1) = 0; p2(p – 1) – 4(p – 1) = 0; (9 – z2)(z + 1) = 0; (p2 – 4)(p – 1) = 0; (3 – z)(3 + z)(z + 1) = 0; (p – 2)(p + 2)(p – 1) = 0; z = 3, z = –3, z = –1. p = 2, p = –2, p = 1. Ответ: 3; –3; –1. Ответ: 2; –2; 1.

№ 664 x1 + x2 = 7; x1 · x2 = 2; а) x1x2

2 + x12x2 = x1x2(x1 + x2) = 2 · 7 = 14;

б) (x1 = x2)2 = 72 = 49; в) x1

2 + x22 = x1

2 + x22 + 2x1x2 – 2x1x2 = (x1 + x2)2 – 2x1x2 = 49 – 4 = 45;

г) (x13 + x2

3) = (x1 + x2)(x12 – x1x2 + x2

2) = = (x1 + x2)((x1 + x2)2 – 3x1x2) = 7(49 – 6) = 7 · 43 = 301.

110

№ 665 x1 + x2 = 5; x1 · x2 = –3 а) x1

4 + x24 = x1

4 + 2x12x2

2 + x14 – 2x1

2x22 = (x1

2 + x22)2 – 2x1

2x22 =

= ((x1 + x2)2 – 2x1x2)2 – 2x12x2

2 = (25 + 6)2 – 18 = 312 – 18 = 961 – 18 = 943; б) (x1 – x2)2 = x1

2 – 2x1x2 + x22 = (x1 + x2)2 – 4x1x2 = 25 + 12 = 37;

в) x13x2

2 + x12x2

3 = x12x2

2(x1 + x2) = 9 · 5 = 45; г) x1

2x24 + x1

4x22 = x1

2x22(x1

2 + x22) = x1

2x22(x1

2 + 2x1x2 + x22 – 2x1x2) =

= x12x2

2((x1 + x2)2 – 2x1x2) = 9 · (25 + 6) = 279.

§ 24. Сокращение алгебраических дробей

№ 666 а) 3a2b3, 12a3b2 : НОД = 3a2b2; б) 15b12c2, 25b3c4 : НОД = 5b3c2; в) 6x2y, 9y5 : НОД = 3y; г) p5q2, 12p2q5 : НОД = p2q2.

№ 667

а) 3

4

yy = y; б) 38

5 1zz

z−=

− ; в) 1424

10 1mm

m−=

− ; г) 4

19

nn

−

− = n15.

№ 668

а) 8 4 20

3z t w

zt w =

8

1zz

· 4

3tt

· 20ww

= z7· t · w19;

б) 15 4 8 15 4 8 2

19 21 6 19 21 8 4 17m n r m n r r

m n z m n z m n− −

= ⋅ ⋅ = − ;

в) 12 19 5 12 19 5

40 31 6 40 31 6 28 121a x z a x z

a x z a x z a x z= − ⋅ ⋅ = −

−;

г) 100 5 100 5 2

101 3 4 101 3 4 3b y z b y z yb y z b y z bz− −

= ⋅ ⋅ =− −

.

№ 669

а) 2 2

3 33 3

39 9a b a bb

aa a− −

= ⋅ =− −

;

б) 4 4 3

3 3 27 7

4949x y x y x

xxy y y= ⋅ = −−−

;

в) 4 4

3 321 21 3

14 214cd c d d

cad d− −

= ⋅ = − ;

г) 2 3 2 3

3 3 3 330 30 30 10 5

48 16 848 48p q p q

p p pp q p q= ⋅ = = = .

111

№ 670

а) ( )( )

15 15 320 20 4

a p q a p q ab p q b p q b

− −= ⋅ ⋅ =

− −;

б) ( )( ) ( )

2 2 1 1 16 6 3 3

b m n b m n cbc m n b c m n c

+ += ⋅ = ⋅ =

+ +;

в) ( )( )

2 3 2

28 8 2 2

20 5 520a b a b ab a b abab ab

ab a bab a b+ +

= ⋅ ⋅ = ⋅ =++

;

г) ( )( )

3 8 3 4 4 4 4

5 4 3 4 2 2 244 44 11 11

25100 100 25c d c d c d d c d d d

c dc d c d c d c c c− −

= ⋅ ⋅ = ⋅ =−−

.

№ 671

а) 5( ) 5 115( ) 15 3

x y x yy x x y− −

= − ⋅ = −− −

;

б) ( )( )

2 3 3

5 3 2 2150 150

300300 2a b z t ab a z t a

z tab t z ab b b− −

= − ⋅ ⋅ ⋅ = −−−

;

в) ( )( )

2 2 2m n m na n m a m n a

− −= − ⋅ = −

− −;

г) ( )( )

3 4 5 4 5 2 2

5 7 4 5 2 213 1326 26 2

x y z c d xy z c d x xc dxy z d c xy z yz yz

− −= − ⋅ ⋅ = −

−−.

№ 672

а) ( )( )( ) ( )2 2 1 1

8 8 4a x y a x y

a x y x y a x y x y x y+ +

= ⋅ ⋅ =+ + + − −

;

б) ( ) ( )2 2

2 21 ( 1) 11 1

( 1) 1a a a a aa a

a a a a− + + + +

= − ⋅ = −+ + + +

;

в) ( )( )( )( )

3 3 16 6 2

a b a b a b a ba b a b a b a b− + − +

= ⋅ ⋅ =+ − − +

;

г) ( )

2 2

2 23( 1) 1 1 33

1 11 ( 1) 1n n n n

n nn n n n n+ + + +

= ⋅ ⋅ =− −− + + + +

.

№ 673

а) ( )( )

( )( ) ( )( )

( )( )

2 2 2

2 2 1a b a b a b

a b a bb a a b

− − −= = =− − ⋅ − −− −

;

б) ( )( )

( )( )

2 2

2 216 16 1

48 348

x y x y

y x x y

− −= ⋅ =

− −;

112

в) 3 5 2 2

42 2 2

112 ( ) 1236 ( ) 36

a b p q a b aba b q p a b

−= ⋅ ⋅

−

2 4

2( )

3( )p q abp q−

=−

;

г) 2 2

2 2 249 ( ) 49 ( ) 7

77 ( ) ( )xy c d x y c d y

x x xx d c c d− −

= ⋅ ⋅ =− −

.

№ 674

а) 3

2( 5) ( 5)( 5) 5

( 5)( 5)x xx x

xx+ +

= + ⋅ = +++

; б) 10 8

28 8

( 8) ( 8)( 8)( 8) ( 8)y yyy y− −

= − ⋅− −

;

в) 3 3

4 4( 15) ( 15) 1 1 1

8 8 15 8 1208 ( 15) ( 15)c z c z

c z zc z z− −

= ⋅ = ⋅ =− −− −

;

г) 2 23 ( 2) 3 2 1 1

6 2 2 2( 2)6( 2) ( 2)a b b aa a

b bb b− −

= ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ =− −− −

.

№ 675

а) 6 6 6( ) 6 67 7 7( ) 7 7

a b a b a ba b a b a b+ + +

= = ⋅ =+ + +

; б) 23 ( 3 ) 3 7

( 3) 33xz yz z x y z x y

x x x x y xx xy− − −

= = ⋅ =− −−

;

в) 3 6 3( 2 ) 3 2 1 1· · ( 1)12 6 6( 2 ) 6 2 2 2

m n m n m nn m n m n m− − −

= = = − = −− − −

;

г) 2 4 2( 2 ) 2 2 116 8 8(2 ) 8 2 4

p q p q p qq q p q− − −

= = ⋅ = −− −

.

№ 676

а) ( )8 8 8( ) 8 19 9 9( ) 9

x y x yy x y x− −

= = −− −

; б) ( 1)( 1)

ma a a m amc c c m c+ +

= = −− − − +

;

в) ( 1)5 5 5( 1) 5s s s s ss s+ +

= =+ +

; г) 3 2 2 2

2 3 2 23 3 3 ( ) 3

6 26 6 6 ( )c cd c c d c c

d ddc d d c d+ +

= = =+ +

.

№ 677

а) 2 24 9 (2 3 )(2 3 ) 2 3(2 3 ) 2 3

2 3 2 3 2 3a b a b a b a ba b a b

a b a b a b− − + −

= = + ⋅ = −− − −

;

б) 236 (6 )(6 ) 6(6 ) 6

6 6 6y y y yy yy y y

− − + −= = + ⋅ = +

− − −;

в) 28 3 8 3 1 3 8 1

(3 8)(3 8) 3 8 3 8 3 89 64c c c

c c c c cc− − −

= = − ⋅ = −− + + − +−

;

г) 2100 49 (10 7 )(10 7 ) 10 7

7 10 7 10d d d d

d d− − +

= = −+ +

.

113

№ 678

а) 2 9 ( 3)( 3) 3 3 3

3 9 3( 3) 3 3 3x x x x x xx x x− − + − + −

= = ⋅ =+ + +

;

б) 2 144 ( 12)( 12) 12( 12) ( 12)12 12 12

y y y yy yy y y

− − + −= = − + ⋅ = − +

− − −;

в) 24 (2 )(2 ) 2 2 2

3 6 3( 2) 3 2 3d d d d d d

d d d− − + − + −

= = ⋅ =+ + +

;

г) 2

25 ( 5) 5

(5 )( 5) 5 5 525c c c c c c c

c c c c cc− − −

= = ⋅ = −− + + − +−

.

№ 679

а)3 2 2

2 2 28 ( 2)( 2 4) 2 4( 2) 2

2 4 2 4 2 4a a a a a aa a

a a a a a a− − + + + +

= = − ⋅ = −+ + + + + +

;

б) 3 2 2

2 2 21 ( 1)( 1) 1( 1) 1

1 1 1x x x x x xx x

x x x x x x+ + − − − −

= = + ⋅ = +− − − − − −

;

в) 3

2125 1

1 5 25y

y y+

− +=

2 2

2 2(5 1)(25 5 1) 25 5 1(5 1)

1 5 25 25 5 1y y y y yy

y y y y+ − + − +

= + ⋅ =− + − +

5y + 1;

г) 2 2 2

3 2 24 2 1 4 2 1 1 4 2 1 1·

2 1 2 18 1 (2 1)(4 2 1) 4 2 1t t t t t t

t tt t t t t t− + − + − +

= = =+ ++ + − + − +

.

№ 680

а) 2 2

2 2( ) ( )

( )( )x y x y x y x y x y

x y x y x y x y x yx y+ + + + +

= = ⋅ =− + − + −−

;

б) ( ) ( )( )( ) nm

nmnmnm

nmnm

nmnmnm

nmnm

+−

=−−

⋅+−

=+−

−=

−

− 2

22

2;

в) ( )( )

( ) ( )( )

( ) ( )( )2

22

2

22

2

22222

bababa

bababa

baba

+

+⋅−=

+

+−=

+

− ;

г) ( )( )

( )( )( ) ( ) ( )

333612

3612

2

3

2

223 qpaqpaqp

qpqpaa

qpaqpa −

=−⋅=+

+−⋅=

+

− .

№ 681

а) ( ) bababa

bababa

+=++

=+

++ 222 2 ; б) ( ) qpqp

qpqp

qpqp−=

−−

=−

+− 222 2 ;

в) ( ) yxyx

yxyxyx

yx−

=−

−=

+−

− 12 222 ; г)

( )( )( )

122

2

2

22=

+

+=

+

++

nmnm

nmnmnm .

114

№ 682

а) ( )( )( ) ( )yx

yxyx

xyxyyxyx

xy−+

−=−

+−=

+−

−222

22

2;

б) ( ) pp

ppp

p21

12121

44121

22 −−=

−

−=

+−− ;

в) ( )( )( ) 7

77

774914

4922

2

−+

=−

+−=

+−

−bb

bbb

bbb ;

г) ( ) cc

cccc

−=−−

=−

+− 99

99

8118 22.

№ 683

а) ( )( ) y

xbaybax

byaybxax

−=++−

=+−− ;

б) ( )( )

( )( ) 222

2

322

32

33124

121244

yx

yxyyxx

yxxyxyx

xyyxxyx

−=−

−=

−

−=

−

− ;

в) ( )( ) 234

32

47

25

21

323

623

mmmmm

mmmm

=−

−=

−

− ; г) ( )( ) 226

24

68

46

51

23523

101523

nnnnn

nnnn

=+

+=

+

+ .

№ 684

а) ( )( ) yxy

xyxxyyxx

xyyxxyx 1

22

2==

−−

=−

− ; б) ( )( )

qqq

pcqcpq

pqcqcqpq

−=−−

−=

−

−3

4

3

4

33

44;

в) ( )( ) a

mma

ammmama

mamamma

−=−=−−

=−

−2

22;

г) ( )( ) 3

232

2322

6342

3

4

3

4

33

44 ddd

pndpnd

pdndpdnd

==−

−=

−

− .

№ 685

а) ( )( ) 3

222

32

232

6344 22 −

=−−

⋅−

=−−

=−+− x

xxx

xx

xxx ;

б) ( )( )( ) 1

111

11

111

112 2

2

2

−+

=++

⋅−+

=+−

+=

−

++aa

aa

aa

aaa

aaa ;

в) ( )( ) xx

xxx

xxxx

−=

−−

⋅−

=−

−=

+−

−1

411

14

114

1244

22 ;

г) ( )( ) 8

388

83

883

6416243

22

2

+=

++

⋅+

=+

+=

++

+q

qqq

qq

qqq

qqqq .

115

№ 686

а) ( ) ( ) mm

mm

mm

m25

12525

5225

2520425

222 −=

−

−=

−

−=

+−

− ;

б) ( )( )

( )( ) 2

21212

2121212

42144 222 n

nn

nn

nnn −

=−−

=−−

=−

+− ;

в) ( )( )( ) ( )yx

yxyxyx

yxyx

yxyxyx

yxyxyx

+−

=−−

⋅+−

⋅=+−

−=

−

+−22

16

366

363 2

22

22;

г) ( )( )( ) 14

1414

14141816

11622

2

−+

=−

+−=

+−

−cc

ccc

ccc .

№ 687

а) ( )( )

( )( )( )

( )b

aaaba

ababaababaa

abaaba

423

1451115

145115

45451515

3

2

3

222

34

224 +−=

+

+−=

+

−=

−

− ;

б) ( )( )

( )( )( )

( )b

aaabaaa

aababa

baabbaba

423

24223

224418

24487218

2

22

222

24 +−=

−+−

=−

−=

−

− ;

в) ( )( ) ( )acb

acaba

acbacabacaba

−=

−

+=

−

+351

1751511717

2222

3

2422

43;

г) ( )( )

( )( )( ) ( )cbb

acbcbb

bcacbabbcba

cababbacba

+=

+−−

=−

−=

−

−4

34

34836

48483636 22

223

23

235

3323.

№ 688

а) ; ( ) ( )( ) d

ddd

ddd

d7

227

21472 2

2

2 +=

++

=+

+ б) ( )

( )( ) 3

63

363186

22 −=

−

−=

−

−q

pq

qpq

ppq ;

в) ( )( ) m

nmnmm

nmmnm

nmnm4

334

3124

96 2

2

22 +=

++

=+

++ ;

г) ( )( )( ) 12

121212

1214

144 2

2

2

+−

=+−

−=

−

+−nn

nnn

nnn .

№ 689

а) ( )( )( )( ) 223

2

11

1111

11

ccc

ccccc

cc

++

+=

++−

+−=

−

− ;

б) ( )

( )( ) 13

1113

1333

2

2

3

2

−=

++−

++=

−

++nnnn

nnn

nn ;

116

в) ( )( )( )( ) 42

2422

2284

223

2

++

+=

++−

+−=

−

−

bbb

bbbbb

bb ;

г) ( )( )( )( ) 223

2

1612934

16129433434

6427916

zzz

zzzzz

zz

++

+−=

++−

+−=

−

− .

№ 690

а) ( )( )( )

( )( )( )( ) =++−

+−=

++−

−=

−

−

933333

39393

27273

22

2

3

2

ppppp

ppqqpq

qpqqpq ( )

9333

2 ++

+−

ppp ;

б) ( )( )

( )( )( )( )

( )( )124

12212412

1212218142

828

223

2

4

2

+−

−=

+−+

+−=

+

−=

+

−

nnnn

nnnnnn

nmnnm

mnmnmmn ;

в) 6 6 3 3 3 3

3 33 3 3 3

( )( )x y x y x y x yx y x y

− − += = −

+ +;

г) 6 3 3 3 3

6 3 3 3( 1)

1 ( 1)( 1) 1y y y y yy y y y+ +

= =− − + −

.

№ 691

а) ( )( ) 36

3108

3232

3622

==−=−−

=−− a

aaa

aaa ;

б) ( )( )( ) 1,0

33

333

33993

2 =−

=+−

+=

−

+bbb

bbb = 30;

в) ( )( )( ) 3

243

223

223642

=−

=++−

=+− c

ccc

cc = 8;

г) ( )( )( ) 2232

2 33

333

9x

xxx

xxxx

x −=

+

+−=

+

− = 0.

№ 692

а) ( )6

66

3612 22

++

=+

++xx

xxx = x + 6 = 108;

б) ( )7

77

4914 22

−−

=−

+−y

yy

yy = y – 7 = – 11;

в) ( )( )( ) 3

2135

1220

444

16168 2

2

2==

−−

=+−

−=

−

+−zz

zz

zz ;

г) ( )( )( )

2

2 210 10100 10 18

10 220 100 10

t tt ttt t t

− +− − −= = =

++ + += – 9.

117

№ 693

а) ( )( ) 10

1058

858540

2

2−=−=

−−

=−

−yx

xyyyxx

xyyxyx = – 1;

б) ( )( ) 15

3053

745473

35201221

2

2

−−=−=

−−

=−

−ba

abbbaa

abbaba = 2;

в) ( )( ) 4

52430

42

324235

1281015

2

2==−=

−−

=−

−dc

cdddcc

cddcdc = 1,25;

г) ( )( ) 8

1545

544455

20162025

2

2−=−=

−−

=−

−tz

ztttzz

zttztz = – 1,875.

№ 694

а) 3 2

2 227 ( 3)( 3 9)

3 9 3 9a a a a

a a a a+ + − +

=− + − +

= a + 3 = 18;

б) 2 2

3 2 13

2 4 2 4 1 1 32 58 ( 2)( 2 4) 2

b b b bbb b b b

+ + + += = = = −

−− − + + −;

в) 3 2

2 264 ( 2)( 4 16) 2 7 12

3 3 33 12 48 3( 4 16)c c c c c

c c c c+ + − + +

= = = =− + − +

;

г) ( ) ( ) ( )

2 2

3 25 25 5 25 1 1

2 5 2 4,5 52 250 2 5 ( 5 25)d d d d

dd d d d− + − +

= = =+ − ++ + − +

= 1.

№ 695

а) 10 8 7 6 6

4 12 4270810 3

a b c a ca b b

= ; б) 5 10 11 5

6 5 22 11132 11144 12

x y z yx y z xz

= ;

в) 25 101 64 11 3

14 102 61 101140 1042 3

m n r m rm n r n

= ; г) 12 43 54 10

2 54 55 11540 1536

p q t pp q t q t

= .

№ 696

а) 4 5 4 3 3 4 3 2 2

3 4 3 3 5 2 3 432 2 2 (16 ) 2 (4 )

4 ( 4 )a b c a b c a b c b c ac b c

ba b c a b c a b c b− − +

= = −− −

;

б) 2 1 1 2 2

2 2 2 2 2 2 2( )

( ) ( )

n n n n n n n

n n n n n n nx y x y x y y x yx y x y x y x y x x y

+ +

+ ++ +

= =− − −

;

в) 2 4 4 2 3 5 2 3 4 2

7 3 5 5 2 26 9 3 (2 3 )

2 (3 2 )54 24 6 (9 4 )a b c a b c a b c b c b a

c c babc ab c abc c b− −

= = −+− −

;

г) 2 1 1 1 1 2

1 3 1 1 1 1 2 2 22 3 (2 3 )

9 4 (9 4 ) (3 2 )

n n n n n n

n n n n n nx y x y x y x y x

x y x y x y y x y y x

+ − + + −

− + + + − ++ +

= =− − −

.

118

№ 697

а)4 3 2 2 3 2 2 2 2

3 2 2 232 80 50 2 (16 40 25 ) (5 4 )

2 (5 4 )20 16 4 (5 4 )a b a b a b a b a ab b a b a

b b aab a b ab b a− + − + −

= = =−− −

(5 4 ) ;2

a b ab−

б) 3 2 4 2 2 2 2 2

2 2 4 3 6 2 4 2 2 4 2 2 218 36 18 ( 2 ) 3 ( 2 )

96 96 24 24 (4 4 ) 4 ( 2 )a b ab ab a b b a b

a b a b a b a b b a b a a a b+ + +

= =+ + + + +

=

= 2 23

4 ( 2 )b

a a b+;

в) 4 2 3 3 3 2

2 5 3 4 4 3 2 3 2 2 218 30 6 (3 5 ) 2 (3 5 )

75 90 27 3 (25 30 9 ) (3 5 )a b a b a b a b a a b

a b a b a b a b b ab a b a b− − −

= = =− + − + −

2(3 5 )

ab a b

=−

;

г) 5 3 3 3 2 2

2 8 4 6 6 4 2 4 4 2 2 430 15 15 (2 )

10 40 40 10 ( 4 2 )a b a b a b a b

a b a b a b a b b a b a+ +

= =+ + + +

2 2

3 2 2 2 3 2 23 (2 ) 3

2 (2 ) 2 (2 )a a b a

b a b b a b+

=+ +

.

№ 698

а) 3 3 2 2 2 3 2 2 2 2

3 2 24 4 (4 4 ) (2 )

13 (2 )26 13 13 (2 )a bc a b c ab c abc a c abc b bc ac b

a ac ba c a b a ac b− + − + −

= = =−− −

= (2 )13

bc ac ba− ;

б) 2 6 4 4 3 4 2 3 4 3 2

5 4 3 7 10 4 4 2 3 616 8 8 (2 )

2 8 8 2 ( 4 4 )x y z x y z x y z y x

x y z x y z xy z xy z x x y y+ +

= =+ + + +

3 3 2 3

2 3 2 2 34 (2 ) 4

( 2 ) ( 2 )xz y x xzy x y y x y

+= =

+ +;

в) 2 3 2 2

4 3 3 2 5 2 2 2 4 2 236 12 12 (3 ) 4(3 )

27 18 3 3 (9 6 ) (3 )x y xy yx x y x y

x yz x y z x y z x yz x xy y xz x y− − −

= = =− + − + −

24

(3 )xz x y=

−;

г) 4 4 11 4 4 7 4 4 4 3 8 4 4 3 8 4 4 8

5 3 5 4 5 3 9 5 3 5 4 46 24 24 6 ( 4 4 )

6 3 3 (2 )a b c a b c d a b c d a b c c c d d

a b c d a b c a b c d c+ + + +

= =+ +

4 4 2 4 4

2 4 4 22 ( 2 ) 2 ( 2 )

( 2 )b c d b c d

ac c d ac+ +

= =+

.

119

№ 699

а) 5 3 2 3 2 2

3 2 2 3 4 2 2 218 72 18 ( 4 )

12 48 48 12 ( 4 4 )x x y x x y

x y x y xy xy x yx y− −

= =− + − +

2 2

2 2 23 ( 2 )( 2 ) 3 ( 2 )

2 ( 2 ) 2 ( 2 )x x y x y x x y

y x y y x y− + +

= =− −

;

б) 2 3 4 2 6 2 2 2 4

5 2 3 2 5 2 3 4 272 96 32 8 (9 12 4 )

16 36 4 (4 9 )a bc a bc a bc a bc c a a

a b c ab c ab c a c− + − +

= =− −

2 2 2

2 2 2 2 22 (3 2 ) 2 (2 3 )

(2 3 )(2 3 ) (2 3 )a c a a a c

bc a c a c bc a c− −

= =− + +

;

в) 3 3 2 4 5 3 2 2

5 3 3 3 2 2135 180 60 15 (9 12 4 )

225 100 25 (9 4 )a b a b ab ab a ab b

a b a b a b a b+ + + +

= =− −

2 2 2

2 23 (3 2 ) 3 (3 2 )

5 (3 2 )(3 2 ) 5 (3 2 )b a b b a b

a a b a b a a b+ +

=− + −

;

г) 5 2 3 6 3 2 2 4

5 2 2 3 2 3 2 2 4 2150 24 6 (25 4 )

40 200 250 10 (4 20 25 )x y z x y z x y z x y

xy z x y z x yz xyz y xy x− −

= =− + − +

2 2 2 2 2

2 2 23 (5 2 )(5 2 ) 3 (5 2 )

5 (2 5 ) 5 (5 2 )x y x y x y x y x y

z y x z x y− + +

= =− −

.

№ 700

а) 3 2 2 2

3 2 3 2 2( )

3 6 3 3 ( 2 )

n n n n n n

n n n n n n n n n n nx x y x x y

x x y x y x y x x y y− −

= =+ + + +

2( )( )

3 ( ) 3 ( )

n n n n n n

n n n n n nx y x y x y

y x y y x y− + −

= =+ +

;

б) 3 1 1 1 1

1 2 1 3 14

4 4

n n n n

n n n n n na b a b

a b a b a b

− + − +

− − −−

− +

1 1 2

1 2( 4)

(4 4 )

n n n

n n n na b a

a b a a

− +

−−

= =− +

2 2

2( 2)( 2) ( 2)

( 2) ( 2)

n n n

n nb a a b a

a a a a− + +

= =− −

;

в) 1 2 1 3 1 1 2

3 22 4 2 2 (1 2 )

4 4 4 ( 1)

n n n n n n

n n n na a a a a a

a a a a

+ + + +− + − += =

− −

2( 1) ( 1)2( 1)( 1) 2( 1)

n n

n n na a a a

a a a− −

=− + +

;

г) 3 1 2 2 1 2 2

2 2 1 1 2 3 1 1 2 1 1 2 254 72 24 4 (9 18 4 )

12 27 3 (4 9 )

n n n n n n n n n n n n n n

n n n n n n n n nxy z x y z x y z xy z y x y x

x y z x y z x y z x y

+ +

+ − + − + − +− + − +

=− −

=

24 (3 2 )3 (2 3 )(2 3 )

n n

n n n ny y x

xz x y x y−

=− +

4 (2 3 )3 (2 3 )

n n

n ny x x

xz x y−

=+

.

120

№ 701

а) ( )( ) ( )( )

2 2

2 2 2 222a c a c b a ca ab bc c

b a ac c b a c

− + − +− − −= =

− + − − −

( )( )( )( )

a c b a c a cb a c b a c c a b

− − + += =

− + + − − −;

б) ( ) ( )( )

( )( )( )2 2 2

2 1 3 1 1 2 32 3 3 2 12 39 12 4 2 3 2 3

y x x x yxy x y xyy y y y

− + − − +− + − −= = =

++ + + +;

в) 2 2 2 2 2 2 2 22 2 ( 2) ( 2) ( )( 2)

2 2 ( ) 2( ) ( )( 2)ax x ay y x a y a x y a

ax ay x y a x y x y x y a− − + − − − − −

= = =+ − − + − + + −

( )( )x y x yx y

− +=

+ x – y;

г) 2 2 23 2 3 2 3 ( 1) 2( 1) ( 1)(3 2) 3 2

12 1 ( 1) ( 1)xy x y y x x x y y

xx x x x− − + − − − − − −

= = =−− + − −

.

№ 702

а) 2 2

2 2( )( ) ( ) ( )( )( )( ) ( ) ( )( )

x yz xz y x y x y z x y x y x y zx y x y z x y x y x y zx yz xz y

− + − − + + − − + += = =

− + − − − + −+ − −

x y zx y z+ ++ −

;

б) 2 2

2( )( )

3( ) 2 ( )3 2 3 2x y x y x y

x y x x yx x y xy− − +

= =+ − +− + −

( )( )( )(3 2 ) 3 2

x y x y x yx y x x− + −

=+ − −

;

в) 2 2 2 2

22 ( ) ( )

( ) ( ) ( )( )a ac c a c a c

a a c x a c a c a xa ac ax cx+ + + +

= = =+ − + + −+ − −

a ca x+−

;

г) 2

212 9 4 3 4 (3 ) 3 (3 )

4 (5 ) 3 (5 )20 3 12 4z rz nz rn z z n r z n

z z n r z nz rn rz nz− + − + − +

= =− − −+ − −

= (4 3 )(3 ) 3(4 3 )(5 ) 5

z r z n z nz r z n z n− + +

=− − −

.

№ 703

а)5 4 4 4 4

8 7 9 7 727 27 27 (27 1) 9 3 28 28 4 4

9 91 9 13 1179 9 9 9 (9 1 81) 9 91+ + ⋅ ⋅

= = = = =⋅ ⋅+ + + + ⋅

;

б) 7 6 6 12

10 9 8 8 2 8 816 16 16 (16 1) 4 15 15 5

57 198 8 8 8 (8 8 1) 4 2 57− − ⋅

= = = =− + − + ⋅ ⋅

;

в) 11 10 9 9 2 9 9

15 14 13 13 2 138 8 8 8 (8 8 1) 4 2 55 2 55 10

114 4 4 4 (4 4 1) 4 11− − − − ⋅ ⋅ ⋅

= = = =− − − − ⋅

;

г) 23 22 21 21 2 42

14 13 13 399 9 9 9 (9 9 1) 3 91 27 91

2627 27 27 (27 1) 3 26+ + + + ⋅ ⋅

= = =− − ⋅

= 94,5.

121

№ 704

а) = 3 3 2 2

2 2 2 247 33 (47 33)(47 47 33 33 )

47 47 33 33 47 47 33 33+ + − ⋅ +

= =− ⋅ + − ⋅ +

47 + 33= 80;

б) 3 3 2 2

2 2 2 223 11 (23 11)(23 23 11 11 )

23 23 11 11 23 23 11 11− − + ⋅ +

=+ ⋅ + + ⋅ +

= 23 – 11=12;

в) 3 3 2 2

2 2 2 227 13 (27 13)(27 27 13 13 )

27 27 13 13 17 27 13 13− − + ⋅ +

=+ ⋅ + + ⋅ +

= 27 – 13=14;

г) 3 3 2 2

2 2 2 287 43 (87 43)(87 87 43 43 )

87 87 43 43 87 87 43 43+ + − ⋅ +

=− ⋅ + − ⋅ +

= 87 + 43=130.

№ 705

а) 2 2 2

2 248 2 48 18 18 (48 18) 48 18 30 5

(48 18)(48 18) 48 18 66 1148 18− ⋅ ⋅ + − −

= = = =− + +−

;

б) 2 2

2 2 285 17 (85 17)(85 17) 85 17 102 3

85 17 68 285 2 85 17 17 (85 17)− − + +

= = = =−− ⋅ ⋅ + −

= 1,5;

в) 2 2 2 2

2 273 2 73 23 23 (73 23) 50 50

(26 24)(26 24) 2 50 226 24− ⋅ ⋅ + −

= = =− + −−

= 25;

г) 2 2

2 2 2 248 12 (48 12)(48 12) 36 60 18 3

120 2089 2 89 31 31 (89 31) 120− − + ⋅

= = = = =+ ⋅ ⋅ + +

0,15.

№ 706

а) 2 2

2 2( )( 1) 3 5( )( 1) 3 52

a b a b a b a b a ba b a b a ba b a ab b

+ + − + − + + += = =

− − + − −− + − += – 4;

б) 2 2

2 2( )( 1) 1( )( 1) 12

c d c d c d c d c dc d c d c dc d c cd d

− + − − + + + += = =

− − + − +− + − +

8 ( 2) 1 78 ( 2) 1 11+ − +

=− − +

;

в) ( )( 1) 1 3 4 9:( )( 1) 1 2 3 8

m n mx nx m n x xm n my ny m n y y− + − − + +

= = = =− + − − + +

= 1,125;

г) ( 1)( ) 1 25 1 26 2( 1)( ) 1 12 1 13

pz qz p q z p q zpt qt p q t p q t+ + + + + + +

= = = = =+ + + + + + +

.

§ 25. Тождества № 707

а) да; б) да; в) да; г) да. № 708

а) да; б) да; в) да; г) да. № 709

а) да; б) да; в) да; г) да.

122

№ 710 а) переместительный закон сложения; б) сочетательный закон сложения; в) переместительный закон умножения; г) распределительный закон сложения относительно умножения.

№ 711 а) переместительный и сочетательный законы умножения; б) если из числа а вычесть это же число то в результате получится 0; в) переместительные законы сложения и умножения; г) 1. сочетательный закон умножения, 2. распределительный закон сложения относительно умножения.

№ 712 а) x – y = – y + x = – (y – x); б) (m – n)2 = m2 – 2mn + n2 = n2 – 2mn + m2 = (n – m)2; в) 2a – 3b = – 3b + 2a = – (3b – 2a); г) (3c – 4d)2 = 9c2 – 24cd + 16d2 = 16d2 – 24cd + 9c2 = (4d – 3c)2.

№ 713 а) 10a–(–(5a+20))=10a–(–5(a+4)) = 10a + 5(a + 4)=5(2a+a+4) = 5(3a + 4); б) – (– 7x) – (6 + 5x) = 7x – 6 – 5x = 2x – 6 = 2(x – 3); в) 12y–(25–(6y–11)) = 12y – (25 – 6y + 11)= 12y–36 + 6y=18y–36=18(y–2); г) 36 – (– (9c – 15)) = 36 – (– 9c + 15) = 36 + 9c – 15 = 21 + 9c = 3(3c + 7).

№ 714 а) a2+7a+10=a2+5a+2a+10=a(a+5)+2(a+5) = (a + 5)(a + 2) = (a + 2)(a + 5); б) x2 – 9x + 20 = x2 – 4x – 5x + 20 = x(x – 4) – 5(x – 4) = (x – 4)(x – 5); в) (b – 8)(b + 3) = b(b + 3) – 8(b + 3) = b2 + 3b – 8b + 24 = b2 – 5b + 24; г) (c – 4)(c + 7) = c(c + 7) – 4(c + 7) = c2 + 7c – 4c – 28 = c2 + 3c – 28.

№ 715 а) (a – 4)(a + 2) + 4 = a2 – 4a + 2a – 8 + 4 = a2 – 2a – 4 = a2 – 2a – 3 – 1= = a2 + a – 3a – 3 – 1 = a(a + 1) – 3(a + 1) – 1 = (a – 3)(a + 1) – 1; б) 16–(x+3)(x+2) = 4 + 12 – x2 – 5x – 6 = 4 – x2 – 5x + 6 = 4 – (x2 + 5x – 6) = = 4–(x2–x+6x–6)=4–(x(x–1)+6(x–1)) = 4 – (x – 1)(x + 6) = 4 – (6 + x)(x – 1); в) (y – 3)(y + 7) – 13 = y2 – 3y + 7y – 21 – 11 – 2 = (y2 + 4y – 32) – 2 = = (y2 + 8y – 4y – 32) – 2 = y(y + 8) – 4(y + 8) – 2 = (y + 8)(y – 4) – 2; г) (z–11)(z+10)+10=z2–z – 110 + 10 = (z2 – z – 20) – 80 = z2–5z+4z–20–80 = = z(z – 5) + 4(z – 5) – 80 = (z – 5)(z + 4) – 80.

№ 716 а) (a + b)2 + (a – b)2 = a2 + 2ab + b2 + a2 – 2ab + b2 = 2(a2 + b2); б) (a + b)2 – (a – b)2 = a2 + 2ab + b2 – a2 + 2ab – b2 = 4ab; в) a2 + b2 = a2 + b2 + 2ab – 2ab = (a + b)2 – 2ab; г) (a + b)2 – 2b(a + b) = a2 + 2ab + b2 – 2ba – 2b2 = a2 – b2.

123

№ 717 2x–1+3x+1–5x=5x–5x=5x–3x–2x=5x – 3x – 1 – 2x + 1=5x–(3x+1) – (2x – 1).

№ 718

а) 4 2 2 2

2 24 ( 2 )( 2 )2 ( 2 )

x x x x x xx x x x− − +

=− −

= x2 + 2x, видно, что равенство превращается

в тождество при x2 – 2x не равном нулю, т. е., при x ≠ 0 и x ≠ 2;

б) 5 2 3

5 4 23 24 2 46 12 2x x x xx x x− + +

=−

;

5 2 2 3 2 2 3

5 4 4 4 23 24 3 ( 8) ( 2)( 2 4) 2 46 12 6 ( 2) 2 ( 2) 2x x x x x x x x x xx x x x x x x− − − + + + +

= = =− − −

,

видно, что равенство превращается в тождество при 6x5 – 12x4 не равном нулю, т. е., при x ≠ 0 и x ≠ 2;

в)3 2 2 2

4 2 2 2 22 12 18 2 ( 6 90 ( 3)

4 36 4 ( 9) 2 ( 3)( 3)a a a a a a a

a a a a a a a− + − + −

= = =− − − + 2

3 32 ( 3) 2 6

a aa a a a− −

=+ +

;

Видно, что равенство превращается в тождество при 4a4– 36a2 не равном нулю, т. е., при a ≠ 0, a ≠ 3. При a = –3 равенство будет тождеством так как при преобразование левой части мы числитель и знаменатель не сокрашали на (a + 3).

г) 6 2 3 2 3 2

3 3 2 327 3 9

22 6a b a b a a a

ba b a b− + +

=−

;

6 2 3 2 3 2 3 2

3 3 2 3 2 327 ( 27) ( 3 9)

22 6 2 ( 3)a b a b a b a a a a

ba b a b a b a− − + +

= =− −

,

Видно, что равенство равенство превращается в тождество при 2a3b3 – 6a2b3 не равном нулю, т. е., при a ≠ 0, b ≠ 0, a ≠ 3.

№ 719 а) (x +y)(x – y) + (y + a)(y – a) = x2 – y2 + y2 – a2 = x2 – a2; б) (a–b)(a+b)–(a – c)(a + c) – (c – b)(c + b) = a2 – b2 – a2 + c2 – c2 + b2 = 0; в) (x + a)(x + b) = x2 + ax + bx + ab = x2 + (a + b)x + ab; г) (m – a)(m – b) = m2 – am – bm + ab = m2 –x (a + b)m + ab.

№ 720 а) a + b = 9, доказать (a + 1)(b + 1) – (a – 1)(b – 1) = 18; (a+1)(b+1) – (a – 1)(b – 1) = ab + b + a + 1 – ab + b + a – 1 = 2(a + b) = 18.

№ 721 (b + c – 2a)(c – b) + (c + a – 2b)(a – c) – (a + b – 2c)(a – b) = = (c + b)(c – b) – 2a(c – b) + (a + c)(a – c) – 2b(a – c) – (a + b)(a – b) + + 2c(a – b) = c2 – b2 – 2ac + 2ab + a2 – c2 – 2ab + 2bc – a2 + + b2 + 2ac – 2bc = – 2ac + 2ab – 2ab + 2bc + 2ac – 2bc = 0.

124

№ 722 а) (2a–b)(2a+b)+(b–c)(b+c)+(c–2a)(c+2a)=4a2 – b2 + b2 – c2 + c2 – 4a2 = 0; б) (3x + y)2 – (3x – y)2 = (3x + y – 3x + y)(3x + y + 3x – y) = 2y · 6x = 12xy = = 9x2y2 + 6xy + 1 – 9x2y2 + 6xy – 1 = (3xy + 1)2 – (3xy – 1)2; в) (x–3y)(x+3y)+(3y–c)(3y+c)+(c–x)(c + x) = x2 – 9y2 + 9y2 – c2 + c2 – x2 = 0; г) (a – b)(a + b)((a – b)2 + (a + b)2) = (a2 – b2)(2a2 + 2b2) = 2(a4 – b4).

№ 723 а) (a–1)3–4(a–1)=(a–1)((a–1)2–4)=(a – 1)(a – 1 – 2) = (a – 1)(a – 3)(a + 1); б) (x2 + 1)2 – 4x2 = (x2 – 2x + 1)(x2 + 2x + 1) = (x – 1)2(x + 1)2; в) (a + 1)2 – (a + 1) = (a + 1)(a + 1 – 1) = a(a + 1); г) 4b2c2 – (b2 + c2 – a2)2 = (2bc – b2 – c2 + a2)(2bc + b2 + c2 – a2) = = (a2 – (b – c)2)((b + c)2 – a2)=(a – b + c)(a + b – c)(b + c – a)(a + b + c).

ГЛАВА 6. Линейная функция

§ 26. Координатная прямая № 724

а)

X-9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7

C B D A

б)

X-9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7

N O P M

в)

X

R Q S Z

-9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7

г)

E L K F

X-7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9

№ 725 а) 2; 4; 8,5; 2; б) 6,5; 5; 2,5; 7,5; в) 7; 1,5; 13; 6; г) 9,5; 3,5; 2,5; 1,5.

№ 726 а) 8; б) 4; в) 4; г) 1.

125

№ 727 a) C > D; б)

X-7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9

D C

№ 728

а) X < Y; б)

X-7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9

X Y

№ 729

а) B < A < C; б)

X-7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9

B A C

№ 730

а)

X3

Открытый луч с началом в точке 3; х > 3; б)

X-5

Открытый луч с концом в точке –5; х < –5; в)

X-2

Открытый луч с началом в точке –2; х > –2; г)

X0

Открытый луч с концом в точке 0; х < 0.

№ 731 а)

X1

Луч с началом в точке 1; х > 1;

126

б)

X4

Луч с концом в точке 4; х < 4; в)

X-2

Луч с концом в точке –2; х < –2; г)

X-1

Луч с началом в точке –14 х > –1. № 732

а)

X53

Интервал с началом в точке 3 и концом в точке 5; 3 < х < 5; б)

X1-5

Отрезок с началом в точке –5 и концом в точке 1; –5 ≤ х ≤ 1; в)

X4 6

Отрезок с началом в точке 4 и концом в точке 6; 4 ≤ Х ≤ 6; г)

X0 1

Интервал с началом в точке 0 и концом в точке 1; 0 < Х < 1.

№ 733 а)

X

6 8

Полуинтервал с началом в точке 6 и концом в точке 8. (Точка 8 не включается); 6 ≤ Х < 8; б)

X-2 4

Полуинтервал с началом в точке –2 и концом в точке 4; –2 < Х ≤ 4;

127

в)

X-3 –1

Полуинтервал с началом в точке –3 и концом в точке –1; (Точка –1 не включается) –3 ≤ Х < –1; г)

X5 7

Полуинтервал с началом в точке 5 и концом в точке 7; 5 < Х ≤ 7.

№ 734 а) Открытый луч с началом в точке 5; (5, +∞), x > 5; б) Открытый луч с концом в точке –7; (–∞, –7), х < –7; в) Открытый луч с началом в точке –3; (–3, +∞), x > – 3; г) Открытый луч с концом в точке 4. (–∞, 4), x < 4.

№ 735 а) Луч с началом в точке 2; [2, +∞), а ≥ 2; б) Луч с концом в точке –1; (–∞, –1], а ≤ –1; в) Луч с началом в точке –8; [–8, +∞), а ≥ –8; г) Луч с концом в точке 4. (–∞, 4], а ≤ 4.

№ 736 а) Интервал с началом в точке 3 и концом в точке 5; (3, 5), 3 < y < 5; б) Отрезок с началом в точке 3 и концом в точке 5; [3, 5], 3 ≤ y ≤ 5; в) Интервал с началом в точке –1 и концом в точке 0; (–1, 0), –1 < y < 0; г) Отрезок с началом в точке 9 и концом в точке 10; [9, 10], 9 ≤ y ≤ 10.

№ 737 а) Полуинтервал с началом в точке 0 и концом в точке 1; (точка 1 не включается) [0, 1), 0 < p ≤ 1; б) Полуинтервал с началом в точке –7 и концом в точке 6; (–7, 6], –7 < p ≤ 6; в) Полуинтервал с началом в точке –1 и концом в точке 1; (точка 1 не включается) [–1, 1), –1 < p ≤ 1; г) Полуинтервал с началом в точке 3 и концом в точке 5; (3, 5], 3 < p ≤ 5.

№ 738 а) (5, +∞);

X5 х > 5; б) [1, +∞);

X1 х ≥ 1;

128

в) (1, 3);

X1 3

1 < Х < 3; г) [6, 10);

X6 10

6 < Х ≤ 10. № 739

а) [–2, 0];

X–2 0

–5 ≤ Х ≤ 1; б) (–∞, 7);

X7

х < 7; в) [4, 9);

X4 9

4 ≤ Х < 9; г) (–∞, 12];

X12

х ≤ 12. № 740

а) Открытый луч с началом в точке 3; (3, +∞);

X 3

б) Луч с началом в точке 3; [3, + ∞);

X3

129

в) Открытый луч с концом в точке 3; (–∞, 3);

X3

г) Луч с концом в точке 3; ( –∞, 3].

X3

№ 741 а) Интервал с началом в точке 2 и концом в точке 4; (2, 4);

X2 4

б) Полуинтервал с началом в точке 3 и концом в точке 5; (точка 5 не включается); [3, 5);

X3 5

в) Отрезок с началом в точке 0 и концом в точке 7; [0, 7];

X0 7

г) Полуинтервал с началом в точке 5 и концом в точке 8; (5, 8].

X5 8

№ 742 а) Луч с началом в точке 2; [2, + ∞);

X2

б) Интервал с началом в точке –2 и концом в точке –5; (–2, –5);

X–2 –5

130

в) Открытый луч с концом в точке 0; (–∞, 0);

X0

г) Полуинтервал с началом в точке 4 и концом в точке 8; (точка 5 не включается); [4, 8).

X4 8

№ 743 а) Отрезок с началом в точке 1 и концом в точке 3; [1, 3];

X1 3

б) Полуинтервал с началом в точке 6 и концом в точке 7; (6, 7];

X6 7

в) Луч с концом в точке 1; ( –∞, 1];

X1

г) Интервал с началом в точке –6 и концом в точке –2; (–6, –2).

X–6 –2 № 744

а) да; б) нет; в) да; г) нет. № 745

а) нет; б) нет; в) да; г) да. № 746

а) да; б) да; в) нет; г) да. № 747

а) да; б) да; в) да; г) нет. № 748

а) да; б) да; в) да; г) нет. № 749

а) нет; б) да; в) нет; г) нет. № 750

а) 4; 3,5; 3; б) –1; в) – 10; г) 4; 3,5; 3.

131

№ 751 а) 5. б) 5; 7; 9; 12. в) 0; 5; 7; –8; –2; 9; 12. г) 7; 9.

№ 752 а) –5,5; –4,5; –3,5; 1,5; 2,5; 3,5; б) –5,4; –4,4; –3,4; 1,4; 2,4; 3,4; в) –2,2; –2,1; –1,2; 1,1; 1,2; 1; 3; г) –9,1; –9,2; –9,3; 2,1; 2,2; 2,3.

№ 753 а) нет; б) нет; в) да; г) да.

№ 754 а) 3; б) 1; в) 6; г) 9.

№ 755 а) 1; б) 0; в) 0; г) 4.

№ 756 а) –11; б) нет; в) 7; г) 8,2.

№ 757 а) 5; б) 1; в) 10; г) 6.

№ 758 Да принадлежит. Эти числа : 4,99; 4,999.

№ 759 а) Задание определено не корректно, потому что нет наименьшего цело-го числа принадлежащего промежутку (–∞, 4]; б) Задание определено не корректно, потому что нет целого числа при-надлежащего промежутку (5, 6).

№ 760

а) r = 7 32− = 2, a = 7 – r = 7 – 2 = 5;

б) r = 4 ( 4)2

− − = 4, a = 4 – r = 4 – 4 = 0;

в) r = 10 22− = 4, a = 10 – r = 10 – 4 = 6;

г) r = 1 ( 7)2

− − − = 26 = 3, a = –1 – r = –1 – 3 = –4.

№ 761

а) r = 5 22− = 3

2 = 1,5, a = 5 – 1,5 = 3,5;

б) r = 2,02 1,982− = 0,04

2 = 0,02, a = 2,02 – 0,02 = 2;

в) r = 2 ( 11)2

− − − = 92

= –4,5, a = –11 + (4,5) = –6,5;

132

г) r = ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −

713

715 : 2 =

72 : 2 =

71 , a =

715 –

71 =

714 = 2.

№ 762 а)

X-9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7

–А –B B A

б)

X-9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7

А B -B -A

в)

X-9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7

-А B -B A

г)

X-9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7

B A,-A B

№ 763

Таких точек имеется две С и D. Их координаты можно вычислить как: С = – 4 + 7 = 3; D = – 4 – 7 = –11.

№ 764 Данную задачу можно разбить на два случая: Случай 1: Точки N и L находятся по разные стороны от точки M; a)

N M L

б) L M N

LN = ML + MN = ML + 2ML = 3ML, значит, 3ML = 10,5; ML = 3,5; MN = 2 · 3,5 = 7; а) L = M + ML = 1,5 + 3,5 = 5; N = M – MN = 1,5 – 7 = –5,5; б) L = M – ML = 1,5 – 3,5 = –2; N = M + MN = 1,5 + 7 = 8,5.

133

Случай 2. Точки N и L располагаются по одну сторону от точки M; a)

M L N

б) N L M

LN = MN – ML = 2ML – ML = ML, значит ML = 10,5; MN = 2 · ML = 2 · 10,5 = 21; а) L = M + ML = 1,5 + 10,5 = 12, N = M + MN = 1,5 + 21 = 22,5; б) L = M – ML = 1,5 – 10,5 = – 9, N = M – MN = 1,5 – 21 = –19,5. Итого получается, что задача имеет четыре решения.

№ 765 Данную задачу можно разбить на два случая: Случай 1: Точки P и M находятся по разные стороны от точки K; a)

P K M

б) M K P

PM = MK + KP = MK + 3MK = 4MK, значит, 4MK = 8; MK = 2, значит KP = 3 · 2 = 6; а) M = K + MK = –1 + 2 = 1; P = K – PK = –1 – 6 = –7; б) M = K – MK = –1 – 2 = –3; P = K + KP = –1 + 6 = 5. Случай 2. Точки M и P располагаются по одну сторону от точки K; a)

K M P

б) P M K

PM = PK – KM = 3MK – MK = 2MK; 2MK = 8, значит MK = 4; PK = 3 · MK = 4 · 3 = 12; а) M = K + MK = –1 + 4 = 3; P = K + KP = –1 + 12 = 11; б) M = K – MK = –1 – 4 = –5; P = K – KP = –1 – 12 = –13. Итого получается, что задача имеет четыре решения.

134

§ 27. Координатная плоскость № 766

а) x = 2, y = 4; б) x = – 3, y =6; в) x =12, y = – 4; г) x = – 3, y = – 0,5. № 767

а) M – в первом, P – в четвертом, N – во втором, Q – в третьем; б) X – в третьем, K – в первом, Y – во втором, L – в четвертом; в) A – во втором, C – в четвертом, B – в первом, D – в четвертом; г) R – в четвертом, E – во втором, S – в третьем, F – в первом.

№ 768 № 769 а) 6; б) – 2; в) – 8; г) – 9. а) 1; б) 4; в) 2; г) 3.

№ 770 № 771 а) 1; б) 4; в) 2; г) 3. а) 3; б) 2; в) 3; г) 2.

№ 772 а) A(1,1), B(– 2,4), C(6,6), D(– 2, – 2); б) M(2,5), N(4,– 2), Q(– 5,– 3), R(– 2,– 5); в) X(2,– 3), Y(– 5,6), E(2,1), F(– 5,1); г) S(7,2), K(– 5,– 1), P(– 2,– 2), S(7,2).

№ 773 а) A(2,0), S(0,2), K(– 1,0); б) D(0,– 2), N(0,4), B(3,0); в) P(– 5,0), Q(0,– 6), S(0,2); г) R(7,0), M(0, –4), L( –3,0).

№ 774 а) A1(4, 5), A2(4, 2), A3(4, –1), A4(4, –4); б) B1(2, 5), B2(2, 1), B3(2, 0), B4(2, –3); в) C1(–2, 5), C2(–2, 3), C3(–2, 0), C4(–2, –3); г) D1(–4, 7), D2(–4, 4), D3(–4, –1), D4(–4, –4).

№ 775 а) N1(–3, 5), N2(0, 5), N3(3, 5), N4(7, 5); б) M1(–4, 2), M2(–4, 2), N3(2, 2), N4(6, 2); в) K1(–3, 0), K2(–1, 0), K3(3, 0), K4(5, 0); г) L1(–5, –4), L2(–2, –4), L3(2, –4), L4(6, –4).

№ 776 а) x = 3; б) y = 3;

Y

X10

1

Y

X10

1

135

в) y = 1; г) x = 8.

Y

X10

1

Y

X10

1

№ 777

а) x = –2; б) x = – 4; Y

X10

1

Y

X10

1

в) y = –5; г) x = –1.

Y

X10

1

Y

X10

1

№ 778

а) x = 0,5; б) y = –1,5; Y

X10

1

Y

X10

1

136

в) y = 3,5; г) x = – 6,5.

Y

X10

1

Y

X10

1

№ 779

а) ордината; б) абсцисса. № 780

а) на прямой х = 5; б) на прямой х = – 7; в) на прямой х = 9; г) на прямой х = – 1.

№ 781 а) на прямой y = – 3; б) на прямой y = – 12; в) на прямой y = 8; г) на прямой y = 4.

№ 782

2

0 1 X

Y

С(в)

A(a)D(б)

D(г) № 783

2

0 1 X

Y M

SR

L

137

№ 784

1

0 1 X

Y

E

F

P

№ 785

а)

2

0 1 X

Y

B

A

б)

B

2

0 1 X

Y

C

138

в)

N1

0 1 X

Y

M

г)

1

0 1 X

Y

Q

P

№ 786 а)

KL

1

0 1 X

Y

139

б)

1

0 1 X

Y

E

M

в)

1

0 1 X

Y

г)

X2

0 1 X

Y

Y

140

№ 787 а)

A

2

0 1 X

YC

B

б)

M2

0 1 X

Y

N

K

в)

1

0 1 X

Y

E

D

P

141

г)

L

2

0 1 X

Y

S

P

№ 788

а) б)

H

1

0 1 X

Y

E

G

F

E

1

0 1 X

Y

F

GH

в) г)

E

F G

H

1

0 1 X

Y

H

1

0 1 X

Y

GF

E

№ 789

а) (– 1, 4); (–3, –4); (3, 4); (5, –4); в) (–1, 8); (–3, 0); (3, 8); (5, 0); б) (–2, 0); (4, 0); (0, 4); (0, –4); г) (–4, 4); (–6, –4); (0, 4); (2, –4).

142

№ 790

1

0 1 X

Y

CB

DA

2

13

Координаты вершин третьего квадрата: (–4, 0); (–2, 0); (–2, –2); (–4, –2)

№ 791 а) x2 = 4; x2 – 4 = 0; (x –2)(x + 2) = 0; x = 2 или x = –2, значит, графиком уравнения x2 = 4 являются прямые x = 2 и х = – 2; б) y2 = 4; y2 – 4 = 0; (y –2)(y + 2) = 0; y = 2 или y = –2, значит графиком уравнения y2 = 4 являются прямые y = 2 и y = – 2; в) x2 – 5x = 0; x(x – 5) = 0; x = 0 или x = 5, значит графиком уравнения x2 – 5x = 0 являются прямые x = 0 и х = 5; г) y2 + 2y = 0; y(y + 2) = 0; y = 0 или y = –2, значит графиком уравнения y2 + 2y = 0 являются прямые y = 0 и y = –2.

№ 792 а) (0, 0); (0, 6); (–2, 6); (0, 11); (2, 11); (2, 0); б) (0, 2); (–2, 2); (–2, 4); (–1, 5); (3, 5); (4, 4); (4, 1); (3, 0); (4, –1); (4, –4); (3, –5); (–1, –5); (–2, –4); (–2, –2); (0, –2); (0, –3); (2, –3); (2, –1); (1, 0); (2, 1); (2, 3); (0, 3); в) (–4, 0); (–4, 6); (2, 6); (2, 4); (–2, 4); (–2, 2); (1, 2); (2, 1); (2, –4); (1, –5); (–3, –5); (–4, –4); (–4, –2); (–2, –2); (–2, –3); (0, –3); (0, 0); г) (–1, 1); (–1, 3); (1, 3); (1, 1); (–1, –1); (1, –1); (1, –4); (–1, –4); (–2, 0); (–3, 1); (–3, 4); (–2, 5); (2, 5); (3, 4); (3, 1); (2, 0); (3, –1); (3, –5); (2, –6); (–2, –6); (–3, – 5); (–3, –1).

№ 793

1

0 1 X

YA

FE

T

CB

L K

L(–3, 0); K(3, 0).

143

№ 794 A(3, 1); B(3, –4), значит сторона квадрата a = 1 – (–4) = 5. Квадрат ABCD может располагаться следующим образом : 1) Вершины С и D справа от отрезка AB, тогда С(3 + 5, –4), следова-тельно, C(8, –4); D(3 + 5, 1), следовательно, D(8, 1). 2) Вершины С и D слева от отрезка AB, тогда С(3 – 5, –4), следователь-но, C(–2, –4); D(3 – 5, 1), следовательно, D(–2, 1). Других случаев расположения вершин быть не может, потому что вер-шины квадрата нумеруются по часовой или против часовой стрелки. Задача имеет два решения.

№ 795 B(2, 2); D(–2, –2) или B(–2, –2); D(2, 2). Так как вершины А и С являются противоположными, другого распо-ложения вершин B и D быть не может, следовательно задача имеет два решения.

№ 796 Из того, что АВ параллельна оси координат следует, что абсцисса точки В равна абсциссе точки А. Из того, что начало координат лежит внутри квадрата следует, что на-чало координат лежит внутри квадрата и ордината и ордината точки А положительна следует, что B(–2, 3 – 6), т.е. В(–2, –3); С(–2 + 6, –3); С(4, –3); D(–2 + 6, 3); D(4, 3).

№ 797 (4, 4); (4, –4); (–4, 4); (–4, –4).

№ 798 а) б)

Y

X10

1

Y

X10

1

144

№ 799 а) б)

Y

X10

1

Y

X10

1

№ 800

а) Y

X20

2

145

б)

X0 1

1

Y

146

№ 801 а)

X0 1

1

Y

б)

X0 1

1

Y

147

№ 802 а) xy + 2 – 2y – x = 0; y(x – 2) + 2 – x = 0; (y – 2)(x – 2) = 0; y = 2 или x = 2;

0 1

1

Y

X

б) xy2 = 4x; xy2 – 4x = 0; x(y2 – 4) = 0; x(y – 2)(y + 2) = 0; x = 0 или y = 2 или y = –2;

0 1

1

Y

X

в) yx2 + 9y; y(x2 + 9); y = 0;

0 1

1

Y

X

г) 4 + xy + 2(x + y) = 0; 4 + x(y + 2) + 2y = 0; 2(y + 2) + x(y + 2) = 0; (x + 2)(y + 2) = 0; x = –2 или y = –2.

0 1

1

Y

X

148

§ 28. Линейное уравнение с двумя переменными и его график

№ 803 а) да; б) да; в) да; г) да.

№ 804 а) Данное уравнение не является линейным уравнением с двумя пере-менными, потому что задействована только одна переменная; б) Данное уравнение не является линейным уравнением с двумя пере-менными, потому что задействована только одна переменная; в) Данное уравнение не является линейным уравнением с двумя пере-менными, потому что в нем есть одночлен второй степени; г) Данное уравнение не является линейным уравнением с двумя пере-менными, потому что в нем есть одночлен второй степени.

№ 805 а) нет; б) да; в) нет; г) нет.

№ 806 а) да; б) нет; в) нет; г) да.

№ 807 а) (6; 2); (0; 20); (4; 8); б) (2, 0); (2,5; 2,5).

№ 808

а) ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −

52;0 ; (3; –1); б) (8, –12); в) (2, –1); (5, 20); г) (–18, –4); (9, –1).

№ 809 а) В одной корзине х яблок, а в другой y яблок. Если их высыпать на стол и взять со стола 10 яблок, то на столе будет пусто. б) В магазине есть в продаже x курток. Если один покупатель купит y курток, а затем придет другой и купит еще 3 куртки, то в магазине кур-ток не останется. в) В раздевалке находится х спортсменов. Если y спортсменов уйдут домой, а 8 спортсменов в душ, то раздевалка опустеет. г) На фирме x управляющих и y служащих. Если с фирмы уйдут 12 че-ловек, то на фирме никого работать не останется.

№ 810 M: 5 + 14 – 7 = 0 – неверно, значит точка М не принадлежит графику уравнения x + 2y – 7 = 0; N: 0 + 7 – 7 = 0 – верно, значит точка N принадлежит графику уравнения x + 2y – 7 = 0; K: 7 + 0 – 7 = 0 – верно, значит точка K не принадлежит графику урав-нения x + 2y – 7 = 0; L: 2 + 6 – 7 = 0 – неверно, значит точка L не принадлежит графику урав-нения x + 2y – 7 = 0.

149

№ 811

273 +5

74 –8=8–8=0 – верно, значит, точка ⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛

745,

732 является решением

уравнения x + y – 8 = 0; x + y – 8 = 0; y = 8 – x. Можно взять следующие решения : (1, 7); (2, 6); (3, 5).

№ 812 а) x + y – 5 = 0, y = 5 – x; б) x – y = 0, y = x;

в) 2x + y – 7 = 0, y = 7 – 2x; г) x + 3y + 7 = 0, y = –3

7 х+ .

№ 813 а) 3x + 2y – 6 = 0; 2y – 6 = 0; y = 3. Ответ: 3. б) 5x – 7y – 14 = 0; 7y = –14; y = –2. Ответ: –2. в) 15x – 25y – 75 = 0; 25y = –75; y = –3. Ответ: – 3. г) 81x – 15y – 225 = 0; 15y = –225; y = – 15. Ответ: – 15.

№ 814

а) 8x + 6y – 11 = 0; 8 + 6y – 11 = 0; 6y = 3; y =21 . Ответ:

21

б) 11x + 13y – 16 = 0; 55 + 13y – 16 = 0; 13y = –39. y = – 3. Ответ: –3 в) 19x – 11y – 24 = 0; 57 – 11y – 24 = 0; 11y = 33; y = 3. Ответ: 3. г) 3x + 2y + 30 = 0; –24 + 2y + 30 = 0; 2y = –6; y = – 3. Ответ: –3.

№ 815 а) 6x + 2y – 1 = 0; –0,6 + 2y – 1 = 0; 2y = 1,6; y = 0,8. Ответ: 0,8. б) 7x – y – 4 = 0; –15 – y – 4 = 0; y = – 19. Ответ: – 19. в) 3x + 5y – 10 = 0; 1,5 + 5y – 10 = 0; 5y = 8,5; y = 1,7. Ответ: 1,7.

г) 9x – 2y – 3 = 0; 74 – 2y – 3 = 0; 2y = 71; y = 271 . Ответ: 30,5.

№ 816 а) 6x + 12y – 42 = 0; 6x – 42 = 0; x = 7. Ответ: 7. б) 17x – 5y + 85 = 0; 17x + 85 = 0; x = –5. Ответ: –5. в) 8x – 35y = 96; 8x = 96; x = 12. Ответ: 12. г) 16x + 54y = 64; 16x = 64; x = 4. Ответ: 4.

№ 817 а) 4x + 7y – 12 = 0; 4x – 28 – 12 = 0; 4x = 40; x = 10. Ответ: 10. б) 23x – 9y + 5 = 0; 23x + 18 + 5 = 0; 23x = – 23; x = –1. Ответ: –1. в) 5x – 3y – 11 = 0; 5x – 9 – 11 = 0; 5x = 20; x = 4. Ответ: 4. г) 2x + 4y + 9 = 0. 2x + 13 = 0; 2x = –13; x = –6,5. Ответ: –6,5

№ 818

а) 6x + 3y – 2 = 0; 6x + 10 – 2 = 0; 6x = – 8; x = –68 . Ответ: –1

31 .

б) 3,5x – 5y – 1 = 0; 3,5x – 2,5 – 1 = 0; 3,5x = 3,5; x = 1. Ответ: 1.

150

в) 4x – 2y + 11 = 0; 4x + 3 + 11 = 0; 4x = – 14; x = –27 . Ответ: –3,5.

г) 8x + 5y – 3 = 0; 8x + 22 – 3 = 0; 8x = – 19; x = –8

19 . Ответ: –283 .

№ 819 а) 21 – 3y – 12 = 0; 3y = 9; y = 3. Ответ: 3. б) 11x + 42 – 31 = 0; 11x = – 11; x = – 1. Ответ: – 1.

№ 820 а) x + y – 4 = 0; б) 2x – y + 5 = 0; y = 4 – x; y = 2x – 5;

X 0 4 X 0 2 Y 4 0 Y –5 –1

x

y

-8 -4 4 8

-8

-4

4

8

0

x

y

-5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5

-5-4-3-2-1

12345

0

в) x + 2y – 3=0; г) –x – y + 6 = 0;

y =2

3 х− ; y = 6 – x.

X 1 3 X 3 6 Y 1 0 Y 3 0

x

y

-3 -2 -1 1 2 3

-2

-1

1

2

3

0

x

y

-6 -3 3 6

-3

3

6

0

151

№ 821 а) 5x + 3y – 15 = 0; б) 7x – 4y + 28 = 0;

y =3

515 х− ; y =4

287 +х ;

X 0 3 X 0 –4 Y 5 0 Y 7 0

x

y

-5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5

-5-4-3-2-1

12345

0

x

y

-4 -2 2 4

-14

-7

7

14

0

в) 6x + 3y + 18 = 0; г) 8x – 3y – 24 = 0;

2x + y + 6 = 0; y =3

248 −х .

y = –6 – 2x; X –3 0 X 3 0 Y 0 –6 Y 0 –8

x

y

-6 -3 3 6

-6

-3

3

6

0

x

y

-6 -3 3 6

-8

-4

4

8

0

152

№ 822 а) 7t + 9s + 63 = 0; б) 3t – 4s – 12 = 0;

s =9

763 t−− ; s =4

123 −t ;

t –9 0 t 4 0 s 0 –7 s 0 –3

t

s

-18 -9 9 18

-14

-7

7

14

0

t

s

-8 -4 4 8

-6

-3

3

6

0

в) 5t – 2s = 10; г) 4t + 9s + 36 = 0;

s =2

510 t− ; s =9

436 t−− .

t 2 0 t –9 0 s 0 5 s 0 –4

t

s

-4 -2 2 4

-10

-5

5

10

0

t

s

-18 -9 9 18

-8

-4

4

8

0

№ 823

а) 30 – 22 = 8 и 60 + 14 = 74, т.е. прямые пересекаются; б) –12 + 14 = 2 и –4 + 10 = 6, т.е. прямые пересекаются.

153

№ 824 а) x – y = – 1 и 2x + y = 4; y = x + 1 и y = 4 – 2x. Чтобы найти точку пересечения этих прямых приравняем y. x + 1 = 4 – 2x; x = 1; y = x + 1 = 2. Ответ: (1; 2)

б) 4x + 3y = 6 и 2x + y = 4; y = 346 х− и y = 4 – 2x.

Чтобы найти точку пересечения этих прямых приравняем y.

346 х− = 4 – 2x; 6 – 4x = 12 – 6x; x = 3; y = 4 – 2 · 3 = – 2.

Ответ: (3; –2). № 825

а) 3a + 8b = 24; 3a + 8b = 24; б) 6с + 5d = 30; 6с + 5d = 30; 3a = 24 – 8b; 8b = 24 – 3a; 6c = 30 – 5d; 5d = 30 – 6c;

a =3

824 b− ; b =8

324 a− ; c =6

530 d− ; d =5

630 c− ;

в) 12m – 3n = 48; 12m – 3n = 48; г) 7x – 8y = 56; 7x – 8y = 56; 4m – n = 16; 4m – n = 16; 7x = 56 + 8y; 8y = 7x – 56;

m =4

16 n+ ; n = 4m – 16; x =7

568 +y ; y =8

567 −х .

№ 826 а) 3t – 2z + 6 = 0; 3t – 2z + 6 = 0; б) 7s + 9t – 63 = 0; 7s + 9t – 63 = 0; 3t = 2z – 6; 2z = 3t + 6; 7s = 63 – 9t; 9t = 63 – 7s;

t =3

62 −z ; z =2

63 +t ; s =7

963 t− ; t =9

763 s− ;

в) 11u+2v+22=0; 11u+2v+22=0; г) 25r–4w–100=0; 25r–4w–100=0; 11u = – 22 – 2v; 2v=–22–11u; 25r = 4w + 100; 4w = 25r – 100;

u = –11

222 v− ; v = –21122 u− ; r =

251004 +w ; w =

410025 −r .

№ 827 а) x + 3y – 20 = 0; x = 20 – 3y. Для того чтобы пара чисел состояла из двух одинаковых чисел, нужно чтобы x = y: x = 20 – 3x; x = 5; y = x = 5. Ответ: (5; 5). б) Пусть х = 2y, тогда уравнение примет вид 2y + 3y – 20 = 0; 5y = 20; y = 4; x = 2y = 2 · 4 = 8. Ответ: (8; 4).

№ 828 ax+5y–40=0. а) (3;2) Подставим эти значения в исходное уравнение: a⋅3+5⋅2–40 = 0. Получаем ур-е, относительно a: 3a=30; a=3. Ответ: а=3.

154

б) (9;–1) Подставим эти значения в исходное уравнение: a ⋅ 9 + 5 ⋅ (–1) – 40 = 0. Получаем ур-е, относительно a: 9a=45; a=5. Ответ: a = 5.

в) ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ 0;

31 Подставим эти значения в исходное уравнение:

a ⋅ ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

31 + 5 ⋅ 0 · 40 = 0. Получаем ур-е, относительно a:

3а = 40; a=120.

Ответ: a = 120. г) (–2; 2,4) Подставим эти значения в исходное уравнение: a ⋅ (–2) + 5 ⋅ 2,4 – 40=0. Получаем ур-е, относительно a: –2a = 28; a = –14. Ответ: a = –14.

№ 829 а) b – 35 = 0; b = 35; б) 18 + 8,5y – 35 = 0; 8,5b = 17; b = 2; в) 2 + 11b – 35; 11b = 33; b = 3; г) – 30 – 13b – 35 = 0; 13b = – 65; b = –5.

№ 830 а) 16 – 3 – c = 0; c = 13; б) 25 – 13 – c = 0; c = 12; в) 1 – 2 – c = 0; c = –1; г) –c = 0. c = 0.

№ 831 а) 12 – 2m = 0; m = 6;

б) 2m + 2 – 12m = 0; – 10m = – 2; m =51 ;

в) 12m – 12m = 0; 0 = 0; При любом m г) –m + 13 – 12m = 0; 13m = 13; m = 1.

№ 832 Пусть х – первое число. Тогда (5 – х) – второе число. x – (5 – x) = 1; x – 5 + x = 1; x=3 – первое число; 5 – 3 = 2 – второе число. Ответ: 3; 2.

№ 833 Пусть х – первое число. Тогда (7 – х) – второе число. 2x + 7 – x = 8; x = 1 – первое число; 7 – 1 = 6 – второе число. Ответ: 1; 6.

№ 834 Пусть х – первое число. Тогда (х – 1) – второе число. x + 3(x – 1) = 9; 4x = 12; x = 3 – первое число; 3 – 1 = 2 – второе число. Ответ: 3; 2.

155

№ 835 Пусть х – вычитаемое. Тогда 4х – уменьшаемое. 4x – x = 3; x = 1 – вычитаемое; 4 ⋅ 1 = 4 – уменьшаемое. Ответ: 1; 4.

№ 836 Пусть х – девочек участвовало в турнире. Тогда 1,5х – мальчиков участвовало в турнире. 1,5x + x = 10; x = 4 – девочек участвовало в турнире; 1,5 ⋅ 4 = 6 – мальчиков участвовало в турнире. Ответ: 4; 6.

№ 837 Пусть х – лет сестре. Тогда (х + 2) – лет брату. х + х + 2 = 14; 2x = 12; x = 6 – лет сестре; 6 + 2 = 8 – лет брату. Ответ: 6; 8.

№ 838 Пусть х – синиц сидело на ветке. Тогда 2х – воробьев сидело на ветке. х + 2х = 9; x = 3 – синиц сидело на ветке; 2 ⋅ 3 = 6 – воробьев сидело на ветке. Ответ: 3; 6.

№ 839 Пусть х – мальчиков учится в седьмых классах. Тогда 1,3х – девочек учится в седьмых классах. 1,3x – x = 12; 0,3x = 12; x = 40 – мальчиков учится в седьмых классах. Найдем сколько учеников учится в седьмых классах: 1,3х + х = 2,3х = 2,3 ⋅ 40 = 92 – ученика учится в седьмых классах. Ответ: 92.

№ 840 Пусть х – человек занимается в историческом кружке. Тогда (х + 7) – человек занимается в математическом кружке. x + x + 7 = 35; 2x = 28; x = 14 – человек занимается в историческом кружке; 14 + 7 = 21 – человек занимается в математическом кружке. Ответ: 14; 21.

№ 841 Пусть х – первое число. Тогда 4х – второе число. x + 4x = 52,5; 5x = 52,5; x = 10,5 – первое число; 4 ⋅ 10,5 = 42 – второе число. Ответ: 10,5; 42.

156

№ 842 Пусть х – первое число.

Тогда 87100⋅х – второе число.

87100 x – x = 3,9;

8713 x = 3,9; x = 0,3 ⋅ 87;

x = 26,1 – первое число; 26,1 ⋅87

100 = 30 – второе число.

Ответ: 26,1; 30. № 843

Пусть х – первое число. Тогда 124100 х – второе число.

x + 124100 x = 112;

124224 x = 112;

x = 62 – первое число; 62 · 124100 = 50 – второе число. Ответ: 50; 62.

№ 844 а) Подставим данную пару в уравнение и решим его относительно p p2 – 6p + 8 = 0; p2 – 2p – 4p + 8 = 0; (p – 4)(p – 2) = 0; p = 4 или p = 2. Ответ: при p = 2 или при p = 4 б) Подставим данную пару в уравнение и решим его относительно p –p2 + 2p + 8 = 0; –p2 – 2p + 4p + 8 = 0; (4 – p)(p + 2) = 0; p=4 или p = – 2. Ответ: при p = –2 или при p = 4

№ 845 а) x2 – y2 = 0. (x – y)(x + y) = 0; б) x2 = 4y2; (x – 2y)(x + 2y) = 0;

x = y или x = –y; y = 2х или y = –

2х ;

x

y

-8 -4 4 8

-8

-4

4

8

0x

y

-8 -4 4 8

-8

-4

4

8

0

157

в) y2 = 9x2; (y – 3x)(y + 3x) = 0; г) 16x2–25y2=0; (4x–5y)(5y + 4x)=0;

y = 3x или y = – 3x; y = 54 x или y = –

54 x.

x

y

-6 -3 3 6

-6

-3

3

6

0

x

y

-10 -5 5 10

-8

-4

4

8

0

№ 846

а) x2 – 6xy + 8y2 = 0; б) 2x2 + 5xy + 2y2 = 0; x2 – 6xy + 9y2 – y2; x2 + 2,5xy + y2 = 0; (x – 3y)2 – y2; x2 + 2,5xy + 1,5625y2 – 0,5625y2 = 0; (x – 4y)(x – 2y) = 0; (x + 1,25y)2 – (0,75y)2 = 0;

y = 41 x или y = –

41 x; (x + 0,5y)(x + 2y) = 0; y = – 2x; y=–

21 x;

x

y

-16 -8 8 16

-2

2

4

0

x

y

-4 -2 2 4

-2

2

4

0

x

y

-4 -2 2 4

-2

2

4

0

в) x2 + xy – 2y2; x2 + xy + 0,25y2 – 2,25y2; (x + 0,5y)2 – (1,5y)2; (x – y)(x + 2y) = 0; y = x;

или y = –2х ;

158

г) 3x2 – 10xy + 3y2; 4x2 – 8xy + 4y2 – x2 – y2 – 2xy = 0; (2x – 2y)2 – (x + y)2 = 0; (x – 3y)(3x – y) = 0;

y = 31 x;

или y = 3x.

x

y

-3 -2 -1 1 2 3

-3

-2

-1

1

2

3

0

§ 29. Линейная функция и ее график № 847

а) k = 2, m = 3; б) k = 1, m = −6; в) k = 19, m = −15; г) k = −1, m = 11. № 848

а) k=0,7, m=9,1; б) k=−5,7, m=−3,5; в) k=−0,7, m=9,1; г) k=1,4, m = −2,5. № 849

а) k =31 , m =

54 ; б) k=−

98 , m=−

21 ; в) k =

1715 , m = −

43 ; г) k = −1, m =

71 .

№ 850

а) k =1215 , m = −

27 ; б) k = 2, m =

43 ; в) k =

1519 , m = −

511 ; г) k =

59 , m =

57 .

№ 851

а) k = −43 , m =

45 ; б) k =

31 , m = 2; в) k =

57 , m =

512 ; г) k = −2, m = 2.

№ 852

а) y = − 38 x + 3; k = −

38 , m = 3; б) y =

25 x − 5; k =

25 , m = − 5;

в) y = − 43 x + 3; k = −

43 , m = 3; г) y = −

57 x + 7; k = −

57 , m = 7.

№ 853 а) y = − 12x + 17; k = −12, m = 17; б) y = − 19x + 5; k = −19, m = 5; в) y = − 36x + 40; k = −36, m = 40; г) y = − 15x + 53; k = − 15, m = 53.

№ 854 а) y = x − 9; k = 1, m = −9; б) y = 7x + 11; k = 7, m = 11; в) y = x + 15; k = 1, m = 15; г) y = 35x − 8. k = 35, m = −8.

159

№ 855

а) y = − 65 x; k = −

65 , m = 0; б) y =

97 x −

911 ; k =

97 , m = −

911 ;

в) y = 1215 x; k =

1215 , m = 0; г) y = −

32 x + 19. k = −

32 , m = 19.

№ 856 а) y = 5 · 1 + 6 = 11; б) y = 7 · 0 − 8 = − 8; в) y = 12 · 3 + 1 = 37; г) y = 9 · 2 − 7 = 11.

№ 857 а) y = 2 · 3 + 1 = 7; б) y = 2 · 4,5 + 1 = 10; в) y = 2 · (−2) + 1 = −3; г) y = 2 · (−3,8) + 1 = −6,6.

№ 858 а) y = 0,5 · 6 − 4 = −1; б) y = 0,5 · 3,2 − 4 = 2,4; в) y = 0,5 · (−7) − 4 = −7,5; г) y = 0,5 · (−8,9) − 4 = −8,45.

№ 859 а) 5x − 3,5 = 13,5; 5x = 17; x = 3,4; б) 5x − 3,5 = 0; 5x = 3,5; x = 0,7;

в) 5x − 3,5 = −3,5; 5x = 0; x = 0; г) 5x − 3,5 = − 6,5. 5x = − 3; x = −53 .

№ 860 а) 4,3x + 2,8 = 24,3; 4,3x = 21,5; x = 5; б) 4,3x + 2,8 = 13,55; 4,3x = 10,75; x = 2,5; в) 4,3x + 2,8 = 4,52; 4,3x = 1,72; x = 0,4; г) 4,3x + 2,8 = − 1,07. 4,3x = − 3,87; x = −0,9.

№ 861 а) y = 5x + 6; б) y = 2x − 1;

x 0 −2 x 0 4 y 6 −4 y −1 7

X

Y

-8 -6 -4 -2 2 4 6 8

-8

-6

-4

-2

2

4

6

8

0X

Y

-8 -6 -4 -2 2 4 6 8

-8

-6

-4

-2

2

4

6

8

0

160

в) y = 2x + 6; г) y = 3x − 4; x 0 −2 x 0 2 y 6 2 y −4 2

X

Y

-8 -6 -4 -2 2 4 6 8

-8

-6

-4

-2

2

4

6

8

0

X

Y

-8 -6 -4 -2 2 4 6 8

-8

-6

-4

-2

2

4

6

8

0

№ 862

а) y = x + 2; б) y = x − 3; x 0 2 x 0 3 y 2 4 y −3 0

X

Y

-8 -6 -4 -2 2 4 6 8

-8

-6

-4

-2

2

4

6

8

0

X

Y

-8 -6 -4 -2 2 4 6 8

-8

-6

-4

-2

2

4

6

8

0

161

в) y = x + 5; г) y = x − 1.

x 0 −2 X 0 2 y 5 3 y −1 1

X

Y

-8 -6 -4 -2 2 4 6 8

-8

-6

-4

-2

2

4

6

8

0

X

Y

-8 -6 -4 -2 2 4 6 8

-8

-6

-4

-2

2

4

6

8

0

№ 863

а) y = 4x − 6; б) y = 5x + 7;

X 1 3 X 0 −2 y −2 6 y 7 3

X

Y

-8 -6 -4 -2 2 4 6 8

-8

-6

-4

-2

2

4

6

8

0

X

Y

-8 -6 -4 -2 2 4 6 8

-21

-14

-7

7

14

21

0

162

в) y = 3x − 3; г) y = 2x + 1.

X 0 2 X 0 −2 y −3 3 Y 1 −3

X

Y

-9 -6 -3 3 6 9

-9

-6

-3

3

6

9

0

X

Y

-4 -2 2 4

-4

-2

2

4

0

№ 864 а) y = −x + 2; б) y = −x − 3;

X 0 2 X 0 2 Y 2 0 Y −3 −5

X

Y

-4 -2 2 4

-4

-2

2

4

0X

Y

-9 -6 -3 3 6 9

-9

-6

-3

3

6

9

0

163

в) y = −x + 1; г) y = −x − 8. X 0 −2 X 0 −2 Y 1 3 Y 1 −3

X

Y

-4 -2 2 4

-4

-2

2

4

0X

Y

-16 -12 -8 -4 4 8 12 16

-16

-12

-8

-4

4

8

12

16

0

№ 865 а) y = −3x + 2; б) y = −4x + 1;

X 0 2 X 0 −1 Y 2 −4 Y 1 5

X

Y

-8 -6 -4 -2 2 4 6 8

-8

-6

-4

-2

2

4

6

8

0

X

Y

-8 -6 -4 -2 2 4 6 8

-8

-6

-4

-2

2

4

6

8

0

164

в) y = −7x + 3; г) y = −5x + 2.

X 0 1 X 0 2 Y 3 −4 Y 2 −8

X

Y

-8 -6 -4 -2 2 4 6 8

-8

-6

-4

-2

2

4

6

8

0X

Y

-12 -8 -4 4 8 12

-12

-8

-4

4

8

12

0

№ 866

а) y = 0,4x + 2; б) y = 3,5x − 1;

X 0 5 X 0 2 Y 2 4 Y −1 6

X

Y

-5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5

-5-4-3-2-1

12345

0X

Y

-6 -4 -2 2 4 6

-6

-4

-2

2

4

6

0

165

в) y = 0,2x − 4; г) y = 2,5x + 5.

X 0 10 X 0 −2 Y −4 −2 Y 5 0

X

Y

-15 -10 -5 5 10 15

-6

-4

-2

2

4

6

0X

Y

-6 -4 -2 2 4 6

-15

-10

-5

5

10

15

0

№ 867 а) y = −2,5x − 3; б) y = −0,5x + 1;

X 0 −2 X 0 −4 Y −3 2 Y 1 3

X

Y

-6 -4 -2 2 4 6

-3

-2

-1

1

2

3

0X

Y

-6 -4 -2 2 4 6

-3

-2

-1

1

2

3

0

166

в) y = −1,5x + 8; г) y = −3,5x − 2. X 2 4 X 0 −2 Y 5 2 Y −2 5

X

Y

-6 -4 -2 2 4 6

-6

-4

-2

2

4

6

0X

Y

-6 -4 -2 2 4 6

-6

-4

-2

2

4

6

0

№ 868

а) S = 1,5t + 0,5; б) S = −3,5t + 4,5; T 1 3 T 1 3 S 2 6 S 1 −6

t

s

-6 -4 -2 2 4 6

-6

-4

-2

2

4

6

0t

s

-6 -4 -2 2 4 6

-6

-4

-2

2

4

6

0

167

в) S = −4,5t − 2,5; г) S = 2,5t − 3,5. T −1 1 T 1 3 S 2 −7 S −1 4

t

s

-3 -2 -1 1 2 3

-8

-6

-4

-2

2

4

6

8

0t

s

-3 -2 -1 1 2 3

-6

-4

-2

2

4

6

0

№ 869

а) S = 32 t − 1; б) S = −

21 t + 1;

T 0 3 T 0 6 S −1 1 S 1 −2

t

s

-3 -2 -1 1 2 3

-3

-2

-1

1

2

3

0t

s

-6 -4 -2 2 4 6

-3

-2

-1

1

2

3

0

168

в) S = 21 t − 2; г) S = −

32 t + 1.

T 0 4 T 0 3 S −2 0 S 1 −1

t

s

-6 -4 -2 2 4 6

-3

-2

-1

1

2

3

0

t

s

-6 -4 -2 2 4 6

-3

-2

-1

1

2

3

0

№ 870

а) u = 41 z +

41 ; б) y =

31 x −

31 ;

Z 3 −1 X 1 4 u 1 0 Y 0 1

z

u

-6 -4 -2 2 4 6

-3

-2

-1

1

2

3

0

X

Y

-4 -3 -2 -1 1 2 3 4

-4

-3

-2

-1

1

2

3

4

0

169

в) b = 35 a +

31 ; г) S =

103 t +

52 .

A 1 −2 T 2 7 B 2 −3 S 1 2,5

a

b

-4 -3 -2 -1 1 2 3 4

-4

-3

-2

-1

1

2

3

4

0t

s

-8 -6 -4 -2 2 4 6 8

-4

-3

-2

-1

1

2

3

4

0

№ 871

Для того чтобы найти точку пересечения графика функций аналитиче-ски, приравняем ординаты функций а) x + 4 = 2x; x = 4; y = 4 + 4 = 8. Ответ: (4; 8). б) −x = 3x − 4; x = 1; y = 3 − 4 = −1. Ответ: (1; −1). в) −2x + 3 = 2x − 5; 4x = 8; x = 2; y = 4 − 5 = −1. Ответ: (2; −1). г) 3x + 2 = −0,5x − 5; 3,5x = 7; x = 2; y = 3 · 2 + 2 = 8. Ответ: (2; 8).

№ 872 y = x +4; а) С осью ОX : х + 4 = 0, х = − 4; (−4; 0). С осью ОY : y = 4 + 0 = 4, y = 4; (0; 4). б) При x = −2, y = −2 + 4 = 2. При x = −1, y = −1 + 4 = 3. При x = 0, y = 0 + 4 = 4. При x = 1, y = 1 + 4 = 5. в) x + 4 = 4; x + 4 = 1; x = 0; x = − 3; x + 4 = −2; x + 4 = 7; x = − 6; x = 3. г) Функция возрастает, т.к. ко-эффициент при переменной х больше нуля.

x

y

-8 -6 -4 -2 2 4 6 8

-8

-6

-4

-2

2

4

6

8

0

170

№ 873 y = −4x + 8; а)С осью ОY: y = 8 + 0 = 8; (0; 8). С осью ОХ: −4х + 8 = 0, х = 2; (2; 0). б) При x = 0, y = 0 + 8 = 8. При x = 1, y = −4 + 8 = 4. При x = 2, y = −8 + 8 = 0. При x = 3, y = −12 + 8 = −4. в) −4x + 8 = 0; x = 2; −4x + 8 = 4; x = 1; −4x + 8 = 8; x = 0. г) Функция убывает, т.к. коэффи-циент при переменной х меньше нуля.

№ 874 y = 2x − 1;

а) 2x − 1 = 0; y = 0 · 2 − 1;

x =21 ; y = − 1;

(0,5; 0); (0; − 1). б) При x = −3, y = 2 · (−3) − 1 = = −7. При x = −1, y = 2 · (−1) − 1 = = −3. При x = 2, y = 2 · 2 − 1 = 3.

При x =21 , y = 2 ·

21 − 1 = 0.

в) 2x − 1 = 5; 2x − 1 = −1; 2x − 1 = 7; x = 3; x = 0; x = 4. г) Функция возрастает, т.к. коэффициент при переменной х больше нуля.

№ 875 y = − 0,5x + 2; а) −0,5x + 2 = 0; y = −0,5 · 0 + 2 = 2; x = 4; (4, 0); (0, 2). б) При x = −2, y = −0,5 · (−2) + 2 = 3. При x = 4, y = −0,5 · 4 + 2 = 0. При x = −6, y = −0,5 · (−6) + 2 = 5. в) −0,5x + 2 = 1; x = 2; −0,5x + 2 = 0; x = 4; −0,5x + 2 = 2; x = 0. г) Функция убывает, т.к. коэффициент при переменной х меньше нуля.

x

y

-8 -6 -4 -2 2 4 6 8

-8

-6

-4

-2

2

4

6

8

0

x

y

-8 -6 -4 -2 2 4 6 8

-8

-6

-4

-2

2

4

6

8

0

171

x

y

-8 -6 -4 -2 2 4 6 8

-4

-2

2

4

6

8

0

№ 876 № 877 y = −3x + 6; y = 2x − 6; а) x < 2 ( x = 0, x = −2, x = 1); а) x < 3 ( x = 2, x = 1, x = 0); y > 0; y < 0; б) x = 2; в) x < 2; г) x > 2. б) x = 3; в) x > 3; г) x < 3.

x

y

-6 -4 -2 2 4 6 8

-8

-6

-4

-2

2

4

6

8

0

x

y

-6 -4 -2 2 4 6 8

-8

-6

-4

-2

2

4

6

8

0

№ 878 № 879 y = 3x − 6; y = 4x + 4; а) x > 2; б) x ≤ 2; а) x > −1; б) x ≤ −1; в) x < 2; г) x ≥ 2. в) x < −1; г) x ≥ −1.

x

y

-6 -4 -2 2 4 6 8

-8

-6

-4

-2

2

4

6

8

0

x

y

-3 -2 -1 1 2 3 4

-4

-3

-2

-1

1

2

3

4

0

172

№ 880 № 881 y = −x − 2; y = −2x + 4; а) x < −2; б) x ≥ −2; а) x < 2; б) x ≥ 2; в) x > −2; г) x ≤ −2. в) x > 2; г) x ≤ 2.

x

y

-4 -3 -2 -1 1 2 3 4

-4

-3

-2

-1

1

2

3

4

0x

y

-4 -3 -2 -1 1 2 3 4

-4

-3

-2

-1

1

2

3

4

0

№ 882

y = 2x + 3; а) [0, 1]; б) [−2, 2];

x

y

-8 -6 -4 -2 2 4 6 8

8

-6

-4

-2

2

4

6

8

0

x

y

-8 -6 -4 -2 2 4 6 8

-6

-4

-2

2

4

6

8

0

в) [1, 3]; г) [−1, 1].

x

y

-16 -12 -8 -4 4 8 12 16

-16

-12

-8

-4

4

8

12

16

0

x

y

-8 -6 -4 -2 2 4 6 8

-8

-6

-4

-2

2

4

6

8

0

173

№ 883 y = 2x + 3; а) (−∞, 1); б) (−2, ∞);

x

y

-8 -6 -4 -2 2 4 6 8

-8

-6

-4

-2

2

4

6

8

0x

y

-8 -6 -4 -2 2 4 6 8

-8

-6

-4

-2

2

4

6

8

0

в) (−∞, −2); г) (0, ∞).

x

y

-8 -6 -4 -2 2 4 6 8

-6

-4

-2

2

4

6

8

0x

y

-8 -6 -4 -2 2 4 6 8

-6

-4

-2

2

4

6

8

0

№ 884

y = 2x + 3; а) (−∞, 1]; б) [−2, ∞);

X

Y

-10 -5 5 10

-10

-5

5

10

0

X

Y

-4 -2 2 4

-4

-2

2

4

0

174

в) (−∞, −2]; г) [0, ∞).

X

Y

-4 -2 2 4

-4

-2

2

4

0X

Y

-4 -2 2 4

-4

-2

2

4

0

№ 885

y = 2x + 3; а) (−2, 0); б) (−2, −1);

X

Y

-4 -2 2 4

-4

-2

2

4

0X

Y

-4 -2 2 4

-4

-2

2

4

0

в) (−1, 1); г) (−1, 3).

X

Y

-6 -4 -2 2 4 6

-6

-4

-2

2

4

6

0x

y

-8 -6 -4 -2 2 4 6 8

-8

-6

-4

-2

2

4

6

8

0

175

№ 886 y = −3x + 1; а) [1, 2); б) (−2, 1];

X

Y

-6 -4 -2 2 4 6

-6

-4

-2

2

4

6

0

X

Y

-8 -6 -4 -2 2 4 6 8

-8-6-4-2

2468

0

в) [0, 1); г) (−1, 0].

X

Y

-4 -3 -2 -1 1 2 3 4

-4-3-2-1

1234

0

X

Y

-6 -4 -2 2 4 6

-6

-4

-2

2

4

6

0

№ 887

y = −3x + 1; а) (−∞, 0]; б) (2, ∞);

X

Y

-6 -4 -2 2 4 6

-6

-4

-2

2

4

6

0

X

Y

-6 -4 -2 2 4 6

-6

-4

-2

2

4

6

0

176

в) (−∞, 0); г) [1, +∞).

X

Y

-6 -4 -2 2 4 6

-4

-2

2

4

6

0

X

Y

-6 -4 -2 2 4 6

-4

-2

2

4

6

0

№ 888

y = −3x + 1; а) [0, 2]; б) (1, 3);

X

Y

-6 -4 -2 2 4 6

-6

-4

-2

2

4

6

0

X

Y

-8 -6 -4 -2 2 4 6 8

-8-6-4-2

2468

0

в) [−1, 1); .г) (−2, 1].

X

Y

-6 -4 -2 2 4 6

-4

-2

2

4

6

0 X

Y

-8 -6 -4 -2 2 4 6 8

6-4-2

2468

0

№ 889

Линейная функция монотонна, значит, для того чтобы найти наиболь-шее и наименьшее значения, нужно вычислить значения функции на концах отрезка.

177

а) −2 + 3 = 1, −1 + 3 = 2. Ответ: 1 − наименьшее; 2 − наибольшее. б) −(−1) + 5 = 6, −4 + 5 = 1. Ответ: 1 − наименьшее; 6 − наибольшее. в) −3 + 3 = 0, −1 + 3 = 2. Ответ: 0 − наименьшее; 2 − наибольшее. г) −2 + 5 = 3, −5 + 5 = 0. Ответ: 0 − наименьшее; 3 − наибольшее.

№ 890 Линейная функция монотонна, значит, для того чтобы найти наиболь-шее и наименьшее значения, нужно вычислить значения функции на концах отрезка. а) 4 · (−1)−1=−5, 4 · 2−1=7. Ответ: −5 − наименьшее; 7 − наибольшее. б) −2 · 0+5=5, −2 · 4+5=−3. Ответ: −3 − наименьшее; 5 − наибольшее. в) 3 · (−1)−2=−5, 3 · 1−2=1. Ответ: −5 − наименьшее; 1 − наибольшее. г) −5 · 0+7=7, −5 · 2+7=−3. Ответ: −3 − наименьшее; 7 − наибольшее. № 891 № 892 y = 3x − 9; y = −2x + 6; а) (3; 0), (0; −9); б) x < 3; а) (3; 0), (0; 6); б) [4, 5]; в) x > 3; г) −6; −3. в) x < 3; г) −2; 8.

X

Y

2 -9 -6 -3 3 6 9 12

-12-9-6-3

369

12

0

X

Y

-9 -6 -3 3 6 9 12

-12-9-6-3

369

12

0

№ 893 № 894 y = x + 5; y = −3x + 6; а) (−5; 0), (0; 5); б) x < −5; а) (2; 0), (0; 6); б) [3, 8]; в) [0, 1]; г) 1; 6. в) x < 2; г) 0; 3.

X

Y

-15 -10 -5 5 10 15

-10

-5

5

10

15

0

X

Y

-6 -4 -2 2 4 6

-4

-2

2

4

6

0

178

№ 895 а) y = 7,5x + 45; б) y = 2,6x − 7,8; 7,5x + 45 = 0; y = 7,5 · 0 + 45; 2,6x − 7,8 = 0; y = 2,6 · 0 − 7,8; x = −6; y = 45; x = 3; y = −7,8. Ответ: (−6; 0), (0; 45). Ответ: (3, 0), (0; −7,8). в) y = 3,4x − 27,2; г) y = 18,1x + 36,2; 3,4x − 27,2 = 0; y =3,4 · 0 − 27,2; 18,1x + 36,2 = 0; y = 18,1 · 0 +36,2; x = 8; y = −27,2; x = 3; y = 36,2. Ответ: (8; 0), (0; −27,2). Ответ: (3, 0), (0; 36,2).

№ 896 Для того, чтобы выяснить проходит ли график функции через данную точку, нужно подставить значения абсциссы и ординаты точки в уравнение и посмотреть обращается ли уравнение в верное равенство. y = 3,2x − 5; а) 3,2 · 3 − 5 = 4,6 − верно, значит, проходит; б) 3,2 · 1,2 − 5 = 0 − неверно, значит, не проходит; в) 3,2 · 7,5 − 5 = 4 − неверно, значит, не проходит; г) 3,2 · 2,2 − 5= 2,04 − верно, значит, проходит.

№ 896 а) Заданный промежуток является интервалом, следовательно, наи-большего и наименьшего значений не существует. б) Функция убывает, значит, наибольшее значение в начале промежут-ка, а наименьшее в конце. Но в конце промежутка стоит знак +∞, сле-довательно, наименьшего значения не существует. Наибольшее = −0,5 · (−2) + 1 = 2. в) Функция возрастает, значит, наименьшее значение в начале проме-жутка, а наибольшее в конце. Наибольшее = 2,5 · 1 − 4 = −1,5, 2,5 · 2 − 4 = 1. г) Функция возрастает, значит, наименьшее значение в начале проме-жутка, а наибольшее в конце. Но в начале промежутка стоит знак −∞, следовательно, наименьшего значения не существует. Наибольшее = 2,5 · 0 − 4 = − 4.

№ 898 а) Функция возрастает, значит, наименьшее значение в начале проме-

жутка, а наибольшее в конце. Наибольшее=41 · (−4)+2=1,

41 · 4 + 2 = 3.

б) Функция возрастает, значит, наименьшее значение в начале проме-жутка, а наибольшее в конце. Но в конце промежутка стоит знак +∞, следовательно, наибольшего значения не существует.

Наименьшее = 41 · 0 + 2 = 2.

179

в) Функция убывает, значит, наибольшее значение в начале промежут-ка, а наименьшее в конце. Но в начале промежутка стоит знак −∞, сле-довательно, наибольшего значения не существует. Наименьшее = −1/3 · 6 − 1 = −3. г) Заданный промежуток является интервалом, следовательно, наи-большего и наименьшего значений не существует.

№ 899 а) x = 3x − 12; 2x = 12; x = 6. Ответ: (6; 6). б) x = 5x + 4; 4x = −4; x = − 1. Ответ: (−1; −1).

№ 900 а) −x = 2x + 9; 3x = −9; x = −3. Ответ: (−3; 3). б) −x = −3x + 8; 2x = 8; x = 4. Ответ: (4; −4).

№ 901 а) 2x = x + 15; x = 15; y = 2 · 15 = 30. Ответ: (15; 30). б) y = 6y − 35; y = 7; x = 3 · 7 = 21. Ответ: (21; 7).

№ 902 y = −5x + m; а) −5 · 1 + m = 2; m = 7; б) −5 · 0,5 + m = 4; m = 6,5; в) −5 · (−7) + m = 8; m = −27; г) −5 · 1,2 + m = −3. m = 3.

№ 903 y = kx + 4;

а) 3k + 4 = 5; k =31 ; б)

21 k + 4 = 1; k = −6;

в) −6k + 4 = −8; k = 2; г) 31 k + 4 = −8. k = −36.

№ 904 Так как функция y = 2x − 3 возрастает, А = 2 · 2 − 3 = 1. Так как функция y = 0,5x − 4 возрастает, B = 2 · 0,5 − 4 = −3. Следовательно, A > B.

X

Y

-6 -4 -2 2 4 6

-6

-4

-2

2

4

6

0

A

B

180

№ 905 Из того что функция y = x − 4 возрастает следует, что С = 0 − 4 = −4. Из того что функция y = 4 − x убывает следует, что D = 4 − 1 = 3. Следовательно, D > C.

№ 906 y = kx + m. а) Из того, что линейная функция проходит через первый и третий ко-ординатные углы следует, что она возрастает, т. е. k > 0. Но еще извест-но, что функция проходит через второй координатный угол. Откуда следует, что m > 0. б) Из того, что линейная функция проходит через второй и четвертый координатные углы следует, что она убывает, т. е. k < 0. Но еще извест-но, что функция проходит через первый координатный угол. Откуда следует, что m > 0. в) Из того, что линейная функция проходит через первый и третий ко-ординатные углы следует, что она возрастает, т. е. k > 0. Но еще извест-но, что функция проходит через четвертый координатный угол. Откуда следует, что m < 0. г) Из того, что линейная функция проходит через второй и четвертый координатные углы следует, что она убывает, т. е. k < 0. Но еще извест-но, что функция проходит через третий координатный угол. Откуда следует, что m < 0.

№ 907 y = kx + m. а) Видно, что если мы подставим любое x > 0, то получим, что y > 0, следовательно, график функции проходит через первый координатный угол. Если же мы подставим любое x < 0, то получим, что y < 0, следо-вательно, график проходит через третий координатный угол. График не проходит через второй и четвертый координатные углы, (не учитывая точку (0; 0) ) потому что m = 0. Ответ: график функции проходит через 1 и 3 координатные углы. б) Видно, что если мы подставим любое x > 0, то получим, что y < 0, следовательно, график функции проходит через первый координатный угол. Если же мы подставим любое x < 0, то получим, что y > 0, следо-вательно, график проходит через третий координатный угол. График не проходит через второй и четвертый координатные углы (не учитывая точку (0; 0) ) потому, что m = 0. Ответ: график функции проходит через 2 и 4 координатные углы.

X

Y

-4 -2 2 4 6

-6

-4

-2

2

4

6

0

D

C

181

№ 908 y = p2 − 2px; а) p2 − 2p = 3; б) p2 = 9; p2 − 2p − 3 = 0; p2 − 9 = 0; p2 + p − 3p − 3 = 0; (p − 3)(p + 3) = 0; p(p + 1) − 3(p + 1) = 0; p = 3 или p = −3; p = 3 или p = −1; в) p2 = −4; г) p2 + 4p = 5; Но квадрат числа не может p2 + 4p − 5 = 0; равняться отрицательному p2 + p − 5p = 0; числу, значит не при каких p. p(p + 1) − 5(p + 1) = 0;

p = 5 или p = −1.

§ 30. Прямая пропорциональность и ее график № 909

а) да; б) да; в) да; г) да. № 910

а) да; б) да; в) да; г) нет, потому что прямая пропорциональность задается уравнением вида y = kx, где k − произвольное число.

№ 911 а) 1; б) −8; в) 15; г) −1.

№ 912 а) 0,1; б) −7,5; в) −6,06; г) 5,4.

№ 913

а)145 ; б) −

31 ; в) −

171 ; г)

211 .

№ 914 а) y = 5x; б) y = −4x;

x 0 1 x 0 2 y 0 5 y 0 −8

X

Y

-6 -4 -2 2 4 6

-4

-2

2

4

6

0

X

Y

-4 -2 2 4 6

-4

-2

2

4

6

0

182

в) y = −2x; г) y = 6x. x 0 3 x 0 −1 y 0 −6 y 0 −6

X

Y

-6 -4 -2 2 4 6

-6

-4

-2

2

4

6

0

X

Y

-6 -4 -2 2 4 6

-6

-4

-2

2

4

6

0

№ 915

а) y = 2x; б) y = −3x;

X

Y

-4 -2 2 4 6

-6

-4

-2

2

4

6

0

X

Y

-4 -2 2 4 6

-6

-4

-2

2

4

6

0

в) y = −6x; г) y = x.

X

Y

-4 -2 2 4 6

-6

-4

-2

2

4

6

0

X

Y

-4 -2 2 4 6

-6

-4

-2

2

4

6

0

183

№ 916 а) S = 0,5t; б) S = −1,2t;

t

s

-6 -4 -2 2 4 6

-6

-4

-2

2

4

6

0

t

s

-6 -4 -2 2 4 6

-6

-4

-2

2

4

6

0

в) S = 73 t; г) S = −

2t .

t

s

-6 -4 -2 2 4 6

-6

-4

-2

2

4

6

0

t

s

-6 -4 -2 2 4 6

-6

-4

-2

2

4

6

0

№ 917 а) 3k = 12; k = 4, функция возрастает; б) 5k = 25; k = 5, функция возрастает; в) −9k = 45; k = −5, функция убывает; г) −11k = −99; k = 9, функция возрастает.

№ 918 а) y = kx; 2k = 8; б) y = kx; −16k = 32; k = 4; y = 4x; k = −2; y = −2x;

184

X

Y

-6 -4 -2 2 4 6

-6

-4

-2

2

4

6

0

x

y

-6 -4 -2 2 4 6

-6

-4

-2

2

4

6

0

в) y = kx; 3k = −18; г) y = kx; 6k = 9;

k = −6; y = −6x; k =23 ; y =

23 x.

x

y

-6 -4 -2 2 4 6

-6

-4

-2

2

4

6

0

x

y

-6 -4 -2 2 4 6

-6

-4

-2

2

4

6

0

№ 919

B(1; 4). а) y = 2x; 4 ≠ 2 · 1, значит, не проходит; б) y = −2x; 4 ≠ −2 · 1, значит, не проходит; в) y = 4x; 4 = 4 · 1, значит, проходит; г) y = −4x; 4 ≠ −4 · 1, значит, не проходит.

№ 920 S = kt.

а) 5k = 7; k = 57 = 1,4; S = 1,4t; б) 2k = 8; k = 4; s = 4t;

в) 3k = −9; k = −3; s = −3t; г) −4k = 12. k = −3; s = −3t. № 921

A(0; 0) y = −2x; 0 = −2 · 0, значит принадлежит; B(2; −4) y = −2x; −4 = −2 · 2, значит принадлежит;

185

C(5; 3) y = −2x; 3 ≠ −2 · 5, значит не принадлежит; D(−4; 8) y = −2x; 8 = −2 · (−4), значит принадлежит.

№ 922

а) y = 4,5x. б) y = 41 x.

Внутри первого и третьего. Внутри первого и третьего.

x

y

-9 -6 -3 3 6 9

-6

-3

3

6

9

0

x

y

-8 -6 -4 -2 2 4 6 8

-6-4-2

2468

0

в) y = −2,5x. г) y = − 61 x.

Внутри второго и четвертого. Внутри второго и четвертого.

x

y

-5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5

-3-2-1

12345

0

x

y

-12 -6 6 12

-6

6

12

0

№ 923 № 924 y = 0,4x; y = −2,5x; а) 0; 2; 4; −2; б) 0; 5; 10; −5; а) 0; −5; 5; б) 0; 2; −2; в) y > 0; г) y < 0. в) y ≥ 0; г) y ≤ 0.

x

y

-5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5

-4-3-2-1

12345

0

x

y

-5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5

-4-3-2-1

12345

0

186

№ 925 а) Функция возрастает, следовательно, наименьшее значение будет в начале промежутка, а наибольшее в конце. Ответ: 0; 3. б) Функция возрастает, следовательно, наименьшее значение будет в начале промежутка, а наибольшее в конце. Но в конце промежутка сто-ит знак +∞, значит, наибольшего значения не существует. Ответ: 3 − наименьшее. в) Функция возрастает, следовательно, наименьшее значение будет в начале промежутка, а наибольшее в конце. Но в начале промежутка стоит знак −∞, значит, наименьшего значения не существует. Ответ: −3 − наибольшее. г) Функция возрастает, следовательно, наименьшее значение будет в начале промежутка, а наибольшее в конце. Ответ: −3; 3.

№ 926 а) Функция убывает, следовательно, наименьшее значение будет в кон-це промежутка, а наибольшее в начале. Но промежуток является полу-интервалом (конец промежутка в промежуток не включается), следова-тельно, наименьшего значения не существует. Ответ: 4 − наибольшее. б) Функция убывает, следовательно, наименьшее значение будет в кон-це промежутка, а наибольшее в начале. Но в конце промежутка стоит знак +∞, значит, наименьшего значения не существует. Ответ: 0 − наибольшее. в) Функция убывает, следовательно, наименьшее значение будет в кон-це промежутка, а наибольшее в начале. Но в начале промежутка стоит знак −∞, значит, наибольшего значения не существует. Ответ: −2 − наименьшее. г) Функция убывает, следовательно, наименьшее значение будет в кон-це промежутка, а наибольшее в начале. Но промежуток является полу-интервалом (начало промежутка в промежуток не включается), следо-вательно, наибольшего значения не существует. Ответ: 0 − наименьшее.

№ 927

а) y = 2x; б) y = −x; в) y = 51 x; г) y = −3x.

№ 928 Из того, что функция возрастает, следует, что знак углового коэффици-ента линейной функции − «+». А из того, что функция убывает, следует, что знак углового коэффициента линейной функции − «−»; а) положителен; б) положителен; в) отрицателен; г) отрицателен.

187

№ 929 а) k > 0, m > 0; б) k > 0, m < 0; в) k < 0, m > 0; г) k < 0, m < 0.

№ 930 а) Функция возрастает, следовательно, наименьшее значение будет в начале промежутка, а наибольшее в конце. Ответ: 0; 2. б) Функция возрастает, следовательно, наименьшее значение будет в начале промежутка, а наибольшее в конце. Но в конце промежутка сто-ит знак +∞, значит, наибольшего значения не существует. Ответ: −2 − наименьшее. в) Функция возрастает, следовательно, наименьшее значение будет в начале промежутка, а наибольшее в конце. Но в начале промежутка стоит знак −∞, значит, наименьшего значения не существует. Ответ: 0 − наибольшее. г) Заданный промежуток является интервалом, следовательно, наи-большего и наименьшего значений не существует.

№ 931 а) Функция убывает, следовательно, наименьшее значение будет в кон-це промежутка, а наибольшее в начале. Ответ: −3; 3. б) Заданный промежуток является интервалом, следовательно, наи-большего и наименьшего значений не существует. в) Функция убывает, следовательно, наименьшее значение будет в кон-це промежутка, а наибольшее в начале. Но в конце промежутка стоит знак +∞, значит, наименьшего значения не существует. Ответ: 3 − наибольшее. г) Функция убывает, следовательно, наименьшее значение будет в кон-це промежутка, а наибольшее в начале. Но промежуток является полу-интервалом (начало промежутка в промежуток не включается), следо-вательно, наибольшего значения не существует. Ответ: −3 − наименьшее.

№ 932

x

y

-12 -6 6 12

-12

-6

6

12

0

y = x + 3

y = -3xy = 3x

188

№ 933 а) Задание не корректно, так как прямые параллельны и значит не пере-секаются; б) 3x = 2x − 1; x = −1, y = 3 · (−1) = −3. Ответ: (−1; −3). в) Задание не корректно, так как прямые параллельны и значит не пере-секаются; г) x + 3 = 4; x = 1, y = 4. Ответ: (1; 4).

№ 934

а) y = x + 3; б) y = 2x − 1; в) y = 2 − x; г) y = −21 x − 2.

№ 935

а) y = 21 x + 2; б) y = −2x − 4; в)

32 x − 4; г) 1,5x + 2.

§ 31. Взаимное расположение графиков линейных функций № 936

Если угловые коэффициенты прямых совпадают, то прямые параллель-ны, если же их уравнения полностью совпадают, то прямые тоже сов-падают. В остальных случаях они пересекаются; а) параллельны; б) пересекаются; в) совпадают; г) пересекаются.

№ 937 Если угловые коэффициенты прямых совпадают, то прямые параллель-ны, если же их уравнения полностью совпадают, то прямые тоже сов-падают. В остальных случаях они пересекаются; а) совпадают; б) пересекаются; в) параллельны; г) пересекаются.

№ 938 Если угловые коэффициенты прямых совпадают, то прямые параллель-ны, если же их уравнения полностью совпадают, то прямые тоже сов-падают. В остальных случаях они пересекаются; а) параллельны; б) параллельны; в) совпадают; г) параллельны.

№ 939 а) y = 8x + 12 и y = 8x − 3; б) y = 6x + 5 и y = 6x + 7; в) y = −7x + 6 и y = 12 − 7x; г) y = 4x − 1 и y = 4x + 11.

№ 940 а) y = 3x + 5 и y = 3x + 7; б) y = −6x − 3 и y = −6x + 1; в) y = 45x − 9 и y = 45x + 7; г) y = 1,3x + 21 и y = 1,3x − 11.

№ 941 а) y = 6x + 1 и y = 5x − 3; б) y = −6x + 5 и y = 9x − 1; в) y = 7x + 8 и y = 3x − 4; г) y = 2x − 15 и y = 3x + 2.

189

№ 942 а) y = 2x + 5 и y = 2x −(−5); б) y = 2x − 1 и y = 3x + 3; в) y = 2x − 6 и y = 3x − 7; г) y = 2x + 17 и y = 3x + 9.

№ 943 а) Задание определено не корректно, потому что какой бы мы число не поставили вместо звездочки, уравнения прямых не будут идентичны. б) y = 5x + 8 и y = 5x + 8. в) y = 6x − 3 и y = 6x − 3. г) Задание определено не корректно, потому что какое бы мы число не поставили вместо звездочки, уравнения прямых не будут идентичны.

№ 944 а) Задание определено не корректно, потому что какое бы мы число не поставили вместо звездочки, уравнения прямых не будут идентичны. б) y = 4,5x − 2 и y = 4,5x − 2; в) y = 0,35x − 3 и y = 0,35x − 3; г) y = 2x + 5 и y = 2x + 5.

№ 945 а) 2x + 3 = 3x + 2; x = 1, y = 2 · 1 + 3 = 5. Ответ: (1; 5). б) Задание не корректно, потому что прямые параллельны. в) 7x + 4 = −x + 4; x = 0, y = 7 · 0 + 4 = 4. Ответ: (0; 4). г) Задание не корректно, потому что прямые параллельны.

№ 946 а) Прямые совпадают, следовательно, точек пересечения бесконечно много. Укажем одну из них (0; 17); б) −3x + 4 = 2x − 1; 5x = 5; x = 1, y = 2 · 1 − 1 = 1. Ответ: (1; 1). в) Прямые совпадают, следовательно, точек пересечения бесконечно много. Укажем одну из них (0; −8); г) −5x + 3 = x − 3; 6x = 6; x = 1, = 1 − 3 = −2. Ответ: (1; −2).

№ 947 а) Задание не корректно, потому что прямые параллельны. б) Прямые совпадают, следовательно, точек пересечения бесконечно много. Укажем одну из них (0; 4). в) Задание не корректно, потому что прямые параллельны. г) 79x = 75x; x = 0, y = 79 · 0 = 0. Ответ: (0; 0).

№ 948 k1 = k2 = 1; m1 = 2; m2 = 0.

№ 949 k1 = k2 = 1; m1 = 2; m2 = 0.

190

№ 950 a1 = 2; a2 = 3; b1 = 5; b2 = 5; 2x + 5 = 3x + 5; x = 0, y = 5; (0; 5) − точка пересечения.

№ 951 Из того что прямая y = ax + b проходит через начало координат следует, что b = 0. Значит, уравнение прямой имеет вид : y = ax. Прямая y = ax проходит через третий координатный угол (она там пере-секается с прямой y = kx + m). Из этого следует, что a > 0. Прямая y = kx + m проходит через третий координатный угол значит либо (k > 0) либо (k < 0 и m < 0). Но второй случай не подходит, потому что во втором случае прямая y = kx + m проходит через второй коорди-натный угол. Итак k > 0. Если m ≥ 0 то прямая проходит через второй координатный угол (если учитывать, что точка (0; 0) принадлежит второму коорди-натному углу). Значит, m < 0. Ответ: a > 0; b = 0; k > 0; m < 0

№ 952 Прямая y = kx + m не проходит через третий координатный угол значит k < 0 и m > 0 (считается что точка (0; 0) не принадлежит не одному из координатных углов). Рассмотрим прямую y = ax + b. 1.Случай a ≤ 0, тогда для того чтобы эта прямая проходила через пер-вый координатный угол, необходимо чтобы b было больше 0. 2.Случай a > 0. Прямая всегда проходит через первый координатный угол. Но она также должна проходить через третий координатный угол, что выполнимо только при b > 0. Ответ: k < 0; m > 0; a − может иметь любое значение; b > 0.

ГЛАВА 7. Функция y = x2

§ 32. Функция y = x2 и ее график № 953

а) y =x2 = 12 = 1; б) y = 32 = 9; в) y = 22 = 4; г) y = 02 = 0. № 954

а) y = (− 2) 2 = 4; б) y = (− 1,5) 2; в) y = (− 3) 2; г) y = (− 0,5) 2 = 0,25. № 955

а)945

949

37

312

22

==⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛=⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛=y ; б) 945

37

312

22

=⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛−=⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛−=y ;

в) 16910

16169

413

413

22

==⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛−=⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛−=y ; г) 16910

413

313

22

=⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛=⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛=y .

191

№ 956 а) x2 = 4; x2 − 4 = 0; (x − 2)(x + 2) = 0; x = 2; x = − 2; б) x2 = 9; x2 − 9 = 0; (x − 3)(x + 3) = 0; x = 3; x = − 3; в) x2 = 1; x2 − 1 = 0; (x − 1)(x + 1) = 0; x = 1; x = − 1; г) x2 = 16; x2 − 16 = 0; (x − 4)(x + 4)= 0; x = 4; x =− 4.

№ 957 а) x2 = 0,25; x2 − 0,25 = 0; (x − 0,5)(x + 0,5) = 0; x = 0,5; x = − 0,5; б) x2 = 6,25; x2 − 6,25 = 0; (x − 2,5)(x + 2,5) = 0; x = 2,5; x = − 2,5; в) x2 = 2,25; x2 − 2,25 = 0; (x − 1,5)(x + 1,5) = 0; x = 1,5; x = − 1,5; г) x2 = 0; x = 0.

№ 958 а) 2; − 2;б) 1; − 1;в) 0; 3;г)4; 5.

№ 959 а) 2; 1;б) − 1; 0;в) 0,2; − 0,2; г) таких значений нет, потому что квадрат числа всегда ≥ 0.

№ 960 а) 22 = 4, значит, принадлежит; б) 32 = 9, значит не принадлежит; в) 42 = 8, значит, не принадлежит; г) (− 3) 2 = 9 значит принадлежит.

№ 961 а) (0,5) 2 = 0,25, значит, принадлежит; б) (1,2) 2 = 1,44, значит, не принадлежит; в) (1,5) 2 = 2,25 значит, не принадлежит; г) (− 2,5) 2 = 6,25 значит, принадлежит.

№ 962 Точка принадлежит графику функции, если ее координаты x и y удовле-творяют уравнению функции. Тогда непосредственной проверкой легко убедиться, что: а) да; б) да; в) да; г) нет.

№ 963 y = x2;

y 0 1 − 1 2 − 2 x 0 1 1 4 4

а) при x = 0; б) при −∞<x<0 и при 0<x<+∞; в) ни при каких x.

X

Y

-3 -2 -1 1 2 3

-2

-1

1

2

3

4

5

6

0

192

№ 964 а) наибольшее 1; б) наибольшее 9; наименьшее 0; наименьшее 0; [− 1;1]; [− 3;2]; в) наибольшее не существует; г) наибольшее 9; наименьшее 0; наименьшее 0; (− 2;1]; [− 1;3].

№ 965 а) наибольшее не существует; б) наибольшее 9 наименьшее 0; наименьшее 0; [− 2;3); [− 3;0]; в) наибольшее 9; г) наибольшее не существует; наименьшее 0; наименьшее 0; [− 2;3]; (− 3;2).

№ 966 а) наибольшее 4; б) наибольшее 9; наименьшее 0; наименьшее (− 1); (− 2;2]; [− 3;− 1]; в) наибольшее не существует; г) наибольшее не существует; наименьшее 0; наименьшее 0; (− 2;3); (− 1;3).

№ 967 а) наибольшее 9; б) наибольшее 9; наименьшее не существует; наименьшее не существует; [− 3;−2); ( 2;3]; в) наибольшее 9; г) наибольшее 9; наименьшее не существует; наименьшее не существует; (0;3); [− 3;− 1).

№ 968 Во всех пунктах, на отрезках функция возрастает, значит наибольшее значение и наименьшее получаем на концах отрезка; а) наибольшее 4; б) наибольшее 22 = 4; наименьшее 1; наименьшее 02 = 0; в) наибольшее 12 = 1; г) наибольшее 32 = 9; наименьшее 02 = 0; наименьшее 22 = 4.

№ 969 а) наибольшее (− 1) 2 = 1; б) наибольшее (− 2) 2 = 4; наименьшее 02= 0; наименьшее (− 1) 2 = 1; в) наибольшее (− 2) 2 = 4; г) наибольшее (− 3) 2 = 9; наименьшее 02 = 0; наименьшее (− 1) 2 = 1.

№ 970 В каждом из этих пунктов промежуткам принадлежит число 0. А как известно все значения функции y = x2 больше либо равны нулю, причем

193

в нуле функция имеет значение 0, т. е. для всех пунктов наименьшим значением будет число 0. Установим только наибольшие значения. а) 12 = 1; б) 32 = 9; в) (− 3) 2 = 9; г) 32 = 9.

№ 971 В каждом из этих пунктов промежуткам принадлежит число 0. А как известно все значения функции y = x2 больше либо равны нулю, причем в нуле функция имеет значение 0, т. е. для всех пунктов наименьшим значением будет число 0.

№ 972 а) 0; б)12 = 1; в) 22 = 4; г) 32 = 9.

№ 973 а) 0; б) 0; в) 0; г) 0.

№ 974 а) x2 = 1; б) x2 = 0; в) x2 = 4; г) x2 = − 3; x2 − 1 = 0; x = 0; x2 − 4 = 0; решений нет; x = 1; x = − 1; x = 2; x = − 2; точек пересечения (1;1), (− 1;1); (0;0); (2;4), (− 2;4); нет.

№ 975 а) x2 = 2x; б) x2 = − 3x; в) x2 = x; г) x2 = − x; x2 − 2x = 0; x2 + 3x = 0; x2 − x = 0; x2 + x = 0; x(x − 2) = 0; x(x + 3) = 0; x(x − 1) = 0; x(x + 1) = 0; x = 0; x = 2; x = 0; x = − 3; x = 0; x = 1; x = 0; x = − 1.

№ 976 а) x2 = x + 2; б) x2 = x − 3; x2 − x − 2 = 0; x2 − x + 3;

x2 + x − 2x − 2 = 0; 0432

412 =++− xx ;

x(x + 1) − 2(x + 1) = 0; 432

21 2

−=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −x ;

(x + 1)(x − 2) =0; решений нет, значит, нет точек x = 2; x = − 1; пересечения; (2;4), (− 1;1); в) x2 = − x + 2; г) x2 = x − 5; x2 + x − 2 = 0; x2 − x + 5 = 0;

x2 − x + 2x − 2 = 0; 0434

412 =++− xx ;

x(x − 1) + 2(x − 1) = 0; 434

21 2

−=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −x ;

(x − 1)(x + 2) =0; решений нет, значит, нет точек x = − 2; x = 1; (− 2;4), (1;1); пересечения.

194

№ 977

а) x2 = 2x + 3; б) x2 = − 35 − 5;

x2 − 2x − 3 = 0; 05352 =++ xx ;

x2 + x − 3x − 3 = 0; 03694

3625

352 =+++ xx ;

(x + 1)(x − 3) = 0; 3694

65 2

−=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +x ;

x = 3; x = − 1; решений нет, значит, нет точек (3;9), (− 1;1); пересечения;

в) x2 = 3 − 2x; г) 5352 −= xx ;

x2 + 2x − 3 = 0; 05352 =+− xx ;

x2 − x + 3x − 3 = 0; 3694

3625

352 −=+− xx ;

x(x − 1) + 3(x − 1) = 0; 3694

65 2

−=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −x ;

(x − 1)(x + 3) =0; решений нет, значит, нет точек x = − 3; x = 1; (1;1), (− 3;9); пересечения.

№ 978 а) (1;3); б) (− 2;2);

X

Y

-4 -2 2 4

2

4

6

8

0

X

Y

-4 -2 2 4

2

4

6

8

0

в) (0;2); г) (− 2;− 1).

195

X

Y

-4 -2 2 4

2

4

6

8

0

X

Y

-4 -2 2 4

2

4

6

8

0

№ 979

а) (0;+ ∞); б) (− 1;+ ∞);

X

Y

-4 -2 2 4

2

4

6

8

0

X

Y

-4 -2 2 4

2

4

6

8

0

в) (− ∞;− 0,5); г) (− ∞;0).

X

Y

-4 -2 2 4

2

4

6

8

0

X

Y

-4 -2 2 4

2

4

6

8

0

№ 980

а) (− ∞;1]; б) (− ∞;− 2];

196

X

Y

-4 -2 2 4

2

4

6

8

0

X

Y

-4 -2 2 4

2

4

6

8

0

в) [2;+ ∞); г) [1;+ ∞).

X

Y

-4 -2 2 4

2

4

6

8

0

X

Y

-4 -2 2 4

2

4

6

8

0

№ 981

а) [0,1); б) [0;2);

X

Y

-4 -2 2 4

2

4

6

8

0

X

Y

-4 -2 2 4

2

4

6

8

0

в) (0;3]; г) (0;2,5].

197

X

Y

-4 -2 2 4

2

4

6

8

0

X

Y

-4 -2 2 4

2

4

6

8

0

№ 982 а) (− 1;3]; б) (− 1;1];

X

Y

-4 -2 2 4

2

4

6

8

0

X

Y

-4 -2 2 4

2

4

6

8

0

в) [− 1;0); г) [− 1;2).

X

Y

-4 -2 2 4

2

4

6

8

0

X

Y

-4 -2 2 4

2

4

6

8

0

№ 983

198

а) наибольшее 22 = 4; б) наибольшее не существует; наименьшее 0; наименьшее 0; в) наибольшее (− 2,5) 2 = 6,25; г) наибольшее не существует; наименьшее 0; наименьшее 0.

№ 984 а) наибольшее не существует; б) наибольшее не существует; наименьшее 0,52 = 0,25; наименьшее 0; в) наибольшее не существует; г) наибольшее не существует; наименьшее 0; наименьшее 0.

№ 985 Везде в этих пунктах в промежутках есть − ∞, значит, наибольшего значения не существует. Найдем наименьшее значение:

а) 0; б) 0; в) 0; г) 251

51 2

=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛− .

№ 986 № 987 A = 0; B = (− 3) 2 = 9, C = 22 = 4, D = − 2 + 3 = 1, значит, B > A. следовательно, C > D.

X

Y

-4 -2 2 4

2

4

6

8

0

B

A

X

Y

-4 -2 2 4

2

4

6

8

0

y = x2

y = 2x + 3

C

D

№ 988

M = 32 = 9, N = − 1, значит M > N.

y = x2

y = x

M

N

X

Y

-4 -2 2 4

2

4

6

8

0

199

№ 989 y = x2; L = (− 1)2 = 1, N =12 = 1, следовательно, L = N.

L NX

Y

-4 -2 2 4

2

4

6

8

0

№ 990

y = x2, P = 0, Q = 0; значит, P = Q.

Q@

P

X

Y

-4 -2 2 4

2

4

6

8

0

№ 991

y = x2; y = x + 2; A = 22 = 4, B = 3 + 2 = 5.

y = x2

y = x + 2

A

B

X

Y

-4 -2 2 4

2

4

6

8

0

200

№ 992 A = (− 3) 2 = 9, B = − 1 · 3 = − 3; значит, A > B.

№ 993 y = x2. Среди особых промежутков есть значение 0. 02 = 0. Оно и будет наименьшим, значит R = S.

№ 994 а) x2 = 2x − 1; б) x2 = 4x − 4; в) x2 = − 2x − 1; г) x2 = − 4x − 4; x2 − 2x + 1 = 0; x2 − 4x + 4 = 0; x2 + 2x + 1 = 0; x2 + 4x + 4 = 0; (x − 1) 2 = 0; (x − 2) 2 = 0; (x + 1) 2 = 0; (x + 2) 2 = 0; x = 1; y = 1. x = 2; y = 4. x = − 1; y = 1. x = − 2; y = 4. Ответ: (1;1). Ответ: (2;4). Ответ: (− 1;1). Ответ: (− 2;4).

§ 33. Графическое решение уравнений № 995

а) в)

y = x + 3X

Y

-4 -2 2 4

-4

-2

2

4

0

y = 2x + 1

y = –xy = 3x – 4

X

Y

-4 -2 2 4

-4

-2

2

4

0

Ответ: (2;5). Ответ: (1;− 1) б) г)

y = –x

y = 9

X

Y

-9 -6 -3 3-2

2

4

6

8

10

0

X

Y

-4 -2 2 4

2

4

6

8

0

Ответ: (− 9;9). Ответ: (− 2;4); (0;0).

201

№ 996 а) x2 = 1. б) x2 = 4.

y = x2

y = 1X

Y

-4 -2 2 4

2

4

6

8

0

y = x2

y = 4

X

Y

-4 -2 2 4

2

4

6

8

0

Ответ: x = 1, x = − 1. Ответ: x = 2, x = − 2. в) x2 = 0. г) x2 = − 1.

y = x2

y = 0

X

Y

-4 -2 2 4

2

4

6

8

0

y = x2

y = –1

X

Y

-4 -2 2 4

2

4

6

8

0

Ответ: x = 0. Ответ: решений нет.

№ 997 а) x2 = 2x. б) x2 = − 3x.

y = x2

y = 2x

X

Y

-4 -2 2 4

2

4

6

8

0

y = x2

y = –3x

X

Y

-4 -2 2 4

2

4

6

8

0

Ответ: x = 0, x = 2. Ответ: x = 0, x = 3.

202

в) x2 = − 3x. г) x2 = 3x.

y = x2

y = –3x

X

Y

-4 -2 2 4

2

4

6

8

0

y = x2

y = 3x

X

Y

-4 -2 2 4

2

4

6

8

0

Ответ: x = 0, x = 2. Ответ: x = 0, x = − 3.

№ 998 а) x2 = x + 6. б) x2 = − x + 2.

y = x2

y = x + 6

X

Y

-4 -2 2 4

2

4

6

8

0

y = x2

y = –x + 2

X

Y

-4 -2 2 4

2

4

6

8

0

Ответ: x = − 2, x = 3. Ответ: x = − 2, x = 1. в) x2 = x + 2. г) x2 = 3x.

y = x2

y = x + 2

X

Y

-4 -2 2 4

2

4

6

8

0

y = x2

y = 3x

X

Y

-4 -2 2 4

2

4

6

8

0

Ответ: x = − 1, x = 2. Ответ: x = 0, x = 3.

№ 999

203

а) x2 = 2x + 3. б) x2 = − 3x − 2.

y = x2

y = 2x + 3 X

Y

-4 -2 2 4

2

4

6

8

0

y = x2

y = –3x– 2

X

Y

-4 -2 2 4

2

4

6

8

0

Ответ: x = − 1, x = 3. Ответ: x = − 2, x = − 1. в) x2 = − 2x + 3. г) x2 = 3x − 2.

y = x2

y = –2x+ 3X

Y

-4 -2 2 4

2

4

6

8

0

y = x2

y = 3x – 2

X

Y

-4 -2 2 4

2

4

6

8

0

Ответ: x = − 3, x = 1. Ответ: x = 1, x = 2.

№ 1000 а) x = − x + 4; б) x = x2; 2x = 4; x = 2; x2 − x = 0; y = − 2 + 4 = 2. x = 0, y = 0; x = 1 y = 1. Ответ: (2;2). Ответ: (0;0),(1;1).

№ 1001 а) 3x = 2x − 4; б) − x = x2; x = − 4; x2 + x = 0; y = 3 · (− 4) = − 12. x = 0, y = 0; x = − 1, y = 1. Ответ: (− 4;− 12). Ответ: (− 1;1).

№ 1002

204

а) x2 + 2x − 3; x2 = − 2x + 3. б) x2 − 4x = − 3; x2 = 4x − 3.

y = x2

y = –2x + 3

X

Y

-4 -2 2 4

2

4

6

8

0

y = x2

y = 4x – 3

X

Y

-4 -2 2 4

2

4

6

8

0

Ответ: x = − 3, x = 1. Ответ: x = 1, x = 3.

в) x2 + 4x + 3; x2 = − 4x − 3. г) x2 − x = 6; x2 = x + 6.

y = x2

y = –4x – 3

X

Y

-4 -2 2 4

2

4

6

8

0

y = x2

y = x + 6

X

Y

-4 -2 2 4

2

4

6

8

0

Ответ: x = − 3, x = − 1. Ответ: x = − 2, x = 3.

№ 1003 а) x2 + x + 2 = 0; x2 = − x − 2. б) x2 − x + 4 = 0; x2 = x − 4.

y = x2

X

Y

-3 -2 -1 1 2 3

7-6-5-4-3-2-1

1234

0

y = –x – 2

y = x – 4

7-6-5-4

y = x2

X

Y

-3 -2 -1 1 2 3

-3-2-1

1234

0

Ответ: решений нет. Ответ: решений нет. в) x2 − x + 6 = 0; x2 = x − 6. г) x2 + x+ 8 = 0; x2 = − x − 8.

205

-8-7-6-5-4-3-2-1

X

Y

-3 -2 -1 1 2 3

1234

0

X

Y

-3 -2 -1 1 2 3

-8-7-6-5-4-3-2-1

1234

0

Ответ: решений нет. Ответ: решений нет.

№ 1004 а) x2 − 2x + 1 = 0; x2 = 2x − 1. в) x2 + 2x + 1 = 0; x2 = − 2x − 1.

y = x2

y = 2x – 1

X

Y

-4 -2 2 4

2

4

6

8

0

y = x2

y = –2x – 1

X

Y

-4 -2 2 4

2

4

6

8

0

Ответ: x = 1. Ответ: x = − 1. б) x2 + 4x + 4 = 0; x2 = − 4x − 4. г) x2 − 4x + 4 = 0; x2 = 4x − 4.

X

Y

-3 -2 -1 1 2 3

-8-7-6-5-4-3-2-1

1234

0

X

Y

-3 -2 -1 1 2 3

-8-7-6-5-4-3-2-1

1234

0

Ответ: x = − 2. Ответ: x = 2.

№ 1005

а) x2 = 1,5x − 6. б) x2 = 35 x − 5.

206

y = –1,5x – 6-7-6-5-4-3

y = x2

X

Y

-3 -2 -1 1 2 3

-2-1

1234

0

y =

35

x – 5

-3 -2 -1 1 2 3

-7-6-5-4-3-2-1

y = x2

X

Y

1234

0

Ответ: решений нет. Ответ: решений нет.

в) x2 = − 1,5x − 6. г) x2 = − 35 x − 5.

y = x2

y = –1,5x – 6

X

Y

-3 -2 -1 1 2 3

-7-6-5-4-3-2-1

1234

0

y = –35

x – 5

-7-6-5-4-3

y = x2

X

Y

-3 -2 -1 1 2 3

-2-1

1234

0

Ответ: решений нет. Ответ: решений нет.

§ 34. Что означает в математике запись y = f(x) № 1006

а) 0; б) − 16; в) 8; г) 4. № 1007

а) 8a; б) − 8a; в) 16a; г) − 32a. № 1008

а) 8(b + 2) = 8b + 16; б) 8(b − 1) = 8b − 8; в) 8(b − 8) = 8b − 64; г) 8(b + 7) = 8b + 56.

№ 1009

а) 5 · 41 + 6 = 5,25 + 6 = 11,25; б) 5 · (− 3) + 6 = − 9;

в) 5 · 0,5 + 6 = 2,5 + 6 = 8,5; г) 5 · 652 + 6 = 5 · 6,4 + 6 = 32 + 6=38.

№ 1010 а) 5a + 6; б) 15a + 6; в) − 35a + 6; г) − 25a + 6.

№ 1011

207

а) 5(a + 1) + 6 = 5a + 11; б) 5(a − 3) + 6 + 1 = 5a − 8; в) 5(a − 1) + 6 = 5a + 1; г) 5(a + 4) + 6 − 2 = 5a + 24.

№ 1012 а) 2; б) − 3a + 2; в) − 3 + 2 = − 1; г) − 3 · 2a + 2 + 4 = − 6a + 6.

№ 1013 а) − 3 · 8 + 2 + 8 = − 14; б) (− 3x + 2) 2 = 9x2 − 12x + 4; в) − 3x + 2 − 2 = − 3x; г) (− 3x + 2 − 2) 2 = 9x2.

№ 1014 а) −3 · (− x) + 2 = 3x + 2; б) − 3 · 2x + 2 = − 6x + 2; в) − 3 · (− 8x) + 2 = 24x + 2; г) − 3 · 4x + 2 = − 12x + 2.

№ 1015 а) 1,6(x + 2) + 3,5 = 1,6x + 3,2 + 3,5 = 1,6x + 6,7; б) 1,6(x − 5) + 3,5 = 1,6x − 8 + 3,5 = 1,6x − 4,5; в) 1,6(x + 9) + 3,5 = 1,6x + 14,4 + 3,5 = 1,6x + 17,9; г) 1,6(x − 6) + 3,5 = 1,6x − 9,6 + 3,5 = 1,6x − 6,1.

№ 1016 а) 3,7x − 5,2; в) − 3,7 · 2x3 − 5,2 = − 7,4x3 − 5,2; б) 3,7x2 − 5,2; г) 3,7x − 5,2 + 5,2 = 3,7x.

№ 1017

а) 4; б) 9a2; в) 9; г) 91 a2.

№ 1018 а) x2; б) (x + 2) 2 = x2 + 4x + 4; в) (5 − x) 2 = x2 − 10x + 25; г) (2x + 3) 2 − 9 = 4x2 + 12x.

№ 1019 а) (x2) 2 = x4; б) (x2 − 2) 2 = x4 − 4x2 + 4; в) (x3) 2 = x6; г) (x3 + x) 2 = x6 + 2x4 + x2.

№ 1020 а) (x6) 2 = x12; б) (− x6) 2 = x12; в) (3x5) 2 = 9x10; г) (− 3x5) 2 = 9x10.

№ 1021 а) − 2+ 5=3; б) − 2· (− 3) + 5=11; в) 3 · (− 4) − 2= − 14; г) − 2 · 0 + 5= 5.

№ 1022 а) − 5 + 5,7 = 0,7; б) − 20 + 5,7 = − 14,3; в) − 5; г) − 5.

№ 1023

5474542

,xx,xx)x(f

≥+−−<

⎩⎨⎧

= ;

а) f(− 5) = (− 5) 2 = 25; б) f(− 4) = − 4 · (− 4) + 7 = 23; в) f(3) = − 4 · 3 + 7 = − 5; г) f(− 4,5) = − 4 · (− 4,5) + 7 = 25.

№ 1024

208

а) ⎩⎨⎧

<<+−≤≤−−

=1074042

xxx

y ; б) ⎩⎨⎧

≤<≤≤−

=539322

xxxy .

y = –2

X

Y

-4 -2 2 4

-3-2-1

12345678

0

y = –4х + 7

y = х2

y = 9

X

Y

-4 -2 2 4-1

123456789

10

0

№ 1025

а) ⎩⎨⎧

≤<≤≤−

=40032

xxxxy ; б)

⎩⎨⎧

>≤≤−

=0

022 xx

xxy .

y = х2

X

Y

-2 2 4

2

4

6

8

0

y = х

y = х2

y = х

X

Y

-4 -2 2 4-2-1

123456789

0

№ 1026

а) ⎩⎨⎧

≤<−+−≤≤−

=1132141

xxx

y ; б) ⎩⎨⎧

≤<−+−≤≤−

=222250

xxx

y .

y = 2х + 3

y = 1

X

Y

-4 -2 2 4-1

12

3456

0

y = х + 2

y = 0 X

Y

-4 -2 2 4-1

12

3456

0

№ 1027

209

а) ⎩⎨⎧

≤<−−≤≤−+

=21123

2 xxxx

y ; б) ⎩⎨⎧

≤<−+−≤≤−

=0282232

xxxxy .

X

Y

-4 -2 2 4-1

123456789

10

0

X

Y

-4 -2 2 4

2

4

6

8

0

№ 1028 а) − 3 ≤ x ≤ 4 (из условия); б) y = 9 − наибольшее значение (из графика); y = 0 − наименьшее значение (из графика); в) − 3 ≤ x ≤ 0 промежуток убывания (из графика); 0 < x ≤ 4 промежуток возрастания (из графика); г) точек разрыва нет.

№ 1029 а) − 2 ≤ x ≤ 2 (из условия); б) y = 4 − наибольшее значение (из графика); y = 0 − наименьшее значение (из графика); в) − 1 ≤ x ≤ 0 промежуток убывания (из графика); − 2 < x ≤ − 1, 0 ≤ x ≤2 промежутки возрастания (из графика); г) x = − 1 точка разрыва (из графика).

№ 1030

⎩⎨⎧

≤<≤≤−

=512142

xxxx)x(f ;

а) f(− 4) = (− 4)2 = 16; б) f(1) = 12 = 1; в) f(− 4,5) не корректно; т.к. x = − 4,5; не принадлежит области определения; г) f(4,9) = 2 · 4,9 = 9,8.

№ 1031 а) нет т.к. 12 ≠ 2 · 1; б) нет т.к. при − 1 ≤ x < 0 y = f(x) задана неоднозначно.

№ 1032 а) f(−3)=−(−3)+3,4=3+3,4 = 6,4; б) f(−2)=− 2 · (− 2) + 5 = 4 + 5 = 9; в) f(3)=−2 · 3+5 = − 6 + 5 = − 1; г) f(4) = 42 = 16.

210

№ 1033 а) f(− 5,4) = 1,5 · (− 5,4) + 2,9 = − 8,1 + 2,9 = − 5,2; б) f(− 3,5) = (− 3,5)2 = 12,25; в) f(3,5) = 3,52 = 12,25; г) f(5,5) = − 7,4 + 3,2 · 5,5 = − 7,4 + 17,6 = 10,2.

№ 1034

а) ⎩⎨⎧

≥−<

=0205

xx

y ; б) ⎩⎨⎧

≤>

=0401

xx

y .

x

y

-5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5

-5

-4

-3

-2

-1

1

2

3

4

5

0

x

y

-5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5

-5

-4

-3

-2

-1

1

2

3

4

5

0

в) ⎩⎨⎧

>−≤

=0703

xx

y ; г) ⎩⎨⎧

<−≥

=0106

xx

y .

-5

-7

-6

-5

-4

x-4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5

-3

-2

-1

1

2

3

0

y

x

y

-5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5

-4

-3

-2

-1

1

2

3

4

5

6

0

211

№ 1035

а) ⎪⎩

⎪⎨

⎧

≤<≤<−−≤≤−

=211112

2

2

xxxxxx

y ; б) ⎪⎩

⎪⎨

⎧

≤<≤<−−≤≤−−

=31112141

2 xxxxx

y .

X

Y

-4 -2 2 4

2

4

6

8

0

X

Y

-4 -2 2 4

2

4

6

8

0

№ 1036

а) ⎪⎩

⎪⎨

⎧

≤<≤<−−≤≤−+

=31110142

2 xxxxx

y ; б)

⎪⎪

⎩

⎪⎪

⎨

⎧

≤<−≤<−

−≤≤−

=512312

2622

xxxx

xx

y .

X

Y

-4 -2 2 4

2

4

6

8

0

x

y

-6 -4 -2 2 4 6

-8

-6

-4

-2

2

4

0

№ 1037

а) область определения − ∞ < x < + ∞; наименьшее y = 0; наибольшее отсутствует; функция является непрерывной; значение функции равно нулю при x = 0; значение функции больше нуля при x ≠ 0; значение функции меньше нуля не существует; возрастает при x > 0; убывает при x < 0;

212

б) область определения от − ∞ < x < + ∞; наименьшее отсутствует; наибольшее y = 2; функция является непрерывной; значение функции равно нулю при x = 0; значение функции больше нуля при x > 0; значение функции меньше нуля при x < 0; возрастает при − ∞ < x < 1; в) область определения − ∞ < x < + ∞; наименьшее отсутствует; наибольшее y = 2; функция является непрерывной; значение функции равно нулю при x = 0; значение функции больше нуля при x < 0; значение функции меньше нуля при x > 0; убывает при − 2 < x < ∞; г) область определения − ∞ < x < + ∞; наименьшее y = 2; наибольшее отсутствует; функция является непрерывной; значение функции равно нулю не существует; значение функции больше нуля на всей числовой оси; значение функции меньше нуля не существует; возрастает при 2 < x < ∞.

№ 1038 а) область определения − ∞ < x < + ∞; наименьшее отсутствует; наибольшее отсутствует; функция является непрерывной; значение функции равно нулю при x = 0; значение функции больше нуля при x < 0; значение функции меньше нуля при x > 0; убывает на всей числовой оси; б) область определения − 1 < x < + ∞; наименьшее y = 0; наибольшее y = 4; функция является непрерывной; значение функции равно нулю при x = 0; значение функции больше нуля при − 1 < x < 0 и 0 < x < + ∞; значение функции меньше нуля отсутствует; возрастает при 0 < x < 2; убывает при − 1 < x < 0; в) область определения − 5 ≤ x ≤ 2; наименьшее y = 0; наибольшее y = 4; функция является непрерывной; значение функции равно нулю при x = 0; значение функции больше нуля при 0 < x ≤ 2 и − 5 ≤ x < 0; значение функции меньше нуля не существует; возрастает при 0 < x < 2; убывает при − 1 < x < 0; г) область определения − 2 < x < 5; наименьшее y = 0; наибольшее отсутствует; функция является непрерывной; значение функции равно нулю при x = 0; значение функции больше нуля при 0 < x < 5 и − 2 < x < 0;

213

значение функции меньше нуля не существует; возрастает при 0 < x < 5; убывает при − 2 < x < 0.

№ 1039 а) область определения от − ∞ < x < + ∞; наименьшее y = 0; наибольшее отсутствует; функция является непрерывной; значение функции равно нулю при x = 0; значение функции больше нуля при x ≠ 0; значение функции меньше нуля не существует; возрастает при 0 < x ≤ 2; убывает при − ∞ < x < 0; б) область определения − 4 ≤ x ≤ 2; наименьшее y = − 2; наибольшее y = 4; функция является непрерывной; значение функции равно нулю при x = 0; значение функции больше нуля при 0 < x ≤ 2; значение функции меньше нуля при − 4 ≤ x < 0; возрастает при − 2 < x < 2; в) область определения − ∞ < x < + ∞; наименьшее y = 0; наибольшее отсутствует; функция является непрерывной; значение функции равно нулю при x = 0; значение функции больше нуля при x ≠ 0; значение функции меньше нуля не существует; возрастает при 0 < x < 1; убывает при − ∞ < x < 0; г) область определения − 5 < x < 2; наименьшее y = 0; наибольшее отсутствует; функция является непрерывной; значение функции равно нулю при x = 0; значение функции больше нуля при x ≠ 0; значение функции меньше нуля не существует; возрастает при 0 < x < 2; убывает при − 1 < x < 0.

№ 1040 а) область определения от − ∞ < x < + ∞; наименьшее y = 0; наибольшее отсутствует; функция является непрерывной; значение функции равно нулю при x = 0; значение функции больше нуля при x ≠ 0; значение функции меньше нуля не существует; возрастает при x > 0; убывает при x < 0; б) область определения − 4 < x < ∞; наименьшее y = 0; наибольшее от-сутствует; функция не является непрерывной, точка разрыва x = 1; значение функции равно нулю при x = 0; значение функции больше нуля при − 4 < x < 0 и 0 < x < ∞; значение функции меньше нуля не существует; возрастает при 0 < x < ∞; убывает при − 4 < x < 0; в) область определения − ∞ < x < 1 и 1 < x < ∞; наименьшее y = 0; наи-большее отсутствует; функция является непрерывной; значение функции равно нулю при x = 0; значение функции больше нуля при − ∞ < x < 1 и 1 < x < ∞;

214

значение функции меньше нуля не существует; возрастает при 0 < x < 1 и 1 < x < ∞; убывает при x < 0; г) область определения − ∞ < x < − 1, − 1 < x < 2 и 2 < x < ∞; наименьшее y = 0; наибольшее отсутствует; функция является непрерывной; значение функции равно нулю при x = 0; значение функции больше нуля при на всей области определения кроме точки x = 0; значение функции меньше нуля не существует; возрастает при 0 < x < 2 и 2 < x < ∞; убывает при − ∞ < x < − 1 и − 1 < x < 0.

№ 1041

а) ⎩⎨⎧

<−>

=00

xxxx

y ; б) ⎩⎨⎧

∞<≤<<∞−

=x

xxy

2222

;

в) ⎩⎨⎧

∞<≤−−−<<∞−

=xxx

y2

22; г)

⎩⎨⎧

∞<≤<<∞−

=xx

xy

222

.

№ 1042

а) ⎩⎨⎧

∞<≤−<<∞−

=xx

xxy0

02

; б) ⎩⎨⎧

∞<≤<<−

=xxxy

24212

;

в) ⎩⎨⎧

≤≤−−<≤−

=21151

2 xxx

y ; г) ⎩⎨⎧

<≤<<−

=51122

xxxxy .

№ 1043

а) ⎪⎩

⎪⎨

⎧

∞<≤<≤<<∞−

=xxxxx

y22

2002

; б) ⎪⎩

⎪⎨

⎧

≤≤−<≤−−<≤−−

=212312242

xxxx

xy ;

в) ⎪⎩

⎪⎨

⎧

∞<≤<≤<<∞−−

=xxxxx

y13

1030

; г) ⎪⎩

⎪⎨

⎧

<≤<≤−−−<<−

=20013153

2 xxxxx

y .

№ 1044

а) ⎩⎨⎧

∞<≤<<∞−

=xx

xxy1

12

; б) ⎪⎩

⎪⎨

⎧

∞<≤<≤−−<<−−

=xx

xxxx

y12

1114

2 ;

в)⎪⎩

⎪⎨

⎧

∞<<<≤<<∞−−

=xxxxxx

y13

10302

; г)⎪⎩

⎪⎨

⎧

∞<<<<−−<<∞−

=xxxxxx

y2

211

2

2

2

.

215

№ 1045

⎩⎨⎧

≤<≤≤−

=300022

xxx)x(f ;

а) f(− 2) = (−2)2 = 4, f(0) = 02 = 0, f(2) = 0, f(− 1) = (− 1)2 = 1, f(3) = 0; б)

X

Y

-3 -2 -1 1 2 3

-2

-1

1

2

3

4

5

6

0

в) область определения − 4 < x < 3; наименьшее y = 0; наибольшее y = 4; функция является непрерывной; значение функции равно нулю при 0 < x ≤ 3; значение функции больше нуля при − 2 ≤ x < 0; значение функции меньше нуля не существует; убывает при − 2 < x < 0.

№ 1046

⎪⎩

⎪⎨

⎧

<<≤<≤≤−

=314104022

xxxxx

)x(f ;

а) f(− 1)=(− 1)2 = 1, f(2) = 4, f(1) = 4 · 1 = 4, f(1,5) = 4, f(− 2) = (−2)2 =4;

б)

X

Y

-3 -2 -1 1 2 3

-2

-1

1

2

3

4

5

6

0

216

в) область определения − 2 ≤ x < 3; наименьшее y = 0; наибольшее y = 4; функция является непрерывной; значение функции равно нулю при x = 0; значение функции больше нуля при − 2 < x < 3; значение функции меньше нуля не существует; возрастает при 0 < x < 1; убывает при − 2 < x < 0.

№ 1047

⎪⎩

⎪⎨

⎧

≤<≤<−−≤≤−−

=6111131

2

xxxx

x)x(f ;

а) f(− 2) = − 1, f(4) = 4, f(− 1) = − 1, f(1) = 12 = 1, f(5) = 5; б)

x

y

-3 -2 -1 1 2 3 4 5 6

2

4

6

0

в) область определения − 3 ≤ x ≤ 6; наименьшее y = 0; наибольшее y = 6; функция не является непрерывной, точка разрыва x = − 1; значение функции равно нулю при x = 0; значение функции больше нуля при − 1 < x < 0, 0 < x ≤ 6; значение функции меньше нуля при − 3 ≤ x ≤ − 1; возрастает при 0 < x < 1; убывает при − 2 < x < 0.

№ 1048

⎪⎩

⎪⎨

⎧

<<+≤<−−≤≤−

=422221131

2

xxxxx

)x(f ;

а) f(− 3) = 1, f(2) = 22 = 4, f(0) = 02 = 0, f(− 1) = 1,

41

21

21 2

=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛f ;

217

б)

x

y

-3 -2 -1 1 2 3 4 5

123456789

10

0

в) область определения − 3 ≤ x < 4; наименьшее y = 0; наибольшее y = 10; функция не является непрерывной; точка разрыва x = 2; значение функции равно нулю при x = 0; значение функции больше нуля при − 3 ≤ x < 0, 0 < x < 4; значение функции меньше нуля при отсутствует; возрастает при 0 < x < 2, 2 < x < 4; убывает при − 1 < x < 0.

№ 1049

а) xxxy 22 2

== ;

x

y

-5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5

-4

-2

2

4

0

x

y

-5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5

-4

-2

2

4

0

б) xxxy −=−=

2

.

218

№ 1050

а) 3392

+=−−

= xxxy ; б) 2

242

−=+−

= xxxy .

x

y

-5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5

-4

-2

2

4

0

x

y

-5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5

-4

-2

2

4

0

№ 1051

а) 223

33 x

xxxy =

++

= ; б) 223

1x

xxxy =

−−

= .

X

Y

-4 -2 2 4

2

4

6

8

0

X

Y

-3 -2 -1 1 2 3

-2

-1

1

2

3

4

5

6

0

№ 1052

а) ( )( )2

24

11x

xxxxy =+−

−= ; б) ( )( )

224

224 xxxxxy =+−

−= .

X

Y

-3 -2 -1 1 2 3-1

1

2

3

4

5

6

0

X

Y

-3 -2 -1 1 2 3-1

1

2

3

4

5

6

0

219

ГЛАВА 8. Системы двух линейных уравнений с двумя переменными

§ 35. Основные понятия № 1053

(1;1) а) 7x + 3y = 10; 7 · 1 + 3 · 1 = 10; является; б) 6x – 2y = 4; 6 · 1 – 2 · 1 = 4; является; в) 6x + 8y = 1; 6 · 1+ 8 · 1 = 14; не является; г) 15x – 2y = 3. 15 · 1 · 2 · 1 =3. является.

№ 1054 3x – 2y = 5; (1;– 1), (3;2), (5;5).

№ 1055 а) 2x + y = 9; б) x + 3y = 0; в) 2x – 6y = – 2; г) 3x + 4y = 8.

№ 1056 x + y =15; (1;14), (2;13), (3;12), (4;11), (5;10), (6;9), (7;8), (8;7), (9;6), (10;5), (11;4), (12;3), (13;2), (14;1).

№ 1057

а) ⎩⎨⎧

=⋅−⋅=⋅−⋅

⎩⎨⎧

=−=−

9030560430307604

90543074

yxyx

.

Данная пара чисел (60;30) является решением системы.

б) ⎩⎨⎧

≠⋅−⋅=⋅+⋅

⎩⎨⎧

=−=+

110308606330305603

1108633053

yxyx

.

Данная пара чисел (60;30) не является решением системы. № 1058

⎩⎨⎧

=−=+

9111015112

yxyx

;

а) (20;18); ⎩⎨⎧

≠⋅−⋅≠⋅+⋅

918112010151811202

; не является решением системы;

б) (2;1); ⎩⎨⎧

=⋅−⋅=⋅+⋅

91112101511122

; является решением системы;

в) (1;2); ⎩⎨⎧

≠⋅−⋅≠⋅+⋅

92111101521112

; не является решением системы;

г) (3;– 1); ⎩⎨⎧

≠−⋅−⋅≠−⋅+⋅

91113101511132

)()(

; не является решением системы.

220

№ 1059

⎩⎨⎧

=+=−

2625734

yxyx

;

а) (1;2); ⎩⎨⎧

≠⋅+⋅≠⋅−⋅

26221572314

; не является решением системы;

б) (4;3); ⎩⎨⎧

=⋅+⋅=⋅−⋅

26324573344

; является решением системы;

в)(– 2;– 5); ⎩⎨⎧

≠−⋅+−⋅=−⋅−−⋅

26522575324

)()()()(

; не является решением системы;

г) (0;1); ⎩⎨⎧

≠⋅+⋅≠⋅−⋅

26120571304

; не является решением системы.

№ 1060 (12;15);

а) ⎩⎨⎧

−=−=

⎩⎨⎧

−=⋅−⋅=+

⎩⎨⎧

−=−=+

36362727

36154122271512

364227

yxyx

;

б) ⎩⎨⎧

==

⎩⎨⎧

⋅=⋅=−⋅

⎩⎨⎧

==−

606099

125154915122

5492

xyyx

.

№ 1061 x – y = 2; x + y =8; а) (10;8); б) (6;2); в) (5;3); г) (100;100).

№ 1062

а) ⎩⎨⎧

−==

⎩⎨⎧

=−=

4343 xyxy

yxyx

. в) ⎩⎨⎧

−==

⎩⎨⎧

=−=+−

343

3403

xyxy

yxyx

.

X

Y

-4 -2 2 4

-5-4-3-2-1

12345

0

X

Y

-6 -4 -2 2 4 6

-6

-3

3

6

9

12

0

Ответ: (2;2). Ответ: (3;9).

221

б) ⎩⎨⎧

=+=

yxxy

035

;⎩⎨⎧

−==

xyxy3

5. г)

⎩⎨⎧

=+=−

yxyx

504

; ⎪⎩

⎪⎨⎧

−=

=

xy

xy

54 .

X

Y

-4 -3 -2 -1 1 2 3 4

-6

-4

-2

2

4

6

0

X

Y

-3 -2 -1 1 2 3 4 5 6

-3-2-1

123456

0

Ответ: (0;0). Ответ: (4;1).

№ 1063

а)⎩⎨⎧

=+=−

931

yxyx

; ⎪⎩

⎪⎨⎧

−=

−=

33

1xy

xy. б)

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

−−=

−=

⎩⎨⎧

−=+=−

22

623

421223

xy

xy

yxyx

.

X

Y

-3 3 6

-4-3-2-1

123456

0

X

Y

-6 -4 -2 2 4 6

-8

-6

-4

-2

2

4

0

Ответ: (3;2). Ответ: (2;– 3).

222

в)⎩⎨⎧

=+=+

yxyx

3212

; ⎩⎨⎧

−=−=

xyxy

2321

. г)

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

−=

−=

⎩⎨⎧

=−=−

32

3

32

3462

23xy

xy

yxyx

.

X

Y

-4 -3 -2 -1 1 2 3 4

-4

-3-2-1

123

4

0

X

Y

-5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5

-4

-3-2-1

123

4

0

Ответ: решений нет, Ответ: решений бесконечно много, т.к. прямые не пересекаются. т. к. прямые совпадают.

№ 1064

а)⎩⎨⎧

−=−−=+

735

yxyx

; б) ⎩⎨⎧

=−=−1

12xyyx

;

⎩⎨⎧

+=−−=

735xy

xy.

⎪⎩

⎪⎨⎧

+=

−=

121

2xy

xy .

X

Y

-6 -4 -2 2

-6-4

-2

24

68

0

X

Y

-4 -2 2 4

-4

-3-2-1

123

4

0

Ответ: (– 3;– 2). Ответ: (– 3;2).

223

№ 1065

а)⎩⎨⎧

=+=−

52372

yxyx

; б)⎩⎨⎧

−=−−=+

422

yxyx

;

⎩⎨⎧

=+=−

52372

yxyx

. ⎩⎨⎧

+=−−=

422xy

xy.

X

Y

-2 2 4 6 8

-4

-3-2-1

123

4

0

X

Y

-4 -2 2

-3

-2-1

1

234

5

0

Ответ: (– 3;2). Ответ: (– 2;0).

№ 1066

а)

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

−=

−=

⎩⎨⎧

=−=−

310

32

38

31032

83

xy

xy

yxyx

. б) ⎩⎨⎧

=+=−

103243

yxyx

⎪⎩

⎪⎨⎧

+−=

−=

310

32

43

xy

xy.

X

Y

-3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 7

-6

-3

3

0

X

Y

-2 2 4 6

-5-4-3-2-1

12345

0

Ответ: (2;– 2). Ответ: (2;2).

№ 1067 а) (0;6); б) (– 3;– 4); в) (– 1;2); г) (5;– 7).

⎩⎨⎧

=+=+

⎩⎨⎧

−=−=+

⎩⎨⎧

−=+=−

⎩⎨⎧

=+−=−

1551032

86543

2351042

12271835

yxyx

yxyx

yxyx

yxyx

.

224

№ 1068

а)

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

+−=

−=

⎩⎨⎧

=+=−

327

325

1227625

xy

xy

yxyx

. б)

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

+=

+=

⎩⎨⎧

−=−−=−

517

54

31

37

1754137

xy

xy

yxyx

.

X

Y

-4 -2 2 4 6

-5-4-3-2-1

12345

0

X

Y

-4 -2 2 4

-4-3-2-1

123456

0

Ответ: (1;–21 ). Ответ: (2;5).

№ 1069

а)⎩⎨⎧

=−=+

48

yxyx

; б)⎩⎨⎧

=−=+

7212

yxyx

;

⎩⎨⎧

−=−=

48xy

xy.

⎩⎨⎧

−=−=

7221

xyxy

.

X

Y

-4 4 8

-4

4

8

0

X

Y

-6 -4 -2 2 4 6

-8

-6

-4

-2

2

0

Ответ: (6;2). Ответ: (2,– 3).

225

в)⎩⎨⎧

=+=+

yxyx

42634

; г)⎩⎨⎧

=+=−

5315

yxyx

;

⎪⎩

⎪⎨⎧

−=

−=

xy

xy

24342 .

⎩⎨⎧

+−=−=

5315

xyxy

.

X

Y

-4 -2 2 4 6

-4

-2

2

4

6

0

X

Y

-10 -5 5 10 15 20

-20

-15

-10

-5

5

10

0

Ответ: (3;– 2). Ответ: (5;– 10). № 1070

а)

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

−=

−=

⎩⎨⎧

=−=−

21

56

54

56

51012456

xy

xy

yxyx

. б)⎪⎩

⎪⎨⎧

−=

−=

⎩⎨⎧

=−=−

321

2331

xy

xy

yxyx

.

X

Y

-1 1

-1

1

0

X

Y

-1.5 -1 -0.5 0.5 1 1.5

-1.5

-1

-0.5

0.5

1

1.5

0

Ответ: решений нет, Ответ: решений нет, т.к. прямые параллельны. т.к. прямые параллельны.

226

в)

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

+−=

+−=

⎩⎨⎧

=+=+

163

78

72

78

31416278

y

xy

yxyx

. г)

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

−=

+−=

⎩⎨⎧

=+=+

xy

xy

yxyx

32

432

0641232

.

X

Y

0.2 0.4

0.2

0.4

0

X

Y

-2 2 4 6

-4

-2

2

4

6

0

Ответ: решений нет, Ответ: решений нет, т.к. прямые параллельны. т.к. прямые параллельны.

№ 1071

а)⎩⎨⎧

−=−=

⎩⎨⎧

=+=+

xyxy

yxyx

0550

; уравнения равны, следовательно, система име-

ет бесконечно много решений;

б)

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

−=

−=

⎩⎨⎧

=−=−

2121

122488

xy

xy

yxyx

; уравнения равны, следовательно, система

имеет бесконечно много решений;

в)⎩⎨⎧

−=−=

⎩⎨⎧

=+=+

xyxy

yxyx

22

2241212

; уравнения равны, следовательно, система

имеет бесконечно много решений;

г)⎩⎨⎧

−=−=

⎩⎨⎧

=−=−

5353

2041253

xyxy

yxyx

; уравнения равны, следовательно, система

имеет бесконечно много решений. № 1072

а) 3x – 2y = 8 ⎪⎩

⎪⎨⎧

−=

−=

4

423

xy

xy; б) – 5x + 4y = 1

⎪⎩

⎪⎨⎧

=

+=

xy

xy41

45

;

в) – 3x – 7y = 2 ⎪⎩

⎪⎨⎧

+=

−−=

1272

73

xy

xy; г) 5x + 6y = 9

⎪⎩

⎪⎨⎧

+=

+−=

623

65

xy

xy.

227

№ 1073

а)⎩⎨⎧

=+=+58

10216yx

yx; б)

⎩⎨⎧

=−=−

246123

yxyx

; в)⎩⎨⎧

=+=+

81614487

yxyx

; г)⎩⎨⎧

=−=−

15553

yxyx

.

№ 1074

а)⎩⎨⎧

=−=−

157357

yxyx

; б)⎩⎨⎧

=+=+

822128116

yxyx

; в)⎩⎨⎧

=−=−

23145133145

yxyx

; г)⎩⎨⎧

=−=−

192354402354

yxyx

.

№ 1075 ax + 8y = 20; а) (2;1) 2a + 8 · 1 = 20; 2a = 12; a = 6; б) (– 3;– 2) – 3a + 8 · (– 2) = 20; – 3a = 36; a = – 12.

№ 1076

а)⎪⎩

⎪⎨⎧

⎩⎨⎧

==

⎩⎨⎧

==

⎩⎨⎧

=⋅+=+

=+=+

35

155306

272653565

27235

ba

ba

ba

ybxayx

;

б)⎩⎨⎧

==

⎩⎨⎧

−=−=

⎩⎨⎧

=−⋅=⋅−

⎩⎨⎧

=+=−

822

2432210

26310575310

26573

b,a

ba

ba

byxyax

.

№ 1077

( )

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

+−=

+−=

⎩⎨⎧

=+=+

===−⋅+

⎩⎨⎧

=+=+

625

311

34

12251134

420511335

1225113

xy

xy

yxyx

a;aa

yxyax

.

X

Y

-3 -2 -1 1 2 3 4 5 6

-2

2

4

6

0

Ответ: (2;1).

228

§ 36. Метод подстановки № 1078

а) 2x + 4y = 4, y = 1 –2х ; б) x + 6y = 9, y =

23 –

6х ;

в) 3a + b = 12, b = 12 – 3a; г) c + 8d = 15, c = 15 – 8d. № 1079

а) 6x + y = 18, y = 18 – 6x; б) 4a + 5b = 20, a = 5 –45 b;

в) 18m – 12n = 3, m = 32 n +

61 ; г) 45p – 9q = 4, q = 5p –

75 .

№ 1080

а) 3s – 2t = 8, t = 23 s – 4; б) 7z + 4q = 11, z =

711 –

74 q;

в) 9r – 13s = 17, r = 9

13 s +9

17 ; г) 5u + 7v = 21, v = 3 –75 u.

№ 1081

а)⎩⎨⎧

=+−=

83213

yxxy

; 2x + 3 · (3x – 1) = 8; 2x + 9x – 3 = 8; 11x = 11;

x = 1; y = 3 · 1 – 1 = 2. Ответ: (1;2).

б)⎩⎨⎧

=−−=

4471

yxxy

; 4x – (1 – 7x) = 4; 4x – 1 + 7x = 4; 11x = 5; x =115 ;

y = 1 – 7 · 115 = – 2

112 . Ответ: (

115 ; – 2

112 ).

в)⎩⎨⎧

=+−=

323yx

xy; x + 2 · (3 – x) = 3; x + 6 – 2x = 3; –x = – 3;

x = 3; y = 3 – 3 = 0. Ответ: (3;0).

г)⎩⎨⎧

=+−=

16251

yxxy

; 5x + 2 · (x – 1) = 16; 5x + 2x – 2 = 16; 7x = 18;

x = 7

18 = 274 ; y = 2

74 – 1 = 1

74 . Ответ: (2

74 ; 1

74 ).

№ 1082

а)⎩⎨⎧

=−+=

9232

yxyx

; 3 · (y+2)–2y=9; 3y+6–2y=9; y=3; x=3+2=5. Ответ: (5;3).

б)⎩⎨⎧

−=−−=

8382

yxyx

; 2y–8–3y=–8; –y=0; y=0; x=2 · 0–8=– 8. Ответ: (– 8;0).

229

в)⎩⎨⎧

=+−=

72332

yxyx

; 3 · (2y–3)+2y=7; 6y–9+2y=7; y=2; x=2 · 2–3=1. Ответ: (1;2).

г)⎩⎨⎧

=−+=

438

yxyx

; y + 8 – 3y = 4; – 2y = – 4; y = 2; x = 2 + 8 = 10. Ответ: (10;2).

№ 1083

а)⎩⎨⎧

=+=

9954yxyx

; б)⎩⎨⎧

=+=

15046yxxy

; в)⎩⎨⎧

=−−=

104

yxxy

; г)⎩⎨⎧

−=−−=

1845yx

yx;

4y + 5y = 99; 4x + 6x = 150; x – (– 4x) = 10; – 5y – 4y = – 18; 9y = 99; 10x = 150; 5x = 10; – 9y = – 18; y = 11; x = 15; x = 2; y = 2; x = 44. y = 90. y = – 8. x = – 10. Ответ: (44;11). Ответ: (15;90). Ответ: (2;– 8). Ответ: (– 10;2).

№ 1084

а)⎩⎨⎧

=+=

463210

yxyx

; 2⋅10y+3y=46; 20y+3y=46; 23y=46; y=2; x=20. Ответ: (20;2).

б)⎩⎨⎧

=+=

645251xyx,y

; 2⋅1,5x+5x=64; 3x+5x=64; 8x=64; x=8; y=12. Ответ: (8;12).

в)⎩⎨⎧

=+−=

754552

yxx,y

; 5x + 4 · (– 2,5x) = 75; 5x – 10x = 75; x = – 15; y = 37,5;

Ответ: (– 15;37,5).

г)⎩⎨⎧

=−−−=

92650yxy,x

; – 6 · (– 0,5y) – 2y = 9; 3y – 2y = 9; y = 9; x = – 4,5.

Ответ: (– 4,5;9). № 1085

а)⎩⎨⎧

=+=−1021435

yxyx

; б)⎩⎨⎧

=+=−

9252

yxyx

;

y = 10 – 2x; x = 5 + 2y; 5x – 3 · (10 – 2x) = 14; 2 · (5 + 2y) + y = 9; 5x – 30 + 6x = 14; 10 + 4y + y = 9; 11x = 44; 5y = – 1; x = 4; y = – 0,2; y = 10 – 2 · 4 = 2. x = 5 + 2 · (– 0,2) = 4,6. Ответ: (4;2). Ответ: (4,6;– 0,2).

в)⎩⎨⎧

=+=+

2723355

yxyx

; г)⎩⎨⎧

=+=+

73223

yxyx

;

x = 35 – 5y; x = 2 – 3y; 3 · (35 – 5y) + 2y = 27; 2 · (2 – 3y) + 3y = 7;

230

105 – 15y + 2y = 27; 4 – 6y + 3y = 7; 13y = 78; y = 6; 3y = – 3; y = – 1; x = 35 – 5 · 6 = 5. x = 2 – 3 · (– 1) = 5. Ответ: (5;6). Ответ: (5;– 1).

№ 1086

а)⎩⎨⎧

=−=−

32322

yxyx

; б)⎩⎨⎧

=−=+5675543

yxyx

;

y = 2x – 2; y = 7x – 56; 3x – 2 · (2x – 2) = 3; 3x + 4 · (7x – 56) = 55; 3x – 4x + 4 = 3; 3x + 28x – 224 = 55; –x = – 1; x = 1; 31x = 279; x = 9; y = 2 · 1 – 2 = 0. y = 7 – 9 – 56 = 7. Ответ: (1;0). Ответ: (9;7).

в)⎩⎨⎧

=−=−

44365

yxxy

; г)⎩⎨⎧

=−=−

1326114

xyxy

;

x = 5y – 6; x = 4y – 11; 3 · (5y – 6) – 4y = 4; 6y – 2 · (4y – 11) = 13; 15y – 18 – 4y = 4; 6y – 8y + 22 = 13; 11y = 22; y = 2; – 2y = – 9; y = – 4,5; x = 5 · 2 – 6 = 4. x = 4 · 4,5 – 11 = 7. Ответ: (4;2). Ответ: (7;– 4,5).

№ 1087

а)⎩⎨⎧

−=+=−

24431234

yxyx

; б)⎩⎨⎧

=−=+

10522025

yxyx

;

x = 3 + 0,75y; x = 5 + 2,5y; 3 · (3 + 0,75y) + 4y = – 24; 5 · (5 + 2,5y) + 2y = 20; 9 + 2,25y + 4y = – 24; 25 + 12,5y + 2y = 20; 6,25y = – 33; 14,5y = – 5;

y = – 5,28; y = –2910 ;

x = 3 + 0,75 · (– 5,28) = – 0,96. x = 5 + 2,5 · ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛−

2910 = 4

294 .

Ответ: (– 0,96;– 5,28). Ответ: ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −

2910;

2944 .

в)⎩⎨⎧

=+=−

6231232

yxyx

; г)⎩⎨⎧

=+=−

472535

yxyx

;

x = 6 + 1,5y; x = 1 + 0,6y; 3 · (6 + 1,5y) + 2y = 6; 2 · (1 + 0,6y) + 7y = 4;

231

18 + 4,5y + 2y = 6; 2 + 1,2y + 7y = 4;

6,5y = – 12; y = – 11311 ; 8,2y = 2; y =

4110 ;

x = 6 + 1,5 · ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛−

13111 = 3

133 . x = 1 +

53 ·

4110 = 1

416 .

Ответ: ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −

13111;

1333 . Ответ: ⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛

4110;

4161 .

№ 1088

а)⎩⎨⎧

=−=−

232154

yxyx

; в)⎩⎨⎧

=+=−

2625734

yxyx

;

x = 1 + 1,5y; y = 13 – 2,5x; 4 · (1 + 1,5y) – 5y = 1; 4x – 3 · (13 – 2,5x) = 7; 4 + 6y – 5y = 1; 4x – 39 + 7,5x = 7; y = – 3; x = 4; x = 1 + 1,5 · (– 3) = – 3,5. y = 13 – 2,5 · 4 = 3. Ответ: (– 3,5;– 3). Ответ: (4;3).

б)⎩⎨⎧

=+=+

132043

yxyx

г)⎩⎨⎧

−=−=−

1338053

xyyx

y = – 0,75x; y = 0,6x; 2x + 3 · (– 0,75x) = 1; 8 · 0,6x – 3x = – 13; 2x – 2,25x = 1; 4,8x – 3x = – 13; 0,25x = – 1; 1,8x = – 13;

x = – 4; x = – 792 ;

y = – 0,75 · (– 4) = 3. y = –53 ·

965 = – 4

31 .

Ответ: (– 4;3). Ответ: ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −−

314;

927 .

№ 1089

а)⎩⎨⎧

=+=−

25523374

yxyx

; в)⎩⎨⎧

=−=−

138265

yxxy

;

y = 5 – 0,4x; x = –31 +

65 y;

4x – 7 · (5 – 0,4x) = 33; 8 · ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −

31

65 y – 3y = 1;

232

4x – 35 + 2,8x = 33; 320 y –

38 – 3y = 1;

6,8x = 68; x = 10; 3

11 y =3

11 ; y = 1;

y = 5 – 0,4 · 10 = 1. x = –31 +

65 =

21 .

Ответ: (10;1). Ответ: (0,5;1).

б)⎩⎨⎧

=+=−

23324825

yxyx

; г)⎩⎨⎧

=−−=−1410134

yxyx

;

y = 2,5x – 24; x = 0,75y – 0,25; 2x + 3 · (2,5x – 24) = 23; 10 · (0,75y – 0,25) – 4y = 1; 2x + 7,5x – 72 = 23; 7,5y – 2,5 – 4y = 1; 9,5x = 95; x = 10; 3,5y = 3,5; y = 1; y = 2,5 · 10 – 24 = 1. x = 0,75 · 1 – 0,25 = 0,5. Ответ: (10;1). Ответ: (0,5;1).

№ 1090

а)⎩⎨⎧

=−=+

3332156

yxyx

; б)⎩⎨⎧

=+=+

153465

yxyx

;

y = 32 x – 11; y =

32 –

65 x;

6x + 5 · ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −11

32 х = 1; 3x + 5 · ⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ − х

65

32 = 1;

6x + 3

10 x – 55 = 1; 3x +3

10 – 625 x = 1;

328 x = 56; x = 6; –

67 x = –

37 ; x = 2;

y = 32 · 6 – 11 = – 7. y =

32 –

65 · 2 = – 1.

Ответ: (6;– 7). Ответ: (2;– 1).

в)⎩⎨⎧

−=+−=−1333254

yxyx

; г)⎩⎨⎧

=+=−

1632173

yxyx

;

y = 0,8x + 0,4; x = – 1,5y + 8; 3x + 2 · (0,8x + 0,4) = – 13; 3 · (8 – 1,5y) – 7y = 1; 3x + 1,6x + 0,8 = – 13; 24 – 4,5y – 7y = 1; 4,6x = – 13,8; x = – 3; – 11,5 = – 23; y = 2; y = 0,8 · (– 3) + 0,4 = – 2. x = – 1,5 · 2 + 8 = 5. Ответ: (– 3;– 2). Ответ: (5;2).

233

№ 1091

а)( )

( )⎩⎨⎧

+−=+−=−

yxyxyx

252324

; б)( )

( )⎩⎨⎧

−=−−=+

xyyxyx

531482

( )

( )⎩⎨⎧

==−=−

⎩⎨⎧

−−=+−=−

54524

2252324

yxyx

yxyxyx

⎩⎨⎧

=+−=

⎩⎨⎧

−=+−=+

14224

533144

xyyx

xyyxyx

x = 1 – 0,8y; x = 4 – y; 2(1 – 0,8y – y) = – 1; y + 4 – y = 7; –1,8y = – 1,5; 4 ≠7.

y =65 ; x = 1 – 0,8 ·

65 =

31 .

Ответ: )65;

31( . Ответ: система решений не имеет.

в)( )

( )⎩⎨⎧

−=−−=+

yxyxyx

285663

; г)( )

( )⎩⎨⎧

+−=−=−

yxyxyx

2073105

;

⎩⎨⎧

=−−=

⎩⎨⎧

−=+−=+

67136

285566

yxyx

yxyxyx

⎩⎨⎧

=−+=

⎩⎨⎧

−−=−=−

20642

20732

yxyx

yxyxyx

13 · (2 – y) – 7y = 6; 2(y + 2) – 3y = 10; 26 – 13y – 7y = 6; 2y + 4 – 3y = 10; 20y = – 20; – y = 6; y = – 1; x = 2 – (– 1) = 3. y = – 6; x = – 6 + 2 = 4. Ответ: (3;– 1). Ответ: (4;– 6).

№ 1092

а)( )

( )⎩⎨⎧

−=+−=−

5141232

,xyxyx

; 2 3 2 2 1,54 4 1,5 3 4 1,5

x y y xx y x x y− = − =⎧ ⎧

⎨ ⎨+ − = − + = −⎩ ⎩

3x + 4 · 1,5x = – 1,5; 3x + 6x = – 1,5; 9x = – 1,5;

x = –61 ; y = – 1,5 ·

61 = –

41 .

Ответ: ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −−

41;

61 .

б)( )

( )⎩⎨⎧

−=−−−−=+

824322423836

yxyxyxx

; 6 3 8 6 12 6 2 94 6 4 2 8 8 8

x x y y xx y x y y+ = − + − =⎧ ⎧

⎨ ⎨− − = − =⎩ ⎩

y = 1; 6 · 1 – 2x = 9; 2x = – 3; x = – 1,5. Ответ: (– 1,5;1).

234

в)( )

( )⎩⎨⎧

−=++=+−

2233151232yyyx

yx ; г)

( )( )⎩

⎨⎧

−=+−−−=+

yxyxyxy

2325164432204

;

⎩⎨⎧

−=+=−

⎩⎨⎧

−=−++=−−

2431862

2233315362

yxyx

yyyxyx

⎩⎨⎧

=−=−

⎩⎨⎧

−=−−−−=+

16824612

232516486204

xxy

yxyxyxy

x = 3y + 9; x = 2; 3(3y + 9) + 4y = – 2; 12y – 6 · 2 = – 24; 9y + 27 + 4y = – 2; 12y = – 12; 13y = – 29; y = – 1.

y = – 2133 ;

x = – 3 · 1329 + 9 = 2

134 .

Ответ: ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −

1332;

1342 . Ответ: (2; – 1).

№ 1093

а)

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

=+

=+

38

23

332yx

yx

б)⎪⎩

⎪⎨⎧

=−

=+

1115

523

yx

yx

⎩⎨⎧

=+=+

16321823

yxyx

⎩⎨⎧

=−=+

11153032

yxyx

x= 6 –32 y; x = 15 – 1,5y;

2 · ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ − y

326 + 3y = 16; 5(15 – 1,5y) – 11y = 1;

12 –34 y + 3y = 16; 75 – 7,5y – 11y = 1;

35 y = 4; –18,5y = – 74;

y = 2,4; y = 4;

x = 6 –32 ·

512 =4,4. x = 15 – 1,5 · 4 = 9.

Ответ: (4,4; 2,4). Ответ: (9, 4).

235

в)

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

−=+

−=−

242

423yx

yx

; г)⎪⎩

⎪⎨⎧

−=+

=+

21

65

174yx

yx ;

⎩⎨⎧

−=+−=−822432

yxyx

; ⎩⎨⎧

−=+=+

1556174

yxyx

;

y = – 8 – 2x; y = – 3 –56 x;

2x – 3(– 8 – 2x) = – 24; 4x + 7 ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −− x

563 = 1;

2x + 24 + 6x = – 24; 4x – 21 – 8,4x = 1; 8x = – 48; x = – 6; – 4,4x = 22; x = – 5; y = – 8 – 2 · (– 6) = 4. y = – 3 – 1,2 · (– 5) = 3. Ответ: (– 6; 4). Ответ: (– 5; 3).

№ 1094

а)⎪⎩

⎪⎨⎧

=+

+−

=−

102

13

1156

yxxy

б)⎪⎩

⎪⎨⎧

−=−

=−

++

132

53

352

yx

yxyx

⎩⎨⎧

=++−=−

603322156yx

xy;

⎩⎨⎧

−=−=−++

1327551563

yxyxyx

;

⎩⎨⎧

=+=−

5932156

yxxy

; ⎩⎨⎧

−=−=+

1327518

yxyx

;

y = 61 +

65 x; y = 75 – 18x;

2x + 3 ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ + х

65

61 = 59; 2x – 3(75 – 18x) = – 1;

2x + 0,5 + 2,5x = 59; 2x – 225 + 54x = – 1; 4,5x = 58,5; x = 13; 56x = 224; x = 4;

y =61 +

65 · 13 = 11. y = 75 – 18 · 4 = 3.

Ответ: (13; 11). Ответ: (4; 3).

в)⎪⎩

⎪⎨⎧

=++

=−

++

04372

363

523

yx

yxyx; г)

⎪⎩

⎪⎨⎧

=−

−+

=−

34

353

145107

yxxyx

;

236

⎩⎨⎧

=++=−

⎩⎨⎧

=++=−++

0437290323

04372901551218

yxyx

yxyxyx

⎩⎨⎧

=+=−

⎩⎨⎧

=+−+=−

3295107

369154165107

yxyx

yxxyx

y = 323 x – 30; x = 32 – 9y;

2x + 7 ⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛ − 30323 x + 43 = 0; 7(32 – 9y) – 10y = 5;

2x + 3

161 x – 210 + 43 = 0; 224 – 63y – 10y = 5;

3167 x = 167; – 73y = – 219;

x = 3; y = 3;

y = 323 · 3 – 30 = – 7. x = 32 – 9 · 3 = 5.

Ответ: (3; – 7). Ответ: (5; 3). № 1095

а)⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

−=

−

+=

+

332

23

232

395

yxyx

yxyx

б)⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

=−

−+

=+

+−

443

39

26

2

yxyx

yxyx

⎩⎨⎧

=+=+

⎩⎨⎧

−=−+=+

030946493

961810

yxyx

yxyxyxyx

⎩⎨⎧

=+=−

⎩⎨⎧

=+−+=++−

4875410

483344542436

yxyx

yxyxyxyx

x = – 3y; x = 48 – 7y; 4 · (– 3y) + 9y = 0; 10 · (48 – 7y) – y = 54; –3y = 0; 480 – 70y – y = 54; y = 0; – 71y = – 426; x = 0. y = 6; x = 48 – 7 · 6 = 6. Ответ: (0; 0). Ответ: (6; 6).

в)

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

=−

++

=−

++

1034

568

yxyx

yxyx

г)

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

−=

−+

+−=

−+

412

336

3343

253

yxyx

yxyx

237

⎩⎨⎧

=−=−

⎩⎨⎧

=−++=−++

12071207

12044331204433

yxyx

yxyxyxyx

⎩⎨⎧

=+=+

⎩⎨⎧

−=−++−=−+

2424373

336412246861593

yxyx

yxyxyxyx

уравнения равны. y = 24 – 24x; 3x + 7(24 – 24x) = 3; 3x + 168 – 168x = 3;

Ответ: система имеет –165x = – 165x; x = 1; y = 0. бесконечно много решений. Ответ: (1; 0).

§ 37. Метод алгебраического сложения № 1096

а)

⎩⎨⎧

=−=+

75

yxyx

б)

⎩⎨⎧

=−=+

39

yxyx

2x = 12; 2x = 12; x = 6; x = 6; 6 + y = 5; y = – 1. 6 + y = 9; y = 3. Ответ: (6; – 1). Ответ: (6; 3). в)

⎩⎨⎧

=−=+

83112

yxyx

г)

⎩⎨⎧

=+=−

8343

yxyx

5x = 20; x = 4; 6x = 12; x = 2; 2 · 4 + y = 11; y = 3. 3 · 2 – y = 4; y = 2. Ответ: (4; 3). Ответ: (2; 2).

№ 1097 а)

⎩⎨⎧

=−=+

9111015112

yxyx

в)

⎩⎨⎧

=+=−

1365176

yxyx

12x = 24; x = 2; 6x = 30; x = 5; 2 · 2 + 11y = 15; 5 – 6y = 17; 11y = 11; y = 1. – 6y = 12; y = – 2. Ответ: (2; 1). Ответ: (5; – 2).

б)⎩⎨⎧

=−=+

313299139

yxyx

; г)⎩⎨⎧

=+=−

⎩⎨⎧

=+=−

2575133742

2575196

yxyx

yxyx

;

38x = 12; x =196 ; 47x = 158; x = 3

4717 ;

9 · 196 + 13y = 9; 6 ·

47158 – y = 19;

13y =19

117 ; y =199 . y = 6 ·

47158 – 19; y = 1

478 .

Ответ: ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

199;

196 . Ответ: ⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛

4781;

47173 .

238

№ 1098

а)⎩⎨⎧

=−=−

90543074

yxyx

в)⎩⎨⎧

=+=+−7672

675yx

yx

2y = 60; y = 30; 7x = 70; x = 10; 4x – 5 · 30 = 90; 2 · 10 + 7y = 76; 4x = 240; x = 60. 7y = 56; y = 8. Ответ: (60; 30). Ответ: (10; 8).

б)⎩⎨⎧

=+=−

230573267

yxyx

г)⎩⎨⎧

=+−=+−

1441142

yxyx

11y = 198; y = 18 6x = 12; x = 2; 7x – 6 · 18 = 32 – 2 · 2 + 4y = – 11;

7x = 140; x = 20 4y = – 7; y = – 143 .

Ответ: (20; 18). Ответ: ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −

431;2 .

№ 1099

а) 3 5 3 9 15

3 2 4 3 2 4x y x yx y x y− = − =⎧ ⎧

⎨ ⎨+ = + =⎩ ⎩ б)

⎩⎨⎧

=+=−

⎩⎨⎧

=+=−

3631453

121453

yxyx

yxyx

;

11y = – 11; y = – 1; 11y = – 11; y = – 1; 3x + 9 = 15; 3x = 6; x = 2. 3x + 5 = 14; 3x = 9; x = 3. Ответ: (2; – 1). Ответ: (3; – 1).

в)3 1 9 3 32 3 14 2 3 14

x y x yx y x y+ = + =⎧ ⎧

⎨ ⎨− = − − = −⎩ ⎩ г)

⎩⎨⎧

=+=+

⎩⎨⎧

=+=+

243772315

2437245

yxyx

yxyx

;

11x = – 11; x = – 1; 8x = 48; x = 6; – 2 – 3y = – 14; 3y = 12; y = 4. 42 + 3y = 24; 3y = 18; y = 6. Ответ: (– 1; 4). Ответ: (6; 6).

№ 1100

а)40 3 10 40 3 1020 7 4 40 14 8

x y x yx y x y+ = − + = −⎧ ⎧

⎨ ⎨− = − − = −⎩ ⎩ б)

⎩⎨⎧

=+=+

⎩⎨⎧

=+=+

33153615

3315125

yxyx

yxyx

;

17y = – 2; y = –172 ; 5x = 1; x = 0,2.

20x + 1714 = – 4; x = –

17041 . 3y = 0; y = 0;

Ответ: ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −−

172;

17041 . Ответ: (0,2; 0).

239

в)⎩⎨⎧

=−=+

⎩⎨⎧

=−=+

155415654015

51851383

yxyx

yxyx

94y = 50; y =4725 ; 5x – 18 ·

4725 = 5; x = 3

476 . Ответ: ⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛

4725;

4763 .

г)⎩⎨⎧

=−=+

⎩⎨⎧

=−=+

9996156

3396156

yxyx

yxyx

14y = − 98; y = − 7; 2x − 3 · (− 7) = 33; 2x = 12; x = 6. Ответ: (6; –7). № 1101

а) ⎩

⎨⎧

−=+−=−

⎩⎨⎧

−=+−=−

6510154108

1323254

yxyx

yxyx

23x = − 69; x = − 3; −12 − 15y = − 2; 5y = − 10; y = −2. Ответ: (− 3; − 2).

б)⎩⎨⎧

−=+−=+

⎩⎨⎧

−==−=+

108324452504045

123655089

yxyx

yxyx

;

284y = 142; y = 0,5; 9x + 8 · 0,5 = − 50; x = − 6. Ответ: (− 6; 0,5).

в) ⎩⎨⎧

−=−−=−

3323273

yxyx

⎩⎨⎧

−=−−=−99664146

yxyx

5y = 55; y = 11; 2x − 3 · 11 = − 3; 2x = 30; x = 15. Ответ: (15; 11).

г)⎩⎨⎧

−=−−=−

1095643

yxxy

⎩⎨⎧

−=−−=−109518129

yxxy

; − 7x = − 28; x = 4; 3y = 10; y = 313 .

Ответ: (4; 313 ).

№ 1102

а) ⎩

⎨⎧

=+=+

⎩⎨⎧

=+=+

20282052520

575154

yxyx

yxyx

3y = 15; y = 5; 4x + 5 · 5 = 1; 4x = − 24; x = − 6. Ответ: (− 6; 5).

б) ⎩⎨⎧

=+=−

43342553

yxyx

; ⎩⎨⎧

=+=−

215152075159

yxyx

;

29x = 290; x = 10; 3 · 10 − 5y = 25; 5y = 5; y = 1. Ответ: (10; 1).

в)⎩⎨⎧

=+=−

4335557

yxyx

⎩⎨⎧

=+=−

2151525151521

yxyx

46x = 230; x = 5; 7 · 5 − 5y = 5; 5y = 30; y = 6. Ответ: (5; 6).

240

г)⎩⎨⎧

−=+=−

⎩⎨⎧

−=+=−

198129481216

66431234

yxyx

yxyx

25x = − 150; x = − 6; 4 · ( − 6) − 3y = 12; 3y = − 36; y = − 12. Ответ: (− 6; − 12).

№ 1103

а) ⎩

⎨⎧

=−=+−

⎩⎨⎧

=−=+−

369121842812

12344673

yxyx

yxyx

19y = 220; y = 111911 ; 4x − 3 · 11

1911 = 12; x =

3879 . Ответ: (

3879 ; 11

1911 ).

б) ⎩⎨⎧

−=+=+−

15352443

yxyx

⎩⎨⎧

−=+=+−45915

1202015yx

yx;

29y = 75; y = 2975 ; −3x + 4 ·

29300 = 24; 3x = −

29396 ; x = −

29132 .

Ответ: (− 29

132 ; 2975 ).

в) 5 2 20 25 10 1002 5 10 4 10 20

x y x yx y x y+ = + =⎧ ⎧

⎨ ⎨− = − =⎩ ⎩

29x = 120; x = 2944 ; 5 ·

2944 + 2y = 20; y = −

2910 .

Ответ: x = 2944 ; y = −

2910 .

г) ⎩⎨⎧

=+=−

47721535

yxyx

⎩⎨⎧

=+=−

235351030610

yxyx

41y = 205; y = 5; 5x − 3 · 5 = 15; 5x = 30; x = 6. Ответ: (6; 5). № 1104

а)⎪⎩

⎪⎨⎧

⎩⎨⎧

=−=−

=−

=−3561246

356

131

21

yxyx

yx

yx

в)

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

=−

=−

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

=−

=−

7354

36349

7354

431

41

yx

yx

yx

yx

y = 9; 6x − 5 · 9 = 3; 94 x −

54 x = 29;

2029 x =20;

6x = 48; x = 20;

x = 8. 41 · 20 −

31 y = 4;

31 y = 1; y = 3.

Ответ: (8; 9). Ответ: (20; 3).

241

б) ⎩⎨⎧

−=+−=+

⎪⎩

⎪⎨⎧

−=−

−=+108642054

5432

141

51

yxyx

yx

yx г)

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

=−

=+

=−

=+

8253

5123

10

8253

1551

31

yx

yx

yx

,yx

11y = 88; 3

10 x + 53 x = 59;

y = 8; x = 15;

2x − 3 · 8 = − 54; 31 · 15 +

51 y = 5,1;

2x = − 30; 51 y = 0,1;

x = − 15. y = 0,5. Ответ: (− 15; 8). Ответ: (15; 0,5).

№ 1105 а)

1 12( 1) 3 4 2 3 6 2 3 63 4 2

5 5 3 11 2 11 4 2 2213 11

yy x y x y xx

x y x y x x y x yx

+⎧ =⎪ + = − − = − − = −⎧ ⎧ ⎧⎪ −⎨ ⎨ ⎨ ⎨+ + = + + = + =⎩ ⎩ ⎩⎪ =⎪ +⎩

7x = 28; x = 4; 2y − 3 · 4 = − 6; 2y = 6; y = 3. Ответ: (4; 3).

б)

⎩⎨⎧

=+−=−

⎩⎨⎧

=+−=−

⎩⎨⎧

+=++=+

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

=++

=++

03113573108

031111936

836525112036

54

295

121

1103

yxyx

yxyx

yxyxyx

yxyx

yx

119x = − 357; x = − 3; 11 · (−3) + 3y =0; 3y = 33; y = 11. Ответ: (− 3; 11).

№ 1106 а) A(2;3), B(− 1;4); y = ax + b;

⎩⎨⎧

+−=+=

⎩⎨⎧

+−=+=

baba

baba

22823

423

;

3b = 11; b =3

11 ; 2a + 3

11 = 3; a = −31 ;

311

31

+−= xy ;

242

б) C(− 6;7), D(4;3); y = ax + b; ⎩⎨⎧

+=+−=ba

ba43

67;

10a = − 4; a = −52 ; 4 · ⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛−

52 + b = 3; b = 4

53 ; y = − 0,4x + 4,6;

в) M(− 3;− 1), N(2;5); г) P(6;2), Q(− 1;−3); y = ax + b; y = ax + b;

⎩⎨⎧

+=+−=−

baba

2531

; ⎩⎨⎧

+−=−+=

baba

3162

;

5a = 6; 9a = 3;

a = 151 ;

512 + b = 5; b = 2

53 ; a =

31 ;− 3 ·

31 + b = − 1; b = 0;

y = 1,2x + 2,6; y = 31 x.

№ 1107 а) A(5;0); б) C(− 6;0) ; B(0;2); D(0;4) ; y = ax + b; y = ax + b;

⎩⎨⎧

=+=

bba

250

; ⎩⎨⎧

=+−=

bba

460

;

b = 2; 5a = − 2; a = − 0,4; b = − 1; 6a = 4; a =32 ;

y = − 0,4x + 2; y = 32 x + 4;

в) E(7;0), F(0;− 1) ; г) L(− 2;0), K(0;− 4) ; y = ax + b; y = ax + b;

⎩⎨⎧

=−+=

bba

170

; b = − 1; ⎩⎨⎧

=−+−=

bba

420

; b = − 4;

7a = 1; a =71 ; y =

71 x − 1; 2a = − 4; a = − 2; y = − 2x − 4.

№ 1108 а) A(0;5), B(− 3;0) ; б) A(0;4), B(2;0) ; y = ax + b; y = ax + b;

⎩⎨⎧

=+−=

035

bab

;3a = 5; a =35 ;

⎩⎨⎧

=+=

024ba

b;2a = − 4; a = − 2;

y = 35 x + 5; y = − 2x + 4;

243

в) A(0;3), B(4;0) ; г)A(0;− 3), B(1;0) ;

y = ax + b; ⎩⎨⎧

=+=

043ba

b; y = ax + b;

⎩⎨⎧

=+−=

03

bab

;

4a = − 3; a = −43 ; a = 3;

y = − 43 x + 3; y = 3x − 3.

№ 1109 а) A1(0;4), B1( −1;0) ; A2(0;− 4), B1( −1;0) ; y = ax + b; y = ax + b;

⎩⎨⎧

=+−=

04

bab

; a = 4; ⎩⎨⎧

=+−−=

04ba

b; a = − 4;

y = 4x + 4; y = − 4x − 4.

Ответ: ⎩⎨⎧

−−=+=

4444

xyxy

.

б) A1(0;7), B1( 2;3); A2(0;2), B1( 2;3) ;

y = ax + b; ⎩⎨⎧

=+=

327ba

b; y = ax + b;

⎩⎨⎧

=+=

322ba

b;

2a = − 4; a = − 2; 2a = 1; a = 0,5; y = − 2x + 7; y = 0,5x + 2.

Ответ: ⎩⎨⎧

+=+−=

25072

x,yxy

.

в) A1(0;1), B1(− 2;4) ; A2(0;4), B1(− 2;4) ;

y = ax + b; ⎩⎨⎧

=+−=

421

bab

; y = ax + b; ⎩⎨⎧

=+−=

424

bab

;

−2a = 3; a = − 1,5; − 2a = 0; a = 0; y = − 1,5x + 1; y = 4.

Ответ: ⎩⎨⎧

=+−=

4151

yx,y

.

г) A1(0;3), B1(− 3;− 2) ; y = ax + b;

⎩⎨⎧

−=+−=

233

bab

; −3a = − 5; a =35 ; y =

35 x + 3;

A2(0;− 1), B2( 3;0) ; y = ax + b;

⎩⎨⎧

=+−=

031ba

b; 3a = 1; a =

31 ; y =

31 x − 1. Ответ:

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

−=

+=

131

335

xy

xy

244

§ 38. Системы двух линейных уравнений с двумя переменными как математические

модели реальных ситуаций № 1110

v км/ч – скорость лодки; u км/ч – скорость течения; (v – u) км/ч – скорость лодки против течения; (v + u) км/ч – скорость лодки по течения; ( )( )

4 80 20165 80

v u v uv uv u

⎧ − ⋅ = + =⎧⎪⎨ ⎨ − =+ ⋅ = ⎩⎪⎩

; 2v = 36; v = 18 км/ч.

Ответ: 18 км/ч. № 1111

v км/ч – скорость поезда на первом перегоне; u км/ч – скорость поезда на втором перегоне;

2 3 330 2 3 33010 2 2 20

v u v uu v u v

+ = + =⎧ ⎧⎨ ⎨− = − =⎩ ⎩

; 5u = 350;

u = 70 км/ч – скорость поезда на втором перегоне; 70 – 10 = 60 км/ч – скорость поезда на первом перегоне. Ответ: 60 км/ч; 70км/ч.

№ 1112 v км/ч – скорость первого пешехода; u км/ч – скорость второго пешехода;

( )4 38 2 917 7 7

v u u vv uv u

⎧ + = − + =⎧⎪⎨ ⎨ − =− =⎪ ⎩⎩

; 2v = 10;

v = 5 км/ч – скорость первого пешехода; u = 4 км/ч – скорость второго пешехода. Ответ: 5 км/ч; 4 км/ч.

№ 1113 v км/ч – скорость первого пешехода; u км/ч – скорость второго пешехода;

( )1 9 5 5 453 303

5 9 60 5 9 604,5 2,5 30

u v u vv uu v u vv u

⎧ + = + =+ = ⎧ ⎧⎪⎨ ⎨ ⎨+ = + =⎩ ⎩⎪ + =⎩

; 4v = 15;

v = 3,75 км/ч – скорость первого пешехода; u = 9 – 3,75 = 5,25 км/ч – скорость второго пешехода. Ответ: 3,75 км/ч; 5,25 км/ч.

245

№ 1114 v км/ч – скорость течения реки; t ч – время прохождения; ( )( ) ⎩

⎨⎧

=−=+

⎩⎨⎧

=−=+

26153415

26153415

vttvtt

tvtv

; 30t = 60;

t = 2 ч – время прохождения; (15 + v) = 34; 2v = 4; v = 2 км/ч – скорость течения реки. Ответ: 2 км/ч.

№ 1115 v км/ч – скорость автобуса; u км/ч – скорость автомобиля;

⎩⎨⎧

=−=−

⎩⎨⎧

=−=

⎪⎩

⎪⎨⎧

=−

=4022032

2032

20

180120

vuvu

vuvu

vuuv ;

v = 40 км/ч – скорость автобуса. Ответ: 40 км/ч.

№ 1116 x – одно число; y – другое число;

⎩⎨⎧

=−=+

⎩⎨⎧

=−=+

⎪⎩

⎪⎨⎧

=

=+

012107701010

0121077

54

32

77

yxyx

yxyx

yx

yx; 22y = 770;

y = 35; x = 77 – 35 = 42. Ответ: 35; 42.

№ 1117 x – одно число; y – другое число;

( )( ) ⎩

⎨⎧

=−=−

⎩⎨⎧

=−=−

⎩⎨⎧

++=−++=−

1862642

93642

9263

yxyx

yxyx

yxyxyxyx

; – 2y = 12;

y = – 6; x = 9 + 3 · ( – 3) = – 9. Ответ: – 9; – 6.

№ 1118

ba – искомая дробь;

⎩⎨⎧

=−=−

⎩⎨⎧

=−−=

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

=−

=−

1232

44812422

121

44

22

2

baab

baba

bab

a

;

2a = 14; a = 7; b = a + 2; b = 9.

Ответ: 97 .

246

№ 1119

ba – искомая дробь;

⎩⎨⎧

=−=−

⎩⎨⎧

−=−+=+

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

=−−

=++

2312

133122

31

11

21

11

baab

baba

baba

; a = 3;

b = 2a + 1; b = 2 · 3 + 1 = 7.

Ответ: 73 .

№ 1120 x – одно число; y – другое число;

⎩⎨⎧

=−=−

⎩⎨⎧

=−=−

6407684066

647060140

yxyx

y,x,yx

; y = 200;

x = y + 140; x = 200 + 140 = 340. Ответ: 340; 200.

№ 1121

⎩⎨⎧

=−=−

⎩⎨⎧

=−=−

2406940056

820302025030

abba

a,b,b,a,

; 4b = 640; b = 40;

6a = 5 · 160 + 400; 6a = 1200; a = 200. Ответ: 200; 160.

№ 1122 x – одно число; y – другое число;

⎩⎨⎧

=−=+

⎩⎨⎧

=−=+

⎪⎩

⎪⎨⎧

=−

=+

25253016252525

25253065

25025030

5322

yxyx

yxyx

,y,x,

,yx;

55x = 1650; x = 30; y = 65 – x; y = 35. Ответ: 30; 35.

№ 1123 x – одно число; y – другое число;

⎩⎨⎧

−=−=−

⎪⎩

⎪⎨⎧

−=−

=−

60240829

60240

9142

,yx,,yx

,yx,

,yx; 0,76x = 30,4; x = 40;

y = x – 29,8; y = 10,2. Ответ: 40; 10,2.

№ 1124 v км/ч – скорость автомобиля; u км/ч – скорость теплохода;

⎩⎨⎧

=−=−

⎩⎨⎧

==−

0256053

406053

vuuv

v,uuv

; v =60 км/ч – скорость автомобиля;

u =0,4v = 24 км/ч – скорость теплохода. Ответ: 24 км/ч; 60 км/ч.

247

№ 1125 v км/ч – скорость теплохода; u км/ч – скорость туристов; 2v км – проплыли по реке; 5u км – прошли пешком;

⎩⎨⎧

=−=−

⎩⎨⎧

=−=−

⎩⎨⎧

=−⋅=

52220152

260152

26532

uvuv

uvuv

uvuv

; 13u = 52; u = 4 км/ч;

v = 26 + u; v = 30 км/ч; S км – весь путь; S = 2v + 5u = 2 · 30 + 5 · 4 = 80 км; T – время которое потребовалось бы на весь путь пешком;

T = 204

80==

uS ч.

Ответ: 30 км/ч; 4 км/ч; 20 ч. № 1126

v км/ч – скорость лодки; u км/ч – скорость течения; (v – u) км/ч – скорость лодки против течения; (v + u) км/ч – скорость лодки по течения;

( )( ) ⎩

⎨⎧

=−=+

⎪⎩

⎪⎨⎧

=−

=+79

284

30313

uvuv

uv

uv ;

2v = 16; v = 8 км/ч – скорость лодки; S км – расстояние которое пройдет лодка по озеру за 1,5 часа; S = 1,5 · v = 1,5 · 8 = 12 км. Ответ: 12 км.

№ 1127 v км/ч – скорость велосипедиста по шоссе; u км/ч – скорость велосипедиста по грунтовой дороге; 0,5u км – проехал велосипедист по грунтовой дороге;

v32 км – проехал велосипедист по шоссе;

⎩⎨⎧

=−=+

⎪⎩

⎪⎨⎧

=−

=+65151

36251

4

123250

u,v,vu,

uv

vu,;

3,5v = 42; v = 12 км/ч. Ответ: 12 км/ч.

№ 1128 v см/c – скорость первой точки; u см/c – скорость второй точки; 4(v + u) = 100 – при движении в противоположном направлении; 20(v – u) = 100 – при движении в одном направлении;

248

( )( ) ⎩

⎨⎧

=−=+

⎩⎨⎧

=−=+

525

100201004

uvuv

uvuv

;

2v = 30; v = 15 см/с; u = 25 – v = 25 – 15 = 10 см/с. Ответ: 15 см/с; 10 см/с.

№ 1129 x – га вспахивает за день первый тракторист; y – га вспахивает за день второй тракторист; 8x + 11y = 678 – га вспахали вместе; 3x + 22 = 4y – из условия;

8 11 678 3 11 3 11; ; 8 11 678;3 22 4 4 2 4 2

x yy x x x

x y+ =⎧ ⎛ ⎞= + + + =⎨ ⎜ ⎟+ = ⎝ ⎠⎩

33 121 65 12358 678; ; 384 2 4 2

xx x x+ + = = =

342

112

572

113843

=

+=

+⋅=

y

y

y

Ответ: 38 га; 34 га. № 1130

x – центнеров картофеля собирала первая бригада за 1 час; y – центнеров картофеля собирала вторая бригада за 1 час; 2x + 3y = 23 – за первый день двумя бригадами;

3x – 2y = 2 – из условия; ⎩⎨⎧

=−=+

⎩⎨⎧

=−=+

6694664

2232332

yxyx

yxyx

; 13x = 52; x = 4;

51423

123

=−⋅=

−=

y

xy

Ответ: 4 центнера; 5 центеров. № 1131

x – тонн зерна перевозит первая машина за 1 рейс; y – тонн зерна перевозит вторая машина за 1 рейс; 4x + 3y = 27 − в первый день; 4y − 3x = 11 − из условия;

⎩⎨⎧

=−=+

⎩⎨⎧

=−=+

44121681912

11342734

xyyx

xyyx

; 25y = 125; y = 5 т;

3115

34

1134

−⋅=

−=

x

yx;

x = 3 т. Ответ: 3 т; 5т.

249

№ 1132 x − деталей делает первый рабочий за день; y − деталей делает второй рабочий за день; 8x + 15y = 162 − сделали вместе; 5x − 7y = 3 − из условия;

⎩⎨⎧

=−=+

⎩⎨⎧

=−=+

2456408107540

375162158

yxyx

yxyx

; 131y = 786; y = 6 − деталей за день;

536

57

53

57

+⋅=

+=

x

yx

x = 9 − деталей изготовил первый рабочий за день; 8 · 9 = 72 − детали изготовил первый рабочий; 6 · 15 = 90 − деталей изготовил второй рабочий. Ответ: 72; 90.

№ 1133 x − учебников по математике; y − учебников по физике; 0,5x + 0,2y = 390 − учебников продали; x − 0,5x = 0,5x − учебников по математике осталось; y − 0,2y = 0,8y − учебников по физиике осталось; 0,5x = 3 · 0,8y − из условия;

⎩⎨⎧

=−=+

042503902050

y,x,y,x,

2,6y = 390; y = 150; x = 4,8y; x = 4,8 · 150; x = 720.

Ответ: 720; 150 учебников. № 1134

x − книг на первой полке; у − книг на второй полке;

2yx + − на первой полке после перестановки;

2y − на второй полке после перестановки;

⎩⎨⎧

=−=+

⎪⎩

⎪⎨⎧

⋅=+

=+

051110

24

2

110

y,xyx

yyx

yx; 2,5y = 110; y = 44;

x = 110 − y; x = 110 − 44 = 66. Ответ: 66 и 44 книги.

№ 1135 x − футбольных мячей закупили в первый год; y − волейбольных мячей закупили в первый год; y = 5x − из условия; 6x − футбольных мячей после закупки; 4y − волейбольных мячей после закупки;

250

⎩⎨⎧

=−=+

⎩⎨⎧

==+

04205246

55246

yxyx

xyyx ; 26x = 52; x =2;

y = 5x; y = 10; y + x = 10 + 2 = 12 − мячей закупили в первый год. Ответ: 12 мячей.

№ 1136 x – одно число; y – другое число;

⎩⎨⎧

+==+

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

+=

=+

402370

402

1852

yxyx

yyx

yx

; 3y = 330; y = 110;

x = 370 − y; x = 370 − 110 = 260. Ответ: 260; 110.

№ 1137 a − первая цифра числа; b − вторая цифра числа, то есть a · 10 + b − искомое число;

⎩⎨⎧

−=−=+

⎩⎨⎧

+=++=+

189912699

10181014

abba

baabba

; 18b = 108; b= 108;

a = 14 − b; a = 14 − 6 = 8; то есть 10a + b = 8 · 10 + 6 = 86. Ответ: 86.

№ 1138 a − первая цифра числа; b − вторая цифра числа, то есть a · 10 + b − искомое число;

⎩⎨⎧

−=−=+

⎩⎨⎧

−=−=+

⎩⎨⎧

+−=+=+

⎪⎩

⎪⎨⎧

−+=

−+=+

225141541414

2251411

214241011

2241011

baba

baba

bababa

bababa

ba

39b = 156; b = 4; a = 11 − b; a = 11 − 4 = 7; 10a + b = 10 · 7 + 4 = 74. Ответ: 74.

№ 1139 a − первая цифра числа; b − вторая цифра числа, то есть a · 10 + b − искомое число;

⎩⎨⎧

=−=−

⎩⎨⎧

=−=−

⎩⎨⎧

+++=+++=+

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

+++=

+++

++=

++

752025122016

1545354

510551036610

255

210

3610

baba

baba

babababa

bababa

bababa

9a = 63; a = 7; 4 · 7 − 5b = 3; 5b = 25; b = 5; 10a + b = 10 · 7 + 5 = 75. Ответ: 75.

251

№ 1140 x − деталей производительность первого фрезеровщика за день; y − деталей производительность второго фрезеровщика за день; (x + 0,625x) − деталей производительность первого фрезеровщика после смены фрезы; (y + 0,5y) − деталей производительность второго фрезеровщика после смены фрезы;

( ) ⎩⎨⎧

=+=+

⎩⎨⎧

=+=+

⎩⎨⎧

=+++=+

110424268402415

27665628085

276506250428085

yxyx

yx,yx

y,yx,xyx ;

11x = 264; x = 24 деталей; y = 35 − 85 x; y = 35 −

85 · 24; y = 20 деталей

P − количество деталей если бы в первый раз работали с новой фрезой; P = 5 · 1,625x + 8 · 1,5y = 8,125 · 24 + 12 · 20 = 195 + 240 = 435. Ответ: 435 деталей.

№ 1141 x − тонн масса первой отливки; y − тонн масса второй отливки; 0,05x − тонн масса никеля в первой отливке; 0,1y − тонн масса никеля во второй отливке; 0,08(x + y) − тонн масса никеля в сплаве первой и второй отливке;

( )⎩⎨⎧

=−=−

⎩⎨⎧

=−=−

⎩⎨⎧

=−+=+

802032

4050100030020

40501008001050

xyxy

x,y,x,y,

x,y,yx,yx,

;

2x = 80; x = 40;

y = 23 x; y =

23 · 40 = 60.

Ответ: 40 тонн; 60 тонн. № 1142

x − тонн стали первого сорта для необходимого сплава; y − тонн стали второго сорта для необходимого сплава; 0,05x − количество никеля в стали первого сорта; 0,1y − количество никеля в стали второго сорта; 0,3(x + y) − количество никеля в новом сплаве;

( ) ⎩⎨⎧

=−=+

⎩⎨⎧

=−=+

⎩⎨⎧

+=+=+

052140

025010140

3040050140

x,yyx

x,y,yx

yx,y,x,yx

;

3,5x = 140; x = 40; y = 140 − 40 = 100. Ответ: 40 тонн; 100 тонн.

№ 1143 x − кг яблок; 30x − руб. заплатили за яблоки; y − кг груш; 38y − руб. заплатили за груши;

252

x + y − натуральные числа; 30x + 38y = 400 (*); т.к. число (30 · x) всегда заканчивается нулем, то и число (38 · y) тоже должно закнчиваться нулем; y равное 10 и более не подходит в уравнение (*) следовательно единствееный вариант y = 5; 30x + 38 · 5 = 400; 30x = 210; x = 7; x + y = 7 + 5 = 12. Ответ: 12.

№ 1144 x − км/ч скорость первого поезда; y − км/ч скорость второго поезда; 4x + 3y = 580; x и y кратны 10 и больше 50; x не может быть больше 100 т.к. в этом случае y должно быть меньше 50, поэтому перебираем число x от 50 до 100 кратное 10. Не трудно проверить что удовлетворяют уравнению две пары 70; 100 и 100; 60. Ответ: 70 км/ч и 100 км/ч; 100 км/ч и 60 км/ч.

№ 1145 10a + b − двузначное число; 6(10a + b) = 100a + b − из условия; 60a + 6b = 100a + b; 40a = 5b; 8a = b; т.к. b − от 0 до 9 то a может равняться только 1; ноль не подходит т.к. в этом случае не получится двузначное число a = 1; b = 8. Ответ: 18.