Устная математическая

олимпиада

для 7-8 классов

«Круги Эйлера»

Леона́рд Э́йлер  — швейцарский, немецкий и российский

математик, живший в 18 веке,

который внес значительный вклад в развитие математики , физики,

астрономии и ряда прикладных наук.

Эйлер — автор более чем 800 работ

Круги Эйлера — геометрическая схема,

с помощью которой можно изобразить отношения

между подмножествами, для наглядного представления.

1 . этап Иллюстрациярешения задач с помощьюкруговЭйлера

(2 ) примера

2 . этап 5 Решение задач олимпиады :

По мере решения задач представитель команды подходит к члену . жюри и рассказывает решение одной задачи

Если задача решена правильно, то на карточке с текстом задачи ;член жюри выставляет максимальный балл

если в решении будет ошибка, то команда получает штрафное, очко но имеет возможность попробовать сдать решение

повторно

Устная математическая олимпиада

20 команд

7- 8 учащиеся классов . школЮжного округа гМосквы

№№420; 575; 581; 870; 871; 949

7 и 8 классы соревнуются каждый в своей категории

Члены жюри: учителя и старшеклассники школ – участников олимпиады

ЗАПОЛНИТЬ ЛИСТЫ РЕГИСТРАЦИИ

1 этап 15 минут объяснение метода

3 этап

2 этап 40 минут решение 5 основных задач и 2 дополнительных задач

15 минут показ решений и рассказ о предстоящих играх

В деревне в каждой семье есть корова

или лошадь, причем в 20 дворах есть коровы, в 25 – лошади, а в 15 – и коровы, и лошади. Сколько в деревне

дворов?

Пример №1

5 1015

20=5+15 25=10+155+15+10=30

В классе 36 человек. После каникул , классный руководитель спросил учеников

, . кто из ребят ходил в театр кино или цирк, , , Оказалось что и в театре и в кино и в

цирке побывало 2 человека. В кино побывало 10 человек; - в театре 14 человек; - в цирке 18 человек; , - и в театре и в цирке 8 человек; , - и в кино и в цирке 5 человек; , - и в театре и в кино 3 человека

Сколько учеников класса не посетилини театр, ни кино, ни цирк?

ПРИМЕР №2.

Внутри этого круга построим три пересекающихся круга меньшего диаметра:* эти круги будут изображать соответственно театр, кино и цирк.

Пусть большой круг изображает множество всех учеников класса.

Для ясности эти круги обозначим буквами Т*, К*, Ц*.

ТТ К

Ц

Общей части всех трех кругов соответствует множество ребят, посетивших и театр, и кино, и цирк, поэтому обозначим ее ТКЦ*.

ТКЦ

Т

Ц

К

Через ТКЦ * обозначим множество ребят, побывавших в театре и кино, но не побывавших в цирке.

__

ЦТК

ТКЦ

Т

Ц

К

Аналогичным образом обозначим и все остальные области, отрицание отметим чертой над символом.

КЦТЦКТ

ЦКТ ЦКТ__

ЦТК

ТКЦ

Т

ЦКТ

Ц

К

Обратимся к числовым данным.

КЦТЦКТ

ЦКТ ЦКТ__

ЦТК

ТКЦ

Т

ЦКТ

Ц

К

При ответе вы можете сразу расставлять числовые значения, не вводя предварительных обозначений

В кино побывало 10 человек.

КЦТЦКТ

ЦКТ ЦКТ__

ЦТК

ТКЦ

Т

ЦКТ

Ц

К = 10

КЦТЦКТ

ЦКТ ЦКТ__

ЦТК

ТКЦ

Т

ЦКТ

К = 10 = 14

В театре - 14 человек.

Ц

КЦТЦКТ

ЦКТ ЦКТ__

ЦТК

ТКЦ

Т

ЦКТ

К = 10 = 14

В цирке - 18 человек.

Ц= 18

КЦТЦКТ

ЦКТ ЦКТ__

ЦТК

ТКЦ

Т

ЦКТ

Ц

К = 10 = 14

Так как и в театре, и в кино, и в цирке побывало 2 человека, внесем в область ТКЦ * число 2.

= 18

2

КЦТЦКТ

ЦКТ ЦКТ__

ЦТК

Т

ЦКТ

Ц

К = 10 = 14

По условию задачи и в театре, и в кино побывало 3 человека *, поэтому в область ТКЦ запишем 1 *.

= 18

233 – 2=1

КЦТЦКТ

ЦКТ ЦКТ

Т

ЦКТ

Ц

К - 10 - 14

Так как и в кино, и в цирке побывало 5 человек*, то в область ТКЦ внесем число 3.

- 18

2 55 – 2 =3

1

ЦКТ

ЦКТ ЦКТ

Т

ЦКТ

Ц

К = 10 =14

Так как и в театре, и в цирке побывало 8 человек*, то в область ТКЦ внесем число 6*.

= 18

23

1

88 – 2 =6

ЦКТ ЦКТ

Т

ЦКТ

Ц

К = 10 = 14

А теперь вычислим сколько человек побывало только в театре*, только в кино* и только в цирке*.

= 18

23

1

6

14-1-6-2=5 10-1-2-

3=4

18-6-2-3=7

Т

Ц

К = 10 = 14

= 18

23

1

6

5 4

7

Нам осталось узнать, сколько учащихся не посетили ни театр, ни кино, ни цирк. Для этого сложим найденные числовые данные всех выделенных областей и вычтем полученное число из общего количества учащихся класса.

Т

Ц

К = 10 = 14

= 18

23

1

6

5 4

7

Т

Ц

К = 10 =14

= 18

23

1

6

5 4

7

Т

Ц

К = 10 = 14

= 18

23

1

6

5 4

7

51 2 3 7 4 826По условию задачи, всего в классе 36 человек,* значит не посетили ни театр, ни кино, ни цирк 8 человек*.

63 882

Т

Ц

К = 10 = 14

= 18

23

1

6

3 4

7

: Ответ , , 8 Непосетилини театр ни кино ницирк

.человек

2 . этап .Решение задач олимпиады1. , Каждая команда получит конверт в котором

5 . находятся карточки с условиями задач ( На )карточке с условием ничего писать нельзя

2. , Решение задач можно писать на черновиках но при рассказе жюри пользоваться ничем нельзя

( - )заново рисовать круги решения на специальных бланках3. Каждый участник команды может рассказать

только одну задачу ( , исключение составляют команды 5)где участников меньше

, Отвечать решения задач могут только участники на руках у . , которых закреплен бумажный браслет Если задача принята то

участник снимает браслет и больше не имеет права отвечать , задачи членам жюри но он продолжает участвовать в решении

задач вместе с остальными членами команды

Устная математическая олимпиада

2 . этап .Решение задач олимпиады5. , Если при ответе допущена ошибка то

на обороте карточки записывается штрафное очко ( и пока браслет у участника не

, снимается с повторным решением может выйти « » )другой окольцованный член команды

6. Карточка с текстом зачтенной задачи передается компьютерщикам ( для

) занесения в электронный протокол7. , Командам которые справятся с

решением основных задач раньше, времени будут предложены

дополнительные задания ( по другим)темам

Устная математическая олимпиада

В классе учатся 40 человек. Из них по русскому языку имеют «тройки» 19 человек, по математике – 17 человек и по истории – 22 человека. Только по одному предмету имеют «тройки»: по русскому языку – 4 человека, по математике – 4 человека, по истории – 11 человек. Семь учеников имеют «тройки» и по математике и по истории, а 5 учеников – «тройки» по всем предметам. Сколько человек учится без «троек»?

М=17Р=19

И=22

4

4

11

75

2

64

4

4

11

52

64

36 40 – 36 = 4

№1

В классе 35 учеников, из них 20 занимаются в математическом кружке, 11 - в биологическом, 10 ребят не посещают эти кружки. Сколько биологов увлекается математикой?

М=20 Б=11

35 -10=25 посещают кружки

х20 - х

(20-х)+х+(11-х)=25

№2

11 - х

31- х =25 х =6

На полу площадью 12м2 лежат три ковра: площадь одного 5м2, другого - 4м2 и третьего - 3м2. Каждые два ковра перекрываются на площади 1,5м2, причем 0,5м2 из этих полутора квадратных метров приходится на участок пола, где перекрываются все три ковра. Какова площадь пола, не покрытая коврами?

5

30,5+1+1+1+2,5+1,5+0,5 =8

№3

41,51,5

1,50,51

11

2,51,5

0,5

12- 8 =4

Когда-то давно в нашей стране были пионеры и комсомольцы, и они носили соответственно пионерские галстуки и комсомольские значки. В одной экскурсии участвовали семиклассники и восьмиклассники. Все они были либо с комсомольскими значками, либо в пионерских галстуках. Мальчиков было 16, комсомольцев и комсомолок всего 24. Пионерок столько, сколько мальчиков-комсомольцев. Сколько всего ребят участвовало в экскурсии?

Мк

Мп + Мк + Дк + Дп =

№4

2416

Мп

Дк

Дп

Мк 16 + 24 = 40

В классе 32 человека. Из них 14 играют в баскетбол, 24 - в теннис, 16 - в волейбол. Увлекаются двумя видами спорта - баскетболом и теннисом - шестеро, баскетболом и волейболом - четверо, теннисом и волейболом - четверо. Двое ничем не занимаются. Сколько ребят увлекается всеми видами игр?

№5

Т=24Б=14

В=16

24-(6-х)-х-(4-х)==14+х

4

64х

24+(4+х)+(4-х)+(8+х)=30

32 – 2 = 30 занимаются

-х-х

- х 14-(6-х)-х-(4-х)== 4+х

16-(4-х)-х-(4-х)==8+х

2440+х=30х=-10

Условие противоречиво.Задача не имеет решения !!!

В классе 32 человека. Из них 14 играют в баскетбол, 24 - в теннис, 16 - в волейбол. Увлекаются двумя видами спорта - баскетболом и теннисом - шестеро, баскетболом и волейболом - четверо, теннисом и волейболом - четверо. Двое ничем не занимаются. Сколько ребят увлекается всеми видами игр?

№5

Т=24Б=14

В=164

64х

24+14 +16 = 54Те, кто ходит ровно в 2 секции посчитаны дважды. Те, кто ходит в 3 секции подсчитаны трижды

32 – 2 = 30 занимаются

Условие противоречиво.Задача не имеет решения !!!

6+ 4 + 4 = 1454 – 14 = 40Те, кто ходит в 3 секции « выброшены» трижды

40+х=30Не имеет решения в натуральных числах

2 способ

С одной стороны улицы подряд стоят пять домов, каждый — своего цвета. В каждом живёт человек, все пять — разных национальностей. Каждый человек предпочитает уникальную марку сигарет, напиток и домашнее животное. Кроме того:• Англичанин живёт в красном доме.• Швед держит собаку.• В зелёном доме пьют кофе.• Датчанин предпочитает чай.• Зелёный дом — по соседству слева от белого.• Курильщик «Pall Mall» разводит птиц.• В жёлтом доме курят «Dunhill».• Молоко пьют в доме посередине.• Норвежец живет в первом доме.• Человек, курящий «Marlboro», живёт рядом с хозяином кошки.• Дом, где курят «Dunhill», — рядом с тем, где держат лошадь.• Любитель «Winfield» пьёт пиво.• Немец курит «Rothmans».• Норвежец живёт рядом с синим домом.• Тот, кто курит «Marlboro», живет рядом с тем, кто пьет воду.Вопрос:У кого живёт рыбка?

Задача Эйнштейна