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数字信号处理基础第 7 章 FIR 数字滤波器的理论和设计

主讲教师：常 军联系方式： thinkbank@hotmail.com

武汉大学计算机学院计算机应用系

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FIR 数字滤波器的特点1. 单位抽样响应 h(n) 是有限长的，因此 FIR 数字滤波器一定是稳定的。2. 经延时， h(n) 总可变成因果序列，所以 FIR 数字滤波器总可以由因果系统实现。3. h(n) 为有限长，可以用 FFT 实现 FIR 数字滤波器。4. FIR 的系统函数是 Z-1 的多项式，故 IIR 的方法不适用。5. FIR 的相位特性可以是线性的，因此，它有更广泛的应用。

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(1) 以窗函数为基础的窗函数截取法：以传统的窗函数为基础，利用已有的窗函数特性曲线和设计数据进行 FIR 滤波器的设计。具有设计简单，工程实用价值高的优点。是本课程主要介绍的方法。 (2) 局部优化设计法： ( 等波纹逼近法 ) 以理想滤波器特性为基础，设定一、二个过渡带逼近点，然后对 FIR 滤波器差分方程系数进行优化计算得 H(z) 。由于需要部分优化计算，所以计算量较大。局部优化设计法主要是针对过渡带进行优化，而通带波动，阻带特性等不一定很好。 (3) 最优化设计法： ( 计算机辅助设计 ) 在某种最小化误差准则下，建立差分方程系数 b i 对理想特性的逼近方程，使用迭代方法解方程组得到最佳逼近系统。由于此方法计算量大，需要借助于计算机进行设计。

FIR 滤波器的设计方法：

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在一些实际应用中，要求滤波器具有线性相位特性。对于 IIR

滤波器其相位特性一般都是非线性的，并且很难于实现线性相位特性。而对于 FIR 滤波器就比较容易实现线性相位特性。

描述滤波器的相位特性 )()](arg[ jeH 有两个参数：

滤波器的相位延时： )()( p

滤波器的群延时：

dd

g)()(

如果滤波器的相位延时和群延时是不随ω变化的常量，则该滤波系统称为恒延时系统。

7.1 FIR 滤波器的线性相位特性：

7.1.1 滤波器的线性相位特性1 、系统的时延特性：

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2 、 FIR 滤波器的线性相位 ( 恒时延 ) 条件设 F I R 滤 波 器 的 冲 击 响 应 为 一 对 称 序 列

]1[][ nNhnh N 为 奇 数 ， 对 称 中 心 点 是

21N

。

]}[)]1[][({][)( 21

)1(2

112

1

0

21

211

0

NnNN

N

n

nNNN

n

n hznNhznhzznhzH

) ]([]1[][ )

21

(2

1)1(

21

21

nN

nN

nNN

nN

zznhznNhznh

对 频 率 响 应 特 性 ；

)(]}2

1[)2

1(cos][{

]}2

1[)]([{)(

211

21

0

21

12

1

0

)2

1()

21

(2

1

AeNhnNnhe

NheenheeH

Nj

N

n

Nj

N

n

nN

jnN

jN

jj

|)(||)(| AeH j

2

1))(arg( NeH j

即 线 性 相 位 特 性 。 系 统 相 延 时 和 群 延 时 等 于 τ ， 为 一 常 量 。

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可以证明，在其他几种对称情况下 ( 冲击响应 h(n) 为偶 / 奇对称， 无论 N 为偶数或奇数 ) ， FIR 滤波器相位特性也都满足线性相位特性。 (P149~150) N为偶数， )(nh 偶对称 )(

N为偶数， )(nh 奇对称 2

)(

N为奇数， )(nh 偶对称 )(

N为奇数， )(nh 奇对称 2

)(

)(nh 偶对称 相延时和群延时都为常量 )(nh 奇对称 群延时为常量

所以，只要使FIR滤波器的冲击响应h(n)为对称序列，就可以取得

线性相位特性。群延时2

1)(

Ng 。

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具 有 线 性 相 位 特 性 的 F I R 滤 波 器 的 冲 击 响 应 h ( n ) 有 对 称 性 ， 所 以 系统 差 分 方 程 可 以 表 示 为 ：

偶 对 称 ： )1()( nNhnh

1

0

0

)1(

1

0

)1(

23

21

2

)2

1(])[(

])[()()(

N

n

n

nNn

n

nNn

nN

N

N

NzNhzznh

NzznhznhzH

为奇数

为偶数

奇 对 称 ： )1()( nNhnh

1

0

0

)1(

1

0

)1(

23

2

])[(

])[()()(

N

n

n

nNn

n

nNn

nN

N

Nzznh

NzznhznhzH

为奇数

为偶数

比 较 直 接 实 现 ， 其 实 现 流 图 可 以 减 少 一 半 乘 法 。

7.1.2 线性相位特性 FIR 滤波器的实现流图：

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1z

1z

)0(h

1z

1z

)1(h

1z

1z

)2(h )1( 2 Nh

1z

1z

)2( 2 Nh

)(nx

)(ny

N为偶数， )(nh 偶对称时的实现流图：

为偶数NzznhzHN

n

nNn ])[()(1

0

)1(2

其余情况的实现流图结构类似。

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FIR数字滤波器的线性相位特性，则系统冲击响应序列满足)1()( nNhnh 。

1

0

1

0

)1()()(N

n

nN

n

n znNhznhzH ，设 nNm 1

)()()()( 1)1(1

0

)1(1

0

)1(

zHzzmhzzmhzH NN

n

mNN

m

mN

若 izz是系统的一个零点，则 1izz 也是系统的一个零点。 因为冲积响应序列h(n)为实数序列，方程H(z)=0的根为共轭对称，所以 izz 也是系统零点。

7.1.3 线性相位特性 FIR 滤波器的零、极点：FIR 数字滤波器的系统函数只在 Z=0 处有 N-1 阶极点。在 Z 平面有 N-1 个零点，如系统具有线性相位特性，则系统零点有一些规律。

具有线性相位特性的 FIR 数字滤波器的系统函数零点具有对称和共轭对称特性 ( 互为倒数的共轭对 ) 。

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iz

iz

1)( iz

1iz

1az

2az

azi azi11

1

零 点 分 布 ： 一 般 情 况 下 零 点 iz

对 称 和 共 轭 对 称 特性 有 相 应 的 4 个 零点 。

当 零 点 在 单 位 圆 上 ，有 两 个 对 称 点 在 单位 圆 上 。

当 零 点 在 实 轴 上 ， 有两 个 对 称 点 在 实 轴上 。

当 零 点 1iz ， 对 称点 是 它 自 己 。 单 个 零点 。

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窗函数截取法以传统的窗函数为基础，利用已有的窗函数特性曲线和设计数据进行 FIR 滤波器的设计。具有设计简单，工程实用价值高的优点。这 里 仍 以 低 通 滤 波 器 为 例 来 进 行 讨 论 。 理 想 数 字 低 通 滤 波 器 的 频 率 特 性 为 ：

c

jj

deK

eH

|| 0||

)( c 是 以 2 为 周 期 的 函 数 。

其 傅 立 叶 级 数 展 开 式 ：

n

njd

jd enheH )()(

其 中

)())(sin(

21)(

21)(

nnK

deKedeeHnh

c

njjnjjdd

c

c

理 想 滤 波 器 系 统 是 一 个 具 有 无 限 冲 击 响 应 的 非 因 果 系 统 。

7.2 FIR 滤波器的窗函数截取设计方法：7.2.1 理想滤波特性的傅立叶级数逼近：

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为 了 获 得 F I R 形 式 的 滤 波 函 数 ， 需 要 把 理 想 滤 波 器 冲 击 响 应 序 列

)( nh d 进 行 截 断 ， 以 得 到 有 限 长 度 的 因 果 序 列 h ( n ) 。

可 以 证 明 函 数 的 傅 立 叶 级 数 展 开 是 一 种 最 佳 逼 近 。 即 在 相 同 的 阶 数

N 中 ， 展 开 式

1

0

)()(N

n

njd

jd enheH 是 理 想 滤 波 器 特 性 )( j

d eH 的

误 差 最 小 的 多 项 式 。 并 且 ， 随 着 N 的 增 大 ， 逼 近 误 差 逐 步 减 少 。

实 际 滤 波 器 是 稳 定 因 果 系 统 ， 所 以 得 到 ：

)()()()()(1

0

NEeHenhenheH j

Nn

njd

N

n

njd

jd

误 差

Nn

njenhNE )()( 随 N 的 增 加 ， 单 调 减 少 。

理想滤波器冲击序列的加窗处理

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直接截断为：

21|| 0

21|| )(

)(d

Nn

Nnnhnh 假设N为奇数。

截断后的 h(n) 作为 FIR 滤波器的冲击响应 ( 也是差分方程系数 ),与理想滤波器的差别主要有：(1) 存在误差；(2) 非因果特性；(3) 如何保证线性相位特性 ( 恒时延特性 ) 。

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7.2.2 截断特性误差分析截 断 处 理 相 当 于 乘 以 窗 函 数 序 列 ： )()()( nwnhnh Rd

其 中

21 0

21 1

)( Nn

Nnnw R 为 矩 形 窗 函 数 序 列 。

为 了 分 析 截 断 后 的 影 响 对 截 断 （ 乘 以 窗 函 数 ） 做 傅 氏 变 换 。 根 据 频 域 卷 积 特 性 ： 若 有 )()()( 21 nxnxny 则 ：

deXeXeXeXeY jjjjj )()()()()( )(212

121

。

用 于 窗 函 数 截 断 则 得 ：

deWeHeWeHeH jR

jd

jR

jd

j )()()()()( )(2

1

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理 想 滤 波 器 冲 击 序 列 )( nh d 加 窗 )( nw 处 理 。 设 滤 波 器 阶 数 N 为 奇 数 ， 为 了 得 到 一 个 因 果 系 统 ， 应 满 足 0 0)( nnh ， 而 为 了 得 到 线 性 相 位 特 性 ， 应 使 )( nh 具 有 对 称 性 。 因 为 理 想 滤 波 器 冲 击 序 列 )( nh d 是 以 y 轴 为 偶 对 称 的 序 列 。 所 以 可 先 对

)( nh d 右 移 2)1( N 点 ， 然 后 再 截 断 。

取 截 断 窗 函 数 为 ：

Nnn

Nnnw

,0 010 1

)(

得 F I R 滤 波 器 冲 击 序 列 ： )()()( 2

1' nwnhnh Nd )1(0 Nn ，

则 F I R 滤 波 器 的 频 率 特 性 为 ： )()()( jjd

j eWeHeH

对 于 矩 形 窗 函 数 截 断 处 理 ： )2sin(

)2sin()( NeW j ，

cjj

d eeH 1)( ， 其 余 0)( jd eH

可 以 得 出 卷 积 结 果 ： )cos()sin(2)(2

1

1

nn

neHN

n

ccj

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|Hd(e jω)|)()()( jj

dj eWeHeH

|W(e jω)|

n

hd(n)

0 N-1

h(n)

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吉布斯效应及改善：这种由于截断而产生的理想滤波器的幅度特性的波动现象称为吉布斯效应。它使得截断后产生的 FIR 滤波器特性与理想特性之间有误差，分析误差产生的原因和影响误差的因素可以设计出特性更加好的 FIR 滤波器。

N=8

N=16

N=32

c

)( jeH

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结论： 为了改善逼近效果，需要选用主瓣狭窄，旁瓣相对低的窗函数。但这两项要求往往不能同时满足。因为过渡带宽可以用提高阶数 N来满足设计要求，所以工程上主要是选取旁瓣相对低的窗函数来对理想冲击响应序列进行截断。

(1)对于窗函数截断处理后的吉布斯效应会在通带内产生波动，波动次数与截取长度N(FIR滤波器的阶数)有关，但波动的肩峰(最大波动幅度处)幅度与N无关，取决于窗函数的旁瓣幅度特性 )(jeW。

(2)过渡带宽度与阶数N有关，对于矩形窗函数此宽度为N4。相同的阶数N，不同的窗函数产生的过渡带宽度不同。它主要取决于窗函数频谱 )(jeW的主瓣宽度。

(3)在阻带内也会产生波动，波动次数与截取长度N（FIR滤波器的阶数）有关，但波动的肩峰（最小阻带衰耗处）幅度与N无关，取决于窗函数的旁瓣幅度特性 )(jeW。

讨论：

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7.2.3 几种常用的窗函数(1) 矩形窗： 10 1)( Nnnw ，其余0)(nw

)sin()sin(

|)(|2

2 Nj

ReW

幅度频率特性：过渡带宽：N4,旁瓣峰值：-13dB,最小阻带衰耗：-21dB

(2)汉宁（Hanning）窗：(升余弦窗)

1-Nn0 )]12cos(1[

21)(

Nnnw ，其余0)(nw

)]()([25.0)(5.0)( )()( 22NN j

Rj

Rj

Rj eWeWeWeW

幅度频率特性：过渡带宽 N8 ， 旁瓣峰值衰耗：-31dB，最小阻带衰耗：-44dB

(3)哈明（Hamming）窗：(改进的升余弦窗)

1-Nn0 )12cos(46.054.0)(

Nnnw ，其余0)(nw

)]()([23.0)(54.0)( )()( 22NN j

Rj

Rj

Rj eWeWeWeW

幅度频率特性：过渡带宽：N8 旁瓣峰值衰耗：-41dB，最小阻带衰耗：-53dB

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(4)布拉克曼(Blackman)窗：

1-Nn0 )1

2cos()1()(1

0

M

kk

k

Nknanw 其余 0)(nw

是一组升余弦窗函数，升阶数M是可选参数。

M=3时： )4cos(08.0)2cos(5.042.0)(Nn

Nnnw

)]()([04.0

)]()([25.0)(42.0)()()(

)()(

44

22

NN

NN

jR

jR

jR

jR

jR

j

eWeW

eWeWeWeW

幅度频率特性：过渡带宽：N12,旁瓣峰值衰耗：-57dB，最小阻带衰耗：-75dB

升阶越高，幅度频率特性的旁瓣峰值衰耗值越小。M=4时，旁瓣峰值衰耗达-90dB。

(5)凯塞（Kaiser）窗：

1-Nn0 )()1(1(

)(0

212

0

I

Inw N

n

其余0)(nw

其中)(0xI为0阶贝塞尔函数： 2

00 !

2)(

k

k

k

kxI ，为主瓣宽度参数。

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矩形窗 N=8 汉宁窗 N=8

哈明窗 N=8

3 阶 Blackman 窗 N=8

1N0

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矩形窗 N=8

哈明窗 N=8 3 阶 Blackman 窗 N=8

dB

)( jeW

汉宁窗 N=8

)( jeW

8

82

83

窗函数幅度频率特性

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dB

矩形窗 N=64

汉宁窗 N=64

哈明窗 N=64 3 阶 Blackman 窗 N=64

)( jeW

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矩形窗 N=8 汉宁窗 N=8

哈明窗 N=8

3 阶 Blackman 窗 N=8

)( jeH

2 c

对理想低通特性的逼近

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矩形窗 N=16 汉宁窗 N=16

哈明窗 N=16

3 阶 Blackman 窗 N=16

)( jeH

2 c

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矩形窗 N=64 汉宁窗 N=64

哈明窗 N=64

3 阶 Blackman 窗 N=64

)( jeH

2 c

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dB

矩形窗 N=8 汉宁窗 N=8

哈明窗 N=8

3 阶 Blackman 窗 N=8

)( jeH

4 c

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4 c

dB

矩形窗 N=64

汉宁窗 N=64

哈明窗 N=64

3 阶 Blackman 窗 N=64

)( jeH

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dB

哈明窗 N=8

哈明窗 N=16

哈明窗 N=64

哈明窗 N=32

)( jeH

N增大时可以改变主瓣的宽度，不能改变主瓣与旁瓣的相对比例

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矩形窗 N=64

汉宁窗 N=64

哈明窗 N=64 3 阶 Blackman 窗 N=64

主瓣与旁瓣的相对比例只由窗函数形状决定

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几种窗函数的主要特性

窗函数 矩形窗 汉宁窗 哈明窗 3阶Blackman窗 Kaiser窗 865.7

过渡带 N4 N8 N8 N12 N10 阻带最小衰耗（dB） -21 - 44 -53 -74 -80

说明： 要取得好的逼近效果，除阶数 N外，选择适合的窗函数也是必要的。通带的波动幅度与窗函数的旁瓣有关，所以选用哈明窗、布拉克曼窗等窗函数可以有较平直的通带特性。阻带衰耗特性主要取决于窗函数的旁瓣特性，所以为了得到较大的阻带衰耗应选择旁瓣幅度低的窗函数，如哈明窗、布拉克曼窗等。这一点与通带平直特性要求是一致的。因为特性比较好的窗函数：哈明窗、布拉克曼窗等过渡带都比较宽。所以要采用较高的阶数 N来满足过渡带宽要求。其他还有一些较复杂的窗函数，如凯塞窗、高斯窗等，可以满足较高的设计指标要求 ( 主要是主瓣能量集中，旁瓣幅度低 ) 。但因为计算较复杂，所以一般只用于特殊要求的情况。

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( 1 ) 给 出 要 求 数 字 滤 波 器 逼 近 的 理 想 频 率 响 应 特 性 )( jd eH ：

为 了 满 足 线 性 相 位 要 求 ， 一 般 可 选 定 )( jd eH 为 实 偶 函 数 。

说 明 ： 所 设 计 的 数 字 滤 波 器 可 以 是 任 何 类 型 的 滤 波 器 （ 包 括 复 杂 特 性 滤 波 器 ） 。 )( j

d eH 一 般 是 一 可 积 表 达 式 ， （ 或 可 分 段 积 分 的 多 个 表 达 式 ） 。 甚 至 可 以 是 特 性 曲 线 的 多 个 样 本 点 。

)()( kM

HeH dj

d ， )1(,2,1,0 Mk 。

(2)选定滤波器的截断窗函数： 根据给定的幅度频率特性的阻带衰耗设计指标选取截断窗函数。一般是给定 dBAeH s

j s )( 。窗函数指标见窗函数特性表（P158 表7.1）。

对于有特殊滤波特性要求的情况，可以选择那些比较复杂的窗函数。如凯塞窗可以通过参数β来改变特性。

7.2.4 FIR 滤波器的窗函数设计法设计步骤：

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( 4 ) 计 算 理 想 滤 波 器 的 冲 击 响 应 序 列 ：

)cos()(1)(2

1)(0

dneHdeeHnh jd

njjdd

因 为 序 列 是 偶 对 称 的 ， 所 以 数 据 只 需 要 计 算 一 半 。 另 外 一 半 对 称 扩展 得 到 。

2

10

Nn （ N 为 奇 数 ） 12

0 Nn （ N 为 偶 数 ）

对 于 M 个 样 本 点 积 分 计 算 为 ： )cos()(2)(1

0

knM

kM

HM

nhM

kdd

(3)选定滤波器的阶数N： 阶数N主要考虑幅度频率特性的过渡带宽或系统的时间延迟。过渡带宽 NKcs （K值与选定的窗函数有关，见

窗函数特性表）。即

KN 。时间延迟 NT 。

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( 5 ) 为 了 得 到 F I R 滤 波 器 具 有 因 果 特 性 ， 将 序 列 进 行 时 间 平 移 ：

N 为 奇 数 ： 10 )()(1 NnKnhnh d 其 中 ：2

1

NK

N 为 偶 数 ：

11 )1(

0 )()(1 NnKKnh

Kn Knhnh

d

d 其 中 ： 12

NK

可 见 当 N 为 偶 数 时 ， 12

)0()12

()( 11 NKnhNhKh d

而2

1 )0()2

()1( 11NKnhNhKh d 。

(6)窗函数修正：根据选定的窗函数 )(nw 。 计算： )()()( 1 nwnhnh ， )1(,2,1,0 Nn

窗函数：

)1( 0)1(0 )(

)(NnNnnw

nw

（因为冲击序列是对称序列，所以相位特性是线性的。）

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( 7 ) 给 出 实 现 流 程 图 ： 根 据 F I R 滤 波 器 的 差 分 方 程 系 数 与 冲 击 响 应 序 列 的 关 系 ， 可 得 系 数 。

1

0

)()()(N

k

knxkhny ， )1(~0 Nn

当 F I R 滤 波 器 的 阶 数 很 高 ， 或 输 入 信 号 序 列 很 长 时 可 以 考 虑 用 F F T 方 法实 现 。 )]}([)]([{)( nhFFTnxFFTLFFTny ， 或 分 段 卷 积 方 法 。

23/4/22 22:07第 36 页制作：常军

说明：以上方法设计的 FIR 滤波器一般可以满足实际应用需要。如果系统设计指标要求较高，则可能需要复核技术指标，通过调整窗函数和阶数 N 进一步优化系统设计。或考虑采用计算机辅助设计等优化设计方法达到高指标要求。FIR 滤波器的窗函数设计方法不仅可以设计低通滤波器，而且可以设计非低通滤波器。甚至其它非基本类型的滤波特性的系统，只要其频率特性可以进行分段积分，也可以直接使用窗函数设计方法得到相应的 FIR 滤波系统。为了得到因果线性相位特性的滤波系统，在窗函数设计方法中一个是使系统频率特性为偶对称，另一个是对理想系统冲击响应序列进行移位再截断。 (FIR 滤波系统始终是稳定系统 )

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解：（ 1）给出理想特性表达式： red 25.0/22 sccc ffTf

c

cjd eH

25.0|| 025.0||0 1

)(

（2）选定滤波器窗函数： dBAs 50 ，查表选哈明窗，阻带峰值小于 dBAs 53

)1

2cos(46.054.0)(

N

nnw ， )1(0 Nn 单边窗。

或 )1

2cos(46.054.0)(

N

nnw ，

21

21

NnN双边窗。

例：某数字信号处理系统采样频率为 1KHz 。设计一 FIR 滤波器其截止频率为 125Hz 。要求滤波器的冲击响应延时不大于 20ms ，阻带峰值小于－ 50dB 。

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(5)窗函数修正：因为冲击响应序列是对称的，所以只要计算一半。 根据设计指标选定窗函数用Hamming窗：

)10

cos(46.054.0)( nnw 2

10

Nn ，其余 0)( nw

)()()(1 nwnhnh d 100 n

n 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 hd（n） 0.25 0.225 0.159 0.075 0 -0.045 -0.053 -0.032 0 0.025 0.032

（ 4 ） 计 算 理 想 冲 击 响 应 序 列 ：

nndndeeHnh cnjj

dd

)25.0sin()cos(1)(2

1)(0

因 为 取 冲 击 响 应 序 列 为 对 称 序 列 ， 所 以 只 须 计 算 ： n = 0 ~ 1 0

（ 3）选定滤波器阶数 N ：根据冲击响应延时要求 t=(N-1)T ，取 N-1=20 ， N=21

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（ 7） 给 出 实 现 方 案 ： 可 以 用 卷 积 实 现 ， 或 用 F F T 实 现 。

1

0

)()()()()(N

k

knxkhnhnxny

或 ：)]}([)]([{

)]}([)]([{)(nhFFTnxFFTIFFT

nhDFTnxDFTIDFTny

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 0

N 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 h[n] 0.25 0.220 0.145 0.067 0 -0.024 -0.021 -0.0087 0 0.0026 0.0025

（ 6）序列向右平移（ N-1)/2 个时间点，成为因果序列：

n 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 hd（n） 0.25 0.225 0.159 0.075 0 -0.045 -0.053 -0.032 0 0.025 0.032 h1（n） 0.25 0.220 0.145 0.067 0 -0.024 -0.021 -0.0087 0 0.0026 0.0025

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用Blackeman窗设计一个线性相位的带通滤波器逼近下面的理想特性。

c

ccja

jd

jeeH

00

0

,0 0 ,

)( ，其中21

Na 。

已知 Hzfc 100 ， Hzf 2000 ， Hzfs 1000 ， 51N 。

解 ：（ 1） 给 出 理 想 特 性 表 达 式 ： red 2.0/22 sccc ffTf ， red 4.00

0 2.0,6.0 0

2.04.02.0- )(

-ja

jd

jeeH

（2）选定滤波器窗函数： 指定Blackeman窗，阻带峰值小于 dBAs 75

)252cos(08.0)

25cos(5.042.0)( nnnw ， 250 n 双边窗。

例：

（ 3）选定滤波器阶数 N ：根据要求取 N=51 。

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（4）计算理想冲击响应序列：

]4.0)25cos[(]2.0)25sin[()25(

2

])cos[(])sin[()(

2

21

21

)(21)(

0

)(

)(

)(

)(

0

0

0

0

nnn

j

ananan

j

dejedeje

deeHnh

c

jnjajnja

njjdd

c

c

c

c

因为取冲击响应序列为对称序列，所以只须计算：n=0~25

(5)窗函数修正：

)]25

2cos(08.0)25

cos(5.042.0[

]4.0)25cos[(]2.0)25sin[()25(

2

)()()(1

nn

nnn

jnwnhnh d

250 n

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该滤波器相位特性为2

)](arg[ aeHj ，具有o90相移特

性。（或称为正交变换线性相位带通滤波器）

（ 6）序列向右平移（ N-1)/2 个时间点，成为因果序列：

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幅度频率特性 )(jeH ， 0 。

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7.3 FIR 滤波器的频率取样设计法7.3.1 设计原理：通过有限的频率特性取样值去逼近理想滤波特性，然后由有限的频率特性取样值（如系统冲击响应的 DFT）取得系统函数 。窗 函 数 设 计 法 是 从 时 域 出 发 ， 把 理 想 的 h d ( n ) 用 一 定 形 状 的 窗 函 数 截 取 成

有 限 长 的 h ( n ) , 以 h ( n ) 来 近 似 h d ( n ) , 从 而 使 频 率 相 应 函 数 jeH 近 似 理 想

频 率 响 应 jd eH

频 率 取 样 法 是 从 频 域 出 发 ， 对 理 想 的 频 率 响 应 jd eH 进 行 等 间 隔 取 样 ，

以 有 限 个 频 率 相 应 去 近 似 理 想 频 率 响 应 jeH 即 ： )()( 2 kHeH dk

N

jd

等 间 隔 取 样 ， 并 且 1,...,1,0),()( NkkHkH d

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对 于 离 散 值 )( kX 有 插 值 公 式 ： ]1

1)([1)( 1

1

0

zWzkX

NzX k

NN

k。

应 用 于 系 统 函 数 得 ： ]1

1)([1)( 1

1

0

zWzkH

NzH k

NN

k。

对 滤 波 系 统 的 频 率 特 性 有 ：

jk

NN

kj

j

ezzWzkH

NezzHeH

]

11)([1)()( 1

1

0

代 入 得 ：)(

]2/)2sin[(]2)2(sin[

11

2/)1(

2)2(22)2(2)2(

22

2

j

kNj

NkjNjNkjNkj

NjNj

jNk

jN

eeNk

NkN

eeeeee

eee

即 )]()([1)(1

0

jk

N

k

j ekHN

eH

其 中 )( j

k e 为 频 率 取 样 内 插 函 数 。

说明：重构的频率响应 )(jeH，在采样点上严格等于H(k),

而在采样点之间，频率相应有加权的内插函数延伸叠加而成。

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N=64, 无过渡点 N=64, 过渡点 =0.5

N=64, 过渡点 =0.6

N=64, 过渡点 =0.3904

23/4/22 22:07第 47 页制作：常军

N=64, 无过渡点 N=512, 无过渡点

N=64, 过渡点 =0.6

N=64, 过渡点 =0.3904

dB dB

dB dB

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说明： 频率取样法所得 FIR 滤波器通带和阻带波动主要是由于过渡带的突变引起的。通过在过渡带优化过渡样点可以得到较好的通带和阻带特性，缺点是过渡带加宽，但可以通过增加样点数 N来克服。一般一个过渡样点可以使最小阻带衰耗达 -40dB ，而 2 个过渡样点可以使最小阻带衰耗达 -60dB 。所以频率取样法设计 FIR 滤波器主要是确定样点数 N 和过渡样点。

dB

N=64, 过渡点 1=0.5886, 过渡点 2=0.1065

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(1)选取频率幅度特性的样本点 )(kH ， )1(~0 Nk 。 说明：

样本点数N的选取主要考虑过渡带宽度1

2)1(

N

K ，

其中K为过渡带点数。 为了得到线性相位特性样本点 )(kH 取为实偶对称序列。

(2)根据阻带衰耗指标要求，选取频率幅度特性的过渡带样本点 )(kH ， ),(, 21 ss kkk 。

( 3 )计 算 冲 击 序 列 )( nh （ F I R 滤 波 器 系 数 ）。

1

0

2

)(1)(N

k

nkj NekHN

nh

， )1(~0 Nn 。

由 于 )( nh 是 对 称 的 )()( nNhnh ， 所 以 只 要 计 算 2/)1(~0 Nn 点 。

7.3.2 频率采样法设计 FIR 滤波器的步骤

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根 据 给 定 的 样 本 点 )( kH ， 设 计 线 性 相 位 特 性 F IR 数 字滤 波 器 。 要 求 最 小 阻 带 衰 耗 < - 5 0 d B 。

6365,3942,70 05504,238 1

)(kkkkk

kH

(1)根据给定的样本点)(kH，可知 FIR数字滤波器为带通特性。 但设计方法是相同的。

( 2 ) 根 据 给 定 的 样 本 点 )( kH 与 频 率 特 性 )( jeH 的 关系 ， 确 定 特 性 要 求 最 小 阻 带 衰 耗 < - 5 0 d B 。

)]()([1)(1

0

jk

N

k

j ekHN

eH

2/)1(

]2/)2sin[(]2)2(sin[)(

Njjk e

NkNkNe

给 出 频 率 特 性 图 形 ， 确 定 过 渡 样 本 点 为 ： H 1 = 0 . 5 8 9 8 ， H 2 = 0 . 1 6 0 5

例 :

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无过渡点， N=64 过渡点 H1=0.5 ， N=64

过渡点 H1=0.3904 ， N=64

过渡点 H1=0.5898,H2=0.1065 ， N=64

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( 3 ) 根 据 给 定 的 样 本 点 H ( k ) 与 冲 击 响 应 h ( n ) 的 关 系 ， 确 定 F I R 滤 波 器 系 数 。

])([1)(21

0

nkjN

k

NekHN

nh

6375,3725,60 0

5440,229 1)(

kkkkk

kH

5898.0)55()39()23()8( HHHH 1605.0)56()38()24()7( HHHH

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频率取样法设计 FIR滤波器只需要知道 N个样本值就可以实现设计，方法也比较简单。

但所得的系统频率响应 )( jeH ，除了在取样上严格等于理想特性值外，取样点之间是波动逼近。

样本点之间的理想特性变化越大，附近的逼近特性也波动越大。所以在理想特性的大幅波动点（间断点）附近，会有较大的肩峰和起伏。通过选定中间过渡点加宽过渡带，可以大大减少逼近特性的波动。

如果要求更高的特性指标，可能需要采用最优化设计方法来实现。

讨论：

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(1)IIR 滤波器可以通过调整另、极点位置实现较陡峭的幅频特性。所以一般逼近函数阶数较低，但难以实现线性相位特性。 FIR 滤波器极点在 z=0 ，无法调整。实现同样的特性需要较高的阶数。容易实现线性相位特性。(2)IIR 滤波器用以逼近比较有规则的特性。对于复杂特性，难以确定逼近函数。 FIR 滤波器可用分段积分或特性样本点来逼近复杂特性。(3)IIR 滤波器时延较小，特别是采取并联实现方案时，容易满足实时系统要求。 FIR 滤波器时延为 NT ，一般比较大。主要用于非实时系统。(4) 对系数误差的灵敏度（由于系数误差引起系统特性变化，或不稳定），

IIR 滤波器较高，特别当极点位置靠近单位圆时。对计算中的有限字长效应敏感。 FIR 不会产生稳定问题。

7.4 IIR 滤波器和 FIR 滤波器的比较1 、滤波器特性方面：

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(1)IIR 滤波器用递归算法、有反馈系统实现，有积累误差产生。 FIR 滤波器用非递归算法、无反馈系统实现，没有积累误差。(2)IIR 滤波器用差分方程实现（可以用低阶差分方程级联或并联实现）。 FIR 滤波器为有限冲击响应，可以用直接卷积实现；也可以用 FFT 方法实现（分段卷积），有利于大量连续数据的滤波处理。(3) 在满足相同的逼近要求下， IIR 滤波器阶数较低，便于用集成电路数字硬件实现。 FIR 滤波器阶数高，一般需要用信号处理机和软件实现。

2 、在实现方法上：

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(1)IIR 滤波器的设计可以借助于成熟的模拟滤波器设计技术，简化设计过程。 FIR 滤波器设计的窗函数设计法中，对通带波动和阻带衰耗不容易控制，一般对特性要求较高的滤波器设计需要反复试算，设计计算量大。(2)IIR 滤波器的设计借助于模拟滤波器设计技术，对于非低通滤波特性需要进行频率坐标变换，增加了计算量。对于其他复杂特性要求的滤波器（非基本类型）用 IIR形式不容易实现。 FIR 滤波器设计的窗函数设计法中，窗函数是对时域的冲击响应进行处理。所以 ，对于非低通滤波特性或其他复杂的滤波特性只要可以计算分段积分，求取冲击响应序列 h(n), 都可以直接使用 FIR 滤波器的窗函数设计法。(3) 两种滤波器都可以使用最优化设计方法进行设计。但对于 IIR 滤波器因为有稳定性问题，所以在最优化设计后需要进行稳定性校验。而 FI

R 滤波器就没有这一问题。

3 、在设计方法上：

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从以上比较可知， IIR 和 FIR 滤波器各有特点，在实际应用中应根据滤波器的技术要求和所处理的信号特点来选定使用哪一种形式的数字滤波器。因为没有一种滤波器和一种设计方法在所有的情况下都是最佳的，必须根据实际情况来确定采用哪一种形式的数字滤波器和使用哪一种设计方法。

结论：

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