19
МУНИЦИПАЛЬНОЕ ОБЩЕОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ «СОШ №4 г. Вольска Саратовской области» Работу выполнила учитель математики и информатики Давлетова Наталья Владимировна

Теорема Пифагора. 8 класс. Давлетова Н.В

Embed Size (px)

Citation preview

Page 1: Теорема Пифагора. 8 класс. Давлетова Н.В

МУНИЦИПАЛЬНОЕ ОБЩЕОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ«СОШ №4 г. Вольска Саратовской области»

Работу выполнила учитель математики и информатикиДавлетова Наталья Владимировна

Вольск2009

Page 2: Теорема Пифагора. 8 класс. Давлетова Н.В

Пояснительная записка

Использование мультимедийных средств, в том числе презентаций, позволяет повысить эффективность учебного процесса. Использование средств мультимедиа и создание презентаций помогают преподавателю привнести эффект дополнительной наглядности в занятия, что способствует усвоению учащимися материала быстрее и в большем объеме. Так как по данным ученых более 90% информации поступает к нам через зрение и слух.

Зрение и слух самые мощные и эффективные каналы передачи и приема информации. И чем разнообразнее будет представление информации, тем эффективнее будет процесс усвоения этой информации.

Основные преимущества презентаций – наглядность, компактность и интерактивность преподнесения материала.

Преимущество компьютерной презентации состоит в облегчении труда преподавателя, упорядочивании и сохранности наглядного материала, необходимого для конкретного занятия

Презентации дают возможность подать в привлекательном виде тщательно подготовленную информацию. Главная дидактическая функция презентации обусловлена тем, что реализуемая в ней последовательность представления визуальных компонентов определяет порядок восприятия учебного материала. Презентация обеспечивает методически выверенное распределение внимания.

Таким образом, использование презентационных кадров можно сравнить с просмотром интерактивного фильма. Компьютерная презентация помогает упорядочить весь материал, выстроить его, следуя логике изложения и хранить его в одном файле. Сохранение наглядных материалов и возможность их корректирования тоже является важным моментом для преподавателя.

Еще одно неоспоримое преимущество представления информации в виде презентационной информацией в виде речи состоит в том, что при необходимости, учащийся может самостоятельно вернуться к той части информации, которую не усвоил или не успел записать.

Учителя хорошо знают трудности при введении новой темы. Известно, что геометрия ребятам дается тяжело, и поэтому я стараюсь, вести уроки, чтобы было интересно, ищу связь с жизнью, необычные задачи, больше наглядности, материал из истории математики. Компьютерные презентации достаточно часто используются на уроках, но следует отметить, что данный вид «наглядности» является эффективным при объяснении нового материала.

Page 3: Теорема Пифагора. 8 класс. Давлетова Н.В

Геометрия. 8 класс. Учебник: 7-9 класс. Атанасян Л.С.

Тема урока :

  Цели урока:

1. Развитие творческой и мыслительной деятельности учащихся, самостоятельности, навыков самоконтроля;

2. Знакомство учащихся с творческой деятельностью ученого, с доказательствами теоремы Пифагора, ее применением в решении задач;

3. Воспитание культуры математической речи, интереса к геометрии, уважительного отношения к мнению окружающих.

 Оборудование:

Компьютер, доска, мультимедийный проектор, презентация Microsoft Office Power Point, карточки с заданиями.

План урока1. Организационный момент. 2. Сообщение темы и цели урока

Сегодня на уроке мы приступает к изучению одной из важнейших теорем геометрии – теоремы Пифагора. Она является основой решения множества геометрических задач и базой изучения теоретического материала в дальнейшем. На уроке мы докажем эту теорему и решим несколько задач с её применением.

3. Концентрация внимания (Слайд 2)

Проверим! Насколько вы готовы к уроку?! В течение 15 секунд вы смотрите и запоминаете слова представленные на экране.

Запишите их. Проверьте, сколько правильно слов вы записали. Умножьте правильное количество слов на 100 и разделите на 5.

Если у вас получилось 100% - вы полностью сосредоточили внимание и готовы к уроку80% -60% - вас что-то отвлекает40%-20% - вы невнимательны, срочно к доске!0% - вы зашли в класс, наверное, случайно!

3. Актуализация знаний и умений по теме, полученных учащимися на предыдущих уроках.

Page 4: Теорема Пифагора. 8 класс. Давлетова Н.В

3.1. Фронтальный опрос

К сегодняшнему уроку вы повторяли определения треугольника и квадрата, а также формулы нахождения площадей этих фигур. Прежде, чем приступить к изучению нового материала, вспомним:

- Какой треугольник называется прямоугольным. (Прямоугольным называется треугольник, у которого один из углов прямой, равный 90º)

- По какой формуле находится площадь такого треугольника? (Половина произведения катетов)

- Какая фигура называется квадратом? (Квадратом называется прямоугольник, у которого все стороны равны)

- Пользуясь какой формулой мы находим его площадь? (Площадь квадрата равна квадрату стороны)

Решим устно: (Слайды 3-4)

Задача №1: Найти сторону квадрата АВСД, если его площадь равна 36 см2 (Ответ:6 см)

Задача №2: Найти площадь треугольника АВС, если площадь квадрата АВСD равна 64 м2. Рассмотреть 2 способа. (1 способ: разделить площадь квадрата на 2; 2 способ: по формуле для прямоугольного треугольника, т.е. половина произведения катетов треугольника. Ответ: 32 м2)

3.2. Индивидуальные задания по карточкам (3 учащихся)

Карточка №1:

1. Сформулируйте теорему о площади прямоугольника2. Площадь прямоугольника равна 75 см2. Найдите стороны этого

прямоугольника, если одна из них в 3 раза больше другой.

Карточка №2:

1. Сформулируйте теорему о площади параллелограмма2. Площадь параллелограмма равна 90 см2. Найдите высоту

параллелограмма, проведенную к стороне, равной 12 см.

Карточка №3:

Page 5: Теорема Пифагора. 8 класс. Давлетова Н.В

1. Сформулируйте теорему о площади треугольника2. Стороны АВ и ВС треугольника АВС равны соответственно 8 см и 4,8 см,

а высота, проведенная к стороне АВ, равна 6 см. найдите высоту, проведенную к стороне ВС.

3.3. Компьютерное тестирование (4 учащихся)

Тестирование (на повторение) учащихся на компьютере. Приложение №1.

5. Объяснение нового материала

5.1. Историческая справка о Пифагоре (Слайд 5)

Послушаем рассказ о математике, именем которого она названа. Приложение №2.

(сообщение учащегося класса)

...Из рассказа вы узнали, что союз пифагорейцев был тайным. Эмблемой союза являлась пентаграмма (рис. 1) – пятиконечная звезда. Пентаграмме присваивалась способность защищать человека от злых духов. (Слайд 6)

Рис. 1

Этот пятиугольник обладает интересным геометрическим свойством: поворотной симметрией пятого порядка, т.е. имеет пять осей симметрии, которые совмещаются при каждом повороте на 72º. Именно этот тип симметрии наиболее распространён в живой природе у цветков незабудки, гвоздики, колокольчика, шиповника, вишни (рис. 2), груши, яблони, малины, рябины и т.д. Поворотная симметрия пятого порядка встречается и в животном мире, например, у морской звезды (рис. 3) и панциря морского ежа.

(Слайды 7-8)

Page 6: Теорема Пифагора. 8 класс. Давлетова Н.В

Рис. 2-3

Пифагор сделал много важных открытий, но наибольшую славу учёному принесла доказанная им теорема, которая сейчас носит его имя.

Откройте тетради, запишите число … и тему урока "Теорема Пифагора".

5.2. Исследовательская работа (Слайд 9)

Ребята, сейчас вы выступите в качестве исследователей. Предметом нашего исследования будут прямоугольные треугольники. Назовите элементы прямоугольного треугольника? (Стороны, прилежащие к прямому углу – катеты, третья сторона – гипотенуза)

Обратите внимание на изображение. Что нам дано? ( Даны изображения прямоугольных треугольников с указанными длинами сторон)

На основе данных рисунков заполним соответствующую таблицу. В этой таблице необходимо записать квадраты длин катетов и гипотенузы для каждого из данных треугольников. 3 треугольника, соответственно заполним 3 строки таблицы.

/заполнение таблицы. 1-й, 2-й, 3-й ряды ищут квадраты катетов и гипотенузы в 1-м, 2-м и 3-м треугольниках соответственно/

№ a 2 b 2 c 2

1.

2.

Page 7: Теорема Пифагора. 8 класс. Давлетова Н.В

3.

Итак, на основе таблицы выявите связь между катетами и гипотенузой в каждом из треугольников. Как связаны квадраты катетов с квадратом гипотенузы? (Квадрат длины гипотенузы равен сумме квадратов длин катетов) (Слайд 10)

Совершенно верно, в этом и заключается соответствующая теорема. Теорема, отражающая связь между катетами и гипотенузой в прямоугольном треугольнике, получившая называние теоремы Пифагора.

Интересна история теоремы Пифагора. Несмотря на то, что эта теорема связывается с именем Пифагора, она была известна задолго до него. В вавилонских текстах она встречается за 1200 лет до Пифагора. По-видимому, он первым нашёл её доказательство. Сохранилось древнее предание, что в честь своего открытия Пифагор принёс в жертву богам быка, по другим свидетельствам – даже сто быков. Это, однако, противоречит сведениям о моральных и религиозных воззрениях Пифагора. На протяжении последующих веков были найдены другие доказательства теоремы Пифагора.

В настоящее время их насчитывается более ста.Большинство способов её доказательства сводятся к разбиению квадратов

на более мелкие части.

5.3. Работа над теоремой

Запишем теорему Пифагора и докажем ее. (Слайд 11)

Т е о р е м а. В прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов.

Д а н о: прямоугольный треугольникД о к а з а т ь: с2 = а2+Ь2

Д о к а з а т е л ь с т в о:

Рис. 4 Рис. 5

1. Рассмотрим прямоугольный треугольник с катетами а, b и гипотенузой с (рис.4)

2. Достроим треугольник до квадрата со стороной а + b так, как показано на рисунке 5.

3. Площадь S этого квадрата равна (а+b)2.

Page 8: Теорема Пифагора. 8 класс. Давлетова Н.В

4. С другой стороны, этот квадрат составлен из 4 равных прямоугольных треугольников, причем, площадь каждого из которых равна 1/2 аb и квадрата со стороной с, поэтому

S = 4 (1/2 ab)+c2 =2 ab +c2

Таким образом, получаем

(а+b)2 = 2 ab + с2 с2 = а2 + b2

Теорема доказана.

Теорема Пифагора нашла свое отражение и в стихотворной форме: (Слайд 12)

Если дан нам треугольникИ притом с прямым углом,То квадрат гипотенузыМы всегда легко найдём:Катеты в квадрат возводим,Сумму степеней находимИ таким простым путёмК результату мы придём..

6. Закрепление изученного материала

6.1. Решение задач с применением теоремы.

Решим устно несколько задач. (Слайд 13)

З а д а ч а №1

Р е ш е н и е:

Δ АВС – прямоугольный с гипотенузой АВ,по теореме Пифагора: АВ2 = АС2 + ВС2,АВ2 = 82 + 62,АВ2 = 64 + 36,АВ2 = 100,АВ = 10.О т в е т: АВ = 10

Из курса алгебры известно, что уравнение АВ2 = 100 имеет два корня:АВ = ± 10. АВ = – 10 не удовлетворяет условию задачи, так как длина стороны треугольника всегда положительна. Значит, АВ = 10.

З а д а ч а №2

Page 9: Теорема Пифагора. 8 класс. Давлетова Н.В

Р е ш е н и е:

Δ DCE – прямоугольный с гипотенузой DE, по теореме Пифагора: DE2 = DС2 + CE2,DC2 = DE2 – CE2,DC2 = 52 – 32,DC2 = 25 – 9,DC2 = 16,DC = 4.О т в е т: DC = 4

6.2. Работа в тетради

Задача №1 (Слайд 14)Высота, опущенная из вершины В Δ АВС, делит сторону АС на отрезки, равные 16 см и 9 см. Найдите сторону ВС, если сторона АВ равна 20 см.

Д а н о: Δ АВС, BD – высота,АВ = 20 см, AD = 16 см, DC = 9 см.

Н а й т и: ВС. (Слайд 15)

Р е ш е н и е:

1) По условию задачи BD – высота, значит, Δ ABD и Δ CBD – прямоугольные.2) По теореме Пифагора для Δ ABD: АВ2 = AD2 + BD2, отсюда

BD2 = AB2 – AD2,BD2 = 202 – 162,BD2 = 400 – 256,

BD2 = 144,BD = 12.

3) По теореме Пифагора для Δ СBD: ВС2 = ВD2 + DС2, отсюдаBC2 = 122 + 92,BC2 = 144 + 81,

BC2 = 225,BC = 15.

О т в е т: сторона BC равна 15 см.

Задача №2 (самостоятельно). (Слайд 16)

Какой треугольник является прямоугольным, если имеет следующие длины сторон?

1) 13 м; 5 м; 12 м;

2) 0,6 дм; 0,8 дм; 1,2 дм.

Page 10: Теорема Пифагора. 8 класс. Давлетова Н.В

7. Подведение итога урока. (Слайд 17)

- Что нового вы узнали сегодня на уроке?

- Сформулируйте теорему Пифагора.

Итак, сегодня на уроке мы познакомились с одной из главных теорем геометрии – теоремой Пифагора и её доказательством, с некоторыми сведениями из жизни учёного, имя которого она носит, решили несколько простейших задач.

Значение теоремы Пифагора состоит в том, что из нее или с ее помощью можно вывести большинство теорем геометрии и решить множество задач. К следующему уроку вы должны выучить теорему Пифагора с доказательством, так как мы будем учиться применять её к решению более сложных задач. 8. Домашнее задание. Выставление оценок.

Запишите домашнее задание: выучить материалы п.54, решить задачи

№ 484, № 485. (Слайд 18)

Приложение №1

Page 11: Теорема Пифагора. 8 класс. Давлетова Н.В
Page 12: Теорема Пифагора. 8 класс. Давлетова Н.В
Page 13: Теорема Пифагора. 8 класс. Давлетова Н.В
Page 14: Теорема Пифагора. 8 класс. Давлетова Н.В

Приложение №2

Сообщение о Пифагоре

ПИФАГОР САМОССКИЙ(ок. 580 – ок. 500 г. до н.э.)

О жизни Пифагора известно немного. Он родился в 580 г. до н.э. в Древней Греции на острове Самос, который находится в Эгейском море у берегов Малой Азии, поэтому его называют Пифагором Самосским.Родился Пифагор в семье резчика по камню, который сыскал скорее славу, чем богатство. Ещё в детстве он проявлял незаурядные способности, и когда подрос, неугомонному воображению юноши стало тесно на маленьком острове.Пифагор перебрался в город Милеет и стал учеником Фалеса, которому в то время шёл восьмой десяток. Мудрый учёный посоветовал юноше отправиться в Египет, где сам, когда-то изучал науки.Перед Пифагором открылась неизвестная страна. Его поразило то, что в родной Греции боги были в образе людей, а египетские боги – в образе полулюдей-полуживотных. Знания были сосредоточены в храмах, доступ в которые был ограничен. Пифагору потребовались годы, чтобы глубоко изучить египетскую культуру прежде, чем, ему было разрешено познакомиться с многовековыми достижениями египетской науки.Когда Пифагор постиг науку египетских жрецов, то засобирался домой, чтобы там создать свою школу. Жрецы, не желавшие распространения своих знаний за пределы храмов, не хотели его отпускать. С большим трудом ему удалось преодолеть эту преграду.Однако по дороге домой, Пифагор попал в плен и оказался в Вавилоне. Вавилоняне ценили умных людей, поэтому он нашёл своё место среди вавилонских мудрецов. Наука Вавилона была более развитой, нежели египетская. Наиболее поразительными были успехи алгебры. Вавилоняне изобрели и применяли при сёте позиционную систему счисления, умели решать линейные, квадратные и некоторые виды кубических уравнений.Пифагор прожил в Вавилоне около десяти лет и в сорокалетнем возрасте вернулся на родину. Но на острове Самос он оставался недолго. Позже , он поселился в одной из греческих колоний Южной Италии в городе Кротоне.

Page 15: Теорема Пифагора. 8 класс. Давлетова Н.В

Там Пифагор организовал тайный союз молодёжи из представителей аристократии. В этот союз принимались с большими церемониями после долгих испытаний. Каждый вступающий отрекался от своего имущества и давал клятву хранить в тайне учения основателя. Пифагорейцы, как их позднее стали называть, занимались математикой, философией, естественными науками. В школе существовал декрет, по которому авторство всех математических работ приписывалось учителю.

Пифагорейцами было сделано много важных открытий в арифметике и геометрии, в том числе:

теорема о сумме внутренних углов треугольника; построение правильных многоугольников и деление плоскости на

некоторые из них; геометрические способы решения квадратных уравнений; деление чисел на чётные и нечётные, простые и составные; введение

фигурных, совершенных и дружественных чисел; доказательство того, что не является рациональным числом; создание математической теории музыки и учения об арифметических,

геометрических и гармонических пропорциях и многое другое.

Известно также, что кроме духовного и нравственного развития учеников Пифагора заботило их физическое развитие. Он не только сам участвовал в Олимпийских играх и два раза побеждал в кулачных боях, но и воспитал плеяду великих олимпийцев.Около сорока лет учёный посвятил созданной им школе и, по одной из версий, в возрасте восьмидесяти лет Пифагор был убит в уличной схватке во время народного восстания.После его смерти ученики окружили имя своего учителя множеством легенд.