Решение заданий В 8 ЕГЭ по математике

Решение заданий В8 ЕГЭ по математике

Производная

Функция Производная

y=C y´=0

y=x y´=1

y=kx y´=k

y=kx+m y´=k

y=x ͫ y´=mx ͫ¯¹

y=k x ͫ y´=kmx ͫ¯¹

y= y´=-

y= y´=

y=sin x y´=cos x

y=cos x y´= - si1n x

y=tg x y´=

y=ctg x y´=

Найти производную функции:А) y=2,5 И) y=2x + cosx

Б) y=-3,2x + 3 К) y=3x² + 4x

В) y=7,5x Л) y=sin x

Г) y=-10x М) y=2cos x

Д) y=x² Н) y=3sin x

Е) y=2x⁵ О) y= 2/x

Ж) y=2,4x⁴ П) y=4sin2x

З) y=-x² Р) y= tgx +1

Задача

Материальная точка движется прямолинейно по закону

(где x —расстояние от точки отсчета в метрах, t — время в секундах, измеренное с начала движения). Найдите ее скорость (в м/с) в момент времениt = 3 с.

Решение.Найдем закон изменения скорости:

Тогда находим: м/с.Ответ: 3.

Задача


(где x — расстояние от точки отсчета в метрах, t — время в секундах, измеренное с начала движения). Найдите ее скорость (в м/с) в момент времени t = 3 с.

Ответ: 8

Задача


(где x — расстояние от точки отсчета в метрах, t — время в секундах, измеренное с начала движения). Найдите ее скорость (в м/с) в момент времени t = 3 с.

Ответ: 8

Задача

Прямая параллельна касательной к графику функции .

Найдите абсциссу точки касания.

Решение.Значение производной в точке касания равно угловому коэффициенту касательной. Поскольку касательная параллельна прямой

их угловые коэффициенты равны. Поэтому абсцисса точки касания находится из уравнения :

Ответ: 0,5.

Задача

Прямая является касательной к графику функции


-1

Задача

Прямая является касательной к графику функции


Ответ: -1

Задача

На рисунке изображён график функции y=f(x) и касательная к нему в точке с абсциссой x0. Найдите значение производной функции f(x) в точке x0.

Решение.Значение производной в точке касания равно угловому коэффициенту касательной, который в свою очередь равен тангенсу угла наклона данной касательной к оси абсцисс. Построим треугольник с вершинами в точках A (2; 4), B (2; 2), C (−6; 2). Угол наклона касательной к оси абсцисс будет равен углу ACB. Поэтому

Ответ: 0,25.

Задача


Задача


• Решение.Точки максимума соответствуют точкам смены знака производной с плюса на минус. На отрезке [−9;6] функция имеет две точки максимума x = − 4 и x = 4. Ответ: 2.

На рисунке изображен график производной функции f(x), определенной на интервале (−10; 8). Найдите количество точек

максимума функции f(x) на отрезке [−9;6].


максимума функции f(x) на отрезке [−6; 9].


максимума функции f(x) на отрезке [−6; 9].

Решение.Точки максимума соответствуют точкам

смены знака производной с положительного

на отрицательный. На отрезке [−6; 9] функция

имеет одну точку максимума x = 7. Ответ: 1.

• Решение.

На рисунке изображен график функции y=f(x), определенной на интервале (−1; 12). Определите количество целых точек, в которых производная функции отрицательна.

Производная функции отрицательна на тех интервалах, на которых функция убывает, т. е. на интервалах (0,5; 3), (6; 10) и (11; 12). В них содержатся целые точки 1, 2, 7, 8 и 9. Всего 5 точек. Ответ: 5.

На рисунке изображен график производной функции f(x), определенной на интервале (−10; 4). Найдите промежутки убывания функции f(x). В ответе

укажите длину наибольшего из них.

• Решение.Промежутки убывания функции f(x) соответствуют промежуткам, на которых производная функции отрицательна, то есть интервалу (−9; −6) длиной 3 и интервалу (−2; 3) длиной 5. Длина наибольшего из них равна 5. Ответ: 5.

•

На рисунке изображен график производной функции f(x), определенной на интервале (−8; 6). Найдите промежутки возрастания функции f(x). В ответе

укажите длину наибольшего из них.

• Решение.Промежутки возрастания функции f(x) соответствуют промежуткам, на которых производная функции положительна, то есть интервалам (−7; −5), (2; 5). Наибольший из них — интервал (2; 5), длина которого 3.


минимума функции f(x) на отрезке [−3; 8].

• Решение.Точки минимума соответствуют точкам смены знака производной с минуса на плюс. На отрезке [−3; 8] функция имеет одну точку минимума x = 4. Ответ: 1.


экстремума функции f(x) на отрезке [−14; 2].

• Решение.Точки экстремума соответствуют точкам смены знака производной — изображенным на графике нулям производной. Производная обращается в нуль в точках −13, −11, −9, −7. На отрезке [−14; 2] функция имеет 4 точки экстремума. Ответ: 4.

На рисунке изображен график функции y=f(x), определенной на интервале (−2; 12). Найдите сумму точек

экстремума функции f(x).

• Решение.Заданная функция имеет максимумы в точках 1, 4, 9, 11 и минимумы в точках 2, 7, 10. Поэтому сумма точек экстремума равна 1 + 4 + 9 + 11 + 2 + 7 + 10 = 44. Ответ: 44.

На рисунке изображён график функции y=f(x) и касательная к нему в точке с абсциссой x0. Найдите значение

производной функции f(x) в точке x0. • Решение.

Значение производной в точке касания равно угловому коэффициенту касательной, который в свою очередь равен тангенсу угла наклона данной касательной к оси абсцисс. Построим треугольник с вершинами в точках A (2; −2), B (2; 0), C (−6; 0). Угол наклона касательной к оси абсцисс будет равен углу, смежному с углом ACB

На рисунке изображен график функции y = f(x) и касательная к этому графику в точке абсциссой, равной 3. Найдите значение

производной этой функции в точке x = 3.

Для решения используем геометрический смысл производной: значение производной функции в точке равняется угловому коэффициенту касательной к графику этой функции, проведенной в этой точке. Угловой коэффициент касательной равен тангенсу угла между касательной и положительным направлением оси х (tg α). Угол α = β, как накрест лежащие углы при параллельных прямых y=0, y=1 и секущей-касательной. Для треугольника ABC

tg β = = = 2.

Источники

• http://reshuege.ru/• http://egemat.ru/prepare/B8.html• http://bankege.ru/

http://reshuege.ru/

http://egemat.ru/prepare/B8.html

http://bankege.ru/

Documents

Решение заданий В 8 ЕГЭ по математике