제 8 장 일반함수모형의 비교정태분석

제제 88 장장

일반함수모형일반함수모형의 의

비교정태분석비교정태분석

제제 88 장장

일반함수모형일반함수모형의 의

비교정태분석비교정태분석

일반함수모형의 비교정태분석일반함수모형의 비교정태분석 일반함수모형의 비교정태분석일반함수모형의 비교정태분석

일반함수모형 일반함수모형

개요 (introduction)

- 편도함수의 정의는 독립변수들 간에 어떤 함수관계도 존재하지 않는 것을 전제로 함 ( 즉 , 상호독립적 ).

- 그러나 일반함수형태가 모형에 포함되면 , 어떤 명시적 축약형의 해를 얻을 수 없을 경우에는 , 그러한 편리한 방법은 기대할 수 없음 .

- 예를 들어 , 단순한 국민소득모형에서

Y=C+I0+G0

C=C(Y, T0) [ 여기서 T0 는 외생변수로서의 조세 ]

개요 (introduction)

- 편도함수의 정의는 독립변수들 간에 어떤 함수관계도 존재하지 않는 것을 전제로 함 ( 즉 , 상호독립적 ).

- 그러나 일반함수형태가 모형에 포함되면 , 어떤 명시적 축약형의 해를 얻을 수 없을 경우에는 , 그러한 편리한 방법은 기대할 수 없음 .

- 예를 들어 , 단순한 국민소득모형에서

Y=C+I0+G0

C=C(Y, T0) [ 여기서 T0 는 외생변수로서의 조세 ]



- 앞의 두 모형은 Y* 를 구하기 위해 하나의 단일방정식 ( 하나의 균형조건 ) 으로 다음과 같이 축약할 수 있음 .

Y=C(Y, T0)+I0+G0

- 그러나 소비함수 C 가 일반함수형태로 주어져 있어서 명시적인 해를 얻는 것은 불가능함 .

- 균형해 Y* 를 외생변수 I0, G0, T0 의 미분가능함수라면 ,

Y*=Y*(I0, G0, T0) 또는 Y*C(Y*, T0)+I0+G0

- 앞의 두 모형은 Y* 를 구하기 위해 하나의 단일방정식 ( 하나의 균형조건 ) 으로 다음과 같이 축약할 수 있음 .

Y=C(Y, T0)+I0+G0

- 그러나 소비함수 C 가 일반함수형태로 주어져 있어서 명시적인 해를 얻는 것은 불가능함 .

- 균형해 Y* 를 외생변수 I0, G0, T0 의 미분가능함수라면 ,

Y*=Y*(I0, G0, T0) 또는 Y*C(Y*, T0)+I0+G0



- 만일 앞의 식에서 ∂ Y*/∂T0 를 구하고자 한다면 , 함수

C 에 포함된 두 변수는 서로 독립적이지 않음 .

- 왜냐하면 , 이 경우 T0 는 직접적으로 C 에 영향을 미칠

뿐만 아니라 , Y* 에 대해서도 간접적으로 영향을 미침 .

- 따라서 편미분은 이러한 문제를 해결 수 없음 .

- 결과적으로 , 이러한 문제를 해결하기 위하여 전미분 (total differentiation) 이라는 편미분의 대비 개념이 필요함 .

- 만일 앞의 식에서 ∂ Y*/∂T0 를 구하고자 한다면 , 함수

C 에 포함된 두 변수는 서로 독립적이지 않음 .

- 왜냐하면 , 이 경우 T0 는 직접적으로 C 에 영향을 미칠

뿐만 아니라 , Y* 에 대해서도 간접적으로 영향을 미침 .

- 따라서 편미분은 이러한 문제를 해결 수 없음 .

- 결과적으로 , 이러한 문제를 해결하기 위하여 전미분 (total differentiation) 이라는 편미분의 대비 개념이 필요함 .



- 전미분의 과정은 전도함수 (total derivative) 의 개념과 관련됨 .

- 전도함수는 C(Y*, T0) 와 같은 함수에서 독립변수 T0 가

다른 독립변수 Y* 에 영향을 줄 때 , 변수 T0 에 관한

그 함수의 변화율의 정도를 나타냄 .

- 전미분의 과정은 전도함수 (total derivative) 의 개념과 관련됨 .

- 전도함수는 C(Y*, T0) 와 같은 함수에서 독립변수 T0 가

다른 독립변수 Y* 에 영향을 줄 때 , 변수 T0 에 관한

그 함수의 변화율의 정도를 나타냄 .


미분 (differentials) 미분 (differentials)

미분과 도함수 (differentials and derivatives)

- 도함수 dy/dx=f(x) 는 차분몫의 극한임 .

=f(x)=

- 따라서 ⊿ y/ x ⊿ 그 자체는 ( x⊿ 0 의 규정없이 ) dy/dx 와 같지 않음 .

- 여기서 이 두 몫의 불일치를 로 나타내면 ,

- = 또는 = + [ 단 , x⊿ 0 에 따라 0]

- x⊿ 가 0 에 무한접근하면 , 불일치항 도 0 에 무한접근


- 도함수 dy/dx=f(x) 는 차분몫의 극한임 .

=f(x)=

- 따라서 ⊿ y/ x ⊿ 그 자체는 ( x⊿ 0 의 규정없이 ) dy/dx 와 같지 않음 .

- 여기서 이 두 몫의 불일치를 로 나타내면 ,

- = 또는 = + [ 단 , x⊿ 0 에 따라 0]

- x⊿ 가 0 에 무한접근하면 , 불일치항 도 0 에 무한접근

dy

dx

⊿y⊿x

lim

⊿x0

⊿y⊿x

dy

dx

⊿y⊿x

dy

dx




- 앞의 식을 양변에 ⊿ x 를 곱하면 다음과 같음 .

⊿y= x+⊿ x ⊿ 또는 ⊿ y=f(x) x+⊿ x⊿

- 이 식은 ⊿ x 의 특정변화로 인한 y 의 변화 (⊿y) 를 나타냄 . - 여기서 ⊿ x 가 충분히 작은 수이면 도 충분히 작은 수가

되고 , x⊿ 는 더욱 작은 수가 됨 . - 따라서 f(x) x⊿ 는 y 의 증분 ⊿ y 의 근사값 으로 사용할 수 있음 .


- 앞의 식을 양변에 ⊿ x 를 곱하면 다음과 같음 .

⊿y= x+⊿ x ⊿ 또는 ⊿ y=f(x) x+⊿ x⊿

- 이 식은 ⊿ x 의 특정변화로 인한 y 의 변화 (⊿y) 를 나타냄 . - 여기서 ⊿ x 가 충분히 작은 수이면 도 충분히 작은 수가

되고 , x⊿ 는 더욱 작은 수가 됨 . - 따라서 f(x) x⊿ 는 y 의 증분 ⊿ y 의 근사값 으로 사용할 수 있음 .

dy

dx



미분과 도함수 (differentials and derivatives) 미분과 도함수 (differentials and derivatives)




- [ 그림 8.1] 의 x0 에서 x0+ x⊿ 로 변하면 , y=f(x) graph 에서

점 A 에서 점 B 로 이동함 .

- 이때 ⊿ y 는 CB 이고 , 두 거리의 비율 (= 기울기 ) 은 CB/AC=

⊿y/ x⊿ 임 .

- 이를 수식으로 다시 정리하면 ,

⊿y= x= AC=CB⊿

dy= dx= AC=CD


- [ 그림 8.1] 의 x0 에서 x0+ x⊿ 로 변하면 , y=f(x) graph 에서

점 A 에서 점 B 로 이동함 .

- 이때 ⊿ y 는 CB 이고 , 두 거리의 비율 (= 기울기 ) 은 CB/AC=

⊿y/ x⊿ 임 .

- 이를 수식으로 다시 정리하면 ,

⊿y= x= AC=CB⊿

dy= dx= AC=CD

⊿y⊿x

CB

ACdy

dx

CD

AC




- 여기서 점 A 를 지나는 접선을 그리고 , CB 대신 CD 를 ⊿y 의 근사값으로 사용하면 , 불일치 또는 근사값 오차는 DB 가 됨 .

- AD 의 기울기는 f(x0) 이므로 , x⊿ 가 감소함에 따라 ( x⊿ 0)

점 B 에서 점 A 로 이동함 . 이에 따라 불일치를 줄이고

f(x0), 즉 dy/dx 를 ⊿ y/ x⊿ 에 더 가까운 근사값으로 만듬 .

- 따라서 ⊿ x 가 감소함에 따라 dy 와 ⊿ y 의 차이도 0 에 접근


- 여기서 점 A 를 지나는 접선을 그리고 , CB 대신 CD 를 ⊿y 의 근사값으로 사용하면 , 불일치 또는 근사값 오차는 DB 가 됨 .

- AD 의 기울기는 f(x0) 이므로 , x⊿ 가 감소함에 따라 ( x⊿ 0)

점 B 에서 점 A 로 이동함 . 이에 따라 불일치를 줄이고

f(x0), 즉 dy/dx 를 ⊿ y/ x⊿ 에 더 가까운 근사값으로 만듬 .

- 따라서 ⊿ x 가 감소함에 따라 dy 와 ⊿ y 의 차이도 0 에 접근




- [ 그림 8.1] 에서 접선 AD 의 기울기는 dy/dx 가 됨 .

- 따라서 다음과 같이 정리할 수 있음 .

= 접선 AD 의 기울기 =f(x)

- 위 식의 양변을 dx 로 곱하면 , dy=f(x)dx

따라서 dx 의 어떤 특정한 값이 주어지면 , 그것에 f(x) 를 곱함으로써 ⊿ y 의 근사값으로서의 dy 를 구할 수 있음 .

- 변화량 dy 와 dx 를 각각 x 와 y 의 미분 (differential) 이라 함 .


- [ 그림 8.1] 에서 접선 AD 의 기울기는 dy/dx 가 됨 .

- 따라서 다음과 같이 정리할 수 있음 .

= 접선 AD 의 기울기 =f(x)

- 위 식의 양변을 dx 로 곱하면 , dy=f(x)dx

따라서 dx 의 어떤 특정한 값이 주어지면 , 그것에 f(x) 를 곱함으로써 ⊿ y 의 근사값으로서의 dy 를 구할 수 있음 .

- 변화량 dy 와 dx 를 각각 x 와 y 의 미분 (differential) 이라 함 .

dy

dx



미분과 점탄력성 (differentials and point elasticity)

- 수요함수 Q=f(P) 의 가격탄력성은 ( Q/Q)/( P/P)⊿ ⊿ 로 정의됨 .

- 위 식에서 근사값을 사용하면 , 독립적 변화 ⊿ P 와 종속 적 변화 ⊿ Q 는 dP 와 dQ 로 바꿀 수 있음 .

- 따라서 d(elasticity 를 나타내는 그리스 문자 epsilon)

로 표현되는 수요의 점탄력성 (point elasticity) 이라는 근사값으로서의 탄력성측도를 얻음 .


- 수요함수 Q=f(P) 의 가격탄력성은 ( Q/Q)/( P/P)⊿ ⊿ 로 정의됨 .

- 위 식에서 근사값을 사용하면 , 독립적 변화 ⊿ P 와 종속 적 변화 ⊿ Q 는 dP 와 dQ 로 바꿀 수 있음 .

- 따라서 d(elasticity 를 나타내는 그리스 문자 epsilon)

로 표현되는 수요의 점탄력성 (point elasticity) 이라는 근사값으로서의 탄력성측도를 얻음 .




- 수요의 점탄력성 다음과 같이 정리할 수 있음 .

d= = =

- 수요의 점탄력성은 평균함수에 대한 한계함수의 비율 - 위 식에서

d 일 때 수요는


- 수요의 점탄력성 다음과 같이 정리할 수 있음 .

d= = =

- 수요의 점탄력성은 평균함수에 대한 한계함수의 비율 - 위 식에서

d 일 때 수요는

dQ/Q

dP/P

dQ/dP

Q/P

한계함수 (marginal function)

평균함수 (average function)

=1=11=0

완전탄력적 (perfectly elastic)탄력적 (elastic)단위탄력적 (unitary elastic)비탄력적 (inelastic)완전비탄력적 (perfectly inelastic)




- 수요함수 Q=100-2P 일 때 수요의 점탄력성 (d)?

=-2 및 =

- 평균함수에 대한 한계함수의 비율인 점탄력성은

d= =-2/ =

- 이처럼 탄력성은 P 의 함수로 주어짐 . 따라서 특정한 가격이 선택되면 점탄력성의 크기가 결정됨 .


- 수요함수 Q=100-2P 일 때 수요의 점탄력성 (d)?

=-2 및 =


d= =-2/ =

- 이처럼 탄력성은 P 의 함수로 주어짐 . 따라서 특정한 가격이 선택되면 점탄력성의 크기가 결정됨 .

dQ

dP

Q

P

100-2P

P

dQ/dP

Q/P

100-2P

P

-P

50-P




- 예를 들어 , P=25 일 때 d=-1 또는 d=1 이므로 수요는

이 가격 ( 점 ) 에서 단위탄력적임 .

- P=30 일 때 d =1.5 이므로 수요는 이 가격에서 탄력적임 .

- 만약 25P50 일 때 d1 이므로 수요는 탄력적이고 ,

0P25 일 때 d1 이므로 수요는 비탄력적임 .

- 여기서 만약 P=50 이라면 d=( 완전탄력적 ) 가 되고 ,

P=0 라면 d=0( 완전비탄력적 ) 이 됨 .


- 예를 들어 , P=25 일 때 d=-1 또는 d=1 이므로 수요는

이 가격 ( 점 ) 에서 단위탄력적임 .

- P=30 일 때 d =1.5 이므로 수요는 이 가격에서 탄력적임 .

- 만약 25P50 일 때 d1 이므로 수요는 탄력적이고 ,

0P25 일 때 d1 이므로 수요는 비탄력적임 .

- 여기서 만약 P=50 이라면 d=( 완전탄력적 ) 가 되고 ,

P=0 라면 d=0( 완전비탄력적 ) 이 됨 .




- 공급함수 Q=P2+7P 일 때 공급의 점탄력성 (s)?

=2P+7 및 = =P+7


s= =

- 여기서 P=2 일 때 , 공급탄력성의 값은 11/9(1) 임 . 따라서 공급은 P=2 에서 탄력적 (elastic) 임 .


- 공급함수 Q=P2+7P 일 때 공급의 점탄력성 (s)?

=2P+7 및 = =P+7


s= =

- 여기서 P=2 일 때 , 공급탄력성의 값은 11/9(1) 임 . 따라서 공급은 P=2 에서 탄력적 (elastic) 임 .

dQ

dP

Q

P

dQ/dP

Q/P

2P+7

P+7

P2+7P

P



미분과 점탄력성 (differentials and point elasticity) 미분과 점탄력성 (differentials and point elasticity)




- 앞의 [ 그림 8.2] 에서 두 경우 모두 곡선상의 점 A 에서

( 또는 정의역 x=x0 에서 ) 한계함수의 값은 접선 AB 의

기울기로 측정됨 .

- 한편 , 평균함수의 값은 직선 OA( 원점에서 곡선상의 점 A 를 연결한 직선 ) 의 기울기로 측정됨 .

- 따라서 점 A 에서 점탄력성은 평균함수와 한계함수의 기울기 수치의 비교로 알 수 있음 .

- 점 A 에서 ⒜의 경우 비탄력적 , ⒝ 의 경우 탄력적임 .


- 앞의 [ 그림 8.2] 에서 두 경우 모두 곡선상의 점 A 에서

( 또는 정의역 x=x0 에서 ) 한계함수의 값은 접선 AB 의

기울기로 측정됨 .

- 한편 , 평균함수의 값은 직선 OA( 원점에서 곡선상의 점 A 를 연결한 직선 ) 의 기울기로 측정됨 .

- 따라서 점 A 에서 점탄력성은 평균함수와 한계함수의 기울기 수치의 비교로 알 수 있음 .

- 점 A 에서 ⒜의 경우 비탄력적 , ⒝ 의 경우 탄력적임 .



미분과 점탄력성 (differentials and point elasticity) 미분과 점탄력성 (differentials and point elasticity)




- 점탄력성은 두 기울기 수치의 비교로 측정할 수 있기

때문에 비교되는 두 기울기는 두 각 (m 과 a; 하첨자

m 과 a 는 한계와 평균 을 의미 ) 의 크기에 의존함 .

- 따라서 두 기울기를 비교하는 대신에 이에 상응하는 두 각을 비교해도 무방함 .

- [ 그림 8.2]⒜ 는 (ma) 비탄력적 , ⒝ 는 (ma) 탄력적

- [ 그림 8.3] 에서는 ⒜와 ⒝ 기울기의 두 각이 모두 같음

(m=a). 즉 , 주어진 곡선상의 점 C 에서 단위탄력적임 .


- 점탄력성은 두 기울기 수치의 비교로 측정할 수 있기

때문에 비교되는 두 기울기는 두 각 (m 과 a; 하첨자

m 과 a 는 한계와 평균 을 의미 ) 의 크기에 의존함 .

- 따라서 두 기울기를 비교하는 대신에 이에 상응하는 두 각을 비교해도 무방함 .

- [ 그림 8.2]⒜ 는 (ma) 비탄력적 , ⒝ 는 (ma) 탄력적

- [ 그림 8.3] 에서는 ⒜와 ⒝ 기울기의 두 각이 모두 같음

(m=a). 즉 , 주어진 곡선상의 점 C 에서 단위탄력적임 .




- 지금까지 살펴본 기하학적 방법은 함수 y=f(x) 의 종속 변수 y 가 세로축에 표시되고 있음을 유의해야 함 ( 왜냐하면 , 경제학에서는 정반대로 표시 하기 때문 ).

- 따라서 수요와 공급의 점탄력성을 구하고자 할 때 ,

종속변수인 수요 (Qd) 와 공급 (Qs) 이 가로축에 위치하면

점탄력성을 구하는 방법은 정반대로 수정 되어야 함 .


- 지금까지 살펴본 기하학적 방법은 함수 y=f(x) 의 종속 변수 y 가 세로축에 표시되고 있음을 유의해야 함 ( 왜냐하면 , 경제학에서는 정반대로 표시 하기 때문 ).

- 따라서 수요와 공급의 점탄력성을 구하고자 할 때 ,

종속변수인 수요 (Qd) 와 공급 (Qs) 이 가로축에 위치하면

점탄력성을 구하는 방법은 정반대로 수정 되어야 함 .



전미분 (total differentials) 의 개요 - 미분의 개념은 독립변수가 둘 이상인 다변수함수에 대해서도 확장할 수 있음 .

- 함수 z=f(x, y) 에서 x 와 y 의 증분을 각각 ⊿ x, y⊿ 라면 ,

⊿z=f(x+ x, y+ y)-f(x, y)⊿ ⊿

- 위 식의 우변에서 f(x, y+ y)⊿ 를 빼고 더하면 ,

⊿z=[f(x+ x, y+ y)⊿ ⊿ -f(x, y+ y)⊿ ]+[f(x, y+ y)⊿ -f(x, y)]

- 첫 번째 대괄호 안에서 x 는 변하고 y 는 고정 되어 있고 ,

두 번째 대괄호 안에서 y 는 변하고 x 는 고정 되어 있음 .

전미분 (total differentials) 의 개요 - 미분의 개념은 독립변수가 둘 이상인 다변수함수에 대해서도 확장할 수 있음 .

- 함수 z=f(x, y) 에서 x 와 y 의 증분을 각각 ⊿ x, y⊿ 라면 ,

⊿z=f(x+ x, y+ y)-f(x, y)⊿ ⊿

- 위 식의 우변에서 f(x, y+ y)⊿ 를 빼고 더하면 ,

⊿z=[f(x+ x, y+ y)⊿ ⊿ -f(x, y+ y)⊿ ]+[f(x, y+ y)⊿ -f(x, y)]

- 첫 번째 대괄호 안에서 x 는 변하고 y 는 고정 되어 있고 ,

두 번째 대괄호 안에서 y 는 변하고 x 는 고정 되어 있음 .


전미분 (total differentials) 전미분 (total differentials)

전미분 (total differentials) 의 개요 - 한편 , 앞의 식은 다음과 같은 식이 성립함 .

=fx(x, y)+1

=fy(x, y)+2

- 여기서 각각 ⊿ x, y⊿ 를 양변에 곱하고 , 다시 정리하면 다음과 같이 나타남 . ⊿z=fx(x, y) x+f⊿ y(x, y) y+⊿ 1 x+⊿ 2 y⊿

- 위에서 fx 와 fy 는 각각의 편도함수 (partial derivatives) 임 .

전미분 (total differentials) 의 개요 - 한편 , 앞의 식은 다음과 같은 식이 성립함 .

=fx(x, y)+1

=fy(x, y)+2

- 여기서 각각 ⊿ x, y⊿ 를 양변에 곱하고 , 다시 정리하면 다음과 같이 나타남 . ⊿z=fx(x, y) x+f⊿ y(x, y) y+⊿ 1 x+⊿ 2 y⊿

- 위에서 fx 와 fy 는 각각의 편도함수 (partial derivatives) 임 .

f(x+ x, y+ y)-f(x, y+ y)⊿ ⊿ ⊿⊿x

f(x, y+ y)-f(x, y)⊿⊿y



전미분 (total differentials) 의 개요 - 한편 , 앞의 식에서 ⊿ x 와 ⊿ y 가 각각 0 에무한접근하면 ,

각각의 불일치항인 1 과 1 도 0 에 무한접근함 .

- 따라서 1 x⊿ 와 1 y⊿ 도 더욱 더 작은 수가 되므로 ,

z 의 총변화 (dz) 는 근사값으로 다음과 같이 미분됨 .

dz= dx+ dy 또는 dz=fx(x, y)dx+fy(x, y)dy

- 위 식에서 dz 는 두 원천으로부터 발생하는 변화의

합 이기 때문에 , 이것을 dz 의 전미분이라 함 .

전미분 (total differentials) 의 개요 - 한편 , 앞의 식에서 ⊿ x 와 ⊿ y 가 각각 0 에무한접근하면 ,

각각의 불일치항인 1 과 1 도 0 에 무한접근함 .

- 따라서 1 x⊿ 와 1 y⊿ 도 더욱 더 작은 수가 되므로 ,

z 의 총변화 (dz) 는 근사값으로 다음과 같이 미분됨 .

dz= dx+ dy 또는 dz=fx(x, y)dx+fy(x, y)dy

- 위 식에서 dz 는 두 원천으로부터 발생하는 변화의

합 이기 때문에 , 이것을 dz 의 전미분이라 함 .

∂z

∂x

∂z

∂y



전미분 (total differentials)

- 예를 들어 , 저축함수 S=S(Y, i); 여기서 S 는 저축 ,

Y 는 국민소득 , i 는 이자율임 .

- 여기서 각각의 편도함수 ∂ S/∂Y 는 한계저축성향(MPS),

∂S/∂i 는 한계이자율성향 (MPI) 을 나타냄 .

- 따라서 Y 의 미소변화 dy 에 따른 S 의 변화는근사값 (∂S/∂Y)dy 로 , i 의 미소변화 di 에 기인하는 S 의

변화는 근사값 (∂S/∂i)di 로 나타낼 수 있음 .


- 예를 들어 , 저축함수 S=S(Y, i); 여기서 S 는 저축 ,

Y 는 국민소득 , i 는 이자율임 .

- 여기서 각각의 편도함수 ∂ S/∂Y 는 한계저축성향(MPS),

∂S/∂i 는 한계이자율성향 (MPI) 을 나타냄 .

- 따라서 Y 의 미소변화 dy 에 따른 S 의 변화는근사값 (∂S/∂Y)dy 로 , i 의 미소변화 di 에 기인하는 S 의

변화는 근사값 (∂S/∂i)di 로 나타낼 수 있음 .




- 그러면 , 저축 S 의 총변화는 다음과 같이 미분으로 근사 할 수 있음 .

dS= dY+ di 또는 dS=SYdY+Sidi

- 만약 i 는 일정한데 Y 만 변한다면 , 이 경우 di=0 이

되고 , 전미분은 dS=(∂S/∂Y)dY 로 되고 , 양변을 dY 로나누면

=

- 따라서 ∂편도함수 S/∂Y 는 독립변수 i 가

일정하다는 전제 하에 두 미분 dS 와 dY 의 비율과 같음 .


- 그러면 , 저축 S 의 총변화는 다음과 같이 미분으로 근사 할 수 있음 .

dS= dY+ di 또는 dS=SYdY+Sidi

- 만약 i 는 일정한데 Y 만 변한다면 , 이 경우 di=0 이

되고 , 전미분은 dS=(∂S/∂Y)dY 로 되고 , 양변을 dY 로나누면

=

- 따라서 ∂편도함수 S/∂Y 는 독립변수 i 가

일정하다는 전제 하에 두 미분 dS 와 dY 의 비율과 같음 .

∂S

∂Y

∂S

∂i

∂S

∂Y

dS

dY




- n 개의 독립변수로 구성된 일반함수형태의 효용함수

U=U(x1, x2,, xn)

- 위 함수의 전미분은 다음과 같이 표현할 수 있음 .

dU= dx1+ dx2++ dxn

또는 dU=U1dx1+U2dx2++Undxn=Uidxi

- 위 식에서 우변의 각 항은 어떤 하나의 독립변수가 미소변화할 때 초래되는 총효용변화의 근사값임 .


- n 개의 독립변수로 구성된 일반함수형태의 효용함수

U=U(x1, x2,, xn)

- 위 함수의 전미분은 다음과 같이 표현할 수 있음 .

dU= dx1+ dx2++ dxn

또는 dU=U1dx1+U2dx2++Undxn=Uidxi

- 위 식에서 우변의 각 항은 어떤 하나의 독립변수가 미소변화할 때 초래되는 총효용변화의 근사값임 .

∂U

∂x1

∂U

∂x2

∂U

∂xn




- 다른 함수와 마찬가지로 점탄력성을 구할 수 있음 .

- 그러나 각 탄력성은 여러 개의 독립변수 중 오직 어떤 하나의 독립변수 변화에 대한 종속변수 변화로 정의됨 .

- 따라서 앞서 저축함수는 두 개의 탄력성이 정의될 수 있고 , 효용함수는 n 개의 탄력성이 정의될 수 있음 .

- 이 때 , 각각의 독립변수 변화에 대한 종속변수 변화는 편도함수가 되고 , 이들의 탄력성을 편탄력성(partial

elasticity) 이라 함 .


- 다른 함수와 마찬가지로 점탄력성을 구할 수 있음 .

- 그러나 각 탄력성은 여러 개의 독립변수 중 오직 어떤 하나의 독립변수 변화에 대한 종속변수 변화로 정의됨 .

- 따라서 앞서 저축함수는 두 개의 탄력성이 정의될 수 있고 , 효용함수는 n 개의 탄력성이 정의될 수 있음 .

- 이 때 , 각각의 독립변수 변화에 대한 종속변수 변화는 편도함수가 되고 , 이들의 탄력성을 편탄력성(partial

elasticity) 이라 함 .




- 앞에서의 저축함수에 대한 편탄력성은 다음과 같음 .

SY= = Si= =

- 효용함수에 대한 n 개의 편탄력성은 다음과 같음 .

Uxi= = (i=1, 2,, n)


- 앞에서의 저축함수에 대한 편탄력성은 다음과 같음 .

SY= = Si= =

- 효용함수에 대한 n 개의 편탄력성은 다음과 같음 .

Uxi= = (i=1, 2,, n)

∂S/∂Y

S/Y

∂S

∂Y

Y

S

∂S/∂i

S/i

∂S

∂i

i

S

∂U/∂xi

U/xi

∂U

∂xi

xi

U




- 예 1 : U(x1, x2)=ax1+bx2 ( 여기서 a, b0)

=U1=a =U2=b

dU=U1dx1+U2dx2=adx1+bdx2

- 예 2 : U(x1, x2)=x12+x2

3+x1x2 ( 여기서 a, b0)

=U1=2x1+x2 =U2=3x22+x1

dU=U1dx1+U2dx2=(2x1+x2)dx1+(3x22+x1)dx2


- 예 1 : U(x1, x2)=ax1+bx2 ( 여기서 a, b0)

=U1=a =U2=b

dU=U1dx1+U2dx2=adx1+bdx2

- 예 2 : U(x1, x2)=x12+x2

3+x1x2 ( 여기서 a, b0)

=U1=2x1+x2 =U2=3x22+x1

dU=U1dx1+U2dx2=(2x1+x2)dx1+(3x22+x1)dx2

∂U

∂x1

∂U

∂x2

∂U

∂x1

∂U

∂x2




- 예 3 : U(x1, x2)=x1ax2

b ( 여기서 a, b0)

=U1=ax1a-1x2

b=

=U2=bx1ax2

b-1=

dU=U1dx1+U2dx2=( )dx1+( )dx2


- 예 3 : U(x1, x2)=x1ax2

b ( 여기서 a, b0)

=U1=ax1a-1x2

b=

=U2=bx1ax2

b-1=

dU=U1dx1+U2dx2=( )dx1+( )dx2

∂U

∂x1

∂U

∂x2

ax1ax2

b

x1

bx1ax2

b

x2

ax1ax2

b

x1

bx1ax2

b

x2




- 예 4 : z=2x+5xy+y

=z1=2+5y =z2=5x+1

dz=z1dx+z2dy=(2+5y)dx+(5x+1)dy - 예 5 : z=2x2+y2

=z1=4x =z2=2y

dz=z1dx+z2dy=4xdx+2ydy


- 예 4 : z=2x+5xy+y

=z1=2+5y =z2=5x+1

dz=z1dx+z2dy=(2+5y)dx+(5x+1)dy - 예 5 : z=2x2+y2

=z1=4x =z2=2y

dz=z1dx+z2dy=4xdx+2ydy

∂z

∂x

∂z

∂y

∂z

∂x

∂z

∂y




- 예 6 : u=xy2z3

=u1=y2z3 =u2=2xyz3 =u3=3xy2z2

du=u1dx+u2dy+u3dz=y2z3dx+2xyz3dy+3xy2z2dz

- 예 7 : y=

=y1= =y2=

dy=y1dx1+y2dx2= dx1+ dx2


- 예 6 : u=xy2z3

=u1=y2z3 =u2=2xyz3 =u3=3xy2z2

du=u1dx+u2dy+u3dz=y2z3dx+2xyz3dy+3xy2z2dz

- 예 7 : y=

=y1= =y2=

dy=y1dx1+y2dx2= dx1+ dx2

∂u

∂x

∂u

∂y

∂u

∂z

x1

x1+x2∂y

∂x1

x2

(x1+x2)2

∂y

∂x2

-x1

(x1+x2)2

x2

(x1+x2)2

-x1

(x1+x2)2


미분연산법칙 (rules of differentials) 미분연산법칙 (rules of differentials)

함수 y=f(x1, x2) 의 전미분 dy 를 구하는 간단한

방법은

편도함수 f1 과 f2 를 구하고 , 다음 식에 대입하는

것임 .

dy=f1dx1+f2dx2

- 그러나 다음과 같은 미분법칙을 적용하는 것이 편리함 .

- 여기서 k 는 상수이고 , u, v 는 변수 x1, x2 의 함수

임 .

[ 법칙 1] dk=0 ( 상수함수의 법칙 )

[ 법칙 2] d(cun)=cnun-1du ( 멱함수의 법칙 )

[ 법칙 3] d(uv)=dudv ( 합과 차의 법칙 )

[ 법칙 4] d(uv)=vdu+udv ( 곱의 법칙 )

함수 y=f(x1, x2) 의 전미분 dy 를 구하는 간단한

방법은

편도함수 f1 과 f2 를 구하고 , 다음 식에 대입하는

것임 .

dy=f1dx1+f2dx2

- 그러나 다음과 같은 미분법칙을 적용하는 것이 편리함 .

- 여기서 k 는 상수이고 , u, v 는 변수 x1, x2 의 함수

임 .

[ 법칙 1] dk=0 ( 상수함수의 법칙 )

[ 법칙 2] d(cun)=cnun-1du ( 멱함수의 법칙 )

[ 법칙 3] d(uv)=dudv ( 합과 차의 법칙 )

[ 법칙 4] d(uv)=vdu+udv ( 곱의 법칙 )



[ 법칙 5] d( )= (vdu-udv) ( 몫의 법칙 )

[ 법칙 6] d(uvw)=dudvdw

[ 법칙 7] d(uvw)=vwdu+uwdv+uvdw

이상의 법칙들이 응용되는 실례를 살펴보기로 함 .

- 예 1 : y=5x12+3x2

이 함수의 편도함수 f1=10x1 및 f2=3 이므로

구하고자

하는 미분은 dy=f1dx1+f2dx2=10x1dx1+3dx2

그러나 u=5x12 과 v=3x2 로 놓고 , 미분법칙을

적용하면 ,

dy=d(5x12)+d(3x2)=10x1dx1+3dx2

[ 법칙 5] d( )= (vdu-udv) ( 몫의 법칙 )

[ 법칙 6] d(uvw)=dudvdw

[ 법칙 7] d(uvw)=vwdu+uwdv+uvdw

이상의 법칙들이 응용되는 실례를 살펴보기로 함 .

- 예 1 : y=5x12+3x2

이 함수의 편도함수 f1=10x1 및 f2=3 이므로

구하고자

하는 미분은 dy=f1dx1+f2dx2=10x1dx1+3dx2

그러나 u=5x12 과 v=3x2 로 놓고 , 미분법칙을

적용하면 ,

dy=d(5x12)+d(3x2)=10x1dx1+3dx2

u

v

1

v2



- 예 2 : y=3x12+x1x2

2

편도함수 f1=6x1+x22 와 f2=2x1x2 이므로 구하고자

하는

미분은 dy=f1dx1+f2dx2=(6x1+x22)dx1+2x1x2dx2

u=3x12 과 v=x1x2

2 로 놓고 , 미분법칙을 적용하면 ,

dy=d(3x12)+d(x1x2

2)=6x1dx1+x22dx1+x1d(x2

2)

=(6x1+x22)dx1+2x1x2dx2

- 예 2 : y=3x12+x1x2

2

편도함수 f1=6x1+x22 와 f2=2x1x2 이므로 구하고자

하는

미분은 dy=f1dx1+f2dx2=(6x1+x22)dx1+2x1x2dx2

u=3x12 과 v=x1x2

2 로 놓고 , 미분법칙을 적용하면 ,

dy=d(3x12)+d(x1x2

2)=6x1dx1+x22dx1+x1d(x2

2)

=(6x1+x22)dx1+2x1x2dx2



- 예 3 : y=

편도함수 f1= 와 f2= 이므로

구하고자

하는 미분은 dy=f1dx1+f2dx2= dx1+ dx2

u=x1+x2 와 v=2x12 으로 놓고 , 미분법칙을 적용하면 ,

dy=(1/4x14)[2x1

2d(x1+x2)-(x1+x2)d(2x12)]

=(1/4x14)[2x1

2(dx1+dx2)-(x1+x2)4x1dx1]

=(1/4x14)[-2x1(x1+2x2)dx1+2x1

2dx2]

= dx1+ dx2

- 예 3 : y=

편도함수 f1= 와 f2= 이므로

구하고자

하는 미분은 dy=f1dx1+f2dx2= dx1+ dx2

u=x1+x2 와 v=2x12 으로 놓고 , 미분법칙을 적용하면 ,

dy=(1/4x14)[2x1

2d(x1+x2)-(x1+x2)d(2x12)]

=(1/4x14)[2x1

2(dx1+dx2)-(x1+x2)4x1dx1]

=(1/4x14)[-2x1(x1+2x2)dx1+2x1

2dx2]

= dx1+ dx2

x1+x2

2x12

-(x1+2x2)

2x13

1

2x12

-(x1+2x2)

2x13

1

2x12

-(x1+2x2)

2x13

1

2x12



- 예 3 : y=3x1(2x2-1)(x3+5)

위 식의 편도함수 f1=3(2x2-1)(x3+5), f2=2(3x1)(x3+5),

f3=3x1(2x2-1) 이므로 구하고자 하는 미분은

dy=f1dx1+f2dx2+f3dx3=3(2x2-1)(x3+5)dx1

+2(3x1)(x3+5)dx2+3x1(2x2-1)dx3

u=3x1, v=2x2-1, w=x3+5 으로 놓고 , 미분법칙을 적용

dy=(2x2-1)(x3+5)d(3x1)+3x1(x3+5)d(2x2-1)

+3x1(2x2-1)d(x3+5)

=3(2x2-1)(x3+5)dx1+2(3x1)(x3+5)dx2+3x1(2x2-

1)dx3

- 예 3 : y=3x1(2x2-1)(x3+5)

위 식의 편도함수 f1=3(2x2-1)(x3+5), f2=2(3x1)(x3+5),

f3=3x1(2x2-1) 이므로 구하고자 하는 미분은

dy=f1dx1+f2dx2+f3dx3=3(2x2-1)(x3+5)dx1

+2(3x1)(x3+5)dx2+3x1(2x2-1)dx3

u=3x1, v=2x2-1, w=x3+5 으로 놓고 , 미분법칙을 적용

dy=(2x2-1)(x3+5)d(3x1)+3x1(x3+5)d(2x2-1)

+3x1(2x2-1)d(x3+5)

=3(2x2-1)(x3+5)dx1+2(3x1)(x3+5)dx2+3x1(2x2-

1)dx3

Documents

제 8 장 일반함수모형의 비교정태분석