Page 1

제 제 88 장장 . . 다기준 의사결정 다기준 의사결정

경영과학 1

2008. 가을김민경 (mkyung.kim@gmail.com)

Page 2

학습목표학습목표

MCDM (Multiple criteria decision making) 목표계획법 선형계획적 분석 우선순위모형

그래프를 이용한 분석

컴퓨터를 이용한 분석 가중합계모형

Page 3

여러 가지 기준 하에 의사결정을 내리는 경우 직장 선택 – 명성 , 위치 , 승진기회 , 근무조건 , 연봉 등을 고려 제품 구입 – 가격 , 경제성 , 스타일 , 안전성 등을 고려

MCDM 문제의 특징 다목적 , 다속성 기준 사이의 불일치 동일 단위로 계량화 할 수 없는 단위들 설계 , 선택

MCDM 문제의 범주 다속성의사결정 (Multiple attribute decision making; MADM) 다목적의사결정 (Multiple objective decision making; MODM)

목표계획법

다기준의사결정 다기준의사결정 (Multiple Criteria Decision (Multiple Criteria Decision Making)Making)

Page 4

목표계획모형의 구성요소 ① 편차변수 ② 시스템 제약조건 ③ 목표 제약조건 ④ 목적함수

편차변수 편차 : 미리 정해진 목표와의 차이를 나타내는 값 목표 값보다 큰 편차는 d+, 목표 값보다 작은 편차는 d- 로 표시 두 편차변수 중 하나는 반드시 0 이 된다 .

: 예로서 어떤 제품의 생산량 목표가 100 단위인데 , 실제 생산이 90단위라면

d- = 10, d+ = 0

시스템 제약조건 선형계획모형에서의 제약조건과 같은 의미의 환경적 , 시간적 , 물질적 제약

등 외부적으로 주어진 제약 이 제약조건은 반드시 만족되어야 하는 절대적인 제약이다 .

목표계획법의 모형화목표계획법의 모형화

Page 5

목표제약조건 목표들의 희망수준을 나타내기 위한 식 예로서 , 어느 회사에서 제품 A 의 생산량 (X1) 을 최소 100 단위 이상

생산하는 경우 - 선형계획법의 관점 : X1 ≥ 100 ( 절대적인 제약 )- 목표계획법의 관점 : X1 + d1

- - d1+ = 100 ( 목표 달성여부를 표시 )

목표계획법의 모형화목표계획법의 모형화

X1

d1- d1

+

미달 초과100

( 목표생산량 )

Page 6

목적함수

목표들로부터의 편차를 최소화

► 목표값보다 커야 좋은 경우 → 미달 편차변수 (di-) 를 최소화

► 목표값보다 작아야 좋은 경우 → 초과 편차변수 (di+) 를 최소화

목표들의 우선순위를 표시하는 편차변수의 계수 결정

► 우선순위모형 : 목표들의 우선순위가 고정된 경우 ( 높은 우선순위의 목표부터 차례로 만족 되어야 하는 경우 ) → 편차변수의 계수를 P1, P2, P3 … 등으로 부호화 여기서 P1 ≫ P2 ≫ P3 … ( 단순히 숫자적으로는 비교불가능한 차이 )

► 가중합계모형 : 목표들의 우선순위가 순차적으로 정해져 있지 않은 경우 → 각 목표에 대한 가중치를 부여하여 편차들의 가중합을 최소화 : 선형계획법의 목적함수와 근본적으로 같기 때문에 일반 심플렉스법으로

최적해를 구함

목표계획법의 모형화목표계획법의 모형화

Page 7

건설교통부는 최근의 건설인력의 실업사태를 일부 해결하기 위하여 최소한 백만일의 기능노동력 취업효과를 목표로 수도관 도로정비사업을 추진하고 있다 . 고급기증인력은 일당 6000 원으로 이 사업에 즉각 투입이 가능하나 일반인력은 재훈련을 실시하여야 투입이 가능하며 이 경우 훈련비용을 포함하면 일당 100000 원씩의 비용이 소요된다 . 서울시가 이 사업에 책정한 예산은 1200 억원으로 예산의 증액은 어떠한 경우에도 불가능한 상태이다 .

건설교통부의 가장 주된 목적은 건설기능인력의 실업문제해결이지만 노동조합과 다른 관련 정부 부처의 압력에 따라 다음의 두가지 목표도 감안하고 있다 .

(1) 일반인력을 최소한 기능기능인력 이상 고용할 것 (2) 재훈련프로그램을 통하여 배출된 일반인력은 400000 일 이하이어야 할

것 이 두 가지 목표 중에서 첫 번째 목표가 둘째 목표보다 훨씬 중요한 것으로

간주되고 있다 .

선형계획적 분석 – 예제 선형계획적 분석 – 예제 8-18-1

Page 8

의사결정변수    X1 = 고급기능인력 고용수준 ( 단위 :1000 일 )

    X2 = 일반인력 고용수준 ( 단위 :1000 일 )

제약조건

X1 +  X2 ≥ 1000 ( 건설인력의 총 고용수준 )

X2 ≥ X1 ( 고급기능인력과 일반인력의 고용비율 )

X2 ≤ 400 ( 재훈련된 일반인력의 고용수준 )

6X1+ 10X2 ≤ 12000 ( 총소요경비 )

선형계획적 분석 – 예제 선형계획적 분석 – 예제 8-18-1

Page 9

모든 목표를 100% 달성하고자 하는 경우에 대한 분석

선형계획적 분석 – 예제 선형계획적 분석 – 예제 8-18-1

400

01000

X2

X1

1200

2000

1000

예산

총고용

재훈령인력

고용인력비율일반인력 (1000 일 )

고급기능인력 (1000 일 )

3 가지 목표와 예산제약식을 모두 만족시키는 해는 존재하지 않음

3 가지 목표와 예산제약식을 모두 만족시키는 해는 존재하지 않음

Page 10

우선순위모형우선순위모형

의사결정변수    X1 = 고급기능인력 고용수준 ( 단위 :1000 일 )

    X2 = 일반인력 고용수준 ( 단위 :1000 일 )

편차변수 ( 궁극적으로 결정하고자 하는 내용 )

d1- = 건설인력고용의 목표 (1000000 일 ) 초과달성일수

d1+ = 건설인력고용의 목표 (1000000 일 ) 에 미달한 일수

d2- = 고급기능인력 고용수준을 초과한 일반인력 고용수준

d2+ = 고급기능인력 고용수준을 미달한 일반인력 고용수준

d3- = 400000 일 이상의 재훈련인력

d3+ = 400000 일을 미달하는 재훈련인력

Page 11

목표제약식(1) 건설인력의 총 고용수준

X1 + X2 – d1+ + d1

- = 1000,

d1+ , d1

- ≥ 0 ( 단 , 여기서 d1+ , d1

- 중 한 개는 0 이다 .)

(2) 고급기능인력과 일반인력의 고용비율

X2 – d2+ + d2

- = X1,

d2+ , d2

- ≥ 0 ( 단 , 여기서 d2+ , d2

- 중 한 개는 0 이다 .)

(3) 재훈련된 일반인력의 고용수준

X2 – d3+ + d3

- = 400,

d3+ , d3

- ≥ 0 ( 단 , 여기서 d3+ , d3

- 중 한 개는 0 이다 .)

우선순위모형우선순위모형

Page 12

목적함수(1) 1 순위 : 건설인력 고용수준을 1000000 일로 올리는 것

d1- 의 최소화

(2) 2 순위 : 일반인력의 고용을 고급기능인력수준 이상으로 유지하는 것

d2- 의 최소화

(3) 3 순위 : 재훈련인력의 고용수준을 400000 일 이하로 억제

d3+ 의 최소화

우선순위모형우선순위모형

Page 13

목표계획모형으로 표현

Min Z = P1(d1-) + P2(d2

-) + P3(d3+ )

s.t. X1 + X2 – d1+ + d1

- = 1000 ( 고용인력 목표식 )

-X1 + X2 – d2+ + d2

- = 0 ( 고용비율 목표식 )

X2 – d3+ + d3

- = 400 ( 재훈련인력 목표식 )

6X1+ 10X2 ≤ 12000 ( 총소요경비 )

그래프를 이용한 분석

우선순위가 높은 목표부터 목표달성영역 ( 편차가 최소화 되는 영역 ) 을 차례로 표시

가장 낮은 우선순위 목표까지 반복 그 중 가장 만족스러운 점을 최적해로 결정

우선순위모형우선순위모형

Page 14

1 번 목표를 달성시키는 영역

Min Z = P1(d1-)

우선순위모형 우선순위모형 – – 그래프를 이용한 분석그래프를 이용한 분석

400

01000

X2

X1

1200

2000

1000

일반인력 (1000 일 )

고급기능인력 (1000 일 )

d1- d1

+

예산

Page 15

1, 2 번 목표를 달성시키는 영역

Min Z = P1(d1-) + P2(d2

-)

우선순위모형 우선순위모형 – – 그래프를 이용한 분석그래프를 이용한 분석

X2

X1

1200

2000

일반인력 (1000 일 )

고급기능인력 (1000 일 )

d2-

d2+

400

0

1000

예산

1000

d1- d1

+

Page 16

1, 2, 3 번 목표를 달성시키는 영역

Min Z = P1(d1-) + P2(d2

-) + P3(d3+ )

우선순위모형 우선순위모형 – – 그래프를 이용한 분석그래프를 이용한 분석

X2

X1

1200

2000

일반인력 (1000 일 )

고급기능인력 (1000 일 )

d2-

d2+

400

0

1000

예산

1000

d1- d1

+ d3-

d3+

1, 2 번 목표를 만족하면서 d3+

를 최소로 하는 점(X1, X2) = (500, 500): d1

- = 0, d2- = 0, d3

+ = 100

1, 2 번 목표를 만족하면서 d3+

를 최소로 하는 점(X1, X2) = (500, 500): d1

- = 0, d2- = 0, d3

+ = 100

Page 17

1 단계

Min d1-

st X1 + X2 – d1+ + d1

- = 1000

-X1 + X2 – d2+ + d2

- = 0

X2 – d3+ + d3

- = 400

6X1+ 10X2 ≤ 12000

X1 , X2 , d1+ , d1

- , d2+ , d2

- , d3+ d3

- ≥ 0

결과 : 목적함수 값 = 0

우선순위모형 우선순위모형 – – K-optK-opt 를 이용한 분석를 이용한 분석

Page 18

2 단계

Min d2-

st X1 + X2 – d1+ + d1

- = 1000

-X1 + X2 – d2+ + d2

- = 0

X2 – d3+ + d3

- = 400

6X1+ 10X2 ≤ 12000

d1- = 0

X1 , X2 , d1+ , d1

- , d2+ , d2

- , d3+ d3

- ≥ 0

결과 : 목적함수 값 = 0

우선순위모형 우선순위모형 – – K-optK-opt 를 이용한 분석를 이용한 분석

Page 19

3 단계

Min d3+

st X1 + X2 – d1+ + d1

- = 1000

-X1 + X2 – d2+ + d2

- = 0

X2 – d3+ + d3

- = 400

6X1+ 10X2 ≤ 12000

d1- = 0

d2- = 0

X1 , X2 , d1+ , d1

- , d2+ , d2

- , d3+ d3

- ≥ 0

결과 : 목적함수 값 = 100 , X1=500, X2 =500, 나머지 = 0

우선순위모형 우선순위모형 – – K-optK-opt 를 이용한 분석를 이용한 분석

Page 20

가중합계모형가중합계모형

여러 개의 목적식들을 순차적으로 최적화하지 않고 이들의 가중합계를 최적화

목적함수에 적당한 가중치 W1, W2, W3 을 적용

Z = W1d1- + W2d2

- + W3d3+

Page 21

가중합계모형 가중합계모형 – – 예제 예제 8-28-2 3 개의 신제품을 새로 개발한 D 화학은 구제품의 생산을 중단하고 신제품 생산을 개시하려 하고

있다 . 각 제품의 수익률 , 소요노동력 및 자본소요액 등이 각기 다르기 때문에 이 회사에서는 각 신제품의 생산수준을 결정함에 있어서 장기총수익의 적정선 유지 , 현고용인력의 유지 및 적정활용 그리고 자본투자액의 적정선유지 등을 감안하려 하고 있다 . 각 신제품의 수익률 , 인력소요 및 자본소요액에 대한 자료는 다음 표와 같다 .

장기총수익은 현재가치로 125 억원선의 유지 , 소요인력은 현재의 고용수준인 4000 명선의 유지 , 그리고 자본투자액은 55 억원 수준으로 억제하는 것을 목표로 삼은 D 화학은 목표에서의 미달치에 대하여 다음과 같은 가중치를 선정하였다 .

(1) 장기총수익의 목표미달액에 대한 가중치 = 5/( 억원 )

(2) 고용수준의 초과인원에 대한 가중치 = 2/(100 명 )

(3) 고용수준 미달인원에 대한 가중치 = 4/(100 명 )

(4) 자본투자계획 초과액에 대한 가중치 = 3/( 억원 )

제품 1 단위 : 천톤 /년 )

제품 2 ( 단위 : 천톤 /년 )

제품 3 ( 단위 : 천톤 /년 )

장기총수익률 ( 억원 /단위 )

12 9 15

고용인력 (100 명 /단위 ) 5 3 4

자본소요액 (100 명 /단위 )

5 7 8

Page 22

가중합계모형 가중합계모형 – – 예제 예제 8-28-2

의사결정변수    Xi = 제품 i 의 생산량 ( 천톤 / 년 )

편차변수 ( 궁극적으로 결정하고자 하는 내용 )

d1- = 장기총수익목표 미달치

d1+ = 장기총수익목표 초과치

d2- = 고용수준 목표 미달 인원

d2+ = 고용수준 목표 초과 인원

d3- = 자본투자계획 목표미달액

d3+ = 자본투자계획 목표초과액

Page 23

선형계획모형

Min Z = 5d1- + 2d2

+ + 4d2- + 3d3

+

st 12X1 +9X2 +15X3 – d1+ + d1

- = 125

5X1 +3X2 +4X3 – d2+ + d2

- = 40

5X1 +7X2 +8X3 – d3+ + d3

- = 55

X1 , X2 , X3 , d1+ , d1

- , d2+ , d2

- , d3+ d3

- ≥ 0

가중합계모형 가중합계모형 – – 예제 예제 8-28-2

Page 24

선형계획모형 – K-opt 결과

가중합계모형 가중합계모형 – – 예제 예제 8-28-2

*** ºÐ ¼® °á °ú ***

¼öÇàµÈ ½ÉÇ÷º½º ¹Ýº¹È¸¼ö : 4

¸ñÀûÇÔ¼ö °ª : 16.66667

º¯ ¼ö ÃÖ Àû ÇØ ¼ö Á¤ ºñ ¿ë --------------------------------------------------------------- dm1 0.00000 3.09524 dp2 8.33333 0.00000 dm2 0.00000 6.00000 dp3 0.00000 0.42857 X1 8.33333 0.00000 X2 0.00000 6.85714 X3 1.66667 0.00000 dp1 0.00000 1.90476 dm3 0.00000 2.57143

Á¦¾à½Ä Á¾·ù ¿©À¯ / À׿© º¯¼ö ½Ö ´ë º¯ ¼ö --------------------------------------------------------------- 1 = 0.00000 1.90476 2 = 0.00000 -2.00000 3 = 0.00000 -2.57143

*** ºÐ ¼® °á °ú ***

¼öÇàµÈ ½ÉÇ÷º½º ¹Ýº¹È¸¼ö : 4

¸ñÀûÇÔ¼ö °ª : 16.66667

º¯ ¼ö ÃÖ Àû ÇØ ¼ö Á¤ ºñ ¿ë --------------------------------------------------------------- dm1 0.00000 3.09524 dp2 8.33333 0.00000 dm2 0.00000 6.00000 dp3 0.00000 0.42857 X1 8.33333 0.00000 X2 0.00000 6.85714 X3 1.66667 0.00000 dp1 0.00000 1.90476 dm3 0.00000 2.57143

Á¦¾à½Ä Á¾·ù ¿©À¯ / À׿© º¯¼ö ½Ö ´ë º¯ ¼ö --------------------------------------------------------------- 1 = 0.00000 1.90476 2 = 0.00000 -2.00000 3 = 0.00000 -2.57143

X1 = 8333 톤 /년 , X2 = 0 톤 /년 ,

X3 = 1667 톤 /년

d1+ = d1

- =0,

d2+ = 833 명 , d2

- =0 ,

d3+ = d3

- = 0

장기총수익과 자본투자액은 목표달성 but 고용인력은 목표치를 833 명 초과

X1 = 8333 톤 /년 , X2 = 0 톤 /년 ,

X3 = 1667 톤 /년

d1+ = d1

- =0,

d2+ = 833 명 , d2

- =0 ,

d3+ = d3

- = 0

장기총수익과 자본투자액은 목표달성 but 고용인력은 목표치를 833 명 초과