第 第 88 章 多元函数章 多元函数 第一章至第六章我们讨论了一元函数的微积第一章至第六章我们讨论了一元函数的微积分学，但在很多实际问题中往往牵涉到多方面的分学，但在很多实际问题中往往牵涉到多方面的因素因素 ,, 反映到数学上，就是一个变量依赖于多个反映到数学上，就是一个变量依赖于多个变量的情形。这就提出了多元函数以及多元函数变量的情形。这就提出了多元函数以及多元函数的微分和积分问题。的微分和积分问题。

本章将在一元函数微积分学的基础上，讨论本章将在一元函数微积分学的基础上，讨论多元函数的微积分法及其应用。讨论中我们以二多元函数的微积分法及其应用。讨论中我们以二元函数为主，因为从一元函数到二元函数会产生元函数为主，因为从一元函数到二元函数会产生新的问题，而从二元函数到二元以上的多元函数新的问题，而从二元函数到二元以上的多元函数则可以类推。 则可以类推。

本章内容本章内容§8.1 §8.1 空间解析几何简介空间解析几何简介§8.2 §8.2 多元函数的概念多元函数的概念§8.3 §8.3 二元函数的极限与连续二元函数的极限与连续§8.4 §8.4 偏导数偏导数§8.5 §8.5 全微分全微分§8.6 §8.6 复合函数的微分法复合函数的微分法§8.7 §8.7 隐函数的微分法隐函数的微分法§8.8 §8.8 二元函数的极值二元函数的极值§8.9 §8.9 二重积分二重积分

§8.1§8.1 空间解析几何简介空间解析几何简介一、 平面解析几何有关内容回顾：

1 平面直角坐标系

在平面上任取一定点 O ，过点 O 做两条相互垂直的直线OX,

OY ，规定正方向、长度单位。则平面直角坐标系 建成。

•o

此时，平面上任意一点此时，平面上任意一点 PP和和

一个有序实数对（一个有序实数对（ a,b)a,b) 之之间间

存在一一对应关系。存在一一对应关系。

•（ a,b)

y

x

a

b

22 曲线与方程 曲线与方程

在平面直角坐标系下，如果某曲线 在平面直角坐标系下，如果某曲线 C C 上任意一上任意一

点的坐标 点的坐标 (a,b) (a,b) 都是某二元方程 都是某二元方程 F(x,y)=0 F(x,y)=0 的解；反之，的解；反之，

如果以方程 如果以方程 F(x,y)=0 F(x,y)=0 的解为坐标的点都在曲线 的解为坐标的点都在曲线 C C 上，上，

则曲线 则曲线 C C 称为方程 称为方程 F(x,y)=0 F(x,y)=0 的曲线，而方程 的曲线，而方程 F(x,y)F(x,y)

=0 =0 称为曲线 称为曲线 C C 的方程。的方程。

记为 记为 C: F(x,y)=0C: F(x,y)=0

33 几个常见的公式与方程 几个常见的公式与方程

①① 两点间的距离公式：两点间的距离公式：2

122

1221 )()( yyxxMM

②② 圆的方程：圆的方程：222

222 )()(

ryx

rbyax

③③ 抛物线方程：抛物线方程：pyxpyxpxypxy 2,2,2,2 2222

④④ 椭圆 双曲线方程：椭圆 双曲线方程：

1,12

2

2

2

2

2

2

2

b

y

a

x

b

y

a

x

§8.1§8.1 空间解析几何简介 空间解析几何简介 (( 续）续）二、 空间直角坐标系

定点 O 过 O 作三条互

相垂直的直线

Ox 、 Oy 、 Oz

按右手系规定

OX 、 Oy 、 Oz

正方向

规定一个单位长度

1. 空间直角坐标系的建立

单位长度•o y

z

x

注意 ：注意 ： ⒈⒈ 平面直角坐标系将平面划分为四部分：平面直角坐标系将平面划分为四部分：

第一、第二、第三、第四象限。 第一、第二、第三、第四象限。

⒉ ⒉ 而空间的三条而空间的三条

坐标轴组成的三个坐标轴组成的三个

坐标平面将空间划坐标平面将空间划

分为八部分：称为分为八部分：称为

第一、二、三、四第一、二、三、四

、五、六、七、八、五、六、七、八

卦限。卦限。

1

23

4

5 68

注意 ：注意 ： 33 、、空间直角坐标系中的坐标轴仍可称为空间直角坐标系中的坐标轴仍可称为

x x 轴、 轴、 y y 轴和 轴和 z z 轴，其上任意一点的坐标分别轴，其上任意一点的坐标分别

记为：记为：

(x,0,0)(x,0,0) ，，

(0,y,0)(0,y,0) ，，

(0,0,z)(0,0,z)

z

x

y•

(x,0,0)•

(0,y,0)

•(0,0,z)

注意 ：注意 ： 4 4 两条坐标轴相交所成的平面称为坐两条坐标轴相交所成的平面称为坐

标平面分别称其为标平面分别称其为 xyxy 平面、平面、 yzyz 平面平面

和和 zxzx 平面，平面，

其上任一其上任一

点的坐标点的坐标

分别记为：分别记为：

(x,y,0)(x,y,0) ，，

(0,y,z)(0,y,z) ， ，

(x,0,z)(x,0,z) 。。

•(0,y,z)

•(x,0,z)

• (x,y,0)

y

x

z

2. 2. 空间中点与三元有序数组的关系空间中点与三元有序数组的关系

设 M 为空间任意一点，过 M 作分别与三个坐标

轴垂直的平面，且设

它们与三个坐标轴的

交点分别为 (a,0,0),

(0,b,0),(0,0,c) ，则

空间中的点 M 与一

个三元有序数组

(a ， b ， c) 唯一对应。

x

y

z

o

M(a,b,c)

Q(0,b,0)

P(a,0,0)

R(0,0,c)

2. 2. 空间中点与三元有序数组的关系（续）空间中点与三元有序数组的关系（续） 设 (a,b,c) 为任意一个三元有序数组，在坐标轴上分别取 P,Q,R 使 OP=a,OQ=b,

OR=c, 再过 P,Q,R 作分别

垂直于三坐标轴的平面

，则此三平面相交于一

点 M 。即三元有序数组

(a,b,c) 唯一地确定了空

间的一个点 M 。

空间任意点 M 一一对应 (a,b,c) 点 M 的坐标 M(a,b,c)

y

z

x

o

M(a,b,c)

Q(0,b,0)

P(a,0,0)

R(0,0,c)

由此：由此：

三、空间任意两点间的距离三、空间任意两点间的距离

212

212

21211

22221111

)()()(

:

),,(),,(

zzyyxxMM

L

zyxMzyxM

距离公式为

之间的与空间中点

222

)0,0,0(

),,(

zyxOM

O

zyxM

＝

之间的距离为原点

与空间中点

1P

2P

1Q 2Q

1M2M

SN

x

y

z

o

三、曲面与方程三、曲面与方程

.0),,(

0),,(,0),,(

,0),,(

:1.8

的图形称为方程而曲面的方程，曲面称为那么方程满足方程

上的点的坐标都不而不在曲面方程足上任意一点的坐标都满如果曲面定义

zyxFSS

zyxFzyxF

SzyxF

S

x

y

z

o

M(x,y,z)•S

四、几个常见的曲面与方程四、几个常见的曲面与方程

1. 1. 平面方程平面方程0

0

不全为、、且均为常数，、、、其中 CBADCBA

DCzByAx

例如例如z

x

y

(1,0,0)

(0,1,0)

(0,0,1)

1 zyx

)(0 平面yzx

x

z

yo

x

y

z

o(0,3,0)

3y

x

y

z

o 0 yx

2.2. 球面方程球面方程

220

20

20

0000

)()()(

),,

Rzzyyxx

RzyxM

的球面方程为半径为，（球心为点

2222 Rzyx

O

球面方程为时，球心为原点

x

y

z

和下半部分别表示球面的上半部

其中 222 yxRz

3. 3. 圆柱面圆柱面

.

)()(

)()(22

02

0

220

20

线为母线的柱面轴的直平行于为准线，

平面上的曲线表示以

zRyyxx

xyRyyxx

x

y

z

o

• R

特别地特别地

线为母线的柱面轴的直以平行于为准线，

平面上的曲线表示以

z

Ryx

xy

Ryx

222

222

五、一般的几个曲面与方程五、一般的几个曲面与方程1. 1. 柱面柱面

① 圆柱面： 222 Ryx

② 椭圆柱面：

12

2

2

2

b

y

a

x

圆

椭圆

③ 双曲柱面：

12

2

2

2

b

y

a

x

③ 抛物柱面：

pyx 22

2. 2. 椭圆（球）面椭圆（球）面

12

2

2

2

2

2

c

z

b

y

a

x

特别的：特别的：

时椭圆面退化为球面当 cba 2222 azyx

3. 3. 双曲面双曲面① 单叶双曲面：

12

2

2

2

2

2

c

z

b

y

a

x

椭圆

特别的：特别的：

面时称其为回转单叶双曲当 ba

12

2

2

2

2

2

c

z

a

y

a

x

圆

② 双叶双曲面：

12

2

2

2

2

2

c

z

b

y

a

x

椭圆

圆

特别的：特别的：

面时称其为回转双叶双曲当 ba

12

2

2

2

2

2

c

z

a

y

a

x

课堂练习 课堂练习 1 在空间直角坐标系中描绘下列各点： A(-5,0,3), B(2,3,1),

C(2,-2,-3), D(-2,-2,-3)

2 指出下列各方程所代表的图形并作图：

①x=3; y=-1; z=2; x=2,y=2; y=2,z=-1; x=-2,z=3.② ③ ④ ⑤ ⑥3 写出下列各平面的方程并作图：

① 过点 (3,0,0), 垂直于 x 轴 ; ② 过点 (0,-2,0), 平行于 zx平面 ;

③ 过点 , 平行于 xy 平面 .),,( 000 zyx

4 写出下列各直线的方程并作图：

① 过点 (3,0,0), 平行于 z 轴 ; ② 过点 (-1,2,0), 垂直于 xy平面 ;

③ 过点 , 平行于 y 轴 .

),,( 000 zyx

返回返回

§8.2 §8.2 多元函数的概念多元函数的概念一、多元函数的定义一、多元函数的定义

记为元函数上的为定义在则称对应规则应，与之对都有唯一确定的实数，

使对于每一个有序数组，为一对应规则设，元有序数组的集合为一个非空的定义

,

),,,(

:2.8

21

nDf

yDxxx

f

nD

n

).(

,,

),,(),,(

21

2121

fDD

yxxx

Dxxxxxxfy

n

nn

也可以记为称为函数的定义域，集合

称为因变量；称为自变量；其中变量

).(

),,(),,,(

),,(,,),,(

,,,,

,,

2121

2100

20121

002

01

002

010

002

01

0

011

fZZ

Dxxxxxxfyy

xxxfyxxxxxx

xxxfyxxxfy

yDxxx

nn

nnn

n

xx

xxn

n

nn

或称为函数的值域，记为

的集合的函数值。全体函数值

函数时，称为当

或

记为值，所对应的，对于

.

),(),,(2

;)(1

统称为多元函数二元及二元以上的函数记为为二元函数，时，当

，记为为一元函数，时，当Dyxyxfzn

Dxxfyn

一、多元函数的定义一、多元函数的定义（续）（续）

二、二元函数的定义域二、二元函数的定义域

.

),(

一个平面区域的定义域在几何上表示二元函数 yxfz

6 无界区域：无界区域：区域延伸到无穷远处的区域 .

【 几个概念 】【 几个概念 】1 平面区域：平面区域：可以是整个 xy 平面或者是 xy 平面

上由几条曲线所围成的部分。2 区域的边界：区域的边界：围成平面区域的曲线 .

3 闭区域：闭区域：包括边界在内的区域 .

4 开区域：开区域：不包括边界的区域 .

5 半开区域：半开区域：包括部分边界的区域 .

7 有界区域：有界区域：区域总是可以包含在以原点为中心的一个圆内。

8 平面点集：平面点集：平面上满足某个条件 P 的一切点构成的集合。

【例如】【例如】 平面上以原点为中心，以 1 为半径的圆的内

部就是一个平面点集。

可以表示为：

1),( 22 yxyxExo

y

E

9 邻域：邻域：

邻域半径。称为称为邻域中心，邻域。其中点的叫做点

内部点的全体，即集合

为半径的圆的为中心，以以点

00

20

20

000

)()(),(

0),(

PP

yyxxyx

yxP

10 内点：内点：设有点集 E 和属于 E 的一点 ，如果有

的一个邻域，且此邻域内的点都属于 E ，则称 为点

集 E 的内点。

0P 0P

0P

0P •

0P •

E

11 外点：外点：设有点集 E 和不属于 E 的一点 , 如果有

的一个邻域，且此邻域内的点都不属于 E ，则称

为点集 E 的外点。

0P

0P

0P0P •

12 界点：界点：设有点集 E 和一点 , 可属于 E ，也

可以不属于 E ，如果 的任何一个邻域内既有属于

E 的点又有不属于 E 的点，

则称 为点集 E 的界点。

0P 0P

0P

0P E

【典型实例 】【典型实例 】

并画出图形。，的定义域求函数 )(1 yxnlz

解：

的定义域为：知函数由 )(0 yxnlzyx

0),()( yxyxfD

的无界开区域。的右上方确定直线平面上由其图形为

0 yx

xy

如图如图x

y

【典型实例 】【典型实例 】

并画出图形。，的定义域

及求函数222

222 1)(2

yxRzyxRnlz

解：

的定义域均为：知以上两函数由 0222 yxR

222),()( RyxyxfD

界开区域。围成的有直线

平面上由其图形为222 Ryx

xy

如图如图

x

y

R

【典型实例 】【典型实例 】

图形。

并画出，的定义域求函数45

3y

inarcsx

inarcsz

解：

的定义域均为：故函数

得及由

44

551

411

51

y

xyx

44

55),()(

y

xyxfD

如图如图

x

y

5

4

【典型实例 】【典型实例 】

图形。并画出

，的定义域求函数 )1(94 2222 yxnlyxz

解： 的定义域均为：故函数

得及由 91109 222222 yxyxyx

91),()( 22 yxyxfD

如图如图 x

y

31

【典型实例 】【典型实例 】

图形。并画出

，的定义域求函数 )2(2

5 22

yxnly

xxsarccoyz

解：

的定义域均为：故函数

得由

20

22

12

1

02

0

02

2

2

2

2

x

xyxx

y

xxxx

y

yx

20

22),()(

2

x

xyxxyxfD

x

y

21

【典型实例 】【典型实例 】

).,(,),(6 22 yxfyxx

yyxf 求设

解： ,, v

x

yuyx 令

v

uvy

v

ux

1,

1则有

v

vu

v

uv

v

uvuf

1

)1()

1()

1(),(

222故

)1(1

)1(),(

2

yy

yxyxf所以

三、二元函数的几何意义三、二元函数的几何意义

一元函数一元函数 y= y= f f (x)(x) 通常表示 xyxy 平面上的一条曲一条曲线线。二元函数二元函数 z= z= f f ( x , y )( x , y ) ， (x ， y ）∈ D ，通常表示空

间的曲面曲面。

x

y z

y

x M(x,y)

P(x,y,z)

z=f(x,y)

返回

§8.3§8.3 二元函数的极限与连续二元函数的极限与连续

1 二元函数的极限二元函数的极限

.)()(),(

),(),(

(),(),(

),(

),(,,

),(

),(),(3.8

20

20

0

),(),(

00

0

00

000

0

000

yyxxAyxfmil

AyxfmilAyxfmil

yxyx

yxfzAA

yxfPP

PyxPP

yxPyxfz

yy

xxyxyx

其中或

或记作也称二重极限）时的极限。当

为函数，则称趋近于一个确定的常数

函数的对应值时以任何方式趋近于如果点一点

的任意是该邻域内异于点可以除外），有定义（的某一邻域内在点设函数定义

【例题【例题11 】】

0),(,11

)(),(

0

0

yxfmily

nisxnisyxyxf

y

x求证：设

证明证明

yxy

misx

misyxyxf 11

0),(因为

00),(00 yxfyx 必有，时且所以当

0),(

0

0

yxfiml

y

x故有

【例题【例题22 】】

6),(,4),(

2

1

yxfmilyxyxf

y

x求证：设

证明证明

214

2)44(646),(

yx

yxyxyxf因为

06),(21 yxfyx 必有，时且所以当

6),(

2

1

yxfiml

y

x故有

【例题【例题33 】】

2225

10

yxmilmil

xy 求

解解29

10

4

10102

522

25

y

milyx

milmilyxy

【例题【例题44 】】

2)21(

22

)1()(

3

2

3

2

23

22

12

y

yymil

yx

xyyxmilmil

yxy

解解

【注意】【注意】

在求极限过程中，不能随便交换极限的次序在求极限过程中，不能随便交换极限的次序

否则可能要造成错误。否则可能要造成错误。

【例题【例题55 】】 1)1(

0

2

0

22

00

ymily

yymil

yx

yxyxmilmil

yyxy

1)1(0

2

0

22

00

xmilx

xxmil

yx

yxyxmilmil

xxyx

故故

yx

yxyxmilmil

xy

22

00 yx

yxyxmilmil

yx

22

00

2 二元连续函数的概念二元连续函数的概念

.),(),(

),(),(

),(),(3

),(2

),(1

),(:4.8

00

00

00),(),(

),(),(

00

00

00

的间断点是函数否则称点处连续，在点则称函数

＝）（

存在；）极限（的某邻域内有定义；）在点（

满足条件：设二元函数定义

yxfyx

yxyxf

yxfyxfmil

yxfmil

yx

yxf

yxyx

yxyx

注：注：函数 f(x,y) 在区域 D 内连续：函数 f(x,y) 在平面

区域 D 内的每一点都连续。

33 二元连续函数在有界闭区域上的性质二元连续函数在有界闭区域上的性质

最大最小值定理：最大最小值定理：若函数 f (x,y) 在有界闭区域 D上

连续，则它在 D 上一定能取得最大值和最小值。中间值定理：中间值定理：若函数 f (x,y) 在有界闭区域 D 上连续，

且它取到两个不同的函数值，则它一定能取到这两

个函数值之间的一切值。有界性定理：有界性定理：若函数 f (x,y) 在有界闭区域 D 上连续，

则它必在 D 上有界。

课堂练习 课堂练习 1 求下列函数的定义域

22 32

1)1(

yxz

2

2

2

2

1)2(b

y

a

xz

yxyxz

11)3(

nxlyxnlz )()4(

)( 22

)5( yxez

解答

解答

解答

解答

解答

课堂练习 课堂练习 1 求下列函数的定义域

x

yinarcsz )6(

yxz )7(

11)8( 22 yxz

xyz )9(

2222

2222 1)10(

rzyxzyxRz

解答

解答

解答

解答

解答

课堂练习 课堂练习 2 求下列函数的极限

22

0

0

1)()1(

yxnsiyximl

y

x

22

33

00)2(

yx

yximlimlyx

xy

xyiml

y

x

42)3(

0

0

解答

解答

解答

返回

)0,0(),(),()1( yxyx定义域为解：

1),()2(2

2

2

2

b

y

a

xyx定义域为解：

0,0),()3( yxyxyx定义域为解：

yxyx ,),()5( 定义域为解：

0,0),()4( yxxyx定义域为解：

xyxxyxxyxxyx

xyxx

xyxxxyx

y

,0),(,0),(

,0

0,1)6(

定义域为

所以时，当

，时当得由解：

返回

2

2

,0,0),(

,0

,0,0)7(

xyyxyx

yx

xyxyxxyyx

定义域为

所以不存在时，当

；，时当得由解：

1,1),()8( yxyx定义域为解：

22222),,()10( Rzyxrzyx 定义域为解：

0),()9( xyyx定义域为解：返回

0

11

0)()1(22

0

0

原式

而解：yx

nsiyxmil

y

x

0)(

)2(

02

3

0

22

33

0022

33

00

ymliy

ymli

yx

yxmlimli

yx

yxmlimli

yy

xyyx

解：

4

1

42

1

)42()3(

0

0

0

0

xy

milxyxy

xymil

y

x

y

x原式解：

返回

§8.4 §8.4 偏导数偏导数函数的改变量：函数的改变量：

),(),(

),(

0000 yxfyxxfz

xyxf

x 的偏改变量或偏增量：对于函数

),(),(

),(

0000 yxfyyxfz

yyxf

y 的偏改变量或偏增量：对于函数

),(),(

),(

0000 yxfyyxxfz

yxf

的全改变量或全增量：函数

的某个领域内有定义在点设函数 ),(),( 00 yxyxfz

.

),(),(

),(),(limlim

0

),(),(

00

0000

00

00

的偏导数处对在点函数存在，则称此极限值为

极限时，邻域内有定义。如果当的某在点设函数

xyxyxfx

yxfyxxf

x

z

x

yxyxfz

x

x

x

0

0

0

0

),(),,( 00

00

yy

xxx

yy

xx

x

zx

z

x

yxfyxf

，或

记作

偏导数的定义偏导数的定义

.

),(),(

),(),(limlim

00

0000

00

的偏导数处对在点函数存在，则称此极限值为

如果极限

y

yxyxf

y

yxfyyxf

y

zy

y

y

),(),(

0000

0000,

),(),,(

yxyyx

y

zy

z

y

yxfyxf

或

记作

偏导数的定义偏导数的定义

偏导函数偏导函数

.

),(

(),(

),(

偏导数）的偏导函数，简称（或内有对在

称函数）的偏导数都存在，则或处对内每一点在平面区域如果函数

yxDyxf

yxyx

Dyxfz

yy

xx

zy

z

y

yxfyxf

zx

z

x

yxfyxf

,,),(

),,(

,,),(

),,(记作

偏导数的求法：偏导数的求法： 由偏导数的定义可知，求多元函数对一个自变量的偏导数时，只需将其它自变量看成常数，用一元函数求导法即可求得 .

。并求，与的偏导数求函数

)2,1(),1,0(),(

),(5),( 32

yxy

x

ffyxf

yxfyxyxf

3332 1025)5(),( xyyxyxyxf xx 解：222232 1535)5(),( yxyxyxyxf yy

0)1,0( xf

60)2(115)2,1( 2 yf

【例 【例 11 】】

【例 【例 22 】】y

f

x

feyxf yx

,),(2

的偏导数求函数

x

e

x

f yx

)(

2

解：x

yxe yx

)( 2

2 yxxye2

2

y

e

y

f yx

)(

2

y

yxe yx

)( 2

2 yxex22

【例 【例 33 】】 .,,)(z

u

y

u

x

u

y

xu z

的偏导数求函数

yy

xz

x

u z 1)( 1

解： 1)( z

y

x

y

z

1

z

z

y

xz

y

u1

z

z

y

zxy

xnl

y

x

z

u z)(

二元函数的二阶偏导数二元函数的二阶偏导数

.),(

,

,),(

的二阶偏导数函数则称这些偏导数为的偏导数也存在，和量

个函数对自变的二元函数，如果这两还是

的偏导数函数，一般说来

yxf

yx

yx

zzyxfz yx

yxyyxyxx zzzz

y

z

xxy

z

y

z

yy

z

x

z

yyx

z

x

z

xx

z

〃〃〃〃或

记作

,,,

)(),(

)(),(

2

2

2

2

2

2

xyx

z

yx

z

x

yx

z

x

z

yx

z

x

z

x

32

2

3

2

2

3

3

2

2

)(

)(,)(例如：

仿此可以定义二元函数更高 阶的偏导数仿此可以定义二元函数更高 阶的偏导数 ..

【例 【例 44 】】 的各二阶偏导数。求 233 3xyyxz

,33 22 yxx

z

解： ,62

2

xx

z

,62

yyx

z

,63 2 xyyy

z

,66

2

2

xyy

z

.62

yxy

z

【例 【例 55 】】 的各二阶偏导数。求 yeyxz 2

,2 yexyx

z

解： ,22

2yey

x

z

,)1(22

yeyxyx

z

,)1(2 yeyxy

z

,)2(22

2yeyx

y

z

.)1(22

yeyxxy

z

注意：注意：yx

z

2

xy

z

2

?

说明：说明： 二阶混合偏导数 与 在许yx

z

2

xy

z

2

多情况下它们并不相等，必须具备一定的条件。

定理：定理：

),(),(

),(,),(),(

),(,),(,),(,),(

),(

00''

00''

''''00

''''''

yxfyxf

yxfyxfDyx

yxfyxfyxfyxf

Dyxfz

yxxy

yxxy

yxxyyx

连续，则必有

都处二阶混合偏导数

如果在存在，

内连续，且在区域设函数

返回

§8.5 §8.5 全微分全微分1 1 一元函数的微分概念回顾一元函数的微分概念回顾

定义 定义 3.33.3 : : 对于自变量在 x 处的改变量 Δx ，如果

函数 y = f (x) 的相应改变量 Δy = A Δx + o(Δx) ， (Δx

→0) ，其中 A 与 Δx 无关，则称函数 y = f (x) 在点 x 处

可微。并称 A Δx 为函数 y = f (x) 在点 x 处的微分，

记为： dy 或 d f (x) ，即 dy = d f (x) = A Δx dxxfxdfdydxxxfA )(')(,)(' 故由于

【注意事项】【注意事项】

11 微分是自变量改变量 微分是自变量改变量 Δx 的线性函数。当

Δx→0 时， Δy － dy = o(Δx) ，即函数改变量与改变量与

微分的差是一个比微分的差是一个比 Δx 高阶的无穷小量 o(Δx) 。

2 2 当 A ≠ 0 时，函数的微分 dy 与函数改改变变

量量 Δy 是等价无穷小量。

dy

ymli

x

0

因为xA

xoxAmli

x

)(

0

1))(1

1(0

x

xo

Amli

x

)0(~ xdyy故

§8.5 §8.5 全微分全微分2 2 引入全微分的实例引入全微分的实例

如图 设矩形的长和宽分别为 如图 设矩形的长和宽分别为 x x 和 和 y y ，则其面，则其面积积

为 为 S = xy S = xy

SS

xx

yy

如果边长 如果边长 xx 与 与 y y 分别分别取取

得改变量 得改变量 Δx Δx 与 与 Δy Δy ，，

则面积 则面积 S S 相应地有一相应地有一

个改变量 ： 个改变量 ： ΔS = ( x+Δx )( y+Δx) ΔS = ( x+Δx )( y+Δx) － － xy = yΔx + xΔy + Δx Δy xy = yΔx + xΔy + Δx Δy

ΔyΔy

ΔxΔx

ΔS = yΔx + xΔy + Δx Δy ΔS = yΔx + xΔy + Δx Δy

上式包含两部分内容：上式包含两部分内容：

第一部分 第一部分 yΔx + xΔyyΔx + xΔy 为为 Δx Δx 、、 Δy Δy 的线性 的线性 函数；第二部分 函数；第二部分 ΔxΔy ΔxΔy ，，当 Δx →0Δx →0 、 、 Δy →0Δy →0

时，是比 较高阶的无穷小时，是比 较高阶的无穷小

量。量。

22 )()( yx

如果以 如果以 yΔx + xΔyyΔx + xΔy 近似表示近似表示 ΔSΔS ，则其，则其

差差 Δx Δy Δx Δy 是比 较高阶的无穷小量 22 )()( yx

),(),(

),(,

,),(6.8

yxfyyxxfz

yxfzy

xyx

相应的改变量如果函数处的改变量：对于自变量在点定义

)(oyBxAz 可以表示为

，或记作处的全微分。在点函数是则称较阶的无穷小量。一个比表示无关与的函数是其中

),(

),(),(

)(;,,,,

yxdf

dzyxyxfz

yBxA

oyxyxBA

处可微。在点此时也称函数即

),(),(

),(

yxyxf

yBxAyxdfdz

3 3 全微分定义全微分定义

定理 定理 8.18.1

dyyxfdxyxfdz

yxyxf

yxfyxf

yxyxfz

yx

yx

),(),(

,),(),(

,),(),,(

),(),(

并且处可微在点

则函数邻域内有连续的偏导数的某一在点设函数

偏微分偏微分

dxyxfzd xx ),(的偏微分处对在点函数 xyxyxfz ),(),(

的偏微分处对在点函数 yyxyxfz ),(),(

dyyxfzd yy ),(

近似公式近似公式

因为 Δz － dz = o(ρ) 是一个比 ρ 高阶的无

穷小量，故有如下近似公式：

dzz

yyxfxyxfyxfyyxxf yx ),(),(),(),(即

yyxfxyxfyxfyyxxf yx ),(),(),(),(或

注意：注意： 在一元函数中，可导与可微等价。对于二元函在一元函数中，可导与可微等价。对于二元函

数，我们不加证明地给出如下结论：数，我们不加证明地给出如下结论：

一定存在；偏导数

该点的在某点可微，则函数在若函数

y

z

x

z

yxfz

,

),(

不一定可微。

也函数都存在，但即使偏导数 ),(, yxfzy

z

x

z

二元函数可微与可偏导之间的关系二元函数可微与可偏导之间的关系

定理定理

在该点可微。且在该点连续，则函数

都存在，和领域中一阶偏导数

的某一在点设函数

),(),(

),(),(

''

00

yxfyxf

yxyxfz

yx

高阶全微分高阶全微分

dyyxfdxyxfdz

yxfz

yx ),(),(

),(''

的全微分为：函数

。记为

的二阶全微分，为函数全微分的我们称，的函数仍然可微时当它作为

zd

yzfzdzd

dzyx

2

),()(

,

''''

2 ,,)()(

yxxy ff

dydxdyy

dzdx

x

dzzd

为常数，

其中即

高阶全微分高阶全微分（ 续 ）（ 续 ）

dyx

fdx

x

f

x

dz yx

''

)(由于 dyfdxf yxxx

''''

dyy

fdx

y

f

y

dz yx

''

)( dyfdxf yyxy''''

dyy

dzdx

x

dzzd

)()(2于是 dxdyfdxf yxxx )( ''''

dydyfdxf yyxy )( ''''

2''''2''2 2 dyfdxdyfdxfzd yyxyxx 即 ))(( 22 dxdx 其中

【例 【例 11 】】

的全微分。求函数 xyez

,xyyex

z

解： ,xyxey

z

dyxedxyedz xyxy 所以 )( xdyydxe xy

【例 【例 22 】】少立方米？

求需用木材多米，米，厚度为高为米，为木桶，其内半径要造一个无盖的圆柱形

01.042

,, hr 高为设圆柱底半径为解：

hrV 2则其体积为：

V

hrhhH

rrR

时的两个圆柱体积之差米米米与米，

以看作当于是做木桶所需木材可4,201.401.2

dhVdrVdVV hr''

因此可以利用

来计算hrrrh 22

,01.0,4,2 hrhr此时取

2.001.0201.0422 2 V则有

【例 【例 33 】】

的近似值。求 33 )97.1()02.1(

,),( 33 yxyxf 设解：

时的函数值。函数在值可以看作是则所求

97.1,02.1 yx

03.0,2,02.0,1 00 yyxx取

yyxfxyxfyxf

yyxxf

yx

),(),(),(

),(

00'

00'

00

00则由

95.2)03.0(2

3

02.02

321)97.1()02.1(

2

133

2

2

133

23333

y

x

y

x

yx

y

yx

x有

【例 【例 44 】】

的二阶全微分。求 )arctan(xyz

2)(1

)(

xy

xyddz

解

2)(1 xy

xdyydx

dyxy

xdx

xy

y22 )(1)(1

,)(1 2

'

xy

yz x

记2

'

)(1 xy

xz y

,])(1[

222

3''

xy

xyz xx

则 ,])(1[

)(122

2''

xy

xyz xy

22

3''

])(1[

2

xy

yxz yy

2''''2''2 2 dyzdxdyzdxzzd yyxyxx 因此

]2)1(22[])(1[

1 23222322

ydyxdxdyyxdxxyxy

§8.6§8.6复合函数的微分法复合函数的微分法

的复合函数。是

因而的函数是变量又而的函数是变量设函数

yx

yxyxfz

yxvyxuyx

vuvuvufz

,

),(),,(

,),(),,(,,

,,,),(

复合函数的定义复合函数的定义

且

的偏导数存在及对函数则复合可微函数处的点于

且在对应都存在及的偏导数

在点及如果函数

,),(),,(

,),(,),(),(

,,,),(

),(),(

yxyxyxfz

vufzvuyx

y

v

x

v

y

u

x

uyx

yxvyxu

x

v

v

z

x

u

u

z

x

z

定理 定理 8.28.2

y

v

v

z

y

u

u

z

y

z

【例 【例 11 】】

的偏导数。求 yxyxz 2422 )3(

解：解： ,3 22 yxu 设 ,24 yxv .vuz 则

故有 ,1 vvuu

z,nulu

v

z v

,6xx

u

,2yy

u

,4x

v,2

y

v

于是 461 nuluxvux

z vv 12422 )3)(24(6 yxyxyxx

)3()3(4 222422 yxnlyx yx

12422 )3)(24(2 yxyxyxyy

z同理)3()3(2 222422 yxnlyx yx

特别地特别地

)(),(

),(),(),,(.1

xxfzx

zxvxuvufz

的一元函数就是则而如果

dx

dv

v

z

dx

du

u

z

dx

dz

xz

即的导数称为全导数对这时 ,,

dx

dy

y

z

x

z

dx

dz

xxfzxyyxfz

的全导数为

则函数而如果 )(,),(),,(.2

【例 【例 22 】】

xyxxx zzz

yxuuxyz''''' ,,

,),(,

求

设

解：解： ,x

uy

x

z

)(2

2

x

u

xx

z

2

2

x

u

yx

u

yx

z

22

1

【例 【例 33 】】

求证：，为可微函数设 ,)(2

2

xyx

yz

02

3 22

yy

zxy

x

zx

证：证： )(2

'2

2

xyyx

y

x

z

)(2

'22

2 xyyxy

x

zx

)(' xyxx

y

y

z

又

)('22 xyyxyy

zxy

02

3 22

yy

zxy

x

zx故

【例 【例 44 】】 yx

zxyyxfz

2

),( 求，可微条件满足设

解：解： xyvyxu ,令

x

v

v

f

x

u

u

f

x

z

则 yv

f

u

f

1v

fy

u

f

)()(2

v

fy

yu

f

yyx

z

)(12

2

2

v

f

yy

v

fx

vu

f

u

f

)1(2

222

2

2

xv

f

uv

fy

v

f

vu

fx

u

f

v

f

v

fxy

vu

fyx

u

f

2

22

2

2

)( 返回

§8.7§8.7隐函数的微分法隐函数的微分法

的公式。现在给出用偏导数来求的函数的导数。是所确定的方程

合函数求导法求由在一元函数中已可用复xyyxF 0),(

0

0)(,,0

dx

dy

y

F

x

F

xfxFy

F

有

则由如果

y

Fx

F

dx

dy

可得

⑴ ⑴ 一元隐函数的微分法一元隐函数的微分法

【例 【例 11 】】 的函数的导数。是

所确定的求由方程xy

xxey y 0

解：解： ,1 yex

F由 yxe

y

F

1

y

y

xe

e

dx

dy

1

1得

y

y

xe

e

1

1

【例 【例 22 】】 的函数的导数。是

所确定的求由方程xy

xyenysi x 02

解：解： ,2yex

F x

由 xyyscoy

F2

xyysco

ye

dx

dy x

2

2

得

⑵ ⑵ 二元隐函数的微分法二元隐函数的微分法

,0

,0),,(

z

F

yxzzyxF

如果，的函数

是所确定的对于由方程

0)],(,,[ yxfyxF由则

,0

x

z

z

F

x

F有 0

y

z

z

F

y

F

,

z

Fx

F

x

z

于是有 ,

z

Fy

F

y

z

【例 【例 33 】】

的偏导数。函数

所确定的求由方程

zc

z

b

y

a

x1

2

2

2

2

2

2

解：解： 1),,(2

2

2

2

2

2

c

z

b

y

a

xzyxF令

,2

2a

x

x

F

则 ,2

2b

y

y

F

,2

2c

z

z

F

,2

2

2

2

2

2

za

xc

c

za

x

x

z

所以 ,2

2

zb

yc

y

z

【例 【例 44 】】 的偏导数。函数所确定的

求由方程),(

0),( 222

yxfz

zyxzyxF

解：解： ),(),(),,( 222 zyxzyxFvuFzyxH 令

,221 ''''vuvu xFFxFF

x

H

则

,221 ''''vuvu yFFyFF

y

H

,221 ''''vuvu zFFzFF

z

H

z

Hx

H

x

z

所以 ,2

2''

''

vu

vu

zFF

xFF

z

Hy

H

y

z

,2

2''

''

vu

vu

zFF

yFF

【例 【例 55 】】

2

22

,))((),(

)()(

x

F

y

F

yx

F

x

FygxfyxF

xgxf

求证：

且有一阶导数有二阶导数，设函数

证明：证明： ))(()(),( ygxfufyxF 令

x

u

du

df

x

F

则 ,du

df )(

2

2

du

df

xx

F

x

u

du

fd

2

2

,2

2

du

fd

y

u

du

df

y

F

,dy

dg

du

df )(

2

du

df

yyx

F

dy

du

du

fd2

2

dy

dg

du

fd

du

df

yx

F

x

F2

22

而dy

dg

du

fd3

3

2

2

2

2

du

fd

dy

dg

du

df

x

F

y

F

dy

dg

du

fd3

3

2

22

x

F

y

F

yx

F

x

F

故

【例 【例 66 】】

)(1

)(,

,)(),()(

'''2

2

2

222 rg

rrg

y

f

x

fyxr

rgyxfrg

求证：

且有二阶导数，设函数

证明：证明： '' )( xrrgx

f

22

'

22

' )(2

2)(

yx

xrg

yx

xrg

'''''2

2

)()]([ xxx rrgrrgxx

f

'''2''' )())(( xxx rrgrrg

22

22

22

'22

2'' 2

2

)()(yx

yx

xxyx

rgyx

xrg

2222

2'

22

2''

)()()(

yxyx

yrg

yx

xrg

2222

2'

22

2''

2

2

)()()(

yxyx

xrg

yx

yrg

y

f

同理

2222

2'

22

2''

2222

2'

22

2''

2

2

2

2

)()()(

)()()(

yxyx

xrg

yx

yrg

yxyx

yrg

yx

xrg

y

f

x

f

所以

22

''' 1)()(

yxrgrg

)(1

)( ''' rgr

rg 返回

§8.8§8.8 二元函数的极值二元函数的极值(( 一一 ) ) 二元函数的极值二元函数的极值

的极小值。是函数则称

的极大值；如果总有是函数则称

总有的某一邻域内的所有点对于点：如果二元函数定义

),(),(

),(),(),,(),(

),(),(

),(),(),,(),(

,

),(),(7.8

00

0000

00

0000

00

yxfyxf

yxyxyxfyxf

yxfyxf

yxyxyxfyxf

yxyxfz

函数极大值与极小值统称为极值函数极大值与极小值统称为极值 ,, 使函数取得使函数取得极值的点称为极值点。极值的点称为极值点。

定理 定理 8.3 (8.3 ( 极值存在的必要条件 极值存在的必要条件 ))

0),(0),(

,

,),(),(

0000

00

yxfyxf

yxyxf

yx

则有一阶偏导数存在且两个处有极值在点如果函数

注意注意 ::

1. 驻点 : 使函数的各一阶偏导数同时为 0 的点 .

2. 极值点可能在驻点取得 ,但驻点不一定是极值点 .

3. 极值点也可能是使偏导数不存在的点 .

用定义求二元函数极值的几个例子用定义求二元函数极值的几个例子

【例 【例 11 】】 的极值。求 22),( yxyxf

( 解法见教材 )

【例 【例 22 】】 的极值。求 222),( yxRyxf

( 解法见教材 )

【例 【例 33 】】 是否有极值。讨论函数 1),( 22 xyyxf

( 解法见教材 )

此例说明：函数的驻点未必是函数的极值点。此例说明：函数的驻点未必是函数的极值点。

定理 定理 8.4 ( 8.4 ( 极值存在的充分条件 极值存在的充分条件 ))

,),(,

),(),(

00

00

是它的驻点且的二阶偏导数的某一邻域内有连续在点如果函数

yx

yxyxf

),(),(),(),( 2 yxfyxfyxfyxP yyxxxy 设

是极大值；则且如果则

),(,0),(,0),()1( 0000 yxfyxfyxP xx

。是否为极值需另法判别则如果 ),(,0),()4( 0000 yxfyxP

不是极值；则如果 ),(,0),()3( 0000 yxfyxP

是极小值；则且如果 ),(,0),(,0),()2( 0000 yxfyxfyxP xx

定理 定理 8.4 8.4 ( ( 也可叙述为： 也可叙述为： ))

,),(,

),(),(

00

00

是它的驻点且的二阶偏导数的某一邻域内有连续在点如果函数

yx

yxyxf

则

记

,),(

,),(,),(

00''

00''

00''

Cyxf

ByxfAyxf

yy

xyxx

时取得极小值；时取得极大值，当且处取得极值，在点时当00

),(,0)1( 002

AA

yxACB

不是极值点；点时当 ),(,0)2( 002 yxACB

别。是否为极值点需另法判则时当 ),(,0)3( 002 yxACB

【例 【例 44 】】

的极值。求 5126),( 23 yxxyyxf

解：解： 0123),(,062),( 2'' yyxfxyxf yx由

），（，），（得驻点 2323

,2),('' yxf xx再由 ,0),('' yxf xy yyxf yy 6),(''

yyxp 12),( 得024212)2,3( p因为 ；不是极值点故 )2,3(

02)2,3(

024212)2,3(''

xxf

p

且

）（而

处函数有极大值，所以在点 )2,3( 30)2,3( f且

【例 【例 55 】】

【例 【例 66 】】

要造一个容量一定的长方体箱子，问怎样的

尺寸，才能使所用的材料最少？（解法见教材）

某工厂生产两种产品 Ⅰ与Ⅱ，出售单价分别为 10 元与 9 元，生产 x 单位的产品Ⅰ与生产 y 单位的产品Ⅱ的总费用为：

))(33(01.032400 22 元yxyxyx

求取得最大利润时，两种产品的产量各多少？

（解法见教材）

求二元函数 求二元函数 f (x ,y) f (x ,y) 极值的方法与步骤如下：极值的方法与步骤如下：

1 ）根据函数极值存在的必要条件，求出可能的极值

点（驻点），即求解方程组：

0),(

0),('

'

yxf

yxf

y

x 其解即为驻点。

.,,

),(,),()2 00

CBA

yxfyx

数的二阶偏导求对应于每一个驻点

是否为极值点。确定号，的符条件，依据由函数极值存在的充分

),(

)3

00

2

yx

ACB

时为极小值点。时为极大值点，且，必为极值点，若

0

002

A

AACB

定是否为极值点。不能确若；不是极值点，若 00 22 ACBACB

。的函数值对应于极值点计算函数

),(

),(),()4

00

00

yxf

yxyxf

【例 【例 66 】】

0,0,1),(

1),(22

22

yxyxyxD

yxxyyxf 在区域求

内的最大值。

解：解： 01

1),(22

222'

yx

yxyxyyxf x由

01

1),(22

222'

yx

xyyxxyxf y

12

12,0,0

22

22

yx

yxyx 故可化为由于

,3

1yx解得 ,1

3

2

3

1

3

1 22 ）（）（因为

内唯一的驻点。且为的内部，在区域）（说明点 DD3

1,

3

1

。内的驻点和边界上达到在故函数的最大值只可能 D

；又因为在驻点处： 033

1)

3

1,

3

1( f

；上：在边界 0),(122 yxfyx

)00(

0),(00

时或当上：或在另外两条边界

yx

yxfyx

。最大值为

且该函数的是最大值点，可见：驻点

33

1

)3

1,

3

1(

(( 二二 )) 条件极值与拉格朗日乘数条件极值与拉格朗日乘数法法

无条件极值无条件极值 ::

若两个自变量 x 与 y 是互相独立的，即不受其它条件约束，此时 f(x,y) 的极值称为无条件极值。简称极值 .

条件极值条件极值 ::

值叫作条件极值。这时所求的极约束条件或约束方程

件之间需要满足一定的条与如果自变量,)(0),( yxg

yx

条件极值的拉格朗日乘数法条件极值的拉格朗日乘数法

第一步第一步 ::作辅助函数作辅助函数 ((拉格朗日函数拉格朗日函数 ))

),(),(),(

)(),(,),(

),,()(

yxgyxfyxF

yxFyxf

yxg

即。称拉格朗日函数得函数相加与

然后乘以称拉格朗日乘数以常数

的极值下在约束条件求函数 0),(),( yxgyxfz

0),(

0

0

yxg

gfF

gfF

yyy

xxx

第二步第二步 :: 建立方程组建立方程组

.),(

),(

,,,

处取得出的点的极值可能在解

则函数解出消去

yx

yxf

yx

第三步第三步 ::

.),(),( 的极值点是否是函数判别 yxfyx

一般情况下可由具体问题的性质进行判定。一般情况下可由具体问题的性质进行判定。

求三元函数 求三元函数 f(x,y,z) f(x,y,z) 在约束条件在约束条件 gg(x,y,z)=0, h(x,y,z)=0(x,y,z)=0, h(x,y,z)=0 下的极值的方法：下的极值的方法：

第一步第一步 : : 作拉格朗日函数作拉格朗日函数

),,(),,(),,(),,( zyxhzyxgzyxfzyxF

是拉格朗日乘数。其中 ,

第二步第二步 :: 建立方程组建立方程组

0),,(

0),,(

0

0

0

zyxh

zyxg

hgfF

hgfF

hgfF

zzzz

yyyy

xxxx

处取得。解出的点则函数的极值可能在所解出消去

),,(

,,,,,

zyx

zyx

【例 【例 11 】】

用拉格朗日乘数法求本节例 5 中的容量一定的长方体表面积最小值问题。

解：解：下的最小值。

在条件问题为：求函数xyzV

zxyzxyS

)(2

)()(2),,( xyzVzxyzxyzyxF 令

0)(2),,(' yzzyzyxFx 则由0)(2),,(' xzzxzyxFy 0)(2),,(' xyxyzyxFz

。解的消取及 3,0 VzyxxyzV

【例 【例 22 】】 。的最短距离

到平面求由一定点

rDzCyBxA

zyx

0

),,( 000

解：解：2

02

02

02

000

)()()(

),,(),,(

zzyyxxr

zyxzyx

平方为：

的距离的与任意一点点

0

),(

DCzByAx

yx 故约束方程为：在已知平面上，因为点

)(

)()()(),,( 20

20

20

DCzByAx

zzyyxxzyxF

令

0)(2 0' AxxFx 由

0)(2 0' ByyFy

0)(2 0' CzzFz

0 DCzByAx及

222000222

22 )(2

,)(4 CBA

DCzyBAxCBAr

得

222

000

CBA

DCzyBAxr

｜｜故

的垂直距离公式。

到平面此即空间一点 0),,( 000 DCzyBAxzyx

【 例 【 例 33 】】

在半径为 a 的半球内，内接一长方体，问各边长多少时，体积最大？

解：解： 设长方体长为 2x ，宽为 2y, 高为 z ，

则 V=4xyz2222 azyx 且

)(4),,( 2222 azyxxyzzyxF 设

024' xyzFx由

024' yxzFy

024' zxyFz02222 azyx及

时体积最大。得 azyx3

3

y

z

x

【 例 【 例 44 】】

在底半径为 r ，高为 h 的正圆锥内，内接一个体积最大的长方体，问长方体的长、宽、高各是多少？

解：解：设长方体长为 2x ，宽为 2y, 高为 z ，

则 V=4xyz

h

zh

r

yx

22

又

0)()( 2222 zhh

ryx即

故可设：

)])([

4),,(

22

222 zh

h

ryx

xyzzyxF

y

z

x

02' xyzFx 令

02' yxzFy

0)(22

2' zh

h

rxyFz

0)( 22

222 zh

h

ryx及

hrVhzryx 2

27

8,

3

1,

3

2得

时，其体积最大。高为宽为

长方体长为应有最大值，即当内接显然

hrr

V

3

1,

3

22,

3

22

【 例 【 例 55 】】 相距最近。

上的点，使它与直线求抛物线04

42

yx

xy

解：解：。满足方程

上任意一点，则为抛物线设

xy

yxyx

4

),(),(2

｜｜

的距离为到直线又点

2

4

04),(

yx

d

yxyx

。下取得极小值的点

在约束条件｜｜故所求问题为寻找函数

),(4

2

4

2 yxxy

yxd

。下取得极小值的点

在约束条件）（也即寻求函数

),(4

2

4

2

22

yxxy

yxd

)4()4(),( 22 xyyxyxF 设

04)4(2' yxFx由则

02)4(2' yyxFy

2,1 yx解得

时，存在最小值，故当显然 )2,1(),( yxd

相距最近。上的点与直线

抛物线

0442 yxxy

§8.9§8.9 二重积分二重积分 本节我们将把一元函数定积分的概念及基本性质推本节我们将把一元函数定积分的概念及基本性质推广到二元函数的定积分广到二元函数的定积分 ,, 即二重积分即二重积分 . .

.

,,

),(.),(

,0),(,

),(

的直线为母线的立体轴以平行为底以区域顶为以曲面

且上连续区域在有界闭设函数

ozD

yxfzDyx

yxfD

yxfz

曲顶柱体曲顶柱体z

y

x

z=f(x,y)

D

曲顶柱体的体积曲顶柱体的体积 ::

第一步第一步 :: 分分割割

n

ii

ii

i

n

VV

DVi

Vn

i

nD

1

21

.

,

,

,

,,,

则有曲顶柱体的体积

为底的表示以区域个小曲顶柱体的体积的第为底表示以以个小曲顶柱体柱体分成了

这样就把曲顶个小区域的面积表示第且以个小区域任意分成将区域

xo

y

i

D

x

z

yo

。

。),( 11 yx

i

第二步第二步 : : 取近似取近似

),,2,1(),(

,,,

),(,,),,2,1(

niyxfV

V

yxfni

iiii

ii

iii

即的近似值作为为底的平顶柱体的体积为高

把以任取一点内在每个小区域

第三步第三步 : : 作总和作总和 .,),(1

的一个近似值为VVyxfV ni

n

iiin

第四步第四步 : : 取极限取极限

n

iiii

d

ii

ii

yxfV

ddni

d

10

),(lim

,max),,2,1(,)

(

则设域的直径

称为该区大值内任意两点间距离的最表示用

上的二重积分。在区域称此极限为函数则的选取无关且与小区域的分割及点

如果积分和的极限存在时趋于各小区域中的最大直径无限增大当

作积分和中任取一点在每个小区域

个小区域任意分成将上的二元函数是定义在有界闭区域设

Dyxf

yx

dd

n

yxf

yx

nD

Dyxf

ii

i

i

n

iii

iii

n

),(

,),(

,,0max

,

,),(

),,(

,,,,

,

),(

1

21

定义 定义 8.88.8

称为面积元素。称为被积函数积分区域

称为其中记作

dyxf

Dyxfdyxfn

iiii

dD

,),(,

,),(lim),(1

0

说明说明

。上的连续函数一定可积区域上可积。可证，有界闭在称上的二重积分。此时，在极限为

和的极限存在时，称此根据定义，当上述积分

DD

yxfDyxf ),(),(

11

22

DD

D

dvufdyxf

yxfD

dyxf

),(),(

),(

),(

即用什么字母表示无关，有关，而与积分变量和被积函数与积分区域

数值，此数值只是一个二重积分

33

意义。这也是二重积分的几何积。为顶面的曲顶柱体的体为底面，曲面区域

积分表示以且连续时，当

),(

),(0),(

yxfzD

dyxfyxfD

44

DD

iii

dxdyyxfdyxf

dxdyd

niyxD

yx

D

),(),(

,

),,2,1(

分可表示为直角坐标系中，二重积于是在元素为可证，去极限后，面积

此时，组直线分割轴的两轴和常用平行于因此，在直角坐标系下

的分法无关，与区域由于积分和极限的存在

二重积分的性质二重积分的性质 ::

性质性质 1: 1: 常数因子可提到积分号外面。常数因子可提到积分号外面。

)(),(),( 为常数kdyxfkdyxkfDD

性质性质 2: 2: 函数代数和的积分等于各个函数积分的函数代数和的积分等于各个函数积分的

代数和。代数和。

DDD

dyxgdyxfdyxgyxf ),(),(),(),(

性质性质 3: (3: ( 二重积分的可加性二重积分的可加性 ))

则两个区域被一曲线分成如果积分区域 ,, 21 DDD

21

),(),(),(DDD

dyxfdyxfdyxf

如图如图x

y

D1D 2D

DD

dyxgdyxf

yxgyxfD

),(),(

),,(),( 则上总有如果在区域

DD

dyxfdyxf ),(),(

性质性质 4:4:

特别有特别有

性质性质 5:5:

Ad

DAD

D

则的面积是上有如果在区域 ,,

性质性质 6:6:

MAdyxfmA

DA

M

D

),(

,

,

则的面积是与最小值与是函数在上的最大值设

性质 性质 7 (7 ( 二重积分的中值 定理 二重积分的中值 定理 ))

Afdyxf

D

DADyxf

D

),(),(

),,(,

,),(

使得内至少存在一点则在面积

的是上连续在闭区域如果

中值定理的几何意义为中值定理的几何意义为

。为高的平顶柱体的体积的函数值上以某一点等于区域体积

为顶的曲顶柱体的上以曲面在区域

),(

),(,

),(

f

D

yxfD

图形

x

y

z

),(

),( f

DDSA

二、 二重积分的计算二、 二重积分的计算 关键在于化二重积分为累次积分关键在于化二重积分为累次积分 ,, 最后归结为求最后归结为求

两次定积分两次定积分 ..

1 1 在直角坐标系下二重 积分的计算在直角坐标系下二重 积分的计算

情形 情形 11

。时，上连续，且当在区域函数设

0),(

),(),(

yxf

DyxDyxfz

)()(,),(

)(

)(,

21

2

1

xyxbxayxD

xy

xybxaxD

｜即所围成，

与曲线是由直线如果区域

图形

o

y

x)(1 xy

)(2 xy

a b

D

体体积。为顶的曲顶柱上以曲面是区域

则二重积分

),(

),(

yxfz

D

dyxfD

y

x

o

z

)(xAa

bdxxA

A

b

a )(

体积公式为：的立体截面面积为

的应用知：已知平行由第六章定积分

)(1 x)(2 x

于是有：于是有： D

b

adxxAdyxf )(),(

)(

)(

2

1

),()(x

xdyyxfxA

而

dxdyyxfdyxfx

x

b

aD

]),([),()(

)(

2

1

故有

)(

)(

2

1

),(),(x

x

b

aD

dyyxfdxdyxf

通常写为

上式右端的积分叫作累次积分，于是二重积分 上式右端的积分叫作累次积分，于是二重积分

就化成了计算两次定积分。就化成了计算两次定积分。

注意注意

是变量。分时，是积分变量；第二次积自变量，

是时，第一次计算单积分

xy

xdxyxfxAx

x)(

)(

2

1

),()(

11

22的限制，结论仍成立。

取掉在上面的讨论中，如果 Dyxyxf ),(0),(

同理同理

时｜即所围成，

与曲线是由直线如果区域

)()(,),(

)(

)(,

21

2

1

yxydycyxD

yx

yxdycyD

)(1 yx )(2 yx

y

x

o

z

o

y

xc

d

c dy

)(1 y

)(2 y

可以得到：可以得到：

)(

)(

2

1

),(),(y

y

d

cD

dxyxfyddyxf

即将二重积分化为先对 x 后对 y 的累次积分。

特别的：特别的：

11 ,,),( dycbxayxD

D

｜即是矩形，如果区域

d

c

b

aD

dyyxfdxdyxf ),(),( 则 b

a

d

cdxyxfdy ),(

22 可积，如果 )()(),( 21 yfxfyxf

,,),( dycbxayxD ｜区域且

))()()((),( 21 d

c

b

aD

dyyfdxxfdyxf 则

如果平行于坐标轴的直线与区域 D 的边界线

交点多于两个点 , 则要将D分成几个小区域 , 使每

个小区域 的边界线与平行于坐标轴的直线的交点

不多于两个 ,然后再应用积分对区域的可加性计算。

33

o

y

x

D

1D

2D

o

y

x

1D

4D

2D

3D

D

【 例 【 例 11 】】

围成的区域。

是由其中

计算二重积分

1,0,1,0

,

yyxx

DdxdyeD

yx

x

y

1

1

分析：（解法 略）【 例 【 例 22 】】

。围成的第一象限的图形

是由其中

计算二重积分

1,0,0

,

22

2

yxyx

DdxdyyxDx

y

1

21 xy

【 例 【 例 33 】】

围成的区域。与，由

是其中计算二重积分

031032

,)2(

yxyyx

DdxdyyxD

x

y

0

1y

03 yx

3

032 yx

-1.5

3

解解 ｝｜｛ yxyyyxD 3)3(2

1,31),(

y

yD

dxyxdydxdyyx3

)3(2

1

3

1)2()2(因此

3

1

3

)3(2

12 )( dyxyx y

y｜

3

1

2 )34(4

9dyyy

3)323

1(

4

9 31

23 ｜yyy

讨论讨论讨论讨论 如果先对 如果先对 y y 积分，应该怎样进行？积分，应该怎样进行？

【 例 【 例 44 】】 所围成的区域的面积。与

平面上由应用二重积分，求在22 4 xxyyxy

xy

解解

的面积。域的值就是积分区

二重积分

知：根据性质

D

dxdyD

5

x

y

0

2xy

24 xxy

2

4

2

2

42

0

xx

xD

dydxdxdyA因此

2

0

2 )4( dxxx

3

8)

3

22( 2

032 xx

【 例 【 例 55 】】

试证：

。均为常数，且其中 0,

)()()(0 0

)(

0

)(

aba

dxxfexadxxfedya a axby axb

证：证： 由等式左端知，积分区域 yxayyxD 0,0),(

x

y

0 a

ayx 故交换积分次序得

dyxfedxa

x

axba)()(

0 原式

a a

x

axb dxdyxfe0

)( ])([

a axb dxxfexa

0

)( )()(

【 例 【 例 66 】】

（写出两种积分次序）

为二次积分化二重积分 D

dxdyyxf ),(

围成的区域。及轴，是由 exxnlyxD )1(

解：解： 由图知：

1

0

1 0

),(

),(

),(

e

e

e nxl

D

ydxyxfdy

dyyxfdx

dxdyyxf

x

y

1 e

1

nxly

yex

围成的区域。部分及直线在第一象限的轴，圆是由

2

02)2( 22

yx

xyxxD

解：解：

1

0

2

11 2),(

),(

y

y

D

dxyxfdy

dxdyyxf

22

2222

211

,1)1(02

xxyyx

yxxyx

或

故有得由

x

y

0

1

0

2

0

2

),(xx

dyyxfdx

2

1

2

0),(

xdyyxfdx

2 yx2

21

1

211 yx

22 xxy

围成的区域。在第一象限的部分及圆

在第二象限的部分轴与抛物线是由

04

4)3(22

2

yyx

xyxD

解：解：22

22

424

4)2(

xyyyx

yx

或得

由

0

2

4

0

2

),(

),(

x

D

dyyxfdx

dxdyyxf

2

0

42

42

2

2),(

x

xdyyxfdx

4

0

4

4

2

),(yy

ydxyxfdy 0

x

y4

-2 2

【 例 【 例 77 】】

交换二次积分的次序：

8

2

82

1),(),()1(

2

x

x

xdyyxfdxdyyxfdx

x

y

0 8

8

4

4

21

8,82,21 2 yxxxyxx 及由解：解：

8

2

8

2

1

),(

),(2

x

x

x

dyyxfdx

dyyxfdx

4

1),(

y

ydxyxfdy

8

4 2),(

ydxyxfdy

2

1

2

0

1

0 0),(),()2(

yydxyxfdydxyxfdy

解：解：yxy

yxy

20,21

0,10

及由

x

y

0

1

1

2

2

2 yx

2

1

2

0

1

0 0

),(

),(

y

y

dxyxfdy

dxyxfdy有

1

0

2),(

x

xdyyxfdx

2 2 在极坐标系下二重 积分的计算在极坐标系下二重 积分的计算

① ① 极坐标系极坐标系

极点。

),( rM

r

极轴

极角极径

② ② 变换公式变换公式

nrsiy

rx cos

x

yntaryx ,222或

③ ③ 极坐标系中二重积分的计算公式极坐标系中二重积分的计算公式

DD

rdrdnrsisrcofdyxf ),(),(

其中 nrsiysrcoxrdrdd ,,

计算极坐标系下的二重积分，也是将其化为计算极坐标系下的二重积分，也是将其化为

累次积分。下面分三种情况说明：累次积分。下面分三种情况说明：

1 1 极点 极点 O O 在区域 在区域 D D 之外之外

)()(,),( 21 rrrrD ｜此时

图形

o r

)(2 rr )(1 rr 如图如图

D

rdrdnrsisrcof ),(

于是有

)(

)(

2

1

),(r

rrdrnrsisrcofd

2 2 极点 极点 O O 在区域 在区域 D D 的边界上的边界上

)(0,),( rrrD ｜此时

图形

如图如图

o r

)(rr

D

rdrdnrsisrcof ),(

于是有

)(

)0),(

rrdrnrsisrcofd

3 3 极点 极点 O O 在区域 在区域 D D 的内部的内部

)(0,20),( rrrD ｜此时

图形

如图如图 )(rr

r

o r

D

rdrdnrsisrcof ),(

于是有

2

0

)(

)0),(

rrdrnrsisrcofd

注意：注意：

算二重积分较为方便。

坐标计等形式时，一般采用极

数为较为简单，或者被积函边界方程用极坐标表示的者区域是圆或圆的一部分，或当区域

)(,)(,)( 22

x

yf

y

xfyxf

DD

【 例 【 例 11 】】

围成的区域。

是圆其中计算二重积分

yyx

DdyxD

2

,

22

22

0 x

y

yyx 222

r

nsir 2

DD

rdrdrdyx 22解：解：

drrdnsi

0

2

0

2

0

20

3

)3

( dr nsi｜

0

3

3

8dnsi

0

2 )1(cos3

8sdco

9

32)coscos

3

1(

3

80

3 ｜

【 例 【 例 22 】】

所确定的圆域。

是由其中计算二重积分

1

,1

22

22

yx

Dyx

dxdy

D

解：解：

0

y

x

r

在极坐标系下

1020),( rrD ，｜

1

0 2

2

022 11 r

rdrd

yx

dxdy

D

于是

drnl 10

22

0))1((

2

1｜

dnl 2

2

12

0 222

12

0nldnl

D

【 例 【 例 33 】】

dxeI x

2

计算普哇松积分

解：解： 是整个第一象限。其中区域设 DdxdyeHD

yx ,22

0

y

x

D

yx dxdyeH22

则

0 0

22

dxdyedx yx

0 0

22

dyedxe yx

4)

2(

22 II

现在极坐标系下计算 现在极坐标系下计算 H :H :

在极坐标系下 ,

rrD 0

20),( ，｜

2

0 0

2

rdredH r因此

0

2

rdre r为又因2

1)

2

1( 0

2

｜re

42

12

0

dH所以

2I于是有

dxeI x2

因此

1)1( 22 yx

-1 1

【 例 【 例 44 】】

.2

,)4(

22 yyx

DdyxD

圆域

是其中计算二重积分

解：解：

0 x

y

r

nsir 2

在直角坐标系下 ,

2

2

11

11

1

1)4(

)4(

x

x

D

dyyxdx

dyx

dxy

xyy x

x

2

2

11

11

21

1)

24(

｜ dxxxx

1

1

22 )113(2

dxxxdxx

1

1

1

1

22 1216 3)1(

3

2

26 1

12

32 ｜x

在极坐标系下 , nsirrD 200),( ，｜

nsi

D

drnsirsrcord

dyx

2

00)4(

)4(因此

dnsirscorr nsi ))

3

1

3

12( 2

033

0

2 ｜

dnsisconsinsi )

3

1

3

88( 43

0

2

3)28

3

3

8(20)

22

18(2

经济应用数学基础（一）

《微积分》

教学课件教学课件

第八章

多元函数多元函数 制作 新疆财经学院 基础部

数学教研室

2002