Embed Size (px)
DESCRIPTION
Макарычев - 8 класс - алгебра - гдз
Citation preview
ГЛАВА I. Рациональные дробиРациональные дроби и их свойства.
1. Рациональные выражения
№1.
Целыми выражениями являются: ( ) .aba;xyyx;ba12
2431 2
22 −−−
Дробными выражениями являются: ( ) .c
c;yx
;mm 238
33 2
22 +++−
+
№2.
Целыми выражениями являются: .nm;a;xyx 222
31
41
927 −−
Дробными выражениями являются: ( ) .a
a,abbaa,
b8
3312 −
+−−
№3.
При ;y
y:y32
31313 =−=−=
При ;y
y:y 01
1111 =−=−=
При ;y
y:y511
51515 =
−−−=−−=
При ;y
y:y 1
21
121
121 −=
−=−=
При ;,,
,y
y:,y 625161
161161 =−
−−=−−=
При ;,y
y:y 990100
11001100 =−=−=
№4.
При ( ) ;a:a 1054
10522
8252082 −=
+−−=
+−−−=
+−−=
При ;b
b:b212
669
3263
263
22=+=
⋅+=+=
www.5balls.ru
При ;x
x:x211516
21
1128
21
121
821
18
21 −=−=
⋅⋅−=
−+=
−+=
При ;,
,,,
,,
,y
yy
y:,y 41351
51354
35151
51351
33
51 =+=−
+=−
++
=−
++
=
№5.Воспользуемся формулой сокращенного умножения (разностьквадратов):( ) ( )( );
ababa
aba
111
11
22
2
+++−+=
+−+
( )( )( )
( )( ) ;,511015
1935
13113113
2 ==+
−−=+−
+−−−−−
Воспользуемся формулой сокращенного умножения с разностьюквадратов:( )( ) .,
,,,,,,, 920
325300
2533
125231
1511505115051
2 ≈==+
⋅=+
++−+
№6.
1) при ;xx:x
21
168
313513
3513 =
−−=
−−+−=
−+−=
2) при ;xx:x 0
80
3555
355 =
−=
−−+−=
−+−=
3) при ;,,
,,,
xx:,x 51
2384
320520
3520 −=
−=
−−+−=
−+−=
4) при ;xx:x
321
3050
350 −=
−+=
−+=
5) при
;xx:x
25181
50361
5086
17501786
1750
1786
3171
5171
35
171 −=−=−=
⋅⋅−=÷−=
−
+=
−+=
6) при ;xx:x 3
3151
351 −=
−+=
−+=
7) при ;xx:x 4
83332
38
332
3325
5325
35
325 =
⋅⋅=÷=
−
+=
−+=
www.5balls.ru
8) при ;xx:x 3
3757
357 =
−+=
−+=
№7.
а) ;,,,,
990010111
10101
10111 =−=−≈
+=
+= α
α
б) ;,,,,
99800020111
100201
100211 =−=−≈
+=
+= α
α
в) ( ) ;,,,,
011010111
10101
19901 =−−=−≈
+=
−= α
α
г) ( ) .,,,,
00310030111
100301
199701 =−−=−≈
+=
−= α
α№8.
Запишем формулу для средней скорости: ;tsv = получаем:
а) ;s;t 1803 == тогда 603
180 ==v (км/ч);
б) ;s;,t 22552 == тогда 9052
225 ==,
v (км/ч);
№9.Исходя из условия задачи можно составить уравнения:
( ) ( );vv
st;svvt;stvtv21
2121 +==+=+
а) ;v,v,s 4060250 21 ===
52100250
4060250 ,t ==+
= (ч);
б) ;v,v,s 8075310 21 ===
2155310
8075310 ==+
=t (ч).
Ответ: а) t=2,5 часа; б) t=2 часа.
№10.Соответствующими дробными выражениями будут:
а) xyx y+
;
б) a bab− .
№11.
www.5balls.ru
Рациональное выражение имеет смысл, если его знаменательотличен от нуля.а) При x − ≠2 0, т.е. x ≠ 2;б) при b - любое число, т.к. b2 7 0+ > всегда;в) при y y≠ ≠0 3; ;г) при a a≠ ≠0 1; ;№12.а) x - любое число;
б) 6 3 0 6 3 36
12
x x x x− ≠ ≠ ≠ ≠; ; ; ;
в) x - любое число;г) x x≠ ≠ −0 1; ;
д) x - любое число; x2 25+ всегда больше;е) x x≠ − ≠8 0; .№13.
а) 5 811y y− ; - любое число
б) 259
9 0y
y−
− ≠; ,т.е. y ≠ 9;
в) ( ) ( )yy y
yy y
y y2
2
212
12
2 0+−
= +−
− ≠; , т.е. y y≠ ≠0 2; ;
г) yy
y−+10
32 , - любое число, посколько y2 3+ всегда больше нуля;
д) yy y
y y−
++
− ≠ + ≠6
156
6 0 6 0; , ,т.е. y y≠ − ≠6 6; ;
е) 32 17
0 7 0y
yy
y y− ++
≠ + ≠; , ; т.е. y y≠ ≠ −0 7,
№14.
а) yx
=−1
2; область определения: x ≠ 2;
б) ( )y xx x
= ++
2 31
; область определения: x x≠ ≠ −0 1; ;
в) y xx
= ++1
5; область определения: x ≠ −5.
№15.
www.5balls.ru
а) x x− = − −
= ⋅35
1 5 35
1 0 5; ;
( )5 35
5 0 3 5 0 8x
x x−
− = − − = =; ; ;
Ответ: x = 8;
б) x x− = −
= ⋅35
0 5 35
0 5; ;
x x− = =3 0 3; ;Ответ: x = 3;
в) ( )x x− = − −
= − ⋅35
1 5 35
1 5; ;
x x− = − = −3 5 2; ;Ответ: x = −2;
г) x x− = −
= ⋅35
3 5 35
3 5; ;
x x− = =3 15 18; ;Ответ: x = 18;№16.
а) y y y− = − = =58
0 5 0 5; ; ; Ответ: y = 5;
б) 2 310
0 2 3 0 1 12
y y y+ = + = = −; ; ; Ответ: y = −1 12
;
в) ( ) ( )x xx
x x x x x−
+= − = = − = =
14
0 1 0 1 0 2 1 0 1; ; ) ; ) ; ;
при x = 0 и x x= + ≠1 4 0, , получаем:Ответ: x = 0 ; x = 1.
г) ( ) ( )x xx
x x x x x+−
= + = = + = = −3
50 3 0 1 0 2 3 0 3; ; ) ; ) ; ;
при x = 0 и x x= − − ≠3 5 0, , получаем:Ответ: x = 0 ; x = −2№17.
а) ab
> 0;
б) ab
< 0;
www.5balls.ru
в) ab
< 0;
г) ab
> 0;
№18.
а) 31
02x +> , поскольку 3 0> и x2 1 0+ > при всех x ;
б) −+
<54
02y, поскольку − < 0 и y2 4 0+ > при всех y ;
в) ( )a
a
−
+≥
1
100
2
2 , поскольку ( )a − ≥1 02 и a2 10 0+ > при всех a ;
г) ( )b
b
−
− −≤
3
10
2
2 , поскольку ( )b − ≥3 02 и ( )− + <b2 1 0 при всех b
№19.а) При
x xx
= −+
= ⋅ −⋅ +
= −+
= ≈ ≈2 47 2 33 2
2 2 47 33 2 47 2
4 94 37 41 2
1949 41
0 20616365 0 21, : ,,
,,
,,
, ... , ;
б) При
x xx
= +−
= ⋅ +⋅ −
= +−
= ≈ ≈318 7 98 1
7 318 98 318 1
22 26 925 44 1
312624 44
0 2790507 0 28, : ,,
,,
,,
, ... ,
УПРАЖНЕНИЯ ДЛЯ ПОВТОРЕНИЯ
№20.а) ( )( )x x− + =10 10
= − + − =x x x2 10 10 100
( )= −x2 100;
б) ( )( )2 3 2 3a a+ − =
= − + − =4 6 6 92a a a4 92a − ;в) ( )( )y b y b− + =5 5
= + − − =y by by b2 25 5 25
( )y b2 225− ;
г) ( )( )y x y x+ − =8 8
www.5balls.ru
= + − − =y xy xy x2 28 8 64
= −y x2 264 ;
д) ( )x x x+ = + +7 14 492 2 ;
е) ( )b b b+ = + +5 10 252 2 ;
ж) ( )a x a ax x− = − +2 4 42 2 2 ;
з) ( )ab a b ab− = − +1 2 12 2 2 .№21.а) ( )15 20 5 3 4ax ay a x y+ = + ;
б) ( )36 9 9 4by cy y b c− = − ;
в) ( )x xy x x y2 − = − ;
г) ( )xy y y x y− = −2 ;
д) ( )a ab a a b2 5 5+ = + ;
е) ( )15 10 5 3 22c c c c− = −№22.а) ( )( )x x x2 25 5 5− = − + ;
б) ( )( )16 4 42− = − +c c c ;
в) ( )a a a2 26 9 3− + = − ;
г) ( )÷ + ÷ + = ÷ +2 28 16 4 ;
д) ( )( )a a a a3 28 2 2 4− = − + + ;
е) ( )( )b b b b3 227 3 3 9+ = + − + .
№23.
а) Общий множитель: x xx
; ;23
23
=
б) Общий множитель: 5 1525
35
; ;xy
xy
=
в) Общий множитель: 6 624
14
a aa
; ;=
г) Общий множитель: 7 721 3
b abbc
ac
; ;=
www.5balls.ru
д) Общий множитель: xy xyx y x
; ;− = −25
252
е) Общий множитель: 8 824 3
2 2xy x y
xyxy; =
№24.
а) 1015
23
xzyz
xy
= ;
б) 69
23
2
2 3abbc
abc
= ;
в) 24 2 2
3
3
3 3aya b
yab
yab−
=−
= − ;
г) −−
=62
32
3
2
2p qq
pq
;
д) − = −axxy
axy
2;
е) 36 23 2
axyay
xy
= ;
ж) 2436
23
2 2a cac
ac= ;
з) 6342
32
3 3
6 4 4x yx y x y
= .
№25.
а) 42
22 3
4 2 2a ba b
ba
= ;
б) 36
12
2
3 3 2xyx y x y
= ;
в) 2448 2
4 4
2 2
2 2p qp q
p q= ;
г) 3618
22m n
mnm= ;
д) − = − = −3212
83
83
5
4 2b c
b cb
cbc
;
www.5balls.ru
е) −−
=618
13
axax
.
№26.
а) 824 3
bc
bc
= ;
б) 515 3
ayby
ab
= ;
в) 46
23
2aac
ac
= ;
г) 721 3
2
2x yxy
xy
= ;
д) a ba b
ab
5 3
3 5
2
2= ;
е) x yx y
xy
6 4
4 6
2
2= ;
ж) 5635
85
1 35
2 5
5m nmn
m m= = ;
з) 25100
14
4
5p qp q p
= .
№27.
а) ( )( )
816
2
2
22
116
12
3 16
4 12
48
48= = = ;
б) ( )( )
8127
3 25
3
33
3 325
33
4
3 33
100
991= = = = .
№28.
а) ( )( )
a bb
a−−
=2
5 2 5;
б) ( )( )
3 44
3xc x c
++
= ;
в) ( )( )
ab y
a b y a+
+=
3
31
2 ;
www.5balls.ru
г) ( )( )
1520
34
a a bb a b
ab
−−
= .
№29.
а) ( )3 12
63 4
64
2a b
aba b
aba b
ab+ =
++ + ;
б) ( )15 20
105 3 4
103 4
2b c
bb c
bb c
b− =
−= − ;
в) ( )( )( )
2 43 2
2 22
23
aa
aa
−−
=−
−= ;
г) ( ) ( )
( )5 26 12
5 26 2
56
x yy
x yy
x++
=++
= ;
д) ( )a b
a aba b
a a b a−−
= −−
=33
33
12 ;
е) ( )3 15
53 5
53x xy
x yx x yx y
x++
=+
+= .
№30.
а) ( )( )
( )yy
y yy
y2 163 12
4 43 4
43
−+
=− +
+= − ;
б) ( )
( )( )5 15
9
5 33 3
532 2
x yx y
x yx y x y x y
−−
=−
− +=
+;
в) ( ) ( )
( )c
c c
cc c
cc
+
+=
++
= +2
7 14
27 2
27
2
2
2
;
г) ( )
( )( )
6 18
3
6 3
3
632 2
cd c
d
c d
d
cd
−
−=
−
−=
−;
д) ( )
( )( )a a
a
aa a
aa
2
2
210 25
25
55 5
55
+ +−
=+
− += +
−;
е) ( )( )
( )y
y y
y y
y
yy
2
2 29
6 9
3 3
3
33
−− +
=− +
−= +
−.
№31.
а) ( )( )
a ab ba b
a ab b
a b a ab b a b
2 2
3 3
2 2
2 2
1− ++
= − +
+ − +=
+;
www.5balls.ru
б) ( )( )a b
a b
a b a ab b
a ba ab b
3 3 2 22 2−
−=
− + +
−= + +
№32.
а) ( )( )
15 103 2
5 3 23 2
2
2a abab b
a a bb a b
−−
=−−
=
( )= =
−−
= −−
=5 5 201
1001
100ab , ,
;
Ответ: 100;
б) ( )( )
( )9 4
18 12
3 2 3 26 3 2
2 2
2 2c d
c d cd
c d c dcd c d
−−
=− +
−=
3 26
12
13
1
2 12
1
3 23
11
12
1 12
c dcd d c+ = + =
⋅+
⋅= + = ;
Ответ: 1 12
;
в) ( )( )
6 125 10
6 25 2
2
2x xyxy y
x x yy x y
++
=++
=
( )= =⋅
−=
−= −6
5
6 23
5 0 442
2xy ,
Ответ: -2;
г) ( )( )
x xy yx xy
x yx x y
x yx
2 2
2
26 9
4 12
34 3
34
+ ++
=+
+= + =
( )( )=
− + −−
= − −−
= −−
= =0 2 3 0 6
4 0 20 2 18
0 82
0 82
0 82 5
, ,,
, ,, , ,
,
Ответ: 2,5.№33.
а) ( )( )
x yy y
xy
−−
=77
;
б) ( )( )
10 1516 24
5 2 38 2 3
58
a ba b
a ba b
−−
=−−
= ;
в) ( )
( )( )2 14
49
2 77 7
272
mm
mm m m
+−
=+
− +=
−;
www.5balls.ru
г) ( )( )
( )p q
p qp q p q
p qp q2 225
2 105 5
2 55
2−−
=− +
−= + ;
д) ( )
( )x x
x x
xx x
xx
2
2
24 4
2
22
2− +−
=−
−= − ;
е) ( )
( )3 24
16 64
3 8
8
38
2
2 2y y
y y
y y
y
yy
++
=+
+=
+;
ж) ( )( )
a aa
a a
a a a a
2
3
2
2
11
1
1 1
11
+ +−
= + +
− + +=
−;
з) ( )( )
bb
b
b b b b b++
= +
+ − +=
− +28
2
2 2 4
12 43 2 2 .
№34.а) ( ) ( )9 32 2x y x y− + =:
( )( )
( )( )( )=
−
+=
− ++
= −9
33 3
33
2 2x y
x yx y x y
x yx y;
б) ( ) ( )2 4 4 12ab a b b− − + =:
( )( )
= −− +
=−
−=
−2
4 4 1
2 1
2 1 2 12 2ab a
b b
a b
b
ab
;
в) ( ) ( )x x x2 32 4 8+ + − =:
( )( )= + +
− + +=
−x x
x x x x
2
2
2 4
2 2 4
12
;
г) ( ) ( )1 13+ + =a a:
( )( )( )= +
+=
+ − +
+= − +1
1
1 1
11
3 22a
a
a a a
aa a .
№35.
а) ( ) ( )
( )2 2
7 72
7x bx y by
x yx y b x y
x y+ − −
−=
− + −−
=
( )( )( )=
− +−
= +x y bx y
b27
27
;
www.5balls.ru
б) ( )
( ) ( )8 4
2 2
4 2
2 22 2
a bab b ad bd
a b
ab b ad bd+
+ − −=
+
+ − +=
( )( ) ( )
( )( )( )=
++ − +
=+
+ −=
−4 2
2 24 2
24a b
b a b d a ba b
a b b d b d;
в) ( ) ( )
( )( )xy x y y
x y
xy y x y
x y x y− + −
−=
− − −
− +=
2
2 2
2
( ) ( )( )( )
( )( )( )( )=
− − −− +
=− −− +
= −+
y x y x yx y x y
x y yx y x y
yx y
1 1 ;
г) ( )
( ) ( )a ac c
a ac ax cx
a c
a ac ax cx
2 2
2
2
22+ +
+ − −=
+
+ − +=
( )( ) ( )
( )( )( )=
++ − +
=+
+ −= +
−a c
a a c x a ca c
a c a xa ca x
2 2
.
№36.
а) Ответ: −−
− −xy
xy
; ;
б) Ответ: −−
xy
xy
;.
№37.
а) a b b ab a
− = − −−
= −1;
б) ( )( )
( )( )
a b
b a
a b
a b
−
−=
−
−=
2
2
2
2 1;
в) ( ) ( )a b
b ab ab a
b a−−
=−−
= −2 2
;
г) ( ) ( )
a b
b a
a b
a b a b−
−= −
−=
−2 21 ;
д) ( ) ( )( )( ) ( ) ( )− −
+=
− +
+=
− ++
= +a ba b
a ba b
a ba b
a b2 2 2 21 1
;
е) ( )
( )( )
( )( )( )( )( )
a b
a b
a b
a b
a b
a b
+
− −=
+
− +=
+
+=
2
2
2
2
2
21
1.
www.5balls.ru
№38.
а) ( )( )
( )( )
a x yb y x
a x yb x y
ab
−−
=−
− −= −
22
22
;
б) ( )( )
( )( )
5 5 5 53 3 2 2
x x y
x y x
x x y
x x y x x
−
−=
−
− −=
−= − ;
в) ( )( )
( )( )
3 3612
3 1212
3 1212
3ab ab
ab a
ab a b
−−
=−−
=−
− −= − ;
г) ( )( )
7 1442 21
7 1 221 2 1
2
2b bb b
b bb b
−−
=−
−=
( )( )=−
− −=
−= −
7 1 221 1 2
13
13
b bb b
;
д) ( )( )
( )253 15
5 53 5
2−−
=− +
−=a
aa aa
( )( )( )=
− − +−
= − +a aa
a5 53 5
53
;
е) ( )
( )3 3
2 1
3 1
12 2−
− +=
−
−=x
x x
x
x
( )( ) ( )− −
−= −
−3 1
1
312
x
x x;
ж) ( )( )
( )( )( )
8 82
8 82 2
2 2
2 2
2 2b a
a ab b
b a
a b
b a b a
a b
−− +
=−
−=
− +
−=
( )( )( )
( ) ( )=
− − +
−= −
+−
=+−
8 8 82
a b b a
a b
b aa b
b ab a
;
з) ( )( )
( )( )
b
b
b
bb
−
−=
−
−= −
2
2
2
22
3
2
3
2 .
№39.
а) ( ) ( )
( )ax bx ay by
bx byax ay bx by
b x y+ − −
−=
− + −−
=
( ) ( )( )
( )( )( )=
− + −−
=− +
−= +a x y b x y
b x yx y a b
b x ya b
b;
www.5balls.ru
б) ( ) ( )
( )ab b a
aab b a
a− − +
−=
− − −−
=3 2 615 5
3 2 65 3
( ) ( )( )
( )( )( )=
− − −−
=− −− −
= −−
= −b a aa
a ba
b b3 2 35 3
3 25 3
25
25
;
в) ( )( )
7 3515 3
7 53 5
pp
pp
−−
=−−
=
( )( )= −
−−
= − = −7 53 5
73
2 13
pp
;
г) ( )( )
18 38 48
3 68 6
2
2a a
a a
a aa a
−−
=−−
=
( )( )=
− −−
= −3 6
8 638
a aa a
;
д) ( )( )
( )410 5
2 25 2
25
2−−
=− +
−= +x
xx x
xx ;
е) ( )( )( )
a aa
a
a a a
2
3
2
26 9
27
3
3 9 3
− +−
=−
− + +=
( )( )( )=
−
− + += −
+ +
3
3 9 3
39 3
2
2 2
a
a a aa
a a.
№40.
а) ( )
( )x xx x
x x x
x xx
6 4
4 2
2 2 2
2 22
1
1
++
=+
+= ;
б) ( )
( )y yy y
y y y
y yy
6 8
4 2
4 2 2
2 22
1
1
−−
=−
−= − ;
в) ( )( )
b bb b
b b
b bb
7 10
5 2
7 3
2 35
1
1
−−
=−
−= − ;
г) ( )( )
c cc c
c c
c c
6 4
3 2
4 2
2
1
1−+
=−
+=.
www.5balls.ru
( )( )( )
( )=+ −
+= − = −
c c c
c cc c c c
4
22 3 21 1
11
№41.
а) ( )( )
a aa a
a a
a aa
8 5
5 2
5 3
2 33
1
1
++
=+
+= ;
при a = − 12
получаем:
a 331
218
= −
= − ;
Ответ: − 18
;
б) ( )( )
b bb b
b b
b bb
10 8
8 6
8 2
6 22
1
1
−−
=−
−=
при b = −01, получаем:
( )b2 201 0 01= − =, , ;Ответ: 0 01, ;№42.
а) ( ) ( )( )2 2 22 2
a ba b
a ba b
−−
=−
−=
( ) ( )=−−
= −4
42a b
a ba b ;
б) ( ) ( )( )3 9
3
3 3
3
2 2c dc d
c dc d
++
=+
+=
( ) ( )=++
= +9 3
39 3
2c dc d
c d ;
в) ( ) ( )( )( )
3 65 10
3 2
5 2
2 2x yx y
x yx y
++
=+
+=
( )( )
( )=
++
=+9 2
5 29 2
5
2x yx y
x y;
www.5balls.ru
г) ( )
( )( )( )( )
4
10 5
2 2
5 2
2 2
2 2x y
x y
x y x y
x y
−
+=
− +
+=
( )( )( ) ( )
2 2
25 2
225 22
x y x y
x y
x yx y
− +
+= −
+.
№43.
а) 58
5 38 3
15243
2
3 2
3
3 2b
ab b
a bb
a b= ⋅
⋅= ;
б) 73
7 83 8
56242
3
2 3
4
3 2a
ba a
b aa
a b= ⋅
⋅= ;
в) 12
122 12
1224
2
2
2
3 2aba b
ab a ba ba b
=⋅
= ;
г) 2 2 2424
48242 2 2 2 3 2a b
aa b a
aa b
= ⋅⋅
= .
№44.
а) ( )
2 21
21
a b a b a b b+ = + =
+;
б) ( )
2 21
2 55
a b a b a b+ = + =
+;
в) ( )
2 21
2 33
a b a b a b aa
+ = + =+
;
г) ( )( )
2 21
2 22
a b a b a b a ba b
+ = + =+ −
−.
№45.
а) ( )
( )( )( )
( )x
a bx a b
a b a bx a b
a b−=
−− −
=−
− 2 ;
б) ( )
( )( )( )
( )y
x ay x a
x a x ay x a
x a−=
+− +
=+
−2 2;
в) ( )
( )( )( )2
1
2 1
1 1
2 1
1
2
2
2
3y
x
y x x
x x x
y x x
x−=
+ +
− + +=
+ +
−;
г) ( )
( )( )( )3 3 3
2 2 2 2 3 3a
a ab b
a a b
a ab b a b
a a b
a b+ +=
−
+ + −=
−
−;
www.5balls.ru
д) 7 7y b b y−
= −−
;
е) aa
aa−
= −−10 10
;
ж) ( )
( )( )( )p
pp p
p pp p
p−= −
+− +
= −+
−22
2 22
4 2 ;
з) ( )a
aaa
+−
= − +−
=36 2
32 3
( )( )( )( )
( )( )= −
+ +− +
= −+
−
a aa a
a
a
3 32 3 3
3
2 9
2
2.
№46.
а) 83
8 53 5
40152 2 2 2xy
xxy x
xx y
= ⋅⋅
= ;
б) ba c
b aca c ac
abca c7
57 5
5352
2
2 2
2
3 3= ⋅⋅
= ;
в) ( )a
aa a
a aa
a a−= ⋅
−=
−2 2 2
2
2 ;
г) ( )( )
11
1
1 1
11
2
2
2
3xx x
x x xx x
x+= − +
+ − += − +
+;
д) 12 12y x x y−
= −−
;
е) ( )
( )( )a
aa a
a aa a
a−= −
+− +
= − +−4
44 4
416
2
2 .
УПРАЖНЕНИЯДЛЯ ПОВТОРЕНИЯ
№47.
а) x = − = −165
3 15
;
б) x = =15
2 110
: ;
в) x = =4 13
12: ;
www.5balls.ru
г) x = − = −24
12
;
д) x = = = ⋅ = =3 0 6 3 610
3 106
102
5: , : ;
е) ( )x = − = − = − ⋅ = − = −5 0 7 5 710
5 107
507
7 17
: , .
№48.а) ( )( )6 2 5 3 72b b b− + − =
( )= − + − =6 6 352 2b b b
= − − + = − +6 6 35 352 2b b b b ;б) ( )( )16 4 0 5 4 0 52x x x− + − =, ,
= − + =16 16 0 25 0 252 2x x , , ;в) ( ) ( )( )2 15 5 4y y x x y y x− − + − =,
( )= − − − − =2 3 5 4 32 2 2y xy y x xy
= − + + − =2 3 5 15 202 2 2y xy x xy y
= − +5 18 122 2x y xy;г) ( )( ) ( )3 2 2 0 5 24a b b a b a b− + − − =,
( )= − − + =3 4 0 5 122 2 2a b ab b,
= − − + =3 12 0 5 122 2 2a b ab b,3 0 52a ab− , .№49.а) ( )5 5 5 1bc c c b− = − ;
б) ( )10 15 5 2 32n n n n+ = + ;
в) ( )8 12 4 2 3ab bc b a c+ = + ;
г) 5 5 2y x y xy− + − =
( ) ( )= − + − =5 5 2y x y xy
( ) ( )5 y x y y x− + − =
( )( )= − +y x y5 ;д) pq p q− + − =4 12 3
( ) ( )= − + − =pq p q4 12 3
www.5balls.ru
( ) ( )= − + − =p q q4 3 4
( ) ( )= − − − =p q q4 3 4
( )( )= − −q p4 3 ;
е) ( )( )a a a2 9 3 3− = − + ;
ж) x x2 10 25+ + =
( ) ( )( )= + = + +x x x5 5 52 ;
з) y y2 2 1− + =
( ) ( )( )= − = − −y y y1 1 12 ;
и) ( )( )a a a a3 264 4 4 16+ = + − + ;
к) ( )( )b b b b3 21 1 1− = − + + .
№50.
1) − ⋅ <5 716
0;
2) 516
6 516
61
5 16 16
516
16
0: : ;= = ⋅⋅
= ⋅ >
3) 516
01 5 116 10
516
110
0⋅ = ⋅⋅
= ⋅ >, ;
Ответ: − ⋅ ⋅⋅
⋅⋅
5 716
5 110 16
5 16 16
, , .
2. Сумма и разность дробей
3. Сложение и вычитание дробейс одинаковыми знаменателями
№51.
а) x y x y3 3 3
+ =+ ;
б) a b a b5 5 5
− = − ;
в) ay
ay
ay
+ =2 3 ;
г) 5 13 5 13 82 2 2 2 2ba
ba
b ba
ba
− = − = − ;
www.5balls.ru
д) x y x x y x y+ − = + − =9 9 9 9
;
е) 2 2c xb
xb
c x xb
− − = − − =
( )2 2 2c xb
c xb
− =−
.
№52.
а) ( )m
pm p
pmp
m pp
− − = +− +
=
= − + = =m m pp
pp
1;
б) a b a b a b a b b b+ − − = + − + = =6
26
26
36 2
;
в) x x x x+ − + = + − − = =59
29
5 29
39
13
;
г) 11 514
3 214
11 5 3 214
xx
xx
x xx
− + − = − + − =
= − = −14 714
2 12
xx
xx
;
д) 7 1310
2 310
7 13 2 310
5 1610
yy
yy
y yy
yy
− − + = − − − = − ;
е) 8 256
5 26
8 25 5 26
cc
cc
c cc
+ + − = + + − =
= + = +6 306
5cc
cc
.
№53.
а) 2 34
11 24
x yxy
y xxy
− + − =
= − + − = =2 3 11 24
84
2x y y xxy
yxy x
;
б) 58
5 78
5 5a bb
a bb
+ − − =
= + − + = =5 5 78
88
5 5 54a b a b
bbb
b ;
www.5balls.ru
в) 34
34
4
5
4
5x y
yy x
y− − + =
= − − − = − = −3 34
24
12
4 4
5
4
5x y y x
yyy y
;
г) aa
aa
aa
− + + − − =28
2 58
38
= − + + − + = =a a aa
aa
2 2 5 38
48
12
;
д) 7 512
10 1912
10 1512
yy
yy
yy
− − − + − =
= − − + + − =7 5 10 19 10 1512
y y yy
= − + = −18 2412
4 32
yy
yy
;
е) 11 24
2 34 4
a ba
a ba
a ba
− + − − − =
= − + − − + =11 2 2 34
a b a b a ba
( )12 44
4 34
3a ba
a ba
a ba
− =−
= − .
№54.
а) 17 12 10− + − =xx
xx
= − + − = −17 12 10 27 13x xx
xx
;
б) 12 13
1 332 2
pp
pp
− − − =
= − − + = −12 1 1 33
15 232 2
p pp
pp
;
в) 6 35
25
6 3 25
yy
yy
y yy
− − + = − − − =
( )= − =
−= −5 5
55 1
51y
yy
yy
y;
г) b a b b a b6
3 26
3 26
− − = − + =
www.5balls.ru
( )3 36
36 2
b a b a b a− =−
= − ;
д) 35
2 65
45
p qp
p qp
p qp
− − + + − =
3 2 6 45
2 115
p q p q p qp
p qp
− − − + − = − ;
е) 5 24
34
54
c dc
dc
d cc
− − + − =
= − − + − = − = −5 2 3 54
44
c d d d cc
dc
dc
;
ж) 2 1 6 13 8ab
ab
ab
− − + − =
= − + + − =2 1 6 13 8 12a a ab b
;
з) 4 23
2 13
13
bb
bb b
− − − + =
= − − + + = =4 2 2 1 13
23
23
b bb
bb
.
№55.
а) 164 4
164
2 2
xx
xx
x−−
−= −
−=
( )( ) ( )=− − +
−= − +
4 44
4x x
xx ;
б) 255 5
255
2 2
aa
aa
a+−
+= −
+=
( )( )5 55
5− +
+= −
a aa
a;
в) 3 1 3 1 3 1 3 12 2 2 2 2 2a
a bb
a ba b
a b−
−− −
−= − − +
−=
( )( )( )= −
−=
−− +
=+
3 3 3 32 2a b
a b
a ba b a b a b
;
г) xx x
xx
−−
+−
= − +−
=364
1164
3 11642 2 2
( )( )= +− +
=−
xx x x
88 8
18
;
www.5balls.ru
д) ( ) ( ) ( )2 2 5 2 2 5
2 2 2a b
a b
b a
a b
a b b a
a b
+
−+ −
−= + + −
−=
( )( )
( )( )= −
−= −
−− +
= −−
=−
3 3 3 3 32
b a
a b
b ab a b a a b b a
;
е) ( ) ( )13 6 11 4
2 2x y
x y
x y
x y
+
+− +
+=
( ) ( )= + − −
+= +
+=13 6 11 4 2 2
2 2x y x y
x y
x y
x y
( )( )
=+
+=
+2 2
2
x y
x y x y.
№56.
а) ( ) ( )a bab
a bab
+−
−=
2 2
= + + − + − = =a ab b a ab bab
abab
2 2 2 22 2 4 4;
б) ( ) ( ) ( ) ( )a b
a b
a b
a b
a b a b
a b
+
++
−
+=
+ + −
+=
2
2 2
2
2 2
2 2
2 2
= + + + − ++
=a ab b a ab ba b
2 2 2 2
2 22 2
( )= +
+=
+
+=2 2 2
22 2
2 2
2 2
2 2a ba b
a b
a b.
№57.
а) xx x
xx
2 213
103
1 103
+−
−−
= + −−
=
( )( )= −
−=
− +−
= +xx
x xx
x2 9
33 3
33,
при x = 97 получаем: x + = + =3 97 3 100;Ответ: 100;
б) yy
yy
y yy
+−
− +−
= + − −−
=725
2 225
7 2 2252 2 2
( )( ) ( )( )= −− +
= − −− +
= −+
55 5
55 5
15
yy y
yy y y
;
при y = −51, получаем:
www.5balls.ru
( )−+
= −− +
= −−
= =15
151 5
101
101
10y , , , `
;
Ответ: 10.№58.
а) aa a
aa
2 2436
76
43 76
−−
+−
= − +−
=
( )( )= −
−=
− +−
= +aa
a aa
a2 36
66 6
66;
при a = 10 25, получаем: a + = + =6 10 25 6 16 25, , ;Ответ: 16 25, ;
б) 9 19
6 109
9 1 6 1092 2 2
bb
bb
b bb
−−
− −−
= − − +−
=
( )( )( )
( )( )= +− +
=+
− +=
−3 93 3
3 33 3
33
bb b
bb b b
;
при b = 35, получаем: 33
335 3
30 5
3 12
3 2 6b −
=−
= = = ⋅ =, ,
: ;
Ответ: 6.№59.
а) xy y
xy y
xy−
+−
=−
−−
= −−1
51 1
51
51
;
б) ac c
ac c
ac−
−−
=−
+−
= +−3
63 3
63
63
;
в) 2 2 2 2mm n
nn m
mm n
nm n−
+−
=−
−−
=
( )= −
−=
−−
=2 2 22m n
m nm n
m n;
г) 52
102
52
102
pq p p q
pq p q p−
+−
=−
−−
=
( ) ( )=
−−
= −−−
= −5 2
25 2
25
p qq p
q pq p
;
д) aa
aa
aa
aa
2 2164
84
164
84
+−
+−
= +−
−−
=
( )= − +
−=
−−
= −a aa
aa
a2 2
8 164
44
4;
www.5balls.ru
е) ( )x y
x yxy
y xx y xy
x y
2 2 2 293
63
9 63
+−
+−
=+ + −
−=
= + −−
= − +−
=x y xyx y
x xy yx y
2 2 2 29 63
6 93
( )=
−−
= −x yx y
x y33
32
.
№60.
а) 10 3 10 3pp q
pq p
pp q
pp q−
+−
=−
−−
=
= −−
=−
10 3 7p pp q
pp q
;
б) 5 5 5 5aa b
bb a
aa b
ba b−
+−
=−
−−
=
( )= −
−=
−−
=5 5 55a b
a ba ba b
;
в) xx x
xx x
−−
−−
= −−
+−
=31
21
31
21
= − +−
= −−
=xx
xx
3 21
11
1;
г) aa b
a bb a
aa b
a ba b2
32 2
32−
+ −−
=−
− −−
=
= − +−
= −−
= − −−
= −a a ba b
b aa b
a ba b
32
22
22
1;
д) aa a
aa a2 2 2 29
39 9
39−
+−
=−
−−
=
( )( )= −− +
=+
aa a a
33 3
13
;
е) yy y
yy y
2 2
11
1 11
1−+
−=
−−
−=
( )( )= −
−=
− +−
= +yy
y yy
y2 1
11 1
11.
№61.
а) 3 52 1
7 31 2
3 52 1
7 32 1
xx
xx
xx
xx
+−
+ +−
= +−
− +−
=
www.5balls.ru
( )= + − −
−= − +
−=
− −−
= −3 5 7 32 1
4 22 1
2 2 12 1
2x xx
xx
xx
;
не зависит от x;
б) 5 15 20
1720 5
5 15 20
175 20
xx
xx
xx
xx
+−
+ +−
= +−
− +−
=
( )( )( )= + − −
−= −
−=
−−
=5 1 175 20
4 165 4
4 45 4
45
x xx
xx
xx
;
не зависит от x.№62.
а) ( ) ( ) ( ) ( )
x
x x
x
x x
2
2 2
2
2 25
25
5 5
25
5−−
−=
−−
−=
( )( )( )( )( )= −
−=
− +− −
= +−
x
x
x xx x
xx
2
225
5
5 55 5
55
;
б) ( ) ( ) ( ) ( )x
x
x
x
x
x
x
x
2
3 3
2
3 325
5
10
5
25
5
10
5
+
−+
−= +
−−
−=
( )( )( )
= − +
−=
−
−=
−x x
x
x
x x
2
3
2
310 25
5
5
5
15
.
№63.
а) ( )x
x
x
xx x
x
2
2 2
2
216
8 2
168 16
16−−
−
−= − +
−=
( )( )( )=
−− +
= −+
xx x
xx
44 4
44
2
;
б) ( ) ( ) ( ) ( )64 2
8
2
8
64 2
8
2
82
2
2 2
2
2−
−+ −
−= −
−+ −
−=ab
a
ab a
a
ab
a
ab a
a
( ) ( )= − + −
−= −
−=64 2 2
8
64
8
2
2
2
2ab ab a
a
a
a
( )( )( )( )a a
a aaa
− +− −
= +−
8 88 8
88
.
№64.а) подставим c x= :a b
xax
bx
+ = + ;
www.5balls.ru
б) подставим c x= :2 22 2a a
yay
ay
+ = + ;
в) подставим c x= :
x yxy
xxy
yxy
xy
yx
2 2 2 262 2
62 2
3+ = + = + ;
г) подставим c x= :
126
126 6
26
2 2a yay
aay
yay y
ya
+ = + = + .
№65.
а) x yx
xx
yx x
yx
2 2
4
2
4
2
4 4
2
41+ = + = + ;
б) 2 2x yb
xb
yb
− = − ;
в) aa
aa a
aa
2 212 2
12 2
12
+ = + = + ;
г) a aba
aa
aba a
ba
2
3
2
3 3 23 3 1 3− = − = − ;
УПРАЖНЕНИЯ ДЛЯ ПОВТОРЕНИЯ
№66.
а) подставим a = 2:
www.5balls.ru
32 1
3 22 2 1
123
42 2a
a −= ⋅
⋅ −= = ;
Ответ: 4;
б) подставим a = − 13
:
32 1
3 13
2 13
1
3 19
23
1
2
2
aa −
=⋅ −
⋅ −
−=
⋅
− −=
= −
= − ⋅⋅
= −13
53
1 33 5
15
: ;
Ответ: − 15
.
№67.
а) ( )3 5 4 8 4 9x x x− − = + ;
15 12 8 4 9x x x− − = + ;
3 21x = ;
x = 7;
Ответ: x = 7;
б) ( )19 8 3 66 3x x x− − = − ;
19 8 24 66 3x x x− + = − ;
11 3 66 24x x+ = − ;
www.5balls.ru
14 42x = ;
x = 3;
Ответ: x = 3;
в) ( ) ( )0 2 0 7 5 0 02 14 16, , , , , ;x x− + = −
014 1 0 02 14 2 24, , , , ;x x− + = −
014 0 98 14 2 24, , , , ;x x− = −
126 126, , ;= x
x = 1;
Ответ: x = 1;
г) ( ) ( )2 7 01 3 2 0 6 13 16 02, , , , , , ;x x+ + − =
0 27 8 64 0 78 0 6 16 02, , , , , ;x x+ + − =
− = − −0 33 16 02 8 64 0 78, , , , ;x
− =0 33 6 6, , ;x
( )x = −6 6 0 33, : , ;
x = − ⋅ = = −6610
10033
66033
20;
Ответ: x = −20.№68.а) ( );yxxyxx 28168 332 −=−
б) ( );xyyyxy 2351015 3225 +=+
в) ( )=−=− 2222 2542508 yaya( )( );yaya 52522 +−=
www.5balls.ru
г) ( )=−=− 2222 49929818 abab( )( );abab 73732 +−=
д) ( )( );xxxx 2555125 23 ++−=−
е) ( )( );yyyy 4228 23 +−+=+ж) ( ) ( ) =+++=+++ 8987298 bbabaab
( )( );ab 98 ++=з) ( ) ( ) =−+−=+−− 2262126 mnmmnnm
( )( ).nm +−= 62№69.Достаточно выяснить, когда знаменатель дроби отличен от нуля.
а) ;,a;a;a;a 5122252520252 −≠−≠−≠≠+
б) −y любое число, так как 09 2 >+ y при всех ;yв) ( ) ;x;x);x;x);xx 12012200310123 −≠≠+≠≠≠+Итак: ;x;x 120 −≠≠г) ( )( ) ;a;a);a;a);aa 40421011041 ≠≠−−≠≠+≠−+
Итак: a a≠ − ≠1 4; .
4. Сложение и вычитание дробей с разными знаменателями
№70.
а) x y x y2 3
3 26
+ = + ;
б) c d c d4 12
312
− = − ;
в) pq
qp
p qqp
+ = +2 2;
г) ab
ba
a bab
− = −2 2 3;
www.5balls.ru
д) 32
23
9 46
56x x x x
− = − = ;
е) ac
ac
a ac
ac5
34
4 1520
1920
+ = + = ;
ж) 58 4
5 28
78
xy
xy
x xy
xy
+ = + = ;
з) 1724
2536
51 5072 72
yc
yc
y yc
yc
− = − = ;
и) 518
745
25 1490
1190
ab
ab
a ab
ab
− = − = .
№71.
а) 5 36
24
yy
yy
− + + =
( ) ( )=
− + += =
2 5 3 3 212
1312
1312
y yy
yy
;
б) 3 535
321
xx
xx
+ + − =
( ) ( )=
+ + −= =
3 3 5 5 3105
14105
215
x xx
xx
;
в) bb
cc
+ − − =215
3 545
( ) ( )=
+ − −= +3 2 3 5
456 545
c b b cbc
c bbc
;
г) 840
630
b yb
y by
+ − + =
www.5balls.ru
= + − − = −24 3 24 4120
3 4120
2 2 2 2by y by by
y by
;
№72.
а) 34
59
27 2036
736
x x x x x− = − = ;
б) 65
34
24 1520
920
a a a a a− = − = ;
в) 712
215
35 860
2760
920
ab
ab
a ab
ab
ab
− = − = = ;
г) 910
712
54 3560
1960
p p p p p− = − = ;
д) 1512
49
a ba
a ba
− − − =
= − − + = +45 3 4 1636
41 1336
a b a ba
a ba
;
е) 7 48
3 16
xy
xy
+ − − =
= + − + = +21 12 12 424
9 1624
x xy
xy
.
№73.
а) ba a
b aa2 2
1− = − ;
б) 1 1 1 13 2 3 3
− + = − + =xx x
x xx x
;
www.5balls.ru
в) 12
4 27
3
10aa
a+ − =
= + − = −a aa
aa
3 3
10
3
108 4
28 3
2;
г) a ba
a bab
+ + − =2
= + + − = +ab b a aba b
a ba b
2 2
2
2 2
2 ;
д) 2 3 4 52 2
a ba b
a bab
− + − =
= − + − = − −2 3 4 5 4 3 32 2
2 2
2 2
2 2ab b a ab
a ba ab b
a b;
е) x yxy
y xx y
− − − =2 22 2
= − − + = − −x xy y xyx y
x y xyx y
2 2
2 2
2 2
2 22 2 2 .
№74.
а) 2 14
363 2
xyx
y xx
− − − =
= − − + = −6 3 6 212
2 312
2
3
2
3xy xy x
xx
x;
б) ( )1
32 16
2 1 2 1
6
2 3
2
2 3
2− + − =
− + −=b
abbab
b b b
ab
www.5balls.ru
= − + − = −2 2 2 16
2 16
3 3
2 2b b b
abbab
;
в) 13
25
5 6153 5
2
5a aa
a− = − ;
г) bx
bx
xb bx
2
5 6
2
66 32
6− = − .
№75.
а) 1 1 1ab ac bc
cabc
babc
aabc
a b cabc
+ + = + + = + + ;
б) ab ba
ab ab
a bab
− − − − − =2 2
( ) ( )=
− − − − +=
b ab b a ab a a bab
2 2
= − − + − + =ab b a b a a bab
2 2 2 2 2 2
= − = −ab a bab
b a2 2
;
в) b aab
c bbc
c aac
− + − − − =
= − + − − + =cb ac ac ab bc ababc
0;
г) 3 2 2 22ab bab
a ba
a bb
+ − + + − =
www.5balls.ru
( ) ( )= + −
++
−=3 2 22ab b
abb a b
aba a b
ab
= + − − + − = =3 2 2 22 2 2 2ab b ab b a abab
aab
ab
.
№76.
а) x yxy
x zxz
zx zy yx yzxyz
− − − = − − + =
= − = −zx yxxyz
z yyz
;
б) a bb
b aa
a ab b abab
a bab
− − − = − − + = −23
23
2 23 3
2 2 2 2;
в) p qp q
p qp q
− − + =3 2 2 3
= − − − = − +qp q p pqp q
q pp q
2 2
3 3
2 2
3 3 ;
г) ( ) ( )3
322
2 3 3 2
62 2 2 2m nm n
n mmn
m m n m n m
m n− − − =
− − −=
= − − + = −6 2 6 36
3 26
2 2
2 2
2 2
2 2mn n mn m
m nm n
m n;
д) 3 29
2 562 2
b cb c
c bbc
+ − − =
= + − + = +6 4 1518
4 1518
2 2
2 2
2 2
2 2bc c bc b
b cc b
b c;
www.5balls.ru
е) 2 72
5 852 2
x yx y
y xxy
− − − =
= − − + = −10 35 10 1610
16 3510
2 2
2 2
2 2
2 2xy y xy x
x yx y
x y;
№77.
а) xy
xy
xyy
+ = + = +11
1 1 ;
б) 1 11
1 2
aa
aa a
a− = − = − ;
в) 34
31 4
124
114
a a a a a a a− = − = − = ;
г) 5 2 51
2 5 22b
bb
bb
b− = − = − ;
д) a ba
a a ba
a2 2
1+ − = + − =
= + − =a b aa
ba
2 2;
е) 2 4 12
21
4 12
2 2p p
pp p
p− + = − + =
( )=
− += − − = −
4 4 1
24 4 1
21
2
2 2 2 2p p
pp p
p p;
ж) ( ) ( )a ba
ba b
ab−
+ =−
=2 2
2 2 1
www.5balls.ru
= − + + = +a ab b aba
a ba
2 2 2 22 22 2
;
з) ( ) ( )
cb c
bc b c
b−
+= −
+=
2 2
2 1 2
( )=
− + +=
2 2
2
2 2bc b bc c
b
= − − − =22
2 2bc b bc cb
= − − = − +b cb
b cb
2 2 2 2
2 2.
№78.
а) 52
51 2
102
− = − = −c c c ;
б) 5 15 13
15 15 13
13
22 2 2
y y y y− − = − + = ;
в) a b a a b a+ − − = + − − =33 1 1
33
( )=
+ − −= + − + =
3 3 33
3 3 33
a b a a b a
= + +2 3 33
a b ;
г) 2 1 5 2 1 52 2 2bb
b b b bb
− − + = − − + =
www.5balls.ru
= + −b bb
2 5 1 .
№79.
а) 15 4
11 5 4
20 4 520
− − = − − = − −a b a b a b ;
б) 12 1 1 121
1 1 12− − = − − = − −a b a b
ab b aab
;
в) a a a a− − − − = − − − − =22
1 33
22
11
33
= − − − + = −3 6 6 2 66
66
a a a ;
г) 4 14
23
41
14
23
a a a a a a− − − + = − − − + =
= − + − − = −48 3 3 4 812
41 512
a a a a ;
д) a b a b a b a b b a+ − + = + − + = −4 4 1 1
5 34
;
е) a b a ba
a b a ba
+ − + = + − + =2 2 2 2
1 1
( )=
+ − += −a ab a b
aab b
a
2 2 2 2.
№80.
а) x x y x y x x y x y− − + + = − − + + =2 4 1 2 4
www.5balls.ru
= − + + + = +4 2 24
3 34
x x y x y x y ;
б) 3 2 5 3 21
5x x x x
− − = − − =
= − − = − +3 2 5 2 2xx
xx
;
в) 3 24
412
31
24
412
− − + + = − − + + =x y x y x y x y
= − + + + = − +36 6 3 412
36 5 712
x y x y x y ;
г) 6 45
73
2 6 45
73
21
a b b a a b b a− − + − = − − + − =
= − − − − = − + +18 12 5 35 3015
17 17 3015
a b b a a b .
№81.
а) ( )( )
( )b c
bb
b cb c b c b
b b c− +
+=
+ − ++
=2
( ) ( )= − ++
= −+
b c bb b c
b cb b c
2 2 2 2 22 ;
б) ( ) ( )( )
( )xx
xx
x x x xx x
+−
− + =+ − − +
−=1
23 1 2 3
2
( ) ( )= + − − +−
=−
x x x xx x x x
2 2 62
62
;
www.5balls.ru
в) ( ) ( )
( )( )m
m nn
m nm n m n m n
m n m n−−
+=
+ − −− +
=
( )( )= + − +− +
= +−
m mn mn nm n m n
m nm n
2 2 2 2
2 2 ;
г) ( ) ( )( )( )
22 1
12 1
2 2 1 2 12 1 2 1
aa a
a a aa a−
−+
=+ − −− +
=
( )( )= + − +− +
= +−
4 2 2 12 1 2 1
4 14 1
2 2
2a a a
a aaa
;
д) ( ) ( )( )( )
aa
aa
a a a aa a+
−−
=− − +
+ −=
2 22 2
2 2
= − − −−
=−
a a a aa
aa
2 2
2 22 2
44
4;
е) ( ) ( )( )( )
pp
pp
p p p pp p3 1 3 1
3 1 3 13 1 3 1−
−+
=+ − −
− +=
= + − +−
=−
3 39 1
29 1
2 2
2 2p p p p
pp
p.
№82.
а) ( ) ( ) ( )3
52
39 1015
xx y
yx y
x yx y+
−+
= −+
;
б) ( ) ( ) ( )aa b
ba b
a ba b
2 2 2 2
5 44 520−
−−
= −−
;
в) 3 2ax ay by bx−
+−
=
www.5balls.ru
( ) ( ) ( )=−
−−
= −−
3 2 3 2a x y b x y
b aab x y
;
г) 13 12cbm bn
bcn cm−
−−
=
( ) ( ) ( )=−
+−
= +−
13 12 13 122 2cb m n
bc m n
c bbc m n
;
д) ( ) ( )a
xa
xa
xa
x2 4 3 6 2 2 3 2+−
+=
+−
+=
( ) ( )= −+
=+
3 26 2 6 2a ax
ax
;
е) pa a7 14
12−
+−
=
( ) ( )=−
−−
= −−
pa a
pa7 2
12
77 2
.
№83.
а) ( ) ( )( )( )
px
px
p x p xx x2 1 3 2
3 2 2 13 2 2 1+
−−
=− − +
− +=
( )( )( )
( )( )= − − −− +
=−
− +3 2 2
3 2 2 13
3 2 2 1xp p xp p
x xp x
x x;
б) ( ) ( )( )( )
62
2 6 2 22
ax y
ax y
a x y a x yx y x y−
++
=+ + −
+ −=
( )( )( )
( )( )= ++ −
=+
+ −8 2
22 4
2ax ay
x y x ya x y
x y x y;
www.5balls.ru
в) ( ) ( )a
xa
xa
xa
x5 10 6 12 5 2 6 2−+
−=
−+
−=
( ) ( )= +−
=−
6 530 2
1130 2
a ax
ax
;
г) ( ) ( )5
12 36 48 165
12 3 16 3b
ab
ab
ab
a−−
−=
−+
−=
( ) ( )= +−
=−
20 348 3
2348 3
b ba
ba
.
№84.
а) ( ) ( )5 32 2
7 43 3
5 32 1
7 43 1
yy
yy
yy
yy
++
− ++
= ++
− ++
=
( ) ( )= + − −+
= ++
=15 9 14 86 1
16 1
16
y yy
yy
,
не зависит от y;
б) ( ) ( )11 133 3
15 174 4
11 133 1
15 174 1
yy
yy
yy
yy
+−
+ +−
= +−
− +−
=
( ) ( )= + − −−
= − +−
=44 52 45 5112 1
112 1
y yy
yy
( )= − −−
= −yy
112 1
112
,
не зависит от y;
№85.
www.5balls.ru
а) ( )a
ax xx
x aa
x a xx
a x
2
2
2
−+
−=
−−
−=
( )( )( )
( )= −−
=− +
−= +a x
x a xa x a x
x a xa x
x
2 2;
б) ( )b by
y byy
b yb byy y b
yy b
2
2
242
42
42
42
−−
−−
= −−
+−
=
( )( )
( )= − +−
=−
−= −b by y
y y bb yy y b
y by
2 2 24 42
22
2 ;
в) ( ) ( )b
a aba
ab bb
a a ba
b a b24
2 24
22 2−−
−=
−−
−=
( )( )( )
( )= −−
=− +
−= − +b a
ab a bb a b a
ab a bb a
ab
2 242
2 22
2 ;
г) ( ) ( )4
3 29
3 24
3 29
3 22 2y
x xyx
xy xy
x x yx
x y x+−
+=
+−
+=
( ) ( )( )( ) ( )( )=
+ − ++ +
= − −+ +
4 3 2 3 23 2 3 2
12 10 273 2 3 2
2 2y y x x x yx x y y x
y xy xx x y y x
;
№86.
а) ( ) ( )xx
xx x
xx
xx x
−−
+ +−
= −−
+ +−
=255 25
3 55
255 5
3 552
( ) ( )( ) ( )=
− + +−
= − +−
=x x x
x xx x
x x25 5 3 55 5
10 255 5
2
( )( )=−
−= −x
x xx
x5
5 55
5
2
;
www.5balls.ru
б) ( ) ( )126 36
66
126 6
662
−−
−−
= −−
−−
=yy y y
yy y y
( )( )
( )= − −−
= −−
−=12 36
6 66
6 6
2 2y yy y
yy y
= − − = −yy
yy
66
66
;
в) ( ) ( )1 1 1 1
2 2a ab ab b a a b b a b++
+=
++
+=
( )= ++
=b aab a b ab
1 ;
г) ( ) ( )1 1 1 1
2 2b ab ab a b b a a b a−−
−=
−−
−=
( ) ( ) ( )=−
−−
= −−
=aab b a
bab b a
a bab b a ab
1 .
№87.
а) ( )
1 11
− +−
= − +−
=− − +
−=a b
a ba ba b
a b a ba b
= − − −−
=−
a b a ba b
bb a
2 ;
б) ( )a b
a ba a b
a ba a b a a b
a b
2 2 2 2 2 2
1+−
− = +−
− =+ − −
−=
( )= +
−=
+−
b aba b
b b aa b
2;
www.5balls.ru
в) m n nm n
m n nm n
− ++
= − ++
=2 2
1 1
( ) ( )=
+ − + ++
=+
m m n n m n nm n
mm n
2 2;
г) ( ) ( )
a b a ba b
a b a b
a bab
a b+ − +
+=
+ − +
+=
+
2 22 2 2
2 ;
д) xx
xx
−−
− = −−
− =93
31
93
31
= − − − +−
= −−
x x xx
x xx
2 23 9 3 93
63
;
е) a aa
a aa
24
2
2 4
211
11
11
11
− +−
+ = − +−
+ =
( )=
−
−− +
−+ −
−=
a a
aaa
aa
2 2
2
4
2
2
2
1
111
11
= − − − + −−
= −−
=−
a a a aa a a
4 2 4 2
2 2 21 1
12
12
1.
№88.
а) ( )( )a a
ab b aa
ba a
a ba
b
2 235 8 40 8
35 8 8
+− + −
−+
= +− +
−+
=
( )( )( ) ( )( ) ( )( )=+ − −
− += + − +
− +=
− +a a a a
a ba a a a
a ba
a b
2 2 23 55 8
3 55 8
85 8
;
б) ( )( )y
xy
xy x yy
xy
y x3 23
6 9 4 6 3 23
2 3 3 2−−
+ − −=
−−
+ −=
www.5balls.ru
( )( )( ) ( )( ) ( )( )=
+ −+ −
= + −+ −
=+ −
y y yy x
y y yy x
yy x
2 3 32 3 3 2
2 3 32 3 3 2
22 3 3 2
2 2.
№89.
а) ( )( )x
ax x ax
ax
a xx
a
2 2
3 2 6 3 1 3 1 2 3 1− − +−
−=
− +−
−=
( )( )( ) ( )( ) ( )( )=
− +− +
= − −− +
= −− +
=x x x
a xx xa x
xa x
2 2 223 1 2
23 1 2
23 1 2
( )( )=− +
21 3 2
xa x
;
б) ( ) ( )3
2 33
4 3 2 63
2 33
2 2 3 2 3
2 2xy
x xxy y x
xy
x xx y y+
+ +− − +
=+
+ ++ − +
=
( )( )( )( )( )=
++ +
+ −=
− + ++ −
=32 3
32 3 2 1
3 2 1 32 3 2 1
2 2xy
x xy x
x x x xy x
( )( )=+ −
72 3 2 1
2xy x
.
№90.
а) ( )( ) ( )( )
( )( )x xy
x y x yy
x yx xy y x y
x y x y
2 23 3−+ −
+−
=− + +
+ −=
( )( )( )
( )( )( )( )= − +
+ −=
−+ −
=−+
x xy yx y x y
x yx y x y
x yx y
2 2 22 ;
б) ( )c
b cb bcb c
c b c b bc
b c−+ −
−=
+ + −
−=
2
2 2
2
2 23 3
www.5balls.ru
( )( )( ) ( )( )=+ + −
− += + + −
− +=
c b c b bcb c b c
bc c b bcb c b c
2 2 23 3
( )( )( )
( )( )= − +− +
=−
− += −
+b bc c
b c b cb c
b c b cb cb c
2 2 22 ;
в) ( )( ) ( )
( )( )a ya y
y aya y
a y a y y ay
a y a y−+
− −−
=− − − −
− +=2 5 2 52
2 2
2
( )( ) ( )( )= − − + − +− +
= + +− +
=a ay ay y y aya y a y
y ay aa y a y
2 2 2 2 22 2 5 2
( )( )( )=
+− +
= +−
a ya y a y
a ya y
2
;
( )( ) ( )a
a a aa
a a a a+−
−+
= +− +
−+
=31
1 31 1
112 2
( ) ( )( )( ) ( )( )=
+ − −− +
= + +− +
=a a a
a a aa a
a a a3 11 1
2 11 1
2
( )( )( ) ( )=
+− +
= +−
aa a
aa a
11 1
11
2
.
www.5balls.ru
№ 91.
а) ( )( ) ( ) =−
++−
−=−
+−−
bbbbb
bbbb
22
226
22
46
22
( ) ( )( )( ) ( )( )( )
( )( ) ( );2
222
2
22246
22226
2
2
bbb
bbbb
bbbbbb
bbbbbb
+−=
+−−=
=+−++−=
+−++−=
б) ( ) ( )( ) =+−
−−−
=−−−
− ababab
abab
abab
aabb
552515
5252515
5 222
( )( )( )
( )( )( ) ( )( )
( )( )( )
( )( ) ( );5
555
555
2510
5525155
552515
555
222
22
abaab
ababaab
ababaaabb
ababaaababb
ababaaba
ababaabb
+−=
+−−=
+−+−=
=+−
+−+=+−
−−+−
+=
в) ( )( ) ( ) =−
−+−
−=−
−−−
xaxa
axaxax
xaxa
axax
44
4412
44
1612
222
( ) ( )( )( ) ( )( ) ( )( )( )
( )( ) ( );4
444
4
44168
4416412
444412
2
2222
axxax
axaxxax
axaxxaaxx
axaxxaaxaxx
axaxxaxaaxx
+−=
+−−=
=+−
+−=+−
++−=+−
++−=
г) ( )( ) ( ) =−
−+−
−=−
−−−
ayay
yayaya
aayy
yaya
1010
101030
1010
10030
222
( ) ( )( )( ) ( )( )( )
( )( ) ( ).10
101010
10
10101001030
1010101030
2
22
yaaya
yayaaya
yayaayayaya
yayaayayyaa
+−=
+−−=
=+−
++−=+−
++−=
№ 92.
www.5balls.ru
а) ( ) ( )( ) ( )( ) =+−
−+++=+−
−−
+=−
−−+
22824
2224
424 22
22 aaaaaaa
aaa
aaa
aa
aaa
( )( )( )
( )( );22
43222
86+−
+=+−
+=aaa
aaaa
a
б) =+−
+−−−=++−
+−−=
++−
−−
)4)(4()1)(4(4
41
)4)(4(4
41
164 22
2
2
xxxxx
xx
xxx
xx
xx
;16
3)4)(4(
3)4)(4(
4442
22
−=
+−−=
+−++−−−=
xx
xxx
xxxxxx
в) =+−
+++
=+−
+++
=−
+++ )21)(21(
721
3)21)(21(
712
341
712
32 bb
bbbb
bbb
bb
;41
)2(5)21)(21(
510)21)(21(7)21(3
2bb
bbb
bbbb
−−=
+−−=
+−++−=
г) =+−
++−
=−
++− )45)(45(
301654
51625
301654
52 aa
baba
ba
baba
b
=+−
−−+=+−
+−−
=)a)(a(
babbab)a)(a(
baba
b5454
301625205454
301654
5
;ab
)a)(a()a(b
54545454
+=
+−−=
д) =−++=−
−++
+=−−++
aba
aba
baaba
baaba
ababa
ababa
)()(
)()()()( 22
2
2
2
2
;211 =−++=ab
ab
е) =+
++−−−=
+++−
−−
)2(544
)2(54
10544
1054 2222
xxx
xx
xxx
xx
05
25
2)2(5
)2()2(5
)2)(2( 2=+−+=
++−
−+−= xx
xx
xxx .
№ 93.
а) =+−
+−++=+−
−−−
+=−
+−−+
)1)(1()2))1)(1(
)1)(1(2
)1(1
121
22 xxxxxxx
xxx
xxx
xx
xxx
;)1(
1)1)(1(
2122
22
−=
+−−−++=
xxxxxxxxx
www.5balls.ru
подставим x = -1,5: ( )[ ] =
−=
−−−=
− 25.1)5,1(1
15,1)5,1(1
)1(1
22xx
.158
4253
1
411
211
1 −=
⋅⋅−=
⋅−=
Ответ: .158−
б) =+−
+−+
+=−
−−++
)3)(3(1
)3(2
91
32
22 xxx
xxx
xx
xxx
=+−
−−−−+=+−
+−+−=)3)(3(
632)3)(3(
)1()2)(3( 22
xxxxxxxx
xxxxxxx
подставим x = -1,5: ( )[ ] =⋅
−=⋅−
=−−−
=−
29
23
25,45,1
25,135,1
2)3(
2xx
.278−=
Ответ: .278−
№ 94.
а) ;1))((
13322
22
33
22
baab
bababababa
bababa
+=
+−
+−++=
+−
++
б) =++−
−−
=−
−− ))((
31312233 qpqpqp
pqqpqp
pqqp
;))((
)())((
22222
2
22
22
qpqpqp
qpqpqpqp
qpqpqpqpqp
++−=
++−−=
++−+−=
в) ( )( )( )( )( )( ) =
+−++−+=
+−++
+−−=
++
+−−
1111
1111
111
2
2
2
2
23
2
2 aaaaaa
aaaa
aaa
aa
aaa
;1
13 +
=a
г) =+−
−+−+
+=+−
−++
1643
)164)(4(486
1643
64486
2
2
2
3
2
2
3
3
aaa
aaaaa
aaa
aaa
www.5balls.ru
=+−+
+−=+−+−−+=
+−++−+=
)164)(4()164(3
)164)(4(123486
)164)(4()4(3486
2
2
2
233
2
23
aaaaaa
aaaaaaa
aaaaaaa
.4
3+
=a
a
№ 95.
а) =+−
−=−+
++−−=+
+−
−+ )2)(2(
2)2)(2(
12)2(3)2(44
122
32
42 yy
yyyyy
yyy
;2
1+
=y
б) =+−
−+
−−
=−
−+
−− )6)(6(6
36366
36
2
2
2
aaa
aaa
aa
aaa
;6
3)6)(6(
318)6)(6(
1836)6)(6()6(3)6( 222
−=
+−+=
+−−+−+=
+−−−−+=
aaaa
aaaaaa
aaaaaa
в) =−
−+−=−
+−−
=−+−
− 2
2
2
2
2
2
)(2))((2
)(2)(22)( yxyxyxx
yxyx
yxx
yxyx
yxx
;)(2)(2
22
22
2
222
yxyx
yxyxx
−+=
−+−=
г) .)()()(
))(()( 2
2
2
222
2
2
22 abba
abbabb
abbababb
abbba
bab
−=
−+−=
−+−−=
−+−
−
№ 96.
а) −+−
−−
+=+−−
−−
−+
)2)(2(16
)2(2
22
416
22
2222 babaa
baaba
ababa
baa
ababa
=−+
−⋅=−+
−−−+=+
−−)2)(2(
1642)2)(2(
)2(16)2()2(
2 2222
babaaaab
babaabaaba
baaba
;2
8)2)(2(
)2(8)2)(2(
168 2
bababaabaa
babaaaab
+−=
+−−−=
+−−=
б) =+
++−
−−
=+
+−
−− 22222 )3(
1)3)(3(
2)3(
1)3(
19
2)3(
1aaaaaaa
=+−
+−+=+−
+−++−−++= 22
22
22
22
)3()3(182182
)3()3(96)3)(3(296
aaaa
aaaaaaaa
www.5balls.ru
;)3()3(
3622 +−
=aa
в) +++−
−++
−=−
+−
−++
−)42)(2(
142
22
18
642
22232 xxxxx
xxx
xxx
x
=++−
+−=++−
+++−−−=−
+)42)(2(
882)42)(2(
426)2)(2(2
12
2
2
2
xxxxx
xxxxxxxx
x
;42
)2(2)42)(2(
)2(222
2
++−=
++−−=
xxx
xxxx
г) =−
−++
−−−
++1
31
211
37223
2
aaaa
aaa
=++−
++−−−−++=)1)(1(
)1(3)21)(1(3722
22
aaaaaaaaa
=++−
++=++−
−−−−++−++=)aa)(a(
aa)aa)(a(
aaaaaaa11
111
3332123722
2
2
222
.1
1−
=a
№ 97.
а) =+−
++
−−
=−
−+
−− )4)(4(
24
14
116
24
14
122 baba
ababaab
ababa
;4
2)4)(4(
28)4)(4(244
bababaab
babaababa
−=
+−+=
+−++−+=
б) =−
++
+−
=−
++
+− )()(2
1)(2
122
122
122
2
32
2
baba
ababbbaa
abab
=+−
−=+−
−−++=+−
−−++=))((2
)(2))((22
))((22)()( 222222
ababbab
ababbaabbabb
ababbaabbabb
;1))((2
))((2bababb
abab =+−
+−=
в) =−
+++−
=−
+− bxxbxbxb
bxxb
bxbx 2
1)42)(2(
68
62
12233
=++−
+−=++−
−++=)42)(2(
44)42)(2(
64222
22
22
22
xbxbbxxbxb
xbxbbxbxxbxb
www.5balls.ru
;42
2)42)(2(
)2(2222
2
xbxbbx
xbxbbxbx
++−=
++−−=
г) =+
−+−+
+=+
−++
22
)42)(2(162
22
8162
2
2
3
2
yyyyy
yyy
.42
4)42)(2(
84)42)(2(
)42(2162222
22
+−=
+−++=
+−++−−+=
yyyyyy
yyyyyy
№ 98.
а) ;)3(
33)3(
333
3 322
2 −+=
−+
−=
−+
− aaa
aa
aaaa
aa
=−
+++−=−+++=
−+++
)3(39)3)(3(
)3(39
13
3393 2 aa
aaaaaaaa
aaaa
;)3(
3)3(
399 33
−+=
−++−=
aaa
aaaaa т.е. выражения тождественно равны.
б) =−
+−−=−
−−+−=+
−−
−− 4
444
)2(2)2(2
224 2
23
2
3
2
3
aaaa
aaaaa
aaa
aa
.14
)4)(1(2
2−=
−−−= a
aaa т.е. выражения тождественно равны.
№ 99.
а) =++−+−−
++=+
−+−−
++ x
xxxx
xxxx
xxx
xxx 2
)2)(2(16143
232
416143
23 23
2
23
=−+
−++−−−+=)2)(2(
)4(2)16143()2)(3( 223
xxxxxxxxx
=−−=
−+−+−+−−+−=
416
)2)(2(8216143632
2
432234
xx
xxxxxxxxxx
042 f+= x при всех значениях х;
б) =−+−
+−+++=
−+−
−+++
12
)1)(1(132
112
1132 323
2
2
yyy
yyyyy
yyy
yyyy
=+−
++−++++−=)1)(1(
)2)(1(132)1)(1( 32
yyyyyyyyyy
www.5balls.ru
=+−
−=+−
−−−−+++−=)1)(1(
1)1)(1(
22132 432423
yyy
yyyyyyyyyy
0)1(1
)1)(1( 22
22py
yyy +−=
−+−−= при всех значениях у.
№ 100.
Исходя из условия задачи получаем, что скорость катера по тече-нию реки (v + 5) км/ч, против течения – (v - 5) км/ч; получаем что
+ 5vs ч – время в пути от А до В;
− 5vs ч – время в пути от В до
А; тогда
−+
+ 55 vs
vs ч – общее время в пути от А до В и обрат-
но. Получаем выражение:
.25
2)5)(5(55
)5)(5()5()5(
55 2 −=
+−++−=
−+++−=
−+
+ vsv
vvssvssv
vvvsvs
vs
vs
Подставим s=50, v=25:
а) 614
625
6002500
256252500
252525502
252
22 ===−
=−⋅⋅=
−=
vsvt (ч)=4 ч 10 мин;
Ответ: 4 ч 10 мин;Подставим s=105, v=40:
б) 315
15758400
2516008400
2540401052
2522
2 ==−
=−
⋅⋅=−
=v
svt (ч)=5 ч 20 мин;
Ответ: 5 ч 20 мин.
№ 101.
;vts = .vst = Для удобства представим данные задачи в виде таб-
лицы:
Путь, км Скорость,км/ч
Время, ч
По шоссе s vvs
По проселочнойдороге 2s v-2
22−vs
www.5balls.ru
;)v(v)v(s
)v(vssv
)v(vsvssv
)v(vsv)v(s
vs
vstобщ 2
23223
222
222
22
−−−=
−−=
−+−=
−+−=
−+=
если s = 10, v = 6, то( )
326
320
3210
461610
)26(6)263(10
)2(23 ==⋅=
⋅⋅=
−−⋅=
−−
vvvs (ч)=6 ч 40 мин.
УПРАЖНЕНИЯ ДЛЯ ПОВТОРЕНИЯ
№ 102.
;234)12)(1(
234)1()1(2
234)1()22(
23412
222
2
2
2
+−−+=
+−+−+=
+−+−+=
+−−+
xxxx
xxxxx
xxxxx
xxxx
а) при 21=x числитель, а значит и вся дробь обращается в ноль;
б) при 1−=x числитель, а значит и вся дробь обращается в ноль.Ответ: а) 0; б) 0.
№ 103.
I. ;3
52 −= xy
1) при х = -2; ( ) ;339
354
3522 −=−=−−=−−⋅=y
2) при х = 0; ;321
35
3502 −=−=−⋅=y
3) при х = 16; ;93
273
5323
5162 ==−=−⋅=y
II. 1) подставим у = 3; ;3
523 −= x ;5233 −=⋅ x ;7;142 == xx
2) подставим у = 0; ;5,2;25;052;
3520 ===−−= xxxx
3) подставим у = -9; .11;222;2752;3
529 −=−=−=−−=− xxxx
№ 104.
www.5balls.ru
На рисунке – график функции 421 −= xy .
а) При x = 6, y = -1; при x = -6, y = -7;б) при y = -2, x = 4; при y = 0, x = 8.
№ 105.
На рисунке – график данных функций.
Пусть А – их точка пересечения.1) Из рисунка видно, что ( )7170 ,;,А −≈ .2) Найдем координаты точки А из уравнения:
-4х+1=2х-3; 2х-3+4х-1=0; 6х-4=0; 6х=4; 32
64 ==x ;
.y3213
343
322 −=−=−⋅=
y
x0 8
-4
x0 2 4
4
2
-2
-4
y = 2x - 3
y = -4x +1
www.5balls.ru
Окончательно: ).;(A321
32 −
№ 106.
Для удобства запишем данные задачи в виде таблицы:
Ямы Заложили, т Взяли, т Осталось, т
I 90 3х 90-3х
II 75 х 75-х
Исходя из того, что в первой яме осталось силоса в 2 раза меньше,чем во второй, запишем уравнение: 2(90-3х)=75-х;75-х+6х-180=0; 5х=105; х=21, 3х=63.Ответ. Из первой ямы взяли 63 т силоса.
№ 107.
Пусть дана формула:
а) ,tsv = тогда .
vst;vts ==
Пусть дана формула:
б) ,vmp = тогда .
pmv =
§ 3. Произведение и частное дробей
5. Умножение дробей. Возведение дроби в степень
№ 108.
а) ;abb
a 910
32
35 =⋅
б) ;y
aya
ya
167
10875
107
85 =
⋅⋅=⋅
в) ;x
xx
x43
4131
43 =⋅=⋅
www.5balls.ru
г) ;,a
aaa
572
1532
593
529 ==
⋅⋅=⋅
д) ;bb
bb
b210
5510
22
==⋅
е) ;cc
ccc 4
32418
2418
4
33
4 ==⋅
ж) ;x,xx
xx
x 33
2
5
2
5
90109
8251512
815
2512 ==
⋅⋅=⋅
з) .aa
aaa 3
494
1639
164
33
22
3 =⋅
⋅=⋅
№ 109.
а) ;xy,
xyxyx
xyx 52
25
34310
310
43
22==
⋅⋅=⋅
б) ;ba
baa
ba
a
ba
a
ba
a,
222
3
22
3
22
3
2
3
2 1010
521245
52
4212
54
252 ==
⋅⋅⋅
=⋅
⋅=⋅
в) ;nm,
nm
mnm
mnm
mnm 51
23
163
162424
16
22
====⋅
г) ;xaaxax
xax
x 22222323 61
231
293
23
91 =
⋅=
⋅=⋅
д) ;bab
babb
a 323
23
37
124878
247 =
⋅⋅=⋅
е) .ba
ba
bab
bab 2233 3
232
2114
21114 ===⋅
№ 110.
а) ;a
xax
xa
xx 5125
12125
12 233
=⋅
=⋅
б) ;mcm
ccm
c15
2415
841
158
2
2
2
2
=⋅
=⋅
в) ;a
ba
baa
ba 226
1211126
115
4
5
4
=⋅
⋅=⋅
г) .mn
mmnm
mn 2
2
2
2
2 623
942
934 =
⋅⋅=⋅
www.5balls.ru
№ 111.
а) ;x,
xxx
xx 517
235
6715
6715 3
2
32 ==⋅=⋅
б) ;yy
yyy 8
2516
225216
252
33
2 =⋅=⋅
в) ;ma
maam
maam
2
3
2
32 8
346
346 =⋅=⋅
г) .ab
aaba
ab 4
510210
52
3
22
3 =⋅=⋅
№ 112.
а) ;yx
xyyx
xy
yx
2
2
34
25
3
2
4
5
73
1649748
167
4948 =
⋅⋅=⋅
б) ;mnmn
nmmn
nm 4
9112218
922
1118
23
43
2
4
3
3
=⋅⋅=⋅
в) ;qp
pqqp
pq
qp
56
2581615
2516
815
36
54
3
5
6
4
−=⋅⋅=⋅−
г) ;xyxyyx
yxyy,x
xy,
yx
154
308
2503258
27255272
2752
2572
5
4
55
44
5
4
5
4
−=−=⋅⋅−=
⋅⋅−=
−⋅
д) ;by
xaxyyb
abaxxy
abyb
ax2
2
2
2
2
2
910
2112835
218
1235 −=
⋅⋅=⋅−
е) .axy
yxbaabyx
yxab
bayx
415
10142125
1021
1425
222
33
222
33
=⋅
⋅=
−⋅−
№ 113.
а) ;xbax
xbaba
xx
ba916
213814
218
314
23
22
2
2
3
2
=⋅
⋅=⋅
б) ;xya
yyxaxa
yax
yxa
2
3
2
2
2
2
103
62559
65
259 =
⋅⋅=⋅
в) ;axyxya
yxaxya
ayx 66
527
910
2
2233
2
22
−=−=⋅−
www.5balls.ru
г) ;abmba
bamm
baba
m15
1635
7267
352
323
23
3
2
23
3
−=⋅
⋅−=
−⋅
д) ;3
1312
413412
132
22
2 nmx
mnnmxnm
mnx =⋅=⋅
е) .3
11311
311 2
22
2
22
2
abx
baabx
baxab ==
−⋅−
№ 114.
а) ;51543
632156
43
32
3
22
22
22
22
22
bxa
babxyaxyxba
bax
abyx
xyba =
⋅⋅⋅⋅=⋅⋅
б) .42355496
42549
356
4
2
3365
24243
6
24
35
4
3
23
pm
ppnmpnnmm
npm
pmn
pnm =
⋅⋅⋅=⋅⋅
№ 115.
а) ;82 3
33
yx
yx =
б) ;8134
44
ca
ca =
в) ;100010 3
632
mn
mn =
г) .4
8129
4
62
2
3
ba
ba =
№ 116.
а) ;1622128
4
128
444
32 qpa
qpa
qpa ==
б) ;938
642
4
32
sba
sba =
www.5balls.ru
в) ;94
32
62
242
3
2
nmba
mnba =
−
г) ;827
23
9
63
3
2
yx
yx −=
−
№ 117.
а) ;4
62
2
3
yx
yx =
б) ;829
63
3
2
ba
ba =
в) ;81
62535
8
124
2
3
ba
ba =
г) ;24332
32
15
105
3
2
yx
yx =
д) ;10244 15
20105
3
42
myx
myx =
е) ;81348
84
2
2
cba
cba =
ж) ;10001036
63
2
2
pnm
pnm −=
−
з) .648 6
462
3
23
acb
acb =
−
№ 118.
а) ;)()( 222yyx
yxyyxx
xy
yxyx −=−=⋅−
www.5balls.ru
б) ;3
)(9
)(39
32
2
2 baba
bbaabbab
ba +=+=+⋅
в) ;2)(
2)(22 mmnmnm
mnnmmmn
mnmn
nm −=−
−=−
⋅−
г) ;)(2)(2)(4
24
dcba
dcabxbaabx
abbxax
dxcxab
++=
++=+⋅
+
д) ;32
)(3)(2
3)(2)(2
3 3
2
222 nm
abnnbamm
nnanbmmbma
nanbm
nmbma −=
−−⋅=
−−=
−⋅−
е) =−
−−=−
−−=
−
−⋅−)(
)()(5
)(555 2222 xyxyb
yxabxbyyx
ayaxxybxby
xyyxayax
.)(
)(bxya
yxbxyyxa =
−−=
№ 119.
а) ;5
24)5)(5(
)5(3825
8)153( 22 babababa
baba
+=
+−−⋅=
−⋅−
б) ;2
)2(2)2(
)2)(2(2)2(
2)4(22
2
+−=
++−=
+⋅−
xxx
xxxx
xxx
в) ;)2(3)2(
)2)(2(3)2(
)4(3)2()44(
123
2
2
22
2 +−=
+−−=
−−=+−⋅
− yyy
yyyy
yyyyy
yy
г) .3
)3(2)3(
)3)(3(2)9(96
22
2222 ba
baabba
babaabbababa
ab−
+=−
+−=−+−
№ 120.
а) ;)()(
22
2
xk
kxxkxxk
kxx
xkkx =
++=
+⋅+
б) ;3)(3
)(33
2
2 yax
yxyyxax
yxyx
xyayax =
++=
+⋅+
в) ;1)1(
)1()(
)(23222
2
22
2
32 axyaxyaaa
aayxaaxy
yxaa
aaxy =
++=
++=+⋅
+
г) .4)1(3)1(62
)(3)22(6
3226
2222 xxxx
xxaxxa
axx
xxa =
−−⋅=
−−⋅=−⋅
−
www.5balls.ru
№ 121.
а) ;)(2
))((2)(2)(22
2
2222
yyx
yxxyyxyxx
yxxyyxx
yxx
xyyx −=
++−=
+−=
+⋅−
б) ;3)3)(3(
)3()9(4)3(4
43
94
2
2
2
2
+−=
+−−=
−−=−⋅
− xax
xxxax
xxaxax
xaxa
xx
в) =+⋅+−=
++−=
+−=
+⋅−
)4(32)4)(4(
)123(10)4)(4(5
)123(10)16(5
1235
1016 22
yxyy
yxyyyy
yxyyy
yy
xyy
;6
4x
y −=
г) .3))((
)(3322 ba
bbabaa
ababba
aba
ab+
−=+−
−=−
⋅−
№ 122.
а) ( )( ) =+−−−=
+−−−=
+−⋅
−−
))(()1)((7
))((771771
2
2
2
2
2
2
aabaaba
aababaa
aaba
baa
;)1(7))(1(
))(1)(1(7a
abaaa
baaa −=−+
−+−=
б) =−+
++=−+
++=−+⋅
++
)4)(3()3)(2(5
)4)(3()155)(2(
4155
32
2222
2
22
2
cbbbcbb
cbbbbcb
cbb
bbcb
;2
5)3)(2)(2(
)3)(2(5cb
bbcbcb
bcbb−
=++−
++=
в) ;6
)2)(3()3(3)2(2
)2)(2()3(934
42)3( 222 ++=
+⋅−+−+=
+−⋅
−+ xx
xxxxx
xx
xx
г) =−⋅+
−−=−+−−=
−−⋅
+−
)5(2)6(2)36()5(
)102)(122()36()5(
10236
122)5( 222222
yyyy
yyyy
yy
yy
( ) ( )( )( ) ( )
( )( )4
655262
665 2 −−=−⋅+
+−− yyyy
yyy .
№ 123.
а) );4()4)(15(
)4)(4)(15()15)(4(
)16)(5( 22nmm
nmnnmnmnm
nnmnmmmn −=
+−+−−=
−+−−
www.5balls.ru
Найдем значение этого выражения при :3;41 −== nm
;1441)31(
41)3
414(
41)4( =⋅=+=+⋅=− nmm
б) ;)2(3)2(2
)2)(2)(3(3)3()2(2
)4)(93()62()2( 2
2
2
−+=
+−+++=
−+++
xx
xxxxx
xxxx
Найдем значение этого выражения при х = 0,5:
;911
910
153252
)5,1(35,22
)25,0(3)25,0(2
)2(3)2(2 −=−=
⋅⋅−=
−⋅⋅=
−+=
−+
xx
Найдем значение этого выражения при х = -1,5:
.212
5,101
)5,3(35,02
)25,1(3)25,1(2
)2(3)2(2 −=
−=
−⋅⋅=
−−+−=
−+
xx
Ответ: а) 1; б) .212;
911 −−
№ 124.
а) .5
)1()1(5
)1)(1(15
1 222 −=+
+−=+
⋅− xxxxyxxyx
xyx
xyx
б) =+−
−=−
−=−−=−⋅
− )4)(4(3)4(4
)16(6)4(8
)16(6)4(8
64
168
22
222
2
2
mmmnm
mmmn
mnmmn
nmm
mn
;)4(3
4+
=m
nm
в) =++−+−−=
+−−−=
+−⋅
−−
))()(3())()(3(2
))(3())(62(
)(62
3 22
22
22
22
babaaababaa
baaabaa
baa
aaba
;)()(2
baaba
+−=
г) .)5()5(
)3)(5()5)(3(
)3)(5)(5()5)(5)(3(
3)5(
253 2
2 +−=
++−+=
++−−−+=
+−⋅
−+
xaxb
xxaxxb
aaxxxxxbbx
aaxx
xbbx
№ 125.
а)
=++
+−=++
+−=++⋅
+−
))(82()4)((3
))(82()123)((123
82
222222
mxmymmmymx
mxmymmmymx
mxmym
mmymx
www.5balls.ru
;2
)(3))(4(2
)4)()((3))(4(2
)4)((3 22 yxyxm
myxyxxymm
myxm −=++
++−=++
+−=
б) =++−
−+=+−⋅
+−+
)77)(2())((
772 22
22
22 yxyxyxxyxayax
yxxyx
yxyxayax
;)(7)(7
)()()(7))((
22 yxax
yxyxax
yxyxyxyxax
−=
−−=
+−−+=
в) =+++
−−=++
−⋅+−
))(())((22
2233
22
2233
yxyxyxyxyx
yxyxyx
yxyx
;)())((
))()()(( 222
22yx
yxyxyxyxyxyxyxyx −=
++++−++−=
г) =+++−+
+−−=++
+−⋅+−
)12)(1)(1()1)(1(
121
11
22
22
2
2
3
2
aaaaaaaa
aaaa
aa
;)1(1
)1()1)(1(
23 =−=
++−=
aa
aaa
д) ;32
)42)(3)(3()3)(42)(2(
423
98
2
2
22
3
+−=
+++−+++−=
+++⋅
−−
bb
bbbbbbbb
bbb
bb
е) .31
)3)(93)(3(3)93()3(
9393
2796
2
222
3
2=
++−++−+=
++−⋅
+++
ccccccc
ccc
ccc
УПРАЖНЕНИЯ ДЛЯ ПОВТОРЕНИЯ
№ 126.
а) =+
+−−=−⋅+
−⋅−=−−⋅
++−
)x()x)(x)(x(
)x()x()x()x(
xx
xxx
46445
52123165
10216
1232510 2222
;)x)(x(6
54 −−=
б) ;)ba)(a()a()ba(
)ba()a)(a(a
bababa
a12
213124
21133
4484
1 2222 ++=⋅−⋅+⋅
+⋅+−=−
++⋅+
−
в) ;)y()y(
)y()y()y()y)(y(
yy
yyy
6253
5266355
102183
361225
22
2
+−=
+⋅⋅++⋅⋅+−=
++⋅
++−
г) .b
b)bb)(b(b
)b()bb)(b(bb
bbb
b9
242329
3242242
3227188
2
2
22
3 +=+−+
+⋅+−+=+−
+⋅++
www.5balls.ru
№ 127.
а) =+++
+−+−−
++
bcacababac
baab
caca
326)3(2
332
232
2
=+++
+−+−−
++=
)3()3(2)3(2
332
232
bacbaabac
baab
caca
=++
+−+−−
++=
)2)(3()3(2
332
232
cababac
baab
caca
=++
+−−+−++=)2)(3(
)3(2)32)(2()32)(3(caba
bacabcacaba
=++
−−+−+−+++=)2)(3(
2632643296 22
cababcacacbcaabbcabaca
=++−+=
+++−+=
++−−+=
)ca)(ba()ba)(ca(
)ca)(ba()ca(b)ca(a
)ca)(ba(bcabaca
2362
23226
232612 2
;baba
+−=
36
б) =−
++−++
−+−+−
caca
abba
acbcababcaca 2334
2
2
=−
++−+−
−−−+−=
caca
baba
)ba(c)ba(abcaca 23342
=−
++−+−
−−+−=
caca
baba
)ca)(ba(bcaca 23342
=−−
+−++−−+−=)ca)(ba(
)ca)(ba()ba)(ca(bcaca 23342
=−−
−−++++−−+−=))((
223334 222
cababcabacabcacababcaca
.4))(()4)((
))(()(4)(
))((442
baba
cababaca
cabacabcaa
cabaabbcaca
−−=
−−−−=
−−−−−=
−−−+−=
№ 128.
www.5balls.ru
Первые 30 км велосипедист проехал за v
30 ч; на втором этапе пути
его скорость была - ( )2+v км/ч, значит он проехал его за 2
17+v
ч.
Тогда всего ему потребовалось:
.)2(
6047)2(17)2(30
21730
++=
+++=
++
vvv
vvvv
vvа) Подставим 15=v и вычислим t:
3255765
171560705
)215(15601547
)2(6047 ==
⋅+=
++⋅=
++=
vvvt (ч);
б) Подставим v=18 и вычислим t:
.минч)ч()()v(v
vt 312360906
201860846
21818601847
26047 ==
⋅+=
++⋅=
++=
№ 129.
На рисунке изображены графики данных функций.Найдем координаты точки пересечения:I. А (1,5;2,6) – из рисунка.II. Найдем координаты точки пересечения графиков данных функ-ций из уравнения:1,2x+0,9=-1,3х+4,4;
1,2х+1,3х=4,4-0,9;2,5х=3,5; х=3,5:2,5; х=1,4.Тогда y=1,2·1,4+0,9;y=1,68+0,9; y=2,58; т.е. А(1,4; 2,58).
y
x0 2 4
10
5
-5
y = -1,3x + 4,4
y = 1,2x +0,9
A
-2-4
www.5balls.ru
Абсолютная погрешность приближенного значения абсциссы равна10105141 ,,,, =−=− ; абсолютная погрешность приближенного зна-
чения ординаты равна 02002062582 ,,,, =−=− .
№ 130.
а) 3х+ b= a; 3х=a – b; 3
bax −= ;
б) b – 7x = a – b; 7x = 2b – a; 7
2 abx −= ;
в) bax =+1 ; 1−= b
ax ; х = а(b – a) = ab – a;
г) axb =−10
; 10b – x = 10a; x = 10b – 10a = 10(b – a).
6. Деление дробей№ 131.
а) mnnm
mnm
mmn
mmnm
94
94
9040
15685
815
65
222
2
===⋅
⋅=÷ ;
б) 4
2
4
2
3
2
23 94
97214
79214
27
914
xy
xy
xxy
yx
x=
⋅⋅=
⋅⋅=÷ ;
в) 2
22 312
363612 b
aabb
aabb
a =⋅
=÷ ;
г) ax
axa
aax
aax
23
1015
1053
51
103
3
2
3
2
23 ==⋅=÷ ;
д) ( ) 222
2
22
2 81
224111
122
41122
411
xyxyxx
yxx
yx =
⋅⋅=÷=÷ ;
е) ab
aba
baa
baa
221
18727
718
127
71827
2
4
23
2
43
2
43 =⋅=÷=÷ ;
ж) ( )2
2
2
4242
4
72
9718
19
7189
718
dc
dcdcdc
dcdc
dc =
⋅=÷=÷ ;
з) yxxyxxyxxyx 2
3
53535 170
73435
347
135
34735 =⋅=÷=÷ .
№ 132.
www.5balls.ru
а) 23232
3
2
4453
10610
356 xy
xyyx
yxyx
yx
yx ==
⋅⋅=÷ ;
б) cdcd
dcdc
dc
94
62178
76
218
22
2
2 =⋅
⋅=÷ ;
в) 234
22
2
3
2
2 10673512
356
712
pdpddp
dp
dp =
⋅⋅=÷ ;
г) 3253
2
53
25
3
2
536
54436
20169
16209
yxyxxy
yxxy
xy
xy −=
⋅⋅−=⋅−=÷− ;
д) ax
xybayxab
yxba
xyab
145
421103
1021
43
2
2
2
2
−=⋅
⋅−=
−÷ ;
е) b
acdabcd
dcbadc
abcd
ba 3
3
4222
42
322 295518
59
518 =
⋅⋅=
−÷− .
№ 133.
а) ;1818363
:623
22
3
22
23
2
mxn
nxmmnx
nxmmnx
mnx
nmx ==⋅=
б) ;3
103
10712835
87:
1235 2222
2
2 bxabxy
yxabxyababyx
abxy
abyx ==
⋅⋅=
в) ;43
43
41133
334:
11 23
32
32
323
2
32
na
mnabmnba
abmnmnba
mnab
mnba −=−=
⋅⋅=
−
г) ;34
95106
109:
56
22
2222
xyxababxy
abyx
abxy −=
⋅⋅−=
−
д) ( ) ;3
243
181
4:3
84:3
8323
22
3
22
3
2
myx
xmymxxm
ymxxm
ymx =
⋅⋅==
е) .450301530
:1
1530
:153
23
22
2
232
2
232
abx
baxbxa
xbabxa
xbabxa =⋅==
№ 134.
а) ;9
2395523
35
29:
53
333
22
2
3
3
2
xxxyyyx
xy
yx
yx =
⋅⋅⋅⋅=⋅
www.5balls.ru
б) ;331410
45743:
145
107 2
23
44
423
4 pqppq
qqpqp
pq
qp =
⋅⋅⋅⋅=⋅
в) ;332392:
92:
32
2332
322
222
3
3
22
2 db
dbcadcba
bacddcdcabab
dcba
abcd
dcab ==
⋅⋅⋅⋅=
г) .247
782:74:
78
2
2
332
223
222
222
2
2
2
2
xya
yxabyxba
yxxyababbayx
abyx
baxy
abyx ==
⋅⋅⋅⋅=
№ 135.
а) ;35
610
116612511
1211:
65
611
8
8
8
8
332
34
3
3
32
4
nm
nm
nnnmmm
mn
nm
nm ==
⋅⋅⋅⋅=⋅
б) ;2747
4987:494:
78
243
223
22
4
3
3
xy
xxyyyx
yx
yx
yx =
⋅⋅⋅⋅=
в) ;229
3343
2:32:
94
233
22223
222
2
33
23
dac
cdcdxaxaxadc
xacd
xacd
xadc =
⋅⋅⋅⋅=
г) .43
43
8392
893:2
222
22
2
2
2
2
xyb
bzyxazxyba
xyabxyzzbayax
xyazb
aybx
yzax ==
⋅⋅⋅⋅=⋅
№ 136.
а) ;3
383
8)3(83:
83
22
2
xm
xmxmm
xm
xmm −=
⋅⋅−=−
б) ;6
)(56
)(5:65
232
3
3
2
abba
abbab
baba
ba −=−⋅=
−
в) ;44)1(411
)1()44(11)(44:
11
22
2
323
32
32 axxxax
xaxxa
ax
axx =
+⋅+=
++=++
г) ;49
)2(4)2(33
)2(8)63(6
638:
26
22 mmmm
mmaxmax
max
mmax =
−−⋅=
−−=
−−
д) ;21)3(73
)3()217(:3
32
ba
babbaaba
baba =
−⋅−=−−
е) ( ) =−−=−−x
yxyxx
yxyx 105:1
)4(105:422
22
;5
)2()2(5
)2)(2( yxxyx
xyxyx +=−
+−=
www.5balls.ru
ж) =−
−=−−=−−)4(
)2(33
4:1
)2(3
4:)2(22
2232232
baabaababaababa
;)2()2(3
)2)(2()2(3 2
baaba
babaaba
+−=
+−−=
з) =−−=−−m
nmnmm
nmnm2
)32(:1
)1510(2
)32(:)1510(22
.)32(
10)32)(32(
2)32(5nm
mnmnm
mnm−
=−−
−=
№ 137.
а) =−
+−=−−=−−
)2()2)(2(3
)2(3)4(
32:4
22
22222
yxyxyxyxy
xyxyxyyx
yxyx
xyyx
;)2(32x
yx +=
б) ;)1(5)1)(1(5
)1()1)(1(5
)1(5:1
2222
22
2
+−=
+−−−=
+−−⋅=
−− aba
aababa
aabaaba
aab
aab
в) =−−+−=
+−
−−
)9)(2()5)(3(
59:
253
22
22
2
2
2
2
aaaaaa
aaa
aaa
;)3)(5()3)(3)(5)(5(
)5)(3( 2
+−=
+−+−+−⋅=
aaa
aaaaaaaa
г) =−++−=
+−
+−
)66)(())(33(66:33
2
22
2
22
nmmpmmpnm
mpnm
mpmnm
;2))((23
))()((3m
nmnmpmm
pmnmnm +=−+⋅++−=
д) =−+=−+1
)9(:1
)3()9(:)3(22
22 yxyxyxyx
;3
1)3)(3(
3yxyxyx
yx−
=+−
+=
е) =−−=−+−1
)9(:1
)3()9(:)96(222
2222 bababababa
.33
)3)(3()3(
9)3( 2
22
2
baba
bababa
baba
+−=
+−−=
−−=
www.5balls.ru
№ 138.
а) ;692
3)(32:
9 22
2
yyx
yxyyxx
yx
yxyx −=
⋅−=−
б) ;4)2(4
)2()2(36
9)2(9
2:36
2 22
2
323
32
23 baba
bbaababbbaa
bba
bbaa =
−−=
−−=−−
в) =+−=+−mn
nmnmmn
nmnm 123:1
)16(123:)16(22
22
;3
)4()4(3
)4)(4( nmmnnm
nmnmmn −=+
+−=
г) =++
−=++−22
222222
251025)2510(:)25(
yxyxyxyxyxyx
;55
)5()5)(5(
2 yxyx
yxyxyx
+−=
++−=
д) =+−−+=
−+
−+
)123)(4()2)(4(
2123:
44
2
2
2
2
ccccc
cc
ccc
;)2(3)2)(2)(4(3
)2)(4(+
=+−+
−+=c
cccc
ccc
е) =−−
−−=−−
−−=−
−−
−)31)(2()2)(19(3
)31)(2()63)(19(
6331:
219 222
ppqpp
pqpqpp
pp
qpqp
.)13(3)13)(2(
)2)(13)(13(3qp
ppqppp +−=−−−
−+−=
№ 139.
а) ;3
2)3)(1(2
)1(4)3)(22(
441
)22(:344 22
+=
+−−=
+−−=−
+−
xx
xxxx
xxxxx
xxx
подставим х = 2,5, получим: ;1110
5550
5,55
35,25,22
32 ===
+⋅=
+xx
подставим х = -1, получим: .122
31)1(2
32 −=−=
+−−⋅=
+xx
б) =−
++=−
++=+−+
)4(2))(2(3
82))(63(82:
1)63(
2222
22
bababa
bababa
bababa
www.5balls.ru
;)2(2
)(3)2)(2(2
))(2(3ba
bababa
baba−+=
+−++=
подставим а = 26, получим:
.42,010042
50242
)2426(2143
))12(226(2)1226(3
)2(2)(3 ==
⋅=
+⋅=
−−−=
−+
baba
Ответ: а) ;1;1110 − б) .42,0
№ 140.
а) =+−
+−+=+−
+−+
)105)(()2)(63(
2105:63
22
22
2222 yxyxyxyxyx
yxyxyx
yxyx
;)(5)(3
)2)()((5))(2(3 2
yxyx
yxyxyxyxyx
+−=
++−−+=
б) =+−+−
++=+−
−++
)2)(2)(4)(4()4()2(
44:
1644
22
22
2
2
4
2
aabbba
ba
baa
;)2)(4(
22 ab
a−−
+=
в) =++−+
+++=+−
+++
))()(2()2)((
2:
2 22
223322
xaxaxayxayxxaxab
bybxxa
ayaxxaxa
;)( xaa
b−
=
г) =++
+−−=+−
++
−)52)(8(
)42)(254(42
52:8
2543
222
23
22
nmmmmnm
mmnm
mnm
.252
)52)(42)(2()42)(52)(52(
2
2
+−=
++−++−−+=
mnm
nmmmmmmnmnm
№ 141.
а) =+
++=+++yxaamxymm
xyaam
yxmm
2
2
2
2
2)3(4)96(
43:
296
;)3(22)3(4)3(
2
2
axm
yxmaxym +=
++=
www.5balls.ru
б) =−
−=−
+−=+−− abp
pbbapppab
ppba
pab
)1(7)1(
)77()21(
21:
77
22
22
23
2
223
;7
)1(a
pb −=
в) =−−
−++=−
−−
++))(1(
)1)((1
:1 33
222
2
3322
xaxxxaxa
xxa
xxaxa
;1))()(1())(1)(1(
22
22
xax
xaxaxaxxaxaxx
−+=
++−−+++−=
г) =+−
−−=+−
−−=−+
−−
)3)(8()42)(9(
)3)(8()42)(9(
423:
89
3
2
3
2
3
2
ppppa
pppaap
pp
paap
.42
)3(2)3)(42)(2(
)2)(3)(3(222 ++
−=+++−
−+−=pp
papppp
pppa
УПРАЖНЕНИЯ ДЛЯ ПОВТОРЕНИЯ
№ 142.
а) =+−
+−−
−+
=−+−
−+
+ )32)(32(94
325
322
9494
235
322 2
2
2
bbb
bbb
bb
bbb
=+−
−−−−−=+−
+−+−−=)32)(32(
94151064)32)(32(
)94()32(5)32(2 222
bbbbbb
bbbbbb
;23
832
8)32)(32(
)32(8bbbb
b−
−=−
−=+−
+−=
б) =−
−+
+−−+
+222 32
2362
6aac
baba
baabbcac
bc
=−
−+
++−+
+=)3()2(
2)2(3)2(
6aca
bbaa
bababac
bc
=−
−+
+−+
+=)ac(a
b)ba(a
b)ac)(ba(
bc32
232
6
=−+
+−−++=)ac)(ba(a
)ba(b)ac(b)bc(a32
2326
=−+−−+=
−+−−−++=
)3)(2(22
)3)(2(2626 22
acbaababbcac
acbaabababbcbaac
www.5balls.ru
.)3()3)(2(
))(2()3)(2(
)2()2(aca
bcacbaa
bcbaacbaa
babbac−−=
−+−+=
−++−+=
№ 143.
Пусть х км/ч – скорость течения реки, тогда (10 – х) км/ч – скорость
лодки против течения; 45 мин=43 ч; за
43 ч лодка прошла -
)10(43 x− км; (3 х) км – лодка прошла обратно до пристани после
того, как испортился мотор. Получаем уравнение:
.24
15:4
30;4
154
30;343
430;3)1(
43 ====−=− xxxxxx
Ответ: 2 км/ч.
№ 144.
Из условия задачи:
а) ;2
;2y
abcabcy ==
Из условия задачи:
б) .2;2bcyaabcy ==
№ 145.
Из условия задачи:
а) ;; abacbcabcab
abcacbc =+=+
;;)(ba
abcabbac+
==+
Из условия задачи:
б) ;; abacbcabcab
abcacbc
=+=+
;)(; acacbacabbc −=−−=−
.;ca
acbac
acb−
=−
−=
№ 146.
www.5balls.ru
На рисунке изображены графики данных функций.
При к > 0 график в I и III четвертях;При к < 0 график во II и IV четвертях.
7. Преобразование рациональных выражений
№ 147.
а) =+−=
+
−
xyyx
xyyx
xyxyx :11:1
2
22
2
;)(
))((2 y
yxxyyx
xyyxyx −=+
−+=
б) =++=
+
+
2
2
3
2
2
2
3
2
2::
aamm
maam
am
am
ma
ma
;)()(
)()(
4
3
3
2
23
22
ma
ammmamaa
ammmaama =
+⋅+⋅=
++=
в) =+++=+++b
bab
babab
baa
bbab3
232
3)(3
3:
3
;)()(2
2
2
22
3 bba
bbababa
bba
bbaab +=+++=+++=
г) =−−−=−−−yx
xyxyx
yxy
xyxx
yx
yx2
22
2 5)(5
5:5
-4
y
x0 2 4
4
2
-2
y = 41 x
y = 31− x
-2-4
I
IV
II
III
www.5balls.ru
.05
)(52 =−−−=−−−=
xyx
xyx
yxyxyx
xyx
№ 148.
а) ;1212
)12)(1()1)(12(
1211
1 −+=
−+++=
−+⋅
+
+ xx
xxxx
xx
xx
б) =
−
−−−
=
−
−− y
yy
yyy
y1
11:1
51
11:15
2
2
2
2
;1
5)1)((
)1(5)1()1(5
2
2
yy
yyyy
yyyy
+−=
+−−−=
−−−=
в) =−+
−−−=
−+
−
− 22:
2)2(4
22:)
24
aa
aaaa
aaa
aa
;)2)(2(
)2)(2(22:
224 22
aaa
aaaaa
aaaa −=
+−−+=
−+
−+−=
г) =−−
+−−=
−+−⋅
−−=
−+⋅
−−
)2)(3()2)(2(
2)2(
32
232 2
xxxxxx
xxxx
xx
xxx
xx
.)2)(3()3)(2(
)2)(3()3)(2( 2
xxxxxx
xxxxx =
−−−−=
−−−−−−=
№ 149.
а) =−
+−−
−+
5104:
1212
1212
mm
mm
mm
=−+−
−−+=510
4:)12)(12()12()12( 22
mm
mmmm
=⋅+−
−−+−++=mmm
mmmmm4)12)(12(
)510)(144144( 22
;12
10)12)(12(4
)510(8+
=+−
−=mmmm
mm
б) =
+−
+−++++
+=
+−+
−+
++
)3)(3(9696
33
33
33
33 22
22 xxxxxx
xx
xx
xx
xx
www.5balls.ru
.)3)(3(
)9(2)3)(3)(3(
)182)(3(2
2
2
2
+−+=
+−+++=
xxx
xxxxx
№ 150.
а) =
+−+
−+
+−
316
316:
129
2
2
aa
aa
aa
=
+−
+−−++++⋅+
−=)3)(3(
3186318612
9 22
2
2
aaaaaaaa
aa
;6)3)(3)(12()12)(3)(3(6
)3)(3(612
129
2
22
2
2=
+−+++−=
+−
+⋅+
−=aaaaaa
aaa
aa
б) =−+
+−+
−+
22
22
25:
55
55
yxyx
yxyx
yxyx
=−+
+−−−+++=
22
22
25:
)5)(5()5)(5()5)(5(
yxyx
yxyxyxyxyxyx
=++−
−+−−++++=))(5)(5(
)25)(52555255(22
222222
yxyxyxyxyxyxyxyxyxyx
.10))(5)(5()5)(5)((10
22
22=
++−+−+=yxyxyx
yxyxyx
№ 151.
а) =−
⋅
−
+−
=−
⋅
−+
− abab
baab
abba
abab
abab
abba
)()(22
;))(())((
))(())((
)(
22
baba
babaabbabaab
ababababbaba
abab
ababba
−+=
−−+−=
−−+−=
−⋅
−−=
б) =−
−−
− xyyx
xyxy
yxyx
8:
22
22
=−
−
−−
=xy
yxyxx
yyxy
x8
:)()(
22
;8)()(
8)(22
22
yxyxxyyxxyyx
−=
−−−=
www.5balls.ru
в) =−
⋅
++−
−−
pqp
qqq
ppp
222
284
2323
=−
⋅
−=
−⋅
++−
−−=
pqp
qppqp
qqq
ppp
214
2)2(2
)2()2(4
2222
;2)2(
)2)(2(2
42222
22
pqpq
pqpqpqpq
pqp
qppq +=
−+−=
−⋅−=
г) =−+
−++
−−
baba
ababa
babba 22
22 :77
=−+
−++−=
−+
−++
−−=
baba
baabbabbaa
baba
baaba
babba 2222
:)(
)7()7(:)(
7)(
7
.1))((
))(77(22
22
abbabaabbabababa =
+−−++−=
№ 152.
а) =−
+−++
+−=−+−
+⋅
+−
)3(5
)3)(5()5)(5(
35
51
325
22
2
aaa
aaaaa
aaa
aaaa
=−+
++−−−=−
+−+
−=)3)(3(
)5)(3()5)(3()3(
5)3(
5aaa
aaaaaa
aaa
a
;9
16)3)(3(
16)3)(3(
153515352
22
aaaaa
aaaaaaaaa
−=
−+−=
−+−−−−+−−=
б) =+−+++
+−=
++
−++
+−
)3)(14()24)(3(
1221
243:
143
1221
2
2
2
2
xxxxx
xx
xx
xxx
xx
=−
++
−=++−
++++
−=12
212
21)3)(12)(12(
)12)(3(212
21x
xx
xxxx
xxxx
x
=−+
++−−−=)12)(12(
)12(2)12)(12(xx
xxxx
;14
1614
2414422
22
−−=
−++−+−=
xx
xxxxx
в) =+−−+−−−
+−=
−−⋅
−−−
+−
))()(())()((
22
22
2
2
babacaacacabab
bacb
baca
acabab
bacb
=+
+−−=++−
+−=
)()()(
)()(
baacabcba
baacab
bacb
www.5balls.ru
;)()(
)( ac
baabac
baabcabacab −=
++−=
+−−−=
г) =−−+
+−
−−=
−−+
+−
−−
32
)3()2(:
94
32
32:
94
2
22
2
2
xy
xyaa
xa
xy
yxyaa
xa
=−−+
−−+−=
−−+
+−−+−=
32
)3)(2()2)(2(
32
)3)(3)(2()3)(4( 2
xy
xaaaay
xy
xxaaxay
=−
−++=−
−++=−−+
−+=
)3(22
)3()2()2(
32
)3()2(
xaayayay
xayaay
xy
xaay
.)3()(2
)3(22
−+=
−+=
xaya
xaay
№ 153.
а) =
−
−
−−+
1242:
21112
2
xxx
xx
=
−
−
−++=
124
12:
121
112 2
xxx
xx
=−
−−−
++−=12
4)12(2:12
1)12)(12( 2
xxxx
xxx
=−
−−−
+−=12
424:12
114 222
xxxx
xx
;2)12(2
)12(4 2x
xxxx −=−
−−=
б) =
+−+−
−
+− qp
pqqppq
qqp
pq 22
224:
=
+−+−
−
−+−
=qppqqp
qpq
qpqppq 224
1:
))((
=+
−+−++−+−=
qppqqpqp
qpqpqpqpq 224))((:
))(()(
=−+−−
−−=)4)((
)(2222
2
pqqpqpqpqpq
www.5balls.ru
;)(3
13)( 2
2
pqqqpq
−=
−−=
в) ( ) =
−−
−+
+⋅++
11
11
1112
22
aaaaa
( ) =
−
−−+
−+
+1
1)1)(1(
11
11 2
aaaaa
( ) ;11
)1)(1()1(
)1)(1(1111
22
−+=
−++−=
−+−−+−+=
aa
aaa
aaaaa
г) =+
−
+− 121
31:
12491
2
xxx
=+
−−−= 16
32:12
4912 2
xx
xxx
( )( )
( )( ) =+
−−=+
−+−−= 1
232231
321241296 22
xx
xxxx
;2
3112
312
23 xxx =+−=+−
д) =
+−⋅
+−
−−
423
22
221 aa
aa
( ) ( )( )( ) =
−−⋅
+−
−−+−=4
23422
22221 aaaa
aa
=+−
−−=−⋅
+−
+−+−=)2)(2(4
)2(814
2)2)(2(42421
aaaa
aaaa
;22
222
21+
=+
−+=+
−=a
aa
aa
е) ( ) =+
−
−+
⋅− 52
22
342
yyy
=+
−+
−−−⋅+−= 5)2)(2(4263)2)(2(
yyyyyy
.5510 −=+−= yy
№ 154.
www.5balls.ru
а) =
+
−−+⋅
−+−=
++−⋅
−
+yx
yxyxxyxy
yyxyxyxx
yxy
2222 )()(
221
;1)()(
)()(
)(
2222=
−−=
−−=
+
−−+⋅
−
+=yxyyxy
yxyyxy
yxyxxyx
yxyyx
б) =
+
+−
+−+
ab
baba
baabba :2
=+
++−+
−+=)(
)()(:2)( 2
baababbaa
baabba
=+
++−+
−++=)(
:22 2222
baabababa
baabbaba
;))(())((
22
22a
babababaa =
++++=
в) ( ) ( ) =
+−
−++−+⋅−=
+
+−
−⋅−
)1)(1(11111
11
111
222
xxxxxx
xxx
;1)1)(1(
)1)(1( 222
+=+−
+−= xxxxx
г) ( )( ) ( ) =−
−−÷−
−−+=
−
−÷
−−+
11
1111
1111
22
mmmm
mmm
mmm
mm
( )( )( )
( )( )( ) =
−−−+−−=
−−−÷
−−−−+−=
1111
11111 222
mmmm
mmmm
mmm
( )( ) mmmmm −=
−−−=112
.
№ 155.
а) =
++
+−
÷− 222222 2
114yxyxxyxy
xy
( )( ) ( ) =
+
++−
÷−
= 222
114yxxyxyxy
xy
( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) =+−
÷+−
=+−−++÷
+−= 22
244xyxy
yxyxy
xyxyxyxyyx
xyxyxy
www.5balls.ru
( )( )( )( ) ( )xyx
yxyxyxyxyxy +=
+−+−= 2
24 2
;
б) ( )( ) =+⋅
−
+÷−
−+−
2
2
2222 42
22
41
22
yyx
xyyx
yxxyxyx
( )( )
( )( )( )( ) =+⋅
++−
−−+
−= 2
22
42
2222
22
yyx
yxyxyxxy
yxxyx
( )( )( )
( ) =+⋅
+−−
+−= 2
2
2 42
22
22
yyx
yxyx
yxxyx
( )( ) ( )( )
( ) =+⋅
+
−−−+= 2
2
2 42
2222
yyx
yxxyxxyxyx
( )( ) ( )( )
( ) =+
+−−=+⋅+
+−−= 22
2
2
2
2
222
24222
42
224
yxxyyxxyy
yyx
yxxxyxyx
( )( )( ) xy
yxyxyx
yxyx2
222
222
2 −=+
+−= ;
в) =
−
−+
÷
++
−+ 22
2
22
32
2 naa
naa
annaa
naa
( ) ( )( ) =
+−
−+
÷
+
−+
=nana
ana
ana
ana
a 2
2
32
( )( ) ( )( ) =
−+
−−÷
+
−+=nana
aanana
anaa 22
2
32
( )( )( )
( )naana
naannanana
+−=
+−+−= 2
2
;
г) =
−+
−
++
−+ abba
a:baba
aba
a2
14
244
42
22222
2
=
−
−+−
+
−+
=ba)ba)(ba(
a:)ba(
aba
a2
122
22
42
22
2
=+−
−−+
−+=)ba)(ba(
baa:)ba(
a)ba(a22
222
4222
2
=+
+−−=+−
−+
−+=b)ba(
)ba)(ba(ab)ba)(ba(
)b(:)ba(
aaba22
22
2222
222424
.ba
)ab(aba
)ba(a+−=
+−−=
222
222
www.5balls.ru
№ 156.
а) =−
−−−⋅
+−+
23
433
122
22 xxx
xxx
=−
−−−
=−
−+−−
−+=2
321
32
3221
1232 x)x)(x(x)x)(x()x(
)x)(x(
;xx)x)(x(
)x()x)(x(
x)x)(x(
)x(−
=−
−=−−
−=−−
+−=−−
−−=1
31
321
2321
33321
133
б) =
+
−−
+−−++
−aaa
aaa:
aaa
22
824
42161642
22
2
2
=
+
−+−
+−−+
−=)a(a)a)(a(
a)a(
a:)a(
a2
2222
42242
2 2
2
=+−
−−+−++−=
)a)(a(a)a()a(a)a(a:
)a(a
2222442
422 22
2
=+−
+−−−++−=
)a)(a(aaaaaa:
)a(a
2228442
422 323
2
=+−
+−+−=
)a)(a(aaa:
)a(a
222882
422 2
2 =+−
−+−
)a)(a(a)a(:
)a(a
22222
422 2
2
;)a(
a)a)(a(
)a(a)a()a(
)a)(a)(a(a244242
2242
22222 +
=++
+=−+
+−−=
в) =
−⋅
−+−
+−−
yyy
yyyy 31
993
963
22
2
=
−⋅
+−
+−−−=
y)y)(y(y
)y(yy 31
3393
33
2
2
=
−⋅+−
−+−+−=y
y)y()y(
)y)(y()y)(y(y 333
333332
.y
yy
y)y()y(
)y)(y)(y( 3333
3332
−=−⋅+−
−−+=
№ 157.
а) =−+
−
−−+−−
−+−
aa:
aaaa
)a(aa
11
11
131
131 2
3
2
2
www.5balls.ru
=−+
−
−++−
+−−+−+
−=a
a:a)aa)(a(
aaaaa
a1
11
111
31123
1 2
2
2
2
=−+
++−−−−−+−+−=
aa:
)aa)(a(aaaaaa
11
1111312 2
2
222
;aa)a)(aa)(a(
)a)(a(1
1111
11222
2
++=
+++−−−−=
б) =
+−−⋅
+−+
+−
+ 112
13
13
11
23 xxx
xxxx
=
++−+⋅
+−
++−+
−+
=1
1211
311
31
122 x
x)x(xxx)xx)(x(x
=+
+−+⋅+−+
++−+−=1
1211
3331 2
2
2
xxxx
)xx)(x(xxx
.)xx)(x)(x(
)xx()x(x
xx)xx)(x(
xx 1111
111
111
122
222
2
2
=+−++
+−+=+
+−⋅+−+
++=
№ 158.
а) =−⋅+
−−=
−⋅
+−−
qpqp
qppqqp
pq
qp
qppqqp 221212
=+
+−−−=+−⋅+
−−=)qp(pq
)qp)(qp(pq
qpqp
)qp)(qp(qppq
qp 212
;qpq
ppq
qpqppq
qppq
qp 122 ==+−−=−−−= что и требовалось дока-
зать.
б) ( ) =−+
++−+=−
+
+− )ba(:
ba)ba(bab)ba(aba:b
baaba 44
=+−+−=−
+++−+=
)ba)(ba(bababa:
bababababa 2222 2
14
;baba
)ba)(ba()ba(
+−=
+−−=
2
=+−
−−
++
=−
−−
−+ )ba)(ba(
abba
bba
aba
abab
bba
a 2222
www.5balls.ru
;baba
)ba)(ba(baba
)ba)(ba(abbababa
+−=
+−+−=
+−−++−=
2222 22 что и требовалось
доказать.
в) ;yx
x)y,x,(
)xyx,(;yx
xy,x,
xyx,56
20250360100
2110056
20250360
2122
2
22
2
+=
−−
+=
−−
;yx
x)yx)(yx(
xyx;yx
xyxxyx 0
5620
56561001200
5620
2536100120 2
22
2
=+
−+−
−=+
−−−
;)yx)(yx(
;)yx)(yx(
xyxxyx 05656
005656
100120100120 22
=+−
=+−
+−−
0=0, что и требовалось доказать.
№ 159.
а) =+−−−+=
+−−
−+
)ba)(ba()ba()ba(
)ba(ba
)ba(ba
222
22
=+−
⋅=+−
+−+−++=)ba)(ba(
ba)ba)(ba(
)baba)(baba(2
222
;)ba)(ba(
ab+−
= 2
=+−
−−−
=−−−
−=
)ba)(ba()ab(b
bab
baabb
bab
22
2
=+
+−
=+−
−+−
=ba
bba
b)ba)(ba(
)ba(bba
b
;)ba)(ba(
ab)ba)(ba(babbab
+−=
+−−++= 222
тождество доказано.
б) ,xax,a,(
)xa,(;xax,a,
xa,89
50640810100
45410089
50640810
4542222 −
=−+
−=
−+
;xa)xa)(xa(
)xa,(;xaxa
)xa,( 089
508989
45410089
506481
45410022 =
−−
+−+
−=
−+
;,)xa)(xa(
;)xa)(xa(
xaxa 0008989
008989
400450400450 =+−
=+−
−−+ тождество
доказано.
№ 160.
www.5balls.ru
а) =−
++
⋅
+−+
− abb
baa
baba
baab 2
222
22
=−
−+
⋅
+−+
+−=
bab
baa
)ba(ba
)ba)(ba(ab 2
22
=−
−+
⋅+−
+−+=ba
bba
a)ba)(ba(babaab 2
224 22
;ba
bba
aba
b)ba)(ba)(ba(
a)ba( 12
22
=−
−−
=−
−++−
⋅+= что и требовалось
доказать.
б) =
−
−−
⋅+−−
− 22222
23
yxy
)yx(x
yxxyx
yxy
=
+−
−−
⋅+−−
−=
)yx)(yx(y
)yx(x
yx)yx(x
yxy
222
22
=+−+−+⋅
+−−
−=
)yx()yx(yxyxyx
yx)yx(x
yxy
2
22
22
22
=+−+
+−−−
=)yx()yx)(yx(
)yx)(yx(xyx
y222
2222
,yxyx
yxxy
yxx
yxy
)yx()yx()yx)(yx(x
yxy 12 −=
−−−=
−−=
−−
−=
+−+−−
−что и
требовалось доказать.
№ 161.
а) =
+
+⋅
++
−−
−− ca
accaca
cca
cca
2
2233
231
=
+
+⋅
++
−++−
−−
=ca
accaca
c)caca)(ca(
cca
2
2222
231
=+
++⋅++−
+−−++=ca
acac)caca)(ca(
cacccaca 22
22
2222 3
,)ca)(ca)(caca(
)caca)(ca( 122
2222
=+−++
++−= не зависит от а и с.
б) =−
−
+
++⋅−
−− 22
222
33
313ca
cca
cacaca
cca
a
www.5balls.ru
=−
−
+++−
++−−
= 22
2
22
22 313ca
c)ca)(caca)(ca(
)caca(cca
a
=−
−+−
⋅=−
−
+−
−+= 22
2
22
2 3333ca
c)ca)(ca(
aaca
c)ca)(ca(
ccaa
33322
22
=−−=
caca -не зависит от а и с.
№ 162.
а) ;n
nnn
nn
n 2
22222 1211 ++=
=
+
б) 22
42242222 2ba
bbaaab
baab
ba +−=
−=
− ;
в) =+−
+++
=
−+
+ 121211
2222
yx
yx
yx
yx
yx
yx
( )2
22
2
2 222y
yxyx +=+= ;
г) +
−
+⋅+
=
−−
+
22222
2qp
pq
pq
qp
qp
pq
qp
pq
qp
42222
=+=
−⋅+
pq
pq
qp ;
д) =
−−+−
−++22
yyx
xyx
yyx
xyx
=
−++−−++⋅
−−++−++=y
yxx
yxy
yxx
yxy
yxx
yxy
yxx
yx
( ) ( ) ( )xy
yxy
yxx
yx 22422 −=−⋅+= ;
е) =
+−+
−+ 2
22
2 11b
baba
baa
222
22
2
2222
22 ab
bab
aba
bbbab
aabaa +=+=
+−+
−+= .
№ 163.
www.5balls.ru
а) ( )( ) 1
11111
11
11
+−=
+−=+÷−=
+
−
xx
xxxx
xx
xx
x
x ;
б) 12222
12
12
=÷=−+÷+−=−+
+−
ba
ba
bbba
bbba
bba
bba
;
в) ( )( ) 33
33
2233
2233
22
33
22
33
22
22
yxyx
yxyxyxyx
yxyx
xyyx
xy
yx
xy
yx
−+=
−+=−÷+=
−
+;
г) =++÷++=++
++
abcbac
abcabacbc
acbcab
cba111
111
( )( ) =
++++=
bacabcabcabacbc
cbaabacbc
++++ .
№ 164.
а) ( )( ) ax
axaxxaxx
xax
xax
xaxa
+−=
+−=+÷−=
+
−
22
2222
2
2;
б) ( )( ) cba
cbaccbaccba
ccba
ccba
cba
cba
−++−=
−++−=−+÷+−=
−+
+−333
1
3;
в) ( )( ) xy
xyxyxyxyxy
xyxy
xyxy
yx
yx−+=
−+=−÷+=
−
+
11
11
;
г) ( )( )( ) yx
xyyxyx
yxxyxy
yxyx
xy
yx
yx+
=+−
−=−÷−=−
− 22
1.
www.5balls.ru
№ 165.
а) Подставим ba
abx+
= и получим:
=
+
−÷
+
−=+
−−÷+
−−=−
+
−+=
−−
bab
baa
bababab
baabaab
bba
ab
aba
ab
bxax 2222
( )( ) 2
2
2
2
ba
babbaa =
++= .
б) Подставим babax
+−= и получим:
( ) ( ) =+
−++÷+
+−+=
+−+
+−−
=+
−
baaababab
babbababa
baba
ab
baba
ba
xab
xba
2222
( ) ( )( )( )( )( ) b
abababbabaa
baaba
babba =
++++=
++÷
++= 22
222222
.
№ 166.
а) ( )( ) =
+−=+÷−=
+
−
babababa
ba
ba
23364936
3623
3649
1812
94 2222
24
( )( ) baba
baba 2323
2323 −=+
+−= ;
Подставим 32=a ,
21−=b и получим:
312212
32323 =+=
−⋅−⋅=− ba ;
Ответ: 3.
б) =−÷−=−
−=−
−25
251
20
2525
20
25
20 22
222
2
baba,baba,
baba,
( ) ( )( )( ) bababa
baba
ba,5
555
55252055
22 +=
+−−=
−−⋅= ;
www.5balls.ru
Подставим а = -8, b = 0,6 и получим:
138
56058
55
5 −=+−
=⋅+−
=+ ,ba
;
Ответ: -1.
УПРАЖНЕНИЯ ДЛЯ ПОВТОРЕНИЯ
№ 167.
а)
1) У точки пересечения графика с осью х y = 0, т.е.
0221 =−x ; х = 4.
Таким образом, точка пересечения с осью х – это (4; 0);2) У точки пересечения графика с осью y х = 0, т.е.
2021 −⋅=y ; y = -2.
Таким образом, точка пересечения с осью y – это (0; -2).
б) 1) У точки пересечения графика с осью х y = 0, т.е.0 = -0,4х + 2; 0,4х = 2; х = 5.Точка пересечения с осью х – это (5; 0);2) У точки пересечения графика с осью y х = 0, т.е.y = -0,4·0 + 2; y = 2.Точка пересечения с осью y – это (0; 2).
-3
y
x
1
-2
0 2 4-2-4
-1
www.5balls.ru
№ 168.
а) y = kx + b – уравнение прямой. Подставим координаты точки(0; 4) в это уравнение: 4 = k·0 + b; b = 4; коэффициент k у параллель-ных прямых одинаковый, следовательно k = 3; получим уравнение:y = 3x + 4.б) y = kx + b – уравнение прямой. Подставим координаты точки(0; 0) в это уравнение: 0 = k·0 + b; b = 0; коэффициент k у параллель-
ных прямых одинаковый, следовательно, 21−=k ; получим уравне-
ние: xy21−= .
y
x
1
0 2 4-2-4
-1
6
2
3
4
www.5balls.ru
№ 169.
а)
б)
в)
y
x
b
y
xb
y
x
b
www.5balls.ru
г)
№ 170.
Пусть х см – длина меньшей стороны, тогда (х+20) см – длинабольшей стороны, 2х – удвоенная длина меньшей стороны, 3(х+20)см – утроенная длина большей стороны. По условию задачи пери-метр нового прямоугольника равен 240 см. Составим уравнение:
.x;x;x;xx;)x(x;))x(x(
3220126051206032120203224020322=+===++
=++=++
Ответ. 12 см, 32 см.
№ 171.
Пусть х ч – время в пути пассажирского поезда, тогда (х+1) ч – вре-мя в пути скорого поезда, 110(х+1) км – расстояние до места встре-чи, которое прошел скорый поезд, 90х км – расстояние до меставстречи, которое прошел пассажирский поезд. Расстояние междудвумя станциями равно 710 км. Составим уравнение:
.x;x;x;xx;x)x(
41360020071090110110710901110
=+===++=++
Ответ. Через 4 ч.
8.Функция xky = и ее график
№ 172.
xy 8=
y
x
b
www.5balls.ru
х -4 -2 -0,25 2 5 16 20у -2 -4 -32 4 1,6 0,5 0,4
1) ;y,x 24
84 −=−
=−=
2) ;x;x;x
;y 284844 −==−=−−=
3) ;,
y;,x 32250
8250 −=−
=−=
4) ;y;x 4282 ==
5) ;,y;x 61531
585 ===
6) ;,y;x 5021
16816 ====
7) .x;x,;x
,;,y 2084084040 ====
№ 173.
xy 120=
х -1200 -600 240 -120 75 120 300 1000у -0,1 -0,2 -0,5 -1 1,6 1 0,4 0,12
1) ;,y;x 10101
12001201200 −=−=
−=−=
2) ;,y;x 20600
120600 −=−
=−=
3) ;x;x,;x
,;,y 240120501205050 −==−=−−=
4) ;x;x
;y 12012011 −==−−=
5) ;,y;x 6175
12075 ===
6) ;y;x 1120120120 ===
www.5balls.ru
7) ;x;x,;x
,;,y 300120401204040 ====
8) .,y;x 12010001201000 ===
№ 174.
,vts 600== отсюда получаем:
а) t
v 600= (км/ч);
б) v
t 600= (ч).
№ 175.
;,y;x
y;x 101001010100 ===
;,y;x 0101000101000 ===
;,
y;,x 10010
1010 ===
;,
y;,x 500020
10020 ===
);;,(A 200050 −− проверим ;;,
200200050
10200 −=−−
−=− данная точка
принадлежит графику функции ;x
y 10=
);;,(B 10010− проверим ;;,
10010010
10100 −≠−
= данная точка не при-
надлежит графику данной функции;
);,;(C 0250400 проверим ;,,;, 02500250400100250 == данная точка при-
надлежит графику данной функции;
);,;(D 020500 − проверим ;,,;, 02002050010020 ≠−=− данная точка не
принадлежит графику данной функции.
№ 176.
www.5balls.ru
Как известно, обратная пропорциональность задается формулой:
,xky = отсюда получаем: ;k;k 24
212 == следовательно, искомая
функция .x
y 24=
№ 177.
При рассмотрении графика получаются следующие результаты:а) ;y;x 42 == ;y;x 24 == ;y;x 81 −=−=
;y;x 24 −=−= ;,y;x 515 −=−=б) ;x;y 24 −=−= ;x;y 42 −=−= 18 == x;y
№ 178.
Построим график функции по точкам:
х -8 -4 -2 2 4 8у 1 2 4 -4 -2 -1
По графику найдем искомые значения х и у:а) ;y;x 24 −== ;,y;,x 2352 −== ;,y;,x 3551 −==
;y;x 81 =−=
;,y;,x 2352 =−=б) ;x;y 18 −==
-6
y
x0 2 4
4
2
-4
-4-8 6 8
6
8
-8
-2-6
www.5balls.ru
.x;y 42 =−=
№ 179.
Построим график функции по точкам:
х -6 -3 -1 1 3 6у -1 -2 -6 6 2 1
По графику найдем искомые значения:
а) ;y;,x 451 ==;,y;,x 3252 −=−=
;,y;,x 6153 ==б) ;x;y 23 −=−=
.,x;y;,x;y
;x;,y
807514
451
====
−=−=
№ 180.
Построим график функции по точкам:
а)х -2 -1 1 2
у21−
-1 121
-6
y
x0 2 4
4
2
-4
-4-8 6 8
6
8
-8
-2-6
www.5balls.ru
б)
х -2 -1 1 2
у21 1 -1
21−
в)
х -6 -2 -1 1 3 6у -4 -8 -24 24 8 4
y
x0 2
2
-2
-2-4 4
4
-4
y
x0 2
2
-2
-2-4 4
4
-4
www.5balls.ru
г)
y
x
6
8
4
10
0 2-2-4 4 6
12
-6
-4
-6
-8
-10
-12
-14
y
x
6
8
4
10
0 2-2-4 4 6
12
-6
-4
-6
-8
-10
-12
-14
www.5balls.ru
х -6 -3 -1 1 3 6у 4 8 24 -24 -8 -4
№ 181.
Объем прямоугольного параллелепипеда равен 3120смabcV == ;(где с – его высота). получаем: - обратная пропорциональность, так
как она имеет вид ,xky = при .k 6=
Область определения функции a
b 6= - все положительные числа,
т.е. 0fa (поскольку длина стороны основания – положительноечисло). Построим график функции по точкам:
a 1 2 3b 6 3 2
№ 182.
а) );,;(A 12508 получаем ;x
y;,k;k, 11812508
1250 ==⋅==
б) );;(B541
32 получаем ;
x,y;,k;k 2121
56
3529
32
541
2541 ===
⋅⋅=⋅==
в) ),;(C 2025 −− ; получаем .x
y;k);(),(k;k, 55252025
20 ==−⋅−=−
=−
y
x
4
2
0 2 4 6
6
8
8
www.5balls.ru
№ 184.
а) к > 0; т.к. х > 0 и у >0, либо х < 0 и у < 0б) к < 0, т.к. х > 0 и у < 0, либо х < 0 и у >0.
УПРАЖНЕНИЯ ДЛЯ ПОВТОРЕНИЯ
№ 185.
а) 95
95
335
335
2
22
2
2
=−−=
−⋅−−=
−−
)yx()yx(
)xy()xy()yx(
)xy()yx( не зависит от х и у
б) 49
2429
242323
2463
2
2
22
2
=−−=
−−⋅−=
−−
)yx()yx(
)xy()yx()yx(
)xy()yx( не зависит от х
и у.
№ 186.
=−+
−−
−−
+ 27
412
21
23
2 xx:
xxx
( )( ) =−+÷
+−
+−
−+
=27
2212
21
23
xx
xxxx( ) ( )
( )( )( )
( )( ) =+−⋅
+−+=
−+÷
+−++−−=
72
2222
27
2212223
xx
xxx
xx
xxxx
( )( )( )( )( ) 7
2722
222+
=++−
−+=xxxx
xx .
№ 187.
zyx111 −= ; 0111 =+−
zyx; 0=+−
xyzxyxzyz ; 0=+− xyxzyz ;
а) 0=+− xyxzyz ; xyxzyz −= ; ( )yzxyz −= ; yz
yzx−
= ;
б) 0=+− xyxzyz ; xyxzyz −=− ; ( ) xyxyz −=− ;
yxxy
xyxyz
−=
−−= .
Дополнительные упражнения к главе I
www.5balls.ru
К ПАРАГРАФУ 1
№ 188.
а) ( ) 23422 15105325 xxxxxx +−=+− ;б) ( ) 23422 8408158 yyyyyy ++−=−−− ;в) ( )( ) =+−++−=++− 1215381023245 2232 aaaaaaaa
12772 23 +−−= aaa ;г) ( )( ) =++−−−=−−− 10142152135723 2232 bbbbbbbb
10233 23 +−−= bbb ;д) ( ) =+−+−=+−+− 4234422 1631215161453 xxxxxxxx
234 312 xxx −+= ;е) ( ) =−++−=+−−− 654363236 82102845128 yyyyyyyyyy
345 2102 yyy −+= ;ж) ( )( ) ++−−−++=+−++ 22323422 212284372437 aaaaaaaaaaa
62233614 234 ++−+=++ aaaaa ;з) ( )( ) ( ) ( ) =−+−=−−=−+−− 22422222 92510355353 bbbbbbbbb
2519 24 +−= bb .
№ 189.
а) ( )( ) ( )( ) 22 164947474774 xaxaxaxaax −=+−=++− ;б) ( )( ) 6498383 422 −=+− ccc ;в) ( ) 222 2520452 yxyxyx +−=− ;
г) ( ) 442 2422 ++=+ ppp ;д) ( )( ) 3322 82746923 babababa −=++− ;е) ( )( ) 362242 1252555 yxyyxxyx +=+−+ ;ж) ( ) ( )( ) ( )=−−−+−=++−−− 333223223 33 nmnnmnmmnmnmnmnm
nmmn 22 33 −= ;з) ( ) ( )( ) ( )=+−+++=+−+−+ 333223223 33 yxyxyyxxyxyxyxyx
22 33 xyyx += .
№ 190.
www.5balls.ru
а) ( )baababba +=+ 22 ;б) ( )2233 yxxyxyyx −=− ;в) ( )ayxxaxxyx 32721147 2 +−=+− ;г) ( )abxyaybyxy 5331539 +−=+− ;д) ( ) ( ) ( )( )=+−=−+−=−+− xxxxxxxxxxx 33234 111
( )( )11 2 +−= xxx ;е) ( ) ( ) ( )( )=−−=−−−=+−− ccccccccccc 33234 22222
( )( ) ( )( )( )11212 2 +−−=−−= ccccccc ;ж) ( ) ( )( ) ( )( )=−−−=+−−−=−− 26245252252 22 aaaaaaaa
( )( ) ( )( )aaaa 3112413124 −+=−+−= ;з) ( ) ( )( )=−+++=−+ bbbbbb 6363363 22
( )( ) ( )( )bbbb 53373537 −+=+−+= ;и) ( )( )41025258125 23 +−+=+ xxxx ;к) ( )( )918363627216 23 ++−=− xxxx ;л) ( ) ( ) ( ) ( )( )=++−+++=++ 2233 1111 aaaaaaaa
( )( ) ( )( )1121212 2222 +++=+−−+++= aaaaaaaaa ;м) ( ) ( )( ) ( )[ ]=++++−+=−+ 2233 42222282 bbbbbbbb
( )( ) ( )( )4872442442 2222 ++−=+++++−= bbbbbbbbb .
№ 191.
а) ( )( ) =+−++−++−=+−++ 111 22323422 aaaaaaaaaaaa124 ++= aa , что и требовалось доказать;
б) ( )( ) =+−++−++−=+−++ 111 242464682424 bbbbbbbbbbbb148 ++= bb , что и требовалось доказать;
в) ( )( )=+++− 2222 22 cccc444244222 4223234 +=+++−−−++= ccccccccc , что и требова-
лось доказать.
№ 192.
а) ( ) 3410
201710
1731710
1731710
1751 22
=⋅=+=+⋅=+ ;
www.5balls.ru
б) ( ) 3740
403740
3373740
3373740
11137 22
=⋅=+=⋅+=+ .
№ 193.
Составим таблицу:Поезда t, ч v, км/ч s, км
1-й t 60 60t2-й t - 3 v v(t – 3)
Запишем уравнение: ( ) 600360 =−+ tvt ; ( )360600 −=− tvt ;
360600
−−=
ttv ; ( )
31060−
−=t
tv .
Подставим t = 7: ( ) 454
36037
71060 =⋅=−
−=v (км/ч).
Подставим t = 6: ( ) 803
46036
61060 =⋅=−
−=v (км/ч).
№ 194.
а) х – любое действительное число;
б) 072 ≠+y ; 72 −≠y ; 27−≠y ; 53,y −≠ .
Ответ: 53,y −≠ ;
в) ( )79
79
2 −=
− xxxx; ( ) 07 ≠−xx ; 1) 01 ≠x ; 2) 07 ≠−x ; 7≠x .
Ответ: 0≠x , 7≠x ;г) y – любое действительное число;д) 03 ≠−x ; 3−≠x , 3≠x .Ответ: 3−≠x , 3≠x ;е) y – любое действительное число.
№ 195.
а) 2
5−x
; б) 32327
xxx
−− ; в) 29
14x
x−
+ ; г) 14
62 −x
.
№ 196.
www.5balls.ru
7438
2 +−
xx , потому что 074 2 f+x при всех х.
№ 197.
а) 02 ≠−x ; 2≠x ;Ответ: 2≠x ;б) 05 ≠+x ; 5−≠x ;Ответ: 5−≠x ;в) 062 ≠−x ; 62 ≠x ; 3≠x ;Ответ: 3≠x .
№ 198.
а) yx
yx
yx
29
112119
2299 −=
⋅⋅−=− ;
б) ab
ab
acbc
56
536636
180216 =
⋅⋅= ;
в) yc
yc
ayac 9
45945
45405 =⋅= ;
г) 101018
1818018 bb
acabc =
⋅= ;
д) 484
45
84
45
45
4757
2835
ya
yaya
yaya =
⋅⋅= ;
е) 1014
4
144
44
21
277
147
yyy
yxyx =
⋅= .
№ 199.
а) ( )( )( ) 34
23417217
34173417
++=
++=
++
xyxy
xyxy
xyxy ;
б) ( ) ( )( )( )
( )( ) ca
cacaca
caca
cacaca
caca
+−=
+−=
+−=
+−−=
−−
33
3333
333333
9933 2
22
2
;
в) ( )( )
( )( )( )( )( ) =
−−⋅−=
−−−=
−−
babaab
babaab
baab
222
22222
2222 2222
2
22
( )( )( )( )
( )( )( )( ) ( ) ( )ab
baba
bababababa
babaabab
−+=
−+−=
−−+−−=
−−+−=
2222;
www.5balls.ru
г) ( )( )
( ) ( )( ) ( )
( )a
aaa
aaa
a−+=
−−+−=
−−
33
3333
39 2
2
22
3
22
;
д) ( )( )( )( ) 10010
101001010
10101000100
223
2
+−−=
+−++−=
+−
xxx
xxxxx
xx ;
е) ( )( )( )( ) ( )yy
yyyyy
yyyyy
y21
1242121
124124
18 22
3
3
+++−=
+−++−=
−− ;
ж) ( )( )( ) xyxx
yxy,xx
yxxy,x
yx 2222
502
502
2 =−−=
−−=
−− ;
з) ( )( )( ) =
+−−=
−−
b,ab,abaa
b,aaba
6060253525
36035
22
2
( )( )( ) ba
ababa
baa35
253535
3525+
=+−
−= .
№ 200.
а) ( )( ) a
bbaabab
ababab
25
322325
641510
2
2
=−−=
−− ;
б) ( )( ) x
yyxxyxy
xyxyxy
27
3237
26721
2
2
=−−=
−− ;
в) ( )( )( ) yx
xyxyx
yxxyxxyx
52
5552
25102
22
2
−=
+−+=
−+ ;
г) ( )( ) qp
pqp
qppqpqp
pqp43
243
43216249
86222
2
−=
−−=
+−− ;
д) ( )( ) ( )
( )( )( ) ba
aaba
ababaa
abaaba
aa+−=
−+−=
+−+−=
−−++− 2
22
22
2244 22
2
2
;
е) ( ) ( )( )
( )( )( ) 23
223
23223
22234129
2436222
2
+−=
++−=
+−+−=
++−+−
xyx
xxyx
xyxyxx
xxyxxyx
ж) ( )( )( ) 2222
2
33
22
422
4222
844
bababa
babababa
bababa
+−+=
+−++=
+++ ;
з) ( )( )( ) 2
3392
3932618
2722
22
22
33 yxyxyx
yxyxyxyxyx
yx −=++
++−=++
− .
№ 201.
www.5balls.ru
а) ( )( ) 11
111
11
77147
714
21
714
+=
+−++−=
++−
bbbbbb
bbb .
б) ( )( )( ) 11
11
112211
112211
112233
33 11
111x
xxxx
xxxxxx
x −=++
++−=++
− ;
в) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) =
+−−+−+−−=
−−−−−−
222222 22 zxzxyzyzyxyzxyxzxy
zxyzyxzxyzyx
=−+−+−
−= 2222 22 yzxyzyxxzxyzxyxzyz
( )( ) ( )
( )( ) ( ) =
−+−−=
−+−−=
yxzzyxyxyz
yzxzyxxyxyz
22222
( )( )( ) 22 zxy
zzxyxy
xyz−
=−−
−= ;
г) ( ) ( )( ) ( )
( ) ( ) =−−+
++−++=+−++−+
babaabaabbba
abbaabba 1212
1111 2222
( ) ( ) =−
−+−=−
−−−++=ba
babaabba
babbaaabab 2222 22
( ) ( ) ( )( ) abba
abbaba
baabab −=−
−−=−
−+−= 11 .
№ 202.
Произведем замену:( ) ( )( )
( )( )xyyk
yxkxykyk
ykxkkykxky
kykxxyy
yx53
253
2532
532
22
222
222
2222
2
22
2
22
+−=
+−=
⋅+−=
+− ;
xyyyx
xyyyx
532
532
2
22
2
22
+−≡
+− - дробь, тождественно равная первоначальной.
№ 203.
При 72=x и
73=y , дробь равна:
=−
+
=−⋅
+⋅=
−
⋅
+
⋅
=−+
49912
49912
499
4943
499
4943
73
723
73
723
33
22
22
22
22
yxyx
www.5balls.ru
74934921
493
4921 =
⋅⋅=÷=
При х = 2 и y = 3, дробь равна:
7721
912912
943943
323323
33
22
22
22
22
==−+=
−⋅+⋅=
−⋅+⋅=
−+
yxyx , что и требовалось
доказать.
№ 204.
а) ( ) 94
8136
93636
22 ===− ba
;
б) ( ) ( ) 311
34
912
81108
9108108108
222 =====−
=− baab
;
в) ( ) ( ) 459545
92545
5545
55 222
=⋅=⋅=−⋅=− baba ;
г) ( )( ) 911
22
22
33
22
=−
=++−
++=−
++babababa
bababa
baba
Ответ: а) 94 ; б)
311 ; в) 45; г)
91 .
К ПАРАГРАФУ 2
№ 205.
а) =−
+−−=−−−
−−
3942
394
32 22
xxxx
xx
xxx
( ) 33
33
96 22
−=−
−=−
+−= xx
xx
xx ;
б) =−−=
−−−=
−−
−−
864
85410
854
810 222
yy
yy
yyy
( )( ) 88
88 +=−
+−= yy
yy ;
в) 122
22
22
2
22
2
22
2
22
2
=−−=
−−
−=
−+
− baba
bab
baa
abb
baa ;
г) ( ) ( ) =−
−−−=−
−+−=−−−
−−
22
22
22
22
22
2
22
2 222222yx
yxyxyx
yyxxxyyy
yxxx
www.5balls.ru
( )( ) ( ) ( )( )( )( ) yx
yxyxyx
yxyxyx
yxyxyx+
−+=+−
−+−=−
−−+−= 22222 .
№ 206.
а) ( ) ( ) =+−
−+−=+−
−++−
−111
22
bybyby
byby
byby
( )( ) byby
byby −=+−
+−−=1
1 ;
б) ( ) ( ) ( ) =−+
+−+=−+
+−−+
+2
22
222
22
xaxaxa
xaxa
xaxa
( )( ) xaxa
xaxa +=−+
−++=2
2 ;
в) =+−
+++−
−=+−
++−−
−1111
2222
xyyx
xyxy
xyyx
yxyx
( )( ) ( ) ( )( ) xyxy
xyxyxy
xyxyxy +=+−
+−+=+−
+++−=1
11
;
г) ( ) ( )( ) ( ) =−+
−−−++−=
−−−+
−+−
2332
2333
3232
239 22
cbcb
cbcbcb
cbcb
cbcb
( )( ) ( ) ( )( ) cbcb
cbcbcb
cbcbcb 323
23323
3233 −=−+
−+−=−+
−−+−= .
№ 207.
а) =−
+−−=−−−
−−
abaaabba
abaaab
ababa
34312
343
312
2
2
22
2
( ) ( )( )
( )( )( ) a
abaa
baabaa
abaa 43
343
434 +=−
−+=−
+−+= . Подставим а = -0,8:
480
2380
4804 −=−
=−
+−=+,
,,
,a
a .
b = -1,75 – лишнее данное в задаче.
б) =++
+−−=++
−−++
−xxyxxyyx
xxyxxy
xxyxyx
242
24
22
2
2
22
2
( )( ) ( )( )
( )( )( ) x
xyxx
yxxyxx
xyxx 22
222
222 −=++
++−=++
−++−= . Подставим х = 20:
www.5balls.ru
109
2018
202202 ==−=−
xx .
y = 22,5 – лишнее данное в задаче.
№ 208.
а) xxx
xx
x 2122 +=+=+ ;
б) zzy
zz
zy
zzy +=+=+ 22
;
в) a
aaa
aa
aa
aa 424242 22
+−=+−=+− ;
г) b
bbb
bb
bbbb 633363 22
−+=−+=−+ .
№ 209.
а) nnn
nn
n 6166 +=+=+ ; при п = 1; 2; 3; 6. Значение выражения – це-
лое.
б) nnn
nn
n 125125125 −=−=− ; при п = 3; 4; 6; 12. Значение выражения
– целое.
в) 136363622
2
22
2
−=−=−nn
nnn
n ; при п = 1; 2; 3. Значение выражения –
целое.
№ 210.
а) 6151 =+=+=+=+yx
yy
yx
yyx ;
б) 4151 =−=−=−=−yx
yy
yx
yyx ;
в) 515 1
1
==
= −
−
yx
xy ;
г) ( )521
52125121212 1
1
=+=⋅+=⋅
+=+=+ −
−
yx
xy
xyx .
www.5balls.ru
№ 211.
а) 3=+y
yx ; yy
yx −= 3 ; 213 =−=
yx ;
б) 313 1
1
==
+=+
−
−
yyx
yxy ;
в) 1121 =−=−=−yx
yyx ;
г) ( )212 1
1
==
= −
−
yx
xy .
№ 212.
а) ( ) =−+−−=−+−−yb
bbybbb
byb
ybbb
22
2
2
2 3515335153
ybbb
ybbbbb
2
2
2
22 18835153 −−=−+−−= ;
б) ( ) ( ) =−−+−=−−+−33
2222
3
2
3
2 1111xa
xaxaaax
xxaaa
33
222
33
2222222
xaaxax
xaaxaxaxxa −+=+−+−= ;
в) 83
44
83
4444
82
43
43
1yc
cyyc
cyccyyyc
ycycс −=−−+=+−+ ;
г) 53
33
53
3223
3352
22
xcxc
xcxcxcxc
xcxc
xcxc −=−−+=+−+ .
№ 213.
а) ;yxyxyxyxyxyxyx4
354
444114
+=−++=−++=−++
б) ;n
nn
mnnmnnmnnm
nmnnm 111
111 22 −=−−+=+−+=+−+
в) =++
−−−++=++++−=
++++−
cbabcacab)cba(a
cbabcacaba
cbabcacaba
1
www.5balls.ru
;cba
bcacba
bcacabacaba++
−=++
−−−++=22
г) =+
+−+−=+−−−=
+−−−
baba)ba)(ba(
bababa
bababa
332233223322
11
.ba
)ba(abbaabba
babababbaa
+−=
+−=
++−−−+=
22333223
№ 214.
а) =−+
−+++−=−−+
++
)nm)(nm()mn)(nm()mn)(nm(
nmmn
nmmn 1111
=−+
−=−+
−+−+−−+=)nm)(nm(
nnm)nm)(nm(
nmnmnmnmnmnm 22 22222
;)nm)(nm()m)(m(n
)nm)(nm()m(n
−++−=
−+−= 11212 2
б) ;)ba(a
ba)ba(a
abbababa
baba
++=
+−++=
+−+
2222
2
2222
в) =−+
+−−−+=−
−−+
+)xa)(xa(
)xa)(xa()xa)(ax(xaxa
xaax
344
334
334
=−+
+=−+
+−+−−−+=)xa)(xa(
xa)xa)(xa(
xaxaxaaxxaax3
333
4444 222222
;xaxa
22
22
−+=
г) ;a)ba(a
ba)ba(a
abba)ba(aab
)ba(aba 333621249621249 =
−−=
−−+−=
−−+
−−
д) =−
++−
+=−
+−+
)yx(xxy
)yx)(yx(yx
xyxxy
yxyx
72
77213
72
49213
222
=+−
+++=+−
+++=)yx)(yx(xxyyxxyx
)yx)(yx(xxyyx)yx(x
77142213
77142213 22222
=−+=
+−++=
+−+++=
)yx(x)y(x
)yx)(yx(x)xyx)(yx(
)yx)(yx(x)yx(xy)yx(x
723
77237
777273
;yxy
723
−+=
е) =+
++−
−=+
+−−
)nm(nn
)nm)(nm(mnm
nmnn
nmmnm
22
222
22
42 22
2
2
22
2
www.5balls.ru
=++
−+−=++
−+−=)nm)(nm(n
nmnmnnm)nm)(nm(n
)nm(n)mnm(n22
42222
222 322222
.)nm)(nm(n
)nm(n)nm)(nm(n
nnm 122
422
4 2232
=++
−=++
−=
№ 215.
а) =+
−−
−=+
−−
−cb
c)c,b(
)bcb(cb
cc,b
bcb2
22504
242
2250
222
2
22
2
=+
−+
=+
−+−
−=+
−−
−=cb
ccb
bcb
c)cb)(cb(
)cb(bcb
ccb
)cb(b2
22
42
222
242
24
2422
;cb
)cb(cbcb
+−=
+−=
222
224
б) =+
++−−=
+++
−−
),x(x)x(
),x(xx
x,xx
x,xx
50122
5012
5024
5012
22
;xxx)x(x
)x()x(x)x( 642
12124
12122 =+=
+++
−−=
в) =−
−++
+−+−
−
41
1
41
2
41
222
2
2
2
yyy
yy
yy
yy
=−
−++
+−+−
−=
)y()yy(
)yy(
)yy(
)yy(
414
4
414
24
414
2422
2
2
2
=−
−++
+−+−
−=14
4144
124144
124222 yyy
)y(yyy
)y(y
=+−
−+
+−−
−=)y)(y()y(
)y(y)y(
)y(y1212
412
12412
12422
=+−
−−−+=+−
−+
−−
=)y)(y(
)y(y)y(y)y)(y(y
yy
y1212
41241241212
412
412
4
;y)y)(y(
y)y)(y(yyyy
124
121248
121244848 22
+=
+−−=
+−−+−+=
г) =−−−
++=
−−−
++
)b,a(a)b,a(b
)b,a(b)b,a(a
ab,ab,ab
b,abab,a
7070
3030
7070
3030
2
2
2
2
;ab
baab
ba 22 −=−=
www.5balls.ru
д) =−
++−
+=−
+−
+y,x
x)xy,)(xy,(
)y,x(y,y,x
xxy,y,xy,
9022
29029090290
9022
481081081
22
2
;x,xy,
xy,x
xy,y, 1
290290
2902
29090 =
−−=
−−
−=
е) =−
−+−
=−
−− ),a,(),a,)(,a,(
a,a,a,
a80514
880518051
6236
8640252
62
=+−
−=+−
+−=),a,)(,a,(
,a),a,)(,a,(
),a,(a805180514
4612805180514
8051824
.a,a,),a,)(,a,(
),a,(815
208051
2805180514
80518+
=+
=+−
−=
№ 216.
( )( ) ( )( ) ( )( ) =−−
+−−
+−− accbbaaccbba
111
( )( )( ) ( )( )( ) 00 =−−−
=−−−−+−+−=
cbacbacbacbabacbac ,
при всех допустимых а, b, и с.
№ 217.
а) ( )( ) =+−
−−+
+−
=−−−
++
− 33184
31
35
9184
31
35
2 yyy
yyyy
yy
( )( ) ( )( )( )
( )( )33152
33302
331843155
+−+=
+−+=
+−+−−++=
yyy
yyy
yyyyy ;
б) ( )( ) =+−
+−−
−+
=−+−
−+
+ 323294
325
322
9494
235
322 2
2
2
aaa
aaa
aa
aaa
( )( ) ( )( ) =+−
−−=+−
−−−−−=3232
24163232
94151064 22
aaa
aaaaaa
( )( )( ) aaa
a23
83232
328−
=+−
+−= ;
в) ( )( )
( )( ) =−
−−+
++=−
−−+
++
yb
bybb
bybb
yb
ybybb
ybybb
32
33
5352
32
33
153102 22
yb
yb
yb
yb =−+=
32
32 ;
www.5balls.ru
г) ( )( )
( )( ) =+
++−
−−=+
++−
−−
10324323
325327
1012896
15102114 x
aax
aaxx
axax
axax
43
2015
2021528
1043
57 xxxxxxxx ==+−=+−= ;
д) =+−+
−+−
− 2412
3612
144
2 mm
mm
mm
( )( ) ( ) ( ) =−
−+−+−
+−=
12212
12312
12124
mm
mm
mmm
( )( ) ( )( )( )( ) =
+−−−+++−⋅=
121261236122446
mmmmmmm
( )( ) =+−
+−−+−−−−=12126
36612244824 22
mmmmmmmmm
( )( )( )
( )( ) ( )12612
1212612
12126144 22
−+=
−++=
+−++=
mm
mmm
mmmm ;
е) ( ) ( ) =−
+−
−+ 2222
121yxyxyx
( ) ( )( ) ( ) =−
++−
−+
= 22
121yxyxyxyx
( ) ( ) ( ) ( )22
2
22
222222 42222yxyx
yyxyx
yxyxyxyxyx+−
=+−
++++−+−= ;
ж) ( )( ) =++
−−++−
++=++
−−−
++1
2111
2341
211
23422
2
23
2
aaa
aaaaa
aaa
aaa
( )( )( )( ) ( )( ) =
++−−++−++=
++−−−−++=
11212234
11211234
2
22
2
2
aaaaaaaa
aaaaaaa
( )( )( )3
2
3
2
1123
136
−+=
−+=
aa
aa ;
з) =−
+−
−++
−yxyx
xyyxyx
yx 133322
( )( ) =−
+++−
−++
−=yxyxyxyx
xyyxyx
yx 132222
( ) ( )( )( ) ( )( ) =
++−+++−+−=
++−+++−−= 22
2222
22
222 323yxyxyx
yxyxxyyxyxyxyxyx
yxyxxyyx
( )( )( )
( )( ) =++−
−+=++−
−+= 22
22
22
22 22422yxyxyx
xyyxyxyxyx
xyyx
www.5balls.ru
( )( )( )
( )( )2222
2 22yxyx
yxyxyxyx
yx++
−=++−
−= .
№ 218.
( )( ) ( )( )( )( ) ( )( )
( )( )( ) =+−+
−−−++=++
−−+−
+yxbaba
aybxbabyaxbayxba
aybxyxba
byax
( )( )( ) =+−+
−++−+++=yxbaba
abyxbyaabxybabxabyxa 2222
( )( )( )( ) ( )( )( )( ) =
+−++++=
+−++++=
yxbabaabybax
yxbabayaybxbxa 22222222
( )( )( )( ) 22
22
22
22
baba
yxbayxba
−+=
+−++= , т.е. эти выражения тождественно равны.
№ 219.
а) ( )( ) ( )( ) ( )( ) =−−
+−−
+−− bcaccabcbbcabaa
111
( ) ( ) ( )( )( )( ) ( )( )( ) =
−−−−++−−=
−−−−+−−−=
cbcabaabcabbaaccabccb
cbcabaabcbaabcaaccbbc 222222
( ) ( ) ( )( )( )( )
( )( )[ ]( )( )( ) =
−−−−++−−=
−−−−−−+−−=
cbcabaabcacbcabbca
cbcabaabccaaccabcab 2222
( )( )( )( ) abccbbaabc
bacb 1=−−
−−= ;
б) ( )( ) ( )( ) ( )( ) =−−
+−−
+−− yzxz
zzyxy
yzxyx
x 222
( )( ) ( )( ) ( )( ) =−−
+−−
−−−
=yzxz
zzyyx
yzxyx
x 222
( ) ( ) ( )( )( )( ) =
−−−−+−−−=
yzzxyxyxzzxyzyx 222
( )( )( ) =−−−
−++−−=yzzxyx
yzxzzyxyzxyx 222222
( ) ( )( ) ( )( )( )( )
( )( )( )( )( ) =
−−−+−−−=
−−−−++−−−=
yzzxyxzzyzxxyyx
yzzxyxyxzyxyxzyxxy 22
www.5balls.ru
( ) ( )( )( )
( )( )( )( ) 1=
−−−−=
−−−−−=
yzzxzyzx
yzzxzyzzyx .
№ 220.
а) ( )3
63
633
3632
−+=
−+
−−=
−+−
xx
xxxx
xxx ;
б) ( )5
85
855
5852
+−=
+−
++=
+−+
yy
yyyy
yyy ;
в) ;aaa
aa
a)a(a
aaaa
aaa
62
62
66
626
627 22
+++=
+++
++=
++++=
+++
г) .bbb
bb
b)b(b
bbbb
bbb
313
31
333
3193
31103 22
−+−=
−+−
−−=
−−−−=
−−−
№ 221.
1) ;x
xxx
xx
xx
xx5
755
7525
5257 22
−++=
−+
−−=
−−+ следовательно, ответ
верный;
2) =−−+
−−=
−−−+=
−−+
52512
55
525512
5257 222
xx
xxx
xxxx
xxx
=−
+−−+=
−+−+
−−
=5
3556012
5356012
55
xxxx
xx
x)x(x
;x
xxx
)x(x5
35125
355512
−++=
−+
−−+= следовательно, ответ верный;
3) ответ неверный, т.к. подстановке х = 1,
,x
xx4
175
2572
−−+ а .
xxx
419
5252 =
−−+−
№ 222.
а) ,xx
xx
x3
1863
181863
6+
−=+
−+=+
то есть тождество верно.
б) ,bx
ababx
ab)bx(abx
ababaxbx
ax+
−=+
−+=+
−+=+
то есть тождество
верно.
№ 223.
www.5balls.ru
а) ;x
ax
xx;x
ax
x;x
ax
x33
6223
23
23
23
2+
=+
−−+
=−++
+=+
336
+=
+−
xa
x, 6−=a ;
Ответ: 6−=a .
б) 5
15 −
+=− x
ax
x ; 5
15 −
=−− x
ax
x ; 55
5−
=−
+−x
ax
xx ;
555
−=
− xa
x, 5=a ;
Ответ: 5=a .
в) 233
2 −−
=− x
ax
x ; x
ax
x−
=+− 3
232 ;
xa
xxx
−=
−−+
33262 ;
xa
x −=
− 336 , 6=a ;
Ответ: 6=a .
г) 155
2 −−
=−+
xa
xx ;
xa
xx
−=+
−+
51
52 ;
xa
xxx
−=
−−++
5552 ;
xa
x −=
− 557 , 7=a ;
Ответ: 7=a .
№ 224.
а) ( )2
1052
10225
25
+−=
+−
++=
+ xxxx
xx ;
б) ( )1
221
21
121
2−
−−=−
−−
−−=−
−xxx
xx
x ;
в) ( )xxx
xx
x−
+−=−
+−−=
− 5102
510
552
52 ;
г) xxx
xx
xx
x−
−−=−
−−−=
−−−=
−−
211
21
22
212
23 .
№ 225.
а) n
nnn
nnn
nnn 325325325 22
++=++=++ - целое при 31 ±±= ;n .
www.5balls.ru
б) ( )n
nnn
nn
nn
nnn
n 9696963 222
+−=+−=+−=− - целое при
931 ±±±= ;;n .
в) ( )2
632
6223
23
+−=
+−
++=
+ nnnn
nn - целое при 543108 −±−±−= ;;;;;n .
г) ( )4
2874
28447
47
−+=
−+
−−=
− nnnn
nn - целое при
3224181110865320 ;;;;;;;;;;n −−±= .
№ 226.
а) ( )( ) 32325
++
−=
+− xb
xa
xxx ; ( )( )
( ) ( )( )( )32
2332
5+−
−++=+− xx
xbxaxx
x ;
( ) ( )235 −++= xbxax ; bbxaaxx 235 −++= ;( ) babxaxx 235 −++= ; ( ) babaxx 235 −++= ; запишем систему:
=−=+
;ba,ba023
5( )
=−−−=
;bb,ba
02535
;bb 02315 =−− ;b 3= ;a 2=Ответ: b = 3; а = 2.
б) ( )( ) 2525315
+−
−=
+−+
xb
xa
xxx ; bbxaaxx 52315 +−+=+ ;
babxaxx 52315 ++−=+ ; ( ) babaxx 52315 ++−=+ ;запишем систему:
=+=−
;ba,ba
31525
( )
=+++=
;bb,ba
315525
315102 =++ bb ; 217 =b ; 3=b ; 8=a .Ответ: b = 3; а = 8.
К ПАРАГРАФУ 3
№ 227.
а) ( )( )
( )( ) =
+−⋅
−+=
+−⋅
−+
11
11
22
33
22
23
42
36
24
35
xxxx
xxxx
xxxx
xxxx
( ) ( )( ) ( )
( )( )( )( )
( )1
111
111111 2222
2222
3323
+++=
+−++−=
+−−+=
xxxx
xxxxxx
xxxxxxxx ;
www.5balls.ru
б) ( )( )
( )( ) =
−+⋅
−−=
−+⋅
−−
mmmm
mmmm
mmmm
mmmm
232
432
232
432
2
22
3
4
32
24
4
45
( ) ( )3
23
3
23
42
42
mmm
mmm
−+=
−+−= .
№ 228.
а) =++
+⋅+
++234
35
23
345
mmmmm
mmmmm
( )( )
( )( )
( )1
11
11
1 22
22
23
2
23
++=
+++⋅
+++=
mmm
mmmmm
mmmmm ;
б) =+−
−⋅−
+−nnn
nn
nnn35
2642 11
( )( )( )( )( ) ( )1
11111
24
242
+−=+−−
+−+−− nnnnnn
nnnnn .
№ 229.
а) =−−++−−⋅
+−−+++
abbxaxaabbxaxa
bxabaxabxabaxa
2
2
2
2
( ) ( )( ) ( )
( ) ( )( ) ( ) =
−+−+++−⋅
−+−+++=
baxbaabaabax
baaabxxabxaa
( )( )( )( )( )( )( )( )
( )( )2
2
baba
xabaxabaxababaxa
−+=
+−−−−+++= ;
б) =+++−−+⋅
+−−−−+
aaxxxaaxxx
axaxxaxaxx
4444
3333
2
2
2
2
( ) ( )( ) ( )
( ) ( )( ) ( ) =
+++−+−⋅
−−−+−+=
axaxxaxaxx
axaxxaxaxx
44
33
( )( )( )( )( )( )( )( )
( )( )( )( ) 1
4343 =
+−−+=
++−−+−−+=
axaxaxax
xaxxaxxaxxax .
№ 230.
а) ( )( )( )( ) =
−++−=
+−⋅
+−
2926
58
5
29
26
8
aaaaaaaa
aaaa
aaaa
( ) ( )( ) ( ) 27242
47 111
11aaaaa
aaaa −=−⋅+
+⋅−= ;
www.5balls.ru
б) ( )( )( )( ) =
−++−=
+−÷
+−
2475
7962
79
24
75
62
3939
xxxxxxxx
xxxx
xxxx
( ) ( )( ) ( )
( )( )( )( )( ) ( )3
31133
3119 22
22
2222
2225
2742
+−=−+
⋅++−=−⋅++⋅−= xx
xxxxxx
xxxxxxxx .
№ 231.
а) =+−−+++÷
−−+−+−
abaxbxxabaxbxx
abaxbxxabaxbxx
2
2
2
2
( )( )
( )( ) =
++++−−⋅
−−+−+−=
abaxbxxabaxbxx
abaxbxxabaxbxx
2
2
2
2
( ) ( )[ ] ( ) ( )[ ]( ) ( )[ ] ( ) ( )[ ] =
++++−+−−−−+−=
bxabxxbxabxxbxabxxbxabxx
( )( )( )( )( )( )( )( )
( )( )2
2
bxbx
axbxaxbxaxbxaxbx
+−=
++−+−−+−= ;
б) =−+−+−−÷
+++−−+
nmnmmnmnmm
nmnmmnmnmm
2
2
2
2
( )( )
( )( ) =
+−−−+−⋅
+++−−+=
nmnmmnmnmm
nmnmmnmnmm
2
2
2
2
( ) ( )[ ] ( ) ( )[ ]( ) ( )[ ] ( ) ( )[ ] =
−−−+++−+−+−+=
11111111
mnmmmnmmmnmmmnmm
( )( )( )( )( )( )( )( ) 1
1111 =
−−+++−−+=
nmmnmmnmmnmm .
www.5balls.ru
№232Учтем, что m≠n, -m≠0, n≠0:
( ) ( )=
−−−
−=
−+−
− 2
222
2
222 2112nmnm
mnmn:
mnnmnm
nm:
mn
( ) ( ) ( ) ( )=
−−−
−=
−+−
−= 2
22
22
22
2
22 22mnnm
mnmn
mnnm
mnmnnm
( ) ( )( )( )
1222
2
2
22
2
22−=
−−−=
−+−−=
−−−=
mnmn
mnmmnn
mnnmmn ,
что не зависит от указанных переменных.№233
=+−+=
+−
+ 2
2
2
3
22 339
327
3113
39
nnn:
nn
nn:n
n( )
( )( )( ) n
nnnnn
nnnnn +=
+−+−+=
⋅+−⋅+= 3
39393
339327
2
2
22
23, натуральное при всех
натуральных n.№234*
( ) ( )×+
−−+=
−+⋅
++−
xaxaxaa
xaa
xa
xaxaa
2222 42
( )( ) ( ) =
−+−⋅
+−−+=
−+−×
xaxaxaxa
xaxaaxa
xaxaxxaa 42242 2222
( )( ) ( )( ) ( ) a
xaxxaxaaxax
xaxaxa
xaxax 2222 22
=−⋅+
+⋅−=−
+⋅+−= , четное при всех целых
значениях а.№235
=+−−++
−
+++
xxx
xx:
xxx
235
312
34
21 2
( )( ) ( )( ) =+−−
++
++−+++=
xxx
xx:
xxxxxxx
235
31
3234831 2
( ) =+−−++
+−−++++=
xxx
xx:
xxxxxxxx
235
31
32124833 222
( ) =+−−++
++−=
xxx
xx:
xxx
235
31
3233 22
www.5balls.ru
( )( )( )( ) =+−−
+++−−=
xxx
xxxxx
235
132313 22
( )( )( )
( ) =+−−−−=+−−+
+−−=xxx
xx
xxx
xxxx
235
213
235
12113 22
122
222
22
3533 222+−=+−=+−=−+−+−= x
xx
xx
xxx
xxxx , -
отрицательное число при любом х>2.№236
а) =+
+−
−
++ 12
22
422
baaba:
babba
( )( ) ( ) =++
−+−
+−+= 12
222
422 2
baabbaa:
babbaba
=++
−+−
+−= 12
222
44 2222
baababa:
babba
( )( ) =+
−+=+
+−= 1
221
22 2
222
baabaa
baa:
baa
;ba
aba
baba2
22
22−
=−
−++=
б) =
+−
−−⋅
−−−
+yx
yxyx
yxyx
yx3232
32333
22
( ) ( ) =−
−+−−−⋅−−−
+= 22
2222 323232333
yxyxyyxxyx
yxyx
yx
=−
−++−−⋅−−−
+= 22
3223 33223232333
yxyyxxyxyx
yxyx
yx
( )( ) =−
+−−⋅−−−
+= 22
2213232333
yxyxyx
yxyx
yx
( ) ( ) ( )yxyxyx
yxyx
yxyx
yx−=
+−=
+−+−=
++−−
+= 333333133 222222
в) =
−
+++−
−−
xy:
yxyxyxy
yxxyx 35
9693
9155
22
2
22
2
www.5balls.ru
( )( )( )
( )( )
=−
++−
+−−=
xyyx:
yxyxy
yxyxyxx 35
333
3335
2
=−+−=−
+
−+
=xy
yx:yxyx
xyyx:
yxy
yxx 35
33535
33
35
;yx
xy3+
=
г) =++⋅
+++−
+−−
2222
2
22
2
9496
912496
912464
caca
cacacac
cacaaca
( )( )
( )( )
=++⋅
++−
−−= 2222 94
9632
32332
322caca
cacac
cacaa
( ) ( )( )( ) ×
+−−−+=
++⋅
+−
−=
cacacaccaa
caca
cac
caa
3232323322
9496
323
322
22
( )( ) =++⋅
+−+−+=
++× 22
22
22 9496
32329664
9496
caca
cacacacaca
caca
( ) ( )( )( )( ) ⋅
−=
++−++=
cacacacacaca
323
94323232394
22
22
№237
а) ( )( ) =−
−+−+⋅+
+=
−−
−+
++
babababa
baababba
baba
baabab
( ) ( )( )( )( )
( ) =−
+−⋅+=−+
−−++ba
baababbaba
babaabab 11
( ) ( ) ;ba
abba
abbaababbaba
baabbaab−
=−
+−+−=−
+−+−=22221
б) =+
+−
⋅
+−
+−
yxy
yxxyxy
xyxxyy 2
2
2
( )( ) =+
+−
⋅+
+−−−=yx
yyx
xxyx
xyxyxyxyy2
222
( ) ( )( ) =+
+−
⋅+
+−−−−=yx
yyx
xxyx
xyxyxyyxy2
2
www.5balls.ru
( )( )( )( ) =
++−−−=
++
−+++−−=
yxyxyyxy
yxy
yxyxxxyxyxy 2221
( ) ( ) ;xyyxyxxy
yxxyyx −=
++−=
++−=
22
в) ( ) ( )
=++⋅
++
−+
− ababa
bababa 1644
21
42
21 22
2222
( ) ( )( ) ( )( ) ( )
( ) =+⋅+−
−++−++=aba
babababababa
162
2222222 2
22
22
( )( ) ( ) ( )
;ba
aababa
baa222
22
21622216
−=
⋅−++=
г) ( ) ( ) ( )
=
−+
−+
+− 42
21
21
24
2224
2
ccc:
cc
( )( ) ( ) ( )( )
( ) ( )=
+−+−+++−
−= 22
22
4
2
2222222
24
cccccc:
cc
( ) ( ) ( )=
+−−+++++−
−= 22
2222
22824444
24
ccccccc:
cc
( ) ( ) ( )( ) ( )
( )( )( )
.cc
ccccc
ccc:
cc
2
2
42
222
22
2
4
2
22
24224
224
24
−+=
−−+=
+−−=
№238
а) =
−
−+⋅
+
+− y
yxxyxy
yxxyx 44
( ) ( ) ( ) ( ) =−
−−+−⋅+
++−+=yx
yxyxyyxxyx
yxyxyyxx 44
( ) ( )( )( ) =
−++−=
−++⋅
++−=
yxyxyxyx
yxyxyx
yxyxyx 222222 22
( )( ) ;yxyxyx 22 −=+−=
б) =
−−
+
−−−
a:
aaa
1111
121 2
www.5balls.ru
( ) ( ) =−−
−−++−−=
−−−
−−+−−−=
aa:
aaaaa
aa:
aaaaa
11121
111
11211 222
( )( ) .a
aaaa
aa:
aa −=
−−−=
−−
−=
11
11
22
№239
( )( ) =+
−+−
+−
=+
−−
+− qppqpq
qqpqppq
qqp 2
222
62
12
24
62
122
( )( )( ) ( )( ) ;
qpp
qpqpqpqqp
qpqpqpqqp
22 4224262
222262
−−=
+−+−−+=
+−−−−+=
=−
−++⋅−=
+
−+⋅− 22
2222
22
22
444
211
44
21
qpqpqp
pqpqp
p
;qp
pqp
pp 2222
2
442
21
−−=
−⋅−= тождество доказано.
№240*
( ) ( ) ;ba
baaba
babba3
33
33
33
3333 22
−+=
−+++
( ) ( ) ;ba
babba
baaba3
33
333
33
3333 22
−+−
−+=+
( )( )
( )( ) ;
ba
bab
ba
baaba 333
3333
333
333333 22
−
+−−
+=+
( ) ( )( ) ;
ba
babbaaba 333
3333333333 22
−
+−+=+
( )( ) ( ) ( ).babbaababa 33333333333 22 +−+=−+Будем преобразовывать левую и правую части неравенстваотдельно:1) ( )( ) ( )( )=−+−+=−+ 663369333333 33 bbabaabababa
=−−++−−+= 1293936666393912 3333 bbabababababaa;bbabaa 12933912 22 −+−=
www.5balls.ru
2) ( ) ( ) ( )−+++=+−+ 963369333333333 86622 bbabaaababbaa
( ) −+++=+++− 936639129633693 866668 bababaabbabaab
.bbabaabbababa 1293391212936639 22668 −+−=−−−−
№241*
+−+−=+
+−
+−
3649
64129
21
43
6
91
41
322
23
2222
22
22ba:baba
ba
b
ba
baba
( )( )
( )( )( ) =
++
+−−=
+⋅+
−⋅−=++
bab
bababa
bab
bababa:b
2324
2323236
2364
4963623
423
16 2
22
2
( ) ( ) ,baba
babba
bab
baba 6
23236
23241218
2324
23236 =
++=
++−=
++
+−= что не зависит
от а и в.
№242*
а) =+−
+
−−+−
−62180
3
931
62545150
5150332 ,b,
b:b
b,b,b,
,b,
( )( )
( )( ) ( ) =
+−
+
−−+−
−=2780
3
2731
329350
350332 b,
b:b
bbb,
b,
( )( )( )
( )( ) =
+−
+−+−−
+−−=
27435
93336
933
322 bb:
bbbb
bbb
( )( ) ( ) ( )( ) =
+−
+−−−+=
27435
273633
33 bb:
bbbb
( )( )[ ]( )( )( )
( );bbb
bbb5
343275
2763343
3 −=−+
+−+−=
б) =−−⋅
−+
−+
+ 250150
141
2232
150 2 a,a,
a
aa
a
a,a
www.5balls.ru
( ) ( )( ) =−−⋅
+−
+−
−+
=42
228
232
22
aa
aaa
aa
aa
( ) ( )( )( ) =
−−⋅
+−++−−=
42
223242226
aa
aaaaaaa
( )( )( )( )( ) ( );
aa
aaaaaa
434
4223284 2
−=
−+−−+=
в)
=+−⋅
−
+−+
yxxyx
y,x,x
y,x,y,xy,
3712
41422
4904411263 2
22
2
( )( )( ) ( )
( ) =+
−⋅
−
++−
+=yx
yxxy,x,
xy,x,y,x,
y,x,y3
71270212
270217021
70213
( ) ( )( )( )
( ) =+
−⋅+−
+++=yx
yxxy,x,y,x,
y,x,xy,x,y3
71270217021
702170213
( )( )( )( )
( ) =+
−⋅−+++=
yxyxx
y,x,y,x,xyy,x,
3712
7021702137021
( ) ( )( )( )
( ) xyx
yxxy,x,yxyxxyx 10
71271210
702137123 =
−−=
−+−⋅+=
г)
=+
−
+−
++−
+2
21
25050
2502
501
2222 xyyx,x,:
yxyx,y
yx,
( ) ( ) ( )( ) =+
−
−+−
+−
+= 2
21
2225050
22502
2501
2 yxyxyx,x,:
yx,y
yx,
( ) ( )( ) =+
−
−+−
+−
+= 2
21
222
28
22
2 yxyxyxx:
yxy
yx
( )( ) ( )( ) =+
+−−−
+−+= 2
2222
2822
2 yxyxyxx:
yxyyx
( )( ) ( )( )
( )( )
=+++
−=++−
−+
−= 22
12222
222
222
22 yx:
yxyx
yxyxyx:
yxyx
( )( )( )
( ) ( )yx
xyx
yxyxyx
yxyx2
42
222222
2222 +
=+
++−=++
+−=
www.5balls.ru
№243*
а) ( )( )( )( ) ;
zyzx
zyyzxzxyzxyzxzxy
zxxzyzxy
zyyzxzxy
zxxzy
zyyzx
−−=
−−−−−−=
−−−
−−−
=
−−
−−
б)
( )( )( )
( )( )
=
+−+
−+−−
=
+−+
−+−
xaaaxxa
xaaaxxaxa
xax
axa
xax
axa
2
( )( )( )( )
( )( )( )( ) ;
xaxa
xaxaxaxaxaxa
axxaxaxaaxaaxxaxaa
33
33
22
22
22
22
22
−+=
−++++−=
−++−+++−=
в) =
++
=
++=
++
11
1
111
1
11
11
1
xx
xx
x
;x
x
xxx 12
1
111
++=
+++=
г) =
+−+=
+−
=
+−=
+−
111
11
1
111
1
11
11
1
xxx
xx
xx
x
.xx 11
1 +=+=
№244
1. Точка А(-4;1) принадлежит т.к. 1=4
4−
− ; 1=1.
2. Точка B(8;0,5) не принадлежит т.к. .,, 505084 ≠−=−
3. Точка C(0;0) не принадлежит т.к. х=0 не входит в областьопределения функции.
4. Точка D(0,01;-400) принадлежит т.к. .,0104400 −=−
5. Точка E(16;1/4) не принадлежит т.к. 41
41
164 ≠−=− .
6. Точка F(40;0,1) не принадлежит т.к. 1010404 ,, ≠−=−
www.5balls.ru
7. Точка G(1000;-0,004) принадлежит т.к. .,1000
40040 −=−
8. Точка K(-0,004;-1000) не принадлежит
т.к. .,
1000100000404 −≠=
−−
№245
xky = ; 18=
9−k ; ( )918 −⋅=k ; 162−=k ;
xy 162−= .
№246
а) Точка A(40;0,025) принадлежит т.к.4010250 =, .
Б) Точка B(0,03125;32) принадлежит т.к.031250
132,
= ;
в) Точка C(0,016; 641 ) не принадлежит т.к.
416256562
01601 =≠= ,,
, .
г) Точка D(0,125;0,8) не принадлежит т.к. 80812501 ,
,≠=
№247Подставим координаты точки А(10;2,4) в уравнение функции инайдем k:
1042 k,:
xky == ; k=2,4 2410 −⋅ , т.е.
xy 24= .
а) Точка B(1;24) принадлежит т.к.12424 = ;
б) Точка C
−− 120
51 ; принадлежит т.к.
51
24120−
=− ;
в) Точка D(-2;12) не принадлежит т.к. 12122
24 ≠−=−
;
№248*
а) ( ) ( ) ( )( ) =
+−+−++=
−−+=
111136
1136
22 xxxxxxy
.xxx9
436
2236 ==
⋅=
Область определения: 0≠x .Построим график функции по точкам:
www.5balls.ru
x -9 -3 -1 1 3 9y -1 -3 -9 9 3 1
б) ( ) =−
−−
−=−
−−
−=xxx
xxxx
xy3
63
2183
63
12182
( ) ( )( )( ) .
xxxx
xxx
xxxx 6
336
3618
361218 −=
−−=
−−=
−+−=
Область определения: 0≠x .Построим график функции по точкам:
x -3 -2 -1 1 2 3y 2 3 6 -6 -3 -2
4
8
4 8
-8
-8
0x
y
www.5balls.ru
в) ( ) ( )
=+−−
= 22 2216
xxy
( )( ) ( ) .xxxxxxx2
816
2416
222216 −=
−=
−=
−−−++−=
Область определения: 0≠x .Построим график функции по точкам:
x -2 -121−
21 1 2
y 1 2 4 -4 -2 -1
4
8
4
8
-8
-8
0x
y
www.5balls.ru
г) ( )( ) =
++−+=
515313 2
xxxxxy
( ) ( )( )( ) .
xxxx
xxx
xxxxx 3
553
5153
515333 22
=++=
++=
++−+=
Область определения: 0≠x .Построим график функции по точкам:
x -3 -2 -1 1 2 3y -1 -1,5 -3 3 1,5 1
4
-2
4
-4
-4
0x
y
-2
www.5balls.ru
№249*
а) x
y 4=
2
4
2 4
-4
-4
0x
y
-2
-2
2
4
2 4
-4
0x
y
-2
-2
www.5balls.ru
б) x,y 42=
в)x
y 1=
2
4
2 4
-4
0x
y
-2
-2
2
3
1 2
-2
0x
y
-1
-1
1
www.5balls.ru
г)x
y 1−=
д)x
y 6−=
1 3-3 0
x
y
-1
-1
1
-2
- 3
- 4
2 4-4 0
x
y
-2
-2
1
-4
- 6
www.5balls.ru
е) x,y 63−=
№250*а) Подставим координаты точки P в уравнение гиперболы и найдемk:
xky = ;
21 k= ; k=2; затем подставим их в уравнение прямой и
найдем b: ;bkxy += ;b+⋅= 221 .b 341 −=−=б) Подставим координаты точки Q в уравнение гиперболы и найдемk:
xky = ;
23
−= k ; k= -6; затем подставим их в уравнение прямой и
найдем b: ;bkxy += 3=(-6)⋅(-2)+b; 3=12+b; b=3-12=-9.в) Подставим координаты точки R в уравнение гиперболы и найдемk:
xky = ;
11
−= k ; k= -1; затем подставим их в уравнение прямой и
найдем b: ;bkxy += 1=(-1)⋅(-1)+b; 1=1+b; b=0.№251*а) Только в 1 точке –да;б) только в 2 точках – да;в) в 3 точках – нет.
2 4-4 0
x
y
-2
-2
1
-4
- 6
www.5balls.ru
а)
б)
№252*а) В одной четверти – да;б) в I и II четвертях – нет;в) в I и III четвертях – да.
x
y
x
y
www.5balls.ru
а)
в)
ГЛАВА II. Квадратные корни§4. Действительные числа.9. Рациональные числа.
№253а) Натуральные числа: 10; 15;б) целые числа: -100; -2; 0; 10; 15;
x
y
x
y
www.5balls.ru
в) рациональные числа: -100; -14,5;-2;32− ; 0;10;15;
6120 .
№255а) 27∈N – да;б) 2,7∉N – да;в) 0∈Z – да;г) -8∉ Z – нет.
№256а) -4∈N-нет; -4∈Z – да; -4∈Q – да;б)5,6∉N – да; 5,6∈Z – нет; 5,6∈Q – да;в) 28∈N-да; 28∈Z – да; 28∈Q – да;№257
57
521 = ;
1014
521 = ;
1521
521 = ;
10330 =, ;
10630 =, ;
601830 =, ;
413
413 −=− ;
826
413 −=− ;
1239
413 −=− ;
12727 −=− ; -27
254−= ; -27=
381− ;
100 = ; 0=
50 ;
1300 = .
№258
36=136 ;
14545 −=− ;
521
51424 ==,
5480 −=− , ;
691
6115 = ;
92
92 −=− .
№259
а) ( )3031 ,= ;
б) ( )38065 ,= ;
в) ( )142857071 ,= ;
г) ( )22920 ,−=− ;
www.5balls.ru
д) ( )350158 ,−=− ;
е) ( )028102810 ,, = ;
ж) ( )01717 ,−=− ;
з) ( )018750163 ,= ;
и) ( )007514043
4031 ,−=−=− ;
к) ( )36621129
1172 ,== ;
№260
а) ( )6135 ,= ;
б) ( )320307 ,= ;
в) ...,4285073 = ;
г) ( )0625085 ,−=− ;
д) ( )034713471 ,, = ;е) ( )0125125 ,−=− ;№261а) 0,013<0,1004;б) –24<0,003;в) –3,24>-3,42;
г) 375083 ,= ;
д) 40711741 −>− , ;
е) ( ) ( )69100990 ,, < .№262а) 1,009<1,011;б) –2,005>-2,04;
в) 751431 ,−=− ;
www.5balls.ru
г) 437043750167 ,, >= .
Упражнения для повторения
а) ( )( ) =+−
−+
+−
=−
−+
+− baba
abba
aba
aba
abba
aba
a 232322
( ) ( )( )( ) ( )( ) =
+−−−++=
+−−−++=
babaababaaba
babaabbaabaa 23323 22
( )( )( )
( )( ) baa
bababaa
babaaba
+=
+−−=
+−−= 4444 2
;
б) ( )( )( )( ) ( )22 1
1111
1111
11+
=+−+
⋅−⋅−=−
⋅+−⋅
−
xxxxxxx
xx
xx
x№266а)Четные числа можно представить в виде 2n и 2m; их сумма равна2m+2n=2(n+m), - четное число.б) Четное число можно представить в виде 2n, а нечетное - в виде2m+1; их сумма равна: 2n+(2m+1)=2n+2m+1=2(n+m)+1, - нечетноечисло.
№267а) (2n)2=4n2 , - четное число.б) (2n+1)2=4n2+4n+1=4n(n+1)+1, - нечетное число.
№268а) 1010 = ; |0,3|=0,3; |0|=0; |-2,7|=2,7; |-9|=9;б) |x|=6 ⇒ x=±6; |x|=3,2 ⇒ x=±3,2; |x|=0 ⇒ x=0.
№269а) при a>0: |a|=a;б) при c<0: |c|=-c;в) при b<0: |2b|=-2b;г) при c≥0: |3c|=3c;
10. Иррациональные числа№272
Рациональные числа: 71 ; 0; 0,25; -2,(3); 4,2(51); 217;
www.5balls.ru
иррациональные числа: 0,818118111…; π.
№273а) 7,16∈N - нет; 7,16∈Z – нет; 7,16∈Q – да; 7,16∈R - да;б)409∈ N – да; 409∈Z –да; 409∈Q – да; 409∈R - да;в) π∈N-нет; π∈Z – нет; π∈Q – нет; π∈R - да.
№274а) 7,653…>7,563…;б) 0,123…>0,114…;в) -48,075>-48,275…;г) -1,444…>-1,456…
№275а) 1,(56);б) -4,45;в) 1,6668;
г) 225− ;
д) π=3,14159…;е) π;
№276а) 9,835…<9,847;б) -1,(27)<1,272;
в) 2 14221428271 ,..., >= ;
г) 1,(375)> 3751831 ,= .
№279а) 1105391 ,...,a ≈= ; 1206102 ,...,b ≈= ; ;,,,ba 231211 =+≈+б) 05105391 ,...,a ≈= ; 06206102 ,...,b ≈= ; 113062051 ,,,ba =+≈+в) 054105391 ,...,a ≈= ; 061206102 ,...,b ≈= 115306120541 ,,,ba =+≈+
№280а) 75967859 ,...,a ≈= ; ;,...,b 14312343 ≈= 616143759 ,,,ba =−≈− ;б) 685967859 ,...,a ≈= ; 124312343 ,...,b ≈= ;
561612436859 ,,,ba =−≈− .
№281
www.5balls.ru
Пусть r - радиус окружности. Тогда ее длинаC=2πr; 143,≈π ; 262854286541432 ,,,,,C =⋅=⋅⋅≈ (см).№282Пусть r - радиус круга. Тогда его площадь
31410014310143 22 =⋅=⋅≈= ,,rS π (м2).
Упражнения для повторения№283
( )( )
( )( ) =
+−+
+−+=
+−+
+−+
baaabba:
bababba
bab
aba:
baa
bba 22
( )( )( )( )( )( ) b
aabbabababbabaa =
−++−++= 2
2
№2841) 52,x −= ; |2x-8|=|2⋅(-2,5)-8|=|-5-8|=|-13|=13;2) x=0; |2x-8|=|2⋅0-8|=|-8|=8;3) x=4; |2x-8|=|2⋅4-8|=|8-8|=|0|=0;4) x=5; |2x-8|=|2⋅5-8|=|10-8|=|2|=2;5) x=9,5; |2x-8|=|2⋅9,5-8|=|11|=11;
№285а) |ab|=ab;б) |ab|=-ab.
№286Найдем k:
450 k, =− ; 2450 −=⋅−= ,k ;
xy 2−= .
Область определения: x≠0
x 1 2 4 1/2 -1 -2 -4y -2 -1 -1/2 -4 2 1 1/2
www.5balls.ru
§5 Арифметический квадратный корень11. Квадратные корни. Арифметический квадратный корень.№287а) 5>0 и 52=25, следовательно, число 5- арифметический квадратныйкорень из 25;
x -4 -2 -1 1 2 4y 1/2 1 2 -2 -1 -1/2
б) 0,3>0 и 0,32=0,09 следовательно, число 0,1 - арифметическийквадратный корень из 0,09;в) –7<0 следовательно число –7 не является арифметическимквадратным корнем из 49;
г) 0,62=0,36≠36 следовательно число 0,6 не являетсяарифметическим квадратным корнем из 36;
№288а) 11>0 и 112=121;б) 13>0 и 132=169;в) 1,2>0 и 1,22=1,44;г) 0,7>0 и 0,72=0,49.
1
6
6
-1
-6
0x
y
1
6
www.5balls.ru
№289а) 981 = ;б) 864 = ;в) 636 = ;г) 401600 = ;д) 502500 = ;е) 10010000 = ;ж) 20040 ,, = ;
з) 50250 ,, = ;
и) 90810 ,, = ;
к)29
481 = ;
л)213
49
412 == ;
м)57
2549
25241 == ;
№290а) 20400 = ;б) 30900 = ;в) 704900 = ;г) 10010 ,, = ;
д) 40160 ,, = ;
е) 80640 ,, = ;
ж) 76
4936 = ;
з) 811
64121 = ;
и) 311
34
916
971 === ;
www.5balls.ru
к) 212
25
425
416 === .
№291а) при а=32, b=4 получаем: 636432 ==+=+ ba ;при а=33, b=-8 получаем: 525833 ==−=+ ba ;при а=0,65, b=0,16 получаем: 90810160650 ,,,,ba ==+=+ ;
при а=-25, b=26 получаем: 112625 ==+−=+ ba
б) при х=7 получаем: 41652157353 ==−=−⋅=−x ;при х=23 получаем: 8645692523353 ==−=−⋅=−x ;при х=1,83 получаем: 7049054955831353 ,,.,x ==−=−⋅=− .
в) при х=0 получаем: 00000 =+=+=+ xx ;]при х=0,01 получаем: 11010010010010 ,,,,,xx =+=+=+ ;
при х=0,36 получаем: 96060360360360 ,,,,,xx =+=+=+ .
при х=0,64 получаем: 44180640640640 ,,,,,xx =+=+=+ ;
при х=1 получаем: 21111 =+=+=+ xx ;при х=25 получаем: 305252525 =+=+=+ xx ;при х=100 получаем: 11010100100100 =+=+=+ xx ;при х=3600 получаем: 366060360036003600 =+=+=+ xx
№292а) при x=25, y=0 получаем: 5025 =+=+ yx ;
при x=0, y=1 получаем: 110 =+=+ yx ;
при x=259 , y=0,36 получаем: =+=+=+ 60
53360
259 ,,yx
216060 ,,, =+=
б) при а=0 получаем: 20402424 =−=⋅−=− a ;при а=2 получаем: 04422424 =−=⋅−=− a ;при а=1,5 получаем: 134512424 =−=⋅−=− ,a ;
при а=-22,5 получаем: ( ) 74545222424 =+=−⋅−=− ,a ;
www.5balls.ru
№293а) 24461636 =⋅=⋅ ;б) 9010910081 ,:: == ;в) 805030250090 ,,,,, =+=+ ;
г) 101020010040 ,,,,, =−=− ;
д) 716916331693 −=−=−⋅=− ;е) 21452445607453607 ,,,,,,, =+−=+⋅−=+− ;
ж) 10824020201016002040010 =+=⋅+⋅=+ ,,,, ;
з) 26620305160
31900
51360
31 ,,,, =+−⋅+⋅=+ ;
№294а) 636603660 ,,, =⋅= ;б) 5125522552 ,,, −=⋅−=− ;в) 114070160490 ,,,,, =+=+ ;
г) 602080040640 ,,,,, =−=− ;
д) 0100500600025000360 ,,,,, −=+−=+− ;
е) 0900101000010010 ,,,,, =−=− ;
ж) 70130190311810
31 ,,,, −=−=−⋅=− ;
з) 31410104010104 =−=⋅−=− ,, .
№296а) Да;б) нет;в) да;г) да;д) да;е) нет.
№297
1) 0=a ; ( ) 220=a ; 0=a ;
2) 1=a ; ( ) 221=a ; 1=a ;
www.5balls.ru
3) 3=a ; ( ) 223=a ; 9=a ;
4) 10=a ; ( ) 2210=a ; 100=a ;
5) 60,a = ; ( ) 2260,a = ; 360,a = .
№298
а) 4=x ; ( ) 224=x ; 16=x ;
б) ) 50,x = ; ( ) 2250,x = ; 250,x = ;
в) ) 02 =x ; 0=x ; 0=x ;
г) 14 =x ; 41=x ; ( ) 22
41
=x ;
161=x ;
д) 08 =−x ; 8=x ; ( ) 28=x ; 64=x
е) 023 =−x ; 23 =x ; 32=x ; ( ) 22
32
=x ;
94=x .
№299
а) 10,x = ; ( ) ( )2210,x = ; 010,x = ;
б) нет;в) нет;г) 03 =−x ; 3=x ; 9=x .
№300
а) 11=x ; ( ) 2211=x ; 121=x ;
б) 310 =x ; 103=x ; ( ) 22
103
=x ;
1009=x ;
в) 20=x - такого значения х не существует;
г) 012 =−x ; 12 =x ; 21=x ;
41=x ;
д) 05 =− x ; 5−=− x ; 5=x ; 25=x ;е) 02 =+ x ; 2−=x - такого значения х не существует.
№301
а) 753 =+ x ; ( ) 22753 =+ x ;
www.5balls.ru
4953 =+ x ; 465 =x ; 29,x = ;
б) 111410 =−x ; ( ) 22111410 =−x ;
1211410 =−x ; 513,x = ;
в) 021
31 =−x ;
21
31 =x ; 51,x = .
Упражнения для повторения.№302а)
;,y;,x 25652 ≈−=;,y;,x 7131 ≈−=
;,y;,x 65080 ≈−=;,y;,x 35060 ≈=
;,y;,x 8271 ≈=;,y;,x 2532 ≈=
б) ;x;y , 11 21 ±==
1
9
3-3 0
x
y
1-1
www.5balls.ru
;,x;y , 412 21 ±≈=
;,x;y , 225 21 ±≈=
;,x;,y , 8257 21 ±≈=в)( ) ;, 241 2 ≈−
( ) ;,, 65080 2 ≈−
( ) ;,, 45121 2 ≈
( ) ;,, 65782 2 ≈−
г)7050 ,, ≈ ;
6152 ,, ≈ ;
7513 ,≈ ;24 ≈ ;
225 ,≈ ;39 = .
№303
( )( ) ( ) ( )
( )=
−−⋅
−+−−−=
−−⋅
−+− 22
2
21
11111
2111
xxx
xxxx
xxx
xx
( )( )
( ) ( )( )
=−
−⋅−+−−=
−−⋅
−++−−= 2
2
2
2
21
12
21
111
xxx
xxx
xxx
xxxx
( ) ( )( )( )
.xx
xxxxxx
22112 2
2 −=
−−−⋅−=
Подставим 2−=x получим: ( ) .xx 1
44
222
2
22−=
−=
−−−=
−
№304а) |a2|=a2;б) при 0>a : 33 aa = ;
в) при 0<a : 33 aa −= ;
www.5balls.ru
12. Уравнение ax =2
№305а) 812 =x ; 98121 ±=±=,x ;
б) 182 =x ; 23291821 ±=⋅±=±=,x ;
в) 02 =x ; 0=x ;г) 252 −=x ; уравнение не имеет корней.
№306а) 362 =x ; 63621 ±=±=,x ;
б) 4902 ,x = ; 7049021 ,,x , ±=±= ;
в) 1212 =x ; 1112121 ±=±=,x ;
г) 112 =x ; 1121 ±=,x ;
д) 82 =x ; 222421 ±=⋅±=,x ;
е) 522 ,x = ;210
2252
255221 =
⋅⋅==±= ,x , ;
№307Нарисуем график и найдем приближенные значения:а) 32 =x ; 321 ±=,x ; 7121 ,x , ±≈ ;
б) 52 =x ; 521 ±=,x ; 2221 ,x , ±≈ ;
в) 542 ,x = ; 5421 ,x , ±= ; 1221 ,x , ±≈ ;
г) 582 ,x = ; 5821 ,x , ±= ; 9221 ,x , ≈ .
www.5balls.ru
№308Нарисуем график и найдем приближенные значения:а) 632 ,x = ; 6321 ,x , ±= ; 85121 ,x , ±≈ ;
б) 822 ,x = ; 8221 ,x , ±= ; 65121 ,x , ±≈ ;
в) 412 ,x = ; 4121 ,x , ±= ; 2121 ,x , ±≈ ;
г) 62 =x ; 621 ±=,x ; 45221 ,x , ≈ .
№309а) 0300102 ,,x =− ;
0400100302 ,,,x =+= ;2004021 ,,x , ±=±= ;
б) 8180 2 =+ y ; 180812 =−=y ;
1121 ±=±=,y ;
в) 1019 2 =+ c ; 919102 −=−=c ; уравнение корней не имеет;г) 520 2 −=− b ; 252052 =+=b ;
52521 ±=±=,b ;
д) 4713 2 ,x = ; 49034712 ,:,x == ;
1
9
3-3 0
x
y
1-1
www.5balls.ru
7049021 ,,x , ±=±= ;
е) 1041 2 =a ; 40
41102 == :a ;
10210421 ±=⋅±=,a ;
ж) 3221 2 =x ; 64
21322 == :x ;
86421 ±=±=,x ;
з) 815 2 ,y =− ; ( ) 3605812 ,:,y −=−= ; уравнение корней не имеет;
№310а) 016 2 =+ x ; 162 −=x ; уравнение корней не имеет;б) 027030 2 ,x, = ; 0903002702 ,,:,x == ;
3009021 ,,x , ±=±= ;
в) 3050 2 =x, ; 6050302 == ,:x ;15215421 ±=⋅±=,x ;
г) 2015 2 =− x ; 5
2012 :x −= ;
10012 −=x ; уравнение корней не имеет.
№311а) ( ) 253 2 =−x ; 5253 ±=±=−x ;1) 53 =−x ; 35 +=x ; 81 =x ;2) 53 −=−x ; 35 +−=x ; 22 −=x ;
б) ( ) 94 2 =+x ; 394 ±=±=+x ;1) ;x;x;x 14334 1 −=−==+2) ;x;x;x 74334 2 −=−−=−=+
в) ( ) 76 =−x ; 76 ±=−x
1) ;x;x 6776 1 +==−
2) ;x;x 6776 2 +−=−=−
г) ( ) 62 2 =+x ; 62 ±=+x ;1) ;x;x 2662 1 −==+
2) ;x;x 2662 2 −−=−=+
www.5balls.ru
№3121) При x=-3,4: ( ) 525178435858 ==+=−−=− ,x ;
2) При x=0: 22805858 ==⋅−=− x ;3) При x=1,2: 268215858 =−=⋅−=− ,x ;
4) При x=1,6: 088615858 =−=⋅−=− ,x ;
5) При x=2,4: 4128425858 −=−=⋅−=− ,x - выражение неимеет смысла.
№313а) При 0≥a ;б) при 0≥x ;в) при 0≥c ;г) при 0≤b .
№314а) При 0≥x ;б) при 0≤x .
№315
1) ( ) 25252
= ;
2) ( ) 81812
= ;
3) ( ) 222
= ;
4) ( ) 332
= ;
5) ( ) 442
=− ;
6) ( ) 552
= ;
7) ( ) 662
=− ;
8) 21
21
2
=
;
9) ( ) 3131 2 ,, = .
www.5balls.ru
№316
а) ( ) 772
= ;
б) ( ) 26262
=− ;
в) ( ) 28142142141422
−=⋅−=−=⋅− ;
г) ( ) 4559532
=⋅= ;
д) ( ) 48508502
=⋅=− ,, ;
е) ( ) 601541522
=⋅=− ;
ж)43
23
2
=
;
з)21
63
63
2
==
.
№317
а) ( ) 291804904024904024902
,,,,,,, =+=⋅+=+
б) ( ) 1980998011964001132
=−=−⋅=−
в) ( ) ( ) 422964236222
=⋅+⋅=−+
г) ( ) 1751220411201020
2112010
22−=−−=⋅−⋅−=
−− ,, .
№318а) ( ) 1262662 −=⋅−=−⋅ ;
б) ( ) 4559532
−=⋅−=− ;
в) ( ) 0602216024412
=⋅−=− ,,,, ;
г) ( ) 23170317001069170102
=+=+⋅=+ ,,,,,, .
Упражнения для повторения
www.5balls.ru
№319
1=xx
, при х>0; 1−=xx
, при х<0;
При х=-8;-5 1−=xx
; при x=1;7;128 1=xx
.
№320
а) ( )( ) 1
11111
11
11
+−=
+−=+−=
+
−
xx
xxxx
xx:
xx
x
x ;
Если х=-0,5, то 35051
150150
11 −=−=
+−−−=
+−
,,
,,
xx ;
б) =
++
=
++=
++
11
1
111
1
11
11
1
xx
xx
x
121
112
1
111
++=
++=
+++=
xx
xx
xxx ;
Если x=-0,4, то ( ) 32060
18060
1402140
121 ==
+−=
+−⋅+−=
++
,,
,,
,,
xx .
№321
а) ( )( )( ) =
+−++−=
−+−
4425242
100100258
2
2
2
3
xxxxx
xxx
( )( )( ) ( )x
xxx
xxx−
++=−
++−=225
42225
422 2
2
2;
б) ( ) ( )( ) ( )1161
11161116
11616
2
2
2
3
2
4+=
+−+−+=
+−+=
−++ aa
aaaaaa
aaaa
aaaa .
№322
Графики функций x
y 10= и xy 10= имеют две общие точки.
www.5balls.ru
13. Нахождение приближенных значений квадратного корня.
№323а) 5 и 6;б) 6 и 7;в) 10 и 11;г) 3 и 4;д) 0 и 1.
№324а) 3 и 4;б) 8 и 9;в) 14 и 15;г) 2 и 3.
№325Ответ: 2;4;4.
№326Ответ: 3;1.
№334а) –5,48 и 5,48;
5
10
5 10
-10
-10
0x
y
-5
-5
www.5balls.ru
б) –1,20 и 1,20;в) –0,46 и 6,46;г) –3,83 и 1,83.
www.5balls.ru
УПРАЖНЕНИЯ ДЛЯ ПОВТОРЕНИЯ
№335а) 3 016 01 225 3 0 4 01 15 12 12 0 3, , , , , , , ;− = ⋅ − ⋅ = − = −
б) 0 2 900 1819
0 2 30 1813
6 0 6 6 6, , , , , ,+ = ⋅ + ⋅ = + = ;
в) 0 3 121 400 0 3 11 20 6 6, , , , ,⋅ = ⋅ ⋅ = ;
г) 5 0 25 0 81 5 0 5 0 9 9: , , : , ,⋅ = ⋅ = ;
№336а) не пересекает;б) пересекает в точке (0; 0);в)пересекает в точках(5; 25), (-5; 25)пересекает в точках (5,9;35), (5,9; 35)
№337
а) 10 0 01 2 10 01 2 1 2 32
, , ;+ −
= ⋅ + = + =
б) ( )0 3 2513
12 0 3 513
12 15 4 2 52
, , , , .− = ⋅ − ⋅ = − = −
№3381) х=7; 7+ 7 7 7 14= + = ;
х=10; 10 10 10 10 20+ = + = ;
х=0; 0 0 0 0 0+ = + = ;
х=-3; -3 − = − + =3 3 3 0;
x = − − + − = − + =8 8 8 8 8 0; ;2)а) x x x x x x> + = + = −0 2, ;
б) x x x x x< + = − =0 0, .
№339.
а) ( )( )( )
4 20 2525 4
5 25 2 5 2
5 25 2
2
2
2a aa
aa a
aa
− +−
=−
− +=
−+
;
www.5balls.ru
б) ( )( )( )
9 4 124 9
2 32 3 2 3
2 32 3
2 2
2 2
2x y xyy x
y xy x y x
y xy x
+ −−
=−
− +=
−+ .
.
14. Функция и ее график
№340.
а) S r rS
rS
= = =ππ π
2 2; ; ;
б) Sd
S d dS
dS S
= = = = =π π
π π π
22 2
44
4 42; ; ; .
№341а) площадь поверхности куба S a= 6 2;
б) длина ребра куба aS
=6
.
№342.
Радиус шара R S=
12 π
.
№3451) 8 64= ; 8=8 – точка А принадлежит графику данной функции;2) 100 10000= ; 100=100 - точка В принадлежит графику даннойфункции;3) − 81 не имеет смысла, следовательно С не принадлежитграфику данной функции;4) − ≠5 25 - точка D не принадлежит графику данной функции.№346.а) пересекает вточке (1;1);б) пересекает в точке (100; 10);в) пересекает в точке (10000; 100);г) непересекает
№3471) 11 121= ; 11=11 значит точка принадлежит графику даннойфункции;2) 30 900; 30=30, значит точка М принадлежит графику даннойфункции;
www.5balls.ru
3) 400− не имеет смысла, следовательно точка А не принадлежитграфику данной функции;4) -9 ≠ 81 - точка D не принадлежит графику данной функции.
№348. Пользуясь рис.14 учебника получаем:а) 5,0 < 8,0 ;
б) 2,4 < 7,5 ;
в) 7 < 8.
№349.а) 11;
б) 015, ;
в) 60 ;
г) 60 8∨ ; ( )60 82 2∨ ; 60 < 64; 60 < 8;
д) ( )2 14 2 14 2 196 2 142 2∨ ∨ > >, ; , ; , ; , .
№350.а) 27 28< ;
б) 13 15, ,< ;
в) ( )7 3 7 3 7 9 7 32 2∨ ∨ < <; ; ; ;
г) ( )6 25 2 5 2 5 2 5 2 5 2 5 6 25 2 52, , ; , , ; , , ; , , ;∨ ∨ = =
д) 15
16
15
16
15
16
15
16
2 2
∨
∨
> >; ; ; .
№351.а) 2,3 < 10,4 < 19,5, значит 2 3 10 4 19 5, , , ;< <
б) 4 = 16 12 16 18; < < , значит 12 4 18< < ;
в) 0,5 = 12
14
14
312
12
612
13
412
312
412
612
= = = = < <; ; ; ; , значит
www.5balls.ru
14
13
12
0 513
12
< < < <u , ;
г) 0,7 < 1 < 1,7, значит 0 7 1 1 7, , .< <
УПРАЖНЕНИЯ ДЛЯ ПОВТОРЕНИЯ
№352.а) 0 5 121 3 0 81 0 5 11 3 0 9 5 5 2 7 8 2, , , , , , , ;+ = ⋅ + ⋅ = + =
б) 144 900 0 01 12 30 01 36⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ =, , ;
в) ( )400 4 0 5 20 16 0 5 20 8 122
− = − ⋅ = − =, , ;
г) −
− = ⋅ − ⋅ = − = −3
13
10 0 64 913
10 0 8 3 8 52
, , .
№353.а) имеет;б) не имеет;в) имеет;г) имеет.
№354.
а) ( )1 11 11 2 11 11 12121 2
2 2) ; ; ) ; ; ;,x x x x x= = ± = = =
б) 1 212
0 25 0 25 0 52 21 2) ; , ; , , ;,x x x= = = ± = ±
2) ( )212
212
414
116
2 2
x x x x= =
= =; ; ; .
№355.а) a u b ab ab> > =0 0 3 3: ; ;
б) ( )a u b ab a b ab< > = − ⋅ = −0 0 3 3 3: ;
в) a u b ab a b ab< < = − − =0 0 3 3 3: ( )( ) ;
г) a u b ab a b> < = ⋅ −0 0 3 3: ( ) .
www.5balls.ru
№356.
а) x<0: -5x > 0; x2+7>0, следовательно −+
>5
702
xx
;
б) x>0 : x+4 >0; x2+4>0, следовательно xx
xx
+− −
= −++
<4
444
02 2 .
§6. Свойства арифметического квадратного корня15. Квадратный корень из произведения и дроби
№357а) 100 49 100 49 10 7 70⋅ = ⋅ = ⋅ = ;
б) 81 400 81 400 9 20 180;⋅ = ⋅ = ⋅ =
в) 64 121 64 121 8 11 88⋅ = ⋅ = ⋅ = ;
г) 144 0 25 144 0 25 12 0 5 6⋅ = ⋅ = ⋅ =, , , ;
д) 0 01 169 0 01 169 0 1 13 1 3, , , , ;⋅ = ⋅ = ⋅ =
е) 2 25 0 04 2 25 0 04 1 5 0 2 0 3, , , , , , , .⋅ = ⋅ = ⋅ =
№358.
а) 964
964
38
= = ;
б) 3625
3625
65
115
= = = ;
в) 12125
12125
115
2 15
= = = ;
г) 144169
144169
1213
= = ;
д) 1 916
2516
2516
54
114
= = = = ;
е) 2 781
16981
16981
139
149
= = = = ;
ж) 5 116
8116
8116
94
2 14
= = = = ;
з) 2 79
259
259
53
123
= = = = ;
www.5balls.ru
№359.а) 81 900 81 900 9 30 270⋅ = ⋅ = ⋅ = ;
б) 0 36 49 0 36 49 0 6 7 4 2, , , ,⋅ = ⋅ = ⋅ = ;
в) 12 14
494
494
72
3 12
= = = = ;
г) 10 916
16916
16916
134
3 14
= = = = ;
№360.а) 9 64 0 25 9 64 0 25 3 8 0 5 12⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ =, , , ;
б) 0 36 2 25 144 0 36 2 25 144 0 6 1 5 12 10 8, , , , , , , ;⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ =
в) 1 21 0 09 0 0001 112 0 09 0 0001 11 0 3 0 01 0 0033, , , , , , , , , ,⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ =
г) 2581
1649
1969
2581
1649
1969
59
47
143
4027
11327
⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ = = ;
д) ⋅ ⋅ = ⋅ = ⋅⋅
= =3 116
2 1415
4916
6425
7 84 5
145
2 8, ;
е) 5 116
2 3481
8116
19681
19616
19616
144
3 12
⋅ = ⋅ = = = = .
№361.а) 0 04 81 25 0 04 81 25 0 2 9 5 9, , , ;⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ =
б) 0 09 16 0 04 0 09 16 0 04 0 3 4 0 2 0 24, , , , , , , ;⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ =
в) 179
425
169
425
43
25
815
⋅ = ⋅ = ⋅ = ;
г) 121144
2 14
121144
94
1112
32
3324
138
⋅ = ⋅ = ⋅ = = ;
№362.а) 810 40 81 400 81 400 9 20 180⋅ = ⋅ = ⋅ = ⋅ = ;б) 10 250 2500 50⋅ = = ;в) 72 32 36 2 16 4 36 16 4 36 16 4 6 4 2 48⋅ = ⋅ ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ = ;г) 8 98 4 2 49 4 16 49 4 7 28⋅ = ⋅ ⋅ ⋅ = ⋅ = ⋅ = ;
www.5balls.ru
д) 50 18 25 2 9 2 25 9 4 25 9 4 5 3 2 30⋅ = ⋅ ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ = ;е) 2 5 14 4 0 25 10 144 0 1 0 25 144 0 5 12 6, , , , , ,⋅ = ⋅ ⋅ ⋅ = ⋅ = ⋅ = ;
ж) 90 6 4 9 10 6 4 9 64 9 64 3 8 24⋅ ⋅ ⋅ = ⋅ = ⋅ = ⋅ =, , ;
з) 16 9 0 4 169 0 1 4 9 1 169 4 0 01, , , , ,⋅ = ⋅ ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ =
= 169 4 0 01 13 2 0 1 2 6⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ =, , , .
№363а) 75 48 3 25 16 3 25 16 9 5 4 3 60⋅ = ⋅ ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ = ;б) 45 80 9 5 16 5 9 16 25 9 16 25 3 4 5 60⋅ = ⋅ ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ = ;в) 4 9 360 4 9 3 6 10 49 36 49 36 7 6 42, , ,⋅ = ⋅ ⋅ = ⋅ = ⋅ = ⋅ = ;
г) 160 6 4 16 10 6 4 16 64 16 64 4 8 32⋅ = ⋅ ⋅ = ⋅ = ⋅ = ⋅ =, , ;
№364а) 13 12 13 12 13 12 1 25 25 1 5 52 2− = − + = ⋅ = = ⋅ =( )( ) ;
б) 8 6 64 36 100 102 2+ = + = = ;
в) 313 312 313 312 313 312 1 625 6252 2− = − + = ⋅ = =( )( )=1 25 25⋅ = ;г) 122 22 122 22 122 22 100 1442 2− = − + = ⋅( )( ) =
= 100 144 10 12 120⋅ = ⋅ = ;
д) 45 8 44 2 45 8 44 2 45 8 44 2 1 6 902 2, , ( , , )( , , ) ,− = − + = ⋅ =
= 1 6 10 9 16 9 16 9 4 3 12, ⋅ ⋅ = ⋅ = ⋅ = ⋅ = ;
е) 21 8 18 2 21 8 18 2 21 8 18 2 3 6 402 2, , ( , , )( , , ) ,− = − + = ⋅ =
= 3 6 10 4 36 4 36 4 6 2 12, ⋅ ⋅ = ⋅ = ⋅ = ⋅ = .
№365а) 17 8 17 8 17 8 9 25 9 25 3 5 152 2− = − + = ⋅ = ⋅ = ⋅ =( )( ) ;
б) 3 4 9 16 25 52 2+ = + = = ;
в) 82 18 82 18 82 18 64 100 64 1002 2− = − + = ⋅ = ⋅( )( ) =8⋅10=80;
www.5balls.ru
г) 117 108 117 108 117 108 9 2252 2− = − + = ⋅( )( ) =
9 225 3 15 45⋅ = ⋅ = ;
д) 6 8 3 2 6 8 3 2 6 8 3 2 3 6 10 36 62 2, , ( , , )( , , ) ,− = − + = ⋅ = ;
е) 1 116
12
1716
12
1716
12
1716
12
2 2 2 2
−
=
−
= −
⋅ +
=
17 816
17 816
916
2516
916
2516
34
54
1516
−⋅
+= ⋅ = ⋅ = ⋅ = .
№336.а) 15 3 5= ⋅ ;б) 21 7 3= ⋅ ;в) 7 7a a= ⋅ ;г) 3 3c c= ⋅ ;
№367.
а) 27
27
= ;
б) 310
310
= ;
в) 5 5a a
= ;
г) b b3 3
= .
№368
а) 10100
10100
1010
n n n n= ⋅ = ⋅ = тождество доазано.
б) 110
100 110
100 110
10n n n n= = ⋅ ⋅ = тождество доазано.
№369.а) 7500 75 100 8 7 10 87= ⋅ = ⋅ =, ;
www.5balls.ru
б) 750000 75 100 100 8 7 100 870= ⋅ ⋅ = ⋅ =, ;в) 0 75 75 0 01 8 7 0 1 0 87, , , , ,= ⋅ ≈ ⋅ = ;
г) 0 0075 75 0 0001 8 7 0 01 0 087, , , , ,= ⋅ ≈ ⋅ = .
№370а) 57600 576 100 576 10 24 10 240= ⋅ = ⋅ = ⋅ = ;
б) 230400 2304 100 2304 100 48 10 480= ⋅ = ⋅ = ⋅ = ;
в) 152100 1521 100 1521 100 39 100 390= ⋅ = ⋅ = ⋅ = ;
г) 129600 1296 100 1296 100 36 10 360= ⋅ = ⋅ = ⋅ = ;
д) 20 25 2025100
2025100
4510
4 5, ,= = = = ;
е) 9 61 961100
961100
3110
3 1, ,= = = = ;
ж) 0 0484 48410000
48410000
22100
0 22, ,= = = = ;
з) 0 3364 336410000
336410000
58100
0 58, ,= = = = .
№371.а) 44100 441 100 441 100 21 10 210= ⋅ = ⋅ = ⋅ = ;б) 435600 4356 100 4356 100 66 10 660= ⋅ = ⋅ = ⋅ = ;в) 0 0729 729 0 0001 729 0 0001 27 0 01 0 27, , , , ,= ⋅ = ⋅ = ⋅ = ;
г) 15 21 1521 0 01 1521 0 01 39 0 1 3 9, , , , ,= ⋅ = ⋅ = ⋅ = .
№372а) 2 8 16 4⋅ = = ;б) 27 3 81 9⋅ = = ;в) 28 7 196 14⋅ = = ;г) 2 32 64 8⋅ = = ;д) 13 52 676 22⋅ = = ;е) 63 7 441 21⋅ = = ;
www.5balls.ru
ж) 50 4 5 225 15⋅ = =, ;
з) 1 2 3 13
115
313
6 105 3
4 2, ⋅ = ⋅ = ⋅⋅
= = .
№373
а) 218
218
19
13
= = = ;
б) 232300
232300
1100
110
= = = ;
в) 52117
52117
49
23
= = = ;
г) 12500500
12500500
25 3= = = ;
д) 7 50 3
7 50 3
25 5,,
,,
= = = ;
№374а) 10 40 400 20⋅ = = ;б) 12 3 36 6⋅ = = ;в) 162 2 324 18⋅ = = ;
г) 23
38
2 33 8
14
12
⋅ = ⋅⋅
= = ;
д) 110 4 4 484 22⋅ = =, ;
е) 145
0 2 95
925
35
⋅ = ⋅ =, ;
ж) 999111
999111
9 3= = = ;
з) 15735
15735
149
17
= = = ;
№375Второй способ удобнее; произведем вычисления 6 2 45≈ , .
www.5balls.ru
№376а) 7 5 35 5 92⋅ = ≈ , ;б) 3 1 4 5 3 1 4 5 3 73, , , , ,⋅ = ⋅ ≈
в) 10 11 12 10 11 12 36 33⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ ≈ , ;
г) 1176
1176
4 42= ≈ , ;
д) 10 238 6
10 238 6
0 51,,
,,
,= ≈ ;
е) 2 3 8 14 5
2 3 8 14 5
2 03, ,,
, ,,
,⋅ = ⋅ ≈ .
УПРАЖНЕНИЯ ДЛЯ ПОВТОРЕНИЯ№377х=-4; x2 24 16 4= − = =( ) ;
х=-3; x2 23 9 3= − = =( ) ;
х=-0; x2 20 0 0= = = ;
х=9; x2 29 81 9= = = ;
х=20; x2 220 400 20= = = ;
Выражение x2 имеет смысл при любых значениях х.
№378а) при x x x x x x> ⋅ = ⋅ =0 2, ;
б) при x x x= ⋅ = ⋅ = ⋅ =0 0 0 0 0 0, ;
в) x x x x x x< ⋅ = − ⋅ = −0 2, .
№379
а) 2 18
14
2 3 5a a a⋅ = ;
б) ( )4 3 4 9 364 2 8 8a a a= ⋅ = ;
в) 20 12
20 14
54 32 4 6
10a a a a a⋅
=⋅ ⋅
= ;
www.5balls.ru
№380
а) ( )a a4 2 2= ;
б) ( )a a6 3 2= ;
в) ( )a a18 9 2= ;
г) 1 110 5
2
a a=
;
д) ( )a b ab2 8 4 2= ;
е) ab
ab
6
12
3
6
2
=
;
№381
Из условия V=a2b; a Vb
2 = ; откуда a Vb
= ;
№382
а) ( )1 10 255 1
5 15 1
5 12 2− +
−=
−−
= −a aa
aa
a ;
б) ( )1 6 93 1
3 13 1
3 12 2− +
−=
−−
= −x xx
xx
x ;
№383
а) ( )25
186
2330
12 5 18 690x x x x x x− + = + − + = +; ;
12x-5x-90-x=690;
б) ( ) ( ) ( )x x x x x x− + + = − − + + = −13
2 15
3 14
20 1 12 2 1 15 3 1; ;
20x-20+24x+12=45x-15;
76. Квадратный корень из степени
№384
www.5balls.ru
а) ( )0 1 0 1 0 12, , ,= = ;
б) ( )− = − =0 4 0 4 0 42, , , ;
в) ( )− = − =0 8 0 8 0 82, , , ;
г) ( )1 7 1 7 1 72, , , ;= =
д) ( )− = − =19 19 192 ;
е) 24 24 242 = = ;
ж) ( )2 23 2 23 2 23 462− = ⋅ − = ⋅ = ;
з) 5 52 5 52 5 52 2602 = ⋅ = ⋅ = ;
и) ( )0 2 61 0 2 61 0 2 61 12 22, , , , .− = ⋅ − = ⋅ =
№385а) подставим x x= = = =22 22 22 222 2: ;
подставим x x= − = − = − =35 35 35 352 2: ( ) ;
подставим x x= − = −
= − =123
123
123
123
22
: ;
подставим x x= = = =0 0 0 02 2: ;
б) подставим ( )a a= − = − = ⋅ − = ⋅ =7 2 2 7 2 7 2 7 142 2: ;
подставим a a= = = ⋅ = ⋅ =12 2 2 12 2 12 2 12 242 2: ;
в) подставим ( )y y= − = − = ⋅ − = ⋅ =15 0 1 0 1 15 0 1 15 0 1 15 1 52 2: , , , , , ;
подставим y y= = = ⋅ = ⋅ =27 0 1 0 1 27 0 1 27 0 1 27 2 72 2: , , , , , .
№386а) p p2 = ;
www.5balls.ru
б) y y2 = ;
в) 3 32b b= ;
г) − = −0 2 0 22, , ;x x
д) 25 5 52 2a a a= ⋅ = ⋅ .
№387а) a a a2 = = , если a>0;
б) n n n2 = = − , если n<0;
в) 3 3 32c c c= ⋅ = , если с>0;
3 3 3 0 02c c= ⋅ = ⋅ = , если с=0;
г) − = − ⋅ = −5 5 52y y y, если y>0;
д) 36 6 6 62x x x x= = ⋅ = − , если х<0;
36 6 6 0 6 0 02x x= = ⋅ = ⋅ = ;
е) − = − ⋅ = − − =9 3 3 32y y y y( ) , если y<0;
ж) − = − ⋅ = − ⋅ = −5 4 5 2 5 2 102x x x x, если х>0;
− = − − = − ⋅ =5 4 10 10 0 02x x , если х=0;
з) ( )0 5 16 0 5 4 0 5 22, , , ,a a a a= ⋅ = ⋅ − = − если а<0.
№338а) 2 2 22m m m= = , при m≥0;
б) − = − = −3 3 32a a a, при a>0;
в) ( )0 64 0 8 0 8 0 82, , , , ,x x x x= ⋅ = − = при x≤0;
г) − = − = − ⋅ − =0 25 0 5 0 5 0 52, , , ,y y y y , при у<0.
№389
а) y y y6 3 3= = , если у≥0;
www.5balls.ru
б) m m m4 2 2= = ;
в) x x x6 3 3= = − , если x<0;
г) 5 5 58 4 4a a a= = ;
д) 13
13
13
12 6 6c c c= = ;
е) ( )1 5 1 5 1 5 1 514 7 7 7, , , , ,t t t t= = ⋅ − = − если t<0.
№390а) 0 49 0 7 0 718 9 9, , , ,x x x= = при x<0;
б) 0 01 0 1 0 126 13 13, , , ;a a a= = при а>0;
0 01 0 1 026 13, , ,a a== = при а=0;
в) 15 0 16 15 0 4 15 0 4 612 6 6 6, , , ;c c c c= ⋅ = ⋅ =
г) 0 8 100 0 8 10 816 8 8, , .y y y= ⋅ =
№391а) p p10 5= , при р>0;
б) x x x18 9 9= = − , при х<0;
в) y y y12 6 6= = ;
г) 15 15 1516 8 8b b b= ⋅ = ;
д) 1 6 1 6 1 68 4 4, , , ;x x x= ⋅ =
е) ( )0 1 0 1 0 1 0 16 3 3 3, , , , ,a a a a= ⋅ = ⋅ − = − при а<0;
№392а) 2 2 44 2= = ;
б) 3 3 94 2= = ;
в) 2 2 86 3= = ;
www.5balls.ru
г) 10 108 4− ;
д) ( ) ( )− = − =5 5 254 2 ;
е) ( ) ( )− = − =2 2 168 4 ;
ж) 3 5 3 5 454 2 2⋅ = ⋅ = ;
з) 2 2 2 7 8 49 3926 7 7 2⋅ = ⋅ = ⋅ = .
№393а) 11 11 1214 2= = ;
б) 4 4 64 646 3= = = ;
в) ( ) ( )− = − = =3 3 81 818 4 ;
г) ( ) ( )− = − =6 6 364 2 ;
д) 2 3 2 3 488 2 4⋅ = ⋅ = ;
е) 3 5 3 5 9 125 11254 6 2 3⋅ = ⋅ = ⋅ = ;
ж) 7 2 7 2 7 2 1122 4 4 4⋅ ⋅ = ⋅ = ;
з) 3 5 3 5 27 25 6756 4 3 2⋅ = ⋅ = ⋅ = .
№394а) 20736 2 3 2 3 2 3 16 9 1448 4 4 2 4 2= ⋅ = ⋅ = ⋅ = ⋅ = ;
б) 50625 3 5 3 5 9 25 2254 4 2 2= ⋅ = ⋅ = ⋅ = ;
в) 28224 2 3 7 2 3 7 8 3 7 1686 2 2 3= ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ = ;
г) 680625 3 5 11 3 5 11 3 2511 8252 4 2 2⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ = ⋅ = .
№395а) 2304 2 3 2 3 2 3 16 3 488 2 4 4= ⋅ = ⋅ = ⋅ = ⋅ = ;
www.5balls.ru
б) 18225 3 5 3 5 27 5 1356 2 3= ⋅ = ⋅ = ⋅ = ;
в) 254016 2 3 7 2 3 7 8 9 7 5046 4 2 3 2⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ = .
УПРАЖНЕНИЯ ДЛЯ ПОВТОРЕНИЯ
№3975
13
16
11
22a a aa
+−
−+
−
⋅+ =
= ( )( )5
13
16
1 11
2a a a aa
+−
−+
+ −
⋅
+ =
= 5 1 3 1 61 1
12
5 5 3 3 61 1
12
( ) ( )( )( ) ( )( )
a aa a
a a aa a
a− − + ++ −
⋅ + = − − − ++ −
⋅ + =
= 2 21 1
12
2 1 12 1 1
1aa a
a a aa a
−+ −
⋅ + = − ++ −
=( )( )
( )( )( )( )
, что не зависит от а.
www.5balls.ru
№ 398.
=−⋅
−−
−+
525
2555 2
22
xx
xxx
x
=+−⋅
+−
−−
+=5
55555
5 )x)(x()x)(x(
x)x(x
x
.x
xx
)x()x)(x()x)(x(xxxx 52
5525
555
552510 22 +=+=+−⋅
+−−++=
№ 399.На рисунке буквами а, b и c обозначены графики функций:
а – график функции ;xy 22 +=b – график функции ;xy 22 +−=
с – график в функции 34
−−= xy .
№ 400.
Из условия задачи имеем:
y
4
2
0 2 4 6
6
8
8
-4
-6
-8
аb
c
www.5balls.ru
V = πR2H; R2 =HV
π; R =
HV
π.
§ 7. Применение свойств арифметическогоквадратного корня
17. Вынесение множителя из-под знака корня. Внесениемножителя под знак корня
№ 401.
а) 32343412 =⋅=⋅= ;б) 23292918 =⋅=⋅= ;в) 5451651680 =⋅=⋅= ;г) 3431631648 =⋅=⋅= ;д) 55525525125 =⋅=⋅= ;е) 36233427427108 =⋅=⋅=⋅= ;ж) 31131211213363 =⋅=⋅= ;з) 51351691695845 =⋅=⋅= .
№ 402.
а) 6622164
2164
2124
21 =⋅=⋅=⋅= ;
б) 52533259
3245
32 =⋅=⋅= ;
в) 33771349
71147
71 −=⋅−=⋅−=− ;
г) 11115511125
511125
51275
51 −=⋅−=⋅−=⋅−=− ;
д) 210210010210000102000010 =⋅=⋅= ,,, ;
е) =⋅⋅⋅−=⋅⋅−=− 21032050103205028800050 2225 ,,,
262120050 −=⋅−= , .
№ 403.
www.5balls.ru
а) 525420 =⋅= ;б) 2724924998 =⋅=⋅= ;в) 2102100200 =⋅= ;г) 10410161016160 =⋅=⋅= ;д) 3352025320253207520 =⋅=⋅=⋅= ,,,, ;е) 373107010037030070 =⋅=⋅= ,,, ;
ж) =⋅⋅−=⋅⋅⋅−=− 321612502231612501921250 2,,,
33241250 −=⋅⋅−= , ;
з) 25253311059
31450
31 −=⋅⋅−=⋅⋅−=− ;
и) 202010002010102010 −=⋅−=⋅−=− ,,, ;
к) aaaa 55
255
1255
5 ==⋅= ;
л) xxxx 3124112
21112
21 −=⋅−=⋅−=− .
№ 404.
а) 4901049107 =⋅= ;б) 7532535 =⋅= ;в) xxx 36366 =⋅= ;г) yyy 10010010 =⋅= ;
д) aaa 182923 =⋅= ;е) bbb 7532535 =⋅= .
№ 405.
а) 123432 −=⋅−=− ;б) 455953 −=⋅−=− ;в) aaa 49497 −=⋅−=− ;г) b,b,b, 04004020 −=⋅−=− .
№ 406.
www.5balls.ru
а) 339
319
313 ==⋅= ;
б) 3443
434
432 =⋅=⋅= ;
в) 2189118
31 =⋅= ;
г) 202010002010 −=⋅−=− ,, ;
д) 455925
595 =⋅= ;
е) xxx 3124112
21 −=⋅−=− .
№ 407.
а) 82422 =⋅= ;б) yyy 25255 =⋅= ;
в) 14734937 −=⋅−=− ;г) aaa 7223626 −=⋅−=− ;
д) bbbb 219
181189118
31 =
⋅⋅=⋅= ;
е) сс,с, 22001020010 −=⋅−=− .
№ 410.
а) 2733 = ; 2462 = ;3224 = ; 322724 pp , значит,
243362 pp ;б) 7223626 =⋅= ; 6373 = ;
56142 = ; ⇒72635856 ppp
267358142 ppp .
№ 411.
www.5balls.ru
а) 24974 ⋅∨⋅ ; 9828 p ; 2772 p ;б) 27041209 ⋅∨⋅ ; 10801080 = ;
27021203 p ;
в) 21366
41 ⋅∨⋅ ;
236
46 ∨
1851 p, ; 2166
21
p .
№ 412.
а) xxx 777 2 == , при 0≥x ;
б) yyy 101010 2 == , при 0py ;
в) xxxxx =⋅=3 ;
г) aaaaaaa 2245 ==⋅= ;
д) yyyyyyy 3367 441616 ==⋅= ;
е) 43
43
413
163 3 xxxxxxx ==⋅⋅= .
№ 413.
а) aaaaa 22228 223 =⋅⋅= ;
б) bbbbb 3101003300 245 =⋅⋅= ;
в) 343431648 22 xxxx −==⋅= , при 0≤x ;
г) 2636272 244 aaa =⋅= ;
д) aaaaa 2525250 267 =⋅⋅= ;
е) 33333327 33626 cccc −==⋅= , при 0pc .
№ 414.
а) 666 2 xxx =⋅= , при 0≥x ;
б) yyy 633 2 −=⋅= , при 0py ;
www.5balls.ru
в) aaaaa 339 3 =⋅= ;
г) 255225250 2244 bbbb =⋅=⋅= .
УПРАЖНЕНИЯ ДЛЯ ПОВТОРЕНИЯ
№ 415.
( ) ( ) =+−⋅
+−−
−+=+−⋅
+−−
−+ 1
79
312
3121
79
312
312 22
22 xx
xxx
xxx
xx
xxx
xxx
( )( ) ( )( )( )( ) =+−⋅
+−−−−++= 1
79
33123312 2
xx
xxxxxxx
( )( ) =+−⋅+−
−++−+++= 17
933
362362 222
xx
xxxxxxxxx
( )( )( )( )
xx
xxxx
xxx
xxxx +=+=+
⋅=+−+⋅
+−= 2121
7141
733
3314 .
№ 416.
Обозначим за х – количество книг, переплетенных в первый день;тогда (х + 12) – количество книг, переплетенных во второй день;также (х + х +12) – количество книг, переплетенных за первые два
дня; ( )1275 ++ xx - количество книг, переплетенных в третий день.
Всего за три дня было переплетено 144 книги. Получаем уравнение:
( ) ( ) 144127512 =+++++ xxxx ;
( ) 14412275122 =+++ xx ;
( ) 144751122 =
++x ;
( ) 1441227
12 =+x ;
67
6 =+x ; 426 =+x ; 36=x ;
4812 =+x ; ( ) 601275 =++ xx .
www.5balls.ru
Ответ: в первый день переплели 36 книг, во второй – 48 книг, в тре-тий – 60 книг.
№ 417.
а) 9
547
1214 xx −=+− ; 36
95
47
121436 ⋅−=
+−⋅ xx ;
( ) ( )xx −=⋅+− 5479143 ; xx 42063312 −=+− ;4016 −=x ; 52,x −= ;
б) ( )21
15352
692 =+−− xx ; ( ) ( ) 30
21
1535230
69230 ⋅=+⋅−− xx ;
5(2х – 9) – 4(5х + 3) = 15;-10х – 57 = 15;10х = - 72;х = - 7,2.
18. Преобразование выражений, содержащихквадратные корни
№ 418.
а) yxyxx −=−+ 532 ;
б) ababa −=++− 2324 ;в) aaaaaaa 265336259 =−+=−+ ;г) nnnnnnn 635492516 =−+=−+ ;д) =⋅−⋅−=−− aaaaaa 516354258032025
aaa 515512545 −=−−= ;е) =⋅−⋅+⋅=−+ 10033162533004875
33103435 −=−+= ;ж) =⋅+⋅−⋅=+− 9222524231825083
27262526 =+−= ;з) =⋅+⋅−⋅=+− 42100212128200242
2322210211 =+−= ;и) =⋅−⋅−⋅=−− 93100310253273001075 ,,
333335 =−−= ;
www.5balls.ru
к) =⋅+⋅−⋅=+− 24503624928507298 ,,
2222627 =+−= .№419а) 8 25 18 2 2 5 3 2 5 2 5p p p p p− + = − + = − ;б)
16 2 40 3 90 4 2 2 10 3 3 10 4 4 10 9 10c c c c c c c c c+ − = + ⋅ − ⋅ = + −== 4 5 10c c− ;
в) 5 27 4 48 2 12 5 3 9 4 3 16 2 4 3− − = ⋅ − ⋅ − ⋅m m m m ==15 3 16 3 4 3 15 3 20 3− − = −m m m ;
г) 54 24 150 6 9 6 4 25 6− + = ⋅ − ⋅ + ⋅ == 3 5 2 6 5 6 6 6− + = ;
д) 3 2 32 200 3 2 4 2 10 2 3 2+ − = + − = − ;
е) 2 72 50 2 8 2 2 36 2 4− − = ⋅ − ⋅ == 2 6 2 5 2 2 2 2 12 2 5 2 4 2⋅ − − ⋅ = − − .
№420а) ( )12 15 3 12 3 15 3 4 3 3 3 5 3 6 3 5+ ⋅ = ⋅ + ⋅ = ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ = + ;
б) ( )5 3 5 5 8 5 3 5 5 5 8 3 5 5 4 10 15 5 2 10+ = ⋅ + ⋅ = ⋅ + ⋅ = + ⋅ =
=15 10 10+
в) ( )4 3 2 6 2 3 4 3 2 3 2 6 2 3− ⋅ = ⋅ − ⋅ = 24 4 3 2 24 12 2− ⋅ = − ;
г)
( )3 5 2 3 5 60 3 5 5 2 3 5 4 15 3 5 2 15 2 15− ⋅ + = ⋅ − ⋅ + ⋅ = ⋅ − +
=15;д) ( )28 2 3 7 7 84− + ⋅ + =
= 28 7 2 3 7 7 7 21 4⋅ − ⋅ + ⋅ + ⋅ == 4 7 7 2 21 7 2 21 7 2 7 21⋅ ⋅ − + + = ⋅ + = ;
е) ( )12 2 18 2 96 12 2 2 18 2 96+ ⋅ − = ⋅ + ⋅ − =
= 4 3 2 2 9 2 2 2 2 3 2 2 6 12 4 6 12 2 64⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ − ⋅ ⋅ = + − = − .
www.5balls.ru
№421а) ( )3 12 2 27 3 4 3 2 3 9 3 3 2 2 3 3 6 18 12− = ⋅ ⋅ − ⋅ ⋅ = ⋅ − ⋅ ⋅ = − = − ;
б) ( )5 2 7 3 6 5 2 6 7 3 6− ⋅ = ⋅ − ⋅ =
= 5 2 3 7 3 2 10 3 21 2⋅ − ⋅ = − ;
в) ( )8 10 5 5 8 5 5 2 5 5− − ⋅ = − ⋅ ⋅ + ⋅ =
= 2 4 5 2 5 2 2 5 2 5 5 3 2⋅ − + = − + = − ;
г) ( )48 2 3 2 5 12 16 3 2 2 3 2 3 5 4 3− ⋅ − = ⋅ − ⋅ + ⋅ ⋅ =
= 4 3 4 3 10 3 2 60− + ⋅ ⋅ = .
№422а)
( )( )1 3 2 1 2 2 1 2 2 3 2 3 2 2 2 1 2 6 2 2 11+ − = − + − ⋅ = + − ⋅ = − ;
б) ( )( )3 3 2 3 3 2 3 3 2 3 3 3+ + = ⋅ + + + ⋅ =
= 6 5 3 3 9 5 3+ + = + ;
в) ( )( )2 2 3 3 2 2 3− − =
= 2 2 3 2 2 2 2 3 3 3 2 2 3 3⋅ − ⋅ − ⋅ + ⋅ == 6 2 4 6 3 6 2 3 18 7 6⋅ − − + ⋅ = − ;
г) ( )( )5 8 5 3 2 5 5 5 3 2 8 5 3 2 8− − = ⋅ − ⋅ − ⋅ + ⋅ =
= 5 3 10 4 2 5 3 2 4 2− − ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ == 5 3 10 2 10 3 2 2 17 5 10− − + ⋅ ⋅ = − ;
д) ( )( )2 5 12 12 5 135+ − − =
= 2 5 12 2 5 5 12 12 5 12 135⋅ − ⋅ + ⋅ − ⋅ − == 2 2 15 10 12 2 15 9 3 5⋅ − + − − ⋅ ⋅ =
= 4 15 2 2 15 3 15 2 15+ − − = − ;
www.5balls.ru
е) ( )( ) =−−− 542272723
=−⋅+⋅−⋅−⋅= 5427227272232723
=⋅⋅−⋅⋅+−−⋅= 239392276633
336963633369 −=−+−=
№423а) ( )( ) yxyxyx −=−+ 2 ;
б) ( )( ) babbaababa −=⋅−⋅=+− ;в) ( )( ) 2331111311311 =⋅−⋅=+− ;( )( ) 3107101077107710 −=−=⋅−⋅=−+ ;
д) ( ) ( ) ( ) =+⋅+=+222
2 bbaaba
bbaa +⋅+= 2 ;
е) ( ) ( ) ( ) =+⋅−=−222
2 nnmmnm
nnmm +⋅−= 2 ;
ж) ( ) ( ) 26113322232 222+=+⋅+=+ ;
з) ( ) ( ) ( ) =+⋅−=−222
2252525
1027 −= .
№424а) ( )( ) 191541554152152 =−⋅=−⋅=−+ ;
б) ( )( ) ( ) =⋅−=+− 131375751313752
1621317513725 =−=−⋅= ;
в) ( )( ) ( ) ( ) 61218342932232332322322
=−=⋅−⋅=−=+− к ;
г) ( )( ) ( ) ( ) =−=−+22
145,03145,033145,05,05,331425,03 −=−=⋅−= ;
д) ( ) ( ) =⋅++=+⋅⋅+=+ 59561535312153122
5646 += ;
е) ( ) ( ) =+⋅⋅−=− 2227327232732
328613284912 −=−+= ;
www.5balls.ru
ж) ( ) ( ) ( ) =+⋅⋅−=−222
2210221022102
5842252440 −=+⋅−= ;
з) ( ) ( ) ( ) =+⋅⋅−=−222
3232632633263
23666343321269 −=⋅+⋅⋅−⋅= .
№425
а) ( ) ( ) ( ) =⋅−+⋅+=−+ 10125562612056222
11523453026 =⋅⋅⋅−++= ;
б) ( ) ( ) ( ) =+⋅−+⋅=−+222
553234155360
851523152 =+−+= ;
в) ( ) =+− 28623142
( ) ( ) =⋅++⋅⋅−= 74623231421422
32181472629742314 =+=⋅+⋅+⋅⋅−= ;
г) ( ) =−+ 271015532
( ) ( ) =⋅−+⋅⋅+= 391015155325322
6033033060331015535659 =−+=⋅−+⋅⋅+⋅= ;
д) =
−++
27474
=
−+−⋅++
+=
22747474274
=−+
−
+++= 747474274
( ) =+=−+=
−+= 928716287428 22
;1468 =+=
е) =
−−+
2625625
=
−+−⋅+−
+=
226256256252625
www.5balls.ru
=−+
−⋅
+−+= 6256256252625
( ) 812106425210 =−=⋅−−= .№426
а) ( )( ) ( ) ;1111 22−=−=−+ xxxx
б) ( )( ) ( ) ( ) ;22
axaxaxax −=−=+−
в) ( ) ( ) ( ) ;2222222222
++=+⋅+=+ mmmmm
г) ( ) ( ) ( ) ;3233233222
xxxxx +−=+⋅−=−
д) ( )( ) ( ) ;6169175137513751375 22=−=−=+−
е) ( )( ) ( ) ( ) ;19392433223322332222
−=⋅−⋅=−=−+
ж) ( ) ( ) =⋅++⋅−=+− 21632262632326222
;38243221236 =⋅++−=
з) ( ) ( ) ( ) =−+⋅+=−+ 30181822230182222
2301220301892222 =−+=−+⋅⋅+= .
№427а) ( )( )7772 +−=− xxx ;
б) ( )( )ccc +−=− 555 2 ;в) ( )( )323234 2 +−=− aaa ;г) ( )( )bbb 4114111611 2 +−=− ;д) ( )( )333 +−=− yyy ;
е) ( )( )yxyxyx +−=− .
№428а) ( )13333333 +=+⋅=+ ;
б) ( )21010102101010210 −=−⋅=− ;в) ( )xxxxxxx +=⋅+=+ 1 ;г) ( )555 −=−⋅=− aaaaaaa ;
www.5balls.ru
д) ( )2122 −=⋅−=− aaaaa ;е) ( )535353 +=⋅+⋅=+ mmmmm ;ж) ( )127714 −=− ;з) ( )23111121132233 +=⋅+⋅=+ .
№429
а) ( )( ) 55
55552
+=−
+−=−
− bb
bbbb ;
б) ( )( ) mmmm
mm
−=
+−+=
−+
61
666
662 ;
в) ( )( ) 21
222
42
+−=
+−−=
−−
xxxx
xx ;
г) ( )( )3
333
39 −=
++−=
+− b
bbb
bb ;
д) ( )( ) baba
babaab
ba −=+
+−=+− ;
е) ( )( ) yxyxyxyx
yxyx
321
323232
9432
+=
+−−
=−−
;
ж) ( ) ( )7
17177
17717
1777 −=
−−−=
−−=
−− ;
з) ( ) aa
aaa
aa =−
−=−
−1
11
;
и) ( ) xxxx
xxx 1
33
33 =
++=
++ .
№430
а) ( )( ) 22
22222
−=+
+−=+
− xx
xxxx ;
б) ( )( ) aaaa
aa
+=
+−−=
−−
51
555
55
2 ;
www.5balls.ru
в) ( )( ) xxxx
xx
+−=
+−−=
−−
51
555
255 ;
г) ( ) 212
2122
2222
22 +=+=⋅+=+ ;
д) 2
2525
255510
105 +=⋅
⋅+⋅=+ ;
е) ( )5
3235
32335
333235
332 −=−=⋅−=− ;
ж) ( )( ) 3
232
3322 =
−−=
−−
baba
baba ;
з) ( ) xxxx
xxx 1
111 =+
+=+
+ ;
и) ( )( )
( ) aa
aaaa
aaaaa
aaaaa =
++=
++⋅=
++
11
1.
№431
а) 5
555
55
xxx =⋅
= ;
б) b
bbb
bb
333 =⋅
= ;
в) yy
yyy
y 72
72
72 =
⋅= ;
г) 2bba
bbba
bbbba
bba =
⋅=
⋅= ;
д) ( )( )( )
( )ba
bababa
baba +
+=++
+=+
444 ;
е) ( )( ) baba
bababa
ba −−=
−−−⋅=
−11 ;
www.5balls.ru
ж)6
353235
33235
325 =
⋅=
⋅= ;
з) 3
242328
22328
238 =
⋅=
⋅= ;
и) 103,010
10325
103225253
2553 ==
⋅=
⋅⋅= .
№432
а) x
xmxx
xmx
m =⋅
= ;
б) 22
2221
21 =
⋅⋅= ;
в) cc
ccc
c 53
53
53 =
⋅⋅= ;
г) 6
3332
332
aaa =⋅
= ;
д) 23
3233
33233
323 =
⋅=
⋅= ;
е) 1215
154155
15154155
1545 =
⋅=
⋅= .
433.
а) );13(213)13(4
212)3(
)13(4)13)(13(
)13(413
4 −=−−=
−
−=−+
−=+
б) );21(121
2121
2)2(121
)21)(21()21(1
211 +−=+−=−
+=−
+=+−
+⋅=−
в) ;)()())((
)(1122 yx
yxyx
yxyxyx
yxyx −
+=
−+
=+−
+⋅=
−
г) ;)()()()(
))(()(
22 babaa
babaa
bababaa
baa
−−=
−−=
−+−=
+
д) =+=⋅−
+=+−
+=− 22
)337(33)3(37)337(33
)337)(337()337(33
33733
222
www.5balls.ru
;2
)337(3 +=
е) =−⋅
−=−−=
−+−=
+ 2554)552(15
5)52()552(15
)552)(552()552(15
55215
22
.5615)552(35
)552(15 −=−−=−−=
435.
а) ;)(
)()(
))(()(
222 yxyxx
yxyxx
yxyxyxx
yxx
−−
=−
−=
−+−
=+
б) ;)())((
)(222 ba
bbabba
bbabbaba
babba
b−
+=−+=
+−+=
−
в) =+=−+=
+−+=
− 8)210(4
)2()10()210(4
)210)(210()210(4
2104
22
;2
)210( +=
г) =−−=
−−=
−+−=
+ 3)63(12
)6()3()63(12
)63)(63()63(12
6312
22
);36(4 −=
д) =⋅−
+=−
+=+−
+=− 249
)223(9)22(3)223(9
)223)(223()223(9
2239
22
);223(9 +=
е) =−
−=−+
−=+ 22 )25(1
)251(14)251)(251(
)251(14251
14
.7
)125(277
)251(72501
)251(14 −=⋅−⋅−=
−−=
436.
а) ,152,0515
5553
53
53 ==
⋅⋅== что и требовалось доказать;
б) ,212222 aaa
aaaa
aa==
⋅⋅== что и требовалось доказать.
www.5balls.ru
437.
а) ;33
333
3xxx =
⋅⋅=
б) ;555a
aaaa
a=
⋅⋅=
в) ;36
3332
32 =
⋅⋅=
г) ;22
2221
21 =
⋅⋅=
д) ;4
2222
2
22 aaa =⋅⋅= а≥0
е) ;2
34
34
44
22222 xxxxxx ==−=− x≥0
438.
а) ;399mmm ==
б) ;77
777
7aaa =
⋅⋅=
в) ;63
3433
431212ccccc =
⋅⋅⋅=
⋅==
г) .2224248a
aaa
aaa
=⋅
⋅⋅=⋅=
УПРАЖНЕНИЯ ДЛЯ ПОВТОРЕНИЯ
439.
=−+
⋅+−=−+
⋅+−=−++
⋅− 2)3(4
8)3)(3(2)3(4
8)3)(3(296
84
9222
2
xxxxx
xxxxx
xxx
xx
;3
43
62263
)3(2)3(223
)3(2=
−=+
−−−=+
+−−=−+−=
xx
xxx
xxx
xx
подставляем x=-2,5 и находим:
www.5balls.ru
.205,0
1035,2)5,2(4
34 ==
+−−⋅−=
+−
xx
440.Обозначим за S км – расстояние от А до В, тогда время
велосипедиста в пути равно 12S ч;
48S ч – время мотоциклиста в
пути. По условию задачи мотоциклист отправился в путь на 0,5 чпозже и прибыл на 1 ч 15 мин = 1,25 ч раньше, чем велосипедист.
Запишем уравнение: ;25,148
5,012
++= SS
;75,14812
+= SS ;844 += SS ;843 =S .28=S
Ответ: АВ=28 км.
441.
а) ;013
22
13 =+−+− xx ;0)13
22
13(6 =+−+− xx
;06)2(2)13(3 =+−+− xx ;062439 =+−+− xx ;77 −=x ;1−=x
б) ;5,2425
610 =−−− yy ;125,2)25(3)10(2 ⋅=−−− yy
;30615202 =+−− yy ;658 =y ;818=y .125,8=y
442.Условие задачи, );( 22 rRS −= π ;22 rRS ππ −= ,22 RrS ππ =+ откуда
;2
2
ππrSR += .
2
ππrSR +=
Ответ: ππ 2rSR += .
443.1) Для прямой b уравнение: ;12 +−= xy
2) Для прямой a уравнение: .251 −= xy
444.
www.5balls.ru
а) ;072 =−x ;72 =x ;72,1 ±=x
б) ;0492 =+x ;492 −=x уравнение не имеет корней;в) ;1)1( 2 =+x ;11 ±=+x ;11 ±=+x1) ;11 =+x ;01 =x 2) ;11 −=+x ;22 −=x
г) ;2)5( 2 =−x ;25 ±=−x 1) ;25 =−x ;251 +=x
2) ;25 −=−x .252 −=x
Дополнительные упражнения к главе II
К ПАРАГРАФУ 4
445.а) Да;б) не всегда;в) да;г) не всегда.
446.а) Да;б) да;в) да;г) не всегда.
447.а) Да;б) да;в) да;г) да.
448.Считаем, что ,2nx = ,2ky = где n и k – натуральные числа. Тогда:а) mknknyx 2)(222 =−=−=− - четное число;б) mnkknxy 2)2(222 ==⋅= - четное число;в) mknknyx 2)3(2263 =+=+=+ - четное число.
449.Считаем, что ,12 += nx .12 += ky Тогда:а) mknknyx 2)1(21212 =++=+++=+ - четное число;
www.5balls.ru
б) )(2221212 knknknyx −=−=−−+=− - четное число;в) 1)2(21224)12)(12( +++=+++=++= knnkknnkknxy - нечетноечисло.
451.
а) );0(359375,06423 =
б) );0(28,0257 −=−
в) );846153(,01311 =
г) );037(,0271 =
д) );571428(0,0352 =
е) );18(3,0227 −=−
ж) );6(7,03023 =
з) ).18(2,05512 =
452*.
Пусть ba - рациональное число; предположим, что ,3)( 2 =
ba т.е.
.3 22 ba = Пусть а содержит в своем разложении n простыхмножителей равных 3, где n – число натуральное или нуль. Тогда,число 2a содержит в разложении 2n простых множителей, равных3. Поскольку ,3 22 ba = то 2b содержит в разложении 12 −n простыхмножителей, но квадрат натурального числа должен быть четным, имы приходим к противоречию. Итак, не существует рациональногочисла, квадрат которого равен 3.
454*.а) Иррациональное число;б) иррациональное число.
www.5balls.ru
К ПАРАГРАФУ 5
455.а) ;1,5173,02893,0 =⋅=
б) ;6,39,0481,04 −=⋅−=−
в) ;74
7731
731
499 −=−=−=−
г) ;81
812
81
164
641
2564 =−=−=−
д) ;22,101011,021000121,02 =+⋅=+
е) ;14,04,0
2,024,0
04,0216,0
==⋅
=
ж) ;2525506252500 =−=−
з) ;95
938
31
98
91
8164 =−=−=−
и) ;143410003,0161000003,0 =+−=+⋅−=+−
к) .3821
21
191
41
3611 =+=+
456.
а) =−−=+−=+⋅−=+− 5,025)5,02(5)5,0323(5)25,0
943(5
;5,25,25 =−=
б) ==⋅−⋅=− 2,0:11)2029,04015,0(:11)40029,0160015,0(:11;552:110 ==
в) =++ )10078,009,032(:)1213225(
;68:48)8,72,0(:48)8,751(:48)1078,03,0
32(:)11315( ==+=+=⋅+⋅⋅+=
г) =+−=⋅++⋅−=⋅+− 5:)183(5:)
2,024,018
21)6((25:)
2,016,0
2342
416(
.35:15 ==
457.
www.5balls.ru
а) Подставим :2=x ;001025105 ==−⋅=−x
Подставим :2,2=x ;11011102,25105 =−=−⋅=−x
Подставим :2,5=x ;4161026102,55105 ==−=−⋅=−x
Подставим :22=x ;101001011010225105 ==−=−⋅=−x
б) Подставим :1=y ;212626 =⋅−=− y
Подставим :5,1−=y ;3936)5,1(2626 ==+=−−=− y
Подставим :15−=y ;636)15(2626 ==−−=− y
Подставим :5,37−=y ;981)5,37(2626 ==−−=− y
в) Подставим :0=x ;10303
33 =
−+=
−+
xx
Подставим :1=x ;124
1313
33 ==
−+=
−+
xx
Подставим :16=x ;74343
163163
33 −=
−+=
−+=
−+
xx
Подставим :25,0=x ;521
2535
5,25,3
5,035,03
25,0325,03
33 ====
−+=
−+
=−+
xx
г) Подставим ,0=a :0=b ;00022 =−⋅=− ba
Подставим ,4=a :7=b ;1787422 =−=−⋅=− ba
д) Подставим ,0=m :1−=n ;24)1(404 ==−⋅−=− nm
Подставим ,33=m :1=n .52524334 ==⋅−=− nm
458.
а) ;35 =x ;3)5( 22 =x ;925 =x ;259=x
б) ;131 =
x ;31 x= ;)3(1 22 x= ;31 x= ;
31=x
в) ;24
1 =x
;81 x= ;)8(1 22 x= ;641 x= ;641=x
г) ;45 =−x ;4)5( 22 =−x ;165 =−x ;21=x
д) ;1021 =+ x ;92 =x ;9)2( 22 =x ;812 =x .5,40=x
www.5balls.ru
459*.
;221 =++ x ;2)21( 22 =++ x ;421 =++ x ;32 =+ x
;3)2( 22 =+ x ;92 =+ x ;7=x .49=x
460.а) Да; Q∈=−+ 0)3(3б) нет.
462*.а) ;0≥xб) x – любое действительное число;в) x – любое действительное число;г) x – любое действительное число;д) ;0=xе) .0≤x
463*.а) ;ab ;0≥ab1) ,0≥a ;0≥b2) ,0≤a ;0≤b
б) ;ab− ;0≤ab1) ,0≤a ;0≥b2) ,0≥a ;0≤b
в) ;2ba ;0≥b a – любое действительное число;
г) ;22ba a, b – любые действительные числа;
д) ;2ab− ,0≤a b – любое действительное число.
464*.а) При ;0>xб) при ;0≥xв) при ,0≥x .1≠x
465.а) ;8,01,044,0)1,02(16,0 2 =⋅+=+
www.5balls.ru
б) ;4,224,045,01004,0165,0)102,0( 2 =+=⋅+⋅=+
в) ;6125,012)12(5,0144 2 =⋅−=−
г) ;543939)33()33( 22 =⋅+⋅=−+
д) ;3054225)52()25( 22 =⋅−⋅=−
е) .366369)6(3)63( 22 =⋅−⋅=−−
К ПАРАГРАФУ 6
468.
а) ;56,7100541454.0146,09,01436,081,0196 =⋅=⋅=⋅⋅=⋅⋅
б) ;247
10341751.0
37
4501,0
949
162501,0
945
1691 =
⋅⋅⋅⋅=⋅⋅=⋅⋅=⋅⋅
в) ;1,93,1769,149)82,087,0(494982,04987,0 =⋅=⋅=+=⋅+⋅
г) .08,1100108
109
10129,02,181,044,14,044,121,144,1 ==⋅=⋅=⋅=⋅−⋅
469.
а) ==⋅=+−=−4
289164
28941164
)124165)(124165(164
124165 22
;5,82
17 ==
б) =⋅
=⋅
=+−
=− 14464
4928864
98)112176)(112176(
98112176
9822
;967
1287 =⋅
=
в) ;2915
8417322573
)384457)(384457()76149)(76149(
38445776149
22
22=
⋅⋅=
+−+−=
−−
г) =+−+−=
−−
)5,315,193)(5,315,193()5,965,145)(5,965,145(
5,315,1935,965,145
22
22
.13577
159117
2258112149
)5,315,193)(5,315,193(24249 =
⋅⋅=
⋅⋅=
+−⋅=
www.5balls.ru
470.а) ;45305,19005,145205,1451,02015 =⋅==⋅=⋅
б) ==⋅⋅⋅⋅=⋅⋅ 90003,0615105,02,03,065,0152,0103,0
;9,093,0 =⋅=
в) ;10025202,0
54,0
82,04,0
58 ===
г) .2512,0
5104,0
51
1248,0
51
12548,0
=⋅===
471*.а) ;baab −⋅−=
б) .ba
ba
−−=
472.
а) ;1212)12( 2 ==−
б) ;1010102 −=−=−
в) 210− выражение не имеет смысла;
г) ;1111)11( 2 −=−=−−
д) 2)15(−− выражение не имеет смысла;
е) .2525)25( 2 −=−=−−
473.
а) ;2483)2(3)2(3 36 =⋅=−=−
б) ;200102102 24 −=⋅−=−
в) ;752535353 24 −=⋅−=⋅−=−
г) ;2,3321,021,021,0 510 =⋅=⋅=
д) ;1,8811,0)3(1,0)3(1,0 48 =⋅=−⋅=−
е) ;001,000001,0100)1,0(1001,0100 510 =⋅=⋅=
www.5balls.ru
ж) ;64)2()2( 612 −=−−=−−
з) .025,001,05,2)1,0(5,2)1,0(5,2 24 =⋅=⋅=−
474.
а) ;86443 ==
б) ;2433399 525 ==⋅=
в) ;1024241616 1025 ==⋅=
г) ;1255252525 323 ==⋅=
д) ;3649481281421628 2 =⋅=⋅=⋅⋅⋅=⋅
е) ;216924815768169648696 =⋅=⋅=⋅⋅=⋅
ж) ;45010591002591002775270750 2 =⋅⋅=⋅⋅=⋅⋅=⋅
з) .92411841173211732776853 22224 =⋅=⋅⋅⋅=⋅⋅⋅=⋅
475*.Ответ: при .0≥x
476*.а) y – любое число;б) x – любое число;в) ;0≥xг) ;0≤cд) ;0≤aе) b – любое число.
477*.а)
www.5balls.ru
б)
в)
www.5balls.ru
д)
478.
а) ;2244 baba =
б) ,4386 cbcb = ;0≥b
в) ;416 62124 yxyx =
г) ,5,0)(5,025,0 3362 pyypyp −=−= ,0≥p ;0≤y
д) ;4
2
8
4
ap
ap =
е) ,4165
6
10
12
ba
ba = ;0>b
ж) ,2)(24336
2
yx
yx
yx =
−−= ,0<x ;0<y
з) ,33
)(9
33
2
6
ac
ac
ac −=−= ,0<c .0>a
479.
а) ;)( 22 aaa ==−
б) .)()( 2224242 babaabbaba ====−−
www.5balls.ru
К ПАРАГРАФУ 7
480.
а) ;151525,04155,0605,0 22 aaaa =⋅=⋅=
б) ;3213101,210031,23001,2 2244 xxxx =⋅=⋅=
в) ;65,0651,06251,01501,0 23 xxxxxxx =⋅=⋅⋅=
г) ;3152,02252,0 225 aaaaa =⋅=
д) ;232918 22 baabaabaa ⋅=⋅=
е) .343431648 3244 amammammamm −=⋅−=⋅−=−
481*.
а) ,39 2 baba −= ;0<a
б) ,525 32 babba = ;0>a
в) ,12))((12144 33 abababbaba =−−= ,0<a ;0<b
г) ;2432 234 xxaxa = ,24 2 xxa ;0>x
д) ,33 3 ccc −−=− ;0<c
е) ,55 37 mmm −−=− ;0<m
ж) ;35 aaaa = ;0>a
з) ,1 3 xxxx
xx
−−=−=− .0<x
482*.
а) ,33 2aa = ;0≥a
б) ,33 2aa −= ;0<a
в) ;222 2x
xx
xx ==
г) .222 2x
xx
xx −=−=−
483*.
www.5balls.ru
а) Равенство верно при ;0≥xб) Равенство верно при ;0≤yв) Равенство верно при ;0≤cг) Равенство верно при ;0≤a
484*.
а) ;1 34
2 xx
xx
x ==
б) ;55 42 xx −=−
в) ;3313 3aaa −=−
г) ;33
3 3aaa −−=−
д) ,3ababab = ,0>a ;0>b
е) ,22
2 3babaab = ,0<a ;0<b
ж) ,ba
ab
ba = ,0>a ;0>b
з) ,11 22 baabba
ab +=+− ,0>a .0<b
487.а) ;)( bxaxxbxabax −=⋅−⋅=−
б) ;)( xyxxyx +=+
в) ;)( abbababaabbaab +=⋅+⋅=+
г) ;)( mnnmmnnmnmmnnm −=⋅−⋅=−
д) =⋅−⋅+⋅−⋅=−+ yyyxyxxxyxyx 22)2)((
;2 yxyx −+=
е) =⋅−⋅−⋅+⋅=+− bbbabaaababa 2323)23)((
;23 baba −−=
ж) =−+ )23)(2( baba
www.5balls.ru
;26232232 bababbbabaaa −−=⋅−⋅+⋅−⋅=
з) =−− )2)(24( xxxx
.256222244 xxxxxxxxxx −=⋅+⋅−⋅−⋅=
488.а) ;1)(1)1)(1( 33 xxxxxx −=−=++−
б) ;82)()42)(2( 33 +=+=+−+ aaaaaa
в) ;)()())(( 33 nnmmnmmnnmnm −=−=++−
г) .)())(( 3332 yyxyxyxyxyx +=+=−++
489.
a) ;)22()246( 22 +=+ ;)2(2224246 2+⋅+=+
,246246 +=+ тождество доказано;
б) ;)43()1938( 22 +=+ ;16342)3(1938 2 +⋅+=+
,19381938 +=+ тождество доказано.
490.а) Подставим :51+=x =−++=−+=− 6)5(5216)51(6 222x
;52=
б) Подставим :33 −=x =−−−=− )33(6)33(6 22 xx
;63636)3(3329 2 −=+⋅−+⋅−=
в) Подставим :32 +=x =++−+=+− 3)32(4)32(34 22 xx
;2334833443348)3(3224 2 =+−−++=+−−+⋅⋅+=
г) Подставим :2
23 +=x =++−+=+− 5)2
23(3)2
23(53 22 xx
=++−+=++−+⋅+= 52
2394
261152
2394
)2(2239 2
.25,34
134
2026182611 ==+−−+=
491*.
1) =−++ 2)347347(
www.5balls.ru
=−+−⋅+++= 22 )347(3473472)347(
=⋅−+=−+−+++= 31649214347)347)(347(2347
;161214 =+=
2) =⋅−=−+=−⋅+ 31649)347)(347(347347
14849 =−= - натуральное число.
492.
а) =−
=+−+−+=
+−
− 22 4)23(8
)423)(423(423423
4231
4231
;428
16298 ==−⋅
= - рациональное число;
б) =⋅−
=−+++−=
−+
+ 642510
)625)(625(625625
6251
6251
101
10 == - рациональное число.
493.
а) =⋅−
=+−+−+=
+−
− 304121304
)30211)(30211(3021130211
302111
302111
;3041304 ==
б) =−+
+−−=−
++ )223)(223(
)223(5)223(5223
5223
5
;30249
30)22(3
210152101522 =
⋅−=
−++−=
в) =+−++−=
−++
+−
)35)(35()35()35(
3535
3535 22
=−
+⋅+++⋅−= 22
2222
)3()5()3(352)5()3(352)5(
;82
1635
15215216 ==−
+−=
www.5balls.ru
г) =+−
−++=+−+
−+
)2111)(2111()2111()2111(
21112111
21112111 22
=−
+⋅⋅−++⋅⋅+= 22
2222
)21(11)21(2111211)21(2111211
.84,2100284
21121212122121212122121 ==
−+−+++=
494.Подставим ,53 +=x :53 −=y
+−+−++−++
=+++− )53)(53(3)53[(
253531
23 2
22
yxyxyx
=+⋅−+−−+⋅+=−+ ])5(5329))5(9(3)5(5329[81])53( 2222
.28
168
43288
5569)59(35569 ==⋅−=+−+−−++=
Ответ: 2.
495*.
а) ;))((
yxyxyx
yxyxyxyx
yyxx++=
−++−
=−−
б) ;1))(()()( 33 bababababa
baba
babbaa
ba+−
=+−+
+=++=
++
в) ;222
)22)(2(22
22 xxx
xxxxxxx −=
++++−=
++−
г) .3
1)33)(3(
33)3()(33
3333
33 +=
+−++−=
++−=
++−
aaaaaa
aaa
aaaa
496.
а) ;21535
)1535(21535
15235215353070 =
−−=
−⋅−⋅=
−−
б) ;25
)53(2)53(5
52325553
106515 =
−−=
⋅−⋅⋅−⋅=
−−
www.5balls.ru
в) ;25
)522(2)522(5
102255522
1045102 =
−−=
−⋅⋅−⋅=
−−
г) ;23
)233(2)233(3
223233233
2263329 =
−−=
−⋅−⋅=
−−
д) =−⋅+⋅
⋅−⋅⋅+⋅⋅=−+
−+23222
32233322262
62332
;3)132(2
)132(32 =−+
−+⋅=
е) .31101310
)3110)(3110(13103)110( 2
−−=−+
+−−−=−+−−
497.
а) ;)1(1a
aaaa
aaa
a +=⋅
+=+
б) ;)()(
bby
bybyy
ybbyy
ybyby +
=+
=+
=+
в) ;)()(a
axxxa
axxxxa
axxxaaxx −=
⋅⋅−⋅=
⋅−=−
г) =⋅+⋅=⋅
+=+ab
abababbaabab
ababbaab
abba )(
;)( baab
baabab
babaab +=+=+=
д) ;5
32335
)332(3335
332 −=⋅⋅
−⋅=−
е) =⋅−=⋅
⋅−=⋅
−=−8
232224
22322224
2)232(24
232
.4
328
622 −=−=
498.
а) =+−
++−=
−+−
))(())((
yxyxyxyxyx
yxyxyx
www.5balls.ru
;)()()()( 2222 yx
yyxxyxyyxx
yxxyxyyxxyyxxx
−+
=−+
=−
+−++−=
б) ;9
27)(3
27)3)(3(
)3)(39(339
22 aaa
aaa
aaaaa
aaa
−−=
−−=
−+−++=
+++
в) =+−
++−=−
+−)21)(21(
)21)(421(21
421xx
xxxx
xx
;41
81)2(1
81)2(1
8424212222 x
xxxxx
xxxxxxx
−+=
−+=
−+−++−=
г) =−−=
−+−++=
+++
4)(8
)2)(2()2)(42(
242
2
322
babba
bababababa
bababa
.4
82
3
−−=
babba
499.
а) ;)(
))((xyxyx
yxxyxyx
xyx
+−=
++−
=−
б) ;)()(
))((2
2
2
22
abbaba
abbaba
babababa
baba
−−=
−−=
−−+=+
в) =+
+−=++−
+−=+−
−aa
aaaaa
aaaa
a37
)7)(7()7)(749(
)7)(7(749
7
;343
497
)(73
22
aaa
aaa
+−=
+−=
г) =−
−+=−++
−+=++
+1
)1)(1()1)(1(
)1)(1(1
1mnmn
mnmnmnmnmn
mnmnmnmn
mn
.1
11
1)( 22
−−=
−−=
mnmnmn
mnmnmn
500*.
а) =+−
−−=+−++
+−=++ 22 )13()2(
132)]13(2)][13(2[
)13(2132
1
=−+−−−−=
−−−−=
−−−−=
)31)(31(2)31)(132(
322132
3242132
www.5balls.ru
;4
622)31(2
336132 −+=−−
++−−−=
б) =−−
+−=−−−+
−−=+− 22 )32()5(
325)]32(5)][32(5[
)32(5235
1
=+−
++−=+−
+−=+−−
+−=)132)(132(2
)132)(325(342325
)3344(5325
.22
3351524)112(2
325634152 −++=−
+−++−=
501*.
.21
)2)(2(2
22
+=
+−−=
−−
xxxx
xx
Дробь принимает наибольшее значение, когда ее знаменательнаименьшее, значит .0=x
502.
а) =−⋅⋅=⋅−=− 1045552151016
5215160
5215
;1010410310425
25103 −=−=−⋅⋅=
б) ;1551521535553102756,010135 =+=
⋅⋅+⋅=+
в) =−⋅⋅⋅=−⋅=⋅−=− 3333312633
312639
34627
3116
;33332
12 =−=
г) =⋅⋅+⋅=
⋅+⋅=+
2223
210625,0
42310645,0
8310245,0
.65,365,26 =+=
503*.
а) =−⋅−+++−
=−⋅−
++ 2
1))((2
1)11( yyxxyxxyxxyxxy
yxxyxx
www.5balls.ru
;1)1(
1)1(2
)1(22
1)(
2222 xyx
yyx
yxyyxx
x −=−
−−=−−=−⋅
−=
б) =−⋅+
−− 2
)()(2ab
baa
baa
=−⋅−
=−⋅+−
−−+=2
)()(
22
)())((
)()( 22 abba
ababbaba
baabaa
).(2)(
)(2 2baab
babaab −=
⋅−−⋅=
www.5balls.ru
ГЛАВА III. Квадратные уравнения
§ 8. Квадратное уравнение и его корни
19. Определение квадратного уравнения. Неполныеквадратные уравнения
№504.
Ответ: а) является; б) нет; в) является; г) нет; д) неполноеквадратное уравнение; е) неполное квадратное уравнение.
№505.
Коэффициенты:а) а=5; b=-9; c=4;б) a=1; b=3; c=-10;в) a=-1; b=-8; c=1;г) a=-4; b=5; c=0;д) a=6; b=0; c=-30;е) a=9; b=0; c=0.
№506.
a) (2x-1)(2x+1)=x(2x+3);4x2-1=2x2+3x;2x2-3x-1=0;б) (3x+2)2=(x+2)(x-3);(3x+2) 2=x2-3x+2x-6;9x2+12x+4=x2-3x+2x-6;8x2+13x+10=0;в) (x+1)(x+2)=(2x-1)(x-2);x2+2x+x+2=2x2-4x+2-x;x2+3x+2-2x2+5x-2=0-x2+8x=0;x2-8x=0;г) (x+3)(3x-2)=(4x+5)(2x-3);(x+3)(3x-2)=8x2-12x+10x-15;3x2-2x+9x-6=8x2-12x+10x-15;5x2-9x-9=0.
www.5balls.ru
№507.
а) 4x2-2x(3x+1)=5;4x2-6x2-2x=5;-2x2-2x=5;2x2+2x+5=0;б) x2+(1-x)(1-3x)=x;x2+1-3x-x+3x2=x;4x2-5x+1=0;в) –5x(x+6)=4(x-3)-10;-5x2-30x=4x-12-10;5x2+30x+4x-12-10=0;5x2+34x-22=0;г) (x-8)(2x+3)=(3x-5)(x+4);2x2+3x-16x-24=3x2+12x-5x-20;-2x2-3x+16x+24+3x2+12-5x-20=0;x2+20x+4=0;
№508.
1) 7x2-12x=0;2) 2x2-4=0;3) x2=0;
№509.
а) 4x2-9=0; (2x-3)(2x+3)=0;
1) 2x+3=0; 2x=-3; x=-121 ;
2) 2x-3=0; 2x=3; x=121 ; x1,2= ± 1
21 ;
б) –x2+3=0; x2=3; x1,2= 3± ;в) –0,1x2+10=0; 0,1x2=10; x2=10:0,1;x2=100;x1,2= 100± ; x1,2= ± 10;
г) y2-91 =0; y2=
91 ; y1,2= 9
1± ; y1,2= 31 ;
д) 6y2+24=0; 6y2=-24; y2=-4; но квадрат числа не может быть меньшенуля, следовательно, корней нет;
www.5balls.ru
е) 3m2-1=0; 3m2=1; m2=31 ; m1,2= 3
1± ;
m1,2= 3331
⋅⋅± ; m1,2= 3
3± .
№510.
а) 3x2-4x=0; x(3x-4)=0; x=0; 3x-4=0;
3x=4; x=131 ;
x1=0; x2=131 ;
б) –5x2+6x=0; 5x2-6x=0; x(5x-6)=0;
x=0; 5x-6=0; 5x=6; x=151 ;
x1=0; x2=151 ;
в) 10x2+7x=0; x(10x+7)=0;1) x=0; 2) 10x+7=0;
10x=-7; x=-107 ; x=-0,7;
x1=0; x2=-0,7;г) 4a2-3a=0; a(4a-3)=0;1) a=0; 2) 4a-3=0;
4a=3; a=43 ; a1=0; a2= 4
3 ;
д) 6z2-z=0; z(6z-1)=0;1) z=0; 2) 6z-1=0;
6z=1; z=61 ;
z1=0; z2= 61 ;
е) 2y+y2=0; y(2+y)=0;1) y=0; 2) 2+y=0;y=-2; y1=0; y2=-2.
№511.
a) 2x2+3x=0; x(2x+3)=0;
www.5balls.ru
1) x=0; 2) 2x+3=0; 2x=-3;
x=-121 ; x1=0; x2=-1
21 ;
б) 3x2-2=0; 3x2=2; x2=32 ; x1,2= 3
2± =36
33
32 ±=⋅± ;
в) 5u2-4u=0; u(5u-4)=0;1) u-0; 2) 5u-4=0;
u=54 ; u1=0; u2= 5
4 ;
г) 7a-14a2=0; 7a(1-2a)=0;1) a=0; 2) 1-2a=0;
2a=1; a=21 ; a1=0; a2= 2
1 ;
д) 1-4y2=0; (1-2y)(1+2y)=0;
1) 1+2y=0; 2y=-1; y=-21 ;
2) 1-2y=0; 2y=1; y=21 ;
y1= 21 ; y2=-
21 ;
е) 2x2-6=0; 2(x2-3)=0; x2=3;x1,2= 3± .
№512.
a) 4x2-3x+7=2x2+x+7;2x2-4x=0; 2x(x-2)=0;1)x=0; 2) x-2=0; x=2;x1=0; x2=2;б) –5y2+8y+8=8y+3;-5y2+5=0; 5(y2-1)=0; y2=1;y1,2= ± 1;в) 10-3x2=x2+10-x; 10-3x2-x2-10+x=0;-4x2+x=0; 4x2-x=0; x(4x-1)=0;
1)x=0; 2) 4x-1=0; 4x=1; x=41 ; x1=0; x2= 4
1 ;
г) 1-2y+3y2=y2-2y+1; 3y2-2y+1-y2+2y-1=0;2y2=0; y=0.
www.5balls.ru
№513.
a) (x+3)(x-4)=-12; x2-4x+3x-12=-12;x2-x=0; x(x-1)=0; x=0; x-1=0; x=1;x1=0; x2=1;
б) 132 x+(2x+1)
−1x
31 =0;
132 x+2
31⋅ x2-2x+
31 x-1=0;
32 x2-1=0; x2-
23 =0
23⋅ ; x2=
23 ;
x1,2= 23± ;
в) (3x-1)2-1=0;(3x-1-1)(3x-1+1)=0; (3x-2)(3x+0)=0;
3x-2=0; 3x=2; x=32 ; 3x=0; x=0;
x1= 32 ; x2=0;
г) 3x(2x+3)=2x(x+4,5)+2; 6x2+9x=2x2+9x+2;4x2-2=0; 2(2x2-1)=0;
2x2=1; x2=21 ; x1,2= 2
221 ±=± ;
д) 18-(x-5)(x-4)=-x2; 18-(x2-4x-5x+20)=-x2;
18-x2+4x+5x-20+x2=0; 9x-2=0; 9x=2; x=92 ;
е) (x-1)(x+1)=2(x2-3); x2-1=2x2-6; x2-1-2x2+6=0;-x2+5=0; x2-5=0; x2=5; x1,2= 5± .
№514.
а) x2-5=(x+5)(2x-1); x2-5=2x2-x+10x-5;x2+9x=0; x(x+9)=0;x=0; x+9=0; x=-9;x1=0; x2=-9;б) (2x+3)(3x+1)=11x+30; 6x2+2x+9x+3-11x-30=0;6x2-27=0; 3(2x2-9)=0;
www.5balls.ru
2x2-9=0; 2x2=9; x2=29 ;
x1,2= 223
23
29 ±=±=± ;
в) 2x-(x+1)2=3x2-6; 2x-(x2+2x+1)=3x2-6;3x2-6-2x+x2+2x+1=0; 4x2-5=0; 4x2=5;
x2=45 ; x1,2= 4
5± ; x1,2= 25± ;
г) 6a2-(a+2) 2=-4(a-4); 6a2-(a2+4a+4)=-4a+16;6a2-a2-4a-4+4a-16=0; 5a2-20=0; 5(a2-4)=0;a2-4=0; a2=4; a1,2= ± 2;д) x(7-6x)=(1-3x)(1+2x); 7x-6x2=1+2x-3x-6x2;
7x-1-2x+3x=0; 8x-1=0; 8x=1; x=81 ;
е) (5y+2)(y-3)=-13(2+y); 5y2-15y+2y-6=-26-13y;5y2-13y-6+26+13y=0; 5y2+20=0; 5(y2+4)=0;y2+4=0; y2=-4; корней нет, поскольку квадрат действительного числане может быть меньше нуля.
№515.
Обозначим за n и (n+1) – два последовательных целых числа. Ихпроизведение по условию задачи 1 1,5 раза больше квадратаменьшего из них. Составим уравнение:n(n+1)=1,5n2; n2+n-1,5n2=0; -0,5n2+n=0;0,5n2-n=0; n(0,5n-1)=0; n1=0; (не подходит по условию задачи);0,5n-1=0; 0,5n=1; n=1:0,5; n=2; n+1=3.Ответ: 2 и 3.
№516.
Обозначим за а см сторону данного квадрата, тогда его площадьS=a2 (см2).Тогда имеем: S=Sтр+Sост части; Sкв=59+85; S=144 см2; т.е. а2=144 см2;а= 12144 ±=± ; а1=12; а2=-12 – не подходит, т.к. длина стороныквадрата не может быть отрицательным числом.Ответ: 12 см.
№517.
www.5balls.ru
Обозначим за а см сторону данного квадрата, тогда его площадьSкв=a2 (см2). По условию задачи, Sкв-Sкр=12 (см2). Составимуравнение:a2-12=36; a2=48. Откуда находим:a1,2= 48± ; a1,2= 316 ⋅± ;a1=4 3 ; a2=-4 3 - не подходит, т.к. длина стороны квадрата неможет быть меньше нуля.Ответ: 4 3 см.
№518.
Площадь круга равна 2rπ , где r – радиус круга.
Из условия Sкр=1 дм2. Составляем уравнение: 2rπ =1; r2=π1 ;
r1,2= ππ±=
π⋅ππ⋅± 1 ; r1= π
π ; r2=-ππ - не подходит, так как радиус
круга не может быть меньше нуля.
Ответ: ππ дм.
№519.
Обозначим за а см сторону данного квадрата, тогда его площадьSкв=a2, Sкр= 2rπ . По условию задачи площади круга и квадратаравны, значит, можно составить уравнение: a2= 2rπ ; откуда
a1,2= 2rπ± ; a1=r π ; a2=- r π ; - не подходит, т.к. длина стороныквадрата не может быть меньше нуля.Ответ: r π см.
УПРАЖНЕНИЯ ДЛЯ ПОВТОРЕНИЯ
№520.
а) y= ( )21− x; y=kx; k= 21− <0, следовательно, график функцииy= ( )21− x расположен во II и IV четвертях;
www.5balls.ru
б) y= ( )7,535 − x; y=kx, k= 7,535 − ; ≈37 5,92, следовательно,график функции y= ( )7,535 − x расположен в I и III координатныхчетвертях.
№521.
x3xx3x)3x(x
3xxx69 22
++=+++=+
+++ ;
Подставим x=0,36:x+3+ x =0,36+3+ 36,0 =0,36+3+0,6=3,96;Подставим x=49:x+3+ x =49+3+ 49 =52+7=59.
№522.
а) a2+b2>0 и a2+b2+1>0, следовательно, 01ba
ba22
22>
+++ ;
б) (a+b)2>0 и (a-b)2+1>0, следовательно, 01)ba(
)ba(2
2>
+−+ ;
20. Решение квадратных уравнений выделениемквадратного двучлена
№523.
a) x2+12x+36=0; (x+6)2=0; x+6=0; x=-6;
б) x2-x+41 =0;
2
21x
− =0; x-
21 =0; x=
21 .
№524.
а) x2-8x+15=0; x2-8x+16=16-15;(x-4)2=1; x-4= ± 1;1) x1=4+1=5; 2) x2=4-1=3; x1=5; x2=3;б) x2+12x+20=0; x2+12x+36=36-20; (x+6)2=16; x+6= 4± ;1) x+6=4; x=-2; 2) x+6=-4; x=-10; x1=-2; x2=-10;
www.5balls.ru
в) x2-5x-6=0; x2-2 ⋅25 x+
425 =
425 +6;
42425
25x
2 +=
− ;
449
25x
2
=
− ; x-
27
25 ±= ;
1) x=2
1227
25 =+ =6; 2) x=
22
27
25 −=− =-1; x1=6; x2=-1;
г) x2-8x-9=0; x2-2 ⋅ 4x+16-16-9=0;x2-8x+16=16+9; (x-4)2=25;x-4= ± 5; 1) x=4+5=9; 2) x=4-5=-1; x1=9; x2=-1.
№525.
a) x2-4x+3=0; x2-4x=-3; x-2 ⋅ 2x+4=4-3; x2-4x+4=1;(x-2) 2=1; x-2= 1± ;1) x-2=1; x=3; 2) x-2=-1; x=1; x1=3; x2=1;
б) x2+3x-10=0; x2+223⋅ x+
49 =
49 +10;
449
23x
2
=
+ ; x+
449
23 ±= ;
x+23 =
27± ; x=-
210
23
27 −=− =-5;
x1=2; x2=-5;
в) x2+9x+14=0; x2+2 ⋅29 x+
481 =
481 -14;
425
29x
2
=
+ ;
25
29x ±=+ ;
1) 25
29x =+ ; x=
29
25 − =-2;
2) 25
29x −=+ ; x=
29
25 −− =-7;
x1=-2; x2=-7;г) x2-2x-1=0; x2-2x+1=1+1; (x-1) 2=2; x-1= 2± ;1) x-1=- 2 ; x=- 2 +1;2) x-1= 2 ; x= 2 +1;x1=- 2 +1; x2= 2 +1.
www.5balls.ru
№526.
а) x2-6x+8=0; (x2-2 ⋅ 3x+9)-9+8=0;(x-3)2=1; x-3= 1± ;1) x-3=1; x=4;2) x-3=-1; x=2;x1=4; x2=2;
б) x2+x-6=0; 41
41
2x2x2 −
+⋅+ -6=0;
x2+x+41 =6+
41 ;
425
21x
2
=
+ ; x+
21 =
25± ;
1) x+21 =
25 ; x=
21
25 − =2;
2) x+21 =
25− ; x=-
21
25 − =-3;
x1=2; x2=-3;в) x2+4x+3=0; x2+4x+4-4+3=0;(x+2)2=1; x+2= 1± ;1) x+2=1; x=-1;2) x+2=-1; x=-3;x1=-1; x2=-3;г) x2+4x-2=0; x2+4x+4-4-2=0;(x+2)2=6; x+2= 6± ;1) x=-2+ 6 ;2) x=-2- 6 ;x1=-1+ 6 ; x2=-2- 6 .
№527.
a) 2x2-9x+10=0; x2-29 x+
210 =0; x2-
29 x=-
210 ;
x2-2x ⋅49 +
1681 =
1681 -
210 ; x2-2x ⋅
49 +
2
49
=
168081− ;
2
49x
− =
161 ; x-
49 =
161± ;
1) x-49 =
41 ; x=
49 +
41 ; x=
410 =2,5;
www.5balls.ru
2) x=49 -
41 =2;
x1=2,5; x2=2;
б) 5x2+3x-8=0; x2+53 x-
58 =0; x2+
53 x=
58 ;
x2+2x ⋅103 +
2
103
=
58 +
2
103
;
2
103x
+ =
58 +
1009 ;
2
103x
+ =
100169 ;
x+103 =
100169± ; x+
103 =
1013± ;
1) x=103
1013 − =1;
2) x=-103
1013 − =-
1016 ; x=-1,6;
x1=1; x2=-1,6.
№528.
5x2+14-3=0; x2+5
14 x-53 =0; x2+
514 =
53 ;
x2+2 ⋅1014 x+
2
1014
=
53 +
2
1014
;
2
1014x
+ =
53 +
100196 ;
2
1014x
+ =
100256 ;
2
1014x
+ =
2
1016
; x+
1014 =
1016± ;
1) x=1016 -
1014 =
51
102 = ;
2) x=-1016 -
1014 = 3
1030 −=− ;
x1= 51 ; x2=-3.
УПРАЖНЕНИЯ ДЛЯ ПОВТОРЕНИЯ
№529.
Ответ: a2+4; 5a2+2; (a-4) 2+4.
www.5balls.ru
№530.
=
+−
+⋅
−
−+
− 22с
2сс1
2сс
с88
2
=
+−
+
−
−−
++− 22с
2сс1
2сс
)сс24)(с2(8
2
=++−⋅
++⋅−−−++−
)2с(2)2с(с2
)сс24()с2()с8()сс24(с8 2
2
32
=+
−−−⋅−
+−−−−)2с(2
4с4сс2с8
с8сс2с48 2
3
332
×++−
+=+
−−−⋅−
+−)сс24)(с2(
)с2(с2)2с(2
4с2сс8
)с2с4(42
2
3
2
с2с
)2с)(4с2с)(с2(2)4с2с)(2с(с2
)2с(2)4с2с(
2
22
−=
+++−+++=
+++× .
№531.
a) ;9)2x(
)2x(3)x2()6x3(
2
22
2
2=
−−⋅=
−−
б) 41
)4a(22)4a(
)8a2(16a8a
2
2
2
2=
+⋅+=
+++ .
№532.
=
−++
235103510 10+5 3 +2 )3510)(3510( −+ +
+10-5 3 =20+2 3325100 ⋅− =20+2 325100 ⋅− =20+2 25 ==2=+2 ⋅ 5=30, 30∈ N, следовательно, 30∈ Q, что и требовалосьдоказать.
§ 9. Формула квадратных уравнений по формуле
21. Решение квадратных уравнений по формуле
№533.
www.5balls.ru
a) 2x2+3x+1=0; D=9-4 ⋅ 2 ⋅ 1=1; D>0, уравнение имеет два корня;б) 2x2+x+2=0; D=12-4 ⋅ 2 ⋅ 2=1-16=-15; D<0, у уравнения нет корней;в) 9x2+6x+1=0; D=62-4 ⋅ 9 ⋅ 1=36-36=0; D=0, уравнение имеет одинкорень;г) x2+5x-6=0; D=52-1 ⋅ 1 ⋅ (-6)=25+24=49; D>0, уравнение имеет двакорня.
№534
a) 3x2-7x+4=0; D=(-7)2-4 ⋅ 3 ⋅ 4=49-48=1, D>0 – два корня:
x1,2= 617
3217 ±=
⋅± ;
x1= 311
68
617 ==+ ;
x2= 166
617 ==− ;
б) 5x2-8x+3=0; D=(-8)2-4 ⋅ 5 ⋅ 3=64-60=4; D>0 – два корня:
x1,2= 1048 ± ;
x1= 11010
1028 ==+ ;
x2= 53
106
628 ==− ;
в) 3x2-13x+14=0; D=132-4 ⋅ 3 ⋅ 14=169-168=1; D>0, уравнение имеетдва корня:
x1,2= 6113
32113 ±=
⋅± ;
x1= 312
37
614
6113 ===+ ;
x2= 26
126
113 ==− ;
г) 2y2-9y+10=0; D=92-4 ⋅ 2 ⋅ 10=81-80=1; D>0, уравнение имеет двакорня:
y=4
192219 ±=
⋅± ;
y1= 212
410
419 ==+ ;
www.5balls.ru
y2= 24
19 =− ;
д) 5y2-6y+1=0; D=62-4 ⋅ 5 ⋅ 1=36-20=16; D>0, уравнение имеет двакорня:
y=10
16652166 ±=
⋅± ;
y1= 1046 + =1;
y2= 102
1046 =− =0,2;
е) 4x2+x-33=0; D=12-4 ⋅ 4 ⋅ (-33)=1+528=529; D>0, уравнение имеетдва корня:
x=8
231425291 ±−=
⋅±− ;
x1= 824
8231 −=−− =-3;
x2= 822
8231 =+− =2,75;
ж) y2-10y-24=0; D=(-10)2-4 ⋅ 1 ⋅ (-24)=100+96=196; D>0, уравнениеимеет два корня:
y=2
196101219610 ±=
⋅± ;
y1= 21410 + =12;
y2= 21410 − =-2;
з) p2+p-90=0; D=12-4 ⋅ 1 ⋅ (-90)=1+360=361; D>0, уравнение имеет двакорня:
p=2
1912
3611 ±−=±− ;
p1= 2191−− =-10;
p2= 2191+− =9.
№535.
www.5balls.ru
a) 14x2-5x-1=0; D=(-5)2-4 ⋅ 14 ⋅ (-1)=25+56=81; D>0, уравнение имеетдва корня:
x=28
815142
815 ±=⋅
± ;
x1= 21
2814
2895 ==+ ;
x2= 71
284
2895 −=−=− ;
б) –y2+3y+5=0; y2-3y-5=0;D=(-3)-4 ⋅ 1 ⋅ (-5)=9+20=29; D>0, уравнение имеет два корня:
y=2
293 ± ;
y1= 2293 − ;
y2= 2293 + ;
в) 2x2+x+67=0; D=12-4 ⋅ 2 ⋅ 67=1-536=-535;D<0, у уравнения нет корней;г) 1-18p+81p2=0; D1=92-1 ⋅ 81=0; D1=0 – один корень:
p=91
8109 =± ;
д) –11y+y2-152=0; D=(-11)2-4 ⋅ 1 ⋅ (-152)=121+608=729; D>0,уравнение имеет два корня:
y=2
27112
72911 ±=± ;
y1= 22711− =-8;
y2= 22711+ =19;
е) 18+3x2-x=0; 3x2-x+18=0;D=(-1)2-4 ⋅ 3 ⋅ 18=1-216=-215; D<0 – нет корней.
№536.
a) 5x2-11x+2=0; D=(-11)2-4 ⋅ 5 ⋅ 2=121-40=81; D>0, уравнение имеетдва корня:
x=10
911528111 ±=
⋅± ;
www.5balls.ru
x1= 10911+ =2;
x2= 102
10911 =− =0,2;
б) 2p2+7p-30=0; D=72-4 ⋅ 2 ⋅ (-30)=49+240=289; D>0, уравнение имеетдва корня:
p=4
177222897 ±−=
⋅±− ;
p1= 410
4177 =+− =2,5;
p2= 424
4177 −=−− =-6;
в) 9y2-30y+25=0; D1=152-9 ⋅ 25=225-225=0; D1=0 – один корень:
y=321
915
9015 ==± ;
г) 35x2+2x-1=0; D1=12-35 ⋅ (-1)=1+35=36; D1>0, уравнение имеет двакорня:
x=35
361±− ;
x1= 51
357
3561 −=−=−− ;
x2= 71
355
3561 ==+− ;
д) 2y2-y-5=0; D=(-1)2-4 ⋅ 2 ⋅ (-5)=1+40=41; D>0, уравнение имеет двакорня:
y1,2= 4411
22411 ±=
⋅± ;
е) 16x2-8x+1=0; D1=42-16 ⋅ 1=0; D=0 – один корень:
x=41
1604 =± .
№537.
a) x2-11x+31=1;x2-11x+30=0; D=11-4 ⋅ 1 ⋅ 30=121-120=1;
x=2
11112
111 ±=⋅
± ;
www.5balls.ru
x1= 2111− =5;
x2= 2111+ =6;
б) x2-5x-3=2x-5;x2-7x+2=0; D=7-4 ⋅ 1 ⋅ 2=49-8=41;
x=2
417 ± ;
x1= 2417 − ;
x2= 2417 + ;
в) 7x+1=3x2-2x+1;3x2-9x=0; 3x(x-3)=0;1) 3x=0; x=0;2) x-3=0; x=3;г) –2x2+5x+6=4x2+5x;6x2-6=0; 6(x2-1)=0; x2-1=0; x2=1;x1,2= ± 1.
№538.
a) x2-6x=5x-18; x2-11x+18=0;D=11-4 ⋅ 1 ⋅ 18=121-72=49;
x=2
7112
4911 ±=± ;
x1= 2711− =2;
x2= 2711+ =9;
б) 3x2-4x+3=x2+x+1;2x2-5x+2=0; D=(-5)2-4 ⋅ 2 ⋅ 2=25-16=9;
x=4
352295 ±=
⋅± ;
x1= 435 + =2;
x2= 21
435 =− .
www.5balls.ru
№539.
a) 3x2-14x+16=0; D1=72-3 ⋅ 16=1;
x=3
173
17 ±=± ;
x1= 322
317 =+ ;
x2= 317 − =2;
б) 5x2-16x+3=0; D1=82-5 ⋅ 3=49;
x=5
785
498 ±=± ;
x1= 578 + =3;
x2= 51
578 =− =0,2;
в) x2+2x-80=0; D1=12-1 ⋅ (-80)=81;
x=1
811±− --1 ± 9;
x1=-1-9=-10;x2=-1+9=8;г) x2-22x-23=0; D1=112-1 ⋅ (-23)=144;
x=1
14411± =11 ± 12;
x1=11+12=23;x2=11-12=-1;д) 4x2-36x+77=0; D1=182-4 ⋅ 77=16;
x=4
4184
1618 ±=± ;
x1= 422
4418 =+ =5,5;
x2= 27
414
4418 ==− =3,5;
е) 15y2-22y-37=0; D1=112-15 ⋅ (-37)=676;
y=15
261115
67611 ±=± ;
www.5balls.ru
y1= 1572
152611 =+ ;
y2= 152611− =-1;
ж) 7z2-20z+14=0; D1=102-7 ⋅ 14=2;
z1,2= 7210 ± ;
з) y2-10y-25=0; D1=52-1 ⋅ (-25)=50;
y1,2= 1505 ± =5 252 ⋅± =5 25± .
№540.
a) 8x2-14x+5=0; D1=72-8 ⋅ 5=9;
x=8
378
97 ±=± ;
x1= 411
837 =+ ;
x2= 21
837 =− ;
б) 12x2+16x-3=0; D1=82-12 ⋅ (-3)=100;
x=12
10812
1008 ±−=±− ;
x1= 61
12108 =+− ;
x2= 211
12108 −=−− ;
в) 4x2+4x+1=0; D1=22-4 ⋅ 1=0;
x=21
42
402 −=−=±− ;
г) x2-8x-84=0; D1=42-1 ⋅ (-84)=100;
x=11004 ± =4 10± ;
x1=4+10=14;x2=4-10=-6;д) x2-6x-19=0; D1=32-1 ⋅ (-19)=28;
www.5balls.ru
x1,2= 1283 ±− =-3 74 ⋅± =-3 72± ;
е) 5x2+26x-24=0; D1=132-5 ⋅ (-24)=289;
x=5
17135
28913 ±−=±− ;
x1= 54
51713 =+− ;
x2= 51713 −− =-6;
ж) x2-34x+289=0; D1=172-1 ⋅ 289=0;
x=1
017 ± =17;
з) 3x2+32x+80=0; D1=162-3 ⋅ 80=16;
x=3
4163
1616 ±−=±− ;
x1= 3416 +− =-4;
x2= 326
3416 −=−− .
№541.
a) 2x2-5x-3=0; D=52-4 ⋅ 2 ⋅ (-3)=49;
x=4
7522495 ±=
⋅± ;
x1= 475 − =-0,5;
x2= 412
475 =+ =3;
б) 3x2-8x+5=0; D1=42-3 ⋅ 5=1;
x=3
14 ± ;
x1= 321
314 =+ ;
x2= 314 − =1;
в) 5x2+9x+4=0; D=92-4 ⋅ 5 ⋅ 4=1;
www.5balls.ru
x=10
19 ±− ;
x1= 1019 +− =-0,8;
x2= 1019 −− =-1;
г) 36y2-12y+1=0; D1=62-36 ⋅ 1=0; y=61
366 = ;
д) 3t2-3t+1=0; D=32-4 ⋅ 3 ⋅ 1=-3 – корней нет;е) x2+9x-22=0; D=92-4 ⋅ 1 ⋅ (-22)=169;
x=2
1392
1699 ±−=±− ;
x1= 2139 +− =2;
x2= 222
2139 −=−− =-11;
ж) y2-12y+32=0; D1=62-1 ⋅ 32=4;
y=1
46 ± =6 ± 2;
y1=6+2=8;y2=6-2=4;з) 100x2-160x+63=0; D1=802-63 ⋅ 100=100;
x=100
1080100
10080 ±=± ;
x1= 10070
1001080 =− =0,7;
x2= 10090
1001080 =+ =0,9.
№542.
a) 5x2=9x+2; 5x2=9x-2=0;D=92-4 ⋅ 5 ⋅ (-2)=121;
x=10
119251219 ±=
⋅± ;
x1= 10119 − =-0,2;
www.5balls.ru
x2= 10119 + =2;
б) –x2=5x-14; x2+5x-14=0;
D=52-4 ⋅ 4 ⋅ 1 ⋅ (-14)=81; x=2
952
815 ±−=±− ;
x1= 295 +− =2;
x2= 295 −− =-7;
в) 6x+9=x2; x2-6x-9=0; D1=32-1 ⋅ (-9)=18;
x1,2= 2332931
183 ±=⋅±=± ;
г) z-5=z2-25; z2-z-20=0;
D=12-4 ⋅ 1 ⋅ (-20)=81; z=2
912
811 ±=± ;
z1= 291+ =5;
z2= 291− =-4;
д) y2=52y-576; y2-52y+576=0;D1=262-1 ⋅ 576=100;
y= 10261
10026 ±=± ;
y1=26+10=36;y2=26-10=16;е) 15y2-30=22y+7; 15y2-22y-37=0;D1=112-15 ⋅ (-37)=676;
y=15
261115
67611 ±=± ;
y1= 152611− =-1;
y2= 1572
152611 =+ ;
ж) 25p2=10p-1; 25p2-10p+1=0;
D1=52-1 ⋅ 25=0; p=51
255 = ;
з) 299x2+10x=500-101x2;400x2+100x-500=0; 4x2+x-5=0;
www.5balls.ru
D=12-4 ⋅ 4 ⋅ (-5)=81; x=8
9142
811 ±−=⋅
±− ;
x1= 891+− =1;
x2= 891−− =-1,25.
№543.
a) 25=26x-x2; x2-26x+25=0;
D1=132-1 ⋅ 25=144; x= 12131
14413 ±=± ;
x1=13+12=25;x2=13-12=1;б) 3x2=10-29x; 3x2+29x-10=0;D=292-4 ⋅ 3 ⋅ (-10)=841+120=961;
x=6
312923
96129 ±−=⋅
±− ;
x1= 31
63129 =+− ;
x2= 63129 −− =-10;
в) y2=4y+96; y2-4y-96=0;D1=22-1 ⋅ (-96)=100;
y= 10211002 ±=± ;
y1=2+10=12;y2=2-10=-8;г) 3p2+3=10p; 3p2-10p+3=0;
D1=52-3 ⋅ 3=16; p=3
453
165 ±=± ;
p1= 31
345 =− ;
p2= 345 + =3;
д) x2-20x=20x+100; x2-40x-100=0;D1=202-1 ⋅ (-100)=500;
www.5balls.ru
x1,2= 510201005201
50020 ±=⋅±=± ;
е) 25x2-13x=10x2-7;15x2-13x+7=0;D=132-4 ⋅ 15 ⋅ 7=169-420=-251<0 – у уравнения нет корней.
№544.
a) (2x-3)(5x+1)=2x+52 ; 10x2+2x-15x-3-2x-
52 =0;
10x2-15x-352 =0; 50x2-75x-17=0;
D=752-4 ⋅ 50 ⋅ (-17)=5625+3400=9025;
x=100
9575502902575 ±=
⋅± ;
x1= 1020
1009575 −− =-0,2;
x2= 100170
1009575 =+ =1,7;
б) (3x-1)(x+3)=x(1+6x);3x2+9x-x-3=x+6x2;3x2-7x+3=0; D=72-4 ⋅ 3 ⋅ 3=13;
x1,2= 6137 ± ;
в) (x-1)(x+1)=2(5x-1021 ); x2-1=10x-2 ⋅
221 ;
x2-1=10x-21; x2-10x+20=0; D1=52-1 ⋅ 20=5;x1,2=5 5± ;г) –x(x+7)=(x-2)(x+2);-x2-7x=x2-4; 2x2+7x-4=0;
D=49-2 ⋅ (-4) ⋅ 4=81; x=4
9722
817 ±−=⋅
±− ;
x1= 21
497 =+− ;
x2= 497 −− =-4.
№545.
www.5balls.ru
a) (x+4) 2=x+40; x2+8x+16-3x-40=0;x2+5x-24=0; D=52-4 ⋅ 1 ⋅ (-24)=121;
x=2
115121215 ±−=
⋅±− ;
x1= 2115 +− =3;
x2= 2115 −− =-8;
б) (2x-3)2=11x-19; 4x2-12x+9-11x+19=0;4x2-23x+28=0; D=232-4 ⋅ 4 ⋅ 28=81;
x=8
9238
8123 ±=± ;
x1= 8923 − =1,75;
x2= 8923 + =4;
в) (x+1)2=7918-2x; x2+2x+1+2x-7918=0;x2+4x=7917=0; D1=22-1 ⋅ (-7917)=4+7917=7921;
x=1
79212 ±− =-2 ± 89;
x1=-2+89=87;x2=-2-89=-91;г) (x+2)2=3131-2x; x2+4x+4-3131+2x=0;x2+6x-3127=0; D1=9-1 ⋅ (-3127)=9+3127=3136;
x= 5631
31363 ±−=±− ;
x1=-3+56=53;x2=-3-56=-59.
№546.
a) 3(x+4)2=10x+32; 3(x2+8x+16)=10x+32;3x2+14x+16=0;
D1=72-3 ⋅ 16=1; x=3
17 ±− ;
x1= 317 +− =-2;
www.5balls.ru
x2= 322
327 −=−− ;
б) 15x2+17=15(x+1)2; 15x2+17=15(x2+2x+1);15x2+17=15x2+30x+15;
30x-2=0; 2(15x+1)=0; 15x-1=0; x=151 ;
в) (x+1)2=(2x-1)2; x2+2x+1=4x2-4x+1=0;3x2-6x=0; 3x(x-2)=0;x1=0; x2=2;г) (x-2)2+48=(2-3x)2; x2-4x+4+48=4-12x+9x2;8x2-8x-58=0;x2-x-6=0; D=12-4 ⋅ 1 ⋅ (-6)=25;
x=2
5121251 ±=
⋅± ;
x1= 251− =-2;
x2= 251+ =3.
№547.
a)2
1x 2 − -11x=11; x2-1-22x=22;
x2-22x-23=0;D1=112-1 ⋅ (-23)=144;x=11 1211144 ±=± ;x1=11+12=23;x2=11-12=-1;
б) 3
7x82
xx2 −=+ ; 03
7x82
xx2=−−+ ;
3x2+3x-16x+14=0; 3x2-13x+14=0;D=132-4 ⋅ 3 ⋅ 14-169-168=1;
x=6
113 ± ;
x1= 6113 − =2;
x2= 312
6113 =+ ;
www.5balls.ru
в) 3
1x4 2 − =x(10x-9); 3
1x4 2 − =10x2-9x;
10x2-9x-3
1x4 2 − =0; 30x2-27x-4x2+1=0;
26x2-27x+1=0; D=272-4 ⋅ 26 ⋅ 1=729-104=625=252;
x=52
2527 ± ;
x1= 522527 + =1;
x2= 261
522527 =− ;
г) 43 x2-
52 x=
54 x2+
43 ;
43 x2-
52 x-
54 x2-
43 =0;
15x2-8x-16x2-15=0;x2+8x+15=0; D1=42-1 ⋅ 15=1;
x=1
14 ±− ;
x1=-4+1=-3;x2=-4=1=-5.
№548.
a) 5x2-x-1=0; D=12-4 ⋅ 5 ⋅ (-1)=21;
x=10
58б4110
21152211 ±≈±=
⋅± ;
x1 56,0558,01058,5
1058,41 ≈==+≈ ;
x2 36,0358,01058,3
1058,41 −≈−=−=−≈ ;
б) 2x2+7x+4=0; D=72-4 ⋅ 2 ⋅ 4=17;
x=4
12,474
17722
177 ±−≈±−=⋅
±− ;
x1 78,2412,11
412,47 −=−=−−≈ ;
x2 72,0488,2
412,47 −=−=+−≈ ;
в) 3(y2-2)-y=0; 3y2-y-6=0;D=12-4 ⋅ 3 ⋅ (-6)=1+72=73;
www.5balls.ru
y=6
54,816
73123731 ±≈±=
⋅± ;
y1 59,1654,9
654,81 ==+≈ ;
y2 26,1654,7
654,81 −≈−=−≈ ;
г) y2+8(y-1)=3; y2+8y-8-3=0; y2+8y-11=0;D1=16-1 ⋅ (-11)=27;
y= 20,541
274 ±−≈±− ;
y1 20,920,54 −=−−≈ ;y2 20,120,54 =+−≈ .
№549.
a) x2-8x+9=0; D1=42-1 ⋅ 9=7; x= 65,2474 ±≈± ;x1 65,665,24 =+≈ ;x2 35,165,24 =−≈ ;
б) 2y2-8y+5=0; D1=42-2 ⋅ 5=6; y=2
45,242
64 ±≈± ;
y1 22,3445,6
245,24 ≈=+≈ ;
y2 78,0255,1
245,24 ≈=−≈ .
№550.
a) 0,7x2=1,3x+2; 0,7x2-1,3x-2=0;D=1,32-4 ⋅ 0,7 ⋅ (-2)=1,69+5,6=7,29;
x=4,1
7,23,17,02
29,73,1 ±=⋅
± ;
x1= 762
720
4,14
4,17,23,1 ===+ ;
x2= 14,14,1
4,17,23,1 −=−=− ;
б) 7=0,4y+0,2y2; 0,2y2+0,4y-7=0;D1=0,22-0,2 ⋅ (-7)=1,44;
www.5balls.ru
y=2,0
2,12,02,0
44,12,0 ±−=±− ;
y1= 2,01
2,02,12,0 =+− =5;
y2= 2,04,1
2,02,12,0 −=−− =-7;
в) x2-1,6x-0,36=0; D1=0,82-1 ⋅ (-0,36)=1;
x= 18,01
18,0 ±=±
x1=0,8+1=1,8;x2=0,8-1=-0,2;г) z2-2z+2,91=0; D1=12-1 ⋅ 2,91=-1,91; D>0 – у уравнения нет корней;д) 0,2y2-10y+125=0; D1=52-0,2 ⋅ 125=0;
y=2,005 ± =5 ⋅
210 =25;
е) 2x31 +2x-9=0; D1=12-
31 ⋅ (-9)=4;
x=
31
21
31
41 ±−=±− =-3 ± 6;
x1=-3+6=3;x2=-3-6=-9.
№551.
a) 2x71 =2x-7; x2-14x+49=0; D1=72-1 ⋅ 49=0; x=7;
б) x2+1,2=2,6x; x2-2,6x+1,2=0;D1=1,32-1 ⋅ 1,2=1,69-1,2=0,49;
x= 7,03,11
49,03,1 ±=± ;
x1=1,3+0,7=2;x2=1,3-0,7=0,6;в) 4x2=7x+7,5; 4x2-7x-7,5=0;D=72-4 ⋅ 4 ⋅ (-7,5)=49+120=169;
x=8137
241697 ±=
⋅± ;
www.5balls.ru
x1= 8137 − =-0,75;
x2= 8137 + =2,5.
№552.
a) 3a+0,6=9a2+0,36;9a2-3a-0,24=0; D=32-4 ⋅ 9 ⋅ (-0,24)=9+8,64=17,64;
a=18
2,4392
64,173 ±=⋅
± ;
a1= 52
182,43 =+ ;
a2= 151
182,1
182,43 −=−=− ;
Ответ: 52 ; -
151 ;
б) 0,4a+1,2=0,16a2+1,44; 0,16a2-0,4a-1,2+1,44=0;0,04a2-0,1a+0,06=0;D=0,12-4 ⋅ 0,04 ⋅ 0,06=0,01-0,0096=0,0004;
a=08,0
02,01,004,020004,01,0 ±=
⋅± ;
a1= 08,012,0
08,002,01,0 =+ =1,5;
a2= 08,008,0
08,002,01,0 =− =1.
Ответ: 1,5; 1.
УПРАЖНЕНИЯ ДЛЯ ПОВТОРЕНИЯ
№553.
a) =−
−+−−
−+
2x12
2x21x
2x21x
=+−
++
−−−
+=)1x)(1x(
2)1x(2
1x)1x(2
1x
www.5balls.ru
=+−
++−−++=+−
+−−+=)1x)(1x(2
4)1x2x(1x2x)1x)(1x(2
4)1x()1x( 2222
1x2
)1x)(1x(2)1x(4
)1x)(1x(24x4
−=
+−+=
+−+= ;
Подставим х=-0,5:
311
34
1520
5,12
15,02
1x2 −=−=−=
−=
−−=
−;
б) )a1(3a1)a1(3
)a1(aa3)1a2a(
a3a1:
a1a2a
a3a1a
1a2a 222−=
−−=
−+−=−+−=−
−−;
Подставим a=-1,5:3 ⋅ (1-a)=3 ⋅ (1-(-1,5))=3 ⋅ (1+1,5)=3 ⋅ 2,5=7,5.
№554.
a) ( ) +⋅=+⋅−+7
72120773521421
=+⋅−+=+⋅−⋅+ 527
5727
277
37207
73527
714
235223 +=−+= ;б) ( )( ) +⋅=+−−+ 5575351535
=+⋅+⋅−⋅−⋅−⋅ 75315335351553
=5-5 3 -3+3 5 +5 3 =2+3 5 .
№555.
a) Приравняем правые части обоих уравнений:7x-1=2x;
7x-2x-1=0; 5x-1=0; 5x=1; x=51 ; y=2x=2
51⋅ =
52 ;
y=52 ;
52;
51 - искомая точка;
б) Приравняем правые части обоих уравнений:3x-11=4; 3x=4+11; 3x=15; x=5; y=4;(5;4) – искомая точка.
www.5balls.ru
22. Решение задач с помощью квадратных уравнений
№556.
Пусть n и (n+6) – данные натуральные числа.По условию, произведение этих чисел равно187. Составимуравнение:n(n+6)=187; n2+6n-187=0;
D1=32-1 ⋅ (-187)=9+187=196; n=1
1963 ±− =-3 ± 14;
n1=-3-14=-17 (не подходит, поскольку не натуральное);n2=-3+14=11; тогда n+6=11+6=17.Ответ: 11, 17.
№557.
Пусть x и (x-2) – данные числа.По условию, их произведение равно120. Составим уравнение:x(x-2)=120; x2-2x=120; x2-2x-120=0;
D1=12-1 ⋅ (-120)=1+120=121; x=11211± =1 11± ;
1) x1=1+11=12, x-2=10;2) x2=1-11=-10, x-2=-12.Обе пары чисел удовлетворяют условию задачи.Ответ: 1) 12 и 10; 2) –10 и –12.
№558.
Пусть x см и (x+4) см соответственно – ширина и длинапрямоугольника. По условию задачи площадь S=60 см2. Составляемуравнение: x(x+4)=60; x2+4x-60=0;
D1=22-1 ⋅ (-60)=64; x= 821
642 ±−=±− ;
x1=-2+8=6;x2=-2-8=-10 – не подходит.Значит x+4=10; периметр P=2 ⋅ (6+10)=32 (см).Ответ: 32 см.
№559.
www.5balls.ru
Пусть x м и (x+10) м– ширина и длина участка. Площадь участка поусловию задачи равна 1200 м2. Составляем уравнение:x(x+10)=1200; x2+10x-1200=0;D1=52-1 ⋅ (-1200)=1225;x=-5 1225± =-5 ± 35;x1=-5-35=-40 – не подходит;x2==-5+35=30;Значит x+10=40, а длина изгороди, т.е. периметр участкаP=2 ⋅ (30+40)=140 м.Ответ: 140 м.
№560.
Пусть a м и b м– длина и ширина прямоугольника. Периметрпрямоугольника по условию равна 62 м, а его площадь – 120 м2. Таккак P=2(a+b), S=ab, то получаем систему уравнений:
−=−=
=+=
=+=
;)31(210,31
;210,31
;210),(262
bbba
abba
abba
=+−
−=
=−−
−=
;021031
,31
;021031
,3122 bb
ba
bb
ba
Решим второе уравнение:
D=312-4 ⋅ 1 ⋅ 210=961-840=121; b=2
11312
12131 ±=± ;
b1= 21131+ =21; значит, a1=31-b1=10;
b2= 21131− =10; значит a2=31-b2=21.
Ответ: 21 м, 10 м.
№561.
Пусть катеты данного треугольника равны a см и b см. Суммакатетов по условию равна 23 см, т.е. a+b=23, а площадь
треугольника равна 60 см2, т.е. 21 ab=60. Получаем систему
уравнений:
=+−
−=
=−−=
==+
;0120b23b
,b23a;120b)b23(
,b23a;120ab
,23ba2
www.5balls.ru
Решаем второе уравнение:
D=232-4 ⋅ 1 ⋅ 120=529-480=49; b=2
7232
4923 ±=± ;
b1=15; значит a1=23-b1=8;b2=8; значит a2=23-b2=15.Ответ: 8 см и 15 см.
№562.
Пусть n и (n+1) – данные натуральные числа. Произведение этихчисел по условию больше их суммы на 109. Составляем уравнение:n(n+1)-109=n+(n+1); n2+n-109=n+n+1;n2-n-110=0;
D=12-4 ⋅ 1 ⋅ (-110)=441; n=2211
24411 ±=± ;
n1= 2211+ =11;
n2= 2211− =-10; - не подходит, т.к. не натуральное. Значит n=11,
n+1=12.Ответ: 11, 12.
№563.
Пусть x см и (х+3) см – ширина и длина оставшейся части листа,тогда длина стороны квадрата будет равна (х+3) см. Площадьпрямоугольной части листа по условию задачи равна 70 см2.Составляем уравнение:х(х+3)=70; х2+3х-70=0;
D=32-4 ⋅ 1 ⋅ (-70)=289; x=2
1732
2893 ±−=±− ;
x1= 2173 +− =7; значит х+3=10.
x2= 2173 −− =-10 – не подходит, т.к. длина не может быть
отрицательной.Ответ: 10 см.
№564.
www.5balls.ru
Пусть х см и (х+120) см – сторона квадрата и длина доскипрямоугольной формы.
Площадь доски прямоугольной формы по условию задачи равна4500 см2. Составляем уравнение:х(х+120)=4500; х2+120х-4500=0;D1=602-1 ⋅ (-4500)=3600+4500=8100;
x=1
810060 ±− =-60 ± 90;
x1=-60+90=30;x2=-60-90=-150 – не подходит, т.к. –150<0.Ответ: 30 см.
№565.
Пусть х см и (х+14) см – ширина и длина прямоугольника.
Воспользуемся теоремой Пифагора:x2+(x+14) 2=342;x2+x2+28x+196=1156;2x2+28x-960=0; x2+14x-480=0;
D1=72-1 ⋅ (-480)=49+480=529; x=1
5297 ±− =-7 ± 23;
x1=-7-23=-30 – не подходит;
х см 120 см
х см 34 см
(х+14) см
www.5balls.ru
x2=-7+23=16; значит х+14=30.Ответ: 16 см и 30 см.
№566.
Обозначим за х см - длину гипотенузы, тогда (х-3) см и (х-6) см –длины катетов. Составляем уравнение, исходя из теоремыПифагора:x2=(x-3) 2+(x-6) 2; x2=x2-6x+9+x2-12x+36;x2-18x+45=0;D1=92-1 ⋅ 45=81-45=36; x=9 6936 ±=± ;x1=15;x2=3 – не подходит.Ответ: 15 см.
№567.
Обозначим за х и (х+8) количество рядов и количество мест в ряду.По условию в кинотеатре 884 места. Составим уравнение:х(х+8)=884;x2+8x-884=0; D1=42-1 ⋅ (-884)=16+884=900=302;x=-4 ± 30;x1=-4+30=26;x2=-4-30=-34 – не подходит.Ответ: 26.
№568.
Пусть n, (n+1) и (n+2) – данные целые числа. Сумма их квадратов поусловию задачи равна 869. Составим уравнение:n2+(n+1) 2+(n+2) 2=869; n2+n2+2n+1+n2+4n+4=869; 3n2+6n-864=0;n2+2n-288=0; D1=12-1 ⋅ (-288)=289;n=-1 171289 ±−=± ;n1=-1-17=-18; значит n+1=-17;n+2=-16;n2=-1+17=16; значит n+1=17, n+2=18.Ответ:-18, -1, -16; или 16, 17, 18.
УПРАЖНЕНИЯ ДЛЯ ПОВТОРЕНИЯ
№569.
www.5balls.ru
a) 3a2
9a6a4)3a2(
)9a6a4)(3a2(a4a129
27a8 2
2
2
2
3
−++=
−++−=
+−− ;
б) x34x
)x3)(2a()4x)(2a(
)2a(x)2a(3)2a(4)2a(x
x2ax6a38a4x2ax
−−=
−−−−=
−−−−−−=
+−−+−− .
№570.
a) ( ) ( )( )=
++−+++=
++−+
1b2ab2bbabba
1b2ab2bba
2
( )1b2ab2ab2a
+++ ; подставляем a=5 и b=2 и находим:
( ) ( ) ( )=
⋅+⋅+=
+⋅+⋅+=
+++
552522255
1222525225
1b2ab2ab2a
( )( ) 1
52252255 =
++ ;
б) ( )
=++++−
=++
+−1xyx
xy4yxy2x1xyx
xy4yx2
1xyxyxy2x
++++
; подставляем х=4 и y=6 и находим:
( ) 26256252
62562210
164466424
1xyxyxy2x
=++=
+⋅+=
+⋅++⋅+=
++++
.
№571.
a) 02х
6)3х(х =−− ;
x(x-3)-3x=0;x2-6x=0; x(x-6)=0;1) x1=0;2) x-6=0; x2=6;
б) 24х8
3)1х(х =+++ ; 12
12
4х8
3)1х(х12 ⋅=
+++ ;
www.5balls.ru
244
)х8(123
)1х(х12 =+++ ;
4x(x+1)+3(8+x)=24; 4x2+4x+24+3x=24;4x2+7x=0; x(4x+7)=0;
x1=0; 4x2+7=0; 4x2=-7; x2=-431
47 −= .
№572.
Искомая точка должна удовлетворять следующим двум уравнениям:
1) y=0; 13x-2,6=y; 13x=2,6; x=13
6,2 =0,2; (0,2;0);
Искомая точка должна удовлетворять следующим двум уравнениям:2) x=0; y=13 ⋅ 0-2,6; y=-2,6; (0;-2,6).Ответ: (0,2;0); (0;-2,6).
www.5balls.ru
21. Теорема Виета
№573.
a) x2-37x+27=0; D=372-4 ⋅ 1 ⋅ 27=1369-108=1261;D>0, значит, уравнение имеет два корня; x1+x2=37; x1 ⋅ x2=27;б) y2+41y-371=0; D=412-4 ⋅ 1 ⋅ (-371)=1681+1484=3165;D>0, значит, уравнение имеет два корня.По теореме Виета:y1+y2=-41; y1-y2=-371;в) x2-210x=0; x1+x2=210; x1 ⋅ x2=0;г) y2-19=0; y1+y2=0; y1 ⋅ y2=-19;
д) 2x2-9x-10=0; 2
10x29
2x2 2
−− =0;
D=2
29
-4 ⋅ 1 ⋅ (-5)=
481 +20=
4161 >0, значит, уравнение имеет 2 корня.
По теореме Виета:
x1+x2= 29 ; x1 ⋅ x2=-5;
е) 5x2+12x+7=0; x2+5
12 x+57 =0;
D1=251
2535
2536
57
56 2
=−=−
;
По теореме Виета:
x1+x2=-5
12 =-2,4; x1 ⋅ x2=1,4;
ж) –z2+z=0; z2-z=0; z1+z2=1; z1 ⋅ z2=0;
з) 3x2-10=0; x2-3
10 =0;
Уравнение имеет 2 корня и по теореме Виета:
x1+x2=0; x1 ⋅ x2=-3
10 .
№574.
a) x2-2x-9=0; D1=12-1 ⋅ (-9)=10; x=1 10± ;x1=1- 10 ; x2=1+ 10 .Произведем проверку:
www.5balls.ru
x1+x2=1- 10 +1+ 10 =2;x1 ⋅ x2=(1- 10 )(1+ 10 )=1-10=-9;
б) 3x2-4x-4=0; x2-34x
34 − =0;
D=2
34
-4 ⋅ 1 ⋅
−
34 =
964
94816
316
916 =+=+ ;
x=2
38
34
2964
34
±=
±;
x1= 24
312
21
238
34
=⋅=+
=2;
x2= 32
64
34
21
238
34
−=−=
−=
−.
Произведем проверку:
x1+x2=2+34
32 =
− ;
x1 ⋅ x2=2 ⋅34
32 −=
− ;
в) 2x2+7x-6=0; x2+27 x-3=0;
D=2
27
-4 ⋅ 1 ⋅ (-3)=
497
44849
112
449 =+=+ ;
x=2
297
27
24
9727
±−=
±−;
x1= 4977
2297
27
+−=+−
;
x2= 4977
2297
27
−−=−−
.
Произведем проверку:
www.5balls.ru
x1+x2= 27
414
497
47
497
47
4977
4977 −=−=−−+−=−−++− ;
x1 ⋅ x2= =
−⋅
+−=
−−⋅
+−4
7974
7974
9774
977
( )3
1648
164997
16797 22
−=−=−−=−− ;
г) 2x2+9x+8=0; x2+29 x+4=0;
D=2
29
-4 ⋅ 1 ⋅ 4=
481 -16=
417
46481 =− ;
x=4
1792
417
29
±−=±−
.
x1= 4179 +− ;
x2= 4179 −− .
Произведем проверку:
x1+x2= 29
418
4179179
4179
4179 −=−=−−+−=−−++− ;
x1 ⋅ x2= ×
+−=
−−⋅
+−4
9174
1794
179
( ) 416
811716
9174
917 22
=−−=−−=
−× .
№575.
a) x2-15x-16=0; D=152-4 ⋅ 1 ⋅ (-16)=225+64=289;
x=2
17152
28915 ±=± ;
x1= 21715 + =16;
x2= 21715 − =-1.
www.5balls.ru
Произведем проверку:x1+x2=16+(-1)=15;x1 ⋅ x2=16 ⋅ (-1)=-16;б) x2-6x-11=0; D1=32-1 ⋅ (-11)=20;x= 523203 ±=± ;x1=3+2 5 ;x2=3-2 5 .Произведем проверку:x1+x2=3+2 5 +3-2 5 =6;x1 ⋅ x2=(3+2 5 )(3-2 5 )=32-(2 5 )2=9-20=-11;в) 12x2-4x-1=0;
x2-124 x-
121 =0; x2-
31 x-
121 =0;
D=2
31
-4 ⋅ 1 ⋅
−
121 =
91 +
31 =
94 ;
x=2
32
31
294
31
±=
±;
x1= 21
232
31
=+
;
x2= 61
231
232
31
−=−
=−
.
Произведем проверку:
x1+x2= 31
61
21
61
21 =−=
−+ ;
x1 ⋅ x2= 121
61
21 −=
−⋅ ;
г) x2-6=0; ( )( )66 +− xx =0;1) x- 6 =0; x= 6 ;2) x+ 6 =0; x=- 6Произведем проверку:x1+x2= 6 - 6 =0;x1 ⋅ x2= 6 ⋅ (- 6 )=-6;
www.5balls.ru
д) 5x2-18x=0; x(5x-18)=0;1) x1=0;
2) 5x-18=0; 5x=18; x2= 533
518 = .
Произведем проверку:
x1+x2=0+533 =
533 ;
x1 ⋅ x2=0 ⋅533 =0;
е) 2x2-41=0; x2-241 =0;
+
−
241
241 xx =0;
1) x-241 =0; x1= 2
41 ;
2) x+241 =0; x2=-
241 .
Произведем проверку:
x1+x2= 241 -
241 =0;
x1 ⋅ x2= 241 ⋅
−
241 =-
241 .
№576.
a) Пусть x1 и х2 – корни уравнения х2-9х+20=0, тогда х1+х2=9;х1 ⋅ х2=20, откуда х1=2; х2=5.б) Пусть x1 и х2 – корни уравнения х2+11х-12=0, тогда х1+х2=-11;х1 ⋅ х2=-12, откуда подберем х1=1; х2=-12.в) Пусть x1 и х2 – корни уравнения х2+х-56=0, тогда х1+х2=-1;х1 ⋅ х2=-56, откуда подберем х1=7; х2=-8.г) Пусть x1 и х2 – корни уравнения х2-19х+88=0, тогда х1+х2=19;х1 ⋅ х2=88, откуда подберем х1=11; х2=8.
№577.
www.5balls.ru
a) Пусть x1 и х2 – корни уравнения х2+16х+63=0, тогда х1+х2=-16;х1 ⋅ х2=63, откуда х1=-7; х2=-9.б) Пусть x1 и х2 – корни уравнения х2+2х-48=0, тогда х1+х2=-2;х1 ⋅ х2=-48, откуда подберем х1=6; х2=-8.
№578.
Поскольку x1=7, то (по теореме Виета): х1 ⋅ х2=-35, 7 ⋅ х2=-35; х2=-5.х1+х2=7+(-5)=2; р=-2.Ответ: х2=-5, р=-2.
№579.
Поскольку x1=12,5, то (по теореме Виета): х1+х2=13; х1 ⋅ х2=q;12,5+х2=13; х2=13-12,5=0,5; q=12,5 ⋅ 0,5=6,25.Ответ: х2=0,5, q=6,25.
№580.
5x2+bx+24=0; x2+51 bx+
524 =0.
Поскольку x1=8; то х1 ⋅ х2= 524 ; 8 ⋅ х2= 5
24 ; х2= 53
4024
18:
524 == ;
х1+х2=8+53 =8
53 ; 8
53 =-
51 b;
543 =-
51 b; откуда
b=-543 :
51 =-
15543
⋅⋅ =-43.
Ответ: х2= 53 ; b=-43.
№581.
10x2-33x+c=0; x2-1033 x+
10с =0; x2-3,3x+0,1c=0;
поскольку x1=5,3, то x1+x2=3,3; x1 ⋅ x2=0,1c;5,3+x2=3,3; x2=3,3-5,3; x2=-2;5,3 ⋅ (-2)=-10,6=0,1c; c=-106.Ответ: x2=-2; c=-106.
№582.
www.5balls.ru
Обозначим через х1 и х2 – корни квадратного уравнения. Поусловию задачи х1-х2=2, а по теореме Виета получим: х1+х2=12.Затем получим систему уравнений:
=+=−
.12,2
21
21
хххх
Сложим эти уравнения, получим: 2х1=14, откуда х1=7. Вычтемпервое уравнение из второго, получим: 2х2=10, откуда х2=5. Значит,q=x1 ⋅ x2=7 ⋅ 5=35.Ответ: 35.
№583.
Обозначим через х1 и х2 – корни квадратного уравнения. Тогдаимеем систему:
−=+=−
.1,6
21
21
хххх
Находим: 2х1=5, 2х2=-7, т.е. х1=2,5; х2=-3,5.Значит, с=x1 ⋅ x2=2,5 ⋅ -(3,5)=-8,75.Ответ: -8,75.
№584.
a) 3x2+113x-7=0; x2+3
113 x-37 =0;
D>0, по теореме Виета:
x1 ⋅ x2=-37 <0, следовательно, у уравнения два корня, причем
противоположных знаков.
б) 5x2-291x-16=0; x2-5
291 x-5
16 =0;
D>0, по теореме Виета:
x1 ⋅ x2=-5
16 <0, следовательно, у уравнения два корня, причем
противоположных знаков.
№585.
а) имеет два корня противоположных знаков;
www.5balls.ru
б) имеет два положительных корня;в) не имеет корней;г) имеет два положительных корня;д) не имеет корней;е) имеет два корня противоположных знаков.
№586.
а) имеет два положительных корня;б) имеет два корня противоположных знаков;в) имеет два положительных корня;г) имеет два корня противоположных знаков;д) имеет два положительных корня;е) имеет два корня противоположных знаков.
УПРАЖНЕНИЯ ДЛЯ ПОВТОРЕНИЯ
№587.
а) (3x+1)2=3x+1; 9x2+6x+1=3x+1;9x2+3x=0; 3x(3x+1)=0; x(3x+1)=0;
x1=0; 3x2+1=0; 3x2=-1; x2=-31 ;
б) (3x+1)2=3(x+1); 9x2+6x+1=3x+3;9x2+3x-2=0;D=32-4 ⋅ 9 ⋅ (-2)=81;
x=18
9392
813 ±−=⋅
±− ;
x1= 31
1893 =+− ;
x2= 32
1893 −=−− ;
в) (3x+1)2=(2x-5)2; 9x2+6x+1=4x2-20x+25;5x2+26x-24=0;D1=132-5 ⋅ (-24)=169+120=289;
x=5
17135
28913 ±−=±−
x1= 54
51713 =+− ;
www.5balls.ru
x2= 65
1713 −=−− ;
г) (3x+4)2=4(x+3); 9x2+24x+16=4x+12;9x2+20x+4=0;D1=102-4 ⋅ 9=64;
x=9
8109
6410 ±−=±−
x1= 92
9810 −=+− ;
x2= 29
810 −=−− ;
д) 4(x+3)2=2x+6); 4(x+3)2=(2x+6)(2x+6);4(x+3)2=2 ⋅ 2(x+3)2; 4(x+3)2=4(x+3)2 при любом х;е) (6x+3)2=(x-4)2; 36x2+36x+9=x2-8x+16;35x2+44x-7=0;D1=222-35 ⋅ (-7)=484+245=729;
x=35
272235
72922 ±−=±−
x1= 71
355
352722 ==+− ;
x2= 521
3549
352722 −=−=−− ;
№588.
Обозначим за (8х) м – первый катет треугольника, (15х) м – второйкатет. По теореме Пифагора квадрат длины гипотенузы равен суммедлин квадратов катетов. Запишем уравнение:(8х)2+(15х)2=6,82; 64х2+225х2=46,24;
289х2=46,24; х2=289
24,46 =0,16; х= 16,0± ;
х1= 16,0 =0,4; тогда 8х=8 ⋅ 0,4=3,2 м – длина первого катета,15х=15 ⋅ 0,4=6 м – длина второго катета.х2=- 16,0 =-0,4 не подходит, так как длина катета не может бытьменьше нуля. Площадь прямоугольного треугольника равна
половине произведения длин его катетов: S=2
2,192
62,3 =⋅ =9,6 (м2).
Ответ: 9,6 м2.
www.5balls.ru
№589.
Обозначим за (12х) см – длину неизвестного катета, (13х) см –длину гипотенузы. По теореме Пифагора квадрат длины гипотенузыравен сумме длин квадратов катетов. Запишем уравнение:(13х)2=(12х)2+152; 169х2=144х2+225;25х2=225; х2=9; х= 9± ;х1=3; х2=-3 – не подходит, так как длина катета не может бытьменьше нуля.13х=3 ⋅ 13=39 см – длина гипотенузы,12х=3 ⋅ 12=36 см – длина искомого катета.Найдем периметр: Р=15+39+36=90 см.Ответ: 90 см.
§ 10. Дробные рациональные уравнения
24. Решение дробных рациональных уравнений
№590.
a) 33
2
+=
+ yy
yy ; 0
33
2=
+−
+ yy
yy ;
03
2=
+−
yyy ; y2-y=0; y(y-1)=0;
y1=0; y2-1=0; y2=1;Оба корня не обнуляют знаменатель.
б) 465
4 22
2
−−=
− xx
xx ; 0
465
4 22
2=
−−−
− xx
xx ;
04
652
2=
−+−
xxx ; x2-5x+6=0;
D=52-4 ⋅ 1 ⋅ 6=25-24=1;
x=2
152
15 ±=± ;
x1= 32
15 =+ ;
x2= 22
15 =− .
www.5balls.ru
х=2 не подходит, т.к. при х=2 знаменатель обращается в ноль,поэтому данное уравнение имеет только один корень х=3.
в) x
xx
x−
+−=− 2
672
2 2; 0
267
22 2
=−
+−−− x
xx
x ;
0267
22 2
=−−−
− xx
xx ; 2x2-7x+6=0;
D=72-4 ⋅ 2 ⋅ 6=49-48=1;
x=4
174
17 ±=± ;
x1= 24
17 =+ ;
x2= 211
23
46
417 ===− .
х=2 не подходит, т.к. при х=2 знаменатель обращается в ноль,
поэтому данное уравнение имеет только один корень х=121 .
г) yy
yy−
=−−
55
562
; 05
5562
=−
−−−
yyyy ;
05
5562
=−
+−−
yyyy ; 0
5562
=−
+−y
yy ; y2-6y+5=0;
D1=32-1 ⋅ 5=9-5=4; y=3 4± =3 ± 2;y1=3+2=5; y2=3-2=1.y=5 не подходит, т.к. при y=5 знаменатель обращается в ноль,поэтому данное уравнение имеет только один корень y=1.
д) 1x4x3
7x2x2
−+=
+− ; 0
1x4x3
7x2x2 =
−+−
+− ;
0)1x)(7x(
)7x)(4x3()1x)(1x2( =−+
++−−− ;
0)1x)(7x(
)28x4x21x3(1xx2x2 22=
−++++−+−− ;
2x2-3x+1-3x2-25x-28=0; -x2-28x-27=0;x2+28x+27=0; D1=142-1 ⋅ 27=196-27=169;x=-14 169± =-14 ± 13;x1=-14-13=-27;x2=-14+13=-1;
www.5balls.ru
е) 35
1232
+−=
−+
yy
yy ; 0
35
1232 =
+−−
−+
yy
yy ;
(2y+3)(y+3)-(2y-1)(y-5)=0;2y2+6y+3y+9-(2y2-10y-y+5)=0;2y2+9y+9-2y2+11y-5=0;
20y+4=0; 4(5y+1)=0; 5y+1=0; 5y=-1; y=-51 ;
y=-51 является корнем уравнения, т.к. при y=-
51 общий знаменатель
дробей не обращается в ноль.
ж) y
2y1y1y5 +=
++ ; 0
y2y
1y1y5 =+−
++ ;
y(5y+1)-(y+1)(y+2)=0; 5y2+y-(y2+2y+2+2)=0;5y2+y-y2-3y-2=0; 4y2-2y-2=0; 2y2-y-1=0;D=12-4 ⋅ 2 ⋅ (-1)=1+8=9;
y=4
312291 ±=
⋅± ;
y1= 431+ =1;
y2= 21
42
431 −=−=− .
При y1=1 и y2=-21 общий знаменатель не обращается в ноль,
поэтому оба числа являются корнями уравнения.
з) x21x35
x21x31
+−=
−+ ; 0
x21x35
x21x31 =
+−−
−+ ;
0x41
)x35)(x21()x31)(x21(2 =
−−−−++ ;
1+3x+2x+6x2-(5-3x-10x+6x2)=0;18x-4=0;
2(9x-2)=0; 9x=2; x=92 .
x=92 является корнем уравнения, т.к. при x=
92 общий знаменатель
дробей не обращается в ноль.
и) 0x231x2
3x21x =
−−−
+− ; 0
3x21x2
3x21x =
−−+
+− ;
www.5balls.ru
09x4
)3x2)(1x2()1x)(3x2(2 =
−+−+−− ;
(2x-3)(x-1)+(2x-1)(2x+3)=0;6x2-x=0; x(6x-1)=0;x1=0;
6x2-1=0; 6x2=1; x2= 61 .
При х=0 и x=61 общий знаменатель дробей не обращается в ноль,
поэтому х1=0 и x2= 61 являются корнями уравнения.
№591.
a) 045x5x2 =−
+− ; 0
5x)5x(45x2 =
++−− ;
2x-5-4x-20=0; -2x-25=0;
2x+25=0; 2x=-25; x=-225 =-12
21 ; x=-12
21
x=-1221 является корнем уравнения, т.к. при x=-12
21 знаменатель
не обращается в ноль.
б) xx7
12 =−
; 01x
x712 =−−
;
0x7
)x7(x12 =−
−− ; 12-7x+x2=0; x2-7x+12=0;
D=72-4 ⋅ 1 ⋅ 12=1;
x=2
172
17 ±=± ;
x1= 32
17 =− ;
x2= 42
17 =+ ;
x1=3 и х2=4 являются корнями уравнения, поскольку при этихзначениях х знаменатель не обращается в ноль.
в) 2
x234
4x2 +=− ; 02
x234
4x2=+−−
x2-4-6-4x=0; x2-4x-10=0;
www.5balls.ru
D1=(-2) 2-1 ⋅ (-10)=4+10=14;x1,2=2 14± ;
г) 1x3x2
10 −=−
; 01
1x3x2
10 =−−−
;
03x2
)1x)(3x2(10 =−
−−− ; 10-(2x-3)(x-1)=0;
10-(2x2-2x-3x+3)=0;2x2-5x-7=0;D=52-4 ⋅ 2 ⋅ (-7)=25+56=81;
x=4
9522815 ±=
⋅± ;
x1= 213
495 =+ ;
x2= 14
95 −=− .
При x1= 213 и х2=-1 общий знаменатель не обращается в ноль,
поэтому оба числа являются корнями уравнения.
д) x8 =3x+2; 0
x)2x3(x8 =+− ;
8-x(3x+2)=0; 3x2+2x-8=0;D1=12-3 ⋅ (-8)=1+24=25;
x=3
513
251 ±−=±− ;
x1= 311
351 =+− ;
x2= 23
51 −=−− ;
При x1=131 и х2=-2 общий знаменатель не обращается в ноль,
поэтому оба числа являются корнями уравнения.
е) 3x2
2xx4x2
=++ ; 0
3x2
2xx4x2
=−++ ;
0)2x(3
)2x(x2)x4x(3 2=
++−+ ; 3(x2+4x)-2x(x+2)=0;
x2+8x=0; x(x+8)=0;x1=0;
www.5balls.ru
x2=-8;x1=0 и х2=-8 являются корнями уравнения, поскольку при этихзначениях х знаменатель не обращается в ноль.
ж) 05x10
3x5x2 2=
−+− ; 2x2-5x+3=0;
D=(-5)2-4 ⋅ 2 ⋅ 3=25-24=1
x=4
152215 ±=
⋅± ;
x1= 211
415 =+ ;
x2= 14
15 =− .
x1=121 и х2=1 являются корнями уравнения, поскольку при x=1
21 и
х=1 общий знаменатель не обращается в ноль.
з) 05,1xx9x4 3
=+− ; 4x3-9x=0;
x(4x2-9)=0; x(2x-3)(2x+3)=0;x1=0;
x2= 23 ;
x3=-23 ;
x=-23 не подходит, так как при этом значении знаменатель дроби
обращается в ноль; значит, уравнение имеет два корня: х1=0, х2= 23 ,
т.к. при х=0 и х=23 знаменатель дроби не обращается в ноль.
№592.
a) 1x
x71x
x22
2
+=
+; 0
1xx7
1xx
22
2=
+−
+;
01x7x
2
2=
+− ; x2-7x=0; x(x-7)=0;
x1=0;
www.5balls.ru
x2=7.Оба значения являются корнями уравнения, т.к. x+1>0 при всех х.
б) )y6(y)y23(4
y6yy
2
2
−−=
−; 0
)y6(y)y23(4
y6yy
2
2=
−−−
−;
0)6y(y)y23(4
y6yy
2
2=
−−+
−; y2+4(3-2y)=0;
y2+12-8y=0; y2-8y+12=0;D1=(-4)2-1 ⋅ 12=16-12;
y= 241
44 ±=± ;
y1=4+2=6;y2=4-2=2.y1=6 не подходит, т.к. при y=6 знаменатель обращается в ноль, а приy=4 знаменатель в ноль не обращается, один корень y=4.
в) 4x3x
2x2x
−+=
+− ; 0
4x3x
2x2x =
−+−
+− ;
(x-4)(x-2)-(x+2)(x+3)=0;x2-2x-4x+8-x2-3x-3x-6=0;
11x=2; x=112 .
x=112 является корнем уравнения, поскольку при x=
112 общий
знаменатель дробей не обращается в ноль.
г) 2y
y9y
5y8+
=− ; 02y
y9y
5y8 =+
−− ;
(8y-5)(y+2)-y ⋅ 9y=0; 8y2+16y-5y-10-9y2=0;y2-11y+10=0;D=(-11) 2-4 ⋅ 1 ⋅ 10=81;
y=2
9112
8111 ±=± ;
y1= 12
911 =− ;
y2= 102
911 =+ .
При y=1 и y=10 общий знаменатель не обращается в ноль, поэтомуоба числа являются корнями уравнения.
www.5balls.ru
д) 21x3x
2
2=
++ ; 02
1x3x
2
2=−
++ ;
x2+3-2(x2+1)=0;-x2+1=0; x2-1=0; (x-1)(x+1)=0;1) x-1=0;x1=1;2) x+1=0;x2=-1.Оба значения являются корнями уравнения, т.к. x>0 при всех х.
е) x1
2x3
2 =+
; 0x1
2x3
2 =−+
; 3x-(x2+2)=0;
x2-3x+2=0;D=(-3)2-4 ⋅ 1 ⋅ 2=9-8=1;
x=2
13 ± ;
x1= 12
13 =− ;
x2= 22
13 =+ .
При х=1 и х=2 общий знаменатель дробей не обращается в ноль,поэтому оба числа являются корнями уравнения.
ж) х+2=1x4
15+
; 01x4
151
2x =+
−+ ;
(x+2)(4x+1)-15=0;4x2+9x-13=0;D=92-4 ⋅ 4 ⋅ (-13)=81+208=289;
x=8
179422899 ±−=
⋅±− ;
x1= 25,3826
8179 −=−=−− ;
x2= 18
179 =+− .
Оба числа являются корнями уравнения, т.к. при х=1 и х=3,25общий знаменатель не обращается в ноль.
з) 9
10x71x5x2 +=
−− ; 0
910x7
1x5x2
=+−−− ;
9(x2-5)-(x-1)(7x+10)=0;9x2-45-(7x2+10x-7x-10)=0;2x2-3x-35=0;
www.5balls.ru
D=(-3)2-4 ⋅ 2 ⋅ (-35)=9+280=289;
x=4173
222893 ±=
⋅± ;
x1= 54173 =+ ;
x2= 5,34
144173 −=−=+ .
Оба числа являются корнями уравнения, т.к. при х=5 и х=-3,5общий знаменатель не обращается в ноль.
№593.
a) 12x1x
2x1x3 =
−−−
++ ; 01
2x1x
2x1x3 =−
−−−
++ ;
(3x+1)(x-2)-(x-1)(x+2)-(x+2)(x-2)=0;3x2-6x+x-2-x2-2x+x+2-x2+4=0;x2-6+4=0;D1=(-3)2-1 ⋅ 4=5;x1,2=3 5± .Оба числа являются корнями уравнения, т.к. при х=3 5± общийзнаменатель не обращается в ноль.
б) 53y3y
3y2y2 =
−++
+− ; 05
3y3y
3y2y2 =−
−++
+− ;
2(y-1)(y-3)+(y+3)2-5(y2-9)=0;2(y2-y-3y+3)+y2+6y+9-5y2+45=0;-2y2-2y+60=0; y2+y-30=0;D=12-4 ⋅ (-30)=1+120=121;
y=2
1112
1211 ±−=±− ;
y1= 62
111 −=−− ;
y2= 52
111 =+− .
Оба числа являются корнями уравнения, т.к. при y=-6 и y=5общийзнаменатель не обращается в ноль.
в) y31
51y3
41y9
42 −
=+
−−
;
www.5balls.ru
01y3
51y3
4)1y3)(1y3(
4 =−
++
−+−
;
01y9
)1y3(5)1y3(442 =
−++−− ; 4-12y+4+15y+5=0;
3y+13=0; 3y=-13; y=-314
313 −= .
y=-431 является корнем уравнения, т.к. при этом значении у общий
знаменатель дробей не обращается в ноль.
г) 13x
1x3
53x
4 −−
=−
−+
;
013x
13x
53x
4 =+−
−−
++
;
4(x-3)+5(x+3)-(x+3)+x2-9=0;x2+8x-9=0;D1=42-1 ⋅ (-9)=25;x=-4 5425 ±−=± ;x1=-4+5=1;x2=-4-5=-9.При х1=1 и х2=-9 общий знаменатель не обращается в ноль, поэтомуоба числа являются корнями уравнения.
д) 3+xx
x51x
42 −−=
−; 3+ 0
)1x(xx5
1x4 =
−−−
−;
0)1x(x
)x5(x4)1x(3 =−
−−+− ; 3x-3+4x-5+x=0; 8x=8; x=1.
При х=1 х-1=0, значит, данное уравнение не имеет корней.
е) y2y
4y32y
1y
2y32 −
+=−
−− ;
0)2y(y
4y32y
1y
2y3 =−+−
−−− ;
(y-2)(3y-2)-y-3y-4=0;3y2-2y-6y+4-y-3y-4=0; 3y2-12y=0;y2-4y=0; y(y-4)=0;y1=0;y2=4.При y=0 знаменатель обращается в ноль, поэтому данное уравнениеимеет только один корень y=4, т.к. при y=4 знаменатель в ноль необращается.
www.5balls.ru
№594.
a) 1) 56x1x2 =
+− ; 05
6x1x2 =−
+− ;
06x
)6x(51x2 =+
+−− ; 2x-1-5x-30=0;
-3x-31=0; 3x=-31; x=-3110
331 −= .
2) 36x1x2 −=
+− ; 03
6x1x2 =+
+− ; 2x-1+3x+18=0;
5x=-17; x=-523
517 −= .
3) 06x1x2 =
+− ; 2x-1=0; x=
21 .
4) 26x1x2 =
+− ; 02
6x1x2 =−
+− ;
2x-1-2(x+6)=0; 2x-1-2x-12=0; -13 ≠ 0.Эта функция не равна 2 ни при каких х.
б) 1) 103x
2xx2−=
+−+ ; 010
3x2xx2
=++
−+ ;
x2+x-2+10x+30=0; x2+11x+28=0;D=112-4 ⋅ 1 ⋅ 28=9;
x=2
3112
911 ±−=±− ;
x1= 42
311 −=+− ;
x2= 72
311 −=−− .
2) 03x
2xx2=
+−+ ; x2+x-2=0;
D=1-4 ⋅ 1 ⋅ (-2)=9;
x=2
312
91 ±−=±− ;
x1= 12
31 =+− ;
www.5balls.ru
x2= 22
31 −=−− .
3) 53x
2xx2−=
+−+ ; 05
3x2xx2
=++
−+ ;
x2+x-2+5x+15=0; x2+6x+13=0;D=32-1 ⋅ 13=9-13=-4<0.Эта функция не равна –5 ни при каких х.№595.
a) 256
54 =
+−+
−−
xx
xx ; 02
56
54 =−
+−−
−−
xx
xx ;
(x+5)(x-4)+(x-5)(x-6)-2(x2-25)=0;x2-4x+5x-20+x2-6x-5x+30-2x2+50=0;-10x+60=0; x-6=0; x=6;
б) 123
62
112
12 −−−
−=−
− xx
xx;
0)4(3
62
112
12 =
−−+
−−−
−−
xx
xx;
01)2)(2(3
62
2 =−+−
−+−
−xxx
x;
0)4(3
)4(3)63(262
2=
−−−+−−
xxxx ;
6-x-6x-12-3x2+12=0;3x2+7x-6=0;D=72-4 ⋅ 3 ⋅ (-6)=121;
x=6
117321217 ±−=
⋅±− ;
x1= 32
6117 =+− ;
x2= 36
117 −=−− .
в) )1(
51
1372 −
−−
=−
−yyyyy
y ;
0)1(
51
1)1(
37 =−
+−
−−−
yyyyyy ;
- 0)1(
51
1)1()37( =
−+
−−
−−
yyyyyy ;
www.5balls.ru
-7y+3-y+5=0; -8y+8=0;-8(y-1)=0; y-1=0; y=1.При y=1 общий знаменатель обращается в ноль, значит, данноеуравнение не имеет корней.
г) yyy
102
72
3 =+
+−
; 0102
72
3 =−+
+− yyy
;
3y(y+2)+7y(y-2)-10(y2-4)=0;3y2+6y+7y2-14y-10y2+40=0;-8y+40=0; y-5=0; y=5.
д) 313
33
33 =
+−+
−+
xx
xx ; 0
310
33
33 =−
+−+
−+
xx
xx ;
0)9(3
9010)3(3)3(32
222=
−+−−++
xxxx ;
3x2+18x+27+3x2-18x+27-10x2+90=0;-4x2+144=0; x2-36=0;(x-6)(x+6)=0;x1=6;x2=-6.
е) 328
2212
275 =
++−
−+
xx
xx ; 0
326
2212
275 =−
++−
−+
xx
xx ;
3(x+2)(5x+7)-3(x-2)(2x+21)-26(x2-4)=0;15x2+21+30x+42-6x2-63x+12x+126-26x2+104=0;-17x2+272=0; x2-16=0;(x-4)(x+4)=0;x1=4;x2=-4.
№596.
a) 252
1321393 =
+−+
−+
yy
yy ;
02)52)(13(
)13)(132()52)(93( =−+−
−−+++yy
yyyy ;
(3y+9)(2y+5)+(2y-13)(3y-1)-2(3y-1)(2y+5)=0;6y2+18y+15y+45+6y2-39y-2y+13-12y2-30y+4y+10=0;-34y+68=0; y-2=0; y=2.
б) 313
6445
135 −−
−−++
yy
yy ;
www.5balls.ru
03)13)(45(
)64)(45()135)(13( =−−+
−+−+−yy
yyyy ;
)13( −y (5y+13)-(5y+4)(4-6y)-3(3y-1)(5y+4)=0;15y2+39y-5y-13-(20y-30y2+16-24y)-(9y-3)(5y+4)=0;15y2+39y-5y-13-20y+30y2-16+24y-45y2-36y+15y+12=0;17y-17=0; y-1=0; y=1.
в) 5
1051
510
51
+⋅
−+=
++
−+
yyy
yyy ;
(y+5)(y+1)+10y-50=10y+10;y2+y+5y+5+10y-50-10y-10=0;y2+6y-55=0;D1=32-1 ⋅ (-55)=9+55=64;y=-3 8364 ±−=± ;y1=-3+8=5;y2=-3-8=-11.Поскольку при y=5 общий знаменатель дробей обращается в ноль,то только y=-11 удовлетворяет условию задачи.
г) 24
624
6+
⋅−
=+
−− y
yyy
yy
;
)2)(4(6
)2)(4()4()2(6
+−=
+−−−+
yyy
yyyyy ;
6(y+2)-y(y-4)=6y; 6y+12-y2+4y=6y;y2-4y-12=0;D1=22-1 ⋅ (-12)=16;y=2 4216 ±=± ;y1=2+4=6;y2=2-4=-2.Поскольку при y=-2 общий знаменатель дробей обращается в ноль,то только y=6 удовлетворяет условию задачи.
№597.
a) yyy1
34
25 =
−−
−; 01
34
25 =−
−−
− yyy;
0)3)(2(
)3)(2()2(4)3(5 =−−
−−−−−−yyy
yyyyyy ;
5y(y-3)-4y(y-2)-(y-2)(y-3)=0;5y2-15y-4y2+8y-y2+3y+2y-6=0;
www.5balls.ru
-2y-6=0; y+3=0; y=-3.
б) 3
32
1)1(2
1+
=+
++ xxx
; 03
32
1)1(2
1 =+
−+
++ xxx
;
0)3)(2(1(2
)2)(1(23)3)(1(2)3)(2( =+++
++⋅−+++++xxx
xxxxxx ;
(x+2)(x+3)+(2x+2)(x+3)-(6x+6)(x+2)=0;x2+3x+2x+6+2x2+6x+2x+6-6x2-12x-6x-12=0;-3x2-5x=0; x(3x+5)=0;x1=0;
x2=-321
35 −= .
в) xxxxx 4
82
12
132 −
=−
++
;
0)2)(2(
8)2(
12
1 =+−
−−
++ xxxxxx
;
0)2)(2(
82)2( =+−
−++−xxxxxx ; x2-2x+x+2-8=0;
x2-x-6=0;D=12-4 ⋅ 1 ⋅ (-6)=25;
x=2
512
251 ±=± ;
x1= 32
51 =+ ;
x2= 22
51 −=− .
x=-2 не подходит, т.к. при х=-2 знаменатель обращается в ноль,поэтому уравнение имеет один корень х=3.
г) yyyyy +
=−
+− 1
111023 ;
01
1)1(
1)1)(1(
10 =+
−−
−+− yyyyyy
;
0)1)(1(
)1()1(10 =+−
−−+−yyy
yyy ;
10-y-1-y2+y=0; y2-9=0;(y-3)(y+3)=0;y1=3;y2=-3.
www.5balls.ru
д) 1+4
14168
452 −
=+− xxx
; 1+ 04
14)4(
452 =
−−
− xx;
(x-4) 2+45-14(x-4)=0;x2-8x+16+45-14x+56=0; x2-22x+117=0;D1=112-1 ⋅ 117=121-117=4;x=11 2114 ±=± ;x1=11-2=9;x2=11+2=13.
е) 3363
41
52 =
+−−
− xxx; 03
)21(34
15
2 =−+−
−− xxx
;
0)1(3
)1(94)1(532
2=
−⋅−⋅−−−⋅
xxx ;
15(x-1)-4-9(x2-2x+1)=0;15x-15-4-9x2+18x-9=0;9x2-33x+28=0;D=332-4 ⋅ 9 ⋅ 28=1089-1008=81;
x=18
933928133 ±=
⋅± ;
x1= 312
1842
18933 ==+ ;
x2= 311
1824
18933 ==− .
№598.
a) 5
31)1)(5(
10−
=+
++− xx
xxx
; 05
31)1)(5(
10 =−
−+
++− xx
xxx
;
10+x(x-5)=3(x+1);10+x2-5x=3x+3;x2-8x+7=0;D1=(-4)2-7 ⋅ 1=16-7=9;x=4 349 ±=± ;x1=4-3=1;x2=4+3=7.
б) 43
1)4)(3(
17+
=−
−+− x
xxxx
;
17-x-4-x(x-3)=0;17-x-4-x2+3x=0;
www.5balls.ru
x2-2x-13=0;D1=(-1)2-1 ⋅ (-13)=1+13=14;x1,2=1 14± .
в) 01
1)1(
1)1(
4222 =
−+
−−
+ xxx;
0)1)(1(
1)1(
1)1(
422 =
+−+
−−
+ xxxx;
0)1()1(
)1)(1()1()1(422
22=
−++−++−−
xxxxxx ;
4(x2-2x+1)-(x2+2x+1)+x2-1=0;4x2-10x+2=0; 2x2-5x+1=0;D=(-5)2-4 ⋅ 2 ⋅ 1=25-8=17;
x1,2= 4175 ± .
г) 169
43
119
4222 +−
=−
+− xxxxx
;
0)13(
4)13(
1)13)(13(
42 =
−−
−+
+− xxxxx;
0)13()13(
)13(4)13)(13()13(42 =
+−+−−++−
xxxxxxxxx ;
4x(3x-1)+9x2-1-12x2-4x=0;9x2-8x-1=0;D1=(-4)2-9 ⋅ (-1)=16+9;
x=9
549
254 ±=± ;
x1= 19
54 =+ ;
x2= 91
954 −=− .
№599.
a) xxx6
216
121 −
−=
+; 06
216
121 =+
−−
+ xxx;
0)2)(1(
)2)(1(6)1(16)2(21 =−+
−+++−−xxx
xxxxxx ;
www.5balls.ru
21x2-42x-16x2-16x+6(x2-2x+x-2)=0;11x2-64x-12=0;D1=(-32)2-11 ⋅ (-12)=1024+132=1156;
x=11
343211
115632 ±=± ;
x1= 112
113432 −=− ;
x2= 61166
113432 ==+ ;
б) yyyyy 9
53
13
232 −
=−
−−
;
0)3)(3(
53
1)3(
2 =+−
−−
−− yyyyyy
;
0)3)(3(
5)3()3(2 =+−
−+−+yyyyyy ;
2y+6-y2-3y-5=0;y2+y-1=0;D=12-4 ⋅ 1 ⋅ (-1)=5;
y1,2= 251±− .
в) 14
62
1144
1822 −
=−
−++ xxxxx
;
0)12)(12(
6)1(
1)12(
182 =
+−−
−−
+ xxxxx;
0)12)(12(
)12(6)12()12(18 2=
+−+−+−−
xxxxxxxx ;
36x2-18x-(4x2+4x+1)-12x2-6x=0;20x2-28x-1=0;D=(-14)2-20 ⋅ (-1)=196+20=216;
x=20
661420
21614 ±=± ;
x=10
63720
)637(2 ±=± .
УПРАЖНЕНИЯ ДЛЯ ПОВТОРЕНИЯ
№600.
www.5balls.ru
x2-2xy+y2=(x-y)2;Подставим x=3+ 5 , y=3- 5 ; получаем:
( )( ) ( ) ( ) 20545253535353222
=⋅==+−+=−−+ .Ответ:20.
№601.
1) А(1,5;7,25); 7,25=(1,5)2+2 ⋅ 1,5+5; 7,25=2,25+3+5=10,25;7,25 ≠ 10,25; следовательно, точка А не принадлежит графикуданной функции.2) В(-3,2;9); 9=(-3,2)2+2 ⋅ (-3,2)+5; 9=10,24-6,4+5=8,84;9 ≠ 8,84; следовательно, точка В не принадлежит графику даннойфункции.3) С( 3 -1;7); 7=( 3 -1)2+2( 3 -1)2+5;7=( 3 )2-2 3 ⋅ 1+12+2 3 -2+5; 7=3+1+5-2; 7=7, следовательно,точка С принадлежит графику данной функции.
№602.
a) ( )( )
=−−
+−=−
−− x
yxyxyx
xyx
yx
( )( ) ( )=
−−−+−
=yx
yxxyxyx
( )( )=
−−+−
=yx
xyxyx
yxyx =−+= ;
б) ( )( )
=+
+−−=
+−−
yxyxyx
xyx
yxx
( ) ( )( )=
++−−+
=yx
yxyxyxx
( )( )=
++−+
=yx
yxxyx
yyxx =+− .
www.5balls.ru
№603.
a) a2+b2>0 при a>0, 3ab<0, т.к. a>0, b>0, следовательно, 0322 <
+ baab ;
б) При a<0 и b<0, a+b<0 и 5a3b2<0, следовательно, 05 23>
+ baba .
25. Решение задач с помощью рациональных уравнений
№604.
Обозначим за х и (х+3) – числитель и знаменатель дроби, тогда(х+7) и (х+8) – числитель и знаменатель новой дроби. Разность
дробей составляет 21 .
Составляем уравнение:
21
387 =
+−
++
xx
xx ;
2(x+3)(x+7)-2x(x+8)=(x+8)(x+3);2x2+14x+6x+42-2x2-16x-x2-3x-8x-24=0;x2+7x-18=0;D=72-4 ⋅ 1 ⋅ (-18)=49+72=121;
x=2
1172
1217 ±−=±− ;
x1= 22
117 =+− ;
x2= 92
117 −=−− .
1) При х=-9: 23
69
399
3==
+−−=
+xx - не подходит;
2) При х=2: 52
3=
+xx .
Ответ: 52 .
№605.
www.5balls.ru
Обозначим за х и (х-5) - знаменатель и числитель дроби, тогда (х-7)и (х+16) – числитель и знаменатель новой дроби. Разность дробей
составляет 31 .
Составляем уравнение:
31
1675 =
+−−−
xx
xx ; 0
31
1675 =−
+−−−
xx
xx ;
3(x+16)(x-5)-3x(x-7)-x(x+16);3x2-15x+48x-240-3x2+21x-x2-16x=0;x2-38x+240=0;D1=(-19)2-1 ⋅ 240=361-240=121;
x= 11191
12119 ±=± ;
x1=19+11=30;x2=19-11=8.
1) При х=30: 65
3025
305305 ==−=−
xx - не подходит;
2) При х=8: 83
8585 =−=−
xx .
Ответ: 83 .
№606.
Обозначим за х км/ч и (х+20) км/ч – скорость первого и второго
автомобилей, тогда
x120 ч – время, затраченное первым
автомобилем на путь из города в село,
+ 20120
x ч – время,
затраченное на этот путь вторым автомобилем. Так как второйавтомобиль пришел к месту назначения на 1 ч раньше, чем второй,составим уравнение:
120
120120 =+
−xx
;
120(x+20)-120x=x(x+20);120x+2400-120x-x2-20x=0;x2+20x+2400=0;D1=102-1 ⋅ (-2400)=100+2400=2500;
www.5balls.ru
x= 5010250010 ±−=±− ;x1=-10-50=-60 (не подходит);x2=-10+50=40; тогда х+20=60.Ответ: 40 км/ч – скорость первого автомобиля, 60 км/ч – скоростьвторого автомобиля.
№607.
Обозначим за х км/ч и (х-32) км/ч – скорости мотоциклиста и
велосипедиста, тогда
x45 ч и
− 3245
x ч – время, затраченное
мотоциклистом и велосипедистом на путь из А в В. Мотоциклист
был в пути на 1 ч 36 мин меньше: 2ч 36 мин=153 ч=
58 ч. Составляем
уравнение:
5845
3245 =−− xx
;
5 ⋅ 45х-5 ⋅ 45(х-32)=8х(х-32);225x-225х+7200-8x2+256x=0;x2-32x-900=0;D1=162-1 ⋅ (-900)=256+900=1156;x= 3416115616 ±=± ;x1=16-34=-18 (не подходит);x2=16+34=50; отсюда х-32=18.Ответ: 18 км/ч.
№608.
Обозначим за х км/ч и (х+2) км/ч – скорость первого и второго
лыжника, тогда
x20 ч и
+ 220
x ч– время, затраченное первым
автомобилем на путь из города в село, ч – время, затраченное наэтот путь вторым автомобилем. Так как второй автомобиль пришелк месту назначения на 1 ч раньше, чем второй, составим уравнение:
120
120120 =+
−xx
;
120(x+20)-120x=x(x+20);120x+2400-120x-x2-20x=0;x2+20x+2400=0;
www.5balls.ru
D1=102-1 ⋅ (-2400)=100+2400=2500;x= 5010250010 ±−=±− ;x1=-10-50=-60 (не подходит);x2=-10+50=40; тогда х+20=60.Ответ: 40 км/ч – скорость первого автомобиля, 60 км/ч – скоростьвторого автомобиля.
№609.
Обозначим за х км/ч и (х+10) км/ч – скорости второго и первого
автомобилей, тогда
x560 ч и
+10560
x ч– время, затраченное
вторым и первым автомобилями на весь путь. По условию первыйавтомобиль приезжает на 1 ч раньше. Составляем уравнение:
110
560560 =+
−xx
;
560(x+10)-560x=x(x+10);560x+5600-560x=x2+10x;x2+10x-5600=0;D1=52-1 ⋅ (-5600)=25+5600=5625;x= 75556255 ±−=±− ;x1=-5-75=-80 (не подходит);x2=-5+75=70; откуда х+10=80.Ответ: 80 км/ч – скорость первого автомобиля, 70 км/ч – скоростьвторого автомобиля.
№610.
Обозначим за х км/ч скорость поезда по расписанию, тогда (х+10)
км/ч – фактическая скорость поезда,
x720 ч - время на перегоне по
расписанию,
+10x720 ч – фактическое время на перегоне.
Составляем уравнение:
110x
720x
720 =+
− ;
720(x+10)-720x=x(x+10);720x+7200-720x=x2+10x;x2+10x-7200=0;
www.5balls.ru
D1=52-1 ⋅ (-7200)=25+7200=7225;x= 85572255 ±−=±− ;x1=-5-85=-90 (не подходит по смыслу задачи);x2=-5+85=80.Ответ: 80 км/ч.
№611.
Обозначим за х км/ч собственную скорость лодки (скоростьдвижения по озеру), тогда (х-2) км/ч –скорость лодки против
течения реки,
− 2x6 ч - время передвижения по реке,
x15 ч–
время передвижения по озеру. На путь по озеру турист затратил на 1ч больше, чем на путь по реке. Составляем уравнение:
12x
6x
15 =−
− ;
15(x-2)-6x=x(x-2);15x-30-6x=x2-2x;x2-11x+30=0;D=112-4 ⋅ 1 ⋅ 30=121-120=1;
x=2
1112
111 ±=± ;
x1= 62
111 =+ ;
x2= 52
111 =− . Оба значения подходят.
Ответ: 5 км/ч или 6 км/ч.
№612.
Обозначим за х км/ч скорость течения реки, тогда (15+х) км/ч –скорость лодки по течению реки, (15-х) км/ч - скорость лодки
против течения,
+ x1535 ч - время движения лодки по течению,
− x1525 ч– время движения против течения. На путь по течению
реки лодка затратила столько же, сколько на путь против течения.Составляем уравнение:
www.5balls.ru
x1525
x1535
−=
+;
35(15-x)-25(15+х)=0;525-35х-375-25x=0;-60x=-150; х=2,5;Ответ: 2,5 км/ч.
№613.
Обозначим за х км/ч скорость течения реки, тогда (20+х) км/ч –скорость катера по течению реки, (20-х) км/ч - скорость катера
против течения реки,
+ x2022 ч - время движения по течению,
− x2036 ч– время движения против течения. На путь было
затрачено 3 ч. Составляем уравнение:
3x20
36x20
22 =−
++
;
22(20-x)+36(20+х)=3(20-х)(20+х);440-22х+720+36x=3(400-х2);440+720-22x+36x-1200+3x2=0;3x2+14x-40=0;D1=72-4 ⋅ (-40)=49+120=169;
x=3
1373
1697 ±−=±− ;
x1= 326
320
3137 −=−=+− (не подходит);
x2= 23
137 =−− .
Ответ: 2 км/ч.
№614.
Примем за 1 (единицу) объем выполняемой работы. Обозначим за n1и n2 – производительности труда штукатуров; t1 и t2 – время
выполнения задания каждым штукатуром в отдельности; n1=1t1 ;
n2=2t1 . Составим систему уравнений:
www.5balls.ru
=+
++=
=+
+=
=+
+=
=+
+=
;65t2t)5t(
,5tt
;6tt
tt,5tt
;6
t1
t1
1,5tt
;6nn
1,5tt
2
22
21
21
21
21
21
21
21
21
+=+
+=
30t12t5t
,5tt
2222
21 22t -7t2-30=0.
Корни уравнения:1) t2=-3 (не подходит);2) t2=10; тогда t1=15.Ответ: 15 ч и 10 ч.
№615.
Примем за 1 объем выполняемой работы. Производительность
труда первого и второго рабочих обозначим за n1=1t1 и n2=
2t1 , где t1
и t2 время выполнения работы первым и вторым рабочимсоответственно. Составим систему уравнений:
=+
++=
=+
+=
=+
+=
=+
+=
;1210t2
t)10t(,10tt
;12tt
tt,10tt
;12
t1
t1
1,10tt
;12nn
1,10tt
2
22
21
21
21
21
21
21
21
21
22t +10t2=24t2+120; 2
2t -14t2-120=0.1) t2=-6 (не подходит по смыслу задачи);2) t2=20; тогда t1=30.Ответ: 30 дней и 20 дней.
№616.
Примем за 1 объем выполняемой работы. Производительность
труда первой и второй бригады соответственно обозначим за n1=1t1
и n2=2t1 , где t1 и t2 - время выполнения всей работы каждой
бригадой. Составим систему:
www.5balls.ru
=+
++=
=+
+=
=+
+=
=+
+=
;65t2t)5t(
,5tt
;6tt
tt,5tt
;6
t1
t1
1,5tt
;6nn
1,5tt
2
22
21
21
21
21
21
21
21
21
+=+
+=
30t12t5t
,5tt
2222
21 22t -7t2-30=0.
1) t2=-3 (не подходит по смыслу задачи);2) t2=10; тогда t1=10+5=15.Ответ: 15 дней и 10 дней.
№617.
Обозначим за х км/ч – скорость первого поезда, тогда (х+4) км/ч –
скорость второго поезда. Оба поезда прошли 360 км, значит,
x360
ч и
+ 4x360 ч –время, затраченное соответственно первым и вторым
поездом. Так как второй поезд вышел на 1 ч позднее первого,составляем уравнение:
x3601
4x360 =+
+;
360x+x2+4x=360(x+4);360x+x2+4x-360x-1440=0;x2+4x-1440=0;D1=22-1 ⋅ (-1440)=4+1440=1444;x= 38214442 ±−=±− ;x1=-2-38=-40 (не подходит по смыслу задачи);x2=-2+38=36; х+4=40.Ответ: 36 км/ч и 40 км/ч.
УПРАЖНЕНИЯ ДЛЯ ПОВТОРЕНИЯ
№618.
a) ( )( ) =−+++−=
−+
+ 30211302113021130211
302111
302111
www.5balls.ru
( ) 22120121
22
30211
2222
=−
=−
= . Тождество доказано.
б) ( ) ( )( )( ) =
+−−++=
+−+
−+
25252525
2525
2525
22
( ) ( )( ) 18
118
45
45225452252
22
==−
+⋅−++⋅+= . Тождество доказано.
№619.
а) Подставим х=5+2 6 , y=5-2 6 :
( )( ) ( )1,0
101
102425
10625
625625625625
22==−=−=
−++−+ ;
а) Подставим х= 11 + 3 , y= 11 - 3 :
( ) ( )( )( ) =
−+−+
311311311311
22
;
( ) ( ) 5,3828
311
3311211331121122 ==
−
+⋅−++⋅+= .
№620.
Обозначим за х1 и х2 –0 корни данного уравнения. Тогда по теоремеВиета х1+х2=10, а по условию х1-х2=6. Получаем систему уравнений:
=+=−
,10хх,6хх
21
21 откуда х1=8, х2=2. По теореме Виета: q=x1x2=8 ⋅ 2=16.
Ответ: 16.
№621.
а) По условию задачи:
х1= 213 − ;
х2= 213 + ;
по теореме Виета: х1+х2=-b; x1 ⋅ x2=c;
www.5balls.ru
b=- 32
13132
132
13 −=
++−−=
++− ;
c= ( )21
42
413
213
213 22
==−=+⋅− ;
Искомое уравнение: х2- 3 х+21 =0;
б) По условию задачи:х1=2- 3 ;
х2=32
1−
;
по теореме Виета:
b=-(х1+х2)=- =
−
+−32
132
( )( ) =
++−−=
−++−−=
+−++−−=
13232
343232
32323232
=- ( ) 43232 −=++− ;
c= x1 ⋅ x2= ( ) 132
132 =−
⋅− .
Искомое уравнение: х2-4х+1=0.
www.5balls.ru
26. Графический способ решения уравнений
№622.
а) х2=х+2; строим графики:y=x2; y=x+2;x1=-1; x2=2;
б) х2+1,5х-2,5=0; строим графики:y=x2; y=-1,5x+2,5;x1=-2,5; x2=1;
1 2 30
-1-2-3-4
1
2
3
4
х
y
А
В
y
1 2 30
-1-2-3-4
1
2
3
4
х
А
В
5
6
7
8
www.5balls.ru
№623.
а) х2=0,5х+3;1) строим графики:y=x2 и y=0,5x+3; находимx1=-1,5; x2=2.2) х2-0,5х-3=0;D=(-0,5)2-4 ⋅ 1 ⋅ (-3)=0,25+12=12,25=3,52
x=2
5,35,0 ± ;
x1=2;x2=-1,5;
б) х2-3х+2=0;1) строим графики:y=x2 и y=3x-2; находимx1=1; x2=2.2) D=(-3)2-4 ⋅ 1 ⋅ 2=1
x=2
13 ± ;
y
1 2 30
-1-2-3-4
1
2
3
4
х
А
В
5
6
7
8
www.5balls.ru
x1=2;x2=1;
№624.
а) х8 =-х+6; строим графики
y=х8 и y=-х+6; находим:
х1=2; х2=4;
y
1 2 30
-1-2-3-4
1
2
3
4
х
5
6
7
8
y
1 2 30
-1-2-3-4х
4 5-5-6
1
2
3
4
5
-4
-3
-2
-5
-6
www.5balls.ru
б) х8 = х2; строим графики
y= х2 и y=х8 ; находим:
х ≈ 2;
№625.
а) х6 =х; строим графики
y=х6 и y=х;
х1 ≈ 2,5; х2 ≈ -2,5;
y
1 2 30
-1-2-3-4х
4 5-5-6
1
2
3
4
5
-4
-3
-2
-5
-6
y
1 2 30
-1-2-3-4х
4 5-5-6
1
2
3
4
5
-4
-3
-2
-5
-6
www.5balls.ru
б) х6 =-х+6; строим графики
y=х6 и y=-х+6; находим:
х1 ≈ 1,2; х2 ≈ 4,6.
№626.
х1 =ax+b; строим графики:
y=х1 и y=ax+b.
y
1 2 30
-1-2-3-4х
4 5-5-6
1
2
3
4
5
-4
-3
-2
-5
-6
y
1х
1
II
I
III
IV
V
а)
б)
www.5balls.ru
Из рисунка определяем, чтодля I прямой: у уравнения два корня;для II прямой: у уравнения один корень;для III прямой: у уравнения нет корней;для IV прямой: у уравнения один корень;для V прямой: у уравнения два корня.
№627.
а) х3-х+1=0; строим графикиy=x3 и y=x-1; находимх ≈ -1,3;
б) х3+2х-4=0; х3=-2х+4; строим графикиy=x3 и y=-2x+4; находимх ≈ 1,2;
y
1 20
-1-2
1
2
3
-3
-2
х
www.5balls.ru
№628.
а) х =x+b; строим графики:y= х и y=x+b;
31 20
-1-2
1
2
3
-3
-2
4-3-4
5
4
-4
-5-6
y
1 2 30-1-2
1
2
х1
π m lky= х
www.5balls.ru
б) х =-x+b; строим графики:y= х и y=-x+b;
Из рисунков находим ответ:а) При b<0: у уравнения один корень – прямая k; при b ≥ 0: ууравнения два корня – прямая l; один корень – прямая m; нет корней– прямая π .б) При b<0: нет корней – прямая p; при b ≥ 0: у уравнения одинкорень – прямая q.
№629.
a) х =6-x; строим графики:y= х и y=6-x; находим х ≈ 4;
y
1 2 30-1-2
1
2
х1
qp y= х
www.5balls.ru
б) х =х4 ; строим графики:
y= х и y=х4 ; находим х ≈ 2,5;
y
10 х
4 6
1
y
10 х
1
www.5balls.ru
УПРАЖНЕНИЯ ДЛЯ ПОВТОРЕНИЯ
№630.
Обозначим за х км/ч предполагаемую скорость туристов, тогда
(х+0,5) км/ч – фактическая скорость туристов,
x18 ч –
предполагаемое время прохождения туристами маршрута,
+ 5,0x18
ч – фактическое время прохождения туристами маршрута. Так кактуристы прошли намеченный маршрут на полчаса быстрее,получаем уравнение:
21
5,0x18
x18 =
+− ;
36(x+0,5)-36x= x2+0,5x;36x+18-36x=x2+0,5x;x2+0,5x-18=0;2x2+x-36=0;D=12-4 ⋅ 2 ⋅ (-36)=289;
x=4
1714
2891 ±−=±− ;
x1= 4171−− <0 (не подходит);
x2= 4171+− =4.
Ответ: 4 км/ч.
№631.
Обозначим за х га/день количество гектаров, которое засевалабригада ежедневно, , тогда (х-10) га/день – количество гектаров,
которые планировалось засевать ежедневно,
x120 дней –
фактическое время выполнения работы,
−10x120 дней –
планируемой время выполнения работы. Составляем уравнение:
x1202
10x120 =−−
;
www.5balls.ru
120x-2x(x-10)=120(x-10);120x-2x2+20x=120x-1200;-2x2+20x+1200=0;x2-10x-600=0;D1=25+600=625;x=5 255625 ±=± ;x1=5+25=30;x2=5-25=-20<0 (не подходит).Ответ: 30 га.
№632.
а) ( ) ( )
=−
++
+−
=−
++ yx
yyxyx
xyxyx
yyx
x
= ( )( ) yxyx
yxyxyyyxyxyxxx
−+=
+−+++−
;
б) ( ) ( )
( )( ) =−+++−
=−+
++−
yxyxyxyx
yxyx
yxyx
22
=( ) ( ) ( ) ( )
( )( ) =+−
++++−yxyx
yyx2xyyx2x2222
=( ) ( ) ( ) ( )
yxy2x2
yxyxyx
222
−+=
−+++ .
Дополнительные упражнения к главе III
К ПАРАГРАФУ 8
№633.
а) (x-3)(x2+3x+9)=x(x-8)(x+9);x3-27=x(x2+9x-8x-72);x3-27=x3+9x2-8x2-72x;x2-72x+27=0 – квадратное уравнение;б) (y+7)(y2-7y+49)-y(y+8)(y-7)=0;(y3-343)-y(y2-7y+8y-56)=0;y2-56y+343=0 - квадратное уравнение;в) (2x-1)(2x+1)+(x-3)2=17;
www.5balls.ru
4x2-1+x2-6x+9-17=0;5x2-6x-9=0 - квадратное уравнение;г) (4x+1)2=2x(x-6)-1=0;16x2+8x+1-2x2+12x-1=0;14x2+20x=0;7x2+10x=0 - квадратное уравнение.
№634.
а) y2-36=0; (y-6)(y+6)=0;y1=6; y2=-6;
б) 31 y2-
278 =0; 3
2y
31 =3
278 ; y2=
98 ;
y1,2= 98± =
322± ;
в) –0,2y2+45=0; 0,2y2=45; y2=21045 ⋅ =225;
y1,2= 225± = ± 15;
г) -73 y2+2
31 =0;
73 y2=
37 ; y2=
949 ;
y1,2= 312
37
949 =±=± .
№635.
а) 8x2-3x=0; x(8x-3)=0;x1=0;
8x2=3; x2= 83 .
б) –2x2+5x=0; x(2x-5)=0;x1=0;
2x2=5; x2= 25 .
в) x3+x=0; x(x2+1)=0;1) x1=0;2) x2=x2+1=0 – решений не имеет, т.к. D=-4<0.г) 2x3-50x=0; 2x(x2-25)=01) x1=0;2) x=25; x2,3= ± 5.
www.5balls.ru
№636.
а) (x+2)2+(x-3)2=13; x2+4x+4+x2-6x+9-13=0;2x2-2x=0; x(x-1)=0;x1=0; x2=1.б) (3x-5)2-(2x+1)2=24;9x2-30x+25-4x2-4x-1-24=0; 5x2-34x=0;x(5x-34)=0;1) x1=0;2) 5x=34; x2=6,8.в) (x-4)(x2+4x+16)+28=x2(x-25);
x3-64+28=x3-25x2; 25x2-36=0; x2-2536 =0;
x2=2536 ; x1,2= 25
36± ; x1,2= 511
56 ±=± .
г) (2x+1)(4x2-2x+1)-1=1,6x2(5x-2);8x3+1-1=8x3-3,2x2; 3,2x2=0; x=0.
№637.
a) x2=a;1) если a ≥ 0, то x1,2= а± ;2) если a<0, то уравнение не имеет корней;
б) x2=a2; x1,2= 2а± = аа ±=± ;в) x2+4b=0; x2=-4b;1) если b ≤ 0, то x1,2= b2−± ;2) если b>0, то уравнение не имеет корней;г) x2+9b2=0; x2=-9b2. Если b ≠ 0, то уравнение не имеет корней, таккак х2 ≥ 0 при всех х, a-b2<0. Если b=0, то у уравнений один кореньх=0.
№638.
а) x2-16x+48=0; x2-2 ⋅ 8x+64-64+48=0;(x-8)2=16; x-8= 416 ±=± ;1) x-8=4; x1=12;2) x-8=-4; x2=4;б) x2+12x+27=0; x2+2 ⋅ 6x+36=36-27;
www.5balls.ru
(x+6) 2=0; x+6= 39 ±=± ;1) x+6=3; x1=-3;2) x+6=-3; x2=-9;в) x2+10x-39=0; x2+2 ⋅ 5x+25=25+39;(x+5)2=64; x+5= 864 ±=± ;1) x+5=8; x1=3;2) x+5=-8; x2=-13;г) x2-6x-55=0; x2-2 ⋅ 3x+9=9+55;(x-3)2=64; x-3= 864 ±=± ;1) x-3=8; x1=11;2) x-3=-8; x2=-5;
д) x2+7x-18=0; x2+2 ⋅27 x+
2
27
=18+
2
27
;
4121
27х
2
=
+ ; x+
27 =
211
4121 ±=± ;
1) x+27 =
211− ; x1= 2
11− -27 ; x1=-9;
2) x+27 =
211 ; x2= 2
11 -27 =2;
е) x2-11x+28=0; x2-2 ⋅2
11 x+2
211
=
2
211
-28;
49
211х
2
=
− ; x-
211 =
23
49 ±=± ;
1) x-2
11 =23− ; x1= 2
3− +2
11 ; x1=4;
2) x-2
11 =23 ; x2= 2
11 +23 ; x2=7;
ж) 2x2-5x+2=0; x2-25 x+1=0;
x2-2 ⋅45 x+
2
45
=
2
45
-1;
2
45х
− =
169 ; x-
45 =
43
169 ±=± ;
1) x-45 =
43 ; x=
43 +
45 ; x1=2;
www.5balls.ru
2) x-45 =-
43 ; x=-
43 +
45 ; x2= 2
1 ;
з) 3x2-x-70=0; x2-3
703х − =0;
x2-2 ⋅6х +
2
61
=
2
61
+
370 ;
36841
61х
2
=
− ; x-
61 =
36841± ;
1) x-61 =
629− ; x1= 3
24628 −=− ;
2) x-61 ==
629 ; x2=5.
№639*.
a) a2+4a+11=(a2+4a+4)-4+11=(a+2)2+7>0 при всех значениях a;
б) ( ) 019
)1х(19
61х2х19
7х2х 222>−=++−=+− при всех значениях x;
в) m2-4m+51=(m2-4m+4)-4+51=(m-2)2+47>0 при всех значениях m;
г) 01р
9)3р(1р
99р6р1р
18р6р2
2
2
2
2
2>
++−=
+++−=
++− , т.к. (p-3)2+9>0 при
всех значениях p.
№640*.
а) x2-8x+27=(x2-8x+16)-16+27=(x-4)2+11;(x-4)2 ≥ 0, следовательно, (x-4)2+11 ≥ 11 и (х-4)2+11=11 при х=4.б) a2-4a+20=(a2-4a+4)+16=(a-2)2+16;(a-2)2 ≥ 0, следовательно, (a-2)2+16 ≥ 16 и (a-2)2+16=16 при a=2.
К ПАРАГРАФУ 9
№641.
a) 4x2+7x+3=0;D=72-4 ⋅ 4 ⋅ 3=1;
x=8
17 ±− ;
www.5balls.ru
x1= 43
817 −=+− ;
x2= 18
17 −=−− ;
б) x2+x-56=0;D=12-4 ⋅ 1 ⋅ (-56)=1+224=225;
x=2
1512
2251 ±−=±− ;
x1= 72
151 =+− ;
x2= 82
151 −=−− ;
в) x2-x-56=0;D=(-1)2-4 ⋅ 1 ⋅ (-56)=1+224=225;
x=2151
22251 ±=± ;
x1= 82151 =+ ;
x2= 72151 −=− ;
г) 5x2-18x+16=0;D1=(-9)2-5 ⋅ 16=81-80=1;
x=5
19 ± ;
x1= 531
519 =− ;
x2= 25
19 =+ ;
д) 8x2+x-75=0;D=12-4 ⋅ 8 ⋅ (-75)=1+2400=2401;
x=16
4918224011 ±−=
⋅±− ;
x1= 16491+− =3;
x2= 813
1650
16491 −=−=−− ;
е) 3x2-11x-14=0;D=(-11)2-4 ⋅ 3 ⋅ (-14)=121+168=289;
www.5balls.ru
x=6
17113228911 ±=
⋅± ;
x1= 324
628
61711 ==+ ;
x2= 16
1711 −=− ;
ж) 3x2+11x-34=0;D=112-4 ⋅ 3 ⋅ (-34)=121+408=529;
x=6
2311±− ;
x1= 26
2311 =+− ;
x2= 325
634
62311 −=−=−− ;
з) x2-x-1=0;D=12-4 ⋅ 1 ⋅ (-1)=5;
x1,2= 251± .
№642.
a) (5x+3)2=5(x+3); 25x2+30x+9=15+5x;25x2+25x-6=0;D=252-4 ⋅ 25 ⋅ (-6)=625+600=1225;
x=10
7550
325252
122525 ±−=±−=⋅
±− ;
x1= 51
1075 =+− ;
x2= 511
1075 −=−− ;
б) (3x+10)2=3(x+10); 9x2+60x+100=3x+30;9x2+57x+70=0;D=572-4 ⋅ 9 ⋅ 70=3249-2520=729;
x=6
91918
275792
72957 ±−=±−=⋅
±− ;
x1= 321
6919 −=+− ;
www.5balls.ru
x2= 324
6919 −=−− ;
в) (3x-8)2=3x2-8x; (3x-8)2-3x+8x=0;(3x-8)2-x(3x-8)=0; (3x-8)(3x-8-x)=0;(3x-8)(2x-8)=0; 2(3x-8)(x-4)=0;
1) 3x-8=0; 3x=8; x1=232 ;
2) x-4=0; x2=4;г) (4x+5)2=5x2+4x; 16x2+40x+25-5x2-4x=0;11x2+36x+25=0;D1=182-11 ⋅ 25=324-275=49;
x=11
71811
4918 ±−=±− ;
x1= 1132
1125
11718 −=−=−− ;
x2= 111
718 −=+− ;
д) (5x+3)2=5x+3; (5x+3)2-(5x+3)=0;(5x+3)(5x+3-1)=0; (5x+3)(5x+2)=0;
1) 5x+3=0; 5x=-3; x1=-53 ;
2) 5x+2=0; 5x=-2; x2=-52 ;
е) (5x+3)2=(3x+5)2; 25x2+30x+9=9x2+30x+25;16x2-16=0; x2=1; x1,2= ± 1ж) (4x+5)2=4(x+5)2; 16x2+40x+25=4(x2+10x+25);16x2+40x+25-4x2-40x-100=0; 12x2-75=0;4x2-25=0; (2x-5)(2x+5)=0;
1) 2x-5=0; 2x-5; x1= 25 =2,5;
2) 2x+5=0; 2x=-5; x2=-25 =-2,5;
з) (2x+10)2=4(x+5)2; 4x2+40x+100-4(x2+10x+25)=0;4x2+40x+100-4x2-40x-100=0; 0=0;х – любое действительное число.
№643.
a) x2-2x-5=0;
www.5balls.ru
D=(-1)2-1 ⋅ (-5)=6;x1,2=1 6± ;Произведем проверку:
( ) ( ) 077562266215612612
=−=−−−++=−+−+ ;
( ) ( ) 077562266215612612
=−=−+−+−=−+−+ ;б) x2+4x+1=0;D1=22-1 ⋅ 1=3;x1,2=-2 3± ;Произведем проверку:
( ) ( ) 088134833441324322
=−=++−+−=++−++− ;
( ) ( ) 0134833441324322
=+−−++=+−−+−− ;в) 3y2-4y-2=0;D1=(-2)2-3 ⋅ (-2)=10;
y1,2= 3102 ± .
Произведем проверку:
3 =−+−++=−+−
+ 23
10489
101044323
10243
1022
= 023104
38
3104
314 =−−−+ ;
=−−−+−=−−−
− 23
10489
101044323
10243
10232
= 036
38
3142
3104
38
3104
3142
31048
310414 =−−=−+−−=−−−− .
г) 5y2-7y+1=0;D=(-7)2-4 ⋅ 5 ⋅ 1=29;
y1,2= 10297 ± .
Произведем проверку:
=++−
+ 110
297710
29752
=++−++ 110
29749100
292914495
www.5balls.ru
= 0110101
1029749
10297391
1029749
20291478 =+−=++−+=++−+ ;
=+−−+−=+−−
− 110
29749100
292914495110
297710
29752
= 0110101
1029749
1029739 =+−=+−−− .
д) 2y2+11y+10=0;D=112-4 ⋅ 2 ⋅ 10=121-80=41;
y1,2= 44111±− .
Произведем проверку:
=++−+
+− 104
4111114
411122
= =+−+−=+−+− 104
12141114
411181104
12141118
4122162
= 01010104
121481 =+−=+− ;
=++−+=+−−+
−− 104
41111218
4122162104
4111114
411122
= =+−−+=++−+ 104
12144111
44111
48110
44111121
4411181
=-10+10=0;е) 4x2-9x-2=0;D=(-9)2-4 ⋅ 4 ⋅ (-2)=81+32=113;
x1,2= 81139 ± .
Произведем проверку:
=−+−
+ 2811399
811394
2
= =−+−++ 28
11398164
11311318814
= 022281139
881
81139
8972
8113981
8113997 =−=−−−+=−+−+ ;
www.5balls.ru
=−−−
− 2811399
811394
2
= =−−−+− 28
11398164
11311318814
= 022281139
881
81139
8972
8113981
8113997 =−=−+−−=−−−− .
№644.
a) x2-2x-2=0;D1=(-1)2-1 ⋅ (-2)=1+2=3;x=1 73,113 ±≈± ;x1 ≈ 1+1,73=2,73;x2 ≈ 1-1,73=-0,73;б) x2+5x+3=0;D=52-4 ⋅ 1 ⋅ 3=25-12=13;
x=2
61,352
135 ±−≈±− ;
x1 ≈ 70,0695,0239,1
261,35 −≈−=−=+− ;
x2 ≈ 30,4305,4261,8
261,35 −≈−=−==− ;
в) 3x2-7x+3=0;D=(-7)2-4 ⋅ 3v3=13;
x1,2= 661,37
23137 ±≈
⋅± ;
x1 ≈ 57,0639,3
661,37 ≈=− ;
x2 ≈ 77,1661,10
661,37 ≈=+ ;
г) 5x2+31x+20=0;D=312-4 ⋅ 5 ⋅ 20=961-400=561;
x=10
69,233125
56131 ±−≈⋅
±− ;
x1 ≈ 73,01031,7
1069,2331 −≈−=+− ;
www.5balls.ru
x2 ≈ 47,510
69,5410
69,2331 −≈−=−− .
№645.
Один из корней уравнения равен 1 по условию задачи.
ax2-3x-5=0; a5x
a3
aax2
−− =0; x2-a5x
a3 − =0.
Обозначим за х2 – корень уравнения, который может быть неравным 1.Тогда по теореме Виета:
=−
−=
=+
−=⋅
;a3
a51
,a5x
;a3x1
,a5x1 2
2
2
;0a
35a;a3
a5a =−−=− a-8=0; a=8.
Ответ: 8.
№646*.
ax2-(a+c)x+x=0;D=(a+c)2-4ac=a2+c2-2ac=(a-c)2;
x=a2
)ca(caa2
cacaa2
ac2caca 22 −±+=−±+
=−+±+ ;
x1= 1a2
caca =−++ .
Таким образом, один из корней уравнения равен 1, что итребовалось доказать.
№647*.
cx2+bx+a=0;D=b2-4ac;
x=c2
ac4bb 2 −±− ;
ax2+bx+c=0;D=(-b)2-4ac=b2-4ac;
www.5balls.ru
x=a2
ac4bb 2 −±− ;
=
−−−
−−−
−+−=−−−
ac4bbc2
ac4bbac4bb
c2ac4bb
2
222
= =
−−−=
−−−
−−
ac4bbc2
ac4
ac4bbc2
)ac4b(b22
22
=ac4bb
a22 −−
− , т.е. соответствующие корни первого и второго
уравнений взаимно обратны, ч.т.д. Для Другой пары корнейдоказательство проводится аналогичным образом.
№648.
a) a2+7a+6=a+1a2+6a+5=0;D1=32-1 ⋅ 5=9-5=4;a=-3 234 ±−=± ;a1=-3+2=-1;a2=-3-2=-5;б) 3x2-x+1=2x2+5x-4;x2-6x+5=0;D1=32-1 ⋅ 5=4;x=3 234 ±=± ;x1=3+2=5;x2=3-2=1.
№649.
Обозначим за n – первое число, (n+1) – второе число, (n+2) – третьечисло, (n+3) – четвертое число, (n+4) - пятое число. По условиюзадачи составим уравнение:n2+(n+1)2+(n+2)2=(n+3)2+(n+4)2;n2+n2+2n+1+n2+4n+4=n2+6n+9+n2+8n+16;3n2+6n+5=2n2+14n+25;3n2+6n+5-2n2-14n-25=0;n2-8n-20=0;
www.5balls.ru
D1=42-1 ⋅ (-20)=16+20=36;n=4 36± =4 ± 6;n1=10;n2=-2;1) если n=10: n+1=11; n+2=12; n+3=13; n+4=14;2) если n=-2; n+1=-1; n+2=0; n+3=1; n+4=2.Ответ: 10,11,12,13,14 или –2,-1,0,1,2.
№650.
Обозначим за 2n – первое четное число, (2n+2) – второе четноечисло, (2n+4) – третье четное число. По условию задачи составимуравнение:(2n)2+(2n+2)2=(2n+4)2;4n2+4n2+8n+4-4n2-16n-16=0;3n2-8n-12=0;n2-2n-3=0;D1=(-1)2-1 ⋅ (-3)=4;n=1 4± =1 ± 2;n1=3;n2=-1;1) если n=3: 2n=2 ⋅ 3=6; 2n+2=8; 2n+4=10;2) если n=-1; 2n=2 ⋅ (-1)=-2; 2n+2=0; 2n+4=2.Ответ: 6,8,10 или –2,0,2.
№651.
Обозначим ширину прямоугольника за х м, тогда длинапрямоугольника равна (х+5) м. Площадь прямоугольника S=1800м2.Составляем уравнение:x(x+5)=1800;x2+5x-1800=0;D=52-4 ⋅ 1 ⋅ (-1800)=25+7200=7225;
x=2
8552
72255 ±−=±− ;
x1= 402
855 =+− ;
x2= 452
855 −=−− не подходит по смыслу; х+5=45.
Ответ: ширина площадки 40 м, длина 45 м.
www.5balls.ru
№652.
Обозначим за n – первое натуральное число, а (n+1) – второенатуральное число. Тогда составляем уравнение:(2n+1)2-112=n2+(n+1)2;4n2+4n+1-112=n2+n2+2n+1;4n2+4n-111-2n2-2n-1=0;2n2+2n-112=0;2(n2+n-56)=0;n2+n-56=0;D=12-4 ⋅ 1 ⋅ (-56)=1+224=225;
n=2
1512
2251 ±−=±− ;
1) n1= 72
151 =+− и n+1=8.
2) n2= 82
151 −=−− (не подходит по условию задачи);
Ответ: 7 и 8.
№653.
Обозначим за b - ширину прямоугольника, т.е. сторону первогоквадрата, тогда a - длина прямоугольника, т.е. сторона второгоквадрата. По условию задачи сумма площадей квадратов равна:S1+S2=116 см2, периметр прямоугольника Р=28 см. Имеем:Р=2(a+b);S1=a2; S2=b2;28=2(a+b); 14=a+b; a=14-b;a2+b2=116; (14-b)2+b2=116;196-28b+b2+b2=116; 2b2-28b+80=0;b2-14b+40=0;b1=10; b2=4;a1=14-b1=4; a2=14-b2=10.Ответ: стороны прямоугольника 10 см и 4 см.
№654.
Обозначим за l см – искомую ширину рамки, тогда длина и шириналиста соответственно равны (12+2 l ) см и (18+2 l ) см.
www.5balls.ru
Фотокарточка вместе с рамкой по условию задачи занимаетплощадь 280 см2. Составляем уравнение:(12+2 l )(18+2 l )=280;2 ⋅ 2(6+ l )(9+ l )=280;(6+ l )(9+ l )=70; 54+6 l +9 l + 2l =70;
2l +15 l +54-70=0; 2l +15 l -16=0;1l =1; 2l =-16<0 (не подходит по смыслу задачи).
Ответ: 1 см.
№655*.
Обозначим за n – число команд. Тогда (n-1) – количество матчей,
сыгранных каждой командой, а всего сыграно 2
)1n(n − матчей,
откуда 2
)1n(n − =36; n2-n-72=0.
По теореме Виета находим корни уравнения: n1=-8 (не подходит посмыслу задачи), n2=9.Ответ: 9 команд.
№656*.
Обозначим за N – число участников, каждый участник сыграл (N-1)
партию, а всего сыграно 2
)1N(N − =45 партий. Значит, N(N-1)=90,
откуда: N1=10; N2=-9 (не подходит по смыслу задачи).Ответ: 10 шахматистов.
№657*.
Обозначим за a м и b м длину и ширину ящика соответственно.Площадь боковых стенок 0,5(2a+ab)=(a+b) м2; площадь дна (ab) м2.Получаем систему уравнений:
=+=+
;b2a,ba08,1ab
2b2+1,08=3b; 2b2-3b+1,08=0;D=32-4 ⋅ 2 ⋅ 1,08=0,36;
b=4
6,034
36,03 ±=± ;
www.5balls.ru
b1= 9.04
6,03 =+ ;
b2= 6,04
6,03 =− ;
b1=0,9, a1=1,8, V1=a1 ⋅ b2 ⋅ 0,5=0,81(м2);b2=0,6, a2=1,2, V2=a2 ⋅ b2 ⋅ 0,5=0,36 (м2).Ответ: 0,81 м2 или 0,36 м2.
№658*.
Обозначим за a и b - длина и ширину листа соответственно, гдеa=1,5b. Так как сторона вырезанного квадрата равна 8 см, то объемполучаемой коробки равен: 8(a-16)(b-16)=8(1,5b-16)(b-16) см3.Составляем уравнение:8(1,5b-16)(b-16)=6080;3b2-80b-1008=0;D1=(-40)2-3 ⋅ (-1008)=1600+3024=4624;
b=3
68403462440 ±=± ;
b1= 328
36840 −=− (не подходит);
b2= 363
6840 =+ ;
a=1,5 ⋅ 36=54.Ответ: 36 см – ширина листа, 54 см – длина листа.
№659.
a) x2-5 2 x+12=0;
D= ( ) 1214252
⋅⋅−− =2;
x=2
225 ± ;
x1= 222
242
225 ==− ;
x2= 232
262
225 ==+ ;
Произведем проверку:1) x1+x2=5 2 ; 3 2 +2 2 =5 2 ;
www.5balls.ru
2) x1 ⋅ x2=12; 3 2 ⋅ 2 2 =6 ( )22 =12.б) x2+2 3 x-72=0;
D1= ( )23 -1 ⋅ (-72)-75;x=- 3 75± =- 3 253 ⋅± =- 3 35± ;x1=- 3 +5 3 =4 3 ;x2=- 3 - 3 =-6 3 .Произведем проверку:1) x1+x2=-2 3 ; -6 3 +4 3 =-2 3 ;
2) x1 ⋅ x2=-72; ( ) 3436 ⋅− =-24 ( )23 =-72.в) y2-6y+7=0;D1=(-3)2-1 ⋅ 7=2;y1,2=3 2± .Произведем проверку:1) y1+y2=6; 3+ 2 +3- 2 =6;
2) y1 ⋅ y2=7; (3+ 2 ) ⋅ (3- 2 )=9- ( )22 =7.г) p2-10p+7=0;D1=(-5)2-1 ⋅ 7=18;p1,2=5 23529518 ±=⋅±=± .Произведем проверку:1) p1+p2=10; 5+3 2 +5-3 2 =10.
2) p1 ⋅ p2=7; (5+3 2 ) ⋅ (5-3 2 )=25-9 ( )22 =25-18=7.
№660*.
a) 2x2+ba-10=0;x1=5;
x2+2b x-5=0; по теореме Виета:
x1 ⋅ x2=-5;x2=-1; по теореме Виета:
x1+x2=4=-2b ; b=-8;
б) 3x2+bx+24=0;x1=3;
www.5balls.ru
x2+3b x+8=0; по теореме Виета:
x1 ⋅ x2=8;
x2=-38 ; по теореме Виета:
x1+x2=-3b =3+
38 ; -
3b =
317 ; b=-17;
в) (b-1)x2-(b+1)x=72;x1=3;
x2-1b
72x1b1b
−−
−+ =0; по теореме Виета:
x1 ⋅ x2=-1b
72−
;
x2=-1b
24−
; по теореме Виета:
x1+x2= 1b1b
−+ =3-
1b24−
;
3b-3-24=b+1; b=14;
x2=-1324 ;
г) (b-5)x2-(b-2)x+b=0;
x1= 21 ;
x2-5b
b5b2b
−+
−− =0; по теореме Виета:
x1 ⋅ x2=-5b
b−
;
x2= 5bb2
−; по теореме Виета:
x1+x2= 5b2b
−− =
21 +-
5bb2
−;
b-5+4b=2b-4; b=31 ;
x2= 71
531
312
−=−
⋅.
www.5balls.ru
№661*.
D=b2-4 ⋅ 7 ⋅ (-23)=b2+644>0 при всех b, поэтому данное уравнениеимеет 2 корня при любых значениях b;и так как произведение
корней равно -723 <0 (по теореме Виета), то знаки этих корней
противоположны.
№662*.
Если x1 – корень уравнения, тогда должно выполняться равенство12 2
1х +70x1+a2+1=0, а это невозможно, поскольку при x1>0 его леваячасть положительна. Следовательно, данное уравнение не имеетположительных корней.
№ 663.
3x2+bx+10=0; по теореме Виета:
x1 ⋅ x2= 310 , x1+x2=-
3b ; по условию, x1-x2=4
31 =
313 .
x1=x2+ 313 ; 2x2+ 3
13 =-3b ;
x2=-613b + ;
x1= 6b13
613b26
613b
313 −=−−=+− ;
-3
1036
)b13)(b13( =+− ;
b2-169=120;b2=289;b2= 17± .
№664.
5x2-12x+c=0; по условию задачи: x1=3x2;по теореме Виета:
x1+x2= 512 , x1 ⋅ x2= 5
с ;
www.5balls.ru
3x2+x2= 512 ; x2= 5
3 ; x1= 59 ;
5с =x1x2; 5
с =2527 ; c=
527 .
Ответ: 5
27 .
№665*.
4x2+bx-27=0; по теореме Виета:
x1+x2=-4b , x1 ⋅ x2=-
427 ;
по условию задачи: 2
1хх =-3; x1=-3x2; -3 2
2х =-4
27 ;
22х =
49 ;
1) x2= 23 ; x1=-
29 ;
2) x2=-23 ; x1= 2
9 ;
b=-4(x1+x2); b1=-4
−
29
23 =12; b2=-4
+−
29
23 =-12.
Ответ: b=12 или b=-12.
№666*.
5x2+13x-6=0; по теореме Виета:
x1+x2=-5
13 , x1 ⋅ x2=-56 ;
21х + 2
2х =(x1+x2)-2x1x2= 16,9100916
25229
2560169
512
25169 ===+=+
Ответ: 9,16.
№667*.
2x2-5x+с=0; по теореме Виета:
x1+x2= 25 , x1 ⋅ x2= 2
с ;
21х - 2
2х =(x1+x2)(x1-x2)= 25 (x1-x2)=0,25; x1-x2=0,1;
2x1=2,6; x1=1,3; x2=1,2;
www.5balls.ru
c=2x1x2=2 ⋅ 1,3 ⋅ 1,2=3,12.Ответ: 3,12.
№668*.
4x2+bx+с=0; по условию: х1=0,5, х2=с;по теореме Виета:
x1+x2=-4b , x1 ⋅ x2= 4
с ;
4x1x2=c; 2c=c; c=0;4x2+bx=0; x(4x+b)=0; x1=0; x2=0,5;4x2+b=0; 2+b=0; b=-2.Ответ: b=-2, c=0.
№669*.
По теореме Виетаx1+x2=-b, x1 ⋅ x2=c;по условию:x1=b, x2=c, откуда:bc=c; bc-c=0;c(b-1)=0; c ≠ 0, b=1; b+c=-b; 1+c=-1; c=-2.Ответ: b=1, c=-2
№670*.
Пусть х1 и х2 – корни данного уравнения. По теореме Виетаполучаем:
21х + 2
2х =(x1+x2)2-2x1x2=p2-2q.
№671*.
По теореме Виета
x1+x2=-32 , x1 ⋅ x2= 3
k ;
по условию задачи:
х2=-32 х1.
www.5balls.ru
−=
−=+
;x32x
,32xx
12
21x1- 3
2 =-32 ;
3x1 =-
32 ;
x1=-2; x2= 34 ; k=3x1x2=3 ⋅ (-2) ⋅
34 =(-2) ⋅ 4=8.
Ответ: -8.
№672*.
По теореме Виетаx1+x2=8, x1 ⋅ x2=k;по условию задачи:3х1+4х2=29;24-3x2+4x2=29; x2=5, следовательно, x1=3; k= x1 ⋅ x2=15.Ответ: 15.
К ПАРАГРАФУ 10
№673.
a) ;41x
206
1x =−
++ ;041x
206
1x =−−
++
0)1x(6
)1x(64120)1x)(1x( =−
−⋅−+−+ ;
(x-1)(x+1)+120-24x+24=0; x2-24x+143=0;D1=(-12)2-1 ⋅ 143=1;x=12 1± =12 ± 1;x1=12-1=11;x2=12+1=13;
б) ;22x
21415x =
+−+ 02
2x21
415x =−
+−+ ;
0)1x(6
)1x(64120)1x)(1x( =−
−⋅−+−+ ;
(x+2)(x+15)-4 ⋅ 21-8(x+2)=0;x2+9x-70=0;D=92-4 ⋅ 1 ⋅ (-70)=81+280=361;
x=2
1992
3619 ±−=±− ;
www.5balls.ru
x1= 52
199 =+− ;
x2= 142
199 −=−− ;
в) 11x
81x
12 =+
−−
; 011x
81x
12 =−+
−−
;
12(x+1)-8(x-1)-(x-1)(x+1)=0;12x+12-8x+8-x2+1=0; x2-4x-21=0;D1=(-2)2-1 ⋅ (-21)=4+21=25;x=2 5225 ±=± ;x1=2-5=-3;x2=2+5=7;
г) 3x1
303x
16 =−
+−
; 03x1
303x
16 =−−
+−
;
16(1-x)+30(x-3)-3(x-3)(1-x)=0;16+14x-90-3x+3x2+9-9x=0;3x2+2x-65=0;D1=12-3 ⋅ (-65)=1+195=196;
x=3
1413
1961 ±−=±− ;
x1= 314
313
3141 ==+− ;
x2= 53
141 −=−− ;
д) 2x128
x11
x13
−=
++
−;
0)x1)(x1(
28x1
1x1
3 =+−
−+
+−
;
3(1+x)+1-x-28=0;2(x-12)=0;x=12;
е) 4x
202x
32x
52 −
=+
−−
; 04x
202x
32x
52 =
−−
+−
−;
5(x+2)-3(x-2)-20=0;2x-4=0;x-2=0; x=2 не подходит, так как при х=2 обращается в нользнаменатель одной из дробей, следовательно, уравнение не имееткорней;
www.5balls.ru
ж) )2x)(1x(
292x3x
1x2x
−+=
−++
++ ;
0)2x)(1x(
292x3x
1x2x =
−+−
−++
++ ;
(x-2)(x+2)+(x+1)(x+3)-29=0;x2-4+x2+3x+x+3-29=0;2(x2+2x-15)=0; x2+2x-15=0;D1=12-1 ⋅ (-15)=16;x=-1 4116 ±−=± ;x1=-1+4=3;x2=-1-4=-5;
з) )1x)(3x(
41x1x
3x2x
−+=
−+−
++ ;
0)1x)(3x(
41x1x
3x2x =
−+−
−+−
++ ;
(x-1)(x+2)-(x+1)(x+3)-4=0;-3(x+3)=0; x=-3 не подходит, так как при х=-3 обращается в нользнаменатель одной из дробей, следовательно, уравнение не имееткорней.
№674*.
a) y= 03x5x2 =
+− ; 2x-5=0; 2x=5;
x=25 =2,5.
Искомая точка – (2,5;0).
б) y= 09x
)15x3)(4x( =−
−− ;
(3x-15)(x-4)=0;1) 3(x-5)=0; x-5=0; x1=5;2) x-4=0; x2=4.Искомые точки – (5;0) и (4;0).
в) y= 02x
6x5x2=
−+− ;
x-5x+6=0; (x-2)(x-3)=0;x1=3; x2=2 не подходит, так как при х=2 обращается в нользнаменатель дроби; искомая точка – (3;0);
www.5balls.ru
г) y= 03x
x12x7x 23=
−+− ;
x-7x+12x=0; x(x-7x+12)=0;1) x1=0;2) x-7x+12=0; (x-4)(x-3)=0;x1=4; x2=3 не подходит, так как при х=3 обращается в нользнаменатель дроби; искомые точки – (0;0) и (4;0).№675.
a) y=1x7x5
2 +− ;
1) 1x7x5
2 +− =-6;
1x7x5
2 +− +6-0;
5x-7+6x2+6=0; 6x2+5x-1=0;D=52-4 ⋅ 6 ⋅ (-1)=25+24=49;
x=12
7562
495 ±−=⋅
±− ;
x1= 61
1275 =+− ;
x2= 112
75 −=−− ;
2) 1x7x5
2 +− =0; 5x-7=0; x=
521
57 = ;
3) 1x7x5
2 +− =0,8;
1x7x5
2 +− -
54 =0; 5(5x-7)-4(x2+1)=0;
4x2-25x+39=0;D=(-25)2-4 ⋅ 4 ⋅ 39=625-624=1;
x=8
12542
125 ±=⋅± ;
x1= 3824
8125 ==− ;
x2= 413
826
8125 ==+ ;
4) 1x7x5
2 +− =0,56;
1x7x5
2 +− -
2514 =0;
25(5x-7)-14(x2+1)=0;-14x2+125x-189=0;14x2-125x+189=0;
www.5balls.ru
D=1252-4 ⋅ 14 ⋅ 189=12625-10584=5041;
x=28
71125142
5041125 ±=⋅
± ;
x1= 728
19628
71125 ==+ ;
x2= 14131
1427
2871125 ==− ;
б) y=4x
6x2x2
++− ;
1) 5,14x
6x2x2=
++− ;
23
4x6x2x2
−+
+− =0;
2x2-4x+12-3(x+4)=0;2x2-7x=0; x(2x-7)=0;x1=0;
x2= 213
27 = ;
2) 34x
6x2x2=
++− ; 03
4x6x2x2
=−+
+− ;
x2-2x+6-3(x+4)=0; x2-5x-6=0;(x+1)(x-6)=0;x1=-1;x2=6;
3) 74x
6x2x2=
++− ; 07
4x6x2x2
=−+
+− ;
x2-2x+6-7x-28=0; x2-9x-22=0;D=(-9)2-4 ⋅ 1 ⋅ (-22)=81+88=169;
x=2139
21699 ±=± ;
x1= 112139 =+ ;
x2= 22139 −=− .
№676.
a) 2x+3=5x
34−
;
(2x+3)(x-5)-34=0;
www.5balls.ru
2x(x-5)+3(x-5)-34=0;2x2-7x-49=0;D=(-7)2-4 ⋅ 2 ⋅ (-49)=49+392=441;
x=4
2174
4417 ±=± ;
x1= 74217 =+ ; y1=2 ⋅ 7+3=17;
x2= 213
414
4217 −=−=− ; y2=2 ⋅ (-3,5)+3=-4.
Искомые точки пересечения: (7;17) и (-3,5;-4).
б) 3xx5x2
+− =2x;
3xx5x2
+− -2x=0; x2-5x-2x2-6x=0;
x2+11x=0; x(x+11)=0;x1=0; y1=0;x2=-11; y2=2 ⋅ (-11)=-22.Искомые точки пересечения: (0;0) и (-11;-22).
№677*.
a) =−
++−−
−+
2x418
)1x2(7)1x2(3
1x21x2 0;
0)x21)(x21(
8)1x2(7)1x2(3
1x21x2 =
+−+
+−−
−+ ;
7(2x+1)2-3(2x-1)2-56=0;7(4x2+4x+1)-3(2x-1)2-56=0;7(4x2+4x+1)-3(4x2-4x+1)-56=0;16x2+40x-52=0; 4x2+10x-13=0;D1=52-4 ⋅ (-13)=77;
x1,2= 4775 ±− ;
б) 0y2y6
3y3y
19y
y222 =
++
+−
−;
0)y3(y2
3)3y(y
1)3y)(3y(
y =+
++
−+−
;
2y2-2(y-3)+3(y-3)=0;2y2+y-3=0;D=12-4 ⋅ 2 ⋅ (-3)=25;
www.5balls.ru
y1,2= 451
4251 ±−=±− ;
y1= 14
51 =+− ;
y2= 211
46
451 −=−=−− ;
в) y3y6
1y23y12
8y7y14
1y2222 −
+=−
++− ;
0)1y(y3
1y2)1y4(3
8)1y2(y7
1y22 =
−+−
−+
+− ;
0)1y4(y73
)1y2(7y56)1y2(32
22=
−⋅+−+− ;
3(4y2-4y+1)+56y-7(4y2+4y+1)=0;12y2-12y+3+56y-28y2-28y-7=0;16y2-16y+4=0;4y2-4y+1=0; (2y-1)2=0;
2y=1; y=21 не подходит, так как при y=
21 общий знаменатель
дробей обращается в ноль, значит, корней нет.
г) x6x2
3xx69
19x
3222 +
=+−
−−
;
0)x3x(x2
3)x3(
1)3x)(3x(
32 =
+−
−−
+−;
0)3x()3x(x2
)3x(3)3x(x2)3x(x232
2=
+−−−+−−⋅ ;
6x(x-3)-2x(x+3)-3(x2-6x+9)=0;6x2-18x-2x2-6x-3x2+18x-27=0;6x2-2x2-3x2-6x-27=0;x2-6x-27=0;D1=(-3)2-1 ⋅ (-27)=36;x= 63363 ±=± ;x1=3+6=9;x2=3-6=-3 не подходит, так как при x=-3 общий знаменатель дробейобращается в ноль, значит, только один корень х=9;
д) 4x
116x4x
164x12x9
23 −=
++−
−+ ;
www.5balls.ruwww.5balls.ru
04x
116x4x
1)16x4x)(4x(
12x922 =
−−
++−
++−+ ;
9x+12-x+4-x2-4x-16=0;-x2+4x+12+4-16=0;x2-4x=0; x(x-4)=0;x1=0;x2=4 не подходит, так как при x=4 общий знаменатель дробейобращается в ноль, значит, только один корень х=0;
е) 1y2y4
3y1y2
11y8
323 +−
+=+
−+
;
01y2y4
3y1y2
1)1y2y4)(1y2(
322 =
+−+−
+−
+−+;
3-(4y2-2y+1)-(2y+1)(y+3)=0;3-4y2+2y-1-2y2-6y-y-3=0;6y2+5y+1=0;D=52-4 ⋅ 6 ⋅ 1=1;
y=12
156215 ±−=
⋅±− ;
y1= 31
124
1215 −=−=+− ;
y2= 21
126
1215 −=−=−− не подходит, так как при y=-
21 общий
знаменатель дробей обращается в ноль, значит, только один корень
y=-31 ;
ж) 1x
1)2x)(1x(
12xx2x
3223 +
=−−
++−−
;
01x
1)2x)(1x(
1)1x)(2x(
322 =
+−
−−+
−−;
01x
1)2x)(1x(
1)1x)(1x)(2x(
32 =+
−−−
++−−
;
32+x+1-(x-2)(x-1)=0;x2-4x-31=0;D1=(-2)2-1 ⋅ (-31)=35;x1,2=2 35± ;
з) 012x3x4x
1)3x(2
1)4x(3
1232 =
−+−+
++
−;
www.5balls.ru
0)4x(3)4x(x
1)3x(2
1)4x(3
122 =
−+−+
++
−
0)3x)(4x(
1)3x(2
1)4x(3
122 =
+−+
++
−2(x2+3)+3(x-4)+6=0;2x2+3x=0; x(2x+3)=0;x1=0;
2x2+3=0; x2=-211
23 −= .
www.5balls.ru
