131
1 תתתת תתתתת תתתת תתתתתתתת תת תתתתתתת תתתתתת תתתת- תתתתת תתתת ת'11.7.13 תתתתת804

שאלון 804 הסתברות -למרתון - מועד ב - תשעג

  • Upload
    -

  • View
    795

  • Download
    9

Embed Size (px)

Citation preview

Page 1: שאלון 804  הסתברות -למרתון - מועד ב - תשעג

1

מצגת סיכום נושא ההסתברות

הזכויות שמורות למטח כל©  

לקראת מועד ב' - 11.7.13

שאלון 804

Page 2: שאלון 804  הסתברות -למרתון - מועד ב - תשעג

הזכויות שמורות למטח כל©  

תוכנית הלימודים בהסתברות

804הנושא נמצא בתוכנית הלימודים של כתה י''א – לשאלונים 806ו-

הסתברות קלאסית:

,אקראיות

,מרחב הסתברות סופי

,חוקי ההסתברות

,מאורעות תלויים

,הסתברות מותנית

,נוסחת בייס

.)מרחב דו-שלבי ותלת שלבי )טבלאות ועצים

.)התפלגות בינומית )נוסחת ברנולי

.הערה: יש ללמד קומבינטוריקה רק לצורכי ההתפלגות הבינומית

Page 3: שאלון 804  הסתברות -למרתון - מועד ב - תשעג

3

כדי להבהיר את המושגים נשלב בהם דוגמא

: מטילים קובית משחק סימטרית פעם אחתדוגמה

מאורע פשוט ) יסודי ( – תוצאה אפשרית של ניסוי בודד

A- 2התקבלה הספרה : 2 = A , B 5-התקבלה הספרה :5 = B

A -ו B.מאורעות פשוטים

Uמרחב מדגם – אוסף כל התוצאות של ניסוי בודד , יסומן בדרך כלל באות

=6, 5 , 4 , 3 , 2 , 1 בדוגמה:

מאורע - אוסף מאורעות פשוטים

D התקבלה ספרה זוגית - 6 , 4 , 2 = D

E -3 - התקבלה ספרה המתחלקת ב 6 , 3 = E

מאורע וודאי – מאורע המכיל את את כל איברי מרחב המדגם ) לקבל ספרה קטנה (8מ-

מאורע בלתי אפשרי- מאורע ריק – מאורע שאין בו אף איבר ממרחב המדגם

Ф ( יסומן ב- 10 ) לקבל ספרה גדולה מ-

u

כדי להבהיר את המושגים נשלב בהם דוגמא

: מטילים קובית משחק סימטרית פעם אחתדוגמה

– תוצאה אפשרית של ניסוי בודדמאורע פשוט ) יסודי (

A- 2התקבלה הספרה : 2 = A , B 5-התקבלה הספרה :5 = B

A -ו B.מאורעות פשוטים

U – אוסף כל התוצאות של ניסוי בודד , יסומן בדרך כלל באות מרחב מדגם

=6, 5 , 4 , 3 , 2 , 1 בדוגמה:

- אוסף מאורעות פשוטים מאורע

D התקבלה ספרה זוגית - 6 , 4 , 2 = D

E -3 - התקבלה ספרה המתחלקת ב 6 , 3 = E

– מאורע המכיל את את כל איברי מרחב המדגם ) לקבל ספרה קטנה מאורע וודאי (8מ-

מאורע ריק – מאורע שאין בו אף איבר ממרחב המדגםמאורע בלתי אפשרי-

Ф ( יסומן ב- 10 ) לקבל ספרה גדולה מ- הזכויות שמורות למטח כל©  

מטח

Page 4: שאלון 804  הסתברות -למרתון - מועד ב - תשעג

4

: מטילים קובית משחק סימטרית פעם אחתדוגמה

=6, 5 , 4 , 3 , 2 , 1 מרחב מדגם:

A- 2התקבלה הספרה : 2 = A , B 5-התקבלה הספרה :5 = B

D התקבלה ספרה זוגית - 6 , 4 , 2 = D

E -3 - התקבלה ספרה המתחלקת ב 6 , 3 = E

( B חיתוך A - מסומן: )יקרא: B ו- Aמאורע החיתוך של

B וגם ב-Aהוא המאורע הכולל את האיברים הנמצאים גם ב-

= 6 בדוגמה שלנו:

= Ф שאין להם אף איבר משותף – כלומר מתקיים: B ו-A : מאורעות מאורעות זרים

=Фבדוגמה שלנו:

u

B A

E D

B A

E A

63 2

4

ED

הזכויות שמורות למטח כל©  

מטח

Page 5: שאלון 804  הסתברות -למרתון - מועד ב - תשעג

5

: מטילים קובית משחק סימטרית פעם אחתדוגמה

=6, 5 , 4 , 3 , 2 , 1 מרחב מדגם:

A- 2התקבלה הספרה : 2 = A , B 5-התקבלה הספרה :5 = B

D התקבלה ספרה זוגית - 6 , 4 , 2 = D

E -3 - התקבלה ספרה המתחלקת ב 6 , 3 = E

( B איחוד A - )יקרא: B ו- Aמאורע האיחוד של

B א ו ב-Aהוא המאורע הכולל את האיברים הנמצאים ב-

= 4,6 , 3, 2 בדוגמה:

– אך נרשם רק פעם אחת( E וגם ב- D נמצא גם ב-6)

u

E D

B A

63 2

4

ED

הזכויות שמורות למטח כל©  

מטח

Page 6: שאלון 804  הסתברות -למרתון - מועד ב - תשעג

6

: מטילים קובית משחק סימטרית פעם אחתדוגמה

=6, 5 , 4 , 3 , 2 , 1 מרחב מדגם:

A - 2התקבלה הספרה : 2 = A , B 5-התקבלה הספרה :5 = B

D התקבלה ספרה זוגית - 6 , 4 , 2 = D

E -3 - התקבלה ספרה המתחלקת ב 6 , 3 = E

- המאורע המכיל את כל איברי מרחב המדגם אך אינם שייכים ל – מאורע משלים -A

( 2= ) ללא 6, 5 , 4 , 3, 1 : בדוגמא שלנו:

: 5 , 3 , 1 ) בעצם האי-זוגיים( =

u

A

D

A

Aלכל מאורע מתקיים:

AA = u

A Ф= A

הזכויות שמורות למטח כל©  

מטח

Page 7: שאלון 804  הסתברות -למרתון - מועד ב - תשעג

7

P ( A מסומנת ע''י ) Aהסתברות של מאורע

יתרחשA משמעותה: הסכוי לכך שמאורע

אז מרחב המדגם שווהאם הסיכוי לכל מאורע פשוט ממרחב המדגם יקרא

מרחב אחיד )אם לכל התוצאות האפשריות בניסוי בודד סיכוי

שווה(

אז ההסתברות של תוצאת ניסוי בודד – מספר האברים ב- Nיהיה תהיה :

uN

1

במרחב אחיד

הזכויות שמורות למטח כל©  

מטח

Page 8: שאלון 804  הסתברות -למרתון - מועד ב - תשעג

8

כדורים בצבעים שונים : 5 בכד שס , , צכ, א , =

תוצאות אפשריות ,לכל צבע סיכוי השווה ל-5

שחורים :7 לבנים ו- 3 כדורים , 10 בכד

P מוציאים כדור –מה ההסתברות שהוא לבן? = )לבן(

כדורים לבנים ..(3 , יש 1 /10 )לכל כדור סיכוי זהה :

u

5

1

10

3

קובייה סימטרית- לכל פאה אותו סיכוי

תוצאות אפשריות ,לכל ספרה סיכוי השווה ל- 6

2 = A , 5 = B = ) B ( P = ) A ( P

סביבון לכל פאה אותו סיכוי נ , ג , ה , פ=

תוצאות אפשריות ,לכל אות סיכוי השווה ל- 4

6

1

6

1

u

4

1

דוגמאות:

הזכויות שמורות למטח כל©  

מטח

Page 9: שאלון 804  הסתברות -למרתון - מועד ב - תשעג

9

1 הסתברות המאורע הוודאי היא

- )0 הסתברות המאורע הבלתי אפשרי ) מאורע ריק

: מטילים קובית משחק סימטרית פעם אחתדוגמה

D התקבלה ספרה זוגית - 6 , 4 , 2 = D ½ = ) D ( P

E -3 - התקבלה ספרה המתחלקת ב 6 , 3 = E ⅓ = ) E ( P

6 , 4 ,3 , 2 = E U D = )E U D ( Pחישוב ישיר-

6 = E D = )E D ( P

ואכן מתקיים:

( E D) P P) E (- P) D (+ = )E U D ( P

3

2

6

4

6

1-2

1

3

1

3

2 +=

6

1

הסתברות של איחוד מאורעות

()()()()הכלל : BAPBPAPBAP

הזכויות שמורות למטח כל©  

מטח

Page 10: שאלון 804  הסתברות -למרתון - מועד ב - תשעג

10

- אין להם איברים Ф = B Aאם המאורעות זרים כלומר משותפים

אז מתקיים :

P) B ( P) A (+ = )B U A( P

: מטילים קובית משחק סימטרית פעם אחתדוגמהE -3 - התקבלה ספרה המתחלקת ב 6 , 3 = E ⅓ = ) E ( P

2 = A = ) A ( P

6 ,3 , 2 = E U A ½ = )E U A ( Pחישוב ישיר-

זריםE ו- Aומתקיים הכלל :

P) E ( = P) A (+ = )E U A ( P

6

1

6

1+2

1

3

1=

הזכויות שמורות למטח כל©  

מטח

Page 11: שאלון 804  הסתברות -למרתון - מועד ב - תשעג

11

הסתברות המאורע המשלים

AA = uA Ф= A

A A ו- משלימים אם מתקיים

AAP( = )P) ( + P)A(=1 P) (=1-P)A( A A

A : לקלוע לסל : נתון -⅓ ( = A ) P לפספס - ⅔ P=) (A A

A : 0.8- להצליח במבחן באנגלית : נתון ( = A ) P להכשל - 0.2 P=) (

A A

שחורים . מוציאים כדור 6 לבנים ו-2 כדורים ,8בכד אחד :

A : להוציא לבן -: ¼ = ) A ( P להוציא שחור - ¾ P=) (A A

דוגמאות:

הזכויות שמורות למטח כל©  

מטח

Page 12: שאלון 804  הסתברות -למרתון - מועד ב - תשעג

12

מרחב אחיד – דו ממדי

Page 13: שאלון 804  הסתברות -למרתון - מועד ב - תשעג

13

מושגים : לפחות , לכל היותר

– מספר מוצרים פגומיםXלמשל:

n X מוצרים פגומים או יותר n מוצרים פגומים nלפחות

n X מוצרים פגומים או פחות n מוצרים פגמים nלכל היותר

- אותו מספר או לכל היותר– אותו מספר או יותר לפחות פחות

פעמים 3למשל: זורקים קובייה

תתקבל לפחות פעמיים6א. מה ההסתברות שהספרה

לקבל אותה פעמיים או יותר

פעמים את 3 ) כי זרקנו רק 3 או בדיוק 2 : לקבל אותה בדיוק במקרה שלנוהקובייה(

לכל היותר פעם אחת 6ב. מה ההסתברות לקבל את את הספרה

לקבל אותה פעם אחת או פחות

פעמים ) אף פעם (0 בדיוק פעם אחת ובדיוק 6 : לקבל ספרה במקרה שלנו

Page 14: שאלון 804  הסתברות -למרתון - מועד ב - תשעג

14

6 , 5 , 4 , 3 , 2 , 1זורקים קוביה שעל פיאותיה רשומים המספרים :

.4 , 3 , 2 , 1ומסובבים סביבון שעל ארבע פאותיו רשומים המספרים :

א. תארו את מרחב המדגם חשב:

ב. מה ההסתברות שהקוביה והסביבון יראו אותו מספר.

ג. מה ההסתברות שהסביבון יראה מספר גדול יותר מהמספר שתראה

הקוביה ?

1שאלה

רמזים ל-א' הזכויות שמורות למטח כל©  

מטח

Page 15: שאלון 804  הסתברות -למרתון - מועד ב - תשעג

15

6(6,1)(6,2)(6,3)(6,4)

5(5,1)(5,2)(5,3)(5,4)

4(4,1)(4,2)(4,3)(4,4)

3(3,1)(3,2)(3,3)(3,4)

2(2,1)(2,2)(2,3)(2,4)

1(1,1)(1,2)(1,3)(1,4)

1234 סביבון

קוביה

התוצאות האפשריות

ב. מה ההסתברות שהקוביה והסביבון

יראו אותו מספר.

ג. מה ההסתברות שהסביבון יראה מספר גדול יותר מהמספר

שתראה הקוביה ?

– רמזים והמשך דיון1שאלה

תשובות הזכויות שמורות למטח כל©  

מטח

Page 16: שאלון 804  הסתברות -למרתון - מועד ב - תשעג

16

ספרות- הקוביה סימטרית לכן לכל ספרה סיכוי שווה6על הקוביה

ספרות – הסביבון סימטרי לכן לכל ספרה סיכוי שווה4על הסביבון

זוגות של מספרים 24לכן בזריקת הקוביה וסיבוב הסביבון מתקבלים 1 / 24כאשר לכל זוג סיכוי שווה , השווה ל -

6(6,1)(6,2)(6,3)(6,4)

5(5,1)(5,2)(5,3)(5,4)

4(4,1)(4,2)(4,3)(4,4)

3(3,1)(3,2)(3,3)(3,4)

2(2,1)(2,2)(2,3)(2,4)

1(1,1)(1,2)(1,3)(1,4)

1234 סביבון

קוביה

א. מה ההסתברות שהקוביה והסביבון

יראו אותו מספר.

ב. מה ההסתברות שהסביבון יראה מספר גדול יותר מהמספר

שתראה הקוביה ?

1/4 ב. 1/6: א. תשובה

6

1

24

4

(1,2)(1,3)(1,4)

(2,3)(2,4)

(3,4) זוגות המקיימים 6

את התכונה

4

1

24

6

– רמזים1שאלה

הזכויות שמורות למטח כל©  

מטח

Page 17: שאלון 804  הסתברות -למרתון - מועד ב - תשעג

17

הזכויות שמורות למטח כל©  

מטח 3 - תר 472 – עמ 05בני גורן

זורקים קובייה פעמיים . חשב את ההסתברויות הבאות:

9 ב. שסכום התוצאות יהיה לפחות 9א. שסכום התוצאות יהיה

4 ד. שסכום התוצאות יהיה 8ג. שסכום התוצאות יהיה לכל היותר

5 ו. שתוצאת הזריקה השנייה תהיה 4ה. שסכום התוצאות יהיה לכל היותר

דיון – טבלת האפשרויות

Page 18: שאלון 804  הסתברות -למרתון - מועד ב - תשעג

18

- רמזים2תרגיל

5 / 36תשובה :

זוגות – שלכל אחד מהם הסתברות זהה: 36 קוביות מתקבלים ס''ה 2מזריקת 36 /1

( 4 , 5 ( , ) 5 , 4 ( , ) 6 , 3 ( , ) 3 , 6 : ) 9א. הזוגות שסכומם 9

1

36

4

: או יותר (9 ) כלומר 9ב. הזוגות שסכומם לפחות

אפשרויות 4( 4 , 5 ( , ) 5 , 4 ( , ) 6 , 3 ( , ) 3 , 6 : ) 9 בדיוק

אפשרויות 3 ( 5 , 5 ( , ) 6 , 4 ( , ) 4 , 6 : ) 10 בדיוק

אפשרויות 2 ( 6 , 5 ( , ) 5 , 6 : ) 11 בדיוק

אפשרויות 1 ( 6 , 6 : ) 12 בדיוק

10ס''ה אפשרויות

18 הוא : 9לכן ההסתברות לסכום לפחות

5

36

10

Page 19: שאלון 804  הסתברות -למרתון - מועד ב - תשעג

19

: מאורעות בלתי תלויים

יקראו מאורעות בלתי תלויים אם ההסתברות של B ו- A הגדרה:

A אינה מושפעת מהתרחשות מאורע B מאורע

דוגמאות:

-הטלת מטבע וקובייה בו זמנית

התוצאה שתתקבל על הקובייה לא מושפעת ) תלויה ( מהתוצאה שתראה המטבע

הטלת קובייה כמה פעמים

הספרה שתתקבל למשל בהטלה השלישית ,לא מושפעת מהתוצאות שהתקבלו לפני כן

קליעה לסל של שני חברים בו זמנית

יכולה להיות תלויה בזריקה האחרונה קליעה חוזרת לסל של שחקן,

כי אם הוא קלע,בטחונו העצמי עלה וסיכויו יגדל ,אם הוא פיספס , איבד את הבטחון

וסיכויו לקלוע פוחתים – ולכן המאורעות יכולים להיות תלויים

הזכויות שמורות למטח כל©  

מטח

Page 20: שאלון 804  הסתברות -למרתון - מועד ב - תשעג

20

( B Aהסתברות של חיתוך מאורעות - )P

מאורעות יתכנו המצבים הבאים:2בין

Ф = B A 0 = )B A (P , כלומר : . זריםא

: בלתי תלוייםב.

מאורעות בלתי תלויים אז: B ו- A משפט: אם

P ) B ( )A ( P = )B A (P

: תלוייםג. מאורעות תלויים אז: B ו- A משפט: אם

P ) A/B ( )B ( P P ) B/A ( =)A ( P= )B A (P

) במאורעות תלויים נעזר ב''עץ'' (

נטפל בהמשך

הזכויות שמורות למטח כל©  

מטח

Page 21: שאלון 804  הסתברות -למרתון - מועד ב - תשעג

21

כדורים שחורים.3 כדורים לבנים ו- 7בכד

מוציאים מהכד כדור מסתכלים על צבעו ומחזירים אותו לכד , מוציאים שוב כדור.

א. מה ההסתברות להוציא כדור ראשון לבן וכדור שני שחור

ב. מה ההסתברות שלאחר שתי ההוצאות יהיו בידינו כדור אחד מכל צבע.

= ) A ( P – לקבל כדור לבן בהוצאה הראשונה Aנגדיר :

B לקבל כדור שחור בהוצאה השניה – = ) B ( P

כי מצב הכד חזר לקדמותו .A לא מושפע ממאורע Bמאורע

לכן המאורעות בלתי תלויים

, המאורעות בלתי B Aלהוציא כדור ראשון לבן וכדור שני שחור הוא המאורע : תלויים

P ) B ( = )A ( P = )B A (P

10

7

10

3

10

7

10

3 =100

21 = 0.21

ראשון לבן ושני שחור או ראשון שחור ושני ב. להוציא כדור אחד לבן ואחד שחור לבן

10

7

10

310

3

10

7 = 420100

212 .+

– בעית הכד- עם 1בעיה החזרה

הזכויות שמורות למטח כל©  

מטח

Page 22: שאלון 804  הסתברות -למרתון - מועד ב - תשעג

22

גלאי שריפות 2במחסן עץ הותקנו

0.9ההסתברות שהראשון יפעל במקרה של שריפה הוא :

0.7ההסתברות שהשני יפעל במקרה של שריפה הוא :

חשב

א. מה ההסתברות שבמקרה של שריפה כל הגלאים יפעל ו

ב. מה ההסתברות שבדיוק גלאי אחד יפעל

ג. מה ההסתברות שלפחות גלאי אחד יפעל

נגדיר:

= 0.1 , לא יפעל 0.9 = ) A ( Pיפעל בשעת שריפה I - גלאי Aמאורע

= 0.3 , לא יפעל 0.7 = ) B ( P יפעל בשעת שריפה I I - גלאי Bמאורע

A ) ( P

B ) ( P

בלתי תלוייםפעילות כל גלאי לא תלויה )לא מושפעת ( מהגלאי השני ולכן הם

המשך...

- בעיית 2בעיה הגלאים

הזכויות שמורות למטח כל©  

מטח

Page 23: שאלון 804  הסתברות -למרתון - מועד ב - תשעג

23

נגדיר:

= 0.1 , לא יפעל 0.9 = ) A ( Pיפעל בשעת שריפה I - גלאי Aמאורע

= 0.3 , לא יפעל 0.7 = ) B ( P יפעל בשעת שריפה I I - גלאי Bמאורע

A ) ( P

B ) ( P

א. מה ההסתברות שבמקרה של שריפה כל הגלאים יפעל ו

P ) B ( = 0.9 0.7= 0.63 )A ( P = )B A (P

בלתי תלויים

ב. מה ההסתברות שבדיוק גלאי אחד יפעל

: הראשון יפעל והשני לא יפעל , הראשון לא יפעל והשני יש לעבור על המצביםיפעל

P=) בדיוק אחד יפעל ( A (B )P ( A ) P B +

0.9 0.3 + 0.1 0.7 = 0.34המשך...

- בעיית הגלאים המשך2בעיה

הזכויות שמורות למטח כל©  

מטח

Page 24: שאלון 804  הסתברות -למרתון - מועד ב - תשעג

24

נגדיר:

= 0.1 , לא יפעל 0.9 = ) A ( Pיפעל בשעת שריפה I - גלאי Aמאורע

= 0.3 , לא יפעל 0.7 = ) B ( P יפעל בשעת שריפה I I - גלאי Bמאורע

A ) ( P

B ) ( P

ג. מה ההסתברות שלפחות גלאי אחד יפעל

יפעלו גלאי אחד או יותרלפחות גלאי אחד יפעל

יפעל בדיוק גלאי אחד או יפעלו בדיוק שני במקרה שלנו גלאים

=) לפחןת אחד יפעל ( P +) בדיוק אחד יפעל ( P=) בדיוק שניים יפעלו ( P

סעיף ב' סעיף א'

0.97 = 0.63 + 0.34

ההסתברות שלפחות גלאי אחד יפעל היא המשך...0.97

- בעיית הגלאים - 2בעיה המשך

הזכויות שמורות למטח כל©  

מטח

Page 25: שאלון 804  הסתברות -למרתון - מועד ב - תשעג

25

נגדיר:

= 0.1 , לא יפעל 0.9 = ) A ( Pיפעל בשעת שריפה I - גלאי Aמאורע

= 0.3 , לא יפעל 0.7 = ) B ( P יפעל בשעת שריפה I I - גלאי Bמאורע

A ) ( P

B ) ( P

ג. מה ההסתברות שלפחות גלאי אחד יפעל

יפעלו גלאי אחד או יותרלפחות גלאי אחד יפעל

אך הוא גם המאורע המשלים של : ) אף גלאי לא יפעל(

P + ) לפחות גלאי אחד יפעל ( P = )אף גלאי לא יפעל ( 1מתקיים :

P יפעלוP (+ 0 ) +) בדיוק אחד יפעל ( P =) בדיוק שניים יפעלו ( 1

0.97 = 0.3 0.1 - 1=

ההסתברות שלפחות גלאי אחד יפעל

המשך...

אף אחד לא יפעל

= ) לפחות גלאי אחד יפעל ( P - 1מתקיים : = )אף גלאי לא יפעל (P

- 1= BA ( )P

דרך נוספת לחישוב סעיף - בעיית הגלאים 2בעיה ג'

הזכויות שמורות למטח כל©  

Page 26: שאלון 804  הסתברות -למרתון - מועד ב - תשעג

26

-דרך נוספת להסתכל על 2בעיה הבעיה

לעבור על כל המצבים האפשריים

נבנה טבלה:

מכיוון שהמאורעות בלתי תלויים ,

בתוך כל שורה נכפול

ובין השורות נחבר

גלאי א'

גלאי ב'

++

+

+

-

-

- -

+ 0.9

- 0.1

+ 0.7

- 0.3

0.3 : שני הגלאים לא פעלו0.1

0.9 0.3 + 0.1 0.7 = 0.34 = ) + - ( P + ) - + ( P ) בדיוק אחד יפעל ( =P

את השאלות עם לפחות ולכל היותר מומלץ לפתור בשיטה זו

כי עוברים בה על כל המצבים האפשריים. הזכויות שמורות למטח כל©  

Page 27: שאלון 804  הסתברות -למרתון - מועד ב - תשעג

27

הזכויות שמורות למטח כל  ©

– קיץ תש''ע – מועד א'804 - שאלון 3שאלה

דיון – סעיף א'

במכללה מסוימת הסטודנטים למחשבים נבחנים בסוף השנה במבחן בהסתברות וסטטיסטיקה.

במבחן יש שני תרגילים בהסתברות ותרגיל אחד בסטטיסטיקה.

כדי לקבל ציון עובר במבחן כולו על הנבחן לקבל ציון עובר בשני תרגילים לפחות מבין נבחן מקבל ציון עובר או ציון נכשל בכל תרגיל במבחן.השלושה .

60%הסיכוי שסטודנט יקבל ציון עובר בתרגיל בהסתברות הוא

.80%והסיכוי שהסטודנט יקבל ציון עובר בסטטיסטיקה הוא

( מהי ההסתברות שנבחן יקבל ציון עובר בשלושת התרגילים במבחן ?1א. )וההסתברות לקבל ציון עובר או נכשל בתרגילים השונים אינן תלויות זו בזו.

( מהי ההסתברות שנבחן יקבל ציון עובר בשני תרגילים במבחן וציון נכשל בתרגיל 2 )אחד ?

ב. נבחן קיבל ציון עובר במבחן כולו .( מהי ההסתברות שנבחן יקבל ציון עובר במבחן כולו ?3 )

מהי ההסתברות שהוא קיבל ציון עובר בשני התרגילים בהסתברות ?

Page 28: שאלון 804  הסתברות -למרתון - מועד ב - תשעג

28

הזכויות שמורות למטח כל  ©

- דיון – סעיף א'3שאלה

ניתוח הנתונים – סעיף א'

במכללה מסוימת הסטודנטים למחשבים נבחנים בסוף השנה במבחן בהסתברות וסטטיסטיקה.

במבחן יש שני תרגילים בהסתברות ותרגיל אחד בסטטיסטיקה.

נבחן מקבל ציון עובר או ציון נכשל בכל תרגיל במבחן.

כדי לקבל ציון עובר במבחן כולו על הנבחן לקבל ציון עובר בשני תרגילים לפחות מבין השלושה .

60%הסיכוי שסטודנט יקבל ציון עובר בתרגיל בהסתברות הוא

.80%והסיכוי שהסטודנט יקבל ציון עובר בסטטיסטיקה הוא

וההסתברות לקבל ציון עובר או נכשל בתרגילים השונים אינן תלויות זו בזו.

( מהי ההסתברות שנבחן יקבל ציון עובר בשלושת התרגילים במבחן ?1א. )

( מהי ההסתברות שנבחן יקבל ציון עובר בשני תרגילים במבחן וציון נכשל בתרגיל 2 )אחד ?

( מהי ההסתברות שנבחן יקבל ציון עובר במבחן כולו ?3 )

Page 29: שאלון 804  הסתברות -למרתון - מועד ב - תשעג

29

הזכויות שמורות למטח כל  ©

- רמזים – סעיף א'3שאלה

דיון – סעיף ב'

במכללה מסוימת הסטודנטים למחשבים נבחנים בסוף השנה במבחן בהסתברות וסטטיסטיקה.

במבחן יש שני תרגילים בהסתברות ותרגיל אחד בסטטיסטיקה.נבחן מקבל ציון עובר או ציון נכשל בכל תרגיל במבחן.

כדי לקבל ציון עובר במבחן כולו על הנבחן לקבל ציון עובר בשני תרגילים לפחות מבין השלושה .

והסיכוי שהסטודנט יקבל ציון עובר בסטטיסטיקה הוא 60%הסיכוי שסטודנט יקבל ציון עובר בתרגיל בהסתברות הוא 80%.

וההסתברות לקבל ציון עובר או נכשל בתרגילים השונים אינן תלויות זו בזו.( מהי ההסתברות שנבחן יקבל ציון עובר בשלושת התרגילים במבחן ?1א. )

( מהי ההסתברות שנבחן יקבל ציון עובר בשני תרגילים במבחן וציון נכשל בתרגיל אחד ?2 )

( מהי ההסתברות שנבחן יקבל ציון עובר במבחן כולו ?3 )

-++

+++

++

++

+++

- --

-

---

-

הסתב הסתב סטט' נניח ששתי השאלות הראשונות הן בהסתברות והשלישית בטבלה משמאל מופיעים כל המצבים האפשריים של התשובות בסטטיסטיקה

)(6.0)(4.01 –הסתב' לציון עובר לשאלה בהסתב' P1נסמן - 11 pp

)(8.0)(2.01 –הסתב' לציון עובר לשאלה בסטט' P2נסמן – 22 pp

P=) עובר בשלושת התרגילים ( 288.0125

368.06.06.0

=) עובר בשניים ונכשל ב-אחד התרגילים ( P

456.0125

578.06.04.08.04.06.02.06.06.0

P =) ציון עובר ( P שאלות ( 2 =) לעבור לפחות

744.0125

93

125

57

125

36

(3 + בדיוק 2)בדיוק

Page 30: שאלון 804  הסתברות -למרתון - מועד ב - תשעג

30

הזכויות שמורות למטח כל  ©

- דיון – סעיף ב'3שאלה

רמזים – סעיף ב'

במכללה מסוימת הסטודנטים למחשבים נבחנים בסוף השנה במבחן בהסתברות וסטטיסטיקה.

במבחן יש שני תרגילים בהסתברות ותרגיל אחד בסטטיסטיקה. נבחן מקבל ציון עובר או ציון נכשל בכל תרגיל במבחן.

כדי לקבל ציון עובר במבחן כולו על הנבחן לקבל ציון עובר בשני תרגילים לפחות מבין השלושה .

והסיכוי שהסטודנט יקבל ציון עובר בסטטיסטיקה הוא 60%הסיכוי שסטודנט יקבל ציון עובר בתרגיל בהסתברות הוא 80%.

וההסתברות לקבל ציון עובר או נכשל בתרגילים השונים אינן תלויות זו בזו.

( מהי ההסתברות שנבחן יקבל ציון עובר בשלושת התרגילים במבחן ?1א. )

( מהי ההסתברות שנבחן יקבל ציון עובר בשני תרגילים במבחן וציון נכשל בתרגיל 2 )אחד ?

( מהי ההסתברות שנבחן יקבל ציון עובר במבחן כולו ?3 )

0.288

0.456

0.744

ב. נבחן קיבל ציון עובר במבחן כולו .

מהי ההסתברות שהוא קיבל ציון עובר בשני התרגילים בהסתברות ?

-++

+++

++

++

+++

- --

-

---

-

הסתב הסתב סטט'

Page 31: שאלון 804  הסתברות -למרתון - מועד ב - תשעג

31

הזכויות שמורות למטח כל  ©

- רמזים – סעיף ב'3שאלה

במכללה מסוימת הסטודנטים למחשבים נבחנים בסוף השנה במבחן בהסתברות וסטטיסטיקה.

במבחן יש שני תרגילים בהסתברות ותרגיל אחד בסטטיסטיקה. נבחן מקבל ציון עובר או ציון נכשל בכל תרגיל במבחן.

כדי לקבל ציון עובר במבחן כולו על הנבחן לקבל ציון עובר בשני תרגילים לפחות מבין השלושה .

והסיכוי שהסטודנט יקבל ציון עובר בסטטיסטיקה הוא 60%הסיכוי שסטודנט יקבל ציון עובר בתרגיל בהסתברות הוא 80%.

וההסתברות לקבל ציון עובר או נכשל בתרגילים השונים אינן תלויות זו בזו.

( מהי ההסתברות שנבחן יקבל ציון עובר בשלושת התרגילים במבחן ?1א. )

( מהי ההסתברות שנבחן יקבל ציון עובר בשני תרגילים במבחן וציון נכשל בתרגיל 2 )אחד ?

( מהי ההסתברות שנבחן יקבל ציון עובר במבחן כולו ?3 )

0.2880.456

0.744

ב. נבחן קיבל ציון עובר במבחן כולו .

מהי ההסתברות שהוא קיבל ציון עובר בשני התרגילים בהסתברות ?

-++

+++

++

++

+++

- --

-

---

-

הסתב הסתב סטט'0.6

0.60.6 0.8

P= ) עבר את הבחינה / עובר בשני התרגילים בהסתברות (

P = )עובר בשני התרגילים בהסתברות (

36.02.06.06.08.06.06.0

P)עובר בשני התרגילים בהסתברות (

P= ) עבר את הבחינה( = 48387.0

31

15

744.0

36.0

Page 32: שאלון 804  הסתברות -למרתון - מועד ב - תשעג

32

4בעיה מהנעצים המיוצרים על ידי מכונה מסוימת הם פגומים.20%

נעצים.3בוחרים באקראי

א. מה ההסתברות שכל שלושת הנעצים פגומים

ב. מה ההסתברות שכל שלושת הנעצים תקינים

ג. מה ההסתברות שבדיוק נעץ אחד תקין

ד. מה ההסתברות שלכל היותר נעץ אחד תקין

0.104 ד. 0.096 ג. 0.512 ב. 0.008 א. :תשובה הזכויות שמורות למטח כל©  

מטח

Page 33: שאלון 804  הסתברות -למרתון - מועד ב - תשעג

33

– רמזים 4בעיה מהנעצים המיוצרים על ידי מכונה מסוימת הם פגומים.20%

נעצים.3בוחרים באקראי

א. מה ההסתברות שכל שלושת הנעצים פגומים

ב. מה ההסתברות שכל שלושת הנעצים תקינים

ג. מה ההסתברות שבדיוק נעץ אחד תקין

ד. מה ההסתברות שלכל היותר נעץ אחד תקין

0.104 ד. 0.096 ג. 0.512 ב. 0.008 א. :תשובה

מכיוון שמיצרים אלפי נעצים ,הוצאת נעץ אחד לא משפיע על ההוצאה הבאה –

ולכן ההסתברות להוציא נעץ פגום בהוצאה ראשונה ,שנייה , שלישית .... - נשארת 0.2

כך נטפל בכל פעם שהאוכלוסיה תהיה הוצאה:גדולה

-++

+++

++

++

+++

- --

-

---

----

0.8נסמן כתקין – הסתברות : +

2. 0נסמן כפגום – הסתברות : -

כל המצבים מתוארים משמאל:

0.008 = 0.2 0.2 0.2-פגומים( 3 =) כל ה P

שימו לב!

כשעוברים על כל האפשרויות :

בתוך שורה – כפל

בין השורות - חיבור

הזכויות שמורות למטח כל©  

מטח

Page 34: שאלון 804  הסתברות -למרתון - מועד ב - תשעג

34

5בעיה

ועל 2 כובעים, ובכל אחד מהם שני פתקים: על פתק אחד רשומה הספרה 3נתונים .6הפתק השני רשומה הספרה

מכל אחד משלושת הכובעים שולפים באקראי פתק אחד.

ללא שארית6מה ההסתברות שסכום המספרים שיתקבלו יתחלק א. ב –

ללא שארית5 ב. ב –

רמזים הזכויות שמורות למטח כל©  

מטח

Page 35: שאלון 804  הסתברות -למרתון - מועד ב - תשעג

35

– רמזים 5בעיה

ועל 2 כובעים, ובכל אחד מהם שני פתקים: על פתק אחד רשומה הספרה 3נתונים .6הפתק השני רשומה הספרה

מכל אחד משלושת הכובעים שולפים באקראי פתק אחד.

ללא שארית6מה ההסתברות שסכום המספרים שיתקבלו יתחלק א. ב –

ללא שארית5 ב. ב –

3 / 8 ב. 1 / 4תשובה : א.

כובע מס'

622

222

22

22

222

6 66

6

666

6666

4

1

2

1

2

1

2

1

2

1

2

1

2

1 א.

ב.

הזכויות שמורות למטח כל©  

מטח

Page 36: שאלון 804  הסתברות -למרתון - מועד ב - תשעג

36

הזכויות שמורות למטח כל©  

מטח

התפלגות בינומית – נוסחת ברנולי

Page 37: שאלון 804  הסתברות -למרתון - מועד ב - תשעג

37

מושגים חדשים

עצרת ( n ) קוראים : n! :הגדרה

מספר שהוא מכפלת כל המספרים הטבעיים הקטנים שווים לו

12321 .......()()! nnnn

6= 1•2 • 3!=3דוגמאות:

5 =!5 • 4 •3 • 2•1 =120

6 =!6 • 5=!6 •120=720

!()! 1 nnn שימו לב לקשר:

10 ! וכן נגדיר:

הזכויות שמורות למטח כל©  

מטח

Page 38: שאלון 804  הסתברות -למרתון - מועד ב - תשעג

38

!()!

!

knk

n

k

n

() krnCr

במחשבון :

כך ש:

152

30

42

456

42

6

262

6

2

6

!!

!

!!

!

!()!

!

2

62 = 15 nCr 6 במחשבון:

k

nמייצג בין היתר: מספר האפשרויות הביטוי:

מקומות n עצמים זהים ב – Kלסדר

1שימו לב מתקיים: 0

n

nn

הזכויות שמורות למטח כל©  

מטח

Page 39: שאלון 804  הסתברות -למרתון - מועד ב - תשעג

39

דוגמה 1

פעמים. 3זורקים קובייה סימטרית

5א. מה ההסתברות שבכל שלושת הפעמים תתקבל הסיפרה

הזכויות שמורות למטח כל©  

מטח

Page 40: שאלון 804  הסתברות -למרתון - מועד ב - תשעג

40

דוגמה: פתרון- צורת רישום מדויקת

פעמים. 3מטילים קובייה סימטרית

5א. מה ההסתברות שבכל שלושת הפעמים תתקבל הסיפרה

5המאורע המבוקש – שבכל שלושת הפעמים תתקבל הספרה

בהטלה הראשונה 5 - המאורע לקבל סיפרה Aנגדיר :

B בהטלה השנייה 5 - המאורע לקבל סיפרה

C בהטלה השלישית 5 - המאורע לקבל סיפרה

6

1()AP

6

1()CP

6

1()BP

216

1

6

1

6

1

6

1

6

13

()()()() CPBPAPCBAP

מאורעות בלתי תלויים הזכויות שמורות למטח כל©  

מטח

Page 41: שאלון 804  הסתברות -למרתון - מועד ב - תשעג

41

– סעיף ב' 1דוגמה

פעמים. 3זורקים קובייה סימטרית

הגדרנו בסעיף א' :

: A בהטלה הראשונה 5 - המאורע לקבל סיפרה

B בהטלה השנייה 5 - המאורע לקבל סיפרה

C בהטלה השלישית 5 - המאורע לקבל סיפרה

6

1()AP

6

1()CP

6

1()BP

5ב. מה ההסתברות לקבל בהטלה הראשונה את הספרה

5 ובשאר ההטלות ספרה שונה מ -

הזכויות שמורות למטח כל©  

מטח

Page 42: שאלון 804  הסתברות -למרתון - מועד ב - תשעג

42

– סעיף ב' - פתרון1דוגמה

פעמים. 3זורקים קובייה סימטרית

הגדרנו בסעיף א' :

: A בהטלה הראשונה 5 - המאורע לקבל סיפרה

B בהטלה השנייה 5 - המאורע לקבל סיפרה

C בהטלה השלישית 5 - המאורע לקבל סיפרה

6

1()AP

6

1()CP

6

1()BP

5ב. ההסתברות לקבל בהטלה הראשונה את הספרה

5 ובשאר ההטלות ספרה שונה מ -

216

25

6

5

6

1

6

5

6

5

6

121

()()()() CPBPAPCBAP

הזכויות שמורות למטח כל©  

מטח

Page 43: שאלון 804  הסתברות -למרתון - מועד ב - תשעג

43

– סעיף ג' 1דוגמה

פעמים. 3זורקים קובייה סימטרית

הגדרנו בסעיף א' :

: A בהטלה הראשונה 5 - המאורע לקבל סיפרה

B בהטלה השנייה 5 - המאורע לקבל סיפרה

C בהטלה השלישית 5 - המאורע לקבל סיפרה

6

1()AP

6

1()CP

6

1()BP

5ג. מה ההסתברות לקבל בשלושת ההטלות פעם אחת בדיוק את הספרה

הזכויות שמורות למטח כל©  

מטח

Page 44: שאלון 804  הסתברות -למרתון - מועד ב - תשעג

44

– סעיף ג' - פתרון 1דוגמה

פעמים. 3זורקים קובייה סימטרית

: A בהטלה הראשונה 5 - המאורע לקבל סיפרה

B בהטלה השנייה 5 - המאורע לקבל סיפרה

C בהטלה השלישית 5 - המאורע לקבל סיפרה

6

1()AP

6

1()CP

6

1()BP

5ג. ההסתברות לקבל בשלושת ההטלות פעם אחת בדיוק את הספרה

ולכן עלינו לעבור על כל האפשרויות :5לא נאמר לנו באיזו הטלה התקבלה הספרה

+ - -

- + -

- - +

III II I הטלה:

216

75

216

253

6

5

6

13

216

25

6

5

6

1

6

1

6

5

6

5

216

25

6

5

6

1

6

5

6

1

6

5

216

25

6

5

6

1

6

5

6

5

6

1

21

21

21

21

()

()()()()

()()()()

()()()()

P

CPBPAPCBAP

CPBPAPCBAP

CPBPAPCBAP

בדיוק פעם אחת5הספרה

הזכויות שמורות למטח כל©  

מטח

Page 45: שאלון 804  הסתברות -למרתון - מועד ב - תשעג

45

אך מה היה קורה אילו היינו נשאלים את השאלה הבאה:

בדיוק 5 הטלות קובייה תתקבל הספרה 10ד.מה ההסתברות שב- פעמיים ?

יש לעבור על כל האפשרויות : - - - - - - - - + +

+ - + - - - - - - -

כמה אפשרויות כאלה יש?

82הסתברות של כל אפשרות :

6

5

6

1

6

5

6

5

6

5

6

5

6

1

6

1

......

5פעמיים פעמים8

82

6

5

6

1

()P הטלות קובייה 10לקבל ב-

בדיוק 5את הספרה פעמיים

?

מספר האפשרויות לסדר שני + ב- יהיו - (8 מקומות ) בשאר ה-10

לשם כך ניתנת לנו נוסחת ברנולי הזכויות שמורות למטח כל©  

מטח

Page 46: שאלון 804  הסתברות -למרתון - מועד ב - תשעג

46

התפלגות בינומית

ניסויים בלתי תלויים , nנתונה סדרה של

Pכאשר ההסתברות להצלחה בכל ניסוי קבועה ושווה ל –

הניסויים ניתנת על ידי n הצלחות ב – Kההסתברות ל – הנוסחה:

knkn pp

k

nkpP

()() 1K הצלחות

nמתוך ניסויים

תוצאות אפשריות בלבד2יש להגדיר היטב את הניסוי הבודד ולבדוק שיש בו

צריך להגדיר בצורה ברורה איזו תוצאה של הניסוי הבודד מוגדרת להיות הצלחה ואיזוכשלון

.לבדוק האם סדרת הניסויים היא בלתי תלויה

לזהות אתn מס' הניסויים ו את - K מס' ההצלחות –

להציב בנוסחה את n , k -ו p.

Kסופר את מספר האפשרויות ל- נוסחת ברנולי:הצלחות

הזכויות שמורות למטח כל©  

מטח

Page 47: שאלון 804  הסתברות -למרתון - מועד ב - תשעג

47

:1נחזור לסעיף ד' מדוגמה

בדיוק פעמיים ?5 הטלות קובייה תתקבל הספרה 10ד.מה ההסתברות שב-

: הטלת קובייה פעם אחתהניסוי הבודד

5 לקבל את הספרה הגדרת ההצלחה בניסוי הבודד:

p )1-p( = 5 / 6 = 1 / 6 : הסתברות להצלחה בניסוי הבודד

: תוצאת הטלת קובייה לא מושפעת מהזריקה בדיקה שהניסויים בלתי תלוייםשהייתה

n = 10 : - מס' הניסויים nזיהוי

k = 2 : - מס' ההצלחות kזיהוי

הצבה בנוסחת ברנולי:

knk ppk

nP

()1

K הצלחות

ניסויים nמתוך

290706

5

6

145

6

11

6

1

2

10

82

2102

.

P

P הצלחות 2

ניסויים 10מתוך

הצלחות 2

הזכויות שמורות למטח כל©   ניסויים 10מתוך

מטח

Page 48: שאלון 804  הסתברות -למרתון - מועד ב - תשעג

48

דוגמה מטבעות מכסף ומטבע אחד מזהב.4בתוך קופסא 2

מטבעות.6א. מוציאים מהקופסה באקראי עם החזרה

מטבעות הן מכסף ומטבע אחת היא 5חשב את ההסתברות ש- מזהב.

: ________________________________________הניסוי הבודד

________________________________ הגדרת ההצלחה בניסוי הבודד:

=)p _____ )1-p : _____ = הסתברות להצלחה בניסוי הבודד

בדיקה שהניסויים בלתי :_____________________________________תלויים

n : _____ = - מס' הניסויים nזיהוי

k : ____ = - מס' ההצלחות kזיהוי

נשלים:

הזכויות שמורות למטח כל©  

מטח

Page 49: שאלון 804  הסתברות -למרתון - מועד ב - תשעג

49

- הצגת הנתונים 2דוגמה

מטבעות מכסף ומטבע אחד מזהב.4בתוך קופסא

מטבעות.6א. מוציאים מהקופסה באקראי עם החזרה

מטבעות הן מכסף ומטבע אחת היא 5חשב את ההסתברות ש- מזהב.

הוצאת מטבע מהקופסה: הניסוי הבודד

להוציא מטבע מכסףהגדרת ההצלחה בניסוי הבודד:

=)p 5 / 1 )1-p= 4 / 5 : הסתברות להצלחה בניסוי הבודד

:אחרי כל הוצאה מחזירים את המטבע לקופסהבדיקה שהניסויים בלתי תלויים

n = 6 : - מס' הניסויים nזיהוי

k = 5 : - מס' ההצלחות kזיהוי

נשלים:

האם אפשר היה להגדיר הצלחה בניסוי בודד אחרת ? , אילו ערכים היו משתנים למעלה ?

רשום בצבע כחול את השינויים הזכויות שמורות למטח כל©  

מטח

Page 50: שאלון 804  הסתברות -למרתון - מועד ב - תשעג

50

- הצגת הנתונים 2דוגמה

מטבעות מכסף ומטבע אחד מזהב.4בתוך קופסא

מטבעות.6א. מוציאים מהקופסה באקראי עם החזרה

מטבעות הן מכסף ומטבע אחת היא 5חשב את ההסתברות ש- מזהב.

הוצאת מטבע מהקופסה: הניסוי הבודד

להוציא מטבע זהב להוציא מטבע מכסףהגדרת ההצלחה בניסוי הבודד:

)p 5 / 1 )1-p( = 5 / 1= p 5 / 4 )1-p= 4 / 5 : הסתברות להצלחה בניסוי הבוד=

:אחרי כל הוצאה מחזירים את המטבע לקופסהבדיקה שהניסויים בלתי תלויים

n = 6 : - מס' הניסויים nזיהוי

k 1 = k = 5 : - מס' ההצלחות kזיהוי

נשלים:

האם אפשר היה להגדיר הצלחה בניסוי בודד אחרת ? , אילו ערכים היו משתנים למעלה ?

רשום בצבע כחול את השינויים הזכויות שמורות למטח כל©  

מטח

Page 51: שאלון 804  הסתברות -למרתון - מועד ב - תשעג

51

- סעיף א' -2דוגמה

הוצאת מטבע מהקופסה: הניסוי הבודד

להוציא מטבע מכסףהגדרת ההצלחה בניסוי הבודד:

=)p 5 / 1 )1-p= 4 / 5 : הסתברות להצלחה בניסוי הבודד

:אחרי כל הוצאה מחזירים את המטבע לקופסהבדיקה שהניסויים בלתי תלויים

n = 6 : - מס' הניסויים nזיהוי

k = 5 : - מס' ההצלחות kזיהוי

knkהצבה בנוסחת ברנולי: ppk

nP

()1

K הצלחות

ניסויים nמתוך

הזכויות שמורות למטח כל©  

מטח

Page 52: שאלון 804  הסתברות -למרתון - מועד ב - תשעג

52

- סעיף א' - פתרון 2דוגמה

הוצאת מטבע מהקופסה: הניסוי הבודד

להוציא מטבע מכסףהגדרת ההצלחה בניסוי הבודד:

=)p 5 / 1 )1-p= 4 / 5 : הסתברות להצלחה בניסוי הבודד

:אחרי כל הוצאה מחזירים את המטבע לקופסהבדיקה שהניסויים בלתי תלויים

n = 6 : - מס' הניסויים nזיהוי

k = 5 : - מס' ההצלחות kזיהוי

הצבה בנוסחת ברנולי:

393205

1

5

46

5

41

5

4

5

65

15

15

6

.

()

P

PP הצלחות 5

ניסויים6מתוך

הצלחות 5

ניסויים6מתוך

knkn pp

k

nkp

()() 1

הזכויות שמורות למטח כל©  

מטח

Page 53: שאלון 804  הסתברות -למרתון - מועד ב - תשעג

53

- סעיף ב' 2דוגמה

מטבעות מכסף ומטבע אחד מזהב.4בתוך קופסא

מטבעות.6ב. מוציאים מהקופסה באקראי עם החזרה

חשב את ההסתברות שכל המטבעות שהוצאו מהקופסה היו מזהב

הוצאת מטבע מהקופסה: הניסוי הבודד

להוציא מטבע מכסףהגדרת ההצלחה בניסוי הבודד:

=)p 5 / 1 )1-p= 4 / 5 : הסתברות להצלחה בניסוי הבודד

:אחרי כל הוצאה מחזירים את המטבע לקופסהבדיקה שהניסויים בלתי תלויים

n = 6 : - מס' הניסויים nזיהוי

k= 5 : - מס' ההצלחות kזיהוי

אם נשאיר את ההגדרה להצלחה בניסוי בודד , מה נצטרך לשנות ?

חישוב ההסתברות:

knkn pp

k

nkp

()() 1

הזכויות שמורות למטח כל©  

מטח

Page 54: שאלון 804  הסתברות -למרתון - מועד ב - תשעג

54

- סעיף ב'- פתרון2דוגמה מטבעות מכסף ומטבע אחד מזהב.4בתוך קופסא

מטבעות.6ב. מוציאים מהקופסה באקראי עם החזרה

מטבעות (0חשב את ההסתברות שכל המטבעות שהוצאו מהקופסה היו מזהב מכסף (

הוצאת מטבע מהקופסה: הניסוי הבודד

להוציא מטבע מכסףהגדרת ההצלחה בניסוי הבודד:

=)p 5 / 1 )1-p= 4 / 5 : הסתברות להצלחה בניסוי הבודד

:אחרי כל הוצאה מחזירים את המטבע לקופסהבדיקה שהניסויים בלתי תלויים

n = 6 : - מס' הניסויים nזיהוי

k 0 = k= 5 : - מס' ההצלחות kזיהוי

אם נשאיר את ההגדרה להצלחה בניסוי בודד , מה נצטרך לשנות ?

חישוב ההסתברות:

000064.015625

1

5

111

5

41

5

4

0

6)0(

660

6

P

knkn pp

k

nkp

()() 1

הזכויות שמורות למטח כל©  

מטח

Page 55: שאלון 804  הסתברות -למרתון - מועד ב - תשעג

55

דוגמה 3

תלמיד ניגש לבחינה באנגלית .

תשובות אפשריות,שרק אחת מהן 3 שאלות ' ''אמריקאיות '' – לכל שאלה 8בבחינה נכונה.

לכל שאלה משקל זהה בבחינה,לתלמיד אין מושג באנגלית והוא מנחש את התשובות

שאלות נכון.5א. מה ההסתברות שיפתור בדיוק : ________________________________________הניסוי הבודד

________________________________ הגדרת ההצלחה בניסוי הבודד:

=)p _____ )1-p : _____ = הסתברות להצלחה בניסוי הבודד

בדיקה שהניסויים בלתי :_____________________________________תלויים

n : _____ = - מס' הניסויים nזיהוי

k : ____ = - מס' ההצלחות kזיהוי

knkn pp

k

nkp

()() 1

חישוב הזכויות שמורות למטח כל©  ההסתברות:

מטח

Page 56: שאלון 804  הסתברות -למרתון - מועד ב - תשעג

56

- סעיף - פתרון3דוגמה א'

תלמיד ניגש לבחינה באנגלית .

תשובות אפשריות,שרק אחת מהן 3 שאלות ' ''אמריקאיות '' – לכל שאלה 8בבחינה נכונה

לכל שאלה משקל זהה בבחינה,לתלמיד אין מושג באנגלית והוא מנחש את התשובות

לפתור שאלה בודדת: הניסוי הבודד שאלות נכון.5א. מה ההסתברות שיפתור בדיוק

לפתור נכון את השאלה הגדרת ההצלחה בניסוי הבודד:

= )p 3/ 2 )1-p = 1/ 3: הסתברות להצלחה בניסוי הבודד

הוא מנחש ,אין קשר בין השאלות: בדיקה שהניסויים בלתי תלויים

n = 8 : - מס' הניסויים nזיהוי

k = 5 - מס' ההצלחות kזיהוי

knkn pp

k

nkp

()() 1

חישוב ההסתברות:

068306561

448

3

2

3

1

5

85

35

8 .()

P

המשך, סעיף ב' הזכויות שמורות למטח כל©  

מטח

Page 57: שאלון 804  הסתברות -למרתון - מועד ב - תשעג

57

- סעיף ב' 3דוגמה

תשובות אפשריות,שרק אחת מהן 3 שאלות ' ''אמריקאיות '' – לכל שאלה 8בבחינה נכונה.

לכל שאלה משקל זהה בבחינה,לתלמיד אין מושג באנגלית והוא מנחש את התשובות.

( 8 = n , 3 / 1 = p )

.60ב. ציון עובר של הבחינה הוא

מה ההסתברות שהתלמיד הנ''ל יעבור את הבחינה ?

knkn pp

k

nkp

()() 1

הזכויות שמורות למטח כל©  

מטח

Page 58: שאלון 804  הסתברות -למרתון - מועד ב - תשעג

58

- סעיף ב' - פתרון3דוגמה

תשובות אפשריות,שרק אחת מהן 3 שאלות ' ''אמריקאיות '' – לכל שאלה 8בבחינה נכונה.

לכל שאלה משקל זהה בבחינה,לתלמיד אין מושג באנגלית והוא מנחש את התשובות.

( 8 = n , 3 / 1 = p )

.60ב. ציון עובר של הבחינה הוא

מה ההסתברות שהתלמיד הנ''ל יעבור את הבחינה ?

knkn pp

k

nkp

()() 1

שאלות 5כדי לעבור את הבחינה עליו לפתור לפחות

(62.5 שאלות נכון , ציונו % 5 ) כשפותר בדיוק

K , 7 = K , 6 = K , 5 = K = 8יש לעבור על המצבים

()()()() 8765 8888 ppppP חישבנו בסעיף

א' 6561448

6561

112

6561

166561

10870

6561

577.

++ + =

סעיף ג' הזכויות שמורות למטח כל©  

מטח

Page 59: שאלון 804  הסתברות -למרתון - מועד ב - תשעג

59

- סעיף ג' 3דוגמה

תשובות אפשריות,שרק אחת מהן 3 שאלות ' ''אמריקאיות '' – לכל שאלה 8בבחינה נכונה.

לכל שאלה משקל זהה בבחינה,לתלמיד אין מושג באנגלית והוא מנחש את התשובות.

( 8 = n , 3 / 1 = p )

שאלות נכון2ג. מה ההסתברות שהתלמיד הנ''ל יפתור לפחות

knkn pp

k

nkp

()() 1

הזכויות שמורות למטח כל©  

מטח

Page 60: שאלון 804  הסתברות -למרתון - מועד ב - תשעג

60

- סעיף ג' – פתרון3דוגמה

תשובות אפשריות,שרק אחת מהן 3 שאלות ' ''אמריקאיות '' – לכל שאלה 8בבחינה נכונה.

לכל שאלה משקל זהה בבחינה,לתלמיד אין מושג באנגלית והוא מנחש את התשובות.

( 8 = n , 3 / 1 = p )

שאלות נכון2ג. מה ההסתברות שהתלמיד הנ''ל יפתור לפחות

knkn pp

k

nkp

()() 1

1876543210 888888888 ()()()()()()()()() ppppppppp

כדאי לזכור:

שאלות נכון2לפחות

ניעזר במשלים

804906561

5281

6561

1024

6561

2561

3

2

3

1

1

8

3

2

3

1

0

81

10127180

888

.

()()()

ppkP

הזכויות שמורות למטח כל©  

מטח

Page 61: שאלון 804  הסתברות -למרתון - מועד ב - תשעג

61

knkn pp

k

nkp

()() 1

1תרגיל

מהנורות פגומות.10%במפעל ליצור נורות ,

יהיו תקינות7 נורות 10א. מה ההסתברות שבמדגם של

תהיינה 2 נורות לכל היותר 5ב. מה ההסתברות שבמדגם של פגומות

רמזים הזכויות שמורות למטח כל©  

מטח

Page 62: שאלון 804  הסתברות -למרתון - מועד ב - תשעג

62

knkn pp

k

nkp

()() 1

– רמזים 1תרגיל

מהנורות פגומות.10%במפעל ליצור נורות ,

יהיו תקינות7 נורות 10א. מה ההסתברות שבמדגם של

תהיינה 2 נורות לכל היותר 5ב. מה ההסתברות שבמדגם של פגומות

P = 0.9א.

P = 0.1ב.

9914401090101090590

210223145

5555

......

()()()()

pppkP

הזכויות שמורות למטח כל©  

מטח

05739.01.09.07

10)7( 37

10

P

Page 63: שאלון 804  הסתברות -למרתון - מועד ב - תשעג

63

knkn pp

k

nkp

()() 1

2תרגיל

לבנים8 שחורים ו-12 כדורים : 20בכד

כדורים ) ומחזירים כל כדור(6מוציאים מהכד

לבנים.3 שחורים ו- 3א. מה ההסתברות ש-

ב. מה ההסתברות שלפחות שניים שחורים

ג. מה ההסתברות שכולם יהיו באותו צבע.

רמזים הזכויות שמורות למטח כל©  

מטח

Page 64: שאלון 804  הסתברות -למרתון - מועד ב - תשעג

64

knkn pp

k

nkp

()() 1

– רמזים 2תרגיל

לבנים8 שחורים ו-12 כדורים : 20בכד

כדורים ) עם החזרה – מסתכלים על צבעו ומחזירים אותו 6מוציאים מהכד לכד (

לבנים.3 שחורים ו- 3א. מה ההסתברות ש-

ב. מה ההסתברות שלפחות שניים שחורים

ג. מה ההסתברות שכולם יהיו באותו צבע. -P = 0.6א.

שחור

ב.

050750406006 6666 ...()() ppP

ג.

12 6p 0.6

20 10

הזכויות שמורות למטח כל©  

מטח

95904.0)1()0(1)2( 666 PPkP

27648.04.06.03

6)3( 33

6

P

Page 65: שאלון 804  הסתברות -למרתון - מועד ב - תשעג

65

knkn pp

k

nkp

()() 1

3תרגיל

משחקים.4שני שחקני טניס מתחרים ביניהם ב-

,חשב: 2 / 3ההסתברות ששחקן א' ינצח במשחק בודד היא

א. מה ההסתברות ששחקן א' ינצח בתחרות

ב. מה ההסתברות ששחקן ב' ינצח בתחרות

ג. מה ההסתברות שהתחרות תסתיים בתיקו

הזכויות שמורות למטח כל©  

מטח

Page 66: שאלון 804  הסתברות -למרתון - מועד ב - תשעג

66

knkn pp

k

nkp

()() 1

– רמזים 3תרגיל

משחקים.4שני שחקני טניס מתחרים ביניהם ב-

,חשב: 2 / 3ההסתברות ששחקן א' ינצח במשחק בודד היא

א. מה ההסתברות ששחקן א' ינצח בתחרות

ב. מה ההסתברות ששחקן ב' ינצח בתחרות

ג. מה ההסתברות שהתחרות תסתיים בתיקו

P = 2 / 3א. 27

16432 444 ()()() ppkP

P = 1 / 3ב. 9

1432 444 ()()() ppkP

1 = )ב( - )א ( - 8 / 27ג. דרך ב' :

P = 2 / 3ג. 27

8

99

46

3

1

3

2

2

4)2(

22

4

p

הזכויות שמורות למטח כל©  

מטח

Page 67: שאלון 804  הסתברות -למרתון - מועד ב - תשעג

67

knkn pp

k

nkp

()() 1

4תרגיל

אנשים הניגשים למבחן נהיגה מצליחים בו.10 מתוך 6בממוצע

מתלמידיו למבחן נהיגה:5מורה לנהיגה מגיש

א. מה ההסתברות שכולם יצליחו?

יצליחו?2ב. מה ההסתברות שרק

יצליחו? 3ג. מה ההסתברות שלפחות

הזכויות שמורות למטח כל©  

מטח

Page 68: שאלון 804  הסתברות -למרתון - מועד ב - תשעג

68

knkn pp

k

nkp

()() 1

– רמזים4תרגיל

אנשים הניגשים למבחן נהיגה מצליחים בו.10 מתוך 6בממוצע

מתלמידיו למבחן נהיגה:5מורה לנהיגה מגיש

א. מה ההסתברות שכולם יצליחו?

יצליחו?2ב. מה ההסתברות שרק

יצליחו? 3ג. מה ההסתברות שלפחות

P 077760605 = 0.6א. 55 ..() P

2304060ב. 2

52 32

5 ...()

P

68256.0)5()4()3()3( 5555 pppkP ג.

הזכויות שמורות למטח כל©  

מטח

Page 69: שאלון 804  הסתברות -למרתון - מועד ב - תשעג

69

הסתברות מותנית

הזכויות שמורות למטח כל©  

מטח

Page 70: שאלון 804  הסתברות -למרתון - מועד ב - תשעג

70

הסתברות מותנית

B ) 0 )A(P ו-Aנתונים שני מאורעות

P(A/ B – מסומנת ע''י ) A בתנאי Bהסתברות המותנית של

קרה )התקיים A , כאשר ידוע שמאורע B ההסתברות שיקרה מאורע )

דוגמאות – שהן מייצגות את רוב השאלות של הנושא2נעבור על

– בעיית הכד – מאורע דו שלבי 1דוגמה

תכונות 2 – התחלקות אוכלוסיה לפי 2דוגמה

בעיית הכד

דרך הדוגמאות – יתבהרו המושגים

הזכויות שמורות למטח כל©  

מטח

Page 71: שאלון 804  הסתברות -למרתון - מועד ב - תשעג

71

דוגמה חשובה המדגישה את ההבדל בין מאורעות תלוים ובלתי תלויים

מצבים3נבחין ב -

כדורים שחורים.3 כדורים לבנים ו- 7בכד

. מוציאים מהכד כדור מסתכלים על צבעו ומחזירים אותו לכד , מוציאים 1שוב כדור.

. מוציאים מהכד כדור מסתכלים על צבעו ומשאירים אותו בחוץ,2

מוציאים שוב כדור.

מוציאים מהכד כדור מסתכלים על צבעו ,אם הוא לבן , משאירים אותו .3בחוץ

המשך...נעבור על כל מצב ואם הוא שחור מחזירים אותו לכד. מוציאים כדור נוסף.

בעיית הכד

הזכויות שמורות למטח כל©  

מטח

Page 72: שאלון 804  הסתברות -למרתון - מועד ב - תשעג

72

כדורים שחורים.3 כדורים לבנים ו- 7בכד

מוציאים מהכד כדור מסתכלים על צבעו ומחזירים אותו לכד , מוציאים שוב כדור.

א. מה ההסתברות להוציא כדור ראשון לבן וכדור שני שחור

ב. מה ההסתברות שבשתי ההוצאות הוצאנו כדור מכל צבע

= ) A ( P – לקבל כדור לבן בהוצאה הראשונה Aנגדיר :

B לקבל כדור שחור בהוצאה השניה – = ) B ( P

10

7

10

3

1מצב

רמזים הזכויות שמורות למטח כל©  

מטח

Page 73: שאלון 804  הסתברות -למרתון - מועד ב - תשעג

73

כדורים שחורים. - פתרון3 כדורים לבנים ו- 7בכד

מוציאים מהכד כדור מסתכלים על צבעו ומחזירים אותו לכד , מוציאים שוב כדור.

א. מה ההסתברות להוציא כדור ראשון לבן וכדור שני שחור

ב. מה ההסתברות שבשתי ההוצאות הוצאנו כדור מכל צבע

= ) A ( P – לקבל כדור לבן בהוצאה הראשונה Aנגדיר :

B לקבל כדור שחור בהוצאה השניה – = ) B ( P

כי מצב הכד חזר לקדמותו .A לא מושפע ממאורע Bמאורע

לכן המאורעות בלתי תלויים

, המאורעות בלתי B Aלהוציא כדור ראשון לבן וכדור שני שחור הוא המאורע : תלויים

P ) B ( = )A ( P = )B A (P

10

7

10

3

10

7

10

3 =100

21 = 0.21

ראשון לבן ושני שחור או ראשון שחור ושני ב. להוציא כדור אחד לבן ואחד שחור לבן

10

7

10

310

3

10

7 = 420100

212 .+

1מצב

הזכויות שמורות למטח כל©  

מטח

Page 74: שאלון 804  הסתברות -למרתון - מועד ב - תשעג

74

כדורים שחורים.3 כדורים לבנים ו- 7בכד

מוציאים מהכד כדור מסתכלים על צבעו ומשאירים אותו בחוץ

מוציאים שוב כדור,

א. מה ההסתברות להוציא כדור ראשון לבן וכדור שני שחור

ב. מה ההסתברות שלאחר שתי ההוצאות יהיו בידינו כדור אחד מכל צבע.

– לקבל כדור לבן בהוצאה הראשונהA נגדיר :

Bלקבל כדור שחור בהוצאה השניה –

2מצב

במה שונה מצב ב' ממצב א' ?

הזכויות שמורות למטח כל©  

מטח

Page 75: שאלון 804  הסתברות -למרתון - מועד ב - תשעג

75

כדורים שחורים. - הסבר3 כדורים לבנים ו- 7בכד

מוציאים מהכד כדור מסתכלים על צבעו ומשאירים אותו בחוץ

מוציאים שוב כדור,

א. מה ההסתברות להוציא כדור ראשון לבן וכדור שני שחור

ב. מה ההסתברות שלאחר שתי ההוצאות יהיו בידינו כדור אחד מכל צבע.

– לקבל כדור לבן בהוצאה הראשונהA נגדיר :

Bלקבל כדור שחור בהוצאה השניה –

מכיון שהכדור מההוצאה הראשונה נשאר בחוץ ,מצב הכדורים בכד משתנה

ומשפיע על מה שיקרה בהוצאה השניה.

מאורעות תלויים .B ו- Aלכן

נציג את התהליך בעזרת דיאגרמת ''עץ''

2מצב

הזכויות שמורות למטח כל©  

מטח

Page 76: שאלון 804  הסתברות -למרתון - מועד ב - תשעג

76

כדורים 3 כדורים לבנים ו- 7בכד שחורים.

מוציאים מהכד כדור מסתכלים על צבעו

ומשאירים אותו בחוץ מוציאים שוב כדור,

הוצאה ראשונה

לבן

שחורלבן

שחור לבן שחורהוצאה שניה

נותרונותרו

המשך..מילוי העץ

נשלים את ה''עץ''

2מצב

הזכויות שמורות למטח כל©  

מטח

Page 77: שאלון 804  הסתברות -למרתון - מועד ב - תשעג

77

כדורים שחורים.3 כדורים לבנים ו- 7בכד מוציאים מהכד כדור מסתכלים על צבעו

ומשאירים אותו בחוץ מוציאים שוב כדור,

הוצאה ראשונה

לבן

שחור10

7

10

3

לבן

שחור9

6

9

3

לבן שחור

9

7

9

2 הוצאה שניה

3 לבנים ו- 6נותרו שחורים 2 לבנים ו- 7נותרו

שחורים

א. ראשון לבן שני שחור

ב. להוציא כדור אחד לבן ואחד שחור

רמזים

2מצב

הזכויות שמורות למטח כל©  

מטח

Page 78: שאלון 804  הסתברות -למרתון - מועד ב - תשעג

78

P ) B/A ( =)A ( P= )B A (P 10

7

9

3 =90

21 =30

7 המסלול האדום

כדורים שחורים - פתרון.3 כדורים לבנים ו- 7בכד מוציאים מהכד כדור מסתכלים על צבעו

ומשאירים אותו בחוץ מוציאים שוב כדור,

הוצאה ראשונה

לבן

שחור10

7

10

3

לבן

שחור9

6

9

3

לבן שחור

9

7

9

2 הוצאה שניה

3 לבנים ו- 6נותרו שחורים 2 לבנים ו- 7נותרו

שחורים

א. ראשון לבן שני שחור

ראשון לבן ושני שחור או ראשון שחור ושני ב. להוציא כדור אחד לבן ואחד שחור לבן

10

7

9

3=

90

212 =

15

7103

9

7 +

מסלול אדום

מסלול ירוק

המשך.. שאלות נוספות שאפשר לשאול

2מצב

הזכויות שמורות למטח כל©  

מטח

Page 79: שאלון 804  הסתברות -למרתון - מועד ב - תשעג

79

כדורים שחורים.3 כדורים לבנים ו- 7בכד מוציאים מהכד כדור מסתכלים על צבעו

ומשאירים אותו בחוץ מוציאים שוב כדור,

הוצאה ראשונה

לבן

שחור10

7

10

3

לבן

שחור9

6

9

3

לבן שחור

9

7

9

2 הוצאה שניה

3 לבנים ו- 6נותרו שחורים 2 לבנים ו- 7נותרו

שחורים

ג. מה ההסתברות שהכדור השני שחור

ד. מה ההסתברות שהכדור השני לבן ?

המשך.. פתרון ל-ג' ו ד'

2מצב

הזכויות שמורות למטח כל©  

מטח

Page 80: שאלון 804  הסתברות -למרתון - מועד ב - תשעג

80

ג. מה ההסתברות שהכדור השני שחור

לבן ראשון ושחור שני או שחור ראשון ושחור שני:שני המסלולים הכחולים

כדורים שחורים.3 כדורים לבנים ו- 7בכד מוציאים מהכד כדור מסתכלים על צבעו

ומשאירים אותו בחוץ , מוציאים שוב כדור,

הוצאה ראשונה

לבן

שחור10

7

10

3

לבן

שחור9

6

9

3

לבן שחור

9

7

9

2 הוצאה שניה

3 לבנים ו- 6נותרו שחורים 2 לבנים ו- 7נותרו

שחורים

10

3

9

2 +10

7

9

3 =90

27 =10

3

ד. מה ההסתברות שהכדור השני לבן ? ) רמז : המשלים (

2מצב

הזכויות שמורות למטח כל©  

מטח

Page 81: שאלון 804  הסתברות -למרתון - מועד ב - תשעג

81

. כדורים שחורים3 כדורים לבנים ו- 7בכד

מוציאים מהכד כדור מסתכלים על צבעו ,אם הוא לבן , משאירים אותו 3בחוץ

ואם הוא שחור מחזירים אותו לכד. מוציאים כדור נוסף.

א. מה ההסתברות להוציא כדור ראשון לבן וכדור שני שחור ב. מה ההסתברות שלאחר שתי ההוצאות יהיו בידינו כדור אחד מכל

צבע.

– לקבל כדור לבן בהוצאה הראשונהAנגדיר :

Bלקבל כדור שחור בהוצאה השנייה –

הוצאת כדור בפעם השנייה תלויה במה שקרה בהוצאה הראשונה

מאורעות תלויים .B ו- Aלכן

נציג את התהליך בעזרת דיאגרמת ''עץ''

3מצב

הזכויות שמורות למטח כל©  

מטח

Page 82: שאלון 804  הסתברות -למרתון - מועד ב - תשעג

82

. כדורים שחורים3 כדורים לבנים ו- 7בכד מוציאים מהכד כדור מסתכלים על צבעו אם הוא לבן , משאירים אותו

בחוץ ואם הוא שחור מחזירים אותו לכד. מוציאים כדור נוסף.

הוצאה ראשונה

לבן

שחורלבן

שחור לבן שחורהוצאה שניה

נותרונותרו

המשך..

נשלים את ה''עץ''

3מצב

הזכויות שמורות למטח כל©  

מטח

Page 83: שאלון 804  הסתברות -למרתון - מועד ב - תשעג

83

. כדורים שחורים3 כדורים לבנים ו- 7בכד מוציאים מהכד כדור מסתכלים על צבעו אם הוא לבן , משאירים אותו

בחוץ ואם הוא שחור מחזירים אותו לכד. מוציאים כדור נוסף.

הוצאה ראשונה

לבן

שחור10

7

10

3

לבן

שחור9

6

9

3

לבן שחור

10

7

10

3 הוצאה שניה

3 לבנים ו- 6נותרו שחורים 3 לבנים ו- 7נותרו

שחורים

א. מה ההסתברות להוציא כדור ראשון לבן וכדור שני שחור

ראשון לבן ושני שחור או ראשון שחור ושני ב. להוציא כדור אחד לבן ואחד שחור לבן

רמזים

3מצב

הזכויות שמורות למטח כל©  

מטח

Page 84: שאלון 804  הסתברות -למרתון - מועד ב - תשעג

84

. כדורים שחורים3 כדורים לבנים ו- 7בכד מוציאים מהכד כדור מסתכלים על צבעו אם הוא לבן , משאירים אותו

בחוץ ואם הוא שחור מחזירים אותו לכד. מוציאים כדור נוסף.

הוצאה ראשונה

לבן

שחור10

7

10

3

לבן

שחור9

6

9

3

לבן שחור

10

7

10

3 הוצאה שניה

3 לבנים ו- 6נותרו שחורים 3 לבנים ו- 7נותרו

שחורים

א. מה ההסתברות להוציא כדור ראשון לבן וכדור שני שחור

P ) B/A ( =)A ( P= )B A (P 10

7

9

3 =90

21 =30

7

ראשון לבן ושני שחור או ראשון שחור ושני ב. להוציא כדור אחד לבן ואחד שחור לבן

10

7

9

3=

300

133103

10

7 +

מסלול אדום

מסלול ירוק

המשך.. שאלות נוספות שאפשר לשאול

3מצב מטח

Page 85: שאלון 804  הסתברות -למרתון - מועד ב - תשעג

85

. כדורים שחורים3 כדורים לבנים ו- 7בכד מוציאים מהכד כדור מסתכלים על צבעו אם הוא לבן , משאירים אותו .3

בחוץ ואם הוא שחור מחזירים אותו לכד. מוציאים כדור נוסף.

הוצאה ראשונה

לבן

שחור10

7

10

3

לבן

שחור9

6

9

3

לבן שחור

10

7

10

3 הוצאה שניה

3 לבנים ו- 6נותרו שחורים 3 לבנים ו- 7נותרו

שחורים

שאלות נוספות:

ג. מה ההסתברות שהכדור השני שחור

ד. מה ההסתברות שהכדור השני לבן ?

0.91 ו. 97 / 300תשובות: ג.

ה. מה ההסתברות ששני הכדורים שחורים

ו. מה ההסתברות שלפחות כדור אחד לבן

הזכויות שמורות למטח כל©  

מטח

Page 86: שאלון 804  הסתברות -למרתון - מועד ב - תשעג

תרגיל – חשוב!!!

רמזים הזכויות שמורות למטח כל  ©

כדורים שחורים 7 כדורים אדומים ו – 5 כדורים לבנים ,4בכד

כדורים בזה אחר זה ללא החזרה .3מוציאים באקראי

א. מה ההסתברות ששלושת הכדורים שהוצאו הם בעלי אותו צבע?.

ב. אם ידוע ששלושת הכדורים הם מאותו צבע מה ההסתברות שכולם

לבנים ??

Page 87: שאלון 804  הסתברות -למרתון - מועד ב - תשעג

תרגיל - רמזים

הזכויות שמורות למטח כל  ©

כדורים שחורים 7 כדורים אדומים ו – 5 כדורים לבנים ,4בכד

כדורים בזה אחר זה ללא החזרה .3מוציאים באקראי

א. מה ההסתברות ששלושת הכדורים שהוצאו הם בעלי אותו צבע?.

ב. אם ידוע ששלושת הכדורים הם מאותו צבע מה ההסתברות שכולם לבנים ??

ההסתברות ששלושת הכדורים יהיו לבנים : 141516

24

14

2

15

3

16

4

ההסתברות ששלושת הכדורים יהיו אדומים : 141516

60

14

3

15

4

16

5

ההסתברות ששלושת הכדורים יהיו מאותו צבע :

141516ההסתברות ששלושת הכדורים יהיו שחורים :

210

14

5

15

6

16

7

80

7

141516

294

141516

210

141516

60

141516

24

=) ידוע ששלושת הכדורים מאותו צבע /כולם P 49לבנים(

4

294

24

141516

294141516

24

Page 88: שאלון 804  הסתברות -למרתון - מועד ב - תשעג

88

הסתברות מותנית

2דוגמה

נשים.80 גברים ו-120 אנשים : 200באולם הרצאות

מעשנות.30 מעשנים ,ובין הנשים 60מבין הגברים

( A - לבחור אשה השלם: _____ = ) – לבחור גבר Aנגדיר : P

B גבר או אשה ( מעשן – לבחור( ( = _____ :השלם B ) P

)גבר או אשה( לא מעשן - לבחור

ננסה לרשום את הנתונים בכתיב הסתברותי :

מעשנים 60מבין הגברים

מעשנות 30מבין הנשים

A

B

הזכויות שמורות למטח כל©  

מטח

Page 89: שאלון 804  הסתברות -למרתון - מועד ב - תשעג

89

המשך2דוגמה מעשנות.30 מעשנים ,ובין הנשים 60 נשים. מבין הגברים 80 גברים ו-120 אנשים : 200באולם הרצאות

)גבר או אשה ( מעשן – לבחור B , גבר – לבחור Aנגדיר :

) P , 0.45= 200 / 90 = ) B ( A = ) 120 / 200= 0.6מהשיקופית הקודמת קיבלנו : P

= = )אשה / מעשנת ( 30/80 = ⅜ נשים : 80 מעשנות מתוך 30P

P(A/B = )60/ 120 =½ גברים לכן: 120 מעשנים מתוך 60

ענו על השאלות הבאות: )רישמו בכתיב הסתברותי (

מה ההסתברות שהוא לא מעשן ? _________________________ גבר בוחרים

מה ההסתברות שהוא לא מעשן ? אדם) גבר או אשה ( באולם בוחרים ___________

? בוחרים מעשן , מה ההסתברות שזו אשה ______________________________

מה ההסתברות שהוא גבר מעשן ? אדם) גבר או אשה ( באולם בוחרים ___________

(/) ABP

התשובות.... הזכויות שמורות למטח כל©  

מטח

Page 90: שאלון 804  הסתברות -למרתון - מועד ב - תשעג

90

- המשך- פתרון1תרגיל מעשנות.30 מעשנים ,ובין הנשים 60 נשים. מבין הגברים 80 גברים ו-120 אנשים : 200באולם הרצאות

)גבר או אשה ( מעשן – לבחור B , גבר – לבחור Aנגדיר :

) P , 0.45= 200 / 90 = ) B ( A = ) 120 / 200= 0.6מהשיקופית הקודמת קיבלנו : P

= = )אשה / מעשנת ( 30/80 = ⅜ נשים : 80 מעשנות מתוך 30P

P(A/B = )60/ 120 =½ גברים לכן: 120 מעשנים מתוך 60

ענו על השאלות הבאות: )רשום בכתיב הסתברותי (

מה ההסתברות שהוא לא מעשן ? _________________________ גבר בוחרים

מה ההסתברות שהוא לא מעשן ? אדם) גבר או אשה ( באולם בוחרים ___________

? בוחרים מעשן , מה ההסתברות שזו אשה ______________________________

מה ההסתברות שהוא גבר מעשן ? אדם) גבר או אשה ( באולם בוחרים ___________

(/) ABP

550.() BP

50120

60.(/) ABP

3

1

90

30(/) BAP

30200

60.() BAP

המשך.... הזכויות שמורות למטח כל©  

מטח

Page 91: שאלון 804  הסתברות -למרתון - מועד ב - תשעג

91

-המשך1תרגיל

60 30 5060

גברים 60מעשנים

נשים מעשנות30

נשים לא 50 גברים לא מעשנים60מעשנות

(B A)

B A BA

BA

()

()

()

(/)

(/)

BAP

BAP

BAP

ABP

BAP

– לבחור )גבר או אשה( B – לבחור גבר , Aנגדיר : מעשן

לפעמים נוח לראות את הנתונים:

) נסחו גם במילים (חשבו את ההסתברויות הבאות:

רמזים הזכויות שמורות למטח כל©  

מטח

Page 92: שאלון 804  הסתברות -למרתון - מועד ב - תשעג

92

-פתרון2דוגמה

60 30 5060

גברים 60מעשנים

נשים מעשנות30

נשים לא 50 גברים לא מעשנים60מעשנות

(B A)

B A BA

BA

– לבחור )גבר או אשה( B – לבחור גבר , Aנגדיר : מעשן

לפעמים נוח לראות את הנתונים:

) נסחו גם במילים (חשבו את ההסתברויות הבאות:

()

()

()

(/)

(/)

BAP

BAP

BAP

ABP

BAP =)לא מעשנים/ 50/110Pנשים(

P=)נשים/ לא מעשנים(50/80

P=)נשים לא מעשנות(50/200

P=)נשים מעשנות(30/200

P=)גברים לא מעשנים(60/200

שימו לב :

הוא יחסית לאוכלוסיה החיתוך כולה

וה''בתנאי'' הוא יחסית לתת אוכלוסיה

המשך.... הזכויות שמורות למטח כל©  

מטח

Page 93: שאלון 804  הסתברות -למרתון - מועד ב - תשעג

93

נשים

A

גברים903060 -Bמעשנים

1105060-לא מעשנים

20080120

A

B

אם הנתונים מרוכזים בטבלה:

(/)

(/)

ABP

BAP

חשבו מהטבלה את ההסתברויות :

נבחר לא מעשן,מה ההסתב' שהוא גבר

:נסח במיליםשלםה

___________________

-המשך2דוגמה

שימו לב !

בתוך הטבלה

מופיעים רק

חיתוכים של מאורעות

התפלגות הגברים לפי העישון

התפלגות המעשנים לפי מין

המשך... הזכויות שמורות למטח כל©  

מטח

Page 94: שאלון 804  הסתברות -למרתון - מועד ב - תשעג

94

נשים

A

גברים903060 -Bמעשנים

1105060-לא מעשנים

20080120

A

B

אם הנתונים מרוכזים בטבלה: -המשך2דוגמה

שימו לב !

בתוך הטבלה

מופיעים רק

חיתוכים של מאורעות

המשך...

AP)B((B A) P B

1P)A(

A

BBP) (

AP) (

B ( A) PB ( ) P A

( B ) P A

טבלת ההסתברויות

- פרופורציות

0.55

0.45 0.15 0.3

0.30.25

0.4 0.6

הזכויות שמורות למטח כל©  

מטח

Page 95: שאלון 804  הסתברות -למרתון - מועד ב - תשעג

95

AP)B((B A) P B

1P)A(

A

BBP) (

AP) (

B ( A) PB ( ) P A

( B ) P A

()

()(/)

()

()(/)

AP

BAPABP

BP

BAPBAP

()()() BAPBAPBP

לפעמים נוח יותר לרכז את ההסתברויות בטבלה

שים לב !

בתוך הטבלה מופיעים רק

חיתוכים של מאורעות

את ההסתברויות המותנות מחשבים בעזרת הנוסחאות

משמאל

סכום השורה

הזכויות שמורות למטח כל©  

מטח

Page 96: שאלון 804  הסתברות -למרתון - מועד ב - תשעג

96

דוגמאות להסתברות מותנה 2הראינו

במצגות הקרובות - נתרכז בבעיות כמו בעיית הכד - ונשתמש בדיאגרמת עץ

בהן לאוכלוסיה יש שתי תכונות – 2ובהמשך - נתרכז בבעיות כמו דוגמה

ונציג את הנתונים בטבלה

ואחרי שנכיר כל סוג – נערוך דיון - לגבי שיטת הפתרון – בעזרת עץ או טבלה

ישנה דרך נוספת - במקום טבלה , הערה:

לפתור רק באמצעות נוסחאות – נציג אותה גם בהמשך

הזכויות שמורות למטח כל©  

מטח

Page 97: שאלון 804  הסתברות -למרתון - מועד ב - תשעג

97 )/()()/()()(

)()()(

ABPAPABPAPBP

BAPBAPBP

נוסחת ההסתב' השלמה:

רכוז הנוסחאות בהסתברות:

P ) A B( = )B / A (Pהסתברות מותנה

A - ו Bבלתי תלויים P ) B ( )A ( P= )B A (P

()()()()הסתברות של איחוד מאורעות BAPBPAPBAP

()()() BPAPBAP זרים אז:B ו- Aאם

B ) 0 )A(P ו-Aנתונים שני מאורעות הסתברות מותנית

P(B/ A – מסומנת ע''י ) B בתנאי A הסתברות המותנית של

קרה )התקיים B , כאשר ידוע שמאורע A ההסתברות שיקרה מאורע )

הזכויות שמורות למטח כל©  

מטח

P ) B/A ( )A ( P= )B / A (P בייס נוסחת

(B)P

(B)P

Page 98: שאלון 804  הסתברות -למרתון - מועד ב - תשעג

98

הנוסחאות בהסתברות שיצורפו לטופס הבחינה :

הזכויות שמורות למטח כל©  

מטח

לא בדף :

98 )/()()/()()(

)()()(

ABPAPABPAPBP

BAPBAPBP

נוסחת ההסתב' השלמה:

A – ו Bתלויים P ) B /A( )A ( P= )B A (P

A - ו Bבלתי תלויים P ) B ( )A ( P= )B A (P

Page 99: שאלון 804  הסתברות -למרתון - מועד ב - תשעג

99

1תרגיל

5 מהתלמידים לומדים 20% בנים , 60% תלמידים , 1000בשכבת י''ב בעיר רמת גן יח'

יח'.5 בנים לומדים ב – 120

- תלמידה – תלמיד בן Aנגדיר :

B -יח' 5 – לומד /ת ב – יח'5 - לא ב

AB

תרגמו את הנתונים לכתיב הסתברותי:

בנים 60%

יח' 5 מהתלמידים לומדים 20%

יח'. 5 בנים לומדים ב – 120

מטח

Page 100: שאלון 804  הסתברות -למרתון - מועד ב - תשעג

100

– רמזים לתרגום הנתונים1תרגיל

5 מהתלמידים לומדים 20% בנים , 60% תלמידים , 1000בשכבת י''ב בעיר רמת גן יח'

יח'.5 בנים לומדים ב – 120

- תלמידה – תלמיד בן Aנגדיר :

B -יח' 5 – לומד /ת ב – יח'5 - לא ב A B:תרגמו את הנתונים לכתיב הסתברותי

בנים60%

יח'5 מהתלמידים לומדים 20%

יח'. 5 בנים לומדים ב – 120

6.0)(4.0)( APAP

2.0)(8.0)( BPBP

12.01000

120)( BAP

במצב כזה כדאי לנו להציג את הנתונים בטבלה דיון

מטח

Page 101: שאלון 804  הסתברות -למרתון - מועד ב - תשעג

101

- המשך דיון 1תרגיל

5 מהתלמידים לומדים 20% בנים , 60% תלמידים , 1000בשכבת י''ב בעיר רמת גן יח'

יח'.5 בנים לומדים ב – 120

יח'5 – לומד /ת ב- B – תלמיד בן , Aנגדיר :

בנות

A

בנים

-B – יח'5ב

יח'5לא ב – -

1000

A

B

השלימו את הטבלה: בכמויות ובהסתברויות

הטבלה....

6.0)(4.0)( APAP

2.0)(8.0)( BPBP

12.0)( BAP

וחשבו את :

)/(,)/( ABPABP

)(

)()/(

)(

)()/(

BP

APABP

BP

BAPBAP

מטח

Page 102: שאלון 804  הסתברות -למרתון - מועד ב - תשעג

102

בנות

A

בנים20080120 -B – יח'5ב

יח'5-לא ב – 800320480

1000400600

A

B

הנתונים מרוכזים בטבלה: -המשך1תרגיל

AP)B((B A) P B

1P)A(

A

BBP) (

AP) (

B ( A) PB ( ) P A

( B ) P A

טבלת ההסתברויות- פרופורציות

0.8

0.2 0.08 0.12

0.480.32

0.4 0.6

P יח' ( 5)בנים / לומדי ם

600 / 120 ( =A/ B ) P

0.2 (= A/ B ) P

P יח' ( 5)בנים / לומדי ם

2060

120.

.

.

()

()(/)

AP

ABPABP

0.2 ( = B ) P

0.2 (= A/ B ) P

(B)P) A (P =)B A (P

מהבנות 20%במקרה כזה נאמר שהרמה במתמט' והמין בלתי תלויים- כי המבנים לומדים מתמטיקה20%לומדות מתמטיקה ו-

מתקיים גם :

P יח' ( 5)בנים / לומדי ם

400 / 80 ( =A/ B ) P

0.2 (= A/ B ) P

-

-

2.04.0

08.0

)(

)()/(

AP

ABPABP

מטח

Page 103: שאלון 804  הסתברות -למרתון - מועד ב - תשעג

103

הזכויות שמורות למטח כל©  

מטח

הסתברות מותנית-הצגת נתונים בטבלה/ עץ

Page 104: שאלון 804  הסתברות -למרתון - מועד ב - תשעג

104

1תרגיל

אחוז מכלל העובדים נשואים 45% גברים, 65%במפעל גדול

נשים נשואות.30% ו -

- קבוצת הנשואים B - קבוצת הגברים A : נסמן

תרגמו את הנתונים לכתיב הסתברותי

תרגום הנתונים הזכויות שמורות למטח כל©  

מטח

Page 105: שאלון 804  הסתברות -למרתון - מועד ב - תשעג

105

- תרגום הנתונים – מה נבחר : עץ או טבלה 1תרגיל

אחוז מכלל העובדים נשואים 45% גברים, 65%במפעל גדול

נשים נשואות.30% ו -

- קבוצת הנשואים B - קבוצת הגברים A : נסמן

תרגמו את הנתונים לכתיב הסתברותי

הבחירה

3.0)(

55.0)(45.0)(

35.0)(65.0)(

BAP

BPBP

APAP

הזכויות שמורות למטח כל©  

מטח

Page 106: שאלון 804  הסתברות -למרתון - מועד ב - תשעג

106

- הבחירה טבלה 1תרגיל

אחוז מכלל העובדים נשואים 45% גברים, 65%במפעל גדול

נשים נשואות.30% ו -

- קבוצת הנשואים B - קבוצת הגברים A : נסמן

תרגמו את הנתונים לכתיב הסתברותי

המשך דיון

3.0)(

55.0)(45.0)(

35.0)(65.0)(

BAP

BPBP

APAP

נבחר להציג את הנתונים בטבלה –כי אפשר למלא אותה במלואה בעזרת הנתונים

AP)B((B A) P B

1P)A(

A

BBP) (

AP) (

B ( A) PB ( ) P A

( B ) P A נשואים

לא נשואים

נשיםגברים

0.650.35

0.45 0.3

0.55

0.050.5

0.15

– את בכחולהנתונים מהשאלה , - באדוםסמון ב:ההשלמות

מטח

Page 107: שאלון 804  הסתברות -למרתון - מועד ב - תשעג

107

AP)B((B A) P B

1P)A(

A

BBP) (

AP) (

B ( A) PB ( ) P A

( B ) P A

A

BBP) (

AP) (

B ( A) PB ( ) P A

( B ) P A נשואים

לא נשואים

נשיםגברים

0.650.35

0.45 0.3

0.550.05 0.5

0.15

P =) גברים / נשואים (

P =) נשים / נשואים (

P =) נשואים / נשים (

חשבו את ההסתברויות הבאות:

פתרון

)( – דיון1תרגיל

)()/(

)(

)()/(

BP

APABP

BP

BAPBAP

הזכויות שמורות למטח כל©  

מטח

Page 108: שאלון 804  הסתברות -למרתון - מועד ב - תשעג

108

15

AP)B((B A) P B

1P)A(

A

BBP) (

AP) (

B ( A) PB ( ) P A

( B ) P A

()

()(/)

AP

BAPABP

A

BBP) (

AP) (

B ( A) PB ( ) P A

( B ) P A נשואים

לא נשואים

נשיםגברים

0.650.35

0.45 0.3

0.550.05 0.5

0.15

P =) גברים / נשואים ( 13

2

650

10

.

.

()

()(/)

AP

BAPABP

P =) נשים / נשואים (

7

6

350

30

.

.

()

()(/)

BP

BAPBAP

P =) נשואים / נשים (

3

2

450

30

.

.

רשום הסתברותי מדויק:

– רמזים 1תרגיל

הזכויות שמורות למטח כל©  

מטח

Page 109: שאלון 804  הסתברות -למרתון - מועד ב - תשעג

109

נשואים.30%בקבוצת סטודנטים יש

מבין הנשואים צופים בערוץ הספורט .50%

מבין הלא נשואים צופים בערוץ הספורט.80%

מה ההסתברות שנבחר סטודנט והוא נוהג לצפות בערוץ הספורט

2תרגיל

– סטודנט נשויAנגדיר :

B סטודנט צופה בערוץ ספורט –

נתרגם את הנתונים לכתיב הסתברותי:

תשובה... הזכויות שמורות למטח כל©  

מטח

Page 110: שאלון 804  הסתברות -למרתון - מועד ב - תשעג

110

מבין הנשואים צופים בערוץ הספורט .50% נשואים. 30%בקבוצת סטודנטים יש

מבין הלא נשואים צופים בערוץ הספורט.80%

מה ההסתברות שנבחר סטודנט והוא נוהג לצפות בערוץ הספורט

- תרגום הנתונים 2תרגיל

A סטודנט נשוי – B צופה בערוץ ספורט –

תרגום הנתונים לכתיב הסתברותי:

=P = ) לא נשוי A(P 0.7)( = P = )נשוי( 0.3

B /A (P( = P = ) נשוי / צופה(0.5

=P = ) לא נשוי / צופה(0.8

()AP

(/) ABP

כיצד נתאר את הנתונים – טבלה או עץ ??

כתיב הסתברותי מדויק

הזכויות שמורות למטח כל©  

מטח

Page 111: שאלון 804  הסתברות -למרתון - מועד ב - תשעג

111

- נסיון להציג בעץ2תרגיל

A סטודנט נשוי – B צופה בערוץ ספורט –

=P = ) לא נשוי A(P 0.7)( = P = )נשוי( 0.3

B /A (P( = P = ) נשוי / צופה(0.5

=P = ) לא נשוי / צופה(0.8

ננסה למלא ב-''עץ'' את ההסתברויות:

()AP

(/) ABP

מבין הנשואים צופים בערוץ 50% נשואים. 30%בקבוצת סטודנטים יש הספורט .

מבין הלא נשואים צופים בערוץ הספורט.80%

מה ההסתברות שנבחר סטודנט והוא נוהג לצפות בערוץ הספורט - (B ) P

הזכויות שמורות למטח כל©  

מטח

Page 112: שאלון 804  הסתברות -למרתון - מועד ב - תשעג

112

- מילוי העץ 2תרגיל

A סטודנט נשוי – B סטודנט צופה בערוץ ספורט –

=P = ) לא נשוי A(P 0.7)( = P = )נשוי( 0.3

B /A (P( = P = ) נשוי / צופה(0.5

=P = ) לא נשוי / צופה(0.8

()AP

(/) ABP

P)A( ()AP

(/) ABPP)B/A(

(/) ABP (/) ABP

0.3=0.7=

0.5=0.5= 0.8= 0.2=

נציב את הנתונים:

( Bמה ההסתברות שנבחר סטודנט והוא נוהג לצפות בערוץ הספורט - ) P

– את בכחולהנתונים מהשאלה , - באדוםסמון ב:ההשלמות

רמזים הזכויות שמורות למטח כל©  

מטח

Page 113: שאלון 804  הסתברות -למרתון - מועד ב - תשעג

113

-רמזים 2תרגיל

A סטודנט נשוי – B סטודנט צופה בערוץ ספורט –

=P = ) לא נשוי A(P 0.7)( = P = )נשוי( 0.3

B /A (P( = P = ) נשוי / צופה(0.5

=P = ) לא נשוי / צופה(0.8

()AP

(/) ABP

P)A( ()AP

(/) ABPP)B/A(

(/) ABP (/) ABP

0.3=0.7=

0.5=0.5= 0.8= 0.2=

= 0.7 + 0.5 0.3 0.8 = 0.71נציב את הנתונים: )B(P

( Bמה ההסתברות שנבחר סטודנט והוא נוהג לצפות בערוץ הספורט - ) P

ניסיון להציג את הנתונים בטבלה

הזכויות שמורות למטח כל©  

מטח

Page 114: שאלון 804  הסתברות -למרתון - מועד ב - תשעג

114

- סעיף חשוב : 2תרגיל

בחרו סטודנט הצופה בתוכניות ספורט –מה ההסתברות שהוא נשוי?

A סטודנט נשוי – B סטודנט צופה בערוץ ספורט –

=P = ) לא נשוי A(P 0.7)( = P = )נשוי( 0.3

B /A (P( = P = ) נשוי / צופה(0.5

=P = ) לא נשוי / צופה(0.8

()AP

(/) ABP

P)A( ()AP

(/) ABPP)B/A(

(/) ABP (/) ABP

0.3=0.7=

0.5=0.5= 0.8= 0.2=

0.7 + 0.5 0.3 = )B(P 0.8 = 0.71מסעיף קודם :

P ( Bההסתברות שנבחר סטודנט והוא נוהג לצפות בערוץ הספורט - )

רמזים הזכויות שמורות למטח כל©  

מטח

Page 115: שאלון 804  הסתברות -למרתון - מועד ב - תשעג

115

- סעיף חשוב – רמזים 2תרגיל

בחרו סטודנט הצופה בתוכניות ספורט –מה ההסתברות שהוא נשוי?

A סטודנט נשוי – B סטודנט צופה בערוץ ספורט –

=P = ) לא נשוי A(P 0.7)( = P = )נשוי( 0.3

B /A (P( = P = ) נשוי / צופה(0.5

=P = ) לא נשוי / צופה(0.8

()AP

(/) ABP

P)A( ()AP

(/) ABPP)B/A(

(/) ABP (/) ABP

0.3=0.7=

0.5=0.5= 0.8= 0.2=

= 0.7 + 0.5 0.3 0.8 = 0.71נציב את הנתונים: )B(P

P ( Bההסתברות שנבחר סטודנט והוא נוהג לצפות בערוץ הספורט - )

ניסיון להציג את הנתונים בטבלה

הזכויות שמורות למטח כל©  

מטח)(

)()/(

)(

)()/(

BP

APABP

BP

BAPBAP

71.05.03.0

)(

)()/(

)(

)()/(

BP

APABP

BP

BAPBAP

Page 116: שאלון 804  הסתברות -למרתון - מועד ב - תשעג

116

- נסיון להציג בטבלה2תרגיל

A סטודנט נשוי – B צופה בערוץ ספורט –

=P = ) לא נשוי A(P 0.7)( = P = )נשוי( 0.3

B /A (P( = P = ) נשוי / צופה(0.5

=P = ) לא נשוי / צופה(0.8

ננסה למלא ב-''עץ'' את ההסתברויות:

()AP

(/) ABP

מבין הנשואים צופים בערוץ 50% נשואים. 30%בקבוצת סטודנטים יש הספורט .

מבין הלא נשואים צופים בערוץ הספורט.80%

P ( Bמה ההסתברות שנבחר סטודנט והוא נוהג לצפות בערוץ הספורט - )

P)A( 1

B(B A) PP)B(

AA

BBP) (

AP) (

B ( A) PB ( ) P A

( B ) P A צופה

לא צופה

לא נשוינשוי

רמזים

)(

)()/(

BP

BAPBAP

הזכויות שמורות למטח כל©  

מטח

Page 117: שאלון 804  הסתברות -למרתון - מועד ב - תשעג

117

- פתרון בעזרת טבלה2תרגיל

A סטודנט נשוי – B צופה בערוץ ספורט –

=P = ) לא נשוי A(P 0.7)( = P = )נשוי( 0.3

B /A (P( = P = ) נשוי / צופה(0.5

=P = ) לא נשוי / צופה(0.8

ננסה למלא ב-''עץ'' את ההסתברויות:

()AP

(/) ABP

מבין הנשואים צופים בערוץ 50% נשואים. 30%בקבוצת סטודנטים יש הספורט .

מבין הלא נשואים צופים בערוץ הספורט.80%

P ( B= ) 0.71ההסתברות שנבחר סטודנט והוא נוהג לצפות בערוץ הספורט -

P)A( 1

B(B A) PP)B(

AA

BBP) (

AP) (

B ( A) PB ( ) P A

( B ) P A צופה

לא צופה

לא נשוינשוי

)(

)()/(

BP

BAPBAP

0.30.7

נחלץ בעזרת חיתוכים הנוסחאות

ונכניס לטבלה

15.03.05.0)(

)(

)()/(

BAP

AP

BAPABP

56.06.08.0)(

)(

)()/(

BAP

AP

BAPABP

0.150.560.71

הזכויות שמורות למטח כל©  

מטח

Page 118: שאלון 804  הסתברות -למרתון - מועד ב - תשעג

118 הזכויות שמורות למטח כל  ©

– חורף תשע''ב804 - שאלון 3שאלה

דיון – סעיף א'

מפעל מיצר מחשבים.

ממחשבים המיוצרים במפעל הם לא תקינים.6%

מהמחשבים הלא 2% מהמחשבים התקינים ו – 95%

תקינים מזוהים על ידי היחידה לבקרת איכות כתקינים.

א. מה ההסתברות שמחשב יזוהה כתקין ?

פעמים ) הבדיקות אינן תלויות זו 4היחידה לבקרת איכות בודקת כל מחשב

בזו.(

פעמים כתקין , הוא נמכר עם התווית של המפעל.4אם המחשב זוהה

פעמים כתקין , הוא נמכר במחיר נמוך בלי התווית של 3אם המחשב זוהה

המפעל.

פעמים כלא תקין , הוא נשלח למחזור.2אם המחשב זוהה לפחות

ב. מהי ההסתברות שמחשב יימכר עם התווית של המפעל ?

ג. מהי ההסתברות שהמחשב ישלח למחזור ?

בתשובותיך דייק עד ארבע ספרות אחרי הנקודה העשרונית

Page 119: שאלון 804  הסתברות -למרתון - מועד ב - תשעג

119 הזכויות שמורות למטח כל  ©

- דיון – סעיף א'3שאלה

רמזים – סעיף א'

מפעל מיצר מחשבים.

ממחשבים המיוצרים במפעל הם לא תקינים.6%

מהמחשבים הלא 2% מהמחשבים התקינים ו – 95%

תקינים מזוהים על ידי היחידה לבקרת איכות כתקינים.

א. מה ההסתברות שמחשב יזוהה כתקין ?

– מחשב שמזוהה כתקיןB - מחשב תקין , Aנגדיר :

תרגמו את הנתונים לכתיב הסתברותי ופתרו

Page 120: שאלון 804  הסתברות -למרתון - מועד ב - תשעג

120 הזכויות שמורות למטח כל  ©

- רמזים – סעיף א'3שאלה

דרך נוספת

מפעל מיצר מחשבים.

ממחשבים המיוצרים במפעל הם לא תקינים.6%

מהמחשבים הלא 2% מהמחשבים התקינים ו – 95%

תקינים מזוהים על ידי היחידה לבקרת איכות כתקינים.

א. מה ההסתברות שמחשב יזוהה כתקין ?

– מחשב שמזוהה כתקיןB - מחשב תקין , Aנגדיר :

06.0)(94.0)( APAP

02.0)/(95.0)/( ABPABP

על פי נוסחת ההסתברות השלמה:

)()(

)()/()()/()(

ABPABP

APABPAPABPBP

8942.006.002.094.095.0)( BP

8942.0)( BP

AA

Page 121: שאלון 804  הסתברות -למרתון - מועד ב - תשעג

121 הזכויות שמורות למטח כל  ©

- רמזים – סעיף א'3שאלה

דיון – סעיף ב'

מפעל מיצר מחשבים.

ממחשבים המיוצרים במפעל הם לא תקינים.6%

מהמחשבים הלא 2% מהמחשבים התקינים ו – 95%

תקינים מזוהים על ידי היחידה לבקרת איכות כתקינים.

א. מה ההסתברות שמחשב יזוהה כתקין ? – מחשב שמזוהה כתקיןB - מחשב תקין , Aנגדיר :

06.0)(94.0)( APAP

02.0)/(95.0)/( ABPABP

+-

+-+-0.02 0.95

0.94

0.05

A0.06

מזוהה כ...0.98

8942.006.002.094.095.0)( BP

Page 122: שאלון 804  הסתברות -למרתון - מועד ב - תשעג

122 הזכויות שמורות למטח כל  ©

- דיון – סעיף ב'3שאלה

רמזים – סעיף ב'

מפעל מיצר מחשבים.

א. מה ההסתברות שמחשב יזוהה כתקין ?

פעמים ) הבדיקות אינן תלויות זו 4היחידה לבקרת איכות בודקת כל מחשב

בזו.(

פעמים כתקין , הוא נמכר עם התווית של המפעל.4אם המחשב זוהה

פעמים כתקין , הוא נמכר במחיר נמוך בלי התווית של 3אם המחשב זוהה

המפעל.

פעמים כלא תקין , הוא נשלח למחזור.2אם המחשב זוהה לפחות

ב. מהי ההסתברות שמחשב יימכר עם התווית של המפעל ?

8942.0)( BP

Page 123: שאלון 804  הסתברות -למרתון - מועד ב - תשעג

123 הזכויות שמורות למטח כל  ©

- רמזים – סעיף ב'3שאלה

דיון – סעיף ג'

מפעל מיצר מחשבים.

א. מה ההסתברות שמחשב יזוהה כתקין. ?

פעמים ) הבדיקות אינן תלויות זו 4היחידה לבקרת איכות בודקת כל מחשב

בזו.(

פעמים כתקין , הוא נמכר עם התווית של המפעל.4אם המחשב זוהה

פעמים כתקין , הוא נמכר במחיר נמוך בלי התווית של 3אם המחשב זוהה

המפעל.

פעמים כלא תקין , הוא נשלח למחזור.2אם המחשב זוהה לפחות

ב. מהי ההסתברות שמחשב יימכר עם התווית של המפעל ?

8942.0)( BP

פעמים כתקין , הוא נמכר עם התווית של המפעל.4 אם המחשב זוהה

פעמים 4 היחידה לבקרת איכות בודקת כל מחשב

63935.08942.0כלומר בכל ארבעת הבדיקות הוא זוהה כתקין 4

= P , 4 =0.8942 נסיונות בלתי תלויים כאשר ההסתברות להצלחה n =4– אלה דרך נוספת K

knkn pp

k

nkp

()() 1

63935.08942.0)8942.01(8942.04

4)4( 4444

4

p

Page 124: שאלון 804  הסתברות -למרתון - מועד ב - תשעג

124 הזכויות שמורות למטח כל  ©

- דיון – סעיף ג'3שאלה

רמזים – סעיף ג'

מפעל מיצר מחשבים.

א. מה ההסתברות שמחשב יזוהה כתקין ?

פעמים ) הבדיקות אינן תלויות זו 4היחידה לבקרת איכות בודקת כל מחשב

בזו.(

פעמים כתקין , הוא נמכר עם התווית של המפעל.4אם המחשב זוהה

פעמים כתקין , הוא נמכר במחיר נמוך בלי התווית של 3אם המחשב זוהה

המפעל.

פעמים כלא תקין , הוא נשלח למחזור.2אם המחשב זוהה לפחות

ב. מהי ההסתברות שמחשב יימכר עם התווית של המפעל ?

8942.0)( BP

ג. מהי ההסתברות שהמחשב ישלח למחזור ?

בתשובותיך דייק עד ארבע ספרות אחרי הנקודה העשרונית

Page 125: שאלון 804  הסתברות -למרתון - מועד ב - תשעג

125 הזכויות שמורות למטח כל  ©

- רמזים – סעיף ג'3שאלה

מפעל מיצר מחשבים.

א. מה ההסתברות שמחשב יזוהה כתקין ?

פעמים ) הבדיקות אינן תלויות זו בזו.(4היחידה לבקרת איכות בודקת כל מחשב

פעמים כתקין , הוא נמכר עם התווית של המפעל.4אם המחשב זוהה

פעמים כתקין , הוא נמכר במחיר נמוך בלי התווית של המפעל.3אם המחשב זוהה

פעמים כלא תקין , הוא נשלח למחזור.2אם המחשב זוהה לפחות

8942.0)( BP

ג. מהי ההסתברות שהמחשב ישלח למחזור ?

נגדיר הצלחה : הבדיקה הראתה שהמחשב לא תקין

1058.08942.01)(1)( BPBPp

P = 0.1058 והסתברות להצלחה n=4זוהי התפלגות בינומית עם

knkn pp

k

nkp

()() 1

058.03026.063935.01)1058.01(1058.01

4)1058.01(1058.0

0

41)2(

)1()0(1)2(1)2(

1410404

4444

kp

kpkpkpkp

בכל ארבעת הבדיקות הוא זוהה כתקין

תשובה: ההסתברות שהמחשב ישלח למחזור היא : 0.05806

Page 126: שאלון 804  הסתברות -למרתון - מועד ב - תשעג

הזכויות שמורות למטח כל©  

- קיץ תשע''ג - מועד א' 804בגרות 21.5.13

– הסתברות3שאלה

Page 127: שאלון 804  הסתברות -למרתון - מועד ב - תשעג

127

הזכויות שמורות למטח כל  ©

– קיץ תשע''ג – מועד א'804 - שאלון 3שאלה

דיון- סעיף א'

Page 128: שאלון 804  הסתברות -למרתון - מועד ב - תשעג

128

הזכויות שמורות למטח כל  ©

- דיון – סעיף א'3שאלה

רמזים - סעיף א'

Page 129: שאלון 804  הסתברות -למרתון - מועד ב - תשעג

129

הזכויות שמורות למטח כל  ©

- רמזים – סעיף א'3שאלה

דיון - סעיף ב'

אדום לבן

ורדורד

12

112

8

3

2

P- 1 ההסתברות לבחור פרח לבן : הסתברות לבחור פרח אדום Pנסמן :

P 1-P

0.25 ) ורד (= P7

22731812/25.0

12

1)1(

12

8 pPPPPP

3

2

7

2

P( ורד =) 0.25

תרגום הנתונים לעץ:

P=) ורד/ אדום ( P אדום ( ) ורד

P) ורד( =

0.25= 21

16

Page 130: שאלון 804  הסתברות -למרתון - מועד ב - תשעג

130

הזכויות שמורות למטח כל  ©

- דיון – סעיף ב'3שאלה

רמזים - סעיף ב'

7

2)( אדוםP

P( ורד =) 0.25

אדום לבן

ורדורד

12

112

8

3

2

7

2

7

5

Page 131: שאלון 804  הסתברות -למרתון - מועד ב - תשעג

131 הזכויות שמורות למטח כל  ©

- רמזים – סעיף ב'3שאלה

7

2)( אדוםP

P( ורד =) 0.25

אדום לבן

ורדורד

12

112

8

3

2

7

2

7

5

P=) ורד אדום ( P אדום ( =) ורד21

4

3

2

7

2

x

1

30021

41575

21

4300

x ערך משולש

1575מספר הפרחים במחסן :

157530021

4 xx

xמס' הפרחים במחסן –

דרך א'דרך ב'