Ευκλειδης Α 84

Μαθηματικό περιοδικό για το ΓΥΜΝΑΙΙΟ

ΑΠΡΙΛΙΟΣ • ΜΑiΟΣ • ΙΟΥΝΙΟΣ 2012 εuριίι 3,00

ιA!d(jl!Z1rt'tl&if &fltl !M�tl� �

ιfflrz&i(!1!1rt!lt:!!ilf iJ flZl!!�

g(j](ZJ�C?ίJl[l'tl� z/{}wf:d{f}!Mrq

ΜΑθΗΜΑτΙΚΟ ΠΕΡΙΟΔΙΚΟ ΠΛΗΡΟΦΟΡΗΣΗΣ ,

yια το yυμνασιο Τεύχος 84

ευκλείδης a� Απρ(λι.ος - Μά"ι:ος - Ιούvι.ος 2012 Τιμή Τεύχους Ευρώ 3,00

e-maίl: [email protected], www.hms.gr .

ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ --��--

Γενικά "Αρθρα .ι' Η ομορφιά των Μαθηματικών στις Εικαστικές Τέχνες . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 .ι' Μπασχηματισμοί στο επίπεδο, Μ. Παυλάκη . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . • . 2 .ι' Στοιχεία Ιστορίας Μαθηματικών σε Γραtπά από τα Μαθηματικά, Γ. Ωραιόποuλος . . . • . . . . . . 6 .ι' •Η απολογία ενός Μαθηματικού", Στ. Αλαφάκη . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . • 23

Α" Τάξη y" ιι �

' θ ' ' 'ξ Κ Σ 'λ 9 ,_εραιοι αρι μοι, εννοιες και πρα εις, . α αρης . . . . . . . . . . • . . . . . . . • . . . . . . • • • . . . . . . . .

.ι' Επαναληtπικές ασκήσεις, Ρ. Κιούφτη . . . . . . . . . . . . . • . . . • • • • . . . . • • • • • . . . • . . . . . . . • . . . . 12

Β'" Τάξη .ι' Μια διαδρομή στα μαθηματικά της Β' γυμνασίου, κ. Μαλλιάκας . . • . • • . . . . . • • • . . . . . . . . . . . 15 y" Ειιαvοληπnκές ασκήσεις , Γ. Λuμπεpόποuλος, Τ. Μπακάλης, Μ. Σίσκοu . . . • • . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

Γ' Τάξη .ι' Στοιχεία Ισrορίας Μαθημσnκών σε Γραπrά σιτό m Μαθημσnκά της Γ Γυμνασίου , r. Ωραιόποuλος 21 ν" Η )1Χiφική πuράσmση της συνάρτησης y = α χ 2 + β χ + γ, Στ. Τσικοπούλοu . . . . . . . . • • . . • . . . . 2 7 .ι' Προβλήμαm ... παντού!, Κ. Καλλέργης - Μ. Μορφοπούλοu . . . . . . . . • . . . . . . . . . . . . . . . . . . . • . . . . 31 ν" Επαναληπnκά Θέμαm, Π. Αρyύρη . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . • • . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

Σελίδες για όλους .ι' Μαθηματικοί Διαγωνισμοί, Επιτροπή Διαywvισμώv . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 .ι' "Χαίρομαι να λύνω •.. ", π. Κuράvας . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 .ι' Χρήση νέων τεχνολογιών, π. Αρyύρη . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . • . • . . . . • 43 .ι' Κρυμμένοι νόμοι, Κ. Νταyιάvτας- Γ. Τσαπακιοης ..... ...... .... ....... ............. ... . . . . .. . ... . 46 .ι' Τα Μαθηματικά μας διασκεδάζουν, Σ. Γεwρyίοu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . • • • . . . . . . 49

••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••

ΕΚΔΟΣΗ ΤΗΣ ΜΑΘΗΜΑτΙΚΗΣ ΕτΑΙΡΕΙΑΣ ΠΑΝΕΠιΣΤΗΜιΟΥ 34- 106 79 ΑΘΗΝΑ Τηλ.: 210 3617784-3616532 Fax: 210 3641025

Εκδότης: Καλογeρόπουλος Γρηγόριος Διeυθυντής: Εμμανουήλ Κρητικός

Κωδικός ΕΛ.ΤΑ.: 2054 ISSN: 1105 - 7998

Επιμέλεια -Εκδοαης: Αλαφάκη Σταυρούλα Βαρόπουλος Δήμος

Συντακτική επιτροπή

Επίτιμος Πpόeδρος: Ωραιόπουλος Γeώργιος Πρόeδρος: Βαρόπουλος Δήμος Αντιπρόeδρος Α":

Κυράνας Παναγιώτης Αντιπρόeδρος Β":

Λυμπeρόπουλος Γeώργιος Γραμματeία:

Αλαφάκη Σταυρούλα Σίσκου Μαρία

Μέλη: Αλαφάκη Σταυρούλα Αλeξανδράτου 'Αννα Αργύρη Παναγιώτα Γeωργίου Σπύρος Γληνού Αικατι:ρίνη Κιούφτη Ροϊδούλα

Κυράνας Παναγιώτης Λαγός Γeώργιος Λυμπeρόπουλος Γeώργιος Μανδρώνη Αικατeρίνη Μeνδωνίδης Γeώργιος Μορφοπούλου Μαρία Μπακάλης Αναστάσιος Πανουσάκης Νικόλαος Παπασταυρίδης Σταύρος Πουλάκη Μαρία Ρίζος Γι:ώργιος Σάλαρης Κωνσταντίνος Σίσκου Μαρία Τζίφος Νικόλαος Τσαπακίδης Γι:ώργιος Τσικοπούλου Στάμη Χριστοδούλου Ντόρα Χρυσοβέργης Μιχαήλ Ωραιόπουλος Γι:ώργιος

••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••

ΙΔΙΟΚfΗΣΙΑ rnς ΕΛΛΗΝΙΚΗΣ ΜΑΘΗΜΑΠΚΗΣ ffAIPEIAΣ

Ετοιχειοθεvία - Εελιδοποίηvη: ΕΜΗΝ/ΚΗ ΜΑΘΗΜΑ ΠΚΗ ΠΑ/ΡΕ/Α

Εκτύπωcrη: ROTOPRINT fA. ΜΠΡΟΥΣΑΛΗ & Σ/Α EEJ. τηλ.: 270 6623778-358

Υnειίluνος τunογpαφείοu: Δ. Παπαδόπουλος

• Τα διαφημιζόμενα βιβλία δε σημαίνει 6π προτείνονrαι από την Ε.Μ.Ε. • Οι συνερyασίες, τα άρθρα, οι προτεινόμενες ασκήσεις, οι λύσεις ασκήσεων κτλ. πρtπει

να σrέλvονrαι iyκαιρα, αrα γραφεία της Ε.Μ.Ε. με την ένδειξη "Για τον Ευκλείδη Κ". Τα χειρόγραφα δεν εmοτρέφονrαι. Όλα τα ά& υπόκεινrαι σε κρίση UI!L'IJιiG ·!ΛΙΜ Ετήσια σννδρομή (10,00+2,00 Ταχvδρομικά=εvρώ 12,00). Ετήσια σννδρομή για Σχολεία εvρώ 10,00 Το oνrfnμo yια τα τεύχη που παραyyέλvονrαι οτε'λνεται: 1. Με απλή ταχυδρομική εmταyή σε διαταyή Ε.Μ.Ε. Ταχ. Γραφείο Αθήνα 54 Τ.θ. 30044 2. Στην ιοτοσελRiα της Ε.Μ.Ε., όπου υπάρχει δυνατότητα τρmrεζικής συναλλαyής με την τράπεζα EUROBANK 3. Πληρώνεται αrα γραφεία της Ε.Μ.Ε. 4. Με αvπκαmβολή, σε εταιρεία ταχυμεταφορών στο χώρο σας, κατά την παραλαβή.

Η ομορφιά των Μαθηματικών στις Εικαστικές Τέχνες

Την Τετάρτη 14 Μαρτίου ο κ. Claude Ρ. Bruter, ομότιμος καθηγητής του Πανεπιστημίου Paris ΧΙΙ, πρόεδρος της Ευρωπαϊκής Ένωσης για τα Μαθηματικά και την Τέχνη (ESMA), μίλησε σε εκδήλωση που διοργάνωσε η Ελληνική Μαθηματική Εταιρεία και το Ιδρυμα Ευγενίδου, με θέμα

«Η ομορφιά των Μαθηματικών στις Εικαστικές Τέχνες».

Σε μια κατάμεστη αίθουσα ο κ. Claude Ρ. Bruter, ανέλυσε τη στενή σχέση των Μαθηματικών και της Τέχνης. Επίσης παρουσίασε την ιδέα δημιουργίας Μαθηματικού Πάρκου (σχέδιο ARp ΑΜ), ενός συνόλου μικρών κτισμάτων ιδιαίτερα καλοφτιαγμένων που θα προσείλκυαν το κοινό, ενώ, εξαιτίας του μαθηματικού περιεχομένου τους, του αρχιτεκτονικού σχεδιασμού και της εξωτερικής και εσωτερικής διακόσμησης τους θα αποτελούσαν ένα παιδαγωγικό εργαλείο.

Ο κ. Claude Bruter ενδιαφέρεται για την εκλαίκευση των Μαθηματικών. Οι πρώτες εκθέσεις που οργάνωσε με τίτλο «Μαθηματικά και Τέχνες» έδωσαν τη δυνατότητα στο ευρύ κοινό να έλθει σε ουσιαστική επαφή με τον κόσμο των Μαθηματικών αβίαστα και χωρίς ιδιαίτερη προσπάθεια. Το μέγιστο ενδιαφέρον του είναι να καταρριφθούν τα ψυχολογικά εμπόδια που δημιουργούν στον πολύ κόσμο απέχθεια για τα μαθηματικά. Να γίνουν τα μαθηματικά προσφιλή στο

ευρύ κοινό και να εκλείψει η σχολική αντίληψη ότι πρόκειται για ένα μάθημα που το καταλαβαίνουν μόνο κάποιοι λίγοι και ξεχωριστοί και δεν έχει καμία σχέση με τον κόσμο γύρω μας.

Την Πέμπτη 1 5 Μαρτίου 20 1 2 επισκέφθηκε το 9ο Γυμνάσιο Νίκαιας συνοδευόμενος από τον κ. Βαρόπουλο Δημοσθένη, Μαθηματικό, μέλος του Δ.Σ. της Ελληνικής Μαθηματικής Εταιρείας.

Ο καθηγητής έκανε μάθημα σε μαθητές της Α' τάξης του σχολείου. Χρησιμοποιώντας πολύ απλά, κατανοητά αλλά εντυπωσιακά παραδείγματα, δίδαξε στους μαθητές μας σημαντικές έννοιες στα μαθηματικά, κατάφερε να κεντρίσει το ενδιαφέρον τους και να αναδείξει τη στενή σχέση ανάμεσα στα Μαθηματικά και την Τέχνη. Μέσα από απλά παραδείγματα, που εντάσσονται στον αισθητό κόσμο, οι μαθητές ήρθαν σε ε-παφή με τα Μαθηματικά, με τρόπο που ξεφεύγει από παραδοσιακή διδασκαλία.

Ο καθηγητής κ. Claude Bruter επιδεικνύει στους μαθητές κάποιες από τις κατασκευές που είχε φέρει μαζί του για τις ανάγκες του μαθήματος.

Αναμνηστική φωτογραφία του καθηγητή Claude Bnιter με μαθητές του σχολείου, τη Διευθύντρια κ. Κ. Γληνού. τον κ. Δ. Βαρόπουλο μέλος του Δ .Σ. της Ε. ΜΕ. και του; καθηγητές του σχολείου, κ. Εμμ. Ψαρουδάκη Μαθημα -κό, κ. Χ Παπασίνου Μαθηματικό και κ. Ζ.Τρομαρίδοι, Καθηγήτρια Γαλλικών, η οποία ανέλαβε τη μετάορ της παρουσίασης του καθηγητή στους μαθητέ-:.

ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ Α' 84 τ.4/1

Μετασχηματ ι σμοί στο επίπεδο Μ. Πουλάκη

Αν και τα τελευταία χρόνια η Γεωμετρία είχε υποτιμηθεί στα προγράμματα σπουδών των σχολείων μας, με το νέο πρόγραμμα σπουδών που εφαρμόζεται πιλοτικά σε 1 88 σχολεία (Νηπιαγωγεία- Δημοτικά - Γυμνάσια) επανακάμπτει, κυρίως μέσω των γεωμετρικών μετασχηματισμών των οποίων η αξία και η σημασία στη διδασκαλία των Μαθηματικών είναι ευρύτατα αναγνωρισμένη από τη μαθηματική κοινότητα.

Escher

Με την εισαγωγή των μετασχηματισμών επιδιώκεται να αποκτήσουν οι μαθητές μια ευελιξία στον τρόπο της γεωμετρικής τους σκέψης και να τους χρησιμοποιούν ως εργαλείο για τη μελέτη και αιτιολόγηση των ιδιοτήτων των γεωμετρικών σχημάτων. Όλοι οι μαθητές έχουν βιωματικές εμπειρίες από μετασχηματισμούς. Όταν μεταφέρουν μια εικόνα από το ένα χαρτί στο άλλο, όταν κάνουν σμίκρυνση ή μεγέθυνση και όταν παρατηρούν αντικείμενα που έχουν περιστραφεί γύρω από ένα σημείο στην πραγματικότητα εφαρμόζουν τους αντίστοιχους μετασχηματισμούς στο επίπεδο. Σήμερα η ύπαρξη εκπαιδευτικών λογισμικών μας δίνει τη δυνατότητα μελέτης των μετασχηματισμών με απλό και κατανοητό τρόπο.

Ο μετασχηματισμός είναι μια διαδικασία κατά την οποία:

•:• Κάθε σημείο στο αρχικό σχήμα έχει ένα μοναδικό σημείο εικόνα (ή είδωλο). •:• Κάθε σημείο στην εικόνα (είδωλο) είναι η εικόνα (είδωλο) μόνο ενός σημείου.

Υπάρχουν διάφορα είδη μετασχηματισμών , όπως: Ισομετρίες (μεταφορά, στροφή, συμμετρία), Ομοιότητες, Αντιστροφές, Προβολές. Στο Γυμνάσιο μελετάμε εκείνους τους μετασχηματισμούς

στους οποίους δεν αλλάζουν μορφή τα σχήματα.

Στη Β' Γυμνασίου θα ασχοληθούμε με τη συμμετρία , τη μεταφορά και τη στροφή. Σ' αυτούς τους μετασχηματισμούς εκτός από τη μορφή παραμένει σταθερό και το μέγεθος. Στη Γ Γυμνασίου έχουμε το μετασχηματισμό ομοιότητας (ομοιοθεσία) στον οποίο η εικόνα (είδωλο) διατηρεί τη μορφή αλλά αυξομειώνεται το μέγεθος. Οι μετασχηματισμοί είναι εξαιρετικά χρήσιμοι αφού κα

ταρχήν μας δίνουν τη δυνατότητα να κατασκευάσουμε σχήματα με κλίμακα, ίσα σχήματα, πλακοστρώσεις, φράκταλς κ.ά.


------------ Μετασχηματισμοί στο επίπεδο ------------ΣΤΡΟΦΗ (Rotation)

Για να στρέψουμε ένα σχήμα πρέπει να γνωρίζουμε 1) Το κέντρο στροφής(ή περιστροφής) 2) Τη γωνία στροφής (ή περιστροφής) και 3) Τη φορά της στροφής ( σύμφωνα με τους δείκτες του ρολογιού ή αντίθετα)

� ΣΤΡΟΦΗ ΣΗΜΕΙΟΥ Α κατά γωνία 90° με κέντρο στροφής Ο.

Α •

0·,)

.,Α' Α' .-

ο�

·:· Η στροφή να γίνει σύμφωνα με τους δείκτες του ρολογιού (γωνία -90°). Ονομάζουμε Α' το είδωλο του Α. Προσοχή ΟΑ = ΟΑ' Τι τρίγωνο είναι το ΑΟΑ';

•:• Η στροφή να γίνει αντίθετα με τους δείκτες του ρολογιού (γωνία 90°). Ονομάζουμε Α' το είδωλο του Α.

Εικl:Στροφή ΑΒ κατά γωνία 90° με κέντρο Κ Εικ2:Στροφή ΑΒ κατά γωνία - 90° με κέντρο Κ


------------ Μετασχηματισμοί στο επίπεδο ------------

z

Β

·� Α

π

Λ. L-.1 =t-'-"""""1

Μ Ν

Μ'

ΑΣΚΗΣΕΙΣ 1) ΣΤΡΟΦΗ ΕΥΘ. ΤΜΗΜΑΤΟΣ: α) Στροφή του ΑΒ κατά 90° με κέντρο στροφής το Α .

β) Στροφή του ΣΤ κατά γωνία -90° με κέντρο το Υ ( σύμφωνα με τους δείκτες του ρολογιού). Β 2) ΣΤΡΟΦΗ ΤΡΙΓΩΝΟΥ: α) Στροφή του ΖΕΗ κατά γωνία -90° με κέντρο το Η ( σύμφωνα με τους δείκτες του ρολογιού).

β) Στροφή του ΜΞΝ κατά 90° με κέντρο το Π. 3) ΣΤΡΟΦΗ ΤΡΙΓΩΝΟΥ κατά γωνία 90° με κέντρο στροφής το Ο. Μπορείτε να κάνετε διαδοχικές στροφές; Τι σας θυμίζει το σχήμα που προκύπτει; 4) Μήπως μπορείτε με την στροφή να κατασκευάσετε ισόπλευρο τρίγωνο;

ο

Β Γ

Α Δ

5) Να στρέψετε το ΑΒΓΔ α) κατά γωνία 90° με κέντρο στροφής το Ο. β) κατά γωνία 1 80°με κέντρο στροφής το Ο.

6) Πώς μπορούμε να συνδυάσουμε το συμμετρικό σημείου ως προς κέντρο Ο με την στροφή


------------ Μετασχηματισμοί στο επίπεδο -----------

σημείου ως προς κέντρο; Να κάνετε σχήμα . . Α

ο. 7) Σε τετραγωνισμένο χαρτί να κάνετε ορθοκανονικό σύστημα αξόνων, να βρείτε τα σημεία α) A(l,O), Β(5,0) και να τα στρέψετε 90° σύμφωνα με τους δείκτες του ρολογιού με κέντρο το (3,0) β) Γ(2,3), Δ( - 1 ,0) και να τα στρέψετε 1 80° γύρω από το (0, 1 ) .

8) Το τρίγωνο2 είναι η εικόνα του τριγώνου Ι έπειτα από στροφή 90°. Μπορείτε να βρείτε το κέντρο της στροφής;

•Α'

9) Περιγράψτε πώς προέκυψε το Α 'Β 'Γ ' Δ ' από το ΑΒΓ Δ;

•

e·

.

10) Με ποιους μετασχηματισμούς του σχήματος 1 προέκυψαν τα σχήματα 2 και 3 ;

Το εξώφυλλο μας

Γ' ..

Δ'

3

2

Νεκρή φύση: Πέντε γυάλινες επιφάνειες σε τραπέζι. Αυτή η εικόνα είναι το αποτέλεσμα μιας συνεργασίας μεταξύ του μαθηματικού Richard Palais και του γραφίστα Luc Benard. Στο έργο αυτό απονεμήθηκε το πρώτο βραβείο, στην κατηγορία «Εικόνα», του Εθνικού Ιδρύματος Επιστημών I Science Magazine 2006. Οι πέντε μαθηματικές επιφάνειες που απεικονίζονται είναι (αρχίζοντας από κάτω αριστερά και κινούμενοι δεξιόστροφα): το μπουκάλι Κlein, η συμμετρική 4- Noid, η επιφάνεια εξαέρωσης, η επιφάνεια του Boy's και η Sievert-Enneper επιφάνεια. Οι !

επιφάνειες στην εικόνα δημιουργήθηκαν χρησιμοποιώvτα.; το 3D-X lorMath.


Ο 1 Μεyάλες κ α 1 Χρήσιμες Εξισώσεις- Τύποι ====================================================== Γ. Ωραιόπουλος

Δ. Τα Μαθηματικά του 2000 και 2100 αιώνα Ο Κάντορ (1845-1918), εβραϊκής καταγω

γής δίδαξε στο γερμανικό πανεπιστήμιο της Halle. Αυτός δημιούργησε τη θεωρία των συνόλων με σύμβολα με τα οποία εκφράζονται εξισώσεις και συστήματα. Παράδειγμα: Να aπεικονιστεί στο Καρτεσιανό επίπεδο η τομή των ευθειών:

(χ, y)[ χ -y-1 = O]n( x,y)[2x -2y = ο] .

Στη θεωρία των συνόλων ακολουθήθηκαν μερικά παράδοξα που επιβράδυναν την ανάπτυξή τους όπως: Ένας ψεύτης λέει: «Όσα λέω είναι ψέματα>) . Τότε ψευδόμενος λέει την αλήθεια. Άρα η δήλωσή του δεν είναι σωστή και το αληθές είναι ότι ψεύδεται. Ο Άγγλος μαθηματικός φιλόσοφος Ράσελ εξήγησε τα παράδοξα. Ο Χίλμπερτ υποστηρίζει ότι τα παράδοξα μας οδήγησαν στα απειροσύνολα.

Κάντορ ( 1 845-19 18 )

Πουανκαρέ (1854-1912), Μέλος της Γαλλικής Ακαδημίας, εξαιρετικός καθηγητής στο Πανεπιστήμιο της Σορβόννης με τεράστια επιστημονική παραγωγή στα Μαθηματικά, σε κλάδους Φυσικής και της Αστρονομίας. Μελέτησε τις παλίρροιες με ολοκληρωτικές εξισώσεις.

Πουανκαρέ (1 854-1 912)

Ο Poincare εκφράζει ρητά τις συντεταγμένες των σημείων αλγεβρικής καμπύλης, καθώς και τα ολοκληρώματα των διαφορικών εξισώσεων. Τα γραπτά του σε άρθρα και συγγράμματα και σε συζητήσεις με τους μαθητές του και χιλιάδες αναγνώστες του τον έκαναν γνωστό, άξιο θαυμασμού. Κάποια από τα έργα του είναι: «Η αξία της Επιστήμης)), «Επιστήμη και υπόθεσψ) κ.α.

Ο Γκάους (1777-1858), που θεωρείται ο μεγαλύτερος μαθηματικός του 1 8°υ αιώνα, ήταν ο νέος Αρχιμήδης. Έλεγε πως «Τα μαθηματικά είναι η βασίλισσα των επιστημών και η Αριθμητική είναι η βασίλισσα των Μαθηματικών)) . Απέδειξε το θεώρημα <<Κάθε εξίσωση ν βαθμού έχει ν ρίζεφ). Κατασκεύασε με κανόνα και διαβήτη το κανονικό 1 7/γωνο. Απέδειξε με νέο τρόπο το Πυθαγόρειο Θεώρημα. Μελέτησε τον Απειροστικό Λογισμό και συμπλήρωσε τον Λάιμπνιτς με νέες εξισώσεις, με συναρτήσεις και απειροσειρές.

•' ( .�.,1"�/; ........ -�'· .,..ι.&..- ,-... ...-.. .� ... ' .....

�-:,., ....... _., . ,, ..... .,.:-Ο Γκάους είχε αντιρρήσεις για το 5° αίτη

μα του Ευκλείδη αλλά δε μίλησε. Αργότερα οι μαθηματικοί, ο Ούγγρος Μπολιέι (1802-1860) και ο Ρώσος Λομπατσέφσκι (1793-1856) ανεξάρτητα ο ένας από τον άλλο έγραψαν δυο νέ-


----------- Οι μεγάλες και χρήσιμες Εξισώσεις - Τύποι ---------

ες μη Ευκλείδειες Γεωμετρίες με δικά τους αξιώματα.

Ο Γερμανός Ρήμαν (1820-1860), δημιούργησε τη νέα Γεωμετρία της οποίας όλα τα θεωρήματα επαληθεύονται στο φυσικό κόσμο που ζούμε. Ο ίδιος συνέχισε τις εργασίες του Γκάους στο Πανεπιστήμιο της Γοτίγγης στα Ανώτερα Μαθηματικά, τη Μαθηματική Φυσική και τη Φιλοσοφία. Μελέτησε τις Γραμμικές Διαφορικές Εξισώσεις και την κατανομή των πρώτων αριθμών.

Ρήμαν (1 820-1 860)

Με τις θεωρίες του Ρήμαν ασχολήθηκαν πολλοί Μαθηματικοί στην Ευρώπη, ακόμη και στην Αμερική όπως θα δούμε στο επόμενο κεφάλαιο.

Ο Άγγλος Σάννον (1916-2001), παιδί πήγε στην Αμερική, όπου σπούδασε Μαθηματικός και Ηλεκτρολόγος. Με την περίφημη δημοσίευσή του το 1948 «Α mathematίcal theory of communίcatίon» ίδρυσε την επιστήμη της Θεωρία της Πληροφορίας, με την οποία κατέστη δυνατόν να υπολογιστούν τα όρια των μέσων αποθηκεύσεως και μεταφοράς πληροφοριών, ανεξάρτητα από τα χρησιμοποιούμενα τεχνικά μέσα. Θεωρείται ο πρώτος που συνειδητοποίησε και περιέγραψε τη δυνατότητα παραστάσεως και μεταφοράς πληροφοριών κάθε μορφής με σύμβολα 1 και Ο που αποτελούν τη μαθηματική απεικόνιση της διελεύσεως ή μη ρεύματος σε ένα αγωγό.

Όλες σχεδόν οι επιστήμες με τη μαθηματικοποίησή τους μπορούν να δίνουν τις ιδιότητες και τους νόμους τους με εξισώσεις, των οποίων κάθε σύμβολο είναι μια ποσότητα μετρήσιμη.

Σάννον (1916-2001)

Θα γράψουμε ένα παράδειγμα από τη Χημεία. Πάνω από την ατμόσφαιρα της Γης σε ύψος 50km υπάρχει ένα στρώμα από Όζον (03), που προστατεύει τη ζωή από τις υπεριώδεις ακτινοβολίες. Στα μέσα του 20°υ αιώνα παρουσιάστηκε μείωση του Ο3 πάνω από την Ανταρκτική, δημιουργήθηκε τρύπα στο στρώμα του όζοντος και περνούσε η βλαβερή ακτινοβολία στη γήινη επιφάνεια. Αυτό οφειλόταν στη περιβαλλοντική καταστροφή και σε ενώσεις του αζώτου που διασπούσαν το όζον (03=02+0 αλλά και Ο2=Ο+Ο). Μια τρίτη εξίσωση όμως παράγει πάλι όζον: Ο2+Ο=Ο3. Οι εργασίες αυτές έγιναν από Αμερικανούς χημικούς και συνεχίζονται.

Ο Χίλμπερτ (1862-1943), παρακολουθώντας την ανάπτυξη των Μαθηματικών από Γάλλους, αποφάσισε να τους φτάσει. Ιδιαίτερα όταν ο Πουανκαρέ έγραψε προβλήματα για να τα λύσουν νεότεροι μαθηματικοί, ο Χίλμπερτ, το 1900, πήγε στο Διεθνές Μαθηματικό Συνέδριο στο Παρίσι και παρουσίασε 23 ερευνητικά προγράμματα με προβλήματα και εξισώσεις. Από αυτά μερικά έχουν λυθεί, άλλα περιμένουν τη λύση τους.

Ο μεγάλος αυτός γερμανός Μαθηματικός, στο βιβλίο του «Θεμέλια της Γεωμετρίας>> αναλύει τα αξιώματα της Ευκλείδειας Γεωμετρίας, αναφέρει τις μη Ευκλείδειες Γεωμετρίες και εξηγεί πώς η σύγχρονη αξιωματική έρευνα βελτιώνει τα επιτεύγματα των αρχαίων ελλήνων. Η σοφία της λογικής σκέψης απορρίπτει τις μαρτυρίες των αισθήσεων.


----------- Οι μεγάλες και χρήσιμες Εξισώσεις - Τύποι ---------

Δαβίδ Χίλμπερτ 1 862 - 1 943

Ο Χίλμπερτ συνέχισε τις εργασίες του Γκάους και του Ρήμαν για τη θεωρία του Δυναμικού και την ανάλυση των αριθμών σε πρώτους παράγοντες.

Το 1900 ο Μαξ Πλανκ (1858-1946) και ο Άλμπερτ Άινστάιν (1879-1955) διατύπωσαν τη θεωρία του κβάντα, δηλαδή πως η ενέργεια δεν είναι κυματική αλλά μεταδίδεται με σωματίδια, μικρές aπειροελάχιστες ποσότητες, που τις ονόμασαν κβάντα ενέργειες. Η εξίσωση του Plank για την ενέργεια του κάθε κβάντα είναι E=h.f όπου h είναι η σταθερά του Πλάνκ και f η συχνότητα της ακτινοβολίας.

Έτσι το φωτόνιο- κβάντα από το μικρόκοσμο του ατόμου συγκρίνεται με το απέραντο τετραδιάστατο Σύμπαν.

Ο Αϊνστάιν, το 1905, έδωσε την ιστορική ξ, Ε 2 ' Ε ' ε ισωση =mc οπου η ενεργεια που απε-

λευθερώνεται από σωματίδιο ατόμου μάζας m όταν διασπάται ο πυρήνας του και c η ταχύτητα του φωτός στο κενό c=300000km/sec.

Παράδειγμα: Α ν ενός ατόμου από το στοιχείο Ουράνιο

διασπαστεί ο πυρήνας του και ένα ηλεκτρόνιο μάζας m και ένα ποζιτρόνιο μάζας m κινούμενα σε τροχιές συγκρουστούν, εξαφανίζονται οι μάζες τους 2m και η ενέργεια που θα απελευθερωθεί θα είναι E=2mc2•

Αργότερα ο Αϊνστάιν με τη Γενική Θεωρία της Σχετικότητας αναφέρθηκε στο τετραδιάστατο χωροχρονικό Σύμπαν.

Στην Ευκλείδεια Γεωμετρία των 3 διαστάσεων η aπειροστή απόσταση δυο ση μείων εί-

d 2d 2d 2d 2 ' ναι: s = χ + y + z οπου x,y , z οι συντεταγ-μένες της ευθείας απόστασης ενώ στη χωροχρονική θεωρία μπαίνει και 4η συντεταγμένη του χρόνου t: ds2=dt2 -dx2 -dy 2 -dz 2.

Εδώ συγκρίνει τις ιδιότητες του απέραντου Σύμπαντος με τον aπειροελάχιστο κόσμο του εσωτερικού των ατόμων με τα σωματίδιά τους.

Την εξίσωση της Γενικής Θεωρίας της Σχετικότητας δεν την αναφέρω επειδή έγιναν πολλές τροποποιήσεις. Ο ίδιος αναφέρει ότι αν και άλλαξε τους νόμους του Ευκλείδη, του Γαλιλαίου και του Νεύτωνα, στηρίχθηκε στους ώμους τους για να δημιουργήσει τους δικούς του νόμους, που ισχύουν σε μεγάλες αποστάσεις, ταχύτητες και χρόνους.

Δίνω μια αναφορά από το παράδοξο του ρολογιού που το δικαιολογεί ο Αϊνστάιν. Ένας άνθρωπος που ταξιδεύει σε ένα μακρινό άστρο και επιστρέφει στη Γη παρατηρεί ότι δεν έχει γεράσει όπως έχουν οι δικοί του της ίδιας ηλικίας . . .


Ακέρα 101 ΑρΙθμοί Έννο 1ες κα 1 Πράξε 1ς

Ο παππούς στη περίοδο των διακοπών μάζεψε τα τέσσερα εγγόνια του, το Γιώργο την Αθηνά τον Κωνσταντίνο και τον Αλέξανδρο στο κήπο του εξοχικού του και χρησιμοποιώντας ένα μαυροπίνακα κάτω από μια γέρικη σκιερή μουριά άρχισε να τους μιλάει για τους θετικούς και αρνητικούς ακέραιους αριθμούς, τονίζοντάς τους ότι έχει λάβει υπόψη του, ότι γνωρίζουν τις βασικές έννοιες από το σχολείο τους.

c _10

ι ::.

lti ��· "Ξ

__ Ξ= 11 ιι Ξ ιι] . :.._;;-___ 11 ιι...§ 11...§ �= 11 ιt.§ Jt Ξ �-ο ιι-g ι(] �� Ι

Ξ -=�"' ιιg =....<• 1ιΞ -�_;;;....= 11 1ιΞ ιί§ �40

Οι φυσικοί αριθμοί, τους οποίους χρησιμοποιούν οι άνθρωποι χιλιάδες χρόνια, δεν επαρκούν για να περιγράψουμε ορισμένα μεγέθη. Η έκφραση 15 βαθμοί Κελσίου δεν περιγράφει ακριβώς την θερμοκρασία, θα πρέπει να αποσαφηνιστεί αν πρόκειται για θερμοκρασία πάνω από το Ο ή κάτω από το Ο σε ένα θερμόμετρο στήλης υδραργύρου όπου το Ο είναι η θερμοκρασία που λειώνει ο πάγος ή η θερμοκρασία που το νερό γίνεται πάγος. Στο πίνακα ενός ανελκυστήρα (ασανσέρ) αναγρά-

φονται οι όροφοι. Για να γνωρίζουμε σε ποιον όροφο αντιστοιχεί το κάθε πλήκτρο πρέπει να αποσαφηνιστεί αν πρόκειται για όροφο πάνω από το ισόγειο ή για όροφο κάτω από το ισόγειο όπου στο ισόγειο αντιστοιχεί το Ο.

Όταν λέμε 400 μέτρα από την επιφάνεια της θάλασσας θα πρέπει να γνωρίζουμε αν πρόκειται για 400 μέτρα πάνω από την επιφάνεια της θάλασσας ή 400 μέτρα κάτω από την επιφάνεια της θάλασσας.

Α

i μέτρα πάνω από την επιφ. της θάλασσας

i Επιφάνεια της θάλασσας .....ιιiι.,..

!μέτρα κάτω από την επιφ. της θάλασσας

Β

Κώστας Γ. Σάλαρης

Θα σας δώσω ακόμη ένα άλλο παράδειγμα με τους λογαριασμούς της τράπεζας. Η μαμά σου Αλέξανδρε έχει ένα λογαριασμό στη τράπεζα ύψους 2000€. Πρέπει να γνωρίζουμε αν είναι πιστωτικός ή χρεωστικός, δηλαδή αν οφείλει η μαμά σου στην τράπεζα ή η τράπεζα οφείλει στη μαμά σου. Οι πιο πάνω ανάγκες οδήγησαν τους ανθρώπους να εφεύρουν τους ακέραιους αριθμούς.

Ακέραιοι αριθμοί είναι οι προσημασμένοι φυσικοί αριθμοί: + 1,+2,+3 . . . . + 1000, . . .... (Θετικοί ακέραιοι) -1,-2,-3 ..... -lΟΟΟ, ..... (Αρνητικοί ακέραιοι) και το Ο(μηδέν) που δεν είναι ούτε θετικός ακέραιος ούτε αρνητικός ακέραιος.

Γνωρίζουμε από την γεωμετρία πως ορίζεται η ευθεία. Α ν τοποθετήσουμε το Ο και δεξιά αυτού τους θετικούς ακέραιους, αριστερά αυτού τους αρνητικούς ακέραιους, όπως φαίνεται στο παρακάτω σχήμα τότε έχουμε την ευθεία των ακέραιων αριθμών .

-6 -5 -4 -3 -2 -1 +1 +2 +3 +4 +5 +6 ο

Σε κάθε θετικό ή αρνητικό αριθμό αριστερά του υπάρχει ένα σύμβολο + για τους θετικούς και- για τους αρνητικούς. Το σύμβολο αυτό το ονομάζουμε πρόσημο. Όταν συναντάμε αριθμό χωρίς πρόσημο τον θεωρούμε θετικό αριθμό. Όπως βλέπουμε και στον πίνακα της ευθείας των ακέραιων αριθμών όλοι οι θετικοί αριθμοί είναι μεγαλύτεροι του Ο και όλοι οι αρνητικοί αριθμοί είναι μικρότεροι του Ο, αλλά και όλων των θετικών αριθμών. Μια περίπτωση αρνητικού αριθμού είναι αν ο λογαριασμός μου στην τράπεζα εμφανίζεται αρνητικός δηλαδή, όπως λέγεται στην τραπεζική διάλεκτο πιστωτικός, π.χ -1000 € αυτό σημαίνει ότι εγώ οφείλω στη τράπεζα 1000 € αντίθετα αν ο λογαριασμός μου έγραφε στο βιβλιάριο 1000 €, λογαριασμός χρεωστικός, σήμαινε ότι η τράπεζα μου όφειλε 1000€.

Θα σας δώσω τώρα μερικά παραδείγματα από την καθημερινή ζωή, ώστε να καταλάβετε τις έννοιες των θετικών και αρνητικών αριθμών καθώς και τις διαφορές τους. Γνωρίζετε το


------------ Ακέραιοι Αριθμοί Έννοιες και Πράξεις ----------

θερμόμετρο που χρησιμοποιούν οι μετεωρολόγοι για να μετρούν την ατμοσφαιρική θερμοκρασία σε βαθμούς Κελσίου. Συνήθως το θερμόμετρο αυτό είναι μια στήλη υδραργύρου που στη μέση έχει την ένδειξη μηδέν (0). Προς το επάνω μέρος του Ο έχει θετική αρίθμηση και προς το κάτω του Ο, έχει αρνητική αρίθμηση. Όταν η κορυφή της στήλης του υδραργύρου είναι στο 0°C, τότε η ατμόσφαιρα έχει θερμοκρασία 0°C, δηλαδή θερμοκρασία που λιώνει ο πάγος και μετατρέπεται σε νερό. Όταν η κορυφή της στήλης του υδραργύρου είναι στο 20 πάνω από το Ο, τότε η λέμε ότι η θερμοκρασία της ατμόσφαιρας είναι +20°C. Όταν η κορυφή της στήλης του υδραργύρου δείχνει 30 κάτω από το Ο, τότε λέμε η ατμοσφαιρική θερμοκρασία είναι - 30°C. Τέλος το Ο δεν είναι ούτε αρνητικός ούτε θετικός ακέραιος αριθμός, απλά δεν έχει πρόσημο.

Κωνσταντίνε θα σου δώσω ένα πρόβλημα να λύσεις. Ναι παππού, απαντάει ο Κωνσταντίνος, πήρα ήδη χαρτί και μολύβι και είμαι έτοιμος. Λοιπόν λέει ο παππούς, ένα βράδυ του περασμένου χειμώνα μέτρησα την θερμοκρασία στη εξωτερική βεράντα του σπιτιού μου και τη βρήκα - (fC στη συνέχεια τοποθέτησα τη συσκευή στο σαλόνι και το θερμόμετρο έδειξε + ]9°C. Μπορείς να μου πεις πόσο μεγαλύτερη είναι η θερμοκρασία του σαλονιού από τη θερμοκρασία της βεράντας;

Ο Κωνσταντίνος μετά από πεντάλεπτη σκέψη ανεβαίνει στον πίνακα και αρχίζει να εξηγεί πως βρήκε τη λύση του προβλήματος. Εδώ μιλάμε, για διαφορά, άρα έχουμε την πράξη της αφαίρεσης με μειωτέο τον + 19 και αφαιρετέο τον - 6. Μάθαμε στο σχολείο όταν έχουμε αφαίρεση ( + 1 9) - ( -6) πρέπει να

αλλάζουμε το πρόσημο του αφαιρετέου και αντί για αφαίρεση να κάνουμε πρόσθεση, δηλαδή

(+1 9) + (+6) = +25 . Μπράβο Κωνσταντίνε, σωστή η λύση σου

λέει ο παππούς και στρεφόμενος στους άλλους ρωτάει, υπάρχει κανένας που να βρήκε μια άλλη λύση.

Ο Γιώργος σηκώνει δειλά το χέρι του και λέει, αν τους δύο αριθμούς, δηλαδή τον + 19 και

τον -6 τους τοποθετήσουμε στην ευθεία των ακέραιων αριθμών και βρούμε πόσες ακέραιες μονάδες απέχουν τα δύο αυτά σημεία βρίσκουμε ότι η απόστασή τους είναι 25.

25 ακέραιες μονάδες

-6-5-4-3-2-1 ο 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1011 1213141516171819

Η Αθηνά πήρε θάρρος και λέει στον παππού τη λύση της:

Εγώ παππού φαντάζομαι την ευθεία των ακεραίων σαν ένα κλιμακοστάσιο ενός ουρανοξύστη που κάθε όροφος αντιστοιχεί σε ένα σκαλοπάτι, το Ο σκαλοπάτι είναι στο ισόγειο το - 6 είναι το σκαλοπάτι του έκτου υπογείου και το + 19 είναι το σκαλοπάτι του δέκατου ένατου ορόφου. Τώρα πως το σκέφτομαι . .. Ξεκινώ από το έκτο υπόγειο και ανεβαίνω μετρώντας τα σκαλιά, ένα για κάθε όροφο, μέχρι τον δέκατο ένατο όροφο, οπότε θα συναντήσω 25 σκαλιά. Άρα, 25 είναι η διαφορά της θερμοκρασίας. Μπράβο Αθηνά διαθέτεις δημιουργική φαντασία και πιστεύω ότι όταν μεγαλώσεις θα μπορείς να γίνεις μία καλή αρχιτέκτων.

19-18-17-

16-15-

14-

13-

12-

11-

ο---1--

-2-

-3--4-..s-..s -

DDDM DDM 0•

Συνεχίζοντας ο παππούς δίνει ακόμη ένα άλλο παράδειγμα γιατί πιστεύει ότι η κατανόηση των εννοιών των θετικών και αρνητικών αριθμών αποτελεί απαραίτητη προϋπόθεση για την σπουδή των μαθηματικών, και ξεκινώντας τη περιγραφή του λέει: Πιστεύω ότι θα σας βοηθήσει να καταλάβετε τους αρνητικούς αριθμούς και ποιες διαφορές έχουν από τους θετικούς. Ένας ανελκυστήρας (ασανσέρ) κινείται σε έναν ουρανοξύστη που έχει 20 υπόγεια κάτω από το ισόγειο και 100 ορόφους πάνω από το ισόγειο. Αν θέλουμε να αντιστοιχίσουμε ορόφους με αριθμούς θα έλεγα ότι το Ο αντιστοιχεί στο ισόγειο, τα υπόγεια θα


------------ Ακέραιοι Αριθμοί Έννοιες και Πράξεις ----------

είχαν αρνητική αρίθμηση ξεκινώντας από το μεγαλίστικο ύφος της και περίπου σκεπτόμενη πρώτο υπόγειο στο οποίο αντιστοιχεί ο αριθμός σαν τον ξάδερφο της το Γιώργο, είπε: Με αυτά -1 μέχρι το εικοστό υπόγειο που αντιστοιχεί ο παππού θα ασχολούμαι που μπορεί και τα λύνει αριθμός -20 . Σε ότι αφορά τους ορόφους, στον ο μικρός αδελφός μου ο Αλέξανδρος. πρώτο όροφο αντιστοιχεί ο αριθμός +1 μέχρι Ο παππούς γέλασε με το χιούμορ των δύο τον εκατοστό που αντιστοιχεί ο αριθμός +100. μεγάλων εγγονιών και προχώρησε με

Πάρτε τώρα χαρτί και μολύβι. Το πρόβλημα συνοπτικές διαδικασίες στις πράξεις των

λέει: ακεραίων αριθμών.

Ο ανελκυστήρας ξεκινάει τη λειτουργία του Πρώτη πράξη με την οποία θα ασχοληθούμε από τον εικοστό όροφο και κάνει την εξής είναι η πρόσθεση. Όταν έχουμε να προσθέσουμε διαδρομή: Ανεβαίνει 40 ορόφους, κατεβαίνει 50 δύο ομόσημους ακέραιους αριθμούς (ομόσημοι

ανεβαίνει 80, κατεβαίνει 100 και ανεβαίνει 30. λέγονται οι αριθμοί που έχουν το ίδιο πρόσημο)

Σε ποιον όροφο θα σταματήσει. τότε προσθέτουμε τις απόλυτες τιμές (απόλυτη

Από την έκφραση των παιδιών ο παππούς τιμή λέμε τον αριθμό που προκύπτει αν

κατάλαβε ότι το πρόβλημα φάνηκε στα παιδιά βγάλουμε το πρόσημο) των προσθετέων και

εύκολο και θα είχαν βρει όλα το σωστό διατηρούμε το κοινό πρόσημο. Παράδειγμα

αποτέλεσμα, ήθελε όμως να δει ποιο τρόπο (+6)+(+13)=+19, (-8)+(-5}=-13. Όταν έχουμε χρησιμοποίησε ο καθένας. να προσθέσουμε δύο ετερόσημους (έχουν

Πρώτος σήκωσε το χέρι του ο μικρός διαφορετικά πρόσημα) ακέραιους τότε

Αλέξανδρος και είπε: Εγώ παππού με το μυαλό αφαιρούμε από την μεγαλύτερη απόλυτη τιμή

μου μπήκα στο ασανσέρ στον εικοστό όροφο και την μικρότερη και σαν πρόσημο βάζουμε το

ξεκίνησα, ανέβηκα 40 ορόφους και πήγα στον πρόσημο του προσθετέου που έχει μεγαλύτερη

60, κατέβηκα 50 ορόφους και πήγα στον 10, απόλυτη τιμή. Παράδειγμα (+7)+(-23}=-16. Οι ανέβηκα 80 ορόφους και πήγα στον 90, ιδιότητες που ισχύουν για την πρόσθεση των κατέβηκα 100 ορόφους και πήγα στο υπόγειο φυσικών αριθμών ισχύουν και για την πρόσθεση

10, ανέβηκα 30 ορόφους και πήγα στον όροφο των ακέραιων αριθμών.

20, από εκεί που ξεκίνησα. Μπράβο Αλέξανδρε, Στη πράξη της αφαίρεσης πάντοτε

σωστή και αποδεκτή η λύση σου. αλλάζουμε το πρόσημο του αφαιρετέου και αντί

Το χέρι του σήκωσε μετά ο Κωνσταντίνος για αφαίρεση κάνουμε πρόσθεση.

και άρχισε να περιγράφει τη λύση του. Εγώ Παράδειγμα: (+ 18)-(-25)=(+ 18)+(+25)=+43. παππού θυμήθηκα τις πράξεις των ακεραίων και Στην αφαίρεση ακεραίων ισχύουν οι ιδιότητες

σκέφθηκα ότι όταν κατεβαίνω βάζω - και όταν που ισχύουν στην αφαίρεση των φυσικών

ανεβαίνω βάζω +. Έτσι τα λόγια του αριθμών με τη διαφορά ότι στους φυσικούς

προβλήματος τα έκανα σύμβολα πράξεων και αριθμούς η αφαίρεση με αφαιρετέο μεγαλύτερο

αριθμούς και κατέληξα στην αριθμητική από τον μειωτέο είναι αδύνατη, πράγμα που δεν παράσταση: ισχύει στην αφαίρεση ακεραίων.

+20 + 40 - 50 + 80 - 100 + 30 = +20 Στον πολλαπλασιασμό δύο ακεραίων πολ-

Μπράβο Κωνσταντίνε, σωστή και εσένα η λαπλασιάζουμε τις απόλυτες τιμές και σαν

λύση σου. Με την ευκαιρία θα ήθελα να σας πω, πρόσημο βάζουμε ( +) όταν οι παράγοντες είναι

ότι αυτό που έκανε ο Κωνσταντίνος λέγεται στα ομόσημοι και (-) όταν οι παράγοντες είναι

μαθηματικά μοντελοποίηση, δηλαδή παίρνω τα ετερόσημοι. Οι ιδιότητες που ισχύουν στον

λόγια ενός προβλήματος που μπορεί να είναι πολλαπλασιασμό των φυσικών αριθμών ισχύουν

γραμμένο σε οποιαδήποτε γλώσσα π.χ και στον πολλαπλασιασμό των ακέραιων

Ελληνικά, Αγγλικά, Γερμανικά, Γαλλικά και τα αριθμών.

μετατρέπω σε μαθηματική γλώσσα που έχει δικούς της κανόνες, δικιά της γραμματική ,δικά της σύμβολα και επιπλέον είναι διεθνής. Εσύ, Γιώργο, συνεχίζει ο παππούς, τι λύση έδωσες; Ο Γιώργος σκάει χαμόγελο και λέει:

Αφού παππού το έλυσε ο μικρός μου ο αδελφός ο Κωνσταντίνος με αυτά τώρα θα ασχολούμαι; Η δε Αθηνά πήρε αμέσως το

Στη διαίρεση ακέραιων αριθμών διαιρούμε τις απόλυτες τιμές διαιρετέου και διαιρέτη και βάζουμε στο πηλίκο το πρόσημο (+) α\' διαιρετέος και διαιρέτης είναι ομόσημοι και πρόσημο (-) αν διαιρετέος και διαιρέτης εi\"m ετερόσημοι. Εδώ τελειώνουμε το μάθημα JCW σας εύχομαι καλή συνέχεια σnς διακοχέ; σο.;..


Επαναληπτ 1 κές ασκήσε 1 ς

Επαναληπτικές ασκήσεις στην Άλγεβρα Α26· Δίνονται οι παραστάσεις: Α=2 ·(3 2 -15 )+3 ·(2 5 -3·7)-4 · (52 -102 :4)+92 :27

Β =53 -(32 ·5-6 8:4)-(32 ·2 3 + 2 4 )+11·1137 α) Να υπολογίσετε την τιμή τους. β) Να βρείτε το ΕΚΠ και το ΜΚΔ των αριθμών Α, Β.

Az7• Αν χ =2 ·(2�-_!_) +i ·(3�-�) 6 3 3 4 4

y = 2 . (ι + 2_ : � + �. �) -ι_!_. (i + _!_ }.�-2. �) 10 2 5 3 2 5 2 4 6 7

α) Να υπολογίσετε την τιμή τους. β) Να χαρακτηρίσετε τις παρακάτω σχέσεις ως σωστές ή λάθος:

i) χ > y, ii) χ = y, iii) χ < y Azs. Δίνονται οι αριθμοί:

3 2 4 1 2 α= 2

+5

και β= 32 -ι3 3 2

α) Να υπολογίσετε τους αριθμούς α, β. β) Να βρεθεί η τιμή της παράστασης

λ =� :� . α β

γ) Να βρεθεί ο aντίστροφος του λ . Az9· Δίνονται οι παραστάσεις:

A =(i-± +%}(%-j ·�) B=(ι-�}2 +(i-i}±

α) Να δείξετε ότι Α =� και Β=_!_. 5 2

β) Να γράψετε πέντε κλάσματα ισοδύναμα με τσΑ.

Α30• Ένα γυμνάσιο έχει 2 80 μαθητές. Από αυτούς 5 , , Δ λ , 3 τα 14

ψηφισαν να πανε στους ε φους, τα 10

στο Ναύπλιο και οι υπόλοιποι στην Αίγινα. Να βρεθεί:

α) Πόσοι μαθητές ψήφισαν τον κάθε προορισμό. β) Το ποσοστό ψήφων που πήρε κάθε πόλη.

Α31• Ένας μαθητής κατά τη διάρκεια μιας πολυήμερης εκδρομής, από τα χρήματα που είχε

Κιούφτη Ροϊδούλα

μαζί του, ξόδεψε τα 2._ των χρημάτων του για 12

φαγητό, τα � για διασκέδαση και το _!_ για να 8 6

αγοράσει κάποια δώρα. Α. Να βρείτε:

α) Τι μέρος των χρημάτων του ξόδεψε. β) Τι μέρος των χρημάτων του περίσσεψε.

Β. Α ν του περίσσεψαν 5€ να βρείτε: α) Πόσα χρήματα πήρε μαζί του στην εκδρομή. β) Πόσα χρήματα ξόδεψε για φαγητό, διασκέδαση και δώρα. γ) Τι ποσοστό των χρημάτων που πήρε μαζί του στην εκδρομή αποτελούν τα χρήματα που του περίσσεψαν.

Α32• Σε ένα γυμνάσιο για την ανάδειξη του δεκαπενταμελούς ψήφισαν 320 μαθητές.

Ο υποψήφιος Α πήρε το 35% των ψήφων, ο υποψήφιος Β πήρε 120 ψήφους και τα υπόλοιπα ψηφοδέλτια ήταν λευκά ή άκυρα. Να βρεθεί: α) Πόσες ψήφους πήρε ο Α υποψήφιος. β) τι ποσοστό πήρε ο Β υποψήφιος. γ) Πόσα ήταν τα άκυρα και λευκά ψηφοδέλτια καθώς και τι ποσοστό των ψήφων αποτελεί.

Α33• Το 201 Ο ένας υπολογιστής κόστιζε 850€. Την επόμενη χρονιά η τιμή του μειώθηκε κατά 20%, λόγω της κυκλοφορίας νέου μοντέλου, και το 2012 μειώθηκε και πάλι κατά 25%. Να βρείτε:

α) Ποια ήταν η τιμή του υπολογιστή το 2011. β) Ποια ήταν η τιμή του υπολογιστή το 2012. γ) Ποιο είναι το ποσοστό της συνολικής μείωσης.

Α34• Ένα κατάστημα ένδυσης κάνει την ίδια έκπτωση σε όλα τα είδη. Έτσι ένα παλτό αξίας 250€ πωλείται με έκπτωση στην τιμή των 150€. Να βρείτε:

α) Το ποσοστό της έκπτωσης. β) Την τιμή μετά την έκπτωση ενός παντελονιού αξίας 80€. γ) Την αρχική τιμή ενός φορέματος που πωλείται με έκπτωση 54€. δ) Α ν για το παντελόνι του ερωτήματος β στο ταμείο πρέπει να πληρώσουμε και 23% Φ.Π.Α. πόσο τελικά θα πληρώσουμε.

Α35• Καταθέτουμε στην τράπεζα ένα κεφάλαιο 20.000€ με επιτόκιο 3,5%. τι ποσό θα


------------------------------ Επαναληπτικές ασκήσε� -----------------------------

εισπράξουμε αν κάνουμε ανάληψη μετά από: α) ένα χρόνο. β) έξι μήνες.

Α36• Κάποιος κατέθεσε στην τράπεζα 12.000€ με επιτόκιο 2%. Αν οι τόκοι κεφαλαιοποιούνται, δηλαδή προστίθενται στο κεφάλαιο στο τέλος κάθε χρόνου και ξανατοκίζονται με το ίδιο επιτόκιο, να βρείτε τους τόκους που θα πάρουμε στο τέλος του

α) 1 ου χρόνου. β) 2°υ χρόνου.

Επαναληπτικές ασκήσεις στη Γεωμετρία Λ

Α37• Δίνεται η γωνία ω = 86° . α) Να σχεδιάσετε τη γωνία. β) Να υπολογίσετε την παραπληρωματική και

Λ

τη συμπληρωματική της γωνίας ω και να τις σχεδιάσετε.

Α38• Δύο γωνίες είναι παραπληρωματικές και η μία είναι τριπλάσια της άλλης. Να υπολογίσετε πόσες μοίρες είναι κάθε μία από αυτές και να τις σχεδιάσετε. Α39• Σε ένα ισοσκελές τρίγωνο ΑΒΓ με ΑΒ=ΑΓ η γωνία Α είναι 84°.

α) Να υπολογίσετε τις γωνίες του τριγώνου. β) Να χαράξετε το ύψος ΑΔ του τριγώνου και να υπολογίσετε τις γωνίες του τριγώνου ΑΔΓ.

Α40• Σε ένα τρίγωνο ΑΒΓ η γωνία Α είναι διπλάσια της Γ και η Β είναι κατά 60° μεγαλύτερη από τη Γ.

α) Να υπολογίσετε τις γωνίες του τριγώνου. β) Να χαράξετε τη διχοτόμο ΑΔ του τριγώνου ΑΒΓ και να υπολογίσετε τις γωνίες του τριγώνου ΑΔΓ.

Α4ι· Στο παρακάτω σχήμα οι ευθείες εΙ, ε2 είναι παράλληλες. Να υπολογιστούν:

α) οι γωνίες α, β, γ, η. β) οι γωνίες του τριγώνου ΑΒΓ. Να δικαιολογήσετε την απάντησή σας σε κάθε περίπτωση.

Α42· Στο παρακάτω σχήμα οι ευθείες εΙ, ε2 είναι κάθετες και η ημιευθεία Κχ είναι διχοτόμος της

Λ

γωνίας ΑΚΒ . Να υπολογιστούν οι γωνίες α, β, γ, δ και ε. Να δικαιολογήσετε την απάντησή σας σε κάθε περίπτωση.

ε2

Α43· Στο σχήμα που ακολουθεί οι ευθείες ε1 και ε2 είναι παράλληλες. Να υπολογιστούν οι γωνίες α, β και γ και να αιτιολογήσετε τις απαντήσεις σας.

ε1

ε2

Α44· Στο σχήμα που ακολουθεί οι ευθείες ε1 και ε2 είναι παράλληλες. Να υπολογιστούν οι γωνίες α, β και γ και να αιτιολογήσετε τις απαντήσεις σας.

ε2

A4s· Στο παρακάτω σχήμα οι ευθείες δίνονται ότι ε1//ε2 και δ1//δ2. Να υπολογίσετε τις γωνίες α, β, γ και δ. Να δικαιολογήσετε σε κάθε περίπτωση την απάντησή σας.


-------------- Επαναληπτικές ασκήσεις -------------

Α46• Για το επόμενο σχήμα δίνονται ότι ε1 //ε2 και ΑΒ=ΒΔ. Να υπολογίσετε τις γωνίες α, β, γ, δ και να αιτιολογήσετε τις απαντήσεις σας.

ε1

ε2 135"

Λ

Α47• Στο σχήμα δίνονται ότι ε//ΒΓ και Α . Α. Να υπολογίσετε:

α) τις γωνίες του τριγώνου ΑΒΓ. β) Τις γωνίες ω και φ.

Β. Να βρεθεί το είδος του τριγώνου ΑΒΓ : α) Ως προς τις πλευρές. β) Ως προς τις γωνίες.

Να δικαιολογήσετε σε κάθε περίπτωση την απάντησή σας.

Λ

Α48• Στο σχήμα δίνονται ότι χ'χf/ψ'ψ, Β =45° και Λ

η ημιευθεία Αχ είναι διχοτόμος της γωνίας δΑ ζ .

Α. Ν α υπολογίσετε τις γωνίες του τριγώνου ΑΒΓ. Β. Να βρεθεί το είδος του τριγώνου ΑΒΓ :

α) Ως προς τις πλευρές. β) Ως προς τις γωνίες.

Να δικαιολογήσετε σε κάθε περίπτωση την απάντησή σας.

χ'

Λ

Α49• Στο σχήμα δίνονται ότι ε1 //ε2 και Α =70° . Να υπολογίσετε: α) Τις γωνίες του τριγώνου ΑΒΓ. β) Τις γωνίες του τριγώνου Γ ΔΕ.

Λ

Α50• Στο σχήμα δίνονται ότι ε1//ε2 και ΒΓ Α= 90° . Να υπολογίσετε τις γωνίες ω, φ, ζ και να αιτιολογήσετε τις απαντήσεις σας.

ε1

ε2

Β Α

Δ


Μ ι α δ ι αδρομή μέσα στα μαθηματ ι κά της Β' Γυμνασίου

Τάξη ============== Κώστας Μαλλιάκας -1° ΓΕΛ Ρόδου

Στο άρθρο αυτό θα επιχειρήσουμε να συνδέσουμε ένα μεγάλο μέρος των Μαθηματικών της Β' γυμνασίου με την βοήθεια κυρίως ενός μεταβλητού ισοσκελούς τριγώνου, διανύοντας μια ευχάριστη διαδρομή με διάφορους σταθμούς με στόχο να επαναλάβουμε βασικές έννοιες που έχουμε συναντήσει στην τάξη αυτή .

Έστω λοιπόν ένα ισοσκελές τρίγωνο ΑΒΓ με βάση B Γ=6cm και ΑΒ=ΑΓ. Φέρνουμε επίσης το ύψος του ΑΔ. Για το τρίγωνο αυτό γνωρίζουμε από την Α' γυμνασίου ότι ο φορέας του ύψους ΑΔ θα είναι και άξονας συμμετρίας του οπότε θα ισχύουν ακόμη τα εξής:

......._ Α ..-..., ..-.._

Β= Γ , Α1 = Α2 , ΒΔ = Γ Δ = 6 : 2 cm = 3 cm , δηλαδή το ύψος ΑΔ Β θα είναι και διχοτόμος και διάμεσος του ισοσκελούς τριγώνου ΑΒΓ.

Ας δούμε τώρα κάποιες έννοιες που εμφανίζονται στο σχήμα αυτό.

1 . Εμβαδόν τριγώνου ΑΒΓ: Ε = _!_ • ΒΓ · ΑΔ 2

2. Περίμετρος τριγώνου ΑΒΓ : Π = ΑΒ + ΑΓ + ΒΓ 3 . Πυθαγόρειο θεώρημα στα τρίγωνα ΑΒΔ ή ΑΓ Δ : ΑΒ 2 = ΑΔ 2 + ΒΔ 2

Α

Δ

4 τ , θ , ξ , , ΑΔ ΒΔ ΑΔ . ριγωνομετρικοι αρι μοι ο ειας γωνιας ω : η μω = ΑΒ

, συνω = ΑΒ

, εφω = ΒΔ

Γ

Με βάση το παραπάνω σχήμα θα δούμε αρχικά κάποιες απλές εφαρμογές στις οποίες θα χρησιμοποιήσουμε και τις έννοιες των εξισώσεων, ανισώσεων, συναρτήσεων και τετραγωνικών ριζών. 1. Ποια τα μήκη των πλευρών του τριγώνου ΑΒΓ αν η περίμετρος του είναι Π = 16 cm ;

Λύση: Έστω χ η πλευρά ΑΒ οπότε και ΑΓ = χ. Τότε αφού ΒΓ = 6 έχουμε : χ+ χ+ 6 = 1 6 και λύνοντας την εξίσωση αυτή έχουμε αρχικά ότι χ+ χ= 1 6- 6, οπότε 2χ = 1 0 και τελικά χ = 5. Άρα ΑΒ = ΑΓ = 5 cm, ΒΓ = 6 cm.

2. Τι μήκος μπορεί να έχουν οι ίσες πλευρές του τριγώνου ΑΒΓ αν ΒΓ = 6 ; Λύση: Γνωρίζουμε ότι για να κατασκευάζεται ένα τρίγωνο πρέπει κάθε πλευρά του να είναι

μικρότερη από το άθροισμα των άλλων δύο (τριγωνική ανισότητα). Επομένως εδώ πρέπει: 6 <χ+ χ, δηλαδή 2χ > 6 και τελικά χ> 3. Άρα πρέπει οι ίσες πλευρές

του παραπάνω τριγώνου ΑΒΓ να είναι μεγαλύτερες από 3 cm.

3. Ποιο το μήκος του ύψους του υ = ΑΔ αν ΒΓ = 6 cm και ΑΒ = ΑΓ = 5 cm; Λύση: Με την βοήθεια του Πυθαγορείου θεωρήματος στο ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΔ βρίσουμε

ότι: ΑΔ2 = ΑΒ2 - ΒΔ2 , οπότε υ2 = 52 - 32 = 25 - 9 = 1 6 και τελικά υ= .Jl6 = 4 , δηλαδή υ = ΑΔ = 4 cm.

4. Ποιο το εμβαδόν του τριγώνου ΑΒΓ αν είναι ΒΓ = 6 cm και ΑΔ = 4 cm;

Λύση: Είναι Ε = _!_ · 6 · 4 = 1 2 , δηλαδή Ε = 1 2 cm2 • 2


-------- Μια διαδρομή μέσα στα μαθηματικά της Β' Γυμνασίου --------

5. Ποιοι οι τριγωνομετρικοί αριθμοί της γωνίας ω αν ΒΓ = 6 cm , ΑΒ = ΑΓ = 5 cm και ΑΔ=4 cm;

Λύση: Είναι η μω = ΑΔ =

4 = Ο 8 συνω =

ΒΔ = � = Ο 6 εφω = ΑΔ =

4 ΑΒ 5

' ' ΑΒ 5 ' '

ΒΔ 3

6. Να εκφράσετε την περίμετρο του ισοσκελούς τριγώνου ΑΒΓ σαν συνάρτηση των ίσων πλευ ών του αν είναι ΒΓ = 6 cm. Κατόπιν να συμπληρώσετε τον πίνακα τιμών : Πλευ ά ΑΒ 4 5 18 20

Λύση: Έστω χ η πλευρά ΑΒ = ΑΓ και y η περίμετρος του τριγώνου. Η συνάρτηση που εκφράζει την περίμετρο y του τριγώνου ΑΒΓ σε σχέση με τις ίσες πλευρές του χ είναι: y =2x + 6. Για χ = 4 είναι y = 2 ·4 +6 = 1 4 Για χ = 5 είναι y = 2 · 5 +6 = 1 6 Για y = 1 8 είναι 1 8 = 2·χ +6 οπότε λύνοντας την εξίσωση βρίσκουμε -2χ = 6 - 1 8 και τελικά χ = 6 . Για y = 2 0 είναι 2 0 = 2·χ +6 οπότε λύνοντας την εξίσωση βρίσκουμε -2χ = 6 -20 και τελικά χ = 7. Επομένως ο πίνακας τιμών είναι :

7. Να εκφράσετε το εμβαδόν του ισοσκελούς τριγώνου ΑΒΓ σαν συνάρτηση του ύψους του ΑΔ αν είναι ΒΓ = 6 cm. Κατόπιν να συμπληρώσετε τον παρακάτω πίνακα τιμών.

I :μp;δ�: Ι 4 Ι 5 lι8 Ι Ι Λύση: Έστω χ το ύψος ΑΔ και y το εμβαδόν του τριγώνου. Η συνάρτηση που εκφράζει

το εμβαδόν y του τριγώνου ΑΒΓ σε σχέση με το ύψος του χ είναι : y = _!_ • 6 · χ και τελικά 2

y = 3χ. Παρατηρούμε επίσης ότι τα ποσά χ, y είναι ανάλογα αφού η συνάρτηση τους είναι της μορφής y = αχ. Για χ = 4 είναι y = 3 ·4 = 1 2 Για χ = 5 είναι y = 3 · 5 = 1 5 Για y = 1 8 είναι 1 8 = 3 ·χ οπότε λύνοντας την εξίσωση βρίσκουμε τελικά χ = 6. Για y = 21 είναι 21 = 3 ·χ οπότε λύνοντας την εξίσωση βρίσκουμε τελικά χ = 7. Επομένως ο πίνακας τιμών είναι:

ι Ύ�ος ΑΔ : χ

8. Να εκφράσετε το ύψος ΑΔ του ισοσκελούς τριγώνου ΑΒΓ σαν συνάρτηση των ίσων πλευρών του αν είναι ΒΓ = 6 cm. Κατόπιν να συμπληρώσετε τον παρακάτω πίνακα τιμών.

I Πλευρά ΑΒ I 4 I 5 I 6 Ύψος ΑΔ


-------- Μια διαδρομή μέσα στα μαθηματικά της Β' Γυμνασίου --------

Λύση: Έστω y το ύψος ΑΔ και χ η πλευρά ΑΒ = ΑΓ. Τότε από το πυθαγόρειο θεώρημα στο τρίγωνο ΑΒΓ έχουμε: i = χ2 - 32 και τελικά αφού y > Ο σαν μήκος θα είναι : Υ = .Jx2 - 9 .

Α ν χ = 4 τότε y = .J 4 2 - 9 = .J16 - 9 = J7 . Αν χ = 5 τότε y = .J52 - 9 = .J25 - 9 = Jl6 = 4 . Αν χ = 6 τότε y = .J62 - 9 =� =m =J9.Jj = 3J3 .

Αν χ = .J58 τότε y = �(.J58)2 - 9 = .J58 - 9 = J49 = 7 . Άρα ο πίνακας τιμών της συμπληρωμένος είναι:

Πλευρά ΑΒ: χ 4 5 6 .J58 Ύψος ΑΔ: Υ J7 4 3J3 7

Α

Β Δ Γ

9. Έστω ισοσκελές τρίγωνο ΑΒΓ με ΑΒ = ΑΓ και ΒΓ = 12 και ΑΔ το ύψος του. Αν εφΑ1= 0,75 , να υπολογίσετε το ύψος του ΑΔ, την περίμετρο, το εμβαδόν του καθώς και τους τριγωνομετρικούς αριθμούς των γωνιών ω της βάσης του ΒΓ.

Λύση: Είναι εφΑ1 = ΒΔ , οπότε έχουμε: 0, 75 = _i_ και έτσι πρέπει 0,75ΑΔ = 6 και ΑΔ ΑΔ τελικά ΑΔ = 6 : 0,75 = 8. Τώρα είναι ΑΒ2 = 62 + 82 = 36 + 64 = 1 00, οπότε ΑΒ = ΑΓ = 10. π = 1 0 + 10 + 12 = 32 Ε = _!.. · 1 2 · 8 = 48

2 ΑΔ 8 η μω = ΑΒ

= 10 = 0,8 ΒΔ 6 ΑΔ 8 4 συνω =

ΑΒ =

10 = 0,6 , εφω =

ΒΔ = 6 - 3

Παρατήρηση: Οι πλευρές του και το ύψος του είναι διπλάσιες από τις πλευρές του ισοσκελούς τριγώνου με βάση 6 και ίσες πλευρές 5 ενώ το εμβαδόν του τετραπλάσιο.

10. Έστω κύκλος (Α, ρ) με ρ = 10 cm και ένα τόξο του --- ο ΒΓ = 120 . Ν α υπολογιστεί το εμβαδόν του τριγώνου ΑΒΓ και του κυκλικού τμήματος που περικλείεται από το τόξο ΒΓ = 120° και την χορδή ΒΓ. Λύση: Η γωνία .ΒΑΓ = 120° γιατί είναι επίκεντρη που βαίνει σε τόξο 120°. Το τρίγωνο ΑΒΓ είναι ισοσκελές αφού ΑΒ = ΑΓ = ρ. Άfα αφού το άθροισμα των γωνιών του θα ισούται με 1 80 και οι γωνίες της βάσης του θα είναι ίσες πρέπει: 1 20 + ω + ω = 1 80 και λύνοντας την εξίσωση βρίσκουμε ω = 30°. Φέρνοντας το ύψος ΑΔ του ισοσκελούς τριγώνου ΑΒΓ και εφαρμόζοντας τους κατάλληλους τριγωνομετρικούς αριθμούς της γωνίας ω υπολογίζουμε τις πλευρές του ορθογωνίου τριγώνου ΑΒΔ. Είναι: η μω = ΑΔ οπότε ημ30° = ΑΔ και ΑΔ = 1 Ο · ημ30° = 1 Ο ·.!. = 5

ΑΒ 10 2

συν ω = ΒΔ οπότε συν30° = ΒΔ και ΒΔ = 1 Ο · συν30° = 1 Ο · Jj = 5J3 ΑΒ 10 2


-------- Μια διαδρομή μέσα στα μαθηματικά της Β' Γυμνασίου -------

Εναλλακτικά με Πυθαγόρειο θεώρημα θα είχαμε : ΒΔ 2 = 102 - 52 = 100 - 25 = 7 5 οπότε BΔ=.fi5 = J25 · .J3 = 5.J3 ΒΓ = 2ΒΔ = 1 o.J3 cm Άρα το εμβαδόν του τ�ιγώνου ΑΒΓ θα είναι Ε = .!. · 1 o.J3 . 5 = 25.J3 cm2

2 Το εμβαδόν του κυκλικού τομέα ΑΒΓ θα είναι το 1/3 του κυκλικού δίσκου αφού 120°=1/3·360° οπότε το εμβαδόν του θα είναι Εκuκλ.τομέα = � · π · ρ2 = � · π · 1 02 = 10�π cm2 •

Το εμβαδόν του κυκλικού τμήματος (γκρίζα επιφάνεια) θα υπολογιστεί αν από το εμβαδόν του κυκλικού τομέα αφαιρέσουμε το εμβαδόν του τριγώνου οπότε:

1 00π ι;; 2 Εκuκλ.τμήματος = (-3- -25ν3) cm .

1 1. Έστω ισοσκελές τρίγωνο ΑΒΓ με βάση ΒΓ, εγγεγραμμένο ---

σε κύκλο (0, ρ). Να εκφράσετε το μέτρο του τόξου ΑΒ _,....

σαν συνάρτηση της γωνίας Α . Α) Να υπολογιστεί το ΑΒ αν Α = 48° . Β) Ν α υπολογιστεί η γωνία Α αν ΑΒ = 140° .

---

Λύση : Έστω Α = χ και ΑΒ = y (μέτρηση των χ, y σε .-.,.. ..-,.. .ι".. Α

Α

μοίρες). Άρα ΒΓ = 2χ και ΑΒ = ΑΓ = y , αφού Β = Γ . Επειδή όμως ΑΒ + Ar + ΒΓ = 360° , θα έχουμε: y + y + 2χ = 360 , οπότε 2y = 360 - 2χ και διαιρώντας

δ ' 'λ ' 2 ' 2y 360 - 2χ 1 80 και τα υο με η της ισοτητας με το προκυπτει: Τ = 2

και y = - χ.

Α)Αν Α = 48° είναι χ = 48 οπότε y = 1 80 - 48 = 1 32, δηλαδή ΑΒ = 1 32° . Β) Αν ΑΒ = 140° είναι y = 140 οπότε 140 = 1 80 - χ και τότε χ = 1 80 - 140 δηλαδή

Α = χ = 40° .

ΠΡΟΤΕΙΝΌΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ

826· Έστω ένα ισοσκελές τρίγωνο ΑΒΓ με βάση ΒΓ = 24 cm και ΑΒ = ΑΓ. Φέρνουμε επίσης το ύψος του ΑΔ. Τι μήκος μπορεί να έχουν οι ίσες πλευρές του; Να εκφραστεί η περίμετρος του τριγώνου ΑΒΓ σαν συνάρτηση των ίσων πλευρών του και μετά να υπολογιστούν οι ίσες πλευρές του, το ύψος του ΑΔ, οι τριγωνομετρικοί αριθμοί των γωνιών της βάσης του και το εμβαδόν του αν η περίμετρος του είναι 50 cm.

827. Ένα ισοσκελές τρίγωνο ΑΒΓ με βάση ΒΓ είναι εγγεγραμμένο σε κύκλο (0, ρ) και η βάση του ΒΓ είναι μία από τις πλευρές κανονικού πενταγώνου εγγεγραμμένου στον κύκλο αυτό.

--- --- --.

Να υπολογιστούν οι γωνίες του τριγώνου ΑΒΓ και τα τόξα ΑΒ, ΑΓ, ΒΓ .

82s· Έστω ισόπλευρο τρίγωνο ΑΒΓ εγγεγραμμένο σε κύκλο (0, ρ) ακτίνας ρ = 4 cm. Να αποδείξετε ότι τρίγωνο ΟΒΓ είναι ισοσκελές και να υπολογίσετε τις γωνίες του, τις πλευρές και το εμβαδόν του. Ποιο το εμβαδόν του τριγώνου ΑΒΓ, του κυκλικού δίσκου (0, ρ) και της επιφάνειας που υπάρχει μέσα στον κυκλικό δίσκο και έξω από το τρίγωνο ΑΒΓ;


Επαναληπτ ι κές ασκήσε ι ς Β' Γυμνασίου =============== Γ. Λυμπερόπουλος -Α. Μπακάλης-Μ. Σίσκου

829· Να λύσετε τις εξισώσεις. Α) -2 ( -6α+ 2) = 6 (2α +6) -24

1 Β) 6 (3χ-6) - (χ-3) =1 - (χ- 2)

1 1 1 2 Γ) 2 Χ - 3 (χ + 2) = 6 Χ - 3 Δ) ψ+ 4 - 2 ψ+ 1 = ψ - 1 5

6 3 83ο. Α) Να προσδιορίσετε τον αριθμό κ ώστε

η εξίσωση να είναι αδύνατη (4-κ) χ = - 8

Β) Να προσδιορίσετε τον αριθμό μ ώστε η εξίσωση να είναι αόριστη

2 2 4 1χ - 3 (χ-μ) = 6 χ -3 83ι· Να λύσετε τις ανισώσεις.

Α) χ + 2 _ χ - 2 > χ 3 2 6 1 2 χ +2 χ - 5 χ +3 1 Β) ---+---+----- > 0

6 12 4 6 832· Να βρείτε τις κοινές λύσεις των

ανισώσεων. 6(χ + 1 ) > χ + 1 1 5χ- 4 > χ +12 3(χ - 5) < 2 - (5 - χ)

833. Ν α βρείτε τις τιμές του χ για τις οποίες ορίζεται η παράσταση

Α= �4 (χ-3)-8 (χ - 1) Να υπολογίσετε τις παραστάσεις. Α) Α= �(-16)2 + (.Ji6)2 Β) Β= J12ϊ -.J49 + Jϊ Γ) Γ= 3 [l + 4 {125- {36 '/16 vs vSι

83s· Θεωρούμε τις συναρτήσεις ψ= 3χ + 2 και ψ= 4χ. α) Να γίνει η γραφική τους παράσταση. β) Να βρείτε το σημείο τομής των δύο

ευθειών. γ) Να βρείτε την τετμημένη του σημείου

που έχει τεταγμένη -5.

Β36· Να βρείτε το β αν γνωρίζετε ότι η γραφική παράσταση της συνάρτησης ψ= 1 500χ+β τέμνει τον άξονα ψ'ψ στο σημείο (0, 12)

Β37. Να βρείτε για ποια τιμή του α οι γραφικές παραστάσεις των συναρτήσεων ψ=(2-α)χ+7 και ψ=7χ-2 είναι ευθείες παράλληλες.

838. Ένα τρίγωνο έχει εμβαδό 45crn2. Να εκφράσετε το ύψος του υ ως συνάρτηση της βάσης του β και να κάνετε τη γραφική παράσταση της συνάρτησης που βρήκατε.

Β39· Δίνεται η εξίσωση 2χ- 3ψ = 1 8 Α) Να λυθεί ως προς ψ Β) Να βρείτε που τέμνει τον άξονα χ' χ Γ) Να βρείτε που τέμνει τον άξονα ψ' ψ Δ) Να βρείτε την κλίση της ευθείας και

να σχεδιάσετε την ευθεία. 84ο· Να μετατρέψετε σε m2 και mm2 τα

παρακάτω Fγέθη: 4 1 cm , 5dm2, 120cm2, 0,05km2•

841 · Να εξετάσετε αν είναι ορθογώνια τα τρίγωνα με πλευρές Α) α=3, β=4, γ=5 Β) α=3,5, β=2, γ= 4,5

842· Σε ισοσκελές τρίγωνο ΑΒΓ είναι ΑΒ=ΑΓ=13 cm και ΒΓ=ΙΟ cm. Να βρείτε το ύψος ΑΔ.

Δ Ένα ορθογώνιο τρίγωνο έχει κάθετες πλευρές AB=9cm και ΑΓ=χ cm και υποτείνουσα ΒΓ=χ+3 .Να βρείτε τις πλευρές ΑΓ και ΒΓ:

Β

Γ


----------- Επαναληπτικές ασκήσεις Β' Γυμνασίου -----------

Β44• Να υπολογίσετε τα ημίτονα και τα συνημίτονα των οξειών γωνιών στα παρακάτω ορθογώνια τρίγωνα.

Β

Α) 4

Γ Β) Γ

B4s· Να υπολογιστεί η τιμή της παράστασης. Α= 2ημ45° +12εφ30° -10(ημ60°)2

Β46• Σε κάθε ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ με Α=90° να δείξετε ότι (ημΒ)2+(ημΓ/=1

Β47• Να χαρακτηρίσετε τις παρακάτω προτάσεις σωστές (Σ) ή λάθος (Λ) :

1 5 Α) ημω = - Β) συνω = -2 2

Γ) εφω= 4 Δ) ημ30° > ημ60° Ε) ημ30°= συν60° ΣΤ) ημ45°=συν45°

848• Έστω κύκλος (0, ρ) με διάμετρο ΑΒ. Αν ΒΓ είναι μία χορδή του κύκλου που είναι ίση με την ακτίνα να υπολογίσετε τις γωνίες ΒΟΓ και ΑΟΓ και τα αντίστοιχα τόξα.

Γ

849• Σε κύκλο (0, ρ) να πάρετε τα τόξα ΚΛ,

ΛΜ. Αν το ΚΛ είναι το 1 /6 του κύκλου και το ΛΜ είναι το 1 I 1 Ο του κύκλου να υπολογίσετε την γωνία ΚΟΜ.

850• Έστω κύκλος (0, ρ) και τα τόξα ΑΒ=40°, ΒΓ=25° και ΓΔ=90°. Να υπολογίσετε τις εγγεγραμμένες και επίκεντρες γωνίες που βαίνουν στα παραπάνω τόξα.

Β51• Σε κύκλο (0, ρ) να πάρετε τα τόξα ΑΒ=90° και ΒΓ=90°. Α) Τι τρίγωνο είναι το ΑΒΓ που

σχηματίστηκε; Β) Να υπολογίσετε τις γωνίες του

ΑΒΓ. Β52• Σε κύκλο (0, ρ) να πάρετε τις χορδές

ΑΒ, ΓΔ με ΑΒ 11 ΓΔ. Τι τετράπλευρο είναι το ΑΒΓΔ; Αν η γωνία ΑΟΒ=90° και ΓΟΔ= 100° να υπολογίσετε τις γωνίες του ΑΒΓ Δ.

Β53• Η διάμετρος ενός κύκλου είναι 6 cm. Να βρείτε τη διάμετρο του κύκλου που έχει τετραπλάσιο μήκος από τον αρχικό κύκλο.

Bss.

Στο παρακάτω σχήμα βλέπουμε δύο ομόκεντρους κύκλους με ακτίνες ρ1=4 και ρ2= 6 .Να βρείτε το εμβαδόν του κυκλικού δακτυλίου.

Το εμβαδόν κυκλικού τομέα 45° είναι 1 57 cm2• Να βρείτε την ακτίνα του κύκλου όπου ανήκει ο κυκλικός τομέας. Να βρείτε το εμβαδόν του κύκλου που είναι περιγεγραμμένος σε τετράγωνο πλευράς 5 cm. τ ' δ ' ' κλω ' λ ' 3 Ν α μηκη υο κυ ν εχουν ογο

4 . α

βρείτε το λόγο των ακτίνων τους και το λόγο των διαμέτρων τους.

Β58• Στο παρακάτω σχήμα έχουμε κύκλο (0, ρ) με ΑΒ διάμετρο. Αν ΒΓ=24cmκαι ΑΓ=7 cm να βρείτε το μήκος του κύκλου.

Α Β

Γ ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ Α' 84 τ.4/20

Τάξη

Στο ιχεία Ιστορίας Μαθηματ ι κών σε Γραπτά από τα Μαθηματ ι κά της Γ 'Γυμνασίου

18. Στη σελ. 224 «Ένα θέμα . . . )) αναφέρεται: Ο Θαλής, γύρω στο 600 π.Χ., ταξίδεψε, σαν έμπορος, από την πλούσια Μίλητο στην Αίγυπτο και τη Βαβυλωνία όπου μελέτησε τα Μαθηματι

κά τους και αφοσιώθηκε στην έρευνα της γνώσης, πρώτος από τους 7 Έλληνες σοφούς. Ίδρυσε το πρώτο ελληνικό σχολείο στην πόλη του και δίδαξε σαν άριστος διευθυντής.

Τον διαδέχθηκαν οι μαθητές του Αναξίμανδρος και Αναξιμένης σαν διευθυντές της Ιωνικής Σχολής. Ο Μιλήσιος, με τη μέθοδο της λογικής απόδειξης έκανε τις πρώτες γεωμετρικές ανακαλύψεις: Ο κύκλος χωρίζεται σε δυο ίσα μέρη από τη διάμετρό του. Μια γωνία εγγεγραμμένη σε ένα ημικύκλιο είναι ορθή. Δυο τρίγωνα είναι ίσα αν έχουν μια πλευρά και τις γωνίες της ίσες. Οι γωνίες της βάσης ισοσκελούς τριγώνου είναι ίσες. Οι κατακορυφήν γωνίες είναι ίσες.

Το λεγόμενο «Θεώρημα του Θαλή» της τομής παράλληλων ευθειών από δυο άλλες ευθείες, πιθανόν να του αποδόθηκε τιμητικά από νεότερους μαθηματικούς.

Σ' αυτόν οφείλεται ότι οι αριθμοί και τα γεωμετρικά σχήματα είναι αφηρημένες έννοιες. Ο Θαλής είναι ο πατέρας των Μαθηματικών και της Φιλοσοφίας. Ο ίδιος μαζί με τους συνδιευθυντές του μελέτησαν τη δομή της φύσης. Ο Θαλής θεωρούσε αρχικό στοιχείο των όντων το ύδωρ, ο Αναξίμανδρος το άπειρο και ο Αναξιμένης τον αέρα.

19. Ο Διογένης Λαέρτιος (1ος αιώνας π.Χ.) ήταν φιλόσοφος και συγγραφέας και έγραψε πρώ

τος <<Ιστορία Μαθηματικών» και <<Βίους Φιλοσόφων» σε 10 βιβλία, στα οποία κρίνει παράλληλα βιογραφίες μεταξύ σοφών της αρχαιότητας, Ελλήνων και Ρωμαίων. Για το Θαλή γράφει ότι μέτρησε το ύψος της πυραμίδας. Σ' άλλο βιβλίο παραλληλίζει τον Περικλή με Ρωμαίο πολιτικό.

Γ. Ωραιόπουλος ΑJ.λού περιγράφει τις επιστολές του Επίκουρου. Τα βιβλία του μεταφράστηκαν στις ευρωπαϊκές γλώσσες.

·

20. Την ύλη του βιβλίου σας προώθησε ένας λαός, οι Άραβες, που εμφανίστηκαν στη Μεσοποταμία του Vl και VII αιώνα μ.Χ. και έκαναν κέντρο τη Βαγδάτη, όπου ίδρυσαν «Οίκο Σοφίας» με βιβλιοθήκη στην οποία μάζεψαν πολλά έργα των Αρχαίων Ελλήνων τα οποία μετάφρασαν στην Αραβική γλώσσα και έτσι έφτασαν στη Δυτική Ευρώπη, αλλιώς θα χάνονταν. Ευτυχώς διασώθηκαν μεταφρασμένοι ο Ευκλείδης, ο Αρχιμήδης, ο Απολλώνιος, ο Πτολεμαίος, ο Διόφαντος κ.α.

Ο Αλ Χοθαρίσμ έγραψε βιβλίο με τίτλο «Αλ Τζαμπρ» που μεταφράστηκε στα Λατινικά «Άλγεβρα>> και Τριγωνομετρικούς Πίνακες όπως ο Ίππαρχος. Για τον υπολογισμό του ημιτόνου έπαιρνε το μισό της χορδής του διπλάσιου τόξου. Οι Άραβες πρώτοι έδωσαν ονόματα στους τριγωνομετρικούς αριθμούς τα οποία δέχτηκαν με λατινικά γράμματα στην Ευρώπη: Ημίτονο: Sίnus (Sίn), Συνημίτονο: Cosίnus (Cos), Εφαπτομένη: Tangent (Γan) που χρησιμοποιούνται διεθνώς.

Ο Αλ Χασάν Ταμπίτ (831-901) μετάφρασε στη Βαγδάτη τα Κωνικά του Απολλώνιου και τα Λήμματα του Αρχιμήδη. Ο ίδιος απέδειξε με νέο τρόπο το Πυθαγόρειο Θεώρημα, καθώς και το Θεώρημα του Μενέλαου. Για τους τριγωνομετρικούς αριθμούς μετρούσε τις χορδές των τόξων και όχι τις ημιχορδές.

Ο Αλ Καχρί (11°ς αι.) έγραψε <<Αριθμητική» ακολουθώντας «Τα Αριθμητικά» του Διόφαντου.

Ο Ναντίρ (1201-1279) διαχώρισε την Τριγωνομετρία από την Αστρονομία και την έκανε κλάδο Μαθηματικών.

r·


---- Στοιχεία Ιστορίας Μαθηματικών σε Γραπτά από τα Μαθηματικά της Γ Γυμνασίου ----

Στη σελίδα 1 85 του βιβλίου σας είναι η ει- Προσδιόρισε το μέγιστο κύκλο της Γης στα κόνα του Θαλή με τη ράβδο του που βρήκε το 399960 km (σωστό 400000 km) και το γεωγραύψος ΟΑ της πυραμίδας. φικό πλάτος και μήκος σημείων της επιφάνειας

Ο Πλίνιος υποστηρίζει ότι ο Θαλής έβρισκε το ύψος της πυραμίδας οποιαδήποτε ώρα της ημέρας, με το λόγο ομοιότητας των ομοίων τρι-

γώνων Α 'ΑΒ και ΓΑ'Β ' : ΒΑ

= ΑΑ'

και Β Ά' Α'Γ '

ΒΆ' - ΑΑ' ΒΑ = ---

Α'Γ' Δυστυχώς δεν υπάρχει κανένα κείμενο για

να γνωρίζουμε ποιες ήταν οι πραγματικές γνώσεις του Θαλή και ποιες είναι μύθοι που του δόθηκαν εκ των υστέρων για να τον τιμήσουν, όπως η πρόβλεψη μιας έκλειψης του ήλιου όταν θα άρχιζε ο πόλεμος της Περσίας και της Λυδίας. Μόλις σκοτείνιασε, επειδή οι Πέρσες μάχονταν μόνο στο φως της ημέρας κατέθεσαν τα όπλα και άρχισαν διαπραγματεύσεις ειρήνης. Οπωσδήποτε όμως ο Θαλής ήταν ο θεμελιωτής των αρχαίων ελληνικών Μαθηματικών.

21 . Όπως διαβάσατε στο 1 ° τεύχος, ο Ίππαρχος, για να υπολογίσει τις διαστάσεις, τις αποστάσεις και τις κινήσεις του Ήλιου, της Σελήνης, των πλανητών και ά'J..:λιnν άστρων δημιούργησε τους τριγωνομετρικούς αριθμούς με τους πίνακές τους. Αυτός πρώτος διαίρεσε τον κύκλο σε 360°. Για να υπολογίσει τα ημίτονα χρησιμοποιούσε σε κύκλο ακτίνας 1 τις χορδές των τόξων των διπλασίων σε μοίρες γωνιών.

της Γης που χρειάστηκαν για να κατασκευαστούν οι γεωγραφικοί χάρτες. Δίκαια θεωρείται ο ιδρυτής της σφαιρικής και επίπεδης τριγωνομετρίας. Έγραψε πολλά σοβαρά έργα, που τα περισσότερα κάηκαν με τη βιβλιοθήκη της Αλε-ξάνδρειας. --=--��-..,....,......,....,.,.:>""!�

22. Ευτυχώς, πολλές εργασίες του διέσωσε και έγραψε ο Κλαύδιος Πτολεμαίος ( 1 08- 1 68 μ.Χ.) με τη «Μεγάλη Μαθηματική Σύνταξη» που μεταφράστηκε στα Αραβικά σαν <<Αλ Μαγέστη» που είναι το σπουδαιότερο από τα μαθηματικά και αστρονομικά έργα της αρχαιότητας. Το <<Ιlτολεμαϊ'κό σύστημα>) με κέντρο του Σύμπαντος τη Γη, υποστηριζόταν ως τον 16° αιώνα οπότε ανακαλύφθηκε το <<Κοπερνίκειο σύστημα>) το ηλιοκεντρικό. Ο Πτολεμαίος με τους χάρτες του θεωρείται μεγάλος γεωγράφος. Όλα αυτά μέχρις ότου οι Γάλλοι μαθηματικοί Λαγκράνζ ( 1736- 1 8 1 3), Ντεκάρτ και Φερμά δημιούργησαν την Αναλυτική Γεωμετρία. Ο πρώτος επινόησε την Προβολική Γεωμετρία και άλλαξε τον τρόπο χαρτογράφησης. Ο Λαγκράνζ έγραψε:

«Όταν η Άλγεβρα και η Γεωμετρία βάδιζαν ξεχωριστά η πρόοδός τους ήταν αργή και οι εφαρμογές τους περιορισμένες. Όμως μόλις ένωσαν τις δυνάμεις τους, αυτές οι επιστήμες απόκτησαν νέο σφρίγος και από τότε προχωρούμε γοργά προς την τελειοποίηση)).


«Η απολογία ενός Μαθηματ ι κού» ===================================================Σταυρούλα Αλαφάκη

Η «απολογία» του Καθηγητή Σ.Γ. Παπασrαυρίδη, με αφορμή ερωτήσεις του αναγνώσrη μας Δρ Ε.Γ. Κουκέα, εισχωρεί σrην Τοπολογία. Μολονότι η συζήτηση εμπνέεται από θέματα των ανωτέρων Μαθηματικών και, αναπόφευκτα, κάποια σημεία της απαιτούν ιδιαίτερη προσήλωση από τον αναγνώστη, σrον πυρήνα της βρίσκονται ερωτήματα που απασχολούν ανά τους αιώνες όχι μόνο τον επιστήμονα αλλά, γενικότερα, τον άνθρωπο.

Ε.Γ.Κ.: Η εικασία του Poincare αποδείχθηκε αργότερα (2006) από το ρώσο Μαθηματικό Γκριγκόρι Γιακόβλεβιτς Περελμάν (Γpurόpuίί: .sίκooJΙeouq ΠepeJΙbMau). Μπορεί να πει κανείς ότι ο Περελμάν πέτυχε εκεί που απέτυχε ο Παπακυριακόπουλος γιατί ήταν ικανότερος, γιατί είχε στη διάθεσή του περισσότερα μαθηματικά εργαλεία (ο ίδιος έχει παραδεχθεί τη συνεισφορά της θεωρίας "Ροής Ricci" του Richard Hamilton) και έγινε έτσι ο εκλεκτός κληρωτός μιας εποχής όπου η μαθηματική έρευνα μοιραία θα οδηγείτο στην απόδειξη ή μήπως και τα δύο;

Σ.Γ.Π. : Είναι, γενικά, πολύ δύσκολο να συγκρίνουμε δύο κορυφαίους επιστήμονες που ανήκουν σε διαφορετικές γενιές. Οι αλλαγές των πάσης φύσεως συνθηκών, καθιστούν τη σύγκριση μάλλον άνευ σημασίας. Ας δούμε κάποια ακραία παραδείγματα που θα μας διευκολύνουν να διακρίνουμε τα προβλήματα μιας τέτοιας σύγκρισης. Όσοι μαθηματικοί ή επιστήμονες, γενικότερα, έδρασαν προ του Μεσαίωνα, έχουν πλεονέκτημα ως προς τη διεκδίκηση της «δόξας>), διότι η περίοδος που ακολούθησε έδωσε έμφαση σε άλλα ζητήματα, απομακρυνθείσα της επιστήμης. ''Έτσι, το έργο επιστημόνων όπως ο Ευκλείδης, ο Αρχιμήδης, ο Απολλώνιος κλπ. ξεπεράστηκε σε περισσότερα από 1 500 χρόνια μετά το θάνατο τους. Ενώ, αντίστοιχα, αν μεταφερθούμε στους αιώνες της επιστημονικής επανάστασης της Δύσης ( 16°ς - 1 7°ς αιώνας) και τη μετέπειτα περίοδο μέχρι σήμερα, όπου η κοινωνία θεωρούσε σημαντικό το να προχωρήσει η επιστήμη, ακόμα και οι μεγαλύτερες ανακαλύψεις ανατρέπονται μέσα σε 2-3 αιώνες. Π.χ. η aστρονομική αντίληψη για το σύμπαν που είχε διαμορφώσει η προ Χριστού αρχαιότητα αντικαθίσταται μόλις το 1 7° μ.Χ. αιώνα, οι αντιλήψεις του οποίου αντικαθίστανται με την Γενική Θεωρία της Σχετικότητας στον 20° αιώνα. Επίσης, ας αναφέρουμε και το διάσημο πρόβλημα του τετραγωνισμού του κύκλου, που στην ουσία συνδέεται με κάτι πολύ θεμελιώδες, την εύρεση του εμβαδού του κύκλου. Με αυτό ασχολήθηκαν χωρίς επιτυχία όλοι οι μεγάλοι μαθηματικοί της ελληνικής αρχαιότητας που όχι μόνον δεν το έλυσαν αλλά δεν είχαν καμία ελπίδα να το λύσουν. Αυτό, το καταλαβαίνουμε σήμερα που ξέρουμε το πώς λύθηκε και ξέρουμε τι τεραστίου μεγέθους πρόοδος απαιτείτο. Τελικά μετά από μία τεράστια αλυσίδα προόδων της επιστήμης μέσα στους αιώνες, στην οποία συνέβαλαν εκατοντάδες μαθηματικών, βρέθηκε με τη «μπάλλω) στην κατάλληλη θέση την κατάλληλη στιγμή, το 1 882, ο καθηγητής του Πανεπιστημίου του Freiburg, Carl Louis Ferdinand νοη Lindemann ( 1 852- 1939). Ο Lindemann απέδειξε ότι ο διάσημος αριθμός π1 , είναι υπερβατικός (transcendental), δηλαδή δεν είναι ρίζα κανενός πολυωνύμου που έχει Carl Louis Ferdinand von ρητούς συντελεστές. Άμεση συνέπεια αυτού του θεωρήματος είναι ότι Lindemann

1 Το ελληνικό γράμμα π, (γραφόμενο κάπως «καλλιγραφικά «π») χρησιμοποιείται διεθνώς ως σύμβολο του πηλίκου της περιφερείας ενός κύκλου προς τη διάμετρο του κύκλου (προσεγγιστικά 3 , 14). Την εισαγωγή αυτού του συμβόλου πρότεινε ο Ουαλλός μαθηματικός William Jones (1675 - 1 749) και αυτός είναι ο βασικός i.i:r!o; ανάμνησης του ονόματος του. Το π είναι το πρώτο γράμμα των λέξεων Περίμετρος και Περιφέρεια. Το σύμβοί..ο αυτό απεδέχθη και χρησιμοποιούσε ο Eu1er και λόγω αυτού διεδόθη και επεκράτησε.


-------------- Η απολογία ενός μαθηματικού

δεν μπορεί να κατασκευασθεί τετράγωνο που να έχει εμβαδόν ίσο με το εμβαδόν δοθέντος κύκλου, χρησιμοποιώντας μόνον κανόνα και διαβήτη. Σαφώς η συγκυρία έπαιξε ρόλο. Ο Lindemann ήταν στην εποχή του ένας καλός μαθηματικός αλλά όχι κάτι το εξέχον. Όμως το όνομά του συνδέθηκε με ένα πρόβλημα χιλιετηρίδων. Ας έλθουμε τώρα στην εικασία του Poincare, τον Παπακυριακόπουλο και τον Περελμάν. Η εικασία Poincare είναι πρόβλημα της Τοπολογίαξ Ιδιαίτερα είναι πρόβλημα ταξινόμησης των μαθηματικών αντικειμένων που λέγονται Πολλαπλότητες3. Γύρω στο 1 990 είχε λυθεί, μετά από πολύ κόπο, το πρόβλημα της ταξινόμησης των Κλειστών Πολλαπλοτήτων διάστασης 2. Η εικασία Poincare είναι ο επόμενος φυσιολογικός στόχος, ως το, σχετικά, απλούστερο πρόβλημα ταξινόμησης Κλειστών Πολλαπλοτήτων διάστασης 3 . Πέραν της εκ των πραγμάτων τοπολογικής φύσης του προβλήματος, υπάρχει, από τη διατύπωσή της, ένα καθοριστικό αλγεβρικό στοιχείο: η Θεμελιώδης Ομάδα (Ομάδα Poincare ή Πρώτη Ομάδα Ομοτοπίας). Η διατύπωση της εικασίας έχει ως εξής: Μία πολλαπλότητα διαστάσεως 3 , συνεκτική, κλειστή και με τετριμμένη Θεμελιώδη Ομάδα, είναι τοπολογικώς ισοδύναμη με τη σφαίρα των τριών διαστάσεων. Η "Πρώτη Ομάδα Ομοτοπίας" είναι μία από τις Ομάδες που ασχολείται η Άλγεβρα κατ' αρχάς. Ο Poincare «είδε» ότι κάθε γεωμετρικό αντικείμενο έχει μία ομάδα προσαρτημένη σε αυτό. Δεν μπορούμε να μπούμε σε λεπτομέρειες εδώ, όμως ο αναγνώστης ας το δεχθεί όπως δέχεται ότι γεωμετρικά αντικείμενα έχουν μήκος, εμβαδό ή όγκο. Η Πρώτη Ομάδα Ομοτοπίας, που ανακάλυψε (ή εφηύρε) ο Poincare, κατά κάποιον τρόπο μετράει τις επίπεδες οπές που ενέχει το γεωμετρικό αντικείμενο. Μέχρι τη δεκαετία του '70, η κρατούσα αντίληψη ήταν ότι η απάντηση στην εικασία αναμένεται να βασίζεται κυρίως σε δύο πράγματα: α) γεωμετρικές παρεμβάσεις πάνω στο γεωμετρικό αντικείμενο (γενικώς ονομάζονται «Εγχειρήσεις») που οδηγούν σε νέα γεωμετρικά αντικείμενα, τα οποία, σε σχέση με το αρχικό, αφ' ενός μεν διατηρούν ορισμένες ιδιότητες, αφ' ετέρου δε είναι απλούστερα. Γκριγκόρι Γιακόβλεβιτς

Περελμάν β) Ανάλυση των Πρώτων Ομάδων Ομοτοπίας που εμφανίζονται. Σε αυτό το "Παράδειγμα"4 (κατά την ορολογία του Thomas Kuhn) λειτουργούσε και ο

2 Η Τοπολογία είναι κλάδος των μαθηματικών που ουσιαστικά δημιουργείται κατά τον 1 9° αιώνα. Η υπάρχουσα από χιλιετηρίδες σε κυρίαρχη θέση Ευκλείδεια Γεωμετρία συνδέεται στενά με τη δυνατότητα μέτρησης μηκών. Η Τοπολογία αφαιρεί από το αντικείμενο τη μελέτη του μήκους και περιορίζεται στη μελέτη του σχήματος. Ο διαχωρισμός αυτός κάνει τη συνολική μελέτη των αντικειμένων πιο αποτελεσματική, είναι ένα είδος «διαίρει και βασίλευε». Μπορούμε να πούμε ότι η Ευκλείδεια Γεωμετρία εξετάζει αντικείμενα κατασκευασμένα από ατσάλι που όταν τα μετακινούμε, διάφορες αποστάσεις παραμένουν αναλλοίωτες, π.χ. η ακτίνα μιας «ατσάλινης» σφαιρικής επιφάνειας. Αντίστοιχα, μπορούμε να πούμε ότι η Τοπολογία εξετάζει αντικείμενα κατασκευασμένα από «ελαστικό». Όταν τα μετακινούμε το αντικείμενο μπορεί να διασταλεί ή να συμπιεσθεί. Έτσι μία λαστιχένια σφαιρική επιφάνεια, υφισταμένη μετακινήσεις μπορεί να καταλήξει σε σφαιρική επιφάνεια διαφορετικής ακτίνας η ακόμα να παύσει να είναι σφαιρική επιφάνεια και να καταλήξει ωοειδής. Όμως και η σφαιρική και η ωοειδής επιφάνεια έχουν κάτι κοινό: έχουν έννοια εσωτερικού χώρου που είναι περιορισμένος και εξωτερικού χώρου που είναι απέραντος. Ενώ η επίπεδη επιφάνεια ή η κωνική επιφάνεια, δεν έχουν κάτι τέτοιο. Αυτό είναι ένα παράδειγμα ιδιότητας που μελετάει η Τοπολογία. 3 Οι Πολλαπλότητες είναι αντικείμενα που κυρίως αναπτύσσονται κατά τον 19° αιώνα και είναι πιο πολύπλοκα από τα γεωμετρικά σχήματα της προηγηθείσης γεωμετρίας. Είναι εκείνα τα σχήματα που σε μικρές περιοχές τους μπορούμε, κατά κάποιον τρόπο, να εκφράσουμε τα σημεία των περιοχών αυτών με αριθμούς, π.χ. τα σημεία της επιφανείας της γης χαρακτηρίζονται (πλην των δύο πόλων) με το γεωγραφικό μήκος και το γεωγραφικό πλάτος. Στην περίπτωση των Πολλαπλοτήτων που εξετάζουν οι μαθηματικοί, οι αριθμοί αυτοί μπορούν να είναι άνω των δύο, και αυτό κάνει τα πράγματα πολύ πιο δύσκολα. Οι Πολλαπλότητες είναι πολύ σημαντικά αντικείμενα διότι προκύπτουν σαν «τέκνα της ανάγκης» της λύσης πολλών θεμελιωδών ζητημάτων. 4 Ο Thomas Samuel Kuhn (1922-1 996), φιλόσοφος της επιστήμης, άσκησε μεγάλη επίδραση κυρίως με το σύγγραμμα του «The Structure of Scientific Reνolutions» (1962). Μεταξύ άλλων, εισήγαγε τις έννοιες «Παράδειγμα» (Paradigm) και Μετατόπιση Παραδείγματος (Paradigm Shift). Σε γενικές γραμμές το Παράδειγμα


------------- Η απολογία ενός μαθηματικού

Παπακυριακόπουλος ( 1 9 14- 1 97 6). Στις αρχές της δεκαετίας του '80 συμβαίνει η «Αλλαγή Παραδείγματος». Οι λόγοι αυτής της αλλαγής είναι δύο σημαντικές εξελίξεις: α) Η Εικασία Γεωμετροποίησης (Geometrization Conjecture) που διατυπώνεται το 1 982 από τον William Thurston5• Πρόκειται για μια εικασία περιγραφής όλων των κλειστών πολλαπλοτήτων διάστασης 3 . Η διατύπωση αναμιγνύει έντονα πολλαπλότητες επιδεχόμενες έναν τρόπο μετρήσεως αποστάσεων πολύ ειδικής μορφήξ Η Εικασία Γεωμετροποίησης συνεπάγεται διάφορα σημαντικά ανοικτά μαθηματικά ερωτήματα, μεταξύ των οποίων και την εικασία Poincare. β) Εμπνεόμενος και από την Εικασία Γεωμετροποίησης, το 1982 ο Richard Hamilton7 διεμόρφωσε μία διαφορική εξίσωση που ονομάσθηκε Ροή Ricci (Ricci flow) (εμπνευσμένη εν μέρει και από την κλασσική εξίσωση διάδοσης της θερμότητας του 19ου αιώνα) για την οποίαν υπήρχε η «ελπίδα» ότι οδηγεί σε πολλαπλότητες σαν αυτές που περιγράφονται στην Εικασία Γεωμετροποίησης. Την ελπίδα αυτή έκανε πραγματικότητα ο Περελμάν το 2002-03, ο οποίος έχει αποποιηθεί βραβεύσεις αξίας άνω του 1 .000.000$ ! Δεν μπορούμε να εισέλθουμε εδώ σε λεπτομέρειες για την Εικασία Γεωμετροποίησης και το πρόγραμμα απόδειξης της μέσω των Ροών Ricci. Αρκεί να τονίσουμε ότι συνιστούν για το πρόβλημα της εικασίας Poincare μία «Μετατόπιση Παραδείγματος». Είναι η μετατόπιση από τις περιοχές της Τοπολογίας και της Θεωρίας των Ομάδων σε μία νέα περιοχή με βασική έμφαση στις μετρήσεις αποστάσεων και τη Μαθηματική Ανάλυση. Αυτό συνιστά μία ανατροπή του κλίματος που υπήρχε για την εικασία Poincare από το 1900 μέχρι τη δεκαετία του '70. Όπως εκτιμούμε σήμερα ότι ο Αρχιμήδης δεν είχε ελπίδα να λύσει το πρόβλημα του τετραγωνισμού του κύκλου, έτσι μάλλον δεν θα μπορούσε ο Παπακυριακόπουλος να αποδείξει την εικασία Poincare στα χρόνια που έζησε. Συνοψίζοντας καταλήγουμε στο Σεφέρη : Είμαστε κληρωτοί της εποχής μας. Ε.Γ.Κ. Ο Παπακυριακόπουλος επέλεξε τον απομονωμένο δρόμο του «όλα ή τίποτα» και απέτυχε να αποδείξει την εικασία του Poincare. Αντιθέτως, ένας άλλος διαπρεπής Μαθηματικός, ο Andrew Wiles, επιλέγοντας τον ίδιο δρόμο της «σοφίτας», κατάφερε να αποδείξει το τελευταίο θεώρημα του Fermat. Ποια είναι η γνώμη σας, η επιστημονική πρόοδος εξελίσσεται με μεγαλύτερη επιτυχία μέσω της συνεργασίας ή του ανταγωνισμού;

Σ.Γ.Π. Το ερώτημα που ετέθη είναι τεράστιο, ενέχει εντονότατα στοιχεία ιστορίας, κοινωνιολογίας και, τελικά, φιλοσοφίας της ανθρώπινης φύσης. Φυσικά, το ερώτημα ενέχει και τις ιδιαιτερότητες της μαθηματικής παραγωγής. Δεν νομίζω ότι μπορούμε να δώσουμε .τελεσίδικες απαντήσεις. Πιθανότατα, ερωτήματα τέτοιου είδους θα μας απασχολούν όσο υπάρχουν άνθρωποι. Θα επιχειρήσω κάποια σχόλια που ίσως διαφωτίζουν τη σχέση συνεργασίας και ανταγωνισμού, με βάση τις γνώσεις που έχουμε για το είδος μας, το Homo Sapiens Sapiens, όσο αυτό έχει υπάρξει στον πλανήτη Γη. Από ό,τι ξέρουμε για τις ανθρώπινες κοινωνίες παντού και πάντα υπάρχουν στοιχεία τόσο

είναι το σύνολο των κοινών αντιλήψεων που έχουν οι επιστήμονες ενός κλάδου. Αυτό περιλαμβάνει τις επικρατούσες βασικές αρχές, τα βασικά ερωτήματα, τις μεθόδους έρευνας, τις μεθόδους επιβεβαίωσης της αλήθειας κλπ. Η αλλαγή αυτών η κάποιων σημαντικών από αυτά αποτελεί τη Μετατόπιση Παραδείγματος. Μερικά σημαντικά παραδείγματα Μετατόπισης Παραδείγματος είναι: Στην Αστρονομία από το Γεωκεντρικό στο Ηλιοκεντρικό Σύστημα. Στη Μηχανική από την κλασσική αντίληψη του 1 7°υ αιώνα στη Σχετικιστική αντίληψη. Στη Χημεία από τη θεωρία του Φλογιστού στη θεωρία των Χημικών αντιδράσεων του Lavoisier. Στη Γεωλογία από τις παραδοσιακές αντιλήψεις στη θεωρία των Τεκτονικών Πλακών του 20°υ αιώνα. Στα Μαθηματικά το πέρασμα από την Ευκλείδεια Γεωμετρία στην Αναλυτική Γεωμετρία και στις Μη-Ευκλείδειε.; Γεωμετρίες. 5 Γεννήθηκε το 1 946, τιμήθηκε με το Βραβείο Fields το 1 982. 6 Α ναφέρω για τους πιο ειδικούς ότι στη διατύπωση παίζουν κρίσιμο ρόλο Πολλαπλότητες με μετρική Riemann η οποία έχει σταθερή καμπυλότητα. Είναι δε αυτές μία από 8 συγκεκριμένες περιπτώσεις. 7 Γεννήθηκε το 1943, τιμήθηκε με το Βραβείο Shaw από κοινού με το Δημήτρη Χριστοδούλου το 201 1 .

ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ Α ' 84 τ.4/25

------------- Η απολογία ενός μαθηματικού

συνεργασίας όσο και ανταγωνισμού, που παίρνουν διάφορες μορφές κατά χρόνο και τόπο. Κατά κάποιον τρόπο εμφανίζονται αμφότερα ως μέρη της ανθρώπινης φύσης. Θα έλΕγα ότι το φαινόμενο του ανταγωνισμού μπορούμε να το διακρίνουμε χονδροειδώς, σε δύο κυρίως είδη. Το πρώτο και κύριο είδος είναι ο Ανταγωνισμός Συμφερόντων, π.χ. χρήματα, εξουσία, και το δεύτερο, που θα το ονομάσω Ανταγωνισμό Δόξας, είναι περισσότερο ψυχολογικής προέλευσης. Θα έλΕγα ότι στην περιοχή της παραγωγής μαθηματικής έρευνας ο Ανταγωνισμός Συμφερόντων είναι σχετικά μικρότερος από τις περισσότερες ανθρώπινες δραστηριότητες που μπορώ να σκεφτώ. Νομίζω ότι ο κύριος λόγος για αυτό είναι ότι στη μαθηματική έρευνα δεν υπάρχουν μεγάλα σχετικά οφέλη. Όμως ο Ανταγωνισμός Δόξας είναι μεγάλος και συχνά έντονος. Εξ άλλου παρατηρούμε στην ιστορία των μαθηματικών, ότι σχεδόν όλΕς οι μεγάλΕς ιδέες έχουν μία και μόνον υπογραφή. Κατά τη γνώμη μου το φαινόμενο αυτό δεν εξηγείται από τον Ανταγωνισμό Δόξας και μόνον. Νομίζω ότι ο κύριος λόγος για το φαινόμενο αυτό είναι ότι μάλλον δεν υπάρχει (ή έστω δεν έχει ευρεθεί) ένας τρόπος να μοιρασθεί μεταξύ μαθηματικών η δουλΕιά που απαιτείται για να λυθεί κάποιο πρόβλημα (κατά τρόπο ας πούμε αντίστοιχο με τη συναρμολόγηση ενός αυτοκινήτου). Αυτό δεν σημαίνει ότι δεν υπάρχουν ή δεν είναι απολύτως αναγκαίες συνεργασίες άλλης μορφής. Τουναντίον μάλιστα. Είναι εμφανές ότι κάθε μαθηματική ανακάλυψη, βασίζεται σε σειρά ανακαλύψεων του παρελθόντος. Αυτό υποστηρίζει και η θρυλική πλέον φράση «Αν κατόρθωσα να δω πιο μακριά ήταν γιατί στηρίχθηκα σε ώμους γιγάντων» του Isaac Newton8. Επιπλέον στη σύγχρονη οργάνωση της έρευνας θεωρείται σημαντικό για έναν επιστήμονα να βρίσκεται σε ένα πανεπιστημιακό τμήμα με άλλους αξιόλογους συναδέλφους, διότι θα μπορεί να συζητάει σε καθημερινή βάση με άτομα με υψηλό επιστημονικό επίπεδο και αυτό θα επηρεάσει συνολικά τις δικές του σκέψεις. Θα έλΕγα λοιπόν ότι γενικά η συνεργασία αποδίδει περισσότερα. Ο ανταγωνισμός εμφανίζεται κυρίως μεταξύ ατόμων που ασχολούνται με τα ίδια προβλήματα. Όμως και σε αυτή την περίπτωση αν βρίσκονταν στο ίδιο πανεπιστήμιο θεωρώ πιθανό ότι θα έβρισκαν τρόπο να ενώσουν τις δυνάμεις τους. Ο Andrew Wiles9 αισθάνθηκε το 1 986 ότι βρέθηκε κοντά στη λύση, και ότι μπορούσε να την επιτύχει μόνος του και εργάσθηκε χωρίς να συζητάει το ζήτημα με άλλους. Όμως δεν τα κατάφερε τελΕίως μόνος. Η «απόδειξη» που έθεσε σε δημοσιότητα το 1 993 είχε σοβαρό κενό που καλύφθηκε το επόμενο έτος με τη συνεργασία του Richard Taylor10• Πέραν αυτού, η λύση βασίζεται ευθέως σε δουλΕιά των προηγηθέντων 40 ετών από άλλους μαθηματικούς. Το Θεώρημα του Fennat για αιώνες ήταν ένα μεμονωμένο μαθηματικό ερώτημα περιθωριακού χαρακτήρα που έγινε διάσημο για τυχαίους λόγους. Όμως στο διάστημα 1 982- 1 986 συνδέθηκε με κεντρικές μαθηματικές θεωρήσεις1 1 • Τότε μόνον θεωρήθηκε ενδιαφέρον στόχος από το Wiles και ίσως και από άλλους. Τουτέστιν η «σοφίτα» είχε και το στοιχείο της «πνύκας». Ο Παπακυριακόπουλος έχει κάποια μοναδικά χαρακτηριστικά. Άφησε όλη την άλλη ζωή στην άκρη και αφιερώθηκε αποiliιστικά στα

/

Andrew Wiles

μαθηματικά. Η ψυχοσύνθεσή του είχε κάτι το σπάνιο. ΉθελΕ όλη τη δόξα δική του, αυτό ήταν και το μόνο που ήθελΕ από την ζωή. Η χρονική συγκυρία δεν τον ευνόησε, κάτι που δεν μπορούσε να το ξέρει τότε. Γενικά, οι μοναχικοί ρομαντικοί ήρωες τα πάνε καλλίτερα στον κινηματογράφο παρά στην πραγματικότητα. Εντούτοις μας συγκινούν. Η ζωή δεν υπάγεται καθ' ολοκληρίαν στην ΑριστοτέλΕια λογική.

8 «lf l have seen further it is by standing on ye sholders ofGiants». Ο Newton χρησιμοποίησε τη φράση αυτή σε επιστολή του προς τον Robert Hooke το 1676. 9 Γεννήθηκε το 1 953, ενώ το 1 995 δημοσίευσε την απόδειξη του Θεωρήματος του Ferrnat. 10 Βλέπε http://en.wikipedia.org/wίkί/Andrew_ Wί1es 1 1 Βλέπε http://en.wikipedia.org/wikί/Wίles%27_proof_of_Ferrnat%27s_Last_Theorem


Η yραφ ι κή παράσταση της συνάρτησης

y = α χ 2 + β χ +· y

===================================================== Στάμη Τσικοπούλου

Η γραφική παράσταση μιας συνάρτησης που περιγράφεται μ' έναν τύπο, π. χ y = αχ+ β, y = α χ 2 + β χ + γ, μπορεί να σχεδιαστεί στον Η/Υ με διάφορα λογισμικά όπως: Geogebra, Sketchpad, Graphmatica, mathgv κ.λ.π., αλλά και με ειδικά προγράμματα

(Java appltes) που υπάρχουν σε διάφορες ιστοσελίδες του Intemet. Η ελληνική έκδοση του Graphmatica, version 2.0, με την οποία σχεδιάσαμε τις παρακάτω γραφικές παραστάσεις διατίθεται ελεύθερα στο intemet και μπορείτε να την κατεβάσετε στον υπολογιστή σας. Για να σχεδιάσετε με το Graphmatica τη συνάρτηση f(x) = χ2 πληκτρολογείστε y = χΛ2 και πατήστε enter. Σημείωση Μπορείτε να ασχοληθείτε με τις παρακάτω δραστηριότητες ακόμα και αν δεν έχετε υπολογιστή.

Α. Ο ρόλος του συντελεστή α στη γραφική παράσταση της y = αχ2•

Δραστηριότητα 1 η Να σχεδιάσετε τη γραφική παράσταση της συνάρτησης y = χ2 (Στα παρακάτω σχήματα με την έντονη γραμμή έχει σχεδιαστεί η παραβολή y = χ 2 )

Στο ίδιο σύστημα αξόνων να σχεδιάσετε και τις γραφικές παραστάσεις των συναρτήσεων που προκύπτουν αν στη θέση του συντελεστή 1 βάλετε διαδοχικά τους αριθμούς :

1 1 α) 2, 3 , 4, 5, . . . , 1 0, . . . β) 0.9, 0.8, 0.5, 0.4 , - , - . . .

4 8 Μπορείτε να διατυπώσετε ένα συμπέρασμα ; Ποιες είναι οι συντεταγμένες της κορυφής της παραβολής y = αχ2 ; Ποια είναι η εξίσωση του άξονα συμμετρίας της παραβολής y = αχ2 ; Ποια είναι η ελάχιστη τιμή κάθε μιας συνάρτησης από αυτές που σχεδιάσατε;

:3 ' ι ι ι ι ι

� - - ... .. � - - - ... -� ... - ... .. ... ... ... ... .. - �- .. - .. ... � - - - - - t - - -• . -1 • . .

' ' ' ' ' ' � � � � � � ι ι ι ι ι ι ι ι ι ι ι ι ι ι ι ι

. ... ... � ... ... ... ... ... J ... ... ... ... ... ! ... ... ... ... ... L ... ... ... ... ... � - - - - � - - - - - � ... ... ... ... ... J ... ... ... ... ... ι ... ... ... ... ... L ... ... ... ... ... � ... ... ... ... ι ι ι ι ι ο1 ι ι ι ι ι

Δραστηριότητα 2η Να σχεδιάσετε τη γραφική παράσταση της συνάρτησης y = - χ2 (Στα παρακάτω σχήματα με την έντονη γραμμή, έχει σχεδιαστεί η παραβολή y = - χ2)

Στο ίδιο σύστημα αξόνων να σχεδιάσετε και τις γραφικές παραστάσεις των συναρτήσεων που προκύπτουν αν στη θέση του συντελεστή -1 βάλετε διαδοχικά τους αριθμούς :

α) - 2, - 3 , - 4, - 5, . . . ,- 1 0, . . . β) - 0.9, - 0.8, - 0.5, - 0.4 , -� , -i ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ Α' 84 τ.4/27

--------- Η γραφική παράσταση της συνάρτησης y = α χ 2 + β χ + γ --------

Μπορείτε να διατυπώσετε ένα συμπέρασμα ; Ποιες είναι οι συντεταγμένες της κορυφής της παραβολής y = αχ2 ; Ποια είναι η εξίσωση του άξονα συμμετρίας της παραβολής y = αχ2 ; Ποια είναι η ελάχιστη τιμή κάθε μιας συνάρτησης από αυτές που σχεδιάσατε ;

Γενικεύοντας μπορείτε να διατυπώσετε ένα συμπέρασμα για το ρόλο του συντελεστή α στη γραφική παράσταση της y = αχ2;

Β. Μελέτη των κατακόρυφων μετατοπίσεων της παραβολής y = αχ2•

Δραστηριότητα 3η Να σχεδιάσετε τη γραφική παράσταση της y = χ2• (Στα παρακάτω σχήματα με την έντονη γραμμή, έχει σχεδιαστεί η παραβολή y = χ 2)

Στο ίδιο σύστημα αξόνων να σχεδιάσετε και τις γραφικές παραστάσεις των συναρτήσεων που προκύπτουν, αν στο χ2

α) προσθέσετε διαδοχικά τους αριθμούς 1 , 2, 3, . . . ( y = χ 2 + 1 , y = χ 2 + 2 , . . . ) β) αφαιρέσετε διαδοχικά τους αριθμούς 1 , 2, 3 , . . . ( y = χ 2 - 1 , y = χ 2 - 2 , . . . )

Μπορείτε να διατυπώσετε ένα συμπέρασμα ; Ποιες είναι οι συντεταγμένες της κορυφής της παραβολής y = χ2 + k ; Ποια είναι η εξίσωση του άξονα συμμετρίας της παραβολής αυτής ;

-3: -2: ·1 : :2 :3 ι ι ι ι ι ι ι ι ι ι ι

. . . . ι . . . . . L • • • • • � - - - - - - - - - - � - - - - - J . . . . . ι . . . . : : : _, : : :

Δραστηριότητα 4η Να σχεδιάσετε τη γραφική παράσταση της y = - χ2• Στο ίδιο σύστημα αξόνων να σχεδιάσετε και τις γραφικές παραστάσεις των συναρτήσεων που προκύπτουν, αν στο -χ2

α) προσθέσετε διαδοχικά τους αριθμούς 1 , 2, 3, . . . (y = - χ 2 + 1 , y = -χ 2 + 2 , . . . ) β) αφαιρέσετε διαδοχικά τους αριθμούς 1 , 2, 3 , . . . (y = -χ 2 - 1 , y = - χ 2 - 2 , . . . )


-------- Η γραφική παράσταση της συνάρτησης y = α χ 2+ β χ + γ --------

Μπορείτε να διατυπώσετε ένα συμπέρασμα ; - Τι παρατηρείτε για τον άξονα συμμετρίας τους ; - Ποια είναι η ελάχιστη τιμή κάθε μιας συνάρτησης από αυτές που σχεδιάσατε ; - Ποιες είναι οι συντεταγμένες της κορυφής κάθε μιας καμπύλης από αυτές που σχεδιάσατε;

Γενικεύοντας μπορείτε να διατυπώσετε ένα συμπέρασμα για το ρόλο του κ στη γραφική παράσταση της y = αχ2 + κ ;

Γ. Οριζόντια μετατόπιση της γραφικής παράστασης της y = αχ2

Δραστηριότητα Sη Να σχεδιάσετε την γραφική παράσταση της y = χ2. Στο ίδιο σύστημα αξόνων να σχεδιάσετε και τις γραφικές παραστάσεις των συναρτήσεων που προκύπτουν, αν όπου χ θέσετε : α) χ - 1 , χ - 2 , . . . [ y = (χ - 1 )2 , y = (χ - 2)2 , . . . ]

β) χ + 1 ' χ + 2 ' . . . [ Υ = (χ + 1 )2 ' Υ = (χ + 2)2 ' . . . ]

Μπορείτε να διατυπώσετε ένα συμπέρασμα ; Ποιες είναι οι συντεταγμένες της κορυφής της παραβολής y = (χ + c? Ποια είναι η εξίσωση του άξονα συμμετρίας της παραβολής αυτής ; Ποια είναι η ελάχιστη τιμή κάθε μιας συνάρτησης από αυτές που σχεδιάσατε;

� � ' ' ι ι ι ι ι ι ι

- - t - - - - - � - - - - -� - - - - - - - - - - � - - - - - 1 - - - - - t - - - - - � - - - ·

1 ι ι ·1 ι ι ι ι

� � ' ' ι ι ι ι ι ι ι - - - - - � - - - - - t - - - - - � - - - - -� - - - - - - - - - - � - - - - - � - - - - - t - - -I I I I •1 I I I ι ι ι ι ι ι ι

Δ. Δύο μετατοπίσεις της γραφικής παράστασης της y = αχ2 μια οριζόντια και μια κατακόρυφη.

Δραστηριότητα 6η Να σχεδιάσετε την γραφική παράσταση της y = 2χ2. Στο ίδιο σύστημα αξόνων να σχεδιάσετε και τις γραφικές παραστάσεις των συναρτήσεων

α) y = 2(x - 1)2 + 1 , y = 2(x - 1 )2+ 2 , . . . ] β) y = 2(x + 1 )2 + 1 , y = 2(x + 1 )2+ 2 , . . . ]

Να περιγράψετε με ποιόν τρόπο από τη γραφική παράσταση της συνάρτησης y = 2χ2 φτάνουμε στη γραφική παράσταση της συνάρτησης y = 2(χ + c)2 + k

Ποιες είναι οι συντεταγμένες της κορυφής της παραβολής y = 2(χ + c)2 + k ;

Ποια είναι η εξίσωση του άξονα συμμετρίας της παραβολής αυτής ; ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ Α' 84 τ.4/29

-3: -2! -1: ' ' ' . . .

' ' · · · · • r • • • • .. .... .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. ., .. .. .. .. ' ' ' ' ι ι ι ι I I I I I I I I · - · - · r · - - - -,.. ....... .. .. .. , .. .. .. .. I I I I ' ' ' ' ' ' ' ' '

(Στα σχήματα με την έντονη γραμμή, έχει σχεδιαστεί η παραβολή y = χ 2) Προτεινόμενες ασκήσεις

Γ 22· Να βρείτε τη συνάρτηση f της οποίας η γραφική παράσταση είναι η παραβολή των παρακάτω σχημάτων.

α)

γ)

ε)

(Στα σχήματα αυτά με την έντονη γραμμή, έχει σχεδιαστεί η παραβολή y = χ 2)

:3 :4 :5 ' ' ' ι ι ι ι ι ι ι

· - - - - : - - - - -: - - - - - �,- - - -:- - - - - : - · · · - : - - - - - : - - - - -:-

!, : ' .. .. .. · �- · - .. - 1 · .. .. .. .. �

I I Ι ., ! i ! - - - · ·:· · · · ·: · · · · · ·: · · · ·

-2 · · ·:· · · · · :· · · · · :

I I I I ι I ι ι ι ι ι ι I I I I I ι ι .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. . .. .. .. .. .. � .. .. .. . ..... .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. ..... .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. . I I I I ') Ι Ι Ι

β)

δ)

στ)

-2! -1! ' ' : i • • • • • ι. . . . . .... . . . . . . . . . . .ι .. .. .. .. . J . . . .. .. .ι . .. .. .. .. ... .. ..

Γ23. Να περιγράψετε από ποιες μετατοπίσεις της γραφικής παράστασης της y = χ2 θα προκύψει η γραφική παράσταση της y = χ2 - 4χ + 4.

Γ24· Να περιγράψετε από ποιες μετατοπίσεις της γραφικής παράστασης της y = χ2 θα προκύψει παραβολή με κορυφή το σημείο Κ(-2, 3).

Γ 25· Στο ίδιο σύστημα αξόνων να σχεδιάσετε τις γραφικές παραστάσεις των συναρτήσεων

α) f(x) = χ2 + 2χ, β) f(x) = 2χ2- 3χ,

g(x) = χ2 + 2χ - 1 g(x) = 2χ2 - 3χ - 1

Τι παρατηρείτε για τον άξονα συμμετρίας τους;

κ(χ) = χ2 + 2χ + 2 κ(χ) = 2χ2- 3χ + 2


Προβλήματα . . . παντού ! ================= Καλλέργης Κώστας -Μορφοπούλου Μαρία 1. Η ηλικία του Γιώργου είναι έξι φορές μεγαλύτερη από την ηλικία που είχε ο Κώστας, όταν η ηλικία του ήταν ίση με τη σημερινή ηλικία του Κώστα. Αν το άθροισμα των σημερινών ηλικιών τους είναι 13, βρείτε τις ηλικίες αυτές.

Λύση : Έστω x,y οι ηλικίες του Γιώργου και του Κώστα, αντίστοιχα (x>y). Η ηλικία του Γιώργου ήταν ίση με τη σημερινή ηλικία του Κώστα πριν από (x-y) χρόνια. Τότε, η ηλικία του Κώστα ήταν y-(x-y)=y+y-x=2x-y χρόνια. Επομένως, σύμφωνα με τα δεδομένα του προβλήματος, ισχύουν οι εξισώσεις: x=6(2y-x) ( 1 ), x+y= 1 3 (2). Λύνοντας το σύστημα των εξισώσεων (1 ), (2), βρίσκουμε χ=8 χρόνια και y=5 χρόνια. 2. Αν προσθέσουμε 3€ στα 2/3 των χρημάτων της Μαρίας, θα έχει τόσα χρήματα όσα και ο Ηλίας. Η Μαρία έχει 4€ περισσότερα από τον Ηλία. Πόσα χρήματα έχει ο καθένας;

Λύση : Έστω x,y τα χρήματα της Μαρίας και του Ηλία, αντίστοιχα (x>y). Τότε, σύμφωνα με τα δεδομένα του προβλήματος, ισχύουν οι εξισώσεις: �χ + 3 = y ( 1) , χ = y + 4 ( 2) .

3 Λύνοντας το σύστημα των εξισώσεων ( 1 ), (2), βρίσκουμε χ=2 1 € και y= 1 7€. 3. Κάποια μέρα αγόρασαν, από ένα αυγοπώλη 36 άτομα, άντρες, γυναίκες και παιδιά, 119 εξάδες αυγά. Α ν κάθε άντρας αγόρασε πέντε εξάδες, κάθε γυναίκα τρεις εξάδες, κάθε παιδί 5 αυγά και ο αριθμός των γυναικών ήταν όσος ο αριθμός των αντρών και των παιδιών μαζί, πόσοι ήταν οι άντρες, πόσες οι γυναίκες και πόσα τα παιδιά;

Λύση : Έστω χ,y,ω ο αριθμός των αντρών, των γυναικών και των παιδιών, αντίστοιχα. Τότε, σύμφωνα με τα δεδομένα του προβλή-ματος, ισχύουν οι εξισώσεις: χ+ y +ω= 36 ( 2) , (5·6)x+(3·6)y+5:o=ll9·6ή 5χ +3y+�ω = 1 19 (2)

6 και y = χ + ω (3). Αντικαθιστώντας το y με το ίσο του από την (3), στις ( 1 ) και (2), βρίσκουμε τελικά 2(χ+ω)=36 ή χ+ω=1 8 (4) και

5 , 23ω 5χ +3 (χ + ω)+-ω = 1 19 η 8χ+- = 1 19 (5) 6 6

Λύνοντας το σύστημα των εξισώσεων (4), (5), βρίσκουμε χ=12, ω=6, οπότε από την (3) προκύπτει y= 1 8. 4. Ένας κτηνοτρόφος έχει μια αγελάδα, μια κατσίκα, ένα γάιδαρο και ένα δεμάτι ζωοτροφή. Υπολόγισε ότι η ζωοτροφή αρκεί για να τραφεί η αγελάδα και ο γάιδαρός του για μισό μήνα, ο γάιδαρος και η κατσίκα του για τα 3/4 του μήνα, ενώ η αγελάδα και η κατσίκα του για το 1/3 του μήνα. Πόση ζωοτροφή καταναλώνει το μήνα (αν δεχτούμε ότι είναι σταθερή) το καθένα από αυτά τα ζώα;

Λύση: Έστω Α, Κ, Γ η ποσότητα της μηνιαίας κατανάλωσης ζωοτροφής της αγελάδας, της κατσίκας και του γαιδάρου. Τότε, σύμφωνα με τα δεδομένα του προβλήματος, ισχύουν οι εξισώσεις: _!_(Α+Γ) = 1( 1) , �(Γ+Κ) =1(2) , l(A+K)=1 (3) . 2 4 3 Λύνοντας το σύστημα των εξισώσεων

' 1 1 7 1 ( 1 ),(2),(3) βρισκουμε: Α=-, Κ =-, Γ =-6 6 6

5. Ένας έμπορος πούλησε 60 αυτοκίνητα και μοτοσικλέτες, που -συνολικά-οι ρόδες τους ήταν 210 και εισέπραξε 1 17000€. Αν πούλαγε τόσα αυτοκίνητα όσες μοτοσικλέτες και τόσες μοτοσικλέτες όσα αυτοκίνητα, θα εισέπραττε 54000€ λιγότερα. Βρείτε α) πόσα αυτοκίνητα και πόσες μοτοσικλέτες πούλησε και β) την τιμή πώλησης κάθε αυτοκίνητου και κάθε μοτοσικλέτας. Λύση: α) Έστω x,y ο αριθμός των αυτοκινήτων και κάθε μοτοσικλέτας αντίστοιχα. Τότε, σύμφωνα με τα δεδομένα του προβλήματος, ισχύουν οι σχέσεις: x+y=60 ( 1 ), 4χ+ 2y=2 1 Ο (2). Λύνοντας το σύστημα των εξισώσεων ( 1 ), (2) βρίσκουμε χ=45 αυτοκίνητα και y= 1 5 μοτοσικλέτες.

β) Α ν Α, Μ η τιμή πώλησης κάθε αυτοκινήτου και κάθε μοτοσυκλέτας αντίστοιχα, σύμφωνα με τα δεδομένα του προβλήματος και από τις τιμές που βρήκαμε στο προηγούμενο ερώτημα, προκύπτουν οι εξισώσεις:45Α+ 15Μ=1 17000 (3) 15Α+45Μ=63000 (4) (γιατί 1 17000--5400)=63000)

Λύνοντας το σύστημα των εξισώσεων (3), (4) βρίσκουμε Α=12000€ και Μ=3000€.


Επαναληπτ ι κά Θέματα

Γ26• Δίνονται οι παρακάτω ρητές αλγεβρικές παραστάσεις :

Α = χ3 - 3χ2 +4χ -12 2χ2 - 6χ

χ2 - 9 και Β = ---

χ2 + 6χ +9 α) Να aπλοποιήσετε τις παραστάσεις Α και Β. β) Να αποδείξετε ότι :

Α-Β= x3 + xz + 10x + 12 2χ(χ +3)

γ) Να βρείτε τις τιμές του χ, για τις οποίες ι-

σχύει: Α - Β = � 2

Γ27• α) Να παραγοντοποιήσετε τις ακόλουθες παραστάσεις: Α=2χ+6, Β=χ2 -3χ, Γ=χ2 -9 β) Να εκτελέσετε τις πράξεις στην ακόλουθη ρητή αλγεβρική παράσταση :

1 χ - 1 χ 2χ + 6 χ2 - 3χ χ2 -9

Γ28• Δίνεται το παρακάτω σύστημα : {(2χ+1 )2 - (3ψ- 2)2 - (2χ-3ψ)(2χ +3ψ) = -1} 3χ +ψ(ψ- 1) - ψ2 = -6

α) Να αποδείξετε ότι το σύστημα παίρνει τη , {4χ + 12ψ = 2}

μορφη : 3χ - ψ = -6

β) Να λύσετε το παραπάνω σύστημα

Γ29· Να γράψετε το σύστημα των γραμμικών εξισώσεων που αντιστοιχεί σε κάθε ένα από τα ακόλουθα προβλήματα α) i) Ο Αντώνης και ο Βαγγέλης έχουν μαζί 1 50ευρώ. Αν ο Βαγγέλης δώσει 10ευρώ στον Αντώνη, ο Αντώνης θα έχει διπλάσια χρήματα από τον Βαγγέλη. ii) Αφού λύσετε το γραμμικό σύστημα, να βρείτε πόσα χρήματα έχει καθένας ; β) i) Η περίμετρος ενός ορθογωνίου είναι 60cm. Αν αυξήσουμε το μήκος του κατά 2cm και μειώσουμε το πλάτος κατά 3cm, τότε το εμβαδόν του μειώνεται κατά 36cm2• ii) Αφού λύσετε το γραμμικό σύστημα, να βρείτε ποιες οι αρχικές διαστάσεις του ορθογωνίου;

Παναγιώτα Αργύρη

Γ30• Να λύσετε με την μέθοδο της αντικατά-

σης το ακόλουθο σύστημα {χ 2

- Ψ = 4 2 } χ + χψ + ψ = 1 6

Γ31 • Δίνονται οι παραστάσεις Α = 3(χ + 1)2 - (χ - 2)2 Β = (2χ + 3)2 + 2(1 - χ) - 3χ2

Α. Να αποδείξετε ότι Α= 2χ2+ lOx-1 Β. Να αποδείξετε ότι Β= χ2+ lOx+ 1 1 Γ. Να λύσετε την εξίσωση Α=Β

Γ32• Δίνεται η αλγεpρική παράσταση: Α=χ -16χ2-χ4+16

α) Να παραγοντοποίησετε την παράσταση Α β) Να λύσετε την εξίσωση Α=Ο.

Γ 33• Να λύσετε τα ακόλουθα προβλήματα : α) Να βρείτε δύο αριθμούς με άθροισμα 2 και γινόμενο -99. β) Η διαγώνιος ενός ορθογωνίου παραλληλογράμμου είναι 1 5cm. Το μήκος του ορθογωνίου είναι κατά 3cm μεγαλύτερο από το πλάτος του. Να βρείτε την περίμετρο και το εμβαδόν του. (Υπόδειξη: Να γράψετε πρώτα την αλγεβρική σχέση που ικανοποιεί το κάθε πρόβλημα)

Γ34• i) Να παραγοντοποιηθούν οι παραστά-σεις:

2χ+2 και χ2 -χ -2 ii) Να βρεθεί το Ε.Κ.Π των παραστάσεων:

2χ+2, χ2 - χ -2, (χ - 2) iii) Να λυθεί η παρακάτω εξίσωση :

χ + 1 2χ - 1 2 --:----+ = --

χ2 - χ - 2 2χ + 2 χ - 2

Γ35• α) Να βρεθεί η εξίσωση της ευθείας ε, που διέρχεται απο τα σημεία Α(1 ,3) και Β(-1 ,5). β) Να βρεθουν τα σημεία τομής:-της ε και της παραβολής ψ=χ2+2.

Γ 36· Δίνεται η παραβολή ψ=(2μ+ 1 )χ2 α) i) Να βρεθούν οι τιμές του μ για τις οποίες η παραβολή βρίσκεται κάτω από το άξονα n'


-------------- Επαναληπτικά Θέματα ----------------------------------------------------

ii) Να βρεθούν οι τιμές του μ για τις οποίες η δ) Αν το εμβαδόν του τριγώνου ΑΒΓ είναι 16cm2, παραβολή παρουσιάζει ελάχιστο. τότε να υπολογίσετε το εμβαδόν του ΑΔΕ. β) Να βρείτε την τιμή του μ, ώστε η παραβολή να διέρχεται από το σημείο Α( -2, 12). γ) Για την τιμή του μ που υπολογίσατε στο ερώτημα Β , να συμπληρώστε τον παρακάτω πίνακα τιμών της παραβολής :

Ιr---� --.-----=-1 -J2 -----.----1 _ I ----� 5�-=-----τ-

3 ι ------τ-2 ι-4 11 Γ 37· Ένα ορθογώνιο έχει περίμετρο 200 cm . α) Αν χ είναι το πλάτος του ορθογωνίου να εκφράσετε το εμβαδόν του ως συνάρτηση του χ β) Να βρείτε τις τιμές Ε(4), E( lO). και γ) Να κάνετε την γραφική παράσταση της συνάρτησης. δ) Στη συνέχεια από την γραφική παράσταση της συνάρτησης να βρείτε το ορθογώνιο που έχει το μέγιστο εμβαδόν.

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΆ ΘΕΜΑΤΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ

Γ3s· Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ με ΑΒ<ΑΓ. Προεκτείνουμε τις πλευρές ΒΑ και Γ Α του τριγώνου κατά τμήματα ΑΔ=ΑΓ και ΑΕ=ΑΒ αντίστοιχα. Έστω Μ το σημείο τομής των προεκτάσεων των ΔΕ και ΒΓ. Να αποδείξετε ότι:

α) ΒΓ=ΔΕ β) Το τρίγωνο ΜΒΕ είναι ισοσκελές . γ) Τα τρίγωνα ΜΑΒ και ΜΑΕ είναι ίσα.

Γ 39· Δίνεται ισοσκελές τρίγωνο ΑΒΓ με ΑΒ=ΑΓ, το ύψος του ΑΔ και ΔΕ _l_ ΑΓ . Να αποδείξετε ότι: α) Τα τρίγωνα ΑΒΔ και ΑΔΓ είναι ίσα. β) Τα τρίγωνα ΑΒΔ και ΑΔΕ είναι όμοια. γ) Αν AB=lOcm, AΔ=5cm, ΔE=2cm, να υπολογίσετε τα μήκη των ευθυγράμμων τμημάτων ΒΔ και ΑΕ.

Γ 40· Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ με AB=6cm, ΒΓ=7 ,5cm και AΓ=9cm. Στην ΑΒ παίρνουμε ένα σημείο Δ τέτοιο ώστε AΔ=4cm. Από το Δ φέρνουμε παράλληλη προς την ΒΓ που τέμνει την ΑΓ στο Ε:

α) Ν α δείξετε ότι τα τρίγωνα ΑΒΓ και ΑΔΕ είναι όμοια. β) Να γράψετε τον λόγο ομοιότητας. γ) Να υπολογίσετε τα τμήματα ΑΕ και ΔΕ.

Γ4ι· Στο παρακάτω σχήμα δίνεται ισοσκελές τρίγωνο ΑΒΓ (ΑΒ=ΑΓ). Φέρνουμε τις διχοτόμους ΒΕ και ΓΖ των γωνιών Β και Γ. α) i) Να αποδείξετε ότι τα τρίγωνα ΒΕΓ και ΓΒΖ είναι ίσα. ίί) Να γράψετε την ισότητα των πλευρών και των γωνιών που προκύπτει απο την παραπάνω ισότητα τριγώνων. β) Αν Μ είναι το μέσο της ΒΓ, να αποδείξετε οτι το τρίγωνο ΜΖΕ είναι ισοσκελές.

Α

Β Μ Γ

Γ 42· Έστω γωνία ω με 0° :::;; ω :::;; 1 80° , για την . . 3 οποια ισχυει συνω = - - .

5 Α. Η γωνία ω είναι οξεία ή αμβλεία; Να δικαιολογήσετε την απάντησή σας. Β. Να αποδείξετε ότι :

1.) 4 ι"ι") φ 4 η μω = - ε ω = --5 3

Γ 43• Να υπολογίσετε την τιμή της παράστασης:

Α = 5ημω+ 5συνω συν120° · εΦ2 1 50° · εΦω

Γ44· α) Να αποδείξετε ότι: ημα

+ η μα = 2

1 - συνα 1 + συνα η μα β) Να υπολογισετε την γωνία α για την οποία ισχύει: η μα

+ η μα

= 2 1 - συνα 1 + συνα

Γ4s· α) Να λύσετε την εξίσωση: 2χ2+χ-1=0 β) Να βρεθούν οι τιμές της γωνίας χ για την οποία ισχύει: 2συν2χ+συνχ-1 =Ο

Γ 46· Ένα τρίγωνο ΑΒΓ έχει: α=5cm, β= ..J6 cm και γωνία Γ=75°. Να υπολογίσετε :

i) τις γωνίες Α και Β ίί) την πλευρά γ.


Μαθημαιικοί Διαγωνισμοί Επιμέλεια: Επιτροπή Διαγωνισμών

29η Ελληνική Μαθηματική Ολυμπιάδα "Ο Αρχιμήδης" 3 Μαρτίου 2012

Θέματα μ ι κρών τάξεων ΠΡΟΒΛΗΜΑ 1 Δίνεται οξυγώνιο τρίγωνο ΑΒΓ (με ΑΒ < ΑΓ < ΒΓ ), εγγεγραμμένο σε κύκλο c(O,R) (με κέντρο

το σημείο Ο και ακτίνα R). Ο κύκλος c1 (Α,ΑΒ) (με κέντρο το σημείο Α και ακτίνα ΑΒ ) τέμνει την πλευρά ΒΓ στο σημείο Δ και τον περιγεγραμμένο κύκλο c(O,R) στο σημείο Ε. Να αποδείξετε

ότι η πλευρά ΑΓ διχοτομεί τη γωνία ΔΑΕ . Λύση (1 ος τρόπος) Οι γωνίες Γ ΑΕ και ΓΒΕ είναι εγγεγραμμένες στον κύκλο

---

c(O,R) (σχήμα 1 ) και βαίνουν στο ίδιο τόξο ΓΕ , οπότε είναι ίσες, δηλαδή έχουμε Α2 = Γ ΑΕ = ΓΒΕ . ( 1 )

Επίσης, η γωνία ΔΒΕ που είναι ίση με τη γωνία ΓΒΕ είναι εγγεγραμμένη στον κύκλο cι (Α,ΑΒ) και βάνει στο τόξο ΔΕ , ενώ η γωνία ΔλΕ είναι η επίκεντρη της γωνίας ΔΒΕ . Επομένως έχουμε

ΓΒΕ = ΔΒΕ = ΔλΕ = Αι + Α2 . 2 2

αντίστοιχη

(2)

Σχήμα 1 Α ' ' ( 1 ) (2) λ β ' Δ Αι;� , (3) πο τις σχεσεις και αμ ανουμε: ·�

από την οποία προκύπτει ότι Αι = Α2 , δηλαδή η ΑΓ είναι διχοτόμος της γωνίας ΔλΕ .

2ος τρόπος: Οι χορδές ΑΒ και ΑΕ του κύκλου ( c) είναι ίσες μεταξύ τους, ως ακτίνες του κύκλου ( Cι ) , οπότε το τρίγωνο ΑΒΕ είναι ισοσκελές με Β ι = ΑΒΕ = ΑΕΒ. (3)

Όμως οι γωνίες ΑΕΒ και Γ είναι εγγεγραμμένες στον κύκλο c(O,R) και βαίνουν στο ίδιο τόξο, οπότε θα είναι ίσες, δηλαδή ΑΕΒ = Γ . ( 4)

Από τις (3) και (4), έχουμε Βι = ΑΒΕ = Γ (5) και επομένως προκύπτει ότι Β2 = Β - Βι = Β -Γ . ( 6)

Από το ισοσκελές τρίγωνο ΑΒΔ , έχουμε: Δι = ΑΔΒ = Β και επειδή η Δι είναι εξωτερική γωνία του τριγώνου ΑΔΓ , συμπεραίνουμε ότι: Β = Δι = ΔΑr + Γ = Αι + Γ => Αι = ΔΑr = Β - Γ . (7)

Από τις σχέσεις (6) και (7) λαμβάνουμε την ισότητα: Αι = Β2 . (8) Επιπλέον, οι γωνίες Β2 και Γ ΑΕ = Α2 είναι εγγεγραμμένες στον κύκλο c( Ο, R) και βαίνουν στο ίδιο

τόξο fE , οπότε είναι ίσες, δηλαδή Α2 = Γ ΑΕ = ΓΒΕ = Β2 . (9) Από τις σχέσεις (7), (8) και (9) λαμβάνουμε την ισότητα Αι = Α2 = Β -Γ , από την οποία προκύπτει

ότι η πλευρά ΑΓ διχοτομεί τη γωνία ΔλΕ . ΠΡΟΒΛΗΜΑ 2 Για τις διάφορες τιμές της παραμέτρου α Ε IR ' να λύσετε την εξίσωση l lx - 41 - 2χ + sι = ax + 4 .


-------------- Μαθηματικοί Διαγωνισμοί --------------

•

•

Λύση Με σκοπό την απαλλαγή από την απόλυτη τιμή του χ - 4 , θεωρούμε τις περιπτώσεις: Ι. χ � 4 . Τότε έχουμε lx -41 = χ -4 και η εξίσωση γίνεται:

lx - 4 - 2x + 8 1 = ax + 4 � 1- (χ - 4)1 = ax + 4 � lx -41 = ax + 4 � x - 4 = ax + 4 � (1 - a)x = 8, οπότε διακρίνουμε τις περιπτώσεις: Για α = 1 η εξίσωση γίνεται: Ο · χ = 8 και είναι αδύνατη .

Για α 7:- 1 η εξίσωση έχει μοναδική λύση χ = -

8-, μόνον όταν 1 - α

8 2 1 + α -- � 4 � -- � 1 � -- � Ο � (α + 1)(α - 1) s 0, α 7:- 1 � -1 s α < 1 . 1 - α 1 - α 1- α

Για α < -1 ή α � 1 η εξίσωση δεν έχει λύση μεγαλύτερη ή ίση του 4. Π. χ < 4 . Τότε έχουμε lx - 41 = -χ + 4 και η εξίσωση γίνεται: l-x +4-2x + 8l = αχ +4 � 1-3(χ -4)1 = αχ +4� 13(χ - 4)1 = αχ + 4 � -3χ + 12 = αχ + 4 � ( α+3)χ = 8,

οπότε διακρίνουμε τις περιπτώσεις: • Για α = -3 η εξίσωση γίνεται: Ο · χ = 8 και είναι αδύνατη.

Γ 3 ξ' ' δ ' λ ' 8 ' ' • ια α 7:- - η ε ισωση εχει μονα ικη υση χ = -- , μονον οταν α + 3

•

•

•

•

•

8 2 -α - 1 -- < 4 � -- <1� -- < Ο � (α + 3)(α + 1) > 0, α :;t: -3 � α < -3 ή α > -1 . α + 3 α + 3 α + 3

Για -3 < α s - 1 η εξίσωση δεν έχει λύση μικρότερη του 4. Συνοψίζοντας, όλα τα παραπάνω έχουμε ότι:

Γ 3 ξ' ' ' ' λ ' 8 ια α < - , η ε ισωση εχει μια μονο υση χ = -- . α + 3

Για -3 s α < -1 , η εξίσωση δεν έχει λύση .

Γ 1 ξ' ' ' ' λ ' 8 ια α = - , η ε ισωση εχει μια μονο υση χ = --. 1 - α

Για -1 < α < 1 , η εξίσωση έχει δύο λύσεις χ = -8- και χ = -

8- . 1 - α α + 3

Γ > 1 ξ' ' ' ' λ ' 8 ια α _ , η ε ισωση εχει μια μονο υση χ = -- . α + 3

ΠΡΟΒΛΗΜΑ 3 Οι θετικοί ακέραιοι m, η , με m>η, ικανοποιούν την εξίσωση ΕΚΠ{m,η} +ΜΚΔ{m,η} =m+η. (*) (α) Να αποδείξετε ότι ο η είναι διαιρέτης του m . (β) Α ν επιπλέον ισχύει ότι m - η = 1 Ο , να προσδιορίσετε όλα τα ζευγάρια ( m, η) που είναι λύσεις

της εξίσωσης (*). Λύση (α) Έστω ότι ΜΚΔ {m,η} = d . Τότε υπάρχουν θετικοί ακέραιοι a,b τέτοιοι ώστε:

m = ad, η = bd και ΜΚΔ { a, b} = 1 .

Τότε θα ισχύει ότι ΕΚΠ { m, η} = mn = adbd = abd και η εξίσωση (*) γίνεται: d d

abd + d = ad + bd � d ( ab + 1 - a - b) = Ο , από την οποία, αφού d � 1 , προκύπτει ότι: ab + 1 - a - b = Ο � (a -1)(b - 1) = Ο � a = 1 ή b = 1 .

• Αν είναι a =1, τότε m = d και η = bd � d = m, άτοπο. • Αν είναι b = 1 , τότε η = d και m = ad , οπότε προκύπτει ότι η lm .

(β) Σύμφωνα με το ερώτημα (α), έχουμε η = d και m = ad , με a > 1, αφού m > η, οπότε m - η = 1 0 � ad - d =10 � (a - 1)d = 10 .


Μαθηματικοί Διαγωνισμοί -------------

Επειδή οι αριθμοί a - 1,d είναι θετικοί ακέραιοι, έπεται ότι ( a - 1, d) ε { (1, 1 0) , ( 2, 5) , ( 5, 2 ) , (10, 1 )} � ( a,d) ε { (2,1 0) , (3,5) , ( 6, 2 ) , (1 1 , 1 )} , οπότε λαμβάνουμε τα

ζευγάρια ( m,n) = ( 20, 10) ή ( 1 5,5)ή ( 12, 2) ή (1 1, 1 ) . ΠΡΟΒΛΗΜΑ 4 Πάνω σε επίπεδο Π δίνεται ευθεία ε και πάνω στην ε δίνονται δύο σημεία Α1 , Α2 , διαφορετικά

μεταξύ τους. θεωρούμε ακόμη και δύο διαφορετικά μεταξύ τους σημεία Α3 , Α4 του επιπέδου Π που

δεν ανήκουν στην ευθεία ε. Να εξετάσετε, αν είναι δυνατόν να τοποθετηθούν τα σημεία Α3 και Α4 σε τέτοιες θέσεις, ώστε να σχηματίζεται ο μεγαλύτερος δυνατός αριθμός ισοσκελών τριγώνων με κορυφές τρία από τα τέσσερα σημεία Α1 ,Α2 ,Α3 ,Α4 :

(α) όταν τα σημεία Α3 ,Α4 ανήκουν σε διαφορετικά ημιεπίπεδα ως προς την ευθεία ε,

(β) όταν τα σημεία Α3 ,Α4 ανήκουν στο ίδιο ημιεπίπεδο ως προς την ευθεία ε.

Να δώσετε όλες τις δυνατές περιπτώσεις και σε κάθε περίπτωση να εξηγήσετε πως μπορούν να προσδιοριστούν γεωμετρικά τα σημεία Α3 και Α4 •

Λύση Πρώτα παρατηρούμε ότι από τέσσερα σημεία που ανά τρία είναι μη συνευθειακά, ορίζονται συνολικά (4) 41 4 δ ' ' Ε ' ' δ ' θ ' λ ' ' = -- = ιαφορετικα τριγωνα. πομενως, ο μεγιστος υνατος αρι μος ισοσκε ων τριγωνων που

3 3 !- 1 ! μπορεί να οριστούν με κορυφές τρία από τα από τα τέσσερα σημεία είναι 4. Στη συνέχεια, για τις περιπτώσεις (α) και (β), θα προσπαθήσουμε να τοποθετήσουμε τα σημεία Α3 και Α4 σε τέτοιες θέσεις, έτσι ώστε να ορίζονται τέσσερα ισοσκελή τρίγωνα από τα σημεία Α, , Α2 , Α3 και Α4 • Για τον ορισμό ισοσκελούς τριγώνου με δύο κορυφές Α1 και Α2 υπάρχουν δύο δυνατές περιπτώσεις σε σχέση με τη βάση και τις ίσες πλευρές. Στη πρώτη περίπτωση η Α1Α2 είναι βάση, ενώ στη δεύτερη περίπτωση η Α1Α2 είναι μία από τις ίσες πλευρές. Έχοντας στο νου μας αυτές τις δύο δυνατότητες, προσπαθούμε στη συνέχεια να κατασκευάσουμε ισοσκελή τρίγωνα με κορυφές τρία από τα τέσσερα σημεία Α, , Α2 , Α3 και Α4 •

(α) Τα σημεία Α3 ,Α4 ανήκουν σε διαφορετικά ημιεπίπεδα ως προς την ευθεία ε .

δ

Σχήμα 2

Για τον ορισμό ισοσκελούς τριγώνου με δύο κορυφές Α, και Α2 υπάρχουν οι παρακάτω δυνατές περιπτώσεις: • Η πρώτη περίπτωση είναι τα σημεία Α3 και Α4 να ανήκουν στη μεσοκάθετη δ του ευθύγραμμου

Σχήμα 3

I

τμήματος Α1 Α2 και σε διαφορετικά ημιεπίπεδα ως προς την ευθεία ε. Τότε ορίζονται τα ισοσκελή τρίγωνα Α,Α2Α3 και Α,Α2Α4 • Αν επιπλέον το σημείο Α4 είναι η τομή της μεσοκάθετης δ με τον κύκλο c( Α1 ,Α1Α3 ) , τότε θα είναι Α1Α3 = Α,Α4 , αλλά και Α2Α3 = Α2Α4 (λ

όγω συμμετρίας), οπότε και τα τρίγωνα Α,Α3Α4 και Α2Α3Α4 είναι ισοσκελή, σχήμα 2.

• Η δεύτερη περίπτωση είναι γενίκευση


Μαθηματικοί Διαγωνισμοί -------------

της πρώτης. Τα σημεία Α3 και Α4 λαμβάνονται συμμετρικά ως προς την ευθεία ε, πάνω σε τυχούσα ευθεία ζ κάθετη προς την ευθεία ε, όχι στα σημεία Α, , Α2 , αλλά και πάνω στον κύκλο c (Α, , Α, Α2 ) , ώστε να εξασφαλίζονται οι ισότητες Α1Α2 = Α,Α3 = Α,Α4 και Α1Α4 = Α1Αμ Α2Α4 = Α2Α3 , αφού η ευθεία ε είναι μεσοκάθετη της χορδής Α3Α4 , σχήμα 3 .

• Στη περίπτωση αυτή υποθέτουμε ότι η Α,Α2 είναι βάση στο τρίγωνο Α1Α2Α3 και μία από τις ίσες πλευρές στο τρίγωνο Α,Α2Α4 , σχήμα 4. Τα ισοσκελή τρίγωνα Α,Α2Α3 και Α,Α4Α3 , αλλά και τα Α1Α2Α4 και Α2Α4Α3 είναι ίσα, γιατί έχουν τις τρεις πλευρές τους ίσες μία προς μία, Α4Α1 = Α1Α2 = Α3Α2 και Α4Α3 = Α4Α2 = Α1Α2 • Άρα έχουμε και τις ισότητες των γωνιών:

θ = ω και φ = χ . ( 1 ) Από το τρίγωνο Α1Α3Α4 προκύπτει η ισότητα: φ + ω + 2θ = 1 80° ή φ+ 3θ = 1 80° , (2) ενώ από το τρίγωνο Α2Α3Α4 προκύπτει η ισότητα

�3 _ _ _ _ _ _

Σχήμα 4

2( φ - θ) + χ + ω = 1 80° => 3φ - θ = 1 80° . (3) Από τις (2) και (3) λαμβάνουμε: φ = 72° και θ = 36° .

(β) Τα σημεία Α3 , Α4 ανήκουν σrο ίδιο ημιεπίπεδο ως προς την ευθεία ε . Έχουμε τρεις δυνατές περιπτώσεις: • Το σημείο Α3 ανήκει στη μεσοκάθετη δ του ευθύγραμμου τμήματος Α1Α2 και το σημείο

δ

•

Σχήμα 5

Σχήμα 6 Σχήμα 7

στη συνέχεια θεωρούμε το σημείο Α3

Α4 λαμβάνεται ως η τομή των μεσοκάθετων δ και ζ των ευθύγραμμων τμημάτων Α, Α2 και Α1Α3 , αντίστοιχα. Τότε και τα τέσσερα τρίγωνα που ορίζονται από τα σημεία A1 ,Az .A3 και Α4 είναι ισοσκελή. Για να ανήκει το σημείο Α4 στο ίδιο

ημιεπίπεδο με το σημείο Α3 θα πρέπει το τρίγωνο Α1Α2Α3 να είναι οξυγώνιο, σχήμα 5 .

• Τα σημεία Α3 και Α4 λαμβάνονται έτσι ώστε το τετράπλευρο Α1Α2Α3Α4 να είναι ρόμβος (ή

τετράγωνο), δηλαδή πρέπει για το τετράγωνο να ισχύουν A,Az =Α1Α4 =Az� και A,Az .lA1A4 , Α1Α2 .l Α2Α3 , σχήμα 6, ενώ για το ρόμβο πρέπει να ισχύουν A,Az = Α1Α4 =AzA3 =AzA4 ' σχήμα 7.

Στην περίπτωση αυτή ορίζουμε πρώτα το σημείο Α4 πάνω στο κύκλο c(A1 , A1A2 ) έτσι

ώστε Α1Α2 = Α1Α4 και

συμμετρικό του Α1 ως προς την ευθεία Α2Α4 • Με τον ίδιο τρόπο μπορούν να θεωρηθούν τα σημεία Α3 και Α4 στο άλλο ημιεπίπεδο ως προς την ευθεία ε . Στην περίπτωση αυτή υποθέτουμε ότι έχουμε ορίσει τα σημεία

Σχήμα 8 Σχήμα 9 Α3 και Α4 σε ένα από τα δύο ημιεπίπεδα, έτσι ώστε να σχηματίζονται από αυτά τέσσερα ισοσκελή


Μαθηματικοί Διαγωνισμοί --------------

τρίγωνα, σχήμα 8 και 9. Εργαζόμενοι όπως στην τρίτη υποπερίπτωση του (α), λαμβάνουμε τις ισότητες ω = θ = 36° και φ = χ = 72° .

Παρατηρήσεις 1 . Σε καθεμία από τις δύο περιπτώσεις έχουμε ισοσκελές τραπέζιο Α1Α2Α3Α4 του οποίου οι δύο ίσες

πλευρές ισούνται με τη μικρή βάση του. Οι τρεις ίσες πλευρές του ισοσκελούς τραπεζίου Α1Α2Α3Α4 αντιστοιχούν σε πλευρές κανονικού πενταγώνου εγγεγραμμένου σε κύκλο που περνάει από τρεις κορυφές του, σχήματα 9 και 1 0. Αντίστοιχη παρατήρηση μπορεί να γίνει για την τρίτη υποπερίπτωση του (α), σχήμα 4.

2. Στην περίπτωση (α) θα μπορούσαμε να θεωρήσουμε το σημείο Α3 σε τέτοια θέση, ώστε να ισχύουν: Α1Α3 = Α1Α2 και Α1Α3 .l Α1Α2 , οπότε το τρίγωνο Α1Α2Α3 είναι ισοσκελές και Σχήμα 1 0

ορθογώνιο, σχήμα 1 Ο. Στη συνέχεια το σημείο Α4 πρέπει να τοποθετηθεί σε διαφορετικό ημιεπίπεδο σε σχέση με το Α3 • Οι πιθανές θέσεις του φαίνονται στο σχήμα 1 Ο, αλλά στις τρεις περιπτώσεις ορίζονται τρία ακριβώς ισοσκελή τρίγωνα και στην τέταρτη με Α4 = Δ μόνο δύο. Επομένως σε αυτή την περίπτωση δεν επιτυγχάνεται ο ορισμός του μέγιστου δυνατού αριθμού ισοσκελών τριγώνων.

Οι λύσεις των ασκήσεων για διαγωνισμούς (τεύχος 83) Α3. Δίνονται οι πραγματικοί αριθμοί a, b,c με abc :;t: Ο . Να προσδιορίσετε τους πραγματικούς

ay + bx bz + cy cx + az 4a2 + 4b2 + 4c2 αριθμούς x,y,z , αν ισχύουν: = = ---

yz zx - χ2 + y2 + z2 • xy Λύση

Κροατία, 2007

ο δ , , ξ , , , a b b c c a a b c az bz ι υο πρωτες ε ισωσεις γραφονται στη μορφη - +- =-+- =- +- <::::> - =- =- :::::> χ = - και y =- ,

x y y z z x x y z c c a b a b 2c οπότε θα έχουμε - + - = -+- = - . ( 1 ) χ y az bz z

Έχουμε επίσης ότι

Από τις ( 1 ) και (2) λαμβάνουμε

c c

αφού c -:F- Ο , οπότε θα έχουμε: χ = 2a, y = 2b, z = 2c. Α4. Αν a, b,c,d είναι θετικοί πραγματικοί αριθμοί με άθροισμα ι, να αποδείξετε ότι:

(2)

bcd cda dab abc ι -- + -- + -- + -- < - . Ρουμανία, 2002 a + 2 b + 2 c + 2 d + 2 ι3

Λύση

Α , , θ , , , , b ( a + b + c JJ πο τη'f ανισοτητα αρι μητικου - γεωμετρικου μεσου εχουμε a c ::; 3

,

Οπότε abc ::; ( a + b + cJ3_1_ < ( a + b + c + dJ

3_1_ = _!_ . _1_ < _1_ .

d + 2 3 d + 2 3 d + 2 33 d + 2 27 . 2 Εργαζόμενοι ομοίως και για τα άλλα κλάσματα, έχουμε τελικά

bcd cda dab abc 4 2 1 -- + -- + -- + -- < -- = - < -. a + 2 b + 2 c + 2 d + 2 27 · 2 27 1 3


-------------- Μαθηματικοί Διαγωνισμοί -------------

Α5. Δίνονται οι ακέραιοι a,b,c τέτοιοι ώστε ab + bc + ca = ι. Να αποδείξετε ότι ο αριθμός

Α = (ι + a2 ){ι + b2 ){ι + c2 ) είναι τέλειο τετράγωνο φυσικού αριθμού. Ουκρανία, 2009

Λύση Με πρόσθεση του a2 και στα δύο μέλη της ισότητας ab + bc + ca = 1, λαμβάνουμε

a2 + ab + bc + ca = 1 + a2 � (a + b)(a + c) = 1 + a2 • ( 1 ) Ομοίως λαμβάνουμε ( a + b )(b + c) = 1 + b2 και ( c + b ) ( a + c) = 1 + c2 , (2) οπότε με πολλαπλασιασμό κατά μέλη των ( 1 ) και (2) λαμβάνουμε

Α = ( 1 + a2 )( 1 + b2 )( 1 + c2 ) = ( a + b γ (b + c )2 ( c + a γ = [ ( a + b )(b + c ) ( c + a) Τ , δηλαδή οΑ είναι τέλειο τετράγωνο του φυσικού αριθμού I ( a + b ) (b + c )( c + a )I · Ν3. Βρείτε τον αριθμό των πενταψήφιων θετικών ακέραιων που είναι τέλεια τετράγωνα και έχουν τα δύο τελευταία ψηφία τους ίσα. Ρουμανία, 1999 Λύση

Έστω ότι ο αριθμός Α = abcdd είναι τέλειο τετράγωνο. Τότε ο αριθμός Α γράφεται Α = abcdd = 1 OOabc + 1 1d = ( 1 OOabc + 8d) + 3d = πολ.4 + 3d .

Επειδή όλα τα τετράγωνα modu1o 4 έχουν τη μορφή πολ.4 ή πολ.4 + 1 και αφού ένα τέλειο τετράγωνο λήγει σε Ο, 1 , 4, 5, 6, 9, έπεται ότι d = Ο ή d = 4. •

•

Αν d = Ο, τότε ο Α = 100abc είναι τέλειο τετράγωνο, αν, και μόνον αν, ο αριθμός abc είναι τέλειο τετράγωνο, οπότε abc Ε { 1 02 , 1 12 , • • • , 3 12 } , οπότε στην περίπτωση αυτή υπάρχουν 22 αριθμοί.

Αν d = 4 , τότε Α = 100abc + 44 = k2 , όπου k άρτιος, έστω k = 2ρ , οπότε θα είναι abc = ρ2 - 1 1 και 25

διακρίνουμε τις περιπτώσεις:

ι Α 5 �τ· ' -b ρ2 - 1 1 �τ ' . ν ρ = m,m E 1'1 , τοτε ο a c = � 1'1 , ατοπο. 25

• - 25m2 + 10m - 10 2 (m- 1) 2. Αν ρ = 5m + 1,m E N , τότε ο abc = = m2 + είναι ακέραιος όταν 25 5

m Ε { 1 1, 1 6, 2 1, 26, 3 1} , δηλαδή υπάρχουν 5 λύσεις.

3 Α 5 2 �τ· ,

-b 2 20m - 7 �τ , . ν ρ = m + ,m E 1'1 , τοτε ο a c = m + � 1'1 , ατοπο. 25

4 Α 5 3 �τ· ,

-b 2 30m - 2 �τ , • ν ρ = m + ,m E 1'1 , τοτε ο a c = m + � 1'1 , ατοπο.

25

5 Α 5 4 �τ· , -b 2 8m + 1 , , ,

. ν ρ = m + , m Ε 1 "� , τοτε ο a c = m + -5-, οποτε πρεπε ι να ειναι

m = πολ.5 + 3 => m Ε { 1 3, 1 8, 23, 28} , οπότε υπάρχουν 4 λύσεις. Επομένως, συνολικά υπάρχουν 22+5+4=3 1 λύσεις.

Παρατήρηση. Οι λύσεις των υπόλοιπων ασκήσεων θα δοθούν στο επόμενο τεύχος, λόγω έλλειψης χώρου

Ασκήσεις για λύση Α6. Α ν χ, y, z είναι ακέραιοι διαφορετικοί ανά δύο τέτοιοι ώστε xy + yz + zx = 26, να αποδείξετε

ότι χ2 + / + z2 2:: 29 .

2 22 2n+l

Α 7. Να υπολογίσετε το άθροισμα S = -- + -2--+ . . . + -"-. 3 + 1 3 + 1 32 + 1

Ν4. Να αποδείξετε ότι για κάθε μη αρνητικό ακέραιο n ο αριθμός Α = 2n + 3n + 5n + 6n δεν είναι τέλειος κύβος.


Χαίρομα ι να λύνω ================================================== Κυράνας Παναγιώτης

Ευθεία απόδειξη: Ξεκινάμε από την υπόθεση και με πράξεις κατάλληλες που προσδιορίζονται από το συμπέρασμα καταλήγουμε στο συμπέρασμα.

Έμμεση απόδειξη : Μετασχηματίζουμε το συμπέρασμα σε απλούστερες ισοδύναμες προτάσεις και φτάνουμε σε μία πρόταση η οποία είναι πολύ εύκολο να αποδειχθεί με τη βοήθεια της υπόθεσης.

Απαγωγή σε άτοπο: Δεχόμαστε ότι ισχύει το αντίθετο του συμπεράσματος (δηλαδή ότι το συμπέρασμα είναι ψευδές) και με συλλογισμούς που στηρίζονται σε αληθείς προτάσεις καταλήγουμε σε μία αντίφαση σε σχέση με την υπόθεσή μας ή άλλη πρόταση που ισχύει, οπότε συμπεραίνουμε ότι αληθεύει το συμπέρασμά μας, διότι μία πρόταση είναι αληθής ή ψευδής.

1. Αν για τους αριθμούς α,β,γ ισχύει: -α+ β + γ α + γ -β α - γ + β

_ __:_...:._ = = ----=--�

2α 2β 2γ να υπολογίσετε την τιμή της παράστα

(α + β}(β + γ)(γ + α) σης

8αβγ ·

Υπόδειξη Όταν μας δίδονται ίσοι λόγοι είναι πολύ

χρήσιμο να εφαρμόζουμε την ιδιότητα των , χ y z χ + y + z αναλογιων: - = - = - = --=--μ κ λ μ + κ+ λ

Έτσι εφαρμόζοντας την ιδιότητα αυτή στους λόγους της άσκησης μας (αυτό αφήνεται στους αναγνώστες) βρίσκουμε ότι ο κάθε λόγος είναι ίσος με .! . Έτσι έχουμε:

2 -α+β+y 1 α + y -β 1 α - y + β 1

= = --=------'-- = 2α 2 ' 2β 2 ' 2y 2 Η συνέχεια της λύσης της άσκησης αφήνε

ται στους αναγνώστες . . . 2. Αν α, β, γ, χ, y, z, θετικοί αριθμοί για

τους οποίους ισχύει

.!_ + Υ + � = 1 ( 1) και α + β + 1 = Ο α β γ χ y z

χ2 y2 z2 να αποδείξετε ότι: -

2 + -2 + -2 = 1 α β γ

Υπόδειξη

(2)

Παρατηρούμε ότι η προς απόδειξη ισότητα περιέχει τα τετράγωνα των όρων της ισότητας ( 1 ) της υπόθεσης άρα τί θα πρέπει να κάνουμε την ισότητα ( 1 ); Είναι αυτό που λέμε «τί κάνει νιάου-νιάου στα κεραμίδια»; Η συνέχεια της απόδειξης αφήνεται στον αναγνώστη.

3. Αν α�+ β!= 2Μ (1), να αποδείξετε Υ χ

2 ότι ισχύει � =

α (2) και αντιστρόφως, χ β

όπου α, β, χ, y>O Υπόδειξη Παρατηρούμε ότι η προς απόδειξη ισότητα

περιέχει τον παράγοντα της υπόθεσης υψωμένο στο τετράγωνο άρα πάλι κάτι κάνει «νιάουνιάου στα κεραμίδια» . . . Η συνέχεια στον αναγνώστη.

ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ 4. Έστω τρίγωνο ΑΒΓ στο οποίο είναι Α Α

ΒΑ Α + Γ , ΑΔ , δ = -2- και το υψος τεμνει τη ι-

χοτόμο ΒΕ στο Μ. Να αποδείξετε ότι 3ΒΜ=2ΑΔ.

Υπόδειξη Εδώ θα χρησιμοποιήσουμε το θεώρημα

που αναφέρει ότι: «Σε ορθογώνιο τρίγωνο η κάθετη πλευρά που είναι απέναντι από γωνία 30° ισούται με το μισό της υποτείνουσας».

Α

Β Γ


-------------- Χαίρομαι να λύνω -------------

Πάντοτε αξιοποιούμε την υπόθεσή μας και 6. Οι διαστάσεις α, β, γ ενός ορθογωνίου ΑΛ

+ ΓΛ

1 80 ΒΛ παραλληλεπιπέδου, του οποίου η διαγώ-, Β = -- => Β =

-=> Β = 60° εχουμε

2 2 νιος είναι 13 cm, ικανοποιούν τη σχέση 3α+4β+ 12γ=169. Δ

και επειδή Α Β Δ ορθογώνιο =>Α1=30° και ε-πειδή ΒΕ διχοτόμος =>Β1=Β2=30°. Τώρα στο

Δ

ορθογώνιο τρίγωνο Β Δ Μ είναι Β2=30° και σύμφωνα με το θεώρημα που αναφέραμε η λύση είναι πλέον στα χέρια σας. Προσπαθήστε μόνοι σας.

5. Μια διαγώνιος ενός ισοσκελούς τραπεζίου ΑΒΓ Δ το διαιρεί σε δυο ισοσκελή τρίγωνα. Ν α υπολογίσετε τις γωνίες του τραπεζίου. Σημείωση: (στα σχήματα είναι πολύ χρήσιμο να συμβολίζουμε τις γωνίες με μικρά γράμματα στο εσωτερικό τους)

Υπόδειξη Στο ισοσκελές τραπέζιο ΑΒΓ Δ (ΒΓ=ΑΔ)

τα ισοσκελή τρίγωνα που χωρίζει η διαγώνιος Δ Δ

ΒΔ είναι το Γ Δ Β (ΔΓ=ΔΒ) και το Α Β Δ (ΑΒ=ΑΔ). Έχουμε λοιπόν βάσει της υπόθεσης ΑΒ=ΑΔ=ΒΓ, ΒΔ=ΔΓ και επειδή ΑΒ / /ΔΓ => ΓΔΒ = θ .

Δ Γ

Είναι: (1)Α + Β + f' + Δ = 360° και

Δ = Γ, Α = Β (ΑΒΓΔ ισοσκελές τραπέζιο)

άρα η ( 1 ) γίνεται 2Β + 2Δ = 360° αλλά Β = θ + ω , Δ = 2θ άρα

2 (θ + &)+ 2 · 2θ = 360° =>

&+ 3θ = 1 80° } => Λ => αλλά & = 2θ(ΑΒΓΔισοσκελές)

=> θ = 36° => & = 2θ = 72°

Να προσδιορίσετε τον όγκο του στερεού.

Υπόδειξη V=α·β·γ θα υπολογίσουμε τις διαστάσεις α,β,γ

Από ορθ. τριγ. ΔΔ'Β '=>χ2+β2=132 ( 1 )

Από ορθ. τριγ. Δ'Γ 'Β '=>χ2=α2+γ

2 (2)

Από ( 1 ), (2)=> α2+ β2+γ2=132= 1 69 (3)

Από υπόθεση έχουμε 3α+4β+1 2γ=1 69 (4)

Άρα ζητάμε τρεις αριθμούς να ικανοποιούν τις ισότητες (3), (4).

Μία προφανής τριάδα είναι α=3, β=4, γ=1 2.

Θα αποδείξουμε τώρα ότι αυτή η τριάδα είναι μοναδική λύση.

Απόδειξη Έστω α=3+χι , β=4+χz, γ=1 2+χ3 με ένα τουλάχιστον από τα χ1 , χ2, χ3 :;t:O, μία άλλη τριάδα που ικανοποιεί τις ισότητες (3),(4).

Αντικαθιστούμε τις τιμές αυτές στις ισότητες (3),(4) και με πράξεις αποδεικνύουμε ότι χι=Ο, xz=O, χ3=Ο.

Επαληθεύστε το . . .


Διάφορα προβλήματα εκτός της σχολικής ύλης

για διαγωνισμούς ΕΜΕ και Βαλκανιάδες Παίδων 7. Να προσδιορίσετε τον ελάχιστο φυσικό αριθ

μό, ο οποίος έχει 16 θετικούς διαιρέτες και όταν τον αναλύσουμε σε γινόμενο πρώτων παραγόντων, οι παράγοντες είναι 2, 3, 83 Υπόδειξη Το γινόμενο 2.3.83 έχει διαιρέτες τους 1, 2, 3,

83, 2.3, 2.83, 3.83, 2.3.83 (8 διαιρέτες). Το γινόμενο 2.2.3.83 έχει επιπλέον διαιρέτες

τους 2.2, 2.2.3, 2.2.83, 2.2.3.83 (4 διαιρέτες). Το γινόμενο 2.2.2.3.83 έχει επιπλέον διαιρέτες

τους 2.2.2, 2.2.2.3, 2.2.2.83, 2.2.2.3.83 (4 διαιρέτες). Άρα, ο αριθμός 2.2.2.3.83 = 8.3.83 = 24.83 = 1 992, έχει 1 6 θετικούς διαιρέτες και οι πρώτοι παράγοντες του είναι 2,3,83 . 8. Να προσδιορίσετε όλους τους πρώτους α

ριθμούς που είναι κατά 4 μικρότεροι ενός τέλειου τετραγώνου. Λύση: Αφήνεται στον αναγνώστη.

9. Έστω Κ, Λ, Μ, Ν τα μέσα των πλευρών ΑΒ, ΒΓ, ΓΔ, ΔΑ του τετράπλευρου ΑΒΓΔ που έχει εμβαδό Ε. Το γράμμα που υπάρχει σε κάθε κομμάτι του τετράπλευρου παριστάνει το εμβαδόν του κομματιού αυτού. Ποια από τις παρακάτω σχέσεις είναι αληθής; Α. 5α=Ε, Β. x+y+z+w=α, Γ. 6α=Ε, Δ. f+g+h+k=2α, E. 11α=2Ε (Από τον διαγωνισμό Kangourou des Mathematique 1993) Υπόδειξη για το Β ερώτημα Εδώ θα χρησιμοποιήσουμε την ιδιότητα η διά

μεσος ενός τριγώνου το χωρίζει σε δυο τρίγωνα που έχουν το ίδιο εμβαδόν. Γι' αυτό φέρνουμε τη διαγώνιο ΒΔ που χωρίζει το τετράπλευρο ΑΒΓ Δ σε 2 τρίγωνα ΑΒΔ και ΒΔΓ με διαμέσους ΔΚ και ΒΜ αντιστοίχως. Επίσης η διαγώνιος ΒΔ χωρίζει το τετράπλευρο f σε 2 μέρη f1 , f2; το α αντίστοιχα χωρίζεται στα α1, α2 και το h στα h1, h2•

Δ

κ

Τ ώρα, επειδή ΔΚ διάμεσος του τριγώνου (ΑΒΔ) ΑΒΔ�f�+αΙ+hΙ � 2

Γ

�2(fΙ+α1+hΙ)=(ΑΒΔ) (1) ΒΜ διάμεσος του τριγώνου

ΒΔΓ�2(fz+αz+hz)=(ΒΔΓ) (2) Προσθέτουμε ( 1 ) και (2) και έχουμε 2(fi+ai+hi) +2(fz+αz+hz)=(ABΔ)+(BΔΓ)=E� 2(fi+fz+αi+αz+hi+hz)=E�

Ε 2(f+α+h)=E�f+α+h=- (3) 2 Επίσης με διαγώνιο την ΑΓ ομοίως βρίσκουμε

Ε g+α+u=- (4) 2 Είναι (3)+(4)�f+g+2α+h+u=E (5) αλλά και

f+α+h+g+u+x+y+z+w=E (6) Από (5) και (6) �x+y+z+w=α άρα Β αληθής.

Τα υπόλοtπα ερωτήματα αφήνονται στον αναγνώστη. 10. Για παιδιά Δημοτικού, Γυμνασίου. Σε ένα

κενό τετράγωνο του Σχ. 1 ο Κώστας γράφει ένα + και σε άλλο κενό ο Γιάννης ένα -, μετά πάλι ο Κώστας ένα + κλπ. Θα νικήσει αυτός ο οποίος θα τοποθετήσει το σύμβολό του 3 φορές οριζοντίως ή καθέτως. Μπορεί ο Κώστας που παίζει πρώτος να νικήσει και γιατί;

Σχ.1 Λύση: Η λύση αφήνεται στους αναγνώστες.

1 1 . α) Να βρείτε 3 φυσικούς αριθμούς οι οποίοι έχουν γινόμενο και άθροισμα 6. β) Να βρείτε 10 φυσικούς αριθμούς, (μερικοί μπορεί να είναι και ίδιοι) που έχουν γινόμενο και άθροισμα 20 (από Ρωσική Ολυμπιάδα για παιδιά) Λύση: Η λύση αφήνεται στους αναγνώστες. Σημείωση: Ο αναγνώστης πρέπει πρώτα να προσπαθήσει μόνος του να λύσει τις ασκήσεις και όταν δεν τα καταφέρει, τότε να ζητήσει τη βοήθεια της υπόδειξης. Δεν είναι υποχρεωμένος όμως ο αναγνώστης να ακολουθήσει την πορεία της υπόδειξης, μπορεί να δώσει μια άλλη δική του λύση. Άλλωστε στα προβλήματα, αλλά και στις ασκήσεις είναι δυνατόν να υπάρχουν πολλές διαφορετικές λύσεις και να είναι όλες δεκτές, αρκεί να είναι μαθηματικά τεκμηριωμένες.


Νέες τεχνολογίες κα ι Μαθηματ ι κά ==================================================== Αργύρη Παναγιώτα Εισαγωγή Το παρακάτω φύλλο εργασίας αποτελεί μία δραστηριότητα για τους μαθητές της Γ Γυμνασίου με τη βοήθεια του λογισμικού Geogebra. Η δραστηριότητα αυτή από τη μία έχει ως στόχο να εξοικειωθούν οι μαθητές με τις νέες τεχνολογίες στη μάθηση των μαθηματικών και από την άλλη, με την βοήθεια των ιδιοτήτων του λογισμικού, να ανακαλύψουν τη νέα γνώση με ενεργητικό τρόπο. Η δυναμικότητα του λογισμικού Geogebra (με τις δυνατότητες της κίνησης ενός οποιουδήποτε σημείου, της μετατόπισης και μετακίνησης των σχημάτων και των γραφικών παραστάσεων, της πινακοποίησης για την παρατήρηση της μεταβολής ενός οποιουδήποτε ζεύγους τιμών κλπ) βοηθά τους μαθητές να κάνουν υποθέσεις και να ελέγχουν την ορθότητα τους πριν εξάγουν τα συμπεράσματα και τις γενικεύσεις των κανόνων. Η μάθηση των μαθηματικών μετατρέπεται σε ένα παιχνίδι με μαθηματικές έννοιες, όπου καλλιεργείται η κριτική σκέψη, η δημιουργικότητα και η φαντασία των μαθητών. Τέλος, η δημιουργία πολλαπλών αναπαραστάσεων που προσφέρει το λογισμικό και η σύνδεση τους με εικονικό, ενεργητικό και συμβολικό τρόπο, δημιουργεί κίνητρα για μάθηση με απώτερο στόχο την υιοθέτηση μίας θετικής στάσης απέναντι στην διδασκαλία των μαθηματικών. Για την εγκατάσταση του λογισμικού Geogebra έχετε δωρεάν πρόσβαση μέσω του διαδικτύου από τη διεύθυνση της παρακάτω ιστοσελίδας: http://www.geogebra.org/cms/installers. , προκειμένου να το εγκαταστήσετε στον υπολογιστή σας. Σημείωση: Για την εκτέλεση της δραστηριότητας έχουν δοθεί ως βοήθεια στους μαθητές, οι βασικές εντολές χρήσης του λογισμικού Geogebra.

ΦΥΛΛΟ ΕΡΓΑΣΙΑΣ Δραστηριότητα 1 η Δίνεται τετράγωνο με πλευρά χ. Να εκφράσετε το εμβαδόν του ψ, ως συνάρτηση της πλευράς του. Απάντηση . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Σκεφτείτε επιπλέον ποια σχέση συνδέει τις μεταβλητές χ και ψ, αν α) διπλασιάσω την πλευρά του, β) αν τριπλασιάσω την πλευρά του γ) αν υποδιπλασιάσω την πλευρά του. α) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . β) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . γ) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Θυμηθείτε: Μία ισότητα που συνδέει δύο μεταβλητές χ, ψ, καθορίζει μία διαδικασία, η οποία είναι συνάρτηση, όταν σε κάθε τιμή του χ αντιστοιχεί μία μόνο τιμή του ψ . Δραστηριότητα 2η Να θεωρήσετε σημείο Α πάνω στον άξονα χχ'

w�r=Ί pΛ.. Νiο σιμίο ��Ο � Ι<λικ στο σχέδιο ή στηyραμμή 2

•

• • Μέσο ή κέντρο ο Να εισάγετε το σημείο με συντεταγμένες (χ(Α), (χ(Α))Λ2), να το ονομάσετε Β και να ενεργοποιήσετε το ίχνος του. Γράφουμε στην Εισαγωγή: Β=(χ(Α), (χ(Α))Λ2)

� ! Ειοuνωνή: ] ι· Βρίσκεται κάτω από τα παράθυρα άλγεβρας και γεωμετρίας. Με αυτό μπορούμε να εισάγουμε αντικείμενα ή εντολές. Στην συνέχεια δεξί κλίκ πάνω στο σημείο και επιλέγουμε 'ενεργοποίηση ίχνος'. Να μετακινήσετε το σημείο Α, πάνω στον άξονα χχ' και να παρατηρήσετε την καμπύλη που σχηματίζει το ίχνος το

5υ�Β�

·�r=��Γ-Ξ�r=ΞΞ�ΞΞ�==�ΞΞ�Ξ=�ΞΞ=Ι ______________ ___

�� ·�2J I + J �;�,ε�ικri�( Esc) 2

Ορισμός - Συμπέρασμα : Η γραφική παράσταση της συνάρτησης ψ = α·χΛ2 είναι μία καμπύλη, που ονομάζεται παραβολή


--------------- Χρήση Νέων Τεχνολογιών -------------

Δραστηριότητα 3η Ιδιότητες της γραφικής παράστασης της παραβολής ψ= α·χΛ2 Να εισάγετε δρο -5

Κάνετε κλικ στο φύλλο σχεδίασης και το αναδυόμενο παράθυρο σας επιτρέπει να ορίσετε το όνομα, το διάστημα [ελάχ. , μέγ.] ενός αριθμού και το πλάτος του δρομέα. Να εισάγετε την συνάρτηση a*χΛ2. Να μετακινήσετε το δρομέα α . Συμπέρασμα 1 Αν . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . η γραφική παράσταση της συνάρτησης βρίσκεται πάνω από τον ' ξ , , <Ο β , α ον α n , εν ω αν α ρισκεται . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Να θεωρήσετε σημείο C πάνω στην γfαφική παράσταση της συνάρτησης ψ=α·χΛ2

Από το σημείο C να φέρετε κάθετη � προς τον άξονα ψψ' .

Να βρείτε τις συντεταγμένες των σημείων τομής )( μεταξύ α) της κάθετης και του άξονα ψψ' (σημείο D) β) της κάθετης και της γραφικής παράστασης της παραβολής (σημείο F) .

om

Να μετρήσετε 7 τις αποστάσεις CD και FD . 2) Τι παρατηρείτε; Τα C και F . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . απο τον άξονα ψψ' Ο άξονας ψψ'είναι . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . του ευθυγράμμου τμήματος CE. Γι' αυτό λέμε ότι τα C και F είναι . . . . . . . . . . . . . . . . . . ως προς τον ψψ' . Συμπέρασμα 2 Γενικά: Ο άξονας ψψ' είναι άξονας . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . της παραβολής . Συμπέρασμα 3 Αν α>Ο, τότε για χ=Ο η συνάρτηση ψ= α·χΛ2 παίρνει ελάχιστη τιμή το . . . . . . . . . . . . . .

Έτσι το σημείο 0(0,0) λέγεται κορυφή της γραφικής παράστασης. Αν α<Ο, τότε για χ=Ο η συνάρτηση ψ= α·χΛ2 παίρνει μέγισrη τιμή το . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . και το σημείο 0(0,0) είναι πάλι η κορυφή της γραφικής παράστασης. Δραστηριότητα 4η Να μετακινήσεrε το δρομέα α και να παρατηρήσεrε το άνοιγμα της καμπύλης της παραβολής. Σ ' · Ό ' λ

' ξ ' ' β λ ' υμπερασμα. ταν η απο :υτη τιμη του α αυ ανεται τοτε η παρα ο η . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Δραστηριότητα 5η . Να εισάγετε τις συναρτήσεις 2*χΛ2 και -2*χΛ2 Ερώτηση τι παρατηρείτε; Ο άξονας . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . είναι άξονας συμμετρίας τους . Γ

' Ο ' * Λ2 * Λ2 ' ' ξ 1 ενικα ι συναρτησεις α χ και -α χ ειναι . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . , ως προς τον α ονα n .

ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ο

Δραστηριότητα 2η ο

Δραστηριότητα 3η-4η ΓΙΑ α>Ο

.. .. ..

•I

..

• • ι •

·1 ο 2 4

·1


-------------- Χρήση Νέων Τεχνολογιών -------------

Δραστηριότητα 3η-4η, ΓΙΑ α>Ο

INo. l Ονομα . _ _ ι l Ορισμός :1 Τιμή .

:I• Jl�e-�θ�?5!- . . _ _ _ !I ·Γ:'ι�=�---3---. =· · ··=· · ------;,...;_;;;_;___,;;;------=== ι ι� . . i IΣ1)y�ρτη<!'1_ f . . . ! /f(x) � a Χ2 . . . . . -- ! lf(x)_ = 3 �2 - . . . ... . . . . . ..

Ί3 _ ! j�ημf:ίο_C .. _ _ ljΣημείο στψ_f _ . . __ . . . i/(; � (9.7,:J, I_.64) .. . . ... ... . . 14 ' �Ευθεία b lliξ:�:ς �υ περνά από το C κάι είναι κάθετη στην i lb: y = 1 .64

ι�-- i l�_η!ιεj�_Ό _ __ __ __ . .... , /;η�i� τ�ψ�? ��Υ ι;, λ_ξ()y_i?.: -� -

_- ... . .. .... .... ... .. . . ····· . . . . . . . . - ·IJ?_Ξi�:_ι�_4l __ __ - . _ _ ____ _ ______ . _ _____ _ _ .

�� .. . . J/Σηι:ιε!ο � _ '/Ση��ο το_μή?_�(ι)�[! � _ . _ _ _ j[F =:_<�0_.?4, 1 :64)_

ι. J[�:�� . _; !Απόσταση με

-ταξύ

_τω_ν_F και D

. ι Ι::�_:::��-� �:��------ ----------� �� il�:��!>-

_ .. : ι:\;;�;�;��

μα[F]) + <Ονομα[�η + "} \, = \ " ; ��oFD = "\oνerιine{FD} \, = \, !

! 19 ! I�:��DC :[Απόσταση μετα� των D και

_c_ .

ια:όστασηDC = 0.74

ΙfJ[�:�;�:� �- - �ι:�:�::��:[D]) + (Ον��α[�]� + "} \, = \, " : ι��oDC � "\oνerline{DC} \, = \, '

ΟΜΟΙΑ ΓΙΑ α<Ο • • ..0.8

Δραστηριότητα 5η

10 11 14 " " ιο

'l�o. l . . Όνομα Jl _ <?Ρ!σpό_s Τιμή

ΓIΣυνάρτηση f ' [ i lf(x) = 2 χ2

�� --- !Συνάρτηση g,l . .. . ι l�(χ) =_�� Jι2 �� ημείο Α !Ι�ημείο στη'J f .. . .. ... . .. . . . · ·-·· _ !1� =_ (- 1 .4, 3 .93) Γ lf:υ�εία �_ ι l?1>θεί(l_1tου 1t�P'lά (l1tό τ() � Κ(lt_��\Ιαι_l(��ετη (fτη'J :;.\ξo\l(l? X! la_:J{ ==-- 1 .�-- ... . . . ΓIΣημείο Β IΣηι:ιείC) τ<ψής τ(J)V g, a _ _ . . ... ... . ...... . . . .. . ... .... . _ __ _ ___ __ ... . . _i[� =:_(�1 -� •. �?·9�}

ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ Α' 84 τ.4/4S

Κρυμμένο 1 Νόμο 1 ===============

Κωνσταντίνος Νταγιάντας· - Γιώργος Τσαπακίδης Είναι συνήθεια τα προβλήματα Μαθηματικών στην σχολική ύλη να έχουν τη μορφή: "Αν . . . ,

δείξτε ότι: . . . ". Αλλά αυτό το είδος των προβλημάτων περιορίζει τους πνευματικούς ορίζοντες των μαθητών, τους στερεί την αγωνία της αναζήτησης και τη χαρά της ανακάλυψης.

Στο κάτω-κάτω οι μεγάλοι επιστήμονες, που ανακάλυψαν τους φυσικούς νόμους, δε γνώριζαν εκ των προτέρων τι έπρεπε να ανακαλύψουν, αλλά ψάχνοντας, συγκρίνοντας, απορρίπτοντας, δοκιμάζοντας και μέσα από σκληρότατη δουλειά ίσως έφταναν σε κάποια συμπεράσματα. Είναι καιρός να εισάγουμε στην εκπαίδευση προβλήματα που μας αναγκάζουν να εικάσουμε, να πειραματιστούμε, να απορρίψουμε και να δοκιμάσουμε νέες ιδέες, πριν καταλήξουμε σε κάποιο συμπέρασμα (νόμο). Παραδείγματα τέτοιων προβλημάτων είναι και τα παρακάτω.

Α. Ποιος είναι ο κρυμμένος νόμος της δημιουργίας των παρακάτω αριθμητικών ακολουθιών; ι . ι , ι 6, 8 ι , 256, . . . 2. ι , 4, 27, 256, . . . 3. ι , ι , 2, 3, 5, 8, 1 3 , 4. ι , ι , ι , 3, 5, 9, ι 7, 3 ι , . . . 5. ο, 7, 26, 63, . . .

_!_ 3_ 1 � � 6• 2 ' 3 ' ' 5 ' 3 ' . . . 7. 3600, ι 8ΟΟ, 600, ι sο, . . . 8. 6, 3,6, 2, 1 6, ι ,296, . . . 9. 2, 1 0, 202, 8 16 10, . . . 10. 2, 8, 3 ι , 88, ι 99, . . .

Β. Ποιος είναι ο κρυμμένος νόμος στις παρακάτω ισότητες;

1 . 3 + 5 = 2 χ 4 7 + 9 = 4 χ 4 1 3 + 1 5 = 7 χ 4 25 + 27 = 13 χ 4

1 1 2. ι - 2 = ι χ 2

2 2 2 - 3 = 2 χ 3

3 3 3 - 4 = 3 χ 4

4 4 4 - - = 4 χ -5 5

3. 1 3 = ι 2 - 02 23 = 32 - 1 2 33 = 62 - 32 43 = 102 - 62

4.

5.

6.

7.

8.

1 + 3 1 -- = -

5 + 7 3 1 + 3 + 5 1

=

7 + 9 + 1 1 3 1 + 3 + 5 + 7 1

=

9 + 1 1 + 1 3 + 1 5 3 52 - 5 = 42 + 4 72 - 7 = 62 + 6 92 - 9 = 82 + 8

1 χ 2 χ 3 1 2 =

---

6 2 χ 3 χ 5

1 2 + 22 = ---

6

1 1 4- + 3 = 4- - 3 2 2

1 1 s - + 4 = s- - 4 3 3

1 1 6- + 5 = 6- - 5 4 4

1 1 ι - χ 3 = ι - + 3 2 2 1 1

ι - χ 4 = Ι - + 4 3 3 1 1

ι - χ s = ι - + 5 4 4 1 1

ι - χ 6 = ι - + 6 5 5

* Ο Κ.Ν. είναι μαθητής της Β' τάξης του Ι ου Γενικού Λυκείου Αγρινίου ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ Α' 84 τ.4/46

--------------- Κρυμμένοι νόμοι ---------------

Γ. Κρυμμένες πράξεις 4. Ποιος είναι ο μεσαίος αριθμός της 30ής σειράς;

1. Αν D Δ = 7 1

� 8 1 τ&ε [Q] �; S.

/Ωi 27

3 5 7 9 1 1 1 3 1 5 1 7 19 2 1 2 3 25 27 29 3 1

Συμπληρώστε τους αριθμούς στον παρακάτω σχηματισμό αριθμών:

9 8 7 3 9 3 7 8 7 3 9

2. Αν 5 @ 2 = 1 3 3 @ 3 = 6 τότε 2 @ 8 = ; 2 @ 4 = 2

3. Αν 8 # 13 = 1 1 2 # 8 = 4 τότε 1 0 # 20 = ; 2 1 # 1 5 = 3

4. Αν� � ® 1 00 ® ® 676 ®

ω 0 � τότε ω ? ω

rn ω ® 841 0

® 5. Αν 5 * 2 = 32

3 * 4 = 64 τότε 7 * 2 = ; 2 * 15 = 225

Δ. Κρυμμένοι νόμοι σε σχηματισμούς αριθμών.

1 . Ποιος αριθμός βρίσκεται κάτω από τον 123 ; 1

2 3 4 5 6 7 8 9

1 0 1 1 1 2 1 3 14 1 5 16

2. Σε ποια σειρά, από τις παρακάτω, βρίσκεται ο αριθμός 201 2; 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 0 1 1 12 1 3 14 1 5

3. Ποιος είναι ο λόγος του αθροίσματος των αριθμών της έβδομης σειράς προς το άθροισμα των αριθμών της ενδέκατης σειράς;

1 1 1

1 2 1 1 3 3 1

1 4 6 4 1

8 9 7 3 8 9 8 7 3 9

Ε. Κρυμμένοι νόμοι σε γεωμετρικά σχήματα. 1 .Ποιος είναι ο νόμος που δίνει το πλήθος των έγχρωμων πλακακιών στις επόμενες πλακοστρώ-σεις;

• 2. Ποιος είναι ο νόμος που δίνει το πλήθος των σπίρτων στις επόμενες κατασκευές;

I I I I I I

I 1_1_1 1_1_1_1 1_1_1 ,-,-�-,

3. Ποιος είναι ο νόμος που δίνει το πλήθος των σπίρτων στις επόμενες κατασκευές;

1\ I\

/\1\ / '\

/\Γ\ / \ 1 '- 1 \ - - -4. Ποιος είναι ο νόμος της διαδοχής των

σχημάτων; Ποιο είναι το επόμενο σχήμα;

5. Ποιος είναι ο νόμος κατασκευής των διαδοχικών σχημάτων; �

ocW

I I -


---------------------------------- Κρυμμ�οι νόμοι ---------------------------------

6. Ποιο είναι το πλήθος των σπίρτων στο σχήμα 8. Αν το σχήμα επεκταθεί προς τα δεξιά, ποιος που αποτελείται από ν εξάγωνα; είναι ο νόμος που δίνει το πλήθος των λευκών

/ '\. / '\. / '\. / '\./ '\./ '\. κύκλων ως συνάρτηση του πλήθους των μαύρων; Ι I I I I I I I I '\./ '\./ '\,./ '\./ '\,./'\./

7. Ποιος είναι ο νόμος που δίνει το πλήθος των λευκών τετραγώνων ως συνάρτηση του πλήθους των μαύρων τετραγώνων; 10. Στα σχήματα, ν είναι το πλήθος των ευθειών,

k το πλήθος των σημείων τομής των ευθειών (εντός του κύκλου) και p το πλήθος των κομματιών στα οποία χωρίζεται ο κύκλος από τις ευθείες (π.χ. στο τελευταίο σχήμα, ν=3, k=5, p=lO.

8. Το σχήμα αποτελείται από μοναδιαίους κύβους. Αν η βάση του σχήματος έχει διαστάσεις ν χ ν, πόσοι κύβοι απαιτούνται ώστε να προκύψει ένας κύβος ν χ ν χ ν;

ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ:

Ποιος είν'f/fyμος �δ�k, p;

v=3 v=3 v=4 k=l k=2 k=5 p=5 p=6 p=IO

Α) (για ν=1 , 2 , 3 . . . ) 1 : ν4, 2: νν, 3: κάθε όρος μετά από τον δεύτερο ισούται με το άθροισμα των δύο προηγουμένων 2v-l

(Fiboηacci), 4: κάθε όρος μετά από τον τρίτο ισούται με το άθροισμα των τριών προηγουμένων, 5: ν3- 1 , 6: -- , 7: ν + 1

3600 + (ν+1), 8: 6 χ 0,6ν-Ι , 9: 10=2 χ 22+2, 202=2 χ 102+2, 8 16 10=2 χ 2022+2 . . . , 10: 2, (3+5), (7+1 1+13), ( 1 7+19+23+29), (3 1 +37+41 +43+47) . . . Β) 1 : ν+(ν+2)=

ν + 1 χ 4, 2 : ν--ν- =ν χ _ν_ 3: ν3=(1+2+ . . . +ν)2-(1+2+ . . . +(ν- 1 )), 4: Αριθμητής είναι άθροισμα ν

2 ν+ 1 ν + 1 πρώτων περιττών, παρονομαστής είναι άθροισμα ν επόμενων πρώτων περιττών, 5:ν2-ν=(ν-1 )2+(ν- 1),

2 2 2 ν χ (ν + 1) χ (2 χ ν + 1) 1 . 1 1 1 6: 1 +2 + . . . +ν = , 7: (ν+2)- 7 (ν+1 )=(ν+2)- -(ν+1 ), 8: 1 - χ (ν+1 )=1 - +ν, Γ) 1: 689, 6 ν ν ν ν

2: -2, x@y=3 χ χ - y, 3: 1 0, χ#y=Μέγιστος Κοινός Διαιρέτης (x,y), 4: 16, ο αριθμός στο τετράγωνο ισούται με το

τετράγωνο του αθροίσματος των γύρω αριθμών, 5: 1 28, x*y=y", Δ) 1 : 147, 2: 1 1 η, 3: _!_ , 4: 1 74 1 , 5: από αριστερά 16 στα δεξιά, πάνω 9 , 3, κάτω 8,7 Ε) 1 :

η + 1 , όπου η ο αριθμός από τα πλακάκια κάθε πλευράς, 2: ν= 2n(n+ 1 ), όπου 2

η ο αριθμός των σπίρτων κάθε πλευράς, 3: ( 1+2+ . . . +ν) χ 3, όπου ν ο αριθμός των σπίρτων κάθε πλευράς, 4: το εξωτερικό πολύγωνο του ενός σχήματος είναι το εσωτερικό του επομένου σχήματος, 5: ο αριθμός "πλακών" που αποτελούν το νιοστό σχήμα δίνεται απο τον τύπο 1+( 1+2+ . . . +ν) χ 4, 6: 6+(ν- 1 ) χ 5, 7: 6+2ν, όπου ν το πλήθος των μαύρων τετραγώνων, 8: (ν- 1 )3, 9: 6+(ν- 1 ) χ 4, όπου ν το πλήθος των μαύρων κύκλων, 10: ν+k+1=p

Βιβλιογραφία: 1 . Α. Bakst, Mathematical Puzzles and Pastimes, Ρ. νan Nostrand and Company, Inc., Princeton, New Jersey 1954 2. Η. Ε. Dudeney, Good Old Fashioned Challenging Puzzles, Summersdale Publishers, UK 2007 3 . Μ. Birken, Α. C. Cοοη, Discoνering Pattems in Mathematics and Poetry, Rodopi, ΝΥ 2008 4. C. Ε. Home, Geometric Symmetry in Pattems and Tilings, Woodhead Publishing Lirnited, Cambήdge, Eηgland 2000 5 . S. Dolan etc., Problem Solνing, Cambridge Uniνersity Press, U.K. 1991 6 . W. W. R. Ball, Η. S . Μ. Coxter, «Mathematical Recreations and Essays», Poνer, New York, 1 987 7. Μ. Τουμάσης, Πώς να ενεργοποιήσουμε τα παιδιά στο μάθημα των μαθηματικών, Κωστόγιαννος, Χαλκίδα, 1999 8. Περιοδικό Mathematical Teacher, Ν. C. Τ. Μ., USA 9. Περιοδικό «Το Φ}}, Β.Ε.Βισκαδουράκης, Αθήνα 1 0. D. Rayner, General Mathematics: Reνision and Practice, Oxford Uniνersity Press, 1 988


====================================================Σπύρος Γεωρ�ου

ΜΔ13. Τοποθετήστε τα ψηφία 1 έως 9

I i I - - - ο I ' I I

. + + '

i

+ I 1 - --

χ I - I .

I --:

+ I . ,_ 4 I .

i -- - -

= 3 ! - 4 = 6 Τοποθετήστε στα κενά τετράγωνα τους

αριθμούς 1 έως 9 έτσι ώστε τα αποτελέσματα των πράξεων οριζόντια και κάθετα να είναι σωστά. Όλοι οι υπολογισμοί γίνονται από τα αριστερά προς τα δεξιά και από πάνω προς τα κάτω και εμπεριέχουν μόνο θετικά αποτελέσματα. ΜΔ14. Ο διαγωνισμός μαθηματικών

Η Αλίκη, η Βασιλική, ο Κώστας, η Ελένη, ο Γιώργος και η Κατερίνα συμμετείχαν σε ένα διαγωνισμό μαθηματικών. Από τα αποτελέσματα του διαγωνισμού έχουμε τα ακόλουθα: α) Η Ελένη ήταν μια θέση πάνω από την Αλίκη. β) Η Βασιλική δεν ήταν πρώτη ούτε τελευταία. γ) Ο Γιώργος ήταν δύο θέσεις πάνω από τον Κώστα. δ) Η Κατερίνα κατατάχτηκε σε άρτια θέση. ε) Η Αλίκη κατατάχτηκε σε περιττή θέση.

Βρείτε την κατάταξή τους: 1 . _____ _

2. _____ _

3 . _____ _

4. _____ _

5 . _____ _ 6. _____ _

ΜΔ15. Άθροισμα 15 Ο μόνος τρόπος που μπορούμε να

γράψουμε τον αριθμό 1 0 σαν άθροισμα τεσσάρων διαφορετικών προσθετέων είναι 1 0=1 +2+3+4. Με πόσους τρόπους μπορούμε να γράψουμε τον αριθμό 1 5 σαν άθροισμα τεσσάρων διαφορετικών προσθετέων και ποιοι είναι αυτοί;

ΜΔ16. Τα δυο τετράγωνα

Καθένα από τα δύο τετράγωνα παραπάνω εφάπτεται με τον κύκλο σε τέσσερα ακριβώς σημεία. Αν το εμβαδόν του εξωτερικού τετραγώνου είναι 1 00cm2, να βρείτε το εμβαδόν του εσωτερικού.

ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ Α' 84 τ. 4/49

------------ Τα Μαθηματικά μας διασκεδάζουν ------------

ΜΔ1 7. Οι δύο διαδοχικοί ακέραιοι αριθμοί Η διαφορά των τετραγώνων δύο

διαδοχικών ακέραιων αριθμών είναι 199. Βρείτε το άθροισμα των τετραγώνων των δύο αυτών διαδοχικών αριθμών.

ΜΔ18. Ο μυστικός εξαψήφιος αριθμός Ρωτήσανε τον κ. Χάϊντ να τους πει τον

μυστικό εξαψήφιο αριθμό που χρησιμοποι-

ούσε στον ΗΝ του και αυτός απάντησε ως εξής: «Σας δίνω τρία στοιχεία:

1 . Ο αριθμός διαβάζεται το ίδιο και από τα δεξιά προς τα αριστερά.

2. Είναι πολλαπλάσιο του 9. 3. Ο μόνος πρώτος παράγοντας του

μεσαίου τετραψήφιου τμήματος του είναι το 1 1 >> .

Βρείτε τον μυστικό αριθμό του κ. Χάϊντ.

Απαντήσεις προηγούμενου τεύχους ΜΔ7. Τα χάμστερς Για να έχουμε το μικρότερο αριθμό από

' χάμστερς το τέταρτο κλουβί θα πρέπει να έχει 1 χάμστερ, άρα το τρίτο κλουβί έχει 2, το δεύτερο κλουβί θα έχει 4 και το πρώτο κλουβί, 8 χάμστερς. Άρα, ο μικρότερος αριθμός

από χάμστερς που μπορεί να έχει ο Γιώργος είναι 1 +2+4+8=1 5 . ΜΔ8. Ο μέσος όρος Αφού ο μέσος όρος των ηλικιών του Νίκου και της Μαρίας είναι 1 8, το άθροισμα των ηλικιών του Νίκου και της Μαρίας είναι 2* 1 8=36. Ομοίως, αφού ο μέσος όρος των ηλικιών του Θανάση, της Ελένης και του Ηλία είναι 43, το άθροισμα των ηλικιών τους θα είναι 3*43=1 29. Άρα το άθροισμα των ηλικιών και των 5 ατόμων είναι 1 29+36= 1 65 και επομένως ο μέσος όρος είναι 1 65 :5=33. ΜΔ9. Βρείτε τον μεγαλύτερο αριθμό Έστω ότι οι τέσσερεις αριθμοί είναι οι w, χ, y, και z με w < χ < y < z. Τότε θα έχουμε: w + χ + y = 1 80 w + χ + z = 1 97 w + y + z = 208 χ + y + z = 222 Προσθέτοντας κατά μέλη 3(w + χ + y + z) = 807 ή w + χ + y + z = 269 Αφού w+x+y +z = 269 και w +x+y = 1 80, έχουμε z = 269 -1 80 = 89. ΜΔ 1 Ο. Τα σπίτια της οδού Σανταρόζα Κατασκευάζουμε ένα πίνακα θεωρώντας μερικά σπίτια στη αρχή του δρόμου, αριστερά

από το σπίτι του κ. Γαλανού και μερικά σπίτια στο τέλος του δρόμου, δεξιά από το σπίτι του κ. Γαλανού. Έτσι έχουμε:

Αρχή του Αρ. σπιτιού Τέλος του δρόμου κ. Γαλανού δρόμου

1 + 2 + 3 = 6 4 5 + 6 = 1 1 . . . . . . Πολύ μεγάλο

1 + 2 + 3 + 4 = 1 0 5 6 + 7 = 1 3 . . . . . . Πολύ μεγάλο

1+ 2 + 3 + 4 + 5= 1 5 6 7 + 8 = 1 5 . . . . . . Ίσα αθροίσματα

Άρα η οδός Σανταρόζα έχει 8 σπίτια, ενώ ο κ. Γαλανός μένει σε αυτό με τον αριθμό 6. MΔl l. Το άθροισμα των τετραγώνων Η σχέση αυτή ισχύει πάντα. Πράγματι έχουμε: 2(χ2 + y2) = 2χ2 + 2y2 = χ2 + / + χ2 + / =χ2 + 2xy+y2 + χ2 - 2xy + /=(χ + y)2+(x - y)2

ΜΔ12. Επίσκεψη στο μουσείο Αν χ είναι ο αριθμός των καθηγητών, y είναι ο αριθμός των φοιτητών και z είναι ο αριθμός των μαθητών, τότε: χ + y + z = 20 και 2χ + 1 .5y + 0.5z = 20 ή 4χ + 3y + z = 40 Με αφαίρεση κατά μέλη παίρνουμε: 3χ + 2y = 20 Η παραπάνω εξίσωση έχει τις εξής ακέραιες λύσεις:(χ, y)=(2,7) ή (χ, y)=(4,4) ή (χ, y)=(6, 1 ) επειδή το χ θα πρέπει να είναι άρτιος. Επομένως το πρόβλημα έχει 3 λύσεις: Α) 2 καθηγητές, 7 φοιτητές και 1 1 μαθητές. Β) 4 καθηγητές, 4 φοιτητές και 1 2 μαθητές. Γ) 6 καθηγητές, 1 φοιτητές και 1 3 μαθητές.

ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ Α' 84 τ. 4/50

Documents

Ευκλειδης Α 84