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保险基础知识

学习情境 9 保险费率厘订

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教学目的 让学生掌握保险费率厘订的原理，财

产保险费率的厘订方法，生命表及人身保险费率的厘订方法。

 

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子情境 9.1 保险精算原理收支相等原则和大数法则。 所谓收支相等原则就是使保险期内纯保费收入的现金价

值与支出保险金的现金价值相等。由于寿险的长期性，在计算时要考虑利率因素，可分别采取三种不同的方式：①根据保险期间末期的保费收入的本利和（终值）及支付保险金的本利和（终值）保持平衡来计算；②根据保险合同成立时的保费收入的现值和支付保险金的现值相等来计算；③根据在其他某一时点的保费收入和支付保险金的“本利和”或“现值”相等来计算。

所谓大数法则，是用来说明大量的随机现象由于偶然性相互抵消所呈现的必然数量规律的一系列定理的统称。

44

一、切比雪夫（ Chebyshev ）大数法则 设 ， ，…， ，…是由两两相互独立的随机变量所构

成的序列，每一随机变量都有有限方差，并且它们有公共上界：

1X 2X nX

1X 2X

1 1

1 1lim ( ) 1

n n

k kn

k k

P X E Xn n

这一法则的结论运用可以说明，在承保标的数量足够大时，被保险人所交纳的纯保险费与其所能获得赔款的期望值相等。这个结论反过来，则说明保险人应如何收取纯保费。

nX

 

D( )≤C ， D( )≤C ，… D( )≤C ，…，则对于任意的 ε>0 ，都有：

55

二、贝努利 (Bernoulli) 大数法则 设 Mn 是 n 次贝努利实验中事件 A 发生的次数，而 p 是事

件 A 在每次实验中出现的概率，则对于任意的 ε>0 ，都有：

lim 1n

n

MP p

n

在非寿险精算中，往往假设某一类标的具有相同的损失概率，为了估计这个概率的值，便可以通过以往有关结果的经验，求出一个比率——这类标的发生损失的频率。而在观察次数很多或观察周期很长的情况下，这一比率将与实际损失概率很接近。换句话说，当某个所需要求的概率不能通过等可能分析、理论概率分布近似估计等方法加以确定时，则可通过观察过去大量实验的结果而予以估计，即用比率代替概率。反过来，经估计得到的比率，可由将来大量实验所得的实际经验而修正，以增加其真实性。

66

三、普阿松 (Poisson) 大数法则 假设某一事件在第一次实验中出现的概率为 P1, 在第二

次实验中出现的概率为 P2 ，…，在第 n 次实验中出现的概率为 Pn 。同样用 Mn 来表示此事件在 n 次实验中发生的次数，则依据普阿松大数法则有：

对于任意的 ε>0 ，成立

1 2 ...lim 1n n

n

M p p pP

n n

普阿松大数法则的意思是说：当实验次数无限增加时，其平均概率与观察结果所得的比率将无限接近。

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子情境 9.2 财产保险费率厘订一、保险费率的厘定 保险费率的厘定，关键在于纯费率的确定。而纯费率的确定通常有两

种方法： 一是依据统计资料计算保额损失率，进而确定纯费率 r ； 二是在损失分布和赔款条件已知的情况下，用赔款金额的期望值 E

除以保险金额 I而得到 r ，即 r= E/I 。 如果附加费率在保险费率中的比例为 k ，则保险费率可由 R=r/(1-

k) 求得。 1.观察法 2.分类法 3.增减法

• 表定法• 经验法• 追溯法• 折扣法

88

二、“大数”的测定 在一定的要求之下，“大数”由下面的公式来测

定：

2

2

(1 )S p pN

E

公式中各个符号的含义为： N—— 在一定条件下应具有的风险单位数。 E—— （相对于预期损失次数而言）实际损失变动次数与总数的比率，表示所需要的精确度。S—— 实际损失与预期损失相差的标准差的个数。 S 的值可以说明对所获得的结果的信赖程度。 p—— 某一特定标的（风险单位）发生损失的概率。

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三、财务的稳定性 假定某公司承保的某项业务有 n 个保险单位，每个保险单位的保险金额为 a元，纯费率为 q 。如果损失标准差为σ ，则称 aσ 为赔偿金额标准差，用 Q 表示，即 Q = aσ 。把 anq （即纯保费总额）称为保险赔偿基金，用 P 表示，即 P = anq 。赔偿金额标准差与保险赔偿基金的比值，称为财务稳定系数，用 K 表示，即 K=Q/P 。

一般而言，财务稳定系数 K越小，财务稳定性越好；反之，财务稳定系数 K越大，财务稳定性越差。四、自留额和分保额的决策

1010

子情境 9.3 寿险费率厘订几个假定：① 被保险人的生死遵循预定生命表所示的生死规律；② 同一种类的保险合同，全部于该年龄初同时订立；③ 保险金于每年度末同时支付；④保险费按预定利率复利生息，并假定年利率为 i ；⑤假定保险金额均为 1 元（有特别说明者例外），因而所求

得的纯保险费就是纯保险费率；⑥总是假定生命表中某一年龄的人都向保险公司投保了某种

保险，而不管实际情况是否这样，因为这并不影响结论的正确性。

1111

一、生命表

xl

xd

xq1x x x

xx x

d l lq

l l

1x x xp l l

xe

1 2

1( ... )

2x xx

le l l ll

：生存数，是指从初始年龄至满ｘ岁尚生存的人数。

：死亡数，是指ｘ岁的人在一年内死亡的人数。：死亡率，表示ｘ岁的人在一年内死亡的概率。

Px: 生存率。表示ｘ岁的人在一年后仍生存的概率，即到ｘ＋１岁时仍生存的概率。

：平均余命或生命期望值。表示ｘ岁的人以后还能生存的平均年数。若假设死亡发生在每一年的年中，则有：

1212

t xp

x tt x

x

lp

l

t xq

1t x tt x t x

x

l lq p

l

/t u xq

/x t x t u

t u xx

l lq

l

表示ｘ岁的人在ｔ年内死亡的概率。

表示ｘ岁的人在生存ｔ年后ｕ年内死亡的概率。

表示ｘ岁的人在ｔ年末仍生存的概率。

1313

二、趸缴纯保险费 1. 定期人寿保险的纯保险费 假定 x 岁的人投保 n年定期人寿保险，年初每个投保人

应缴的纯保险费为 元。依据收支相等原则，保险公司支付保险金的现值总和与期初纯保险费的总和应相等。即有：

1

1v

i

1x

x xC v dx

x xD v l

1: 1

1( ... )x n x x x n

x

A C C CD

1 2 1: 1 1... n

x x n x x x nl A vd v d v d

1:x nA

其中， 为折现率。如果令： 则可得到：

1414

2. 终身人寿保险的纯保险费 假设生命表中所定最终年龄为 ω 岁，则有：

1

1( ... )x x x

x

A C C CD

1 ...x x xM C C C

1:

x x nx n

x

M MA

D

xx

x

MA

D

如果令：

则定期和终身人寿保险的纯保险费可分别表示为：

1515

3. 纯粹生存保险的纯保险费 假定 x 岁的人投保 n年定期生存保险，所缴的纯保险费

为 元。考虑利息因素，依据收支相等原则有：

n xEn

x n x x nl E v l x n

n xx

DE

D

:x nA1

: :x n x x n

x n n x x nx

D M MA E A

D

整理后可得： 4. 混合保险的纯保险费 如果把保险期限为 n年的混合保险的纯保险费记 为 ，则

1616

三、年金保险的纯保险费 1.即期年金 假定 x 岁的人投保期限为 n年的年金保险，保险公司每年初支付保险金。设投保人应缴的纯保险费为 ，则依据收支相等原则应有：

:x na

1 1:

...x x x nx n

x

D D Da

D

1 ...x xx

x

D D Da

D

1 ...x x xN D D D

:x x n

x nx

N Na

D

xx

x

Na

D

如果将给付周期改为终身，则可得到：

令 ，则可将上面两个公式变为：

1717

1.即期年金 用与上面同样的方法可以得到期末付定期年金的纯保险

费为：

1 1:

x x nx n

x

N Na

D

1xx

x

Na

D

/ :m x na

/ :x m x m n

m x nx

N Na

D

期末付终身年金的纯保险费为： 2.延期年金 x 岁的人投保期限为 n年的年金保险，m年后开始（在期首）给付，即延期m年。 表示 n年定期期首付延期年金的纯保险费，由收支相等原则有：

1818

用同样的方法可以得到期末付定期延期年金的纯保险费为：

1 1/ :

x m x m nm x n

x

N Na

D

/x m

m xx

Na

D

1/

x mm x

x

Na

D

期首付延期终身年金的纯保险费为：

期末付延期终身年金的纯保险费为：

1919

四、年度纯保费 假定 n年定期死亡保险的纯保险费分m 年付清，用 来表示年度纯保费，年度纯保费的现值之和应与一次付足

的纯保费的现值相等，即应有：

:m x nP

1 1: : : :... m

x x n x m x n m x n m x nl A l P v P v P

:x x n

m x nx x m

M MP

N N

整理可得：

五、人寿保险的毛保险费 保险公司所收取的保险费中，用来作为给付的那部分保险费是纯保险费，而用来作为业务费用开支的那部分保险费称为附加保费。纯保险费与附加保费之和称为毛保险费。

 

2020

公司对原始费用，不应单纯地将它全部加在第一年的纯保险费上，而需将它均匀地分摊到各期的保险费上。

如果被保险人投保时的年龄为 x 岁，保险期限为 n年，保险费分次m 交付，再假定全部原始费用为 α 元，在每一年度保险费上应摊加的金额为 s 元。很显然，这些摊加在每一年度的费用的现值的积存值与原始费用的现值相等，于是成立：

1

1 1... mx x x m xs l s vl s v l l

:

x

x x m x m

DsN N a

由此可以得到：

2121

六、理论责任准备金及其计算方法 人寿保险的责任准备金，是保险人向投保人所收取的纯保险费，加上按事先约定的年利率复利结算方式计算的本利和，与人寿保险合同中所规定的保险人应在当年所支付保险金的差额；从被保险人方面来说，是他所交付的纯保险费的本利和，与他当年应分摊的给付保险金之间的差额。

责任准备金实质上是保险人对被保险人或其收益人的一种负债。 责任准备金可分为理论责任准备金和在其基础上修正后的实际责任准备金。

1.过去法 2. 未来法 小结：理论责任准备金仅与保险条件、保险期限、缴费方式以及保险

金额等有关，而与计算方法无关。

2222

七、实际责任准备金及其计算 由于原始费用的关系，第一年的费用要比以后各年的费

用大得多。因此，保险公司实际提存的准备金并不与理论准备金相同，而是将理论准备金加以必要的修正计算出来的。这种修正后的准备金称为实际责任准备金，又称修正责任准备金。

不论采用什么方式对理论责任准备金加以修正，在保单到期时的实际责任准备金应与理论责任准备金相同。

我们假定承保有下面的具有代表意义的保单：某年龄为x 岁的人，投保 n年定期混合保险，保险金额为元，保险费自保单开始时起分m年交付。

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在修正准备金时，第一个问题是如何决定第一年度的纯保险费 及第二年以后的纯保险费 ，如果令 与 差额为α ，则有：

(1)P (2) (3) ( )... mP P P

(1)P (2)P

(1) (2) (3) ( )... mP P P P

(2) :

:m x n

x m

P Pa

由于

可见，只要使 α 等于某个规定值，就可求出 及 。

(1)P (2)P

xc

(2) : (1)m x n xP P P c

(2) (1) (2) xP P P c

1 1: 1m x n xP c 不难求出 α 的最高限额为：

因此：

保险公司第一年的给付，在理论上应等于自然纯保费 ， 故应有：