𝑉= ∆ - portaleletronica.com.br 1... · (veja a Figura 1). Você poderá usar essa informação para representar uma distribuição de probabilidade (Tabela 1) também graficamente

Estatística e Probabilidade

Introdução a Estatística – Rev0

www.portaleletronica.com.br

Prof. Ricardo Tadeu Ferracioli

Modelo Matemático Determinístico – resultado previsto. Exemplo:

𝑉 = ∆𝑠

∆𝑡

Modelo Matemático Probabilístico – resultado não previsto. Possui uma

probabilidade de resultado, há uma chance ou risco de determinado resultado

acontecer. Exemplo:

Experimento Aleatório – consiste em verificar e apurar os resultados e não

existe uma previsão do resultado. Portanto o experimento aleatório está

associado ao modelo probabilístico.

Espaço Amostral – Todos os resultados são conhecidos, exemplo: para o

lançamento de um dado o espaço amostral é formado pelo conjunto de todos

resultados possíveis, Ω = {1, 2, 3, 4, 5 e 6}.

http://www.portaleletronica.com.br/





1. Distribuições discretas de probabilidade

Neste capitulo veremos como construir e usar distribuições de probabilidade.

Conhecer a forma, o centro e a variabilidade de uma distribuição de

probabilidade e lhe permite tomar decisões em inferências estatísticas.

Por exemplo, você é um meteorologista que está trabalhando em uma previsão

climática de três dias. Supondo que a ocorrência de chuva em um dia é

independente da ocorrência de chuva em outro dia, você determinou que existe

40% de probabilidade de chover (e uma probabilidade de 60% de não chover)

em cada um dos três dias.

Qual é a probabilidade de chover em 0, 1, 2 ou 3 dos dias? Para responder a

essa questão você pode construir uma distribuição de probabilidade para os

resultados possíveis.

Usando a regra da adição após obter as probabilidades no diagrama de árvore,

você poderá determinar a probabilidade de ocorrência de chuva por vários dias

(veja a Figura 1). Você poderá usar essa informação para representar uma

distribuição de probabilidade (Tabela 1) também graficamente (Figura 2).

Figura 1: Cálculo das probabilidades relativas as sequencias possíveis de chuva (0,40) e não

chuva (0,60) nos três dias.






Cálculo da probabilidade para 1 dia de chuva:

P(1) = 3*0,144

P(1) = 0,432

Tabela 1: Distribuição de probabilidade de chuva para três dias.

Figura 2: Número de dias de chuva e respectivas probabilidades de ocorrência.

2. DISTRIBUIÇÕES DE PROBABILIDADE

Variáveis aleatórias

O resultado de um experimento probabilístico geralmente é uma contagem ou

uma medida. Quando isso ocorre, esse resultado é um possível valor de uma

variável aleatória.






Definição

Uma variável aleatória x representa um valor numérico associado a cada

resultado de um experimento probabilístico (ou aleatório).

A palavra aleatória indica que x é determinado em função de um objeto escolhido

ao acaso. Há dois tipos de variáveis aleatórias: discreta e contínua.

Definição

Uma variável aleatória é discreta quando tem um número finito ou contável

de resultados possíveis que podem ser enumerados.

Definição

Uma variável aleatória é contínua quando tem um número incontável de

resultados possíveis, representados por um intervalo na reta numérica.

Exemplo da variável aleatória discreta:

Você conduz um estudo sobre o número de ligações que um vendedor faz em

um único dia. Os valores possíveis da variável aleatória x são 0, 1, 2, 3, 4 e assim

por diante. Uma vez que o conjunto de resultados possíveis {0, 1, 2, 3,...} pode

ser listado, x é uma variável aleatória discreta. Você pode representar esses

valores como pontos na reta numérica, como mostra a Figura.

Número de ligações (discreta).

x só pode assumir valores inteiros: 0, 1, 2, 3, ...






Exemplo da variável aleatória contínua:

Uma forma diferente de conduzir o estudo seria medir o tempo diário (em horas)

que um vendedor passa fazendo ligações. O tempo gasto fazendo ligações pode

ser qualquer número real de 0 a 24 (incluindo frações e decimais), então x é uma

variável aleatória contínua. Você pode representar esses valores em um

intervalo na reta, mas você não poderá enumerar todos os valores possíveis

(veja a Figura).

Horas gastas em ligações (continua)

x pode assumir qualquer valor de 0 a 24.

Quando uma variável aleatória é discreta, você pode listar ou enumerar os

valores possíveis que ela pode assumir. Porém, é impossível listar todos os

valores para uma variável aleatória contínua.

Dica de estudo

Na maioria das aplicações práticas, as variáveis aleatórias discretas

representam dados contáveis, enquanto as variáveis aleatórias continuas

representam dados mensuráveis.

EXEMPLO 1:

Determine se a variável aleatória x é discreta ou contínua.

1) x representa o número de empresas, da lista das 500 maiores, que

perderam dinheiro no ano passado.

2) x representa o volume de gasolina em um tanque de 21 galões.






Solução

1) O número de empresas que perderam dinheiro no ano passado pode

ser contado. {0, 1, 2, 3, ..., 500} Logo, x é uma variável aleatória

discreta.

2) A quantidade de gasolina no tanque pode ser qualquer volume de 0 a

21 galões. Portanto, x é uma variável aleatória contínua.

EXEMPLO 2:

Determine se a variável aleatória x é discreta ou contínua. Explique seu

raciocínio.

1) x representa a velocidade de um foguete

2) x representa o número de bezerros nascidos em uma fazenda em um ano.

a) Determine se x representa dados contáveis ou mensuráveis.

b) Conclua e explique seu raciocínio.

Solução

???????

É importante que você consiga diferenciar entre variáveis aleatórias discretas e

contínuas porque técnicas estatísticas diferentes são usadas para analisar cada

uma. As atividades concentrar-se-ão nas variáveis aleatórias discretas e suas

distribuições de probabilidade.

3. DISTRIBUIÇÕES DISCRETAS DE PROBABILIDADE

Para cada valor de uma variável aleatória discreta pode ser atribuída uma

probabilidade. Ao listar cada valor da variável aleatória com sua probabilidade

correspondente, você estará formando uma distribuição discreta de

probabilidade.






Definição

Uma distribuição discreta de probabilidade lista cada valor possível que a

variável aleatória pode assumir, com sua respectiva probabilidade. Uma

distribuição de probabilidade discreta deve satisfazer às seguintes condições:

EM PALAVRAS

1. A probabilidade de cada valor da variável

aleatória discreta está entre 0 e 1.

2. A soma de todas as probabilidades é 1

EM SIMBOLOS

1. 0 ≤ P (x) ≤ 1

2. ΣP (x) = 1

Como probabilidades podem ser indicadas por frequências relativas, uma

distribuição de probabilidades discreta pode ser representada graficamente em

um histograma de frequência relativa (matematicamente, o usual é um gráfico

de barras ou segmentos verticais).

EXEMPLO 3:

Construindo e representando graficamente uma distribuição discreta de

probabilidade.

Um psicólogo industrial aplicou um teste de personalidade para identificar

características passivo-agressivas em 150 colaboradores. Os indivíduos

recebiam uma pontuação de 1 a 5, sendo 1 extremamente passivo e 5

extremamente agressivo. Uma pontuação 3 não indicava nenhuma das duas

características. Os resultados estão indicados na Tabela abaixo. Construa uma

distribuição de probabilidade para a variável aleatória x. Depois, represente

graficamente a distribuição usando um histograma.

Tabela de Distribuição de frequência dos resultados de um teste de

personalidade.






Solução

Divida a frequência de cada pontuação pelo número total de indivíduos no estudo

para determinar a estimativa da probabilidade para cada valor da variável

aleatória.

Tabela de distribuição discreta de probabilidades para as possíveis pontuações.

Histograma das características passivo-agressivos






Como a largura de cada barra é um (1), a área de cada barra é igual à

probabilidade de um resultado particular. Além disso, a probabilidade de um

evento corresponde à soma de áreas dos resultados incluídos no evento.

Por exemplo, a probabilidade de um evento “ter uma pontuação de 2 ou 3” é

igual à soma das áreas da segunda e terceira barras. (É como se desse um

tratamento contínuo a uma variável discreta.)

Á𝑟𝑒𝑎2 + Á𝑟𝑒𝑎3

(1) (0,22) + (1) (0,28) = 0,22 + 0,28 = 0,50

Interpretação: É possível verificar que a distribuição é aproximadamente

simétrica.

EXEMPLO 4:

Uma empresa rastreia o número de vendas que os novos colaboradores fazem

todos os dias, durante um período de experiência de 100 dias. Os resultados de

um novo colaborador estão indicados na Tabela. Construa a distribuição de

probabilidades e faça sua representação gráfica.

a) Determine a probabilidade de cada resultado.

b) Organize as probabilidades em uma distribuição de probabilidade.

c) Represente graficamente a distribuição de probabilidades usando um

histograma.

Solução: ?????






Identificando distribuições de probabilidade.

EXEMPLO 5:

Determine se as distribuições dos itens a seguir são distribuições de

probabilidade. Explique seu raciocínio.

Solução:

1. Cada probabilidade está entre 0 e 1, mas a soma de todas as probabilidades

é 1,07, que é maior que 1. Portanto, esta não é uma distribuição de

probabilidade.

2. A soma de todas as probabilidades é igual a 1, mas P(3) e P(4) não estão

entre 0 e 1. Portanto, esta não é uma distribuição de probabilidades. As

probabilidades nunca podem ser negativas ou maiores do que 1.

EXEMPLO 6:

Determine se as distribuições dos itens a seguir são distribuições de

probabilidade. Explique seu raciocínio.

a. Determine se a probabilidade de cada resultado está entre 0 e 1, inclusive.

b. Determine se a soma de todas as probabilidades é 1.

c. Conclua o raciocínio.

Solução: ????






4. Média, variância e desvio padrão

Você pode indicar o centro de uma distribuição de probabilidades com sua média

e medir a variabilidade com sua variância e desvio padrão. A média de uma

variável aleatória discreta é definida como segue.

Média de uma variável aleatória discreta

A média de uma variável aleatória discreta e dada por:

𝜇 = ∑ 𝑥 𝑃(𝑥)

Cada valor de x e multiplicado por sua correspondente probabilidade e os

produtos são adicionados.

A média de uma variável aleatória representa a “média teórica” de um

experimento probabilístico que, quando realizado, não resulta necessariamente

nesse valor de média. Se o experimento fosse repetido milhares de vezes, a

média de todos os resultados, provavelmente, seria próxima à média da variável

aleatória.

EXEMPLO 6 (usando Emplo 3):

Um psicólogo industrial aplicou um teste de personalidade para identificar

características passivo-agressivas em 150 colaboradores. Os indivíduos

recebiam uma pontuação de 1 a 5, sendo 1 extremamente passivo e 5

extremamente agressivo. Uma pontuação 3 não indicava nenhuma das duas

características. Os resultados estão indicados na Tabela 4.2. Construa uma

distribuição de probabilidade para a variável aleatória x. Depois, represente

graficamente a distribuição usando um histograma.

Tabela de Distribuição de frequência dos resultados de um teste de

personalidade.






Solução

Da tabela, você pode verificar que a pontuação média é aproximadamente 2,9.

Calculo da média para o teste de personalidade

Portanto a média de uma variável aleatória discreta

𝜇 = ∑ 𝑥 𝑃(𝑥) ⟹ 𝜇 = 2.94

Interpretação: Lembre que uma pontuação de 3 representa um indivíduo que

não exibe nem características passivas nem agressivas, e a média é

ligeiramente menor que 3. Então, a característica de personalidade média não é

nem extremamente passiva, nem extremamente agressiva, mas é levemente

mais próxima à passividade.

Embora a média da distribuição de probabilidade de uma variável aleatória

descreva um resultado típico, ela não dá informações sobre a maneira como os

resultados variam. Para estudar a variação dos resultados, você pode usar a

variância e o desvio padrão da distribuição de probabilidades de uma variável

aleatória.






Variância e desvio padrão de uma variável aleatória discreta

A variância de uma variável aleatória discreta é:

𝜎2 = ∑(𝑥 − 𝜇)2 𝑃(𝑥)

O desvio padrão é:

𝜎 = √𝜎2 = √∑(𝑥 − 𝜇)2 𝑃(𝑥)

Encontrando a variância e o desvio padrão

EXEMPLO 7:

Encontre a variância e o desvio padrão da distribuição de probabilidade do teste

de personalidades discutido no Exemplo 6.

A variância de uma variável aleatória discreta é:

𝜎2 = ∑(𝑥 − 𝜇)2 𝑃(𝑥) ⟹ 𝜎2 = 1,6161 ≈ 1,6

O desvio padrão é:

𝜎 = √𝜎2 = √∑(𝑥 − 𝜇)2 𝑃(𝑥) ⟹ 𝜎 = √1,6161 ⟹ 𝜎 ≈ 1,3







Documents

𝑉= ∆ - portaleletronica.com.br 1... · (veja a Figura 1). Você poderá usar essa informação para representar uma distribuição de probabilidade (Tabela 1) também graficamente