土圧・支持力理論と計算のポイント A B C c a b C c B b A a sin sin sin = = 正弦定理 c C A b B A a sin sin sin sin = = ε 90−ε a c b c b 直角三角形 sin(90

香川県平成２０年度専門技術研修

土圧・支持力理論と計算のポイント

平成２１年３月５日（木）

（財）香川県建設技術センター研修室

（株）第一コンサルタンツ

右城猛

CONTENTS １．基礎数学２．土圧（１）試行くさび法（２）重力式擁壁の壁面に作用する主働土圧の算定式（３）片持ばり式擁壁の仮想背面に作用する主働土圧の算定式例題，演習問題３．支持力（１）テルツァギーの支持力公式（２）道路橋示方書の支持力公式（３）建築基礎構造設計指針の支持力公式（４）経験則に基づいた許容支持力推定表例題，演習問題

香川県平成 20年度専門技術研修土圧・支持力理論と計算のポイント(右城猛)

1

１．基礎数学三角関数と逆関数

ωωω atanarctantan 1 ≡≡−

ω

a

bc

逆関数三角関数

ab

=ωtanab1tan−=ω アークタンジェント(b/a)

ab

=ωtanab1tan−=ω アークタンジェント(b/a)

アークサイン(b/c)cb

=ωsincb1sin−=ω アークサイン(b/c)

cb

=ωsincb1sin−=ω

ca

=ωcosca1cos−=ω アークコサイン(a/c)

ca

=ωcosca1cos−=ω アークコサイン(a/c)

アークタンジェントω

いろいろな書き方

bc

==ω

ωsin

1cosecac

==ω

ωcos

1secba

==ω

ωtan

1cot

A

B

C

ac

bC

cB

bA

asinsinsin

==

正弦定理

cCAb

BAa

sinsin

sinsin

==

ε

90−εa

bcε

90−εa

bccb

==− εε cos)90sin(直角三角形

勾配と角度

1:m

1:n

β

ω

1.0m

n

1.0α

0.1tan n

=α

m0.1tan =β

0.1tan 1 n−=α

m0.1tan 1−=β

逆関数三角関数

勾配1:n とは，鉛直1.0で水平nの長さのこと

電卓による計算

逆三角関数

指数

自然数の指数

自然対数

自乗

INVINV tan-1

tan

tan-1

tantan０・５０・５565.265.0tan 1 =−

INVINV x y

×０・５０・５23114.15.0 3.0 =−０・３０・３＋/－＝

4012.330log = ３３００

e x

ln

e x

lnln

0.3)60(tan60tan 22 ==tan-1

tan６０x y

× ＝

tan-1

tan

tan-1

tantan６６００x y

×x y

× ＝

tan-1

tan

tan-1

tantan６６００INVINV x2

√

x2

√√ 又は

1337.6)30tanexp(30tan == ππe ３０ × EXPπ INV e x

ln

tan-1

tan1337.6)30tanexp(30tan == ππe ３３００ ×× EXPπ

EXPπ INVINV e x

ln

e x

lnln

tan-1

tan

tan-1

tantan


2

２．土圧（１）試行くさび法

( )( )P W=

−− − −

sincos

ω φω φ δ α

W

R

φδ ω

試行すべり面α

P

Hcotω

PAPの最大が正解

P

H

すべり面の角度ωを任意に変化させてPを計算し，Pの最大値を試行錯誤的に求めると，それが主働土圧合力である。

P：主働土圧合力W：土くさびの重量ω：すべり面の角度φ：盛土の内部摩擦角δ：壁面摩擦角α：壁面傾斜角

q

H α

ω

W

λ

平坦タイプ

λαωαωγ qHW +

−=

cossin)cos(

21 2

)cot(tan ωαλ += H

h

H α

β

q

ω

W

λ

嵩上げタイプ

λββα

ωαω

αγ qhhHW +

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧ −

−−

+=sin

)cos(sin

)cos()(cos2

22

ωβαλ cot)(cottan hHhH ++−=

H α

β

ω

W

一様勾配タイプ

αβωβααωγ 2

2

cos)sin()cos()cos(

21

−

−−= HW


3

（２）重力式擁壁の壁面に作用する主働土圧の算定式

盛土形状主働土圧算定式平坦タイプ

q

H α

ωΑ

PA

α+δ

1:n

φδ32

=

n1tan−=α

q

H α

ωΑ

PA

α+δ

1:n

φδ32

=

n1tan−=α

クーロン式

主働土圧合力 ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⋅

+⋅⋅=HqKHP AA γ

γ 2121 2

主働土圧係数( )

( ) ( )( )

coscossinsin1coscos

cos2

2

2

⎪⎭

⎪⎬⎫

⎪⎩

⎪⎨⎧

++

++

−=

αδαφδφδαα

αφAK

主働すべり角( )

( ) ( ) ( )

sinsincossincoscostan 1

⎪⎪⎭

⎪⎪⎬

⎫

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

++−++

++= −

αδφφα

δφδααδφωA

嵩上げタイプ

h

H α

β

q

PA

α+δ

ωΑ

1:m

1:n

φδ32

=

n1tan−=α

m1tan 1−=β

h

H α

β

q

PA

α+δ

ωΑ

1:m

1:n

φδ32

=

n1tan−=α

m1tan 1−=β

中畑式

主働土圧合力 { }2tancottancos

sinηψφψ

ψφ

−−+= aA

WP

)cos())(cotsin(

ψωηωφω

−+−

=A

AAaW

ここに，

( ) ( )

( )βαγ

γ

γ

αη

δαφψ

cottan22

2

tan

2

+⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+=

+++=

−=

++=

qhhW

hHqhHW

WW

b

a

a

b

主働すべり角ψηψφψ

ωtan))(tancot(tan

1tan 1

−−+= −

A


H α

β

PA

α+δ

ωΑ

1:n

1:m

φδ32

=

n1tan−=α

m1tan 1−=β

H α

β

PA

α+δ

ωΑ

1:n

1:m

φδ32

=

n1tan−=α

m1tan 1−=β

クーロン式

主働土圧合力 21 2

AA KHP ⋅⋅= γ


( ) ( ) ( )( ) ( )

coscossinsin1coscos

cos2

2

2

⎪⎭

⎪⎬⎫

⎪⎩

⎪⎨⎧

−+−+

++

−=

βαδαβφδφδαα

αφAK

主働すべり角

( )( ) ( )( ) ( ) ( )

sin

sincossincoscostan 1 β

βαδφβφβαδφδα

βαδφω +

⎪⎪⎭

⎪⎪⎬

⎫

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

−++−−−++

−++= −

A


4

（３）片持ばり式擁壁の仮想背面に作用する主働土圧の算定式

盛土形状主働土圧算定式平坦タイプ，活荷重満載

H

ω1

PA

ω2

q

仮想背面

すべり面す

べり面

ランキン式


⎞⎜⎜⎝

⎛⋅

+⋅⋅=HqKHP AA γ

γ21

21 2

主働土圧係数 ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −=

245tan2 φ

AK

主働すべり角2

4521φωω +==

平坦タイプ，活荷重後方載荷

H

ω1

PA

ω2

q

δ

仮想背面

すべり面

すべり面

右城法(クーロン式を利用)


⎞⎜⎜⎝

⎛⋅

+⋅⋅=HqKHP AA γ

γ21

21 2


cossinsin1cos

cos2

2

⎪⎭

⎪⎬⎫

⎪⎩

⎪⎨⎧ ++

=

δφδφδ

φAK

土圧傾斜角δは次式より求める

( ) ( ) 01cos

sinsin21 cos

sinsin1 =−+

−+⎪⎭

⎪⎬⎫

⎪⎩

⎪⎨⎧ −+

δφδφ

γδφδφ

Hq

嵩上げタイプ

q

H

ω1

β

δPA

h

ω2

すべり面す

べり面

仮想背面

右城法(中畑式とクーロン式を利用)

主働土圧合力 { }2tancottancos

sin ηψφψψφ

−−+= aA

WP

ここに，

( ) ( )

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+=

+++=

−=

+=

γβγ

γ

η

δφψ

qhhW

hHqhHW

WW

b

a

a

b

2tan2

22

土圧傾斜角δは次の条件式を満たすように決定する。 0=− ACA PP

ここに，

( ) ( )

coscossinsin1cos

cos21

2

22

⎪⎭

⎪⎬⎫

⎪⎩

⎪⎨⎧ +−+

=

βδβφδφδ

φγHPAC


H

ω1

β

δ=βPA

ω2

仮想背面

すべり面

すべり面

ランキン式

主働土圧合力 AA KHP ⋅⋅= 221 γ

主働土圧係数φββ

φβββ

22

22

coscoscos

coscoscoscos

−+

−−=AK

主働すべり角 ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−++= −

φββφω

sinsinsin

2145 1

1

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+−+= −

φββφω

sinsinsin

2145 1

2


5

例題２．１

【解答】

壁面傾斜角 === −− 25.0tantan 11 nα 14.04゜壁面摩擦角 =×== 3/3523/2 　φδ 23.33゜地表面における土くさびの幅

ωωωαλ cot0.375.0)cot04.14(tan0.3)cot(tan ×+=+×=+= H (m)

土くさびの重量(載荷重を含む)

=×+×−

×××=+−

= λωω

λαωαω

γ 1004.14cossin)04.14cos(0.320

21

cossin)cos(

21 22 qHW λ

ωω 10sin

)04.14cos(77.92 +−

×

主働土圧合力

WWWPA )37.72cos()35sin(

)33.2304.1435cos()35sin(

)cos()sin(

−−

=−−−

−=

−−−−

=ωω

ωω

δαφωφω

すべり角ωを 62゜から 66゜まで 1゜刻みで計算する。 ω=61゜の場合

=×+= 61cot0.375.0λ 2.41m

49.9635.21061sin

)04.1461cos(77.92 =×+−

×=W kN/m

15.4349.96)37.7261cos(

)3561sin(=×

−−

=AP kN/m

同様に 62゜，63゜，64゜，65゜についても計算すると解表 1.1のようになる。

解表 2.1 土圧の計算

ω(゜) λ(m) W(kN/m) PA(kN/m) 61 2.41 96.49 43.15 62 2.35 93.86 43.32 63 2.28 91.16 43.38 64 2.21 88.50 43.37 65 2.15 85.97 43.34

PAとωの関係は，解図 2.1のようになる。

図 2.1に示す重力式擁壁の壁面に作用する主働土圧を「試行くさび法」で算定せよ。

q=10kN/m2

H=3.00m 1:0.25

γ=20kN/m3

φ=35゜c=0δ=2φ/3

α

α+δ

PA

B=1.75m

yA

xA

図 2.1


6

43.10

43.15

43.20

43.25

43.30

43.35

43.40

60 61 62 63 64 65 66

すべり角ω(゜)

土圧PA(kN/m)

解図 2.1 すべり角と土圧の関係

主働土圧合力 PA=43.38kN/m (PAの最大値が正解) 主働土圧分力鉛直分力 =+×=+= )33.2304.14sin(38.43)sin( δαAAV PP 26.33kN/m 水平分力 =+×=+= )33.2304.14cos(38.43)cos( δαAAH PP 34.48kN/m 主働土圧合力の作用位置土圧分布を台形と考える作用高さ

=×+××+×

×=++

⋅=0.3201020.320103

30.3

23

3 HqHqHy A γγ 1.13m

擁壁のつま先からの水平距離 =×−=⋅−= 13.125.075.1AA ynBx 1.47m

例題２.２

【解答】壁面傾斜角

=== −− 25.0tantan 11 nα 14.04゜壁面摩擦角 =×== 3/3523/2 　φδ 23.33゜主働土圧係数

( )

( ) ( )( )

22

2

coscossinsin1coscos

cos

⎪⎭

⎪⎬⎫

⎪⎩

⎪⎨⎧

++

++

−=

αδαφδφδαα

αφAK

( )2

2

2

04.14cos)33.2304.14cos(35sin)33.2335sin(133.2304.14cos04.14cos

)04.1435(cos

⎪⎭

⎪⎬⎫

⎪⎩

⎪⎨⎧

×+×+

+×+×

−=

　　

　　　　　　　　

　＝0.362

主働土圧合力

kN/m44.430.320

1021362.00.3202121

21 22 =⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛

××

+××××=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+=

　　HqKHP AA γ

γ

図 2.1で示した重力式擁壁の壁面に作用する主働土圧を「クーロン式」で算定し，「試行くさび法」と同じ結果になることを確認せよ。


7

例題２.３

【解答】壁面の傾斜角゜31.1120.0tan 1 == −α

盛土の傾斜角゜565.260.2

1tan 1 == −β

壁面摩擦角 =×== 3/3023/2φδ 20゜かかとと盛土の肩を結ぶ線の角度

αβω

tancottan 1

0 HhHh

−+

= − ゜7.7031.11tan3565.26cot1

31tan 1 =×−×

+= −

主働すべり面の角度は 7.700 =ω ゜より小さいと考えられるので，すべり土塊の重量は「嵩上げタイプ」

と仮定して算定する。地表面における土くさびの幅

ωωβαλ cot)0.10.3(565.26cot0.131.11tan0.3cot)(cottan ++×−×=++−= hHhH ωcot44.1 +−= (m)

土くさびの重量

λββα

ωαω

αγ qhhHW +

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧ −

−−

+=sin

)cos(sin

)cos()(cos2

22

λω

ω×+

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧ −

×−−

×+××

= 10565.26sin

)565.2631.11cos(0.1sin

)31.11cos()0.10.3(31.11cos2

19 22

λω

ω×+

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧ −

−××= 1015728.2

sin)31.11cos(16688.9

λω

ω×+−

−×= 1090.20

sin)31.11cos(01.155 (kN/m)

主働土圧合力

WWWPA )31.61cos()30sin(

)2031.1130cos()30sin(

)cos()sin(

−−

=−−−

−=

−−−−

=ωω

ωω

δαφωφω

すべり角ωを 52゜から 56゜まで 1゜刻みで計算する。

図 2.2に示す重力式擁壁の壁面に作用する主働土圧を，「試行くさび法」によって算定せよ。

H=3m

h=1m

q=10kN/m2

γ=19kN/m3

φ=30゜c=0δ=2φ/3

1:2.0

α

β

1:0.2

PA

α+δ

λ

図 2.2


8

ω=52゜の場合 =×+−= 52cot44.1λ 1.73m

=×+−−

×= 73.11090.2052sin

)31.1152cos(01.155W 145.56 kN/m

26.5556.145)31.6152cos(

)3052sin(=×

−−

=AP kN/m

同様に 53゜，54゜，55゜，56゜についても計算すると次の表のようになる。

解表 2.2 土圧の計算

ω(゜) λ(m) W(kN/m) PA(kN/m) 52 1.73 145.56 55.26 53 1.61 140.14 55.34 54 1.51 135.04 55.38 55 1.40 129.94 55.25 56 1.30 125.03 55.05

PAとωの関係は，解図 2.2のようになる。

55.00

55.05

55.10

55.15

55.20

55.25

55.30

55.35

55.40

51 52 53 54 55 56 57

すべり角ω(゜)

土圧PA(kN/m)

解図 2.2 すべり角と土圧の関係

主働土圧合力 PA=55.38kN/m (PAの最大値が正解) 主働すべり角 ωA=54゜＜ω0=70.7゜仮定した通りである。

H=3m

h=1m

q=10kN/m2

1:2.0

1:0.2

ωA=54゜

ωο=70.7゜

λ=1.51m

主働すべり面

α+δ

PA=55.38kN/m

解図 2.3 主働すべり面


9

例題２．４

【解答】壁面の傾斜角゜31.1120.0tan 1 == −α

盛土の傾斜角゜565.260.2

1tan 1 == −β

壁面摩擦角 =×== 3/3023/2φδ 20゜中畑式による計算

゜31.612031.1130 =++=++= δαφψ

( ) ( )hHqhHWa +++= 2

2γ kN/m0.192)13(10)13(

219 2 =+×++×=

( )βαγ

γ cottan22

+⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+=

qhhWb ( ) kN/m9.4257.26cot31.11tan19

102112

19=+⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ ×+××=

023.00.1929.4231.11tantan −=−=−=

a

bWW

αη

739.031.61tan )023.031.61)(tan30cot31.61(tantan))(tancot(tan =−++=−−+= ψηψφψX

739.01tan1tan 11 −− ==

XAω =53.5゜＜ωo=71.7゜

すべり面が盛土肩の後方を通るので，中畑式を適用することができる。主働土圧 PAは次のようになる．

)cos())(cotsin(

ψωηωφω

−+−

=A

AAaA WP

)31.615.53cos()023.05.53(cot)305.53sin(0.192

−−×−

×= =55.40kN/m

例題２．５

図 2.2に示した重力式擁壁の壁面に作用する主働土圧を，「中畑式」によって算定し，「試行くさび法」と同じ結果がより簡単に得られることを確認せよ。

図 2.3に示す重力式擁壁の壁面に作用する主働土圧を「クーロン式」で算定せよ。

H=3.0m

q=10kN/m2

γ=19kN/m3

φ=30゜c=0δ=2φ/3

1:2.0

β

1:0.2

h=5.0m

αPA

α+δH=3.0m

q=10kN/m2

γ=19kN/m3

φ=30゜c=0δ=2φ/3

1:2.0

β

1:0.2

h=5.0m

αPA

α+δ

図 2.3


10

【解答】壁面の傾斜角゜31.1120.0tan 1 == −α

盛土の傾斜角゜565.260.2

1tan 1 == −β

壁面摩擦角 =×== 3/3023/2φδ 20゜かかとと盛土の肩を結ぶ線の角度

αβω

tancottan 1

0 HhHh

−+

= − ゜4.4031.11tan3565.26cot5

35tan 1 =×−×

+= −

主働すべり面の角度は 4.400 =ω ゜より大きいと考えられるので，地表面がβ=26.57゜で一様勾配と見なせるものと仮定してクーロン式で計算する．主働すべり角

( )( ) ( )( ) ( ) ( )

sin

sincossincoscostan 1 β

βαδφβφβαδφδα

βαδφω +

⎪⎪⎭

⎪⎪⎬

⎫

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

−++−−−++

−++= −

A

( )( ) ( )

( ) ( ) ( ) 565.26

565.2631.112030sin565.2630sin565.2631.11cos

2030sin2031.11cos565.2631.112030costan 1 +

⎪⎪

⎭

⎪⎪

⎬

⎫

⎪⎪

⎩

⎪⎪

⎨

⎧

−++−−−++

−++= −

＝43゜＞ωo=40.4゜すべり面が盛土肩の前方を通るので，クーロン式が適用できる。主働土圧係数

( )

( ) ( ) ( )( ) ( )

coscossinsin1coscos

cos2

2

2

⎪⎭

⎪⎬⎫

⎪⎩

⎪⎨⎧

−+−+

++

−=


αφAK

( )

( ) ( ) ( )( ) ( )

565.2631.11cos2031.11cos565.2630sin2030sin12031.11cos31.11cos

31.1130cos2

2

2

⎪⎭

⎪⎬⎫

⎪⎩

⎪⎨⎧

−+−+

+×+×

−= =0.715

主働土圧合力

kN/m1.61715.031921

21 22 =×××== AA KHP γ


11

H=3.0m

q=10kN/m2

1:2.0

β=26.565゜

1:0.2

h=5.0m

α=11.31PA=61.1kN/m31.31

ωA=43゜

ω0=40.4゜


例題２．６

【解答】壁面傾斜角 0=α ゜，地表面傾斜角 0=β ゜，壁面摩擦角 0== βδ ゜ ■試行くさび法による計算

ωωλ cot0.5cot ×== H (m)

ωωωλωγ cot5.287cot0.510cot0.51921cot

21 22 =××+×××=+= qHW (kN/m)

ωφωωω

ωδαφω

φω cot)tan(5.287cot5.287)0030cos(

)30sin()cos(

)sin(−=×

−−−−

=−−−

−= WPA (kN/m)

すべり角ωを 58゜から 62゜まで 1゜刻みで計算する。 ω=58゜の場合 =×−×= 58cot)3058tan(5.287AP 95.52kN/m ω=59゜の場合 =×−×= 59cot)3059tan(5.287AP 95.76kN/m ω=60゜の場合 =×−×= 60cot)3060tan(5.287AP 95.83kN/m (最大)

図 2.4 に示すように，地表面に活荷重が満載された逆Ｔ型擁壁の仮想背面に作用する主働土圧を試行くさび法，クーロン式，ランキン式で求め，どの方法でも同じ結果が得られることを確認せよ。

B=2.80

5.00

仮想背面

γ=19kN/m3

φ=30゜c=0

q=10kN/m2

図 2.4


12

ω=61゜の場合 =×−×= 61cot)3061tan(5.287AP 95.76kN/m ω=62゜の場合 =×−×= 62cot)3062tan(5.287AP 95.52kN/m 主働土圧合力 PA=95.83kN/m (PAの最大値が正解)

■クーロン式による計算

( )

( ) ( ) ( )( ) ( )

coscossinsin1coscos

cos2

2

2

⎪⎭

⎪⎬⎫

⎪⎩

⎪⎨⎧

−+−+

++

−=


αφAK

( )

( ) ( ) ( )( ) ( )

=

⎪⎭

⎪⎬⎫

⎪⎩

⎪⎨⎧

−+−+

++×

−=

00cos00cos030sin030sin100cos0cos

030cos2

2

20.333

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⋅

+⋅⋅=HqKHP AA γ

γ 2121 2 ⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛

××

+××××=0.519

1021333.00.51921 2 =95.74kN/m

■ランキン式による計算

=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ −=

23045tan

245tan 22 φ

AK 0.333

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⋅

+⋅⋅=HqKHP AA γ

γ 2121 2 ⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛

××

+××××=0.519

1021333.00.51921 2 =95.74kN/m

例題２．７

【解答】壁面摩擦角δは，次の条件式を満たすように決定する。

( ) ( ) 01cos

sinsin21 cos

sinsin1 =−+

−+⎪⎭

⎪⎬⎫

⎪⎩

⎪⎨⎧ −+

δφδφ

γδφδφ

Hq

図 2.5 に示すように，仮想背面より後方のみに活荷重が載荷された逆Ｔ型擁壁について，仮想背面に作用する主働土圧を右城法によって算定せよ。

仮想背面

γ=20kN/m3

φ=35゜c=0

q=10kN/m2

PAH=5.0m

B=2.8m

δ

図 2.5


13

δ=5゜ ( ) ( )=−

+−

××

+⎪⎭

⎪⎬⎫

⎪⎩

⎪⎨⎧ −+ 1

5cos35sin535sin

0.5201021

5cos35sin535sin1 0.075

δ=10゜ ( ) ( )=−

+−

××

+⎪⎭

⎪⎬⎫

⎪⎩

⎪⎨⎧ −+ 1

10cos35sin1035sin

0.5201021

10cos35sin1035sin1 -0.03

δ=15゜ ( ) ( )=−

+−

××

+⎪⎭

⎪⎬⎫

⎪⎩

⎪⎨⎧ −+ 1

15cos35sin1535sin

0.5201021

15cos35sin1535sin1 -0.085

δ=9.8゜ ( ) ( )=−

+−

××

+⎪⎭

⎪⎬⎫

⎪⎩

⎪⎨⎧ −+ 1

8.9cos35sin8.935sin

0.5201021

8.9cos35sin8.935sin1 0.000

δ=9.8゜が正解となる。δと誤差Δの関係は，解図 2.5のようになる。

-0.1

-0.05

0

0.05

0.1

0 5 10 15 20

壁面摩擦角δ(゜)

誤差Δ

解図 2.5 壁面摩擦角と誤差の関係

主働土圧係数

( )

cossinsin1cos

cos2

2

⎪⎭

⎪⎬⎫

⎪⎩

⎪⎨⎧ ++

=

δφδφδ

φAK

( )

8.9cos35sin8.935sin18.9cos

35cos2

2

⎪⎭

⎪⎬⎫

⎪⎩

⎪⎨⎧ ++×

= =0.253

主働土圧合力

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⋅

+⋅⋅=HqKHP AA γ

γ 2121 2 ⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛

××

+××××=0.520

1021253.00.52021 2 =75.9kN/m


14

例題２．８

【解答】壁面傾斜角 0=α ゜，地表面傾斜角 30=β ゜，壁面摩擦角 30== βδ ゜(地表面に平行) 主働土圧係数クーロン式

( )

( ) ( ) ( )( ) ( )

coscossinsin1coscos

cos2

2

2

⎪⎭

⎪⎬⎫

⎪⎩

⎪⎨⎧

−+−+

++

−=


αφAK

( )

( ) ( ) ( )( ) ( )

=

⎪⎭

⎪⎬⎫

⎪⎩

⎪⎨⎧

−+−+

++×

−=

300cos300cos3035sin3035sin1300cos0cos

035cos2

2

20.442

ランキン式

φββ

φβββ

22

22

coscoscos

coscoscoscos

−+

−−=AK

35cos30cos30cos

35cos30cos30cos30cos22

22

−+

−−×= =0.442

クーロン式とランキン式で同じ主働土圧係数が求められる。主働土圧合力

AA KHP ⋅⋅= 221 γ 442.00.620

21 2 ×××= =159.12kN/m

主働すべり角

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−++= −

φββφω

sinsinsin

2145 1

1 ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −++= −

35sin30sinsin3035

2145 1 =47.2゜

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+−+= −

φββφω

sinsinsin

2145 1

2 ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +−+= −

35sin30sinsin3035

2145 1 =77.8゜

図 2.6 に示すような逆Ｔ型擁壁の仮想背面に作用する主働土圧を「クーロン式」と「ランキン式」で求めて，その結果を比較せよ。

H=6.0m

仮想背面

γ=20kN/m3

φ=35゜c=0

β=30゜

図 2.6


15

二つのすべり面の挟角は 90 ﾟ－φ=55゜となる。

すべり面

すべり面

すべり面

6.0m

ω1=47.2゜

ω2=77.8゜

PA=159.12kN/m

δ=30゜

β=30゜


例題２．９

【解答】右城法(中畑式とクーロン式を利用)による土圧の計算

( ) ( )hHqhHWa +++= 22γ ( ) ( ) =+×++×= 8.12.6108.12.6

220 2 720kN/m

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+=γβ

γ qhhWb2

tan2⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ ×

+×××

=20

1028.18.169.33tan2

20 =75.6kN/m

105.0720

6.75−=−=−=

a

bWWη

図 2.7 に示す高さ上げタイプの盛土をした逆Ｔ型擁壁の仮想背面に作用する主働土圧合力とその傾斜角(壁面摩擦角δ)を右城法を用いて算定せよ。

1:1.5

H=6.2m

h=1.8m

q=10kN/m2

β=33.69゜

仮想背面

γ=20kN/m3

φ=35゜c=0

図 2.7


16

{ }2tancottancos

sinηψφψ

ψφ

−−+= aA

WP

ここに δφψ +=

δは次の条件式を満たすように試行錯誤的に決定する。 0=−=∆ ACA PP

ここに，

( ) ( )

coscossinsin1cos

cos21

2

22

⎪⎭

⎪⎬⎫

⎪⎩

⎪⎨⎧ +−+

=

βδβφδφδ

φγHPAC

δを 0 から 5゜刻みでφ(=35゜)まで変化させてΔを計算すると解表 2.3 となる。これより，25゜<δ<30゜であることがわかる。Δ≒0となるδを試行錯誤的に求めるとδ=27.6゜となる。主働土圧合力は

{ }2105.0)356.27tan(35cot)356.27tan()356.27cos(

35sin720++−++

+×

=AP ＝151.75kN/m

解表 2.3 δと計算誤差Δ

δ(゜) ψ(゜) PA(kN/m) PAC(kN/m) ∆=PA-PAC

0 35 158.98 79.49 79.495 40 153.78 84.58 69.2010 45 150.16 91.36 58.8015 50 147.94 100.55 47.3920 55 147.00 113.47 33.5325 60 147.31 132.94 14.3730 65 148.87 166.95 -18.0835 70 151.75 314.88 -163.13

27.6 62.6 147.96 147.78 0.18

-200

-150

-100

-50

0

50

100

0 5 10 15 20 25 30 35 40

壁面摩擦角δ(゜)

誤差Δ(kN/m)

解図 2.7 壁面摩擦角と誤差の関係


17

演習問題２．１

【解答】土くさびの重量

25.14tan

5.85195.10.1tan

10.30.321

−=×⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ ×−×××=

ωωW (kN/m)

主働土圧合力の算定式

WWWPA )50cos()30sin(

)02030cos()30sin(

)cos()sin(

−−

=−−−

−=

−−−−

=ωω

ωω

αδφωφω

すべり角はω=50゜，51゜，52゜，53゜54゜について，PAを計算すると次のようになる。

① ② ③ ④

tanω W(kN/m) sin(ω-φ) cos(ω-φ-δ-α)50 1.192 57.48 0.342 1.000 19.6651 1.235 54.98 0.358 1.000 19.6852 1.28 52.55 0.375 0.999 19.7353 1.327 50.18 0.391 0.999 19.6454 1.376 47.89 0.407 0.998 19.53

PA=②×③/④ω(゜)

主働土圧合力と主働すべり角 PA=19.7kN/m ω=52゜

答え PA=19.7kN/m ω=52

図 2.8 に示すような嵩上げタイプの盛土をした重力式擁壁の壁面に作用する主働土圧を，「試行くさび法」および「中畑式」で算定せよ。なお，試行くさび法の計算で，すべり角はω=50゜，51゜，52゜，53゜54゜の 4種類とすること。ただし，盛土勾配は 1:1.5，嵩上げ高は 1.0m，土質は砂質土(γ=19kN/m3，φ=30゜)とする。壁面摩擦角はδ=2φ/3として計算すること。

1.5m

2.0m

1.0m0.5m

1:0.5

1:1.5

γ=19kN/m3

φ=30゜c=0

δ

PA

図 2.8 重力式擁壁


18

演習問題２．２

【解答】仮想背面の高さ

5.58.1

5.02.30.4 =−

+=H m

壁面傾斜角 0=α ゜，地表面傾斜角 05.298.1

1tan 1 == −β ゜，壁面摩擦角 05.29== βδ ゜

主働土圧係数クーロン式

( )

( ) ( ) ( )( ) ( )

coscossinsin1coscos

cos2

2

2

⎪⎭

⎪⎬⎫

⎪⎩

⎪⎨⎧

−+−+

++

−=


αφAK

( )

( ) ( ) ( )( ) ( )

=

⎪⎭

⎪⎬⎫

⎪⎩

⎪⎨⎧

−+−+

++×

−=

05.290cos05.290cos05.2935sin05.2935sin105.290cos0cos

035cos2

2

20.422

ランキン式

φββ

φβββ

22

22

coscoscos

coscoscoscos

−+

−−=AK

35cos05.29cos05.29cos

35cos05.29cos05.29cos05.29cos22

22

−+

−−×= =0.422

クーロン式とランキン式で同じ主働土圧係数が求められる。主働土圧合力

AA KHP ⋅⋅= 221 γ 422.05.520

21 2 ×××= =127.7kN/m

答え KA=0.422，PA=127.7kN/m

図 2.9に示す L型擁壁の仮想背面に作用する主働土圧を「ランキン式」，「クーロン式」でそれぞれ計算し，その結果を比較せよ。ただし，盛土勾配は 1:1.8の一様勾配，土質は礫質土(γ=20kN/m3，φ=35゜)とする。

PA

β

1:1.8

4.0m δ=β

3.2m

0.5mγ=20kN/m3

φ=35゜c=0

仮想背面

H

図 2.9 L 型擁壁


19

３．支持力（１）テルツァギーの支持力公式

γγ BNqNcNq qcd 221

++=

ここに， qd：極限支持力度(kN/m2) c：支持地盤の粘着力(kN/m2)

q：支持地盤への上載荷重(kN/m2) fDq 1γ=

Df：基礎の根入れ深さ(m) γ1：根入れ地盤の単位体積重量(kN/m3) γ2：支持地盤の単位体積重量(kN/m3) B：基礎幅(m)

Nc，Nq，Nγ：支持力係数

( )1cot −= qc NN φ ， φπφ tan22

45tan eNq ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ += ， ( ) )4.1tan(1 φγ −≈ qNN

φ：支持地盤の内部摩擦角(゜) （２）道路橋示方書の静力学公式

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧ ++= γγβγκακ SNBSqNScNAQ eqqcceu 12

1

ここに， Qu：極限支持力(kN) Ae：有効載荷面積(m2) eee LBA ⋅= Be：荷重の偏心を考慮した有効載荷幅(m) eBe BB 2−= Le：荷重の偏心を考慮した有効載荷長(m) eLe LL 2−= B：基礎幅(m) L：基礎長(m) α，β：基礎の形状係数で，表 3.1による。

表 3.1 形状係数(道路橋示方書Ⅳ下部構造編，2002)

基礎底面形状帯状正方形，円形長方形，楕円形，小判形

α 1.0 1.3 e

eLB3.01+

β 1.0 0.6 e

eLB4.01−

c：支持地盤の粘着力(kN/m2) q：支持地盤への上載荷重(kN/m2)

fDq 1γ=

Df：基礎の根入れ深さ(m) γ1：根入れ地盤の単位体積重量(kN/m3) γ2：支持地盤の単位体積重量(kN/m3)


20

κ：支持層への根入れ効果に対する割り増し係数 e

f

BD '

3.01+=κ

Df’ ：支持地盤への根入れ深さ(m) Nc，Nq，Nγ：支持力係数で，図 3.1または表 3.2による。 φ：支持地盤の内部摩擦角(゜) tanθ：基礎底面に作用する荷重の傾斜 VH /tan =θ

(a)Ncを求めるグラフ(q=0，γ=0) (b)Nqを求めるグラフ(c=0，γ=0)

0゜

tanθ=tanφ

(c)Nγを求めるグラフ(c=0，q=0)

図 3.1 支持力係数(道路橋示方書Ⅳ下部構造編，2002)


21

Sc，Sq，Sγ：支持力係数の寸法効果に対する補正係数

3/1

10

−

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=

cSc ，3/1

10

−

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=

qSq ， 3/1−= eBSγ

c=0のときは Sc=1，q=0のときは Sq=1とする。

表 3.2 支持力係数(道路橋示方書)

傾斜角支持力θ (゜) 係　数 0 5 10 15 20 25 30 35 40

N γ 0.00 0.17 0.56 1.40 3.16 6.92 15.32 35.19 86.460 N q 1.00 1.57 2.47 3.94 6.40 10.70 18.40 33.30 64.20

N c 5.14 6.49 8.34 10.98 14.83 20.71 30.12 46.08 75.23N γ 0.09 0.38 0.99 2.31 5.02 11.10 24.38 61.38

5 N q 1.24 2.16 3.44 5.56 9.17 15.60 27.90 52.70N c 5.81 7.42 9.67 12.56 17.86 25.63 38.59 62.09N γ － 0.17 0.62 1.51 3.42 7.46 17.40 41.78

10 N q － 1.50 2.84 4.65 7.65 12.90 22.80 42.40N c 5.05 6.42 8.30 11.02 15.06 21.34 31.66 49.79N γ －－ 0.25 0.89 2.15 4.93 11.34 27.61

15 N q －－ 1.70 3.64 6.13 10.40 18.10 33.30N c 4.25 5.38 6.93 9.14 12.83 17.36 25.40 39.27N γ －－－ 0.32 1.19 2.92 6.91 16.41

20 N q －－－ 2.09 4.58 7.97 13.90 25.40N c 3.43 4.35 5.60 7.35 9.90 13.75 19.88 30.26N γ －－－ 0.38 1.50 3.85 9.58

25 N q －－－ 2.41 5.67 10.20 18.70N c 3.37 4.35 5.71 7.66 10.57 15.13 22.72N γ －－－ 0.43 1.84 4.96

30 N q －－－ 2.75 6.94 13.10N c 3.21 4.24 5.70 7.84 11.15 16.54N γ －－ 0.47 2.21

35 N q －－ 3.08 8.43N c 4.03 5.56 7.88 11.61N γ －－ 0.49

40 N q －－ 3.42N c 3.71 5.29 7.78N γ －－

45 N q －－

N c 3.31 4.91

せん断抵抗角　φ(゜)

（３）建築基礎構造設計指針(2002)の支持力公式

{ }qfqecceu NDiNBicNiAQ 21 γηβγα γγ ++=

ここに， Qu：極限支持力(kN) Ae：有効載荷面積(m2) eee LBA ⋅= Be：荷重の偏心を考慮した有効載荷幅(m) eBe BB 2−= Le：荷重の偏心を考慮した有効載荷長(m) eLe LL 2−= B：基礎幅(m) L：基礎長(m) α，β：基礎の形状係数で，表 3.3による。


22

表 3.3 形状係数(建築基礎構造設計指針，2002)

基礎底面形状帯状正方形，円形長方形

α 1.0 1.2 e

eLB2.01+

β 0.5 0.3 e

eLB2.05.0 −

c：支持地盤の粘着力(kN/m2) Df：基礎の根入れ深さ(m)

γ1：根入れ地盤の単位体積重量(kN/m3) γ2：支持地盤の単位体積重量(kN/m3)

Nc，Nq，Nγ：支持力係数で，次式で求める。表 3.4から求めることもできる。

( )1cot −= qc NN φ ， φπφ tan22

45tan eNq ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ += ， ( ) )4.1tan(1 φγ −≈ qNN

φ：支持地盤の内部摩擦角(゜) η：基礎の寸法効果による補正係数

荷重の偏心傾斜がある場合はη=1.0，荷重の偏心傾斜がない場合は 3/1−= Bη

ic，iq：荷重の傾斜に対する補正係数

2

901 ⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ −==

θqc ii ，

2

1 ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−=φθ

γi

θ：荷重の傾斜角(゜)

VH1tan−=θ

H：基礎に作用する水平荷重(kN) V：基礎に作用する鉛直荷重(kN)

表 3.4 建築基礎構造設計指針の支持力係数

0 10 20 30 40 50内部摩擦角φ(度)

支持力係数

100

20

30

40

5060708090

1

10

2

3

4

56789

Nc

Nq

Nγ

φ(゜) Nc Nγ Nq φ(゜) Nc Nγ Nq

0 5.14 0.00 1.00 21 15.81 3.42 7.07

1 5.38 0.00 1.09 22 16.88 4.07 7.82

2 5.63 0.01 1.20 23 18.05 4.82 8.66

3 5.90 0.02 1.31 24 19.32 5.72 9.60

4 6.19 0.04 1.43 25 20.72 6.77 10.66

5 6.49 0.07 1.57 26 22.25 8.00 11.85

6 6.81 0.11 1.72 27 23.94 9.46 13.20

7 7.16 0.15 1.88 28 25.80 11.19 14.72

8 7.53 0.21 2.06 29 27.86 13.24 16.44

9 7.92 0.28 2.25 30 30.14 15.67 18.40

10 8.34 0.37 2.47 31 32.67 18.56 20.63

11 8.80 0.47 2.71 32 35.49 22.02 23.18

12 9.28 0.60 2.97 33 38.64 26.17 26.09

13 9.81 0.74 3.26 34 42.16 31.15 29.44

14 10.37 0.92 3.59 35 46.12 37.15 33.30

15 10.98 1.13 3.94 36 50.59 44.43 37.75

16 11.63 1.37 4.34 37 55.63 53.27 42.92

17 12.34 1.66 4.77 38 61.35 64.07 48.93

18 13.10 2.00 5.26 39 67.87 77.33 55.96

19 13.93 2.40 5.80 40 75.31 93.69 64.20

20 14.83 2.87 6.40 41 75.31 93.69 64.20


23

（４）道路土工－擁壁工指針

許容支持力度は，経験的に表 3.5で推定する。許容支持力度は qa≒10N (kN/m2) Ｎ：標準貫入試験の N値

表 3.5 地盤の許容支持力度(道路土工－擁壁工指針，1999) 備考

基礎地盤の種類許容支持力度 qa (kN/m2) qu(kN/m2) N値

岩盤

亀裂の少ない均一な硬岩亀裂の多い硬岩軟岩・土丹

1000 600 300

10000以上 10000以上 1000以上

れき層密なもの密でないもの

600 300

砂質地盤

密なもの中位なもの

300 200

30～50 20～30

粘性土地盤

非常に堅いもの堅いもの

200 100

240～400 100～200

15～30 10～15

例題３．１

【解答】上載荷重

180.1181 =×== fDq γ kN/m2

支持力係数

φπφ tan22

45tan eNq ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ += 30tan2

23045tan πe×⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ += =18.40

( )1cot −= qc NN φ ( ) =−×= 140.1830cot 30.14

( ) )4.1tan(1 φγ −≈ qNN ( ) =×−= )304.1tan(140.18 15.67

極限支持力度

γγ BNqNcNq qcd 221

++= =×××+×+×= 67.150.3192140.181814.3010 1,079kN/m2

許容支持力度安全率 Fs=3.0とする

3600.3

079,1===

s

da F

qq kN/m2

図 3.2 に示す直接基礎の支持力をテルツァギー式を用いて算定せよ。ただし，基礎の有効根入れ深さは Df=1.0mとする。

B=3m

γ1=18kN/m3Df=1.0m

γ2=19kN/m3，φ=30゜c=10 kN/m2

図 3.2


24

例題３．２

【解答】上載荷重

fDq 2γ= 0.360.218 =×= kN/m2

荷重の偏心を考慮した基礎の有効載荷幅

eBe BB 2−= =×−= 0.120.5 3.0m

eLe LL 2−= =×−= 0.020.10 10.0m 基礎の形状係数

=×+=+=0.100.33.013.01

e

eLBα 1.09

=×−=−=0.100.34.014.01

e

eLBβ 0.88

支持地盤への根入れ深さ Df’ =0.5m 支持層への根入れ効果に対する割り増し係数

05.10.35.03.01

'3.01 =×+=+=

e

f

BD

κ

有効載荷面積

eee LBA = =×= 0.100.3 30m2 荷重の傾斜

5.0000,3500,1tan ===

VHθ

支持力係数 φ=30゜，tanθ=0.5 ⇒図 3.1より Nc=9.5，Nq=4.6，Nγ=1.1 支持力係数の寸法効果に対する補正係数

=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛=

−− 3/13/1

1020

10cSc 0.794

=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛=

−− 3/13/1

1036

10qSq 0.653

=== −− 3/13/1 0.3eBSγ 0.693

長方形基礎（幅 B=5.0m，奥行き L=10m）に，図 3.3 に示すような偏心傾斜荷重が作用する。このときの支持力を道路橋示方書の静力学公式によって算定せよ。

V=3,000kN

H=1,500kN

e=1.0m

γ1=18kN/m3

γ2=18kN/m3，φ=30゜c=20 kN/m2

Df=2m

Df’=0.5m

B=5.0m

支持層

図 3.3


25

極限支持力

⎭⎬⎫


1

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧ ×××××+×××+×××××= 693.01.10.388.018

21653.06.40.3605.1653.05.92005.109.130

= 8,210kN 安全率

===000,3210,8

VQu

sF 2.7 ＞2.0 (地震時) O.K

例題３．３

【解答】荷重の偏心を考慮した基礎の有効載荷幅

eBe BB 2−= 0.30.120.5 =×−= m

eLe LL 2−= =−=−= 00.102eLL 10.0m 有効載荷面積

0.300.100.3 =×== eee LBA m2 基礎の形状係数

06.10.100.32.012.01 =×+=+=

e

eLBα

=−=e

eLB2.05.0β =×−

0.100.32.05.0 0.44

支持力係数

=×−+

=−+

= )30tanexp(30sin130sin1)tanexp(

sin1sin1 πφπ

φφ

qN 18.40

( )1cot −= qc NN φ ( ) =−×= 140.1830cot 30.14

( ) )4.1tan(1 φγ −≈ qNN ( ) =×−= )304.1tan(140.18 15.67

支持力係数は，表 3.4から読み取ることもできる。基礎の寸法効果による補正係数

0.1=η （荷重の偏心・傾斜がある）荷重の傾斜角

57.26000,3500,1tantan 11 === −−

VHθ ゜

荷重の傾斜に対する補正係数

50.090

57.26190

122=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ −=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ −==

θqc ii

013.030

57.261122

=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−=φθ

γi

長方形基礎（幅 B=5.0m，奥行き L=10m）に，図 3.3に示すような偏心傾斜荷重が作用する。このときの支持力を建築基礎構造設計指針(2002)の式によって算定し，道路橋示方書の静力学支持力公式で算定した結果と比較せよ。


26

極限支持力

{ }qfqecceu NDiNBicNiAQ 21 γηβγα γγ ++=

{ }40.180.21850.067.150.10.31844.0013.014.302006.150.030 ×××+×××××+××××= ＝19,700kN

安全率

===000,3700,19

VQu

sF 6.6 ＞1.0(地震時) O.K.

解表 3.1 道路橋示方書と建築基礎構造設計指針の支持力比較

支持力係数技術基準 Nc Nq Nγ

極限支持力 Qu(kN)

道路橋示方書 9.5 4.6 1.1 8,210 建築基礎構造設計指針 30.14 15.67 18.40 19,700

例題３．３

【解答】 ■道路土工－擁壁工指針による照査擁壁の支持地盤は N値 25～30程度の砂質土である。このため，許容支持力度は表 =×== 30)25(1010 ～Nqa 250～300kN/m2と推定される。最大地盤反力度は q=254kN/m2であるので十

分とは言えないが安全と判断される。

図 3.4 に示す逆Ｔ型擁壁の地盤支持力について，道路土工－擁壁工指針および道路橋示方書下部構造編の静力学的支持力公式によって検討せよ。なお，支持地盤は単位体積重量γ=18kN/m3，N 値 25～30の砂質土である。

0 10 20 30 40 500

1

2

3

4

5

6

7

B=3.5m

H=151.7kN/m

e=0.53m

V=467.3kN/m

q2=13kN/m2

q1=254kN/m2

q=10kN/m2

N値

深度

1.0m

7.0m

25

33

27

30

28

40

0 10 20 30 40 500

1

2

3

4

5

6

7

B=3.5m

H=151.7kN/m

e=0.53m

V=467.3kN/m

q2=13kN/m2

q1=254kN/m2

q=10kN/m2

N値

深度

1.0m

7.0m

25

33

27

30

28

40

25

33

27

30

28

40

図 3.4


27

■道路橋示方書による照査支持地盤の内部摩擦角標準貫入試験の N値より道路橋示方書式で推定する。

21ln8.4 1 += Nφ (N>5) (ここの lnは自然対数である elogln = ) ここに，

70'

1701 +=

v

NNσ

zv ⋅= γσ ' ＞50kN/m2 これらの式でφを求めると解表 3.1となる。

解表 3.1 支持地盤の N値と内部摩擦角

深度標準貫入試験有効上載圧修正N値内部摩擦角

z (m) によるN値 σv(kN/m2) N 1 φ(゜)

1 25 18(50) 35.4 38.12 33 36(50) 46.8 39.53 27 54 37 38.34 30 72 35.9 38.25 28 90 29.8 37.36 40 108 38.2 38.5

この結果より，支持力計算に用いる内部摩擦角はφ=38゜とする。上載荷重

fDq 2γ= 0.180.118 =×= kN/m2


eBe BB 2−= =×−= 53.025.3 2.44m 基礎の形状係数(帯状基礎) α=1.0，β=1.0 支持地盤への根入れ深さ Df’ =0m 支持層への根入れ効果に対する割り増し係数

00.144.203.01

'3.01 =×+=+=

e

f

BD

κ

有効載荷面積

eee LBA = =×= 0.144.2 2.44m2/m 荷重の傾斜

3.4677.151tan ==

VHθ =0.32

支持力係数 φ=38゜， θtan =0.32 ⇒図 3.1より Nc=30，Nq=25，Nγ=16 支持力係数の寸法効果に対する補正係数

0.1=cS (c=0の場合は 1.0とする)

=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛=

−− 3/13/1

1018

10qSq 0.82

=== −− 3/13/1 44.2eBSγ 0.74


28

極限支持力

⎭⎬⎫


1

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧ ×××××+×××+×××××= 74.01644.20.118

2182.0250.180.10.13000.10.144.2

= 1,530kN 安全率

3.33.467

530,1=== V

uQsF >3.0(常時) O.K

例題３．４

【解答】

荷重の傾斜角 7.0300210tan ===

VHθ ，内部摩擦角φ=30゜

支持力係数 Nc：図解 3.1 (a)より Nc=5.5 支持力係数 Nq：図解 3.1 (b)より求める。

tanφ=tan30=0.577＜tanθ したがって，図解 3.1(b)の領域Ⅱ(θcrより下側)を利用する。

11010

==cq

のラインとφ=30゜のラインが交わる位置(○印の位置)から鉛直の線を降ろすと，

tanθ=0.73が得られる。基礎に作用する荷重の傾斜は tanθ=0.7であり，0.73より小さいので Nqの解が存在する。解は，○印から水平線を左側に引いて求められ，Nq=2.76となる。支持力係数 Nγ：図解 3.1 (c)より求める。 tanφ=tan30=0.577＜tanθであるので，Nγ=0 以上より，支持力係数は次のようになる。 Nc=5.5，Nq=2.76，Nγ=0

図 3.5に示す直接基礎の支持力係数 Nc，Nq，Nγを，道路橋示方書下部構造編のグラフを用いて求めよ。

V=300kN/m

H=210kN/m

γ2=18kN/m3，φ=30゜c=10 kN/m2

B=3.0m支持層

q=10kN/m2

M=100kN･m/m

図 3.5


29

(a)支持力係数Ncを求めるグラフ(q=0，γ=0) (b)支持力係数Nqを求めるグラフ(c=0，γ=0)

0゜0゜

c=0として作成θ<φのとき適用

c>0として作成θ>φのとき適用

φ=30゜q/c=1.0

0.73

2.765.5

tanθ=tanφ

(c)支持力係数Nγを求めるグラフ(c=0，q=0，B=0)

解図 3.1 支持力係数

(注) 道路橋示方書下部構造編における支持力係数のグラフは，Ncと Nqは駒田敬一による解，Nγはソコロフスキーの解を図化したものである。示方書に掲載されているのは Ncは q=0，γ=0の条件，Nqは c=0，γ=0の条件，Nγは c=0，q=0，B=0の条件に対するものである。このため，q>0，γ>0，c>0，B>0で計算した支持力係数よりも小くなっている。


30

演習問題３．１

【解答】内部摩擦角 N値より推定する。

解表 3.2 支持地盤の N値と内部摩擦角

深度標準貫入試験有効上載圧修正N値内部摩擦角

z (m) によるN値 σv(kN/m2) N 1 φ(゜)

1 20 18(50) 28.3 372 22 36(50) 31.2 37.53 20 54 27.4 36.94 35 72 41.9 38.95 28 90 29.8 37.36 30 108 28.7 37.1

図 3.6 に示す逆Ｔ型擁壁の支持力に対する安全性を道路橋示方書下部構造編の静力学的支持力公式によって検討せよ。なお，支持地盤は砂質土で単位体積重量はγ=18kN/m3である。

q=10kN/m2

5.0m

1.0m

e=0.37m

H=81kN/m

V=236kN/m

q2=10kN/m2

q1=179kN/m2

B=2.5m

20

22

20

35

28

30

0 10 20 30 40 500

1

2

3

4

5

6

7

N値

深度

砂質土　γ=18kN/m3

図 3.6


31

この結果より，支持力計算に用いる内部摩擦角はφ=37゜とする。上載荷重

fDq 2γ= 0.180.118 =×= kN/m2


eBe BB 2−= =×−= 37.025.2 1.76m 基礎の形状係数(帯状基礎) α=1.0，β=1.0 支持地盤への根入れ深さ Df’ =0m 支持層への根入れ効果に対する割り増し係数

00.144.203.01

'3.01 =×+=+=

e

f

BD

κ

有効載荷面積

eee LBA = =×= 0.176.1 1.76m2/m 荷重の傾斜

23681tan ==

VHθ =0.34

支持力係数 φ=37゜， θtan =0.34 ⇒図 3.1より Nc=25，Nq=19，Nγ=10 支持力係数の寸法効果に対する補正係数

0.1=cS (c=0の場合は 1.0とする)

=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛=

−− 3/13/1

1018

10qSq 0.82

=== −− 3/13/1 76.1eBSγ 0.83

極限支持力

⎭⎬⎫


1

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧ ×××××+×××+×××××= 83.01076.10.118

2182.0190.180.10.12500.10.176.1

= 725kN 安全率

1.3236725

=== VuQ

sF >3.0(常時) O.K

答え支持力係数 tanθ=0.34，Φ=37゜→Nc=25，Nq=19，Nγ=10 有効載荷面積 Be=1.76m，Ae=1.76m :形状係数 α=β=1.0(帯状基礎) 支持層への根入れ効果割り増し係数 κ=1 支持力係数の寸法効果に対する補正係数 Sc=1.0，Sq=0.82，S=0.83 極限支持力 Qu=725kN 安全率 Fs=3.1

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土圧・支持力理論と計算のポイント A B C c a b C c B b A a sin sin sin = = 正弦定理 c C A b B A a sin sin sin sin = = ε 90−ε a c b c b 直角三角形 sin(90