Embed Size (px)
Citation preview
Неопределенный интеграл. Задача 1.
a.) № dxxf )( № dxxf )(
1 dx5
x1
x1x2x2
14 dx1
x2
x1xx3 2
2 dx2
x2
x1xx
333
15 dxx
x5
x1x4
5
5 2
3 dx
31
x2
x1xx3 3 22
16 dx
x1
x1xx3
343 41
4 dx
2x
x1
x5xx3 4
2
17 dx
2x
x2
x1xx
35
5 dx3
x5
x1xx
555 23 2
18 dx
x31
x1
x5xx 2
33
6 dx
x1
x4xx3x2 5 32
19 dx3
x5
x1xx 3
3
7 dx
x8
x1xx22 2
3 51
20 dxx
5x1xx103 3
39
,
8 dx
x50
x7x5x2 2
3
,
21 dx9x1
x1x3x4
523 2
9 dx
x1
x1
x1xx3
3231
22 dx2x
x2
x1x2x3
43
10 dx
x1
x2xx33 3
2
23 dx
x2
x4xxx3 523
11 dx
x3
x1
x1xx
523 4
24 dx7
x1
x1x2x5
3
3 42
12 dx
x35
x1
x5xx 5
5 22
25 dx
91
x4
x6xx
355 24
13 dx
x1
x1xx5 2
3 71
26
б) № dxxf )( № dxxf )(
1 dx
xxx3xx 32
14 dx
xxx1xx
2
3 213
2 dx
xxx5xx 4350
,
15 dxx
xx1xx1
3 22
3 dx
x1xxxx
3
33
16 dx
xxx5xx 4 335
4 dx
xxx1xx 3 2251
,
17 dxx
xxxxx2
3 522
5 dx
xxx1xx 352
18 dx
xxxxxx
1
333
6 dx
xx5x2xx
1
33
19 dxx
x1xxx3
233
7 dx
xxxx1xx 32
20 dx
xx3xxxx
2
452
8 dx
xxxx7xx 3251
,
21 dxx
xx2xx3
3 52
9 dx
x9xxxx
51
53
,
22 dxxx
2xxxx3
333
10 dx
xxxxxx
2
532
23 dxx
8xxxx3
352
11 dx
xxxxxxx 3251
,
24 dxx
xxx3xx1
4343
12 dx
xxx1xx 3 22
25 dx
xx1xxxx2
2
3 254
13 dx
xx4xxxx
2
332
26
Задача 2. № dxxf )( № dxxf )(
1
.12
);25,0
)
;31
);16
)
22
22
xdxd
xdxc
xdxb
xdxa
14
.11,0
);25,03
)
;210
);154
)
22
22
xdxd
xdxc
xdxb
xdxa
2
.53
);25
)
;4
);416
)
22
22
xdxd
xdxc
xdxb
xdxa
15
.82
);125,0
)
;164
);327
)
22
22
xdxd
xdxc
xdxb
xdxa
3
.102
);25,04
)
;56
);153
)
22
22
xdxd
xdxc
xdxb
xdxa
16
.101
);4,06,1
)
;520
);132
)
22
22
xdxd
xdxc
xdxb
xdxa
4
.153
);5,05
)
;425,0
);28
)
22
22
xdxd
xdxc
xdxb
xdxa
17
.182
);35
)
;124
);415
)
22
22
xdxd
xdxc
xdxb
xdxa
5
.52
);5,025,0
)
;49,06
);37
)
22
22
xdxd
xdxc
xdxb
xdxa
18
.275
);185,0
)
;1,010
);22
)
22
22
xdxd
xdxc
xdxb
xdxa
6
.313
);4,09
)
;525
);12
)
22
22
xdxd
xdxc
xdxb
xdxa
19
.217
);5,02
)
;25,0
);327
)
22
22
xdxd
xdxc
xdxb
xdxa
7
.75
);15,025,0
)
;1,08
);27
)
22
22
xdxd
xdxc
xdxb
xdxa
20
.112
);5,02
)
;416
);753
)
22
22
xdxd
xdxc
xdxb
xdxa
№ dxxf )( № dxxf )(
8
.157
);25,02
)
;327
);82
)
22
22
xdxd
xdxc
xdxb
xdxa
21
.52
);15,03
)
;216
);39
)
22
22
xdxd
xdxc
xdxb
xdxa
9
.123
);483
)
;25,04
);455
)
22
22
xdxd
xdxc
xdxb
xdxa
22
.348
);218
)
;324
);122
)
22
22
xdxd
xdxc
xdxb
xdxa
10
.14
);125,05,0
)
;1,01,8
);218
)
22
22
xdxd
xdxc
xdxb
xdxa
23
.179
);25,0
)
;48
);214
)
22
22
xdxd
xdxc
xdxb
xdxa
11
.53
);525
)
;34
);218
)
22
22
xdxd
xdxc
xdxb
xdxa
24
.275
);155
)
;1,010
);51
)
22
22
xdxd
xdxc
xdxb
xdxa
12
.246
);5,02
)
;36
);232
)
22
22
xdxd
xdxc
xdxb
xdxa
25
.104,0
);75,03
)
;232
);164
)
22
22
xdxd
xdxc
xdxb
xdxa
13
.117
);14
)
;5125
);273
)
22
22
xdxd
xdxc
xdxb
xdxa
26
Задача 3. 1 dx53 xx 16
dx
)x3(x3x222
2
2 dx)3tgx( 2 17
dxe1
xe x
2
x
3
dxxsinxcos
x2cos22 18
dx
xcosxcos5
2
3
4
dx1x4x
2
2
19 dxtgxctgx. 2
5
dx2e8e
x
x3
20 dx2e xx3
6
dxxsin
xsin12
3
21
dx
31
21 xx
7
dx)x5(x
5x222
2
22
dxxsinxcos
122
8
dxe3
xe x
x
23
dx1x
x2
2
9
dxx1
x122
2
24
dxx2
x8 3
10 dxtgxctgx 2 25
dx32272
x
x3
11
dx
e12
xx
26
dx)1x(x
x21
12 dx)ctgx32( 2 27 dx2exe xx 13
dx
1xx2
2
28 dx32 x2x3
14
dx1x1x3
29 dxtgx3ctgx2 2
15
dx1e1e
x
x3
30
dxxsin1xcos1
2
2
Задача 4.
№ dxxf )( № dxxf )(
1
.)13,0(
);)17()
;37);15)
;5,01
);510
)
52
3
xdxfdxxe
dxxddxxc
xdxb
xdxa
14
.1025,0
);)25()
;)1();35)
;23
);)5,02(
)
10
5 2
2
xdxfdxxe
dxxddxxc
xdxb
xdxa
2
.125,0
);)53,0()
;)31();49)
;2,03
);)21(
)
5
4 3
32
xdxfdxxe
dxxddxxc
xdxb
xdxa
15
.155,0
);)72()
;)31();2,01)
;)1(
);)25,05(
)
4
5
37
xdxfdxxe
dxxddxxc
xdxb
xdxa
3
.)15,0(
);)23()
;)71();5)
;51
);25,01
)
210
3 2
xdxfdxxe
dxxddxxc
xdxb
xdxa
16
.225,0
);)132()
;91);)17()
;)1,01(
);)43(
)
4
43
5 25
xdxfdxxe
dxxddxxc
xdxb
xdxa
4
.)45(
);)13,0()
;25,01);97)
;101
);5,09
)
35
5
xdxfdxxe
dxxddxxcx
dxbx
dxa
17
.1625,0
);)23,0()
;)76();13)
;1,05
);)52(
)
5
5 2
76
xdxfdxxe
dxxddxxc
xdxb
xdxa
5
.127
);)225,0()
;)5,01();93)
;1,02
);)1710(
)
7
4 7
410
xdxfdxxe
dxxddxxc
xdxb
xdxa
18
.25,021
);)124()
;)101();73)
;51
);)2,01(
)
8
7 6
4
xdxfdxxe
dxxddxxc
xdxb
xdxa
6
.1725,0
);)209()
;2,01);)83()
;)61(
);)5,010(
)
9
35
7 58
xdxfdxxe
dxxddxxc
xdxb
xdxa
19
.25,012
);)215()
;)1();105)
;83
);)3,012(
)
3
3 4
7
xdxfdxxe
dxxddxxc
xdxb
xdxa
7
.)(
);)()
;);)
;,
);)
48
7
19x5dxfdxx213e
dxx137ddx9x3c
x5012dxb
x158dxa
20
.);),()
;),();)
;,
);)(
)
12x7dxfdx2x250e
dxx501ddx9x3c
x102dxb
x1710dxa
7
4 7
410
8
.),(
);)()
;)();,)
;);,
)
94
9 5
1x250dxfdxx313e
dxx21ddxx101c
x61dxb
x5011dxa
21
.),(
);)()
;);)
;,
);)
35
3
1x50dxfdxx913e
dxx317ddx2x6c
x521dxb
x518dxa
9
.,
);)()
;);),()
;)(
);)(
)
x25021dxfdxx1713e
dxx41ddx1x50c
x51dxb
x213dxa
10
75
3 22
22
.,
);)()
;);),()
;)(
);),(
)
x2021dxfdxx711e
dxx1ddx3x250c
x311dxb
x101dxa
7
39
7 38
10
.,
);)()
;)();,)
;,
);)(
)
x1013dxfdxx39e
dxx1ddx1x50c
x2502dxb
x710dxa
5
5 3
42
23
.)(
);)()
;);)
;,
);)
73
8
12x2dxfdxx91e
dxx7ddxx313c
x2501dxb
x518dxa
11
.);)()
;)();,)
;)(
);),(
)
x521dxfdxx139e
dxx71ddxx301c
x52dxb
x501dxa
10
7 4
53
24
.);)()
;)();)
;,
);)(
)
x610dxfdxx27e
dxx2ddx1x5c
x501dxb
x35dxa
6
5 4
33
12
.)(
);)()
;,);)
;,
);)
59
7
x71dxfdxx311e
dxx301ddx1x2c
x401dxb
x713dxa
25
.);)()
;);)()
;)(
);)(
)
x615dxfdxx713e
dxx72ddx1x5c
x32dxb
x27dxa
11
46
5 34
13
.),(
);)()
;);)
;,
);)
25
6
12x50dxfdx1x9e
dxx717ddx5x3c
x25011dxb
x89dxa
26
Задача 5. № dxxf )( № dxxf )(
1
.25,03cos);51sin
)
;3
5sin);5)
2
22
dxxdx
dxc
dxxbdxeax
x
14
.211cos);92cos
)
;7
1sin);2)
2
2
dxxdx
dxc
dxxbdxea xx
2
.78cos);5,03sin
)
;27sin);5,0)
2
65
dxxdx
dxc
dxxbdxeax
x
15
.5,01cos);78cos
)
;5
21sin);2)
2
73
dxxdx
dxc
dxxbdxeax
x
3
.75,08sin);53sin
)
;9
2cos);4)
2
72
9
dxxdx
dxc
dxxbdxeax
x
16
.5,013cos);32sin
)
;13
2sin);1,0)
2
710
dxxdx
dxc
dxxbdxea xx
4
.13cos);8,03cos
)
;5
1sin);9)
2
72
dxxdx
dxc
dxxbdxeax
x
17
.32sin);75,01sin
)
;753cos);3)
2
92
dxxdx
dxc
dxxbdxea xx
5
.5,119sin);133cos
)
;392cos);6)
2
5532
dxxdxdxc
dxxbdxea xx
18
.5,019cos);85sin
)
;3
21sin);7)
2
23
9
dxxdxdxc
dxxbdxeax
x
6
.5,03sin);25sin
)
;15
cos);2)
2
231
dxxdx
dxc
dxxbdxea xx
19
.5,21sin);37cos
)
;325cos);3)
2
221
dxxdx
dxc
dxxbdxea xx
7
.117sin);5,09cos
)
;732cos);2)
2
34
dxxdx
dxc
dxxbdxea xx
20
.516cos);21sin
)
;5
6sin);9)
2
46
dxxdx
dxc
dxxbdxeax
x
№ dxxf )( № dxxf )(
8
.25,09cos);710sin
)
;3
51sin);7)
2
23
dxxdx
dxc
dxxbdxeax
x
21
.911cos);5,19cos
)
;7
5sin);6)
2
225
dxxdx
dxc
dxxbdxea xx
9
.5,25sin);71cos
)
;14
7cos);3)
2
295
dxxdx
dxc
dxxbdxea xx
22
.5,26sin);37sin
)
;45
7cos);8)
2
53
dxxdx
dxc
dxxbdxea xx
10
.25,01cos);139sin
)
;729sin);3,0)
2
725
dxxdxdxc
dxxbdxea xx
23
.92sin);1,010cos
)
;235cos);9)
2
77
dxxdx
dxc
dxxbdxeax
x
11
.4,01cos);72cos
)
;7
32sin);10)
2
10
dxxdx
dxc
dxxbdxea xx
24
.75,02cos);91sin
)
;8
51sin);3)
2
2
dxxdx
dxc
dxxbdxeax
x
12
.5,31sin);73cos
)
;3
29cos);6)
2
252
dxxdx
dxc
dxxbdxea xx
25
13
.25,1cos);6,05cos
)
;541sin);2)
2
325
dxxdx
dxc
dxxbdxea xx
26
Задача 6. № dxxf )( № dxxf )(
1
.cossin);45
)25()
;1);3
)21()
3
2
22
xdxxdxxdxxc
xdxxbxxdxxa
14
.cossin);72
)74()
;2);13
)23()
2
232
xdxxdxxdxxc
dxxxbxxdxxa
2
.cossin);1
)24()
;4);22
)1()
3
5 2
3 2
2
xdxxdxxdxxc
xdxxbxx
dxxa
15
.362
)23();)21()
;cos);1ln)
23 2
sin
xxdxxd
xxdxxc
xdxebx
dxxa x
3
.sin1
cos);1
)
;32);323
)31()
3 3
2
22
xxdxd
xdxxc
xdxxbxxdxxa
16
.53
);)
;53);sin23
cos)
4
3
2
xdxxd
xdxec
dxxxbx
dxxa
x
4
.cossin);
34)2()
;);23)5,12()
32
2
2
xxdxd
xxdxxc
xdxebxxdxxa x
17
.ln
);sin
cos)
;1);3
)32()
3
43 55 2
xxdxd
xdxxc
dxxxbxxdxxa
5
.cossin);345
)410()
;1);33
)23()
2
2
452
xdxxdxxdxxc
dxxxbxxdxxa
18
.cossin1);ln2)
;cos
);173
)5,1() 22
xdxxdx
dxxc
dxx
ebxx
dxxatgx
6
.cossin);11
)21()
;sin);)5ln2()
5 2
2
cos
xdxxdxxdxxc
xdxebx
dxxa x
19
.ln2);cos)1(
)
;53);2
3)
2
3 2
dxx
xdxtgx
dxc
xdxxbxdxa
x
7
.1
);21
)
;);2sin)sin1()
45 2
22 3
xxdxd
xdxxc
dxxebdxxxa x
20
.ln
);cos
sin)
;1);31
)32()
5
25 32
xxdxd
xdxxc
dxxxbxxdxxa
8
.ln);sin)(
)
;);)()
dxx
xdxctgx2
dxc
xdx8x3b3x14x
dxx7a
5
2
22
21
.cossin);)()
;);sin
)
xdxxdx2x2
dx1x2c
x1xdxb
xea
3
2
42
ctgx
9
.ln);cossin)
;);)
dxx
x2dxdx3x3c
dxe2e3b1x
xdxa xx4
22
.sincos);)(
)()
;ln
);)
xdxxdxx
dx1x2c
x1xdxb
x1ea
372
2
arctgx
10
.sincos);)()
;sin);)(ln) cos
xdxxdx2x
dxx1c
xdx25bx
dx9xa
52
x2
23
.)(ln);cos)(
)
;);)
dxxxd
xtgx23dxc
dxxx51bx2dxea
3
2
25 3x2
11
.ln
);)
;);cos
)sin()
35 3
2
xx
xxdxd
x21dxxc
dxe3ebx3x
dxx1a
24
.);cos
sin)
;);)()
dxe3ed3x5
dxxc
dxx1xb7x2x3
dxx31a
xx
232
12
.);sin)
;);)sin(
cos)
4
3
232
x37dxxd
x2dxxc
dxxx3bx3
dxxa
25
.ln);cos)(
)
;);)
dxx
x34dxxtg1
dxc
dxxx42bxdx5a
22
23 3x
13
.)sin(
cos);)
;);)()
27 3
2
22
x1xdxd
x1dxxc
xdx1xb1x2x3
dxx31a
26
Задача 7. № dxxf )( № dxxf )(
1 .);)ln() dxexbdx2xa x2
15 .sin);) xdx2ebdxarcctgxxa x
2 .ln);) dxxbdxxea 2x2 16 .);)ln() dxexbdxx25a x1
3 .ln);)sin() dxxxbdx1xxa 2
17 .sin);arcsin) xdxebdxxxa x1
4 .)ln();)cos() dx1xbdxx1xa 2
18 .cos);)() dxexbdxx5arctga 1x
5 .);) dxxebdxx2arctga x
19 .)();)(ln) dxex2bdx2xa x2
6 .sin);arccos) dxxxbdx3xa
20 .cos);ln) dxe
3x2bdxxxa x3
7 .)();arcsin) dxe1xbdxxa x
21 .)();arcsin) dxex1bdxx2xa x2
8 .cos);arccos) dxxxbdxxa 22 .ln);cos) dxxxbdxx3xa 3
9 .)1();
2) 2 dxexbdxxarcctga x
23 .cos);)() dxe
2xbdxx1arcctga x
10 .);),ln() dxexbdxx501a x2 24 .)();)ln() dxex1bdxx21a x2
11 .)();) dxex1bdxarctgxxa x
25
12
.ln);sin)() dx2
x75bdxx1xa
26
13 .sin);ln) dxexbdxxxa x
27
14 .)();arccos) dxe1x2bdxxxa x 28
Задача 8.
№ dxxf )(
№ dxxf )(
1
.);)22 xx32
dxb1x4x2
dxa
15
.);)22 x2x42
dxb5x3x
dxa
2
.);)22 x2x67
dxb5x3x
dxa
16
.);)22 xx68
dxb8x6x3
dxa
3
.);)
22 xx55dxb
2x5x2dxa
17
.);)
22 xx95dxb
3x7x2dxa
4
.);)
22 x2x48dxb
8x6xdxa
18
.);)
22 xx79dxb
3x9x3dxa
5
.);)
22 x3x39dxb
4x7xdxa
19
.69
);682
)22 xx
dxbxx
dxa
6
.);)22 xx31
dxb1x4x2
dxa
20
.);)22 x2x41
dxb1x4x
dxa
7
.);)
22 x2x82dxb
1x3xdxa
21
.);)
22 xx47dxb
6x9x3dxa
8
.);)
22 x2x43dxb
2x9xdxa
22
.);)
22 xx1dxb
8x4x2dxa
9
.);)
22 xx2dxb
1x7x2dxa
23
.);)
22 x2x21dxb
1x3xdxa
10
.);)
22 x3x61dxb
1xxdxa
24
.);)
22 xx41dxb
1x3x3dxa
11
.);)
22 xx5dxb
2xx2dxa
25
.);)
22 x2x71dxb
1x5xdxa
12
.);)
22 x2x31dxb
3x3xdxa
26
13
.);)
22 xx33dxb
2x5x3dxa
27
14
.);)
22 x2x73dxb
2x4xdxa
28
Задача 9.
№ dxxf )(
№ dxxf )(
1
.)();)() 22 x2x48dx7x5b
8x6xdxx32a
15
.)();)() 22 x2x43dxx57b
2x9xdx2x3a
2
.)();)() 22 x3x39dxx21b
4x7xdx3x4a
16
.)();)() 22 xx55dx2x2b
2x5x2dxx43a
3
.)();)() 22 xx31dx4x9b
1x4x2dxx37a
17
.)();)() 22 x2x67dxx94b
5x3xdx7x4a
4
.)();)() 22 xx2dxx72b
1x7x2dx5x5a
18
.)();)() 22 x2x42dx3x7b
5x3xdx1xa
5
.)();)() 22 x3x61dx3x7b
1xxdxx34a
19
.);)() 22 xx68dxx2b
8x6x3dx5x3a
6
.)();)() 22 xx5dx3xb
2xx2dxx62a
20
.)();) 22 xx95
dxx63b3x7x2
dxx8a
7
.)();)() 22 x2x31dxx37b
3x3xdx1x9a
21
.)();)() 22 xx79dx7x3b
3x9x3dxx71a
8
.)();)() 22 xx33dx1x2b
2x5x3dxx83a
22
.)();)() 22 xx69dx3x3b
6x8x2dx3x7a
9
.)();)() 22 x2x73dxx3b
2x4xdx5x5a
23
.)();) 22 x2x41
dx4xb1x4x
dxx5a
10
.)();)() 22 x2x82dxx94b
1x3xdx3x3a
24
.)();)() 22 xx47dx4x9b
6x9x3dx3x3a
11
.)();)() 22 xx1dxx31b
8x4x2dx7x2a
25
.)();)() 22 xx32dx1x3b
1x4x2dxx27a
12
.)();) 22 x2x21
dx1x4b1x3x
dxx7a
26
.)();) 22 xx32
dxx41b2x4x
dxx4a
13
.);)() 22 xx41dxx4b
1x3x3dx9x3a
27
14
.)();,) 22 x2x71
dx7x7b1x5x
dxx51a
28
Задача 10. Даны комплексные числа ibaz 111 , ibaz 222 и ibaz 333 .
а). Найти значение выражения 2
321
zzzz . Представить результат в показательной и
тригонометрической форме. Изобразить на комплексной плоскости с указанием аргумента. б). Найти все значения 3
1z , изобразить результаты на комплексной плоскости. в). Найти все значения 3
2z . Результат записать в алгебраической, показательной и тригонометрической форме. Изобразить на комплексной плоскости.
z1 z2 z3 Вариант a1 b1 a2 b2 a3 b3 1 -3 -1 -2 2 2 -4 2 6 -4 -5 -3 6 1 3 -6 -5 1 -7 -6 6 4 -7 1 -1 -4 6 -2 5 0 2 -2 -3 3 3 6 -5 -5 -2 -7 -6 3 7 -3 -7 3 -1 5 -7 8 -3 -6 -2 5 5 -5 9 3 6 2 1 2 -7
10 -7 1 3 4 4 -3 11 1 1 -3 2 -2 4 12 4 -2 5 0 -6 3 13 -4 1 2 -6 -2 -2 14 1 5 -1 -3 -6 -5 15 6 -1 6 0 -3 -1 16 -1 0 2 1 3 6 17 3 -7 6 1 1 0 18 4 0 3 -2 -1 4 19 -7 -3 -1 1 5 -4 20 0 -4 -2 -5 6 4 21 5 5 2 5 6 -1 22 -3 -1 -5 5 4 -3 23 0 2 4 -3 -7 -1 24 5 -4 1 0 0 4 25 2 5 -2 4 -6 5 26 0 3 -6 -4 3 -3 27 3 5 6 2 -5 2 28 3 0 3 2 6 0 29 4 -6 -2 -4 -6 2 30 -1 5 -2 1 -7 5 31 2 5 -3 1 0 4
Задача 11. Найти все корни уравнения. Результаты изобразить на комплексной плоскости.
Вариант Вариант 1 04z2z 24 16 04z2z 24 2 01z2z 24 17 01z2z 24 3 02z2z 24 18 02z2z 24 4 08z9z 36 19 08z9z 36 5 04z32z 24 20 04z32z 24 6 018z6z 24 21 018z6z 24 7 016z4z 24 22 016z4z 24 8 02z2z 24 23 02z2z 24 9 012z6z 24 24 01zz 24
10 01z2z 24 25 11 01z34z 24 26 12 08z7z 36 27 13 01z3z 24 28 14 08z4z 24 29 15 01z2z2 24 30
Задача 12. № dxxf )( № dxxf )(
1
dxxxx
xx128
123
2
15 dxxxx
xx1
8623
2
2 dxxxx
xx36152
123
2
16 dxxxx
xx7135
10323
2
3 dx
xxxxx
5117231
23
2
17 dxxxxxx
27932123
2
4 dxxxx
xx254
1223
2
18 dxxxx
xx485
2623
2
5 dxxxx
xx9157
3223
2
19 dxxxx
xx9157
5623
2
6 dxxxx
xx6116
10323
2
20 dxxxx
xx14194
1623
2
7 dxxxx
xx22
1223
2
21 dxxxx
xx652
5323
2
8 dxxxxx67
213
2
22 dxxxx
xx652
4932
2
9 dxxxxxx
5529
23
2
23 dxxxx
xx12112
7332
2
10 dxxxx
xx10132
1523
2
24 dxxxx
x44
4232
2
11 dx
xxxxx
710185
23
2
25 dxxxxxx
2793523
23
2
12 dxxxx
xx77
8323
2
26 dxxxxx
13415
3
2
13 dxxxx
xx99
73223
2
27 dxxxx
xx153
13223
2
14 dxxxx
xx842
7423
2
28 dxxxx
xx7135
1223
2
Задача 13.
№ dxxf )( № dxxf )(
1
dxxxxxxx
11244
22
23
15
dxxxxxxx
2232820244
22
23
2
dxxxxxxx
121772
22
23
16 dxxxxxxx
112332
22
23
3
dxxxxxxx
221234
22
23
17 dxxxx
xx11
122
3
4
dxxxxxx11
124222
23
18 dxxxx
xx11
322
2
5
dxxxxxxx
221696
22
23
19 dxxxx
xx11
43422
2
6
dxxxxxxx
3221016112
22
23
20 dxxxxxxx
222643
22
23
7
dxxxxxx
211563
22
23
21 dxxxx
xx11
1222
2
8
dxxxxxx
3321219
22
23
22 dxxxx
xx11
122
23
9
dxxxxxx
42886
22
23
23 dxxxx
xx11
122
3
10
dxxxxxx
424125
22
23
24 dxxxx
xx11
12222
3
11
dxxxxxxx
541121642
22
23
25 dxxxxxxx
1112
22
23
12
dx
xxxxxx
12113133
22
23
26
13
dxxxxxxx
11102
22
23
27
14
dxxxxx
91463
22
3
28
Задача 14.
№ dxxf )(
№ dxxf )(
1
dxxx 5cos2sin
15 dxxx2
3cos5
cos
2 dxxx 3cos7sin
16 dxxx 5cossin
3 dxxx 5sin3sin
17 dxxx 2cos3sin
4 dxxx 7cos5cos
18 dxxx 4sin5sin
5 dxxx 5sin2
sin
19
dxxx 4sin5sin
6 dxxx 3cos5
sin
20 dxxx 3sin2
3sin
7 dxxx 7sin3
2cos
21 dxxx 4cos5
2sin
8 dxxx cos7
cos
22 dxxx 5sin3
cos
9 dxxx53cossin
23 dxxx 2cos7
3cos
10 dxxx5
cos2cos
24 dxxx 3sin5
cos
11 dxxx3
sin3sin
25 dxxx5
2cos3cos
12 dxxx3
2sin5cos
26 dxxx3
5sin2sin
13 dxxx3
sin2
sin
27 dxxx3
5sin3cos
14 dxxx5
cos3
2sin
28 dxxx5
sin2
3sin
Задача 15. № dxxf )( № dxxf )(
1 .
25sin);cos) 24 dxxbdxxa
15
.)31(sin);
215cos) 22 dxxbdxxa
2 .
32cos);sin) 24 dxxbdxxa
16
.)12(sin);
553cos) 22 dxxbdxxa
3
.
521sin);
2cos) 24 dxxbdxxa
17
.
53cos);
4sin) 24 dxxbdxxa
4
.
35cos);
2sin) 24 dxxbdxxa
18 .
3sin);)1(cos) 24 dxxbdxxa
5
.
231sin);
21cos) 22 dxxbdxxa
19 .
52cos);)1(sin) 24 dxxbdxxa
6
.
353cos);
35sin) 22 dxxbdxxa
20
.
31cos);
5sin) 24 dxxbdxxa
7
.)14(cos);
31sin) 22 dxxbdxxa
21
.
731sin);
31cos) 22 dxxbdxxa
8
.3cos);
31sin) 42 dxxbdxxa
22
.)3(cos);
51sin) 22 dxxbdxxa
9
.3sin);
521cos) 42 dxxbdxxa
23 .
7sin);4cos) 24 dxxbdxxa
10
.)23(cos);
25sin) 22 dxxbdxxa
24
.
532sin);2
2cos) 22 dxxbdxxa
11
.)32(sin);3
4cos) 22 dxxbdxxa
25 .
5cos);)1(sin) 42 dxxbdxxa
12
.2cos);7
32sin) 42 dxxbdxxa
26
13
.2sin);
325cos) 42 dxxbdxxa
27
14
.
23sin);
4cos) 24 dxxbdxxa
28
Задача 16.
1 xcos3xsin25dx 16
xsin4xcos3dx
22
2 xcos2xsin45dx 17
xcos5xsin4dx
22
3 x3xdx
cossin 18
xsin2xcos7dx
22
4 xsin5xcos35dx 19
xsin1dx
2
5 xsin10xcos5dx 20
2xcos3dx2
6 xsinxcos23dx 21 xcos53
dx
7 xcos51dx 22 3xcos3xsin2
dx
8 6xcos2xsindx 23 xsin45
dx
9 xcos2xdxcos 24 xcos48
dx
10 xcosxsin3dx 25 xcos4xsin3
dx
11 xcos7xsin48dx 26
xcos3xsin5dx
22
12 xcosxsin3dx 27
3xcos2dx2
13 xcos35dx 28 xx21
dxcossin
14 xcos31
dx2
29 xcos3xsin7dx
15 x2dxsin
30 xcos3xsin42dx
Задача 17.
1
3 2xx
dx 16 4x)1x(
dx
2
dx
xx
x3 2
17
dx3x2x
3
dx
1x
x4 3
18
3xdx
4
xx
dx3 2
19 )3x(x
dx
5 3x2
dx 20
dxxx
x1
6 3x
xdx 21
5x3dx
7 3x
dxx2
22 1x2)2x(
dx
8 4x2
xdx 23 3x
dxx2
9
dx1x
x3
24 7xx
dx
10
dx2xx
1x 25
x)3x2(xdx
11
dx1xxx4
26
3 1x1xxdx
12 dx
x
)1x)(1x(6 5
3
27
dx1X31X 2
13
dx)x1(xxxx
3
63 2
28 3 x5
xdx
14
dxx21x21
29 5x4
dxx2
15
dxx1
x3
6
30 2x
dxx3
Задача 18.
1 dxx4 2 16 dxx4x 22 2
2
32 )x9(
dx 17 dx2x2x2
3
23
2
2
)5x(
dxx 18
3x2xxdx
2
4
32 )xx1(
dx 19
dxx
x1 2
5
32 )x5(
dx 20
dxx
4x2
6
dxx
4x3
2
21
dxx
x14
2
7
dxx
x42
2
22
dx
x9x2
8
2x1)1x(
dx 23 dx1x2x4x 2
9
dxx
x12
2
24 dxx4x48 2
10
32 )x5(
xdx 25
32 )x1(
dx
11 dxx3x64 2 26
2x1x
dx
12 dx1x6xx 2 27
2
2
x9
dxx
13 2x48x12x
dx 28 dxxx2
14 2x420x16x
dx 29 dx7x6x2
15 dx13x8x4x 2 30 dx)1xx( 2
32
Определенный интеграл.
Результаты решения задач №№ 1-12 представить в виде десятичной дроби с двумя знаками после запятой.
Задача 1. Вычислить определенный интеграл а).
№ dxxf )( № dxxf )( № dxxf )( № dxxf )(
1
2
1
2 1 dxx
xx
7
3
2
23 dxxx
13
1
2
25 dxxx
19
2
12
11 dxxx
2
1
1
32 dxxxx
8
1
2
231 dxxx 14
1
3
23 dxxx
20
3
2
3 1 dxxx
3
2
1
323 dxx
9
2
1
31 dxx
15
2
1
33 dxx
21
1
2
2 5 dxxx
4
2
14
2 15 dxx
x
10
1
2
312 dxx
16
2
2
323 dxxxx
22
2
2
23 dxxx
5
1
1
2 1 dxxx
11
2
1
332 dxx
17
3
2
13 dxx
x
23
3
1
3 1 dxxx
6
25
9
1 dxx
x
12
3
1
23 dxxx
18
4
1
11 dxx
x
24
2
3
32 dxx
б)
№ dxxf )(
№ dxxf )(
№ dxxf )(
№ dxxf )( 1
4
6
2sincos
dxxx
7
4
3
4
2cos
dxx
13
6
3
4
3cos
dxx
19
4
6
2 2cos
dxx
2
3
2
sin2
sin
dxxx
8
3
4
4
2sin
dxx
14
0
6
sin2sin
xdxx
20 4
6
2 3cos
dxx
3
4
0
cos3cos
dxxx
9
0
3
sin5sin
xdxx
15 2
3 2coscos
dxxx
21
2
3
2
2sin
2cos
dxxx
4
6
8
4sin2sin
dxxx
10
0
6
2 3sin
dxx
16 2
4
4sin2sin
xdxx
22 2
3
sin2
sin
dxxx
5
6
0
4cos
dxx
11
4
6
4cos
dxx
17 4
0
5coscos
xdxx
23 4
6
2coscos
dxxx
6
4
6
4sin
dxx
12 3
6
4
3sin
dxx
18
6
4
2 2sin
dxx
24 4
0
sin3sin
dxxx
Задача 2. Вычислить определенный интеграл а).
№ dxxf )( № dxxf )( № dxxf )( № dxxf )(
1 2
0
sin cos
dxxe x
7 4
0
2cossin
dxxx 13
2
1
2 dxx
19 6,0
2,0 2xdx
2
4
1
2 2 dxx
xxx
8 e
xdxx2
1
ln 14
1
041 x
dxx
20
4
0 21 xdx
3
5
0 31 xdx
9
2
0
2 cossin
dxxx
15 e
xdxx
1
3ln
21 1
0
2
dxxe x
4
3
2
5 dxx
10
1
021 x
dx
16 3
02cos
xdxtgx
22
4
12
22 dxx
xxx
5
2
1
5 1dxx
11 e
xdxx
1
2ln
17
1
1
2
dxxe x
23 5,0
1,0 xdx
6
4
0
cossin
dxxx
12 4
02
2
cos
xdxxtg
18
5
0 31 xdxx
24
3
1
3 2 dxx
б).
№ dxxf )( № dxxf )( № dxxf )( № dxxf )(
1
2
1
2 dxex x
7 1
0
2)1( dxx x 13
3
1
dxarctgx
19 2
4
2 sin
dxxx
2
e
e
dxx2
ln
8
2
1
sin)32( dxxx 14
2
1
cos dxxex
20
2
1
2 cos dxxx
3
1
1
dxarctgxx
9 8,0
0
arccos dxx
15
4
6
2cos
dxxx
21
1
1
dxarctgx
4
1
0
sin2 dxxx
10 1
0
)1ln( dxx
16 9
33log dxxx
22
100
10
lg dxx
5
2
3
2sin
dxxx
11
2
1
2 dxex x
17 2
1
)1( dxex x
23 2
1
dxarctgxx
6
e
dxxx1
ln
12 8
42log dxx
18
3
2
cos)31( dxxx
24 8,0
6.0
arcsin dxx
Задача 3. Вычислить площадь фигуры, ограниченной заданными линиями.
1. Кривой xy 3 , прямыми y = - 2, x = 0, x = 3.
2. Параболами 1xy 2 , 2x21y , прямой y = 5.
3. Кривой xy = 6, прямой x + y – 7 = 0. 4. Кривой xlny , осью ОХ и прямыми x = 2, x = 8. 5. Кривой xcosy , осью ОХ и прямой y = x + 1. 6. Параболами x2xy 2 , 2x4y . 7. Параболой 2xx2y , прямой y = - x. 8. Кривой x2y , параболой 2xx2y , прямыми x = 0, x = 2. 9. Параболами 2y4x , y2yx 2 . 10. Параболами 21xy , 1xy 2 . 11. Кривыми xsiny , xcosy , прямой x = 0.
12. Параболой 2y21x , прямыми x = 0, y = - 2, y = 3.
13. Кривой 32xy , прямой y = 4x – 8. 14. Параболой 2xy , прямой x + y + 2 =0. 15. Окружностью 16yx 22 , параболой x6y 2 (меньшую из площадей). 16. Окружностью 16yx 22 , параболой 4y4x2 . 17. Параболами 21xy , 1xy 2 . 18. Параболами 3xx2y 2 , 3x4xy 2 . 19. Параболой 1xy 2 , прямыми x = 3, y = 0, x = 0. 20. Кривыми xey , xey , прямой y = 2. 21. Параболами y2x2 , 2xx3y . 22. Кривой 32yx , прямой x = 4y - 8. 23. Параболами 2y2x , 2y31x . 24. Параболой x2xy 2 , прямой y - 3 = 0. 25. Параболами 2xy4 , x4y 2 .
Задача 4. Вычислить площадь, ограниченную прямыми. Сделать чертеж
№ Уравнения № Уравнения № Уравнения
1 3x – y + 8 = 0
3x + 2y + 2 = 0 3x + 5y +14 = 0
9
5x – y – 9 = 0 x – 2 = 0
13x – y – 33 = 0
17
8x – 3y – 45 = 0 x – 5y – 1 = 0
7x + 2y – 7 = 0
2 x + 11y + 38 = 0 4x – 11y – 13 =
0 x – 6 = 0
10
3x – 10y + 31 = 0 7x + y – 25 = 0
4x + 11y + 17 = 0
18
2x – y – 8 = 0 3x + 2y – 5 = 0
4x + 5y – 16 = 0
3
2x + 7y + 47 = 0 13x + 7y + 36 =
0 x + 6 = 0
11
x + 4y – 5 = 0 2x – y + 8 = 0
x + y – 2 = 0
19
2x – 3y + 5 = 0 5x + 6y –1 = 0
x + 12y + 43 = 0
4
5x + 6y + 29 = 0 2x – 7y – 26 = 0 3x + 13y + 8 = 0
12
2x – y – 10 = 0 3x + 11 y – 15 = 0
x + 2y = 0
20
x – 2y – 8 = 0 9x – 8y – 22 = 0 4x – 3y – 12 = 0
5 5x – 2y + 4 = 0 6x – 5y –3 = 0 x – 3y + 6 = 0
13
7x + 6y + 22 = 0 x + y + 4 = 0
3x + 2y + 10 = 0
21
y – 5 = 0 3x + 2y – 16 = 0
6x + y – 35 = 0
6 2x + 3y + 25 = 0 5x + 2y + 24 = 0
8x + y + 45 = 0
14
4x – y + 1= 0 2x –5y – 13 = 0
10x – 7y + 25 = 0
22
3x + y + 10 = 0 8x + 9y – 5 = 0
2x + 7y + 13 = 0
7 x – y – 4 = 0
3x + y – 8 = 0 y + 7 = 0
15
x + 12y + 6 = 0 x + 3y + 6 = 0
y + 1 = 0
23
5x + 4y – 8 = 0 2x + 11y + 25 = 0
3x – 7y + 14 = 0
8 x + y – 3 = 0
10x + 7y – 15 = 0
11x + 8y – 15 = 0
16
x – 3y + 1 = 0 5x – y – 9 = 0
3x – 2y + 3 = 0
24
x + y – 1 = 0 4x + y – 4 = 0
8x + 5y – 20 = 0
Задача 5. Построить на чертеже в полярных координатах кривую r = r ( ) и вычислить площадь, ограниченную этой кривой
№
r = r ( )
№
r = r ( )
№
r = r ( )
№
r = r ( )
1 3sinr 7 7sinr 13 5.0sinr 19 2sin1r 2 4cosr 8 7cosr 14 cos1r 20 2cos3r 3 3cosr 9 2cosr 15 sin1r 21 3sin1r 4 4sinr 10 2sinr 16 cos1r 22 sin2r 5 5sinr 11 9sinr 17 2sin1r 23 cos2r 6 5cosr 12 9cosr 18 sin2r 24 cossin r
Задача 6. Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями, заданными уравнениями в
полярных координатах. № Уравнения кривых 1 cosr , cos2r 2 3r,cos13r (вне окружности) 3 cos32r , sin2r 4 sinr , sin2r 5 2sin3r , 2r (вне окружности) 6 3r,2cos4r (внутри окружности) 7 cos2r,cos12r (внутри окружности) 8 2r,3cos4r (вне окружности) 9 2cosr , 5,0r (вне окружности)
10 3cosr , 5,0r (внутри окружности) 11 cos2r,cos12r (вне окружности) 12 1r,4cos4r (вне окружности) 13 cosr , sinr 14 3r,cos13r (внутри окружности) 15 cos3r , sinr 16 2r,3sin4r (вне окружности) 17 3sinr , 5,0r (вне окружности) 18 5,0r,4sinr (внутри окружности) 19 4r , 2cosr 20 cos2r , sin32r 21 3r,3sin6r (вне окружности) 22 cos2r , cos3r 23 3r,3cos6r (вне окружности) 24 1r,6cos2r (внутри окружности) 25 5,0r,6sinr (вне окружности)
Задача 7. Вычислить объем тела, образованного вращением фигуры, ограниченных указанными
линиями. № Уравнения кривых 1 0y,2x,xlny вокруг оси ОХ 2 0y,6x5xy 2 вокруг оси ОХ 3
0x,9y
8x 22
вокруг оси ОY
4 0y,,0xsiny вокруг оси ОХ 5 0x,x4y 2 вокруг оси ОY 6
0y,9y
16x 22
вокруг оси ОX
7 4x,4x,4yx 22 вокруг оси ОХ 8 1y,0x,xy 3 вокруг оси ОY 9
4x,2x,4y4x 2
2
вокруг оси ОХ
10 2x,2x,4yx 22 вокруг оси ОY 11 2x,1xy 32 вокруг оси ОХ 12 0y,4x,1x,4xy вокруг оси ОХ 13 0x,4xy 32 вокруг оси ОY 14 0y,1x,yx 2 вокруг оси ОХ 15 0x,2y,1y,4xy вокруг оси ОY 16 0y,1x,0x,ey x вокруг оси ОХ 17 0y,2x,xy 3 вокруг оси ОX 18 0x,4xy 32 вокруг оси ОХ 19 2y,0x,1x2xy 2 вокруг оси ОX 20 0y,2x,1x,2xy вокруг оси ОX 21 2y,0x,1yx вокруг оси ОY 22 3y,3y,4yx 22 вокруг оси ОY 23 0y,xx4y 2 вокруг оси ОX 24 0x,yy4x 2 вокруг оси OY 25 0y,
2x,xsiny 2
вокруг оси ОX
Задача 8. Вычислить объем тела, образованного вращением фигуры, ограниченной линиями.
№ Уравнения кривых 1 0y,2x,x y 2 вокруг оси ОY 2 0y,2x,xlny вокруг оси ОY 3 ,0,xsiny,xsin3y вокруг оси ОX 4 0y,2x,1xy 2 вокруг оси ОY 5 0x0x,xcosy,xcos5y вокруг оси ОX 6 03y2x2,xy2 2 вокруг оси ОX 7 yx,x8y 22 вокруг оси ОY 8 x2y,xsiny
вокруг оси ОX
9 1y,1xy 2 вокруг оси ОY 10 xy,xy 3 вокруг оси ОX 11 2xy,xx2y 2 вокруг оси ОX 12 0yx4x2,0yxx2 22 вокруг оси ОX 13 2x,1y,xy 2 вокруг оси ОX 14 2
2 x2
9y,xcosy
вокруг оси ОX
15 x23y,1yx 222 вокруг оси ОX
16 23 xy,xy вокруг оси OY 17 0y,2x,1x,4xy вокруг оси ОY 18 0x,x2y,xx2y 2 вокруг оси ОX 19 1y,1x,2yx 3 вокруг оси ОX 20 x8y,8yx 222 (вне параболы) вокруг оси ОX 21
2y,2x22xy
2
вокруг оси ОY
22 01yx,xy 2 вокруг оси ОX 23 0y,x2y,2x2y 32 вокруг оси ОX 24 1x,ey,ey xx вокруг оси ОX 25 0x,1ey,1ey xx вокруг оси ОX
Задача 9. Вычислить длину дуги кривой.
№ Уравнение кривой 1 32 xy от точки О(0, 0) до М( 55,5 ) 2 16yx 22 3 xlny от 3x до 15x 4 2x
21y от 0x до 1x
5 32 1xy от 0y до 6y 6 32 x2
94y , отсеченной прямой 1x
7 323232 2yx (астроида) 8 y4x2 , между точками пересечения с осью ОХ 9 xey от 0x до 1x
10 xy от точки О(0, 0) до В(4, 8) 11 x4y 2 от вершины до точки М (1, 2) 12 32 1xy , отсеченной прямой 4x 13 x9y 2 , между точками пересечения с осью ОY 14 xlny от 3x до 8x 15 2xy2 2 , между точками пересечения с осью ОХ 16 2yx от 0y до 1y 17 32 xy , отсеченной прямой
34x
18 1
2xy
2
, отсеченной осью ОХ
19 xx ee21y от 0x до 3lnx
20 9yx 22 21 32 1yx , отсеченной прямой 4y 22 32 x34y9 , между точками пересечения с осью ОY 23 32 xy от 0x до 1x 24 2x16y , между точками пересечения с осью ОХ 25 x16y 2 , между точками пересечения с осью ОY
Задача 10. Вычислить длину дуги кривой.
№ Уравнение кривой 1 Одной арки циклоиды tcos19y,tsint9x 2 sin4 (окружность) 3 cos12 4 tsin2y,tcos2x 33 (астроида) 5 cos12 6 Первого завитка спирали Архимеда 5 7 tsin4y,tcos4x (окружность) 8 cos4 (окружность) 9 cos1
10 4t2y,
6tx
46
(между точками пересечения с осями координат)
11 tcos13y,tsint3x (одной арки циклоиды) 12 sin5 13 Двух витков спирали Архимеда 4 14 3t
3ty,tx 22 (между точками пересечения с осью ОХ)
15 cos15 16 tsin3y,tcos3x 33 17 cos6 18 tsin2y,tcos2x 19 sin2 20 cos15 21 tsin5y,tcos5x 33 22 cos17 23 tsin6y,tcos6x 24 cos2 25 tcos12y,tsint2x
Задача 11. Вычислить несобственные интегралы или доказать их расходимость.
а).
№ dxxf )( № dxxf )( № dxxf )( № dxxf )(
1
04 1x16
xdx
7
0 4 52x16
xdx
13
02 5x4x4
xdx
19
1
2 5lnx4xdx7
2
14 1x16xdx16
8
02 1x4x
xdx 14
0 3 42 1x4x
dx2x
20
3122 x3arctgx91
dx
3
04
3
1x16dxx
9
12 5x4x
dx
15
02
2
dx4x
x3
21
2 2
2xarctgx4
dx
4
14 1x16
xdx
10
12 5x4x
xdx
16
02 dx
x41x2arctg2
22
12 3lnx2x
dx
5
0
32 4x
xdx
11
02 dx
x41x2arctg
17
12 xln1x
dx4
23
0
x3 xdxe
6
0 3 43
2
8x
dxx
12
212 5x4x4
dx16
18
0
xdxsinx
24 dxx1
x1x
x0
23
2
б)
№ dxxf )(
№ dxxf )(
№ dxxf )(
№ dxxf )( 1
1
03 x42
dx
7
1
212 x1lnx1dx2ln
13
1
435 x43
dx
19
2
132 3ln1x
xdx
2
3
12 9x6x
dx
8 dxx32
x32ln32
0
3
14
2
02
tgx
dxxcos
e
20
31
02 2x9x9
dx
3
31
12
3
dxx
x1e
9
1
04x1
xdx
15
1
02
xarcsin21
dxx1
e2
21 2
0
3
xcosxdxsin3
4
1
03 3x3
dx
10
6
06 5
dxx3sin1
x3cos
16
2
15 2 4xx4
dx
22
3
03 2
3
x9xdx9
5
1
31
dx1x31x3ln
11
1
04x1
xdx2
17
27 2 xcos
xdxsin
23
1
03 5
4
x1dxx
6
1
412 1x9x20dx
12
0
313 x31
dx
18
0
43 3x4dx
24
2
06
2
x64dxx
Задача 12. Вычислить приближенно данные интегралы по формуле трапеций (четные варианты), Симпсона (нечетные варианты) с числом узлов n = 10. Найти
погрешность вычисления, сравнив с точным значением интеграла.
№ dxxf )( № dxxf )( № dxxf )( № dxxf )(
1
2
1 1x6dx
7
4
12 9xdx
13 dxx2cos
4
0
2
19
4
22 5,0x2dx
2
3
12 1x2dx
8
2
12 25,0x
dx
14 dxx2tg2
4
20
5
3 x32dx
3
3
12x416
dx
9
3
22x41
dx
15
3
2 4x3dx
21 dxx3sin
4
0
2
4
2
12x4
dx
10
4
1 x54dx
16
5
3 5x2dx
22 dx1x2cos
2
4
5
4
22x25
dx
11
4
12 3x2
dx
17
4
12 16xdx
23
3
1
dx3x5
6
3
12 2x3
dx
12
4
3 1x4dx
18
3
22x91
dx
24 9
1
dx5x6
![Question 3 R1 x2 p1 2 1 2ˇ Z - warwick.ac.uk · Question 3 p.d.f. integrates to 1 ) R 1 1 p1 2ˇ e x 2 2 dx= 1 ) Z 1 1 e x 2 2 dx= p 2ˇ: E[X] = Z 1 1 x 1 p 2ˇ e x 2 2 dx = 1 p](https://img.pdfslide.tips/doc/110x75/5f01f4fb7e708231d401de16/question-3-r1-x2-p1-2-1-2-z-question-3-pdf-integrates-to-1-r-1-1-p1-2.jpg)
