Ю.П. Федоренко

ПОВНІ РОЗВ’ЯЗКИ ЗА ПІДРУЧНИКОМ«АЛГЕБРА. 7 КЛАС»

(автор Істер О.С.)

Посібник для тренування

ТЕРНОПІЛЬНАВЧАЛЬНА КНИГА — БОГДАН

УДК 512.1(075.3)ББК 22.1я72 Ф33

Охороняється законом про авторське право. Жодна частина цього видання не може бути відтворена в будь-якому вигляді без дозволу автора чи видавництва

ISBN 978-966-10-4283-3 © Навчальна книга – Богдан, 2015

Федоренко Ю.П.Ф33 Повні розв’язки за підручником «Алгебра. 7 клас» (автор Іс-

тер О.С.) / Ю.П. Федоренко. — Тернопіль: Навчальна книга – Бог-дан, 2015. — 256 с.

ISBN 978-966-10-4283-3

У посібнику містяться повні й вичерпні зразки розв’язання всіх зав дань і вправ підручника з алгебри 7 класу (О.С. Істер. Алгебра: підручник для 7 класу загальноосвітніх навчальних закладів. — К.: Генеза, 2015).

Посібник адресовано, в першу чергу, батькам для надання допо-моги їхнім дітям та контролю за виконанням домашніх робіт. Буде корисним учителям 7-х класів.

УДК 512.1(075.3) ББК 22.1я72

РОЗДІЛ 1

ЦІЛІ ВИРАЗИ

§1. Вирази зі змінними. Цілі раціональні вирази. Числове значення виразу

1. 1), 3) — вирази зі змінними; 2), 4) — числові вирази.2. 1), 3) — цілі вирази; 2), 4) — дробові вирази.

3. Числові вирази: 2) (2 – 15) ⋅ 4; 7) 9 511- .

Вирази зі змінними: 1) 5 + с; 3) a mp+ ; 4) q2 – 19; 5) 7 + a

5; 6) 1

4ab;

8) a bc

2 2

2- .

Цілі раціональні вирази: 1) 5 + с; 4) q2 – 19; 5) 7 + a5; 6) 1

4ab.

Дробові раціональні вирази: 3) a mp+ ; 8) a b

c

2 2

2- .

5. 1) а2 + 7а; a-918

; 2) х2 – у2; 29xyx+.

6. 1) х2 – 3х; x +29

; 43x -; 2) 2a + 3b; 7ab2; a b

a b+−

.

7. Вирази 4 : (12 – 2· 6) і 1715 5 3+ ⋅ −( )

не мають змісту, оскільки на нуль

ділити не можна.8. 1) 5х – 3.

Якщо х = 1,8, то 5х – 3 = 5 ⋅ 1,8 – 3 = 9 – 3 = 6;

якщо х = 215

, то 5х – 3 = 5 ⋅ 215

– 3 = 11 – 3 = 8.

Навчальне виданняФЕДОРЕНКО Юрій Петрович

ПОВНІ РОЗВ’ЯЗКИ ЗА ПІДРУЧНИКОМ «АЛГЕБРА. 7 КЛАС» (автор Істер О.С.)

Головний редактор Богдан БуднийРедактор Володимир Дячун

Підписано до друку 19.08.2015. Формат 60×84/16. Папір офсетний. Гарнітура Century Schoolbook. Друк офсетний.

Умовн. друк. арк. 14,88. Умовн. фарбо-відб. 14,88. Видавництво «Навчальна книга – Богдан»

Свідоцтво про внесення суб’єкта видавничої справи до Державного реєстру видавців, виготівників і розповсюджувачів видавничої продукції

ДК № 4221 від 07.12.2011 р.

Навчальна книга – Богдан, просп. С. Бандери, 34а, м. Тернопіль, 46002Навчальна книга – Богдан, а/с 529, м. Тернопіль, 46008

тел./факс (0352)52-06-07; 52-19-66; 52-05-48 office@bohdan-books.com www.bohdan-books.com

УДК 512.1(075.3)ББК 22.1я72 Ф33

Охороняється законом про авторське право. Жодна частина цього видання не може бути відтворена в будь-якому вигляді без дозволу автора чи видавництва

ISBN 978-966-10-4283-3 © Навчальна книга – Богдан, 2015

Федоренко Ю.П.Ф33 Повні розв’язки за підручником «Алгебра. 7 клас» (автор Іс-

тер О.С.) / Ю.П. Федоренко. — Тернопіль: Навчальна книга – Бог-дан, 2015. — 256 с.

ISBN 978-966-10-4283-3

У посібнику містяться повні й вичерпні зразки розв’язання всіх зав дань і вправ підручника з алгебри 7 класу (О.С. Істер. Алгебра: підручник для 7 класу загальноосвітніх навчальних закладів. — К.: Генеза, 2015).

Посібник адресовано, в першу чергу, батькам для надання допо-моги їхнім дітям та контролю за виконанням домашніх робіт. Буде корисним учителям 7-х класів.

УДК 512.1(075.3) ББК 22.1я72

РОЗДІЛ 1

ЦІЛІ ВИРАЗИ

§1. Вирази зі змінними. Цілі раціональні вирази. Числове значення виразу

1. 1), 3) — вирази зі змінними; 2), 4) — числові вирази.2. 1), 3) — цілі вирази; 2), 4) — дробові вирази.

3. Числові вирази: 2) (2 – 15) ⋅ 4; 7) 9 511- .

Вирази зі змінними: 1) 5 + с; 3) a mp+ ; 4) q2 – 19; 5) 7 + a

5; 6) 1

4ab;

8) a bc

2 2

2- .

Цілі раціональні вирази: 1) 5 + с; 4) q2 – 19; 5) 7 + a5; 6) 1

4ab.

Дробові раціональні вирази: 3) a mp+ ; 8) a b

c

2 2

2- .

5. 1) а2 + 7а; a-918

; 2) х2 – у2; 29xyx+.

6. 1) х2 – 3х; x +29

; 43x -; 2) 2a + 3b; 7ab2; a b

a b+−

.

7. Вирази 4 : (12 – 2· 6) і 1715 5 3+ ⋅ −( )

не мають змісту, оскільки на нуль

ділити не можна.8. 1) 5х – 3.

Якщо х = 1,8, то 5х – 3 = 5 ⋅ 1,8 – 3 = 9 – 3 = 6;

якщо х = 215

, то 5х – 3 = 5 ⋅ 215

– 3 = 11 – 3 = 8.

Навчальне виданняФЕДОРЕНКО Юрій Петрович

ПОВНІ РОЗВ’ЯЗКИ ЗА ПІДРУЧНИКОМ «АЛГЕБРА. 7 КЛАС» (автор Істер О.С.)

Головний редактор Богдан БуднийРедактор Володимир Дячун

Підписано до друку 19.08.2015. Формат 60×84/16. Папір офсетний. Гарнітура Century Schoolbook. Друк офсетний.

Умовн. друк. арк. 14,88. Умовн. фарбо-відб. 14,88. Видавництво «Навчальна книга – Богдан»

Свідоцтво про внесення суб’єкта видавничої справи до Державного реєстру видавців, виготівників і розповсюджувачів видавничої продукції

ДК № 4221 від 07.12.2011 р.

Навчальна книга – Богдан, просп. С. Бандери, 34а, м. Тернопіль, 46002Навчальна книга – Богдан, а/с 529, м. Тернопіль, 46008

тел./факс (0352)52-06-07; 52-19-66; 52-05-48 office@bohdan-books.com www.bohdan-books.com

4 Розділ 1. Цілі вирази §1. Вирази зі змінними. Цілі раціональні вирази. Числове значення виразу 5

2) а2 + 3а.Якщо а = –1, то а2 + 3а = (–1)2 + 3 ⋅ (–1) = 1 – 3 = –2;якщо а = 0,8, то а2 + 3а = 0,82 + 3 ⋅ 0,8 = 0,64 + 2,4 = 3,04.

9. 1) 5т + 2п.

Якщо т = –1,3, п = 212

, то 5т + 2п = 5 ⋅ (–1,3) + 2 ⋅ 212

= –6,5 + 5 = –1,5.

2) a(2b – c).Якщо а = 1,5; b = 3,2; с = –1,4, то a(2b – c) = 1,5 ⋅ (2 ⋅ 3,2 – (–1,4)) = = 1,5 ⋅ 7,8 = 11,7.

10. 1) b2 – 4b.Якщо b = –2, то b2 – 4b = (–2)2 – 4 ⋅ (–2) = 4 + 8 = 12;якщо b = 0,5, то b2 – 4b = 0,52 – 4 ⋅ 0,5 = 0,25 – 2 = –1,75.2) х2 – у2.Якщо х = 5; у = –3, то х2 – у2 = 52 – (–3)2 = 25 – 9 = 16;якщо х = 0,1; у = 0,2, то х2 – у2 = 0,12 – 0,22 = 0,01 – 0,04 = –0,03.

11. 1) b + с; 2) 5т· n3; 3) (a + 9p)2; 4) (3d)2 – (7r)2.

12. 1) р – 7; 2) a cd+ ; 3) а + тп.

13. 1) т 2 3 –1 0 –2п 1 2 0 –5 –3

2т – 3п 1 0 –2 15 52) х –1 0 1 2

х2 + 2 3 2 3 6х2 + 2х –1 0 3 8

14. х –2 –1 0 1 2х2 – 4х 12 5 0 –3 –4Букви О А В М С

5 –3 12 –4 12 0А М О С О В

15. 1) а = 0; b = –2.Тоді a + b = 0 + (–2) = –2; ab = 0 ⋅ (–2) = 0; a + b < ab.2) а = –3; b = 2.Тоді a + b = –3 + 2 = –1; ab = –3 ⋅ 2 = –6; a + b > ab.

16. 8х + 4у.17. 1) Площа прямокутника;

2) периметр прямокутника;3) сума двох довжин прямокутника;4) у скільки разів довжина більша за ширину.

18. 1) Скільки коштують олівець і ручка разом;2) скільки разом коштують 3 ручки і 4 олівці;3) на скільки ручка дорожча за олівець;4) у скільки разів ручка дорожча за олівець.

19. 45а + 15b + 10c.Якщо а = 6, b = 2, c = 3, то 45а + 15b + 10c = 45 ⋅ 6 + 15 ⋅ 2 + 10 ⋅ 3 = = 330 (хв) = 5 год 30 хв.

20. 10х + 25у + 50z.Якщо х = 8, у = 5, z = 20, то 10х + 25у + 50z = 10 ⋅ 8 + 25 ⋅ 5 + 50 ⋅ 20 = = 1130 (к.) = 11 грн 30 к.

21. 5а – 8 = –13; 5а = –13 + 8; 5а = –5; а = –1.Відповідь. –1.

22. 3х – 4 = –2х + 7; 3х + 2х = 7 + 4; 5х = 11; х = 11 : 5; х = 2,2.Відповідь. 2,2.

23. 1) 9k, де k — ціле число;2) 5k + 1, де k — ціле число.

24. a – b = 2,25.1) 4(a – b) = 4 ⋅ 2,25 = 9;2) b – a = –(a – b) = –2,25;

3) 1 12 25

1 214

1 94

1 49

49b a−

=−

=− =− =− ⋅ =−,

: : ;

4) 34

3 2 254 2 25

34

( )( )

,( , )

.a bb a−−

=⋅⋅ −

=−

Відповідь. 1) 9; 2) –2,25; 3) – 49

; 4) – 34

.

25. c – d = 47

.

1) 7(c – d) = 7 ⋅ 47

= 4;

2) d – c = –(c – d) = – 47

;

3) 1 147

1 47

74

1 34d c−

=−= −

=− =−: ;

4) 54

5 47

4 47

54

( )( )

.d cc d−−

=⋅ −

⋅=−

4 Розділ 1. Цілі вирази §1. Вирази зі змінними. Цілі раціональні вирази. Числове значення виразу 5

2) а2 + 3а.Якщо а = –1, то а2 + 3а = (–1)2 + 3 ⋅ (–1) = 1 – 3 = –2;якщо а = 0,8, то а2 + 3а = 0,82 + 3 ⋅ 0,8 = 0,64 + 2,4 = 3,04.

9. 1) 5т + 2п.

Якщо т = –1,3, п = 212

, то 5т + 2п = 5 ⋅ (–1,3) + 2 ⋅ 212

= –6,5 + 5 = –1,5.

2) a(2b – c).Якщо а = 1,5; b = 3,2; с = –1,4, то a(2b – c) = 1,5 ⋅ (2 ⋅ 3,2 – (–1,4)) = = 1,5 ⋅ 7,8 = 11,7.

10. 1) b2 – 4b.Якщо b = –2, то b2 – 4b = (–2)2 – 4 ⋅ (–2) = 4 + 8 = 12;якщо b = 0,5, то b2 – 4b = 0,52 – 4 ⋅ 0,5 = 0,25 – 2 = –1,75.2) х2 – у2.Якщо х = 5; у = –3, то х2 – у2 = 52 – (–3)2 = 25 – 9 = 16;якщо х = 0,1; у = 0,2, то х2 – у2 = 0,12 – 0,22 = 0,01 – 0,04 = –0,03.

11. 1) b + с; 2) 5т· n3; 3) (a + 9p)2; 4) (3d)2 – (7r)2.

12. 1) р – 7; 2) a cd+ ; 3) а + тп.

13. 1) т 2 3 –1 0 –2п 1 2 0 –5 –3

2т – 3п 1 0 –2 15 52) х –1 0 1 2

х2 + 2 3 2 3 6х2 + 2х –1 0 3 8

14. х –2 –1 0 1 2х2 – 4х 12 5 0 –3 –4Букви О А В М С

5 –3 12 –4 12 0А М О С О В

15. 1) а = 0; b = –2.Тоді a + b = 0 + (–2) = –2; ab = 0 ⋅ (–2) = 0; a + b < ab.2) а = –3; b = 2.Тоді a + b = –3 + 2 = –1; ab = –3 ⋅ 2 = –6; a + b > ab.

16. 8х + 4у.17. 1) Площа прямокутника;

2) периметр прямокутника;3) сума двох довжин прямокутника;4) у скільки разів довжина більша за ширину.

18. 1) Скільки коштують олівець і ручка разом;2) скільки разом коштують 3 ручки і 4 олівці;3) на скільки ручка дорожча за олівець;4) у скільки разів ручка дорожча за олівець.

19. 45а + 15b + 10c.Якщо а = 6, b = 2, c = 3, то 45а + 15b + 10c = 45 ⋅ 6 + 15 ⋅ 2 + 10 ⋅ 3 = = 330 (хв) = 5 год 30 хв.

20. 10х + 25у + 50z.Якщо х = 8, у = 5, z = 20, то 10х + 25у + 50z = 10 ⋅ 8 + 25 ⋅ 5 + 50 ⋅ 20 = = 1130 (к.) = 11 грн 30 к.

21. 5а – 8 = –13; 5а = –13 + 8; 5а = –5; а = –1.Відповідь. –1.

22. 3х – 4 = –2х + 7; 3х + 2х = 7 + 4; 5х = 11; х = 11 : 5; х = 2,2.Відповідь. 2,2.

23. 1) 9k, де k — ціле число;2) 5k + 1, де k — ціле число.

24. a – b = 2,25.1) 4(a – b) = 4 ⋅ 2,25 = 9;2) b – a = –(a – b) = –2,25;

3) 1 12 25

1 214

1 94

1 49

49b a−

=−

=− =− =− ⋅ =−,

: : ;

4) 34

3 2 254 2 25

34

( )( )

,( , )

.a bb a−−

=⋅⋅ −

=−

Відповідь. 1) 9; 2) –2,25; 3) – 49

; 4) – 34

.

25. c – d = 47

.

1) 7(c – d) = 7 ⋅ 47

= 4;

2) d – c = –(c – d) = – 47

;

3) 1 147

1 47

74

1 34d c−

=−= −

=− =−: ;

4) 54

5 47

4 47

54

( )( )

.d cc d−−

=⋅ −

⋅=−

6 Розділ 1. Цілі вирази §2. Тотожні вирази. Тотожність. Тотожне перетворення виразу. Доведення тотожностей 7

26. 1) x2 – y2;2) ab – mn;3) І спосіб: S = d2 – (d – a)(d – b);IІ спосіб: S = ad + (d – a)b;ІII спосіб: S = bd + (d – b)a.

27. 1) 132 = 13 ⋅ 13 = 169;2) 73 = 7 ⋅ 7 ⋅ 7 = 343;3) (–2,1)2 = –2,1 ⋅ (–2,1) = 4,41;4) (–1,1)3 = –1,1 ⋅ (–1,1) ⋅ (–1,1) = –1,331;

5) 35

3535

925

2 = ⋅ = ;

6) −

= −

⋅ −

= −11

5115

115

65

2

⋅ − = =65

3625

11125;

7) −

= −

⋅ −

⋅ −

11

3113

113

113

3

= −⋅ −⋅ − =− =−

43

43

43

6427

21027;;

8) 0,23 = 0,2 ⋅ 0,2 ⋅ 0,2 = 0,008.28. 1) Число 1322 закінчується цифрою 4;

2) число 2713 закінчується цифрою 1;3) число 20172 закінчується цифрою 9;4) число 13152 закінчується цифрою 5, число 1153 також закінчується цифрою 5. Тому число 13152 – 1153 закінчується цифрою 0.

29. Швидкість катера за течією 26 + 2 = 28 (км/год), а проти течії — 26 – 2 = 24 (км/год).Нехай відстань між пристанями дорівнює S км. Тоді за течією катер

проходить цю відстань за S28

год, а проти течії — за S24

год. За умовою

S S24 28

12

− = .

Домножимо обидві частини рівняння на 168. Маємо:16824

16828

1682

⋅−

⋅=

S S ; 7S – 6S = 84; S = 84 (км).

Відповідь. 84 км.30. 1) − ≥x x . Якщо х = 0, то –х = 0; |x| = 0 і тому − ≥x x — виконується.

2) Якщо х ≥ 0, то |x| = x, тому х > |x| — не виконується.

Якщо х < 0, то |x| > 0, тому х > |x| — не виконується.Значення х, при якому х > |x|, — не існує.Відповідь. 1) Так; 2) ні.

§2. Тотожні вирази. Тотожність. Тотожне пере-творення виразу. Доведення тотожностей

31. 1), 2), 4), 6) Так; 3), 5) ні.32. 1), 3), 5) Так; 2), 4), 6) ні.33. 1), 3) Ні; 2) так.34. 1) 2(а – 1) = 2а – 2; 2) 7(3b + 2) = 21b + 14;

3) –(b – 3) = –b + 3 = 3 – b; 4) –(–5 + 4y) = 5 – 4y.35. 1) –(a – 4) = –a + 4 = 4 – a; 2) 3(x + 1) = 3x + 3;

3) 5(1 – 4m) = 5 – 20m; 4) –(–2p + 7) = 2p – 7.36. 1) 2x – x = x; 2) –3m + 5m = 2m;

3) –2y – 3y = –5y; 4) p – 7p = –6p.37. 2a + 3a = 5a. Вирази, що тотожні цьому виразу, такі: а + а + 2а + а;

а + 4а; 7а – 2а; 9а – а – 3а тощо.38. 1) –2,5х ⋅ 4 = –10х; 2) 4р ⋅ (–1,5) = –6р;

3) 0,2х· (–0,3р) = –0,06хр; 4) − ⋅ − =17

7x y xy( ) .

39. 1) –2р ⋅ 3,5 = –7р; 2) 7а ⋅ (–1,2) = –8,4а;

3) 0,2х ⋅ (–0,3у) = –0,06ху; 4) − ⋅ − =113

3 4m n mn( ) .

40. 1) 2х – 9 + 5х = 7х – 9; 2) 7a – 3b + 2a + 3b = 9a;3) –2x ⋅ 3 = –6x; 4) –4a ⋅ (–2b) = 8ab.

41. 1) 5b – 8a + 4b – a = 9b – 9a; 2) 17 – 2p + 3p + 19 = p + 36;3) 1,8a + 1,9b + 2,8a – 2,9b = 4,6a – b;4) 5 – 7c + 1,9р + 6,9с – 1,7р = 5 + 0,2р – 0,1с.

42. 1) 4(5х – 7) + 3х + 13 = 20х – 20 + 3х + 13 = 23х – 7;2) 2(7 – 9а) – (4 – 18а) = 14 – 18а – 4 + 18а = 10;3) 3(2р – 7) – 2(р – 3) = 6р – 21 – 2р + 6 = 4р – 15;4) –(3т – 5) + 2(3т – 7) = –3т + 5 + 6т – 14 = 3т – 9.

43. 1) 3(8а – 4) + 6а = 24а – 12 + 6а = 30а – 12;2) 7р – 2(3р – 1) = 7р – 6р + 2 = р + 2;3) 2(3х – 8) – 5(2х + 7) = 6х – 16 – 10х – 35 = –4х – 51;4) 3(5т – 7) – (15т – 2) = 15т – 21 – 15т + 2 = –19.

44. 1) 0,6х + 0,4(х – 20) = 0,6х + 0,4х – 8 = х – 8.Якщо х = 2,4, то х – 8 = 2,4 – 8 = –5,6.2) 1,3(2а – 1) – 16,4 = 2,6а – 1,3 – 16,4 = 2,6а – 17,7.Якщо а = 10, то 2,6а – 17,7 = 2,6 ⋅ 10 – 17,7 = 26 – 17,7 = 8,3.

a

d

d

b

6 Розділ 1. Цілі вирази §2. Тотожні вирази. Тотожність. Тотожне перетворення виразу. Доведення тотожностей 7

26. 1) x2 – y2;2) ab – mn;3) І спосіб: S = d2 – (d – a)(d – b);IІ спосіб: S = ad + (d – a)b;ІII спосіб: S = bd + (d – b)a.

27. 1) 132 = 13 ⋅ 13 = 169;2) 73 = 7 ⋅ 7 ⋅ 7 = 343;3) (–2,1)2 = –2,1 ⋅ (–2,1) = 4,41;4) (–1,1)3 = –1,1 ⋅ (–1,1) ⋅ (–1,1) = –1,331;

5) 35

3535

925

2 = ⋅ = ;

6) −

= −

⋅ −

= −11

5115

115

65

2

⋅ − = =65

3625

11125;

7) −

= −

⋅ −

⋅ −

11

3113

113

113

3

= −⋅ −⋅ − =− =−

43

43

43

6427

21027;;

8) 0,23 = 0,2 ⋅ 0,2 ⋅ 0,2 = 0,008.28. 1) Число 1322 закінчується цифрою 4;

2) число 2713 закінчується цифрою 1;3) число 20172 закінчується цифрою 9;4) число 13152 закінчується цифрою 5, число 1153 також закінчується цифрою 5. Тому число 13152 – 1153 закінчується цифрою 0.

29. Швидкість катера за течією 26 + 2 = 28 (км/год), а проти течії — 26 – 2 = 24 (км/год).Нехай відстань між пристанями дорівнює S км. Тоді за течією катер

проходить цю відстань за S28

год, а проти течії — за S24

год. За умовою

S S24 28

12

− = .

Домножимо обидві частини рівняння на 168. Маємо:16824

16828

1682

⋅−

⋅=

S S ; 7S – 6S = 84; S = 84 (км).

Відповідь. 84 км.30. 1) − ≥x x . Якщо х = 0, то –х = 0; |x| = 0 і тому − ≥x x — виконується.

2) Якщо х ≥ 0, то |x| = x, тому х > |x| — не виконується.

Якщо х < 0, то |x| > 0, тому х > |x| — не виконується.Значення х, при якому х > |x|, — не існує.Відповідь. 1) Так; 2) ні.

§2. Тотожні вирази. Тотожність. Тотожне пере-творення виразу. Доведення тотожностей

31. 1), 2), 4), 6) Так; 3), 5) ні.32. 1), 3), 5) Так; 2), 4), 6) ні.33. 1), 3) Ні; 2) так.34. 1) 2(а – 1) = 2а – 2; 2) 7(3b + 2) = 21b + 14;

3) –(b – 3) = –b + 3 = 3 – b; 4) –(–5 + 4y) = 5 – 4y.35. 1) –(a – 4) = –a + 4 = 4 – a; 2) 3(x + 1) = 3x + 3;

3) 5(1 – 4m) = 5 – 20m; 4) –(–2p + 7) = 2p – 7.36. 1) 2x – x = x; 2) –3m + 5m = 2m;

3) –2y – 3y = –5y; 4) p – 7p = –6p.37. 2a + 3a = 5a. Вирази, що тотожні цьому виразу, такі: а + а + 2а + а;

а + 4а; 7а – 2а; 9а – а – 3а тощо.38. 1) –2,5х ⋅ 4 = –10х; 2) 4р ⋅ (–1,5) = –6р;

3) 0,2х· (–0,3р) = –0,06хр; 4) − ⋅ − =17

7x y xy( ) .

39. 1) –2р ⋅ 3,5 = –7р; 2) 7а ⋅ (–1,2) = –8,4а;

3) 0,2х ⋅ (–0,3у) = –0,06ху; 4) − ⋅ − =113

3 4m n mn( ) .

40. 1) 2х – 9 + 5х = 7х – 9; 2) 7a – 3b + 2a + 3b = 9a;3) –2x ⋅ 3 = –6x; 4) –4a ⋅ (–2b) = 8ab.

41. 1) 5b – 8a + 4b – a = 9b – 9a; 2) 17 – 2p + 3p + 19 = p + 36;3) 1,8a + 1,9b + 2,8a – 2,9b = 4,6a – b;4) 5 – 7c + 1,9р + 6,9с – 1,7р = 5 + 0,2р – 0,1с.

42. 1) 4(5х – 7) + 3х + 13 = 20х – 20 + 3х + 13 = 23х – 7;2) 2(7 – 9а) – (4 – 18а) = 14 – 18а – 4 + 18а = 10;3) 3(2р – 7) – 2(р – 3) = 6р – 21 – 2р + 6 = 4р – 15;4) –(3т – 5) + 2(3т – 7) = –3т + 5 + 6т – 14 = 3т – 9.

43. 1) 3(8а – 4) + 6а = 24а – 12 + 6а = 30а – 12;2) 7р – 2(3р – 1) = 7р – 6р + 2 = р + 2;3) 2(3х – 8) – 5(2х + 7) = 6х – 16 – 10х – 35 = –4х – 51;4) 3(5т – 7) – (15т – 2) = 15т – 21 – 15т + 2 = –19.

44. 1) 0,6х + 0,4(х – 20) = 0,6х + 0,4х – 8 = х – 8.Якщо х = 2,4, то х – 8 = 2,4 – 8 = –5,6.2) 1,3(2а – 1) – 16,4 = 2,6а – 1,3 – 16,4 = 2,6а – 17,7.Якщо а = 10, то 2,6а – 17,7 = 2,6 ⋅ 10 – 17,7 = 26 – 17,7 = 8,3.

a

d

d

b

8 Розділ 1. Цілі вирази §2. Тотожні вирази. Тотожність. Тотожне перетворення виразу. Доведення тотожностей 9

3) 1,2(т – 5) – 1,8(10 – т) = 1,2т – 6 – 18 + 1,8т = 3т – 24.Якщо т = –3,7, то 3т – 24 = 3 ⋅ (–3,7) – 24 = –35,1.4) 2х – 3(х + у) + 4у = 2х – 3х – 3у + 4у = у – х.Якщо х = –1, у = 1, то у – х = 1 – (–1) = 2.

45. 1) 0,7х + 0,3(х – 4) = 0,7х + 0,3х – 1,2 = х – 1,2.Якщо х = –0,7, то х – 1,2 = –0,7 – 1,2 = –1,9.2) 1,7(у – 11) – 16,3 =1,7у – 18,7 – 16,3 = 1,7у – 35.Якщо у = 20, то 1,7у – 35 = 1,7 ⋅ 20 – 35 = –1.3) 0,6(2а – 14) – 0,4(5а – 1) = 1,2а – 8,4 – 2а + 0,4 = –0,8а – 8.Якщо а = –1, то –0,8а – 8 = –0,8 ⋅ (–1) – 8 = 0,8 – 8 = –7,2.4) 5(т – п) – 4т + 7п = 5т – 5п – 4т + 7п = т + 2п.Якщо т = 1,8; п = –0,9, то т + 2п = 1,8 + 2 ⋅ (–0,9) = 0.

46. 1) –(2х – у) = –2х + у = у – 2х, що й треба було довести;2) 2(x – 1) – 2x = 2x – 2 – 2x = –2, що й треба було довести;3) 2(x – 3) + 3(x + 2) = 2x – 6 + 3x + 6 = 5x, що й треба було довести;4) 5(c + 2) – 4(c + 3) = 5c + 10 – 4c – 12 = c – 2, що й треба було довести.

47. 1) –(т – 3п) = –т + 3п = 3п – т, що й треба було довести;2) 7(2 – р) + 7р = 14 – 7р + 7р = 14, що й треба було довести;3) 3(а – 4) + 2(а + 6) = 3а – 12 + 2а + 12 = 5а, що й треба було довести;4) 4(т – 3) + 3(т + 3) = 4т – 12 + 3т + 9 = 7т – 3, що й треба було довести.

48. Р = а + (а + 2) + (а + 2) = а + а + 2 + а + 2 = 3а + 4.Відповідь. 3а + 4.

49. Р = 2(х + х + 3) = 2х + 2х + 6 = 4х + 6.Відповідь. 4х + 6.

50. 1) х – (х – (2х – 3)) = х – (х – 2х + 3) = х – х + 2х – 3 = 2х – 3;2) 5т – ((п – т) – 3п) = 5т – (п – т + 3п) = 5т – п + т – 3п = 6т – 4п;3) 4р – (3р – (2р – (р + 1))) = 4р – (3р – 2р + (р + 1)) = 4р – (р + р + 1) = = 4р – 2р + 1 = 2р – 1;4) 5х – (2х – ((у – х) – 2у)) = 5х – (2х – у + х + 2у) = 5х – 2х + у – х – 2у = = 2х – у;

5) 236 3

8211

4 18

33a b a b−

− −

= 4 1

434

6a b a b− − + = 314

5 34

a b+ ;

6) − − + −292 7 1 5 5

62 0 48( , , ) ( , )m n n m = − + + −0 6 1

31 23

0 4, ,m n n m = 2п – т.

51. 1) a – (a – (3a – 1)) = a – a + (3a – 1) = 3a – 1;2) 12m – ((a – m) + 12a) = 12т – а + т – 12а = 13т – 13а;3) 5у – (6у – (7у – (8у – 1))) = 5у – (6у – 7у + 8у – 1) = 5у – 6у + 7у – 8у + + 1 = 1 – 2у;

4) 472 1 2 8 4

5112

114

( , , )a b a b− − −

= 1,2а – 1,6b – 11

5a + b = –0,6b.

52. 1) 10x – (–(5x + 20)) = 10x + 5x + 20 = 15x + 20; 5(3x + 4) = 15x + 20.Тому 10x – (–(5x + 20)) = 5(3x + 4), що й треба було довести.2) –(–3р) – (–(8 – 5р)) = 3р + 8 – 5р = 8 – 2р = 2(4 – р), що й треба було довести;3) 3(a – b – c) + 5(a – b) + 3c = 3a – 3b – 3c + 5a – 5b + 3c = 8a – 8b = = 8(a – b), що й треба було довести.

53. 1) 12а – (–(8а – 16)) = 12а + 8а – 16 = 20а – 16;–4(4 – 5а) = –16 + 20а = 20а – 16.Тому 12а – (–(8а – 16)) = 20а – 16 = –4(4 – 5а), що й треба було довести.2) 4(x + y – t) + 5(x – t) – 4y = 4x + 4y – 4t + 5x – 5t – 4y = 9x – 9t = 9(x – t), що й треба було довести.

54. 1,8(т – 2) + 1,4(2 – т) + 0,2(1,7 – 2т) = 1,8т – 3,6 + 2,8 – 1,4т + 0,34 – – 0,4т = –0,46. Значення виразу не залежить від значення змінної, що й треба було довести.

55. а – (а – (5а + 2)) – 5(а – 8) = а – а + (5а + 2) – 5а + 40 = 5а + 2 – 5а + 40 = 42. При будь-якому значенні змінної значення виразу є числом 42, що й треба було довести.

56. Нехай 2п — перше з послідовних парних чисел, де п — ціле число, тоді 2п + 2 — друге, а 2п + 4 — третє. Маємо: 2п + (2п + 2) + (2п + 4) = 2п + 2п + 2 + 2п + 4 = 6п + 6 = 6(п + 1).п + 1 — ціле число, тому 6(п + 1) — ділиться на 6. А отже, і 2п + (2п + + 2) + (2п + 4)ділиться на 6, що й треба було довести.

57. –2(2,5п – 7) + 213

(3п – 6) = –5п + 14 + 7п – 14 = 2п. Оскільки п — на-

туральне число, то 2п — парне число. Отже, якщо п — натуральне число, то значення виразу, заданого в умові, є парним числом, що й треба було довести.

58. 1,6 ⋅ 0,15 = 0,24 (кг).Відповідь. 0,24 кг.

59. 1) 20202

⋅ 100% = 5%; 2) 20203

⋅ 100% = 0,25%.

60. Вид руху v, км/год t, год S, кмПішки х 2 2х

56 кмНа велосипеді х + 12 3 3(х + 12)

1) 2х + 3(х + 12) = 56;2х + 3х + 36 = 56;5х = 56 – 36;5х = 20;х = 4 (км/год) — пішки.2) 4 + 12 = 16 (км/год) — на велосипеді.Відповідь. 16 км/год.

8 Розділ 1. Цілі вирази §2. Тотожні вирази. Тотожність. Тотожне перетворення виразу. Доведення тотожностей 9

3) 1,2(т – 5) – 1,8(10 – т) = 1,2т – 6 – 18 + 1,8т = 3т – 24.Якщо т = –3,7, то 3т – 24 = 3 ⋅ (–3,7) – 24 = –35,1.4) 2х – 3(х + у) + 4у = 2х – 3х – 3у + 4у = у – х.Якщо х = –1, у = 1, то у – х = 1 – (–1) = 2.

45. 1) 0,7х + 0,3(х – 4) = 0,7х + 0,3х – 1,2 = х – 1,2.Якщо х = –0,7, то х – 1,2 = –0,7 – 1,2 = –1,9.2) 1,7(у – 11) – 16,3 =1,7у – 18,7 – 16,3 = 1,7у – 35.Якщо у = 20, то 1,7у – 35 = 1,7 ⋅ 20 – 35 = –1.3) 0,6(2а – 14) – 0,4(5а – 1) = 1,2а – 8,4 – 2а + 0,4 = –0,8а – 8.Якщо а = –1, то –0,8а – 8 = –0,8 ⋅ (–1) – 8 = 0,8 – 8 = –7,2.4) 5(т – п) – 4т + 7п = 5т – 5п – 4т + 7п = т + 2п.Якщо т = 1,8; п = –0,9, то т + 2п = 1,8 + 2 ⋅ (–0,9) = 0.

46. 1) –(2х – у) = –2х + у = у – 2х, що й треба було довести;2) 2(x – 1) – 2x = 2x – 2 – 2x = –2, що й треба було довести;3) 2(x – 3) + 3(x + 2) = 2x – 6 + 3x + 6 = 5x, що й треба було довести;4) 5(c + 2) – 4(c + 3) = 5c + 10 – 4c – 12 = c – 2, що й треба було довести.

47. 1) –(т – 3п) = –т + 3п = 3п – т, що й треба було довести;2) 7(2 – р) + 7р = 14 – 7р + 7р = 14, що й треба було довести;3) 3(а – 4) + 2(а + 6) = 3а – 12 + 2а + 12 = 5а, що й треба було довести;4) 4(т – 3) + 3(т + 3) = 4т – 12 + 3т + 9 = 7т – 3, що й треба було довести.

48. Р = а + (а + 2) + (а + 2) = а + а + 2 + а + 2 = 3а + 4.Відповідь. 3а + 4.

49. Р = 2(х + х + 3) = 2х + 2х + 6 = 4х + 6.Відповідь. 4х + 6.

50. 1) х – (х – (2х – 3)) = х – (х – 2х + 3) = х – х + 2х – 3 = 2х – 3;2) 5т – ((п – т) – 3п) = 5т – (п – т + 3п) = 5т – п + т – 3п = 6т – 4п;3) 4р – (3р – (2р – (р + 1))) = 4р – (3р – 2р + (р + 1)) = 4р – (р + р + 1) = = 4р – 2р + 1 = 2р – 1;4) 5х – (2х – ((у – х) – 2у)) = 5х – (2х – у + х + 2у) = 5х – 2х + у – х – 2у = = 2х – у;

5) 236 3

8211

4 18

33a b a b−

− −

= 4 1

434

6a b a b− − + = 314

5 34

a b+ ;

6) − − + −292 7 1 5 5

62 0 48( , , ) ( , )m n n m = − + + −0 6 1

31 23

0 4, ,m n n m = 2п – т.

51. 1) a – (a – (3a – 1)) = a – a + (3a – 1) = 3a – 1;2) 12m – ((a – m) + 12a) = 12т – а + т – 12а = 13т – 13а;3) 5у – (6у – (7у – (8у – 1))) = 5у – (6у – 7у + 8у – 1) = 5у – 6у + 7у – 8у + + 1 = 1 – 2у;

4) 472 1 2 8 4

5112

114

( , , )a b a b− − −

= 1,2а – 1,6b – 11

5a + b = –0,6b.

52. 1) 10x – (–(5x + 20)) = 10x + 5x + 20 = 15x + 20; 5(3x + 4) = 15x + 20.Тому 10x – (–(5x + 20)) = 5(3x + 4), що й треба було довести.2) –(–3р) – (–(8 – 5р)) = 3р + 8 – 5р = 8 – 2р = 2(4 – р), що й треба було довести;3) 3(a – b – c) + 5(a – b) + 3c = 3a – 3b – 3c + 5a – 5b + 3c = 8a – 8b = = 8(a – b), що й треба було довести.

53. 1) 12а – (–(8а – 16)) = 12а + 8а – 16 = 20а – 16;–4(4 – 5а) = –16 + 20а = 20а – 16.Тому 12а – (–(8а – 16)) = 20а – 16 = –4(4 – 5а), що й треба було довести.2) 4(x + y – t) + 5(x – t) – 4y = 4x + 4y – 4t + 5x – 5t – 4y = 9x – 9t = 9(x – t), що й треба було довести.

54. 1,8(т – 2) + 1,4(2 – т) + 0,2(1,7 – 2т) = 1,8т – 3,6 + 2,8 – 1,4т + 0,34 – – 0,4т = –0,46. Значення виразу не залежить від значення змінної, що й треба було довести.

55. а – (а – (5а + 2)) – 5(а – 8) = а – а + (5а + 2) – 5а + 40 = 5а + 2 – 5а + 40 = 42. При будь-якому значенні змінної значення виразу є числом 42, що й треба було довести.

56. Нехай 2п — перше з послідовних парних чисел, де п — ціле число, тоді 2п + 2 — друге, а 2п + 4 — третє. Маємо: 2п + (2п + 2) + (2п + 4) = 2п + 2п + 2 + 2п + 4 = 6п + 6 = 6(п + 1).п + 1 — ціле число, тому 6(п + 1) — ділиться на 6. А отже, і 2п + (2п + + 2) + (2п + 4)ділиться на 6, що й треба було довести.

57. –2(2,5п – 7) + 213

(3п – 6) = –5п + 14 + 7п – 14 = 2п. Оскільки п — на-

туральне число, то 2п — парне число. Отже, якщо п — натуральне число, то значення виразу, заданого в умові, є парним числом, що й треба було довести.

58. 1,6 ⋅ 0,15 = 0,24 (кг).Відповідь. 0,24 кг.

59. 1) 20202

⋅ 100% = 5%; 2) 20203

⋅ 100% = 0,25%.

60. Вид руху v, км/год t, год S, кмПішки х 2 2х

56 кмНа велосипеді х + 12 3 3(х + 12)

1) 2х + 3(х + 12) = 56;2х + 3х + 36 = 56;5х = 56 – 36;5х = 20;х = 4 (км/год) — пішки.2) 4 + 12 = 16 (км/год) — на велосипеді.Відповідь. 16 км/год.

10 Розділ 1. Цілі вирази §3. Степінь з натуральним показником 11

61. Коли у чемпіонаті зіграно перший матч, у графі «матчі» число «1» з’являється у двох команд, які цей матч зіграли. Таким чином загаль-на кількість матчів у таблиці після матчу дорівнює 2, після другого — 4, третього — 6 тощо, тобто у будь-який момент сумарна кількість мат-чів у таблиці число парне!Припустимо, що у деякий момент змагань у всіх команд кількість матчів є парним числом. Оскільки всіх команд — 11, то тоді сумарна кількість матчів — це сума 11 непарних чисел, тобто число непарне. Це суперечить попередньому висновку. Отже, наше припущення неправильне.А тому, в будь-який момент змагань, знайдеться команда, яка проведе до цього моменту парну кількість матчів або не проведе ще жодного, що й треба було довести.

§3. Степінь з натуральним показником62. Вираз Основа степеня Показник степеня

0,47 0,4 7(–8)2 –8 2(ab)3 ab 3

(x – y)5 x – y 5

12

24

a m

12

2a m 4

a b2 2 6−( ) a b2 2- 6

63. 1) 0,2 ⋅ 0,2 = 0,22; 2) –6 ⋅ (–6) ⋅ (–6) = (–6)3;

3) 1313131313

13

5

⋅ ⋅ ⋅ ⋅ = ; 4) − ⋅ −

= −

59

59

59

2

;

5) тттт = т4; 6) (ab) ⋅ (ab) = (ab)2;7) p p p⋅ ⋅ ⋅...

множників20 = р20; 8) (х – у)(х – у)(х – у) = (х – у)3.

64. 1) 0,7 ⋅ 0,7 ⋅ 0,7 = 0,73; 2) –3 ⋅ (–3) ⋅ (–3) ⋅ (–3) = (–3)4;3) ааааа = а5; 4) (a + b)(a + b) = (a + b)2;

5) 171717171717

17

6

⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ = ; 6) m m m⋅ ⋅ ⋅...

множників15 = т15.

65. 1) 35 = 3 ⋅ 3 ⋅ 3 ⋅ 3 ⋅ 3; 2) а3 = а ⋅ а ⋅ а;3) (a – b)2 = (a – b)(a – b);

4) xx y+

4

= xx y

xx y

xx y

xx y+

⋅+⋅+⋅+

.

66. 1) 57 = 5 ⋅ 5 ⋅ 5 ⋅ 5 ⋅ 5 ⋅ 5 ⋅ 5; 2) b4 = bbbb;

3) (х + у)3 = (х + у)(х + у)(х + у); 4) mm−

5

2

= mm

mm−⋅−5 5

.

67. 1) 13 = 1; 2) 05 = 0; 3) 52 = 25;4) (–7)2 = 49; 5) (–2)3 = –8; 6) (–1)8 = 1.

68. 1) 32 = 9; 2) 23 = 8; 3) 02 = 0;4) 17 = 1; 5) (–1)4 = 1; 6) (–1)3 = –1.

69. 1) 35 = 3 ⋅ 3 ⋅ 3 ⋅ 3 ⋅ 3 = 243; 2) (0,7)2 = 0,7 ⋅ 0,7 = 0,49;

3) 14

3 = 1

4 ⋅ 14

⋅ 14

= 164

;

4) 112

5 = 3

2 ⋅ 32

⋅ 32

⋅ 32

⋅ 32

= 24332

= 71932;

5) (–7)4 = (–7) ⋅ (–7) ⋅ (–7) ⋅ (–7) = 2401;6) (–0,3)3 = –0,3 ⋅ (–0,3) ⋅ (–0,3) = –0,027;

7) −

1 23

2

= -53

⋅ −53

= 259

= 2 79

;

8) (–0,2)4 = –0,1 ⋅ (–0,1) ⋅ (–0,1) ⋅ (–0,1) = 0,0001.70. 1) 54 = 5 ⋅ 5 ⋅ 5 ⋅ 5 = 625; 2) 1,52 = 1,5 ⋅ 1,5 = 2,25;

3) 27

3 = 2

72727

× × = 8343

;

4) 113

4 = 4

3434343

× × × = 25681

= 31381;

5) (–3)3 = (–3) ⋅ (–3) ⋅ (–3) = –27;6) (–1,7)2 = (–1,7) ⋅ (–1,7) = 2,89;

7) −

118

3

= −98

⋅ −98

⋅ −98

= -729512

= -1 217512

;

8) (–0,2)4 = (–0,2) ⋅ (–0,2) ⋅ (–0,2) ⋅ (–0,2) = 0,0016.71. п 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

2п 2 4 8 16 32 64 128 256 512 10243п 3 9 27 81 243 729 2187 6561 19683 59049

10 Розділ 1. Цілі вирази §3. Степінь з натуральним показником 11

61. Коли у чемпіонаті зіграно перший матч, у графі «матчі» число «1» з’являється у двох команд, які цей матч зіграли. Таким чином загаль-на кількість матчів у таблиці після матчу дорівнює 2, після другого — 4, третього — 6 тощо, тобто у будь-який момент сумарна кількість мат-чів у таблиці число парне!Припустимо, що у деякий момент змагань у всіх команд кількість матчів є парним числом. Оскільки всіх команд — 11, то тоді сумарна кількість матчів — це сума 11 непарних чисел, тобто число непарне. Це суперечить попередньому висновку. Отже, наше припущення неправильне.А тому, в будь-який момент змагань, знайдеться команда, яка проведе до цього моменту парну кількість матчів або не проведе ще жодного, що й треба було довести.

§3. Степінь з натуральним показником62. Вираз Основа степеня Показник степеня

0,47 0,4 7(–8)2 –8 2(ab)3 ab 3

(x – y)5 x – y 5

12

24

a m

12

2a m 4

a b2 2 6−( ) a b2 2- 6

63. 1) 0,2 ⋅ 0,2 = 0,22; 2) –6 ⋅ (–6) ⋅ (–6) = (–6)3;

3) 1313131313

13

5

⋅ ⋅ ⋅ ⋅ = ; 4) − ⋅ −

= −

59

59

59

2

;

5) тттт = т4; 6) (ab) ⋅ (ab) = (ab)2;7) p p p⋅ ⋅ ⋅...

множників20 = р20; 8) (х – у)(х – у)(х – у) = (х – у)3.

64. 1) 0,7 ⋅ 0,7 ⋅ 0,7 = 0,73; 2) –3 ⋅ (–3) ⋅ (–3) ⋅ (–3) = (–3)4;3) ааааа = а5; 4) (a + b)(a + b) = (a + b)2;

5) 171717171717

17

6

⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ = ; 6) m m m⋅ ⋅ ⋅...

множників15 = т15.

65. 1) 35 = 3 ⋅ 3 ⋅ 3 ⋅ 3 ⋅ 3; 2) а3 = а ⋅ а ⋅ а;3) (a – b)2 = (a – b)(a – b);

4) xx y+

4

= xx y

xx y

xx y

xx y+

⋅+⋅+⋅+

.

66. 1) 57 = 5 ⋅ 5 ⋅ 5 ⋅ 5 ⋅ 5 ⋅ 5 ⋅ 5; 2) b4 = bbbb;

3) (х + у)3 = (х + у)(х + у)(х + у); 4) mm−

5

2

= mm

mm−⋅−5 5

.

67. 1) 13 = 1; 2) 05 = 0; 3) 52 = 25;4) (–7)2 = 49; 5) (–2)3 = –8; 6) (–1)8 = 1.

68. 1) 32 = 9; 2) 23 = 8; 3) 02 = 0;4) 17 = 1; 5) (–1)4 = 1; 6) (–1)3 = –1.

69. 1) 35 = 3 ⋅ 3 ⋅ 3 ⋅ 3 ⋅ 3 = 243; 2) (0,7)2 = 0,7 ⋅ 0,7 = 0,49;

3) 14

3 = 1

4 ⋅ 14

⋅ 14

= 164

;

4) 112

5 = 3

2 ⋅ 32

⋅ 32

⋅ 32

⋅ 32

= 24332

= 71932;

5) (–7)4 = (–7) ⋅ (–7) ⋅ (–7) ⋅ (–7) = 2401;6) (–0,3)3 = –0,3 ⋅ (–0,3) ⋅ (–0,3) = –0,027;

7) −

1 23

2

= -53

⋅ −53

= 259

= 2 79

;

8) (–0,2)4 = –0,1 ⋅ (–0,1) ⋅ (–0,1) ⋅ (–0,1) = 0,0001.70. 1) 54 = 5 ⋅ 5 ⋅ 5 ⋅ 5 = 625; 2) 1,52 = 1,5 ⋅ 1,5 = 2,25;

3) 27

3 = 2

72727

× × = 8343

;

4) 113

4 = 4

3434343

× × × = 25681

= 31381;

5) (–3)3 = (–3) ⋅ (–3) ⋅ (–3) = –27;6) (–1,7)2 = (–1,7) ⋅ (–1,7) = 2,89;

7) −

118

3

= −98

⋅ −98

⋅ −98

= -729512

= -1 217512

;

8) (–0,2)4 = (–0,2) ⋅ (–0,2) ⋅ (–0,2) ⋅ (–0,2) = 0,0016.71. п 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

2п 2 4 8 16 32 64 128 256 512 10243п 3 9 27 81 243 729 2187 6561 19683 59049

12 Розділ 1. Цілі вирази §3. Степінь з натуральним показником 13

72. 16

8

4

2

1

2

2

2

2

27

9

3

1

3

3

3

50

25

5

1

2

5

5

16 = 24 27 = 33 50 = 2 ⋅ 52

1000

500

250

125

25

5

1

2

2

2

5

5

5

99

33

11

1

3

3

11

656

328

164

82

41

1

2

2

2

2

41

1000 = 23 ⋅ 53 99 = 32 ⋅ 11 656 = 24 ⋅ 4173. 1) –52 = –5 ⋅ 5 = –25;

2) − −23

3

= − −⋅ −⋅ −

23

23

23

= 827

;

3) –(–0,2)4 = –(–0,2) ⋅ (–0,2) ⋅ (–0,2) ⋅ (–0,2) = –0,0016;4) –(–1)19 = − − ⋅ − ⋅ ⋅ −( ) ( ) ... ( )

множників

1 1 119

= 1.

74. 1) –73 = –7 ⋅ 7 ⋅ 7 = –343;

2) − −12

2

= − −⋅ −

12

12

= -14

;

3) − −

113

3

= − −⋅ −⋅ −

43

43

43

= 6427

= 21027

;

4) –(–1)16 = − − ⋅ − ⋅ ⋅ −( ) ( ) ... ( )множників

1 1 116

= –1.

75. 1) (–5,7)2 > 0; 2) (–12,49)9 < 0; 3) –537 < 0; 4) –(–2)5 > 0.76. 1) (–4,7)3 < 0; 2) (–2,31)4 > 0; 3) –(–2)8 < 0; 4) –(–3)7 > 0.

77. 1) 0,2 ⋅ 252 = 0,2 ⋅ 25 ⋅ 25 = 15

⋅ 25 ⋅ 25 = 5 ⋅ 25 = 125;

2) 500 13,

= 500 001,

= 50 000;

3) − ⋅4 12

4

= –4 ⋅ 12

⋅ 12

⋅ 12

⋅ 12

= – 12

⋅ 12

= – 14

;

4) 0,2 ⋅ (–5)3 = 0,2 ⋅ (–5) ⋅ (–5) ⋅ (–5) = –1 ⋅ 25 = –25;

5) 5 215

3

⋅

= 2

3

3 = 2

3 ⋅ 23

⋅ 23

= 827;

6) 6 23

6 32

2 2

:

= ⋅

= 92 = 81;

7) 52 + (–5)4 = 25 + 625 = 650;8) (3,4 – 3,6)2 = (–0,2)2 = 0,04.

78. 1) 0,5 ⋅ 402 = 0,5 ⋅ 40 ⋅ 40 = 20 ⋅ 40 = 800;

2) 300 33,

= 300 027,

= 30 271000: = 30 1000

27× = 10000

9 = 11111

9;

3) − ⋅5 15

3

= –5 ⋅ 15

⋅ 15

⋅ 15

= - 125;

4) − ⋅78

162

= − ⋅ −⋅

78

7816 = 49 2

8× = 49

4 = 121

4;

5) 12 67

12 76

2 2

:

= ⋅

= 142 = 196;

6) − ⋅

3 29

4

= −23

4

= -23

⋅ −23

⋅ −23

⋅ −23

= 1681;

7) 62 – (–6)3 = 36 – (–216) = 36 + 216 = 252;8) (1,7 – 1,9)4 = (–0,2)4 = –0,2 ⋅ (–0,2) ⋅ (–0,2) ⋅ (–0,2) = 0,0016.

79. 1) 32 + 42 = 9 + 16 = 25; 52 = 25. Тому 32 + 42 = 52.2) 42 + 52 = 16 + 25 = 41; 62 = 36. Тому 42 + 52 ≠ 62.3) 23 + 33 = 8 + 27 = 35; 53 = 125. Тому 23 + 33 ≠ 53.4) 26 + 62 = 64 + 36 = 100; 102 = 100. Тому 26 + 62 = 102.5) 13 + 23 + 33 = 1 + 8 + 27 = 36; 62 = 36. Тому 13 + 23 + 33 = 62.6) (–5)2 + (–12)2 = 25 + 144 = 169; (–13)2 = 169. Тому (–5)2 + (–12)2 = (–13)2.

80. 1) 0 = 02; 4 = 22; 0,16 = 0,42;925

35

2

= ; 169 = 132; 1 24

254925

75

1 25

2 2

= = = ;

2) 64 = 43; –27 = (–3)3; 0 = 03;

1 = 13; − = −

18

12

3

; 1 91125

216125

65

115

3 3

= = = .

81. 1) 5 = 51; 125 = 53; 625 = 54; 2) 100 = 102; 10 000 = 104; 10 = 101.

82. 1) 8 = 23; 81 = 92; –125 = (–5)3; –64 = (–4)3;

0,16 = (0,4)2; 0,001 = (0,1)3; 3 38

278

32

112

3 3

= = = ;

11125

3625

65

115

2 2

= = = ;

2) 2 = 21; 4 = 22; 8 = 23; 256 = 28;3) 81 = (–3)4; –27 = (–3)3; –3 = (–3)1.

83. 1) 0,62 + (–0,7)2 = 0,36 + 0,49 = 0,85;2) (5,7 + (–6,3))2 = (–0,6)2 = 0,36;3) 2,33 – 2,23 = 12,167 – 10,648 = 1,519;4) (8,2 + 1,8)3 = 103 = 1000.

12 Розділ 1. Цілі вирази §3. Степінь з натуральним показником 13

72. 16

8

4

2

1

2

2

2

2

27

9

3

1

3

3

3

50

25

5

1

2

5

5

16 = 24 27 = 33 50 = 2 ⋅ 52

1000

500

250

125

25

5

1

2

2

2

5

5

5

99

33

11

1

3

3

11

656

328

164

82

41

1

2

2

2

2

41

1000 = 23 ⋅ 53 99 = 32 ⋅ 11 656 = 24 ⋅ 4173. 1) –52 = –5 ⋅ 5 = –25;

2) − −23

3

= − −⋅ −⋅ −

23

23

23

= 827

;

3) –(–0,2)4 = –(–0,2) ⋅ (–0,2) ⋅ (–0,2) ⋅ (–0,2) = –0,0016;4) –(–1)19 = − − ⋅ − ⋅ ⋅ −( ) ( ) ... ( )

множників

1 1 119

= 1.

74. 1) –73 = –7 ⋅ 7 ⋅ 7 = –343;

2) − −12

2

= − −⋅ −

12

12

= -14

;

3) − −

113

3

= − −⋅ −⋅ −

43

43

43

= 6427

= 21027

;

4) –(–1)16 = − − ⋅ − ⋅ ⋅ −( ) ( ) ... ( )множників

1 1 116

= –1.

75. 1) (–5,7)2 > 0; 2) (–12,49)9 < 0; 3) –537 < 0; 4) –(–2)5 > 0.76. 1) (–4,7)3 < 0; 2) (–2,31)4 > 0; 3) –(–2)8 < 0; 4) –(–3)7 > 0.

77. 1) 0,2 ⋅ 252 = 0,2 ⋅ 25 ⋅ 25 = 15

⋅ 25 ⋅ 25 = 5 ⋅ 25 = 125;

2) 500 13,

= 500 001,

= 50 000;

3) − ⋅4 12

4

= –4 ⋅ 12

⋅ 12

⋅ 12

⋅ 12

= – 12

⋅ 12

= – 14

;

4) 0,2 ⋅ (–5)3 = 0,2 ⋅ (–5) ⋅ (–5) ⋅ (–5) = –1 ⋅ 25 = –25;

5) 5 215

3

⋅

= 2

3

3 = 2

3 ⋅ 23

⋅ 23

= 827;

6) 6 23

6 32

2 2

:

= ⋅

= 92 = 81;

7) 52 + (–5)4 = 25 + 625 = 650;8) (3,4 – 3,6)2 = (–0,2)2 = 0,04.

78. 1) 0,5 ⋅ 402 = 0,5 ⋅ 40 ⋅ 40 = 20 ⋅ 40 = 800;

2) 300 33,

= 300 027,

= 30 271000: = 30 1000

27× = 10000

9 = 11111

9;

3) − ⋅5 15

3

= –5 ⋅ 15

⋅ 15

⋅ 15

= - 125;

4) − ⋅78

162

= − ⋅ −⋅

78

7816 = 49 2

8× = 49

4 = 121

4;

5) 12 67

12 76

2 2

:

= ⋅

= 142 = 196;

6) − ⋅

3 29

4

= −23

4

= -23

⋅ −23

⋅ −23

⋅ −23

= 1681;

7) 62 – (–6)3 = 36 – (–216) = 36 + 216 = 252;8) (1,7 – 1,9)4 = (–0,2)4 = –0,2 ⋅ (–0,2) ⋅ (–0,2) ⋅ (–0,2) = 0,0016.

79. 1) 32 + 42 = 9 + 16 = 25; 52 = 25. Тому 32 + 42 = 52.2) 42 + 52 = 16 + 25 = 41; 62 = 36. Тому 42 + 52 ≠ 62.3) 23 + 33 = 8 + 27 = 35; 53 = 125. Тому 23 + 33 ≠ 53.4) 26 + 62 = 64 + 36 = 100; 102 = 100. Тому 26 + 62 = 102.5) 13 + 23 + 33 = 1 + 8 + 27 = 36; 62 = 36. Тому 13 + 23 + 33 = 62.6) (–5)2 + (–12)2 = 25 + 144 = 169; (–13)2 = 169. Тому (–5)2 + (–12)2 = (–13)2.

80. 1) 0 = 02; 4 = 22; 0,16 = 0,42;925

35

2

= ; 169 = 132; 1 24

254925

75

1 25

2 2

= = = ;

2) 64 = 43; –27 = (–3)3; 0 = 03;

1 = 13; − = −

18

12

3

; 1 91125

216125

65

115

3 3

= = = .

81. 1) 5 = 51; 125 = 53; 625 = 54; 2) 100 = 102; 10 000 = 104; 10 = 101.

82. 1) 8 = 23; 81 = 92; –125 = (–5)3; –64 = (–4)3;

0,16 = (0,4)2; 0,001 = (0,1)3; 3 38

278

32

112

3 3

= = = ;

11125

3625

65

115

2 2

= = = ;

2) 2 = 21; 4 = 22; 8 = 23; 256 = 28;3) 81 = (–3)4; –27 = (–3)3; –3 = (–3)1.

83. 1) 0,62 + (–0,7)2 = 0,36 + 0,49 = 0,85;2) (5,7 + (–6,3))2 = (–0,6)2 = 0,36;3) 2,33 – 2,23 = 12,167 – 10,648 = 1,519;4) (8,2 + 1,8)3 = 103 = 1000.

14 Розділ 1. Цілі вирази §3. Степінь з натуральним показником 15

84. 1) 127

3x .

Якщо х = 0, то 127

3x = 127

⋅ 03 = 0;

якщо х = –1, то 127

3x = 127

⋅ (–1)3 = – 127

;

якщо х = 1, то 127

3x = 127

⋅ 13 = 127

;

якщо х = –3, то 127

3x = 127

⋅ (–3)3 = –1;

якщо х = 3, то 127

3x = 127

⋅ 33 = 1.

2) а + а2 + а3.Якщо а = 1, то а + а2 + а3 = 1 + 12 + 13 = 1 + 1 + 1 = 3;якщо а = –1, то а + а2 + а3 = –1 + (–1)2 + (–1)3 = –1 + 1 – 1 = –1;якщо а = –2, то а + а2 + а3 = –2 + (–2)2 + (–2)3 = –2 + 4 – 8 = –6.3) (15х)4.

Якщо х = 13

, то (15х)4 = 15 13

4

⋅

= 54 = 625;

якщо х = – 15

, то (15х)4 = 15 15

4

⋅ −

= (–3)4 = 81.

4) a2 – b2.Якщо а = –6, b = –8, то a2 – b2 = (–6)2 – (–8)2 = 36 – 64 = –28.

85. 1) 0,01а4.Якщо а = 2, то 0,01а4 = 0,01 ⋅ 24 = 0,01 ⋅ 16 = 0,16;якщо а = –5, то 0,01а4 = 0,01 ⋅ (–5)4 = 0,01 ⋅ 625 = 6,25;якщо а = 10, то 0,01а4 = 0,01 ⋅ 104 = 0,01 ⋅ 10000 = 100.2) 5с2 – 4.Якщо с = 0,2, то 5с2 – 4 = 5 ⋅ 0,22 – 4 = 5 ⋅ 0,04 – 4 = 0,2 – 4 = –3,8;якщо с = –0,1, то 5с2 – 4 = 5 ⋅ (–0,1)2 – 4 = 5 ⋅ 0,01 – 4 = 0,05 – 4 = –3,95;якщо с = 0, то 5с2 – 4 = 5 ⋅ 02 – 4 = –4.3) (m + n)3.Якщо m = –4, n = –1, то (m + n)3 = (–4 + (–1))3 = (–5)3 = –125.4) 4х2 – х3.Якщо х = 1, то 4х2 – х3 = 4 ⋅ 12 – 13 = 4 – 1 = 3;якщо х = –2, то 4х2 – х3 = 4 ⋅ (–2)2 – (–2)3 = 4 ⋅ 4 – (–8) = 24;якщо х = –3, то 4х2 – х3 = 4 ⋅ (–3)2 – (–3)3 = 4 ⋅ 9 – (–27) = 63.

86. 1) –24 < (–2)4; 2) ( –7)3 < (–6)2; 3) (–12)8 = 128; 4) –53 = (–5)3.87. 1) –х2 і (–х)2.

Якщо х = 5, то –х2 < (–х)2;якщо х = –3, то –х2 < (–х)2;

якщо х = 0, то –х2 = (–х)2.2) Оскільки (–х)3 = –х ⋅ (–х) ⋅ (–х) = –х3, то для будь-якого значення х виконується –х3 = (–х)3.

88. 1) а2 ≥ 0; 2) –b2 ≤ 0; 3) m2 + 3 > 0;4) –p2 – 1 < 0; 5) (a – 3)2 ≥ 0; 6) a2 + b2 ≥ 0;7) x2 + y2 + 5 > 0; 8) (m – n)2 + 1 > 0; 9) –(p + 9)2 ≤ 0.

89. 1) Оскільки а2 ≥ 0 для будь-якого значення а, то а2 + 1 ≥ 1 для будь-якого значення а. Найменшим значенням виразу а2 + 1 є число 1. Це значення досягається, якщо а = 0.2) Найменшим значенням виразу 3 + (т – 3)2 є число 3 (досягається, коли т = 3).3) Найменшим значенням виразу (а + 8)4 – 5 є число –5 (досягається, коли а = –8).

90. 1) Оскільки –х2 ≤ 0 для будь-якого значення х, то –х2 + 2 ≤ 2 для будь-якого значення х. Найбільшим значенням виразу –х2 + 2 є число 2. Це значення досягається, якщо х = 0.2) Найбільшим значенням виразу –(т – 2)4 + 1 є число 1 (досягається, коли т = 2).3) Найбільшим значенням виразу 5 – (а + 9)2 є число 5 (досягається, коли а = –9).

91. 1) 0,8 = 0,8 ⋅ 100% = 80%; 2) 1,13 = 1,13 ⋅ 100% = 113%;3) 8,3 = 8,3 ⋅ 100% = 830%; 4) 0,007 = 0,007 ⋅ 100% = 0,7%.

92. 1. 9 815

7 715

4 5 2160 52 5 2

15−

⋅ − =, : , .

1) 9 815

7 715

2 115

− = ;

2) 2 115

4 5 3115

92

31 915 2

9310

9 310

⋅ = ⋅ =⋅⋅= =, ;

3) 2160 52 13

652100

13 256 13

256

4 16

: , : ;= =⋅⋅= =

4) 9 310

4 16

5 9 530

5 430

5 215

− =−= = .

2. 813

0 1625 922

1 411

1 32 21125

⋅ − − +

⋅ =−( , ) , .

1) 813

0 1625 813

162510000

813

1380

⋅ − = ⋅ −

= ⋅ −

( , ) ==−

110.

2) 922

1 411

1 9 822

11722

+ =+= ;

3) 11722

1 32 3922

132100

39 3322 25

11750

21750

⋅ = ⋅ =⋅⋅= =, :

4) − − =− +

=− =−

110

21750

550

21750

2 2250

21125.

14 Розділ 1. Цілі вирази §3. Степінь з натуральним показником 15

84. 1) 127

3x .

Якщо х = 0, то 127

3x = 127

⋅ 03 = 0;

якщо х = –1, то 127

3x = 127

⋅ (–1)3 = – 127

;

якщо х = 1, то 127

3x = 127

⋅ 13 = 127

;

якщо х = –3, то 127

3x = 127

⋅ (–3)3 = –1;

якщо х = 3, то 127

3x = 127

⋅ 33 = 1.

2) а + а2 + а3.Якщо а = 1, то а + а2 + а3 = 1 + 12 + 13 = 1 + 1 + 1 = 3;якщо а = –1, то а + а2 + а3 = –1 + (–1)2 + (–1)3 = –1 + 1 – 1 = –1;якщо а = –2, то а + а2 + а3 = –2 + (–2)2 + (–2)3 = –2 + 4 – 8 = –6.3) (15х)4.

Якщо х = 13

, то (15х)4 = 15 13

4

⋅

= 54 = 625;

якщо х = – 15

, то (15х)4 = 15 15

4

⋅ −

= (–3)4 = 81.

4) a2 – b2.Якщо а = –6, b = –8, то a2 – b2 = (–6)2 – (–8)2 = 36 – 64 = –28.

85. 1) 0,01а4.Якщо а = 2, то 0,01а4 = 0,01 ⋅ 24 = 0,01 ⋅ 16 = 0,16;якщо а = –5, то 0,01а4 = 0,01 ⋅ (–5)4 = 0,01 ⋅ 625 = 6,25;якщо а = 10, то 0,01а4 = 0,01 ⋅ 104 = 0,01 ⋅ 10000 = 100.2) 5с2 – 4.Якщо с = 0,2, то 5с2 – 4 = 5 ⋅ 0,22 – 4 = 5 ⋅ 0,04 – 4 = 0,2 – 4 = –3,8;якщо с = –0,1, то 5с2 – 4 = 5 ⋅ (–0,1)2 – 4 = 5 ⋅ 0,01 – 4 = 0,05 – 4 = –3,95;якщо с = 0, то 5с2 – 4 = 5 ⋅ 02 – 4 = –4.3) (m + n)3.Якщо m = –4, n = –1, то (m + n)3 = (–4 + (–1))3 = (–5)3 = –125.4) 4х2 – х3.Якщо х = 1, то 4х2 – х3 = 4 ⋅ 12 – 13 = 4 – 1 = 3;якщо х = –2, то 4х2 – х3 = 4 ⋅ (–2)2 – (–2)3 = 4 ⋅ 4 – (–8) = 24;якщо х = –3, то 4х2 – х3 = 4 ⋅ (–3)2 – (–3)3 = 4 ⋅ 9 – (–27) = 63.

86. 1) –24 < (–2)4; 2) ( –7)3 < (–6)2; 3) (–12)8 = 128; 4) –53 = (–5)3.87. 1) –х2 і (–х)2.

Якщо х = 5, то –х2 < (–х)2;якщо х = –3, то –х2 < (–х)2;

якщо х = 0, то –х2 = (–х)2.2) Оскільки (–х)3 = –х ⋅ (–х) ⋅ (–х) = –х3, то для будь-якого значення х виконується –х3 = (–х)3.

88. 1) а2 ≥ 0; 2) –b2 ≤ 0; 3) m2 + 3 > 0;4) –p2 – 1 < 0; 5) (a – 3)2 ≥ 0; 6) a2 + b2 ≥ 0;7) x2 + y2 + 5 > 0; 8) (m – n)2 + 1 > 0; 9) –(p + 9)2 ≤ 0.

89. 1) Оскільки а2 ≥ 0 для будь-якого значення а, то а2 + 1 ≥ 1 для будь-якого значення а. Найменшим значенням виразу а2 + 1 є число 1. Це значення досягається, якщо а = 0.2) Найменшим значенням виразу 3 + (т – 3)2 є число 3 (досягається, коли т = 3).3) Найменшим значенням виразу (а + 8)4 – 5 є число –5 (досягається, коли а = –8).

90. 1) Оскільки –х2 ≤ 0 для будь-якого значення х, то –х2 + 2 ≤ 2 для будь-якого значення х. Найбільшим значенням виразу –х2 + 2 є число 2. Це значення досягається, якщо х = 0.2) Найбільшим значенням виразу –(т – 2)4 + 1 є число 1 (досягається, коли т = 2).3) Найбільшим значенням виразу 5 – (а + 9)2 є число 5 (досягається, коли а = –9).

91. 1) 0,8 = 0,8 ⋅ 100% = 80%; 2) 1,13 = 1,13 ⋅ 100% = 113%;3) 8,3 = 8,3 ⋅ 100% = 830%; 4) 0,007 = 0,007 ⋅ 100% = 0,7%.

92. 1. 9 815

7 715

4 5 2160 52 5 2

15−

⋅ − =, : , .

1) 9 815

7 715

2 115

− = ;

2) 2 115

4 5 3115

92

31 915 2

9310

9 310

⋅ = ⋅ =⋅⋅= =, ;

3) 2160 52 13

652100

13 256 13

256

4 16

: , : ;= =⋅⋅= =

4) 9 310

4 16

5 9 530

5 430

5 215

− =−= = .

2. 813

0 1625 922

1 411

1 32 21125

⋅ − − +

⋅ =−( , ) , .

1) 813

0 1625 813

162510000

813

1380

⋅ − = ⋅ −

= ⋅ −

( , ) ==−

110.

2) 922

1 411

1 9 822

11722

+ =+= ;

3) 11722

1 32 3922

132100

39 3322 25

11750

21750

⋅ = ⋅ =⋅⋅= =, :

4) − − =− +

=− =−

110

21750

550

21750

2 2250

21125.